libro psu matematica uc parte 8

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

CAPÍTULO 11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULOTest N° 11: Proporciones .en ;el círculo

1) En la circunferencia de la figura adjunta, P A = 10 cm, AJ3 = 6 cm y PC = 8 cm, entonces CD =p

A) 4,8 cm

B) 7,5 cm

C) 12 cm

D) 16 cm

E) 20 cm

D

2) En una circunferencia de centro 0, las cuerdas RS y TU se intersectan en P. Si RP = 15 cm,PS =18 cm, y TÍ' : PU= 3: 10, ent?ncesoPU =

A) 3 cmB) 9 cm

e). 20-H cm

D) 25n cm

E) 30 cm

3) En la figura adjunta, AB es tangente a la circunferencia' en el punto B. ¿euál(es) de las siguientesproposiciones es(son) .siempre verdadera(s)?

1) <t:BDe:= <t:ABe

II) !; DBC es isósceles con base BD

In) (AB)2=AD.Ae

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y In

E) 1, II Y III

4) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, la medida de la cuerda ABes

A) 4 cm

B) .7 cm

e) 8 cm

D) 12 cm

E) 16 cm

326

A

I,!i'~ TERCER EJE TEMÁTICO / Test W 11, PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

5) Si en' la circunferencia de,centro O de la figura adjunta:OA 1. Be. Si OM = 8 cm y OA = 17 cm;

¿cuánto mide la cuerda BC?

A) 30 cm

B) 15 cm

• .1 lAI Oe) 12J2 cm

D) )145 cm

~E) 2m cm

6). En la circunferencia de la figura adjunta, PT es tangente a la circunferencia en T, PB = 16 cm yPT = 8 cm. ¿Cuánto mide el segmento externo de la secante?

A) 2 cm

B) 4 cm

e) 6cm

O)' 8 cmB\ /Á 'p

E) 48 cm

7) En la circunferencia de centro ° y radio 4 cm de la figura adjunta, PA = 8 cm y PC = 9 cm ,entonces PD =

A) 12 cmP

B) 14~ cm9

e) 17,8 cm

O) 18 cm

E) 135 cmD

8) En la circunferencia de la figura. adjunta, las cuerdas AB y CD se cortan en M. Sabiendo queAM = 8 cm, MB = 6 cm y CM = 12 cm, entonces MD =

A) 4 cm

B) 3 cm

e) 2cm

O) 1,5 cm

E) 1 cm

C

327 .


9) En una circunferencia, los segmentos de, una de dos cuerdas que se cortan miden 8 y 9 cm,'respectivamente. Sabiendo que uno mide el doble que el otro, las medidas de los segmentos de laotra cuerda son

A) 5 cm y 10 cm

B) 7 cm y 10 cm

C) 8 cm y 16 cm

D) 6 cm y 12 cm

E) 7 cm y 14 cm

10) En la circunferencia de la figura adjunta, las cuerdas AB y CD se cortan en P. Sabiendo que

AP= x + 4, 'PB = x , CP. '= 3 cm y PD =·4 cm ,el valor de x es

DA) 4 cm

B) 3 cm

e) :2 cm

D) 1,5 cmA\ '1 /B

; E) -6 cm

11) En la figura adjunta, PD = 40, CD = 10 Y PB = 60, entonces AB

C

20A) -

3

B) 15 FC) 20

D) 40

E) 45

12) En la figura adjunta, PB y PD son dos secantes a la circunferencia de centro O. Sabiendo que

PA = 1cm, AB = S cm y PD = ·12 cm, entonces los segmentos pe y CD miden,respectivamente:

A) 0,5 cm y 11,5 cm

B) 0,5 cm y, U cm

C) 6 cm y 12 cm

D) 1 cm y ncm

E) 1,5 cm y 12 cm

,. 328

í

.D

,p

TERCER EJE TEMÁTICO I TestN° 11, PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

13) Desde el punto P se han trazado la tangente PT y la secante PB a la circunferencia de centro O.

¿Cuál de las ecuaciones siguientes permite determinar correctamente el valor de PA?

A) (PT)2 = PA . PB

B) (PT)2 = PA . AB

• C) (PT)' ';'AB . BP( A \ ~P

D) (PA)2 =PT . AB

E) (PB)2 = PA . PT~,

14) En la figura adjunta, NQ es tangente a la circunferencia de centro O y' desde N se ha trazado la

secante NP que pasa por el centro. Si NM = 4 cm y NQ = 12 cm, entonces el radio de lacircunferencia mide

A) 8 cm

B) 10 cm /' I -lP

e) 16 cm

D) 18 cm N

E) 32 cm

15) La circunferencia de la figura adjunta tiene centro B, AC = !:l'cm, Be = 3 cm y !!.. BCE esrectángulo en e. Entonces el perímetro del triángulo EeD, en cm, es

.......-----...EA) 6 + 2.Js

B) 6 + 2m( ,,1 )DAle) 8 + S..Jj

D) 10 + S..Jj

~E) 10+ 4..Jj

16) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. Si Be = AE = 3 cm y De = EB = 4cm,

entonces ED = E

A) 1 cm

lB=---c

B) 2 cm

Aí Oe) 3 cm

D) 5 cm

-----------329

E) 6 cm


17) En la figura adjunta se tiene: AB > BC. Si Ae = 29 cm, BE = 14cm y DB = 12 cm, ¿cuál es la

medida de AB?

A) 21 cm

B) 20 cm

e) 18 cm .

D) 12 cm

E} 8 cm

18) En lafigura adjunta, la tangente' AB mide 28 'cm y desde A se ha trazado la secante Ae que no pasa

por el centro O. Si g~ = 3. entonces AC mide

A) 14 cm

B)'2lcm

ci 2~ cm

D) 42 cm

E) 56 cm C

19) En la figura adjunta, AB y eD son dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia de centro O, nosiendo ninguna de ellas un diámetro. De las igualdades siguientes, ¿cuál(es) es(son) correcta(s)?

1) AE . EB = CE . ED

Ir) AB . DC = CE . ED

III) CE· ED = (AB)'

Sólo

Sólo Ir

Sólo III

A)

B)

e)D) Sólo 1 y III

E) Sólo II y III

20) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia de diámetro eE. Si DE = 3'cm, AD = 4 cm

y DB = 5 cm, entonces el radio r de la circunferencia mide

D

CA) 4cm

B) 4,5 cm

C) 5 cm

-¡ 10:i D) - cm

3

29E) ~cm

6330

E.

TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N" ¡l,PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

21) En la figura adjunta, O es el centro de la semicircunferencia de diámetro AB.. Si CD ..L AB,- - -DE..l oe, AD = 8cm y DB = 2cm, entonces EC mide

A) 1,6 cm

B) 1,8 cm

C) 3,2 cm

Di 3,6 cm

E) 4,0 cm

e

\' !:"b lB

22) En la figura adjunta, CM y eN son tangentes a la circunferencia de centro O. Si AOMe= 20 cm, entonces BC =

15 cmy

A I ,A) fa cm

B) 15 cm

C) 20 cm Al ~ 1- 0CD) 25 cm

E) 30 cm

B

23) ¿A qué distancia 'del centro de una circunferencia se encuentra un punto ubicado en el interior de ella,

sabiendo que su potencia es de 16 cm' y el radio de la circunferencia mide 5 cm?

A) 2 cm

B) 3 cm

C) 4 cm.

D) 5 cm

E) Falta información para determinarlo

24) La circunferencia de la figura adjunta tiene centro O y el triángulo ABD es rectángulo en A. .SiAB = 15cm y Be = 9cm, entonces AD =

,A) 12 cm

B) 16 cm

.C) 20 cm

D) 25 cm

E) Falta información para determinarlo

- '( <: ;D

B

331


25) En la circunferencia de centro O de la figura adjunta; A. B Y e son puntos tales que

AB = Be = 15 cm y AC = 24 cm, Entonces el radio de la circunferencia mide

9cm

12.5 cm

16 cm

25 cm\ ' deA'K

27 cm

A)

B)

C)D)E)

I;l

26) En la figura adjunta. la potencia del punto M respecto de la cÍrcu¿ferencia' de centro O y radio r es

.12 cm2

Si MA = 2 cm. entonces el radio de la circunferencia mide

A) 2 cm

B) 4 cm

'e) 6 cm

D) 10 CmE) Falta información para determínarlo

M

27) En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 'adjunta. ATes tangente en el punto T y AB

es una secante, Si AT = m. entonces una ecuación que permite calcular la longitud del segmentoexterno de la secante es

A) 2rx2- m = O

B) 2rx-m=O

e) x' + 2rx - m ,= O AC ni iBX

D) x2 - 2r x - .m' = O

E) x' + 2 r x - m' = O

28) Para determinar la potencia del punto P respecto de la:circunferencia de ceniro O y radio r = 5 cm sesabe que:

(1) .La distancia de Pa la circunferencia es igual a la mitad del radio,

(2) P está en el exterior de la circunferencia,

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por si sola. (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

332

TERCER EJETEMÁ TICO I Test N" 11. PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

,l· 29) En la figura adjunta. O es el centro de la circunferencia, AT es tangente a la circunferencia en el

punto T y AO = Be ' Se puede determinar la I?ngitud del radio de la circunferencia si:

(1) AT = 5 J3cm

(2) BT = 5cm

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)

El Se 'requiere información adicional

AC ~I x Ic

30) En la circunferencia de la figura adjunta. MN = 9 cIp, Se puede determinar.la medida de RS si:

(1) NP = 2, PM

(2) MNJ. RS

A) (1) por sí sola'

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas; (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) Ó (2)


M

N

RESPUESTAS CORRECTAS

333

~1'1

1I

III

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

11'

CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEI; ESPACIOTest N° 12: Geometría del espacio

1) De los conceptos presentados a continuación, ¿cuál es el único de ellos que no corresponde a unconcepto básico o primitivo?

.A) puntoB) rectaC) planoD) espacioE) poliedro

2) Un plano, en.el espacio, queda completamente determinado por

1) Tres puntos. no colineales (no: alineados)

TI) Una recta y un punto exteriora dicha recta

1lI)" Dos rectas secarites

IV) Dos rectas paralelas

De acuerdo a los postulados 'de la Geometría .del espacio acerca de la determinación de un plano, delas afirmaciones' anteriores, es(son) verdadera(s): .

A)' Sólo I y III

B) Sólo TI, III Y IV

C) Sólo TI y IV

D) Sólo I, III y. IV

E) Todas

3) Una escalera de tres patas, -dispuestas en forma de triángulo equilátero, es más estable y segura queuna de' cuatro patas debido a que:

1) Un tríángulo es siempre plano, en cambio un cuadrilátero no siempre lo' es

.II) Tres puntos no alineados determinan un plano

'III) Es falso que una' escalera de tres patas sea más segura que una de cuatro

De las afirmaciones anterioi:es, es(son) verdadera(s):

A)

B)

C)D)E) Ninguna. de las anteriores

4) Se dan dos 'planos. perpendiculares a y ~. Entonces, con respecto a ese hecho,. es correcto afirmarque:

A) No necesariamente' se' cortanB) Todas las rectas de a son perpendiculares a ~ y viceversaC) Toda recta perpendicular a la intersección de a y ~ , debe estar contenida en uno de ellosD) Toda recta paralela a a es paralela' a.~ y viceversa

. E) Todo plano perpendicular a la intersección de a y ~ ; es perpendicular. a ambos

Sólo I

Sólo Il

Sólo ID

Sólo I ó II

Para los aspectos teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e.E.), se recomienda nuestro Manual de Preparación. P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006. .

334

I¡1;

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 12, GEOMETRÍA DEL ESPACIO

'\.

5) La intersección entre 'dos planos cualesquiera, no necesariamente distintos'; en el espacio puede ser

1) El conjunto vacío

Il) Un punto'

III) Una recta

IV) Un plano

De las afirmaciones anteriores, es(son) verdadera(s):

A) Sólo I y III

B) Sólo II, ID Y IV

C) Sólo ID y IV

D) Sólo 1, III Y IV

E) Sólo I, II Y III

6) ¿Cuánto; poliedros regulares existen cuyas caras sean triángulos equiláteros?

A) l

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

7) La suma de todas las aristas deun cubo es 120 cm, . El área total del cubo y el volumen son;respectivamente

'Ij

A) 600 cm' y 1.900 cm"

B) 600 cm" y 1.728 crrr'

C) 800 cm? y 1.000 crrr'

D) 400 cm' y 1.728 cm3

E) 100 cm" y 1..000 cm3

8) Las tres aristas. que concurren a un mismo vértice de un paralelepípedo recto rectangular son entre sícomo 12 : 4 :' 3. Si la diagonal interior mide 26 cm, ¿cuánto mide la superficie total del paralelepípcdo?

A) 144 cm?

B) 192 cm'

C) 278 cm"

D) 384 cm'

E) 768 cm"

335'

A) 5: 6 A) 10 %

¡¡ B) 5: 9 B) 12 %

I C)'4: 9 C) 2Q%

ID) 1: 2 D) 30 %

E) 25: 24 E) 33,1 %

336 337i :

!~

.PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

9) Una cuña en forma de prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero cuya área es de

16 fi cm'. La altura del prisma es de 10 cm. Entonces, la superficie lateral del prisma mide

A) 80 cm'

B) 120 cm'

C) 160 cm'

D) 240 cm' .

E) 480 cm'10) 'El número total de diagonales de un cubo 'como el de la figura' adjunta es de

A) 4

B) 6

C)10

D) 12

E), 16

11) El volumen de un paralelepípedo recto rectangular, cuya base y caras laterales tienen 15, 10 Y 6centímetros cuadrados respectivamente,' es de

A} 900 crrr'

B) 300 cm"

C) 150 cm?

D) 90 cm'

E) 30 cm'

12) Si un depósito cúbico contiene 125 litros de agua, entonces su arista mide

A) 5 dm

.E) 6,25 dm

ci 10 dm

D) is dm

. E) 50 dm

13) Las alturas de dos conos están en la razónde 5 : 4 y los radios de sus bases' están en la. razón de 2: 3.Luego, Sl\S volúmenes están en la razón

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO .

14) Si a un cubo de arista «a» le quitamos (o extraemos) una pirámide que tiene por arista tres aristas delcubo y tres diagonales de las caras del cubo, entonces el volumen del sólido 'que queda es igual a:

A)2-a3

6

B). 5_a3

6 .

.C) 1536a

D) J636a

E)1 •'3a'

15) La superficie lateral de un cono circular recto es de 65" cm". Su altura mide 12 cm. Su volumenes de

A) 0,1 lt drrr'

B) 0,42lt dm"

C) lt cm'D) lO1tcm3

E) 624lt crrr'

16) En la figura adjunta, A es un punto fuera del plano P. L es una recta del plano P, es decir, está

totalmente contenida en él. AH 1.. P, AB 1.. L Y M es un punto de la recta L distinto de B.Entonces, con respecto a las longitudes AB, AH Y AM, es correcto afirmar que:. .,

A) AH < Atv! < AB

B) AH <AB<AM

C) AB < AM:< AH

D) AM< AH-;:AB

E) AM <AB<AH

A'

~

17) Cada una de las aristas de un cubo metálico se incrementa, por ~fec(os de la dilataciÓ~ lineal, en un10%. ¿Cuál es el porcentaje de incremento en su volumen? .

PSU. Cuaderna de Ejercicios, Matemáticaii:'~'~ TERCER EJE TEMÁTICO I Test N° 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO"!'¡.

22) Se da el sector circular de la figura adjunta, con las dimensiones indicadas en él. Se desea construirun cono circular recto, a modo de cucurucho de papas fritas, uniendo- los lados rectos del sector.¿Cuál de los dibujos siguientes representa mejor el cono en cuestión?

A) B}

18) Se da un cubo de 3 drn de arista. Usando como arista la diagonal interior de dicho cubo se construye.otro cubo cuyo volumen es igual al del primero multiplicado por el factor

A) 3

B) ..fj

C) -2..fj

D) 3..fj

E) ifj

19) Se tiene una e~ferade 20 cm de diámetro. Se corta dicha esfera por un plano que determina una- circunferencia de 8 cm de: radio. ¿A qué distancia se encuentran los centros de la circunferencia y de

la esfera?

A) -8 cm

B) 7'cm

C) 6 cm

D) 5 cm

E) 4 cm

--"",-- ..• -

C) , D)

20) Se tiene un tetraedro regular de 2 m de arista. Encontrar el área de la sección que resulta al cortar eltetraedro por un plano que pasa por una arista cualquiera y el punto medio de la arista opuesta.

A) 2 m2

B) .J2 m2

C) . J6 m2

D) 2..fj m2

E) 3.J2 m2

21) ¿Qué valor debe tener el radio de una esfera para que el número que exprese su superficie sea igualal que exprese su volumen?

... -------- ti~~~~~~ •.• --,-----n 4c¡n--'-------

2A) -

3

B)

I E)4C) '3

D) 2

!I E) 3

339-,

II 338

PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemática

23) El gráfico que mejor representa la relación entre la arista x de un cubo, y su superficie total y, es:

Ir~ TERCER EJE TEMÁTICO /Test N' 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO

24) Para que el volumen de un cubo aumente al doble, la arista debe aumentar, aproximadamente, en un

A) 24%

B) 25%

C) 26%

D) 2.7%

E) Se requiere conocer la medida de la arista .

Un recipiente en' forma de cono circular recto cuyas dimensiones son 10 cm de radio basa! y 10 cm de. altura puede contener alrededor de 1 litro de agua si se llena casi hasta el borde. Si quisiéramos

1reducir su capacidad de tal modo de que sólo pudiera contener '8 de litro, mediante una sección

hecha por un plano paralelo a la base del cono, entonces, ¿a qué distancia de la cúspide tendríamosque trazar el plano?' .

A) a 1,25 cm

B) a 2,5 cm

e) a 3,75 cm

D) a 5 cm

E) .a 7,5 cm

26) Se tiene una hoja rectangular de cartulina de 80 cm x 60 cm. Se hace girar en torno del lado de 80cm, formándose un cierto sólido geométrico. En seguida se hace girar en torno al lado de 60 cmformándose otro sólido. La razón entreel volumen del primer sólido y el segundo es de

y6/25)

A)

°1 X1

Y6

B)X

y

e)X

y6

D) o X

E)6X

y

1

340

A) 3: 4

B) 1: 2

C) :2: 3

D) 4: 3

E) 3: 2

. 27) Un cilindro circular recto que tiene diámetro y altura de igual longitud está inscrito en un conocircular recto. El cono' tiene diámetro 10 y altura 12 y los ejes del cono y' del cilindro coinciden. Entales condiciones, el radio «rx del cilindro es igual a . .

Al 83

30E) -

11.~12

e) 3 ~~~m~J25D) -8

7E) -

2

341


28) .Se desea calcular o determinar el volumen de un recipiente esférico cuyo radio no se conoce .. Sinembargo se sabe que:

(1) La esfera puede inscribirse exactamente en un cilindro de radio basal 10 cm.

(2) Al sumergir la esfera en un recipiente lleno de agua, el agua desalojada por la esfera es

de 4:000 7t cm'3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)


29) Se necesita determinar el número de aristas de un cierto poliedro regular. Para ello se tiene que:

. (1) El número de caras del poliedro es 20

(2) El número de vértices del poliedro es 12

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) 6' (2)

E) ~e requiere información adicional

30) Se desea saber si un cierto poliedro es regular. Para ello se dispone de la siguiente información:

(1) Sus caras son polígonos regulares todas congruentes entre sí

(2) Sus ángulos diedros y/o triedros son congruentes entre sí

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1') y (2)



:i~

rifl'

11

~,1

RESPUESTAS CORREcTAS·

342

_. __ ._--- ---

TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y Ee. VECTORlAL DEL PLANO

CAPÍTULO 13. VECTORES: RECTAS y PLANOSTest N° 13: Vectores: ecuación vectorial de la recta y ecuación vectorial del plano

1) Los puntos A(2, O), E(O, 2) y C(3, 3) forman un triángulo

A) escaleno.

B) isósceles,

C) rectángulo.

. D) isósceles rectángulo.

E) . equilátero.

2) En el triángulo con vértices en los puntos A(J, 2), B(S, 4) y C(3, 6), la mediana paralela a AB estádada por el. vector

A) (1, 2)

B) (2, l)

C) ('-1, -2)

D) (-2, l)

E) (2, -l)

3) I (x, 2) + (-x, 2) I =A) 2

B) 4

C) x

D) 2x

E) o

4) Si la 1= módulo de a y lb I = mÓdulo b, de las operaciones siguientes, la(s) que cárecem) de

sentido es(son):

1). I al b + I ti la II) ¡ a I + ¡ ¡; ¡ + a+b III) liilxlii¡+za-ii

Al Sólo 1

B) Sólo TI

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo II y III

Para los aspectos -teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relaCión a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e. E.), se recomienda nuestro Manual de PreparaciónP.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006.

343


5) Si ¡¡ = (1, O) Y ti =(2,-1), entonces 11 ;¡ 1 a + ¡; 1 =

A) ../lO

B) 3

e) .J81»4

E) 2

6) Si A = (2, 3) Y B = (3, -2), entonces BA =

A) (-1,5)

B) (1,-5)

, C) (5, 1)

D) (1, 5)

E) (-1, -5)

\,

7) Si P Y Q son dos puntos del plano cartesiano entonces PQ + QP

A) 2PQ

B)2QP

e) o. D) P - q

E) q - P

8}El inverso aditivo del vector (3, -4) sumado con el inverso aditivo del vector .(-3, 4) es

A) (3, 4)

B) (-3, -:-4)

e) (-3,4)

D) (O, O)

E) (3, 4)

344

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N° 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTOíUAL DEL PLANO

9) La diferencia entre los vectores (2, 3) Y (-3, 2) tiene la misma dirección del vector

A). (2, 5)

B) (5,2)

C) (-10, -2)

D) (4,3)'

E) (5, -1)

10) La suma de los vectores (4, 7) Y (~l, -1)no tiene la misma dirección del vector

A) (3, 6)

B) (3, 8)'

el" (l,~)D) (9, 24)

.E) (-3, -8)

11) Dados los vectores ¡;= (3, 2), q = (2, -3) Y ;: = (4, 6) , ¿cuál(es) de las siguientes proposicioneses(son) verdadera(s)?

. 1) P - q está en la dirección de. q - r

Il) P + q + ; no está en la dirección de 3q,

1lI) P + q tiene sentido contrario al del vector (-,10, 2).

A) Sólo 1

B) Sólo TI

C) Sólo III

D) Sólo 1 y nEl Sólo Il y III

12) La ecuación (x, 2)+ (- x, 1)= (0,3) tiene

A) una solución.

B) dos soluciones,

C) infinitas soluciones,

D) ninguna solución,

E) un número de soluciones que depende del valor de x.

345

PSU: Cuaderno de Ejercicios. Matemática

13) Si i ='(1, O) y 1 = (O, l) son los vectores dirección de los ejes X e Y del plano cartesiano,entonces es verdadero que

A) (x, y) = y i-x]

E) (x,y)=yj-xi

C) (x, y) = -x i:- y 1

D)' (x, y) = xi + y 3

E) (x, y) = x' i+ y'J, (

14) La eduación (x, 2) + (- x, 1) = (O, x) tiene

A) una solución.

E) solución x = o.e), infinitas soluciones.

D) ninguna solución.

E) un número de soluciones que depende del valor de x.

.15) Un vector .direccíón de la recta que pasa por los puntos (1, 1) Y (1, 5) es

A) (O, 1)

E) (1, O)

e) (2, O)

D) (3, O)

E) (2, 6)

16) La recta que pasa por (2, 6) Y tiene por dirección al vector(l, 2), no pasa por el punto

A) (4, 10)

E) (1, 4)

C) (2, 6)

D) (O, 1)

E) (5, 12)

346

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTORJAL DEL PLANO

17) L . .'. x-2a recta cuyas ecuaciones continuas son _, _

, 1

A) (x, y, z) = (-2, -6, -4) ;: k(l, 2, -3)

E) (x, y, z) = (2, 6, 4) - k(1, 2, -3)

e) (x, y,z) = (2, -6, 4) + k(-l, -2, -3)

D) (x, y, z) = (-2, 6, -4) - k(3,2, 1)

E) (x, y, z) = (4, 6, 2) + k(-:-3,2, 1)'

1'8) La ecuación vectorial de la recta 'que pasa por los puntos '(2, 3) Y (3, -5), no corresponde a

y-62

z-4 . ión vectorial-- tiene por ecuacton vecton a-3 .

A) (x, y) = (2, 3) + a(l, -8)

B) (x, y) = (3, -5) + a (1, -8)

C) (x, y) = (2,3) --'a(-l, 8)

D) (x, y) ;, (3, -5) + a(-2, 16)

E) (x.iy) = (2, 3).+ a(J,-7)

19) De los siguientes vectores, el que no es vector dirección de la recta que pasa por (3, -1) Y (4, -3) es

A) (-1,2)

B) (2,-4)

e) (3, -6)

bj (2, -5)

E) (1, -2)

20) Los puntos P(3, 6), Q(5, 10) Y R(-3, 4) pertenecen al plano IR'. La recta que pasa por el punto medio

de PQ y tiene la dirección de RQ, tiene por ecuación

A) x-4 _ y-86 -~

8

B) x-4 = y-88 ~ 6

e) x+4 _ y~8-6 - -8-

D) x-4._ y+8-6 ---=s

E) x-:-68

y-8-6

347

rsu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

Una ecuación· v~ctorial de la recta que pasa por el punto, (0, 1)-Y tiene vector dirección (3, 4) es

A) (x, y'j = (3, 4) + a(O, 1)

B) IX,y) =a(O, 1)+ (1, -a) (3,4)

e) (x, y) = -a( O, 1) + (3, 4)

D) (x, y) = a (O, 1) + (-3, -4)

E) (x, y) = (O, 1).+ a(3, 4)

¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenecen a la recta con ecuaciones continuas

x-32

y+l

3

z-3'--?

4'

I1) Q (4, 2, 7) Ill) R (1, -4, -1)1) P (3: 4, S)

A) Sólo 1

'B) SólolI

e) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) .Sólo II y ID .

y+6 . .k pasa por el punto (-6, 1), entonces el valor de k es

entonces los valores de a y p tales que: ex ij + P;¡ = w son,

¡IIII

.' x-S23) Dado que la recta de ecuación 2k + 1

. 7A)'--. 25

7B) 25

e) ~5

D) !!5

E)' !!9

24) Si ~=(2, 1), ~={-l, 3) y; ~(5,-1)respecti vamente

A) -2 y

B) 3 Y °5e) - y °2D) .2 Y -1

5E) - y -12

348

TERCER EJE TEMÁ neo I Test N" 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTORIAL DEL PLANO

25) Si un cuadrado es tal que: tiene uno de sus vértices en el origen de un sistema tridimensional; dos desus lados están sobre los ejes X.e Y, y su lado tiene 4 unidades de longitud, entonces si se le trasladaen el vector (O, O, 3), se genera un cuerpo:

l) cuyo volumen es 48.

II) cuya área total es 80.

III) cuyas caras sonsparalelógramos.

De las afirmaciones anteriores ¿cuál(es) es(son) correctafs)?. '.

A) Sólo 1

B) SólolI

e)' Sólo 1y II

D) Sólo 1 y ID

E)l, II yUI

26) Si en el espacio tridimensional, a un círculo con centro en el punto (O, 2, 2) Y radio 3 se aplica unatraslación dada por el vector (- 4, O•. O), entonces el volumen del cuerpo que se genera es

A) 12n

B) 24n

C) 36n

D) 48n

E) 144n'

27) ·¿Cuál(es) de las siguientes cuerpos se puede(n) generar mediante una traslación en el espacio de unafigura geométrica plana?

1) Cono.

Il) Cilindro.

III) Pirámide.

A) S6lo 1

B) S610.II

C) Sólo III

D). S610 1 yIl

E) Sólo Il y III

349

--_._ ..._---


28) Para determinar las coordenadas del vector a se sabe que:

(L) Su magnitud es 5 cm.

(2) Su dirección ese = 45" .

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C). Ambas juntas, (1) y (2).



. 29) Para determinar una ecuaciónvectorial de la recta que pasa por el punto A(I, 3) se sabe que:

(1) T· l . di . , . Id' , . 2 1lene a: misma reccioü que a recta e ecuacrcn y = - x - -3 3

(2) Pasa por los puntos P(4; 2) Y Q(2, -1).

A) (1) por sí sola

B) (2) por' sí sola'

C) Ambas jUÍ1t~, (1) y (2)


E). Se requiere información adiciorial

30) Se quiere determinar la ecuación de un plano.

(1) Se conocen la ecuaciones de dos rectas paralelas contenidas en él.

(2) Se conocen las coordenadas fe dos puntos que pertenecen a. él.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E)' Se requiere información adicional


350

il!~TERCER EJE TEMÁTICO.! BIBLIOGRAFíA ESPECÍFICA

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

'J1) Autor:

Título:Editorial:

2) Autor:Título:Editorial:










12) Autor-Título:Editorial:


t Fallecido el 31 de marzo de 2003

351

Tercer Eje Temático:GEOMETRÍA y TRIGONOMETRÍA

Baldor, J. AurelioGeometría Plana y del Espacio y TrigonometríaCompañía Cultural Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S. A. Ediciones y distribucionesCódice, S. A. Madrid. Edición 1988.

Bruño, G.M.Geometría SuperiorBruño. Madrid, 1964.

Cano,OmerGeometría: 20 y 30 año de HumanidadesLa Salle, Santiago de Chile, 1966.

Cano,OmerGeometría: 40

, 50 Y 60 año de.HumanidadesLa Salle, Santiago d~ Chile, 1966.

Coxeter, Harold Scott Mcüonald'Fundamentos de GeometríaLimusa Wiley, México,1971.

Dokiani, Mary P.Geometría Moderna: Estructura y MétodoPublicaciones Cultural. México, 1971.

Eves, HowardEstudio de las Geometrías. Volumen I.Uteha. México, 1972.

F.G-M.Exercices de GéométrieLibrairieArmandMarné. París, 1920. C*)

F.G-M.Exercices de TrigonométrieLibrairie Armand.Marné. París: 1920. C*)

Keedy -NelsonGeometría, una moderna introducciónCompañía Editorial Continental Sociedad Anónima CCECSA). México, 1968.

Lehmann, CharlesGeometría analíticaUteha. México, 1972.

Lidvinenko, V. Y Mordkóvich A..Prácticas para resolver problemas matemáticos. Geometría ..Editorial Mir, Moscú, 1989.·

Moise-DownsGeometría ModernaAddison-Wesley. Estados Unidos, 1966.

I PSU-.Cuaderno de Ejercicios, Matemática,

14) Autor: -Murdoch, D. C,Título: Geometría Analítica, con vectores y matricesEditorial: Lirnusa Wiley. México, 1968.

15) Autor: Nichols y GarlandTítulo: Trigonometría ModernaEditorial: Compañía Editorial Continental Sociedad Anónima (CECSA). México, 1970.

16) Autor: Oakley, Cletus O.Título: Geometría AnalíticaEditorial: ..Compañía Editorial Continental Sociedad .Anónima (CECSA). México, 1969.

17) Autor: Pendlebury, CharlesTítiIlo: Elementary TrigonometryEditorial: George Bell & Sons. Londres, 1895.(*)

18) Autor: Poenísch, Ricardo. . .Título: Geometría: 2°.y 3° año de HumanidadesEditorial: Editorial Universitaria,. Santiago, 1956,

19) Autor: Poenísch, Ricardo,Título: Geometría: 4°, 5°y 6° año de Humanidades.Editorial: Editorial Universitaria, Santiago, 1956. :

20) Autor: Ritch, BamettTítulo: Geometría Plana con CoordenadasEditorial' McGraw"Hill. Colombia, 197 L Colección Schaum.:

21) Autor: Taylor,.Howard E. y Wade, Thornas L.Título: Geometría Analítica Bidimensional, Subconjuntos del planoEditorial: Limusa Wiley, México, 1974.

22) Autor: Une Réunion de ProfesseursTítulo: Cours de Géoinétrie élémentaire (N' 266 E)Editorial: Librairie Générale de l' enseignement libre. París, 1947. (*)

23) Autor: Une.Réunion de ProfesseursTítulo: Exercices de Géométrie élémentaire (N' 266 M)Editorial: Librairie Générale de l'enseignement libre'. París, 1947. (*)

24) Autor: Une Réunion de ProfesseursTítulo: Cours de Trigonométrie (N' 269 E)EditoriaL Librairie Générale de l'enseignement libre .. París, 1~57. (*)

25) Autor: Une Réunion de ProfesseursTítulo: Exercices de Trigono'métrie (No 269 M)Editorial: Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1957. (*)

26) Autor: Wexler, Ch';lesTítulo: Geometría Analítica, un enfoque vectorialEditorial: Montaner y Simon. España, 1972. (*)

27) Autor: Wylie,C.R.

l'Título: Fundamentos de Geometría

I!Editorial: Troquel.' Buenos Aires, 1968.

;

352

I1:


EJERCICIOS RESUELTOSCUARTO EJE TEMÁTICO: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

1) Dado el conjunto P = {l, 2, 3, 4,5, 6;J, 8, 9 }. Si se elige un número al azar, ¿cuál es la probabilidadde obtener un cubo perfecto?

A)1-9

B)2-9

3C) -

94

,D) -9

SE) -

9

Solución:

Los cubos .perfectos son aquellos números naturales que corresponden a la tercera potencia de otros

números naturales. En este caso son: 1 = 13 Y 8 = 23. Luego hay sólo dos casos favorables sobre uni

total de nueve casos posibles. De tal modo que la probabilidad buscada es:2

P = -9

Observaciones y comentarios:

Este un sencillo y directo ejercicio de probabilidades que sólo requiere la definición misma del conceptoen su acepción clásica.

Respuesta correcta: alternativa B

354

éUARTO EJE TEMÁrrco I Ejercicios Resueltos

2) Las notas de Cónstanza en Matemática, en un cierto trimestre, son 6, 6, 6 Y x. Se sabe también quela desviación típica o estándar de sus notas es O. Con respecto a esos datos, se hacen las siguientesaseveraciones:

1) el promedio de sus notas en ese trimestre es igual a 6

Il) la mediana tiene el mismo valor que la moda

III) x=6

De las afirmaciones anteriores,es(son) correctats):

A) Sólo 1B) Sólo 1 y IIC) S610 II y IIID) Sólo 1 y IIIE) 1,.Il Y III

Solución:

Puesto que la desviación estándar e de un conjunto' Xi de "n" datos está dada por:'

i (Xi _ ;¿)2(J = II.!..i::.-.!...I _

n

Calculemos, paso a paso,lo que necesitamos.

Primero se calcula la media X de los datos:

6+6+6+x.X = ----:-----

4

X = 18 + X

4

Ahora se calcula la diferencia entre cada valor del conjunto de datos y la inedia, es decir, Xi - x , Yse obtiene:

6 _ 18 + x 24 18 - X 6 - x44 4

(este resultado es válido para los otros dos datos siguientes, pues .son iguales)

- (

Ahora calculamos la diferencia entre el último dato x y la media x y se obtiene:--

355

PSU. Cuaderno deEjercícios, Matemática

x -18 + X

4

4 X - 18 - X

4

3 X -' 18

4Introduciendo estos valores en la fórmula, obtenemos:

a'1~J+ ex ~,18J

4

Efectuando los cálculos y, simplificando (hágalos Ud.), se obtiene para la desviación estándar la, expresión: '

,a=~I-YlPero, como por hipótesis, la desviación estándar vale cero (a' = O), entonces:

~ I X : 61 = O, de donde x = 6

Este último valor' nos dice que las cuatto notas de Constanza son todas iguales, Por lo tanto, todos losindicadores de tendencia central: media aritmética, mediana y moda son también iguales entre sí e

'igualesa 6. ' ,

De ahí que los incisos 1, II Y III son correctos.

.observaciones'y' comentaríos;

Es un ejercicio de mediana dificultad. Ahora bien, si se tienen los conceptos claros, no es necesarioefectuar los cálculos anteriores para responderlo correctamente.

Respuesta correcta: alternativa E

356

CUARTO EJE TEMÁTIc:O I Test N° l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVATest N° 1: Estadística descriptiva I

'1) La edades de los integrantes de un grupo scout son:

io - 15 - 8 - 12 - 14 - 16 -13 _ 12 - 11 - 9

TIEMPO MÁXIMO PARACADA TEST: 1 HORA

La diferencia entre la media aritmética y la moda del conjunto de edades es

A) °B) 0,2

C) 0,3

D) 0,4

E) 0,5

2) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones, es(son) siempre verdaderars):

1) La media aritmética de un conjunto de datos es el valor que se encuentra al centro cuando seordenan los datos de menor a mayor o de mayor a menor. '

II) La moda es .el dato con mayor frecuencia absol uta.

rtl) La mediana ,es lo mismo que el segundo cuartil.

A) Sólo rB) Sólo 1 y II

'C) Sólo 1 y III

D) Sólo n y III

E) 1, II Y III

"

3) El gráfico de la' figura muestra la información recogida' por' una empresa de estudios de mercadoa través de una encuesta telefónica realizada a 30 familias, respecto del números de automóvilesqne han comprado en los últimos 10 años. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)verdadera(s)? . '

frecuencia

Númerodeautos

4) La media aritmética de seis números es 6. Si se resta-S de cuatro de los números, 'la nueva mediaaritmética es

1) La mediana es 3. 10II) La moda es 3 .

III) La media aritmética es 3,4.

Al Sólo i

B) Sólo II

C) Sólo III

D)Sólo n y III

E) I,n y III

A) 1t

B) 2

C) 3

D) 4

E) 4.L2

,ll

357


5) Una violinista practica 1 hora diaria, de lunes a viernes, ¿Cuántas horas debe practicar el sábado,para que el promedio de horas de práctica para los 6 días sea 2 horas?

A) 2 horas

B) 4 horas

C) 5 horas

D) 6 horas

E) 7 horas

6) Si la media aritmética de x + 2, x + 4 y' x + 6'es O, entonces x =

A) -4

B) , -3

C) -2D) -1E) O

7),En un curso de contabilidad hay 12 hombres y 18 mujeres, Si en la primera prueba 'el promediodel curso fue 90 y elpromedio de los hombres"fue 87, ,¿cuál fue el promedio de las mujeres enesta prueba? " "

A)

B)

C)D)E)

8~ En la tabla siguiente se muestran las contribuciones de 15 personas a una obra de caridad, ¿Cuáles la diferencia entre la mediana y la media aritmética de las contribuciones?

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N" 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

10) ,¿Cuál deIas siguientes proposiciones es verdadera?

A) Una desviación estándar igual a cero significa que la media aritmética de los datos es cero,

,B) La mediana de un conjunto de datos no puede tener el mismo valor que el mayor de los datosdel conjunto,

C) Si todos los datos de un conjunto son iguales, entonces el rango y la desviación estándartienen el mismo valor.

D) En cualquier distribución el promedio de las diferencias de los datos respecto de la medianaes cero,

E) 'Si los datos de un conjunto son e, e - a, y e + a, entonces su desviación estándar es .J;;211) El gráfico siguiente muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de un curso, De

acuerdo con esta información, ¿cuántos alumnos tiene este curso?

88,5

91

92

93

94,5

1, 12)

A) $5,000

B) $4,000

C) $3,000

D) $2,000

E) $1.000

, Contribución Número de personas

$10,000 4

$15',000 ~$20.000 2

$25:000 4

$30.000 2

9) Si la media aritmética' de los valores de la variable en la tabla de distribución de frecuenciassiguiente es ~, entonces ,el valor de 'k es

A) O

B) 1

C) 2

D)

~) 4

358

De acuerdo con la siguiente tabla de frecuencia de temperaturas máximas de 10 días, ¿cuál es latemperatura media de esos 10 días?'

A) 26°

B) 2(0

C) 28°

D) 29°

E) 30°

x, 32° 30° 25' 23°

f, 2' 2 4 2

13) Las calificaciones obtenidas por 10 alumnos en un control son:

4-5-7-5-3-5-4-5-5-2¿Cuál de las. siguientes alternativas se' deduce como correcta a partir de dicha información?

A) La media aritmética es igual a 4,2

B) Las modas son 4 y 5

C) La mediana es iguala 3'

D) Mo=Me=',j'

E) Ninguna de las anteriores,

359


14) Que se conozca el valor de la mediana de una distribución significa que se conoce:

A) El promedio de la muestra

B) El valor que más se repite de la muestra

C) "El valor, que divide a la muestra justo en 50% superior e inferior

D) La medida más alta de una variable

E) Ninguna de las anteriores

15) De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es 1,67 m, 150 son mujeres, Si la estaturapromedio de todas las mujeres es 1,60 m, ¿cuál es la estatura promedio "de los varones del colegio?

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N° 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

18) En el problema anterior, la moda es:

A) 2

B) 10

C) 5

D) O

E) No hay moda

19) Considera la siguiente tabla'

x¡ 1 2 3 4 5 6 7

fi 2 5 4 8 9 12 10A) 1,71 m

B)1,70 m y los estadígrafos:C) 1,69 m 1) Moda = 6D) 1,68 m " II) Mediana = 9,5E} 1,67 m III) Media aritmética =9

¿Cuál(es) corresponde(n) a la información que entrega la tabla?

A). Sólo 1

E) Sólo 1 y III

e) Sólo 11 y III

D) Ninguna

E) Todas

20) La t~bla adjunta muestra el número de veces que salió cada puntuación en el lanzamiento d~ undado:

x¡ n¡

I 332

2 336

3 323

4 340

5 331

6 ,338

De acuerdo con esta información, la cantidad de veces que salió" una puntuación menor o igualque 3 es

A) 323

B) 336

C) 991

D) 633

E) 668

361

" 16) 'El promedio de notas" de una asignatura de un curso A, que tiene 20 alumnos, "es 6 y el (le! cursoB, que tiene 20 alumnos, es 5; entonces el promedio de la asignatura de los alumnos de amboscursos es

A) 5,7

B) 5,6

C)5,5

D) 5,4

E) 5,3

17) Dada la siguiente tabla:

Variabletx.) Frecuencia Frecuencia Frecuencia

absolutatn) relati varh) absoluta

acumuladarN)

x = 2 n = h = N¡=12¡ ¡ ¡

x, = 10' n = h, = 0,5 N =2 z

X = 5 n = h = N3 =473 3 3

X = O n. ee ' 3' h '" N =• 4 4

De acuerdo con esta información, la media de la distribución es

A) 4,25

B) 5

C) 5,25

D) 6,48

E) 6,6

360


21) En la siguiente tabla faltan algunos datos:

'y; n , f; N; H;

3 3 0,06 3 v

4 4 Y 7 0,14

5 x 0,14 14 0,28

6 20 0,4 z 0,68

7 16 0,32 50 1

Los valores de x, y,'z y v son, respectivamente:

A)7 - 0,08 - 34 - 0,06

B) 4 - 0,06 - 32 - 0,28

C) 6 - 0,2 ,.- 42 - 0,05

D) 3 - 0,05 - 24 - 0,03

. E) Ninguna de las, anteriores

22) El siguiente gráfico muestra el número de árboles plantados en un parque el año 2004 ..,

¿Cuál de las siguientes afirmaciones relativas a los 'datos del gráfico no es verdadera?

A) Se plantaron un total de 37 árboles.

B) La media del número de árboles plantado es 7,4'.

C) Los peumos que se plantaron son 3 más que los robles plantados.

D) La mediana del número de árboles plantados es 11.

E) El árbol moda es el pino.

. 23) En una ciudad del Sur, en 5 de 6 días de lluvia se registraron las siguientes cantidades de aguacaída, en milímetros: 0:9 ; 1,6 ; 0,6; 2,0 ; 1,4. Si la media aritmética del agua eaída en los 6 díases de l,2.mm, entonces el.agua caída en el día que no se registró fue

A) 0,1

B) 0,7

C) 1,2

D) 1,25

E) 1,3

362i!

)

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test W l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

24) Para un estudio, algunos estudiantes registraron las temperaturas de 6 días de octubre. Los datosobtenidos se muestran en la tabla siguiente:

Temperaturas de octubre

Feeha Temperatura (OF)

Oct. 1 45-Oct. 2 52

o«. 3 48

Oct. 4 50

.Oct. 5 61

Oct. 6 43

¿Cuáf de los siguientes gráficos corresponde. a los datos de la tabla?

A) D)Tempertauras de:octtlbreTemperaturas de octubre

lililí=.'¡:----". -. -'-. -.-' -. -:--.~--.¡.•:~t-- -"~. -_. j

20-:-" -. 10+,- . __. _. i

L'·~¡ ;:;:, ;;:, 0'" "";- ce,s . "",-: I. Fecltl

B) E)'temperaturas deoctubreTemperaturas de octubre

~~:I --~np~·===¡o . -" 1

Pct f- Od.2· Oc:t30ct.4 0cCS:, oct eF••••

C)Temperaturas.ée octubre

iI

X'X X

_X X XX X X X

X X X X X~X X X X X X

oe.r 0" a OOU Oct. 4 Col.' oe,e

363

-1..,

PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemática

25) Para calcular la nota final de una asignatura, las tres 'pruebas del semestre se ponderan con un30%, 30% Y 40%, respectivamente. Isabel tiene un 5 y un 4 en las dos primeras. Si su nota finalfue 5,1 entonces en la tercera prueba obtuvo un

A) 5,0

B) 5,1

e) 5,2

D) 6,0

E) 6,3

26) El gráfico muestra el tiempo, en minutos, que toma a un grupo de alumnos realizar el trayecto delcolegio a sus casas. ¿Cuántos alumnos deben viajar por más de 10 minutos?

1¡' CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N" 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

29) De acuerdo al gráfico adjunto, se puede determinar el número de trabajadores correspondientesal sector agro pecuario si se sabe que:

(1) El ángulo del sector circular correspondiente al sectoragropecuario mide 45°.

(2) Al sector agropecuario corresponde un 12,5% del total..---------------------------~A) (O p'or sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)'

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) .


Industrial

A) 2 19 eB) 5 ~~

!_ .-8.4. +,C) 7 . ~'3

,~ 2-

D) 8 z 1

0.1-,.-E) 15 0'·5 6'\0:,:. ti,~15 1,6-0:.20:

30)

27) En la siguiente tabla se muestra el resultado del estudio: "Número de tíos (x) de los alumnos deun curso". De acuerdo a la información .de la tabla, ¿cnál(es) de las siguientes proposicioneses(son) verdadera(s)?

I) La moda deí número de tíos es 2:Il) 'La mediana del número de tíos es 3.

IlI) La media del número de tíos es aproximadamente 2,8

A) Sólo 1

B). Sólo Il

e) . Sólo 1 Y II

D) Sólo 1Y III

E) 1, II Y III

x f

O 2

1 4

2 8

3 6

4 5

5 5

28)' Para calcular la media aritmética de un curso en una prueba de matemática se sabe que:

(I ) La media de las niñas delcurso, que son 15, fue 6,1.

(2) El total de alumnos del curso es 25 y la media de los niños fue 5,8.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)


E) Se requiere información adiciona!

i.1

364

l

Agropecuario

Se quiere determinar la moda de un conjunto de datos correspondientes a las remuneraciones delos trabajadores de una empresa.

(l) La mayor frecuencia absoluta corresponde a un sueldo de $ 250.000.

(2) La mediana de los datos es $ 250.000.

Á) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



·E) Se requiere información adicional'

RESPUE:>TAS CORRECTAS

365

¡I¡


CAPÍTULO 2. PROBABILIDADTest N° 2: Probabilidad 1

1) De 'los siguientes experimentos, ¿cuál es el único que no es aleatorio?

Al Observar un semáforo, en un momento dado, y ver si está en rojo

B) En una carrera de caballos, que, gane el caballo "Emperador"

C) La cantidad de pasajeros que se van a bajar en una determinada estación del "Metro"

D) El movimiento de las moléculas, de un gas

'E) 'Pulsar un interruptor en 'buen estado y que se encienda la luz, , ,

2) En el experimento del lanzamiento de un dado normal, es decir, no cargado, ¿cuáles de los

siguientes sucesos son equiprobablesv

1) que salga un número par

,Il) que salga un número impar

. III) que salga un número primo

A) Sólo, I,y II

E) S6lo II yIII

C)Sólo 1 Y III

D) I, II Y III

E) Ninguno de ellos

3) Se da el conjunto' D = (I, 2,.3, 4, S, 6, 7,8, 9], Determinar la probabilidad de que' al elegir un

dígito al azar, él sea múltiple de 3.

1A) -, 2

1E) '3

1e) '4'

1D) '5

1E) '6

Dada la importancia de las Unidades de Probabilidad y Estadística en esta nueva pruebe de selección universitaria. aunque ellas no son nuevas, para los aspectosconceptuales y teóricos de estos contenidos, se recomienda nuestro Manual de Preparación P.S.U. editado por Ediciones UniversidadCatólica de Chile. SextaEdición. Marzo de 2006,

366

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test W 2, PROBABILIDAD

4) Se lanza un dado no cargado (normal).' La probabilidad de obtener un número mayor o igual que4 es

1A) '3

1

2

2

3

E)

e)

D) ~4

.5

6E)

S) Se elige al azar una ficha, de un grupo de ellas, numeradas del 1 al is contenida en' una bolsanegra. ¿Cuál 'es la probabilidad de que 'la ficha contenga un número que sea múltiplo de 2?'

A) J15

215

7

15

E)

C)

D) ~15

12

E)

6) Se lanza un dado normal. La probabilidad de que el número obtenido sea menor que 6 es

I

5

6

2e) '3

1D)' -, 2

1E) '6

A)

B)

367


7) Se lanzan dos monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener los mismos valores?

1A) "4

1B) "3

1C) "2

2D) "3

3E) "4

8) Se lanzan dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma igual a 3?,1

'A) 36

1B) 18

1C)'9

5r» 36

1E) -, 6

9) Si se lanzan tres monedas normales al aire, ¿cuál es la pro,babilidad de obtener 2 caras y l sello?

3A) "4

5B) '8

1'c) "2

3Ú) '8

1E) "3

308

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N" 2, PROBABILIDAD

10) Se lanzan tres monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de' obtener 3 sellos?

A) 8 r

. 1B) -

4

3C) -8

1D) -

2

3E) "4

11) Se lanzan tres monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener valores alternados?

A)~8

1B) -4

3C) -8

1D) -2

3E) -

4

.12) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados normales se obtenga, al menos, un númeropar?

3A) "4

25B) 36

2e) "3

1D) "2

1E) "3

·369

-----_.


13) Se elige al azar un número entero de dos dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que en el númeroelegido, sus dígitos sumen l O? '

1A) 100

9B) 100

1C) 10

1D) "9

E)1190

14) En una urna hay tres bolas negras y dos blancas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolablanca? .

1A)52

B) 51

C) '23

D) 52

E) 3'15) Sean A y B dos sucesos asociados a un mismo experimento 'aleatorio E, Si las probabilidades de

ambos sucesos A y B son pfA) = a y p(B) = b, entonces se afirma que:

1) O:::; a :::; 1

Il) O:::;b:::;I'

IlI) O:::; a + b :::; l

De las desigualdades anteriores, es (son) correcta(s}:

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) S610 III

D) Sólo 1 y II

E) 1, II Y III

370

CUARTO EJE TEMÁTICO I TeSl N" 2, PROBABILIDAD

16) En una urna hay 14 fichas, 'en total, de colores blanco, rojo y negro, Si hay 5 fichas blancas y la

probabilidad de sacar una ficha blanca' o negra es ~ entonces ¿cuántas fichas son negras?, 7A) 2

E)

C) 4D)E) 7

17) Se extrae una pelota al azar de una caja que contiene 3 rojas, 2 blancas y 4 azules, ¿Cuál es laprobabilidad de que la pelota que se saque no sea roja?

1A) 5

1B) '4

1C) 3'

1O) '2

2E) 3'

18) Una ,bolsa contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 11 bolas negras', Si se extrae una bola al azar,-¿cuál es la' probabilidad de que sea blanca o roja? '

l-A) 5

1B)'4

1e) 20

9D) 2Q,

11E) 20

371

------~------------_._-_ ..._ ..,-,._~

PS!J. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

19) Se tienen 2 cajas, una con 4 bolas blancas y 2 negras y la otra con 3 blancas y 5 negras. Si sesaca una bola de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

1A) "6

1B) '5

1C) 4"

1D) 4"

1E) "2

20) Al lanzar dos dados normales, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un 2. ó un 6 en uno deellos si la suma de los números es 7?

1A) "6

1B) '3

1C) "2

2D) '3

5E) "6

21) Si lanzamos simultáneamente 4 monedas normales al aire, la probabilidad de obtener 4 caras en'el lanzamiento es: .: . ....

372

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N' 2, PROBABILIDAD

22) Se tiene un dado normal, es decir, no cargado, una de cuyas caras se encuentra en blanco y elresto están todas uumeradas del 1 a15. En este caso, ¿cuál es la probabilidad de que, al lanzar eldado, se obtenga un número par?

1A) '3

2B) '5

1C) "2

3D) '5

2E) '3

23)' De un grupo de 20 'personas que ,gustan de Ias empanadas, sólo a. 5 de ellas le gustan COQ ají: Sise eligen dos personas al azar; ¿cuál es la probabilidad de que a ambas les gusten las empanadascon ají? .

1A) 16

1B) -

4

4C) 19

1D) 19

1E) 20

Se lanzan al aire simultáneamente dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de que lasu;na' de los números .que figuren en sus caras sea igual a su producto?

1A) "2

1B) '3

1C) "6

1D) 18

1E) 36

373


25) Un 35% de los socios de una asociación juvenil son seguidores del grupo musical "Los cangrejos";un 30%, del grupo "Los piures", y a un 15% le gusta ambos grupos. La probabilidad de que alelegir un socio al azar, sea seguidor de "Los piures", sabiendo que le gusta el grupo "Loscangrejos" es, aproximadamente

A) ·0,105

B) 0,429

C) 0,500

D) 2,333

E) 0,857

26) Sabiendo que la probabilidad de que "Euclidín" obtenga, en promedio, mi puntaje superior a los800 puntos en la prueba PSU, es de un 80%, entonces la probabilidad de que "Euclidín" obtenga,en promedio, un puntaje igualo inferior a los 800 puntos en dicha prueba, es de

A) -80%

B) 20%

C) .0,0125%

D) -0,0125%

E) 99;9875%

27) Si la probabilidad de que ocurra un. suceso S es "a", siendo a E IR Y O <;; a <;; 1, entonces laprobabilidad de que dicho suceso no ocurra es

A) -a

B) 1- a

C)a

D)a

1E) 1--

a28) El experimento aleatorio E tiene sólo dos sucesos P y Q asociados a su espacio muestral S. Para

saber si los sucesos P y Q son equiprobables se dispone de la siguiente información:

(1) la probabilidad del suceso P es de un 50%

(2) P Y Q son dos sucesos mutuamente excluyentes

A) (1) por sí sola:

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, O) Ó (2)

E) sé requiere información adicional

374

CUARTO EJE TEMÁTICO / Test N" 2, PROBABILIDAD

29) Se da una muestra de 100 personas adultas elegidas al-azar; entre hombres y mujeres. Se deseasaber si al elegir una persona al azar, ella es mujer y que fuma.

O) Hay igual cantidad de hombres que de mujeres en la muestra

(2) El 80% de las mujeres de la muestra fuma

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, O) ó (2)


30) Un dado normal tiene todas sus 'caras numeradas del 1 al 6, excepto una de ellas. Para podersaber cuál es el número que falta en una de sus caras tenemos que:

(1) la probabilidad de que salga un número impar, al lanzar el dado, es mayor que laprobabilidad de que salga un nú:nero par.

(2) el número que falta tiene a su antecesor y a su sucesor en .Ias caras del mismo dado.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




375

i~¡¡1

1'1Itii

111·

PSU. Cuaderno de Ejercicios, ¡'vfatemá'i~a




4) Autor:

Título:Editorial:

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFJCA

Cuarto Eje Temático:ESTADÍSTICA y PROBABILIDAD

Dickson, Leonard EugeneCollege AlgebraJohn Wiley and Sons.-Nueva York, 1902

Lipschutz, SeyrnourProbabilidadMcGraw-Hill. Bogotá, Colombia, 1971. Colección Schaum,

Willougby, Stephen S.Estadística y ProbabilidadPublicaciones Cultural. México, 1969.

Wisniewski, Piotr MarianVelasco Sotomayor, GabrielProblemario de probabilidadThornpson. México, 2001

Observación:

En estos temas de Estadística y probabilidad, generalmente los textos existentes en el mercado están orientados hacia los. estudiantes universitarios. No existe una gran variedad de literatura, a nivel básico, corno en las otras 1:lnidades temáticas.

376

111

"

,.

M

11

,tI

111


EJERCICIOS RESUELTOS.ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS

1) El número N = du es un número de dos dígitos en el sistema decimal. "d"es la cifra de las decenas y"u" es la cifra de las unidades. ¿Es N divisible por 27

(1) "Il;' es cero o cifra-par

(2) (d + u) es un número par

A) (1) por sí sola:B) (2) por sí solaC) Ambasjuntas,(I) y (2) .D) Cada una por sí sola, O) ó (2)ID Se requiereinformación adicional

Solución:

Con la información I, sabemos que el número N es par y, por lo tanto, divisible por 2.

Luego, la condición I es necesaria y suficiente, es decir, con ella basta.

En cambio, con la información Il, no se garantiza que el número N sea divisible por 2, pues si d = u = 1,el número 11 es impar y, poi: lo tanto, no es divisible por 2. '

Luego, II no es suficiente.


Este ejercicio apunta directamente al conocimiento de laregla de divisibilidad por 2. Por lo tanto, es unejercicio netamente conceptual que no debería ofrecer ninguna dificultad,

Respuesta correcta: alternativa A

... "

378

ANEXO I Ejerc ic ios Resueltos

2) En el conjunto de los números reales: IR, se da la siguiente ecuación de primer grado en la incógnita "x"

y con parámetro "m": m2 x + 2 = m (x + 2) ..Ella tendrá una solución única siempre y cuando secumpla que

(1) m *' O

(2) m*,1

A) (l) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) Y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

Solución:

Puesto que en el enunciado se especifica claramente que la incógnita es "x",y el parámetro es "m",entonces debemos despejar la "x" de la ecuación dada, en términos de "m". '

m2 x + 2 = m (x + 2)'

/

m2 X + 2= mx + 2m

m2 x - mx 2m - 2

mx(m - 1) 2 (m - 1), de donde:

2 (m 1)x=

m (m 1)

Nótese que en ningún hemos cancelado o simplificado por el factor (m - 1) .

Ahora bien, para que la ecuación anterior tenga exactamente una sola solución, debe cumplirse que, eldenominador de la expresión resolvente sea distinto de cero. Esto es:

m (m - 1) *' O, lo que es equivalente a:

m *' O, Y m*,1

Luego la condición del ejercicio se cumple si y sólo si se. verifican ambas condiciones (1) y (2) .

379



En una ecuación como la propuesta, de incógnita "x" y de parámetro "m", la situación podría habersido perfectamente al revés, es decir, la incógnita podría haber sido "m" y el parámetro podría habersido "x". Deahí la importancia de especificar muy bien el papel de los términos en una ecuación.Dejamos como inquietud para nuestros estudiantes, resolver él problema planteado al revés, o sea..como incógnita "m" y como parárnetro "x", ¿Cuál' sería el análisis y la discusión en tal caso?

.Respuestacorrecta: alternativa e

3) Se necesita conocer la longitud de la circunferencia de centro O de la figÚra adjunta.· Para ello sedispone de la siguiente información:

(1)

" . ".

la cuerda AB es el lado. del hexágono regular inscrito en ella

(2) el área 'del triángulo equilátero ABO mide .J3. cm2

A)B)C)D)E)

(1) por sí sola(2) por sí solaAmbas juntas, (l) y (2)Cada una por sí sola, (1) Ó (2)Se requiere información adicional

o

B

..

Solución:

I~ln

1;'!

Con la información 1 podemos saber que la cuerda A.i3 es igual al. radio de la 'drcunferencia peroaún no sabemos su medida y, por lo tanto, tampoco la de la circunferencia. Luego, 1 por sí sola no essuficiente. . . . . . . .Con la información Il, dada el área del triángulo equilátero ABO, se puede determinar la medida dellado de dicho triángulo, es decir, la medida. de la cuerdaAB. Y teniendo la medida de la cuerda AB setiene la medida delradio OA, (o bien OE) de dicha circunferencia. Luego II por sí sola es suficiente.

380

ANEXO I Ejercicios Resueltos


Cuando en un ejercicio corno este se pide encontrar la longitud de una circunferencia se entiende que essu valor numérico. Efectivamente para hallar la longitud de una circunferencia se requiere, es-decir, es

necesario y suficiente el dato de su radio( o su diámetro), pues la fórmula depende de ello:· L~ = 2 1t r .Sin embargo, para saber qué tan grande o pequeña es una' circunferencia necesitamos la' longitud omedida de su radio .

Respuesta correcta: alternativa B

4) Un montañista sube hasta la cima de un cerro yluego desciende, en ambos casos, con rapidez constante.Se pide determinar ~u rapidez media en todo el trayecto.

(1). . . . km

la rapidez media de su ascenso es de 3 -h

A)B)C)D)E)

la rapidez media de su descenso es de 6 km.' . . h

(l ) por sí sola(2) por sí solaAmbas juntas, (l) y (2)Cada una por sí sola, (1) ó (2)Se requiere información adicional

(2)

Solución:

Para déterminar la rapidez media (v m) del montañista en todo el trayecto, necesitamos saber la distanciatotal recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, independientemente del valor de la distancia. Enefecto, sea "!I" la distancia recorrida por el montañista desde la base hasta la cima, expresada enkilómetros. •

La distancia total recorrida es, claramente, d + d = 2 d',

De la fórmula del movimiento uniforme: v = ~,deducimos que el nempo "t" es:t '

dt =

v·

Por lo tanto, el tiempo de ascenso (ta), expresado en horas, es igual a:

tad.

3

381

psu. Cuaderna de Ejercicios. Matemática

y el tiempo de descenso. (td ), también expresado en horas, está dado por;

tdd

6

Luego; el tiempo total en el recorrido está dado por:

t = ta + t~, es decir:

d- +3

d

6

d

2t =

ASÍ, la rapidez media el! todo el recorrido es igual a:

Vm2d-,-, esto es:-d2

='4 kmh

Vm


En realidad, no era, necesario resolver el ejercicio para darse cuenta que se necesitaban ambos datospara su solución. Sin embargo, lo hemos hecho, dado que en este ejercicio está presente el concepto de

la media armónica. La media armónica (H) entre dos números reales positivos a y b está dada por.

H=Úba + b

La rapidez media en todo di trayecto del montañista es la media armónica entre l~ rapidez d1ascenso y .

la de descenso. Como a = 3 y b = 6,. entonces la rapidezmedia es igual a:

Vm 2 • 3 • 6 , de donde:3 +6

kmv = 4 -, como antes

m' h '

Recalcamos nuevamente que, en estos ejercicios de suficiencia, de datos, el objetivo no es resolverel ejercicio, sino decidir si con la información entregada en los incisos (1) y (2) es posible llegar a lasolución.

Respuesta correcta: alternativa eI

I¡¡i1.

382

ANEXO I Test N".1, SUFICIENCIA DE DATOS

ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOSTest N° 1: Suficiencia de datos

1) ¿Cuál es el porcentaje de inciemento en el valor. de un jarrón de gran antigüedad en el período que vadesde el 1 de enero de 2,004 hasta el 31 de diciembre de 2.005?

(1) El valor del jarrón al 1,de enero de 2.004, era de 5.000 euros

(2) El valor del jarrón al 31 de diciembre de 2.005, era de 8.000 euros

A) (1) por sí sola

B) (2)por sí sola


'O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere informaciÓn adicional

2) Si un total de 84 estudiantes están inscritos en un curso de cálculo en dos secciones, ¿cuántos de los84 estudiantes son niñas? ' .

(1) el 25% de los estudiantes de la primera sección son niñas

(2) el 50% de los estudiantes de la segunda sección son varones

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicionall

3) ¿Corresponde la expresión 1 + - a un número mixto, sabiendo que x es un número entero?x

(1) x es' número natural

(2) x *A) (1) por sí sola, .

B) . (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y ·(2)

O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)


4) Si x es un número real tal que x * O, ¿es x + y = O?

(1) x es el opuesto de y

(2) x * l

A) (1) por-sí sola

B) •(2) por si sola


O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Sé requiere información adicional

383

III¡I


5) Si a, b y e son números reales, '¿es a = e?

(1) a-b=b-c

(2) a-2c=c-2b

A) (1) por sí sola

B) • (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (l).ó (2)


'1

1I.

I\.II"~f,!~.,í•~IrIt

.,6) 'Si «a» es un número entero, .¿cuál es el valor de a?

(1) a'

(2) a3 + 1 ~ O

:") (I~ por sí sola

E) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)


7) .Si e es la cifra de' las centésimas en el número decimal d = O,2c6, ¿cuál es el valor de d,aproximado a la décima? ' "

1(1) d <-

4(2) e < 5

A) (1) por sí sola

E) (2) por sí sola




8) ¿Es x un número entero par?

(1) x es el cuadrado de un número entero ..

(2) xes el cubo de un número entero.

A) (1) por sí sola

E) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola,(l) ó(2)


384

ANEXO I Test N" l. SUFICIENCIA DE DATOS

9) ¿Es X menor que y? .

(1)' x-y+l<O

(2) x-y-I<O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) .

E)' Se requiereiriformación adicional

10) ¿Cuál es el primer término de una sucesión?

(1) El segundo término es 43

(2) El segundo térmiIl;o es cuatro veces el primero, y el tercero es dos veces el segundo

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sf sola, (1) ó (2)

E) Se requiere ,información adicional

11) Una persona en cinco meses ha ahorrado $a. Se puede determinar el valor de a si:

(1) Mensualme~te gana $4oo.000.y ahorra el 6% de su sueldo

(2) En tres meses' ha reunido $72.000 lo que representa el 60% de lo que ahorra en 5 meses

'A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) . Cada una por sí sola, (1) 6 (2)


12) .Una bolsa contiene 20 bolas rojas y 10 bolas azules. Si se sacan 9 bolas, ¿cuántas bolas rojas quedanen la bolsa? .

(1) De las bolas que se sacaron se sabe que la razón entre rojas y azules es 2: 1.

(2) Cuatro de las seis primeras bolas sacadas son rojas.

.A) (1) por sí sola

E) (2) por si sola

C) .Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (l) ó (2)


385

PSU: Cuaderno de Ejercicios, Matemática

13) Ignacio es 5 años mayor que Fran~isca. Hace 10 años, Patricio era 10 años mayor que Valen tina.¿Cuál es la edad de Valentina?'

(1) La edad de Valentina es tres veces la edad de Ignacio.

(2) La edad .de Francisca es 5 años.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por 'sí sola, (1) 6(2) .

E) . Se requiere información adicional

14) .Si n 'es un número natural rriay~r que 1, ¿es n .-(n2 -1) divisible por 6?

.(1) n es divisible por 3 .

(2) n es impar

.Al (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicional'

15). ¿Es 7x= 15 +2x?

(1) -ax <:-9

(2) 2x <: 6

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambasjuntas, (1) y (2)


E) Se .requiere información adicional

16) ¿Cuál es el valor de m?

(1) m2 = (1O-m)2

(2) 3m-12=3'

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C)' Ambas juntas, (1) y (2)



,;

:¡

38.6

~-

rANEXO I Test N" 1, SUFICIENCIA DE DATOS

17) Se reparten $ 385.000.entre Hugo, Paco y Luis. ¿Quién recibió menos?

2(1) Ruga recibió '9 de la suma de lo que recibieron Paco y Luis.

3(2) Paco recibió 11 de la suma de lo que .recibieron Ruga y Luis.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

ci Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí. sola, (1) 6 (2)


18) Si una plaza tiene forma rectangular, ¿cuál es su ancho?

(1) La razón entre su largo y su ancho es 7: 2

(2) El perímetro de laplaza es 396 m

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E).' Se requiere información adicional

19) ¿Es el perímetro del cuadrado S mayor que el perímetro del triángulo equilátero T?

(1) La sum~ de las longitudes del lado del cuadrado y del triángulo es 18 cm

(2) La razón entre el lado del cuadrado y el lado del triángulo es 4 : 5A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



É) Se requiere información adicional

20) Sea el t.ABC rectángulo en e e inscrito en la semicircunferencia ÁCE. Los arcos AC y BC sonsemicircunferencias de centros en los puntos. medios' de los catetos. ¿Cuánto mide el' área achurada?

(1) AB·= 5cm y AC = 3c~

(2) BC = 4 cm

A) (1) por ,sí-sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) ,


E) Se requiere ,información adicional A B

387

- ~._------.--,,-

~


21) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. El ángulo x mide:

~ 1 .~(1) arco AB = larco BC D

(2) a = 1200

A) (1) por sí sola

B)(2) por sí sola

C)· Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cad~ una por sí sola, (I~ ó (2)

E)' Se requiere información adicional.

22) Si a, b e IR+' ambos distintos de uno, se puede determinar el valor de logba si se. conoce que:

B

(1) ~=b!(2) b' = a

A) (1) por sí sola

'B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, ti) y (2)



23) Se puede determinar la ecuació~ de la recta e de la figura adjunta si:

(1) a:b=2:3

(2) b-a;=l

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) .Ambas juntas, (1) y (2)


E) . Se requiere información adicional

x

.y,

b·-----

o

24) Si a. es un ángulo agudo, ¿cuál es el valor de sen a.?

(1) sen2a.=1-cos2a.

3cosa. =-5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




(2)

3118I

i

~

IANEXO I Test W \, SUFICIENCIA DE DATOS

25) ¿Cuál es la capacidad 'de un estanque cilíndrico?

(1) La base es equivalente a un cuadrado de lado 5 m

(2). Su altura es igual al diámetro de la base.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (l)ó (2)


l·

26) 50% de las oficinas de cierta ciudad .tienen computador y aire acondicionado. ¿Qué porcentaje de lasoficinas de_esta ciudad tienen computador pero no aire acondicionado?

(1) Si se escoge una oficina al azar de esta ciudad, la probabilidad de que tenga aire acondicionado7

es--10

(2) Si se escoge una oficina al azar de esta ciudad, la probabilidad de que tenga computador3

es -5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




27) El comité X y el comité Y, que no tienen integrantes comunes, se fusionan para formar el comité Z.Para saber si el comité X tiene más integrantes que el comité Y, se sabe gue:

(1) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité X es 25 años y la de los integrantesdel comité Y es 29 años.

,(2) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité Z es de 26 años.

A) (1) por sí sola

B). (2) por sí sola


. D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)


"

389

FSíl, Cuaderno de Ejercicios, Matemática

28) Se tienen dos cursos A y B del nivel 4° medio de un colegio. Se desea saber en cuál de ellos sepresenta.la mayor dispersión de edades.

(1) la desviación estándar de las edades del curso A es 2,5

(2) la desviación estándar de las edades del curso. B es 3,5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) .


E) Se requiere información -adicional\

29) ¿Es el rango de los números en un conjunto A, mayor que el rango de los números en un conjunto B?

(1) La desviación estándar del conjunto A es may~rque la desviación estándar de B

(2) La probabilidad de que un- número seleccionado al azar del conjunto A sea mayor que unnúmero seleccionado al azar del conjurito B es l

. A) (1) por sí sola

B) (1) por sí sola


D). Cada una por sí sola, (1) Ó (2)


30) Si se seleccionan 'al azar y con reemplazo, dos estudiantes de un curso mixto, ¿cuál es la probabilidadde que dos hombres o dos mujeres sean seleccionados?

(1) Hay 50 hombresen el curso.

(2) La probabilidad de seleccionar un hombre y una mujer es 21. '50

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




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I

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390

II

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libro psu matematica uc parte 8

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