prilog analitickom modelu ponasanja kruznog tunelskog iskopa

8/17/2019 Prilog Analitickom Modelu Ponasanja Kruznog Tunelskog Iskopa

http://slidepdf.com/reader/full/prilog-analitickom-modelu-ponasanja-kruznog-tunelskog-iskopa 1/33

Power Engineering - Design - Consulting

PRILOG ANALITIČKOM MODELU PONAŠANJAKRUŽNOG TUNELSKOG ISKOPA

CILJ RADA: Kvalitativna i kvantitativna analiza parcijalnih uticaja osnovnihparametara koji uti č u na ukupno ponašanje sistema stenska masa - iskop

tunela - mere osiguranja prilikom iskopa tunela kružnog popre č nog preseka upunom profilu.

BEOGRAD AUTOR:13.08.2010. Miodrag Konstantinovi ć , dipl. ing. gradj.

Marka Čelebonovi ća 19/11, Novi Beograd, SrbijaVojvode Brane 41, Beograd, SrbijaTel. + 381 11 30 89 747, 38 22 110Tel/Fax: + 381 11 38 22 591

e- mail: [email protected]. esenergosystems.co.rs




2

PRILOG ANALITIČKOM MODELU PONAŠANJA KRUŽNOG TUNELSKOGISKOPA

1 . UVODNE NAPOMENE

Iako je u toku izvanredan razvoj numeri č kih metoda (kona č ni ili konturni / grani č ni / elementi) sa primenomu vidu profesionalno ura đ enih programskih paketa, inženjer mora jednostavnijim putem brzo i dovoljnota č no da proceni uticaj pojedinih parametara kako iskopa tako i okolne stenske mase i mera osiguranja nasuštinsku pojavu koja se jedino može meriti, a to su pomeranja konture iskopa ili na konturi ili i iza kontureiskopa, kako bi u narednim fazama korigovao prethodno usvojene elemente rešenja i ostao u granicamapotrebne sigurnosti i ekonomi č nosti. U tu svrhu potrebno je raspolagati odgovaraju ć im ra č unskimaparatom koji ć e u sebi spajati dovoljno ta č no opisivanje stenske mase i podesan analiti č ki model podesanza brzu procenu promena podataka koji su najvažniji za rad: granice zone narušavanja uslova loma,pomeranja na iskopnoj konturi kao i grani č nu nosivost mera osiguranja iskopa. U pogledu oblika naj č eš ć i

je kružni oblik tunela, zatim dolazi potkovi č asti, dok posebni oblici mogu grublje da se aproksimirajuelipsom.

U okviru ovog rada ć e se izložiti analiti č ki modeli pomo ć u kojih se za praksu dovoljno ta č no mogu daprate uticaji promena parametara kako samog iskopa, tako i stenske mase, mera osiguranja i razvojaposledica iskopa - pomeranja konture iskopa i granice narušenog uslova loma.

2. CILJ RADA

Iz prethodnog poglavlja proizilazi i cilj ovog rada:

Kvalitativna i kvantitativna analiza parcijalnih uticaja osnovnih parametara koji uti č u na ukupnoponašanje sistema stenska masa - iskop tunela - mere osiguranja prilikom iskopa tunela kružnogpopre č nog preseka u punom profilu.

Uzro č ni parametri koji su od interesa su:

a). iskop:radijus iskopne konturepoložaj iskopa u odnosu na slobodnu površinu terena

b). stenska masa:po č etno (primarno) stanje napona unutar stenske masegrani č na otpornost stenske masedeformabilnost stenske mase

v). mere osiguranja:deformabilnostgrani č na nosivost

Posledi č ni parametri su:

a).grani č na kontura :deli zonu stenske mase sa narušenim uslovom loma (uslovno nazvana zonaplastifikacije, plastifikovana zona ili oblast) od ostalog dela stenske mase u kome doovog narušenja nije došlo (uslovno nazvane elasti č ne zone);

b). stanje napona i deformacija obeju zona:radijalni i tangencijalni normalni naponi - za obe zone - i smi č uć i naponi zaelasti č nu zonu kao i radijalne i tangencijalne deformacije za obe zone, stanje pomeranjaza iskopnu konturu (radijalna, tangencijalna i rezultuju ć a pomeranja) stanje napona,deformacija i pomeranja za pojedina č ne mere osiguranja iskopa grani č na nosivost zaprimenjene pojedina č ne mere osiguranja zajedni č ka grani č na nosivost stenske mase oko



i

Metodapojedina č

na ponaš

S obzirokružnom,glodanje 3. PRECI Problem

e u tomena iskopmasi kao

Shema il

Ponašanjoko objek * uslovi r * veze de* veze na* uslovi k* uslovi n m * po č etni

vr de

skopa sa priranice para

vog rada jenih ili grupnnje stenske

na to da jeanaliza seili krticom).

IRANJE US

zajedni č kog

s

što objekatu narušenoradnoj sredin

struje kružni

e stenske mta postoje:

vnotežeormacija i p

pona i defor mpatibilnost konturi obješovito;

uslovi po napmena od poormacijama

enjenim meetara koje r

primenaih promenamase priliko

kako za hidr ograni č ava

LOVA RAD

ponašanja

enska mas

kao vešta č kzate č eno sti.

tunel u heter

se u mehan

meranjaacija

i deformacijakta i spoljnoj

onima ili def etka rada do

(uspostavljan

rama osigur alno postoje

naliti č kogizič ko-meha iskopa otvo

tehnič

ke, tna kružni

OBJEKTA

ompleksa

<--> radni

telo dolazinje ravnote

otropnoj sred

ič kom smislu

konturi posm

rmacijama n završetka p

je ranote sist

nja. U tu svr u praksi.

matemati č koič kih karaktra po pricipi

ko i saobr presek sa i

procesi <--

u kontakte sa svim p

ini sač

injen

je potpuno

atrane oblas

a konturamaocesa stabiliema stenska

ower Enginu ć e se u nu

g modelaeristika hom

a savreme

ćajne tuneleskopom me

objekat

a stenskomosledicama

j od kvaziho

opisano ak

ti po naponim

iskopa i stenacionih proc

masa - obje

ering - Desimeri č kom de

za ispitivanjogene anizoih metoda is

popreč

ni pretodom puno

masom kodgeneralno

mogenih zon

za sve ta č

a, pomeranji

ske mase u f esa po napoat).

n - Consultilu koristiti

e parcijalnoropne stensopa.

sek kružni ig č ela (mi

koje je u teterotropnoj

a S, S2, S3,.

e posmatran

ma ili

unkcijiima i

g

uticajake mase

ili blizakiranjem,

ku radastenskoj

...

e oblasti




4

4. DETALJNA ANALIZA USLOVA RADA OBJEKTA

Analizira ć e se svaki od navedenih uslova ponaosob s obzirom na ve ć izložene probleme stenske mase kaoprirodne tvorevine i radne sredine.

Uslovi ravnoteže:Uslovi ravnoteže se mogu lako u principu postaviti kao u Teoriji elasti č nosti.

Veze deformacija i pomeranja:Nema principijelnih teško ć a, bez obzira na mogu ć u komplikovanost odn. glomaznost izraza da seuspostave veze izme đ u deformacija i pomeranja.

Veze napona i deformacija:Ovde postoje teško ć e principijelne prirode jer je stenska masa po svojoj prirodi diskontinuum, pri č emu jenjena kontinualizacija samo jedna više-manje uspešna aproksimacija. Delovi stenske mase izme đ udiskontinuiteta ili u sklopu diskontinuitata imaju uopšte razli č ito ponašanje s obzirom na razli č itefizič ko-mehani č ke osobine, što se manifestuje u razli č itom ponašanju pri razvoju deformacija do loma(krto ili žilavo ponašanje) a na šta uti č e i brzina nanošenja optere ć enja.

Generalno, problem se svodi na uvo đ enje najrazli č itijih modela materijala kojima se opisuje elasti č no,elasto-kruto-plasti č no, elasto-viskozno, elasto-plasti č no-viskozno itd. ponašanje saglasno registrovanom

ponašanju pri ogledima u laboratoriji, na licu mesta ili u opitnim iskopima. Ove probleme stalno rešavareologija stvaraju ć i takve fiktivne materijale za koje je ve ć sada veoma teško dati eksperimentalnoprikupljene karakteristike.

Uslovi kompatibilnosti deformacija:Strogo uzev, ovi se uslovi ne mogu ispuniti za opšte slu č ajeve sem za modele koji su u svojoj strukturirelativno jednostavni. Da bismo dobili bilo kakvo prihvatljivo i fizi č ki logi č no zasnovano rešenje, odstupase od strogosti uslova kompatibilnosti deformacija pri č emu se javlja problem dveju granica rešenja inajverovatnijeg rešenja.Uslovi na konturi iskopa i spoljnoj konturi oblasti:

Nema teško ć a sa uvo đ enjem konturnih uslova bilo po silama odn, naponima bilo po deformacijama odn.po pomeranjima bilo mešovito. Uz poznavanje osnovne osobine svih fenomena narušavanja stanja uoblastima sa potencijalom da se poreme ć aj amortizuje relativno brzo od lokacije poreme ć aja, mogu ć e jeizdvajanje kona č ne oblasti sa konturnim uslovima po pomeranjima dovoljno ta č nim u odnosu na stvarne.

Po č etni uslovi unutar stenske mase:Po č etni uslovi unutar stenske mase su prevashodno po optere ć enju tj. po naponima. Matemati č kihteško ć a nema, postoje samo teško ć e merenja, interpretacije i formulisanja optere ć enja unutar posmatraneoblasti stenske mase.

Po č etni uslovi na konturi iskopa su naj č eš ć e po silama odn. naponima i predstavljaju uticaj ili sistemaosiguranja ili obloge objekta.

U modele se unose brojne veli č ine mehani č kih karakteristika stenske mase, elemenata osiguranja iobloge. Radni proces je prisutan preko uvo đ enja faznog iskopa i faznog unošenja osiguranja i meramelioracija stenske mase preko promena njenih mehani č kih karkteristika.

Bez obzira na karakter modela (analiti č ki ili numeri č ki) stenske mase moraju biti poznati:

* zapreminska tena po zonama stenske mase prema IGP;* IGM po ispucalosti;* IGM po deformabilnosti izranoj u modulima deformacije i

elasti č nosti za glavne pravce anizotropije;* IGM po parametrima za opisivanje č vrsto ć e stenske mase zavisno od usvojenog uslova narušavanja

grani č ne ravnoteže (uslova loma ili uslova plasti č nosti);* IGM po vodopropusnosti u obliku koeficijenata vodopropusnosti u glavnim pravcima anizotropije

vodopropusnosti ('to zavisi od sistema diskontinuiteta);




5

Raspolažu ć i napred navedenim IGP i IGM mogu ć e je matemati č ko modeliranje sa ta č noš ć u zavisnomod toga da li se koristi analiti č ki postupak ili profesinalan softver zasnovan na MKE ili MGE.

5 MODELI OPISIVANJA PONAŠANJA STENSKE MASE PRI PRIMENI SAVREMENIHMETODA ISKOPA

Kao što je napred napisano, razvijeni su mnogobrojni modeli tzv. reoloških materijala koji opisuju veze

napona i deformacija uzimajuć

i u obzir reološke karakteristike i, zavisno od modela, mehanič

kekarkteristike otpornosti na lom; složeniji modeli omogu ć uju simuliranje ciklusa optere ć enje-rastere ć enje.

Reološki materijali su opisani matemati č kim vezama i odgovaraju ć im grani č nim uslovima kako bi semogli koristiti u sklopu matemati č kih modela opisivanja ponašanja iskopa. Ne ć e se ulaziti u detaljeformiranja reoloških materijala jer je to predmet reologije kao dela mehanike.

Najvažnije je da se pri koriš ć enju reoloških modela mogu uneti realno izmerene mehani č ke karakteristikekao moduli elasti č nosti i deformacije, jednoaksijalna č vrsto ć a na pritisak, funkcionalne veze napona,deformacija i brzina deformacija proizišlih iz triaksijalnog opita, parametri č vrsto ć e proizišli iz opitasmicanja u vidu ugla trenja i kohezije. Modeli koji se ne mogu snabdeti merenim podacima nemajutrenutno interesa za prakti č an rad.

Prema tehnici formiranja i koriš ć enja modela u osnovi imamo

* analiti č ke i* numeri č ke modele.

Pod pojmom tehnike analiti č kog ili numeri č kog modela podrazumeva se mogu ć nost da se rešenje problemadefinisanog modelom reši ili u analiti č kom zatvorenom (ili bar iterativnom analiti č kom) postupku, odnosnoda se rešenje mora zasnovati na primeni savremenih numeri č kih metoda i postupaka.

Na osnovu svega napred izloženog, kao i polaze ć i od realnosti važenja modela u sredini č ije jereagovanje na kružni iskop predmet ovog rada, usvaja se analiti č ki model na rešenju zatvorenog tipa, sanekim sekvencama sa iterativnim radom, koriste ć i rešenje problema elasto-krutoplasti č nehomogene, anizotropne po parametrima č vrsto ć e i deformabilnosti teške ravni, za ravno stanjedeformacije.

Uticaj vremena u model nije uklju č en direktno preko sprege sa nekim od modela viskoznog ponašanjamaterijala sredine, ve ć indirektno preko mogu ć ih varijacija osnovnih mehani č kih karakteristika u funkcijivremena.

Postoje mogu ć nosti proširenja predloženog analiti č kog modela u smislu uklju č enja vremenskogponašanja, uz unošenje time i dodatnih fizi č ko-mehani č kih karakteristika za koje još uvek imamonedovoljno opažanja.

Najvažniji podatak su karakteristi č ne linije za radijalna pomeranja iskopne konture pri promeni pritiskastabilizacije iskopa na iskopnoj konturi, kao i grafici ponašanja sistema osiguranja zavisno odmaterijala koji je primenjen.

Tako đ e se prikazuju odnosi promena parametara i veli č ina koji ukazuju na granice ocene ponašanjasredine: pragovi po č etka plastifikacije oko iskopa, granice elasti č ne i plasti č ne (narušene) zone,anvelope maksimalnih i minimalnih veli č ina bitnih za karakter ponašanja iskopa.

6. PREDLOG ANALITIČKOG MODELA PONAŠANJA STENSKE MASE PRI PRIMENISAVREMENIH METODA ISKOPA

Predložen analiti č ki model za ispitivanje ponašanja tunelskog iskopa kružnog popre č nog preseka u stenskojmasi definiše se kao rešenje ravnog problema za slu č aj ravne deformacije u okolini iskopa u "teškoj"homogenoj anizotropnoj elasto-plasti č noj sredini.




6

Naj č eš ć i model koriš ć en za ispitivanje ponašanja kružnog tunelskog iskopa u literaturi je zasnivan naLame-ovom rešenju za debelu cev uz grani č ni prelaz u beskona č nost radijusa spoljne konture cevi.Radijalno optere ć enje du spoljne konture u beskona č nosti generiše unutar oblasti homogeno naponskostanje. Uz koriš ć enje uslova plasti č nosti i ataširanog zakona te č enja lako se dobija rešenje pogodno zaanalizu stanja napona, deformacija i pomeranja od inetresa.

Naredni korak je model sa ortohomogenim naponskim poljem koji je omogu ć io Kastner-u da prikaže forme

plastič

nih zona uz primenu Kulon-Mor-ovog uslova plastič

nosti.U pogledu ispitivanja razvoja deformacija i pomeranja pokazalo se da zakoni te č enja proizišli iz uslovanormalnosti vektora brzine te č enja na površ uslova plasti č nosti nisu podobni pošto su davali vrlo velikevrednosti (deformacija odn. pomeranja), tj. prognozirana pomeranja bila su iznad realnih, uuslovima laboratoriskih opita. Stoga su razni autori pokušavali da uvedu ataširane zakone te č enja premaopaenim ojavama pri laboratoriskim opitima i tako priblie rešenja realno opaanim deformacijama odn.pomeranjima.

Upore đ enjem rešenja u literaturi formiran je hibridni model koji uklju č uje primenu raznih uslovaplasti č nosti, uz pra ć enje razvoja plasti č nih deformacija preko pojave "dilatanse" tj. uve ć anjazapremine plastificirane zone oko iskopa. U daljem tekstu ć e se zadržati termin "dilatansa" sa zna č enjemkoje je napred navedeno.

Stoga se dalje obrađ

uje predložen model definisan kako sledi:a. rešenje teorije elasti č nosti ponašanja oko kružnog otvora u teškoj homogenoj anizotropnoj ravni za

ravno stanje deformacije;

b.kontrola narušavanja uslova grani č ne ravnoteže vrši se koriš ć enjem tri uslova plasti č nosti zaizotropno ponašanje :

1. Kulon - Mor (Coulomb - Mohr)2. Ferharst (Fairhurst)3. Huk (Hoeck).

v. ponašanje unutar oblasti sa naruženim uslovom plasti č nosti definiše se zakonima te č enja:1. Druker-Prager (Drucker-Prager)2. Dekedr (Descoedre)3. Ladanji (Ladanyi)

Na narednoj skici je prikazan model sa potrebnim oznakama:

MODEL KRUŽNOG OTVORA U STENSKOJ MASI




7

Rešenje teorije elasti č nosti za slu č aj krunog otvora u teškoj homogenoj i anizotropnoj ravni

Veze optere ć enja i komponentnih napona

Kao osnova analiti č kog modela usvojeno je rešenje prikazano u radu japanskog autora Jamagu č ija

(Yamaguchi), citiranog u prikazu K.Fukušime (K.Fukushima) /16 /. Analizom izraza prikazanog rešenja i uporenjenjem sa rešenjem problema Kirša (Kirsch) /13 / otkrivene suneke greške i posle korigovanja i uvo đ enja bezdimenzionalnog odnosa ξ radijusaiskopne konture r i i radijusa teku ć e ta č ke r :

r >= r i

može da se napišu izrazi za komponentne napone u proizvoljnoj ta č ki definisanoj radijusom r i uglom η (videti sl.1).

Još jednom se naglašava da je usvojena konvencija o znaku napona kao za beton tj. pritisak je pozitivan, azatezanje negativno. Ako se proizvod γh zameni sa p y a odnos r i/h za velike dubine tj. h zanemari kaomala vrednost, tada se dobijaju poznati Kiršovi izrazi naponskog stanja za ortohomogeno naponsko poljeoko kružnog iskopa.

S obzirom na ravno stanje deformacije imamo u oba slu č aja da je normalni napon u pravcu normale naravan problema:

)1.6(r r i=ξ

+⎢⎣

⎡ ηξ−ξ+⎩⎨⎧ −ηξ+ξ−−+ξ−+γ=σ cos)

1)(k3(

hr

41

2cos)341(2

k1)1(

2k1

h i422or

)2.6(p3cos)451

)(k1( 2i

53 ξ+⎭⎬⎫⎥⎦

⎤ηξ+ξ−ξ−+

)4.6(431

(sin)1

(hr

4k1

2sin)321(2

k1h 53i42o

rt⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ξ−ξ+ξ+ηξ−ξ−−ηξ−ξ+−γ=τ

)3.6(p3cos)41

)(k1( 2i

53 ξ−⎭⎬⎫⎥⎦

⎤ηξ+ξ−ξ−−

−⎢⎣

⎡ η⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ ξ−−ξ

+⎩⎨⎧ −ηξ+−−ξ++γ=σ cos)k1(

k31hr

41

2cos)31(2

k1)1(

2k1

h i42ot




8

U slu č aju ako se ne zanemaruje uticaj dubine h izrazi (6.2) do (6.5) imaju oblik:

Najzad, za slu č aj kada je k = 1 tj. kada imamo hidrostati č ko naponsko polje odn. za

dobijaju se poznati izrazi koji slede i iz Lameovog rešenja za debelu cev:

Veze napona i deformacija za elasti č no ponašanje sredine

Polaze ć i od poznatog rešenja za stanje napona za elasti č no ponašanje sredine i koriste ć i poznate vezenapona i deformacija za slu č aj ravnog stanja deformacija u polarnim koordinatama:

)5.6()( ot

or

oz σ+σν=σ

)13.6(p2 oez ν=σ

)12.6(0er =τ

)11.6(p)1(p 2i

2o

et ξ−ξ+=σ

)10.6(p)1(p 2i

2o

er ξ+ξ−=σ

)1.14.6(E

)1(E

1 et

t

er

r

er σν+ν−σν−=ε

oyx ppp ==

)9.6()( et

er

ez νσ+σ=σ

)8.6(0er =τ

)7.6(pcos1

hr

)1(h 2i

i2et ξ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ηξξ+γ=σ

)6.6(pcos)1

(hr

)1(h2

ii2e

r ξ+⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

ηξ−ξξ−γ=σ




9

gde su E r i E t moduli elasti č nosti za radijalni i tangencijalni pravac, ν- Poasonov koeficijent.

6.1.3. Obuhvatanje anizotropije po deformabilnosti sredine

Anizotropija po parametrima deformabilnosti definiše se kao ortotropija i to modulima elasti č nosti ideformacija u dva ortogonalna pravca pri č emu je pravac "1" vezan uglom ηo zavertikalnu osu y. (videti sl.2). Prema tome, ortoropnost modela opisana je modulima elasti č nosti E 1

e , E 2e ,

modulima deformacije E 1d , E 2

d i jednim Poasonovim koeficijentom ν. Veze su jasne iz skice:

Uvode ć i ugao ω

usvoji ć e se kao dovoljno ta č na veza predložena od strane Rupenejta / 6 /:

6.1.4. Veze komponentnih deformacija i pomeranja

Od trenutka formiranja otvora u stenskoj masi ve ć optere ć enoj po č etnim naponskim poljem dolazi dopromene naponskog stanja pri č emu ć e se u svakoj ta č ki sredine pojaviti priraštaji (pozitivni ili negativni)napona Δσr i Δσt :

16.6(sinEcosEEE21r r ω+ω==17.6(r r r σ −σ=σΔ




10

gde su sa σr

o , σt

o ozna č eni normalni naponi po č etnog optere ć enja stenske mase. Iz skice sledi da su

u tač

ki (r,η) komponentni naponi:

a transformacija za radijalni koordinatni sistem daje

Naredna skica daje oznake i fizi č ko tuma č enje prednjih izraza:

sa definisanim po č etnim optere ć enjem, komponentnim naponima usled po č etnog optere ć enja, vezamadeformacija i napona, kao i definisanom anizotropijom po deformabilnosti sredine, može da se pristupiizra č unavanju deformacija εt i εt kao i pomeranja u r na iskopnoj konturi.

Izrazi (6.14 ) uz unošenje (6.17) postaju:

17.6(ttt σ −σ=σΔ18.6()cosh1(hy η−γ=σ 18.6(k)cosh1(hx η−γ=σ19.6()cosh1)(sink(coshr η −η+ηγ=σ 19.6()cosh1)(cosk(sinht η −η+ηγ=σ

20.6(EEttr r r

σ Δ−σΔ=ε




11

Od interesa je radijalno pomeranje u i na granici iskopa r i koje je bilo dato sa:

gde je sa r 2 ozna č ena granica integracije koja može biti fizi č ka (granica odn. slobodna kontura) ilimatemati č ka zavisno od ta č nosti numeri č ke integracije, ili ako se umesto εr uvede odgovaraju ć i izraz(6.20.1):

Ako se uvedu oznake za integrale kako ih je dao Feder,/11/

Za granicu (L) polaze ć i od veza (6.17.1) i (6.17.2) može se pisati:

Integrali predstavljaju vrednosti površina zahva ć enih izme đ u krivih toka napona po č etnog i novognaponskog stanja tj. površine dijagrama razlike napona, sa granicama r i kao donjom i r 2 kao gornjomgranicom. Prakti č no, integracija se numeri č ki sprovodi do željene ta č nosti. Promenom donje granicemogu ć e je odrediti i radijalno pomeranje unutar elasti č ne oblasti. Grafi č ki prikaz interpretacijeizra č unavanja potrebnih integrala je dat na skici:

)2.20.6(E

)1(E

1r

r t

t

2

t σΔν+ν−σΔν−=ε

∫ε=2

i

r

r r i )21.6(dr u

)22.6(dr E

)1(dr

E1

r u2

i

2

i

r

r

t

t

r

r

r

r

2

tiii ∫∫ σΔν+ν−σΔν−=ε=

)2.24.6(dr )(F2

i

r

r

ot

etL,tt ∫ σ−σ=

)1.24.6(dr )(F2

i

r

r

or

er L,tr ∫ σ−σ=

)2.23.6(dr F2

i

r

r ttt ∫ σΔ=

)1.23.6(dr F2

i

r

r r tr ∫ σΔ=




12

Pošto je kao model usvojeno rešenje koje ima slobodnu konturu, mora se voditi ra č una da se pri integracijiza uglove η>=90 o mora uvesti kriterijum ta č nosti. Numeri č kim ispitivanjem je utvr đ eno da je za prakti č anrad dovoljno i ć i do r i 10 -4 odnosno da je kriti č an ugao ηk:

ηk = arccos(10 -4 )=89 o ,99427042

Primenom izraza (16.25.1) i (16.25.2) uz poznate izraze za promenu po č etnog naponskog stanja sredine(16.2) i (16.3) javlja se potreba za nizom integrala koji ć e se koristiti u daljem radu. Ako je donja granica

integracije r 1 , a gornja granica r 2, uvodi se odnos ζ

Provode ć i integraciju prema (16.25)) proizilazi da su potrebni slede ć i pojedina č ni integrali:

(6 .26.1) 12J200 ⎟ ⎟ ⎠⎜⎜⎝ −ζ= (6 .26.2 1-J0 ζ=(6 .26.3)lnJ1 ζ=




13

Izrazi za koeficijente F tr i F tt se dobijaju posle sre đ ivanja nazna č ene integracije po izrazima (6.24) i(6.26):

(6.27)

(6.28)

Kona č no, tangencijalna deformacija u ta č ki definisanoj parom (r i , η) za elasti č no ponašanje iznosi

vode ć i ra č una da su u vrednostima za E r i E t sadržani izrazi koji vode ra č una o eventualnoj anizotropijideformabilnosti sredine. Radijalno pomeranje ta č ke (r i , η) za elasti č no ponašanje je dato sa

)8.26.6(cos)hr

(JJJ iooo6 η−=

)7.26.6()1(41

J 45 ζ−=

)6.26.6()1(31J 3

4 ζ−=

)4.26.6(1J 2 ζ−=

[ −η−−+⎩⎨⎧ −η+−−++γ= cos)1J)k1(J)k31(

h4r

2cos)J3J(2

k1)JJ(

2k1

hF ooi

4o2ott

[ +η−+⎩⎨⎧ −η+−−+−+γ= cos)1JJ)(k3(

h4r

2cos)J3J4J(2

k1)JJ(

2k1

hF ooi

42o2otr

(6.29) FEFEi ,ttti,tr r ti −=ε

26.6()1(2J3 ζ−=




14

u i = r iεti (6.30)

6.2. Uslovi plasti č nosti stenske mase

Uslovi plasti č nosti (odn. narušavanja grani č ne ravnoteže) ć e se uspostaviti za

- izotropno ponašanje i- anizotropno ponašanje parametara č vrsto ć e stenske mase

6.2.1. Uslovi plasti č nosti za izotropno ponašanje stenske mase

Kontrola narušavanja uslova grani č ne ravnoteže vrši ć e se koriš ć enjem tri uslova plasti č nosti za izotropnoponašanje :

1. Kulon-Mor (Coulomb – Mohr)2. Ferharst (Fairhurst)3. Huk (Hoeck)

6.2.1.1. Kulon-Mor-ov uslov plasti č nosti

Ovo je nastariji i najkoriš ć eniji uslov s obzirom na razvijen eksperimentalni aparat za odre đ ivanjeparametara unutrašnje č vrsto ć e uzoraka stenske mase /13/.

Ponašanje platificirane sredine opisuje se poznatom vezom

Ako se izrazi preko glavnih napona veza je:

uz

Ovde su:

ϕ - prividni ugao unutrašnjeg trenja sredinec - prividna kohezija sredine

βpr CM - jednoaksijalna č vrsto ć a na pritisak sredine definisana na dijagramu uslova

gde su:

(6.31) ctg +ϕσ=τ

(6.32) N CM pr 31 β+σ=σ

(6.33) sin1sin1

Nϕ−ϕ+=

(6.34) sin1cosc2CM

pr ϕ−ϕ=β




15

c s - kohezija stenske mase "in situ"c ss -prividna kohezija stenske mase kao udeo usled

primene sistematskog sidrenjas - totalna kohezija sredine = c s + c ss

6.2.1.2. Ferharst-ov uslov plasti č nosti

Ovaj uslov plasti č nosti se definiše anvelopnom parabolom 2.reda koja dodiruje dva definiciona kruga,respektivno za jednoaksijalnu zateznu i pritisnu č vrsto ć u:

U originalnom obliku prikazanog u radu Ladanji-ja ovaj uslov plasti č nosti izražen u prostoru glavnihnapona ima oblik:

uz

Ovde su

βp = jednoaksijalna č vrsto ć a na pritisak sredine

βz = jednoaksijalna č vrsto ć a na zatezanje sredine

Pošto jednoaksijalna č vrsto ć a na zatezanje sredine može imati č esto u praksi vrednost blisku ili jednakunuli, ovaj oblik uslova plasti č nosti, iako ponavljan u literaturi, nepodesan je za rad ra č unarom jer se zaslu č aj odsustva č vrsto ć e na zatezanje javlja beskona č na vrednost za odnos n pa je potrebno vršiti grani č niprelaz prilikom izra č unavanja podataka odn. izraza zavisnih od (6.37).

(6 .35) 1m p31 + ⎟ ⎠⎜⎝ β+σ=σ(6 .37) nzβ=




16

Polaze ć i od istih definicionih uslova i oznaka, za potrebe ovog rada i prakti č nu primenu formulisan jedrugoja č iji izraz za uslov plasti č nosti kojim se izbegava pomenuta nepodesnost. Ne ulaze ć i u detaljealgebre izvo đ enja, izraz kona č no ima oblik:

gde su:

te sa ovom obllikom Ferharst-ovog uslova plasti č nosti nema potrebe za grani č nim prelazom prilikomnumeri č kog rada.

6.2.1.3 Huk-ov uslov plasti č nosti

Ovaj uslov plasti č nosti je proizišao iz eksperimenata i ima osnovni oblik / 21 /:

gde su σ1n i σ3n normalnizovani glavni naponi:

pri č emu je βPO jednoaksijalna č vrsto ć a na pritisak uzorka stene, a m i s su parametri č vrsto ć e zavisni

od litološkog sastava, ispucalosti i mineraloške ošte ć enosti stenske mase. Ovi podaci su tabulisani idovedeni u korelaciju sa dva sistema klasifikacija stenskih masa (NGI i CSIR). Anvelope Mohr-ovih krugovadefinisane su oblikom:

a mogu se sresti i u obliku:

gde su

Konstante A i B su izvedene iz nizova vrednosti σn i τn preko odnosa sa m i s / 21 /.

(6.41) mk 2 2 p3 p p31 κβ+σβ+κβ+σ=σ

(6.39) m p

z

ββ=

(6.40) mm2m21 2+++=κ

(6.41) sm n3n3n1 +σ+σ=σ

(6.42) , 0 p

3n30

p

1n1 β

σ=σβσ=σ

(6.44) )B(A Cnn −σ=τ

(6.45) 0 p

n βτ=τ

(6.46) 0 p

n βσ=σ

(6.43) )(A C pnnn β−σ=τ




17

Ovaj uslov plasti č nosti je dobro zasnovan na ve ć im serijama strogo kontrolisanih opita i veoma je podesanza rad uz korelacije opisa stenske mase preko pomenutih klasifikacija (NGI , CSIR).

6.2.2. Uslovi plasti č nosti za anizotropno ponašanje

S obzirom na to da je stenska masa po svojoj suštini sa anizotropnim ponašanjem i u pogledu

granič

nih parametarač

vrstoć

e, predlaže se proširenje prethodnih uslova plastifikacije za izotropnoponašanje modifikacijom na uslove plastifikacije za anizotropno ponašanje.

Iz literature / 13 / je poznato da, zavisno od orijentacije glavnih napona σ1 i σ3 u odnosu na pravactzv.privilegovanih ravni nižih vrednosti parametara č vrsto ć e stenske mase (engl. weakness planes)postoji promena č vrsto ć e (prizme, ili kocke ili cilindra). Modelska ispitivanja su to tako đ e potvrdila. Stogase radi kompletnosti usvojenog modela uvodi uslov u obliku kako sledi, a prema / 13 /:

bilo koji uslov plasti č nosti sa izotropnu i intaktnu stensku masu

f p = (6.47)

U ovom izrazu parametri č vrsto ć e c i ω se odnose na pravac anizotropije sa nižim vrednostima uodnosu na vrednosti parametara č vrsto ć e u pravcima upravnim na prethodni pravac sa višimvrednostima. Prilikom kontrole uslova plasti č nosti za anizotropno ponašanje stenske mase po parametrimač vrsto ć e uvek je merodavna niža vrednost. Na granici (L) je:

Uz skicu na kojoj su dati zna č enja simbola:

βϕ−−σ−σ sin)ctgtg1(31




18

Ovi uslovi su veoma podesni za rad u analiti č kim modelima, a koriste parametre koji se mogu sigurnoda mere ili usvoje putem analogije.

U praksi se izraz ( 6.47 ) kombinuje sa nekim od uslova plasti č nosti stenske mase, pošto iz izraza proizilazida za neke vrednosti teku ć e promenljive β razlika σ1 - σ3 može dosti ć i beskona č nu vrednost pa jepotrebna simultana kontrola preko uslova plasti č nosti intaktne stenske mase, uz usvajanje niže

vrednosti za dalji rad.

Analizom izraza ( 6.47 ) kao i tokom primene ustanovljeno je slede ć e

- promenom ugla radijala η i ugla položaja ravni nižih parametara č vrsto ć e ( dalje: defektna ravan) η1 mogu nastupiti, algebarski, slu č ajevi da ugao β bude i negativne vrednosti. Jasno je da to fizi č ki ne možebiti slu č aj te ugao β ulazi u prora č un sa apsolutnom vrednoš ć u

β = η - η1 (6.50)

- tako đ e, što je jasno iz skice na str. ugao β fizič ki ne može imati vrednostv ve ć u od π/2 tj.90 o ; priradu o tome voditi ra č una i prvobitno dobijena vrednost β se umanjuje za k.90 o . sve dok ugao β nebude

β <= 90 o

Razvijanjem izraza (6.50) i grupisanjem može se dobiti oblik:

gde su :

I ovde iz č isto fizi č ke fenomenologije N i β mora da budu apsolutne vrednosti. Jasno je da mora bitipošto za slu č aj jednakosti nuli, vrednost σ1 algebarski teži beskona č nosti. Tako đ e, tokom

prora č una mogu nastupiti i slu č ajevi neodre đ enosti, što je posebno analizirano zbog kasnijegautomatskog prora č una.

6.3. Odre đ ivanje granice (L) narušavanja grani č ne ravnoteže

Granica (L) koja deli oblast elasti č nog (E) od oblasti plasti č nog (P) ponašanja odre đ ena je parovimata č aka ( η, r L). Oblik ove granice a time i (P) oblasti zavisi od optere ć enja, mehani č kih karakteristikač vrsto ć e stenske mase i usvojenog uslova za kontrolu grani č ne ravnoteže (uslova plasti č nosti).

Uslov plasti č nosti opšteg oblika

f p(Φ1, Φ2, Φ3, ) = 0 (6.54)

)51.6(N 31 β+σ=σ

)1.52.6(costg22sinsintg22sin

N 2

2

βϕ−ββϕ+β=

)2.52.6(costg22sin

c22 βϕ−β=β

)53.6(0costg22sin 2 >βϕ−β




19

za ravno stanje deformacije se svodi na

f p(Φ1, Φ3 , ) = 0 (6.55)

Glavni naponi σ1 i σ3 se odre đ uju na poznat na č in pri č emu je

σ1 > σ3 (6.56)

Za slu č aj ako je

f p <= 0 (6.57)

imamo elasti č no, a za

f p > 0 (6.58)

imamo plasti č no ponašanje sredine. Na grani č noj konturi (L) mora biti ispunjen uslov kontinuiteta radijalnihnapona

ΦerL = Φp

rL (6.59)

i radijalnih pomeranja

u eL = up

L (6.60)

odnosno, zbog veze

u = r. ,t (6.61)

sledie

L = pL (6.62)

Rešenje za odre đ ivanje granice (L) u zatvorenom obliku mogu ć e je za jednostavnije algebarske formeuslova plasti č nosti i izraze za napone od optere ć enja oko otvora. Za složene algebarske oblike ilinumeri č ki definisane uslove plasti č nosti koriste se numeri č ki, iterativni, postupci.Usvojeno je da se ponašanje unutar plastifikovane oblasti (R) opisuje Kulon-Morovim uslovomplasti č nosti (sa vršnim ili rezidualnim vrednostima parametara č vrsto ć e sredine). Tok napona σr

p i σtp

unutar plastifikovane oblasti oko kružnog otvora optere ć enog jednakopodeljenim radijalnimoptere ć enjem p i dovoljno ta č no je opisan izrazima

Φpr = (p i + c.ctg ν)(r/r i)N-1 - c. ctg ν (6.63)

Φpt = N. Φpr + ∃CMp (6.64) Nešto bolje rešenje predloženo je u radu /16 / pod pretpostavkom periodi č ne promene radijalnogpodeljenog optere ć enja p i pa imamo da je tok normalnog napona σr

p :

Φpr = (p i + c.ctg ν)(r/r i)N-1 - c. ctg ν +

(6.65)



dok izrazunutrašnj

što odgografi č ki p

NapominjNa grani č

Na kontu

Po analo

može se

smenom

za tok tangeg trenja og

ara vrlo mekirikaz toka n

e se da se knoj konturi (

Φ

i (L) postoji

Φ

iji za slu č aj

Φ

apisati

Φ

uslov plasti

+

cijalnog napani č ena je n

im stenama.pona je kao

tkad u literat) za r = r L je

prL = (p i +

eza izme đ u

erL + Φ e

tL

omogenog n

erL + Φ e

tL

erL = 2p * -

č nosti definis

p = f p (σ 1 ,

1 - sinγ. 1-3.si

ona σ tp osta

ϕ < arc s

oznaju ć i gr na skici:

uri nalazi i na

c.ctg ν )(r L/

komponent

= F(p,k, η )

aponskog po

= 2p o

Φ etL

an analiti č ki

σ 3 , K1 , K 2

.r [(r/r i -ϕ

e nepromenj

in(1/3)

nicu (L), izra

linearne pro

r i)N-1 –- c.

ih napona

lja kada ima

formi

, ...)

ower Engin

1)cos η

en. U ovom r

ze za tok na

mene napon

tgν

ešenja teorij

o da je

ering - Desi

ešenju vredn

pona u (E) i (

unutar plas

elasti č nosti

n - Consulti

ost prividnog

(6

P) oblasti g

ifikovane zo

(6

(

(

(

(

g

ugla

.66)

neralno

e (R).

.67)

.68)

.69)

6.70)

6.71)




21

i rešavanjem po σrL

p dobija sez oblika

ΦprL = Θ (p * , K1 , K2 , ... ) (6.72)

a koji se može postupkom dodavanja i oduzimanja p * dovesti na oblik

ΦprL = p * - R (6.73)

Izraz

R = p * - Θ (p * , K1 , K 2 , ... ) (6.74)

daje meru otpora sredine plastifikaciji, kako ju je uveo još Ladanji / / mada za homogeno naponskopolje oko kružnog iskopa. Izjedna č avanjem desnih strana izraza (6.67) i (6.73) sledi posle sre đ ivanja:

1⎡ p* +c.ctg ϕ - R ⎤

r L/ r i = N-1 (6.75)⎣ p i + c.ctg ϕ ⎦

vode ć i pritom ra č una da je p * izraz koji zavisi od vrste optere ć enja, odnosa intenziteta optere ć enja, kaoi od ugla radijus vektora η.

Za slu č aj ako se stavi da je

r L/ r i = 1 (6.76)

sledi da to nastupa u slu č aju kada optere ć enje p i na intradosu konture iskopa dostigne neku kriti č nuvrednost

p i,krit = p * - R (6.77)

Ponašanje sredine oko iskopa pri snižavanju intenziteta optere ć enja p i po č ev od p * do p i,krit je elasti č no,a ispod te granice po č inje da se razvija plastifikovana zona (P). Prema usvojenom rešenju za naponskostanje u elasti č noj oblasti za grani č nu konturu (L) spoljne optere ć enje je jednako radijalnom naponu σrL

e pamože da se piše prema ( ):

i sledstveno (6.70)

Primenom odgovaraju ć ih izraza za uslov plasti č nosti potraži ć e se izrazi za otpor sredine plastifikaciji č ime je problem rešen, pošto izraz za izra č unavanje položaja ta č aka granice (L) važi za sve usloveplasti č nosti.

6.3.1. Kulon-Mor-ov uslov plasti č nosti

(6.78) 2cos)k 1(hr

cosk hr

2cos)k 1(2k 1h erL

iietL σ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ η−+η−η−−+γ=ο

(6.79) 3cos)k 1(hr

21cos.k

hr

212cos)k 1(

2k 1 p ii*

⎥⎦⎤⎢⎣⎡ η−+η−η−−−γ=




22

Uslov plasti č nosti je dat sa

f p = σ1 - N. σ3 - βCMpr (6.80)

odn. na grani č noj konturi (L) je

f p = σtL - N. σrL - βCMpr (6.81)

i saσtL =2p * - σrL (6.82)

sledi

odn. proširenjem sa +p * i -p * i ure đ enjem do oblika ( ) :

odakle sledi da je otpor sredine plastifikaciji za izotropno ponašanje po Kulon-Morovom usloviplasti č nosti

6.3.2. Ferharstov uslov plasti č nosti

Za Ferharstov uslov plasti č nosti

odnosno

na identi č an na č in kao i u prethodnom slu č aju uvo đ enjem

i rešavanjem po σrLp uz dodavanje i oduzimanje p * dobija se

(6.83) 1 N

p CM pr

* prL

erL +

β−=σ=σ

(6.84) 1 N

p)1 N( p

CM pr

**

rL +β+−−=σ

(6.85) 1 N

p)1 N(R

CM pr

*

CM +β+−=

(6.86) 0m2f 2 pr 3 pr pr 31 p =κβ+σκβ−κβ−σ−σ=

(6.87) 0m2f 2 pr 3 pr pr rLtL p =κβ+σκβ−κβ−σ−σ=

(6.88) p2 erL

*etL σ−=σ

(6.89) 2

m p p2

pr 2 pr pr

**rL ⎟

⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ κβ−κβ+κβ−=σ




23

i odmah sledi da je

U ovom slu č aju se mora kontrolisati znak potkorene veli č ine; ako je znak (-) nema uslova da se ostvariotpor plastifikaciji.

6.3.3. Huk-ov uslov plasti č nosti

Ovaj uslov plasti č nosti se koristi u nenormalizovanom obliku tj. svi parametri ć e se umnožiti jednoaksijalnom č vrsto ć om uzorka stene βps

o pa ć e uslov plasti č nosti imati oblik

odnosno

i uz

dobija se

Rešavanjem ovog izraza po nepoznatoj σrL uz usvajanje logi č nog znaka ispred potkorene veli č ine imanjih transformacija dobija se

što se dovodi lako na oblik ( )

odakle sledi neposredno

(6.90) 2

m pR 2

pr 2 pr pr

*F ⎟

⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ κβ−κβ+κβ=

(6.91) 0smf 2 p3 p31 p =β+σβ−σ−σ=

(6.92) 0smf 2 prL prLtL p =β+σβ−σ−σ=

rL*

tL p2 σ−=σ

(6.93) 0sm2 p2 2 prL prL

* =β+σβ−σ−

(6.94) )s p4(41

8

m p8

8

m p 2

p*

2

p*

p*rL β−−

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ β+−

β+=σ

(6.95) m81

s41

m641

m p41

p p2

p2

p2

p**

rL⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡β−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ β+β+β−=σ

(6.96) m81

-s41

m641

m p41

R p2

p2

p2

p*

H ββ+β+β=




24

6.3.4. Slu č aj anizotropnog ponašanja stenske mase

Analogno uslovu plasti č nosti Kulon-Mor može se napisati izraz za otpornost stenske mase u ve ć poznatoj

formi

ili razdvajanjem radi lakše analize

odnosno zbog fizike problema

Analizom ponašanja ustanovljeno je da singularnosti nastupaju za slede ć e vrednosti ugla β:

a). za

b). za

U slu č aju kada je

β=0, π,2π,…

grani č nim prelazom dobija se da je

a za

(6.103)

vrednost R je :

(6.97) 1 N

p)1 N(R

*

+β+−=

(6.98) 1 N

p1 N1 N

R *

+β++

−=

(6.99) 1) Nabs(

p)1 N(abs)1 N(abs

R *

+β++

−=

(6.100) 0,1,2,3,..k ,k 2

=π±π=β

(6.101) ϕ=β

(6.102) ctgc pR *ϕ+=

,...2

3,

2, ππϕ=β

∞=R

,..3,2,1k ,k 0 =π±=β




26

i kontrolom iteracije sa

pri č emu se usvaja da je Δ obi č no 0.001 tj. 1 mm.

Numeri č kim ispitivanjem funkcionisanja uslova plasti č nosti za anizotropno odn. ortotropno ponašanjestenske mase ustanovljeno je da promena ugla η ide od 0 do π, a potom se fizi č ki gledano (videti skicu)ugao η opet menja od 0 do π. Dakle, u slu č aju ugla η ve ć eg od π, prilikom promene ugla η od 0 do 2 π, istise mora umanjiti za π i dalje produžiti prora č un. Ovo je naro č ito važno prilikom izrade rutina za grafi č kiprikaz.

6.4. Izra č unavanje deformacija i pomeranja na granici (L)

U delu 6.1. postavljene su osnove postupka za izra č unavanje deformacija i pomeranja za elasti č nuanizotropnu sredinu. Primenom izraza (6.22) uz poznate izraze za promenu po č etnog naponskog stanjasredine (6.23) i (6.24) javlja se potreba za nizom integrala koji ć e se koristiti u daljem radu. Ako je donjagranica integracije r L, a gornja granica r 2, uvodi se odnos:

Izrazi za koeficijente F tr,L i F tt,L se dobijaju iz ranije na đ enih integrala vode ć i ra č una o donjoj i gornjoj graniciodn. odnosu (6.108):

(6.109)

(6.110)

Kona č no, tangencijalna deformacija na grani č noj konturi (L) za elasti č no ponašanje iznosi

imaju ć i u vidu da su u vrednostima za E r i E r sadržani izrazi koji vode ra č una o eventualnoj anizotropijideformabilnosti sredine. Radijalno pomeranje grani č ne konture (L) za elasti č no ponašanje je dato sa

6.5. Deformacije i pomeranja unutar plasti č ne oblasti

[ ] Δ<− −1iLiL )r ()r (abs

(6.108) r

r

2

L=ζ

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ η+−−+η−+−η+−−+−+γ= 3cos)J4J5J(4

k 1cos)JJ(

4k 3

hr

2cos)J3J4J(2

k 1)JJ(

2k 1

hF 5300100L

42020L,tr

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ η+−−−η−−−+−η+−−++γ= 3cos)J4JJ(4

k 1cosJ4

k 1J4

k 31hr 2cos)J3J(

2k 1)JJ(

2k 1hF 5300100

L4020L,tt

(6 .111) FEFEL,tttL,tr r tL −=ε




27

Ispitivanje deformacija i pomeranja oko otvora u slu č aju kada je nastupila plastifikacija odn.narušavanje uslova grani č ne ravnoteže istorijski je išlo od Druker-ovog rešenja sa uslovom normalnostivektora brzina na površ uslova loma (odn. uslova plasti č nosti), da bi ubrzo opiti demantovali topolazište i usložnili problem: merenja su pokazivala da se lom stenske mase odvija kao da je Poasonovkoeficijent bio ve ć i od 0.5 tj. kao da se javlja porast zapremine plasti č ne oblasti; ovaj porast zapreminestenske mase pri lomu koji se fakti č ki dešava smicanjem dobio je naziv dilatansa (engl. dilatancy).

Sa ciljem upore đ enja razli č itih rešenja, predložen analiti č ki model je usvojio pored Druker-ovog i nekarešenja koja polaze od pojave dilatanse, a koja je merljiva veli č ina tokom opita smicanjem.

Analiti č ki model obuhvata rešenja razvoja deformacija i pomeranja unutar plasti č ne oblasti :

a. Druker-ovo rešenje /13 /b. Dekedr-ovo rešenje sa dilatansom /12 /v. Ladanji-jevo rešenje sa dilatanskom, u nekoliko

izmenjeno / /

Rešenja b. i v. su sa neasociranim zakonima te č enja.

6.5.1. Druker-ovo rešenje

Ovo rešenje se zasniva na asocioranom zakonu te č enja uz uslov plasti č nosti i on uopšte glasi

Primenjen na Kulon-Morov uslov plasti č nosti u obliku

odn.

imamo da su parcijalni izvodi:

pa je i odnos

(6.113) f

ij

pij σ∂

∂λ=ε&

(6.114) N CM pr 31 β+σ=σ

(6.115) Nf CM pr 31 p β−σ−σ=

N pr λ−=ε&

(6.116) pt λ=ε&

0 p

z =ε&

(6.117) N pt

pr −=

εε&&




28

odnosno

Za male vrednosti deformacija može se pisati

Dalje izvo đ enje zahteva uvo đ enje uslova kompatibilnosti deformacija. Za slu č aj rotaciono-simetri č nogoptere ć enja i homogeno izotropno ponašanje plasti č ne sredine dovodi do poznate diferencijalne

jedna č ine

uz uslove na konturi

i zbog veze

u=r εt (6.122)

je

Smenom (6.119) u (6.120) dobija se diferencijalna jedna č ina

č ije je opšte rešenje

Unošenjem konturnih uslova (6.121) na konturi (L) sledi:

i kona č no se dobija partikularno rešenje za ta č ku datu radijusom

r i > r > r L

(6.120) 0r

1 Ndr

d pt

pt =ε++ε

(6.121) uu,r r eL

pLL ==

(6.123) r u

t =ε

(6.124) 0r

1 Ndr

d pt

pt =ε++ε

(6.125) r .C )1 N( pt

+−=ε

(6.126) r C etL

1 NL ε= +

(6.118) N pt

pr ε−=ε &&

(6.119) N pt pr ε−=ε




29

Za iskopnu konturu (i) je:

a radijalno pomeranje iskopne konture je

Ovo rešenje služi samo kao ilustracija potpunog rešenja problema i komparacija sa ostalim rešenjimamogu ć a je samo uz uslov da je k=1 i za mali odnos r L /h tj. za veoma duboko postavljene tunele.

Primena nelinearnih uslova plasti č nosti ne može dovesti ni u najelementarnijem slu č aju optere ć enja sak = 1 do rešenja u zatvorenom obliku, te je tada mogu ć e primeniti neki od postupaka numeri č keintegracije (Runge-Kuta, i sl.).

Primena asociranog zakona te č enja na opštiji slu č aj optere ć enja tj.kada je k <1 nije od inetresa jer sepokazuje da ovo rešenje daje zbog eksponenta N+1 zna č ajno ve ć i prirast plasti č nih radijalnihpomeranja od opažanih, te ima samo akademsku vrednost.

6.5.2. Dekedr-ovo rešenje

U svojoj monografiji /12/ Dekedr polazi od zakona te č enja u obliku

(6.130)pri č emu su

α - vrednost dilatanse u plasti č noj oblastiεp - plasti č ni deo deformacije

Eliminacijom εp se dobija

Ako se uvede:

diferencijalna jedna č ina (6.131) ima opšte rešenje:

(6.128) r r

1 N

i

LetL

pti

+

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ ε=ε

(6.129) r u ptiii ε=

r

du p

e

rLr =αε+ε=ε

r u

petLt =ε−ε=ε

(6.131) ur dr

du etL

erL αε+ε=α+

(6.132) m etL

erL αε+ε=

(6.133) Cr r 1

mu α−++α=

(6.127) r r

1 NLe

tL pt

+

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ε=ε




30

Za konturni uslov

dobija se da je integraciona konstanta

i kona č no je uz smenu r = r i

odnosno

6.5.3. Ladanjijevo rešenje

B.Ladanji /22/ polazi od pretpostavke homogene plastifikacije unutar plasti č ne oblasti i uz pomo ć odnosadatih na skici:

formira se bilans promena površina pre i posle plastifikacije

(6 .137) 1r 1r ui tLii ⎥ ⎥⎦⎢⎢⎣ + α+⎟⎟ ⎠⎜⎜⎝ ⎟ ⎠⎜⎝ +α−ε=

(6 .138 d)1)(r r (2d)r r (2sr 0i0LiL

η ε+−=η−




31

uz

(6.139)

smenom u (6.138) i posle razvijanja, skra ć ivanja i rešavanja po nepoznatom pomeranju u i dobija se

ili ako se izvrši deljenje sa r io uz uvo đ enje r io = r i , r Lo = r L:

Ako se kao mala veli č ina višeg reda zanemari č lan εtL2 dobija se:

Ovde je α priraštaj usled pojave dilatanse i fizi č ki je jednak srednjoj vrednosti zapreminske deformacije.Ova napomena se daje da bi se ova vrednost α razlikovala od iste oznake u izrazu (6.137) Dekedrovogmodela.

Ovim je zaokružen analiti č ki model za ispitivanje ponašanja elasto-krutoplasti č ne homogene

anizotropne sredine oko kružnog otvora.

* * *Koriste ć i Nortonov TurboBASIC uradjen je program PASTM pomo ć u koga je mogu ć enumeri č ki ispitivati odn. provesti parametarsku analizu ponašanja kružnog iskopa zanapred date uslove ponašanja stenske mase.

L0L

'

L ur r −=

i0i'i ur r −=

(6.140) uur 2)r r (r r u 2LL0L

20i

20L

20i0ii +−α−−−=

(6.141) r r

r r

21r r

11 2tL

2

i

LtL

2

i

L

i

Lti ε⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ +ε⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ −α⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−=ε

(6.142) r r

21r r

11 tL

2

i

L

i

Lti ε⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ −α⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−=ε




32

7. LITERATURA

1. L.v.Rabczevicz: Bolted Suport for Tunnels, Water-Power, April 1954.2. L.v.Ravczevicz: Die Ankerung im Tunelbau erzetzt bisher gebrauchliche

Einbaumetodev, Schw.Bauzeitung, 75.J.Nr.9,2.Martz 1957.

3. S.Timošenko: Teorija elasti č nosti, Gra đ .knjiga 1962.4. L.v.Rabczevicz: The New Austrian Tunneling Method, I. & II, Water-Power

Nov.Dec.1964.5. L.v.Rabczevicz,K.Sattler: Die Neue Oesterreichische Tunnelbauweise,

Bauingenieur 1965,H.8,289-301.

6. K.V.Ruppenejt: Mehanicheskie svoistva gornih porod ,Gostehizdat, 1968.7. L.v.Rabczevicz, J.Goelser: Principles and Dimensioning the Supporting System

for the New Austrian Tunneling Method, Water-Power March 1973.8. L.v.Rabczevicz,J.Goelser: Application of NATM to the undergrounf works at

Tarbela , I,II, Water-Power Sept. Oct. 1974.9. G.Feder,M.Arwanitakis: Zur Gebirgsmechanik ausbruchnaher Bereiche tiefligender

Hohlraumbauten, BHM, 1976/4, 103-117.10. G.Feder: Zur Wirkungsweise der Systemankerung von Hohlraumbauten in isotropen

festen Gebirge, BHM,1976/6, 225-229.11. G. Feder: Zum Stabilitaetsnachweis fuer Hohlraume in festen Gebirge bei

richtungbetonten Primaersdruck, BHM, 1977/4, 131-140.12. F. Descoedres: Mechanique des roches, Lausanne 1977, ETH Lausanne.13. J.C.Jaeger , N.G.W.Cook: Fundamentals of Rock Mechanics, Science Paperback,

1977.14. G.Gudehus: Finite elements in Geomechanics, J.Willey&Sons, 1977.15. Grundlagen u.Anwendungen der Felsmechanik, Koloqium Karlsruhe 1978.16. K.Fukushima: Tentative design principles for tunnel supports,

Weak Rock Symposium Tokio 1981,927-932.

17. G.Feder: Zur Wirkungsweise und Gestaltung voll eingemortelter Stabanker,Tunnel 2/8218. @.Radosavljevi ć : Armirani beton I, Gra đ evinska knjiga , 1988.19. K. Kovary: Eing beitrag zum Bemessungsproblem von Utertagbauten, Schw.Bauz.

1969,87/37.20. M.Herzog: Die vereinfachte Bemessung des Tunnelausbaues, Die Bautechnik 8/1979.21. E.Hoek,E.T.Brown: Underground excavations in rock, Inst. of Mining and Metalurgy,1983.22. J. Talobre: La mechanique des roches, Dunod 1957.

prilog analitickom modelu ponasanja kruznog tunelskog iskopa

Documents