mecánica cuántica conceptual

7/24/2019 Mecnica Cuntica Conceptual

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MECANICA CUANTICA

CONCEPTUAL

Algunas ideas clave

Bernardo Adeva Andany *

Departmento de Fsica de PartculasUniversity of Santiago de Compostela

[email protected]

February 13, 2015

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Esta obra esta sujeta a una licencia de Reconocimiento-Compatir igual 4.0 InternacionalCC-BY-SA de Creative Commons. Ttulo: Mecanica Cuantica Conceptual, algunas ideasclave. Autor: Bernardo Adeva Andany, Universidade de Santiago de Compostela. Podeismodificar la obra, reproducirla, distribuirla o comunicarla publicamente siempre que citeisel autor y la fuente. La licencia completa se puede consultar en http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

*agradezco a Dolores Cortina Gil y Marcos Seco Miguelez su ayuda inestimable en la preparacion deestas notas
mailto:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by/4.0/http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/mailto:[email protected]


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Prologo

El material que aqu se presenta es una introduccion breve y matematicamente precisa,al cuerpo conceptual y herramientas de calculo de la Mecanica Cuantica y de la FsicaCuantica. Esta dirigido a personas que, teniendo una base matematica en el calculo di-

ferencial e integral, y estando familiarizados con la Mecanica Clasica y las ondas, deseenconocer de cerca los fundamentos de la teora cuantica. En particular, a alumnos quecursen una asignatura de Fsica Cuantica, en cualquier programa universitario, ya sea enCiencias o Ingeniera. Permite al lector adquirir en poco tiempo capacidad operativa parala resolucion de problemas fsicos en esta disciplina.

La introduccion a la Mecanica Cuantica se realiza utilizando el marco semiclasicode manera universal, por su valor tanto conceptual como tecnico, siendo la MecanicaClasica de Newton y la Relatividad los puntos de referencia. Se hace hincapie, no solo enlas radicales diferencias conceptuales que estas tienen respecto a la Mecanica Cuantica,sino tambien en la transicion suave que se observa entre ellas. Se busca evitar una doble

exposicion de la Mecanica Cuantica, en la cual la fenomenologa de la constante de Planckse expondra primero, siguiendo la antigua teora de los cuantos, para luego pasar aotra teora distinta, y mas rigurosa. Pensamos que esta duplicidad es hoy da evitable, yla exposicion conceptual puede hacerse sin recurso a distintos niveles fenomenologicos.

Se utiliza la propagacion de Feynman como base axiomatica de la Mecanica Cuantica,completada con las ideas generalmente admitidas sobre el problema de la medida. Seproporciona una idea simple de la inmersion que sufre dicha Mecanica Cuantica en laTeora Cuantica de Campos, ilustrado con la emision de fotones.

Este curso se ha llevado a cabo durante los ultimos anos en la Universidad de Santiagode Compostela, dentro del programa de grado en Fsica, y se continua con la resolucion

analtica de una serie de casos normalizados de la ecuacion de Schrodinger, como partede la asignatura de Fsica Cuantica I.

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Indice

1. El principio de Mnima Accion 3

2. La constante de Planck 5

2.1. La observacion en intervalos de tiempo muy cortos. . . . . . . . . . . . . . 72.2. El movimento periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. El tamano de los atomos y el radio de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. El oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Densidad de niveles de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6. El movimento ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. La propagacion de Feynman 16

3.1. Propagacion exacta sobre un tiempo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. La velocidad instantanea 21

5. La ecuacion de Schrodinger 23

6. La funcion de ondas 25

7. Ondas planas y transformacion de Fourier 26

8. Valores medios e indeterminacion 28

9. El principio de indeterminacion 31

10.Extension a tres dimensiones 33

11.Autoestados y valores medibles 35

12.Los estados estacionarios 37

13.La formula de Bohr 41

14.La Mecanica Cuantica en el marco relativista 43

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1. El principio de Mnima Accion

Consideremos un cuerpo que se mueve en una dimension, sometido a un cierto poten-cial U(x, t). Por ejemplo, una manzana que cae desde la rama de un arbol al suelo, conmovimiento uniformemente acelerado. Siendo x(t) la altura a la que se encuentra sobre el

suelo, su energa cinetica es T = 12mx2 y su energa potencial es U(x) =mgx. La Lagran-giana es L = T U. Si parte del reposo con una altura inicial x1, el movimiento puederepresentarse como una trayectoria en el plano (x, t), que como sabemos, corresponde ala parabolax= x1 12gt2.

Esta trayectoria es la unica que verifica la segunda ley de Newton

Ux

=mx (1)

o equivalentemente, la unica solucion de la ecuacion de Lagrange ddt

(Lx

) Lx

= 0, conlas condiciones iniciales que se han especificado.

La integral de accionse define para cualquier trayectoria x(t) como:

S=

t2t1

L(x(t), x(t), t)dt=

t2t1

(1

2mx2(t) mgx(t))dt (2)

donde (t1, t2) representa el intervalo de tiempo sobre el cual deseamos definir dicha accion(por ejemplo, desde el instante en que se separa la manzana hasta que toca el suelo). Esclaro que la accion tiene dimension de energa tiempo, ya queL= TUes una diferenciade energas, que se multiplica por un intervalo de tiempo. En el Sistema Internacional deunidades se mide en J s(Juliossegundo).

Es sabido desde el siglo XVIII que la segunda ley de Newton se deduce de un principio

variacional, el principio de Mnima Accion, que consiste en exigir que la integral de accionStenga un valor mnimo (extremal, para ser exactos) sobre la trayectoria real x(t)1.En efecto, cualquier otra funcion diferenciablex(t) distinta de la parabolax= x1 12gt2

producira un valor de la integral2mayor que:

S= t (mgx1+13

mg2(t)2)

y sugerimos al alumno que compruebe que efectivamente este es el valor que toma laintegral de accion para la parabola anterior, siendo t= t2 t1.

El metodo general para deducir la ecuacion de Newton a partir del principio de mnimaaccion, realizando la variacion de una trayectoria finita y exigiendo que esta sea nula, es

bien conocido en Mecanica 2, y conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange como pasoprevio. Veamos que puede llegarse a identica conclusion de forma mas directa, analizandoel movimiento durante un intervalo de tiempo infinitesimal t = t2 t1. Supongamosque la masa m se mueve desde (x1, t1) hasta (x2, t2) en un intervalo de tiempo t muypequeno, sometida al potencialU(x, t). Consideremos la posicionxque ocupa en el tiempocentral t= (t1+t2)/2, tal como se indica en la figura 1.

Vamos a demostrar que el unico punto intermedioxpermitido por el principio de mni-ma accion, es precisamente el que verifica la segunda ley de Newton U

x =mx. En efecto,

podemos calcular, separadamente, las velocidades promedio v1 yv2 que tiene el movil enla primera mitad (t1, t) y en la segunda mitad (t, t2) del intervalo, respectivamente.

1adoptamos aqu la formulacion de Hamilton del principio de Mnima Accion.2vease, por ejemplo Mecanicade Landau-Lifshitz, Vol.1, pag.2.

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x1,t1

x2,t2

t1

t

t2

x1 x x2

Figura 1: Movimiento en el plano (x, t) segun distintas trayectorias: la de mnima accion(verde) y otras fuera de la Mecanica Clasica (rojo)

Su aceleracion en el instante t vendra dada por:

x=v2 v1

t/2

y la ley de Newton puede expresarse como:

m

(t/2)

x2 x(t/2)

x x1(t/2)

+

U

x = 0 (3)

Por otro lado, tambien podemos calcular la accionSen el intervalo tcomo una sumade dos terminos :

S=

t2t1

Ldt=

t2t1

(T U)dt= L1 (t2

) +L2 (t

2 )

=t2

m(x x1)2

2(t/2)2 U( x1+x

2 )

+t

2

m (x

2 x)22(t/2)2

U(x+x22

)

(4)

Donde U((x1+x)/2) representa el potencial promedio en la primera mitad (analoga-menteU((x1 + x)/2)). Evidentemente la accion no tomara iguales valores para cada puntointermediox que la partcula pueda ocupar en el instantet= (t1+t2)/2.

Pues bien, el principio de mnima accion dice que el unico punto x posible es aquelque hace mnimo (extremal) el valor de Sy cumple por tanto S

x= 0. Es facil comprobar,

derivando la expresion 4 respecto a x, que se obtiene exactamente la formula 3, queequivale a1.

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Debe quedar claro que, en el proceso variacional antes considerado, los puntos extremosde la trayectoria (x1, t1) y (x2, t2) permanecen fijos. En un campo constante en el tiempo(Ut

= Lt

= 0), la energa total E=T+Ues una constante del movimiento. Si tenemosvarias dimensiones espaciales, un punto dado (x2, t2) puede ser alcanzado desde el puntoinicial (x1, t1) a traves de mas de una trayectoria (todas con S extremal).

Tiene interes calcular la integral de accion sobre los puntos de la trayectoria clasica(x(t), t) que, partiendo del punto (x1, t1), tiene una energa E determinada

3:

S(t2 t1) = t2t1

L(t)dt=

(

S

tdt+

S

xdx) = E(t2 t1) +

x2x1

p(x)dx (5)

La cantidad:

S0=

x2x1

p(x)dx= S+E(t2 t1) (6)

se conoce en la literatura como integral de accion reducida, o caracterstica. Tie-ne la propiedad de ser invariante bajo cualquier redefinicion del cero de la energa potencialU(x) U(x) + C, debido a la presencia del termino de signo opuesto enL = T U, y deser por tanto medible en el laboratorio. Juega un papel importante en el movimiento delos cuerpos y de las ondas, y tiene en la Naturaleza un car acterintrnsecamente oscilatorioque estudiaremos a continuacion.

2. La constante de Planck

Hemos dicho que la accion reducidaS0es una cantidad medible, y debemos considerarla posibilidad de realizar medidas de ella en el laboratorio, en unidades J s. Para ellosera necesario determinar la energa cinetica y la posicion del cuerpo en sucesivos ins-tantes de tiempo, buscando causar la mnima perturbacion de la trayectoria. Las leyes dela Mecanica convencional no senalan ningun impedimento para llevar a cabo una medi-cion totalmente precisa, estando unicamente limitados por la propia precision de nuestrosaparatos de medida.

La realidad fsica nos depara no obstante una sorpresa. Se conoce desde hace mas deun siglo que la accion reducida es una cantidad no nula y discretizada, que solo puedetomar valores que sean multiplos enteros positivos de una constante universal, la constantede Planck, que en el da de hoy es conocida con 9 dgitos de precision, y cuyo valor

numerico se aproxima a h = 6.626 1034 Js. Este valor es exactamente el mismo conindependencia del tipo de energa que este representada por el potencialU(x, t), que puedeser electromagnetica, nuclear, electrodebil o gravitatoria, y afecta por igual al movimientode los cuerpos de masa my al de las ondas.

La verdadera continuidad del espacio y del tiempo a muy pequena escala es un temaabierto en Fsica, para el que no tenemos una respuesta establecida. Se desconoce si soncontinuos o no. Sin embargo existe una discontinuidad bien establecida en el procesoobservacional a pequena escala, que afecta inequvocamente a la accion reducida. Susrepercusiones en todas las ramas de la Fsica, y del conocimento en general, son enormesy vamos a hacer una primera discusion de las mas importantes en los apartados siguientes.

3S(x, t) construye una funcion en el plano (x, t) que se llama funcion principal de Hamilton, y queverifica S

t = E y S

x =p, siendo p el momento en el punto (x, t).

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Tomar la discontinuidad de la accion reducida como un postulado adicional de laFsica, sin ninguna otra idea nueva, no sera suficiente para crear un nueva Mecanicaconsistente y predictiva. Simplemente reflejara la realidad. Como veremos enseguida,tal hipotesis es incompatible con la existencia de trayectorias diferenciables, con lo cualpierden su fundamento las propias leyes de la Mecanica convencional. El problema decrear una nueva Mecanica consistente lo resolveremos en la Seccion 3. Un enunciadofenomenologico del hecho anterior, formulado en los limitados terminos de la MecanicaClasica, sera el siguiente:

Principio de cuantificacion de la accion:Para cualquier observacion fsica de uncuerpo o sistema de ellos, sometidos a un campo de fuerzas, o de una onda, durante untiempot, la accion reducidaS0, extendida al intervalo t, solo puede tomar valores quesean esencialmente multiplos enteros de la constante de Planck. La cuantificacion tienelugar en la forma S0 = (n+ )h, donde n = 1, 2, . . . , y >1 es una constanteespecfica para cada problema.

Este principio se aplica universalmente a sistemas con un numero arbitrario N degrados de libertad, tanto relativistas como no relativistas. Es valido tanto para sistemasintegrables, donde existen N 1 constantes del movimiento aparte de la energa total,como para sistemas totalmente caoticos, donde solo la energa es conservada. Una revisionmoderna del mismo nos revela que es una excelente aproximacion, si bien no totalmenteexacta. Como veremos con la teora de Feynman, la no exactitud completa es consecuenciade que al movimiento no contribuyen unicamente las trayectorias clasicas, sino todas lastrayectorias posibles. Es desde luego un reto para cualquier nueva Mecanica poder predeciren cada caso el valor exacto de, alla donde se cumpla la ecuacion anterior. La constantese relaciona con propiedades de focalizacion de las trajectorias clasicas, y admite de hecho

una interpretacion inequvoca en la Mecanica Clasica. No vamos a profundizar aqu enello 4,sino a centrarnos en el desarrollo de la nueva Mecanica.

Algunos comentarios adicionales sobre este principio:

dado que las trayectorias diferenciables no representan verdaderamente el movimien-to real, resulta difcil verificar su validez de manera directa. Si intentamos realizaruna medida de S0, nos encontramos con que la precision requerida para probar lavalidez del principio (inferior ah) no puede ser alcanzada en la practica, comoveremos en la Seccion9,y el sistema resulta perturbado con gran facilidad.

una forma de verificar dicho principio, en el movimiento periodico, es medir lasenergas, acordes con la secuencia n = 1, 2, . . . , renunciando a intentar observarla trayectoria simultaneamente. Resulta que, en este caso, las energas s pueden sermedidas con precision esencialmente ilimitada. En cualquier tipo de movimiento, esposible medir la energa y el tiempo de avance de un movil, procesando las senalesemitidas por el con la ayuda de relojes de una precision determinada.

las trayectorias donde se cumple la regla de cuantificacion de S0, en el movimientoperiodico, se suponen diferenciables, y deben ser entendidas como las mas proximasal movimiento real que pueden ser formuladas en los terminos de la Mecanica Clasica.

4la constante tiene especial sentido para los sistemas integrables, y es aditiva para cada uno delos circuitos cerrados irreducibles que se producen alrededor de los toros invariantes que caracterizan elmovimento en este tipo de sistemas. Toma el valori=i/4 en cada uno de ellos, siendo i un numeroentero, llamado ndice de Maslov.

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Dado el pequeno valor en J s que toma en la Naturaleza 5 la constante h, es claroque el dominio de la Fsica queda dividido en dos sectores, con una transicion continuaentre ambos: cuando su valor no nulo resulta imperceptible, y cuando sus efectos se hacennotar con claridad. El primero se produce cuando, una vez evaluada la accion reducidaS0 en el problema a tratar, resulta ser S0

h. Lo llamaremos lmite clasico, y en el

esperamos plena validez de las leyes convencionales de la Mecanica. El segundo ocurre alcontrario, cuandoS0 h, y se conoce con el nombre de lmite cuantico, que vamos atratar en lo que sigue.

2.1. La observacion en intervalos de tiempo muy cortos

Supongamos que queremos observar el movimiento de un cuerpo de masa m duranteun intervalo de tiempo muy corto t. La accion reducida vale S0 = S+ Et = 2Tt,siendo Tsu energa cinetica 1

2mv2. Es evidente que el lmite cuantico se alcanza siempre

que el intervalo de tiempo t sea del orden del cociente h/T, o menor:

t h

T (7)

ya que si admitimos que S0debe permanecer finita ( h), entonces ninguna observacionrealizada durante un tiempo inferior o del orden del indicado sera posible sin un aumentode la energa cinetica del cuerpo, que llamaremos fluctuacion cuantica, hasta alcanzar unvalorT h/t. Tengase en cuenta que si el intervalo de tiempo es realmente pequeno, laenerga potencial puede considerarse constante sobre la trayectoria y podemos identificarla energa cinetica con la energa total E, de manera que el tiempo crtico para que lasfluctuaciones sean importantes es simplemente t h/E.

Recomendamos al alumno comprobar que el tiempo de observacion para una pelotade tenis de 100g que se mueve a 50 Km/h sera t 1 1035s, inferior por muchosordenes de magnitud al tiempo de exposicion de cualquier camara fotografica (t 1ms),e incluso de cualquier dispositivo electronico basado en celulas fotosensibles (t 1ns).No obstante, si fuesemos capaces de fotografiar el movimiento durante un tiempo de1035s, indudablemente observaramos fluctuaciones, y podramos ver que su movimientotiene lugar en zig-zag, en esa escala.

Es decir, la localizacion en el tiempo t de un cuerpo en el laboratorio implica unaumento de energa cinetica de h/t. Esta energa puede contemplarse como una inver-sion necesaria para lograr dicha localizacion, o como una manifestacion de ella. Resultaevidente en cualquier caso, que no resulta posible mantener la existencia de una velocidad

instantanea, en el proceso observacional del paso al lmite

v = lmt0

x

t

y que dicho lmite no existe en realidad, sino que es infinito. Por tanto, los cuerposno siguen trayectorias diferenciables. A nosotros nos parece que s lo hacen, debido a quenuestros sentidos o aparatos de medida no son capaces de constatar intervalos de tiemposuficientemente cortos.

5tanto el Julio como el Segundo son unidades ligadas a nuestra escala de observacion ordinaria.

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Sin embargo, el movimiento periodico de los electrones dentro de los atomos y de lasmoleculas, as como el de protones y neutrones dentro del nucleo, implican una gran loca-lizacion en el tiempo ligada con su periodo de revolucion, y estan enteramente gobernadospor las fluctuaciones cuanticas.

Consideracion relativista

Para rebatir la existencia de trayectorias diferenciables, nos hemos limitado a tratarde forma no relativista la energa cinetica. Pero resulta evidente que, para intervalos detiempo de observacion suficientemente cortos, el aumento de la energa cinetica necesa-riamente lleva a cualquier cuerpo al dominio relativista, aproximandose su velocidad ala velocidad de la luz c. Un ejercicio instructivo para el alumno interesado en este ca-so es tomar la accion relativista S para el movimiento libre 6 y averiguar cual sera lalocalizacion temporal t necesaria para que la accion reducida S0 = S+mc

2t seadel orden de h (es el factor relativista). El resultado, en el sistema propio del cuerpo,

es t h/mc2

, siendo m su masa en reposo. Si lo aplicasemos a atomos, moleculas onucleos, sera un tiempo extremadamente pequeno, en el que dichos sistemas perderansu integridad, y que no tiene relevancia para su estudio. Si lo aplicamos a un electron, eltiempo de localizacion anterior es tambien demasiado pequeno como para ser relevanteen el estudio de la materia ordinaria, teniendo sin embargo la interesante consecuencia deproducir pares electron-positron, alla donde se realice dicha localizacion.

2.2. El movimento periodico

Dado que una buena parte de los movimientos que se observan en la naturaleza son detipo periodico (especialmente en el mundo microscopico) vamos a ver cual sera la condicionpara que un movimiento de este tipo sea cuantico.

Supongamos por ejemplo una orbita cerrada (E < 0) en tres dimensiones, con unpotencial central del tipo U(r) = rd. De acuerdo con el teorema del virial, los valoresmedios de las energas cinetica (T) y potencial (U) a lo largo de un periodo t 7 estanrelacionados exactamente por la expresion T = d

2U. Este teorema nos permite un calculo

exacto de la accion sobre un ciclo:

S=

t0

Ldt= L t= (T U) t=

d 2d+ 2

Et (8)

la accion reducida sera por tanto: S0 = S+ Et = [2d/(d + 2)]Et y el lmitecuantico se producira cuando S0 h. En este tipo de movimiento periodico, en una ovarias dimensiones, existe una relacion 11 entre el periodo t (o el cuasiperiodo) y laenerga Ede las orbitas, siendo la unica excepcion el oscilador armonico, cuyo periodoresulta ser independiente de la energa.

6la accion relativista para el movimiento libre es S= t0 mc2

1 v2/c2dt.

7para potenciales centrales del tipo indicado, unicamente los casosd= 1 yd= 2 originan trayectoriassiempre periodicas. En los demas casos tendra sentido considerar como periodo el intervalo de tiempot en que r realiza un ciclo entre (rmin, rmax), llamado cuasiperiodo.

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n n3

n2

n1

EeVr

a0 4a0

13.6

3.4

1.5

Figura 2:Potencial culombiano del atomo de Hidrogeno que muestra los estados discretosde la energa, que corresponden a multiplos enteros deh en la accion clasica reducidaS0.El nivel mas bajo corresponde al radio de Bohra0. En el lmiten la energa parecetomar valores continuos.

Por tanto una vez conocida la energa E y el periodo t de la orbita, sabemos conprecision si el movimiento se encuentra en el lmite cuantico, simplemente evaluando suproducto. Es claro que en dicho lmite no sera posible hablar de trayectorias, y que elmovimiento tendra lugar de forma erratica, actuando las fluctuaciones cuanticas de formaintensa en cada ciclo.

2.3. El tamano de los atomos y el radio de Bohr

Para poder comprender el tamano finito que tienen los atomos, podemos empezar poranalizar el atomo de Hidrogeno. Consideremos el problema de un electron que se muevesometido a la atraccion electrica de un proton (Zprotones en general). El potencial deinteraccion viene dado por la ley de Coulomb U(r) =

/r, con = Ze

2

40, siendo e el

valor absoluto de la carga del electron y0 la permeabilidad electrica del vaco 8.De acuerdo con las leyes de Newton, este movimiento tiene lugar en un plano, y para

energas E < 0 la solucion toma la forma de orbitas elpticas en las que una de laspartculas se mueve alrededor del centro de masas, situado en uno de los focos. Ademas,la tercera ley de Kepler:

t=

2

m1/2

|E|3/2 =2

(9)

8este potencial describe igualmente la atraccion gravitatoria entre dos masas m1 y m2, con =GNm1m2, y el analisis fsico se aplica ntegramente a este caso tambien.

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establece una relacion precisa entre la energa de las orbitas y su periodo t, rela-cionado con la frecuencia angular a traves de la expresion t = 2/ . Notese que mrepresenta aqu la masa reducida del sistema de dos cuerpos (el electron y el nucleo)m= m1m2/(m1+m2), siendo muy proxima a la masa del electron me.

Segun hemos visto con el teorema del virial (d =

1 en este caso), la accion valeS =3Et y la accion reducida S0 =2Et. Conocida la ley de Kepler, podemoscomprender que el lmite cuantico se producira cuando la accionS0descienda hasta el nivelde h. Y esto ocurre cuando las orbitas adquieren radios muy pequenos, con frecuenciaselevadas y energas altas en valor absoluto y negativas.

El principio de cuantificacion de la accion se aplica ntidamente en este caso: S0 = nhcon n = 1, 2, . . . , siendo nula, de manera efectiva, la constante 9. Ello nos permiteestablecer un filtro sobre las energas permitidas del electron, que quedan cuantificadasen la forma:

En=

1

2

m2

2

1

n2 =

1

2

mZ2e4

(40)22

1

n2 (10)

Su valor para n = 1 y Z = 1 ( h/2) corresponde a la energa mnima de unelectron en el campo electrico creado por el proton, y la progresion de estas energas haciacero para n puede observarse en la figura2. La energa de ligadura del electron enel atomo de Hidrogeno se conoce con una precision inmensa (mejor que una parte en 108),a partir de las longitudes de onda de sus lneas de emision (serie de Balmer), y se llamaen la literatura energa de Rydberg Ey. El valor que obtenemos de 10cuando utilizamosvalores de precision para las constantes fundamentales involucradas es

E1=

1

2

m2

2

= 2.180

1018J (11)

y esta en excelente acuerdo con el valor tabulado deEy, del cual difiere en una cantidadrelativa del orden de 103, que se atribuye fundamentalmente a haber ignorado el momentomagnetico del electron, a la imprecision del calculo no relativista, a la masa finita delproton, y al momento magnetico del proton. El valor E1 recibe el nombre de energa delestado fundamental del atomo de Hidrogeno. Aunque es pequena en Julios, equivaleexactamente a la energa adquirida por un electron que cae a traves de una diferencia depotencial de 13.6 Voltios (13.6 eV).

Vemos que este valor de la energa depende unicamente de la constante de acoplo(laintensidadde la interaccion), de la masa m del electron, y es inversamente proporcional

al cuadrado de la constante de Planck. Si la constante h fuese nula, las energas de lasorbitas podran ser infinitamente negativas (E ), y de hecho adquiriran talesvalores, debido al fenomeno de la radiacion electromagnetica, con independencia de lascondiciones iniciales 10.

9para ser exactos, la condicion de cuantificacion en este caso es: S0 = (n+/4)h, siendo el ndice deMaslov = 4. En 2D tenemos = 2, en correspondencia con las parejas de puntos sobre la elipse queestan en lnea recta con el foco que no es centro de atraccion (puntos conjugados). Pero la elipse debeser sumergida en 3D, debido al movimiento erratico del electron, y ello hace que aparezcan dos nuevospuntos conjugados, en lnea recta con el foco principal (uno de ellos repetido). Cuando tenemos variosde grados de libertad, la regla general es que al menos uno de ellos cumple = 0 y n toma valores queempiezan de hecho en cero: n = 0, 1, . . ..

10toda carga electrica sometida a una aceleracion radia energa electromagnetica al espacio, de acuerdocon la ley de Larmor, y con las ecuaciones de Maxwell.

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En el estado fundamental el movimiento no se asemeja en absoluto a ningun tipode trayectoria elptica, ni se encuentra en un plano. Pensemos que para completar unatrayectoria de este tipo, el electron debera retornar al mismo punto al cabo de un ciclo, locual supone una localizacion en el tiempo con precision equivalente al periodo ( 1016s).Siendo dicho tiempo proximo al cocienteh/T, conT la energa cinetica, las fluctuacionescuanticas pasan a ser importantes. Precisamente son el origen de dicha energa cinetica, yel movimiento es erratico alrededor del proton. La distancia promedio a la que se encuentrael electron esta sin embargo bien definida y corresponde a lo que sera el radio mayor dela elipse, unvocamente determinado por su energa a= /(2E).

Los datos indican que el electron no gira en el estado fundamental. La elipse ha degene-rado en una lnea recta, y la distancia radial se orienta al azar, debido a las fluctuacionescuanticas. El atomo de Hidrogeno adquiere forma esferica, y su radio esta definido enpromedio con gran precision. Se conoce en la literatura como radio de Bohr a0 y segunlo anterior podemos predecir su valor:

a0= 2E1 =

Ze2

40

12E1 =

2

Z40me2

que con los valores conocidos de me, 0, y earroja para Z= 1 el resultado numerico:

a0= 0.529 1010m= 0.529A = 0.0529 nm= 52.9 pmdonde el Armstrong (A) es una unidad ad hocque a veces se utiliza en fsica atomica:

1A = 1010m. Aunque este valor es demasiado pequeno como para ser observado con unmicroscopio optico, debido a la difraccion de la luz, puede ser observado con tecnicasexperimentales mas poderosas.

La existencia de valores discretos en la energa del atomo de hidrogeno10, en correspon-

dencia con los cuadrados de los numeros naturales n= 1, 2, . . . , esta bien comprobadaexperimentalmente a traves de las longitudes de onda de la luz emitida por sus electrones,cuando el atomo se somete colisiones termicas de varios miles de grados.

Observese que en el lmite n las energas permitidas recuperan valores casicontinuos, ya que las diferencias|En+1 En| se hacen muy pequenas frente a|En|, comopuede verse en la figura2. Esto es lo esperable en el l mite clasico.

El estado de mnima energa que se origina en el atomo puede entenderse como unequilibro entre dos fuerzas opuestas: la energa cinetica debida a las fluctuaciones cuanti-cas, que aumenta enormemente a pequenas distancias, y que tiende a separar el electrondel nucleo, y la perdida de energa por radiacion debida a la ley de Larmor, que tiende

a aproximarlo. Esta ultima se produce por la aceleracion debida al campo electrico deCoulomb. El equilibrio se produce a una distancia promedio que es el radio de Bohr.

Podra pensarse en una analoga con el movimiento clasico de Kepler, donde tambiense produce un equilibrio de este tipo, entre fuerza centrfuga y fuerza de atraccion. Sinembargo, conviene destacar que la energa del estado fundamental que se origina en losatomos no tiene su origenen la barrera centrfuga, ya que el momento angular en dichoestado es estrictamente nulo.

Vemos por tanto que el tamano global del atomo de Hidrogeno (e igualmente detodos los demas atomos) viene determinado por la constante de Planck: si esta fuesenula, los atomos seran infinitamente peque~nos. La propia estructura atomica de

la materia tiene su origen en las fluctuaciones cuanticas y en la constante de Planck.

11


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2.4. El oscilador armonico

Cualquier pozo de potencial unidimensional U(x) genera, para un cuerpo de masa m,un movimiento periodico entre sus dos puntos de retroceso. Cuando el pozo tiene formaparabolicaU(x) = (1/2)kx2 hablamos de oscilador armonico, y se verifica la sorprendente

propiedad de que el periodo (o la frecuencia) de las oscilaciones t = 2/ se haceindependiente de la energaE. Dicha energa esta determinada unicamente por la amplitudE= (1/2)kA2. Todas las ramas de la Fsica necesitan referirse profusamente a osciladoresarmonicos.

Podramos pensar que la energa (amplitud) de un oscilador fuese tan pequena comoquisieramos, pero nada mas lejos de la realidad. El principio de cuantificacion de la accionclasica lo impide radicalmente. Es un ejercicio interesante comprobar que con la soluciongeneral para la trayectoria x(t) =Acos(t ) se obtiene un valor nulo para la integralde accion extendida al periodo t (S = 0). No obstante, la acci on reducida toma elvalor S0 = S+Et = 2E/, y el principio de cuantificacion exige en este caso que

S0 = (n+/4)h, con = 2

11

y n = 0, 1, . . . . Lo cual nos proporciona los niveles deenerga del oscilador armonico:

En = (n+1

2) n= 0, 1, 2, . . . (12)

que es uno de los resultados mas contrastados y de mayor alcance en el campo de laFsica. Nos dice que ningun oscilador puede adquirir ni ceder energa por una cantidadinferior a . Esta cantidad se denomina en la literatura quantum de energa y, comovemos, crece linealmente con la frecuencia. Fue conjeturado originalmente por el fsicoaleman Max Planck in 1900, en referencia a los osciladores atomicos que forman parte delas paredes de la cavidad en equilibrio con su radiacion. Este resultado nos dice tambien

que ningun oscilador puede vibrar con energa inferior a 1/2 del quantum. Esta es la llama-da energa del punto ceroque revoluciono la termodinamica de bajas temperaturashace un siglo.

2.5. Densidad de niveles de energa

Hemos visto, en dos sistemas Hamiltonianos clave, como la cuantificacion de la acciongenera niveles discretos de energa. Veamos ahora una caracterstica general, que resultaser independiente de la naturaleza del sistema. Consideremos un Hamiltoniano H(q, p)con N grados de libertad, coordenadas generalizadas q y momentos generalizados p en

el espacio fasico 2N-dimensional. La cuantificacion de la accion sobre las trayectoriasperiodicas del sistema se expresa por medio de la integral de lnea cerrada:

S0 =

pdq=

Ni=1

pidqi=

Ni=1

Si0=Ni=1

(ni+i)h

y si tomamos el lmite en que los numeros cuanticos son altos ni 1 en cada coor-denada, es claro por el teorema de Green que

pdq =

dqdp = nh, con lo cual el

area encerrada por la trayectoria en el espacio (qi, pi) es un multiplo n de un cuadradoelementalqipi de area h.

11

en cualquier pozo de potencial en 1D, es igual al numero de puntos de retroceso, es decir, dos.

12


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Por tanto, todo volumen en el espacio (q, p) sera siempre un multiplo del 2N-cuboelemental (q1p1)(q2p2) (qNpN) =hN. Por eso podemos decir que el espacio f asi-co se encuentra el mismo discretizado en celdas elementales de volumen hN. En laMecanica Clasica, el volumen total del espacio fasico con energas inferiores a un ciertovalorE, se define como la integral multiple:

(E) =

dNq

dNp (E H(q, p))

donde H es el Hamiltoniano y (x) es la funcion escalon unidad 12. Teniendo encuenta la discretizacion anterior, definimos el numero promedio de niveles de energacomoN(E) (E)/hN y la densidad promedio de niveles por unidad de intervalode energad(E) (d(E)/dE)(1/hN). Los cuales ilustran el hecho de que, para todosistema fsico la cuantificacion de la accion crea un numero finitode niveles de energa 13,y que dicho numero puede calcularse simplemente conociendo la constante de Planck y elvolumen clasico del espacio fasico. El calculo sera muy preciso si lo aplicamos a intervalos

de energa (E, E+ E) con Epequeno en comparacion conE, pero grande respecto alespaciado promedio de nivelesd(E)1.

Por tanto vemos que todo sistema fsico, que suponemos confinado, mostrara la pre-sencia de niveles discretos de energa, en abierta discrepancia con la Mecanica Clasica,segun la cual la energa de un sistema puede tomar valores contnuos. Es revelador elhecho de que lo anterior se mantenga valido en el lmite que anteriormente hemos definidocomo lmite cl asico. De hecho, nos muestra que la Mecanica Clasicanunca se recuperaenrealidad, ni siquiera en dicho lmite.

Mencionaremos finalmente una curiosidad interesante para el alumno interesado, cuyosdetalles nos llevaran mas alla de los lmites de este curso. Para sistemas clasicamente

caoticos, donde no existen constantes del movimiento mas alla de la energa total E, elespaciado de niveles resulta ser notablemente regular. De hecho, el numero de nivelesN(Eq) por debajo de la energa Eq, como funcion de Eq (E, E+ E), ajusta bien auna lnea recta, siendo la desviacion cuadratica media del ajuste mucho menor en el casode los sistemas caoticos que en el caso de los sistemas integrables. En este ultimo, dondeexistenN1 constantes de movimiento, el posicionado de los niveles ocurre generalmenteal azar, en relacion con el espaciado promedio. Ambos fenomenos han sido entendidos 14, yel primero de ellos se conoce en la literatura como repulsion de niveles. Ha sido observadoextensamente en distintos tipos de sistemas clasicamente caoticos con muchos grados delibertad N, como resonancias de nucleo compuesto, atomos pesados y moleculas.

2.6. El movimento ondulatorio

De forma general podemos afirmar que el dominio de la Fsica se extiende al movi-miento de dos tipos de objetos: los cuerpos de masamy las ondas. El caracter discontinuode la accion reducida afecta a ambos por igual.

12como ejercicio, proponemos demostrar que para un oscilador 1D, tenemos (E) = 2E/, y para un

conjunto de N osciladores independientes con Hamiltoniano H =N

i p2i /2m+ (1/2)m

2q2i , se cumple

(E) = (2E/)N(1/N(N)), siendo la funcion de Euler.13para alguna eleccion concreta de la energa E, el numero de estados discretos puede hacerse infinito,

pero esta no es la regla general.

14vease M. V. Berry, Semiclassical Mechanics of regular and irregular motion, Les Houches Lecture,1983, y M. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer 1990.

13


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Figura 3: Cuando una onda muy debil se difracta, solo uno de los detectores registrara elquantum, el resto no daran senal. No podemos predecir cual es el detector que salta.

Las ondas son objetos que describen la propagacion de magnitudes fsicas de maneracontinua a traves del espacio y del tiempo. Por sencillez nos restringimos a una dimension,aunque su dominio natural son las 3 dimensiones espaciales. Su definicion matematica mas

general es una amplitud de propagacion en la forma Aei(kx

t)

, donde A es la magnitudfsica que se propaga, medida en las unidades que corresponda del Sistema Internacional, es la periodicidad temporal o frecuencia angular (unidades s1) y k es la periodicidadespacial o numero de ondas por unidad de longitud (m1). Ambas periodicidades estansiempre relacionadas por una funcion = (k), llamada relacion de dispersion.

Existe en Fsica una enorme diversidad de ondas, tanto en soporte material comoen el vaco, realizandose casi todas las formas funcionales concebibles para (k). Estafuncion debe ser determinada experimentalmente, en general. La utilizacion de los numeroscomplejos para describir las ondas es conveniente, pero no obligada (las ondas podrandefinirse igualmente con la funcion coseno).

Cuando la funcion(k) es la funcion lineal = vkhablamos de una onda no dispersiva,con velocidad de propagacionv. En general tenemos la velocidad de grupo v =d/dk. Lasondas transportan energa (y con ella informacion) a traves del espacio. En cada puntotienen una densidad de energa E, por unidad de volumen. Tambien tienen una densidadLagrangiana L (por unidad de volumen)15 que gobierna, a traves del principio de MnimaAccion, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que cumple la magnitud A.

Cuando las ondas tienen soporte material en atomos o moleculas, estos actuan comoagentes transmisores precisamente porque vibran armonicamente alrededor de sus posi-ciones de equilibrio.

15 por ejemplo, la densidad Lagrangiana para el campo electromagnetico, en ausencia de corrientes y

cargas, esL

=

1

2(0E

2

1

0B

2

).

14


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Por ello la onda hereda del oscilador armonico muchas de sus propiedades. Considere-mos una onda de frecuencia , encerrada en una cavidad rectangular de volumenV, cuyaslados son multiplos de su semilongitud de onda. La integral de accion reducida extendidaa un ciclo t2 t1= 2/ vale:

S0 = t2

t1

V

L(x,x, t)d3x

dt+E(t2 t1)

siendo E la integral de la densidad de energa E sobre el volumen V. Tanto si setrata de una distribucion continua de osciladores, como de un campo electromagnetico,el primer termino resulta nulo 16. El principio de cuantificacion de la accion, utilizandolos mismos resultados que para el oscilador armonico, nos lleva a la conclusion de que laenerga en la cavidad esta discretizada de la misma forma que este:

En = (n+1

2) n= 0, 1, 2, . . . (13)

Como la onda se propaga con una cierta velocidad si abrimos un agujero en cualquierade las superficies de la cavidad, la energa transferida hacia un detector no puede serinferior a la que indica el quantum , que es directamente proporcional a la frecuencia.No importa si la onda tiene un soporte material o se propaga en el vaco, ni tampocoimporta cual sea la naturaleza fsica de la magnitud A que se propaga, solo es esencialque esta tiene una frecuencia determinada. Por tanto la energa transferiblede cualquieronda es un multiplo entero positivo del quantum E=n con n= 1, 2, . . . .

Sin embargo, la onda encerrada en la cavidad de volumen V tiene una energa notransferible 1

2almacenada en su interior que no se transporta con la onda. Si la onda

tiene soporte en el vaco, esta energa se hace infinita al sumar sobre todas las frecuencias

posibles en esa cavidad, lo cual no se aprecia en general como contradictorio 17

. Cuandola onda tiene un soporte material en atomos, moleculas, etc, entonces existe siempre unlmite superior a su frecuencia, derivado del tamano finito de dichos atomos, el cual senalauna longitud de onda mnima.

Consideremos una onda que transporta una cierta potencia por unidad de superficieen su frente de ondas en W m2, conocida de antemano, y que incide sobre una superficienormal AS. Podemos pensar, para fijar ideas, en una onda electromagnetica. Nos interesadestacar cuatro aspectos esenciales relacionados con la deteccion de cuanta 18 en el labo-ratorio, en el lmite en que la potencia de la onda es muy debil, y son detectables senalesindividuales de los cuanta en los detectores:

La transferencia del quantum esinstantanea, tiene caracter subito y no gradual. Elinstante de tiempo en que se produce la transferencia, contado a partir del instanteen que llega el frente de ondas, es impredecible, en relacion al lapso de tiempot= /(W AS), que podramos considerar como cadencia natural en la llegada delos cuanta.

16puede verse con facilidad que, en ambos casos, conduce a la integral del coseno sobre un n umeroentero de ciclos.

17esta energa, originada por las fluctuaciones del campo electromagnetico en el vaco, se ha observadoindirectamente en experimentos de precision a traves de la fuerza atractiva que provoca entre dos planosparalelos, conocida como fuerza de Casimir.

18

utilizamos la palabra castellana cuanta como el plural de quantum.

15


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A todos los efectos, la onda se comporta como una colecci on de partculas queviajasen con ella, pero no sincronizadascon ella.

El caracter aleatorio del quantum se extiende tambien a la direccion espacial detransferencia de la energa. Pensemos en una onda que se difracta a traves de un

pequeno agujero, y coloquemos una serie de detectores distribuidos uniformementesobre una superficie esferica centrada en el. Es impredeciblecual de los detectoresva a registrar la senal del quantum, y cuales no registraran senal. Esto se ilustra enla figura3. Otro ejemplo ilustrativo sera la direccion de salida del foton emitido porun atomo, o por un nucleo, dentro del angulo solido 4.

La idea de potencia instantaneade una onda (enW m2) deja de tener sentido enel lmite de ondas muy debiles. Se hace imposible seguir en el tiempo la transferenciade energa, al no ser continua. Evidentemente, la potencia instantanea que corres-ponde a la absorcion de un quantum es infinita, si dividimos una energa finita porun tiempo nulo. La potencia de la onda en W m2 debe entenderse entonces comopotencia promedio. El fenomeno es similar al que nos impidio definir la velocidadinstantanea, en el caso de un movil de masa m.

Todas las propiedades anteriores han sido confirmadas en el laboratorio con niveles muyelevados de precision, especialmente en el caso de los fotones. Es claro que la existencia decuanta introduce elementos aleatorios en la transmision de energa por parte de las ondas.En el lmite de ondas muy debiles, la transmision de informacion se ve tambien afectadapor un ruido inevitable.

Una consecuencia sorprendente de la presencia de la constante de Planck en la Fsica es,como hemos visto, la de hacer que tanto los cuerpos de masam como las ondas adquieran

propiedades similares, por cuanto comparten caractersticas aleatorias comunes, que noeran esperadas en ninguno de ellos.

3. La propagacion de Feynman

Como se ha visto, el caracter finito (no nulo) de la accion reducida (S0 h) imponeque para medidas realizadas en intervalos de tiempo t h

Esobre la trayectoria de una

partcula, sean esperables fluctuaciones importantes de su energa, que no son conciliablescon la existencia de trayectorias diferenciables.

Si intentamos imaginarnos el movimiento como una sucesion de pequenos intervalos detiempo, no debe sorprender que la aceptacion de la finitud de la accion (originariamentepropuesta por Planck), conlleve una gran transformacion conceptualen Fsica, que puederesumirse de la siguiente manera: el movimiento para t h/E tiene lugar de formano determinista, de manera que la posicion observada de una partcula, en un instantedado, no puede deducirse con certitud a partir de su posici on en un instante anterior.

Esta afirmacion puede parecer sorprendente, y de hecho es contraria a lo que nos dice lateora de ecuaciones diferenciales, donde la especificacion de las condiciones iniciales (po-sicion y velocidad) basta para determinar la solucion unica del movimiento, en cualquierinstante posteriort. Pero esta teora se basa en la diferenciabilidad.

16


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Se comprende por tanto que una adecuada descripcion de la Fsica que incluya elmovimiento de atomos, moleculas y partculas elementales, obligue a desechar este caracterdeterminista. Por otro lado, es claro que cualquier nueva formulacion en este sentido deberecuperar tambien las leyes del movimiento clasico, de tipo determinista, que sabemosdescriben con gran precision el movimiento para intervalos de tiempo grandes t

h

E

.Veamos como puede realizarse esta nueva formulacion de una forma rigurosa. Para

ello, vamos a centrarnos en el movimiento unidimensional, volviendo a la discusi on quehicimos en la Seccion 1, para una partcula que se mueve en un pequeno intervalo detiempo t0 sometida a un potencial U(x, t). Vimos entonces que el movimiento realelige de entre las infinitas posiciones intermedias x posibles entre x1 y x2, aquella quesatisface la ley de Newton U

x =mxque, como se ha visto, es aquella donde la accionS

es mnima (vease figura1), de tal manera que cualquier otra posicionxdebe ser desechada.Pues bien, la nueva formulacion no determinista de la Mecanica, consiste en admitir queTODASlas posiciones intermedias de la partcula son en principio posibles.

Admitido esto, cumple decir que si la partcula se encuentra en la posicion x1 en

el instante t1, al cabo de un pequeno intervalo de tiempo t ha ocupado virtualmentetodo el espacio. Con objeto de precisar mas esta virtualidad, definimos la amplitud depropagacion K(x, t) x t| x1 t1 como un numero COMPLEJO, que caracterizael movimiento desde el punto x1 al punto x. Su fase hace posible la interferencia entrelas amplitudes de propagacion que corresponden a distintas posiciones intermedias x enla transicion entre x1 y x2. El modulo de este numero complejo depende unicamentedel intervalo de tiempo t t1. Para cualquier intervalo de tiempo t, la amplitud depropagacion para la transicion entre (x1t1) y (x2t2) satisface el siguiente postulado depropagacion:

x2 t2| x1 t1 = +

x2 t2| x t x t|x1 t1dx (14)

donde t es un tiempo intermedio, dentro del intervalo t= t2 t1. La integracion deeste producto de numeros complejos se realiza sobre todo el espacio virtual de posicionesintermediasx (por supuesto, reales). Esta expresion indica la propiedad fundamental quedeben satisfacer las amplitudes de propagacion. Se resume diciendo: para moverse de unpunto a otro, los cuerpos han sondeado antes todas las posiciones del espacio.

En la Mecanica determinista (que llamaremos Mecanica Clasica), esta amplitud seasociara con una probabilidad que fuese simplemente 1, en el caso de que el movimientoentre (x1t1) y (x2t2) sea posible, y cero en caso contrario. En cambio, en la Mecanica

Cuantica, sera justamente la amplitud cero la que no es posible, pudiendo pasarse desdela amplitud +1 a la amplitud 1 a traves de un continuo de valores sobre el disco unidaddel plano complejo. Esto hace posible la interferencia.

Una adecuada definicion de la amplitud de propagacion, en una nueva formulacion dela Fsica, debe verificar que, en el caso del movimiento macroscopico (para intervalos detiempo largos t h

E), el mecanismo de interferencia entre distintos saltosxalejados

de la trayectoria clasica debe ser fuertemente destructivo, con objeto de verificar la leyde Newton con precision.

17


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El postulado14esta abocado a la utilizacion de la funcion exponencial en la amplitudde propagacion, debido a la propiedad caracterstica de esta: exp(a+b) =exp(a)exp(b).Por otro lado, para lograr el mecanismo de interferencia anteriormente descrito estamosobligados a usar una funcion oscilatoria. Por tanto, se hace inevitable la utilizacion delos numeros complejosen la descripcion del movimiento en Fsica, en la forma eif(x) 19.Resulta interesante que estos no sean necesarios en la Mecanica Clasica.

La adecuada definicion de la amplitud de propagacion para t0, que aqu toma-remos como un postulado, es debida a Feynman (1948). Este postulado debe adoptarsejunto con el anterior sobre la factorizacion de las amplitudes14.

Principio de propagacion de Feynman: La amplitud de propagacion para el mo-vimiento de una partcula de masam, sometida a un potencialU(x, t), desde el punto x1en el instantet1 al punto xen el instantet, en el lmitet= t t1 0, viene dada por:

x t|x1 t1 =A eiS =A e

iLt

=

mi2t

exp

i

m(x x1)

2

2t Ux+x1

2 , t

t

(15)

dondeS = Lt = (T U)t es la accion clasica que corresponde al movimiento en elintervalo espacio-temporal entre (x1, t1) y (x, t).

Para demostrar el valor del coeficiente A =

m/(i2t), es necesario tener encuenta, en primer lugar, que en el lmite t 0 la energa potencial no influye endicho factor, si se compara el comportamiento asintotico opuesto de los dos terminos delexponente 20, siendo su valor exacto el obtenido para el movimiento libre ( U(x, t) = 0).El valor de A se obtiene de la verificacion del postulado14tras dividir el intervalo ten

dos mitades t/2, y sumar los exponentes de los propagadores respectivos. Se deja comoejercicio para el alumno, usando para ello el valor de la integral:

+

eax2+bxdx=

aeb2/4a a, b C Re(a) 0

Al realizar el calculo en la ecuacion14, el primer miembro sera proporcional a Ay elsegundo proporcional a A2. Dado que A resulta ser funcion del intervalo de tiempo conargumento 1/

t, se verifica A(t/2) =

2A(t), de lo cual se sigue inmediatamente

el resultado deseado.Si consideramos por simplicidad el caso del movimiento libre, vemos que la parte real

y la parte imaginaria del propagador son las conocidas funciones de Fresnel, cuya integralse obtiene de la anterior con b= 0:

+

cos(ax2)dx=

+

sen(ax2)dx=

2a

19notese que la funcion coseno, parte real de la anterior, falla al no exhibir ambas propiedadessimultaneamente.

20esto es valido siempre que el potencial tenga un crecimiento asintotico para x a lo sumocuadratico, es decir si|U(x, t)| C(x x1)2 x, para alguna constanteC.

18


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2 a

2 a

x

1

1

cosax2

a

a

x

1

1

sinax2

Figura 4:Representacion grafica de las funciones de Fresnel, que son la parte real (arriba)y la parte imaginaria (abajo) de la funcioneiax

2.

La representacion grafica de estas funciones puede verse en la figura4. Una observacion

detallada de dicha figura hara comprender al alumno la razon por la cual estas integralesson convergentes: debido a la rapida oscilacion de la fase para valores x , lascontribuciones positivas y negativas se cancelan de forma tanto mas precisa cuanto mayores|x|, de forma que la contribucion principal a la integral viene determinada por losvalores de xen el entorno de los primeros ceros 21 (|x|

a).

Volviendo al principio de Feynman, veamos que esto tiene un significado fsico impor-tante, ya que segun14deben sumarse las contribuciones de todos los puntosxintermedios,y la partcula fluctua con alta probabilidad dentro de un intervalo alrededor del puntoxclde la trayectoria clasica (xcl x, xcl+ x), con

x t

m (16)

siendo improbables las fluctuaciones de mayor alcance, debido a las cancelaciones antesmencionadas. Esta idea se ilustra en la figura5, y veremos en la Seccion4 sus consecuen-cias. La Seccion3.1 a continuacion no es indispensable para comprender el resto, y puedeser omitida.

21los ceros son xn =

(2n 1)/2a para la funcion coseno y xn =

n/2a para el seno, conn= 1, 2, . . ..

19


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x1,t1

x2,t2

t1

t

t2

x1 x x2

Figura 5: Posicionesx que ocupa un cuerpo (en rojo) en el instantet al pasar dex1 ax2en un pequeno lapso de tiempo, separadas de la trayectoria clasica (azul), y la parte realde la amplitud que les asigna el propagador de Feynman (gris).

3.1. Propagacion exacta sobre un tiempo finito

La expresion 15 es valida para un intervalo de tiempo t infinitesimal. Si se desea

realizar la propagacion a traves de un intervalo de tiempo finito, entonces es necesarioaplicar15reiteradamente, en intervalos de tiempo sucesivos dt, teniendo en cuenta que,en cada uno de ellos, la partcula puede desplazarse desde cualquier punto del espaciohasta cualquier otro.

Solo para el alumno especficamente interesado, indicamos a continuacion la formadetallada en que se realiza esta integracion. El intervalo t= tb tase divide en pequenossubintervalos = ti+1ticon t= N , de manera que en cada instante tiseleccionamos unpunto arbitrarioxiy construimos un camino conectando todos los puntos as seleccionados(xi, ti), parai= 0, NcontN=tb. Podemos evaluar la LagrangianaL(x,x, t) en cada punto(xi, ti) y aplicar el propagador en cada subintervalo:

K(i+ 1, i) = 1

Aexp

i

L

xi+1+xi

2 ,

xi+1 xi

,ti+1+ti

2

entonces el propagador sobre el intervalo de tiempo finito es el producto de todos ellos:

K(xb, tb; xa, ta) = lm0

N1i=0

K(i+ 1, i) (17)

que se corresponde exactamente con la siguiente expresion detallada:

K(xb, tb; xa, ta) = lm0

1A

. . .

e

iS[b,a]dx1

Adx2A

. . .dxN1

A (18)

20


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4 2 2 4

50

50

fx cosfx

Figura 6:El numero de oscilaciones de la funcion cos(f(x)) es menor cerca del mnimo def(x).

donde S[b, a] =tbta

L(x,x, t)dt es la integral de lnea obtenida a partir del camino detrazos rectos (xi, ti) anteriormente indicado, yAes el factor calculado antes. La integracionsobre las coordenadas espaciales se realiza en cada instante de tiempo ti de la mismamanera que antes, dando lugar a una integral multiple (N 1)dimensional. Finalmentese toma el lmite N (que equivale a 0).

La expresion18es conocida en la literatura como integral de caminosde Feynman.Como se ha dicho, se trata de una integral multiple (N1)dimensional sobre las coorde-nadas espaciales, mientras que la suma en el tiempo viene a completar, en el lmite 0,la integral de accion en el exponente. Se suele utilizar la notacion sucinta:

K(b, a) =

ba

eiS[b,a] Dx(t) (19)

donde el smboloDx(t) nos recuerda que la integracion espacial multiple18equivalede hecho a sumar sobre todas las trayectorias x(t) posibles entre los puntosxa yxb. En ladiscusion que sigue, en particular la derivacion de la ecuacion de Schrodinger en la Seccion5, nos resultara suficiente la consideracion del intervalo infinitesimal 15.

4. La velocidad instantanea

Vamos a ver a continuacion que, de acuerdo con la hipotesis de Feynman, la posicionintermedia x1 < x < x2 que verifica la ley de Newton es precisamente el valor centralalrededor del cual la partcula puede fluctuar en su posicion.

Consideremos de nuevo la secuencia representada en la figura5, donde una partculade masam se mueve desde (x1, t1) a (x2, t2) pasando por la posicion intermediax (tiempot= (t1+ t2)/2), siendo t=t2 t1. Entonces la amplitud de transicion 1 2 viene dadasegun14por:

x2 t2| x1 t1 = +

M(x)dx=

+

x2 t2| x t x t|x1 t1 dx

21


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Figura 7: Camino irregular seguido por una partcula cuando se mira en detalle en undiagrama espacio-tiempo: la trayectoria no es diferenciable. Dibujo original de RichardFeynman en Quantum Mechanics and Path Integrals, 1948.

que, de acuerdo con15,puede expresarse como:

+

A2 ei

m2(xx1)

2

(t/2)2U

x1+x2

t2

ei

m2(x2x)

2

(t/2)2U

x+x22

t2

dx

=

+

A2 ei

t2

m2(xx1)

2+(x2x)2

(t/2)2 (U(x1+x2 )+U(

x+x22 ))

dx

Es facil comprobar que la mayor contribucion a la integral proviene de la region en quexes proximo al valor que hace mnima la expresion entre corchetes. En general, para unafuncionf(x) que tenga un mnimo enx = xc, el valor de la integral

+ cos

f(x)

dx, que

es la parte real de la expresion anterior, recibe su mayor contribucion de aquellos valoresx xc donde el coseno tiene el menor numero de oscilaciones por unidad de longitud,tal como se ilustra en la figura6. Pero el valor de x que hace mnima la expresion entrecorchetes es precisamente el que verifica la segunda ley de Newton (U

x =mx), tal como

se demostro en la Seccion1, con arreglo a la formula4.As pues, vemos que el efecto de interferencia destructiva que se deriva de la expresion

15es esencial para producir una supresion en probabilidad de las posiciones muy separadasde la trayectoria clasica de la partcula (fluctuaciones) durante el tiempo de observaciont.

22


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Recordemos que la extension espacial donde estas fluctuaciones actuan con mayorintensidad esta determinada por la expresion16. En ella podemos apreciar que, aunquela zona xmanchada por dichas fluctuaciones se hace infinitamente pequena en el lmitet 0, no lo hace linealmente, sino proporcionalmente a t(con mayor lentitud). Portanto el cociente x/t no es finito en dicho lmite, sino que diverge como 1/

t.

Esto nos dice que la velocidad instantanea no tiene sentido en la realidad fsica. Su modulose hace siempre infinito, si tomamos la relacion no relativista para la energa cinetica 22.

Esta importante conclusion, que es consecuencia en ultima instancia del caracter nonulo (finito) de la accion reducida, rompe indudablemente con las ideas preconcebidassobre la diferenciabilidad de las trayectorias. Es claro que la observacion de la partculadurante intervalos de tiempo cada vez mas cortos, producira necesariamente fluctuacionesen su velocidad x/t, de manera que estas seran cada vez mas altas. Por otro lado, si elintervalo de tiempo de observacion es suficientemente largo, como es el caso, por ejemplo,de una fotografa de un movil tomada con un tiempo de exposicion de alguna fraccion desegundo (102103s), entonces el movimiento aparece como perfectamente continuo, sin

fluctuaciones. Esta idea puede apreciarse en la figura 7, que ha sido tomada del libro deFeynman y Hibbs Quantum Mechanics and Path Integrals, Dover (2010).

5. La ecuacion de Schrodinger

Hemos visto hasta ahora como el movimiento de una partcula en el lmite t 0 pue-de representarse a traves de una amplitud de propagacion espacio-temporalx t|x1 t1,que es en realidad una funcion compleja de las variables reales (x, t). Esta idea nos hapermitido conciliar el caracter discontinuo de la accion a pequena escala con una descrip-cion matematica continua que hara posible utilizar el calculo diferencial para el estudiodel movimiento. Recordemos que la informacion mas relevante del estado de movimientode la partcula, que es su energa(cinetica y potencial), esta contenida en la fasede estenumero complejox t|x1 t1, de acuerdo con la hipotesis de Feynman.

Pese a su riqueza conceptual, la utilizacion practica de la expresion19para propagarla partcula desde (x1, t1) hasta (x2, t2) cuando t = t2 t1 es finito (no infinitesimal),requiere introducir nuevas tecnicas matematicas de integracion, que no desarrollaremosaqu. En su lugar, demostraremos un camino mas facil para utilizar la expresion19, basadoen el calculo diferencial. Basta darse cuenta de que la funcion K(x, t) x t| x1 t1 secomporta en realidad como una onda fuertemente dispersiva en las coordenadas (x, t).

En efecto, vamos a demostrar que, basandonos en la expresion14, y en la forma15

de la amplitud de propagacion K(x, t) x t| x1 t1 para t = t t1 0, la funcionK(x, t) satisface la siguiente ecuacion diferencial, llamada ecuacion de Schrodinger:

iK(x, t)

t =

22m

2K(x, t)

x2 +U(x, t)K(x, t) (20)

22recordamos aqu la consideracion relativista realizada en2.1, que lleva la velocidad hacia c.

23


26/46

Para ello, consideremos que el punto (x, t+ t) puede ser alcanzado desde todoslos puntos del espacio x en el instante anterior t. Escribamos entonces la amplitudK(x, t+ t) x t+ t| x1 t1 como una integral sobre dichos puntos x , segun laexpresion14:

K(x, t+ t) = +

K(x, t+ t ; x , t)K(x , t)d

El primer factor del integrando K(x, t+ t ; x , t) x, t+ t| x , t puedeexpresarse de acuerdo con el propagador de Feynman, con el resultado:

K(x, t+t) =

m

2it

+

exp

i

m2

2t

exp

i

U(x/2)t

K(x, t)d (21)

Dado que la funcion K(x, t) es diferenciable, para relacionar sus derivadas parcialesplanteamos su desarrollo en serie de potencias de t:

K(x, t+ t) =K(x, t) + t

tK(x, t) +. . .

y en potencias de :

K(x , t) =K(x, t) K(x, t)x

+2

2

2K(x, t)

x2 +. . . (22)

as como tambien el desarrollo de la funcion exponencial:

eiU(x/2)t = 1 i

U(x /2)t + = 1 i

U(x)t +

i

2

U

xt i

2

4

2U

x2t + . . .

(23)Es claro que al hacer los productos cruzados de los desarrollos22y23en el segundo

miembro de 21 van a aparecer 12 terminos, de los cuales se anulan todos aquellos quesean potencias impares de , al integrar entre y +. Para evaluar las potenciaspares deben tenerse en cuenta los valores de las integrales 23

+

ei

m2

2t d=

2it

m +

2ei

m2

2t d=

2it

m 3/2

de forma que los terminos resultantes en el segundo miembro de21son proporcionalesa potencias de t, de las cuales despreciamos (t)2, (t)3, en el lmite t 0. Laexpresion finalmente obtenida es:

tK(x, t)

t =

m

2it

2

itm

3/2 12

2K(x, t)

x2 i

tU(x)K(x, t)

de donde se obtiene20simplificando ten los dos miembros. Notese que los terminosen

2Ux2

K, Ux

Kx

, yU2Kx2

, resultan ser proporcionales a (t)2 y no contribuyen en el lmitet 0. La ecuacion diferencial 20es la herramienta fundamental para el estudio de laMecanica Cuantica. Fue descubierta por el fsico austriaco Erwin Schrodinger en 1926.

23la segunda de ellas se deduce de la primera derivando respecto al coeficiente que multiplica a 2

24


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6. La funcion de ondas

Hemos definidoK(x2, t2; x1, t1) como la amplitud de propagacion para que una partcu-la de masa m, que se mueve sometida a un potencial U(x, t), pase de (x1, t1) a (x2, t2),y lo hemos hecho utilizando la accion clasica del movimiento. Pero a diferencia de lo que

ocurre en la Mecanica Clasica, donde el movimiento, con unas condiciones determinadas,es posible o no, en la Mecanica Cuantica el movimiento es siempre posible. Por tanto lapartcula inicialmente localizada en el punto x1, en un tiempo posteriort > t1va a ocuparvirtualmente todo el espacio, y cada nuevo punto es susceptible de propagarse nuevamenteen el tiempo. Se hace entonces necesario definir de forma general el estado de ocupaciondel espacio que puede tener una partcula en un instante determinado.

Tiene interes considerar la amplitud de propagacion para que la partcula llegue aun punto dado sin ninguna informacion especfica sobre su movimiento previo. Podemosdefinir una funcion compleja (x, t) que sea la amplitud total para llegar a (x, t) sinindicar el pasado. A esta amplitud se la llama funcion de ondas. No hay diferencia

conceptual entre dicha amplitud y la amplitud de propagacion que hemos visto. De hecho,el propagador K(x2, t2; x1, t1) es una funcion de ondas, pues representa una amplitudconcreta para llegar a (x2, t2). Cuando utilizamos la notacion de la funcion de ondas(x2, t2), queremos decir que no nos interesa el movimiento anterior.

Dado que (x, t) es una amplitud de propagacion, satisface el postulado general depropagacion que establecimos en la ecuacion14. Como esta ecuacion es valida paratodoslos puntos x1, entonces la funcion de ondas debe satisfacer la ecuacion integral:

(x, t) =

+

K(x, t; x1, t1) (x1, t1)dx1 (24)

Este resultado puede enunciarse en terminos fsicos: la amplitud total para llegara (x, t) es la suma (integral) sobre todos los valores posibles de x1, de la amplitud totalpara llegar al punto (x1, t1) ((x1, t1)), multiplicada por la amplitud para llegar desde x1a x (K(x, t; x1, t1)). Los efectos de la historia pasada de la partcula se pueden expresarentonces en terminos de una unica funcion.

Dado que el propagador cumple la ecuacion de Schrodinger:

iK(x, t)

t =

22m

2K(x, t)

x2 +U(x, t)K(x, t)

es facil demostrar que la funcion (x, t) satisface tambien dicha ecuacion, es decir:

i

t =

22m

2

x2+U(x, t)

(25)

lo cual dejamos como ejercicio al alumno (basta esencialmente aplicar la derivacionbajo el signo integral). Ahora puede comprenderse mejor el significado matematico dela ecuacion 24, pues la funcion (x1, t1) juega el papel de una unica condicion inicial(arbitraria) en la evolucion de (x, t) 24.

24 notese que la ecuacion de Schrodinger25 es de primer orden en t, y sus soluciones dependen de una

unica constante de integracion (a diferencia de la ecuacion de Newton, o la de ondas, donde figura 2

t2).

No es necesario por tanto conocer el valor inicial de t

en cada punto.

25


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As pues, tomaremos la funcion compleja (x, t) como definicion del estado de mo-vimiento de la partcula en el instante t. Se asocia a ella la siguiente interpretacionprobabilstica, introducida por el fsico aleman Max Born en 1926: la densidad de pro-babilidad de que la partcula se encuentre en el intervalo (x, x+dx), como resultado deuna medida, viene dada por:

dP(x, t)dx

=(x, t)2

Como la probabilidad total de que ocupe algun punto del espacio debe ser la unidaden cada instante t, debe verificarse la llamada condicion de normalizacion 25:

+

(x, t)2dx= 1 (26)Existe una correspondencia 1 1 entre los estados de movimiento de una partcula y

las funciones complejas que verifican las ecuaciones 25y26.Una importante propiedad de la funcion de ondas es que su multiplicacion por cualquier

factor defase globalde la formaei, donde no depende de las coordenadas espacialesni del tiempo, carece por completo de significado fsico, y el producto sigue representandoel mismo estado. Esto es consecuencia de la indefinicion del cero de la energa potencialen Mecanica, y de la forma en que esta actua en el propagador de Feynman15. En efecto,una redefinicionU(x, t) U(x, t) + Cresulta indistinguible de un cambio en el origen detiempos (t= 0) t t+t0.

7. Ondas planas y transformacion de Fourier

Desde el punto de vista matematico, la ecuacion de Schrodinger 25,es una ecuaciondiferencial en derivadas parciales de segundo orden, a cuya familia pertenecen tambienla ecuacion de ondas y la ecuacion de difusion o propagacion del calor (que resulta decambiar la unidad imaginaria i por 1).

Consideremos como posible solucion de la ecuacion25la onda plana:

(x, t) =Aei(kxt) (27)

Sabemos que esta expresion representa una onda que se propaga a lo largo del eje xpositivo, con frecuencia angular, numero de ondask y velocidadvp = /k, y que verificala ecuacion de ondas

2

x2 1

v2p

2

t2 = 0

y por tanto no verifica la ecuacion 25 con U(x, t) = 0, a no ser que la relacion dedispersion = (k) sea exactamente:

(k) = k2

2m (28)

como se comprueba facilmente utilizando las expresiones27y25.

25lo cual lleva implcito el requisito de convergencia de la integral, es decir, que la funcion debe ser

de cuadrado sumable.

26


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La asociacion de la onda plana representada por la solucion27 con el estado concretode una partcula la realizaremos siguiendo el camino historicamente trazado por el fsicofrances Louis De Broglie 26, quien conjeturo en 1923 lo siguiente:

Hipotesis de De Broglie. Todo cuerpo movil con momento p lleva asociada una

onda, que es consustancial con su estado de movimiento, y cuya longitud de onda vale

=h

p (29)

siendo h la constante de Planck.

En efecto, esta onda no es otra cosa que el estado (x, t) definido por la solucion27de la ecuacion de Schrodinger, con la relacion de dispersion28,si asociamos la velocidadde la partcula con la velocidad de grupo vg =

ddk

de la onda:

p= mvg =m

d

dk =m

k

m = k =

h

estando la energa de la partcula asociada con la frecuencia de dicha onda:

E= p2

2m=

2k2

2m =

Las formulas p = k y E= se conocen en la literatura como relaciones de DeBroglie. La onda plana 27 es perfectamente relativista cuando se utiliza la relacion dedispersion =

2c2k2 +m2c4/, asociada a la ecuacion E=

p2c2 +m2c4.

El caracter fuertemente dispersivo se hace notar cuando superponemos ondas condistintos valores de para formar un pulso, pues las velocidades de propagacion de sus

fases seran inversamente proporcionales a sus longitudes de onda (vp = /k= h/2m), yel pulso perdera su forma.

Con esta asignacion de momento y energa a la onda27, su fase coincide exactamentecon la accion clasica S dividida por , y por tanto representa tambien la amplitud depropagacion de una partcula libre que se mueve con velocidad constante a traves delespacio, segun el propagador de Feynman.

En efecto, x= vt y se cumple:

kx t = px E t

=

1

(2

mv2

2 t Et) =1

Lt=

1

S

donde, al ser U= 0, tenemos L= E=T =mv2

/2.Tengase en cuenta que, en cualquier instante de tiempo t, la solucion27 presenta una

densidad de probabilidad que es constante para todos los puntos xdel espacio:

|(x, t)|2 = |A|2 =constante (30)Lo cual constituye una idealizacion matematica, pues resulta natural que la longitud

de los trenes de ondas preparados en el laboratorio sea como maximo del mismo ordenque las propias dimensiones del laboratorio, decayendo a cero fuera de el.

26aunque el siguio un razonamiento relativista bien distinto al expuesto aqu.

27


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Esto equivale a decir que las partculas nunca tendran su momento definido con ab-soluta precision. Una consecuencia de este caracter ideal (no realizable en la practica) deestos estados, es que el valor correcto de la constante A en la ecuacion 27no puede serdeterminado simplemente por la condicion de normalizacion 26, ya que esta integral esdivergente. Es decir, no estamos hablando de una funcion de cuadrado sumable.

En un instante de tiempo determinado, se define la transformada de Fourierde lafuncion de ondas(x) como:

f(k) 12

+

(x) eikxdx (31)

La transformacion de Fourier es una de las armas matematicas mas potentes quese hayan inventado, y consecuentemente sus propiedades y teoremas asociados puedenencontrarse en numerosos libros de texto 27.El teorema de inversionde la transformacionde Fourier asegura que la funcion de ondas puede recuperarse siempre como:

(x) = 12

+

f(k) eikxdk (32)

cumpliendose ademas que+|f(k)|2dk = 1. Lo cual nos dice que pueden utilizarse

ondas planaseikx con distintas longitudes de onda para construir cualquier funcion com-pleja. Dado que|(x)|2dx representa la probabilidad de que la partcula sea detectadaen (x, x+dx), debemos asociar|f(k)|2dk con la probabilidad de que la partcula tengasu momento en (p, p+ dp) = (k, k+ dk). Notese que mientras x se mide en unidadesde longitud (m), k se mide en unidades de longitud inversa (m1): numero de ondas porunidad de longitud.

De la misma manera que el cuerpo ocupa simultaneamente toda una region del es-pacio, debemos admitir que su velocidad no es unica, sino que el espacio de velocidadesse encuentra igualmente ocupado de manera continua, de acuerdo con la transformadade Fourier. Hay que enfatizar que las funciones complejas (x) y f(k) proporcionan dosdescripciones equivalentes de un mismo estado de movimiento, pues contienen exacta-mente la misma informacion. Estacorrelacionentre posiciones y velocidades de un cuerpoes un fenomeno que no se produceen la Mecanica Clasica.

8. Valores medios e indeterminacion

Ya que la funcion de ondas (x) de la partcula ocupa todo el espacio, tiene graninteres saber con precision cual es el valor promedio x de las medidas que obtendramosde su posicion en cada instante. Igualmente saber la dispersion x en dichas medidasde la posicion alrededor de este valor medio, es decir, la extension espacial sobre la quefluctua con mayor probabilidad.

27vease por ejemplo The Fourier Transform and its Aplications, R. N. Bracewell (2000).

28


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Estas cantidades se calculan de la siguiente forma, a partir de la informacion contenidaen la funcion de ondas (x):

x = +

x|(x)|2dx (33)

(x)2 = x2 x2

dondex2 es el valor medio de x2, que se calcula evidentemente como:

x2 = +

x2|(x)|2dx

No siendo posible, como se ha explicado, la definicion de una velocidad instantanea,

s tienen en cambio perfecto sentido lavelocidad promedio v, y el momento promedio pde la partcula. Este ultimo se determina, siguiendo la idea anterior, como el valor mediode k en la transformada de Fourier:

p = k = +

k|f(k)|2dk= mv

Existe sin embargo una forma mas directa de calcular el momento promedio sin tenerque calcular previamente la transformada de Fourier de la funcion de ondas, pudiendoobtenersep tras realizar una unica integral. Para ello es necesario conocer algunas pro-piedades de la transformacion de Fourier.

Dentro del conjunto de funciones de onda (espacio de Hilbert L2

(R)), puede definirseun producto escalarde la siguiente manera:

1|2 +

1(x)2(x)dx

donde 1|2 es un numero complejo. Notese que 2|1 = 1|2. Puede compro-barse facilmente que la existencia de este producto escalar confiere al espacio de Hilbertla estructura de espacio vectorial.

La transformada de Fourier cumple entonces la siguiente propiedad, conocida en loslibros de matematicas como identidad de Parsevalgeneralizada:

+

1(x)2(x)dx=

+

f1(k)f2(k)dk 1,2 L2(R)

es decir, el producto escalar permanece invariante despues de transformar cada uno desus factores:1|2 =f1|f2. Por tanto, el producto escalar puede asociarse realmentecon la proyeccion de un estado cuantico en otro, siendo su resultado el mismo, ya se realiceen la representacion de posiciones de la funcion de ondas, o en la de momentos.

Este resultado nos permite calcularp directamente. En efecto, derivando respecto ax los dos miembros de la ecuacion32tenemos:

x = 12

+

ikf(k)eikxdk

29


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lo cual nos esta diciendo que la transformada de Fourier de la derivada x

es simple-menteikf(k). Por tanto:

k = +

k|f(k)|2dk +

1

if(k)(ikf(k))dk =

+

1

i(x)

xdx

o en definitiva:

p = +

(x)(ix

)dx

que es la formula directa que deseabamos encontrar.Si se mira atentamente, esta expresion es formalmente identica a 33, y ambas pue-

den considerarse casos particulares de una definicion mas general de valor medio de unoperadorque representa a cualquier magnitud fsica medible A:

A = +

(x)(A)dx= |A (34)

siendo A = x(posicion), p(momento), H(energa), etc. Todas las magnitudes fsicasmediblesA pueden representarse por un operador especfico. Estos operadores (que sirvenesencialmente para calcular valores medios), son aplicaciones matematicas lineales queasocian a cada elemento del espacio de Hilbert L2(R) otro elemento del mismo espacio( A L2(R)). Como acabamos de ver, el operador momentoesta representado poruna derivacion parcial respecto a la coordenada de movimiento:

p= ix

Por supuesto, los valores mediosA deben ser siempre realessobre cualquier funcionde ondas, como lo son las medidas de cualquier magnitud fsicaAen el laboratorio. Estoobliga a que los operadores fsicos A deben ser autoadjuntos, es decir, que verifiquen|A =A| |A| , para que pueda cumplirse lo anterior. Tiene tambienperfecto sentido la evaluacion de A2. En este caso, debe entenderse la accion deA2 comola aplicacion reiterada A(A). Notese la analoga profunda de estos operadores con lasmatrices complejas hermticas, que tambien son operadores lineales autoadjuntos sobreun espacio vectorial, de dimension finita. Analogamente pueden definirse potencias maselevadas, desarrollos en serie, etc.

Las medidas individuales realizadas en el laboratorio de la magnitud A, obtenidas

con identico estado inicial , manifestaran el caracter no determinista de la Mecanicaarrojando valores aleatorios. Sin embargo, podemos predecir con exactitud la dispersi onde dichas medidas (A) alrededor de su valor medio, a traves de la expresion:

(A)2 = A2 A2 (35)Si la aplicamos, por ejemplo, al operador momento p, el calculo dep2 se realiza por

medio de la siguiente integral:

p2 = +

(x)(2 2

x2)dx

30


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cuyo valor es siempre positivo o nulo para funciones de cuadrado sumable, comopuede demostrarse usando la integracion por partes. Vemos entonces que el operadorH = 2

2m2

x2 + U(x, t), que aparece en la ecuacion de Schrodinger 25, representa la

energa total, pues el primer termino representa la energa cinetica.De acuerdo con todo lo anterior, tenemos ahora una prescripcion de calculo que nos

permite evaluar, usando el calculo integral, los valores medios y la dispersion, tanto de laposicion como del momento de una partcula, como de cualquier otra magnitud construidaa partir de ellos. En otras palabras, hemos aprendido a decodificar la informacion con-tenida en la funcion de ondas (x) de una partcula, para hacer predicciones estadsticassobre los resultados de las medidas de cualquier observable en el laboratorio.

Al igual que ocurre con las matrices, la accion de estos operadores no es en generalconmutativa. Por ejemplo, es un ejercicio simple comprobar que, para cualquier funcionde ondas , se cumple que:

xp

px= i

donde es necesario advertir sobre una costumbre habitual en la Mecanica Cuantica: seestan utilizando los mismos smbolos para designar los valores de las magnitudes fsicas ylos operadores que las representan. En realidad queremos decir que: (xppx)= i.

9. El principio de indeterminacion

Una de las propiedades mas notables de la transformacion de Fourier es que, si lafuncion original es muy estrecha (x 0), su transformada es muy ancha (k ).La idea matematica es bien intuitiva: no podemos construir una funci on muy estrecha

sumando unicamente longitudes de onda ( = 2/k) mayores que su anchura. En otraspalabras, el producto xk es aproximadamente la unidad. El enunciado preciso delteorema matematico es: xk 1/2,. Los pasos necesarios para demostrarlo, comoteorema general de la transformacion de Fourier (independiente de la constante de Planck),son los siguientes:

a) Partir de la expresion evidente:

+

x+

x

x+

x

dx 0 R

donde x+ x =x+ik es un operador real, con k i x .b) Sumar y restar a la expresion entre corchetes (x

x), y demostrar que:

+

x+

x

x

x

(x+

x

dx= 0

debido a que el integrando es una derivada total, y se cumple:

+

x

(x+

x)

dx= 0

ya que cualquier funcion de cuadrado sumable debe verificarx||2 + x

+

= 0.

31


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c) Finalmente expresar lo que queda de la integral original como:

x2 +2k2 0

y observar que, sin perdida de generalidad,

x2

= (x)2 y

k2

= (k)2 al ser estas

cantidades independientes de la eleccion del origen de coordenadas. La prueba delteorema se sigue de examinar el discriminante de la parabola obtenida en .

Dejamos como ejercicio para el alumno la realizacion detallada de estos pasos, y pasa-mos a discutir la trascendencia fsica que adquiere el resultado, cuando tenemos en cuentaque la derivacion parcial

xrepresenta como sabemos el momento, segunp = i

x= k.

El resultado fue enunciado por primera vez por el fsico aleman Werner Heisenbergen 1929, y se conoce en Fsica como principio de indeterminacion posicion-momento28: si conocemos con gran precision (x) la posicion que ocupa un cuerpo, entonces soninevitables grandes fluctuaciones en el valor de su momento (p), estando las anchuras

de ambas distribuciones relacionadas por la desigualdad:

xp /2 (36)que se cumple para cualquier funcion de ondas, en cualquier instante de tiempo. El im-

pacto en la Fsica es enorme. Revela la imposibilidad por principio de conocer simultanea-mente con total precision la posicion de un cuerpo a lo largo de una direccion determinada,y su momento en esa misma direccion.

Es claro que, en el caso lmite de la onda plana 27,tenemos x= (partcula total-mente deslocalizada) y p= 0 (estrictamente monocromatica). En el extremo opuesto, lafuncionK(x, t) = x t|x1 t1 representa la evolucion temporal de una partcula localizadaen el punto x1 en el instante t1 ((x) = (x x1)) con x = 0, siendo en ese mismoinstante p =. En efecto, tengase en cuenta que, segun la expresion 15 la partculainicialmente localizada en x1 (en el tiempo t1) puede alcanzar cualquier punto del espacioxen un instante posterior t > t1 con igual probabilidad, luego su espectro de velocidadesen el instante t1 es realmente infinito, y por tanto p= mv= .

Cuando la partcula se desplaza por el espacio en la forma de un pulso dispersivo convelocidad de grupo v, tiene perfecto sentido definir la indeterminacion en el tiempo quese origina como consecuencia de la indeterminacion espacial, en la forma: t x/v. Sepuede igualmente calcular la indeterminacion en la energa a partir de pen la forma:

E= p2

2m

=

p

mp= vp

donde tambien figura la velocidad de la partcula, y hemos utilizado la regla de lacadena para relacionar las variaciones de energa y momento. Identico resultado se obtienediferenciando la expresion relativista para la energa E =

p2c2 +m2c4 (siendo m la

masa en reposo), teniendo en cuenta que v = c = pc2/E en este caso. Es claro que elproducto Et no depende ya de v, y de la expresion 36obtenemos el principio deindeterminacion energa-tiempo:

Et /2 (37)28

en el mundo cientfico de habla hispana, es igualmente frecuente la denominacion: principio deincertidumbre. En ingles se usa generalmente la expresion: uncertainty principle.

32


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Una consecuencia inmediata de la expresion36es que todo cuerpo confinado en unaregion del espacio de tamano 2xnecesariamente adquiere una energa cinetica cuyo valormedio cumple:

T = 1

2m (p)

2

1

4

1

2m

2

(x)2

lo cual es evidente, si prescindimos de la velocidad global del sistema, siendo enton-cesp = 0. Dado que hemos calculado el valor medio de T, no estamos hablando defluctuaciones individuales en una medida concreta de la energa cinetica, sino de un des-plazamiento de la mayora de las medidas. Por esta razon, suele utilizarse el principio deindeterminacion como una igualdad aproximada, en la forma 29: xp , y escribirsedirectamente que la energa cinetica adquirida es T 2

2m(x)2.

Para darnos una idea numerica de la magnitud de esta energa debida a las fluctua-ciones cuanticas, podemos considerar la partcula mas ligera que tenemos en la materiaordinaria, el electron. Su masa es me = 9.109

1031Kg, y evaluamos su energa cineti-

ca en eV para tres valores de interes: x =1mm, 1m y 1A, con valores respectivos:3.81014 eV, 3.8108 eV y 3.8 eV. Mientras en los dos primeros casos la energa esinobservable en el laboratorio, en el tercero pasa a ser muy significativa.

Esta es justamente la situacion que se da en el atomo de Hidrogeno, que hemos apro-ximado aqu crudamente en 1D. En este caso conocemos el potencial que lo confina,que es la ley de Coulomb, pero lo importante es que hemos podido llegar a conclusionesbastante exactas sobre la energa del sistema sin necesidad de conocer dicho potencial,simplemente a partir del tamano del objeto. Cuando ademas se conoce el potencial deconfinamiento, el principio de indeterminacion nos permite estimar siempre la energa delestado fundamental, encontrando el mnimo de la energa total.

La expresion 37para la indeterminacion energa-tiempo puede usarse tambien comola igualdad aproximada: Et . Esto nos sirve para estimar la energa cinetica Eadquirida por el confinamiento en el tiempo. Por ejemplo, vemos que cuando t /Edicha energa es significativa, ya que E/E (/E)(1/t) 1.

10. Extension a tres dimensiones

Todas las ideas desarrolladas se han formulado suponiendo que tanto el movimiento,como el campo de fuerzasU(x, t), ocurren unicamente en una dimension, el eje X. Sin em-bargo, el movimiento real tiene lugar a lo largo de 3 coordenadas espaciales r= (x,y,z),que dependen del tiempo t. La extension a 3 dimensiones de todo lo anterior puede reali-zarse de forma inmediata, y no requiere la introduccion de nuevos postulados.

Es un ejercicio de gran utilidad escribir correctamente, utilizando la notacion vectorialr(t), las si

mecánica cuántica conceptual

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