sistemas de mÚltiples grados de libertad. anÁlisis … · 2019-05-10 · de análisis estructural...

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

NOVIEMBRE 2018

SISTEMAS DE MÚLTIPLES

GRADOS DE LIBERTAD. ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL

ELABORADO POR

ING. DAVID GUTIÉRREZ CALZADA

NOVIEMBRE DE 2018

Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.

Página 2

ÍNDICE

Introducción 3

Objetivos del tema 4

Aprendizajes previos 4

Desarrollo del tema 5

- Sistemas de varios grados de libertad 5 - Ejemplo 8

BIBLIOGRAFÍA

13


Página 3

INTRODUCCIÓN

El presente documento contiene el desarrollo escrito del tema Sistemas de múltiples

grados de libertad y análisis modal espectral; tema que forma parte del tema 2,

Dinámica Estructural, dentro del programa de estudio de la unidad de aprendizaje

de Análisis Estructural 2. El alcance de este trabajo es mostrar como se modela un

edificio de varios grados de libertad, la obtención de la ecuación dinámica, las

frecuencias, modos de vibrar y un análisis modal espectral utilizando las Normas

Técnicas Complementarias de Diseño por Sismo de la Ciudad de México,

publicadas en 2017.

El tiempo dedicado al desarrollo en el aula es de tres a cuatro sesiones de dos horas

cada una. Destinando dos clases para la teoría fundamental y dos clases para

ejercicios. Cabe aclarar que en el desarrollo delos ejercicios se hace nuevamente

referencia a la parte teórica fundamental.


Página 4

Objetivos del tema Los objetivos corresponden de manera general a los de la unidad 2, por lo que este

tema cumple parcialmente a los mismos, ya que no está destinado el objetivo como

uno específico, siendo:

- Obtener la respuesta de sistemas dinámicos de varios grados de libertad,

sometidos a diferentes tipos de excitaciones.

Aprendizajes previos requeridos Al llegar a este tema el alumno ya debe haber adquirido los conceptos

fundamentales de la respuesta de sistemas dinámicos de un grado de libertad, así

como la obtención de espectros de respuesta.


Página 5

DESARROLLO DEL TEMA

Sistemas con varios grados de libertad

Para realizar un análisis dinámico de un edificio, se puede idealizar por medio de un

modelo de masas y resortes (Figura 1.1) concentrando la masa en las losas de cada

entrepiso, (al tener la mayor cantidad de peso concentrado en la losa en cada piso),

además se considera a la losa como un diafragma infinitamente rígido, donde las

masas sólo admiten traslaciones horizontales. En este modelo, únicamente las

columnas aportan rigidez (siempre que la losa se pueda comportar como un

diafragma rígido, en caso contrario se debe considerar la rigidez de la losa y de las

trabes que aportan a la rigidez de entrepiso). Este modelo se conoce como “edificio

de cortante”, donde no existen rotaciones de una sección horizontal, es decir, los

giros en la parte superior de las columnas son nulos y que su deformación axial es

despreciable.

Figura 1.1. Modelo de masas y resortes sin amortiguamiento

x (t)n

x (t)i

x (t)2

x (t)1m 1

m 2

m i

m n

m 1

m 2

m i

m n

kx (t)i

x (t)2

x (t)1

i+1

k i

k 2

k1

x (t)n

a (t) a (t)


Página 6

Donde el número de niveles representa los grados de libertad en esa dirección, y

los valores de representan los desplazamientos horizontales de cada masa.

Obsérvese que en el modelo no existe amortiguamiento.

Considerando un amortiguamiento de tipo viscoso (proporcional a la

velocidad), se tienen un modelo que considera la fuerza inercial (de las masas), la

fuerza restitutiva (del resorte) y la de amortiguamiento (Figura 1.2).

Figura 1.2. Modelo de masas y resortes con amortiguamiento viscoso

Planteando el equilibrio dinámico, se obtienen ecuaciones del tipo

de forma matricial, para todo el sistema

1

donde es un vector columna con todos sus elementos iguales a la unidad.

1Las matrices se denotan entre corchetes [ ], mientras que los vectores con llaves {} o bien con una línea en la parte superior.

ix

k i+1

k i

m i

k i+1 (x -x )i+1 i

k i (x -x )i i-1

c xi imi (x + a(t))i i

Hi

m 1

m 2

m i

m n

kx (t)i

x (t)2

x (t)1

i+1

k i

k 2

k1

x (t)n

a (t)

cn

ci

c2

c1

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1i i i i i i i i i i im x c x k k x k x k x ma t+ + + -+ + + - - = -!! !

M⎡⎣ ⎤⎦ !!x + C⎡⎣ ⎤⎦ !x + K⎡⎣ ⎤⎦ x = − M⎡⎣ ⎤⎦ a(t) 1{ }{ }1


Página 7

Siendo [M] y [K] las matrices de masa y rigidez. Obsérvese que la matriz de

rigideces está acoplada (tienen en algunos de sus elementos rigideces de diferentes

entrepisos).

Modelo de 2 grados de libertad Considerando un modelo de dos grados de libertad y planteando su equilibro

dinámico para cada una de las masas, sin considerar amortiguamiento, se tiene:

sin considerar amortiguamiento, se tiene:

En forma matricial

Se obtiene un arreglo de matrices cuadradas de [2x2], donde la matriz de masas

tiene elementos en la diagonal, mientras que la de rigideces tiene elementos fuera

de la diagonal. Se dice que las ecuaciones están “acopladas”.

M⎡⎣ ⎤⎦ =

m1 0 0 0

0 m2 0

0 0 mi

mn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

K⎡⎣ ⎤⎦ =

k1 + k2 −k2 0 0

−k2 k2 + k3 −k3

0 −k3 ki + ki+1

kn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 2 2 1 0sm x x c x k x k x x+ + + - - =!! !! !

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 0sm x x c x k x x+ + + - =!! !! !

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 0sm x x k x k x x+ + - - =!! !!

( ) ( )2 2 2 2 1 0sm x x k x x+ + - =!! !!

M⎡⎣ ⎤⎦ !!x + K⎡⎣ ⎤⎦ x = −!!xs M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ }


Página 8

Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales es necesario realizar una

transformación de coordenadas, mediante valores característicos, para poder

“diagonalizar” y desacoplar a [K], utilizando las siguientes ecuaciones de

transformación

Donde es la matriz modal, es la coordenada de las masas y son las

coordenadas productos de las transformadas. Sustituyendo se obtiene

Premultiplicando por

Definiendo a

y

se tiene que

Obteniéndose ecuaciones del tipo

donde las ecuaciones ya se encuentran desacopladas. Y la respuesta total del

sistema se obtiene por medio de una superposición modal

donde

x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ y

!x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ !y

!!x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ !!y

F x y

M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ !!y + K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ y = −!!xs M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ }

ΦT

Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ !!y + Φ⎡⎣ ⎤⎦T

K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ y = −!!xs Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ }

M⎡⎣ ⎤⎦*= Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦

K⎡⎣ ⎤⎦ *= Φ⎡⎣ ⎤⎦T

K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦

M⎡⎣ ⎤⎦ * !!y + K⎡⎣ ⎤⎦* y = − Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ } !!xs

m*

i yi + k*i yi = f *i

x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ y

x = Φ1y1 +Φ2 y2 Φ⎡⎣ ⎤⎦ = Φ1 Φ2

⎡⎣

⎤⎦


Página 9

Las funciones obtenidas no dependen del tiempo y corresponden con la suma de

las máximas respuestas modales. Estas respuestas resultan conservadoras, puesto

que considera que las máximas respuestas de todos los modos ocurren en el mismo

instante de tiempo.

Una vez obteniendo la matriz modal, se puede normalizar esa matriz, de tal forma

que al hacer se obtendrán valores unitarios.

Normalizando los modos. Se considera

Multiplicando por cada vector modal

Armando la matriz modal normalizada

Verificando que son matrices diagonales

se obtiene una matriz diagonal Identidad

se obtiene una matriz diagonal con elementos

Factores de participación

Cuando se utilizan los vectores normalizados,

Seudoaceleración 𝑆𝑎# = 𝑎#𝑔

Desplazamientos totales de cada masa para cada modo i

Desplazamientos relativos se calcula la diferencia entre niveles consecutivos.

El desplazamiento real se obtiene multiplicando por Q y R calculado.

Regla de Rosenblueth. Valor esperado 𝐸(𝑠) = *𝑠+, + 𝑠,, + ⋯+ 𝑠/,

[ ]

1

2

* 0 0 00 * 0 0

* 0 0 * 0...

0 0 0 *

i

n

mm

m

m

M

é ùê úê ú

= ê úê úê úê úë û

1*im

iF

1*in iim

F = F

[ ] 1 2 ...n in n n= F F FF é ùë û

[ ] [ ][ ]n nT MF F

[ ] [ ][ ]n nT KF F 2

iw

[ ] { }[ ]

1. .

TinTin in

F iM

PM

F=F F

[ ] 1Tin inMF F =

( )2

. .

ii in

i

F P i SaX

w= F


Página 10

Ejemplo Considere el siguiente modelo estructural. Calcule las frecuencias, periodos y

formas de vibrar.

gravedad=981cm/s2 Datos:

W1=134.5736ton k1= 111.7368 ton/cm

W2=134.5736ton k2= 70.0468 ton/cm

W3=130.2572ton k3= 65.6452 ton/cm

W4= 89.4770 ton k4= 62.0069 ton/cm

La matriz de masas y rigideces son:

[ ]

1

2 2

3

4

0 0 0 0.1372 0 0 00 0 0 0 0.1372 0 0

. /0 0 0 0 0 0.1328 00 0 0 0 0 0 0.0912

M

mm

ton s segm

m

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú

ë ûë û

[ ]

1 2 2

2 2 3 3

3 3 4 4

4 4

0 0 181.7836 70.0468 0 00 70.0468 135.6920 65.6452 0

/0 0 65.6452 127.6521 62.00690 0 0 0 62.0069 62.0069

k k kk k k k

ton cmk k k k

k k

K

+ - -é ù é ùê ú ê ú- + - - -ê ú ê ú=

- + -ê ú - -ê úê ú ê ú- -ë ûë û

=


Página 11

Realizando , y utilizando queda como:

Por lo que el determinante:

Cuyas soluciones son (ordenando de menor a mayor):

Ahora obtenemos las siguientes frecuencias circulares:

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω

2 M⎡⎣ ⎤⎦ = 0 ω2 = φ

[ ] [ ] [ ] [ ]2 0K M K Mw f- = - =

181.7836 0.1372 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 65.6452 0

00 65.6452 127.6521 0.1328 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912

ff

ff

- -é ùê ú- - -ê ú= =

- - -ê úê ú- -ë û

8 2 3 40.3185866143 10 461926.8511 1127.635743 0.9014854520 0.0002279065028 0E f f f f- + - + =

221 285.6942 rad

segw =

222 2639.8009 rad

segw =

223 21372.877 rad

segw =

224 21857.1336 rad

segw =

1 9.2571 radseg

w =

2 25.2943 radseg

w =

3 37.0524 radseg

w =

4 43.0945 radseg

w =


Página 12

Obteniéndose así los siguientes periodos con :

Para calcular los modos de vibración, se sustituye cada uno de los valores de

en la ecuación matricial .

Para el primer modo:

Utilizando , se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones:

Proponiendo un valor para (Recuerde que este sistema no tiene solución

única, dado que el determinante de este sistema es cero, teniendo una infinidad de

soluciones) se obtiene , y

T = 2π

ω

1 0.67874T seg=

2 0.2484T seg=

3 0.16958T seg=

4 0.1458T seg=

ω2

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω

2 M⎡⎣ ⎤⎦ ( )Φ = 0

ω21

[ ] [ ]( )21 1 K Mw- F =

( )( )

( )( )

1,1

2,1

3,1

4,1

181.7836 0.1372 85.6942 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 85.6942 65.6452 00 65.6452 127.6521 0.1328 85.6942 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912 85.6942

F- -é ùæ öç ÷ê ú F- - - ç ÷ê ú=ç ÷ê ú F- - -ç ÷ê ú F- - è øë û

1,1

2,1

3,1

4,1

170.0281 70.0468 0 0 070.0468 123.9365 65.6452 0 00 65.6452 116.2736 62.0069 00 0 62.0069 54.1907 0

F- æ öé ù æ öç ÷ ç ÷ê ú F- - ç ÷ ç ÷ê ú= =ç ÷ ç ÷Fê ú- -ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷F-ë û è øè ø

1,1 2,1

1,1 2,1 3,1

2,1 3,1 4,1

3,1 4,1

170.0281 70.0468 070.0468 123.9365 65.6452 065.6452 116.2736 62.0069 0

62.0069 54.1907 0

F - Fæ ö æ öç ÷ ç ÷- F + F - Fç ÷ ç ÷= =ç ÷ ç ÷- F + F - Fç ÷ ç ÷ç ÷- F + F è øè ø

1,1 1f =

2,1 2.42f = 3,1 3.51f = 4,1 4.02f =

1

12.423.514.02

é ùê úê úF =ê úê úë û


Página 13

Para el segundo modo:





22w

[ ] [ ]( )22 2 K Mw- F =

( )( )

( )( )

1,2

2,2

3,2

4,2

181.7836 0.1372 639.8 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 639.8 65.6452 00 65.6452 127.6521 0.1328 639.8 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912 639.8

F- -é ù æ öç ÷ê ú F- - - ç ÷ê ú=ç ÷ê ú F- - -ç ÷ê ú ç ÷F- -ê ú è øë û

[ ] [ ]( )1,2

2,222 2

3,2

4,2

94.0157 70.0468 0 0 070.0468 47.9241 65.6452 0 0

0 65.6452 42.6993 62.0069 00 0 62.0069 3.6507 0

K Mw

F- æ öé ù æ öç ÷ ç ÷ê ú F- - ç ÷ ç ÷ê ú- F = =ç ÷ ç ÷Fê ú- -ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷F-ë û è øè ø

1,2 2,2

1,2 2,2 3,2

2,2 3,2 4,2

3,2 4,2

94.0157 70.0468 070.0468 47.9241 65.6452 065.6452 42.6993 62.0069 0

62.0069 3.6507 0

F - Fæ ö æ öç ÷ ç ÷- F + F - Fç ÷ ç ÷=ç ÷ ç ÷- F + F - Fç ÷ ç ÷ç ÷- F + F è øè ø

1,2 1f =

2,2 1.3422f = 3,2 0.0872f = - 4,2 1.481f = -

2

11.34220.08721.4810

é ùê úê úF =ê ú-ê ú-ë û


Página 14

Para el tercer modo:





23w

[ ] [ ]( )23 3 K Mw- F =

( )( )

( )( )

1,3

2,3

3,3

4,3

181.7836 0.1372 1372.877 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 1372.877 65.6452 00 65.6452 127.6521 0.1328 1372.877 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912 1372.877


[ ] [ ]( )1,3

2,323 3

3,3

4,3

6.5477 70.0468 0 0 070.0468 52.6393 65.6452 0 0

0 65.6452 54.6385 62.0069 00 0 62.0069 63.213 0

2

K Mw

F- - æ öé ù æ öç ÷ ç ÷ê ú F- - - ç ÷ ç ÷ê ú- F = =ç ÷ ç ÷Fê ú- - -ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷F- -ë û è øè ø

1,3 2,3

1,3 2,3 3,3

2,3 3,3 4,3

3,3 4,3

6.5477 70.0468 070.0468 52.6393 65.6452 065.6452 54.6385 62.0069 0

62.0069 63.2132 0

- F - Fæ ö æ öç ÷ ç ÷- F - F - Fç ÷ ç ÷=ç ÷ ç ÷- F - F - Fç ÷ ç ÷ç ÷- F - F è øè ø

1,3 1f =

2,3 0.0935f = - 3,3 0.9921f = - 4,3 0.9732f =

3

10.09350.99210.9732

é ùê ú-ê úF =ê ú-ê úë û


Página 15

Para el cuarto modo:





24w

[ ] [ ]( )24 4 K Mw- F =

( )( )

( )( )

1,4

2,4

3,4

4,4

181.7836 0.1372 1857.1336 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 1857.1336 65.6452 00 65.6452 127.6521 0.1328 1857.1336 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912 1857.1336


[ ] [ ]( )1,4

2,424 4

3,4

4,4

72.978 70.0468 0 0 070.0468 119.0696 65.6452 0 0

0 65.6452 118.9381 62.0069 00 0 62.0069 107.3823 0

K Mw

F- - æ öé ù æ öç ÷ ç ÷ê ú F- - - ç ÷ ç ÷ê ú- F = =ç ÷ ç ÷Fê ú- - -ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷F- -ë û è øè ø

1,4 2,4

1,4 2,4 3,4

2,4 3,4 4,4

3,4 4,4

72.978 70.0468 070.0468 119.0696 65.6452 065.6452 118.9381 62.0069 0

62.0069 107.3823 0

- F - Fæ ö æ öç ÷ ç ÷- F - F - Fç ÷ ç ÷=ç ÷ ç ÷- F - F - Fç ÷ ç ÷ç ÷- F - F è øè ø

1,4 1f =

2,4 1.0418f = - 3,4 0.8227f = 4,4 0.4751f = -

4

11.04180.82270.4751

é ùê ú-ê úF =ê úê ú-ë û


Página 16

Armando la matriz modal

Dibujando las formas modales

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4

Obteniendo la matriz y

Obteniendo la matriz

[ ] 1 2 3 4

1 1 1 12.4273 1.3422 0.0935 1.04183.5157 0.0872 0.9921 0.82274.0228 1.4810 0.9732 0.4751

é ùê ú- -ê ú= éF F F F ù =ë û ê ú- -ê

F

ú- -ë û

M⎡⎣ ⎤⎦*= Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦

[ ]

4.0627 0 0 00 0.5854 0 0

*0 0 0.3554 00 0 0 0.3965

M

é ùê úê ú=ê úê úë û

K⎡⎣ ⎤⎦*= Φ⎡⎣ ⎤⎦T

K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦

[ ]

348.1499 0 0 00 374.517 0 0

*0 0 487.9864 00 0 0 736.4132

K



Página 17

Normalizando los modos. Considerando

Multiplicando por cada vector modal

Armando la matriz modal normalizada

1

2

3

4

* 4.06270* 0.58536* 0.35545* 0.39653

mmmm

====

1*im

iF

1 11

0.49611.204311.7442*1.9958

n m

æ öç ÷ç ÷F = F =ç ÷ç ÷è ø

2 22

1.30701.754310.1140*1.9357

n m

æ öç ÷ç ÷F = F =ç ÷-ç ÷-è ø

3 33

1.67730.156811.6640*1.6323

n m

æ öç ÷-ç ÷F = F =ç ÷-ç ÷è ø

4 44

1.58801.654511.3065*0.7544

n m

æ öç ÷-ç ÷F = F =ç ÷ç ÷-è ø

[ ] 1 2 3 4

0.4961 1.3070 1.6773 1.58801.2043 1.7543 0.1568 1.65451.7442 0.1140 1.6640 1.30651.9958 1.9357 1.6323 0.7544

n n n n n

é ùê ú- -ê ú= éF F F F ù =ë û ê ú- -ê

F

ú- -ë û


Página 18

Verificando que son matrices diagonales

se obtiene una matriz diagonal unitaria

matriz diagonal con en la diagonal

Factores de participación

Considerando los datos sísmicos del archivo anexo.

Seudoaceleración(modo i)

Desplazamiento (modo i)

Desplazamientos de entrepiso (modo i) =

Rigideces de entrepiso =

Cortantes de entrepiso (modo i) =

[ ] [ ][ ]

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Tn nM

é ùê úê ú=ê úê

û

F

ë

F

ú

[ ] [ ][ ]

85.7 0 0 00 639.8 0 00 0 1372.9 00 0 0 1857.1

Tn nK


F F 2iw

[ ] { }[ ]

1. .

TinTin in

F iM

PM

F=F F

. .1 0.646900

. .2 0.228260

. .3 0.136510

. .4 0.095546

F PF PF PF P

====

i iSa a g=

( )2

. .

ii in

i

F P i SaX

w= F

1 1

2 1 2

3 2 3

4 3 4

i i

i i ii

i i i

i i i

X XX X X

XX X XX X X

Dé ù é ùê ú ê ú- Dê ú ê úD = =ê ú ê ú- Dê ú ê ú- Dë û ë û

1

2

3

4

KK

KKK


( )( )( )( )

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

i i i

i i ii

i i i

i i i

X X VX X V

VX X VX X V

Dé ù é ùê ú ê úDê ú ê ú= =ê ú ê úDê ú ê úDê ú ë ûë û


Página 19

Modo 1 (modo fundamental): Factor de participación modal =

Periodo =

Aceleración espectral en función de g =

Factor de comportamiento sísmico =

Seudoaceleracion=

Desplazamientos totales =

Desplazamientos de entrepiso=


Cortantes de entrepiso =

Modo 2:

Factor de participación modal =

Periodo =



. .1 0.6469F P =

1 0.67874T seg=

1 0.13332a =

2Q =

21 130.7848 cmSa s=

11

211

31

41

0.48981.1890

cm1.72211.9705

T

XX

XXX


ë ûë û

11

211

31

41

0.48980.6991

cm0.53310.2484

XX

XXX

Dé ù é ùê ú ê úDê ú ê úD = =ê ú ê úDê ú ê úD ë ûë û

1

2

3

4

111.736870.0468

ton65.645262.0069

KK

KKK


ë ûë û

11

211

31

41

54.730948.9728

ton34.995915.4014

VV

VVV


ë ûë û

. .2 0.22826F P =

2 0.2484T seg=

2 0.1204a =

2Q =


Página 20

Seudoaceleracion=





Modo 3:


Periodo =



Seudoaceleracion=


22 118.1082 cmSa s=

12

222

32

42

0.05510.0739

cm0.00480.0816

T

XX

XXX

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú -ê úê ú ê ú-ë ûë û

12

222

32

42

0.05510.0188

cm0.07870.0768

XX

XXX

Dé ù é ùê ú ê úDê ú ê úD = =Dê ú -ê úê ú ê úD -ë ûë û

1

2

3

4

111.736870.0468

ton65.645262.0069

KK

KKK


ë ûë û

12

222

32

42

6.15401.3201

ton5.16784.7599

VV

VVV

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú -ê úê ú ê ú-ë ûë û

. .3 0.13651F P =

3 0.16958T seg=

3 0.10871a =

2Q =

23 106.6467 cmSa s=

13

233

33

43

0.01780.0017

cm0.01760.0173

T

XX

XXX

é ù é ùê ú ê ú-ê ú ê ú= =ê ú -ê úê ú ê ú

ë ûë û


Página 21




Modo 4:


Periodo =



Seudoaceleracion=




13

233

33

43

0.01780.0194

cm0.01600.0350

XX

XXX

Dé ù é ùê ú ê úD -ê ú ê úD = =Dê ú -ê úê ú ê úD ë ûë û

1

2

3

4

111.736870.0468

ton65.645262.0069

KK

KKK


ë ûë û

13

233

33

43

1.98751.3624

ton1.04932.1675

VV

VVV

é ù é ùê ú ê ú-ê ú ê ú= =ê ú -ê úê ú ê ú

ë ûë û

. .4 0.095546F P =

4 0.1458T seg=

4 0.1047a =

2Q =

24 102.7151 cmSa s=

14

244

34

44

0.00840.0087

cm0.00690.0040

T

XX

XXX

é ù é ùê ú ê ú-ê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú-ë ûë û

14

244

34

44

0.00840.0171

cm0.01560.0109

XX

XXX

Dé ù é ùê ú ê úD -ê ú ê úD = =Dê ú ê úê ú ê úD -ë ûë û

1

2

3

4

111.736870.0468

ton65.645262.0069

KK

KKK


ë ûë û


Página 22


Para que se pueda utilizar SRSS, es necesario que la diferencia entre los periodos

sea mayor al 10%

Diferencia en porcentaje entre el periodo 2 y el periodo 1 = 63.4023%



Los porcentajes de diferencia son mayores del 10%, entonces es adecuado utilizar

la regla SRSS (regla de Rosenblueth)

Valor esperado de la acción (regla de Rosenblueth):

Cortantes estimados

14

244

34

44

0.93771.2003

ton1.02720.6753

VV

VVV

é ù é ùê ú ê ú-ê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú-ë ûë û

( )modos

2

1i i j

jE S S

=

æ ö= ç ÷

è øå

2 2 2 21 11 12 13 14estimadoV V V V V= + + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 54.7309 6.1540 1.9875 0.9377estimadoV = + + +

1 55.1196 tonestimadoV =

2 2 2 22 21 22 23 24estimadoV V V V V= + + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 48.9728 1.3201 1.3624 1.2003estimadoV = + + - + -


2 2 2 23 31 32 33 34estimadoV V V V V= + + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 34.9959 5.1678 1.0493 1.0272estimadoV = + - + - +


2 2 2 24 41 42 43 44estimadoV V V V V= + + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 24 15.4014 4.7599 1.0493 0.6753estimadoV = + - + - + -



Página 23

Desplazamientos totales estimados

Desplazamientos de entrepiso estimados

Nota: Falta obtener los valores esperados reales para comparar con los

desplazamientos permisibles por sismo de acuerdo a las NTCDS2017 de la

CDMX.

2 2 2 2. 1 11 12 13 14total estimadoX X X X X= + + +

. 1 0.4933 cmtotal estimadoX =







2 2 2 2. 1 11 12 13 14entrepiso estimadoX X X X X= D +D +D +D

. 1 0.4933 cmentepiso estimadoX =

2 2 2 2. 2 21 22 23 24entrepiso estimadoX X X X X= D + D + D + D







Página 24

BIBLIOGRAFÍA Bazán/Meli, R. (1999). Diseño Sísmico de Edificios, Limusa Noriega Editores, México. D.F.

Curiel, G. (2000). Dinámica Estructura Simplificada, México, D.F.

Gobierno de la Ciudad de México, (2017). Normas Ténicas complementarias, México, CDMX. Gutiérrez, D. (2018). Apuntes de clase, Análisis Estructural 2. UAEMex, México Meli, R. (1993). Diseño Estructural, Limusa Noriega Editores, México. D.F.

Plan de estudios de la Licenciatura en Ingeniería Civil, plan F2, 2004, UAEMex,

México.

Sáez, (2000). Estructuras III. Arquitectura de Sevilla., España

Valdés, J. (2004). Apuntes de la clase de Ingeniería sísmica, Maestría, UAEMex,

México.

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