matematika 3. razred srednje skole

Click here to load reader

Post on 16-Jun-2015

56.834 views

Category:

Documents

38 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zbirka resenih zadaka iz matematike za 3. razred srednje skole

TRANSCRIPT

1PLANIMETRIJA Mnogouglovi Za pravilne mnogouglove sa n stranica vai: -On ima n osa simetrije -Ako je broj stranica paran on je ujedno centralno simetrian -Oko svakog pravilnog mnogougla se moe opisati krunica iji se centri poklapaju -Moe se podeliti na n karakteristinih jednakokrakih trouglova ija su dva temena bilo koja dva susedna temena mnogougla a tree je u centru opisane tj upisane krunice. -Zbir svih unutranjih uglova sa rauna po formuli onn S 180 ) 2 ( =-Jedan unutranji ugao je onda nSn= -Jedan spoljanji ugao je no3601 = ) 180 (1o= + -Zbir svih spoljanjih uglova je o360 -Iz svakog temena mnogougla mogu se povui3 = n dn dijagonala -Ukupan broj dijagonala je 2) 3 (=n nDn -Ako je duina stranice a onda je obim mnogougla O=na -Povrina se rauna po formuli 2ahn P = , gde je h visina karakteristinog trougla -Centralni ugao je on3601= 21) Koji pravilan mnogougao ima tri puta vei ugao od spoljanjeg? Ako sa - obeleimo unutranji ugao, a sa 1 - spoljanji ugao traenog mnogougla onda je: 13 =i vai o1801 = + Dakle imamo sistem: oooo454180180 418031 1 1________ __________11= = == += Kako je 1360on =to je: oon45360= ,8 = n Radi se o osmouglu!!! 2) Izraunati unutranji ugao pravilnog mnogougla, ako je razlika broja dijagonala i stranica 25. Poto broj dijagonala obeleavamo sa25 = n D Dn n = 252) 3 (nn n sve pomnoimo sa 2 50 2 350 2 ) 3 (2= = n n nn n n = 0 50 52n nDobili smo kvadratnu jednaunu pon101 = n = 52nNemogue Znai,10 = n , pa se radi o 10-touglu. Spoljanji ugao je ooo on3610360 3601= = = Sada emo nai unutranji ugao: oo ooo14436 18018018011= = == + 3) Ako se broj stranica pravilnog mnogougla povea za 2, tada se centralni ugao smanji za o6 . Odrediti broj dijagonala mnogougla. 3Neka je n-broj stranica tog mnogougla i centralni mnogougao. =no360 Ako se broj stranica povea za 2 tada je centralni ugao 23601+=no61 = =+ 62360 360n no o Sve pomnoimo sa) 2 (+ n n + = + ) 2 ( 6 360 ) 2 ( 360 n n n no o Sredimo i dobijamo kvadratnu:0 120 22= + n n 10222 212 , 1= =nn = 122nNemogue Dakle, broj stranica je n=10 2) 3 (=n nDn 3527 102) 3 10 ( 1010=== D 4) Za koliko se poveava zbir unutranjih uglova mnogougla, ako se broj stranica povea za 5? Zbir unutranjih uglova se nalazi po formuli onn S 180 ) 2 ( = o on nn n S S 180 ) 2 ( 180 ) 2 5 (5 + = + oo oo o o oo on nn n900360 540180 2 180 180 3 180180 ) 2 ( 180 ) 3 (=+ = + + = + = dakle, zbir unutranjih uglova se povea za o900 5) Ako se broj stranica mnogougla povea za 11, onda se broj njegovih dijagonala povea za 1991. Odrediti zbir unutranjih uglova tog mnogougla. n Broj stranica =2) 3 (n nDn Broj dijagonala +11 nNovi broj stranica 4 2) 8 )( 11 (2) 3 11 )( 11 (11+ += + +=+n n n nDn Novi broj dijagonala 199111= + n nD D =+ +19912) 3 (2) 8 )( 11 ( n n n n Sve pomnoimosa 2 3982 3 88 11 82 2= + + + + n n n n n

1773894 2288 3982 22= = =n nn ooonSSn S31500180 ) 2 177 (180 ) 2 (177177= = = 6) Ako se broj stranica pravilnog mnogougla povea za dva njegov se ugao povea za o9 . Odrediti broj stranica mnogougla. Neka je n-broj stranica i unutranji ugao tog mnogougla. nnnSon180 ) 2 ( = = Ako se broj stranica povea za 2, bie ih n+2i 21802180 ) 2 2 (22+=+ + =+=+nnnnnSo on Tada je: = +9180 ) 2 (2180nnnno o Pomnoimo sve sa) 2 ( n n ) 2 ( 9 180 4 180 180) 2 ( 9 180 ) 2 )( 2 ( 1802 22+ = + + = + n n n nn n n n no o oo o = + 720 ) 2 ( 9 n nPodelimo sa 9 0 80 280 ) 2 (2= += +n n n n 8218 212 , 1= =nn = 102nNemogue Dakle n=8 , mnogougao ima ima 8 stranica. 57) Broj dijagonala konveksnog mnogougla u ravni jednak je petostrukom broju njegovih stranica. Izraunati broj stranica mnogougla. Reenje: Kako je 2) 3 (=n nDn to e biti: n Dn5 = =nn n52) 3 ( pomnoimo sa 2 0 ) 13 (0 130 10 310 ) 3 (22= = = = n nn nn n nn n n nemoguen 0 = v13 = n Dakle13 = n 8) Koji pravilan mnogougao ima 44 dijagonale? Reenje: 2) 3 (=n nDn 442) 3 (= n n 0 88 288 ) 3 (2= += n n n n 11219 312 , 1==nn = 82nNemogue Dakle n=11 9) Oko kruga poluprenika2 1+ = ropisan je pravilan osmougao. Nadji povrinu tog osmougla. Reenje: Pravilan osmougao se sastoji iz 8 podudarhih jednakih trouglova. Izvuemo jedan taj karakteristini trougao. 6r h = ( visina je ista kao ipoluprenik upisane krunice) Njegov centralni ugao je = = =oo on458360 360Poto nama treba pola ovog ugla, imamo: '30 222o= Iz ovog trouglaje: ratgo 230 22'= pa je odatle '30 22 2ortg a = ' 2'30 22 830 22 2 4 428ootg r Ptg r r ahh aP= = = = 22122145 cos 145 cos 124530 22'+=+= =oo ootg tg2 22 222 222 230 22'+=+=otg Racionaliemo 2) 2 2 ( 22222 230 222 4) 2 2 (2 22 22 22 230 22''= ==+=ootgtg Tako da je sad: 7( )( )( )( )( )( )82 42 2 42 2 2 2 2 2 42 2 2 1 2 422 2 22 1 822 2 22 1 830 22 82' 2= = = + = + = + = + ==PPPPPPPtg r Poskratimo8i 2sa 2 1TROUGAO Mnogougao koji ima tri stranice zove se trougao.Osnovni elementi trougla su : -Temena A,B,C -Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeleavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) -Uglovi , unutranji , ,i spoljanji 1 , 1, 1 111ABCabc Osnovne relacije za uglove i stranice trougla su: 1)Zbir unutranjih uglova u trouglu je 1800 tj. + + = 1800 2)Zbir spoljanjih uglova je 3600 tj.1 +1 +1 =3600 3)Spoljanji i njemu susedni unutranji ugao su uporedni,tj. +1 = +1 = +1 =1800 4)Spoljanji ugao trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutranja ugla, tj 1 = +1 = +1 = + 5)Svaka stranica trougla manja je od zbira a vea od razlike druge dve stranice, tj c a b c ab a c b a+ < < + < < c b a c b + < < 6)Naspram veeg ugla nalazi se vea stranica i obrnuto. Ako je =onda je a = b Ako je a = b onda je = www.matematiranje.com 2etiri znaajne take trougla su: 1)Ortocentar (H) 2)Teiste (T) 3)Centar upisane krunice (S) 4)Centar opisane krunice (O) Ortocentar se nalazi u preseku visina trougla ha,hb,hc. ( Visina je najkrae rastojanje od temena do naspramne stranice). Kod otrouglog trougla je utrouglu, kod pravouglog u temenu pravog ugla a kod tupouglog van trougla. ABCABC111a bchh hH ha hb hc = HOrtocentar Teina du trougla je du koja spaja teme sa sredinom naspramne stranice. Teine dui seku se u jednoj taki , a to je TEITE TROUGLA. Teite deli teinu du u razmeri 2:1.

ABCA BC1 11Ttttabc 1 : 2 :1 : 2 :1 : 2 :111===TC CTTB BTTA ATwww.matematiranje.com T t t tc b a= 3 Centar upisane krunice je taka preseka simetralauglova i kod svih trouglova je u oblasti trougla. ABCSSSSr

S s s s = Centar opisane krunice je taka preseka simetrala stranica. Kod otrouglog trougla je u trouglu, kod pravouglog na sredini hipotenuze i kod tupouglog van trougla. ABCsssACABBCor

O s s sBC AC AB= www.matematiranje.com 4 Vrste trouglova: Trouglovi se dele prema stranicama i prema uglovima. Prema stranicama:Prema uglovima: 1)jednakostranini 1) otrougli 2)jednakokraki 2) pravougli 3)nejednakostranini3)tupougli Nejednakostranini

ABCabc O = a + b + c P=2 2 2c b ach bh ah= = ili P =) )( )( ( c s b s a s s iliP= r s iliP=Rabc4 gde je: spoluobims = 2c b a + +, r-poluprenik upisane krunice i R-poluprenik opisane krunice. www.matematiranje.com 5Pravougli: CABabhcqpc O = a + b + c P=2abiliP=2cch odavde je:cb ahc= a2 + b2 = c2Pitagorina teorema R = 2c ;r = 2c b a + ;hc = pq;a =pc ;b = qc; c= p+q Jednakokraki : ABCabbhaa_2hb Ovde jeaosnova i bkrak ( kraci) O = a + 2bP=2 2b abh ah= Primena Pitagorine teoreme: ha2+(2a)2= b2 www.matematiranje.com 6Jednakostranini: ABCaaa hrryo O = 3a iP =432a Visina h =23 a; 6331 ah ry= = ;3332 ah ro= = Kod ovog trougla sve etiri znaajne take se nalaze u jednoj taki. Srednja linija trougla (m) je du koja spaja sredine dve stranice i uvek je jednaka polovini paralelne stranice. abc ABCm=c/2 abc ABCm=a/2 abc ABCm=b/2 www.matematiranje.com 7 Podudarnost 1 1 1C B A ABC(SSS) Ako su sve stranice jednog trougla jednake odgovarajuim stranicama drugog trougla. (SUS) Ako su dve stranice i zahvaeni ugao jednog trougla jednaki dvema stranicama i zahvaenom uglu drugog trougla. (USU) Ako su stranica i na nju nalegli uglovi jednog trougla jednaki sa stranicom i na nju naleglim uglovima drugog trougla. (SSU) Ako su dve stranice i ugao naspram vee od njih jednog trougla jednaki dvema stranicama i uglu naspram veeod njih drugog trougla. Slinost 1 1 1~ C B A ABC1 1 1, , C C B B A A = = = , :1 1B A AB , :1 1C B BC1 1: A C CA-Ako su dva ugla jednog trougla jednaka sa dva ugla drugog trougla. -Ako su tri stranice jednog trougla proporcionalne trima stranicama drugog trougla. -Ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne dvema stranicama drugog trougla i uglovi izmedju tih stranica jednaki. -Ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne sa odgovarajuim stranicama drugog trougla, uglovi naspram dveju od tih odgovarajuih stranica su uglovi iste vrste (ili otri, ili pravi, ili tupi). ZADACI 1)Dat je pravougli trougao. Poluprenik opisanog kruga je R=15,a poluprenik upisanogkruga je r=6. Odrediti osnovice. Poto se radi o pravouglom trouglu, vae formule:

2cR =i2c b ar += a bb ab ac b a == += + +=424212 3026 Sada emo iskoristiti Pitagorinu teoremu. 0 864 84 20 900 84 176430 ) 42 (22 22 2 22 2 2= + = + += += +a aa a aa ac b a

182426 422 , 1===aaa

za18 24 42 24 = = = b a za24 18 42 18 = = = b a + 432 422a aKvadratna po aDakle stranice trougla su 18,24,30 ???615_______=====cbarR3015 22= ==ccR c82) Poluprenik kruga upisanog u jednokraki trougao osnovice12 = a je3 = r . Izraunati povrinu i obim trougla.

A BCMab brrODx Obeleavamo sa M podnoje visine iz A sa O centar upisane krunice i sa D podnoje poluprenika na stranicu b Trouglovi BMC i CDO su slini.Okrenuemo ih da bi uoili tu slinost. MCCDO2ax+rbrxB Iz slinosti trouglova sledi proporcionalnost odgovarajuih stranica,

Sadaprimenjujemo Pitagorinu teoremu na trougao AMC Podelimo sa 3 i reavamo kao kvadratnu jednainu... 10 528 22 , 1= ==b xx = 3 xNemogue 8 8 3 5 = = + = + = h r x h ______ __________? ?,312= ===O Prax b x bx brax b2 6 33 : 6 ::2:= ===0 45 6 34 9 6 36) 2 ( ) 3 ( 6) (222 22 2 22 22= = + + += + += + +x xx x xx xb r xa3210 2 122= + =+ =OOb a O4828 122===PPh aP9 3) Uglovi trougla se odnose kao 2:3:7. Duina najmanje stranice je a . Odrediti poluprenik R opisane krunice. AB CB145 4530abc60 Povuemo visinu 1BB

Stranice 1BBiC B1 su jednake

Da sklopimo sada rezultate: a BC =( ) ba a aC B AB ACc a AB= + = + = + == =1 322222621 1 Povrina trougla je: 7 : 3 : 2 : : = je 237kkk= ==1512180180 12180 7 3 2==== + +kkkk k kooo222245 sin 45 sin1111aC BaBBa BBaBBo o== = =2632260 602212260 cos60 cos11 1111 1a aABtg BB ABBBABtgaaABBBABABBBo ooo= == == == =0003045105 ===10( )( )( )( )41 342 1 3224441 32221 3222221+ + = ==+= +==aaaaPabcRRabcPaa aBB ACP 23aaR = skratimo R a = 4) Duina luka izmedju dva susedna temena jednakostraninog trougla upisanog u krug poluprenikarje 34= l . Odrediti povrinu trougla. Poto se obim ovog kruga sastoji iz tri ovakva luka:

Poluprenik opisane krunice je:

36233==aa (racionaliemo) 3 233 63336= = =aa 24 24343= == =rrOO 33 ar =11 ( )22342 3 34 3 33 34 4aPP== = = 5)Povrina otrouglog trougla ije dve stranice su5 = ai3 = bje6 = P . Odredi obim trougla. I NAIN Jedan od obrazaca za povrinu je:

?635_______====OPbasin25 36 sin212 4sin15 5abP === =12Poto je: Sad emo iskoristiti kosinusnu teoremu: Moramo ovde menjatiobe vrednosti za cos ili Poto je trougao otrougli uzeemo13 2 = cjer bi u suprotnom sa stranicama 3,4,5 bio pravougli. 8 2 13 O = + II NAIN Jedan od obrazaca za povrinu trougla je ) 2 )( 2 )( 8 )( 8 ( 16 36282222283628328528286) )( )( (+ + = ++=+++ += =c c c cc c c ccc c c cc s b s a s s P

= ) 4 )( 64 ( 5762 2c cSmenat c =2 t t tt t4 256 64 576) 4 )( 64 ( 5762+ = = = + 0 832 682t t Kvadratna po t 1652236 68212 , 1===ttt2 22 22sin cos 1cos 1 sin16cos 1259cos253cos5 + == = = = 2 2 22 2 2222 cos35 3 2 5 3525 9 18164c a b abcccc = + = + = +==13 25218 3 522 2 2==+ + =ccc635===Pba13Dakle:ili A ovo su ista reenja kao kod prvog naina... 6) Obim pravouglog trougla je36 = O , a poluprenik upisanog kruga je3 = r . Odrediti obim opisanog kruga. Pazi:BC AC AB C B A C B A 2 2 2 ) (2 2 2 2+ + + + + = + + 222 12 12 36......../ : 26 6 18(21 ) 6 6(21 ) 18 021 6 126 6 18 021 108 0ab a bab a ba a a aa a a aa a = = + = + + = + = = + 0 108 212a aKvadratna po a 12 99 1223 21212 , 1= == ==b ab aa 15 6 9 12 6 = + = + = b a c Poto je:15 2 2 = = R R c

Obimopisanog kruga je: 15 2 = = R O 13 252522===ccc4162==cc?336_________===krOrO36O a b ca b c= + ++ + =2326 odavde izrazimo c6a b cra b ca b cc a b+ =+ =+ == + 2 2 22 2 22 2 2 2( 6)36 2 12 12a b ca b a ba b a b ab a b+ =+ = + + = + + + a bb ab ac b ac b a == += += += + +212142 2 263614 1 ETVOROUGAO Mnogougao koji ima etiri stranice naziva se etvorougao.

ABCD11 11 Za svaki etvorougao vai da im je zbir unutranjih i spoljanjihuglova isti i iznosi 3600 + + + =36001 +1 +1 +1 = 3600 Najpre da kaemo da etvorouglovi mogu biti : konveksniinekonveksni. etvorougao je konveksan ako du koja spaja bilo koje dve take unutranje oblasti ostaje unutar etvorougla. ABCD etvorougao je nekonveksan ako du koja spaja bilo koje dve take unutranje oblasti izlazi iznje. ABCD www.matematiranje.com 2Podela etvorouglova moe se izvriti na vie naina.Prvu podelu izvrio je jo Euklid. On ih je podelio u pet grupa:kvadrati, pravougaonici,rombovi,romboidii trapezi. Meutim, danas je podela izvrena na sledei nain: 1)Paralelogrami (imaju po dva para paralelnih stranica) 2)Trapezi (imaju jedan par paralelnih stranica) 3)Trapezoidi (nemaju paralelne stranice) Paralelogram je etvorougao ije su naspramne stranice paralelne. KVADRAT -Sva etiri ugla su mu prava-Sve stranice su jednake -Dijagonale su jednake i meusobno se polove pod pravim uglom -Centralno simetrina je figura -Ima4 ose simetrije aadrryo O= 4a P = a2ili22dP = , 2ary =i 222a dro= =

d=a 2 i ako nam treba duina stranice a imamo duinu dijagonale 22 da =3PRAVOUGAONIK -Sva etiri ugla su mu prava -Paralelne stranice su jednake -Dijagonale su jednake i meusobno se polove -Centralnosimetrina figura -Ima 2 ose simetrije ab dro O = 2a + 2b P = ab 2dro = adijagonalu nalazimo iz Pitagorine teoreme: d2 = a2 + b2 ROMB -Sve etiri stanice su jednake -Naspramni uglovi su jednaki a uzastopni su suplementni -Dijagonale se meusobno polove pod pravim uglom -Centralnosimetrina figura -Ima dve ose simetrije www.matematiranje.com 4 aadd21h O = 4a P=22 1d d ili P = ah Moe se upisati krunica iji je poluprenik2hry = Pitagorina teorema se primenjuje na oseneni trougao: a2 = (2 2 2 1)2( )2d d+ ROMBOID -Paralelne stranice su jednake -Naspramni uglovi su jednaki auzastopnisu suplementni -Dijagonale se meusobno polove -Centralnosimetrina figura abhhab O = 2a + 2b P= aha ili P= bhb Ne moe da se upie niti da se opie krunica . etvorougao ije su samo dve naspramne stranice paralelne zove se TRAPEZ. 5 Paralelne stranice se zovu osnovice, a druge dve kraci.

abcd mh Stranice a i b su osnovice, c i d kraci. Du koja spaja sredita krakova je srednja linija trapezam = 2 b a + . Naravno m je paralelna i sa a i sa b. O = a+b+c+d ; P=+2b ahiliP = mh JEDNAKOKRAKI TRAPEZ

abc ca-b2da+b2h O = a + b + 2c P=+2b ahiliP = mh Primena Pitagorine teoreme:2 2 2)2( c hb a= +( na zeleni trougao)

2 2 2)2( d hb a= ++ ( na crveni trougao) www.matematiranje.com 6PRAVOUGLI TRAPEZ abch d=ha-b O = a + b + c + h P=+2b ahiliP = mh Primena Pitagorine teoreme: 2 2 2) ( c h b a = + Najpoznatiji trapezoid je deltoid. DELTOID -Deltoid je trapezoid koji ima dva para jednakih uzastopnih stranica. -Dijagonale deltoida su meusobom normalne. -Simetrala deltoida je simetrala i njegovih uglova koje obrazuju jednake stranice -Uglovi koje obrazuju nejednake stranice su meu sobom jednaki. -Dijagonale su istovremeno i simetrale uglova. aab bdd12 O = 2a + 2bP=22 1d d www.matematiranje.com 7 Tetivni etvorougao To je etvorougao oko koga moe da se opie krunica. Uslov je: oje 180 = + = + 1d2d

++ +=cd abbc ad bd acd) )( (1 Jedna dijagonala ++ +=ad bccd ab bd acd) )( (2Druga dijagonala = sin22 1d dP(je ugao izmedju dijagonala) Tetivni etvorougao To je etvorougao u koji moe da se upie krunica. Uslov je:d b c a + = +

r c a P ) (+ =ili

_______ __________) ( r d b P + =) ( 2 c a O + =ili) ( 2 d b O + = ZADACI: 1) Trapez osnovicaa ib podeljen je odsekom EF koji je paralelan osnovicama na dva dela jednakih povrina. Odrediti EF.

h y x = + www.matematiranje.com 8 1 22 2a EF EF bP P y x+ += = (povrine su jednake)b EFEF a yx b EF x EF a y++= + = +) () ( ) (_____ __________2 1P P P = + (zbir ove dve povrine daje povrinu celog trapeza) ( ) sve podelimo sa 2 i zamenimo x2 2 2( ) ( )( ) ( ) ( ) y je zajedniki...( )a EF EF b a by x x yya EF ya EFa EFy EF b a b yEF b EF ba EF y+ + + + = + + + + + + = + + + + + ( )yEF b + +( )( )a EF ya bEF b+= ++[ ][ ]22( ) ( )sve pomnozimo sa ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2( )( ) ( )( 2 )2( ) ( )( ) 2 ( )2 ( ) 2 ( ) ( ) 22 ( )a EF b EFEF bEF ba EF EF b EF b a EF a b a EF b EFa EF EF b a b a b EFaEF ab EF bEF a b a b EFa bEFa b EF EFa b a b abEFa b+ + + +++ + + + + = + + + ++ + = + + ++ + + = + + + ++ + + = + +22 2 ( ) EF EFa b + +22 a ab = +22 b ab + 2 2 22 222EF a ba bEF= ++= 2) U jednakom trapezu povrineP=32i visine4 = h , razlika osnovica je 6. Odrediti duinu dijagonale .

Sa ova dva podatka pravimo sistem

www.matematiranje.com ?6432__ __________== ==db ahP232 4232 ( ) 216a bP ha ba ba b+= += = + + =5 1122 2616_____ __________= === = +b aab ab a9Primenimo Pitagorinu teoremu: 22 222 222211 54264 168080 16 54 5a bd hddddd+ = + + = + = +== = = 3) U krugu obima 10 = Oupisan je pravougaonik ije se stranice odnose kao 3:4. Odrediti povrinu pravougaonika abr ?4 : 3 :10____ __________===Pb aO Primenimo Pitagorinu teoremu: Poto je4 : 3 : = b a Onda je: ==k bk a43

488 68 2 46 2 3_____ __________= = == == =PPb a Pba www.matematiranje.com 10 52 10222= = === =d rrr Or ddr 24100 25100 16 910 ) 4 ( ) 3 (222 22 2 22 2 2== == += += +kkkk kk kd b a10

4) Stranica romba je5 = a a manja dijagonala61 = d . Odrediti povrinu upisanog kruga. Najpre emo nai drugu dijagonalu 2d . Kako imamo 2 obrasca za P romba, to emo iskoristiti da nadjemo visinu: 76 , 5) 4 , 2 (4 , 228 , 428 , 45242428 62222 1==== = == = = ====krkrkrPPr PrhraPh ah Pd dP 5) Krae stranice deltoida obrazuju prav ugao. Ako je obim deltoida17 2 6 + = O , a duina dijagonala2 42 = d , odrediti povrinu. a b b ab ab a O + = + = ++ = ++ =17 3 17 32 2 17 2 62 2 Primenimo kosinusnu teoremu na trougao ABC poto je oBAC 45 =?65________1===krPda8 4216252 262 22222222222221= === + =+ddddad d?2 417 2 6____ __________2== + =PdO11 222 4 2 ) 2 4 ( ) 17 3 (45 cos 22 2 22222 2 + = + + =a a aad d a bo PAZI:BC AC AB C B A C B A 2 2 2 ) (2 2 2 2+ + + + + = + +a a a a a 8 32 17 2 6 17 6 17 92 2 + = + + +Sredimo ( ) ( )17 36 217 1 6 17 1 2= == = b aaa 1222 4 2 322 3 22 11=== = =d dP a d 6) Oko kruga poluprenika 23= rje opisan jednakokraki trapez povrine15 = P . Izraunati duinu dijagonale trapeza. Ovo je tangentni etvorougao!!! c b a 2 = + (ali nam sada nee trebati)

?15 ,23________ __________== =dP r www.matematiranje.com 105232152= +=++=+=b ab ab ahb aP34349 25321023232 222222222==+ =+=+ +== = =ddddhb adr h127) Jedna dijagonala romba je za 20% kraa od druge. Ako je visina romba 412 40= h , odrediti povrinu romba.

Zapiimo najpre podatke: 221212222125422 2addad d=+=+ 104110041100 41100 16 252544121 22 212 212122121dadaa da d dad d==== += + 1 2241d dP ah= =1d 104 02411d=111 221 245224 25410 2 10 258 210 2 8 2802 280ddd ddd dPP== == = = == www.matematiranje.com 1 21 21 25410080% 80d dd dd d===13 14 1PRIZME Najpre da kaemo neto o obeleavanjima i o tekstu zadataka: -saaobeleavamo duinu osnovne ivice -sa H obeleavamo duinu visine prizme -sa B obeleavamo povrinu osnove (baze) -sa M obeleavamo povrinu omotaa -omotasesastojiodbonihstrana,naravnotrostranaprizmauomotauima3takvestrane,etvorostrana4 itd. -sa D obeleavamo duinu dijagonale prizme -ako u tekstu zadatka kae jednakoivina prizma, to nam govori da su osnovna ivica i visina jednake , to jest : a = H -ako u tekstu zadatka ima re prava to znaida je visina prizme normalna na ravan osnove ili ti , jednostavnije reeno , prizma nije kriva -ako utekstu zadatka ima re pravilna , to nam govori da je u osnovi ( bazi ) pravilan mnogougao: jednakostranian trougao, kvadrat, itd. Dve najpoznatije prizme su kocka i kvadar, pa vam predlaemo da najpre njih prouite: www.matematiranje.com 2KOCKA

aaa2 d a =3 D a =aaa 2 36V P a a = =

Kocka ima 12 ivica duinea . Mala dijagonala ( dijagonala osnove) je2 d a = . Velika ( telesna) dijagonalaje3 D a =

aaaa2 d a =dijagonalni presek Povrina dijagonalnog preseka se rauna po formuli:22DPP a = www.matematiranje.com 3 KVADAR

abc=Habc=Hc2 2d a b = +2 2 2D a b c = + +dijagonalni presekd

2( ) P ab ac bcV abc= + += Mala dijagonala ( dijagonala osnove) se rauna2 2 2 2 2to jest d a b d a b = + = + Velika dijagonala se rauna 2 2 2 2 2 2 2+c to jestD D a b a b c = + = + + Dijagonalni presek je pravougaonik povrine DPP d c = Povrina svake prizme se izraava formulom: 2 P B M = + Zapremina svake prizme se izraunava formulom:

V BH = www.matematiranje.com 4 PRAVA PRAVILNA TROSTRANA PRIZMA 23je povrina osnove(baze)43 je povrina omotaaaBM aH== 22232 34332P B MaP aHaP aH= += += + 234V BHaV H= = www.matematiranje.com 5 PRAVA PRAVILNA ETVOROSTRANA PRIZMA

aaHHaa 2M 4 B a aH = =

2 222 4P B M V BHP a aH V a H= + = = + =

dijagonalni presekH Ddijagonalni presek2 2 2) 2 ( H a D + =2 a d =aaHHaadD Povrina dijagonalnog preseka se izraunava: 2P d HP aH= = www.matematiranje.com 6 PRAVA PRAVILNA ESTOSTRANA PRIZMA aaaHHHH 2 23 36 3 64 2a aB M aH = = =

2 2222 3 32 3 6 32 23 33 36 2P B M V BHa aP aH V HaHP a aH V= + = = + = = + = aaaHa d 21 =32a d =DBSdaHBona strana2 2 2a H dBS+ =DHa d 21 =Vei dijagonalnipresekBSd32a d =DManji dijagonalnipresekBSda www.matematiranje.com 7 Jo samo da vam napomenemo da primena Pitagorine teoreme na bonu stranu : BSdaHBona strana2 2 2a H dBS+ = vai kod svake od navedenih pravilnih prizmi! ZADACI 1) Ako se ivica kocke produi za 3cm, povrina joj se povea za 1982cm . Izraunati povrinu i zapeminu kocke. Obeleimo ivicu kocke saa . Njena povrina je 26a P =Ako se ivica kocke povea za 3cm, njena ivica e biti (a+3) a povrina 21) 3 ( 6 + = a PPrema tekstu zadatka e biti: 21198 P P cm = = + 198 6 ) 3 ( 62 2a aSve podelimo sa 6

3332166cm VVa V=== WWW.MATEMATIRANJE.COM2 22( 3) 33 a aa+ =26 9 a a + + 336 33 96 246aaa cm== ==22221636 66 66cm PPPa P= = ==8 2) Ivice dve kocke stoje u razmeri 4:3. Kolike su im povrine i zapremine ako im se povrine razlikuju za 1682cm ? Obeleimo saa stranicu jedne kocke asa 1astranicu druge kocke. k a a a 4 3 : 4 :1= = i k a 31 = 1681 = P P = 168 6 6212a aDelimo sve sa 6

Sada nije teko nai P i V. 2 2 23 3 32 2 213 3 316 6 8 6 64 3848 5126 6 6 6 36 2166 216P a cmV a cmP a cmV a cm= = = == = == = = == = = 3) Dimenzije kvadra su tri uzastopna cela broja, a dijagonala jecm 149 . Izraunati povrinu i zapreminu kvadra. Tri uzastopna cela broja moemo obeleiti sa, 1 x , x 1 + x

36 7 8 336 V abc cm = == WWW.MATEMATIRANJE.COM ==== = = 2428 728 9 1628 ) 3 ( ) 4 (28222 22212kkkk kk ka acm k acm k a6 2 3 38 2 4 41= = == = =2 2 2 222 2 22( 1) ( 1) 1492a b c Dx x xx x+ + = + + + =2 21 2 x x x + + + +2221 1493 149 1 11473497xxxx cm+ == ===11+ == =x cx bx acm x ccm x bcm x a8 176 1= + == == =cm Pbc ac ab P292146 2 ) 8 7 8 6 7 6 ( 2 ) ( 2= = + + = + + =9 4) Duine osnovnih ivica prave trostrane prizme odnose se kao 17:10:9, duina bone ivice je 16cm, a povrina 14402cm . Odrediti duine osnovnih ivica. abcHabc 21440169 : 10 : 17 : :cm Pcm Hc b a=== ___ __________ __________? ?, ?, = = = c b a Iz9 : 10 : 17 : : = c b ak c k b k a 9 , 10 , 17 = = = M B P + = 2 Bazu emo izraziti preko Heronovog obrasca ( )( )( ) B ss a s b s c = 243612969 8 1 18k Bk Bk k k k B== = k Mk Mc b a H cH bH aH M57638 16) (= =+ + = + + = 221440 2 36 576P B Mk k= += + = + 0 1440 576 722k kPodelimo sve sa 72 = + 0 20 82k kkvadratna po k 1,28 1222k k = = 17 2 3410 2 209 2 18a cmb cmc cm= == == = 217 10 9218a b csk k kss k+ +=+ +==10 5) Prava pravilna etvorostrana prizma ima visinu 16cm i povrinu 3702cm . Izraunati osnovnu ivicu. aaHHaa

Dakle osnovna ivica je5 a cm = NAPOMENA: Neispravno je rei osnovna ivica je ve bi trebalo duina osnovne ivice je Ako Va profesor insistira na ovome ispotujte ga, jer je svakako u pravu. Sve je stvar dogovora. WWW.MATEMATIRANJE.COM ?37016______ __________2===acm Pcm H5385242 320 185 320 370 64 264 2 37016 4 2 3704 22212 , 122222= == == += ++ = + =+ =+ =aNemogue aaaa aa aa aa aaH a PM B P116) Izraunati povrinu i zapreminu prave trostrane jednakoivine prizme ivice cm a 8 = Podatak da je u pitanju jednakoivina prizma nam govori da je osnovna ivica jednaka visini. To jest, omota se ovde sastoji iz 3 kvadrata stranicea 3 6423 648 343 823432282222 + = + =+ =+ ==PPaaPM B Pa ( ) + =2192 3 32 cm P Ovde ne bi bilo loe da se izvue zajedniki ispred zagrade! ( )26 3 32 cm P + = 333 23 12843 51243 84343cm VVaaaVH B V== == = = 7) Pravilna etvorostrana prizma ima omota 82mi dijagonalu 3m . Izraunati njenu zapreminu. H Poto je aH M 4 = 2 8 4 = = aH aH Iz trougla: je WWW.MATEMATIRANJE.COM ( )9 222 2222= += +a HD a H12Napravimo sistem: 2 = aH aH2= Zamenimo u drugu jednainu 9 22 2= + a H9 2222= + aa = + 9 2422aaSmena:t a =2 9 24= + tt 21447 90 4 9 2212 , 12==== + tttt t Vratimo se u smenu: ili

Pazi: Ovde imamo 2 mogua reenja, i oba su ''dobra'' jer zadovoljavaju zadate poetne uslove!!! WWW.MATEMATIRANJE.COM 322241 21224m VVH a Vm HaHm aa= = =====322222 2422 2222 22222212121m VVVH a Vm Hm aaaa= == === ===13 8) Odrediti povrinu i zapreminu kocke u funkciji povrine dijagonalnog preseka. Povrina dijagonalnog preseka je: Pazi (na sredjivanje): 9) Osnova prava prizme je jednakostranini trougao osnovice 10dm, a visina tog trougla jednaka je visini prizme. Ako je zapremina prizme 3720dm , izraunati povrinu prizme.

Primenimo Pitagorinu teoremu na jednakokraki trougao:

282222 22244 34 34422Q Qaemo RacionaliQ QaQaa Q= = = ===23 33 4 433 34 4 43446 26 6 3 22 2 28 6 86 62 86 4 2 6 4 23 28 83 2Q QP a QQ QV aQ QV QV Q Q= = = = = = = = = ==4 4 24 4 8 4 943 3 4 32 4 2 22 2 2 ) 2 ( 8 = = = = =dm hdm HHHHHHh aVH B Vdm VH hdm aaaa12121445 72021072027201022______ __________3====== ====dm bbbbhaba1316912 512210222 2 2222222==+ =+=+=2552432 120) 26 10 ( 12 12 10) 2 (2222dm PPPb a H ah PbH aHahPM B Paa=+ =+ + =+ + =+ + =+ =14 10) Osnova prave prizme je romb ije su dijagonale, 24 , 182 1cm d cm d = =dok je dijagonala bone stranice prizmecm d 39 = . Izraunati povrinu prizme. Najpre primenimo Pitagorinu teoremu na romb.

Pogledajmo jednu bonu stranu:

WWW.MATEMATIRANJE.COM cm aaaad da15255144 812242182 2222 222221 2==+ =+=+=cm HHHHa d H361296225 152115 39222 2 22 2 2== = = =22 125922160 43236 15 4 24 184222cm PPPaHd dPM B P=+ = + =+ =+ =15 11) Osnova prizme je trapez ije su osnove 24cm i 10cm, a kraci 13cm i 15cm. Izraunati povrinu i zapreminu ako je njena visinajednaka visini trapeza. hhx ya=24cmc=15cmb=10cmd=13cm Spustimo visine i obeleimo delie sa x i y Kako jeImamo Sada imamo sistem:

Vratimo se u: PAZI: M se sastaju iz etiri razliita pravougaonika:

WWW.MATEMATIRANJE.COM = =2 2 22 2 2y c hx d h56 ) )( (56169 225225 1692 22 22 22 2 2 2= + = = = = x y x yx yx yy xy c x d14 = + = +y xb a y x456 14 ) (= = x yx y= = +414x yx ycm yy918 2==M B Pcm Hcm hhhy c h+ === = = =2121281 2259 1522 2 22 2 2220412 1712210 242cm BBBhb aB= =+=+=221152744 204 274462 12) 15 13 10 24 ( 12) (cm PPcm MMMd c b a H M=+ == =+ + + =+ + + =3244812 204cm VVH B V= = =1612) Osnova prizme je jednakokraki trougao osnovice 30cm i poluprenik upisane krunice je 10cm. Izraunati zapreminu prizme ako je njena visina jednaka visini trougla koja odgovara osnovici. rrABCOMDh-ra=30cmbb ?1030__________====VH hacm rcm a I Nain Iz slinosti trouglova trougla ADCitrougla AMO

22 222 2222 2221,21222 301534 120 900225 ....... / 992025 4 120 900 95 120 2925 024 585 024 542391539ah bbbb bbb b bb bb bbb cmb Nemogueb cm + = + + = + ++ = + + + = = ==== = WWW.MATEMATIRANJE.COM 330 22 30 310 150 1510 ) 10 ( 15) 10 ( : 10 : 15+== = = =bhb hb hb hh b17 2 2 22 2 22 2 222( )2( )23039 ( )21521 225129636aaaaaaah bah bhhhh cm+ == = = == Sada jeH cm ha= = 36 Ovaj zadatak smo mogli reiti i na drugi nain. II Nain Znamo obrasce za povrinu: S r P =i) )( )( ( c S b S a S S P = 2c b aS+ += to jest: 2 30 2 22 2 2a b c a b bS+ + + += = = =(15 )2b + b S + =15 225 15 15 1515 ) 15 )( 15 () 15 )( 15 )( 30 15 )( 15 (2 2 22 = = + = + + + + =b b Pb b Pb b b b b b P S druge strane je 2 210 (15 )10(15 ) 15 ( 15)( 15)100(15 ) 15 ( 15)( 15)100(15 ) 225( 15)1500 100 225 3375100 225 3375 1500125 487539P r s bP Pb b bb b bb bb bb bbb cm== +=+ = ++ = ++ = + = = = = WWW.MATEMATIRANJE.COM 31944036 540540236 302cm VVBH Vh aBa= =====18 1PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA Slino kao i kod prizme i ovde emo najpre objasniti oznake ... -saaobeleavamo duinu osnovne ivice -saH obeleavamo duinu visine piramide -sa hobeleavamo duinu visine bone strane ( apotema) -sasobeleavamo duinu bone ivice -saBobeleavamo povrinu osnove (baze) -saMobeleavamo povrinu omotaa -omota se sastoji od bonih strana(najee jednakokraki trouglovi) , naravno trostrana piramida u omotau ima3 takve strane, etvorostrana - 4 itd. -ako u tekstu zadatka kae jednakoivina piramida, to nam govori da su osnovna ivica i bona ivica jednake , to jest : a = s -ako u tekstu zadatka ima re prava to znaida je visina piramide normalna na ravan osnove ili ti , jednostavnije reeno , piramida nije kriva -ako utekstu zadatka ima re pravilna , to nam govori da je u osnovi ( bazi ) pravilan mnogougao: jednakostranian trougao, kvadrat, itd. Dve najvanije formule za izraunavanje povrine i zapremine su: za povrinu i 1 B Hza zapreminu3P B MV= += www.matematiranje.com 2 PRAVAPRAVILNATROSTRANAPIRAMIDA aass h Hrrou Kako je u bazi jednakostranian trougao, to e povrina baze biti:234aB = Uomotausenalazetrijednakokrakatrougla(povrinajednogodnjihje 2bone stranea hP= ),akakoihima3u omotau,to je: 32a hM= 2334 2P B Ma a hP= += +

22131 33 4312V B HaV HaV H= = = Dalje nam trebaju primene Pitagorine teoreme . Kod svake piramide postoje po tri trougla na kojima moemo primeniti Pitagorinu teoremu: aassh Ha/222 22as h = + www.matematiranje.com 3aass Hrrouh2 2 222 2to jest36uh H rah H= + = + ass hrrouH2 2 222 2to jest33os H ras H= + = + PRAVAPRAVILNAETVOROSTRANAPIRAMIDA aahHss U bazi je kvadrat, pa je povrina baze2B a = Uomotausenalazeetirijednakokrakatrougla(povrinajednogodnjihje 2bone stranea hP= ),pajepovrina omotaa 4odnosno22a hM M ah= = 22P B MP a ah= += + 21313V B HV a H= = Primena Pitagorine teoreme: ah Hssa/222 22as h = + aah Hssa/222 22ah H = + aahHssd/222 222 222 2odn osno22to jest22ds Has Has H = + = + = + www.matematiranje.com 4 aahHsshHddijagonalni presekP odnosno22P2DPDPd Ha H== PRAVAPRAVILNAESTOSTRANAPIRAMIDA aaHha ass U bazi je estougao, pa je povrina baze2 23 36 34 2a aB = = Uomotausenalazeestjednakokrakatrougla(povrinajednogodnjihje 2bone stranea hP= ),pajepovrina omotaa jednaka 6 32ahM ah = = 233 32P B MaP ah= += +

22131 333 232V BHaV HaV H== = aHha assa/222 22as h = +

aaHhaassH2 2 2s H a = + aaHhass32a22 232ah H = +

www.matematiranje.com 5 aassa2aHvei dijagonalni presekP ovog dijagonalnog preseka je :2to jest2vdp vdpa HP P a H= =

aaHha asssmanji dijagonalni presek3 ahpresekaP ovog dijagonalnog preseka je :32presekamdpa hP= etvorostrana piramida (u osnovi romb): P= B+M B= 22 1d d = ah M=42ah=2ahV=3BHa2=(2 2 2 1)2( )2d d+ Formulice:

1)nejednakostranicni trougao: P=2 2 2c b ach bh ah= = P=) )( )( ( c s b s a s s P= r sP=Rabc4 gde je s poluobim s=2c b a + +,r-poluprenik upisane kruznice i R-poluprenik opisane krunice. 2)pravougli trougao:P=2ab iliP=2ccha2+b2=c2R=2c ;r = 2c b a + ;hc= pq;a=pc ; b= qcc=p+q 3)jednakokraki trougao P=2 2b abh ah=ha2+(2a)2= b2 Pogledajte formulice iz oblasti mnogougao i etvorouglovi.... PRAVAPRAVILNATROSTRANAZARUBLJENAPIRAMIDA aas shHa1a1a1a P = B+B1+ MB=432a B1=4321aM = 3 ha a21+ V= 3H(B+B1+1BB ) iliV = 123H( a2+a12+ aa1) www.matematiranje.com 6 ruaashHa1a1aasha1a1aaashHa1a1a1asa-2a-2HHroro1ru1212 a a+ h2= s22 2 2 1( ) 3( )6a aH h+ =2 2 2 1( ) 3( )3a aH s+ = Visina dopunske piramide je:x=11B BH B

aas shHaaaax PRAVAPRAVILNA ETVOROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA aahHssa1a1 P = B+B1+ MB=a2B1= a12 M = 4 ha a21+ = 2(a+a1)h V= 3H(B+B1+1BB ) V=3H(a2+a12+ aa1) www.matematiranje.com 7 ahHssa1aahHssa1aahHssa1a-2a-2a-2a-2d-2d-212 2 21( )2a aH h+ =2 2 21( )2a ah s+ =2 2 2 1( )2d dH s+ = osni presek: a1 hHh a

dijagonalni presek: d1 D Hs d

21d d + Ako sa x obeleimo visinu dopunske piramide, onda jex=11B BH B =11a a H a

PRAVA PRAVILNA ESTOSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA aa aa1a1a1Hssh P = B+B1+ M B=43 62aB1=43 621aM = 6 ha a21+=3(a+a1)h V= 3H(B+B1+1BB ) ili V= 32H( a2+a12+ aa1) www.matematiranje.com 8 aaa1a1a1Hs shaa aa1a1a1Hs shaa aa1a1a1Hssha-2a-2ha1a32a32a12 2 21( )2a ah s+ =2 2 21( ) a a H s + =2 2 2 1( ) 3( )2a aH h+ = Visina dopunske piramide je i ovde:x=11B BH B Zadaci 1) Date su osnovna ivicacm a 10 = i visinacm H 12 =pravilne etvorostrane piramide. Odrediti njenu povrinu i zapreminu.

aaHha/2s Prvo emo nai visinuh : 22 22 2 22212 516913ah Hhhh cm = + = +== www.matematiranje.com ??1210___ __________====VPcm Hcm a222210 2 10 13100 260360P B MP a ahPPP cm= += += + = +=2233310 123100 4400BHVa HVVVV cm==== =9 2) Osnova prave piramide je pravougaonik, sa stranicama 12cm i 9cm. Odrediti zapreminu piramide, ako je njena bona ivica 12,5cm. d/2b

?5 , 12912_____ __________====Vcm scm bcm a Najpre nadjemo dijagonalu osnove (baze) Sada emo nai visinu H iz trougla. www.matematiranje.com cm ddddb a d1522581 1449 12222 2 22 2 2==+ =+ =+ =22 22 2 22212, 5 7, 510010dH sHHH cm = = ==236010 9 12313131cm VVabH VBH V= ===10 3) Osnova prizme je trougao ije su stranice 13cm, 14cm i 15cm. Bona ivica naspram srednje po veliini osnovne ivice normalna je na ravan osnove i jednaka je 16cm. Izraunati povrinu i zapreminu piramide. Nadjimo najpre povrinu baze preko Heronovog obrasca.

21215 14 132=+ +=+ +=c b as 284 6 8 7 21 ) )( )( ( cm c S b S a S S B = = = nama treba duina srednje po veliini visine (bh ) osnove.

Nai emo dalje visinu bone straneh .

Povrina je jednaka zbiru povrina ova etiri trougla!!!

www.matematiranje.com cm ccm bcm a151413===A BCbh=2 bh bPcm hhhbbb127 8421484===H=16cmabchhbcm hhhhh H hb20400144 25612 16222 2 22 2==+ =+ =+ =2448140 120 104 84220 14216 15216 13842 2 2cm PPPbh H c H aB P=+ + + =+++ =+++ =344816 843131cm VVBH V= ==11 4) Izraunati zapreminu pravilnog tetraedra u funkciji ivicea Tetraedar je pravilna jednakoivina trostrana piramida. Izvucimo trougao: 9693 993332 2 2 2222 2a a a aaaa H == = = Dakle: PAZI: www.matematiranje.com aaaaHr0BH V31=aH33 aro =122362 33618364331363332=== ==aVaVaVa aVaH2 3 2 9 18 = =12 5) Izraziti visinu pravilnog tetraedra u funkciji zapremine V. Iskoristiemo rezultat prethodnog zadatka 1223aV =iizrazitia3 6 333332 62 62 622212212V aV aV aVaVa=== == Kako je36 aH =to je 6 3 36 6 2 3 6 36 6 5 5 5 3 36 5 36 2 636 6 236 2 2 3 23 32 33VHVHV VHVH= = = == www.matematiranje.com 13 6) Izraunati zapreminu pravilne etvorostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice 7m i 5m i dijagonala 9m.

Da bi nali visinu H moramo uoiti dijagonalni presek. DHx 21a21a

www.matematiranje.com aaHaa11D1____________759?a ma mD mV====m xxa ax2 622 5 2 722 21=+=+=( )2 2 222 2229 6 281 7293H D xHHHH m= = = ==2 2 2x H D + =( )( )( )32 212121 11095 7 5 73333m VVaa a aHVBB B BHV= + + =+ + =+ + =14 7) Izraunati zapreminu pravilne estostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice 2m i 1m i bona ivica 2m

8) Osnovne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide su 2cm i 6cm. Bona strana nagnuta je prema veoj osnovi pod uglom od o60 . Izraunati zapreminu te piramide.

PAZI: Kad se u zadatku kae bona strana pod nekim uglom, to je ugao izmedju visina bonestrane i visine osnove!!! Izvucimo ''na stranu'' trapez (pravougli) www.matematiranje.com _________1212m sm am a===H Ha1a1a a 331 2) (22 2 2212 2== = =HHHa a s H( )( )1 12 21 12 2336 3 6 3 6 33 4 4 43 6 32 1 2 13 437221210, 5HV B B BBa aa H aVVVVV m= + + = + + = + += ==aaHa1a1rruu1cm acm a261 ==15 H H631a63 ao60x ( )( )32 2133 26526312 4 36632 6 2 643322 333 260 6033 263 463 263 66363m VVVVcm tg x HxHtga axo o= =+ + = + + == = = == = = = 9) Bone ivice pravilne trostrane zarubljene piramide nagnute su prema ravni osnove pod uglom . Osnovne ivice piramide sua ib ) ( b a > . Odrediti zapreminu piramide. Izvucimo obeleeni trapez,iz njega emo nai visinu! www.matematiranje.com aaHsH33 aH33 bx16 ) (12) () (4333 ) (31434343333 ) (33 ) (33332 22 22 2ab b atg b aVab b a tgb aVab b a HVtgb axtg HxHtgb a b ax+ +=+ + =+ + == === = Kako je 10) Data je prava pravilna etvorostrana piramida osnovne ivice cm a 2 5 =i bone ivice s=13cm. Izraunati ivicu kocke koja je upisana u tu piramidu tako da se njena etiri gornja temena nalaze na bonim ivicama piramide. cm scm a132 5== Nadjimo najpre visinu piramide.

www.matematiranje.com aaHsABCxxxcm HHHas H1214422 2 51322222 222 2== = =2 2 3 33 3( )( )( )12a ba b ab a ba btgV + + = =17 Izvucimo na stranu dijagonalni presek: Dobili smo 2 slina trougla:MNC ABC ~ PAZI: AB je dijagonalna osnovecm a AB 10 2 2 5 2 = = = MN je dijagonala stranice kvadrata2 x MN = Visina CD=H=12cm Visina CQ=H-x=12-x Dakle: : :10: 2 12: (12 )10(12 ) 12 2120 10 12 2AB MN CD CQx xx xx x== = = = + 120 10 2 12 x xPodelimo sa 2 60 ) 5 2 6 (60 5 2 6= += +xx x +=5 2 660xRacionaliemo

60 6 2 56 2 5 6 2 560(6 2 5)72 2560(6 2 5)47xxx= + +=+=Ovo je traena ivica kocke. 11) Osnova piramide je tangentni poligon sa n stranica opisan oko kruga poluprenika r. Obim poligona je 2p, bone stranice piramide nagnute su prema ravni osnovne pod uglom . Odrediti zapreminu piramide. Baza ove piramide jesastavljena iz n-trouglova. Ako stranice poligona obeleimo sa na a a .... ,2 1, onda e povrina svakog od tih n-trouglova biti,2r aPii=odnosno www.matematiranje.com ABCMNQD18 1 21 21 2 1 2...... ( ... )gde je...obim poligona2 2 2 222nnn nB P P Pa r a r a r rB a a a a a arB p rp= + += + + + = + + + += = Poto kae da su bone stranice nagnute pod uglom , to je: 213133V BHV rp rtgr p tgV== = www.matematiranje.com Hr rtg HrHtg = =19 1VALJAK Valjak je geometrijsko telo ogranieno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrine povri ije su izvodnice normalne na ravan tih krugova. Osa valjka je prava koja prolazi kroz centre baza. Naravno kao i do sada oznake su: -P je povrina valjka -V je zapremina valjka -B je povrina baze -M je povrina omotaa -H je visina valjka -rje poluprenik osnove ( baze ), onda je 2r prenik OO12osa valjka Poetne formule za povrinu i zapreminuvaljka iste su kao i formule za P i V prizme:

2 iP B M V B H = + = www.matematiranje.com 2 Pre nego li sklopimo formule za PiV pogledajmo mreu valjka:

2B r =2B r =2 M r H =2rH Baze su oigledno krugovi ija je povrina : 2B r =. Omota je pravougaonik ije su stranice visina H i obim kruga2 O r = , pa je povrina omotaa jednaka 2 M rH = 2 22 2 2 2 ( )P B M V B HP r rH V r HP r r H = + = = + == + www.matematiranje.com 3Pogledajmo sada kako izgleda osni presek valjka: H2rDosni presek Ovde primenjujemo Pitagorinu teoremu: 2 2 2(2 ) D r H = + Povrina osnog preseka je2opP rH = Ako u tekstu zadatka kae da je valjakRAVNOSTRAN,to znai da mu je osni presek kvadrat i da je2 H r =

Napomenimojodavaljakmoenastatiobrtanjemkvadratailipravougaonikaokojednestraniceilisimetrale stranice. osa rotacije(stranica)abr=aH=babr=a/2H=bosa rotacije (simetrala stranice)

www.matematiranje.com 41) Izraunati zapreminu pravog valjka ako je data povrina 3324 cm P =i odnos visine prema polupreniku2 : 7 : = r H . ?2 : 7 :324______ __________3===Vr Hcm P Kako imamo datu razmeru, upotrebiemo trik sa k== =k rk Hr H272 : 7 : Obrazac za povrinu je:

2) Povrina pravog valjka je 84 2cm , a visina mu je za 5cm vea od prenika osnove. Izraunati zapreminu valjka. ?5 284_____ __________2=+ ==Vr Hcm P Nemogue rrrr rr rr rr rr r rH r r P == =+ = = += ++ =+ =+ + =+ =623 53618623 5623 542 5 30 84 10 610 6 84) 5 3 ( 2 84) 5 2 ( 2 84) ( 2212 , 1222 Daklecm r 3 =

www.matematiranje.com 2 ( )324P r r H = +2 2k = 22(2 7 )324 4 9324 3693k kk kkkk+= ===cm rcm H6 3 221 3 7= == =32275621 6cm VVH r V= ==cm HHr H115 3 25 2=+ =+ =3229911 3cm VVH r V= ==5 3)Od drvenog valjka poluprenika osnovecm r 9 =, visinecm H 12 =istesana je najvea mogua pravilna trostrana prizma. Kolika je zapremina odpadaka? Najvea prizma je ona koja je upisana u valjak Visine prizme i valjka su jednake Zapreminu odpadaka emo dobiti kad od zapremine valjka oduzmemo zapreminu prizme! cm Hcm r129== P v ODV V V = Nadjimo najpre stranicu prizme. 333933 2727327 33 327 339 3oaraaaaaa cm===== == 4) Izraunati povrinu upljeg valjka ija je visinacm H 25 = , poluprenik spoljanjeg omotaacm R 15 = , a unutranjeg jecm r 6 = ?61525_ __________====Pcm rcm Rcm H www.matematiranje.com ( )22222234349 3 312 94243 381 12412OD v PODODODODODV V VaV r H HaV HrVVV= = = = = =324 243 34 ( )( )33 81 4 3 3243 4 3 3ODODVV cm = = 6Razmiljamo: Povrina upljeg valjka se sastoji iz omotaa veeg valjka, omotaa manjeg valjka i dve baze koje ine kruni prsteni. Dakle:B M M P 22 1+ + = 1M Omota veeg valjka 21750 25 15 2 2 cm H R M = = =2M Omota manjeg valjka 22300 25 6 2 2 cm H r M = = =( ) ( )2 2 2 2 2215 6 189750 300 2 1891428B R r cmPP cm = = == + += 5) Kvadrat stranicearotira oko ose koja je od centra kvadrata udaljena za >2ap p . Odrediti zapreminu obrtnog tela ako je osa paralelna stranici kvadrata i lei u njegovoj ravni.

Razmiljamo: Na ovaj nain smo ustvari dobili uplji valjak. Poluprenik osnove veeg valjka je 2ap R + = Poluprenik osnove manjeg valjka je 2ap r = Visine oba valjka su iste ako i stranica kvadrata, tj.a H = Zapreminu upljeg valjka emo dobiti kad od zapremine veeg oduzmemo zapreminu manjeg valjka!!!

www.matematiranje.com ( ) + = = = =2 22 22 22 12 2apap H Vr R H VH r H R VV V V 2V H p =24apa + +2p 24apa + 22222V H paV paHV pa aV a p = == =7 6) Osnova prizme je jednakokraki trapez osnovica 8cm i 2cm. U trapez je upisan valjak. Izraunati razmeru zapremine valjka i zapremine prizme ako je njegova visina jednaka kraku trapeza.

? :28_________====P V V VC Hcm bcm a Ako pogledamo bazu vidimo da je trapez tangentni etvorougao (moe da se upie krug) pa je: Primenom Pitagorine teoreme na trapez: Povrina kruga je: 2r P =gde je 2422cm Pcmhr == = Povrina trapeza je: 220422 82cm Phb aP=+= += www.matematiranje.com cm H cm cc cc b a5 52 102 2 82= == = += +cm hhhhb ac h4169 2522 8522222 222 2== = = =: ::20: 45:: 5:V P V PV PV PV V B HB HB BV V=====87) Ravan prolazi kroz centar donje osnove krunog valjka i nagnuta je prema ravni osnove pod uglom . Ta ravan see gornju osnovu po tetivi b, kojoj odgovara centralni ugao . Izraunati zapreminu valjka. Kod ovog zadatka slika je neophodna i sa nje emo uoiti zavisnost izmedju elemenata. Poto se zapremina valjka raunaH r V 2= , na posao je da r i H izrazimo preko datihelemenata , i b. Prouimo najpre gornju bazu!!

Onda je: rb22sin =

2sin2br= i xbtg22 = 22bxtg = Dalje emo izvui polovinu osnog preseka (onu desnu, naravno)

odavde je

H Konano, zapremina je: www.matematiranje.com 2222H btg H xtg tgxtgbtgHtg = = = =92222322sin 22 24sin 22 28sin2 2V r Hb btgVtgb btgVtgb tgVtg = = = = 8) Zapremina kosog valjka kod koga izvodnica zaklapa ugao o60 = sa ravni osnove je3 8 = V . Odrediti poluprenik osnove ako se zna da je osni presek romb. ?3 8___ __________==rV Izvucimo osni presek na stranu Odavde je: aHo= 60 sin =oa H 60 sin Ipoto jer a 2 =onda je Upakujemo ovde dve dobijene jednakosti:

228 33r Hr r= 8 3 =33 3822rrr=== www.matematiranje.com aa=2raa=2ra28V r H =23 r =28 3Hr H =3232r Hr H= =1TAKAiPRAVA Najpre emo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom. 1.Rastojanje izmeu dve take Ako su nam date take 1 1 2 2( , )i ( , ) A x y B x y , onda rastojanje izmeu njih raunamo po formuli 2 22 1 2 1( , ) ( ) ( ) d A B x x y y = + Primer1. Odrediti duine stranica trougla ija su temena A(1,1) , B(4,1) i C(1,5) A(1,1)B(4,1)C(1,5)d(A,B)d(B,C)d(A,C) Da vas ne zbuni, nema veze da li ete obeleiti d(A,B)ilid(B,A)jer je reenje isto. 2 22 1 2 12 22 22 2( , ) ( ) ( )( , ) (4 1) (1 1) 9 0 3( , ) (1 1) (5 1) 0 16 4( , ) (1 4) (5 1) 9 16 5d A B x x y yd A Bd A Cd B C= + = + = + == + = + == + = + = 2.Deljenje dui u datoj razmeri Akojetaka( , ) M x y unutranjatakaduiAB,gdeje 1 1( , ) A x y i 2 2( , ) B x y iakojedatarazmera:to jest ( )AMAM MBMB = = ,ukojojtakaMdeliduAB,ondasekoordinatetakeMraunajupo obrascima 1 2 1 2( , )i y1 1x x y yM x y x + + = =+ + ( , ) M x y 1 1( , ) A x y2 2( , ) B x y www.matematiranje.com 2 3.Sredina dui Ako je taka ( , )s sM x y sredina dui AB (1 1( , ) A x y i 2 2( , ) B x y ) onda se njene koordinate raunaju po formuli

1 2 1 2( , )i y2 2s s s sx x y yM x y x+ + = = 1 1( , ) A x y2 2( , ) B x y( , )s sM x y Primer 2. Izvesti formule za koordinate teita trougla! Da se podsetimo, teite se nalazi u preseku teinih dui i teite deli teinu du u odnosu 2 : 1. 2 2( , ) B x y3 3( , ) C x y*( *, *) A x y1 1( , ) A x y Najpre emo nai koordinate take*( *, *) A x y kao sredinu dui BC. 2 3 2 3*( *, *) *i y*2 2x x y yA x y x+ + = = 2 2( , ) B x y3 3( , ) C x y2 3 2 3*( , )2 2x x y yA+ +( , )T TT x y211 1( , ) A x y Dalje emo iskoristiti formulu za deljenje dui u datoj razmeri , gde je AT : TA* = 2 : 1 = 2 www.matematiranje.com 2 3 2 31 11 2 3 1 2 32( ) 2( )2 2( , ) =iy =1 2 3 1 2 3T T T Tx x y yx yx x x y y yT x y x+ ++ ++ + + + = =+ + 3 4.Povrina trougla preko koordinata temena Neka su 1 1( , ) A x y , 2 2( , ) B x yi 3 3( , ) C x ytemena datog trougla ABC odreena pomou naznaenih koordinata u odnosu na pravougli koordinatni sistem xOy, tada je povrina trougla data obrascem 1 2 3 2 3 1 3 1 21( ) ( ) ( )2P x y y x y y x y y = + +

moe i preko determinante( naravno, ko je upoznat sa njihovim izraunavanjem) 1 12 23 311121x yP x yx y=

Apsolutna vrednost je tu da nam obezbedi da reenje ne bude negativno, jer povrina ne moe biti negativan broj. Primer 3. Izraunati povrinu trougla ABC ako je A(-2,3) ; B(8,-2)iC( 3,8) 1 2 3 2 3 1 3 1 21( ) ( ) ( )212( 2 8) 8(8 3) 3(3 ( 2))212( 10) 8 5 3(3 2)2120 40 152175237, 5P x y y x y y x y yPPPPP= + + = + + = + + += + +==

www.matematiranje.com 4PRAVA i)opti ( implicitni oblik) je0 ax by c + + = ii) eksplicitni oblik je y kx n = + Ovaj oblik nam je najbitniji jer se koristi u mnogim formulama. U njemu je : k- koeficijent pravca ( k tg = , gde jeugao koji prava gradi sa pozitivnim smerom x ose) n - je odseak na y - osi Kako prei iz opteg u eksplicitni oblik? 0 sve sa y ostavimo levo a ostale prebacimo desnosad sve podelimo sa bOdavde je i ax by cby ax ca cy xb ba ck nb b+ + = = = = = Primer 4. Pravu 7x+3y + 23=0 prebaciti u eksplicitni oblik i naikin 7 3 23 0 sve sa y ostavimo levo a ostale prebacimo desno3 7 23 sad sve podelimo sa 37 233 37 23Odavde je i 3 3x yy xy xk n+ + = = = = = iii) 1x ym n+ =je segmentni oblik m je odseak na x osi n je odseak na yosi xyOmn www.matematiranje.com 5Primer 5. U jednaini( 1) 8 0 px p y + + =odrediti parametar p , tako da prava gradi dva puta vei odseak na apscisnoj osi nego na ordinatnoj osi. Prava gradi dva puta vei odseak na apscisnoj osi nego na ordinatnoj osi , znai 2 m n = Sredimo datu jednainu prave da bi iz nje mogli da proitamo m i n. ( 1) 8 0( 1) 8sve podelimo sa 8( 1)1oslobodimo x i y8 88 81 odavde jei8 811px p ypx p ypx p yx ym np pp p+ + =+ + =++ =+ = = =++ Sad ovo zamenimo u 2 m n = 28 8218 16116 8( 1)16 8 816 8 88 81m np pp pp pp pp ppp== +=+= += + === iv) cos sin x y p + =je normalni oblik jednaine prave Opxy U ovoj jednaini je : p je normalno rastojanje od koordinatnog poetka (0,0) do nae prave je ugao koji rastojanje p gradi sa pozitivnim smerom x ose www.matematiranje.com 6 Formula za prelazak iz opteg unormalni oblikje : 2 20 0ax by cax by ca b+ ++ + = = + ali pazimo, ispred korena uzimamo znak suprotan od znaka broja c . Primer 6. Svedi jednainu 4x 3y +5 = 0 na normalni oblik. 2 24 3 54 3 5 0 0 ( minus ispred korena jer je c=5)4 34 3 5 4 3 5 4 3001 0 a odavde je :5 5 5 254 3p=1, cos = ,sin =5 5x yx yx y x yx y + + = = + + += = + = v)Prava kroz taku1 1( , ) A x ysa koeficijentom pravca k je : 1 1( ) y y k x x = vi)Prava kroz take 1 1( , ) A x y i2 2( , ) B x yje :2 11 12 1( )y yy y x xx x = Primeujete da je onda 2 12 1y ykx x= Kakav moe biti meusoban poloaj dve prave u ravni? 1)Mogu da se seku Taku preseka nalazimo reavajui sistem od te dve jednaine ! Ako posmatramo prave1 1y k x n = +i2 2y k x n = + onda je ugao pod kojim se seku dat formulom: 2 11 21k ktgk k=+ Ako se te dve prave seku pod pravim uglom, onda je 1 21 k k = ( uslov normalnosti) 2)Mogu da budu paralelne Prave1 1y k x n = +i2 2y k x n = + su paralelne ako je 1 2k k =( uslov paralelnosti)

www.matematiranje.com 7Primer 7. Data su temena trougla A(-5,-2), B(7,6), C(5,4). Odrediti: a)jednainu stranice AB b)jednainu visine chc)ugao kod temena A a)Upotrebiemo formulu za jednainu prave kroz dve take( A i B) A(-5,2) B(7,6)C(5,4) 2 11 12 1( )6 ( 2)( 2) ( ( 5))7 ( 5)y yy y x xx xy x = = 6 22 ( 5)7 582 ( 5)1222 ( 5)32 25 23 32 10 63 3 22 43 3y xy xy xy xy xy x++ = +++ = ++ = += + = + = + b)A(-5,2) B(7,6)C(5,4)ch www.matematiranje.com 8Jednainuvisine ch emonaikaojednainupravekrozjednutakuC(5,4)anjenkoeficijentpravcamorada zadovoljava uslov normalnosti sa pravom AB. Koeficijent pravca prave AB : 2 43 3y x = + je 123k = .Naa prava je normalna na AB, pa je :

2122112332kkkk= = =

1 1( )34 ( 5)23 1542 23 232 2y y k x xy xy xy x = = = + += + c) Ugao kod temena A je ustvari ugao izmeu pravih AB iAC. im nam trae neki ugao koristimo obrazac 2 11 21k ktgk k=+ A(-5,2) B(7,6)C(5,4) Iz prave AB ve imamo koeficijent pravca 123k = .Ne moramo traiti celu jednainu prave AC ve samo njen koeficijent pravca. A(-5,-2),C(5,4) menjamo u2 12 1y ykx x= 2 122 12224 ( 2)5 ( 5)61035y ykx xkkk= = == www.matematiranje.com 92 11 213 25 33 215 311561151152115121121k ktgk ktgtgtgtgarctg=+ =+ =+=== Pramen pravih Ako su1 1 10 A x B y C + + = i 2 2 20 A x B y C + + =jednainedveju pravih koje se seku u taki O, tada je : 1 1 1 2 2 2( ) 0 A x B y C A x B y C + + + + + = jednaina pramena pravih sa centrom u taki O. O1 1 10 A x B y C + + =2 2 20 A x B y C + + = Znai, da bi opisali pramen pravih , potrebne su nam dve prave iz tog pramena. www.matematiranje.com 10Odstojanje take 1 1( , ) A x yod prave0 ax by c + + =dato je formulom: 2 2ax by cda b+ +=+ Primer 8. U pramenu pravih2 4 ( 2 3) 0 x y x y + + + = odrediti pravu ije odstojanje od take P(2,-3) iznosi 10 . Najpre prepakujemo jednainu pramena: 2 4 ( 2 3) 02 4 2 3 0 upakujemo one uz x, pa uz y, pa slobodne ...(2 ) (1 2 ) 4 3 0Odavde moemo videti da je 2 , 1 2x y x yx y x yx ya b + + + =+ + + =+ + + == + = Sad uzimamo formulu za rastojanje take od prave 2 2ax by cda b+ +=+ 2 22 22(2 ) 2 (1 2 ) ( 3) 4 3(2 ) (1 2 )4 2 3 6 4 3104 4 1 4 45 5105 5d + + + =+ + + + + =+ + + ++=+ Odavde sredjivanjem dobijamo dva reenja:121910== Kad ova reenja vratimo u pramen2 4 ( 2 3) 0 x y x y + + + = dobijamo traene prave: 3x y + 1 = 0 11x + 28 y +67 = 0 www.matematiranje.com 11 1KRUNICA Krunica (kruna linija) je skup taaka u ravni sa osobinom da su sve take tog skupa na jednakom rastojanju (r) od jedne stalne take (C, centar) te ravni. Krunica je dakle odreena takom C i pozitivnim brojem r ( poluprenikom). pqC(p,q)rxy Opta jednaina krunice je: 2 2 2( ) ( ) x p y q r + = Odakle ona? Posmatrajmo sliku: pqM(x,y)xyCrx-py-qxy2 2 2( ) ( ) x p y q r + = Taka M(x,y) je na krunici. Uoimo pravougli trougao na slici. Primena Pitagorine teoreme nam daje traenu jednainu krunice. Ako je p = 0 i q = 0onda se radi o centralnoj krunici. xyr

2 2 2x y r + =Kako spakovatikrunicu ako je data u drugom obliku ?www.matematiranje.com 2 Ima dva naina. I nain Ako je krunica data u obliku 2 20 x y dx ey f + + + + =moemo koristiti formulice 2 2 222dpeqr p q f= = = + Primer 1. Odrediti koordinate centra i poluprenik krunice2 26 4 12 0 x y x y + + = Uporedimo 2 26 4 12 0 x y x y + + =sa 2 20 x y dx ey f + + + + =i imamo d = 6, e = - 4if = - 12 Dalje koristimo formule 2 2 2 2 2632 2422 2( 3) 2 ( 12) 25dpeqr p q f= = = = = == + = + = Ovo zamenimo u jednainu krunice 2 2 2( ) ( ) x p y q r + =idobijamo 2 2 22 22 2( ) ( )( ( 3)) ( 2) 25( 3) ( 2) 25x p y q rx yx y + = + =+ + = II nain Vrimo dopunu do punog kvadrata! 2 26 4 12 0 x y x y + + = Najpre pretumbamo , svi sa x, pa sa y, pa brojevi... 2 26 4 12 0 x x y y + + = Pazi, uvek dodajemo2onaj uz x( )2 i to isto oduzmemo , pa tako i za y. 2onaj uz y( )2 2 2 2 2 2 26 6 4 46 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 12 02 2 2 2x x y y + + + + =2 26 9 9 4 4 4 12 0 x x y y + ++ + =Sad sklopimo pune kvadrate a brojke prebacimo na desnu stranu... 2 2( 3) ( 2) 25 x y + + = Vi odaberite sami ta vam je lake www.matematiranje.com 3Primer2. Napisati jednainu krunice koja sadri take A(5,6), B(-3,2) i C(-2,-1). I ovaj tip zadatka moete reavati na dva naina. I nain Koristimorasklopljenioblikkrunice 2 20 x y dx ey f + + + + = iumestoxiymenjamokoordinatedatih taaka, oformimo sistem tri jednaine sa tri nepoznate i reimo ga... 2 22 2(5, 6) 05 6 5 6 05 6 25 365 6 61A x y dx ey fd e fd e fd e f + + + + =+ + + + =+ + = + + =

2 22 2( 3, 2) 0( 3) 2 ( 3) 2 03 2 9 43 2 13B x y dx ey fd e fd e fd e f + + + + = + + + + = + + = + + = 2 22 2( 2, 1) 0( 2) ( 1) ( 2) ( 1) 02 4 12 5C x y dx ey fd e fd e fd e f + + + + = + + + + = + = + = Evo tri jednaina, prelazimo u sistem 5 6 613 2 132 5d e fd e fd e f+ + = + + = + = Sistem reite na nain koji oboavate ...( imate u I godini fajl sistemi pa se podsetite...) Dobijamo reenja4, 4, 17 d e f = = = i to zamenimo u 2 20 x y dx ey f + + + + = 2 24 4 17 0 x y x y + = 2 2 2 2 2 24 4 4 44 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 17 02 2 2 2x x y y + + + = 2 24 4 4 4 4 4 17 0 x x y y + + + = 2 2( 2) ( 2) 25 x y + = II nain Date take A(5,6), B(-3,2) i C(-2,-1) direktno menjamo u jednainu krunice : 2 2 2( ) ( ) x p y q r + = ( )2 2 22 2 2A 5, 6 ( ) ( )(5 ) (6 )x p y q rp q r + = + =

( )2 2 22 2 23, 2 ( ) ( )( 3 ) (2 )B x p y q rp q r + = + =

( )2 2 22 2 22, 1 ( ) ( )( 2 ) ( 1 )C x p y q rp q r + = + = Dobili smo dakle sistem: www.matematiranje.com 4 2 2 22 2 22 2 2(5 ) (6 )( 3 ) (2 )( 2 ) ( 1 )p q rp q rp q r + = + = + = Kakojekodsvetrijednainedesnastranaista,uporedimolevestrane,recimoprveidruge,paprveitree jednaine. 2 2 2 22 2 2 2(5 ) (6 ) ( 3 ) (2 )25 10 36 12 9 6 4 425 10 36 12 9 6 4 416 8 482 6p q p qp p q q p p q qp q p qp qp q + = + + + + = + + + + + = + + = + = 2 2 2 22 2 2 2(5 ) (6 ) ( 2 ) ( 1 )25 10 36 12 4 4 1 225 10 36 12 4 4 1 214 14 564p q p qp p q q p p q qp q p qp qp q + = + + + + = + + + + + + = + + + = + = Sad oformimi sistem od dve jednaine sa dve nepoznate 2 6422p qp qpq+ =+ === Vratimo se u jednu od prve tri jednaine da nadjemo poluprenik r 2 2 22 2 222(5 ) (6 )(5 2) (6 2)9 16255p q rrrrr + = + =+ === I dobili smo jednainu traene krunice 2 2( 2) ( 2) 25 x y + = Vi odaberite koji vam je nain jasniji i radite po njemu ili onako kako va profesor zahteva www.matematiranje.com 5Prava i krunica Za uzajamni poloaj prave i krunice u ravni postoje tri mogunosti: i)Prava i krunica imaju dve zajednike take. Ovo je situacija kada je rastojanje od centra krunice do prave manje od poluprenika krunice. dr ii) Prava i krunica nemaju zajednikih taaka. Ovde je rastojanje od centra krunice do prave vee od poluprenika krunice. rd iii) Prava i krunica imaju jednu zajedniku taku. Ovde je rastojanje od centra krunice do prave jednako sa poluprenikom i tada se prava zove TANGENTA . tangentad=r Ispitivanje odnosa prave i krunice svodi se na reavanje sistema od jedne linearne i jedne kvadratne jednaine. Posmatrajmo pravu y kx n = + ikrunicu 2 2 2( ) ( ) x p y q r + = Umesto y u jednaini krunice zamenimokx n +i posle sredjivanja izvodimo sledei zakljuak: i)Ako je2 2 2( 1) ( ) 0 r k kp q n + + >prava i krunica imaju dve zajednike take ii)Ako je2 2 2( 1) ( ) 0 r k kp q n + + < prava i krunica nemaju zajednikih taaka iii)Ako je 2 2 2( 1) ( ) 0 r k kp q n + + =prava i krunica imaju jednu zajedniku taku www.matematiranje.com 6Situacija kad prava i krunica imaju jednu zajedniku taku se jo naziva i USLOV DODIRA : 2 2 2( 1) ( ) r k kp q n + = + Napomena : Ako traimo tangentu iz neke take VAN krunice neophodno je koristiti uslov dodira. Ali ako trebamo nai tangentu ba u taki dodira ije koordinate znamo moemo koristiti gotovu formulicu: 20 0( )( ) ( )( ) x p x p y q y q r + =

(x ,y )20 0( )( ) ( )( ) x p x p y q y q r + = Primer 3. Izkoordinatnogpoetkapovuenesutangentenakrunicu 2 26 4 9 0 x y x y + + = .Nainjihovejednainei ugaoizmeu njih. Najpre sredimo krunica da moemo proitati p,q i r. 2 22 22 22 26 4 9 06 4 9 06 9 9 4 4 4 9 0( 3) ( 2) 4x y x yx x y yx x y yx y+ + = + + = ++ + + = + = p = 3,q = 2 ,r = 2 Skicirajmo sada problem kada znamo kako izgleda krunica: xy1 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -52345-1-2-3-4-50 21C(3,2) Sa skice moemo zakljuiti da je jedna tangenta sama x osa, dakle prava y = 0. Ali , ajde da do toga dodjemo i raunski. www.matematiranje.com 7 Nekajeprava(prave)kojutraimoy kx n = + .Ovdemenjamokoordinatetakeizkojepostavljamotangentu, dakle O(0,0). 0 00y kx nk nn= += += Dobili smo da je n = 0. k traimo iz uslova dodira. 2 2 22 22 22( 1) ( )4( 1) (3 2 0)4 4 9 12 45 12 0(5 12) 01205r k kp q nk kk k kk kk kk k+ = ++ = ++ = + = == = Dakle traene tangente su : 12: 012:5t yt y x== Ugao traimo preko poznate formule za ugao izmeu dve prave 2 11 211205121 05125125k ktgk ktgtgarctg=+ =+ == www.matematiranje.com 8

1ELIPSAwww.matematiranje.com Elipsa je skup taaka u ravni s osobinom da je zbir rastojanja ma koje take od dveju datih taaka(ia) stalan broj. yx a-ab-bF(c,0) F(-c,0)1 22 22 21x ya b+ =M(x,y)rr12 1 2, r rsu potezi ( radijus vektori) elipse i vai za bilo koju taku na elipsi1 22 ( konstantan broj) r r a + = 1 2( , 0), ( , 0) F c F c su ie elipse, gde je 2 2 2c a b = a - je velika poluosa , odnosno 2a je velika osa b - je mala poluosa, odnosno 2b je mala osa cea=je ekscentricitet( jo kod elipse vai da je e -Ako sistem ima jedno reenje, prava je tangenta elipse i zadovoljava USLOV DODIRA: 2 2 2 2a k b n + = Napomena Ako nam trae tangentu elipse u datoj taki 0 0( , ) x yna elipsi ( koja pripada elipsi), onda imamo gotovu formulu: 0 02 2: 1x x y yta b + = Primer 3. Upresenimtakamaprave5 3 14 0 x y = ielipse 2 23 28 x y + = konstruisanesutangentenaelipsu.Odrediti jednaine tangenata. Ovde najpre moramo reiti sistem jednaina i nai take preseka. 2 22 2222 2225 3 14 0 odavde izrazimo x...3 283 14ovo zamenimo u drugu jednainu53 14( ) 3 2859 84 1963 28259 84 196 75 70084 84 504 0sve podelimo sa 846 0x yx yyxyyy yyy y yy yy y =+ =+= ++ =+ ++ =+ + + =+ =+ = 21,2124223b b acyayy === odavde je 1 1 12 2 23 2 142 453 ( 3) 143 15y x xy x x += = = += = = www.matematiranje.com 4 Dobili smo da se prava i elipsa seku u takama ( 4, 2) i ( 1,-3). Poto su to take naelipsi upotrebiemo gotovu formulu: 0 02 2: 1x x y yta b + = Najpre da elipsu prebacimo u drugi oblik: 2 22 22 23 28celu jednainu podelimo sa 2831 Kad se desi da nema skraivanja, prebacimo taj broj " ispod"...28 28128283x yx yx y+ =+ =+ = 114 2(4, 2) : 128283Kad malo sredimo...: 2 3 14 0x yza tt x y + =+ = 221 ( 3)(1, 3) : 128283Kad malo sredimo...: 9 28 0x yza tt x y + = = Primer 4. Odrediti parametarptako daprava y + x + p = 0predstavlja tangentu elipse2 22 3 30 x y + =

E ovde ve moramo koristiti uslov dodira. Najpre sredimo pravu i elipsu da iz njih moemo proitati ta nam treba za uslov dodira. 0Odavde je1i y x py x pk n p+ + == = =

2 22 22 22 22 3 30 sve podelimo sa 302 3130 301 15i1015 10x yx yx ya b+ =+ =+ = = = Dalje koristimo uslov dodira: www.matematiranje.com 52 2 2 22 221215( 1) 10 ( )2555a k b npppp+ = + = === Primer 5. U elipsu 2 24 36 x y + =upisan je kvadrat. Odrediti njegovu povrinu. Ovde je neophodno nacrtati sliku i postaviti problem. ta moemo uoiti? Prave y = x i y = - xu preseku sa elipsom daju temena tog upisanog kvadrata! Dakle reavamo sistem y = x i2 24 36 x y + = 2 22 2221 24 364 365 3636 6 6,5 5 5x yy xx xxx x x+ ==+ === = = Kako jey = x i y = - x Koordinate temena su 6 6 6 6 6 6 6 6( , ); ( , ); ( , ); ( , )5 5 5 5 5 5 5 5A B C D Obeleimo stranicu kvadrata sa a. Njenu duinu dobijamo kao rastojanje izmeu taaka , recimo A i B . xy3-30 6 -6y=x y=-x6 2 22 1 2 12 2222( , ) ( ) ( )6 6 6 6( ) ( )5 5 5 5120 ( ) kvadriramo51445A znamo da je P=1445d A B x x y yaaaaP= + = + = + == www.matematiranje.com

1HIPERBOLA Hiperbola je skup taaka u ravni s osobinom da je razlika rastojanja ma koje take od dveju datih taaka stalan broj. xya -aF(-c,0) F(c,0)1 2by xa=by xa= 2 22 21x ya b =rr12(x,y) a je realna poluosa ( 2a je realna osa) b je imaginarna poluosa ( 2b je imaginarna osa) 1 2, r rsu potezi ( radijus vektori)iza njih vai1 22 r r a = 1 2( , 0), ( , 0) F c F c su ie hiperbole , gde je 2 2 2c a b = + cea=je ekscentricitet( jo kod hiperbole vai da je e >1) prave i b by x y xa a= = su asimptote hiperbole Glavna jednaina hiperboleje2 22 21x ya b =ili2 2 2 2 2 2b x a y a b = Primer 1. Odrediti jednainu hiperbole ako je razmera njenih poluosa 3 : 4 ic = 15 Upotrebiemo trik sa k : 3: 434b ab ka k=== i2 2 2c a b = + pa je www.matematiranje.com 22 2 22 2 22 2 2222(4 ) (3 )15 16 9225 252252593c a bc k kk kkkkk= += += +==== Vratimo se da naemo a i b. 222 23 3 3 9 814 4 3 12 144Pa je hiperbola:1144 81b k ba k ax y= = = == = = = = Primer 2. Odreditijednainuhiperboleakojerastojanjeizmeuiajednako10 2 ,ajednainenjenihasimptotasu34y x = Rastojanje izmeu ia je2 10 2 c =pa je5 2 c =. 34y x = uporedimo sa by xa= i dobijamo3 34 4bb aa = = Ovo zamenimo u 2 2 2c a b = +2 2 22 2223(5 2) ( )49501625501632a aa aaa= += +==onda je 2 2 22250 3218b c abb= = = Jednaina traene hiperbole je 2 2132 18x y = www.matematiranje.com 3 Prava i hiperbola Slino kao kod krunice i elipse , da bi odredili meusobni poloaj prave i hiperbole, reavamo sistem jednaina: y kx n = + i2 2 2 2 2 2b x a y a b = -Ako sistem nema reenja , onda se prava i hiperbola ne seku, to jest2 2 2 2a k b n < -Ako sistem ima dva reenja, onda prava see hoperbolu u dvema takama 2 2 2 2a k b n > -Ako sistem ima jedno reenje, prava je tangenta hiperbole i zadovoljava USLOV DODIRA: 2 2 2 2a k b n = Napomena Ako nam trae tangentu hiperbole u datoj taki 0 0( , ) x yna hiperboli ,onda imamo gotovu formulu: 0 02 2: 1x x y yta b = Primer 3. Napisati jednainu tangente hiperbole2 240 x y =u taki M(x,9)koja je na hiperboli. Najpre emo odrediti koordinatu x take M tako to u jednaini hiperbole zamenimo y sa 9. 2 22 222409 4040 8114111 11x yxxxx x = == +== = Dakle imamo dve take koje zadovoljavaju (-11,9) i (11,9) 2 22 240 sve podelimo sa 40140 40x yx y = = Koristimo dalje gotovu formulicu 0 02 2: 1x x y yta b = www.matematiranje.com 4 Primer 4. Napisati jednainu hiperbole ako su poznate jednaine njenih tangenti : 5x-7y-1=0 i x-y-1=0 Tangente moraju da zadovoljavaju uslov dodira. Zato emo obe prave prebaciti u eksplicitni oblik da bi mogli proitati njihove k i n koje menjamo u uslov dodira. 5 7 1 07 5 1......./ : ( 7)5 17 75717x yy xy xkn = = + = == i1 01111x yy xy xkn = = += == 2 2 2 22 2 2 22 22 25 1( ) ( )7 725 149 4925 49 1a k b na ba ba b = = = =i2 2 2 22 2 2 22 21 ( 1)1a k b na ba b = = = Sad napravimo sistem : 2 22 22 22 22 222 2 2 2125 49 1125( 1) 49 125 25 49 124 241 1 2a ba ba bb bb bbb a b a = == ++ =+ = = = = + = pa je traena hiperbola2 212 1x y =www.matematiranje.com 111( 11) 9: 140 40: 11 9 40: 11 9 40 0x ytt x yt x y = = =22211 9: 140 40:11 9 40:11 9 40 0x ytt x yt x y = = =5Primer 5. Odrediti ugao pod kojim se seku krive2 23 4 84 x y + = i2 23 4 12 x y = . Najpre naemo take preseka reavajui sistem jednaina 2 22 2222 2 2 2 212 2 2 2 223 4 843 4 126 96164 3 4 4 84 4 84 48 4 16 4 24 3 ( 4) 4 84 4 84 48 4 16 4 2Preseci su u :(4, 2); (4, 2); ( 4, 2); ( 4, 2)x yx yxxx y y y y yx y y y y y+ = ==== + = = = = = = + = = = = = Ugao pod kojim se seku krive je ustvari ugao izmeu tangenata u jednoj od taaka preseka! Uzeemo taku (4,2) i u njoj postaviti tangente na elipsu i na hiperbolu... 0 02 2: 1ex x y yta b + = i0 02 2: 1hx x y yta b = 2 22 22 213 4 84 sve podelimo sa 843 4184 84128 214 3128 2117 7771x yx yx yx yx yx yy xk+ =+ =+ = + =+ =+ == += 2 22 22 223 4 12 sve podelimo sa 123 4112 1214 34 314 3111x yx yx yx yx yy xk = = = = == = Moemoupotrebitiformuluzaugaoizmeudveprave,alimoemoiodmahzakljuitidasesekupoduglom od090 . Kako? Pa znamo da je uslov normalnosti1 21 k k = a to je oigledno zadovoljeno! www.matematiranje.com 6 1PARABOLA Parabola je skup taaka u ravni sa osobinom da je rastojanje svake take od jedne stalne take (ie) jednako odstojanju te take od jedne stalne prave (direktrise). xy2px = ( , 0)2pF22 y px = ( , 0)2pF je ia parabole. Prava2px = je direktrisa paraboleili02px + = . Odstojanje take F od direktrise obeleava se sapi naziva se parametar parabole. Koordinatni poetak je teme parabole. Jednaina parabole je22 y px =

Naravno, ova parabola se najvie prouava , a da vas ne iznenadi evo i ostalih parabola: xy2px =( , 0)2pF 22 y px = xy2py = (0, )2pF22 x py =xy22 x py = 2py =(0, )2pF www.matematiranje.com 2Primer 1. Data je parabola24 y x = . Kroz njenu taku M(-2,-1) postaviti tetivu koja je tom takom prepolovljena. Postavimo najpre problem, skicirajui ga... xy24 y x = -2-1 M(x ,y )(x ,y )AB Neka je AB traena tetiva. Taka M je sredina dui AB pa mora da vai:

1 21 21 21 22 421 22x xx xy yy y+= + = += + = Take A i B pripadaju paraboli , pa njihove koordinate moemo menjati umesto x i y u jednaini parabole: 2 21 1 1 12 22 2 2 2( , ) 4 4( , ) 4 4A x y y x y xB x y y x y x = = = = Na ovaj nain smo dobili 4 jednaine sa 4 nepoznate. Moemo traiti koordinate taaka A i B ali je pametnije samonai koeficijent pravca prave koja prolazi kroz AB i onda upotrbiti jednainu prave kroz jednu taku. 2 12 1y ykx x= 21 122 22 22 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 1 2 12 12 144 oduzmemo od druge prvu jednainu4 ( 4 )( )( ) 4 4znamo da je2( )( 2) 4( )2y xy xy y x xy y y y x x y yy y x xy yx x= = = + = + + = = = Sada jednaina prave kroz jednu taku M(-2,-1) 0 0( )( 1) 2( ( 2))1 2 42 3y y k x xy xy xy x = = + = += + Evo jednaine traene tetive! www.matematiranje.com 3Prava i parabola Slinokaokodkrunice,elipseihiperboledabiodredilimeusobnipoloajpraveiparabole,reavamosistem jednaina: y kx n = + i22 y px = -Ako sistem nema reenja , onda se prava i parabola ne seku, to jest 2 p kn < -Ako sistem ima dva reenja, onda prava see parabolu u dvema takama2 p kn > -Ako sistem ima jedno reenje, prava je tangenta parabole i zadovoljava USLOV DODIRA:2 p kn = Napomena Ako nam trae tangentu pararbole u datoj taki 0 0( , ) x yna pararboli ,onda imamo gotovu formulu: 0 0( ) y y p x x = + Primer 2. U kojoj taki parabole216 y x =je tangenta nagnuta pod uglom od0135 prema x-osi. Obeleimo tu taku sa0 0( , ) x y . Tangenta e biti0 0( ) y y p x x = + , odnosno ,iz jednaine parabole je 2p = 16 p = 8 0 00 000 008( )8 88 88y y x xy y x xxy xy yky = + = += += Nali smo koeficijent pravca te prave , a kako je 01351k tgk tgk === Onda je000881 8kyyy= = = Ovu vrednost zamenimo u jednainu parabole i imamo:www.matematiranje.com 4 2216( 8) 1616 644y xxxx= === Dakle, traena taka na paraboli je ( 4, -8) Primer 3. Napisati jednainu tangente parabole 212 y x =ako je poznatoda je paralelna sa pravom 3x y 4 = 0 y=3x-4traena prava Kako je naa prava paralelna sa datom , one imaju isto k(uslov paralelnosti) 3 4 03 43x yy xk == =

Naa traena prava je dakley = 3x + n , an emo nai pomou uslova dodira Iz parabole je 212 2 12 6 y x p p = = = 26 2 36 61p knnnn== == Reenje je y = 3x + 1 www.matematiranje.com 5 Primer 4. Napisati jednaine zajednikih tangenti krivih 24 y x = i 2 22 9 0 x y x + = Da najpre sredimo krunicu 2 22 22 22 2 22 9 02 9 02 1 1 9 0( 1) 10 1, 0, 10x y xx x yx x yx y p q r+ = + = + + = + = = = = Neka je traena tangenta y = kx + n . Ona mora da zadovoljava i uslov dodira sa parabolom isa krunicom . Iz jednaine parabole 24 y x = je 2p = 4 , pa jep = 2 Ovo zamenimo u uslov dodira22 21p knknkn=== Sada uslov dodira za krunicu 2 2 22 22 2( 1) ( )10( 1) (1 )10( 1) ( )r k kp q nk k nk k n+ = ++ = ++ = + Dobili smo dve jednaine sa po dve nepoznate,pa reavamo sistem 2 22 222 22 2222 2221 210( 1) ( )11110( 1) ( )110( 1) ( )( 1)10( 1)10 19 11 1 1,9 3 3k k nknnkk kkkkkkkkk kkk k k+ = +==+ = +++ =++ == +== = = www.matematiranje.com 6Vratimo se da naemo n 1 12 21133133knk nk n== == = Jednaine tangenti su

121: 331: 33t y xt y x= += Zato nam se javljaju dva reenja? Pa ako skiciramo problem, vidimo da je to oigledno... www.matematiranje.com

1MATEMATIKA INDUKCIJA Princip matematike indukcije glasi: Ako za neko tvrdjenje) (n T ,N nvai: 1)) 1 ( Tje tano 2)) 1 ( ) ( + n T n Tje tano za,... 2 , 1 = n tada je tvrdjenje) (n T tano zaNn Moe se desiti da tvrdjenjeTnnije tano za svakoN nve poev od nekog prirodnog broja10 > n pa , tj. da jeTntano za,... 2 , 1 ,0 0 0+ + = n n n n Tada se dokazivanje metodom matematike indukcije radi na sledei nain: 1)Proverimo tanost tvrdjenja 0Tn2)Dokazujemo da za bilo koje 0n n >iz tanosti tvrdjenjaTnsledi tanost tvrdjenja1 + Tn Postupak Praktino, mi emo indukciju sprovoditi: i)Proverimo da li je tvrdjenje tano za n=1 ii)Predpostavimo da je tvrdjenje tano za n=k iii)Dokazujemo da je tvrdjenje tano za n=k+1 Zadaci: 1)Dokazati da je : 2) 1 (... 3 2 1+= + + + +n nn i) Najpre proverimo dali je tvrdjenje tano za n=1.(to jest gde vidimo n stavimo 1) 1 12) 1 1 ( 11 = +=tano ii) Pretpostavimo da je tvrdjenje tano za n=k (to nam je indukcijska hipoteza) Gde vidimo n stavimo k 2) 1 (... 3 2 1+= + + + +k kk www.matematiranje.com 2iii) Da dokaemo da je tvrdjenje tano za n=k+1 Najpre vidimo ta treba da dokaemo, u poetnoj formuli n zamenimo sa k+1 ali uvek na levoj strani napiemo i predposlednji lan. 2) 1 1 )( 1 () 1 ( ... 2 1+ + += + + + + +k kk k Pretposlednji lan odnosno: 2) 2 )( 1 () 1 ( ... 2 1+ += + + + + +k kk kZnai , ovo treba da dokaemo!!! Uvek krenemo od indukcijske hipoteze za koju smo pretpostavili da je uvek tana 2) 1 (... 3 2 1+= + + +k kk Zastanemo malo i uporedimo leve strane hipoteze i onoga ta treba da dokaemo. Vidimo da u hipotezifali (k+1). To je TRIK, da na obe strane hipoteze dodamo izraz (k+1). ) 1 (2) 1 () 1 ( ... 3 2 1 + ++= + + + + + kk kk k Sad nam preostaje da sredimo desnu stranu i iznje dobijemo 2) 2 )( 1 ( + + k k Dakle: 2) 1 ( 2 ) 1 (112) 1 ( + + +=+++ k k k k k k = Izvuemo zajedniki ) 1 (+ k=2) 2 )( 1 ( + + k k Ovim je dokaz zavren. 2) Dokazati da je: 6) 1 2 )( 1 (... 3 2 12 2 2 2+ += + + + +n n nn i)Proverimo da li je tvrdjenje tano za1 = n 1 16) 1 1 2 )( 1 1 ( 112= + +=tano ii)Pretpostavimo da je tvrdjenje tanozak n =36) 1 2 )( 1 (... 2 12 2 2+ += + + +k k kk iii)Da dokaemo tvrdjenje za1 + = k nUvek prvo vidimo ta treba dokazati!!! 6) 1 ) 1 ( 2 )( 1 1 )( 1 () 1 ( ... 2 12 2 2 2+ + + + += + + + + +k k kk ktj. 6) 3 2 )( 2 )( 1 () 1 ( ... 2 12 2 2 2+ + += + + + + +k k kk k Krenimo od indukcijske hipoteze i na obe strane dodamo 2) 1 (+ k 2 2 2 2 2) 1 (6) 2 )( 1 () 1 ( ... 2 1 + ++ += + + + + + kk k kk k Leva strana onog to Ovo kad sredimo treba da treba da dokaemo.nam da 6) 3 2 )( 2 )( 1 ( + + + k k k Dakle: 6) 1 ( 6 ) 1 2 )( 1 (1) 1 (6) 1 2 )( 1 (2 2+ + + +=+++ + k k k k k k k k [Izvuemo zajedniki) 1 (+ k ] Izraz6 7 22+ + k kemo rastaviti na inioce upotrebom znanja iz kvadratne jednaine: ) )( ( ......... .......... .......... 02 12k k k k a c bk ak = + + 22341 70 6 7 2212 , 12 = = == + +kkkk k www.matematiranje.com [ ][ ][ ]66 7 2 ) 1 (66 6 2 ) 1 (6) 1 ( 6 ) 1 2 ( ) 1 (22+ + +=+ + + +=+ + + +=k k kk k k kk k k k4Dakle:) 2 )( 3 2 ( ) 2 (232 6 7 22+ + = + + = + + k k k k k k Vratimo se u zadatak: 6] 6 7 2 )[ 1 (2+ + +=k k k6) 2 )( 3 2 )( 1 ( + + +=k k k 3) Dokazati da je: 1 2 ) 1 2 )( 1 2 (1...5 313 11+=+ + ++ nnn n i)Proverimo da li je tvrdjenje tano za n=1 31311 1 21) 1 1 2 )( 1 1 2 (1= + =+ tano!!! ii)Pretpostavimo da je tvrdjenje tano za n=k 1 2 ) 1 2 )( 1 2 (1...5 313 11+=+ + ++ kkk k iii)Dokaemo da tvrdjenje vai za n=k+1. Prvo da vidimo ta treba da dokaemo! 3 21) 3 2 )( 1 2 (1) 1 2 )( 1 2 (1...5 313 11++=+ +++ + ++ kkk k k k Dokazemo kao i obino poeti od indukcijske hipoteze 1 2 ) 1 2 )( 1 2 (1...5 313 11+=+ + ++ kkk k na obe strane emo dodati) 3 2 )( 1 2 (1+ + k k ) 3 2 )( 1 2 (11 2 ) 3 2 )( 1 2 (1) 1 2 )( 1 2 (1...5 313 11+ +++=+ +++ + ++ k k kkk k k k ovo treba da se sredi na 3 21++kk 5) 3 2 )( 1 2 (1 3 2) 3 2 )( 1 2 (1 ) 3 2 () 3 2 )( 1 2 (11 22+ ++ +=+ ++ +=+ +++k kk kk kk kk k kk ) 1 )( 1 2 () 1 (212) )( ( 1 3 22 12+ + =+ + = = + +k kk kk k k k a k k Vratimo se u zadatak: 3 21) 3 2 )( 1 2 () 1 )( 1 2 (++=+ ++ +=kkk kk k 4) Dokazati da je n n2 51+ deljiv sa 3 i) Za n=1 3 2 12 5 2 5 2 51 1 1 1= + =+ = + = + o n n

Tano ii) Pretpostavimo da je tvrdjenje tanoza n=k to jestda je k k2 51+ deljivo sa 3 iii) Dokaimo da je za n=k+1 izraz deljiv sa 3: k kk kk kk k n n2 2 5 52 2 5 52 2 52 5 2 511 11 1 11 1 1 1 + = + = + =+ = ++ + + Vai: n m n ma a a =+ Napiimo kao trik: 1 1 15 2 5 3 5 5 + = k k k to jest 5 = 3 + 2 www.matematiranje.com 12141 30 1 3 2212 , 12 = = == + +kkkk k6 ) 2 5 ( 2 5 32 2 5 2 5 31 11 1k k kk k k+ + = + + = Ovde je sigurno deljivo sa 3. Zato? Izraz 15 3k je deljiv sa 3 zbog inioca trojke. Izraz) 2 5 ( 21 k k+ je deljiv sa 3 zbog nae pretpostavke da je k k2 51+ deljiv sa 3. Ovim je dokaz zavren. 5) Dokazati da je broj n n n3 3 62 2+ ++ deljiv sa 11 Reenje: i) za n=1 je 1 3 2 2 23 3 6 3 3 6 + + = + ++ n n n

11 6 663 27 36 = =+ + =

tano ii) pretpostavimo da je broj k k k3 3 62 2+ ++ deljiv sa 11 iii) odradimodokaz za n = k+1 = + + = + + = + += + ++++ + + ++ + + +k k kk k kk k kk k k3 3 3 3 6 363 3 3 3 6 63 3 63 3 62 21 1 2 2 21 1 2 2 21 2 1 ) 1 ( 2 ) (n m n ma a a =+ Sad treba neka ideja!!! Poto uz k 26imamo 36 trojke uz 23 + k i k3emo napisati kao 36-33 Dakle: ) 3 3 ( 33 ) 3 3 6 ( 363 33 3 36 3 33 3 36 6 362 2 22 2 2k k k k kk k k k k+ + + == + + + + ++ Izraz) 3 3 6 ( 362 2 k k k+ ++ je deljiv sa 11 zbog indukcijske pretpostavke, a izraz ) 3 3 ( 332 k k++zbog broja 33=311 Ovim je dokaz zavren. 6) Dokazati da za ma koji prirodni broj1 > nvai nejednakost: 241321...2111> + ++++ n n n Pazi, poto kae1 > nprva stavka e biti da ispitamo da li je tvrdjenje tano za n=2 7 i)n=2 24141274131= = +24132414>tano tvrdjenje ii)pretpostavimo da je tano za n=k 241321...2111> + ++++ k k k iii)da dokaemo da je tvrdjenje tano za n=k+1 dakle treba da dokaemo: 2413) 1 ( 2121...3121>++ + ++++ k k k k Moramo upotrebiti novi trik!!! Obeleimo sa: k k kSk21...2111+ ++++= (2413>kS , po pretpostavci) i ) 1 ( 211 2121...31211++++ + ++++=+k k k k kSk Odredimo razliku k kS S +1!!! + ++++++++ ++++= +k k k k k k kS Sk k21...2111) 1 ( 211 21...31211 k k k k k k k k 21...2111) 1 ( 211 2121...3121 ++++++ + ++++= = svi se skrate sem: 0) 1 )( 1 2 ( 21) 1 )( 1 2 ( 22 4 1 2 2 2) 1 ( 2 ) 1 2 () 1 ( 2 ) 1 2 ( 1 ) 1 ( 2 111) 1 ( 211 21>+ +=+ + + + +=+ ++ + + + =++++=k kk kk k kk kk k kk k k Ovo je sigurno pozitivno jer je0 > k0 1 2 > + ki0 1> + kwww.matematiranje.com 8Dakle: 01> + k kS Sodnosno: 24131> >+ k kS Sindukcijska hipoteza pa je 24131 >+ kS Ovim je dokaz zavren!!! 7) Dokazati da je: 22 nn>za svako5 n Reenje: Dokaz poinjemo za5 = n i) 5 = n2 55 2 > 25 36 >tano ii) Pretpostavimo da je tvrdjenje tano za n=k dakle 22 kk> iii)Dokaimo da je tvrdjenje tano za n=k+1 znai, treba da dokaemo: 2 1) 1 ( 2 + >+kk I ovde je potrebna nova ideja!!! Posmatrajmo izraz 211 +n. 22221 211 11 2 111n n n n n+ + = + + = +poto je 51 15 nn i251 12 n onda je 2515211 211122+ + + + = +n n n 2) 1 (21 11225111251521222 2>222) 1 (22kkkk pomnoimo ih! (levu sa levom i desnu sa desnom stranom) 222) 1 (2 2 kkkk+> + >+ 2 1) 1 ( 2 kk a ovo smo i trebali da dokaemo www.matematiranje.com 1 Aritmetiki niz: Podjimo od dva primera: Primer 1: ,... 11 , 9 , 7 , 5 , 3Primer 2: ,... 40 , 45 , 50 , 55Nije teko zakljuiti da e u prvom primeru nekoliko sledeih lanova biti 13,15,17, jer se svaki sledei lan poveava za dva. U drugom primeru e nekoliko sledeih lanova biti 35,30,25, jer se svaki sledei smanjuje za 5. Kako vidimo , niz moe biti rastui ili opadajui. Ovakvi nizovi u kojima je razlika ma koja dva uzastopna lana konstantna nazivaju se Aritmetiki nizovi ili aritmetike progresije. Vrlo je vano od kog broja poinje niz, pa se on zove prvi lan niza i obeleava se sa 1a . Za primer ,... 11 , 9 , 7 , 5 , 3 prvi lan niza je31 = aZa primer,... 40 , 45 , 50 , 55 prvi lan niza551 = aRazlika (diferencija) niza je broj za koji se niz poveava (smanjuje) i obeleava se slovomd . 1 2 3 1 2... = = = =n na a a a a a dZa primer ,... 11 , 9 , 7 , 5 , 3 2 = d(raste niz) Za primer ,... 40 , 45 , 50 , 55 5 = d(opada niz) Nekad e nam biti potrebno da nadjemo stoti, hiljaditi ili bilo koji drugi lan niza. Slaete se da je naporno pisati ih redom. Tu nam pomae formula za n-ti lan niza: 1( 1)na a n d = + Ako trebamo sabrati prvih n-lanova niza,tu vai formula: [ ]12 ( 1)2nnS a n d = + ili 2) (1 nna a nS+=Za svaki aritmetiki niz jo vai( aritmetika sredina) : 1 12n nna aa ++= ili2j n j nna aa+ += 1 ,..., 2 = n jwww.matematiranje.com 2 Ako izmedju brojeva a i b treba umetnuti (interpolirati) k-brojeva tako da zajedno sa a i b ine aritmetiki niz, onda razliku d tog niza traimo po formuli1 +=ka bdZadaci: 1)Peti lan aritmetikog niza je 19 a deseti lan niza je 39. Odrediti niz. Reenje: 3919105==aa Aritmetiki niz je potpuno odredjen ako znamo prvi lan 1ai razliku d. Da bi nali ove 2 nepoznate primeniemo formulu za n-ti lan niza: d n a an) 1 (1 + =za19 4 51 5= + = = d a a nza39 9 101 10= + = = d a a nSastaviemo sistem jednaina: _______ __________1139 9) 1 ( / 19 4= + = +d ad a _______ __________1139 919 4= + + = d ad a ==420 5ddvratimo se u jednu od jednaina 319 1619 4111== += +aad a Znai prvi lan niza je 3 a poveava se za 4 pa je niz:3,7,11,15,19, Njegov opti lan e biti: 1 44 ) 1 ( 3) 1 (1 = + = + =n an ad n a annn 3 2)Nadji prvi lan 1ai diferenciju d aritmetikom nizu ako je : 103 5 2= + a a ai179 2= + a a Reenje: Ovakav tip zadatka reavamo pomou opteg lana: + = d n a an) 1 (1d a ad a ad a ad a a8241 91 31 51 2+ =+ =+ =+ = Zamenimo ovo u 2 date jednaine: 103 5 2= + a a a 2 917 a a + =___ __________ __________ __________1 11 1 117 ) 8 ( ) (10 ) 2 ( ) 4 ( ) (= + + += + + + +d a d ad a d a d a ________ __________ __________1 11 1 117 810 2 4= + + += + + +d a d ad a d a d a 11__________________113 10 sa -22 9 172 6 202 9 17a d pomnoimoa da da d+ = + = = + = 13 3 = =dd 13 10 310 3111= = = +aad a Znai niz je opadajui I glasi 13,12,11,10,9,8,7, www.matematiranje.com 4 3)Odrediti aritmetiki niz ako je:0 10 55 1= + a ai414 S =Reenje: 15 11 11 111( 1)45 10( 4 ) 05 10 40 015 40 03 8 0na a n da a da a da a da da d= + = ++ + =+ + =+ =+ =

[ ][ ][ ]414 111142 ( 1)242 (4 1)214 22 32 3 7nSnS a n dS a da da d== + = + = ++ = Sad ove dve jednaine upakujemo : ______ __________ __________11) 3 ( / 7 3 22 / 0 8 3 = + = +d ad a __ __________ __________1121 9 60 16 6 = = +d ad a 0 24 3 0 8 3321 71 1= = + = =a d add 824 311==aa Znai niz je : 8,5,2,-1,-4, 4) Izraunati n i na u aritmetikoj progresiji za koje su: 245521===nSda Znai ovde nam treba nwww.matematiranje.com 5 [ ][ ][ ][ ]0 490 55 4901 5 4905 5 422455 ) 1 ( 2 22245) 1 ( 22221= = = + = + = + =n nn nn nnnnnd n anSn Dobili smo kvadratnu jednainu po n. 490 , 1 , 5 = = = c b a21,21,21 2421 99109810,10b b acnann n === = Nemogue Znai :10 = nje jedino reenje 1101010( 1)2 (10 1) 52 4547na a n daaa= + = + = += 5) Zbir prva tri lana aritmetikog nizaje 36, a zbir kvadrata prva tri lana je 482. Odrediti niz. Da postavimo problem: ________ __________ __________2322213 2 148236= + += + +a a aa a a Iskoristiemo da jed a ad a ad n a an2) 1 (1 31 2___ __________ __________1+ =+ = + = www.matematiranje.com 6 ______ __________ __________ __________ __________2121211 1 1482 ) 2 ( ) (36 ) 2 ( ) (= + + + += + + + +d a d a ad a d a a 1 1113 3 36Odavdeemo izrazitii zamenitiudrugu jednainu sistema1212a d aa da d+ =+ == . 2 2 22 2 22 222211(12 ) (12 ) (12 2 ) 482(12 ) 12 (12 ) 482144 24 144 144 24 4822 432 4822 502525 5512 57d d d d dd dd d d ddddd dZa daa + + + + = + + + = + + + + + =+ ==== = == =

Ili 11512 517Za daa= = += Dakle, postoje 2 takva niza: 7,12,17,22,27, 17,12,7,2,-3, www.matematiranje.com 7 6) Reiti jednainu:210 ... 11 7 3 = + + + + x Uoimo najpre da se ovde radi o zbiru prvih n lanova aritmetikog niza i da je : 2107321====nnSx aaa ?21043__ __________1= ====nna xSda Dakle:[ ][ ][ ][ ]0 210 22 2102 422104 4 622104 ) 1 ( 3 22210) 1 ( 22221= ++ =+ = + = + = + =n nn nnnnnnnd n anSn Kvadratna po n

1,2121 41410424nnn === Dakle 10 = n10 19 3 94 3 36 3939x a a dx= = + = + = + == www.matematiranje.com 8 7) Aritmetiki niz ima 20 lanova. Zbir lanova koji su na parnim mestima je 250, a zbir lanova na neparnim mestima 220. Nai dva srednja lana. Postavimo prvo problem: 220 ...250 ...19 3 120 6 4 2= + + += + + + +a a aa a a a Na ovaj nain smo ustvari dobili 2 niza sa po 10 lanova iji su zbirovi : za prvi 250 i za drugi 220, a kod oba dva niza je razlika 2d. Primeniemo formula za[ ] d n anSn) 1 ( 221 + =Za prvi niz [ ][ ]10 2222 2 11102 (10 1) 22250 52 182 18 509 2510 25S a da da da d a a da d= + = ++ =+ = = + + = Za drugi niz [ ][ ]10 1111102 (10 1) 22220 52 182 18 449 22S a da da da d= + = ++ =+ = Sad pravimo sistem: ______ __________ __________11) 1 ( / 22 925 10 = += +d ad a _ __________ __________1122 925 10 = = +d ad a Pa je5 25 30 31 1 = = + = a a dZnai niz je : -5,-2,1,4,7, Srednji lanovi su 10ai11a25 30 5 1022 27 5 91 111 10= + = + == + = + =d a ad a a 9 8) Izmedju brojeva -5 i 30 umetnuti aritmetiki niz od est lanova. Koliki je zbir svih osam lanova? U ovom zadatku emo iskoristiti formulu : 1 +=ka bd6305== =kba 57351 6) 5 ( 30= =+ = dNiz je -5,0,5,10,15,20,25,30pa je 51 = a i 308 = a100 25 42) 30 5 ( 82) (81= =+ =+=Sa a nSnnDakle 1008 = S 9) Stranice pravouglog trougla su uzastopni lanovi aritmetikog niza za koji je d=3. Odredi duine tih stranica. Vai pitagorina teorema:2 2 2c b a = + Poto je3 = d6 23+ = + =+ = + ==a d a ca d a ba a Zamenimo ovo u Pitagorinu teremu: 2 2 2c b a = +10 0 27 60 36 12 9 636 12 9 6) 6 ( ) 3 (222 2 22 2 2= = + ++ + = + + ++ = + +a aa a aa a a a aa a a 1,2126 1229,3aaa=== Dakle stranice su: 15 6 9 612 3 9 39= + = + == + = + ==a ca ba 10) Odrediti x tako da brojevilog2, log(x2 -1), log(x2 +3) budu uzastopni lanoviaritmetikog niza. Upotrebiemo21 1 + +=n nna aa tj,23 12a aa+=222221,212log 2, log(2 1), log(2 3)log 2 log(2 3)log(2 1)22log(2 1) log 2(2 3)log(2 1) log 2(2 3)(2 1) 2(2 3)..... 2( 1) 2( 3)2 1 2 64 5 04 6251x xxxx xx xx x xsmena tt tt t tt tttt ++ + = = + = + = + = = + + = + ==== www.matematiranje.com 11 Vratimo se u smenu:5 2 =x ili1 2 =x 2log5 x =nemoguewww.matematiranje.com

1 Geometrijski niz Podjimo od dva primera: Primer 1:3,6,12,24,48 ... Primer 2:81,27,9,3, ... Paljivim posmatranjem moemo zakljuiti da je svaki sledei lan niza uprimeru 1.3,6,12,24,48 ...2 puta vei od predhodnog lana , pa e sledei lanovi biti,482 96, 962 192,... = =U primeru 2.81,27,9,3, ... primeujemo da je svaki sledei lan tri puta manji od predhodnog, pa bi sledei lanovi bili1 1 13: 3 1,1: 3 , : 3 ,...3 3 9= = =Ovakvi nizovi zovu se geometrijski i kao to vidimo , mogu biti rastui (primer 1.) i opadajui (primer 2.) Dakle: Niz brojeva u kome je kolinik ma koja dva uzastopna lana niza stalan zove se geometrijski niz ili progresija. Naravno i ovde je vano od kog broja poinje niz, pa se taj broj zove prvi lan niza I obeleava se sa 1b . za primer 1.31 = b ,62 = b ,,... 123 = bza primer 2.811 = b ,272 = b ,,... 93 = b = = = =qbbbbbbnn1 2312... kolinik niza za primer 1.2 = q (rastui niz) za primer 2. 31= q(opadajui niz) Ako znamo 1b(prvi lan niza) i q (kolinik niza) niz je potpuno odredjen , odnosno moemo da ga zapiemo. Bilo koji lan niza ( n-ti lan ) se trai po formuli :

11nnb b q = Zbir prvih n-lanova niza se traii) 1 > q ii)1 < q 1) 1 (1=qq bSnn

qq bSnn=1) 1 (1 Za svaki lan niza vai: 1 1geometrijska sredinan n nb b b +=

www.matematiranje.com 2 primer 1 Odrediti geometrijsku progresiju kod koje je30 154 2 3 1= + = + b b b b 30154 23 1= += +b bb bIskoristimo formulu : 11nnb b q = po njoj je:

23 12 134 1b b qb b qb b q= = = Zamenimo ovo u postavljeni sistem: 21 131 1____________________1530b b qb q b q+ =+ = Izvuemo zajedniki iz obe jednaine: _ __________ __________212130 ) 1 (15 ) 1 (= += +q q bq b Ovde je trik da se jednaine podele. 1b2(1 ) q +1b2(1 ) q q +1530= Skratimo ta moe ! 221 1= = qq Vratimo se u jednu od jednaina: (naravno biramo laku). 3 15 ) 4 1 (15 ) 1 (1 121= = += +b bq b Traeni niz je : 3,6,12,24,48, Ako izmedju brojeva a i b treba umetnuti (interpolirati) k brojeva tako da zajedno sa a i b ine geometrijski niz, onda kolinik q tog niza traimo po formuli : 1 +=kabq www.matematiranje.com 3 Zadaci: 1) Izraunati deseti lan geometrijskog niza 1,3,9,27... ,... 27 , 9 , 3 , 14 3 2 1b b b b Iz tog niza zakljuujemo da je:11 = b i 3 = q Poto se bilo koji lan niza rauna po formuli 11nnb b q = to e deseti lan biti :

10110 1910 1910910101 3319683b b qb b qbbb= = = == 2)U geometrijskom nizu je :40 8 2161 3 4 6= = + = nS b b b bIzraunati 1a ,q in6 43 1__________11216840nnnb bb bSb b q = === 56 134 123 1b b qb b qb b q= = = Zamenimo u prve dve jednaine! = = ______ __________12131518216b q bq b q bizvuemo zajedniki = = ________ __________212 318 ) 1 (216 ) 1 (q bq q bpodelimo ih1b3 2( 1) q q 1b2( 1) q 3 3 32121 1 1216827 3 3( 1) 8(3 1) 8 8 8 1q q qb qb b b== = = = = = = 4 Poto je1 3 > = qkoristimo formulu 1) 1 (1=qq bSnn 41 (3 1)403 13 14023 1 803 813 3 4nnnnnn = = === = 3)Tri broja, iji je zbir 26, obrazuju geometrijski niz. Ako se im brojevima doda redom 1,6 i 3, dobijaju se tri broja koja obrazuju aritmetiki niz. Odrediti te brojeve. Neka su tri broja : 2 , 1b bi 3bI vai :263 2 1= + + b b ba kako je 21 3 1 2q b b q b b = =2621 1 1= + + q b q b btj. 26 ) 1 (21= + + q q bAko im dodamo redom 1,6 i 3 dobiemo : 3 36 6121 3 31 2 21 1+ = + =+ = + =+ =q b b aq b b ab a Poto oni ine aritmetiku progresiju, mora biti : 23 12a aa+=tj,1 3 12a a a = + + = + + + ) 6 ( 2 ) 3 ( ) 1 (121 1q b q b b sredimo 8 ) 1 2 (3 1 12 212 2 3 1211 121121 1= + = + + = + + +q q bb q b q bq b q b b Napravimo sada sistem: = + = + +____ __________ __________21218 ) 1 2 (26 ) 1 (q q bq q b podelimo ih www.matematiranje.com 5 0 9 30 94 4 4 13 26 13) 1 ( 4 ) 1 2 ( 132 : / ) 1 ( 8 ) 1 2 ( 268261 2122 22 22 222= + + + = + + + = + + + = + =+ + +q qq q q qq q q qq q q qq qq q = + 0 3 10 32q qkvadratna po q 31368 102 38 102 12 , 1= ===q qq 1 2 326 2621 13Za qbq q== = =+ +

11 326 26181 1 1319 3 9Za qb== = =+ + Reenja Reenja 2,6,18Geometrijski niz 18,6,2Geometrijski niz 3,12,21Aritm. Niz19,12,5Aritm. Niz 4) Izraunati zbir n brojeva oblika 1, 11, 111, 1111 1, 11, 111, 1111, Trik je napisati brojeve drugaije: 91 1091 100011191 1091 1001191 10132===== .itd.www.matematiranje.com 6 ... 111 11 1 + + + =nS = 2 32 32 210 1 10 1 10 1 10 1...9 9 9 9110 1 10 1 10 1 ... 10 1 Pazi: ima n jedinica...91[10 10 ... 10 ]ovde je10 10 ... 10geometrijski niz9nnn nn = + + + + = + + + + = + + + + + +

Geometrijski niz101 = b 10 = q

1( 1)1nb qSq=