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  • INTRODUCCIN A LA MECNICA INTRODUCCIN A LA MECNICA CUNTICACUNTICA

    Parte 1: Fundamentos matemticos. Parte 2: Mecnica Cuntica Parte 2: Mecnica Cuntica.

    11

  • Parte 1: FUNDAMENTOS Parte 1: FUNDAMENTOS MATEMTICOSMATEMTICOS

    Espacios vectoriales complejos de dimensin finita.Espacios vectoriales complejos de dimensin finita. Operadores lineales. Representacin matricial. Operadores lineales. Representacin matricial. Proyectores.Proyectores. AutovaloresAutovalores y y autovectoresautovectores.. Operador adjunto o Operador adjunto o hermticohermtico conjugado.conjugado. Operador Operador autoadjuntoautoadjunto. Propiedades. . Propiedades. Operador inverso.Operador inverso. Operador unitario. Operador unitario. Producto tensorial.Producto tensorial.

    22

  • Repaso: Espacio eucldeo tridimensional E3.

    OPERACIONES BSICAS vOPERACIONES BSICAS1) SUMA DE VECTORES

    EED d

    v

    321

    3231

    EvvSUMAla

    EvyEvDados

    3, EvyRrDado 2) MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR

    3

    3,Evr

    y

    32211 Evrvr

    COMBINACIONES LINEALES

    33

    32211 Evrvr

  • 3) PRODUCTO ESCALAR1v1v

    2v

    | || | cosv v v v 1 2 1 21 2 2 1

    | || | cos( )

    v v v vv v v v conmutativo

    1 2 3 1 2 1 3( ) ( )v rv sv r v v s v v linealidad

    2| | 0

    | |

    v v v

    1 2 1 1 2 2| |

    ( )v v v v v vdesig Cauchy Schwarz

    44

    ( . )desig Cauchy Schwarz

  • BASE ORTONORMALijji ee

    3e

    vijji

    erererv 3322112e

    ii evrsiendo

    1e 332211 eaeaeaa

    3

    332211 ebebebb

    31

    332211 ii

    ibababababa

    55

    3

    1

    2

    iiaaa

  • ESPACIOS DE HILBERTESPACIOS DE HILBERT Estudiaremos espacios vectoriales Estudiaremos espacios vectoriales

    lineales complejos de dimensin finita lineales complejos de dimensin finita (para el desarrollo de la informacin (para el desarrollo de la informacin (p(pcuntica).cuntica). Los escalares son nmeros complejosLos escalares son nmeros complejos Los escalares son nmeros complejos.Los escalares son nmeros complejos. Usaremos la notacin braUsaremos la notacin bra--ket de Dirac.ket de Dirac. Cada vector estar representado por un Cada vector estar representado por un

    ket:ket:ket :ket :

    66

  • SUMA DE VECTORES

    V

    V

    spropiedade

    V )()(

    V

    MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR

    complejonmeroCcV

    ( )propiedadesc c c

    Vc ( )

    ( )

    ( ) ( )

    c d c d

    cd c d

    ( ) ( )

    77

  • PRODUCTO ESCALAR (producto interno)

    yDados (producto interno) C

    Propiedades

    linealidaddcdc

    symmetryskew

    )(

    dpositivida0

    )(

    Norma de un vector

    Vector normalizado (norma unidad)=vector unitario

    " "vector dual o bra

    88

    A cada V C

  • A partir de las propiedades del producto escalar, se puede demostrar que:

    cc

    Demostracin:

    ccccc ][

    DESIGUALDAD DE CAUCHY SCHWARZDESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ

    2||

    Ejercicio 1: demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

    Ayuda: sese que el producto escalar de un vector por s mismo es definido positivo, y defnase el vector

    99

    ;c siendo c defnase el vector

  • INDEPENDENCIA LINEAL

    V

    0...0.....

    ,.......,

    2111

    1

    mmm

    m

    ccccc

    V

    DIMENSIN DEL ESPACIO VECTORIAL = nmero mximo (n) de vectores linealmente independientes BASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientesBASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientes (conjunto completo de vectores). Cualquier vector puede expresarse como combinacin lineal de los vectores de la base.

    BASE ORTONORMAL

    n,.......,, 21

    njiijji

    n

    ,....2,1,;

    , ,, 21

    ;n

    i i i ia a

    1010 1

    1 2, , ..........,i

    na a a

  • Expresin del producto escalar y la norma a partir de las componentes.

    i

    n

    iii

    n

    ii bya

    11

    n

    iii

    n

    ii aba

    1

    2

    1||;

    Demostracin:

    iiijjijijijjii babababa

    Demostracin:

    ijijiji

    ,,

    iii aaa 2|| i

    ii

    ii ||

    1111

  • OPERADORES LINEALESAOperador linealidad

    A

    AOperador AbAabaA

    )(

    0

    operador identidad I

    operador nulo N

    0 , 0

    p

    vector nulo

    BABAC

    BACoperadoresdesuma)(

    BABAC )(

    operadoresdeproducto

    )(; BABABAC

    ope ado esdep oducto

    1212! ABBAOJO

  • REPRESENTACIN MATRICIAL

    Un operador est representado en cierta base a partir de una matriz cuadrada

    A

    AOperador

    nBase ,.......,, 21 j

    n

    jja

    1

    n

    nnn

    AAbAA

    ?;1

    ii

    n

    ii bb

    jj

    ijjij

    jiijj

    j aAAabAaA

    111

    AA jiij AA

    b1

    a1 nAAA .. 11211

    b.2

    a.2

    nAAA.....

    .. 22221

    1313

    nb.

    na.

    nnnn AAA .......

    21

  • VunitariovectorPROYECTORES

    P

    P

    Propiedades P

    P

    )1

    PP

    PSi)3

    00)22

    PP)3

    PROYECTORES SOBRE ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES

    l

    k

    llP

    1

    PP 2 l1

    RELACIN DE CIERREla suma de los proyectores asociados a los vectores de una base ortonormal es i l l id tid d

    14141

    n

    i ii

    I

    igual a la identidad:

    nBase ,.......,, 21

  • AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

    A

    C

    Vector propio o autovector

    Valor propio o autovalor

    La ecuacin de autovalores siempre tiene solucin.

    p p

    Ecuacin caracterstica11 12 1. . nA A AA A A

    21 22 2. .

    det det . . . . . 0. . . . .

    nA A Ap A I

    1 2 . .n n nnA A A

    es una funcin polinomial de grado n. Tiene n races complejas (autovalores). p

    La ecuacin caracterstica depende slo del operador, no de su representacin matricial en una base dada. Por tanto, los autovalores de un operador no dependen de su representacin matricial.

    1 2, , ..........., n

    1515

    Los autovectores de un operador lineal, correspondientes a autovalores distintos, son linealmente independientes.

    dada. Por tanto, los autovalores de un operador no dependen de su representacin matricial.

  • OPERADOR ADJUNTO O HERMTICO CONJUGADO

    A AA AA A

    ( )A B A B Representacin matricial: traspuesta conjugadaPROPIEDADES(Ejercicio 2: demostrar estas propiedades de los operadores adjuntos)

    ( ) ( ) ( )

    AB B A

    A A

    Representacin matricial: traspuesta conjugada

    (Ejercicio 3: demostrar la propiedad siguiente:)

    T ij jiA A A A

    A A OPERADOR AUTOADJUNTO (O HERMTICO)

    operadores adjuntos) ( )A A ij ji

    T ij ji iiA A A A A A R

    PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS1. Sus autovalores son nmeros reales

    PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS:

    Demostracin:Demostracin:

    A ;A R

    R1616

    AAAA R

  • 2. Los vectores propios correspondientes a autovalores distintos son ortogonales entre sson ortogonales entre s.

    Demostracin: i i iA

    j i i j iA

    j i i j iA Los auotovectores de un operador hermtico en j i i j i

    Los auotovectores de un operador hermtico, en el caso no degenerado, forman un conjunto ortonormal de vectores.

    E l d d t bi ibli j i j iA En el caso degenerado, tambin es posible construir un conjunto ortonormal de autovectores

    del operador.

    j i j i j i Por tanto, siempre es posible encontrar, a partir de los vectores propios de un operador hermtico,

    una base ortonormal del espacio de Hilbert.

    ( ) 0 0j i j i j i

    1717

  • OPERADOR INVERSO A 1B A operador inverso .Def BA AB I 1 A A

    El i d d i t l l d t i t d l

    El inverso de un operador existe s y slo s el determinante de la matriz que lo representa es no nulo.

    OPERADOR UNITARIO U .Def UU U U I 1 Un operador es unitario cuando su 1 U U Un operador es unitario cuando su adjunto es igual a su inverso:

    Propiedades: p

    A) El producto de dos operadores unitarios es unitario.

    U V U V U V V U I B) El producto escalar es invariante bajo transformaciones unitarias. En consecuencia, un

    operador unitario no modifica la norma de un vector (ejercicio 4: demostracin de esta propiedad).

    1818

    De este modo, los operadores unitarios actan en el espacio de Hilbert de una manera anloga a las rotaciones en el espacio euclideo, las cuales mantienen el mdulo de un vector, y el ngulo entre dos vectores.

  • PRODUCTO TENSORIAL

    Espacio H1 Dimensin m

    Espacio H Dimensin n

    Ket

    Ket

    Espacio H2 Dimensin n Ket

    ESPACIO PRODUCTO TENSORIAL DE H1 Y H2 21 HHH Dimensin mn Ket

    Si a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puedeSi a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puede asociar un vector (producto tensorial de ambos vectores) perteneciente a

    H, entonces H es el producto tensorial de H1 y H2

    PROPIEDADES:

    21,,)( HHCccci 21,,)( HHCccci 212121 ,)( HHii i

    2121)( iii

  • Notacin ,

    c11

    BASES ORTONORMALES

    11 Hi 2Hj

    21 HHji

    cc

    .

    .13

    12

    22 Hj jlikklij

    nccccnccccijc nnm

    i

    n

    jij 2..........2322211..........131211 22322211131211

    1 1

    KET EN H

    n

    cccc

    22

    21

    1

    mncmcmcmc

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