dipositivas multiples grados de libertad

8/9/2019 Dipositivas Multiples Grados de Libertad

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1. Propiedad de ortogonalidad de los modos normales.

2. Movimiento forzado3.1 Mtodo de superposicin modal

3. Ejemplo movimiento forzado (TALLER)4. Ejemplo 3

EXPOSICIN N1:

Mltiples grados de libertadCONTENIDO

Andrea Carolina ChaparroCarolina Franco ArizaCarlos Andres Gualdron

Sulay Tatiana MesaDinmica EstructuralEscuela de Ingeniera CivilUniversidad Industrial de Santander


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Movimiento Forzado


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Encontrar la respuesta dinmica en la

direccin X al sistema a porticado ilustradoen la Figura 3-11, si se supone como accinssmica el espectro de respuesta propuestopara el territorio colombiano (NSR-98). Laedificacin se encuentra en la ciudad deBucaramanga (zona de riesgo ssmico alto).

Es una edificacin normal, con un coeficientede amortiguamiento con respecto al crticoigual 5%.

La estructura cuenta con una masa de: Cubierta=550 Kg/m2Piso intermedio = 750 kg/m2

Ejemplo 2:


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Solucin

1. Idealizacin Estructural.

2. Determinacin de las masas.

3. Determinacin de la matriz de Rigidez....


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TALLER Libro Dinmica Estructural Aplicada al DiseoSsmico de Luis Enrique Gracia pagina 439:.pdf

En un teatro se piensa colocar un generador elctrico que tiene una masa de2000 [kg]. Debe encontrarse la influencia que producen las vibracionesinducidas por el generador en la mquina de proyeccin de cine. Cuandoambos estn operando.La mquina de proteccin tambin tiene una masa de 2000[kg]. La porcin dela estructura donde estn colocados ambos equipos tiene la forma descrita en

la figura. Todos los elementos del prtico de soporte tienen ancho b= 0.4 [m] yalto h=0.8[m] de un material con un mdulo de elasticidad E=25[GPa] y sudisposicin es la mostrada en la figura.


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El generador esta montado sobre una base que slo transmite vibraciones

verticales y estas inducen una fuerza sobre la estructura cuya amplitud es3[KN] con una frecuencia de = 25[Hz]. Nos interesa la influencia en laimagen proyectada en la pantalla del teatro, la cual se encuentra a 40 [m]de distancia del equipo de proyeccin. Puede despreciarse la contribucinde la masa de la estructura.

Utilizando los datos que crea necesarios (NO UTILICE AMORTIGUAMIENTO)Normalice los modos de vibracin y obtenga las ecuaciones desacopladasdel sistema. Es necesario determinar las frecuencias, los modos devibracin del sistema para construir la matriz de modos de vibracin .


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Solucin

1. Idealizacin de la estructura.


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Los nodos y elementos de la estructura se numeran como muestra en la figura. Eldiafragma es infinitamente rgido en su propio plano, por lo tanto los grados delibertad horizontales de los nodos 2, 3 y 4 se igualan al grado de libertad horizontal del

nodo 1. Los grados de libertad verticales de los nodos 1 y 4, as como las rotaciones delos nodos se condensan.

2. Determinar la matriz de masas

El enunciado indica que se desprecia la masa de la estructura.

La matriz de masas del sistema, tiene en cuenta las masas quecontribuyen en cada grado de libertad.m1= 4 [Mg]m2= 2 [Mg]m3= 2 [Mg]

Entonces:M =

4 0 0U1x

0 2 0U2y

0 0 4U3y


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3. Determinar la matriz de rigidez del sistema

Con ayuda de las herramientas brindadas por EXCEL, se introdujeronlos siguientes datos de entrada y se clculo la matriz de rigidez paracada elemento teniendo en cuenta que los elementos tipo vigacomparten las mismas caractersticas y se puede presentar la matrizde rigidez que las caracteriza en coordenadas globales. Se procede

de igual forma con los elementos columnas.

Cabe recordar que la matriz de rigidez se construye de la siguientemanera:

[K] =


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2666666.667 0 0 -2666666.667 0 0 Uax

0 189633.3333 284450 0 -189633.3333 284450 Uay

0 284450 568900 0 -284450 284450 Uaz-2666666.667 0 0 2666666.667 0 0 Ubx

0 -189633.3333 -284450 0 189633.3333 -284450 Uby0 284450 284450 0 -284450 568900 Ubz

Elemento viga:Datos de entradarea = 0.32 [m2]Inercia 0.017067 [m4]E = 25000000 [Pa]L = 3 [m]

= 90 =1.570796327 [rad]

Matrices elemento viga y elemento columna en coordenadas globales


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1600000 0 0 -1600000 0 0 Uax

0 40960.8 102402 0 -40960.8 102402 Uay0 102402 341340 0 -102402 170670 Uaz

-1600000 0 0 1600000 0 0 Ubx0 -40960.8 -102402 0 40960.8 -102402 Uby0 102402 170670 0 -102402 341340 Ubz

La matriz de rigidez de toda la estructura suprimiendo los trminos de losapoyos y eliminando las deformaciones axiales de las vigas y organizadapara condensar es :

Elemento columna:Datos de entrada

rea = 0.32 [m2]Inercia 0.017067 [m4]E = 25000000 [Pa]L = 5 [m] = 180 = 3.141592654 [rad]


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Matriz de Rigidez de la estructura en coordenadas globales (Ensamblada)

2707627 0 102400 -2666667 0 0 -40960 0 102400

0 1789630 284444 0 -189630 284444 0 -1600000 0

102400 284444 910222 0 -284444 284444 -102400 0 170667

-2666667 0 0 5333333 0 0 -2666667 0 0

0 -189630 -284444 0 379259 0 0 -189630 284444

0 284444 284444 0 0 1137778 0 -284444 284444

-2666667 0 0 5333333 0 0 -2666667 0 0

0 -189630 -284444 0 379259 0 0 -189630 284444

0 284444 284444 0 0 1137778 0 -284444 284444

-2666667 0 0 2707627 0 102400 -40960 0 -102400

0 -189630 -284444 0 1789630 -284444 0 -1600000 0

0 284444 284444 102400 -284444 910222 102400 0 170667

-40960 0 -102400 40960 0 -102400

0 -1600000 0 0 1600000 0

102400 0 170667 -102400 0 341333

-40960 0 102400 40960 0 -102400

0 -1600000 0 0 1600000 0

-102400 0 170667 -102400 0 341333

Matriz resultante despues de eliminar los grados de libertadcorrespondientes a los apoyos


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2707627 0 102400 -2666667 0 0

0 1789630 284444 0 -189630 284444

102400 284444 910222 0 -284444 284444

-2666667 0 0 5333333 0 0 -2666667 0 0

0 -189630 -284444 0 379259 0 0 -189630 284444

0 284444 284444 0 0 1137778 0 -284444 284444

-2666667 0 0 5333333 0 0 -2666667 0 0

0 -189630 -284444 0 379259 0 0 -189630 284444

0 284444 284444 0 0 1137778 0 -284444 284444

-2666667 0 0 2707627 0 102400

0 -189630 -284444 0 1789630 -284444

0 284444 284444 102400 -284444 910222

KGT=

Matriz de Rigidez a condensar


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4. Determinar la matriz de rigidez condensada

Utilizando los siguientes criterios:

Buscamos organizar la matriz anterior para hallar [K] c.A continuacin se muestran los pasos:

1. Se intersectan filas primarias (independientes) con columnas primarias, filas primarias con columnas

secundarias, filas secundarias con columnas primarias y filas secundarias con columnas secundarias.

81920.0 0.0 102400.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 102400.0

0.0 1789629.6 284444.4 -189629.6 284444.4 0.0 0.0 0.0 0.0

102400.0 284444.4 910222.2 -284444.4 284444.4 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 -189629.6 -284444.4 379259.3 0.0 -189629.6 284444.4 0.0 0.0

0.0 284444.4 284444.4 0.0 1137777.8 -284444.4 284444.4 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 -189629.6 -284444.4 379259.3 0.0 -189629.6 284444.4

0.0 0.0 0.0 284444.4 284444.4 0.0 1137777.8 -284444.4 284444.4

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -189629.6 -284444.4 1789629.6 -284444.4

102400.0 0.0 0.0 0.0 0.0 284444.4 284444.4 -284444.4 910222.2


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81920.0 0.0 0.0 0.0 102400.0 0.0 0.0 0.0 102400.0

0.0 379259.3 -189629.6 -189629.6 -284444.4 0.0 284444.4 0.0 0.0

0.0 -189629.6 379259.3 0.0 0.0 -284444.4 0.0 -189629.6 284444.4

0.0 -189629.6 0.0 1789629.6 284444.4 284444.4 0.0 0.0 0.0

102400.0 -284444.4 0.0 284444.4 910222.2 284444.4 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 -284444.4 284444.4 284444.4 1137777.8 284444.4 0.0 0.0

0.0 284444.4 0.0 0.0 0.0 284444.4 1137777.8 -284444.4 284444.4

0.0 0.0 -189629.6 0.0 0.0 0.0 -284444.4 1789629.6 -284444.4

102400.0 0.0 284444.4 0.0 0.0 0.0 284444.4 -284444.4 910222.2

[Kpp][Kps]

[Ksp][Kss]

2. Se organiza como se muestra:


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3. Se opera de la siguiente manera:

-6.01932E-07 1.50184E-07 1.21344E-07 -3.36277E-08 -3.8666E-09 9.30035E-09

[Kss]-1 = 1.50184E-07 -1.23677E-06 2.91869E-07 -8.08848E-08 -9.30035E-09 2.23702E-08

1.21344E-07 2.91869E-07 -1.05532E-06 2.92459E-07 3.36277E-08 -8.08848E-08

-3.36277E-08 -8.08848E-08 2.92459E-07 -1.05532E-06 -1.21344E-07 2.91869E-07

-3.8666E-09 -9.30035E-09 3.36277E-08 -1.21344E-07 -6.01932E-07 -1.50184E-07

9.30035E-09 2.23702E-08 -8.08848E-08 2.91869E-07 -1.50184E-07 -1.23677E-06

0.01633116 0.061859937 -0.031136945

-0.124354976 0.300307045 -0.074893787

[Kss]-1*[Ksp] = 0.021604763 -0.02284248 0.270797063

0.021604763 -0.270797063 0.02284248

-0.01633116 -0.031136945 0.061859937

-0.124354976 0.074893787 -0.300307045

-25467.89906 38420.56516 -38420.5652

[Kps]*[Kss]-1*[Ksp] = 38420.56516 -174177.8675 33705.02532

-38420.56516 33705.02532 -174177.868


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4. Se obtiene la siguiente matriz condensada en [KN/m]

56452.1 38420.6 -38420.6 U1x

[K]c = 38420.6 205081.4 -155924.6 U2y-38420.6 -155924.6 205081.4 U3y


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5. Construir vector de fuerzas externas sobre el sistema.

La fuerza aplicada sobre el sistema se le asigna al grado de libertad verticalel cual hace referencia a la posicin del generador.

Entonces, segn lo anterior el vector de fuerzas se expresa mediante:

03 sen(t)0


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6. Planteamiento de la ecuacin de movimiento en formamatricial, partiendo de :

Entonces:

4 0 0

0 2 0

0 0 4

1x

2y

3y

+

56452 38421 -38421

38421 205080 -155920

-38421 -155920 205080

U1x

U2y

U3y

=

0

3 sen(t)

0


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7. Determinacin de los modos y frecuencias de vibracin.

Teniendo en cuenta que estos se determinan utilizando los criterios deun sistema de vibracin libre, hacer .

Y luego calculando el vector modos de vibracin { a } que se expresa en :

Modow2

w f T

1 11924.64 109.2 18.38 0.0575

2 24579.9684 156.78 24.95 0.0401

2 182696.4049 427.43 68.03 0.0147

MODO 1 MODO 2 MODO 3

a3 1.00 0.00 1.00

a2 -0.11 0.60 8.76

a1 0.11 0.60 -8.76


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Para este sistema, los modos de vibracin normalizados con respecto a

la masa usando:

Son:

0.49678 0.00000 0.05661 U1x

[]= -0.05661 0.50000 0.49678 U2y

0.05661 0.50000 -0.49678 U3y

8. Normalizacin de los modos de vibracin.


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9. Determinacin de las ecuaciones desacopladas.

Se deben obtener ecuaciones de la forma:

Teniendo en cuenta:

Y la Ecuacin del movimiento:


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Procedemos a operar de la siguiente forma:

Con:

[]T =

Teniendo en cuenta que se supuso que el sistema NO tiene amortiguamiento ( =0), lasecuaciones desacopladas que se obtienen son:

0.4968 -0.0563 0.0568

0.0000 0.5000 0.5000

0.0567 0.4968 -0.4968


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En esta medida la solucin para Z esta dada por:

A partir de lo anterior se construy la siguiente tabla:

i [rad/s] 157.0796

Ecuacin Pi i/w tan

1 -0.169039 1.438458 -1.33E-05 0 0

2 1.5 1.001911 0.01595 0 0

3 1.490317 0.367498 9.43E-06 0 0


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As que los valores para Zi (solucin ecuaciones desacopladas) son:

Usando:

Los desplazamientos se pueden expresar como:

U1x -6.052E-06 sen (t)

U2y = 7.981E-03 sen (t)

U3y 7.970E-03 sen (t)

Si se realiza un pequeo anlisis de las anteriores expresiones para U,se puede notar que los desplazamientos mximos ocurren cuandosen (t)=1, es decir cuando =/2, 3/2, 5 /2..

10. Determinacin de desplazamientos mximos .


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Finalmente se analiza si con los desplazamientos mximos se veafectada la imagen del proyector.

11. ANALISIS.

U1x MAX -6.052E-06U2y MAX 7.981E-03U3y MAX 7.970E-03

[m]

En direccion U1x 6.052E-06 m *1000= 0.00652 mm*La imagen no se ve afectada, es un desplazamiento muy pequeo

Movimientos verticales del proyector U3y 7.97E-0.3m*100=7.97 mm*La imagen puede verse un poco afectada ya que es un movimiento de

casi 1 cm. Deben buscarse medidas correctivas.

Es necesario tambin verificar el grado de libertad de rotacin debido alos movimientos del proyector.

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