libro psu matematica uc parte 5

20
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática CAPÍTULO 14. ECUACIÓN eUADRÁTJ(~A Test N° 15: Ecuación cuadrática 1) ¿euál(es) de las siguientes ecuaciones es(son) de segundo grado en la incógnita «x»? 1) (x+1)' =(x2+7)(x+l) H) (2X_S)2 =(2X+S)(2x-S) ID) (2x +il)( x -a) = 2x(2x -a) - x 2 A) Sólo l. B) Sólo 1 y H. e) Sólo TI ,y III. D) Sólo 1 y ID. E) 1, H Y III. 2) La solución de la ecuación x 2 + 16 = 2S es x= A) -3 B)' 3 e) -9 D) 9 E) -3 Y 3 . 3), El c?njunto solución de la ecuación ,_4x 2 = -64 es A) {16} B) {-4}' C) {4} D) {-4, 4 } E) {-2, 2 } 4) El valor de k requerido para que x= -1 sea solución de la ecuación x 2 _ 2kx = k + x es A) -2, 2 3 B) e) o 2 3 2 D) E) 198 SEGUNDO EJE TEMÁTICO f Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA S) D d 1 "a+b X ° b 'al' . a a a ecuacion ------= ,en que a y representan numeros re es pOSItIVOS, entonces la(s) x a+b ' solución(es) para x es(son): A) O' B) a+ b e) -(a + ti) D) a- b E) ±(a + b) 6) Si x 2 ,- 8x = O, entonces x A) O Y 8. B) 2 Y 4 e) '-8 y 8 D) O Y -8 E) -8 Y 8 7) Si (x - 6)(x + 8) = O, entonces x A) -6 Y 8 B) -6 Y -8 e) 6 y 8 D) 6 y-8 E) Sólo 6 8) En la ecuación x 2 + 99 x - 100 A) -100 B) -99 100 99 D) 99 E) 100 C) O, la suma de sus raíces (o soluciones) es 9) El valor de «m» en la ecuación x' -r- 3x = m para ,que la diferencia de las raíces sea 2, 'debe ser A) -1,2S B) 0,2S e) O,S D) 2 E) 2,S 199 .~ ..

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Page 1: Libro psu matematica uc parte 5

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

CAPÍTULO 14. ECUACIÓN eUADRÁTJ(~ATest N° 15: Ecuación cuadrática

1) ¿euál(es) de las siguientes ecuaciones es(son) de segundo grado en la incógnita «x»?

1) (x+1)' =(x2+7)(x+l)

H) (2X_S)2 =(2X+S)(2x-S)

ID) (2x +il)( x -a) = 2x(2x -a) - x2

A) Sólo l.

B) Sólo 1 y H.

e) Sólo TI ,y III.

D) Sólo 1 y ID.

E) 1, H Y III.

2) La solución de la ecuación x2 + 16 = 2S es x =

A) -3

B)' 3

e) -9

D) 9

E) -3 Y 3 .

3), El c?njunto solución de la ecuación ,_4x2 = -64 es

A) {16}

B) {-4}'

C) {4}

D) {-4, 4 }

E) {-2, 2 }

4) El valor de k requerido para que x= -1 sea solución de la ecuación x2_ 2kx = k + x es

A) -2,

2

3B)

e) o2

3

2

D)

E)

198

SEGUNDO EJE TEMÁTICO f Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

S) D d 1 "a+b X ° b 'al' .a a a ecuacion ------= ,en que a y representan numeros re es pOSItIVOS,entonces la(s)x a+b '

solución(es) para x es(son):

A) O'

B) a+ b

e) -(a + ti)

D) a- b

E) ±(a + b)

6) Si x2, - 8x = O, entonces xA) O Y 8 .

B) 2 Y 4

e) '-8 y 8D) O Y -8

E) -8 Y 8

7) Si (x - 6)(x + 8) = O, entonces x

A) -6 Y 8

B) -6 Y -8

e) 6 y 8

D) 6 y-8

E) Sólo 6

8) En la ecuación x2 + 99 x - 100

A) -100

B) -99

10099

D) 99

E) 100

C)

O, la suma de sus raíces (o soluciones) es

9) El valor de «m» en la ecuación x' -r- 3x = m para ,que la diferencia de las raíces sea 2, 'debe ser

A) -1,2S

B) 0,2S

e) O,S

D) 2E) 2,S

199

.~ ..

Page 2: Libro psu matematica uc parte 5

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática'

i!.

: Ii,~,

10) La suma de las raíces de la ecuación = 1 valex-a x+b

A) a - b

B) b - a:1i! a

C)b

~1¡.1

1,

D) ea

E)-ab

.111) Sean x, T X2 las raíces de la ecuación x2, + 36 = px . Para que se cumpla la condición x,

el parámetro «p» debe valer

i ¡, II !,

A) -4'B) -2

e) oD) 2

E) 6¡'

12) En la ecuación 2x2-5x + 4(k-2) = O, para que una de las raíces sea igual al valor recíproco

de la otra, k debe ser igu,al a

A) O

B) 2

C) 2,5

D) 3

E) Ninguna 'de las anteriores.

13) ¿Qué valor debe tener «m» en la ecuación mx' + x + (3m 2)'=0 para que sus raíces sean

inversas multiplicativas lá una de la otra?'

A) ,1

B)23

C)32

D) 23

3E)-2

200

-x2,

I!J.

¡\ SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

¡'4) ¿Qué valor debe tener «p» en la: ecuación x'-(2p - 1) x + p2 = O para que sus raíces difieran

en la unidad?

A)

B)e)

-1

O

O) 14

E) 4

, 15) Sia y ~ son las raíces de la ecuación ax2 + bx + e = O , el valor de a2 [3. + a ~2, es. '

bA)

e

B)bc

~

C)be

2'a

O) ab2

,'e

eE)

b

16) Si x, y x2 son las raíces de' x' - 7x = 3, entonces el valor de (x, + 1)( x2 + 1)

A) , -3

B) , 1C) 4

D) 5

E) 7

17) Los valores de k para los cuales la ecuación 2x 2 - kx + .x + 8 = O tiene raíces reales: e iguales son

A) 9 Y -7

B) solamente '-7

C) 9 Y 7

O) -9 Y -7E) solamente 9

~"

l•., 201

Page 3: Libro psu matematica uc parte 5

1

·PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

18) Si XI 'y X2 son las raíces de' 3X2 - 10x + 5 O, entonces el valor de la expresión

_X~I_ + 2L- .XI - 1 x

2_ 1 es Igual a

A)103

B) 12

e) O

D) 53

I!. E) 103

.' . .19) El valor de k para que la ecuación x2-8x + 2(k-2) = O , tenga una sola raíz real es'

A)-3

B) 2

C) 4D) 6E) 10

20) El discriminante de la ecuación x2+2.J3x+3=0 es cero, entonces sus raíces son

A) reales. e iguales.

B) racionales e iguales.

e) racionales y distintas.

D) irracionales y distintas.

E) números no reales.

21) Un valor de k para que la ecuación x2+(k+4)x+16=0 lt?nga una sola raíz real es

A) -4

B) Oe) 3

D) 4

E) 12

202

.,ti

SEGUNDO EJE TEMkTICO I Test N" 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

22) Si las raíces de una ecuación cuadrática son x, = X, = ~, entonces ella es2

2 !. 1A) X -¡x-¡=O

B) 4X2+x+-l e O

e) (x+~J=0

D) 1+4x-x'=O

E) 4x2.-4x+l=0

23) Si XI' Y x2' son las raíces de la ecuáción x2-2x+3=0, ¿cuál es la ecuación cuyas raíces son. ~

. 1Y -?

x2

A) 3x2-2¡¡:+1=O

B) '1+2x-3x2=O

C) 3x2+2x+l=O.

D) 3x2+2x-l=O

E) Ninguna de las anteriores.

24) Si a yb son números reales tales que b2:0, la ecuación cuadrática cuyas raíces son a+.Jb y

a-Jb, es

A) a2x2 - b = O

B) (x-a)'=b

e) x2 +(b-a2)x+2a=0

D) x2 -(2a+b)x+a' =0.

E) b2x' -a =0

25) En la' ecuación bicuadrada x" -5x2 +4 =: O, los valores de x son

A) ±5, ±4

B) ±4, ±2 .

e) ±4, ±1

D) ±3, ±!

E) ±2, ±!

203

,¡s:. __ __o .._ .'__.__..._

Page 4: Libro psu matematica uc parte 5

·psu. Cuaderno de Ejercidos, Matemática.

26) La(s) solución(es) de la ecuación x'+a=x+a', donde «a" es un número real cualquiera, es (son)

1) a II) o IIl) l-a

AY Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo 1 y III

27) Las raíces de la ecuación x' - 2x = O se 'pueden obtener gráficamente hallando las abscisas de los, puntos de intersección de cada uno de los siguientes pares de ecuaciones, excepto el par

A) y=x', y=2x

B) y= x2-2x, y = O

'C) y = x; y = x - 2

D) Y = x2-2x + 1 , Y = 1

E) y=x2-1. y=2x~1

28) Se pueden determinar las raíces de la ecuación'2x'+kx-15 = O si se sabe que:,

(1) (2,7) es un punto del gráficode y=2x' +kX-15

(2) Su producto,es -1;5.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D)Cada una por sísola,(1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

29) Si a, b y c son ~úineros rea~es, con a '" O, ¿son números reales las 'raíces de la ecuación ax" + bx + e = O?

(1) b' -4ac ¿ O

(2) El gráfico de f'(x) == ax2 + bx + e intersecta al eje X en dos puntos distintos.

AY (1) por sí sola

B) (2) por sí' sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, el) ó (2)

E) Se requiere información adicional

204

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

3'0) Se puede determinar el área de un triángulo rectángulo si se sabe que:

(1) Su hipotenusa mide 13 cm,

(2) La' diferencia de las longitudes de los catetos es 7' cm.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó(2)

E) Se requiere información adicional

205

Page 5: Libro psu matematica uc parte 5

11

PSU_ Cuaderno de Ejercidos, Matemática

CAPÍTULO 15. FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICATest N° 16: Funciones potencia, exponencial y logarítmica

1); ¿euál(es) de las siguientes funciones correspondem) a función(es) potencia?

1) f(x) = 32

II) h(x) = (Ji)'1lI) p(x) = X'

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y. II

E) Sólo 1 y m2) Si V(x) es la función que permite calcular el volumen de un cubo en términos de su arista,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdaderaís)?

'1) El dominio de la función es el conjunto de los núineros reales positivos (IR').

'Il) El recorrido de la función es to~o el conjunto de los números reales (IR).

TII) El' gráfico de la función tiene simetría respecto del origen del sistema «0,0)).

A) Sólo 1

B) Sólo 1 y II

e) Sólo' I y III

D) Sólo II y III "-

E) I,II Y III3) Si n E IN Y n es par, entonces ¿cuáLde las siguientes afirmaciones relativas a la función f(x) = x" es'

falsa?

A) El dominio de f es IR

B) El recorrido de f es IR+ v {O}

C) El gráfico de f tiene un mínimo valor

D) El gráfico de f tiene simetría respecto al eje Y

E) 'lfXEIR: fe-x) = -f(x)4) Si en la figura se tieneel gráfico de una función del tipo f(x) = ax", ¿cuál(es) dejas siguientes

proposiciones 'estson)' siempre verdadera(s)?

1) a < O.

II)

III)

A)

B)

e)D)E)

n es par mayor que 2.

a E Z.

Sóio .I

Sólo, II I.-6 '-4 -~(J\ 2

4 '6

Sólo 1 y II

Sólo 1 y III 1 1-4Sólo II y III

206

A)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOOARíTMICA

,~

5) Si el gráfico de la figura es el de la función y = x'" entonces ¿cuál de las alternativas muestra el'

gráfico de y = <Jx ?

6) La figura muestra los gráficos de las funciones potencia: f(x) = x", g(x) = x" y¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1) n < m < p.

11) n, m y p son números enteros impares.

I1I) ID - n:= p - m = 1.

A) Sólo 1

B) Sólo rrC) Sólo III

D) Sólo 1 y III

E) Sólo 1 y Il

B)

C)y,.

207

~ D) y

E)y

h(x) = xp.

0.5 '.¡,5 ·0.5.¡ ¡.s .-0.5

.¡,

-1,5

Page 6: Libro psu matematica uc parte 5

psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

7) ¿Cuál de las siguientes funciones podría corresponder al gráfico de la figura?

A) f(x) = (x + 3)'

B) f(x) '" -3x3

C) f(x) = -:ifX - 3 .

D) f(x) = x3 + 3

E) f(x) = 3x3

I . 6

UA

t·0 x

·6 -4 -2 O 2 4 6

-2

j

8) Si f(x) = x' y

AY a + b

B) la + bl

C) (a+b)'f

D) '(a + b):'

g(x) = ~, entonces si a y b son números reales cualesquiera f(g(a + b) =

E) x'·~a+b

9) El(los) puntots) de intersección de la función y = x3- 9x con el eje X;e$(son):

1) (O, O) U) (3, O) IlI) (-3, O)

A) Sólo .. 1

B) Sólo 1 y U

. C) Sólo 1 y. III

D) Sólo U y mE) 1, II Y III

10) Una caja de cartón tiene una base cuadrada de lado x cm. Si la longitud total de las 12 aristas dela caja es 144 cm, entonces el volumen ·de la caja está. dado por la función

A) V(x) = x3

B) V(x) = 18x3

C) V(x) =36x' -' x3

D) V(x) = 36x' -; 2x3.

E) V(x) = 12x3

11) ¿Cuá1(es) de las siguientes funciones' és(son) exponencialfes)? .

, 1I) f(x) = 5'-' IlI) f(x) = (J2)'1) f(x) = x-

Al Sólo 1

B) Sólo U

C) Sólo III

D) Sólo II y m-E) 1,U Ym

208

'.~)

:~ SEGUNDO EJE TEMÁTICO ITest W 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA

12) Se dispone de una cartulina de 1 mm de grosor .que se puede doblar sucesivamente de modo quecada doblez se hace sobre el anterior. ¿Cuál es la función que expresa la relación entre.Ia alturadel papel doblado y el número de dobleces?

A) f(x) = 2x

B) f(x) = 2'

C) f(x) = 2'-1

D) f(x) = 2'- 1

. E) f'(x) = 2'+1 .

13) Si f(x)·=a' corresponde a una [unción exponencial, entonces ¿cuál(es) de las siguientesproposiciones debe(n) cumplirse siempre?

1) a es un número real cualquiera.

Il) El dominio de f es todo el conjunto de los números reales oro.IlI) El recorrido de f es el conjunto de los números reales' positivos (]R').

A) Sólo 1

By Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y TiE) Sólo II y III

14) El gráfico de la figura corresponde mejor al de la función'

Al' f(x) = 2x + 1

B) [(x) = x' + 1

e) . [(x) '" 3'

D) [(x) =GJE) [(x) = 1-'

-4 ·2

A) f(x) = .500 . 3'

B) [(x) = 500 . 3-'

C) [(x) = 500 . 3"'"

D) f(x) = 3s&l

3'E) f(x) = 500

15) Un científico pone en un recipiente 500 bacterias de un cierto tipo cuya población se triplicacada una hora. Si x representa el tiempo, en horas, transcurrido, la función que permite determinarel número' de bacterias presentes en el cultivo al cabo de x horas es

209

Page 7: Libro psu matematica uc parte 5

I!¡

i

I\"

J

t ,

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

16) Una pareja de 'conejos se deja en una isla, en condiciones tales que su .número se triplica cada.ómeses. ¿Cuál es la función que representa el número de conejos (y) después de 'transcurridos "x"años? .

fea)f(b)

~.

20) ¿eual(es) de las siguientesafirrriaciones relativas a la función f(x)

1) Es decreciente en todo su dominio. ,

II) El gráfico de f pasa por et origen del sistema de coordenadas.

III) El gráfico de' f no corta al eje X.

A) Sólo 1

B) Sólo II

e) Sólo III

D)Sólo 1 y II

El Sólo II y III

22) El dominio de la función f(x) =: log(3x - 1) es

A) ]~, +oo[

B) H ,+ oo[

C) . ]0 , +oo[

D) [-~, + o{

E) IR'

~" SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Tes; N" 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENC1AL y LOGARÍTMICA1{

1 - 2' es(son) verdaderars)?

21) ¿euál(es) de las siguientes características relativas a la función logarítrnica f(x) '= log.(x), siendo«b» un número real positivo distinto de uno, es(son) siempre .verdadera(s)?

'1) Si log.(x) = 16gb(y) entonces x = y.

II) Los logaritmos de números negativos son negativos.

I1I) f(b') = x.

A) Sólo 1

B) Sólo II

e) Sólo III

D) Sólo 1 y 11

E) Sólo 1 y III

211

A) Y = 2 ,3"

B) Y = 2, 3'

C) Y = 2 . 3t

D) Y = 62' .

E} Y = 12x17) Una persona planifica su entrenamiento para una maratón del siguiente' modo: correrá:cadadía el

. doble de lo que corrió el día' anterior. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el númerode metros que corre el día x, si el primer. día corrió 1.000 metros?

A) 1.000' 2(x - 1)'

B) 1.000, 2'<

·.e) 1.000, 2'-1

D) 1.000, 2'·1

'E) 1.000· 2x

i8) Un cierto tipo de bacteria es .tal que se duplica cada 10 horas. Si en un cultivo se deja una deestas bacterias, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) veidact'er¡¡(s)7.

1) En 10 días habrá 2'4 bacterias.

II) Transcurridas 20 horas habrá 4 bacterias.

III) .En 2n días el número de bacterias será 2'.

A) Sólo

B} Sólo 1 y II

e) Sólo 1 y III

D) Sólo II y III

E) 1, II Y III

19) Dada la función exponencial f(x) =(~J¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)

córrecta(s)?

1) f(":"u) = (f(U»-I. IJ) f(m + n) = f(m) , f(n) IlI) f(~JA) Sólo 1 y II

B) Sólo 1 y III

e) Sólo II y mD) 1, ti y III

E) Ninguna de las tres

210

Page 8: Libro psu matematica uc parte 5

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

A)

23) Si la base b es un número real positivo mayor que 1, ¿cuál de los siguientes corresponde algráfico de, y = 3 + 10gb(X- 2)?

D)

~ 4 ~ ~r 2 46' \

1~ 4 ~ ~ 2

~¡,1'· I ~t I' I I 44 I I 26)

B) ,1 t,v'

x

-6 4 O 2 4 6

, -2

4

C) y .,.¡

2

x-6, -4 -2 O 2 4 6 '

-2

-4

E), .. y

4

2

x

-6, 4 ' -2 O 4 6

-2

'~

4

24) ¿Cuál debe ser el valor de a en el gráfico adjunto para que la' función representada sea f(x) = log,(x)? '

A) 4

B) 2

C)1

D) "4

1E) "2

212

y

O x

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡'Tes, N'16, FUNCIONES POTENCIA. EXPONENCIAL y LOGARfTMlCA

,.1

125) Para' que la función f(x) = a', de base real,' corresponda a una función exponencial, 'debe ocurrir que:

(1) "a" debe ser real, positiva

(2) a ~ 1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

Para que la función f(x) = log.(x), de base real, y con argumento positivo x, corresponda a unafunción logarítmica, debe ocurrir que:

(1) "a" debe ser real positiva

(2) a ~ I

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

.ci Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

El Se requiere información adicional

i:_ •

Dada la ecuación Iogarítmica 10g( x: 9)

incógnita x satisface la(s) condición(es)

(1) x + 9 > O

(2) x> O

'A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

el Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E), Se requiere' información adicional'

28) Sabiendo que lag 10 = lag 'ioo. entonces la igualdad anterior tiene lugar si y sólo si, la relación:\ y.. .entre las bases x e y es:

27) log(x +9) + log (x), ella se satisface si y sólo si, la:

1

'

, ,

11"

(1) Y = 2x

(2) y = x2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e). Ambas juntas, (1) y (2)

D) "Cada una por sí sola, (1), ó (2)

E) Se requiere 'información adicional

213

, I '~

Page 9: Libro psu matematica uc parte 5

,~

IJt~íh1,

~f¡

1~,¡-1:

l~"1I¡

11

.PSU. Cu.aderno·de Ejercicios, Matemática

29) Si X e y son números reales positivos, entonces dada la igualdad 10g(~) = O, ella se satisface si y

s610 si, la relación entre ,x. e y es

(l)x-y=O

(2) ~ == 1Y

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) X (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó'(2)

E) Se requiere información' adicional

30), Da'da la ecuación logarí;mica log(x)=- 10g(~), para resolverla, se transforma en tin'a equivalente

a ella en que la(s) condicióntes) p~ra la incógnita x esíson): '

(l}x>O

(2)1

x==-x ,,'

A) (1) por sí sola

B)(2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sísola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

RESPUEST AS CORRECTAS'

214

:~''.i'

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 17. ECUACIONES IRRACIONALES,

CAPÍTULO 16. ECUACIONES IRRACIONALESTest N° p: Ecuaciones írr-acíonales

\

1) ¿euál(es) de las ecuaciones siguientes es(son) irracional(es)?

I) x + .fi = .fi II) rx+2 = .fiA) Sólo L

B) S610 uC) S610 IlI.

D) Sólo II y III.

E) Sólo, 1 y IIL

2) Si -Fx - 2 = -3, entonces el valor de x es igual a

A) -1B) 1

e) 2

D) 3

E) 43) Si .rx + fi

ID).rx +'.J2 .fi

:J5- , entonces el, valor de x es igual a

A) ,O

B) ,1

e) 5 + 216D) 5 - 216E) Ninguna de las anteriores

4) Si .rx =- -1, entonces ~i(los) valor(es) de x es(son):

A) Solo el+-I

B) Sólo el

C) Ambos -1 y

D) Ni -1 ni l

E) Sin solución para x

5) Si ~ + 1 = O , entonces el(los) valor(es) de x es(son):

A) Sólo el -1

B) Sólo el l

e) Ambos -1 y

D) Ni -1 ni l

E) 'Si n solución para x

215

Page 10: Libro psu matematica uc parte 5

6) Dada l~ ecuación irracional 5 + ~'= 12. la solución para x es

PSU, Cuadétno-de Ejercicios, Matemática ," SEGUNDO EJE TEMÁTICO/Test N" 17, ECUACIONES IRRACIONALES

f

¡ i,1j"j¡i11¡ I.¡i ij I;~!

A) 1,627

B) 345

C) 343

D) 125

E) ,9

7) La ecuaciónirracional 6 + ~ = 9 admite como solución para x el valor

A), 6,561

B) 6,557

C) 5,267

D} 83

E) 81

8) Dado que 1 - '~ = 1, entonces x

A) -2B) -1

e) oD) 1

E) 2

9) Par~ que ~ = 7 , x debe ser

A) -5311 B) 3

e) 10

D) 13

E) 45

'~l O) Al resolver la ecuación 16 - '3x = 12. resulta x=

A) 24

B) 16

32e) -3

16o) -3

I E) 4II! 216

l

11) Se afirma que la(s) solución(es) de la ecuación x+l=~ es(son)

A) Sólo el -i.

B) Sólo el O

C) Sólo el '1

D) Sólo el' -1 y el O

E) Sólo el O y el 1

12) La(s) solución(es) deja ecuación ~

A) Sólo el O,B) Sólo el

e) Sólo O y

D) Sólo el 2

E) Sólo el I.y el 2

13) Si .J4x2 - 3x ~l

1 - x es(son)

2x 1 , entonces el valor de x es

A) 9

B) 4C) 3D) 2

E)

14) Al resolver la ecuación x221 + ~. se encuentra que su(s) solución(es) es(son)

1) -5 'Ir) 5 IlI) 25A) Sólo

B) Sólo Ir

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo Ir y III

15) Si x » a (siendo aE IR'). entonces la ecuación irracional ~

A) O

B) a(a - 1) ,

C) .a - a2

D) 2a2

E) a(a + 1)

a tiene como solución x =

217

Page 11: Libro psu matematica uc parte 5

-'-

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

16) El conjunto solución de la ecuación ~ - ~2(x - 1) o es

A) <\l

B) {O}

C) {~ }

D) {1 }

E) {2}

17) Si ,,/2 + Fx = 2, entonces xA) -2B) -1

e) oD)E) 2

18) Si ,[s-2.J2x-4

A) oB) 2

C) 4D) 8

5E) 2"

1 ,entonces .x

19) Si 16,J45- 12.J1~x - 7

7A) 12E)

48, entonces el valor' de x es

4C)3"

214D} 297

E) Ninguna de las anteriores

218

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 17, ECUACIONES IRRACIONALES

20) La solución de la ecuación ~ = ~,en el conjunto IR, es

5A) x = 2"

B) 2x=-5

C) Sin solución

D) x=OE) Ninguna de las anteriores

21) En IR , la ecuación irracional FxAl -2B) O

e) 2

D) Ningún valor de x

E) Ninguna de las anteriores

~ se satisface para x

22) La ecuación irracional' x + '~= 7 tiene como solución(es):

1) x =.4 Il) x = 5

A) Sólo 1

B) Sólo Il

e) Sólo III

D) Sólo' 1 Y Il

E) Sólo Il y III

IlI) x=lO

23) La(s) solución(es) de la ecuación EX+l, + "Ix1) O Il) 4

A) Sólo 1

E) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo 1 y III

24) La ecuación irracional .,Jx+22 ,- rx+u = 1condición:

1 es(son):'

IlI) 5

tiene una solución «x. que satisface la

A) O < x < 9"

B) 10' < x< 14'C) el .antecesor de x es un número primo.

D) la ecuación anterior no tiene solucióI\'

E) la ecuación anteriortiene más de una solución.

219

Page 12: Libro psu matematica uc parte 5

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

25) .Al resolver la ecuación ~ -'.rx+2, = 1, encontramos que sus r~íces cumplen

alguna(s) de las siguientes condiciones:

1) Son dos números enteros consecutivos.

lt) Ambas raíces son negativas.

Ill) La ecuación propuesta tiene exactamente una sola raíz.

De las afirmaciones, 'anteriores, es(son) verdaderaís): .

A) Sólo 1

B) Sólo nC), Sólo ID.

D)' Sólo 1 r nE) Ninguna. de las 'anteriores.

26) La(s) solucióníes) de la ecuación ~x + ~ - ,~ o es(son):

1) x = O n) -x = 2

A) Sólo

B) Sólo nC) Sólo ID

D) Sólo 1 y II

E) Sólo n y ID

ID) x = 4

27) Una solución para la ecuación 0+ ~ rx+!. es x

A) -1B) O

1

2C)

l¡¡¡1'1j

D)E) 2

28) Si x, a E IR , se cumple que"¡¡ = a si:

l~ (1) x a2 y x ~ O

(2) a ~ O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

ii

l' 220

1" SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 17, ECUACIONES lRRACIONALES

29) En el conjunto IR, la igualdad ¡:; ~. es verdadera si se cumple que:

(1) Ixl = I y I(2) x2' = l

A) (1) por sí sola

B) (2)por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

30) Lit ecuación irracional ¡:; + 2 = x se satisface si:·

(1) x es solución dela ecuación' X. ~ (x - .2)2.(2) x es par

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

B) Se requiere información adicional

221

Page 13: Libro psu matematica uc parte 5

¡f i

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

CAPÍTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALESTest N° 18: Ecuacíones exponenciales

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 18, ECUACIONES EXPONENCIALES

fj

27 . 27 ,entonces x

6) Si se sabe que 2x - I

Al [6)

B) [9)

C) [11)

D) [6, 11 )

E) \'l'

7) Dado que 7X- 2

A) -'2

B) O

e) 1

. D) 2

E) 7

8) Si x

A) 3

B) 4

C) 5D) 6

E) 7

9) Si 3x

A)5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

3, Y xn-1

4s , entonces el conjunto solución de esta ecuación es

1,entonces x

243, entonces n

'. 223

1) ¿euál(es) de las ecuaciones siguientes estson) exponencial(es).?

ii:ft,;1¡¡~,

1) x2 = 3

A) Sólo 1.

B) Sólo H.

e) Sólo III.

D). Sólo IIy III.

E) Sólo 1 y n.

2) Si 2n.+ 2 = 128; entonces 2n - I

A) 127

B) 126

C) 64

D) 32

E) 16

3) Si Tn:" 2 = 16! entonces n

A) -2

B) 2

e) 4

D) 6

E) 8

4) Si 3x = 81, entonces x

A) -4

B) -2

C) O

D) 2

E) . 4

II) 2x = 3 III) (-!2)'

.,1,1

,i

5) Sabiendo que 2x + ,2 = 4; eritonces x

A) -2B) -1

C) O

D) 1

E) 2222

Page 14: Libro psu matematica uc parte 5

rsu. Cua~eni.ode Ejercicios, Matemática

( )

"+ 3

.~ admite como solución a x =27

11) La ecuación exponencial 9-3 x

A) -6

:8)-3e) oD) 3

E) 6

12) Si .10'Y = 25, entonces 10.-Y

1A} -5

1- E) 625

1e) -so1

D) 25

1E) -5

VI VJ 113) Si) '.) =) , entonces el valor de x es

A) -1

B) O

C) 1

D) 2

1E) -

2

14) (0,25)'= 16: entonces x

A) -4

B) -:-2

C) 2

D) 4

E) 16

224I

~:~(.

SEGUNDO EJE TEMÁTICO / Test N" 18, ECUACIONES EXPONENCIALES

1S) El valor de x dado por la ecuación 100'

A) 0,0001

B) 0,001

C) - 0,01

D) .-1

E) -2

0,01 es

16) Dada la ecuación (_I_J'125

253, el valor de x es

A) -6

B) -3e) -2

D) -1

E) 2

17) El valor de x dado por la ecuación (_~)-"'. 7 2.401 . (-7) es

A) -5

B) -4

e) ~3D) 4E) S

. .'~18) En -la ecuación exponericial 4-' ~, el valor de la incógnita x es

2

A) -2

B) -1

. 1e) --

2

1D) -

2

E) 2

19) Si 9' + 2 = 240 + 9", entonces el valor de x es

A) 0,1·

B) 0,2

. C) 0,3

D) OAE) ·0,5

225

Page 15: Libro psu matematica uc parte 5

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

(S )0.8X

20) El conjunto solución de la ecuación .¡ 64125

está dado por

~

A){_1:}{ ,2}B) -5

e) r:}D) L~}E) L52}

21) Si 4' = 0,125 Y 125z

verdadera(s)?

.J5, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 18, ECUACIONES EXPONENCIALES

I~\

24) Si a E IR· Y a;rl,e~tonceslasolucióll,delaecuaciónexponencial ax-2 = a2-'es

A) -2B) O

e) I

D) 2

E) a

25) Si «a" es .un número real positivo y distinto de uno, entonces la solución de la ecuación exponencial

a2x - 2 = a3 . a es

A) '-3

B) -1

C) 1

D) 3

5E) '2

26) Si (2n r 2 .(2') , entonces el(los) valor(es) de «n. que satisface(n) la ecuación ariterior es(son)

1) x + Z = -1} H) x + z = -:,I} IIl) x z =. -0,25

A) Sólo I.

B) Sólo H,

e) Sólo IIL

D) Sólo 1 y H.

E) I, Il Y HI.

22) Si 4x _ 4x - 1 ,: 24, entonces (2x r es igual a

A) .J5B) 5.J5C) 25.J5D) 25

E) . 125

13) El valor de x que satisface la ecuación 3x + 3' -1 + 3' - 2 '. + 3x- 3 + 3' - 4 ,= 363 es

A) 1

B) 2

e) 3

D) 4

E) 5

226

1) o Il) 2A) Sólo' 1.

B) Sólo II.

e) SóloIIl.

D) Sólo 1 y !I.

E)' Sólo Il y lII.

ID) 4

27) Si 2x + 4 x = 72, entonces el conjunto solución de esta ecuación es

A) Sil

B) {l}

e) {2}

D) {3}

E) {4}

28) Sabiendo que 10' = 100', entonces para que se cumpla la igualdad anteiior es necesario y bastaque:

(1) y = 2 x

(2) y =x2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

227

Page 16: Libro psu matematica uc parte 5

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

29) Se pide hallar el valor numérico de x en la ecuación exponencial a" b. Para ello se sabe que:

(1) a E IR.+ ya*, l

(2) b ~ a

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

. E} Se requiere información adicional

30) Se da-la ecuación exponencial a" == b Y se pide el valor numérico de x. La información de que sedispone para ello es que:

(1) a = 10

(2) b > 10", con n E IN.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

.~SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 19. LOGARITMOS

C~PÍTULO 18. LOGARITMACIÓNTest N· 19: Logaritmos

1) ¿euá1(es) deIas siguientes ecuaciones conduce(n) al concepto de Iogaritrno para el despeje 'delas variables involucradas?

1) 2' = 8 JI) x2 = 9 III) )'+,

A) Sólo 1.

B)' Sólo u.e) Sólo III .

D) Sólo 1 y n.

E) Sólo Iy III.

2) log,(125) =

A)· 2

B) 3

e) 4

D) 5

E) 25

3). Si a, b y l son números reales positivos, .con al menos uno de ellos distinto de Uno, entonces laecuación log, a = e es equivalente a

A) ab = tB) a' =b

e) b' = a

D)b' = eE) lb = a

4) log,o'(1.000.000)

A) 2

B) 3

e) 4

D) 5

E) 6815) log.-

116A) -4

B) -3e) -2D) 2E) 4

.. 229

---=..----_ ...- -

Page 17: Libro psu matematica uc parte 5

psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

6) logo.ol0,00 1 =

A) -2·

B) -1,5

e) -1

D) -0,5

E) 1,5

7) ¿Cuál es el logaritmo de 3 con respecto a la base 3J3?1

A) 3'

1B) 2

2C)3'

3D) '4

3E) 2

8) log,,, (i.J3)A) -2

B) -1

C) OD)E) 2

9) De las siguientes afirmaciones, es(son) verdaderais):

1) log, 27 = - 3J

1II) log,olOO = 2

11I) log" 7 = 2'A) Sólo' n.B) Sólo 1II y IV.

e) Sólo I y IV.

D) Sólo n. III Y IV.

E) Todas.

IV)1

log'62 ='4

230

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 19, LOGARITMOS

ID) ¿euál(es) de las siguientes igualdades es(son) falsa(s)?

1) loglO2 = 5

4:1I) log" 81 = 3'A) Solo 1.

B) Sólo II y lIl.

e) Sólo 1, III Y IV.

D) Sólo Ir, III Y IV.

E) Sólo IV.

('25 . 625) .11) El valor de íog, -2-.5- es Igual a

A) 3.125

B) 725

C) 7

D) 6

E) '5

12) log,I6 + logJ4lJ7 =

A) 3712

7B) -

4

e) 3-2

4D) -

3

1E) -

6

13) Si log", 16 = ~ log,16, entonces x, x

A) -4B) 0,25

; . . e) 0,5"D) l

E) 16

III) log¡ 56 = - 3

IV) log.¡¡8 = -4

231

Page 18: Libro psu matematica uc parte 5

PSU. Cuaderna de Ejercicios. Matemática

14) log9· log82log27

. 4A) -

. 3

4B)log -

3

C) log 2

2D) 2log -

3

E) log 3

15) log3- log.J3 =,i

i ~A) IOg(3 - .J3)

¡: 1¡"¡ B) -log3 - 3t : 2I1

H l· ( ",. C) 2:logl2 -, log2íj~:

D) ~log3.J3

'~i"SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 19, LOGARITMOS

18) Sea "a" un número real positivo distinto de uno. Si log. a' .= 2 , entonces x =

·2aA) -

log a

2.

B) ~log a

C) 12

D) 2

.E) .-2

19) En la ecuaciónlog(JO) + log(-x) = O, entonces el valor de x que lasatisfaceesA) 10

B) 9C) 1

1D) -10

1E) ~ 10

20) Si log , (J) = x, logt y 3 .y 10g~(~)=-2, entonces.xyz =

A) -2

B) 3--16

2C) -I9

2D) --

27

E) -~-!i8

21) 1 - 2 lag 2

A) -lag 2

B) 2log 5 -

C)l

D) 1 - log 4

E) 210g 5

233

Page 19: Libro psu matematica uc parte 5

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

. . 122) SI Iog, X = 2, log 2 = -

• '2

A) -256

B) -16

1C) --

16

D) 1

E) 16

23) Si log, -fi =m , lag, e7)

. .., 8

A) 75

B) 75,1

'C) 0,03

D) 150-'

E) 0,12

11

,1

ti1

I'1¡I:11.1

:1r :¡,l.

1¡"

,1

24) Si x = log.J3-(I),e ylog - .

3 .

3A) "4B) 6

1C) -

.6

3 log 3D) 2 log 2

3 lag 3E) -:-4 lag 2

. (1) .'25) log 2". + log 4 - 2 =

A) -2 lag 2

B) lag 2

C) lag 0,2

D) log.6,02

E) -lag 2'1

J234

log.¡; G) = z , entonces ~

- 3 Y logt x = 2 , entonces mnx "

(1)log - . =4 entonces x . yIOg(;7)' .

~!. SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N' 19, LOGARITMOSK{

~

J26) log3 - - log '27 - 1 =. 3

A)

B) -lag 10

C) -2 lag 3

D) 2log3 - J

E) O

127) 2log 100 ~ 2" lag, 64 =

A) 0,5

B) 0,4-'

C) 4,5

D) 1,5-'

E) 3,5

28) Si a > 0, ¿es la función f(x) = log a 'x creciente en todo su dominio?

(1) a >

(2) f(8) = 3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)

E) Se .requiere información adicional

29) ¿Es log, a =' é?

(1) b > Q y b ~ 1

(2) b' = a

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por 'sí sola, (1) 6 (2)

E)· Se requiere información adicional

,.j~

235

Page 20: Libro psu matematica uc parte 5

psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

30) ¿Corresponde la figura adjunta al gráfico de y = 10g2x?

(1) La curva pasa por él punto de coordenadas (1, O).

(2) La curva de la figura y la curva dey = 2' son simétricas respecto de la recta y = x..'yA) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicionalj ol?/ .~I

236

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

,BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

Segundo Eje Temático:ÁLGEBRA y FUNCIONES

1) Autor: Allendoerfer Car¡'B. y Oakley, CletusTítulo: Fundamentos de Matemáticas Universitarias.Editorial: Ediciones del Castillo. Madrid', 1966.

2) Autor: Allendoerfer Carl B. y Oakley, CletusTítulo: Fundamentos dé Álgebra:Editorial: Editorial Mcflraw-HillvColombia, 1971.

3) Autor: Ayres, FrankTítulo: Álgebra ModernaEditorial: Editorial Mcflraw-Hill. Colombia, 1969.

4) Autor: Ba1dor, J. AurelioTítulo: Álgebra Elemental.Editorial: Compañía Editorial Cultural. Madrid, 1985.

5) Autor: Cano.OmerTítulo: Álgebra: 3° y 4° año de HumanidadesEditorial: Editorial La Salle, Santia,go s/f

6) Autor: Cano,OmerTítulo: Álgebra elemental: 4°, 5° Y 6° año de Hnmanidades

. Editorial: Editorial La Salle. Santiago, slf

7) Autor: Chrystal, GeorgeTítulo: A text book of Algebra.Editorial: _Chelsea Pnb. Nueva York, 1927. (*)

8) Autor: Dolciani, Mary P.Título: Álgebra Moderna: Estructura y Método, LibrosI y n.Editorial: Publicaciones Cultural. México, 1972.

9) Autor: F.G-MTítulo: Exercices d' Algébre,Editorial:' Librairie Armand Marné. París, 1912. (*)

!O) Autor: Hali,H.S.Título: School Algebra.Editorial: McMillan. Londres, 1923. (*)

11) Autor: Hall, H. S. y Knight, S. R.Título: Álgebra elemental.Editorial: Montaner y Simon. España, 1972. (*)

12) Autor: HaÚ, H. S. y Knight, S. R.Título: Álgebra Superior.Editorial: Uteha, México, 1972. (*)

13) Autor: Hue, Th. y N. VagnierTítulo: AlgebreEditorial: Librairie Delagrave, París, 1922.

14) Autor: Lehmann, CharlesTítulo: Álgebra.Editorial: Limusa Wiley, Estados Unidos, 1972.

237

______ ~ CW? ._.__.".~ .. _