matematika 2. godina srednje skole

284
1 STEPENOVANJE Proizvod ... n n puta aa a a = naziva se n -tim stepenom broja. Ako je R a , 0 a i neka je N n Po definiciji je: 1) 1 0 = a primer: , 1 5 0 = , 1 ) 3 ( 0 = 1 7 4 0 = 2) n n a a 1 = primer: , 9 1 3 1 3 2 2 = = 125 1 5 1 5 3 3 = = ______________________________________________________________________ Još važe sledeća pravila: 3) n m n m a a a + = primer: 7 5 2 5 2 3 3 3 3 = = + 4) n m n m a a a = : primer: 4 6 10 6 10 7 7 7 : 7 = = 5) n m n m a a = ) ( primer: 15 5 3 5 3 2 2 ) 2 ( = = 6) n n b a b a = ) ( primer: 2 5 5 11 12 ) 11 12 ( = 7) n n n b a b a = primer 2 2 2 4 7 4 7 = 8) n n a b b a = primer 4 9 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 = = = O čemu treba voditi računa? Treba paziti na zapis: 25 ) 5 )( 5 ( ) 5 ( 2 = = , dok 25 5 5 5 2 = = . Uopšteno važi: paran a) (= paran a neparan a) (= neparan a Dakle, paran izložilac ‘’uništi’’ minus. www.matematiranje.com

Upload: nikola-curcic

Post on 16-Jun-2015

61.730 views

Category:

Documents


43 download

DESCRIPTION

Zbirka resenih zadataka iz matematike za 2.razred srednje skole

TRANSCRIPT

Page 1: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

STEPENOVANJE Proizvod ... n

n putaa a a a

−⋅ ⋅ ⋅ = naziva se n -tim stepenom broja. Ako je Ra∈ , 0≠a i neka je Nn∈

Po definiciji je:

1) 10 =a → primer: ,150 = ,1)3( 0 =− 174 0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2) nn

aa 1

=− → primer: ,91

313 2

2 ==− 125

1515 3

3 ==−

______________________________________________________________________ Još važe sledeća pravila: 3) nmnm aaa +=⋅ → primer: 75252 3333 ==⋅ + 4) nmnm aaa −=: → primer: 4610610 777:7 == − 5) nmnm aa ⋅=)( → primer: 155353 22)2( == ⋅ 6) nn baba ⋅=⋅ )( → primer: 255 1112)1112( ⋅=⋅

7) n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ → primer 2

22

47

47

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

8) nn

ab

ba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

→ primer 49

23

23

32

2

222

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

O čemu treba voditi računa? Treba paziti na zapis: 25)5)(5()5( 2 =−−=− , dok 255552 −=⋅−=− . Uopšteno važi:

parana)(− = parana neparana)(− = neparana−

Dakle, paran izložilac ‘’uništi’’ minus.

www.matematiranje.com

Page 2: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

ZADACI

1) Izračunati: 24

357

2:22)2:2( ⋅

7 5 3 7 5 3 2 3 2 3 5

5 2 34 2 4 2 2 2 2

(2 : 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 82 : 2 2 2 2 2

− +−

⋅ ⋅ ⋅= = = = = = =

_____________________________________________________________

2) Izračunati: 5 3

2

3 927 3⋅⋅

5 3 5 2 3 5 6

2 3 2 1

3 9 3 (3 ) 3 327 3 (3 ) 3⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ 63

55 1 4

11

3 3 3 3 3 3 3 8133

−= = = = ⋅ ⋅ ⋅ =⋅

______________________________________________________________

3) Izračunati: 4 3 3 5

5 2 3

( ) :( : )

x x xx x⋅

=

xxxxx

xx

xxxx

xxxxx

=====⋅

=⋅ −

−+

−1910

9

10

33

5312

325

5312

325

5334

)()(:

):(:)(

_______________________________________________________________

4) Izračunati: 42

21

333+

++ ⋅n

nn

===⋅

+

+

+

+++

+

++

42

32

42

21

42

21

33

33

333

n

n

n

nn

n

nn

Pazi pa zagrade zbog minusa

31

31333 1

14232)42()32( ===== −−−++−+ nnnn

_______________________________________________________________

www.matematiranje.com

Page 3: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

5) Izračunati 4321 0625,0125,025,05,0 −−−− +++ =+++ −−−− 4321 0625,0125,025,05,0

6606665536512162168421

1618

24

12

161

81

41

21

4321

4321

4321

=+++=+++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−−

_________________________________________________________________ 6) Izračunati 321321 )3()2()1(321 −−−−−− −+−+−+++ =−+−+−+++ −−−−−− 321321 )3()2()1(321

21

42

41

41

271

411

271

411

)3(1

)2(1

)1(1

31

21

11

32132

==+=−+−++

=−

+−

+−

+++

_________________________________________________________________

7) Ako je 24

3

23

415 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

a i 2

3

3510

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=b nadji 1−⋅ba

4 2 4 2 3 4 23 3

2 2

3 2 4 23 2 3 2 3 6 2

2

2 2 3 2 3 2 3 3 23 3 3 2

2 2 2

1 3 4 3 5 4 35 54 2 1 2 2

5 (2 ) 3 5 (2 ) 3 5 2 32

5 3 10 3 (5 2) 3 5 2 310 10 5 2 33 5 5 5 5

a

b

⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = = = = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Konačno: izračunati i 1−⋅ba

1 3 6 2 2 33 2

15 2 3 5 2 25 8 2005 2 3

a b−⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

______________________________________________________________

www.matematiranje.com

Page 4: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

8) Izračunati 323

1

12

2

5

10:52

5 −

−−

⎟⎟

⎜⎜

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

xy

yx

=⎟⎟

⎜⎜

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−−

−32

3

1

12

2

5

10:52

5 yxxy

yx

25315)3(127

32171

3224331032

3233

3

42

102

221020

10:)45(10:)25(

10:52

5

yxyxyx

yxyxyxyx

yxx

yyx

==

=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅⋅

+−−−−−

−−

−−−+−

−−−

__________________________________________________________

9) Ako je x10 = 7

43

1055

102110

21

−−

+ Odrediti x.

=+

=⋅

+−

−−

1000000055

200001

20001

1055

102110

21

7

43

Izvučemo gore zajednički

==⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1000000055

2000011

1000000055

1011

20001

1000000055

1011

20001

211 10000000 11 10000000 10000000 100 1020000 55 11 100000 100000⋅ ⋅

= = = =⋅ ⋅

sada je x10 = 210 , dakle 2=x ________________________________________________________ 10) a) b)

160101610161016

101016

10161010810210

008,02,010

54

)5(4

5

4

45

315

5

=⋅=⋅=

⋅=

⋅=

⋅=⋅

⋅⋅⋅=⋅

⋅=⋅

+−

−−−

−−

−−−

AAAA

A

AAA

24010241024

101024

10241010610410

006,004,010

65

6

5

56

326

6

=⋅=⋅=

⋅=

⋅=⋅

⋅⋅⋅=⋅

⋅=⋅

+−

−−

−−−

BBB

B

BBB

Page 5: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

Ovde smo koristili zapisivanje realnog broja u sistemu sa osnovnim 10. Ovo je dobra opcija kada je broj ‘’glomazan’’. Primeri:

1) Brzina svetlosti je približno 300000000 /c m s≈ a mi je ‘’lakše’’ zapisujemo 83 10 /c m s≈ ⋅ , 810 -znači da ima 8 nula iza jedinice!!!

2) 651555 1021010210

10210

51

1051

5000001 −−−−− ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=

⋅=

3) 55 107109,6000069,0 −− ⋅≈⋅= 4) Površina zemlje je 2510083000km ali mi zapisujemo 28105 km⋅≈

11) Izračunati xx

x

x

x

x

x

x

x

aaa

aa

aa

aa

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

−−

:11

213

2

=−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

−− −

xx

x

x

x

x

x

x

x

aaa

aa

aa

aa :

112

13

2

2

22

2

2

3 2 1

:1 1 111 1

3 2 1

:1 1 11

3 2 1:1 1 ( 1)( 1) 1

3( 1) 2( 1) 1( 1)( 1) 1

3 3 2 2( 1)( 1

xx x x

xx

x x x

xx x x

x x xx

x x x

x

x x x x x

x x x x

x x

x x x

x x

aa a aa a

a a a

aa a aa a aa

a a aa

a a a a a

a a a aa a

a a aa a

⎛ ⎞⎜ ⎟

− − =⎜ ⎟−⎜ ⎟− + −⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

− − =⎜ ⎟− + −−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

− − =⎜ ⎟− + − + −⎝ ⎠+ − − − −

⋅ =− +

+ − + −

− + )

( 1)( 1)x xa a− +⋅

1=

523 =+=

www.matematiranje.com

Page 6: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

12) Izračunati 1

1

12

1

12

2

11:

211 −

−−

−−

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++

−−

++−

xx

xxxx

xxxx

2 1 1

2 1 2 1 1

2

2 2

3 2

2

2 2

2 2

2

1:1 1 2 1

1 1 11:1 1 1 2 11 1 1

1 1 1

: 11 1 2

( 1) ( 1)

x x x x xx x x x x

x xx x x

x x x x xx x x

x x xxx x x x

xx x

x x x

− − −

− − − − −

⎛ ⎞− − −− =⎜ ⎟+ + + + ⋅ +⎝ ⎠

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟− =⎜ ⎟

⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠⎛ ⎞− − −⎜ ⎟

− =⎜ ⎟ ++ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− + +2 1x x+ +

( 1) ( 1)x x x− +−

2( 1)x +1:1

xx

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

1 ( 1) 1:

1 1 1( 1)( 1) ( 1) 1

1 1( 1)

x x x xx x

x x x x xx x

x

− − −⎛ ⎞− =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠− + − − +

⋅ =+ −

− [ ]( 1)1

x xx

+ −

+1x +

⋅1x −

1 1x x= + − =

www.matematiranje.com

Page 7: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

13) Izračunati ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

= −

−−

− n

n

n

n

n

n

n

n

aa

aa

aa

aaA

1111

2 2

1 1 1 1

1 1

1 1 1 11 1 1 1

1 11

1 1 1 1

1 11 1 1

n n n n

n n n n

n nn n

n n n n

n

nn n

n n n n

n n n n

n n

n n n n

a a a aAa a a a

a aa aA

a a a aa

aa aAa a a a

a a a aa aA

a a a a

− −

− − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

= + − +⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠2 2

3 2 3 2

3 2 3 2

2 2

1

( 1) 1( 1) ( 1) 1( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)

1 ( 1)( 1)( 1)

1 1( 1)( 1)

2 2 2( 1) 2( 1)(( 1)( 1) ( 1)( 1)

n n n n n n

n n n n

n n n n n n

n n

n n n n n n

n n

n n n n

n n n n

a a a a a aAa a a a

a a a a a aAa a

a a a a a aAa a

a a a aAa a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + − − + += −

− + + −

+ + − − − + +=

− +

+ + − − + − −=

− +

− − −= = =

− + − +1) 2

( 1)( 1)n na a+

=− +

www.matematiranje.com

Page 8: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

KORENOVANJE Neka je a realan i n prirodan broj. Svako rešenje jednačine

axn = ‘’po x’’ (ako postoji) naziva se n -ti koren broja a u oznaci n ax = . Dakle: simbol n a označava:

1) −n ti koren realnog broja a u svim slučajevima kada je on jedinstven ,( Nn∈ ,12 −= kn ,Nk∈ )Ra∈

2) Pozitivan n -ti koren broja a u slučaju ,2kn = ,Nk∈ 0>a Ova definicija sigurno nije baš mnogo jasna!!! Ajde da vidimo par primera:

;3327 3 33 == 21

21

81

3

3

3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

;2)2(32 5 55 −=−=− 007 = _______________________________________

;224 2 22 == 21

21

161

4

4

4 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Pazi: ;2216 4 44 == 2216 4 44 −=−=−

Pogrešno je pisati: 2164 ±= ZAPAMTI!!!

Važi:

⎩⎨⎧

=,,

aa

an n −−

nn

paranneparan

Primeri: (pazi, dogovor je da je 2 AA = , to jest, jedino se ovde ne piše broj 2) 239 = ; 223 3 =

33)3( 2 =−=− ; 2)2(3 3 −=− www.matematiranje.com

Page 9: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

ZAPAMTI: Kad vidiš 2, 4, 6,… (parni koren) iz nekog konkretnog broja, rešenje je uvek pozitivan broj. Kad vadiš 3, 5, 7… (neparan koren) iz nekog broja, rešenje može biti i negativan broj, u zavisnosti kakva je potkorena veličina. 55)5( 2 =−=− 553 3 =

77)7(4 4 =−=− 5)5(3 3 −=−

1212)12(6 6 =−=− 101

101

5

5 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31

31

31

8

8

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

53

53

7

7

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Primer: Za koje realne brojeve x je tačna vrednost: a) xx =2

b) xx −=3 3

v) xx −=2

g) ( )44 xx = ____________________________________ Rešenje: a) xx =2 je tačna samo za vrednosti x koje su veće ili jednake nuli, jer Dakle 0≥x , b) xx −=3 3 je tačka samo za 0=x !!! Zašto? Ako uzmemo da je x negativan broj, na

primer 5−=x ⇒ 5)5(3 3 −=− ≠ 5)5( +=−− , a ako uzmemo 0>x , recimo 10=x

1010103 3 −≠= v) xx −=2 , x mora biti manje od nule, ili nula jer kao malopre važi:

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=,0

,,

2 xx

x000

=<>

xxx

, Dakle 0≤x

www.matematiranje.com

zaxx

00

<>

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=,0

,,

2 xx

x0=x

Page 10: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

g) ( ) ,44 xx = Ovde mora biti 0≥x . Zašto? Zbog ( )4x koji ne može biti negativan

odnosno mora biti 0>x Pravila:

1) nm

n m aa = 2) nnn baba ⋅=⋅ 3) nnn baba :: =

4) ( ) n mmn aa =

5) mnn m aa ⋅=

6) n mnp mp aa = p( se skrati) Moramo naglasiti da pravila važe pod uslovima da je: →ba, pozitivni realni brojevi

→pnm ,, prirodni brojevi. Zadaci:

1) a) Izračunaj 54 321625236 −+− =−+− 54 321625236

42210622526 5 54 4

−=−+−==−+⋅−=

b) Izračunaj 43 1681

49

++

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 4 43

32

221

23

4221

23

=++

c) Izračunaj 42794 3

2

−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 427

94 3

2

=−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2)3(

32 3 3

2

2 3 23− − =

2 15 43 3− = −

www.matematiranje.com

Page 11: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

d) Izračunaj 53 32)8(9 −⋅−⋅

=−⋅−⋅ 53 32)8(9

=−⋅−⋅= 5 53 32 )2()2(3 12)2()2(3 =−⋅−⋅= 2) Izračunaj 22 )5()5( ++− xx 55)5()5( 22 ++−=++− xxxx Kako je:

⎩⎨⎧

−−−

=−),5(

,55

xx

xzaza

0505

<−≥−

xx

= ⎩⎨⎧

−−−

),5(,5

xx

zaza

55

<≥

xx

i

⎩⎨⎧

+−+

=+),5(

,55

xx

xzaza

0505

<+≥+

xx

= ⎩⎨⎧

+−+

),5(,5

xx

zaza

55−<−≥

xx

moramo najpre videti ‘’ gde ima’’ rešenja

I za 5≥x i 5−≥x

xxxxx 25555 =++−=−+−

[ )∞∈ ,5x __________________________________________________________________ II za 5≥x i 5−<x

Nema rešenja __________________________________________________________________

www.matematiranje.com

Page 12: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

III za 5<x i 5−≥x

105555 +=+++−=−+− xxxx [ )5,5−∈x ________________________________________________________________ IV za 5<x i 5−<x

xxxxx 25555 −=−−+−=++−

Konačno: ⎪⎩

⎪⎨

⎧−=++−

,2,10

,255

x

xxx

555

5

≥<≤−

−<

xx

x

Racionalisanje Koristeći se osobinama korena, možemo, u cilju uprošćavanja nekog izraza, odstraniti korene ili ih premestiti na željeno mesto.

Primeri:

1) 55

55

55

51

51

2==⋅=

2) 2

334

3234

3434123

12129

1212

129

129

=⋅

=⋅

===⋅=

3) 2

3532315

33

3215

3215

=⋅

=⋅=

Ovo je bio najprostiji tip zadataka. Gde racionalisanjem prebacujemo koren iz imenioca u brojilac.

U sledecoj grupi zadataka ćemo koristiti da je aann = , 0>a

www.matematiranje.com

Page 13: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

4) =3 26 da bi ‘’uništili ’’ koren u imeniocu moramo napraviti 3 32 , a pošto imamo

3 126 treba racionalisati sa 3 22 . Dakle:

33

3 3

3 2

3 2

3 2

3343

246

226

22

26

26

=⋅

=⋅

=⋅=

5) 34 4 4

4 4 3 44 4

10 10 3 10 27 10 2733 3 3 3

= ⋅ = = =

6) 3 3 31 2 2 2

3 2

3 3 3 32 2 1 1 2 3 3

ab ab a b ab ab ab ab ababa b a b a b a b

= ⋅ = = =

Kad u imeniocu imamo zbir ili razliku dva kvadratna korena, upotrebljavamo razliku kvadrata: 22)()( BABABA −=+⋅−

7) 323432

32

323232

321

321

22−=

−−

=−

−=

−−

⋅+

=+

8) ( ) ( ) ( )4

261126

2611

26

26112626

2611

2611

22+

=−+

=−

+=

++

⋅−

=−

9) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

623325

181223325

293423325

2332

2332523322332

23325

23325

22 −+

=−+

=⋅−⋅

+=

+=

++

⋅−

=−

U zadacima u kojima se u imeniocu javlja zbir ili razlika ‘’trećih’’ korena moramo koristiti:

))(( 2233 BABABABA ++−=− → Razlika kubova ))(( 2233 BABABABA +−+=+ → Zbir kubova

10)

5469

23469

23

46922332233

231

231 333333

3333

333

3 2333 2

3 2333 2

3333

+−=

++−

=+

+−=

+−

+−⋅

+=

+

________________________________________________________________________ 11)

( ) ( )3333333

333

3 2333 2

3 2333 2

33331620255

45

162025544554455

455

455

++=−

++=

++

++⋅

−=

________________________________________________________________________ www.matematiranje.com

Page 14: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

12) =− 25

34

ovde ćemo uraditi dupli racionalizaciju da bi ''uništili'' četvrti koren.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )4 4 4 44

4 4 4 2 2 2 24

3 5 2 3 5 2 3 5 2 5 4 3 5 2 5 43 3 5 2 5 4115 2 5 2 5 2 5 4 5 45 2 5 4

+ + + + + ++ += ⋅ = = ⋅ = =

−− − + − +− − Vratimo se na zadatke sa korenima: 3) Izračunati:

a) 3 13 12 xxxx −− ⋅

b) ( )313 23 2 : −⋅ xxxx Rešenje:

a) 2 1 2 1 1 1

3 3 53 5 6 102 1 1 2 1 1 1 1 15 3 5 3 6 5 10x x x x x x x x x x x x x x x x− − −− − − − − − −⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

5 252

3012

3036520

101

51

61

32

xxxxx =====+−−

+−−

b) ( )

3618

69423

23

32

62

21

23

32

62

21

332

3 23

13 23 2

:

::

xxxxxxxx

xxxxxxxx

====⋅⋅

=⋅=⋅+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++−

−−

ZAPAMTI: 12x x=

4) Izračunaj: a) 98508325 −−+ b) 4822733 −+ Ovde je ideja da upotrebom pravila za korenovanje baba ⋅=⋅ , svaki sabirak svedemo na čist koren.

www.matematiranje.com

Page 15: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

a) 5 2 3 8 50 98

5 2 3 4 2 25 2 49 2

5 2 3 2 2 5 2 7 2

5 2

+ − − =

+ ⋅ − ⋅ − ⋅ =

+ ⋅ − − =

6 2 5 2+ − 7 2 2− = −

b)

32383933423333

31623933

4822733

=−+=⋅−⋅+

=⋅−⋅+

=−+

5) Izračunaj: 20241512 81516827443 ⋅+⋅+⋅−⋅ Rešenje:

56

5656

20 424 415 312 2

20241512

3211

35283423

35283423

81516827443

+=

=+⋅+−⋅

=⋅+⋅+⋅−⋅

=⋅+⋅+⋅−⋅

−−−−−−−−−−

LAGRANŽOV INDENTITET:

2 2

2 2a a b a a ba b + − − −

± = ±

Gde je ,0>a ,0>b 2ab <

Primenimo ga na 2 primera: a) 32+

b) 246−

a) 2

3222

3223222 −−

+−+

=+

213

21

23

212

212

+=+=

−+

+=

www.matematiranje.com

Page 16: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

b) 246− = pazi, prvo moramo 4 da ubacimo pod koren!!!

22242

262

262

323662

32366

23266

232663262166

22

−=−=−

++

=

−−+

−+=

−−+

−+=−=⋅−

7) Dokazati da je vrednost izraza 2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

+ −+

+ + − − iracionalan broj.

Najpre ćemo upotrebom Lagranžovog indetiteta ‘’ srediti’’ 2 3+ i 2 3−

2 3+ =(prethodni zadatak) 2

13 += , slično je i 2 3−

213 −

= , Dakle:

2 3 2 3 2 3 2 3

3 1 3 12 2 3 2 2 3 2 22 2

+ − + −+ = + =

+ −+ + − − + −

=+−

−+

+++

=

2132

32

2132

32 Pazi na znak!!!

( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( )3333

336223362233

32233

322

−++−+−+

=

−−

+++

=

6 2 2 6−=

3 6+ 18 6 2 2 6− + + 3 6−22

18

3 3

26

266

262126

29221239

182212==

−=

⋅−=

−−

=

www.matematiranje.com

Page 17: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

8) Dokazati da je: 3

4 2 3 3 110 6 3

+= +

+.

Poći ćemo od leve strane da dobijemo desnu.

( ) ( )2213132313233213324 +=++=++=++=+

=+ 3610 razmislimo da li ovo nije ( ) ?3610 3BA+=+

( )

( )

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3

3 1 3 3 3 1 3 3 1 1

A B A A B AB B+ = + + +

+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

3610103333133939

13313327

+=++=+++⋅=

++⋅⋅+=

Dakle:

( )( )

( ) 131313

13

13

3610

3242

3 3

2

3+=

++

=+

+=

+

+

Ovim je dokaz završen!!!

9) Racionalisati: 232721

6+++

( ) ( ) ( )1321376

1327376

2327216

+++=

+++⋅=

+++

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )2713

3227136

2713

27136

2727

1313

27136

2222−−=

⋅−−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−−=

=−−

⋅−−

⋅++

=

www.matematiranje.com

Page 18: Matematika 2. Godina Srednje Skole

11

10) Racionalisati: 333 469

1++

333 33 3

3 33 3 33 33 32 2 3 333

1 1 3 2 3 2 3 23 29 6 4 3 23 3 2 2 3 2

− − −= ⋅ = = =

−+ + −+ ⋅ + −

33333 2 3 2

1−

= = −

Ovde smo imali 22 BABA ++ , pa smo dodali A-B, da bi dobili 33 BA − .

www.matematiranje.com

Page 19: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

Kompleksni brojevi (C)

Kompleksni brojevi su izrazi oblika: biaz += gde su a i b realni brojevi a i → simbol

koji ima vrednost 1−=i .

Za kompleksan broj biaz += , a je njegov realni deo i obeležava se az =)Re( , b je

njegov imaginarni deo i obeležava se bz =)Im( , a 1−=i je imaginarna jedinica.

Primeri:

0)Im(,2)Re(28)Im(,0)Re(8

7)Im(,43)Re(7

43

2)Im(,5)Re(254)Im(,5)Re(45

555

444

333

222

111

==→===→=

−=−=→−−=

−==→−===→+=

zzzzziz

zziz

zzizzziz

Dva kompleksna broja bia + i dic + su jednaka ako i samo ako je ca = i db = ,tj imaju iste realne i imaginarne delove.

Pošto smo rekli da je 1−=i ,zanimljivo je videti kako se ponašaju stepeni broja i .

11

11

1)1)(1(1

11

448

3347

2246

45

_________________________________

224

23

2

=⋅=

−=⋅=⋅=

−==⋅=

=⋅=⋅=

=−−=⋅=

−=⋅−=⋅=

−=

−=

iiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiii

ii

itd.

www.matematiranje.com

Page 20: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Šta zaključujemo? i stepenovano bilo kojim brojem može imati samo jednu od ove 4 vrednosti: ii −− ,1, ili 1.

Uopšteno, tu činjenicu bi mogli zapisati:

iii

iii

k

k

k

k

−=

−=

=

=

+

+

+

34

24

14

4

1

1

za .Nk∈

Kako ovo primeniti u zadacima?

Primeri:

Izračunati:

23

102

25

2006

100

)))))

idigivibia

100)ia

Ovde postoje 2 ideje : Ili da koristimo da je 14 =i i naravno pravila za stepen : nmnm aa ⋅=)( i nmnm aaa ⋅=+

Dakle: 1)1()( 50502100 =−== ii ili druga ideja da je 4 1ki =

11)( 50504100 === ii

Odlučite sami šta vam je lakše!

?) 2006 =ib

1)1()( 1003100322006 −=−== ii

www.matematiranje.com

Page 21: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

iiiiiiiiv =⋅=⋅−=⋅=⋅= 1)1()() 1212212425

Kad je stepen neparan, napišemo ga kao za 1 manji paran broj pa plus 1, to jest 12425 += .

1)1()() 51512102 −=−== iig

iiiiiiiid −=⋅−=⋅−=⋅=⋅= 1)1()() 1111212223

Pazi: )1(− paran broj 1=

)1(− neparan broj 1−=

Kako se sabiraju, oduzimaju I množe kompleksni brojevi?

1) Zbir dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj )()( dbica +++ , a njihova razlika je )()( dbica −+− . To znači da se sabiraju I oduzimaju ‘’normalno’’, kao u R.

Primer: iz

iz10435

2

1

−=+=

iiiiizz 79103451043521 −=−++=−++=+

iiiiizz 13110435)104(3521 +=+−+=−−+=−

2) Proizvod dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj

→++− )()( bcadibdac množi se ‘’svaki sa svakim’’ I vodimo računa da je 2 1i = − 2)()(

−+++=+⋅+ ibdbciadiacdicbia

)( bcadibdac

bdbciadiac++−=−++=

www.matematiranje.com

Page 22: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

Primer: iziz

2453

2

1

−=+−=

=−++−=−⋅+−=⋅ 2

21 1020612)24()53( iiiiizz [sad zameni da je 12 −=i , pa

10)1(1010 2 =−⋅−=− i ] iii 2621020612 +−=+++−=

Deljenje kompleksnih brojeva Recimo najpre da svaki kompleksan broj ima svoj konjugovan broj.

Za z a bi z a bi−

= + ⇒ = − je konjugovan broj.

Primeri: za iz 1210+= je iz 1210−=−

za iz 34−= je iz 34+=−

za iz 54+−= je iz 54−−=−

Dva kompleksna broja se dele tako što izvršimo racionalisanje sa konjugovanim brojem delioca.

=−−

⋅++

=++

dicdic

dicbia

dicbia

gore množimo ‘’svaki sa svakim’’ a dole je razlika kvadrata.

2 2 2 2

( )( ) ( )( )( )

a bi c di a bi c dic di c d+ − + −

= =− +

Primer 1)

=−

++=

++

⋅−+

=−+

= 22 )3(4)34)(25(

3434

3425

3425

iii

ii

ii

ii

www.matematiranje.com

Page 23: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

2

22 2

20 15 8 6 ( 1)16 3

20 15 8 6 14 23 14 2316 9 25 25 25

i i i ii

i i i i

+ + += = = −

− ⋅+ + − +

= = = ++

Savet: Uvek na kraju rastavi icb

ca

cbia

+=+

da bi mogao da pročitaš )Re(z i

)Im(z Primer 2)

ii

ii

ii

3535

3573

3573

−−−−

⋅+−+

=+−+

2 2

2

2 2

(3 7 )( 5 3 )( 5) (3 )15 9 35 21

25 315 9 35 21

25 96 44 6 44 3 22

34 34 34 17 17

i ii

i i ii

i i

i i i

+ − −=

− −

− − − −=

− ⋅− − − +

=+

−= = − = −

Modul kompleksnog broja biaz += je nenegativan broj 22 baz +=

Primeri: Za iz 43+= je 516943 22 =+=+=z

Za iz 129−−= je 1514481)12()9( 22 =+=−+−=z

Navešćemo neke od osobina vezanih za kompleksne brojeve koje će nam dosta pomoći u rešavanju zadataka:

1) 1221 zzzz +=+ ( komutativnost)

2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z+ + = + + ( asocijativnost)

3) zzz =+=+ 00 (0 je netral za +) 4) 0'' =+=+ zzzz ( 'z je suprotni broj) www.matematiranje.com

Page 24: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

5) 1221 zzzz ⋅=⋅

6) )()( 321321 zzzzzz ⋅⋅=⋅⋅

7) zzz =⋅=⋅ 11 (1 je neutral za ) 8) 1'' =⋅=⋅ zzzz ( 'z je inverzni za ) 9) 1 2 3 1 3 2 3( )z z z z z z z+ ⋅ = + ( distributivnost)

10) 2121 zzzz ⋅=⋅

11) 22 zz =

12) 2

1

2

1

zz

zz

=

Primer : Nadji realni I imaginarni deo kompleksnog broja: 5

12

)1()1(iiz

+−

=

Odredimo najpre ?)1( 12 =− i

Podjimo od 2 2(1 ) 1 2 1 2 1 2i i i i i− = − + = − − = −

Kako je 642)1(22)2())1(()1( 666666212 −=−=−⋅=⋅=−=−=− iiii Nadjimo dalje ?)1( 5 =+ i

iiiii 212121)1( 22 =−+=++=+

)1(4)1(4)1()2()1())1(()1()1()1(

2

22245

iiiiiiiiii

+−=+⋅=

+=+⋅+=+⋅+=+

i

iiiii

ii

iiiiiz

88

)1(82

)1(1611

)1(161

)1(1611

116

116

)1(464

)1()1(

22

5

12

−=

=−=−

=+−

=−−

=

=−−

⋅+

=+

=+−

−=

+−

=

Dakle : Re 8)( =z 8)Im( −=z

www.matematiranje.com

Page 25: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

Primer : Nadji x i y iz

{ { {

2

ReRe ImIm

1 ( 3) (1 )(5 3 )1 ( 3) 5 3 5 31 ( 3) 5 8 31 ( 3) 2 8

x y i i ix y i i i ix y i ix y i i

− + + = + +

− + + = + + +− + + = + −− + + = +

123

Dakle : 53883

31221=⇒−=⇒=+=⇒+=⇒=−

yyyxxx

Primer: Ako je 2

31 iw +−= dokazati da je 012 =++ ww

Rešenje:

2

2

2

1 3 1 3 12 2

1 2 3 ( 3) 1 3 14 2

1 2 3 3 1 3 14 2

1 2 3 3 2( 1 3) 44

1 2 3

i i

i i i

i i i

i i

i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ++ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + − ++ + =

− + ⋅ − ++ + =

− − + − + +=

− 3 2 2 3i− − + 4 0 04 4

+= =

Primer: Odredi sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju sistem jednačina:

1

2

−=−

=−

ziz

ziz

www.matematiranje.com

Page 26: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

Rešenje: Neka je biaz +=

22

22

22

)1(1111

)1()1(

)2(2)2(22

bazbiabiaz

baizbiaibiaiz

baizbiaibiaiz

+−=−⇒+−=−+=−

−+=−⇒−+=−+=−

−+=−⇒−+=−+=−

Dakle:

2222

2222

)1()1(

)2(

baba

baba

+−=−+

+=−+ Kvadrirajmo obe jednačine!

___________________________________________

2 2 2 2

2 2 2 2

( 2)( 1) ( 1)

a b a ba b a b

+ − = +

+ − = − +

___________________________________________

1

4444 22

=−=−

=+−

bb

bbbzamenimo u drugu jednačinu

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

( 1) ( 1)(1 1) ( 1) 10 2 1 1

2 21

a b a ba aa a aa

a

+ − = − +

+ − = − +

+ = − + +==

Traženi kompleksni broj je iz +=1 Primer: Nadji sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju:

02 =+−

zz

www.matematiranje.com

Page 27: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

Rešenje: Neka je biaz += traženi kompleksni broj. Onda je 2 2, z a bi z a b− −

= − = +

{

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

ImRe

( ) 0

2 0

2 0

a bi a b

a abi b i a b

a b a b abi

+ + + =

+ + + + =

− + + + =144424443

Kako je ⇒−= 12i Ovde očigledno I Re I Im moraju biti nula.

2 2 2 2 0

2 0a b a bab− + + ==

______________________

Iz 002 =⇒= aab v 0=b 1) Ako je 0=a , zamenimo u prvu jednačinu:

22

2222 000

bb

bb

=

=++− ( 2b ≥0)

Ovde je očigledno 0=b ili 1−=b 2) Ako je 0=b , zamenimo u prvu jednačinu:

22

22

2222

0

000

aa

aa

aa

−=

=+

=++−

nema rešenja sem 0=a

Dakle: 0=z ; iz = I iz −= su traženi brojevi. Primer: Za koje vrednosti prirodnog broja n važi jednakost: nn ii )1()1( −=+ ? Rešenje:

1

111

)1()1(

)1()1(

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

⇒=−+

−=+n

n

n

nn

ii

ii

ii

www.matematiranje.com

Page 28: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

Transformišemo izraz:

iiiii

iiii

ii

ii

ii

212121)1(2

)1(11)1(

1)1(

11

11

11

22

22

22

2

=−+=++=+

+=

++

=++

=++

⋅−+

=−+

Dakle:

iiiii

==+

=−+

22

2)1(

11 2

Vratimo se u 111

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+ n

ii

, dobijemo 1=ni

A ovo je ( vec smo videli ) moguće za n k4= , Nk∈ .

www.matematiranje.com

Page 29: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

KVADRATNA JEDNAČINA 02 =++ cbxax Jednačina oblika 02 =++ cbxax , gde je −x nepoznata. ba, i c realni brojevi, ,0≠a je kvadratna jednačina po x sa koeficijentima ba, i c . Kvadratna jednačina je potpuna ako su koeficijenti 0≠b i 0≠c . Ako je 0=b ili 0=c (ili oba) onda je kvadratna jednačina nepotpuna. Nepotpuna kvadratne jednačine se rešavaju relativno lako.

Nepotpune kvadratne jednačine

Primeri:

0)52(052 2

=+=+

xxxx

0=x ∨

Potpuna kvadratna jednačina: 02 =++ cbxax

Kvadratna jednačina ima dva rešenja: označavamo ih sa 1x i 2x i tradicionalno se piše

2

1,24

2b b acx

a− ± −

= www.matematiranje.com

0)(02

=+=+baxxbxax

0=+bax0=x ∨

abx −=

abx

acx

caxcax

−±=

−=

−=

=+

2

2

2 00

02

==

xax

2552

052

−=

−==+

x

xx

23

2323

49

4994

094

2

1

2

2

2

−=

=

±=

±=

=

=

=−

x

x

x

x

x

xx

00

5005

21

2

2

===

=

=

xxx

x

x

Page 30: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Primer 1) Reši jednačine: a) 026 2 =−− xx b) 0122 =+− xx v) 0542 =+− xx a) 026 2 =−− xx Pazi, kad nema broj ispred nepoznate uzimaš 1.

22

1,2

1,2

1

2

( 1) ( 1) 4 6 ( 2)42 2 6

1 49 1 1712 12

1 7 8 212 12 3

1 7 6 112 12 2

b b acxa

x

x

x

− − ± − − ⋅ ⋅ −− ± −= =

⋅± ±

= =

+= = =

− −= = = −

b) 0122 =+− xx v) 0542 =+− xx Dakle: Pazi jer je:

www.matematiranje.com

21

6

−=−=

=

cba

12

1

=−=

=

cba

22

1,2

1,2

1

2

( 2) ( 2) 4 1 142 2 1

2 4 4 2 02 2

2 122 12

b b acxa

x

x

x

− − ± − − ⋅ ⋅− ± −= =

⋅± − ±

= =

= =

= =

54

1

=−=

=

cba

2

1,2

1,2

4 ( 4) 16 202 2 1

4 4 4 2 22 2

b b acxa

ix

− ± − − − ± −= =

⋅± − ±

= = =(2 )

2i± 2 i= ±

1

2

22

x ix i= += −

i

i

=−

=−=−

1

2)1(44

Page 31: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

Primer 2) Rešiti jednačinu:

xxxx 112)2)(1()32( 2 −=+−+− Rešenje: →=+ 012x Nepotpuna kvadratna jednačina

ixix

x

x

−=+=−±=

−=

2

1

2

1

1

Primer 3) Rešiti jednačinu:

→−

=+

−− 4

82

32 2xxxx najpre rastavimo na činioce imenilac

→+−

=+

−− )2)(2(

82

32 xxxxx Množimo sve sa NZS )2)(2( +−= xx uz uslov:

i →=−− 022 xx Sad radimo kao kvadratnu jednačinu

→==+

= 224

231

1x PAZI: nije rešenje jer 2≠x

→−=−

=−

= 122

231

2x Dakle 1x = −

Primer 4) Grupa dečaka treba da podeli 400 klikera na jednake delove. Pre deobe 4 dečaka se odreknu svog dela, zbog čega je svaki od ostalih dobio po 5 klikera više. Koliko je u toj grupi bilo dečaka? Obeležimo sa x-broj dečaka, y- broj klikera po dečaku

www.matematiranje.com

5:/0550112229124

112)2)(1()32(

2

22

2

=+

=+−−−+++−

−=+−+−

xxxxxxx

xxxx

2≠x 2−≠x08632

8)2(3)2(2 =−+−+

=−−+

xxxxxx

21

1

−=−=

=

cba

231

2)2(14)1()1(

24

2,1

22

2,1

±=

−⋅⋅−−±−−=

−±−=

x

aacbbx

Page 32: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

→=+⋅−=⋅

____________________________400)5()4(

400yx

yx Sredimo ovu drugu jednačinu...

40020454004002045=−−+=−−+

yxyxxy

→=−− 02045 yx Iz prve jednačine izrazimo x

y 400=

xx

x ⋅=−⋅− /02040045

→=−− 02016005 2 xx (poredjamo) →=−− 01600205 2 xx (podelimo sa 5)

→=−− 032042 xx sad radimo kvadratnu jednačinu

Nemogućex

x

x

aacbbx

→−=−

=

=+

=

±=

±=

+±=

−⋅⋅−−±−−=

−±−=

162364

202364

2364

212964

21280164

2)320(14)4()4(

24

2

1

2,1

22

2,1

Dakle bilo je 20 dečaka u grupi.

Priroda rešenja kvadratne jednačine Diskriminanta (D) kvadratne jednačine 02 =++ cbxax je izraz acb 42 − (ono pod korenom) Dakle: 2 4D b ac= −

Sada formulu za rešavanje možemo zapisati i kao: aDbx

22,1±−

=

Za kvadratnu jednačinu cbxax ++2 sa realnim koeficijentima važi: 1) Jednačina ima dva rezličita realna rešenja ako i smo ako je 0>D

21( xx = R∈ 21 xx ≠ akko )0>D 2) Jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje ako i samo ako je 0=D

21( xx = R∈ akko )0=D www.matematiranje.com

3204

1

−=−=

=

cba

Page 33: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

3) Jednačina ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja akko je 0<D biaxbiax −=+= 21 ,( akko )0<D

Primer 1) Ispitati prirodu rešenja kvadratnih jednačina u zavisnost od parametara: a) 032 =++ mxx b) 05)1(2)3( 2 =−++−+ nxnxn a) 032 =++ mxx ⇒

mmacbD 491434 22 −=⋅⋅−=−= 1) 0>D ⇒ 049 >− m →−>− 94m PAZI: Okreće se znak

49

49

<

−−

<

m

m

2) 0=D ⇒ 049 =− m ⇒ 49

=m

3) 0<D ⇒ 049 <− m ⇒ 49

>m

Dakle: - za 49

<m rešenja su realna i različita

- za 49

=m rešenja su realna i jednaka

- za 49

>m rešenja su konjugovano-kompleksni brojevi

b) 05)1(2)3( 2 =−++−+ nxnxn

5)1(2

3

−=+−=

+=

ncnb

na ⇒ PAZI: ovde je odmah 03 ≠+n da bi jednačina bila kvadratna

www.matematiranje.com

mcba

===

31

Page 34: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

[ ]22

2 2

2

4 2( 1) 4( 3)( 5)

4( 2 1) 4( 5 3 15)

4

D b ac n n n

n n n n n

n

= − = − + − + −

= + + − − + −

= 28 4 4n n+ + − 20 12 6016 64

n nD n

+ − += +

1) 0>D 16 64 0 16 64 4, 4n n n n+ > ⇒ > − ⇒ > − > − Rxx ∈≠ 21 2) 0=D 16 64 0 4n n+ = ⇒ = − Rxx ∈= 21 3) 0<D 16 64 0 4n n+ < ⇒ < − 1x i 2x su konjugovano-kompleksni brojevi. Primer 2) Za koje vrednosti parametra Rk ∈ jednačina 02)1(2 =+++ xkkx ima dvostruko rešenje? Rešenje: Ovde nam treba da je 0=D i naravno 0≠a , jer ako je 0=a jednačina nije kvadratna. 02)1(2 =+++ xkkx ⇒ ⇒ 0≠k

0161681224)1(4

2

2222

=+−=

+−=−++=⋅⋅−+=−=

kkDkkkkkkkacbD

Sada rešavamo novu kvadratnu jednačinu ‘’po k’’ 0162 =+− kk ⇒

22

1,2( 6) ( 6) 4 1 14 6 32

2 2 2Malo sredimo : 32 16 2 4 2

b b acka

− − ± − − ⋅ ⋅− ± − ±= = =

= ⋅ =

Pa je:

www.matematiranje.com

21

=+=

=

ckbka

16

1

=−=

=

cba

Page 35: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

( )

223

223

2232

22322

246

2

1

2,1

−=

+=

±=±

=

k

k

k

Ovo su rešenja za koja jednačina ( početna ) ima dvostruko rešenje!!! Primer 3) Za koje vrednosti parametra Rm∈ jednačina 142 +− xmx ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde dakle mora biti 0>D i naravno 0≠a

1

40

=−=

≠⇒=

cb

mma

nula ne sme! Dakle, rešenje je )4,0()0,( ∪−∞∈m Primer 4) Za koje vrednosti parametra m jednačina mxx +−82 ima konjugovano-kompleksno rešenja? Rešenje: Mora biti 0<D i 0≠a

mcba

=−=≠=8

01

Primer 5) Za koje vrednosti parametra Rk∈ jednačina 0362 =++ xkx nema realna rešenja? Rešenje: Kad nema realna rešenja, znači da su konjugovano kompleksna, odnosno 0<D i naravno 0≠a .

www.matematiranje.com

41640416

046414)4(

42

2

<−>−>−

>−=⋅⋅−−=

−=

mmm

mDmD

acbD⇒

),16(16644

046414)8(

42

2

∞∈⇒>−<−

<−=⋅⋅−−=

−=

mmm

mDmD

acbD

Page 36: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

0362 =++ xkx ⇒ ⇒ 0≠k

),3(33612

012361236346

42

2

∞∈⇒>−<−<−

−=⋅⋅−=

−=

kkkk

kkDacbD

Primer 6) Za koje vrednosti parametra Rm∈ jednačina 05,2)12()12( 2 =++−+ xmxm ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde je 0>D i 0≠a

0≠a ⇒ 012 ≠+m ⇒ 21

−≠m

[ ] [ ]

2

2

2

2

2

4

(2 1) 4 2 1 2,5

(2 1) 10(2 1)4 4 1 20 104 16 9 0

D b ac

D m m

D m mD m m mD m m

= −

= − + − ⋅ + ⋅

= + − +

= + + − −

= − − >

Rešimo najpre 09164 2 =−− mm

916

4

−=−=

=

cba

(Pogledaj kvadratne nejednačine):

www.matematiranje.com

36

===

cbka

5,2)12(

12

−=+−=

+=

cmb

ma

2

1,2

1,2

1

2

42

16 256 144 16 208 8

36 98 2

4 18 2

b b acma

m

m

m

− ± −=

± + ±= =

= =

= − = −

Page 37: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

→> 0D biramo gde je +

www.matematiranje.com

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞∪⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−∈ ,

29

21,m

Page 38: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCE

Brojevi 1x i 2x su rešenja kvadratne jednačine 02 =++ cbxax ako i samo ako je

abxx −=+ 21 i

acxx =⋅ 21

Ove dve jednakosti zovu se Vietove formule. Čemu one služe? Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo rešenja 1x i 2x napravimo kvadratnu jednačinu: 0)( 2121

2 =⋅++− xxxxxx ili bi možda bilo preciznije

[ ] 0)( 2121

2 =⋅++− xxxxxxa najčešće se ovde uzima 1=a , pa je to formula Primer 1: Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja: a) 2,3 21 −== xx b) Jedno rešenje je ix 211 += a) ,31 =x 22 −=x

6)2(31)2(3

21

21

−=−⋅=⋅+=−+=+

xxxx

Formula je 0)(6

21

1

212 =

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⋅++−−32143421xxxxxxa

Pa je [ ] 062 =−− xxa najčešće se uzima ______

1=a ⇒ 062 =−− xx

b) ix 211 += , Nemamo drugo rešenje? Pošto znamo da su rešenja kvadratne jednačine konjugovano kompleksni brojevi to mora biti: ix 212 −=

www.matematiranje.com

Page 39: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

=−=−=−⋅+=⋅

=−++=+222

21

21

41)2(1)21()21(22121

iiiixxiixx

(pošto je 12 −=i ) 541 =+= Zamenimo u formulu: 0)( 2121

2 =⋅++− xxxxxx 0522 =+− xx je tražena kvadratna jednačina Primer 2: U jednačini 0)13(2 =++− mxmmx odrediti vrednost realnog parametra m tako da važi: 521 =+ xx Rešenje: Kako je 521 =+ xx ⇒ Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za 1x i 2x jednačine: 0)1(342 =−+− kxx važi 03 21 =− xx

Rešenje: 414

21 =−

−=−=+abxx

_________________21

21

034

⎭⎬⎫

=−=+

xxxx

rešimo kao sistem

__________________

21

21

034=+−

=+xx

xx

3144 122 =⇒=⇒= xxx

Kako je 2111

)1(31321 =⇒=−⇒−

=⋅⇒=⋅ kkkacxx

www.matematiranje.com

mcmb

ma

=+−=

=)13(

mm

mmxx

abxx

13)13(21

21

+=

+−−=+

−=+

21

12153

513

513

=

−=−−=−

=+

=+

m

mmm

mmm

m

)1(34

1

−=−=

=

kcba

Page 40: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

Primer 4: U jednačini 0)1(2 =++− mxmx odrediti realan broj m tako da njena rešenja zadovoljavaju jednakost 102

221 =+ xx

Rešenje: Ovaj izraz 2

221 xx + → se često javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa ćemo

je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima. Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: 2

22121

221 2)( xxxxxx ++=+

Odavde je: 2 2 2

1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x+ = + − ZAPAMTI!!! Vratimo se u zadatak: 102)(10 21

221

22

21 =−+⇒=+ xxxxxx

33

9

9110

10212102)1(

2

1

2

2

2

2

−==±=

=

−=

=−++

=−+

mmm

mm

mmmmm

Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednačine 02 =++ qpxx tako da

njena rešenja budu qxpx

==

2

1

Rešenja:

⇒ ⇒⎭⎬⎫

=⋅−=+

qqppqp

002

=−=+

qpqqp

www.matematiranje.com

mcmb

a

=+−=

=)1(

1⇒

1 2

1 2

( 1) 11

1

b mx x ma

c mx x ma

− ++ = − = − = +

+ = = =

qcpb

a

=⇒=

= 1

qacxx

ppabxx

==⋅

−=−=−=+

21

21 1

Page 41: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

Iz druge jednačine sistema: 0)1(0 =−⇒=− pqqpq pa je q = 0 ili 1=p Za ⇒= 0q vratimo u prvu jednačinu: 000202 =⇒=+⇒=+ ppqp Za 202021 −=⇒=+⇒=+⇒= qqqpp Dakle ta kvadratna jednačina je:

02 =++ qpxx ⇒ 02 =x za 0=p i 0=q ⇒ 022 =−+ xx za 1=p ∧ 2−=q

Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce Kvadratni trinom po x je izraz oblika: cbxax ++2 gde su →cba ,, brojevi i 0≠a . Brojevi ba, i c su koeficijenti kvadratnog trinoma. Ako su 1x i 2x rešenja kvadratne jednačine 02 =++ cbxax onda je:

))(( 212 xxxxacbxax −−=++

Primer1: Kvadratni trinom: a) 652 ++ xx b) 222 ++ xx rastaviti na činioce. a) 0652 =++ xx najpre rešimo kvadratnu jednačinu: Formula: )2)(3()2)(3(1))(( 21 −−=−−=−− xxxxxxxxa Dakle: )2)(3(652 −−=++ xxxx www.matematiranje.com

65

1

=−=

=

cba

1242542

=−=−=

DD

acbD

23

215

2

2

1

2,1

==

±=

±−=

xx

aDbx

Page 42: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

b) 0222 =++ xx ⇒ 2,2,1 === cba 484 −=−=D

)1)(1(1))(( 21 ixixxxxxa ++−+=−− Dakle: )1)(1(222 ixixxx ++−+=++

Primer 2: Skratiti razlomak: 12712823

2

2

−−−+

xxxx

Rešenje: Uzećemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na činioce.

0823 2 =−+ xx

Dakle: )2)(34(3))((823 21

2 +−=−−=−+ xxxxxxaxx

012712 2 =−− xx

Dakle: 21 2

4 312 7 12 ( )( ) 12( )( )3 4

x x a x x x x x x− − = − − = − +

Vratimo se sad u razlomak www.matematiranje.com

ixix

iix

−−=+−=

±−=

±−=

11

2)1(2

222

2

1

2,1

823

−===

cba 2 4

4 4 3 84 96100

D b acDDD

= −= + ⋅ ⋅= +=

26

10234

68

6102

6102

2

2

1

2,1

2,1

−=−−

=

==+−

=

±−=

±−=

x

x

x

aDbx

127

12

−=−=

=

cba 2 4

4 4 3 ( 12)49 576625

D b acDDD

= −= − ⋅ ⋅ −= +=

1,2

1,2

1

2

27 25

247 25 32 4

24 24 37 25 18 3

24 24 4

b Dxa

x

x

x

− ±=

±=

+= = =

−= = − = −

Page 43: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

2

2

33 2 8

12 7 12x xx x+ −

=− −

4( )3

x − ( 2)

12

x +

4( )3

x −

233 4( )( ) 44

x

xx

+=

++

Naravno uz uslov

34

034

≠−

x

x i

43

043

−≠

≠+

x

x

Primer 3: Skratiti razlomak: 32

12

3

−−+xx

x

Rešenje: 0322 =−− xx Dakle: )1)(3())1()(3(1())((32 21

2 +−=−−−=++=−− xxxxxxxxaxx

→+13x ćemo rastaviti po formuli: 3 3 2 2( )( )A B A B A AB B+ = + − + VIDI POLINOMI

pa je: )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx Vratimo se u razlomak:

3

2

( 1)12 3

xxx x

++=

− −

2( 1)( 3) ( 1)

x xx x

− +

− +

2 13

x xx− +

=−

naravno uz uslov 3

03≠

≠−xx

i 1

01−≠≠+

xx

U nekim zadacima nam traže da rešenja budu pozitivna (ili negativna). Pokažimo koji su to uslovi: 1) Rešenja 1x i 2x kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:

realna i pozitivna ⇔ ,0≥D 0,0 ><ac

ab www.matematiranje.com

32

1

−=−=

=

cba

16124

42

=+=−=

DD

acbD

13

2422

2

1

2,1

2,1

−==

±=

±−=

xx

x

aDbx

Page 44: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

2) Rešenja 1x i 2x kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:

realna i negativna ⇔ ,0≥D 0,0 >>ac

ab

Ova razmišljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila: → Da bi rešenja bila realna je 0≥D

→ abxx −=+ 21 i

acxx =⋅ 21

1) 1x i 2x pozitivna ⇒ 2) 1x i 2x negativna ⇒ (minus puta minus je plus) Primer: Odrediti parameter m tako da rešenja jednačine 01232 =−+− mxx budu pozitivna. Rešenja: Iz 01232 =−+− mxx vidimo da je

0≥D , 0<ab , 0>

ac

mDmD

mDacbD

813489

)12(14)3(4

2

2

−=+−=

−⋅⋅−−=

−=

0≥D ⇒ ( Pazi: znak se okreće)

⇒<−

⇒< 0130

ab Zadovoljeno!!!

01

120 <−

⇒>m

ac

2112

012

<

<<−

m

mm

⎥⎦⎤

⎜⎝⎛∈

813,

21m

00

00

21

21

>⇒>⋅

<⇒>+

acxx

abxx

00

00

21

21

>⇒>⋅

>⇒<+

acxx

abxx

123

1

−=−=

=

mcba

813

1380813

−≥−≥−

m

mm

Page 45: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

NEKE JEDNAČINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE

1) Bikvadratna jednačina To je jednačina oblika: 024 =++ cbxax Uvodimo smenu tx =2 , dobijamo jednačinu

02 =++ cbtat , nadjemo a

acbbt2

42

2,1−±−

= i vratimo se u smenu:

1

2 tx = i 22 tx =

12,1 tx ±= i 24,3 tx ±= Primer1: 034 24 =+− xx ⇒=+− 034 24 xx smena tx =2 034 24 =+− tt

12

24

32

242

242

1216412

314)4()4(2

4

2

1

2,1

22

2,1

=−

=

=+

=

±=

−±=

⋅⋅⋅−−±−−

=−±−

=

t

t

t

aacbbt

Vratimo se u smenu: i

www.matematiranje.com

34

1

=−=

=

cba

3

3

3

3

2

1

2,1

21

2

−=

+=

±=

=

=

x

x

x

x

tx

11

1

1

4

3

4,3

22

2

−=+=

±=

=

=

xxx

x

tx

Page 46: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Primer 2: )838(2)5()54( 42222 −=++− xxx

01665030

166162510254016)838(2)5()54(

24

42424

42222

=++−

−=++++−

−=++−

xxxxxxx

xxx

021630 24 =+− xx → Bikvadratna, smena: tx =2 2 30 216 0t t− + =

12224

182

362

6302

864900302

4

2

1

2,1

2

2,1

==

==

±=

−±=

−±−=

t

t

t

aacbbt

Vratimo se u smenu:

22

22

22

12

12

4

3

4,3

4,3

2

−=

+=

±=

±=

=

x

x

x

x

x

Primer 3:

3)2(2)2( 222 =−−− xxxx Ovo liči na bikvadratnu jednačinu, ali je mnogo bolje uzeti smenu: txx =− 22

txx =− 22

→ 32

1

−=−=

=

cba

www.matematiranje.com

21630

1

=−=

=

cba

23

23

23

18

18

2

1

2,1

2,1

2

−=

+=

±=

±=

=

x

x

x

x

x

03232

2

2

=−−

=−

tttt

Page 47: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

13

242

21242

24

2

1

2,1

2

2,1

−==

±=

+±=

−±−=

tt

t

aacbbt

Vratimo se sada u smenu:

012

12

2

2

22

2

=+−

−=−

=−

xxxx

txx

Sada rešavamo dve nove kvadratne jednačine po x.

11

2022

442

4

3

4,3

4,3

==

±=

−±=

xx

x

x

Dakle, rešenja su: { }1,1,1,3 − Primer 4: 5625,0)3)(2)(1( =+++ xxxx Ovo baš i ne liči na bikvadratnu jednačunu, a ne ‘’vidi se’’ da ima neka pametna smena. Ako sve pomnožimo tek tad smo u problemu!!! Probajmo da pomnožimo prva dva, i druga dva, da vidimo šta će da ispadne…

5625,0)623)(( 22 =++++ xxxxx →=+++ 5625,0)65)(( 22 xxxx Neće!!!

Probajmo onda prvi i četvrti, a drugi i treći!!!

5625,0)3)(2)(1( =+++ xxxx

www.matematiranje.com

03232

2

2

21

2

=−−

=−

=−

xxxx

txx

32

1

−=−=

=

cba

13

242

21242

2

1

2,1

2,1

−==

±=

+±=

xx

x

x

12

1

=−=

=

cba

Page 48: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

5625,0)23)(3(5625,0)212)(3(

22

22

=+++

=++++

xxxxxxxxx

E, ovo je već bolje ⇒ Smena: txx =+ 32

05625,025625,0)2(

2 =−+

=+⋅

tttt

25,225,0

25,22

225,242

2

1

2,1

−=+=

±−=

+±−=

tt

t

Vratimo se u smenu:

025,23

25,232

2

=−+

+=+

xxxx

23

203

2993

43

4,3

4,3

−==

±−=

−±−=

xx

x

x

5) Reši jednačinu 045

352

2

=+−+

+−+

xxx

xxx

04

535

045

35

2

2

2

2

=+−+

⋅+−+

=+−+

+−+

xxx

xxx

xxx

xxx

Ovde je zgodno uzeti smenu txxx

=−+ 52

, jer je onda txx

x 152 =

−+

034043

/0413

2

2

=++

=++

⋅=+⋅+

tttt

tt

t

www.matematiranje.com

025,0325,03

2

2

=−+

+=+

xxxx

2103

2103

2103

2193

2

1

2,1

2,1

−−=

+−=

±−=

+±−=

x

x

x

x

Page 49: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

31

224

212164

2

1

2,1

−=−=

±−=

−±−=

tt

t

Vratimo se u smenu:

152

−=−+

xxx ili 352

−=−+

xxx

05205

5

2

2

2

=−+

=+−+

−=−+

xxxxx

xxx

054035

35

2

2

2

=−+

=+−+

−=−+

xxxxx

xxx

( )2

6122

6222

2422

2042

2,1

2,1

2,1

2,1

±−=

±−=

±−=

+±−=

x

x

x

x

5

1

4

3

−==

xx

61

61

2

1

−−=

+−=

x

x

{ }5,1,61,61 −−−+− su rešenja.

Binomne jednačine

To su jednačine oblika:

0=± BAxn gde su 0>A i 0>B Najpre pokušamo da datu jednačinu rastavimo na činioce upotrebom poznatih formula, pa koristimo 00 =⇔=⋅ MNM v 0=N

Uvek ovu jednačinu možemo rešiti smenom nBx yA

= , koja binomnu jednačinu svede

na oblik 01=±ny www.matematiranje.com

220164

2,1+±−

=x

264

2,1±−

=x

Page 50: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

Primer 1 0278 3 =−x Pazi: Pogrešno je jer se ‘’gube’’ rešenja!!! Upotrebićemo formulu

0)332)2)((32())((

22

2233

=+⋅+−

++−=−

xxxBABABABA

⇒=++− 0)964)(32( 2 xxx odavde je:

2332

032

1 =

==−

x

xx

ili

4333

8)333(2

8366

4333

8)333(2

8366

3

2

iiix

iiix

−−=

−−=

−−=

+−=

+−=

+−=

PAZI: ii 363361108108 =⋅⋅=−⋅=− Primer 2 07296 =−x

03

072966

6

=−

=−

xx

→=− 0)3()( 2323x Razlika kvadrata www.matematiranje.com

03)2(0278

33

3

=−

=−

xx

23

827827278

3

3

3

=

=

=

=

x

x

x

x

2

2,3

2,3

2

3

4 6 9 0

6 36 1448

6 108 6 6 38 8

6 6 38

6 6 38

x x

x

ix

ix

ix

+ + =

− ± −=

− ± − − ±= =

− +=

− −=

Page 51: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

3 3 3 3

2 2

( 3 )( 3 ) 0( 3)( 3 9)( 3)( 3 9) 0x xx x x x x x− + =

− + + + − + =

03 =−x ili 0932 =++ xx ili 03 =+x ili 0932 =+− xx

1 3x =

23 3 3

2ix − +

= 33 3 3

2ix − −

=

3 0x + = → 4 3x = − 2 3 9 0x x− + = → 2

36936,5

−±=x

53 3 3

2ix +

= 63 3 3

2ix −

=

PAZI: ii 333912727 =⋅⋅=−⋅=−

Primer 3.: Rešimo jednačinu: 025 3 =+x Rešenje: Sad se ne može upotrebiti formula, pa idemo na smenu:

nBx yA

= , kako je A=5, B=2, 3=n

smena je 32 5

x y=

022

02525

02525

3

3

3

3

=+⋅

=+⋅⋅

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

y

y

y

⇒=+⋅ 0)1(2 3y 013 =+y (zbir kubova) www.matematiranje.com

8333

2273

23693

3,2

3,2

ix

x

±−=

−±−=

−±−=

2

1

( 1)( 1) 01 0

1

y y yy

y

+ − − =+ =

= −

Page 52: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

Vratimo se u smenu: i Primer 4 Rešiti jednačinu 01711 4 =−x Rešenje: I ovde ne možemo lako datu jednačinu rastaviti na činioce; zato upotrebljavamo

smenu: n

AByx =

Kako je 4=n , 17=B , 11=A ⇒ =x 41117y

4

4

4

4 4 4 2 2

2 2

2

1711 17 011

1711 17 011

17 17 0 17( 1) 0 1 0 ( ) 1 0( 1)( 1) 0( 1)( 1)( 1) 0

y

y

y y y yy yy y y

⎛ ⎞⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ − =

⋅ − = ⇒ − = ⇒ − = → − =

− + =

− + + =

231

231

231

2411

01

3

2

3,2

3,2

2

iy

iy

iy

y

yy

−=

+=

±=

−±=

=−−

32

331

3

52

231

52

521

52

⋅+

=

−=⋅−=

=

ix

x

yx

33 5

22

31⋅

−=

ix

Page 53: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

01=−y ili 01=+y ili 012 =+y 11 =y 12 −=y 12 −=y

iy

iy+=

±=−±=

3

4,3 1

iy −=4

Vratimo se u smenu =x 41117y

;1117

11171 44

1 =⋅=x 442 11

1711171 −=−=x

;1117

43 ix = 4

4 1117ix −=

Trinomne jednačine

To su jednačine oblika

02 =++ cbxax nn

gde su ba, i c realni brojevi (različite od nule). Rešava se smenom 22 txtx nn =⇒= . Rešavamo kvadratnu po t , pa se vratimo u smenu. Primer 1: Reši jednačinu 087 36 =−+ xx Rešenje: 3 2 3( ) 7 8 0x x+ − = cmena tx =3 0872 =−+ tt

8

12

97

2

1

2,1

−==

±−=

tt

t

Vratimo se u smenu:

Ili ili www.matematiranje.com

0)1)(1(01

1

2

3

3

=++−

=−

=

xxxxx

01=−x 012 =++ xx

3

3

3 3

2

88 02 0

( 2)( 2 4) 0

xxxx x x

= −

+ =

+ =

+ − + =

Page 54: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

02 =+x ili 422 +− xx 24 −=x

Primer 2: Rešiti jednačinu:

8 417 16 0x x− + =

Rešenje: 4 2 4

2

( ) 17 16 017 16 0

x xt t

− + =

− + = smena: tx =4

116

21517

2

1

2,1

==

±=

tt

t

Vratimo se u smenu:

ili 14 =x

0)1)(1)(1(

0)1)(1(01

2

22

4

=++−

=+−

=−

xxxxx

x

ili ili ili ili , , Dakle rešenja su: { }iiii −+−−− ,,1,1,2,2,2,2 www.matematiranje.com

2,31 3

2ix − ±

=11 =x

ix

ix

x

312

3222

122

6,5

6,5

6,5

±=

±=

−±=

ixix

x

x

22

4

4

4

3

4,3

2

−=+=

−±=

−=

164 =x

0)4)(2)(2(0)2)(2(

02016

2

2222

44

4

=++−

=+−

=−

=−

xxxxx

xx

02 =−x 02 =+x 042 =+x22 −=x21 =x

01=−x 012 =+x01=+x

15 =x 16 −=x

ixix

x

x

−=+=

−±=

−=

8

7

8,7

2

1

1

Page 55: Matematika 2. Godina Srednje Skole

11

Simetrične (recipročne) jednačine To su jednačina oblika: 0... 221 =++++++ −− abxcxcxbxax nnn Gde su ...,, cba realni brojevi. Naziv simetrične potiče jer su koificijenti uz knx − i kx

)...2,1,0( nk = jednaki. Drugo ime recipročne su dobile zbog osobina: Ako je α=x jedno rešenje, onda je i

α1

=x takodje rešenje date jednačine i važi osobina: Ako je najveći stepen −n neparan

broj, tada je 11 −=x jedno rešenje simetrične jednačine!!!

Postupak rešavanja

- Ako je jednačina neparnog sistema podelimo je sa )1( +x i dobijemo jednačinu parnog sistema

- Celu jednačinu podelimo sa’’srednjim’’ članom i grupišemo odgovarajuće članove.

- Uzimamo smenu 1x tx

+ = , odavde je ako kvadriramo:

22

2

22

2

22

12

112

1

tx

x

txx

xx

tx

x

=++

=+⋅⋅+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→−=+ 21 22

2 tx

x ZAPAMTI

Page 56: Matematika 2. Godina Srednje Skole

12

ili

33

3

33

3

332

23

33

113

1133

11312

1

txx

xx

txx

xx

txx

xx

xx

tx

x

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=+++

=+++⋅+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

3 33

1 3x t tx

+ = − → ZAPAMTI

itd… Primer1: Rešiti jednačinu: 0231632 234 =++−+ xxxx Rešenje: Celu jednačinu delimo sa 2x jer je on srednji član. Dakle

0231632222

2

2

3

2

4

=++−

−+xx

xx

xxx

xx

012131632 22 =⋅+⋅+−+

xxxx grupišemo članove!!!

0161312 2 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx

xx smena: t

xx =+

1

02032016342

0163)2(2

2

2

2

=−+

=−+−

=−+−

tttt

tt

4133

416093

2,1±−

=+±−

=t

41 −=t , 25

2 =t

www.matematiranje.com

Page 57: Matematika 2. Godina Srednje Skole

13

Vratimo se u smenu:

i

212

416255

0252522

251

4

3

4,3

2

2

=

=

−±=

=+−

=+

=+

x

x

x

xxxx

xx

Dakle, rešenja su 2 i 21 i 32+− i 32 −− i recipročna su!!! Za 2 i

21 je to

očigledno, a šta je sa 32+− i 32 −− ?

32

1323)2(

3232

132

132 2

−−=

−−−−

=−−−−

⋅+−

=+−

Sad vidimo (posle racionalizacije) da su i ona takodje recipročna. Primer 2: Rešiti jednačinu:

0121637371612 2345 =++−−+ xxxxx Rešenje: Ovo je jednačina petog stepena, pa je jedno rešenje 1−=x , pa ćemo celu jednačinu podeliti sa )1( +x

12441412)1(:)121637371612( 2342345 ++−+=+++−−+ xxxxxxxxxx Pogledaj deljenje polinoma!!! Dalje radimo:

01121441412

:/012441412

22

2234

=⋅+⋅+−+

=++−+

xxxx

xxxxx

www.matematiranje.com

32

322

4164

01441

41

2

1

2,1

2

2

−−=

+−=

−±−=

=++

−=+

−=+

x

x

x

xxxx

xx

Page 58: Matematika 2. Godina Srednje Skole

14

04114112 22 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx

xx

Smena 211 22

2 −=+⇒=+ tx

xtx

x

065412

041424120414)2(12

2

2

2

=−+

=−+−

=−+−

tttttt

25

613

24564

2

1

2,1

−=

=

±−=

t

t

t

Vratimo se u smenu:

6

131=+

xx i

251

−=+x

x

06136 2 =+− xx 0252 2 =++ xx

221

435

4

3

4,3

−=

−=

±−=

x

x

x

Dakle: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−− 1,2,

21,

32,

23 su rešenja

Veoma slične simetričnim su KOSOSIMETRIČNE jednačine, one su oblika

1 2 2... 0n n nax bx cx cx bx a− −+ + + − − − = tj. koeficijenti uz kx i knx − su suprotni koeficijenti Ako je kososimetrična jednačina neparnog sistema, jedno rešenje je uvek 11 =x Postupak rešavanja je sličan!!! www.matematiranje.com

32

128

23

1218

12513

2

1

2,1

==

==

±=

x

x

x

Page 59: Matematika 2. Godina Srednje Skole

15

Primer 3:

01716167 2345 =−+−+− xxxxx kososimetrična

Pošto je njeno rešenje 11 =x , celu jednačinu delimo sa )1( −x

16106)1(:)1716167( 2342345 +−+−=−−+−+− xxxxxxxxxx Dobijena jednačina: 016106 234 =+−+− xxxx je simetrična 2:/ x

0116106

016106

22

234

=+⋅−+−

=+−+−

xxxx

xxxx

itd… Dobijena rešenja su 32,32,1,1 4321 −=+=== xxxx i 15 =x

www.matematiranje.com

Page 60: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

SISTEMI KVADRATNIH JEDNAČINA SA DVE NEPOZNATE

Razlikovaćemo nekoliko tipa sistema: 1) Sistem od jedne kvadratne i jedne linearne jednačine sa dve nepoznate Postupak: Iz linearne jednačine izrazimo x ili y (šta nam je lakše). To zamenimo u kvadratnu jednačinu i nju posle sredjivanja rešimo. Ako ima rešenja, njih vraćamo u ''ono'' što smo izrazili. Primer 1) Reši sistem:

02322 22 =−++ xyx

________________2 2x y− = −

02322 22 =−++ xyx

→−=−________________

22yx odavde izrazimo x (lakše) x zamenimo u gornju jednačinu

22 −= yx 2 2

2 2

2 2

2

2

2(2 2) 2 6 6 2 02(4 8 4) 2 6 6 2 08 16 8 2 6 8 010 10 0/ :10

0( 1) 0

y y yy y y y

y y y yy y

y yy y

− + + − − =

− + + + − − =

− + + + − =

− =

− =− =

01 =y ∨ 01=−y 12 =y ⇒

Rešenj su: )0,2(),( 11 −=yx i )1,0(),( 22 =yx Primer 2) Rešiti sistem:

2 2

________________

3 2 2 3 4 02 5 0

x xy y x yx y+ + + − =− + =

www.matematiranje.com

02122202

2

1

=−⋅=−=−⋅=

xx

Page 61: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

2 2

________________

2 2

2 2 2

2 2

2

2

3 2 2 3 4 02 5 0

2 53 2 (2 5) 2(2 5) 3 4(2 5) 03 4 10 2(4 20 25) 3 8 20 07 10 8 40 50 3 8 20 015 45 30 0/ :15

3 2 0

x xy y x yx y

y xx x x x x xx x x x x x xx x x x x xx x

x x

+ + + − =− + =

= +

+ + + + + − + =

+ + + + + + − − =

+ + + + + − − =

+ + =

+ + =

21

213

24

2

1

2

2,1

−=−=

±−=

−±−=

xx

aacbbx

Zamenom 1x i 2x u 52 += xy dobijamo:

1545)2(23525)1(2

2

1

=+−=+−==+−=+−=

yy

Dakle rešenja su: ),3,1(− )1,2(− 2)Sistem od dve kvadratne jednačine, koje sadrže samo 2ax i 2ay i slobodne članove Ovaj sistem je oblika: Najlakše ga rešiti metodom suprotnih koeficijenata. Primer 1) Rešiti sistem: 1165 22 =− yx 2 2

______________________7 3 714x y+ =

1165 22 =− yx →=+

______________________

22 71437 yx Drugu jednačinu množimo sa 2

153919

142861411165

2

_________________________

22

22

=

+⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

=−

x

yxyx

www.matematiranje.com

231

===

cba

22

22

2

12

12

1

cybxa

cybxa

=+

=+

Page 62: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

81

812

±=

=

x

x

7749

491473

567714371435677143817

71437

2

1

2

2

2

2

2

22

−=+=±=

=

=

−=

=+

=+⋅

=+

yyy

yyy

yy

yx

Pazi sad pravimo ‘’kombinacije’’: (9,7), (9,-7), (-9,7), (-9,-7) Dakle, ima 4 rešenja!!! Pre nego se upoznamo sa novim tipom sistema, naučimo šta su to HOMOGENE jednačine Njen opšti oblik je: 022 =++ CyBxyAx

Nju možemo rešiti najlakše smenom yzx = tj. yxz =

( )

2 2

2 22

2 2 2

22

2 2

0

0

0

0

Ax Bxy Cy

x xy yy A B Cy y y

x xy A B Cy y

y Az Bz C

+ + =

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+ + =

0=y ∨ 2 0Az Bz C+ + = nama ovo treba!!!

www.matematiranje.com

999

2

1

−==±=

xxx

Page 63: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

Vratimo se na stare nepoznate….

yzx 1= i yzx 2=

3) Sistem od dve kvadratne jednačine od kojih je jedna homogena

Taj system je oblika: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++++

=++

00

22

22

frydxcybxyaxCyBxyAx

Iz prve jednačine (homogene) dodjemo do dve linearne jednačine, pa svaku od njih ukombinujemo sa drugom jednačinom sistema tako da dobijemo dva nova sistema jednačina. Primer 1: Rešiti sistem jednačina: →=+− 023 22 yxyx homogena, prvo nju rešimo

_________________________

2 033 =+−− yxx

023 22 =+− yxyx

0232

22 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+−44 344 21

zanimanasovosamo

yx

yxy z

yx= smena zyx =

2

1,2

1

2

3 2 03 1

221

z z

z

zz

− + =±

=

==

Vratimo se u smenu: Za 21 =z ⇒ yx 2= Za 2 1z = ⇒ x y=

2

1,2

1

2

42

......

B B ACzA

zz

− ± −=

==

Page 64: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

Sad ovo zamenimo u drugu jednačinu _________________________

2 033 =+−− yxx

1 23 32 1 2, 24 2

x x= ⋅ = = ⋅ =

Dakle , rešenja su: (2,1), ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43,

23 ,(3,3), (1,1)

Primer 2: Rešiti sistem:

2 2

2 2

___________________________

2 2

22

2

6 02 2 18

6 0

6 0

x xy yx xy y

x xy y

x xyy y

+ − =

− + =

+ − =

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

062 =−+ zz Smena zyx=

3

22

51

2

1

2,1

−==

±−=

zz

z

Dalje je : yxyzx 2=⇒= ili yx 3−= Sad pravimo nova dva sistema.

43

86

18

170374

03640323)2(

033

2

1

2,1

2

2

2

2

==

=

±=

=+−

=+−−

=+−⋅−

=+−−

y

y

y

yyyyy

yyyyxx

13

224

0344033033

2

1

2,1

2

2

2

==

±=

=+−

=+−−

=+−−

xx

x

xyxxxyxx

1,3 21 == yy

___________________________

22 1822 =+− yxyxyx 2=

___________________________

22 1822 =+− yxyxyx 3−=

Page 65: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

31 +=y 32 −=y 321 ⋅=x 6)3(22 −=−⋅=x

(6,3) (-6,-3)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

1718,

17183 i ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

1718,

17183

Dakle opet ima četri rešenja!!!

4) Sistemi koji se svode na homogene jednačine

Opšti oblik ovog sistema je:

_______________________________2

222

22

12

122

1

dycxybxa

dycxybxa

=++

=++

Ideja je da se metodom suprotnih koeficijenata unište 1d i 2d I da se dobije homogena jednačina. Nju rešimo i formiramo dva nova sistema. Ništa bez primera: Primer 1: Reši sistem:

______________________

22

22

74232

=++

=+−

yxyxyxyx

Prvu jednačinu pomnožimo sa 7, a drugu sa -4

www.matematiranje.com

39

1824418222)2(

2

222

22

±==

=+−

=+⋅⋅−

yy

yyyyyyy

181718269

182)3(2)3(

2

222

22

=

=++

=+⋅−⋅−−

yyyy

yyyy

17181718

1718

1718

2

1

2

−=

+=

±=

=

y

y

y

y

171831 −=x

171832 =x

Page 66: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

5:/0102510

2844428142114

22

___________________________________

22

22

=+−

+⎪⎭

⎪⎬⎫

−=−−−

=+−

yxyx

yxyxyxyx

→=+− 0252 22 yxyx Dobili smo homogenu jednačinu!!!

0252 2

2

=+−yx

yx z

yx=

212

435

0252

2

1

2,1

2

=

=

±=

=+−

z

z

z

zz

Vratimo se u smenu

2=yx ili

21

=yx

yx 2= ili xy 2= Sada izaberimo jednu od početne dve jednačine (onu sa manje brojke) i formiramo dva nova sistema: Onda je: Onda je:

1111

77724

72)2(

72

2

1

2

2

222

22

______________________

22

−==±==

=

=++

=+⋅+

=++

=

yyyy

yyyy

yyyy

yxyxyx

2)1(222

2

11

−=−⋅==⋅=

xyx

1111

77742

7)2(2

72

2

1

2

2

222

22

______________________

22

−==±==

=

=++

=+⋅+

=++

=

xxxx

xxxx

xxxx

yxyxxy

2)1(222

2

11

−=−⋅===

xxx

Page 67: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

Odavde su dakle rešenja: Odavde su rešenja (2,1) i (-2,-1) (1,2), (-1,-2) Konačno rešenja su: (2,1), (-2,-1), (1,2), (-1,-2)

5) Rešavanje složenijih slučajeva:

Kod sistema koji ne pripadaju nijednim od proučenih tipova, tražimo način da eliminišemo jednu nepoznatu, sredjujemo jednačine da uvedemo smenu, pravimo da jedna jednačina bude proizvod jednak nuli… Ovde nemamo neki ‘’dobar’’ savet, iskustvo je odlučujuće, dakle što više zadataka uradite, to ćete više ‘’trika’’ naučiti!!! Bilo kako bilo, evo par primera: 1) Rešiti sistem jednačina: 19=++ yxyx →=+

____________________

22 84xyyx izvičimo odavde xy

____________________

84)(19

=+=++

yxxyxyyx

Sad uvodimo smene x+y= a i xy=b

127712

2519

0841908419

84)19(19

8419

22

11

2,1

2

2

____________

=⇒==⇒=

±=

=+−

=−−

=−⋅−=

=⋅=+

baba

a

aaaa

aaab

baba

www.matematiranje.com

Page 68: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

Vratimo se u smene: 12=+ yx ∧ 7=xy

34

2

1

==

xx

31 =y 42 =y Odavde su rešenja: (4,3), (3,4) 2) Rešiti sistem: Odavde možemo da drugu jednačinu pomnožimo sa (-1) I da eliminišemo 2y

4 2

2 2

_________________

4 2

175

12

x yx y

x x

+ =

− − = −

− =

⇒=−− 01224 xx ovo je bikvadratna jednačina Smena: tx =2

34

271

012

2

1

2,1

2

−==

±=

=−−

tt

t

tt

29629612

29629612

2

1

+=+−=

−=−−=

y

y

( ) ( )296,296,296,296 +−−+

2

2

(12 ) 712 7 0

12 7 0

x xx x

x x

− =

− − =

− + =

( )

____________________2

1

2,1

2,1

2926

29262

292622

292122

11612

−=

+=

±=

±=

±=

x

x

x

x

xy −=12

217

01270127

12)7(

2,1

2

2

±=

=+−

=−−

=−

x

xxxxxx

xy −= 77=+ yx ∧ 12=xy

_______________

22

24

517

=+

=+

yxyx

Page 69: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

Vratimo se u smenu: Vratimo se u

2 2

2

2

1

2

53 5

8 2 2

2 2

2 2

x yy

y y

y

y

+ =

− + =

= ⇒ = ±

=

= −

Rešenja su: (2,1), (2,-1), (-2,1), (-2,1), ( )3 ,2 2 ,i ( )3 , 2 2 ,i − ( )3 ,2 2 ,i− ( )3 , 2 2 ,i− −

Dakle ima ih 8.

www.matematiranje.com

224

2

1

2

2

−===

=

xxx

tx 2

3 4

3

3 3

3 , 3

x

x i

x i x i

= −

= ± − = ±

= + = −

__________2

1

2

2

22

111

545

−===

=+

=+

yyy

yyx

Page 70: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika:

cbxaxy ++= 2 Gde je ,Rx∈ 0≠a i ciba, su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije cbxaxy ++= 2 je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda grafik funkcije 2xy = . Napravićemo tablicu za neke vrednosti promenljive x.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

8

9

y=x2

x

y

za 3x = − je 9)3( 2 =−=y za

_________2−=x je 4)2( 2 =−=y

za _________

1−=x je 1)1( 2 =−=y

za _________

0=x je 002 ==y

za _________

1=x je 112 ==y

za_________

2=x je 422 ==y

za _________

3=x je 932 ==y www.matematiranje.com

Page 71: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Ovaj grafik će nam uvek služiti kao ‘’početni”. Šta se dešava ako ispred 2x ima neki broj? Naučimo sad grafik 2axy = Razlikovaćemo 2 situacije: 0>a i 0<a za 0>a Ovde je parabola okrenuta ‘’ otvorom nagore’’. Šta se dešava ako je 1>a i ?10 << a

1>a U odnosu na početni grafik 2xy = , ovaj grafik 2axy = se ‘’sužava’’

Primer 22xy =

X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y 18 8 2 0 2 8 18

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

8

9

y=x2

y=2x2

x

y

Što je broj a veći to je grafik uži!!!

www.matematiranje.com

Page 72: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

10 << a

U odnosu na početni grafik 2xy = , ovaj grafik 2axy = se ‘’širi’’

Primer 2

21 xy =

X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y

29

2 21

0 21

2 92

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

8

9

y=x2

x

y

y=1_ x22

Što je broj a bliži nuli, grafik je širi!!! Za 0<a parabola je okrenuta ‘’otvorom nadole’’. Početni grafik je 2xy −= .

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9

www.matematiranje.com

Page 73: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

Evo grafika funkcije 2xy −=

1 2 3-1-2-3

y=-x2

x

-1

-2

-4

-8

-9

1

2

3

y

Opet ćemo razmotriti 2 situacije: U odnosu na početni 2xy −= grafik se ‘’sužava’’ako je a<-1

Primer 22xy −=

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18

1 2 3-1-2-3

y=-x2

y=-2x2

x

-1

-2

-4

-8

-9

1

2

3

y

www.matematiranje.com

Page 74: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

Ako je

01 <<− a

U odnosu na početni grafik 2xy −= grafik , na primer 212

y x= − se ‘’širi’’

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

-29

-2 -

21

0 -

21

-2 - 9

2

1 2 3-1-2-3

y=-x2

x

-1

-2

-4

-8

-9

1

2

3

y

y=- 1_ x22

Dobro, ovo za sad nije bilo ''mnogo opasno'' Naučimo sada da pomeramo finkciju duž y-ose. Posmatrajmo grafik:

2y ax β= + → Prvo nacrtamo grafik funkcije 2axy = → taj grafik pomeramo duž y-ose i to:

1) Ako je β pozitivan ‘’podižemo’’ grafik, odnosno pomeramo ga u pozitivnom smeru y-ose.

2) Ako je β negativan, ‘’spuštamo’’ grafik, odnosno pomeramo ga u negativnom smeru y-ose

www.matematiranje.com

Page 75: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

Evo par primera:

Primer 1: 121 2 += xy

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

x

y

y=1_ x22

y=1_ x22 +1

0

Prvo nacrtamo grafik 2

21 xy = , Zatim taj grafik ‘’podignemo’’ za +1, paralelnim

pomeranjem (translacija) Primer 2: 22 −= xy Znači, najpre nacrtamo grafik 2xy = . Potom taj grafik ‘’spustimo’’ za -2 duž y-ose (transplatorno pomeranje)

1 2 3-1-2-3

1234

9

y=x2

x

y

-1

-2y=x2-2

0

www.matematiranje.com

Page 76: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

Nadam se da smo i ovo razumeli, jel tek sad ide ''prava stvar''. Naučimo da pomeramo funkciju i duž x-ose. Posmatrajmo funkciju: 2)( α−= xy Pazi: → Ako je –α to znači da funkciju pomeramo za α po x-osi udesno. → Ako je +α to znači da finkciju pomeramo za α po x-osi ulevo Ništa bez primera: Primer 1: 2)3( −= xy → Znači pomeramo funkciju 2xy = udesno za 3

1 2 3-1-2-3

12

34

9

y=x2

x

y

-1

-2

2y=(x-3)

0

Primer 2: 2)2( += xy → Znači pomerimo funkciju 2xy = ulevo za 2

www.matematiranje.com

Page 77: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

1 2 3-1-2-3

12

34

9

y=x2

x

y

-1

-2

2y=(x+2)

0

Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik funkcije cbxaxy ++= 2 . Najpre moramo funkciju cbxaxy ++= 2 svesti na takozvani kanonski oblik. Tu nam pomaže formula:

abac

abxay

44

2

22 −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ili ako uvedemo da je:

ab2

−=α i a

bac4

4 2−=β tj.

aD4

−=β dobijamo: 2( )y a x α β= − + kanonski oblik

Tačka ),( βαT je teme parabole.

Dakle: (važno, ovo je postupak) → Datu funkciju cbxaxy ++= 2 najpre svedemo na kanonski oblik βα +−= 2)(xay → Nacrtamo grafik funkcije 2axy = → Izvršimo pomeranje (transliranje) duž x–ose za α → Izvršimo pomeranje (transliranje) duž y-ose za β

www.matematiranje.com

Page 78: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

Primer 1: Nacrtaj grafik funkcije: 562 +−= xxy → Svedemo je na kanonski oblik:

4

416

43620

14)6(514

44

3126

222

−=−

=−

=⋅−−⋅⋅

=−

=

=⋅

−−=−=

abac

ab

β

α

4)3(

)4()3(1)(

2

2

2

−−=

−+−=

+−=

xyxyxay βα

→ Najpre nacrtamo 2axy = , odnosno 2xy =

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

8

9

y=x2

x

y

→ Sada ucrtamo grafik 2)3( −= xy , odnosno vršimo pomeranje za 3 ulevo

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

8

9

y=x2

x

y

56

1

=−=

=

cba

Page 79: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

→ I najzad ucrtamo 4)3( 2 −−= xy tako što grafik 2)3( −= xy spustimo za 4 ‘’nadole’’

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

8

9

y=x2

x

y

-4

5

5

y=(x-3)2

y=(x-3) - 42

Ceo ovaj postupak je dosta ‘’zamršen’’ a nije baš ni mnogo precizan. Evo kako ćete mnogo brže i preciznije nacrtati grafik cbxaxy ++= 2 bez svodjenja na kanonski oblik i ‘’pomeranja’’: Naš grafik će u zavisnosti od a (broja uz 2x ) i diskriminante acbD 42 −= biti jedan od sledećih 6 grafika: 1) 0,0 >> Da

x

y

1x 2x

( , )T α β

→ F-ja seče x-osu u 21 xix → 0<y za ),( 21 xxx∈ I 0>y za ),(),( 21 ∞∪−∞∈ xxx → F-ja ima minimum u temenu ),( βαT → F-ja raste za ),( ∞∈ αx → F-ja opada za ),( α−∞∈x

Page 80: Matematika 2. Godina Srednje Skole

11

2) 0,0 => Da

x

y

( , )T α β1 2x x=

→ F-ja je definisana za Rx∈∀ → F-ja seče x-osu u 21 xx = → Rxy ∈∀≥ ,0 → F-ja ima minimum u )0,(αT → F-ja raste za ),( ∞∈ αx → F-ja opada za ),( α−∞∈x 3) 0,0 <> Da

x

y

( , )T α β

→ F-ja je definisana za Rx∈∀ → F-ja ne seče x- osu ( 2,1x su konjugovano -kompleksni brojevi). → Rxzay ∈∀> ,0 → F-ja ima minimum u ),( βαT → F-ja raste za ),( ∞∈ αx → F-ja opada za ),( α−∞∈x

www.matematiranje.com

Page 81: Matematika 2. Godina Srednje Skole

12

4) 0,0 >< Da

x

y

1x 2x

( , )T α β

→ F-ja je definisana Rx∈∀ → F-ja seče x- osu u 21, xx → 0<y za ),(),( 21 ∞∪−∞∈ xxx 0>y za ),( 21 xxx∈ → F-ja ima maksimum u ),( βαT → F-ja raste za ),( α−∞∈x → F-ja opada za ),( ∞∈ αx 5) 0,0 =< Da

x

y

( , )T α β

1 2x x=

→ F-ja je definisana Rx∈∀

→ F-ja seče x- osu u 21 xx = → Rxy ∈∀≤ ,0 → F-ja ima maximum u )0,(αT → F-ja raste za ),( α−∞∈x → F-ja opada za ),( ∞∈ αx

www.matematiranje.com

Page 82: Matematika 2. Godina Srednje Skole

13

6) 0,0 << Da

x

y

( , )T α β

→ F-ja je definisana Rx∈∀ → F-ja ne seče x- osu ( 2,1x su konjugovano -kompleksni brojevi) → Rxzay ∈∀< ,0 → F-ja ima maximum u ),( βαT → F-ja raste za ),( α−∞∈x → F-ja opada za ),( ∞∈ αx

Postupak

1) Najpre odredimo a,b,c i nadjemo diskriminantu acbD 42 −=

2) Tražimo a

Dbx22,1±−

= (ako ima)

1 2

1 2

1 2

0,0,0,nema ,

D x xD x xD x x

> ≠= =<

3) U zavisnost od znaka broja a zaključujemo da li je parabola okrenuta otvorom

nagore ili na dole, tj:

→> 0D Smeje se

→< 0D Mršti se 4) Parabola uvek seče y-osu u broju c

Page 83: Matematika 2. Godina Srednje Skole

14

5) Nadjemo teme ),( βαT a

Dab

4,

2−=−= βα

),( βαT je max ako je 0<a ),( βαT je min ako je 0>a 6) Konstruišemo grafik

Primer 1: Nacrtaj grafik funkcije 562 +−= xxy (ovo je ista funkcija koju smo crtali svodjenjem na kanonski oblik i pomerili duž x i y ose, pa da vidimo koji će nam postupak biti jasniji) 1) 162036514)6(4 22 =−=⋅⋅−−=−= acbD 2)

15

246

2

2

1

2,1

==

±=

±−=

xx

aDbx

3) ⇒>= 01a okrenuta otvorom na gore (smeje se) 4) y-osu seče u c=5 5)

( , )6 3

2 2 116 4

4 4 1(3, 4) min

Tba

Da

T

α β

α

β

−= − = =

= − = − = −⋅

− →

www.matematiranje.com

56

1

=−=

=

cba

Page 84: Matematika 2. Godina Srednje Skole

15

6) Grafik:

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

8

9

x

y

-4

5

5

sami odlučite koji način konstrukcije grafika vam je ‘’lakši’’ Primer 2: Nacrtati grafik finkcije

621

21 2 ++−= xxy

1)

2

12

126

1 1 1 1 494 6 12 122 2 4 4 4

a

b

c

D

= −

=

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⋅ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2)

1,2 1 2

1

2

1 7 1 7 1 7 1 73 42 2 2 2 2 2 2 23 4

12 1 1 1 1 122

34

b Dx x xa

xx

− ± − ± − + − −− ± −= = = → = = = − → = = =

− − − − −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= −=

www.matematiranje.com

Page 85: Matematika 2. Godina Srednje Skole

16

3)

⇒<−= 021a okrenuta otvorom na dole (mršti se)

4) presek sa y-osom je c=6 5) ),( βαT

21

212

21

2=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=−=abα

816

849

214

449

4=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=−=a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

816,

21T

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

8

9

x

y

-4

5

56

4

www.matematiranje.com

Page 86: Matematika 2. Godina Srednje Skole

17

Primer 3: Skicirati grafik funkcije:

342 +−= xxy

Rešenje:

Pošto ⎩⎨⎧

<−≥

=0,

0,xx

xxx , odavde ćemo imati 2 grafika, jedna za 0≥x i jedan za

0<x . 342 +−= xxy

za 0≥x je 342 +−= xxy

1) 3,4,1 =−== cba 4121642 =−=−= acbD 2)

13

224

2

1

2,1

==

±=

xx

x

3) ⇒>= 01a smeje se 4) presek sa y-osom je u 3 5)

)1,2(

114

44

2124

2

),(

−=⋅

−=−=

=⋅

−=−=

Ta

Dab

T

β

α

βα

www.matematiranje.com

Page 87: Matematika 2. Godina Srednje Skole

18

za 0<x grafik 342 +−= xxy je

342 ++= xxy 1) 3,4,1 === cba 4121642 =−=−= acbD 2)

31

224

2

1

2,1

−=−=

±−=

xx

x

3) >⇒=1a smeje se 4) presek sa –osom je u 3 5)

)1,2(

114

44

2124

2

),(

−−

−=⋅

−=−=

−=⋅

−=−=

Ta

Dab

T

β

α

βα

Pogledajmo sad kako izgledaju ova dva grafika posebno a kako zajedno daju grafik

342 +−= xxy www.matematiranje.com

Page 88: Matematika 2. Godina Srednje Skole

19

1 2 3-1-2-3

12

3

4

x

-1

-2

0

y

1 2 3-1-2-3

12

3

4

x

-1

-2

0

y

1 2 3-1-2-3

12

3

4

x

-1

-2

0

y

2 4 3y x x= − +2 4 3y x x= + +2 4 3y x x= − +

www.matematiranje.com

Page 89: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

GRAFIČKO REŠAVANJE SISTEMA

Najčešći tip zadatka je onaj u kome se javlja jedna kvadratna funkcija cbxaxy ++= 2 i jedna linearna funkcija

y kx n= + .

Naš savet je da najpre rešite sistem analitički ( računski) pa tek onda da crtate grafike. Ako odmah crtate grafik

može se desiti da za presek ( preseke) koje dobijete ne možete precizno utvrditi koordinate...

Evo par primera:

primer 1.

Grafički rešiti sistem:

2 2 4 0

2 0

x x y

x y

− + + =

+ + =

Rešenje: Najpre ćemo izraziti y iz obe jednačine i rešiti sistem analitički.

2 22 4 0 2 4

2 0 2

x x y y x x

x y y x

− + + = → = − + −

+ + = → = − −

Sad oformimo jednu jednačinu “po x’’ upoređujući leve strane ove dve jednakosti ( desne su iste)

2

2

2

22

1,2

1 1

2 2

2 4 2

2 4 2 0

3 2 0

1; 3; 2

3 3 4 ( 1) ( 2)4 3 1 3 1

2 2 ( 1) 2 2

3 1 21

2 2

3 1 42

2 2

x x x

x x x

x x

a b c

b b acx

a

x x

x x

− + − = − −

− + − + + =

− + − =

= − = = −

− ± − ⋅ − ⋅ −− ± − − ± − ±= = = =

⋅ − − −

− + −= = → =

− −− − −

= = → =− −

Sad ove vrednosti vratimo u jednačinu 2y x= − − da nađemo y koordinate:

Za 1 1x = je 1 11 2 3y y= − − → = − pa je jedno rešenje tačka ( 1, - 3)

Za 2 2x = je 1 12 2 4y y= − − → = − pa je drugo rešenje tačka ( 2,- 4)

Page 90: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Sad možemo i da nacrtamo grafike, ali u istom koordinatnom sistemu.

Naravno, lakše je nacrtati pravu...Uzećemo dve tačke , recimo x=0 , pa naći y, a zatim uzmemo y=0 pa nađemo x.

2y x= − − imamo

xy

00-2-2

Kvadratnu funkciju nećemo detaljno ispitivati ( naravno, vi morate ako vaš profesor zahteva) već samo neophodne

stvari:

2 2 4y x x= − + −

Nule funkcije:

2

22

1,2

2 4 0

1; 2; 4

2 2 4( 1)( 4)4 2 12

2 2( 1) 12

x x

a b c

b b acx

a

− + − =

= − = = −

− ± − − −− ± − − ± −= = =

− −

Odavde zaključujemo da nemamo realnih rešenja, odnosno da grafik ove kvadratne funkcije nigde ne seče x osu.

Presek sa y osom

Da se podsetimo, presek sa y osom je u tački c, a u ovom slučaju je 4c = −

Teme funkcije

2

( , )

21

2 2 ( 1)

4 123

4 4 4 ( 1)

(1, 3)

T

b

a

D b ac

a a

T

α β

α

β

= − = − =⋅ −

− −= − = − = − = −

⋅ −

Sada možemo nacrtati grafike :

www.matematiranje.com

Page 91: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

y=-x-2

2 2 4y x x= − + −

(1,-3)

(2,4)

Vidimo da se grafička rešenja poklapaju sa analitičkim.

primer 2.

Grafički rešiti sistem:

2 4 3

2 6

y x x

y x

= − +

= −

Rešenje:

Najpre da rešimo računski:

2

2

2

2 2

1 2 1 2

4 3

2 6

4 3 2 6

4 3 2 6 0

6 9 0 ( 3) 0 3 2 3 6 0

y x x

y x

x x x

x x x

x x x x x y y y

= − +

= −

− + = −

− + − + =

− + = → − = → = = → = ⋅ − → = =

Page 92: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

Dakle, postoji samo jedno rešenje ovog sistema , tačka ( 3,0) . To nam govori da će se grafici prave i parabole seći

samo u jednoj tački ( odnosno da je prava tangenta parabole)

Za pravu 2 6y x= − imamo da je

xy

00-6-3

Za parabolu 2 4 3y x x= − +

Nule funkcije: 2

22

1,2

1 2

4 3 0

1; 4; 3

4 ( 4) 4 1 34 4 2

2 2 2

3; 1

x x

a b c

b b acx

a

x x

− + =

= = − =

± − − ⋅ ⋅− ± − ±= = =

= =

Presek sa y osom

Presek sa y osom je u tački c, a u ovom slučaju je 3c =

Teme funkcije

2

( , )

42

2 2 1

4 41

4 4 4 1

(2, 1)

T

b

a

D b ac

a a

T

α β

α

β

−= − = − =

⋅−

= − = − = − = −⋅

x

y

1 2 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

2 4 3y x x= − +

y=2x-6

-6

(3,0)

Page 93: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

primer 3.

Grafički rešiti sistem:

2

1

y x

y x

=

= −

Rešenje:

2

2

2 2

1

1

1 0 4 1 4 3 0

y x

y x

x x

x x D b ac D

=

= −

= −

− + = → = − = − = − → <

Sistem nema realna rešenja. Dakle, grafici se ne seku!

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

2y x=

xy0

0-1 1

y=x-1

Zaključak: Kad imamo da grafički rešimo sistem cbxaxy ++= 2 i y kx n= + može se desiti da imamo dve presečne tačke ( primer 1.), da se seku u jednoj tački ( primer 2.) ili da nema preseka ( primer 3.)

www.matematiranje.com

Page 94: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

Evo par primera kad nije data linearna funkcija ( prava).

primer 4.

Grafički rešiti sistem:

12

7

xy

x y

=

+ =

Rešenje:

Kao i uvek, rešimo sistem najpre računski...Iz druge jednačine izrazimo y i zamenimo u prvu jednačinu:

2

2

1,2 1 2

1 1 1 1

2 2 2 2

12

7

7 7 zamenimo u prvu jed. 12

(7 ) 12

7 12 0

7 17 12 0 4 3

2

4 7 3 (4,3)

3 7 4 (3, 4)

xy

x y

x y y x xy

x x

x x

x x x x x

x y x y

x y x y

=

+ =

+ = → = − → =

− =

− − =

±− + = → = → = ∧ =

= → = − → = →

= → = − → = →

Rešili smo zadatak analitički...

Za pravu kao i uvek, uzimamo dve tačke:

xy

0077

Za hiperbolu 12

yx

= ćemo uzeti nekoliko tačaka, a ako se sećate od ranije, ona će pripadati prvom i trećem

kvadtantu:

x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y -3 -4 -6 -12 12 6 4 3

Sada skiciramo grafik:

Page 95: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

x

y

1 2 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

-6

3

6

6

7

7

x+y=7

12y

x=

primer 5.

Grafički reši sistem:

2

2

4 4

3 2

y x x

y x x

= − +

= − + −

Rešenje:

2

2

2 2

2 2

2

1 2

4 4

3 2

4 4 3 2

4 4 3 2 0

32 7 6 0 2

2

y x x

y x x

x x x x

x x x x

x x x x

= − +

= − + −

− + = − + −

− + + − + =

− + = → = ∧ =

Sad ove vrednosti zamenimo u bilo koju od dve jednačine ( recimo u prvu) :

2

1 2

2

1 1

2

2 2

4 4

32

2

2 2 4 2 4 0 (2,0)

3 3 3 1 3 14 4 ( , )

2 2 2 4 2 4

y x x

x x

x y

x y

= − +

= ∧ =

= → = − ⋅ + = →

= → = − ⋅ + = →

Page 96: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

Dobili smo tačke preseka.

Po već poznatom postupku ispitamo tok dve zadate kvadratne funkcije i skiciramo:

x

y

1 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

2 4 4y x x= − +

-6

3

2 3 2y x x= − + −

(2,0)

(3/2,1/4)

www.matematiranje.com

Page 97: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

KVADRATNA NEJEDNAČINA ZNAK KVADRATNOG TRINOMA

Kvadratne nejednačine su oblika:

0000

2

2

2

2

≤++

<++

≥++

>++

cbxaxcbxaxcbxaxcbxax

gde je x-realna promenljiva (nepoznata) i a,b,c su realni brojevi, .0≠a U delu kvadratna funkcija smo analizirali kako može izgledati grafik kvadratne funkcije u zavisnosti od znaka a i D. Podsetimo se:

1) ⇒>> 0,0 Da 2) 00,0 ≥⇒=> yDa uvek 3) 00,0 >⇒<> yDa uvek

4) ⇒>< 0,0 Da 5) 00,0 ≤⇒=< yDa uvek 6) 00,0 <⇒<< yDa uvek Naravno cbxaxy ++= 2 Primer 1) Odrediti znak trinoma: a) 4113 2 −− xx b) 45 2 +−− xx v) 4129 2 ++ xx g) 962 −−− xx

Rešenja a) Najpre rešimo odgovarajuću kvadratnu jednakost: 3x2 –11x –4 =0

Page 98: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

411

3

−=−=

=

cba

169

4812142

=+=−=

DD

acbD

31

62

46

13112

2

1

2,1

−=−=

=

±=

±−=

x

xa

Dbx

Pošto je 03 >=a i 0169 >=D (prva situacija):

04113 2 >−− xx za ( )∞∪⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−∈ ,4

31,x

04113 2 <−− xx za ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈ 4,

31x

b) 045 2 =+−− xx → PAZI: nema množenja i deljenja nekim brojem!!!

4

15

=−=−=

cba

81

801=

+=DD

54

108

110

91

2

1

2,1

=−−

=

−=−±

=

x

x

x

Pošto je 0,0 >< Da (situacija 4)

045 2 >+−− xx za ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈

54,1x

045 2 <+−− xx za ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞∪−∞−∈ ,

541,x

v) 04129 2 =++ xx

4129

===

cba

0

144144=

−=DD

32

32

1812

18012

2

1

2,1

−=

−=−=

±−=

x

x

x

Pošto je 0>a i 0=D → 04129 2 ≥++ xx uvek a ovo vidimo i iz 0)23( 2 ≥+x

Page 99: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

g) 962 −−− xx

961

−=−=−=

cba

0

3636=

−=DD

33

206

2

1

2,1

−=−=−±

=

xx

x

Pošto je 0<a i 0=D → 0962 ≤−−− xx uvek, tj za Rx∈∀ Ovo vidimo i iz transformacije: 0)3()96(96 222 ≤+−=−−−−−− xxxxx Primer 2: Reši nejednačinu: 0)32()54( 22 <−+⋅−− xxxx Rešenje: Ovo je složeniji oblik nejednačina, gde možemo upotrebiti i već poznat šablon:

)0,0()0,0(0 ><∨<>⇔<⋅ BABABA Naša preporuka je da ovakve zadatke rešavate pomoću tablice!!! Najpre ćemo obe kvadratne jednačine rastaviti na činioce:

))(( 21

2 xxxxacbxax −−=++

⇒=−− 0542 xx , pa je )5)(1(542 −+=−− xxxx

⇒=−+ 0322 xx pa je )3)(1(322 +−=−+ xxxx Sada posmatramo nejednačinu: 0)3)(1)(5)(1( <+−−+ xxxx Pravimo tablicu:

51

2

1

=−=

xx

31

2

1

−==

xx

Page 100: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

-∞ ∞x+1 x-5 x-1 x+3

(x+1)( x-5) (x-1)(x+3)

Dakle, svaki od izraza ide u tablicu, a u zadnjoj vrsti je ‘’ono’’ što nam treba, tj. ceo izraz. Brojevnu pravu (gornja linija od - ∞ do ∞ ćemo podeliti na 5 intervala) Iznad ovih vertikalnih linija ćemo upisati brojeve.(koje?) To brojevi su rešenja kvadratnih jednačina, dakle -1,5,1 i -3 samo ih poredjamo od od najmanjeg do najvećeg:-3,-1,1,5 -3 -1 1 5

-∞ ∞x+1 - x-5 - x-1 - x+3 -

(x+1)( x-5)( x-1)(x+3)

Dakle biramo bilo koju broj iz svakog od 5 intervala i zamenjujemo u izraze x+1, x-5, x-1 i x+3; ne zanima nas koji broj ispadne već samo njegov znak + ili – koji upisujemo u tablicu.Recimo, u intervalu (-∞,-3) izaberemo broj -10, pa ga menjamo redom: x+1=-10-5=-9 → uzmemo – (upisan u tablicu) x-5=-10-5= -15 → – upišemo u tablicu x-1=-10-11=-11 → + upišemo u tablicu x+3=-10+3=-7 → - upišemo u tablicu Izmedju -3 i -1 izaberemo -2, itd... Dobili smo: -3 -1 1 5

-∞ ∞x+1 - - + + + x-5 - - - - + x-1 - - - + + x+3 - + + + +

(x+1)( x-5)( x-1)(x+3)

+ - + - +

Onda sklopimo:

Page 101: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

→ 4 minusa daju + → 3 minusa i plus daju – → 2 minusa i 2 plusa daju + → 3 plusa i 1 minus daju – → 4 plisa daju + na ovaj način mi smo rešili dve nejednačine:

0)32)(54(0)32)(54(

22

22

>−+−−

<−+−−

xxxxxxxx

Pošto je naš zadatak da rešimo prvu, 0)32)(54( 22 <−+−− xxxx , biramo u konačnom rešenju gde su minusi: )5,1()1,3( ∪−−∈x Primer 3: Rešiti nejednačinu:

01

432

2

>−

+−xxx

Rešenje:

0432 =+− xx

4

31

=−=

=

cba

7

16942

−=−=−=

DD

acbD

PAZI: pošto je 0>a i 0<D onda je 0432 >+− xx za x∀ !!! Dakle, mora biti 01 2 >− x Posmatrajmo kvadratnu jednačinu: 01 2 =− x

Zaključujemo )1,1(−∈x

10

1

==−=

cba

41)1(402

=⋅−⋅−=

DD

11

220

2

1

2,1

=−=−±

=

xx

x

Page 102: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

Primer 4: Za koje realne vrednosti x razlomak 1252

2

2

−−−+−

xxxx manji od -1?

11252

2

2

−<−−−+−

xxxx PAZI: Moramo prebaciti -1 na levu stranu i to ‘’srediti’’

0126

012

1252

011252

2

2

2

22

2

2

<−−−+

<−−

−−+−+−

<+−−−+−

xxxx

xxxxxx

xxxx

Sad tek idemo ''klasično'' ⇒=−+ 062 xx )3)(2(62 +−=−+⇒ xxxx ⇒=−− 012 2 xx

Sada rešavamo: 0

21)1(2

)3)(2(<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−

xx

xx

-∞ -3 21 1 2 ∞

x-2 - - - - + x+3 - + + + + x-1 - - - + +

x+21

- - + + +

0

21)1(2

)3)(2(<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−

xx

xx + - + - +

Rešenje: )2,1(21,3 ∪⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈x

32

2

1

−==

xx

21

1

2

1

−=

=

x

x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=−−⇒

21)1(12 2 xxxx

Page 103: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

Primer 5: Data je funkcija 2)1(2)1( 22 +−+−= xrxry . Odrediti realan parameter r tako da funkcija bude pozitivna za svako realno x

2)1(2)1( 22 +−+−= xrxry

02)1(2)1( 22 >+−+− xrxr Da bi funkcija bila pozitivna mora da je: 0>a i 0<D

2

)1(212

=−=−=

crb

ra

),1()3,( ∞∪−−∞∈r ),1()1,( ∞∪−−∞∈r

Upakujmo sad ova dva rešenja:

),1()3,( ∞∪−−∞∈r Konačno rešenje

[ ]

128488484

88)12(4)1(8)1(4

2)1(4)1(2

4

2

22

22

22

22

2

+−−=

+−+−=

+−+−=

−−−=

⋅−−−=

−=

rrDrrrD

rrrDrrDrrD

acbD

31

242

032)4(:/01284

2

1

2,1

2

2

−==

±−=

>−+

−<+−−

rr

r

rrrr

11

0101

0

2

1

2

2

=−==−

>−

>

rrrra

Page 104: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

Primer 6: Odrediti sve realne vrednosti parametra r za koje je funkcija 42)2(22 ++++= rxrrxy negativna za svako realno x.

042)2(22 <++++ rxrrx

da bi funkcija bila negativna mora da važi: 0<a i 0<D

42

)2(2+=+=

=

rcrb

ra

22

04)4(:/0164

2

1

2

2

−==

>−

−<+−

rrr

r

00

<<

ra

),2()2,( ∞∪−−∞∈r Upakujmo rešenja:

)2,( −−∞∈r konačno rešenje Primer 7: Odrediti k tako da je za svako x ispunjava nejednakost

211

2

2

<++++

xxkxx

21122

11

2

2

2

2

<++++

<−⇒<++++

xxkxx

xxkxx

Dakle, ovaj zadatak zahteva rešavanje dve nejednačine:

[ ]

16416816164168)44(4

)42(4)2(4)42(4)2(2

4

2

2

22

2

2

2

+−=

−−++=

−−++=

+−+=

+⋅−+=

−=

rDrrrrDrrrrD

rrrDrrrD

acbD

Page 105: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

1) Rešimo

112 2

2

++++

<−xxkxx

0211

2

2

>+++++

xxkxx

0

13)2(3

01

2221

2

2

2

22

>++

+++

>++

+++++

xxkxx

xxxxkxx

012 =++ xx

111

===

cba

3

4142

−=−=−=

DD

acbD

Kako je 0>a i ⇒< 0D 012 >++ xx za x∀ pa ne utiče na razmatranje!!! 03)2(3 2 =+++ kxx , da bi 03)2(3 2 >+++ kxx mora biti 0,0 <> Da

3

23

=+=

=

ckb

a

3243644

334)2(

2

2

2

−+=

−++=

⋅⋅−+=

kkDkkD

kD

84

03240324

2

1

2

2

−==

=−+

<−+

kk

kkkk

)4,8(−∈k

2) Rešavamo:

01

1)2(

01

2221

02112

11

2

2

2

22

2

2

2

2

<++

−−+−

<++

−−−++

<−++++

⇒<++++

xxxkx

xxxxkxx

xxkxx

xxkxx

Page 106: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

Kako je 012 >++ xx , to mora biti:

1)2()1/(01)2(

2

2

+−−

−>−−+−

xkxxkx

⇒< 0D

4,004 212 ==⇒=− kkkk

)4,0(∈k

Upakujemo oba rešenja:

Dakle, konačno rešenje je: )4,0(∈k

[ ]

044444)2(

2

2

2

<−=

−+−=

−−−=

kkDkkD

kD

Page 107: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE, JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

Funkcija zadata formulom:

xay = . 1,0, ≠>∈ aaRa se naziva eksponencijalna funkcija. → Funkcija xay = je svuda definisana Rx∈∀ → Za x=0 je 1== oay pa funkcija prolazi kroz tačku (0,1), tj. tu seče y-osu. → Ako je 0>a funkcija je rastuća → Ako je 10 << a funkcija je opadajuća → Finkcija xay = je uvek pozitivna, tj. grafik je iznad x-ose → Važe osnovna svojstva stepena: Za nju:

( )( )

x y x y

xx y

y

x y xy

x x x

x x

x

a a aaaa

a aa b a b

a ab b

+

= ⋅

=

=

⋅ =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

gde su 0>a , 0>b , Ryx ∈, Primer 1. Nacrtaj grafik funkcije 2xy = Rešenje: Iskoristićemo tablicu vrednosti uzećemo proizvoljne x-seve i naći vrednost za y

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

81

41

21

1 2 4 8

www.matematiranje.com

Page 108: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

→ Funkcija je definisana za Rx∈∀ → Y-osu seče u (0,1) → Pošto je 02 >=a ⇒ rastuća je → Uvek je pozitivna, tj. 0>y za Rx∈∀ Primer 2: Nacrtaj grafik funkcije

x

y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 tj. x

x

yy −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

21

Rešenje:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8 4 2 1

21

41

81

→ Funkcija je definisana za Rx∈∀ → Y-osu seče u (0,1)

→ Pošto je ⇒<= 021a opadajuća je

→ Uvek je pozitivna, 0>y za Rx∈∀

www.matematiranje.com

Page 109: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

Primer 3: Nacrtaj grafik funkcije

12 += xy I ovde možemo napraviti tablicu vrednosti:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

89

45

23

2 3 5 9

Ali je lakše da razmišljamo ovako: Nacrtamo grafik xy 2= pa ga za 1 ‘’podignemo’’ po y-osi (vidi kvadratnu funkciju, slična translacija je i tamo radjena)

Eksponencijalne jednačine Pošto je eksponencijalna funkcija bijektivno preslikavanje (''1-1'' i ''na'') možemo upotrebljavati:

)()()()( xgxfaa xgxf =⇔= Ovo znači da kada na obe strane napravimo iste osnove, osnove kao ‘’skratimo’’ i uporedjujemo eksponente.

www.matematiranje.com

Page 110: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

Evo nekoliko primera: 1) Reši jednačine

a) xx

x1

24+

= b) 21 2168 −+ ⋅= xx

v) 21

416x

x = g)

2

2216 25 xx =⋅ +

d) 3

3

2719

+− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

dj) ( ) 11 322 =+−xx

e) 653 392

=+− xx Rešenja: a) Kad napravimo iste osnove njih ‘’skratimo’’!

Rešenja su 11 =x i 21

2 −=x

b)

www.matematiranje.com

xx

x

xx

x

xx

x

12

12

1

22

2)2(

24

+

+

+

=

=

=

21

14

31012

12

12

2

1

2,1

2

2

−=

=

±=

=−−

+=

+=

x

x

x

xxxxx

xx

2112

323233

2222

22)2(2168

233

2433

2413

21

−=

−=−=−+=+

=

=

⋅=

⋅=

++

−++

−+

−+

x

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

Page 111: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

v) g) d) Pazi: đ) ( ) 11 322 =+

−xx Pošto znamo da je 1=oa , jedno rešenje će nam dati

2332

032

=

==−

x

xx

Drugo rešenje će biti ako je 0011 22 =⇒=⇒=+ xxx jer važi baba xfxf =⇔= )()( tj. 32322 1)1( −− =+ xxx pa je 112 =+x e)

www.matematiranje.com

xx

xx

xx

xx

22

22

)2()2(

416

4

2214

221

4

21

=

=

=

=

⋅⋅

22

4

4

4

2

1

2

−==±=

=

=

xxx

x

xx

2

2

2

2

22

22

222

2216

65

254

254

25

xx

xx

xx

xx

=

=

=⋅

=⋅

+

++

+

+ 2

2

1,2

1

2

5 65 6 0

5 12

32

x xx x

x

xx

= +

− − =±

=

==

936

3332

33

33)3()3(

2719

−−−

+−−

+−

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

xx

xx

33 3

31

271 −==

393

936936

=−=−

−=+−−−=−

xx

xxxx

61062

6532

653

33

3)3(

39

2

2

2

=

=

=

+−

+−

+−

xx

xx

xx

Page 112: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

2) Rešiti jednačine: a) 016272 3 =−⋅−+ xx b) 033343 1 =+⋅−− xx v) 4503432 21 =⋅−⋅ −+ xx g) 3 2 3 3 3 42 2 2 16x x x− − −− − = d) 3231 3322 −−−− −=− xxxx

Rešenja: Ovde ćemo koristiti pravila za stepene:

( ) nmnm

n

mnm

nmnm

aaaaa

aaa

+

=

=

⋅=

a) →=−⋅−⋅ 0162722 3 xx Najbolje da uzmemo smenu tx =2

1678

01678=−

=−⋅−⋅tt

tt

→=16t Vratimo se u smenu

422162

4

==

=

x

x

x

b) 033343 1 =+⋅−− xx

→=+⋅− 0333433 x

x

Smena tx =3 www.matematiranje.com

12

213

0232:/0462

61062

2

1

2,1

2

2

2

==

±=

=+−

=+−

=+−

xx

x

xxxxxx

016272 3 =−⋅−+ xx

Page 113: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

→=+− 03343

tt Pomnožimo sve sa 3

23393

99911

09912

2

==

=

=−=−

=+−

x

tttt

x

x

v) 4503432 21 =⋅−⋅ −+ xx

→=−⋅⋅ 450334332 2

1x

x Smena tx =3

4509

46 =−⋅tt

→=− 450946 tt Pomnožimo sve sa 9

8150

4050405050

4050454

=

=

==−

t

t

ttt

→= 813x pazi 81=3·3·3·3= 43

433 4

==

x

x

g) 3 2 3 3 3 42 2 2 16x x x− − −− − =

→=−− 1622

22

22

4

3

3

3

2

3 xxx

smena tx =32

→=−− 161684ttt sve pomnožimo sa 16

388322

25625624

83

=

==

==−−

x

x

tttt

x

d)

323

3231

33

33

22

22

3322xxxx

xxxx

−=−

−=− −−−−

Page 114: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

→−=−273

93

82

22 xxxx

zajednički za levu stranu je 8 a za desnu 27

27

3338

224 xxxx −⋅=

−⋅

→⋅

=⋅

2732

823 xx

Pomnožimo unakrsno

8322723 ⋅⋅=⋅⋅ xx /163812 ⋅=⋅ xx podelimo sa x3 I sa 81

432

32

8116

32

4

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

x

x

x

x

A mogli smo da razmišljamo i ovako:

44 2332

163812⋅=⋅

⋅=⋅xx

xx

Očigledno je 4=x 3) Reši jednačine: a) 4 5 2 4 0x x− ⋅ + =

→=+⋅− 04254 xx Pošto je xxx 22 2)2(4 == uzećemo smenu tx =2 pa će onda biti

2

1,2

1

2

5 4 05 3

241

t t

t

tt

− + =±

=

==

Vratimo se sad u smenu:

22242

2

==

=

x

x

x

ili 012

==

x

x

www.matematiranje.com

24 tx =

Page 115: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

b) →=−− 02416 xx smena je tx =4 pa je 22416 txx ==

12

231

02

2

1

2,1

2

−==

±=

=−−

tt

t

tt

211222

2412

=

==

=

x

x

x

x

ili 4 1x = − ovde nema rešenja jer je xay = uvek pozitivna!!!

v) 2055 3 =− −xx

→=− 20555

3

xx smena tx =5

→=− 20125t

t celu jednačinu pomnožimo sa t

525

23020

01252020125

2

1

2,1

2

2

−==

±=

=−−

=−

tt

t

tttt

Pa je ili 55 −=x Nema rešenja g) 3525 232 +⋅= −− xx

→+⋅= 3552

55

23

2 xx

smena tx =5

→+= 3252

125

2 tt sve pomnožimo sa 125

www.matematiranje.com

255255

2

==

=

x

x

x

Page 116: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

1525

24010

03751037510

2

1

2,1

2

2

−==

±=

=−−

+=

tt

t

tttt

Vratimo se u smenu:

255255

2

==

=

x

x

x

ili 155 −=x nema rešenja 05 >x

d) →+=− 9911)1111( 2 xx Ovde ćemo odmah uzeti smenu tx =11

122

22123

0222309912122

99)11(

2

1

2,1

2

2

2

==

±=

=+−

=−−+−

+=−

tt

t

ttttt

tt

Vratimo se u smenu:

22log

2211

11==

x

x

ili 0

111==

x

x

4) Rešiti jednačine: a) 22 210164 −− ⋅=+ xx

b) 62*542212 2 =−

−+−−+ xxxx

v) 43232 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

xx

Rešenja

a) Najpre odredimo oblast definisanosti, pošto je u zadatku data korena funkcija, to je 202 ≥⇒≥− xx

www.matematiranje.com

Page 117: Matematika 2. Godina Srednje Skole

11

Uzećemo smenu 222 42 tt xx =⇒= −−

28

2610

016101016

2

1

2,1

2

2

==

±=

=+−

=+

tt

t

tttt

Vratimo se u smenu

32

2

22

82

=

=−

x

x

ili

→=− 32x kvadriramo

11

92=

=−xx

Kako za oba rešenja važi 2≥x to su oba rešenja ‘’dobra’’

b) Smena

2 22x x t+ − =

6252 =−tt pomnožimo sa 2

23

46

44115

41215

01252

2

1

2,1

2

−=−=

=

±=

±=

=−−

t

t

t

tt

Vratimo se u smenu:

www.matematiranje.com

312

12

22 2

==−=−

=−

xx

x

x

22 1 2

22 2 1

2 22

2

2 2

2( 2 )1

4 5 2 6

(2 ) 5 2 6

22 5 62

x x

x x

x x

x x

x x

x x

− + −

+ − −

+ −

+ −

+ −

+ −

− ⋅ =

− ⋅ =

− ⋅ =

Page 118: Matematika 2. Godina Srednje Skole

12

22

22

42

2

22

2

2

2

=−+

=

=−+

−+

xx

xx

xx

→−=− xx 222 uslovi 02 ≥− x pa je 2−≥− x tj 2≤x i 022 ≥−x

5,123

4664

244442

)2(222

22

===

=+=

+−=−

−=−

x

xx

xxxxx

→= 5,1x Zadovoljava uslove

b) 43232 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

xx

pogledajmo prvo jednu stvar:

32

132

343232

3232

13232

22

+=

+−

=+−

=++

⋅−

=−

Dakle, zadatak možemo zapisati i ovako:

432

132 =+

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + x

x

smena tx=+ 32

→=+ 41t

t pomnožimo sve sa t

( )

32

32

322

3222

342

3242

124

01441

2

1

2,1

2

2

−=

+=

±=±

=

=+−

=+

t

t

t

tttt

Vratimo se u smenu:

,32 tx=+ dakle

3232 +=+x

ili 3232 −=+x

www.matematiranje.com

( , 2) ( 2, )x∈ −∞ − ∪ ∞

Page 119: Matematika 2. Godina Srednje Skole

13

Kako važi mn

m n aa = tj. 22x

x aa =

( ) ( )

2

12

32321

2

=

=

+=+

x

x

x

( )

( ) ( )

2

12

3232

32132

1

2

2

−=

−=

+=+

+=+

x

x

x

x

5) Reši jednačine: a) 0105620 =+⋅− xxx b) 04661396 =⋅+⋅−⋅ xxx a) →=+⋅− 0105620 xxx iskoristićemo da je nnn baba ⋅=⋅ )( 0)25(56)45( =⋅+⋅−⋅ xxx →=⋅+⋅−⋅ 0255645 xxxxx izvucimo x5 kao zajednički!!! 0)264(5 =+− xxx 05 =x ∨ 0624 =−+ xx

32

25106

2

1

2,1

2

−==

±−=

=−+

tt

t

tt

pa je 2 2

1

x

x

=

= ∨ 32 −=x nema rešenja

b) 04661396 =⋅+⋅−⋅ xxx →=⋅+⋅⋅−⋅ 026231336 22 xxxx celu jednačinu podelimo sa x22

062313

236 2

2

=+⋅−⋅ x

x

x

x

062313

236

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

xx

Smena: tx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23

www.matematiranje.com

Page 120: Matematika 2. Godina Srednje Skole

14

32

128

23

1218

12513

06136

2

1

2,1

2

==

==

±=

=+−

t

t

t

tt

123

23

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

x

ili

6) Grafički rešiti sledeće jednačine

a) 02

52 =+−xx b) 08

23 =−−

xx

a) Najpre ćemo razdvojiti funkcije, eksponencijalnu na levu a ostalo na desnu stranu:

2

52 xx −=

Nacrtaćemo funkcije xy 2= i 52+−=

xy i njihov presek će nam dati rešenje.

xy 2=

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

81

41

21

1 2 4 8

52+−=

xy

x 0 10 2 y 5 0 4

Na grafiku bi to izgledalo ovako:

www.matematiranje.com

123

23

32

23

1

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

x

x

Page 121: Matematika 2. Godina Srednje Skole

15

Rešenje je 2x =

b) 082

3 =−−xx

82

3 +=xx

xy 3=

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

271

91

31

1 3 9 27

82+=

xy

x 0 -16 2 y 8 0 9

Na grafiku bi bilo:

www.matematiranje.com

Page 122: Matematika 2. Godina Srednje Skole

16

Dakle, rešenje je 2=x . Da li ovde ima još jedno rešenje? DA, Ali njega teško možemo naći baš precizno....(naučićemo kasnije i to)

Eksponencijalne nejednačine Na osnovu monotonosti (rašćenje i opadanje) za eksponencijalne funkcije važi:

1) za 1>a je )()()()( xgxfaa xgxf >⇔> 2) za 10 << a je )()()()( xgxfaa xgxf <⇔>

Znači, kad je osnova veća od jedan znak nejednakosti prepisujemo, a ako je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće. Primeri:

1. Rešiti nejednačine:

a) 337 55 −+− >x b) 221 35,035,0 +− < xx

c) 22 32

>−x d) xx 72 <

Page 123: Matematika 2. Godina Srednje Skole

17

a) →> −+− 337 55 x pošto je osnova 15 > znak prepisujemo!!!

7 3 37 3 37 6

67

xxx

x

− + > −− > − −− > −

<

b) →< +− 221 35,035,0 xx pazi osnova je 0,35 a 0 0,35 1< < , pa okrećemo znak!!!

33

122221

−<>−

+>−+>−

xx

xxxx

v)

g)

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ox

72

72 pošto je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće

x >0 2) Rešiti nejednačine: a) 455 12 +>+ xx b) 55625 −⋅< xx v) 9339 2 −>− + xxx

www.matematiranje.com

22

220

0413

22

22

2

1

2,1

2

2

13

3

2

2

−==

±−=

>−

>−

>

>−

xx

x

xx

x

x

172

172

72

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

<

<

x

x

x

xx

Page 124: Matematika 2. Godina Srednje Skole

18

a) 455 12 +>+ xx →>−−⋅ 04555 12 xx smena tx =5

2

2

1,2

1

2

5 4 05 4 0

1 910

145

t tt t

t

t

t

⋅ − − >

− − =±

=

=

= −

4( , ) (1, )5

t∈ −∞ − ∪ ∞

vratimo se u smenu:

545 −=x ili

nema rešenja sad se interval ),1( ∞∈t transformiše u ),0( ∞∈x b) 55625 −⋅< xx →<+⋅− 055652 xx smena 5x t=

15

246

056

2

1

2,1

2

==

±=

<+−

tt

t

tt

Znači ),5,1(∈t vratimo se u smenu

015

==

x

x

ili 115

==

x

x

Tako da je sada konačno rešenje )1,0(∈x

www.matematiranje.com

5 10 (0, )

x

x x== → ∈ ∞

Page 125: Matematika 2. Godina Srednje Skole

19

9<t

v) 93339 2 −>⋅− xxx

→−>⋅− 939332 xxx smena tx =3

992 −>− ttt (vidi iracionalne nejednačine) ∨ Znači Ova dva uslova daju ( ]0,∞−∈t Konačno rešenje ovaj interval ‘’ne radi’’ jer je

tx =3

www.matematiranje.com

[ ]

90

299

0909

2

1

2,1

2

==

±=

<−∧≥−

tt

t

ttt [ ]09)9(9 22 ≥−∧−≥− tttt

9819

8118981189 22

>>

>+−+−>−

tt

tttttt

( ] [ )∞∪∞−∈ ,90,t

9≥t

2

93 93 3

2

x

x

t

x

>

>

>

>

Page 126: Matematika 2. Godina Srednje Skole

IRACIONALNE NEJEDNAČINE Kao i jednačine i iracionalne nejednačine se rešavaju upotrebom ekvivalencija. Razlikovaćemo dve situacije:

1) )()( xQxP < je ekvivalentno sa: )()(0)(0)( 2 xQxPxQxP <∧≥∧> 2) )()( xQxP > je ekvivalentno sa:: [ ] [ ]0)()()(0)(0)( 2 ≥∧>∨<∧≥ xQxQxPxQxP

Primer 1: 66 −<+ xx Postavljamo ekvivalenciju:

3612666)6(60606

2

2

+−<+∧≥∧−>

−<+∧≥−∧>+

xxxxxxxxx

30130

6361202

2

+−<

−−+−<

xxxxx

310

2713

212016913

03013

2

1

2,1

2

==

±=

−±=

=+−

xx

x

xx

“ Kvadratni trinom ima znak broja a ( kod nas a=1) svuda osim izmedju nula(rešenja) Ovde je dakle rešenje: ),10()3,( ∞∪−∞∈x Kad rešimo sve tri nejednačine ‘upakujemo rešenje`: Konačno je:

Presek sva tri rešenja je: ),10( ∞∈x

1

Page 127: Matematika 2. Godina Srednje Skole

Primer 2: 127 −>+ xx Postavljamo ekvivalenciju: ∨ [ ]012)12(7 2 ≥−∧−>+ xxx [ ]01207 <−∧≥+ xx

2 <∧−≥x 7 x 1

21

o

-7 1_2

o

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≥∧⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∈

212,

43 xx

)2,21[∈x

Konačno rešenje je:

)2,7[

)2,21[)

21,7[

−∈

∪−∈

x

x

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡−∈

21,7x⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ <∧−≥

217 xx

21

<x

1447 +−>+x 2 xx x∧

044 <−+− x

43

86

28115

065471

1

1

2,1

2

2

−=−=

=

±=

<−−

x

x

x

xxxx

)2,43(−∈x

2

Page 128: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE, JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

Funkcija zadata formulom:

xay = . 1,0, ≠>∈ aaRa se naziva eksponencijalna funkcija. → Funkcija xay = je svuda definisana Rx∈∀ → Za x=0 je 1== oay pa funkcija prolazi kroz tačku (0,1), tj. tu seče y-osu. → Ako je 0>a funkcija je rastuća → Ako je 10 << a funkcija je opadajuća → Finkcija xay = je uvek pozitivna, tj. grafik je iznad x-ose → Važe osnovna svojstva stepena: Za nju:

( )( )

x y x y

xx y

y

x y xy

x x x

x x

x

a a aaaa

a aa b a b

a ab b

+

= ⋅

=

=

⋅ =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

gde su 0>a , 0>b , Ryx ∈, Primer 1. Nacrtaj grafik funkcije 2xy = Rešenje: Iskoristićemo tablicu vrednosti uzećemo proizvoljne x-seve i naći vrednost za y

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

81

41

21

1 2 4 8

www.matematiranje.com

Page 129: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

→ Funkcija je definisana za Rx∈∀ → Y-osu seče u (0,1) → Pošto je 02 >=a ⇒ rastuća je → Uvek je pozitivna, tj. 0>y za Rx∈∀ Primer 2: Nacrtaj grafik funkcije

x

y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 tj. x

x

yy −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

21

Rešenje:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8 4 2 1

21

41

81

→ Funkcija je definisana za Rx∈∀ → Y-osu seče u (0,1)

→ Pošto je ⇒<= 021a opadajuća je

→ Uvek je pozitivna, 0>y za Rx∈∀

www.matematiranje.com

Page 130: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

Primer 3: Nacrtaj grafik funkcije

12 += xy I ovde možemo napraviti tablicu vrednosti:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

89

45

23

2 3 5 9

Ali je lakše da razmišljamo ovako: Nacrtamo grafik xy 2= pa ga za 1 ‘’podignemo’’ po y-osi (vidi kvadratnu funkciju, slična translacija je i tamo radjena)

Eksponencijalne jednačine Pošto je eksponencijalna funkcija bijektivno preslikavanje (''1-1'' i ''na'') možemo upotrebljavati:

)()()()( xgxfaa xgxf =⇔= Ovo znači da kada na obe strane napravimo iste osnove, osnove kao ‘’skratimo’’ i uporedjujemo eksponente.

www.matematiranje.com

Page 131: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

Evo nekoliko primera: 1) Reši jednačine

a) xx

x1

24+

= b) 21 2168 −+ ⋅= xx

v) 21

416x

x = g)

2

2216 25 xx =⋅ +

d) 3

3

2719

+− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

dj) ( ) 11 322 =+−xx

e) 653 392

=+− xx Rešenja: a) Kad napravimo iste osnove njih ‘’skratimo’’!

Rešenja su 11 =x i 21

2 −=x

b)

www.matematiranje.com

xx

x

xx

x

xx

x

12

12

1

22

2)2(

24

+

+

+

=

=

=

21

14

31012

12

12

2

1

2,1

2

2

−=

=

±=

=−−

+=

+=

x

x

x

xxxxx

xx

2112

323233

2222

22)2(2168

233

2433

2413

21

−=

−=−=−+=+

=

=

⋅=

⋅=

++

−++

−+

−+

x

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

Page 132: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

v) g) d) Pazi: đ) ( ) 11 322 =+

−xx Pošto znamo da je 1=oa , jedno rešenje će nam dati

2332

032

=

==−

x

xx

Drugo rešenje će biti ako je 0011 22 =⇒=⇒=+ xxx jer važi baba xfxf =⇔= )()( tj. 32322 1)1( −− =+ xxx pa je 112 =+x e)

www.matematiranje.com

xx

xx

xx

xx

22

22

)2()2(

416

4

2214

221

4

21

=

=

=

=

⋅⋅

22

4

4

4

2

1

2

−==±=

=

=

xxx

x

xx

2

2

2

2

22

22

222

2216

65

254

254

25

xx

xx

xx

xx

=

=

=⋅

=⋅

+

++

+

+ 2

2

1,2

1

2

5 65 6 0

5 12

32

x xx x

x

xx

= +

− − =±

=

==

936

3332

33

33)3()3(

2719

−−−

+−−

+−

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

xx

xx

33 3

31

271 −==

393

936936

=−=−

−=+−−−=−

xx

xxxx

61062

6532

653

33

3)3(

39

2

2

2

=

=

=

+−

+−

+−

xx

xx

xx

Page 133: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

2) Rešiti jednačine: a) 016272 3 =−⋅−+ xx b) 033343 1 =+⋅−− xx v) 4503432 21 =⋅−⋅ −+ xx g) 3 2 3 3 3 42 2 2 16x x x− − −− − = d) 3231 3322 −−−− −=− xxxx

Rešenja: Ovde ćemo koristiti pravila za stepene:

( ) nmnm

n

mnm

nmnm

aaaaa

aaa

+

=

=

⋅=

a) →=−⋅−⋅ 0162722 3 xx Najbolje da uzmemo smenu tx =2

1678

01678=−

=−⋅−⋅tt

tt

→=16t Vratimo se u smenu

422162

4

==

=

x

x

x

b) 033343 1 =+⋅−− xx

→=+⋅− 0333433 x

x

Smena tx =3 www.matematiranje.com

12

213

0232:/0462

61062

2

1

2,1

2

2

2

==

±=

=+−

=+−

=+−

xx

x

xxxxxx

016272 3 =−⋅−+ xx

Page 134: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

→=+− 03343

tt Pomnožimo sve sa 3

23393

99911

09912

2

==

=

=−=−

=+−

x

tttt

x

x

v) 4503432 21 =⋅−⋅ −+ xx

→=−⋅⋅ 450334332 2

1x

x Smena tx =3

4509

46 =−⋅tt

→=− 450946 tt Pomnožimo sve sa 9

8150

4050405050

4050454

=

=

==−

t

t

ttt

→= 813x pazi 81=3·3·3·3= 43

433 4

==

x

x

g) 3 2 3 3 3 42 2 2 16x x x− − −− − =

→=−− 1622

22

22

4

3

3

3

2

3 xxx

smena tx =32

→=−− 161684ttt sve pomnožimo sa 16

388322

25625624

83

=

==

==−−

x

x

tttt

x

d)

323

3231

33

33

22

22

3322xxxx

xxxx

−=−

−=− −−−−

Page 135: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

→−=−273

93

82

22 xxxx

zajednički za levu stranu je 8 a za desnu 27

27

3338

224 xxxx −⋅=

−⋅

→⋅

=⋅

2732

823 xx

Pomnožimo unakrsno

8322723 ⋅⋅=⋅⋅ xx /163812 ⋅=⋅ xx podelimo sa x3 I sa 81

432

32

8116

32

4

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

x

x

x

x

A mogli smo da razmišljamo i ovako:

44 2332

163812⋅=⋅

⋅=⋅xx

xx

Očigledno je 4=x 3) Reši jednačine: a) 4 5 2 4 0x x− ⋅ + =

→=+⋅− 04254 xx Pošto je xxx 22 2)2(4 == uzećemo smenu tx =2 pa će onda biti

2

1,2

1

2

5 4 05 3

241

t t

t

tt

− + =±

=

==

Vratimo se sad u smenu:

22242

2

==

=

x

x

x

ili 012

==

x

x

www.matematiranje.com

24 tx =

Page 136: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

b) →=−− 02416 xx smena je tx =4 pa je 22416 txx ==

12

231

02

2

1

2,1

2

−==

±=

=−−

tt

t

tt

211222

2412

=

==

=

x

x

x

x

ili 4 1x = − ovde nema rešenja jer je xay = uvek pozitivna!!!

v) 2055 3 =− −xx

→=− 20555

3

xx smena tx =5

→=− 20125t

t celu jednačinu pomnožimo sa t

525

23020

01252020125

2

1

2,1

2

2

−==

±=

=−−

=−

tt

t

tttt

Pa je ili 55 −=x Nema rešenja g) 3525 232 +⋅= −− xx

→+⋅= 3552

55

23

2 xx

smena tx =5

→+= 3252

125

2 tt sve pomnožimo sa 125

www.matematiranje.com

255255

2

==

=

x

x

x

Page 137: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

1525

24010

03751037510

2

1

2,1

2

2

−==

±=

=−−

+=

tt

t

tttt

Vratimo se u smenu:

255255

2

==

=

x

x

x

ili 155 −=x nema rešenja 05 >x

d) →+=− 9911)1111( 2 xx Ovde ćemo odmah uzeti smenu tx =11

122

22123

0222309912122

99)11(

2

1

2,1

2

2

2

==

±=

=+−

=−−+−

+=−

tt

t

ttttt

tt

Vratimo se u smenu:

22log

2211

11==

x

x

ili 0

111==

x

x

4) Rešiti jednačine: a) 22 210164 −− ⋅=+ xx

b) 62*542212 2 =−

−+−−+ xxxx

v) 43232 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

xx

Rešenja

a) Najpre odredimo oblast definisanosti, pošto je u zadatku data korena funkcija, to je 202 ≥⇒≥− xx

www.matematiranje.com

Page 138: Matematika 2. Godina Srednje Skole

11

Uzećemo smenu 222 42 tt xx =⇒= −−

28

2610

016101016

2

1

2,1

2

2

==

±=

=+−

=+

tt

t

tttt

Vratimo se u smenu

32

2

22

82

=

=−

x

x

ili

→=− 32x kvadriramo

11

92=

=−xx

Kako za oba rešenja važi 2≥x to su oba rešenja ‘’dobra’’

b) Smena

2 22x x t+ − =

6252 =−tt pomnožimo sa 2

23

46

44115

41215

01252

2

1

2,1

2

−=−=

=

±=

±=

=−−

t

t

t

tt

Vratimo se u smenu:

www.matematiranje.com

312

12

22 2

==−=−

=−

xx

x

x

22 1 2

22 2 1

2 22

2

2 2

2( 2 )1

4 5 2 6

(2 ) 5 2 6

22 5 62

x x

x x

x x

x x

x x

x x

− + −

+ − −

+ −

+ −

+ −

+ −

− ⋅ =

− ⋅ =

− ⋅ =

Page 139: Matematika 2. Godina Srednje Skole

12

22

22

42

2

22

2

2

2

=−+

=

=−+

−+

xx

xx

xx

→−=− xx 222 uslovi 02 ≥− x pa je 2−≥− x tj 2≤x i 022 ≥−x

5,123

4664

244442

)2(222

22

===

=+=

+−=−

−=−

x

xx

xxxxx

→= 5,1x Zadovoljava uslove

b) 43232 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

xx

pogledajmo prvo jednu stvar:

32

132

343232

3232

13232

22

+=

+−

=+−

=++

⋅−

=−

Dakle, zadatak možemo zapisati i ovako:

432

132 =+

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + x

x

smena tx=+ 32

→=+ 41t

t pomnožimo sve sa t

( )

32

32

322

3222

342

3242

124

01441

2

1

2,1

2

2

−=

+=

±=±

=

=+−

=+

t

t

t

tttt

Vratimo se u smenu:

,32 tx=+ dakle

3232 +=+x

ili 3232 −=+x

www.matematiranje.com

( , 2) ( 2, )x∈ −∞ − ∪ ∞

Page 140: Matematika 2. Godina Srednje Skole

13

Kako važi mn

m n aa = tj. 22x

x aa =

( ) ( )

2

12

32321

2

=

=

+=+

x

x

x

( )

( ) ( )

2

12

3232

32132

1

2

2

−=

−=

+=+

+=+

x

x

x

x

5) Reši jednačine: a) 0105620 =+⋅− xxx b) 04661396 =⋅+⋅−⋅ xxx a) →=+⋅− 0105620 xxx iskoristićemo da je nnn baba ⋅=⋅ )( 0)25(56)45( =⋅+⋅−⋅ xxx →=⋅+⋅−⋅ 0255645 xxxxx izvucimo x5 kao zajednički!!! 0)264(5 =+− xxx 05 =x ∨ 0624 =−+ xx

32

25106

2

1

2,1

2

−==

±−=

=−+

tt

t

tt

pa je 2 2

1

x

x

=

= ∨ 32 −=x nema rešenja

b) 04661396 =⋅+⋅−⋅ xxx →=⋅+⋅⋅−⋅ 026231336 22 xxxx celu jednačinu podelimo sa x22

062313

236 2

2

=+⋅−⋅ x

x

x

x

062313

236

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

xx

Smena: tx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23

www.matematiranje.com

Page 141: Matematika 2. Godina Srednje Skole

14

32

128

23

1218

12513

06136

2

1

2,1

2

==

==

±=

=+−

t

t

t

tt

123

23

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

x

ili

6) Grafički rešiti sledeće jednačine

a) 02

52 =+−xx b) 08

23 =−−

xx

a) Najpre ćemo razdvojiti funkcije, eksponencijalnu na levu a ostalo na desnu stranu:

2

52 xx −=

Nacrtaćemo funkcije xy 2= i 52+−=

xy i njihov presek će nam dati rešenje.

xy 2=

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

81

41

21

1 2 4 8

52+−=

xy

x 0 10 2 y 5 0 4

Na grafiku bi to izgledalo ovako:

www.matematiranje.com

123

23

32

23

1

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

x

x

Page 142: Matematika 2. Godina Srednje Skole

15

Rešenje je 2x =

b) 082

3 =−−xx

82

3 +=xx

xy 3=

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

271

91

31

1 3 9 27

82+=

xy

x 0 -16 2 y 8 0 9

Na grafiku bi bilo:

www.matematiranje.com

Page 143: Matematika 2. Godina Srednje Skole

16

Dakle, rešenje je 2=x . Da li ovde ima još jedno rešenje? DA, Ali njega teško možemo naći baš precizno....(naučićemo kasnije i to)

Eksponencijalne nejednačine Na osnovu monotonosti (rašćenje i opadanje) za eksponencijalne funkcije važi:

1) za 1>a je )()()()( xgxfaa xgxf >⇔> 2) za 10 << a je )()()()( xgxfaa xgxf <⇔>

Znači, kad je osnova veća od jedan znak nejednakosti prepisujemo, a ako je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće. Primeri:

1. Rešiti nejednačine:

a) 337 55 −+− >x b) 221 35,035,0 +− < xx

c) 22 32

>−x d) xx 72 <

Page 144: Matematika 2. Godina Srednje Skole

17

a) →> −+− 337 55 x pošto je osnova 15 > znak prepisujemo!!!

7 3 37 3 37 6

67

xxx

x

− + > −− > − −− > −

<

b) →< +− 221 35,035,0 xx pazi osnova je 0,35 a 0 0,35 1< < , pa okrećemo znak!!!

33

122221

−<>−

+>−+>−

xx

xxxx

v)

g)

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ox

72

72 pošto je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće

x >0 2) Rešiti nejednačine: a) 455 12 +>+ xx b) 55625 −⋅< xx v) 9339 2 −>− + xxx

www.matematiranje.com

22

220

0413

22

22

2

1

2,1

2

2

13

3

2

2

−==

±−=

>−

>−

>

>−

xx

x

xx

x

x

172

172

72

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

<

<

x

x

x

xx

Page 145: Matematika 2. Godina Srednje Skole

18

a) 455 12 +>+ xx →>−−⋅ 04555 12 xx smena tx =5

2

2

1,2

1

2

5 4 05 4 0

1 910

145

t tt t

t

t

t

⋅ − − >

− − =±

=

=

= −

4( , ) (1, )5

t∈ −∞ − ∪ ∞

vratimo se u smenu:

545 −=x ili

nema rešenja sad se interval ),1( ∞∈t transformiše u ),0( ∞∈x b) 55625 −⋅< xx →<+⋅− 055652 xx smena 5x t=

15

246

056

2

1

2,1

2

==

±=

<+−

tt

t

tt

Znači ),5,1(∈t vratimo se u smenu

015

==

x

x

ili 115

==

x

x

Tako da je sada konačno rešenje )1,0(∈x

www.matematiranje.com

5 10 (0, )

x

x x== → ∈ ∞

Page 146: Matematika 2. Godina Srednje Skole

19

9<t

v) 93339 2 −>⋅− xxx

→−>⋅− 939332 xxx smena tx =3

992 −>− ttt (vidi iracionalne nejednačine) ∨ Znači Ova dva uslova daju ( ]0,∞−∈t Konačno rešenje ovaj interval ‘’ne radi’’ jer je

tx =3

www.matematiranje.com

[ ]

90

299

0909

2

1

2,1

2

==

±=

<−∧≥−

tt

t

ttt [ ]09)9(9 22 ≥−∧−≥− tttt

9819

8118981189 22

>>

>+−+−>−

tt

tttttt

( ] [ )∞∪∞−∈ ,90,t

9≥t

2

93 93 3

2

x

x

t

x

>

>

>

>

Page 147: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

1

LOGARITMI Logaritam broja b za osnovu a je realan broj x kojim treba stepenovati osnovu a da bi se dobilo pozitivan broj b. )0,0( ≠> aa ili log x

a b x b a= ⇔ = Važno: 0>b je najčešći uslov koji postavljamo a još je 0,1, >≠∈ aiaRa b-se zove numerus (logaritmand), a je osnova (baza) Osnovna svojstva logaritma

1. 01log =a 2. 1log =aa 3. yxxy aaa loglog)(log +=

4. yxyx

aaa logloglog −=

5. xnx an

a loglog =

6. xs

x aas log1log =

7. a

btjabb

aaa log1log.1loglog ==⋅

8. Za prelazak na neku novu bazu c: abb

c

ca log

loglog =

9. ba ba =log → Ako je baza (osnova) a=10 takvi se logaritmi nazivaju DEKADNI i označavaju se

10log logx x= (Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 10) → Ako je osnova (baza) a=e ( 7,2≈e ) onda se takvi logaritmi zovu PRIRODNI I označavaju se xxe lnlog = → Moramo voditi računa o zapisu:

( )xxxx

xxxx

aaa

aaaa

log2loglog

loglogloglog2

22

=⋅=

⋅==

Upoznajmo se sa svojstvima logaritma kroz sledeće primere:

Page 148: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

2

Izračunati: 1) Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 0. Znači, za bilo koju osnovu, od jedinice rešenje je 0 ( 01log =a ) 2) Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 1, jer je 1log =aa PAZI: 3) a) ?3log2log 66 =+ b) ?3log5log2log 303030 =++ Primenićemo svojstvo 3: )(logloglog xyyx aaa =+ Dakle:

a) (6log)32(log3log2log 6666 ==⋅=+ po drugom svojstvu)=1 b) 130log)352(log3log5log2log 3030303030 ==⋅⋅=++

4) a) 5 5log 10 log 2 ?− = b) 2 2log 20 log 10 ?− =

Primenićemo: yxyx aaa logloglog =−

Dakle:

a) 15log2

10log2log10log 5555 ===−

b) 12log1020log10log20log 2222 ===−

?1ln?1log

?1log?1log?1log

21

6

5

==

===

12

23

log 12 ?2log ?3

log10 ?ln ?e

=

=

==

1logln110log10log 10

====

ee e

Page 149: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

3

5) Izračunati: a) ?8log2 =

b) ?125

1log5 = Ovde ćemo upotrebiti xnx an

a loglog =

v) ?log 5 2 =aa Podsetnik: n

m n ma a= i nn a

a−=

1

a) 3132log32log8log 2

322 =⋅===

b)

35 5 5 53

1 1log log log 5 3log 5 3 1 3125 5

−= = = − = − ⋅ = −

v)

521

52log

52loglog 5

25 2 =⋅=== aaa aaa

6) Izračunati: a) ?3log81 = b) ?2log 2 = v) ?27log 3 =

Ovde ćemo upotrebiti da je xs

x aas log1log =

a) 411

413log

413log3log 3381 4 =⋅===

b) 12

222

1log 2 log 2 log 2 2 1 212

= = = ⋅ =

v) 61233log

21133log27log 3

3

33

21 =⋅⋅=⋅==

Page 150: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

4

7) Izračunati: a) ?5log2log 25 =⋅ Važi: b) 10 15log 15 log 10 ?⋅ = 1loglog =⋅ ab ba Dakle rešenja oba ova zadačića je 1. 8) Izračunati:

a) ?7log6log5log4log3log2log 876543 =⋅⋅⋅⋅⋅ b) Ako je a=2log5 i b=3log5 izračunati ?100log45 =

Rešenje:

Ovde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: abb

c

ca log

loglog =

a)

Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 10 tada je: 3log2log2log3 = ;

4log3log3log4 = ,

itd. Dakle:

=⋅⋅⋅⋅⋅ 7log6log5log4log3log2log 876543log 2log3

log3⋅

log 4log 4

⋅log5

log5⋅

log 6log 6

⋅log 7

log 7⋅

log8=

Kao što vidimo dosta toga se ‘’skratiti’’ ==8log2log (sad vidimo da je bilo bolje da

uzmemo osnovu 2, ali nema veze vraćamo se u aba

bc

c logloglog

== )

311

312log

312log2log 228 3 =⋅====

b) ba =∧= 3log2log 55

Page 151: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

5

=100log45 (ovde je jasno da nova osnova mora biti 5.) ==45log

100log

5

5

( )25 55 5 5

25 5 5 5 5

5

5

2 log 5 log 2log 10 2log 10 2log (5 2)log (5 9) log 5 log 9 1 log 3 1 2log 32(1 log 2) 2(1 )1 2log 3 1 2

ab

+⋅= = = = =

⋅ + + ++ +

= =+ +

9) Izračunati: a) ?3 81log3 = Primenjujemo: b) ?10 5log = ?log =baa Dakle: 813 81log3 = i 510 5log = Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima logaritama , pokažimo još neke osnovne tipove zadataka: 1) Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 10.

a) zyxA ⋅

=

b) 5

32

zyxB ⋅

=

v) yy

xC⋅

=5 2

3

d) 3 345 yxD = Rešenja: a)

zyxA ⋅

=

zyxzxyzxyA loglogloglog)log(loglog −+=−==

b)

5

32

zyxB ⋅

=

zyx

zyxzyxz

yxB

log5log3log2

loglogloglog)log(loglog 5325325

32

−+=

=−+=−⋅=⋅

=

Page 152: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

6

v)

3

25

xCy z

=⋅

PAZI: mn

m n aa = , 21

aa =

( )

1 2 1323 5 3 5 2

25log log log log log log log

1 2 1log log log3 5 2

xC x y z x y zy z

x y z

⎛ ⎞= = − ⋅ = − + =⎜ ⎟

⋅ ⎝ ⎠

= − −

g) 3 345 yxD =

yx

yxD

yxyxyxD

loglog345log

31

5loglog

555

34

31

34

31

3 33 433 34

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⋅⋅===

2) Rešiti po x jednačine: a) 15log6log5log24loglog −++=x b) Hrx logloglog23loglog ++=+ π

v) cbax log21log5loglog3log2 ++=−

Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva logaritma ‘’spakuju’’ obe strane!!! Dobićemo izraz ,loglog ⊗=x ovde izvršimo takozvano ANTILOGARITMOVANJE, tj. skratimo logaritme i dobijemo ⊗=x a) 15log6log5log24loglog −++=x SAVET: Prvo brojeve ispred prebacimo kao stepen numerusa!!! n

aa xxn loglog =

2log log 4 log 5 log 6 log154 25 6log log

15600log log15

log log 40.................. /40

x

x

x

x ANTILOGARITMOVANJEx

= + + −⋅ ⋅

=

=

==

Page 153: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

7

b) v)

12 3 2

2

3

2

3

2 3

3

12 log 3log log 5 log log2

log log log 5 log log

log log 5 ................. /

5

5

5

x a b c

x a b cx b c ANTILOGARITMOVANJEa

x b cax a b c

x a b c

− = + +

− = + +

= ⋅ ⋅

=

=

=

3) Ako je a=7log14 i b=5log14 Izračunati ?28log35 = Rešenje: ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti 14.

baa

+−

=+−

=

=+−

=+−

=⋅

==

25log7log7log14log2

5log7log7log14log

5log7log7log196log

)57(log7

196log

35log28log28log

1414

1414

1414

142

14

1414

1414

14

14

14

1435

Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 7

147

196282

== . Probajte razne

opcije, nešto mora da ‘’upali’’, uglavnom, iskustvo je presudno!!!

2

2

2

2

log log 3 2log log loglog( 3) log log loglog(3 ) log( )....................................... /3

...............................................( )3

x r Hx r Hx ANTILOGARITMOVANJEr H

x r Hr Hx V kupe

π

π

πππ

+ = + +

⋅ = + +

=

=

=

Page 154: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

8

Page 155: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

1

LOGARITAMSKA FUNKCIJA Funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji xay = ),0,1( Raaa ∈>≠ naziva se logaritamska funkcija. Označava se sa:

xy alog= (čita se logaritam od x za osnovu a) Ako je a=e → y=lnx Ako je a=10 → y=logx Za osnovne logaritamske funkcije važi:

1) Funkcije su definisane za ),0( ∞∈x 2) Nula funkcije je x=1 tj. grafik seče x-osu u tački A(1,0) 3) Monotonost (rašćenje i opadanje)

a) Ako je osnova 1>a finkcija je rastuća b) Ako je osnova 10 << a funkcija je opadajuća

4) Znak funkcije:

a) Ako je osnova 1>a , znak je: 0>y za ),1( ∞∈x 0<y za )1,0(∈x b) Ako je osnova 10 << a , znak je: 0>y za )1,0(∈x 0<y za ),1( ∞∈x

Evo par primera osnovnih grafika: 1) xy 2log=

Napravimo tablicu, ali vrednosti za x biramo pametno x=1,2,4,8, .81,

41,

21

Videćemo zašto!!! Za x=1 01log2 ==⇒ y Za x=2 12log2 ==⇒ y Za x=4 2122log22log4log 2

222 =⋅====⇒ y

Za x=8 3132log32log 23

2 =⋅===⇒ y

Za x=21 1112log12log

21log 2

122 −=⋅−=−===⇒ −y

Page 156: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

2

Za x=41 22log

41log 2

22 −===⇒ −y

Za x=81 3−=⇒ y

X

81

41

21

1 2 4 8

Y -3 -2 -1 0 1 2 3

1-1

-2

-3

2 4 8

1

2

3

x

y

Kako je 02 >=a ona je rastuća!!! 2) xy

21log=

Slično kao malopre pravimo tablicu:

X 81

41

21

1 2 4 8

Y 3 2 1 0 -1 -2 -3

Page 157: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

3

1-1

-2

-3

2 4 81

2

3

x

y

Dakle kad je osnova 21

=a izmedju 0 i 1 grafik je opadajući!!!

Za malo složenije grafike je moguće izvršiti pomeranje duž x i y-ose (slično kao kod kvadratne funkcije) ali za ozbiljnije zadatke će nam biti potrebno znanje iz IV godine srednje škole. 3) Data je funkcija )23(log 2 xxy a −= )1,0( ≠> aa

a) za koje vrednosti argumenata x funkcija ima smisla u skupu realnih brojeva? b) Odrediti nule date funkcije; c) Odrediti x tako da za osnovu 5=a vrednost funkcije bude 2.

Rešenje: )23(log 2 xxy a −= Pazi: Sve iza log mora biti >0 Znači: →>− 023 2 xx upotrebimo znanje iz kvadratne nejednačine!!! (podseti se) 023 2 =− xx

320

622

2

1

2,1

=

=

±=

x

x

x

Pa je oblast definisanosti: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞∪−∞∈ ,

32)0,(x

Page 158: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

4

b) Nule f-je su rešenja jednačine y=0 Znači: 0)23(log 2 =− xxa Kako je 01log =a to mora biti:

31

16

420123

123

2

1

2,1

2

2

−=

=

±=

=−−

=−

x

x

x

xxxx

Dakle ova funkcija ima nule 11 =x i 31

2 −=x

c) 0)23(log 2 =−= xxy a ⎭⎬⎫

==

25

ya zamenimo

2)23(log 2

5=− xx

Idemo po definiciji ⊗=⇔⊗= ABBAlog

166

35

610

682

0523523

523

2

1

2,1

2

2

22

−=−

=

==

±=

=−−

=−

=−

x

x

x

xxxxxx

Page 159: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

1

LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE Pre nego što krenete u reševanje jednačine savetujemo vam da se podsetite pravila za logaritme. 1) Rešiti jednačine:

a) 2)32(log3 =+x b) 3)43(log4 =+x

c) 2113log =+x

Rešenje: a) 2)32(log3 =+x → Iskoristićemo definiciju ⊗=⇔⊗= ABBAlog Dakle:

362

932332 2

==

=+=+

xxxx

uz uslov

2332

032

−>

−>>+

x

xx

Pošto je 233 −> , rešenje x = 3 je ‘’dobro’’

b) 3)43(log4 =+x → Opet po definiciji

20603

6443443 3

==

=+=+

xxxx

uslov

3443

043

−>

−>>+

x

xx

Rešenje zadovoljava uslov!!!

v) 2113log =+x → Primetimo da nema osnova, pa dopišemo 10 po dogovoru,.

Page 160: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

2

2113log10 =+x

21

1013 =+x uz uslov kvadriramox 2/().......1013 =+

393

==

xx

313 −> , dobro je rešenje.

2) Rešiti jednačine: a) 2)2(log)1(log 22 =++− xx b) 2)8log()19log( 2 =−−+ xx v) 13log2)5log( =−+− xx Rešenja: a) Iskoristićemo )(logloglog xyyx aaa =+ 2)2(log)1(log 22 =++− xx →=+− 2)2)(1(log2 xx Uslovi 01>−x i 02 >+x 1>x i 2−>x Dalje po definiciji:

32

25106

4222)2)(1(

2

1

2,1

2

2

2

−==

±−=

=−+

=−−+

=+−

xx

x

xxxxx

xx

Dalje se pitamo da li rešenja zadovoljavaju uslove: 1>x i 2−>x → Zadovoljava 32 −=x → Ne zadovoljava Dakle, jedino rešenje je

31

013013

−>

>+>+

x

xx

),1( ∞∈x

21 =x

2=x

Page 161: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

3

b) 2)8log()19log( 2 =−−+ xx Dopišemo najpre osnovu 10

2)8(log)19(log 102

10 =−−+ xx

Pošto je yxyx aaa logloglog =−

2819log

2

10 =−+

xx naravno uz uslove: 0192 >+x i 08 >−x

8>x

991

282100

081910080010019

)8(10019

100819

10819

2

1

2,1

2

2

2

2

22

==

±=

=+−

−=+

−=+

=−+

=−+

xx

x

xxxxxx

xxx

x

Oba rešenja ‘’dobra’’ jer su veća od 8 v)

2

log(5 ) 2log 3 1

log(5 ) log 3 1log(5 ) log(3 ) 1

x x

x xx x

− + − =

− + − =− + − =

Uslovi su:

5

505

<−>−>−

xx

x i

3303

<−>−>−

xx

x

Dakle uslov je 3x <

Page 162: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

4

68,0114

32,7114

1142

)114(22

11282

448

0580103515

10)3)(5(

2

1

2,1

2

2

1

≈−=

≈+=

±=±

=

=+−

=−+−−

=−−

x

x

x

xxxxx

xx

1141 +=x ne zadovoljava uslov, pa je jedino rešenje: 114−=x

3) Rešiti jednačine: a) 02log3log2 =+− xx

b) 25log log 22xx + =

Rešenja: a) Uvodimo smenu tx =log uz uslov 0>x 02log3log2 =+− xx

12

213

023

2

1

2,1

2

==

±=

=+−

tt

t

tt

Vratimo se u smenu i

b) 25log log 22xx + = kako je

ab

ba log

1log =

22

1 5loglog 2

xx

+ = →Uvodimo smenu tx =2log uz uslove 0>x i 1≠x

→=+251

tt Sve pomnožimo sa 2t

10010

2log2

10

==

=

xx

x

1010

1log1

10

==

=

xx

x

Page 163: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

5

212

435

0252522

2

1

2,1

2

2

=

=

±=

=+−

=+

t

t

t

tttt

Vratimo se u smenu : ili 4) Rešiti jednačine: a) 7logloglog 1642 =++ xxx

b) 32loglogloglog 812793 =⋅⋅⋅ xxxx

Rešenje: U oba primera ćemo koristiti da je:

xS

x aaS log1log =

a) uslov x>0

42

2log2

2

==

=

xx

x

2

2

21log

21

2

=

=

=

x

x

x

162

4log28log7

28log1log2log4

4/7log41log

21log

7logloglog7logloglog

42

2

222

222

222

1642

42

=⇒=

==

=++

⋅=++

=++=++

xx

xx

xxx

xxx

xxxxxx

Page 164: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

6

b)

0)4)(2)(2(0)4)(4(4)(016

log16log32log

241

32log

41log

31log

21log

32loglogloglog

32loglogloglog

2

2222243

43

43

3333

3333

812793

432

=++−

=+−=−⇒=−

=⇒=

=

=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

ttttttt

txx

x

xxxx

xxxx

xxxx

odavde je t=2 ili t=-2 Kada se vratimo u smenu v v 5) Rešiti jednačine: a) 2)22(log)64(log 55 =−−− xx

b) 07log)45log()27log( =++−− xx

Rešenja

a) 2)22(log)64(log 55 =−−− xx

Kako je yxyx aaa logloglog =−

93

2log2

3

==

=

xx

x

913

2log2

3

=

=

−=−

x

x

x

Page 165: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

7

14

235

045204254

102564)22(564

52264

22264log

2

1

2,1

2

2

5

==

±=

=+−

=⇒=+⋅−

−⋅=−

−=−

=−−

=−−

tt

t

tttsmena xxx

xx

xx

x

x

x

x

ili 012

==

x

x

Ovde je najbolje da proverimo rešenja u početnoj jednačini→ x=2 je jedino rešenje b) 07log)45log()27log( =++−− xx

10 10 10

10 10

log (7 2 ) log (5 4 ) log 7 0

log (7 2 ) 7 log (5 4 )............... /

(7 2 ) 7 5 449 7 2 5 449 7 2 5 4 0

4 7 2 44 0 / ( 1)4 7 2 44 0...................................

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

ANTILOGARITMOVANJE

smena

− − + + =

− ⋅ = +

− ⋅ = +

− ⋅ = +

− ⋅ − − =

− − ⋅ + = −

+ ⋅ − =2

1,2

1

2

27 44 0

7 152

411

x tt t

t

tt

=

+ − =− ±

=

== −

22242

2

==

=

x

x

x

Page 166: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

8

Vratimo se u smenu: ili 112 −=x nema rešenja Uslovi su 027 >− x i 045 >+ x a rešenje je x=2 ih očigledno zadovoljava 6) Rešiti jednačine: a) 31 log 3xx x+ = b) 4 4log 2 3(log 1)2x xx − −= Ovo je tip zadataka gde moramo logaritmovati obe strane za odgovarajuću osnovu!!! a) 31 log

33 ................ / logxx x+ = 31 log

3 3log log 3xx x+ = važi bnb an

a loglog =

1111

1)1(log............log3loglog)log1(

22

2

33333

±=⇒=⇒+−=

+=+

+=⋅+=⇒+=+

tttttttt

ttttxsmenaxxx

Vratimo se u smenu:

1log3 =x ili 1log3 −=x 13=x ili 13−=x

3=x ili 31

=x

b) 4 4log 2 3(log 1)2x xx − −= → logaritmijemo za osnovu 4

4 4

2

log 2 3(log 1)4 4

4 4 4 4

4 4 4 2

4 4 4

log log 2(log 2) log 3(log 1) log 2(log 2) log 3(log 1) log 2

1(log 2) log 3(log 1)2

x xxx x xx x x

x x x

− −=− = −− = −

− = − ⋅

Smena tx =4log :

22242

2

==

=

x

x

x

Page 167: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

9

213

457

037203342

3342)1(3)2(2

)1(23)2(

2

1

2,1

2

2

2

=

=

±=

=+−

=+−−

−=−

−=−

−=⋅−

t

t

t

tttttttt

ttt

ttt

Dakle:

3log4 =x ili 21log4 =x

34=x ili 21

4=x 64=x ili 2=x

Za logaritamske nejednačine koristimo iste ‘’trikove’’ kao za jednačine, ali vodimo računa:

1) Kad je osnova veća od 1 (a>1) prepisujemo znak nejednakosti jer je funkcija rastuća.

2) Kaj je osnova izmedju 0 i 1 (0<a<1) okrećemo znak nejednakosti jer je tada funkcija opadajuća.

Kad postavimo uslove tj. oblast definisanosti, nadjemo i rešimo nejednačinu, trebamo naći njihov presek. 1) Reši nejednačine: a) 0)43(log2 ≥+x b) 0)34(log

21 <−x

v) 1)53(log2 <−x Rešenje:

Page 168: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

10

a) 0)43(log2 ≥+x uslov

133

143243

−≥−≥≥+≥+

xxxx o

ne okrećemo znak jer je osnova veća od 1 Sad upakujemo rešenje i oblast definisanosti.

Konačno: [ )∞−∈ ,1x b) 0)34(log

21 <−x uslov:

PAZI: Okrećemo znak!!!

144

1342134

>>

>−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>−

xxx

xo

Upakujemo ova dva: Konačno: ),1( ∞∈x

3443

043

−>

−>>+

x

xx

4334

034

>

>>−

x

xx

Page 169: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

11

v) 1)53(log2 <−x uslov

3773

253253 1

<

<<−<−

x

xxx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

37,

35x

2) Rešiti nejednačine: a) xx log)2log( >− b) )8(log)62(log 5,05,0 +>+ xx Rešenja: a) xx log)2log( >− uslovi: 02 >−x i 0>x xx >− 2 2>x i 0>x 2>− xx Dakle 2>x 20 >x Ovo nema rešenja, pa cela nejednačina nema rešenja!!! b) )8(log)62(log 5,05,0 +>+ xx PAZI:Okreće se smer Uslovi:

2

682862

<−<−+<+

xxx

xx

2 6 0 8 03 8

x xx x

+ > ∧ + >> − ∧ > −

Uslovi daju : 3−>x

3553

053

>

>>−

x

xx

Page 170: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

12

Upakujemo: )2,3(−∈x konačno rešenje 3) Rešiti jednačine: a) 0)65(log 2

3 <+− xx b) 3)34(log 2

5,0 −≥+− xx a) 0)65(log 2

3 <+− xx uslov Rešenje uslova

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−∈

255,

255x rešenje zadatka konačno rešenje dobijemo kad upakujemo ova dva

Dakle: Dakle:

23

215

065

2

1

2,1

2

==

±=

>+−

xx

x

xx

),3()2,( ∞∪−∞∈x

2

2

2

1,2

1

2

5 6 35 6 15 5 0

5 52

5 5 3,622

5 5 1,382

ox xx xx x

x

x

x

− + <

− + <

− + <

±=

+= ≈

−= ≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +∪⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∈

255,32,

255x

Page 171: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

13

b) 3)34(log 2

5,0 −≥+− xx uslov:

2 3

32

2 3

2

2

2

1,2

1

2

4 3 (0,5)

14 32

4 3 24 3 84 3 8 04 5 0

4 62

51

x x

x x

x xx xx xx x

x

xx

− + ≤

⎛ ⎞− + ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠

− + ≤

− + ≤

− + − ≤

− − ≤±

=

== −

[ ]5,1−∈x Upakujemo rešenja:

[ ) ( ]5,31,1 ∪−∈x Konačno

13

224

034

2

1

2,1

2

==

±=

>+−

xx

x

xx

Page 172: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trigonometrija je prvobitno predstavlja oblast matematike koje se bavila izračunavanjem nepoznatih elemenata trougla pomoću poznatih. Sam njen naziv potiče od dve grčke reči TRIGONOS- što znači trougao i METRON- što znači mera. Kako se definišu trigonometrijske funkcije? Posmatrajmo pravougli trougao ABC. a,b→ katete c→ hipotenuza 222 cba =+ → Pitagorina teorema

sin

cos

naspramna kateta ahipotenuza c

nalegla kateta bhipotenuza c

naspramna kateta atgnalegla kateta bnalegla kateta bctg

naspramna kateta a

α

α

α

α

= =

= =

= =

= =

PAZI: Sam simbol sin(cos,tg,ctg) sam za sebe ne označava nikakvu veličinu!!! Uvek mora da ima i ugao. Izračunajmo vrednost trigonometrijskih funkcija za uglove od ooo i 6045,30 . Najpre ćemo posmatrati polovinu jednakostraničnog trougla. Kao što znamo visina jednakostraničnog trougla je

2

3ah =

www.matematiranje.com

Page 173: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

12sin 302 2

332cos30

2

1 1 3 3230 ( )33 3 3 3

23

230 3

2

o

o

o

o

anaspramna kateta a

hipotenuza a a

analegla kateta

hipotenuza aa

naspramna katetatg racionališemonalegla kateta a

analegla katetactg anaspramna kateta

= = = =

= = =

= = = = ⋅ =

= = =

Sada ćemo uraditi (po definiciju) i za ugao od o60 .

332sin 60

2

12cos 602

3260 3

2

326033

2

o

o

o

o

a

aa

aa

tg a

a

ctga

= =

= =

= =

= =

Za vrednost trigonometrijskih funkcija ugla od o45 upotrebićemo polovinu kvadrata. Kao što znamo dijagonala kvadrata je 2ad =

www.matematiranje.com

Page 174: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

145

145

22

245cos

22

22

21

245sin

===

===

===

=⋅===

aa

katetanaspramnakatetanaleglactg

aa

katetanaleglakatetanaspramnatg

aa

hipotenuzakatetanalegla

aa

hipotenuzakatetanaspramna

o

o

o

o

Na ovaj način smo dobili tablicu: o30 o45 o60

sinα 21

22

23

cosα

23

22 2

1

tgα

33

1 3

ctgα 3 1

33

Naravno kasnije ćemo tablicu proširiti na sve uglove od .3600 oo → Osnovni trigonometrijski indetiteti:

1) 1cossin 22 =+ αα

2) ααα

cossin

=tg

3) ααα

sincos

=ctg

4) 1=⋅ αα ctgtg Da probamo da dokažemo neke od indetiteta:

1) =+ αα 22 cossin (pogledajmo definicije: ca

=αsin i cb

=αcos to da zapamtimo)=

2 2 2 2

2 2 2

a b a bc c c

++ = =(važi Pitagorina teorema, 222 cba =+ ) 12

2

==cc

www.matematiranje.com

Page 175: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

2) ααα tg

ba

cbca

cbca

==⋅⋅

==cossin slično se dokazuje i za αctg

4) =⋅ αα ctgtg (zamenimo iz definicije, da je batg =α i bctg

aα = ) 1=⋅=

ab

ba

Baš lako, zar ne? Iz osnovnih indetiteta se mogu izvesti razne druge jednakosti:

1) Ako krenemo od:

→=+ 1cossin 22 αα ovo delimo sa α2cos 2 2

2 2 2

sin cos 1cos cos cos

α αα α α+ =

→=+α

α 22

cos11tg Odavde izrazimo α2cos

22

1cos1tg

αα

=+

Ako sad ovo zamenimo u:

2 2

22

22

22

2

22

2

sin cos 11sin 1

11sin 1

11 1sin

1

sin1

tg

tgtg

tg

tgtg

α α

αα

αα

ααα

ααα

+ =

+ =+

= −+

+ −=

+

=+

Ove dve identičnosti ćemo zapisati i koristiti ih u zadacima!!! Još jedna stvar, da izvedemo i trigonometrijske funkcije komplementnog ugla. Kako je kod pravouglog trougla o90=+ βα tj. komplementni su, važi:

www.matematiranje.com

Page 176: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

Tj. Odakle ovo? sa slike (po definiciji) je

1) Date su katete pravouglog trougla a=8cm i b=6cm. Odrediti vrednost svih trigonometrijskih funkcija uglova α i β

www.matematiranje.com

αα

αα

αα

αα

tgctgctgtg

o

o

o

o

=−

=−

=−

=−

)90()90(

sin)90cos(cos)90sin(

αβαβαβαβ

tgctgctgtg====

sincoscossin

abctg

batg

cbca

=

=

=

=

α

α

α

α

cos

sin

bactg

abtg

cacb

=

=

=

=

β

β

β

β

cos

sin

cmcccc

bac

cmbcma

10100

366468

68

2

2

222

222

__________

==

+=

+=

+=

==

βα

βα

βα

βα

tgabctg

ctgbatg

cbca

====

====

====

====

43

86

34

68

sin53

106cos

cos54

108sin

Page 177: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

2) Izračunati vrednost trigonometrijskih funkcija nagibnog ugla dijagonale kocke prema osnovi. Izvučemo na stranu ovaj trougao: Kao što znamo mala dijagonala je 2ad = , a velika dijagonala (telesna) 3aD = . Po definicijama je:

1 1 3 3sin33 3 3 3

2 2 2 3 6cos33 3 3 3

1 1 2 222 2 2 2

2

aaaaatg

actg

α

α

α

α

= = = ⋅ =

= = = ⋅ =

= = = ⋅ =

=

3) Po definiciji je:

cmaa

aca

2,198,024

248,0

sin

=⋅=

=

222 acb −= sad ide Pitagorina teorema

cmbbbb

4,1436,207

64,368576)2,19(24

2

2

222

==

−=

−=

www.matematiranje.com

??

8,0sin24

______________

==

==

ba

cmcα

Page 178: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

4) Izračunati vrednost ostalih trigonometrijskih funkcija ako je: a) 6,0sin =α

b) 1312cos =α

v) 225,0=αtg Rešenje:

a) 53sin =α jer

53

1066,0 == najpre ćemo iskoristiti da je 1cossin 22 =+ αα

54cos

2516cos

2516cos

2591cos

1cos53

2

2

22

±=

±=

=

−=

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α

α

α

α

α

Pošto su oštri uglovi u pitanju:

4cos5

α = +

b)

135sin

16925sin

16925sin

1691441sin

11312

sin

1cossin1312cos

2

2

22

22

±=

±=

=

−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=+

=

α

α

α

α

α

αα

α

oštar ugao uzimamo +

5sin13

α =

341

43

5453

cossin

==

===

αα

ααα

tgctg

tg

512

125

1312135

cossin

=

===

α

ααα

ctg

tg

Page 179: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

v) 409

1000225225,0 ===αtg

Iskoristićemo jednakosti:

419sin

419sin

168181sin

168181sin2

+=

±=

±=

=

α

α

α

α

940

14140cos

4140cos

16811600cos

16811600cos

16001681

1cos

11cos

2

2

22

=

=

+=

±=

±=

=

=

+=

α

αα

α

α

α

α

α

αα

ctg

tgctg

tg

www.matematiranje.com

1600160081

160081

sin

11600

811600

81

sin

1409409

sin

1sin

2

2

2

2

2

2

22

+=

+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

+=

α

α

α

αα

αtg

tg

Page 180: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

96cos

)9(36cos

)9(36cos

2

22

2

22

22

+=

+=

+=

aaa

a

aa

α

α

α

5) Izračunaj vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ako je:

a) 99sin 2

2

+−

=aaα

b) a

actg4

42 −=α

a)

2

2

sincos

99

tg

aatg

ααα

α

=

−+=

2

69

aa +

2

2

966

9

atgaactg

a

α

α

−=

=−

b)

www.matematiranje.com

22

24242

22

22222

22

222

2

2

22

22

22

)9(81188118cos

)9()9()9(cos

)9()9(1cos

991cos

sin1cos1cossin

+−+−++

=

+−−+

=

+−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−=

−=

=+

aaaaa

aaa

aa

aa

α

α

α

α

αα

αα

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2 22

2

2 2

22

2 4 2

22

4 2

2

2 2

2

4 44 4

sin1

44sin

4 14

16( 4)sin16 1

( 4)16sin

16 8 1616sin8 16

16sin( 4)4sin

4

a actg tga atg

tg

aa

aa

aa

aa

aa a a

aa a

aaa

a

α α

ααα

α

α

α

α

α

α

−= ⇒ =

=+

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠=

⎛ ⎞ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

−=+

=+ − +

=+ +

=+

=+

44cos

)4()4(cos

)4()4(cos

)4()4(

1cos

)4()4(16

1cos

14

41cos

11cos

2

2

22

22

22

222

22

222

22

2222

2

2

2

22

+−

=

+−

=

+−

=

−+

=

−−+

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

+=

aa

aa

aaaa

aaa

aa

tg

α

α

α

α

α

α

αα

Page 181: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

6) Dokazati identitet tgxx

tgxx

tgx 2cos

11cos

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

xxx

xxx

xtgx

xtgx

cos1

cossin1

cos1

cossin1

cos11

cos11

=−+

⋅++

xxx

xxx

cos1sincos

cos1sincos gore je razlika kvadrata

=−+

xxx

2

22

cos1)sin(cos (jedinicu ćemo zameniti sa xx 22 cossin + )

2 2 2 2

2

cos 2cos sin sin sin cos 2 coscos

x x x x x x xx

+ + − −=

2

sincos

x

sin2 2cos

xx tgxx

=

= =

7) Dokazati da je: a) 272cos54cos36cos18cos 2222 =+++ oooo Pošto važi da kad je o90=+ βα βα sincos = , o54cos ćemo zameniti sa o36sin a

o72cos ćemo zameniti sa o18sin . Onda je: =+++ oooo 72cos54cos36cos18cos 2222 2 2 2 2cos 18 cos 36 sin 36 sin 18o o o o+ + + =

211 =+= b) =⋅⋅⋅⋅ ooooooo tgtgtgtgtgtgtg 89...464544...321 1 = Kako je βα ctgtg = )90( o=+ βα Biće= oooooooo ctgctgctgtgtgtgtgtg 12...444544...321 ⋅⋅⋅⋅⋅ = Kako je 1=⋅ αα ctgtg 145...11 =⋅⋅⋅= otg

www.matematiranje.com

Page 182: Matematika 2. Godina Srednje Skole

11

8) Dokazati identitet 26 6

3 ( )1 sin cos

tg ctgα αα α

= +− −

=+−

=−− )cos(sin1

3cossin1

36666 xxxx

Pokušaćemo da transformišemo izraz

xx 66 cossin − Podjimo od 1cossin 22 =− xx pa ‘’dignemo’’ na treći stepen: 32233 33)( BABBAABA +++=+

1cos)cos(sincossin3sin1coscossin3cossin3sin

/()1cossin

6

1

22226

642246

322

=+++

=+++

=+

xxxxxxxxxxxx

xx

44 344 21

Dakle: xxxx 2266 cossin31cossin −=+ Vratimo se u zadatak:

xxxxxx 222222 cossin

1cossin3

3cossin311

3==

+−=

Da vidimo sad desnu stranu: αααααα 222 2)( ctgctgtgtgctgtg ++=+

αα

αααα

αααααα

αα

αα

22

22

222

22

4224

2

2

2

2

cossin1

cossin)cos(sincossin

coscossin2sinsincos2

cossin

=

+=

++=

++=

Ovim smo dokazali da su leva i desna strana jednake: Uslov je

0cos0sin0cossin

1cossin311cossin

0cossin1

22

22

66

66

≠∧≠≠

≠−

≠−

≠−−

αααα

αα

αα

αα

www.matematiranje.com

Page 183: Matematika 2. Godina Srednje Skole

TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima. Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate , njega smo podelili na minute i sekunde.( 10=60` , 1`=60`` ). Da bi objasnili šta je to radijan, posmatraćemo kružnicu poluprečnika R .Obim kružnice se računa po formuli O= 2Rπ , a znamo da je

14,3≈π .Ako uzmemo deo te kružnice (kružni luk) koji je dužine baš R , njemu odgovara neki centralni ugao ϕ . Mera centralnog ugla koji odgovara luku dužine R je jedan radijan. Jasno je da onda pun ugao ima 2π radijana. Odnosno: 3600=2π radijana 1800=π ZAPAMTI

Važi dakle:

radijana

radijana

radijana

6060180``1

601801̀

18010

∗∗=

∗=

=

π

π

π

I obrnuto: ``45`17571801 00

≈=π

rad

Primer 1: Nađi radijansku meru ugla od:

`3082)245)75)

0

0

0

vba

Rešenje: a) Kako je radijana180

10 π= to je

125

18075750 ππ

==

b) 36

49180

2452450 ππ==

v) 24

1160180

30180

82`30820 πππ=

∗+=

www.matematiranje.com

Page 184: Matematika 2. Godina Srednje Skole

Primer 2. Naći meru u stepenima ugla čija je radijanska mera:

radijanav

b

a

5)6

11)

43)

π

π

Rešenje:

``45`28286``45`88285``225`85285

``)45`1757(55)

330618011

611)

13541803

43)

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=∗

=

=∗

=

radijanav

b

a

π

π

Dalje smo ugao definisali kao dve poluprave sa zajedničkim početkom.A možemo razmišljati i ovako:Uočimo jednu polupravu koja može da se obrće oko svoje početne tačke O.Pri obrtanju ćemo razlikovati dva smera: POZITIVAN – smer suprotan od smera kretanja kazaljke na časovniku i NEGATIVAN- smer kretanja kazaljke časovnika. Ako obeležimo sa a početni a sa b završni položaj poluprave nakon obrtanja oo tačke O u jednom ili drugom smeru, ugao ab zovemo ORIJENTISAN UGAO.

O a

b

TRIGONOMETRIJSKI KRUG je krug poluprečnika 1 čiji je centar u koordinatnom početku.

www.matematiranje.com

Page 185: Matematika 2. Godina Srednje Skole

0

x

y

A(1,0).

Tačka A(1,0) koja pripada trigonometrijskom krugu zove se POČETNA tačka. Na trigonometrijskom krugu ćemo posmatrati različite lukove koji svi počinju u tački A. Luk koji obilazimo u smeru suprotnom od kazaljke na časovniku je POZITIVAN luk, a u smeru kazaljke je NEGATIVAN luk. Uglovi po kvadrantima idu ovako:

x

y

.π2

23π

0

III

III IV

iz I kvadranta: 2

0 πα <<

iz II kvadranta : παπ<<

2

iz III kvadranta : 2

3παπ <<

iz IV kvadranta : παπ 22

3<<

www.matematiranje.com

Page 186: Matematika 2. Godina Srednje Skole

Uglovi 0, 2π , π ,

23π , su granični i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu.

Uglove čije ćemo vrednosti očitavati sa trigonometrijskog kruga su sledeći:

0 360 2o o π= =

306

o π=

603

o π=

454

o π=

902

o π=

21203

o π=

31354

o π=

51506

o π=

180o π=

72106

o π=

52254

o π=42403

o π=

32702

o π=

53003

o π=

113306

o π=

73154

o π=1−

1

11−

Sinus i kosinus proizvoljnog ugla Za bilo koji proizvoljan ugao uvek jedan krak poklopimo sa x osom, tj, sa početnom tačkom A(1,0), drugi krak seče trigonometrijski u nekoj tački M(x0,y0). Iz te tačke spustimo normale na x i y osu. Te dužine su: - Na x-osi cosα ( cosα =x0) - Na y-osi sinα (sinα =y0)

www.matematiranje.com

Page 187: Matematika 2. Godina Srednje Skole

x

y

.

sin

cos

M(x ,y )00

Evo našeg predloga kako da zapamtite vrednosti i da ih “ pročitate” sa kruga. Zapamtimo tri broja:

21 ,

22 ,

23

koji su poređani od najmanjeg do najvećeg.

Broj u sredini 22 odgovara uglovima koji su sredine kvadranata!

Znači sinusi i kosinusi uglova od 45 , 135 , 225 i 315 stepeni imaju vrednost 22 , samo vodimo računa da li

je ta vrednost +22 ili -

22 .

Evo to na slikama , pa će biti jasnije:

0

x

y

.1

145 0

sin 450=cos450=22

www.matematiranje.com

Page 188: Matematika 2. Godina Srednje Skole

0

x.

y

1

-1

1350

sin 1350=22 a cos 1350= -

22

x

y

.

2250

-1

-1

sin 2250= - 22 cos 2250= -

22

x

y

.

3150

1

-1

sin 3150= - 22 a cos 3150=

22

www.matematiranje.com

Page 189: Matematika 2. Godina Srednje Skole

Ta ostale uglove vrednosti će biti 22 ili

23 , naravno opet gledamo da li je + ili - .

Evo par primera: Primer1. Nađi sin 600 i cos 600

x

y

.

sin 60

cos 600

0

600

Kako ugao od 600 nije sredina kvadranta, to će vrednosti za sin 600 i cos 600 biti 21 i

23 i to obe

pozitivne.Pošto je crta za sin 600 duža, ona mora biti 23 (jer je veći broj) a cos 600 je

21 jer je crta tu kraća.

Dakle: sin 600=23 i cos 600 =

21

Primer 2. Nađi sin1500 i cos 1500

x

y

.sin 150

cos 150

1500

0

0

Crta za sin1500 je kraća i pozitivna a crta za cos 1500 je duža i negativna, pa je : sin1500=21 a cos 1500=-

23

Page 190: Matematika 2. Godina Srednje Skole

Primer 3.

Nađi sin3

4π i cos3

4π .

Ako date uglove u radijanima prebacimo u stepene, dobijamo da je to 3

4π = 2400

x

y

.

sin240

cos240

240

0

0

0

Znači, radi se o uglu u trećem kvadrantu i nije sredina kvadranta. Primetićemo da su obe vrednosti negativne,

sinus je duži a kosinus kraći. Zaključujemo: sin3

4π = -23 i cos

34π = -

21

Primer 4. Nađi sin(- 300) i cos(- 300) Ovaj ugao, pošto je negativan ide u smeru kazaljke na satu. U pozitivnom smeru to bi bio ugao od 3300.

x

y

.

sin(-30 )

cos(-30 )

-30

0

0

0

sin(- 300) = sin 3300=-21 i cos(- 300)=cos3300=

23

Da pogledamo šta je sa uglovima od 0, 2π , π ,

23π

www.matematiranje.com

Page 191: Matematika 2. Godina Srednje Skole

x

y

.10

0

Kraci ovog ugla se poklapaju , x osu seku do jedinice, a y osu nigde, zato je cos00=1 (cela crta) a sin00=0 (nema crte)

x

y

.

1

900

Ugao od 900 seče y osu po celoj crti a x osu nigde. Pa je sin 900=1 a cos 900=0

x

y

.0

180-1

sin 1800=0 cos 1800= - 1

www.matematiranje.com

Page 192: Matematika 2. Godina Srednje Skole

0

x

y

.

-1270

sin2700=-1 cos 2700=0 Tangens i kontangens proizvoljnog ugla

Već smo se ranije upoznali sa formulama ααα

cossin

=tg i ααα

sincos

=ctg , naravno pod uslovima da

su imenioci različiti od nule.

Možemo zaključiti da je tgα definisan za cosα ≠ 0 ,odnosno za α ≠2π +k π , k∈Z

A ctgα za sinα ≠ 0, odnosno za α ≠ k π , k∈Z To znači da ako znamo da nađemo sinα i cosα , znamo i tgα i ctgα Primer 1. Nađi:

a) tg4π

b) ctg 3000

a) tg4π = tg 450=

22

22

45cos45sin

0

0

= =1

b) ctg 3000=33

23

21

300sin300cos

0

0

−=−

=

www.matematiranje.com

Page 193: Matematika 2. Godina Srednje Skole

Naučimo sada gde se čitaju tangensi i kotangensi na trigonometrijskom krugu. Uočimo pravu x=1. Ona očigledno prolazi kroz tačku A(1,0) i paralelna je sa y osom.Jedan krak datog ugla α opet poklopimo sa x osom a drugi krak će seći ovu pravu x=1 koju ćemo zvati TANGENSNA osa . Odsečak na tangensnoj osi je ustvari vrednost za tgα . Evo to na slici:

y

.A(1,0)

tg

tangensna osa

x

y

.A(1,0)

tg

tangensna osa

Uočimo sada pravu y=1 koja prolazi kroz tačku B(0,1) i paralelna je x osi. Tu pravu ćemo zvati KOTANGENSNA osa i na njoj ćemo očitavati vrednost za kotangense uglova. Evo slike:

x

y

.

tg

x

y

.

tg tangensna osac koB(0,1)

www.matematiranje.com

Page 194: Matematika 2. Godina Srednje Skole

Ovde razmišljamo slično kao za sinuse i cosinuse, samo moramo da zapamtimo nova tri broja :

33 , 1, 3

Broj 1, pozitivan ili negativan je vrednost za tangense i kotangense uglova koji su sredine kvadranata, tj. za 45,135,225 i 315 stepeni a za ostale uglove gledamo dužinu CRTA koje odsecaju na tangensnoj i kotangesnoj osi i da li je pozitivna ili negativna.

Veća crta je 3 , a manja je 33

Evo nekoliko primera:

x

y

.

tg45

ctg45

45

0

0

0

tg450=1 i ctg450=1 Sredina kvadranta je u pitanju, pa su vrednosti 1.

x

y

.120

tg120

ctg1200

0

0

PAZI: Pošto krak ugla ne seče tangensnu osu ,moramo ga produžiti do preseka sa osom. Uočimo da su obe vrednosti negativne i da je tangens duži a kotangens kraći!

Dakle : tg 1200= - 3 i ctg 1200= - 33

www.matematiranje.com

Page 195: Matematika 2. Godina Srednje Skole

x

y

.

tg240

ctg240

240

0

0

0

tg2400= 3 i ctg 2400=33 (uoči dužine ovih podebljanih crta)

Šta je sa graničnim uglovima?

x

y

.π2

23π

0

Za 0 stepeni vidimo da ugao ne seče nigde tangensnu osu , pa je tg00=0, za ctg00 krak i kotangensna osa idu paralelno, pa kažemo da ctgx teži beskonačnosti kad x teži nuli u pozitivnom smeru. Slično je za ugao od 1800. Opet je tangens nula a kotangens teži - ∞ . Za ugao od 900 je obrnuta situacija: ctg900=0 a tg900 teži +∞ . Za ugao od 2700 je ctg2700=0 a tg2700 teži - ∞ .

www.matematiranje.com

Page 196: Matematika 2. Godina Srednje Skole

0 360 2o o π= =

306

o π=

603

o π=

454

o π=

902

o π=

21203

o π=

31354

o π=

51506

o π=

180o π=

72106

o π=

52254

o π=

42403

o π=

32702

o π=

53003

o π=

113306

o π=

73154

o π=

12

12

22

22

32

32

1−

1

12

12

32

32

22

22

11−

Evo male pomoći za one koji su naučili da se snalaze na krugu!

www.matematiranje.com

Page 197: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

SVODJENJE NA I KVADRAT Kao što smo videli do sada, trigonometrijske funkcije uglova I kvadranta izračunavaju se na isti način kao trigonometrijske funkcije oštrih uglova pravouglog trougla. Pokazaćemo da se preko formula, trigonometrijske funkcije proizvoljnog ugla mogu izraziti preko trigonometrijskih funkcija odgovarajućeg ugla I kvadranta. Taj postupak se zove svodjenje na I kvadrat. 1) Iz II u I kvadrant

Važe formule za: 2

0

Primeri: a) oooo 25cos)2590sin(115sin a može i: sin115 sin(180 65 ) sin 65o o o o Naravno, već smo videli ‘’veze’’ u I kvadrantu i znamo da je oo 65sin25cos . Tako da možete upotrebiti bilo koju formulu iz ove dve grupe.

b) 2

2

4cos

4cos

4

3cos

v) oooo tgtgtg 3939180141

g) oooo tgctgctg 111190101

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

0

0

0

0

sin cos odnosno sin 90 cos2

cos sin odnosno cos 90 sin2

odnosno 902

odnosno 902

tg ctg tg ctg

ctg tg ctg tg

0

0

0

0

sin( ) sin

cos( ) cos

( )

( )

:

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

(180 )

(180 )

tg tg

ctg ctg

odnosno

tg tg

ctg ctg

Page 198: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

2) iz III u I kvadrant Opet imamo dve grupe formula: Primeri:

a) 4 3 3

sin sin sin sin3 3 3 3 3 2

b) oooo 27cos27180cos207cos

v) oooo ctgtgtg 77270263

g) 3666

7

ctgctgctg

3) Iz IV u I kvadrant Ako posmatramo negativan ugao )( : sin(- ) = - sin cos(- ) = cos tg(- ) = tg ctg(- ) = -ctg Ovo nam govori da je jedino cos parna funkcija (jer ‘’uništava’’ minus a sve ostale su neparne)

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

0

0

0

0

sin( ) sin

cos( ) cos

( )

( )

to jest:

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

(180 )

(180 )

tg tg

ctg ctg

tg tg

ctg ctg

0

0

0

0

3sin cos tj. sin 270 cos

2

3cos sin tj. cos 270 sin

2

3 tj. 270

2

3 tj 270

2

tg ctg tg ctg

ctg tg ctg tg

0

0

0

0

3sin cos tj. sin 270 cos

2

3cos sin tj. cos 270 sin

2

3 tj. 270

2

3 tj. 270

2

tg ctg tg ctg

ctg tg ctg tg

Page 199: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

Primeri: a) oooo 37cos37270sin307sin

b) 2

330cos30cos oo

v) 3

3

666

11

tgtgtg

g) 3

3 3 3ctg ctg

Što se tiče periodičnosti funkcija xsin i xcos već smo uočili da važi:

0

0

sin( 2 ) sin odnosno sin( 360 ) sin

cos( 2 ) cos odnosno cos( 360 ) cos

k k

k k

za k koji je bilo koji ceo broj. Dakle: osnovni period finkcija xsin i xcos je 2T odnosno oT 360 Primeri: a) o1170sin (oduzmimo od o1170 po o360 dok se ne dodje ‘’ ispod’’ o360 )

oo

oo

ooo

90360450

450360810

8103601170

Pa je: 190sin1170sin oo ili možemo zapisati: ooo 90sin)2390sin(1170sin b) o780cos (sličan postupak)

ooo

ooo

60360420

420360780

Pa je 2

160cos780cos oo tj.

2

160cos)36060cos(780cos oooo

Za tangense i kotangense važi:

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

Page 200: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

0

0

( ) odnosno ( 180 )

( ) odnosno c ( 180 )

tg k tg tg k tg

ctg k ctg tg k ctg

Dakle: osnovni period funkcija tgx i ctgx je T odnosno oT 180 Primeri: a) otg750 (odavde od o750 oduzmemo po o180 dok se ne ‘’ spustimo’’ ispod o180 )

3

330750

30180210

210180390

390180570

570180750

oo

ooo

ooo

oo

ooo

tgtg

b) 33011101110 ooo ctgctgctg jer je ooo 3018061110

ZADACI:

1) Uprostiti izraz: ooo

ooo

ctg

tg

780cos1860sin405

1140390cos750sin

Rešenja: Najpre ćemo upotrebom formula sve prebaciti u I kvadrant!!!

_________________________________________________________

1sin 750 sin(30 2 360 ) sin 30

2

3cos390 cos(30 360 ) cos30

2

1140 (60 6 180 ) 60 3

405 (45 2 180 ) 45 1

sin1860 sin(60

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

o o

tg tg tg

ctg ctg ctg

3

5 360 ) sin 602

1cos 780 cos(60 2 360 ) cos 60

2

o o

o o o o

Vratimo ova rešenja u početni zadatak:

1sin 750 cos390 1140 2

405 sin1860 cos 780

o o o

o o o

tg

ctg

32

3

31

2

12

3

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

Page 201: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

2) Uprosti izraz:

38

sin4

7cos

310

417

37

sin6

17cos

ctg

tg

Slično kao u prethodnom zadatku, sve prebacujemo u I kvadrant.

_____________________________________

17 17 180 3cos cos cos510 cos150 cos(180 30 ) cos30

6 6 2

7 6 3sin sin sin 2 sin sin 60

3 3 3 3 3 2

17 164 45 1

4 4 4 4 4

oo o o o o

o

otg tg tg tg tg

____________________________________

10 9 33 60

3 3 3 3 3 3

7 7 180 2cos cos cos315 cos( 45 ) cos 45

4 4 2

8 2 6 2 2 2 180sin sin sin 2 sin sin sin120

3 3 3 3 3 3

o

oo o o

oo

ctg ctg ctg ctg ctg

sin(90 30 )

3cos30

2

o o

o

Zamenimo ove vrednosti u zadatak:

317 7 17cos sin

6 3 410 7 8

cos sin3 4 3

tg

ctg

2

32

1

3

23 2

3

2

3 3 2 3 2

22 2 2

3) Dokazati indetitet:

tg2

1

cos)cos(

)sin(2sin

Kod indetiteta krenimo od jedne strane i transformišemo je, dok ne dodjemo do druge strane.

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

Page 202: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

Važi:

cos)cos(

sin)sin(

sin 2sin( ) sin 2sin sin

cos( ) cos cos cos 2cos

1 sin 1

2 cos 2tg

4) Dokazati indetitet:

sin)()2cos(

)cos(22

3cos

tg

ctg

Važi:

tgtg

tgctg

)(

cos)2cos(

cos)cos(

2

sin2

3cos

Pa je:

3cos cos( )

( sin ) ( )2 2cos(2 ) ( )

ctgtg

tg

(cos )(cos ) ( )tg

sin

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

Page 203: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

ADICIONE FORMULE Zbir uglova

sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin

( )1

1( )

tg tgtgtg tg

ctg ctgctgctg ctg

α β α β α βα β α β α β

α βα βα βα βα ββ α

+ = ++ = −

++ =

− ⋅⋅ −

+ =+

Razlika uglova

αββαβα

βαβαβα

βαβαβαβαβαβα

ctgctgctgctgctg

tgtgtgtgtg

−+⋅

=−

⋅+−

=−

+=−−=−

1)(

1)(

sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(

Primećujete da su formule za razliku uglova iste kao i za zbir uglova samo su promenjeni znaci!!! Naravno, učenicima je uvek problem da zapamte formule a ‘’bezobrazni’’ profesori im ne daju da ih koriste iz knjige. Naš je savet da probate da sebi stvorite ‘’asocijaciju’’ koja će vam pomoći da zapamtite odredjenu formulu. Autor ovoga teksta vam nudi svoju ‘’asocijaciju’’: Zapamtite dve male ‘’pesmice’’ koje odgovaraju na dve početne formule:

βαβαβα sincoscossin)sin( +=+ ∧ ( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+ “sin - ko više ko-si “ “kosi-kosi manje sine-sine” Uvek prvo pišite ugao α pa β Za )( βα +tg znamo da je:

βαβαβαβα

βαβαβα

sinsincoscossincoscossin

)cos()sin()(

++

=++

=+tg (sad gde vidite sinus zamenite

ga sa tangens a kosinus sa jedinicom) βαβα

βαβα

tgtgtgtg

tgtgtgtg

−+

=−⋅

⋅+⋅=

11111

www.matematiranje.com

Page 204: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Za cos( ) cos cos sin sin( )sin( ) sin cos cos sin

ctg α β α β α βα βα β α β α β+ −

+ = = =+ +

(zamenite sinus sa 1, a kosinus

sa kotanges) αββα

αββα

tgctgctgctg

ctgctgctgctg

+−⋅

=⋅+⋅⋅−

=1

1111

Znači zapamtili smo ‘’sinko više kosi’’ i ‘’kosi kosi manje sine sine’’ i izveli smo formule za zbir uglova. Za razliku uglova samo promenimo znake!!! 1) Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednost trigonometrijskih funkcija uglova od a)15, 75, i b) 105 stepeni a)

= racionališemo sa 3 33 3−−

= ( ) ( ) 326

3266

361239

3369

33

3322

2

−=−

=−

=−

+−=

Naravno otg15 smo mogli izračunati i lakše o

ootg

15cos15sin15 = …

323432

3232

321

15115 +=

−+

=++

⋅−

== oo

tgctg

www.matematiranje.com

sin15 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30

2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4

cos15 cos(45 30 )cos 45 cos30 sin 45 sin 30

2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4

45 3015 (45 30 )1 45 30

3 331 3331

3

o o o

o o o o

o o o

o o o o

o oo o o

o o

tg tgtg tgtg tg

= −

= ⋅ −

−= ⋅ − ⋅ =

= −

= +

+= ⋅ + ⋅ =

−= − =

+

−−

= =+

3 33+

3 33 3−

=+

Page 205: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

( )

( )

sin 75 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30

2 3 2 12 2 2 22 3 1

4cos 75 cos(45 30 )

cos 45 cos30 sin 45 sin 30

2 3 2 12 2 2 22 3 1

4

o o o

o o o o

o o o

o o o o

= +

= +

= ⋅ + ⋅

+=

= +

= −

= ⋅ − ⋅

−=

( )( ) =

−+

=−

+

==1313

4132

4132

75cos75sin75 o

ootg (moramo opet racionalizaciju)

( )

323232

321

75175

322

3222

32413

13231313

1313

−=−−

⋅+

==

+=+

=+

=−

++=

++

⋅−+

=

oo

tgctg

b) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= oooo 15

2sin)1590sin(105sin π (imamo formulu) == o15cos

(a ovo smo već našli) 4

)13(2 +=

Naravno, isto bismo dobili i preko formule ( )ooo 4560sin105sin +=

2( 3 1)cos105 cos 15 sin152 4

105 15 15 ( 2 3)2

105 15 15 ( 2 3)2

o o o

o o o

o o o

tg tg ctg

ctg ctg tg

π

π

π

−⎛ ⎞= + = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + = − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

opet ponavljamo da može I ideja da je 0105 (60 45 )o otg tg= + …itd.

www.matematiranje.com

Page 206: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

2)a) Proveri jednakost 2110sin20cos10cos20sin =+ oooo

=+ oooo 10sin20cos10cos20sin (ovo je: )sin(sincoscossin βαβαβα +=+ )

2130sin)1020sin( ==+= ooo

b) 2317sin47sin17cos47cos =+ oooo

=+ oooo 17sin47sin17cos47cos (ovo je: )cos(sinsincoscos βαβαβα −=+ )

2330cos)1747cos( ==−= ooo

3) Izračunati )sin( βα + , ako je 135cos,

53sin −=+= βα i ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

23,,,

2ππππα

sin( ) sin cos cos sinα β α β α β+ = ⋅ + ⋅ Znači ‘’fale’’ nam αcos i βsin . Njih ćemo naći iz osnovne indentičnosti:

1312sin

169144sin

169144sin

16925169sin

1351sin

cos1sin1cossin

2

2

22

22

22

±=

±=

=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

−=

=+

β

β

β

β

β

ββ

ββ

ovde su sinusi negativni Dakle: Dal da uzmemo + ili – to nam govori lokacija ugla

Ovde su kosinusi negativni! Znači da je 4cos5

α = −

54cos

2516cos

2516cos

25925cos

2591cos

531cos

sin1cos1cossin

2

2

2

22

22

22

±=

±=

=

−=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

=+

α

α

α

α

α

α

αα

αα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈ ππα ,

2

12sin13

β = −

Page 207: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

Vratimo se da izračunamo ( )βα +sin

( )6533

6548

6515

1312

54

135

53sin =+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=+ βα

4) Izračunati ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +απ

4tg za koje je

1312sin =α i ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈ ππα ,

2

αα

απ

απ

απtgtg

tgtg

tgtgtg

−+

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11

41

44

Pošto je ααα

cossin

=tg , znači moramo naći αcos

Vratimo se u zadatak:

Da li uzeti + ili – ? ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈ ππα ,

2

Ovde su kosinusi negativni!!! Dakle

www.matematiranje.com

135cos

16925cos

16925cos

169144169cos

1691441cos

1cos1312

1cossin

2

2

2

22

22

±=

±=

=

−=

−=

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+

α

α

α

α

α

α

αα

5cos13

α = −

512135

1312

−=

−=

α

α

tg

tg

1215

124 15

775

174 175

tg

tg

π α

π α

−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ +

−⎛ ⎞+ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 208: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

5) Ako su α i β oštri uglovi i ako je 21

=αtg i 31

=βtg pokazati da je 4πα β+ =

Ispitajmo koliko je ?)( =+ βαtg

1

6565

31

211

31

21

1)( ==

⋅−

+=

−+

=+βαβαβα

tgtgtgtgtg

Znači: 1)( =+ βαtg , ovo je moguće u 2 situacije: o45=+ βα ili o225=+ βα pošto su α i β oštri uglovi, zaključujemo:

o45=+ βα tj. 4πβα =+

6) Dokazati da je ,)()32( 2 tgyyxtgytg =−+ ako je 032 =− tgytgx =−+ )()32( 2 yxtgytg

=+−

⋅+tgxtgy

tgytgxytg1

)32( 2 (pošto je 032 =− tgytgx zaključujemo 2

3tgytgx = )

2

22

2

32(2 3 ) 31

23 2

2(2 3 )2 3

2

(2 3 )

tgy tgytg y tgy tgy

tgy tg

tg ytg y

tg y

−+ ⋅ =

+ ⋅

+ ⋅ =+

+2

3 22 3tgy tgy

tg y−

⋅+

tgy=

Ovim je dokaz završen. 7) Dokazati identitet: sin( )cos( ) 1

tg tgtg tg

α β α βα β α β+ +

=− +

sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin

α β α β α βα β α β α β+ +

= =− +

(sada ćemo izvući: βα coscos i gore i

dole) www.matematiranje.com

Page 209: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

cos cosα β

=

sin sincos cos

cos cos

α βα β

α β

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠1sin sin1

cos cos

tg tgtg tgα βα βα β

α β

+=

+ ⋅⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

8) Ako je 2

1,1212

=−+

= βα tgtg i , 0, ,2πα β ⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠ dokazati da je

4πα β− =

Sredimo prvo izraze αtg i βtg

1212

−+

=αtg (izvršimo racionalizaciju)

( )2

2 2

2 12 1 2 1 2 2 2 12 12 1 2 1 2 1

3 2 2

tg

tg

α

α

++ + + += ⋅ = =

−− + −

= +

1 1 2 2

22 2 22

2

tg

tg

β

β

= = ⋅ =

=

( )

23 2 22( ) 2 je zajednički i gore i dole=

1 21 3 2 22

6 4 2 2 6 3 22 2 1

2 3 2 4 6 3 22 2 2 2

tg tgtgtg tgα βα βα β

+ −−− = = =

+ ⋅+ +

+ − +

= = =+

+ +

Dakle 1)( =− βαtg , to nam govori da je o45=− βα ili o225=− βα . Pošto u zadatku

kaže da je ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

2,0, πβα zaključujemo o45=− βα tj.

4πβα =− što je i trebalo

dokazati!

www.matematiranje.com

Page 210: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE DVOSTRUKOG UGLA Formule su: 1. ααα cossin22sin = 2. ααα 22 sincos2cos −=

3. ααα 21

22tgtgtg−

=

4. α

ααctg

ctgctg2

122 −

=

Primeri:

1) a) α

αα 2122sin

tgtg

+= Dokazati.

sin 2 2sin cosα α α= = (uvek možemo u imenioci dopisati 1, zar ne?)=

2 2

2sin cos 2sin cossin 21 sin cosα α α αα

α α= = =

+ (trik: izvučemo zajednički i gore i dole

α2cos )=

2cos α

2

2sincos

cos

αα

α

⋅2 22

2

2 21 1sin 1

cos

tg tgtg tg

α αα αα

α

= =+ +⎛ ⎞

⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ααα 2

2

112cos

tgtg

+−

= Dokazati.

=+−

=−

=−=ααααααααα 22

222222

cossinsincos

1sincossincos2cos (isti trik izvučemo

α2cos i gore i dole)

22

2 2 2

2 222

2

sincos 1cos 1 1 ,

1 1sincos 1cos

tg tgtg tg

ααα α α

α αααα

⎛ ⎞−⎜ ⎟ − −⎝ ⎠= = =

+ +⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

što je i trebalo dokazati.

www.matematiranje.com

Page 211: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

v) ααα 3sin4sin33sin −= Dokazati. →+= )2sin(3sin ααα Iskoristimo formulu sin( ) sin cos cos sin⊕+ = ⊕ + ⊕ →+= αααα sin2coscos2sin sad formule za dvostruki ugao

ααα

ααααα

αααααα

32

322

22

sincossin3sincossincossin2

sin)sin(coscos)cossin2(

−=

−+=

⋅−+=

(sad ćemo iz 1cossin 22 =+ αα izraziti αα 22 sin1cos −= )

2 3

3 3

3

3sin (1 sin ) sin3sin 3sin sin3sin 4sin

α α α

α α α

α α

= − −

= − −

= −

g) 54cos =α Nadji vrednosti za dvostruke uglove ako je α u IV kvadrantu.

Najpre ćemo izračunati αsin

259sin

259sin

25161sin

541sin

cos1sin1cossin

2

2

22

22

22

±=

=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

=+

α

α

α

α

αα

αα

53sin ±=α , pošto je ugao iz IV kvadranta uzećemo da je

53sin −=α

Sada je:

www.matematiranje.com

Page 212: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

724

2572524

2cos2sin2

257

259

2516

53

54

sincos2cos2524

54

532

cossin22sin

22

22

−=−

==

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

−=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=

ααα

ααα

ααα

tg

2) sinα =0,6 i α pripada prvom kvadrantu, nadji vrednosti za dvostruke uglove. Sada ćemo prvo naći αcos 3)Dokazati

a) 4115cos15sin =oo

www.matematiranje.com

8,0cos8,0cos

64,0cos

64,0cos36,01cos

)6,0(1cossin1cos

1cossin

2

2

22

22

22

+=±=±=

=

−=

−=

−=

=+

ααα

α

α

α

αα

αα

2 2

2 2

sin 2 2sin cos2 0,6 0,8

3 4 2425 5 25

cos 2 cos sin

4 3 7 5 5 25

24sin 2 252 7cos 2

252427

tg

tg

α α α

α α α

ααα

α

== ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ =

= −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

=

Page 213: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

sin15 cos15o o = (trik je da dodamo 22 )

==2

15cos15sin2 00

(ovo u brojiocu je formula za ααα cossin22sin = )

41

221

230sin

===o

b) ααα 2coscossin41 222 =−

2 21 4sin cosα α− = (pošto je formula ,cossin22sin ααα = to je ααα 2sincossin4 222 = )

pa je 2 21 4sin cosα α− = 2 21 sin 2 cos 2α α− = 4) Dokazati a) 12cossin2 2 =+ αα

1cossin

sincossin22cossin222

2222

=+=

−+=+

αα

ααααα

b) ααα 244 sin5,01sincos −=+ Da bi ovo dokazali podjimo od indentiteta: /1cossin 22 =+ αα Kvadriramo

4 2 2 4

4 4 2 2 2 2

2 24 4 2 2 2

4 4 2

4 4 2

sin 2sin cos cos 12sin cos 1 2sin cos ( dodamo izrazu 2sin cos )2

4sin cossin cos 1 (ovde je 4sin cos sin 2 )2

1sin cos 1 sin 22

sin cos 1 0,5sin 2

α α α α

α α α α α α

α αα α α α α

α α α

α α α

+ + =

+ = −

+ = − =

+ = −

+ = −

5) Dokazati indetitet: ααα 4cos832cos44cos =++ Rešenje: Poći ćemo od leve strane da dokažemo desnu.

www.matematiranje.com

Page 214: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

cos 4 4cos 2 3cos 2 (2 ) 4(cos sin ) 3cos (2 ) sin (2 ) 4cos 4sin 3(cos sin ) (2sin cos ) 4cos 4sin 3(cos (1 cos )) 4sin cos 4cos 4sin 3 [zamenimo sin 1 cos ](2cos 1

α α

α α α

α α α α

α α α α α α

α α α α α α α α

α

+ + =

⋅ + − + =

− + − + =

− − + − + =

− − − + − + = = −

− 2 2 2 2 2

4 2

) 4cos (1 cos ) 4cos 4(1 cos ) 3

4cos 4cos

α α α α

α α

− − + − − + =

− 21 4cos α+ − 4 24cos 4cosα α+ + 24 4cos α− +4

38cos α

+ =

= A ovo smo trebali dokazati!!

6) Ako je 4,12

cos2

sin =+xx izračunati sin x

Rešenje: Kvadriraćemo datu jednakost.

2

2 2

sin cos 1,4 / ()2 2

sin 2sin cos cos 1,96 [ovde je 2sin cos sin ]2 2 2 2 2 2

x x

x x x x x x x

+ =

+ + = =

1 sin 1,96sin 1,96 1sin 0,96

xxx

+ == −=

7) Predstavi α3tg kao funkciju od αtg Rešenje:

2

22

2

23 (2 )1 22 (1 )2

1121

1

tg tgtg tgtg tg

tg tg tgtg tg tgtgtgtgtg

α αα α αα α

α α αα α ααααα

+= + = =

− ⋅

+ −+ −−= =

− ⋅−

2 2

2

1 21

tg tgtgα α

α− +

−3 3

2 2

2 31 1

tg tg tg tg tgtg tg

α α α α αα α

+ − −= =

+ +

www.matematiranje.com

Page 215: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

8) Dokaži indetitet:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

++ απ

ααα

4cos2

cossin2sin1

Rešenje:

2 2 21 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )

sin cos sin cosα α α α α α α

α α α α+ + + +

= =+ + sin cosα α+

=+= αα cossin (trik: kod oba sabiraka ćemo dodati 22 tj.

22

2

)

=+ αα cos22sin

22

22

izvučemo 2 kao zajednički

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ αα cos

22sin

222 pošto je

22

4sin =

π i 22

4cos =

π zamenimo u izraz

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + απαπ cos

4cossin

4sin2 malo pretumbamo

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

4sinsincos

4cos2 πααπ ovo u zagradi je formula za )cos( βα −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −απ

4cos2

www.matematiranje.com

Page 216: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

1

TRANSFORMACIJE ZBIRA I RAZLIKE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA U PROIZVOD I

OBRNUTO Formule su:

1. 2

cos2

sin2sinsin βαβαβα −+=+

2. 2

sin2

cos2sinsin βαβαβα −+=−

3. 2

cos2

cos2coscos βαβαβα −+=+

4. 2

sin2

sin2coscos βαβαβα −+−=−

5. βαβαβα

coscos)sin( ±

=± tgtg

6. βαβαβα

sinsin)sin( ±

=± ctgctg

7. 1sin cos [sin( ) sin( )]2

x y x y x y⋅ = + + −

8. 1cos sin [sin( ) sin( )]2

x y x y x y⋅ = + − −

9. 1cos cos [cos( ) cos( )]2

x y x y x y⋅ = + + −

10. 1sin sin [cos( ) cos( )]2

x y x y x y⋅ = − + − −

Primeri : 1) Transformisati u proizvod a) oo 50cos20sin + b) sin 56 cos56o o− v) βα sinsin −

Page 217: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

2

a) =+ oo 50cos20sin (pošto nam formula za zbir sinusa i kosinusa, upotrebom veza u I kvandrantu, prebacićemo: cos50 sin 40o o= )

oo

oo

oo

oooooo

10cos10cos212

10cos30sin2)10cos(30sin2

24020cos

24020sin240sin20sin

=⋅=

=

−=

−+=+=

b)

sin 56 cos56sin 56 sin 34

56 34 56 342cos sin2 2

2cos 45 sin11

22 sin11 2 sin112

o o

o o

o o o o

o o

o o

− =

= −

+ −=

=

= ⋅ =

v)

sin sin

sin sin2

2cos

α βπα α

α

− =

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2π α+ − 2sin2 2

22cos sin4 2

222cos sin

4 222 sin

2 4

2 sin4

πα α

πα απ

παπ

πα

πα

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

− +=

−=

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 218: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

3

2) Dokazati da je: a) 25,075sin15sin =oo b) 5,045cos135cos −=oo a)

1sin15 sin 75 sin(15 75 ) sin(15 75 )2

1 sin 90 sin( 60 ) pazi: sinx je neparna funkcija sin(-x) = -sinx21 sin 90 sin 6021 1 1 1 11 0,252 2 2 2 4

o o o o o o

o o

o o

⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = ⋅ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

b)

[ ]

1cos135 cos 45 cos(135 45 ) cos(135 45 )2

1 cos90 cos18021 10 1 0,52 2

o o o o o o

o o

⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+= ⎣ ⎦

= − = − = −

3) Izračunati a) sin5x sin3x=? b) =4

cos3

cos2

cos xxx ?

a)

[ ]

[ ]xx

xxxxxx

8cos2cos21

)35cos()35cos(213sin5sin

−=

+−−=

b)

=4

cos3

cos2

cos xxx ( grupišemo prva dva na koja ćemo upotrebiti formulu, a

4cos x neka sačeka!!!)

Page 219: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

4

cos cos cos2 3 4

1 cos cos cos2 2 3 2 3 4

1 5cos cos cos2 6 6 41 1 5(cos cos ) (cos cos ) ovde opet upotrebimo formulu za izraze u zagradama2 6 4 2 6 41 1 cos2 2

x x x

x x x x x

x x x

x x x x

x

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= ⋅ + ⋅ →

= ⋅1 1 5 5cos cos cos

6 6 4 2 2 6 4 6 441 5 1 7 13cos cos cos cos4 12 12 4 12 121 5 7 13cos cos cos cos4 12 12 12 12

x x x x x xx

x x x x

x x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + ⋅ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

4) Dokazati da je : a) 8380sin40sin20sin =⋅⋅ ooo

b) 8370cos50cos10cos =⋅ ooo

a) =⋅⋅ ooo 80sin40sin20sin upakujemo prvi i treći činilac po formuli.

0 0 0 0

0

1sin 20 sin 40 sin80 (sin 20 sin80 ) sin 40 [cos(20 80 ) cos(20 80 )] sin 402

1 cos 60 cos100 sin 402

1 1 1 1sin 40 cos100 {Znamo da je cos100 cos80 ,pa je } sin 40 cos802 2 2 21 sin 404

o o o o o o o

o o o

o o o o o

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − − + ⋅

⎡ ⎤−⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − → − = = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=1 sin 40 cos802

1 1 1sin 40 (sin120 sin( 40 ))4 2 21 1sin 40 (sin120 sin 40 )4 41 sin 404

o o o

o o o

o o o

o

+

⎡ ⎤= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= + −

=1 1sin120 sin 404 4

o o+ −

1 1 3 3sin1204 4 2 8

o= = ⋅ =

Page 220: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

5

b) Pa ovo je ustvari isti zadatak!!! Zašto?

oo

oo

oo

20sin70cos40sin50cos80sin10cos

=

=

=

Dakle ooo 70cos50cos10cos ⋅⋅ je isto 83

5) Transformisati u proizvod ,sinsinsin zyx ++ ako je π=++ zyx

[ ]sin sin sinsin sin sin ( )

sin sin sin( ) Upotrebimo sin sin 2sin cos i sin 2sin cos2 2 2 2

2sin cos 2sin cos Izvučemo zajednički 2sin2 2 2 2 2

2sin [cos cos ] S2 2 2

x y zx y x y

x y x yx y x y x y

x y x y x y x y x y

x y x y x y

πα αα

+ + =

+ + − + =

+ −+ + + → + = =

+ − + + ++ =

+ − ++ = ad formula za cos +cos

2sin 2 cos cos2 2 2

4sin cos cos2 2 2

x y x y

x y x y

α β

+⋅ ⋅ ⋅ =

+=

transformišemo 2

sin yx +

2

cos2

90sin22

sin2

sin2

sin zzzzyx o =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=

+ ππ po formuli za veze u I

kvandrantu.

Dakle: 2

cos2

cos2

cos4sinsinsin zyxzyx =++ simpatično, zar ne?

6) Dokazati da je: 01095sin795sin495sin =+− ooo

Page 221: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

6

Rešenje: Najpre ćemo ove uglove prebaciti u I kvadrant, da nam bude lakše!!!

sin 495 sin(495 360 ) sin135 cos 45sin 795 sin(795 2 360 ) sin 75 cos15sin1095 sin(1095 3 360 ) sin15

o o o o o

o o o o

o o o o

= − = =

= − ⋅ = =

= − ⋅ =

Znači sada imamo:

cos 45 cos15 sin15 na prva dva člana upotrebimo formulu...45 15 45 152sin sin sin15

2 22sin 30 sin15 sin15

12 sin15 sin15 sin15 sin15 02

o o o

o o o oo

o o o

o o o o

− + =

+ −− + =

− + =

− + = − + =

7) Dokazati da je: 48163279 =+−− oooo tgtgtgtg Rešenje: Pregrupišemo prvo članove:

( ) ( )81 9 63 27

sin(81 9 ) sin(63 27 )cos81 cos9 cos 63 cos 27

sin 90 sin 90 (sin 90 1)cos81 cos9 cos 63 cos 27

cos81 sin 91 1cos81 cos9 cos 63 cos 27 cos 63 sin 27

1sin 9 cos9

o o o o

o o o o

o o o o

o oo

o o o o

o o

o o o o o o

o

tg tg tg tg imamo formule+ − + =

+ +− =

− = =

⎛ ⎞=− = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎝ ⎠

1 2sin 27 cos 27 2

2 2 (sin 2 2sin cos )2sin 9 cos9 2sin 27 cos 27

2 2 ( )sin18 sin 542(sin 54 sin18 ) ( )

sin18 sin 5454 18 54 182 2cos sin 4cos36 sin182 2sin18 sin 54

o o o

o o o o

o o

o o

o o

o o o o

o o

o o

dodamo

zajednicki

gore formula

α α α

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

− = =

− =

−=

+ −⋅

=sin18o

4cos36 4 cos36sin 54sin 54

o o

oo= =

cos36o4=

Page 222: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

7

5) Izračunati o36sin bez upotrebe tablica. Rešenje: Znamo da važi veza u I kvandrantu: oo 54cos36sin = odnosno oo 183cos182sin ⋅=⋅ formula za α2sin imamo: ααα cossin22sin = a formula za α3cos smo izveli (pogledaj) 3cos3 4cos 3cosα α α= − . Upotrebimo ih:

ooo

ooo

18cos318cos4183cos18cos18sin2182sin

3 −=⋅

=⋅

Pa je: oooo 18cos18sin218cos318cos4 3 =− (sve podelimo sa o18cos ) oo 18sin2318cos4 2 =− (onda je 2 0 2 0 2 2sin 18 cos 18 1 cos 18 1 sin 18o o+ = ⇒ = − )

2

2

2

4(1 sin 18) 3 2sin18 04 4sin 18 3 2sin18 04sin 18 2sin18 1 0

o

o

o

− − − =

− − − =

+ − =

(uzmimo smenu to =18sin ) 0124 2 =−+ tt

1,22 20 2 2 5 2( 1 5)

8 8 8t − ± − ± − ±

= = =

451

451

451

2

1

2,1

−−=

+−=

±−=

t

t

t

41518sin −

=o

Nadjimo sad o18cos

Page 223: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

8

2 2

2

2

2

2

2

sin 18 cos 18 1

5 1cos 18 14

5 2 5 1cos 18 116

16 6 2 5cos 1816

10 2 5cos 1816

o o

o

o

o

o

+ =

⎛ ⎞−= − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

− += −

− +=

+=

4521018cos

16521018cos

+=

+=

o

o

( ) ( )

( )( )8

5210152536sin

8521015

36sin

)15(4

52104

15236sin

18cos18sin236sin

2

++−=

+−=

+⋅

−⋅=

=

o

o

o

ooo

korenpodubacimo

( )( )

( )

6 2 5 10 2 5sin 36

8

60 12 5 20 5 20sin 368

40 8 5sin 368

8 5 5sin 36

8

22 5 5sin 368

2 5 5sin 364

o

o

o

o

o

o

− +=

+ − −=

−=

−=

−=

⋅ −=

Page 224: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com

9

Page 225: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

1  

Trigonometrijske jednačine (osnovne) 

1. sinx=a 

Ova jednačina ima rešenja ako je  11 a  zbog ograničenosti sinusne funkcije izmedju ‐1 i 1. 

Da bi lakše razumeli  kako se rešavaju ove jednačine, posmatraćemo sledeće situacije: 

 

i) 10 a  

ii) 01 a  

iii) 0a  

iv) 1a  

v) 1a  

 

a) ax sin       10 a  

 

Postupak: Nadjemo vrednost   a na y‐osi  i povučemo pravu  ay        Ona seče trigonometrijski krug ( tačke A  i B )  i 

spojimo sa kordinatnim početkom. Dobili smo dva tražena ugla:  )(  i   )( . Evo slike: 

 

                                                                                     Rešenja zapisujemo: 

                                                                                                      

                                     kx 21  

                            kx 2)(2  

                                 zk  

 

 

 

 

 

 

 

 

PAZI:   k2  dodajemo zbog periodičnosti funkcije  xsin , koja  je  03602 , to je obavezno! Rešenje se  

 

(kad postanete iskusni) može sjediniti i u jedno rešenje: 

 

 

kx kk )1(     zk  

 

 

 

 

 

 

 

Page 226: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

2  

Primer: 

 

Rešiti jednačinu: 2

1sin x  

 

Rešenje:  Prvo  nacrtamo  trigonometrijski  krug.  Nadjemo  na  y‐osi  vrednost 2

1  i  povučemo  pravu 

2

1y , 

paralelnu  sa  x‐osom.  Ta  prava  seče  trigonometrijski  krug  u  tačkama  A  i  B.  Te  tačke  spajamo  sa  koordinatnim 

početkom i dobili smo tražene uglove. 

 

Iz tablice ( ko zna ) vidimo da su traženi uglovi: 

 

 6

3001

 

 6

51500

2

          

 

Evo slike: 

 

                                                        Rešenja su: 

   

                kx 2

61  

                kx 2

6

52  

                       zk        

                Ili zajedno:   kxk

6)1(  

 

 

 

 

                               

 

 

 

 

ii)         ax sin              01 a   

Postupak je sličan kao malopre. Nadjemo vrednost a na y‐osi ( pazi: sad je a negativno pa je ispod x‐ose ),  

 

povučemo pravu paralelnu sa x‐osom. Mesta gde prava y=a seče trigonometrijski krug (A i B) spojimo sa  

 

koordinatnim početkom i dobili smo  tražene uglove:  )(   i  )(   

Page 227: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

3  

 

Na slici to izgleda: 

 

                                                                                                     Rešenja su: 

 

              kx 21  

              kx 2)(2  

              zk   

 

 

 

 

 

 

 

 

Primer: 

Reši jednačinu:      2

2sin x  

 

 

                                                                                        0454

 

               4

52250

 

 

                Rešenja su: 

 

              kx 2

41  

              kx 2

4

52  

                                                                                     k Z  

Naravno,  ovo  negativno  rešenje  k2

4  možemo  napisati    i  kao 

k24

7   ali  je  običaj  da  se  uglovi  u  IV 

kvadrantu pišu kao negativni 

 

 

 

 

 

 

 

Page 228: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

4  

iii)  0sin x  

                Sinusi su jednaki nuli za uglove od  00 i  0180  

 

                kx 20  

                kx 2  

                k Z  

                Ili zajedno:  kx       k Z                  

 

 

 

 

 

 

iv)  1sin x  

                                                                

                                                 

                        Sinus ima vrednost 1 za ugao od  090  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ovde imamo samo jedno rešenje:         kx 2

2      k Z  

vi)   1sin x  

                                                    

                                                                                            kx 2

2    k Z  

 

                Ili možemo zapisati preko pozitivnog ugla: 

 

                kx 2

2

3          k Z  

 

 

 

 

Page 229: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

5  

2. bx cos  

 

Kao i kod  ax sin   i  ovde mora biti  11 b  da bi jednačina imala rešenja. 

I ovde ćemo rasčlaniti problem: 

 

i) 10 b  

ii) 1 0b  

iii) 0b  

iv) 1b  

v) 1b             

 

i) bx cos              10 b  

 

Ovi uglovi se nalaze u I i IV kvadrantu. 

 Postupak: Na x‐osi nadjemo vrednost b. Povučemo pravu paralelnu sa y‐osom. Ta prava seče 

 

 trigonometrijski krug u tačkama M i N. Spojimo te tačke sa koordinatnim početkom i dobili smo tražene  

 

uglove:   i  )(  

                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rešenja su: 

  kx 2  

  kx 2  

  k Z   

Ugao      odredimo iz tablica ili konstruktivno. 

 

 

 

 

 

 

 

Page 230: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

6  

Primer: 

Reši jednačinu:    2

3cos x  

 

                                                                                    Rešenja su: 

               

              ,26

kx   k Z  

              ,26

kx   k Z  

              Jer je 2

330cos 0  

              To jest 2

3

6cos

 

 

 

 

 

 

ii) bx cos      1 0b  

 

Ovi uglovi se nalaze u II i III kvadrantu. Postupak je isti, samo je b negativno! 

 

                                                                            Rešenja su: 

               

              kx 2    

              kx 2  

               

                                                                                       k Z  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Page 231: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

7  

Primer: 

Reši jednačinu  2

1cos x

  

             3

21200

 

 

              Rešenja su: 

 

              kx 2

3

2  

              kx 2

3

2  

              k Z  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iii) 0cos x  

 

kx 2

2  

22

x k  

k Z  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Page 232: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

8  

iv) 1cos x           v)  1cos x  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

            kx 20                       kx 2  

            kx 2            

            k Z                                                                           k Z  

 

 

3.  mtgx  

 

Za razliku od prethodne dve, jednačina   mtgx  ima rešenja za  ),( m . Razmotrićemo dve situacije:  0m  

i  0m  

i) mtgx   0m  

 To su uglovi u I i III kvadrantu! 

Postupak: Na tangesnoj osi nadjemo m  i to spojimo sa koordinatnim početkom. Dobili smo ugao  . Produžimo taj 

ugao u III kvadrant i evo drugog rešenja:   

 

         

 

                  Rešenje je: 

                 

kx  

zk  Zašto samo jedno rešenje? 

Zato što je  tgx   kao i  ctgx  periodična funkcija sa periodom 

. Pa kad stavimo  k  mi smo to rešenje već opisali! 

 

 

 

 

Zapamti: Kod  xsin  i  xcos  je perioda  k2  a kod  tgx  i  ctgx  samo  k . 

 

ii) mtgx   0m  

 

Page 233: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

9  

Ovi uglovi su u II I IV kvadrantu! Postupak je potpuno isti. 

             

                    Rešenje: 

 

                  kx  

                  k Z   

 

 

 

 

 

 

 

Primer 1: 

 

Reši jednačinu:  1tgx  

Rešenje: (iz tablice znamo:  1450 tgx ) 

 

                            4

450  

                   kx

                  k Z  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Page 234: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

10  

Primer 2: 

 

Reši jednačinu:  3tgx  

Rešenje: Iz tablice je  3600 tg , pa je onda  3)60( 0 tg  jer je  tgtg )(  

 

Crtamo sliku: 

 

             

                    Dakle: 

                     k3

 

                                                                                                             k Z  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Primer 3: 

 

 

  Reši jednačinu:  0tgx   

 

                  Vidimo da su to uglovi od  00  i  0180  

 

                  Dakle: 

                  kx 00  

                  kx  

                                                                                                           k Z  

 

 

 

 

 

 

 

 

Page 235: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

11  

4.  ctgx m  

 

Kao i za tgx rešenja su iz celog skupa R. Perioda je  k . Postupak rešavanja je sličan, samo što vrednost za ctgx 

tražimo na kotangensnoj osi 

             ctgx m

             0m                                    ctgx m      0m  

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Uglovi su u I i III kvadrantu.          Uglovi su u II i IV kvadrantu. 

Rešenje:   kx             Rešenje:  kx  

         k Z                             k Z  

 

 

Najpre potražimo vrednost u tablici, vidimo koji je ugao u pitanju I nacrtamo sliku. 

 

Primer 1: 

Reši  jednačinu:    3

3ctgx  

Rešenje: iz tablice vidimo vrednost za    060  

 

                 

 

 

 

                                                                                          kx

3   k Z  

 

 

 

 

 

 

 

Page 236: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

12  

Primer2: 

Reši  jednačinu:   1ctgx  

 

                                              kx

                A može i: 

                kx

4

                                                                                      k Z  

 

 

 

 

 

 

 

 

Primer 3:  Rešiti  jednačinu:   0ctgx  

 

                 

                kx

 

                                                                                                 k Z  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zadaci 

 

 

1) Reši jednačine: 

 

a) 2

12sin x  

b) 03

sin

x  

 

Page 237: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

13  

Rešenje: 

 

a) Jednačinu rešavamo normalno , kao da je sinx.( al pišemo 2x u rešenju…) 

Iz tablice vidimo da je jedan traženi ugao  030  

 

                  Pazi sad: 

              kx 2

62    V   

kx 26

52  

              Sada izrazimo x, odnosno sve podelimo sa 2 

              kx

12    V      

kx 12

                  k Z   

 

 

 

 

 

 

b) Isto rešavamo kao da je  0sin x  ali posle ne pišemo  x …. Nego  ...3

x  pa izračunamo! 

 

Dakle: 

kx 20

3    V    

kx 23

    

kx 2

3          V      kx 2

3  

     k Z                           kx 2

3

4  

                     k Z   

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Reši  jednačine: 

a)  2

25cos x  

b) 06

2cos

x  

 

Page 238: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

14  

Rešenje:   2

25cos x  

 

       

              kx 2

4

35        V      

kx 24

35  

              Oba rešenja podelimo sa 5 

             5

2

20

3 kx         V       

5

2

20

3 kx  

                k Z       k Z  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) 

                 

06

2cos

x   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kx 2

262   V 

kx 226

2  

kx 2

622    

kx 262

2  

kx 2

6

42    

kx 26

22

 

kx 2

3

22    

kx 23

2  

kx

3     

kx 6

 

Page 239: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

15  

k Z                                        k Z  

3) Rešiti jednačine: 

 

a) 12 xtg  

b) 12

3

xtg  

 

 

Rešenje: 

 

a) 12 xtg  

                Traženi ugao je 045  

                  Dakle: 

                  kx

42  

                 28

kx  

                  k Z   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) 

12

3

xtg  

              Traženi ugao (iz tablice) je  4450

 

              kx

423  

              kx

243  

              kx

4

33  

             34

kx  

              k Z   

 

 

Page 240: Matematika 2. Godina Srednje Skole

www.matematiranje.com   www.matematiranje.com/en.html 

16  

4) Rešiti  jednačine: 

 

a) 13 xctg  

b) 32

xctg  

 

 

 

Rešenje: 

a) 13 xctg     Iz tablice vidimo da je traženi ugao 045  

 

 

Dakle: 

kx

43  

312

kx  

k Z   

 

 

 

 

 

 

b) 32

xctg

                   

Traženi ugao je  030  

 

 

 

kx

62 

kx

26 

kx

6

kx

3

k Z  

 

Page 241: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

Trigonometrijske nejednačine

To su nejednačine kod kojih se nepoznata javlja kao argument trigonometrijske funkcije. Rešiti trigonometrijsku nejednačinu znači naći sve uglove koji je zadovoljavaju.

Prilikom traženja rešenja ove nejednačine, najpre ćemo rešiti odgovarajuću jednačinu, a zatim naći intervale koji se u nejednačini traže.

1. Nejednačine sinx>a i sinx<a 1−<a -svaki broj je rešenje

ax >sin 11 ≤≤− a - rešavamo

1≥a -nema rešenja

1−≤a -nema rešenja

ax <sin 11 ≤≤− a -rešavamo

1>a -svaki broj je rešenje

Primer 1: Reši nejednačine:

a) 2sin −>x

b) 21sin >x

v) 3sin >x

Rešenja:

a) 2sin −>x pošto je 1sin1 ≤≤− x to je svaki Rx∈ rešenje.

b) 21sin >x

www.matematiranje.com

Page 242: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Najpre rešimo odgovarajuću jednačinu:

21sin =x Dakle, rešenja jednačine su:

ππ

ππ

kx

kx

26

5

26

+=

+=

Sada razmišljamo! Pošto nam treba da je 21sin >x uzimamo “gornji deo”.

Dakle:

6

56

ππ<< x

Još dodamo periodičnost

ππππ kxk 26

526

+<<+ , Zk∈

v) 3sin >x

Ovo je nemoguće, dakle nejednačina nema rešenja.

Primer 2: Reši nejednačine:

a) 2sin −<x

b) 22sin −≤x

v) 5sin <x

Rešenja:

a) 2sin −<x ⇒Kako je 1sin1 ≤≤− x , dakle nikad ne može biti manji od -2, data

nejednačina nema rešenja.

www.matematiranje.com

Page 243: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

b) 22sin −≤x

Najpre rešimo jednačinu 22sin −=x

Rešenja su:

ππ

ππ

kx

kx

24

7

24

5

+=

+=

Za nejednačinu 22sin −≤x nama treba “donji” deo ! Dakle:

47

45 ππ

≤≤ x

Zkkxk ∈+≤≤+ ,24

724

5 ππππ

v) 5sin <x

Kako je 1sin1 ≤≤− x , ova nejednačina je uvek zadovoljena,tj. Rx∈∀ je rešenje.

2.Nejednačine cosx>b i cosx<b

1−<b - svaki broj je rešenje

bx >cos 11 ≤≤− b - rešavamo

1≥b - nema rešenja

1−<b - nema rešenja

bx <cos 11 ≤≤− b - rešavamo

1>b - svaki broj je rešenje www.matematiranje.com

Page 244: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

Primer 1:

Reši nejednačine:

a) 2cos −>x

b) 21cos >x

v) 23cos >x

Rešenja:

a) 2cos −>x ovde je svaki Rx∈

b) 21cos >x

Najpre rešimo 21cos =x

ππ

ππ

kx

kx

23

23

+−=

+=

x

y

1-1

60

-600

0

Za rešenja su nam potrebni uglovi čiji je kosinus veći od 21

,znači “desno”.

Konačno rešenje je ππππ kxk 23

23

+<<+− , Zk∈

www.matematiranje.com

Page 245: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

v) 23cos >x

Ova nejednačina nema rešenja jer najveća vrednost za “kosinus”, kao što znamo, može biti 1.

Primer 2: Reši nejednačine:

a) 2cos −<x

b) 21cos −≤x

v) 2cos <x

Rešenja:

a) 2cos −<x - nema rešenja

b) 21cos −≤x -rešićemo prvo

21cos −=x

x

y

120

0

0

240

ππ

ππ

kx

kx

23

4

23

2

+=

+=

Za rešenje nejednačine 21cos −≤x nam treba “levi” deo

Dakle rešenje je ππππ kxk 23

423

2+≤≤+

v) 2cos <x

Ovde je naravno rešenje Rx∈∀ www.matematiranje.com

Page 246: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

3. Nejednačine sa tgx i ctgx: Ove nejednačine za razliku od onih sa sinx i cosx uvek imaju rešenja s obzirom da tgx i ctgx uzimaju vrednosti iz celog skupa R.

I ovde ćemo najpre rešiti odgovarajuću jednačinu I na osnovu nje odrediti interval rešenja date nejednačine.

Primer 1:

a) 3>tgx

x

y

0

0

6090

240

270

0

0

Najpre rešimo jednačinu 3=tgx , πkx o += 60 .

Razmišljamo gde su tgx veći od 3 ? Prvo su to

Uglovi od o60 do o90 . A onda I drugi interval od

o240 do o270 . Znači ovde imamo dva intervala

sa rešenjima!

Rešenje će dakle biti:

oo x 9060 << i oo x 270240 <<

Dodamo period πk koja važi za tgx.

Zk

kxk

+<<+ ππππ23 i

Zk

kxk

+<<+ ππππ2

33

4

Ili možemo zapisati:

Zk

kkx

++∈ )2

,3

( ππππ i )

23,

34( ππππ kkx ++∈

Page 247: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

b) 1<tgx

Prvo rešimo 1=tgx , znamo da je to ugao od o45 i o225 .

Nama treba da su tangensi manji od 1.(podebljana poluprava)

Opet imamo dva rešenja !

x

y0

0

0

0

4590

225

270

42ππ

<<− x i 4

52

ππ<< x

Odnosno:

Zk

kkkkx

++∪++−∈ )4

5,2

()4

,2

( ππππππππ

Primer 2:

Reši nejednačine:

a) 33

>ctgx

b) 0<ctgx

Rešenja:

a) Rešimo prvo oxctgx 6033

=⇒= i ox 240=

x

y

0

0

60

0180

240

0

0

Page 248: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

Opet dva intervala:

30 π

<< x i 3

4ππ << x

Rešenje je:

)3

4,()3

,0( πππππππ kkkkx ++∪++∈ , Zk∈

b) 0=ctgx

Traženi uglovi su iz II i IV kvadranta.

x

y

0

00

0

90

180

270

360

ππ<< x

2 i ππ 2

23

<< x

Rešenje je:

Zk

kkkkx

++∪++∈ )2,2

3(),2

( ππππππππ

www.matematiranje.com

Page 249: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

Zadaci:

1) 0233sin ≥−x

Najpre rešimo

233sin

0233sin

=

=−

x

x

x

y

120 0

0

60

Dakle:

ππππ kxk 23

2323

+≤≤+

Sve podelimo sa 3

Zk

kxk

+≤≤+3

29

23

29

ππππ

2) 2cossin <+ xx

Najpre rešimo jednačinu:

2cossin =+ xx

Ovo je tip “uvodjenje pomoćnog argumenta”

www.matematiranje.com

Page 250: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

a=1

b=1

c= 2

445

111

πϕ

ϕϕϕ

==

=⇒=⇒=

o

tgtgabtg

122

112

22==

+=

+ bac

Pa je : 1)4

sin()sin(22

=+⇒+

=+πϕ x

bacx

Dakle imamo:

1)4

sin( <+πx

Ovde nam ne odgovara samo ako je 1)4

sin( =+πx

Tj.

ππ

πππ

πππ

kx

kx

kx

24

242

244

+=

+−=

+=+

Dakle rešenje je x∀ sem ππ k24+ odnosno Zkkx ∈+≠ ,2

4ππ

3) 02sin5sin2 2 >++ xx

02sin5sin2 2 >++ xx → smena sinx=t

→>++ 0252 2 tt pogledaj kvadratne nejednačine!

221

435

2

1

2,1

−=

−=

±−=

t

t

t

www.matematiranje.com

Page 251: Matematika 2. Godina Srednje Skole

11

),21()2,(sin

,),21()2,(

∞−∪−−∞∈

∞−∪−−∞∈

x

tjt

Pošto je 1sin1 ≤≤− x moramo izvršiti korekciju intervala!

⎥⎦⎤

⎜⎝⎛−∈ 1,

21sin x odnosno

21sin −>x

7210

6o π=

11330

6 6o π π= =−

12

Zk

kxk

+<<+− ππππ 26

726

Je konačno rešenje!

4) Pokazati da važi za svako 8cos

1sin

1: 44 ≥+αα

α

Transformišemo izraz na levoj strani!

=++

=+αααα

αα 44

44

44 cossinsincos

cos1

sin1

Transformišemo izraz αα 44 cossin + .

www.matematiranje.com

Podjimo od :

Page 252: Matematika 2. Godina Srednje Skole

12

2 2 2

2 2 2

4 2 2 4 4 4

4 4 2 2

2 24 4

24 4

sin cos 1/ ()(sin cos ) 1sin 2sin cos cos 1 odavde izrazimo sin cos

2sin cos 1 2sin cos dodamo kao trik 2

2 2sin cossin cos 12

sin 2sin cos 1

kvadriramoα α

α α

α α α α α α

α α α α

α αα α

αα α

+ =

+ =

+ + = +

+ = −

⋅+ = −

+ = −

2 24 4 2 2

2

22 sin 2 1 1 sin 2sin cos opet trik da je 1 sin 2 cos 2

2 21 cos 2

2

α αα α α α

α

− + −+ = = − =

+=

Vratimo se u zadatak:

2

4 4 2

4 4 4 4 4 4

2 2

4 4 4 4

1 cos 2cos sin 1 cos 2 82 ( )sin cos sin cos 2sin cos 88(1 cos 2 ) 8(1 cos 2 ) 8 8

16sin cos sin 2 sin 2

dodamo

αα α αα α α α α α

α αα α α α

++ +

= = =⋅ ⋅ ⋅

+ += = ≥

A ovo sigurno važi!

5) Ako su γβα ,, uglovi trougla I ako je γ tup, tada je 1<βαtgtg . Dokazati

?1<⋅ βα tgtg

Ako je ugao tup I 180oα β γ+ + = onda zbir βα + mora biti manji od o90 to jest ugao )( βα + je u I kvadrantu! A pošto znamo da su tangensi uglova u prvom kvadrantu

pozitivni, mora biti 0)( >+ βαtg

Za )( βα +tg imamo formulu:

01

>−

+βαβα

tgtgtgtg

Pazi: )0,0()0,0(0 <<∨>>⇔> BABABA

Pošto je 0>+ βα tgtg mora biti:

Page 253: Matematika 2. Godina Srednje Skole

13

01 >− βαtgtg odnosno 1<βαtgtg

Što smo I trebali dokazati!!!

www.matematiranje.com

Page 254: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (I deo)

sin( )y a bx c

Da se najpre podsetimo osnovnog grafika funkcije y = sinx i njenih osobina.

1

-1

siny x

222

3

2

2

3

2

0 x

y

Osobine: - funkcija je definisana za svako x, to jest ( , )x - skup vrednosti funkcije je interval [ 1,1] , to jest funkcija je ograničena 1 sin 1x

- sinx je periodična funkcija sa osnovnom periodom 2

- nule funkcije ( mesta gde grafik seče x osu) su 0, , 2 ...x x x ili ovo možemo zapisati , uzimajući u

obzir periodičnost kao ( 0, 1, 2,...)x k k

- maksimalne vrednosti funkcije su u 3 5

, , ,...2 2 2

to jest, možemo zapisati: 2

2x k k Z

- minimalne vrednosti funkcije su u 3 7

, , ,...2 2 2

to jest , možemo zapisati: 2

2x k k Z

- sinx raste u intervalima [ 2 , 2 ], k Z2 2

k k

- sinx opada u intervalima [ 2 , 2 ], k Z2 2

k k

- funkcija je pozitivna, sinx > 0 za (2 , (2 1) )x k k k Z

- funkcija je negativna, sinx < 0 za ((2 1) ,2 )x k k k Z

- grafik se zove SINUSOIDA

www.matematiranje.com

Page 255: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Trigonometrijsku funkciju sin( )y a bx c ćemo da naučimo da crtamo na dva načina. Prvi način se sastoji u tome da krenemo od početnog grafika y=sinx i da u zavisnosti od brojeva a,b i c vršimo pomeranja grafika ( naučićemo kako ) a drugi način je direktno ispitivanje tačaka ( nule funkcije, max, min...) ali za njega nam je potrebno da znamo rešavati trigonometrijske jednačine. Najpre uočite i zapišete brojeve a,b i c. Svaki od njih priča neku priču...

siny a x

Broj a koji je ispred sinusa se zove amplituda i predstavlja maksimalno rastojanje tačke grafika od x- ose. Za funkciju y=sinx je taj broj a=1 a na grafiku vidimo da je ona baš ograničena sa -1 i 1. Ako je broj ispred sinusa pozitivan , funkcija izgleda:

1

-1

siny x 222

3

2

2

3

2

0

a

-a y=asinx

x

y

Dakle, nule funkcije ostaju na svojim mestima , dok se max i min “ produže” do tačke a, odnosno –a. Ako je broj ispred sinusa negativan ,funkcija izgleda:

1

-1

siny x 222

3

2

2

3

2

0

a

-a

y=-asinx

x

y

Ovde dakle moramo voditi računa jer se grafik “ okreće”, a max i min zamene mesta i produže se do tačke a, odnosno –a.

www.matematiranje.com

Page 256: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

primer 1. Nacrtati grafik funkcije siny x Ovde nam je a = -1 . To nam govori da početni grafik siny x ( koji je nacrtan na slici isprekidanom linijom) samo “ okrenemo”.

1

-1 siny x

222

3

2

2

3

2

0 x

y

primer 2. Nacrtati grafik funkcije 2siny x Sada je а = 2. To znači da funkcija po y- osi ide od -2 do 2 i da se grafik ne okreće.

1

-1

2siny x

222

3

2

2

3

2

0

2

-2

x

y

primer 3. Nacrtati grafik funkcije 3

sin2

y x

Vidimo da je 3

2a . Grafik je u odnosu na početni okrenut, zbog minusa i nalazi se, gledajući po y osi ,

između 3 3

i 2 2

.

1

-1

3sin

2y x

222

32

2 3

2

0

2

-2

3

2

3

2

x

y

www.matematiranje.com

Page 257: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

siny bx

Periodičnost funkcije sin( )y a bx c direktno sledi iz periodičnosti funkcije y=sinx.

Osnovni period za sin( )y a bx c se računa po formuli 2

Tb

.

Broj b se zove frekvencija ili učestalost i pokazuje koliko se celih talasa nalazi na intervalu [0,2 ]

Dakle, naš poso je da uočimo broj b, i ubacimo ga u formulu 2

Tb

da bi dobili osnovnu periodu.

primer 4. Nacrtati grafik funkcije 1

sin2

y x

Uočimo da je ovde 1

2b . Onda je

2 24

12

T T Tb

1

-11

sin2

y x

222

3

2

2

3

2

0 3 45

2

7

2

x

y

Početna funkcija y = sinx je i ovde data isprekidano. Šta se desilo sa njom? Vidimo da se ona izdužila, jer je sada perioda 4T . primer 5. Nacrtati grafik funkcije sin 2y x

Kako je 2b onda će osnovna perioda biti 2 2

T Tb

2

T

Šta će sada biti sa početnim grafikom? Pa kako je perioda samo T , on će da se “ skupi”:

1

-1 sin 2y x

222

3

2

2

32

04

34

x

y

www.matematiranje.com

Page 258: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

sin( )y x c odnosno sin( )y bx c ( broj c se zove početna faza)

Opet naravno, najpre iz zadate funkcije pročitamo vrednosti za b i c. Onda odredimo vrednost za c

b.

Grafik funkcije sin( )y bx c se dobija pomeranjem grafika siny bx duž x ose i to (pazi na ovo):

i) u pozitivnom smeru ( udesno ) ako je vrednost c

b negativna

ii) u negativnom smeru ( ulevo) ako je vrednost za c

b pozitivna

primer 6. Nacrtati grafik funkcije sin( )2

y x

Ovde je a=1, b=1, c= 2

. Vrednost izraza

c

b je 2

1 2

c

b

. Šta ovo znači?

Pošto je vrednost ovog izraza pozitivna , početni grafik y = sinx pomeramo za 2

ulevo.

1

-1

sin( )2

y x

222

3

2

2

3

2

0 x

y

primer 7. Nacrtati grafik funkcije sin( )4

y x

1, 1,4 4

ca b c

b

Pomeramo grafik y = sinx za

4

udesno.

1

-1

sin( )4

y x

222

3

2

2

32

04 5

4 9

4 x

y

www.matematiranje.com

Page 259: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

primer 8. Nacrtati grafik funkcije sin(2 )2

y x

Ovde je a=1, b=2 i 2

c

Perioda je : 2 2

T Tb

2

T a vrednost izraza : 2

2 4

c

b

Moramo crtati tri grafika : y=sinx ( slika 1.) pa onda y=sin2x ( slika 2.) i na kraju sin(2 )2

y x

(slika 3.)

1

-1

222

32

2

3

2

0

1

-1 sin 2y x

222

32

2

3

2

04

34

1

-1sin(2 )

2y x

222

3

2

2

3

2

04

34

y=sinx

slika 1.

slika 2.

slika 3.

x

x

x

y

y

y

Na slici 2. vidimo da se grafik sinusne funkcije “skupio” zbog periode T .

Na slici 3. je izvršeno pomeranje grafika y=sin2x za 4

udesno, jer je vrednost

c

b negativna.

Verovatno će vaš profesor tražiti od vas da sva tri grafika nanosite na jednoj slici…Mi smo namerno crtali tri slike da bi bolje razumeli…

www.matematiranje.com

Page 260: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

primer 9. Nacrtati grafik funkcije 1

sin( )2 4

y x

1

1, ,2 4

a b c

Tražimo periodu: 2 2

412

T T Tb

i vrednost izraza: 24

1 4 22

c

b

Opet idu tri grafika: Na slici 1. je početni grafik y = sinx

Na slici 2. je grafik 1

sin2

y x koji dobijamo povećavajući periodu na 4

Na slici 3. je konačan grafik 1

sin( )2 4

y x

koji dobijamo kada grafik funkcije 1

sin2

y x pomerimo za 2

udesno,

jer je vrednost izraza c

b pozitivna.

1

-1

22 0 3 4

1

-1 1sin

2y x

222

32

2

3

2

0 3 45

2

7

2

1

-1 1sin( )

2 4y x

222

3

2

2

32

0 3 45

2

7

2

slika 1.

slika 2.

slika 3.

y

y

y

x

x

x

www.matematiranje.com

Page 261: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik sin( )y a bx c ali to pogledajte u sledećem fajlu: GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo)

www.matematiranje.com

Page 262: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo)

U prethodnom fajlu ( grafici trigonometrijskih funkcija I deo) smo proučili kako se crtaju grafici u zavisnosti od brojeva a,b i c. Sada možemo sklopiti i ceo grafik funkcije sin( )y a bx c . POSTUPAK: i) Nacrtamo grafik funkcije y = sinx

ii) Uočimo brojeve a,b i c , i nađemo periodu 2

Tb

. Crtamo grafik siny bx .

iii) Odredimo vrednost izraza c

b i vršimo pomeranje po x osi, to jest crtamo grafik sin( )y bx c

iv) Vrednost amplitude a nam pomaže da nacrtamo konačan grafik sin( )y a bx c Ovo je jedan način za crtanje grafika. Drugi način je direktno ispitivanje značajnih tačaka, a već smo vam pomenuli da ovde morate znati rešavati trigonometrijske jednačine.( Imate taj fajl, pa se malo podsetite...)

primer 1. Nacrtaj grafik funkcije: 3sin(2 )4

y x

Rešenje I način

Iz 3sin(2 )4

y x

je 3, 2,4

a b c

Crtamo prvo grafik osnovne funkcije siny x .

1

-1

222

3

2

2

3

2

0

y=sinx

slika 1.x

y

Nadjemo periodu : 2 2

2T T T

b

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

Page 263: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Dalje crtamo grafik funkcije sin 2y x

1

-1 sin 2y x

222

3

2

2

3

2

04

3

4

slika 2.x

y

Vrednost izraza c

b je 4

2 8

c

b

. Vršimo pomeranje grafika sin 2y x za 8

ulevo:

1

-1sin(2 )

4y x

222

32

3

2

0 slika 3.x

y

8

I konačno, kako je amplituda 3a , to nam govori na “razvučemo” grafik izmedju -3 i 3 duž y ose.

1

-1

3sin(2 )4

y x

222

3

2

2

3

2

04

3

4

slika 4.x

y

8

2

-2

-3

3

II način

Zapišemo vrednosti za a,b i c. Nadjemo periodu 2

Tb

.

Ispitujemo gde su nule funkcije. Tražimo tačke ekstremuma ( maksimum i minimum).

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

Page 264: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

3, 2,4

a b c

i 2 2

2T T T

b

Nule funkcije To su mesta gde grafik seče x osu.

0

3sin(2 ) 04

sin(2 ) 0 2 0 24 4 4

2 04

2 Ovde sada dodamo periodu(T= ): 4 8 8

24

3 3 32

4 8 8

y

x

x x x

x

x x x k k Z

x

x x x k k Z

Ove tačke nalazimo na x osi . Maksimum Kako je amplituda 3a , funkcija će imati maksimalnu vrednost za y=3.

3

3sin(2 ) 34

sin(2 ) 1 2 2 24 4 2 2 4 4 8

I ovde moramo dodati periodu: 8

y

x

x x x x x

x k k Z

Minimum Funkcija će imati minimalnu vrednost za y =-3

3

3sin(2 ) 34

3 3 5 5sin(2 ) 1 2 2 2

4 4 2 2 4 4 8

5 Dodajemo periodu:

8

y

x

x x x x x

x k k Z

www.matematiranje.com

Page 265: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

Sada sklopimo grafik:

1

-1

3sin(2 )4

y x

222

3

2

2

32

04

3

4

x

y

8

2

-2

8 5

83

8

78

-3

3

Vidite i sami da ovaj drugi način daje precizniji grafik, ali mora se vladati rešavanjem jednačina.

Vi konstruišite grafik kako vaš profesor komanduje...

primer 2. Nacrtaj grafik funkcije: 1

2sin( )2 6

y x

1 2 2 62, , 4 , dakle 4 i ,dakle 1 12 6 3 32 2

c ca b c T T

b b b

1

-1siny x

222

3

2

2

3

2

0 3 45

2

7

2

x

y

1

-1 1sin

2y x

222

3

2

2

3

2

0 3 45

2

7

2

x

y

1

-1

1sin( )

2 6y x

222

3

2

2

3

2

0 3 45

2

7

2

x

y

3

1

-1

12sin( )

2 6y x

222

3

2

2

3

2

0 3 45

2

7

2

x

y

3

2

-2

slika 1.

slika 2.

slika 3.

slika 4.

Page 266: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

Ako bi radili preko ispitivanja : Nule funkcije

0

12sin( ) 0

2 61 1 1

sin( ) 0 02 6 2 6 2 6

10 i kad dodamo periodu: 4

2 6 3 3

1 5 5 kad dodamo periodu: 4

2 6 3 3

y

x

x x x

x x x k

x x x k

Maksimum

2

12sin( ) 2

2 61

sin( ) 12 6

1 3

2 6 21 8

2 6

8 8 dodamo periodu +4

3 3

y

x

x

x

x

x x k

Minimum

2

12sin( ) 2

2 61

sin( ) 12 6

1

2 6 21 2

2 6

2 24

3 3

y

x

x

x

x

x x k

Da sklopimo grafik:

www.matematiranje.com

Page 267: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

1

-1

12sin( )

2 6y x

22 3

2

0 3 4 x

y

3

2

-2

5

3

1138

3

23

primer 3. Nacrtaj grafik funkcije: 2cos(2 )4

y x

Grafik ove funkcije se konstruiše na isti način kao i za sinusnu funkciju. Razlika je jedino u tome što je početni grafik cosy x

Za 2cos(2 )4

y x

je:

2, 2,4

2 2

2

42 8 8

a b c

T Tb

c c

b b

Krećemo od grafika cosy x :

1

-1

222

3

2

2

3

2

0x

y

Dalje crtamo grafik cos 2y x , to jest smanjujemo periodu na .

www.matematiranje.com

Page 268: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

1

-1 cos 2y x

222

3

2

2

3

2

0x

y

Kako je 8

c

b

, vršimo pomeranje ovog grafika za

8

udesno:

1

-1

cos(2 )4

y x

222

3

2

2

3

2

0x

y

38

Amplituda je 2a , pa “ raširimo” grafik izmedju -2 i 2 po y osi.

1

-1

2cos(2 )4

y x

222

3

2

2

3

2

0x

y

3

8

2

-2

Evo konačnog grafika.

primer 4. Nacrtaj grafik funkcije: sin 1y x

Ovakvu situaciju do sada nismo imali... Ali smo nešto slično radili kod kvadratne funkcije ( pogledaj taj fajl). Broj « van » sinusa nam ustvari predstavlja pomeranje po y-osi! Ako je taj broj pozitivan grafik se pomera “na gore” a ako je taj broj negativan , grafik se za toliko pomera “na dole”.

www.matematiranje.com

Page 269: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

Ovde imamo +1, pa ćemo nacrtati grafik funkcije siny x i ceo grafik podići za 1 na gore.

1

-1

siny x

222

3

2

2

3

2

0 x

y

1

-1

sin 1y x

222

3

2

2

3

2

0 x

y

2

primer 5. Nacrtaj grafik funkcije: cos 2y x

Crtamo grafik cosy x pa ga “spustimo” za 2 na dole po y osi!

1

-1

cos 2y x

222

3

2

2

3

2

0x

y

-2

-3

1

-1

222

3

2

2

3

2

0x

y

www.matematiranje.com

Page 270: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

primer 6. Nacrtaj grafik funkcije: sin 3 cosy x x

Rešenje: Ovde nam je prvi posao da “ spakujemo” funkciju na oblik sin( )y a bx c ili cos( )y a bx c . Ovde moramo koristiti formulice iz trigonometrije, a ima i nekih trikova...

2sin 3 cos kao trik dodamo

22 2

sin 3 cos sad uzmemo 2 ispred zagrade2 2

1 3 1 32( sin cos ) znamo da je cos i sin , zamenimo ...

2 2 3 2 3 2

2( cos sin sin cos ) malo pretumbamo....3 3

2

y x x

y x x

y x x

y x x

y

( sin cos cos sin ) ovo u zagradi je formula sin( ) sin cos cos sin3 3

2sin( )3

x x x y x y x y

y x

Znači, zadatu funkciju sin 3 cosy x x smo sveli na oblik 2sin( )3

y x

koji znamo da konstruišemo.

Ostavljamo vama za trening da probate sami da je konstruišete.

primer 7. Nacrtaj grafik funkcije: 3

sin(2 ) cos(2 )4 4

y x x

Rešenje: I ovde imamo zeznutu situaciju. Najpre moramo prebaciti kosinus u sinus preko formulice za vezu trigonometrijskih funkcija u I kvadrantu:

cos sin( )2

x x

www.matematiranje.com

Page 271: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

3sin(2 ) cos(2 )

4 43

sin(2 ) sin[ (2 )]4 2 4

3sin(2 ) sin[ 2 ]

4 2 45

sin(2 ) sin( 2 ) dalje koristimo formulicu: sin sin 2sin cos4 4 2 2

5 52 2 2 ( 2 )

4 4 4 42sin cos2 2

2s

y x x

y x x

y x x

x y x yy x x x y

x x x xy

y

2

inx

52

4 4x

52 2

4 4cos2 2

34

22sin cos znamo da je sin 12 2 2

34 22 1 cos( )2 2

32 cos(2 )

4

x x

xy

xy

y x

I ovo je za trening...Ako se ne snalazite, pošaljite nam mejl pa ćemo probati da vam pomognemo, nekako.

www.matematiranje.com

Page 272: Matematika 2. Godina Srednje Skole

1

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

Sinusna teorema glasi: Stranice trougla proporcionalne su sinusima njima naspramnih uglova.

Rcba 2sinsinsin

===γβα

Odnos dužine stranica i sinusa naspramnog ugla trougla je konstanta i jednak je dužini prečnika (2R) kružnice opisane oko trougla.

Sinusna teorema se primenjuje:

1) Kada su data dva ugla i jedna stranica 2) Kada se date dve stranice i ugao naspram jedne od tih stranica

Kosinusna teorema glasi: Neka su a,b,c dužine stranica i je,,βα veličine odgovarajućih unutrašnjih uglova trougla ABC. Tada je:

jeabbac

accabbccba

cos2cos2cos2

222

222

222

−+=

−+=

−+=

β

α

Kosinusna teorema se primenjuje:

1) Kad su date dve stranice i ugao izmedju njih 2) Kad su date sve tri stranice trougla

Page 273: Matematika 2. Godina Srednje Skole

2

Još neke važne ''stvari'' koje se izvode iz sinusne i kosinusne teoreme su: → Površina trougla je:

→ Površina trougla je R

cbaP4⋅⋅

= , gde je 2

cbas ++= poluobim a r je poluprečnik

upisane kružnice → Težišne linije se izračunavaju: → Proizvod dijagonala tetivnog četvorougla (oko koga može da se opiše kružnica) jednak je zbiru proizvoda naspramnih strana. bdacnm +=⋅ Ptolomejeva teorema → Ako su 1d i 2d dijagonalne konveksnog četvorougla i α ugao koji one grade. Površina tog četvorougla je:

γ

β

α

sin21

sin21

sin21

cP

bP

aP

=

=

=

222222222

222

222

222

cbat

bact

acbt

c

b

a

−+=

−+=

−+=

Page 274: Matematika 2. Godina Srednje Skole

3

αsin21

21 ddP ⋅=

Zadaci:

1) U trouglu ABC dato je 045=α , 060=β i poluprečnik opisanog kruga 62=R . Odrediti ostale osnovne elemente bez upotrebe tablica.

____________62

6045

=

=

=

R

o

o

β

α

Najpre ćemo naći ugao γ

Rcba 2sinsinsin

===γβα

Iskoristićemo sinusnu teoremu.

⇒= Ra 2sinα

o

ooo

oje

75)6045(180

180

=

+−=

=++

γ

γ

βα

34

341222264

45sin622

sin2

=

==⋅=

⋅=

=

a

a

a

Rao

α

Page 275: Matematika 2. Godina Srednje Skole

4

⇒= Rb 2sin β

⇒= Rc 2sin γ

2) Odrediti stranicu b trougla ABC ako su njegove stranice cmccma 6,32 == i ugao 0105=β

?

1056

32

____________

=

=

=

=

b

cmc

cma

oβ Ovde ćemo upotrebiti kosinusnu teoremu!!!

βcos2222 accab −+= Ajmo prvo da nadjemo o105cos )4560cos(105cos ooo +=

4)31(2

22

23

22

21

45sin60sin45cos60cos

−=⋅−⋅=

−= oooo

36

361822364

60sin622

sin2

=

==⋅=

⋅=

=

b

b

b

Rbo

β

( )332

dim21

22

23

2264

)30sin45cos30cos45(sin64

)3045sin(64

75sin62

sin2

+=

→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅=

+⋅=

+⋅=

⋅=

=

c

osrec

c

c

Rc

jeRc

oooo

oo

o

Page 276: Matematika 2. Godina Srednje Skole

5

proverimo→+=+ 2)33(3612

3612

3369

3332322

+=

++=

+⋅+=

3) U trouglu ABC dato je AB=24cm, AC=9cm i ugao 060=α . Odrediti bez upotreba tablica, stranicu BC i poluprečnik opisane kružnice.

A B

C

a

c=24cm

b=9cm

cmaa

a

a

abccba

o

21441

44121249257681

60cos2492249cos2

2

2

222

222

==

=

⋅⋅⋅−+=

⋅⋅⋅−+=

−+= α

33

)33(

3612

366612

)31(66124

)31(26322)6()32(

22

2

2

2

222

+=

+=

→+=

+−+=

−−+=

−⋅⋅⋅−+=

b

b

trikmalib

b

b

b

??,

60249

__________

==

=

==

Ra

cmccmb

Page 277: Matematika 2. Godina Srednje Skole

6

⇒= Ra 2sinα

4) U trouglu ABC razlika stranica a i b jednaka je 3cm ugao 060=γ i poluprečnik

opisane kružnice cmR3

37= . Odrediti stranice trougla ABC.

?,,

337

603

_____________

=

=

=

=−

cba

R

cmbaoγ

⇒= Rc 2sin γ

cmR

R

R

emoracionališR

R

R

Ro

373

32133

321

321

3422

2

23

21

260sin

21

=

=

⋅=

=

=

=

=

cmc

c

c

Rc

o

723

3372

60sin3

372

sin2

=

⋅⋅=

⋅⋅=

= γ

Page 278: Matematika 2. Godina Srednje Skole

7

bbbbb

bbbb

bbbbabbac

o

3964921)3(2)3(49

60cos)3(2)3(7cos2

222

22

222

222

−−+++=

⋅+−++=

+−++=

−+= γ

→=−+ 04032 bb kvadratna jednačina ‘’po b’’

5

2133

1

2,1

=

±−=

b

b

→−= 82b ovo nije rešenje jer ne može dužina stranice da bude negativan broj. Dakle 5=b

8

353

=+=+=

aa

ba

5) U krugu su date tetive AB=8cm i AC=5cm. One grade medjusobni ugao 060=α . Izračunati poluprečnik opisane kružnice.

cmaaa

a

abccba

o

749

4089214026425

60cos85285cos2

2

2

2

222

22

==

−=

⋅⋅−+=

⋅⋅⋅−+=

−+= α

⇒= Ra 2sinα

?

6085

____________

=

=

==

R

cmccmb

337

33

373

723

72

260sin7

=

⋅=

=

=

=

R

R

R

R

Ro

Page 279: Matematika 2. Godina Srednje Skole

8

6) Ako su stranice trougla 2,,2 +− aaa i jedan ugao iznosi 0120 , odrediti stranice.

a

a-2a+2

o120

Pazi: o120 je ugao naspram najveće stranice (a+2)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−−−+=+

−−−+=+

−+=

21)2(2)2()2(

120cos)2(2)2()2(cos2

222

222

222

aaaaa

aaaaaabbac

o

γ

)2()2()2( 222 −+−+=+ aaaaa aaaaaaa 24444 2222 −++−+=++

0)5(21020 2

=−−=

aaaa

→= 0a nemoguće 5=a

72

33252

=+=

==−=−=

cac

bab

7) Ozračinati visinu fabričkog dimnjaka koji se nalazi na horizontalnom nepristupačnom tlu, ako se vrh dimnjaka iz tačke A vidi pod uglom α , a iz tačke B pod uglom β . Tačke A i B pripadaju takodje horizontalnoj ravni a njihovo rastojanje AB= a . Osa dimnjaka i tačke A i B leže u istoj ravni. Ovde je najvažnije skicirati problem!!!

22

+=−=

=

acabaa

Page 280: Matematika 2. Godina Srednje Skole

9

βα −

β

A B

V

.

0 a. .

x

Obeležimo traženu visinu sa OV=X Prvo nadjemo nepoznate uglove OVA∠ i AVB∠

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

−=∠

−=∠

β

αo

o

OVBOVA

9090

Primenimo sinusnu teoremu na trougao ABV

)sin(

sinsin)sin( βα

βββα −

=⇒=−

aAVAVa

sad primenjujemo definiciju sinusa na pravougli trougao VOA.

⇒=AVXαsin

βααβ

αβ

−=∠+−−=

−−−=

∠−∠=

AVB

OVAOVBAVB

oo

oo

9090)90()90(

)sin(sinsin

)sin(sinsin

)(sin

βαβα

βααβ

α

−=

−=

=

aX

aX

AVX

Page 281: Matematika 2. Godina Srednje Skole

10

8) U trouglu ABC dato je ,1=−ba ,23

=ch R=4. Bez upotreba tablica izračunati α .

?

423

1

________

=

=

=

=−

α

R

h

ba

c

Najpre ćemo upotrebiti obrasce za površinu trougla:

2

chcP ⋅= ,

RabcP4

=

Dakle: Sada napravimo sistem:

32

71012

12)1(1

121

1

2,1

2

___________

=

±−=

=−+

=++=

==−

b

b

bbbb

ba

abba

42 −=b Nemoguće Dakle 44133 =⇒=+=⇒= aab

122342

422

4242

=

⋅⋅=

⋅⋅===

=⋅

ab

ab

habRhabRhab

Rabchc

c

c

c

c

Page 282: Matematika 2. Godina Srednje Skole

11

Dalje iskoristimo sinusnu teoremu:

⇒= Ra 2sinα

Znamo da je o30=α jer je 2130sin =o

Dakle o30=α 9) Odrediti stranice trougla površine 33=P , ako je ugao 060=α i zbir stranica koje zahvataju dati ugao b+c=7 Ovdećemo iskoristiti obrazac za površinu trougla: Dalje ćemo oformiti sistem jednačina:

127

==+

bccb

Izrazimo c=7-b i zamenimo u bc=12

21sin

84sin

2sin

=

=

=

α

α

αRa

?,,

760

33

___________

=

=+=

=

cba

cb

Poα

1233

2133

60sin2133

sin21

=

⋅=

=

=

bc

bc

bc

bcP

o

α

Page 283: Matematika 2. Godina Srednje Skole

12

4334

217

0127127

12)7(7

2

1

2,1

2

2

=⇒==⇒=

±=

=+−

=−

=−⋅−=

cbcb

b

bbbb

bbbc

Znači imamo dve mogućnosti: 3,41 == cb ili 4;32 == cb Upotrebimo sad kosinusnu teoremu:

13

131225

21122916

60cos34234cos2

2

2

2

222

222

=

=

−=

⋅⋅−+=

⋅⋅⋅−+=

−+=

a

aa

a

abccba

o

α

10) U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonala BD je normalna na stranicu BC, ugao ABC= 0120 , ugao BAD= 0120 , DA=1. Izračunati dijagonalu BD i stranicu CD Odavde je vrlo važno nacrtati skicu i postaviti problem, rešenje zatim dolazi samo po sebi:

A

B C

D

1200

1 β

.

Page 284: Matematika 2. Godina Srednje Skole

13

Pošto je oABC 120=∠ i oABDBCBD 30=∠⇒⊥ a kako je

oo ADBBAD 30120 =∠⇒=∠ naravno trougao ABD je jednakokraki 1=⇒ AB a onda nije teško naći DB →⋅⋅⋅−+= oDB 120cos11211 222 Kosinusna teorema

3

321211

2

2

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−+=

DB

DB

DB

pošto se radi o tetivnom četvorouglu, zbir naspramnih uglova je isti!!! 030120120 ++=+ βα oo βα += o30 i važi još o90=+ βα pa je : oo 30,60 == βα Primenimo definiciju:

2

323

360sin

=

=

=

CDCD

CDo