02 grados de libertad

Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica Eléctrica

Diseño y Construcción de Máquinas Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

TEMA : GRADOS DE LIBERTADTEMA : GRADOS DE LIBERTADTEMA : GRADOS DE LIBERTADTEMA : GRADOS DE LIBERTAD

�� GRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTAD

�� TIPOS DE MOVIMIENTOTIPOS DE MOVIMIENTOTIPOS DE MOVIMIENTOTIPOS DE MOVIMIENTO

�� ESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMÁÁÁÁTICASTICASTICASTICAS

�� DETERMINACIDETERMINACIDETERMINACIDETERMINACIÓÓÓÓN DEL GRADO DE LIBERTADN DEL GRADO DE LIBERTADN DEL GRADO DE LIBERTADN DEL GRADO DE LIBERTAD

�� MECANISMOS Y ESTRUCTURASMECANISMOS Y ESTRUCTURASMECANISMOS Y ESTRUCTURASMECANISMOS Y ESTRUCTURAS

�� EJEMPLOSEJEMPLOSEJEMPLOSEJEMPLOS

�� TRABAJO ENCARGADOTRABAJO ENCARGADOTRABAJO ENCARGADOTRABAJO ENCARGADO



GRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTAD

Un sistema mecUn sistema mecUn sistema mecUn sistema mecáááánico puede clasificarse de acuerdo con el nico puede clasificarse de acuerdo con el nico puede clasificarse de acuerdo con el nico puede clasificarse de acuerdo con el numero de grados de libertad (GDL) que posee. numero de grados de libertad (GDL) que posee. numero de grados de libertad (GDL) que posee. numero de grados de libertad (GDL) que posee. El GDL de un sistema es el numero de parEl GDL de un sistema es el numero de parEl GDL de un sistema es el numero de parEl GDL de un sistema es el numero de paráááámetros metros metros metros independientes (medidas) que necesitan para definir su independientes (medidas) que necesitan para definir su independientes (medidas) que necesitan para definir su independientes (medidas) que necesitan para definir su posiciposiciposiciposicióóóón en el espacio.n en el espacio.n en el espacio.n en el espacio.En la figura se muestra un lEn la figura se muestra un lEn la figura se muestra un lEn la figura se muestra un láááápiz colocado sobre una hoja de piz colocado sobre una hoja de piz colocado sobre una hoja de piz colocado sobre una hoja de papel en un plano y que tiene un sistema coordenado de papel en un plano y que tiene un sistema coordenado de papel en un plano y que tiene un sistema coordenado de papel en un plano y que tiene un sistema coordenado de XY. Si este lapiz permanece en el plano del papel, se XY. Si este lapiz permanece en el plano del papel, se XY. Si este lapiz permanece en el plano del papel, se XY. Si este lapiz permanece en el plano del papel, se requieren tres parametros (GDL) para definir requieren tres parametros (GDL) para definir requieren tres parametros (GDL) para definir requieren tres parametros (GDL) para definir completamente la posicion completamente la posicion completamente la posicion completamente la posicion del ldel ldel ldel láááápiz en el papel. Este lpiz en el papel. Este lpiz en el papel. Este lpiz en el papel. Este láááápiz piz piz piz en un plano tiene tres GDL.en un plano tiene tres GDL.en un plano tiene tres GDL.en un plano tiene tres GDL.



GRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTAD



TIPOS DE MOVIMIENTOTIPOS DE MOVIMIENTOTIPOS DE MOVIMIENTOTIPOS DE MOVIMIENTO

ROTACIROTACIROTACIROTACIÓÓÓÓN PURAN PURAN PURAN PURAEl cuerpo posee un punto (centro de rotaciEl cuerpo posee un punto (centro de rotaciEl cuerpo posee un punto (centro de rotaciEl cuerpo posee un punto (centro de rotacióóóón) que no tiene n) que no tiene n) que no tiene n) que no tiene movimiento con respecto al marco de referencia. Todos los movimiento con respecto al marco de referencia. Todos los movimiento con respecto al marco de referencia. Todos los movimiento con respecto al marco de referencia. Todos los demdemdemdemáááás puntos del cuerpo describen arcos respecto a este s puntos del cuerpo describen arcos respecto a este s puntos del cuerpo describen arcos respecto a este s puntos del cuerpo describen arcos respecto a este centro. centro. centro. centro.

TRASLACITRASLACITRASLACITRASLACIÓÓÓÓN PURAN PURAN PURAN PURATodos los puntos en el cuerpo describen trayectorias Todos los puntos en el cuerpo describen trayectorias Todos los puntos en el cuerpo describen trayectorias Todos los puntos en el cuerpo describen trayectorias paralelas (curvas o rectas).paralelas (curvas o rectas).paralelas (curvas o rectas).paralelas (curvas o rectas).

MOVIMIENTO COMPLEJOMOVIMIENTO COMPLEJOMOVIMIENTO COMPLEJOMOVIMIENTO COMPLEJOEs una combinaciEs una combinaciEs una combinaciEs una combinacióóóón simultn simultn simultn simultáááánea de rotacinea de rotacinea de rotacinea de rotacióóóón y traslacin y traslacin y traslacin y traslacióóóón.n.n.n.



ESLABONESLABONESLABONESLABONEs un cuerpo rEs un cuerpo rEs un cuerpo rEs un cuerpo ríííígido que posee al menos dos nodos, que son gido que posee al menos dos nodos, que son gido que posee al menos dos nodos, que son gido que posee al menos dos nodos, que son los puntos de unilos puntos de unilos puntos de unilos puntos de unióóóón con otros eslabones. n con otros eslabones. n con otros eslabones. n con otros eslabones.

ESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMÁÁÁÁTICASTICASTICASTICAS



JUNTAJUNTAJUNTAJUNTAEs una conexiEs una conexiEs una conexiEs una conexióóóón entre dos o mn entre dos o mn entre dos o mn entre dos o máááás eslabones (en sus nodos), s eslabones (en sus nodos), s eslabones (en sus nodos), s eslabones (en sus nodos), la cual permite algla cual permite algla cual permite algla cual permite algúúúún movimiento, entre los eslabones n movimiento, entre los eslabones n movimiento, entre los eslabones n movimiento, entre los eslabones conectados. Las juntas son llamadas tambiconectados. Las juntas son llamadas tambiconectados. Las juntas son llamadas tambiconectados. Las juntas son llamadas tambiéééén pares n pares n pares n pares cinemcinemcinemcinemááááticos.ticos.ticos.ticos.




CADENA CINEMCADENA CINEMCADENA CINEMCADENA CINEMÁÁÁÁTICATICATICATICASe define como un ensamble de eslabones y juntas Se define como un ensamble de eslabones y juntas Se define como un ensamble de eslabones y juntas Se define como un ensamble de eslabones y juntas interconectados de modo que proporcionen un movimiento interconectados de modo que proporcionen un movimiento interconectados de modo que proporcionen un movimiento interconectados de modo que proporcionen un movimiento de salida controlado en respuesta a un movimiento de de salida controlado en respuesta a un movimiento de de salida controlado en respuesta a un movimiento de de salida controlado en respuesta a un movimiento de entrada proporcionado.entrada proporcionado.entrada proporcionado.entrada proporcionado.




DETERMINACIDETERMINACIDETERMINACIDETERMINACIÓÓÓÓN DEL GRADO DE LIBERTADN DEL GRADO DE LIBERTADN DEL GRADO DE LIBERTADN DEL GRADO DE LIBERTAD

El concepto de grado de libertad (GDL) es fundamental El concepto de grado de libertad (GDL) es fundamental El concepto de grado de libertad (GDL) es fundamental El concepto de grado de libertad (GDL) es fundamental para la spara la spara la spara la sííííntesis y el anntesis y el anntesis y el anntesis y el anáááálisis de los mecanismos, el GDL es el lisis de los mecanismos, el GDL es el lisis de los mecanismos, el GDL es el lisis de los mecanismos, el GDL es el numero de entradas que se necesita proporcionar a fin de numero de entradas que se necesita proporcionar a fin de numero de entradas que se necesita proporcionar a fin de numero de entradas que se necesita proporcionar a fin de originar una salida predecible, asoriginar una salida predecible, asoriginar una salida predecible, asoriginar una salida predecible, asíííí mismo es el numero de mismo es el numero de mismo es el numero de mismo es el numero de coordenadas independientes requerido para definir su coordenadas independientes requerido para definir su coordenadas independientes requerido para definir su coordenadas independientes requerido para definir su posiciposiciposiciposicióóóón.n.n.n.Para determinar los GDL totales de un mecanismo, se debe Para determinar los GDL totales de un mecanismo, se debe Para determinar los GDL totales de un mecanismo, se debe Para determinar los GDL totales de un mecanismo, se debe tener en cuenta el numero de eslabones y juntas, astener en cuenta el numero de eslabones y juntas, astener en cuenta el numero de eslabones y juntas, astener en cuenta el numero de eslabones y juntas, asíííí como como como como las interacciones entre ellos. Los GDL de un ensamble las interacciones entre ellos. Los GDL de un ensamble las interacciones entre ellos. Los GDL de un ensamble las interacciones entre ellos. Los GDL de un ensamble pueden predecirse a partir de una investigacipueden predecirse a partir de una investigacipueden predecirse a partir de una investigacipueden predecirse a partir de una investigacióóóón de la n de la n de la n de la condicicondicicondicicondicióóóón de GRUEBLER. n de GRUEBLER. n de GRUEBLER. n de GRUEBLER.




Un eslabUn eslabUn eslabUn eslabóóóón cualquiera en un plano tiene tres GDL, por n cualquiera en un plano tiene tres GDL, por n cualquiera en un plano tiene tres GDL, por n cualquiera en un plano tiene tres GDL, por consiguiente un sistema de L eslabones no conectados en el consiguiente un sistema de L eslabones no conectados en el consiguiente un sistema de L eslabones no conectados en el consiguiente un sistema de L eslabones no conectados en el mismo plano tendrmismo plano tendrmismo plano tendrmismo plano tendráááá 3L GDL, como se muestra en la figura 3L GDL, como se muestra en la figura 3L GDL, como se muestra en la figura 3L GDL, como se muestra en la figura (a), en la que los dos eslabones no conectados tienen en total (a), en la que los dos eslabones no conectados tienen en total (a), en la que los dos eslabones no conectados tienen en total (a), en la que los dos eslabones no conectados tienen en total seis (6) GDL. seis (6) GDL. seis (6) GDL. seis (6) GDL.

Cuando estos dos eslabones estCuando estos dos eslabones estCuando estos dos eslabones estCuando estos dos eslabones estáááán n n n conectados por una junta conectados por una junta conectados por una junta conectados por una junta completa, figura (b), entonces las componentes DY1 y DY2 completa, figura (b), entonces las componentes DY1 y DY2 completa, figura (b), entonces las componentes DY1 y DY2 completa, figura (b), entonces las componentes DY1 y DY2 se combinan como DY y DX1 y DX2 se combinan como se combinan como DY y DX1 y DX2 se combinan como se combinan como DY y DX1 y DX2 se combinan como se combinan como DY y DX1 y DX2 se combinan como DX. Esto elimina dos GDL y deja cuatro. DX. Esto elimina dos GDL y deja cuatro. DX. Esto elimina dos GDL y deja cuatro. DX. Esto elimina dos GDL y deja cuatro.




Este razonamiento conduce a la ecuaciEste razonamiento conduce a la ecuaciEste razonamiento conduce a la ecuaciEste razonamiento conduce a la ecuacióóóón de GRUEBLER.n de GRUEBLER.n de GRUEBLER.n de GRUEBLER.

GDL = 3L GDL = 3L GDL = 3L GDL = 3L –––– 2J 2J 2J 2J –––– 3G3G3G3G

Donde Donde Donde Donde GDL GDL GDL GDL = numero de grados de libertad= numero de grados de libertad= numero de grados de libertad= numero de grados de libertadLLLL = numero de eslabones= numero de eslabones= numero de eslabones= numero de eslabonesJJJJ = numero de juntas= numero de juntas= numero de juntas= numero de juntasGGGG = numero de eslabones fijados= numero de eslabones fijados= numero de eslabones fijados= numero de eslabones fijados




En un mecanismo real aun si mas de un eslabEn un mecanismo real aun si mas de un eslabEn un mecanismo real aun si mas de un eslabEn un mecanismo real aun si mas de un eslabóóóón esta fijo en n esta fijo en n esta fijo en n esta fijo en el efecto neto serel efecto neto serel efecto neto serel efecto neto seráááá crear un eslabcrear un eslabcrear un eslabcrear un eslabóóóón fijo mayor y de orden n fijo mayor y de orden n fijo mayor y de orden n fijo mayor y de orden superior, ya que solo hay un plano de sujecisuperior, ya que solo hay un plano de sujecisuperior, ya que solo hay un plano de sujecisuperior, ya que solo hay un plano de sujecióóóón. Por tanto, G n. Por tanto, G n. Por tanto, G n. Por tanto, G es siempre igual a uno y la ecuacies siempre igual a uno y la ecuacies siempre igual a uno y la ecuacies siempre igual a uno y la ecuacióóóón de Gruebler queda.n de Gruebler queda.n de Gruebler queda.n de Gruebler queda.

GDL = 3(L GDL = 3(L GDL = 3(L GDL = 3(L ---- 1) 1) 1) 1) ---- 2J2J2J2J

El valor de J en las dos ecuaciones anteriores debe reflejar el El valor de J en las dos ecuaciones anteriores debe reflejar el El valor de J en las dos ecuaciones anteriores debe reflejar el El valor de J en las dos ecuaciones anteriores debe reflejar el de todas las juntas en el mecanismo. Es decir, las semijuntas de todas las juntas en el mecanismo. Es decir, las semijuntas de todas las juntas en el mecanismo. Es decir, las semijuntas de todas las juntas en el mecanismo. Es decir, las semijuntas funcionan como de 1/2 , debido a que solo eliminan un funcionan como de 1/2 , debido a que solo eliminan un funcionan como de 1/2 , debido a que solo eliminan un funcionan como de 1/2 , debido a que solo eliminan un GDL. Esto es menos confuso si se utiliza la modificaciGDL. Esto es menos confuso si se utiliza la modificaciGDL. Esto es menos confuso si se utiliza la modificaciGDL. Esto es menos confuso si se utiliza la modificacióóóón de n de n de n de KUTZBACH para la ecuaciKUTZBACH para la ecuaciKUTZBACH para la ecuaciKUTZBACH para la ecuacióóóón de Gruebler en esta forma.n de Gruebler en esta forma.n de Gruebler en esta forma.n de Gruebler en esta forma.




GDL = 3(L GDL = 3(L GDL = 3(L GDL = 3(L ---- 1) 1) 1) 1) ---- 2J1 2J1 2J1 2J1 ---- J2J2J2J2

Donde.Donde.Donde.Donde.LLLL = numero de eslabones.= numero de eslabones.= numero de eslabones.= numero de eslabones.J1J1J1J1 = numero de juntas completas.= numero de juntas completas.= numero de juntas completas.= numero de juntas completas.J2J2J2J2 = numero de semijuntas.= numero de semijuntas.= numero de semijuntas.= numero de semijuntas.

El valor de El valor de El valor de El valor de J1 y J2J1 y J2J1 y J2J1 y J2 debe ser determinado cuidadosamente debe ser determinado cuidadosamente debe ser determinado cuidadosamente debe ser determinado cuidadosamente para considerar todas las juntas completas, semijuntas y para considerar todas las juntas completas, semijuntas y para considerar todas las juntas completas, semijuntas y para considerar todas las juntas completas, semijuntas y juntas mjuntas mjuntas mjuntas múúúúltiples en cualquier eslabonamiento. Las juntas ltiples en cualquier eslabonamiento. Las juntas ltiples en cualquier eslabonamiento. Las juntas ltiples en cualquier eslabonamiento. Las juntas mmmmúúúúltiples cuentan en una unidad menos que el nltiples cuentan en una unidad menos que el nltiples cuentan en una unidad menos que el nltiples cuentan en una unidad menos que el núúúúmero de mero de mero de mero de eslabones conectados en la junta y se agregan a la categoreslabones conectados en la junta y se agregan a la categoreslabones conectados en la junta y se agregan a la categoreslabones conectados en la junta y se agregan a la categoríííía a a a de completas.de completas.de completas.de completas.



MECANISMOS Y ESTRUCTURASMECANISMOS Y ESTRUCTURASMECANISMOS Y ESTRUCTURASMECANISMOS Y ESTRUCTURAS

Los grados de libertad de un ensamble de eslabones Los grados de libertad de un ensamble de eslabones Los grados de libertad de un ensamble de eslabones Los grados de libertad de un ensamble de eslabones predicen por completo su carpredicen por completo su carpredicen por completo su carpredicen por completo su caráááácter. cter. cter. cter. Existe solo tres posibilidades. Si el GDL es positivo se tendrExiste solo tres posibilidades. Si el GDL es positivo se tendrExiste solo tres posibilidades. Si el GDL es positivo se tendrExiste solo tres posibilidades. Si el GDL es positivo se tendrááááun mecanismo y los eslabones tendrun mecanismo y los eslabones tendrun mecanismo y los eslabones tendrun mecanismo y los eslabones tendráááán movimiento relativo. n movimiento relativo. n movimiento relativo. n movimiento relativo. Si el GDL es exactamente igual a cero, entonces se tendrSi el GDL es exactamente igual a cero, entonces se tendrSi el GDL es exactamente igual a cero, entonces se tendrSi el GDL es exactamente igual a cero, entonces se tendrááááuna estructura y ninguna estructura y ninguna estructura y ninguna estructura y ningúúúún movimiento es posible. n movimiento es posible. n movimiento es posible. n movimiento es posible. Si el GDL es negativo, entonces se tendrSi el GDL es negativo, entonces se tendrSi el GDL es negativo, entonces se tendrSi el GDL es negativo, entonces se tendráááá una estructura una estructura una estructura una estructura precargada, lo que significa que ningprecargada, lo que significa que ningprecargada, lo que significa que ningprecargada, lo que significa que ningúúúún movimiento es n movimiento es n movimiento es n movimiento es posible y algunos esfuerzos pueden estar tambiposible y algunos esfuerzos pueden estar tambiposible y algunos esfuerzos pueden estar tambiposible y algunos esfuerzos pueden estar tambiéééén presentes n presentes n presentes n presentes en el momento del ensamble. En la figura adjunta se en el momento del ensamble. En la figura adjunta se en el momento del ensamble. En la figura adjunta se en el momento del ensamble. En la figura adjunta se muestran ejemplos de estos tres casos.muestran ejemplos de estos tres casos.muestran ejemplos de estos tres casos.muestran ejemplos de estos tres casos.



MECANISMOS Y ESTRUCTURASMECANISMOS Y ESTRUCTURASMECANISMOS Y ESTRUCTURASMECANISMOS Y ESTRUCTURAS



EJEMPLO 01EJEMPLO 01EJEMPLO 01EJEMPLO 01

CALCULE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL MECANISMO QUE SE CALCULE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL MECANISMO QUE SE CALCULE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL MECANISMO QUE SE CALCULE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL MECANISMO QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA.MUESTRA EN LA FIGURA.MUESTRA EN LA FIGURA.MUESTRA EN LA FIGURA.




SOLUCISOLUCISOLUCISOLUCIÓÓÓÓN :N :N :N :




CALCULE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL MECANISMO QUE SE CALCULE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL MECANISMO QUE SE CALCULE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL MECANISMO QUE SE CALCULE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL MECANISMO QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA.MUESTRA EN LA FIGURA.MUESTRA EN LA FIGURA.MUESTRA EN LA FIGURA.




SOLUCISOLUCISOLUCISOLUCIÓÓÓÓN :N :N :N :



TRABAJO ENCARGADOTRABAJO ENCARGADOTRABAJO ENCARGADOTRABAJO ENCARGADO

IDENTIFIQUE LOS DISPOSITIVOS COMO MECANISMOS, IDENTIFIQUE LOS DISPOSITIVOS COMO MECANISMOS, IDENTIFIQUE LOS DISPOSITIVOS COMO MECANISMOS, IDENTIFIQUE LOS DISPOSITIVOS COMO MECANISMOS, ESTRUCTURAS O ESTRUCTURAS SOBRECARGADAS.ESTRUCTURAS O ESTRUCTURAS SOBRECARGADAS.ESTRUCTURAS O ESTRUCTURAS SOBRECARGADAS.ESTRUCTURAS O ESTRUCTURAS SOBRECARGADAS.




TRACE CUIDADOSAMENTE DIAGRAMAS CINEMATICOS Y TRACE CUIDADOSAMENTE DIAGRAMAS CINEMATICOS Y TRACE CUIDADOSAMENTE DIAGRAMAS CINEMATICOS Y TRACE CUIDADOSAMENTE DIAGRAMAS CINEMATICOS Y HALLE SUS GRADOS DE LIBERTAD TOTALES.HALLE SUS GRADOS DE LIBERTAD TOTALES.HALLE SUS GRADOS DE LIBERTAD TOTALES.HALLE SUS GRADOS DE LIBERTAD TOTALES.

�� Un mecanismo de limpia parabrisas.Un mecanismo de limpia parabrisas.Un mecanismo de limpia parabrisas.Un mecanismo de limpia parabrisas.�� Un mecanismo de volcar de camion de volteo.Un mecanismo de volcar de camion de volteo.Un mecanismo de volcar de camion de volteo.Un mecanismo de volcar de camion de volteo.�� Un mecanismo compactador de un camion de basura.Un mecanismo compactador de un camion de basura.Un mecanismo compactador de un camion de basura.Un mecanismo compactador de un camion de basura.�� Un mecanismo de levantamiento de un automovilUn mecanismo de levantamiento de un automovilUn mecanismo de levantamiento de un automovilUn mecanismo de levantamiento de un automovil�� Un mesilla de planchar plegadiza.Un mesilla de planchar plegadiza.Un mesilla de planchar plegadiza.Un mesilla de planchar plegadiza.

DESCRIBA EL MOVIMIENTO DE LOS SIGUIENTES DISPOSITIVOS DESCRIBA EL MOVIMIENTO DE LOS SIGUIENTES DISPOSITIVOS DESCRIBA EL MOVIMIENTO DE LOS SIGUIENTES DISPOSITIVOS DESCRIBA EL MOVIMIENTO DE LOS SIGUIENTES DISPOSITIVOS COMO ROTACION PURA, TRASLACION PURA O MOVIMIENTO COMO ROTACION PURA, TRASLACION PURA O MOVIMIENTO COMO ROTACION PURA, TRASLACION PURA O MOVIMIENTO COMO ROTACION PURA, TRASLACION PURA O MOVIMIENTO COMPLEJOCOMPLEJOCOMPLEJOCOMPLEJO....

�� Una rueda de molino de viento.Una rueda de molino de viento.Una rueda de molino de viento.Una rueda de molino de viento.�� Las teclas en el teclado de la computadora.Las teclas en el teclado de la computadora.Las teclas en el teclado de la computadora.Las teclas en el teclado de la computadora.�� La manecilla de un reloj.La manecilla de un reloj.La manecilla de un reloj.La manecilla de un reloj.�� Una ficha para hockey sobre hielo.Una ficha para hockey sobre hielo.Una ficha para hockey sobre hielo.Una ficha para hockey sobre hielo.




CUANTOS GRADOS DE LIBERTAD TIENEN LAS SIGUIENTES CUANTOS GRADOS DE LIBERTAD TIENEN LAS SIGUIENTES CUANTOS GRADOS DE LIBERTAD TIENEN LAS SIGUIENTES CUANTOS GRADOS DE LIBERTAD TIENEN LAS SIGUIENTES ARTICULACIONES HUMANASARTICULACIONES HUMANASARTICULACIONES HUMANASARTICULACIONES HUMANAS

�� La rodilla. La rodilla. La rodilla. La rodilla. �� El tobillo.El tobillo.El tobillo.El tobillo.�� El hombro.El hombro.El hombro.El hombro.�� La cadera.La cadera.La cadera.La cadera.�� El nudillo de un dedo.El nudillo de un dedo.El nudillo de un dedo.El nudillo de un dedo.



02 grados de libertad

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