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MC. Luis Alberto Morales Alias

Vibraciones Mecánicas

Unidad 1. Cinemática de la vibración


1.1. Grados de libertad.

Es el número de coordenadas linealmente independientes que se requieren paradescribir su movimiento.

Sistemas de 1 GDL


1.1. Grados de libertad.

Sistemas de2 GDL

Sistemas de3 GDL


1.2. Movimiento armónico y su representación.

Movimiento periódico

Al observar la naturaleza nos damos cuenta de que muchos procesos físicos son repetitivos,sucediéndose los hechos cíclicamente tras un intervalo de tiempo fijo. En estos casoshablamos de movimiento periódico y lo caracterizamos mediante su período, que es eltiempo necesario para un ciclo completo del movimiento, o su frecuencia, que representa elnúmero de ciclos completos por unidad de tiempo


1.2. Movimiento armónico y su representación.Movimiento oscilatorio

Un caso interesante de movimiento periódico aparece cuando un sistema físico oscilaalrededor de una posición de equilibrio estable. El sistema realiza la misma trayectoria,primero en un sentido y después en el sentido opuesto, invirtiendo el sentido de sumovimiento en los dos extremos de la trayectoria. Un ciclo completo incluye atravesar dosveces la posición de equilibrio



Movimiento Armónico simple

Es el caso más sencillo de movimiento oscilatorio y se produce cuando la fuerza resultante queactúa sobre el sistema es una fuerza restauradora lineal.



PERIODO (τ): es el tiempo necesario paraun ciclo completo del movimiento.

AMPLITUD (A): Máximo desplazamientorespecto a la posición de equilibrio.

FRECUENCIA (f): representa el número deciclos completos por unidad de tiempo.


Problemas

1.- Un movimiento armónico tiene una amplitud de 0.20 cm y un periodo de 0.15 segundos.Halle la máxima velocidad y aceleración.

2.- Un acelerómetro indica que una estructura esta vibrando armónicamente a 82 cps con unaaceleración máxima de 50 g. Halle la amplitud de la vibración.

3.- Un movimiento armónico tiene una frecuencia de 10 cps y su velocidad máxima es de 4.57m/seg. Halle su amplitud, periodo y aceleración máxima.


1.2.1.Uso de fasores para la suma, resta, multiplicación y división de movimiento armónico.

Un fasor es un vector en rotación bidimensional que seutiliza para representar una onda en movimientoarmónico simple. Una forma de representarlo esmediante números complejos.

𝑧𝑧1 − 𝑧𝑧2 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑖𝑖

𝑧𝑧1 ∗ 𝑧𝑧2 = 𝑎𝑎𝑐𝑐 − 𝑏𝑏𝑑𝑑 + 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑖𝑖

𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2 = 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 𝑖𝑖

𝑧𝑧1𝑧𝑧2

=𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑏𝑏𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑖𝑖

𝑐𝑐2 + 𝑑𝑑2

Suma:

Resta:

Multiplicación:

División:

Reglas de operaciones. Considere z1=a+bi ; z2=c+di


1.2.1.Uso de fasores para la suma, resta, multiplicación y división de movimiento armónico.

Para transformar de forma binonica a polar. 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖 → 𝑧𝑧 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

A = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 𝑦𝑦 𝐴𝐴 = 𝑡𝑡𝑡𝑡−1𝑏𝑏𝑎𝑎

z = a + bi = A(cosθ + 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝐴𝐴)Para transformar de forma polar a binomica.

Para transformar de forma polar a exponencial. 𝑧𝑧 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑧𝑧𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖

𝑧𝑧 �1 𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 ⁄1 𝑛𝑛𝑖𝑖 ⁄𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛

𝑧𝑧1 ∗ 𝑧𝑧2 = 𝐴𝐴1𝐴𝐴2𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖1+𝑖𝑖2Multiplicación:

División:

Potencias:

Reglas de operaciones.

Considere 𝑧𝑧1𝑧𝑧2

=𝐴𝐴1𝐴𝐴2

𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖1−𝑖𝑖2𝑧𝑧1 = 𝐴𝐴1𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖1 𝑧𝑧2 = 𝐴𝐴2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖2


Problemas.

4.- Exprese el vector 4 + 3𝑖𝑖 en la forma 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 .

5.- Sume los vectores 2 + 3𝑖𝑖 y 4 − 𝑖𝑖 y exprese el resultado en la forma 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

6.- Halle la suma de los vectores 5𝑖𝑖 ⁄𝑖𝑖𝜋𝜋 6 y 4𝑖𝑖 ⁄𝑖𝑖𝜋𝜋 3 y determine el ángulo entre la resultante y el primer vector.


1.3 Series de Fourier

𝑥𝑥 𝑡𝑡 =𝑎𝑎02

+ �𝑛𝑛=1

∞

(𝑎𝑎𝑛𝑛 cos𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 sen𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡)

Donde:w = 2𝜋𝜋

𝜏𝜏𝑤𝑤𝑛𝑛 = 𝑖𝑖𝑤𝑤

𝑎𝑎0 =2𝜏𝜏 ∫𝑑𝑑

𝑑𝑑+𝜏𝜏 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑎𝑎𝑛𝑛 =2𝜏𝜏 ∫𝑑𝑑

𝑑𝑑+𝜏𝜏 𝑥𝑥 𝑡𝑡 cos𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑏𝑏𝑛𝑛 =2𝜏𝜏 ∫𝑑𝑑

𝑑𝑑+𝜏𝜏 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡


Problema

2π 4π -2π 0

2π

t

f(t)

Expanda: 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 (0 < 𝑡𝑡 < 2𝜋𝜋)

Solución

𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝜋𝜋 + �𝑛𝑛=1

∞

−2𝑖𝑖

sen𝑖𝑖𝑡𝑡

𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝜋𝜋 − 2 sin 𝑡𝑡 + sin2𝑡𝑡 +23 sin3𝑡𝑡 + ⋯+

2𝑖𝑖 sin𝑖𝑖𝑡𝑡

Expandida:


Problema

Encuentre la expansión de la serie de Fourier:

𝑓𝑓 𝑡𝑡 =

𝑡𝑡 (0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 12𝜋𝜋)

12𝜋𝜋 (1

2𝜋𝜋 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋)

𝜋𝜋 − 12𝑡𝑡 (𝜋𝜋 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋)

Solución

π/2 π 2π

π/2

f(t)

𝑎𝑎0 =58𝜋𝜋

𝑎𝑎𝑛𝑛 =−

2𝜋𝜋𝑖𝑖2

1𝜋𝜋𝑖𝑖2 −1

⁄𝑛𝑛 2 − 1

𝑏𝑏𝑛𝑛 = �0

−1 ⁄𝑛𝑛−1 2

𝜋𝜋𝑖𝑖2


Función Par

Si f(t) es una función par, entonces f(t)=f(-t) para todo t, y la grafica de la función essimétrica con respecto al eje vertical.

�−𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 2�

0

𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡

t

f(t)

a-a

Si f(t) es una función periódica PAR de periodo τ entonces:

𝑎𝑎𝑛𝑛 =4𝜏𝜏 ∫0

𝜏𝜏/2 𝑓𝑓 𝑡𝑡 cos𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 0

𝑓𝑓 𝑡𝑡 =12𝑎𝑎0 + �

𝑛𝑛=1

∞

𝑎𝑎𝑛𝑛 cos𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡


Función ImparSi f(t) es una función impar, entonces f(t)=-f(-t) para todo t, y la grafica de la función essimétrica con respecto al origen, esto es hay una simetría cuadrante opuesto.

�−𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0

Si f(t) es una función periódica IMPAR de periodo τ entonces:

𝑏𝑏𝑛𝑛 =4𝜏𝜏 ∫0

𝜏𝜏/2 𝑓𝑓 𝑡𝑡 sen𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 0

𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �𝑛𝑛=1

∞

𝑏𝑏𝑛𝑛 sen𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡

t

f(t)

a-a


Problema

Una función periódica f(t) con periodo 2π estadefinida por:

𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �−1 (−𝜋𝜋 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 0)

1 (0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋)

Solución

𝑏𝑏𝑛𝑛 =2𝑖𝑖

1 − (−1)𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛 = �0 𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝

4𝜋𝜋𝑛𝑛

𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝

𝑓𝑓 𝑡𝑡 =4𝜋𝜋 sin 𝑡𝑡 +

43𝜋𝜋 sin 3𝑡𝑡 +

45𝜋𝜋 sin5𝑡𝑡 + ⋯

𝑓𝑓 𝑡𝑡 =4𝜋𝜋 sin 𝑡𝑡 +

13 sin 3𝑡𝑡 +

15 sin5𝑡𝑡 + ⋯

𝑓𝑓 𝑡𝑡 =4𝜋𝜋�𝑛𝑛=1

∞sin 2𝑖𝑖 − 1 𝑡𝑡

2𝑖𝑖 − 1

t

f(t)

π-π


Problema


𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡2 (−𝜋𝜋 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋)

Solución

𝑎𝑎0 =2𝜋𝜋2

3

𝑎𝑎𝑛𝑛 =4𝑖𝑖2 (−1)

𝑛𝑛

𝑓𝑓 𝑡𝑡 =𝜋𝜋2

3 + �𝑛𝑛=1

∞4𝑖𝑖2

(−1)𝑛𝑛cos𝑖𝑖𝑡𝑡

π

-π t

f(t)


Serie exponencial de FourierLa serie de Fourier puede representarse también en términos de la función exponencial, sustituyendo

sen𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡 =12𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡 − 𝑖𝑖−𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡 cos𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡 =12 𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡 + 𝑖𝑖−𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡

Se obtiene:

𝑓𝑓 𝑡𝑡 =12𝑎𝑎0 + �

𝑛𝑛=1

∞

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡 + 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡

2+ �

𝑛𝑛=1

∞

𝑏𝑏𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡 − 𝑖𝑖−𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡

2𝑖𝑖

=12𝑎𝑎0 + �

𝑛𝑛=−1

∞12𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡 + 𝑖𝑖−𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡) + �𝑛𝑛=1

∞

−𝑖𝑖12 𝑏𝑏𝑛𝑛(𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡 − 𝑖𝑖−𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡)

=12 𝑎𝑎0 + �

𝑛𝑛=−1

∞12 𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑖𝑖𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡 +12 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑖𝑖𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑖𝑖

−𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑡𝑡

Escribiendo:

𝑐𝑐0 =12𝑎𝑎0, 𝑐𝑐𝑛𝑛 =

12

(𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑖𝑖𝑏𝑏𝑛𝑛), 𝑐𝑐−𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑛𝑛∗ =12

(𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑖𝑖𝑏𝑏𝑛𝑛)


Serie exponencial de Fourier

Se convierte:𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �

𝑛𝑛=−∞

∞

𝑐𝑐𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑛𝑛 =1𝜏𝜏�𝑑𝑑

𝑑𝑑+𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑖𝑖−𝑖𝑖𝑤𝑤𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡

Se puede regresar a la forma trigonométrica:𝑎𝑎0 = 2𝑐𝑐0

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑛𝑛 + 𝑐𝑐𝑛𝑛∗

𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑖𝑖(𝑐𝑐𝑛𝑛 − 𝑐𝑐𝑛𝑛∗)

Podemos graficar los coeficientes de Fourier contra 𝑤𝑤𝑛𝑛, lo que da como resultado una serie de líneasdiscretas que constituyen el llamado “espectro de Fourier” o espectro de frecuencias.

Generalmente se grafican el valor absoluto. 2𝑐𝑐𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛2 + 𝑏𝑏𝑛𝑛2 y la fase 𝜙𝜙𝑛𝑛 = tan−1𝑏𝑏𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛


Problema

2π 4π -2π 0

2π

t

f(t)

Expanda con forma exponencial:𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 (0 < 𝑡𝑡 < 2𝜋𝜋)

Solución𝑐𝑐𝑛𝑛 = −

1𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝜋𝜋 + �𝑛𝑛=−∞

∞

−1𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 0 , 𝑏𝑏𝑛𝑛 = −2𝑖𝑖

Comprobación:


Problema


𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡2 (−𝜋𝜋 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋)

Solución

π

-π t

f(t)

𝑐𝑐𝑛𝑛 =2𝑖𝑖2 (−1)

𝑛𝑛

𝑓𝑓 𝑡𝑡 =𝜋𝜋2

3+ �

𝑛𝑛=−∞

∞2𝑖𝑖2

(−1)𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡

𝑎𝑎𝑛𝑛 =4𝑖𝑖2 (−1)

𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛 = 0

Comprobación:


Cada máquina rotativa presenta una vibración característica que la diferencia de forma única, y se conocecomúnmente como firma de vibración. Esta señal está totalmente condicionada por su diseño, fabricación, usoy desgaste de cada uno de sus componentes. Si el mecánico o ingeniero de mantenimiento al cargo de unequipo industrial invierte su tiempo y esfuerzo en conocer la naturaleza de la vibración que esta presenta, notardará mucho tiempo en lograr un importante ahorro de costes de operación y mantenimiento.

En términos muy simples una vibración es un movimiento oscilatorio de pequeña amplitud. Todos los cuerpospresentan una señal de vibración en la cual plasman cada una de sus características. De acuerdo a esto, lasmáquinas presentan su propia señal de vibración y en ella se encuentra la información de cada uno de suscomponentes. Por tanto, una señal de vibración capturada de una máquina se compone de la suma de lavibración de cada uno de sus componentes.

Diagnóstico de fallas en la maquinaria rotatoria a partir del registro de la vibración


Vibración compuesta

Una vibración compuesta es la suma de varias vibraciones simples. La vibración de una máquina es unavibración compuesta de una serie de vibraciones simples asociadas a sus componentes internos enmovimiento. Teniendo esto en cuenta, se deduce que la forma de onda de vibración de una máquina no es unaseñal sinusoidal sino que puede llegar a ser muy compleja. Como se puede ver en la figura, dos señales devibración de diferente frecuencia se suman formando una vibración compuesta. Incluso en casos tan sencilloscomo este, no resulta fácil obtener las frecuencias y amplitudes de las dos componentes a partir de la forma deonda resultante. La gran mayoría de las señales de vibración son mucho más complejas que esta y puedenllegar a ser extremadamente difíciles de interpretar.



Hasta ahora sólo se ha visto vibraciones en el dominio del tiempo, que son las señales capturadas directamentede la máquina. En estas señales se encuentra plasmada toda la información acerca del comportamiento de cadacomponente de la máquina. Sin embargo, existe un problema a la hora de realizar un diagnóstico: estas señalesestán cargadas de mucha información en forma muy compleja, la cual comprende las señales características decada componente de la máquina, por lo cual prácticamente resulta imposible distinguir a simple vista suscomportamientos característicos.

Existen otras formas para realizar un estudio de vibraciones, entre las cuales se encuentra analizar las señales enel dominio de la frecuencia. Para ello se emplea la gráfica de amplitud frente a frecuencia que es conocida con elnombre de espectro. Esta es la mejor herramienta que se tiene actualmente para el análisis de maquinaria.

Fue el matemático francés Jean Baptiste Fourier (1768 - 1830) quien encontró la forma de representar una señalcompleja en el dominio del tiempo por medio de series de curvas sinusoidales con valores de amplitud yfrecuencia específicos. Entonces lo que hace un analizador de espectros que trabaja con la transformada rápidade Fourier es capturar una señal de una máquina, calcular todas las series de señales sinusoidales que contienela señal compleja y por último mostrarlas de forma individual en una gráfica de espectro.




En la figura puede verse la señal de vibración compuesta, capturada desde una máquina. A dicha señal sele calculan todas las señales sinusoidales en el dominio del tiempo que la componen y por último semuestra cada una de ellas en el dominio de la frecuencia. Por tanto, empleando la transformada de Fourier,se puede retomar la suma de vibraciones simples y representar exactamente la misma operación en eldominio de la frecuencia, con la particularidad de que en este caso resulta obvio obtener las frecuencias yamplitudes de las dos componentes originales a partir del espectro resultante.


Diagnóstico de fallas en la maquinaria rotatoria a partir del registro dela vibraciónLa gráfica en el dominio del tiempo se llama la forma de onda, y la gráfica en el dominio de la frecuencia se llamael espectro. El análisis del espectro es equivalente a transformar la información de la señal del dominio de tiempoen el dominio de la frecuencia.

Un ejemplo claro de la equivalencia en ambos dominios es un horario, se puede decir que sale un tren a las 6:00,6:20, 6:40, 7:00, 7:20, o que sale un tren cada 20 minutos comenzando a las 6:00 (representando este últimodato la fase). Lo primero sería la representación en el tiempo y lo segundo la representación en frecuencia. Larepresentación de la frecuencia supone una reducción de datos con respecto a la representación del tiempo. Lainformación es exactamente la misma en ambos dominios, pero en el dominio de frecuencia es mucho máscompacta.

Vibraciones Mecánicas�1.1. Grados de libertad. �1.1. Grados de libertad. �1.2. Movimiento armónico y su representación.�1.2. Movimiento armónico y su representación.�1.2. Movimiento armónico y su representación.�1.2. Movimiento armónico y su representación.�1.2. Movimiento armónico y su representación.�Problemas�1.2.1.Uso de fasores para la suma, resta, multiplicación y división de movimiento armónico.1.2.1.Uso de fasores para la suma, resta, multiplicación y división de movimiento armónico.Problemas.1.3 Series de FourierProblemaProblemaFunción ParFunción ImparProblemaProblemaSerie exponencial de FourierSerie exponencial de FourierProblemaProblemaNúmero de diapositiva 24Número de diapositiva 25Número de diapositiva 26Número de diapositiva 27Número de diapositiva 28

1.1. grados de libertad - sebd92298b8a4b847.jimcontent.com · grados de libertad. sistemas de. 2...

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