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tarea de matrices y determinantes

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DEFINICION

OBJETIVO

TIPOS DE MATRIS

MATRICES

OPERACIONES

MATRIZ DE ORDEN MAXIMO

ADICCION, MULTIPLICACI ON

EJERCICIOS

INTRODUCCION

El concepto de matriz alcanza mltiples aplicaciones tanto en la representacin y manipulacin de datos como en el clculo numrico y simblico que se deriva de los modelos matemticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenieras, economa, fsica, estadstica y las diferentes ramas de las matemticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el clculo numrico y, por supuesto, el lgebra.

DEFINICION DE MATRICESEsta dado por un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de nm elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas.

Reciben el nombre de matrices

Las caractersticas de los elementos del conjunto X dependern, en cada caso, de la naturaleza del problema que se est estudiando

puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de nmeros, etc. sern nmeros reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden nm (n filas y m columnas) porm. n*-En general, para representar una matriz A de orden nm se escribe. -Tambin se escribe para indicar que A es la matriz de orden nm que tiene elementos - Las matrices se denotan con letras maysculas y sus elementos con la misma letra minscula acompaada de dos subndices que indican su posicin en la matriz

OBJETIVOS DE LA MATRIZ

Conocer algunos tipos de matrices.

Conocer las principales operaciones con matrices. Conocer algunas aplicaciones del clculo matricial.

Conocer las facilidades del clculo matricial usando el programa Mathcad.

TIPOS DE MATRIZ

MATRIZ RECTANGULAR Si el numero de filas y el de columnas no coincide, es decir, mn EJEMPLO 2*4 1 2 3 4

MATRIZ FILA Si solo tiene una fila, es decir, m=1 EJEMPLO 1*5 A= a b c d e

A=

3 6 7 8

TIPOS DE MATRIZ

MATRIZ COLUMNA Si solo tiene una columna, es decir, n=1 EJEMPLO

MATRIZ CUADRANGULAR De orden n: si el numero de filas y el de columnas coinciden, es decir, m=n EJEMPLO a, e, i -> diagonal principal g, e, c -> diagonal secundario

A=

0 2 -4

A=

a b c d e f g h i

*Segn sus elementos

TIPOS DE MATRIZ CUADRANGULAR

MATRIZ IDENTIDAD O MATRIZ UNIDAD Si una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1. la matriz identidad de orden n se representa por n I EJEMPLO 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1 *Es la matriz idntica de orden 3

MATRIZ DIAGONAL es diagonal si ij a =0, para i j . Es decir, si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero

EJEMPLO0 0 0 A= 0 -4 0 0 0 4

*Es una matriz diagonal

TIPOS DE MATRIZ CUADRANGULARMATRIZ ESCALAR Si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que estn en la diagonal principal coinciden EJEMPLO 4 0 0 A= 0 4 0 0 0 4 *Es una matriz diagonal

OPERACIONES

ADICION SUSTRACCIO N

Sean matrices elementos cumplen:

La matriz y

es la suma de las , y se denota C = A + B, si sus

MULTIPLICACI ON

-Se denomina producto de una matriz por un nmero a una matriz cuyos elementos son de la forma

DIVICION

La divisin de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB

DETERMINANTES

DEFINICION

En matemticas se define el determinante como una forma nlineal alterna de un cuerpo.Esta definicin indica una serie de propiedades matemticas y generaliza el concepto de determinante hacindolo aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante tiene lugar en el campo del lgebra lineal y puede concebirse como una generalizacin del concepto de superficie o de volumen orientado. Fue introducido para estudiar el nmero de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

DETERMINANTESA cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| =

Determinante de orden uno |a11| = a11 |5| = 5

DETERMINANTESDeterminante de orden dos

DETERMINANTESDeterminante de orden tres Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

-

= 3 2 4 + 2 (-5) (-2) + 1 0 1 - 1 2 (-2) - 2 0 4 - 3 (-5) 1 = = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = = 44 + 4 + 15 = 63

Obsrvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE1.|At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0

Si:

Posee dos lneas iguales

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE1.Todos los elementos de una lnea son nulos.

2. Los elementos de una lnea son combinacin lineal de las otras.F 3 = F1 + F2

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre s dos lneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una lnea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un n real el valor del determinante no vara.

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE6. Si se multiplica un determinante por un nmero real, queda multiplicado por dicho nmero cualquier lnea, pero slo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna estn formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |AB| =|A||B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.