sistemas dinámicos varios grados de libertad
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SISTEMAS DINÁMICOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO EN SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD Se realizarán algunas consideraciones relacionadas con la idealización dinámica de las estructuras para ensamblar las ecuaciones de equilibrio: se utilizara la masa de la losa como concentrada al nivel del piso y segundo, el amortiguamiento se introducirá posteriormente, una vez se defina la solución debido a la complejidad en la modelación. Este sistema estructural es altamente idealizado, ya que solo se consideran las deformaciones laterales en la estructura, considerando la losa y vigas infinitamente rígidas a flexión, y se desprecian las deformaciones axiales en vigas y columnas. Este modelo es conocido como el Edificio de Cortante, y solo puede ser posible para estructuras con vigas o losas de gran altura, columnas esbeltas y concreto con un módulo de elasticidad muy alto. 1.1 Vibración Libre El siguiente sistema dinámico representa un edificio de 3 pisos con un grado de libertad horizontal por piso.
Masa 1m Fi2Fr1Fr =− ( ) 01x2x2k1x1k1
..x1m =−−+
2
Masa 2m Fi3Fr2Fr =−
( ) ( ) 02x3x3k1x2x2k2
..x2m =−−−+
Masa 3m iF3Fr = ( ) 02x3x3k3
..x3m =−+
Reorganizando y factorizando:
( )( )
03x3k2x3k3..x3m
03x3k2x3k2k1x2k2
..x2m
02x2k1x2k1k1..x1m
=+−
=−++−
=−++
Cada ecuación anterior corresponde a una ecuación diferencial de equilibrio dinámico de un grado de libertad. En forma matricial
=
−−+−
−++
0
0
0
3x2x1x
3k3k03k3k2k2k
02k2k1k
3..x
2..x
1..x
3m00
02m0
001m
[ ] [ ]{ } { }0xk..xm =+
Ecuación de equilibrio dinámico en vibración libre para varios grados de libertad 1.2 Excitación Arbitraria Ahora se supone el mismo sistema anterior, pero cada masa de la losa es excitada por una fuerza externa Pi(t), variable en el tiempo.
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Masa 1m Fi2Fr1P1Fr =−− ( ) ( )1
..x1m1x2x2kt1P1x1k −=−−−
Masa 2m Fi3Fr2P2Fr =−− ( ) ( ) ( )2
..x2m2x3x3kt2P1x2x2k −=−−−−
Masa 3m Fi3P3Fr =− ( ) ( )3
..x3mt3P2x3x3k −=−−
Reorganizando y factorizando:
( ) ( )
( ) ( )
( )t3P3x3k2x3k3
..x3m
t2P3x3k2x3k2k1x2k2
..x2m
t1P2x2k1x2k1k1
..x1m
=+−
=−++−
=−++
En forma matricial
( )( )( )
=
−−+−
−++
t3P
t2P
t1P
3x2x1x
3k3k03k3k2k2k
02k2k1k
3..x
2..x
1..x
3m00
02m0
001m
[ ] [ ]{ } ( ){ }tPxk..xm =+
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Ecuación dinámica para un sistema estructural de varios grados de libertad con excitación arbitraria. 1.3 Excitación en la Base Se supone ahora que la misma estructura, es sometida a un sismo en la base, como se muestra en la figura.
Desplazamientos relativos
0x3x3u0x2x2u
0x1x1u
−=
−=
−=
Forma matricial
{ } { } [ ]{ }0xγxu
0x
1
1
1
3x2x1x
3u2u1u
−=
−
=
[ ]γ : Matriz que indica que el grado de libertad o coordenadas de la masa, en la línea del sistema de ecuaciones simultáneas, es colineal con la aceleración del terreno. Despejo x y derivo respecto al tiempo.
o..x
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{ } { } [ ]{ }[ ]
[ ]
+
=
+
=
+=
0
..xγ
..u
..x
0
.xγ
.u
.x
0xγux
0
..x
3
..u3
..x
0
..x
2
..u2
..x
0
..x
1
..u1
..x
+=
+=
+=
Ecuaciones de equilibrio dinámico
Masa 1m : ( ) ( ) 01x2x2k0x1x1k1
..x1m =−−−+
Masa 2m : ( ) ( ) 02x3x3k1x2x2k2
..x2m =−−−+
Masa 3m : ( ) 02x3x3k3
..x3m =−+
Se tiene que:
( )( ) 2u3u2u0x3x0x2u
3x2x3x
1u2u1u0x2x0x1u2
x1
x2x1u0x1x
−=−−=+−=−
−=−−=+−=−
=−
Las ecuaciones de equilibrio quedan:
6
( )( ) ( )
( ) 02u3u3k3
..x3m
02u3u3k1u2u2k2
..x2m
01u2u2k1u1k1
..x1m
=−+
=−−−+
=−−+
Factorizando:
( )( )
03u3k2u3k3
..x3m
03u3k2u3k2k1u2k2
..x2m
02u2k1u2k1k1
..x1m
=+−
=−++−
=−++
Matricialmente:
=
−−+−
−++
0
0
0
3u2u1u
3k3k03k3k2k2k
02k2k1k
3..x
2..x
1..x
3m00
02m0
001m
[ ] [ ]{ } { }0uk..xm =+
Pero [ ]
+
=
0
..xγ
..u
..x
[ ] [ ][ ] [ ]{ } { }
[ ] [ ]{ } [ ][ ]
−=+
=+
+
..
0xγmuk
..um
0uk0..xγm
..um
Este es un sistema matricial de ecuaciones diferenciales simultáneas de equilibrio dinámico, para un sistema de varios grados de libertad sometido a una excitación en la base. Problema: (Ref: Structural Dynamics. Craig, Roy. R.) El movimiento de un edificio sujeto a una excitación sísmica, se estudia usando el modelo mostrado. Use la segunda Ley para derivar la ecuación de movimiento del sistema. Considere desplazamientos rotacionales θ pequeños, y la masa de la fundación m como una partícula. Diagrama de cuerpo libre de los componentes del sistema.
Ecuaciones básicas de movimiento de cada cuerpo rígido. Para la fundación
3f22f12fumFx +−−==∑ &&
Para el elemento vertical:
asen4f1MθGIGM
Mg4fGyMFy
)2(3fGxMFx
∑ +−==
−−=∑ =
−=∑ =
&&
&&
&&&
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Ecuaciones básicas de movimiento de cada cuerpo rígido.
(1)
)4(acosθ3fasenθ
)3(
+
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De la relación entre fuerza y desplazamiento y velocidad y amortiguamiento, se tiene:
( )
( ))7(Kθ
1M
)6(zu2
c2f
)5(zu2
k1f
=
−=
−=
&&
Usando las relaciones cinemáticas que relacionan xG y yG con u y θ, se tiene que para desplazamientos pequeños Senθ = θ y Cosθ=1.
aacosθy
aθuasenθux
G
G
==+=+=
Reemplazo en (1) las ecuaciones (5) y (6):
zckzGxMuckuθMauM)(m
θauGx
:Pero
0GxMzcuckzkuum
0GxM)zuc(z)k(uum
&&&&&&&&
&&&&
&&&&&&
&&&&&&
+=+++++
+=
=+−+−+
=+−+−+
Reemplazo (2), (3) y (7) en (4):
(9)0uMaMga)θ(kθ)2MaG(I
0)θauMa(Mga)θ(kθGI
θauG
xy0G
y
:Pero
(8)0aG
xMaθG
yMMgaθkθθGI
0aG
xM)aθG
yM(MgkθθGI
a3
faθ4
fkθθGI
=+−++
=++−+
+==
=+−−+
=−++−=
++−=
&&&&
&&&&&&
&&&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&
&&
Escribiendo las ecuaciones de movimiento (8) y (9) en forma matricial:
( )( ) ( )
+
=
−+
+
++
0
zkzc
θ
u
MgaK0
0k
θ
u
00
0c
θ
u
MaIMa
MamM2
G
&&
&
&
&&
&&
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u
u
u
u
2. IDEALIZACIÓN DINÁMICA DE LA MASA La segunda Ley de Newton relaciona el movimiento de la masa con la fuerza inercial. La masa de una estructura está distribuida en todos los elementos que la componen, aunque puede ser idealizada como una masa concentrada en los nudos de la estructura discretizada. 2.1 Matriz de masa distribuida. La masa y la rigidez corresponden a un elemento continuo con infinitos grados de libertad. No es práctico en la mayoría de casos, aunque se puede concentrar la masa en los extremos, usando una matriz consistente de masa, análoga a la de rigidez. Para armar la matriz se considera el siguiente elemento con masa distribuida dm, se acelera cada extremo en cada dirección, generando una fuerza inercial en x e y, en el elemento de masa diferencial dm
Por la segunda ley: ∑ F � ∑ m � a y ∑ m � ∑ Iθ�
����F��F��M�F��F��M� ��
��� �
�������M���� M���� M����M���� M���� M����M���� M���� M����
M���� M���� M����M���� M���� M����M���� M���� M����M���� M���� M����M���� M���� M����M���� M���� M����M���� M���� M����M���� M���� M����M���� M���� M�������
����
������µ���µ���θ��µ���µ���θ�� ���
����
Se empotran los extremos del elemento, y se le da una aceleración unitaria a cada grado de libertad, induciendo unas fuerzas inerciales en cada elemento de masa dm, proporcionales a la elástica. dF� � X� dm dF� � Y� dm Y� � X� � µ� La fuerza inercial de extremo es proporcional a la deformada: dF$%& � y$ � Y� j � dm dF$%& � y$ � y& � )ml + dx
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F$%& � -. � / y$ �. y& dx
Se encuentran las ecuaciones de la elástica para cada elemento, EI � 12�1�2 � �w , se integra
y se encuentra la matriz de masa consistente en coordenadas locales.
4m5 � m420 ������
140 0 00 156 22L0 22L 4L�70 0 00 54 �13L0 13L �3L�70 0 00 54 13L0 �13L �3L�
140 0 00 156 �22L0 �22L 34 ������ � ?m�%� m�%�m�%� m�%�@
L: longitud del elemento Para transformar a coordenadas globales se usa la matriz de transformación [T]
4T5 �������
C S 0�S C 00 0 10 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0C S 0�S C 00 0 1���
��� S � sen θC � cos θθ � angulo entre eje logal y global 4M5 � N4T54M�%�54T5O 4T54M�%�54T5O4T54M�%�54T5O 4T54M�%�54T5OP
4M5 � m420������140C� Q 156S� 16S � C 22L � S16S � C 140C� Q 156S� 22L � C22L � S 22L � C 4L�
70C� Q 54S� �16S � C �13L � S�16S � C 70C� Q 54S� �13L � C13L � S 13L � C �3L�70C� Q 54S� �16S � C 13L � S�16S � C 70C� Q 54S� 13L � C�13L � S �13L � C �3L�140C� Q 156S� 16S � C �22L � S16S � C 140C� Q 156S� �22L � C�22L � S �22L � C 4L� ���
��� 2.2 Matriz de Masa Concentrada: En un cuerpo rígido no existe deformación interna y las propiedades inerciales se pueden expresar en el centro de masa. Como la masa está relacionada con la aceleración, entonces los grados de libertad serán las aceleraciones. Se tiene que en una placa rígida a flexión hay 3 grados de libertad: dos desplazamientos horizontales, ux y uy y un giro o rotación de la placa θz.
Y
X
θ
XL
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Cuando el sistema de coordenadas coincide con en el centroide de la placa y se considera la masa de las columnas despreciable, la matriz de masa de la losa queda:
[ ]
=
0JA
m00
0m0
00m
m
m: Masa de la Losa A: Área de la Losa = a x b
Jo: Momento polar de inercia = 12
3ab
12
3bayyIxxI +=+
Para un sistema estructural reticular aporticado con diafragma rígido, se puede considerar la matriz de masa diagonal, siempre y cuando la mayor parte de la masa este concentrada en la placa Esto significa que la masa de la losa, (Se puede usar la mitad de la masa de las columnas para el segundo y tercer piso y 1/3 de la de la masa de las columnas del primer piso), induce una fuerza inercial solo en el grado de libertad de desplazamiento indicado, es decir la masa mi, se mueve en la dirección xi asociada a una aceleración ai en la misma dirección. Por lo tanto la matriz de masa para el pórtico mostrado es:
[ ]
=
1m00
02
m0
003
m
m
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En estructuras donde la mayor cantidad de la masa se encuentre en los muros estructurales como bodegas, o donde el diafragma del piso sea flexible, como en puentes, no se puede usar diafragma rígido, y se debe usar la matriz consistente de masa para armar la ecuación de equilibrio dinámico. La masa concentrada se utiliza en el análisis dinámico de cuerpos rígidos, cuando el elemento es muy rígido se desprecia la deformación interna y las propiedades inerciales se referencian al centro de masa. Se acelera la placa respecto al punto (0,0,0) X; Y S distancia al centro de masa
Las fuerzas inerciales son: F� � mµ� � � mYθU� F� � mµ� � � mXθ� U MV � �mYµ� � � mXµ� � Q ?mA J Q MYX� Q Y�Z@ θU� m: masa total A: área de la placa J[ Momento polar de inercia I[ � -\ J Q MYX� Q Y�Z
] F^F_MV` � a m 0 �Ym0 m Xm�Ym Xm mA J Q MYX� Q Y�Zb cµ� �µ� �θ� Ud
eFf � 4M5eµ� f Cuando la aceleración se hace respecto al centro de masa X� � Y� � 0, la matriz de masa queda:
Z
u
u
Ö
X
?
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] F^F_MV` � gm 0 00 m 00 0 mA Jh cµ� �µ� �θ� Ud
Para un conjunto de cuerpos rígidos, unidos por conexiones rígidas
4M5 � ���� Σmi 0 �ΣY$m$0 Σmi ΣX$m$�ΣY$m$ ΣX$m$ Σ )mA J Q MYX� Q Y�Z+���
�
Problema: Una losa de concreto maciza, con rigidez infinita (diafragma rígido), tiene una masa concentrada m= 25 Ton en un extremo. Calcule la matriz de masa respecto a su eje centroidal.
Mj.klk � 24 kN mop � 10 � 20 � 0,25 � 120 Tn
El centroide de área coincide con el de masa X � ΣX$m$Σmi � 0 � 25 Q 5 � 120145 � 4,14 m
Y � ΣY$m$Σmi � 0 � 25 Q 10 � 120145 � 8,28 m
Masa de la Placa A= 10x20 = 200 J � I^^ Q I__ � 10 � 20�12 Q 20 � 10�12 � 833,33 ms
Xt � 5 � 4,14 � 0,86 m
u
u
Öz
14
Yt � 10 � 8,28 � 1,82 m Ymt � 218,4 Tn � m Xmt � 103,2 Tn � m mA J Q M )X� Q Y�+ � 120 � 8333,33200 Q 120 � Y0,86� Q 1,82�Z � 5486,24 Tn � m�
Masa excéntrica A= o , J � 0 X � 4,14 m , Y � 8,28 m Xm � 103,5 Tn � m , Ym � 207 Tn � m mA J Q M )X� Q Y�+ � 25 � Y4, 14� Q 8, 28�Z � 2142,45 Tn � m�
4M5 � u 145 0 �425,40 145 206,7�425,4 206,7 7628,7v Unidades [Ton] y [m]
3. MODELACIÓN MATEMÁTICA DE LA ESTRUCTURA 3.1 MATRIZ DE RIGIDEZ De la escogencia y localización de los grados de libertad, depende la forma del sistema de ecuaciones de equilibrio. La Rigidez se define como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en la dirección de la carga. El Análisis Estructural relaciona la rigidez, el desplazamiento y la fuerza, por medio de la ecuación de equilibrio estático { } [ ]{ }uKF = . Este modelo matemático, de múltiples ecuaciones simultáneas, describe el comportamiento de la estructura ante unas cargas estáticas. Un pórtico estructural puede ser idealizado como un ensamblaje reticular de elementos de vigas y columnas interconectadas en los nudos, los muros estructurales no se considerarán en este modelo. Los desplazamientos de los nudos son los grados de libertad. Para un pórtico plano, cada nudo tiene 3 grados de libertad: dos desplazamientos y un giro. Se asume un comportamiento dentro del rango elástico lineal de los materiales, y por lo tanto las fuerzas resistentes del piso serán proporcionales a los desplazamientos.
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3.2 DIAFRAGMA RÍGIDO Se considera la losa muy rígida en su propio plano; se puede idealizar como un cuerpo rígido, y describir cualquier coordenada dentro del diafragma. La localización de cualquier punto dentro del diafragma se puede describir a partir de 2 desplazamientos horizontales y un giro.
Se toma el origen en el centro de masa del diafragma, Los desplazamientos verticales en columnas y diafragma, y las rotaciones alrededor de los ejes horizontales, se muestran en la siguiente gráfica:
“Dos puntos de una losa de entrepiso, que se idealice como diafragma rígido no pueden tener desplazamientos relativos horizontales, pero si desplazamientos verticales y giros respecto a ejes horizontales”. [García. L.E.] Las propiedades inerciales de la masa, se encuentran en el centro de la masa, y no se tiene en cuenta la masa de columnas y pantallas, hipótesis aplicable a edificios aporticados, pero no a sistemas de muros estructurales. Cada losa se puede deformar ante diferentes cargas externas, como en la siguiente figura:
θ
θ
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Lo anterior implica que cada losa posee infinitos grados de libertad, por lo tanto si se considera que las losas son infinitamente rígidas solo existirían 3 grados de libertad únicos para describir el movimiento de cualquier fragmento o partícula, tal y como se muestra en la figura No. 14.
Las losas de Diafragma No Rígido, se presentan en sistemas sobre muros, Placas de entrepiso sobre elementos prefabricados sin superficies rígidas en el nudo, Edificio con vacios grandes en el diafragma, Edificios con irregularidades tipo 2P y 3P, Losas de transferencia en edificios y losas de transición. 3.3 MODELACIÓN DE EDIFICIO APORTICADO A continuación se presenta el modelo de una edificación de dos niveles. Inicialmente se consideran todos los grados de libertad de la estructura. Si se supone un diafragma rígido, se observa que sobre las losas existen dos desplazamientos horizontales y un grado de libertad rotacional. Del método de la rigidez directa, se sabe que cada nudo tiene 3 grados de libertad y que la masa de la losa se concentra en estos, sumando un total de 12 grados de libertad.
3.3.1 Se genera la matriz de rigidez de cada elemento y se ensambla la matriz de rigidez de cada pórtico [ Kp1 ],[ Kp2 ],[ KpA ] y [ KpB ], para éste caso. Cada una de 12 x 12.
θ
θ
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[ K ]12x12 Pórtico 1 y A
3.3.2. Se suponen las vigas con rigidez axial infinita debido al diafragma rígido. Se define un grado de libertad horizontal X e Y por piso independientes y las otra dependientes, se arma la matriz [ R ] a partir de las relaciones lineales entre los grados de libertad.
[ Ki ] = [ R ]T [ Kp ][ R ] Para el pórtico tipo 1 [ Ki1 ]10x10 Para el pórtico tipo A [ KiA ]10x10 3.3.3. Condensación de grados de libertad Para pórticos bajos y largos H/B ≤ 5, se eliminan los grados de libertad verticales, donde H es la altura de la edificación y B es el lado, se pueden eliminar los grados de libertad verticales, omitiendo tanto la fila como la columna correspondiente en la matriz de rigidez. Caso I: H/B > 5 Se consideran Caso II: H/B ≤ 5 Se desprecian
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Caso I: Se reordena la matriz para que en las primeras filas y columnas queden los grados de libertad horizontal y rotacional, y a la derecha y parte inferior los grados de libertad verticales. 4K$5 � xK$� k$�K$o Kssy { } [ ]{ }uiKiFi =
La Matriz de rigidez del pórtico con grados de libertad verticales condensados queda: 4Kz{5 � ?4K$�5 � 4K$�54K$s54K$o5@ Los grados de libertad condensados se obtienen con: {Uv} = -[Ki 4]-1[ Ki 2] {Usv} Caso II: Se eliminan filas y columnas de grados de libertad verticales {Uv}=0 en la matriz [Ki] y se obtiene la matriz [Ksv].
Para el pórtico 1 [Ksv1] 6x6 Para el pórtico A [KsvA] 6x6
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3.3.4. Condensación de los grados de libertad rotacionales. No hay ningún efecto inercial asociado a los grados de libertad rotacionales respecto a ejes horizontales del diafragma, por lo tanto se puedan condensar. [Ksv]: Se reordena para que en las primeras filas y columnas queden los grados de libertad horizontales y las inferiores y derecha las verticales y rotacionales. 4K|}5 � NK|}� K|}�K|}o K|}s P Se condensa. [Kc] = [ [Ksv1] – [Ksv2] [Ksv4 ]-1 [Ksv 3] ]
Los grados de libertad condensados se calculan con: {Urot} = -[Ksv 3]-1 [Ksv2] {Up} Las Matrices de efectos horizontales, contienen la rigidez solo para desplazamientos horizontales, quedan: Pórtico 1 [Ksv1]2x2 Pórtico A [KsvA]2x2 3.3.5. Transformación de los grados de libertad de un desplazamiento por piso a tres por piso en diafragma rígido.
Se localiza el origen en la intersección del eje 2 y el eje B. Los grados de libertad del diafragma en el centro de la masa, para que la matriz quede diagonal.
θ
θ
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Se hace equilibrio entre las fuerza en casa piso del pórtico y la resultante en el centro de la masa del diafragma. Se toma la fuerza del pórtico local y del diafragma global.
Las coordenadas (xA ,yA ) y (xB, yB) deben estar en la línea de acción del pórtico. d � ~YYX� � X\Z� Q YY� � Y\Z�Z Sen α = (YB – YA)/d Cos α = (XB – XA)/d Si FL se mantiene en su línea de acción, no importa la localización que tenga, si el pórtico no es perpendicular:
Del equilibrio:
]FixFiyMi` � u Sen αCosαYy� � y\ZCosα � YX� � X\ZSenαv cF��$F��$M�$ d
{ Fi } = [ Ti ] { F Li } { Fi } = Fuerzas globales diafragma piso i { FLi } = Fuerzas locales pórtico i
α
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El centro de masa de cada piso i se define con el vector de posición: ri � Yy�� � y\���ZCosα� YX�� � X\����ZSenα Para el edificio de dos pisos. C = Cos α r = Vector de posición S = Sen α
����F��F��M�F��F��M� ��
��� �
������
SCr2000
000SCr1������ �F��F���
{ F } = [ Tp ] { F L } �Tj� � NT� T�P�����
Donde [Ti ]2x1 n = Numero de pisos Para cada pórtico. {FPL } = [ K CL ] { U PL } {FP } = [T P ] { FPL } = [ TP ][ KCL ] { U PL} Se tiente: { U } = [ T P ] { U PL } { U } = Grados de libertad globales del diafragma { U PL } = [ TP ]
-1 { U } { U PL } = [ TP ]
T { U } Reemplazando en { FP } { FPL } = [ TP ] [ KCL ] [ TP ]
T { U } { K P } 9x9 = [ TP ] [ KCL ] [ TP ]
T [ KP ]: Matriz del pórtico en función de los grados de libertad globales de la estructura.
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3.3.6. Ensamblaje matriz de masa [ Mi ]: Matriz de masa piso i; suponiendo diafragma rígido.
[ Mi ] 3x3 = gm� m� moh U��U��M�
Matriz de masa de la estructura [ M ].
[ M ] = xN4m�5o�o 4m�5o�oPy��� 2 pisos
La fuerza inercial es { F } = [ M ]{ Ü } 3.3.7. Ecuación de equilibrio dinámico de la estructura. [ M ] { Ü } + [ K ] { U } = { 0 } Vibración Li bre [ M ] { Ü } + [ K ] { U } = - [ K ] { γ } { Xo� } Vibración Forzada { γ } { Xo� } = Aceleraciones en los grados de libertad de la estructura. El registro acelerográfico tiene cinco componentes de aceleración: Dos horizontales ortogonales NS y EW y una vertical. No registra aceleración rotacional asociada a la inercia de una masa rotacional del diafragma. Para diafragma rígido no se incluyen los efectos verticales de aceleración.
X�z � � Aceleración Norte � Sur X�� � � Aceleración Este � Oeste X�z � y X�� � : Aceleraciones horizontales ortogonales del terreno, no colineales con los grados de libertad globales del diafragma.
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X[� � � X�z � Cosβ � X�� � Senβ X[� � � X�z � Senβ Q X�� � Cosβ Si se usa una componente del acelerograma X[� � � X�z � Cosβ X[� � � X�� � Senβ
La matriz [ γ ] queda: ev[� f � 4γ5 �X[�X[�� �
ev[� f � ������v[��v[���v���v[���v[���v���
�
������� �
������100
010100010���
��� � � X�z� CosβX��Senβ� �
Si la aceleración del terreno es colineal con el grado de libertad del diafragma de la estructura se coloca 1, sino 0. 3.3.8. Fuerzas en los elementos Después de resolver la ecuación de equilibrio dinámico y encontrar los desplazamientos globales { U } se calculan: - Grados de libertad rotacionales condensados {Urot} = -[ K SV
4 ]-1 [ KSV3 ] { U P }
- Grados de libertad verticales
{ Uv } = - [ Ki 4 ]-1 [ Ki3 ] { U SV } para H/B > 5 Donde: eUz{f � � UtU�[�� Si H/B ≤ 5 { UV } = { 0 } entonces: eU$f � �Uz{U{ � Por último se obtiene los desplazamientos de todos los grados de libertad del pórtico.
24
eU�f � 4R5eUif Se calculan los grados de libertad del pórtico
eU\feU�f � 4R5eU$f Como los desplazamientos están en coordendas locales del pórtico { UL }, se calculan las fuerzas en los elementos de la estructura, y reacciones en los apoyos. 4. SOLUCIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA PARA SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD Existen varias formas de Solución, entre las que se tiene: La Solución Modal, que consiste en convertir el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas y linealmente dependientes, en un conjunto de ecuaciones de equilibrio independiente. Generalmente se realiza el análisis modal cronológico y el modal espectral. Otra forma de solución se hace por medio de integración de las ecuaciones de equilibrio, el cual es análogo a sistemas de un grado de libertad, con aplicación en sistemas estructurales con características no lineales. Para encontrar la respuesta dinámica se utilizará un espacio vectorial, que es una región del espacio-tiempo con ciertas propiedades o características matemáticas, construida a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes, que se conocen como la Base del sistema, y que describen el movimiento del modelo estructural dentro del espacio vectorial, usando combinaciones lineales y otras propiedades. 4.1 Solución Modal para el caso no amortiguado En Vibración Libre se tiene el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
[ ] [ ]{ } { }0uk..um =+
Se supone la solución de la forma:
( ){ } { } ( )tifiφtiu =
{ }iφ : Vector de amplitudes ( )tif : Función que depende del tiempo
Derivo dos veces y reemplazo en la ecuación diferencial.
25
( ){ } { } ( )
( ){ } { } ( )
[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) { }
( ) ( ) 0tifn
1j
ij
kijφtifn
1j
ij
mijφ
0tifiφktif
iφm
tifiφtiu
tifiφtiu
=
∑=
+
∑=
=+
=
=
&&
&&
&&&&
&&
Usando el método clásico de separación de variables en ecuaciones diferenciales:
( )( )
2iw
mijφ
kijφ
tif
tifn
1j
ij
n
1j
ij
=∑
∑=−
=
=&&
Se observa que ambos lados de la expresión anterior son iguales a la frecuencia natural wi al cuadrado. Por analogía a los sistemas de un grado de libertad la solución de esta ecuación tiene dos partes: La parte que depende del tiempo es:
( ) ( ) 0tif2iwtif =+&&
La solución de la anterior ecuación diferencial es de la forma:
( ) tiCoswiBtiSenwiAtif +=
iw: Frecuencia natural
iA, iB
: Constantes que dependen de las condiciones iniciales y representan la amplitud del movimiento oscilatorio. La otra expresión es:
[ ] [ ]( ){ } )1(0iφm2iwk
0φmij2iwkij
0mijφ2iwkijφ
ij
n
1j
n
1j
n
1j
ij
n
1j
ij
=−
=
∑−∑
=∑−∑
==
==
Para solucionar este sistema de ecuaciones simultáneas se recurre al teorema de Cramer:
26
a) Si el determinante de un sistema lineal no homogéneo de n ecuaciones en el mismo
número de incógnitas nφ , es diferente de cero, el sistema tiene exactamente una solución. b) Si el sistema es homogéneo y el determinante es diferente de cero, únicamente se tiene la
solución trivial nφ =0 c) Si el sistema es homogéneo y el determinante es igual a cero, se tiene soluciones no
triviales ≠nφ 0. Usando la parte c) del teorema se tiene que la ecuación (1) tiene solución no trivial si el determinante de la matriz de coeficientes es cero
[ ] [ ] 0m2iwkDet =−=
Determinante característico Al expandir el determinante se encuentra la ecuación característica o frecuencial, que es un polinomio de grado 2n. Como las matrices de masa y rigidez son simétricas y positivas definidas, las n raíces de esta ecuación son reales y positivas, y se conocen como los Valores Propios, Eigenvalues o
valores normales. La matriz [ ]k es positiva definida para evitar el movimiento de cuerpo rígido de la estructura soportada, aunque no es necesario para estructuras como los aviones.
La matriz [ ]m es positiva definida para asegurar que la masa concentrada no sea eliminada en todos los grados de libertad del análisis por la condensación estática. Las n raíces son las frecuencias naturales de vibración del sistema, que es un valor propio si se cumple el teorema de Cramer. Una matriz nxn tiene exactamente n frecuencias naturales. Despejando de la ecuación anterior, se tiene:
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] )2(2iwk1m
m1m2iwk1m
m2iwk
=−
−=−
=
La Frecuencia fundamental es la frecuencia natural iw más pequeña de las i-avas
frecuencias naturales. Una vez obtenidas las frecuencias de (2) se reemplazan en (1) los
valores de iwy se obtienen n sistemas del tipo.
[ ] [ ]( ){ } 0nφm2nwk =− n = 1, 2, 3…....
27
Para cada valor de n
w existe un vector independiente { }nφ que es una solución no trivial
del sistema de ecuaciones simultáneas, que se conoce como vector característico, Eigenvector o modo de vibración.
Para cada frecuencia n
w se tiene un vector { }nφ que tiene una forma definida pero
amplitud arbitraria, dado por los valores relativos de los n desplazamientos, correspondientes a las n frecuencias de vibración. Si existen n frecuencias naturales entonces excitarán n modos de vibración. Si dos frecuencias son iguales, cualquier combinación lineal de los modos, también es otro modo de vibración. Los Modos de Vibración son propiedades del sistema que dependen de la rigidez y masa. Cada modo se puede excitar independientemente y el movimiento del conjunto de masas se
moverá con la forma del modo y con una frecuencia natural nw
asociada al modo. El movimiento general de un sistema de n grados de libertad se representa por la superposición de los modos del sistema. 4.2 Ortogonalidad de los modos. Cada modo corresponde a una frecuencia natural diferente que satisface la siguiente condición de ortogonalidad. Cuando
nwiw ≠ .
[ ]{ } [ ]{ }nφm2nwnφk =
Premultiplicando por la transpuesta del r-avo modo { }Trφ
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } )3(nφmr
φ2nwn
φkrφ
TT=
Si se inicia con el modo r y premultiplicamos por el vector transpuesto del modo n, se tiene:
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } )4(rφmn
φ2rwr
φknφ
TT=
Como la matriz [ ] [ ]Tkk = y la [ ] [ ]Tmm = , debido a que son simétricas, se tiene que la transpuesta de la matriz del lado derecho es igual a la transpuesta del lado izquierdo. Usando la ecuación (3):
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } )5(rφmn
φ2nwr
φknφ
TT=
Restando (4) de (5)
28
{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } 0rφmnφ
02r
w2n
w
0rφmnφ2r
w2n
w
T
T
=
=
−
=
−
La ecuación anterior es verdadera cuando 2r
w2n
w ≠, que para sistemas con frecuencias
naturales positivas implica que rw
nw ≠
, se puede concluir que:
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 0nφmrφy0nφkrφTT
== Y sustituyendo en la ecuación (3) y (4), se observa que se cumple la igualdad. La ortogonalidad de los modos naturales de vibración implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales, siempre y cuando r=n, si son diferentes, entonces las matrices son iguales a cero
{ } [ ]{ } { }{ } [ ]{ } { }1nφmrφ
2r
wnφkrφ
T
T
=
=
El significado físico que implica la ortogonalidad modal, es que el trabajo hecho por la fuerza inercial en el n-avo modo a través del desplazamiento en el r-avo modo, es igual a cero. 4.3 Normalización de los Modos. La Normalización consiste en tomar uno de los elementos del vector y asignarle un valor arbitrario, por ejemplo 1, los elementos restantes quedan normalizados, respecto a este
valor, y los vectores se denominan modos normales. Si el vector { }nφ es un modo normal, cualquier vector proporcional es prácticamente el mismo modo escalado por un factor. A veces es conveniente normalizar cada modo en los elementos correspondientes a un grado de libertad en particular, por ejemplo asignarle la unidad al último piso de un edificio de varios pisos. Es común normalizar los modos respecto a la matriz de masa, es decir que la n-ésima masa mn tenga valores unitarios, esta normalización se conoce como masa ortonormal.
{ } { } 1rφTrφ =
{ } [ ]{ } [ ]IrφmTrφ =
29
[ ]I es la matriz identidad.
Si los modos se normalizan con { } [ ]{ }rφmTrφ , entonces los vectores modales componen
un conjunto de vectores linealmente independientes. Se acostumbra a escribir todos los modos en una sola Matriz modal
[ ] { }{ }{ } { }
= nφ......3φ2φ1φΦ
4.4 Desacople de las Ecuaciones de Movimiento Un vector siempre puede expresarse como una combinación lineal de los modos y pueden describir cualquier movimiento del sistema, cada modo multiplicado por unas constantes que dependen de las condiciones iniciales. Si el movimiento es forzado, las constantes dependen de la solicitación. Las constantes indican el grado de participación de cada modo en el movimiento total. Para vibración libre el movimiento del sistema se describe con la siguiente expresión: { } [ ]{ }ηΦu = Donde: { }U : Grados de libertad globales { }η : Nuevos Grados de libertad o generalizados [ ]Φ : Matriz modal normalizada Derivo dos veces y reemplazo en la ecuación diferencial de equilibrio dinámico.
[ ]
=
..
ηΦ..u
[ ] [ ]{ } { }0uk..um =+
[ ][ ] [ ][ ]{ } { }0ηΦk..ηΦm =+
Premultiplicamos por [ ]TΦ
[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } { }0ηΦkTΦηΦmT
Φ =+&& Por el principio de ortogonalidad:
30
[ ] [ ][ ]{ } [ ]IηΦmTΦ = y
[ ] [ ][ ]
= 2wΦkT
Φ
[ ]{ } { } 0η2wηI =+
&&
Esto implica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo:
0iη2iwi
..η =+
Para solucionar esta ecuación diferencial se aplican los mismos métodos que se usaron para resolver sistemas de un grado de libertad. Después que se obtiene la solución de la ecaución diferencial de cada grado de libertad generalizado, la respuesta dinámica de la estructura es la superposición de la contribución de cada modo.
{ } [ ]{ } { } ( )[ ] { } ( ) { } ( ) { } ( )tnηnφt2η2φt1η1φn
1it
iη
iφηu +++=∑
==Φ= K
{ }η : Sistema de coordenadas generalizadas, donde cada una actúa independientemente como si fuera un grado de libertad único, que a su vez afecta los grados de libertad globales, de forma tal que se mueven armónicamente en el modo correspondiente. 4.5 Vibración con Condiciones Iniciales Una vez obtenida la respuesta dinámica de la estructura de cada una de las ecuaciones desacopladas, se debe emplear la transformación de coordenadas siguiente para pasar a los grados de libertad globales.
( ){ } [ ]{ }
( ){ } [ ]{ }ηtu
ηtu
&& Φ=
Φ=Derivo
Para el caso no amortiguado la solución para los grados de libertad generalizados es de la forma:
( ){ } { } { }
( ){ } { } { }BwSenwtAwCoswttη
Derivo
BCoswtASenwttη
−=
+=
&
Reemplazando en la respuesta dinámica de los grados de libertad globales:
31
( ){ } [ ]{ } [ ]{ }BCoswtΦASenwtΦtu +=
( ) [ ]{ } [ ]{ }wBSenwtΦwACoswtΦt.u −+=
Si se tienen condiciones iniciales { }o
u y
o.u
{ } [ ] ( ){ } [ ]{ }BΦ0ηΦo
u ==
[ ] ( ) [ ]{ }wAΦ.0ηΦ
.ou =
=
&
Premultiplicando por [ ] [ ]mΦ T
[ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } { }BBΦmΦmΦ To
uT ==
[ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } { }wAwAΦmTΦo
umΦ T ==&
La solución de la respuesta dinámica de desplazamiento en el tiempo, de un sistema de varias grados de libertad no amortiguado con condiciones iniciales es:
( ){ } [ ][ ] [ ]{ } [ ][ ] [ ]{ }{ }CoswtoumTΦΦSenwtw
1o
umTΦΦtu +
= &
Problema: (Fuente: Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. García, Luis E.). Hallar las frecuencias naturales, modos de vibración y la Respuesta Dinámica de desplazamiento en coordenadas globales. Estructura Idealizada
32
Matriz de masa de la estructura:
[ ]
=2m00
02m0
00m
m
Usando el método de la rigidez directa:
Donde Columnas43L
12EIk ×=
I: Momento de Inercia respecto al eje flexionado. E: Modulo de elasticidad del material.
33
L: Altura del piso. k: Rigidez del piso. Matriz de rigidez del Edificio:
[ ]
−−−
−=
2kk0
k2kk
0kk
k
Ecuaciones de Movimiento
=
−−−
−+
0
0
0
1u2u3u
2kk0
k2kk
0kk
1
..u
2
..u
3
..u
2m00
02m0
00m
Se pueden obtener n sistemas del tipo:
[ ] [ ]( ){ } 0nφm2nwk =−
Las Frecuencias Naturales se hallan:
[ ] [ ] 0m2nwkDet =−=
2m2w2kk0
k2m2w2kk
0km2wk
Det
−−−−−
−−=
Expando el determinante
34m03k2mw29k4w212km6w34mD ÷=−+−=
03m
3k
4
12w2m
2k
4
94wm
k36w =−+−
Se puede hacer por comodidad u2w = y 1m
k = , se obtiene un polinomio de grado 3 con 3
raíces
34
04
1u
4
923u3u =−+−
1.8863u
12u
0.1341u
=
=
=
Pero 2wu = y colocando m
k1= y ordenando de menor a mayor se obtienen las
frecuencias naturales del sistema
m
k0.1342
1w =
m
k22
w = m
k1.8862
3w =
Los modos de vibración se calculan con:
[ ] [ ]( ){ } 0nφm2nwk =−
Para m
k0.1342
1w =
=
−−
−
−−
−
−
0
0
0
1φ2φ3φ
2mm
k0.1342kk0
k2mm
k0.1342kk
0kmm
k0.134k
=
−−−
−
0
0
0
1φ2φ3φ
1.732kk0
k1.732kk
0k0.866k
02kφ30.866kφ =− (1) 21.155φ3φ =
01kφ21.732kφ3kφ =−−−
(2) 011.732kφ2kφ =+−
(3)
De (3) 11.732kφ2φ =
De (1) ( ) 011.732φk30.866kφ =−
12φ3φ =
De (2) ( ) 01kφ11.732φ1.732k12kφ =−−−
0 = 0 1φ Solución Trivial
35
1φ Puede tomar cualquier valor.
Sea 11φ =
Primer modo de vibración o modo fundamental { }
=1
1.732
2
1φ
Para m
k22
w =
=
−−−
−
0
0
0
1φ2φ3φ
0k0
k0k
0k0
03kφ =−
01kφ3kφ =−−
1φ3φ −=
02kφ =−
1φ y 3φ : Pueden tomar cualquier valor . Si 11 =φ
Segundo modo de vibración o Modo 2 { }
−=
1
0
1
2φ
Para m
k1.8862
3w =
=
−−−−−
−−
0
0
0
1φ2φ3φ
1.732k0
k1.732kk
0k0.866
02kφ30.866kφ =−−
01kφ21.732kφ3kφ =−−−
011.732kφ2kφ =−− 11.732φ2φ −=
De (1) ( ) 011.732φk30.866kφ =−−− 12φ3φ =
Si 11φ =
Modo 3 { }
−=1
1.732
2
3φ
36
Fuente: Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. García, Luis E. Normalizando los modos respecto a la matriz de masa
{ } [ ]{ } [ ]IrφmTrφ = Se obtienen las modas ortonormales
Modo 1:
{ }
{ }
=
=
=
0.289
0.5
0.557
m
1
1
1.732
2
3m2
11φ
12m
1
1.732
2
2m00
02m0
00m
11.7322
Modo 2:
{ }
{ }
−=
−=
=
−
−
0.557
0
0.557
m
1
1
0
1
3m
12φ
3m
1
0
1
2m00
02m0
00m
101
Modo 3:
37
{ }
{ }
−=
−=
=
−
−
0.289
0.5
0.557
m
1
1
1.732
2
3m2
13φ
12m
1
1.732
2
2m00
02m0
00m
11.7322
Matriz Modal
[ ]
−−
=Φ0.2890.5570.289
0.500.5
0.5570.5570.557
m
1
Usando la matriz [ ]Φ , se desacopla el sistema:
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
=ΦΦ
−−
−−=ΦΦ
100
010
001
mT
0.2890.5570.289
0.500.5
0.5570.5570.557
m
1
2m00
02m0
00m
0.2890.50.557
0.55700.557
0.2890.50.557
m
1mT
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
=ΦΦ
−−
−−−
−
−−=ΦΦ
1.88600
010
000.1341
m
kkT
0.2890.5570.289
0.500.5
0.5570.5570.557
m
1
2kk0
k2kk
0kk
0.2890.50.557
0.55700.557
0.2890.50.557
m
1kT
Las ecuaciones desacopladas
=
+
0
0
0
3η2η1η
1.88600
010
000.134
m
k
..
3η
..
2η
1..η
100
010
001
38
Como ecuaciones diferenciales independientes:
03ηm
k1.8863
..η
02ηm
k2
..η
01ηm
k0.1341
..η
=+
=+
=+
Suponiendo un desplazamiento unitario como condición inicial y velocidad inicial igual a cero:
{ }0.ou =
{ }
=1
1
1
ou
{ } [ ] [ ]{ }
=
=
−−=Φ=
3B2B1B
0.1548
0.5774
2.1547
m
1
1
1
2m00
02m0
00m
0.2890.50.557
0.55700.557
0.2890.50.557
m
1o
umTB
La respuesta del sistema es: { } { } ( ) { } ( ) { } ( )t3η3φt2η2φt1η1φu ++=
tm
k1.886Cos
0.045
0.077
0.089
tm
kCos
0.333
0
0.333
tm
k0.134Cos
0.622
01.077
1.244
1u2u3u
t30.1547Cosw
0.289
0.5
0.557
t20.5774Cosw
0.557
0
0.557
t12.1517Cosw
0.289
0.5
0.557
1u2u3u
−+
−+
=
−+
−+
=
4.6 Análisis Modal en vibración libre con amortiguamiento Cuando se incluye el amortiguamiento, la respuesta en la vibración libre es:
39
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0ukucum =++ &&&
Si existen condiciones iniciales{ }
o.uy
ou
, se pueden expresar los desplazamientos { }u en términos de los modos naturales del sistema sin amortiguamiento: [ ][ ]{ } [ ][ ]{ } [ ][ ]{ } { }0ηΦkηΦcηΦm =++ &&&
Premultiplicando por [ ]TΦ [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0ηKηCηM =++ &&& Donde
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]ΦkΦK
ΦcΦC
ΦmΦM
T
T
T
=
=
=
[ ]C es una matriz cuadrada pero no es diagonal, ya que depende de la distribución del
amortiguamiento en todo el sistema estructural. Si [ ]C es diagonal, representa el amortiguamiento en las n-avas ecuaciones diferenciales desacopladas en las coordenadas de los grados de libertad generalizados η , y se dice que el sistema tiene un amortiguamiento clásico, ya que es aplicable a tales sistemas, con las mismas frecuencias naturales y modos de vibración que el sistema no amortiguado. El amortiguamiento generalmente se especifica con un valor para una relación modal, suficiente para realizar un análisis de un sistema lineal. Por lo tanto no es práctico definir los coeficientes en la matriz de amortiguamiento a partir de la geometría estructural, sección de los elementos, y propiedades de amortiguamiento en materiales. El amortiguamiento es un valor obtenido de ensayos experimentales los cuales son usados en la relación modal. Los coeficientes de la matriz de amortiguamiento clásicos se definen imponiendo unas condiciones iniciales de velocidad unitaria en cada uno de los grados de libertad generalizados, es decir de la ecuación de equilibrio desacoplada, obteniendo las fuerzas internas de amortiguamiento en cada uno de los grados de libertad, se repite el proceso para cada grado de libertad y se obtiene la matriz de amortiguamiento. Desacoplando la Matriz [ ]C se tiene:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]iω
i2ξΦcΦC T ==
40
[ ]iω
i2ξ
es una matriz diagonal y i es el amortiguamiento asociado con el modo i en el grado de libertad i obtenido de ensayos. Aunque la matriz de amortiguamiento se puede desacoplar, no tiene relación con el amortiguamiento real en el grado de libertad determinado. Por lo tanto lo que se hace es desacoplar la ecuación de equilibrio dinámico y después el amortiguamiento se introduce en la ecuación desacoplada, evitando un gran error.
0ηi2i
wiη
iw
i2ξ
iη =++ &&&
Esta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos vistos anteriormente, para sistemas de un grado de libertad. En cada ecuación desacoplada el amortiguamiento es el correspondiente al modo i. 4.7 Excitación en la Base La ecuación de movimiento para excitación en la base es:
[ ] [ ]{ } [ ][ ]
−=+
..
oxγmuk
..um
Usando coordenadas generalizadas y derivando respecto al tiempo:
( ){ } [ ]{ }( ){ } [ ]{ }( ){ } [ ]{ }ηtu
ηtu
ηtu
&&&&
&&
Φ=Φ=Φ=
Reemplazando en la ecuación de equilibrio
[ ][ ] [ ][ ]{ } [ ][ ]
−=+
..
oxγmηΦk
..ηΦm
Premultiplicamos por [ ]TΦ
[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]
−=+
..
oxγmT
ΦηΦkTΦηΦmT
Φ &&
Por el principio de ortogonalidad:
[ ] [ ][ ]{ } [ ]IηΦmTΦ = y
[ ] [ ][ ]
= 2wΦkT
Φ
Se obtienen n ecuaciones desacopladas de un grado de libertad.
41
..
oxiαηi2
iw
iη −=+&&
Se introduce el amortiguamiento clásico
..
oxiαi
η2i
wiη
iw
i2ξ
iη −=++ &&&
Donde:
[ ] [ ] [ ][ ]γmTΦα =
El valor máximo que puede tener
iη entre la base y la masa del sistema, es igual al leído en
el espectro de respuesta del sismo para la misma frecuencia w y el mismo amortiguamiento ξ en un sistema de un grado de libertad.
( )iξ
iTSd
iα(max)
iη =
Donde ( )
iξ
iTSd
es el valor del espectro de desplazamientos. Si se tiene el espectro de aceleraciones:
( )iξ
iTSa
2i
w
1iα(max)
iη =
La matriz modal es:
[ ] { }{ }{ } { }
= nφ......3φ2φ1φΦ
La respuesta dinámica de desplazamientos de la estructura se obtiene con:
( ){ } [ ][ ]{ } { } ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( )tiηiα
n
1iiφtnηn
αnφ..............t2η2α2φt1η1
α1φηαΦtu ⋅∑=
=+++==
Si se toman los máximos de la respuesta dinámica de los grados de libertad generalizados
iη , y se superponen, no se obtiene la máxima respuesta, ya que estos desplazamientos máximos ocurren en tiempos diferentes, debido a la variación en el tiempo de la magnitud de la aceleración. La máxima respuesta dinámica de desplazamiento modal, correspondiente al modo i es:
42
( ){ } [ ] ( ){ } { } ( )iξ
iwSd
iα
n
1iiφ
iξ
iwSd
iαΦmaxitu ⋅∑
===
Las fuerzas dinámicas inerciales en la estructura de cada modo, se obtienen multiplicando los desplazamientos de cada modo por la matriz de rigidez de la estructura. { } [ ]{ }iukFi =
El cortante basal en el modo i correspondiente a la fuerza en el piso i es:
{ } { } { }Fi1Vi T= El momento de volcamiento en el modo i es:
{ } { } { }FihMi T= Donde hi es la altura del piso i. Para cada modo, las fuerzas dinámicas inerciales modales máximas se obtiene con:
{ } [ ]{ } [ ]{ }( ) [ ]{ } ( )iξ
iwSd
iαiφkmax
iηiφki
moduki
modF ===
Premultiplicando [ ]α por [ ]TΦ y usando [ ][ ]( ) [ ] [ ] [ ][ ]TΦmTΦTmTmΦ =
=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]γγΦmTΦγmT
ΦT
ΦαT
Φ === La masa total de la estructura en cualquier grado de libertad, es la suma de las masas en cada dirección principal. La masa total se relaciona con cada grado de libertad:
[ ] [ ] [ ][ ]γmTγm Total =
Reemplazando [ ]γ
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]∑==
=
=
2iααIT
αTotalm
αT
ΦmΦT
ααT
ΦmT
αTΦTotalm
La masa total corresponde a la suma de los cuadrados de los coeficientes de participación modal αi. Este valor es la masa efectiva modal, y es el porcentaje de masa total que se mueve en determinado modo de vibración. De acuerdo al NSR-98, se deben tener en cuenta los modos que muevan más del 90% de la masa total del sistema estructural.
43
Problema: Encontrar la respuesta dinámica modal en términos de desplazamiento y las fuerzas dinámicas inerciales máximas, de una edificación para vivienda ubicada en el norte de la ciudad de Cali, donde de acuerdo a las características geotécnicas del suelo, este se ha catalogado como un S2. El edificio tiene diafragma rígido y está sometido a la aceleración espectral del NSR-98 en la base. La altura del entrepiso a ejes es 2.8 m, en cada piso hay 6 columnas y todas tiene una sección de 40X40 cm. Las losas de los pisos 1 y 2 tienen un peso de 800 kgf/m2, la losa del piso 3 tiene un peso de 200 kgf/m2, todas las losas tienen un área de 20X15 m2, y f´c = 28 MPa. Desprecie la masa de las columnas.
Coeficientes del espectro: I = 1 Aa = 0.25 S = 1.2 Tc = 0.576 s TL = 2.88 s
ESPECTRO DEFINIDO PARA UN COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO RESPECTO AL CRÍTICO ξ = 5% a(g)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
T (s)
Sa
(g)
44
Evaluación de cargas Piso 1 y 2: m1 = m2 = 800*15*20 = 240.000 kg Piso 3: m3 = 200*15*20 = 60.000 kg Matriz de masa [kg] o [Tn]
[ ]
=24000
02400
0060
m
[Tn] Matriz de rigidez Las unidades se dan en [N/m] o [kN/m], si la matriz de está en [kg] o [Tn] respectivamente. Se ha encontrado que una losa con un módulo de elasticidad como el del concreto,
MPa20637f´c3900Ec == , y con una altura de más de 1.50 m, no es suficientemente rígida a flexión. Por lo tanto, la rigidez del piso, es similar a la de una columna en voladizo. Para simular un piso rígido, se debe usar un módulo de elasticidad muchísimo mas grande que el del concreto. Por lo tanto la rigidez del piso será:
Columnas63L
3EIk ×=
I: Momento de Inercia respecto al eje flexionado. E: Modulo de elasticidad del material. L: Altura del piso.
kN/m 36100632.8
I12
30.4*0.4*610*20637*3
k =×=
Usando el método de la rigidez directa:
45
Matriz de rigidez del Edificio:
[ ]
−−−
−=
72200610030
361007220061003
06100336100
k
[kN/m] Ecuaciones de Movimiento
[ ][ ] [ ][ ]{ } [ ][ ]
−=+
..
oxγmηΦk
..ηΦm
−=
−−−
−+
3ox
2ox
1ox
1
1
1
24000
02400
0060
1u2u3u
72200610030
361007220061003
06100336100
1
..u
2
..u
3
..u
24000
02400
0060
&&
&&
&&
Se pueden obtener n sistemas del tipo:
[ ] [ ]( ){ } 0nφm2nwk =−
Las Frecuencias Naturales se hallan:
[ ] [ ] 0m2nwkDet =−=
46
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] )2(2iwk1m
m1m2iwk1m
m2iwk
=−
−=−
=
Las frecuencias naturales al cuadrado del sistema son:
2
s
rad93.472
1w
=
2
s
rad67.3542
2w
=
2
s
rad73.8002
3w
=
La matriz modal es:
[ ]
−=Φ
0.54710
0.9200.358-0.331-
10.8721
La columna 1 corresponde al modo 1, la 2 al modo 2 y la 3 al modo 3. El modo 1 y 3 están normalizados respecto a la unidad en el último piso, mientras que en el modo 2 se le asigno un valor unitario al primer piso. Normalizando los modos respecto a la matriz de masa Modo 1:
{ }
{ }
=
=
−
0.0106
0.0351-
0.1062
1φ
65.88
0.1
0.331-
1
24000
02400
0060
1.0331.01
Modo 2:
{ }
{ }
−=
=
−−
0.0562
0.0201-
0.0490
2φ
316.36
1
0.358-
0.872-
24000
02400
0060
1358.0872.0
47
Modo 3:
{ }
{ }
=
=
0.0299
0.0503
0.0546
3φ
19.335
0.547
0.920
1
24000
02400
0060
547.0920.01
Matriz Modal Normalizada
[ ]
−=Φ
0.0299
0.0503
0.0546
0.0562
0.0201-
0.0490
0.0106
0.0351-
0.1062
Usando la matriz [ ]Φ , se desacopla el sistema:
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
=ΦΦ
−
−=ΦΦ
100
010
001
mT
0.0299
0.0503
0.0546
0.0562
0.0201-
0.0490
0.0106
0.0351-
0.1062
24000
02400
0060
0.0299
0.0562
0.0106
0.0503
0.0201-
0.0351
0.0546
0.0490-
0.1062
mT
[ ] [ ][ ]
−
−−−
−
−=ΦΦ
0.0299
0.0503
0.0546
0.0562
0.0201-
0.0490
0.0106
0.0351-
0.1062
72200610030
361007220061003
06100336100
0.0299
0.0562
0.0106
0.0503
0.0201-
0.0351
0.0546
0.0490-
0.1062
kT
[ ] [ ][ ]
=ΦΦ47.9300
0354.70
00800.73
kT
[ ] [ ] [ ][ ]
==5172.22
7233.5
4767.0
γmTΦα
Las ecuaciones desacopladas
48
(t)o
x
5172.22
7233.5
4767.0
-
3η2η1η
47.9300
0354.70
00800.73
..
3η
..
2η
1..η
100
010
001
&&⋅
=
+
Como ecuaciones diferenciales independientes:
(t)o
x5172.223η93.743..η
(t)o
x7233.52η7.3542..η
(t)o
x4767.01η73.8001..η
&&
&&
&&
=+
=+
−=+
Se introduce el amortiguamiento clásico modal
..
oxiαi
η2i
wiη
iw
i2ξ
iη −=++ &&&
Donde es el coeficiente de amortiguamiento crítico. Usando = 5%, como el amortiguamiento asociado con los modos en cada uno de los 3 grados de libertad.
692.092.6*05.0*23
w3
2ξ
88.183.18*05.0*22
w2
2ξ
83.230.28*05.0*21
w1
2ξ
==
==
==
Las ecuaciones desacopladas quedan:
(t)o
x5172.223η93.473η83.23
..η
(t)o
x7233.52η7.3542η88.12
..η
(t)o
x4767.01η73.8001η83.21
..η
&&&
&&&
&&&
=++
=++
−=++
Del espectro de respuesta se tiene Tc = 0.576 s y TL = 2.88 s. Modo 1:
49
m0.007721w
Sa1Sd
s
m6.131.0*9.81*0.25*2.52.5AaI1Sa
s0.2221
w
2π1T
2
==
===
==
Modo 2:
m0.017322w
Sa2Sd
s
m6.131.0*9.81*0.25*2.52.5AaI2Sa
s0.3342
w
2π2T
2
==
===
==
Modo 3:
m0.081123w
Sa3Sd
2s
m3.89
0.908
1.2*1.0*9.81*0.25*1.2
T
1.2AaIS3Sa
s0.9083w
2π3T
==
===
==
La máxima respuesta dinámica de desplazamiento modal, correspondiente al modo i es:
( ){ } [ ] ( ){ } { } ( )iξ
iwSd
iα
n
1iiφ
iξ
iwSd
iαΦmaxitu ⋅∑
===
( )
m0.1730.0077*22.51723
Sd3αmax
3η
m0.0970.017*5.72332
Sd2αmax
2η
m0.003650.0077*0.47671
Sd1αmax
1η
iξ
iwSd
iαmax
iη
===
===
===
=
La respuesta del sistema es: { } { } { } { } max3η3φmax2η2φmax1η1φmaxu ++=
50
[ ]m
0.01101
0.00547
0.00857
1u2u3u
0.00517
0.00870
0.00944
0.00545
0.00195-
0.00475
0.00039
0.00128-
0.00388
1u2u3u
173.0*
0.0299
0.0503
0.0546
097.0*
0.0562
0.0201-
0.0490
0.0365*
0.0106
0.0351-
0.1062
1u2u3u
=
+
−+
=
+
−+
=
Las fuerzas inerciales máximas resultantes de todos los modos { } [ ]{ }iukFi =
[ ]kN
597.46
311.90-
111.91
1F2F3F
=
El momento de volcamiento es:
{ } { } { }FihMi T=
[ ]kN.m
1588.89
873.32-
313.35
1M2M3M
=