KALKULUS Perkenalan Apa Itu Kalkulus

Download KALKULUS Perkenalan Apa Itu Kalkulus

Post on 14-Nov-2015

27 views

Category:

Documents

13 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs

  • ariefikhwanwicaksono@gmail.com masawik.blogspot.com @awik1212

  • Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untukmenghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakuplimit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalahilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmumengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaanuntuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulusmemiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidakdapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

    Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dankalkulus integral yang saling berhubungan melalui teoremadasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menujupelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khususmempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakananalisis matematika.

  • Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi(hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisadinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak samadengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contohyang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan , , dan bilangane.

    Bilangan sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi= 3,1415926535.... atau= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

    Untuk bilangan := 1,4142135623730950488016887242096.... atau= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

    dan untuk bilangan e:= 2,7182818....

  • Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagaia/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. dimanabatasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-, ).

    Bilangan bisa dikatakan dapat dibagi menjadi 2 sekup besar yaitubilangan rasional dan bilangan irasional. Bila kita mengatakanbilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakup bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.

    Contoh dari bilangan rasional: Jika a/b = c/d maka, ad = bc.

  • Pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut.

    50/100 = 1/2 Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang

    dan penyebut. Penyederhanaan pembilang dan penyebut akan memudahkan dalam operasiaritmetika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilaiyang sama.

    Contohnya: bila dibandingkan antara 50/100 dan maka lebih mudah dan sederhana melihatangka . 50/100 terlihat sebagai angka raksasa yang kelihatannya lebih kompleksdibandingkan , padahal sebenarnya kedua angka ini tetap memiliki nilai yang sama. Padaoperasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan selain disederhanakan juga penyebutnyaharus disamakan dengan bilangan yang sama, sedangkan pada operasi perkalian caranya adalahpembilang dikali pembilang, penyebut dikali penyebut. dan dalam operasi pembagian, pecahanyang di kanan dibalikkan, setelah dibalikkan, tanda : diubah menjadi tanda kali (X), seperti 3/4 : 5/6 = 3/4 X 6/5 = 18/20 = 9/10.

  • Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dannegatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidaklagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskantanpa komponen desimal atau pecahan.

    Himpunan semua bilangan bulat dalam matematikadilambangkan dengan Z,berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk"bilangan").

    Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan danperkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat jugabilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z jugatertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian duabilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidaktertutup di bawah pembagian.

  • Bilangan cacah adalah himpunan bilanganbulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asliditambah 0.Jadi, bilangan cacah harusbertanda positif

  • Bilangan komposit adalah bilangan asli lebihbesar dari 1 yang bukan merupakan bilanganprima. Bilangan komposit dapat dinyatakansebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasilperkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertamaadalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

  • Ada pertanyaan?

  • Contoh : Himpunan semua bilangan bulatpositif yang lebih kecil dari pada 5, dapatditulis sebagaiA = {1,2,3,4}.

    Himpunan di atas dapat juga dituliskan dalambentuk

    A = { x | x adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5}

    yang dibaca A adalah himpunan x sedemikiansehingga x adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5.

  • Dalam kalkulus sering muncul himpunanbilangan nyata tertentu, yang disebut selang, yang secara geometris berkaitan dengan ruasgaris.,

  • selang terbukadari a ke b berisi semua bilangan diantara a dan b dinyatakandengan lambang (a,b).

    Dalam notasi pembentuk himpunan dituliskan dengan(a,b) ={x | a < x < b}.

    Perhatikan bahwa kedua titik ujung selang, yaitu a dan b tidak termasuk anggota himpunan tersebut. Ini ditandaidengan tanda kurung biasa ( ) dan dengan bulatan kosongpada gambar dibawah ini.

    a b

  • selang tertutup

    dari a ke b berisi semua bilangan diantara a dan b dinyatakan dengan lambang [a,b].

    Dalam notasi pembentuk himpunan dituliskan dengan

    [a,b] = {x a x b} .

    Di sini kedua titik ujung selang termasuk anggotahimpunan dan ditandai dengan kurung siku [ ] dan dengan bulatan penuh pada gambar

    a b

  • Notasi Deskripsi

    (a,b) {x | a < x < b}

    [a,b] {x |a x b}

    (a,b] {x |a < x b}

    [a,b) {x |a x < b}

    (a,) {x |x > a}

    [a,) {x |x a}

    (-,b) {x |x < b}

    (-,b] {x |x b}

    (- , ) Himpunan semua bilangan nyata, R

    Notasi dan Tabel sembilan selang yang mungkin tersebutmenggunakan asumsi bahwa a

  • Ada pertanyaan?