matematika 1. godina srednje skole

Click here to load reader

Post on 16-Jun-2015

80.345 views

Category:

Documents

50 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zbirka resenih zadataka iz matematika... za prvi razred srednje skole

TRANSCRIPT

1 VEKTORIU RAVNI Najjednostavnije reeno, vektori su usmerene dui. Osnovne karakteristike vektora su : -pravac -smer -intenzitet -poetak i kraj vektora Pravac vektora je prava na kojoj se on nalazi ali i sve prave paralelne sa njom, to vektoru dozvoljava da skae sa jedne na drugu paralelnu pravu. Smer vektora se zadaje strelicom. Intenzitet vektora je njegova duina i najee se obeleava saa A je poetak a B je kraj vektora . Obeleava sea AB = Kako se vektor zadaje? 1 2a a i a j = +r r r ilijednostavnije1 2( , ) a a a =r;intenzitet jea =2221a a +i ijsu jedinini vektori (ortovi) koji slue za izraavanje drugih vektora. i =(1,0)iintenzitet ovog vektora jei =1 j =(0,1) i takodje jej =1 2Kako izraziti vektor ako su date koordinate njegovog poetka i kraja? a =(x2-x1, y2-y1) i njegov intenzitet je onda21 221 2) ( ) ( y y x x a + = Sabiranje i oduzimanje vektora Za sabiranje i oduzimanje vektora imamo dva pravila: 1) Pravilo paralelograma Dva data vektora dovedemo na zajedniki poetak paralelnim pomeranjem.Nad njima kao stranicama oformimo paralelogram. Dijagonala paralelograma je njihov zbir (ona dijagonala koja polazi iz sastava ta dva vektora). 2) Pravilo poligona (nadovezivanja) Na kraj prvog vektora paralelnim pomeranjem dovedemo poetak drugog, na kraj drugog dovedemo poetak treeg vektora...... Rezultanta (njihov zbir)je vektor koji spaja poetak prvog i kraj zadnjeg vektora. Evo to na slici: 3 Na predlog je da upotrebljavate pravilo nadovezivanja, jer je po naoj proceni lake... Svaki vektor ima svoj suprotan vektor, koji ima isti pravac i intenzitet ali suprotan smer sa poetnim vektorom. aa- 0 = + a a i 0 ) ( = + a a Nula vektor 0je onaj iji se poetak i kraj poklapaju. Kako oduzeti dva vektora? Recimo da su dati vektoria i b ,.Postupak je slian kao kod sabiranja vektora(pravilo nadovezivanja) samo to umesto vektora+bna kraj prvog nanosimo -b . www.matematiranje.com 4 abba- Primer: 1)Date su dui ACiBD. Take E i F su sredine ove dve dui. Dokazati da je :EF CD AB 2 = + Reenje: Naravno da je ovde najbitnije nacrtati sliku i sa nje uraditi zadatak! ABCDEF Sad spojimo take koje formiraju vektore. ABCDEF Ideja je da se vektorEFizrazi na obe strane pa se te jednakosti saberu! BF AB EA EF + + =+DF CD EC EF + + = 2 CD AB EF + =jer su vektori EA i EC suprotni , pa se skrate a takoe su suprotni i vektori BF iDF pa se i oni skrate. 5 Raunski sabiranje i oduzimanje vektora ide vrlo lako: Ako je j a i a a2 1 + =to jest 1 2( , ) a a a =r ij b i b b2 1 + =, to jest1 2( , ) b b b =r a +b= 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) a a b b a b a b + = + +a -b =1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) a a b b a b a b = Dakle, radimo tako to saberemo (oduzmemo) koordinatu sa koordinatom. Mnoenje vektora skalarom (brojem) Proizvod skalara k i vektoraaje vektor k a(ilia k) koji ima isti pravac kao vektora , intenziteta k a k =i smer: - isti kao vektor aako je k>0 - suprotan od vektoraaako je k : , !!!!! , 7 kg 168 . 2) 7 , 15 . 12 ? : 7 .......... 15 X .......... 12 X . ....12dana Xcas......15dana .......... 7cas X 7? . , X 7 , 15 12. 12dana .... Xcas......15dana .......... 7cas : , 12 438, 8 45 . 3Xm kgm kg ........ 112165 .......... 66. 126 ........... 84 ......... 54obr Xzubobr zub 3612684 5484 54 126126 : 84 54 :== = =XXXXw Xsijw sij75 ..........60 .......... 15 127560 1560 15 7575 : 60 15 :== = =XXXX. 4340 . ........... 980 .......... 14din Xkgdin kg 629804340 144340 14 980980 : 4340 14 :== = =XXXX3) 66 kg 165 m . 112 kg ?

m XXXX28066165 112165 112 6666 : 112 165 :== = = 4) 54 84 . 126 . 5) 15 60w. 75 w ?

: , .

6) 14 kg 980 . 4 340 ?

kg 4Xmm ........ .15 1 10200 .......... sek min30sekXdana ziddana zid ......... 155 ......... 12dana XXXX41512 512 5 1515 : 12 5 :== = =Xa cevias cevi .......... 535 .......... 37) 30 10200 m. 1 . 15 ? 30..........10200m 1.15........Xm : !!!! 1 15 =60+15=75 m XXXX255003010200 7510200 75 3030 : 75 10200 :== = = 8) 5 . 15 ?

9) 35 . e ? ( ). as XXXX2153 353 35 55 : 3 35 :== = = 5Xa radas rad ... 108 ... 12000 . 120 : 000 . 150 =10 : 12 8 : = X10) 8 120.000 . 10 150.000 ? . 000 . 150 ... ... 10. 000 . 120 ... 8 ... 12din Xa raddin as rad . X 8. : Xa radas din ... 1500008 ... 102000 : din Xa raddin as rad150000 ... ... 10120000 ... 8 ... 12 : . : = = ' ' ' ' ' '' ' : asova XSkrati XX12!120000 10150000 12 8150000 12 8 120000 10= = = 11) 8 , 21 6 720 ; 28 , 7 1 260m ? profila Xdana radnik asprofila dana radnik as1260 ... ... 28 ... 7720 ... 6 ... 21 ... 8 X ' '' ', : Xdana asdana as .. 76 .. 8 Xdana raddana rad ... 286 ... 21 Xdana profdana prof .. 12606 ... 720 : prof Xdan rad asprof dan rad as1260 .. .. 28 .. 7720 .. 6 .. 21 .. 8 6Xdana raddana rad ... 528 ... 65Xdana raddana rad ... 93 ... 6 ' '' ' , . : 7 : 8 6 : = X 720 : 126028 : 21== dana Xskrati XX9720 28 71260 21 8 61260 21 8 6 720 28 7= = = 12) 65 23 . 15 13 . ? 65 ... 23 , 65 ... 8 . ?1513 23-15=8 . ' ' ' ' 65-13=52 : dana XXXX105265 865 8 5252 : 65 8 :== = = 13) 6 5 . 2 3 ? 6...5,6...3(5-2=3) ' '''.9... (6+3=9) dana XXX26 3 99 : 6 3 := = = 7 '''' : www.matematiranje.com 1p P G : 100 : =dinara PPPPp P G295 . 210085 700 . 285 700 . 2 10085 : 100 : 700 . 2: 100 :== = ==dinara GGGGp P G000 . 1620100 200 . 3100 200 . 3 2020 : 100 200 . 3 :: 100 :== = ==Procentni raun ta je ta u proporciji? G je glavnica, (celina), ono to ''na poetku'' i na njega se uvek odnosi 100%. deo glavnice (celine), ono to je ''na kraju'' i na njega s odnosip %. Naravno, Nekad moe biti vee od G. p -je uvek u procentima, i t:k u zadatku kae da se neto poveava za %, onda p =(100+)%. u zadatku kae da se neto smanjuje za %, onda p =(100-)% U datom zadatkuiz procentnog rauna, mi najpre odredimo ta nam je zadato: G, P ili p . Ubacimo te podatke u G:P=100:pi nadjemo nepoznatu. 1) Trideset procenta jedne duine iznosi 42cm. kolika je duina itave dui? cm Gskrati GGGp P G14030100 42100 42 3030 : 100 42 :: 100 :== === 2) Cena cipela je 2.700dinara. Koliko e biti cena nakon snienja od 15%? PAZI: Popust je 15%, znai da jep =100-15=85% 3) Posle prelaska na novo radno mesto jednom radniku je plata poveana za 20%. Kolika mu je bila plata ako je to poveanje 3.200 dinara? Pazi: 20%se odnosi samo na poveanje od 3.200dinara, pap nije (100+20)% jer se ne odnosi naplatu sa poveanjem!!! www.matematiranje.com 2000 . 200 . 1106000 . 200 . 127100 000 . 272 . 1 106106 : 100 000 . 272 . 1 :: 100 :== = ==GGGGp P G4) Cena knjigesniena je za10%, a zatim za 20% i sada iznosi 288 dinara. Kolika je cena bila pre prvog snienja? % 10 ? % 20 288din. Ovde e mo nai najpre cenu knjige pre drugog snienja. (unazad) dinara GGGGp P G36080100 288100 288 8080 : 100 288 :: 100 :== = == ? % 10 360din. % 20 288din. Sad traimo poetnu cenu: dinara GGGGp P G40090100 360100 360 9090 : 100 360 :: 100 :== = == 5) Sa 6% zarade roba je prodata za 1.272.000. Kolika je nabavna cena robe. % 106 6 100 = + = p jer je zarada www.matematiranje.com 3% 8500 . 6100 520100 520 500 . 6: 100 520 : 500 . 6: 100 :== = ==ppppp P Gy xy y x25 , 125 , 0=+ =1400 100 32 12100 1400 32 12 = += + +x x xx x x1400 56 = x6) Nagrada radniku po jednom asu od 6.500dinara poraste na 7.020 dinara. Koliko je to u procentima? P=7.020-6.500 P=520 7) Jedna knjiga je za 25% skuplja od druge knjige. Za koliko procenta novu cenu treba smanjiti da bi se vratila na staru cenu? Neka je x-cena prve knjige, y-cena druge knjige. x=y+25%y, kako je 25%= 25 , 010025==>x yx xxy% 25 , 18 , 025 , 1125 , 1== = = 8) Na kontrolnoj pismenoj vebi bila su data tri zadatka. Pri tome 12% uenika nije reilo ni jedan zadatak, 32% uenika reilo je jedan ili dva zadatka, dok je14uenika reilosva tri zadataka. Koliko je ukupno uenika radilo vebu? Obeleimo sa x broj uenika. 12%x +32%x+14=100%x x x x = + + 141003210012; PAZI:1100100% 100 = = mnoimo celu jednainu sa 100

2556400 . 1==xx www.matematiranje.com 49) Tek oboreno stablo bilo je teko 2,25 tona i sadralo je 64% vode. Posle nedelju dana to stablo je sadralo 46% vode. Za koliko se promenila teina stabla za tu nedelju? 36% suva materija 64% voda 2,25 tona 54% suva materija 46% voda

Najpre emo izraunati koliko u 2,25 tona ima suve materije koja se NE MENJA!! tona PPPPp P G81 , 010036 25 , 236 25 , 2 10036 : 100 : 25 , 2: 100 :== = == Ova suva materija je ostala, pa se odnosi na 54%stabla tona GGGGp P G5 , 154100 81 , 0100 81 , 0 5454 : 100 81 , 0 :: 100 :== = == Znai da sad stablo ima 1,5 tona pa je smanjenje 2,25-1,5=0,75 tona www.matematiranje.com 5x xx x xx x xx x x x96 , 024 , 0 2 , 1) 2 , 1 ( 2 , 0 2 , 12 , 1 % 202221= = == + =x xx x xx x xx x x x96 , 016 , 0 8 , 0) 8 , 0 ( 2 , 0 8 , 08 , 0 % 2 , 02221= = + == =10) U prvoj prodavnici koulja je prvo poskupela za 20%, a onda je pojeftinila za isti procenat. U drugoj prodavnici je ista takva koulja prvo pojeftinila za 20%, a onda poskupela za isti procenat. U treoj prodavnici nisu menjali cene. U kojoj prodavnici je sada ta koulja najjeftinija? Obeleimo sa x cenu koulje. 1. Prodavnica: Poskupljenje 20% => Pojeftinjenje 20% => Cena je za 4% nia 2. Prodavnica: Pojeftinjenje 20% => Poskupljenje 20% =>

Cena je za 4% nia Zakljuak: U treoj prodavnici je cena NAJ VIA www.matematiranje.com 1}} k yk xy x7137 : 13 :== =6120 20120 7 13= == +kkk kkg ykg x42 6 778 6 13= == =Raun Meanja Uradimo najpre jedan uopteni zadatak koji e nam pomoi da reimo ostale takve zadatke. 1) Treba promeati dve vrste robe, ije su cene a dinara po kgi b dinara po kg, da bi se dobila roba po ceni od c dinara po kg,a c b < < . Odrediti u kojoj razmeri treba meati ove dve vrste robe. ac-b C ema ba-c Ako uzmemo X kg robe po cenu od a dinara, y kg po cenu od b dinara, onda je ) ( : ) ( : c a b c y x = 2) Na skladitu ima kafe po ceni od 75 dinara po kg i od 55 dinara po kg. Napraviti 120 kg meavine koja e se prodavati po 68 dinara po kg. x kgpo75 dinara =>kg y x 120 = +y kgpo55 dinara 7568-55=13 68 5575-68=7

www.matematiranje.com 2kg y xy x y x120) ( 68 55 75= ++ = + 120120 68 55 75= + = +y xy x1208160 55 75= += +y xy x8160 55 75 90008160 55 ) 120 ( 75= + = + y yy y840 209000 8160 55 75 = = + yy ykg y 42 =C040C025k yk xy x10510 : 5 :== =90 10 5 = + k k690 15= =kkNaravno, ovaj zadatak moemo reiti i pomou sistema jednaina: -------------------------------- --------------------------------

-------------------------------- = y x 120Izrazimo jednu nepoznatu i zamenimo u drugu jednainu

kg xx7842 120= = 3) Koliko vode temperatureC040 i vode temperatureC025 treba pomeati da se dobije 90 litara vode temperatureC030 ? Obeleimo:X litara => l y x 90 = + Y litara 4030-25=5 30 2540-30=7

Preko sistema jednaina bi bilo: 9030 90 25 40= + = + y xy x www.matematiranje.com 3k yk xy x201620 : 16 :== =144 20 16 = + k k144 = + y x4144 36= =kkl yl x80 4 2064 4 16= == =0 16 10 2 2250 50 50 50 66 60 48 72) ( 50 66 60 48 72= + + + + + = + + ++ + + = + + +t z y xt z y x t z y xt z y x t z y x4) Koliko treba uzeti sumpurne kiseline jaine 52%, a koliko jaine 88% da se dobije meavina od 144 litara, jaine 72%? Obeleimo: xl jaine 52%

yl jaine 88% 5288-72=16 72 8872-52=20

PAZI: Kad meamo robu sa 3 ili vie razliitih cena, ema ne pomae 5) Preduzee ima 4 vrste brana po cenu od 72 dinara, 48 dinara, 60 dinara i 66 dinara po kilogramu. Koliko treba uzeti od svake vrste da cena bude 50 dinara po kilogramu Obeleimo: x kgpo 72 dinara y kgpo 48 dinara z kgpo 60 dinara t kgpo 66 dinara

Ovde moemo napraviti veliki broj razmera!! ? : : : = t z y xKako ? www.matematiranje.com 4Dve nepoznate uzmemo proizvoljno a etvrtu izraunamo: y=24, z=1 t=1 Proizvoljno biramo 0 16 10 48 22 = + + x 22 22 = x 1 = x Dakle x:y:z:t=1:24:1:1 www.matematiranje.com 1360001200100d p KIm p KIg p KI = = =36500d p KI =PROST KAMATNI RAUN

ili K- je kapital, odnosno koliko para uloimo p je interesna stopa ( u procentima ) g je broj godina m je broj meseci d je broj dana I je interes, odnosno dobit Koju emo od ove 3 (4) formule koristiti zavisi od vremena na koje se novac ulae. Formule za dane ima dve, koristi onu koju koristi tvoj profesor. 1) tedia je uloio 540000 na tednju sa 7.5% kamatne stope. Koliko e kamate dobiti tedia posle 4 godine? 4% 5 , 7. 540000===gpdin K Naravno, poto je vremenski period dat u godinama, koristiemo formulu: 100 g p KI =000 . 1621004 5 , 7 000 . 540= =II www.matematiranje.com 2din IIm p KImpdin K288012004 8 000 . 10812004% 8. 000 . 108= = ====50503650080 936500? ?600 . 23480% 9= = = == == +==KKIskratiKId p KII KI Kdp600 . 234 50 = + I I600 . 234 51 = I4600 = I000 . 230 4600 50 = = K2) Koliko kamate donosi ulog od 108.000 dinara, po 8% kamatne stope za 4 meseca? 3) Kolika je kamata na dug od 75.000 dinara sa 6% za 80 dana? din IId p KImpK100003600080 6 750003600080% 6. 000 . 75= = ==== 4) Zajedno sa kamatom 9% za 80 dana poverilac je primio 234.600 dinara. Koliki je kapital, a kolika je kamata? I Zamenimo u www.matematiranje.com 3din I Kdp500 . 12175% 6= +==vratimoKIskratitiKId p KIK803600075 636000?= = ==000 . 120 81000 . 720 . 9 8080 / 500 . 12180== + = +KK KKK5) Sa 6% kamate jadan ulog poraste za 75 dana na sumu 121.500 dinara. Koliki je ulog?

------------------------ K=81120000 www.matematiranje.com Raun podele (trik sa K) 1) Dva sumplementna ugla su u razmeri 5:7. Odrediti te uglove Neka su i traeni uglovi. }} kk757 : 5 :== = (suplementi) o180 = +

00001512180180 12180 7 5==== +kkkk k

Kada nadjemo K vratimo se u i .

0 00 0105 15 775 15 5= == = 2) Podeliti du od 456m na tri dela ije e duine biti redom proporcionalne brojevima 12789,32i Neka su delovi redom x,y,z127:89:32=k x32= k y89=k z127=

m kkk k kk k km z y x19210944 5724 456 14 27 1624 / 4561278932456= = = + + = + += + + ___________ m zmm112 19227216 19289128 19232= == == = x y 1www.matematiranje.com 3) Tri elektrina otpornika vezana u seriji stoje u razmeri 2:3:4. Ukupan otpor je 24 oma. Koliki su pojedini otpori? Neka su otpori redomx,y i z . Poto su vezani u seriji: z y x 7 : 3 : 2 : : =24kkk732==== == + +zyx224 1224 7 3 2= + + z y x

= = = = = =14 2 76 2 34 2 2zyx kk k k k PAZI: Ako su vezani paralelno (fizika) 3 2 11 1 1 1R R R R+ + = 4) Zoran, Dusan i Nikola su nasledili sumu od 277.500 dinara. Prema testamentu, delovi koje dobijaju Zoran i Duan odnose se kao 3:2, a deo koji pripada Nikoli, prema Zoranovom delu, stoji u razmeri 4:5. Koliko je svoki od njih nasledio? Ovde imamo problem da napravimo razmeruPoto se na Zorana u prvoj razmeri odnosi 3, a u drugoj 5, moramo proiriti razmere da se u obe na Zorana odnosi isti broj. Kako je zajedniki za 3 i 5 broj 15 to emo prvu razmeru proiriti sa 5, a drugu sa 3. Z : D = 3 : 2 = 15 : 10 N : Z = 4 : 5 = 12 : 15 Sada je Z:D:N=15:10:12 pa je Z=15 k Poto je Z+D+N= 277500 D=10 k15k+10k+12k= 277500 N=12 k37k=277500Pa je k=37277500=7500

Z=15*7500=112500 ;D=10 *7500=75000 iN=12*7500=900002www.matematiranje.com 5) Sumu od728000 dinara podeliti na tri lica tako da svako sledee dobija 20% vie od prethodnog? Neka 1. lice treba da dobije X dinara 1. lice xdinara2. lice x x x x x 2 , 1 2 , 0 % 20 = + = + 3. lice x x x x x 44 , 1 24 , 0 2 , 1 ) 2 , 1 %( 20 2 , 1 = + = + 000 . 728 44 , 1 2 , 1 = + + x x x000 . 728 64 , 3 = x

000 . 20064 , 3000 . 728==xx Dakle: . 288000 200000 44 , 1240000 200000 2 , 1. 200000dindindin= = 1.lice2.lice 3.lice 31Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima Najvei zajedniki delilac i najmanji zajedniki sadralac polinoma NZDpolinoma P i Q je polinom D koji ima najvei stepen medju polinomima koji su delioci i polinoma P i polinoma Q. NZSpolinoma P i Q je polinom S koji ima najmanji stepen medju polinomima koji su deljivi i polinomom P i polinomom Q. Primer 1:Nadji NZS i NZD za polinome: 2 3 ) (2 ) (4 ) (222+ = = =x x x Rx x x Qx x P Prvo moramo svakiod njih rastaviti na inioce (naravno , upotrebom postupka navedenog upoglavlju : Transformacije algebarskih izraza).

) 2 )( 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 3 ) () 1 )( 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 2 2 ) () 2 )( 2 ( 2 4 ) (2 22 22 2 2 = = + = + =+ = + = + = =+ = = =x x x x x x x x x x x Rx x x x x x x x x x x Qx x x x x P NZDje ustvari PRESEK, odnosno onaj koji ga ima u svakom od polinoma. Ovde je to oigledno x-2. Dakle: NZD = x-2 NZS je unija. On mora biti deljiv sa sva tri polinoma. Dakle: NZS = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) Primer 2:Nadji NZS I NZD za polinome : 2 22 222 b ab a Rb a Qab a P+ = = = 2 2 22 22) ( 2) )( () (b a b ab a Rb a b a b a Qb a a ab a P = + =+ = = = = NZD = ) ( b ajer ga ima u sva tri NZS = + ) ( ) (2b a b a adeljiv sa sva tri 2____ __________ __________ __________ __________ __________ __________2 2 3 3 32 22 2 2) 2 4 )( 2 ( ) 2 ( 8) 2 )( 2 ( 4) 2 ( 4 4b ab a b a b a b ab a b a b ab a b ab a+ + = + = ++ = + = + + Primer 3:Nadji NZS I NZD za polinome: 22y xy Bxy x A+ = = __________

) () (y x y By x x A+ = = NZS = ) )( ( y x y x xy + ta emo sa NZD? Nema inioca koji se sadri u A i B. U takvoj situaciji NZD = 1 , a za polinome kaemo da su uzajamno prosti. Primer 4:Nadji NZS I NZD za polinome: ____ __________ __________2225 30 9100 3615 9= + = = +a aaa ________ __________ __________ __________ __________ __________ __________2 2 22 2) 5 3 ( ) 25 30 9 ( 25 30 9) 5 3 )( 5 3 ( 4 ) 25 9 ( 4 100 36) 5 3 ( 3 15 9 = + = + + = = + = +a a a a aa a a aa a NZS 2) 5 3 )( 5 3 ( 12 + = a a Primer 5: Nadji NZS I NZD za polinome: NZS) 2 4 )( 2 ( ) 2 (2 2 2b ab a b a b a + + = Primer 6: Nadji NZS I NZD za polinome: ____ __________ __________ __________2 22 3 42 3) 4 ( 3 12 320 20 512 12 3= = = + += + x n n nxx x xx x x 3________ __________ __________ __________ __________ __________2 22 2 2 2 2 3 42 2 2 3) 2 )( 2 ( 3 ) 4 ( 3 12 3) 2 ( 5 ) 4 4 ( 5 20 20 5) 2 ( 3 ) 4 4 ( 3 12 12 3+ = = + = + + = + + = + = + x x n x n n nxx x x x x x x xx x x x x x x x NZS2 2 2) 2 ( ) 2 ( 15 + = x x nx Primer 7: Nadji NZS I NZD za polinome: __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________2 2 2 32 2 2 32 2 2 4 4) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1) 1 )( 1 )( 1 ( 2 ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 2+ = + = + + + + = + + + = + + ++ + = + = = a a a a a a a aa a a a a a a aa a a a a a a NZS) 1 )( 1 )( 1 ( 22+ + = a a a Kako upotrebiti NZS? 1)Uprosti izraz: =++ abb aab abb aba2 2 najpre treba svaki imenilac rastaviti na inioce= =++ abb ab a abb a ba) ( ) ( zatim nadjemo NZS za imenioce ,to je) ( b a ab i izvrimoproirenje razlomka. Kako da znamo koji sa kojim da proirimo? Gledamo imenilac i NZS, ta je viak,sa tim proirimo. Tako prvi sabirak irimo saa , jer je viak kad gledamo) ( b a ab i) ( b a b drugi sab a trei sa) ( b a . Dakle: ) (2) (2) ( ) () () () )( (2 2 2 2 2 2 2 2 2b a abb a abbb a abb a b ab a abb a b ab a abb a b a b b a a== + += +== + + = Pre poetka (ili po zavretku) rada treba postaviti uslove zadataka. Poto deljenje nulom nije dozvoljeno to nijedan u imeniocu ne sme biti nula, tj. ; 0 a ; 0 b b a b a 0 2) Uprosti izraz: x x x x x +++2 2 2112 1 =+++ +=+++ ) 1 (1) 1 )( 1 (2) 1 (1 112 12 2 2x x x x x x x x x x xta je problem? Izrazi) 1 ( x +i) 1 (+ x nisu, jer vani komutativni zakon) ( A B B A + = + , ali izrazi ) 1 ( x i(1-x) jesu. Taj problem emo reiti tako to jedan od ta dva izraza okrenemoi izvuemo minus ispred, jer vai da je) ( A B B A = 40) 1 )( 1 (0) 1 )( 1 (1 2 1) 1 )( 1 () 1 ( 1 2 ) 1 ( 1) 1 (1) 1 )( 1 (2) 1 (1=+ =+ + +=+ + + ==+++ =x x xx x xx x xx x xx x xx x x x x x Naravno, uslovi zadatka su:

; 0 x ; 1 0 1 x x 1 0 1 + x x 3) Uprosti izraz:

21 246212+++aaaaaa =+++21 246212aaaaaa =+ +++21 2) 2 )( 2 (621aaa aaaa =+ + + + +) 2 )( 2 () 2 )( 1 2 ( 6 ) 2 )( 1 (a aa a a a a Pazi na znak ispred zagrade!!!

Uvek pokuaj da na kraju rastavi i brojilac, jer moda ima neto da se skrati!!! Uslovi zadatka su: 2 0 22 0 2 +a aa a =+ + ) 2 )( 2 (22a aa a2 +aa=+ + + + + ) 2 )( 2 (2 4 2 6 2 22 2a aa a a a a a a=+ + + + ) 2 )( 2 () 2 4 2 ( 6 ) 2 2 (2 2a aa a a a a a a=+ ) 2 )( 2 () 2 (a aa a54) 2 31 221 312+ ++ x xxxxxx=? =+ ++ 2 31 221 312x xxxxxx Izdvojiemo i rastaviti na stranu ) 1 )( 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 2 2 32 2 = = + = + x x x x x x x x x x= ++ ) 1 )( 2 (1 221 31 x xxxxxx = + + ) 2 )( 1 () 1 2 ( 1 ) 1 )( 1 3 ( ) 2 (x xx x x x x Pazi na minus!!! = + + + ) 2 )( 1 (1 2 ) 1 3 3 ( 22 2x xx x x x x x = + + + + ) 2 )( 1 (1 2 1 3 3 22 2x xx x x x x x = + ) 2 )( 1 (4 22x xx x 12) 2 )( 1 () 2 ( 2= xxx xx x Uslovi zadatka: 2 0 21 0 1 x xx x 5) 25225 10125 1012 2 2++ ++ + x x x x x=? =++ ++ + 25225 10125 1012 2 2x x x x x 2 222 222 22 22 22 2 22 22 2 22 2) 25 (4) 5 ( ) 5 (4) 5 ( ) 5 (50 2 50 2) 5 ( ) 5 () 25 ( 2 25 10 25 10) 5 ( ) 5 () 25 ( 2 ) 5 ( 1 ) 5 ( 1) 5 )( 5 (2) 5 (1) 5 (1= +== + += + + + + + + = + + + + =+ +++xxx xxx xx xx xx x x x xx xx x xx x x x 6Uslovi zadatka: 5 0 55 0 5 +x xx x Mnoenje i deljenje racionalnih algebarskih izraza se radi kao i kod obinih razlomaka, s timda prvo moramo svaki rastaviti na inioce. Dakle: D BC ADCBA= iCDBADCBA = : 1)=+ + +a aa aaa a22221 21? prvo svaki rastavimo na inioce !!!=+++ ) 1 () 1 () 1 )( 1 () 1 (2a aaa aa aSkratimoDCBA 11111= =Uslov zadatka: 0 12 ai 02 + a a1 a ,1 a 0 , a 2)=+abab b aab aab a2 222 b ab aabb a abb a ab a a ==++1) () () ( Uslov zadatka: 0 , 0 , 0 + b a b a 3)=+95:3252222xx xx xx? =+ + + ) 3 )( 3 () 5 (:) 3 () 5 )( 5 (x xx xx xx x 2) 3 ( ) 5 () 5 () 3 )( 3 () 3 () 5 )( 5 (xx xx xx xx xx x + =+ + + Uslovi: 0 3 , 0 3 , 0 + x x x3 , 3 x x 4) 4 24 422 22 1:2 1 m mb am mb a+ + ++=? =+ + ++4 24 422 22 1:2 1 m mb am mb a 7) )( () 1 () )( )( () 1 ( ) 1 () 1 () 1 () )( (:) 1 (22 22 222 22 22 2 2 222 2b a b amb a b a b am mmb amb a b amb a+ =+ + + ++=+ ++ Uslov zadatka:, 1 , , m b x b x , 1 x 5) ac b c aab c b a222 2 22 2 2+ ++ +=? =+ ++ +ac b c aab c b a222 2 22 2 2pretumbajmo ih prvo = + + + +2 2 22 2 222b c ac ac b ab aprva tri ine pun kvadrat = + +2 22 2 2) () (b c ac b aupotrebimo sad razliku kvadrata b c ac b ab c a b c ac b a c b a + +=+ + ++ + +) )( () )( ( Uslov:0 + b c ai 0 + + b c a 6)Skrati razlomak:2 36 522+ + x xx x =+ + 2 36 522x xx x=+ + 2 26 2 322x x xx x x 13) 1 )( 2 () 2 )( 3 () 2 ( 1 ) 2 () 3 ( 2 ) 3 (= = =xxx xx xx x xx x x Uslov:0 2 x 0 1 x 7)=+ ++++ xyyxxy xyy x xy yx2 :22 2? y x y xxyy x xyy xxyy xy xy x xyy xy xxyy xy xy x xyy x x y yx+=+=+ ++ = + ++++1) ( ) () (2:) (22:) (2) (222 2 2 22 2 Uslovi:, 0 x , 0 y , 0 + y x 0 y x 88)=+++ 24:442 3 62aaaaaaaa =+ +++ 24:) 2 )( 2 (42 ) 2 ( 3 aaa aaaaaa PAZI: Moramoa 2 da okrenemo:) 2 ( 2 = a a , pa (-) izlazi ispred!!! ) 4 ( 32) 4 )( 2 ( 3) 2 ( 2) 4 )( 2 ( 34 2) 4 )( 2 ( 312 6 3 242) 2 )( 2 ( 312 ) 2 ( 3 ) 2 (42) 2 )( 2 (42 ) 2 ( 322 2= ++= + += ++ + =+ + + + =+ +++aaa aa aa aa aa aa a a a aaaa aa a a a aaaa aaaaaa Uslovi:, 2 a , 2 a 4 a 9) Uprosti izraz: =++++++++++16 8 4 21161814121111x x x x x x Ovaj zadatak ne moemo reiti klasino, probajmo da saberemo prva dva: 212) 1 )( 1 (1 11111x x xx xx x =+ + +=++ Dodajemo mu trei sabirak: 4 42 22 22 22 21412 2 2 2) 1 )( 1 () 1 ( 2 ) 1 ( 21212x xx xx xx xx x = + +=+ + +=++ Ovo radi!!! 8 2 42 24 418) 1 )( 1 (4 4 4 41414x x xx xx x =+ + +=++ Idemo dalje: 16 8 88 88 8116) 1 )( 1 (8 8 8 81818x x xx xx x =+ + +=++ Konano: 32 16 1616 1616 16132) 1 )( 1 (16 16 16 16116116x x xx xx x =+ + +=++ 9Uslovi:0 1 xi 0 1 + x 10) Pokazati da vrednost izraza ne zavisi od a,b,c id ) (411:114c a abc bbacba+ ++++ =+ ++++) (411:114c a abc bbacba =+ ++++) (411:114c a abc bbabcbca Pazi: BCADDCBA==+ ++++) (41:14c a abc b abbbcca =+ +++ + +) (4 114c a abc b babbcc a abc =+ +++ + +) (4 1 ) 1 ( 4c a abc b babc a abcbc =+ ++ ++ +) (4) () 1 )( 1 ( 4c a abc b c a abc bab bc Izvuemo gore 4 kao zajedniki [ ] =+ + + +) (1 ) 1 )( 1 ( 4c a abc bab bc [ ]4) () ( 4) (1 1 42=+ ++ +=+ + + + +a c abc ba c abc bc a abc bab bc c ab 1011) Ako je0 = + + c b adokazati da jeabc c b a 33 3 3= + + Dokaz: Podjimo od 0 = + + c b a c b a = +kubirajmo ovo

3 3) ( ) ( c b a = + 3 3 2 2 33 3 c b ab b a a = + + +

c b a c b a ab b a = + = + + +3 3 3) ( 3 ovo iz a+b+c=0, zamenimo

abc c b ac abc b a333 3 33 3 3= + + = + 12) Ako je01 1 1= + +c b a Dokazati da je: 3 =+++++cb aba cac b Dokaz: Podjimo od: c aba bc b a11 1 1 =+ = + cabb a = + / Podelimo sa C da bi napravili izraz iz zadatka Slino e biti: 22bcaba cabcac b =+ =+ =+++++cb aba cac b = 2 2 2cabbacabc Priirimo ih redom sa, a bi c= 3 3 3cabcbabcaabcizvuemoabc + + =3 3 31 1 1c b aabc Ajde ovo da nadjemo!!! 3/()1 1 1c b a = +3 3 2 2 31 1 1 131 131c b b a b a a = + + +2cabcb a =+ 113 3 31 1 1 3 1 1c b a ab b a = + + +3 3 31 1 3 1 1c c ab b a = + +3 3 31 3 1 1c abc b a = +abc c b a3 1 1 13 3 3+ = + +Vratimo se u zadatak: 331 1 13 3 3 = =+ + =abcabcc b aabc Malo je zeznuto, pa prouavajte paljivo! 1) ( 5 5 5 b a b a + = +) 2 ( 2 4 2 b a b a + = +) 1 (2 = a a a a) 2 ( 7 7 142 2 3a b ab b a ab = Transformacije algebarskih izraza Kako dati izraz rastaviti na inioce? Prati sledei postupak: 1)Izvui zajedniki iz svih ispred zagrade, naravno, ako ima ( distrubutivni zakon ) 2)Gledamo da li je neka formula: 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 23 3( )( ) RAZLIKA KVADRATA2 ( ) KVADRAT BINOMAili ako vam je lake2 ( )2 ( ) KVADRAT BINOMAili ako vam je lake2 ( )A B A B A BI I II II I II A AB B A BI I II II I II A AB B A BA B = + + + = + + + = + + = + = 2 23 3 2 23 3 2 2 33 3 2 2 3( )( ) RAZLIKA KUBOVA( )( ) ZBIRKUBOVA( ) 3 3 KUB ZBIRA( ) 3 3 KUB RAZLIKEA B A AB BA B A B A AB BA B A A B AB BA B A A B AB B= + + + = + + + = + + + = + 3) Ako nee nita od ove dve stavke, sklapamo 2 po 2, 3 po 3. itd. PRIMERI Izvlaenje zajednikog ispred zagrade: 1)2)PAZI: Kad vidimo da nita ne ostaje piemo 1. 3)4) b b b a 2 7 b a a 7 Ako nije jasno ta treba izvui ispred zagrade, moemo svaki lan rastaviti: b b b a ab = 2 7 143 i = b a a b a 7 72 Zaokruimo (podvuemo) iste i izvuemo ispred zagrade a one koje su ostali stavimo u zagradu!!! 5) ) 1 2 ( 3 3 2 3 33 6 32 2 + = + = + y x xy y x y y x y x xxy xy y x WWW.MATEMATIRANJE.COM 2 6)= + 3 3 3 2 2 39 15 18 b a b a b a= + b b b a a a b b b a a b b a a a 3 3 3 5 3 6) 3 5 6 ( 32 2ab b a b a + = Naravno, moemo razmiljati i ovako: Za 18, 15 i 9zajedniki je 3 Za 3a ,2ai3azajedniki je 2ai Za 2b ,3bi 3bzajedniki je 2b Dakle, ispred zagrade je 2 23a b . 7)) 1 (1 1a a a a a a ax x x x x+ = + = ++ 8)) 1 (1 1 = = + m m ma a a a a a a9) a a a ax x x x x 12 4 12 42 2+ = ++ ) 3 ( 42+ = x xa

10) 1 3 2 1 3 216 12 16 12 x x x x x xn n n n + = ++ + ) 4 3 ( 42+ = x x x xn n ) 4 3 ( 42 1+ =+ + n nx xU zadacima 7, 8, 9 i 10 smo koristili pravila za stepenovanje.!!! UPOTREBA FORMULA: 2 2( ) ( ) A B A B A B = +1)) 2 )( 2 ( 2 42 2 2+ = = x x x x2)) 3 )( 3 ( 3 92 2 2a a a a + = = 3)) 1 )( 1 ( 1 12 2 2+ = = x x x x4)) 12 )( 12 ( 12 1442 2 2+ = = y y y y5)) 3 2 )( 3 2 ( 3 ) 2 ( 3 2 9 42 2 2 2 2+ = = = x x x x xPazi: Da bi upotrebili formulu za razliku kvadrata SVAKI lan mora da je na kvadrat. 6)) 4 5 )( 4 5 ( ) 4 ( ) 5 ( 4 5 16 252 2 2 2 2 2 2 2y x y x y x y x y x + = = = 7) 2 22 2 2 22 21 9 1 3 1 3 1 316 25 4 5 4 5 4 5x y x y x y x y| || | = = + | |\ .\ . 8)) )( ( ) ( ) (2 2 2 2 2 2 2 2 4 4y x y x y x y x + = = ) )( )( (2 2y x y x y x + + = www.matematiranje.com 3x x ABB Bx A x A8 4 2 24 1622 2= = = == =2 2) 4 ( 16 8 + = + + x x xx x ABB Bx A x A10 5 2 25 2522 2= == == = Dakle: 4 4 2 2( )( )( ) x y x y x y x y = + + ZAPAMTI!!! 9) 4 4 4 41 2 1 16 = a a

4 41 ) 2 ( = a , ako iskoristimo prethodni rezultat: x a = 2iy = 1) 1 4 )( 1 2 )( 1 2 () 1 ) 2 )(( 1 2 )( 1 2 (22 2+ + =+ + =a a aa a a 2 2 22 ( ) A AB B A B + + = +i 2 2 22 ( ) A AB B A B + = 1)= + + 16 82x xGledamo prvi i trei lan jer nam oni daju 2Ai 2B , a onaj u sredini proveravamo da li jeB A 2 Kako je Pa je

2) 2 2) 5 ( 25 10 = + x x xjer je

2A2B Proveri da li je 2AB 3) 2 2) 8 ( 16 64 y y y + = + +4) 2 2 2) 2 ( 4 4 b a b ab a + = + +5) 2 2 2) 3 ( 9 6 b a b ab a = + 6) 2 2 24 20 25 (2 5 ) x xy y x y + = 7) 2 20, 25 0,1 0, 01 (0, 5 0,1 ) a a a + = jer je

a B a BA A1 , 0 01 , 05 , 0 25 , 02 22= == = 8) 2 2 2) 2 2 , 0 ( 4 8 , 0 04 , 0 b a b ab a + = + + 3 3 2 2( ) ( ) A B A B A AB B = + +Najpre se podsetimo da je: 31 1= , 32 8 = , 33 27 = , 34 64 = , 35 125 = , 36 216 = , 37 343 = 1)= 83x da bi mogli da upotrebimo formulu oba lana moraja biti na trei 3 3 32 8 = x x Znai x-je A, 2 je B pa zamenjujemo u formulu: ) 4 2 )( 2 ( ) 2 2 )( 2 ( 2 82 2 2 3 3 3+ + = + + = = x x x x x x x x www.matematiranje.com 4( )) 19 8 )( 1 () 4 6 2 9 6 )( 1 (2 2 ) 3 ( ) 3 ( ) 2 3 (222 2+ + + =+ + + + + + =+ + + + + =a a aa a a aa a a2)) 36 6 )( 6 ( ) 6 6 )( 6 ( 6 2162 2 2 3 3 3+ + = + + = = x x x x x x x x 3)) 4 16 )( 4 ( ) 4 4 )( 4 ( 4 642 2 2 3 3 3y y y y y y y y + + = + + = = 4)= = = 3 3 3 3 3 31 ) 5 ( 1 5 1 125 x x xPazi ovde se najee napravi greska:x A 5 = , 1 = B( )2 21 1 5 ) 5 ( ) 1 5 ( + + = x x x ) 1 5 25 )( 1 5 (2+ + = x x x5)= + = +3 3 32 ) 3 ( 8 ) 3 ( a a pazi:3 a A + = ,2 B =

3 3 2 2( )( ) A B A B A AB B + = + + 1) 3 3 3 3 2 2 2343 7 ( 7)( 7 7 ) ( 7)( 7 49) x x x x x x x x + = + = + + = + +2) ( )3 3 3 2 2 264 1 (4 ) 1 (4 1) (4 ) 4 1 1 (4 1)(16 4 1) a a a a a a a a + = + = + + = + +3) ( )3 3 3 3 2 2 2 227 (3 ) (3 ) (3 ) 3 (3 )(9 3 ) x y x y x y x x y y x y x xy y + = + = + + = + +4)| |2 2 3 3) 2 ( ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 1 ( + + + + + = + + y y x x y x y xB A | || || | 7 5 4 ) 1 (4 4 2 2 1 2 ) 1 (4 4 ) 2 2 ( 1 2 ) 1 (2 22 22 2+ + + + =+ + + + + + + =+ + + + + + =xy y y x x y xy y y x xy x x y xy y y x xy x x y x 5)( ) ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 6 6y y x x y x y y x x y x y x y x + + = + + = + = + Redje se koristi da je: 3 2 2 3 33 3 ( ) A A B AB B A B + = 1) = + + +| |||333Pr2Pr2 36 12 8BoverioveriAy xy y x x ako je 3 38x A =ondax A 2 =i3 3y B =pa jey B =3) 2 ( y x + =2) 3 2 2 3) 4 ( 64 4 12 y x y xy y x x = + jer je y B B yx A x A4 643 33 3= == = 3) 3 2 2 3 3125 150 60 8 (5 2 ) a a b ab b a b + + + = + www.matematiranje.com 5SKLAPANJE 2 po 2 U situaciji kad ne moemo izvui zajedniki, niti upotrebiti neku formulu, koristimo sklapanje 2 po 2. Primeri: 1)= + + + ay ax y x 2 2izvlaimo ispred zagrade zajedniki za prva dva, pa druga dva. ) 2 )( ( ) ( ) ( 2 a y x y x a y x + + = + + + 2)= + by ay bx ax 12 8 9 6 3 (2 3 ) 4 (2 3 ) (2 3 )(3 4 ) x a b y a b a b x y + = + 3)= + b ab a a 4 42 PAZI NA ZNAK!!! ) 4 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 b a a a b a a + = + + 4)= + 5 3 20 12 b a abPAZI NA ZNAK!!! ) 1 4 )( 5 3 ( ) 5 3 ( 1 ) 5 3 ( 4 + = + + a b b b a 5)= + ya yb xb xa = + = ) ( ) ( a b y b a xOvde moramo okrenuti izraza b da postaneb a , ili pazi, kako je) ( b a a b = , moramo promeniti znak ispredy ) )( ( ) ( ) ( y x b a b a y b a x = = 6)a bx b ax + 2 2 = ne '' juri '' da sklopi ''prva dva'' i ''druga dva'' moda je bolja neka druga kombinacija!! = + = ) 2 1 ( ) 1 2 ( x b x aSlino kao u prethodnom primeru, promenimo znak ispred b, a oni u zagradi promene mesta, ) )( 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( b a x x b x a = = 7)= + 2 28 2 2 8 xy bx by y x ) 2 8 )( ( ) ( 2 ) ( 8 b xy y x y x b y x xy + = + www.matematiranje.com 62 2224 ) 3 (16 ) 3 (7 9 9 6 = = + =xxx x 8)= 7 62x xOvo lii na kvadrat binoma ali oigledno nije. Ne moemo izvui zajedniki iz svih, niti sklopiti 2 po 2 ta raditi? Naravno, uinici II godina srednje kole i stariji znaju da treba iskoristiti da je) )( (2 12x x x x a c bx ax = + + , ali u I godini srednje kole moramo raditi ovako: 1. nain: = 7 62x x ideja je da se srednji lan napie kao zbir ili razlika neka 2 izraza. Naravno, to moemo uiniti na veliki broj naina. Onaj prvi je kad posmatramo lan bez x-sa i kako njega moemo predstaviti u obliku proizvoda. Kako je1 7 7 =to emo napisati umesto -6x izraz -7x+1x ili +1x-7x, svejedno. Onda sklapamo ''2 po 2'' ) 1 )( 7 ( ) 7 ( 1 ) 7 ( 7 1 7 7 62 2+ = + = + = x x x x x x x x x x 2. nain:= 7 62x xizvrimo dopunu do punog kvadrata, to znai da moramo dodati (i oduzeti) drugi lan na kvadrat. = + = 7 3 3 62 2 2 x x=zapamti: uvek dodaj (i oduzmi) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat.=

= sada iskoristimo da je ovo razlika kvadrata. ) 1 )( 7 () 4 3 )( 4 3 (+ =+ =x xx x Ti naravno izabere ta ti je lake, odnosno ta vie voli tvoj profesor. Evo jo par primera: 9)? 6 52= + + x x 1.nain: Kako je 2 3 6 =to emo umesto 5xpisati3x+2x ) 2 )( 3 ( ) 3 ( 2 ) 3 ( 6 2 32+ + = + + + = + + + x x x x x x x x 2.nain: Dodajemo (i oduzmemo) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat. Znai 2 22525|.|

\||.|

\|+ , pa je: www.matematiranje.com 7) 3 )( 2 (2125212521254125424425252 222+ + =|.|

\|+ +|.|

\| + =|.|

\| |.|

\|+ =|.|

\|+ =+ |.|

\|+ =x xx xxxx) 5 )( 2 (2327232723274927440449272 222+ + =|.|

\|+ +|.|

\| + =|.|

\| |.|

\|+ =|.|

\|+ =+ |.|

\|+ =x xx xxxx625255 6 52 22 2+|.|

\||.|

\|+ + = + + x x x x

10)? 10 72= + + x x 1.nain:) 2 )( 5 ( ) 5 ( 2 ) 5 ( 10 2 52+ + = + + + = + + + x x x x x x x x 2.nain:1027277 10 72 22 2+|.|

\||.|

\|+ + = + + x x x x

8 13 12 2 4 ) (7 6 4 3 ) (2 32 3 x x x x Qx x x x PPOLINOMI SA JEDNOM PROMENLJIVOM Oblika su:

11 1 0( ) ...n nn nP x a x a x a x a Ovaj oblik se dobija ''sredjivanjem polinoma (sabiranjem, oduzimanje...) i naziva se kanoniki, x-je promenljiva 0 1,..., , a a an n su koeficijenti (konstante),nje prirodan broj ili nula. Ako je0 na , onda kaemo da je polinom P stepenan , pa je nanajstariji koeficijenat. Primer:7 2 6 4 ) (2 3 x x x x P -ovaj polinom je stepena 3 a najstariji koeficijenat je 4. -zanimljivo je da se lan bez x-sa, takozvani slobodni lan dobija kad umesto x stavimo 0, tj. 3 2(0) 4 0 6 0 2 0 7 7 P 7 ) 0 ( P , ili za polinom11 1 0( ) ...n nn nP x a x a x a x a 0) 0 ( a P -takodje ako umestox stavimo 1 imamo0 1... ) 1 ( a a a Pn n

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA: Primer: ) 3 12 2 4 ( ) 7 6 4 3 ( ) ( ) (2 3 2 3 x x x x x x x Q x P 3 12 2 4 7 6 4 32 3 2 3 x x x x x x krenemo sa sabiranjem lanova sa najveim stepenom pa dok ne dodjemo do slobodnih lanova, to jest onih bez x-sa 3 27 6 18 4 x x x ) 3 12 2 4 ( ) 7 6 4 3 ( ) ( ) (2 3 2 3 x x x x x x x Q x Ppazi: Minus ispred zagrade menja znaksvim lanovima uzagradi 3 12 2 4 7 6 4 32 3 2 3 x x x x x x 3 22 6 10 x x x Najbolje je da podvlaite sline monome kako se ne bi desila greka u sabiranju (oduzimanju) www.matematiranje.com27 4 ) (3 2 ) (2 x x x Qx x PMNOENJE POLINOMA Primer 1.Pomnoiti sledee polinome:

Reenje: ) 7 4 ( ) 3 2 ( ) ( ) (2 x x x x Q x P Kako mnoiti? Mnoi se svaki sa svakim. Najbolje je da prvo odredimo znak , ( , , ) , onda pomnoimo brojke i na kraju nepoznate. Naravno da je 2x x x , 3 2x x x ,4 2 2x x x , itd. (ovde koristimo pravila iz stepenovanja: n m n mx x x ) Vratimo se na zadatak: ) 7 4 ( ) 3 2 (2x x x 21 12 3 14 8 22 2 3x x x x xsad saberemo( oduzmemo) sline monome 21 26 5 22 3 x x x Primer 2.Pomnoiti sledee polinome: 1 5 2 ) (7 4 ) (22 x x x Bx x x A Reenje: ) 1 5 2 ( ) 7 4 ( ) ( ) (2 2 x x x x x B x A

4 3 2 3 2 22 5 8 20 4 14 35 7 x x x x x x x x

4 3 22 3 5 31 7 x x x x www.matematiranje.com 3____ __________) (2) (24 21 2 ) 2 ( : ) 6 5 2 (x xx x x x __________26 xx241 226 5 22 xxxx xxxx2221 xxDELJENJE POLINOMA Podsetimo se najpre deljenja brojeva. Primer:2484 23 : 57146

______46 111

______92 194 _______184 106

_____92 4 - ostatak Moemo zapisati: 23428482357146

deljenik ostatakreenjedelilac delilac Probajmo sad sa polinomima: Primer 1: POSTUPAK

Podelimo prvi sa prvim i upiemo 2x u reenju 2x pomnoimo sa deliocem i potpiemoispod 2x-5x promenimo znake (ono u zagradi) 4Ostatak prvi se uvek skrate a druge saberemo-5x+4x=-x Dakle: dopiemo +6 opet delimo prvi sa prvim mnoimo sa deliocem promenimo znake i saberemo www.matematiranje.com 45 ) 1 ( : ) 5 4 2 (2 2 3 x x x x x x___ __________2) (3) (x x10_ __________) ( ) (5 55 5 xx110515 4 222 3 xx xxx x x__ __________) (2) (24x xx x23xxx2x2x2 32x x 2 32x x 2 2 22 x x x xxx255 xxPrimer 2:

POSTUPAK

Podelimo prvi sa prvim upiemo u reenje pomnoimo sa deliocem i potpiemo ispod promenimo znake kod prvi se uvek skrate, a spustimo - 4x opet prvi u prvom x mnoimo sa deliocem menjamo znake kod x+x prvi se skratea-4x-x=-5x sputamo +5 Dakle: -5(x+1)=-5x-5 promenimo znake i prvi se skrate 5+5=10 Primer 3: 15 5 ) 3 2 ( : ) 5 2 3 (2 2 2 3 4 x x x x x x x x__ __________ __________2) (3) (43 2 x x x 3 23 2( ) ( ) ( )___________________________5 55 10 15x x xx x x

______ __________ __________) ( ) (2) (245 30 155 14 15 x xx x 40 44xostatak 4 3 222 23 2 5 44 405 152 3 2 3x x x x xx xx x x x www.matematiranje.com 5___ __________3) (4) (x x 7 ) 2 (7 12 20 8 ) 2 (7 2 6 2 5 2 ) 2 (7 6 5 ) (2 32 3PPPx x x x PPrimer 4: 1 ) 1 ( : ) 1 (2 3 4 x x x x x PAZI: Kad skratimo prve a drugi nisu istog stepena prepiemo ih, prvo onaj sa veim pa sa manjim stepenom, to jest: +x-1

Nema ostatka Dakle: 1112 34 x x xxx U nekim zadacima interesovae nas samo ostatak koji se dobija deljenjem dvaju polinoma a ne i kolinik. Tu nam pomae Bezuova teorema: Ostatak pri deljenju polinoma P(x) sa (x-a) jednak je P(a), to jest vrednosti polinoma P(x) u takix = a. Ako je P(a)=0, deljenje je bez ostatka. Primer1: Nadji ostatak pri deljenju polinoma7 6 52 3 x x xsa2 x Najpre reimox-2=0, pa je x = 2 onda uporedjujemo x-a i x-2a=2 Sada je

Ostatak je -7 www.matematiranje.com ___ __________2) (3) (31x xx 12 x__ __________) (2) (x x1 x_________) () (1 x66 11 6 ) (2 3 x x x x P0 ) 1 (6 11 6 1 ) 1 (6 1 11 1 6 1 ) (2 3 PPx P0 ) ( a P_____ __________) (2) (25 511 5x xx x __ __________) () (6 66 6xx) 3 )( 2 () 2 ( 3 ) 2 ( x xx x xPrimer2: Nadji ostatak pri deljenju polinoma 6 5 23 x x sa1 x Pazi , ovde je a = -1, jer jex+1=0 x = -1 Ostatak je 13 Jo jedna izuzetna primena Bezueve teoreme je kod rastavljanja polinoma na inioce. Mi smo do sada nauili da faktoriemo polinome drugog stepena. Za polinome treeg i etvrtogstepena postoje algoritmi, ali su suvie teki, dok za polinome petog i veeg stepena ne postoji univerzalan nain da se faktoriu, odnosno ree. Kako nam to pomae Bezuova teorema? Primer1: Dat je polinomIzvri njegovu faktorizaciju. POSTUPAK za x=1 uoimo slobodan lan, to jest onaj bez x-sa. ovde je to 6. on se moe podeliti: +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6 redom zamenjujemo ove brojeve dok nedobijemo da je nali smo da je a=1 podelimo polinom sa) 1 ( ) ( x a x 6 5 ) 1 ( : ) 6 11 6 (2 2 3 x x x x x x___ __________2) (3) (x x

Nema ostatka

Ovim smo smanjili stepen polinoma i sad ve6 52 x xznamo da rastavljamo 6 3 2 6 52 2 x x x x x

13 ) 1 (6 5 2 ) 1 (6 ) 1 ( 5 ) 1 ( 2 ) 1 (6 5 2 ) (22PPPx x x P6 11 6 ) (2 3 x x x x P70 4 ) 1 (4 4 3 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 ) 1 (2 3 4 PP0 4 4 3 2 1 ) 1 (4 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 (2 3 4 PP_____ __________2) (3) (2 33 33 3x xx x __ __________) () (4 44 4xx____ __________) ( ) (24 44 4x xx Dakle: 3 26 11 6 ( 1)( 2)( 3) x x x x x x Primer 2: Izvriti faktorizaciju polinoma: 4 3 2( ) 2 2 4 4 P x x x x x Posmatrajmo broj 4 (slobodan lan). Poto njega moemo podeliti sa +1, -1, +2, -2,+4, -4, redom menjamo u polinom dok ne bude P(a)=0 Za x = 1 Idemo dalje: Za x = -1 Dakle, delimo sa1 ) 1 ( x x 4 3 ) 1 ( : ) 4 4 3 2 (2 3 2 3 4 x x x x x x x___ __________3) (4) (x x

Dalje gledamo4 3 ) (2 31 x x x P Za x=-10 4 3 1 4 ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 1 (2 31 POpet delimo sa (x+1) 4 4 ) 1 ( : ) 4 3 (2 2 3 x x x x x__ __________2) (3) (x x 2 2) 2 ( 4 4 x x x8Konano reenje je:) 4 4 )( 1 )( 1 ( 4 4 3 22 2 3 4 x x x x x x x x

2 2) 2 ( ) 1 ( x x Primer 3: Odrediti realan parametar mtako da polinom 5 3 2( ) 3 2 8 P x x mx x x bude deljiv sa x + 2. Reenje: Iz x+2 = 0jex = -2 , pa jea = -2 5 3 25 3 2( ) 3 2 8( 2) ( 2) ( 2) 3( 2) 2( 2) 8( 2) 32 8 12 4 8( 2) 8 8( 2) 0 jer u zadatku kae da je P(x) deljiv sa -28 8 01P x x mx x xP mP mP mPmm Primer 4: Odrediti realne vrednosti parametara a i b tako da polinom 3 2( ) 5 4 P x ax bx x pri deljenju sa1 x daje ostatak 6, a pri deljenju sa1 x daje ostatak 2. Reenje: Kako pri deljenju sa1 x daje ostatak 6, to je( 1) 6 P 3 23 2( ) 5 4( 1) ( 1) ( 1) 5( 1) 4( 1) 99 633P x ax bx xP a bP a ba ba ba b www.matematiranje.com 9 Kako pri deljenju sa1 x daje ostatak 2, to je(1) 2 P 3 23 2( ) 5 4(1) 1 1 5 1 4(1) 11 23P x ax bx xP a bP a ba ba b Dalje oformimo sistem jednaina: 33a ba ba b 3a b 32 6 3 0Reenja su3, 0a a ba b www.matematiranje.com 1LINEARNE JEDNAINE Pod linearnom jednainom po x podrazumevamo svaku jednainu sa nepoznatom x koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednainu oblika: b x a = gde sua ibdati realni brojevi. Reenje ove jednaine je svaki realan broj 0xza koji vai: 0a x b = Ako nam posle reavanja ostane jednaina veeg stepena (drugog, treeg ) onda nju probama da rastavimo na inioce i koristimo: 0 = B A 0 = A v0 = B 0 = C B A 0 = A v 0 = B v0 = C Za svaku linearnu jednainu vai: a x b =

abx = , 0 = a 0 = bako je0 = a 0 = = b a Nema reenja Primer:ima beskonano Primer mnogo reenjaPrimer:

Svaki broj je reenje Deljenje sa 0 nije dozvoljeno (za sad) www.matematiranje.com521010 2===xxx0 0 = x ?077 0= == xx2Kako reavati jednainu? -Prvo se oslobodimo razlomaka (ako ih ima) tako to celu jednainu pomnoimo sa NZS -Onda se oslobodimo zagrada (ako ih ima) mnoei svaki sa svakim. -Nepoznate prebacimo na jednu a poznate na drugu stranu znaka =. (PAZI: prilikom prelaska sa jedne na drugu stranu menja se znak) -sredimo obe strane (oduzmemo i saberemo) idobijemob x a = -Izrazimo nepoznatu abx = VANO: Ako negde vrimo skraivanje moramo voditi rauna da taj izraz koji kratimo mora biti razliit od nule. U suprotnom se moe desiti apsurdna situacija. Primer: Reiti jednainu:02=xx Ako skratimo x x x0 = 0 = x? Ne smemo skratitijer je uslov0 = x ZADACI: 1) Rei jednainu Nema razlomaka i zagrada tako da odmah prebacujemo nepoznate na jednu a poznate na drugu stranu. 2) Rei jednainux x x = + 10 ) 11 6 ( 4 ) 3 2 ( 3(oslobodimo se zagrada)

3(2 3 ) 4(6 11) 106 9 24 44 109 24 10 6 4416 4848163x x xx x xx x xxxx + = + = + + = +===

www.matematiranje.com 9 2 5 22 5 2 97 7771x xx xxxx = + = + = ==3 2) Rei jednainu 5 2 3 6 527 2 14y y y ++ = 14 /145 623 2275+= + y y y Nadjemo NZS za 7, 2 i 14; to je 14. Celu jednainu ) 5 6 ( 1 ) 3 2 ( 7 28 ) 5 ( 2 + = + y y y pomnoimo sa 14. 2 10 28 14 21 6 52 14 6 21 5 10 286 44446223y y yy y yyyy + = + = + = == + 4) Rei jednainu13 2 ) 4 ( ) 3 (2 2 = + x x x 13 2 ) 4 ( ) 3 (2 2 = + x x x

2 22( 6 9) ( 8 16) 2 13 x x x x xx+ + + = 26 9 x x + + 8 16 2 136 8 2 13 9 1612 661212x xx x xxxx+ = + = += == 5)Rei jednainu 3122+= x x

PAZI: Ovde odmah postavi uslove: 0 2 = x 2 = x3122+= x x 0 3 = + x 3 = xMnoe se unakrsno :2( 3) 1 ( 2)2 6 22 2 68x xx xx xx+ = + = = = www.matematiranje.com 4 6) Rei jednainu 4 23 2216 35+ =+xxxxUslovi: 0 2 = x2 x =

5 1 2 3/ 6( 2)3( 2) 2 2( 2)2( 5) 3( 2) 3(2 3)2 10 3 6 6 92 3 6 6 9 107 25257x xxx xx x xx x xx x xxx+ = + + = + + = + = = = 7) Rei jednainu 1 21 21 481 21 22+=++xxx xx

2 1 8 2 1....... / (2 1)(2 1)2 1 (2 1)(2 1) 2 1x xx xx x x x ++ = ++ + Uslovi: 0 1 2 = + x0 1 2 = x 1 2 = x1 2 = x 21 = x21= x

8)Rei jednainu2 1 5 = + x x Ovd moramo najpre da definiemo apsolutnu vrednost: < > = 0 ,0 , Dakle: 5 1, za5 1 05 1(5 1), za5 1 0x xxx x > = xUslov51< x

(5 1) 25 1 24 2 14 114x xx xxxx + = + + = = ==

Ovo reenje je ''dobro'' jer je5121>I ovo je dobro jer je 5141< 9) Rei jednainu2 3 2 4 = + x xNajpre definiemo obe apsolutne vrednosti: = ), 4 (, 44xxx0 40 4< > xx= ). 4 (, 4xx44xxIIIUslovUslov + += +), 3 2 (, 3 23 2xxx0 3 20 3 2< +> +xx=+ +), 3 2 (, 3 2xx2323 < >xxIVIIIUslovUslov Zadatak emo podeliti na 4 dela u zavisnosti od uslova: i) I i III uslov: 4 > x i 23 > x | ) e , 4 x Nije ''dobro'' reenje jer ne zadovoljava| ) e , 4 x ii) Ii IV uslov , 4 > x23 < xOvde nema reenja e x5 1 26 2 16 33612x xxxxx + == +===6311 34 3 2 32 3 2 42 ) 3 2 ( ) 4 ( == + = = + = + xxxx xx x53 4 22 3 2 42 ) 3 2 ( ) 4 ( = == + + + = + + xxx xx x iii) IIiIII uslov 4 < xi23 > x

|.|

e 4 ,23x Dobro je reenje 1 3, 43 2 | e |

. iv) IIiIVuslov , 4 < x i 23 < x

|.|

e23, x Dobro reenje, jer|.|

e 23, 5Zakljuak: reenja su 113x = i 25 x = 10) Reiti i diskotuvati jednainu u zavisnosti od parametra a)3 1 5 mx m x = + sve sa x prebacujemo na jednu stranu, sve to nemaxna drugu m x mx 3 1 5 + = Izvuemox kao zajedniki ispred zagrade m m x 3 1 ) 5 ( + = 1 35mxm+=www.matematiranje.com 7 Diskusija: Za5 = m 05 3 1 += x nemogua, nema reenja Za5 = m 53 1+=mmx jednaina ima reenja I to beskonano mnogo jerR me b)2 4 8 7 5 ax a a x + = + Diskusija: Za0 5 2 = + a 25 = a Jednaina nemogua Za0 5 2 = + a 52a = jednaina ima mnogo reenja Jednaine imaju veliku primenu u reavanju takozvanih problemskih zadataka. Vano je dobro prouiti tekst, ako treba skicirati problem i nai vezu izmedju podataka. 11) Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko e godina otac biti dva puta stariji od sina? Obeleimo sa X-broj godina koji treba da prodje. Otac 43 godine Sin 18 godina Kakogodine teku i za oca i za sina, to je: Otac 43+XSin 18+X U zadatku se kae da e otac biti dva puta stariji od sina: 2 (18 ) 4336 2 432 43 367x xx xx xx + = ++ = + = = 2 5 8 7 4(2 5) 9 39 32 5ax x a ax a aaxa+ = + + + = ++=+8 Proverimo: Kroz 7 godina otac e imati 43+7=50 godina, a sin 18+7=25 godina, pa je otac zaista dva puta stariji od sina. 12)Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 52 da bi smo dobili razlomak75? 7552=++xx Mnoimo unakrsno 7(2 ) 5(5 )14 7 25 57 5 25 142 11112x xx xx xxx+ = ++ = + = == 13)Uenik je prvog dana proitao 41 knjige, drugog dana 32 od ostatka knjige,a treeg dana poslednjih 40 stranica. Koliko ima stranica ta knjiga? Obeleimo sa x-broj stranica knjige. x41I Dan2 33 4x II Dan40 str. III dan 1 24 3x +3 4041 2404 4340434041404160x xx x xx xx xxx+ =+ + =+ = === Knjiga ima 160 strana.www.matematiranje.com 9 14)Jedan radnik moe da zavri posao za 9, a drugi za 12 dana. Ako se njima pridrui trei radnik, oni e taj poso zavriti za 4 dana. Za koje bi vreme treci radnik sam zavrio posao? Neka je x-vreme za koje trei radnik zavri posao. Kako razmiljamo? Ako prvi radnik sam zavri posao za 9 dana onda e za 1 dan odraditi 91 posla. Slino e drugi radnik za 1 dan odraditi 121 posla, a trei x1 deo posla. Znai da oni zajedno za 1 dan odrade x112191+ +deo posla, Kako rade 4 dana, to je: 1 1 14 19 124 4 41 ........ / 369 1216 12 144 3628 36 1448 14418xxxx x xx xxx| |+ + = |\ .+ + = + + = = = = Dakle, trei radnik bi sam zavrio posao za 18 dana. www.matematiranje.com 1LINEARNE NEJEDNAINE Linearne nejednaine reavamo slino kao i jednaine (vidi linearne jednaine) koristei ekvivalentne transformacije. Vano je rei da se smer nejednakosti menja kada celu nejednainu mnoimo (ili delimo) negativnim brojem. Primer: 2 10 x < Pazi: delimo sa (-2), moramo okrenuti smer nejednakosti

1025xx>> Naravno i ovde se moe deliti da nejednaina ima reenja, nema reenja ili ih pak ima beskonano mnogo (u zavisnosti u kom skupu brojeva posmatramo datu nejednainu) 1) Rei nejednainu: 3( 2) 9 2( 3) 8 x x x + < + + oslobodimo se zagrada 8 6 2 9 6 3 + + < + x x x nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu 3 9 2 6 8 6 x x x + < + + 10 2020102xxx+ a a celu nejednainu pomnoimo sa 6 (NZS za 3 i 2) 6 2 6 9 46 6 9 2 46 ) 2 3 ( 3 ) 1 2 ( 2 > > + + > +a aa aa a 14 5 > a pazi: delimo sa (-5) pa se znak okree 542514+ s saa

U skupu R su reenja

\| e542 , aPAZI: Da nam npr. trae reenja u skupu N (prirodni brojevi), onda bi to bili samo {1,2} 3) Rei nejednainu:3 2 > + ax a x 3 2 > + ax a x nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu a a xa ax x > > 3 ) 2 (3 2 Kako sad? Da li je izraza 2pozitivan ili negativan, ili moda nula? Moramo ispisati sve 3 situacije!!! a a x > 3 ) 2 ( 0 2 > a0 2 < a0 2 = a2 < a2 > a2 = aokree se znak 0 3 0 > x

aax x Ovde je svaki R xereenje www.matematiranje.com 3Reenje bi zapisali: Za2 < a |.|

\| e ,23aaxZa2 = a R xe Za2 > a |.|

\| eaax23, 4) Reiti nejednaine: a)0 ) 4 ( ) 1 ( > x xb)0 ) 5 ( ) 3 ( s + x x Kod ovog tipa nejednaina koristiemo da je: 0 > B A ) 0 , 0 ( > > B A v) 0 , 0 ( < < B A0 < B A ) 0 , 0 ( < > B A v) 0 , 0 ( > < B A Naravno iste ablone koristimo i za znakove>iBAi0 ) 0 4 , 0 1 ( > > x xv ) 0 4 , 0 1 ( < < x x ) 4 , 1 ( > > x xv) 4 , 1 ( < < x x Sada reenja spakujemo na brojevnoj pravoj!!! ) , 4 ( e x) 1 , ( e x Reenje je) 1 , ( e x) , 4 ( www.matematiranje.com 4| | 5 , 3 e xb)0 ) 5 ( ) 3 ( s + x x ) 0 5 , 0 3 ( s > + x xv ) 0 5 , 0 3 ( > s + x x) 5 , 3 ( s > x xv) 5 , 3 ( > s x x prazan skup Dakle, konano reenje je| | 5 , 3 e x 5) Rei nejednainu623xx< PAZI: Da bi koristili ablon na desnoj strani mora daje nula, pa emo zato -2 prebaciti na levu stranu!!! sad moe ablon ) 0 x - 3 0 3 12 ( < . > xili) 0 x - 3 0 3 12 ( > . < x( 3 12 -x< 3) x > . ) 3 -x 12 3 ( > . < x ) 3 x , 4 ( > < x ili) 3 x , 4 ( < > x

(3, 4) xe konano reenje prazan skup 6) Reiti nejednainu: (pon ) 5113 + n ili) 0 1 n 0 2 4 ( < + . < + n) 1 n21( > . > nili) 1 n21( < . < n

Za I deoreenje je Druganejednaina:

511 . > nwww.matematiranje.com 131nn 0 pa je zaista: 33 3 3c b aabc+ + Odnosno 33z y xxyz+ + Pazi: Znak = je ako jez y = = x3www.matematiranje.com 1O SKUPOVIMA Do pojma skupa moe se vrlo lako doi empirijskim putem , posmatrajui razne grupe, skupine, mnotva neke vrste objekata , stvari, ivih bia i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup knjiga u biblioteci, skup klupa u uionici itd. Tvorac teorije skupova je GeorgKantor , nemaki matematiar, koji je prvi dao opisnu definiciju skupa. Mnogi drugi matematiari su takoe pokuavali da definiu skup. Danas, po savremenom shvatanju, pojam skupa se ne definie, ve se usvaja intuitivno kao celina nekih raziitih objekata. Predmeti iz kojih je skup sastavljen zovu se elementi skupa. Postoje skupovi sa konano mnogo elemenata, koje nazivamo konanim skupovima, i skupovi sa beskonano mnogo elemenata, odnosno beskonani skupovi. Tako, na primer , skup stanovnika na zemlji predstavlja jedan konaan skup, dok skup svih celih brojeva sadri beskonano mnogo elemenata. Skupovenajee obeleavamo velikim slovima A,B ,.....X, Y,...,a elemente skupa malim slovima a,b,...,x,y,... Ako je x element skupa X , tu injenicu emo oznaavati sa xX,a ako ne pripada skupu X, oznaiemo sa xX.Oznake emo itati: x pripada skupu X ili x je element skupa X. Oznaku xX emo itati x ne pripada skupu X ili x nije element skupa X Postavimo sada pitanje: Koliko elemenata ima skup prirodnih brojeva veih od jedan a manjih od dva ? Jasno je da takav skup nema ni jednog elementa. Za takav skup kaemo da je prazani obeleava se sa. www.matematiranje.com 2 Meutim, desie nam se nekad da nije zgodno, a ni mogue, da neposredno navedemo sve elemente nekog skupa. Stoga se koristi i ovakvo zapisivanje skupova: {xS(x)} ili, isto{x x ima svojstvo S},to bi znailoskup svih xkoji imaju svojstvo S.NaprimerskupX={7,8,9,10,11,12}moemozapisatiinasledeinain: X={xx N 6< x 0 funkcija je rastuai sa pozitivnim smerom x-ose gradi otar ugao, a ako je k0 tj.0 > + n kxi grafik jeiznad x-ose. Funkcija jenegativna za y y za ,nkx0 > y za nkx ,0 < y za nkx , 0 < y za ,nkx Ako se u zadatku kae da grafik prolazi kroz neku taku) , (0 0y xonda koordinate te take smemo da zamenimo umesto x i y u datoj jednainin kx y + = Dakle:n kx y + =0 0 Dva grafika 1 1n kx y + = i 2 2n kx y + = e biti paralelna ako je 2 1k k = , a normalna ako je12 1 = k k . Dakle: - uslov paralelnosti je 2 1k k =- uslov normalnosti je12 1 = k k Da nas ne zbuni: Prava moe biti zadata i u drugim oblicima: 0 = + + c by ax ili1 = +ybxa Mi ovde izrazimo y (ipsilon) i proitamokin : 5 bcxbayc ax byc by ax = == + + 0 pa je: ,bak =bcn =______________________ b xabya ab bx ayab ay bxabbyax+ =+ == + = +: // 1 pa je:,bak = b n = 1) Prouiti promene i grafiki prikai funkcije: a)121 = x y b)4 2 + = x y_________________________________________________ a)121 = x y za0 = x 1 1 0 = = yza0 = y 0 121= x 2 = x 1.Oblast definisanosti:R x 2.Nula finkcija:2 = x3.Znak: 0 > yza) , 2 ( x0 < yza ) 2 , ( x4.Monotonost: Funkcija je rastua jer je021> = k6b)4 2 + = x y za 0 = x 4 4 0 = + = yza 0 = y 0 4 2 = + x 2 = x

1.Oblast definisanosti:R x 2.Nula funkcije:2 = x3.Znak: 0 > yza ) 2 , ( x0 < yza ) , 2 ( x 4.Monotonost: funkcija je opadajua jer0 2 < = k 5) U skupu finkcija y=(a-4)x-(3a-10). (a realan parametar), odrediti parametar a tako da taka M(1,2) pripada grafiku funkcije. Za nadjenu vrednost parametra a ispitati funkciju i skicirati njen grafik. M(1,2) taka pripada grafiku pa njene koordinate Stavljamo umestox i y. 1 = xi2 = y

24 22 6 26 2 210 3 4 2) 10 3 ( 1 ) 4 ( 2) 10 3 ( ) 4 (== =+ =+ = = =aaaaa aa aa x a y4 2) 4 ( 2) 10 2 3 ( ) 4 2 (+ = = =x yx yx y4 2 + = x y76) U skupu funkcija3 2 ) 2 ( ) ( + = a x a x f , odrediti parameter a tako da grafik funkcije odseca na y-osi odseak duine 5. 3 2 ) 2 ( ) ( + = a x a x fn kx y + = Poto jen -odseak na y-osi, a ovde je3 2 + = a n , to mora biti: 12 23 5 25 3 2 = = = = + aaaa 7) Date su familije funkcija7 ) 5 2 ( + = x m y i 3 ) 10 ( = x m y Za koje su vrednosti parametra m grafici ovih funkcija paralelni? 7 ) 5 2 ( + = x m y5 2 = m k3 ) 10 ( = x m y m k =10 uslov paralelnosti je da imaju iste k. Dakle: 531515 35 10 210 5 2===+ = + = mmmm mm m 8) Nacrtati grafik funkcije 1 =x y Najpre definiemo apsolutnu vrednost: < =0 ,0 ,x xx xx Dakle,treba nacrtati dva grafika 81 =x y 1 = x y1 = x y za0 xza0 < x

Kako grafik vai samo za0 xnjegov deo (isprekidano) za0 < xnam ne treba. Kako grafik1 = x yvai za0 < xi njegov isprekidani deo nam ne treba. 9) Dat je skup funkcija y=(4m)x-(3m-2), (m realan broj) a) Odrediti m tako da funkcija ima nula x=2 b) Za nadjenu vrednost m ispitati promene i konstruisati grafik funkcije. y=(4m-6)x-(3m-2) a)2 = x za 0 = y 20 10 50 2 3 12 80 ) 2 3 ( 2 ) 6 4 (== = + = mmm mm m1 = x y1 = x y1 = x y9 4 2) 2 2 3 ( ) 6 2 4 ( = =x yx y

10) Dat je skup funkcija), 1 ( ) 2 ( = k x k ygde je k realan parameter. Odrediti parametar k tako da njen grafik bude paralelan sa grafikom funkcije6 2 = x y . Za dobijenu vrednost k, ispisati funkciju i konstruisati njen grafik. 6 2) 1 ( ) 2 ( = =x yk x k y

42 2== kk 3 2) 1 4 ( ) 2 4 ( = =x yx y www.matematiranje.com 1SISTEMI LINEARNIH JEDNAINA Pod sistemom od dve linearne jednaine sa dve nepoznate x i y podrazumevamo: 2 2 21 1 1c y b x ac y b x a= += + Ovo je takozvani ''prost'' sistem do koga uvek moemo doi ekvivalentnim transformacijama (opisane u jednainama) Ovde su 2 1 2 1 2 1, , , , , c c b b a adati realni brojevi (ponekad i parametri). Reenje sistema je uredjeni par brojeva) , (0 0y xza koji vai da je: 2 0 2 0 21 0 1 0 1c y b x ac y b x a= += + Sisteme moemo reiti pomou vie metoda: zamena, suprotni koeficijenti, Gausova, pomou determinanti, matricama, grafiki itd. Nama je najvanije da tano reimo dati zadatak (problem) pa emo probati da vas to nauimo. Napomenimo samo da dati sistem moe imati: jedinstveno reenje, beskonano mnogo reenja (neodreen) ili pak da nema reenja (nemogu). Primer 1:Rei sistem:_____ __________7 6 37 3 2= = +y xy x /2 Najlake je da ispred x (ili y) napravimo da budu isti brojevi a suprotnog znaka, pa onda te dve jednaine saberemo. Zato emo prvu jednainu pomnoiti sa 2.

Kad nadjemo jedno reenje, vratimo se u jednu od jednaina(bilo koju) da nadjemo drugo reenje.

_____ __________7 6 37 3 2= = +y xy x_________ __________7 6 314 6 4= = ++y xy x7 212173xxx===www.matematiranje.com 22 3 72 3 3 76 3 73 7 63 113x yyyyyy+ =+ =+ == == Ovde je reenje jedinstveno: |.|

\|=31, 3 ) , ( y x Primer 2: Rei sistem: Pomnoimo prvu jednainu sa (-2)

Ovde imamo situaciju da su se svi ''skratili''.

To nam govori da sistem ima beskonano mnogo reenja. Da bi ''opisali'' ta reenja, iz jedne od jednaina izrazimo x (ili y), naravno, ta nam je lake: x yy x5 11 5 = = + Sada su reenja:) 5 1 , ( ) , ( x x y x = Primer 3: Rei sistem:4 3 2 = + y x _______ __________5 3 2 = y x 4 3 2 = + y x Saberemo ih odmah. _______ __________5 3 2 = y x 9 0 = Uovoj situaciji kaemo da je sistem nemogu, odnosno nema reenja. 5 1..... / ( 2) x y + = _________ __________2 2 10 = y x_________ __________2 2 102 2 10= = + +y xy x0 0 =R xewww.matematiranje.com 3 Primer 4: Rei sistem:5 1 3 136 10x y + =

_______________________________11 1136 4x y ++ = 30 / .... 3101 361 5 =+ y x Odmah uoimo da ovaj sistem nije prost, pa _ __________ __________ __________12 / .... 3411611 =++ y xmoramo najpre da napravimo da bude. __________ __________ ______________ __________ __________ __________36 3 33 2 2290 3 9 5 2536 ) 11 ( 3 ) 11 ( 290 ) 1 3 ( 3 ) 1 5 ( 5= + + = + = + + = + y xy xy xy x __________ __________ __________) 3 ( / .... 19 3 23 5 90 9 25 = + + + = +y xy xNapravili smo prost sistem. Drugu jednainu+)`= = +__________ __________57 9 698 9 25y xy xpomnoimo sa (-3) Vratimo se sad u jednuod jednaina iz prostog sistema. 2 3 192 5 3 193 19 103 93x yyyyy + = + = = += = dakle) 3 , 5 ( ) , ( = y x Primer 5: Uoavamo da su ovde nepoznate u imeniocu. U takvoj situaciji najbolje je uzeti smene:ax =1i by =1 31 1555xx==______ __________518 71024 14 = = +y xy xwww.matematiranje.com 4___ __________ __________51181710124114 = = + y xy x

ovo je prost sistem po a i b Pomnoimo drugu jednainu sa (-2) 14a 24 1014ba+ =_______________________36 1060 20206013bbbb+`+ =)=== Vratimo se u smene da nadjemo x i y. 331 11===yyby ( , ) (7, 3) x y = Primer 6: Rei sistem: __________________14 24 107 18 5 .../ ( 2)a ba b+ = = 7 18 517 18 537 6 57 5 67 117a baaaaa = = = = +==7,71 1,1===xxax___________________9 142 3 7ax y aax y a =+ =www.matematiranje.com 5 Ovde primeujemo da postojiparameter a. Budimo oprezni!!! 9 ax y 146 9aax y=+________________________21a +`=)

7 353575ax aaxax=== PAZI: a moe da skratimo samo ako je0 = a ( to je uslov) 9 145 9 149 14 59 9ax y aa y ay a ay ay a = = = == Reenja su ) , 5 ( ) , ( a y x =uz uslov0 = a ta se deava ako je? 0 = a Zamenimo tu vrednost u poetni sistem: Ovde se vidi da je a xmoe biti bilo koji broj. Pa je sistemneodredjen, odnosno ima beskonano mnogo reenja. 3 / ... 7 3 214 9_________ __________ = += a y axa y ax_______ __________0 3 00 9 0= + = y xy xR xe 0 = y0 y =www.matematiranje.com 65 2 2 = + + z y xSISTEM TRI JEDNAINE SA TRI NEPOZNATE 7)Naravno i ovde ima vie metoda za reavanje. Najlake je da izvuemo I i II,I i III jednainu i oslobodimo se od iste nepoznate. Tako dobijemo sistem 2 jednaine sa 2 nepoznate 2 / 6 5 2 = + z y x 3 / 6 5 2 = + z y x__ __________ __________5 2 2 = + + z y x__ __________ __________8 4 3 3 = + z y x2x 4 10 122y zx+ =__________________________2 5 y z+`+ + =) 3x 6 15 183y zx+ =__________________________3 4 8 y z+`+ =) 17 8 5 = z y26 19 9 = z y Sada uzimamo ove dve jednaine i nadjemo nepoznate y i z. ) 5 ( / 26 19 99 / 17 8 5________ __________ = = z yz y +)` = + = _______ __________ __________130 95 45153 72 45z yz y

23 231zz== 5 8 175 8 175 255y zyyy = === kada nadjemo 2 nepoznate vraamo se u jednu od prve tri jednaine, (bilo koju). 2 5 62 5 5 1 610 5 66 10 51x y zxxxx+ =+ =+ == += ( , , ) (1, 5,1) x y z =6 5 2 = + z y x8 4 3 3 = + z y xwww.matematiranje.com 7 8) __________ __________1 3 212 2 59 3 2= = + = + z y xz y xz y x Izdvajamo (I i II) i (I i III). Uoimo da je sad lake da se oslobodimo od nepoznate z. __ __________ __________12 2 52 / 9 3 2= + = + z y xz y x

_________ __________1 3 23 / 9 3 2= = + z y xz y x __ __________ __________12 2 518 2 6 4= + = + z y xz y a _________ __________1 3 227 3 9 6= = + z y xz y x 6 5 9 = y x26 11 7 = y x Sad uzimamo ove dve jednaine i nadjemo x i y. 9 / 26 11 7) 7 ( / 6 5 9__________ __________ = = y xy x ____ __________ __________234 99 6342 35 63 = = + y xy x 192 64 = y3 y =9 5 3 69 6 159 91xxxx = = +== Sad se vraamo u poetni sistem: (u treu jednainu)

( , , ) (1, 3, 2) x y z = 2 3 11 2 3 3 11 6 3 13 1 53 62x y zzzzzz = = = = + == www.matematiranje.com 8 Sistemi jednaina imaju iroku primenu na reavanje razliitih problema. Naravno,potrebno je dobro prouiti problem, nai vezu izmedju nepoznatih i formirati sistem jednaina. Samo reavanje sistema posle nije veliki problem. 9) Dva broja imaju osobinu da je zbir etvorostukog prvog broja i za 4 uveanog drugog broja jednak 50, a razlika trostrukog prvog broja i polovine drugog broja jednaka je 22. Odrediti te brojeve. Neka je x i y traeni brojevi. Postavimo jednaine:4 ( 4) 503 222x yyx+ + = = 2 / 222350 ) 4 ( 4______ __________ = = + +yxy x _____ __________44 64 50 4= = +y xy x +)`= = +_______ __________44 646 4y xy x

10 909xx== 46 3646 4= += +yy x 10 y = 10) Dva radnika moguda zavre neki posao za 8 asova. Desilo se da je prvi radio 6 asova, a drugi 9 asova i zavrilisu 5651 deo posla. Za koliko asova moe svaki odvojeno da zavri taj posao?www.matematiranje.com 9 Obeleimo: x Vreme za koje prvi radnik zavri posao y Vreme za koje drugi radnik zavri posao ______ __________5651 9 681 1 1= += +y xy x Uvodimo smene : ax =1 i by =1 _______ __________56519 6) 6 ( /81= + = +b ab a _______ __________56519 6866 6= + = b ab a 51 6356 851 4235693 / : 356356bbbb= === 1 38 567 3 4 156 56 14114aaa= = = == www.matematiranje.com 10Vratimo se u smenu: i asa 11) Zbir godina majke i erke je 46. Posle 10 godina majka ce biti 2 puta starija od erke. Koliko godina sada ima majka a koliko erka? Obeleimo sa: Posle 10 godina: x godine majke majka x+10 godina y godine erkeerka y+10 godina ______ __________ __________) 10 ( 2 1046+ = += +y xy x __ __________ __________20 2 1046+ = += +y xy x ) 1 /( 10 246_____ __________ = = +y xy x _______________462 10x yx y+ = + = 3 3612yy == 12 4634xx+ == Dakle, majka sada ima 34 godine a erka 12 godina. 1414141 11====xxxax11 356563218318 asa i 40 minutabyyyyy=====www.matematiranje.com 11 1KONSTRUKTIVNIZADACI (TROUGAO) Reavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najteih oblasti koja vas eka ove godine. Zahteva dobro predznanje, poznavanje odgovarajue teorije . Zato vam mi preporuujemo da se najpre podsetite teorije vezane za trougao ( imate sve na sajtu). Reavanje konstruktivnog zadatka se sastoji od 4 etape: 1)Analiza 2)Konstrukcija 3)Dokaz 4)Diskusija Analiza je traenje naina da se dodje do reenja. Predpostavimo da traeni trougao ve postoji, nacrtamo pomoni crte i na njemu unesemo date podatke . Traimo vezu izmeu tih podataka, zavisnost, aponekad treba docrtati neki deo trougla , itd. Konstrukcijase sastoji u tome da na osnovu zakljuaka iz analize konstruiemo traeni trougao. Dokazse sastoji u tome da pomou poznatih aksioma i teorema utvrdimo da li dobijeno reenje ispunjava uslove zadatka.Profesori ovde najee umesto dokaza zahtevaju od uenika da opiu nain na koji su konstruisali traeni trougao. Vi radite kako va profesor zahteva... Diskusija Ovde razmiljamo da li je dobijeno reenje jedinstveno, da li ima 2, 3 ili vie reenja...ili pak reenje ne postoji. Napomena Mi emo ovde pokuati da vam pomognemo da pravilno razmiljate i da nauite par trikova... Neemo raditi dokaz i diskusiju, jer jedan pravilno uraen konstruktivni zadatak je kao pisanje referata... Ko voli neka pokua sam da izvede dokaz a ako bude nekih problema, piite nam pa emo vam pomoi. www.matematiranje.com 2 Primer 1. Konstruisati trougao ABC ako je on zadat sledeim elementima :, ,aa c t Reenje Ovo je jedan od lakih zadataka, za zagrevanje. Nacrtamo sliku i izvrimo analizu... ABCD2a2aatcb Znamo da teina du spaja teme i sredinu naspramne stranice. Obeleimo tu taku sa D. Trougao ABD je mogue kontruisati jerznamo sve tri stranice ( , ,2aac t ). Nacrtamopolupravu xA inanjojnanesemoduinuAB=c.Uotvorestarauzmemoduinu at ,ubodemo estarutakuAiopiemoluk.Zatimuotvorestarauzmemo 2a,zabodemoestarutakuBipreseemo malopre naneti luk. Dobili smo taku D. Produimo stranicu BD za 2a itu je taka C . Spojimo take A i C i eto ga traeni trougao. Primer 2. Konstruisati trougao ABC ako je on zadat sledeim elementima : , ,a ba h h Reenje Nacrtajmo sliku i analizirajmo je... ABCDcbaahbhM www.matematiranje.com 3 Ovde emo upotrebiti trik sa nanoenjem visine na stranu Najpre nacrtamo polupravu Cx CCbhx xCbhx Na njoj, na stranu nanesemo visinubhi povuemo paralelu saCx . Na toj paraleli se nalazi taka B. Ali gde? U otvor estara uzmemo duinu stranice ai iz C preseemo lukom paralelu. Tu je taka B. Cbhxa B Sada da doemo do take A.Opet trik sa visinom Produimo stranicu BC na jednu stranu i nanesemo visinu ah . CbhxaahB CbhxaAahB Paralela sa BC u preseku sa Cx nam daje taku A. I konstruisali smo traeni trougao. www.matematiranje.com 4 Primer 3. Konstruisati skup svih taaka iz kojih se data du AB vidi pod datim uglom . Reenje Ovo je jedna pomona konstrukcija koja se esto javlja u zadacima, pa smatramo da je pametno da je detaljno objasnimo... Nacrtamo datu du i u taki A konstruiemo taj dati ugao . ABx Dalje konstruiemo simetralu dui AB. ABxs Na polupravu Ax konstruiemo normalu An u taki A. A BxsnO www.matematiranje.com 5 Dobijeni presek simetrale i normale, taka O, je centar kruga poluprenika OA = OB ABxsnO Iz svake take luka AB se data du vidi pod uglom . Za recimo ,proizvoljne take P,Q,R na luku ABje ABxsnOPQR Napomena Dokaz i izvoenje ove konstrukcije se bazira na teoremi o tangentnom uglu: Ugao koji odreuje tetiva sa tangentom u jednoj krajnjoj taki tetive ( tangentni ugao) jednak je tetivnom uglu koji odgovara toj tetivi.www.matematiranje.com 6 Primer 4. Konstruisati trougao ABC ako je on zadat sledeim elementima : , ,c ch t Reenje Skica i analiza... ABCD TchctABCD Tchct Najpre emo konstruisati oznaeni trougao DBC. Kako? Pa upotrebiemo prethodni zadatak i najpre konstruisati skup svih taaka iz kojih se du DC vidi pod uglom . xsnOCDxsnOCDBslika 1slika 2 Na slici 1 smo bodili traeni luk CD ,tj. svih taaka iz kojih se du DC vidi pod uglom . Produimo CO do preseka sa lukom CD i dobili smo taku B. www.matematiranje.com 7 Kako znamo duinu ct , nju nanesemo iz take C do preseka sa DB ( slika 3.) xsnOCDBTxsnOCDBT A2cslika 3slika 4 I na kraju uzmemo rastojanje BT 2c=i prenesemo na drugu stranu (slika 4) Eto je taka A. Napomena Konstrukciju smo mogli izvesti i na drugi nain Najpre bi konstruisali trougao CDT.(imamo tri njegova elementa) ABCD TchctCD Tchctx ta dalje? Ideja je da odredimo TCB(ugao x na slici). Znamo ugao , a sa slike znamo iBTC. Kakojezbiruglovautrouglu180stepeni,tj.opruenugao,naneemodvapoznataugla iBTC,ita ostane , to je traeni ugao x. BTC x Kad dobijemo taku B , nastavljamo kao i u prvom reenjuwww.matematiranje.com 8 Primer 5. Konstruisati trougao ABC ako je on zadat sledeim elementima : , , a b c ++ . Reenje A BCaabbcM N 2222 Uoimo sledee injenice: TrougloviAMCiBNCsujednakokraki.Kakojespoljanjiugaojednakzbirudvaunutranja,nesusedna,to mora biti 2AMC ACM= =i 2BNC BCN= =Sada moemo konstruisati trougao MNC. Nacrtamo polupravu Mx i na nju nanesemo a+b+c. U temenu M nanesemo ugao 2a u temenu N nanesemo ugao2. U preseku je teme C. CM N22a+b+cCM N2a+b+c Kako doi do temena A i B ? Jednostavno, naemo simetrale stranica MC i CN i u preseku sa MN su temena A i B . CM N22CM N22MCsNCsA Bwww.matematiranje.com 9 Primer 6. Konstruisati trougao ABC ako je on zadat sledeim elementima:, , a b c Reenje Najpre skica, analiza i ideja... ABCbb a-bcM Na stranicu a prenesemo b da bi smo dobili zadato a-b . Uoimo trougao BMA. Njega je mogue konstruisati jer znamo tri potrebna elementa. ABa-bMKako doi do temena C ? Trougao AMC je jednakokraki, pa emo nai simetralu stranice AM . Stranicu BM samo produimo... Presek simetrale i produetka e nam dati teme C. ABa-bMAMsABa-bMAMsC I dobili smo traeni trougao ABC. www.matematiranje.com 10 1`KONSTRUKCIJE ETVOROUGLOVA I ovde , kao i kod konstrukcije trouglova imamo etiri etape : 1)Analiza 2)Konstrukcija 3)Dokaz 4)Diskusija Opet vai isti savet , da se podsetite najpre osobina etvorouglova, da bi mogli razumeti zadatke... Mi emo se zadrati na analizi i konstrukciji... Primer 1. Konstruisati paralelogram ako mu je data jedna stranica i dijagonale1 2, , a d d . Reenje: A BCDab1d2dOA BCDab2dO2d Ovde je dovoljno znati da se dijagonale paralelograma meusobno polove, pa je mogue konstruisati trougao ABO, pa zatim produiti stranice AO i BO za jo po pola dijagonala. A Ba22dO12dA Ba22dO12dA BCDa22dO12d12d 22dslika 1slika 2 slika 3 Dakle,najprenacrtamoduAB=a.Uotvorestarauzmemo 12diopiemolukiztakeA.Zatimuotvorestara uzmemo 22d i opiemo luk iz take B. Presek tih lukova nam daje taku A ( slika 1). Produimo OA za 12di BO za 22d ( slika 2 ) . Spojimoi evo traenog paralelograma ( slika 3) www.matematiranje.com 2 Primer 2. Konstruisati romb ako su mu date dijagonale 1 2, d d . Reenje: A BCD1d2dA BCD12d22daaaa Dovoljno je znati da se dijagonale romba meusobno polove pod pravim uglom! Onda , konstrukcija ide slino kaou primeru 1, konstruiemo najpre plavi trougao pa mu produimo stranice za jo po pola dijagonale. A moe i malo jednostavnije... AADADBCCslika 1 slika 2 slika 3 Nacrtamo dijagonalu AC = 1d(slika 1). Naemo njenu simetralu, koja je naravno pod pravim uglom i na kojoj se nalaze preostala dva temena ( slika 2) Zatimiztakepresekananesemonasimetraluestaromsaobestranepo 22didobijamotakeBiD.Nakraju samo spojimo i eto traenog romba. www.matematiranje.com 3 Primer 3. Konstruisati jednakokraki trapez ako su mu date osnovice a , b i krak c. Reenje: ABCDabc cABCD bccca-bb M Na donju, veu osnovicu prenesemo gornju , manju. Na taj nain smo dobili jednakokraki trougao MBC , koji moemo konstruisati, jer znamo sve tri stranice. BCc ca-bMABCc ca-bb MABCD bccca-bb Mslika 1slika 2slika 3 Dakle, nanesemo du MB = a b.Iz M i B opiemo lukove duine c, njihov presek daje taku C ( slika 1) Dalje BM produimo za duinu gornje osnovice, b, i dobijamo taku A (slika 2) Povuemo iz C paralelu sa osnovicom AB. Na tu paralelu nanesemo b idobijamo taku D.( slika 3) Spojimo i evo traenog jednakokrakog trapeza. www.matematiranje.com 4 Primer 4. Konstruisati pravougaonik ako su dati dijagonala dizbir osnovicaa+b. Reenje: Izvrimo najpre analizu . ABC DabdAC Dda+b MMb45o45o Da bi dobili a + b , koje nam je dato, moramo preneti duinu b na produetak stranice AB = a. Obeleimo tu taku saM . Jasno je da je trougao BMC pravouglo jednakokraki i da su mu uglovi od 90,45 i 45 stepeni. Najpre emo konstruisati oznaeni trougao AMC jer imao tri elementa za njegovu konstrukciju...

AM450dAM450dCCabslika 1slika 2 Nanesemo AM = a + b . U taki M konstruiemo ugao od 45 stepeni. U otvor estara uzmemo duinu dijagonale d, ubodemo estar u taku A i preseemo krak ugla. U preseku je taka C.( slika 1) Dalje iz C spustimo normalu na AM i dobili smo duine stranica a i b. Prenesemo te duine iz A i C i dobili smo traeni pravougaonik ( slika 2) www.matematiranje.com 5 Primer 5. Konstruisati pravougaonik ako su dati dijagonala dirazlikaosnovicaa - b. Reenje: ABCDabdABCDbdb a-b45o135oF Da bi smo dobili zadato a-b moramo prebaciti duinu stranice b na a. Obeleimo tu taku sa F. Trougao FBC je oigledno jednakokrako pravougli pa je ugao BFC jednak 45 stepeni. Odatle moemo zakljuiti da je ugao AFC jednak 135 stepeni. Dakle, mogue je konstruisati trougao AFC jer znamo a-b, ugao od 135 stepeni i dijagonalu d. ACda-b135oF ACda-b135oFACda-b135oF ACda-b135oFBACd135oACd135oBaabbDslika 1slika 2 slika 3 Najpre nanesemo AF= a-b. U taki F nanesemo ugao od 135 stepeni. Iz take A preseemo lukom duine d taj ugao i dobili smo taku C ( slika 1). Iz take C spustimo normalu na produetak AF i dobijamo taku B ( slika 2). Konano u preseku lukova duina a i b, dobijamo taku D ( slika 3). www.matematiranje.com 6 Primer 6. Konstruisati kvadrat ako mu je dat zbir dijagonale i stranice, d+a. Reenje: A BCDaadA BCDaddM135o22 30o`22 30o`d Prebacimo duinu dijagonale na produetak stranice a. Tako dobijamo taku M. Uoimo trougao MBD, on je jednakokraki sa uglovima od0 0 0135 , 22 30`, 22 30`. Najpre emo konstruisati trougao AMD jer znamo a+d, ugao od 022 30`kod temena M i prav ugao kod temena A. A a+dDM22 30o`aA a+dDM22 30o`aaaaslika 1slika 2 Dakle, nanesemo datu duinua+d=AM. U preseku nanetih uglova je taka D. ( slika 1) Sad kad znamo duinu stranice a nije teko nai ostala temena kvadrata.(slika 2) www.matematiranje.com 7 Primer 7. Konstruisati kvadrat ako mu je data razlika dijagonale i stranice, d-a. Reenje: ABCDaadABCDaaad-aS45067 300`67 300`ABCDaaad-aS67 300`67 300`45o45o112 30` Prebacimo najpre duinu stranice a na dijagonalu da bi dobili zadato d-a. Trougao SBC je jednakokraki, sa uglovima 0 0 045 , 67 30`, 67 30`. Onda je 0 0 ` 0 `180 67 30 112 30 ASB = = Dakle , mogue je najpre konstruisati trougao ABS jer znamo stranicu AS i na njoj dva nalegla ugla. Tako dobijamo duinu stranice kvadrata pa onda nije teko njega konstruisati. www.matematiranje.com 1OSNA SIMETRIJA Preslikavanje ravni, pri kojem se svaka taka A te ravni preslikava u taku A` , simetrinu sa A u odnosu na pravu s te ravni, nazivamo osnom simetrijom u odnosu na pravu ( osu ) s. Najea oznaka za osnu simetriju je sI . Naravno, vi obeleavajte kako kae va profesor. Za dve figureF iF `neke ravni kaemo da su simetrine u odnosu na pravu s te ravni ( osno simetrine) , ako svakoj takiPfigureFodgovara taka P`figureF ` , tako da je sI ( P ) = P`. Naravno, vai i obrnuto, svakoj taki Q`figureF ` odgovara taka QfigureF tako da je sI ( Q ) = Q`. Osna simetrija se jo naziva i osna refleksija ili samo refleksija. Evo nekoliko primera osno simetrinih figura sa jednom ili vie osa simetrije jedna osa simetrije jedna osa simetrijedve ose simetrije tri osa simetrijecetiri osa simetrije\ /svaki precnik je osa simetrije\ / Kao to vidimo na slikama, jednakokraki trapez i jednakokraki trougao imaju po jednu osu simetrije. Pravougaonik ima dve ose simetrije, jednakostranini trougao tri ose simetrije, kvadrat etiri ,dok je kod kruga svaki prenik osa simetrije. www.matematiranje.com 2 Pre nego li krenemo sa zadacima , podsetiemo se jedne konstrukcije koju moramo raditi ( ako zahteva profesor) kod svakog zadatka. Trebamo iz date take A konstruisati normalu na datu pravu p. ApPQApPQApPQslika 1.slika 2.slika 3. Iz take A opiemo luk na pravoj p ( slika 1.) Ubodemo estar u taku P , uzmemo otvor malo vei od polovine rastojanja PQ i opiemo mali luk. Isti luk opiemo iz take Q ( slika 2.) Presek tih lukova spojimo sa takom A i eto normale( slika 3.) Naravno, ako va profesor dozvoljava , lake je koristiti prav ugao na trouglu ( lenjiru). primer 1. Datoj dui AB konstruisati du A`B` simetrinu u odnosu na pravu s koja ne see du. Reenje: ABsABA`B`sABsslika 1. slika 2.slika 3. Iz taaka A i B konstruiemo normale na pravu s ( osa simetrije) to vidimo na slici 1. U takama u kojima normale seku osu zabodemo estar i prebacimo rastojanja do A , odnosno B na drugu stranu, i dobili smo take A` iB` ,to vidimo na slici 2. Spojimo dobijene takei eto traene simetrine dui ( slika 3.) 3Napomena Pazite , ovo je konstrukcijski zadatak, to znai da bi trebalo raditi sve po koracima: analiza, konstrukcija, dokaz , diskusija. Mi emo vam objasniti kako se konkretno radi osna simetrija a vi , opet ponavljamo, ako va profesor trai, moratesve detaljno raditi... primer 2. Dat je trougao ABC. Konstruisati njemu simetrian trougao u odnosu na pravu s koja sadri teme B tog trougla i ne see stranicu AC. Reenje: ABCsABCB`A`C`sslika 1. slika 2. Ovde imamo jednu znaajnu stvar da zapamtimo: ako je taka na osi simetrije, onda se ona ne mora preslikavati, jer je njena osno simetrina taka ba ta taka, to jest` B B . Postupakje uvek isti, iz temena A i C povuemo normale na osu s i prebacimo rastojanja na drugu stranu ose s. Spojimo dobijene take i eto reenja. primer 3. Prava s sadri teme C kvadrata ABCDi see stranicuAB. Konstruisati kvadrat simetrian kvadratu ABCD. www.matematiranje.com 4 Reenje: A BCDs=- CC`A BDsA`B`slika 1.slika 2.D` Taka C je na osi , pa je` C C a za ostale take radimo poznati postupak primer 4. Dat je otar ugao Oabi u njemu taka C. Konstruisati take AiB, , A a B b tako da obim trougla ABC bude najmanji. Reenje: aObCCC12aObCABCC12aObCABCC12slika 1. slika 2.slika 3. Najpre konstruiemo take 1C i2Ckoje su simetrine sa takom C u odnosu na krake OaiOb. ( slika 1.) Spojimo du 1C2C. Presek ove dui sa kracima OaiObnam daje take A i B ( slika 2.). Spojimo take A, B iC da dobijemo trougao najmanjeg obima. ( slika 3.) Naravno, sad se pitamo zato je ba ovaj trougao najmanjeg obima? Njgov obim je O=AB + AC + BC, a kako je AC=A1Ci BC=B2C , moemo rei da je obim : O=AB + A1C + B2C, odnosno, obim je du 1C2C . 5 Ako bi uzeli neke dve druge take 1A i1B , imali bismo: aObCABCC12AB11 Obim ovog trougla bi bio: O = 1A1B + 1A C + 1B Ca kako je1A C =1A1C i 1B C = 1B2C to je obim : O = 1A1B + 1A1C +1B2Ca to je izlomljena linija koja je sigurno kraa od1C2C . ( vidi sliku) primer 5. Dva broda, brod Aibrod B nalaze se usidreni na moru, nedaleko od pravolinijske obale p. Sa broda A amac treba da preveze jednog putnika do obale a zatim da dodje do broda B.Odrediti ( konstruisati) najkrai put kojim amac treba da plovi da bi obavio postavljeni zadatak. Reenje: Nain razmiljanja je slian kao u prethodnom zadatku: Brod ABrod Bobala pA`Brod ABrod Bobala pA`Pslika 1.slika 2. 6Nadjemo taku A` simetrinu sa A u odnosu na obalu p kao osu simetrije. Spojimo taku A` sa takom B . U preseku te dui iprave pje traena taka P na kojoj treba iskrcati putnika. Dokaz da je ovo najkrai put kojim amac plovi je analogan dokazu prethodnog zadatka. Recimo da se putnik iskrca na nekom drugom mestu, na primer u taki Q. Brod ABrod Bobala pA`P Q Najkraiput koju smo nali konstrukcijski je AP+PB, odnosno A`P+PB , to jest A`P+PB=A`B. Putanja AQ+ QB je dua, jer je to ustvari putanja A`Q+ QB , koja predstavlja zbir dve stranice trougla A`QB, a znamo da je zbir dve stranice uvekvei od duine tree stranice! www.matematiranje.com 1CENTRALNA SIMETRIJA Nacrtajmo jednu du AB. Neka je S njeno sredite. AB S Jasno je da je AS = BS. Za take AiBkaemo da su simetrine u odnosu na taku S. Taka S je centar simetrije. Jo se moe rei i da je taka A simetrina sa takom B u odnosu na taku S, odnosno da je B simetrina sa A u odnosu na S. Preslikavanje koje svaku taku A neke ravni prevodi u taku A` koja je simetrinasa takom A u odnosu na taku Ste ravni , naziva se centralna simetrija ravni sa centrom u S. Centralna simetrija se najee obeleava sa SI , naravno ako va profesor to drugaije obeleava i vi radite tako... Da vas ne zbuni, osna simetrija se slino obeleava sI , sa tim da je dole u indeksu malo slovo s. Za figuru F ravni kaemo da se preslikava na figuru F` centralnom simetrijom SIako svakoj taki A figure F odgovara takaA`figure F` koja je centralno simetrina taki A: ` ( )SA I A =i obrnuto. primer 1. Data je du AB. Konstruisati joj centralno simetrinu du akocentar simetrije, taka S, ne pripada dui. Reenje: ABSABA`B`Sslika 1. slika 2.ABA`B`Sslika 3. Spojimo temena date dui sa centrom simetrije S i produimo na drugu stranu...( slika 1.) Ubodemo estar u taku S, uzmemo rastojanje do A ( to jest SA) i prebacimo, dobili smo taku `; isto to odradimo i za taku B, dakle rastojanje SB prebacimo na drugu stranu i dobijamo B` ( slika 2.) Spojimo dobijene take ` iB`,dobili smo du `B`koja je centralno simetrina sa AB u odnosu na taku S(slika 3.) 2 primer 2. Konstruisati trougao A`B`C` centralno simetrian datom trouglu ABC ako je centar simetrije: a)unutartrougla b)van trougla Reenje: a) ABCSABCSABCA`B`C`Sslika 1. slika 2.slika 3. Izaberemo taku S unutar trougla ( proizvoljno), to vidimo na slici 1. Spojimo temena trougla sa centrom simetrije S i produimo Dobili smo tri poluprave. Zabodemo estar u taku S i prenosimo rastojanja do A,B i C sa druge strane na odgovarajue poluprave. ( slika 2.) Spojimo dobijene take i eto traenog trougla `B`C`koji je centralno simetrian sa datim trouglom ABC u odnosu na taku S koja je unutar trougla. b) ABCSABCA`B`C`Sslika 1.slika 2. Postupak je analogan kao pod a) samo taku S biramo proizvoljno van trougla. www.matematiranje.com 3 primer 3. Konstruisati kvadrat A`B`C`D` centralno simetrian datom kvadratu ABCD ako je centar simetrije: a)teme C b)na stranici BC Reenje: a) A BD=C` C = SA BDD`A`B`=C` C = SA BDD`A`B`=C` C = Sslika 1.slika 2. slika 3. Kako je zadato da je teme C centar simetrije , to je ono istovremeno i svoja slika, to jest` C C , a za ostale take radimo postupak... b) A BC DA BC DA` B`C` D`S Sslika 1. slika 2. Proizvoljno izaberemo taku S na stranici BC i radimo sve po postupku... 4 primer 4. Dati ugaoxOy preslikati centralnom simetrijom u odnosu na taku S ( pogledaj sliku) OxyS Reenje: OxySO`OxySO`AA`OxySO`AA` x`slika 1. slika 2. slika 3.y` Najpre prebacimo teme datog ugla ( slika 1.) Da bi prebacili krak Ox , uzeemo proizvoljnu taku A na kraku i prebaciti ga( slika 2.) Spojimo O` iA` i na taj nain dobijamo krakO`x` ( slika 3.) primer 5. Data su dva kruga ,k i1k , sa razliitim centrima Oi 1O , koji se seku. Kroz jednu od taaka preseka krunica povui pravupkoja na ovim krugovima odseca jednake tetive. www.matematiranje.com 5Reenje: OO1kk1AOO1kk1O` k`AOO1kk1O` k`PQAslika 1.slika 2. slika 3. Na slici 1. smo nacrtali dva zadata kruga i obeleili sa Ajednu od taaka preseka njihovih krunica. Ideja je da centralnom simetrijom preslikamo krunicu k u odnosu na taku A. Da bi smo to odradili dovoljno je da preslikamo centar O krunice k , a poluprenik e naravno ostati isti. ( slika 2.) Presek novodobijene krunice k` sa krunicom 1knam daje taku P. Povuemo pravu kroz take A iP , dobijamo taku Q na krunici k.Tetive PAiQA su jednake.( slika 3.) Zato? Uoimo trouglove APO`i AOQ. Ova dva trougla su podudarna , pa je PA=AQ. 1TRANSLACIJA Ako je data figura F i vektortr u ravnii ako je F ` skup svih taaka u koje se translacijom tTr preslikavaju take figure F, tada kaemo da se figura F preslikava na figuru F ` translacijom tTr i piemo tTr( F ) = F `. F F`t Kretanje mnogih objekata u ivotnoj sredini asocira na translaciju. Na primer : uspinjaa na planini, lift ili bilo koje pravolinijsko kretanje ( pogledaj slike) ttuspinjaalifttpravolinijsko kretanje primer 1. Dat je trougao ABCivektor translacijetr ( na slici). Odredi sliku ovog trougla nastalu translacijom za vektortr. tABC 2 Reenje: Kako ide postupak kod translacije? Najpre paralelno i u smeru vektora translacije povuemo poluprave iz svakog temena date figurice, u ovom sluaju trougla ABC( slika 1.) tABCtABCA`B`C`tABCA`B`C`slika 1. slika 2.slika 3. Zatim u otvor estara uzmemo duinu vektora translacije iiz svakog temena nanesemo na nacrtane poluprave (slika 2.) Obeleimo dobijene take sa A`, B`, C` i to spojimo ( slika 3.) primer 2. Dat je kvadrat ABCD. Odrediti njegove slike nastale translacijom tako da se: a)teme A preslikava u teme C b)teme A preslikava u sredite stranice BC c)teme B preslikava u presek dijagonala Reenje: a) A BCDA BCDA`B`C`D`A BCDA`B`C`D`slika 1. slika 2.slika 3.tt =AC www.matematiranje.com 3Postupak : Najpre smo oznaili dati vektor translacijet AC =r uuur . U njegovom smeru i paralelno sa njim , iz svih temena povlaimo poluprave. U otvor estara uzimamo duinu vektora translacijeACuuur i prenosimo... Jasno je da se teme A ovom translacijom slika u teme C , pa je` A C , a ostala temena obeleavamo sa B`,C`,D`. Spajanjem ovih temena dobijamo kvadratA`B`C`D` koji je nastao translacijom kvadrata ABCD za vektort AC =r uuur. b) A BC DMA BC DA`B`C` D`MA BC DA`B`C` D`Mslika 1. slika 2.slika 3.t =AMt Obeleimo sredinu stranice BC sa M. Tada je vektor translacijet AM =r uuuur. Postupak nadalje isti ... c) A BCDOB`A BCDOA` B`C` D`A BCDOA` B`C` D`slika 1. slika 2.slika 3.t =BO Nacrtamo presek dijagonala i obeleimo ga sa O.Vektor translacije jet BO =r uuur i jasno je da e biti` B O , a za ostale take radimo poznati postupak... 4 primer 3. Data je krunica k( O, r ) sa prenikom AB. Odrediti translacije koje preslikavaju: a)taku O u taku A b)taku A u sredite poluprenika OB c)taku B u datu taku M na krunici Reenje: a) A BOBOO`=Aslika 1. slika 2. Kod translacije krunice je dovoljno preslikati njen centar a poluprenik ostaje isti. Koristimo poznati postupak b) A BO MA BO Mslika 1. slika 2. c) BOMA BOMO`A BOMO`slika 1. slika 2.slika 3. www.matematiranje.com 5 primer 4. Konstruisati jednakostranian trougao date stranice aija dva temena pripadaju dvema paralelnim pravama, a tree teme pripada treoj pravoj koja see date paralelne prave. Reenje: abcA`B`C`t =C`CabcCA`B`C`abcABCA`B`C`duina stranice trouglaslika 1. slika 2.slika 3. Uzeli smo proizvoljno duinu stranice trougla. Na pravoj a uzmemo proizvoljno taku A` , u otvor estara uzmemo duinu stranice trougla, preseemo pravu b i dobili smo teme B`. Naemo teme C` u preseku lukova duine stranice trougla nanetih iz A` iB`. Na ovaj nain smo dobili trougao A`B`C` ( slika 1.) Poto jedno teme traenog trougla mora biti na pravoj c, izvriemo translaciju ovog trougla A`B`C` za vektor` t C C =r uuuur koji je paralelan sa pravama a i b. ( slike 2. i 3.) Vidimo da nije bilo teko reiti ovaj zadatak, meutim Ovo je konstruktivan zadatak, koji se , ako se seate radi iz 4 dela: analiza , konstrukcija , dokazidiskusija. Ovde je vrlo zanimljiva diskusija. Obeleimo rastojanje izmeu pravih a i b sa d. U naoj konstrukciji smo uzeli da je duina stranice trougla vea od rastojanja d izmeu pravih a i b. Razlikovaemo tri situacije: i) ako je duina stranice trougla vea od rastojanja d izmeu pravih a i b(a d > ) U ovoj situaciji zadatak ima 4 reenja: 6 abcABCA`B`C`abcABCA`B`C`abcABCA`B`C`abcABCA`B`C`1. reenje2. reenje3. reenje4. reenje ii)ako je duina stranice trougla jednaka rastojanjud izmeu pravih a i b(a d = ) U ovoj situaciji zadatak ima dva reenja: abcABCA`B`C`1. reenjeabcABCA`B`C`2. reenje iii)ako je visina trouglajednaka rastojanjud izmeu pravih a i b(h d = ) I ovde ima dva reenja abcABCA`B` C`1. reenjeh=dabcABCA`B`C`h=d2. reenje Onda je: 3 3 2 2 3 2 32 2 3 3 3 3a a d d dh d a a a = = = = = 7 iv) ako je duina stranice trougla vea odrastojanjad izmeu pravih a i b(a d = ) Ovde zadatak nema reenja www.matematiranje.com 1ROTACIJA Kod zadataka iz rotacije va profesor mora zadati tri stvari: -figuricu koju treba rotirati ( trougao, etvorougao...) -gde je centar rotacije ( unutar figurice, van, u nekom temenu, na stranici...) -ugao rotacije to se tie ugla rotacije moramo paziti da li je taj zadati ugao pozitivan ili negativan.Ako je ugao pozitivan , rotaciju vrimo u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu+ Ako je ugao negativan, rotaciju vrimo u smeru kretanja kazaljke na satu - Dakle ovde se radi o uglu koji se naziva orijentisani ugao , pa je i nain obeleavanja malo drugaiji, to jest, kod orijentisanog ugla se stavi znak za vektor : ur- ovo je orijentisani ugao alfa, ur- ovo je orijentisani ugao fi itd. Mi, naravno, neemo insistirati na ovakvom obeleavanju ugla, a opet, vi radite kako zahteva va profesor! Sama rotacija se najee obeleava sa , ORur , gde je taka O centar rotacije aur taj orijentisani ugao. Definicija rotacije kae: OFF1AA1ur Ako je data ravna figura F , taka O i orijentisani ugaour i ako je figura F` skup svih taaka u koje se rotacijom , ORur preslikavaju take figure F, tada kaemo da se figura F rotacijom , ORur preslikava na figuru