Vibraciones Mecnicas MC-571Captulo 4Sistemas con mltiples grados de libertad

Alberto Coronado Matutti

Facultad de Ingeniera MecnicaUniversidad Nacional de Ingeniera

4.1 Modelo de 2 grados de libertad (GDL) sin amortiguamiento

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34.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Este captulo introduce el anlisis necesario para estudiar las vibraciones de sistemas con ms de 1 grado de libertad (GDL).

El nmero de GDL es determinado por el nmero de partes mviles y el nmero de direcciones en las que cada parte se mueve.

Ms de 1 GDL implica ms de 1 frecuencia natural, lo cual incrementa las chances de que ocurra la resonancia.

44.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Primero se analizarn detalladamente sistemas de 2 GDL, ya que sirven como base para estudiar sistemas con n GDL.

Se harn uso de matrices y vectores, los cuales pueden ser eficientemente implementados en computadoras.

En sistemas con 2 (o ms) GDL ocurrirn 2 fenmenos importantes: el sistema tendr 2 (o ms) frecuencias naturales, las cuales estarn asociadas a 2 (o ms) modos de vibracin.

54.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Un modo de vibracin es un vector que describe el movimiento relativo entre los GDL.

Las frecuencias naturales y modos de vibracin estn ntimamente ligados a los conceptos de autovalores y autovectores.

Esto establece la necesidad de expresar los problemas de vibraciones en trminos de matrices y vectores.

64.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Como ejemplos tenemos una masa capaz de moverse en 2 direcciones traslacionalesy/o rotacionales: x1 y x2 o x y .

vibraciones de la broca de un taladro

movimiento de cabeceo de un auto

Considerando un sistema con 2 masas y 2resortes:

Halle el diagrama de cuerpo libre del sistema.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

El diagrama de cuerpo libre para x2>x1 es:

Aplicando la 2da ley de Newton a cada masa por separado:

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Reacomodando las ecuaciones:

Las que estn sujetas a las condiciones iniciales:

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Ninguna de las ecuaciones pueden ser resueltas por separado, ya que ambascontienen x1 y x2.

Esto implica que las ecuaciones estn acopladas.

Fsicamente esto se interpreta como que el movimiento de x1 afecta x2, y viceversa.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Definiendo los siguientes vectores columna:

Podemos expresar las ecuaciones de movimiento en forma matricial:

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

La matriz M se denomina matriz de masa y la matriz K se denomina matriz de rigidez.

M y K tienen la importante propiedad de ser matrices simtricas.

Esta representacin provee una conexinentre el anlisis de vibraciones y el anlisis matricial.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Las ecuaciones de movimiento pueden ser resueltas siguiendo el mismo procedimientousado para 1 GDL, con algunas modificaciones.

Asumiendo una solucin armnica, para luego calcular los valores de sus constantes:

u es un vector de constantes diferentes de cero a ser determinadas, es una constante a ser determinada y

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Sustituyendo x(t) en las ecuaciones de movimiento y factorizando:

Se concluye que u debe ser diferente de cero para que haya movimiento.

Igualmente ejt ser diferente de cero para todo t.

Por tanto:

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Para que este sistema homogneo de ecuaciones algebraicas tenga una solucin udiferente de cero, la inversa de (-M2+K) nodebe existir.

Si la inversa existiese, multiplicando ambos lados de la ecuacin por (-M2+K)-1 resulta en u=0.

Para que la inversa no exista:

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Para el sistema de 2 masas y 2 resortes tendremos:

Lo que resulta en una ecuacin algebraicacon una incgnita 2:

Esta es la ecuacin caracterstica del sistema.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Una vez calculados los valores de , se pueden hallar los valores del vector u:

Considerando 1 y 2 podremos hallar u1 y u2 usando:

Podemos obtener las direcciones de u1 y u2, pero no sus magnitudes, ya que a.utambin satisface las ecuaciones.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Por tanto la solucin del sistema estar compuesta por:

Al ser un sistema lineal la solucin general ser la combinacin lineal de estas soluciones:

Donde a, b, c y d son constantes de integracin a ser determinadas de las condiciones iniciales.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Aplicando las frmulas de Euler obtenemos:

Ahora las constantes de integracin son A1, A2, 1 y 2, a ser calculadas de las condiciones iniciales.

Se observa que cada masa oscila, en general, en dos frecuencias 1 y 2.

Escogiendo las condiciones iniciales tal que A2=0, cada masa oscilar solo con 1.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

El primer y segundo modos de vibracin son u1 y u2.

Cuando las masas estn oscilando en una de las frecuencias naturales (1 u 2), los modosnos dan la posicin relativa de las masas.

Las frecuencias naturales pueden ser iguales a cero (modos de cuerpo rgido).

Los modos nunca pueden ser iguales a cero.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

Considerando los valores: m1=9 kg, m2=1 kg, k1=24 N/m y k2=3 N/m.

Usando la frmula de la ecuacin caracterstica:

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento:ej. 1

Hallando el primer modo u1=[u11 u21]T,

correspondiente a 12=2:

Resolviendo el sistema ambas ecuaciones dan la misma solucin:

Solo se puede determinar la direccin.22

4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento:ej. 1

Asignando un valor numrico u21=1:

Repitiendo el mismo procedimiento para 2

2=4:

Asignando un valor numrico u22=1:

Cmo se interpretan fsicamente u1 y u2?

23

4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento:ej. 1

Considerando las siguientes condiciones iniciales:

La solucin ser:

Para hallar A1, A2, 1 y 2, debemos hacer uso de las condiciones iniciales.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento:ej. 1

Evaluando en t=0 la posicin y la velocidad:

Obtenemos un sistema de 4 ecuaciones y 4incgnitas:

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento:ej. 1

Sumando las dos ltimas ecuaciones:

Resultando en:

Usando la ltima ecuacin:

Luego, usando las dos primeras ecuaciones:

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento:ej. 1

La respuesta del sistema queda:

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento:ej. 1

El mtodo usado para calcular las frecuencias naturales y modos de vibracin (deformacin) no es el mas eficiente para resolver problemas de vibraciones.

Esta metodologa ignora aspectos clavecomo la ortogonalidad de los modos de vibracin y el desacoplamiento de las ecuaciones de movimiento.

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4.1 Modelo de 2 GDL sin amortiguamiento

4.2 Autovalores y frecuencias naturales

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El mtodo introducido en la seccin anteriorpuede ser extendido para aprovechar la ventaja de tener un problema de autovalores simtricos.

Esto permitir el uso de softwarematemtico avanzado, haciendo posible el anlisis de sistemas con muchos GDL.

De especial inters son las nuevastecnologas computacionales, tales como el uso de GPUs.

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

Crecimiento de la performance de supercomputadoras en GFLOPs.

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

La naturaleza fsica de las matrices de masay rigidez hace que usualmente sean simtricas.

Preservar esta simetra es natural a la hora de resolver problemas de vibraciones.

Ya que M es simtrica y positiva definida, podra ser factorizada (descomposicin de Cholesky) en dos trminos:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

Donde L es una matriz especial con ceros en cada posicin encima de la diagonal.

Una matriz es positiva definida, si para cadax diferente de cero se cumple:

En el caso de matrices diagonales, la descomposicin genera una matriz raz cuadrada, con todos los elementos de la diagonal con nmeros > 0.

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

Al resolver sistemas con 1 GDL fue til dividirla ecuacin de movimiento por la masa.

Para sistemas con 2 GDL realizaremos una transformacin de coordenadas que es equivalente a dividir las ecuaciones por M.

Definiendo la matriz raz cuadrada como:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

En el caso especial de matrices diagonalestendremos:

La inversa de una matriz diagonal puede ser calculada fcilmente:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

La matriz M -1/2 permite representar el problema como uno de autovalores simtricos.

Ello tiene muchas ventajas tanto analticascomo computacionales.

Esta ventajas son similares a usar coordenadas polares o cilndricas en algunos problemas de dinmica.

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

Para realizar la transformacin de coordenadas, x ser reemplazada por:

Adems, pre-multiplicando las ecuacionesde movimiento por M -1/2:

Luego tendremos:

Donde:37

4.2 Autovalores y frecuencias naturales

La matriz , rigidez normalizada por la masa, al igual que K, es simtrica.

Dicha matriz es anloga a la relacin k/m, correspondiente a 1 GDL.

Para resolver:

Debemos asumir la solucin:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

Sustituyendo la solucin asumida en la ecuacin diferencial tenemos:

Considerando el cambio de variable:

Esta expresin es la definicin del problema algebraico de autovalor.

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

El escalar se denomina autovalor y el vector v se denomina autovector.

Debido a que la matriz es simtrica, este es un problema de autovalor simtrico.

Esta formulacin puede extendersefcilmente a n GDL y hacer uso de herramientas computacionales altamente eficientes.

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

El problema algebraico de autovalor consiste en calcular el escalar y el vector v diferente de cero que satisfacen:

A es una matriz simtrica real de nxn y v es un vector de nx1.

Habrn n valores de (autovalores) y n de v(autovectores).

Los y v son todos nmeros reales.

Los son positivos si A es positiva definida.

Los v son ortogonales y linealmente independientes. 41

4.2 Autovalores y frecuencias naturales:Propiedades del problema de autovalor simtrico

Los autovectores son de longitud arbitraria, pero usualmente son normalizados.

La norma de un vector es:

Un conjunto de vectores ortogonalescada uno con norma igual a 1, se denominan ortonormales, ej. .

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

Para normalizar un vector, se debe hallar un escalar tal que:

Por ejemplo, para el vector:

Resultando en:

En general, un vector puede ser normalizadousando:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

Definiendo la matriz modal P conformada por los autovectores normalizados:

Donde n es el nmero de GDL.

P tiene la propiedad especial:

P pertenece a la familia de matrices ortogonales.

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

Otra matriz til est definida por:

Esta matriz es diagonal y sus elementos son los autovalores de la matriz .

se denomina matriz espectral de .

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales

Hallar los autovalores y autovectoresconsiderando los valores: m1=9 kg, m2=1 kg, k1=24 N/m y k2=3 N/m, para el sistema.

Calculando la matriz :

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 2

Se observa que tambin es simtrica.

Por otro si, consideramos se observa que no es simtrica:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 2

Luego, resolviendo el problema de autovalor:

Ya que v debe ser diferente de cero:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 2

Calculando el primer autovector:

De donde solo podemos hallar la direccin:

Normalizando v1:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 2

De manera similar, el segundo autovector ser:

Los dos autovectores son ortogonales, ya que:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 2

La matriz P ser:

Siendo que cumple con la propiedad de matrices ortogonales:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 2

La matriz espectral ser:

52

4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 2

Considerando los modos de vibracin del ejemplo anterior:

Se observa que estos no son ortogonales:

Los autovectores y modos de vibracinestn relacionados por:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 2

Considerando los valores: m1=1 kg, m2=4 kg, k1=k3=10 N/m, k2=2 N/m, halle las frecuencias naturales, autovectores y matrices P y .

54

4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 3

Luego de realizar los DCL y aplicar la 2da ley de Newton:

En forma matricial:

55

4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 3

Luego tenemos:

Como esperado:

Resolviendo el problema de autovalor simtrico:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 3

Calculando el autovector para 1:

El vector normalizado es:

Similarmente para 2:

Finalmente:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales: ej. 3

Existe un mtodo alternativo para normalizar los modos de vibracin.

Cada vector ui es normalizado con respecto a la matriz de masa M :

Resultando en:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales:Mtodo alternativo

El vector wi es normalizado con respecto a la masa.

Multiplicando por

Premultiplicando por

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales:Mtodo alternativo

Considerando el vector

El cual est normalizado

Luego de sustituir:

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4.2 Autovalores y frecuencias naturales:Mtodo alternativo

4.3 Anlisis modal

61

La matriz de autovectores P puede ser usada para desacoplar las ecuaciones de movimiento.

Las ecuaciones desacopladas podrn luego ser resueltas usando las tcnicas para 1 GDL.

Las matrices P y M -1/2 pueden luego ser usadas para transformar la solucin al sistema de coordenadas original.

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4.3 Anlisis modal

Considere el sistema de ecuaciones:

Sujeto a las condiciones iniciales:

Substituyendo en las ecuaciones.

Luego premultiplicando por obtenemos:

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4.3 Anlisis modal

Definiendo un 2do sistema de coordenadas:

Tal que:

Sustituyndolo en:

Luego premultiplicando por:

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4.3 Anlisis modal

Reescribiendo la ecuacin obtenida:

Es decir, tenemos 2 ecuaciones diferenciales desacopladas:

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4.3 Anlisis modal

Estas 2 ecuaciones estn sujetas a condiciones iniciales, las que tambin deben ser transformadas a coordenadas r(t):

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4.3 Anlisis modal

Las coordenadas r(t) se denominan Sistema Modal de Coordenadas.

Las ecuaciones diferenciales resultantes se denominan Ecuaciones Modales.

Al ser independientes, estas ecuaciones pueden resolverse como en el caso de 1 GDL.

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4.3 Anlisis modal

Resolviendo las ecuaciones modales:

Finalmente, usamos la transformacin inversa para obtener la solucin x(t):

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4.3 Anlisis modal

Resumiendo:

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4.3 Anlisis modal

Coordenadas Fsicas(Acopladas)

Coordenadas Modales(Desacopladas)

La matriz S se denomina Matriz de Modos de Vibracin. Cada columna corresponde a un modo.

La utilidad de este mtodo radica es que puede fcilmente ser implementado en una computadora.

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4.3 Anlisis modal

Haciendo uso de: y

Estos resultados permiten resolver:

haciendo uso del anlisis modal.

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4.3 Anlisis modal

El anlisis modal inicia sustituyendo:

Luego premultiplicando por:

Lo cual produce:

Siendo sus condiciones iniciales:

Luego de obtener la solucin en r(t)podemos aplicar la transformacin inversa:

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4.3 Anlisis modal: Resumiendo

1. Calcular

2. Calcular

3. Calcular el problema de autovalor simtrico para y obtener y

4. Normalizar y formar

5. Calcular y

6. Calcular cond. iniciales

7. Obtener la solucin en espacio modal

8. Realizar la trans. inversa

73

4.3 Anlisis modal: Paso a paso

Considerando el sistema del ej. 1:

En el ej. 2 fueron calculados

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4.3 Anlisis modal: ej. 4

Calculando S y su inversa:

Siendo las condiciones iniciales:

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4.3 Anlisis modal: ej. 4

Resolviendo las ecuaciones modales:

La solucin en coordenadas fsicas ser:

76

4.3 Anlisis modal: ej. 4

Considerando el ej. 3, con las condiciones iniciales: y

Resolviendo el problema de autovalorsimtrico:

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4.3 Anlisis modal: ej. 5

La matriz de modos y su inversa sern:

Las condiciones iniciales en coordenadas modales sern:

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4.3 Anlisis modal: ej. 5

Hallando la solucin y realizando la transformada inversa:

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4.3 Anlisis modal: ej. 5

4.4 Ms de dos GDL

80

Muchas estructuras, mquinas y dispositivos mecnicos requieren numerosas coordenadas para describir sus vibraciones.

A cada GDL le corresponde una coordenada xi(t), lo cual resulta en un vector x(t) de nx1y matrices M y K de nxn, que satisfacen:

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4.4 Ms de dos GDL

Considerando el sistema de n masasconectadas por n resortes:

Aplicando la 2da ley de Newton a cada masa:

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4.4 Ms de dos GDL

En representacin matricial:

Aplicando el anlisis modal podemos desacoplar las n ecuaciones de movimiento:

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4.4 Ms de dos GDL

Habrn n frecuencias naturales y autovectores determinados por:

Posteriormente los autovectores sern normalizados.

La diferencia del anlisis modal en sistemas con n GDL radica en la solucin de la ecuacin caracterstica y el clculo de los autovectores normalizados.

84

4.4 Ms de dos GDL

Para n=3:

Calcule la respuesta considerando los valores:

Con las condiciones iniciales:y todos los dems desplazamientos y velocidades iguales a cero.

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4.4 Ms de dos GDL: ej. 6

Las matrices de masa y rigidez son:

Siguiendo los 8 pasos del anlisis modal para hallar la respuesta:

86

4.4 Ms de dos GDL: ej. 6

Considerando en

87

4.4 Ms de dos GDL: ej. 6

Normalizando los autovectores y armando P:

Calculando:

88

4.4 Ms de dos GDL: ej. 6

Las condiciones iniciales en coordenadas modales son:

La solucin en coordenadas modales es:

89

4.4 Ms de dos GDL: ej. 6

La solucin en coordenadas fsicas es:

90

4.4 Ms de dos GDL: ej. 6

Una abordaje alternativa al anlisis modal es el Mtodo de Suma (o Expansin) de Modos.

Este mtodo se basa en que los autovectoresde una matriz simtrica real forman un conjunto completo.

Es decir, cualquier vector de dimensin npuede ser representado como una combinacin lineal de autovectores de una matriz simtrica de nxn.

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4.4 Ms de dos GDL: Suma de modos

Un problema de vibraciones puede ser planteado como:

Sean vi los n autovectores y i los nautovalores de .

La solucin ser:

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4.4 Ms de dos GDL: Suma de modos

Ya que el conjunto de autovectorescorresponde a una matriz simtrica, una combinacin lineal puede ser usada para representar cualquier vector de nx1, incluyendo la solucin:

Donde pueden ser calculados de las condiciones iniciales:

93

4.4 Ms de dos GDL: Suma de modos

Premultiplicando por y sabiendo que

Premultiplicando por

Combinando las ecuaciones para eliminar dj y cambiando el ndice:

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4.4 Ms de dos GDL: Suma de modos

La ecuacin:

representa la solucin en forma de suma de modos.

Tambin se denomina teorema de la expansin y es equivalente a escribir una funcin como una serie de Fourier.

Las constantes di se denominan coeficientes de expansin.

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4.4 Ms de dos GDL: Suma de modos

Si el sistema tiene velocidades iniciales iguales a cero, cada fase es igual a 90.

Si las condiciones iniciales son tales que di=0, para i=2, ,n, la solucin queda:

Esto implica que cada coordenada se muevecon la misma frecuencia y fase.

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4.4 Ms de dos GDL: Suma de modos

Este proceso puede repetirse para cada ndice i, siendo que la serie:

muestra como cada modo de vibracin contribuye a la formacin de la respuestatotal del sistema.

Las constantes di (factores de participacin modal) son una escala de cmo cada modo participa en la respuesta total.

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4.4 Ms de dos GDL: Suma de modos

Imponiendo desplazamientos iniciales (con velocidades nulas) iguales a uno de los modos, resulta en que cada GDL oscila en la frecuencia natural correspondiente a dicho modo.

98

4.4 Ms de dos GDL: Suma de modos

Considere las vibraciones horizontales de un edificio de 4 pisos sujeto a desplazamientosiniciales

99

4.4 Ms de dos GDL: ej. 7

Considerando que buena parte de la masa se concentra en los pisos de cada seccin:

100

4.4 Ms de dos GDL: ej. 7

Sustituyendo los valores numricos:

Dividiendo las matrices por 1000 para simplificar los clculos:

101

4.4 Ms de dos GDL: ej. 7

Transformando las condiciones iniciales

Los autovalores y autovectores sern:

102

4.4 Ms de dos GDL: ej. 7

Luego tendremos:

103

4.4 Ms de dos GDL: ej. 7

Ya que tendremos , adems:

104

4.4 Ms de dos GDL: ej. 7

4.5 Ejemplos diversos

105

Mquina de lavar ropa:

106

4.5 Ejemplos diversos

Martillo de forjado:

107

4.5 Ejemplos diversos

Suspensin de automvil, modelo global:

108

4.5 Ejemplos diversos

Suspensin de automvil, modelo detallado:

109

4.5 Ejemplos diversos

Carrocera de un bus, modelo global:

110

4.5 Ejemplos diversos

Misil en vuelo libre:

111

4.5 Ejemplos diversos

Aeronave en vuelo:

112

4.5 Ejemplos diversos

Radiotelescopio:

113

4.5 Ejemplos diversos