99558844 libro psu matematica uc completo oliverclases

r

INTRODUCCIÓN

.Elpresente manual de ejercitación de Matemática para la Enseñanza Media y para laPSU, es el resultado del trabajo conjunto de dos de los autores del Manual depreparaciónPSU Matemática, editado por Ediciones Ue.. Este texto, concebido como uncuaderno deejercicios, está especialmente diseñado para complementar el Manual antes aludido. Su

. creación obedece a que en el mercado no' se ha hecho untexto de ejercicios adhoc parala prueba PSU de Matemática, en lo que se refiere a:lnivel apropiado de extensión yprofundidad. Esperamos contribuir a llenar ese vacío, desde la perspectiva de profesoresdedicados casi en forma exclusiva, a la preparación de dicha prueba.

De acuerdo a nuestra experiencia de varios años como profesores en la preparación para "las pruebas de ingreso a la:Educación superior y profesional, estamos muy conscientes delo importante que es 'la ejercitación en Matemática, una vez que se han entendido los'conceptos fundamentales. Enefecto, 'siendo la Matemática una disciplina abstracta porexcelencia y percibida como árida o abstrusa por los alumnos, lo más importante en ellaes lacomprensión y el entendimiento, y esto se logra no sin un gran esfuerzo de parte,tanto del que enseña como del que aprende. Una vez lograda la comprensión y el enten-dimiento de las ideas fundamentales, viene la etapa de la ejercitación, la cual debe serllevada a cabo en forma sistemática, rigurosa y permanente. No Se puedendesarrollarmúsculos con sólo leer un libro de gimnasia. No estamos exagerando la importancia quetiene la ejercitación en Matemática pues es la forma en que los grandes matemáticos, yasean puros o aplicados, hacen y construyen la Matemática. Conociendo la realidad mate-mática de nuestro país, toda persona que aspire a tener éxito en las pruebas de selecciónuniversi'taria (PSU), tiene que cumplir, entre otros, con los dos siguientes requisitos:

1°) debe comenzar a prepararse, al menos desde 30 medio, (ojalá desde antes) y ,2°) debe 'destinar todos los días.por lo menos, una hora diaria a ejercitar Matemática.

De ahí también que, para el logro de ese importante objetivo, se incluyen 44 Test de 30ejercicios cada uno, lo que da un total de 1.320 'ejercicios, con el formato de la P~u.Esperamos, enun futuro no muy lejano, incrementar esta cantidad de ejercicios a travésde la incorporación de nuevos test. ' .

Desde la quinta edición hemos propuesto 20 ejercicios resueltos, cuatro por~je temáticomás anexo, con el objetivo de facilitar al alumno una dejas formas de desarrollar orde-nadamente el ejercicio planteado. Esperamos que sea un real aporte a su aprendizaje.A pesar de'que el aprendizaje es personal, también es importante el trabajo de grupo, parapotenciar el hecho de compartir ideas.buscar soluciones en conjunto a los problemas másdifíciles, analizar las soluciones encontradas, etc, entre otras habilidades, En otras pala-bras, el trabajo de grupo propicia el control de calidad.

El presente texto está estructurado en cuatro grandes ejes temáticos, tal y cualIo señalanlos planes y programas del Ministerio de Educación, y cada uno de ellos contiene varios

test para los temas de la PSU Matemática, con sus correspondientes respuestas, Hemosprocurado, dentro de lo posible, ordenar los ejercicios que aparecen en los test, en ordende complejidad o dificultad creciente. No siempre es fácil ponerse de acuerdo en los crite-rios para realizar el ordenamiento pedagógico. Para tener éxito en la PSU, los alumnos y'las alumnas deben resolvertodos los test, ya que en éstos, se plantean ejercicios similares,a la PSU Matemática. Cada Test debe ser resuelto en un tiempo máximo de una hora.Además, para facilitar la labor de todos los usuarios del texto, hemos decidido colocar las

. respuestas de los ejercicios en la misma página dohde termina el respectivo test. De esta, manera, si un alumno o alumna utiliza un determinado test como evaluación diagnóstica

en un tema, entonces puede conocer su resultado inmediatamente.

Deseamos agradecer a la Sra. Teresa Navarro Castro, editora de proyectos especiales de, Ediciones DC, por la posibilidad que' nos ha dado de concretar este importante trabajo, 'quenuestros alumnos, alumnas y también colegas, estaban esperando, así como también alSr. José Miguel Cariaga De La Cuadra ya la Sra. Mónica Pérez Vera por la labor dediseño y diagramación del texto. Queremos agradecer también a la Diseñadora, Srta.

. Gladys Briones Torres, por la elaboración de algunos de los dibujos del texto. Deseamosexpresar también nuestros agradecimientos más sinceros para nuestro amigo y colega,el señor Óscar Bravo Lutz, por su contribución al tema de los vectores y al test que élmismo ayudó apreparar.

Si este texto puede servir a un gran número de usuarios, entonces nuestra tarea se habrácumplido a cabalidad.

Como siempre, deseamos a nuestras alumnas ya nuestros alumnos, desde ya, el mejor delos éxitos en sus futuras vidas profesionales y/o universitarias.

1

II

I!1:

Los autores

Santiago de Chile,.2009

r

ALF ABETO GRIEGO

Mayúsculas Minúsculas NombreA o. alfa

B ~ beta

,í y gama

/', 5 ,delta

E"

épsilonE

Z 1; zeta

H 11 eta

e e, ,} theta

1 I iota

K K kappa

1\, x lambda

M ~ rnu o mi'

N v nu o ni

- S xi

O o ómicron

n 1t pi

p p rha

L fJ,~ sigma

T r tau

y v ípsilon

<t> '1' phi

X X ji

'l' \jI psi

.' U w omega

~

111,I SIM1WLOGÍA MATEMÁTI(:A

LISTA DE SÍMBOLOS Y NOTACIONES MATEMÁTICAS

SÍMBOLOS USADÚS EN LÓGICA MATEMÁTICA SÍMBOLOS USADOS EN TEORÍA DE CONJUNTOS

Símbolo Significado Lectura

p, q, t, s, .. , proposiciones pe, CU, -ere, ese, ...

-p, -p, p, N(p) negación de p no p, es falso que p, etc.

p 1\ q conjunoón pyq

pvq disyunción, poq

P.::!.Q disyunción, excluyente, p o q, pero no ambas

P,=> q implicancia simple o condicional Si p entonces q, p implica q

p ee q implicancia doble o bicondicional p si Y sólo si q, p equivalente con q

ssi si Y sólo si si y sólo si

=> 0= proposición contradictoria' contradicción'ti cuantificador universal para todo, para cualquier

3 cuantificador existendal existe, existe al menos un(o) o una

3! cuantificador existendal estricto exi,té un(a) único(a)

Símbolo Significado, Lectura

A, B, e, ... conjuntos a, be, ce, ...

a, b, e, ... . elementos a, be, ce, ...

(a) conjunto de 'un solo elemento singleton de "a"

( a, b ) conjunto de elementos a Y b conjunto de elementos a Y b

E relación de pertenencia está en, es un 'elemento de

e negación de pertenencia no está en, no es un elemento de '

A-S relación de igualdad A es igual a S

e relación de inclusión estricta es subconjunto propio de

¡;; relación de inclusión está incluido en

::> relación de inclusión inversa incluye a,

o: negación de inclusión estricta no es subconjunto propio de

peA) o 2' conjunto potencia de A conjunto potencia de A

# Y #A- cardinalidad cardinalidad de A

u unión unión

n intersección ,intersección

- diferencia menos

"A' o K complemento complemento del conjunto' A

00{) conjunto vado o conjunto nulo . fi

U conjunto universal o universo conjunto universal o universo

( a, b ) Par ordenado de elementos a y b par ordenado de elementos a y b

AxS producto cartesiano entre A y B A cruz S- A6S diferencia simétrica entre A y B A delta B

______________Ji ----------

r"

SÍMBOLOS USA.DOS EN ARITMÉTICA. SÍMBOLOS USADOS EN ALGEBRA CLÁSICA ELEMENTAL

Símbolo Significado 'Lectura

IN conjunto de los números naturales ene

IN, conjunto de-los números cardinales ene subcero

Z conjunto de los números enteros zeta

Q conjunto de los números racionales cu

Q' 01 'conjunto de los números irracionales cu prima o i

IR conjunto de los números reales erre

e conjunto de los números complejos ce

,+ adición más

- sustracción menos

multiplicadón multiplicado por

: división . dividido por

'l. tanto por 'ciento o porcentaje tanto porciento

'lo. tanto por mil tanto por ¡nil,¡ signo radical raí~ cuadrada

~ signo de igualdad. es iguál a

'",

signo de desigualdad es distinto de

= signo de identidad es idéntico a

/ tal que tal que

> signo de comparación mayor que

< signo de comparación menor que;, signo de comparadón mayor o igual

< . signo de comparación " menor o igual

« signo de comparación mucho menor que

» signo de comparación mucho mayor que

r


n número naturatcualquiera ene

'2n número natural par dos ene

2n - 1 número natural impar dos ene menos uno

z numero compteje cua quiera zeta

z conjugado del complejo z zeta conjugado

1 a I valor absoluto de un número real valor absoluto o módulo de a

I z I valor absoluto de un complejo valor absoluto o módulo de zeta

eee proporcionalidad es directamente proporcional 'a

.. consecuencia por lo tanto, por consiguiente,

f(x)~ ax + b binomio de primer qradc efe de equis es igual a aequis más be

f(x) = ax' + bx + e trinomio de segundo grado efe de equis es igual a aequis alcuadrado más beequis más ce

± suma o resta más menos

a' , potencia enésima de a a elevado a ene

lag operador logarttmico logaritmo decimal o de Briggs

In operador logaritmico logaritmo natural o 'de Neper

, I~~I determinante de dos por dos determinante a, b, c, d

r b elde f determinante' de tres-por tres determinante a, b, e, d, e, f, g, h, i'g h i

[~~ 1 matriz de dos por dos matriz a, b, e, d

[a b eldelmatriz a, b, e; d, e, 1, g, h, ig h i matriz de tres por tres

L siqma mayúscula sumatoria

rr pi mayúscula pitatorie o multiplicatoria

[a, b 1 intervalo terrado de extremos a y b intervalo cerrado a coma b

1 a, b [ intervalo abierto de extremos a y b intervalo abierto a coma b

[a, b [ , 'i~tervato semicerrado o semiabierto intervalo semicerrado a coma b

1 a, b J intervalo semicerrado o semiabierto 'intervalo semicerrado a coma b

'~-~.

1 . .

SÍMBOLOS USADOS EN COMBINATORIA


n! olll factorial ene factoríal o faetorial de ene

P(n) permutación permutación de erie elementos

V' vañación o arreglo variación.de ene elementos tomados de a. erre. r

l:J combinacíóo combinación de ene elementos tomados de erre en erre

I1,

!

SÍMBOLOS USADOS EN PROBABILIDADES

Significado LecturaSímbolo

lím ..!:!..n-t-, n probabilidad freeueneial timite de la razón ene sub i partido por ene cuando

ene tiende a infinito

SÍMBOLOS USADOS EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Símbolo Significado. Lectura

f frecuencia efe

x oM.A. media aritmética o media media o promedio aritmétic~.

Me mediana mediana

Mo moda moda

; cr desviación standard sigma (minúscula)

~~

SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA CLÁSICA ELEMENTAL


A, B, e, .... puntos a, be, ce, ...

<l::ABC ángulo ABe ángulo ABC

m (<l::ABC) medida del' ángulo ASC medida del ángulo Ase

PO segmento PO segmento cuyos extremos son P":J aPO o m(PO) longitud longitud o medida del segmento PO

L" L" L" etc líneas rectas recta L" t, L" ete

11 'paralelismo es paraleloaJ. , perpendieularidad es perpendicular a

n plano plano pi

P(A,S,C) plano plano que pasa podaspuntos no eolineales A, B ye

Il triángulo triángulo

h., h, Y h, alturas de un triángulo ABC haehe sub a; haehe sub b y hache sub e

b" ba y b.-, bisectriees de un triángulo ABC b~ sub alfa, be sub beta y be sub gama

t, t" y t, transversales de gravedad de un te sub a, te sub b y te sub etriángulo ABe

S.' S, Y S, simetrales de un triángulo ASe ese sub a, ese sub b y ese sub e

mi' mbymc . medianas de un triángulo ABe eme sub a, ~me sub b y eme su b e

H ortocentro ortocentro

1 incentro incentro

G centro de gravedad centro de gravedad

O . circuncentro circuncentro

pyq proyecciones de los eatetos sobre la pe y euhipotenusa

uyv segmentos en que la bisectriz by u y uvedivide al lado e. equivalenda es equivalente con

- congruencia es co~.~.ruentecon

- semejanza es semejante con

C(O,r) circunferencia circunferencia de centro O y radio r

C(P,O.R) circunferencia circunferencia que pasa por los

puntos no colineales P, Q YR

'I\B arco de circunferencia arco AB

1 !,

l' Il'I

SÍMBOLOS USADOS EN TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL,


sen~ razón entre el cateto opuesto a ~ y la hipotenusa seno de beta

cosp razon entre.el cateto adyacente a }j y la mpotenusa coseno de beta

tgP , razón entre el cateto opuesto a P y el cateto adyacente a p tangente de beta

cotp razón entre el cateto adyacente a J) y el cateto opuesto a p cotangente de beta

secp razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente a ~ secante de beta

cosecf3 razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto a 13 cosecante de beta -

SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA ANALÍTICA

Símbolo Significado Lecturaflx notación delta ~ delta equis

m pendiente de una' recta pendiente6.'1 pendiente de una recta delta ye partido por delta equisl1X ','

y=mx ecuación de una recta por el origen ye es igual a eme equis

y = mx + n ecuación principal de la recta ye es igual a enie equis más ene

AY. + By + e = o ecuación general de la recta aequis más bey más ce igual a cero

y - Yo= m(x - xo) ecuación punto-pendiente , ye menos ye subcero es igual a eme factorde equis menos equis subcero

_x_ .•-L=1 ecuación d,esegmentos de la recta equis partido por a más ye partido por be esa. b , igual a uno

x2 + y2= rl ecuación de la circunferencia con equis al cuadrado más ye al cuadradocentro en el origeh y radio erre es igual a erre al cuadrado

(x - h)' + (y - k)' = r' ecuación de la circunferencia con equis menos hache al cuadrado más yecentro en hache coma ea y radio menos ea al cuadrado es igual a erre alerre cuadrado

/¡

~

1

:11'

,1 f

TABLA DE ESPECIFICACIONES DE LA PRUEBA DE MATEMÁTICA *

'HABILIDADESINTELECTUALES

TOTAL

EJE STEMÁTICOS

, o0_o ~o",'E ~~~ID .~"'E

'~~ eo u u

:~~~o> •

.8~~

~ o .. ~.2 éo '" • o0.> ~~~ 'ü o III

o O e~~ 2 ~ i~~0-2 c..O '" e.2

ID ~ ••••U ~e O> > c..~ , O • ~ e-o ;; u • •• O

" O • ~ ~~'" '¡;; ~ 'u

~ ~'~

~~~Hl •• O~ s ~ :i ~ ~ go.. '" ._.~ o""tJ._

"'E ~o :o u •.••gO c..

Q.~~ O'U e ~ -cc.. ¿~~~ f-

11-29-21

I I ~26 20 1212

2, Álgebra y funciones

3, Geometrjo y Trigonometría

Fueme: Documento oficial. Proceso de Admisión 2005. Universidad de Chile. DEMRE. 4 de agosto de 2004.

l. . Números y proporcionalidad

4. Estadistica y probabilidad

I

1-

\:

r¡¡1

I/

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

ALFABETO GRIEGO

SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA

TABLA DE E$PECIFICACIONES DELA PRUEBA DE MA TEMÁTICA

PRIMER EJE TEMÁ neo. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDADEJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULO 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS ( Z)Test N° 1.- Números enteros:

22

26

I,I It¡!¡

11.!I

CAPÍTULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES ( Q)Test N"2: Números racionales 1Test N"3: Números racionales Il

31

CAPÍTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ( R)Test N"4: Números reales .

45

CAPÍTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONES 51

Test N"5: Razones y proporciones

CAPÍTULO~. PROPO~CIONALIDAD

Test N"6: Proporcionalidad

CAPÍTULO 6. PORCENTAJE E INTERÉS

57

63

Test N"7: Porcentajes 1Test ¡¡O8: Porcentajes II

CAPÍTULO 7. REGULARIDADES NUMÉRICAS 74

Test N"9; Regularidades numéricas

BffiLIOGRAFÍAESPECÍFICAPrimer Eje Temático: NÚMEROS y PROPORCIONALIDAD

SEGUNDO EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

79,

EJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULO 1. INTRODUCOÓN AL LENGUAJE ALGEBRAICO

82

88

Test N°1: Lenguaje algebraico 1Test N"2: Lenguaje algebraíco Il

CAPÍTULo 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS 102

I

I,~

Test N"3: Productos notables, factorizocion. y fracciones algebraicas

C~ÍTULO 3. ECUACIONES DE PRlMER GRADo'O LINEALES y PROBLEMASVERBALES . 111

Test N"4: Ecuaciones de primer grado y problemas con enunciado verbal

CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLALWEO ~ON ENUNCIADO VERBAL 120

1

1:[

lit

1

'.· ,.1,1'11, '1I'!

(

Test N°5: Problemas de planteo con enunciado verbal

CAPÍTULO 5. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES

Test N°6: Desigualdades, inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineale

CAPÍTULO 6. GEOMETRíA ANALÍTICA BÁSICA

Test N"7: Geometria Analítica básica

CAPÍTULO 7. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

Test NQ8: Ecuación cartesiana de la recta

CAPÍTULo 8. SISTEMAimEECUACIONES LINEALES

Test N°9: Sistemas de ecuaciones lineales'

CAPÍTULO 't. POTENCIACIÓN

Test N°IO: Potencias

CAPÍTULO 10. RADICACIÓN

Test trn, Raíces

CAPÍTULO 11. FUNCIONES: CONCEptOS FUNDAMENTALES

, Test N°12: Funciones: Conceptos fundamentales

CAPÍTuLO 12. FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO y FuNCIÓN PARTE ENTERA

Test N°l3: Función afín, función valor absoluto y función parte entera

CAPÍTULO 13. FUNCIÓNCUADRÁTICA

Test N°14: Función cuadrática

CAPÍTUL014. ECUACIÓNCUADRÁTICA

TesiN°15: Ecuación cuadrática

. CAPÍTULO 15. FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA

TeStN°16: Funciones potencia, exponencial y logarítmica

CAPÍTULO 16. ECUACIONES IRRACIONALES

Test N°17: Ecuaciones irracionales

CAPÍTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALES

Test N°18: Ecuaciones exponenciales

CAPÍTULO 18. LOGARITMACIÓN

Test N'19: Logaritmos

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICASegundo Eje Temático: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

TERCER EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULo 1. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

Test N°I: Ángulos y triángulos

CAPÍTUL02. CONGRUENCIA .

Test N°2: Congruencia

CAPÍTUL03. CUADRILÁTEROS YPOLÍGONOS

Test N°3: Cuadriláteros y Poligonos

CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Tesf N°4: Transformaciones isometricas

CAPÍTULO 5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 275

Test N°5: Ángulos en la circunferencia

CAPÍTULO 6. PERÍMETROS YÁREAS 283

Test N°6: Perímetros y áreas

CAPÍTUL07. SEMEJANZA 291Test N°7:.Semejanza

CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN 299

Test N°B: Geometría de proporción

CAPÍTULO 9. TRIÁNGULOREcrÁl'lGULO:TEOREMASDEEUCLIDESYDEPITÁGORAS

Test N°9: Triángulo rectánguloi.Teoremas de Euclides y de Pitágoras

CAPÍTULO 10. TRIGONOMETRÍA PLANA

309

317

Test N°lO.: Trigonometría plana

CAPÍTULO 11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO 326

Test N°1l: Proporciones en el Círculo

CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Test N°12: Geometría del espacio

CAPÍTULO 13. VECTORES: RECTAS y PLANOS

334

.343

Test N°l3: Veetores, ecuación veetorial de la recta y ecuaci6n veetorial del plano

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICATercer Eje Temático: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

CUARTO EJE TEMÁ rrco. ESTADÍSTICA y PROBABILIDAD

351

. EJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

354

357

Test N°}: Estadística Descriptiva!

CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD

Test N"2: Probabilidad l

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICACuarto Eje Temático: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

366

376

ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS

EJERCICIOS RESUELTOS 378

383Test N°1 de Suficiencia de datos

JFi':

¡i:

1'1I

PSU:Cuaderno de Ejercicios, Matemática

EJERCICIOS RESUELTOSPRIMER EJE TEMÁTICO: NÚMEROS y PROPORCIONALIDAD

1) Gladys va al supermercado y compra medio kilogramo de carne molida, tres cuartos de posta rosada ydos kilogramos de lomo vetado. Si ella pide que le saquen toda la grasa al lomo vetado y ésta se reduceen un cuarto de kilogramo después de dicha operación, entonces ¿cuántos kilogramos de carne compróGladys en total?

1A) -

41

B) -2

C) 1

D) 1 -

~ 3

Solución:

.'~:';'\\~

r1

s -\-2..-1-4

PRIMER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

2) Dadas las razones a.: b = 3 : 4 y b : e = 8 : 9, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdadesexpresadas en forma de razones es(son) siempre verdadera(s)?

1) a:b:c=6:8:9

11) a: e = 2 : 3

1I1)a + b + C a- -

23 6

A) Sólo 1 y IrB) Sólo II y IIIC) Sólo 1 y IIID) 1, II Y IIIE) Ninguna de las tres

Solución:

_-\

Z tI

Si la segunda razón de a : b = 3 : 4 se amplifica por 2, entonces resulta que a: b = 6 :8, ycomo además con la razón b e = 8 : 9 tenemos el elemento "b".en común, podemos escribir laproporción continuada a b c: e = 6 : 8 : 9. Según esto, la igualdad 1 es correcta.Ahora, para saber si Ir es correcta, comparamos "a" y"c", sacadas de la proporción anterior y tendremos:a : e = 6 : 9, Y simplificando esta última razón por 3, nos queda: a : e = 2: 3, con lo cual IItambién es correcta.

. Finalmente para la tercera, aplicamos la propiedad fundamental de toda seriede razones iguales y nos

a + b + C a . .queda: =- (hemos comparado col). la primera razón pues es' la que figura en el segundo

6 + 8 + 9 6

\~t~ Z\

- . ..". -.\;/()'--;/f

~

;::; ~

tL

. a+b+cmiembro de la proporción), lo cual se reduce a: -----también es correcta. 23

a-. Por lo tanto, la proporción III6

Este sencillo ejercicio se reduce simplemente.a escribir los numer~les de las cantidades que se mencionan'y, en seguida, sumarlas y restarlas según el caso.Tendremos:

1 3. 1 I 2-+-+2 - -=-+-+22 4 4 2 4

1 1- + - + 22 .. 2

+ 2

. 3 1(resolvemos pnmero- - -4 4tienen igual denominador) .

2-, aprovechando que4

Observaciones y comentarios:

Hay otras formas también de resolver este ejercicio, mediante el uso adecuado de una constante deproporcionalidad "k".Para tales efectos, consultar nuestro manual de preparación Matemática PSU, capítulo deproporcionalidad, páginas 82 a 85. Editado por Ediciones Universidad Católica de Chile en su octavaedición, febrero de 2008.Este es un ejercicio de razones típico de la PSU, en el cual se pide relacion~r elementos de ciertasrazones dadas y obtener también nuevas razones a partir de los datos. Es un ejercicio de. medianadificultad, aunque los alumnos cometen frecuentemente el error de creer que si a : b = 3 : 4, entoncesa. = 3 Y b = 4, lo cual es un gravísimo error pues eso significaría que no han entendido el conceptode razón.

Respuesta correcta: alternativa D .

(simplificando la fracción ~ )4

G + ± = lJ= 3

Por lo tanto Gladys compró 3 kilogramos de yarJ,le en total.


Este es un ejemplo muy sencillo tomado del diario vivir, en el cual, para resolverlo, se debentraducir. los numerales hablados en español a numerales simbólicos y luego efectuar las operacionescorrespondientes. Se considera un ej ercicio fácil.

Respuesta correcta: alternativa E

22 23.. . .._--1::;.

1111, : ..

oo.

i

Firi¡

iII

II¡I~iII,

IIt

I¡1

I1

1: II 24 .. L_

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

91, -

825 36

, - , - , el cuarto término de ella es32 64

3) Dada la siguiente sucesión: .!.'2

A)

8956

D). ~2

.8)

C)

I

I. .

E) No se puede determinar pues faltan datos

Solución:

I1I

Puesto que una sucesión es una función de N a R, entonces el problema se reduce a encontrar unafunción, expresada mediante alguna fórmula matemática, en términos de "n" para el cálculo de lasimágenes, es decir, de los términos de la sucesión, Escribamos los términos de la sucesión dada,identificándolos por sus correspondientes subíndices; los cuales nos dan la ubicación de ellos: al es elprimer término, a, es el segundo término, a, es el tercer término, etc. .

1 12

a = - = -1 2 ·i

a2 = l : (puede escribirse de una infinidad de formas)

9 32

a = - = -l 8 i

. a. = ? (es el término que ,se busca)

25 52a = - =-

5 32 25

36 62

a = ~ =.-6 64 . 26

l' Observando atentamente la forma general de los términos conocidos, vemos que el término general oenésimo de la sucesión viene dado por la expresión:

PRlMER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

n2a =- 'v'neN

n 2n'

En efecto, según esta fórmula, elsegundo término (n 2) sería:

22

a2 = !' es decir: a2 = 1, lo cual es correcto pues .coincide con el término dado en el enunciado.2

De tal modo que el término solicitado, el cuarto (n = 4), est~ dado por:

I 42- ,es decir:24a4

a4


'En este tipo de ejercicios, deben darse en el enunciado la suficiente cantidad de términos (ininimotres), como para poder encontrar Ia función -expresada a través de alguna fórmula matemática-que permita.encontrar las imágenes, es decir, los términos de la sucesión. Con sólo dos términos esimposible encontrar una ley general pues de seguro habría más de una y, por 10tanto, el problema seríaambiguo y habrían muchas (en general infinitas) soluciones posibles. Cuando se dan tres términos,se debe tratar de ver si hay alguna constante en dichos términos. Por ejemplo, se debe verificar si dostérminos.consecutivos difieren en una constante (progresión aritmética), o bien, si la razón entre dos

. términos consecutivos permanece constante (progresión geométrica), etc, .Por último, es importante observar que el segundo y el cuarto término de la sucesión se repiten, es.decir, son iguales. Este es un hecho perfectamente posible pues, en ningún momento de la definiciónde una sucesión de números reales, se pone de manifiesto que tal hecho no pueda ocurrir. De hecho, en

una sucesión oscilante, del tipo an = (-1)"; todos los términos pares son iguales entre sí y tienen porvalor 1, Y todos los términos impares son iguales entre sí y tienen por valor - L

Respuesta correcta: alternativa A ,

2S

1,I! 1,

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Mar'emática

1) (-2)(-3)2 + (-2)3 ; 4 =

CAPÍTULO 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z). Test N' 1: Números enteros

~ -20Q , :1- .2. . ~ ---o, ",

13 ~'\ ea -2-B) -Z-1 , "lOCl -2"

17D) -Z-E) 16

2) ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) 3· (-2) = 6/ III) -5 < -1 VIr) 3 . (-2) > _52 / IV) O,> ~3 ,Y

- {. .:., '.. "~ . ./

A) S610 Ir y IIIB) S610 II y IV.C) S610 III y IV,~ S610II, III y IVE) S610 III, IV Y V

.'3) -3 - 3· 3.; 3 + 3 =

,..:::,\-'-'>A) -6~ -3C) OD) 3E) 6 / "

4) El valor de - [~1 - H/+1) -1 - (-1 + 1) - 1 ] es

A) -3 - G '\lt-~-",,\\-'\ \,+,.~--,-() - rB) -2C) -1 -7 '\ _\- /\. ~ '\D) 2~ 3

~. ~\~, .~

t<

(v..:;;' 0

~, 5)

- '3-\(:_-00 -'c -z.-=i .: -S

;.'6) El valor de la expresión 18 - (~45) : (_3)2 + (-2) '(_1)' es

:~ 25,' - .t-:\5 ~ ?1 ' .f .1;.. ~;

B) 9 ó o I - \. -'.'\\C) -5 '\ ü - ,,-c b I -+ - L .\

D) -9E) 5

\2>'-\ -

26~ '::.":.\- ":i,

-eS

TIEMPO MÁXIMO PARACADA TEST: 1 HORA

V) -10 > ~iVI) 32 < 2'

"21

r!

7)

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 1. NÚMEROS ENTEROS

Si a = -2 ; b = -3 ; e = -1 Y d = -4, entonces [a - b • (d - e)] - a =~ -'-9B) -7C) -4D) 7E) 9

[:-1--+ ::, • (- q -\- '\'(:i n,1:'. '\l..'¿,-I -

~..-J. ~ -J.

_': __ ;cJ\\ )

y

~ 8)

e.,

Al~B)

C)D)

'-~9)

Si a '" -2, entonces ".a2 - 1\' =-12 ' 1; .: \~ (-l'i. ?-4 - (.~l)- (--;1 ~ t 1\ -e - 2-2 ~-\ '\ i ,';)\ L'"

2 ~\." ~ ¡~~C ' ~ 7.--. -\- ~ 1

4 _ /\ ' ?- - \,\ - á,'J., -1--~ -r: _.\ \.j

Si 1 a 1 representa el Valor absoluto de a, indique cuál de las' siguientes alternativas es falsa:

El rectángulo de la figura representa una cartulina en la que se desea pegar fotografías cuadradas deigual tamaño hasta cubrirla exactamente, ¿Cuál e~ la mayor longitud del lado de las fotografías quecumplen esta condición? J o,A) 2 {\ ~.\J =- q, - ¡-;\ ','0 ~ r--\Q.~ 3 - ' ~ ")+- >,L ,_ "C) 4 'b ,..S\~ C",-D) 5 - 1\,;:5-- .E) 6 /'

A) 1-7 1< 1-8 1 ';.-;- '-:;.B) -21 < 8':¡i) 1-71> 171D) -5 < O

'E) 1-91 >1-8 1

l Ü) ~23 + 5° + 32- 4' =

A) -6 ~,\ -t Q, - 4'B) -4

.",. 5·\l -2 t

D) O -LE) 2

~ 11)

12) Tres números enteros consecutivos suman cero, ¿Cuánto vale el mayor de ellos?

A) -2,B) -1C) Oj 1E) 3

, , ----1_-{-o] ¡' ,91 . -.::~_

15

A) NP OM1~ MOPN

C) MONPD) N'PM OE) N M PO

1,~77<) ;00 LZ?.

13) Si M, N, O YP son números enteros tales que M > N, o >..P, N < P y o < M, El orden decreciente de estosnúmeros es

,7., / 7 1:1UJ <, L. __ ;

"1\ .~. "2. \.\\~, . -

2~)

~ '-,J L'~ <. 7 '7 ,I L.. ••••.

1. 1); LL27

1:1, :

I

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Motemáiíca

14) Si X E Z y X < ':'1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) mayortes) que 1?1) x' 1I) 2xA) S610 1B) S610 IIC) S610 n y IIID) S610 1 y n¡fj) Sóló 1 y III

15) Se define: "Dos números p y q son compatibles, si el cuociente 'entre el mayor y el menor es un. número entero múltiplo de 3". .De acuerdo con esta definición, ¿cuál de los siguientes pares de números p y q ~on compatibles?

Ill) _x3

[1, .

Al 56 Y 7B) 24 Y 12C) 12 y 3D) 72 Y 9~. 54 6 ,', . .'

t; ~16) El valor :e "x" en'la siguiente igualdad -{ 1 +[ 3 - (2 + x) 1 } = O, es

1

1, " ,A) -2 -\ L "'"Zx.. "B) -1

1I :', C) O - 1\ ~ .0\; :W D) 1 -""'1 "11 ~ 2 ',,::..

? c( 1:1) Si b es el sucesor de a, entonces (a+ b)(a - b) - (a -b)' es::. A) 2a + 2'1 .::1 B) -2a + 2

·1 C) -4a - 2! D) -6a- 2

~. -2a-2

18) Sean a, by e números enteros. Si ~,;:> b, b » e y b = O, ¿cuál de las siguientes relaciones es falsa?

A) a' e < O ,/. 2\ 'O,',.').;,J V;;; .B) b: a = OC) a' b = b~ b+ c c O

\,i( . E) a -c > O"'( 19)

:>Lb >;j . )

'"'/>

'"\...J

Si a + b + e = 2p, en donde a = 5, b = 4 Y e = -3, entonces el valor numérico de la expresiónp'(p - a)(p -b)(p - e) es .

A) -24B) 24C) 84D) 96

~ 108

'f,. 20) La temperatura mínima de un día fue de dos gradosCelsius bajo cero y la máxima de ocho gradosCelsius sobre cero. ¿Cuál fue la variación de latemperatura en el día?

A) ~IO·CB) -6·Cg 6 ·C~~. 10 ·C~E) .11 °C'

- L ~f31 \¡O~\U:~;",~".....0 '"f· ["(,~}.l. '1 r /:. ,-. .'1\0

r: \0.\:_/..(~ ~_l'

I28

..i.L

rL1¡

I,II!

1

lI1,III1l'! 't,.'\

I~¡ -,

II1•1¡;!.

1

1~fl.1

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W l. NUMEROS ENTERpS

21) Si p Y q son enteros consecutivos tales, que p < q , entonces siempre es cierto que

1) P - q = -1

~ S6lo 1B) S6lo IIC) Sólo IIID) Sólo 1 y IIE) S6lo II y m.

Il) p : q = p" + 1 IIl) p: q =-1

') '. -a, /~- ~/.

....-.f\

22) M = 12C4 representa a un número de 4 cifras divisible por 6. ¿Qué vaiores puede tenerel dígitoC para que se cumpla la divisibilidad?

A) { 1,2,3 } , " \ 1.5 L\ b-:.2')'12" L{' fe; - ~"~',B){A, 6, 9 } 1,' L .' - é'.,-,u:"j

C) {3, 6, 9 } :;'2- J0{ 2, 5, 8) G. \.\

, '"'7 ~?v,E) {5, 6, 7 } '1./

23) Sean'X, Y, Z tres números enteros distintos, tales que X > Y » O,'Z = O. ¿Cuál de las siguientesproposiciones es falsa?

-J 1LI-r-s-\-l.A) Z(Y- X) = O

, Y-X+Z>OC) XY +Z>OD) X(Y +Z»OE) YZ+ X>O

24) Si se sabe que A > B > C y una persona debe reunir A. Primero reúne B y luego gasta C. ¿Cuántole falta-para completar la suma deseada?'

A) A + B - e.IJJJ C+A':'.,C)-A- (C-B)D) A-'(B+C)E) B -C + A

25) Se sabe que "n'' es múltiplo ¡le 3. Entonces, ¿cuál(es)de las siguientes afirmaciones es(so~) verdadera(s)?

1) n" es múltiplo de 3/ II) ·12n es múltiplo de 3/ . IlI) n + 27 es múltiple de 3A) Sól61 / '.B) Sólo m'< »>C) S6lo 1 y nI""D) S6lo II y m'< .>'

~ 1, By III ','//

(\ Q)

\ ..•..-,v.

')1 \~

" '.0

o

.- :{,_0

/.- ...•\~.1'f)]:--'-_--=~,.

lO J<')

"--' _.~.,-------

29

PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemática

26) La relación a > b» e, con a, b, C E Z se cumple si:

(1) a> e y b > c/ .(2) a ~ b ya> O

A)' (1) por sí sola /B) (2) por sí solav'

$.\~') Ambas juntas, (1) y (2)"<. /D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) /E) Se requiere información adicional x,

27) Dado que X.E Z. ¿Es x positivo?

(1) XZ es positivo..(2) 2x es 'positivo /

A) (l) por sí sola~ (2) por sí solaC). Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere inf.1mación adicional'. ~!,-',= ~/

28) Si a, b E Z, ¿es a + impar?

(1) '!a-=- tres 'frrl:par /(2) a.: b'", .6..---:

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)~ Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

_V l' '"29) ¿Cuál es el valor numérico de la expresión x' -r- x? ~ 'y' . 'Z,L_ ~')(1) ;2-4=·0 t:'" -J...?"':;. 1--\ X:::.;2 <r>;«;

. '\ < f,\

(2) x' = -8 ::.I~ x.. . (J -::(j

A) (1) por sí sola<0 (2) .por sí solaC) Ambas juntas, (ll.y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30) Podemos determinar el número total de personas, entre damas y varones, que asiste a una fiesta si:

(1) es posible formar quince parejas entre los presentes y quedarían nueve varones sin dama.(2) cuando todos los hombres quieren bailar, faltan nueve damas.

.• (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, .(1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

l'

I

RESPUESTAS CORRECTAS

'rIit

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 2, NÚMEROS RACIONALES 1

CAPÍTULO 2, EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)Test N" 2: Números racionales 1 .

1) ~(%-~J=A) J... 1-165

1 r

B) 35

1 ,..'""

t 25-~

__1='~--'-~"

~c.\ I-",r:.J,_;

.-.,c:~....• 'J'

t· ,

~\ ~~\

¡II!I1 9I D) -I 15

¡E) 1

. '4 2) Una fracción de términos P/{~os aumenta $U ,vator si:

1

11) el numerador aumenta,

II) el denominador aumenta.. III) el numerador disminuye. /! ' IV) el denominador disminuye V r\}'1, . A) Sólo 1

B) Sólo 1 y II.C) Sólo 1y IIII '~) Sólo 1 y IVI E) Sólo II y IV

l

j-<-

\\

~\~~T

\ I

~\~

.r-::

~\'----.....J

\ \

'--.....5

~

_.5-'"

,\:~.J.\"0~,

3) En un curso de 40 alumnosIos ~ son niñas, Si a mediados deaño entran al curso 5 niñas más, ¿cuál8

será ahora la fracción de niños del total de alumnos del curso? ,

1A) '4

2B) '9

5C) '9

1D) 2:

1E) '3

4). Una barra de aluminio' mide 0,5 m. Por efecto de los cambios de temperatura, a las 16 h se hadilatado en una centésima parte de su longitud. ¿Cuánto mide alas. 16 h?

I ,

I 30 1 31

I,-r

It..1

A) 0,51 mB) 0,55 mC) 0,505 mD) 0,555 mE),O,5005m

11

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemdtica

5) Si n es un número entero negativo distinto de -1, ¿cuál de las siguientes fracciones es la mayor?

. ¡A) - -

n -L

• 1.-;;:- --q-1

e) - n'

lD) -

n-l

nE) - A6) Si a = .!. b

2verdaderats)?

l) a+ b c c

~ Sólo lB) Sól~ II

'e) Sólo IIID) Sólo l y ,IIE) r, II Y UI ,

-:-,. ,:-- I~ '{.:, .2J- '3:" J ~ <, 2.. ~_,_ .' ::::".Z, • "', -1':7 "\' \? -;"1 ' .,'0 .--;-r.~ -t t.,~

...::'

'~ y e = ~ , entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)7 ~" .¡Ir, I

e b- <a'e

i '.~;...:±~~II) b < e • a2 III)!"-

i

j 7) En un triángulo rectángulo isósceles, ambos ángulos interiores agudos disminuyen un noveno sumedida. Entonces la medida del tercer ángulo interior del triángulo resultante

A) aumenta en un noveno.B) disminuye en un noveno.-C) aumenta en un décimo.D) aumenta en un quinto.E) aumenta en dos novenos

8) En un ó. ARe, un ángulo interior mide x", el segundo mide l O" más que la 'mitad del anterior y elúltimo mide un quinto de lo que mide el primero. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menorángulo interior?

"¡

! '

A)B)C)D)E)

100°20°80°40°60°

9) Un estanque'tiene ocupadas sus tres octavas partes con agua. Si agregándole 500 litros el agua ocupahasta la mitad del estanque, ¿cuál es ,su capacidad?

A) 8.000 litrosB) 4.000 litrosC) 3.600 litrosD) 2.000 litrosE) 1.000 litros

; :1

l'32 I

__L

'~

PRIMER EJE TEMÁ rrco I Test N° 2. NÚMÉROS RACIONALES 1

10) Un partido de fútboi se desarrolla en dos -tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qué fracción delpartido resta cuando han transcurrido 20 minutos del segundo tiempo?

2A) -

9

4B) -

9

5e) -

9

\

5D) 18

13E)

18

11) Enun gr~po de madres, ~ de ellas no han tenido hijas, un sexto. t~vo melliz~s y las 26 restantes tienen, 5,:,;,'

sólo una hija. ¿Cuántas madres hay en el grupo? ':',"

? 2. ..A) 260B) 120C) '60D) 30E) No se puede determinar

'-='. i\:?\ ¡~!;

" \ •...,' R' __ "'"

\3,.

2En un curso, un día faltaron a clases los 5cuántos alumnos se componía el curso?

12) de los alumnos. Si ese día asistieron 24 alumnos, ¿de

'2. 2.: ..\';:'. _ ,V..':;-------_._~.~11.~:;... ...• \ -......:.- -

~) 36B) 38 """ r-:

C) 40..1

D) 42E) 44

\.~~ ,,1;-,.~

13) ¿QUé' precio tiene una mercadería si los~ de losl de ella valen $7.500?. . ,3 4A) $9.000

,B) $12.500C) $15,000D) $17:500E) $24,000

Te~emos 6 botellas llenas y 4 a mitad de,capacidad, todas de lit, que contienen aceite. Para envasar1 . 4

dicho aceite en botellas de - litro ocuparemos "2 , '

14)

A)B)C)D)E) .'

5 botellas6 botellas

10 botellas'11 botellas12 botellas

33

I:i,1)11:;!

PSU. Cuaderno de Ejercicios.' Matemática

15) Una persona compró dos séptimos de 3+ docenas de naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?

A) 2 docenas

B) 1+ . docenas

C) 1* docenasD) 1 docenaE) 1. naranja

16) Si a cinco enteros un medio se le suma el producto de tres 'octavos por cuatro quintos, se .obtiene

A) 41.;B) 4~

C) 41D) 5~

"l E) 51 .Y'"j 42 70 56;. i\ . . .'. "( 17) Si a = -; b = -; c = -, entonces; con respecto al orden entre ellos, la alternativa correcta es

, 147 245· 159 . , " '

'A) a c c c b 117~\' ¡U~ -r> ?~' ~(1):Zll.c:>::.B) b > a'> e '1 ~j, \ .' .,' - \ '

C) c o b c- a .. ,(~D) a+c=b ~'\C) ,E) a =,b -cc ,,:>"';9·,

18) L . l ,3 5 7 7 d d d " ,os raciona es -, -, -, - or ena os e mayor a menor son4 6 8 9

¡I¡IIo

!111

il1:

A 3 5 7 7) 4' 6'9'8

B 7 73 5) 8' 9' 4' 6

.;.....:..--¡'")"-" ¡ I -

. '" -'\- ,•..... "

""-

~757 38' 6' 9',4'

-r

775 39'8' 6' 4

E) 7... ,7... ~ ~9' 8' .4' 6

'J;..,D)

3 ' '19) ¿Cuántos paquetes de 4' kg de azúcar se pueden hacer con 3 sacos de 40 kg cada, uno?

A)B)

~E)

90120160210280

.'

)l~

i (0 ..c---'2 ?::

, _,'o.

34 ,Q,

»:

PRIMER EJE TEMÁTICO/Tesl N° 2, NÚMEROS RACIONALES 1

20) En un estanque deestanque?

A) 8tB) 9tC) 8+

D) 9+E) 8t

17t litros de capacidad, faltan 8-ili litros parallenarlo. ¿Cuántos litros tenía el

equivale a

.7 -1,1'

!o i'!'\ \~I

12+-, 321) -1

1 - ~3

SA) 4

4B) S

3C) -

4

49D) 5

5E) 49

5 - .!., __ 3

1 + ~3 - ,\..:....:-~_....-..-

~- '!J Il 3, ~.). ~

,L,]

...,.., ...\ c. _. __ 1. c....) !-

1) (p + q)(p - q)

A) Sólo 1B) Sólo TIC) S610 IIID) Sólo 1I y IIIE)r',IIyIII

<.o:.

-y~::j¿;

\ "\ L¡-:'~ :J ! .~.

-:).i C; ..:.._z, \.!."l.

22) ¿Cuánto, es la mitad del recíproco de 4?

1A) '2B) 2

1C) 8D) 8El 1. 2

23) Si p=- Y'3

entero?

1 'q =-, entonces, de las siguientes expresiones, ¿cuá1(es) equivaletn ) a un número4 '. ,

II) 6pq.8p

III) 3q/'

1

35

U' Al ...

1, ~

! !,


24) El valor de

3 2_4__ 5_ es7 810· 15

rI

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 2, NÚMEROS RACIONALES I

27) -Si a, b y e son tres númerosracionales.positivos, ¿cuál es el menor?

1 '4

9A) -28

21B) -

10

6C) -

5D) 2

1E) -4

25) Un basquetbolista convierte In tiros y falla n. ¿Qué fracción de sus lanzamientos convierte?

mAl

m+ n

m-vn. B)

m+ n

x-C) y

mD) -m-n

mE) -

n

126) ¿Cuánto vale "2 kilo de durazno s?

(1) 3+ kg valen $\.950 .(2) 2 durazno s valen $200

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solacr Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)E) Se requiere información adicional

(l)a-b=

.1(2) a - e = -2

!,I

I

l'1

1"

36

¡¡. A) (1) por sí sota

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)E) Se requiere información adicional

28). La fracción 1: es negativa. si:q

(1) P + q< O(2) p> O

A) (1)por sí solaB) (2) poi sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

9 Si a+c .7·. .2) 1 -- =-, ¿cuál es el.valor de a?c 3

(1) 3a = 4c

3

2A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

(2) e =

30) Seanx e y enteros no nulos. La fracción 2'. representa un número entero positivo, si:y

(1) le e y tienen el mismo signo(2) y> O 1\ X es múltiplo positivo de y

A) (1) por sí sola .. B) (2) por sí solaC) Ambas juntas; (l) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

.E) Se requiere. información adicional


37

.l... ¿e§ - ,--

1, :

l'1, !I

i

l·i

r¡,I!

L


TEST N° 3: Números racionales II

1) '2. + ~ + ~ =10 100 1.000

A) 0,58 '

31B) 1.000

e) 0,327D) 0,427E) 3,28

. 2n2) Si n es un número natural, entonces la expresión 2n + 1 representa siempre

A) un número impar.B) un número par.e) una fracción impropia.D). un número mixto.E) una fracción irreducible.

3), ¿Guáles de las siguientes fracciones son equivaientes?

TI) 416

2'8

IV)I) O,2~

A) Sólo .I yIIB) Sólo II y III 'C). Sólo III y IVD) Sólo II, III Y IV,E) I, II, III Y IV

4) [¡ -'(5 . ~ + 1)] - 3' : 2 =

III)

514

67

4

698

154

38

5) 0,000002' 5 . 10' =

A)

B)

C)

D)

E)

A) 500.000,2B) 10,0.e) 2,5D) 1,0E) 0,1

;38

832

rPRIMER EJE TEMÁTICO' Test N03, NÚMEROS RACIONALES [1

6) La edad de Susana es cuatro veces la edad de Pablo y' 1t veces la edad de María. ¿Qué parte dela edad de Pablo .es la edad de María?

3A) -

8

B) 2+

e) 3{-

D) 6

E) 6t

1 17) 3' - 12

14

I

I

'4A) -'9 ¡E) O

1e) -4

D) 1

5E) -3

8) Por los tre~ octavos de una torta se pagan $4.500, entonces por los cinco sextos de la misma, se debepagar

A) $10.000B) $8.000C)$12.000D) $7.250E) $9.000

9) 0,875: 0,625 =

A) 1,6B) 1,5C) 1,4D) 1,3E) ,1,2

10) Si, P = 0,001; Q = 0,01 Y R = .0,1; entonces el valor de P + QR es

A) 0,00101B) 0,0101C) 0,0022D) ,0,002E) 0,0012

39

1, :

t ':

ijt

1I

1:

1:

~,

,I¡

11r

, '

~,

PSU. Cuaderno de ·Ejercicios. Matemática

11) 0,42 =

14A) -

33

21B) -

SO33

C), 14

190)5

"S

E) 19

12)'1- 25,- _4_

3 - .!3

83

3B) -2

7C) '2

4D)-;¡

A)

3E) '7

13) ¿Cuántas veces 0;01 es iguala 1,01?

A) 100B) 101C) 110D) 1,01E) 0,101

i4) 1 : (0,125tl

A) un octavoB) un cuarto'C) un medioD) cuatroE) ocho

40 '

rIIII

PRIMER EJE TEMÁTICO I TeSI N"3, NÚMEROS RACIONALES II

15) En una liquidación de temporada, los ~ de los ~ del preciode una camisa son $1.500, Entonces, el, de Ia cami 3 14 'precio e a camisa, en pesos, es

A) 3,500

4,500B) -:;

13.750 'C)-7-

D) 5,000E) Otro valor

16) ¿Cuá1(es) de los siguientes números. es(son) racional(es)?

1) -2,73 TI) 0,123

A) S610 Ly IVB) Sólo I yIIC) S610 II y IIID) Sólo I, II Y IIIE) I, II, III YIV

III) 4,0156 IV) 5,01001000100001..,

1 '

I!

I

217) Un cordel se corta en cuatro pártes: la primera es 15 del total, la segunda es

tercera es 2. del total. Si sobraron 80 cm, entonces todo el cordel medía5

A) 360,cmB)' 3,2mC) 0,0018 kmD) 2,700 rnmE) 0,0018 m

'2'9 del total, la

18) La mitad de un tercio de 11. es lo mismo que

Al8-10

6Bl -

10

1C) 20,

D)1-5

E) 5

11) Si n . 10-3 = 10-4, entonces el valor de n es

A) 0,0000001B)' 0,000001

C) , 0,00001D) 0,001E) 0,1

41 '


20) Un bidón contiene los dos tercios de su capacidad con bencina, Si se sacan de él 2,5 litros,o 5 _quedan - de su capacidad. Entonces, para llenarlo hay que echarle. 12 ,

A) 10 litros

5 _B) 6' litros

C) 2+ litros

D) 4t litros

E) 5i litros

11,

21) Se derrumba una pared de ladrillos quedando sólo de una altura de 36 cm. Se nos dice que la parte

derrumbada es ~ de su altura original. ¿Cuántos centímetros de ladrillo habrá que levantar para darle8 .

a la pared su altura original?

rPRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 3, NÚMEROS RACIONALES 11

24) Si ~ = 2., entonces ¿cuál de las expresiones siguientes es igual a cero?b 2 .'

A) 2a - bB) -2a - bC) 2a+ bD) a - 2bE) a + 2b

25) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsafs)?

A) 12B) 24C) 36D) 48E) 60

22) 0,555 ... + 0,777 ... =

A) 0,12

B) 1,2

C) 1}

D) 1,32

E) lt

23) Una deuda de $a se cancela con $b al contado y el saldo en 12 cuotas iguales. ¿Cuál de las siguientesalternativas representa el valor de cada cuota?

A) a - ~12

B) ~-bo 12

C) a _ ab12

D) a ~ b12

E) ~ab12

42

1) (-0,9)2 < 0,1

A) Sólo 1B) Sólo' IIC) Sólo IIID) ~ólo II y IIIE) 1, II Y III

II) 0,01 > 10-2 III) 0,009' 0,1 .;. 1,1 • 10-2

26) En un curso mixto de 40 alumnos, ¿cuántas niñas hay?

(1) Hay 8 niñas más que niños.

(2) Los niños son los 3. de las niñas.3

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cadauua por sí sola.Tl)ó (2)E) Se requiere información adicional

27) ¿Qué fracción" dei triángulo equilátero ABC está sombreada en la figura adjunta?

- (1) AE = BE

(2). DE J.. AB

A) (1) por sí solaB)(2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiei:e información adicional ~B

D28) Se puede calcular el valor de x sabiendo que:

) 1 _ 2.(1 3"x - ~

1

(2) x· - 1, siendo x "" Ox

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)E) Se requiere información adicional

43


29) ¿Cuántas personas trabajan en una fábrica?

30)

4'(1) Los - son varones,, 7(2) Hay 210 mujeres,

Al (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas; (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)El Se requiere información adicional

La fracción ~ no se puede simplificar si:b

(1) a yb son primos entre sí.(2) el máximo común divisor entre a y b es uno,

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)

"D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 4, NÚMEROS REALES

CAPÍTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R)Test N° 4: Números reales

1} El número (..fi": J3)' es

A) un número enteroB) un decimal finitoC) una fracción impropiaD) un decimal periódicoE) un decimal infinito no periódico

, 2)' Un número racional comprendido entre .J3 y 15 es

A) .J3 + 15, 2

B) .J3 - 152

C) .J4,D) 1,7E) 2,3

3) Sea Q el conjunto de los números racionales, I el conjunto de los números irracionales y IR el, conjunto delos números reales, ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

l) Q Í\ I=IR H) QuI=IR I1I) lRnI=!A) Sólo I.

I B) Sólo H,C) Sólo III.D) Sólo 1 y H,E) Sólo II y III.


4) En la espiral de raíces cuadradas que se muestra en la figura adjunta, con los datos indicados enella, ¿cuál(es) de los siguientes segmentos tiene(n) como medida un número irracional?

l) AB

II) AC

III) AD

A) Sólo 1 y n.B) Sólo II y III.C) Sólo l y III,D) l, II Y HI.E) Ninguna de las tres.

y

2 D

44

2 X,

45


5) El número Jl2 puede interpretarse como:

1) La altur~ de un triángulo equilátero de lado 4II) Una solución de la ecuación x' = a 12

Ill) Un número irracional comprendido entre 2 y 3

A) Sólo IB) Sólo IIe) Sólo mD) Sólo 1 y II 'E) Sólo IIy. III

6). Sea "p" un número primo. De las siguientes expresiones:

1) p.J2 II) 3N III) JP .JP¿CiIál(es) corresponde(n) a númerofs) irracional(es)?

A) Sólo 1B) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo r. Y IIE)· Sólo I y III

Iilli¡¡!¡

7) Dado que x

A) x'B) x' +e) x' - xD)x' ~ 1E) x' - 2x

- .j::¡ + 1., entonces ¿cuál de los siguientes números no es irracional?

8) Si «a» es un número irracional, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) ~verdaderats)? .

1) (-a)' es positivo II) (¡J es racional III) -a es irracional

1:.

A) Sólo IB) Sólo IIe) Sólo I yIID) S'ólo I y IIIE) 1, II Y III . .

9) ¿euál(es) de los siguientes números es(son) irracioIÍa1(es)?

. II) ..fi + 7..fi .J61) .J2.-.Jl8 III) --. ..J216

A) Sólo 1B) Sólo' IIe) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

46

r PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 4, NÚMEROS REALES

10) Sean a =-2 y b =-..r:;., ¿cuál de los números siguientes pertenece a lR-?A) abB) -(a)(-b)el b~ar» (-bl - (-a)

-aEl -b

11 l ¿Cuál es el inverso aditivo de -n ; In . x ?Al - 1Bl Oel 1D) -mnxEl . mnx

12l Un número irracional comprendido entré O y 1 es

Al .J22

Bl~.J2 ~ J31

el "7Dl 0,5El 0,999

13 l El hecho que, para todo par de números reales m y n se cumpla que m + n = n + m se llamaA) propiedad aditi va.

. B) propiedad conmutativa de la adición en IR.'el clausura para la adición en IR.D) ley de cancelación para la adición en IR.El propiedad asocia tiva de la adición en IR.

14) Dados los númer~~ reales a =/J3 -1/, b =¡y ~ = ¡3(.J2 --J3)¡. El orden creciente entreellos es

A) a < b < eB) a < e < bC) b<c<aD) c cb c aE) c.c a < b

15) Si P Y Q son dos números reales ubicados en la recta numérica de la figura adjunta, entonces elproducto PQ es otro número real ubicado

A) a la izquierda del O.1 1 1 1 •••B) . entre O y P..O p Qe) entre P y Q.

r» entre Q y 1.El a la derecha del .1.

47

¡, rI1:I,i,1

i'

:1


6) El : 'd l éri l l l ió (x-2)(x-4) , d 'f'1 conjunto e va ores num ncos rea es para os cuales a expresi n 2 !!Q esta e 1-, ',x -36nida' es: '

A) (6)B) (2,4)C) (-6)D) (-6. 2. 4, 6 )E) (-6,6 i ,

17) Si el radio de una circunferencia se mide por un número racional. el lado deJ cuadrado inscrito estádado por un número:

A) racional.B) irracional.C) entero,D) cuadrado perfecto.E) ninguno de éstos.

18) El primer conjunto del cual es elemento la expresión - (2 -.J5) es

A), INB) ZC) QD) IRE) Otro

19) Si x = 5 . 10'. entonces x' =A) la· 106

B) 10 ó !O"C) 25· !O'D) 25' la'E) 25 '106

20) ¿Cuál de los siguientes números no es racional?

A) ..f9OOB) ')0.04

, 2

C) (~)

D) .J3.fíi

E) )0,999 ...

l' ,

rilJ

21) ¿Cliál(es) de las' siguientes expresiones es(son) equivalentets) a la quinta parte de 0,05?1) (0,05)' II) 10-1 I1I)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

48

r PRIMER EJE TEMÁ TIeO I Tesl N" 4. NÚMEROS REALES

22) Dado que la altura de un triángulo equilátero está medida por un número racional, ¿cuál(es) de 'lassiguientes magnitudes debe(n) estar necesariamente medida(s) también por un número racional?

1) El perímetro del triángulo"II) El diámetro de la circunferencia circunscrita' al triángulo.

IJI) El área del triángulo.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo 1y IIE) Sólo I y III

23) ¿Cuál de las expresiones siguientes es equivalente a 5,033fA) 502 + 33B) 5· 10 +30 + 3C) 5· lO' + 33 . la'D) 5'10'+3'10+3E) ,50 . la' + 33 . 10

24) Si a = JuJ, ¿por cuál de los siguientes números puede multiplicarse «a» para dar como resultadoun número racional?

1) FaA) Sólo por 1B) Sólo por IlO) Sólo por IIID) Sólo por I ó IIEl Por I,Il ó III

II) -JW I1I) 10

25) 0,000000672 =A) 672· 10-6

B) 67,2' 10-6

C) 6,72' 10-<>D) '67,2' 10-7

,E) 6,72' 10-7

26) ¿Cuál(es) de las operaciones siguientes 'da(n) como resultado un número irracional?

.fi+J21) ..fi+ z-Ii II) ,ifi ' ifi III) fi+..fi+..fiA) Sólo 1B) Sólo II

0,01 I C), Sólo IIID) Sólo 1 y IIE) Sólo II y III

49

;fiEb . . _

. PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática'

S· b ' I 1"' .ra '1 .27) 1 a, y e son numeros rea es, entonces a expresión - representa un numero rea SI:, b·c

(1) a es no negativo.(2) b Y e son distintos' de cero.

A) (1) por sí solaB) . (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una poi sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

28) Para determinar si el número x es un número irracional' se sabe que:

(1)' x tiene un' desarrollo decimal infinito.(2) x es igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado'.

A) . (1) por sí solaB) (2) por sí sola

. Cl' Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (I) ó (2)E) Se requiere información adicional

29) Para determinar el valor del producto de los números reales a y b se sabe:

(1) el inverso aditivo de a' es a y 2b = 1.(2) b es un número racional posiiivo y a no tiene inverso multiplicativo.

A) (1) por si solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola; (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

39) ¿Está el número x = a: . 10" escrito en notación científica?

(1) 1:S;a < 10(2) ne Z

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D)' Cada una por sí sola, (1) -ó (2)E) Se requiere información adicional

rI

,1 •

50

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 5, RAZONES Y PROPORCIONES

CAPÍTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONESTest N° '5: Razones y proporciones

1) Un padre tiene 42 años y su hijo 18 años. ¿En qué razón están las edades del hijo y del padre?A) 3:.4B) 3: S"C) 3: 6D) 3: 7.E) 3: 8

2) Las masas de dos personas están en la razón de 2 :'3. Si unade ellas tiene 23 kilogramos más de masa.que la otra, ¿cuál es la masa de la más liviana?A) 36 kgB) 46 kg.C) S6 kgD) 64 kgE) 69 kg

3) Dos ángulos suplementarios están en la razón 3 : S. ¿Cuál es la diferencia p~sitiva'entre sus medidas?A) 22,S·B) 30·C), 4S·D) 67,SoE) 90·

4) Un kilógramo de queso "La Vaquita: salada" cuesta $7.200. ¿Cuánto se debe pagar por 125 gramos de'estequeso? .

A) $450B) $720C) $800D) $900.E) $1.800

,5) En un mapa "a" centímetros corresponden a 3.000 metros. ¿A cuántos metros corresponden "b" centí-metros del mapa?

A) ~3.000

B) 3.000ab

C) _a'3.000b

D) 3.000ab

E) 3.000ba

-~

$1

w __ o _._, __ A&.~ _'•....


6)' En un liceo mixto de 1.540 alumnos, 880 son varones. ¿Cuál es la razón entre el número dedamas y el de varones?·

A) 1 : 2B) 1: 3C) 2: 3D) 3: 4E) 3: 5

7) Dos números enteros están en la razón 2 : 7. Si la suma de ellos es -36, ¿cuáles son los números?

A) -7 Y 29. B) 7 Y -29

C) -8y -28D) 8 Y -28El -lO.y -26

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 5, RAZONES Y PROPORCIONES

11) Si 5m = p ; 5q = 2rA) 0,25B) 0,5C)1D) 2E) 4

y p = r, entonces m: q =

8) Sean a, b y e números enteros tales que "e" es la quinta parte de "a" y "a" ese! doble de "b", Larelación correcta entre b y e es:

A) Sb = 2cB) 2b = lSee) b e = 2 : 15D) b 5 = e : 2E) b e = 1 : 10

9) Si ~m

l. k2' m

~6 Y 3. = ~ ,entonces de las igualdades siguientes es'(s;n) verdadera(s):p 4 . .

III) p = 2q

12) La media proporcional geométrica entre 18 y 72 esA) 18B) 27C) 36D) 45E) 5:1

13) Si se tiene la proporción ~b

2, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proporciones se deduce(n)3' .

1) n=p II) n = q

A) Sólo l.B) Sólo n.C) Sólo 1Il.D) Sólo 1 y III.E) 1, II Y Ill.

10) Si x : y = 1 : 4, ¿cuál es el valor de (x + y) cuando y = 1?

.5A) '4

5B) 2:

3C) -4

D) .!.2

E) 5

como correcta(s)?...a 5 b a 2a 10 a-b 1

1) -. - = -- II) - =- III) - =- IV) -=-b-a 2 3 5 3b 9 a:+ b 4.

A) Sólo IIIBl Sóio 1I y IIIC) S610 1 y IVD) Sólo 1, II Y IVE) Todas

14) En un estante, los tarros de salsa de tomate con champiñones y los de salsa de tomate con polloestán en la razón de 9 : 10. Si' se retiran del estante 38 tarros de salsa con pollo, la razón se

, invierte. En tal caso, los tarros de salsa de tomate con pollo qu.e había antes del retiro, en elestante, eran

A) 20B) 100e) '162D) 180E) 200 .

15) Miguel y Oscar tienen estampillas cuyas cantidades se encuentran en la razón a: b. Si Oscar tiene15 estampillas más de las que tiene Miguel, y éste tiene a estampillas, entonces 1(1 cantidad deestampillas que tiene Oscar esA)a + 15B) b - 15

15ae) -

a-b

15aD) b-a

53

lSbE) a-b

52

\I!PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática'

16) Alberto, Bernardo y Carlos forman' una sociedad. El capita] aportado por Carlos está con elcapital aportado por Alberto y Bernardo en la razón 1 : 1 y además se sabe que Alberto aportó$1.400.000 y Bernardo' $1.600.000. Entonces el capitaltotal de esta sociedad es de 'A) $1.500.000B) $3.000.000C) $6.000.000D) $8.000.000E) $9.000.000

I¡ti

11I·Jq!l'il

11':

~

17) La suma de dos números es 108 Y. ellos se encuentran en la razón de 1 5. ¿Cuáles son iosnúmeros? .A) 8 Y 100B) 18·· y. 90C) 21,6 Y 76,4D) 48 Y 60El 28 Y 80

18) ¿Qué número debe restarse de 9 y al mismo tiempo sumarse s.s. para' obtener dos números que. estén en la razón 3 :. 4?A) '1B) 2C) 3D) 4E) 5

19) Si 3p - 2'= q 'y p:. q= 1 : -2, entonces ¿cuál es el valor de p?

2A) "3

B) ~2

C) 2D) 4E) 6

120) Al restarse.16 del quíntuplo de un número, se obtiene otro que está con el original en la razón-3: 1 .

¿Cuál es el número 'original?A) 19B) 8C) 5D)2E) ~8

21) En un mapa, la distancia, entre dos ciudades es de' 36 cm y Ia distancia real es de 288 .km. ¿A qué- escala fue diseñado el mapa? .

A). 1 : 800B) 1 8.000C) 1: 80.000D) 1 800.000E) 1: 8.000.000

's4

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N' 5, RAZONES Y PROPORClONES

22) En un mapa 2,5 cm representan 30 km. ¿Qué área representa un cuadrado de 10 cm de lado?A) 144 km'B) 1.440 km'C) 14:400 km'D) 1.480 km'E) 1.448 km'

23) Un árbol de 3 m de altura da una sombra de 60 cm. Si se mantiene la razón altura/sombra, lasombra de un árbol de 4 ID 'SeráA) 20 cmB) 64 cmCl 80 cmD) 106,6 cmE) . 160 cm

24) El perímetro de un rectángulo es 120 cm. Si los Iados están en la razón 1 : 2, ¿cuál es su área?A) 80 cm'B) 800 cm'C) 3.200 cm?Dj 320 cm'E) 1.600 cm'

25) Las edades de Paula y Francisca están en la razón 7 9. Si Francisca tiene 18 años, entonces endos años más, la razón .entre sus edades será

A) 7: 9B) . 9 : 11C) 1: 2,D) 7: 10

. E) 4.: 5

26) En una canasta conteniendo 80 huevos entre 'blancos y de color, los huevos blancos y los huevos.de color están en la razón de 2 : 3. El número de huevos blancos que falta para igualar el númerototal de h~vos blancos y de color es:

A) 12B) 16C) 32'D) 40.E) 48.

55·

__ .__. Sf:-


27) Si 2a = 3b Y 5b = 7c, entonces ,¿cuál es el valor de e?'

(1)I

a = -5

rI

PRIMER EJE TEMÁ nco I Test N" 6, PROPORCIONALIDAD

CAPÍTULO S. PROPORCIONALIDADTest N° 6: Proporcionalidad

1021

. . . .

1) La docena de manzanas cuesta $1;200. ¿Cuánto hay que pagar por 54 manzanas?A) $3,240B) $3,600C) $4,800D) $5.400E) $6.000

2) ¿En' cuál de las siguientes relaciones matemáticas, las variables "x" e "y" son directamente' pro-porcionales? ' . ,

A) xy = kB) 2x - 3y = OC) x - y = x + yD) x+.y':"-I ,E) Sx - 6y = I

3) Si para hacer una torta,se necesitan 9 huevos de 120 g, ¿cuántos huevos de 80 g se necesitarían?

A) 6 .'B) 13t •

C) 12D) 15

E) 15t4) En la tabla siguiente se muestran los valores de x e y, -donde x es directamente proporcional con y.

¿Cuáles son los valores de P y Q? • '

(2) .:a

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solae) Ambas juntas, (1) y (2)¡;:i) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

28) La razón entre el número de hombres y mujeres en un curso es 5 : 2, ¿cuántos varones hay?

(1) El curso tiene 42 alumnos,,(2) Las niñas del curso son 12.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) , Cada una por sí sola, (1) Ó (2)E) Se requiere info'rmación adicional,

29) Las aristas de la caja de la figura miden a, b y e CID, ¿Cuál es el área de la cara sombreada?

(1) a: b : é = 5 ; 7 : 3,(2) 'El volumen de la caja es 840 cm',

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola,(l) ó (2)E) Se requiere información adicional

( ,leb

l A) P = 40 Y Q = 13B) P=18 Y Q=17C) P,=20 Y Q= 18D) P = 40 Y Q = 18

, 16E) P = 18 Y Q'= -

9.

~

~

30) Con respecto a sus ángulos interiores, ¿qué clase de triángulo es el D. ABC?

(1) Sus ángulos interiores están en la razón 3 : 7 : 8(2)' El mayor de los ángulos interiores mide 80° y el menor de los ángulos exteriores, mide 100°

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una .por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información ,adiciorial

S) R máquinas demoran N horas en hacer un trabajo. Entonces 3 de las mismasmáquinas demoran

NRA) ~

3NB) R

3Re) N

ND) 3R

RE) 3N

5756

PSU. Cuaderno ¡fe Ejercicios, Matemática

6) a es inversamente proporcional al cuadrado de b. Si a = 5 cuando b = 2,b = l? .A) .5B) 10C) 15D)20E) 25

Lcuánto vale a cuando

7)'~isl," ~f~:[L"V~¡'bl;l~i:'"PWi~7:kX X .: X· X

A) Sólo 1B) Sólo IIIC) Sólo IV

D) Sólo I y IV .~

E) Sólo I, II Y IV

8) En la tabla siguiente se muestran los valores de x e y, donde x es inversamente proporcional con y.

¿Cuáles son los valores de A y B?

A) A = 278

Y B.= -9

B) A = 18 Y .B= 3

C) A= 3 y B= 18

12 9D) A= - Y B=-. 3 . 2E) A = 27 Y B = 18

x 9 A 2

Y 4 12 B

9) Un auto recorre. una distancia d con una rapidez constante Y, y demora un tiempo t. ¿Cuál es larapidez a la que deberá ir si quiere demorar la mitad del tiempo en recorrer la misma distancia?

A) v

B)v2

vC) -4

D) 2v

E) 4v

58

f'

",rPRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 6, PROPORCIONALIDAD

Un bus recorre normalmente una distancia de k kilómetros en h' horas. ¿Cuál sería su rapidezmedia en krn/h, si ·estuviera autorizado y llegara a' su destino con una hora de retraso?

A) * - 1

k - 1Bl "-h

k - 1C) h _ 1

kD) h + 1

kE) h-=1

.c..

11) El consumo de electricidady de una estufa eléctrica es directamente proporcional al' tiempo xdurante el cual se encuentra encendida. Si k es una constante distinta de cero, entonces ¿cu'ál delas siguientes expresiones matemáticas podría corresponder al enunciado?A) y ¡= k, x

kB) Y =-

xC) y = k, x'

D) y = kX

E) y = x:" k

12) ¿En cuál de las siguientes relaciones matemáticas, las variables x e y son inversamente proporciona-les?A) xy = 1B) 3x + 2y= 6C) x - y = OD) x -l- y = 10

E)' 5x - 2y =0

13) La fuerza centrípeta (f,) que actúa sobre un cuerpo en rotación es directamente proporcional a lamasa (m) del cuerpo, al cuadrado de la velocidad (v), e inversamente proporcional al radio (r) dela circunferencia que describe. ESÚI ley se expresa matemáticamente pq,r medio de la fórmula:'

A) f, = kmvr

B) f, = kmv2

r

C) f, = km2v

r

D) f, = kmvr2

E) f = kmv"e -;:z

59


14) Una familia compuesta de 4 personas consume $360.000 en 30 días. A ese mismo ritmo deconsumo, ~para cuántos días le alcanzarán $4S0.000 a una familia de 6 personas?A) 15

B) 26%-

C) 33¡D) 60

E) 65

15) 8 trabajadores realizan una obra en 12 días. Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos trabajado-.res más se necesitarán?A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10'

)(5) 3 niños comen 6 pasteles en 2 minutos. Para comer 4 pasteles, ¿cuántos minutos demorará un.. niño?

17)

A) 1B) 2C) 3·D) 4E) 6

Se sabe que A es inversamente proporcional al cuadrado de B. Si A = 100 cuando B = 5, entonces,¿cuánto vale A. Cuando B = lO?A) 50B) 25C) 20D) 15E) 10

:;.."

PRIMER EJE TEMÁ rico I Test N" 6, PROPORCIONALIDAD

. 21) Una máquina puede imprimir 45.000 tarjetas en 12"horas. ¿Cuántas horas necesitaría si el pedido3 .'

aumenta en sus -?10

A) 15 hB) 15 h 6 minC) 15 h30 minD) 15 h 36 minE) 15 h 45 min

22) Se emplean 12 máquinas pata realizar un trabajo en 15 días. Si se dispone de 3 máquinas menos,¿cuántos días más se emplearán en hacer igual trabajo?

A)

B)C)D)E)

111 .:

45

15is20

18) Si 10 ardillas comen 10 nueces en 10 días, ¿cuántas nueces come una ardilla en un día?A) 0,01B) 0,5C) 0,1D) 1E) 10

23) En ciertas recetas de cocina, 1t copas de vino pueden sustituirse por una copa de cognac, ¿cuántas

copas de vino se deben usar en una receta que requiere 1t copas de ccgnac?

A) 1B) 2

C) 2¡

D) lt

E) 1.14

24) En un circuito eléctrico, la corriente y la resistencia son inversamente. proporcionales (si el voltaje es

constante). Si un circuito tiene una resistencia de '200 ohmsy una corriente de 11 amperes, encuentre

la corriente, expresada en amperes, cuando la resistencia es 500 ohms.

A) 3-5

B) 7.1,C)

S-3

D) 4-15

E) 314

25) Si tres ';ecreta~ias pueden tipear seis manuscritos en doce días, ¿cuántos días tomaría a dos secretariastipear tres de tales manuscritos?A) 4B) 9e) 112D) 16E) 36

61

I1

I

Para embaldosar el piso de una cocina se ocupan 48 baldosas cuadradas¿Cuántas baldosas' de 40 cm de lado se' ocuparían en un piso equivalente?A) '21B) 36C) 54D) 64E) 66.

Diez libros valen $75.000, luego doce de los mismos libros costaránA) $6.250B) $85.000

. C) $62.500D) $80.000E) $90.000

19) de 30 cm de lado.

20)

60

, ,

PSU: Cuaderno de Ejercicios, Matemática

26) Si 10 caballos consumen 50 fardos de pasto en 3 días. entonces ~l número de fardos de pasto queconsumen 15 caballos durante 1 semana. bajo el mismo. patrón de consumo es

50 . 15 . 10A) ---

7 . 3

50 . 7 -, 15B)~

I

j 50 . '10 . 3C) ]T:7

I50 . 15 . 3

D) 10 . 7

50 . 10 . 7E) ~

27) ¿Cuáles de las parejas de variables siguientes son directamente proporcionales?A) El área de un cuadrado y su lado.B) Li. longitud' de una circunferencia y su radio.C), El volumen deun cubo y su arista.r» La estatura de una persona y su edad ..E) E, Mea de un círculo y su radio., .

28) ¿Cuántos días necesitarán ,5 hombres. trabajando 6 horas diarias para hacer' 60 metros de lamisma obra? '

(1) 3 hombres trabajando 8 horas diarias han realizan 80 metros de la obra en 10 días.(2) Más hombres demoran menos días en hacer el mismo trabajo.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí sola'C) , Ambas juntas. (1) y (2)D) Cada una por sí sola. (1) 6 (2)E) Se requiere información adicionalPodemos determinar si A y B son directam~nte proporcionales si:

(1) Cuando A aumenta. B aumenta.(2) Cuando B disminuye. A disminuye.'

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas. (1) y (2)D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)E) Se requiere información adicionalX e Y son inversa mente proporcionales si:

(1) X . Y = K 11 K es una constante.(2) El gráfico de la relación entre Xe y es una hipérbola equilátera

A) (1) por sí solaB) (2) por· sí solaC) Ambas juntas. (l} y (2)D) Cada una por sí sola. (I),ó (2)E) Se requiere información adicional


29)

1I¡I

30)I!.H;'1~

62

r PRIMER EJE TEMÁTICO i TestN"7, PORCENTAJES I

CAPÍTULO 6. PORCENTAJE E INTER~STest N" 7: Porcentajes 1

1) El 18% de 150 esA) 2,7B) 27C) 75D) 108E) 270

2) ¿Qué tanto por ciento es 52,5 de, 350?

A) 1.5%

B)6.6%C) 15%

D) 66.6%

E) 183.570/0

3) Una persona tiene $500 y gasta el 25%. ¿Con cuánto se queda?A) $125B) $375C) , $475D) $625E) $275

4) El 25 % de p sumado a p se expresa

A) 5p4

125B) 100 + P

C) p + 25100

D) P + 25p100

E) l25p

5) En una familia de 8 personas. el 25% de ellas están resfriadas. Las personas no resfriadas son, ,

A) 2B) 4C) 5D) 6E) 8

6) El 40% de un número es 260. El 70% del mismo número esA) 104B) 182C) 260D) 455E) 650

63

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

7) Un niño aumenta su masa de 15 kg a 18 kg. El porcentaje en que aumentó su masa es de un

Al 30%

1B) 6%

C) t%.. I

D) 20% I 13)

E) 25%·8) Un supermercado ofrece un producto rebajado en un 20% a $280. El precio original era

A) .$70B) $268,8C) $280D) $336E) $350

9) Un ;Utféulo fue comprado en $800 y vendido en $1. 000. La ganancia es de un

A) 20%B) 25%C).40%D) 80%E) 125%

10) Un artículo cuesta $p, y se vende obteniéndose e115% de ganancia. El precio de venta es

PRIMER EJE TEMÁTICO ITest N" 7. PORCENTAJES 1

12) Una secretaria que escribía 60 palabras por minuto aumenta a 72 palabras por minuto. ¿Cuál esel porcentaje de aumento?A) 7,2%B) 12%C) 18,5%D) 20%E) 60%

Si María tuviera un 15% menos de Ía edad que tiene, tendría 34 años. LCuál essu edad actual?A) 28 añosB)30 años'C) 36 añosD) 40añosE) 49 años

14) Tenía 30 lápices. Di a mi hermano el 30%, a mi primo el 20% ya un amigo el 10%. ¿Con cuántoslápices me quedé? .A) 10B) 12C) 16D) 18E) 20

15) En un curso, 30 alumnos rindieron el examen' de matemática. De ellos, 8 obtuvieron la nota. máxima, 12obtuvieron un 5, además 7 obtuvieron un 4, y el resto fue reprobado. ¿Cuál es el porcentaje de-reprobados?A) 0,9%B) 3%C) 10%D) 12%E) 30%

16) De una caja de 80 lápices, 30 son negros y los restantes son verdes. Entonces, el porcentaje de lápicesverdeS es .

A) 30%B) 37,5%.C) 50%D) 62,5%E) 80%

17) El 40% de 80 = 30% de 60 + Z, entonces z =A) 6B) 8C) 14D) 30E) 42

18) En una promoción de 550 estudiantes, el 42% desea continuar estudios universitarios. ¿Cuántosalumnos quieren estudiar en la universidad?A) 13B) 23C) 77D)' 210E) 231

65

A) p. + ..E.15

B) p + 150p

P + 150C) ---¡o¡¡-

D) p + 1~0

15pp + 100E)

11) De una deuda de $ p se cancela el 30% y el saldo se divide en 6 cuotas iguales. El valor de cada cuotaes

30p . 6A) .100'

·p-30. 6B) 100'

70p . 6C) 100'

300p _ PD) 600 .

p-30'2E) 100'

64

PSU. Cuaderno" de Ejercicios. Matemática

19) En un curso de 20 niños y 28 niñas. ¿qué', porcentaje son niñas?A) 41.7E) 48

C) 58t

D) 70E) 71

20) Un, hombre ahorra $24.000 que equivalen a un 371 % de' su salario semanal. ¿Cuáles su salario. semanal?

A) $40.000B) $46.000C) $64.000D)' $88.000E) $90.000 ,

21) Fresia deposita'$700.000 en un banco. el cual paga un 3% de interés anual. ¿Cuánto dinero ,tendráahorrado al final del año? ' ,A) $21.000~) $679.000C) $702.100D) $721-.000E)' $910.000

22) ,¿Cuánto dinero deberá invertir un hombre a una tasa de 5% anual, para tener $1.470.000a fin de año?

A) $70.000B)$700,OOOC) $ 1.400.000D) $1.462.650E) $1.540.000

23) Don Pepe recibe un sueldo mensual de $600.000 más un 5% de todas sus ventas si ellas exceden a$1.000.000 y un bono 'especial de $50.000 si sus ventas exceden $2.000.000. ¿Cuánto fueron'sus ingresos un mes en que vendió $2.100.000?,A) $605.000B) $650.000e) $655.000D) $750.000E) $755.000

24) Si el perímetro de un cuadrado se duplica, ¿en qué porcentaje aumenta su área?A) 100%B) 200%C) 300%D) 400%E) 500%

25) De' un curso de danza de 70 alumnas, un día asistieron sólo 49 alumnas. Ese día. el porcentaje deínasístencía fue de '

A) 21%B) 30%C) 35%D) 49%E) 70%

!i.

I

66

~;

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 7, PORCENTAJES 1

26) Una cantidad "A" aumenta a "B". El porcentaje de aumento fue

A) 100BA

100AB) B

100(B-A)C) A

D) 100BB-A

ABE) 100

27) El 15% de un número es x. Por lo tanto, el 90% del mismo número esA) 3xB) 6xC) 9xD) 12xE) 15x

28) Si a es el 150% de b yb es el 140% de c. entonces ¿cuál es el valor de e?(1) a es igual al 20% de 1.

'(2) a es.el 210% de c:A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas. (1) y (2)'D) Cada una 'por sí sola. (1) Ó (2)E) Se requiere información adicional

29) ¿Cuál es el 32% de un número?(1) Su 60% es el triple de su quinta parte,(2) Su 45% excede a su 28%en 34.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas. (1) y (2)D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

3 O) Dadas las cantid~des a. b y c; podemos, afirmar que a es el 25% de b si:(1) e = 4a.(2) e = b.

A) (l) por sí solaB) (2) por sí SolaC) Ambas juntas. (1) y (2)D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)E) Se.requiere información adiCional,


67


!

Test N° 8: Porcentajes II

n Si el 32% de 50 es m y el 40% 'de 5 es n, ¿qué tanto por ciento es n de m?A) 87,5%B) 80%e) 800%D) 12,5%E) 700%'·

2) En una liquidación todos los productos están rebajados en un 20%. Si una persona paga $28.400 por sucompra, ¿cuárlto dineroahorró en la liquidación?Á) $5.680B) .$7.100e) $6.816D) $6.500

. E) $6.100

3) .Un examen de admisiÓn a un. instituto profesional lo rindieron 1.250 personas, de las cuales fueronaceptadas el 80%. Si el 20% de tos aceptados son mujeres, ¿cuántos hombres más que mujeres fueronaceptados en el instituto? .

A) .50B) 200e) '450D) 600E) L050

4) Un libro cuyo costo fue de $6.400 se vendió en un cierto lugar en $11.200. ¿Qué porcentaje de utilidadse obtuvo? .

A) 20%B) 40%e) 50%D) 65%E) 75%

5) Una persona debe realizar un trabajo especializado en 8 días trabajando cantidades iguales todos losdías. ¿Qué porcentaje del trabajo lleva realizado después de t día de trabajo?

A) 0,5%B) 6,25%e) .12,5%'D) 25%·El 50%

6) Una mercadería costó $m y se vende ganando el x%, ¿cuál es la ganancia?

A) ~100

i";

d·

ii mB) IOx

i'J;' x

e) 10m

D)1000m

xE) 100mx

68

PRIMER EJE TEMÁTICO ¡Test N" 8, PORCENTAJES II

7) Un bus emplea 4 horas en recorrer x kilómetros. ¿Qué porcentaje del camino recorre en 15minutos viajando con la misma rapidez?A)' 0,5%

B) 6,25%C) 12,5%D) 18,75%E) 25%

8) Una persona percibe un' sueldo líquido mensual de $360.000 y logra ahorrar e15% de su sueldo. Si entres meses ha ahorrado $x, ¿cUál es el valor de x?A) StO.800B) $18.000C) $24.0010D) $36.000E) . $54.000

9) En una bolsa hay 36 bolitas, entre blancas y negras. Si las bolitas negras corresponden al 75% del total,¿cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdaderats)? .1) Las bolitas blancas son 9.

lI) Las bolitas 'negras duplican a las blancas.III) Las bolitas negras son 8 más que las blancas.A) Sólo 1B) Sólo Ire) Sólo' IIID) Sólo Ir y IIIE) Sólo 1 y III

10) De los s operarios de una fábrica, h son hombres. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres que trabaja endicha fábrica?

(s -h)A) -s-o %

B) (100 - ~) %

(100(S - hl) .C) , %s

rOO(S - h))D) %.h. ,

E) (lOOh J%s-h11) Dos artículos se compran en.$60.000 y $80.000, respectivamente. Si a elloshay que agregarles eI18%'

de impuesto, entonces el preció total a pagar esA) $10.800E) $14.400e) $140.000D) $144.400E) .$165.200

69¡~

PSU. 'Cuaderno de Ejercicios. Matemática

12) Una mercadería se vendió en $m con p,% de pérdida, ¿euál fue el precio de compra?

100mA)--

100 - P

lOOpB) 10 _ in

100(100 - p]e) -'-

,m

100(100 - m)D) --

PE) p+m

13) Dos descuentos' sucesivos del 10% son equivalentes a un descuento único delA) 19%B) 20%C) 22,5%D) 25%E) 30%

14) Las dimensiones de un rectángulo son 80 m de largo por 50 m de ancho, Si el largo aumenta enun 5% y el ancho disminuye en un 20%, ¿qué variación experimenta su área?A) Aumenta en un 30% ..B) "Disminuye en uri 25% ~e) Aumenta en un 22,5%D) Disminuye en un'16%E) Disminuye en un 84% ,

15) Los tres ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 5 : 6 : 9, Si el ángulo menor aumen-taen un 20%, el ángulo del medio permanece igual" y el ángulo 'mayor disminuye en.11,IIL,%,entonces la' razón en que están los nuevos ángulos es de 'Al 2: 3: 4B) 1: 2 : 3C) 3:3:4D) 5: 9 : 4E) 9: 2: 3

16) Si el radio de un círculo aumenta en un 100%, entonces .su área aumenta en unA) 100%B) 200%e) 300%D) 400%E) 500%

70

;¡/

~,

PRIMER EJE TEMÁ rico I T~st W 8",PORCENTAJES II

1'7) En los últimos cinco años, el precio de un nuevo modelo de automóvil se incrementó en 30%, Sise estima que el porcentaje de incremento para los próximos cinco años será el mismo, entoncesel porcentaje de incremento para este período completo de diez años seráA) 15%B) JO%e) 39%D) 60%E) 69%

18) Si a 25 litros de una solución de alcohol al 20~ se le agregan 50 litros de agua, '¿cuál será elporcentaje de alcohol en la nueva solución?A) 5%'

B) 6t%

C) 10%

D) 13t%

E). 20%

19) Una tienda vende un reloj con una utilidad de un 25 % sobre el precio de costo, ¿ Qué porcentajedel precio de 'venta del reloj es la utilidad de la tienda?A) 12,5%B) 20%C) 25%D) 50%E) 75%

20) El stock de un almacén disminuye su valor en un 20%, ¿En qué porcentaje deberá incrementarseeste stock para volver a su valor inicial?A) 15%B) 20%e) 25%D) 30%E) 40%

21) La población de un pueblo aumenta en 50% cada 50 años, Si la población en 1950 era 810habitantes" ¿en qué año la población era de 160 habitantes?A) 1.650B) 1.700C) 1.750D) 1.806E) 1.850

71

PSU, Cuaderno de Ejercidos. Matemáüca

22) Una mujer compra lO cajas de tomates a un costo total de $80.000. Si ella pierde 2 cajas, ¿a quéprecio 'debería vender cada una de las cajas restantes, para obtener una ganancia de un 25% delcosto total?A) $10.000B) $12.500C) $15.000O), $100.000E) $120.000

23) Se deposita $100.000.000 a un 10% de interés simple anual, ¿cuánto se podrá retirar al cabo de5 años?' '

, 'A) $155.000.000B) $150.000.000C) $145.0QO.000O) $140.000.000E) $105.000.000

24), Si la' arista de un cubo se duplica, ¿en qué porcentaje' aumenta su vol~men?A) 100%B) 200%C) 400%O) 700%El 800%

. 25) ¿Qué capital se debe depositar a un 5% de interés compuesto anual para que al cabo de 5 años setransforme en $ 66.550?

66.550A) s (1,05)'

B) $ 66.550 . (1,05.)'

/66.550C) $ {J.05

(66.550)'0)$ ~

66.55QE) ,$ ~

26) Un líquido se evapora a razón de un.5% cada diez minutos. De I litro de este líquido, ¿cuántoquedará al cabo de una hora? ' ,

'Al 700 cm'',B) 750 cm'

C) 1.600' (0,95)' cm'O) 1.000· (1,05)' cm'E) 1000· (0,05)' cm'

72

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 8.. PORCENTAJES 1I

27) Una persona ganó $480.000 al depositar un capital a plazo en un banco. Si retira '$15.480.000 alfinal del período, entonces el tanto por ciento de interés pagado esA) 32,2%B) 31,2%C) 7,4%D) 3,2%E) 3,1%

28) Una persona mantuvo un depósito de $100.000 un cierto período de tiempo, al término del' cual, retiró'todo (su capital). Si el banco, le pagó un k% de interés compuesto anual después de agregarle un 12%,al valor inicial del depósito" por concepto del alza del costo de 'la vida, entonces el dinero que retiró fue

(1) El tiempo de depósito fueron 5 años.(2) El ~% de IDO es 6.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere' información adicional

29) En una figura, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de diámetro AB. Podemosdeterminar qué porcentaje del círculo es el área del triángulo si:

(l) El triángulo es rectángulo escaleno de hipotenusa 5 cm.(2) AC = 4 cm y Be = 3 cm.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas; (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

3O) ¿En qué porcentaje varía el volumen de un globo esférico que se está inflando?,(1) El radio inicial era 10 cm,(2) El radio final es 15 cm.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)E) Se requiere información adicional"


73


CAPÍTULO 7. REGULARIDADES NUMÉRICASTest N° 9: Regularídades numéricas

1) El octavo término de la secuencia:A) 10-lB) 10-6

C) 10-7

D) 10-8

E) 10-9

2) De acuerdo a la siguiente secuencia

1 ;0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... es

123

~,~,~ ~2"~"'*'

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 9.: REGULARIDADES NUMÉRICAS

7) La cifra de las unidades de 3" esA) 3B) 9C) 7D) 1E) Ninguna de las anteriores

8) En la secuencia:

.....

fig. 1 fig.2 fig. 3¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderats)?l)m + n ~20 .

1I).2p=q=12 8 ..nn El octavo térmirio es t

16 24A) Sólo. III .r .'

. B) Sólo 1 yIl. C) Sólo 1 y IIID) Sólo II y IIIE) 1, Il Y III

3) ~n la sucesión: 1 , 5 ,7 ,11 , 13 , a, 19., b , ... , los valores de a y b 'Son, respectivamente:A) 17 Y 24B) 17y 23C) 17 Y 22D) 16. Y 23E) 15 Y 21

4) En la serie: 8 , 2 ,-4 , -10 , ... , el término que ocupa el lugar diecinueve esA) -150B) -100C) 100D) 150E) 16.0

5) a' - a, a2 _ 13., al -' 3a, son los tres primeros términos de una su~esión. Si a = -2, entonces elquinto término esA) -42B) -22

. C) -6.D) 22E) 42

6.) Escondiendo huevitos de pascua, Juan oculta un huevo en un primer escondite; en el segundo, el.'doble de huevos que en el primero; en el tercero, el triple que en el segundo; en el cuarto.. elcuádruplo que en el tercero, y así sucesivamente, ¿cuántos huevos ocultará en' el séptimo escon-dite?A) 28B) 120C) 128D) 720E) 5.040

Para los aspectos teóricos de este conteoido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e.E.), se recomienda nuestro Manual de Prepara-ción P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006.

74

. el número de puntos en la décima figura esA) 6.3B) 80C) 99D) 120E) 143

9) El término que ocupa el.noveno lugar de la siguiente secuencia es

J2,2, 2J2, 4, 4J2.'A) 8J2B) 1OJ2Ó 16J2D) 32J2

E) 64J2En la siguiente secuencia de figuras formadas con palitos de fósforos, ¿con cuántos palitos se constru-ye la décima figura? . .A)2· 3'0'B) 2· 3'C) 2.38

D) 2' 37

E) 69"

10)

»< .c-. ~

11) En la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, S, ... , cada término, a partir ctel tercero, se obtieneI sumando los dos anteriores. ¿Cuál de los siguientes términos debe ser un número impar?

A) 21"B) 4S"C) 363'D) 442'E) 6.96'

12) En la secuencia: 1, -2, 3, -4, S, ... , la diferencia entre el ?écimo y el noveno término esA) 19B) 1C) -1D)· -19E) -20

75


A) -92

58E) --

3Cl -18D) -2E) 5

76l,

PRIMER EJE TEMÁ TlCO I Test' N' 9, REGULARIDADES NUMÉRICAS

19) El número que sigue en la secuencia: 3, 8, 15,24, .,. , esA) 30E) 33C) 35D) 45E) 50

20) Si x e y son los números que faltan' en el siguiente cuadrado mágico, entonces x - y =A) -3E) -1C) 2D) 3E) 4

15 8 x

y 12 14

11 16 9

32

1-1

_31

r1_3' 'lid 1 .'--1 ; ..., e va or . e .sexto terrmno es

(-Ir

13) En el siguiente esquema, los números a y b se. relacionan con los demás de acuerdo a un ciertocriterio, entonces la mitad de la diferencia positiva entre' a' y b esA) 33

27E) '2C) 23

D) 332

E) 292

3°21) En la secuencia: -1

5' .

22)

155

2435

1.215J

815

Al sumar el quinto y el sexto término de la secuencia:6 - 3x; 2(8 + 4x); 3(10 -5x); 4(12 + 6x); ...

14) ¿Cuál es el siguiente término de la secuencia: 0,1 ; 0,03; 0,009 ; 0,0027 ; .. ,?. A) 0,00081E) 0,000081C) 0,000243D) 0,0081 .E) 0,0000081En la siguiente secuencia decuadrados los perímetros van aumentando en 2 cm. Si el perímetro deltercer cuadrado es 20 cm, entonces la diagonal del primero mideA) 4cm

E) 412 cm

ClJ2 cm

D) l6J2cm

E) !..ficm2

A)

B)

C)D)

E)

se obtiene

A) 166 + 13xE) 166 - 13xC) 330 - xD) 153xE) 330 + l1x

23)o '.' 2

¿Cuál es la cifra número cien de la expresión decimal de la fracción '7?A) 1B) 7C) 2D) 8E) 5

15)

--.[]--.D

24) Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de tres lados es 180°,la de uno de cuatro lados es 360°, la de uno de 5 lados es 540°, y así sucesivamente, entoncespara un polígono convexo de !O lados, esta suma es .A) 1.260°B) 1.440°C) 1.620°D) 1.800°E) 1.980°

D16) En la siguiente secuencia, el número asociado a la novena figura es

~)nE) 35Cl 44P) 54E) 77 lig.4

77

&008. .

lig.l fig,.2 fig.3

~7) El cuarto término en la siguiente secuencia 80 T 40x, 40 - 20x, 20 - IOx, ' . esA) 2-xE) 5 - 2xC) O-O'xD) !O - 5xE) !O - x

18) En una secuencia de números, cada término, a partir del segundo, se obtiene como la diferencia entreel triple del término anterior y 5, Si el quinto término es -38, entonces el tercer término es

~i

~¡¡,1'ij

rI


25) El quinto término de la secuencia: 10, 18, 34, 66, ... , es

A) 82B) 98C) 106D) 114E) 130

26) El término que ocupa .el lugar 10 en la secuencia: -0,6 ; 1,2 ; -2,4 ; 4,8 ; ... , es.

A) 1.228,8B) 307,2C).-153,6D) ~307,2E)-6l4,4

27) De acuerdo a la figura siguiente, x' =

28)

A) 1B) 5C) 625.D) 5'E) 1.024

¿Cuál es el término ubicado en el lugar 30 de una secuencia dada?

(1) Los primeros dos términos son 1 y''!'. 2(2) Cada término, a partir del segundo, se

7 15 613~1l--3x--'8 -12

14~1'\' Y1'2 10

encuentra sumando _.!., al anterior.2

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adiciana!

29) En la secuencia de triángulos de la figura, podemos determinar el área del enésimo triángulo si cono-

cemos que:(1) El primer triángulo. tiene lada 1 cm y cada siguiente triángulo tiene lado igual a la altura del

anterior.(2) Todos las triángulos son equiláteros.

A) (1) por sí sala &B) (2) par sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2) .D) Cada una par sí sola, (1) ó (2) '.,

E) Se requiere información adicional

30) Podemos determinar el noveno término. de una lista de números naturales si:

(1) Los números de la lista son cuadrados perfectos.(2) El primer número de la lista es l.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una pür sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


78.

PRIMER EJE TEMÁTICO / BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

1) Autor:Título:Editorial:


3) Autor:'Título:Editorial:


5) Autores:Título:Editorial:

6) Autores:Título.:Editorial:

7) Autores:Título:Editorial:

Notas:

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

Primer Eje Temático:NÚlVillROS y PROPORCIONALIDAD

Álvarez Díaz, Eugenio.Problemas de Aritmética.y Álgebra sobre temas de Mitología.México, D. F., 1944, (*)

Baldar, Aurelio.Aritmética Teórico-Práctica.EditorialCódice S, A, Madrid, 1990.

Dolciani, Mar;, P.Matemáticas Modernas para escuelas secundarias.Editorial Cultural. México, 1972.

Nichols, Eugene D.Matemáticas,Editorial Interamericana. México, 1977.

Petersen John A. y Hashisaki, Joseph.Teoría de la Aritmética,Editürial Limusa Wiley, México; 1969.

'I'afemalcher, Augusto y Poensich, RicardoElementos de MatemáticasImprenta y Litografía Universo. Santiago. de Chile, 1911. (*)

Taylor, Howard E. yWade, Thomas L.Matemáticas BásicasLimusa Wiley. México, 1971.

1) Los textos destacados (ennegrecidos) corresponden a literatura ¡natemática de autores chilenos.2) Los textos destacados con asterisco (*) corresponden a libros "fuentes", cercanas a nosotros, de la información

matemática,

Comentar-ios sobre la bibliografía matemática

Puesto que laMatemática es una disciplina internacional y universal, recalcamos nuevamente en este punto laimportancia que tiene una buena bibliografía para trabajar, .no necesariamente en español.vpues los ejercicios yproblemas de Matemática trascienden las barreras del idioma, del espacio y del tiempo. De esta forma, al colocarbibliografía en otros idiomas y de otros tiempos estamos acercando alos alumnos y las alumnas estudiosas y, por qué'no decirlo también, a nuestros propios colegas, al encuentro con las raíces de la disciplina misma. También losestamos acercando a las fuentes del conocimiento y dernostrándoles con ello que, problemas que parecen ser muyrecientes, en realidad, son tan antiguos como la Matemática misma, El mensaje que pretendemos mostrarle o inculcarlea nuestros alumnos y a nuestras alumnas. es que ellos mismos deben ser capaces dé encontrar y -descubrir su propiabibliografía, tal cual lo ha hecho uno de los autores, profesor Miguel' Ormazábal Díaz-Muñoz. Cabe hacer notar quehemos indicado también, en esta bibliografía, una importante ~antidad de'literatura matemática chilena, literatura'de la cual estamos muy orgullosos, por su alto nivel y calidad académica, aunque lo pedagógico pudiese ser discutible.En efecto, las diferentes formas de enseñar Matemática varían en el tiempo, según los lugares geográficos y segúnsea el público a quien va dirigida la enseñanza,'supunto de partida o nivel de conocimientos previos, necesidades eintereses, etc. Actualmente la Didáctica de la Matemática es toda una disciplina en la que trabajan los especialistas,

79

•.._._--~----_.- ~

..

PSU" Cuaderno de Ejercicios, Matemática

l.."9'

EJERCICIOS RESUELTOSSEGUNDO EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA YFUNCIONES .

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

1) Óscar efectúa la división (X2 - 1): (x - 1), siendo "x"un número entero positivo mayor que 1,obteniendo .como resultado el binomio x + l. Para comprobar que el resultado anterior es correcto,

. Óscar podría: .

1) efectuar la división entre el divid¡mdo y el cuociente para obtener el divisor

II) multiplicar el divisor por el cuociente 'para obtener el dividendo

ID). darle valores numéricos para "x" a ambas expresiones, excepto para x = 1

De las verificaciones anteriores, es(son) correcta(s):

A) Sólo TIB) Sólo 1 y TIC) Sólo. II Y IDD) Sólo 1 y III

. E) 1,. TI Y III

no ·está definida. Sea entonces, x = 9. En tal caso, el primer miembro de la división (~) tiene- x - 1

92 - I 80· .por valor: -. -- = - = ID

9- 1 8

Yel segundo miembro de la división ex + 1) tiene por valor 9 .+ '1 = 10¡Son iguales!, por lo tanto el resultado está comprobado.A modo de ejercicio, compruébelo Ud. para otro valor numérico.

Luego III es correcto.


Este es un ejercicio muy interesante por su valor conceptual, ya que apunta a ·105 mecanismos' decomprobación de una división algebraica, Como se puede apreciar a través del ejemplo, los mecanismosde comprobación son variados y diversos. .


Solución:

2) ,El perímetro de un rectángulo es de 46 cm. Si el largo disminuyeen 3 cm y el ancho aumenta en 2 cm,.el área del rectángulo no cambia. En estas condiciones, la diferencia entre el largo y el ancho originaleses de .

Para comprobar el cuociente de una división algebraica, exceptuando, por supuesto, la .división porcero, todos los procedimientos mencionados.en los incisos 1, II y III sirven para tal propósito. Enefecto, al dividir el dividendo por el cuociente obtenemos:

x2 - 1

x + I

ex + 1) (x'- 1)x + 1

= x - 1, es decir, el divisor

La simplificación anterior por e! factor ex + 1) está garantizada pues, por hipótesis, ex * -1), yaque "x" es un número entero positivo. Luego, 1 es correcto.

Ahora, si multiplicamos el divisor por el cuociente obtenemos, aplicando el producto notable suma porsu diferencia: . .

(x - 1) (x+ 1) = x2 1 , que ~s el dividendo

A) 5cmB) 7cme)· 8cmD) IOcmE) 12 cm

Solución:

Este es eltípico problema que conduce a un sistema de ecuacioneslineales,. Sean lee y las dimensiones del rectángulo' original. Hagamos un dibujo de la situación, en los dos casosa los que se alude en el enunciado:

"-- --v-- ./x '

Luego TI es correcto.

Por último, si le damos valores numéricos a la indeterminada "x" en ambos lados de la igualdad, tambiénpodremos verificar que la división está correcta. La única excepción es x = 1 pues la división por cero

82

.y + 2y

~-----------~~====~==~x -

83


Nuestra primera info~ación es que el perímetro del rectángulo original es de 46 cm, con lo cualnuestra primera ecuación a plantear es: '

2 x + 2y = 46 (1)


3) El' trinomio de segundo gra,do con coeficientes reales f(x) = a X2 + b x + e tiene como raíces o'

soluciones Xl = I Y x2 = -1, siendo a > ,O. El gráfico que mejor representa a dicho trinomio es:

A)

Ob~ervaciones y comentarios: 1 'E)

'Como se puede apreciar, este problema tiene una serie de etapas para su resolución, las que debenllevarse a cabo, paso a paso, para obtener la respuesta correcta.

De acuerdo a l~ segunda información del enunciado, el área del rectángulo es 'la misma en el primer,caso que en el segundo. Por 10 tanto, 1a segunda ecuación a planteares:

x y = (x -r- 3) (y + 2)

.Resolviendo los paréntesis y simplificando (hágalo Ud.), se obtiene la ecuación:

ix-3y-6=O (2)B)

C)

De las ecuaciones (1) y (2); formamos el sistema de ecuaciones lineales:

2 x + 2 y '= 46. }, '

2 X - 3y - 6 = O .

Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se elimina la incógnita "x" y se obtiene:

5 Y + 6= 46, de donde: y = 8

D)

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo en (1), obtenemos

x = 15.

De tal modo que hls dimensiones del rectángulo original son:

x = 15 cm e y = 8 cm

y comonos piden la diferencia entre ellas, entonces el resultado es:

x - y = ,15 cm - 8 cm = 7 cm

Respuesta correcta: alternativa B

84

x

x

x

X'

x

85


Solución:

Si el trinomio dado tiene como raíces o soluciones XI = 1 Y x2 = -1, entonces significa que sugráfica - que es una parábola - corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son los números dados'

~I Y 1, ubicándolos de izquierda a derecha en la recta numérica, respectivamente.Ahora bieri, como~nel enunciado se nos dice que a > O, entonces las famas de la parábola abrenhacia arriba (parábola sonriente o, como se dice en lenguaje técnico, cóncava hacia arriba).

,Finalmente, la ecuación del eje de simetría de la parábola está dada por:

XvXI + x2

2-1 + l

2O

Esto nos dice que el eje de simetría de la parábola es el eje Y.

De acuerdo a 10 anterior, la opción que responde a todos los requerimientos anteriores es la C.

Observaciones y comentarios:[

Este es un típico problema de encontrar la parábola que mejor representa a una cierta función cuadrática,dadas ciertas condiciones que la caracterizan. Se trata (le un ejercicio que involucra el manejo degráficos. '

,Si se sigue el análisis de la situación, paso a paso, el problema no ofrece dificultad alguna.

Respuesta correcta: alternativa e

4) Se da la función logarítmica y = f(x) = log x. Con respecto a ella se plantean las siguientesigualdades:

1) f(l) = O

ll) f(2) + f(5) = f(10)

llI) f(2) • f(5) = 1

De la:s,igualdad~s anteriores, es(son) correctaís):

A) S610 1B) Sólo 1 yILC) ,Sólo II Y IIID) Sólo 1 Y IIIE) 1, II Y III

86


Solución:

Veamos la validez de cada una de las tres opciones que se nos ofrecen:

1) f(l) = log 1 = O, pues, de acuerdo a la definición de logaritmo se debe cumplir que: 10°lo cuaÍ es correcto. Por lo tanto, 1es verdadera. '

1,

Il) f(2) + f(5) = log 2 + log 5

log (2 • 5), según la propiedad del logaritmo de un producto

log 10, efectuando la multiplicación

1, pues,por definición de logaritrno se debe cumplir que: 101' = 10, lo cual escorrecto. Por lo tanto, II es verdadera.

III) f(2). {{S) = lag 2 • lag 5

Ahora bien, como la función logarítmica es creciente, es~o es, si X e y son números reales positivos tales

que x < y ~ log x < lag y, 'entonces podemos aprovechar este hecho para establecer la siguiente

'desigualdad. Puesto que 1 < 2 < 10 ~ log 1 < log 2< lag 10, es decir: O < log 2 < 1. Por lotanto, ellogaritrno de dos es un número real comprendido entre cero yuno. Análogamente se puededemostrar (hágalo Ud.) que ellogaritmo de cinco también es un número real comprendido 'entre cero y ,uno. Por consiguiente, hemos demostrado las dos desigualdades siguientes:

O < log2 <O < 10g 5 < }

Multiplicándolasmiembro a miembro, tenemos que: O < 10g.2 • log 5, < 1, lo que nos indica queel producto de ambos logaritrnos es un número real comprendido entre cero y uno, pero en ningún-casoes igual a uno. Por lo tanto, III es falsa. "

Obseryaciones y comentarios:

Este es un ejercicio integrador, pues combina el.tema de las funciones, específicamente su lenguajeoperacional, con el tema de los logaritmos. Las tresopciones son directas, a excepción, probablementede la última (IlI), pues allí se trata de demostrar que la igualdad es incorrecta, mediante consideracionesreferentes a desigualdades y, obviamente, sin el conocimiento numérico de los logaritmos.


',87


CAPÍTULO 1. IN'tRODUCCIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAleO, Test N' 1: Lenguaje algebraico 1

TIEMPO M,>Í.XIMOPARÁCADA TEST: 1 HORA

1) El 'número de términos de que consta la expresión algebraica -7x' + 5y' + 2z es

A) 7

B) 5

e} 3

D} 2

E)

2}El valor numérico de la expresión':"-7a'b', si a = -1 Y b = 3, es

A) -63

'B) -21

e) oD),21

E) 63

:3) Si a = 2, b = ,~4 Y e = -1, el valor numérico de la expresión a'b + be - 5c' es

A) -17

B) -15

C), -9

D) -7E) 17

4) Si x = -2, .el valor de la expresión (x" - 3x + 2) : rs - 6:c + x') es

A)-2

B) O

C)D)' 2

E) 4

5) Si C,= -3 y d ='10, entonces el valor de la expresión _c'_ + ~ es, c+rí d-c

A) -3

B) -1C) OD) I

E) 10

{f

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 1, LENGUAJEALGEBRAICO I

6) Si a, b y e son números reales tales 'que a + b + e = O, entonces el valor numérico de la expresión

a b c a c b- + - + - + '- + -, + ~ es 'b e a e b a

A) -3

B) -1

C) O

D) 3

E) 6

,7) Laexpresión 9(2a, - 3)' es equivalente a

A) (18a - 27)'

B) 36a' - 81

C) 12a' + 81

D) 36a' + 8.1

E) (6a - 9)'

8) La cuarta parte de (8z4 + 4) es igual a

A) '2z' + l

B} 2z' + 1

C) 2z' + 4

D) 2z'

,E) 2z'

9) Si un automóvil ha recorrido (x + 1) Km en "a" horas, ¿cuál es su rapidez promedio, en kilóme-'tras/hora?

A) (x + l)a '

B) x-l-a

x+lC) -

a

'D) ~x+l

aE)

x-l

10) La sernidiferencia entre 3a + 4b Y a - 2b es

A) 2a + 6b

B) a + 3b

'C) a s- b

D) a + 2b

E) 4a + 2b

~ I Mc.

PSU. Cudderno de Ejercicios. Matemática

,11 ,311) Al reducir términos semejantes en - -a + -b + 2a - 3b - -a

, . 2 3' 4ne como" resultado

, 3 ',17 1A) - ¡a- (5b + ¡

B)<} 17 1-a - -b + -464

~a -~b + ~464

~a.:17b_~4 6 4

1 ,3 1 ,-b + -4' - 2.' ' se obtie-6

rSEGUNDO EJE TEMÁ TIeO I Test W l. LENGUAJE ALGEBRAICO 1

15) Sia,byc E IR,entonceslaexpres'ión: a'''':' b{b+c[a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)J} es equi-valente a

A) a',B) 2b'

C) a' + b'

D) a' -' b2

El O

16) El valor numérico de la' expresión a'(b' - e') + b2(c' - a') + c2(a' - b') sabiendo que a = -8,b = 9 Y e = 10 es

A) O

B)64

C) ,81

D) 100

E) 152

17) Si le restamos 6a + 5b a la suma de 2a + 9by 3a - 2b, la diferencia seráA) 5a + 7b

B) a + 2b

C) 2b- a

D) b - 2a

.E) 2a + b

18) ¿Cuál es la diferencia entre 3z' - 2z + 3 Y 2z' - 3z?A) _Z2 - Z - 3

B) 5z2 - 5z + 3

,C)' z' + z + 3

D) z, + z - 3

E) z' - z + 3

19) (-2x:y')(3x'y')' =

A) 18x'y'

B) ,-18x'y7

C) -18x'y6

D) 36x'y7'E) 36)[6y10

20) El producto de los binomios (4x - 3y) Y (2y + 5x) esA) 20)[' - 23y'

B) 20x' + 7xy- 6y2

C) 20x' - 7xY - 6y2'

D) 20x2 - 7xy + 6y'

E) 20x' - 6y' "

91

e)

D)

9171E) - -a - -b <1- -4 ,6 4

12) 5+5,[2-4(x-6)1=

A) 65 - IOx

BJ -115 - 20x

e) -220 - 4x

D) 260 - 40x

E), 135 - 20x

13) x(x + y) r- y(x - y) =

A) (x + y)(.x - y)

B) 'y2 _ x'

C) x' - 2xy + y'D) x' + 2xy _ y'

E) x' + y'

[, '1 ' ]'14) ~,-3(a-b) + '3(-6a-9b)=

A) 2a + 3b

B) 5a

e) a

D) -a

E) -5a

90,


21) Para que (y - 3) sea un factor del trinomio y2 + 2y + e, el valor de e debe ser

A) -15

B) O

C) 5

D) 8

E) 15

22) ¿Para qué valor de k, (x + 4) es un factor del trinoniio x2 + kx - 12?

A) -4 r

B) -3

C) ~2

D) -1

E) 1

23) Al dividir (x' - 81) por(x - 3) se obtiene

A) X2 + 3x + 9

'B) x' +3x2 + 9x + 27

,Cl x' - 3x2 + 9x - 27

D) x2 + 6x + 9

'E) x' + 27

24) El resto o residuo que resulta al efectuar la división (x5 + 243) :' (x + 3) es

A) -243B) ~8.1

C) OD) 81

E) 243

25) El' área de un cuadrado es 4x2 '- 12x + 9 .. Si cada lado se aumenta en 2 unidades, ¿en cuánto. aumenta la superficie del cuadrado? .

A) 8x + 8

B) 8x - 8

C) .Bx

D) 8

E) -8x

26) Si la longitud de un rectángulo es (38 + 2t) Y su perímetro es (lOs + ót), entonces el ancho delrectángulo está representado por:

A) 2s + t

B) 7s + 4t

C) 4s + 2t

,D) 3,5s + 2t

E) 2t + s

92

~<

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" i, LENGUAJE ALGEBRAICO 1

27) Sea x > 5 un número real positivo y supongamos que (x? - 25) representa el área de un rectángu-lo, siendo (x + 5) uno de los lados, El otro lado está dado por

A) x + 5

B) x - 5

C) x' + 5

D) x' - 5

E) x' - 125

28) ¿Cuál es el valor numérico de la expresión a2bo,siendo a y b distintos de cero?

(1) a = 10

(2) b = 5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se ~equiere información adicional

29) ¿Cuál es el grado de la expresión algebraica: xmy"yP?

(I j m e n s-p.

(2) n +'p = 3,

A) (I) por sí sola

B) (2) por 'sí sola


D) Cada, una por sí sola, (L) ó (2)


30) En una biblioteca hay 180 libros, de los cual~s 3n + 10 son de Física y' 3n - 5 de Biología .¿Cuántos son los restantes?

(1) Hay 15 libros más de Física que de Biología.

(2) n = 3,

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola





93

r,

,¡:1,

:1


"Test N" 2: Lenguaje algebraico 11

1) Claudio debía a sus padres ir; pesos ..El mes pasado pagó 2. de lo adeudado. Este mes pagó.! del. .6 . 6

resto, más 20 pesos. ¿Cuánto dinero debe todavía a sus padres?

A) x-206

5B) ÓX-2Ó

C) 5x-206

25D). -x-20

36

E) 25x':"20

36

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test 1:'1'2, LENGUAJE ALGEBRAICO II

6) Si X = 2, enton~es el valor de la expresión 2x[ x (3x - 5)' +. IJ - 7 es

A) 1

E) 2C) 3D) 5

E) 6

7) El sucesor del número 10', siendo "n" un número natural, está dado por

A) 10'+ 1

E) 11"

C) 110+ 1

D) io- - l·

E) lO' + l

. '. p+~8) Sabiendo que 5p = 3q, entonces el valor de __ ._, . q

A) .!.!.3

13

3E)

C)115

2) Si a = - 3, ¿cuál es el valor dela expresión a' + 3a + 3?

A) - 21

B) - 15

C) -6D) 3

E) 21

3) 5m2- 5m + 4 - mOm - 4) =

A) 2m2 - m + 4

Bl 2m2 - 9m + 4

C)' 5m2 - 8m + 8

D) 5m2 - 8m

E) 2m2 - 5m

4) 'Se define, para todo número real a, ~a .•• = - [ a2(a - 1) ], ¿cuál es el valor de~':' I.••?A) -2

E) - 1

C) O

D) 1

E) 2

5) El valor numérico de la expresión a' + b' + e' - 3abc si a = -9, b '" 5 Y e = 4 esA) -729

. E) -540

"e) 125

D) 64

E) O

94

D) 135

313

E)

9) ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) equivalentejs) a(x + y)'?

1) .(x + y)(x2 + y2 + 2xy)

II) x' + y'

III) (x + y)(x + y)(x + y)

A) Sólo 1

B) Sólo TI

e) Sólo III

D) Sólo 1y II

E) Sólo 1 y III

95


1O)2p - [ q - (p - 2q) ] =A) 3(p + q)

B) 2(p - q)

e) 3(p - q)

D)2(Pfq)

3E) -

2

11) 3y' - 5y - 2(1 _ Y + y') =A) 5y' + 7y - 2

B) y' + 3y - 2

e) y' - 3y - 2

D) 3y' - y - 2

E) 3y' - y + 2

12)1 - { -1 - [1 - x - (-x + 1)]) =

A) -2B) "':1

e) oD) 1

E) 2

a-

, 13) Sabiendo que a '= -4 y b = 8,entonces _b_ =" a b,-+-b ' a

A) -5

1B) 10

e) 1

5

.~~

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 2, LENGUAJE ALGEBRAICO II

'14) Si 4x - '3 = '2x + 5, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones esíson) igual(es) a 16?

I) (2x - 4)' II) x' III) x3 _ 4x' + 16A) Sólo I '

B) Sólo l Y II

e) Sólo l y III

D) l, II yIII

E) Ninguna,

a' .a".15) Si b = e ~ b = ti' siendo b, e y d distintos de cero entonces se verifica corno correcta la

relación

A) e =-d

B) e = d

e) e = bd

D) b = cd

E) d=b+c

3a2b 816) El producto entre -- y - es2 ab2

A) 8ab

24aB) -

b

3ae) b

bD) -

12a

E) 12ab

17) En la multiplicación de monomios axmy3 , x'y"mente

ax8y9, Ios valores de "m" y "n" son, respectiva-'D)25

A) 2 Y 3'

B) 2 y, 6

,e) 4 y 3

D) 4 Y 6

E) 6 Y 4 '

97

E)1'2

96


18) Si. P(x) = 2x - 1 Y Q(x) =. 1 - 2x, entonces P(x)· Q(x) =

A) O

B) 4x2 - 1

C) -4x2 - 1

D) -4x2 +4x - 1

E) 4x' - 4x + 1

19) ¿En qué se.transformala expresión (a' - x)a + bx si x,= a'"+ ab s- b"?

A) a''':' b'

B) a' + b'

e) a'

r» b'

E) á'b'

20} La. suma de tres números naturales consecutivos es 3n. ¿Cuál es el producto de los dos númerosextremos?

A) n' -.n

,B) n' - n

C) n'-l

D) n' - 1

E) n' + n :

21) l+x+ic2+x3=

I) (1 + x)(l + x')

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1y II

E) Sólo II yIII

II)l-x'l-'x ' con x ;t 1 III) (1 - x)(l - x')

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 2, LENGUAJE ALGEBRAICO II

m22) ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a -; siendo n.;t O?

A)m+I

n+l

B)m-ln-l

C)2m~12n+l

D) 2m-2n

E) (:r·23)' Si e ;t O, entonces la fracción a - b es equivalente a:

-c

A)a+b

e

B)b-a

e

C)_ b-a

e

D) b+a-c

E)l:J-a-c

24) Si Ignacio tenía (y- 10) años hace 10 años atrás, entonces ¿qué edad tendrá dentro de 10 añoscon respecto a su edad actual?

.A) y - 20

B) y-ID

C) YD) Y + 10

E) 10y - 10

98 99

.._--- ...•- --~---,):

t.:1iJ'j!

,'¡"

~i

11'!,"

:1! !

" ,

"

:":

::i'1,;i

~J~~


25) Si X ;t. z,'entonces - x- y es equivalente a:x-z

-x-yA) z-x

-x+yE)

x+z

x-yC) x-z

-x+yD) __ o,

-x+z

E)x-yz-x

26) El valor de 5x-2y 5y-2x~-~es,

A) 5x+4y3z

E) O, 7x-3y

C) -- 3z

D) 7x+3y3z

E)7x-7y

3:i27) Si P representa un número par, ¿cuál es 'la expresión simbólica que corresponde a la razón entre

el sucesor par y el sucesor impar de p?

I

!

A)

E) P

C) P + 3

p+lD) -

p+2

E) p+2p+l

100

.¡:~"",

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 2, LENGUAJE ALGEBRAlCO ti

28) Se quiere determinar si el valor de x en la ecuación x + a = b es un entero positivo.

(1) a y b son enteros positivos.

(2) a ybson enteros y b > a.

A)' (l) por sí sola

B) .(2) por sí sola

C) ,Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (l)ó (2)

E) Se requiere información adicional'

29) ¿Cuál es el valor de m + 2n?

. (1) m -2p = 23,1

(2) n + ¡i = -44,08

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)


30) ¿Es x2 - y2 = X +.y ?_

(1) x e y son enteros consecutivos, siendo x > y.

(2) x = y + l

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) ,S:ada una por sí sola, (1) '6 (2)



101

PSU. Cuaderno 'de Ejercicios, Matemática:

CAPÍTULO 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICASTest N° 3: Productos notables, factorización y fracciones algebraicas

x' _y' (x-,y)' ,1) Si x *- y, entonces el valor de -- + --- ~ (x - y), , x-y x-y ,

A) x - y

B) x + y

e) -x + y'

x-yD) --

x+y

E) 2x + y

2) Sabiendo que x' + ~ = 3; entonces x' + J.x' x

A) 27

.8) 18

C) 9D) 7

E) 2\

3) Al factorizar totalmente la expresión al + a' + bl - b' se obtiene

A) (a + b)(a' + ab + b' + a + b)

B) (a + b)(a' - ab + b' + a - b)

e) (a - b)(a' - ab + b' + a...: b)

D) (a - b)(a' + ab + b' + a - b)

E) (a - b)(a' + ab + b' + a + b)

4) Un factor común a 'x' - 3x - 54, x' - x - 42 Y x' - 2x - 48 es

Eí'

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 3. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

6) El máximo común divisor (rn.c.d.) de las expresiones algebraicas siguientes: (x + 2), (x' _ 4) Y(x' - x - 6) es:

A)

B) 2

C) x - 3

D)x +2

E) x' - 4

.X12 _ 12

7) Siendo x * y, el cuociente ~x -y

A) x' + y'

B) x' + x'y' + y'

e) x' - x'y' + y'

D) x' - x'y'4 _ y'

E) x' - y'

8) ¿euál(es) 'de las siguientes fracciones es(son) equivalente(s) a la fracción ~, y *- O?' , y

1)mx-, con m e O'

.rny

A) x + 6

B) x - 9

e) x + 7

D) x - 8,

E) x - 5

H) mx" +nx ,---- , con mx + n*-Ornxy +ny

5) Un binomio que divide exactamente a x' - 2x - 15, Xl +' 27 Y x' - 9 es

A) x + 3

B) x - 3

e) x + 5

D) x-S

E) x' - 9,

102

, III)mx+ny ,my + nx ' (m * O Y n " O)

A) Sólo I.

B) S610 H.

e) S610 III,

D) S610 1 y H,

E) S610 1 y III.

9) S· f 1 f '6 5z+ 8y , , 1 denorni 'l"! setrans orma a racci n --- en otra equivalente cuyo enorninador es e' trínomio4z-5 '

12z' - 19z + 5, entonces el numerador de esta última es

A) 15i' - 5z - 24y + 8

B) 15z' + 5z + 24yz - 8

e) 15z' - 5z + 24yz - 8y

D) 15z' - 5z + 24yz + 8y

E) 15z' + 5z - 24yz - 8y

e 103


, lif l ió l 6x'> _4y' bti10) Al simp icar a expresi n ' 1 se o llene16x' +4y

x2 -, y2A) x2 +y'

4x.:..2y

B) 4x+2y

4x-y,e), 4x+y

, x-yD) x+y,

2 24x -yE) 4x' +y' ,

11) '¿euál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalenters) a la fracción racional x2

+x-2~ ?, 15-2x-x

1) x-4x-.3

,x-4

3-x4-x

IV) x-3x-4.x-3II) IlI)

,A) Sólo I.

'B) Sólo III y IV,

e) Sólo n, III y IV,

D) Sólo II y m,E) S610 II y IV"

,x3 y312) Si x'" y, entonces --' +--

x-y y-x"

A) x'y'

B) x' _ y'

C) X +y ,

D) x' + xy + y'

E) x' + y'

104

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 3, PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZACrÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

x' +(p' +q')x+p'q'13) La simplificación de la expresión 2 es

x+p

A) q'(q' + 1)

E) X +q'

x+q?C) --x+p?

x+q'D) --

x-p'

E) Imposible.

x y _a_ + _b_ + _c_"es igual a,x-a x-b x-c

14) La diferencia entre ~ -+ _x_ +x-a x= b x-c

A) O

B) ,1

C) 2D) 3

E) x,

,\

15) , Lsi ifi x'+mx+4x+4i:n btiSI x '" -rn, entonces a sirnpli icar se o llenex s- m .

A) x + 1

B) x+m

e) x + 2'

D) x + 4m

E) x + 8

16) Siendo x, y, z todos no nulos, entonces - + - +xy yz zx

1A) x2y2z2

, x+ y-i-zB) --

x'y2z2

ch 3x2y'z2

,x +y+zD) -'-,-

xyz

E)x+y+z

3105

"'1

11

1

,1


17) '¿euál(es) 'de los' siguientes términos se puede(n) agregar a la expresión 4x' + t' para completar eldesarrollo del cuadrado de, un binomi o?

1) -4x2 H) 4x III) 4x2A) Sólo L

'B) Sólo H.

C) " Sólo III.

D) Sólo 1y IIt

E) Sólo !I y III.

1- x-- + 1

18) Al simplificar la fracción compuesta ~~~' se obtiene- -'1l+x

A) -1

1.B) --

l-x

1C) --

X

2-xD) --x

.l=xE) --

l+x

x+1 x-l-- ---19) Simplificando la fracción compuesta x 1'1 x + 1 obtenemos

1-- +--x+l x-l

A) 4x

B) 2x

e) 2

1D) -

2

E) X,

106

IID'I',po

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 3, PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

20) La fracción 38xy

3' (con xy '# O); reducida a su mínima expresión es4x y+4xy

2xyA) x2y+xy2

B)xy

2e), x+y

2D) x2 +y2

2E) X-y

X\2 _x2y'21) Al simplificar la expresión 6 • ,con x '# y" obtenemos

x -y

x2y2

A) (x2+xy+y2)(X2_xy+y')

y.B) ~

xy

C)x-y

D), xy(X2 + xy+y2 )(X2 -xy +v')

E)y - x

107

rso. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

22) a + ba3 +.b3 - (a+ b)"

A)1-

3ab

1B)

2a' +ab+2b2

1C)2a' ~ab+2b'

D) 1--3ab

E) 1--2ab

23):3 2 2----+--

y+l' Y l +y

A) y-4y'+y

5y.+4B)-'-

y'+y

y+-4 •.C)

y'+y

3D)y'+y

1E)y +l

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 3. PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZAClÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

5 3(' z24) P p+2) .4+2plOp" . ,._p-

A) p+24

B) (p+2)3p'

C)'p+2

D) (p+2)' :4(p+2)2p ,

p+2E) 4p'

(X -1) ( 2x -1 )

25) ~ : x'.j.2x+l. =

2x - 1Al" 2x' _ 1

B) x' - 12x - 1

C) x-l',D) _x2

E) x'

. 108

a3 b' ,26) _-_ a '-ab+ b'a' + b3' a-b·

2A).a+ab+b'

a+ b .

. B) a2 -ab+b'a-b

.C)a' +ab+ b'

a-b

D)a2 -ab+ b'

a+bE)

109 .


)S'1 f ió 2x'+8x+6, ival denomi d27 l a racci n es equiva ente a otra. cuyo enomma or es, x+3 . ,

rador de la segunda fracción?

A) 2x' - 6x - 8

B) x, - Sx + 8

'c) x' - 3xD) 2x'-16x + 5'

É) 2x' t 6x+ 4

(<' + 2), ¿cuál es el nume-

'~.

SEGUNDO ErE TEMÁTICOrres, N" 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

28) ¿Es x' igual a xy?

. (1) x' - y'= (x + S)(y- 5)

(2) x = y

A) (1) por sí sola

B) (2) por .sí sola




29) Se puede determinar el valor de la fracción xy - 3x +y - 3 si se sabe que:' 'xy+2y-3x-6

(1) x = 1 e y'" 3(2) X;é -2 e y = 4

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí .sola

C) .Ambas juntas, (1), y (2)



30) ¿Es (m - n)' = m' + n'?

(1) m = O

(2) n= O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).



110

CAPÍTULO 3, ECUAeIONES DE PRIMER GRADO O LINEÁLES y PROBLEMAS VERBALESTest N° 4: Ecuaciones de primer grado y problemas con ennnciado verbal

, 1) ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones esíson) de primer grado en x?

I) (x + 7)' = (x + S)(x + 8)

H) (x - 3)' = (x +9)(x- 9)

III) (2x + a)(x - ~) ;" x(2x - a) _ x'A) Sólo L

B) Sólo H.

e) Sólo III.

D) Sólo I y n.E) I, H Y ur.

3 .2) Si 1 - - =. 9; entonces x =

x' .

A)92

2B) -'9

3'e) -:8

8D) -3

9E) -

2

3). ¿Para qué valor de "x" la expresión 5(x - 3) - 4(x - 2) es igual a cero?

A) 2

B) 3

e) 4

D) 5

E) 7

4) ¿Para qué valor de "x" se tiene que las expresiones (x + l)(x + 2) Y (x - l.)(x - 2) son iguales?A) -2

B)' -1

e) O

D) 1

E) 2

111

i A

___ • _. __ -o. dWi"

pspo Cuaderno de Ejercicios, J~atemálica

5) Dada la ecuación en "x": (0,222 ... ) x + 0,777 ... = (2,333 ... ) x. El valor de x es

A)719

B)23

C) 34

'"D) 8

15

E) no se puede determinar'

5x - 4 ; entonces el valor de x es5x "

6) Si 10 ..., 7x6 +; 7x

A) 56

"B) 35

C) 11

D) 7

E) 3

"7) Si a i bson números reales, se tiene la ecuación en la incógnita x: ax + b = bx + a, Con respectoa ella es correcto afirmar que: " "

1) Si a ";t b, entonces la ecuación tiene por única solución x = l.

II) Si a = b, entonces la ecuación es una identidad que se verifica para todo x real.

lII) Si x = 1, entonces la ecuación es una identidad que se cumple para todo a y b.

De las afirmaciones" anteriores, es(son) verdadera(s):

A) Sólo 1 y n.B) Sólo II y lIl.

C) Sólo 1 y III.,

D) 1, II Y III.

E) Ninguna de ellas.

8) El conjunto solución de la ecuación l-xx-I

-1 es

A) [-1 }

B) [1}

e) IR

D) IR - [ 1 }

E) fIl

1.12

SEGUNDO EJE TEMÁTIcorrest N" 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

9) Alresolver la ecuación ~.-(3 - 0,6)2,

25' - 0,1(0,1)' _ 1 ' se obtiene. x =

A)11

4

B)11

4

C)411

D) 411

E) Ninguna de las anteriores.

S' P10) 1-q-x

A) 2

B) P - q.

C) p+q

'q "--, entonces siendo p ;é q, el valor de x esp-x " "

D) p'+ q', p-q

E) p'+ q'" p+ q

( ,

11) Dado que ~p

A) q-h

B) q(l ~ ;)-

C) q

D) q(l + ;)

bE) 'q - '---a-

a b' O . .+ -, cona e .-p ;t ° y q ;é O, entonces al despejar la variable p resulta p =q p

113


12) Si n '" O Y n '" 1, entonces el valor de x en la ecuación .!. + _n_n n+ x

x + n esnx

,j}

SBGUNDO EJE TEMÁTICOrrest N" 4, ECUÁCIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIAD~ VERBAL

, 5x-7,16) Dada la relación y = --,_

3x+4

A) x = 4y + 75-3y

B) x=5y+74-3y

e) x = 4y-75+3y

D) x= 5y-73y+4

E)' x = 4y+35'1+7 '

4con x '" -- al despejar "x" en términos de "y" se obtiene

3

17) La diferencia entre el quíntuple del sucesor de a y el antecesor del cuadrado del doble de b,corresponde aIa expresión

A) Sea + 1) - [(2b)' - 1]

B) Sea + 1) - [2(b - 1)]'

e) Sea + 1) - (2b - 1)'

D) 5(a + 1) - 2(b' - 1)

E) Sea + 1) - 2b'- 1

18) La diferencia entre el cuadrado de un número x, y el semiproducto de él con su tercio es igual a

j'. 115

~N~

2x'B) -6

~2'~~

I 2x=3 x~D) -3

2~m~

A) n

1,- B) '2

n,~ 2(n-l)

rD) n2-1

E)n

n=-I

13) Si a y b son números reales, la ecuación 3x - 5 + a = bx + 1 tiene una única solución para x,

A) Cualesquiera que sean los números a y b

B) Sólosi a 7' 2b

e) Sólo si a '" 6

D) Sólo si b 7' O

E) Sólo si b 7' 3

14) Siendo a y. b números reales con a '" O, b '" O y a '" b, el conjunto 'solución de la ecuaciónJij

x x a-+--=--es'a b-a" b-a

A) {O}

B) {1}

e) {~}D {a2

b_a3}

) ab-s b' ,

E) I'l

15) La solución de la ecuación 2,/ x / - 8 = -/ x / + 1 está dada' por:

1) x =-3 1I) x =-2

A) Sólo I.

'B) Sólo H,

e) Sólo IlI,

D) Sólo 1 y H,

E) Sólo 1 y IlI,

114

PSíl, Cuaderno de Ejercicios. Matemática

19) Si "a" es un número real positivo, la expresión aJi puede interpr,etarse geométricamente como:2 . "

1) El lado del cuadrado inscrito en un círculo de radio ~2

II) La mitad de la diagonal de un cuadrado de lado "a".

1Il) La longitud de un cateto de un triángulo rectángulo isósceles cuya.hípotenusa es "a".

A) Sólo rr.. B), Sólo 1 y Ir.

C) Sólo 1I y lII.

D) Sólo 1y lII.

E) I, n y IIL:j

20) Si e y b son números reales positivos, con e > b, la expresión .lc' ~ b' puedeinterpretarse

verbalmente como:

La raíz cuadrada de -la diferencia entre 'los cuadrados de e y b.

La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre e y b.

Un cateto de un trián~ulo rectángulo cuya hipotenusa es "e" y cuyo cateto conocido es "b",

Sólo t.

Sólo n.Sólo III.

Solo 1 y,IIL

Sólo II y 1Il.

El enunciado: "el cuadrado de la suma de los números e y d aumentado en el cuadrado de ladiferencia entre los mismos' números es igual al doble de la suma de los cuadrados de .escsmismos, números", se expresa ,por

F ~ nI

1:1I)

:1 Un:1

A)!i'

B)'',! 'qrlI.

D)i .

m. 21)

A) (e' + d') + (ei - d') = 2(2{; - 2d)

B) (e' + d') + (e' - d') = 2(c'+ d')

C) (e + d)' + (e' - el') = 2(c'+ d')

D) (e + d)' + (e -d)' = 2(c + d)'

E) (e + d)' + (e - d)' = 2(e' +d')

Si al doble de mi edad 'actual le resto el. triple de mi edad hace 6 años, el resultado es mi edad actual,Si designamos por x a mi edad actual, ¿con cuál de las ecuaciones siguientes se determina ella?

A) 3(x ., 6) - 2x = x

B) (3x - 6) - 2x= x

C) 2x - 3(x - 6) = x

D) 2x - 3x - 6 = x

E) 2x - 3x + 6 =x

22)

116

'¡';i:',

SEGUNDO EJE TEMÁTlCOrrest N° 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

23) La expresión J :' - (b - a)' puede decodificarse como:

A) La raíz cuadrada de la diferencia entre el recíproco del cuadrado de e y el cuadrado de ladiferencia entre b y a ..

.B) La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre el recíproco de .c y la diferencia entreb y a.

C) La raíz cuadrada de la diferencia 'entre el recíproco del .cuadrado de c y la diferencia entrelos 'cuadrados de b y a.

, ,

D) La raíz cuadrada del recíproco de la diferencia de ·10s cuadrados entre e y la diferenciaentre b y a. .

E) La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre el recíproco de c y la diferencia entrebya. .

24) El enunciado: "a la tercera parte dei antecesor de un número natural "n" se le suma el sucesor delmismo número dado y se obtiene el exceso del doble del" mismo número original sobre 2", seexpresa matemáticamente por:

A) ~ - 1 + ~ + 1 = 2n - 23 3

B) ~ + ~ + 1 = 2n - 23

C) ~ + ~ + 1 = 2 - 2n.3 3

D) ~ + n + 1= 2 - 2n3

E) ~ + n + 1 = 2n - 23

25) Un campo rectangular, cuyo largo es el doble del ancho está encerrado por x metros de cercapara protegerlo. El área en términos de x es:

'"xA) 2B) 2x'

2X2

C) 9

x'D)· 18

x2

l

E) 72

'117


26) Si la ganancia que se obtiene de la venta de un artículo que cuesta C pesos y. se vende en S pesos

1 .es G =- e, entonces la ganancia está dada por

n. .

1A) G = _.- Sn-1

1B) G = - S

n

C) G = _n_·Sn+ I

D) G = _1_ Sn+1 .

E) G= ~Sn-1

27) ¿Cuál es el número de tus discípulos? se le preguntó un día a Pitágoras. "La mitad, respondió él,estudian Matemáticas, un ·cuarto· los misterios de la N aturaleza, un séptimo meditan en silencio. yademás hay tres mujeres". ¿Cuántos discípulos varones más que mujeres tenía Pitágoras? .

A) 3

B) 7

C) 14

D) 21

E) 22

28) ¿Es x + y + z = l ?

(l)x+y=l

(2) y + z = 1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) Ó mE) Se requiere ·información adicional, .

118

..~

SEGUNDO EJE TEMÁTICOrresl N' 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

29) Si x e y son ambos distintos de cero, ¿es x igual a y?

(1) ~ = 2°Y

(2) 2x+2y = O4

A) (1) por sí sola

B) ·(2) por sí sola




30) ¿Cuánto .tiempo demoran Susana y su madre en pintar una muralla?

(1). Susana, trabajando sola, pinta la muralla en 3 horas.

(2) Su madre, trabajando sola, demora 4 horas.

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí. sola




119


CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VERBAL. Test N° S: Problemas' de planteo con ,enunciado verbal

"1) Las edades de un padre y su hijo son 45 y 9 años, respectivamente. ¿Dentro de cuántos añosestarán enla razón de cinco es a dos?

¡

A) 8

B) 10

C) 13

D) 15E) Nunca'

2) La suma de tres números enteros impares consecutivos es 57. El producto entre el menor y el,mayor es . '.

. A) 195

B) 221

C) 323

D) 3,57

. E) ~99 ,3) En un triángulo isósceles el ángulo basal tiene 18° más que 'el ángulo menor. ¿Cuánto mide el

ángulo exterior basa]'?' .

A) 48°

B)66°

C) 114°

D) 132°

E) , 144°

4) Entre Susanay Roberto forman una sociedad. De las ganancias,' Susana recibe Sm más queRoberto. Si up día ganaron $n, ¿cuánto le corresponde a Roberto?

f·'. SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N' 5, PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO'VERBAL

~ 6).L, ili,~, ¡,''''',' d, pO; 0' "" " ,ci, "re' 1,di""", '"00;;' '" po, "" '="". Sil. di","·cia total recorrida por ambos es 700 km, ¿cuánto recorrió el camión?

A) 600 Km

B) 450 km

e) 250 km

D) 150 km

E) ·100 ,km

7) Francisca es seis años mayor 'lue Valentina. La suma de sus edades es 48, ¿Qué edad tenía.Francisca hace 6 años?

A) 27 años

B) 24 años

'e) 21 años

D) 15 años

E) 12.años

8) Claudia, Luz María, y Trinidad fueron a comer. Si cÍividieroll' la cuenta en parte~' iguales y el-monto total con el 10% de propina fue de $15.67?, ¿cuánta propina dio cada una?A) $522,5

B)$475

'e) $450'

D) $425

E) $375

9) .La suma de dos números es 17. Si el número más grande es cinco unidades mayor' que el doble, del más pequeño, entonces los números son:

A) 2. Y 15.

B) 3 Y 14

q 4 Y 13D) 5 Y 12

E) 6 Y 11

10) La fábrica, de bicicleias Ciclos produce 10.000 bicicletas al año. Si quiere aumentar la produc-'ción a razón de 1.250 unidades más por año, hasta fabricar 25.000 bicicletas anualmente, ¿cuán-to tiempo le tomará alcanzar su meta?

A)

B)

e)D)

E) 14' años .

11) La edad de A es el triple de la de B y dentro de 20 años será el doble. Hallar la 'edad' actual de A.A) 20

B) 40

e) 60

D) 80E) 100 .

ID años

11 años

l? años13 años

121

nA) '2-m

n-mB) -

2

nC) '2 + m

n-m2

E) n-m.

D) - m'

5) La suma de un número con su tercera parte es igual a su diferencia con cuatro. ¿Cuál es elnúmero?

A) 6

B) -6

C} 9í» -9

E) -12

120

A) 12 A) 7B) 15 , B) 8C) 30 C) -8D) 42 D) -28E) 45 E) -32

psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

12) De acuerdo con un testamento, una herencia se repartirá entre dos nietas y dos instituciones decaridad. Las dos nietas, Daniela y Macarena, deben recibir el doble de lo que obtenga cada unade las instituciones de caridad, la Cruz- Roja y el Hogar de ancianos Atardecer. Si la herencia esde $240.000.000, ¡.cuánto recibirá cada nieta?

A) $40.000.000

B) $45.000.000

C) $60.000.000

D) $65.000.000

E) $80.000.000

13} Si un obrero cobra $400por cortar verticalmente un tubo metálico en d9S partes, ¿cuánto cobra-.rá IJar cortarlo en 4 partes?

A) $400

B) $600

C)$800

D) $1.000

E) $1.200

14) En cada día, de lunes a viernes, gané $600 más de lo que gané el día anterior, Si el viernes gané$5.000, ¿cuánto gané el día lunes? .

A) $600·

B) $1.800

C) $2.000

D) $2.600

E) $3.200

15) Se ha repartido $642.000 entre dos personas, Javiera y Sofía de manera que Javiera recibe$36.000 más que Sofía. ¿Cuánto recibe Sofía?

A) $36.000

B) $267.000

C) $303.000

D) $321.000

E) $339.000

16) En un curso hay 60 alumnos. Si hay 15 niñas más que el duplo de varones, ¿cuántos varones hayen el curso? . .

122

SEGUNDO EJE TEMÁTICO /Test N° S. PROBLEMAS DE PLANTEO CONENUNC(ADO VERil AL

17) Dos números suman 21. Dividiendo el mayor por el menor se halla por cuociente 3 y por resto l.¿Cuáles son estos números?

A) 13 Y 4

B) 14 Y 7

C) 15 Y 6

D) 16 y 5

E) 19 y 6

18) Los 3. de las gallinas de un agricultor son blancas, .!. son negras y las 20 restantes son castella-53·

nas. ¿Cuántas gallinas tiene el agricultor?

A) 28

B) 30

C) 35

D) 60

E) 75

19) Se reparten $180.000 entre A, B Y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un terciode la de C. ¿Cuánto recibe B? . .

. A) $20.000

B) $30.000

C) $40.000

D) $60.000

E) $90.000

:20) lfna sala tiene doble largo que ancho, Si el largo se disminuye en 6 m. y el ancho se aumenta en4 m, la superficie de la sala no varía. Hallar el largo inicial.A) 12 m

B) 20 m

C) 22 m

D) 24 m

E) 26 m

21) Si el promedio de seis números es -6, y la suma de cuatro de ellos es 20, ¿cuál es el promedio delos otros dos números?

123

"S\i

M-20A) -2-

MB) 40

I 28)MC) 9

MD) -

2

E) 2M

A) 60°

B) 75°

C) 90° [ 29)

D) 100°

E) 105°

PS U. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

, 22) Diez socios de un club deportivo acordaron comprar nuevos uniformes para el equipo de, fútbola un costo total de $M. Después de una discusión 2 socios se retiran. ¿En cuántos pesos seincrementa el costo-correspondiente a cada uno deIos 'restantes socios?

23) Dos.ángulos son suplementarios. Si el doble del menor excede en 45° al mayor, ¿cuánto mideeste último? .

24} Dos ángulos son complementarios y están en la razón de 2 : 3. ¿Cuánto mide el menor de ellos?

A) 18°

B) 25°

,C) 32°

D) 36°

E) 54°

25) Sea x un número entero. Si el cuadrado del sucesor de x es igual al sucesor del cuadrado de x,¿cuánto vale x? '

'A) -2

B) -1C) O

. D) I

E) 2

26) Sea "a" un número. Si el doble de este número excede en 1 a su cuadrado, ¿cuál de las siguientesigualdades corresponde a ese enunciado?

A) 2. (a + 1) = a'

B) 2a + I = a'

C) 2a - 1 = (2a - 1)"

D) 2a = a' + 1

E),. 2a = (a +1)2

1;

:Ji':1,

I1:1 '"

\¡11'jl'

'1

124

'f':t SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 5. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VER:BAL

1 . 27) U, p"f,,,~ " "tr~ • ,,,,,,. d, 01"," pre,,"" , "" .I,m"" ",',," '" "",d0;1 El ,,,o·, diante responde: si toma el doble del número que somos y lo divide por cuatro y además me,

cuenta a mí, somos exactamente 25. ¿Cuántos estudiantes eran?

A) 24,

B) 25

C) 48

D) 49

E) IDO

Se puede conocer el 'valor de x si:

(1) La quinta parte de x es 2.

(2) La diferencia entre el doble de x y -l Oes igual a x.

A) (1) por sí sola

B) , (2) por sí sola



E) Se, requiere información adicional

Se 'quiere determinar cuánto tardarán dos' hermanos en pintar una habitación trabajando juntos:

(1) Trabajando solo, .el hermano mayor demora 3 horas

(2) Trabajando solo, el hermano menor demora 1,5 veces lo que tarda el mayor

. A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


'D) Cada una por sí-sola, (1) Ó (2)


30) Sea N = 10d + uun número de dos cifras en el sistema decimal, siendo "d" la cifra de las decenasy "u" la cifra de las unidades. ¿Es N par?

(1) (d + u) es un número par

(2) "u" es dígito par'

A) (1) 'por sí sola

B) (2) por. sí sola


D). Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional ,


125


CAPÍ'fULO S. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALESTest N" 6: Desigualdades, inecuaciones y sistemas' de ínecuacíones lineales

1) La máxima velocidad v permitida en carretera es de 120 km. Al expresar matemáticamente' estah

proposición se tiene

A) O < v s: 120

B) O < v < 120

C) 0<vS:119

D) v>120

El v 2120

2) El doctor indicó al Sr. Juan Gordillo que, co'nsiderando su peso actual (p,), y su peso ideal (p),, debería bajar por lo menos 8 kg. La expresión matemática para esta relación es

A)p. - PiS: 8

B) Pi + 82 p.. C) P, s: Pa- 8

D) 8 - Pa s: P,

E} Pi - P, s: 8

3) ,¿A lo más, cuántos pepinos a $200 cada uno, más una sandía de $1.800 se pueden comprar conun billete de $20.000?

A) 88

Bl 89

C) 90

D) 91

E) 92

4) En un L'. ABC, cualquiera, AB = 6 cm y BC = 9 cm. ¿Cuál de las siguientes desigualdades debeverificarse para el tercer lado?

A) 6 cm < AC < 9 cm

B) 6cm < AC < 15 cm

C) 3 cm < AC < 9 cm '

D) 3 cm < AC < 15 cm

E) 9cm < AC < 15 cm

5) El intervalo soiución de la inecuación 3x -,14 < 7x - 2 es

A) [-3, + =IB) ,]-=, - 3[

C) ]-00, - 3]

D) ]-3, + =IE) ]3, + =I

126

SEGUNDO EJE TEMÁTICO / Test N" 6, DESIGUALDADES, iNECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES

2x-1 <3x+26) La solución del siguiente sistemas de inecuaciones , ( I es el conjunto

, 5x+222 x+4)

A) {x E llt / x > - 3 }

B) {x E llt I x 2 - 3 }

C) {xEllt/x>2}

D) {x Ellt I x 2 2 }

E) {x E lFU- 3 <x s:2 }

7) La solución gráfica de la inecuación 2x _ ~ > x + 10 es3 3

A) ~7

B)~

"(, "C)7

D) ,7

E)

7

8) La solución gráfica de la inecuación (x _'1)'._ 7 2 (x. - 2)2 es

~A) , 5

B) •C) ~

5

~5

Ew

'"D)

5

E)5

127


, 5x-4>7x'-169) Al expresar gráficamente y como intervalo el conjunto solución del sistema I Se

8-7x<16-15xobtiene

A) (~]-00, 1[

1

B) ~~ ]~, 1)1

C) ~ ] 1, =I1

D) ~ [1, oo[1 ,

E) ,'''4~}) - 00, 1 [ u ) 1, 00 [ ,

10) El intervalo solucióndel siguiente sistema es ,,

A) ThtB) [3,4 [

C) ] ~ ,4 [

D) )-00,4 [

E) [3, 00 [

x~3

x<4

2(x-1»5

11) La soluéión del siguiente sistema está dada por el intervalo

A) 'J3,3-:l-JU]4,o:.[

B)[3¡,4[

C) ]-oo,3t]v ]4,oo[

D) ]-oo,3[ u ]4,oo[E) ¡l

128

5(x-3)~~2+x

3x >2x+4x<3

v ~i

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I,TeS!N' 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES

12) El"conjunto solución de la inecuación -5 > 2x + 1 ~ -13 es

A) {xEIltI-3>x~-7}

B) {x E Ilt 1-3::; x < - 7}

C) [x E Ilt 1-3 > x ]

O) [x E Ilt 1 x ~ - 7}

El ¡l

13) Se quiere poner 24 libros. en un estante de modo que en la parte superior haya al menos 7 libros''.y en la inferior, menos del doble qne en la superior, pero más de 13, ¿Cuántos libros se podrán'poner en la parte superior del estante?

A) Más de 9

B)Menos de la

e) 9 ó más

D) 10 Ó menos

E) 9 Ó 10

14) Al resolverla inecuaciónl 9 - 61\ I > 3 se obtiene como soluciónA) jr, 2 [

B) ] - 00, 1 ) u)2, 00 [

C) [1,2 [ , \

D) ) -;:-00, I[ u] 2, 00 [.

, E) Ilt

15) La solución' de Ja inecuación 11- xl $.!. es el conjunto2

A) [~,%]B) [~,oo[

C) J-oo,%J

D) [0,%]

'J lJ"[3 [E) ~'2 u 2'co

129


16) ¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)?

1 Va effi:.1) a+- ?::2,a .

a:i 1VáelR,;II) --:'>-

1+ a" 2'

III) (1 + a}(1 + b) 2: 4, si a > O, b > Oy ab = 1

A) Sólo rB) Sólo 1 y TIC) Sólo 1 y I1I

D) Sólo II y III

E) r, II Y III

17) ¿Qué números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones síguíentes o

1)' el doble del número más 3 es menor que 11:

Il) el triple del número más 2 es mayor que 5:

A) cualquier entero positivo.

B) cualquier entero positivo mayor que .l.

C) sólo el 2 y 'el 3.

D) los enteros positivos menores que 4.

E) no existen números enteros que cumplan las condiciones dadas.

18) En un teatro con capacidad para 500 personas se iecaudaron más deS2.000.000 el día del estre- .no. de una obra dramática. Si la entrada valía $6.000, ¿cuántos espectadores 'asistieron ese día ala función? .

A) 500 espectadores.

B) Menos de' 500 espectadores.

C) El número de asistentes es mayor que 333 y menor o igual que 5QO.

D) 333 espectadores.

E) 334 espectadores .. '

19) ¿A cuál- intervalo pertenecen los números reales que son mayores que su cuadrado?

A) ]~, l[

B) ]0, l[

C) ]0, =ID) [O, 1]

E) ]-1.,O[

130

"~'<

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES

x+3 < 522x2 - -:-:; O7

se obtiene como solución20) Al resolver el siguiente sistema de inecuaciones

A) ]-00, 7[

B) [7, +=IC) {7}

. D) IR, .E) !il

21) La.esfinge de Tebas" amenazó a un caminante con matarlo si no respondía correctamente a.Iasiguiente pregunta: "Hace 500 años mi edad no era superior a la mitad de la que tengo ahora, ydentro. de 1.000 años no será mayor que el doble. ¿Cuál es mi edad?". Si el caminante sobrevivióa la prueba, ¿cuál fue su: respuesta?

A) 500 años

B) 750 años

C)· 800 años

D)' 900 años

E) 1.000 años

22) El conjunto solución de la inecuación .¡. - 1 2: O

A) ]-00, -1] u [1, oo[

B) ]-00, -1]

C) [1, oo[

D) (-1, 1]

E) IR,

23) Los números reales que satisfacen la inecuación x' - 6x + 8 < O pertenecen al intervalo

A) ]-oo,2[

B) ]4, =IC) !il

D) IRE) ]2,4[

. 24) El conjunto solución de la inecuación x' + 6x + 9 > O es

A)

B) ]~oo, ~3[

C) . ]-3, =ID) {-3}

E) IR- {-3)

131

PSU ';Cuaderno de Ejercicios. Matemática

25) Al resolver la inecuación x' + x + l < O se' obtiene' como soluciónA) IR.B) i1J

C) [-1, 1]

D) IR. +

E) IR. ,

6 El' ión de Ia i ió 2x +1 32) r conjunto solución eIa mecuaci n ---' <, es, x+2

l·

r SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 6, DESIGUALDADES, INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEÁLES

30) Después' de un viaje, a Francisca le sobraron algunos dólares y algunos, francos, Si por aquelentonces una moneda de 1 dólar equivalía a $420 y, un franco equivalía a $9Ó, ¿cuántos francostenía Francisca?

(1) Francisca tenía ¡'a mitad de monedas de un dólar que de un franco.

(2) El valor en pesos de los dólares y francos que tenía estaba entre $5,500 y $5,900.A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) ,

O) Cada tina por sí sola, (1) ó (2)


\

133

A) l+=. -5[

.Bl ]-2, =IC) ]-=, -5[ u ]-2, Co[

D) ]-5, -2[

E) W,x+327) Al resolver la inecuación --

3

4

x+2> l se obtie~e ecmo solución el intervalo

3

A) ]-=, -2[ u ]2,=[

. B) ]-2,2[

C) }-=, -2[

D) ]2, =[

E) ]-=, -2] u [-2; =I

28), Si un cjradrado tiene lado "a" y esta longitud se .incrementa en x%, ¿se incrementa el área delcuadrado en más de un 10%?

(1) x < 10%

(2) x> 5%

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) ,Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere' información adicional

29) Se pide encontrar la longitud del mayor de los lados de un triángulo ABC, sabiendo que estámedida por un número entero.

(1) Dos de los lados del triángulo miden 2 cm y 9 cm,

(2) t;. ABC esescaleno

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




132


CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICATest W 7: Geometría Analítica básica

1) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado con su centro en el origen O y de lados paralelos a losejes X e Y. Si las coordenadas del vértice C son (4,4), ¿cuáles son las coordenadas del vértice A?

A) (-40/2, -4-12)

B) (-':-4-12;~)

C)' ('-4, -4)

D) (~,4)

E) (4,-4)

y.

D e

o

A· B

2)· Si el punto A tienecoordenadas (1, 2) y.el punto B tiene coordenadas (9,8), ¿cmí.l es la distancia entreA y B?

A) 10

B) 9

C) 8D) 7

E) 6

3) La 'distancia entre los puntos A(-5, 4) Y B(7, -1) es

A) 5

B) 17'

C) 13

D) 18

E), 600,

4) ¿Cuál es el perímetro de un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas (1,4); (1, 7)y (4;4)?

A) 3+.J2

B) 3-12.C) 6

D) 6+3F2

E) 9+3.fi

l'J '" ,\

x

¡,;SEGUNDO EJE TEMÁTICO f Test' N" 7. GEOMETRÍA ANALíTICA BÁSICA

5) ¿Cuál es el área de' un círculo que tiene un diámetro con extremos A (-3,3) y B (3, -3) ?

A) 24n:

B) l8n:

C) l2n:

D) 9n:

E) 4n:

,6) Si A ( 0, a). B (O,-4) :C(2, -1) Y D (2,2) son los vértices de un paralelógrarno, entonces a =A) -8

B) -7

C) -6

D)-2

E)-l

7) El área de la figura que resulta al unir consecutivamente los puntos ~ (-1,-2), B(3,-2), C(5,2) y

D(I,'2) es

. A) 4$5

B) 1612

C) 2$5

D) 16

E) sF2

8) El área del triángulo con vértices en los puntos A(3,4), B(-3,-I~ y C(I,-3)' es

A) 16

, .Jl3. J6íB) --

2

.Jl3.~C) 2

D) 12

E) 10

135


9) El cuadrilátero ABCO es un trapecio isósceles con An·!! BC y vértices A{3,O) , B(2,3).y

C (-2,3). Las coordenadas del vértice D son

A) (-1,0)

B) (-2,0)

e) (-3,0)

D) (~4,0)

E) (7,0)

lO) Tres de los cuatro vértices de unparalelógrarno tienen coordenadas: (O,-2), (-1, O) y (-2, -2). Las'

coordenadas del cuarto vértice pueden ser:

1) (-3,0) II) (1,0)De las afirmaciones anteriores, esíson) verdaderats):

A) Sólo 1

B) Sólo TI

e) Sólo IDD) Sólo 1 y II

E) 1, II Y ID

11) El triángulo que tiene vértices en los puntos A(0,3), B(7,6) y C(2,8) es

A) escaleno

B) equilátero

e) re~táng\llo escaleno

. D)' rectángulo isósceles

E) obtusángulo

12) Las coordenadas del punto medio del trazo que· tiene por extremos los puntos

Q(2,5 ; 1,6) son

A) (3,8; 4,0)

B) (1,9;2,0)

e) ,(3,8; 2,0)

O) (1,9; 4,,0) . ,

E) (1,8; 2,5) .

136

-<

ID) (-1,-4)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N" 7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁS!C~'

13) Si· M (-3, O) es el punto medio del trazo AB, con A (4,6) . entonces las coordenadas de B' son

A) (-ID. -6)

B) (i, 3)e) (11. 12)

O) (i.3)E) (-:-5. -3) .

14) Si el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos P(m.2) y Q(3m,~4) tiere

coordenadas (-6, -1), entonces m =

A) -4B) -3

e) -2

. 3D) --

2E) 2

15) Si A(-2,0), B(1O,8)Y e(0,8) son los vértices de un triángulo. ento~ces, la ~edida de la longitud cela transversal dé gravedad t, es

A) 4.[2

B) .J29

e) 216p (1,,3 ; 2,4) Y t D) 215

E) 4.

r

117


16) Si A(-2,S), B(-4,1) , C(-2,-3)y D(O,I) son los vértices de un cuadrilátero, ¿cuál(es) de las

siguientes proposiciones es(son) verdaderaís)?

1) ABCO es un rombo

U) Perímetro de ABCO es 8.)5

Ill) Área de ABCD es 32

A) Sólo 1 '

B) sere r y nC) Sólo Iy III

, O) , Sólo II y III

'E) 1, U Y III

l7) La distancia entre los puntos P [a,b) y Q (b, a) es siempre igual a

,A) °B) a+b

C) 2a+2b

O) (b-a)$

E) lb.., al.J2

18) ¿Cuál(es) de las siguientes PíOPosicion~s relativas al triángulo de vértices D(4,1), E(-l,-l) y

F(2,-4) es(son) verdaderars)?

1) 6, OEF es isósceles con base EF

7.J2II) La altura respecto al lado EF mide --" 2

rm 'El áfea del 6, DEFes E, 2A) S610 1

B) S610 II

C) Sólo 1 y U

O) S610 1 y III

E) , 1, II Yni

138

"

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICA

19) En la figura adjunta, el área del triángulo ABC es 24, ¿Cuáles son las coordenadas del punto B?

A) (W,-2)l'j¡

E) (10,2)<;:(2,4)

C) (2,6)

°1 b ~BX

O) (8,-2) A(2,-2)

E) Falta información para .determinarlas.'L,

20) Si ,A(-2,-i) Y B(2,-2) son dos vértices del triángulo equilátero ABC, entonces las coordenadas,del vértice C pueden ser:

1) (0,2(F-:-l)) II) (0,-2(,.}3+1)) III) (0,0)

A) Sólo 1

B) S6lo nC) S6lo III

D) Sólo 1 y nE) I, II Y ID

21) En la figura adjunta. ¿cuál es el área 'de la superficie achurada?

yA) 5,5

3B) 5.0

2C) 4.5

O), 3,0

'E) 2,5 UI 1 2 3 X

,22) Si A(-6,0). B(O,O) y C(0,8)' son los vértices de un triángulo. la medida de la longitud de la

mediana que es paralela al lado AC es

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) io

139

25) ¿Cuáles son las coordenadas del.vértice B del triángulo OAB de la figura adjunta? I (2) El círculo tiene su centró en el origen y pasa por el punto de coordenadas (-1,2.J3).A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)'

D), Cada una por sí sola, (1) ó (2) .


29) Se quiere determinar I<\Scoordenadas del vértice B de un triángulo equilátero ABC del cual se conocen:

A(-:-6;O) y C(O,.6).

PSU. Cuaderno 'de Ejercicios; Matemática

23) Si el "'- PMN de la figura adjunta, es isósceles con base PM, entonces ,se puede afirmar que lascoordenadas del vértice M son

A) (O,2b)Y.

B) (2b,i) I Wb,c)

C) (2c,a)P(O,a)t'J '>M

D) (2b,a)

°1 X

E) (2a,2b)

24) En la figura del ejercicio anterior, ¿cuáles sonIas coordenadas de la, imagendel punto N, 'como

resultado de' una reflexión respecto de la recta PM 7

A)(b, -c)

B) (-b,c)I

I C) (b,a-c)

D) (bJ2il+c)

E) (b,2a-c)

(O aJ3)A) '3

(o2aJ3) y,B) '3

C) (O,2a) B

D) (O,~)

E) (o,~)A(a,O)

140

x

SEGUNDO EJE TEMÁTICO J Test N° 7. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSIC~',

26) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a una circunferencia con centro en el origen y radio107

l) (8,6) ,Il) (-sfi, -sfi) 'IlI) (-251,4)A) seierB)Sólo rrC) 'Sólo ly II

D) Sólo l yIlI

El l, TI r lIT

27) Si A( -2,3), B( 5,3), C( a, 7) y D(l,7) son los vértices del paralelógramo ABCO, entonces la

diagonal. AC mide

A) n

B) ,2J29C) 6.J3,D) 10

E) 4fi28) Para determinar el área de un círculo se sabe que:

(1) Los puntos de coordenadas (3,2) y (-3,-2) son los extremos de un diámetro del círculo,

(1) B es un punto del cuarto cuadrante ..

(2) B es un punto de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




111


30) Para determinar las coordenadas del baricentro G de un triángulo ABe se sabe que:

(1) Sus vértices son: A(-5,2), B(3,0) y C(I,6).

(2) Los puntos medios de los lados tienen coordenadas: (-1,.1), (2,3) Y (-2,4).

A) (1) por sí sola

B) ·(2) por sí sola




142

~r'f

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 8. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECIA

CAPÍTULO '7. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTATest N° 8: Ecuación cartesiana de la recta

1) Dados los puntos A(2, S), B(3, 4) Y CC-l, x). ¿Qué valor debe tener x para que los puntos A,By e sean colineales?

A) -1

B) Oel

D) 4

E)

2) Si, el punto Q, cuya ordenada es -7, pertenece a la recta cuya ecuación cartesiana es ,6x - Sy = iJ,entonces la abscisa de Q es: '

Al -3

Bl -2

el O

D) 1

E) 7

3) El punto Míx, x + 1) es el punto medio del segmentocuyos extremos son los puntos A(-x + 3; 5; YB(5x - 1, 3x - 2l,'entonces x =

Al -5

Bl -1

e) 3

D) 7

E) 9

4) El punto P, de abscisa -2, es un punto' de la recta de ecuación cartesiana 3y'- 2x = 19. Entonces, la ordenada' de P es

Al

B) 3,e) , -2

23D) 3'

El252 .

S) La ecuación cartesiana que representa a la recta de la figura es

A) -3x -lo 2y = O

Bl3x-2y+2=O

e) 2x-3y+2=O

D) -2x + 3y + 6 = O

E) 2x - 3y + 6 = O

-3 o x

~3


6) La ecuación que representa a la recta de la figura es

A) 2x + 3y - 6a = O

B) 3x+2y-6a=0

'e) 3x - 2y - 6a = O

D) 3x + 2y + 6a =0

E), 3x - 2y + 6a = O

7) La recta de la figura está ,mejor representada por la ecuación

A) x - 2 = O

E) y - 2 = O

C) x+y-2:=0

D) x + y +2 = O

E) x-y+2=0

8) La recta de la. fj~ura está mejor representada por la ecuación

A) X,- 1 = O

B) x + 1 = O

C) y~l=O

D) y + 1 = O

E) x + y +'1 = O

,9) La ecuación' de la recta de la figura es

A) x + y + '2 = O

E) x + y ~ 2 = O'

e) x - y + 2 = O

D) x - y - 2 ='0

E) x'-y=O

10) La ecuación cartesiana que representa a 'la recta .de la figura es

A) 2x - 3y = O

B) 2x + 3y = O

e) 3x + 2y = O

D) 3x - 2y = O

E) 3x + y = O

144

,Y

2.1

o1

y2

1 -

-1 oI -1

2

.x

x

x

x

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RICTA

\.1) La pendiente de la recta de ecuación: 3ic - 9y - 4 = O es

A) 3

B) -31e) --3

1D) -3

E)4

9

12) La pendiente de la recta de ecuación: x = 4y _ 8 es

14

B) 4

e) 1

D) 8

E) 2

A)

13) Para' que la recta de ecuación: 3kx + y - 10 = O tenga una 'pendiente 6, el valor de k debe ¡er

A) 2

B) -2e) 3D) -3

E)6

14) Una recta paralela" a la recta de ecuación: 5y = 12x + 20 es

A) Y = 12x + IB) y ,,;-sx - 2

C) Y = 4x + 8

12D) 5y= s-x-l

E) ,10y = 24x

15) La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-5, ,2) Y Q(2, -1) es'

A) 3x + 7y + 1 = O

B) x + 2y = O

C) 3x + 8y -r 1 = O

D) 4x + 7y - 1 = O

E) 2x + 5y = O

145

\1···.·

1,i~,,

It·

~~

I~~

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Maremática

16) La recta L del gráfico de la figura siguiente tiene por ecuación:

J7) ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la nieta 5x - 10y + 8 ,;, O? .

'. . ' , . 3,18) La recta que pasa por el punto (-3,2) Y que es paralela a la recta y =- x+2 es. '. . 2

A) x - 2y + 7 = O

B} Jx - 2y + 13 = O '

C) 3x + 2y ~ 2 = O

D) 3x": 2y - 5 = O

E) 2x + 3y - 1 = O.

19) Si las rectas L, : 4x - 3y = p, Y' L2 :-2x + ky = 15 son paralelas, entonces el valor de k, es:

'j.•

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

I . . '

20) La rectal pasa por el origen del sistema de coordenadas y es perpendicular a la recta y = x - 2.La ecuación de l es

A) Y = x

B) y =-x

C) y = x + 2

D) y=-x+2

E) y = -x - 2

2.1) La ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (-2, O) Y es perpendicular a la recta3x + y = 2es:

A) y = x + 2

B) Y = 2x + 3

1e) y=-x+2

3

1D) y=-x-2

3

1 1-E) y=-x+-

3 3

22) La ecuación que representa a la recta L de lafigura adjunta es:

Al -x -'3 = Y

E) x - 3 = Y

C) x + 3 = Y

D) x - 3y - 3 = O

E) 3x - 1 = 3y

L

3 x

y3

2

-3 -2 -1

A) -3 l . 23).;.

3B) -"2

2C) -

3

3D) -2

E) 3

o 2

Dados los puntos M(7, -1) Y N(-2, 8),en¿ontrar la ecuación de la recta que pasa por el origende!. sistema de coordenadas y es perpendicular a la recta. MN.

A) x + y =0

E) x - y '= O

C) 4x -:-y = O

D) x + 4y = O

E) 7x - y = O

147

yA) x + y = 2 3

L, "-B) x -i- y = 3

<; 2C) 2x - y = l

~ ~I D) x + 2y = 2 • ,

01 2'--- " X1E) 2x'¡' y '= 2

A) Sx - 2y + 4 = O

B) x - 2y -i- 16 = O

I I 8C) x + 10y +.'-'- = Oi . 5

I."1

8 .D) x - lOy +- = O

5~I~ 1 8~ . El x + 2y + - = O~ 5!.

146


~

I\

l.

24) La ecuación de la recta que corta a los ejes X e Y en los puntos (5, O) Y (O, 2) respectivamente,.es:

A) 2x -5y = 10

2 .B) y=--x+l

5.

2 .C) x =l--y

5

D) 5x + 2y = 10

El 2x + 5y = 10

25) El perímetro del triángulo determinado por la recta ~ + 'i... = 1, Y los ejes de coordenadas es:.4' 3 '

A) 5

B) 6C) 7D) 9

E) 12

26) En la figura adjunta, la ecuación de la recta L, es y = % x , ;la ecuación de la recta L2 es y = ~ x +2 ,

y L¡ L,El área del triángulo OI'Q mide, en. unidades, cuadradas:

A) 1

Bl' 2

C) 3D) 4

E) 6

27) Si se hace rotar en 90°, enel sentido antihorario, la recta x + y = O en torno al origen del sistema. de coordenadas, entonces la ecuación de la recta así retada será:

1)

Il)

III)

A)

B)

C)

D)E)

-x - y = O

x-y=O-x + y = OSólo 1

.sólo II

Sólo III

Sólo II y III

Ninguna de las anteriores

148

x

lSEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

~.28) Se pide determinar la ecuación de' una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas;

Para ello se sabe, además que: ' '

(1) pasa por el punto (1, 2)

(2) tiene pendiente 2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




29) Dada la recta cuya ecuación es 2x + ky - 7 = 0, se pide hallar la ecuación de la recta paralela aella si se sabe que:

(1) pasa por el origen del sistema de coordenadas

(2) k = 5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2),


30) Una recta corta a los ejes de coordenadas X e Y en los puntos P y Q, respectivamente, Se pidedeterminar la pendiente de la recta PQ y para ello se. da la siguiente información:

(1) P(4, O)

(2) Q(O, 3)

.A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




149


CAPÍTULO 8. SISTEMAS DE EéuACIONES LINEALESTest N° 9: Sistemas de ecuaciones lineales

1) Si u = v, y 4u = 2v - 6, entonces' u =

A) -12

B) , -6

C) -4

D) ,:-3

E) -2

'2) Dado que x = 5 - 3y, y' x = 9 + y, entonces ,«y» es igual a

A) -7, B) ,-2

C) -1

D) 7E) 8

3) Si 2x - Y = 5, Y x + 2y = 25, 'entonces x =

A) 25

B) 9

C) 7

D) 3

35E) 4

4) Si x + 3y =15, y «x» es el doblede «y», entonces los valores de «x» y de «y» son, respectivamente

A) 6 y.3

B) 4 Y 2

C) 2 Y 1

D) 10 y 5

E) 8 Y 4

5) Si 3x - 10y = 40, y

A) -7

B) 3~5

e) 6'

D) 7

E) 14.

4x + 3y = 9, entonces x - y =

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6) Dado el sistema 13x-lly =171, los valores de (x + y), y de (x-y) son respectivamentellx-13y=7 .

150

A) 5 Y

B) -1 Y 5C) 1 y 5

D) -5 Y -1

E) -1 Y-5

7) Dado el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente

x+2y=0x:y=2:3

El conjunto solución del sistema es

A) {(O, O) }

B) ((-2, l)'}

C) ((2, 3) }

D) (H, -3) }

E) <1>

8) La solución del siguiente sistema está dada por dos números enteros consecutivos y positivos x e ytales que x > y: I

x+.y =k Ix-y=k-2

entonces el valor de «k» es

A) OE) 1

C) 2D) 3

E) 4)

2x-3y=89) Dado el sistema ,',1, entonces la solución es

6y-4x=9

A) x =4, Y = °" 2

B) x=O,y=3"

C) -x = O, Y = °D) no hay solución.

E) hay un número infinito de soluciones.

151


10) ¿Qué valor debe tener el parámetro «a» para que sea x= y en el siguiente sistema?

ax-t-4y=1l9

5x-ay= 34

A) -3E) O

el 3

D) 17

E) 34

11) La representación gráfica de las ecuaciones delsistema:

4x-6y=8-6x-t-9y=0

corresponde a:

A) 2 rectas paralelas.

E) 2 rectas perpendiculares.

e) 2 rectas concurrentes.

D) 2 rectas coincidentes.

E) No corresponde a recias.

. 2x + ty = 4 . . , .12) El sistema 2 6'1, no tiene solución SI t =4x-t- y=

A) -4E) -1

C) 1

D) 2

E) 4

13) ¿Qué valorhay ,que dar a los coeficientes a y brespectivamente, para que el siguiente sistema seaindeterminado?

3x+5y=1

ax-by=4

A) 12 Y -20

E) 12 Y 20

e) -12 y 20

D) -12 Y -2.0

E) Otros valores

152

SEGUNDO EJE TEMÁTlCO I Test W.9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

'14) Dado el sistema:

8x-t-6y-24=0

-12x -9y + 36 =0

Los valores de x e y corres ponden al par ordenado

A) (3, O)

E) (0,4)

e) (--,3,8)

D) (6, -4)

E) Hay una infinidad de pares ordenados que lo satisfacen.

15) ¿Cuáles'son los valores de aye, respectivamente, para que la gráfica de ax+Sy= c contenga al

origen y al punto (-6, -lO)?

Al 5 Y O

B) -5 Y O

e) O y -5

D) O y 5

E) -5 Y 5

ax+ by =a' + ab16) Sean a 10 b, Y a 10 -r b. Si 'ay + bx: =b' + ba entonces xy =

A) O

B) a + b

e) ab

D) a' -b'

E) a'-t-b'

17) Dado el siguiente sistema de ecuaciones para x e y, siendo a'" b , entonces (x + y) ,=

x y--+--a + b a-b

x-y4ab

2a

A) 4a2

B) (a-t-b)'

C) a'-b'

D) a2 + b'

'E) 2(a'+b')

153

"!~


18) ¿Para cuál, de los siguiente-s pares de valores de u y v las rectas L¡: 5x - 2y-l0 = O, y

L, : .15x - uy- v = O son paralelas no coincidentes?

u v

A) 3 6

E) 3 30

Cl 6 10

D) 6 30

E) 10 20

l·

19) La 'suma de dos números es 27. Dividiendo el mayor por el menor se obtiene un cuociente igual a 2y un resto de 6 unidades. ¿Cuáles son los números?

Ál 19 y 8

E)' 20 y7

C) 22 y 8

D) 11 y 10

E) 18 y 11

Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, menos un año. En dos años más, el padre tendrá eldoble de la edad de su hijo más nueve años. ¿Cuál es la edad actual del padre 'f del hijorespectivamente? .

20)

Al 23 y 8

El 29 Y 10

Cl 56 y 19

r» 35 y 12

El 59 Y 2021 1 El denominador de una fracción excede al numerador en 5 unidades. Si el denominador se aumentara.

en 7, el valor de la fracción sería ~. ¿Cuál es la fracción?2

2Al -. 7

1El '2

12C) . 17

22r» 27

32E) 37

154


22l En un rombo la suma de las díagonales es 14 cm y se sabe que el área no varía cuando la diagonalmás corta aumenta en 2 cm y, al mismo tiempo, la diagonal más larga disminuye en 2 cm. Elperímetro del, rombo es de

Al 14 cm

E) 15 cm

C) 16 cm

D) 20 cm

E) 24 cm

23 1 Una lancha recorre 6 km en 40 minutos en favor de la corriente; el viaje de regreso le toma 1 hora.

Encontrar la rapidez de la lancha en agua tranquila, en kif¡h

Al 1,5

Bl 3C) 4,5

D) 6

E) 7,5

24) La suma de 'los dígitos de un cierto numero menor que cien es once. Si los dígitos se invierten,entonces 'el 'numero disminuye en nueve unidades. La diferencia positiva entre las cifras del númerooriginal es

A) O

E)

C) 2

D) 3

E) 9

25) En la' figura adjunta, MN..L OM Y PN..L OP. Si R es el punto de intersección de la recta

L¡ : x - y = O con la recta L2: 3x + y - 3a = O. ¿Cuál es la razón entre las áreas del triángulo OMRy el cuadrilátero OMNP?

yA) 1: 8

E) 1:6

C) 1:4

D) 1:3

V ~b I

E) 3:8

Jl\~

X

155


ti¡:i'

~~~'

tt

\11:t,l'!i.I

~

i!¡:¡e: I¡,

¡lI

~i!!II¡11~

En una bolsa hay bolitas blancas y negras, 'La quinta parte de las blancas equivale a la tercera partede las negras y el promedio del total de boJitas excede en seis a la mitad de las blancas, S.í b es elnúmero de boJitas blancas y n el número de bolitas negras, el sistema que nos permite calcular b y nes:

26)

b n- -

3SA) b~=~+6

2 2

b n- -

53B) b+n=~+6

_2_ 2

b n- -3S

e) b~=~_6L 2

b n- -

53D) b+ n _ ~ + 62 - 2 '

~=~_ 5 3E) b~=~_6

2 22x -'-,6y'=. 3

27) Si el siguiente sistema px + lOy = qdepyqson

10 15A) P=~3' q=-3

6B) P=-s

9q=-S

10 9,C) P=-3' q=-S

9q=-5

6D) p=-S

6E) P=S'

tI

Ü9q=-S

156

••••

tiene un número infinito de soluciones. entonces los valores'


28) El siguiente sistema tiene una única solución para las incógnitas "x" e "y" si:

ax+by e cdx+ey=f

(1)a b-;é-d ' e

(2) c;é f

A) (1) por sí sola

B) (2)por sí sola

C) Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)

E) ,Se requiere información, adicional

'29) Se pueden determinar las ed~des de Ignacio y Francisca si se sabe que:

(1) La edad de Francisca excede' en 7 años a la tercera parte de la edad de Ignacio,

(2) La edad-de Ignacio es ig~a1 al tri;le de la de Francisca disminuid~ e~ 21.

A) (1) por .sf sola

B) (2) por sí sola,

C), Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (I), ó (2)


30) ¿Cuál es el valor de x e- y?

(1) a-b = 12

(2) ax + by-ay-bx = 24

A) (1) por sí sola

B) , (2) por sí sola

C) 'Ambas juntas. (1) y (2)


E), Se requiere información adicional


157

3' - 33 equivale a

A) 3'

B) 15 t 11 )

C) 33',23

D) 33.24• 5

E) 33


CAPíTULO 9. POTENCIACIÓNTest N° 10:' Potendas

,1) De acuerdo a la d~finición inductiva '(n de potencia para basé real y exponente natural, la expre-sión a' +, es igual a' ,

'1) a' +, . aO II) a" a III) a' -, . a'

A) Sólo L

B) Sólo n..e) ,Sólo III.

D) Sólo I Y,II.

E) 1, II't IlL

2) La, potencia 96

1)

A)

B)

e)D)E)

tiene el mismo valor que lafs) potencia(s)

3" II) 81'

Sólo I y n.

Sólo n y III.

Sólo I y 111. '

1, u y III.

1Il)

Ninguna.

3)2'+11'=

A) 53

B) 13 z

C) 133

D) 13'

E) 223

4) 73_ '10'=

A) (-W)3) (_3)3

e) (-3)'

D) 3'

E) 3'

5)

• Para la definición inducuva del concepto de potencia de base reafy exponente natural. consultar-nuestro Manual de Preparación P.S.U. Matemática, editado porEdiciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006, página 188. '

158

729'

f

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 10. POTENCIAS

6) El número más grande que se puede escribir utilizando exactamente tres veces la cifra tres, sinusar signos de operación, es '

A) 333

B) 333

C)- 333

D) (33)3

E) 313'l,

7) l > (-1)' _(_1)0. (-1)': (-1)3 =A) -2

13) -1

C) OD) 1

E) 2,

8) ¿Cuál es la cifra de las unidades del número 36O?A) O

B) 1

e) 3

D) 7

E) 99) (-2)' + 2-'

A) O

B) 1

C) 4

D) 4!

E) indeterminado

10) 3' . 27' =

A) 3"B) 322

C) 81'

D) 81"E) 81 as

La cuarta potencia del doble del cubo de cinco se escribe simbólicamente comoA) 4.2.53

B) 4· (2 . 5)3

C) 2· (53)'

O) (2' 53)4

E) (23• 53)4

159,

1, :


12) (n-I + n-')n' =A) n-' + n-<;

B) n-'

e) n'

D) n-6

E) n(n + 1)

13). 22 " ,

Al simplificar la expresión ~ se obtienecomo resultado2(22)

A) 2-'-E) 2-1

e) 20

D)21

E) 2'

14) El promedio de las 'potencias 2'0 y 2'" es

¡, A) 260

B) 230

e) 130

i D) 210 + 220

:. E) 21' + 239'

sn .-5"-115) Siendo "n" un número natural, al simplificar la expresión . se obtiene

sn+l . S" . ,5-1

A) 15

B) 1

C) 2

nD) 1n+

2n -1

2nEl

34.33.3-2

16) -T73-. 370 -. 371

A) 3'

B) 36

C) 3'

D) 3'E) }3

160

:w'

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I TeS! N" ID, POTENCIAS

17) Si 3' = a, y 2' = b, entonces 3'+1. 2'+1 =A) 6ab

13) ab?

e) (ab)'

D) 5ab

E) 6ab'

( ,)3 ( 3)'18) Si ab *·0, al simplificar la expresión a b 6

((ab )').

A)

B) ab .

C) (ab(

D) a'b'

E) a'b3

(3')" + (33)" + (3,)619)' ,

.(3')

A) 3"

B) 3'4

e)3D) l

E) !. 3

63' +6"20) '6" +6' =

A) 6'

B) 63

e) 6'

D) 6"

E) 6"

21) (2",1 - 1)'

A) 2,+3 + 1

B) 2"+' + 1

e) 2,·+1 + l

D) 2,,+2 _ 2'+' -+- 1

E) 2"+' - 2'+1 + 1

se obtiene

161

r 2'P + 2'P26) 2" + 2PI

IA) 2P

B) ~'P

e) 2

D) 2'

E) 2'

2° ·3,+3-3.3" =27)

8·3"+'

. A) oB)

1e) "4

22) Si "a" es un 'número real no n~lo (a •• O), entonces (a')'-' .(a't' .(a')'-Y =

A) a'Y

B) a"

C) a"

D) aE) aO

[ 'r23) Si X;é 1,entonces 2+2(x-lf =

x-1A) -. 2x

B) ~x-l

x-le) ---¡'

4D) -x-l

2x-2E) --

4x-3

24) Si a y b son números reales no nulos y a + b ;é 0, entoncesIa" + b-')-' : (a + b)-' =A) ab

abB) -.-.

a + b

I

e) a + b

D)" a + b. ab

1E) -

a + b

2°_Z-"25) ---=

2-2·2-'

A) 4

B) 2

C) 1

'D) ..!..2

1E) -

4

162

1D) '3

E) 3

2

28) El valor de la potencia a' es uno si:

(1) a = 1

(2) n = O Y a ;é °A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola.


D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)


29) Si x'yse defin~ como x'y, entonces ¿es x'y positivo?

(1) y' > O

(2) x;" 2

A) (1) .por sí sola.

B) (2) por sí sola


D) Cada u~a por sí sola, (1) 6 (2)

.E) Se requiere información adicional

163


30) ¿Cuál es el valor de a, siendo. a un número entero?

(1) a4 =1

(2) a3 + 1 = °A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí .sola, (1) Ó (2)


RESPUESTAS CORRECTAS ,

164

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 11, RAÍCES

CAPÍTULO 10. RADICACIÓNTest N° 11: Raíces

1) 1- 6~ =

1A) --

8.

1B) -¡

1C) ~2

1D) -8

1E) -

4

2) ";0,0196 =

A) 0,014.

B) 0,104

C) 0.,14

D) 1,04

E) 1,4'

3) ";169-25 =

Al 8

B) 12

C) 144

D) f8E) Jfi

4) .Jf69 - Es =

, A) 8

B) 12

C) 144

D) {8

E) Jfi

165

PSU. Cuaderno de Ejercicios; Matemática

5) De las siguientes igualdades, ¿cuál(es) es(son) verdadera(s)?

1) .../3...fii = 9 1Il) J3: ~ = 2

11) 2E· 5.fi =' 10.[7 IV) 2)(~r = ~.fi

A) S610 Iy III.

B} Sólo 1 y H.

C) Sólo. II y III.

D) Sólo III y IV.'

E) Sólo. r, III Y IV. '.

6) ~(2 _ J5)' =

A) 2 - J5

B) J5 - 2

C) 2+J5.D) J5E) .J=j'

7) Si a=.Jb; b=*"entre a y d?

A) a=~

B) a e cd

C) a='1d

. . .

y. c= id, con a,' b, e y d números 'reales positivos, ¿cuál es la relación correcta

D) d=2J;.

E) a s= bcd

,j¡8) La suma de las raíces .J8+ .J5Oes igual a

Al EsII

IB) 7.fi

C) 13.fi,

D) fiOO,j

E) No se pueden sumar

166

~

:"" ,

SEGUNDO EJE TEMÁTICO /Test N" 11, RAÍCES

9) Ks - .J56 + 132 - m =

A) -4J2'B) .-.fi

C) J2D) 2.fiE) 34

10) ../3 + 16 =A) -3B) -J9C) 9D) 2../3

E) F6( Jz + 1). 1

11) J2 -1Ft + ~J2 =2· 2

A) .fi

B)J..ji2

C) _L.fi2

D)-J2E) o

12) xfi +'xfi + 2V2 =

A) 4'xfi

B) 4'16C) 216 .D) 4xfi

E) 416

167

PSU. Cuaderno de Ej~rcicios, Matemásíca

13) (J8 + ..fi)'A) 10

E) 16

C) 18

D) 100

E) 10 + 2h14) La expresión (5J3 - J2f es igual a

A).13

E) 73·

e) ·73 - 516D) 73 - 1OJ6

E) 77- 1OJ6

z15) Si (5 + 2J3) =.a + bJ3 , entonces los valores de a Y~ son, t~spectivamente

a b

A) 37 20E) 37 10

C) 31 20, D) 3.1 101,

E) 147 O

16) (h - l)(h + 1)'A) 1

E) 3e) 8D) h + 1

E) 3+ 2h17) (3h + 2)(312 - 2)

A) 5

E) 10

C) 14

D) 18

E) 3h

168

~,.,1'.

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N° 11. RAÍCES

18) Si a ~ 1, entonces (.,¡;:;¡ - ~f -.A) -2

E) 2

e) 2a

D) -2~

E) ~(a~~a'-1)

19) Si. "n" es un número· natural, entonce·s .J9' '- 2 . 3" + 1

A) 3' -.1

E) 3' + 1

e) 9'

D) 9' +

. E) 9' - 3"

··1 1_20) 15 - 1 15 + 1 -

A) O

E) 0,25

e) 0,5

D) 11.

E) 2J521) Si n es un entero positivo, entonces la expresión (hr . (fir'

A) 2' + 2

E) 2' + 1

e) 20+ 2

D) 20+'

E) 2'

.169

\! __ o __ '-="

PSl:!. Cuaderno de Ejercicios, M~temálica

?<.'

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test W 11,' RAíCES

26) Si (2jf + 3JfJ = 5. -\- x , entonces x

A) .!2. + 2 16, 6

B) , !2 + -./66

e) 5 + 2-./6

D) 2 + 2-./66 '

E) 20 + 2163

27) J3J2 =,A) -./6

Bl 118

e) !J6D) FaE) ifl8

28) Si a es. un número real, entonces para que se verifique la igualdad .,Ja = a, se debe ~umplir:

(1) a = O

,(2) a= 1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




29) .;Jx + J9, = fi5 se verifica si y sólo sí:

(1) x = 16

m x=4

A) (1) por 'sí sola

B) (2) por sí sola

e) .Ambas juntas, (1) y (2)

'n) Cada una por. sí sola: (1) ó (2)


, 170 171

Ji Ji22) J7 - 1 - J7 + 1

A) O

J2B) 3

1e) '3

1D) '6

;fj,E) 2'

, , 1 +_1_23)' La expresión 1 - 1 _ -J3 ,1 + -J3

A)

1 B) --J3e) -J3

D) 1 - -J3E) 1+.Jj

24) Si .Jx +' 2 = 3, entonces x

A) -1

B)

e) 2

D) 3

E) 4

25) rx+2 = 3, entonces x

A) -1

Ble), 5

D) 7

E) 9

IL...__.

PSU. C~ademo de Ejercicios, Matemática

30) EnOC, la igualdad (.rxf =[x[ se verifica si:

(1) x z O

(2) X < O

- A) (1) por sí sola

,E) (2) por sí sola



.E) Se requiere información adicional

riI

,-,"1

i172

tSEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

CAPíTULO 11. FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALESTest N° 12: Funciones: conceptos fundamentales

1) ¿euál(es)-de los siguientes diagramas representa(n) una función f de A en B?

I) A~B - -lI) A~B I1I) A~B

I

,

A) Sólo L

B) Sólo n.e) Sólo III.

D) Sólo 1 y m.E) Sólo TI y ID;

2) Siendo A = ( 2,_3,5} Y B = { 1,7 }. ¿cuál de los siguientes conjuntos define una función de B hacia A?. A) ((1,2)}

B) {(1, 3),0,5) }

e) ((1,5), (7, 3) }

D) ((1, 2), (1, 3), (1,5), (7,2), (7,3), (7, 5)}

E) ((1, 1) , (7,

- j2X'+13) Si f(x) = -

x-4 .

si x >

si x s 1

entonces se afirma que:

I) f(3)=7

De estas igualdades, estson) verdaderajs):A) Sólo L

B) Sólo H.

e) Sólo 1 y lI.

D) Sólo H y .m.E) Todas las anteriores.

4) La función f de N a N que le hace corresponder a ~ada número natural «ene» el triple del cuadradode su sucesor está dada por la fórmula matemática:A) f(n) = 3(n + 1)'

B) f(n) = 3n';!- 1

e) [en) = 3(n' + ~)

D) f(n) = (3n); 4: l

E) [en) = (3n + 1)'

H) f(1) -3 ID) feO) = -4

,173

______________________~ ~--~----.a=s••~----- ~~ _


5) Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 5 J y B = ( a, b, e, d J y una cierta función f :A -7B definidacomo sigue f(l) = b; f(2) = a; f(3) = e y f(5) = a. Entonces, de las afirmaciones siguientes, es(son)verdadera(s)

1) «a» es la imagen de 2 y de 5

Il) la preimagen de '"b» es 1

III) el 'conjunto A es el dominio de. la función

IV) el conjunto B es el recorrido de la función

A) Sólo IDy IV.

B) Sólo 1.

.el. Sólo 1, TI Y III.

D) Todas.


6) El gráfico de la función y = f(x),. donde x es ia longitud del lado de un cuadrado y f(x) es la mitaddel perímetro respectivo es ..

A) E)Y

e)

¡-

YT-"fr'¡T"lI ve!!: i'i" !

YI-1Tf1TfT1r-l-r'OT-r:r-":!

¡tí 11 i ¡ i.i ! l.-,¡, i

rr+rt d::::: :1l¡.

x xD) E)

. YtJi¡-. . -.-.'-"....•.i i ¡ i i i: iy f~"T:-~-rTr1;

! l·-í i j

xx

.7) Sean f: Z -7 Zf(g(IO)) =

A) 60

B) 202

. e) 262

D) 828

E) 848

definida por f(x) == 4x + 20 Y g: Z' -7 Z definida por' g(x) ~ 2X2 + 2; entonces

17<t.

i I

x

·.1SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 12. FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

8) Dada la función f(x)

A) -8

B) -6C) OD) 6E) 8

9) Sean las funciones enteras f y h definidas de Z en Z por las fórmulas f(x)entonces al calcular 3.. f(-'I) +. 5 . h(2) resulta

x2 - 4 ,entonces el valor de f(1) + f(-I)

x' - 3, y h(x) x + 4

A) -6B) 12

e) 20

D) 24

E) 36

10) Si f(x) =x' - i3, entonces f(-2) - f(-3)

A) -24

B) -4

e) OD) 4

E) 12

11) Sea la función real f: llt-7lRdefinida por f(x) =5 .. Entonces: f(-I) + f(l)

. A) -1'

B) oe)D) 5

E) 10

x - 2,12) La expresión. x' + 8

A) -8

B) -2

C) O

D) 2

E). 8

no está definida cuando x toma uno de los valores siguientes:

175


'13) Sea la función real definida por f(x)3_ , V x cf. O, Entonces 2, f (1) , f (2)X ' f(1)+f(2)

1A) '4

1B) '2C) 2

3D) 2E) 4

14)'Si f(x) = 2x' -5x + a ,entonces al calcular el valorde J(a+b)-f(a) seobtiene2b

A) (a+b)'

b1

B) -2

C) 2(a + b)'

D) 2a + b

5E) 2a+b--

2

15) Dado el polinornio p(x)

A) p(-1)

E) p(O)

el pGJD) p(1)

El p(2)

6x2- 5x + 1. Entonces pf ~J =

176

"l~rSEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N" 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

16) Dada la función f (x) = kx '- 2kx + 8 ,Si f (-1) = O, entonces k =A) -8

83

B)

C) O,

8,3

D)

E) ,8

, si x ~ O,si x < O

Entonces f(2) + f(-2) =A) O

E) 2

e) 4D) 5

E) 7

18) Dada la función 't f:~ -7 ~ definida por f(x) = 7x -9, Entonces, para elementos distintos a y b de

17) Dada la función real f : ~ -7 ~ definida por: f(x); {x' +,3x-l

su dominio se tiene que' f(b) - f(a)b - a '

A) -9

B) -7

C) OD) '7E) 9

19) El dominio de la función real dada por la fórmula f(x)=:lx2 +1 es

',Al bomf={;E~!X>O)

E) Domf=(xE~/x,~O)

e) Dorn f e {XE ~/x>-l}

D) Domf={xE,~/?l~-l}

E) Dom f= ~

"- -', ,.,. -----_ ....._-'-----'---177


,.¡.:! 20) Se da la función f : A ~ B definida por el diagrama adjunto ..

Entonces el valor de la expresión f(4)· f(2) - f(I)· f(3)f(2)...:f(l)

f

. . . a"-b" f(4)'21) Sea la función f:N~lRdefinidapor f(n)=--.- cona e b. Entonces -

a- b f(2)

A) f(2)-f(l)

B) f(4)+f(3)

C) f(2)-f(4)

. D) f(3)-f(2)

E) f(2)+f(4)

.r a' + b2

A) Sólo 1.

B) Sólo H.e) Sólo m.D) Sólo I y H.

E) Sólo' H y Ill.

22) El dominio de la función real dada por la fórmula g(x):=..Jx -1 es .

A) Domg= (XE IR/x>O)

B) Dom'g= {XE IR/x~O}

e) Dom g = {x E IR t x » l ]

D) Domg= (XE IR/x~ 1)

E) Dom g =IR

H) a' + ab + b'

23) El dominio de la función real dada por la fórmula h(x) =..Jx -7 - ,17 - x es

A) .Dom Ir = {x E IR I x ~ 7)

B) Dom h ., (x E IR Ix 5, 7)

e) Dom h = (7)

D) Dom Ir =IRE) Dom h = <Jl

178

JIl) a' - ab + b'

.\~

J~ SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

l' 24) Sean las funciones h : IR ~ IR y f:1R '-7 IR definidas por las fórmulas h(x) = 2x + 5 Y f(x:) = 3x + 11.f,¡l. Entonces .el par ordenado que pertenece a Ir y f es

'.

A) (-6,-7).

B) (1, O)

C) (3, O)

D) (:-6, -1).

E). (-7, -6)

25) Si f: A -?IR, con A = {-2, -1,0,4) está definida por f(x:)el conjunto

x3 - 1, entonces el recorrido de f es.

A) Rec f = {-'l,O, 7, 63 }

B)Recf= {-9, -2, :-1,63}

C) Rec f = {-2, -1, O,4} .

D) Recf= {-8, -1, D, 63}

E) Recf = {-8, O, 1, 64 }

26) Sea la función r .~C " ••• en IR definida por la fórmula f'(x) = ax + 10. Si f(-3) = -2, entonces f(-2) =

A) -3

B) -2

e) -1

D) oE) 2

. '. . T1J)' ) f(n+l} N27) Una función del conjunto N al. conjunto ~ es tal que f(1 =2 y - __ = 3, vn E I . En talcaso f(5) = . . f(n)A) 6

. B)18

e) 54

D) 162

E) 486

179

PSU. Cuaderno de Ejercicios, MatemáticaSEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 13, FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOÚJTO, FUNCIÓN PARTE ENTERA

28) . ¿Es f;1R ---7 IR una función?

(1) El dominio de f es IR(2) El recorri<i~ de f es IR

A) (1) porsí sola

B) (2) por sí sola




29) La expresión

(1) b*2

h(x) = ~ ,con a y b números reales, define una. función de IR en IR si;b -2

CAPÍTULO 12. FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Y FUNCIÓN PARTE ENTERA

Test N" 13: Función afin, función valor absoluto ~ función parte entera

1) El costo de arrendar una casa de veraneo es $15.000 más $22.500 por semana. Una función quepermite calcular el costo de arrendar la casa durante n semanas es

A) C(n) = (15.000 + 22.500) . n

B) C(n) = !(l5.000 + 22.500)n

C) C(n) = 15.000 + 22.500n

D) C(n) = 15.000n + 22.500E) C(n) = 22.500 + 15.00

n2) Un excursionista estima que el tiempo que demora en subir una .colina en una. cierta: región está

dado por T(h) = 2 + _._h_ horas, donde h es la altura de la' colina en metros. ¿Cuál es' la altura. . . 1.600 .

de una colina si demora 4 horas en subiría?

A) 3.200 m

B) 30400 m

C) 3.500 m

D) 4.000 m

. E) 5.200 m

3) Una compañía de t..léfonos cobra mensualmente $7.000 por arriendo de equipos y $45 por mi-nuto en cada llamada. ¿Cuántos minutos usó un consumidor 'cuya cuenta mensual asciende a$26A40? . .

A) 743

B) 622

Cl 532

D) 432

E) 332

4) María José, agente promocional de-una compañía de teatro, gana un salario semanal de US $300. más US $3.por cada entrada que vende. Su salario mensual se puede representar como s = 300 ,. 3n.

Se le ofrece la oportunidad de cambiar su plan salarial. Con el nuevo plan, ganaría un salariosemanal de US $400 más US .$2 por cada entrada que venda.'Su salario semanal con el nuevoplan se puede representar como s = 400 + 2n. ¿Cu'ántasentradas tendría que vender en unasemana para que su salario sea el mismo bajo ambos planes? .

A)B)

C)D)E) .'

140

IDO'

80

502.0

(2) a * O

I

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Arribas juntas, (1) Y (2)


El Se requiere información adicional

30) Se desea conocer el valor de f(3) si f(x.)

(1) feO) = b Y a = 2

(2) f(1) = S Y f(-l) =

ax + b.

Para los aspectos teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e.E.), se recomienda nuestro Manual de PreparaciónP.sy. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006.

181

i

:! A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas; (1) y (2)


Ej. Se requiere información adicional

RESPUESTAS' CORRECTAS

i

\

L

180

PSU. Cuaderno de Ejercidos, Matemática

5) Los biólogos han observado que la frecuencia del canto 'de los grillos de una cierta especie estárelacionada con la temperatura, y la relación parece afín. Un grillo produce 120 sonidos porminuto a 70°F y 168 por minuto a 80°F. La función afín que relaciona la temperatura "t" y elnúmero 'de sonidos por minuto es

A.) f(t) = 75t + 144

B) f(t) =150t + 288

C) f(t) = 24t:"'216, 5

D) f(t) = 144t + 75

E) f(t) = 2l6t -1' 24, 5

6) El señor y la señora Herrera planean instalar un sistema de seguridad en su casa: Han red~cidosus 'opciones a dos compañías de seguridad, Moneywell y Doile. El sistema de Moneywell cuesta$336.000 de instalación y $1.700 semanales. El sistema equivalente en Doile cuesta s610 $226,OQOde instalación, pero su tarifa semanal es de $2.800, Si las tarifas semanales no cambian, ¿dentrode .cuántas semanas se igualarían los costos de ambos sistemas?

A) 10

B-) 20

é) 35

D) 44

El 100

" 7) Un colegio está considerando la compra de uno de dos sistemas 'computacionales. En el sistemaA, el computador principal cuesta US $3,600 y los termina1es US $400 cada uno. En el sistemaB, el computador principal cuesta US $2.400 y los terminales US $600 cada uno. Representandoesta situación con el sistema de ecuaciones .

e = 3.600 + 400n

e = 2.400 + 600n

en que "e" es el costo total y "n" es el número de terminales, ¿Cuál es el número de terminalespara el cual ambos sistemas cuestan lo mismo? '

A) <}

B) 8

lI q 7¡i·'1,

D) 6

E) 5

/

~~ i'-'"--'

182.

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W t 3. FUNCIÓN AFÍN. FUNCIÓN V ALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA

(..,

si En una cierta ciudad se puede arrendar un automóvil pagando $1.000 más $75 por kilómetrorecorrido. La función que permite calcular el costo, en pesos, de arrendar un auto por un día, sise recorren x kilómetros es

A) f(x) = 1.000x + 75x

B) f(x) = 75x - 1.000

C) f(x) =1.000 + 75x

D) f(x) = 75x - 1.000

(l.OOO)x'

E) f(x) = ""75

9) El punto donde el gráfico de f(X)=-~X+() intersectaal eje X es

A) (O, 6)

B) (16, O)

C) (6, O)

D) (O, 16)

E) (-%, 6)l O) L(x) es una funci i aíín con Lf-í)

sistema

{4a+b =2A)

2a+2b =-1

B)¡2;+b.4

--a+b=l2

C){"+4b=,2

a+b=--2

{ a+4b=2D) " ,

2a-2b=-1

¡±>+4b=2EJ.¡

a+b=--2

12 Y L(l) = --, Para encontrar Líx) podemos resolver.el2

183

¡¡-- ,j


11) El curso de Francisca quiere juntar dinero para su viaje de estudios, Tienen.la idea de hacer unperiódico semanal, y averiguan que si se hacen "n" periódicos, el costo por semanario vienedado por la fórmula:

C=2 (40 + 10,~)

dondeC = costo y n =' número de periódicos. ¿Cuál es el costo de cada periódico, si decidenimprimir 500 ejemplares?

A) $80

B) $100

C) $UO

D) $120

E) $130

12) El punto de, intersección de las rectas de ecuación x = -3 e y = 7 es

A) (4, -ID)

E) (3, -7)

C) (-3,7)

D) (7, -3)

E) (-7, -3)13) Si E(x) es la función "Parte Entera" que asigna a cada a número real x él mayor número entero

que es menor o igual que x, entonces, '¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempreverdadera(s)? .

1) VXE IR:E(~) = E;X)

Il) VnEZ:E(n) = n

1Il) E(-1,5) = -1

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D)Sólo 1y II

E) Sólo II ym14) Si E(x) es la función Parte Entera, ¿cuál de las proposiciones siguientes es falsa?

, ,A) -E(O) = O

B) E(5) - E(4) = 1

CJ. E(l,72) - E(I) = 0,72

. E(2,5) 1D) E(2) =

E) E(- 1,34) = - 2

184

::¡{ SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 13, FUNCIÓN AFIN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO, FUNCIÓN PAR TE' ENTERA

Paula y Mónica comienzan su recorrido cuando se encuentran a cierta distancia de un pueblo. Elgráfico muestra el movimiento de sus autos, donde d representa la distancia de los autos al pue-blo y t el tiempo que llevan de -viaje,

A partir de la información del gráfico,

15)

se puede afirmar que:

"

d(km)

250

200

, ,150

100

50

Paula

$

. 800

A) $200 600, E B) $300

400. C) $400

D) $510 200

E) $600

Mónica

,2 t(hr)

A) ambas recorreri ISO km en una hora.

B) en una hora de viaje, los dos autos alcanzan la misma velocidad.

C) el auto de Paula va más rápido que el de Mónica durante todo el viaje.

D)ambos autos recorren la misma distancia hasta el final del viaje

E) el auto de Mónica es más antiguo que el, de Paula..

16) En la recepciónde encomiendas de la oficina de correos de-cierta ciudad disponen de gráficos comoel siguiente para e " ular el costo de envío .de encomiendas, ¿Cuál es el precio de una 'encomiendaque pesa 425 gramos'?

17) El conjunto de la(s} solución(es) de la ecuación I -3¡¡ I = 36, es

A) {12}

B) {'::'12, 12}

C) 0

D) IR

E) " {-12}

100' 300 500 . .gramos

185,

X t: 1C) c= -(25+s)

50

D) e = 25s + 0,.02

E) e = (25 +- D,D2)s

P'Sll, Cuaderno de Ejercicios, Matemática

l8).El gráfico siguiente podría corresponder al- de la función:y

,t{;j

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 13, FUNCIÓN AFíN. FUNCIÓN V ALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA

A) f(x:) = - I 2x I

B) f(x) =3 -Ix + 2 I

C) f(x) = 3 + I x . ..;. 2 I

D) f(x) = -2 + I x - 3 I

E) f(x) = -2 + 1x + 3 I

23) La comisión c de un corredor de bolsa' es de US$25 más 2%' del valor de la venta, -s; por lo tanto,su comisión es. una función de las ventas que está dada por la ecuación

A) e = 25 + D,D2s

B) e = 25.+ 2s

24) La ganancia semanal p de una pista para patinaje sobre hielo es una función del número depatinadores po: semana,. n. La función que aproxima la ganancia es

p = f(n) = 8n - 60.0, para .O ~ n ~ 4.0.0

Si una semana la ganancia fue 1..080, ¿cuántos fueron los .patinádores en esa semana?

A) 8 ..04.0B) 4 ..02.0

e) 21.0

D) 6Ó

E) 5.0_

25) El largo de un rectángulo es el doble del ancho, La función que permite calcular el perímetro delrectángulo si' se' conoce su ancho x es

A) f'(x) = 2x

B) f(x) = 4x

C) f(x) = 6x

D) f(x) ~ 8x

E) f'(x) = IOx

26) ¿Cuál de las funciones siguientes corresponde a una función afín?

A) f = ( (-1, 1), (.O, O). (1, l)}

B) f = { r-i, 1), (.0,2), (1, 4»)

e) f = f (..;.1, 1), (.0,2), (1, 3»)

D) f = ( (_1, 1), (D~ 1), (1, 2»)

E) f = ( (-1, 1), (.0,3), (1, 6»)

.O

. '27) Si f(x) = 2x ya> .O, entonces el perímetro del triángulo rectángulo sombreado de la

A13a

B) 6a

figura es

19) ¿euál(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdaderaís) para todo número real x?

I)N= x

II) Ixl =N

Ill) 12-x I ~ ~(X_2)2

A)S610 1

E) Sólo II

e) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo II y III

2.0) Los gráficos de las funciones f(x) = l x l - 1, .; g(x) 2. se intersectan en el(los) punto(s):

yf(x)

A) (3, .O)

E) (-3, .O)

e) (-3, 2) Y (3, 2)

D) (2• .O) Y (3, .O)

E)' (-2, 2) Y (2, 2)

21) ¿En cuál de las siguientes alternativas, las variables tienen una relación definida por.una funciónlineal? . '.

Volumen de una esfera H Radio de la esfera

Diagonal de un cuadrado H Lado del cuadrado

Volumen de un cilindro H .Radio de la base del cilindro

Area de un cuadrado ·H Lado del cuadrado

Área de un 'círculo H Radio del círculo

A)

E).

C)

D)

E)

22) ¿Cuál de las afirmaciones siguientes. es verdadera respecto de la función valor absoluto?

A) Su dominio es el conjunto de los números reales no negativos.

B) Su recorrido es el conjunto de los números reales.

C)' Es una función decreciente en todo su dominio.

D) Es una función de segundo grado.

E) Tiene un mínimo valor.

186.

e) 3a(1 + J5)

D) a(3 ~ J5)

x.E) 3a + J5

. ,187

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Mille~tica

28) ¿Es la función f lineal?

'( 1) SU gráfico es una recta con pendiente positiva que pasa por el origen.

(2) Su gráfico pasa por los puntos P(-2,0) y Q(0,5).

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

el Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una, por sí 'sola, (1) ó (2)

E) Se requiere informacióu adicional

29) Ixl =

(1) R= 3

(2) I xl' = 9

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2}

D) Cada una por sí sola, (1) ó(2)

E) Se, requiere información adicional'

30) La parte entera del número entero x (Eíxj), se puede determinar si se sabe q~e:

(1) ,...3~ xc O,

(2) x' = 4.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por si sola, (1) ó (2)


I i;1

1RESPUESTAS CORRECTAS

;¡¡.;.

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA~,-------------------------~~~~~~~~~~~~~~~==~~

¡.

CAPÍTULO 13. FUNCIÓN CUADRÁ "rICATest N°, 14: Función cuadrática

1) ¿Cuál/es) de las siguientes funciones estson) cuadrática(s)?

1) f(x) = (1-x)(x+3)

lI) g(x)=5-3x-x'

IU) h(x)x3-3x2+2x+l

~x

Al S6lo

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

,E) S610 1 ,y III

,2) ¿Cual(es) de las gráficas siguientes corresponde(n) a función(es)'de segundo grado en la variable x?

,III)

x-6 -4, ~2 o 2 4 6

-2

-4

188

1)

,'6 -4

189

I1) ,. L

" -6 -4 ,-2~

4'

-2

'-4

Al Sólo 1

B) Sólo II

C) S610 1 y II

D) S610 1 Y III'

E) I,n y III

1

1

1: 1. .~l

itil'

¡Iti

~I

f!t,t

PSU. Cuaderno de' Ejercicios, Matemática

3) El gráfico de la función f(x) = x2 - X -6, intersecta al eje Y en el(los) puntots) de coordenada(s):

A) (O, 6)

B) (3, O) Y (-2, O)

e) (-6, O)

D) (O,-6)

. (1 o). E) 2'

4)· ¿euál(es) de los siguientes puntos pertenecem) ál gráfic~ de la función f(x) = _x2 +1?

l) (0,1) II) (1,0) rnl( -1, O) ,

A)Só~o l

B)Sólo TI

e) Sólo l y II

D) Sólo 1 y ID

E) r, II Y ~TI

5) ¿euál(es) de las siguientes relaciones está(n) dada(s) por una [unción cuadrática?

1) Diagonal de un cuadrado y ·el área del mismo.

II) Lado de un triángulo equilátero y área: del ITÚSffiO.

III) Superficie de un cubo y volumen del mismo.

A} Sólo I

B) Sólo TI

e) Sólo IDD) Sólo l y II

E) Sólo l y ID

6) El vértice de la parábola cuya ecuación es y=-2x2+4x+10 ·es el punto de coordenadas

A) (1,0)

B) (1,10)

C) (1;12)

D) (-I+F6,-I-F6)

E) (-1,4)

190

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 14. FUNCIÓN CUADRÁTICA-J;

r",:'

7) La ecuación del eje de simetría de la parábola y= 3 (x - sf +2 es

A) x-3';'0

B) x-5=0

e) x-2=0

D) x+3~0

E) x+5 =0

8) El vértice de la parábola y = -(x + 1)2 -2 es el punto de coordenadas

A) (-1,-2)

B) (1,-2)

e) (-1,2)

D) (1,2)

E) (-2,-1)

9) .Respecto del gráfico de la: función f(x) = x2 +4x+ 1, es correcto afirmar que:

1) tiene un mínimo valor en el punto. de abscisa -2.

II) es simétrico respecto de la recta de ecuación y = -2 .

ID) intersecta al eje Y en el punto de coordenadas .(0,1).

A) Sólo 1

B) Sólo II

e) Sólo III

D) Sólo 1 Y TI

E) Sólo 1 Y III

10)· Si el vértice de la parábola de ecuación f(x) = x2 + kx +36 es un punto del eje X, entonces el(los)'. valorfes) de k es(son)

A) ±4

B) ±6

e) 9.

D) ±12E) 36 -'---,----

191


ii..

r· iIi ;

ilIU

11) El gráfico de la función [(x)

A)

5 - 2x - x2 es

D)

A) Sólo 1·3 ·6 -4 -¡ -,f 2 \4 • S • I , B) Sólo II

.a -6 -4 -, lo '<./4 6 s'l I C) Sólo ID

l D) Sólo 1 y IIIB) E)El . l.:II Y III

-8 -6 -4

1\ I ~I 1-" -6 -4

e)

,r C\ s.-K -ú ' -4 -2

12) Una función cuya gráfica tiene la misma forma de la gráfica de y=2x2 es

1

11

h fi

j.,

¡ll'

A~ y=-2x2

1 zB) Y=2x

e)y=x'+2

D) y=-2(x+I(1-3

E) y=2(x-I)2+3

19,2

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA

.I~'¡.. 13) ¿euál(es) de las siguientes afirmaciones relativas a la función f(x) = 2x2 +12x+ 16 es(son)verdaderats)?

1) Tiene un máximo .valor en el punto (-3, -2),

II) Su dominio es el conjunto de los números reales (IR).ID) Su recorrido es el conjunto de los números reales menores o iguales que -2.

14) Si la ecuación de una parábola es y=3-2x-3x'. entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)?

1) La parábola corta sólo uno de los ejes coordenados.

Ii) La parábola corta ambos ejes coordenados,

ID) La parábola corta al eje X en dos. puntos distintos.A) Sólo 1

B) Sólo II,'

e) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo II y ID

15) Un intervalo en el cual la función dada por f(x)= _x2 + 8x- 3 es estrictamente creciente es

'A) ]-'00,13[

B) ]-4,+oo[

e) ]4, +00[

D) ]-"",4[

E) ]-00,-4[

,16) '¿Cuál debe ser elvalor de k para que la parábola y=x2 +kx+S tenga su vértice en el pu~to, (2,:-1)?

A) ~6B) -4e) -3

D) 2E) 4

193


17l La ecuación de la parábola que tiene la misma forma que y = x' pero con vértice en (-3,2) es

Al y=-3x2 +2

.B) Y=(X-3)2+2

Cl Y=(X-3)2-'2

D) Y=(X+3)2_2

El Y=(X+3)2 +2

18l Si se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ésta sube hasta un cierto punto y luego empieza acaer. La relación que existe entre el tiempo t, en segundos, que la piedra lleva en el aire cuando se

encuentra a una altura y, viene dada por la fórmula y = -5e + 20t + 10. ¿Cuándo alcanzará el punto

más alto?

Al A los 0,5 segundos. '

B) A 1 segundo.

C) A los 1,5 segundos.

Dl A los 2 segundos.

El A los 5 segundos.

19l Al hacer un estudio de mercado de relojes con teléfono incorporado, una compañía finlandesa obtuvolas siguientes funciones de ofertay demanda de dicho producto en función de su precio:

1 z 2 2demanda: y=--x +7.000.000 oferta: y=-x5 ~

siendo x el precio de un reloj-teléfono, en UM (unidades monetarias) y la cantidad de relojes-teléfono que se demandan o se ofrecen en un año. ¿A qué precio, en unidades monetarias (UMl sedeberían vender los relojes-teléfono para que la demanda iguale a la oferta?

Al 7.000

Bl 6.500

Cl 6.000

D) 5.500

El 5.000

20l De entre todos los rectángulos' que tienen un perímetro de 20 cm, el de mayor área tiene dimensiones:

Al 1 cm y 9 cni

.Bl 2 cm y 8 cm

C) 3 cm y 7 cm

D) 4 cm y 6 cm.

E) 5 cm y 5 cm

194

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 14, FUNCIÓN CUADRÁTICA

21) ¿Cuál de los siguientes podría ser el gráfico de la función que expresa la relación entre el cateto de untriángulo rectángulo isósceles y el área del triángulo?

. .

Al 2l)i .............j •••••••••••••••• / •••••••• ) ••••••••••••••••••

B)2tX ..:...... !.....

"."'"'"

,x

! I .O :1 :2 !3 O !1 :2 !3

Dl4Y..

, 1+- ..·.....¡. .... ···.. ~····· ........ ·4...... · .......... ¡...... .........

xI I ,!2 '!3 O ! 1 !2 !3

x

x

El 2+< L .

x

! 1 :2 !3O

22) Se arroja una pelota desde el suelo y la altura, en metros, viene dada por y = ~5t' + 1al, siendo t el

tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

Al 10 m

B) 7,5 m

C) 5m

r» 2,5 m

E) 1m

195


23) La ecuación de la parábola que tiene vértice en el punto (2, 3) y que pasa por el punto (3, 5) es

A) y=2x2-:-8x,+1l

B) y=2x2+8x+1I

C) y=-2x2 -8x+1l

D) y'=-2x2+8x-ll

E) y= 2x2 +8x-ll

24) . La efecti vidad de un comercial en televisión depende de cuántas veces lo ve un espectador. Despuésde algunos experimentos.. una agencia de publicidad ·determinó que si la efectividad E se mide en unaescala del O al 10, entonces

2 1 . 2-nE(n) = 3n - 90

donde n es el número de veces que un espectador ve un cierto comercial, Para que éste tenga unaefectividad máxima, ¿cuántas· veces deberá verlo ·un espectador?

A) 60

E) 50

C) 40

D) 30

E) 20

25). Dos números cuya suma es -24 y cuyo producto es máximo son

A) ~36 Y 12

El -24 Y O

C) ~14 Y -10

D) -12 Y -12

El -6 y -18

26) Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 cm de ancho. ¿Cuál. es la medida x para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canalera de máxima capacidad?

Al 7,5 cm

. Bl 10cm 1<-30-"¡

~¡ C) 12,5 cm

,,.~,,

D) 15 cm ,, •,El 17',5 cm

,. ,,,,ty=

x

196

I .. .__.__---_.

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 14, FUNCIÓN CUADRÁTICA

,~ 27) El valor máximo de la funciónf (x) = 3 + 4x' - x" es¡:A) 6

B) 7

C) 8D) 10

E) 12

28) ¿Es f(x) una función cuadrática?

(1) El gráfico ·de f(x) tiene dos intersecciones con el eje X.

. (2) El gráfico de f(x) tiene simetría respecto del eje Y.A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)



29) La altura de 'una pelota en vuelo está dada por h(t) = At -.Et2 , con t > O. Poderrios determinar laaltura máxima que alcanza la pelota si se conoce que:

(1) El' gráfico de h(t) es simétrico respecto de la recta cuya ecuación es t = 5.

(2) h(l) ='18.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).;


3 O) Se puede determinar la ecuación de una parábola' de la forma f (x) = ax2 + bx + e, si se sabe que:

(1) Pasa por los puntos (0,0) y (8,0)

(2) Tiene un mínimo valor en e¡"punto (4,~12)

A) (i) por sí .sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (l) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 6(2)



CAPÍTULO 14. ECUACIÓN eUADRÁTJ(~ATest N° 15: Ecuación cuadrática

1) ¿euál(es) de las siguientes ecuaciones es(son) de segundo grado en la incógnita «x»?

1) (x+1)' =(x2+7)(x+l)

H) (2X_S)2 =(2X+S)(2x-S)

ID) (2x +il)( x -a) = 2x(2x -a) - x2

A) Sólo l.

B) Sólo 1 y H.

e) Sólo TI ,y III.

D) Sólo 1 y ID.

E) 1, H Y III.

2) La solución de la ecuación x2 + 16 = 2S es x =

A) -3

B)' 3

e) -9

D) 9

E) -3 Y 3 .

3), El c?njunto solución de la ecuación ,_4x2 = -64 es

A) {16}

B) {-4}'

C) {4}

D) {-4, 4 }

E) {-2, 2 }

4) El valor de k requerido para que x= -1 sea solución de la ecuación x2_ 2kx = k + x es

A) -2,

2

3B)

e) o2

3

2

D)

E)

198

SEGUNDO EJE TEMÁTICO f Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

S) D d 1 "a+b X ° b 'al' .a a a ecuacion ------= ,en que a y representan numeros re es pOSItIVOS,entonces la(s)x a+b '

solución(es) para x es(son):

A) O'

B) a+ b

e) -(a + ti)

D) a- b

E) ±(a + b)

6) Si x2, - 8x = O, entonces xA) O Y 8 .

B) 2 Y 4

e) '-8 y 8D) O Y -8

E) -8 Y 8

7) Si (x - 6)(x + 8) = O, entonces x

A) -6 Y 8

B) -6 Y -8

e) 6 y 8

D) 6 y-8

E) Sólo 6

8) En la ecuación x2 + 99 x - 100

A) -100

B) -99

10099

D) 99

E) 100

C)

O, la suma de sus raíces (o soluciones) es

9) El valor de «m» en la ecuación x' -r- 3x = m para ,que la diferencia de las raíces sea 2, 'debe ser

A) -1,2S

B) 0,2S

e) O,S

D) 2E) 2,S

199

.~ ..

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática'

i!.

: Ii,~,

10) La suma de las raíces de la ecuación = 1 valex-a x+b

A) a - b

B) b - a:1i! a

C)b

~1¡.1

1,

D) ea

E)-ab

.111) Sean x, T X2 las raíces de la ecuación x2, + 36 = px . Para que se cumpla la condición x,

el parámetro «p» debe valer

i ¡, II !,

A) -4'B) -2

e) oD) 2

E) 6¡'

12) En la ecuación 2x2-5x + 4(k-2) = O, para que una de las raíces sea igual al valor recíproco

de la otra, k debe ser igu,al a

A) O

B) 2

C) 2,5

D) 3

E) Ninguna 'de las anteriores.

13) ¿Qué valor debe tener «m» en la ecuación mx' + x + (3m 2)'=0 para que sus raíces sean

inversas multiplicativas lá una de la otra?'

A) ,1

B)23

C)32

D) 23

3E)-2

200

-x2,

I!J.

¡\ SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

¡'4) ¿Qué valor debe tener «p» en la: ecuación x'-(2p - 1) x + p2 = O para que sus raíces difieran

en la unidad?

A)

B)e)

-1

O

O) 14

E) 4

, 15) Sia y ~ son las raíces de la ecuación ax2 + bx + e = O , el valor de a2 [3. + a ~2, es. '

bA)

e

B)bc

~

C)be

2'a

O) ab2

,'e

eE)

b

16) Si x, y x2 son las raíces de' x' - 7x = 3, entonces el valor de (x, + 1)( x2 + 1)

A) , -3

B) , 1C) 4

D) 5

E) 7

17) Los valores de k para los cuales la ecuación 2x 2 - kx + .x + 8 = O tiene raíces reales: e iguales son

A) 9 Y -7

B) solamente '-7

C) 9 Y 7

O) -9 Y -7E) solamente 9

~"

l•., 201

1

·PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

18) Si XI 'y X2 son las raíces de' 3X2 - 10x + 5 O, entonces el valor de la expresión

_X~I_ + 2L- .XI - 1 x

2_ 1 es Igual a

A)103

B) 12

e) O

D) 53

I!. E) 103

.' . .19) El valor de k para que la ecuación x2-8x + 2(k-2) = O , tenga una sola raíz real es'

A)-3

B) 2

C) 4D) 6E) 10

20) El discriminante de la ecuación x2+2.J3x+3=0 es cero, entonces sus raíces son

A) reales. e iguales.

B) racionales e iguales.

e) racionales y distintas.

D) irracionales y distintas.

E) números no reales.

21) Un valor de k para que la ecuación x2+(k+4)x+16=0 lt?nga una sola raíz real es

A) -4

B) Oe) 3

D) 4

E) 12

202

.,ti

SEGUNDO EJE TEMkTICO I Test N" 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

22) Si las raíces de una ecuación cuadrática son x, = X, = ~, entonces ella es2

2 !. 1A) X -¡x-¡=O

B) 4X2+x+-l e O

e) (x+~J=0

D) 1+4x-x'=O

E) 4x2.-4x+l=0

23) Si XI' Y x2' son las raíces de la ecuáción x2-2x+3=0, ¿cuál es la ecuación cuyas raíces son. ~

. 1Y -?

x2

A) 3x2-2¡¡:+1=O

B) '1+2x-3x2=O

C) 3x2+2x+l=O.

D) 3x2+2x-l=O


24) Si a yb son números reales tales que b2:0, la ecuación cuadrática cuyas raíces son a+.Jb y

a-Jb, es

A) a2x2 - b = O

B) (x-a)'=b

e) x2 +(b-a2)x+2a=0

D) x2 -(2a+b)x+a' =0.

E) b2x' -a =0

25) En la' ecuación bicuadrada x" -5x2 +4 =: O, los valores de x son

A) ±5, ±4

B) ±4, ±2 .

e) ±4, ±1

D) ±3, ±!

E) ±2, ±!

203

,¡s:. __ __o .._ .'__.__..._

·psu. Cuaderno de Ejercidos, Matemática.

26) La(s) solución(es) de la ecuación x'+a=x+a', donde «a" es un número real cualquiera, es (son)

1) a II) o IIl) l-a

AY Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo 1 y III

27) Las raíces de la ecuación x' - 2x = O se 'pueden obtener gráficamente hallando las abscisas de los, puntos de intersección de cada uno de los siguientes pares de ecuaciones, excepto el par

A) y=x', y=2x

B) y= x2-2x, y = O

'C) y = x; y = x - 2

D) Y = x2-2x + 1 , Y = 1

E) y=x2-1. y=2x~1

28) Se pueden determinar las raíces de la ecuación'2x'+kx-15 = O si se sabe que:,

(1) (2,7) es un punto del gráficode y=2x' +kX-15

(2) Su producto,es -1;5.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D)Cada una por sísola,(1) ó (2)


29) Si a, b y c son ~úineros rea~es, con a '" O, ¿son números reales las 'raíces de la ecuación ax" + bx + e = O?

(1) b' -4ac ¿ O

(2) El gráfico de f'(x) == ax2 + bx + e intersecta al eje X en dos puntos distintos.

AY (1) por sí sola

B) (2) por sí' sola


D) Cada una por sí sola, el) ó (2)


204

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

3'0) Se puede determinar el área de un triángulo rectángulo si se sabe que:

(1) Su hipotenusa mide 13 cm,

(2) La' diferencia de las longitudes de los catetos es 7' cm.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó(2)


205

11

PSU_ Cuaderno de Ejercidos, Matemática

CAPÍTULO 15. FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICATest N° 16: Funciones potencia, exponencial y logarítmica

1); ¿euál(es) de las siguientes funciones correspondem) a función(es) potencia?

1) f(x) = 32

II) h(x) = (Ji)'1lI) p(x) = X'

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y. II

E) Sólo 1 y m2) Si V(x) es la función que permite calcular el volumen de un cubo en términos de su arista,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdaderaís)?

'1) El dominio de la función es el conjunto de los núineros reales positivos (IR').

'Il) El recorrido de la función es to~o el conjunto de los números reales (IR).

TII) El' gráfico de la función tiene simetría respecto del origen del sistema «0,0)).

A) Sólo 1

B) Sólo 1 y II

e) Sólo' I y III

D) Sólo II y III "-

E) I,II Y III3) Si n E IN Y n es par, entonces ¿cuáLde las siguientes afirmaciones relativas a la función f(x) = x" es'

falsa?

A) El dominio de f es IR

B) El recorrido de f es IR+ v {O}

C) El gráfico de f tiene un mínimo valor

D) El gráfico de f tiene simetría respecto al eje Y

E) 'lfXEIR: fe-x) = -f(x)4) Si en la figura se tieneel gráfico de una función del tipo f(x) = ax", ¿cuál(es) dejas siguientes

proposiciones 'estson)' siempre verdadera(s)?

1) a < O.

II)

III)

A)

B)

e)D)E)

n es par mayor que 2.

a E Z.

Sóio .I

Sólo, II I.-6 '-4 -~(J\ 2

4 '6

Sólo 1 y II

Sólo 1 y III 1 1-4Sólo II y III

206

A)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOOARíTMICA

,~

5) Si el gráfico de la figura es el de la función y = x'" entonces ¿cuál de las alternativas muestra el'

gráfico de y = <Jx ?

6) La figura muestra los gráficos de las funciones potencia: f(x) = x", g(x) = x" y¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1) n < m < p.

11) n, m y p son números enteros impares.

I1I) ID - n:= p - m = 1.

A) Sólo 1

B) Sólo rrC) Sólo III

D) Sólo 1 y III

E) Sólo 1 y Il

B)

C)y,.

207

~ D) y

E)y

h(x) = xp.

0.5 '.¡,5 ·0.5.¡ ¡.s .-0.5

.¡,

-1,5


7) ¿Cuál de las siguientes funciones podría corresponder al gráfico de la figura?

A) f(x) = (x + 3)'

B) f(x) '" -3x3

C) f(x) = -:ifX - 3 .

D) f(x) = x3 + 3

E) f(x) = 3x3

I . 6

UA

t·0 x

·6 -4 -2 O 2 4 6

-2

j

8) Si f(x) = x' y

AY a + b

B) la + bl

C) (a+b)'f

D) '(a + b):'

g(x) = ~, entonces si a y b son números reales cualesquiera f(g(a + b) =

E) x'·~a+b

9) El(los) puntots) de intersección de la función y = x3- 9x con el eje X;e$(son):

1) (O, O) U) (3, O) IlI) (-3, O)

A) Sólo .. 1

B) Sólo 1 y U

. C) Sólo 1 y. III

D) Sólo U y mE) 1, II Y III

10) Una caja de cartón tiene una base cuadrada de lado x cm. Si la longitud total de las 12 aristas dela caja es 144 cm, entonces el volumen ·de la caja está. dado por la función

A) V(x) = x3

B) V(x) = 18x3

C) V(x) =36x' -' x3

D) V(x) = 36x' -; 2x3.

E) V(x) = 12x3

11) ¿Cuá1(es) de las siguientes funciones' és(son) exponencialfes)? .

, 1I) f(x) = 5'-' IlI) f(x) = (J2)'1) f(x) = x-

Al Sólo 1

B) Sólo U

C) Sólo III

D) Sólo II y m-E) 1,U Ym

208

'.~)

:~ SEGUNDO EJE TEMÁTICO ITest W 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA

12) Se dispone de una cartulina de 1 mm de grosor .que se puede doblar sucesivamente de modo quecada doblez se hace sobre el anterior. ¿Cuál es la función que expresa la relación entre.Ia alturadel papel doblado y el número de dobleces?

A) f(x) = 2x

B) f(x) = 2'

C) f(x) = 2'-1

D) f(x) = 2'- 1

. E) f'(x) = 2'+1 .

13) Si f(x)·=a' corresponde a una [unción exponencial, entonces ¿cuál(es) de las siguientesproposiciones debe(n) cumplirse siempre?

1) a es un número real cualquiera.

Il) El dominio de f es todo el conjunto de los números reales oro.IlI) El recorrido de f es el conjunto de los números reales' positivos (]R').

A) Sólo 1

By Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y TiE) Sólo II y III

14) El gráfico de la figura corresponde mejor al de la función'

Al' f(x) = 2x + 1

B) [(x) = x' + 1

e) . [(x) '" 3'

D) [(x) =GJE) [(x) = 1-'

-4 ·2

A) f(x) = .500 . 3'

B) [(x) = 500 . 3-'

C) [(x) = 500 . 3"'"

D) f(x) = 3s&l

3'E) f(x) = 500

15) Un científico pone en un recipiente 500 bacterias de un cierto tipo cuya población se triplicacada una hora. Si x representa el tiempo, en horas, transcurrido, la función que permite determinarel número' de bacterias presentes en el cultivo al cabo de x horas es

209

I!¡

i

I\"

J

t ,


16) Una pareja de 'conejos se deja en una isla, en condiciones tales que su .número se triplica cada.ómeses. ¿Cuál es la función que representa el número de conejos (y) después de 'transcurridos "x"años? .

fea)f(b)

~.

20) ¿eual(es) de las siguientesafirrriaciones relativas a la función f(x)

1) Es decreciente en todo su dominio. ,

II) El gráfico de f pasa por et origen del sistema de coordenadas.

III) El gráfico de' f no corta al eje X.

A) Sólo 1

B) Sólo II

e) Sólo III

D)Sólo 1 y II

El Sólo II y III

22) El dominio de la función f(x) =: log(3x - 1) es

A) ]~, +oo[

B) H ,+ oo[

C) . ]0 , +oo[

D) [-~, + o{

E) IR'

~" SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Tes; N" 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENC1AL y LOGARÍTMICA1{

1 - 2' es(son) verdaderars)?

21) ¿euál(es) de las siguientes características relativas a la función logarítrnica f(x) '= log.(x), siendo«b» un número real positivo distinto de uno, es(son) siempre .verdadera(s)?

'1) Si log.(x) = 16gb(y) entonces x = y.

II) Los logaritmos de números negativos son negativos.

I1I) f(b') = x.

A) Sólo 1

B) Sólo II

e) Sólo III

D) Sólo 1 y 11

E) Sólo 1 y III

211

A) Y = 2 ,3"

B) Y = 2, 3'

C) Y = 2 . 3t

D) Y = 62' .

E} Y = 12x17) Una persona planifica su entrenamiento para una maratón del siguiente' modo: correrá:cadadía el

. doble de lo que corrió el día' anterior. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el númerode metros que corre el día x, si el primer. día corrió 1.000 metros?

A) 1.000' 2(x - 1)'

B) 1.000, 2'<

·.e) 1.000, 2'-1

D) 1.000, 2'·1

'E) 1.000· 2x

i8) Un cierto tipo de bacteria es .tal que se duplica cada 10 horas. Si en un cultivo se deja una deestas bacterias, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) veidact'er¡¡(s)7.

1) En 10 días habrá 2'4 bacterias.

II) Transcurridas 20 horas habrá 4 bacterias.

III) .En 2n días el número de bacterias será 2'.

A) Sólo

B} Sólo 1 y II

e) Sólo 1 y III

D) Sólo II y III

E) 1, II Y III

19) Dada la función exponencial f(x) =(~J¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)

córrecta(s)?

1) f(":"u) = (f(U»-I. IJ) f(m + n) = f(m) , f(n) IlI) f(~JA) Sólo 1 y II

B) Sólo 1 y III

e) Sólo II y mD) 1, ti y III

E) Ninguna de las tres

210


A)

23) Si la base b es un número real positivo mayor que 1, ¿cuál de los siguientes corresponde algráfico de, y = 3 + 10gb(X- 2)?

D)

~ 4 ~ ~r 2 46' \

1~ 4 ~ ~ 2

~¡,1'· I ~t I' I I 44 I I 26)

B) ,1 t,v'

x

-6 4 O 2 4 6

, -2

4

C) y .,.¡

2

x-6, -4 -2 O 2 4 6 '

-2

-4

E), .. y

4

2

x

-6, 4 ' -2 O 4 6

-2

'~

4

24) ¿Cuál debe ser el valor de a en el gráfico adjunto para que la' función representada sea f(x) = log,(x)? '

A) 4

B) 2

C)1

D) "4

1E) "2

212

y

O x

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡'Tes, N'16, FUNCIONES POTENCIA. EXPONENCIAL y LOGARfTMlCA

,.1

125) Para' que la función f(x) = a', de base real,' corresponda a una función exponencial, 'debe ocurrir que:

(1) "a" debe ser real, positiva

(2) a ~ 1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




Para que la función f(x) = log.(x), de base real, y con argumento positivo x, corresponda a unafunción logarítmica, debe ocurrir que:

(1) "a" debe ser real positiva

(2) a ~ I

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

.ci Ambas juntas, (1) y (2)



i:_ •

Dada la ecuación Iogarítmica 10g( x: 9)

incógnita x satisface la(s) condición(es)

(1) x + 9 > O

(2) x> O

'A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

el Ambas juntas, (1) y (2)


E), Se requiere' información adicional'

28) Sabiendo que lag 10 = lag 'ioo. entonces la igualdad anterior tiene lugar si y sólo si, la relación:\ y.. .entre las bases x e y es:

27) log(x +9) + log (x), ella se satisface si y sólo si, la:

1

'

, ,

11"

(1) Y = 2x

(2) y = x2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e). Ambas juntas, (1) y (2)

D) "Cada una por sí sola, (1), ó (2)

E) Se requiere 'información adicional

213

, I '~

,~

IJt~íh1,

~f¡

1~,¡-1:

l~"1I¡

11

.PSU. Cu.aderno·de Ejercicios, Matemática

29) Si X e y son números reales positivos, entonces dada la igualdad 10g(~) = O, ella se satisface si y

s610 si, la relación entre ,x. e y es

(l)x-y=O

(2) ~ == 1Y

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) X (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó'(2)

E) Se requiere información' adicional

30), Da'da la ecuación logarí;mica log(x)=- 10g(~), para resolverla, se transforma en tin'a equivalente

a ella en que la(s) condicióntes) p~ra la incógnita x esíson): '

(l}x>O

(2)1

x==-x ,,'

A) (1) por sí sola

B)(2) por sí sola


D) Cada una por sísola, (1) ó (2)


RESPUEST AS CORRECTAS'

214

:~''.i'

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 17. ECUACIONES IRRACIONALES,

CAPÍTULO 16. ECUACIONES IRRACIONALESTest N° p: Ecuaciones írr-acíonales

\

1) ¿euál(es) de las ecuaciones siguientes es(son) irracional(es)?

I) x + .fi = .fi II) rx+2 = .fiA) Sólo L

B) S610 uC) S610 IlI.

D) Sólo II y III.

E) Sólo, 1 y IIL

2) Si -Fx - 2 = -3, entonces el valor de x es igual a

A) -1B) 1

e) 2

D) 3

E) 43) Si .rx + fi

ID).rx +'.J2 .fi

:J5- , entonces el, valor de x es igual a

A) ,O

B) ,1

e) 5 + 216D) 5 - 216E) Ninguna de las anteriores

4) Si .rx =- -1, entonces ~i(los) valor(es) de x es(son):

A) Solo el+-I

B) Sólo el

C) Ambos -1 y

D) Ni -1 ni l

E) Sin solución para x

5) Si ~ + 1 = O , entonces el(los) valor(es) de x es(son):

A) Sólo el -1

B) Sólo el l

e) Ambos -1 y

D) Ni -1 ni l

E) 'Si n solución para x

215

6) Dada l~ ecuación irracional 5 + ~'= 12. la solución para x es

PSU, Cuadétno-de Ejercicios, Matemática ," SEGUNDO EJE TEMÁTICO/Test N" 17, ECUACIONES IRRACIONALES

f

¡ i,1j"j¡i11¡ I.¡i ij I;~!

A) 1,627

B) 345

C) 343

D) 125

E) ,9

7) La ecuaciónirracional 6 + ~ = 9 admite como solución para x el valor

A), 6,561

B) 6,557

C) 5,267

D} 83

E) 81

8) Dado que 1 - '~ = 1, entonces x

A) -2B) -1

e) oD) 1

E) 2

9) Par~ que ~ = 7 , x debe ser

A) -5311 B) 3

e) 10

D) 13

E) 45

'~l O) Al resolver la ecuación 16 - '3x = 12. resulta x=

A) 24

B) 16

32e) -3

16o) -3

I E) 4II! 216

l

11) Se afirma que la(s) solución(es) de la ecuación x+l=~ es(son)

A) Sólo el -i.

B) Sólo el O

C) Sólo el '1

D) Sólo el' -1 y el O

E) Sólo el O y el 1

12) La(s) solución(es) deja ecuación ~

A) Sólo el O,B) Sólo el

e) Sólo O y

D) Sólo el 2

E) Sólo el I.y el 2

13) Si .J4x2 - 3x ~l

1 - x es(son)

2x 1 , entonces el valor de x es

A) 9

B) 4C) 3D) 2

E)

14) Al resolver la ecuación x221 + ~. se encuentra que su(s) solución(es) es(son)

1) -5 'Ir) 5 IlI) 25A) Sólo

B) Sólo Ir

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo Ir y III

15) Si x » a (siendo aE IR'). entonces la ecuación irracional ~

A) O

B) a(a - 1) ,

C) .a - a2

D) 2a2

E) a(a + 1)

a tiene como solución x =

217

-'-


16) El conjunto solución de la ecuación ~ - ~2(x - 1) o es

A) <\l

B) {O}

C) {~ }

D) {1 }

E) {2}

17) Si ,,/2 + Fx = 2, entonces xA) -2B) -1

e) oD)E) 2

18) Si ,[s-2.J2x-4

A) oB) 2

C) 4D) 8

5E) 2"

1 ,entonces .x

19) Si 16,J45- 12.J1~x - 7

7A) 12E)

48, entonces el valor' de x es

4C)3"

214D} 297

E) Ninguna de las anteriores

218

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 17, ECUACIONES IRRACIONALES

20) La solución de la ecuación ~ = ~,en el conjunto IR, es

5A) x = 2"

B) 2x=-5

C) Sin solución

D) x=OE) Ninguna de las anteriores

21) En IR , la ecuación irracional FxAl -2B) O

e) 2

D) Ningún valor de x


~ se satisface para x

22) La ecuación irracional' x + '~= 7 tiene como solución(es):

1) x =.4 Il) x = 5

A) Sólo 1

B) Sólo Il

e) Sólo III

D) Sólo' 1 Y Il

E) Sólo Il y III

IlI) x=lO

23) La(s) solución(es) de la ecuación EX+l, + "Ix1) O Il) 4

A) Sólo 1

E) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo 1 y III

24) La ecuación irracional .,Jx+22 ,- rx+u = 1condición:

1 es(son):'

IlI) 5

tiene una solución «x. que satisface la

A) O < x < 9"

B) 10' < x< 14'C) el .antecesor de x es un número primo.

D) la ecuación anterior no tiene solucióI\'

E) la ecuación anteriortiene más de una solución.

219


25) .Al resolver la ecuación ~ -'.rx+2, = 1, encontramos que sus r~íces cumplen

alguna(s) de las siguientes condiciones:

1) Son dos números enteros consecutivos.

lt) Ambas raíces son negativas.

Ill) La ecuación propuesta tiene exactamente una sola raíz.

De las afirmaciones, 'anteriores, es(son) verdaderaís): .

A) Sólo 1

B) Sólo nC), Sólo ID.

D)' Sólo 1 r nE) Ninguna. de las 'anteriores.

26) La(s) solucióníes) de la ecuación ~x + ~ - ,~ o es(son):

1) x = O n) -x = 2

A) Sólo

B) Sólo nC) Sólo ID

D) Sólo 1 y II

E) Sólo n y ID

ID) x = 4

27) Una solución para la ecuación 0+ ~ rx+!. es x

A) -1B) O

1

2C)

l¡¡¡1'1j

D)E) 2

28) Si x, a E IR , se cumple que"¡¡ = a si:

l~ (1) x a2 y x ~ O

(2) a ~ O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




ii

l' 220

1" SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 17, ECUACIONES lRRACIONALES

29) En el conjunto IR, la igualdad ¡:; ~. es verdadera si se cumple que:

(1) Ixl = I y I(2) x2' = l

A) (1) por sí sola

B) (2)por sí sola




30) Lit ecuación irracional ¡:; + 2 = x se satisface si:·

(1) x es solución dela ecuación' X. ~ (x - .2)2.(2) x es par

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



B) Se requiere información adicional

221

¡f i


CAPÍTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALESTest N° 18: Ecuacíones exponenciales

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 18, ECUACIONES EXPONENCIALES

fj

27 . 27 ,entonces x

6) Si se sabe que 2x - I

Al [6)

B) [9)

C) [11)

D) [6, 11 )

E) \'l'

7) Dado que 7X- 2

A) -'2

B) O

e) 1

. D) 2

E) 7

8) Si x

A) 3

B) 4

C) 5D) 6

E) 7

9) Si 3x

A)5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

3, Y xn-1

4s , entonces el conjunto solución de esta ecuación es

1,entonces x

243, entonces n

'. 223

1) ¿euál(es) de las ecuaciones siguientes estson) exponencial(es).?

ii:ft,;1¡¡~,

1) x2 = 3

A) Sólo 1.

B) Sólo H.

e) Sólo III.

D). Sólo IIy III.

E) Sólo 1 y n.

2) Si 2n.+ 2 = 128; entonces 2n - I

A) 127

B) 126

C) 64

D) 32

E) 16

3) Si Tn:" 2 = 16! entonces n

A) -2

B) 2

e) 4

D) 6

E) 8

4) Si 3x = 81, entonces x

A) -4

B) -2

C) O

D) 2

E) . 4

II) 2x = 3 III) (-!2)'

.,1,1

,i

5) Sabiendo que 2x + ,2 = 4; eritonces x

A) -2B) -1

C) O

D) 1

E) 2222

rsu. Cua~eni.ode Ejercicios, Matemática

( )

"+ 3

.~ admite como solución a x =27

11) La ecuación exponencial 9-3 x

A) -6

:8)-3e) oD) 3

E) 6

12) Si .10'Y = 25, entonces 10.-Y

1A} -5

1- E) 625

1e) -so1

D) 25

1E) -5

VI VJ 113) Si) '.) =) , entonces el valor de x es

A) -1

B) O

C) 1

D) 2

1E) -

2

14) (0,25)'= 16: entonces x

A) -4

B) -:-2

C) 2

D) 4

E) 16

224I

~:~(.

SEGUNDO EJE TEMÁTICO / Test N" 18, ECUACIONES EXPONENCIALES

1S) El valor de x dado por la ecuación 100'

A) 0,0001

B) 0,001

C) - 0,01

D) .-1

E) -2

0,01 es

16) Dada la ecuación (_I_J'125

253, el valor de x es

A) -6

B) -3e) -2

D) -1

E) 2

17) El valor de x dado por la ecuación (_~)-"'. 7 2.401 . (-7) es

A) -5

B) -4

e) ~3D) 4E) S

. .'~18) En -la ecuación exponericial 4-' ~, el valor de la incógnita x es

2

A) -2

B) -1

. 1e) --

2

1D) -

2

E) 2

19) Si 9' + 2 = 240 + 9", entonces el valor de x es

A) 0,1·

B) 0,2

. C) 0,3

D) OAE) ·0,5

225


(S )0.8X

20) El conjunto solución de la ecuación .¡ 64125

está dado por

~

A){_1:}{ ,2}B) -5

e) r:}D) L~}E) L52}

21) Si 4' = 0,125 Y 125z

verdadera(s)?

.J5, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 18, ECUACIONES EXPONENCIALES

I~\

24) Si a E IR· Y a;rl,e~tonceslasolucióll,delaecuaciónexponencial ax-2 = a2-'es

A) -2B) O

e) I

D) 2

E) a

25) Si «a" es .un número real positivo y distinto de uno, entonces la solución de la ecuación exponencial

a2x - 2 = a3 . a es

A) '-3

B) -1

C) 1

D) 3

5E) '2

26) Si (2n r 2 .(2') , entonces el(los) valor(es) de «n. que satisface(n) la ecuación ariterior es(son)

1) x + Z = -1} H) x + z = -:,I} IIl) x z =. -0,25

A) Sólo I.

B) Sólo H,

e) Sólo IIL

D) Sólo 1 y H.

E) I, Il Y HI.

22) Si 4x _ 4x - 1 ,: 24, entonces (2x r es igual a

A) .J5B) 5.J5C) 25.J5D) 25

E) . 125

13) El valor de x que satisface la ecuación 3x + 3' -1 + 3' - 2 '. + 3x- 3 + 3' - 4 ,= 363 es

A) 1

B) 2

e) 3

D) 4

E) 5

226

1) o Il) 2A) Sólo' 1.

B) Sólo II.

e) SóloIIl.

D) Sólo 1 y !I.

E)' Sólo Il y lII.

ID) 4

27) Si 2x + 4 x = 72, entonces el conjunto solución de esta ecuación es

A) Sil

B) {l}

e) {2}

D) {3}

E) {4}

28) Sabiendo que 10' = 100', entonces para que se cumpla la igualdad anteiior es necesario y bastaque:

(1) y = 2 x

(2) y =x2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




227


29) Se pide hallar el valor numérico de x en la ecuación exponencial a" b. Para ello se sabe que:

(1) a E IR.+ ya*, l

(2) b ~ a

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



. E} Se requiere información adicional

30) Se da-la ecuación exponencial a" == b Y se pide el valor numérico de x. La información de que sedispone para ello es que:

(1) a = 10

(2) b > 10", con n E IN.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




.~SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 19. LOGARITMOS

C~PÍTULO 18. LOGARITMACIÓNTest N· 19: Logaritmos

1) ¿euá1(es) deIas siguientes ecuaciones conduce(n) al concepto de Iogaritrno para el despeje 'delas variables involucradas?

1) 2' = 8 JI) x2 = 9 III) )'+,

A) Sólo 1.

B)' Sólo u.e) Sólo III .

D) Sólo 1 y n.

E) Sólo Iy III.

2) log,(125) =

A)· 2

B) 3

e) 4

D) 5

E) 25

3). Si a, b y l son números reales positivos, .con al menos uno de ellos distinto de Uno, entonces laecuación log, a = e es equivalente a

A) ab = tB) a' =b

e) b' = a

D)b' = eE) lb = a

4) log,o'(1.000.000)

A) 2

B) 3

e) 4

D) 5

E) 6815) log.-

116A) -4

B) -3e) -2D) 2E) 4

.. 229

---=..----_ ...- -


6) logo.ol0,00 1 =

A) -2·

B) -1,5

e) -1

D) -0,5

E) 1,5

7) ¿Cuál es el logaritmo de 3 con respecto a la base 3J3?1

A) 3'

1B) 2

2C)3'

3D) '4

3E) 2

8) log,,, (i.J3)A) -2

B) -1

C) OD)E) 2

9) De las siguientes afirmaciones, es(son) verdaderais):

1) log, 27 = - 3J

1II) log,olOO = 2

11I) log" 7 = 2'A) Sólo' n.B) Sólo 1II y IV.

e) Sólo I y IV.

D) Sólo n. III Y IV.

E) Todas.

IV)1

log'62 ='4

230

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 19, LOGARITMOS

ID) ¿euál(es) de las siguientes igualdades es(son) falsa(s)?

1) loglO2 = 5

4:1I) log" 81 = 3'A) Solo 1.

B) Sólo II y lIl.

e) Sólo 1, III Y IV.

D) Sólo Ir, III Y IV.

E) Sólo IV.

('25 . 625) .11) El valor de íog, -2-.5- es Igual a

A) 3.125

B) 725

C) 7

D) 6

E) '5

12) log,I6 + logJ4lJ7 =

A) 3712

7B) -

4

e) 3-2

4D) -

3

1E) -

6

13) Si log", 16 = ~ log,16, entonces x, x

A) -4B) 0,25

; . . e) 0,5"D) l

E) 16

III) log¡ 56 = - 3

IV) log.¡¡8 = -4

231

PSU. Cuaderna de Ejercicios. Matemática

14) log9· log82log27

. 4A) -

. 3

4B)log -

3

C) log 2

2D) 2log -

3

E) log 3

15) log3- log.J3 =,i

i ~A) IOg(3 - .J3)

¡: 1¡"¡ B) -log3 - 3t : 2I1

H l· ( ",. C) 2:logl2 -, log2íj~:

D) ~log3.J3

'~i"SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 19, LOGARITMOS

18) Sea "a" un número real positivo distinto de uno. Si log. a' .= 2 , entonces x =

·2aA) -

log a

2.

B) ~log a

C) 12

D) 2

.E) .-2

19) En la ecuaciónlog(JO) + log(-x) = O, entonces el valor de x que lasatisfaceesA) 10

B) 9C) 1

1D) -10

1E) ~ 10

20) Si log , (J) = x, logt y 3 .y 10g~(~)=-2, entonces.xyz =

A) -2

B) 3--16

2C) -I9

2D) --

27

E) -~-!i8

21) 1 - 2 lag 2

A) -lag 2

B) 2log 5 -

C)l

D) 1 - log 4

E) 210g 5

233


. . 122) SI Iog, X = 2, log 2 = -

• '2

A) -256

B) -16

1C) --

16

D) 1

E) 16

23) Si log, -fi =m , lag, e7)

. .., 8

A) 75

B) 75,1

'C) 0,03

D) 150-'

E) 0,12

11

,1

ti1

I'1¡I:11.1

:1r :¡,l.

1¡"

,1

24) Si x = log.J3-(I),e ylog - .

3 .

3A) "4B) 6

1C) -

.6

3 log 3D) 2 log 2

3 lag 3E) -:-4 lag 2

. (1) .'25) log 2". + log 4 - 2 =

A) -2 lag 2

B) lag 2

C) lag 0,2

D) log.6,02

E) -lag 2'1

J234

log.¡; G) = z , entonces ~

- 3 Y logt x = 2 , entonces mnx "

(1)log - . =4 entonces x . yIOg(;7)' .

~!. SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N' 19, LOGARITMOSK{

~

J26) log3 - - log '27 - 1 =. 3

A)

B) -lag 10

C) -2 lag 3

D) 2log3 - J

E) O

127) 2log 100 ~ 2" lag, 64 =

A) 0,5

B) 0,4-'

C) 4,5

D) 1,5-'

E) 3,5

28) Si a > 0, ¿es la función f(x) = log a 'x creciente en todo su dominio?

(1) a >

(2) f(8) = 3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se .requiere información adicional

29) ¿Es log, a =' é?

(1) b > Q y b ~ 1

(2) b' = a

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por 'sí sola, (1) 6 (2)

E)· Se requiere información adicional

,.j~

235


30) ¿Corresponde la figura adjunta al gráfico de y = 10g2x?

(1) La curva pasa por él punto de coordenadas (1, O).

(2) La curva de la figura y la curva dey = 2' son simétricas respecto de la recta y = x..'yA) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicionalj ol?/ .~I

236

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

,BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

Segundo Eje Temático:ÁLGEBRA y FUNCIONES

1) Autor: Allendoerfer Car¡'B. y Oakley, CletusTítulo: Fundamentos de Matemáticas Universitarias.Editorial: Ediciones del Castillo. Madrid', 1966.

2) Autor: Allendoerfer Carl B. y Oakley, CletusTítulo: Fundamentos dé Álgebra:Editorial: Editorial Mcflraw-HillvColombia, 1971.

3) Autor: Ayres, FrankTítulo: Álgebra ModernaEditorial: Editorial Mcflraw-Hill. Colombia, 1969.

4) Autor: Ba1dor, J. AurelioTítulo: Álgebra Elemental.Editorial: Compañía Editorial Cultural. Madrid, 1985.

5) Autor: Cano.OmerTítulo: Álgebra: 3° y 4° año de HumanidadesEditorial: Editorial La Salle, Santia,go s/f

6) Autor: Cano,OmerTítulo: Álgebra elemental: 4°, 5° Y 6° año de Hnmanidades

. Editorial: Editorial La Salle. Santiago, slf

7) Autor: Chrystal, GeorgeTítulo: A text book of Algebra.Editorial: _Chelsea Pnb. Nueva York, 1927. (*)

8) Autor: Dolciani, Mary P.Título: Álgebra Moderna: Estructura y Método, LibrosI y n.Editorial: Publicaciones Cultural. México, 1972.

9) Autor: F.G-MTítulo: Exercices d' Algébre,Editorial:' Librairie Armand Marné. París, 1912. (*)

!O) Autor: Hali,H.S.Título: School Algebra.Editorial: McMillan. Londres, 1923. (*)

11) Autor: Hall, H. S. y Knight, S. R.Título: Álgebra elemental.Editorial: Montaner y Simon. España, 1972. (*)

12) Autor: HaÚ, H. S. y Knight, S. R.Título: Álgebra Superior.Editorial: Uteha, México, 1972. (*)

13) Autor: Hue, Th. y N. VagnierTítulo: AlgebreEditorial: Librairie Delagrave, París, 1922.

14) Autor: Lehmann, CharlesTítulo: Álgebra.Editorial: Limusa Wiley, Estados Unidos, 1972.

237

______ ~ CW? ._.__.".~ .. _







20) Autor:__Títl'!O:Editorial:'


22) Autor:Título:.Editorial:

23) Autor: .Título:Editorial:


25) Autor:Título:Editorial: .


27) Autor:Título:Editorial: .


29) Autor:Título:·Editorial:

Lidvinenko, V. y Mordkóvich A: ,Prácticas para resolver problemas matemáticos. Álgebra y Trigonometría.Editorial Mir, Moscú, 1989 .:

Morf C. y Tzaut S.Exercices et problernes d' Algébre, recueil gradué.Librairie F. Rouge & Cie. Librairie de L'Université. Quatrieme edition, 1906. (*)

Proschle, FranciscoÁlgebra: 4°,5° y6° año de HumanidadesSantiago de Chile, 1967

. Ritch, BarnettÁlgebra Elemental Moderna.McGraw-Hill. Colombia, 1971. Colección Schaum.

Robledo Herrera,' AlamiroLecciones· de Álgebra Elemental Moderna,' en tres tomos.Universitaria. Santiago de Chile, 1973.

Rojo, ArmandoÁlgebra.El Ateneo .. Buenos Aires, 1975.

Schons, N. J.Traité d' Algebre.Namur La Procure. París, 1936. (*)

Smith, CharlesA treatise en Álgebra.McMilIan. Londres, 195i (*)

Spiegel, Murray R.Álgebra SuperiorMcGraw-Hill. Colombia, 1971. ColecciónSchaum.

Stahl F. und Meyer F.Algebra. Aufgabensammlung (colección de problemas)Orell Füssli Verlag Zürich. (*)

Une Réunion de ProfesseursCours d' Algebre élémentaire (N° 264 E)Librairie Générale de l'enseigneÍnent libre. París, 1947. (*)

Une Réunion de ProfesseursExercices d' Algebre élémentaire (N° 264 M)Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1947. C*)

Une Réunion. de ProfesseursComplements d' Algebre (N" 263 E)Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1947. (*)

.Une Réunion de ProfesseursComplements d' Algebrc; solutions (N° 263 M)Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1947. (*)

y áñez Bravo, MardoqueoMatemáticasSociedad Imprenta y Litografía Universo. Santiago de Chile, 1918.

238

Contiene una cantidad muy importante de ejercicios y muy bien graduados.

~, ~

1'5U. Cuaderno' de Ejercicios. Matemática

EJERCICIOS RESUELTOSTERCER EJE TEMÁTICO: GEOlVIETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

1) Se tiene un triángulo rectánguloAlsC de lados BC = 3 cm y CA = 4 cm y cuya altura es CD = he'. Se hace giraren 180° en tomo a la altura CD, hacia la derecha, formándose el triángulo B'A'C (rio

dibujado en la figura), En tal caso, la distancia B'B mide

A) 1,8 cm

B) 2,4 cm

C) 3,2 Cm

D) 3,6 cm

E) 4,0 cm

Solución:

~BA D

Al.interpretar el enunciado del problema.iel dibujo correspondiente sería el siguiente:

A~ÁB' D B '

Debido al giro del triánguloABC en tomo a la altura CD, para formar el nuevotriángulo B' A'C, resulta

que /), ABC '= /)"A'B'C. Por lo tanto, al ser BC := B'C, resulta que el triángulo B'BC es isóscelesde baseB'B (que es la distancia pedida), Luego, dicha distancia es igual al doble del segmento DB, yaque la altura CD en el triángulo isósceles B'BC es, al mismo tiempo, transversal de gravedad y, por lotanto, llega al punto medio de la base B'B, El cálculo del segmento DB = P se efectúa con el teoremade Euclides del cateto:

:¡.

ti

,a2, =. c.p

Como a= 3 cm y c. = 5 cm, (triángulo pitagórico clásico), reemplazando los valores numéricosen la fórmula, tendremos que:

32 = 5 p, de donde p ~ = 1,8 cm5

240

Finalmente, la distancia buscada mide B'B 2p 2 • 1,8 cm 3,6 cm

~:A.TERCER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos


En apariencia, este es un problema dificil pero nosotros lo hemos mostrado como un problema accesibley fácil de resolver mediante los recursos de la simetría, tan ímportante ahora en el actual programa deGeometría para la E. M, En Geometría Euclidiana es muy importante el "darse cuenta" de lo queocurre con un ejercicio. Hacer un muy buen dibujo a la manera clásica (eón regla y compás), o conrecursos más reciéntes (mediante alguna herrainienta computacional) también ayuda a que a uno sele ocurrael método para la solución e incluso la solución misma. Aunque también recalcamos que eldibujo no demuestra absolutamente nada. La demostración o solución del mismo debe estar basada enaxiomas, postulados O' teoremas conocidos.

Respuesta correcta: alternativa D

2) En la figura adjunta, tenemos una circunferencia de centro O. Con los datos indicados en ella, el ángulox mide

A) 138°

B) 107°

C) 104°

D) 86° \ y\. / 142~E

1I E) 76°

Solución:

El arco BD mide 62°, el doble del ángulo inscrito BAD que subtiende dicho arco.El ángulo ADC, que es el ángulo exterior del triángulo AED, mide la suma de los ángulos interiores noadyacentes a él: 31° y 42°, es decir, mide 73°. Por lo tanto, la medida angular del. arco AC es el doblede 73°, o sea, 146°. Aplicando el teorema del ángulo interior al ángulo x, que es el ángulo buscado,obtenemos la ecuación:

"

14,6° + 62° , es decir:x = 2

x = 104°

Obser~aciones y comentarios:

Este ejercicio puede resolverse usando solamente teoremas referentes a las medidas de los ángulos enuna circunferencia. En cambio, nosotros 10 hemos resuelto usando en forma combinada teoremas deángulos en la circunferencia y de ángulos en el triángulo,Es muy importante descubrir, para cada, unode los alumnos yde las alumnas, cuál es el método másexpedito para llegar correctamente a la solución y, en el menor tiempo posible.

Respuesta correcta: alternativa C

241

PSU. Cuaderno de "Ejercicios. Matemática TERCER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

3) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado cuyo lado es "2a". Las figuras dibujadas en el interior de élson dos semicircunferencias de diámetros iguales a dos lados opuestos del cuadrado dado. El área de laregión achurada está dada por la expresión:

A) 4 a2

B) 2 a2

C) 41t a2

D) 21t a2I .~ l' 4)

E) 2 2 ' 1 2a - -,1t a2

Solución:

Para el desarrollo de este ejercicio, debemos aprovechar la simetría que éste nos ofrece. Debemosrecordar que los ejercicios de cálculo de áreas queinvolucran cuadrados, triángulos equiláteros,círculos, etc. poseen simetría con respecto a sus ejes, 10 cual favorece el cálculo respectivo. En. estecaso, basta con trasladar el cuadrante achurado de la parte superior izquierda de la figura al cuadranteque. está en blanco en la parte inferior derecha, para obtener la figura siguiente:

-.Do ;C

De la observación de esta nueva figura; nos damos cuenta que ella es equivalente ala primera, es decir,tiene la misma área, por estar formada por partes congruentes. De ahí deducimos que él área de lazona achurada, que es equivalente a la que está ahora en blanco, corresponde a la mitad .del área delcuadrado. Luego, el áreaachurada mide:

(2 ay2

2 a2

Observaciones y comentados:

Es muy importante notar que este ejercicio se ha resuelto con el máximo de razonamiento y el mínimo de'cálculos, aprovechándose las ideas de la simetría para determínar, por ejemplo, qué parte del cuadrado .es la zona achurada, De esta manera la solución fluyó por sí sola. Incluso podemos decir que, tal vez;ni siquiera era necesario trasladar el cuadrante de arriba hacia abajo. Bastaba con darse cuenta que lazona achurada era igual a la zona en blanco.


En el cubo de arista igual a 10 cm, de la figura adjunta, se tiene una sección.plana que pasa por dosvértices opuestos de la base y por un vértice superior. El ángulo diedro que forma este plano con el planode la base del cubo es alfa (u). Podemos calcular este ángulo alfa por medio de la(s) ecuación(es):

2I) sen ex = 16

1I) cos ex ~J216

J2

Comencemos por enumerar los vértices del cubo y también el centro de la base del cubo.El triánguloHAO es rectángulo en A pues la arista EA es perpendicular a la diagonal AC de la base.

Los catetosde dicho triángulo rectángulo son: HA= 10 cm y AO = 5 ficm ,pues AO mide la mitad

de la diagonalAC. Por lo tanto.Ia hípotenusa OHmide, por el teoremadePitágoras, OH =' 5.J6 cm.Entonces para calcular la medida del ángulo alfa, podemos usar las principales razones trigonométricasde dicho ángulo en el triángulo HAO.

243

•••..242

III) tg ex =

Es(son) correcta(s):

A) Sólo I

B) Sólo I Y II

C) Sólo II y III

D) Sólo J y III

E) I, IIy III

Solución:


Así tendremos:

Ir-'----------

E

e

sen o:AH,

HO

10 cm

SV6cm

2.J6

Análogamente se obtiene para el coseno y la tangente:

cos o:AO_

HO

5.fi cm

5.J6 cm

.fi- 16 ' y

Luego vemos que con cualquiera de las tres razones trigonométricas podemos calcular la medida del- ángulo alfa (e) ,

tg o: = HAAO

10 cm

5.fi cm.fi

Observaciones y comentarios: _

Nuevamente observamos que para poder resolver con éxito un ejercicio como éste, la clave está enun muy buen dibujo, En él identificamos el triangulo rectánguloque nos conviene para determinar elángulo pedido, en nuestro caso, el ángulo alfa (a), Cuando el ángulo es agudo, como en este caso, enrealidad, con cualquiera de las tres razones trigonométricas se puede calcular el valor del ángulo,

iRespuesta correcta: alternativa E

;1

[-~244

TERCER EJE TEMÁ'rrCQ I Test N" 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

CAPÍTULO 1. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOSTest N° 1:_ Ángulos y triángulos


1) En la figura adjunta, los ángulos AOB y ~OC miden cinco tercios y cuatro tercios de un ángulo,recto, respectivamente.' Entonces el ~ x formado por sus bisectrices mide

A) 1150

B) 1200

C) 121,50AD) 1350

:'~~BE)' 1500

2) En la figura adjunta, L, // L, Y T, -L T" La medida de <Cx +~y +~ z es

TIA) 900

B) 1800

C) 2400

D) 1500

E) 1200

(bUY

) L!\Z \ ),

L,I "X ..I

3) En la figura adjunta, AB//DC y AD//BC, AB = BC, ¿Cuál es la medida del ángulo x?-li,.. ), 'heA) 4SO

B) 55°

C) 50°

D) 65°

E) 600

4) En la figura adjunta, L, // L" EA = EB, ~'= 1100~entonces x :+ y =

EA) 2200

B) 2000

C) . 1400

D) 700

E) 550

LJ( A \ (Y\C LI1 \

, (lA ).t ) L2

245

- ,-'\ ..----

A) 10°

B) 40°

C) 50°

D) 80°

E) 90°

11) Si <l: U = 50° Y LI/I L2 , ¿cuállto mide-e; x?

A) 30°

LI ¡ B) 40°

e) 50·

~D) 60°

L2 1,E) 90°


1 . .5) Si en la figura adjunta, U = - ~, ¿cuánto mide el ángulo a. ?

4'. . '/~L.....----'.

A) 18°

B) 22,5°

C) 36°

D) 45°

E) n°6) Si en la figura adjunta, LI 11 L2' entonces 4:x =

40'

Al 100°

B) 120°

C) 130°

D) 140°

E) 150°

7) si' U = ¡¡ + 45° Yel complemento de U mide 20°, entonces o

A) 25°

B) 45°

e) 65°

D) 70·

E) 115°

8) En la figura adjunta, LI /1 L2 Y U:!) = 1 : 2. El valor de 4: x es

A) 145°

B) 110°

e) 75°

.D) 70°

E) 35°

x

/' r L¡7 \ ....

://aJ (P\ L2

9) Si. en la figura adjunta, LI 11L" ¡.t = 4~ y ¡¡ = 80°. ¿euál(es) de las siguientes igualdades es(son)verdadera(s)?

I) Y = 20°

A) Sólo Il y IV

B) Sólo I, Il Y IV

C) Sólo III y IV

D) I,Ii, III Y IV

E)' Ninguna

Il) x= ¡¡ IV) y=13IIl)x=¡.t

\ ,( L¡( __ 1 ( ..•, 7

. Il'y ~I L2

246

1';~I~

TERCER EJE TEMÁ neo I Test W 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

10) En la figura adjunta, U = 80·, L, /1 L" L,.L L, Y L, es bisectriz de U, ¿cuánto mide el <r:x?

L4&L.' L2 ..... . .... L,

.~\, ...../\\., 2.' ••••••.

: \,.' .

12) En. la figura adjunta, L, //L" AE Y BE bisectrices. Si 8 ~ 120°, entonces, ¿cuál de los siguientes

ángulos podría determinarse exactamente sin conocer la medida del ángulo o?

,

A) U

B) ~

e) YD) Todos pueden determinarse

E) Ninguno de los anterioresf ~lV L

2

~,( 1.,

13) En la figura adjunta, L, // L2 ,4: 1 35° ,4: 2 45°, entonces 4: x

A) 80~

B) 90°

e) 100°

D) 135·

E) No. se 'puede determinar

L¡ ,. 7

L2

I~ ).

. .14) Un triángulo 'cualquiera tiene un ángulo que mide '52° y el segundo mide el triple del tercero. Luego

el segundo y el tercer ángulo miden, respectivamente

~)32° Y 96°

1\)39" Y )30

e) 75° y 25°

D) 96° Y 32°

E) 13° Y 19°

247


15) En la figura adjunta, la medida del ángulo z disminuida en la medida del ángulo x es

A) 16°

B) 34°

e) 52°

D) 62,°

E) 68°

16) Si se sabe que en la figura adjunta, se cumple que x : yentre x e y es

A) 5°

B) 7°

C) 10°

D) 14°

E) 60°

~ ~

8 : 7, entonces el doble, de la diferencia

75°

17) Si en la figura adjunta, el ~ x mide el 75% de la medida del <1;'y, entonces la razón x : y : Z, es

A) 11: 4 : 3

B) 3: 7 : 11

e) 4: 3 : 11

D)' 3,: 4 : 11

E) No se puede calcular

18) , Si en un !'!.ABe se sabe que uno de sus ángulos interiores mide 20° más que otro de ellos y 35° menosque' el tercero, entonces es verdadero, que "

A) el.A ABe es acutángulo

B) el ángulo mayor mide 70°

e) el!'!. ABe es rectángulo

D) el angula menor mide 55°

,E) Ninguna de las anteriores_

19) En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en razón de I : 4, luego el mayor de ellos mide

TERCER EJE TEMÁTICO I Test W 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

20) Si los ángulos interiores de un triángulo están en razón de 3 : 4 : 5, entonces el triángulo es

A) acutángulo

B) rectángulo

C) isósceles

D) obtusángulo

E) equilátero

21) Si se sabe que los _ángulos interiores de un triángulo están en la razón de _x : y : Z ,con x = y, y

además x + y < Z, entonces se puede afirmar que el triángulo es

Al rectángulo' escaleno

B) isósceles rectángulo

C) acutángulo isósceles

D) equilátero rectángulo

E) isósceles obtusángulo

22) En la figura adjunta,ABCD es un' cuadrado y Be = eE , luego el <l: (X mideE

AliSO

B) 22,5°

C) 27,5°

D) 45°

E) 60°

A) 18°

B) 40°

C) 72°

D) 80°

E) 144°'

248

23) El A ABC de la figura adjunta es isósceles rectángulo en C. La medida dcl<C x es

A) 60°

B) 75°

C) 90°

D) 105°

E) Falta información para determinaría

C

AL \ ~~ ""'B

24) En la figura, el <l: x mide el 75% de la medida del <tAeB, Ae = Be = AD, Luego, ,el-<tACB mide, ,

A) 90°

B) 85°

C) 80°

D) 75°

E) Faltan datos A/ \ "'BD

249

••L


25) En la figura, AB = BD Y B es el punto medio de AC. La medida del <t x es

A) 450

B) 60°

C) 900

D) 1000

El 1200 A lit-' 'e/" u. ,) ~

26) De acuerdo a la figura adjunta, Cl) 1..AB. CE es bisectriz del ángulo ACB. Entonces «x =

A) 50

B) 10°

e) 150

D)' 200

E) 22,50~

. A DE'

27) En la figura adjunta, se tiene que: BC 1. DE y' AC 1.BE, entonces X - Y=

A) UOO

B) 1200

e) 140°

D) 1500

E) 1600

C

A

28) Dados los ángulos ex y ~. ¿Es ex el complemento de' ~ ?

(1), ex y ~ son agudos

(2) ex + ~.= 900

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí: sola.


D) eada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

250

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

29) En el triángulo ABe de la figura adjunta, ¿es CD la altura relativa al lado AB?

(1) HE CD y H es el ortocentro del;:' ABeC

(2) D es el punto medio de AB

A) (1) por sí sola

B) (2) porsí sola

G:) Ambas juntas, (1) y (2)



I \BA/-- D

30) ¿Es ABe un triánguloisósceles de base AB, siendo A(--:4, O) Y B(4, O)?

(1) El vértice e está en el eje Y

. (2) La altura Cl) = h,. está en el eje Y

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




IL.


251

••

".1

'I!¡¡:1

1

,¡' ,

i"

I!!¡

¡¡¡.~~i'"u¡I!J

I[¡

¡(, "u! IL_


CAPÍTULO 2, CONGRU~NCIATest, N° 2: Congruencia

1) Dos triángulos son congruentes cuando

A) tienen la misma área,

B) tienen los mismos ángulos,

C) tienen el mismo perímetro.

D) tienen 'Ia misma forma,

E). tienen la misma forma y el mismo tamaño,

2) Si 'los, triángulos .de la figura son congruentes, ¿cuál es el valor de xi

A) 45°

B) 500 6 D,C) 5506 ' $

D) 650 50· ..75·

E) 750 6

,1,"

3) ¿Cuál figura muestra dos triángulos que no son necesariamente congruentes?

€7 CLlll'L·;'!

A) E)AB) D)

&)

"\x~4)'Si en la figura AC",BD' y AD",BC, entonces, ¿cuál, de los siguientes postulados puede ser

usado para demostrar que t,.. OCA '" !J.CDB?

A) Lado - Lado - Lado

B) Lado - Ángulo - Lado

C) Ángulo - Lado - Ángulo "

D) Lado - Lado - Ángulo

E) Ángulo - Angula

1><\..O . C

252

1& TERCER EJE TEMÁ neo /Test N' 2, CONGRUENCIA'i

l

; 5) Si se cumple que , MNO ~ , PQR, entonces tambié n secumple '1'"

A) MN=PR

B) ON = RP

C) <1:MON '" <1:PQR

D) <1:NMO ",<1: QPR

E). <1:NOM '" <1:RPQ

6) En la figura, ABCD es un rombo. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias estson) conecta(s)?

1) !J.ABC '" !J.ADB

Il)!J. AMB '" !J.CMB

III) !J.·ABC '" !J.A,DC

,A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) 1, II Y III .

)" . . AC

AV . \¡

7) En la figura: BC '" CD ; AC '" CE . ¿Cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) siempre-verdadera/s) ?

1) GC '" FC

nr <1:BAC ",-<l:DEC

III) GC 1. AB Y CF 1. DE

A) 'Sólo 1

B) .Sólo II

C) Sólo Iy Il

,D) Sólo TI y III

E) 1, Il Y III

A

EB

8) De acuerdo a la figura, si !J.ABC '" !J.DBE, ¿cuál es el ancho AC del río?

A) 20 mA-B) 18 ID

C) 1'6 m '----o-D) 14 m eE) 12 m

F

253

PSU. CucUterno. de Ejercicios, Matemática

9) S i la altura CD del triángulo ABC divide a éste en dos triángulos congruentes, entonces, se'cumple que:

1) D es punto medio de AB,

Ir) AC es simétrico de BC respecto de CD.

IlI) 11 ACD es rectángulo en C.

De las afirmaciones anteriores, es(son) siempre verdaderars):

A) Sólo 1

, B) Sólo II

C) Sólo mD) $ólo (yIl

E) 1, U y III

1Q) ¿ Cuál de los siguientes triángulos no es congruente con el triángulo ABC?

,~." C'2,4

A 37" .3,2 B

E) 3,2

~~ ,

11) Si en el cuadrilátero ABCD se cumple que I1.ADC :i 11CBA, entonces se puede afirmar que- ~rn~w' 'A) Trapecio isósceles

B) Cuadrado

C) Rectángulo

D) Rombo

E) Romboide

!Ii

; .A)~' ,2,4

. 90'3,2 '

q,JLJ

2,4

3,2B)~ D)~

.53~

254

(TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test W 2, CONGRUENCIA

12) En el triángulo ABCde la figura: D, E Y F son .los puntos medios de los lados respectivos.¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1) t:,. ADF = t:,. FEC.

II) FDEC es un paralelógramo.

IU) ADEF es un paralelógrarno congruente con el paralelógramo BDFE.A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo 1 y II

D) Sólo 1 y III

E) r: Ir y III

e

,( '\/. "B

13) En la figura adjunta, ~CD es un 'parale!ógramo, entonces ¿cuál de, las siguientes proposicioneses siempre 'verdadera? !,

. ~

A) FE s GE

B) AE =:; DE

C) EC = EG

- -D) AD =:; DC

E) FD =:; GC

14) Son siempre congruentes:

1) dos triángulos con igual área.

Il) dos circunferencias con igual diámetro.

, III) dos cuadrados con igual perímetro.

A), Sólo II

B) Sólo 1 y II

cj Sólo Il y III

D) Sólo r y III

E) .1; Ir .y III

15) ¿En cuál(es) de los siguiente~ cuadriláteros se forman dos paresde trÚngulos congruentes aldibujar sus diagonales? '

¡¡¿"<:leA ' B

1) Rombo.

II) Cuadrado.

III) Del toide.

,A) Sólo II

B) Sólo 1 y II

C) Sóló II y III

D) Sólo 1 y III

El r, Ir y III

255

¡¡¡ I! ILr¡I11I1fIf

t·¡!i·¡¡

B I l) Reflexión.r

Il) Rotación.

I -.,,

III) Traslación. ,,'. .. ,, ,.. ,A) Sólo I .. ,

), .., ..B) Sólo l y II , ....,, .•.e) Sólo r y m , ....,, ..

. D)Sólo II y III

E) l, II Y III

.,

I¡

psu. Cuaderno de Ejercicios, Mate'mática

16) En el Ó. ABe, si <tAeD ==<tBeD, entonces ¿cuár(es) de las siguientes condiciones es(son)necesaria(s) para que-se cumple que Ó. AeD ==ó. BeD ?

l) eD.LAB

- -1I) AD ==.BD

III) <t eAD ==-c eBD

A) Sólo 1

'B) Sólo III

e) Sólo 1 y III

D) Sólo 1y II ,

E) l, II Y III

I \ \B

e

17) En la figura: ABeD' es un paralelógramo y E es un punto en la prolongación' de AB tal queBE= AB. ¿euál de las siguientes afirmaciones no es siempre verdadera?

)~. A B . E

A)

B)

e)D)E)

ABFD es un trapecio,

F es punto medio de BG.

E. es la imagen de. D bajo una reflexión con centro en F,

E es la imagen de e bajo una reflexión respecto de D'E.

L\BEF ==ó.eDF

18) Si ABeD es un trapecio isósceles, ¿qué información adicional puede ser usada para demostrarque los triángulos en la figura son congruentes?t ~

1',1~,i

~',

l!

i,.\1";[1

[,.¡:,L1:!!

ti;!!j

"l'r,l'¡1,'li;:~I '1

L''J-,1"

A) DEIICF

B) <t EDe y <t FCD son suplementarios

e) DE =CF

- -D) DE.L AB Y CF.L AB

E) <t DEA ==<t eFE

\Al E -

19) Dos polígonos congruentes son siempre:

l) semejantes,

II) equivalentes,

IlI) simétricos.

¿Cuál(és) de las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)?

A) Sólo 1

B) Sólo nC) Sólo III

D) Sólo l y II

E) Sólo 1 y III

;! 256

'ffTERCER EJE TEMÁ rtco, Test W 2. CONGRUENCIA

20) En el cuadrado ABeD de lado a, se hace AE= DE = DF = CF = a, ¿Cuál(es) de las siguientes'proposiciones es(son) verdadera(s)?

F1) AC = EF

Il) B, E Y F son plintos colineales

1Il) <t;AEF ==<t BCF

A) Sólo 1 eB) Sólo 1 y II

e) Sólo l y III aD) Sólo n y III

E) I, n, III 'A

K \ 'le

v 'B

21) Sea el triángulo ABe no isósceles, en el cual se traza la transversal de gravedad CM prolongándoseen una longitud MD = CM. Si se une D con A y .8, ¿cuál(es) de. las siguientes afirmaciones'estson) verdaderais)?

I)BD Ij AC

Il) <t BeD ==-c ADC

III) ADBe es un paralelógrarno

A) Sólo 1

B) Sólo II .

e) Sólo 1 y nD) Sólo I'y rrrE) 1,n·y III

A<": .), '0B

D

22) Los cuatro triángulos que se forman al dibujar las diagonales de un cuadrado son congruentespor: '

¡l'

257

díS"-.,'


23) En la figura, los triángulos ABC y A'B'C' son simétricos respecto de la recta L. ¿Cuál(es) de lassiguientes proposiciones es (son) siempre verdaderats)?

i)L'>ABC = L'>A'B'C'

Il) CBB'C' es un trapecio isósceles'S

~.A' . .....•...... / '.

e'

IlI) El ángulo que fo~tnan las rectas AB y A'B'

tiene su vértice' en. L.

A) Sólo 1 .

Bl Sólo 1 y II

C) .Sólo 1y III

D) Sólo II y III

E) '. 1, II Y III

24) Si sobre los 'Iados del triángulo is ó s ce les ABC se construyeron cuadrados, ¿cuál(es) de las"siguientes proposiciones esíson) siempre verdad'era(s)? .

1) Cuadrado ACFG es la imagen del cuadrado BDEC bajo una rotación con centro 'en C yángulo de medida igual a lá' del <t:ACE:

Il) ~ AKH = 45°.

III) . FB .1EA

A) Sólo 1

B) Sólo 1 y II GC H(',/\,\ ~D

C) Sólo I y III A B

D) S610U Y III

E) 1, U y III

L

25) ~n la figura adjunta, el triángulo APQ es congruente con el triángulo ABC. Si el punto Q está I! .

sobre el lado BC, entonces la medida del ángulo. BAP, en función del ángulo ~, es

i,1:

l-

11.,1,:!::

A) .~2

B) 90° - ~2

e) 180° - 2~

D) 90° - ~

E) 90° + ~

. Ae---: J\ I

2

'p

'1':_

'i;,1

1'1 258

TERCER EJE TEMÁ nco I Test N" 2, CONGRUENCIA

26) En el cuadrado PQRS de la figura adjunta, cuyo lado mide 5 cm, el vértice P yace sobre una rectaAB que no corta al perímetro del cuadrado. Si ST = 3 cm y QV = 4 cm, ¿cuánto mide la distanciaRU?

R

A) 5 cm!I

B) 6 cm

C) 7 cm

D) 12 cm

E) 5.Ji cm -, A T U P V 8

27) En la figura: ABCD es un cuadrado de lado- a; AE = a y GF ..1 AC. ¿Cuál(es) de las siguientesproposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1) G y F son puntos medios de los lados DC y BC, respectivamente.

1I) ó AEF = ó ABF

III) CF : FE =.Ji :A) SÓlo 1

B) S?lo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo II y III

o' --;: '"

F

BA'28) Podemos afirmar que el óABC es isósceles con base AB si:

(1) D es punto medio de AB y CD es altura.

(2) CD es bisectriz del ángulo ACB ; ~ ADC y ~ BDC son suplementarios

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicional"

29) El cuadrilátero convexo ó ABCD es un paralelógramo si:

(1) AE=EC y DE=EB

(2) óDCE =' L'>BAEA) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas,' (1) Y (2)


_E) Se requiere información adicional

P<7C. E-

'A B'

259


30) Si. el cuadrilátero ABCD es un paralelógramo, ¿es ABCD un cuadrado?

(1) te.. ABC = te.. CDA

(2) te.. DAB es simétrico del A BCD respecto de. la diagonal BD

A) (1) 'por sí sola

B) (2) por sí sola



·E) Se requiere información adicional

'1

'1

lj':11"


'¡ 260

i'

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS

CAPÍTULO 3. CUADRILÁTEROS y POLÍGONOSTest N· 3: Cuadriláteros y polígouos

1). En el paralelógramo ABCD de la figura 'adjunta, .¿cuántos grados mide x?

A) 20

B) 10

C) 5 /,' 7CD) 25

7 J\. . .BE) 5-

2

2) ¿En .cuélde los siguientes polígonos se cumple que la suma de sus ángulos interiores es' igual alasuma de sus ángulos exteriores?

A) Triángulo

B) Cuadrilátero

ClPentágono

D) Hexágono.

E) . En ningún polígono se cumple esta relación

3) La razón entre las medidas de los ángulos interior y exterior de un cierto polígono regular es de 3 : 2 ,¿cuántas diagonal es tiene dicho polígono?

A) 2

B) 3

C) 4D) 5

E),6,

4) En el cuadrado ABCo de la figura adjunta, AE = AC. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 45·B) 60·

C) 67,5·

D) 70·

E) 75· ~[2ñEB .

261


5) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado, AC es diagonal y el ó. ABE. es equilátero. La medidadel ángulo x es .

Al 60° D~~JB) 67,5°

C) 75°

. X

D) 90°

E) 105°A B

6} Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 3 : 4 : 5 : 6. El mayor de sus' ángulosinteriores mide

Al 85°

B) 90°

ci 100°

r» 120°

E) 125°

7) Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva se obtiene siempre

A} un trapezoide

B) un trapecio

C) un paralelógramo

D) un cuadrado

E) no se puede determinar

8 l' ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un octógono?

Al 8

Bl 20

C) 40

D) 16

El 24

9) El ángulo interior de un polígono regular mide 144°, ¿qué polígono regular es?

A) Eneágono

B} Octógono

C) Decágono

D) Heptágono

E) Dodecágono

10) ¿Qué polígono es tal que el número de susdiagonales esigual al número de sus lados?

A) Octógono

B) Hexágono

C) Pentágono

D) Cuadrado

E) No existe tal polígono

TERCER EJE TEMÁTICO I Test W 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONO S

11) Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 27 diagonal es. ¿Cuánto mide cada ánguloexterior de este polígono? .

A) 24°

B) 15°

C) 168°

D) 30°

E) 12°

12) En la figura adjunta, ABCD es un paralelógramo. Con los datos indicados, la medida del ángulo x es

A) 60° D C

L[S1B) 80°

Cl 30°

D) 40°A E B

El 50°

1::\) En la figura adjunta, ABCD es un paralelógramo .. Dadas las condiciones expresadas en la figura,¿qué tipo de paralelógramo es?

Al Rectángulo

Bl 'Trapecio

C) Rombo

D) Rcmboide

El Cuadrado

'k----.~--:?IC

14l En la figura adjunta, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . La medida del ángulo x es

Al 70°

Bl 120°

C) 1400

r» 40°

E) Falta información para determinarlo

ks.A B

15l Según los datos en la figura adjunta, ¿qué tipo de cuadrilátero es el ABCD?

Al RomboI

B) Romboide D CC) Trapecio

D) Cuadrilátero cualquiera

El Deltoide A

k.~_~_

262 11 . 263


16) En el cuadrilátero RSTU de la figura adjunta, se, cumple que: RM = MT = SM = MU,entonces se tratade un '

:1 A) trapecio lZI/[, B) romboide

¡l e) cuadrado

D) rectángulo! R SE) rombo

i

n';'

I

l' 18)

íi

iPo

~ti

¡~':"

I

titi'i'írtiIf:f!r1:

i:11,i I¡------

17) En la figura adjunta, ABCD es trapecio isósceles. ¿euál(es) de las siguientes proposiciones es (son)verdadera(s)? . ' ,

1) 1) + y = 2w1I) ex'= ~ = 72°

IlI) 8 = 180°- ~

A) SÓlo 1D

~

-B) S610 II Le) Sólo IDD) Sólo 1 y II

E) 1, 1I Y m,A B

¿euál(es) delas siguientesproposiciones esíson) siempre verdadera(s)?

1) Si en un cuadrilátero las diagonales se cortan en su punto medio, entonces el cuadriláteroes un rectángulo.

II) Los rombos tienen sus diagonales congruentes.

un Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es' unparalelógramo. "

'~.

TERCER EJE TEMÁTICO / Test N" 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS

20) La suma de las diagonales de un rombo es 14 cm y su diferencia .es 2 cm. El área del rombo es'A) 72 cm'

B) 48 cm'

C) 36 cm'

D) 24 cm'

E) 12 cm'

21) MNPQ es un paralelógramo que cumple con: MQ = QP, entonces ¿cuál(es) de, las siguientes afirmacioneses (son) verdadera(s)?

1) MNPQ es un cuadrado.

U) Sus' diagonales son bisectrices de los ángulos, interiores,

Ill). Sus diagonales son perpendiculares.

A) Sólo 1

'B) SÓlO1I Y ID

C) Sólo 1 y ID

D) 1, Il Y mE) Ninguna

22) ¿emü" de las siguientes afirmaciones es verdadera para todos los paralelógramosv

A) Los ángulos contiguos son complementarios.

B) Las diagonales son congruentes.

e) Los ángulos 'opuestos"son suplementarios.

D) Las bisectrices son perpendiculares.

E) Las diagonales se dimídian.

Un cuadrilátero tiene-sus 4 ángulos interiores rectos. Entonces también es cierto que

A) tiene sus cuatro lados congruentes,

B) sus ,diagonales son bisectrices de los ángulos interiores.

e) 'tiene sus diagonales perpendiculares.

D) tiene' sus cuatro ángulos exteriores congruentes.

E) se fe puede inscribir una circunferencia.

A) S610 1

B) 'Sólo II

C) Sólo ID I 23)

D) Sólo II y ID

E) I, Il Y ID

19) ¿euál(es) de las propiedades siguientes se, cumplen en un paralelógramo cualquiera?

1) Sus lados opuetos son congruentes.

II) ,Sus ángulos opuestos son congruentes.

IlI) Sus diagonales son congruentes.

IV) Sus diagonales son bisectrices de los ángulos 'inteliores.

Al Sólo II

B) Sólo r y II

crseie 1, II, Y ID

D) Sólo 1, II Y IV

E) l, II, ID Y IV,

264265


24) En la figura adjunta, ABCD es un rombo. Si D, B Y E son colineales, AB = BE Y '4:DAB = a., ¿cuántomide el 4: DEC en términos de a.?

A) 90°- ~2

B) 450

C) aD)90° - a.

E) 450_ ~

425) Con respecto a la figura adjunta; siempre se cumple que

A) P=x /\ <l>= y

Jl) p+x=<l>'+y

C) P+(j>=x+y

D) p+y = <l>+ x

E) ~=y /\ <1>= x

D CK \.

E

26) ¿Cuál de las siguientes propiedades cumplen siempre los cuadriláteros inscritos en una circunferencia?

A) Sus' lados opuestos son congruentes.

B) Sus 'ángulos interiores son rectos.

C) Sus ángulos adyacentes son complementarios.

D) Sus ángulos .opuestos son suplementarios.

E) Sus diagonales son perpendiculares.

27) En' el paralel6gramo ABCD de la figura adjunta, se dibujó la diagonal AC y se unió el, vértice D con. . _'. , AP

el punto medio M del lado AB. Si ambas rectas se intersectan en P, ¿cuál es el valor de la razón --?. . ' AC

A) 1 3

l' B) 1 2¡!,

C) 2 3:'[,.l' D) 3 4

rE) 3 2

IIIl ~'

266I! ..L

l:i?7C

A M B

~'

" e, TERCER EJE TEMÁTICO I Test N"3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONO S

28) Se puede determinar la medida del ángulo y del cuadrilátero de la figura adjunta si se sabe q~e:-

(1) ABCD es un paralelógramo y triángulo ABD es equilátero

(2) El 4: DABmide 600

)! ,C

A) (1) por sí sola

B) '(2) por sí sola


D) Cada una por ~í sola, (1) ó (2)


29) Se puede determinar el perímetro del trapecio ABCD de la figura adjunta si se conoce:

(1) DC = 25 cm

(2) AD = 10 cm

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




¡ e

~A B

30) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular?

(1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.

(2) Sus ángulos exteriores suman 3600

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




267

PSU. Cuaderno de-Ejercicios. Matemática

CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICASTest N° 4: Transformaciones isométricas

1), ¿Cuál de las siguientes transformaciones no corresponde a una isometría o. movimiento rígido.del plano? .

A) Reflexión respecto de una recta dada.

E) Rotación en torno a un punto en un ángulo dado.

el .Homotecia con centro en un punto dado y razón 2.

D) Traslación en un vector dado.

E) Reflexión respecto de un punto dado,

2)' ¿euál(es) de las figuras siguientes tiene(n) dos ejes de simetría?n<:>Rombo

IlI)QElipse

1)1· .. ' 1Rectángulo

A) Sólo I

E) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo l y IÍ

E) t, n y III

3) Dado el 6. ABC', rectángulo en C, ¿cuál(es) .de las figuras siguientes se pueden obtener siempre apartir del triánguloABe mediante isometrías o composiciones de isometrías?

e1) Rectángulo de lados a y b

II) Rombo de lado e

Ifl) Paralelógramo de lados b y e,

A) Sólo I

B) S610 II

e) ·Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) r, n y III

A~Be

4) En la figura adjunta: la recta L es un eje de simetría, A, G, D Y E: G, B son tríos de puntoscolineales. Si 4: GBe = 30° y·4:K.AG = 58°, entonces la medida del 4: AKE es

. K<\)4 L

E

124°A)B)

'C)

D)E)

120°

100°

90°

64°Para los aspectos teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e.E.), se recomienda nuestro Manual de Preparacién .P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile. Sexta Edición. Mano de 2006

268

! -- --------------------_.

~~I~

TERCER EJl3 TEMÁTICO f Test N' 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICS.S

5) La figura está formada por triángulos equiláteros congruentes. Si la traslación T es tal que laimagen del punto D es el punto .B, entonces si aplicamos T al punto H, se obtiene' el punto"11

1" A) J

B) G

el F

D) M

E) A

'(iiii)L M N o P

6) Si la T es una traslación tal que T: (2, -3) ~ '(0, O), entonces T: (1,2) ~

A) H,O)

B) (1, 2)

e) (0, O)

D) (-1,5)

E) (-2, 3)

7) Si k Y n son dos ejes de simetría del octágono regular de la figura, entonces la imagen .del puntoD bajo la composición de reflexiones r, ° r, es

A) F

B)B· :[ X J:e) H

D) G

E) D

8) Si P es el punto en que se intersectan las diagonales del cuadrado ABCD de la figura, entonces¿cuál es 'la imagen del' punto D bajo una rotación con centro en P y ángulode 2700 en sentidocontrario a los punteros del reloj?

A) A D[JCB) B

e) eD) D

A . BE) P

9) Las coordenadas del punto de reflexión P que transforma al punto (-6, 1) en el punto (2, -3) son

A) (-2, -2)

B) (-2, O)

e) H, -2)

D) (-2,-1)

E) (-1, O)

269


. 10) La figu;a B puede ser la imagen de la figura A bajo una:

1) Traslación A

c? BlI) Reflexión

.JJ. IlI) Rotación

A). Sólo 1

E) Sólo II

C) S'610 III

D) Sólo 1 ó III

E) Sólo II ó m

11) Si al triángulo de la figura' se le aplica una rotación con centro en el punto D y con un ángulo de900 en sentido contrario a los 'punteros del reloj se obtiene como imagen

¡,.

I1:

l'1,i~'1:1

1':1,.:

II1'1I j

-:--1

I1

A)._._; __~..

E) ¡:':.TH-Li~·.TLd·1

I ¡ ,

L.LLLLJ..r.LL-4--• 1 1 I I I 11 ! I IC)! i 1 '

;:::r

TERCER. EJE TEMÁTICO I T«st N" 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTiUCAS;Il, 13)Si el heptágono de la figura es simétrico respectó de la recta L, entonces x + y = ,A) 1800

L

B) 1600

C) 150·

D) 1400

'E)' 1300

i

"

14) ¿Con cuál(es) de .los siguientes polígonos se puede cubrir completamente (teselar) el plano?

1'0

A)

HA

B)

Prismacuadrangular

,,1

;' iJJJJ I i IW .. ....LL~B). D)•.. _.- . . 1

-- .-- -_._.. ' - - - +..--- -l --

. "- ,.. - . --

_.- -. -~~- ,_ [ "._.1

12) Dada la traslación T: (x, y) ~ (x,.-- 5, Y + 1), la imagen del punto (-1, -2) es

A) (4, -3)

B) (-4,1)

C) (4; -1)

D) (.,-4,-3)

E) (-6, -1)

270

Hexágonoregular

A) 'Sólo con L

B) Sólo con II

¡¡ C) Sólo con III

'\ - D) Sólo con 1 y II,1Ij E) Sólo con 1 y III,~

11:,. 15)' ¿Con cuál de los si~uientes cuerpos geométricos no es posi,ble rellenar completamente el espacio?-ffi~

1I¡, Cubo

Cuadriláterocóncavo

C)

Prisma'triangular

_16) El siguiente diseño de Scott Kim tiene simetría:\

1) Horizontal.

Il) Vertical

IlI) Rotaciona1

A) Sólo 1

B) S610 II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo 1 y III

III) oOctágono. regular

D)

Cilindro Prisma- hexagonal

~

271

i[:!

PSU. Cuader~~ de Ejercicios, Matemática

17) Los ejes de simetría' de la figura siguiente son

,¡II

A) 2

B) 4

C) 6D) 8E) 12

O"·'. '. .

18) El segmento A'B' es la imagen del segmento AB bajo una rotación con centro en un punto O y'.con un- .ángulo dado, Para encontrar el centro de rotación O, basta

E) , encontrar el simétrico de A respecto de ,larecta BB'

19) El problema de cubrir completamente (teselar) el plano con polígonos regulares de n lados tienesolución sólo para n =

A) dibujar las simetrales de AA~ y BB'

B) trazar la bisectriz del ángulo que forman las rectas AB y A'B'

1,I

I'¡

'C) dibujar las rectas, AA" Y BB'

D) dibujar paralelas a AB y A'B'

tiI:,'1

/1':.,

\~A) 3, 4y 5

B) 3, 4y 6

C) 3,4 y 8

D) 3,5 Y 8

E) 4, 6 Y 8

20) Si a un triángulo escaleno ABC, se le aplica una reflexión con respecto al -lado AB, la figuraAC'Be que resulta es

A) un romboide

B) un trapecio

C) un deltoide

D) un rectángulo

E) un cuadrado

21) La imagen del punto (-'2, 3) bajo la transformación F: (x, y) '-? (x - 2, Y - 3) esI

A) (-4, O)

B) (O, O)

C)(-4, -6)

D) (O, 6)

E) (-4,6)

272

--._-p-"----- -~

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

1

"

"

"

22) ¿Cuál(es) de los siguientes polígouos tienem) simetría respecto a sus diagonales?

1) El rombo

11) El romboide

I1I) El rectángulo

A) Sólo 1

B) Sólo ir 'e) Sólo III

D) Sólo 1 y III

E) S6lo 1y n23) ¿euál es la preirnagen del punto r(2, 4) bajo una rotación con centro en el origen y en 2700 en

sentido antihorario?

A) (-4,2)

B) (4, -2)

e) (-4, O) ,

D) (O; 2)

E) (-4, -2)'

24) Dadas la transformacionesT: (x, y) ~ (x - 1, Y + 1) Y T,: (x, y) ~,(-x, -y). al aplicar latransformación T, o TI al punto M(2, -1) se obtiene el punto de coordenadasA) (-3,2)

E) (1, O)

e) (-1, O)

D) (-1,2)

E) (3, -2)

25) Mediante una reflexión, el punto (3,4) se transformó en el punto (-3, 4), La ecuación del eje dereflexi ón es '

A) Y = O

B) x = O

e) y = 4

,D) x = 4

E) Y =-x

26) En la figura, ABeDE es un pentágono regular. El ángulo de la rotación de centro O que permitepasar del vértice e al vértice A, mide

('

DA) 1800

'E~tB) 1440

e) 1560

D) 2160

E) -2160 ,'A B

273


27) Al aplicar a Li una reflexión con respecto al eje Y de un plano cartesiano, seguida de unareflexión respecto del origen' 0(0, O), ella se transforma en .

A) D.B) <:=C) q

D) LiE) r?

28) Dado un polígono regular, ¿es posible recubrir el plano con él?

(1) La suma de sus ángulos exteriores es 360°.'

(2) Su ángulo interior mide 120°.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información' adicional

29) Para determinar la imagen B' del vérticeB del Ó. ABC, equilátero, bajo una isometría se conoceque:

(1) La isornetría es una 'rotación con centro en A.

(2) La imagen de e bajo esta isometría es el vértice B.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




30) Se quiere determinar qué tipo de cuadrilátero es el cuadrilátero ABeD.

(1) Tiene .simetría respecto de sus diagonales.

(2) Tienejl ejes de simetría.

A) (1) por sí sola

B) (2) po~ sí sola


D) Cada nna por sí sola, (1)· ó (2)



274

TERCER EJE TEMÁTICO / Test N" 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

CAPÍTULO 5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIATest N° 5: Ángulos en la circunferencias

1) A las 11 en punto, los punteros del reloj forman nn ángulo que mide

A) 12°

B) 30°

C) .32,72°

D) 45°

E) 60°

2) Si en la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia, <I:ABÓ = 35° Y AC es un diámetro,entonces la medida del ángulo BOe es A

A) 17,5°

B) . 35°

e) 70°

D) 90°

E) 110°e

3) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. Si <I:PSR =' 50° y<I: PTQ = 20° , entonces elarco RQ mide

A) 15°

B) 30° i >: / AOSe) 45°

D) 60°'

E) 80°T

4) Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AC es diámetro, <t ABD =40° Y<I: BCA =30°, entonces x + y - z =

A) 20°

B) 30°

C) 40°

D) 50° 42 ~i ~ IX~C

E) 60°

275

!:Il,~1:ll¡¡¡1I~It,ti¡,,n¡I

':'1'1-

!lni:j~,I

r

")j ei,

r,

»su. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

9) Si un lado de un triángulo mide 12 cm y el ángulo opuesto a este lado mide 30°, ¿cuál es el' diám~trode la circunferencia circunscrita, a este, triángulo? '

TER'CER EJE TEMÁTICO I Test N" 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

~¡f.

!:

1:

5) 'En la figura adjunta, la recta R. es tangente a la circunferencia en C, Si Be =150° Y<tABC =40°"entonces x + Y' =

A) 18 cmA) 105° . B) l2.J3 cmB) 110°

C) 24 cmC) 115°D) 36 cm

"

D) 120°

E) 24.J3 cmE) 125°

6)' En la circunferencia de centro O y radio r de la figura adjunta, el A ABC es isósceles de base' AB ,Si

AB == r y CD es bisectriz del <t ACB , entonces la medida del <t OBC ,es

10) Si en la figura adjunta, ABC es un triángulo' inscrito en la circunferencia, y P, Q y R son los puntos .deintersección de las bisectrices .de los ángulos interiores con la circunferencia; entonces la medida delángulo PQR es '

A) 10°

B) 15°

C) 25°

D) 30°

E) 35°

D) a + 1)4

E) ~(a + 1))3

A) a + 1)B) a + 1)

2

C) 2 (a + 1)), ", D

'7) En la circunferencia de centro O de l~ figura adjunta, <t BOC = 600 y <t' ECD ;= 5'00• ¿Cuánto mide el

<tBEC?

A) 30°

B) 50° Al \DC) 60°

D) 80°

E) 120°

11) En la figura adjunta, O eselcentro de la semicircunferencia y Be = 3 EA, ¿Cuánto mide el ánguloACO?

A) zz.s-B) 30°

e) 45°

D) 67,5°

E) 75°

( ~ :>'IB

8) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado inscrito en la circunferencia, y E es un punto cualquiera

del arco en, enton~es a + p =

A) 45°

B) 90°

e) 105°

D) 125°

E) 135°

12) Si 'las cuerdas AB, Be, CD, DE y' EA son todas congruentes, entonces a + 'Y+ 8 =

A) 36° D~B) 72°

C) 108°

D) 120°

E) 180°

276 277

-----_._--- .-


13) Con los datos indicados en la figura adjunta, si O es el centro de la circunferencia circunscrita al

t1 ABC, ¿cuánto mide el 4: AOB?

A) 20°

B) 30°

C) 40°

D) 50°

E) 100°

14) En la figura adjunta, AB 'es tangente a la circunferencia de centro O en el punto B y AD es secante,

~ 1CB mide. '5 de la circunferencia. El 4: BAD mide

~ 1El arco BD mide 3' de la circunferencia y el arco

A) 24°

B) 36°

C) 45°

D) 48° A

E) 60° B

15) En la Semicircunferencia de diámetro AB de la figura adjunta, se trazó una cuerda ACtal que el

<t:BAC mide 20°, Si la tangente XDY es paralela a AC, entonces los ángulos ADX y BDYmiden, respectivamente. .

I'il··~i,

'1l.

!!

y

A) 30'0 Y 60°

B) 35° Y 55° )\

C) 55° y 35°

D) 60° Y 30° A~':",I

B

E) Falta informaciónpara determinarlo

,"J.

lili

il!1:

I'¡"~ ' ';iti,

¡i¡

11'

I!'fi,1,1,

LI!

16) ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros es (son) siempre inscriptible(s)en una circunferencia?

I) Cuadrado

II) Rombo

III) Trapecio isósceles

A) Sólo l

B) Sólo II

CJ Sólo l y II

D) Sólo l y III

E) l, II Y III

278

L

TERCER EJE TEMÁTICO! Test N" 5, ÁNGULOS EN LA:CIRCUNFERENCIA

17) En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AD y BE son diámetros, Si BE J/ CD y

4: 0= 72° , ¿cuánto mide el 4: a 1

A) '108°

:8) 72°

C) 36°

D) 18°

E) 9°

18) En la circunferencia de la figura adjunta, PT y PQ son tangentes a la circunferencia en .P y Q,

respectivamente, Si <l:PQT = 63°, entonces X + Y =

A) 117°

B) 126°

C) 135°

D) 171 °

E) 180° N/ ...-/ "p19) Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AB es un diámetro y <t:ABD =.,,7° , entonces

el <t: DCB mide

A) 254°

B) 198°

C) 161° M "'>'1BD) 143°

E) 127°

20) Si en la circunferencia de la figura adjunta, MN es tangente en T y fA ÁB BTentonces la medida del 4: MTB es

5 : 6 : 7,

M

A) 110°

B) 100°

C) 70°

D) 60°

E) 50° N

279

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

25) En la figura adjunta, PB y PD son dos secantes a la circunferencia 'de centro O. Si se trazan las- -

cuerdas BC y AD, con los datos indicados, ¿cuánto mide el ángulo BCP?'

A) 25°

B) 40°

e) 65°

D) 90°

E) 115°

(PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

2i) Si O es el centro de la circunferencia de la figura adjunta, entonces '¿cuál(es) de las relaciones siguienteses (son) correcta(s)?

l) ÁB",éDII) <tAOD = ~ +y

III) <tAED = ~+ OA) Sólo l tlí e , El ( 871DB) Sólo II

ej Sólo 1 y TI

D) Sólo II y III

E) l, II y m

22) En la circunferencia de la figura adjunta, la longitud de BA es un quinto de la longitud de la

. circunferencia completa. Si <tAEB = 25.° , entonces la medida de éD es

A) 9"E) 11 °

e) 18° / \~ED) 22°

E) 25°

26) En la Circunferencia de centro O de la figura adjunta, <tDOC = 60° y <l:APB = 45°, ¿cuánto mide el .

arco EA?

A) 30°

B) . 45°

C) 60°

D) 90°

E) 105°,l'

lt '

l'1I,1~!tit.!

23) En la circunferencia de la figura adjunta, AB.'" BD, ÁB = 140° Y Be =26°. La medida del <l:APDes

27) En la circunferencia deceritro o de la figura adjunta, EB//DC, <t DAC = 40° Y« EFD =80°.¿Cuánto mide el <l: DPC'?

A) 60°'

B) 65°

C) . 70°

D) 75°

E) 80°

-¡

":i"

A) 27°

B) 53°

C) 80°

D) 83°

E) 114°

B

28) Si en la circunferencia de la figura adjunta, AS y AR son tangentes en R' yS, respectivamente,entonces se puede determinar la medida del ángulo inscrito RPS si:'

(1) <l: SAR = 30°

(2) <l: RSA excede en 45° al -c SAR

A

~:jI;.;!I!

~¡

111~Iil.1'1,'1'1

1';1r¡! :

24) En la circunferencia de centro. O de la figura adjunta, BC = OD. Si <l:OBC = 20°, ¿cuánto mide elángulo AOD?

A) 60°

B) 50°

e) 40°

1) 30°


\1 ().. 1 '>.B A) (1) por sí sola.

Ii) (2) por sí sola.

.' C) Ambas juntas, (1) y (2).



281280

A) 200 cm'~ F B) 400 cm'DIIJI \c

BI,

C) 800 cm',.D) 1.200 cm'

'E) 1.600 cm'

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Mateln:ática

29) El radio.de la circunferencia de centro O. de la figura adjunta. mide 8 cm. ¿Cuánto mide la cuerda

AB?

(1) T es el punto medio de AB

'~:'¡

TERCER EJE TEMÁ TrCO / Test N" 6. PERfMETROS y ÁREAS

CAPÍTULO 6. PERÍMETROS Y ÁREASTest N° 6: Perímetros y áreas

1) El área del rectángulo de la figura adjunta es,

A) 40 cm'

E) 48 cm'

C) 50 cm'

D) 80 cm'

E) 100 cm'

(2) OTl.AB y OT=6 cm



C) Ambas juntas. (1) y (2).


E) 'Se requiere información adicional.

:i

1

1

30)' Si O es el centro de la circunferencia de la figura adjunta y BD y AC' son diámetros. Es posibledeterminar la medida del ángulo ACB si se conoce que: '

"", ..10 c~/'-,/.-

...,,'

8cm

(1) Be =2·,ij3(2) a = 120°

D

2) Un pasillo embaldosado de 2 m de ancho, rodea un jardín rectangular de 20 m de largo y 12 ID deancho. El área del pasillo mide ' ,

A) 68 m'

B) 120 m'

C) 144 m'

D) 150 m'

E) 160 m'

3) EÍJ la figura: ABCD' es un cuadrado cuyo lado mide 40 cm y t1 DCE es equilátero. El área achuradamide

E

A lB

4) En la figura adjunta se tiene una circunferencia de centro O y radio r. El área achurada mide

A) 1!r2

12



C) Ambas juntas. (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2).


B)1! r2-

1 9[1

11 - ,1H2

Cli C) -

jl8

2!~ 'D) 1!.f

¡l" . 6A1

RESPUESTAS CORRECTAS'11t r2

E) -41 t:1 H I V Vl I ~,·'t.L I J "(,l IU II la Ul I J e 1" " 1 U 'L 1 a '9 1 V', I V'v I a'E oz I H'I I

~.282

283

•..


5) Si el lado de un cuadrado disminuye en 3 cm, su área resulta igual a 81 cm', entonces ¿cuánto mideel perímetro del. cuadrado original?

A) 48 cm

B) 44 cm

C) 36 cm

D) 24 cm

E) 12 cm

6) Si en la figura adjunta todos ios 'ángulos son rectos, entonces su área, en términos de x, se puedeobtener mediante:

TERCER EJE TEMÁ -rICO I Test N" 6, PERÍMETROS Y ÁREAS

9) ABCD es un cuadrado de lado 2 cm, Los cuatro arcos. de circunferencia se dibujaron con centro enel punto medio de cada lado .del cuadrado, El, área sombreada mide

A) (21i - 4) cm' D

B) ,(4.- :i41t) cm'

C) (1t - 1) cm'

D) (27t - 2) cm'

E) 2 cm'1) (8x '3x) +(2x 'x) + (4x ' 2x)

TI) (IOx' 5x) -[(2x)'-i- 2 (2x' 3x)] I lO)4x

l!HIiIiIIIilIIlir) [(7x' 5x) - (3x' 2X)] + 83x)'_(2x)']

A) '$ólo 1 x

B) Sólo II 2x _=n7 3)(

'C) Sólo III 8x

D) Sólo I,Y II h 11)

E) 1, n y In,',I1;

7) En la figura adjunta, las dimensiones del rectángulo inscrito en la circunferencia son 16 cm y 12 cm,¿Cuánto mide el área achurada?

o:'A) 196" - 192 cm?

B) 144" --192 cm?

C) 1211t - 192 cm?

D) 100" - 192 cm'

E) 81lt - 192 C¡p2

8) Si en la figura adjunta, el paralelógramo ABCD tiene área igual a 48 cm' y AE = 2, EB , entonces¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

1) - Área(tlDEC) ~ 24 cm'

II) Área(tlEBC)=8cm'

III) Área(tlEFB) = 6cm'A) Sólo 1

B) Sólo II

C)Sólo III

D) Sólo I y IIE) I, n y 1lI

~\ . ;;¡e

A~ Y }~

F

284

¿Cuál es el área de 'un triángulo cuyos lados miden 15 cm, 15 cm y 24 cm?

A) ·54 cm'

,B) 108 cm-

C) 180 cm'

D) 216 cm':

E) 240 cm'

¿C~ál es el 'área de un hexágono regular inscrito en un círculo de radio 8 cm?

A) 16,J3 cm?

B) 96.fj cm'

C) 128,J3 cm?

D) 192.J3 cm'

E) 20813 cm!

ill, ¿Cuál es el radio de una circunferencia, si la longitud de un arco de 45° en ella es 31<?A) 214

B) 18

C) 12

D) 8

E) 613) Se tiene un triángulo ABC, cuyos lados miden a ~ 35 mm, b = 53 rnrn Y e = 66 mm, Desde el vértice

C se trazauna recta CD que divide al triángulo en otros ,dos. de igual ¡J~rímetro, Los segmentos ADy DB miden, respectiVamente


14) Si en el paralelógramo. ABeD de la figura adjunta. E y F son los puntos medios de AB y Be.respectivamente. ·¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1) Área achurada = 2.Área(L\ AED}

Il) Área achurada = 2 Área (L\ FCD)

ID) Área achur~da = Área (L\ AED) + Área {L\ FCD)

A) Sólo I

B) Sólo nC)· Sólo ID

D) Sólo I y II

E) I.IIyID

AL-' -----'

TERCER EJE TEMÁTICO I Test·N" 6; PERÍMETROS Y ÁREAS

( 17) En la figura adjunta. si el área del paralelógramo ABeD es n, y si la longitud de DE es n +..!.. .•entonces la longi;ud de AB es . n

A)n

B) _1_. J l'n + 1

C I . e) n + 1

,D) .z., A E B

n + 1

E)n'

~

15)' El perímetro de un rectángulo es 6x. Si uno de sus lados mide'::' • ¿cuál es el área del rectángulo?·2 .

IIl.

I

A) x'4

B)5x2-

4

e) 5x'-

2'

D) l1x2

4

E) .1lx'2

16) ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles de .la figura?

A) 21

B) 24

e) 24 + J2D) 18 + 6.fi

E) 24.fi

286

6

A\I 12 I

18) Si el área de un círculo es ·64n cm'. entonces la longitud desu circunferencia es

A) 8ncm

B) 16ncm

C) 321tCm

D) 64ncm

E) 128n cm

19) En la figura. L\ ABC es rectángulo en C. D y E son puntos medios de AB. y CA. respectivamente yAe = BC = 2 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones esíson) verdadera(s)? .

I) El triángulo CDE es isósceles.

TI) El ~ea del triángulo CDE es 0.5 cm'.

III) El perímetro del triángulo CDE .es (2 + J2) cm.

B

A) Sólo l

B) Sólo Ir

C) Sólo ID

D) Sólo 1 y Ir

E) l. II Y ID

D

VI"e E A

20) Si el área del rectángulo ABCD de la figura adjunta mide 48 cm'. ¿cuál es el área del triángulo ABE?. .A) 12 cm'

B) 24 cm'

C) 30 cin'D) 48 cm'

E) 60 cm'

287

iI¡

I1:

1:¡:!¡~;~I;1

¡'I

!...

PSU,. C~aderno de Ejercicios. Matemática

21) En la figura adjunta, ABCD y AEFG son rectángulos. EB =AG = 8 cm, FC = la cm y FD =2JlO cin.El área de la superficie achurada es r- F

!~ . TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 6, PERíMETROS Y ÁREAS

25) Cuatro palos redondos -de 6 cm de diámetro cada uno se han atado con una cinta de plástico .como se .muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud de la cinta de plástico que ata los palos?

A) . 24 + 61t cmA) 28cm2

B) 30cm' " B) 48+121t cm

C) 32cm'. e) 12.+ 31t cm

D) 34cm' C D) 36 + 91]; cmE) 36cm'

B E) 24 + 121t .cm

22) En la figura, ABCD es un cuadrado y 6 ABE es equilátero. ¿Qué parte dei área del cuadrado es elárea achurada? .

1A) ¡

1'B) '3

1C) '2

2D) 3

3E)¡

)..., =-C

Ir 'B

23) En la figura, ABeD es un rectángulo. Si AC es una semicircunferencia de radio 3 cm y ",1<l: BACmide 300

, entonces el área achurada mide

A) rt cm-

B) '2n cm' .

C) '3n cm'

D) 4n cm'

E) 5n cm'

24) El triángulo ABC es rectángulo en. C. Se han construido sobre los catetos los cuadrados Entrc yACDE. Si Á.B = la cm, ¿cu~to mide el. área achurada?' .~

D'A) la cm'

E) 20 cm'

q 50 cm'

D) 100 cm'

E) No se puede determinar

• 288

26) En un círculo de radio r se dibujan los diámetros perpendiculares PQ y RS, y haciendo centro en Py radio PS se traza el cuadrante de circunferencia PRS. El área de la superficie achurada mide.

1 2A) ¡ 1t r

E) (2: - 1}', . 2

C) 1t r'D) r'

1 ,

RE) '2 1t r

27) El área de un cuadrado que tiene igual perímetro que un triángulo equilátero cuya altura mide ~.f3. . . 4cm es

A) 36a' cm'

9a'B) - cm-

4

9a'e) - cm'

16

9a'D) - cm?

64

a'. E) -- cm'

576

H

289


28) ¿Cl!áI es el área del trapecio ABCD de la figura adjunta?

(1) El trapecio es isósceles y Ab = 10 cm.

(2) La mediana del trapecio mide 12 cm y su altura 8 cm.



C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1). ó (2).

E) . Se requiere información adicional,

L6,m.~A 18 cm B

29) En el ó. ABC de la figura: CD es bisectriz del4:ACB y AC = BC. ¿Cuál es el perímetro del

Ll ABC?

(1) AD = 3 cm y BC= 5 cm

(2) CD = 4 cm


B) (2) por sí sola ..


D) .Cada una por sí sola, (1) ó (2).


e

J - tD 'B

30) Dos lados de un triángulo miden 6 cm y 8 cm.· Se puede calcular su área si:

(1) El triángulo es isósceles.

(2) El triángulo no es rectángulo.



C) Ambas juntas, (1) y (2) .

. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) .Se requiere información adicional.


290

I~ .

• TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7. SEMEJANZA

CAPÍTULÓ 7. SEMEJANZATest N° 7: Semejanza

1) Si dos polígonos son semejantes, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)siempre verdaderat s)?

1) .Los polígonos tienen ángulos correspondientes de igual. medida.

II) Sus lados correspondientes son proporcionales.

IU)" Los polígonos tienen la misma forma.

A) Sólo 1

B) Sólo 1 y II

el Sólo 1 y III

D) Sólo U y III

E) .r, II Y III

2) La razón entre. la altura del triángulo ABe y la altura correspondiente del triángulo MNP es7 : 10. Si los dos triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón entre las áreas de estos triángulos?A) 7 ·10

B) 10 7 ,

e). 49 100

D) 343 1.000

E) 1.000 343.

3) Si en la 'figura adjunta t; ABC - t;DEF , entonces x _ y =

A) 1,5

B) 2.0.

e) 2,5

D) 3,0

E) 3,5

e

~A 7 .B

F

~D .. E

12m

~2m

. 4) En la figura, los triángulos son semejantes. La altura del árbol es

A) 6mB) 8m

C) 12 mD) 18 m

E) 24 m

~~~

4m

1)·

Ix

~

291

f~t

I1,

F',1I~~

~d!I1,

¡i

liI

I~

tl'1

1

111:


5) Un triángulo tiene lados con longitudes 8, 12 Y 15. Las longitudes de los lados de otro triánguloson 12, 18 Y 22,5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Los triángulos tienen sus áreas en la razón 2:' 3.

B) Los triángulos son semejantes por el postulado Lado-Lado-Lado.

C) Los triángulos son semejantes por homotecia.

D) Los triángulos no son semejantes.'

E) Ambos triángulos son rectángulos.

6) De acuerdo a la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1) BE: CD = 2,: 7

I1) perímetro del A ACD = 2, perímetro del A ACD 1

área del A ABE 1Jrr) área del A APC = 9A} Sólo rB) Sólo II

C) Sólo 1 y rr

D)Sólo II yIII

E) r, II Y III

e

d J "A

TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7, SEMEJANZA

8) Si a un cuadrado ABCD le aplicamos una homotecia concentro en A y razón -1,: 2 secbtieneotro cuadrado A'B'C'D'. La figura que mejor rep~esenta esta situación es,

A' liT C) D' e' E) "tEJD' e', .

A =A' B' B D eD' A=A' B

A=,A' B B'"'pe D) :bJeB' ,B D' B

e' D' B' e'·

'~

9) Si a un pentágono de perímetro 24 cm se le aplica una homotecia de razón k = 3 1, ¿cuántomide el perímetro del pentágono resultante? '

A) 4 cm

B) 6 cm

C) 8 cm

D) 72 cm

fl) 96 cm

10) Se llama semejanza al movimiento obtenido por

A) traslaciones

B), rotaciones

C) reflexiones

D) simetrías deslizantes

E) hómotecias

11), Silos triángulos de la figura son semejantes, entonces el perímetro y área del triángulo A'B'C'son, respectivamente

7) A un triángulo con vértices en los puntos A( -2, -1), B(2, ~ 1) Y ecO, 4), se le aplica una homoteciacon centro en el origeny. razón 3 : 2. Las coordenadas de los vértices del triángulo que se obtieneson

A) A'( -3,-%} B'(3:-%} C'(O,6)

B) A'(-.!..!.) B,(2 2.) c,(i 2.l.12'2' ,2'2' 2'2)

A) 18 cm y 13,5 cm'

B) 12 cm y 6 cm'

C) 8 cm y 4 cm'

A A~'

3,:~ 4.5= .. '4cm e 'B' e:

A'( -t,-%} B'( ~,-~} C' (-~,~)

D) A'(3,n B't3,~} C'(O,-6)

C)

E) A,(_i -~) B,(i: -~) c'(o ª-)3,' 3' 3' 3' , 3

D) 8 cm y 2f cm'

E) 18 cm y 9 cm', ,

292 293

1:.,PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática,¡I

: I~

11

11

J2) La pizzería "don Vitto" ofrece una pizza napolitana de 15 cm de diámetro a $1.800, ¿a quéprecio deberá vender una pizza con el mismo grosor, con los mismos ingredientes, pero' con 45cm de diámetro?

A) $3.600

B) $5.400

C) $7.200

D) $iO.800

E) $16,200

13) ¿CuáJ(es)de las siguientes parejas de triángulos es(son) semejantes?

1)

~

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) SóloJ y III

E) Sólb II y III,

7A?'l. '~ G)·,'2,A,? 2116 8, ~

, , 3t10

III)

.A ,30'

~

14) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

A) Dos.polígonos congruentes son ',siempre semejantes.

El) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes,

C) Dos cuadrados son siempre semejantes,

D) Dos círculos son siempre ,semejantes.

E) 'Dos rectángulos son siempre semejantes.

15) Los perímetros de dos figuras 'semejantes son 30 cm y 18 cm. ¿En qué razón están los lados?

A) 25 : 9

B) 10: 9

C) 6:2

D) 5: 3

E) 5: 2

iI~1,

Ii~

294

*li' TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 7, SEMEJANZA

16) En la figura, AC .LBD y ED .L AB , ¿cuá1(es) de las siguientes alternativas es(son) verdadera(s)?

1) FD' FE = FA . Fe

Il) AC' ED = AB . BD

III) FD' FA = FC . FE

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

El Sólo 1 y III

o

e

AL E "B

17) En la figura: CE = 2 cm, DE = 6 cm y AB = 12 cm, entonces la medida de AC es

eA) 3 cm

B) 4 cm~EC), 5 cm

D) 6 cm

E) 8 cm a''' .... , 'B

1"8) Si li. ABe ~ li. DEF, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a AB?

1) BeDE ' EF·AC AC·DEI~

Il) -- I1I)EF' Be DF

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1y II

E) Sólo 1y III

i9) La tarjeta de la figura está dividida en cuatro partes, cada una de ellas semejante a la tarjetaoriginal. El valor de x es

Al 5B) 10 EllIJx" . ,C), 15D) 20

) 10 10 10 10

E) 30

295

PSU. Cuaderno de EjercícíosvMatemútica

20) De acuerdo a la figura, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera/s)?

1) PQ = 8

II) <l: OPQ = 90°

III) '" SOR - '" QOPA) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo 1 y II

D) .Sólo 1 y III

E) (TI Y III s

R

II,~

~

1J!~•~~f'

JI

~

~~~.~~~~~1('

rtr~

21) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. D es el punto medio de AB. DE es

perpendicular a AB. Si AC = 12 Y AB = 20, el área del triángulo DBE es·c

A) 30 .B) 35

C) 37,5A uD) 48

E) 58,5

.E

/ 1 '>.8

22) En el triángulo is6sceles PQR de la figura, PR'= QR; PS es bisectriz del ángulo en P. ¿Cuá1(es)de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

1) Los triángulos PQS y PRQ son isósceles .

II) El triángulo PQR es semejante al triángulo QSP.·x 3 .

R

III) 3' = x-3

A)

B)

C)D)'E)

Sólo 1. ,

Sólo II

Sólo 1 y II

Sólo II y III

1, II Y III

pV ~ la

23) Dos octógonos regulares tienen lados cuyas longitudes son 6 fj y 9. La razón de sus áreas es

l.l'

il'

A) 4: 3

B) 2,[j: 3

C) 2:.[3

D) Ms:9É) 2: 1

296.

Q

TERCER EJE TEMÁTiCO I Test N" 7, SEMEJANZA

24) Si DoABC - '" JOT, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

'A) BC· OT = AC . JT

B) AB· JO = AC . JT

C) AB· JT = BC . OT

D) AC· OT = BC . JT

E)AC • OT = AB .' JO

25) ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es siempre verdadera?

A) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

B) Dos triángulos is6sceles son semejantes cuando tienen igual el ángulo del vértice.

C) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcio-nales. . .

D) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen Iashípotenusas iguales ..

E) . Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus lados respectivamente paralelos.

26) En el triángulo ABC, rectángulo en B: EFI/BC, AF = Fe = 5 cm y AB =.6 cm. Si la mediana deltrapecio BCFE mide 6 cm, entonces ¿cuánto mide el perímetro de este trapecio?

. A) 12 cm

B) l5cm

C) l8·cm

D) 20 cm

E) 24 cm

A~.··F·'···

E .

CB

27) En. la figura: ABCD es un paralelógramo. El valor de x+y es

A) 14,4 cm

B) 10,0 cm

C) 9,0 cm

D) 8,0 cm

E) 7;6 cm A

28) ¿Es el <t PSR congruente. con el <l:TQR?16

( 1) <t SPR '= <t: QTR

PR SR(2) TR = QR

!

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D)Cada una por sí sola, (1) 6 (2)

E) Se re·quiere. información adicional

pQ

297

I

i1:

¡ti¡


29) Se puede determinar la medida del segmento WZ si:

(1) RW = 15, ZR;= 10 Y SZ = 8.

(2) 4:SRZ := 4: WZS

w

B

'{ TERCER EJE TEMÁ rtco I Test W 8. GEOMETRíA DE PROPORCIÓN~--------------------------~~~~~~~~~~~~~~--~~~~~~!'~I CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

Test N° 8: Geometría de proporción

1) Dado un trazo AB = 80 cm 'y un número real A. = ~, entonces dividir armónj~amente dicho trazo ABen la razón i significa 3

. AC 51) Encontrar un punto e entre A y B tal que '" _

'. CB 3

II) Encontrar un punto D en la prolongación de AB, a la derecha de B, tal que AD. . DB

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambasjuntas, (1) y (2)

D) Cada -una por sí sola, (1) ó (2)


RI 'JZ·

III) Encontrar un punto D. en la prolongación de AB" ala izquierda de A" tal que AD = ~DB 3

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correcta(s)?

A), Sólo

B) Sólo TI

C) ,Sólo III

D) Sólo 1 y TI

E) 'Sólo 1 y III

2) Se tiene un segmento AB de 95 cm. Al 'dividirlo interiormente por dos puntos dados P y Q tales queAP : PQ ': QB ;=3 : 5 : 11, la diferencia entre el mayor y er menor de los segmentos que resultan de taldivisión es

A) 15 cm

B) 25 cm

C) 40 cm

D) 55 cm

E) 60 cm3) Cuando se divide un cierto trazo, AB, armónicamente en la razón de l....:. 4, la distancia entre los

puntos de división interior y exterior es de 48 cm. La medida del trazo AB es

A) 12 cm

B) 14 cm

C) 18 cm

D) 24 cm

E) 28 cm

30) Con respecto a la figura adjuntavpodemos determinar el valor de y - x si sabemos que:

(1) EDIl AB(2) CD = 14 A

4) En la figura adjunta, ABIiCD. Si OA;= 10 cm, AC .; 8 cm y BD;= 12 cm, entonces OB;=

OA) '9,6 cm

B) 10 cm

C) 14 cm

D) 15 cm

E) 16 cm'

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola'


D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2) .

E) Se requiere 'inforrnaclón adicional


298299

PSU - Cuaderno de Ejercicios, Matemática

, 5) En "la figura adjunta se muestra un trazo AB de 20 cm, M es el punto memo de .AB, Los puntos C

y D dividen al trazo AB, el primero interiormente y el segundo exteriormente, en la razón 7 : 3,

fA B DM e

.Al respecto -se' plantean las' siguientes afirmaciones:

1) MA2 MC 'MD

II)2

AB1 1-+-

AC 'AD

III) Los puntos B y A dividen armónicamente al trazo CD en la razón 2 : S, ,

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correctaís)?

A) Sólo 1 y TI

B) Sólo II y mC) Sólo 1 y III

D) Sólo III

E) Todas

6) En la figura adjunta, AB/I CD /1 EF, Suponiendo que todos los trazos indicados a continuación semiden con la misma unidad de medida "u", y si AC = 6u, CE = 4u y DF = 6u, entonces BF =

A) 4u

B) 9u

C) 12u

D) lSuF

E) 18u

7) En la figura adjunta se cumple que CDII AB, OA ~ 12 cm, OD = 18 cm y eB = 35 cm. El segmento

oe mide

A) 12 cm

B) 14 cm

C) 15 cm

D) '16 cm

E) 21 cm',

300

TERCER,EJETEMÁTICO I Test N" 8, GEOMETRJA DE PROPORCIÓN

8) En el cuadrilátero ABCD de la figura adjunta, se han dibujado sus diagonales AC y BD, las cuales se' cortan en P. ,Se trazan DM /1 Be y eN 1/ AD. En tales condiciones se afirma que

CP NP D1) -=-

PA PD

MI> DPTI) -=-

,PC PB

1Il) MN// AB

De las afirmaciones anteriores,¿cuál(es) de ellas es(son) correctá(s)?

A) Sólo 1

B) Sólo TI

C)~m V ~D) Sólo r y TI A B

E) Todas

9) Los lados de un triángulo ABC miden BC = 8 cm, Cs: = 10 cm y AB = 12 cm. Se dibuja un~ paralela

MN al lado AB de tal modo que el perímetro del triángulo MNC sea igual al perímetro del trapecioABNM. Él valor de MN es" ,

A) 10 cm

B) 8 cm

C) 6 cm'

20D) '3 cm

25E) 3cm

10; ¿En cuál de los casos -síguientespodemos afirmar que dos triángulos son semejantes?

1) ,Tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

TI) Tienen un ángulo respectivamente congruente comprendido entre .lados proporcionales.

IlI) Tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es (son) correcta(s)?

A) 'Sólo TI

B) Sólo III

e) S610 TI y III

D) S610 1 y TI

E) 1, II Y III

301


11) Se da un triángulo ABC rectángulo en C. ¿Con cuál de los Procedimientos siguientes podemosasegurar que se obtiene, al menos, un. triángulo semejante al triángulo ABC?

I) Trazando una paralela DE a la hipotenusa.

ir) Dibujando la altura CD = he relativa a la hipotenusa.

Ill) Trazando la bisectriz del ángulo recto;

De los procedimientos anteriores, ¿cuál(es) de ellos esfson) correcto(s)?

A) S610 rB) S610 II

C) S610 III

D)S610 l y II

E) Sólo l y III

12) La media proporcional geométrica entre dos trazos de 6 cm y de 24 cm es un trazo de

A) 9,6 cm

'B) 12 cni.

C) 13 cm

. D) 14 cm

E) 15 cm

13) En el triángulo rectángulo ABC de la' figura adjunta, rectángulo en C, BC '" a y CA '" b '" 2a.

CD = he es la altura relativa a la hipotenusa, entonces CD '"

1A) -' -'a215

115'B) - 5 a5

C) ~15 a2

e

l·

. 5 IrD) -...;5 a, 2

E) 3.15 a5 ,

En un cierto triángulo rectángulo ocurre que la suma de la medida de la hipotenusa con la medida deuno de los catetos es 25 cm, mientras que la diferencia entre las medidas 'de ambos es. de 9 cm.Entonces la medida del otro .cateto es de

o \BA/ D

14)

A) 8cm

,B) 9 cm

C) 12 cm

D) 15 cm

E) 16 cm

302

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

15) Cuando dos circunferencias son tangentes exteriormente, ocurre que la longitud del segmento detangente común exterior es igual a lamedia proporcional geométrica entre sus diámetros, Según estapropiedad, '¿cuánto mide la longitud de la tangente común exterior a las dos circunferencias tangentes,exteriormente de la figura adjunta de radios r = 4 cm y R '" 9 cm? '

A) 6cm

B) 6,5 cm

C) 12 cm

D) 13 cm

E) 14 cm

16) ¿En cuál(es) de los siguientes casos secumple que la medida del segmento indicado es mediaproporcional geométrica entre las 'medidas pe los otros dos segmentos?

1) La altura de un triángulo 'rectángulo y los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.

II) Un cateto de un triángulo rectángulo con respecto a su proyección sobre la hipotenusa y lahipotenusa entera.

1lI) La tangente trazada a una cb:cunferencia desde un punto exterior y los dos segmentos deuna secante trazadas por el mismo punto exterior: el segmento ínterior y el segmento exterior

De las afirmaciones -anteriores, ¿cuál(es) de ellas es (son) correcta(s)?Si

A) Sólo I

B) S610 II

C) SóloIII

D) Sólo 1 y II

E)' Sólo l, y III

17) En la figura siguiente, siendo ABC un triángulo rectángulo en e, ocurre que el área del cuadradoBHIC es idéntica al área delrectángulo BDEG. Este hecho. geométrico ilustra mejor el teorema de

, 1

A) Euclides de la altura

B) Euclides del cateto

C) Pitágoras

D) los paralelogramos complementarios

E) no corresponde a ningún teorema en

espe~ial

18) 'Las diagonalesde un rombo miden 30 cm y 40 cm. ¿Cuánto 'mide el radio de la 'circunferenciainscrita en él? '

A) 12 cm

B) 15 cm

C) 18 cm

D) 21 cm

E) 25 cm

,,----_. ~

Á'

303

A) 24 cm

"1

B) 28 cmje) 32 cm

IID) 40 cm11

E) 60 cm~~ ~

1

305I304

II~,

J

r!r~I1

~

~r~II

e 'Al2pq ~B) pq

h.e) p2 + q', .'. E

Aé y ~B I D) q2_p' '~D~'q p, . q p

E) (p+q)he


19) En la figura adjunta, los catetos del triángulo ABe, rectángulo en e, miden a = 3 cm y b = 4 cm. Larazón en que están los segmentos p y q, proyecciones de a y b respectivamente, sobre la hipotenusa, es

13A) 2

3B) "4

9e) 16

81D) 256

4El "3

TERCER EJE TEMÁTICO / Test W 8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

22) En el triángulo ABC, rectángulo en e, indicado en la figura adjunta, se traza la altura CD = he ' la que

determina sobre la hipotenusa dos segmentos de longitudes p y q. En seguida se trazan DE.L Be y- - . 2DF .L AC. En tal caso, EF

23) En la figura adjunta, PT es tangente a la circunferencia de centro O y la recta PB es secante a dicha

circunferencia yno pasa por el centro. Si construimos un cuadrado cuyo lado es PT , entonces élserá eql.\ivalente a un rectángulo cuyos lados son los segmentos de medidas:

1) PAy AB

, II) PA Y PB

III) AB Y PB

IV) (PO + OT)y (PO - OT)

De las expresiones anteriores,QI / \ -->p

¿cuál(es) es(son) correcta(s)?

A) Sólo 1 y mB'

B) Sólo II

e) Sólo IV

D) Sólo II y IV

E) S610 I, TI Y m

20) Dado el triángulo rectángulo ABC -con todos sus elementos, indicado .en.Ia figura adjunta, . Si 'seconstruye otro triángulo rectángulo cuyos catetos sean la suma de los catetos del triángulo .dado y laaltura del triángulo dado, entonces la hipotenusa sería: .

A) a + b + he e

B) e + he AA, 1:,

e) a·+ b + e

r» a + he

E) b + he'<....... . --v- D_-----------"

e

21) En un cierto triángulo rectángulo ABe, rectángulo en e, lahipotenusa mide 15' cm y su alturacorrespondiente mide 6 cm, La longitud del cateto mayor es de

A) 6:.J5.8) 5:.J5C) 4:.J5

I 24)

r» 3.:.J5E) 2:.J5

P es el punto de intersección de las tangentes exteriores a las circunferencias de centros' O yO', Si elradio de la circunferencia menor es r = 3,5 cm, el radio de la circunferencia mayor es R = 14 'cm y-la

distancia AP = 8 cm, entonces PB =

PSU. Cuaderno de' Ejercicios, Matemática

.25) Dos cuerdas AB y .CD se cortan en un punto P de un círculo cuyo centro es 0, tal como se muestraen la figura adjunta.

A

c.B

Si con algunas parejas de los trazos determinados en la' figura anterior se construyen dos rectángulos,éstos resultan ser equivalentes. La opción que ,nos indica los rectángulos que siempre son equivalenteses

306

!!'

A)

B D

p

p

C

p

p

B

p

D

~'.TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

A

'B)

p

e

26) En el triángulo ABC de la figura adjunta, EF // AB. Además EF = a, AB = 1,4a y el área del triángulo

ABC es 98 cm". El área del triángulo EFC esC

A) 35 cm?

A

C)

p B

B) 42 cm?

C) ~9 cm" El '>, FI ,

A

D)

D

D) 50 cm '

E) 56 cm?

Al 'B

E)

P. B

27) En un trapecio ABCD, de bases AB y CD, se trazan las diagonales AC y BD, las cuales se cortan

enO, El área del triángulo COD es de9 m2y el área del triángulo ABO es de 16 m2, Elárea del

trapecio' es igual a' .

A) 49 m2

B) 37 m '

C) 28 m '

D) 25 m2A: TI • -=ZVIT"'" R

E) . Faltan datos

728) Se' desea dividir armónicamente un trazo AB = 40 cm en la razón A. = '3' Para ello es necesario y

suficiente

(1) Dividirlo interiormente en la razón A.

(2) Dividirlo exteriormente en la razón A.

A) (1) por 'sí soiit

B)' (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (l)y (2)


'E) Se requiere información adicional

.. 307

A

B

P

p

B C

PSU. Cuaderno deEjercicios, Matemática

29) Con respecto a las medidas de los trazos de la figura adjunta, se cumple entre ellos la relación

AO BOOD = OC' Para que ocurra la proporción anterior debe cumplirse necesariamente que:

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS

CAPÍTULO 9. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y DE PITÁGORASTest N° 9: Triángulo rectángulo: Teoremas de Euclides y de Pítágoras

(1) el // e, BI Il 1)"==:,A el" I(2) tl ABO - ,t!. DCO

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola oC) Ambas juntas, (1) y (2) cl "':"D e2) "D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)


30) En el triángulo ABC de la figura adjunta, la altura CD = h, cae en el interior del trazo AB , dividiéndolo

en dos' segmentos p y. q tales que p + q = c . Entre las longitudes de los segmentos p, q y h, se

cumple la relación h; .~ P q, Esta relación es válida siC

(1) El triángulo ABC es rectángulo en C

(2) El triángulo ABC es isósceles de base. AB

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola'

C) Ambas juntas, (1) y (2)AC:y: 'Xy'>B

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) q D p

l' e' IE) Se requiere información adicional


V 'DE a '91

;).'\,! a '1

308"

En la figura adjunta, el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C. El valor de x es

A) 3MB) 30.J5

B

C) 4M I ~x.30

D) SM,E) IO.J5

C 60 'A

2) ·En el triángulo ABC de la figura adjunta, rectángulo en A, la medida del lado AB es

GA) ±2~

B) .,-.fiC)D) .fi

AD '\.BxE) 2

¡;...-

3) En el triángulo rectángulo de la figura adjunta, la medida de BC es

A) 7B) / 8

C) 11

D) 12

E) Jl94.~,A 13

4) De acuerdo a .los datos en la figura adjunta, el valor de x es

A) 7l-5

B) gol3

C) 10±

D) 11

E) IS

C

A~B x

309

..._--_.


. 5) Eltriangulo ABC de la figura es rectángulo en C. Si CD es la altura respecto de la hipotenusa,

AC = 6 cm y BC = 12 cm, entonces Ia medida del segmento AD es

6../5

3../5

2../5

.6 ~. D) -,,55

E) '!:..../53

A)

B)

C)

cm

cm

.~A. x D . B

'~TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y mi PlTÁGORAS

cm

9) El perímetro de la figura adjunta es

!~' A) 28 cm

B) 32 cm

C)36 cm

D) 37 cm

E) 39 cm

3cmn40m

cm

cm

10) En la figura adjunta, el triángnlo ABC es rectángulo en C y CD es la. altura respecto de la

hipotenusa. Si AD = 8 cm y CD = 16 cm, entonces la longitud d~ BC es

A) 16)5 cm

.~

B) 32 "cm

C) 16J3 cm

D) 16J2 cmA D B

E) 8)5 cmr,~-. .,. ... 11) De acuerdo a.los datos de la figura adjunta, el perímetro del triángulo ABC es

ir"_.

A) 8 + 12)5 cme '. .

B) 20 + 12$ cm

4~~C) 16 + 10)5 cm

D) . 16 + 12)5 cmA 4cm D B

E) 30 + 4)5 cm

6) Enelrriángulo ABC, rectanguloen C, AB = 20 cm y AD = 4 cm. La medida de la altura CD es

.~.A D B

A) 6 cm

B) sJ2 cmC) 8 cm

D). 4../5 cm

E) 10 cm

7) El triángulo ABC es rectángulo en B e is6sceles. Si

AB es

A) 9J2 cmB) 11 cmC) 10 cm.D) 9 cm

E) ·4J2 cm

AC = 18 cm, entonces la longitud del lado

A¿JCB

12) De acuerdo a los datos de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdaderars)?

1) AC=)5. cm.

I1) <r ADC= 90°.

III) <r:BCD = 90° .

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) S610 1 y II

D) Sólo 1 y mE) 1, II Ym

'C

" , \BA 2cm

8) En la figura adjunta, ABCD y CEFG son cuadrados. Si el área de CEFG es 36 cm2,¿cuál es el áreade ABCD? .

Q.A) 6 cm2

B) 6J2 cm?LJ~ )FC) 9 cm'

D) 18cm2

E) 24 cm- A. BilIII

310311

15) En la figura adjunta, el t.ABC es equilátero de perímetro 24 cm, AD = 813 cm y AB 11 DE .¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero DECA?

C

A) 12(3 + -13) cm

B) 8(6 +-13) cm Al \8

C) 4(17 + 7-13) cm

72-13I \ I 20)

f~ D) cm

E) 8(3 + 11-13) cm J I lED

16) De' acuerdo a la figura adjunta, ¿cuál es la longitud de DB?'


13) Si todos los triángulos de la figura son rectángulos e isósceles y OA = 1 cm, entonces la longitud

de EO es

A) 4fi cm

B) 4 cm

e) 3J2 cm~B

¡I~i!l"

D) 3 cm

E) 2J2 cm

E o 1 A

14) En la figura adjunta, Ae =8 cm, BC = 4 cm y BD = fi. ¿euál es la longitud de AB?

1A) 4J2 cm

~' B) 4-13 cm'l

4.[5 cme)

D) .fi4 cmA

E) 4.J7 cm

JjA) 13m

B) 11m

C) 9 m

·::1:D) 7 m

~¡! E) 5' m

ir"n;I.: 312,.~:¡¡;

ALh

16m D ,B

e'

TERCER EJE TEMÁTico I Test N" 9. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAs DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS

17) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a ésta en dos segmentos cuyaslongitudes son entre sí como 1 : 9. Si la longitud -de la altura es 9 cm, entonces la longitud de lahipotenusa es

A) 10cm.

B) 20cm

e) 30cm,

D) 40cm

E) 50cm

18) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en dossegmentos cuyas longitudes son 5 cm y 45 cm. ¿euál es la longitud de la altura?

A) llcm

B) 12cm

e) 13cm

D) 14cm

m IScm

19) Si en la figura adjunta, AC =13 cm y BC = J6 cin, entonces ¿cuál(es) de las siguientesproposiciones es(son) correctats)?

1) AB=3 cm

1I) CD =12 cm ..'.A D

IlI) Área(t. DBe)=vIz cm'

A) Sólo 1

B) Sólo 1 y TI'C) Sólo 1 y III

D) Sólo II y III

E) 'I, II Y III

Si se construye un 'rombo con .lado igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado p,entonces la mayor de las diagonales del rombo tiene longitud

Al2p 21--B) 2pJ2 . . ,,/-,_,/

e) P.J5 p . . ,/

D) - 2p.[5 , __,/

E) p~4+2J2 ,/

313

A) 3J2 cm27)

R

B) 3J3 cm

P~Q

C) 3-J6 cm

D) s.Ii cm

E) 3M cm


21) Si MNPQ es un rectángulo y QR -L MP , entonces, de acuerdo a los datos de la figura, QR =

m2n2A)

m2 + n2

mi + n2 Q. P

B) --mn

rnn ' , I .\. ../' InC) .Jm2 + n2 ,I/R,

IN~D) M m

m2 +'n2

E) )m2

u:n2

22) La altura correspondiente a I~hipotenusa de ,un triángulo rectángulo divide a ésta en segmentoscuyas longitudes son 6, cm y 21 cm, ¿cuáles son las lon~itudes, de los catetos?

A) 9J2 cm y 9,fi cm

B) 3-J6cm, y 3m cm

C) is cm y 56 cm

D) 3-/14 cm y 6 cm

E) 3-/14 cm y 21 cm

23) Si en la figura adjunta, eltriángulo PQR es réctángulo en R iRQ = 6 cm, entonces la longitud de

RS es

314

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS

24) Si en la figura adjunta, BD = De ,,;6 cm y AB =2' Be, ¿cuál es la longitud de AD 't :

A) 6J2 cm /VeB) 9 cm

C) 12 cm

D) 12J2 cm ,:1-

A ' BE) 18 cm

25) ¿Cuál es el área del triángulo ABC de la figura adjunta?

BA) 4J5 cm'

B) 10 cm'

e) 'sJ5 cm'

D) 20 cm'

E) 40 cm'

26) ¿Cuál es la longitud de Be en la figura adjunta?

A) lOcm

B) l6cm

C) 18cm

D) 20cm

E) 24cm

!! u 'A

e

Si el triángulo ABC de la figura adjunta, es rectángulo en el vértice e, entonces ¿cuál(es) de lassiguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)? '

1) (AC)' +'(BC)2 =(AB)' ;

II)' (BE)' + (AD)2 =(AB)' +(ED)'

ill) CE,DB=CD,EA

A) S610 1

B) Sólo III

C) Sólo 1 y 11

D) Sólo 1 y III

E) I, TIY III

I~B

315

a-

'í. .e.,~: ..; ;,

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Maremática

28) En el triángulo ABC de la figura adjunta, rectángulo en C; a2 +b2 =

(1) P = 3 cm y q = 4 cm

(2) a·b=7·h, e

/hBA· q D P'.


B) (2) por sí sola:

C) , Ambas juntas, (1) y (2).

D) .Cada una por sí sola, (1) ó (2).


..

29) Si en.la figura adjunta se cumple' que AD = DC .' Se puede afirmar que el triángulo' ABC esrectángulo en 'C si:

(1) Triángulo ADC es rectángulo en D

(2) AD=DBB

. A) (1) por sí sola.


e) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1)ó (2).


D

CV '>A

~

1I1"1

j

30) ,¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo?

(1) La altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta en segmentos cuyas longitudes son 6 ,Y 21 cm. '.

(2) La hipotenusa mide 27 cm.




D) Cada una por sí sola, '(1) ó (2).


,1

rl

,¡ .

316

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" ¡Ó, TRIGONOMETRÍA PLANA

1\, CAPÍTULQ 10. TRIGONOMETRÍA PLANATest W 10: Trigonometría plana

1) Dado el triángulo rectángulo ABC de la figura adjunta, de catetos Be = a = 20 cm y C,A= b = 21 cm,los valores de' sen a, cos: a y tan a son, respectivamente:

l.;.

A) 20 3..!. 20,29' 29 Y 21

21 20 20B) 29' 21 y 29

20 20 21.C) 21' 29 Y 29

20. 20 ,21D) 29' 21 y 29

AL a) ,'\, B

C

j!¡

i~:

; 2120 201;, ,E) 29' 29 Y 21

~.

2) El valor exacto de la expresión sen 30" + sen 60' - sen 90 =A) O

B) ~2

"11,"

C) ~-132

í1 '

P) ~ (-13 - 1)E)

3) En el triángulo rectángulo ABe, rectángulo en C, de la figura adjunta, se tiene que eB = 6 -13 'cm' y

el ángulo ABC mide 60°. En tal caso, la altura CD = he mide

A) 12-13 cm_C

B) 9-13 cm

C) 3 -13 cm

D) 9 cm

E) 6 cm A /' O \ B

"317

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática'

4) Si o. corresponde a la medida de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, entonces, ¿cuál de las'.condiciones siguientes debe verificar necesariamente sen a ?

A) seno. > O

B) seno. < 1

e) Ay B

D) la función sen a puede asumir cualquier valor 'numérico

E) la función sen a sólo puede asumir valores racionales

5) De las expresiones dadas a continuación, para up ángulo dado a :

1) sen? a + cos"«

ll) sec" a + tan' o.

ID) cosec? a. - cotan 2 a:

¿euál(es) de ellas tiene(n) por valor l? .

A) Sólo

B) Sólo II y III

e) Sólo 1 y TID) Sólo 1 y III

E) 1, TI Y ID

6) En la figura adjunta, tenemos un cuadrado AISCD de lado 1. M es el punto medio del lado BC" Entales condiciones, tan a =

1A) -

2

1B) .J5

2C)' .J5

.J5D) -

2

E) .J5

318

DC

M

B

TERCER EJE TEMÁ neo I Test N' t O, TRIGONOMETRíA PLANA

7) Dadas las siguientes parejas de 'funciones trigonométricas:

1) seno y coseno

Il) . tangente y cotangente

III) secante y cosecante

¿euál(es) de ellas ea(son), 'a la vez, recíproca(s) y cofunción(es)?

A) Sólo TI

B) Sólo 1 y ID

e) Sólo TI y ID

D) Sólo 1 y TIE) .1, II Y ID

8) En el rectángulo ABeD de la figura adjunta, con los datos indicados en ella, el lado AB mide

2'A)3'

2.J3Bl -3-

e) 2.J3D) 3

J3E) 2'

D e¡ 51

AV 30° t I

2

D) sec- a. tan' a.

B

9) En, un rombo ABeD de lado 10 cm, .dicho lado forma un ángulo de 20° con la diagonal mayor AC,

Las expresiones trigonométricas que ~ejor representan las longitudes de las diagonales AC y BDson, respectivamente:

A)' 10 cos 20°; 10 sen 20°

'B) 20 cos 2.0°; 20 sen 20°

e) lOcos 40°; 10 sen 40°

.D) 20 cos 40°; 20 sen 40°

E) 10 cos 10°; 10 sen 10°

10) ¿Cuál de las siguientes. es un ejemplo de identidad trigonométríca?'

A) sec a: cosec a: ~

E) sec a: + cos .c ~

e) sec a: - cos a: ~

El cos' a. - sen' a. =

A,e ~ I

319


11) ¿Cuál e~ el valor de cos' 30° + cos' 45° + cos' 60°?

5A) -

8

3B) -

'4

5e) >'4

3D) -2

.7E) -

412) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones correspondetn) al valor exacto de sen 60°?

1)- . 2 sen 30°'

Il) '2 sen 30° cós 30°

IlI)12'sen1200

De las expresiones anteriores, es(son) correcta(s):

A) Sólo 1

B) Sólo Il

C) Sólo ID

D) Sólo 1 ó III

E) Sólo 1 ó II

13) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado de lado 2. AM es la tr~nsversal de gravedad

correspondiente al lado BC' del triángulo ABC. Con los datos angulares indicados en la figura, la

relación correcta entre las tangentes de los ángulos o: y ~ es:

A) tan ~ = tan 20: D C

B) tanp. = tan a

C) tan~. = 2 tan a

l' / ~M1 'D) tan~'= -tan 20:2 '

~,

'B,:11 A'"E) tan ~ = - tan o:

, 2

I¡320

14) La expresión sen 60° cos 30° + sen 30° cos 60° tiene por valor

TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N' lO, TRIGONOMETRIA PLANA

1A) -'-

4

1B) -

2

C) iJ]2

3D) -

4E) 1

15) Un posible valor de x que satisface la ecuación 3 sen (x) - 4· sen (x) - 3, es1:" 1

1) x = 2' II) x = 30°

A) Sólo

B) Sólo Il

C) Sólo ID

D) Sólo 1 ó III

El Sólo Il ó ID

ID) x = ~ radianes6

B) J]

A) 3

1.6) Sea el rectángulo ABeD de la figura adjunta, Con el dato lineal y los datos angulares indicados enella, él área del triángulo BED, en centímetros cuadrados, mide:'

) eK ¡

16C)

D) 2J]

E) 3J]

Al ~B

17) Dado que sec o: - tan o: = 2, entonces el valor de sec o: + tan o: =A) 0,1

B) 0,2

e) 0,3

D) 0,4

. E) 0,5

E

'3cm

. 321


18) Al factorizar completamente la expresión tan' !3 - tan 13 se obtiene

A) tan 13(tan'-!3 - 1)

B) tan' 13(tan 13 - 1)

e) tan 13 (1- tan 13) (1 + tan13)

D) tan 13 (1- tan' 13)

E) tan 13 (tan 13 -1)(tan!3 + 1)

19) Si el ángulo a es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, entonces la expresión

cos? asena + --'- =

sena

A)

B) cosec n

e) cos aD) sec a

E) sen a

20) Al expresar en su.forma más simple la fracción sen' e - cos' e ,(con sen () '" cos e), obtenemossen? e - cos ',e

A)

B) 1+-sene cose

e) sen e cose

D) sen' e cos' eE) cos? e - sen' e

ti) En la figura adjunta, sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia unitaria. Entonces las.coordenadas de dicho punto P, en funció~ del ángulo e, están dadas- por:

322

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N° 10, TRIGONOMETRÍA PLANA

22) Si X = sec e e y = cosec e, entonces x' + y2

A) (x + y)'

B) (x _ y)'

e) x' i.D) x y

IB) "2

3e) "2

D) 3·

E) no se puede determinar

24) En la figura adjunta, se tiene que: AB 11 CD, BC ..1 AC y BD .1 CD. Si AB = 1 Y el ángulo. , BAe = X, entonces' eD =

BA) sen xB) cos x

D

C) sen ' X

D)cos2 X

E) tan x AL !:::

25) Dado el cubo de arista unitaria de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las razones trigonornétricas queaparecen a continuación nos sirve(n) para determinar el ángulo agudo a .entre la diagonal interior yla diagonal de la cara?

1 .fi 1I) sen a = - II) cos a = - III) tan a = r;;

~ ~ ~2.A A

A) Sólo l y II

X I B) Sólo II y mC) Sólo l y III

D) Sólo II

E) l, II Y III ,. l,//~323


26) Dado el teorema trigonornétrico: "El área de cualquier triángulo plano está dada por el serniproductode dos de sus lados por el seno del ángulo que forman", Al aplicar dicho teorema a un triánguloequilátero ABC de lado Ha", como el de la figura adjunta, se obtiene como expresión para el área:

A) (a + a)sen300

1 'B) -(a + a)sen60°

2e

C) (a ' a) sen 300

1D)2 (a ' a) sen30°

.' 'B, 1

E) 2 (a ' 'a) sen 600

27)" Para todos los valores de x para J;~cuales se cumple que tan(x) > O, si log (tan (x)) = ID, entonces

log (cot(x») =

A)·~m

B) -m

e) I -r m

D)'-~\:'

m

E) m - l

28) Se necesita determinar el ancho de un ríoypara ello se sabe que un ·árbol que crece exactamente ensu ribera, a una cierta hora del día, arroja una sombra sobre el río de igual medida que el ancho delmismo: Por lo tanto, el ancho del río se puede conocer si .

(1) en el momento indicado, el ángulo de elevación de la sombra con respecto a la cúspide delárbol es de 45·

(2) a esa hora del día, la sombra del árbol es de 15 metros

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

. e) Ambas juntas, (1) y (2)



324

11' , TERCEREJE TEMÁTICO I Test N" 10, TRIGONOMETRÍA PLANA,,i

29) En el triángulo 'rectángulo ABe de la figura adjunta, rectángulo en e, se tiene qúe sen IX = sen ~,Para que ocurra lo anterior, entonces debe cumplirse que:

(1) e es el punto medio del arco·ÁB

(2) /';,ABC es isósceles de base AB

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




e

11-' \lBv I

30) Ei triángulo ABC de la figura adjunta es rectángulo en C. Para poder determinar eliperímetro deltriángulo ABe tenemos

(1) el cateto eB = 5 IDr 'I

(2) tan ~ = 2,4

A~B

JU;SPUEST AS CORRECTAS

A) (1) por sí .sola

B) .,<2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) Y(2)

D) Cada una por sí sola, (1)6 (2)

E) Se requiere información adicional..,y

\

325


CAPÍTULO 11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULOTest N° 11: Proporciones .en ;el círculo

1) En la circunferencia de la figura adjunta, P A = 10 cm, AJ3 = 6 cm y PC = 8 cm, entonces CD =p

A) 4,8 cm

B) 7,5 cm

C) 12 cm

D) 16 cm

E) 20 cm

D

2) En una circunferencia de centro 0, las cuerdas RS y TU se intersectan en P. Si RP = 15 cm,PS =18 cm, y TÍ' : PU= 3: 10, ent?ncesoPU =

A) 3 cmB) 9 cm

e). 20-H cm

D) 25n cm

E) 30 cm

3) En la figura adjunta, AB es tangente a la circunferencia' en el punto B. ¿euál(es) de las siguientesproposiciones es(son) .siempre verdadera(s)?

1) <t:BDe:= <t:ABe

II) !; DBC es isósceles con base BD

In) (AB)2=AD.Ae

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y In

E) 1, II Y III

4) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, la medida de la cuerda ABes

A) 4 cm

B) .7 cm

e) 8 cm

D) 12 cm

E) 16 cm

326

A

I,!i'~ TERCER EJE TEMÁTICO / Test W 11, PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

5) Si en' la circunferencia de,centro O de la figura adjunta:OA 1. Be. Si OM = 8 cm y OA = 17 cm;

¿cuánto mide la cuerda BC?

A) 30 cm

B) 15 cm

• .1 lAI Oe) 12J2 cm

D) )145 cm

~E) 2m cm

6). En la circunferencia de la figura adjunta, PT es tangente a la circunferencia en T, PB = 16 cm yPT = 8 cm. ¿Cuánto mide el segmento externo de la secante?

A) 2 cm

B) 4 cm

e) 6cm

O)' 8 cmB\ /Á 'p

E) 48 cm

7) En la circunferencia de centro ° y radio 4 cm de la figura adjunta, PA = 8 cm y PC = 9 cm ,entonces PD =

A) 12 cmP

B) 14~ cm9

e) 17,8 cm

O) 18 cm

E) 135 cmD

8) En la circunferencia de la figura. adjunta, las cuerdas AB y CD se cortan en M. Sabiendo queAM = 8 cm, MB = 6 cm y CM = 12 cm, entonces MD =

A) 4 cm

B) 3 cm

e) 2cm

O) 1,5 cm

E) 1 cm

C

327 .


9) En una circunferencia, los segmentos de, una de dos cuerdas que se cortan miden 8 y 9 cm,'respectivamente. Sabiendo que uno mide el doble que el otro, las medidas de los segmentos de laotra cuerda son

A) 5 cm y 10 cm

B) 7 cm y 10 cm

C) 8 cm y 16 cm

D) 6 cm y 12 cm

E) 7 cm y 14 cm

10) En la circunferencia de la figura adjunta, las cuerdas AB y CD se cortan en P. Sabiendo que

AP= x + 4, 'PB = x , CP. '= 3 cm y PD =·4 cm ,el valor de x es

DA) 4 cm

B) 3 cm

e) :2 cm

D) 1,5 cmA\ '1 /B

; E) -6 cm

11) En la figura adjunta, PD = 40, CD = 10 Y PB = 60, entonces AB

C

20A) -

3

B) 15 FC) 20

D) 40

E) 45

12) En la figura adjunta, PB y PD son dos secantes a la circunferencia de centro O. Sabiendo que

PA = 1cm, AB = S cm y PD = ·12 cm, entonces los segmentos pe y CD miden,respectivamente:

A) 0,5 cm y 11,5 cm

B) 0,5 cm y, U cm

C) 6 cm y 12 cm

D) 1 cm y ncm

E) 1,5 cm y 12 cm

,. 328

í

.D

,p

TERCER EJE TEMÁTICO I TestN° 11, PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

13) Desde el punto P se han trazado la tangente PT y la secante PB a la circunferencia de centro O.

¿Cuál de las ecuaciones siguientes permite determinar correctamente el valor de PA?

A) (PT)2 = PA . PB

B) (PT)2 = PA . AB

• C) (PT)' ';'AB . BP( A \ ~P

D) (PA)2 =PT . AB

E) (PB)2 = PA . PT~,

14) En la figura adjunta, NQ es tangente a la circunferencia de centro O y' desde N se ha trazado la

secante NP que pasa por el centro. Si NM = 4 cm y NQ = 12 cm, entonces el radio de lacircunferencia mide

A) 8 cm

B) 10 cm /' I -lP

e) 16 cm

D) 18 cm N

E) 32 cm

15) La circunferencia de la figura adjunta tiene centro B, AC = !:l'cm, Be = 3 cm y !!.. BCE esrectángulo en e. Entonces el perímetro del triángulo EeD, en cm, es

.......-----...EA) 6 + 2.Js

B) 6 + 2m( ,,1 )DAle) 8 + S..Jj

D) 10 + S..Jj

~E) 10+ 4..Jj

16) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. Si Be = AE = 3 cm y De = EB = 4cm,

entonces ED = E

A) 1 cm

lB=---c

B) 2 cm

Aí Oe) 3 cm

D) 5 cm

-----------329

E) 6 cm


17) En la figura adjunta se tiene: AB > BC. Si Ae = 29 cm, BE = 14cm y DB = 12 cm, ¿cuál es la

medida de AB?

A) 21 cm

B) 20 cm

e) 18 cm .

D) 12 cm

E} 8 cm

18) En lafigura adjunta, la tangente' AB mide 28 'cm y desde A se ha trazado la secante Ae que no pasa

por el centro O. Si g~ = 3. entonces AC mide

A) 14 cm

B)'2lcm

ci 2~ cm

D) 42 cm

E) 56 cm C

19) En la figura adjunta, AB y eD son dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia de centro O, nosiendo ninguna de ellas un diámetro. De las igualdades siguientes, ¿cuál(es) es(son) correcta(s)?

1) AE . EB = CE . ED

Ir) AB . DC = CE . ED

III) CE· ED = (AB)'

Sólo

Sólo Ir

Sólo III

A)

B)

e)D) Sólo 1 y III

E) Sólo II y III

20) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia de diámetro eE. Si DE = 3'cm, AD = 4 cm

y DB = 5 cm, entonces el radio r de la circunferencia mide

D

CA) 4cm

B) 4,5 cm

C) 5 cm

-¡ 10:i D) - cm

3

29E) ~cm

6330

E.

TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N" ¡l,PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

21) En la figura adjunta, O es el centro de la semicircunferencia de diámetro AB.. Si CD ..L AB,- - -DE..l oe, AD = 8cm y DB = 2cm, entonces EC mide

A) 1,6 cm

B) 1,8 cm

C) 3,2 cm

Di 3,6 cm

E) 4,0 cm

e

\' !:"b lB

22) En la figura adjunta, CM y eN son tangentes a la circunferencia de centro O. Si AOMe= 20 cm, entonces BC =

15 cmy

A I ,A) fa cm

B) 15 cm

C) 20 cm Al ~ 1- 0CD) 25 cm

E) 30 cm

B

23) ¿A qué distancia 'del centro de una circunferencia se encuentra un punto ubicado en el interior de ella,

sabiendo que su potencia es de 16 cm' y el radio de la circunferencia mide 5 cm?

A) 2 cm

B) 3 cm

C) 4 cm.

D) 5 cm


24) La circunferencia de la figura adjunta tiene centro O y el triángulo ABD es rectángulo en A. .SiAB = 15cm y Be = 9cm, entonces AD =

,A) 12 cm

B) 16 cm

.C) 20 cm

D) 25 cm


- '( <: ;D

B

331


25) En la circunferencia de centro O de la figura adjunta; A. B Y e son puntos tales que

AB = Be = 15 cm y AC = 24 cm, Entonces el radio de la circunferencia mide

9cm

12.5 cm

16 cm

25 cm\ ' deA'K

27 cm

A)

B)

C)D)E)

I;l

26) En la figura adjunta. la potencia del punto M respecto de la cÍrcu¿ferencia' de centro O y radio r es

.12 cm2

Si MA = 2 cm. entonces el radio de la circunferencia mide

A) 2 cm

B) 4 cm

'e) 6 cm

D) 10 CmE) Falta información para determínarlo

M

27) En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 'adjunta. ATes tangente en el punto T y AB

es una secante, Si AT = m. entonces una ecuación que permite calcular la longitud del segmentoexterno de la secante es

A) 2rx2- m = O

B) 2rx-m=O

e) x' + 2rx - m ,= O AC ni iBX

D) x2 - 2r x - .m' = O

E) x' + 2 r x - m' = O

28) Para determinar la potencia del punto P respecto de la:circunferencia de ceniro O y radio r = 5 cm sesabe que:

(1) .La distancia de Pa la circunferencia es igual a la mitad del radio,

(2) P está en el exterior de la circunferencia,


B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por si sola. (1) ó (2)


332

TERCER EJETEMÁ TICO I Test N" 11. PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

,l· 29) En la figura adjunta. O es el centro de la circunferencia, AT es tangente a la circunferencia en el

punto T y AO = Be ' Se puede determinar la I?ngitud del radio de la circunferencia si:

(1) AT = 5 J3cm

(2) BT = 5cm

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas. (1) y (2)


El Se 'requiere información adicional

AC ~I x Ic

30) En la circunferencia de la figura adjunta. MN = 9 cIp, Se puede determinar.la medida de RS si:

(1) NP = 2, PM

(2) MNJ. RS

A) (1) por sí sola'

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas; (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) Ó (2)


M

N


333

~1'1

1I

III


11'

CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEI; ESPACIOTest N° 12: Geometría del espacio

1) De los conceptos presentados a continuación, ¿cuál es el único de ellos que no corresponde a unconcepto básico o primitivo?

.A) puntoB) rectaC) planoD) espacioE) poliedro

2) Un plano, en.el espacio, queda completamente determinado por

1) Tres puntos. no colineales (no: alineados)

TI) Una recta y un punto exteriora dicha recta

1lI)" Dos rectas secarites

IV) Dos rectas paralelas

De acuerdo a los postulados 'de la Geometría .del espacio acerca de la determinación de un plano, delas afirmaciones' anteriores, es(son) verdadera(s): .

A)' Sólo I y III

B) Sólo TI, III Y IV

C) Sólo TI y IV

D) Sólo I, III y. IV

E) Todas

3) Una escalera de tres patas, -dispuestas en forma de triángulo equilátero, es más estable y segura queuna de' cuatro patas debido a que:

1) Un tríángulo es siempre plano, en cambio un cuadrilátero no siempre lo' es

.II) Tres puntos no alineados determinan un plano

'III) Es falso que una' escalera de tres patas sea más segura que una de cuatro

De las afirmaciones anterioi:es, es(son) verdadera(s):

A)

B)

C)D)E) Ninguna. de las anteriores

4) Se dan dos 'planos. perpendiculares a y ~. Entonces, con respecto a ese hecho,. es correcto afirmarque:

A) No necesariamente' se' cortanB) Todas las rectas de a son perpendiculares a ~ y viceversaC) Toda recta perpendicular a la intersección de a y ~ , debe estar contenida en uno de ellosD) Toda recta paralela a a es paralela' a.~ y viceversa

. E) Todo plano perpendicular a la intersección de a y ~ ; es perpendicular. a ambos

Sólo I

Sólo Il

Sólo ID

Sólo I ó II

Para los aspectos teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e.E.), se recomienda nuestro Manual de Preparación. P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006. .

334

I¡1;

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 12, GEOMETRÍA DEL ESPACIO

'\.

5) La intersección entre 'dos planos cualesquiera, no necesariamente distintos'; en el espacio puede ser

1) El conjunto vacío

Il) Un punto'

III) Una recta

IV) Un plano

De las afirmaciones anteriores, es(son) verdadera(s):

A) Sólo I y III

B) Sólo II, ID Y IV

C) Sólo ID y IV

D) Sólo 1, III Y IV

E) Sólo I, II Y III

6) ¿Cuánto; poliedros regulares existen cuyas caras sean triángulos equiláteros?

A) l

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

7) La suma de todas las aristas deun cubo es 120 cm, . El área total del cubo y el volumen son;respectivamente

'Ij

A) 600 cm' y 1.900 cm"

B) 600 cm" y 1.728 crrr'

C) 800 cm? y 1.000 crrr'

D) 400 cm' y 1.728 cm3

E) 100 cm" y 1..000 cm3

8) Las tres aristas. que concurren a un mismo vértice de un paralelepípedo recto rectangular son entre sícomo 12 : 4 :' 3. Si la diagonal interior mide 26 cm, ¿cuánto mide la superficie total del paralelepípcdo?

A) 144 cm?

B) 192 cm'

C) 278 cm"

D) 384 cm'

E) 768 cm"

335'

A) 5: 6 A) 10 %

¡¡ B) 5: 9 B) 12 %

I C)'4: 9 C) 2Q%

ID) 1: 2 D) 30 %

E) 25: 24 E) 33,1 %

336 337i :

!~

.PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

9) Una cuña en forma de prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero cuya área es de

16 fi cm'. La altura del prisma es de 10 cm. Entonces, la superficie lateral del prisma mide

A) 80 cm'

B) 120 cm'

C) 160 cm'

D) 240 cm' .

E) 480 cm'10) 'El número total de diagonales de un cubo 'como el de la figura' adjunta es de

A) 4

B) 6

C)10

D) 12

E), 16

11) El volumen de un paralelepípedo recto rectangular, cuya base y caras laterales tienen 15, 10 Y 6centímetros cuadrados respectivamente,' es de

A} 900 crrr'

B) 300 cm"

C) 150 cm?

D) 90 cm'

E) 30 cm'

12) Si un depósito cúbico contiene 125 litros de agua, entonces su arista mide

A) 5 dm

.E) 6,25 dm

ci 10 dm

D) is dm

. E) 50 dm

13) Las alturas de dos conos están en la razónde 5 : 4 y los radios de sus bases' están en la. razón de 2: 3.Luego, Sl\S volúmenes están en la razón

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO .

14) Si a un cubo de arista «a» le quitamos (o extraemos) una pirámide que tiene por arista tres aristas delcubo y tres diagonales de las caras del cubo, entonces el volumen del sólido 'que queda es igual a:

A)2-a3

6

B). 5_a3

6 .

.C) 1536a

D) J636a

E)1 •'3a'

15) La superficie lateral de un cono circular recto es de 65" cm". Su altura mide 12 cm. Su volumenes de

A) 0,1 lt drrr'

B) 0,42lt dm"

C) lt cm'D) lO1tcm3

E) 624lt crrr'

16) En la figura adjunta, A es un punto fuera del plano P. L es una recta del plano P, es decir, está

totalmente contenida en él. AH 1.. P, AB 1.. L Y M es un punto de la recta L distinto de B.Entonces, con respecto a las longitudes AB, AH Y AM, es correcto afirmar que:. .,

A) AH < Atv! < AB

B) AH <AB<AM

C) AB < AM:< AH

D) AM< AH-;:AB

E) AM <AB<AH

A'

~

17) Cada una de las aristas de un cubo metálico se incrementa, por ~fec(os de la dilataciÓ~ lineal, en un10%. ¿Cuál es el porcentaje de incremento en su volumen? .

PSU. Cuaderna de Ejercicios, Matemáticaii:'~'~ TERCER EJE TEMÁTICO I Test N° 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO"!'¡.

22) Se da el sector circular de la figura adjunta, con las dimensiones indicadas en él. Se desea construirun cono circular recto, a modo de cucurucho de papas fritas, uniendo- los lados rectos del sector.¿Cuál de los dibujos siguientes representa mejor el cono en cuestión?

A) B}

18) Se da un cubo de 3 drn de arista. Usando como arista la diagonal interior de dicho cubo se construye.otro cubo cuyo volumen es igual al del primero multiplicado por el factor

A) 3

B) ..fj

C) -2..fj

D) 3..fj

E) ifj

19) Se tiene una e~ferade 20 cm de diámetro. Se corta dicha esfera por un plano que determina una- circunferencia de 8 cm de: radio. ¿A qué distancia se encuentran los centros de la circunferencia y de

la esfera?

A) -8 cm

B) 7'cm

C) 6 cm

D) 5 cm

E) 4 cm

--"",-- ..• -

C) , D)

20) Se tiene un tetraedro regular de 2 m de arista. Encontrar el área de la sección que resulta al cortar eltetraedro por un plano que pasa por una arista cualquiera y el punto medio de la arista opuesta.

A) 2 m2

B) .J2 m2

C) . J6 m2

D) 2..fj m2

E) 3.J2 m2

21) ¿Qué valor debe tener el radio de una esfera para que el número que exprese su superficie sea igualal que exprese su volumen?

... -------- ti~~~~~~ •.• --,-----n 4c¡n--'-------

2A) -

3

B)

I E)4C) '3

D) 2

!I E) 3

339-,

II 338


23) El gráfico que mejor representa la relación entre la arista x de un cubo, y su superficie total y, es:

Ir~ TERCER EJE TEMÁTICO /Test N' 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO

24) Para que el volumen de un cubo aumente al doble, la arista debe aumentar, aproximadamente, en un

A) 24%

B) 25%

C) 26%

D) 2.7%

E) Se requiere conocer la medida de la arista .

Un recipiente en' forma de cono circular recto cuyas dimensiones son 10 cm de radio basa! y 10 cm de. altura puede contener alrededor de 1 litro de agua si se llena casi hasta el borde. Si quisiéramos

1reducir su capacidad de tal modo de que sólo pudiera contener '8 de litro, mediante una sección

hecha por un plano paralelo a la base del cono, entonces, ¿a qué distancia de la cúspide tendríamosque trazar el plano?' .

A) a 1,25 cm

B) a 2,5 cm

e) a 3,75 cm

D) a 5 cm

E) .a 7,5 cm

26) Se tiene una hoja rectangular de cartulina de 80 cm x 60 cm. Se hace girar en torno del lado de 80cm, formándose un cierto sólido geométrico. En seguida se hace girar en torno al lado de 60 cmformándose otro sólido. La razón entreel volumen del primer sólido y el segundo es de

y6/25)

A)

°1 X1

Y6

B)X

y

e)X

y6

D) o X

E)6X

y

1

340

A) 3: 4

B) 1: 2

C) :2: 3

D) 4: 3

E) 3: 2

. 27) Un cilindro circular recto que tiene diámetro y altura de igual longitud está inscrito en un conocircular recto. El cono' tiene diámetro 10 y altura 12 y los ejes del cono y' del cilindro coinciden. Entales condiciones, el radio «rx del cilindro es igual a . .

Al 83

30E) -

11.~12

e) 3 ~~~m~J25D) -8

7E) -

2

341


28) .Se desea calcular o determinar el volumen de un recipiente esférico cuyo radio no se conoce .. Sinembargo se sabe que:

(1) La esfera puede inscribirse exactamente en un cilindro de radio basal 10 cm.

(2) Al sumergir la esfera en un recipiente lleno de agua, el agua desalojada por la esfera es

de 4:000 7t cm'3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




29) Se necesita determinar el número de aristas de un cierto poliedro regular. Para ello se tiene que:

. (1) El número de caras del poliedro es 20

(2) El número de vértices del poliedro es 12

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) 6' (2)

E) ~e requiere información adicional

30) Se desea saber si un cierto poliedro es regular. Para ello se dispone de la siguiente información:

(1) Sus caras son polígonos regulares todas congruentes entre sí

(2) Sus ángulos diedros y/o triedros son congruentes entre sí

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1') y (2)



:i~

rifl'

11

~,1

RESPUESTAS CORREcTAS·

342

_. __ ._--- ---

TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y Ee. VECTORlAL DEL PLANO

CAPÍTULO 13. VECTORES: RECTAS y PLANOSTest N° 13: Vectores: ecuación vectorial de la recta y ecuación vectorial del plano

1) Los puntos A(2, O), E(O, 2) y C(3, 3) forman un triángulo

A) escaleno.

B) isósceles,

C) rectángulo.

. D) isósceles rectángulo.

E) . equilátero.

2) En el triángulo con vértices en los puntos A(J, 2), B(S, 4) y C(3, 6), la mediana paralela a AB estádada por el. vector

A) (1, 2)

B) (2, l)

C) ('-1, -2)

D) (-2, l)

E) (2, -l)

3) I (x, 2) + (-x, 2) I =A) 2

B) 4

C) x

D) 2x

E) o

4) Si la 1= módulo de a y lb I = mÓdulo b, de las operaciones siguientes, la(s) que cárecem) de

sentido es(son):

1). I al b + I ti la II) ¡ a I + ¡ ¡; ¡ + a+b III) liilxlii¡+za-ii

Al Sólo 1

B) Sólo TI

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo II y III

Para los aspectos -teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relaCión a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e. E.), se recomienda nuestro Manual de PreparaciónP.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006.

343


5) Si ¡¡ = (1, O) Y ti =(2,-1), entonces 11 ;¡ 1 a + ¡; 1 =

A) ../lO

B) 3

e) .J81»4

E) 2

6) Si A = (2, 3) Y B = (3, -2), entonces BA =

A) (-1,5)

B) (1,-5)

, C) (5, 1)

D) (1, 5)

E) (-1, -5)

\,

7) Si P Y Q son dos puntos del plano cartesiano entonces PQ + QP

A) 2PQ

B)2QP

e) o. D) P - q

E) q - P

8}El inverso aditivo del vector (3, -4) sumado con el inverso aditivo del vector .(-3, 4) es

A) (3, 4)

B) (-3, -:-4)

e) (-3,4)

D) (O, O)

E) (3, 4)

344

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N° 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTOíUAL DEL PLANO

9) La diferencia entre los vectores (2, 3) Y (-3, 2) tiene la misma dirección del vector

A). (2, 5)

B) (5,2)

C) (-10, -2)

D) (4,3)'

E) (5, -1)

10) La suma de los vectores (4, 7) Y (~l, -1)no tiene la misma dirección del vector

A) (3, 6)

B) (3, 8)'

el" (l,~)D) (9, 24)

.E) (-3, -8)

11) Dados los vectores ¡;= (3, 2), q = (2, -3) Y ;: = (4, 6) , ¿cuál(es) de las siguientes proposicioneses(son) verdadera(s)?

. 1) P - q está en la dirección de. q - r

Il) P + q + ; no está en la dirección de 3q,

1lI) P + q tiene sentido contrario al del vector (-,10, 2).

A) Sólo 1

B) Sólo TI

C) Sólo III

D) Sólo 1 y nEl Sólo Il y III

12) La ecuación (x, 2)+ (- x, 1)= (0,3) tiene

A) una solución.

B) dos soluciones,

C) infinitas soluciones,

D) ninguna solución,

E) un número de soluciones que depende del valor de x.

345

PSU: Cuaderno de Ejercicios. Matemática

13) Si i ='(1, O) y 1 = (O, l) son los vectores dirección de los ejes X e Y del plano cartesiano,entonces es verdadero que

A) (x, y) = y i-x]

E) (x,y)=yj-xi

C) (x, y) = -x i:- y 1

D)' (x, y) = xi + y 3

E) (x, y) = x' i+ y'J, (

14) La eduación (x, 2) + (- x, 1) = (O, x) tiene

A) una solución.

E) solución x = o.e), infinitas soluciones.

D) ninguna solución.

E) un número de soluciones que depende del valor de x.

.15) Un vector .direccíón de la recta que pasa por los puntos (1, 1) Y (1, 5) es

A) (O, 1)

E) (1, O)

e) (2, O)

D) (3, O)

E) (2, 6)

16) La recta que pasa por (2, 6) Y tiene por dirección al vector(l, 2), no pasa por el punto

A) (4, 10)

E) (1, 4)

C) (2, 6)

D) (O, 1)

E) (5, 12)

346

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTORJAL DEL PLANO

17) L . .'. x-2a recta cuyas ecuaciones continuas son _, _

, 1

A) (x, y, z) = (-2, -6, -4) ;: k(l, 2, -3)

E) (x, y, z) = (2, 6, 4) - k(1, 2, -3)

e) (x, y,z) = (2, -6, 4) + k(-l, -2, -3)

D) (x, y, z) = (-2, 6, -4) - k(3,2, 1)

E) (x, y, z) = (4, 6, 2) + k(-:-3,2, 1)'

1'8) La ecuación vectorial de la recta 'que pasa por los puntos '(2, 3) Y (3, -5), no corresponde a

y-62

z-4 . ión vectorial-- tiene por ecuacton vecton a-3 .

A) (x, y) = (2, 3) + a(l, -8)

B) (x, y) = (3, -5) + a (1, -8)

C) (x, y) = (2,3) --'a(-l, 8)

D) (x, y) ;, (3, -5) + a(-2, 16)

E) (x.iy) = (2, 3).+ a(J,-7)

19) De los siguientes vectores, el que no es vector dirección de la recta que pasa por (3, -1) Y (4, -3) es

A) (-1,2)

B) (2,-4)

e) (3, -6)

bj (2, -5)

E) (1, -2)

20) Los puntos P(3, 6), Q(5, 10) Y R(-3, 4) pertenecen al plano IR'. La recta que pasa por el punto medio

de PQ y tiene la dirección de RQ, tiene por ecuación

A) x-4 _ y-86 -~

8

B) x-4 = y-88 ~ 6

e) x+4 _ y~8-6 - -8-

D) x-4._ y+8-6 ---=s

E) x-:-68

y-8-6

347

rsu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

Una ecuación· v~ctorial de la recta que pasa por el punto, (0, 1)-Y tiene vector dirección (3, 4) es

A) (x, y'j = (3, 4) + a(O, 1)

B) IX,y) =a(O, 1)+ (1, -a) (3,4)

e) (x, y) = -a( O, 1) + (3, 4)

D) (x, y) = a (O, 1) + (-3, -4)

E) (x, y) = (O, 1).+ a(3, 4)

¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenecen a la recta con ecuaciones continuas

x-32

y+l

3

z-3'--?

4'

I1) Q (4, 2, 7) Ill) R (1, -4, -1)1) P (3: 4, S)

A) Sólo 1

'B) SólolI

e) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) .Sólo II y ID .

y+6 . .k pasa por el punto (-6, 1), entonces el valor de k es

entonces los valores de a y p tales que: ex ij + P;¡ = w son,

¡IIII

.' x-S23) Dado que la recta de ecuación 2k + 1

. 7A)'--. 25

7B) 25

e) ~5

D) !!5

E)' !!9

24) Si ~=(2, 1), ~={-l, 3) y; ~(5,-1)respecti vamente

A) -2 y

B) 3 Y °5e) - y °2D) .2 Y -1

5E) - y -12

348

TERCER EJE TEMÁ neo I Test N" 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTORIAL DEL PLANO

25) Si un cuadrado es tal que: tiene uno de sus vértices en el origen de un sistema tridimensional; dos desus lados están sobre los ejes X.e Y, y su lado tiene 4 unidades de longitud, entonces si se le trasladaen el vector (O, O, 3), se genera un cuerpo:

l) cuyo volumen es 48.

II) cuya área total es 80.

III) cuyas caras sonsparalelógramos.

De las afirmaciones anteriores ¿cuál(es) es(son) correctafs)?. '.

A) Sólo 1

B) SólolI

e)' Sólo 1y II

D) Sólo 1 y ID

E)l, II yUI

26) Si en el espacio tridimensional, a un círculo con centro en el punto (O, 2, 2) Y radio 3 se aplica unatraslación dada por el vector (- 4, O•. O), entonces el volumen del cuerpo que se genera es

A) 12n

B) 24n

C) 36n

D) 48n

E) 144n'

27) ·¿Cuál(es) de las siguientes cuerpos se puede(n) generar mediante una traslación en el espacio de unafigura geométrica plana?

1) Cono.

Il) Cilindro.

III) Pirámide.

A) S6lo 1

B) S610.II

C) Sólo III

D). S610 1 yIl

E) Sólo Il y III

349

--_._ ..._---


28) Para determinar las coordenadas del vector a se sabe que:

(L) Su magnitud es 5 cm.

(2) Su dirección ese = 45" .

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C). Ambas juntas, (1) y (2).



. 29) Para determinar una ecuaciónvectorial de la recta que pasa por el punto A(I, 3) se sabe que:

(1) T· l . di . , . Id' , . 2 1lene a: misma reccioü que a recta e ecuacrcn y = - x - -3 3

(2) Pasa por los puntos P(4; 2) Y Q(2, -1).

A) (1) por sí sola

B) (2) por' sí sola'

C) Ambas jUÍ1t~, (1) y (2)


E). Se requiere información adiciorial

30) Se quiere determinar la ecuación de un plano.

(1) Se conocen la ecuaciones de dos rectas paralelas contenidas en él.

(2) Se conocen las coordenadas fe dos puntos que pertenecen a. él.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E)' Se requiere información adicional


350

il!~TERCER EJE TEMÁTICO.! BIBLIOGRAFíA ESPECÍFICA

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

'J1) Autor:

Título:Editorial:











12) Autor-Título:Editorial:


t Fallecido el 31 de marzo de 2003

351

Tercer Eje Temático:GEOMETRÍA y TRIGONOMETRÍA

Baldor, J. AurelioGeometría Plana y del Espacio y TrigonometríaCompañía Cultural Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S. A. Ediciones y distribucionesCódice, S. A. Madrid. Edición 1988.

Bruño, G.M.Geometría SuperiorBruño. Madrid, 1964.

Cano,OmerGeometría: 20 y 30 año de HumanidadesLa Salle, Santiago de Chile, 1966.

Cano,OmerGeometría: 40

, 50 Y 60 año de.HumanidadesLa Salle, Santiago d~ Chile, 1966.

Coxeter, Harold Scott Mcüonald'Fundamentos de GeometríaLimusa Wiley, México,1971.

Dokiani, Mary P.Geometría Moderna: Estructura y MétodoPublicaciones Cultural. México, 1971.

Eves, HowardEstudio de las Geometrías. Volumen I.Uteha. México, 1972.

F.G-M.Exercices de GéométrieLibrairieArmandMarné. París, 1920. C*)

F.G-M.Exercices de TrigonométrieLibrairie Armand.Marné. París: 1920. C*)

Keedy -NelsonGeometría, una moderna introducciónCompañía Editorial Continental Sociedad Anónima CCECSA). México, 1968.

Lehmann, CharlesGeometría analíticaUteha. México, 1972.

Lidvinenko, V. Y Mordkóvich A..Prácticas para resolver problemas matemáticos. Geometría ..Editorial Mir, Moscú, 1989.·

Moise-DownsGeometría ModernaAddison-Wesley. Estados Unidos, 1966.

I PSU-.Cuaderno de Ejercicios, Matemática,

14) Autor: -Murdoch, D. C,Título: Geometría Analítica, con vectores y matricesEditorial: Lirnusa Wiley. México, 1968.

15) Autor: Nichols y GarlandTítulo: Trigonometría ModernaEditorial: Compañía Editorial Continental Sociedad Anónima (CECSA). México, 1970.

16) Autor: Oakley, Cletus O.Título: Geometría AnalíticaEditorial: ..Compañía Editorial Continental Sociedad .Anónima (CECSA). México, 1969.

17) Autor: Pendlebury, CharlesTítiIlo: Elementary TrigonometryEditorial: George Bell & Sons. Londres, 1895.(*)

18) Autor: Poenísch, Ricardo. . .Título: Geometría: 2°.y 3° año de HumanidadesEditorial: Editorial Universitaria,. Santiago, 1956,

19) Autor: Poenísch, Ricardo,Título: Geometría: 4°, 5°y 6° año de Humanidades.Editorial: Editorial Universitaria, Santiago, 1956. :

20) Autor: Ritch, BamettTítulo: Geometría Plana con CoordenadasEditorial' McGraw"Hill. Colombia, 197 L Colección Schaum.:

21) Autor: Taylor,.Howard E. y Wade, Thornas L.Título: Geometría Analítica Bidimensional, Subconjuntos del planoEditorial: Limusa Wiley, México, 1974.

22) Autor: Une Réunion de ProfesseursTítulo: Cours de Géoinétrie élémentaire (N' 266 E)Editorial: Librairie Générale de l' enseignement libre. París, 1947. (*)

23) Autor: Une.Réunion de ProfesseursTítulo: Exercices de Géométrie élémentaire (N' 266 M)Editorial: Librairie Générale de l'enseignement libre'. París, 1947. (*)

24) Autor: Une Réunion de ProfesseursTítulo: Cours de Trigonométrie (N' 269 E)EditoriaL Librairie Générale de l'enseignement libre .. París, 1~57. (*)

25) Autor: Une Réunion de ProfesseursTítulo: Exercices de Trigono'métrie (No 269 M)Editorial: Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1957. (*)

26) Autor: Wexler, Ch';lesTítulo: Geometría Analítica, un enfoque vectorialEditorial: Montaner y Simon. España, 1972. (*)

27) Autor: Wylie,C.R.

l'Título: Fundamentos de Geometría

I!Editorial: Troquel.' Buenos Aires, 1968.

;

352

I1:


EJERCICIOS RESUELTOSCUARTO EJE TEMÁTICO: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

1) Dado el conjunto P = {l, 2, 3, 4,5, 6;J, 8, 9 }. Si se elige un número al azar, ¿cuál es la probabilidadde obtener un cubo perfecto?

A)1-9

B)2-9

3C) -

94

,D) -9

SE) -

9

Solución:

Los cubos .perfectos son aquellos números naturales que corresponden a la tercera potencia de otros

números naturales. En este caso son: 1 = 13 Y 8 = 23. Luego hay sólo dos casos favorables sobre uni

total de nueve casos posibles. De tal modo que la probabilidad buscada es:2

P = -9


Este un sencillo y directo ejercicio de probabilidades que sólo requiere la definición misma del conceptoen su acepción clásica.


354

éUARTO EJE TEMÁrrco I Ejercicios Resueltos

2) Las notas de Cónstanza en Matemática, en un cierto trimestre, son 6, 6, 6 Y x. Se sabe también quela desviación típica o estándar de sus notas es O. Con respecto a esos datos, se hacen las siguientesaseveraciones:

1) el promedio de sus notas en ese trimestre es igual a 6

Il) la mediana tiene el mismo valor que la moda

III) x=6

De las afirmaciones anteriores,es(son) correctats):

A) Sólo 1B) Sólo 1 y IIC) S610 II y IIID) Sólo 1 y IIIE) 1,.Il Y III

Solución:

Puesto que la desviación estándar e de un conjunto' Xi de "n" datos está dada por:'

i (Xi _ ;¿)2(J = II.!..i::.-.!...I _

n

Calculemos, paso a paso,lo que necesitamos.

Primero se calcula la media X de los datos:

6+6+6+x.X = ----:-----

4

X = 18 + X

4

Ahora se calcula la diferencia entre cada valor del conjunto de datos y la inedia, es decir, Xi - x , Yse obtiene:

6 _ 18 + x 24 18 - X 6 - x44 4

(este resultado es válido para los otros dos datos siguientes, pues .son iguales)

- (

Ahora calculamos la diferencia entre el último dato x y la media x y se obtiene:--

355

PSU. Cuaderno deEjercícios, Matemática

x -18 + X

4

4 X - 18 - X

4

3 X -' 18

4Introduciendo estos valores en la fórmula, obtenemos:

a'1~J+ ex ~,18J

4

Efectuando los cálculos y, simplificando (hágalos Ud.), se obtiene para la desviación estándar la, expresión: '

,a=~I-YlPero, como por hipótesis, la desviación estándar vale cero (a' = O), entonces:

~ I X : 61 = O, de donde x = 6

Este último valor' nos dice que las cuatto notas de Constanza son todas iguales, Por lo tanto, todos losindicadores de tendencia central: media aritmética, mediana y moda son también iguales entre sí e

'igualesa 6. ' ,

De ahí que los incisos 1, II Y III son correctos.

.observaciones'y' comentaríos;

Es un ejercicio de mediana dificultad. Ahora bien, si se tienen los conceptos claros, no es necesarioefectuar los cálculos anteriores para responderlo correctamente.


356

CUARTO EJE TEMÁTIc:O I Test N° l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVATest N° 1: Estadística descriptiva I

'1) La edades de los integrantes de un grupo scout son:

io - 15 - 8 - 12 - 14 - 16 -13 _ 12 - 11 - 9


La diferencia entre la media aritmética y la moda del conjunto de edades es

A) °B) 0,2

C) 0,3

D) 0,4

E) 0,5

2) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones, es(son) siempre verdaderars):

1) La media aritmética de un conjunto de datos es el valor que se encuentra al centro cuando seordenan los datos de menor a mayor o de mayor a menor. '

II) La moda es .el dato con mayor frecuencia absol uta.

rtl) La mediana ,es lo mismo que el segundo cuartil.

A) Sólo rB) Sólo 1 y II

'C) Sólo 1 y III

D) Sólo n y III

E) 1, II Y III

"

3) El gráfico de la' figura muestra la información recogida' por' una empresa de estudios de mercadoa través de una encuesta telefónica realizada a 30 familias, respecto del números de automóvilesqne han comprado en los últimos 10 años. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)verdadera(s)? . '

frecuencia

Númerodeautos

4) La media aritmética de seis números es 6. Si se resta-S de cuatro de los números, 'la nueva mediaaritmética es

1) La mediana es 3. 10II) La moda es 3 .

III) La media aritmética es 3,4.

Al Sólo i

B) Sólo II

C) Sólo III

D)Sólo n y III

E) I,n y III

A) 1t

B) 2

C) 3

D) 4

E) 4.L2

,ll

357


5) Una violinista practica 1 hora diaria, de lunes a viernes, ¿Cuántas horas debe practicar el sábado,para que el promedio de horas de práctica para los 6 días sea 2 horas?

A) 2 horas

B) 4 horas

C) 5 horas

D) 6 horas

E) 7 horas

6) Si la media aritmética de x + 2, x + 4 y' x + 6'es O, entonces x =

A) -4

B) , -3

C) -2D) -1E) O

7),En un curso de contabilidad hay 12 hombres y 18 mujeres, Si en la primera prueba 'el promediodel curso fue 90 y elpromedio de los hombres"fue 87, ,¿cuál fue el promedio de las mujeres enesta prueba? " "

A)

B)

C)D)E)

8~ En la tabla siguiente se muestran las contribuciones de 15 personas a una obra de caridad, ¿Cuáles la diferencia entre la mediana y la media aritmética de las contribuciones?

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N" 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

10) ,¿Cuál deIas siguientes proposiciones es verdadera?

A) Una desviación estándar igual a cero significa que la media aritmética de los datos es cero,

,B) La mediana de un conjunto de datos no puede tener el mismo valor que el mayor de los datosdel conjunto,

C) Si todos los datos de un conjunto son iguales, entonces el rango y la desviación estándartienen el mismo valor.

D) En cualquier distribución el promedio de las diferencias de los datos respecto de la medianaes cero,

E) 'Si los datos de un conjunto son e, e - a, y e + a, entonces su desviación estándar es .J;;211) El gráfico siguiente muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de un curso, De

acuerdo con esta información, ¿cuántos alumnos tiene este curso?

88,5

91

92

93

94,5

1, 12)

A) $5,000

B) $4,000

C) $3,000

D) $2,000

E) $1.000

, Contribución Número de personas

$10,000 4

$15',000 ~$20.000 2

$25:000 4

$30.000 2

9) Si la media aritmética' de los valores de la variable en la tabla de distribución de frecuenciassiguiente es ~, entonces ,el valor de 'k es

A) O

B) 1

C) 2

D)

~) 4

358

De acuerdo con la siguiente tabla de frecuencia de temperaturas máximas de 10 días, ¿cuál es latemperatura media de esos 10 días?'

A) 26°

B) 2(0

C) 28°

D) 29°

E) 30°

x, 32° 30° 25' 23°

f, 2' 2 4 2

13) Las calificaciones obtenidas por 10 alumnos en un control son:

4-5-7-5-3-5-4-5-5-2¿Cuál de las. siguientes alternativas se' deduce como correcta a partir de dicha información?

A) La media aritmética es igual a 4,2

B) Las modas son 4 y 5

C) La mediana es iguala 3'

D) Mo=Me=',j'

E) Ninguna de las anteriores,

359


14) Que se conozca el valor de la mediana de una distribución significa que se conoce:

A) El promedio de la muestra

B) El valor que más se repite de la muestra

C) "El valor, que divide a la muestra justo en 50% superior e inferior

D) La medida más alta de una variable


15) De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es 1,67 m, 150 son mujeres, Si la estaturapromedio de todas las mujeres es 1,60 m, ¿cuál es la estatura promedio "de los varones del colegio?

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N° 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

18) En el problema anterior, la moda es:

A) 2

B) 10

C) 5

D) O

E) No hay moda

19) Considera la siguiente tabla'

x¡ 1 2 3 4 5 6 7

fi 2 5 4 8 9 12 10A) 1,71 m

B)1,70 m y los estadígrafos:C) 1,69 m 1) Moda = 6D) 1,68 m " II) Mediana = 9,5E} 1,67 m III) Media aritmética =9

¿Cuál(es) corresponde(n) a la información que entrega la tabla?

A). Sólo 1

E) Sólo 1 y III

e) Sólo 11 y III

D) Ninguna

E) Todas

20) La t~bla adjunta muestra el número de veces que salió cada puntuación en el lanzamiento d~ undado:

x¡ n¡

I 332

2 336

3 323

4 340

5 331

6 ,338

De acuerdo con esta información, la cantidad de veces que salió" una puntuación menor o igualque 3 es

A) 323

B) 336

C) 991

D) 633

E) 668

361

" 16) 'El promedio de notas" de una asignatura de un curso A, que tiene 20 alumnos, "es 6 y el (le! cursoB, que tiene 20 alumnos, es 5; entonces el promedio de la asignatura de los alumnos de amboscursos es

A) 5,7

B) 5,6

C)5,5

D) 5,4

E) 5,3

17) Dada la siguiente tabla:

Variabletx.) Frecuencia Frecuencia Frecuencia

absolutatn) relati varh) absoluta

acumuladarN)

x = 2 n = h = N¡=12¡ ¡ ¡

x, = 10' n = h, = 0,5 N =2 z

X = 5 n = h = N3 =473 3 3

X = O n. ee ' 3' h '" N =• 4 4

De acuerdo con esta información, la media de la distribución es

A) 4,25

B) 5

C) 5,25

D) 6,48

E) 6,6

360


21) En la siguiente tabla faltan algunos datos:

'y; n , f; N; H;

3 3 0,06 3 v

4 4 Y 7 0,14

5 x 0,14 14 0,28

6 20 0,4 z 0,68

7 16 0,32 50 1

Los valores de x, y,'z y v son, respectivamente:

A)7 - 0,08 - 34 - 0,06

B) 4 - 0,06 - 32 - 0,28

C) 6 - 0,2 ,.- 42 - 0,05

D) 3 - 0,05 - 24 - 0,03

. E) Ninguna de las, anteriores

22) El siguiente gráfico muestra el número de árboles plantados en un parque el año 2004 ..,

¿Cuál de las siguientes afirmaciones relativas a los 'datos del gráfico no es verdadera?

A) Se plantaron un total de 37 árboles.

B) La media del número de árboles plantado es 7,4'.

C) Los peumos que se plantaron son 3 más que los robles plantados.

D) La mediana del número de árboles plantados es 11.

E) El árbol moda es el pino.

. 23) En una ciudad del Sur, en 5 de 6 días de lluvia se registraron las siguientes cantidades de aguacaída, en milímetros: 0:9 ; 1,6 ; 0,6; 2,0 ; 1,4. Si la media aritmética del agua eaída en los 6 díases de l,2.mm, entonces el.agua caída en el día que no se registró fue

A) 0,1

B) 0,7

C) 1,2

D) 1,25

E) 1,3

362i!

)

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test W l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

24) Para un estudio, algunos estudiantes registraron las temperaturas de 6 días de octubre. Los datosobtenidos se muestran en la tabla siguiente:

Temperaturas de octubre

Feeha Temperatura (OF)

Oct. 1 45-Oct. 2 52

o«. 3 48

Oct. 4 50

.Oct. 5 61

Oct. 6 43

¿Cuáf de los siguientes gráficos corresponde. a los datos de la tabla?

A) D)Tempertauras de:octtlbreTemperaturas de octubre

lililí=.'¡:----". -. -'-. -.-' -. -:--.~--.¡.•:~t-- -"~. -_. j

20-:-" -. 10+,- . __. _. i

L'·~¡ ;:;:, ;;:, 0'" "";- ce,s . "",-: I. Fecltl

B) E)'temperaturas deoctubreTemperaturas de octubre

~~:I --~np~·===¡o . -" 1

Pct f- Od.2· Oc:t30ct.4 0cCS:, oct eF••••

C)Temperaturas.ée octubre

iI

X'X X

_X X XX X X X

X X X X X~X X X X X X

oe.r 0" a OOU Oct. 4 Col.' oe,e

363

-1..,


25) Para calcular la nota final de una asignatura, las tres 'pruebas del semestre se ponderan con un30%, 30% Y 40%, respectivamente. Isabel tiene un 5 y un 4 en las dos primeras. Si su nota finalfue 5,1 entonces en la tercera prueba obtuvo un

A) 5,0

B) 5,1

e) 5,2

D) 6,0

E) 6,3

26) El gráfico muestra el tiempo, en minutos, que toma a un grupo de alumnos realizar el trayecto delcolegio a sus casas. ¿Cuántos alumnos deben viajar por más de 10 minutos?

1¡' CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N" 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

29) De acuerdo al gráfico adjunto, se puede determinar el número de trabajadores correspondientesal sector agro pecuario si se sabe que:

(1) El ángulo del sector circular correspondiente al sectoragropecuario mide 45°.

(2) Al sector agropecuario corresponde un 12,5% del total..---------------------------~A) (O p'or sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)'

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) .


Industrial

A) 2 19 eB) 5 ~~

!_ .-8.4. +,C) 7 . ~'3

,~ 2-

D) 8 z 1

0.1-,.-E) 15 0'·5 6'\0:,:. ti,~15 1,6-0:.20:

30)

27) En la siguiente tabla se muestra el resultado del estudio: "Número de tíos (x) de los alumnos deun curso". De acuerdo a la información .de la tabla, ¿cnál(es) de las siguientes proposicioneses(son) verdadera(s)?

I) La moda deí número de tíos es 2:Il) 'La mediana del número de tíos es 3.

IlI) La media del número de tíos es aproximadamente 2,8

A) Sólo 1

B). Sólo Il

e) . Sólo 1 Y II

D) Sólo 1Y III

E) 1, II Y III

x f

O 2

1 4

2 8

3 6

4 5

5 5

28)' Para calcular la media aritmética de un curso en una prueba de matemática se sabe que:

(I ) La media de las niñas delcurso, que son 15, fue 6,1.

(2) El total de alumnos del curso es 25 y la media de los niños fue 5,8.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adiciona!

i.1

364

l

Agropecuario

Se quiere determinar la moda de un conjunto de datos correspondientes a las remuneraciones delos trabajadores de una empresa.

(l) La mayor frecuencia absoluta corresponde a un sueldo de $ 250.000.

(2) La mediana de los datos es $ 250.000.

Á) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



·E) Se requiere información adicional'

RESPUE:>TAS CORRECTAS

365

¡I¡


CAPÍTULO 2. PROBABILIDADTest N° 2: Probabilidad 1

1) De 'los siguientes experimentos, ¿cuál es el único que no es aleatorio?

Al Observar un semáforo, en un momento dado, y ver si está en rojo

B) En una carrera de caballos, que, gane el caballo "Emperador"

C) La cantidad de pasajeros que se van a bajar en una determinada estación del "Metro"

D) El movimiento de las moléculas, de un gas

'E) 'Pulsar un interruptor en 'buen estado y que se encienda la luz, , ,

2) En el experimento del lanzamiento de un dado normal, es decir, no cargado, ¿cuáles de los

siguientes sucesos son equiprobablesv

1) que salga un número par

,Il) que salga un número impar

. III) que salga un número primo

A) Sólo, I,y II

E) S6lo II yIII

C)Sólo 1 Y III

D) I, II Y III

E) Ninguno de ellos

3) Se da el conjunto' D = (I, 2,.3, 4, S, 6, 7,8, 9], Determinar la probabilidad de que' al elegir un

dígito al azar, él sea múltiple de 3.

1A) -, 2

1E) '3

1e) '4'

1D) '5

1E) '6

Dada la importancia de las Unidades de Probabilidad y Estadística en esta nueva pruebe de selección universitaria. aunque ellas no son nuevas, para los aspectosconceptuales y teóricos de estos contenidos, se recomienda nuestro Manual de Preparación P.S.U. editado por Ediciones UniversidadCatólica de Chile. SextaEdición. Marzo de 2006,

366

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test W 2, PROBABILIDAD

4) Se lanza un dado no cargado (normal).' La probabilidad de obtener un número mayor o igual que4 es

1A) '3

1

2

2

3

E)

e)

D) ~4

.5

6E)

S) Se elige al azar una ficha, de un grupo de ellas, numeradas del 1 al is contenida en' una bolsanegra. ¿Cuál 'es la probabilidad de que 'la ficha contenga un número que sea múltiplo de 2?'

A) J15

215

7

15

E)

C)

D) ~15

12

E)

6) Se lanza un dado normal. La probabilidad de que el número obtenido sea menor que 6 es

I

5

6

2e) '3

1D)' -, 2

1E) '6

A)

B)

367


7) Se lanzan dos monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener los mismos valores?

1A) "4

1B) "3

1C) "2

2D) "3

3E) "4

8) Se lanzan dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma igual a 3?,1

'A) 36

1B) 18

1C)'9

5r» 36

1E) -, 6

9) Si se lanzan tres monedas normales al aire, ¿cuál es la pro,babilidad de obtener 2 caras y l sello?

3A) "4

5B) '8

1'c) "2

3Ú) '8

1E) "3

308

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N" 2, PROBABILIDAD

10) Se lanzan tres monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de' obtener 3 sellos?

A) 8 r

. 1B) -

4

3C) -8

1D) -

2

3E) "4

11) Se lanzan tres monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener valores alternados?

A)~8

1B) -4

3C) -8

1D) -2

3E) -

4

.12) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados normales se obtenga, al menos, un númeropar?

3A) "4

25B) 36

2e) "3

1D) "2

1E) "3

·369

-----_.


13) Se elige al azar un número entero de dos dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que en el númeroelegido, sus dígitos sumen l O? '

1A) 100

9B) 100

1C) 10

1D) "9

E)1190

14) En una urna hay tres bolas negras y dos blancas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolablanca? .

1A)52

B) 51

C) '23

D) 52

E) 3'15) Sean A y B dos sucesos asociados a un mismo experimento 'aleatorio E, Si las probabilidades de

ambos sucesos A y B son pfA) = a y p(B) = b, entonces se afirma que:

1) O:::; a :::; 1

Il) O:::;b:::;I'

IlI) O:::; a + b :::; l

De las desigualdades anteriores, es (son) correcta(s}:

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) S610 III

D) Sólo 1 y II

E) 1, II Y III

370

CUARTO EJE TEMÁTICO I TeSl N" 2, PROBABILIDAD

16) En una urna hay 14 fichas, 'en total, de colores blanco, rojo y negro, Si hay 5 fichas blancas y la

probabilidad de sacar una ficha blanca' o negra es ~ entonces ¿cuántas fichas son negras?, 7A) 2

E)

C) 4D)E) 7

17) Se extrae una pelota al azar de una caja que contiene 3 rojas, 2 blancas y 4 azules, ¿Cuál es laprobabilidad de que la pelota que se saque no sea roja?

1A) 5

1B) '4

1C) 3'

1O) '2

2E) 3'

18) Una ,bolsa contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 11 bolas negras', Si se extrae una bola al azar,-¿cuál es la' probabilidad de que sea blanca o roja? '

l-A) 5

1B)'4

1e) 20

9D) 2Q,

11E) 20

371

------~------------_._-_ ..._ ..,-,._~

PS!J. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

19) Se tienen 2 cajas, una con 4 bolas blancas y 2 negras y la otra con 3 blancas y 5 negras. Si sesaca una bola de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

1A) "6

1B) '5

1C) 4"

1D) 4"

1E) "2

20) Al lanzar dos dados normales, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un 2. ó un 6 en uno deellos si la suma de los números es 7?

1A) "6

1B) '3

1C) "2

2D) '3

5E) "6

21) Si lanzamos simultáneamente 4 monedas normales al aire, la probabilidad de obtener 4 caras en'el lanzamiento es: .: . ....

372

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N' 2, PROBABILIDAD

22) Se tiene un dado normal, es decir, no cargado, una de cuyas caras se encuentra en blanco y elresto están todas uumeradas del 1 a15. En este caso, ¿cuál es la probabilidad de que, al lanzar eldado, se obtenga un número par?

1A) '3

2B) '5

1C) "2

3D) '5

2E) '3

23)' De un grupo de 20 'personas que ,gustan de Ias empanadas, sólo a. 5 de ellas le gustan COQ ají: Sise eligen dos personas al azar; ¿cuál es la probabilidad de que a ambas les gusten las empanadascon ají? .

1A) 16

1B) -

4

4C) 19

1D) 19

1E) 20

Se lanzan al aire simultáneamente dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de que lasu;na' de los números .que figuren en sus caras sea igual a su producto?

1A) "2

1B) '3

1C) "6

1D) 18

1E) 36

373


25) Un 35% de los socios de una asociación juvenil son seguidores del grupo musical "Los cangrejos";un 30%, del grupo "Los piures", y a un 15% le gusta ambos grupos. La probabilidad de que alelegir un socio al azar, sea seguidor de "Los piures", sabiendo que le gusta el grupo "Loscangrejos" es, aproximadamente

A) ·0,105

B) 0,429

C) 0,500

D) 2,333

E) 0,857

26) Sabiendo que la probabilidad de que "Euclidín" obtenga, en promedio, mi puntaje superior a los800 puntos en la prueba PSU, es de un 80%, entonces la probabilidad de que "Euclidín" obtenga,en promedio, un puntaje igualo inferior a los 800 puntos en dicha prueba, es de

A) -80%

B) 20%

C) .0,0125%

D) -0,0125%

E) 99;9875%

27) Si la probabilidad de que ocurra un. suceso S es "a", siendo a E IR Y O <;; a <;; 1, entonces laprobabilidad de que dicho suceso no ocurra es

A) -a

B) 1- a

C)a

D)a

1E) 1--

a28) El experimento aleatorio E tiene sólo dos sucesos P y Q asociados a su espacio muestral S. Para

saber si los sucesos P y Q son equiprobables se dispone de la siguiente información:

(1) la probabilidad del suceso P es de un 50%

(2) P Y Q son dos sucesos mutuamente excluyentes

A) (1) por sí sola:

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, O) Ó (2)

E) sé requiere información adicional

374

CUARTO EJE TEMÁTICO / Test N" 2, PROBABILIDAD

29) Se da una muestra de 100 personas adultas elegidas al-azar; entre hombres y mujeres. Se deseasaber si al elegir una persona al azar, ella es mujer y que fuma.

O) Hay igual cantidad de hombres que de mujeres en la muestra

(2) El 80% de las mujeres de la muestra fuma

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, O) ó (2)


30) Un dado normal tiene todas sus 'caras numeradas del 1 al 6, excepto una de ellas. Para podersaber cuál es el número que falta en una de sus caras tenemos que:

(1) la probabilidad de que salga un número impar, al lanzar el dado, es mayor que laprobabilidad de que salga un nú:nero par.

(2) el número que falta tiene a su antecesor y a su sucesor en .Ias caras del mismo dado.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




375

i~¡¡1

1'1Itii

111·

PSU. Cuaderno de Ejercicios, ¡'vfatemá'i~a




4) Autor:

Título:Editorial:

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFJCA

Cuarto Eje Temático:ESTADÍSTICA y PROBABILIDAD

Dickson, Leonard EugeneCollege AlgebraJohn Wiley and Sons.-Nueva York, 1902

Lipschutz, SeyrnourProbabilidadMcGraw-Hill. Bogotá, Colombia, 1971. Colección Schaum,

Willougby, Stephen S.Estadística y ProbabilidadPublicaciones Cultural. México, 1969.

Wisniewski, Piotr MarianVelasco Sotomayor, GabrielProblemario de probabilidadThornpson. México, 2001

Observación:

En estos temas de Estadística y probabilidad, generalmente los textos existentes en el mercado están orientados hacia los. estudiantes universitarios. No existe una gran variedad de literatura, a nivel básico, corno en las otras 1:lnidades temáticas.

376

111

"

,.

M

11

,tI

111


EJERCICIOS RESUELTOS.ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS

1) El número N = du es un número de dos dígitos en el sistema decimal. "d"es la cifra de las decenas y"u" es la cifra de las unidades. ¿Es N divisible por 27

(1) "Il;' es cero o cifra-par

(2) (d + u) es un número par

A) (1) por sí sola:B) (2) por sí solaC) Ambasjuntas,(I) y (2) .D) Cada una por sí sola, O) ó (2)ID Se requiereinformación adicional

Solución:

Con la información I, sabemos que el número N es par y, por lo tanto, divisible por 2.

Luego, la condición I es necesaria y suficiente, es decir, con ella basta.

En cambio, con la información Il, no se garantiza que el número N sea divisible por 2, pues si d = u = 1,el número 11 es impar y, poi: lo tanto, no es divisible por 2. '

Luego, II no es suficiente.


Este ejercicio apunta directamente al conocimiento de laregla de divisibilidad por 2. Por lo tanto, es unejercicio netamente conceptual que no debería ofrecer ninguna dificultad,

Respuesta correcta: alternativa A

... "

378

ANEXO I Ejerc ic ios Resueltos

2) En el conjunto de los números reales: IR, se da la siguiente ecuación de primer grado en la incógnita "x"

y con parámetro "m": m2 x + 2 = m (x + 2) ..Ella tendrá una solución única siempre y cuando secumpla que

(1) m *' O

(2) m*,1

A) (l) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) Y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

Solución:

Puesto que en el enunciado se especifica claramente que la incógnita es "x",y el parámetro es "m",entonces debemos despejar la "x" de la ecuación dada, en términos de "m". '

m2 x + 2 = m (x + 2)'

/

m2 X + 2= mx + 2m

m2 x - mx 2m - 2

mx(m - 1) 2 (m - 1), de donde:

2 (m 1)x=

m (m 1)

Nótese que en ningún hemos cancelado o simplificado por el factor (m - 1) .

Ahora bien, para que la ecuación anterior tenga exactamente una sola solución, debe cumplirse que, eldenominador de la expresión resolvente sea distinto de cero. Esto es:

m (m - 1) *' O, lo que es equivalente a:

m *' O, Y m*,1

Luego la condición del ejercicio se cumple si y sólo si se. verifican ambas condiciones (1) y (2) .

379



En una ecuación como la propuesta, de incógnita "x" y de parámetro "m", la situación podría habersido perfectamente al revés, es decir, la incógnita podría haber sido "m" y el parámetro podría habersido "x". Deahí la importancia de especificar muy bien el papel de los términos en una ecuación.Dejamos como inquietud para nuestros estudiantes, resolver él problema planteado al revés, o sea..como incógnita "m" y como parárnetro "x", ¿Cuál' sería el análisis y la discusión en tal caso?

.Respuestacorrecta: alternativa e

3) Se necesita conocer la longitud de la circunferencia de centro O de la figÚra adjunta.· Para ello sedispone de la siguiente información:

(1)

" . ".

la cuerda AB es el lado. del hexágono regular inscrito en ella

(2) el área 'del triángulo equilátero ABO mide .J3. cm2

A)B)C)D)E)

(1) por sí sola(2) por sí solaAmbas juntas, (l) y (2)Cada una por sí sola, (1) Ó (2)Se requiere información adicional

o

B

..

Solución:

I~ln

1;'!

Con la información 1 podemos saber que la cuerda A.i3 es igual al. radio de la 'drcunferencia peroaún no sabemos su medida y, por lo tanto, tampoco la de la circunferencia. Luego, 1 por sí sola no essuficiente. . . . . . . .Con la información Il, dada el área del triángulo equilátero ABO, se puede determinar la medida dellado de dicho triángulo, es decir, la medida. de la cuerdaAB. Y teniendo la medida de la cuerda AB setiene la medida delradio OA, (o bien OE) de dicha circunferencia. Luego II por sí sola es suficiente.

380

ANEXO I Ejercicios Resueltos


Cuando en un ejercicio corno este se pide encontrar la longitud de una circunferencia se entiende que essu valor numérico. Efectivamente para hallar la longitud de una circunferencia se requiere, es-decir, es

necesario y suficiente el dato de su radio( o su diámetro), pues la fórmula depende de ello:· L~ = 2 1t r .Sin embargo, para saber qué tan grande o pequeña es una' circunferencia necesitamos la' longitud omedida de su radio .


4) Un montañista sube hasta la cima de un cerro yluego desciende, en ambos casos, con rapidez constante.Se pide determinar ~u rapidez media en todo el trayecto.

(1). . . . km

la rapidez media de su ascenso es de 3 -h

A)B)C)D)E)

la rapidez media de su descenso es de 6 km.' . . h

(l ) por sí sola(2) por sí solaAmbas juntas, (l) y (2)Cada una por sí sola, (1) ó (2)Se requiere información adicional

(2)

Solución:

Para déterminar la rapidez media (v m) del montañista en todo el trayecto, necesitamos saber la distanciatotal recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, independientemente del valor de la distancia. Enefecto, sea "!I" la distancia recorrida por el montañista desde la base hasta la cima, expresada enkilómetros. •

La distancia total recorrida es, claramente, d + d = 2 d',

De la fórmula del movimiento uniforme: v = ~,deducimos que el nempo "t" es:t '

dt =

v·

Por lo tanto, el tiempo de ascenso (ta), expresado en horas, es igual a:

tad.

3

381

psu. Cuaderna de Ejercicios. Matemática

y el tiempo de descenso. (td ), también expresado en horas, está dado por;

tdd

6

Luego; el tiempo total en el recorrido está dado por:

t = ta + t~, es decir:

d- +3

d

6

d

2t =

ASÍ, la rapidez media el! todo el recorrido es igual a:

Vm2d-,-, esto es:-d2

='4 kmh

Vm


En realidad, no era, necesario resolver el ejercicio para darse cuenta que se necesitaban ambos datospara su solución. Sin embargo, lo hemos hecho, dado que en este ejercicio está presente el concepto de

la media armónica. La media armónica (H) entre dos números reales positivos a y b está dada por.

H=Úba + b

La rapidez media en todo di trayecto del montañista es la media armónica entre l~ rapidez d1ascenso y .

la de descenso. Como a = 3 y b = 6,. entonces la rapidezmedia es igual a:

Vm 2 • 3 • 6 , de donde:3 +6

kmv = 4 -, como antes

m' h '

Recalcamos nuevamente que, en estos ejercicios de suficiencia, de datos, el objetivo no es resolverel ejercicio, sino decidir si con la información entregada en los incisos (1) y (2) es posible llegar a lasolución.

Respuesta correcta: alternativa eI

I¡¡i1.

382

ANEXO I Test N".1, SUFICIENCIA DE DATOS

ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOSTest N° 1: Suficiencia de datos

1) ¿Cuál es el porcentaje de inciemento en el valor. de un jarrón de gran antigüedad en el período que vadesde el 1 de enero de 2,004 hasta el 31 de diciembre de 2.005?

(1) El valor del jarrón al 1,de enero de 2.004, era de 5.000 euros

(2) El valor del jarrón al 31 de diciembre de 2.005, era de 8.000 euros

A) (1) por sí sola

B) (2)por sí sola


'O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere informaciÓn adicional

2) Si un total de 84 estudiantes están inscritos en un curso de cálculo en dos secciones, ¿cuántos de los84 estudiantes son niñas? ' .

(1) el 25% de los estudiantes de la primera sección son niñas

(2) el 50% de los estudiantes de la segunda sección son varones

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicionall

3) ¿Corresponde la expresión 1 + - a un número mixto, sabiendo que x es un número entero?x

(1) x es' número natural

(2) x *A) (1) por sí sola, .

B) . (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y ·(2)

O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)


4) Si x es un número real tal que x * O, ¿es x + y = O?

(1) x es el opuesto de y

(2) x * l

A) (1) por-sí sola

B) •(2) por si sola


O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Sé requiere información adicional

383

III¡I


5) Si a, b y e son números reales, '¿es a = e?

(1) a-b=b-c

(2) a-2c=c-2b

A) (1) por sí sola

B) • (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (l).ó (2)


'1

1I.

I\.II"~f,!~.,í•~IrIt

.,6) 'Si «a» es un número entero, .¿cuál es el valor de a?

(1) a'

(2) a3 + 1 ~ O

:") (I~ por sí sola

E) (2) por sí sola




7) .Si e es la cifra de' las centésimas en el número decimal d = O,2c6, ¿cuál es el valor de d,aproximado a la décima? ' "

1(1) d <-

4(2) e < 5

A) (1) por sí sola

E) (2) por sí sola




8) ¿Es x un número entero par?

(1) x es el cuadrado de un número entero ..

(2) xes el cubo de un número entero.

A) (1) por sí sola

E) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola,(l) ó(2)


384

ANEXO I Test N" l. SUFICIENCIA DE DATOS

9) ¿Es X menor que y? .

(1)' x-y+l<O

(2) x-y-I<O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) .

E)' Se requiereiriformación adicional

10) ¿Cuál es el primer término de una sucesión?

(1) El segundo término es 43

(2) El segundo térmiIl;o es cuatro veces el primero, y el tercero es dos veces el segundo

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sf sola, (1) ó (2)

E) Se requiere ,información adicional

11) Una persona en cinco meses ha ahorrado $a. Se puede determinar el valor de a si:

(1) Mensualme~te gana $4oo.000.y ahorra el 6% de su sueldo

(2) En tres meses' ha reunido $72.000 lo que representa el 60% de lo que ahorra en 5 meses

'A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) . Cada una por sí sola, (1) 6 (2)


12) .Una bolsa contiene 20 bolas rojas y 10 bolas azules. Si se sacan 9 bolas, ¿cuántas bolas rojas quedanen la bolsa? .

(1) De las bolas que se sacaron se sabe que la razón entre rojas y azules es 2: 1.

(2) Cuatro de las seis primeras bolas sacadas son rojas.

.A) (1) por sí sola

E) (2) por si sola

C) .Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (l) ó (2)


385


13) Ignacio es 5 años mayor que Fran~isca. Hace 10 años, Patricio era 10 años mayor que Valen tina.¿Cuál es la edad de Valentina?'

(1) La edad de Valentina es tres veces la edad de Ignacio.

(2) La edad .de Francisca es 5 años.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por 'sí sola, (1) 6(2) .

E) . Se requiere información adicional

14) .Si n 'es un número natural rriay~r que 1, ¿es n .-(n2 -1) divisible por 6?

.(1) n es divisible por 3 .

(2) n es impar

.Al (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicional'

15). ¿Es 7x= 15 +2x?

(1) -ax <:-9

(2) 2x <: 6

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambasjuntas, (1) y (2)


E) Se .requiere información adicional

16) ¿Cuál es el valor de m?

(1) m2 = (1O-m)2

(2) 3m-12=3'

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C)' Ambas juntas, (1) y (2)



,;

:¡

38.6

~-

rANEXO I Test N" 1, SUFICIENCIA DE DATOS

17) Se reparten $ 385.000.entre Hugo, Paco y Luis. ¿Quién recibió menos?

2(1) Ruga recibió '9 de la suma de lo que recibieron Paco y Luis.

3(2) Paco recibió 11 de la suma de lo que .recibieron Ruga y Luis.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

ci Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí. sola, (1) 6 (2)


18) Si una plaza tiene forma rectangular, ¿cuál es su ancho?

(1) La razón entre su largo y su ancho es 7: 2

(2) El perímetro de laplaza es 396 m

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E).' Se requiere información adicional

19) ¿Es el perímetro del cuadrado S mayor que el perímetro del triángulo equilátero T?

(1) La sum~ de las longitudes del lado del cuadrado y del triángulo es 18 cm

(2) La razón entre el lado del cuadrado y el lado del triángulo es 4 : 5A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



É) Se requiere información adicional

20) Sea el t.ABC rectángulo en e e inscrito en la semicircunferencia ÁCE. Los arcos AC y BC sonsemicircunferencias de centros en los puntos. medios' de los catetos. ¿Cuánto mide el' área achurada?

(1) AB·= 5cm y AC = 3c~

(2) BC = 4 cm

A) (1) por ,sí-sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) ,


E) Se requiere ,información adicional A B

387

- ~._------.--,,-

~


21) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. El ángulo x mide:

~ 1 .~(1) arco AB = larco BC D

(2) a = 1200

A) (1) por sí sola

B)(2) por sí sola

C)· Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cad~ una por sí sola, (I~ ó (2)

E)' Se requiere información adicional.

22) Si a, b e IR+' ambos distintos de uno, se puede determinar el valor de logba si se. conoce que:

B

(1) ~=b!(2) b' = a

A) (1) por sí sola

'B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, ti) y (2)



23) Se puede determinar la ecuació~ de la recta e de la figura adjunta si:

(1) a:b=2:3

(2) b-a;=l

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) .Ambas juntas, (1) y (2)


E) . Se requiere información adicional

x

.y,

b·-----

o

24) Si a. es un ángulo agudo, ¿cuál es el valor de sen a.?

(1) sen2a.=1-cos2a.

3cosa. =-5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




(2)

3118I

i

~

IANEXO I Test W \, SUFICIENCIA DE DATOS

25) ¿Cuál es la capacidad 'de un estanque cilíndrico?

(1) La base es equivalente a un cuadrado de lado 5 m

(2). Su altura es igual al diámetro de la base.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (l)ó (2)


l·

26) 50% de las oficinas de cierta ciudad .tienen computador y aire acondicionado. ¿Qué porcentaje de lasoficinas de_esta ciudad tienen computador pero no aire acondicionado?

(1) Si se escoge una oficina al azar de esta ciudad, la probabilidad de que tenga aire acondicionado7

es--10

(2) Si se escoge una oficina al azar de esta ciudad, la probabilidad de que tenga computador3

es -5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




27) El comité X y el comité Y, que no tienen integrantes comunes, se fusionan para formar el comité Z.Para saber si el comité X tiene más integrantes que el comité Y, se sabe gue:

(1) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité X es 25 años y la de los integrantesdel comité Y es 29 años.

,(2) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité Z es de 26 años.

A) (1) por sí sola

B). (2) por sí sola


. D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)


"

389

FSíl, Cuaderno de Ejercicios, Matemática

28) Se tienen dos cursos A y B del nivel 4° medio de un colegio. Se desea saber en cuál de ellos sepresenta.la mayor dispersión de edades.

(1) la desviación estándar de las edades del curso A es 2,5

(2) la desviación estándar de las edades del curso. B es 3,5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) .


E) Se requiere información -adicional\

29) ¿Es el rango de los números en un conjunto A, mayor que el rango de los números en un conjunto B?

(1) La desviación estándar del conjunto A es may~rque la desviación estándar de B

(2) La probabilidad de que un- número seleccionado al azar del conjunto A sea mayor que unnúmero seleccionado al azar del conjurito B es l

. A) (1) por sí sola

B) (1) por sí sola


D). Cada una por sí sola, (1) Ó (2)


30) Si se seleccionan 'al azar y con reemplazo, dos estudiantes de un curso mixto, ¿cuál es la probabilidadde que dos hombres o dos mujeres sean seleccionados?

(1) Hay 50 hombresen el curso.

(2) La probabilidad de seleccionar un hombre y una mujer es 21. '50

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




!

I

Ij.


390

II

l·;,.

I .L

99558844 libro psu matematica uc completo oliverclases

Documents