SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

IntroducciónLa mayoría de estructuras no se prestan para ser idealizadas como un sistema de un grado de libertad, pero pueden suponerse compuestas por una serie de masas concentradas unidas por resortes. Esta representación por medio de un sistema de varios grados de libertad admite todavía un análisis dinámico relativamente sencillo de su respuesta. Resulta complejo elegir entre el análisis dinámico plano o tridimensional, éste último representado por sus dos componentes horizontales (cargas reversibles), lo cual no es posible en el plano. El análisis dinámico tridimensional, requerirá la evaluación de la estructura con varios grados de libertad por medio de métodos sofisticados como el de los elementos finitos, que ayudaría a resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento existentes por cada grado de libertad, es una herramienta poderosa, sin embargo su modelación e interpretación de resultados no es sencilla y sólo se justificaría su uso en obras de magnitud.

En una estructura tridimensional xyz tipo edificios, es útil y suficiente asumir la hipótesis del diafragma rígido de piso, lo cual acepta que las plantas o losas de entrepiso son indeformables en el plano xy, de esta forma el problema global se reduce a tres grados de libertad por piso, dos traslaciones horizontales (ux,uy) y una rotación vertical (rz), a estos se conocen como desplazamientos maestros de piso. Normalmente estos grados de libertad se concentran en un nudo denominado maestro, al cual están constringidos o conectados rígidamente los nudos restantes, a estos nudos se los denomina dependientes y tienen los grados de libertad opuestos a los nudos maestros, es decir dos rotaciones horizontales (rx, ry) y una traslación vertical (uy).

FIGURA 1. Estructura de varios niveles.

Los métodos de análisis estructural se pueden clasificar en 2 clases:

1. Métodos de la teoría de la elasticidad. Solucionar las ecuaciones para desplazamientos y tensiones en un sistema continuo.

2. Métodos matriciales. Idealizar el sistema como un ensamble de elementos discretos. A su vez, estos son de dos tipos según su formulación:

o Método de la rigidez, con los desplazamientos como incógnitas.o Método de la flexibilidad, con las fuerzas como incógnitas.

Por su simplicidad, nos centraremos en el estudio del método matricial de la rigidez.

Grados de Libertad - DiscretizaciónAntes realizar la formulación de las ecuaciones de movimiento, es necesario aclarar los conceptos de discretización. Para la modelación de un sistema estructural real se escogen “elementos” discretos que ensamblados entre si representan la “estructura” continua. En el método de rigidez, los grados de libertad de un “elemento”, “subestructura”, o “sistema estructural” completo corresponden al conjunto de desplazamientos que es necesario conocer para resolver la estructura, se debe determinar las deformaciones y los esfuerzos internos en todos los puntos, de esta forma se puede plantear la ecuación matricial para encontrar la solución del sistema estructural, y determinar las deformaciones y esfuerzos en todos sus puntos.

El número de grados de libertad necesarios para definir un elemento depende de la función que dicho elemento desempeñe:

o Se requieren 12 grados de libertad para definir un elemento flexural prismático en el espacio.

o Se requieren 6 grados de libertad para definir un elemento triángulo para problemas de tensiones planas.

FIGURA 2. Grados de libertad en una estructura plana.

Una estructura se forma ensamblando elementos discretos apropiados según el caso. Un marco plano se puede formar mediante elementos prismáticos horizontales y verticales (vigas y columnas) y definiendo el número de grados de libertad correspondientes. Y puede simplificarse más reduciendo los grados de libertad ignorando las deformaciones axiales en las columnas y vigas por ejemplo.

En el planteamiento de problemas dinámicos debe existir correspondencia entre la distribución de masas y los grados de libertad de desplazamientos escogidos. Es decir, deben existir masas asociadas y por lo tanto existir fuerzas de inercia para todos los grados de libertad definidos. Es común simplificar el número de grados de libertad concentrando las masas solo en algunos de ellos, como en el caso de losas de piso que condensan la matriz de rigidez de la estructura y reducen el número de grados de libertad asociados.

1. Formulación de las Ecuaciones de MovimientoLa formulación de las ecuaciones de movimiento para los sistemas dinámicos de varios grados de libertad está relacionada con cada estructura en particular, por lo que no se puede definir el mismo número de ecuaciones para cualquier estructura. Lo que sí es general es el procedimiento, por lo que es posible definir las ecuaciones para cualquier tipo de estructura, pero tomando en cuenta sus características particulares, como son el número de pisos, las rigideces si son las mismas o no para cada piso, las masas de igual manera, etc.

Una estructura de varios niveles mostrada en la Figura 1, se puede idealizar como un pórtico de varios niveles con diafragma de cuerpo rígido asumiendo que la masa está concentrada en cada nivel, las columnas se suponen axialmente inextensibles pero lateralmente flexibles. La respuesta dinámica del sistema está representada por el desplazamiento lateral de las masas con el número de grados de libertad dinámica o n modos de vibración que son iguales al número de masas. La vibración resultante del sistema está dada por la superposición de las vibraciones de cada masa.

Cada modo individual de vibración tiene su propio periodo y puede ser representado por un sistema simple del mismo periodo.

En un sistema aporticado de tres niveles. El modo de vibración con periodo mayor (frecuencia baja) es llamado modo fundamental de vibración; modos con periodos cortos son llamados modos armónicos (frecuencias altas).

FIGURA 3. Edificio de 3 pisos.

F I+FR+F A=0

Los distintos términos de esta expresión se determinan con ecuaciones idénticas a las empleadas para los sistemas de un grado de libertad, pero ahora las variables de la expresión representan vectores y matrices. Dónde:

F I=M uT

FI = Vector de fuerzas de inerciaM = Matriz diagonal de masas

uT = Vector de aceleraciones totales

Las fuerzas en las columnas valen:

FR=Ku

FR = Vector de fuerzas en cada entrepisoK = Matriz de rigideces del sistemau = Vector de desplazamientos

F A=C u

FA = Vector de fuerzas de amortiguamientoC = Matriz de amortiguamiento. Usualmente el amortiguamiento se considera igual en todos los entrepisos y la matriz C se vuelve una constanteu = Vector de velocidad

La ecuación de equilibrio toma la misma forma que en un sistema de un grado de libertad, pero como ya se analizó vemos que ahora no es una ecuación lineal, ahora se trata de una ecuación matricial:

M u+C u+Ku=−M uoEl primer paso para resolver esta ecuación diferencial es resolver el caso de vibración libre con amortiguamiento nulo que permite determinar con buena aproximación los períodos de vibración y formas modales. El caso de vibración libre se detalla más adelante.

La ecuación matricial es la ecuación general del movimiento para sistemas dinámicos de varios grados de libertad.

Para ilustrar el análisis correspondiente a varios grados de libertad considerar un edificio de dos pisos. Cada masa de piso representa un grado de libertad con una ecuación de equilibrio dinámico para cada una:

vgFIGURA 4. Modelo a analizar.

Hipótesis:o Se desprecian las deformaciones axiales.o Se suponen vigas infinitamente rígidas flexuralmente.o Se concentran las masas a nivel de los pisos.

Se verifica la correspondencia entre masas y grados de libertad de desplzamiento.

Coordenadas de referencia:

o v1, v2 son coordenadas relativas a la base.o v1 t, v2 t, vg coordenadas absolutas respecto a un sistema de referencia fijo.

FIGURA 5. Coordenadas de referencia.

Para la formulación de las ecuaciones, vamos a plantear el equilibrio en los 2 niveles:

Equilibrio en el 2do. Nivel:

m2 v2t

k2

2( v2−v1 )

c2 ( v2−v1 )

k2

2( v2−v1 )

FIGURA 6. Equilibrio del Segundo Nivel.

m2 v2t+c2( v2− v1 )+k2( v2−v1 )=0 (1.1)

Equilibrio en el 1er. Nivel:k2

2( v2−v1 )

c2 ( v2−v1 )

k2

2( v2−v1 )

m1 v1 t

12k1 v1

c1 v1

12k1 v1

FIGURA 7. Equilibrio del Primer Nivel.

m1 v1 t+c1 v1−c2( v2− v1 )+k1v1−k 2(v2−v1)=0 (1.2)

Según la figura 5:

v2t=vg+v2 v2t= vg+v2

v1t=vg+v1 v1t= vg+ v1

Entonces las ecuaciones (1.1) y (1.2) quedan:

m2 v2+c2( v2− v1 )+k2 (v2−v1 )=−m2 vg (1.3.1)

m1 v1+c1 v1−c2( v2− v1 )+k1 v1−k2( v2−v1 )=−m1 vg (1.3.2)

Estas ecuaciones constituyen el sistema de Ecuaciones Diferenciales del Movimiento de la estructura.

Las ecuaciones (1.3.1) y (1.3.1) están acopladas

Sin amortiguamiento (c = 0) las ecuaciones (1.3) quedan:

m1 v1+(k 1+k2 )v1−k2 v2=−m1 v g (1.4.1)

m2 v2+k2 v2−k2 v1=−m2 vg (1.4.2)

Por último matricialmente se pueden escribir:

[m1 0

0 m2]{v1

v2}+[k1+k2 −k2

−k2 k2]{v1

v2}=− vg{m1

m2}

(1.5.1)

ó lo que es lo mismo:

[ M ] [ v ]+ [K ] [v ]=− v g [M ]

(1.5.2)

2. Solución para el caso de Vibración Libre

La solución del problema dinámico de vibración libre mediante un procedimiento intuitivo, permite realizar observaciones importantes acerca de las propiedades fundamentales de los sistemas dinámicos.

El problema de vibración libre, se expresa como:

[ M ] [ v ]+ [ K ] [v ]=0

Resolviendo el problema de vibración libre y por analogía con el caso de los sistemas de un grado de libertad se busca una solución de la forma:

[v ]= [∅ ] sen (ωt+α )

Es decir,

{v1

v2}={φ1

φ2}sen (ωt+α )

(2.1)

Lo que significa suponer que la estructura puede vibrar armónicamente con frecuencia ω manteniendo la forma dada por Φ.

Derivando las ecuaciones (2.1), se llegan a obtener las aceleraciones:

v. .

1=−φ1ω2sen (ωt+α )

v2=. .

−φ2ω2sen (ωt+α )

Y reemplazando en:

m1v. .

1+ (k1+k2 )v1−k2 v2=0

m2 v. .

2−k2v1+k2 v2=0

Queda:

[−m1 ω2φ1+(k1+k 2)φ1−k 2φ2 ]sen (ωt+α )=0

[−m2 ω2φ2−k2φ1+k2 φ2] sen (ωt+α )=0

Por lo tanto:

[(k1+k2)−m1ω2]φ1−k2φ2=0

(2.2)−k 2φ1+(k 2−m2ω

2)φ2=0

Y para que exista una solución distinta de la trivial (Φ≠0), el determinante de los coeficientes del sistema de ecuaciones homogéneo debe ser nulo:

|k1+k2−m1ω2 −k2

−k2 k2−m2ω2|=0

[(k1+k2)−m1ω2] (k2−m2ω

2 )−k22=0 (2.3)

A esta la ecuación 2.3, se denomina Ecuación Característica. Las soluciones ω2 se denominan Valores Característicos, o Valores Propios (o Eigen Valores), y corresponden a los cuadrados de las frecuencias de vibración o Frecuencias Normales o Frecuencias Modales. Como su nombre lo indica, estos valores son característicos de cada estructura individual, dependiendo de sus propiedades dinámicas (masa y rigidez) particulares.

Puede demostrarse que para matrices de masas y de rigidez reales, simétricas, y positivas definidas todas las raíces de la ecuación característica son reales y positivas. En sistemas estructurales estables las condiciones anteriores se cumplen.

La primera solución se denomina frecuencia fundamental y el período asociado T = 2π/ω, que es el más largo, período fundamental.

En la determinación de los vectores Φ, no interesa su magnitud, es decir el valor absoluto de sus componentes, sino su dirección, es decirla forma que representan. Por ello, puede escogerse arbitrariamente una de sus componentes como unitaria.

3. Ortogonalidad de los modos de VibraciónLos vectores de forma modal poseen una relación ortogonal, que a continuación se demostrará:

Tomando las ecuaciones:

[(k1+k2)−m1ω2]φ1−k2φ2=0

(2.2)−k 2φ1+(k 2−m2ω

2)φ2=0

Que en forma matricial:

[ [k ]−ω2 [m ]] [∅ ]=0 (3.1)

O bien:[k ] [∅ ]=ω2 [m ] [∅ ]

(3.2)

Y basándonos en el problema estático:

[ K ] [x ]=[ F ]Dónde:

[X] = desplazamientos nodales[F] = fuerzas nodales

Podemos interpretar [φ] como desplazamientos de la estructura debidos a fuerzas estáticas ω²[m]][φ].

Se presenta ejemplos de formas modales:

Aplicando la ley de Betti (Teorema reciproco):

ωI2m1∅ I 1∅ II 1+ωII

2 m2∅ I 2∅ II 2=ωII2 m1∅ II 1∅ I 1+ωII

2 m2∅ II 2∅ I 2

De donde:

(ωI2−ωII

2 ) (m1∅ I 1∅ II 1+m2∅ I 2∅ II 2 )=0

Si ωI¿ ωII el segundo factor debe ser nulo, lo que equivale a:

[∅ I 1 ∅ I 2 ] [m1 00 m2

]{∅ II 1

∅ II 2}=0

[∅ I ] [m ] {∅ II }=0

Y en general:

[∅ k ] [m ] {∅ j }=0 (3.3)

k ≠ j ,ωk≠ω j

La ecuación (3.3) representa la propiedad de ortogonalidad de los modos de vibración con respecto a la matriz de masas.

Se puede demostrar fácilmente también tomando la ecuación (3.2), que se puede plantear también la ortogonalidad para la matriz de rigidez:

[k ] [∅ ]=ω2 [m ] [∅ ]

En particular, para el modo j:

[k ] [∅ j ]=ω j2 [m ] [∅ j ]

Premultiplicando por [φk]T :

[∅ k ]T [k ] [∅ j ]=ω j2 [∅ k ]T [m ] [∅ j ]=0

Por lo tanto:

[∅ k ]T [k ] {∅ j }=0 (3.4)

k ≠ j ,ωk≠ω j

4. Normalización de los modelos de Vibración

El producto de [φk]T[m] [φk] es siempre mayor que cero. Sea [φk]T[m] [φk] igual a Rk, en que Rk es un número real positivo cualquiera. Es frecuente escalar los modos de manera que:

[∅ k ]T [m ] [∅ k ]=1

Lo que se logra haciendo:

[∅ k ]= 1

√Rk

[∅ k ]

Los modos así normalizados se denominan modos ortonormales con respecto a la matriz de masas.

Las siguientes definiciones son en general útiles:

a) La matriz de modos

[∅ ]=[ [∅ 1 ] [∅ 2 ]… [∅ n ] ]

b) La matriz de Modos Normalizados

[ ∅ ]=[ [∅ 1 ] [∅2 ]… [∅ n ] ]

Para lo cual se cumple que:

[∅ k ]T [m ] [∅ k ]=I=Matriz Identidad=[1 0 00 ⋱ 00 0 1]

5. Problema de Valores Propios: Cálculo de Modos y Frecuencias de Vibración

Se puede resolver a través de tres métodos:

Método Directo:En general, para un sistema de n grados de libertad, la ecuación característica es:

f (ω2 )=|[k ]−ω2 [m ]|

Que es un polinomio de grado n cuyo término mayor llega a ser 2n con gráfica similar a:

211 frecuencia fundamental

2

f(2n)

Se calculan las raíces 2i del polinomio con i variando i = 1, n; raíces que corresponden a los n valores

propios o frecuencias normales al cuadrado. Y con los 2i se calculan los modos [i]

correspondientes, no es necesario encontrar todas las raíces, pues, conocidas las primeras con sus modos es posible obtener el último modo por ortogonalidad, y con este modo ya conocido se puede calcular la frecuencia asociada.

Método de Stodola o Método de Iteración Matricial:Es de gran importancia por su enfoque conceptual, pero sin vigencia desde el punto de vista computacional por existir ahora mejores algoritmos para su resolución. El cálculo del modo es:

A partir de:

[ [k ]−ω2 [m ] ] [φ ]=0

[k ] [φ ]=ω2 [m ] [φ ]

Multiplicando por una matriz de flexibilidad [ f ] = [ k ] –1

[ f ] [k ] [φ ]=ω2 [ f ] [m ] [φ ]

Haciendo [ f ] [ k ] = [ I ] y, [ D ] = [ f ] [ m] se llega a:

I

ω2[φ ]= [D ] [φ ]

Lo que quiere decir que operar el vector [] por la matriz [D] es equivalente a un vector colineal ponderado por I/2.

Para calcular [], tomamos un vector cualquiera []0, parecido al primer modo [1] si podemos anticipar su forma aproximada; expresando dicho vector como una combinación lineal de los otros n vectores [i].

[ψ ]0=α1 [φ1 ]+α2 [φ2]+α3 [φ3 ]+…+αn [φn ]

Operando [ ]0 con [D] obtenemos un nuevo vector [ ]1.

[ψ ]1=[ D ] [ψ ]0=α 1 [ D ] [φ1]+α2 [ D ] [φ2 ]+α3 [D ] [φ3 ]+…+α n [ D ] [φn ]

Que nos conduce a:

[ψ ]1=[ D ] [ψ ]0=α1

ω1[φ1]+

α2

ω2[φ2]+

α3

ω3[φ3]+…+

α n

ωn[φn ]

Que repitiéndolo r veces:

[ψ ]r=[ D ] [ψ ]r−1=α1

(ω1)2 r[φ1]+

α2

(ω2)2 r[φ2]+

α3

(ω3 )2 r[φ3]+…+

α n

(ωn)2r[φn ]

[ψ ]r= 1

(ω1 )2 r[α 1 (ω1/ω1)2 r [φ1]+α2 (ω1 /ω2)2r [φ2 ]+…+α n (ω1/ωn)2r [φn ] ]

Pero se debe considerar que 1 < 2 < ... < n, con lo que, a medida que r crece (1 / i)2r tiende a cero y :

[ψ ]r=α1

(ω1 )2 r[φ1 ]

Por lo tanto, la iteración sucesiva conduce al primer modo.

Ahora se calculará la primera frecuencia, se deberá eliminar la constante de proporcionalidad en cada iteración, con lo que se llega al término:

[ψ ]r=λ [ψ ]r-1 con [ψ ]r≈ [ψ ]r-1

pero

[ψ ]r=[ D ] [ψ ]r−1= 1

ω21

[ψ ]r−1

, por lo tanto: λ= 1

ω2

1

ω1=√ 1λ

Convergencia al modo más alto: partiendo de la ecuación matricial, en forma similar al desarrollo anterior:

Definiendo:[ H ]=[m ]−1 [k ]

Se obtiene:[ H ] [∅ ]=ω2 [∅ ]

Que operando iterativamente de la forma anterior converge al modo asociado a la frecuencia más alta, de forma un tanto más lenta que en el esquema de iteración con la matriz [D].

Método para cálculo de Frecuencias y Modos para el caso de raíces repetidas:Para el caso en que la ecuación característica tiene raíces repetidas, los vectores propios relacionados no son únicos y cualquier combinación lineal entre ellos satisface la ecuación:

[ [k ]−ω2 [m ] ] [φ ]=0

Este punto se ilustra considerando que [ I ] y [II ] son los vectores correspondientes al valor propio común I

2 = II2 = a0 y [III] está asociado al valor propio III

2 = aIII en que aIII ≠ a0, lo que como ecuaciones queda:

[ [k ]−a0 [m ] ] [φ I ]=0

[ [k ]−a0 [m ] ] [φ II ]=0

[ [k ]−aIII [m ] ] [φ III ]=0

Ahora, multiplicando la 1ra ecuación por a y la 2da por b, con a y b como constantes arbitrarias y sumándolas se tiene:

( [k ]−a0 [m ]) (a [φ I ]+b [φ II ] )=0

Llamando:

[φab ]=a [φ I ]+b [φ II ]

Se tiene que:

[ [k ]−a0 [m ] ] [φab ]=0

Que es prueba de que [ab] es también un vector propio asociado a a0 y por tanto no existe un modo único para a0.

6. Superposicion Modal Espectral

Coordenadas normales del sistema.Los desplazamientos arbitrarios v del sistema se pueden expresar como la suma de los enésimos vectores de la forma modal φn multiplicados por una amplitud Yn, tal como lo plantea la expresión:

v=∑n=1

N

φnY n(6.1)

, o escribiendo en forma matricial:

v = φY (6.2)

El vector Y se llama vector de coordenadas generalizadas o coordenadas normales del sistema; su

obtención se la puede hacer premultiplicando la Ec. (6.2) por φnTm , y considerando además las

condiciones de ortogonalidad de la siguiente forma:

φnTmv= φn

TmφnY n (6.3)

Y n=∑i=1

N

miφin v i

∑i=1

N

mi φin2

(6.4)

En el caso de un sistema de 2 grados de libertad se tiene:

Y 1=m1 φ11v1+m2φ21 v2

m1φ112 +m2φ21

2Y 2=

m1φ12v1+m2φ22 v2

m1 φ122 +m2φ22

2(6.5)

v¿

y v¿⋅¿

¿ se pueden también expresar al utilizar las coordenadas normales a partir de la Ec. (6.2).

Las ecuaciones de movimiento para un sistema de n grados de libertad se pueden convertir en n ecuaciones independientes mediante el uso de las coordenadas normales.

Cuando se vaya a solucionar el caso para la vibración forzada con respecto a las coordinadas normales se procederá de la siguiente manera:

m v¿⋅¿+c v

¿

+kv=Ip (t )

¿

, donde I representa una matriz identidad tal que:

I=∑n=1

N

φn βn(6.6)

, o en forma matricial:

I=φβ (6.7)

En el caso del sistema de 2 grados de libertad, la expresión de la ecuación (6.7) es:

1=∅ 1 β1+∅ 2β2

(6.8)

Para encontrar βn la ecuación (6.7) se premultiplica por φnTm . De este modo:

φnTmI=φn

Tmφβ (6.9)

De la condición ortogonal:

β=φnTmI

φnTmφn

=∑i=1

N

miφ in

∑i=1

N

miφ in2

(6.10)

β representa la participación relativa de la enésima forma modal en la vibración total del sistema y se llama factor sísmico de participación para el enésimo modo.

Ecuación desacoplada para la coordenada normal j asociada al modo j:La ecuación del movimiento de un sistema amortiguado de n grados de libertad es:

m v¿⋅¿+c v

¿

+kv=p (t )

¿ (6.11)

Del análisis de la sección 6.1 se pueden hacer las siguientes deducciones, todas en forma matricial.

v=φY v¿

=φY¿

v¿⋅¿=φ Y

¿⋅¿

¿

¿ (6.12)

Si se sustituyen las ecuaciones (6.11) en (6.12), y premultiplicando por φ jT

se obtiene:

φ jTmφ Y

¿⋅¿+φjT cφY

¿

+φjT kφY=φ

jT p(t )

¿ (6.13)

El subíndice j equivale al subíndice n utilizado anteriormente.

Aplicando la propiedad de ortogonalidad de las matrices se puede demostrar que:

φ jT mφ Y

¿⋅¿ = φjT mφ

jY

¿⋅¿j¿

¿ Con Y

¿⋅¿j, Y

¿

jy Y

¿ como monomios y no matrices.

φ jT cφY

¿

=φ jT cφ jY

¿

j

φ jT kφY=φ j

T kφ jY j (6.14)

Si se reemplaza (6.14) en (6.13) se obtiene:

φ jTmφ j Y

¿⋅¿j+φ

jT cφ

jY¿

j+φ

jT kφ

jYj=φ

jT p (t )

¿ (6.15)

La expresión anterior puede escribirse de la siguiente manera:

M j Y

¿⋅¿j+c

jY¿

j+k

jYj=P

j(t )

¿ , o bien: (6.16)

Y

¿⋅¿j+2ξ

jwjY¿

j+w

j2 Y

j=

Pj(t )

Mj

¿ , donde: (6.17)

M j=φ jTmφ j = masa generalizada del modo j.

k j=φ jT kφ j=w j

2 M j = Rigidez generalizada del modo j.

P j( t )=φ jT p ( t ) = Carga generalizada del modo j.

c j=φ jT cφ j=2ξ jw jM j = coeficiente de amortiguamiento generalizado del modo j.

ξ j = razón de amortiguamiento generalizado del modo j.

A la ecuación (6.16) o (6.17) se le conoce con el nombre de “ecuación desacoplada para la coordenada normal y asociada al modo j”. El problema entonces se reduce a resolver n ecuaciones diferenciales. La técnica para reducir un sistema de múltiples grados de libertad se llama análisis modal.

Procedimiento de Superposición Modal:Paso 1:En primer lugar se debe plantear las ecuaciones diferenciales del movimiento en forma matricial:

m v¿⋅¿+c v

¿

+kv=p (t )

¿ (6.18)

Paso 2:Resolver la ecuación para el caso de la vibración libre ( p(t)=0 ) y así obtener los valores de las frecuencias normales y los modos de vibración.

m v¿⋅¿+ kv=0

¿ (6.19)

Paso 3:Calcular la masa generalizada y la carga generalizada para cada modo j:

M j=φ jTmφ j (6.20)

P j( t )=φ jT p ( t ) (6.21)

Paso 4:Planteamiento de las ecuaciones diferenciales desacopladas para cada modo j:

Y

¿⋅¿j+2ξ

jwjY¿

j+w

j2 Y

j=

Pj(t )

Mj

¿ (6.22)

Paso 5:Resolver las n ecuaciones diferenciales desacopladas obtenidas en el Paso 4 por cualquier método. Una solución simbólica dada por la integral de Duhamel es:

Y j( t )=1

M jwdj∫0

t

P j( t ) e−ξ jw j( t−τ )

sen wdj( t−τ )dτ

(6.23)

wdj=w j √1−ξ j2

Paso 6:La ecuación anterior constituye una solución particular de la descrita en el paso 4. Para encontrar la solución general de dicha ecuación se debe agregar la solución general de la homogénea.

Y jt=e

−ξ jw jt [Y¿

j(0 )+Y j(0 )ξ jw j

wdj

sen wdj t+Y j(0 )cos wdj t ](6.24)

Paso 7:Una vez conocidas las respuestas en coordenadas generalizadas Yj(t), las transformamos a las coordenadas geométricas utilizando las ecuaciones (6.1) y (6.2).

Este proceso se conoce como “superposición modal”.

Paso 8:Calculados los desplazamientos [v(t)], se puede evaluar otras incógnitas como las fuerzas asociadas a estos en cualquier instante.

f s ( t )=kv ( t )=kφ1Y 1 ( t )+kφ2Y 2 ( t )+ .. .. . .. ..+kφnY n ( t ) (6.25)

Recordando la ecuación: kφ j=w j2mφ j se tiene:

f s ( t )=kv ( t )=w12mφ1Y 1 ( t )+w2

2mφ2Y 2( t )+.. . .. .. . .wn2mφnY n( t ) (6.26)

Todos los términos de la expresión anterior están en forma matricial salvo los términos Yi.

La ecuación (6.26) puede rescribirse como:

f s ( t )=mφ [w2 y ( t ) ] (6.27)

, donde:

[w2Y ( t )]=¿ [w12Y 1( t )¿ ] [w2

2Y 2( t ) ¿ ] [¿ ] [ .. . .. .. . .. ¿ ]¿¿

¿¿(6.28)

Superposición modal para excitación sísmica:

Si se tiene una estructura en la cual su base se caracteriza por un movimiento v¿⋅¿

g

¿; la aceleración

absoluta de las masas de la estructura será de la forma v

¿⋅¿j(t )+ v

¿⋅¿g

¿

¿. Al aplicar el equilibrio dinámico de cada masa, se origina el siguiente sistema de ecuaciones:

m v¿⋅¿( t )+c v

¿(t )+ kv(t )=−mI v

¿⋅¿g

( t)

¿

¿ (6.29)

, con todos los términos en forma matricial y con v¿⋅¿

g

¿ como una cantidad escalar.

La matriz I se define como:

I=1=¿ [1 ¿ ] [1 ¿ ] [1 ¿ ] [. ¿ ] [ . ¿ ] [ . ¿ ]¿¿

¿¿(6.30)

Comparando (6.29) con (6.18) se tiene:

P j ( t )=φ jTm1 v

¿⋅¿g

¿ (6.31)

Definiendo al “factor de participación nodal” como:

L j=φ jTm1 (6.32)

La ecuación del movimiento para cada modo j bajo excitación sísmica es:

y

¿⋅¿j+2 ξ

jwjy¿

j+w

j2 y

j=L

jv

¿⋅¿g

Mj¿

¿ (6.33)

La solución simbólicamente para la ecuación anterior será:

(6.34)

(6.35)

, por lo tanto se obtiene:

Y j( t )=L j

M j

u j( t )(6.36)

El vector de desplazamientos viene dado por:

v(t) = φYt (6.37)

, sustituyendo (6.36) en la ecuación anterior se tiene:

¿ t ¿ ¿¿

v ( t )=φ [ LM u( t )](6.38)

, con v(t) y φ también como matrices.

Además:

[ LM u ( t )]=¿ [ L1

M 1

u1 ( t )¿] [¿ ][ L2

M2

u2 ( t )¿] [ ¿ ] [¿ ] [ .. . .. .. .. . .¿ ] [ ¿ ]¿

¿

¿¿

(6.39)

Mediante el proceso de superposición modal para una excitación sísmica es posible realizar un análisis de historia en el tiempo de una estructura. Para las fuerzas elásticas, por la ecuación (6.27) se tiene:

f s ( t )=mφ [w2Y ( t ) ]=mφ [ LM w2u( t )](6.40)

, donde

[ LM w2u( t )]=¿[ L1

M1

w12u1( t ) ¿] [ L2

M 2

w22u2 ( t )¿] [ ¿ ] [. . .. .. .. . .. .. . .. ¿ ] ¿

¿

¿¿

(6.41)

, además de las fuerzas elásticas se puede encontrar otros parámetros como el esfuerzo de corte basal y el momento volcante.

Q( t )=∑j=1

j=n

f sj ( t )=1 f s( t )(6.42)

M ( t )=∑j=1

j=n

h j f sj( t )=hf s ( t )(6.43)

, donde:

Q(t) = Esfuerzo cortante basal.M(t) = Momento volcante.1 = [1 1 1 …… 1]h = [h1 h2 h3…… hn]hj = Altura del piso j sobre el nivel basal.fs(t) = [fs1 fs2 fs3 ……. fsn]

Superposición Modal Espectral:

Al resolver el problema dinámico para el caso sísmico se tiene:

v ( t )=φ [ LM u( t )](6.44)

Conociendo la historia de la respuesta en el tiempo v(t), es posible calcular parámetros como:

- Desplazamiento de entrepiso.- Esfuerzo de corte basal y momento volcante.- Esfuerzo interno en cualquier elemento.- Etc.

El espectro de diseño nos proporciona umax, pero no nos indica la historia en el tiempo de u(t) x, es decir que se desconoce cuando ocurre umax. Puesto que la información disponible está incompleta, en base a esta se tratará de obtener de forma razonable los máximos valores que se interesa conocer.

La historia de desplazamientos para un piso k es:

vk( t )=φk 1

L1

M 1

u1( t )+φk 2

L2

M 2

u2( t )+. .. .. . .. .. . .φkn

Ln

M n

un ( t ) (6.45)

Si los valores máximos de todos los modos ocurriesen en el mismo instante, la respuesta máxima se da como:

vmax=|v1|max+|v2|max+ .. .. . .. ..(6.46)

Sin embargo es improbable que los valores extremos ocurran simultáneamente; sus signos tampoco pueden ser iguales. La mejor aproximación para predecir la máxima respuesta es combinar probabilísticamente los valores extremos de todos los modos. Entre las muchas proposiciones para la evaluación probabilística de la máxima respuesta, la más adecuada es el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados. En este método, el desplazamiento máximo se expresa como:

vmax=( v1 max2 +v21 max

2 +.. . .. .. .)12

(6.47)

En la práctica del diseño, el análisis modal se emplea en conjunción con los espectros de respuesta para desplazamientos (Sd), el cual nos entrega exactamente umax de tal forma que la ecuación (6.47) se puede transformar en la siguiente:

vk max=√∑i=1

i=n

(φki

Li

M i

Sdi)2

, donde Sdi=Sdi(wiξ i)=|ui max| (6.48)

La ecuación anterior constituye la raíz cuadrada de la suma de los valores absolutos de las componentes modales.

Bibliografía

Capítulo 10. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON N GRADOS DE LIBERTAD © Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).

Dinámica de sistemas de varios grados de libertad.

Diseño Estructural, Meli Piralla.

Diseño de estructuras sismorresistentes, Wakabayashi – Romero.