quinta sesión problemas básicos de la mecánica cuántica (2)

Quinta sesión

Problemas Básicos de la Mecánica Cuántica (2)

Repaso de matemáticas• Sistemas de coordenadas • Determinantes • Notación de sumatoria y producto • Vectores • Números complejos • Operadores • Ecuaciones de valores propios • Propiedades de simetría de funciones y sus

integrales • Probabilidad

Repaso de Física• Principio de correspondencia • Sistemas conservativos • Constantes de movimiento • Movimiento armónico simple (a la Newton) • Formas lagrangiana y hamiltoniana de las

ecuaciones de movimiento • Coordenadas, velocidades y momentos

generalizados • La función de Hamilton es la energía total del

sistema • Coordenadas internas y movimiento del centro

de masa • Supuestos básicos de la Mecánica Clásica

Repaso de Estructura de la Materia

• Espectro electromagnético • Espectros atómicos • Radiación de un cuerpo negro • Efecto fotoeléctrico • El átomo de Rutherford es inestable • Modelo atómico de Bohr • Teorema Virial • Niveles de energía • Teorema de Koopmans • Transiciones electrónicas • Hipótesis de De broglie

Fundamentos de mecánica cuántica

• Formulaciones de la Mecánica Cuántica • Postulados de la Mecánica Cuántica • Postulado de Max Born • Funciones aceptables como funciones de onda

• Operadores hermitianos • Notación de Dirac • ¿Cómo se construyen los operadores en

Mecánica Cuántica?

Fundamentos de mecánica cuántica (2)

• El operador Hamiltoniano • La ecuación de Schrödinger • Resolución de problemas particulares en

Mecánica Cuántica

Problemas básicos de la Mecánica Cuántica

• Partícula en un pozo de potencial unidimensional

Resumen: Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado I

a) “Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas queda descrito tan completamente como es posible por una función Ψ(q1,q2,…,q3N,t) tal que

b) la cantidad Ψ*Ψd es proporcional a la probabilidad de encontrar a q1 entre q1 y q1+dq1, a q2 entre q2 y q2+dq2,…, a q3N entre q3N y q3N+dq3N para un tiempo específico t.

Corolario

• “Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo y se llama función de onda de estado estacionario”

• En este caso, la función sólo depende de 3N variables.

Postulado de Born

1*

d

Postulado II

“Para toda propiedad observable de un sistema, existe su correspondiente operador lineal y hermitiano y las propiedades físicas del observable pueden ser inferidas a partir de las propiedades matemáticas asociadas al operador”.

Postulado III“Supongamos que ᾱ es un operador correspondiente a un observable y que existe un conjunto de sistemas idénticos en el estado Ψs. Supongamos, además que Ψs es una función propia de ᾱ. Esto es: ᾱΨs=asΨs, donde as es un número. Entonces, si un experimentador efectúa una serie de mediciones de la cantidad correspondiente a ᾱ sobre diferentes miembros del conjunto, el resultado será siempre as. Solamente cuando Ψs y ᾱ satisfacen esta condición, un experimento dará el mismo resultado en cada medición”.

Postulado IV

“ Dado un operador ᾱ y un conjunto de sistemas idénticos caracterizados por una función Ψs, que no es función propia de ᾱ, una serie de mediciones de la propiedad correspondiente a ᾱ sobre diferentes miembros del conjunto no dará el mismo resultado. En lugar de eso se obtendrá una distribución de resultados cuyo promedio será:

ss

ss

ˆˆ

Postulado V

“La evolución del vector de estado Ψ(q,t) en el tiempo está dada por la relación:

Ht

i ˆ

donde H es el operador Hamiltoniano del sistema”.

Esta ecuación se conoce como ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

Operadores Hermitianos

• Los valores propios de un operador hermitiano son números reales.

• Teorema I: “El producto de dos operadores hermitianos es hermitiano solo si los dos operadores conmutan”.

Resumen: Partícula en un pozo de potencial unidimensional

Energía de la partícula

Zn;

ma8h

nE 2

22

La energía de una partícula en un pozo de potencial está cuantizada

12

2

3

12

2

2

2

2

2

2

1

2

22

n

E9ma8h

9E

E4ma8h

4E

ma8h

ma8h

1E

Zn;ma8h

nE

Niveles de Energía

xa

sena2

)(

xa

2sen

a2

)(

xa

3sen

a2

)(

xa

4sen

a2

)(

xa

5sen

a2

)(

2

1

1

2

1

2

2

1

3

2

1

4

2

1

5

x

x

x

x

x

a

• Los números cuánticos surgen de las restricciones físicas al movimiento (condiciones a la frontera de la ecuación diferencial)

• A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda.

• La función de onda no tiene significado físico. Su cuadrado es una densidad de probabilidad.

Ahora si seguimos

• Consideremos dos funciones correspondientes a diferentes estados de la partícula en un pozo de potencial unidimensional:

dxax

ax

a

dxxaa

xaa

xaa

n

xaa

n

a

a

2sensen

2

2sen

2sen

2

entonces,2

sen2

;2

sen2

;1

021

2

1

0

2

1

21

2

1

2

2

1

1

• Con las substituciones:

dya

dxdxa

dy

ax

y

• La integral queda:

ydyy

adyyy

a

2sen sen 2

)2sen (sen 2

021

021

• Y usando la relación trigonométrica sen2y = 2senycosy;

ydyysen cos22

0

221

• y la substitución: u = seny dy = cosydy, queda:

04 0

0

221 duu

Ortogonalidad

• Siempre que una integral del tipo (Ψi|Ψj) sea cero, se dice que las funciones son ortogonales.

• Así la evaluación de (Ψ1|Ψ2) muestra que los estados Ψ1 y Ψ2 para la partícula en una caja de potencial son ortogonales.

• Estos se puede demostrar en general para cualesquiera 2 estados

Teorema II

“Las funciones propias que provienen de diferentes valores propios de un operador hermitiano son ortogonales”.

• Sea Ĝ un operador hermitiano con funciones propias Ψi y Ψj de tal forma que:

a) ĜΨi = giΨi y b) ĜΨj = gjΨj

Y donde gi gj

• Multiplicando la ecuación a) por Ψj* e

integrando y tomando el conjugado complejo de la ecuación b), multiplicando por la izquierda por Ψj e integrando:

0 esanterior ecuación

la de izquierdo lado el hermtiano, es ˆ que Dado

ˆˆ

:ecuaciones dos las Restando

ˆ

b) De

;ˆ

a) De

*

****

G

ggGG

gggG

gG

ijjijiij

ijjjijjijji

ijiij

• Dado que gi-gj no puede ser cero, por lo tanto (Ψj|Ψi)=0 y las funciones Ψj y Ψi son ortogonales.

• En el problema del pozo de potencial, el operador Hamiltoniano es un operador hermitiano y todos los valores propios Ei son diferentes; por esto, todas las funciones propias son ortogonales.

• Existe una forma matemática precisa para resumir los valores de las integrales sobre cualquier par de funciones para la partícula en un pozo de potencial. Se escribe:

.Kronecker" de delta" llama se

ji para ,0

y j,i para ,1

Donde

ij

ij

ij

ijji

Leopold Kronecker (1823 – 1891)

Ortonormalidad

• Cuando se cumple la ecuación (Ψi|Ψj)=δij

para un conjunto de funciones en mecánica cuántica, se dice que el conjunto es ortonormal.

• La ortogonalidad de las funciones desempeña un papel importantísimo en el formalismo matemático y en las manipulaciones de la mecánica cuántica, así como en mucho de sus argumentos conceptuales cualitativos

Otras propiedades de la partícula en un pozo de potencial

unidimensional

Momento

• Supongamos que estamos interesados en medir la componente del momento en la dirección “x” para un conjunto de sistemas idénticos, en los que se sabe que la partícula se encuentra en su nivel de energía más bajo.

• Entonces debemos aplicar el operador momento a la función de onda Ψ1.

Momento (2)

acos-isen-iˆ

,x

i- ˆ

:momentoOperador

1

xa

Aax

Adxd

p

dd

p

x

x

• Es claro que Ψ1 no es función propia del operador momento, por lo tanto de acuerdo con el postulado IV una serie de mediciones del momento no dará el mismo resultado

Momento (3)

• Usando el teorema del valor medio para calcular el valor esperado del momento:

01

cossen2

ˆ

ˆˆ

0

1

0

21

10 1

1

a

x

a

x

a

x

dxax

ai

ax

ap

dx

dxpp

Momento (4)

• O sea, el promedio de un gran número de mediciones del momento sobre el conjunto de sistemas idénticos es cero.

• ¿Qué pasaría con el cuadrado del momento en la dirección “x”?

Momento (5)

ax

Aaa

xA

dxd

dxd

dxd

idxd

ipx

sensen

;ˆ

2

22

2

22

2

222

Ψ1 es función propia del operador momento cuadrado y por lo tanto, una serie de mediciones sobre un conjunto de sistemas idénticos, dará siempre el mismo resultado.

Momento (6)

2

1

11x

12

22

2

22

22

2

22

12

)2()(p

:cuadrada raíz sacando Y

2 :1n para

2 que Recordando

:sería propio valor El

mE

mEa

anmE

apx

Incertidumbre

• Los resultados anteriores presentan un dilema interesante.

• El valor promedio de <px> es cero.

• La medición del momento cuadrado siempre dará 2mE1 y (px)1 dará siempre o +(2mE1)½ o -(2mE1)½ .

• La aparente contradicción se resuelve analizando el significado de los postulados III y IV.

Incertidumbre (2)

• Dado que una medición del px2 siempre

dará como resultado 2mE1, el momento (px)1 debe ser siempre o +(2mE1)½ o -(2mE1)½ . Una sola medición de (px)1 dará uno de estos dos valores.

• El teorema del valor medio afirma que si se hacen un gran número de mediciones de px, encontraremos el valor -(2mE1)½ tan frecuentemente como +(2mE1)½ y el valor promedio de px será cero.

Incertidumbre (3)

• El punto importante es que nunca se puede saber por adelantado si un resultado experimental dará (2mE1)½.

• Por lo tanto, se puede decir que existe una incertidumbre en nuestro conocimiento en el momento y que la magnitud de esta incertidumbre es 2(2mE1)½.

Incertidumbre (4)

• De manera similar, se puede argumentar que si sabemos que la partícula se encuentra en un estado Ψn lo único que se puede decir acerca de la posición de la partícula es que se encuentra en algún lugar de la caja.

• Esto es: la incertidumbre en la posición “x” de la partícula es igual a la longitud de la caja “a”.

Incertidumbre (5)

• Resulta de interés calcular el producto de la incertidumbre en la posición y el momento para una partícula en un pozo de potencial:

hpx

nhpxan

amEapx

x

x

nx

1,n cuando

mínimoun valor tendráanterior,ecuación La

222 2

1

Principio de Incertidumbre

• ΔxΔpxh es una forma de expresar el Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

• Werner Heisenberg (1901-1976).

• Premio Nóbel en 1932.

Principio de Incertidumbre (2)

• El Principio de Incertidumbre de Heisenberg afirma que no se pueden efectuar mediciones simultáneas de la posición y el momento de una partícula con una precisión mayor que la constante de Planck h.


• Dado que la constante de Planck es muy pequeña, el Principio de Incertidumbre no tiene consecuencias cuando se realizan mediciones sobre sistemas de grandes dimensiones o que contengan partículas con masas grandes.


• Imaginemos el siguiente experimento:– Queremos medir la posición de un electrón (al

menos su coordenada “x”) con un microscopio hipotético superpoderoso (o sea con ondas).

• Existe un límite en la exactitud con la que se puede determinar la posición de un objeto al interaccionar con una onda:

λ ~ tamaño del objeto


• Por lo tanto, si queremos observar la posición de un electrón muy exactamente, debemos usar longitudes de onda muy cortas.

• Pero cada fotón tiene un momentop = h/λ

• Una parte de este momento es comunicado al electrón después de la colisión.


• O sea, para poder medir la coordenada x con una precisión de Δx λ, hemos dado al electrón un momento adicional en la dirección “x” que oscila entre 0 y h/λ:

Δpx h/λ


• Por lo tanto, el producto de las incertidumbres en la posición y el momento es:

Δpx·Δx (h/λ)(λ) • Relación de Incertidumbre de Heisenberg

Δpx·Δx h


• "The more precisely the POSITION is determined,the less precisely the MOMENTUM is known"


• La Mecánica Clásica se basa en la presunción de que es posible determinar x y p simultáneamente.

• El momento es necesario para el cálculo de la trayectoria del objeto (su posición en los tiempos futuros)

• La relación de incertidumbre dice que esto no es posible.


• ¿Es grave esta limitación?

• Supongamos que nos satisficiéramos con conocer la posición de un electrón en un átomo de 1 Ǻ de diámetro con un 50% de error, o sea 0.5 Ǻ de exactitud.


• Entonces requeriremos un fotón que produzca un cambio mínimo en el momento de:

Δpx = h/Δx

Δpx = 6.610-27 erg·seg/510-9 cm

Δpx = 1.310-18 g·cm/seg


• Dado que la masa del electrón es:

me- = 9.110-28 g

• Y p = mv:

Δv = Δp/m

Δv = 1.310-18 g·cm·seg-1/ 9.110-28 g

Δv = 1.4109 cm/seg


• Que es una velocidad increíblemente grande, de tal manera que el electrón tiene suficiente energía para salirse del átomo.

• No podemos conocer las trayectorias de los electrones.


• Mas preciso

• Existe un principio de incertidumbre para cualesquiera dos variables “conjugadas canónicas”

Chiste cuántico

Si sabes a que velocidad estás conduciendo, entonces estás perdido

Tarea 26

La incertidumbre en la posición de un neutrón que se mueve en línea recta es de 10 Ǻ. Calcular la incertidumbre en:

a) Su momento.

b) Su velocidad.

En un experimento se determinó la posición de un electrón con una incertidumbre de 10-7 cm ¿Cuál es la incertidumbre en su velocidad?

Tarea 27

En un experimento solo se pudo determinar que la velocidad de un electrón se encontraba entre 100 y 1100 cm/s ¿Cuál es el orden de magnitud de la incertidumbre en su posición?

Tarea 28

¿Por qué no es conveniente tratar de describir trayectorias para los electrones en un átomo?

Tarea 29

Calcular la incertidumbre en la posición de un electrón cuya velocidad se conoce con una incertidumbre de 104 ms-1.

Tarea 30

Dada una partícula en el estado n= 1 de un pozo de potencial unidimensional ¿Cuál es la probabilidad de encontrarla en algún lugar entre 0 y ½a?

Tarea 31

Teorema III

“Si dos operadores Ḟ y Ḡ conmutan, entonces existe un conjunto de funciones que son simultáneamente propias de ambos operadores”

Comentario

• El teorema anterior es de fundamental importancia si se considera en relación con el Postulado III

• Si existe un conjunto de funciones que son simultáneamente funciones propias de dos operadores, entonces es posible medir simultánea y exactamente los valores de los observables correspondientes a los dos operadores.

Comentario (2)

• El teorema III muestra que la condición anterior existe cuando los dos operadores conmutan.

• Por lo tanto, no hay relaciones de incertidumbre entre observables correspondientes a operadores que conmutan.

Comentario (3)

• En consecuencia, el Principio de Incertidumbre está relacionado con el conmutador de los operadores correspondientes a los observables.

• Así, dado que los operadores momento y posición no conmutan, será imposible medir con precisión estas dos cantidades simultáneamente (acuérdense de la tarea 7).

Tarea 7

• Sea xOdxd

P y

y f(x) = x2 + 2x + 1. Demuestre que

f(x) OP f(x) PO

Teorema IV (y último por ahora)

Dado un par de operadores hermitianos Ḟ y Ḡ que conmutan, y conjunto de funciones tales que

ḞΨi=fiΨi

entonces todas las integrales de la forma

(Ψi| Ḡ | Ψj)=0

a menos que fi=fj

Comentario

• El Teorema IV es de gran valor en problemas de mecánica cuántica debido a que permite reconocer de un conjunto de muchas integrales cuáles son cero sin necesidad de calcularlas.

Las soluciones generales

• De acuerdo a los que les dicen en el curso de Ecuaciones diferenciales, la solución general de la ecuación para la partícula en un pozo de potencial unidimensional sería:

Ψ= A sen αx + B cos αx

(la combinación lineal de las dos soluciones) y encontrarían los valores de A y B con las condiciones a la frontera.

Las soluciones generales (2)

• Pero usando la fórmula de Euler, podríamos ver que lo anterior es igual a

Ψ = Ae-iαx + Be+iαx

que es una solución general que no es real, sino compleja.

• En cuántica a veces conviene utilizar las soluciones reales y a veces las complejas.

Consideremos el caso del hexatrieno:CH2=CH-CH=CH-CH=CH2

Y supongamos que los electrones se mueven libremente a lo largo de toda la molécula. Aproxime los niveles de energía para este sistema utilizando un modelo de partícula en un pozo de potencial unidimensional cuya longitud es la longitud de la molécula, más la longitud de un enlace sencillo C-C. Utilice las longitudes de enlace: C-C, 1.54Å y para el enlace C=C, 1.35Å. En la molécula hay solo 6 electrones y solo puede haber dos de ellos en cada nivel de energía.

Tarea 32

Usando estos seis electrones para llenar los tres primeros niveles de energía más bajos, calcule las siguientes cantidades:a) La energía del nivel ocupado más alto.b) La energía del nivel desocupado más bajo.c) La diferencia de energía entre los dos niveles anteriores Esta diferencia de energía debe ser aproximadamente igual a la energía de la banda de absorción de mayor longitud de onda en la región visible-ultravioleta del espectro de la molécula.d)Compare su energía con la longitud de onda experimental de absorción máxima max= 268 m (milimicrones; 1 m = 10-7cm).

Tarea 32 (cont.)

Partícula libre

Partícula libre

• La ecuación de Schrödinger para una partícula libre en una dimensión sería la misma que para un pozo de potencial, pero con distintas condiciones a la frontera:

)(mE2

dx)(d

22

2

xx

Partícula libre (2)

• Y una solución general sería

/)2(/)2(

2

1

22

2

1

2

1

)2(y

2 que o(Recordand

xmEixmEi BeAe

mEmE

• ¿Qué condición a la frontera deberíamos imponer?


• Dado que Ψ*Ψdx representa la probabilidad, Ψ debe permanecer finita para toda x desde - hasta +.

• Si la energía fuera menor a cero (E<0), se violaría lo anterior porque

i(2mE)½=i(-2m|E|) ½=i·i(2m|E|)½=-(2m|E|)½

Con lo que el segundo término de la función se haría infinito para x-.


• De manera similar, pasaría lo mismo para el primer término para cuando x+.

• Por lo tanto, la condición a la frontera requiera que la energía para la partícula libre sea positiva:

E0• Por lo tanto la energía de una partícula

libre no está cuantizada, puede tomar cualquier energía.


• El problema de la partícula libre representa una situación ideal, pues no es posible tener una partícula que no tenga interacción con ninguna otra partícula del universo.

Partícula en un pozo de potencial tridimensional

Partícula en un paralelepípedo de potencial

a

b

c

V=

V=0

bc

0),,(

),,(E),,(z)y,(x,V2

),,(E),,(H

),,(

EH

22

zyx

zyxzyxm

zyxzyx

zyx

fuera

Dentro

),,(2),,(),,(),,(

),,(E),,(2

0z)y,(x,V

22

2

2

2

2

2

22

zyxmE

zzyx

yzyx

xzyx

zyxzyxm

quinta sesión problemas básicos de la mecánica cuántica (2)

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