kalkulus kalkulus variasi. dalam kuliah ini, kalkulus variasi merupakan bahan uts dan kontrol...

Download Kalkulus kalkulus variasi. Dalam kuliah ini, kalkulus variasi merupakan bahan UTS dan kontrol optimum,

Post on 06-Mar-2020

1 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Kalkulus Variasi Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan

    Toni Bakhtiar

    Departemen Matematika IPB

    Februari 2020

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 1 / 42

  • Outline

    Beberapa contoh masalah kontrol optimum

    Rumusan masalah kontrol optimum 1 Model matematika 2 Persamaan state 3 Fungsi kendala

    Reachability, controllability, observability

    Sistem kendali

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 2 / 42

  • Masalah Inventori-Produksi

    Sumber: Sethi & Thompson (2006) Fungsional objektif:

    min P

    J := ∫ T 0

    [ h(I (t)− Î (t))2

    2 + c(P(t)− P̂(t))2

    2

    ] e−rt dt.

    Fungsi kendala:

    İ (t) = P(t)−D(t), I (0) = I0,

    dengan I tingkat inventori, P tingkat produksi, D tingkat permintaan, Î tingkat inventori yang ingin dicapai, P̂ tingkat produksi yang ingin dicapai, dan e−rt faktor diskon. Masalah: menentukan tingkat produksi P = P(t) sedemikian sehingga meminimumkan biaya-biaya penalti akibat tidak terpenuhinya target dalam inventori dan produksi.

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 3 / 42

  • Masalah Pemasaran melalui Iklan

    Sumber: Sethi & Thompson (2006) Fungsional objektif:

    max c

    J := ∫ ∞ 0 (π(G (t))− c(t))e−rt dt.

    Fungsi kendala:

    Ġ (t) = c(t)− δG (t), G (0) = G0,

    dengan π tingkat penerimaan (revenue) yang merupakan fungsi dari citra perusahaan (goodwill) G , c biaya produksi (iklan), dan δ laju depresiasi. Masalah: menentukan besarnya biaya yang dikeluarkan untuk iklan c = c(t) sedemikian sehingga memaksimumkan tingkat keuntungan.

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 4 / 42

  • Masalah Pemeliharaan dan Pemanenan Ikan

    Sumber: Sydsæter et al. (2008) Fungsional objektif:

    max u

    J := ( x(T )P(T , x(T ))e−rT −

    ∫ T 0 cx(t)u(t)e−rt dt

    ) .

    Fungsi kendala:

    ẋ(t) = x(t)g(t, u(t)),

    x(0) = x0,

    dengan x(t) berat ikan pada saat t, P(t, x) harga ikan dengan berat x pada saat t, u(t) banyaknya pakan ikan yang digunakan, dan c > 0 biaya pakan ikan. Masalah: menentukan banyaknya pakan ikan yang digunakan u = u(t) sedemikian sehingga memaksimumkan keuntungan.

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 5 / 42

  • Masalah Energi dan Kualitas Lingkungan

    Sumber: Chiang (1992) Fungsional objektif:

    max E

    J := ∫ T 0 U(C (E (t)),P(E (t))) dt.

    Fungsi kendala:

    Ṡ(t) = −E (t), S(0) = S0, S(T ) ≥ 0,

    dengan U fungsi utilitas yang bergantung pada konsumsi energi C (E ) dan polusi P(E ), E laju penggunaan energi (BBM), dan S persediaan energi (BBM). Masalah: menentukan laju penggunaan energi (BBM) E = E (t) sedemikian sehingga memaksimumkan utilitas.

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 6 / 42

  • Masalah Kebijakan Antipolusi

    Sumber: Chiang (1992) Fungsional objektif:

    max E

    J := ∫ T 0 U(C (E (t)),P(t)) dt.

    Fungsi kendala:

    Ṡ(t) = −A(t)− E (t), Ṗ(t) = αE (t)− βA(t)− δP(t), S(0) = S0, S(T ) ≥ 0, P(0) = P0, P(T ) ≥ 0,

    dengan U fungsi utilitas yang bergantung pada konsumsi energi C (E ) dan tingkat polusi P, E laju penggunaan energi (BBM), A aktivitas antipolusi, dan S persediaan energi (BBM). Masalah: menentukan laju penggunaan energi (BBM) E = E (t) sedemikian sehingga memaksimumkan utilitas.

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 7 / 42

  • Perumusan Masalah Kontrol Optimum

    Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan peubah kontrol yang dapat mengendalikan suatu proses sedemikian sehingga memenuhi beberapa kendala fisik dan dalam waktu yang sama mengoptimumkan kriteria tertentu.

    Masalah kontrol optimum dapat diselesaikan melalui dua pendekatan: 1 program dinamik (Bellman, 1957) 2 prinsip maksimum (Pontryagin, 1962)

    Dalam kuliah ini akan dibahas penyelesaian masalah kontrol optimum melalui pendekatan prinsip maksimum.

    Pendekatan prinsip maksimum banyak menggunakan teknik dalam kalkulus variasi.

    Dalam kuliah ini, kalkulus variasi merupakan bahan UTS dan kontrol optimum, sebagai penerapan kalkulus variasi, merupakan bahan UAS.

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 8 / 42

  • Model Matematika

    Perumusan masalah kontrol optimum membutuhkan:

    Model matematika dari proses yang akan dikendalikan. Fungsi kendala. Spesifikasi dari kriteria yang akan dioptimumkan (fungsional objektif).

    Model matematika dari suatu proses umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan state (berupa persamaan diferensial):

    ẋ(t) = g(x(t), u(t), t),

    dengan

    x(t) =

     x1(t) x2(t) ...

    xn(t)

     , u(t) =  u1(t) u2(t) ...

    um(t)

     , g(x , u, t) =  g1(x , u, t) g2(x , u, t)

    ... gn(x , u, t)

     . x(t) disebut sebagai vektor peubah state dan u(t) disebut sebagai vektor peubah kontrol

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 9 / 42

  • Model Matematika

    Klasifikasi model:

    nonlinear dan time-varying (non-autonomous atau takmandiri):

    ẋ(t) = g(x(t), u(t), t).

    nonlinear dan time-invariant (autonomous atau mandiri):

    ẋ(t) = g(x(t), u(t)).

    linear dan time-varying :

    ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t).

    linear dan time-invariant:

    ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t).

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 10 / 42

  • Model Matematika

    Analisis model taklinear ẋ = g(x , u) biasanya dilakukan melalui model linear padanannya (linearized model) yang berbentuk ẋ = Ax + Bu, dengan A merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi di sekitar titik tetapnya:

    A =

     ∂g1 ∂x1

    · · · ∂g1∂xn ...

    . . . ...

    ∂gn ∂x1

    · · · ∂gn∂xn

     x=x̄

    .

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 11 / 42

  • Model Matematika

    Example Sebuah mobil berjalan lurus meninggalkan titik asal. Jarak mobil dari titik asal pada saat t dinyatakan sebagai s(t). Mobil diasumsikan dapat dikendalikan melalui percepatan (menginjak pedal gas) atau perlambatan (menginjak pedal rem) yang dinyatakan sebagai

    s̈(t) = a(t) + b(t),

    dengan peubah kontrol a merupakan percepatan dan b perlambatan.

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 12 / 42

  • Persamaan State

    Example (Lanjutan) Dapat didefiniskan vektor peubah state dan vektor peubah kontrol:

    x(t) = ( x1(t) x2(t)

    ) =

    ( s(t) ṡ(t)

    ) , u(t) =

    ( u1(t) u2(t)

    ) =

    ( a(t) b(t)

    ) .

    Diperoleh ẋ1 = x2 dan ẋ2 = u1 + u2, sehingga dalam notasi matriks diperoleh model matematika

    ẋ(t) = ( 0 1 0 0

    ) x(t) +

    ( 0 0 1 1

    ) u(t).

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 13 / 42

  • Fungsi Kendala

    Example (Lanjutan) Jika mobil mulai berjalan dari titik asal pada saat t0 dan berhenti di titik e pada saat T , maka diperoleh kendala

    x1(t0) = 0, x1(T ) = e,

    x2(t0) = 0, x2(T ) = 0.

    Dalam notasi matriks,

    x(t0) = ( 0 0

    ) , x(T ) =

    ( e 0

    ) .

    Jika ada syarat tambahan bahwa mobil tidak boleh mundur, berputar, atau berbelok maka harus ada kendala tambahan

    0 ≤ x1(t) ≤ e, 0 ≤ x2.

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 14 / 42

  • Fungsi Kendala

    Example (Lanjutan) Maksimum percepatan ialah M1 dan maksimum perlambatan ialah M2 (admissible control):

    0 ≤ u1(t) ≤ M1, −M2 ≤ u2(t) ≤ 0.

    Banyaknya BBM mula-mula G liter dan diasumsikan tidak ada pengisian BBM di tengah jalan yang dilewati:∫ T

    t0 [k1u1(t) + k2x2(t)] dt ≤ G .

    Diinginkan mobil tiba di titik e secepat mungkin:

    min J = T − t0 = ∫ T t0 dt.

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 15 / 42

  • Example (Ringkasan)

    Masalah kontrol optimum (multivariabel, state terbatas, input terbatas, kendala integral):

    min J := ∫ T t0 dt

    dengan kendala:

    ẋ1 = x2,

    ẋ2 = u1 + u2,

    x1(t0) = 0, x1(T ) = e,

    x2(t0) = 0, x2(T ) = 0,

    0 ≤ x1(t) ≤ e, 0 ≤ x2, 0 ≤ u1(t) ≤ M1, −M2 ≤ u2(t) ≤ 0,∫ T t0 [k1u1(t) + k2x2(t)] dt ≤ G .

    tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 16 / 42

  • Masalah Kontrol Optimum

    Untuk selanjutnya, kriteria (fungsional objektif) diasumsikan berbentuk

    J = S(x(T ),T ) + ∫ T t0 f (x(t), u(t), t)dt.

    Fungsi S disebut sebagai scrap value atau salvage value. Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan admissible control u∗(t) yang dapat mengendalikan sistem dinamik

    ẋ(t) = g(x(t), u(t), t),

    sedemikian sehingga mampu mengikuti admissible trajectory x∗(t) dalam interval waktu [t0,T ] dan mengoptimumkan fungsional objektif

    J = S(x(T ),T ) + ∫ T t0 f (x(t), u(t), t)dt.

    u∗(t) disebut kontrol optimum dan x∗(t) trajektori optimum. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2020 17 / 42

Recommended

View more >