preparacion psu de matematica sm

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Page 1: Preparacion Psu de Matematica SM

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Page 2: Preparacion Psu de Matematica SM

:r©©®®®PSUMatemática

DIRECCIÓN EDITORIAL

Arlette Sandoval Espinola

JEFATlJRA EDITORIAl.

Georgina Giadrosic Reyes

EDICiÓN

Pablo Saavedra RosasCristian Gúmera Valenzuela

CoEDlClÓN

Carta Frigerio Cor1ésMarco Linares RodríguezGerardo Muñoz Díaz

AYUDANTIA DE EDICIÓN

Susan Schwerter Felmer

CoRRECCIÓN DE ESTILO

Alejandro Cistemas Ulloa

CoRRECCIÓN DE PRUEBA

Sara Martínez labbéAlejandro Cistemas Ulloa

JEFATlJRA DE ARTE Y DISENO

Carmen Gloria Robles Sepúiveda

DISEÑO OE PORTADA

Pablo AguiITe Ludueña

DISEÑO y OIAGRAMAQÓN

Jennifer Contreras VilchesPablo AguiITe Ludueña

FoTOGRAFIAArchivos fotográficos SM

JEFATURA DE OPERACIONES EDrTOAIALES

Andrea Carrasca Zavala

<-------

El Manual PSUMatemáUca ha sido elaborado conforme a las Decretos 220/98 y 254/09 del Ministerio de Educación de Chile.© 2012 - Ediciones SM Chile SA. - Coyancura 2283, oficina 203 - Providencia, Santiago.ISBN 978-956-264-981-0 / Depósito legal N" 212546Se terminó de imprimir esta primera edición en el mes de enero del año 2012.Impreso por Salesianas ImpresoresImpreso en Chile / Printed in Chile

Oue<lan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de las titulares de! Copyright bajo las sanciones establecidas en lasleyes,la reproducción Iotalo parcial de esta obra por cualquier medio o procedimienlo, comprendidos la reprografía y el tratamienlointormátíco, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

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las Pruebas de Selección Universitaria, PSU

Las PSU (Pruebas de Selección Universitaria), son instrumentos de evaluación educacional

aplicados desde el año 2003 por las universidades que componen el Consejo de Rectorespara seleccionar a los estudiantes que ingresan a sus carreras. Las PSU miden la capacidad

de razonamiento de los postulantes egresados de la Enseñanza Media, sobre la base de loscontenidos del Plan de Formación Gerieral de Lenguaje y Comunicación, de Matemática,

de Historia y Ciencias Sociales y de Ciencias (Biología, Física y Química). Las pruebas de

Lenguaje y Comunicación y Matemática deben ser rendídas en forma obligatoria y las deCiencias e Historia y Ciencias Sociales en forma opcional.

La PSU de Matemática

Los contenidos de la PSU de Matemática se agrupan en cuatro Ejes Temáticos, que corres-

ponden a los Contenidos Mínimos Obligatorios del Marco Curricular, pertenecientes alplan de Formación General de primero a cuarto año de la Enseñanza Media, los cuales son:

Números y Proporcionalidad, Algebra y Funciones, Geometría y Probabilidad y Estadistica.También se consideran las habilídades cognitivas de reconocimiento, comprensión, apli-cación, análisis y síntesis y evaluación desarrolladas durante los doce años de estudio, por

cuanto ellas son condiciones mínimas de entrada a la Educación Superior. Es importante

destacar que cada pregunta incorpora en forma simultánea un contenido y una habilidadcognitiva, por lo que si un postulante maneja un tópico pero no ha desarrollado la compe-tencia que necesita para !Iegar a la solución, no será capaz de responderla correctamen-te, y viceversa. Esta característica !e da a la prueba el caráder de test de razonamientomatemático.

La prueba está compuesta por 75 preguntas ordenadas según los ejes temáticos antesseñalados, terminando con siete íterns de Suficiencia de Datos, cuyas preguntas abarcanlos cuatro Ejes Temáticos.

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Page 3: Preparacion Psu de Matematica SM

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~:~." ..~Autores

Mabel Rossana Vega Rojas• Ingeniero de EjecuciónQuímico, Universidadde Santiago de Chile• Magíster en Didácticade la Matemática, Pontificia Universidad Católicade Valparaíso

María José Jiménez Robledo• Profesora de Matemática, Pontificia UniversidadCatólica de Chile• licenciada en Educación,Pontificia UniversidadCatólica de Chile• Licenciada en Matemática, Pontificia Universidad Católica de Chile• Magíster en Didácticade la Matemática, Pontificia Universidad Católicade Valparaíso

Jaime Enrique Ávila Hidalgo• Profesor de Estadoen Matemática y Computación, Universidad de Santiagode Chile• Licenciado en EducaciónMatemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile

Aldo Jesús Ramírez Marchant• Pedagogía en Matemática, Pontificia Universidad Católica de Chile• Licenciado en Educación,Pontificia Universidad Católica de Chile• Licenciado en Matemática, Pontificia Universidad Católica de Chile• Magister en Didáctica de la Matemática, Pontificia Universidad Católica deValparaíso

Consultor

Miguel Ángel Muñoz Jara• Licenciado en Ciencias Mención Matemática, Universidad de Santiago de Chile• Magíster en CienciasMención Matemática, Universidad Católica del Norte

Asesor pedagógico

Gastón Manuel Guerrero Arcos• Profesor de Estadoen Física y Matemática, Universidad de Santiago de Chile• licenciado en Educación,Universidad de Santiago de Chile• Magister en Educación,Universidad de Los Lagos

Desarrollo de ejercicios

Caria Friger!o CortésJosé Miguel Herrera BravoCarlos Castro Maldonado

Docentes correctores de solucionario

Denisse Avilés Henn,Ma~orie Ruiz Basterrtca, Luz Santana Salazar,CarolinaTrancoso Gómez,Datne Vanjorek Suljgoí,Aralio Aguirre Solar, Luis Arancibia Morales, ÓscarCerda Sánchez,Víctor Donoso Robles,Jean Estay Rodríguez,Carlos Garcia Escuti,Carlos LópezTorres, Marcelo Maulén Víllar,Rodriga Pinto \1lches, Arnaldo RojasVitalich.

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.. Capítulo INúmeros y proporcionalidad

Números naturales y números enteros 14

Divisibilidad 16

Operatoria con números enteros 17

Números racionales 18

Transformación de fracciones anúmeros decimales 20

Aproximación de números decimales 21

Potencias de base positiva yexponente entero 22

Notación científica ........................•.••................ 24

Ecuaciones exponenciales .

Números irracional es .

Raíces cuadradas y cúbicas .

............ 25

.. 26

.. 28

Ensayo temático 1 30

Modelamiento PSU ........•.......................... 34

Variable .

Razones y proporciones.

Proporcionalidad ..

42

.. ...........•..... 43

··.. · .46

Proporcionalidad compuesta 49

Porcentajes 51

Ensayo temático 2.. ......................•............ 54

Modelamiento PSU .... . 58

El número i . 56

Números complejos 57

Operaciones con números complejos 73

Potenoasy raíces de números complejos 76

Ensayo temático 3 78

Modelamiento PSU 82

13Capítulo"Álgeb,a '1 funciones

91

Lenguaje algebraico 92

Expresiones algebraicas 94

Valorización de expresiones algebraicas ,.96

Reducción de términos semejantes 98

Multiplicación de expresiones algebraicas 100

Productos notables 102

Factorización 106

Expresiones algebraicas fraccionarias 109

Divísión de polinomios de una variable 116

Ensayo temático 1 '" 118

Modelamiento PSU ........•..........•................ 122

Ecuaciones ...

Ecuación de la recta .

Sistemas de ecuaciones lineales

Intervalos en x .Inecuaciones de primer grado conuna incógnita ..

Sistemas de inecuaciones conuna incógnita .....

. 130

................... 138

148

.. 158

.. .... 160

163

Ensayo temático 2 .

Modelamiento PSU 168

··•·•·•· 164

Función . .. .. 178

Función lineal, afin y constante

Función definida por tramos ....

Función valor absoluto y funciónparte entera .

Ecuación de segundo grado conuna incógnita .

Función cuadrática 188

... 180

...... 182

·.. · 183

................ ·•. · 185

Page 4: Preparacion Psu de Matematica SM

....•.- ...."....~Función raíz cuadrada 191

Función potencia 193

Función exponencial 195

Función logarítmica 198

Composición de funciones ....................•.......... 201

Función invectiva y sobreyectiva 203

Función inversa 205

Ensayo temático 3 206

Modelamiento PSU 212

Capítulo 11IGeometría 227

Rectas y poligonos .. .. 228

Ángulos entre rectas 230

Poligonos ...............................•.................... 232

Triángulos 234

Elementos secundarios del triángulo 236

Teorema de Pitágoras 238

Cuadriláteros........ .. 240

Perímetro y área .

Conceptos básicos ..

Perímetro de la circunferencia .....

...242

. 245

.247

Área del círculo oo •••••••••••••••• 249

Ángulos y circunferencia 251

Relaciones métricas en la circunferencia ., 254

Ensayo temático 1 256

Modelamiento PSU ... •..•............... 260

Congruencia . .. 268

Congruencia de triángulos 270

Transformaciones isométricas: traslación 274

Transformaciones isométricas: rotación 276

¡; ("16\/l: . ~t1'1tom';ti•.•...•

Transformaciones isométricas: reflexión 278

Transformaciones isométricas:simetria central 280

Teselaciones regulares y semirregulares 282

Teselaciones irregulares 284

Semejanza 286

Semejanza de triángulos 288

División de segmentos 289

Teorema de Thales 293

Proporcionalidad en triángulos 295

Teorema de Euclides ..........................•............ 297

Ensayo temático 2 300

Modelamiento PSU .......•...... , 304

Sistemas de medición de ángulos 314

Razones trigonométricas en eltriángulo rectángulo .. 316

Razones trigonométricas deángulos notables 318

Razones trigonométricas dealgunos ángulos 320

Identidades trigonométricas 322

Adición y sustracción de ángulos 324

Poliedros regulares 326

Prismas y pirámides... .. 328

Sólidos de revolución 330

Vectores en el plano y en el espacio 332

Operatoria con vectores 334

Rectas y planos 336

Intersección de planos 333

Ensayo temático 3 340

Modelamiento PSU 344

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Capítulo IVEstadística y probabilidad 3$5

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Conceptos básicos 35;6

Tablas de frecuencias ,. 3$8

Gráficos .........................................................• 31>~

Parámetros estadísticos " 36B

Ensayo temático 1 , 3.,.Modelamiento PSU 38lO

Conceptos básicos 3&ii

Regla de Laplace 388

Diagrama de árbol 300

Triángulo de Pascal 39t

Ley de los grandes números 3!n'

Conjuntos. Unión, interseccióny complemento 394

Regla de la adición y regla del producto sss

Probabilidad condicionada 398

Principio multiplicativo 400

Permutaciones 401

Combinaciones 403

Aplicaciones al cálculode probabilidades 405

Ensayo temático 2 406

Modelamiento 410

Muestreo·· ...........................................•.......... 416

Coeficiente de variación 41B

Variable aleatoria 419

Función de probabilidad 420

Función de distribución acumulada 422

Esperanza, varianza y desviación estándar 424

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Correlación : 425

Regresión lineal " 427

Distribución normal 429

Estandarización 431

Intervalo de confianza 433

Distribución binomial... 434

Ensayo temático 3 436

Modelamiento PSU 442

Solucionario451

Capítulo I 452

CaPítulo 11.....................•........................... 464

Capítulo 11I '" 484

CaPítulo IV 498

Ensayos PSU511

Ensayo 1 .....................•............................ 512

Ensayo 2 540

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Page 5: Preparacion Psu de Matematica SM

El Manual Clave PSU Matemática está estructurado en cuatro capítulos:

• Números y proporcionalidad

• Algebra y funciones

• Geometría

Estadística y probabilidad

Cada capítulo está dividido en diferentes temas que consideran formalizaciones del contenido,ejercicios resueltos y ejercicios propuestos entre los que se incluyen ejercicios tipo PSU.

10. !lúmefln ¡melonales

IEjercicios

propuestose .s-O ~'8 'e

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Ejercicios 2 2Q. o,tipo PSU 1:: 1::

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--...•...-,~..Formalización

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En cada capítulo hay tres ensayos temáticos y con sus respectivas secciones de modela mientoen que se analiza la clave (respuesta correcta) y los distractores de cada una de las preguntas delensayo, lo que permitirá a los y las estudiantes conocer la estructura de los ítems yenfrentarlosde mejor forma, además de reflexionar acerca de su aprendizaje y de los errores posibles.

Ensayo temáticocon instrucciones

y preguntassimilares a las que

los estudiantesencontrarán

en la PSU

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Pagina demOdElamiento, yzl'álisis de clave

y distractores

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Page 6: Preparacion Psu de Matematica SM

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Al finalizar los capítulos del Manual con sus respectivos solucionarios hay dosensayos PSU, cada uno con 75 preguntas y una hoja de respuestas similar a la de la PSU.

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Validada por JINÍQ~yASESOlWo!t~NTO EOUCAilVO

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El Manual Clave PSU Matemática se complementa con ejercitación digital on hne, Estematerial amplia el trabajo realizado en el texto, refuerza los contenidos y habilidades que sedesarrollan en el manual y permite profundizar la preparación para la PSU. A través de estemedio se realizarán publicaciones que complementen y actualicen el libro impreso.

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10 CLAVE" Matemática

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,.1 Agradecimientos

Los ensayos que incluye el Proyecto Clave PSU Matemática han sido validados por el Instituto iDOO enlos siguientes colegios, a 105 cuales agradecemos su colaboración:

Colegio Carampangue, Talagante

Colegio Cristóbal Colón, Melipilia

Colegio Montessori, Talca

Colegio Particular Royal American School, Maipú

Colegio Pumahue de Curauma, ValparaísoColegio San Anselmo, Colina

Colegio San Ignacio De La Ssalle, QulilotaColegio San Isidro, Buin

Colegio San Jorge, Auca

Colegio San José Angol, Angol

Colegio San Pedro ~qlasco, Va:pa;aisoColegio Simon Bolívar, Ouillota

Colegio Vichuquén, e uricó

Instituto Alemán de Osorno, Oscrno

Instituto Sagrado Corazón de San Bernardo, San BernardoJunior College, Aries

Criterios de validación estadística en los Ensayos PSU

Con el objetivo de validar las pruebas de las áreas evaluadas se realizó un análisis psicométrico de losítems que consiceró en su estimación de parámetros aspectos de la Teoría Clásica de Medición y Teoríade Respuesta al item (lRT), -

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Agradecimientos

Page 7: Preparacion Psu de Matematica SM

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Números

Ensayo temático 1Modelamiento PSU

Proporcionalidad y porcentaje

Ensayo temático 2Modelamiento PSU

Números Complejos

Ensayo temático 3Modelamiento PSU 78 - 89

14 - 29

30 - 41

42 - 53

54 - 65

66 - 77

Page 8: Preparacion Psu de Matematica SM

1. Números naturales y números enteros

Ejercicios resueltos

1. Verifica algebraicamente si la suma yel producto de dos números naturalespares son números pares.

Sean p y q dos números naturales pares, entonces p = 2n y q = 2m, conn, m E N. Luego:

i) p + q = 2n + 2m = 2(n + m), y como n + m = t, con t E N, se tiene quep + q = 21. Por lo tanto, la suma de dos números naturales pares es unnúmero par.

ii) p. q = 2n • 2m = 4nm = 2 • 2nm, y como 2nm = u, con u E N, se tieneque p , q = 2u. Por lo tanto, el producto de dos números naturales pareses un número par.

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La suma de dos númerosnaturales es un númeronatural.

El producto de dosnúmeros naturales es unnumero natural.

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2. Si 3n + 1 representa un número par, determina:

a. su antecesor:

b. su antecesor par:

e. su sucesor:

d. su sucesor par:

(3n + 1) - 1 = 3n + I - 1 = 3n

(3n + 1) - 2 = 3n + I - 2 = 3n - 1

(3n + 1) + 1 = 3n + 1 + 1 = 3n + 2

(3n + 1) + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3

• los números naturalesque no sen primos sedenominan númeroscompuestos, excepto' el 1.

3. Determina la descomposición prima de cada número.

a. 63 ~ Se tiene que 63 : 3 = 21, 21 : 3 = 7 Y 7 : 7 = 1; así: 63 = 3 ·3 • 7 =3' • 7.

b. 90 ~ Se tiene que 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5 Y 5 : 5 = 1; así: 90 = 2 .3 ·3 • 5 = 2 .3' • 5.

e. 108 ~ Se tiene que 108 : 2 = 54, 54 : 2 =27, 27 : 3 = 9, 9 : 3 =3 Y 3 : 3 = 1; así: 108 = 2 • 2 • 3 .3 • 3 = 2' • 3'

4. Escribe V o F según corresponda.

a. JL Los números enteros negativos son los inversos aditivos de losnúmeros naturales.

b. JL Existe un número entero que no es positivo ni negativo.e. -L Si a E 7l-, entonces a' E 7l-.

d. -L Si O< a y O> b, entonces b > a.

El inverso ad itivo de unnúmero a es -a.

Ejercicios propuestos

1. Verifica algebraicamente cada proposición.

a.' La suma de dos números impares es un numero par.

b. El producto de dos números impares es un número impar.

c. La suma de un numero par y uno impar es un número impar.

d. El producto de un número par y uno impar es un número par.

2. Completa la siguiente tabla considerando que p es impar y q es par.

3(p - 3)

~ Marca la alternativa correcta.

l. Si n es un número impar, entonces el sucesor impar del sucesor de n + 1 se representa por:

~ n ~ n+3 q 0+4 ~ 30+4 ~ 2n+3

2. Si n es un número par, el número par antecesor de 2n + 4 está representado por:

A) 2n B) 2n + 2 C) 2n + 4 D) n + 6 ~ 2n + 6

3. ¿Cuántos factores primos diferentes tiene el número 7207

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Número~_

Page 9: Preparacion Psu de Matematica SM

2. Divisibilidad

Ejercicios resueltos

1. Determina si 315 es divisible por:

a. 3" Como la suma de los dígitos de 315 (3 + 1 + 5 = 9) es múltiplo de 3, entonces 315 es divisible por 3.

b. 5" Como el último dígito de 315 es 5, entonces 315 es divisible por 5.

e. 7" Como la diferencia positiva entre el doble del último dígito de 315 y el número que se forma sinconsiderar la última cifra (31 - 10 = 21) es múltiplo de 7, entonces 315 es divisible por 7.

2. Determina en cada caso el (los) valor( es) del dígito x según la condición dada.

a. 325.x12 es divisible por 9.

Para que 325.x12 sea divisible por 9, la suma de sus dígitos debe ser un múltiplo de 9, es decir,3 + 2 + 5 + x + 1 + 2 = 13 + x debe ser un múltiplo de 9. Así, para x = 5, se tiene que 325512 es divisiblepor 9, ya que 13 + x = 18 es múltiplo de 9.

b. 5.x71.34x es divisible por 6.

Para que 5.x71.34x sea divisible por 6, debe ser divisible por 2 y por 3, es decir, x debe ser un númeropar (2, 4, 6 u 8) y 5 + x + 7 + 1 + 3 + 4 + x = 2x + 20 debe ser múltiplo de 3. Así, para x = 2, 2x + 20 = 24es múltiplo de 3; luego, 5.271.342 es divisible por 6. Además, para x = 8, 2x + 20 = 36 es múltiplo de 3;luego, 5.871.348 también es divisible por 6.

Ejercicios propuestos

1. Determina el menor número natural que es divisible por los dados en cada caso.

a. 2, 3 Y 7 b. 4, 5 Y 8 e. 3,6 Y9 d. 2, 3, 4 Y9

2. Determina en cada caso el (los) valor(es) del dígito x para que l.x69.25x sea divisible por:

a. 6 b. 7 c. 4y5 d. 6y 9

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3. Operatoria con números enteros

Ejercicios resueltos

1. Resuelve las siguientes operaciones.

a. -1 - [1 - (1 + 1) -1 + (1 -1 - I)J - 1

=-1-[1-2-1 +(-l)J-l

=-1-[-3]-1

=-1+3-1

= 1

b. -25:5-6'(-3)-2(-3-1)

=-5 + 18- 2· (-4)

= -5 + 18 + 8

= 13 + 8

= 21

Ejercicios propuestos

GliI!] Marca la alternativa correcta.

1. (-2)·2· (-2) . (-2) . (-2) . 2 =

A) -10 B) -64 C) 32 D) 64

ª

2. Si n es un número entero distinto de cero y m es un número entero positivo,¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

1. n- m es un número negativo.tI. n- n • m es un número positivo.tll. n- (n - m) es un número positivo.

'"A) Solo IB) Solo I1C) Solo 111

3. Si a es un número entero positivo y b un número entero negativo, «uat delas siguientes proposiciones es siempre verdadera?

D) Solo I y 11E) Solo I y 111

~:2/>

.'~s::;=3

A) ab >0B) a+b >uC) a+b<O

D) b a>OE) a :b<O

c. 1-6 + 21-1-71 - 5

=1-41-7 - 5

=4 - 12

=-8

E) 68

Una sus¡rac(( r, cenúmeros er.rer JS sedefine

a-b=a-(-:,!

a-(-O)=3-j

Número~ _

Page 10: Preparacion Psu de Matematica SM

4. Números racionales

Ejercicios resueltos

1. Ordena de mayor a menor los números 31,l, 3.5 7

Una manera de comparar números racionales consiste en representarlos comofracciones y compararlas de dos en dos. Otra forma, consiste en representarloscomo fracciones y amplificar o simplificar, de modo que todas tengan el mismodenominador; luego, solo se deben comparar ios numeradores. En este caso:

Un número de la forma

C ~ se denomina número

mixto. donde:

Ci=C.b+ab b31='!§'). 3=1

5 5 7' 1

Al amplificar, para que todos los denominadores sean 35, que es el m.c.m (1, 5, 7), se tiene:

.ul>~>lQ=>31>3>l35 35 35 5 7

2. Resuelve las siguientes operaciones.1

c. 1 +.i56

b. 4.(.?:2S)+.?8 2 8

~4·(f·~ Ha. _~_l+l

2 18 69·9 5 7-3=----+-2-9 18 6-3

81 5 21=----+-18 18 18

-81- 5+2118

=-~18

3

=1+-.l.t¡'s11

=¡.~+.2.=1+.?)Ú 8 5 8

s

= 1• 8+ 5· 5 = 335·8 40

=1+2..10

1·10+3 13=--:-10 10

18 CLAVE· Matemática

~.,~;~..'.')w~t~.a'~"f!'

l'~-.. '.~.~~."".I~!.,

t-~.:]0,.

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(~'J'4~~:1'1';I',.!..~'

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e ,-o"8 .~-.::J'D ;tec.:!' 2~ ..eo .;"15

~:.ceo,

~ ¿:V1 .r~ ~:;¿ ~6 '"'Cj3 "'j

'0,' o'

IIIUIIIVIV •••••y,...'....,,... ,, "".

Ejercicios propuestos

1. Escribe >, <o: según corresponda.

a. 1 __ 13 2

b. l __li9 18

c. 2__ ~14 21

2. Ordena los números de menor a mayor.

a. 1 1. y 4J...2' 3 10

5 3 10 1b. -- - - y -1-6' 5' 2 3

4 3 O 6 4c. -9' -iQ' l' 7 y 7

3. Resuelve las siguientes operaciones.

a..2._1.+-.l.

e. U-~}86 9 12 3 6

b. .!l+~+l f. (3+~)-(¡-2)36 4 B

c. 3§.+-ª-g. 1:(1+1)

4 5 3 '\, 221-1

d. sl-.LJ... h......Li

5 21 la l8

[(~.~-~}i+l]-fj. (2-nU-~)k. ( % - 3)- (f - 4 )

22+ __1

1+_11+J.

2

I:m Marca la alternativa correcta

1. ¿Cuál es el doble de la cuarta parte de cinco)

A) 40 C) 3 O) .2. E)8B) 1052

2. ¿Cuál es el resultado de -t:( -~).2?

A) -ª- B) 1 C) _1 O) 2 E) 29 9 9 8

3. ¿Cuál es el resultado de 1). + ~:( _!2)?2 2 4 4

A) la

B) l?4

C) 15

D) 1E) O

Números

Page 11: Preparacion Psu de Matematica SM

5. Transformación de fracciones a números decimales

Como numerador queda elnúmero sin la coma decimaly el denominador es el valorde la potencia de 10 cuyoexponente es el número decifras decimales que tenga elnúmero.

Como numerador queda ladiferencia entre el númerosin la coma decimal y la parteno periódica; mientras que eldenominador está formadopor tantos digitos 9 como cifrastenga el periodo.

1,34= 134 _ 67,d.,;, lQQ - 50

2wos

127=127-1_126 14;:;;, ~ -9"9=11

z nce-es

Ejercicios resueltos

1. Transforma a fracción o número decimal según corresponda.

Como numerador queda ladiferencia entre el númerosin la coma decimal y la parteno periódica, mientras que eldenominador está compuesto portantos dígitos 9 como cifras tenga elperiodo, seguido de tantos dígitos °como cifras tenga el anteperíodo.

1 215= 12 15 -12 = 1.203 = iQ.!'-~ 990 990 330

12 ~-csres 2niJe\''1ce!o

a. lli ~l!.2=315:84=3,7584 84

b. 214 ~ 214=214-2=1.Q, , 99 99

Ejercicios propuestos

74 74c. -- ~ --=-74:125=-0592125 125 '

61

d. -2,03 ~ -2,03=- 203-20 =_)-83 __ 6190 ~ - 30

]O

1. Transforma a fracción los siguientes números decimales.

a. 0,22 e. -2,75

b. -12,4 f. -27,89

e, 0,10 g. 0,012

d. -1,416 h. -3,16

20 CLAVE· Matemática

2,303

j. 10,1243

k. 7,105

1. 52,2ÍS

.75

it~

t:,;;:.~~:{~;-

'.1:~)

It

í·15 ( ~'8" I1l xc. e:

'"~

S; J

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:;¡; -r :;;Vl .\ r:~ .' .,Q) ~6

'\s

o 'e'6 -sw '"0;

I~UIIIt:1 U:, y f./I U¡JUI L,IU Jlctlluctu 111

6. Aproximación de números decimales

Ejercicios resueltos

J. Aproxima por redondeo según cada caso.

a. 4,56478 a la centésima.Como la cifra que sigue de la centésima (4) es menor que 5, la aproximación por redondeo es 4,56.

b, 2,33375589 a la milésima.Como la cifra que sigue de la milésima (7) es'rnavor que 5. la aproximación por redondeo es 2,334.

Ejercicios propuestos

J. Completa la tabla. Para ello, aproxima los números por redondeo y truncamiento.

0,9876 Milésima

12,5483 Centésima

7.8 Milésima

-0,999 Décima

0,01199453 Diezmilésima

-54,9128237 Décima

0,9 Diezmilésima

-4,99999 Centésima

2. Resuelve. Para ello, aproxima los números decimales a la centésima.- 1212 -a. 0,6+5,12341 b. -'-+1,9

4I -) 1c. \34,1234 - 0,9 3'

~ Marca la alternativa correcta.

J. El resultado de 0, '5 + 0,9 redondeado a la décima es:

A) 1,4 B) J,5 C) 1.5 O) 1,6 El 1.5

2. Al truncar el número -0,91582 a la centésima, se obtiene:

A) 0,91 B) 0,92 C) -0,91 E) -0.916O) -0,92

Números

Page 12: Preparacion Psu de Matematica SM

7. Potencias de base positiva y exponente entero

Ejercicios resueltos

1. Calcula el valor de las siguientes potencias.

a.2'=2·2·2=8 b. -5-'=-~=-~=-0,045' 25

c. (-5)" =_1_=~=0,04(-5)' 25

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. 20 + 2' + 2' + 2' = 1 + 2 + 4 + 8 = 15

,-8'· (8')3 -8'·8' _810 -8· (8') ,c. ---=--=-=---=-8

2' 8 8 B,

b. 2'·3'·4' = 8·9·4 = 288 d. 25·5'· (-5)'5\·5"

,5'·1'5' =5\

Y5'· 5'·5'

5'

3. ¿Cuál es el resultado de (100')-' • 10'?

(100'r' ·10' = ((10')' r ·10' = 10(""(-'))·10' = 10-' ·10' =10-'" = 100 =1

Ejercicios prolluestos

1. Calcula el valor de las siguientes potencias.

a. -54

b. -2"c. -(2-')'

d. -3-'e. 4-'

f. -15-'

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. -5' - 24

b, 10' - 5'c. 2' - 3' - 2' - 3' - 1d. 3-' - 2-'

e. 1 - 2-' + 2-' - 2-'f. 10-' + lOa'

22 CLAVE· Matemática

""":-z~I¡.:1:

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11~1,

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\. -j.o ,t ~Ee oe, i::2 :4 :;;VI 'Po

'" '~I ...,Q) :!!s '5'u i l :J"Ü ;;s:..!J -'{j)

I~UJllerus y !-il U!-iUI l,;IUllctllUdU •

3. Resuelve los siguientes problemas.

a. En la plaza de una ciudad se realizará un evento deportivo. Si el espacio para el público tiene fa rma decuadrado, cuyo lado mide 20 m, «uéntas entradas se pueden vender si por cada metro cuadrado de plaza sepueden ubicar cuatro personas? .

b. Ciertas células se dividen en dos idénticas cada un minuto. A partir de una de ellas, ¿cuántas habrá al cabo de5 minutos? ¿y luego de 45 minutos?

4. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. 2'· 24 • 2' • 26 g. _l'{ _.1}20-'5 5' 3

h. t...715

7'

i. (3" 3')-'

j . (4'2\ '27r

(2'. 2ar'

k. 10'· (10')'-2'

3'·9'3-·(3·27')' ·243'

b. (-2)'· (-2)'· (-2)'

c. 3'· 4 - 2° + 3 • 3'

d. 2-'·2-'·2-\

e. (~r(~r27-3' .( -3\)1.-_

-3' ·3'

~ Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál es el resultado de 3 ' 10' + 5 • 10' - la'?

A) 53.100 B) 52.900 C) 50000 D) 17.900 E) 10.9002. ¿Cuál alternativa representa al resultado de 2-' - l: + 2'7

A) -1 B) 1 C) 3 D) 3,2 E) 3,253. ¿Cuál es el valor numérico de la potencia (-1)"'?

A) -486 B) -1 C) O D) 1 E) 4864. ¿Cuál es el triple del valor numérico de 3-'?

A) .1. B) ..!... C) 27 O) 99 27

2,b., + 2za•b5. Si a + b = 4, «uáles el valor numérico de la expresión b ?

2 +2'

E) 3

A) 4 B) 8 C) 16 O) 32 E) 646. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones dan como resultado 32?

1. 2'+2' 11. 6'_ 2' /11. 2'· 3' - 2'· 10A) Solo 1 B) Solo 11 C) Solo 111 O) Solo 1y 11 E) 1,11 Y 111

N(¡mP,r(\s

Page 13: Preparacion Psu de Matematica SM

'Ilj

8. Notación científica

Ejercicios resueltos

1. Expresa en notación científica los siguientes números racionales.

a, 500,000,000 ~ k = 5 Y n = 8; por lo tanto, 500.000.000 = 5· 10'.

b. 0,0007455 ~ k = 7,455 Y n = -4; por lo tanto, 0,0007455 = 7,455' 10-4.

c. -28.000.000 ~ k = -2,8 Y n = 7; por lo tanto, -28.000.000 = -2,8' lO'.

Ejercicios propuestos

1. Expresa en notación científica los siguientes números racionales.

a, 300.000.000 b. -{),OO0000345 e -7.435.000.000

2. Resuelve y expresa el resultado en notación científica.

a. 0,0048. 0,000002 b. 2.74· 10-10.2,5. la" e 0,000034· 0,0022 • 0,0002

3. Identifica qué número racional representa cada expresión escrita en notación científica. De no estar escritasde esa forma, corngelas.

a. 31,2' 10'b. 0,07. 10.9

c. lOO'IO~d, 0,0023· 10'

nt1Il Marca la alternativa correcta.

1. Al redondear a la milésima el número 0,0139 y expresar dicha aproximación en notación científica, seobtiene.

A) 1,4·10"B) 1,3' 10"C) l· lO'

2. Sean a = n • 10m y b = m . 10", con n > m y n, m E Z. Si a y b están escritos en notación científica, es ciertoque.

O) 1,39' lO'E) 1,4 • 10·J

1. b >a11. b - a < la11I. n + m< 10

A) Solo IB) Solo 11e) Solo I y 11D) Solo I y 111E) 1,11Y 111

24 CLAVE' Matematica

s.5Jo

ia'

',~,Cfi,I:','11"~,~

e-o

J"8" --oe?: ',', "¡;:'""O

15 ~d~

=e,

:2' ;\ ~Vl

:!)e

~·8 ~!

i5UJ

¡J>

9. Ecuaciones exponenciales

I~U11IGIU;) y tJIV~UI\...tIVIIÚIIUUU al"

Ejercicios resueltos

1. Resuelve la ecuación exponencial s= 2 = 729,

9'" = 729 /Expresar 729 como una

potencia de base 9.

9") =93 ¡Aplicar la propiedad. b' =b'=> x=y.

x + 2 = 3 /Resolver la ecuación de primer grado.

x=1

Ejercicios propuestos

1, Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

a. 2"': = 8'"

b. 2'" = 4'

c. 3"'=27

d. 4'-'=2'"

GtBIl Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2"'" =32?

A) .!..2

Bl .!..3

C) 15

2. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación exponencialY"+3"'-3'=19?

3' ., + 3' -, - 3' = i9

3'(3"' + 3' - 1) = 19

3' .1.2=1993' = 9

3',= 3'

x= 2

e. 25'-: = 5'-'

f. r5=(~r( )'1":1g 3'" 9'" .2 II. • •.) = -

3

h. 2": + 2'" - 2' = 24

D) 1.3

E) 1

A) 2 h B) 4 h C) 5 h

2. Un cultivo tiene inicialmente ocho bacterias, las cuales se duplican cada hora. ¿Cuántas horas deberánpasar para que se generen 256 de estas bacterias?

D) 6 h E) 6,5 h

Números

Page 14: Preparacion Psu de Matematica SM

10. Números irracionales

Ejercicios resueltos

1. Ubica en la recta numérica .Jí.1° Se traza el segmento unitario

AB, perpendicular a la rectanumérica sobre 1.

2° Se une cero con B, formandoel segmento Be.

Aplicando el teorema de

Pitágoras, BC = J2.B

3° Con centro en C y radio CB, setraza un arco que intersecta la

recta numérica en J2.

o

BB

J2 J2CC AA

o o

2. Analiza las siguientes afirmaciones. Luego, responde.

a. Si x es un número irracional, is qué conjunto numérico pertenece el valor de xT}

i) Si se considera x = 1t = 3, 14159 ... , entonces x' = 1t' = 9,869 ... Por lo tanto, en este caso, el valor dex' es también un número irracional.

ii) Si se considera x = .fí, x' = 2. Por lo tanto; en este caso, el valor de x' es un número racional.

Finalmente, el conjunto numérico al que pertenece el cuadrado de un número irracional depende delnúmero irracional que se considere como base de la potencia.

b. Sean x, y E I, entonces is qué conjunto numérico pertenece el producto x • y?

i) Al considerar x = Fa e y=.Jí , se tiene que x • y= .JW = Jl6 = 4 E Q. Por lo tanto, en este caso, elproducto de dos números irracionales es un número racional.

ii) Al considerar x = J3 e y =.fí, se tiene que x • y = J30. =.J6 E I. Por lo tanto, en este caso, elproducto de dos números irracionales es un número irracional.

Finalmente, el conjunto numérico al que pertenece el producto de dos números irracionales depende delos números irracionales que se consideren como factores.

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l 26 ClAVE • M•• m"~

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e<J ~'0V ~""Oe "a.i'! .~

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V> -"~Q)

6 "2'0'6 "5UJ

.y)

I~UIIIC;I u::> y jJl U~UIL,'¡Vllalluau 11I

Ejercicios propuestos

1. Evalúa la veracidad de las siguientes proposiciones. Fundamenta.

a. Q U Z U N = Q f. Existe x E Z, tal que x E Qb. Todo número real es también un número entero. g..,fa E Q para todo a> O.

c. Si p es un número primo, entonces fp E 1Ql. h. Para todo x y E 1, entonces x • y =k. dordek es racional.

Todo racional es un decimal finito.

j. El valor de <J-ll es un número racional.

d. 0,3 Ele. Si a' E R entonces a E Q.

2. Ubica en la recta numérica los siguientes números.

a. .J3b. JSc. 2.fí

d. 16e. 2J3f. fi.+ 1

rm Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa mejor la ubicación de J10 enla recta numérica?

A)~A 21

I'O 2 4 6 8 e

O)

La siguiente construccióngeométrica es conocidacomo espiral de Teodoroy representa las raices delos números naturales:

1

8

,~O 2 4 6 8 10

B)~

O 1 2 3 E

~ 8

~EO 1 2

C).~E

O 1 2 e 3

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO representa un número ubicado entre 1 y 2?

A) ~3

C) 192

D) (13 - 2.Jí)'B) 1,754

.3

El 15-12

3. Si x = 1- 13, ccuál de las siguientes expresiones NO representa a un número irracional?

A) Xl B) X - J3 C) x + 1 D) (X + 1)' E) Xl - 2x

Numeros _

Page 15: Preparacion Psu de Matematica SM

11. Raíces cuadradas y cúbicas

t,-',I *=~;donde,fa ElRyJbEiR-{O}

~,~add~aliZár' una fracción coOsiste en a~plíficariade tal modo que el deno~í~ador ya no contenga. "rafces:Es'posible identificaralgunoscasOs de racionalización:. . ..' . " :T '.,;. e,i

:,.f!·~ara b1: se ani~lificápor,k ... ii~.;p,a\±'~~')e~,~Plifi:a~~gr ;~Ic{t, .

~';¡i);par~ ·'~,-.se~mpljfic~po; if¿2 \v)' Para .¡/ :re:seall1~I¡fi~':P?r'bV¿id~'bvc . b c±d e ... .:.;

:'.. -; ,~, >:" ;.. • < •

Ejercicios resueltos

1. Simplifica las siguientes expresiones.

a, Fa +JSO=F2 +.j25:2 =J9 . 12+m . 12 =312+5../2=(3+5)12=sJ2b. 2Jl2 - 4148=2¡;;:3 -4.jl6:3 =2.213 -4.413 =413-1613=-1213

c. <J32.if4 +if162=~32. 4+ Ji"62 =11i.8+.if54=~64. 2+~27. 2=4<!2+3<!2=7<!2¿f3 '132. Racionaliza las siguientes expresiones,

4 4 .J8_ 4.fa _ ..faa, J8= J8' .J8--s -T

2 2 i5i _ 2if2sb -=-.---'if5if5i5i 5

c 2 2_._~ __J2_2=_2~(~~5-_J2~2), J5 +12 - 15+12 ~ - J2 (~)' - (J2)'

2J5 - 2J2 215- 2J25- 2 3

28 CLAVE· Matemática

e-o'8~'Oee,i!!~'""O

15

~e,

::;;V>

'"VeO'0'6\J.J

~

!•Ir~L~I!,~l.'~'

L~9'.0}-!;.

~..:.~s~~,.,

:tt.~t.

"'.'

'-."...

Números y proporcionalidad aEjercicios propuestos

1, Simplifica las siguientes expresiones,

a. sJ2 +10J2 c. s124 - 13 - iflli

b. -412 +3.j5 +12 +10~ d. 213+ JSO-154 - J22. Resuelve las siguientes operaciones.

if3.<fs R~a. d. 0,3' '3' 0,9

e. .J32+JSO _ 313 - Jl210 4

f. J28 +.f63- 139 - J32 +JSO

g, (.Jl8+-i98+500): (2J2 +J8)

h. (-SJ3i+7.f8-2J242):J2b. J6·J2·13 e, ( .f8- J2)( 12 - 13)

f. (J7+12 +13)(J7 +12 - 13) i. (Jii -fiS+3J432):fl2c. ifiO<J4

3. Ordena de mayor a menor 105 siguientes números.

1 2 13 b -.L ~'y 15 c. ~}YJ2a. J2'j5Y 32 3 5 . 13' 13 12 ~s4. Racionaliza,

1 d fi+l g. fi -sJ5a, .fa ' 13-fi 2J2 +15

b. Js e _4_ h __ 6_3 5 . 13+~ . fi+13

c. 4 f fi-13 1. 13- 4J7<!2 12+13 13+3J7

5. Simplificalas siguientes expresiones.

a. .z.. 12122 ~.~JJ5-1

e. 2 (} .: (} + 4 el -3 CiVs 3V¡ 'Jls Vli

b. H-~+~ f _1 1_. 3+fi 3-J2 j. (2'/3+1)'-413

Jl35

~:;;-a

~2

g. l+fi + 1-fil-fi l+fi

C. .l.+ fi _sfi12 4 8k.l~

81

:;;.r.

"1 h. Jl2+13 m-13Jl2 - Jii 148+13d. ~-~+ la 1. (3J5-6fi)' +2/10

J10~v

"'5-.J

º"..1,' ......•....• ".... ')/

Page 16: Preparacion Psu de Matematica SM

, ,

'.I~st~u~~i?n;es:,;,o:li: ',; . ;:. .: . .":'. f1. :: Esta prueba consta de 16 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A. B, C,

~D y~, una sola de las cuales es la respuesta ¿~rrectal" .. ,- , .

2. ~isponés de 35;nin~tos para respondería

Números naturales

1. La suma de los cinco primeros números compuestos es:

A) 20B) 28C) 29D) 37E) 40

2. Si P es un número primo, lcuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

1. P es un número impar.

11. p es divisible por 2.

111. P es múltiplo de l.

A) Solo 1

B) Solo 111

C) Solo 1y 11

D) Solo 11y 111

E) 1,11Y 111

3. Andrés le dice a Luis: "Tú tienes tres años menos que yo, y mi edad es la suma del antecesor par decuatro y el antecesor primo de 53". ¿Cuantos años tiene Luis?

A) 46 años

B) 47 años

C) 49 años

D) 50 años

E) 53 años

4. Sean a y b números naturales. El resultado de ab + a + b es un número natural impar si:

(1) a es un número par.

(2) a - b es un número impar.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

O) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

.•.. 30 CLAVE· Maternátca

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Números enteros

5. Al restarle (-6 : (-3) • 2) a [7 - 5 • (6 - 2 • 4)] se obtiene:

A) -8B) 8

C) 13

D) 16E) 28

6. Si a E íl' Y b E Z', ¿cuál(es) de las siguientes expresiones siempre es (son) menor(es) que cero?

1. a-b

11. a + b

11I. a(a - b)

A) Solo 1 O) Solo 11y 111

B) Solo 11 E) 1,11y \11

C) Solo 1y 111

7. En la secuencia 2 - 3·1; 3 - 4· 2; 4 - 5· 3; 5 - 6·4; ... r écuál es la diferencia en valor absoluto entre eldécimo y el undécimo término?

A) -22

B) 1

C) 21

D) 22

E) 240

Números racionales

8. El recíproco de 1+ les:. 2 3

A) -5

B) _2-6

C) 2-6

D) 65

E) 5

Ensayo temátk:o • PSU ...]

Page 17: Preparacion Psu de Matematica SM

I • iiIIIo.·TWlI-·'

9. ¿Cuántos cuartos son 2..! de .1?2 8

A) 564

B) 516

C) 54

D) 5

E) 20

1-110. __ 3_=

1+_1_

1-13

A) 112

B) 16

C) 14

D) 12

E)

11. ¿Cuántas veces dos centésimos son los cuatro décimos de cien?

A) 0,05 O) 2.000B) 0,8 E) 20.000C) 20

,. I,UIIIGIU;' y ¡.IIUiJUlvIUIIClIIUClU

x

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"O 1 111. J;,oQ. e,~ ~::> ~ A) Solo 1'"'" re

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E) Ninguna<lJ' "e 6O'0 O'ti '-5ur CJ

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~l

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12. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 1,25?

1. -2 + 314

111. -,-2 '0,1

1111. 1- 0,2

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111

D) Solo 1 y 111E) 1,11 ylll

¡lf"'- 32 CLAVE· Matemática

13. Una persona debe ir y volver desde la ciudad A hasta la ciudad e pasando por la ciudad B. Si ha recorrido7,5 km, que corresponden a la cuarta parte de la distancia entre A y B, Y la distancia entre B y e son dosquintos de la distancia entre A y B, «uantos kilómetros recorrerá la persona?

A) 24 km

B) 33 km

C) 42 km

D) 66 km

E) 84 km

Números reales

14. ¿euál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

A)B)

e)

Si a E n y b E n, con a ~ b, entonces a • b E n.11. Si a E ~ Y bE IQ, entonces ~Ell.

111. Si a E j\j Y b E ';1,', entonces E. E IQ.b

Solo 1 D)Solo 11 E)

Solo 111

Solo 1 Y 11Solo 1 y 111

15. El orden decreciente de los números P = fi, Q = fi y R = 11. es:4 2 2",4

A) R>Q > PB) P>Q>RC) Q>R>PO) R> P > QE) Q>P>R

16. Si x E IQ - {O}, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) siempre a un número irracional?

Ensayo temático' PSU 3,

Page 18: Preparacion Psu de Matematica SM

Los números compuestos son aquellos que no sonprimos. ElO Y el 1 no son primos ni compuestos.Entonces, los cinco primeros números compuestosson: 4, 6, 8, 9 Y 10. Su suma es:

4+6+8+9+10=37.

Distradores:

A) En esta alternativa se consideró erróneamente lasuma de los primeros números pares, y además,se consideró el cero como número natural par, esdecir, O+ 2 + 4 + 6 + 8 = 20.

B) En esta alternativa se consideró erróneamente allcomo número compuesto; por lo tanto, se calculóla suma: 1 + 4 + 6 + 8 + 9 = 28.

e) En esta alternativa se consideró erróneamente al2como un número compuesto; luego se calculó:2 + 4 + 6 + 8 + 9 = 29.

E) En esta alternativa se consideraron erróneamentelos números pares a partir del 4; luego se calculó:4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40.

D~1?~~t~~~m.~1!1:~Un número es primo si es divisible por 1 y por símismo. Elnúmero 1 no se considera número primo.

En (1) se afirma que p es un número impar; sinembargo, esto no siempre esverdadero, ya que 2también es un núrrero primo y es un número par.Luego, (1) no siempre es verdadera.

En (11) se afirma que p es divisible por 2; sin embargo,solo el número primo 2 es divisible por 2, ya que elresto de los números primos son impares. Luego, (11)no siempre es verdadera.

En (111) se afirma que todos los números primosson múltiplos de 1. Como todos los números, enparticular 105 números primos, son divisibles por 1y son múltiplos de 1, se tiene que (111) siempre esverdadera.

Distractores:

A) Estaalternativa es incorrecta, ya que consideróverdadera la afirmación (1) y no siempre lo es.

C) Esta alternativa es incorrecta, pues consideróverdaderas las afirmaciones (1) y (11) Y nosiempre lo son.

,/''''' 34 CLAVE· Matemática

;::¡;r-,}"!{j O) Esta alternativa es incorrecta, ya que considerósierrpre verdaderas las afirmaciones (11) y (111) Y5010 (111) lo es.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideróque las afirmaciones (1), (11) Y (111) son siempreverdaderas; sin embargo, 5010 (111) lo es.

Sea x la edad de Andrés. Luego,en el enunciado semenciona que la edad de Luis es menor que la deAndrés en tres años; por lo tanto, la edad de Luis serepresentará por x - 3 años. Por otra parte, Andrésafirma que su edad es la suma del antecesor par decuatro y el antecesor primo de 53, es decir:

x=2 +47=49

Así, la edad de Andrés es 49 años y la de Luis:49 - 3 = 46.

Distradores:

B) Se cometió el error de considerar el antecesor de4, es decir, 3. Así,se calculó que la edad de Andréses 50 años; por lo tanto, al restarle tres años serespondió que la edad de Luis es 47 años.

C) Se calculó correctamente la edad de Andrés, esdecir, 49 años; sin embargo, se cometió el error deresponder que esta es la edad de Luis.

O) Se consideró erróneamente que el antecesorprimo de 53 es 51, por ser impar, calculando asíque la edad de Andrés es 53 años. Entonces,serespondió que la edad de Luis es 50 años.

E) Se cometió el mismo error que en D) y además nose calculó la edad de Luis,es decir, se respondióque la edad de este último es 53 años.

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Del enunciado se sabe que a y b son númerosnaturales y se pide determinar cuándo el resultado deab + a + b es un número impar.

~ considerarválida la condición (1), se tiene que a esunnúmero par; sin embargo, estacondición no essuficientepara detenninar si el resultado de ab + a + b es unnúmero impar, ya que también sedebe conocer si b espar o impar. Por lo tanto, la condición (1) por sísolaesnecesaria,pero no suficiente pararesolver el problema.

Al considerar válida la condición (2), se tiene que a - bes un número impar; por lo tanto, necesariamenteuno de ellos es par y el otro es impar. Considerandolo anterior, el producto ab es siempre un número par.Así, ab + a + b es la suma de dos números pares conuno impar; luego, el resultado es impar. Por lo tanto, ,la condición (2) por sí sola esnecesaria y suficiente •para resolver el problema.

Distractores:

A) La condición (1) es necesaria, pero no suficiente.

e) 5010 la condición (2) es necesaria y suficientepara resolver el problema; por lo tanto, nose necesita de (1) Y (2), ambas juntas, parasolucionarlo.

D) La condición (2) por si sola basta para resolverel problema, no así la condición (1), que nopermite hacerla por sí sola.

E) El problema se puede resolver con la condición(2) por si sola, por lo que no se requiereinformación adicionaL

I\l:UI1I0IV..:J y tJ'Ut-JUIVIUIIUIIUCJ.U IIJ

[7 - 5· (6 - 2·4)]- (-{j: (-3) ·2)

= [7 - 5 • (6 - 8)]- (2 ·2)

= [7 - 5 • (-2)]- 4

= [7 + 10]- 4

=17-4

= 13

Distractores:

A) En esta alternativa se cometió el error de resolverde izquierda a derecha, sin importar el orden delas operaciones. Así, en la expresión[7 - 5 • (6 - 2 • 4)] se resolvió la sustracciónentre 7 y 5 Y se obtuvo [2 • (6 - 2 • 4)]. Luegono hubo más errores de cálculo; por lo tanto, serespondió -8.

B) Se cometió el mismo error que en A), peroademás se cambió el signo en el cálculo final.obteniendo así 8.

D) Se resolvió correctamente la expresión[7 - 5· (6 - 2·4)1 Y se obtuvo 17; sinembargo, la expresión -6 : (-3) . 2 secalculó erróneamente al resolver primero lamultiplicación, por lo que quedó-6 • (-6) = l.Así, 17 - 1 = 16.

E) Al igual que en A), se cometió el error de resolverde izquierda a derecha, sin importar el orden delas operaciones. Así, en la expresión[7 - 5 • (6 - 2 ·4)] se resolvió la sustracciónentre 7 y 5 Y se obtuvo [2 • (6 - 2 • 4)]. peroademás en el paréntesis se incurrió en elmismo error y se obtuvo [2 • 161. Luego no secometieron rrás errores en el cálculo; por lotanto, se respondió 28.

Modelamiento' PSU -.3

Page 19: Preparacion Psu de Matematica SM

1\

.."....

Si a E Z- Y b E Z+, entonces a < O Y b > O. Luego:

En (1), la expresión a - b puede escribirse comoa + (-b), donde a < O Y (-b) <O, ya que b>o,y debido a que la suma de dos números enterosnegativos es siempre menor que cero, la expresióna - b es menor que cero. Por lo tanto, (1) es siempremenor que cero.

En (11), la expresión a + b es mayor que cero sia> b; por lo tanto, con la información del enunciadono es posible asegurar que a + b siempre es menorque cero. Así. (11) no siempre es menor que cero.

En (11I), se tiene que a < O Y por (1) se tiene que(a - b) < O. Debido a que el producto entre dosnúmeros enteros negativos es un número enteropositivo, la expresión ala - b) > O. Por lo tanto, (111)siempre es mayor que cero.

Oistractores:

B) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró laexpresión (11), que no siempre es menor que cero.

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró laexpresión (1), que siempre es menor que cero,pero también la expresión (111), que siempre esmayor que cero.

O) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró laexpresión (11), que no siempre es menor que cero, yla expresión (111), que siempre es mayor que cero.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró laexpresión (1), que siempre es menor que cero, perotambién la expresión (11), que no siempre es menorque cero, y (111), que siempre es mayor que cero.

36 CLAVE· Matemática

La secuencia se muestra en la siguiente tabla:er _' ~~•.__~~ ~., ~::-~~,_ .: .•.........., ~". ....«.eL.:: 1":Z-- .:~-.:',F Término " . :¡'",., Expresión l. • >:, -: RéSultado '-',t'~-~:'-;..- ..••~-JA· '- •. :v""-: ,:;- ,~ •••., -.: -~:r:{..,...,.,.~".~._~:~~:

l° 2 -3·1 -1

2° 3 - 4·2 -5

3° 4 - 5·3 -11

.. ' ... . ..

9° 10-ll·9 -89

10° 11 - 12· lO -109

11° 12 -13·11 -131

Luego, la diferencia en valor absoluto entre el décimoy undécimo término es:

1-109 - (-131)1 = 1-109+ 1311= 1221= 22

Distractores:

A) Se calculó la diferencia entre el undécimo ydécimo término; sin embargo, se cometió el errorde no considerar el resultado en valor absoluto,por lo que se respondió -22.

B) Se calcularon erróneamente el décimo y elundécimo término de la secuencia, resolviendode izquierda a derecha, sin considerar el ordende las operaciones. Así, para calcular el décimotérmino se resolvió incorrectamente 11 - 12 • 10Y se obtuvo -10; y el undécimo término12 - 13 ·11 resultó -11. Por lo tanto, serespondió que la diferencia en valor absolutoentre el décimo y undécimo término es l.

C) Se cometieron los mismos errores que en B),pero además se resolvió incorrectamente lasustracción al no cambiar a suma el doble signode resta, es decir, se consideró 1-10 - (-11)1como 1-10-111. Así, se respondió 21.

E) Se cometió el mismo error que en C), es decir,se consideró 1-109 - (-131)1 como 1-109 -1311.Así, se respondió 240.

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Resolviendo, se tiene que:

1 1 1·3+2·1 3+2 5-+- -=-23 2·3 2·36

Luego, el recíproco de ~ es la fracción §..6 5

Distradores:

A) Se cometió el error de calcular el recíproco de

l+l resolviendo la suma:2 3

-t+ [-tJ=-2+(-3)=-S

B) Se cometió el error de considerar el recíprocode un número como el inverso aditivo. Así, serespondió _2.

6

C) Se cometió el error de no calcular el recíproco, yaque solo se respondió el resultado de la adición,

es decir, ~.6

E) Se cometió el error de calcular el recíproco de

l +l, resolviendo la suma:2 3

-'-+-'-=2+3=51 12 3

"g2":;;

~~~

j

Números y proporcionalidad

Al calcular 2J. de l se obtiene:2 8

21. l=~. l=2..2 8 2 8 16

Luego, para calcular cuántos cuartos son .2., se divideesta fracción por un cuarto. Así: 16

2..1.=2.,1=216' 4)-6 4

Por lo tanto, son cinco cuartos.

Distractores:

A) Se calculó correctamente 21 de 1. y se obtuvo2 8

2.., pero se cometió un error en el cálculo de16

cuántos cuartos son, ya que se resolvió:

2.. • l=2..16 4 64

B) Se calculó correctamente 2 I de I y se obtuvo 2..,2 8 16

pero se omitió el cálculo de cuántos cuartos son

O) Se calculó correctamente 21. de l y se obtuvo2 8

2... Además, se calculó correctamente:16

21=2.,4=216'4)-6 4

Sin embargo, se cometió el error de interpretarincorrectamente este resultado, por lo que serespondió 5.

E) Se cometió el error de calcular 21. de l como:2 8

2.ll =2:.l = 40 = 20. Además se omitió2 8 2 8 2

calcular a cuántos cuartos equivalen.

'd •••~~I ....._:~_ •• n"', I

Page 20: Preparacion Psu de Matematica SM

1I""Tlfrir. I~ullleru::; y IJIU~UICIUrldIlUdU

1-1 1__ 3_=_3_

1+_1_ l+l1-1 1

3 31

=_3_1 + 3

1

=14

=1.l3 4

=-'-12

Distractores:

B) Se calculó erróneamente la sustracción 1-1 ,3

tanto en el numerador como en el denominador

de la expresión inicial y se obtuvo _l. Así, setiene que: 3

_1 _1 _1_3_= __ 3_=_L_1(_2)=11+...L 1+ (-3) -2 3 6

_13

C) En el denominador se calculó correctamente

1+ _1_=1 + _1_=1 + l; sin embargo, al1-1 3-2 1

3 3 3

resolver l se cometió un error y se obtuvo 1y1 33

no 3, que es lo correcto. Así, se tiene:

1

_3_=i=l1+ 1 4 4

3 :3

.••••• 38 CLAVE· Matemática

1-1D) En la expresión __ 3 - se cometió el error de

1+_1_1_1

3

simplificar la expresión 1_1,que se encuentra3

tanto en el numerador como en el denominador,y se obtuvo:

_1_=_1_=11+ l 1+ 1 2

1

E) Se resolvió correctamente:

1_1__ 3_=_3_1+_1- 1+1

1_1 33

pero se cometió el error de eliminar la fracción.!,3

que esta en el numerador y en el denominador. Así,

se tiene:

l=l1

¡fl:.~~~'

~

~,t

~I'.r ;

e 2-o·ü<u'::J -:J-oe "e, ~~ 1-.::J • ::JII'I.~ 'ft

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~3 ~e, ,,:'

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a1 ~ ~eo 6'0 O'6 -:;uJ{j

~

Calcular el número de veces que dos centésimos (0,02)son los cuatro décimos (OA) de cien es como resolver:

que es equivalente a:

0,4·1000,02

~ ·10010.__

L100

Así, se obtiene:

4 10

;Ó. ;e64·10

150

1

i,w6

so

= 401

50=40:--'--

50=40· 50

=2.000

Distractores:

A) En esta alternativa se planteó incorrectamente elenunciado como:

2 ·1004·10 ·100

Por lo tanto, se obtuvo como resultado 0,05.

B) En esta alternativa se planteó erróneamente elenunciado como:

2 • .i.. 100100 10

Por lo tanto, se obtuvo como resultado 0,8.

C) En estaalternativa se consideró erróneamente quecuatro décimos de cien son ~. Así, se obtuvo que:

104 1 10

lo 4.2 \;e6-=-.-=-' -=2 ·10=20...L 10 100 ;ó \,100 1 1

E) Enesta alternativa se consideró erróneamente cuatrodécimos de cien como 4 • 100= 400Yse obtuvo:

lOO

400=400:.l=;w6 . 100 = 200.100=200002 100 i

100 1

En (1) se propone la expresión -2 + 31.Al resolverlase obtiene: 4

1 13 -8+13 S-2+ 3-=-2+-=--=- =1,254 4 4 4

Por lo tanto, la expresión en (1) es equivalente a 1,25.

En (11)se propone la expresión _J_l-. Al resolverlase obtiene: 2 • 0.1

_1_ = _1_=J..= 1,252' • 0,1 8· 0,1 0,8

Por lo tanto, la expresión en (11) es equivalente a 1,25.

En (11I) se propone la expresión _1-. Al resolverla1-0,2

se obtiene:

_1 __ 11- 0,2- 0,8 = 1,25

Por lo tanto, la expresión en (111) es equivalente a1,25.

Distractores:

Lasalternativas A), 8), e) y O) son incomplelas, ya queninguna de e Ilas consideró las tres expresiones.

Modelilf'1i~nlo ' PSII 1

Page 21: Preparacion Psu de Matematica SM

11

NiTifrir. I~UIIIC;IU;:' y fJ1ufiulI..,oullalluau

o::i~~~.,;', "It'

Del enunciado se desprende que la cuarta parte dela distancia entre las ciudades A y S es 7,5 km; por lotanto, la distancia entre las ciudades A y S es7,5 km • 4 = 30 km. Además .la distancia entre lasciudades S y e son dos quintos de la distancia entrelas ciudades A y S, es decir:

l.30km=12km5

Por lo tanto, la persona recorre2· (30 km + 12 km) = 84 km.

Distractores:

A) En esta alternativa se consideró erróneamente soloel tramo de ida y vuelta entre las ciudades B y ees decir:

12 km ·2=24 km

S) Enesta alternativa se consideró erróneamente quelos dos quintos de la distancia entre las ciudades Ay B son:

l.7,5km=3km5

Luego, la distancia de ida y vuelta entre lasciudades A y e es:

30 km + 3 km = 33 km

e) En esta alternativa se consideró erróneamentesolo la distancia de ida entre las ciudades A y e esdecir, 42 km.

O) En esta alternativa, errónearnente se consideró quelos dos quintos de la distancia entre las ciudades Ay B es:

1.7,5km=3km5

Luego, la distancia de ida y vuelta entre lasciudades A y e es:

2 • (30 km + 3 km) = 66 km

.••••• 40 CLAVE..Matemática

/,.•"':\,'

En (1) se afirma que el producto entre dos númerosirracionales distintos siempre es un número irracional.Sin embargo, al considerar .fi. E II Y ..fa E rr. se tiene:

.fi. • ..fa=J16 =4, donde 4 E IQ

Por lo tanto, (1) no siempre es verdadera.

En (11) se afirma que la raíz cuadrada del producto deun número real y un número racional es siempre unnúmero irracional. Sin embargo, al considerar que2 E IR Y 8 E Q, se tiene:

Fs=.J16 =4, donde 4 E Q

Por lo tanto, (11) no siempre es verdadera.

En (111) se afirma que el cociente entre cualquiernúmero natural y cualquier número entero negativoes un número racional. Al escribir estadvsión comofracción, se tiene que cumple con la definición denúrneros racionales, es decir, su numerador y eldenominador son números enteros (distintos de cero);por lo tanto, (111) siempre es verdadera.

Distractores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró laafirmación (1), que no siempre es verdadera.

S) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró laafirmación (11), que no siempre es verdadera,

O) Estaalternativa es incorrecta, ya que considerólas afirmaciones (1) y (11), que no siempre sonverdaderas.

E) Estaalternativa es incorrecta, ya que consideró laafirmación (1), que no siempre es verdadera, y laafirmación (111), que siempre es verdadera.

Para comparar los valores de P,Q y R se igualan losdenominadores de las fracciones que representan. Así:

P= .fi.4

Q = ../2 = .fi. . 2 = 2../22 2·2 4

R=_I_=..l. 2..f4 4

Al comparar fracciones de igual denominador, se tieneque la mayor será aquella de mayor numerador. Por lotanto, como 1< .fi. < 2..[2, Q > P> R.

.•.~.

'-;'~j

~;t Distractores:

A) Se cometió el error de considerar que 1 es mayorque 2..[2. Así, se respondió que R> Q> P.

B) Se cometió el mismo error que en A), pero seordenó de manera creciente. AsI, se respondióP>Q>R.

e) Se cometió el error de considerar que 1 está entrefi y 2 ..[2. Por lo tanto, se respondió Q > R> P

O) Se comparó correctamente, pero se cometióel error de ordenar las fracciones de maneracreciente. Así, se respondió R > P > Q.

~:._~,

t

En (1), la expresión J2 siempre representará un

número irracional, ya que ella se puede escribir como

x- ~, y el producto entre un número racional

distinto de cero y un número irracional es siempre unnúmero irracional; por lo tanto, (1) es verdadera.

En (11), como x *' O, la expresión .I. puedex'

representar un número racional. Por eernplo, si

x = .fi. ,se tiene:

....!..=_l_=..!EQx' (../2)' 2

Por lo tanto, (11) es falsa.

En (11I), el valor numérico de la expresión .fx puedepertenecer al conjunto de los números racionales. Porejemplo, si x = 4, se tiene que ..f4 = 2E QPor lo tanto, (11I) es falsa,

Distractores:

Las alternativas B), C), O) Y E) consideran algunas delas expresiones de (11) o (111), que son talses. Por lotanto, todas ellas son incorrectas.

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I Modela miento• PSU 4

Page 22: Preparacion Psu de Matematica SM

11

1. Variable

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Expresión algebraicaA=a'

1 2 3

lado del cuadrado (cm)

9j-. .....OO .. O,

_%.8 I . ~

~7.g 6~ 5a 4~····---.

~ 3~ 2

-«1

o

En 105 gráficos, se representan 105. valores de ia variable independiente ..en el eje de las abscisas (eje X), yen el eje de las ordenadas (eje Y) serepresentan los valores de la variabledependiente.

'.t~labia

1 cm 1 cm'

2cm 4cm2

3cm 9 cm'

Ejercicios propuestos

1. Identifica si las magnitudes dadas a continuación corresponden a variables o aconstantes.

a. Edad de un grupo de estudiantes de cuarto medio.

b. Temperatura de ebullición del agua a nivel del mar.

2. Reconoce, en cada una de las siguientes situaciones, cuál es la variable independiente y cuál es ladependiente.

a. Radio y perímetro de una circunferencia.

b. Cantidad de minutos hablados por teléfono ymonto cancelado.

Volumen de agua en el estanque.. [ ¡-------) "1-"'-- :-- _.. --

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2,4ÉeQ.>eE 1,2=>o>

lO 345

Tíempo en segundos6 •8

3. Analiza el gráfico. Luego, responde,

a. ¿Cuánta agua se agrega al estanque entre losseis y ocho segundos?

b. ¿En qué segundo se comienza a vaciar elestanque?

c. ¿Cuántos segundos tarda en vaciarse elestanque?

2

, 42 CLAVE' Matemática'.•.•

I~UllltIU:' y ¡.JlU¡.JUILIUlldlluau.

2. Razones y proporciones

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a cb=(j ~ a-d e b-ro,.

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En una urna hay fichas blancas y negras en la razón 2 : 3, Si se sabe que hay 18 fichas negras, «uéntasblancas hay?

Si x representa la cantidad de fichas blancas, al aplicar la propiedad fundamental de proporciones se tiene

1. = ~ ~ 3x = 2 • 18 ~ x = ~ => x = 123 18 3

Así, son 12 las fichas blancas en la urna.

EjerCicios resueltos

1,

~i

i

:1~l2. A una reunión asisten 180 personas, de las cuales 80 son mujeres. Calcula la razón entre la cantidad de

hombres y el total de asistentes.

La cantidad de hombres es 180 - 80 = 100. Luego la razón pedida es:

n° de hombres = 100 =.2.total de asstentes 180 9

Así, la razón entre la cantidad de hombres y el total de asistentes es 5 : 9.e-o'0 3.u.

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Un segmento AB de 100 cm se divide en tres partes de medidas a, by c, tales que a : b : c =3 : 2 : 5. ¿Cuáles la longitud del segmento mayor?

La proporción en notación fraccionaria es: ~ = Q. = ~ = k, donde k es el valor de cada una de las razones.325

Entonces a = 3k, b = 2k Y c = 5k. Además, a + b + c = 100 cm, entonces se tiene:

3k + 2k + 5k = 10k = 100 cm, es decir, k = 10 cm.

Finalmente, a = 3·10 cm = 30 cm, b = 2·10 cm = 20 cm y c = 5·10 cm = 50 cm. Por lo tanto. la longituddel segmento mayor es 50 cm.

Proccrconacac vcorcentae

Page 23: Preparacion Psu de Matematica SM

11Ejercicios propuestos

1. Responde las siguientes preguntas.

a. Si el valor de una razón es 1.2 y el antecedente es 4. ¿cuáles el consecuente¡b. Si el antecedente de una razón es 0,8 y el consecuente es 8, ¿cuáles el valor de la razón?c. Si en una proporción el producto de los medios es 65, ¿cuáles el producto de los extremos?

2. Encuentra el término desconocido en cada proporción.

a. 16:x=16:2

b. .1:.! = x : 52 6

c. 4: x= x : 36

d O 02 . x = .! .l. , . 6' 9

e. 0,04: 0,05 = 0,08 : x

f. x : 0,02 = 22 : 0,6

3. Verifica si los siguientes pares de razones forman una proporción.

a. !2y 3612 24

b .l."§,,. 20 Y 40 c. 9:16y3:4

4. Resuelve los siguientes problemas.

a. Dos socios deben repartirse S 36.000 en la razón 4 : 5. ¿Cuántodinero recibe cada uno?b. Lasmedidas de los lados de un rectángulo están en la razón 2 : 3. Si el perímetro del rectángulo es 250 m,

«uál es su área?c. ¿Cuántomiden los ángulos interiores de un triángulo o; ~y y si son tales que cumplen a : ~ :y = 4 : 8 : 3?d. Tres números, a, b y c suman 36 y son tales que a : b : c = 2 : 3 : 4. ¿Cuáles el número mayor?e. Una herencia de S 5.600.000 se va a repartir entre cuatro hermanos en montos A, B, C y D. tales que

A: B : C : O = 1 : 2 : 3 : 4. ¿Cuánto dinero redbirá cada uno'

ot5J] Marca la alternativa correcta.

1. En una urna hay 15 fichas blancas, 10 fichas rojas y 6 fichas azules. ¿Cuál es la razón entre la cantidad defichas azules y el total de fichas de la urna?

A) 2: 5B) 5: 2C) 6: 31

2. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de razones forma(n) una proporción?

D) 31 : 6E) 5: 3

1. .!y.!2.2 30

11. l..yl:1222

111.10: 11 y 22 : 20

A) Solo IB) Solo 11C) Solo I y 111

O) Solo lIy 111E) 1,11Y 1\1

44 CLAVE· Matemática"...

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IlJumeros y proporCIOnallUdU.

3. Dos personas se reparten una herencia de S 15.000.000 en la razón 2: 3. ¿Cuál es la menor cantidad dedinero obtenido?

A) S 10.000.000B) S 6.000.000C) S 5.000.000

4. las medidas de los lados de un rectángulo están en la razón 2 : 5. Si el área del rectángulo es 1.000 rnm',¿cuál es su perímetro?

D) S 3.000.000E) S 2.000.000

A) 140 mmB) 70mmC) 50mm

5. los sueldos de dos trabajadores están en la razón 5 : 7. Si el sueldo menor es $ 350.000, ¿cual es el montodel sueldo mayor?

D) 40 mmE) 35 mm

A) S 350.000B) $ 400.000C) $ 450.000

6. La razón de consumo de agua en un día cualquiera es de 3 litros por cada 2 personas. ¿Cuántos litros deagua consumen bajo las mismas condiciones 10 personas?

D) S 490.000E) $ 500.000

A) la litrosB) 12 litrosC) ISlitros

D) 20 litrosE) 21 litros

7. la razón entre el contenido de una tina y su capacidad es 3 : 4. Se sabe que para lIenarla se necesitan otros20 litros de agua. ¿Cuál es la capacidad de la tina?

A) 20 litrosB) 2SIitrosC) 40 litros

D) 60 litrosE) 80 litros

8. Tres socios de una empresa se reparten las ganancias en montos X. Y. t, de tal forma que x: y : z = 3 : 5 : 2.¿Cuálesson las ganancias de la empresa si la menor cantidad recibida es S l.5oo.000?

A) S 750.000B) $ 2.250.000C) $ 3.750.000

9. Si 3(y - 3) = 6x - 9, cen qué razón están x e y?

A) 1: 2B) 1: 3C) 1: 4

10. Eldinero de dos personas está en la razón 4 : 1 y una de ellas tiene S3.120 más que la otra. ¿Cuanto dinerotienen entre las dos?

D) S 7.500.000E) S 8.000.000

D) 2.2E) 3: 1

A) $].040B) $ 3.120C) S4.160

11. Lasedades de Estery Lucía suman 48 años y están en la razón 5 : 3. ¿Cuántos años tienen,respectivamente?

D) $ 5.100E) $ 5.200

A) 18 Y 30B) 28 Y 20C) 30y 18

D) 32 Y 16E) 36 Y 12

Prnl'X'rr.i()r~lt1ad v ocicentaip.

Page 24: Preparacion Psu de Matematica SM

1I3. Proporcionalidad;.':"~t2·,..'~·;)·"

~ ¡,': ,,. •~.~ ."';~ ~..;... '~,,"';~

Ejercicios resueltos

1. Identifica si las variables tabuladas son proporcionales. Luego, construye un gráfico que contenga losvalores correspondientes.

a. b.

Al calcular el cociente entre los valorescorrespondientes, se tiene que:

Al calcular el producto entre los valorescorrespondientes, se tiene que:

x • y = 1 • 8 = 2 . 4 = 4 • 2 = 6· 1,5 = 8 • 1 = 8 = k

Entonces, las variables X e Y son inversamenteproporcionales. Su gráfico es

y

L 0,5=~=1.2=~= 4,5 =0,5=kx 1 3 5 7 9

Entonces, las variables X e Y son directamenteproporcionales. Su gráfico es:

y, .

4, ..

o o 4 5 6 7 8 x

2. Identifica si las siguientes variables son directamente proporcionales (D),inversa mente proporcionales (1) o no existe proporcionalidad (NP) entreellas.

a. _1 _ Eltiempo de lavado de un auto y lacantidadde personasque lo limpian.b. _0_ El precio fijo de un producto y la cantidad comprada de él.c. jjL La longitud del lado de un cuadrado y su área.d. _0_ Los numeradores y denominadores de fraccionesequivalentes.e. jjL La edad y la estatura de una persona.1. _0_ La cantidad de bencina y la distancia recorrida por un automóvil.

El gráfico de una relacióndirectamente proporcionalse puede representarporuna recta,en el primercuadrante del planocartesiano,que pasapor elorigen; mientrasque el deuna relación inversamenteproporcional, por unacurva, llamada hipérbola,que no intersectaa 105ejes.

ss ClAVE· Matemática

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l~ullleIU:; y f-JI UfjUll,iUllalluau.

Ejercicios propuestos

1. Identifica si las variables son directamente, inversamente proporcionales o no son proporcionales.

a. Tiempo que tarda una piscina en vaciarse y cantidad de desagüesque hay en ella.b. Medida del radio de un círculo y su área respectiva.c. Cantidad de trabajadores y el tiempo para cavar una zanja.d. Cantidad de kilogramos de arroz y masa respectiva.e. Altitud y temperatura.f. Cantidad de kg de porotos que se pueden comprar con $ 5.000 Y el precio de 105 porotos por kg.g. Porcentaje de descuento de un artículo y cantidad de dinero por pagar después del descuento.

2. Resuelve los siguientes problemas.

a. Si 40 niños consumen cierta cantidad de alimento en 72 días,«uántos días podrán alimentarse 90 niños conla misma cantidad? Seasume que todos comen por igual.

b. Enun CO se pueden grabar, como máximo, 14 canciones de 5 minutos de duración cada una. ¿Cuántascanciones de 2 minutos se pueden grabar en un CD similar'

c. Enun campamento de verano, 68 niños han gastado S340.000 en 10 días. ¿Cuánto dinero gastaran, eniguales condiciones, 14 niños durante el mismo tiempo?

d. Un vehículo que se desplazaa una rapidez constante de 90 km/h demora 10 horas en viajar de una ciudad aotra. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer el mismo trayecto otro vehículo que viaja a 120 kmjh'

e. Cinco trabajadores confeccionan 10 zapatos en 12 días. ¿Cuántoszapatos hacen dos trabajadores en elmismo tiempo' Se asume que trabajan por igual.

f. Con 24 vasos se pueden llenar tres jarros de agua. ¿Cuántosjarros se pueden llenar con 120 de esos mismosvasos?

3. Identifica cuál de las siguientes tablas representa una proporcionalidad directa.

a.~ b'l' 213\ c.~~ 4 5!6 ~

4. Identifica cuál de los siguientes gráficos puede modelar una relación directamente proporcional.

a. y

t

c.

b. y

/d.

Prooorcionalidad v ocrcentaie

Page 25: Preparacion Psu de Matematica SM

11~ Marca la alternativa correcta.

1. Un ciclista pasa por el kilómetro 140 de una carretera a una rapidez constante de 60 km/h. Si su destinoqueda en el kilómetro 190, zen cuántos minutos llegará conservando la rapidez?

A) 50B) 60C)72

2. Sean X y 2Y cantidades directamente proporcionales. Cuando X = 4, Y = 3, entonces si X = 10, ¿cuál es elvalor de Y1

D) 140E) 190

A) 15B) 7,5C) 7

3. El cuadrado de a es inversa mente proporcional a b y cuando a = 6, b = 2. Si a = 3, ¿cuál es el valor de b?

D) SE) 3

A) 0,5B) 1C)J8

D) 4E) 8

4. En el siguiente gráfico se muestra la relación de proporcionalidad entre lasvariables X e Y. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? y

111. ~=ª10 ,.......................

1. a= 10 11. a' = 2510 a 8

A) Solo 1 O) Solo I y 11B) Solo 11 E) Solo 11y I!I

O 'a-lC) Solo 111 a X

5. Si a y b son directamente proporcionales y se cumple que 18a - 3b - 4 = b + 4(a - 1), ¿cuál es su constantede proporcionalidad?A) ..!.

D) ?4 2

B) ..!. E) No se puede calcular7

C) 17

6. Si c y d son inversamente proporcionales y se cumple que c = 3. + d'¡, ¿cuál es la constante deproporcionalidad? d

A) ..!. O) 3E) No se puede calcular3

B) ..!.2

C) 2

7. El verano pasado se limpió y arregló la avenida de una ciudad en cuatro semanas, con 60 hombrestrabajando. Para que este año se demoren tres cuartas partes del tiempo, La cuántos hombres se deberíacontratar? Se asume que todos trabajan por igual.

A) 30B) 80C) 120

O) 240E) 480

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4. Proporcionalidad compuesta

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Ejercicios resueltos

1. En 18 días, cuatro perros consumen tres bolsasde alimento. ¿Para cuántos días alcanzarán ochobolsas de alimento para tres perros?

En la siguiente tabla se muestran los datos delproblema y el tipo de proporcionalidad entre lasvariables involucradas:

Los segmentos indican la multiplicación que se debeaplicar. Entonces:

4·18·84 ·18·8=3· x· 3 =:>x=---=:>x=643·3

Por lo tanto, el alimento alcanzará para 64 días.

Ejercicios propuestos

2. En un mes, 22 trabajadores construyen 160 mde una avenida. ¿Cuántos metros construirán15 trabajadores en 22 días?

Se ordenan los datos en una tabla y se analiza eltipo de proporción que forma la variable longitudcon cada una de las otras dos:

directa~

La ecuación que relaciona ambas proporciones es:

22 ·160 ·1522·160·15=30·x·22=:.x= =:>x=8030· 22

Luego, en 15 días. 22 trabajadores construirán80 metros de una avenida.

1. Completa las siguientes tablas escribiendo las variables presentes. Luego, indica el tipo de proporcionalidadentres ellas según corresponda.

a. En una industria, tres máquinas pueden procesar10 latas de conservas en seis segundos. ¿Cuántas lataspodrán procesar cinco máquinas en 10 segundos?

Yo ! ~'I :;.;.~

~t==llib. Ocho montañistas pueden alimentarse durante siete días ~, .. ,o •..

con 150 kg de alimento. SI se suman dos montarustas . . Xmás, «uantos kg de alimentos se necesitarían paraalimentarse durante cinco días? y

Z

~~;.rt.

A-S8-(e-A

X-yY-ZZ-X

PropGr~o~alid~grQ9~~entaje_~

Page 26: Preparacion Psu de Matematica SM

1I2. Identifica las variables y el tipo de proporción que forman con la variable "cantidad de operarios".

En un taller de confecciones, seis operarios hacen 100 pantalones en un día trabajando ocho horas diarias.¿Cuántos operarios serán necesarios para hacer 500 pantalones en dos días trabajando la misma cantidad dehoras diarias y todos por igual?

3. Resuelve los siguientes problemas.

a. Si cuatro cajas de manzanas de 20 docenas cada una cuestan $ 86.400, «uénto costarán seis cajas de15 docenas cada una?

b. Cuatro impresoras iguales tardan cinco minutos en imprimir 500 hojas. Si se usan seis impresoras, iguales alas anteriores, para imprimir 1.200 hojas, ¿cuántos minutos tardarán?

c. Seis personas pueden hospedarse en una hostería durante 12 días por $ 360.000. ¿Cuánto costará la hosteríapara 15 personas durante ocho días?

d. Si con 150 kg de lana pueden trabajar cuatro telares durante dos días, seis horas diarias, «uántoskilogramos necesitarán 15 telares para trabajar cinco días, 10 horas diarias' Se asume que todos los telarestrabajan por igual.

e. Quince obreros pueden retirar ocho toneladas de tierra utilizando dos camiones en cuatro días. Si se sumancinco obreros más, pero se retira un camión, «uénta cantidad de tierra pueden retirar en tres días si se trabajabajo las mismas condiciones?

nt[!] Marca la alternativa correcta.

1. Si tres máquinas pueden etiquetar 60 envases en 20 minutos, «uántos envases serán etiquetados por ochomáquinas en 30 minutos?

A) 15 envasesB) 33 envasesC) 106 envasesD) 180 envasesE) 240 envases

2. Ocho obreros trabajando 20 horas diarias han empleado 18 días en hacer un túnel. Otro grupo, trabajando12 horas diarias, realiza el mismo trabajo en 24 días. ¿Cuántos obreros tiene el otro grupo?

A) 4 obrerosB) 6 obrerosC) 10 obrerosD) 12 obrerosE) 17 obreros

3. Cinco panaderos fabrican en ocho horas 10 kg de pan. ¿Cuántos panaderos se necesitan para fabricar 15 kgde pan en seis horas?

A) 3 panaderosB) 5 panaderosC) 6 panaderosD) 10 panaderosE) 12 panaderos

50 CLAVE· Matemática!.

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5. Porcentajes

t:. - -. . o·

Calcular el a % de b Calcular qué Ofo es a de b 1 Calcular un número del que a es el b Ofo

l=~ ~x=~ l=-ª~x=100·a I x a 100·aI -=- ~x=--

100 a 100 100 x b!

100 b b

Ejemplo: Ejemplo: i Ejemplo:

¿Cuál es el 12 0;0 de 2401 ¿Qué porcentaje es 120 de ! me qué número 8 es el 4 %?80? i

I12.240=288

100 • 126 = 150I 100· 8 =200

100 ' , 4IEI12 % de 240 es 28,8

80 i 8 es el 4 % de 200120 es el 150 0,'0 de 80 I

1

Ejercicios resueltosEl cakelo de porceotaieses un ejemplo depr~¡pÚrc¡onal¡dcddire"<i. por lo cue etraíorrne de resoí, er 'esprot'~"las qi.e íl,dccre;¡porcertaes es )rCelarlos datos y relacionedosmediarte una prooorcicn

1. Una tienda ofrece un 15 % de descuento sobre todos sus productos. Si uncuaderno cuesta $ 3.000, «uál es el precio de oferta)

~. 3000=450100

El descuento es S 450. Luego, el precio final del cuaderno es:

$ 3.000 - $ 450 = S 2.550.

2. De 900 personas que contestaron una encuesta, 45 mostraron preferencia porla marca A. Del total de encuestados, ¿qué porcentaje prefiere la marca A?

900 45 100·45 45-=-~x=--=-=5100 x 900 9

~

-"~

Luego, el 5 % de los encuestados prefiere la marca A.

3. Debido a una filtración, una piscina perdió 450 litros, lo que equivale al 0,3 % de su capacidad. ¿Cuál es lacapacidad de la piscina?~

.llr.r.:r.r.flllllli. .z., 450 ~x= lCC· 450 =150.000100 0,3 0,3

-e:.nJ

" 450:;~

Por lo tanto, la capacidad de la piscina es 150.000 litros.

Prooorcisralidad v rcrcemaíe

Page 27: Preparacion Psu de Matematica SM

11

1. Resuelve los siguientes problemas.

a. ¿Cuál es el 8 Ofo de 3507 h. ¿Cuál es el 350 % de 0,057 ~?l'

b. ¿Cuál es el 3,2 % de 7207 i. ¿Cuál es el 12 Ofodel 30 Ofode 80? JI'..~ 3.¿Cuál es ellO % del 45 % de 5007 j. ¿Qué porcentaje es 15 de 150.000? ;¡¡.c.

~,

d. ¿Qué porcentaje de 250 es 50? k. ¿Qué porcentaje es 0,0007 de O,35?'''':. ~

e. ¿Qué porcentaje de 47 es 357 1. me qué número 0,3 es el 0,03 %?

f. ¿oe qué número 85 es el 7 Ojo? m. me qué número 8 es el 400 %? ;:1 4,

g. ¿Cuál es el número cuyo 22 % es 55? n. ¿Cuál es el número cuyo 14 Ojoes 280?

2. Analiza la siguiente información. Luego, responde.

4, ¿Cuál es el 6 Ofodel 15 0Al de :mEl 5 O/o del 15010 es equivalente a multiplicar los porcentajes. Luego:

5 010' 15 0Al ~ 0,05 • 0,15 = 0,009.

Por lo tanto, el 6 % del 15 0Al de 32 es igual a 0,009 ·32 = 0,288.

Ejercicios propuestos

• Si x es el a Ojodel b % deC, se tiene que:

a b a·b·Cx=_·_·c=--100 100 10.000

• EIIVA (Impuesto al Valor Agregado) es un impuesto al consumo y actualmente correspondeal 19010 del valor neto de un artículo o propiedad.

Ejemplo: ¿Cuál es el valor final (Vf) que se paga por un artículo cuyo valor neto (Vn) esS 68.2oo?

Vf=Vn+Vn·O,19=Vn(1 +0,19) = 1,19 ,Vn= 1,19·$68200=$81158

Por lo tanto, el valor final que se debe pagar por un artículo de valor neto S 58.200 es$ 81.158.

• El interés simple (1) que genera un capital C por un tiempo t con una tasa de interés de pO/oestá dado por:

I =C·t· p

Ejemplo: ¿Cuál es el interés simple que se genera por un capital inicial de $ 350.000 duranteseis meses con un interés del 5 % anual?

En este caso, C = $ 350.000, t = 0,5 (son 6 de los 12 meses del año) y p = 0,05. Entonces elinterés I se puede calcular como:

1= C • t - p = $ 350.000 • 0,5' 0,05 = S 8.750

Por lo tanto, el interés simple generado en seis meses es de S 8.750.

a. Un artículo tiene un valor neto de $ 9.500. ¿Cuál es el monto que se debe agregar por IVA?

b. ¿Cuál es el interés simple producido por un capital inicial de $ 50.000 durante un trimestre, a una tasa deinterés an ual del4 %?

C. Si un producto tiene precio final de $ 256.207, ¿cuál es su precio neto?

d. Un capital C genera un interés simple de $ 12.800 durante 8 meses con un interés mensual del 0,8 oro. Calculael capital e

52 CLAVE· Matemática!'

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il.IUtIICIU.::J'j ~IUt-JVlvtUll(l.IIUUUIII-

[1[!) Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO representa el 70 % de a?

A) 0,2a + O,5a O) 7aB) 7· lO-'a E) 70q O,7a lOa a

2. Si el a % de b es c, ¿qué porcentaje es c de a?

O) a'%E) b' %

A) a%B) b%q c%

Una mezcla contiene a partes de agua y b partes de cemento. ¿Qué porcentaje de la mezda es agua?

A) _b_ B) a+b C) ~a-b l00a l00b

¿Cuál es el 20 % de las tres cuartas partes de 240?

A) 12B) 36C)48

5. Si en un grupo de p estudiantes, q reprobaron un examen, entonces el porcentaje de aprobación fue:

D) 100aa+b

E) 100ba+b

D) 50E) 180

A) lOOp % B) p-q % C) lOOq % O) loo(p- q) % E) 100(p-q) %p+q P P q P

6. Un equipo de sonido tiene un valor de S 119.000. ¿Cuál será su precio después de agregar el rvA?

D) S 138.220E) S 141.610

A) $ 19.000B) $ 22.610C) S 100.000

7. ¿Cuál es el valor neto de un artículo si el monto correspondiente a ¡VA es S 1.444?

D) S 8.200E) S 9044

A) $ 7460B) S 7.600C) S 7.810

8. ¿Cuál es el interés simple que genera un capital de $ 1.000.000 si ha estado invertido cinco años con unatasa de 2 % anual?

O) S 1.100.000E) S 25.000.000

A) s 10.000B) $ 100.000C) $ 1.000.000

9. Un capital de S 500.000 ha estado invertido a una tasa de interés del 7 % anual. Si se ha obtenido uninterés simple de S 175.000, «uánto tiempo ha estado invertido el capital?

A) 5 meses D) 3,5 añosB) 6 meses E) 5 añosC) 3 años

10. Si el perímetro de un cuadrado se reduce a la mitad, ¿en qué porcentaje se reduce su área1

A) 0%B) 25%o 50%

D) 75%E) 80%

Prooorciona!idad y porcentaje

Page 28: Preparacion Psu de Matematica SM

" 1\

Instrucciones ',;'

1. Esta prueba consta de ts preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A, B, C,D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2. Dispones de 30 minutos para responderla.

Variable, razones y proporciones

1. En el siguiente gráfico se muestra la distancia recorrida por dos deportistas (A y B) en una carrera de

100 metros planos. ¿Cuál de las siguientes alternativas es verdadera?

A) El deportista B llega antes que A a la meta.

B) El deportista B recorre más distancia que A.

C) El deportista A llega dos segundos antes que B.

D) Hasta los ocho segundos A es más rápido que B.

E) B es més lento entre los lOs y 14 s que entre los2 s y 10 s.

Carrera de 100 m planos

I lIX)j' - -;-- -, -bep6rlístiiA/'/Uepórtista B{5 80 -"-:--- ._-:---~---/--/--~--~.~ I

8 60 -- -:..-_.

'"" 40.~ 20

6---,------

r 4 6 8 10 12 14

Tiempo (s)

2. En una ciudad, por cada dos habitantes que tienen menos de 17 años hay tres que tienen 17 o más años.Si en la ciudad habitan 600.000 personas, «uántas tienen 17 o más años?

A) 120.000 habitantes

B) 200.000 habitantes

C) 240.000 habitantes

D) 360.000 habitantes

E) 400.000 habitantes

3. las medidas ex, ~ y y correspondientes a los ángulos interiores de un triángulo son tales queex : ~ : y = 3 : 2 : l.lCuál es el valor de ex - ~+ Y'

A) 30°

B) 60°

C) 1200

D) 1500

E) 3600

4. Miguel y Cristina ganaron un premio en dinero por comprar entre ambos un número de rifa en $ 1.000.Ellos deciden repartirlo de manera proporcional a lo aportado por cada uno. Si Miguel recibe $ 21.000 Ycolaboró con $ 300, «uanto dinero obtuvieron en total?

A) $ 30.000

B) $ 35.700

C) $ 49.000

\ 54 ClAVE·M",,",,,~V'iN

D) $51.000

E) $ 70.000

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5. Si se divide una cuerda en dos segmentos cuyas longitudes están en la razón 3 : 5 y el segmento máscorto mide 60 cm, ¿cuál es la longitud del otro segmento?

A) 37,5 cm

B) 96 cm

C) 100 cm

D) 160cm

E) 300cm

6. Si se reparte cierta cantidad de dinero entre cinco personas (a, b, e, d y e), es posible calcular cuántodinero recibe cada una si:

(1) el dinero se distribuye de tal manera que a : b : c : d : e = 1 : 3 : 4 : I : 2.

(2) la mayor suma de dinero entregado a una persona es S 15.000.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas luntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

Proporoonalided

7. En la siguiente tabla, si X e Y son directamente proporcionales, ¿cuál( es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

1. a + b = 8,65IJ. La constante de proporcionalidad es 10.111.E.=l

b 5A) Solo I

B) Solo ti

C) Solo 111

D) Solo I y II

E) Solo 11Y 111

8. Sean A y B variables inversamente proporcionales. Así, cuando A = 2, B = 11. Si A = 10, ¿cuál es el valor de B'?

A) 2,2

B) 4,84

e) 55

D) 3.025

E) Otro valor

:¿:F.

Ensayotemático' PSU _

Page 29: Preparacion Psu de Matematica SM

A)1 80

C)

2 40

E)

3 20W,

4 10

2 10

'l;4 5

20 1

1 4O)

---l

2 3

,3 2

.' ,_;.' t

4 1

~; 14.

.-§ t § A) Solo 1~~' ~ B) Solo 11::1< -"e';:' e

C) Solo 111!# '~

",. 'r. O) Solo 1y 11~;~~\ ~ E) 1,11Y 111~i ~&.W ~• -:-r~~;,; ~

J'

~"~~

~;>o·~..;..:g';. 0'O - 3UJ

'º : ij

1I11

9. ¿Cuál de las siguientes tablas representa a dos variables inversa mente proporcionales?

10. En el siguiente gráfico se representan las variables A y B, las que son inversa mente proporcionales. Segúnla información del gráfico, Lcuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

1. El valor de z es 6,25.

11. !=J..Y 50

11I. La constante de proporcionalidad es k = 50.

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

D) Solo 1y 11

E) Solo 1y 111

8

10 h •.

Z /" •••••••• - - - --

o APorcentajes

11. Si en la multiplicación a • b, a aumenta en e % y b disminuye en 50 %, el producto ab se reduce en 6 %.¿Cuál es el valor de e?

A) 12

B) 56

C) 88

D) 212

E) Otro va lar

12. Un camión lleva una carga de 8.000 kg. Si el 40 % es madera, el 30 % es metal, el 15 % es cemento y elresto son otros artículos de construcción, «uántas toneladas de estos últimos transporta el camión?

A) 12 toneladas

B) 6,8 toneladasC) 1,2 toneladas

D) 0,12 toneladas

E) 0,68 toneladas

56 CLAVE· MatemáticaV

it•.

"~}

'~"

I~UIIIC;IU;:'y ¡JIUfJUIl-IVIIOlluau

13. Tres amigos se reparten una cantidad de dinero. Si el primero recibe el30 % del monto total; el segundo,el 45 0Al, y el tercero obtiene S 45.000, ¿cuánto dinero se repartieron en total?

A) S 60.000

B) S icorooe) S 150.000

O) S 180.000

E) $ 225.000

El precio de un artículo es S 3.000. Si se le aplica un descuento, su precio queda en S a. ¿Cuál de lassiguientes expresiones representa el porcentaje de descuento aplicado?

A) 30a%

B) ~%3

I )C) a 0All3.D00

D) ( a-3000}vo~ 30

E) (3.D~~-a )%

15. En la tabla se muestra la distribución, según su estatura, de los integrantes de dos grupos scout.

Menor o igualque t.ss m

Moyor que1,65 m

12 159 19

Kuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

1. Cerca del 57, I 0Al de los scouts cuya estatura es menor o igual que 1.65 m son del grupo Mapache.11. Más del 32 Ofode los scouts del grupo León tienen una estatura menor o igual que 1,65 m111. Aproximadamente e16\ ,8 Ofode los scouts tiene una esrature mayor que 1,65 m.

Ensaye teMático· PSU

Page 30: Preparacion Psu de Matematica SM

Del gráfico se desprende que el deportista A recorrelos 100 metros en 12 segundos; en cambio, eldeportista 8 los recorre en 14 segundos, es decir, dossegundos más tarde.

Distractores:

A) Se consideró erróneamente que el deportista 8gana la carrera, ya que corrió más tiempo que eldeportista A.

B) Se asoció incorrectamente la distancia recorridacon la longitud de la línea graficada por cadadeportista, ignorando que ambos recorrieron lamisma distancia.

D) Se interpretó erróneamente el gráfico, ya quehasta un poco más de los 8 segundos, B recorremayor distancia que A en un mismo tiempo; porlo tanto, el deportista B es más rápido que eldeportista A.

E) Se interpretó erróneamente el gráfico, ya queentre lOs y 14 s, B recorre una mayor distanciapor unidad de tiempo que entre 2 s y 10 s.

Como por cada dos habitantes que tienen menosde 17 años hay tres que tienen 17 o más años, entretodos completarán las 600.000 personas. Además, setiene que:

Wde habitantes menores de 17 años =1W de habitantes de 17 años o más 3

Luego, la razón entre el número de habitantes quetienen 17 o más años y el total de habitantes es 3 : 5,es decir:

W de habitantes de 17 años o más =2Total de habitantes 5

Luego:

_x__ 3 3 120000

600.000 -s=>x=7·.we:aóo =360.000

1

Es decir, 360.000 habitantes tienen 17 o más años.

'1'58 CLAVE· Matemática

Distractores:

A) Se cometió el error de considerar la razón entre elnúmero de habitantes que tienen 17 o más años yel total de habitantes como 1 : 5. Luego, se planteay resuelve la siguiente ecuación:

x 1 1 120~--= - => x=-. ,906.000600.000 5 t

1

x=120.000

B) Se cometió el error de interpretar el enunciadocomo dos de cada tres habitantes tienen menosde 17 años. Luego, uno de cada tres tendrá 17 omás años. Por lo tanto:

_x__ 1 1 200~

600.000-:3 => x= -¡.'poo.oOOJ

x= 200.000

C) Se cometió un error al calcular la cantidad depersonas que tienen 17 o más años, considerandola razón entre el número de personas que tienenmenos de 17años y el total de habitantes; por loque se plantea y resuelve la siguiente ecuación:

x 2 2 llO~--=- =>x=-· ,906.000600.000 5 t

x=240.o00

E) Se cometió el error de calcular la cantidad depersonas que tienen 17 o más años, considerandola razón entre el número de habitantes que tienenmenos de 17años y el número de habitantes quetienen 17 o más años; parla tanto, se plantea yresuelve la siguiente ecuación:

_x_ = 1 2 200.000

600.000 3 => x = T ,.6OO:01ÍO

1

x=400.000

Que las medidas a, ~y y de 105 ángulos interiores deun triángulo sean tales que a: ~:y= 3 : 2 : 1 significaque el valor de a + ~ + y se divide en seis partesiguales y que tres de esas partes equivalen al valor dea, otras dos partes corresponden al valor de ~ y laparte restante al valor de y

Como a, ~ y y son las medidas de 105 ángulosinteriores de un triángulo, a + ~ +y= 180°;por lotanto, si se denomina k al valor de cada una de las seispartes iguales, se tiene que:

k=1800=30°6

Luego:

1].= 3 • 30° = 90°

~ = 2 • 30° = 60°

Y = 1 • 30° = 30°

Finalmente, 1].- ~ + y = 90° - 50° + 30° = 60°.

Otra manera de resolver el problema consiste enconsiderar que a :~:y = 3 : 2 : 1 es equivalente a:

Q. =~=r =k=> a=3k ~= 2k yy=k3 2 1

donde el valor de k es 30°, como ya se justificó. Así,1].= 90°, ~ = 60° Y Y = 30°.

Finalmente, 1].- ~ + y = 90' - 60° + 30° = 60°.

Distractores:

A) Se cometió el error de considerar que la suma delos ángulos interiores de un triángulo es igual a90°. Así

':2

k= 90' = 15°6

eu Luego:

1].= 3 • 15° = 45°:;, ~=2 ·15°=30°

y= 1.15°= 15°

-c

EE

~2V)'J)

~oi5L:....l

Finalmente, se obtiene quea-~+y=45°-300+ 15°=30°.

I\JUIIIGIU;) y ~IU~Ull,IUllwluaulIJ·

Q Se consideró erróneamente que la suma de losángulos interiores de un triángulo es igual a 3600

.

Así:

k=360° =60°6

Luego:

a= 3.60° = 180°

~ = 2.60° = 120°

Y = 1 • 60° = 60°

Finalmente, se obtiene quea - ~ + y = 180° - 120° + 60° = 120°.

D) Se cometió el error de considerar que para calcularlos valores de a, ~y y se debía dividir 1800 en3, 2 Y 1. Así, se obtiene que a = 60°, 13 = 90° YY = 180°. Por lo tanto,a - ~+ y = 60° - 90° + ]80° = 1500

.

E) En este caso se consideró erróneamente que

a -Lr=18003'-2 1

Luego:

~= 130°=> 1].=3.180° =540°3

~ = 180°=> ~ = 2 • 180° = 360°2'1.i, = ¡80° => Y = 180°1

Por le tanto, a - ~+ y = 540" - 3f:JJ' + 1SOO =360".

DDado que el premio de la rifa se reparteproporcionalmente según el dinero aportado (5 300 YS 700) por Miguel y Cristina, el premio se distribuirá enla razón 3 : 7.

Luego, si x representa el dinero recibido por Cristina,se tiene:

;;00

2= 21.000 =>x 7.~ 49.0007 x

Por lo tanto, el monto del premio de la rifacorresponde a $ 21.000 + $ 49.000 = S 70.000.

;,~cdelamiento • PSU

Page 31: Preparacion Psu de Matematica SM

11111

,jr.ltr~H. ":11,~ ",~ ) ,...' ...,,... ,_.-- .. '-',,~~-

Distractores:

A) En esta alternativa se cometió el error de plantear:

3000

Z = 2 1000 ~ x = 3 • )Hl(lÜ

3 x I1

9.000

Así, se responde que el monto del premiocorresponde a S 21.000 + S 9.000 = $ 30.000.

B) En esta alternativa se cometió el error de

considerar la razón 7 + 3 = lQ y se calculó:7 7

lQ=21000~x=7.21000 14.7007 x lO

Así, se responde que el monto del premiocorresponde a S 21.000 + S 14.700 = $ 35.700.

C) En esta alternativa se calculó correctamente eldinero que recibe Cristina, es decir, $ 49.000, perose cometió el error de no sumar los $ 21.000 deMiguel para obtener el rnonto total del premio.

D) En esta alternativa se cometió el mismo error queen B) al plantear la ecuación y además se inviertela fracción del lado izquierdo de la igualdad, esdecir:

3DOO

l = 21 .000 ~ x 10.).l-{lÓO

10 x I 30.000

Así, se responde que el monto del premiocorresponde a $ 21.000 + $ 30.000 = $ 51.000.

La cuerda se divide en dos segmentos cuyaslongitudes están en la razón 3 : 5. Si la menor medidaes 60 cm, se puede formar la siguiente proporción:

3 50 50·5-= =eLongtud mayor=--=IOO5 Longrtud mayor 3

Por lo tanto, el segmento de mayor longitud mide100cm.

.1" 60 a. CLAVE· Matemática

Distractores:

A) En este caso se consideró erróneamente que lalongitud total de la cuerda es 50 cm; por lo tanto,se divide proporcionalmente:

_3_ = Long~ud menor => l = Longitud menor5+3 60cm 8 50cm

=> longtud menor = 22,5 cm

_5_ = Longitud mayor => ~ = Long~ud mayor5+3 50cm 8 50cm

~Longitud mayor = 37,5cm

Luego, se respondió que el segmento de cuerdade mayor longitud mide 37,5 cm.

B) Se cometió el error de resolver:

Long~ud mayor50cm

. 50cm • 3=> Longitud mayor=---=35cm

5Además, erróneamente se calculó la longitud totalde la cuerda con estos datos y se respondió queel segmento de cuerda de mayor longitud mide95 cm.

D) Se cometió el error de calcular la longitud de lacuerda completa, es decir:50 cm + 100 cm = 160 cm.

E) En esta alternativa se consideró erróneamenteque la longitud mayor de la cuerda es el productoentre 50 cm y 5, que es la suma entre loscomponentes de la razón, es decir, 300 cm.

Para responder este tipo de preguntas es necesarioanalizar cada una de las proposiciones por separadoy determinar si entregan la información necesaria ysuíiciente por sí solas.

Al considerar válida la condición (1), el dinero sereparte de tal manera que si cada una de las personasrecibe a, b. c, d y e pesos, respectivamente, se tieneque 1 : 3 : 4 : 1 : 2 = a : b : c : d : e, lo que significa:

-ª=~=.c;,=Q=f=k1 3 4 1 2

De la expresión anterior se desprende que a = k,b = 3k, c = 4k, d = k y e = 2k, pero no es posiblecalcular el valor de los montos respectivos. Por lotanto, (1) es necesaria pero no suficiente para calcularel dinero que recibe cada persona.

Si se considera válida la condición (2), se tiene elmonto mayor que se reparte, es decir, $ 15.000; sinembargo, solo con este dato no es posible calcular losvalores individuales. Por lo tanto, (2) es necesaria perono suficiente para calcular el dinero que recibe cadapersona.

Si se consideran válidas ambas condiciones juntas(1) y (2), la persona que obtiene más dinero recibiócuatro partes de las 11 en las que fue dividido elmonto total. Así:

15.000 = 4k=> k = 15.000 = 3.7504

Luego:

a=k=3.750

b=3k= 11250

d=k=3.750

e = 2k = 7.500

Entonces, si se consideran las alternativas (1) y (2),ambas juntas, se puede calcular el monto repartidoa cada persona.

En (1) se afirma que a + b = 8,55. Como X e Y sondirectamente proporcionales, se tiene:

l=~=>a=5' 2,5 =5 255 a 2'

.:soJ

l=~=>b=~=245 5 5'

Por lo tanto, a + b = 5,25 + 2,4 = 8,55. Así, (1) esverdadera.

j5

"-~:;,

--:J

~~

En (11) se afirma que la constante de proporcionalidades 10. Dado que las variables X e Y son directamenteproporcionales, se tiene que el cociente entre sus .valores es constante; sin embargo, el cociente entreellos es:

2 : 5 = 2,5 : 5,25 = 2,4 : 6 = 0,4 * 10

Por lo tanto, (11) es falsa.

En (11I) se afirma Que -ª-=l. De (1) se sabe queb 5

a = 5,25 Y b = 2,4, entonces -ª- = 6,25 .b 2,4

Luego, (111) es falsa.

Distractores:

Las alternativas B), C), D) Y E) son incorrectas, ya queincluyen proposiciones falsas.

Dii1Bfir~i~tj~aSi A Y 8 son inversa mente proporcionales, la constantede proporcionalidad (k) está dada por el productoentre los valores de A y B. es decir, k = A • BAsí, k = 2 . 11 = 22. Luego, si A = 10, se tiene:

k=A. B~22=10· B=>8=22 =2,2lO

Por lo tanto, 8' es 4.34.

Distradores:

A) En esta alternativa se calculó correctamente elvalor de B, pero se cometió el error de no calcularel de B2, que es el valor que se pide.

C) En esta alternativa se cometió el error deconfundir la proporcionalidad Inversa con laproporcionalidad directa: por lo tanto, se calculó la

constante de proporcionalidad k como: k = ~ = l.Así, si A = 10, se tiene: B 11

k=~=>1...=lQ=>B=~ =55B 11 B 2

Además no se calculó el valor de B'.

D) En esta alternativa se cometió el mismo error queen C), pero sí se calculó el valor de B', por lo quese obtuvo 3.025.

E) Se cometió cualquier otro error de cálculo o deinterpretación.

Mod_eiami~IO' PSU _...,.[

Page 32: Preparacion Psu de Matematica SM

,~1II1I

v"

rJ 'I( t Irtr.'1~1.J1'lv' u..; 1 !-"IVpV' ....•'vIO\..•.••••..••..•.u

Cuando dos variables son inversa menteproporcionales se cumple que el producto entre susvalores es constante. Así, en la tabla:

1 802 404 20

5 16

se tiene que 1 - 80 = 2 • 40 = 4 • 20 = 5 • 16 = 80.

Distractores:

A) En la tabla de esta alternativa los valores de Xaumentan y los valores de Y disminuyen; sinembargo, se cometió el error de pensar que X e Yson inversamente proporcionales, sin considerarque deben hacerlo de manera simultánea y en lamisma razón.

B) En la tabla de esta alternativa los valores de X y dey aumentan y disminuyen, respectivamente, enuna unidad. Sin embargo, se cometió el error depensar que solo por el hecho de que una aumentay la otra disminuye, las variables son inversa menteproporcionales.

e) En la tabla de esta alternativa los valores de X y dey mantienen un cociente constante. Sin embargo,el error cometido consiste en que se confundió elcociente con el producto. Luego, en esta tabla, X ey son directamente proporcionales.

E) En la tabla de esta alternativa los valores de X y dey conservan un producto constante; sin embargo,cuando X = 1, Y = O no se tiene que su productosea 20, como en los otros casos. Luego, X e Y noson inversa mente proporcionales.

62 CLAVE· Matemática

j;

En (1) se afirma que z es igual a 6,25. Como el gráficorepresenta una relación entre dos variables que soninversamente proporcionales, se tiene queZ • 8 = 5 • 10. Así, se obtiene que z = 6,25; por lotanto, (1) es verdadera.

En (11) se afirma que! = J... ; por lo tanto, se obtieney 50

Y =50x, lo que corresponde a una relacióndirectamente proporcional entre A y B. Por lo tanto, (11)es falsa.

En (111)se afirma que la constante de proporcionalidades k = 50. Como se sabe que las variables A y B soninversa mente proporcionales, el producto de susvalores es constante. Además, como un valor de A es 5y su valor asociado de B es 10, se tiene quek = 5 . 10= 50. Por lo tanto, (111)es verdadera.

Distradores:

A) Esta alternativa es incompleta, ya que soloconsidera la proposición (1), que es verdadera,pero no incluye la proposición (111),que tambiénlo es.

B) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laproposición (11),que es falsa.

C) Esta alternativa es incompleta, ya que soloconsidera la proposición (111),que es verdadera,pero no incluye la proposición (1), que tambiénlo es.

D) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laproposición (1), que es verdadera, pero tambiénconsidera la proposición (11),que es falsa.

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?i.~.-:;i'~<C'.

~:' 1:-,

~J;

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e-O"'g:f-o~~~I~:íp-,<.- .;;;:<r~::.,ftW~;.i~:c~::~c

Del enunciado se tiene que:

i) el producto ab disminuido en 6 010 se representapor:

0,94ab.

ii) que el valor de a aumente un c Ofo se representapor:

a(~+I)100

iii) que el valor de b disminuya en 50 Ofo se representapor 0,5b.

Luego, el enunciado se representa por:

a( 1~ + 1) - 0,5b = 0,94ab

(~ + 1) ·0,5 = 094100 '

~ + 1= 1,88100c+100=188

c = 88

Distractores:

A) En esta alternativa se igualó el 6 Ofo del productoab, con el producto del c % de a y el 50 Ofo de b,es decir

0,06ab = (~) ·0,5ab100

006=(~)'05 /·100, 100 '

6 = 0,5c

c = 12:9~~F~

"5

:;:

B) Se interpretó el enunciando de forma errónea,ya que se consideró al producto ab disminuidoen 6 o.\¡ como 1,06ab; pero además se cometióel error de escribir una adición en vez de unamultiplicación, es decir.

1,06ab = ~ + 0,5ab100

1,06 = _c_ + 0,5 /-100100

106 = c + 50

c = 56

D) Se cometió el mismo error que en C), pero seescribió la multiplicación en vez de la adición. Así,se tiene que:

1,06ab = _c_ • O,Sab100

1,06 = .s... 0'5 / ·100100 '

106=0,5c

c = 212

E) Se cometió cualquier otro error de cálculo ointerpretación, por lo que se obtuvo otro valor.

~dela_mi~nto - PSU ~

Page 33: Preparacion Psu de Matematica SM

1111

!

!\

\

1I~.v"

mlJif~~""

El porcentaje de carga correspondiente a otrosartículos de construcción que lleva el camión es el15 %, ya que 40 % + 30 0/0 + 15 % = 85 ll'o, luego,100 % - 85 % = 15 %. Además, 1 ton = 1.000 kg,entonces el 15 % de 8.000 kg es:

~.8ton=1 20ton100 '

Por lo tanto, el camión transporta 1.2 ton de otrosartículos de construcción.

Distractores:

A) En esta alternativa se calculó correctamentela masa de los artículos de construcción; sinembargo, se cometió un error al cambiar la unidadde medida de kg a ton, por lo que se obtuvo que1.200 kg es equivalente a 12 ton.

B) En esta alternativa no se comprendió el enunciadoy se calculó el porcentaje de la masa de la madera,metal y cemento, es decir:

(40+30+15) .8000kg=~. ~kg100 }66

1

=6.800kg

Es decir 6,8 toneladas.

D) En esta alternativa se simplificó incorrectamente:

~.8000kg100

5 8

como ~ .~kg=120kg, que es

1

equivalente a 0,12 ton.

E) Se cometió el mismo error que en B), y ademásla conversión de kg a ton se realiza erróneamente,ya que se establece que 6.800 kg es equivalente a0,68 ton.

~4 CLAVE· Matemática

·m_Del enunciado se desprende que el primer amigorecibe el30 ll'o del total; el segundo, el 45 % del total,y el tercero, S 45.000, que representan el100 % - (30 + 45) % = 25 %; por lo tanto, se tiene:

4

A= 45.00.0 => Total 45.o00.}66 180.000100 Total J5

Luego, el total de dinero repartido es S 180.000.

Distractores:

A) Se cometió el error de considerar que los S 45.000representan el 30 ll'o + 45 % = 75 ll'o del total; porlo tanto, se tiene:

12.= 45.000 => Total 45.000·100 60.000100 Total 75

B) Se cometió el error de considerar que el 45 Oío deltotal de dinero repartido es igual a $ 45.000, por loque se tiene:

~= 45.000 => Total 45.000·100 = 100.000100 Total 45

C) Se cometió el error de considerar que el 30 Q10 deltotal de dinero repartido es igual a $ 45.000; por lotanto, se tiene:

19.-=45.000 =>Total=45.000.100 150.000100 Total 30

E) Se cometió un error al simplificar la fracción

45.000·100 , considerando que 100 es igual a 5.25 25

Por lo tanto, se respondió que el total de dinerorepartido es S 225.000.

I~UIII~IU;:' y ¡JiU¡;UIL.IUIIc1lluau

.1:$>

Íi~lti~f~

:11

-e-; .

eB .:l-oo5-i!!. -:l'

"1./1•."<C'

-U" ~~~ ~c;~/~:2 ::;:tIl· r

l1l ;¿C',' ªo'0 ~'ó"',Q

Si a S 3.000 se le aplica un descuento del x %, se tieneque la expresión

.z..3 .000 = 30x100

corresponde al x % descontado de S 3.000.

Así, un descuento de x % a S 3.000, que equivale a S a,se puede escribir como:

S (3.000 - 30x) = S a

Al resolver la ecuación se obtiene:

3.000 - ax=---

30Por lo tanto, el porcentaje de descuento aplicado es

(3.o~~-a )%Distractores:

A) En esta alternativa se cometió el error de confundirel porcentaje de descuento con el precio delartículo con el descuento incluido; por lo tanto:

~ . 3.000 = 30a => 30a % de descuento.100

B) Se cometió el error de considerar que elporcentaje de descuento es la razón entre el precio

de descuento S a y los S 3.000, es decir, _a_ y,3.000

además, se multiplicó por 100. por lo que obtuvo:

_a_·loo=E. =>E.o¡ode descuento.3.000 3 3

C) En esta alternativa se cometió el error deconsiderar que el porcentaje de descuento es larazón entre el precio de descuento S a y los

S 3.000, es decir, (_a_)o/o.3.000

D) En esta alternativa se cometió un error al resolverincorrectamente la ecuación:

3.000 - 30x = a

Porque se cambió el signo en el numerador, y seobtuvo:

( a-~:°)oro

En (1) se afirma que cerca del 57,1 % de los 5coutscuya estatura es menor o igual que 1,65 m son delgrupo Mapache. Según la tabla hay 21 scouts cuyaestatura es menor o iguill que 1,65 m y 12 de ellospertenecen al grupo Mapache. Luego, se debe calcularel porcentaje que corresponde a 12 de 21, es decir:

ll= 100% => x;:::: 57,112 x

Por lo tanto, (1) es verdadera.

En (11) se afirma que más del 32 % de los scouts delgrupo León tienen una estatura menor o igual que1,65 m. De la tabla se puede afirmar que hay 28integrantes en el grupo León, de los cuales 9 tienenuna estatura menor o igual que 1,65 m. Luego, sedebe calcular a qué porcentaje corresponden:

28 = looOfo=> x;::::32,19 x

Por lo tanto, (11) es verdadera.

En (111) se afirma que aproximadamente el 61,8 %de los scouts tienen una estatura mayor que1,65 m. Según la tabla, hay 55 integrantes entre ambosgrupos, de los cuales 34 tienen una estatura mayorque 1,65 m. Luego, se debe calcular a qué porcentaecorresponden:

.22 = 100 O/o => x ::::: 61,834 x

Por lo tanto, (111) es verdadera.

Distradores:

Las alternativas Al, B), C) Y D) son incompletas, ya queninguna de ellas considera corno verdaderas a las tresproposiciones.

Modelamiento • PSU 6

Page 34: Preparacion Psu de Matematica SM

11

1. El número i

''.-':i

:¡t.=i,,".:i=..:.\ ..' .. i"=i' ·y';-l

,;. ~,=l.i=-ir.; '¡r=i' .~=-i

As!. para Glcular i". con n Ef\ se puede dividir ÍIpor 4. obteniendo·dlvisión. ';.~ <::.>. . ;,-":

f'=i"'lH=j'q.r';"\-i'=i

Ejercicios propuestos

1. Determina el valor de las siguientes potencias.

a. jl' e. (¡litf. ((_j1)'Y

• Se cumplen las siguientespropiedades.i"·i"'=f'~

b.. j"

c. -~•• g. -j-¡<S-¡&< (n"=f'~

d ~r ~~-~.~ conn,m.:::2.;

2. Encuentra las soluciones de las sigtJientes ecua<iones.

a. x'+ 25=0b. x2 + 100=0c. -l¡2-9=O

d, e- J7 =0

e. 8+x' =0f. x'=-45g. -i = 36

h. i +625 =0

\t... 66 CI.A\~ • Materr.átta

.¡it·#.~.

.~;'.

(~.'

s-r

~.;".~;

e,».sv _._

-8:O-&~,,:lO!·;:.

:2~}'~.'e;'!-0'::h",.-:.4) :'~<=;1~~t."'.'º

Números y proporcionalidad 11

2. Números complejos

Ejercicios resueltos

1. Determina la parte real e imaginaria de los siguientes números complejos.

a. z, = 3 + Si ~ Re(z\) = 3 e Im(z) = 5

b, z,= I ~ Re(z) = O e Im(z,) = I

c. z,= 56 ~ Re(z) = 56 e Im(z,) = O

d. Z,=-15-5i ~ Re(z) = -15 e Im(z,) =-6

2. Encuentra los valores de p y q para que se cumplan las siguientes igualdades:

a. (p - 7) +31 = 5 - qi

Se debe igualar la parte real de ambos números: (p - 7) = 5 ~ P = 12

Igualando la parte imaginaria: 3 = -q ~ q =-)

b. (12 - q) + (sp + 3)i = 18 - 7i

Parte real: 12-q=18~q=-5

Parte imaginaria: 5p + 3 = -7 ~ P =-2

Ejercicios propuestos

1. Determina la parte real e imaginaria de los siguientes números complejos.

a. z,=2+i c. z,=-Jsib. z,=-32 d. i,= -12 + O.Si

• Dado un r~r;¡eracomplejo z = a + bi setiene que:. b = Osi pele si z es un

'numero real.

a = O si v solo si z es un~L~ero !:¡¡c~;rCr!o.

~'3

2. Si x, y E IR, determina los valores de x e y para que se cumplan las siguientes igualdades.

a. x + i = 2 + yi e. (x + 4) - 5yi = 2 - 3i

b. x + (y + 2)i = Si

c. (x + 6) + i = 5 + (y - 2)i

f. 2y + 3xi = -15 + Si

:2g. (2i)¡+(-2if=~-Yi 2 3h. (3i)'+(_3¡)'=3Xi+3Y

, 2 4x . .d. --51= '{I2

/lJj .•.•.. c:~...,;;::- ' .••- •••/.,i •.••••. ~-

Page 35: Preparacion Psu de Matematica SM

II1

II!

\

I

11

3. Si k ER, calcula el valor de k para que las siguientes expresiones representen un número real.

a. 4 + ki d. 32 - si + 6ki - ki

b. 2 + (k + l)i e. li+ 2k - 3ki3

f. 10i-k+·hi5

c. -k-s i= ki

~ Marca la alternativa correcta.

1. Si a, b E R, Y a + 3i = 2 - bi, entonces a y b son respectivamente:

A) 3 Y 2B) 2 Y 3e) -2 y 3

2. ¿Cuál es el resultado de il.232?

D) -2 y-3E) 2 y-3

A) 1B) -1C) -1

3. Si a=-!3"i y b =3!3"i, calcula a- b.

A) -9iB) 9iC) -9

4. Si k E IR.Yz = 3k - 6i - 18ki + 6 es un número complejo, ¿cuál debe ser el valor de k para que la parte realde z sea cero?

D) iE) 2

D) 9E) -27

A) -3B) -2

C) _13

5. Si z, = (p + q + 3) + (8 + q)i Y z, = 2p + (3p - q)i, «uál debe ser el valor de p y de q para que se cumplaz, = z,?

1D) -'2E) O

A) p=2, q =-1B) p=-I,q=2C) P = 14, q = 11

6. ¿Cuál(es) es (son) el (los) valor(es) de x en la ecuación x + a = 7i, si a2 = -167

A) 3i,lli D) 4iB) 4i, -4i E) 11iC) 3i

D)p=-2,q=1E) p=11,q=14

7. ¿Cuál de los siguientes números complejos tiene como parte real un número racional y como parteimaginaria un número negativo?

A) !3" -4i D) i'+ 7i'

B) i'+ 4i' E) E-2i4

C) lli-25 3

68 r.l A\lF • ~btom:'ltir'1

e''0'S::;)-~o;'E!::\',a':-,'"'O.

~:;"

2,0-.

::! .U1

ar7e".g

j3:'@

2.1 Representación de los números complejos

Ejercicios resueltos

1. Dibuja el vedar determinado por los númeroscomplejos dados y represéntalos como parordenado.

~__=~~,,_,_===Y~l;==_~_~.~==~~=_. :\ 1, · I----_._"-----\,~-~----~-~---'--_.,~-~._._, -._-- ._-----;

- -~:~.===_==_=\\~-==-:=-=:~=;z~..-----.----__o

...------..- ..- '\---l-'\ ...•.... --- ..._- ..·\1

\

Z, = 2 + 3i ~ z, = (2, 3)

z, = 6i ~ z, = (O. 6)

zJ =·4 + 6i ~ zJ = (-4, 6)

z, = 4 - 6i ~ i,= (4, -6)

Zs = -5 - 7i ~ Zs = (-5, -7)

•• j I I ¡ I ¡ 0'1\ I ¡ i I I 1"---~-~~~~~:_~:):1\~:.2=J... ~2~-.:.J

_-- --- --- 1'---3. - - \\_ / __ -4 "

--/ ...---s

__--v(,-':~-~--_~J=__~~~~~~..~~~~ ....J

2. Si a, b E lR., determina el valor de a y de b para que z, = (a + b)i + 2a y z, = (2, -4) representen el mismonúmero complejo.

Se iguala la parte real e imaginaria de ambos números.

Re(z,) = Re(z,) => 2a = 2 => a = 1

Im(z) = Im(z,) => a + b = -4

Se reemplaza a = 1 en a + b = -41 + b =-4

b=-S

Page 36: Preparacion Psu de Matematica SM

~11~,

iti

!t11

I

Ejercicios propuestos

1. Dibuja el vector determinado por los números complejos dados.

a. z, = 5 + 2i

b. l, = -6i + 5

C. II = (4, -3)

d. l, = 5

e. l5 = (-4, -2)

f. l6 = 4i

g. l, = -3 - 4i

h. lB = 5 - 3i

2. Completa la siguiente tabla.

Y~T";"

, ..

-,-,-r , 6 x1 2 ,3"4,, ,~, "-6 -5 -4 -3 -2 _1 o

,'-1,

,~2-l .... : " .... -o ,...." ,

.-3-

..-4

,-5

, -&

2 + 3i 2

(9,2) (0,1) I I (-5,7) (0,9)

-s3i + 8 I I 1 + i

3. Determina la expresión binominal de los números complejos a partir de su vector asociado,

a, l . = _

b. L. =

c. z,= _

d, z,-' _

e, Z5= _

f. Z6= _

g, i,= _

71'1

y6

,4

$-'; fr_

§-

1?-:re'-o:"15

~0..,:,

~

-2.2 Módulo y conjugado de un número complejo

Ejercicios resueltos

1. Determina el conjugado de los siguientes números complejos.

a. l, = (2, -4) ~

b. z, = 1 + 3i ~

Z;=(2,4)z,=1-3i

C. Zl = (-9, 7) ~

d. l,= -6 - 8i ~

Z,=(-9,-7)

z: = -6 + 8i

2. ¿Para qué valores de b el número complejo z = 5 + bi tiene módulo igual a 137

El módulo de Z es: Izl=~5' +b' =J25+b', luego se iguala a 13 y se despeja b.

J2S+b' =13

25 +b' = 169

b' - 144 = O

(b+ 12)(b-12)=O

b=-12 vb= 12

Por lo tanto, z puede ser 5 + 12i o 5 - 12i,

l. La suma de las componentes reales de dos números complejos, tales que uno es el conjugado del otro,es 24 y la suma de sus módulos es 26. ¿Cuáles son los números?

Sea z, = a + bi, entonces Z; = a- bi Luego, Re(z,) + Re(D = a + a = 2a = 24 :) a = 12 Y

Iz,I+IZ;I=2Ja1 +b' =2)12' +b' = 2J144+b1 =26:) 144+b1 =13' ~ b' = 169-144 = 25 :) b = 5 o b = -5,

Por lo tanto, z, = 12 + Si YZ;= 12 - Si o z, = 12 - Si YZ; = 12+ Si

Page 37: Preparacion Psu de Matematica SM

11

Ejercicios propuestos

1. Determina el conjugado y la norma de cada uno de los siguientes números.a. z, = 1 - i d. z,= (1 - ~i

1 .e. z, =-+912

f. Z =~-Qi555

b. z, =2,3 - 4i

-6 -12ic. ZJ=-4-

2. Grafiea los siguientes números complejos y su conjugado.

a. z, =3 + i

b. z,=-2+4i

"""y' t..'..-- ,--:,--....-- "'~T ..'' ..'--'...., .."

c. zJ=-5 - 6i

1 2~, 4 s,..~,.x.:e. Z,=-l

......."""'::~j:,: ..:::" ,." ..,:,..d. z, =4 - 6i

-6 -5 -4 -3 -2 _1 o-l'

f. z,=-3i

g. zJ= 6 + 3i

~ Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)?

z=z

11. Izl=z'

111.l-zl=lzl

A) Solo 1 D) Solo 1y 11B) Solo 11 E) Solo 1y 111C) Solo 111

2. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones no es (son) siempre verdadera(s)?1. z=-z

11. Si Iz,l= Iz,Lentonces z, = z,.

111.Si z, = z" entonces Iz,l= Iz,I.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111

D) Solo 1y 11E) Solo 1y 111

7? rl I\\IC _ ~"" •.",...•..."~;,,..,.

·-2

-- .. ,_3.

.._4

.-5

-6

~~-

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-'l.",(:k'l;~~

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e-o I'0u-6OQ,'~- .,,''"

~,:gs:~/:i!1 <::~~\<Iie

s I~-sz-

y

3. Operaciones con números complejos

~,;,'

1, .(a+bo(c-d;)'~~+bd'b~-ad .- .' +--'1Z,", c'+d' .... c'+d2 (2+d'

!L = (ac+. b.d . bc-ad'r'z, e2 oÍ: .1' , e2 + d' ) ,

Ejercicios resueltos

1. Dados los complejos z, = (2, 1), z, = (O,-2), z] = 1 + i, resuelve .

a. z, + z, = (2, 1) + (O, -2) = (2 + O, 1 + (-2) = (2, -1)

b. Z, - z, = (O, -2) - (2,1) = (O - 2, -2 - 1) = (-2, -3)

c. z,' z, = (2,1), (1, 1) = (2·1 - j • 1,2, 1 + 1 • 1) = (2 -1.2 + 1) = (l,3)

d zz =~=~.3..::.i 2+2i-i-i' 2+i-(-I)=~=l+.!.i. J' 2+i 2+1 2-i 2' _iJ 4-(-1) 5 5 5

2. Comprueba que i' = -l. Para ello, utiliza el producto de pares ordenados.i' = (O, 1)' = (O, 1) • (O, 1) = (O • 0-1 • 1, O • 1 + 1 • O) = (-1, O) = -1

Ejercicios propuestos

1. Comprueba las siguientes propiedades.

a. Izl= \-ZI

b. t- z =Izl'c. Iz,' z,l = IZ,I'lz,1d. - --z, • z, = z, . z,

2. Dados los números complejos z, = (2, 3), z, = (O,-3) y; = (-3,2), calcula.

a. Re(z,- z,) d. Im(z,' z.)

b. Im(z,- z.,)

c. Re(z,' z,)

e. 2Re(z,- z)

f. Re(3z,-~Zl)

-

:;, ~.. -:.,,'.

. Forma binominal

Fomna par ordenado,.".-!

Fomna binominal

Fomna par ordenado

g. 31m(2z, - z)

h. -Re(z: - z)

Im(z., + z). z,}

Page 38: Preparacion Psu de Matematica SM

11

f¡s.

í¡í¡1I¡Il!¡t1>.

}ti¡

iI 7~

3. Verifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas 0f) o falsas (F).

a. La diferencia entre un número complejo y su conjugado da comoresultado un número real. • El inverso aditivo de

1,=a + bi es z,= -a - bi.b. La diferencia entre números complejos cumple la propiedad

asociativa.

c. __ El resultado de (l - i) - (l + i) - (-1 - i) es igual a 1.

d. La suma entre un número complejo y su inverso aditivo es un número imaginario.

e. La adición entre un número complejo y su conjugado da como resultado un número real.

4. Resuelve lo siguiente.

a. (5,3) + (2,1)

b. (0,3) + (2,1)

c. (-1,1)+(0,2)

d. (2 + 4i) + (5 - 3i)

e. (1 + 3i) + (4 - 0f. i + 6 + (3 + 2i)

g. (5 - 3i) + (1 + Si)

h. (-2 + 7i) + (-3 + 4i)

i. (8 + 4i) - (5 + 2i)

j. (-S+10i)-(-10+3i)

k. (3 + 3i) + (4 - 2i) - (- S + 8i)

1. H- 10i) - (9 - 2i) + (6 - Si)

m. (2, -3) • (3, -2)

n. H + 4i)(-5 + 3i)

ñ. (0,2)( -2, 3)

o. (2 - Si)(-5 + 4i)

p. (-1.-1)(-2,3)

q. (-3 + Si)(8 - 4i)

Si z, = -1 - 4i, z, = 6 - lOi, z, = 3 + 6i Y z, = 9 + 2i, realiza las siguientes operaciones.a. z, + z, + 1, + Z, j.

1, _--z,1,

b. 1, - Z, - 1, - z,k. 1,+Z;-Z,

Z,C. Z, • Z, + 1, • 1.Z, - z,

d. z:. Z, Z, +z,

1, +51,

(tJ' m.---1,e.

/1, ~ /n. -+--1,f. (11,+ z,J)' 1, 1,

g. IZ"13 +z,1ñ. Z,+ Z, _ Z, - 1,

1, Z,

h 3z +21 -~o./\,z,/+( \Z, J. , 1

1,--1, + 1,

~ Marca la alternativa correcta.

1. Si (-2 + Si) + (a + bi) = 1, entonces a + bi es igual a:

A) 2 - SiB) 3 - SiC) -3 + Si

2. ¿Cuál es el valor de (5 - D(2 + i)?

A) 9 + 3iB) 11C) 11 + 3i

3. ¿Cuál es el valor de (2 - 3i)'?

A) -5B) 13C) -5 - 12i

4.(i+l)' =l-i'

A) I

B) -2iC) 17.

5. ¿Cuál es el conjugado del número 3 + i)I

"'1 A) 1 + 3i. ,

.~1; B) 3-iI

i C) -1 +3i

6. ¿Qué expresión(es) es (son) igual(es) al número i?

••

D) -3 - SiE) -2 + Si

D) 9-3iE) 8 + 3i

D) -5 + 12iE) 13-12i

D) -2E) 1 + i

D) -3-1

E) 1 - 31

"1 1. ¡'87 11. 1 111. 1+1>:1 1- i

A) Solo 1 D) Solo 1y 11B) Solo 11 E) Solo 11y 111C) Solo 111

c'¡ 7.-o

],~:.8ª'" ~.'s:".,11I7;oo'

'O

!'I -V1

.:::,:

<lO'

~.-?o"

:9"' ,'O ~UJ

9

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. El módulo de un número complejo es igual al módulo de su inverso aditivo.11. Elproducto entre un número complejo y su inverso aditivo es un número complejo.111.Al multiplicar un número complejo por su conjugado se obtiene un número real.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111

D) Solo 1y 11E) 1,11Y 111

Page 39: Preparacion Psu de Matematica SM

-,111~I

lI

1

II¡i

I

4. Potencias y raíces de números complejos

~

I~ ~w'"l--'"~~':"~:~~~f.~~:¡~':("'?~~,:,,"'~.a~-':.:~~;t.~"l/''¡;¡ ~~~;i\~' ;"!'''rr~~~a~~~$.{~@~~9.!l,~!,l;;'~,+b!,:~:;ltr~~,2"'''''6,,>.,~~}~!a'(~,~~,;;~_!.~m~~.~,{

Las raíces n-ésirnas de z = a + bi son:Fórmula de De Moivre

ZO=ro (cos(n. e) + i-senín- 8») *( (e+k'3600), (8+k'3500))Zk = r cos n + 1. sen n

Conk=0,1,2,,,.,n-l

Ejercicios resueltos

1. Expresa z = 1 + i en forma polar y trigonométrica.

En este caso, r = ~ = f2 y tg(8) = 1 = 1, entonces 9= 45° o 225°, Como a = 1 Y b = 1, z está ubicado en el1

primer cuadrante, se considera e = 45°, Así, la forma polar es .J2", y la trigonométrica es .J2(cos( 45°) + i· sen( 45°»

2. Si w =( 1,-J3). calcula w'.

En este caso, r = Jl1 + (-J3)' = 2 Y tg(8)=-:- ~ =- J3,entonces 8= 120' o 300"' Como a = 1 Y

b = - J3, w está ubicado en el cuarto cuadrante, se considera e = 300°. Así, la forma polar es 2"". y la trigonométrica

es 2(cos(3000) + i o sen(3000».

Para calcular w', se usa la formula de De Moivre, con n = 5 Y e = 300°:

lO= r(cosrn- e) + i senm- 8»= 2'(cos(5 . 300°) + i sen(5· 300°»= 32(cos(I.5000) + i sen(l.5000)),

3. Determina las raíces cúbicas de z = -2 + 2i.

En este caso, r = 18 y 8 = 135° o 315°. Como (-2, 2) está en el segundo cuadrante, se considera 9= 135°. Lasraíces cúbicas se obtienen de:

'IE( (135° + k • 360°)' (135° + k . 3600)) ,Zk = .(¡ "8 cos 3 + 1• sen 3 ' con k = 0, 1 Y2. Por lo tanto, las ralces son:

fi (cos( 45°) + i· sen( 45°) );12 (cos( 165°)+ i· sen( 155°)) YJ2 (cos( 285°) +i· sen( 285°))

7(:. 1"'1"'\lr • '.L __!,"

¡~\

1,'i,~'

'~&>

~~ 11'••

-:I

- - - J ,- -,_. - - .- .".". 'IIIIf'

Ejercicios propuestos

1. Expresa en forma polar:

o Geométricamente, lasraíces n-ésimas de uncomplejo z son las 'coordenadas de losvértices de un polígonoregular de n lados inscritoen una circunferencia deradio r centrada "n elorigen del plano.

o Por ejemplo, las raícesqumtas de - 32 son 2,ó"2:""" 2.;,. 2,,,_ Y2"".Luego, al graficar se tiene:

a. 6

b . .1.+ 13i2 2

c. -2+2i e. -513 - Si

f. 5 5---12 2

d. -3i

2. Calcula las siguientes potencias de números complejos.

(-1 - i)5 d. ( r (1-13fa. -3+31 g.

b. (2 + 2i)lO e. (-2J3 + 2i)' h.(~-1ir

c. (J3+ir f. (1+J3¡f i.(~-1r

3. Determina.

a. Raíces cuadradas de i, d. Raices cuadradas de 3 + mi.b. Raíces quintas de i. e. Raíces cuadradas de 1 + i

c. Raíces cuartas de -1 + i f. Raices cúbicas de -i

2, A

1~22 ,,'/ :;; .:'

~- --~ \\ ' ..

\ \. j""\ i~:

~/""

GtBIl Marca la alternativa correcta,

l. El número -.!.i+ fii representado en forma trigo no métrica es:2 6

A) cos(3000) - i sen(3000)B) cos(3300) + i sen(3300)e) cos(3300) - i sen(3300)D) -COS(3000) + i sen(3000)E) -cos(3300) + i sen(3300)

De los siguientes números, ¿cuál(es) es (son) raiz cuarta de 12 (COS(135°)+ isen( 135°»)7

1. 12(cos(123,7S0)+ isen(m,7So))

11. 12(cos( 200,7So)+isen( 200, 75°))

111. 12(COs(303,75°)+isen(303,75°))

A) Solo 1 e) Solo 111 E) 1,11Y 111B) Solo 11 D) Solo 1y 111

¿Cuál(es) de los siguientes números complejos tiene(n) como raices cuadradas a 6,.. y 6,,0"?

1. -36i11. -36111.36i

2.

-

-"

~ 3.'"

:;,.r:

~ A) Solo IB) Solo 11

e) SololyllO) Solo I y 111

E) 1,11Y 111

Page 40: Preparacion Psu de Matematica SM

1

I1

II

!

11

lnsfrucdones1. Esta prueba consta de 16 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A, B, C,

D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.l. Dispones de:SS minutos para responderla .:

Números imaginarios y números complejos

1. La expresión Jp-q es un número imaginario si:

l. P ~q11. p=q111. P <q

A) Solo IB) Solo I1

C) Solo 111

O) Solo 11 y 111

E) 1,11 Y 111

2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

l. (2i)' = 4

11. iloo = i56

111. -i' =-i

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

O) Solo 1 y 11

E) Solo 11 y 111

:S. Al calcular i' + i' + i' + i4 + i5 + ... + i'ooose obtiene:

A) -1~ ~C) OO) 1

~ l+i

7.Q rl ¡¡11r. Ll~ .•.~.~':'I-:,,_

••

4. Si z = S - 1Si, entonces es falso que:

A) Re(z) = 5B) Im(z) =-15iC) (Im(z»' = 225D) Im(z) = -3 Re(z)E) Re(z) = z + 1Si

5. Si a, b E lR Y (3 - a) + (2 + b)i = -3i + 5, entonces a y b son, respectivamente:

A) 6 Y 3

B) 2 y-SC) -2 y-SO) -2 Y1E) 5 y-3

Representación de los numeras complejos

6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto al gráfico?

1. z, =i.

11. z, = =.111. z, = -2z,

A) Solo 1B) Solo 11

C) Solo I y 111

O) Solo 11 y 111

E) 1,11 Y 111

-----V[----~-------------- ~fi. _ ......• 1 _

___ ~ . .z . _ ~

----. - ------- --: -- -- ---~ - ~-~- -- .-- ----..- ..........•...• -.3- ----~,.--~---

~.=~z:..~-~-:-~~~~~=---=~-=~.~.~<~-~=~g~:~=_:~~-~~~:~-

_ z--==~-~-~~~=-~-~-~-~-~~-- - -- -----~---- -----------~~~--- ------~---- ---------

7. ¿Cuál es el módulo del número complejo z = ( J3 ,- J31?2 2)

A) .2.2

~ ~.J3

2

O) OE) .2.

4

B)

-:;

~ C)

~

Page 41: Preparacion Psu de Matematica SM

1rII¡Itl1"~f

1111-

Operaciones con números complejos

.--------------------------~ --- ...8. Si z, = 3 - 2i Y Z2 = 1 + Si, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

1. 2Iz,I=lz,1A) Solo IB) Solo 11e) Solo 111D) Solo I y IIIE) Solo 11y 111

11. z, + Z, = 4 + 3i

9. i'+ i'El resultado de --'4- es:I

A) I

B) Oe) 1 + iD) 1 - iE) Otro valor

10. Si z, = 3 + 9i Y z, = 1 - Si, entonces z, + 2z, es:

A) S - iB) 4 + 4ie) s + 4iD) S - 19iE) 6 - 90i

11. El producto entre 3 + 6i Y el conjugado de 2 + i es:

A) 12B) Isie) 6 - 6i

3-i .12. Al calcular -. se obtiene:3+1

A) O

B)

e)

D)

E)

4S

I-li4

4 3---1S SS 3---14 4

An 1"'1 "\le _ ~,t",¡~_.:...:~~

11I. Z,' Z,=3 -lOi

D) S + SiE) 12 + 9i

,~

919'<'

l.:.

¡.,:;~,

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.á:''8-Oj-O ~ •.'o;~2a~'·

~J:

~.~

o.

j's

rUl

'1.

13. Si z = a + bi es un número complejo, entonces «uál(es) de las siguientes proposiciones es (son) falsa(s)?

1. t- t es un número real 111.l= a' -b'Z a' +b'

11. z 'lzl = IzlRe(z)+ 1m(z) i

A) Solo 11B) Solo 111C) Solo I y 11

D) Solo I y 111E) Solo 11ylll

Potencias y raíces de números complejos

14. El número S(COS(300)+ isen(300)) escrito en forma binomial es:

A) s.:2 2

B) i. 13i2 2

e) Ls13i2 2

D) s13 +2i2 2

E) s13 +li2 2

15. Si z = 3-J3i, calcula z, - 3z.

A) -3+313i

B) -3-s13i

C) -3-913i

D) -3-313i

E) (3-313)i

~~

16. Si z =1+ li, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?2 2

t= ~ (cos( 4so)+isen( 4So))

11. z,o= 2~0(COS(9000)+isen(9000))

11I.z=(~ (cos(1350)+isen(1350)))3

Solo ISolo I y 11Solo 1y 111

~

-"

A)B)e)

D) Solo 11y 111E) 1.11Y 111

Page 42: Preparacion Psu de Matematica SM

'~~g~l~~t~:t~M~~~e~~rtfjt§r~1Una raíz cuadrada representa un número imaginario sila cantidad subradical es menor que cero.

En (1) se afirma que la expresión ~ es un númeroimaginario si p ~ q; sin embargo, esto implica que

p - q ~ O; por lo tanto, h es un número real. Así,(1) no representa un número imaginario.

En (11) se afirma que la expresión h es unnúmero imaginario si p = q; sin embargo, esto implica

que h = O, que es un número real; por lo tanto,(11) no representa un número imaginario.

Si p < q, entonces p - q < O. Por lo tanto, (111)representa un número imaginario

Distractores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera la

condición (1), con la que la expresión ~ norepresenta un número imaginario.

B) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera la

condición (11), con la que la expresión ~ norepresenta un número imaginario.

D) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera lacondición (111), con la que la expresión ,¡p:q esun número imaginario, pero incluye la condición(11), con la que no ocurre esto.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera

la condición (111), con la que la expresión hes un número imaginario, pero incluye lascondiciones (1) y (11), con las que no ocurre esto.

82 r.1 A\I~ • ,\A,'om;t;"

11;:Jf:f~}'ít~'ii~:fft,~~!(~~fA:-e~~En (1) se afirma que (2i)' = 4; sin embargo:

(2i)' = 2' . i' = 4 • (-1) =-4

Por lo tanto, la afirmación (1) es falsa.

En (11) se afirma que i"JO= i56• Como 100 = 4 • 25, setiene:

i'°O= i" '5= (i')2S = 115= 1

Además, 56 = 4 . 14; por lo tanto:

i56 = i' . l' = (i')14 = 1 " = 1

Luego, la afirmación (11) es verdadera.

En (111) se afirma que -i' = -i; sin embargo:

-i5 = -(i5) = -( -i) = i

Luego, la afirmación (111) es falsa.

Distractores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es falsa.

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (111), que es falsa.

D) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), que es verdadera, pero tambiénincluye la afirmación (1), que es falsa.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), que es verdadera, pero tambiénincluye la afirmación (111), que es falsa.

-~,·I..·.~'..~·ll- ;i;,* -~'~ ~s

I;,"1','',~~:.. ..;.r;:,

~i

.,Ii.

,,'

s.</l,co .',Q) -,~;'c.'~:,

·8,-'"~iB

·';Zff~;'..:;~~~ít~~Y~C

Al calcular la suma de los ocho primeros términos seobtiene:

i' + i' + i' + i' + iS + i6 + i' + i8'----r---' '--r---'

i+(-1)+(-Q+ 1 +i+(-I)+(-O+ 1~ '-----v---'

O + O

Cada cuatro términos la suma es cero; por lo tanto,dada la regularidad, en 250 grupos de cuatro términos,el resultado de la suma es cero.

Distractores:

A) En esta alternativa se cometió el error deconsiderar que la suma de 999 términos es cero yalgún término de la suma tiene la forma i'" -', quees -1.

B) En esta alternativa se cometió el error de aplicarla propiedad de producto de potencias de igualbase, en la que se conserva la base y se sumanlos exponentes. Además, se incluyen en el calculosolo los términos que esta n explícitamente en elenunciado, es decir:

i' . i1 • iJ • i' . iS • i J.._ = i' "; = i' c: . i' = -i

O) Se cometió el error de incluir en la suma al valorde i0 = 1, obteniendo como resultado 1.

E) Se cometió el error de sumar solo los términosque aparecen explícitamente en el enunciado, esdecir:

i' + i' + i' +i'+ i'+ i"""

=i+(-I)+(-i)+1 +i+l

=i + 1

~ CLAVE B

La parte imaginaria del número complejo z = 5 - 15icorresponde al coeficiente numérico que multiplica ala unidad imaginaria, es decir, -15 y no -15i; por lotanto, esta alternativa es falsa.

Distradores:

A) En un número complejo z = a + bi, se tiene queRe(z) = a; por lo tanto, si i = 5 - ISi, la parte reales 5. Luego, esta alternativa es verdadera.

-----------------------. ...C) La parte imaginaria de z = 5 - lSi es -15; por

lo tanto, (Im(z»)' = (-15)' = 225, Luego, estaalternativa es verdadera.

D) Como Re(z) = 5 e Im(z) = -15, se tiene:

-3Re(z)=-35=-ls

Luego, la alternativa es verdadera.

E) Como Re(z) = 5 Y z + lSi = 5 - lSi + lSi = 5, 5'",alternativa es verdadera.

CLAVE C

Para que dos números complejos sean iguales, debentener la misma parte real y la misma parte imaginaria.Así:

3-a=S~a=3-S=-22 + b = -3 ~ b = -3 - 2 = -5

Luego, a y b son -2 y -5, respectivamente.

Distractores:

A) En esta alternativa se confundió la parte real eImaginaria en cada lado de 1:; igualdad. es ¿ecií

3-a=-3~a=3+.'>=62+b=5~b=5-2=3

Luego, a y b son 6 y 3, res~eG:vClnente

B) En esta alternativa se ca!c~;o correctamertee! valor de b, pero se comenó el error de noconsiderar e! signo negatl\o de a. tcego. a '! b son2 y -5, respectivamente.

D) En esta alternativa se calculó correctamenteel valor de a, pe:o se cornet.ó un error al noconsiderar el signo de la pene imaginaria de laexpresión de la derecha de 'o igualddd, es decir:

2+b=3~b=3-2=1

Luego, a y b son -2 y 1, res;Jectivamente

El En este caso se cometió e! error de noconsiderar las ecuaciones 3 - a = 5 Y 2 + b = - 3,estableciendo que a = 5 Y b = -3.

Page 43: Preparacion Psu de Matematica SM

" 111

!m~~~c'~v· E-"tO·-r~~.g'~'~, , •....~;~~~~:~~~,( ••.~~i9B

Del gráfico se tiene que z, = (2, 6) Y z, = (6, -2). Porlo que, z;- =(6, 2). Luego, z, "" Z;-. Por lo tanto, laafirmación (1) es falsa.

Del gráfico se tiene que z] = (-6, 2) Y z, = (6, -2). Porlo que, -z, = -(6, -2) = (-6, 2). Luego, z] = -l,. Por lotanto, la afirmación (11) es verdadera.

Se puede apreciar en el gráfico que z, = (2, 6) Yz, = (-1, -3). Parla que, -2z, = -2(-1, -3) = (2, 6).Luego, z, = -2z,. Por lo tanto, la afirmación (111)esverdadera.

Distradores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es falsa.

B) Esta alternativa es incompleta, ya que considerala afirmación (11), que es verdadera, pero no laafirmación (111),que también lo es.

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), que es verdadera; sin embargo,también incluye la afirmación (1), que es falsa

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera lasafirmaciones (11) y (111),que son verdaderas; sinembargo, también incluye la afirmación (1), que esfalsa.

:~9lli..>!i1 CLAVE B

El módulo de un número complejo z = (a, b) se

calcula con la fórmula: Izl = Ja' + b' . Así, para

z=( ~,- ~}setiene

Izhi( ~J+(- fJ =JH-H-A

R4 rl ól/e . Abt"' •...•....:,+; __.•

Distradores:

A) En esta alternativa se calculó incorrectamente elmódulo del número complejo, y se omitió la raízcuadrada.

C) En esta alternativa se aplicó correctamente ladefinición de módulo de un número complejo; sin

embargo, se cometió un error al resolverl+ 2,4 4

ya que se sumaron los denominadores entre sí.

Luego, la cantidad subradical resultante fue §. = l.B 4

Por lo tanto, se obtuvo que Izl = J% = ~.

D) Al calcular el módulo del número complejo, seconsideró erróneamente la parte imaginaria de zcomo - J3 i, obteniendo:

2

r~)' +(-fJ =J¡+¡i'

=Jl+l(_I)4 4

=J¡-¡

=JO=0

E) En este caso, se cometió un error al elevar alcuadrado en vez de extraer raíz cuadrada:

Izl=[( ~r+(-~)'J=(¡+¡)'

-[1]'=(%J'=~

4

~la.l~:tí:.

~l~.';T w;,

~I•..

;:~.

i.

J¡.,

~&tf~~~~J!~~[ít¡~~~l~?]En (1) se afirma que 2Iz,I=lz,l. Al calcular, se tiene:

*,1=2~3'+(-2)' = 2.¡g;4= 2Jl3

Iz,I=~ =.Jl+25=56

pero 2Jl3 "" 56; por lo tanto, la afirmación (1) esfalsa.

En (11) se afirma que z, + Z, = 4 + 3i. Al calcular, setiene:

z, + Z, = (3 - 2i) + (1 + 5i)= (3 + 1) + (-2 + 5)i=4 +3i

Luego, la expresión (11) es verdadera.

En (111)se afirma que z, . z, = 3 - lOi. Al calcular, setiene:

z, . z, = (3 - 2i) . (1 + Si)= 3 + lSi - 2i - 10i'= 3 + 13i + 10= 13 + 13i

Por lo tanío, la afirmación (111)es falsa.

Distractores:

A) Esta alternativa es incompleta, ya que considera laafirmación (1), que es falsa, pero no la afirmación(111),que lambién lo es.

B) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), que es verdadera.

C) Esta alternativa es incompleta, ya que considera laafirmación (111),que es falsa, pero no la afirmación(1), que también lo es.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que considerala afirmación (111),que es falsa, pero tambiénconsidera la afirmación (11),que es verdadera.

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~ ."t••• - '#~f~:':"{!J!'·~·~~'·~~:1~""'if~~v"n';¡I1.'-k ;"'~~ll1;;:¡;i'üi;;il'Ct:AVE~,YJ;&';'~~''''~./ ..~~', W~j;;¡~~~ , ¡_t~~'~:"~:~~!;1lT

Se calcula el valor de cada potencia:

j5=j4.¡ ..1=i

i' = (i')' = (-1)' = 1

Entonces, se tiene:

i5 +i' i+1 .--=-=1+1

i' 1

Otra manera de realizar el cálculo es la siguiente:,

i;+i' =!(i+1)=1+i

i' !Distractores:

A) Se cometió el error de simplificar los números i'del numerador y el denominador, resultando iS = 1.

B) Se cometió e! error de considerar que i' = -i ei' = i; por lo tanto, se obtuvo:

-i+i =Q=O1 1

D) En esta alternativa se considera que i5 = iYerróneamente que i' = -1; por lo tanto, se obtuvo:

~=-IIi-I)=I-¡-1

E) Se cometió cualquier otro error de cálculo.

Page 44: Preparacion Psu de Matematica SM

:. 11' 11

,

ID r;§;:1':~i.AVf-:Como z, = 3 + 9i y; = 1 - Si:

2z,=2(I-Si)=2-10iLuego:

Z, + 2z, = (3 + 9i) + (2 - 1Oi) = 5 - i

Distractores:

B) Se cometió el error de resolver z, + z" sinmultiplicar z, por 2:

(3 + 9i) + (1 - Si) = (3 + 1) + (9 - S)i = 4 + 4i

C) Se cometió un error al resolver 2z, multiplicandosolo la parte real de z,; por lo tanto, se obtuvo que2z, = 2( 1 - Si) = 2 - Si, entonces:

z, + 2z, = (3 + 9i) + (2 - Si)= (3 + 2) + (9 - S)i=5 + 4i

D) Se cometió un error al resolver la adición de laspartes imaginarias de z, y 2z" obteniendo 5 -19i.

E) Se cometió el error de multiplicar,respectIVamente, las partes reales e imaginarias dez, con 2z,:

(3· 2) + (9' (-10»i =6-90i

~,tJ.J CLAVE E

El producto entre dos números complejosz, = a + bi Y z, = c + di es:

z,' z, = (ac- bd) + (ad + bc)i

Por otra parte, como :z;¡= 2 - i, se tiene:

(3 + 6i)(2 -i)=6-3i+ 12i-6i'=6+9i+6= 12 + 9i

Distractores:

A) Se cometió el error de resolver la multiplicacióncalculando el producto entre las partes reales y elproducto entre las partes imaginarias, incluyendola unidad imaginaria. Así, se obtiene que(3 + 6i)(2 - i) da como resultado:

6-6i'=12

Al; ('1 I\IIC . \A .••• __ ~ ~ •. __

B) Se cometió el error de multiplicar 3 + 6i por 2 + i,sin considerar el conjugado. Así, se obtuvo:

(3 + 6i)(2 + i)'= 6 + 3i + 12i + 6i'=6 + lsi - 6= lsi

C) Se cometió el error de resolver la multiplicacióncalculando el producto entre las partes reales yel producto entre las partes imaginarias. Así, seobtiene que (3 + 6i)(2 - i) da como resultado6 - 6i.

D) Se calculó correctamente el conjugado de2 + i, pero en vez de multiplicar los números, sesumaron. Así, se obtuvo que la multiplicación(3 + 6i)(2 - i) da como resultado 5 + Si.

m CLAVE D

Para dividir dos números complejos se multiplican eldividendo y el divisor por el conjugado del divisor. Eneste caso, se pueden utilizar productos notables:

(3-i)(3-i)

(3+i)(3-i)3'-2'3i+i'

3' -j2

9-6i-l=9 -( -1)= 8-6i

104 3=---15 5

Distractores:

A) Se cometió el error de simplificar la expresión3-i-. , obteniendo3+1

1-1 O-=-=01+1 2

B) Se cometió un error al resolver la multiplicacióndel numerador en la expresión:

obteniendo:

(3- i)(3 - i)

(3+i)(3-i)

,3'+i' 9-1 t 43' -i' =g:;:¡= ;D =5

5

.51'S-,.n·j~-g ..¡~ct,..

i,~'-;¡¡¡.

"

~

f~-11i~r.~-

~~-.

C) En la expresión:

(3-i)(3-i)

(3+i)(3-i)3'-2·3i+i'

3' .,-1

al resolver 3' - i' se cometió un error de signo,obteniendo 9 - 1 = 8. Así, resulta:

s-sí-: 8-6i 3·--=--=1--19-1 8 4

E) Se multiplicó correctamente, pero se calculóerróneamente i' = 1, resultando:

s-sí-: 10-6i 5 3·--=--=---19-1 8 4 4

m~· :L.;;·o·.CLAVE E .

En (1) se afirma que t- Z es un número real, dadoz = a + bi Como z = a - bi, luego:

i- z =(a+ bi)( a- bi)=a' - (bir

=a' -b'i'

=a' -b'.( -1)

=a' +b'

Como a y b son números reales, al + b' es un númeroreal. Por lo tanto, la afirmación (1) esverdadera.

En (11) se afirma que dado t = a + bi:

t 'Izl =lzIRe(z)+lm(z)i

Al calcular, se tiene:

z 'Iz!= (a+ bi)Ja' +b'

= Ja2 +b' 'a+ ¡¡;bl.bi

= IziRe(z) + Izllm(z)i

~ Por lo tanto, la afirmación (11) es falsa.7

~:;:"

~

En (11I) se afimna que dado z = a + bi:

t a' -b'z= a' +b'

Al calcular, se tiene:

z a+bi==~-z a-bi

(a + bi)( a+ bi)

a' +b'

a' + 2abi + b'i'a' +b'

a' +2abi+b'.(-1)

a' +b'a' - b' + 2abi

a' +b'

Por lo tanto, la afirmación (111)es falsa.

Distractores:

A) Estaalternativa es incompleta, ya que considera laafirrnación (11), que es falsa, pero no considera laafirmación (111), que también lo es.

B) Estaalternativa es incompleta, ya que considera laafirmación (111),que es falsa, pero no considera laafirmación (11), que también lo es.

C) Estaalternativa es incorrecta. ya que considerala afirmación (11), que es falsa, pero tambiénconsidera la afirmación (1), que es vercadera

D) Estaelternativa es incorrecta. ya que ccrsiderala afirmación (111), que es falsa, pero tambiénconsidera la afirmación (1), que es verdadera

Page 45: Preparacion Psu de Matematica SM

11111

II

-~"':mr"~i6f'-,~~.,,~~~~..,}-.

~,~'¡\;!(}l¡:GtA\lc~D":lIlf,:;~"'~.!~Y"i;¡;j~..Á~~.~. ~"'-~~~.$"";";'i'l&~~~.!~

Para calcular la forma binomial de un númerocomplejo dada su forma polar, basta con calcularlas razones trigonométricas y distribuir Como

COS(300)= .J3 y sen(W)=l, la forma binomial del2 2número 5(cos(300) + isen(300» es:

S(cos (30° )+isen( 30°))= s(~ +i·f J=sJ3+'li

2 2

Distractores:

A) Se calcularon correctamente las razonestrigonométricas, pero al expresar el númerocomplejo, se cometió el error de no distribuir Así,se obtuvo:

13+1i2 2

B) Se cometió el mismo error que en A), peroademás se intercambió el valor de las razonestrigonométricas involucradas. Así, se obtuvo:

1.J3-+-12 2

C) Se calcularon correctamente las razonestrigonométricas, pero se intercambiaron susvalores, obteniendo:

'i+s.J3i2 2E) Se calcularon correctamente las razones

trigonométricas, pero se cometió el error de nodistribuir el binomio completo, sino que solo semultiplicó por el primer término, obteniendo:

s.J3 +li2 2

RR n !J.\1r:. • fl.ht('l •..•.••-\t;,.~

---------------------------------------~~ ----- ....m~~f.~1m. ~~4:.t~~~Y.S1~!:ft~~~4~

Como z = 3 - .J3i, al calcular z' - 3z, se tiene:

Z2_3Z=(3-13i)' -3(3-13i)=32-6.J3i+(-J3i)' -9+3.J3i

=1-613i-3;A +313i=-3-3.J3i

Distractores:

A) Se cometió un error de cálculo al considerar que elresultado de (3 - J3i)' es

3'+(-J3i)' =9+3i'Así. se obtuvo:

9+3i2 -9+3J3i=1- 3 ;A+ 3.J3i=-3+3.J3¡

B) En esta alternativa se cometió un error de cálculoal resolver 3z, ya que no se multiplicaron los dostérminos del binomio por 3, sino que solo elprimero de ellos. Así, se obtuvo:

32 -513i+( -h)' -9+ 13i

=1-6J3i-3;A+13i= - 3- s13i

C) Se cometió un error de cálculo al no distribuircorrectamente el signo negativo en 3z. Así, seobtuvo:

3' - 5.J3i+( -.J3¡r - 9- 3.J3i

=1-613i-3;A -3.J3i= - 3-9.J3i

.~.

f::1:"l·¡'"',

;:~i:~t.

e-o'V"~.;

-u','..

~:!!.@.:"".-o-.~..-g.'~,~~:J ~~:·gS f .:.l)'::uJ

@,.~

E) Se cometió un error de cálculo al no elevar alcuadrado la unidad imaginaria en z'- Así, seobtuvo:

3' -6.J3i+( -13)' .-s-313i=1-6.J3i+3i;A +3J3i=(3-3.J3)

m =;~~?¡;::.:l;j~{;t:.<:LAv~E·"'~t~:~:'Para determinar la forma trigonométrica del númerocomplejo Z = a + bi se aplica:

z = Izl(cos(8) + isen(8»

donde Izl=~al +b' y tg(8)=Qa

En (1) se afirma que si z = 1+ .li:2 2-

z= ~ (COS(45°)+isen(45°))

Alcalcular, se tiene:

Izh¡(~)' +(~)' =J¡+¡=~= ~1

Dado que tg( 8) = 1. = 1Y z se encuentra en el primer12

cuadrante, 8 = 4So.

Luego, z = ~ (cos( 4So) + isen( 45°)). Por lo tanto, la

afirmación (1)es verdadera.

En (11), al aplicar la fórmula de De Moivre se tiene:

ZlO =(~r (COS(20'45°)+isen(20.45°))

=( ¡r ((05(900°)+ isen(9W))

= 2~O (cos( 900°) + isen(9000))

Luego, la afirmación (11)es verdadera.

En (11I), al aplicar la fórmula de De Moivre se tiene:

( ~(coS(1350)+isen(1350))J'

=( ~J(C05(3 .135°)+isen(3. 135°))

= J32 (cos( 405°)+ isen( 40So))8

= 4fi (C05(360° + 4So) + isen( 3600 + 45°))8

= fi (COS(450)+isen(450))2

=zPor lo tanto, la afirmación (111)es verdadera.Oistractores:

A) Esta alternativa es incompleta ya que no consideralas afirmaciones (11)y (111),que también sonverdaderas.

B) Estaalternativa es incompleta, ya que no considerala afirmación (111),que también es verdadera.

e) Estaalternativa es incompleta, ya que no considerala afirmación (11),que también es verdadera.

O) Estaalternativa es incompleta, ya que no considerala afirmación (1), que también es verdadera.

Page 46: Preparacion Psu de Matematica SM

11111

,c,Algebra yfunciones

j

IIi

~~#'

Page 47: Preparacion Psu de Matematica SM

11111 Introducción al álgebra ~y~¡,",

1. lenguaje algebraico~~.

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos con el fin' de expresar cantidades y relaciones, tantode la vida cotidiana como de otros ámbitos, donde aparecen cantidades desconodcasj : ",Ejemplos:'~" ','

Lenguaje natural

~ El doble de un rúrnero, disminuido en tres unidades,\ v '~~

2)( - 3

~ Un tercio de la suma de un número y 8 unidades,"-- -----.J\ IV . v

1 x s-B

3

~ El 70 % de un número aumentado en el 30 % de otro número,~~

70x 3()y-- + --100 100

Lenguaje algebraico

2)(-3

1"3(X + 8)

70x 30y--+--100 100

En Matemática, así como en otros ambitos, se utiliza el lenguaje algebraico para establecer ciertaspropiedades o fórmulas, Por ejemplo, las propiedades de la operatoria en IR. el perlmetro (P) de unafigura geométrica, el área (A) de una figura geométrica o el volumen 0J) de un cuerpo en el espacio,

Ejercicio resuelto

1. Representa en lenguaje algebraico o natural, según corresponda, Para ello, completa la tabla,

El orden de los sumandos no alterala suma, a+b=bTa

El perímetro (P) de un cuaJrado de lado i. P= 4z

El área (A) de un rectángulo de lados a y b. A=a· b

El volumen 0J) de una pirámide correspondea la tercera parte del producto entre el área (A)de su base y su altura (h).

v= A·h3

El cuadrado de un número, aumentado en lacuarta parte de otro número,

a2 +~4

\t._92La edad de Juan (J) disminuida en 10 añosequivale a la edad de Andrés (A),

J-lO=A

CLAVE . Matp.m;iti~~

• En general, se tienen lasSiguientes equivalencias:

x + t: sucesor de un número,

x - l:antecesor de un número,

2x ± 1: número impar

2x número par.

IOx + y: número de dos cifras,

~, inverso multiplicativoxx, x + 1, x + 2 tres númerosenteros consecutivos,

Las palabras en lenguaje natural"es igual a" o "corresponde aOsepueden representar en lenguajealgebraico por el símbolo "="

tI~'t:>i~

~'~.~~

"

t:'k-.¡;

]S:rt~,:t~

~j-gt5,f:~~a~:i~·F~.oiO:.~, '

Ejercicios propuestos

1. Representa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados,

a. El cuádruplo del triple de la suma entre un número y ~su tercera parte, -----------

b. La mitad del dinero de Cristian corresponde al dobledel dinero de Paula.

~

c. El 50 % de la diferencia entre un número y el doble dela raíz cuadrada de otro,

~

d. El volumen M de un cubo de arista a es igual al cubode la longitud de la arista.

....

e, La mitad de un número corresponde al25 O/o de otro número.

f. Un número de dos cifras disminuido en 30 unidades es igualal número que resulta al invertir sus cifras disminuido en 2 unidades.

~

g, La suma de dos números corresponde al cuadrado de suinverso multiplicativo.

~

h. La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y laquinta parte del cubo del inverso multiplicativo de otro número

..

2. Completa la tabla con enunciados en lenguaje natural.

s

~=(~)'x' x

2x + 2x + 2 + 2x + 4

x'-+z6

(a + b)'

a+O=a"?5..

,¡;b = J¡¡ . Jb:;;-o'O

ª:;;J'!.~;;i5

~~.

Page 48: Preparacion Psu de Matematica SM

2. Expresiones algebraicas

~ Los términos algebraicos son aquellas expresionesformadas por un número (coeficiente numérico) y/osímbolos, generalmente letras (factor l~eraQ,relacionados por multiplicaciones. El grado de un términoalgebraico corresponde a la suma de los exponentes que contenga el factor literal.

Ejemplo:Término

_ algebraico degrado 4, ya que

1 + 2 + 1 =4.(exponentes)

~ Una expresión algebraica es una combinación de términos algebraicos relacionados entre sí por lasoperaciones de adición y sustracción. El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor gradoentre los términos algebraicos que la componen.

Ejemplo: -7ry2z3 + 5x'b' Ténninos de la expresión -7ry2zl 5x'b'

Coeficiente numérico -7 5

Factor literal ry2z3 x'b'

Grado del término algebraico 4+2+3=9 4+3=7

Grado de la expresión algebraica 9

Ejercicios resueltos

1. Identifica en cada una de las siguientes expresiones algebraicas los términos algebraicos que la componeny su grado. Para ello, completa la tabla.

, -5

a. Binomio: ~ _ y57

Términos de la expresiónx'y-\ _yl

7

Grado del término algebraico 3 5

Grado de la expresión algebraica 5

b. Trinomio: c - 1oa'b + a'b

Términos de la expresión c -ioa'b a'b

Grado del término algebraico 1 3 4

Grado de la expresión algebraica 4~.

Las expresiones algebraicasse pueden clasificar, según lacantidad de términos algebraicosque contengan, en:Monomio: un término algebraico.Binomio dos términosalgebraicos.Trinomio tres términosalgebraicos.Polinomio dos o más términosalgebraicos.

c:-o.·0 ::-:v ~..

t~~ >~~

(Q)

,;.

l.1,1.~~~.lª:;1:;

;¡i,

Ejercicios propuestos

l. Completa las siguientes tablas.

a. _1. x9a _ (abc)'5

Términos de laexpresión

Coeficiente numérico

Factor literal

Grado del términoalgebraico

Grado de la expresiónalgebraica

b. .8x5yz+ X6yll + 12x'

Términos de laexpresión

Coeficiente numérico

Factor literal

Grado del términoalgebraico

Grado de la expresiónalgebraica

2. Clasifica cada expresión algebraica según corresponda. Para ello, completa la tabla.

Expresión algebraica Cantidad de ténninos Oasificaóón

x + y' - z

2 1--x+4y3

7x5_+y5 +w5

4

al + 3a'b + 3ab' + b'

3. Verifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda.

.~

~iJoC.~

Xlyz5a. El grado de la expresión -- - x' es 7.

6

b. ____ La expresión algebraica ~ + XV + x' es un trinomio de grado 3.

'""~'Oa: c. ____ Elcoeficiente numérico del término algebraico O,25a1o es 2,51°.:::;;VI

5Je§-sc.:

~

d. ___ Elgrado del polinomio 7:'f + 0,5y' + z' - z'y'b' es 10.

Page 49: Preparacion Psu de Matematica SM

m3. Valorización de expresiones algebraicas

. '.'~ ~. .-;.~.,,~~,,~. ~. - ~~~'. : -.f·.:r~,~·.}i/-<~~:{;?~~<7·V.a..lorizar una expresión algebraica consiste en asignar un valor a cada uria de las variables que'la':i-:~';tgA:~;....,. " ,_.~..'" , . .. ". ",.' " ." ". .,.... .. ..·'··'·F'''.'coniporíeri y, luego; realizar las operaciones que permiten calcúlar él valor numé'rkocórrési>oÍ1dieñte;~;A\;;;}~:>

:Ei~~~í~~:~·f..~:,~~¡·.;,..I'.~··r:~~;r~i1\·,"~::..S~i':!~,:,Zf...EC;·:fi~¡~i~~·~~~~i·~~~*;-{~~,Si a = 2y b =5, el valor numérico de a2 ..c.lb' + 10(a-W se obtiene de la siguiente manera: ";';:,,X:/':;f""'f,. ':",~"'r': / 2' 125 .... 63 '. s .' . '....~'~iy\;~~i'i~:f~,'.

2 ---5 +10(2-5) =4--+10-9=-.. .... 2. ,. 2 . 2

'-:

Ejercicios resueltos

C = 4.500 + 7Sx + SOz

1, Matías tiene un plan de telefonía móvil cuyo costo (C) en pesos está determinado por la siguiente expresiónalgebraica:

donde x son los minutos utilizados y z representa la cantidad de mensajes de texto enviados. Si en elmes de marzo Matías habló 65 minutos y envió 30 mensajes de texto, «uanto dinero debe pagar esemes?

Para calcular el costo (C) del plan para ese mes, se requiere valorizar la expresión algebraica (C).

C = 4.500 + 75 • 65 + 50 . 30 = 10.875

11,,,1enviados I

Por lo tanto, Matías debe pagar S 10.875 por el mes de marzo.

2, Se define en lR la operación binaria + de la siguiente manera: si a, b E R, entonces a + b = Sa' + b'. ¿Cuáles el valor numérico de las siguientes expresiones?

a. 5 + 3 = 5 . 5' + 3' = 125 + 27 = 152

b. J7+ -8 = 5.(fi)' +(-8)' =35+(-512)=-477

c. 1 + 22 = 5.(l)' +(2')' =5.(2)+2' =§.+64= 3012 2 4 4 4

Una operación binaria asocia ados elementos de un conjunto untercero de acuerdo a una reglaprecisa. Por ejemplo, la adición denúmeros reales es una operaciónbinaria.

e-o'8~:l'8o.i!!':l" r .

'"-o

~a.

:¡¡.VI

~~º.'

•••Ejercicios propuestos

1. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. Para ello, considera a = 3; b = -4; e = -1;1

d = -yf=O .2

a. (a - b)'a t'

d ---. c d

'---

e. (f + a)' - (b - a)'

rl ~b. 3(b - a) + 2(a - d)2

[~--------.----------

c. -~a-3.c2-2.b+~f3 5 2 8

. ' f. e' _.<t.+ a+be éD

'-----------

2, Si a, b E R, entonces a ffi b = 1b + 9a - 2b. Calcula el valor numérico de cada expresión.

1 5a. gEf)'2=

3'c. - e (-3 ED1) =

7

b. (2 Ef)-1)' lO = d. [1,36(~J}B5s=3. Observa la secuencia de figuras. Luego, completa cada una de las respuestas (R) propuestas,

-o.~

]~

a. ¿Cuántos círculos tendría la Figura 47 ¿y la Figura 8?

• •• ••• R: La Figura 4 tendría . _. __ .. _ círculos, mientras

•• ••• que la Figura 8 tendría _. ____ círculos.

••• b. ¿Qué expresión algebraiea representaría la ea ntidadde círculos de la Figura n?

Figura 1 Figura 2 Figura 3R: La enésima figura tendría __ ._.__ círculos.

~-u~~:::;V"l~~eo

~f!,

Page 50: Preparacion Psu de Matematica SM

1. Reducción de términos semejantes

Ejercicios resueltos

l. Calcula el perímetro del siguiente polígono.

b' +J.4

P = b' + ~ + 1+ a' + b' + a' + a'4

•• =(a' +a' +al)+(b' +b')+( ¡+ 1)=3a' + 2b' +~

41 + al

2. Reduce los términos semejantes de 7(3x - y + z + 1) - (-3x + 10).

Paraeliminar los paréntesisde una expresión algebraica se puedenseguir los siguientes pasos,de acuerdo a las propiedades de la multiplicaciónde números reales:

1° Siun paréntesisestá precedido por un signo +. se eliminan los paréntesisy se dejan igual los signos de los términos que estabanen su interior.

2° Si un paréntesis está precedido por un signo =, se eliminan losparéntesis y se escribe el inverso aditivo de cada uno de los términosque estaban en su interior.

3° Siun paréntesisestáprecedido por algún coeficientenumérico, semultiplican todos los témninos que estánen su interior por dicho valor.

Luego:7(3x-y+Z+ 1) -(-3x+ 1O)=21x-7y+ ti» 7 +3x- la

= 24x - 7y + 7z - 3

Si en una expresión algebraicahay paréntesis dentro de otro,se empiezan a desarrollar desdeel que está más al interior.La siguiente tabla resumela regla de los signos en lamultiplicación y división denúmeros enteros:

Multiplicación I División

+-+:;;:;:+ +:+=+

-.-=+ r -:-=++.-=- I +:-=-.+=- I -:+=-

,~:

Ejercicios propuestos

1. Reduce las siguientes expresiones algebraicas.

a. (3YC{' - YC{' + 12) - (3YC{' - YC{')

b. -5b2z + 6r + 7b'z + 4r + 25b'z

c. -(a' - b') + 4(a' + b') - (b' + al)

•••

2d. -aX'Y+3Y'X+ xy_4xy2 +2xy

1, 2, 10 2 3, 5e. - xy + 7 + - x y + - yx + - y x --5 3 3 4 2

1( 1 2 2 ) 1O( , 3 1 5)f -- xy +7+-x y +- yx +-y x--. 5 3 3 4 2

a.

2. Escribe la expresión algebraica que representa el perímetro (P) de cada figura.

b.

2(x' + yl)

P=

el + x'

a + 4b'

p=

3. Reemplaza las siguientes expresiones y reduce los témninos semejantes.

A = 2x - y

a. C + A - B

~39.2oa.~::;-6~,-

b. 2(A + B) - 3(C + A)

::;"e6G-:;.u

Q

~_.- ----- •._._- ._ ..~-------.B=-3x+4z C= 2y - z

c. B - A - 3B

5 9d. -(A+B)--(C+B)6 4

~

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2. Multiplicación de expresiones algebraicas

-';.~:'.~{ -c- 1',

- ..:~:''.;_!

Ejercicio resuelto

1. Calcula el área del siguiente rectángulo:

I

I

3x'y + 1 Propiedades de la adición y lamultiplicación en iR.Sean a, b, c E ~:

i) a+b=b+aii) (a+b)+c=a+(b+c)iii) a + O = O + a = aiv) a· b = b· av) (a· b) . c = a . (b • e)vi)a·l=avii) a • (b + c) = a • b + a • c

Propiedades de las potencias.Seana, n, m E Q - {O}:i) a" . aM = an •. m

ii) a' =aiii) aO= I (uO)iv) (an)m=a"~v) (ab)" = a"b'

1_(Xl + y)3

Paracalcular el área (A) de un rectángulo de dimensiones a y b,se puede utilizar la fórmula: A = a • b

Así, el área (A) está dada por:

1A = _(Xl + Y)'(3x2y + 1)

3

= Hx' . (3x'y + 1)+ y. (3x'y + I)J

= ~ [3X'y + Xl +3x'y' + yJXl Y

=x5y+ -+x'y! +-3 3

<n"

~~-"

;'!!!lt.-

f~i,tiI:~1-'t.~~í>,.

}~%

-,.':'

c

~.

1~",'-o

~0...

:2'"ijJ'c.g,~g

•••Ejercicios propuestos

1. Realiza las siguientes multiplicaciones de expresiones algebraicas.

a. 2y' 3y' = f. -5y' • (3x - 6y + x') =

b. -10x'· Su' = g. (a+ b)(a + b) =

c. 3x· (x + 3y') = h. (~- n(¡-~)=

d. 5xl• (-4xyl) • xy = OX+3Y)( ~x - 3Z)=

( 3 .~2b5 -'b) 5e. lOa -5 +a' .¡¡ab= j. (a + b + cl(a + b + e) =

2. Calcula el área (A) de cada uno de los siguientes polígonos.

a. b. c.4b 4b

a - b + cl 1'::'-xv -xv2 24a

a + b + el3b 3b

A= A= A=.~

3. Aplica la multiplicación de expresiones algebraicas para responder las siguientes preguntas.

a. ¿Quéexpresión algebraicarepresenta el producto de dos númerosenteros consecutivos si el mayor de ellosestádado por (p + 10)7

b. Si (2n + 1) representaun número impar, équé expresiónalgebraicarepresenta el producto entre este númeroy el número impar consecutivoa él?

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3. Productos notables

Suma por su diferenáa (w + 9)(w - 9) = w-- 81",,~,.v;

(x+l)" (x+S);"x2:"(~+sJx+l. 5=x' :¡.!Zx·+~:·3 3 3 3 3

, ,

Binomios con un término común ~

Cubo de un binomioCuadrado dé un trinomio .

-.:,~ '" ~.-:..::~.." ~-~~(x -1)3 = x3_ 3x1';'3x - 1

(x + 2V - 3)2 = x2 + 4y2 + 9 + 4xy - t 2V - 6x'

~~

~.7~'-,'

Ejercicio resuelto

1. ¿Cómo es posible deducir que (a + b)' = a' + 2ab + b'?

Al resolver: ~ ~ ~(a + b) • (a + b) = a o (a + b) + b o(a + b)

\../1=aoa+a·b+boa+b·b= a' + ab + ba + b'= a' + 2ab + b'

Esposible deducir que (a + b)' = a' + 2ab + b'.

Geométricamente, en el cuadrado de lado (a + b) es posible identificar otras figuras, Para calcular el área delcuadrado se pueden sumar las áreas de las figuras que lo componen.

Entonces, el área (A) se puede representar de la siguiente manera:

A = (a + b)' a' 2ab + b'+-a+b_

¡ ¡.a • -a_ .J-b~l•. bl - o !.+ ~a r +

1 ~ ¡ ~

-b.~.De lb anterior, se puede confirmar que: A = (a + b)' = a' + 2ab + b'

.,,,,

e-o"8:>]5.!!~"]

-ea.

~:~.r-

T,

:2.\1'1'~~~'

c'·8~:o~Ul'g)

Ejercicios propuestos

lo Identifica el producto notable en cada caso. luego, resuelve.

a. (z + 9)' =

b. (O,Sc- d)' =

c. (¡+ V' ) ( ¡_V' ) =

d. (lO-a)'=

e. O+1)(~+3}=

f. (3x' - Sy)' =

g. (x' - 2,Sy')(x' + 2,Sy') =

h. (Sk10 _.<tJ(Sk10 +.<tJ=p2 2 p' 2

(SW' )'-+1

2

j. (1 - 4y)'=

k. (x' + 7x + y)'=

1. (h - Z2)'-= __

(p' )'m. iO-~ =

n. U+xd)'

a.

2. Representa algebraicamente el área pintada (A) en cada paralelogramo.

b.

~b~

A= ']____ ~J

En todo paralelograrno,el área se calculamultiplicando la longitudde su basepor la longitudde su altura.

A=

Page 53: Preparacion Psu de Matematica SM

a.

J. Representa algebraicamente el volumen pintado M en cada cubo.

b.

--..,v= 1

"---- __ --.J

"<;~ta(iV= ~~ .

• El volumen 01) deun cubo de arista ase puede calcularutilizando la siguientefórmula:

V=a3

4. Completa cada expresión algebraica con el (los) término(s) algebraico(s) que corresponda(n).

a. (x+ 15)' = x, +_ 32x +. . _

b. (-~+-c)' = 9:' + . + e'

c. (z - 7)' = __ . - 14z + 49

d. (45 - W)(45 + w) = -W'

e. (x - 5)(x - 8) = _ __- 13x + _

f. (x +¡}x + 1)= _ ._ + ~x+x'4

h. (x + 5)3 = x' + + _. + 216

i. (a+ J5) (a- ) = a' - 5

j. (x + 1 + 2z)2 = x' + 4z' + 1 +_2x + 4z + __o

1. UX-6)(~X-4)=~X'----+24

m. (9d' - 3e') (__ + __ ) =81d' - 9("'

g. (~+~)(~+f)=~ + --+-- n. (x+JYf =x3+ +-_._ + _

k. (~+x)( ~ - x) =

1:;iiF·'i!",.

~";'";t-1

!";;:

'-

e-o'8 I:;¡-o

K e

!! tiil "-3

~e,

:¡¡'"~c:o'0

~g

-3.1 Triángulo de Paseal

,-,- ;.. ...• '

(a + bY = J ~al +:5' alb + 3·ab2 -t 1•Ir.-', " .r .". :'. r ~,'.r'"..

J Triángulo de PascalI,(a + b)t= J' él" +4· ¡¡3b+- 6 'alb2+-4. a6'+ 1 • b'

Desarrollo de potencia de laI forma (a+b)' 1_=""~ ~ ":' ---- ~---" ~....:.:. ~'~'"~

.",

Ejercicios propuestos

l. Verifica si los siguientes enunciados son correctos. Para ello, escribe tu verificación en cada recuadro.

a. El desarrollo de la potencia (a +- W tiene 5 términos algebraicos.

Verificación:

b. En el desarrollo de (a + b)'. el coeficiente numérico de! térmmo a'bl es igual a la suma de los coeficientesnuméricos de los términos ab' y a-b del desarrollo de (a +- b)'

Verificación:

------_._-- --- _._ .. _-_.-. - ~._."-- --------

c. El mayor coeficiente numérico en el desarrollo de (a + b)' es 70.

Verificación:

'- - --- - ~._- ----_._--- .._~-- --_._-- ----_ .. - --- -"----- ----

Page 54: Preparacion Psu de Matematica SM

4. Factorización. -, .'::~/ -~. <',?;~.:J' « ~:-~~,~:;;~::i~::t:~~:-:,0~:~1:~::·~~_:~f.l:11tf:'~.:'~~.~Y"f(:~:!~{t~~-·~~~i~;:~~~'~~·~~;:r~~r~}~1~~1

Factorizar una expresión algebraica consiste eñ.éSéribirlá'é6mo' multiplicación (fdad:ores'álgebraiéos~ É'caso que la expresión tenga un factor iomun,j)ára"lIevar a:'(ábolaJactórizaci6nJé'(jébe.¡<f~n1ifiéa¡: éStfactor común entre todos los térrr\iri~Mla<exp~iori; ya~s{a"lÍulJ¡éricoy/ó1¡terá[ ~, ,,_o, - .. -

~:', . '~:;¡,E, ,,'o. ':{ ."0:.'; -.• : .••.. '-~~:...]·~!~~;~I!~~·~~;,:\.'¿s;>~·;::j~\,tl,~~;-.;'?l::~,·-·Ejemplo: si se tienela éxpreSi9!Í algebiaiql.28x'_+:14x2·,~;,2''':''

._~.~.. /'.~t,~,'}:5~··"' .. ::'::''':)}.-¿;'.- ~'~~~i::4~~l':\:*~\1~{:prg~f~~·'":,....,, "...._~',',__,__.~:. 'p._" -r-,:

1° Se identifica elfactor común de los ~érininós~uúor¡,p()l1eri .I~'exj:iresi91J;en este.caso;Jx,,• " . ':' _ • i. -}, -~.'¡. ': '-;;;?,:,-_," "~<:"\ ;''5!: ~~~,'~"::~.;"~~;,'":/".,:-~-,~~..,!;., "'::<~¡~-':""¡.....-~:''::~.7'r..•.'''~''

2° La expresión se escribe éomo multiplícaéióñde factOres, eñei que uno de ellos es 7x."j;'/·i~;\;~;~.;::'¡"AJl.. . "~"28~ ;1\~;~;~'j'~=;M~r\~'-3)\~:lrj~~:t~,X+;r~;,~:;~t~yKJ~

En ocasiones, para factorizar una ex'presión algebr~ica pued~sutilizar p;oductoSrí~tables,-'.B";':",-,;.'.>¿1~i

Trinomio cuadra~o perfecto ~ ai ±;~~} J{(a ;b)2 = (a:l b)~a~i:&):<';:/<':::: :;~~~<~;5Diferencia de cuadrados . • a2--1J2= (a + o)(a - b) . .- ,~', ~;:.:.f

; ~ ~ . '. ~~" ...

Suma y diferencia de cubos

Cubo de binomio

a' ± b' = (a ± b)(a2:¡: ab + 1J2)

al ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = Ca± b)'

-;';.:,••

Ejercicios resueltos

1. Factoriza la expresión 16a' + 4a' - sa

Para factorizar la expresión 160' + 4a' - 8a se puede recurriral M.CD. de los términos algebraicos: 16a'; 4a'; -sa En alguno> casos, es posible tactorizar una

expresión algebraica utilizando el máximocomún divisor (M.CD.), que correspondea la expresión algebraica de mayorcoeficiente numérko y mayor grado en susfactores literales que divide exactamente acada uno de los términos de la expresiónoriginal.

Términos de la expresión Factores

16a' 4a' -8a 4-

4a" a' -2a a-

4a' a -2

4at

actoromún

4a' + a - 2

Entonces, la expresión 16a' + 4a' - 8a se puede factorizar de la siguiente manera:160' + 4a' - ea = 4a(4a' + a - 2)

2, Factoriza cada expresión usando productos notables.

Factor común: un monomio ~ 54x2yl + 9'fC./' - 6x'y' = 3'fC./'(18'fC./ + 3 - 2x')

Factor común: un polinomio ~ 6ab - 6ac + b - c = 6a(b - e) + (b - e) = (6a + 1)(b - e)

Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto ~ p2 - 14p + 49 = (p - 7)1

Ejemplo de diferencia de cuadrados ~ x'- 100 = (x + 10)(x -lO)

1nc ....., ~"~ ..

".':"-.

1,¡",:'"""e,~..(,~~t}_.

'."

is

..;.

e:-o8::¡~Q.~ .,iil'"'O

~a::;:; "tIl ,f

:!l~§,~"Q;'~:\:o ;;..,tJJ

,1} ~e:

•Ejercicios propuestos

1. Identifica un factor común para cada una de las siguientes expresiones algebraicas.

a. 3~ +al - 7x'y d. -/4x'y6z1 _16xy6y2 + 2x

Factor común: _ Factorcomún: _

axc s. ale'b. -+a x +--

2 3e, 3xy - 5ty' + 4xIy - ~

Factor común: _ Factorcomún: _

c. ex'y' - 6xy + lOx'y' - 12xy(.í»l 2lx:3 c2b a

f. ---+-+-5 3 4 2

Factor común: _ Factorcomún: _

2. Escribe el máximo común ólVÍsOr de cada grupo de expresiones aIgebraicas.

a, 15ty'z; 25xYt; xYz'o c. t-l;xl-1;x-1

Máximo común divisor:__. , Mdxirnocomún divisor: .. .

b. 4a'; -16ab6; 64o'c'. d. y' + 2y + 1;Y+ 1;y' + 3y' + 3y + 1

Máximo común divisor: _ Mdxirnocomún divisor: .__,, _

3, Representa cada expresión algebraica como producto de Ic!dores. Para ello, si es necesario, utiliza algúnproducto notable.

w2a. isa'z' -4az2w+-=

4h. x' + IOxy+ 25y' =

b. y'-I44= l, 4W + l?wz - 27W' =

s"8-5leQ.

"c. x'y' - ~z' =

9j. a'+3a'+loas=

d. x' + 3x2b + 3xIY+ 1>'= k. a' + b' + e2+ 2ab + 2bc + 2M=;;;{l1'i

i e. mnp-3mp-6mn= 1. -2oab - 1oa1J2- 3Oa'b =

~Vl

vr

"6:gl:J

'"º'

f. wlO-1 = m, -125z"- 729=

g. 27x' - 512=i"n. --x"=625

Page 55: Preparacion Psu de Matematica SM

4, Analiza el siguiente procedimiento, luego, factoriza cada una de las expresiones algebraicas planteadas.

Para fadorizar un trinomio de la forma x' + px + q se pueden considerar como factores los binomios(x + a) y (x + b), respectivamente. En el trimonio dado, p y q cumplen simultáneamente las siguientescondiciones:

10 e -b e q

20 a + b = p

Ejemplo: tactorizar el trinomio x' - 9x + 20.

10 Se deben determinar dos números a y b, tales que a· b = 20.20 Además, a + b = -9.

Entonces, a = -4 Yb = -5. Por lo tanto, el trinomio se puede fadorizar de la siguiente manera:

x' - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)

a. V' - lOy + 25 = f. b' + 7b - 30 =

b. w' +~w+~=6 6 g. a' - 5a - 84 =

c. x'-x-6= h. x'+~x-~=3 9

d. z' - .2..z+~=10 100

, 6 16a +-a--=

5 25

e. w' + 2w - 63 = a,+2a-2 =3

¡.

~ Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál es el área que puede cubrir una baldosa rectangular cuyas dimensiones son (z - 5) cm y (z + 5) cm?

A) (z - 25) cm' C) (z' - 25) cm' E) (z' - 5)' cm'B) (z - 25)2 cm' O) (z' - 25)' cm'

2, Si un terreno rectangular tiene una superfide que mide (x' + 21x + 20) m', «uáles son las dimensiones delterreno?

A) (x + 20) m V (x + 1) mB) (x + 5) m y (x + 4) m

C) (x + 7) m y (x + 3) mO) (x - 20) m y (x - 1) m

E) (x - 5) m y (x - 4) m

3. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya área se puede representar con la expresión(25x' - 2OX' + 4) cm'?

A) (5x - 2) cmB) (5x' - 4) cm

C) (5x' - 2) cmD) (25x' - 2) cm

E) (25x' - 4) cm

1no

~i

~~Vr~~.K:~!;l

=*-o '.,:~~~~~f

~~~,~e -."o;u~~ ~w©

""'--"')'" .....5. Expresiones algebraicas fraccionarias

.~'~:~;f,~i~?:@¡011,t~'I\c~~:r$~i7t~J~:~!~l!~i~t~~c~j7:~f'~i~4~.4th~.~~i~1t" { _:~0":-

.Ias expresionesalgel>raiOlS fracdonarias son;representaciones dé la ~O!!lJa.-,donde P y Q son > ;~~,_.~"~?~';~;:~:;~~~,~~:~~~~;~··:~:;~Aj¡t;?~.;~~{~~~~S~~;~·~:~~~';Z::~\-~~f.t"t~.f"2;-~_.:t:~,Z:>:'r.;i·(/~~i~ú~--.'l;_.};~":~'» ~-".. ..:_~.~:~.~"~

.' . expresiones,algebraicas cúalquiera, ton Q*0. Por ejemplo:;:.'~~~, ;.~ =1".i; ':';i :'-;; i -. :',:. .:~ . ,

';t~1~~\,~'fi?J:\~~~i;~!~~~~!~~ili:I~~~,\0;%~ :,_Si ~ll)umerador de l¡¡fracciÓlÍillgebraica es tero para algúQ valor de las variables, se dice que la

}-fr~¿ción. áigebraica seanula·p~ra.dictoYa\o("'~""{é';·. ? " ..' :o . ',. """', ..--~"'. ~........ :~":::- .. " ~;~--

Ejemplo: t .

la expr~d~· V-4, se anula pa~a y';; ~,ya q~e 4 -'4';'0.. . 16+V . .... . .

i~

~ Si el denominador de la fracción algebraica es cero para algún valor de las variables, se dice que lafracción algebraica no está definida para dimos valores de las variables.

Ejemplo:

la expresión ~ -1 ~o está definida para x = ~3 Y x = ;~ya cue (-3')2 - 9 = O Y 3' - 9 = O.x -9·

Ejercicio resuelto

1. ¿Para qué valores de m la expresión algebraiea m,' + 4m - 45 se anula? ¿y para cuáles no está definida?m -lQm+ 24

'. m' +4m-45~ La expreslon , se anula cuando m' + 4m - 15 = (m + 9)(m - 5) = O

m -lOm+24

Luego, m = -9 o m = 5.

Comprobación:

Si m = -9, se tiene que: (-9 + 9)(-9 - 5) = O· (-14) = O.

Si m = 5, se tiene que (5 + 9)(5 - 5) = 14· O = O.·5§~s,~~-ti~~

~ Ahora, al determinar los valores de m para los que no está definida la expresión algebraica m' + 4m - 45,m' -lOm+24

se tiene que m'- 10m + 24 = (m - 4)(m - 6) = O =? m = 4 o m = 6.

Comprobación:

Si m =4, se tiene que: (4 - 4)(4 - 6) = O· (-2) = O.

Si m = 6, se tiene que: (6 - 4)(6 - 6) = 2 • 0=0.:;,V',~.1)eeo-e'"y'

Page 56: Preparacion Psu de Matematica SM

Ejercicios prepuestos

l. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas fraccionarías.

2ab'c. -, para a = O, b = 2 Y c = -2.3c

p-5a. --" para p = -1.

4-p

[ 1 [ 14m2 -7

b. --, para m =-2 y n =0.3-n

ab- 3ad. --b' para a =3 yb= -2.a+2

l- 1 [ 12. Completa con los valores pedidos en cada caso. ObseNa el ejemplo.

'\(x -1)(x + 2) Se anula para x= 1 y x = -2. J

x - 2 Está definida para x e R - {2}.

I

\,i¡

I!

~ w+la.y' -9 c. 3w- 5

Se anula para ____ Se anula para

Está definida para Está definida para

b.(x-1)(x + 2) 100

d. b'x(x + 2) x-Se anula para. Se anula para

Está definida para Está definida para

3. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias en mayores, menores o iguales que cero. Paraello, considera 105 datos entregados.

-1+p 4z+ 5 1a. --con p<O. c. --conz>-P 1 4-- z

4

~ ~-

b. ~ conx< 1. d. x'-,-conxeRx -1 x +1

~ ~

"11" "" "".... . •.

(1l'fj,-~':eli~i~i~e,

~)~::::ir.2;

..].;~.t:

~fv~v "o.j ";

"'O ~~O "i:C.0.1\V 'ti'

;~,11'I","

]':~..c. .•.~o~el: ~q';;;1t.n ~~~;ic:~f~~·t.-:f ..

-5.1 Multiplicación y división de expresiones algebraicas

fraccionarias

~ Amplificar una expresión algebraica fracá~naría consiste en multiplicarpor una misma expresión,algebraica tanto el numerador como el denominador de la fracciónalgebraica original.,;:'}:{:~~:~'jb3;2a - 3bJ a. 2a' - 3ab3Ejemplo: ---=---, .':'=-,--

,a-b' a-b a a-ab'o.;: •

~ Simplificar una expresión algebraica fraccionaria consiste en fadorizar tanto el numerador como eldenominador y luego simplificarlos tadores comunes obtenidos,

I

~(X+5) x+5~(X+2) x+2

I

X' -25Ejemplo: x' _ 3x - 10

~ Elproducto que se obtiene al multiplicar expresiones algebraicas fraccionarías corresponde a otraexpresión algebraica fraccionaria,cuyo numerasor es el producto de los numeradores y el denominadores el producto de 105 denominadores de las fracciones involucradas.

1 I

2x+5 ~~~ ~2x+5,-' - -'----f;;..,. ---:;::-- • r; A 'doocIex *± 3, x *- 2,0~~-~ ~4 x-3

1 1

Ejemplo: 2x + 5 • x' + 5x+ 6x' -9 x+2

~ Elcociente que se obtiene al dividir expresiones algebraicas fraccionarías es otra expresión algebraicafraccionaria, correspondiente al producto del dividendo (primera fracción) por el recíproco del divisor(segunda fracción),

1 1

. 3y-6, y- 2 _ 3!Y1S . N=~;doodey* l;y;t 2ey'" O.Elemplo: -, -, -1 - l:>..." .. --< yy - y y - Y ,y ~ y L

1 1

Ejercicio resuelto

-:;o3.

"

1. Resuelve las siguientes operaciones entre fracciones algebraicas.

Antes de realizar las operaciones es recomendable factorizar, luego simplificary así operar expresiones algebraicasfraccionarias más reducidas.

y-S y' - 27 , y' + 2yyl +6y+5' 4y-12' y' +5y

~1

y-S ~(yl+3y+9)-y-~= ~(Y+I)' 4~ • -y-(y+2)

Restringir los valores paralos cuales se mcelinen lasexpresiones algebr aicsslrac.ionarias, tanto al inicio de uncálculo C0[110 en su resolución yposterior resultedo, puede sercegrac utilidad en la resolución deecuaciones racionales

-"~~~ (y - 5)(Y' + 3y + 9)

4(y + 1)(y + 2)"3o~ En este caso, y ;t -5, Y* -1, y;t 3, Y;t Oe y of. -2,~.

Page 57: Preparacion Psu de Matematica SM

Ejercicios propuestos

1. Escribe en el recuadro la expresión algebraica por la que se multiplicó en cada caso.

a. ~' ·D="l:I.'V2Zsz 35

C. ~.D=X2_VlX V

b b+l·D=ab-b'+a-b· a2 a' +a'b

I

z-3 ILJ'd -.. z-1z' - 212

- 3zZ2 -1

c'ít;t1JtiJi:¡,i"~

I.:~f

2. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias.

7x -7f.

ac - ab + be - b'a. --=a' + 2ab +b'x -1

-3x - 6 m'-1b. -1--= g.m' - 2ml + 1x -x-6

4xylh.

al + 6a+ 9c. = =2x'y+2xy a' + 8a+ 15

2a' - 8a x' -13x' + 30xd --= i.· a' -16 x' -IOx

x' + xy + V'j.

16-w'e. =x' _ y' w' - w- 20

+t:;:1..-u:~p-.'y

3. Aplica las propiedades de potencias y de raíces para simplificar las siguientes expresiones algebraicasfraccionarias. Además, señala los valores para los cuales las expresiones no están definidas.

(xyl)' ~alx'0e ---a --= . ifH· x'V'

Si d. b E R' Yn, m E f~,setiene que:

~ i) ¡¡;.; ex' -1 -ob. = f.~.~ ii) {i:b = !fa. ib

§.(x - 1)' • (x + 1)'

"Ooo."'"

iii)~=~.ib:LJ.<.~.", .-(z'-3Z-18)' = {p'q:wq¡ = ~,{~

-j-;j '~-,-c. g. ;.g~ ~(Z' - 9)' {!Piq .s:

Je·,.a.

~;. ~( V; J (jl,::.

(b' - 25)W +5b+6) ¡¡i ~d. 'PJx: Vx = h. C-·' §(b + 3)(b' - 3b -10) O?

:º~."o'uJ': -g~ <.j

~~.~

-4. Aplica la factorización y simplificación para calcular las siguientes multiplicaciones V divisiones de expresiones

algebraicas fraccionarias.

a. 3x' -( - 12xy'z J = h.p' -q' • p' +q' =

9xy 4x' p' + 2p'q' + q' p' _ q'

b. ~-(- 24a'P}( -~ J= w'z' w+z w' - wz4bpl ab a'p l. w' - wz' . w'z' . w' + Z' =

x - y . x' - 2xy+ V' 2x' - X - 1 x' - "l:I.+ 1c. --o j. ---. ---. (3x + 3) =

2x+ 2y x+ y x' -1 3x-3

x'-y' .X'_9y' =k.

6x' + x - 2 6x- 3d. --=3x + 9y y-x 9x'+I2x+4 3

e l00x'y ( - 25xy J= 5-z 5z - 25. x'y" .J3yl

1.Z - 2 2z' - IOz + 12

x - 3 2x' -18 4m2 -~m- 3. 4m' +4m+lf. +:r = m.

4 4m+2

4(' +12c+9. 4c'-9 p' - q' 6p' -12p' -18p' .~=g. --= n ___ o

6cd + 9d 3c + 2 3p' - 3pq p' + Sp + 4 p+q

~ Marca la alternativa correcta.

S· lid d . I id x + 3 35x + 20 "1 .,1. I os a os e un rectangu o mi en -- cm y --- cm, «ua es su area/7x+4 x'-9

5 C) 5 cm' (7x+4)(x-3) _A) -cm' E)

x+3 (7x + 4)(x - 3) cm'5

5D) ~cm'B) -cm'

x-3 5

. y-l V' +3y+92. Si la altura y la base de un triángulo miden -,-- cm y, cm, respectivamente, «uál es su área?

y -27 Y -4y+31

C) --, cm'(y - 3)

2D) --,cm'

(y - 3)

3. ¿Por qué expresión algebraica se debe dividir la fracción algebraica 6:(' - 2(11: para obtener el binomio 10 - 3x?x+l

1A) --cm'

y-3I

E) --cm'2(y - 3)'

B) (y - 3)' cm'

2 2xx + I

E) ~12x

D) ~12

B) C)A)x+ I 2

Page 58: Preparacion Psu de Matematica SM

5.2 Adición y sustracción de expresiones algebraicasfracci ona rias

<~ ,~·~~.t{Cjt:1:;~§·,;J~::~f~\;·~~~_~·X~l">?~,:~::iD·:.;·~~·;~i~~/:~~{t¡~¿,\?~;.\~~:;~;,;:~~:.:~-.: . . - :':":.:.;f - .,,:, '-tEj~:~~1;:~'i~~,Ii!;.. Enel.casód~Ja ádi~ióri·y/o.sustraccíón de expr~ion~algebraicas fraccionarías con igual den.ominad

S:} seóbténd(áotraéXPresión algebiaica fracaonanacorÍ·el rnisínó denominador, y el numerador se¡'~ el. '-r~ÚltadO~~)a'opeiátonarespeCt1vae~tre'íos,numerador~delas'exp·reSionesalgebráícasfrac¿ió.!l~rl

~. Par~'el casoén que las expresiones algebraicas freccioneriastengan distinto denominador:

1° ,S~calc~la el m.c.m. entre' los den~rnin~dores:'2° •Se amplifica cada término de las expresiones algebraicas fraccionarias de manera que tengan como

denominador el m.c.m. '. 3° Se resuelven las operaciones' entre las fracciones de igual denominador.

X+ 5 x' - 5x (x + 5)(x + 1) _ x2 - 5xEjemplo: x::¡-~ (x-l)(X+l) ,x2-1

~ xl+6x+5 x2-5x

EJ = xl-l "7=1m.c.m.x2 - 1 Xl + 6x + 5 - (Xl - 5x)

x2 -1

Xl + 6x + 5 - x2 + 5xXl -1

El mínimo común múltiplo(m.c.m.) entre dos o másexpresiones algebraicascorresponde a la expresión demenor grado que es divisiblepor todas las expresionesinvolucradas.

llx+ 5=7=]

Ejercicio resuelto

1. Calcula el rn.crn. entre las expresiones X' - 16; 2x' - 8x; x' - 8x + 16.

x'-16= (x - 4)(x + 4)}2x' - 8x=2x(x-4)

x' - 8x + 16 = (x - 4)'

Para calcular el mínimo comúnmúltiplo (m.c.m.) entreexpresiones algebraicas se debefactorizar cada una de ellasy considerar los factores quelas componen, dejando el demayor grado en caso que serepita algún factor. Así.el rn.c.rn.corresponderá al producto entrecada uno de estos factores.

Factores: (x - 4), (x + 4) Y 2x.

Se repite (x - 4) Y su mayor exponente es 2.

Por lo tanto, se tiene que:

m.cm. (x' - 16; 2x' - 8x; x, - 8x + 16) = 2x(x + 4)(x - 4)'

114 r.l ó.\/I= . ~.htorYVít¡('..,

.~

",,1-'-

~~~:

e'"';..:-

eo.g i~

liji2 -f!';"~:2 '.'I.f):'t1/1 'fo':-gl~i

"' "-:<,y¡ ~

~

Ejercicios propuestos

1. Calcula el m.cm. entre las expresiones dadas.

a. rn.crn. (b'; 10b; b") = d. m.cm.(4a-4;a-1;a'-2a+ 1)=

b. rn.crn. (Y0{l'; Xl'{; 25xzyl) = e. mr.m. (3(ab)4; 6ab'; ab) =

C rnr.rn. (xy; x'z; 5) = f. m.c.m. (Xl - 2xy + '1; X" - Y'; x' + 2y:y + y2) =

2. Calcula las siguientes adiciones y/o sustracciones de expresiones algebraicas fraccionarias.

3q 2q - 3 2a. ------=q+1 q+1 q+I

b-3 3_g. b'-3=b+t;':3-

b. ~+~Jx+S)' =y' y' yl

h 2y+4 _~+3.=. 2y y' + 2y Y

ab ec ---=. 16p 2p'

p + S-p' + 7p --;¡----1. -- + -'----'--

p+6 p' + 12p+36

9 a'd ----

. Sab' Sb'

. x - 2 x' - 4J. x'-8 -x::-2+x

=

1 x - 2 xe. -+----=

x-1 (X+1)' x'-1k. _,_+ __ X

x' - 1 x' - 9x + 8

2 alf ---+----. a' - b' a' + 2ab + b'

2a a - b a - 2bI -----+--=. 2a - 4b a' - 2ab a

~

Gt3}] Marca la alternativa correcta.

1. Al sumar ~ con otra expresión algebraica Q se obtiene ,2-,. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de Q7x' x +x

A) _ __ B) _1 _ C) X" + x' O) -x' - x' El x" - XlX' + Xl x' + x'

l

2. El área de un rectángulo está dada por la fracción algebraica _a_; y el área de otro, por la fraccióna' - b"

al + b' 'C'I I d'f ia ent . 7-r-rr-z-rr-r--r- ( ua es a I erenoa en re sus areas.a' + a'bl + b'

"'-'"V'

~¡;~:?-r:v-'-§e~~~

C) a' + a' - b'a9 _ b9

D) a' - b'a9 _ b9

E) a' - a'a9 _ b9

A) al - a' + b'a9 _ b9

B) a' + a' + b'a9 _ b9

Page 59: Preparacion Psu de Matematica SM

I

I1

\

6. División de polinomios de una variable

Paradividir dos polinomios de una variable P(x) y Q(x) (Q(x) * O) puedes seguir el siguiente procedimientó:~ . .Sean P(x) = 12,( +4x' + 14 Y Q(x) = 2x+ 3. El objetivoesencontrar el cociente P(x) : Q(x).

. ''.. ~:,-' . . .." -. . \.'

1° Se ordenan d~'ri,anera decreciente los p~lino~ios segÚn'su; eponentes,'. , -." ~. ,'- ',.: ..

P(x) = 4x' + 12x + 14 . Q(x) =2x+3

2° Se di~ide el p;imer término del dividendo por el primer término del divisor. El c~ciente de esta ,.... ' .C

C

•• :.

corresponderá al primer término del cociente buscado.

I (4x' + 12x+ 14) :'(2x + 3) =2xH 4x2: ú= 2x

3° Al dividendo se le resta el producto obtenido de multiplicar este primer término del cociente por eldivisor (Q(x»; y as! se obtiene el primer resto.

• I (,,'+ '''' + 14) ('" + 3) = Zx Lrl 4,' + '" + 142x(2x + 3) = 4x2 + 6xr----r - (4x2 + 6x) - (4x2 + 6x)

6x+14- 6x+14(Primer resto)

4° Luego, se divide el primer término del primer resto por el primer término de Q(x) para obtener asíel segundo término del cociente. Finalmente, se procede de manera similar hasta que el resto tengagrado menor al divisor, o sea, cero.

(4X2 + 12x + 14) : (2x + 3) = 2x + 3-(4x' + 6x)

6x+14 lr3(2x + 3) = 6x + 9 I 1" - (6x + 9)

5//'•.•-----,

6x+ 14- (6x + 9)---

5

Ejercicio resuelto

l. ¿Cómo se comprueba que la división fue resuelta correctamente?

Paracomprobar que el cociente encontrado en el ejemplo anterior es 2x + 3, se puede utilizar el algoritmo dela división, en el cual se establece que para verificar que P(x) : C(x) = Q(x) con resto R(x) es correcta, se debecumplir que:

Dividendo~P(x) = Q(x)· C(x) + R(x)--{Resto:,~.. -x·-T·--·--·_-

DIVisor-.J Cociente

En el ejemplo, P(x) = 4x' + 12x+ 14, Q(x) = 2x + 3, C(x) = 2x + 3 Y R(x) = 5.Luego: Q(x) , C(x) = (2x + 3)(2x + 3) = 4x' + 12x+ 9

R(x) = 5Así: Q(x) , C(x) + R(x) = 4x' + 12x+ 9 + 5 = 4x' + 12x + 14 = P(x).

• Cuando el polinomioR(x)= O, se dice que la divisiónes exacta. Mientras quecuando R(x) '" O, se dice quees inexacta,

111'; ('1 J\\JC . ~~" •..•-:-"';.;,",,,,

·•~I··'·,

~.• -1

II~

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c~!:--o ---:t¡!!:J¡¡¡""!'O~

~I~,'~

:2 ,~.n@~;

-~.

Ejercicios propuestos

1. Calcula el cociente C(x) y el resto R(x) en cada caso.

a. (Xl + 4x' + 6) : x e. (x' - 2x' - 3) : (x - 1)

b. (6x' + 4x - 2) : 2x f. (Xl + X' + 1) : (3x - 1)

c. (2x' + 6x - 3) : (x - 2) g. (3x5 - 5x' - 3x + 4) : (x + 3)

d. (~+ 64) : (x - 2) h. (6x' - x' + 5x' + 3x - 4) : (2x' - 3x + 7)

2. Analiza la información del recuadro. Luego, responde.

l. Se llama raíz o cero de un polinomio P(x) al número real r que cumple con P(r) = O.

Por ejemplo, r, = 2 Y r, = 3 son raícesdel polinomio Q(x) = x' - 5x +-6;-pues:

Q(2) = 2' - 5 • 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = O Q(3) = 3' - 5 ,3 + 6 = 9 - 15 + 6 = O

2. Teorema del resto.

Si un polinomio P(x) se divide por (x - c), entonces el resto corresponderá al valor de P(x)valorizado en e, es decir, P(c).

Por ejemplo, para hallar el resto de la división (2x' - 3x + 1) : (x + 2) basta con evaluar eldividendo en x = -2.

Resto 2 ' (-2)' - 3 • (-2) + I = -9

-

a. ¿Cuales el resto de (x' - 1) : (x + 1)?¿Cualesson las raícesdel dividendo y las del divisor, respectivamente?

e"CO',!

e~

_._------------------- ----------- _.--- .-..- ----- --------------

b. ¿Cuálesson las raícesdel polinomio t -167 ¿Cuales el resto al dividirlo por x - 1?

0',-3.o~o: c. ¿Ladivisión (Xl - 125): (x + 5) es exacta?Justifica tu respuesta.

~V)

Q~c.,Q.

Page 60: Preparacion Psu de Matematica SM

Instrucciones1. Esta prUeba consta de 19 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señal~das con las letr~ A, B,

O Y E, una sol~ de las cuales es la respuesta correcta. .' .l. Dispones de 40 minutos para responderla.

Lenguaje algebraico y expresiones algebraicas

1. El sucesor del número entero 5(n - 1) se puede representar por:

A) 5nB) 5n - 1C) 6n - 6

O) 5n - 4E) 5n - 5

2. ¿Cuál de las alternativas escritas en lenguaje natural representa a la expresión algebraica (3x)'?

A) El triple del cuadrado de un número.B) El triple del doble de un número.C) El cuadrado del triple de un número.O) El cuadrado del cubo de un número.E) El doble del triple de un número.

3. Pedro tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad más uno. Si al hermano de Pedro leregalan 3 dulces y él, a su vez, regala 2, «en cuántos dulces queda el hermano de Pedro?

A) ( a+ 1 ) O) Con l~+ 2) dulcesCon -2- + 1 dulces

B) Con (a + 2) dulces E) Con (~+ 1) dulces

C) Con (~+4 }ulces

Valorización de expresiones algebraicas

4. Si al triple del antecesor de x se le restan 2x, ¿qué valor se obtiene para x = -57

\!i

IA) -8

B) -6

C) -2O) 2E) 28

11A ("'I""C.~)I~ •.~~~~:_-

.~~.

.t,filfr~'~'\

:'

f-~'""1~~

"vo.:t;

·2

{,::~

~d~g~~~.o~

~l~.I1.?~1w.c~~J~~

,j~

f

5. Si a = -2, b = -1, c = -3 Y d = 3, ¿cuál es el valor de la expresión (a - b)(c - d)?

A) -18

B) -6

C) OO) 6E) 18

6. Si a V b = a - zb Y a # b = b - a, ¿cuál es el valor de -3 # (2 V -4)7

A) -13

B) -3

C) 7D) 9

E) 13

Reducción de términos semejantes

7. De lunes a viernes, en una industria se fabrican 7x artículos; el día sábado, 2V artículos, V el do mingo, ~2z artículos, ¿Cuántos artículos se fabrican en 3 semanas?

A) 21xB) 7x + 2y + 2z

C) 21 x + 2y + 2z

D) 21x + 6y + 6z

E) 105x + 6V + 6z

8. Si tenía depositados en el banco $ (1.200· n) y retiré la mitad, «uanto debo depositar para tener el doblede lo que quedó?

e

'~u

':oeQ~

A) $ 600B) S (600 . n)

C) S (1.500· n)D) S (1,800· n)

E) S (2.400 . n)

Multiplicación de expresiones algebraicas, productos notables y fectorizaron

:;; 9. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde al producto entre (x - a) y (x + 2a)7~~~

A) 2x + aB) x' - 2a'C) x' + ax - 2a'D) x' + ax + 2a'E) x' - 2a'x + a

¿;v-i~"sG'6UJº~

Page 61: Preparacion Psu de Matematica SM

- - -----

10. ¿Qué expresión algebraica representa (a' + b')(a' _ b')?

N ~~ ~Q ~-~~ ~-~~ 2~-2~

11. iCuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a: x(x + y) - y(x + y)?

1. x' - yl 1/. (x - y)' 1/1. (x + y)'

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

D) Solo 1y 11

E) 1,IIV 111

12. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de 3x' + x - 2?

l. x+ 1 11. 3x + 1 1/1. 3x-2

A) Solo 1

B) Solo 111

C) Solo 1V 111

D) Solo 1y 11

E) Solo 11V 111

~{,

13. Un factor de la expresión x' - 27 es:

A) x' + 3x + 9B) x' + 6x + 9

C) x' - 3x + 9

i:p

"

1.'~.

C~:Q -.

~u ..••.g¡"5

~f ~~t='-if:._, ~~.~~ 2~!~

o

~I,-

:::;;n

~~-rv)!

,8 Í. ;oe

~j jf!

-'U~~',1:

D) x' - 9

~ x'+ 9

14. El valor de k en la igualdad (x - 3)(x - k) = x' - 2x - 3 es:

A) -2

B) -1

C) 1

D) 2

~ 3

15. ¿euál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de la expresión 4x' + 8x - 60?

1. 4

A) Solo 1

B) Solo 111

C) Solo 1y 11

D) Solo 11y 111

~ 1.11Y 111

1/. x- 3 1/1. x + 5

1?n ('1 AIIC . lA,,+ •.•••••.••.:.+:•••••.

-Expresiones algebraicas fraccionarias

16. ¿Qué expresión se obtiene al resolver ,b - 2 • b' - 8, - 1 ?b +2b+4 (b-2)

A) -1

B) Oe) 1

D)-sb

b' +2b+4

E) Ninguna de las anteriores.

(x-JY)(X' -V)17. Al simplificar , se obtiene la expresión irreducible:

(x - Ji)'A) x'-V

B) x- JYC) x+JY

Xl_ VD) --x-JYE) ( x - JY)' (x + JY)

l l

18. Se puede determinar el valor de la expresión ~ si:x-y(1) xq(2) x' - xy + y' = 2

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola

e) Ambas juntas, (1) Y(2)D) Cada una por si sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

ibl I 1 1 I di" a' - b' + a - b. b19. Es pOSI e ea cu ar e va or e a expresron , , SI se sa e que:a - b

(1) ub(2) a+b=10

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola

C) Ambas juntas, (1) V (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

Page 62: Preparacion Psu de Matematica SM

a )1~~*,:·~;,;~~~..¡f""l~1:Íf¡::W::~Ji¡f;'di~~~1;~H~~~:t-1:~~4'},'r"'~"~4"':§!~~,Y¡~~"'~,~~

Si x es un número entero, el sucesor de x serepresenta algebraicamente por x + 1. Como en estecaso el número entero corresponde a 5(n -1), esposible representar su sucesor de la siguiente manera:5(n-l)+ 1 =5n-5 -+ 1 =5n-4.

Distractores:

A) Si se suma una unidad a la expresión (n - 1),se obtiene (n - 1 -+ 1) = n. A partir de estecálculo, resulta que: 5(n - 1 -+ 1) = 5n, lo que esincorrecto.

B) Como se explicó en la clave, para obtener elsucesor del número entero 5(n - 1) se calculaprimero el produdo involucrado y luego sedetermina el sucesor de dicho número. Sinembargo, es posible que se apliquen de maneraincorrecta ciertas propiedades; por ejemplo, ladistributiva, y además no se aplique el conceptode sucesor. Por ello, se obtiene como resultado dela multiplicación 5n - l.

C) En esta alternativa se consideró el sucesor de5 que es 6 y se multiplicó este número porel binomio (n - 1). Se obtuvo un resultadoincorrecto, que corresponde a:

6(n-I)=6n -6.

E) En este caso, se calculó el producto 5(n - 1) Yseobtuvo 5n - 5, es decir, no se utilizó el conceptode sucesor que explicita el enunciado.

1?? rl ~,¡¡:, ~"to~";"

D ·fi~-~~f;~;?¡~~Pt~\Y~~2f¿~~~~;;~~t~-:.~ . -. :.....•>:~..).,.~".,...,...,.~. . ..•..~

Si x representa a un número cualquiera, entoncesel triple de este número será 3x. Así, el cuadrado dedicha expresión corresponde a (3x)'. Entonces, elenunciado "el cuadrado del triple de un número"representará en lenguaje algebraico justamente laexpresión descrita anteriormente.

Distractores:

Al representar en lenguaje algebraico los enunciadosdescritos en las alternativas A), B), D) Y E),se tiene que:

A) El triple del cuadrado de un número.

3x'

B) El triple del doble de un número.

3(2x)

D) El cuadrado del cubo de un número.

(Xl)'

E) El doble del triple de un número.

2(3x)

D,~t~lf~i~:1t~t!ES~~2(q~jit~%l~~Para responder esta pregunta es importante interpretarcorrectamente su enunciado.

- Pedro tiene a dulces.- El hermano de Pedro tiene la mitad de dulces de

Pedro más uno, es decir:

a-+12

Luego, a esta expresión algebraica se le "agregan"3 unidades, que representan los 3 dulces que le

regalaron al hermano de Pedro, es decir, (~+ 1)+ 3.

Finalmente, se le restan dos unidades a esta expresión,lo que representa que el hermano de Pedro regaló 2dulces.

O+I)+3-2=~+2

c:-oB:J'Ueo.~:JIJ'I"

~'i I ~:8..e'

Ie ,-o,

::¡;' :;;'" .r~,eo~tU

i!)'~,

Distractores:

A) En esta alternativa se comete un error al traduciren lenguaje algebraico la cantidad de dulces quetiene el hermano de Pedro:

"tiene la mitad de esta cantidad más uno"a+l

• -2-' lo cual es incorrecto.

Luego, como le regalan 3 dulces y él regala 2, lacantidad de dulces que tiene el hermano de Pedro

a+ 1 a+ 1se puede representar por: - + 3 - 2 = - + 1.2 2

B) La expresión a -+ 2 se obtuvo al no considerarque el hermano de Pedro tenía la mitad de

. adulces que él, es decir 2"

C) En este caso se omite que el hermano de Pedroa aregala dos dulces, resultando: - + 1+ 3 = - + 4.2 2

E) En esta alternativa se consideró solo la primera

parte del enunciado, resultando ~, lo cual es2

incorrecto.

D~~~:#~Lf~~?;t~1'~:~~vE~~:r~~lt~~83~?~En lenguaje algebraico, el antecesor de un número xse representa por x-l.

Luego, el triple de esta expresión estádado por:3(x - 1). Finalmente, si se disminuye en 2)(,se tiene que:

3(x - 1) - 2x = 3x - 3 - 2x = x - 3

Valorizando la expresión resultante para x = -5, setiene que:

(-5) - 3 =-8

Distractores:

B) En esta alternativa se representó algebraicamenteel antecesor del triple de un número y no eltriple del antecesor, lo que provoca un error, yaque se obtuvo 3x - 1. Luego, si se valoriza parax = -5, se tiene que:

3 • (-5) - 1 - 2 • (-5) = -6.

-C) En este caso, se representó de manera incorrecta

el antecesor de un número x, al utilizar x + 1, Yluego se disminuyó en 2)(, obteniéndose:

3(x + 1) - 2x = 3x +3 - 2x = x+ 3

Luego, si se valoriza esta expresión parax = -5, resulta:

-5 + 3 = -2.

D) Al valorizar la expresión x - 3 para x= - 5 Y omitirel signo (-), se obtiene un resultado incorrectoque corresponde a:

5 - 3 = 2.

E) Si se valoriza la expresión 3(x - 1) - 2x para x = -5de la siguiente manera:

3· (-5 - 1) - 2 . (-5) =3 . (-6) - (-10)

= 18+ 10= 18

Resultado que es incorrecto,

D~2Z-:';',¿':.~_.::~LA.VE·,º~l:Iiflt7::~~';~;~Al valorizar la expresión algebraica (a -b)(c - d). setiene que:

«-2) - (-1))((-3) - (3)L= (-2 + 1)(-3 - 3)

=-1· (-6)

=6

Distractores:

A) Si se reemplazan en (a - b) los valoresrespectivos de a y b, se obtiene 3, que es unresultado incorrecto, ya que se omitió el signo, loque provoca que:

3 . (-3 - 3) = 3 • (-6) = - 18

B) Al desarrollar la expresión y valorizarla, seobtiene un resultado incorrecto:

(-2 - (-1» ·(-3 -3) =(-2 + 1)· (-3-3)

Luego, al calcular (-2 + 1) se obtiene comoresultado 1,ya que se consideró Que ambosnúmeros tienen distinto signo, pero se mantuvo elsigno positivo, lo cual es incorredo. Entonces:

1· (-3-3) = 1· (-6)=-6

Page 63: Preparacion Psu de Matematica SM

111111

e) Al reemplazar los valores de (y den (c - d), seobtiene como resultado O, ya que se consideraque (-3 - 3) = O.

Luego, (-2 - (-1» -0=0.

E) Al resolver «-2) - (-1». «-3) - 3), para elprimer paréntesis se suman los números, y seobtiene -3 como resultado, no considerando elcambio de signo para -(-3).

Finalmente: (-3) • (-6) = 18

Al resolver -3 # (2 V -4), se tiene que:

-3#(2 V -4)=-3 #(2 -2 ·(-4»

= -3#(2 + 8)= -3 # lO= 10-(-3)

=13

Distractores:

A) No respetar el orden de las operaciones definidasen este caso puede provocar que se considerea * b = a-b. Entonces:

-3 # (2 V -4) = -3 # (2 - 2 • (-4»

=-3 #(2 + 8)= -3 # 10= -3 - lO= -13

B) Y D) Al resolver -3 # (2 V -4) no se respetó laregla de los signos, lo que implica que:

i) -3#(2 "1-4) =-3# (2 - 2· (-4»

=-3#(2-8)

= -3 #-6

= -6 - (-3)= -3

ii) -3#(2 "1-4) =-3#(-2 -2· (-4))

=-3 #(-2 + 8)=-3 #6

=6-(-3)

=9

'1 ') A ....., ~. ,r- ••

C) En esta alternativa se distribuyó respecto a lasoperaciones binarias # y V, lo cual es incorrecto,ya que en R estas operaciones no cumplen con talpropiedad. Así, se tiene que:

-3 # (2 V -4) = -3 # 2 V -3 *-4=2-(-3)"1-4-(-3)

=5 "1-1

=5-2·(-1)

=7

':!~~~~~.:$"'~!!-""'~"T"<·:::'-,7~~~"~~~!;J" ..·¡ji~f.~~;'f'1i~~<;.;;;'\CtAVEDsj.~3~,j'1i;;t"f"~....•~ ~",');'''~'-~-"~·¿ .:..-i_..-':''''_~Z", •.~ ••~ ~:lI

Según el enunciado de la pregunta, la cantidadde artículos fabricados en una semana se puederepresentar a través de la expresión 7x + 2y + 2z. Así,en tres semanas, la cantidad de artículos será el triplede la anterior, es decir:

3(7x + 2y + 2z) = 21 x + 6y + sz

Distractores:

A) En esta alternativa se consideró que la semanaparte un día lunes y termina un día viernes, locual es incorrecto. Luego, en tres semanas lacantidad de artículos fabricados será:

3· 7x = 21x

B) Debido a la importancia de la comprensión delenunciado, no considerar que la pregunta quese hace corresponde a la cantidad de artículosfabricados en tres semanas puede hacer que solose responda en función de una semana, es decir

7x + 2y + 2z

C) En esta alternativa, solo se multiplicó la cantidadde artículos de lunes a viernes por tres, es decir:

3 • 7x + 2y + 2z = 21 x + 2y + 2z

E) Se considera que cada día, entre lunes y viernes,se fabrican 7x artículos. Luego, entre estos días sefabricarían 5 . 7x = 3Sx. Entonces, en tres semanasse tendría que:

3(3sx + 2y + 2z) = 105x + 6y + 6z

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;:-.~

Esta pregunta apunta a la reducción de los términossemejantes que conforman la situación descrita."Si tenía depositado en el banco S (1.200 • n) y retiréla mitad".

S (1.200· n) - S (600 • n) = $ (600· n)

Luego, como el doble de S (600· n) corresponde a2· $ (600· n) = $ (1.200 • n), es posible concluir quefaltan por depositar $ (600 • n), ya que:

S (600 • n) + $ (600· n) = $ (1200 • n)

Distractores:

A) En esta alternativa se consideró que se teníandepositados S 1.200; luego, como se retiróla mitad, quedan $ 600. Entonces, se debendepositar $ 600 para tener los $ 1.200, quecorresponden al doble de la cantidad que setiene depositada luego del retiro.

C) En este caso se comete un error al calcularla mitad de S (1.200· n), obteniéndose1 n- $ (1200 • n) = S 600 • - = S (300 • n) Luego,2 2como se retira este valor, se obtieneS (1500 • n), entonces se depositan $ (1500· n)para obtener el doble del valor.

Se consideró como el doble de lo que tengo ala expresión S (2400 • n), de lo que se obtieneerróneamente que:

$ (2.400· n) - S (600· n) = $ (1.800· n)

En esta alternativa se consideró que lo que tengoequivale a S (1.200 • n). Luego, el doble de estevalor es $ (2.400 • n), lo cual es incorrecto.

-La multiplicación entre (x - a) y (x + 2a) correspondea una multiplicación entre dos binomios con términocomún x.

(x - a)(x + 2a) = Xl + X • (-a + 2a) + (-a) • 2a

=x'+xa-2al

Distractores:

A) En esta alternativa se consideró al producto comola suma de términos algebraicos. De esta manera,se obtiene que

x - a + x + 2a = 2x + a

B) En este caso, el producto se consideró como unasuma por su diferencia, de lo que se obtiene losiguiente:

(x - a)(x + 2a) = x • x - a • 2a = x' - 2a'

D) En el desarrollo de la multiplicación,(x - a)(x + 2a) = x' + x( -a + 2a) + (-a) • 2a alresolver (-a) • 2a no se calculó correctamente elproducto, ya que no se consideró el signo, por loque resultó 2a:.

E) Para obtener como producto x' - Ux + a se hautilizado de manera incorrecta el producto notableinvolucrado:

(x - a)(x + 2a) = x: + (-a) • 2a • x + (-a + 2a)

=x'- 2a'x + a

"'"?"!iÍ!;(' ~~~~ j~~.,=~~~p~'w'-~'¿;~;~i~l~:11~~~Para saber qué expresión algebraica representa(a' + b5)(a' - b'), es posible identificar quecorresponde a un producto notable.

(a' + b')(a' - b') = (a')' - (by= (a')' - (b')'= a'- b6

•• ',' •• _ •• 10 "'1""" 1r"

Page 64: Preparacion Psu de Matematica SM

I111 ¡Distractores:

A) En esta alternativa se considera que el productobl • (-bl) = O. Entonces, se obtiene lo siguiente:(a' + bl)(a' - b') = a'.

B) Estaexpresión se obtiene al considerar que:(a' + bl)(a' - b') = (a' + bl) + (a' - bl) = 2a', locual es incorrecto.

C) Al desarrollar erróneamente la expresión, se realizalo siguiente:

(a' + b' lea' - b') = a" - bJ' = a' - b'

E) En el desarrollo de (a')' - (bl)l hay una confusiónen la expresión (a2)' = a' • a' y se resuelve comouna adición, obteniéndose a' + a' = 2a', lo cual esincorrecto. Lo mismo sucede con (bl)'.

mc~~~"""''':r.~~~~. ' , ~~it~~~~I,A'(~~~~~~L

Si una expresión algebraica corresponde a lafactorización y/o simplificación de otra, se dice queambas son equivalentes.

En este caso, se tiene que:

x(x + y) - y(x + y) = X' + xy _ yx _ y'= X' - y2

Ahora, si se factoriza la expresión, se tiene que:

x(x + y) - y(x + y) = (x + y)(x - y) = x2_ y2

En (1), se tiene x' - y'.

En (11), se tiene (x - y)2, que corresponde a lafactorización de x' - 2xy + y'.

En (111), se tiene (x + y)2, que corresponde a lafactorización de x' + 2xy + y'.

Distractores:

Al comparar las opciones B), C), D) Y E) con la clave,resultan ser incompletas o incorrectas al no considerar1, o bien incluir 11 o 111.

1?h ". ,\,,[".A.~.__ ":.:__

--------------------------------------~~

Para saber cuáles son los factores de la expresiónalgebraica 3x' + X- 2, es posible utilizar el siguienteprocedimiento:

1 / 33x +x-2 .-3

9x' +3· x-6 (3x+3)(3x-2)3 3

,i (x+ 1)(3x - 2) _ (x + 1)(3x _ 2),i -

Luego, sus factores son: (3x - 2) Y (x + 1).

Distractores:

Al comparar las opciones A), B), D) y E) con la clave,resultan ser incompletas o incorrectas al no considerar1 y 111, o bien incluir 11. 3x + 1, que no corresponde a unfactor de la expresión 3x2+ x - 2.

m~·~.,"·~~~·~~<-""""~."",.. ,,,,~~~. ';,,'tW:¡'~~~~"{~~ ·Ct:AVE\!A~·,.·~~~'!,~f','~"\:.~4.'1!l:~'- ·.••..•,;.wl.•~"...-~'-;c:'.~:...,;.~J. ':')!

La expresión Xl - 27 se puede escribir como Xl - 31, querepresenta una diferencia de cubos cuya factorizaciónestá dada por:

Xl - 3' = (x - 3)(x' + X • 3 + 3')

= (x - 3)(x' + 3x + 9)

Luego, es posible afirmar que las expresionesalgebraicas (x - 3) Y (x' + 3x + 9) son factores de laexpresión Xl - 27.

Finalmente, la expresión algebraica X' + 3x + 9corresponde al factor cuadrático de la expresiónoriginal.

Distractores:

B) En esta alternativa se utiliza una factorización deltipo al - bl = (a - b)(a' + 2ab + b'), donde elfactor cuadrático se confunde con un cuadrado debinomio, por lo que se obtiene:

X' + 2 • x • 3 + 3' = x' + 6x + 9, lo cual esincorrecto.

--- ~------ .._.-_._--_. ------ ••••

-t-{{

eo

~~el~~~e~~~~~~J~wg"~"f'

C) En este caso se aplicó la factorización para la sumade cubos, la que no corresponde.

al + bl=(a + b)(a'-ab+ b')

Luego, el factor cuadrático sería x' - 3x + 9.

O) y E) Al no reconocer la factorización involucrada,se obtuvieron respectivamente de las siguientesigualdades:

Xl - 27 = (x + 3)(x' - 9)Xl - 27 = (x - 3)(x' + 9)

Las expresiones algebraicas que componen lamultiplicación tienen un término común x. Luego, elproducto corresponde al producto notable:

(x + a)(x + b) = x' + (a + b)x + ab

En este caso, se tiene que:

ex - 3)(x - k) = x' - 2x - 3

De lo anterior, (-3)· (-k) = -3, entonces3k=-3 =} k=-1.

,33~i5.~

Distractores:

A) Y O) En estas alternativas se consideró que el valorde k corresponde al coeficiente de x, entoncesk = -2 o bien k = 2,

e) Al utilizar el producto notable,(x + a)(x + b) = x' + (a + b)x + ab. Secometen errores al despejar el valor de k; porejemplo:(-3) • (-k) = -3, entonces3k=-3=}k=1.

E) En esta alternativa se consideró como el valor dek al término numérico obtenido en el desarrollode la multiplicación de expresiones algebraicas,lo cual es incorrecto.

S1~~~::;'"~~...,(j

m ~~;f·~~~i~~i~~~~.f[~~~r

La expresión 4x2 + 8x - 60 se puede fado rizar como4(x' + 2x - 15), ya que 4 es un factor común paralos términos algebraicos que componen la expresiónalgebraica.

Además, X' + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3), entonces (x + 5)Y (x - 3) son también factores de la expresión original.

Distractores:

Al comparar las opciones A), B), e) y D) con la clave,resultan ser incompletas o incorrectas al no considerar1,11 Y 111.

ml'<~~;;'!i~~· "'~'i!Ji,,_~.~'. %Sl'~1C ~~3'~?Jt,s;s.,~_';;a,:;.,.•. '. . ':i. ,,'J?;,Ol:"';f~.:).~·,-~. _ -r..c;,..I:Io:~~ .,_~ ~A ~i!.J;.'

Para responder esta pregunta, 'Primero se puedenidentificar 105 productos notables y/o posiblesfactorizaciones involucradas.

b - 2 bl -8Entonces, al resolver , • --, - 1, seb + 2b + 4 (b - 2)

, b - 2 b' - 8tiene que' • -- - 1' b' + 2b + 4 (b - 2)'

~0~-=.,OY2Í~ _1

~ ~=1-1=0

Distractores:

A) En esta alternativa se obtuvo como resultado dela simplificación O'i no 1, lo cual esincorrecto,entonces:

b - 2 b' - 8~--·---1b' + 2b + 4 (b - 2)'

o '~~_I

~ ~=0-1=-1

Page 65: Preparacion Psu de Matematica SM

111111I

C) En este caso se consideró solo la simplificaciónpara el producto de las expresiones algebraicasinvolucradas. Entonces, la resolución seria lasiguiente:

b- 2 bl- 8

b' + 2b + 4 o (b _ 2)'

Jvi ~~~o Stv21

=1

O) Al considerar erróneamente que b' - 8 = (b - 2)',resulta lo siguiente:

b- 2 b' - 8---0---1b' + 2b + 4 (b - 2)'

b-2 (b-2)~___ o -1b'+2b+4 ~

b' - 4b + 4= -1b' + 2b + 4

-6bb' + 2b + 4

E) Esta alternativa se descarta, ya que la alternativa B)corresponde a la clave.

nl .·~~~ª".E~;e::!~~r~Jrr~~l~r~Esta pregunta apunta primero al reconocimiento delos productos notables involucrados. Por ejemplo,para la expresión algebraica x' - y se puede utilizarel producto notable suma por su diferencia parafactorizarla. Entonces:

x' - y =(x+ v'Y)( x - v'Y)Luego, al simplificar la expresión, se tiene que:

(x - JY)(x' - y) (x - JY)( x+ JY)( x - v'Y)(x - JY)' (x - v'Y)'

_b4Yf (x + JY)'- b4Yf=(x+ JY)

1 ?A rl A\/C _ lA .,1" •......:..: .

Distractores:

A) En esta alternativa se comete un error al realizar losiguiente:

(x-JY)(x' -y) _ ~(x' -y)

(x-JY)' - ~=(x'-y)

B) En esta alternativa se comete un error al considerar

que (x - v'Y)' = (x' - y).

Luego:

(x - JY)(x' r y)= (x _ JY)(x-JY)

O) En este caso, no se consideró que

x' -y = (x-JY)( x+JY).Luego, al resolver, se obtiene la expresión

b1YJ(X'-Y) ,x -[yy ,que no es irreducible.

f .. F1 x- y~y)

E) En esta alternativa no se simplifica correctamente

(x - JY)la expresión ---, y se obtiene ( x - ff).

(x - JY)Luego:

(x - JY)(Xl- y) =(x - JY)( x - ff)( x + JY)

= ( x - JY)' (x + JY)

~..;~

e-o .'S~-o2

!I -.'

P-~

.I:-ot.

~ I ~'"'"41e-Q.-v·

=s I .o.,",,-

m CLAVE1(

Para responder de manera correcta esta pregunta,primero se puede analizar cada una de lasproposiciones por separado y detemninar si entregansuficiente información por si solas.

Al considerar válida la condición (1), se tiene quex'" y. Además, la expresión se puede escribir de lasiguiente manera:

x' + y' = (x + y)(x' _ xy + y')x-y x-y

Entonces, para saber el valor de la expresión esnecesario conocer los valores de (x + y) y (x - y). Porlo tanto, la condición (1) por si sola no es suficientepara contestar la pregunta.

Por otra parte, si solo se considera válida la condición(2), se tiene que:

x' + yl = 2(x + y)x-y x-y

Luego, la condición (2) por si sola no es suficientepara contes1ar la pregunta.

Para poder calcular el valor pedido es necesarioconocer los valores de x + y, x - y o x e y.

Por lo tanto, para ambas condiciones se necesitaconocer estos valores. Finalmente, se requiereinformación adicional para contestar la pregunta.

m CLAVE C

Para responder de manera correcta esta pregunta,primero se puede analizar cada una de lasproposiciones por separado y determinar si entregansuficiente información por si solas.

Al considerar válida la condición (1), es posible reducirla expresión propuesta y establecer si se puedesimplificar por la expresión a - b o b - a.

a' -b' + a-b

a' - b'(a - b)(a + b) + a - b

(a + b)(a - b)

(a - b)(a + b + 1)(a+ b)(a - b)

a+b+1=--

a+b

Para poder calcular el valor de la expresión se debeconocer el valor de a y de b o de a + b. Por lo tanto, lacondición (1) por si sola no es suficiente para calculardicho valor.

Por otra parte, si solo se considera válida la condición(2), se tiene que

a' - b' + a - ba' - b'

(a - b)(a + b) + a - b(a + b)(a - b)

(a-b)(a+b+ 1)(a+b)(a-b)

Luego, no es posible simplificar por a - b, ya que sia = b, se estaría dividiendo por cero. Por lo tanto, lacondición (2) por si sola tampoco es suficiente paracalcular el valor de la expresión.

Si ahora se consideran (1) Y (2) de manera simultánea,se tiene:

a: -b: +a-b _ (a-b)(a+b)+a-b

a' - b: - (a+ b)(a-b)

yvo)(a+b+l)t,~ j(l)a;1Ob

(a+b)yu)

a+b+:=--

a-b11

10j(2)a+b = tO

Por lo tanto, con ambas condiciones es posiblecakular el valor de la expresión.

Page 66: Preparacion Psu de Matematica SM

111111

1. Ecuaciones.Ó:« ·.·~~~-~::I<;~;;·?,:--~~.:;: ': ~;~:~"',~-- > -: .. ~: ~!~: ,,- '?~_':;_~.-~~;~~;,:jé!~T~~f¡!;.\~·:-;'B,'~~~?:~~::.~~·~_Jt,:,.'i~-'~~,-

Una écii¡dó~"'e'st¡n~'¡gú~ld~(f~ritre'óo~ exp;esioñci' algeb~~~~.t6~;ti~~~~~$1(tm~lvSri~b¡~ih·i~~·~~·desconoo(las,'tiámad~íncÓgnnas. Ademés, puede tener ¡¡ria'o'~vkn~'S0i(Jci6ti8~;l:it.i'fT~>.;,~,t. - .

," ''.,;~··,~'''~·'~/i~h~-d;-~.!~~'::.~:~~~-'.'.~'::~~I:'~:~'.,..'>:',~:_~'~'-~':'<"':rib'. "'~'!.s~?,'j~:.::;'~Si la igualdad eSveraaaernpara 'áíálqúiérvafof de lasi~éógñiiá

::;,~~fª,\;i~<jj1;~;;e¿:frii~,~;l~:ijf~~~¡"Rif!\N,g?"c'" ",_x'" 2"; 5 és üna"ecuación,'yaquÚs una igiÚlldadentre dos expresioiíeS,'alieó~icas que esvérdadera ~H\:cuando e,l;a!~~~.~~I:in(~~~~~1,3/,~;d~ir;t,ij:1.r./ t;:t{,~~~~g}i~~;Z~lY~WL.;::.,.';: '.' ··:':;i?;~(x + 1)2 = x2 + 2X :. I eS'una identidad, ya,que es.verdadera ¡Jara'cúaIquier numero real x:';' .l'· '1;7:··W[;.;r::

'_ ,F.-., __ _ ,.. -··'1-';7 -,_.'.:' :~,,,:,;:':~;i".LM":.'-~-:t ~~·.::',~·~';~v~i.!..·:i.:.~..,:~:~....•,~.:i:.~'.. -','"i'l, :t¡,;:::;-":

Para compró bar si un valor es'S;;1~dónde la ~;ciÓn; .~~det¡r:'~isati~':c~' I~'fg~ald~d/'s~d~be reemplazar;:;' ~la incógnita por dicho valor y verificar que se cumpla la igualdad, ' ,::,o~.·. , ó ", ,;;,

.'i'- "o- ~

Ejercicios resueltos

1. Determina si x = 1 o x = 2 es solución de la ecuación2x+3-x=7-x,

Sise reemplaza x = 1 en el lado izquierdo de la ecuación, se obtiene:2 • l. + 3 - 1 = 2 + 3 - 1 = 4; mientras que en el lado derecho se obtiene:7 -1 =6.

Como los resultados son distintos, se dice que x= 1 no es solución de la Ecuación,Por otra parte. al reemplazar x = 2 en el lado izquierdo de la ecuación, seobtiene: 2 • 2 + 3 - 2 = 4 + 3 - 2 = 5, Y en el lado derecho: 7 - 2 = 5.

Por lo tanto. x = 2 es solución de la ecuación. ya que en ambos lados de laigualdad se obtuvo el mismo resultado.

2. ¿Son verdaderas las siguientes proposiciones?

.x+3=x+2 ~2-x¡=3-x¡

Se dirá que ningún valor las hace verdaderas; por lo tanto, son falsas.Por ejemplo. si se utilizan en estos casos propiedades de la igualdad. se lIegariaauna contradicción.

x+3=x+2x + 3 + (-x) = x + 2 + (-x)

/ + (-x) Propiedad aditiva/ Neutroaditivo

I 3 = 2 1.. Falso

11n ("1 Alle AA •••• ,... ••••• .:;.: •••• _

. '~ =z.>:..-:;. --

En general, en lasecuaciones se utilizan lassiguientes propiedades delas igualdades:Propiedad aditivaAlsumar una mismacantidad o expresión a unaecuación, la Igualdad semantiene.Sia. b, CE:::a = b si y solo sia+c=b+c.

iJ.1 a. 9(x + 1) = 9x + 9 d. 3(u 2) - (z + 2) = 2z + 4¡O:.4

~ • •b. IOy-2=2-1Oy e. 9,4 + O.6Q= 2(0,3q + 4))

~ •c. 14 + x - 84 = 2(x + 30) 1. 0.5(1 - x) + 0,5(1 + x) = x

~ •

. .

Propiedad multiplicativaAlmultiplicar por una e-omisma cantidad o expresión 8 ~:J

no nula una ecuación. la 'O 1Kigualdad se mantiene. ~::J

'"Sia. b, c E 2 con c "" o: '"'" ~a = b si y solo si 'O ":g ~a'c=b,c s:e ¿:e,

:< :;;'" .. '"iG "'"c: §o'o u~ ~q ~

••••Ejercicios propuestos

L Clasifica en ecuación o identidad cada una de las siguientes igualdades. Para ello, escribe ecuación oidentidad en el espacio correspondiente.

2. Comprueba si el valor dado para cada incógnita ~. solución de la ecuación .

a. x + 25 = 2x + 13, para x = 12. d. x' + x = 6. para x = 2.

b. 3y + 4 - 12y = 5 - (y - 3), para y = -D,S. e. ~ - 2b=6, para b = -3.

c. ~a - (~- ~a) = 5, para a =12.3 4 3 4

f. ~ _ 5 12 - [; - -;. para x = 2.

3, Representa con una ecuación los siguientes enunciados. Observa el ejemplo:

El cuádruplo de un número equivale al mismo número disminuido en siete unidades.

Ecuación: si x representa al número, entonces se tiene que: 4x = x - 7.

I¡11

a. Lasuma de dos números impares consecutivos es 172.

Ecuación: __

b. Lasuma de tres números enteros consecutivos es 456.

Ecuación: _._-----------------~--

c. Dos números positivos están en la razón 4 : 5 y el doble del menor es seis unidades mayor que el mayor.

Ecuación: _

d. La mitad de la suma de un número y 3 unidades equivale al mismo número disminuido en 3 unidades.

Ecuación:

Page 67: Preparacion Psu de Matematica SM

1.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Una ecuación que puede ser reducida a la forma ax + b = 0, con a, b É ~ ya", 0, se llama ecuación deprimer grado con una incógnita. En este caso.la incógnita es x y la ecuación es de' primer grado, ya que elexponente de x es 1. .' • ..,,.,::: ';~~;;-:. ',"" ..» .

Resolver una ecuación consiste en determinar el o los valores de-la incógnita qué satisfacen la igualdad. Paraello, sé debe "despejar" la incógnita aplicando las propiedadésadñíva o multiplicativa.'· .

Un procedimiento para determinar la solución de ecuaciones del tipo ~ + b = Oes el siguiente:• ..: ••• ,.,w, •..•

ex+b=ü Isum~el~versoad~Mldebax+b+(-b)=-b . jreducrtérminossemejantes

(il(=-b ~Jmut~OCir porelilversomul~OCatMlde a

.l . (il(=.!.(-b) jsmplifaa a

x=-!2.a

Ejemplo: la ecuación 3x - 5 = O es de primer grado con una incógnita de la forma ax + b = 0, con a = 3 Y

b = -5. Entonces, la solución de la ecuación está dada por x = _ (-5) =~.3 .3

Las ecuaciones permiten modelar diversassituaciones y, con ello, determinar la solución al problemaplanteado. Para esto, se deben definir las incógnitas del problema, adecuándolas al contexto de este.

Ejercicio resuelto

1. La suma de dos números es 19B. Si el mayor excede en 30unidades al menor, «uáles son los números)

Si se designa por x al mayor de estos números, entonces elotro número es x-30, ya que el numero mayor excede en30 unidades al menor. Luego, el problema se modelaría de lasiguiente manera:

x + x - 30 = 198( reduciendo términos semejantes2x- 30= 198

Luego, si se aplican las propiedades aditiva y multiplicativa paralas igualdades, se tiene que:

2x - 30 = 198 (+ 302x - 30 + 30 = 198+ 30

12x=228 (0'2

)Zá"=114=;Luego, los números son 114 y 84.

• Una ecuación con coeficientes enteros esaquella que involucra solo números enteros.

Ejemplo: 8 + x = 2 - 3x8 + x = 2 - 3x ¡+ 3x

8 + x + 3x = 2 - 3x + 3x4x+8=2 (+(-2)

4x+8+(-2)= 2+(-2)4x + 6 = O <- Ecuaciónreducida

t __~x=-j- 2

La solución de este tipO de ecuaciones nonecesariamente es un número entero. En el. I 3_ejernp o, x = --E z:

2

"•.

,:~"ti~t-;t.1•.•.

17-1

¡

::'

•••Ejercicios propuestos

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. Para ello, analiza el ejemplo.

• Así como hay ecuaciones de pnrner grado conuna incógnita y coeficientes enteros, tambiénexisten ecuaciones cuyos coeficientes sonfracciones y(o decimales.

Para resolverías se puede multiplicar cadacoeficiente de la ecuación por el mínimo comúnmúltiplo de los denominadores de las fraccionesinvolucradas. Así, la ecuación resultante lendrácoeficientes enteros,

Ejemplo:

x-4 x 1- + 2 =- + -(·m.cm.(2,4, 6) = 124 6 2

3(x - 4) + 24 = 2x+ 6

3x-12+ 24=2x+63x+ 12 = 2x+ 6/ - 12 - 2x

x =-6

a. 6x + 12 = - 3x + 15 f. 3.b + 2 = 3. - b3 7

2x-8 3x-Sg. --+5=6---

5 4

2x-1 9x+lh. -=--+x

ó4 16

3z 2z z 5z-+-=---2 3 2 2

j. 2P; 6 = 1,5(¡-1J

b. 0,3a - 7 + a = ISa - 0,1

c. 4(3y - 3) + Y = -(5y - 1) + 3

d. 7x + 3(9 - x) = 8(3 - x)

5e.0.2sz+10=-(z-3)6

~ Marca la alternativa correcta.

1. Si al sumar cuatro números pares consecutivos resulta 364, «uél es el menor de estos números?

A) 44 B) 50 E) 94C) 88 O) 90

2. El largo de un rectángulo es el quíntuplo de su ancho. Si el perímetro mide 84 cm, «uáles son lasdimensiones del rectángulo?

A) 7 cm y 35 cmB) 14 cm y 70 cm

C) 39,5 cm y 44,5 cmD) 18,5 cm y 23,5 cm

E) 21 cm y 63 cm

30 Un ciclista se inscribe en una carrera que consiste en recorrer una distancia de 60 km. Si el competidortoma un descanso después de avanzar 20.500 m, «uánto le falta por recorrer para terminar la competenciaciclística?

A) 395 km C) 39,5 m E) 3,95 kmB) 395 m O) 39,5 km

~

4. Leonardo lee la quinta parte de un libro el lunes. Si entre martes y jueves lee dos tercios del resto más17 páginas y termina la lectura del libro el día viernes leyendo las 11 S páginas que faltaban, ccuántaspáginas tiene el libro?

A) 390 páginas B) 395 páginas E) 495 páginasC) 450 páginas O) 490 páginas

Page 68: Preparacion Psu de Matematica SM

111111

1,2 Ecuaciones literales

~ .~ ""0-'> ~ 'Ós .,_ ,',' ,- '4

Una ecuación literal es aquella que además de la incógnita tiene una o vanas letras (constantes literales).Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el mismo procedimiento que se emplea en lás que tienen'coeficientes numéricos, pero la solución quedará expresada en términos de constantes literales. _ .'

:-',', ',' - .

Ejemplo:

ax+2x=5-a. 1

x(a+2)=5-a j--;a#-2a+2

_1_', (,A 1r-; A X~LJ =--(5-a)

~L) (a+2).1

5-ax=--

a+2

En este caso, el denominador de la expresiónresultante debe ser distinto de cero, es decir, a # -2.

Ejercicios resueltos

'" ,,:.{~-,;. .t~.":

"

5-aPor lo tanto, x = -- con a # -2 es solución de.l<!

a+2ecuación.

, Verificación:

.;"':a(!:~~}2G:~)~~-a:• 1 [5 a j.~0 =5-a.

5-a=5-a

l. La posición ~ de una particula que se mueve con rapidez inicial VD desde una posición inicial X. en un tiempo testá dada por la fórmula X,= x. + vol Calcula la rapidez inicial de una partícula que a partir de los 5 m tarda lOsen llegar a los 30 m.

De la fórmula se pueden obtener (i) 1\,= x, - vot .. x -x(11) V = _,__ o .l >' Oo t'

(iii) t = x. - x,-,

Como en este caso la pregunta hace referencia a la rapidez inicial de la partícula, se utiliza la fórmula (ii). Se tiene30m- 5mentonces que: Vo = = 2,5 mIs.

105

2. El área (A)del siguiente trapecio es 27 cm', «uál es la medida de b?

Si se despeja b de la fórmula A = a + b -h, se tiene que:2--a=Scm_~

A = (a + b) ,h l : 22

12A=(a+b).h 1·¡-;;h>,O2A-¡;-=a+b

2A-¡;--a=b

/ + (-a)

Luego, reemplazando 105 valores de a, h y A. se obtiene:

2·27 cm' 54b = - 5cm=-cm - Scm =12cm - Scm = 7 cm

4,5 cm 4,5

~\d'J ~;c .•..o·

:Q -~:9,"

c'

'8:l

~o-s.=' _:~.'"re~~a:

Ejercicios propuestos

1. Resuelve las siguientes ecuaciones literales.

a. 3a(c + 4) - a(c +b) = a(c + 7)

[c= Jb. y-3(a+p)=5(y-lla+p)

( I! p=\ J

c. F =GM,mr'

2 3e. -=b--a c

a=\~_-------~

f. mX+b=anx+c

x=

nx-rnxg. --=x+mn

m= -..J_~.- --_.~--'--------- - --X=

x+2 xd. -=-

t + 2h .y + z. O,12S-9(V-3Z)=4(Z-Y)

5

x= y=

~ Marca la alternativa correcta.

1. Dada la ecuación 2ac - b = a - 2 + 4b, Si a = - 1 Yb = 2, «ual es el valor de e?

A) 7 B) 3,5 e) 2,5 D) -3,5 E) -7

2. Respecto a la ecuación (5 - 2k)x - 3k + J2 = O, «uál es el valor de k si x = - J?

A) -7 B) -3,4 C) O D) 3,4 Ej 7

S· l' (P) d . . I '1' a + b + Se b b . '1 I3. I e penmetro e un tnangu o equi atero es --- cm y se sa e que a = 4, = 8 Y c = 1, «ua es a4

medida de 105 lados del triángulo?17 17

A) - cm B) -cm4 12

13e) -cm4

D) ~cm12

13E) -cm

12

4. Si el perímetro de un rectángulo es (8x + 4p) cm V su largo mide (3x + p) cm, «uál es la medida de suancho?

A) (2x + 2p) cm E) x + P cm2

B) (2x + p) cm e) (x + 2p) cm D) (x + p) cm

~

Page 69: Preparacion Psu de Matematica SM

,¡¡¡ ~ i

1.3 Ecuaciones racionales

Una ecuaóón racional es una ecuación cuya incógnita está en el denominador de las expresiones algebraicasfraccionarias que componen la igualdad,

, 1 3 p+2 1Elemplos: - = -, -:,:-'-_-x-l 8 P -2p+l p-l

Para resolver una ecuación racional se pueden seguir los siguientes pasos:

1° Se calcula el m.em. entre los denominadores de las fracciones algebraicas y se establecen las restriccionespara las cuales las fracciones algebraicaspresentes no están definidas,

2° Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. y se simplifican las fracciones algebraicas.3° Se resuelve la ecuación obtenida.4° Se verifica que el valor obtenido es solución de la ecuación racional.

2 1 3Ejemplo' -+-=- /·m,c.m.(x-l,2x,X)=2x(x-l), x-1 2x x

2.2x,{V1) 1.)X'(X-1) 3·2j(X-1) /' Iif' drD +;f. j smp lCan o

4x+x-1=5(x-1)SX-1=5x-5 j+(-5x+1)

-x=-S /-(-1)

x=5

Finalmente, se comprueba que x = 5 es solución de la ecuación racional.Reemplazando en el lado izquierdo de la igualdad, se tiene que:

2 1 2 1 1 1 3-+-=-+-:::::-+-==-S-1 2·5 4 10 2 10 5

Luego, reemplazando x = S en el lado derecho de la igualdad, también se obtiene ~,S

P I I " di' 2 1 3or o tanto, x = 5 es so uoon e a ecuaClon- + - =-.x -' l 2x x

Ejercicio resuelto

1. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación ~ + 1= _6_?x-2 x-23x 6

- + 1= - /. (x - 2); x ;é 2x-2 x-2

3x0 5fJ/Ílo +1(x-2)= 03x + x - 2 = 6

4x = 8

x=2 •• Cuando el valor encontradosea una de las restricciones,la ecuación no tienesolución,

~ "'le ,-..... ..

La división a : b no está definida para, 2

b = 0, Por e¡em;:;lo. la e.xesión --, 2x + 1

d . ~ 1no esta enruca pera x = - -, va que2 'al reemplazar en el de-::,mrnador de laexpresen dicho valor se obtiene cero,En todo igualdad de fraCCiOnesalgebraicas se cumple lL~:

~=~= a·c=c·bb d

Donde by d son distllllljs de cero,

i.~~i~

~,

'%1:

{?~'\:

."

.~.

Ejercicios propuestos

1. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales y verifica la pertinencia de la solución obtenida.

2x 1a. --+--=2

x+4 x-Sd. Y - 3 = 1+ 5y

y+2 Sy-l

b 'i.:J.. _ ~ = _1_, y+3 y-3 y-3

x-2 x-4e, --=--x-l x-S

a+ 2 2c. --=-a' - 4 5

3 2 1f -+-=--• Z - 1 z + 1 z' - 1

2. Analiza el siguiente procedimiento. Luego, resuelve,

, 1 1 " " "Al resolver la ecuación 1+ -- = =, se tiene qüe para x ;é O Y x ;é -1 es posible realizar lo siguiente:1 51+-x

1 1 1 1 x 1 x+ 1+ x 1 2x+l ¡--1+ --= -<=) 1+-- =-= 1+ -= -<=)---=-<=) -- =-

1 5 x+l 5 x+l 5 x+] 5 x+l 51+ -x

;i

. 4<=)5(2x+ 1)= x + 1<=)IOx+ 5 = x + 1<=)9x= -4 <=)x=--

9

Finalmente, la solución de la ecuación es x = - ~,9

a, -1+_1_=123-~

x

b. w-3- =1w-3-'!!.

3

[m Marca la alternativa correda.

En una fracción, el numerador corresponde al sucesor del denominador, Si al numerador se le suman10 unidades y al denominador 6, se obtiene 1,5, ¿Cuál es la fracción original?

A) ~2

B) 24

C) ~5

O) ~3

E) !..6

Al abrir una llave, un recipiente se llena en 2 horas; mientras que con otra se llena en 4 horas y un desagüelo vacía en 3 horas, Si el recipiente inicialmente está vacío y se abren ambas llaves a la vez y se deja eldesagüe destapado para que vacíe el agua, ¿en cuánto tiempo se llenará el recipiente?

A) 3 horas B) 2,8 horas C) 2.4 horas E) 1,8 horasO) 2 horas

Page 70: Preparacion Psu de Matematica SM

2. Ecuación de la recta2.1 Plano cartesiano

~ El punto de intersección 0(0, O) de los ejes recibe elnombre de origen. '" . ';.'~

~ las coordenadas de cada punto se representan porel par ordenado (x, y), donde x (primera coordenada)corresponde al valor de la abscisa, e V (segundacoordenada), al de la ordenada.

Ejercicios propuestos

, í :1TTl'~ íI " h -.-------i. , I i '. .' ,~t-;-+-c-;:- -- --._.--'

I Tercer CUiLld[~n.1~illlL (uartº[email protected] QYtJI " I i 1

1. Identifica las coordenadas de los puntos dibujados en el plano cartesiano. Luego, escríbelas segúncorresponda. Observa el ejemplo en el plano cartesiano dibujado (punto K).

a. H(_1 __ ) f. B(_. __)

b. c( __ ~ _o) g. l( _ .._, .._.)

c. D( ___ , __ ._) h. E( ___ . __ ..)

d. I(_~ _. __) F(.__ . o)

e. A(. , . ) j. G( _.. _, __... )

a. p( ~,- 3) ~ __ .._. cuadrante.

b. B( -¡, -2n~--- cuadrante.

'\c. s(-J2, J9) ~ cuadrante.

_o, ._t"-_}F=~F~~.•..=_E . 1 H ,

--e J. . .- -. 1 .. • :

~D I 1 l'-7 -6 -? -4 -3 -2 -1,01 t 2 3 4 5_ ...!'_?_L

F-------. --.-_.--- ._.¿~-.~----_ .. --

d. A(I, -X'); XE IR:. ~ cuadrante.

e. H(a, -b); a, b E Z-. ~ cuadrante.

f. Q( b', ~} a, b E z- ~__ cuadrante.

1.

Ie-o0'1~~. - ,ea.2!~:~;10,..

:-Q.,P- ..,,t;'A~{l ..'Ir

~~.,:G"~:

~..

-2.2 Distancia y punto medio entre dos puntos

Sean P(x" Y,) Y Q(~, y,) dos puntos del plano cartesiano,entonces: .

~ la distancia entre los puntos P Y Q (d(P, Q) se calculautilizando la siguiente fórmula:

d(p, Q) = ~(x, - X,)l + (Y2 - vYEjemplo: sean A(-3, 5) Y8(9, 1), entonces:

:~ )~ ri____ *_~uflC~I'If~

! p i'! 1=__+=' li ~~.:r--- X IJ __ ,+---'. - -.lt--x l.~_::-·tLó" ' l¡-- --=-=--- --- . --==--~_ _ __ . _.~_~ 1

--' '

d(A, B)= )(9 - (_3»2 + (1- 5)2

=)12' +(-4l

=Jl44+16

=.J1W=4JlQ

. (x +x V +y )~ el punto medio del segmento PQ (MpJ corresponde a MpQ T' T .Observación: como MpQ es el punto medio delsegmento PO. se tiene que M "equidista" o está a la"misma distancia" de los puntos P Y Q.

Ejemplo: sean A(2, -1) Y8(3, -3), entonces el puntomedio MAl! está dado por:

M (~ -1+ (-3»)=(2 - 2)A6 2' 2 2'

EjerciCiOS propuestos

.y- l.v + y " - -;';'~--7---:Q-

-2' ..--.) . ¡ •vh/¡' ¡

x. . X. t X,:t. X.__ 'o

2

. ~ , :~ :,~ . ., :~<,.. ,; ~~.~~~.~~~-": .'. . -" .~ - .El plano cartesiano está determinado por dos rectas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas, y porcuatro cuadrantes. . '.'. . . '" .. ,~:~-:.~~; .'" ..:,.... ,.~ El eje horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las"" .j1 1 I 1 I I I h 1 ; ! 1

ebsdsas, .' "~g¿noo '[email protected] ItI\ Primeicua.drMle..(!L~. , . '1111" ~

~ El eje vertical recibe el nombre. de eje Yo eje de las 1 i 1 I 1 ' ¡, p~-y)-¡i rordenadas. ., ¡"I,," 1

I ! I 1 ¡ II lit f),. v '

~·~t-=~~~~~~tG~_~~~~-~~'__~'-2. Analiza los siguientes puntos. Luego, escribe en qué cuadrante del plano cartesiano se ubican.

Calcula la distancia y el punto medio entre los siguientes puntos del plano cartesiano.

a. P(I,I)yQlO,nd(P, Q) = MpQ=

b. H(81,9)el(le4,12) .

d(H, 1)= MHI=

c. w( .JS25 , - 25)Y X(-25, 5)

d(W, X) = MI'" =

d. c( J9, 16) Y D( 10, J4OO)

dCC, D) = Mco=

Page 71: Preparacion Psu de Matematica SM

2.3 Pendiente de una recta

Ejercicios propuestos

1. Considera la información del recuadro. Luego, responde.

Rectl oblicua Recta oblicua Recta horizontal Recta vertical

~~,

y y...

-X XT

m>O m<O m=O m no está definida

a. SeanA(-], 1), 8(0, 3), C(1, 1), 0(1, -1) Y E(O,O). Determina graficamente si m = O,m < O,m > Oo no estádefinida para las siguientes rectas.

~ m-AS

~ m-DA

~ m-EB

~ m-«. ~ m-BC

~ m_CE

b. Respectoal ejercicio anterior, de las siguientes rectas: AS, Ac, DA,Be, ES y CE, Lcuál(es) de ellas es (son)horizontal(es)? ¿y cuál(es) es (son) vertical(es)?

1 An ,.... Al,"" •• _~ __ .J •• __

•••2. Calcula la pendiente (m) de las siguientes rectas. Observa el ejemplo.

I "'1 17 y,Sise consideran los puntos A( -], 3) Y B(O, 1) de la recta AB .I 111 !

\' dibujada, se tiene que:I i\I i.\ B r- 3 -2m=--=-=-2i ¡ 0-(-1) ]1 i ~I

- I _1 I ~ iD Finalmente, la pendiente de la recta es -2.I ! I ! \ I

I i i I ; 1 I1 I I I ! I, ,

a. c. yy

4

-H~~

.. _-+ 4

.------1 OT x

T

b. d. ...IY5 L.~ y

3

2

I;

-2 -1 O 1 X

t

~---_._/;' ¡q / :

3 r -------/--1~ 1

1

__ , __ -----~ :l' : •-~F~r

T

3 x

;.

~

3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas. Para ello, considera que los vértices de uncuadrilátero son A(2, O), B(O,2), ((-2, O) Y 0(0, -2).

a. El perimetro del cuadrilátero es Jl2i unidades.

b. Cada diagonal del cuadrilátero mide 4 unidades.

c. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B tiene el mismo valor que la pendiente de la rectaquepasa por B y C.

Page 72: Preparacion Psu de Matematica SM

I!

\I\

2.4 Ecuación de la recta punto-punto y punto-pendiente

" I y-y,=m(x-x,)

Esta ecuación se conoce como la ecuación de la recta punto-pendiente.

Ejercicios resueltos

1. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto A(l, -2) Ytiene pendiente m = 37

Si se utiliza la ecuación punto-pendiente y se reemplazanlos valores de x, = 1, Y, = -2 Y m = 3, entonces se tiene que:

--------=~J~-~----~--

A

y - Y, = m(x - x.)

y - (-2) = 3(x - 1)

y+2=3x-3 /+(-2)

y + 2 - 2 = 3x - 3 - 2

Y = 3x- 5

-3 -2 -1 o.. . -- - -1

3 X

.,-- --'-2

!

2. Sean B(-2 ,-3) YC(-5, 3) dos puntos del plano cartesiano. Determina la ecuación de la recta que pasa poresos puntos.Se puede utilizar la ecuación d¡la recta punto-punto con (x, y) = (-2, -3) Y (x, Y,) = (-5, 3).Entonces se tiene que: -~ -- - _o. -. -- ·-,----Y .--.- - -- --

C , ~ ._._. __~

(y -y Jy-y = -'-' (x-x)

'x,-x, 1

(3-(-3) )Y-(-3)= -- (x-(-2))-5-(-2)

6y+3=--(x+2)3

y=-2x-4-3y=-2x-7 -' _. !

----_., ..-. -------·+------2! I ¡-r-;---~-¡

~2 -1 O 3 x '

--~--~\-t~21---+---.--0- --3

_:........:_L. _

.','0

c·-sJ' •".e-" 4.0.' ~"'~•...~,='~ 7

If ~-~o. .....

:¿;'.~</l •.

~l~º.~.ef¿'

1-iM'".~~t~.,¡.-4>-'

~.~

~"'.j,'j'-'

-~

::c-t

Ejercicios propuestos

1. Escribe la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos.

c. T(O,3;~}U(¡;-1,2}a. P(-4, 1) YQ(10, -5).

b. E(O,O) YD(-3, -3). d. A(~ ~)YB(-~ -~).2' 2 2' 4

2. Escribe la ecuación de la recta en cada caso. Para ello, considera que cada recta tiene pendiente m y pasapor el punto dado.

a. m = -2 YA(2, -3)2

c. m = '3 Y D( 1, 2)

b. m=3YBU,n d. m=J5YF(-J3.2J3)

3. Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde .

.. Y-J a. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, By G

b. Escribe la ecuación de AB, Be y CA.

c. ¿Cuál es la e~aci~ de la recta que pasa por los puntos mediosde los lados AB y BC 7

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe Vo F según corresponda.Además, considera que las coordenadas de los vértices de un cuadrado son A(-2, -1), Bü. -1), «1,2) Y0(-2,2).

a. ____ La recta que pasa por los puntos A y B se puede representar con una recta vertical en el plano.

b. 3 1 la ecuao d I____ Y = - x + - representa a ecuaoon e a recta que pasa por los puntos e y D.2 2

c. ____ La recta que pasa por los puntos B y D se puede representar con una recta oblicua en el plano.

Page 73: Preparacion Psu de Matematica SM

:I2.5 Ecuación principal y general de la recta

.:~ ',:,·';.!'I:1':. -;·.•..•1'•.(. '

~ Al conocer la pendiente mde una recta l y el punto P(O, n) de ¡nters~ción con el eje Y, es posibleescribir algebraicamente la ecuación que representa a la recta de la siguiente forma:

."': .;.. . '.~

y=mx+n~t,Pendiente Coeficiente de

posición

Estaecuación se conoce como la ecuación principal de la recta.

~ Toda recta en el plano se puede representar por una ecuación de la forma kx + By + C = 0, donde A, B Ye son números reales, tales que A o B son números reales distitntos de cero.

I Ax+By+C=a IEstaecuación se conoce como la ecuación general de la recta.

Observaciones:

i) Si A, B E R - {al, la recta es oblicua.

ii) Si A = a y B oF- O, la recta será horizontal; mientras que si A oF- OY B = 0, la recta será vertical.

Ejercicio resuelto

1. ¿(uál es la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos C(I, -3) Y0(-2,1)7

Si se denota por L a la recta que pasa por (y D, entonces la pendiente (m) de la recta L se calcula de la siguiente

1- (-3) 1+ 3 4 la ecuaci .. I d I 'bl '1' Imanera: m = -- = - = - -. Luego, para encontrar a ecuación pnnclpa e a recta es pOSI e unnzar a-2 - \ -3 3

fórmula de la ecuación punto-pendiente.

Al considerar (x, y,)=(I, -3),se tiene que:

A partir de esta ecuación principal de la recta se puede deducir que su

pendiente es - ~ y que la recta intersecta al eie y en el punto (0, - ~ Jes decir, su coeficiente de posición es -~.

3y

v - V, = m(x - x.)4y-(-3)=--(x-l)34x 4

y+3=--+-3 34x 4y=--+--33 34x 5y=----3 3'----------y---

D_

c

1 1-"' . ,_ .. -

xo-3 -2

..----L-·.· ····~·-lJ...··-·-..·--~····-.. ·-

Ecuación principal de la recta ·--····-2 ¡'- i 1I, I_._. J

••• 00_ -3

''$.'.r¿

'~

Ejercicios propuestos

-1. Identifica la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) en cada ecuación de la recta

1___ n=___ d. y=-5x+-2

a. y = 2x - 1 m=

b. y=x m

3c. y=--x+1 m5

m= n

___ n=___ e. y=-4x-1 m= n= _

' n=___ f. y=-D,2x+0,25 m= n

2. Analiza la información. Luego, escribe el valor de la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n).

A partir de la ecuación general de una recta,con A, B, C E R (B oF-O), es posible realizar losiguiente:

Ax+By+C=O j+(-kx)+(-C)IBy=-kx+(-C) ¡.-B

y=-~x+( -~)

Ecuación principal de la recta con pendiente

A f . d . em = - - y coe IClente e pOSIClonn = - -.B B

Ejemplo: si se tiene la ecuación -5x + 4y - 1 = 0, es posibleescribirla en su forma principal de la siguiente manera:

-Sx + 4y - 1=° j + 5x + 1

. I4y = 5x + I ir>:

45 Iy=-x+-4 4

j. .: /_ ....- - _. - - - . -. .. -_.-

. .. .J >: ../- •• - - p' o O'x

-'i:/ _o

/ :~'~

a. 2x + 3y - 5 = ° c. 3x - y = O

m= . n= __ . __

,~I ..

2'i'

- 3.

~

-~

b. -x+2y-1 =0

m= n= _

m = _ n = __. .

4d. -x-21y-l=a7

m= _ n= __ ._.. _

a. pasa por MAS y MBC

Dados los puntos A(3, 4), B(O, 5) y (-2, -3), determina la ecuación general de la recta que:

b. pasa por M;.: Y Mc,'

Page 74: Preparacion Psu de Matematica SM

- ..:.:;:-.,,·<:i~ ',. ,:.- .~:''~~~~,::~~~f~'~~'¡~~;{1~?:?~~,t~:·T~~'.'-'..Sise tienen qos.[ectas en el plano cartesiano, estas pueden ser_;'\-'h"{~'< !,,:

,~ ~ .. Se~;ñtes:·Se intersectan en un solo p~rÍt~:', ':_,z ;; >:..;,~'f,~>:~'l' -,.•.- t'·~·. t';.. '.'.• -:'" ~ '.'. -...•...:t::::-~~'.:.~ '-:-~ ':;<¡':.;.. ':"l¡,.:..:.;J.t.~~~ :..1:-: ' ~ .•;.:: ~ Paralelas: no se mtersertan .. ··;·~ . _ . - ."""".', ..:,;,

:; '.' /ó~s r~:~'v..~_no ~ertical~,;~~:p~r~I:~I~S.Si_;~~~\~~~i~~n~.ie~t~.~':'> 'L,:Y=f1Í¡x+n, ,;- y -, :'" • \

~:Y~Tl.~n2· ';' J ·)yri~~,'?~~:,'~I~, '." '. .. . ,><. ISi además de cúmplir la igualdad]n, = !fl2 se tiene que ", =."2' entoncesse dice que las rectas son coincjdentes,es decir, son la misma recta.

2.6 Rectas paralelas y perpendiculares

,. ,..

m,=m,

I ..,e; ,.

x

~ Perpendiculares: se intersectan eri un solo punto y forman cuatro ángulos rectos (90°).Dos rectas L,y ~ son perpendiculares si y solo si cumplen una de las siguientes caracteristicas: .

Caso 1: si m1 y m, son las pendientes respedivas.entonces m, ·m2 = -1.

L,:y=m,x+n, y

L,: y = m; + n, I'J t- t,

•• 1/ "lA •• xm,·m,=-I

I L, .1L,<=}m, ·m, = -1 I

Caso 2: una de las rectas es horizontal (pendiente igual a cero) y la otra es vertical(pendiente no definida).

1. Si se consideran las rectas L,: y = 2x - 3, L,:2y + x - 4 = OY l,: -~ + y = 1, «uál es la relación que hayentre ellas? 2 4

La ecuación principal de cada recta es:

L,: y = 2x - 3, entonces m; = 2.L . 2y + x - 4 = O luego y = - ~ + 2 entonces m = - .lz , 2' '2'

L,: -~ + y = l. luego y = 2x + 4, entonces m, =2.2 4

Ejercicio resuelto

Finalmente, se tiene que:

m • m = 2 .(_J..) = - 1 entonces L .1 L'1 2' ".

1m . m = --·2 = -1 entonces L, .1L1 '2' J'

m, = rn, entonces L,II L,.

--~~- L,

":~

".",jíe ,1;,

-O'0u:>

'Uec..

~~I ~:21il'; -• :=:~:2"';'- ;:;:<f>~ --~¡f. ~§~

'O.'","":;·~ ~o: --

u

--.Ejercicios propuestos

1. Analiza las rectas L,: 2x + 3y - 6 = O; ~: y = ~ x - 1; L,: y = 1,5)(, Y L.: y = -~x. Luego, responde.2 3a. ¿Es cierto que las rectas L,y L, son perpendiculares? Justificatu respuesta .

b, ¿Qué rectas son paralelas entre sr Justificatu respuesta.

c. ¿Es cierto que las rectas l, y L, son perpendiculares? Justificatu respuesta.

d. ¿Cómo clasificarías las rectas L, y L,?¿Por qué?

2. Analiza la siguiente figura. luego, responde.

A(I,3) 8(6,3)----2

---'----- 1

-2 -1 o

a. ¿Esverdad que las rectas ASy CD son paralelas?Justificatu respuesta.

b. ¿Escierto que las rectas ADy SCson rectas paralelas? Justifica tu respuesta.

rm Marca la alternativa correcta.

1. Si las rectas L,: 4x + (zk - 3)y - 2 = OY L,: 2x + 3y - 6 = O son paralelas, «uál es el valor de k?

A) ~ B) _~ C) ~ D) _~ E) ~4 4 2 2 4

2. ¿Cuál es la ecuación de la recta l, que pasa por el punto (-3, 4) Y es perpendicular a la recta L.: y = 3x + 9?x x x

A) y = -3x + 9 S) Y= -x + 3 C) y = - - - 3 D) Y = - - + 3 E) Y = - - - 3339

3. los puntos A(l, 1); S(5, 1); C(6, 3), Y D(2, 3) forman un cuadrilátero. ¿qué tipo de cuadrilátero es?

A) CuadradoS) Rombo

C) RectánguloD) Romboide

E) Ninguna de las anteriores

4. Si las rectas L,: 3x - y + a = OY l,: (b - 5)x - y - 2 = Oson coincidentes, «uál es el valor de a y el de b?

A) a = -2 Y b = 8 B) a = 2 Y b=B Q a=~yb=~ ~ a=~yb=2 E) a=8yb=-2

5. Si los vértices de un triángulo ABCrectángulo en A son A(O,O);B(I, 2) Y C(2k + 6, 5), ¿cuál es el valor de k?

A) 8 B) 4 Q 2 D) -4 E) -8

Page 75: Preparacion Psu de Matematica SM

I\

3. Sistemas de ecuaciones lineales

•. ' Una ecuación lineal con dos incógnitas (x e y) es t;i~YI~ad de la forma ax + by";;' c: cona, by e .números reales. . ; ; ;' ..0;' -,', '~. _

EjemDI¿: en la ecuación 1:1.. - Y ~ 1, para deterrnhar' alg~~~~ ~~nios (x, y) que setistacen ia igualdad se . 'r-

puede despejaruna de las variables y tabular los'~atós06t'enidospara graficar la ,5ituación. Así,en I¡(~; 'r

ecuaCión 2x -'y = 1=> Y= 2x - 1,se fiene; " '. - - .' i. ... - . ';,:r

x y=2x-l

-2 -5-1 -3

O -1

1 1

2 3

- '""

•. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas corresponde a un conjunto de dos ecuacioneslineales con dos incógnitas que se resuelven simultáneamente, es decir,los valores de las incógnitas debensatisfacer cada una de las ecuaciones involucradas. Algebraicamente, el sistema de dos ecuaciones linealesse representará de la siguiente manera: ax+by =el, donde a, b, C. d, e, f E IR Y x e Y son las incógnitas.

cx+dy=fEjemDlos:

0) Al considerar el sistema (1) x - y = 6(2)x+y=2

y representarlo gráficamente, es posibleidentificar Que se intersectan en el puntoP(4, -2).

(2)

y~----

(1).;

6 7 X_1 o-,-z-¡

Además, al reemplazar el punto P(4, -2), en(1) y en (2), se tiene que:

(1)4-(-2)=4+2=6(2) 4 + (-2) = 4 - 2 = 2

P(4, -2) cumple ambas igualdades. Por lotanto, el sistema tiene una única soluciónque, gráficamente, corresponde a laintersección de las rectas que representanlas ecuaciones. Es decir, x = 4 e y =-2

1.10 r., "",... ' •. ' .. _',"

00 Al considerar el sistema (1) 2x + 2y=-~(2) x+y=9

y representarlo gráficamente, es posibleidentificar que no tiene solución, ya que estasrectas no tienen ning0n punto en común. Estasrectas son paralelas (m, = m¡ = -1).

¡--- ..---- ---- ------------y12

2"

.---.B ,,'o-8 -6 -4'. -2 o-2

~ 6 12X

"--4(i)

__ o, - -6

. -8~ "(1)

~

<!.

.~~i·'¡

-Ejercicios propuestos

1. Identifica en cada sistema de ecuaciones si P es solución. Para ello, marca Sí o No según corresponda .

a. -3x + 4y = 11 P(-7, 5)x+ 2y= 3

c. 3X+2Y-7=01 P(l.2)4x - 3y + 2 = O

08 ~ ,.-----..! Sí i I No',-----,,' L----

3 11 (19 7)b. -x+4y=- P ---2 2 15' 20

2 3x-"3Y='2

d ~=x-lIP(2,O). 2

.:.::..1= y+ 12

,"----'1 Sí I._.J

~No 1

"---)NoSí

2. Analiza la siguiente información. Luego, responde;

Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si gráficamente cada una de lasecuaciones se puede representar a través de una misma recta, es decir, dos rectas coincidentes.

Por ejemplo, si se tiene el siguiente sistema de ecuaciones (1) x - y = ~ ,.3

(2)3x - 3y = 5

De la ecuación (1) es posible obtener la ecuación (2) de la siguiente manero: x - y = ~ i· 3

3x - 3y = 5

De manera similar, es posible obtener la ecuación (1) a partir de la ecuación (2): 3x - 3y = 5 l :~3

y-- _.. - -- 3

5x- Y=3

Gráficamente:: 5e~railan-.er:e. dos rectas Ioncoincidentes s ;as ecuaciones que:2; represenar son equí\·alentes. es~~:r.si al ar:¡~::fC2rpor un valor los- ernbros de v:" ce ellas se obtienenles miembros de la otra .

2 3

~ L~_ - -~- "¡----3 )- - ._. _.

__ '~"';" ,,_y' -_.~-------

¿Cuál(es) de los siguientes sistemas tiene(n) infinitas soluciones' Justifica tu respuesta.

a. 2x - Y = -114x - 2y= - 2

c. x-Y=O!2y-2x=0

2 3Sx+y=2

1 32x--y=-3 2

b.

Page 76: Preparacion Psu de Matematica SM

3.1 Clasificación de un sistema de ecuaciones

En este caso,"a '1 '15-"-,-' e': 31"" ._,'-=- -=-y-=-=-c 2'd 2 f.6 2'

a' b ePor lo tanto, - = - = - ,entonces elc d 1

sistema (1) tiene infinitas soluciones.

a b ePor lo tanto, - = -d *' - t entoncesc 1

el sistema (2) no tiene solución.

~.....•...

(3) 2x-Y=SI3x+y=8

En este caso, En este caso,

:~,::!.--~~':2 ~jy~-':5="':~~ ~~=~'y~';':-I~-~e 2' d -4 2.1-6' . c 3 d

Ejercicios propuestos

a bPor lo tanto, - *- -, asf elc d

sistema (3) tiene unaúnica solución.

1. Analiza los siguientes sistemas de ecuaciones. Luego, escribe si tiene una única solución, infinitas solucioneso no tiene solución.

a. 18x+ 24y = 27

12x-16y=18

b. 3a+ 8b = 56a-16b = 10

x 2yc. -+-=-12 33x y 3-+-=-8 2 4

~----- ~----- ~------

2. Verifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o lalsas. Para ello, escribe V o F según corresponda.

~-- .._-_._--

d. 5(P - 7) = 2(q - 9)5(q - 7) = 2(P - 9)

a. Si dos rectas paralelas representan las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales,entonces el sistema tiene una única solución.

b. _

c.

Dos rectas coincidentes representan un sistema de ecuaciones que tiene infinitas soluciones.

Si en un sistema de ecuaciones una de las ecuaciones es equivalente a la otra ecuaciónmultiplicada por una constante, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

~

~:

;~::,:,?:-2;

;,--;

,.

{I';lo;-

;:;'

""~-

-3.2 Resolución de un sistema de ecuaciones

3.2.1 Método de sustitución4\~.; :r~~:~~E~f.~:::i:~.~~jJ~r~~:~i:~.;~:k:~~}~!t~::7:::~~:,~:~:~~~:i~J:,T;j;,-~';";~i~;?~~~.}~~.':".~!:-{~-~...~;~.~~,~.~:;f:i':~~,:>;~X~~,~_~':::~~(:~~;' -;:PararesOlver 'un sistema de dos ecuaciones linealeScon'dós incógnitaS es posibleútilizar él método de ;:,:,,~~,ó~

f~~!Jl~m~l,~~V~~~.i§,~.~~ftj~~"¡:'~~i;' - 2° ,SeJeemplaza la epreson obtef)lpa en la otra ecuadón y se calcula el valor de la otra incógnita:' .?.'?)';: ;o~ ,p:,':<'~,__._: "1,' t.••;;".....~-,\;~;~.-..__~>~:: : ..••• _, ;-;"'_,.c .Ó: .;.', ••..•..• ,-':. 0,_ ~~ .._-' •.•. "c."" '_~.,,;·c-·~-·o~·_.' •• ~~._ ,-'::" ._~-",".~'::::_<¡'":;::,.,,,

., ~·.3°, FiÍialp~nte, ~reemplaz~ e5ie'v<ilo[en' una' ae'lás ecuaciones del sistema, y sé obtiené el Valordela·.'~· ,;'~~'.. }i~~ra.<,~n;e~M/,:';;,:· •. _ )L-·,:?::~L;". . . ,: '-,-,' :, ,;.~Ejemplo: para resolver el sistema de ecuaciones (l)4x'¡' 3Y=221..;.:~:.~_+,,:.:,~:,-, : . ';;;,".' '., ;',i; (Í)1+SY;;18

0'0 . _ ,'. - -~. ,!o. _ ._. _. . -."..,. '... '_', 'e.' ~

1° Si Sé despeja'l3 inéÓgnitax en ia ecuación (lÚ~ tiene que:4x+ 3y =22/ ,+.(-:3y)

.': ". 1 ..,4X=22-3Y/·-·

4 . i. 11 3 . C-':J::::.-----,- ..------------"""'----~(3)·x~--::-y--·~~<---¡~ ---\ - - .. ~

2 4 ~-3t. . (2)2° Al reemplazar en (2) la expresión (3), se obtiene: ~'--2

(11 3) I2 ---y +5y=18 f---t

2 4.' Ix,3 !~ I \c •

11-2'y+5y=18/+(-1l) ¡ o~ -11. --·--·· .. ·(1)

7 ' I-y=7=-y=2 i .•2 --- ... - .... ~------.- ..----

;..

Representaáón gráfica"

3° Luego, reemplazando y = 2, en (3), se obtiene x = ~ - ~ • 2 =- x = 4.2 4Finalmente, la solución del sistema se puede representar por el punto P(4, 2) del plano cartesiano.

Ejercicios propuestos

1. Utiliza el método de sustitución para determinar la solución de cada sistema.

a. -7x + 3y = 12

3x + 2y = 13

c. 3x+y=5

x-2y=1l---

e. ~ + 3y= 12

x+2y+2=1

f. 3x- 2y = 4

2x+ 3y = 335x

b -+3y=1. 2

3x-- 3y = 152

d. ~+L 7=03 5x y

----=-13 4

Page 77: Preparacion Psu de Matematica SM

3.2.2 Método de igualación"; " ..•• ~-, •• ; .Ó: , ):,'~' ~"', " .:.

. Otra for~~ de~esoí~~r un siste~a ~e d~s ecua~io~es li~~~I~'~on{d~s':~~6~nitases el ~ét~~~ ~e igUala~Ó~que Se explica en lossiguientes pasos: ': :',: "'X,,,,,.:~,

::'}"!'.f.~:-:-:"'- ~,,-;. ~-"'.'-. . o" .:,. '.:..;:. ,~.~:._):t~,¿:¡ttf'¡:,:',.,,;~.··?,·10 Se despeia en ambas ecuaciones una de las incógnitas,~\:,.t ,:-,\ ,

-J."¡"'':~_:-; ';':... .~> ,-', . -"0,- ,~',; '., ',:~,.~._.,..<;-t';¡;;t~:,~'".';·~f.::~'I ~'-',.

2~c,Se igu&laQlasexpresionesopteriidaseñ ~lpasoálÍle,rip{.f.g~'1':>íi~"3; S~'Cal~ul~'~1~1(;r de la incóg~ita en' la ~~dÓn' I¡~~al~bt;~(da:"'.'4°~nalrri~nte; ;e'r~mplaza en tina de las ecuadonés.del sistema elvelor obtenido y se calcula el valór de la

6tr~.i~c~gnt~>;'",; , "'"~,,,;,,:,~: ":" ' • ' "~o ~.'

Ejemplo: al utilizar el método de igualación para resolver el sistema (1) -x + y = 8 Ise tiene lo siguiente:, ,

(2) -4x+y=17

1° Si seclespeja en ambasecuaciones la incóg~itay,seobtiene:y=8+x y=17+4x

20 Al igualar las expresiones, se tiene: 8 + x = 17 + 4x,

3° Se resuelve la ecuación obtenida: 8 + x = 17+ 4x / + (-x)8=17+3x /+(':'17)

1-9=3x l r :3

-3=x4° Se reemplaza x = -3 en (1),

-(-3) +v =B

3 +v=B] + (-3)

y=S

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones correspondeal punto P(-3,5),

Ejercicios propuestos

Representación gráficar----- .-r'-------

1'(-3,5)

- 4-,

, - '3

~~.,-,-,

-3 -2 -1 o

1,---X

a, x + 2y = - 3-2x+y=l

1, Utiliza el método de igualación para determinar la solución de cada sistema,

x 2e '3+y='3

x-Y=l5

e, ~ + Y=32 4x+ 2y=12

b. 0,2x - O,3y = 1O, Ix + 0,6y = 2

d. -3X-SY=1\y=2

f. x - Sy= 1

2x+ y=-S

~.

;«:,.i&:,;¡;

~\· •••4

t.~

;~-~\~.:;'4

.,.~~-r,

~

~/

c;'-o§eª'~~~...~":":g ,.~~o:~~,.

--3.2.3 Método de reducción

" .Elmétodo de reducción es otra de las formas quese utilizan para resolver sistemas de ecúaconesíneales y",consiste en:

10 Multiplicar una o ambas ecuaciones por algún factor conveniente que permita obtener un término común',en ambas ecuaciones, pero con signos opuestos, , .,

20 Se suman las ~~acibnes res~ltantes yse obtiene as! una ecuación lineal con una incógnita, ,~30 Se calcula el valor de la incógnita en esta ecuación,4° Finalmente, se reemplaza en alguna de las ecuaciones el valor de la incógnita obtenido y se éalcula el

, valor de la otra incógnita,

Ejemplo: para resolver el sistema (1) x + y = -11con el método de reducción se tiene lo siguiente:(2)2x+5y=3

1° Si se multiplica la ecuación (1) por -2, se obtiene la ecuación (3) -2x - 2y = 2,

2° Luego, se suman las ecuaciones (2) y (3) Yse tiene: 2x + Sy = 3+-2x-'2:y=2

3y=5

Representación gráficay

, 53° Se resuelve la ecuación 3y = 5 ~ Y = '3 '

4° Se reemplaza y = ~ en una de las ecuaciones del sistema,

ya sea (1) o (2), para obtener el valor de la incógnita x

En(1),x+~=-1 /+(-~)8x=--3

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones corresponde al punto p( - ~. ~)-

_.~_~_---i- .t" a--:cs} 3'p¡ --,-

.• _-,i, _3_3 -'~

(2)x! =:......" 'Ir

-4 -3 -¡ -'~-1

-2(1)

Ejercicios propuestos

1, Utiliza el método de reducción para determinar la solución de cada sistema,

a, 2x+1Oy=-S-3x-2y=2

e, l,5x - 2,5y = 0,51O,5x + l,5y = -0,1

2x 3y 1e -+-=-

5 4 2

~-~=12 5

J

f, J2x-J3y=lJ5x-J6y=-1

x yb ---=1, 3 4

x y-+-=15 2

d. ~+Y=15 4x+y=l

H

Page 78: Preparacion Psu de Matematica SM

3.2.4 Método de Cramer

,,,

, Utilizando lo anterior, es posible obtener las soluciones de un sistema de ecuaciones 'de la forma::~'~::Id~la siguiente maner:x

ed :'~f::'/' Cua,~do ~A= 0, no es

x =A = d _ be ' posible utilizar el método de.1 a Cramer.

Este método se conoce como el método de Cramer para resolver sistemas d~ ecuaciones lineales.

,~::

Ejercicio resuelto

1, Determina la solución del sistema 8x + 3y= 51 utilizando el método de Cramer,3x+4y=1

• Antes de resolver unsistema de ecuacioneslineales utilizando elmétodo de Cramer, esrecomendable ordenar lasecuaciones. Por ejemplo.al ordenar el sistema:

35x - 2y=-

2-y + 5 = x

, iad l si (8 3J (5Las rnatnces asocia as a sistema son: A = 3 4; X= 1

Luego, al calcular los determinantes, se tiene que:

!Je y=(~ ~)

M=8·4-3·3=23

.1X= 5·4 - 3·1=17

.1Y=8·1-S·3

=-7

.1X 17 !J.Y 7Por lo tanto: x=-=-' y=-=--,

.1A 23' M 23

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones corresponde al punto p(.!2 _2.1,\23' 23}

Resulta35x-2y=-2

x+y=5

1C.

):

;"

IJ!.~;~, ..i1j''!t"$",--~.I...':(:'~;-~1J'ii-~~-+',;:

~-;'t,:

';':.".;

"':',C:,-o,

8.'-6/

~~'

~~lO,"O',

~l~'R'.•~'

:;;'~,~t~w,g'Ja:.a- -.:~uJ";

<9;,-~l

Ejercicios propuestos

a, x + 2y= 112x+y=3

1. Utiliza el método de Cramer para determinar la solución de cada sistema.1 3c. -x+-y=22 41 3-x--y=14 8

M=@..=.1Y=

La solución del sistema es:

L ~

b. 1,5x- O,6y = 1

-2x+3y=-1

M=@..=

¡;D.Y=

La solución del sistema es:

---,------ - - ._---

( HUU"\

1 M=!@..=

.1Y=

La solución del sistema es:

l=---5d -x+4y=10, 21 2 --x--y=l4 5

M=@..=.1y=

La solución del sistema es

-e, J5x+ 2y= 1

.JlOx + 3.J2y= 1

M= I i@..= iIt"y = ILa solución del sistema es:

-----,-----.-/

f, O,2x'- 0,3y = 2

-2x+3y~ 20.!~

M=!1;í=

~y=

La solución del sistema es:

2. Analiza cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. Luego, responde,

-=~

(1) -3x+py=q

12x+ 4y= 10

(2) (p-l)x + y=q3x+(p+ l)y=6

a, ¿Para qué valores de p y q, respectivamente, el sistema (1) tiene una única solución? ¿y para qué valoresno tiene solución?

~

b. ¿Para qué valores de p y q, respectivamente, el sistema (2) tiene infinitas soluciones' ¿y para qué valorestiene una única solución'

H

Page 79: Preparacion Psu de Matematica SM

II 3.3 Problemas de aplicación

Los sistemas de ecuaciones lineales permiten modelar situaciones. Para plantearlos se deben identificar las'incógn~as involucradas y relacionartas, teniendo en cuenta las condióones del problema que se quiere resolver.

.1, ;., ,¡..,., ',,, :'.' "

Ejemplo: si se sabeque uno de los ángulos interiores de un triángulo mide 20· y que el doble de uno de losrestantes menos el otro es igual a 20', ¿cuál es la medida de cada uno de los ángulos interiores del triángulo?

A partir d'el eKunciado y' del dibujo es posible escrib¡;I~ 'si~u,¡ente ecuación: .~:, .c. ,', . ' y' .:

"el doble de uno de los restantes menos el otro es igual a 20'". ....' 20' x-: '. ..- -(l)2x-y=io' :. ..:;.:....--=--'------'---"

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180', entonces se puede plantear lo siguiente:

x + y.+ 20 =.180 / +(-20)(2)x+y= 160

Luego, para responder la pregunta es posible utilizar un sistema de ecuaciones que represente la situación:

(l)2x-y=20

(2) x+ y= 160

~ _. ~_ ,~~-.~ 2x-y=20- Si se resuelve.el sistema mediante el método de reducción, se tiene q~e: + x + y = 160

13x= 180 l :- ==H=60

3Luego, reemplazando x = 60 en (2), resulta y = 100. Así, los ángulos del triángulo son 20°, 60° Y 100°.

Ejercicio resuelto

1. Analiza el siguiente método para resolver sistemas deecuaciones no lineales.

Una técnica que puedes utilizar para resolver algunossistemas de ecuaciones en donde las ecuacionesinvolucradas no son lineales es el cambio de variable, Estaconsiste en utilizar variables auxiliares para simplificar laresolución del sistema con el fin de aplicar alguno de losmétodos de resolución estudiados.

E' I 1 6!;Jffi1Q!Q: - - - = 5x y

1 1---=253x 2y

, d f las vari 1 1SI se e men as variables u = - y v = -, entonces:x y

~-~=5x y..!.._..!..= 25

3x 2y

u - 6v = 5

_ ~-~=25

Resolución:

Si se multiplica la segunda ecuación por -3,resulta:

u-6v=5

3v-u+-=-75

u-6v=5 __ 2

-U+~=-75 ==> -~v=-70/'(-i)140

v=-9

Finalmente, reemplazando el valor v = 1409

d I ' I 295en otra e as ecuaoones. resu ta u =-.3

Por lo tanto, la solución de sistema

corresponde al punto P (~, ~).295 140

~':

It-

olí',•-~§t,

Il!S!f4..~$:~'.

!~;

;~

-s:.~

~.

p-

-Ejercicios propuestos

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

5 2b. ---=12

x- 2 y+3

-2 1-+-=12x - 2 y+ 3

1 1 3a. -+-=-

x y 4

1 1 1---=:;-x y 4

~ Marca la alternativa correcta.

1. En una librería se venden dos tipos de libros. Uno de ellos tiene un valor de $ 4.500 Y el otro de $ 3.600. Sipor la venta de 84 de estos libros se pagó $ 310.500, «uántos libros se vendieron de cada tipo?

A) 9 de $ 4500 Y 75 de S 3.600B) 75 de S 4.500 Y9 de S 3.600

C) 12 de $ 4.500 Y 72 de S 3.600D) 72 de S 4.500 Y 12 de S 3.600

E) 14 de S 4500 Y 70 de S 3.600

2. Un amigo le dice al otro: "Si me das uno de tus lápices, entonces yo tendré el doble de los que tú tienes".El otro responde: "Si tú me das uno de tus lápices: entonces tendremos la misma cantidad de lápices cadauno". ¿Cuántos lápices tiene cada uno?

~A) 6 Y 8 lápicesB) 5 Y 7 lápices

C) 4 Y 6 lápicesD) 4 Y 7 lápices

~E) 5 y.8 lápices

3. La razón entre el largo y el ancho de un rectángulo es 3 : 2. Si se aumenta en 8 cm el ancho del rectángulo,resulta la misma medida que disminuir en 3 cm su largo. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

A) 22 cmB) 33 cm

C) 55 cmD) 110cm

E) 726 cm

4. Jaime tiene $ 2.150 en monedas de $ 100 Y $ 50. Si en total tiene 26 monedas, «uántas monedas de cadatipo tiene?

A) 9 de S 100 Y 17 de S 50B) 10 de S 100 Y 16 de S 50

C) 16 de S 100 Y 10 de S 50D) 17 de S 100 Y 9 de S 50

E) 18 de S 100 Y 8 de S 50

5. Un hotel tiene 67 habitaciones entre dobles e individuales. Si en total hay 92 camas en las habitaciones,«uántas habitaciones individuales tiene el hotel?

A) 25B) 32

C) 42D) 46

E) 52

6. En un almacén se venden dos tipos de lámparas: A y B. Las de tipo A utilizan 2 ampolletas y las de tipo Butilizan 7 ampolletas. Si en total en el almacén hay 25 lámparas y 160 ampolletas, «uántas lámparas hayde cada tipo?

N A=6yB=19~ A=5yB=ID

C) A=4yB=21D) A= 3 Y B = 22

E) A = 2 Y B = 23

7. Las edades de un padre y su hijo se diferencian en 2S años. Si en 10 años más la edad del hijo será un añomayor que la mitad de la edad del padre, «uántos años suman actualmente sus edades?

A) 17B) 39

C) 42D) 57

E) 59

-

<e

Page 80: Preparacion Psu de Matematica SM

"1

1. Intervalos en R.

Intervalo cerrado

Intervalo semiabierto

Intervalo no acotado

Ejercicios resueltos

{XEIR/ a<x<b} - - :r{XEIR/ a s x sb] [a, bJ •• JP '" • r;~~a b - .,."

';i.{xEIR/asx<b} [a, b[

{xEIR/a<xSb} ~"*"'"Ja,bJ •a b

{XEIR! a<x} la, +oo[ ",~ ....~a -

{XEIR/asx} [a, +oo[ ~!j ••~a

{xEIR/x<b} J-oo, +b[ ~~ •b

{xEIR/xSb} ]-00, +b) ~~h#,"i'\ •b

l. Completa la tabla. Para ello, escribe los intervalos por comprensión y represéntalos gráficamente.

Intervalos Porcomprensión Representacióngráfica••, ;! . II ]2,+=[ I {X~"~I UL~ 1« o d

{XEIR/-1SX<3}[-1,3[

..-lUll v ...•..¡l 1"

•• •

2. Sean A = ]-2, 4[ Y B = [0, 8[. Determina A U B Y A n B.La unión (U) de dos o más conjuntoscorresponde a otro conjunto en el quese considera a todos los elementos decadaconjunto.

La intersección (n) de dos o másconjuntos corresponde a otro conjuntoen el que se considera a todos loselementos comunes entre ellos,

A = ]-2, 4[ ~ 1.-3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8

B = [O, 8[ ~ 1_012345678

Por lo tanto, A UB = ]-2, a[ y A nB = [O, 4[.

AUB AnB-1 L...• ¿ •

-2 -1 o 1 2 l 4 5 6 7 8 o 1 2 3 4 5 6 7 8

"'ti'~V·'',,::

:~:::1:.:.t-'-~-a

~x';~.'C

~I -:>.E".~.~I ...,-a.'§,'

~~I0.."-T":

i.~¿i;"0'1~?

·i";,.J:o.

-Ejercicios propuestos

1. Representa en la recta numérica los siguientes intervalos.

a. [2, 4[ c. {X E IR / - 1< x :Sn•• • .. •b. )-=,5J d. {X E IR /1 S x}

.. • •2. Verifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda.

a. Si A = {x E IR / 1:Sx S 2}, entonces 2 e A.

b. La unión de dos intervalos no disjuntos es un intervalo.El conjunto vacío (0) es aquel queno tiene elementos.

Si dos conjuntos no tienenelementos en común(A n B = 0), se dice que soncon]Uñtosaisjuntos~-

c. Si B = [-2, 4[ Y e = ]5,8], entonces 4 E e U B.

d. Si 0=[-1, l]yE=[-l,+=[,entoncesOnE=O.

e. Si A = [-2, OJy B = ]0, +00[, entonces OE A n B.

f. Si x S 4 Y X> 0, entonces x E ]-oe, 4) U ]0, +00[.

g. La intersección de dos conjuntos disjuntos corresponde al conjunto vacío.

:S. Determina el conjunto que representa cada caso. Luego, escríbelo por comprensión.

a. [- i,{ U [ 0, 8[ c. )-3,-1[U]-1,2J

~ ~

b. ]2, 5[ n ]l. 5] d. [j2, Fs[ nJ¡, i[~ ~

4. Dados los intervalos A = [ - ~, {. B = [-5, + "'{ y e = [ - ~,3[determina:

a. AUB c. AUBUC e. AnBnC

b. AnB d. (AUB)UC f. (CUB)nA

,--~ .._-~____ 1('

Page 81: Preparacion Psu de Matematica SM

2. Inecuaciones de primer grado con una incógnita....'"j-\,.~~,:;.~ ,: . J,-,< ", "\:,"':r~!',~ .

Una inecuaóón de primer grado es una desigualdadque se puede escribir de la forma ax + b < 0, donde'. a, b é :mt, con a*-O (el sfmbolo menor que «) puede sustituirsepor s.z o >, según corresponda). ;

Para r~s~lver· un;'inecuaóóri li~eal d~ p~imer grada-se ~1íi~~n lasp;opiedades de I~sdesigualdadesparadespejar la variabl~involucrada, y apartir de esto se determina~ los valores de la incógnita qUe satisfacenla ..•...ineniadón. . 0_' • '.i. . ..' ::<,~.~ .o:" • •

Propiedades de las desigualdades en IR· ..~¡"

Si a, b, e E lR. se cumplen las siguientes propiedades:

i) Sia s b vb s c entonces a s c"" ~,

iv) ~i as b y c < O,entonces a • cz b • c.

v) Si O <a ::; b, entonces ~ ;?: -b1.a

ii) Si a s b Y c E ll, entonces a ± c s b ± c.

iii) Si a ::; b Y e> 0, entonces a • c ::; b • c.

Ejemplo: 4(x -1)+ 4 > 124x-4+4>12

14x>12/·-

4x>3

Propiedad (iii)En este caso, si se multiplican 105 miembros de

• I una desigualdad por urmúmero positivo, resulta~1 ... ,"una desigualdad en el mismo sentido.

Gráficamente, el conjunto solución sepuede representar de la siguiente manera:

~ elo 1 2 3

••

Ejercicios resueltos

1. Completa la resolución de cada inecuación. Luego, representa el conjunto solución en la recta numérica.

a. -x+9>2+2x /+(-2x)-3x+9>2 /+(-9)

-3x>-7 /.( -i J7

x<-3 7

Solución: : .aneJ$1J,j

• De igual manera que en las ecuanones. alresolver una inecuación hay casosen los quecualquier valor de la incógnita satisface ladesigualdad, mientras que en otras, ningúnvalor de la incógnita la hace verdadera.

Ejemplo

• x-l:<=;x+2/+(-x)~-1:<=;2

Estarelación es verdadera para cualquiervalor de x, es decir, el comuoto solución es IR.

Elemplo:

b. 7x+l:<=;-10x /+IOX17x+l:<=;D /+(-1)

117x:<=;-1 (.-

171x:<=;--

17

x+5::;x-I/+(-x)~ 5::;-1

Estarelación es falsa; luego, la solucióncorresponde al conjunto vacío.

1

Solución: : 17.

.~

:tJ~;.t.

-s:

~~~..~

-Ejercicios propuestos

1. Resuelve las siguientes inecuaciones .

a. -~X+4>D d. aX+ll::;11+7X533

5g. 3x - 1 - 3(2x - 1) 2: - x + 17

1 1b, -x-52:--x+22 2 e. 0,2(x-l)+x>5x h. 2(x- 5) -10:>14 - 3(x + 1)

c. 7x+4';?:3.x3

-(6x- 2x) <-lOx+S'i. -4f. x' - (2x -1) :<=;6x -1 +x'

2. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.

~J En caso que una.inecuadón contenga expresiones algebraicasfraccionarias con la incógnita en el denominador,~ es posible-agrupar los términos aplicando las propiedades de las desigualdades y obtener lID.~resión racioilal:::-_

de la forma!. En este caso,se puede resolver la inecuaciónconsiderando lo siguiente:Q

.s:..:...

~.

s'0u,,"

'O.e!.ir..•.'O '

~2E~~",.-~;:;,~.~&~.~{~~::l

<~

(i) ~>O~{(P>O /\ Q>O) v (P<O /\ Q<ü)} (ii) ~<O ~{(P>ü 1\ Q<O) v (P<O 1\ Q>O)}

E· I 1 1 1+ x + 2 x + 3 ..

illillIlli!: -- < -1 <=> -- + 1< O<=> --- < o ~ -- < o (Caso 11)x+2 x+2 x+2 x+2

Por lo tanto, (x + 3 > O1\ X + 2 < O)v(x + 3 < O/\ X+ 2 > O).Resolviendo las inecuaciones y grafkando elconjunto solución, se tiene:

x>-3I\x<-2 x<-3I\x>-2==- :-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4

,---- :: -4 -H -1 o 1 2 3 4

Luego, al unir los conjuntos solución se tiene el intervalo J-3, -21 que gráficamente se representa:

~-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4

-c:

7a. --<Ox-S

12b. -->0

3x+ 1

c. _6_2:0,4x-7

6e. --<64x - a

2x -1 2d. 3x +4::;"3

-3f. -:<=;ax+ 4

1<0

Page 82: Preparacion Psu de Matematica SM

: 11

3. Analiza cada situación. Luego, plantea la inecuación que la modela y resuélvela.

a. Andrea tiene cierta cantidad de dinero. Si le regalan $ 5.000, no alcanza a completar S 11.500. Además, sigasta $ 2.600, queda con una cantidad superior a $ 600. ¿Qué se podría afirmar con respecto al dinero quetiene Andrea7

b. Si la suma de dos números enteros impares consecutivos es, a lo más, 56, «uáles son los mayoresnúmeros enteros que cumplen dicha condición?

2.1 Inecuaciones de primer grado con valor absoluto; .,': ,'.'-. ··~~~;l~~~;>..·~<.r~~';~·~:·~~·'·~::~t~·i~:~;~}~t~~~·~~g{t;1.~~1:~~~~:ft~1:fl~~~~f'·~\{;'Jti~~\~?~~'':Las ineataciones de primer grado con valor absoluto m:ás'simples 'sépuedelf~car fu.1Qs siguientes~?-;":

~1.i;:~~«;:~~:i1~f,~;~~.I.f~~"En este caso, la solución de la inecuadón con valor absoluto corresj)(lllderc\11 la"iiltersecdón dé las :i:,,;,¿soluciones de (1) y(2). . '.• '. "'~::i" .: . ,.). '; -. ::,' ;;-::~t':0~;~~jf~·¡'~~tf1sY~<.;?~·}.:'r'Ejemplo: ~X+lO¡<15<=>-X+IO>;;'15 1\ -x+,.0<i5',.:c<:: :.-' -Óv-: ' '/.

: ;:>~~:;-1~5.'1~;:;,:~;Ú*"';.f~~~~~i·.;\:::.' :-:.-:~.: -.,-.(:',\\(J~: lax+ bl>c <=>ax+ b<-cvax+ b>c

~~ "" .. '

(1) .: (2) .Ós:

En este caso, la solución de la inecuación con valor absoluto ~orres¡)ond~ráa iat~iÓn de 1aS~I~cion~ de(1) y (2). '. '. . ,', ',." ~::,:~:'\':k"'!:tc"("'." ..,Ejemplo: 13x- al ~ -2 <=>3x - a:5 2v 3x- 8~ -2 . ":", ... "': /\,..,/.' "o' '

I .,,""', . 1 •• ",.. <=>3x:510 v 3x~6 .

. fo<=> x:5- v x~2

3 . '"

-,:;: j~ • ~.::'

Así.13x-81 ~ -2 es verdadero Para Q¡¡¡iquierXElR, ya que !xl ~ o.~~- - . ." -. .;.~, .,-.:~.

~~-"---:~-,~~ ,~-'-...""-,_ c{.

E¡ercicios propuestos

1. Resuelve las siguientes inecuadones, luego. grsfica su conjunto solución.

a. 15x+%I~ O b. 10,2x- 11> 1 c. 12x+ ~+ 2 :5 ~4

1 h? ("1 A'1t: _u....~"•.•...~~;.....,

t.

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~$"

1.JJ

-9:::.~.,f

-' -;.i~i!

*

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::;'v.>_

~.g~~Q~:.

",'~.

-3. Sistemas de inecuaciones con una incógnita(~.~~<~t~~~~~i:~i~~~;j~~,~Y~f.¡~.~~~.~·:*1S~?:f{~,.:;.:_?:.~)~~t:-/~.~~~~;':,~..r: '~::. ~-.. ,~ ~§gt;~:~~:)

uñ sistellÍa'ile ipeéuacionescon unainrognitúorrespondea'un conjunto de dos o más inecuaciones en13$ cíiales'enonjü~to s6iútió~ v~i¡¡¡c3"stiii'u)tlrlé~minte á'cadatriá de ellaS::~3: r:..',.~.' ,.".;:;"

,..._ ~';','3Ii,,.r·-·,,·:.," __ . '•. ~ - z -: _"':,.;." _~:-/! .....• :i\;..•..r . ..,..••~._,' } .. _~;"";,-T~ :~. ~ __•.••..,.;:;":,_'i_ ,"" -vÓr. ..••

LPara res.~Iv~tUrij~m~·i1eineéUa·~ohes.~ puede~~.Utilizar,!'?SslgUi~teSJ)aso~: .•.~ ":._ ';",~,;"'~~f!i..",,~!..~·;'>.<;·~.\~::~,,);,:~,_.::<:,.-'~:--_~_:'~:"~>_;-i;;!':.:0;~;.{~7~"·'::' Y-.-~~~.:.:,,:__~r'~.2':../·;"~.-~.¡.I.-: 1~' .""

'" 1° Se féSlfelVeri'cada tína'de Ias·in·eruacion'esAI.nvoludadas:.'1~':··l'"~"",o •. é •• ' .• ' ", •

. 2~'se'cibti~n~"1:s6í~dÓ~'d~G~~m~"i~té~~d~ losint~rv~i~ solu~ión de I~sinecuaciones' que

_ :~:c~y::;~~~~e~~e:~~'-:·:~2,.,~>o.~.::,;,~.Y,: . '.' .:, ~'.. .• " .':'~: seti~ne'eISiguiente'siSterrtá'de in'eeuaClones(1)-4x"+2~ n x' <>, , .••••/',;,.< r.Ó. . (2) j('+ l>~(X ~8)

'~._.•,-< .:. >.,~~'

(1) -4X~ 2:53 !x·/ + (-2- '1)

-5x:51 / {-~)

1x~--5

Luego la solución, está dada por.(2) ~+ 1> ~(x+8)x+l>-x-8 /+(x-l)

12x> -9 l r :

.' 29x>--2

-. [-~'+1~ .L,o - ~_ =--

-s"'::' , ..=-~

Ejercicio resuelto

1. Elsueldo que recibe una persona fluctúa entre S 375.000 Y S 550.000. Si mensualmente considera un gastoque varía entre S 160.000 Y S 180.000, ahorrando el resto, «uáles son el monto mínimo y el máximo quepuede ahorrar mensualmente?

Para calcular el monto mínimo que puede ahorrar mensualmente se tiene que:(1) x + 180.000 ~ 375.000

Mientras que para calcular el monto máximo que puede ahorrar mensualmente se tiene que:(2) x + 160.000 S 550.000

Donde x representa el monto que puede ahorrar mensualmente .

Así, resolviendo (1) x + 180.000~ 375.0001,de (1) se tiene que x ~ 195.000 Y de (2), x :5390000, que son los(2) x + 160.000:5550.000

montos mínimo y máximo que puede ahorrar la persona mensualmente.

E¡ercicios propuestos

1. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.

a. c. 3x+2> x-36x -1:5 2x

-x-6~:+1312x+l0<-4

b. x-5(x-6)~x2 5-x-4<-_5 __ 2

H'

Page 83: Preparacion Psu de Matematica SM

Instruccio~és. ¡.. ..~-

1. .Está prueba conStá de 18préguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A. B, e,D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2. Dispones de 40 minutos para responderla.

Ecuaciones

1. Elprecio de un computador fue rebajado en ~ de lo que costaba. Si luego de esta rebaja el precio es7

$ 225.000, éen cuánto se rebajó el precio original del computador?

A) S 50.000B) S 90.000C) S 175.000

D) $315.000E) S 562.000

2. 'C '1 lid I . " I '. 5x 2 - 3x 3x - 27L ua es e va or e a mcogmta en a ecuaClon - + -- = --o2 3 5

A) -_32272254

C) O

B)

8D) 63E) 4

3. Daniela ha guardado solo monedas de $100 y le faltan 15 de estas monedas para tener S 6.500.iA cuántas monedas de S 500 equivale el dinero guardado por Daniela?

A) 10B) 13C) 16

D) 50E) 250

4. Enla ecuación 3a + 4b = 7bx se puede determinar el valor numérico de "s" si:

(1) Se conoce el valor de a.(2) Se conoce el valor de b.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) Y (2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere informaciónadicional

1CA ,",,~.~ '"

I.~.'~1I.,,,-,

~~e~".'"~]i:zo'ií..:;:'"s.e

··,S},:t)~.

'"

-S· 5 - x t . IS. I P = --, en onces x es Igua a:

l+qx

A) 5-ppq

5-pq+l

C) 5-ppq+l

D) ~-pq+ 1

E) 5+ppq-l

B)

Ecuaciónde la recta

6. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-2, 2) Y (2, -3)1

A)5

44

~~=-" _:~~-

B) 5

C) OD) ~

4

E) No está definida la pendiente

7. la ecuación que representa a la recta l, del gráfico es:

A) Y X-+-=02 3

B)Y x-+-=12 3

C)y x---=12 3

O)Y x---=02 3

E) Y x---=03 2

y

3 x

2

~L.

8. ¿Cuáles la ecuación principal de la recta que tiene pendiente m = 0,25 e intersecta al eje Y en elpunto (O, 1)?

.~ A) Y = -0,25x - 1B) Y= 0,25x - 1

C) y= x + 0,25D) y= 4x - 1

1E) y=-x+l4

Page 84: Preparacion Psu de Matematica SM

1111','sr,r'??",,]]'?-'? n' ,.e

9. La ecuación de la recta L, que pasa por el punto (2, 3) Y es paralela a L,: y = -zx + 1 es:

-14. Un producto A tiene un precio de $ 300 Yotro producto B, de S 350. Si se compran 12 unidades y se

pagan $ 3.950, «uántas unidades del producto B se compraron?A) y=-2x+8

B) ~I A) 3y= -2x + 7 '~ D) 12C) y=2x- 1 i B) 5 E) 151

D)x i: C) 7y=-+2 -=2

E) x 1 '~I Inecuacionesy=-+-2 2

10. Si L, : y = 4x -1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

11. L, es / / a la recta y = - - x - 1.

4. x y11. L, no se nterserte con la recta- - + - = 1.2 8111. (0, -1) pertenece a la recta L,.

A) Solo IB) Solo I y 11

C) Solo 11 y 111D) SololylllE) 1,11 Y 111

Sistemas de eruaciones

¿:,...

""

11. ¿Qué par ordenado corresponde a la solución del sistema O.3x+ ¡.3y = 61?1,3x + 0, 3y = 9

A) (3,6)

B) (2, 1)C) (6, 3)

12. Si 3x - 4 = Y ~entonces, «uál es el valor de x - y?2x+y=l1

A) -2

B) 2e) 3

n. El sistema 2x - 2y =81 tiene una única solución si:kx+my=4

(1) m = 1(2) k = m

A) (1) por si solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) (-6,-3)

E) El sistema no tiene soluoón

D) 5

E) 8 C:<> -8:JQ..o.di .~.::T~I

'"~ I~ ,-

.!";~:;lfI~:

.1)'"'!:\.0.-o'iíUl(1,idl

*'; !"

D) Cada una por si sola, (1) o (2)E) Se requiere iníorrnarion adicional

15. Dado el conjunto B = {x E lR/ -2 < x::; 6}, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

1. ° pertenece a B.11. -2 pertenece a B.

111. 6,1 pertenece a B.

A) Solo IB) Solo 11C) Solo 111

D) Solo I y 11

E) Solo I y 111

L 1" di' '. x+5 5-6x16. a so uooru e amecueoon I +1> -7- -1 es:

A) 1-00, -2[

B) ]- ~,+oo[C) [-2, +oo[D) H. +oo[E) ]-oo,-H

17. Si la edad en años de Bárbara es un múltiplo de 6, es posible determinar su edad sabiendo que:

(1) tiene más de 6 años(2) tiene menos de 24 años.

A) (1) por si solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por si sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

18. ¿Qué alternativa representa la solución gráfica de la inecuación 12x+ 11> 2?

A) • J : D)~I¡

1 1

B)~ E) =-; -=, I ,."2 "2 1 1

C) : L.,1

1C

Page 85: Preparacion Psu de Matematica SM

\

Sea x la incógnita que representa el precio delcomputador. Luego, como este fue rebajado

2 deci 2. 'l' idaden -, es eor. - x, se tiene que este u timo esta a o7 72

por x--x.7

Aderné b 25xemas, se sa e que: x - - x = - = 225.0007 7

Ahora, si se resuelve la ecuación: ~ x = 225.000 /.77

15x = 1575.000 l :':

5x = 315.000

Por lo tanto, el precio original del computador es$ 315.000. Y la rebaja del precio es $ 90.000, ya que

S 315.000 - $ 225.000 = S 90.000

Distractores:

A) En este caso se cometió un error al considerarque S 225.000 representaba el precio original x

2 deciaumentado en -, es eor, que:7

x + 3.x = 225.0007

Resolviendo esta ecuación:

2.x = 2250007

x = 175.000

7/. -9

Entonces el precio de venta será S 175.000.Finalmente, la rebea fue de:

$ 225.000 - $ 175.000 = S 50.000

C) Al igual que en la alternativa A), se resolvió la

ecuación: x + 3. x = 225.00079x 7- = 225.000 i :-7 9x = 175.000

Luego, se consideró este valor como el montoque correspondía a la rebaja del precio delcomputador.

O) En esta alternativa, solo se resolvió la ecuación:

x - 3.x = 2250007

Es decir, se calculó el precio original delcomputador, que corresponde a la incógnita x,es decir, S 315.000, Y no se calculó la rebeia en elprecio.

E) En este caso se consideró que los 3. x7

corresponden a $ 225.000. Luego, se tiene2 7

que: - x = 225.000 l :':7 2

x = 787.500

Entonces, la rebaja en este caso sería de$ 562.500, ya que

$ 787500 - $ 225.000 = $ 562500

e CLAVE A

Para resolver la ecuación es posible amplificar por elmínimo común múltiplo entre 2, 3 Y 5, que es 30, y seobtiene lo siguiente:

5x 2 - 3x 3x - 230·-+30·--=30·--

23515· Sx + 10(2 - 3x) = 6(3x - 2)

75x + 20 - 30x = 18x - 12

45x + 20 = 18x - 12 / + (-20) + ( -18x)

127x=-32 /.-

2732

x=--27

Distractores:

B) En esta alternativa, después de multiplicar por 30, seobtiene 15 • 5x + 10(2 - 3x) = 6(3x - 2)

Luego, al aplicar la propiedad distributiva para10(2 - 3x) y 6(3x - 2), se comete un error al calcularsolo el producto por los primeros términos queestén en el paréntesis, obteniéndose lo siguiente:

75x + 20 - 3x = 18x - 2

72x+20=18x-2/+(-20)+(-18x)

154x = -22 /.-

5422

x=--54

'.i;;•••. ~1

;¡v,~~$.¡;~,.

. 5x 2-3xe) En este caso, al sumar las expresiones - y __2 3

se comete un error, obteniendo:

5x+2-3x 3x-2----=--

5 5

2x+2=3x-2/•s5 5

2x+2=3x-2

Luego, se cancelan en ambos miembros de laecuación los números 2 y -2, asumiendo quetienen los mismos signos, obteniendo:

2x=3x~x=0

O) En el procedimiento que se lleva a cabo pararesolver la ecuación se comete un error alsumar (-18x) y (-20) en ambos miembros de laecuación, obteniéndose:

45x + 18x + 20 - 20 = 18x -18x -12 + 20

163x=8/·-

638

x=-63

E) . di" 5x 2 - 3x 3x - 2A partir e a ecuaclon - + -- = __ ,2 3 5

primero se comete un error al escribirla de la

'. 5x+2-3x 3x-2siguiente manera: = __S 5

Luego, se obtiene lo siguiente:

2x + 2 = 3x - 21+ (-3x) + (-2)-x=-4 l· (-1)

x=4

~ CLAVE A

Si se representa por x la cantidad de monedas deS 100 que Daniela guarda, 100x representaría el montototal guardado. Luego, como le faltan 15 monedaspara tener $ 6.500, es decir, x + 15 monedas de S 100corresponde a S 6.500, es posible plantear la siguienteecuación:

lOOx+ 15 ·100 = 6.500

l00x + 1.500 = 6.500 1+(-1.500)

11,-100

lOOx = 5.000

x =50

-'-'Entonces, la cantidad de monedas de $ 500 se obtieneal dividir la cantidad de monedas de $ 100 por 5, esdecir, 50: 5 = ID.

Finalmente, la cantidad de monedas de $ 500 son 10.

Distractores:

B) En este caso se cometió un error al asumir que lacantidad de dinero que Daniela tenía guardado es$ 6500. Luego, el número de monedas de $ 500se obtiene de la siguiente manera:

6.500 : 500 = 13

C) Al sumar (-1.500) en ambos lados de la ecuación:100x + 1.500'" 6.500, se cometió un error designos y se obtuvo:

lOOx + 1.500 - 1500 = 6500 + 1.500

, 1l00x=8.ooo ¡.-

1008.000

x=--100

x=80

Finalmente, Daniela tendria 16 monedas de $ 500.

O) En este caso, solo se calculó la cantidad demonedas de $ 100 que Daniela tenia: 50.

E) En esta alternativa, la cantidad de monedas deS IDO se multiplicó por 5, entonces 50· 5 = 250.

~j~ CLAVE C

Al despejar x de la ecuación se tiene:

(3a + 4b) = 7bx

3a+4bx=--

7b

Para responder de manera correcta esta pregunta,primero se puede analizar cada una de lasproposiciones por separado y determinar si entregansuficiente información por si solas.

Al considerar válida la condición (1), no es posibledeterminar el valor, ya que x depende del valor de b.

Por lo tanto, la condición (1) por sí sola no essuficiente para determinar el valor numérico de x.

Al considerar válida la condición (2), tampoco esposible determinar el valor numérico de x puesdepende del valor de a.

Page 86: Preparacion Psu de Matematica SM

11111

't't-,.'2'·",,'?' 12-' • ., 'C

Por lo tanto, la condición (2) por si sola no essuficiente para determinar el valor numérico de x.

Si ahora se consideran (l) y (2) de manera simultánea,se conocen los valores de a y b, respectivamente.Luego, es posible determinar el valor numérico de x enla ecuaciónplanteada. Finalmente, considerando (1) y(2) juntas, es posible determinar el valor de x.

"~·"--;;i~~"íf~W\iPCf¡r.~r~;;¡¡1Ii:.II)~!L'{~~~~,~~'~K~Al despejarx en la ecuación se tiene:

5-xp= - 1·(l+qx).

1+ qxp(l+qx)= 5- x

p+pqx=5-x I+(-p)+xpqx+x=s-p

1x(pq + 1) = 5 - p l : (pq + 1)

5-px= ._-pq+ 1

Distractores:

A) Enel procedimiento que se lleva a cabo pararesolver la ecuación se tiene que:

S-xp=- /·(l+qx)

1+ qxp( 1+ qx) = 5 - x

p+pqx=s-x / +(-p)+x

Al no sumar la incógnita x a ambos lados dela igualdad se comete un error y se obtiene losiguiente:

pqx=5-p1

x(pq) = 5 - p l : (pq)

5-px=~pq

B) En esta alternativa, al resolver la ecuación, se tieneque:

5-xp=- /·(l+qx)

1+ qxp(l + qx) = 5 - x

Al distribuir p(l + qx) se cometió un error al nomultiplicar por p los dos términos del paréntesis,obteniéndose p + qx.

p+qx=s-x /+(-p)+xqx+x=5-p

1x(q+l)=5-p /.--(q+ 1)

5-px=-

q+1

D) Paradespejar la incógnita x en la ecuación5 -x l. l· . (p = -- se mu np ICO por - 1 + qx), entonces:l+qx

s-x [ ]p=_.- l· -(l+qx)(l+qx)

Luego, al no considerar el signo de -(1 + qx) allado derecho de la igualdad, se produce un error,obteniéndose:

-p(l+qx)=S-x-p-pqx=5-x I+p+x-pqx+x=5+p

1x(-pq+l)=s+p l· (-pq+1)

x=~-pq+ 1

E) En este caso, en la resolución de la ecuación,se comete un error en los signos de -p y x,obteniéndose lo siguiente:

p+pqx=s-x I +(-p)+xpqx-x=5+p

1x(pq-l)=5+p l· (pq-1)

x = 5+ Ppq-1

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Si se considera que (x, y) = (-2,2) Y(x, Y,) = (2, -3), la pendiente de la recta quepasa por estos dos puntos se puede calcular de lasiguiente manera:

y - y -3 - 2 5m=-'-'=--=--

x,-x, 2-(-2) 4

Distractores:

B) En este casose consideró que la fórmula

m = x, - x, era válida para determinar el valor deY, - Y,

la pendiente m, obteniéndose un valor que no es2 - (-2) 4

correcto: -- = - -.-3 - 2 5

C) En esta alternativa, a panir de la expresiónx - x

m = -'--' , se calcula el valor de la pendienteY, - Y,

m de la recta que contiene a los puntos dados .Además de lo incorrecto de esta expresión, secomete un error con los signos de los númerosal reemplazar en la expresión algebraica

x,-x, 2-(-2) 2-2 Om=--=--=--=-=O

y,-y, -3-2 -3-2 -5

D) En este caso,se reconoce la fórmula quepermite calcular la pendiente m. Sin embargo,se comete un error en los signos de los nú merosinvolucrados, obteniéndose lo siguiente:

m=Y,-Y,=-3-2 =-s=~x, - x, 2 - (-2) -4 4

E) En esta alternativa se cometió un error enel procedimiento que permite calcular lapendiente m, obteniéndose lo siguiente:

y - y -3 - 2 5m = -'--' = -- = - -, que no está definido.

x,-x, 2-(-2) O

-~~~·~'Iir"~"'''''·~"'I:~aJ-~~~~.mYE»~~~~mDel gráfico, es posible reconocer que la rectadibujada pasa por los puntos (O,O) Y (3, 2).

Luego, utilizando la ecuación de la recta punto-punto, se tiene que:

2-0y-O=-(x- O)3-02 Y x y x

y=-x ~ -=- <=> ---=03 2 3 2 3

Distractores:

A) La ecuación Y... + ~ = O representa una recta en la2 3

que es posible verificar que:

Y x 2-=-- ~ y=--x2 3 . 3

Luego, si se reemplaza el punto (3,2). secomprueba que dicha eruaoón no representa larecta L, dibujada, ya que

-~ ·3=-2;t23

B) La ecuación Y... + ~ = 1representa en el plano2 3

cartesiano una recta que no pasa por el origen(O, O),ya que si se reemplaza x = O e y = Oen estaecuación, se obtiene:

Q+Q=O+0=O,t12 3Por lo tanto, esta ecuación no representa a la rectaL, dibujada

e) La ecuación Y... - ~ = 1representa en el plano2 3

cartesiano una recta que no pasa por el origen(0, O), ya que al reemplazar x = O e y = O, setiene que:

Q-Q=0-0=0,t12 3

Por lo tanto, esta ecuación no representa a larecta L, dibujada

~.,

Page 87: Preparacion Psu de Matematica SM

11111

E) En estaalternativa se consideró que los puntos(2,3) Y(0, O) pertenecen a la recta dibujada.Luego, utilizando la ecuación de la recta punto-punto, se tiene que:

y-y =(Yl-Y')(X-X)1 Xl - Xl 1

(0-3)y-3= - (x- 2)0-2

3 Y xY - 3 = -(x - 2) ~ - - - = °

2 3 2

. rr-~~~.; TI1Me~~~I'·g~:,.:§ .••;;¡¡'lt~;~~·a~. -:~~!'s~",,"Í";._~;::,;3i':.~~';' " ""'•...-.. <-"""1k~·.L'-",,,-"~~;,~

Como la recta tiene pendiente (m) igual a

0,25 = ~ y se sabe que esta recta intersecta al eje Y4

en el punto (0, 1), utilizando la ecuación de la rectapunto-pendiente se tiene que:

y - y, = m(x - x.)

1Y -1 = -(x - O)

4

Finalmente, la ecuación principal de la recta estádada por:

1y=-x+l

4

Distractores:

A) En esta alternativa se cometió un error alconsiderar la pendiente con signo negativo, esdecir, m = -0,25. Además, si se considera que elpunto (O, -1) corresponde a la intersección de larecta con el eje Y, se obtiene:

y - y, = m(x - x.)

y-(-I)=-0,25(x-0)y+l=-0,25x

y = -0,25x-l

B) Se utilizó correctamente la expresión algebraicaque representa una ecuación de la recta punto-pendiente.

Y-Y, =m(x-x)y - 1 = 0, 25(x - O)

Y -1 = 0,25x

<7'"1

Pero se cometió un error con el signo al escribir laecuación en su forma principal, obteniéndosey=0,25x-1.

C) Al reemplazar los datos del enunciado enla fórmula de la ecuación de la recta punto-pendiente, se cometió un error, obteniéndose losiguiente:

y-0,25 = 1(x - O)y-0,25=x

Y = x + 0,25

D) En esta alternativa se cometió un error alconsiderar que la ecuación principal se puedeobtener de la expresión Y = ..!.. x + n. Luego, la

mecuación seria Y = 4x - 1, lo que es incorrecto.

Dlw~I{;Jª~rI~~y~~ªf;1~~~<f:~~:~.Como la recta L, debe ser paralela a la rectaL,: y = -2x + 1,entonces la pendiente de la recta L,es -2. Además, si se sabe que esta recta pasa por elpunto (\, Y,) = (2, 3), es posible utilizar la ecuación dela recta punto-pendiente.

y-y,=m(x-x,)y - 3 = -2(x - 2)y-3=-2x+4

y=-2x+ 7

Distractores:

A) En este caso,al utilizar la ecuación punto-pendiente, se cometió un error porque seconfundió el orden de las coordenadas del punto(2, 3). Luego, en la ecuación:

Y - Y, = m(x - x.)Y - 2 = -2(x - 3)

Y - 2 =-2x + 6

y=-2x+8

C) Al despejar Y de la ecuación.

y-2=-2(x-3)

Se distribuyó erróneamente respecto al paréntesis,obteniéndose:

y-2=2x-3y=2x-3+2y=2x-l

.~,

~:':::f

~.~'j.;<~f

>

D) En esta alternativa se consideró la condición deperpendicularidad entre las rectas L, y L" lo cual esincorrecto.

Con esta condición, la pendiente de la recta L,

seria ~. Luego, reemplazando estos datos en la2

fórmula de la ecuación punto-pendiente, se tieneque:

y - y, = m(x - x.)

1Y - 3 = -(x - 2)

2

y-3=':-12xy=-+ 2

. 2

E) En este caso,al igual que en la alternativa O), se

consideró que el valor de la pendiente es ~, pero2

además de esto se cometió un error en el ordende las coordenadas del punto que pertenece a larecta, obte.niéndose

Y - Y, = m(x - x.)

1Y - 2 = -(x - 3)

2x 3y-2=---2 2x 3

y=---+22 2x 1y=-+-2 2

~."'':'!lra ·CLAVEC.

~

En (1), la recta de Y = _.!. x - 1tiene pendiente4

m = - ~, distinta de la pendiente de L" que es igual4

a 4. Por lo tanto, la afirmación es falsa.

En (11), para que L, no se intersecte con la recta de

ecuación _..: + 1 = 1,deberían ser paralelas, es decir,2 8

tener la misma pendiente.

Ahora, para determinar la pendiente de la recta deecuación _.: + 'i.. = 1es posible realizar lo siguiente:

28·-":+1=1 /.8

2 8-4x+y=8

y = 4x + 8

Luego, la pendiente es 4. Por lo tanto, las rectas sonparalelas,es decir, no se intersectan. Finalmente, laafirmación es verdadera.

En (111), al reemplazar el punto (O, -1) en la ecuaciónque representa a la recta L" se tiene que:

y=4-0-1=0-1=-1

Luego, es posible concluir que el punto (O, -1)pertenece a la recta L,. Finalmente, la afirmación esverdadera.

Distractores:

LasalternativasAl, B) O) Y E) son incorrectas,ya que, obien incluyen la afirmación (1) o no incluyen (11) Y (111)

m····· ,'.<' p_AVEC;:

Al expresar los coeficientes del sistema como unafracción, se tiene que:

- - I x - 4y0,3x.;. 1,3y = 6 => - + - = 6- - I 3 31, 3x + 0, 3y = 9 4x

-+.Lg3 3

Al multiplicar por 3 ambas ecuaciones

x 4y-+-=61'3 I3 3 x + 4y = 18,

~ '~+1=9.3 4x+y=2713 3

Si se despeja la incógnita x de la primera ecuación, seobtiene x = 18 - 4y

Reemplazando esta expresión en la segundaecuación, resulta:

4(18 - 4y) + y= 27

72 - 16y + Y = 27

-15y = -45y=3

Page 88: Preparacion Psu de Matematica SM

II1I1

! I

.._-------• •.1\1+' \iW'''"1 ", •• S" , 1i1:I---

Luego, como x = 18 - 4y, se tiene que:

x=18-4·3=18-12=6

Finalmente, la solución del sistema de ecuacionescorresponde al par ordenado (6, 3).

Distractores:

8) En esta alternativa, al representar como parordenado la solución, se comete un error alintercambiar los valores de x e y, es decir, seescribe la solución como el par (3, 6)

C) Al multiplicar las ecuaciones del sistemapor 3 secomete un error al no multiplicar los valoresde lasconstantes,obteniéndose lo siguiente:

x 4y-+-=6 ·333 x+4y=6

=}

4x y 4x + y = 9-+-=9,3 ---3 3

De esta manera, aI resolver este sistema seobtiene la solución (2, 1), lo cual es incorrecto.

D) Se desarrolló correctamente el sistema:

X 4y-+-=61.33 3 x + 4y = 184x y =} 4x + y = 27-+-=9·33 3

y se obtuvo como solución x = 6 e y = 3, pero secometió un error de signo al expresarlo como parordenado, escribiendo (-6, -3).

E) Como se explicó en la clave, el sistema tienesolución, que corresponde al par ordenado(6,3). Gráficamente, esto se puede representar dela siguiente manera:

y"T ¡,.

--7

-6

-5 ----:-r--- _. 0_. . -y ~~-'~l

- -4 -T~ --V-'- ;t--_. ---~---3

3~~ -1~:---1 - -- ';--'. ••

! ;o 113156\11__. __ .L __.. __.__.._~ . 1--].__.1

Finalmente, esta alternativa es incorrecta.

m~~¡¡w.~;:zm,~"""'·""""'1l;it.,.'.l'W~~-r,zf"i,~'i1~~~~5!S2h~~..1,,:"'J!t!i1

Si se ordena el sistema de ecuaciones, se tiene que:

3x-4=y 3X-y=412x+y=11 <=> 2x+y=11

Luego, al sumar las ecuaciones se obtiene lo siguiente:

5x= 15 <=>x=3

Reemplazando este valor de x en la ecuación3x - 4 = y, se tiene que:

3·3-4=y9-4=y

y= 5

Finalmente, x - y = 3 - 5 = -2.

Distractores:

8) En esta alternativa, al reemplazar x = 3 e y = 5 enla expresión x - y, se obtiene como resultado 2, loque es incorrecto.

C) En este casosolo se consideró el valor de x = 3.

D) En este caso 5010 se consideró el valor de y = 5.

E) En esta alternativa se valorizó la expresión x + y, locual es incorrecto, obteniéndose

3+5=8

m CLAVE e

Para responder este tipo de preguntas es necesarioanalizar primero cada una de las proposiciones porseparado y determinar si entregan la informaciónsuficiente por si solas.

Al considerar válida la condición (1) m = 1, no esposible asegurar que el sistema tenga una únicasolución_ Por ejemplo, si se utiliza el método deCramer para verificar esta afirmación, se tiene losiguiente:

El sistema 2x - 2y = 81 tendría solución única sikx+my=4

M,* O.

En este caso, M, = 2 • m - k· (-2)

= 2m + 2k= 2(m + k);é O

;;:<,i~

e-o] I ~o .O-!!

""','"-o

.~o.I::i ~<JI,¡,-.,

c:o'0 • -"'ti'"q:·,.t6.

'~r

"

Por lo tanto, m + k;é O.

Entonces, si m = 1, k debería ser * -l.

Finalmente, la condición (1) por sí sola no essuficiente para responder la pregunta.

Al considerar válida la condición (2), es posibleverificar que no es suficiente para responder lapregunta, ya que podría ocurrir que fueran nulos yno se cumpliría la condición de que m + k * O. Eneste caso, el sistema tendría infinitas soluciones. Porlo tanto, la condición (2) por si sola no es suficientepara responder la pregunta.

Si ahora se consideran ambas condiciones válidas,(1) y (2), se tiene que: m = 1 = k. Luego,m + k = 1 + 1 = 2 ;é O.

Finalmente, al considerar válidas las condiciones(1) y (2), ambas juntas, es posible responder lapregunta.

mf~~:;';'::~:'Bt;:;c~!AVEe -::,

Si x es la incógnita que representa la cantidad deproductos del tipo A e y la que representa la cantidadde productos del tipo B, a partir del enunciado, comose compraron 12 unidades en total, se tiene que:

(l)x+y=12

Luego, como se pagaron en total $ 3.950 por xproductos A e y productos B, y además se sabeque el precio de A es $ 300 Y el de B es $ 350, setiene que:

(2) 300x + 350y = 3_950

Al despejar x de la ecuación (1), se obtiene:

x=12-y

y reemplazando esta expresión en la ecuación (2), setiene lo siguiente:

300( 12 - y) + 350y = 3.950300 -12 - 300 "t+ 350y=3.950

3.600 - 300y + 350y = 3.950/ + (-3600)50y = 350

y=7

Por lo tanto, se compraron 7 unidades del producto B.

-,

-Distractores:

A) En la resolución de:

300( 12 - y) + 350y = 3950300 - 12 - 300 - Y + 350y = 3.950

3.600 - 300y + 350y = 3.950SOy= 3.950 - 3.600

Se cometió un error al restar aliado derecho,obteniéndose lo siguiente:

50y = 450 <=>y = 9

Luego, reemplazando este valor en

x = 12 - y, se obtiene el valor de x = 3, ya que:

x= 12 -9=3.

8) En esta alternativa se consideró el valor de y = 7.Luego se reemplazó este valor en la ecuaciónx = 12 - y, obteniéndose x = 5. Finalmente, setomó en cuenta este valor para determinar lacantidad de articulos del producto B, lo cual esincorrecto.

D) En este caso se consideró que el número 12representaba la cantidad de unidades S, lo cual esincorrecto, ya que estas unidades corresponden alas de ambos productos.

E) En esta alternativa se comete un error en laresolución del sistema de ecuaoones.

300x + 350y = 3.950jl

x + y = 12

Si se multiplica la ecuación x + y = 12 por

-300, se obtiene lo siguiente:

- 300x + - 300y = 3. 600

Luego, si se suman ambas ecuaciones se obtienelo siguiente:

1SOy= 7550/ - -50

y= 151

Lo que es incorrecto.

Page 89: Preparacion Psu de Matematica SM

mj?f~J'j1{1~~cªy(~::;~,~~y.:¡f~~};Al conjunto B = {x E ITe.1 -2 < x $ 6} pertenecentodos números reales x que cumplen con lacondición de ser mayores que -2 y menores oiguales que 6.

La afirmación (1) es verdadera, ya que O > -2 Y0$ 6, es decir, ° pertenece a B.

La afirmación (11) es falsa, ya que -2 no es mayorque -2, es decir, -2 no pertenece a B.

La afirmación (111) es falsa, ya que 6,1 > 6, es decir,6,1 no pertenece a B.

Distradores:

Al comparar las opciones B), C), D) Y E) con laclave, resultan ser incompletas o incorrectas al noconsiderar 1, o bien incluir 11 o 111.

m CLAVE D

Al resolver la inecuación:

x+5 5-6x-+1>---1

7 7

Se tiene

x+5 5-6x-+1>---1 1·7

7 7x+5+7>5-6x-7

x+12>-2-6xx+6x>-2-12

7x> -14 11·-7

x>-2

Estasolución corresponde al intervalo:

x E ]-2, +oo[Distractores:

A) En este caso, en la resolución de la inecuación, aldividir por 7 105 términos de la inecuación7x> -14, se cometió el error de invertir ladesigualdad,obteniéndose:x < -2, que corresponde al intervalo x E ]-00, -2[.

-t7C

B) En esta alternativa se cometió un error al nomultiplicar por 7 todos 105 términos de lainecuación:

x+5 5-6x-+1>---1 1·77 7x+5+1>5-6x-1

x+6>4-6xx+6x>4-6

7x>- 2 11,-7

x>_3.7

Cuya representación es:

XE ]-f,+=[Lo que es incorrecto.

C) En el intervalo que corresponde a la solución dela inecuación, se incluyó al número -2, lo quees incorrecto, ya que este número no satisface ladesigualdad.

E) Al igual que en la alternativa B), se cometióun error en la resolución de la inecuación,obteniéndose lo siguiente:

x+5 5- 6x-+1>---1 1·77 7x+5+1>5-6x-1

x+6>4-6xx+6x>4-6

7x> - 2 11·-7

Finalmente, se invirtió la desigualad de la cual

se obtiene x < _3., que corresponde al intervalo7

XE J-oo,-fl.

;."'..•.

T.

-~

"

m·~K1&~~j_i~~·~~Y~1:1&!i~5i3T~j~Para responder este tipo de preguntas es necesarioanalizar primero cada una de las proposiciones porseparado y determinar si entregan la informaciónsuficiente por sí solas.

Según la información que se entrega en elenunciado, la edad de Bárbara es un múltiple de 6,es decir, puede ser: 0, 6, 12, 18, 24, 36, ..

Si se considera válida la condición (1), la edad deBárbara debe ser mayor que 6, es decir, la edadpuede ser: 12, 18, 24, 36, ...

Por lo tanto, la condición (1) por sí sola no essuficiente para responder la pregunta.

Ahora, si se considera válida la condición (2), la edaddebe ser menor que 24, es decir, podría ser: 0, 6, 12o 18.

Par lo tanto, la condición (2) por sí sola no essuficiente para responder la pregunta.

Si se consideran ambas condiciones válidas, (1) Y (2),la edad de Bárbara podría ser 12 o 18 años.

Finalmente, se requiere información adicional pararesponder la pregunta.

~1 CLAVE O

Al resolver la inecuación con valor absoluto12x+ 11> 2 utilizando las propiedades del valorabsoluto, es posible afirmar lo siguiente:

2x+1<-2 v 2x+1>22x<-2-1 v 2x>2-12x< - 3

x<-~2

v 2x>11

v x>-2

La solución corresponde al intervalo

]-00, - %[ U ]~, +o{

~Gráficamente, este se puede representar de lasiguiente manera:=------1 I

-1 "2

Distractores:

A) En este caso, se cometió un error al no considerarel valor absoluto de la inecuación, obteniéndose:

2x+ 1> 2 => X E ]~, +00[.

Gráficamente, se tiene que:... :

B) En esta alternativa, se cometió un error en laresolución de la inecuación 12x+ 11> 2.

2x+1<2 ,,2x+1>-2

2x<2-1 " 2x>-2-12x<1 ,,2x>-3

1 3x<- "x>--2 2XE ]-oo,~[.n ]-~,~oo[

Gráficamente, se tiene que _~ =~_C) Al no aplicar correctamente la propiedad de

valor absoluto en 12x + 11 > 2, se obtiene solo:

]3r

2x+ 1< - 2 => X E -00 - -! ., 2L

Gráficamente, esta solución se puede representarpor

:~m --E) Al incluir 105 extremos de los intervalos

] 3[] 1 [ . ..-00, - 2 y 2' +00 ,se obtiene la slgulecte

representación gráfica:

"_.,j~J •.•_~;" •••••.•• nC11

Page 90: Preparacion Psu de Matematica SM

1. Función:~~/·.•i~~;~::~~<W¿~j?:~1~:~~~~~tX~~1;ffl1~~~;«~~~'~;¡;~~Li.i;~i::i~,.:~?~·!t:%:~?~~:..;~;i~:.~::~;;!~~;~i~~~{g1t~}:-~:'~~~l~jf~~t":L~~;}.'~¡; .,.yn~ rela~l?r'~~V~1,9~~~!lI~~.t~,~x..~s,~,~?~q%~OrrP ~n~6nJ ~I,a~cad~,TI~w~~lQx,,~ f\,I!~IJl~d9~;~;::~';,.'~~c +1~:preJ..magen, le correspondeqnyso!~!in eremento'ye;; B, líamado Imagen3~%~~~i,f~~i:'lWt,:<";::tz~t:.~!¡i!,,:,,~(!,,·,,!~;'~~:":~~~l¡tn~f?i~'~¡;\~fi~~~;'¡'~~Zt;;~~::t',,::t";,~:;:',':'~'~"i:',,,,;,;~\;~;;'~~?;,.!~:::',:;J~,~~~~%{i:~i:,' ';~ Xh'" o,' ",','1>~~:':;í~,~:;,>~~,En gel1eral,a la va~able,x se le esooa el c()n!;~ptQ: e vanable,. <C:;.z,0~;;·:·,¡~ '-"I";'~'_ ... '¡:-Ó, ~:.:;.:''''''~.,..:.::::' .• ,' ••••-Z':!1":' .• ''',-_..,'''- .,-: ,- -- ". .,' i ,r,_, .,;, -. -.,'.. 'Co:.' .:;•.·..f:7-3."·'~'-',·, .•:'~ ..?"p,:.~", +).';~'·;I~V,,':;'~:.1<,:.,',:, . ,'.,',:r. ,'~;',"t~y ;,;,f(x) ",0 ,'!;. "lndependlente y'a la vanable y el de depenOlente, ,(.¡,;,;¡~~. ''''!'':;';,'>:l;¡,

.,",,~~k~;}·~~,i;:(~~;r~;~~~'ff~~:~·¡~&;tZ~/i~:,:,.,',~',,~:i.::'~~~'/r~"~;0g~:':~;0:¡::C',,;i;r;~,~3¡~':~~ El conjunto de laspreímágenes del sellania Dominio de f y se denotarf por DoIT1(f);" mientras 'que el • ":'~ .':

Jónjimto (fe las,ir)lágen~ (le f se ilar)la Recorrido de f y se denotará pór Reé(f)':que éS iJri 'stbconj(jñto~e B.' '::',. '.' "'_,_, ..{;. 'l':t;.,~'..4.)':';" • ~_::".'I;.;it'_}:~:}~:-~:t:';{'f->" .' ', ;, ,': ..• ~ " . '/: ,i,,' ", '(:;_'-~''''':'';;::,-.:':·..:':':'·J'';'~·~':';':':'J/,··,V,.!i -;'-_ .

", 'Ejemplo: lá'rn~aidá 'def-radío'¡ deuna esfera y su volumen v se pueden relacionar utilizando la funciÓn~:',~: 4' '.•'~.: ~"~.', :;'~"",~, ',:{::; ~,-, ' . .:-·~·:;:;"!,,.,·,f:';"':~:>':,;>';~' '.: 'r~;-..,~.:-:

, Ver) = -nr3• En este caso, r corresponde a la variable independiente y V a levariable dependiente; en. :, '",'

3 :, '>, o , ',' • ' , •

'otras palabras, el volumen de la esfera depende de la medida de su radio, " '

Ejercicios resueltos

1. ¿Cuál es el recorrido de g: {-1, 0,1, 2} ~B, definida porg(x) = X' + 17

Al valorizar la expresión algebraica que representa a g es posible reconocerlas imágenes de cada elemento del dominio. De esta manera, se tiene que:

s-» = (-1)' + 1= 1 + 1 =2

g(O) = O' + 1 = O + 1 = 1

g(l) = l' + 1 = 1 + 1 = 2

g(2) = 2' + 1 = 4 + 1 = 5

Por lo tanto, Rec(g) = {1, 2. 5},

2. ¿Cómo se puede representar la función h: {-~, -1, O,l}~ lR. definida~~~=~+TI 2En este caso,es posible representar la función en una tabla o en un gráfico,

Tab la Representación gráfica

x h(x)

32'(-~)+3=0--

2

-1 2·(-1)+3=1

O 2·0+3=3

1 2·1+3=5

~l~t-=L~,~~._--;~-,~=-~

lf:·_l.~---'--:"-r-r= -~,¡-t-'2..-!_-:-~.~~~~~1- I I '-t-+ '-'---, ¡ x, : JI o I 2 l._L.....1 .J_......l- ,_,,_, _..__

Para funciones en las que el dominio es un conjunto infinito de puntos, latabla se utilizará para identificar solo algunos de ellos,

178 CLAVE· Matemática

• Si f: A ~ B es una función:

i) Todo elemento del conjuntode partida A tiene imagen,

ii) La Imagen de cada elementox E A es única, es decir, ningúnelemento del dominio tienemás de una imagen

iii) Para todo elemento x delDom(f), la lunción estádefinida. Por ejemplo, 2x+ 3Slf(x)=-;

x+5-5 €' Dormf), ya que si x = -5,el denominador es cero,

iv) Si y E 8, entonces puedetener una, ninguna o variaspreimágenes. Por ejemplo,considerandof IR~ ~. U {O} definida porf(x) = x', y = 9 tiene comopreimágenes a x, = 3 Y x, = -3,ya que 3' = (-3)' = 9,

i,'i'''F.~,

.'"'~;~,'",.~.,~•tiIft41

~Jfí.~.'g~.~,

~ifY

19'8~"i!]li0..01..Q1d:~

í,91'':;,.g~,i;,¡

:1Ui;,'(Dl:1,':'~~

+o4{,'

Ejercicios propuestos-

1. Analiza la siguiente información. Luego, identifica cuál(es) de los diagramas representa(n) una función.

Una manera de representar una función es mediante diagramassagitales. Los elementos relacionados se muestran mediante flechasque van desde 105 elementos del conjunto de partida (A) a loselementos del conjunto de llegada (8),

fA~B

r Dorntf) =A= {1,;'-3'-4} !lRec(0=B={-2,-3,~

3

4,1 lo

a, A 8 b. h

C.~~~~~1-1\ 0,2

,O 0,31, 0,42 l ~

I Sí I ~o ~ o ~

2. Calcula el valor de cada expresión, Para ello, considera f(x) = 4x - 1, g(x) = x' + 1 Y h(x) = _x -, todas ellasreales, x + 3

a. 1(2) + 3g(O) - h(l) =

b. (f + g)(I) - (h- g)(I) =

c. ( ~ }3) + (h- 0(0) =

Si f \ g son Iunoones definidas en :., ron g(x) '" O\e E : .. entonces se tiene que:

i) (f:±: g)(x) = f(xl :±: g(x) iii) (f· gl(x) = f(xl . s»

ii) (e- f)(x) = c • f(x), ,f:, . f(x)IV) 1- i\X) = -

g ) g(x)

3. Representa gráficamente las siguientes funciones, Para ello, considera que f: N ~ Z está definida porf(x) = x + 4 Y g: IR ~ IR, por g(x) = -x + 4,

~

~-T:-=~~E=~f'~:~: -~,~::t--.r---i::t- '-ª=l~-,.==---=--=t:

, 1--'--1 --,.--,-,..-".------;-

~~ü~o ~'~~~~:

8IE±±=:~~~-~--=*Funciones

Page 91: Preparacion Psu de Matematica SM

: 1\1112. Función lineal, afín y constante

1.;.:'-" . ~.

x y=3x-3 3· (-3) =-9-2 3·(-2)=-6-1 3· (-1) =-3

° 3·0=01 3·1=32 3·2=63 3·3=9

!"~

Observaciones:;

i) Algebraicamente, se puede comprobar que una función f: IR -t IR es lineal si cumple con lo siguiente:f(k • x + y) = k • f(x) + f(y).

ii) S~k = 1, la función lineal f(x) = k • x se escribe como f(x) = x, y se denomina función identidad.

~ Una función f: lR. -e R, definida por f(x) = mx + n con (m, n ~ O), recibe el nombre de función afln.

Por ejemplo, sea h: R -t IR, definida por h(x) = -x + 5.

x y=-x+5-3 -(-3)+5=8-2 -(-2)+5=7-1 -(-1)+5=6

° 0+5=51 -1+5=42 -2 + 5 = 33 -3 + 5 = 2

r-~~-'~·J8.~~-. 1i:. . 7 : -, -. ¡

¡ I •

i 6!r~···-- ..:1- - .-" .. 1

f--- .- .i

Su representacióngráfica corresponde aura recta con pendientem que intersectaal eje Yen el punto (O, n).

••1 l __J .. ~L -<1 -3 _~:"":.I o

~ Una función de la forma f(x) = c. C E IR, recibe el nombre de función constante.

Por ejemplo: sea w: R -t lR.,definida por w(x) = -0,8.

x Y=-0,8-3 -0,8-2 -0,8-1 -0,8

° -0,81 -0,82 -0,83 -0,8

r---. -...........-.-,-----.--.----...--'----.---.

~--+_._--¡! __._+ y ._.•• - ¡

L--.[ .._..-~-_.0.0. ··-·······1 ·1_,

I! '

Su representacióngráfica ,corresponde a unarecta paralelaaleje X o eje de lasabscisas.

......:. i - -4 -3 -2 ·1 u....,..' 4 x '

·2

1Rn ~I AVF • M.tom:\tiro

PI";e' ;.':'j..;'~&'~~~'ti

~íw.1j;al:;;'~~ ~',,4;

Ejercicios propuestos

1. Clasifica cada una de las siguientes funciones definidas en IR. Para ello, escribe lineal, afín o constante.

a. f(x) = 1 - 2x ~ Función: ----- d. w(x) =-x ~ Función: _

b. g(x) = 10x ~ Función: -----2-xe. k(x) = - ~ Función: _

3

c. h(x)= ~ - 1 ~ Función: ----4

f. z(x) = 45 ~ Función: .

2. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas en :R.

a. g(x) = 3 b. h(x) = -l.3x~:=>~E~~f!-x:~f~';:~~~''. ·x

-.-----~-- ... '---- .-. -~.-.-y '1' _.,_._-~ .- ~ ...··t-,· ~~...•._ ..'.-_._.- -_. ,._---.. .- - ~.....

,-~---' _ ..,......- ,!-_ .

·X

•_." r- j •

3. Resuelve los siguientes problemas.

a. Una empresa de telefonía móvil ofrece a sus clientestres planes mensuales: A. By C. Las caraderísticas decada plan se detallan a conlinuación.

Plan ACargo fijo mensual: S 1.500

Costo por minuto: S 60

Plan BCargo fila mensual: $ 4.900

Costo por minuto: S 45

Plan (Cargo fijo mensual: S 10.900

Costo por minuto: S O

Paracada plan de telefonía representa algebraicamente la íunoon P que permite calcular el pago de unacuenta con respecto al total de minutos usados. Para 150 minutos, cqué plan es más económico?

'%

b. Si en el detalle de una cuenta de electricidad se tiene que el cargo fila es $ 980 Y por consumo de kWh secobran $ 13,8:

(Qué función permite representar el pago Pde una cuenta de eledricidad dependiendo de los x kWhconsumidos?

Sise pagaron S 14.380 en un mes, «uántos kWh se consumieron aproximadamente?

Representala función P en el plano cartesiano.

F!lnri(\rlpc:

Page 92: Preparacion Psu de Matematica SM

, 1113. Función definida por tramos

2 2-2=0

-2+1=-1-1 I -1 + 1=0o I 0+ 1 = 1

1 + 1 =2

3

4

'-

~-:

Ejercicios propuestos

1. Calcula el valor de cada expresión. Para ello, considera las siguientes funciones,

I(X)={2x-3 s x c l1- x si x ~ 1

a. (f + g)(I) + (g - h)(O) + 2

b. (h+Q(;}(h.g{%)-g2(-3)

¡X+l~x<Og(x)= 1 S1X=O

l-xslx>O¡2+x six s :

h(x)= -x-4 sil<x:S;2-x 51X>2

c. (T]<-2,5)+ (f • g)(0)- 4h(0,5)

d. (n(3)- 2(h-g)( -4)+ IJ( ~)

g'(x) = g(x) • g(x)

f!(x) = I(x) ·I(x) ·I(x)

a.

2. Analiza los siguientes gráficos. Luego, escribe la función delinida por tramos correspondiente.

-4+.J----1i I ¡ 1 ,

~110l123

tl')= ¡1 R? rl A\1l= • U::::atornMif'~

I ; , _.:---+l-+--;--;--¡-

1 i~I ..1 21 I ,¡ ,

EI')= ¡

""

V~'~'

.~ri,..;:~:

\~¡

-4. Función valor absoluto y función parte entera

~ La funóón parte entera f: lR -+ Z, representada por f(x) = [x], está definida de la siguiente manera:I(x) = [x] = Z, con Z E Z, donde x E [1, Z + 1[. .~ ~ ',~'

, Ejemplo:

x y=[x)-2,5 -3-2 -2-U -2

O O0,5 O1,1 1

J IV . .r-------;----. ~.------~~----.. --~·-l .~-.-->---<> ¡-

L.... . 1•~ =- -3 -2 -1~-1 1 _3.: X

~ ---<> -2¡1.-__ •__ ---0 __ •...-5 _ _._í~_------- ------_.- ..•...•

En otras palabras, la fundón parte entera asignaa cada número real x el mayor de los números enterosmenores o iguales a él.

Ejercicios resueltos

1. Sean 1:~ -+ ~ y g: ~ -+ 2:, definidas por: f(x) = [ x + ~ ] - 3 Y g(x) =I~-11+ 2, calcula el valor de las

siguientes expresiones:

~

11 7a. 1(1)+g(-5)=-2+-=-2 2

1(1)=[I+~]- 3=[ %]-3=1- 3=- 2

1-5 I 171 7 11g(-5)= 2-1 +2= -2 +2=2+ 2=2"

b. 2.1(~tg(~'=2.(-2)-~=-4-~=-32\3J 2J 4 4 4

I( ~ )=[ ~+ ~ ]-3=[ ~]-3=1-3=-2

g( ~ )=I~ 2 -11+2=1±-11+2=HI+ 2

=~+2=~4 4

Funciones 1,

Page 93: Preparacion Psu de Matematica SM

111

Ejercicios propuestos

1. Analiza la siguiente información. luego, grafica las funciones dadas.

Los gráficos de las funciones del tipo f(x) = Ix + k] Y g(x) = [x + k]. con k E IR., corresponden a una traslaciónen el eje X (horizontal) de los gráficos de las funciones valor absoluto y parte entera, respectivamente.

Ejemplos: ! I ¡v I I I i 7¡ ~3IY! I! ¡ 11 I. I 11 1 I

0-0--+ :------r-~. I

f3tS~7

, f(x) = Ixl + 3.- -2

t-t--- -~_._-

-2 -1 o

a. f(x) = [x] - 3

'1_. ~ ~ • - _.0_0._ •... -,....=- ->-_._-

rm Marca la alternativa correcta

T X i

1 2 1 x:

. --x

1. Un taxista cobra S 500 como tarifa fija y S 200 por cada 150 metros recorridos. ¿Qué función representa elcobro de un viaje respecto a la distancia recorrida?

-3 -2 -1 o0-0- ---

----- --_.. --: L_1

:-- g(x) -Ixl-I-

-2 -1

··=-1"-- _o. - ._ .. _~ __. ..,..#_... ~~~~ • ..:

b. h(x) = [x + 11- 4

:v

200A) Y =-x + 5(X)

150

B) Y = 2ool~1 + 500. ISO

C) Y=200[1~]+5oo

D) y = 200[ 150x] + 500

E) Y = 2001500x] + 150

2. Si se cobran $ 600 al usar un estacionamiento por menos de una hora y $ 800 por cada hora o fracciónadicional, «uánto se cobra por usar el estacionamiento cinco horas y 30 minutos?

A) S 3.800B) $ 4.000

C) S 4.600D) S 5.000

184 el AVF - M"tAm~ti,,;¡

E) $ 5.400

~J~~--i,.~.~-":'4'r

,~

I~#.- .:~.

•••5. Ecuación de segundo grado con una incógnita

Una ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede expresarde la forma ax2 + bx + e = O, con a, b, c E IR Y a ~ O. En general, estas ecuaciones se clasifican en completase incompletas, dependiendo de los valores de sus coeficientes.

~~~~Para determinar las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = O, es decir, los valores de x que la satisfacen, esposible utilizar la siguiente fórmula a partir de los coeficientes de la ecuación.

Fórmula general

x = -b+~I 2a

-b~'x= - -4ac1 .

2a

La cantidad subradical b' - 4ac se llama discriminan~e. de la ecuación y se denota con la letra griega 6 (delta).

~ Si 6> O ~ x" X, E IR Y X, ~ x,. En otras palabras, la ecuación tiene raíces reales distiotas.

Ejemplo: en la ecuación 2x' -12x + 16 = O se tiene que 1:.= b' - 4ac = (-12)' - 4·2 ·16 = 144 - 128 = 16.Luego, tiene raíces reales distintas. En este caso, XI = 2 Y X, = 4.

~ Si 6= O ~ x" X, E IR Y X, = x,. En otras palabras, la ecuación tiene raíces reales iguales.

Ejemplo: en la ecuación x' + 2x + 1 = O se tiene que 60= b' - 4ac = 2' - 4 - 1 - 1 = 4 - 4 = O. Luego, laecuación tiene raíces reales iguales. En este caso, XI = X, = -I.

~ Si 60< O ~ XI' X, E IC. En otras palabras, la ecuación tiene raíces complejas.

Ejemplo: en la ecuación 3x' - x + 5 = O se tiene que: 60= b' - 4ac = (-1)' - 4 - 3 - 5 = 1 - 60 = -59.Luego, la ecuación tiene raíces complejas.

Ejercicios resueltos

1. Determina las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones:

a. x' - 9x - 36 = O b. xC + 4x - 21 = O c. x'+6x-8=0

a. En la ecuación x' - 9x - 36 = O es posible identificar que a = l. b = -9 Y c = - 36. Luego. aplicando la fórmulageneral. se tiene que:

-b + ~b' - 4acX =_........:._--I 2a

-(-9) + ~(-9)' - 4 ·1· (-36)2 -1

9+ms 9+15---=--=12

2 2

-b - ~b' - 4ac -(-9)- )(-9)' - H· (-36) 9 - ms 9 -15x = = --=-=-3'2a 2 -1 2 2

~ Para comprobar si XI = 12 YX, = -3 son soluciones de la ecuación se reemplazan estos valores en la igualdad.

Para x = 12, se tiene que: 12' - 9· 12 - 36 = 144 - 108 - 36 = O.

Para x = -3, se tiene que: (-3)' - 9 • (- 3) - 36 = 9 + 27 - 36 = O.~

FllncinnA~ H

Page 94: Preparacion Psu de Matematica SM

"

1111b. También es posible resolver una ecuación cuadrática factonzando. Por ejemplo, para obtener [as raíces x, = -7 Y

X,= 3, la ecuación Xl+ 4x - 21 = O se puede factorizar como:

Xl + 4x - 21= O {:::}(x + 7)(x - 3) = O{:::} x+7=0 v x-3=0

Además:

{:::} x=-7 v x=3

. c -21 cJ) x -y =-7-3=-21 y-=-=-21,yaquex -x =-., " a 1 I 1 a

.. b 4 b11) X +y =-7+3=-4y--=--=-4,yaquex +x =--., " al' , a

c. Para determinar las soluciones de raícesde [a ecuación Xl+ 6x - 8 = O, es posibleutilizar [a completación de cuadrados.

x' + 6x - 8 + 31 - 3' = O

Xl + 2 - 3x - 8 + 3' - 31 = O

Xl +2.3x+3'-8-31 =0(x + 3)1 - 17 = O

(X+3)1 =17

X+3=±.J17

x=-H .JI7

Finalrnente.x, = -3 + Jli y x, = -3 -.J17son [as soluciones de Xl+ 6x - 8 = O.

Ejercicios propuestos

• Si XI Y X,son las soluciones de la ecuaciónaxl + bx + c = O, entonces se cumple [osiguiente:

ci) x,' Xl =¡;

bii) x, + Xl =- aii~ Factorización: a(x - x,)(x - x,) = O

(ompletación de cuadrados de [a expresión y = axl + bx + c.

Xl +~x+(~)l .: =(~)'a 2a a 2a

(X + ~)' = b

l- 4ac

2a 4al

x + ~ = ±Jbl

- 4ac2a 4al

-b- Jbl - 4acx=----, 2a

iJ(1 +lx+c=D

1 b eX +-x+-=O

a a

1l-a

/ +( ta J1 factorizando y resolviendo

/ despejando y resolviendo

y x = -b-~1 2a

a. Xl+ 8x + 16 = O

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado mediante factorización.

b. x'-10x = O

c. lOx- 5xl =0

d. x' + 16x + 64 = O

e. 2(x - 3)' = x(x - 1)

f. x' - ~=O36

2. Analiza el siguiente procedimiento. Luego, resuelve las ecuaciones planteadas.

A[ resolver la ecuación x' - 10= O se obtiene [o siguiente:

Xl -10 = O 1+ 10Xl = 10

~ x = ± JlO Luego, x, = JlO y x, =-.JlQ

a. x'-16=0 e. 4xl + 9 =0

b. 234 - 2xl = 34

1 RR 1":1AIIF. Mo,pm:\tir.

c. O 25xl - ~=O, 4

d. 4xl + 100 =0 f. x' + ~_lS2-4

v~t~.~

i;t~~:-,:i("

'.~~

•3. Analiza el siguiente procedimiento. Luego, resuelve.

1 1 1X-=-¡+'6 =x=3 1-6(x - 3)(x -1)

I I ,

6(X-3)JV1} ,i(X-3)(X-l) 60(x-l)yí+t=~

I ,

( Restricciones: x '# 1 Y x * 3. )

6(x - 3)+(x - 3)(x -l)=6(x -1)

6x-18+x'-4X+3=6x-6xl+2x-1S=6x-6 1+(-&)+6xl-4x-9=0

-(-4)±~(-4)1-4-1.(-9) 4±.J52 4±j4:]3 4±2J13x --=-

2·1 2 2 2

,i(2±Ji3)

i2± ..Ji3

a. ~ 5 x-2x-2-'2=-

x - 2. 2x - 31--' =--

10 x + 51 3c. 2+--=--

2x+l 2x-lb.

4. Resuelve las siguientes ecuaciones. Para ello, utiliza la fórmula general.

a. 3x' - 2x - S = O e. x' = 12x 1. x(3x - 4) + 5(2 + x) = 2(3x + 4)

b. 5x'+ 10x+ 1 =0 f. x'+2x.fi=6 j. 5x(x - 2) = 3(30 - x)

c. x' + 5 = O g. Xl+ 29 = 2(2 - Sx) k. x' + 10x + 11 = O

d. -x' + 2x + 48 = O h. (x - 2)' - 4 = O 1. 3x' + 5x - 2 = O

I:m Marca la alternativa correcta.

1. Si el discriminante de la ecuación 3x' - 2x + q = O es 64, ¿cuál es el valor de q?

A) 6 B) S E) -6C) 3 O) -52. Dada la ecuación 9x' - skx + 1 = 0, ¿cuál(es) debe(n) ser el (los) valones) de k para que [a ecuación tenga

dos raíces iguales?

A) ±~5

B) ±~6

O) 25 E) +~S

C) 36

~

3. ¿Para qué valor de b las soluciones de Xl+ bx + 27 = O son positivas y una es el triple de la otra?

A) 12 B) 9 C) 3 D) -9 E) -12

4. la edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. En 24 años más, la edad del padre será el doble de ladel hijo. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno?

A) 5 Y 25 años B) 6 Y 36 años C) 24 Y 48 años D) 12 Y 24 años E) 8 Y 64 años

5. Determina el valor de q en 5xl - (3q + 2)x + (7q - 5) = 22 para que el producto de sus raíces sea 20.

~A) 15 B) 127 C) ~7

7E) t:

7O) ~

7

Funciones 11

Page 95: Preparacion Psu de Matematica SM

6. Función cuadrática

Una función f: IR ~ lR es una funóón cuadrátíca si tie~~ la forma f(x) = ax' + bx + e, con a, b, c ~ lR Ya oF- O. Su representación gráfica es una parábola en la que es posible identificar lo siguiente: .

~ Eje de simetría: x = ~ ~ ~ Intersección con el eje Y en y = c.2a ," . - .

(b 4ac-bl) :',',' -b+~b'-4ac

~ Vértice: V --, -- ~ Intersección con el eje X en x, y en x,2a4a ' . 2a

-S-J5'-4.\.62·\

-5+J5'-4.\.6x, . x,2 ·1

-5+ 1X=-'I 2'

x, =-2;

-s -tx =--1 2

x, =-3

Ejercicio resuelto

1. Sea f: lR -7 iR, definida por f(x) = 2x' - 3x + 1. Determinael eje de simetría, el vértice y la intersección con los ejes.

Los coeficientes de la función cuadrática sona = 2, b = -3 Y (= Uuego:

E· d '. b -3 3le e stmelrla: x=--=--=-2a 2·2 4

. (-3 4·2+(-3)' J (3 1)Vértice V -N' 4,2 =v 4'-8Intersección con el eje Y en y = \.

Intersecciones con el eje X en:

X,-(-3)+J(-3}"-4.2.1 3+Ji 4-'-~-'-..:.-~-- = -- =-=\

2·2 4 4

x,-(-3)-J(-3)'-4'2.\=3-Ji=3.=~

2·2 4 4 2

1 RA rl ó\/~ • M<;)to""~""" •..•

-b-~2a

54 Y

"-Intersección con,;~eY:(O,5)

;/T-2\. . vl-~ _~' mtersecnoncon eí eie x

véruce: 2' ,) (-2. O) y (-l. O)

Respectoa la representación gráfica de la funciónf(x) = eX.' + bx + e, es posible aíirmar lo siguiente:

SI a > O, eJvértice de la parábola es el puntocuya ordenada es el valor minimo de la función(abierta hacia arriba)

'X1 1 3-! 5 t , 3

Si a < O, eJvértice de la parábola es el puntocuya ordenada es el valor rnáxrno de la función(abierta hacia abeio).

_,.i: :"2.-. -. T - '---: -; - : x~-,' 't' ,. " ,.·1 __ o --- - r'

---2 -- __ .;-. _.~ ._,_L-_;, _. -> " -- - ,- '-1 1

•••••• o o _._ •

...:.. ~ -_ ..

"~~!

Ejercicios propuestos

1_ Analiza la información del recuadro, Luego, representa gráficamente cada función.

f(x)= ax' f(x) = ax' + e f(x)= (x - h)2

En este caso, el eje Ycorresponde al eje de simetriade la parábola. Su vérticees el punto (O, O), que es laintersección de la parábola conel eje X e Y.

Ejemplo: considerando la función f(x) = x' + Sx + 6, se tiene que a = 1, b = 5 Y (= 6, Luego:

Eie de si b S 5~ le e slmetna:x=--=--=--

. (b'4ac-~~) 2(.\ 'S 24.1.6_52) (S \)~ Vértice: V -- -- =V -- =V ----

za' 4a 2·\' 4-1 2' 4

~ Intersección con el eje Y en y = c = 6.

~ Intersecciones con el eje X en:

Si c> O, corresponderá al gráfico def(x) = axl,desplazado vertical mente ene unidades hacia arriba.

Si c < O, corresponderá a I gráfico def(x) = ax', desplazado verticalmente enIcl unidades hacia abajo

Si h > O, corresponderá al gráfico def(x) = x', desplazado horizonta'menteen h unidades hacia la derecha.

Si h < O, corresponderá al gráfico def(x) = x', desplazado horizontalmenteen Ihl unidades hacia la izquierda,

a, f(x) = 2x2

___ ~_. _ •• o ••• _

:-__ !-l. __ .- __Y"

c. i(x) = (x + 4)2____ , __ , __ .__ .-:1

b. g(x) = -x' + \ d. ¡(x) = (x - 5)' + 3

.'1

X

-~

Xi

I•

a. Función cuadrática f con a = 3, trasladada 0,5 unidades hacia laderecha y una unidad hacia ebeje respecto de f(x) = x'.

b. Función cuadrática g con a = ~ , trasladada 2 unidades hacia la2

izquierda y 3 hacia arriba respecto de f(x) = x-.

. ,- ,'- -, - --- y

~~:-==,:::--=-,:i::=:--:-.-:I-;-:' ':... - --,- ._.-.--- ..'"

~_. , __ o •• _-----< ¡- ...- "-1- -1 . _ ..

2-=§

•x

T

2. Utiliza la siguiente información para representar algebraicamente cada enunciado, Luego, grafica cadafunción en un mismo plano cartesiano,

t~=j~~J¿~~~~~~

é- una fLrc.C-'i C~j2Ó2~-:.a

gi.\1 = ~\. - ~\ - e es ;::si:;!eIceltlf cer 10 ~¡gLJe~:e:

S, ¡al < !, e: grá;Kc de g se dilatacon respecto al gíaf,co ce :afLnción f(xl = x.

s, ¡al> l. e: grá:ico de g se contraecon respecto al gráfico ce laícnoon f(x) = x .

FllnrionfS 1f

Page 96: Preparacion Psu de Matematica SM

,t 111

3. Analiza la siguiente información. Luego, responde.

los ceros de una función cuadrática de la forma f(x) = ax' + bx + c son aquellos valores de x tales quef(x) = O Y se pueden determinar gráficamente encontrando las intersecciones de la parábola que representala función con el eje X. Para determinarlos algebraicamente se iguala a cero la expresión ax' + bx + c. luego,se resuelve la ecuación resultante. A partir del signo del discriminante Il= b' - 4ac, es posible concluir losiguiente:

Si ,1.> O, la función tiene dos ceros reales, es decir, la parábola intersecta en dos puntos al eje X.

Si ,1.= O, la función tiene un cero, es decir, la parábola intersecta solo en un punto al eje X.

Si ,1.< 0, la función no tiene ceros en ]R, es decir, la parábola no intersecta al eje X.

a. ¿Cuántos ceros en lR tiene la función f(x) = X' + l? iSu representación gráfica intersecta a alguno de los ejescoordenadosl

b. ¿Es cierto que la función f(x) = X' + 6x + 9 definida en R no tiene ceros en 1!{7 Justifica tu respuesta.

c. ¿Para qué valor( es) de k la función f(x) = X' - 8x + k + 3 no tiene ceros en IR?

4. Determina el vértice, el eje de simetría y los ceros de cada una de las funciones. luego, esboza un gráfico encada plano cartesiano.

4 4b. h(x)=x'_-x+- 3 9~~;=r~t+m~rH=;~ll~~--:f~. I l' , '...x-,

~~~~it4~~

a. f(x) = -2x' + 3x - 1

.x.

t'F-=i:7L ~;=~_ ...l~~:..:_-;-:-:_.__+ _.~~ __ ~r--1-,:-1 '

~ Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál es el área máxima de un rectángulo de perímetro 72 cm?

A) 18cm' B) 36 cm' C) 324 cm' D) 364 cm' E) 1.296 cm'

2. La altura en metros con respecto al tiempo t en segundos de la trayectoria de una flecha viene dada por lafunción I(t) =-f + 51. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la flecha?

A) 25 m C) 6,25 m E) 18,75 mB) 5 m D) 125m

3. La altura en metros de un saltador de trampolín olímpico en cualquier instante t en segundos está dada por

la función h(t)= - f + 21+ 4. Si el trampolín está a 4 m sobre el nivel de la piscina, ¿cuál es la altura máxima1

del saltador y el tiempo que demora en alcanzarla, respectivamente?

A) 5 m y 3 s C) 6my3s E)6mylsB) 6 m y 2 s D) 5 m y 2 s

ion ("""\le .•• A•••••..••..•••.:..: •.••••

:,--;

!!:t

'i;jl''%'~~,=1'~~.~~

I~.~~~

7. Función raíz cuadrada•••

Ejercicio resuelto

1. Si h(x) = Jx + 1 -1, «uál es su dominio y su recorrido?

El dominio de la función f(x) = ..fx es posible representarlo como I!{' U

{O} o x ~O. Entonces, para h(x) = ¡;-.;2 - 1, se tiene que x + 2 ;?O, esdecir, x ~-2. Por lo tanto, Dom(h) = [-2, +00[. Además, se tiene queRec(h) = [-1, +00[.

También es posible utilizar la siguiente información:

Si f(x) = Jax + b + c; con a. b, c E lR se tiene:

Si a > O, Dom (O = [ - ~, + oo[ y Rec(!) = [e. +oo[

• Si a < O, Dom (1) = }oo, - ~]vRec(1) = [e, +oo[

Observación: el gráfico que representa a la función h corresponde a unatraslación del gráfico de I(x) = -Fx.

~ I I y ¡ It I ! I¡ i I -l.-1 1.....-- ~ I I

I ~ p/¡ o I ? f x• IT I I I iI

I I I :! ! I I

• Paralafunciónf~·U{O}-?R·U{O}definida por: f(x) =Fx. se cumplen lassiguientes propiedades:

i) 1(0\ = O

ii) f(l) = 1

iii) I(x • y) = f(x) • f(y)

. ) f ( x " _ I(x)IV ---y) fWl

v) I(x') = f(xt

E¡emplos:

f(40) = f( 4 . 10) = ,¡;::¡o=f4.JIO= f(4) • f(IO)

t( ~ J = ~ = ~ = :~~~

f(9') = J9i =9"~ = (19)' = f(9)'

Fllnr.innp.s 1G

Page 97: Preparacion Psu de Matematica SM

I¡ \1\

Ejercicios propuestos

1.

g(x) =¡;-3

. I f±,: I 3 i' ; t~ .. ~. 'LJ ,¡---~-~

a. ¿En qué puntos se intersectan los gráficos de 1 y j7 LV los de h y w?

b. (Qué diferencias y qué semejanzas hay entre los gráficos de las cinco funciones representadas?

2. Escribeel dominio y el recorrido de las siguientesfunciones reales.Luego,esbozasusgráficos en el plano catesiano.

a. f(x) = )3X + 1 b. h(x)=~ c. w(x) = 2Jx - 1

Dom(n = Dom(h) = Dom(w)=

Rec(!) = Rec(h) = Rec(w) =

3. Sea g: A c;;; IR -7 B c;;; IR, definida por g(x) = .¡;:;2 + 1. Escribe verdadero o lalso.

a, El gráfico que representa a la función g intersectaal ele X en el punto (-2, O)

b. x = - 3 no pertenece al conjunto A = Dom(g).

c. __ .__ ., ._ El recorrido de la lunción g corresponde al conjunto de los números realespositivos.

d. _. El gráfico de g es una traslación del gráfico de f(x) = ¡;en dos unidades haciaarriba yuna hacia la izquierda.

e. ._. Paray = 0,5 no existe una preimagen a travésde la función g.

4. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve las ecuaciones y compruébalas.

Fx=4 /( )' _1-x=16 /+(-1)

-x=lS H-1)x = -15

Más adelante se mostraráque la función f(x) = x' es lafunción inversa de g(x) = ,fx .

a. J5x + 3= 12 b. F:4 = )8 - 2x c. ~=J2x

10'/ ('1 t\\IC _ "~,, •.•...•......,,;.;,..'1

i(",.,

.!:-

"¡.

":~I -"-e!!e,!l.

"IIJii -"$1 ~lIT

'.:1,~I ~'~. -.;j4-

8. Función potencia•••

~~~?~~~~.~~·~~s;¡~~r~~~rl~~\~:*~~::::ff~;~-·~~~~:~~/t:.-::?;p~';:~.:.j.>-( .::. '. ;•.:-.~;>~--.:~"}"1t~,

:.: ~LáfunCión pofenciarlR 41R está definida por:f(x) =.ax", con a eR -;-".{O}y n e N para n> 1.

[:':i;;~!~~%;~~~~J;f~~~1~~~~r;~~~~'~~~t~~~:f"~?i:~'¡/'1 ·-j.~~f~~~:-;;:'i;~:':'·:'J':>;:.r~.',' ~>.'''''-. '. ~,,,p;.~' ~, I I I ",' , I "'~ I ~tE. ,f'~l,_ .•••!:'i#-:i:,.1!"\! :'~ ¡,

,;,~..e."";...,,,.; ..•., ...t.••~..~.?'.:c;, '\ '1 I / ~} i ,111. ;, TI,.f~-.~~&J{1:~.J;~, I'·:!C. ~ ': :! i: ¡ ;·0· ..• ""':.' ,.", \' ! / I I l' , o" •\~j:-'.,Yj;'· 1/ I ,~l o', .

':))', \. /11'f(x):"x2 "~ ••.• . '\..... / j' ¡ !

-2------t ..•------...----

./, 21 --,-~2+· ..-·--·-..-

------3~----- -____ ...J1. _

~ Dna fuiición es par si f(x) =f(-x) 'Ix e Dorntf); mientras Que es impar si fe-x) = -f(x) 'Ix E Dom(l).

Observaciones: •

í) Si n es un número par, la función f(x) = ax" es Iuna fundón par y su representación gráficaes simétrica respecto al eje Y.

ií) Si n es un número impar,la función fex) = ax"es una función impar y su representacióngráfica es simétrica respecto al punto (O, O).

Ejercicios resueltos

1. Demuestra que la función g(x) = Sx' es par y la función h(x) = 2x' es impar.

- Parala función g se tiene que g(-x) = Se-x)' = Sx' = g(x). Por lo tanto,g(x) = g(-x), es decir, g es una función par.

- Parala función h. se tiene que h(-xl = 2(-x)' = -2x' = -h(x) Por lotanto, he-x) = -híx). es decir, la función h es impar.

2. Representa en el plano cartesiano las funcionesf(x) = -x' y g(x) = (x + 1)' definidas en lR.

x f(x) g(x)-2 . -(-2)' = -(-8) = 8 (-2+ 1)'=(-1)'=-1

-1 _(_1)' = -(-1) = 1 (-1 + l)'=()l=O

O -(-O)' = O (0+1)'=1'=1

1 -1'=-1 (1 + 1)'=2'=8

2 -2' =-8 (2+ 1);=3'=27-

Existenfunciones que no sonpares ni impares Por elemplo.la función w ? -> :.::.definidapor w(x) = x + \ Además,la función nula f: ? --'>::;;.,

definida por 1(\) = O es par eImpar.

1

x

Fllnri(lnP~ 1q

Page 98: Preparacion Psu de Matematica SM

1111i

Ejercicios propuestos

1. Completa las siguientes tablas. luego, realiza un bosquejo del gráfico correspondiente.

a.I x g(x) = x2 + 1

-2-1

O

1

2

b. Ix'

I x h(x) = --14

-2-1

O

1

2

c.i 1 4

X f(x)=-xI 2¡

-2-1

O

1

2

'¡II,IIIIIt.¡lr,III¡-¡---r-¡

11

1-+-.,,;

::ri 1 I ¡ -~'H'ff.LlJ'rTl--1-t- -F-1~-

iH~IT.í'-r--r-¡-i

¡

, i.. l

2. Analiza el siguiente gráfico. luego, responde.

-'-iiCIv ·,-Ft-'~-'rtt=¡-l;-- •I \1 o\-; .1..•. -l- ¡ .

I !: - !--;- j : ~ ., 1

e

~ .'ª!?~ . ~::><lO

~ • ":.o':;;;oti-:;.;I

""

~

-4 ~3

a. ¿Cuántospuntos de intersección tienen los gráficos de las funciones f y g7 LY h Y f?

b. ¿Qué ocurre con el gráfico de f a medida que x aumenta?

c. ¿Qué ocurre con el gráfico de h a medida que x disminuye7 LY con el gráfico de g7

d. ¿Cuáles el valor mínimo que toma la función h? ¿y la función g7

e. ¿Cuál(es) de las funciones graficadas es (son) parees)?LY cuál(es) es (son) impar(es)?

Una función f: IR ---t1R+ es una función exponencial si tiene la forma f(x) = ¡¡l, con a E lR: - {1} ..

Propiedades de la función exponencial

f: IR ---t1R', donde f(x) = a', cumple con lassiguientes propiedades:

O feO)= 1 iii) f(x - y) = :~~~

ii) f(x + y) = f(x) • f(y) iv) f(n. x) = (f(x»" (n E Z)

9. Función exponencial

Ejemplo: sea f: IR ---t1R·, definida por f(x) = 4', entonces:

i) f(O) =4°= 1

ii) f(x+y) =4>+Y=4"4Y=f(x).f(y)

"" f( ~ 4'-' 4' ~x)111, x-y,= =-=_4' f(y)

iv) f(n· x) = 4"' = (4')' = (f(x»"

Ejercicio resuelto

••• ,,-~.- J ._ •.•• - ••~_ ."

Representación gráfica

--1 -2 , x

-2

1. Representa algebraica y gráficamente la siguiente situación.

Un grupo de 5 estudiantes decide realizar una campaña para reunir alimentos no perecibles. Estaconsiste en queen una primera etapa cada uno de los estudiantes debe invitar a participar a 2 personas. de tal manera de crearuna cadena de ayuda. Luego.en una segunda etapa. las dos personas contactadas deben invitar a otras 2 yasisucesivamente.

Considerando que la cadena se inicia con los 5 estudiantes, se tiene

Primera etapa: 5 • 2 ~ 5 • 2 = 10 personasSegunda etapa: 5·2 • 2 ~ 5 • 2' = 20 personas.Terceraetapa: 5 • 2 • 2 • 2 ~ 5 ·2' = 40 personas.

En este caso, la función f: IR -7 IR', definida por f(x) = 5 • 2', permite modelar la relación que hay entre lasdistintas etapas y la cantidad de personas contactadas en cada una de ellas. Sin embargo, para la situación descritael Dom(!) = N U {O}.

x f(X)=5 -2' .O 5· 2°= 51 5·2'=102 5·2' = 203 5.23= 404 5·2' = 805 5·2' = 160

-y

160

·1-1()

12'

. 100

80

• 60

- -1()

20

-4 -3 -2 -1 lo 1 2 3 4 s X

C"""il"lnor 10

Page 99: Preparacion Psu de Matematica SM

,f \1\

Ejercicios propuestos

1. Analiza los siguientes gráficos de las funciones de la forma f(x) = a'. Luego, escribe la función que mejor losrepresenta.

a.y

11j

/, ~/I

¡ J-..--(-'/ II-3 i 11 o

1f x

I

I ,I

,I !

I ! i

I y \ I1

I.\ I

, \ T !, !

1 1\ I II 1

I i i ~,I

I I I~ ~\ o T xlI I, , ,

b.

( I\ j

(l~ ~

2. Analiza el enunciado. Luego, resuelve.

Gertas bacterias presentes en un cuerpo se reproducen exponencialmente, duplicando su población cadaun minuto.

a. Completa la tabla.

Reproducción de la población de bacterias

o 1 2 :5 4 5 6 7 8 9

50

Tiempo (minutos)

Población (cantidad de bacteñas)

b. Determina una función potencia, definida en los números reales, que modele la situación.

---------~------ ---_ .._--_._- ----_. __ .. ---~-----------_.__ ..__ ..__ .._----

-----_. ---------------------------------c. ¿Cuál es el conjunto de partida y cuál el de llegada de la función para la situación descrita?

._-------------- ------~... ~--_ •._- -------~----

d. Esboza en el plano cartesiano la función para la situación descrita considerando c.

r . 1

i I ; ! !

i : .::::±:=i:J

II I fTI ! I ¡l· , :

" II:IIII!I:~·---_·_'

10'::: ,..., I\\.fe' ••A •..•••••••••••• .:. •..• ,.. ••

"C

e-o

11 'x

,..:;..-o

~Io. -~ :;¡

~r::o I'i)'

~' ~-

O,ii;

i~'

3. Analiza la siguiente infonnación. Luego, grafica las funciones.I

Paragraficar una función de la fomna g(x) = él' + C. con c E IR, es posible considerar lo siguiente:

- Si c> O,el gráfico que representa a la función g corresponde a una traslación en c unidadesverticalmente hacia arriba del gráfico de la función f(x) = a'.

Si c < O, el gráfico que representa a la función g corresponde a una traslación en e unidadesverticalmente hacia abajo del gráfico de la función f(x) = a'.

a. f(x)=2'+5 +~.,'~t-'ii'Tr' l'

c.

I i ! ¡ I.," I!I~I ' . I i . I . I I I I ! I ! iT" I I ! I

I I! l' I i I ! I X

1

, I I ;-'-~-r-r-!!: ! I

. . ¡ ,I : _I_'_.'_-i-

--~I: i' 1i 1 t !

, '

~: -h'- :H-1--; .~j- ;r=;+=, , ,;-;---11--1-

b. g(x) = 1,5' - 3 d. w(x) = 3'+ 0,2--

l. h_.~ L~=-:-+-v::==~:-~~~. .L-. __ ' _

~,---, '---,----

t -. _.- -- .• -

_ .. _ •. C .. _ • __ L__. .

! ! h 1,._,--.--"' r;1=~-·H--j.::= ----- :Oot-! I t. ~----_-4.----------.~--- :-..·--l-;--~-·- o -:-+ -.

~~~-~=-:1ti=:__ o. - _." .. _" •.

.' I •:.:~~=~~.'::-_-=~~~'~~J=-~.=~__..' -=-.x _,_ _ ._ - _ _._ -'.00' ._ _ _ _-----------¡..-._---._~._---.---._--;-.

4. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.I

Si f es una función exponencial definida por: f(x) = ty (b '" 1 Y b > O), entonces se cumple la siguientepropiedad: b' = by (:=} x = y. Utilizando esta propiedad, es posible resolver ecuaciones exponenciales.

Ejemplo: 7' + 7'" = 56 I fadorizando7'(1 + 1") = 56

7'.~=56 I'~7 87' = 56.~

8

7' = 49 I igualando bases

7' = 72 I aplicando propiedad

x=2

a. 7',-2 = 1 c. 2'" + 2' + 2'" = 7

d. 3'+3'" + 3'" = 117b. 3'" - 3' = 2

Funciones 19

Page 100: Preparacion Psu de Matematica SM

10. Función logarítmica

Sia E lR' - (1l, se define la función logarítmica en base a f: lit' --t R tal que f(x) = log,x.

Propiedades de la función logarltmica Representación gráfica. _ 1

f: lit· --t lR, definida por f(x) = log,x. cumple con las siguientespropiedades:

i) f(l)=O

ii) f(x· y) = f(x) + f(y)

ii~ {~) = f(x) - f(y)

iv) f(X") = nf(x)y=log,'O<a<l

y=log,xa > \

3 X

Ejercicio resuelto

1. Analiza la siguiente situación. luego, verifica el cumplimiento de las propiedades de la función logarítmica.

En un estudio se determinó que si se mantienen las tasasde crecimiento actual de la población de cierta ciudad,la función que modelaría el incremento de la población, en miles de habitantes, respecto al tiempo esf(x) = 200 • logx. donde x es el tiempo en meses. A partir de esta función, es posible determinar el incremento dela población en ciertos periodos.

Incremento de la población

x f(x) = 200 .Iogx

1 200· 10g1= 200 - O = O

10 200 -log10 = 200 - 1 = 200

100 200 - 10g1oo= 200 - 2 = 400

1.000 200 - logl.0oo = 200 - 3 = 600

'00

l.§. 300•• 1::~ . 100

~ \00

, ..)1

\O 20 30 ;0 \O 60 70 3C 90 100 X

Tiempo (meses)

Paraverificar las propiedades de la función logarítmica,es posible realizarlo siguiente:

i) f(I)=200-logl=200-0=0

ii) f(x - y) = 200 - log(x - y) = 200 - (Iogx + logy) = 200 • logx + 200 - logy = f(x) + f(y)

iii) {~ ) = 200 .IOg( ~ ) = 200 - (logx -Iogy) = 200 -logx - 200 -Iogy = f(x) - f(y)

iv) f(x") = 200· 10g(X")= 200 - (n - logx) = n - (200, logx) = nf(x)

Si la basees diez, Sé

esmbe:

lag x <=> logx

1 QA rl Al/r= • M.lom;';r.

f.

eg" •t1;J''O!2a..,.,..". .,'"'" ~:2.-:fVJ:'-. ~o~.

~. '"<1>

lG""g~.~~~. ~uJ,fi[

~f:''w'':.

EjerciCios propuestos

1. Completa la siguiente tabla que contiene funciones reales. luego, responde.

xFunción

2561

2561

641

16 16 64

f(x) = log/

g(x)=bg/4

a. ¿Cuáles el dominio y cuál el recorrido de la función fl ¿y de la función g7

b. ¿Quéocurre con las imágenes de f a medida que x aumenta? ¿y con las imágenes de g7

2. Analiza la siguiente información. Luego, escribe 'J ~ F según corresponda.

la curva que representa el gráfico de una función logarítmica f(x) = log,x intersecta al eje X en el punto (1, O).

Si a> 1,Ia función f(x) = log,x es creciente, es deorv' x. y E IR', x < y ~ f(x) < f(y).

Si O< a < 1, la función f(x) = log,x es decreciente, es decir 'ti x. y E IR', si x < y ~ f(x) > f(y).

a. la función f(x) = -Iogx es decreciente en R

b. la función g(x) = log(x + 2) - 3 es una función creciente.

c. Si h(x) = log Ix, entonces (-1, 5) pertenece al gráfico de h.

d. _. Si w(x) = lag I 36x, entonces (O, 1) pertenece al gráfico de w.,3. Representa en el plano cartesiano las siguientes funciones logarítmicas.

a. f(x) = log;x b. h(x) = lag. x

- --~í--"'---:- --;-- -Y-·ll---~-':-. ;-:---¡-~..;- -H-'---' ,-+-:'-' . =¡- I i ; ¡ ...LL:L.,J_j--_ -~.:.... _._~ - ~i __-i-Ir-

i ¡ I ¡ i i I [~

I ¡. j ~ ii----:-~I-!! I! 14-.: : ..l'Ii-l...1-·'J'1::::.:_=-~r--·-lTn i I~--t-~.! ';; , l. ~l !._L_.. L__L.LL L-L.L .-L..-LLl._

VI I 1 I

I I I

1 I ~_L~--l-+-;_._. Ir, 1 l.

- ..- ---, . I--l--I- L--.I. 1.]_I t1!I-'! 11.11 II?

.LL ¡ 1. I i I I.L'-----;1--. i ~I-¡

LiIL_IJ1J....l._.~_Ll.lJ

Funciones ~

Page 101: Preparacion Psu de Matematica SM

! 1:1

I 4. Analiza la siguiente información. luego, grafica las funciones dadas.

Para graficar una función de la forma g(x) = log,x + c, con c E IR, es posible considerar lo siguiente:

Si c > O, el gráfico que representa a la función g corresponde a una traslación en c unidades verticalmentehacia arriba con respecto al gráfico de f(x) = log,x.

Si c < O, el gráfico que representa a la función g se desplaza c unidades verticalmente hacia abajo conrespecto al gráfico de I(x) = log,x.

a. f(x) = log,x - 1

l :~!-~--p=r r-r T - ¡-,:' I i i i ¡ 1: I ---,1-;- t-I .: I;---- ~1

! ¡ 1

¡" 'g' '1 x.,'------r----,--¡ ----¡-f----n ~-~.-~~-r_----!- ----t------,----~-~~:--:-=-~.~;-------~T~~-~~-=--·~_____. . =-=-:l:::-:-===L-=~.

b, g(x) = log,x + 2

- - - _. __-o., ._ y. -'- _ .__-e-

---~-~~l~~-'-

___ : __ ~ _~._ x--- -.0- ..- -----i----

~ ... _ .•. t -

. _.- -- --- ,---S. Analiza la siguiente información. luego, resuelve.

c. h(x)=log,x+1

!--r-~-l-r'i r-t~Y---:¡-'--¡--f-'1 :; I ¡

LL:..J.~'+ ¡ i r . • ¡ . 1" , -, --- _.~. -- ------i'4+=+='" ',; : 11: 1; ,! ' , .;'11".:1 ~r+-:--+ ~J"= -;--:"---,---~j

~:::~-=l--._---=-=~-~-¡----=-~ ----~-t------:--- ---' -- ---:-- -_.--~_.~_!\...-J..,... __ ••.•.•• ~ __ .__ ...:... ~ ._ •• _. __ • ~_ ••

Id, w(x) = log" x + '2,

;._ .. - ; -y- -

x

-;-·~~T~--~-~~-_·-_.--_.-+_._--

-p._-------

Si f es una función logaritmica definida por f(x) = log,x con a E IR' - {1}, entonces se cumple la siguientepropiedad: log/ = log,y ~ x = y. Utilizando esta propiedad, es posible resolver ecuaciones logarítmicas,

Ejemplo: log,(x + 2) + log,5 = 3

log,5(x + 2) = 3

log,5(x + 2) = log,2'log,(5x + 10) = log,8

5x + 10 = 8 <=) x = - 3.5

(1) Aplicando la propiedad log,(x. y) = log/ + log,y.(2) Igualando las basesde los logaritmos.(3) Aplicando la propiedad.

(4) Resolviendo la ecuación.

a, log,x + log.2 = 8

b, log(x + 1) = 210gx

?nn 1':1 Al!" • M.tpm:\tir.

c. log; J3X + 10 = 2 -log, 5

d lo (4X' +2)=1. g"" 2x+ I

e

8::>'O

~ .;"1,~:5'Es,a. .'"':2

1Jl:

'~:

:ª-:<1.uJ_'1):.':1:,~~';!

•••11. Composición de funciones

Seanf Y g funciones tales que f: A slR -? B sR y g: C s B -? O s R. entonces se define la funóón(g o O:A s IR -? O s IR donde (g o O(x) = g(l(x» con x E A Y g(l(x» E D.

f gAsIR_CsBsR _DslR

~gol

Luego, Dom(g o f) = A Y Rec(g o O s O,

Ejemplo: sea 1: IR -? IR. definida por f(x) = 2x + 3 Y g: [-1, +co[ -? lR: U {O}. definida porg(x) =,¡;:;¡,entonces se tiene lo siguiente:

(g o Q(x)=g(l(x»= g(2x + 3) =.J2x + 3+ 1= J2x + 4

f. g[-2, +oo[ s IR _ [-1, + =l s IR _ IR· U {O}

~gof

luego, Dom(go f) sIR y Rec(g o f) s IR' U {O}.

Ejercicio resuelto

1. Si f: iR -7 [1, +oo[ Y g: iR - {O} -..?R son funciones definidas por

f(x) = X' + I Y g(x) = 3., équé expresión algebraica representa a lax

función (f o g)(x)?

--------- .__ .._-_._--,--------Er g::~er,,;, -e l0''';:~-=-, C-("' :-:

íuncooes no es conmutativa "'deCIr

En este caso,al componer las funciones g y Iresulta lo siguiente:/f o 5;\ ~¡ ~ 'b ,~;J\ '.1

(fOg)(X)=f(g(X))=f(3.)=(3.J' +1=~+1= 4+x'x x x' XC

Por ,,'~mp:D, s' el, I = \g(v) = 2', ,,-,:')~r:,,>

~f0~J(x:::;:t(2 \=,2) =¿rrrer :f35 GL.eig o .-ti. \) ::;: gl X ) ::: 2"

El siguiente diagrama representa la composición:

gIR - {O} • IR • [1, +oo[

~f o g

Dom(f o g) = IR - {O} Y Rec(f o g) s [1, +00[.

En este caso, Dom(f o g) = IR -- (O) Y Rec(fo g) = ]l, +00[.

FllnciOOAS 2r

Page 102: Preparacion Psu de Matematica SM

Ejercicios propuestos

1. Calcula el valor de cada expresión. Para ello, considera que f(x) = log(x + 1), g(x) = 3' -x V h(x) = ~2x + 3.

a. (f o g)(I) = d. (g o g)(O) = g. (h(g(nJ)-g(I)=

b. (g o h)(ll) = e. (hOh)(-~)= h. (fa h{ ¡)+ ~h(5) =

c. (f o 1)(9) = f. (g o fa h)(3) = i. (hOg)O)- (gOh>( 0=

2. Sean f(x) = 10g(1+ 3), g(x) = x', h(x) =.JX V w(x) = 2x + 1 funciones reales. ~cribe verdadero o falso segúncorresponda.

a. ___ Id x E IR. (h o g)(x) = (g o h)(x).

b. ___ Eldominio de la función (g o 0 es un subconjunto de R',

c. ---- El recorrido de la función (h o w) corresponde al conjunto [ - i, + "'{

d. ---- El punto (3, 1) del plano cartesiano pertenece al gráfico de la función (f o w)(x).

e. ___ El recorrido de la función (wo g)(x) es el conjunto )-3, +oo[

3. Sean las funciones f(x) = 3x, g(x) = 3' Y h(x) = log,x. Representa gráficamente las siguientes composicionesde funciones.

a. (f o g)(x) b. (h o g)(x)

-.·~r~=~tJ~TF·~:-lTj~...u~=:=r:r ~ ~ I- ~ ---- --:=:.-~-=--:---;-;

. -_·-t-·_~ . !-.•••:L~..;C..~-1~I ! . --H

, :l'¡¡m-; -¡";:._., __T" __,_~_-,-- • __._~ .. ~_, .•• ~, _ll ..~--.:.... ._I _ \ ~_-L_-.:."--: __, ; I .' l' i~~~·.:~T~-±~-l~_~~~_Jr~[~~~

'ln') ", .•.11r I ,_~ __ ..c.,:_.•.

~~}

• ~'~ ••...•.•, •...•.J 'UI'V''-''I.,,",.., lII.Lt

12. Función invectiva y sObreyectiva

',.'-x, =x,

~;-:Poi lo tarrto, se cumple que 'd x" X, e A, f(lS) = f(x.,) ~ X, = x.,.

. .~ Una función f: A ~ B es sobrevectiva (sobre) si y solo si todo elemento del é~nj~Qto B es imagen 'de"

algún elemento del conjunto A.,;.¿' --:"¡ve B,3xe-Áj¡(x)=Yo-R'ec(f)=B.

.EifmQlQ: la función f: lR ~J\~:U{a} definida por f(x) = !xl es una fundón sObreyectiva, ya que paracualquier valor de V elR+U {a} existe un valor x tal que f(x) = V.

~ Si una función es inVectiva ysobreyectiva a la vez, recibe el nombre de fundón biyectiva.

Ejercicio resuelto

1. Verifica si f: iR ~ lR. definida por f(x) = x' + 1 es biyectiva.

La función f: iR ~ R, definida por f(x) = x' + 1, no es una función invectiva. Paraeste caso,basta comprobarque existen números reales x, y X, distintos, tales que f(x) = f(x)Por ejemplo, si se considera x, = 1 Y X, = -1, entonces:f(I)= 1'+ 1 =2yf(-I)=(-I)' + 1=2 luego,la función no es invectiva, ya que si f(x) = f(x,) nonecesariamente x, = x,.

~~~

".Una forma de comprobar gráficamentesi unafunción es invectiva consiste en trazar unarecta paralela al eje X y verificar que esta nointerserta en dos puntos al gráfico de la función.1

Además, la función f no es una función sobreyectiva,ya que hay elementos de su conjunto de llegada(R) que no tienen una preimagen en su conjuntode partida (iR), es decir, el conjunto de llegada R nocoincide con el recorrido de la función f, que en estecaso es el intervalo [1, +00[.

~

;

---------\-------i--v-----·· .¡-- -\- . - . 6 /.,-"_\ ..._..__ ¡f'

- ~~\ .._--_ .... - ' ..

---, :

--.--... - . --- --- -3

____ ~ __ -2__ ~_1_1 __..:c.. -_,____ 'lr

Page 103: Preparacion Psu de Matematica SM

Ejercicios proplJestos

1. Analiza los siguientes diagramas sagitales. Luego, escribe verdadero o falso según corresponda.

g=. =:0,5

1

2

a. ______ La función f es una función invectiva.

b.

4

4 / \ ~ 16

______ La función g es una función sobreyectiva.

c. _____ Si se elimina el número 1 del conjunto C y del D, la función g sería biyectiva

d. Si se elimina el número 9 del conjunto B, la función I seríabiyectiva.

2. Analiza cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función invectiva. Para ello, marca Sío Nosegún corresponda.

a.

-3 ·1 -1 3 X

---' ~'j• -.'-'- 3j --- _._----- ...

. _."_. : - - 31 ... -- .-- 2 _'.l ---

_. _. __ o _.- -- 1,./

o -¡No i

b.

r'~"---"-'" •1

x-4 -3 -2 -1 O,¡, 1 2 3 4

\

Sí !~¡

i No\............-.

3. Determina si las siguientes funciones reales son sobreyectivas en el conjunto de llegada dado. Paraello,marca Sí o No.

a. y = x' + 1B= [-5,5]

I -¡ Sí'------

r=:">~

b. y=2'"B= IR

¡----S'L- GJ

c. y=log(x+l)B=IR'

r=">I S'~.

í~s· ', 1L-

-------,I

-~----jr--)

No ¡i __ ..../

d. y=~B= IR'

:t;".

~

c-o'8" I -e:-oe 2.o,~iil'"-o

~ I .'C>.

"::¡; -s'"~eo.'0 I ~] -ti

.,¿:w:;:>.

•13. Función inversa

.·'~~.~:;·":'~~··1~;~:;~?\:··~r!~t;.;~;~:~~:B$~G~·~~~~,~~~l~;/::_-'.~~~;. ",,_. ;~.~'~-'i;;:"~"~~~":';'<': ~' .

Dada una funaón f: A ~ B biYectiVit,:existe'u~.tVriéiM &: B -7 A biyectiva tal que (g o f)(x) = (1o g)(x) = xEsta fuñéi6n g' Se aenominaf!.Ínción !nVers'á~éfYSé a.e.nota pOr g = f","

...:.~ , • ' ~\, '/: ',r"'"": ".'¡r ,7t-, 'p'''"" , -:;:~-.: .,if - . '" h(;";' ';':\ij :..";,",~.,...,.;::\t ~.,.' ~ ",EsdecirJ" es lafundén inversa de f 5J::fl:'~.'~4'.\"f;:,'i,;:' .:

, :c.~.?:~. ~.. í?!'~~,¿';~<~~t:;~~'~f~~;·~f.(~~b~f ..;(b)= a

Además; se cumple lo siguiente: Dom(f) = Rec{f") y Rec(f) = Dom(f ").

Engenerat~~ia dete;m¡¡¡~r la ~;eSión algebiai~ qti~.~~pr~n~ ~.~ función inversa f=', se ~espeja lavariable x de la expresión y = f(x) y luego se Intercambian la variables. .

Ejercicio resuelto

1. ¿Cuál es la función inversa g-' de la funcióng: iR- U {O} --t iR'U {O}, definida por g(x) = .Jx?

Ei gráfico de una función inversa g-'corresponde a una reflexión del gráficode g respecto a larena y = x.

En este caso, la función g es biyectiva, ya que:Dom(g) = Rec(g)= IR' U {O} Luego, al despejar la variable x, setiene lo siguiente:

.- •......__ ._.

g "(x) =x'3

y=[; /()'

y' =( [;)' -2

y' = x

Finalmente, si se intercambian las variables resulta que x' = y. Por lotanto, g ": IR' U (O) --tiRo U {O}, Yse define por g "(x) = x'.

Ejercicios propuestos

1. Determina la función inversa en cada caso. Para ello, identifica el dominio y recorrido de cada función realdada.

a. w(x) = 2x+- 9 c. g(x)~~ +3 e. h(x) = x + 2x-2

b. j(x) = log(2x) + 2 d. r(x) = 3',2, f. f(x) = 2x' + 3

Determina en cuál de los siguientes gráficos están representadas una función y su inversa.

a.-tr.,~-;~:·.·D~

2-:._-~ .... ..¡:-: II

! -'- ~_.- 1 xl

b. c.

--4 '-'---j........ ~

x.•..•. 0 .~_.L__.i~_iJ :...._~_L__.4_.~~

1 ~-_ ~ . __ i

-;----- -_._-_.

Funciones 2r

Page 104: Preparacion Psu de Matematica SM

Instrucciones1. Estaprueba consta de 23 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A. B, C,

D y E. una sola de las cuales es la respuesta correcta.2. Dispones de 45 minutos para responderla.

Conceptode función

1. ¿Cuál(es) de 105 siguientes diagramas representa(n) una función?

l. f

Gt€J~3

7 68 9

A) Solo IB) Solo 11

C) Solo 111

Función lineal, afín y constante

11. 1

OOO~'5

7 48 9

D) Solo IVlllE) 1,11 Y 111

2. Si g: lR -? R Y se tienen algunos de sus valores en la siguiente tabla:

-1

111. f

'G=®~32 63 9

5

o-2o -3 -4

(Qué tipo de lunción podría ser g?

A) Función aflnB) Función linealC) Función identidad

-) -1 4

D) Función constanteE) Función valor absoluto

Sea 1: [ % a, 6a] -? lR. definida por f(x) = 2a - 3x con a E IR ya> 1. ¿Cuáles el recorrido de f?

A) [-153, -ta] D) [-20a, -%a]

B) [-I53,-~a] E) [-20a,-~a]

C) [-I~~a]

3.

?nR rl o.\I~ • M::¡fcm:::'tir~

,,''1)

,

..e]"[,1 ~!!:>',"'.'"-e

:í,(1 -l.

s '"~.''Co·;9' ~~;I ~11'I<,"~

W·$

4. Sea la función real f(x) = 1 - x. Con respecto a su gráfico, lcuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

l. . Pasapor el punto A(Q, O).11. Esuna recta paralela a la recta y = -x.111. Intersectaal eje X en el punto 8(0, 1).

A) Solo 11

B) Solo 111

e) Solo I y 11

D) Solo 11 y 111

E) 1,11 Y 111

Función delinida por tramos

5. De acuerdo al gráfico de la figura, «uáltes) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

1. 1(-1) +1(1)=1(0)

11. 3·1(-2) - 1(0) = 2·1(2)

111. 1(-2) -1(1)=1(2) -1(-1)

.......... ?l.y .

-) -1 o

A) Solo IB) Solo 11

e) Solo I y 11

D) SolollylllE) 1,11 Y 111

Función parte entera

6. Una empresa internacional de encomiendas tiene camiones con una capacidad de 2 toneladas cada uno.Excluyendo el caso de que no haya carga que transportar, «uél de los siguientes gráficos representamejor al menor número de camiones respecto a las toneladas (ton) de carga que se quiere transportar?

A)

;T~Otcar¡~

D) Urw..t.:!ót~"l'IIO'le~

~OttNJ~

CMódad di! C4fl'iorIes sqUnlondadasdtúlrg. I

i

J .1 k

I..j i,

~6

ToneIotdasdtCMga

B) E)6+ úró»ddtumiooes~n

tonfIadasdtarga6IÚ1"Od.Jddt~~I _,,,,,,.

..J :1 ..

I..j 1,

.1 ~6

Tootloldasdecargl6

r~dtcarp

e)

6Tl>C1eIadasdecar¡a

6t CantidaddecarnioneSotlÚfltontl«i.ts de cargaI..

r.1 ~

Ensavotemático· PSU 21

Page 105: Preparacion Psu de Matematica SM

Función valor absoluto

7. Respecto a la función real fe;} = Ixl, es cierto que:

1. su representación gráfica es simétrica respecto al eje Y.11. al trasladar dos unidades verticalmente hacia arriba el gráfico de la función f(x) = Ixl se obtiene el

gráfico de la función g(x) = Ixl + 2.111. el gráfico de h(x) = -Ixl es simétrico al gráfico de f(x) = Ixl respecto al eje X.

A} Solo I

B) Solo 11C) Solo 111

O} Solo I y 111E) 1,11 Y 111

Ecuación de segundo grado con una incógnita

8. Si ~ es una de las raíces de la ecuación kx' + 5x - 6 = 0, «uál es el valor de k?4

A) _!!..16B) ~ O) 4

4C) 3 E) - '"9

9. Los números 2 y -3 son las raíces de la ecuación px' + qx + r = ° si:

(1) 2+(-3)=-.9.p

(2) 2.(-3)=':'p

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas umtas, (1) Y (2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

Función cuadrática

10. Si f: lR ~ IR está definida por f(x + l ) = ax' + 2(a + I)x - a' con a E IR. «uál de las siguientes expresionesrepresenta a fea)?

A) a-2B) a+2C) 2a(a + 1)

O) 4a' + 5a + 2

E) -4a' + a + 2

1")('\0 •..••, "\Ir •• _~__ ...:..:__

1i..~:~:~~:~.xff~"i-¡¡o

e-o'8:J"8c.i'!:J

'" ~'" I-o

í. I -ee(l.

::<'"~eo'0-·:.o-uJ

1},;¡.

.-¡

-11. La altura en metros que alcanza un proyectil en un instante t está dada por la función H(t) = - t' + ~ t + 1.

2Suponiendo que el eje de las abscisas representa el nivel del suelo, «ual es la altura máxima que alcanzael proyectil?

17A) 1m O) -m161

E)19B) -m -m2 16

1C) -m

4

12. ¿Cuál es el valor de k si la parábola de ecuación y = 7x' - 4x + 2k - 9 pasa por el punto (1,2)7

A)B)

C)

-5

-4

I

4

D) 2

E) 4

13. Sea la función f(x) = x' + mx + n con f(l) = O Y 1(-2) = O. Entonces el valor de m y el de n son,respectivamente:

A) I Y 2B) -2 Y I

C) -ly-2

O) -3y-2E) 1 y-2

Función raízcuadrada

14. ¿Cuál de las siguientes funciones reales corresponde al gráfico de 1: [3, +=[ -7-;"?

A) f(x) = ,¡;;3 + 1

B) f(x)=F+1

2 .............. ~C) f(x)= ¡;;3-1

O) f(x)=~-I

E) l(x)=.¡;-;i-3 01 2 4 6 5 x

1S. El dominio de la función real f(x) = J3X + 2 es:

A) }oo,-~ ] D) [~, +oo[

B) [-~, + oo[ E) {-HC) ]-~, +oo[

Ensayotemático· PSU

Page 106: Preparacion Psu de Matematica SM

\111

','~rr'\1"r'!\"~'~11' ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Función potencia

16. Si el gráfico de g es una traslación del gráfico de f, de tal manera que el punto A(O, O) queda trasladado alpunto A'(2, 2), «uál de las siguientes expresiones podría representar a g?

A) g(x) = (x - 2)' + 2B) g(x) = (x + 2)' + 2e) g(x) = (x - 2)' - 2

D) g(x) = (x - 2)lE) g(x) = Xl + 2

~(')

Función exponencial

17. Cierto tipo de bacteria genera otra idéntica al cabo de una hora. Si inicialmente un organismo tenía300 de estas bacterias, «uántas bacterias se reproducen a la hora n?

A) 300· n

B) 300· 2nC) 300·2"

D) 300·2(n-l)

E) 300. 2n-'

18. Sea f(x) = x' + 2 con a E Z. Se puede determinar f(s) si:

(1) f(2) = 6(2) a = 2

A) (1) por sísolaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 0(2)

E) Se requiere información adicional

Función logaritmica

19. La función definida por f(x) = logx con c E lR- - {l} es una función creciente si:

(1) c > O

(2) c > 1

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) Y(2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

?1 O ~I AVF• M"tem;\tic"

~~]"~:K;~~a1.~~~B~i~~i21

11~~gl•:.~

20. Si el siguiente gráfico corresponde a una función logarítmica de la forma f(x) = lollt,(x - 1), entonces escierto que:

l. b> 1

11. f(10)=2111. Dom(f) = [1, +oo[ ¡~Ir~. . I

I~~I'i I : l' • I

"1 '! I Ii

A) Solo 1B) Solo 111e) Solo 1 y 11D) Solo I y 111E) 1,11 Y 111

I 2 4 6 x:r. I_2~~i~~I ~ -T~

o

Composición de funciones

21. Si f(x) = 6 + 3x y g(x) =~, «uál es el valor de 2(f o g)(6) + (g o f)(6)?3 .

A) -6

B) OC) 6D) 12E) 18

Función invectiva y sobreyectiva

22. Respecto de la función f: lR -7 [-1,00[, definida por f(x) = 2x' - 12x + 17, «uál de las siguientesafirmaciones es siempre verdadera?

A) Dom(f)=~'B) Rec(0 =~.

C) La función es inyectivaD) La función es sobreyectivaE) Su gráfico es abierto hacia abajo

Función inversa

23. Sea f: lR - (-S) -7lR - {l}, definida por f(x) = x - 4. Entonces la función inversa de f es:x+S

A) f"(x) = 4 - ~ D) f"(x) = 4x + 5x+» x-l

B) f"(x)=~ E) ¡-'(x) = 5x+ 4x-4 1- x

C) f"(x) = Sx - 4x-l

Ensayotemático. PSU -'

Page 107: Preparacion Psu de Matematica SM

D1~t~1~1~~~~~?~~vED~2rf~:~f~~f~Para identificar cuál(es) diagrama(s) representa(n)una función, es necesario reconocer que unafunción relaciona elementos de dos conjuntos.Además, todos los elementos del conjunto de partidadeben estar relacionados con un solo elemento delconjunto de llegada.

En (1) se puede observar que todos los elementos delconjunto de partida están relacionados con un soloelemento del conjunto de llegada. El hecho de queeste elemento del conjunto de llegada sea el mismono contradice la definición de función, así comotampoco lo hace el que elementos del conjunto dellegada no tengan una preimagen. Por lo tanto, eldiagrama de (1) representa una función.

En (11) es posible afirmar que no se trata de unafunción, ya que hay elementos del conjunto departida que no están relacionados con el conjuntode llegada Por lo tanto, el diagrama de (11) norepresenta una función.

En (111), así como en (1), se puede observar quetodos los elementos del conjunto de partida estánrelacionados con un solo elemento del conjunto dellegada. Por lo tanto, el diagrama de (111) representauna función.

Distractores:

A) Estaalternativa es incompleta, pues soloconsidera que el diagrama (1) representa unafunción y no el (111).

B) Estaalternativa es incorrecta. pues considera queel diagrama representado en (11) corresponde auna función, y este es el único que no lo es.

C) Estaalternativa es incompleta, pues soloconsidera que el diagrama representado en (111)representa una función y no el de (1).

E) Estaalternativa es íncorrecta. pues considera quelos tres diagramas representados corresponden auna función; sin embargo, se sabe que la opción(11) no lo es.

~ CLAVE· Matemática

11'!z~~:-3;~~i~·~~'~!.~XcIÁY~~~~·~l~'!:-:~~:~~~:Como el dominio de g es R, y se tiene que:

g(5) =-5

g(l) =-1

g(O) =0

g(-I)=1

g(-2) =2

g(-3) =3

g(-4) =4

la función que podría representar los valores de latabla esg(x) = -x.

Por otro lado, g(x) = -x es una función lineal, ya que:

i) g(x + y) = -(x + y) = -x + (-y) = g(x) + g(y)

ii) g(k • x) = -k . x ~ k· (-x) = k • g(x)

Distractores:

A) Estaalternativa corresponde a una función afín;sin embargo, por los valores de la tabla se tieneque g(O) = o, y el gráfico de una función afín nopasa por el origen del plano cartesiano (O, O)Luego, g no es una función afín.

C) Estaalternativa corresponde a la funciónidentidad, pero no a los valores de la tabla, yaque la función identidad no altera el valor dela variable, es decir, f(x) = x. Luego, g no es lafunción identidad.

D) Estaalternativa corresponde a una funciónconstante, la que tiene por recorrido un solovalor, es decir, f(x) = b, Y observando la tabla,-5, 2, -1, 3, OY 4 pertenecen al recorrido de g,Luego, g no es una función constante.

E) Estaalternativa corresponde a la funciónvalor absoluto g(x) = Ixl. cuyo recorrido sonvalores mayores o iguales a cero. Sin embargo,observando la tabla, se tiene que hay imágenesmenores que cero. Por lo tanto, g no es lafunción valor absoluto.

c:-o"8"'O Ie~"'"'"'O ..P- I ~s:e'l!:i\ I ,-

~

~-

IIÉ~~ffJi~~f:I$'!E~~~i}2?t~~2~:]La función f(x) = 2a - 3x, con a E R ya> 1, es unafunción afín, cuyo gráfico es una recta.Además, se

tiene que Dom(!) = [~a, 6a] Y como la función es

decreciente, el recorrido está dado por:

Rec(!)= [f(6a), {~a)]

= [ 2a- 3 • 6a, 2a- 3 • ~ a]

=[2a-I8a,2a-~a]

=[-I6a,-~a]

Distractores:

B) Se cometió un error al evaluar ( ~a ).

I3 9 .calculando so 0-3· -a = - -a. Luego, se tiene2 2

que Rec(!)= [-160, - ~a JC) Al evaluar la expresión ( ta). no se multiplicó

por 3 la expresión ~a, entonces se obtuvo2

3 al'2a- - a = -r-. Por o tanto, se tiene que2 2

Rec(!)=[ -16a+ JD) Al calcular f(6a), se cometió un error al reducir

la expresión 2a - 18a, por lo que se obtuvocomo resultado -20a. Luego, se tiene que

Rec(O= [ -2oa, - ~ aJE) Se cometieron los errores mencionados en B) y

D), obteniendo entonces:

Rec(!)= [-2oa, - ~a}

••11:::.é·:E~!1,3~.·::'~il~·~IAYE:t\_.~:~r41;trz~tá~Una función afín puede ser representadaalgebraicamente por la expresión:

f(x) = mx + n, con m, n;c O

Donde, m es la pendiente de la recta Que representagráficamente a la función afín y n es la ordenada delpunto de intersección de la recta y el eje Y. Además,en el caso de f(x) = 1 - x, es posible identificar que supendiente es m = -1 Y su coeficiente de posición esn= 1.

En (1) seafirma que el gráfico de f pasa por el origendel plano cartesiano, el punto A(O, O). Sin embargo,como f es una función afín, la recta que la representano pasa por A(O,O). Por lo tanto, esta afirmación esfalsa.

En (11) se afirma que la recta que representa a f esparalelaa la recta de ecuación y = -x. Esta afirmaciónes correcta, ya que las pendientes de ambas rectassoniguales y sus coeficientes de posición son distintos. Porlo tanto, esta afirmación es verdadera.

En (111) se menciona que el punto de intersecciónentre el eje X y la recta que representa a f es B(O, 1);sin embargo, este punto. que efectivamente pertenecea la recta, no es el que intersecta al eJeX. ya que es elque mtersecta al eje Y El punto correcto es P(I, O) Porlo tanto. esta atirrnaoón es falsa

Distractores:

B) Estaalternativa es incorrecta, ya que consideraque 8(0, 1) es el punto de intersección entre larecta que representa a f y el eje X, y este punto nisiquiera pertenece al eje X.

C) Estaalternativa es incorrecta, pues entre susopciones considera correcto que la recta querepresenta a f pesa por A(O, O); sin embargo,esta afirmación es falsa, ya que feO) = - t "O.

D) Estaalternativa es incorrecta, pues entre susopciones considera correcta la opción (tll) y estaopción, que fue fundamentada en B), es falsa.

E) Estaalternativa es incorrecta, pues considera quelas tres afirmaciones son correctas; sin embargo,ya se justificó que solo (11) es verdadera.

Modelamiento• PSU

Page 108: Preparacion Psu de Matematica SM

Para responder correctamente esta pregunta esnecesario interpretar el gráfico. De él se puedeobservar que:

f(2) = f(-2) = feO) =2f(l) = f(-I) = 1

En (1) se afirma: f( -1) + f(l) = feO). Luego:

• f(-I)+f(1)=1+1=2• feO) =2

Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.

En (11) se afirma: 3 • f( -2) - feO)= 2 • f( -2). Luego:

• 3· f( -2) - feO)= 3·2 - 2 = 6 - 2 = 4

• 2· f(2) = 2 • 2 = 4

Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.

En (111) se afirma: f( -2) - f( 1) = f(2) - f( -1). Luego

• f(-2)-f(1)=2-1=1• f(2) - f( -1) = 2 - 1 = 1

Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.

Distrac!ores:

A) Esta alternativa es incompleta, pues soloconsidera la afirmación (1) y no las afirmaciones(11) y (111).

B) Esta alternativa es incompleta, pues soloconsidera la afirmación (11) y no las afirmaciones(1) y (111).

C) Esta alternativa es incompleta, pues soloconsidera las afirmaciones (1) y (11) Y no laafirmación (111).

D) Esta alternativa es incompleta, pues soloconsidera las alrmacones (11)y (111)Y no laafirmación (1).

214 CLAVE· Milt?mMiril

1J!mm;.z,~,·

Para graficar la función que relaciona el númerode camiones con las toneladas de carga que debetransportar, se puede construir una tabla considerandointervalos de tonelaje. Por ejemplo, menor o iguala dos toneladas, mayor a dos toneladas y menor oigual a cuatro toneladas, etc., lo que se resume en lasiguiente tabla:

Cantidad de camiones según toneladas de carga

Toneladas de Número decarga camiones

]0,2] 1

]2,4J 2

]4,6] 3

Según la tabla construida, la situación se puederepresentar gráficamente por:

6

.~

~ 4~-e.12z

Cantidad de camionessegun toneladas de carga

o------e

o------e

•4 6loneJadas de carga

A) El gráfico de esta alternativa corresponde a unafunción lineal, lo cual no modela el problema,dado que para distintas cargas (toneladas) se

enecesita la misma cantidad de camiones. -o"S

I ~~C) En esta alternativa el gráfico corresponde al de -oeuna función afín. Este gráfico, además de no o. ~~considerar que para distintas cargas (toneladas) ~"'.se necesita la misma cantidad de camiones, "]supone que para O toneladas de carga se s:onecesita 1 camión, lo que es incorrecto con o:

"respecto al problema. ::;fJ'l~

D) Se grafica una función parte entera, pero no ~corresponde al problema debido a que se .g.

'ticometen errores en la determinación de los lIJ'

a

valores extremos de cada intervalo; por ejemplo,del gráfico se desprende que para transportar2 toneladas de carga se necesitan 2 camiones, loque es incorrecto.

E) No se realiza la asociación correcta entre elgráfico y la tabla, ya que confundieron los ejes algraficar.

D--·¡.""".~.~~~""""~",""'_';¡;=,,,"",~O'<',,,,-,'ti.':,',",'· '¡.. ~""?'C""A\1r! ~y ..•~ :",':.'<,>,N."W>l.t..~'. . ;%~f:.l:_~.!.~~~"::l~'kl~c:;,~_tt?;~

Para identificar cuál(es) afirmación(es) es (son)verdadera(s) es necesario, en este caso, graficar lafunción f(x) = [x]

!~ -3 -J:

~~~_-_1 _.OL~.__2 _~ __.~

En (1) se afirma que la función es simétrica respecto aleje Y. Lo anterior es verdadero, ya que esto se puedeapreciar gráficamente.

En (11) se menciona una traslación vertical del gráficode f(x) = Ix¡. la que se puede expresar comog(x) = Ixl + k. Si k> 0, se traslada k unidades haciaarriba, y si k < 0, se traslada [k] unidades hacia abajo.Luego, la traslación vertical de f(x) = Ixl dos unidadeshacia arriba se puede expresar por g(x) = Ixl + 2.Entonces, la afirmación es verdadera.

En (11I) se afirma que el gráfico de h(x) = -Ixl essimétrico con el de f(x) = Ixl respecto al eje X. Algraficar ambas funciones en un plano cartesiano seobserva una simetría axial respecto a dicho eje:

f(x)=I~

-s -2 -~I" 1 2 3-1

-2

(x)=-jxj -3

Luego, la afirmacion es verdadera .

Distraclores:

A) Esta alternativa es incompleta, pues soloconsidera la afirmación (1) y no las afirmaciones(11) y (\11).

B) Esta alternativa es incompleta, pues soloconsidera la afirmación (11) y no las afirmaciones(\) y (lil).

C) Esta alternativa es incompleta, pues soloconsidera la afirmación (111) y no las afirmaciones(1) y (11).

D) Esta alternativa es incompleta, pues soloconsidera las afirmaciones (1) y (111) Y no laafirmación (11).

D;:i.~:~~<~i..~;:E:i;i;';:~JAVE~p]l;E~\:~~i;:~:~:~>'~J

Para que ~ sea una raíz de kx' + 5x - 6 = O debe4

satisfacer la igualdad, es decir, al reemplazar Xpor ~4

en la ecuación, el resultado debe ser cero:

kx'+ 5x-6=0

k(¡)' +S.¡-6=O

9 15-k+--6=016 4

ik=6-~16 4

ik=~16 4

k=4

Distractores:

A) No se comprendió el problema y solo se evaluó. 3x = - en x' + Sx - 6:

4

(~)' +5.~-6=i+~-64 4 16 4

27=--

16

Modelamiento • PSU 2

Page 109: Preparacion Psu de Matematica SM

11111

." -B) Al despejar el valor de k, resulta

kx'+5x-6=0

k(¡J ~5.¡-6=0

~k+!2- 6=016 4

~k=6-~16 4

~k=~16 4

se cometió un error algebraico al escribir:

k=~.~=~16 9 4

C) No se calculó el cuadrado de la fracción en

k( ¡)'+ 5· ¡_6 = O Y se obtuvo:

~k~!2-6=04 43 15-k=6--4 4~k=~4 4

k=3

E) Al despejar el valor de k, resulta:

10:' + 5x- 6 = O

k(¡)'~5'¡-6=0

~k ~!2_ 6=016 4

~k=6-!216 4

se cometió un error al resolver 6 - !2,4

obteniendo - !.2. Así4

~k=-~16 4

k=-~.~4 9

k = _449

216 el AVF • Mñtprn;itirn

11 ~¡{~~~if.~S~~{~:f:.~:<~V~~c2~··Y·-~~~~~;~~"::i~t~-~~Por propiedades de las raíces de ecuaciones desegundo grado de la forma ax' + bx + c = O se tieneque las raícesx, y X, cumplen con:

bx, + x, = - a; cx ·x =-., , a

Luego, en la ecuación px' + qx + r = O, sus raícesx, yX, cumplen con:

x,+x,=_51;p

rx • x =-., , p

Así, al considerar por sí sola la primera condición:2 + (-3) = - s., se tiene que (1) es necesariapero

pno suficiente para resolver el problema. Porotraparte, al considerar por sí sola la segunda condición:2· (-3) = ~ , se tiene que (2) es necesaria pero no

psuficiente para resolver el problema. Pero al considerar(1) Y (2) ambas juntas, el problema se puederesolver.

Distradores:

A) Solo considera la condición (1), que es necesariapero no suficiente.

B) Solo considera la condición (2), que es necesariapero no suficiente.

O) Se necesita de ambas condiciones (1) y (2)juntas para resolver el problema y no cada unapor separado

E) Con (1) Y (2) juntas se resuelve el problema; porlo tanto, no se necesita de información adicionaL

e-o·0 Iu

"-c -8o-i!'~'"-o

.~

8a. -:2!Il

¡¡c·o·0'ÓUJ

¡¡

ftl'I~:e[AvE'~~t~~a&:.I ~ - • ...._~_~~~~ - ~i&

Para calcular fea) se debe expresar el argumento de laforma x + 1 para poder evaluarlo en f(x + 1). Para esto,se tiene que:

a=(a-1)+1~~x .,

Es decir, se considera x = a - 1.

Luego: fea) = f«a - 1) + 1), por lo tanto:

f(a)= { ~~)

= a(a-1)' + 2(a+ 1)(a-1)- a'~ ~x

= 'i.a' - 2a+ 1)+ 2(a' - 1) - a'= a' - 2a' + a+ 2a' - 2 - a'=a-2

Distractores:

B) Al calcular fea) se realizó lo siguiente

f(a)={ ~~)

=a(a-1)' +2(a+I)(a-1)-a'~ -,.

Se cometió un error al resolver (a + l)(a - 1),pues se obtuvo a' + L

Luego, a(a - 1)' + 2(a + 1)(a - 1) - a' se expresócomo:

a(a - 1)' + 2(a' + 1) - a'= ata' - 2a + 1) + 2a' + 2 - a'= al - 2a' + a + 2a' + 2 - a'=a+2

e) Se cometió un error al calcular f(a), ya que seconsideró x = a, y se obtuvo:

fea) =a· a' + 2(a + 1)a -a3

= a' + 2a' + 2a - al= 2a' + 2a= 2a(a + 1)

O) De la expresión:

a=(a-1)+1------~, .,se consideró, incorrectamente, x = a + 1. Luego:

{ ~:..Q~J=ay'+2(a+1)~:1~-al

= a(a' + 2a + 1) + 2(al + 2a + 1) - a'= al + 2a' + a + 2a' + 4a + 2 _ a'= 4a' + 5a + 2

E) Se cometió un error de signo al escribir eldesarrollo de f«a - 1) + 1) como:

a(a-1)'-2(a'-1)-a'= a(a' - 2a + 1) - 2a' + 2 - al= a' - 2a' + a - 2a' + 2 - a'= -4a' + a + 2·

ID CLAVE O

Paradeterminar el punto más alto que alcanza elproyectil se debe definir la segunda coordenadadel vértice de la parábola asociada a la fu nción

(,1

Ht)=-t'+-t+L2

En la función y = ax' + bx + c. el vértice 0IJ de laparébola que la representa esta dado por:

v(-~, 4ac - b' )2a 4a

Así,considerando la ecuación dada en el problema, losvalores de los coeficientes son:

a=-1 b=~ c=1, 2' .

Modelamiento • PSU _2

Page 110: Preparacion Psu de Matematica SM

11

Luego, reemplazando en la segunda coordenada delvértice se obtiene:

4ac-b'4a

4'(-1)'1-(~)'

4'(-1)1

-4--__ 4

-417

_4-4

1716

Por lo tanto, la altura máxima que alcanza el proyectil

es de!2 metros.16

Distradores:

A) Se calculó erróneamente la primera coordenada1

del vértice, ya que al simplificar _.l.. se obtuvo-2

como resultado 1.

B) Al igual que en la alternativa A), se obtuvoerróneamente x = 1, Y luego, al calcular H(I)para obtener la segunda coordenada del vértice,se realizó lo siguiente:

, 1H(I)=-1 +-·1+12

1 1=-1+-+1=-2 2

C) Se confundió la coordenada por calcular y sedetermina la coordenada x del vértice:

1 1b "2 "2 1x=--=---=--=-2a 2·(-1) -2 4

E) Se calculó la coordenada x del vértice1correctamente, y se obtuvo x = -. Paracalcular4

la segunda coordenada del vértice se resolvió losiguiente:

y=t( ¡)=-( ¡J +~.¡+1

III1, 218 CLAVE· Matematica

Pero se cometió un error de signo al calcular

-(~)', dando como resultado~. Así,se4 16

obtuvo .l,~.I, 1= ~+~ + 1=!.2..16 2 4 16 8 16

m'''6: ....' ... :~~V~ E:<~;J:~rE~T~:'~.~Como la parábola pasa por el punto (1,2) cuandox = 1, Y = 2, al reemplazar estos valores en la expresiónse tiene:

y = 7x' - 4x + 2k - 9

2 = 7 • l' - 4 • 1 + 2k - 9

2=7-4+2k-g-2k =-8

k=4

Distractores:

A) Confunde los valores de la abscisacon laordenada y se considera x = 2 e y = t, por lo quese obtiene:

1 = 7 • 2' - 4 • 2 + 2k - 9

1 = 28 - 8 + 2k - 9-2k = 10

k= -5

B) Al despejar el valor de k en:

2 = 7 • 1¡ - 4 • 1 + 2k - 92 = 7 - 4 + 2k - 9

-2k =-8

se comete un error de signo al dividir losmiembros de la ecuación por -2, por lo que seobtiene:

k= -4

C) Al despejar el valor de k en:

2=7,1'-4·1 +2k-g2=7-4+2k-9

-2k =-8

.~

,~

- --- -'l'.~

'~f'.~.

,-:

e

'B~eª,,,'",IC.':.

"O'tf

.

0.;:

;<.oft •.",".~)

~.,~(-r'

se invirtieron 105números y se obtuvo:

-2 1k=-=-. -8 4

O) Se reemplazan erróneamente los valoresx = -1 e y = -2, obteniendo:

-2 = 7 • (-1)' - 4 • (-1) + 2k - 9

-2 = 7 + 4 + 2k - 9

-2k =-4k=2

m CLAVE E

Como f(l) = O Y f(-2) = O, los números x, = 1 YX, = -2 son raíces de la ecuación: '

x' + mx + n = O

y cumplen las siguientes propiedades:

-(x, + x,) = m

x,' x, = nPor lo tanto:

m=-(1-2)=1n = 1 • (-2) =-2

Distractores:

A) Se aplicaron correctamente las propiedadesde raíces de la ecuación de segundo grado,determinando que

m=-(1-2)= 1

pero al calcular n en la expresión n = 1 • (-2), seomitió el signo negativo en el resultado, por loque se obtuvo:

m=l,n=2

B) Se confundió el orden de los valores de m y n.contestando:

m = -2 Y n = 1

e) Al aplicar las propiedades se omitió el signonegativo en la suma de las raícesy se obtuvo:

X, + x, = mx, • X, = n

Por lo tanto:

m=I-2=-1n=I·(-2)=-2

D) Se distribuyó incorrectamente el signo negativoal calcular el valor de m, obteniendo:

m=-1-2=-3n=I'(-2)=-2

m CLAVE B

Elgráfico corresponde al de una función raiz cuadradatrasladada horizontalmente 3 unidades hacia laderecha y verticalmente una unidad hacia arriba.Luego, la expresión algebraica asociadaa estastraslaciones es f(x) = ~ + 1.

Distractores:

A) Se cometió el error de creer que por trasladar elgráfico horizontetrnente a la derecha, había quesumar 3 unidades en vez de restadas. El graficoque representa la función f(x) = ¡;;3+ 1es:¿¡-----

: ').•. o ¡ ••

,C) Se cometió el error de A) y el de creer que

por trasladar el gráfico verticalmente haciaarriba, había que restar 1 unidad en vezdesumaria. El gráfico que representa la funciónf(x)=~-Ies

)..?t=;.-4/-2 o 2

r···.. ·_···_-_·_·_--t

Modelamiento· PSU .1

Page 111: Preparacion Psu de Matematica SM

D) Se cometió el error de creer que por trasladarel gráfico verticalmente hacia arriba, habíaque restar 1 unidad en vez de sumaria. Así, se

considera la función f(x) = ~ -t

E) Se confundieron las unidades en que setraslada el gráfico. Así, se considera la funciónf(x) = .¡;:;¡ - 3.

mj;iil~s;~~I~~y§~!iJ~['i~\~~~~~El dominio de la función f(x) = J3X + 2 es el intervaloque cumple con la condición:

3x + 2 2: O

Al resolver la inecuación se tiene:

3x+22:0 / -2

11,-3

3x 2: - 2

2x>--- 3

Por lo tanto, el dominio de f(x) = ~ es:

DOm(f)=[ -~,+=[

Distractores:

A) Se invirtió el sentido de la desigualdad en laresolución de la inecuación:

3x + 2 2: O

2Se obtuvo x :::; - -, con lo que:

3

Dom(f) = }=,-~]

C) Se asumió que el dominio debía cumplir con ladesigualdad 3x + 2 > O, Y se obtuvo:

Dom(f) = }~,+=[

D) Se cometió un error de signo al resolver:

3x + 2 2: O

220 CLAVE· Matematica

Se obtuvo:3x 2: 2

X2:~3

Por lo tanto:

Dom(f)=[ ~,+=[

E) Erróneamente, la función se igualó a cero, yluego se resolvió la ecuación, y se obtuvo:

f(x)=J3x+2 =0

=> 3x+2=O

=> 3x=-2

2=> x=--

3

m1if~~~;;":;:bf¡:)[~t~Lg,{E"i{Aif!:f~ffrff4fJ~Como el gráfico de g es una traslación del gráfico de 1,de tal manera que el punto A(O, O) queda trasladadoal punto A'(2, 2), es posible afirmar que el gráficode f fue trasladado horizontalmente 2 unidades a laderecha, por lo que la función podría representarsecon la expresión (x - 2)'- Pero además, el gráfico de ffue trasladado 2 unidades verticalmente hacia arriba,por lo que si se agrega esta acción, la expresión querepresenta al gráfico de g es:

g(x) = (x - 2)' + 2

Distractores:

B) Al considerar la traslación de f horizontal a laderecha en 2 unidades, se asoció una adición envez de una sustracción, por lo que se respondió:

g(x) = (x + 2)3 + 2

C) Al considerar la traslación de f vertical haciaarriba en 2 unidades, se asoció una sustracciónen vez de una adición, resultando:

g(x) = (x - 2)3 - 2

D) No se consideró la traslación de f en 2 unidadesverticalmente hacia arriba, por lo que solo seconsideró una traslación de f horizontal a laderecha en 2 unidades, y se respondió:

g(x) = (x - 2)'

. ,.;:;)-"--'. -- J . ~ .• ~._ .. _--

~~~.~~

~:¿••

e ."o"S· .~;J-oe-o eo-

"-l' 2;J "1,Il""

"ih ~.".s .5~. o0..;:; .t:i ~VI. /)

II'J ~.

"~~; ~o- §'u'":Q~ "GuJ.: "'11.1 '-1

~,;;..'.:~:,

E) Se consideró 5010 una traslación general de fen dos unidades, en lugar de una vertical y otrahorizontal, por lo que se le adicionaron2 unidades a f(x) = x', es decir, g(x) = x3 + 2.

Para determinar el crecimiento de la bacteria se debeconsiderar que inicialmente el organismo tenía300 bacterias, luego:

Tiempo (horas) Cantidad de bacterias

1 300·2

2 300 • 2 • 2 = 300· 2'

3 300 • 2 • 2 ·2 = 300 • 2'

n 300·2'

De la tabla, es posible afirmar que al cabo de n horas,el organismo tendrá 300 • 2' bacterias.

Distractores:

A) Se omite el proceso de bipartición, multiplicandodirectamente por n la cantidad de bacteriasiniciales, entonces se obtiene 300 • n.

B) Se confunde el proceso de bipartición,considerándolo como una suma:

Tíempo cantidad de bacteñas(horas)1 300·2

2 300 . 2 + 300 • 2 = 300 • 2 • 2

3 300 • 2 + 300 • 2 + 300 • 2 = 300 • 2 • 3

n 300·2· n =300' 2n

D) Se realiza el mismo análisis anterior, pero secomienza erróneamente en la segunda hora:

Tiempo Cantidad de bacterias(horas)2 300·2

3 300 • 2 + 300 • 2 = 300 • 2 • 2

4 300 • 2 + 300 • 2 + 300 ·2 = 300 • 2 • 3

n -1 300·2· n = 300 • 2(n - 2)

n 300·2· n = 300 ·2(n - 1)

E) Al igual que en D), se comienza erróneamenteen la segunda hora, pero se escribe comopotencias.

Tiempo (horas) Cantidad de bacterias2 300 • 2 = 300 • 2'

3 300 • 2 • 2 = 300 • 2'

4 300 • 2 • 2 • 2 = 300 • 2'

n I 300.2"- 1)I

Mnrlol::lmiontn. PC::II ??

Page 112: Preparacion Psu de Matematica SM

11

--11'~"'I~'·~±·~'~a~f~!ly'~1\~2Y'¡'~\·~"IIIS~!I~'r---------------------------------------c-------------------~

m :":':":";" CLAVE D

Al considerar válida la condición (1), se tiene quef(2) = 6, luego:

f(2) =2' + 2 = 6=> 2'=6 - 2=> 2'=2'~a=2

Por lo tanto, f(x) = x' + 2. Asi, f(S) = 27.

Entonces, la condición (1) es necesariay suficientepara resolver el problema.

Por otra parte, al considerar válida la condición (2), setiene que f(x) = x' + 2, luego:

f(S) = S' + 2 =27

Asi, la condición (2) es necesaria y suficiente pararesolver el problema.

Finalmente, cada una por si sola permite resolver elproblema.

Distractores:

A) Solo considera la condición (1) para resolverel problema, excluyendo la condición (2), quetambién permite solucionarlo.

B) Solo considera la condición (2) para resolverel problema, excluyendo la condición (1), quetambién permite solucionarlo.

C) Cada una de las condiciones por si sola resuelveel problema; por lo tanto, no es necesarioconsiderar am bas juntas.

E) Cada una de las condiciones por si solaresuelve el problema, por lo que no se necesitaInformación adicional.

222 el AVF • M~tpm';li"

m .:CLAVE B

Al considerar válida la condición (1), la funciónf(x) = log,x tiene una base distinta de cero, pudiendodarse los casos:O< c < 1, c = 1 (en este caso no sepodria hablar de función logaritmica) o c > l. Deestos, la función es creciente solo en el tercer caso.Porlo tanto, la condición (1) no es suficiente para asegurarque f(x) = logx es creciente. De esta manera, si solose considera válida la condición (2), al ser c > 1, lafunción es creciente. Asi, la condición (2) por sí solaes necesaria y suficiente para resolver el problema.

Distractores

A) La condición (1) es necesaria,pero no suficiente.

C) Solo la condición (2) es necesariay suficientepara resolver el problema; por lo tanto, nose necesita de (1) Y (2) ambas luntas parasolucionarlo.

D) La condición (2) por si sola basta para resolverel problema, no asi con la condición (1), que nopermite resolver el problema por si sola.

E) El problema se puede resolver con la condición(2) por si sola, por lo que no se requiereinformación adicional.

m CLAVEC

En (1) se afirma que b > 1, Y del gráfico se puedeobservar que f(4) = 1; por lo tanto:

f(4) = logb(4 - 1) = log,3 = 1

Luego, por la propiedad de función logaritmologmm = 1,se tiene que b = 3.

Así, la afirmación (1) es verdadera.

En (11) se afirma que f(1 O) = 2, Y de (1) se tiene que lafunción es f(x) = log,(x - 1). Por lo tanto:

f(IO) =log/10-1)=log,9=2

Así, la afirmación (11) es verdadera.

En (111) se menciona el dominio de la función y comoel gráfico es una traslación horizontal en una unidad ala derecha, con respecto a la función h(x) = logl, sudominio es:

Dorntf) =]l, +001

Luego, la afirmación (111) es falsa.

e-o

I'0u:o'Oeo- ~!!:o'"il ~

::<'"~c.g :~'6urQ.

Distractores:

A) Estaalternativa es incompleta, pues soloconsidera la afirmación (1) y no la afirmación (11).

B) Estaalternativa es incorrecta, pues solo considerala afirmación (111) como verdadera y es la únicafalsa.

D) Estaalternativa considera la afirmación (1) comoverdadera, pero también la afirmación falsa (111).

E) Considera como verdaderas las tres afirmaciones,pero la afirmación (111) es falsa.

m.;-~".,<:,., CLAVE C

Paracalcular 2(f o g)(6) + (g o 0(6) se puededeterminar el valor de cada composición de funcionespor separado

2(f o g)(6) + (g o Q(6) = 2f(g(6» + g(f(6»

(6-6)=2f -2- +g(6+3'6)

= 2f(0)+ g(24)6 - 24=2(6+3'0)+--

3= 2 ·6 + (-1i)=6

Entonces, 2(f o g)(6) + (g o 0(6) = 6

Distractores:

A) Se cometió un error al invertir el orden deaplicación de funciones en las composiciones:2(f o g)(6) se calculó como:

2g(f(6» = 2g(6 + 3·6)= 2g(24)

6 - 24=2·--

3= 2·(-6)= -12

(g o 0(6) se calculó como:

(6-6)f(g(6»= f -2-

=f(O)

=(6+3.0)

=6

Se obtuvo como resultado final:

-12 + 6 =-6

B) Se expresaron de forma errónea lascomposiciones:

2(f o g)(6) se calculó como

(6-6)2f(6) • g(6) = 2(6 + 3·6) -3-

=2·24:0=0

(g o 0(6) se calculó como

(g o 0(6) = g(ó) . f(6)

(Ó-6)=~-3- (6+3·6)

= O ·2-1

=0

y como resultado fina I se obtuvo:0-0=0

D) Solose calculó la composición 2(f o g)(6) y no(g o 0(6), por lo que se obtuvo

2(f o g)(6) = 2f(g(6»

=2{6;6)

= 2f(0)

= 2(6+ 3·0)= 2·6=12

E) Al calcular (g o f)(6) se cometió un error designo, y se obtuvo 6 como resultado. Luego,sumándolo a 12, resultado de 2(f o g)(6), seobtiene 12 + 6 = 18.

Mortpl~rn¡pntn • PSII 2/

Page 113: Preparacion Psu de Matematica SM

11

..·.1'

ml~>F\"''"'''~~f~1:f.·~-':';~~: .'!5?'tl1",;;;,:'~'",~-",~:~.,C;I::A;V.t;;¡u". ... "-.",,,,&(.~'(!jj~_.A:-.f.¡¡,:,.39.".40.· .•..•~~~·-.-,~.....;:"..-:s:.:"'::'O, ,;r~Jig;¡;

El gráfico de la función f(x) = 2x' - 12x + 17 es unaparábola abierta hacia arriba, ya que el coeficientenumérico de X' es mayor que cero. Por otra parte, elmenor valor que puede adquirir f(x) es -1, ya que esla abscisa del vértice de la parábola. Una manera dedeterminar este punto es el siguiente:

Considerando a = 2, b = -12 Y c = 17:

[4ac _b' +00[=[4' 2 ·17 -( -12)' +co[

4a ' 4·2'

=[ 136; 144 ,+~[

=[-~,+~[=[ -1,+oo[

Luego, el recorrido de la función es el intervalo[-1, +oo[ Y como f: IR --t [-1, +00[, la función essobreyectiva.

Distractores:

A) El dominio de la función cuadrática es IR, por loque la alternativa es falsa.

B) Cómo ya se ustiíicó, el recorrido de f es elintervalo [-1, +00[. Entonces, la alternativa esfalsa.

C) La función f no es invectiva debido a que existenpreirnágenes con más de una imagen; porejemplo, f(2) = f(4) = l.

E) Como el coeficiente a = 2 > 0, su gráfico es unaparábola abierta hacia arriba.

//4 fl AVF. Metpm¡lir~

m~~~Como f: IR - (-5}--t IR - (1), entonces f está biendefinida en su dominio, ya que x = -5 no pertenece alDom(!) porque esto anula el denominador y la divisiónpor cero no está definida. Además, f es el cociente dedos funciones lineales. Entonces es invectiva.

Otra manera de verificar si una función es invectivaconsiste en demostrar:

f(a)=f(b)~a=b

En este caso:

a-4 b-4f(a)=f(b) ~ -=-

a+5 b+5

~ (a - 4)(b + 5) = (a + 5)(b - 4)

~ ~+~-~-m=~-~+~-m~ 5a-4b=-4a+Sb

~ 9a=9b

~ a=b

Por otro lado, al considerar y = f(x), es posibleestablecer que:

x-4y=- ~ xy+5y=x-4

x+S~ xy - x = -5y - 4

~ x(y - 1) = -5y - 4

-5y - 4~ x=--

y-I

5y+ 4~ x=--

1- y

Como y = 1 no pertenece al recorrido de f, se tieneque f(x) es sobreyectiva.

Finalmente, como f es biyectiva, existe su inversa (t').Para obtener su expresión analítica, se tiene:

5y+ 4x=--

1- y

Considerando el cambio de variables se tiene:

f-'(x) = 5x + 41- x

~.

I!:V;.~;-~I'i¡'.~.~$.;'.jí'i~·z1;""

'/¿.

.~;~{

~/'

e-o -'0u:Je ~0-.i!!:J

'"'"'Ofj~ IO-

s • e:

'"~es I~ -9c-';:;,t,

Distractores:

A) Se asumió que la función inversa de 1tiene laforma -1, por lo que se obtiene:

-f(X)=-(~)x+5

= -x+4x+5

4-xx+5

B) Se consideró como función inversa de 1 la

expresión 1-' =~, es decir, se interpretó r'como una potencia de exponente negativo y nosimbólico como corresponde; se obtuvo:

1 1-=--f x - 4

x+5

x+5x-4

C) Al despejar x en la expresión:

x- 4y = -- ~ xy + 5y = x - 4

x+ 5~ xy-x=-5y-4

~ x( y - 1) = - Sy - 4

-5y- 4~ x=--

y -1

Se amplificó por -1 la fracción - 5y - 4, pero,y -1

erróneamente. solo se rnultiplicó el primertérmino del numerador, por lo que resultó:

5y - 4

Y -1

Cambiando la variable se obtiene que:

¡-'(x) = 5x - 4x-l

D) Al despejar la variable x en y = x - 4 se cometióx+5

un error, y se obtuvo:

y(x - 4)= x + 5

xy - 4y= x + 5xy - x = 4y + 5

x(y-l)=4y+5

4y+ 5x=--

y-l

Al hacer el cambio de variables se tiene:

f-'(x) = 4x + 5x-l

Modelamiento· PSU 22

Page 114: Preparacion Psu de Matematica SM

11

-t

~",-,

~

Rectas y polígonos 228 - 2-14 - .'.\Circunferencia y círculo 245 - 255 I \ ..,,\

Ensayo temático 1Modelamiento PSU 256 - 267

Congruenciay transformaciones isométricas 268 - 285

Semejanza de figuras planas 286 - 299

Ensayo temático 2Modelamiento PSU 300-313

Trigonometría 314 - 325

Cuerpos geométricos 326 - 339

Ensayo temático 3Modelamiento PSU 3-10 - 353

Page 115: Preparacion Psu de Matematica SM

1. Rectas y ángulos

Ejercicios resueltos

1. Clasifica los siguientes ángulos según su medida.

uf.a.~ c.

I Agudo I

Bb. •• d.

L.~e.

I Recto I I Obtuso Ic=tf.~I Completo I I Obtuso II Extendido I

2. ¿Cuántos radianes son 135"1

Para transformar 1350 a radianes se considera la proporción:

1800 1t rad-=--1350 Y

135°·1t rad 31t . 3¡¡Luego, y = = -rad. Por lo tanto, 1350 es Igual a -rad.• __n 4 4

228 CLAVE • M~tp.mMi~~

A

Según su medida a, un ángulopuede ser:- Agudo: CI. <: 900

- Recto: (J. = 90°.

- Obtuso: 90° <: u. < 180°.

- Extend ido u. = 180°.

- Completo u. = 360°.

La medida de un angulatambién puede ser expresadaen radianes (rad). cuya relacióncon el sistema sexagesimal seobtiene considerando que180° = ¡¡ rad. Porproporcionalidad. se tiene:

180° x rad-=--

XO y rad

Esto se reforzara en la secciónde trigonometría

e-oI8

"'Ooa.i!!~'"'O.

:Qs:ea.

I -:;¡ ¿;\11 "'"<lIeo~ I -e:ur -o}-

Ejercicios propuestos

1. Analiza la información y resuelve.

11II

~ La bisectriz de un ángulo es la semirreda que lo divide en dos ángulos de igual medida. Su origencoincide con el vértice de dicho ángulo .

~ Dos ángulos suplementarios que tienen el vértice y un lado común se llaman adyacentes.

a. En la figura, OB es bisedriz del <r.AOC y a= 30°.¿Cuál es la medida del <r.AOO

b. En la figura, OC es bisectriz del <r.BOo, ym( <r.DOA) = 500. ¿Cuál es el valor de y7

okA

c. Determina las parejas de ángulos adyacentes en la siguiente figura.

~

6\ /c~ •

. . coif~pMtóiQúé:pellen~en ~

:",~~.~,f:~ift~~~~~~~~f{~;,~,,,:.,.. '. f ,

..';~:e.~~e·de!íNf.;r.se&mentl?AB. comQ la:pl!rte de !a recta comprendida entre. irréqa' AS como la parte de fa recta limitada por el punto A (origen de la

,}Ué[ifJ:~J~fi.. . :. , .< Berada' entre dos semiriectaS con un punto de origen' . >.

,,:,:1~a:comúifSé'lIálÍl~1~gd¡oI<5:Bpuñió'se-de;iomina vértice y las!' '. •~;','~:'~{sémirr~s;'éÍ(í~'dél ánglJl& Para~hacer'referencia a la medida de un\¿?'Y:ángulosé'UtiE~ránta5-Ietrc!s gnegas a. ¡i,"(.etc. En la figura, <r.AOB y-~;>:. <r.BOA.'de 'Ínedidas a. y 13, respectivamente, tienen vértice Oy lados '

.. . OA Y OB. los ángulOs se leen e~sentido antihorario.

~ Exist;¡'d¡~nt~s ~~ke~a?;para ~;esar la medida de un ángulo. Por ejemplo, en el sistema sexagesimal,.Ia unidad de medida es el grado, 'y se obtiene al dividir una circunferencia en 350 ángulos de 1 grado'-éáda' uno. '.' . : .: .' . . .

A o

JsLA •o

2. En la figura, los ángulos de medidas x e y son complementarios. Si x = 40°, ¿cuál es el valor de D, ~, By y?

3. Escribe V o F según corresponda.

a. _. __ ._ El complemento del suplemento de 1650 es 15°.

b. Al bisecar un ángulo obtuso se generan dosángulos agudos.

c. Dos ángulos opuestos por el vértice tienen igualmedida .

d. ____ Dos ángulos suplementarios siempre son adyacentes.

e. ____ La medida de un ángulo recto equivale a ~ rad.2

___ Un radián es aproximadamente igual a 57,30.f.

~

Dos ángulos son opuestos porel vértice si los lsdos de veo deellos son la prolonga ClÓr. de loslados del otro.

o

~

m(<l:ACB) =m«CODI

Dos ángulos soncomplementarios 51 la suma desus medidas es 90°.Dos ángulos son suplementariossi la suma de sus medidas es1800

Rectas v ooliaonos 22

Page 116: Preparacion Psu de Matematica SM

11

2. Ángulos entre rectas

Sean l, // t. y Tuna recta transversal a ellas. Según la figura, se tiene:

~ Ángulos corresponálelltes: (X = 41 y = A.

~=e o=cp

~ Ángulos alternos internos:

~ Ángulos alternos externos:

Ejercicios resueltos

y=e o=4l

13=1..a=cp

a.

1. Sea l,!1 1.,. Determina la relación entre a y J3en las siguientes figuras.

L.--y- L,-L~ ••'.",c' .

b.

-1>

.1.,

L. •• 7' •p

L,

Al identificar ánguloscorrespondientes, se estableceque los ángulos respectivos dea y J3 son opuestos por elvértice. Luego, fJ. = J3

Al identificar ángulos alternasinternos, se establece que losángulos de medidas o: y J3son adyacentes. Luego,a+ p = 180°.

c.

'I L, .~ / . L

<!> •• L; •• )(") • L,

t, a L, ••• ,/ (~ <, • L,

Primero, se prolongan las rectas transversales y se dibuja la recta L, que pasa por el vértice del ángulo demedida <1>y que es paralela a L, ya L,. Luego, al identificar los ángúlos correspondientes, se tiene que elángulo de medida a + 13 es opuesto por el vértice al ángulo de medida <1>. Por lo tanto, a + J3= lb.

230 CLAVE· Matemática

e-o8;:¡

-oe0..&;:¡v>

'"."¿~'I<-o;

:2. <:

"'.Kl5-:'

~.I '"-ª.'

.'.

•••••Ejercicios propuestos

1. Sean t, l/l2, lJ I/l, y l, II l6' Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

a. a+J3+y= 180°

b. 0+E+9 = 3600

C. CX+E= 3600

d. cx= o 1, •• Xc y ",.

e. a+'1= /)'\ .(' v "'\".....j t (l~••\ ..I7 7'

L,

f. a+p = 9

2. Si L, II l" determina el valor de a, 13, s Y Y.

a =__ . . . /) = -------_.

13 = ---...--- -_..- ...-.-- '1=- --.- .. -.----- ... '.-.

3. Determina la medida del ángulo pedido en las siguientes figuras. Para ello, considera L, II 1.,.

a. c. L, biseca al <ABe.

eL, • (14~r •

L, •• / \ ~

x= x=

b. d.L, t, L.

L,

L~

L.. q "'--;.') ? /11 ~

(

, x=1._----

'1..-J

~i)

y= x= y= z=

Rectas v oolioonos 23

Page 117: Preparacion Psu de Matematica SM

3. Polígonos'.. ~.

Un pollgono es una figura plana, cerrada por segmentos de recta. En él se pueden distinguir:

~. Lados: segmentos de recta que forman el polígono.~ Vértice: punto de intersección de las rectas que contienen a los

lados del polígono.~ Diagonal: 'Segmento que une dos vértices no consecutivos del

polígono. .~ Angulos interiores: se fomnan a partir de los lados del polígono.~ Angulos exteriores: se forman por un lado y la prolongación de

otro lado consecutivo.

En un polígono de n lados se tiene que:, r' ------------------,

n- (n - 3)0=--2

Número total de diagonales(O) en el polígono.

d=n-3

Número de diagonales (d)que se pueden trazar desde un

vértice.

Ejercicios resueltos

\,,= 1800- (n-2)

Suma de los ángulosinteriores (S ) de

un polígo~o

1. Calcula el número total de diagonal es (O) y la suma de los ángulos interiores (S) en los siguientespolígonos.

a. Hexágono

®b. Decágono ~

Número de lados: 6

n- (n - 3) 6 - (6 - 3)D=--=---=92 2\ = 180·· (n - 2) = 180· • (6 - 2) = 720·

2. Evalúa las siguientes afirmaciones y escribe V o F según corresponda.Justifica las falsas.

úmero de lados: 1 O

n-(n-3) 10-(10-3)0=--= =352 2

S. =180· - (n - 2) = 180·· (10 - 2) =1440°

Los polígonosregularesson aquelloscuyos lados tienenigual longitud y susángulos Interiorestienen igual medida.

a. F___ En un hexágono, el número total de diagonales depende de si elpolígono es o no regular.Justificación: el número total de diagonales que se pueden trazaren un hexágono siempre será 9, aunque este sea o no regular, yaque la forma de calcular esta cantidad depende solo del número delados del polígono y no de sus longitudes

b. V En un decágono regular, cada ángulo interior mide 1440.

c. V___ En un pentágono, es posible trazar dos diagonales desde cualquiera de sus vértices.

232 CLAVE· Matemática

e-o'8 .~-o •e :

~~oJO

<O I'O -'.s~0:"'- I ~:2.tf}~~

-c:

~~'r.

e ~~; "~ur',Q:

-~~1]"

Ejercicios propuestos

1. Analiza la siguiente información. Luego, completa.

••

Según el número de lados (n), algunos polígonos se clasifican en:

n = 3, triángulo n =8, octágonon = 4, cuadrilátero n = 9, eneágonon = 5, pentágono n = 10, decágonon = 6, hexágono n = 11, endecágonon = 7, heptágono n = 12, dodecágono

a. En un cuadrilátero \=--~ 0= _

b. En un pentágono ~ 0= _

~ 0= _

s.= _c. En un eneágono s.= __

2. En los siguientes polígonos regulares, determina la medida del ángulo según corresponda.

a. O es centro del pentágono. b.

(J)~= 0= 1jJ=

3. Completa con la información que falta.

a. En un. __ . . se pueden trazar 35diagonales en total.

b. Desde cada vértice de un se pueden trazar cuatrodiagonales.

c. Si el ángulo central de un polígono regular mide 20°, entoncescada ángulo interior mide .____ y el número total dediagonales que se pueden trazar es

d. Si cada ángulo exterior de un polígono regular mide 24·, entonces suángulo central mide y la suma de sus ángulosinteriores es _

4. Calcula la medida de los ángulos interiores de ~una estrella de cinco P"""'· W

Irazar do ~'26:-ner:':5 .esce s,punto ce-:'ai lOI;-~~" :::05vernces e:· i""'secu!:'.C5 52 ,Y.; ~ael áng~IG :-:r¡tr~i c-::: :,01~:=:regeler.

»<:.,/ ¡ <,<-¿.~ ~" '---- .....

\ /'0\\ ' '.

La medid: dei cngc.,Q ce:1trJ:depende ::'! nunec ::e2'::c5 n.

-:.~:,...·t('-·;=~ -,

Un polígono convexo es 2J~elen el que Codaá~S'- 'e m:f'Of esmenor qi.e 180".

En todo polígono convexo den lados, 12 suma de ¡OS a"gulosexteriores 25 360', \ la rneóda deun ángulc extencr En un pohgonoregular se calcula:

3&J"m\a.)=-

e Il

Rect2S y poligonos -.1:

Page 118: Preparacion Psu de Matematica SM

11

4. Triángulos

Equiláteros: tienen sus tres ladosde igual medida. Sus ángulosinteriores miden 60° cada uno.

er.A~B

~I'q'!;k¡1Vdt'Z.:¡')i~7;'lr:.:"~Cb·Ejercicios resueltos

Isósceles: tienen dos de suslados de igual medida. El ladode distinta medida se denominabase. Los ángulos basales son deigual medida.

e

A~B

Escalenos: tienen sus tres ladosde diferentes medidas. Susángulos interiores también son dedistintas medidas.

e

'~B

~l~{~l~:~\Obtusángulos: tienen un ángulointerior obtuso.

A~e

BB

1. Detemnina en cada caso si con los datos entregados es posible construir un triángulo.

a. Un segmento de 2 cm de longitud, otro de 5 cm y un tercero de 13 cm.

'~'

Como la suma de las longitudes de dos lados debe ser siempremayor que la longitud del tercero, se tiene que con los segmentosdados no es posible construir un triángulo, ya que:

2 cm + 5 cm = 7 cm y 7 < 13.

b. Un ángulo que mide 35°, otro que mide 55° y un tercero de 90°.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo debe ser 180", al resolver35° + 55° + 90" se obtiene 180"; por lo tanto, es posible construir un triángulo; de hecho,con el trío de ángulos dado se pueden construir infinitos triángulos.

..•. 234 CLAVE • Matemática

~ ~m

13cm

•••Ejercicios propuestos

~ Marca la alternativa correcta.

l. ¿Cuál es la medida de los lados de un triángulo equilátero cuyo perímetro es 47 cm?

A) 15 cmB) 15,6 cmC) 15,6cmD) 15,7 cmE) 23,5 cm

2. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 12 cm Y otro lado mide 9 cm?

A) 9cmB) 18 cmC) 21 cmD) 30 cmE) 33cm

3. ¿Cuál es la medida de un angula interior agudo de un triángulo rectángulo si otro de sus ángulos interioresmide 23~

A) 23°B) srC) erD) rrE) 90°

4. ¿Cuál es la medida de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo isósceles?

. A) 60° - 60° - 60°B) 45° - 45° - 90°C) 30° - 60° - 90°D) 35° - 55° - 90°E) 135°-IW-90°

5. los ángulos interiores de un triángulo son tales que el segundo mide el doble del primero y el tercero, eltriple del primero. (Qué tipo de triángulo es?

A) EquiláteroB) IsóscelesC) AcetanguloD) RectánguloE) Obtusángulo

e<J'0u

"'O <§.".~

" " 6.'"'" ~'O

to,I -

~V1

:Gs'0

"uJ

ge,.

"0'0:f

Un ángulo exterior de un triángulo mide 160° y uno de los ángulos interiores no adyacentes a él mide 80°.¿Qué tipo de triángulo es?

A) Escaleno - acutánguloB) Isósceles - acutánguloC) Isósceles - obtusánguloD) lsósceles - rectánguloE) Escaleno - rectángulo

Rectas v oolioonos 2:·

Page 119: Preparacion Psu de Matematica SM

5. Elementos secundarios del triángulo~·~;;.~-4~li1.1tM.~:;~~~:M!~~~~d!l~-";.:.~.f~:;¡$::!:~¡;~~~í:1~-;:~,<'?~-j~

Las alturas de un triángulo son 105 segmentos Lastransversales de gravedad de un triángulo son j:~.;trazados perpendicularmente desde 105 vértices los segmentos trazados desde los vértices hasta I-}del triángulo a 105 lados respectivamente opuestos intersectar a 105 lados respectivamente opuestos en :o a las prolongaciones de estos. Las alturas se sus puntos medios. Las transversales de gravedadintersectan en un punto llamado ortocentro (H). se intersectan en un punto llamado baricentro o

e centro de gravedad (G).

~~~O

A

e

~!f

11 Iifti, I.f;.~~;~

','"'1

A-= Jl ,/ $\ "'J

Las simetrales de un triángulo son las rectasque intersectan perpendicularmente a los ladosde este en sus puntos medios. Las simetrales seintersectan en un punto llamado circuncentro (Q,que corresponde al centro de la circunferenciacircunscrita al triángulo.

Las biseclrices de un triángulo son las semirrectasque dividen a los ángulos interiores del triánguloen dos ángulos de igual medida. Las bisectrices seintersectan en un punto llamado incentro (1), Quecorresponde al centro de la circunferencia inscrita enel triángulo.

ADonde PD = DQ; QE = ER; RF = FP.

'~ ,~::'

Ejercicio resuelto

1. El triángulo ABC es isósceles de base AC. Si Fe es altura, «ual es la medida del -rBCF?

i) m( -rCAF) = 55° por ser ángulo adyacente al -rFAG.

ii) m( -rCAB) = m( -rBCA) por ser MBC isósceles de baseAC

iii) m( -rABC) + m( -rCAB) + m( -rBCA) = 180° por ser ángulosinteriores del MBC

iv) m( -rABQ + 55° + 55° = 180° ~ m( -rABC) = 70°.

v) m( -rCFB) = 90° por ser Fe altura.

vi) 70° + 90° + m(-rBCF) = 180· por ser ángulos interioresdel MCB. Así, m( -rBCF) =20°.

G

?~h r.1 A\I~ • fI.iI~tom:lti('!l

.l:.;

D

e-o'0u:J I -sz:-oeo-!!:J

'"~-o15Zeo-

:;; I "5VI

~eo'0'Ó 1 -uJ

11

Ejercicios propuestos

1. Resuelve los siguientes problemas

a. Si CD y BE son alturas del triángulo ABC, ¿cuálesel valor de ~?

b. Enla figura, A. By C son tres puntos colineales(pertenecen a la misma recta) y BE biseca al<1DBAen el triángulo ABD. ¿Cuáles el valor deyy 87

D

A

c. Si AD es bisectriz del <1CABen el triángulo BAC,¿cuáles el valor de y, 'O Y ¡;:7

B~Y D

105'

6~C

A

•••

d. En el triángulo ABe. EF es simetral del lado Ni, yBF es bisectriz del -rCBA Calcula la medida detodos los ángulos interiores del cuadrilátero EFSC

c

A ¿ <;0- ! I 1 L~ ~

e. Sea MBC equilátero, CD es transversal degravedad y DE es altura del t.CDB. ¿Cuál es lamedida del <1EDO

e

A

B

f. Sea MCB, de la figura, isósceles de base AC .Si m( <1ABC)= 40°, AD biseca al -rCAB y AC = CD,¿cuáles la medida del -r DEB y del -r DCE?

A

o

RRI'JA~ v nolíoonos 23i

Page 120: Preparacion Psu de Matematica SM

A(~ posibr~jm.éfP(~~t·~J~reOiadeJ~itáio.~",~9,ry'~reas:4elos ' 'Y¿, \¿'~~adrados, cuy()S.I~ito:;sonlos lados del triángul9 re<:tángulo.Es ):'7( '.:''-;;:;;deqr;"EI areidél aiadrado c9ñstrUido sobre la hipotenusa es iguara ,~y.¡:x:ta suma <le laS áreas~élOs cuádrados construidOssobre los caletas. . j'

~:~~.,-~~~~~- /'-'t-::_··-~:fp ~··~~:t·5';~'~,~-~.: " "-"í -: }:-~:. ~ ~-' :'~_: ' •. ,.:!.•' Existen maS de·n.úr'n~ósnaturales que cumplen con la relación '., o.

.,'.:. sde igualdad eSlableéidaen el teorema de Pitágoras,~ostríos;: '::-:'-:i;se denominan tríOsPiiagóricos. Por ejemplo,3; 4'y 5 és un !río .'

. pítagórico, ya que: . .

.5'=3'+4'25=9+ 1625=25

6. Teorema de Pitágoras

d I I I

"_. -

;:1 I I I

Ejercicios resueltos

1. En el triángulo DEF, ¿cuál es la longitud del lado FD?

Como el triángulo DEF es rectángulo en F, se puede aplicar el teorema de Pitágoras, considerando que BE ellahipotenusa y los catetos del triángulo son los lados EF y FiS.Luego:

ID' = 8' + FD'FD'= 10'-8'FO'= 100-64FD' = 36FD = 6

Por lo tanto, la longitud del lado FiS es 6 cm.

8cm

o2. Calcula la longitud del segmento CD del triángulo equilátero ABC de

lado 10 cm.

Al aplicar el teorema de Pitágoras en el L\DBC, se tiene: (10' = 5' + h'l00=25+h'h' = 100 - 25h' = 75h=fiS=5.J3

Por lo tanto, CD = 5.J3 cm. M 5cm O S cm

238 CLAVE· Matematica

Si las medidas de los ladosde un triángulo son a, by e, donde e es el lado demayor longitud. entonces:

- si c' = a' + b, esuntriángulo rectángulo.

si e- > a + be. es untnángulo cbtusángulo.

si e- < a· + b, esuntriángulo acutángulo.

.~

'~.

$j"

:~.y;<"~.

~j

l'F.:

.~

>,'

e-O

8~ea.~".5f"~'.-o.s:c~~'

Ejercicios propuestos

1. VerifiGl si las siguientes figuras son triángulos rectángulos.

a. b.

~8cm

'~8cm

( 1~ .l _,

~ Marca la alternativa correcta.

1. Si EF = 70 cm y FG = 40 cm, «ual es la longitud del lado GE?

A) -/YJ cmB) 30 cmC) 40cm

D) lOEcmE) 10.J65 cm

c.

"~7.5on

!

G

2. Si en la figura AS.l Be. CD.l A(, DA = 50 cm, BC = 12 cm y AC = 25 cm, las longitudes de los segmentosAB y CD, respectivamente, son:

A) 2513 cm y .J48i cm

B) .fi69 cm y 2515 cmC) .fi69 cm y 25.J3 cm

D) J48i cm y 2515 cmE) J48i cm y 25.J3 cm

B

o ¿ ~

3. En la figura se ha dibujado el cuadrado PQAB de área 64 cm'. Si PR= 14 cm, «ual es el perímetro (P) y cuáles el área (A) del trapecio PRAB? B A

rA) P=32 cm y A =64 cm'B) P=32cmyA=88cm'C) P=40cmyA=24cm'O) P=40cmyA=88cm'E) P= 56 cm y A = 88 cm'

Q

4. Si en el romboide FKLM, KL = 15 cm, LM = 20 cm y JK = 8 cm, «ual es el perímetro (P) y cuál es el área (A)del paralelogramo FKLM?

~ A) P=32 cm y A = 54 cm'B) P=32 cmyA= 126cm'C) P= 70 cm y A = 90 cm'O) P= 70 cm y A = 180 cm'E) P= 79 cm y A = 180 cm'

M L./1 -/K

Rectasy POligonos ....z

Page 121: Preparacion Psu de Matematica SM

7. Cuadriláteros,$~,~•..r.~,,..

Un cuadrilátero'es un polígono de cuatro lados. Una de sus propiedades es que la suma de sus ángulosinteriores es.360". Los cuadriláteros se pueden clasificar en:. .

~ . Paralelogramos: sus lados opuestos son paralelos y de, igual·lo~gitud. Se clasifican en:.Rectángulo: sus Cuadrado: sus Rombo: sus ángulos Romboide: sus ángulosángulos interiores ángulos interiores interiores opuestos son de interiores opuestos son deson rectos y sus lados son rectos y sus igual medida y no rectos, y igual medida y no rectos,ycontiguos tienen lados contiguos sus lados contiguos tienen sus lados contiguos tienendistinta longitud. tienen igual longitud. igual longitud . distinta longitud.

E H 'D' M

,De N<>P O'B e Q 1 L

~ Trapecios: tienen solo un par de lados opuestos paralelos, llamados bases.Seclasifican en:

Trapecio escaleno: suscuatro I Trapecio isósceles: tiene un par de I Trapecio rectángulo: tiene solo doslados tienen distintas longitudes. lados opuestos de igual medida. ángulos interiores consecutivos rectos.

'D,A

6sR

t.:v

• Trapezoides: no tienen lados paralelos. Se clasifican en:

Trapezoide simétrico o deltoide:sus diagonales sonperpendiculares.

U

'~l

w

Trapezoide asimétrico: sus diagonales no formanángulos rectos..>

R .

Ejercicios resueltosB

1. En la figura, ADCB es un paralelogramo. ¿Cuál es la medida del <r:CEAsi CD biseca al ~c<r:BCEy AD biseca al <r:EAB?

45'i) m( <r:BCD) = 45° Y m( <r:CDA)= m( <r:ABC)= 135° por ser ADCB paralelogramo. A oii) m( <r:DCE)= 45° Y m( <r:EAO)= 45° porque CD y AD bisectan al <r:BCEy <r:EAB,

respectivamente.iii) m(<tADC) = 225' por i) y por m( <r:COA) + m( <r:ADC)= 360°. E

iv) Finalmente, m( <tCEA) = 45°, ya que la suma de los ángulos interiores de un cuadriláteroes 360°.

240 r.1 AVF • M;ltAmMir.~

~

:1'>1"..',' ..-'~~"~~)¡ll¡'

il''1mjl'1i.t1:'tt¿J~.~'~'J.

~.'~

f

.,

e<J'üU.

"eo-~_:.:='~.~,:~;:2,,~:9,:~s:=:o'~.

2. En la figura, ADCB es un trapezoide simétrico y CDFE es un trapecio isósceles de base OF. Si a biseca al<tDCB, ¿cuál es la medida del <r:CEF?

A

oEjercicios propuestos

1. Resuelve los siguientes problemas.

a. ONML es un rectángulo. Si [N Y MO son susdiagonales y MP biseca al <tOMN, ¿cuáles elvalor de~?

'[:><1]'o

i) m( <tDAB) = m( <tBCO) por ser ADCB un trapezoide simétrico .ii) 10°'+ 90° + m( <tOAB) + m( dCD) =360° por propiedadiii) m( <tOAB) + m( <tBCD) =260° despejando en ii).iv) m(<tOAB) = m( <r:BCD)= 130° por i) y iii).v) m( <tOCB) = 230°, ya que 360° - 130° = 230°.

vi) m(<tDCE) = 115°, ya que a biseca al <tOCB.vii) Finalmente, m( <r:CEF)= 1150 por ser CDFEtrapecio isósceles.

N

b. GHIJes un paralelogramo y KGJes un triángulorectánguloen K. SiHJ es diagonal y ó.HJGesisóscelesde baseHJ, ¿cuál es la medida del <r:KJG7

K

H

c. ABCDes un cuadrado. Si AC es diagonal ya :~= 2 : 1, ¿cuáles el valor de a7

o E e\ 7\

A

d. FGHI es un trapecio isósceles. ¿Cuáles el valorde y7

e! ~H

e. ABCO es un trapecio rectángulo. Si el MBD esisósceles de base BiS y además,2m( <r:DCB) = m( <r:BDC).¿cuáles la medida del<AOC?

" D,L,f. KL~IN Y PKI\IO son trapezoides srnétncos, con

MK diagonal. SIKP 1. Klv1.KN biseca al <tMKP, ~INbiseca al <r:O,\IKy m( <r:{I,ILK)= 105', ¿cuáles elvalor de ~7

~v

M

Rectas y polígonos

Page 122: Preparacion Psu de Matematica SM

8. Perímetro y área

b

Triángulo

aDbRectángulo

P=a+b+c

b- hA=-2

P = 2a + zbA=a· b

'oCuadrado

P = 4aA=a'

Ejercicios resueltos

1. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.

a. :ffi3 cm 3 cm

d2cm2cm

P = (3 + 3 + 2) cm = 8 cm

A= 2·21'2 cm' =2J2cm'2

b.Scm

'3cm

~~

Rombo

ab

Romboide

a

~b

Trapecio

P=4a

d,' d,A=--2

P = 2a + zbA=b ·h

Scm<,4cm

Scm Scm

P= 4 • 5 cm = 20 cm

A=~cm' =24cm'2

P=a+b+c+d

A=a+b.h2

e IOcm

13cm!l7,cmLtil310 cm

P = 2· 10 cm + 2 • 13 cm = 46 cmA = 10 cm • 12 cm = 120 cm'

2. Analiza y responde.

El perímetro de un rectángulo de largo 6 cm y ancho 4 cm y el de un romboide de base 6 cm y altura 4 cm soniguales. ¿Ocurre lo mismo para sus áreas?Justifica.

Elárea del rectángulo es 6 cm • 4 cm =24 cm' y el del romboide es 6 cm • 4 cm = 24 cm'. Por lo tanto, sus áreastambién son iguales.

242 CLAVE· Matemática

Ies.ifsf

.;.

11IIII

3. Descompón la siguiente figura en triángulos y cuadriláteros y calcula su perímetro y área.

Scm

4cm

13 cm

6cm Scm

Scm

••'<3cm

Scm

6cm Scm

Paracalcular el perímetro (P) y el área (A) de la figura, esta se descompuso en un rectángulo, un cuadrado y trestriángulos. Algunas longitudes fueron calculadas aplicando el teorema de Pitagoras.

Luego:

P = (8 + 5 + 10 + 6 + 8 + 13 + 8 + 5 + 5) cm = 68 cm

Paracalcular el área total de la figura se deben sumar las áreasde las figuras en las que se descompuso.

Luego:

A . . = 5 cm • 8 cm = 40 cm'reoenguo

A = 8 cm • 8 cm = 64 cm'caéedc6·8, ,CD A,,,,,,,!,.,= -2- cm' = 24 cm'

3·4, 1~ A =-cm =5cm~ !f\cY'.guIo2 2

12 • 5, :'3' A =--cm =30cm\dJ ;n.!l"tg'J105 2

Por lo tanto, A = (40 + 54 + 24 + 6 + 30) cm' = 164 cm'

Ejercicios propuestos

1. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.

oa. A

e I 3cmo-S~ . --oe~~'""~I .-0.,

:2 ""VI

!leo';'0 ~Ji~I -o

-'

oJ-

3cm C

4Cm

4cm G

En los tr.ér-gulos recécgolosformados. la longitud de 105lados que faltan se puedecalcular epíicardo el teoremade Puégores. Asi, las medlea,de los tres uiárlgulos dibuladosson:

6 Cé,. 8 cm y 10 cm3 (01, 4 cm y 5 cm

5 cm. i2 cm y 13 en

b. Pentágono regulaL

6m

Rectas v ooliqonos 2,

Page 123: Preparacion Psu de Matematica SM

C. A H d.

(

I

lC~S011 ".: 'l§~lIrm •...

6C; 8cm L

K

12 cm G

e.5cm

f.B B 50 cm e

3.5 cm

Al! 20cm [[ G

40cm18cm

15cm

e

g. h.50 cm e

B oP

50 m

, GO ¡ I

30m e DE

,,~\''",.15 cm

AG

20cm--- ...... _- .... _----------

D

15m

2. ¿Cuál es el perímetro y el área del hexágono regular de la figura?

M

4cm

La apotema de un polígonoregular es el segmento queune el centro del polígono conel punto medio de uno de suslados.

Observación: para el cálculo del área puedes utilizar la longitud de la apotema.

244 CLAVE· Matemática.\1.•.--- •••• _.::.:::..::-=-...:0.:.:==

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jth.".~\~~,1nUI

1. Conceptos bási cosl~;':;:pi;k.\]~~1ff~~;)~~~3~]·;~~K~,7,~f;:~:f:':~~J¿~~~.,%~?:;(;.~J!1~,}~)"j:}- .':"" . ~~:'~. -!~ r :">.~ ,')7:::¡', . ",*I':~~.<Una circunferenáa'E$Jormada por todos~I9S'piJntos de! plano que equidstan de otro punto denominado

~.;.¡~.7F~.!~f~~~~fi'~r!~tjr"}~~~t1'r ,~,.1 \ /;. y',,..la dlstar¡Cla entre e! centro O y ..

.: éuálquier punto de la cifÓlnferenóa',.:;~ 0:, se deriomina radio (r).

'.. Circunferencia

•. Elementos de la circunferencia

H

Af ~ G+F

•. Regiones del circulo

Corona circular: es laregión limitada por doscircunferencias concéntricas(de centro común)."" .' .

~~.~'

.'

Grado

Centro: eunto del cual todos los puntos de la circunferenciaequidistan. En la figura, O.

Radio (r): segmento de recta que une un punto cualquiera de lacircunferencia con el centro O. En la figura, OB.

Cuerda: segmento de recta que une dos puntos de lacircunferencia. En la figura, GH.

Diámetro (d): cuerda que pasa por O. Su longitud es dos veces unradio; d = 2r. En la figura, tiF.Recta tangente: recta que intersecta a la circunferencia solo en unpunto. En la figura, está dibujado el punto de tangencia D.

Recta secante: recta que interseda en dos puntos a lacircunferencia. En la figura, CE .

Arco: par!,e de la circunferencia limitada por dos puntos de ella. Enla figura, U.

Sector circular: regiónlimitada por dos radios yel arco de circunferencia

éntre ellos. EIl.!¡l figura seconsidera el AB.

Segmento circular: regiónlimitada por una cuerda yel arco de circunferencia •subtendido por ~. En la figurase considera el AB.·

Ciw1!nfRrp.n~j;¡ v rirrlllo 2L

Page 124: Preparacion Psu de Matematica SM

Ejercicios propuestos

1. Identifica los elementos de la circunferencia de centro ° dibujada a continuación.

a. CB: _

b. OD: _

e. EA: _

f. OF: _

c. EB: _

d. OE: _

g. HI: _

h. FG: _

[E!] Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál es la longitud de un arco de circunferencia de radio 5 cmsi el ángulo central que lo subtiende mide 50"?

5 3A) -ot cn D) -¡¡ cm

3 55 6

B) -or cm E) -¡¡cm6 510C) -¡¡cm3

2. ¿Cuál es la medida del ángulo central que subtiende un arco decircunferencia de longitud 1,4¡¡ cm si dicha circunferencia esde radio 7 cm?

A) 180

B) 350

C) 540

D) 720

E) 900

J. ¿Cuál es la distancia del centro de una circunferencia a una rectatangente a ella si se sabe que la longitud de un arco determinadopor un ángulo central de 54° es 1,2¡¡ cm?

A) 2 cmB) 4 cmC) 5cmD) 8 cmE) 10 cm

4. En la circunferencia de centro 0, la longitud del arco BA es de 41t cmy en la de centro 0, la longitud del arco AS es 3,5¡¡ cm. ¿Cuál es elperímetro del cuadrilátero AO,BO,?

A) 8cmB) 16cmC) 17,5 cmD) 35 cmE) 51 cm

246 CLAVE· Matemática'.L.....

La longitud (L) de un arco ASdeterminado por un ángulo

. central ex se calcula como:

L( AS) = (\"8~0' r(¿>Una recta tangente a unaortunlerencia en un punto P esperpendicular al radioOP, donde O es el centro de lacircunferencia y P es punto deta ngencia.

(f• El símbolo ¡¡ (que se lee pi)

representa al número irracional3,141592 ... , que corresponde ala razón entre el perimetro y eldiámetro de la circunferencia.

~'J'~:

1!.:

j

•••2. Perímetro de la circunferencia

~'.

p = 2¡¡(R + r) o:- re· rp= 2r+---oo-

Ejercicios resueltos

P=AB+~1800

l. Calcula el perímetro (P) de las siguientes regiones de un círculo.

LJA 2 cm O

e t~:§ -~u ":::J-ooCi ~i!!~,::

~ -":5 ~ @:éo ~o:~, ~'" ~.,.eo s'u ~~~';' -(J .. <j

~~:

a. La figura corresponde a un sector circular, conex = 90° Y r = 2 cm. Así, su perímetro (P) es:

cx·rr·r 900·rr·2cmP=2r+---=2 o 2cm+ (4 + ¡¡)cm

180' 180°

b. La figura corresponde a una porción de coronacircular, donde el radio mayor (R) mide S cm,el radio menor (r), 5 cm y ~ = 1200. Así, superímetro (P) es:

P=2¡¡(R+r)· L+ 2(R -r)3ff1'=2rro14cm.

12CP+202cm3ff1'

=(~1t+4}m

c. Considerando que la longitud del radio dela circunferencia dibujada es 8 cm y que eltriángulo ASO es rectángulo en O, por teoremade Pitágoras, se tiene que AB = SJ2cm. Así, elperímetro (P) del segmento circular dibujado es:

~.1tor ( e 9000¡¡oS) eP=AB+--= 8",2+ cm=(8"2+4rr)cm

180° lS00

Para determinar a qué parte deuna circuníerenca correspondeun arco subtendido por un ángulocentral de medida a, considera larazón:

0.0

360'

Circunferencia v circulo 24

Page 125: Preparacion Psu de Matematica SM

Ejercicios propuestos

1. Calcula el perímetro (P) de las siguientes circunferencias de centro O,

a, b'8 C.S<$c /" 0;11 ~m O

( P = ) ( P= )

s[ P= J

2. Calcula el perímetro (P) de las regiones sombreadas en las circunferencias de centro O,

'8 'GiJ '(9r·----·-----1, P= !

<,; ¡ p = ')

___ J(

P=

b. ~ d. ®.,~ f.@cmo 1 cm O cm

..-~------,( P=! P= p=i

,-----~)

3. Calcula el perímetro de la región sombreada en la siguiente figura, Considera O centro de la circunferenciainscrita en el cuadrado ASCO,

,..

IIL

(

D A!

,---.J

248 CLAVE· Matemática

~."V

1',', '

, .

'~l'.~

,1~

-3. Área del círculo

El Área (A) de un círculo de radio r se puede calcular mediante la fórmula:

I A = rro r' IEl área de las regiones del círculo se obtiene mediante las siguientes fórmulas:

Coronadl'Ollar Sedormadar Segmentoárallar

A

aA = m' o 3ffJ'A = (R' - r')¡¡ A=A· -A:.ecG'(¡"'",~: ::,,¡!-;_r

Ejercicios resueltos

( 1, Si en la figura Aii 1. CA Y SC es un arco de circunferencia de radio 4 cm y centro enA, «uál es el área del segmento circular sombreado?

Como AB1. fA el <tBAC es recto (90°) Así. el sector rirculer dibujado es un cuartc del

círculo de radio 4 cm y su ares (,.\,) es:, 90° ,1 '

A =rr'(4cm)' .-=¡¡oI6cm' ·-=-lrrcm',360° 4

, 4cm·4cm,Por otra parte, el area (A.) del ~"'BC es: A. = = 8 cm',

, '2

Finalmente, el área del segmento circular sombreado es la diferencia entre el área delsector circular y el triángulo A = (<lrr - 8) «n-.

A

e

I-o'u

2.u~-oEo, -~a.•.":¡;~ I ,- QQ.

:?<Il,

'""ee'u I~ -=41

B I,

Si m( <tHPQ) = 160°, m( <KPQ) = 100° Y PK biseca al <tHPI, ¿cuál es el área (Al delsegmento circular sombreado en la circunferencia de centro P y radio 4 cm?

i) Sea m( <tHPK) = m( <tKPI) = a, ya que PK biseca al <tHPL

ii) Sea m( <tIPQ) = P luego, 2a + p = 160°, Por otra parte, a + p = 100°, Así,resolviendo simultáneamente ambas ecuaciones se tiene que: a= 60° y ~= 40',

luego, el área (A) del segmento CIrcular sombreado de la figura es:

A = A",mer.",oW - A7¿,,¡;

, 60° 4 cm- 213 cm ( 8 í. \A=rr·(4cm) 0-- = -rr-4v3 Icm'

360° 2 3 )

Circunferencia v circulo 2L, -

Page 126: Preparacion Psu de Matematica SM

....... '

Ejercicios propuestos

1. Calcula el área (A) de los siguientes círculos de centro O.

a. é) b8(A= J ~

c.

~O:m[ A· 'll \A= j

2. Calcula el área (A) de las regiones sombreadas en los círculos de centro O.

a. S b'E) @Icm

4cm

c.

a =45°r=3cm

m( <rAOB) = 30°'AB=12rrcm

A=L

A= A='--------_._-----_.

lit[!] Marca la alternativa correcta.

1. En la figura, DA y CA son semicircunferencias de centros C y B, respectivamente. Si AD = 10 cm, «uál es elárea de la región sombreada?

A) 3, 125rr cm'B) 6,25rr cm'C) 9,375rr cm'D) 12,5rr cm'E) 25rr cm' 8

A ( D

2. En la figura, EA, EC y AC son semicircunferencias de centros C. D y B, respectivamente. Si AE = 8 cm, «uales el área de la región sombreada?

A) 4rr cm'B) 6rr cm'C) 8n: cm'D) IOn: cm'E) 16rr cm'

A

250 CLAVE· Matemática

c.

]¡a""'O

;Qe"r:-i'jí,",'g-~g.,.~o.:'~..~1.c.t~

4. Ángulos y circunferencia

~ Angulo del centro: es aquel ángulo cuyo vértice coincidecon el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la

. circunferencia. [email protected],el <COB es un ángulo de! centro ysubtiende al arco CB.

~ Angula inscrito: es aquel ángulo cuyo vértice pertenece a lacircunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia. En lafigura, el <COB es un ángulo inscrito y subtiende al arco Cs.

~ Angulo semi inscrito: esaquel ángulo cuyo vértice pertenecea la circunferencia, uno de sus lados es una cuerda y el otro esuna recta tangente a la circunfer~cia. En la figura, el <FAE essemi inscrito y subtiende al arco AE.

Anguloinscrito

TeoremaSi un ángulo del centro y un ángulo inscrito en unacircunferencia subtienden el mismo arco, entoncesla medida del ángulo del centro es el doble de lamedida del ángulo inscrito.

TeoremaSi un ángulo del cemro y un ángulo semiinscritoen una circunferencia subtienden el mismo arco,entonces la medida del ángulo del centro es el

! doble de la medida del angula semiinscrito.

@,;

Ejercicios resueltos

1. Si en la siguiente circunferencia m (AE) = 60°, «uál es el valor de a y 137

i) El <l:ACEy el <rABE son !:,scritos, Además,.....-----..-. ( ambos subtienden al AE Por lo tanto,

a=¡3

ii) Por otra parte, como m (AE) = óOc,

entonces m( <rAOE) = 600 (por ser ángulodel centro y subtender a dicho arco).

iii) Así, aplicando el teorema cue relacionaángulos del centro e inscritos en unacircunferencia, se tiene quem(dOE)=2a=2¡3

Finalmente, 2a = 213 = 60°. Por lo tanto,a= ~=30°

L.: :c--~ :_G ..1f'U:-' e:o de =c'rCl!·::e~..:~(!a U:-<t2-.2vaC0~3"i~ ~- se puede ,,:,c'c",'cor. '; ~: -oleCJC? 2'~~__.sr

.r>:\

=-:<::"Asi, la '71edidaang.lar de erarco q'_e esiá \UbW1C¡do p~,run án~l...;odel cen;: J que [7' :'2

(f. es o:

Circunferencia y cirCulO -1:

Page 127: Preparacion Psu de Matematica SM

e2. Si en la figura el <ABD es semiinscrito en la circunferencia de centro O, ¿cuál es el valor de a?

Como el <AOB es un ángulo del centro de la circunferencia que subtiendeel mismo arco (iíB) que el <ACB inscrito en ella, es posible aplicar el

teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro con las de losángulos inscritos que subtienden el mismo arco de la circunferencia.Así, setiene que m( <AOB) = 2m( <ACB) = 2 • 20° = 40°.

Ahora, si se aplica el teorema que relaciona la medida de un ángulosemiinscrito con la de uno del centro que subtienden un mismo arco decircunferencia, se tiene que m( <AOB) = 2m( <ABO) = 40°. Por lo tanto,m( <ABO) = 20°.

3. Si en la siguiente circunferencia de centro C se tiene que m(<lMO) = 60°, ¿cuál es la medida del <lKD?

Al aplicar el teorema que relaciona un ángulo inscrito con uno del centro yque subtienden el mismo arco de circunferencia, se tiene que:

o m«LCD) = 120°

M ya que m( <LMO) = 60° Y ambos subtienden el LO.

Por otra parte, es posible aplicar el mismo teorema, pero ahorarelacionando el <LCD (ángulo del centro) con el <LKD (angula inscrito).Así, se tiene que m( <LKD) = 60·.

4. Si en la circunferencia de centro E dibujada se tiene que la medida del <ONF es un tercio de la medida de unángulo extendido, «uál es la medida del <OFS?

N

252 CLAVE' • Miltp.m~tir:~

Como la medida del <ONF es untercio de la medida de un ánguloextendido, entonces:

m( <ONF) = 60°

Luego, m( <OEF) = 120° por ser unángulo del centro que subtiende elmismo arco que <ONF.

Además, se tiene que losángulos OEF(del centro) y OFS(semiinscrito) subtienden el

mismo arco (óF), por lo que es

posible aplicar el teorema querelaciona un ángulo del centro yuno semiinscrito. Así, se tiene quem( <OFS) = 60°.

Todos los ángulos Inscritosen una circunferencia quesubuendan el mismo arco tendránIgual medida.

~

,i3'1Q .

A B

CI.=p=y

.~.

:ti

i Ejercicios propuestos

1. la siguiente ~rcunferencia tiene centro O y AD es diámetro. Si la medida angular del AB es 60·,la del DEes15° y la del FA es 50°, calcula:

a. m«DOE)

E b. m«EOF) =

Al Vr=:= ID c. m«COB)-

d. m(EA) =

e e. m(DB) =

f. m(BC) =

I:m Marca la alternativa correcta (considera las circunferencias de centro O).

1. Si AD es diámetro y m( Be) = m (éD) = 40°, «uéles el valor de x e y?

A) x = 50· e y = 20°B) x = 50° e y = 40°C) x = 50° e y = 80°O) x = 100° e y = 20°E) x = 100° e y = 40°

@'Q'DA

ye

B

2. Si la medida angular del AB es 60° y m( <DOA) = 1200, las medidas del <DEA y del BD son,respectivamente: E

A) 60° Y 120° VJcB) 60° Y 180°C) 60° y 240° Q ID) 120° Y 120°E) 120° Y 180° A B

3. SiAO es diámetro y la medida angular del BD es 60°, ¿cuál es el valor de x e y)

A) x = 30° e y = 30°B) x = 60° e y = 60°C) x = 60° e y = 120°D) x= 1200ey=60°E) x = 120° e y = 120°

~<3])"B

4. Si AC es tangente a la circunferencia en A y m( <l:CAB) = 300, «ual es la medida angular de BA?A) 60°B) 120°C) ISO·D) 300°E) 330·

e

Circunferencia y circulo -.1

Page 128: Preparacion Psu de Matematica SM

5. Relaciones métricas en la circunferenciat ~.~

Un ángulo interior a una' circunferencia es aquel que se forma por la intersección de dos cuerdas; mientrasque un ángulo exterior a una circunferencia es aquel que se forma por la intersección, fuera de ella, de dosrectas secantes. .

TeoremaEn toda circunferencia, la medida de un ángulointerior a ella es igual a la semisuma de lasmedidas angulares de los arcos que subtiendensus lados y la prolongación de ellos.

~'0c m (SA) + m(éD)a =~'-----'---"-

2

TeoremaSi dos cuerdas se intersedan en un puntointerior a una circunferencia, el producto de laslongitudes de los segmentos de una es igual alproducto de las longitudes de 105 segmentos dela otra.

M'® NA-AQ·PA-A"

p Q

TeoremaEn toda circunferencia, la medida de un ánguloexterior a ella es igual a la semidiferencia de lasmedidas angulares de los arcos que subtienden loslados del ángulo.

~~.

13= m (rn)-m(iE)2

TeoremaSi desde un punto P cualquiera, exterior a unacircunferencia, se trazan dos rectas que la intersedanen dos puntos cada una, entonces los productos delas distancias desde P a los puntos de mtersección decada secante con la circunferencia son iguales.p®

x PM • PX = PQ • PT'0 Q

M

Ejercicios resueltos

1. En la circunferencia de centro 0, si la medida angular del DC es 40° y m( <J:AEB)= 70°, ¿cuál es la medidaangular del AB?

El <J:AEBes interior, ya que sus lados son cuerdas de la circunferencia dibujada. luego:

e m(Dc}m(ÁB)(J) m(<J:AES)o 2

~E _

400+m AS _A 8 Así: 70' 2( )~m(AB)=IOO'

2. Si en la circunferencia de centro 0, DA = 7 cm, ED= I A cm, EC= 1,6 cm, ¿cuál es la longitud del segmento CB?Como E es exterior a la circunferencia y EAY ES son secantesa ella:

,~8,4 ·1,4=1,6(x+l,6)

11,76 = 1,6x+ 2,56

9,2=1,6x5,75=x

Así, la longitud del segmento CB es 5,75 cm.

~_C.LAVE . Matemática

e-o'uu;;¡ I --oe~;;¡,.

'"er .." I ~~a.

":? I <;Vl

'"'"e.~ 1 ~a- -<O

%¡¡

>~~

Ejercicios propuestos

1. Analiza cada circunferencia de centro O. Luego, responde según corresponda.

a. Sim(SA)=5X + 200, m(Ii)=35°Ym( <J:SEA)= 30°, «ual es la medida del BA?

b. Si m( <J:ADB)= 95° Y m( Be) = 150', ¿cuál es lamedida del <J:CED?

o e

A

c. Sim( EA 1= 11 0° Y m( <J:8FD) = 75°, ¿cuál es lamedida del <J:ECA?

e

d. ¿Cuáles el valor de XI

e. En la figura, XY es diámetro y el radio de lacircunferencia mide 35 cm. Si AY = 14 cm yWA = 21 cm, ¿cuál es el valor de 3W

f. I\IP.l AS, AC = 7 cm, CP = 3 cm yMP esdiámetro. ¿Cuál es el área de la circunferencia)

A./,\1 I e j

e i!!;..3

g. SiAP es diámetro, AS = 6 cm, SP= 8 cm,PQ = 6 cm y TQ = 4 cm. ¿cual es la longituddeSTl

r->:U' Q

h. Si 'MV = 6 cm, Xl = 4 cm y XK = 3 cm, «uaíesson las longitudes de LA y K8 si W es punto detangencia)

B

w

Circunferencia y circulo ..l:i

Page 129: Preparacion Psu de Matematica SM

Instrucciones1. Esta prueba consta de 18 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A, B, C,

D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2. Dispones de 40 minutos para responderla.

Ángulos y rectas

l. Si LJI L" L, .u,Y ~ =40°, «uél es el valor de ~ + y?L. L,

A) 40°

B) 50°

C) 80°

D) 90°

E) 1000

L," "" le ..,\ .,

L¡ •• " _ ')( •. •

2. En la figura, L, II L" Y CG.l L" ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) a. = 60° ~A

B) ~= 1200

C) El L\CIG es isósceles L. ..--- OD) ~ABD Y <tEIG son adyacentesE) m(~ASD) + m(~CGI) = 90' L.

t

3. En la siguiente figura, L, II L,. Si ~ y y están en la razón 1 : 2 y suman 180°, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. L\ECD es equilátero

11. MSE es equilátero111. ~= 1200

D) Solo 1 y 11l.A) Solo 1

B) Solo 11 E) 1,11 Y 111C) Solo 111

L.

4. Entre los ángulos definidos por dos rectas paralelas cortadas por una transversal, determina cuál(es) delas siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s):

1. Las medidas de los ángulos adyacentes suman 1800.

11. Los ángulos opuestos por el vértice son de igual medida.

111. Como máximo se forman dos medidas de ángulos diferentes.

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

D) Sololyll

E) 1,11 Y 111

\O, 256 CLAVE· Matemática

Triángulos y elementos secundarios

MI

5. Si en un t.ABC isósceles y rectángulo en C se traza la bisectriz del ~ACB, entonces los triángulosresultantes son:

A) Equiláteros

B) Isósceles rectángulos

C) Isósceles obtusángulos

D) Redángulos escalenos

E) Redángulos equiláteros

6. En el triángulo ACB, CD es altura y AE biseca al ~CAB. Además, m( <rFCA) = 30°. ¿Cuál es el valor de ~?B

A) 400

ª~f B) 90°'v'". q '1100r, .

D) 1200

E) Falta información

A

e-O'0u:J

'O

[I ~~

ile'O

~5-

I,:2 :;;<fl

'"•eo'0

I ~'Óur -¡¡

1L!

7. En la figura, el MBC es isósceles de base Aii. Si CD es altura, BE biseca al <rCBA y m( <tBAC) = 80',«uál es la medida del <tBEO

e..A) 40°

B) 50°

C) 80°

D) 1300

E) 1700

Al ID

8. En el triángulo ABe. CF es altura y CG biseca al <tACB. ¿Cuál es la medida del ~FCG?

A) 20°

E) 15°

C) 50°

D) 70°

E) 100'

e

~.A F G 8 o

..E

Perimetro y área

9. En la figura, el cuadrado ADCB y el triángulo equilátero EBC tienen un lado común que mide 7 cm.¿Cuál es el perímetro de la figura ADCEBJ

A) 21 cm

B) 28 cm

C) 35 cm

D) 42 cm

E) 49 cm

( \ e

A D

Ensavo ternáüco- PSU 25,

Page 130: Preparacion Psu de Matematica SM

,·111l.

.]',.,.,'·.n"..p' .•.•• ",'7 ~ ..

10. Si el área de un cuadrado se reduce a la mitad, entonces el perímetro:

A) aumenta al doble.B) disminuye a la mitad.C) aumenta, pero no necesariamente al doble.D) disminuye, pero no necesariamente a la mitad.E) disminuye a la cuarta parte.

Teorema de Pitágorasy cuadriláteros

11. En el rectángulo ABCO de la figura, AB = 15 cm y BC = 8 cm. Si el área del ACBE, rectángulo en B, es32 cm', ¿cuál es el valor de DB + BE?

A) 8cm o eB) 17 cm

I ~,C) 21 cmD) 23 cm A BE) 25 cm

12. Si la medida de 105 lados de un cuadrado es (x + 7) cm y su área es 100 cm', «ual es el valor numérico dex' + 47

A) 3

B) 10C) 13D) 55E) 328

13. En el paralelogramo ADCB, si m( 4:DAN) = 30°, «uál es la medida del 4:ABC?

N w A B~ w ofl 7C) w~ 12if

~ O~~~ N e

14. El rectángulo IJKl está compuesto por 105 triángulos rectángulos IJM, MKL Y MLI. Si ~ = 35°, «ual es elcomplemento de a.7

A) W

B) 45°e) 55°D) 125°E) lW M

••.••• 258 CLAVE. Matemática

15. La figura está formada por los cuadriláteros ABCO y DEFG.¿Cuál(es) de las siguientes afirmacioneses (son) siempre verdadera(s)7

1. ~=IW

11. BC.lDF111. AeHF es equilátero

A) Solo IB) Solo 11C) Solo I y 11D) 1,lIylllE) Ninguna de las anteriores

A

Circunferencia y círculo

16. La figura está formada por tres semicircunferencias. Si AD = DC y AC = CB, y la longitud del segmento ABes 4 cm, «ual es el perímetro de la figura sombreada?

.., . A) 1,5rc cmB) 3rc cme) (1,5rc + 1) cmD) (311:+ 1) cmE) (611: + 1) cm A o e B

e I18.

s -u

~2a.

I~ ~,.."-o.s I:¡;

~~

~I ;¡

~o-o'Ó I ."U\@

4:.

17. En la circunferencia de centro E, si a. + ~ = 68°, «uál es el valor de y7G

A) Ir

B) WC) 51°

D) 68°E) 136°

En la circunferencia de centro J, los puntos K, J Y M son colineales (pertenecen a la misma recta).Si e = o - 40°, «uál es el valor de 07

A) 20°B) 40°e) 50°

D) 80°E) lW

M

Fn<"vn tp.m:Hir.n· PSII ?'i

Page 131: Preparacion Psu de Matematica SM

I I

IB~~!

Como L, .L L., o. = 90°. Luego, al considerar el ángulocorrespondiente al de ~ = 40°, ya que L,// L" Y a queo. + ~ +t= 180°, se tiene que ~ +t= 90°

L,

L,

L,

Distractores:

A) No se calculó el valor de p + y, sino que solo seconsideró ~ = 40°.

B) No se calculó el valor de p + y, sino que solo seconsideró y = 50°.

C) Se cometió un error al asumir que p y y sonambos de 40°. De esta forma, f) + y se calculócomo 40° + 40° = 80°.

E) Se calculó correctamente que y = 50°, pero secometió un error al asumir que ~ = 50°. Luego,~ + y se calculó como 50° + 50° = 100°.

O' CLAVE E

Como L, // L" CG ..1 L" de las propiedades detriángulos se obtienen los siguientes datos:

Entonces, como m( <tABO) = 30° Y m( <tCGI) = 60°,m( <tABD) + m( <tCGI) =90°.

Distractores:

A) Por ser <tABO y <tGIC correspondientes, se tieneque a = 30°. Por lo tanto, la afirmación es falsa.

B) Como ~ + 30° = 180° ~ ~ = 150°. Por lo tanto, laafirmación es falsa.

?Rn rl 11\1f= • M~tom!ltir;¡

q Las medidas de los ángulos interiores del t>ClGson 30°, 60° Y 90°, luego, este triángulo esescaleno. Por lo tanto, la afirmación es falsa.

D) Los ángulos ABO y EIG no tienen un lado ni vérticeen común; luego, no son adyacentes. Por lo tanto,la afirmación es falsa.

DI'" , CLAVE O1-·'t.

Como p y y están en la razón 1 : 2, entonces y = 2p.Además, ~ + y = 180°, entonces:

p +y= 180°

P + 2~ = 180°. 3~ = 180°

~ =60°

Así, y= 2~ = 120°.

Por otro lado, como L, // L" por correspondencia deángulos, en la figura se tiene:

L.

En (1) se afirma que el t>ECD es equilátero. Por losdatos obtenidos en la figura, se tiene que la medidade cada ángulo interior de dicho triángulo es 60°,es decir, el triángulo es equilátero. Por lo tanto, laafirmación es verdadera.

En (11) se afirma que el MBE es equilátero Por losdatos obtenidos en la figura, se tiene que la medidade cada ángulo interior de dicho triángulo es 60°,es decir, el triángulo es equilátero. Por lo tanto, laafirmación es verdadera.

En (111) se afirma que ~ = 120°; sin embargo, en elcálculo inicial se obtuvo que ~ = 60°. Por lo tanto, laafirmación es falsa.

Oistractores:

A) Esta alternativa es incompleta, ya que soloconsideró la afirmación (1), pero no la (11), quetambién es verdadera.

i:};¡.¡~*~,t'R'

i.!*

.,-:-;~

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B) Esta alternativa es incompleta, ya que soloconsideró la afirmación (11), pero no la (1), quetambién es verdadera .

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró laafirmación (111), que es falsa.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que considerótodas las afirmaciones como verdaderas, pero yase determinó que (111) es falsa.

CLAVE E

Dadas las rectas L, y L, paralelas y L, una rectatransversal. la figura que representa el enunciandodel ejercicio, aplicando las equivalencias de ánguloscorrespondientes, puede ser

L,

\ P/ul •.t, .U7p

p/U

L, p

En (1) se afirma que entre los ángulos definidos pordos rectas paralelas cortadas por una transversal. losángulos adyacentes suman 180° Esta afirmación esparte de la definición dé ángulos adyacentes; por lotanto, la afirmación es verdadera.

En (11) se afirma que entre los ángulos definidos pordos rectas paralelas cortadas por una transversal, losángulos opuestos por el vértice son de igual medida.Esta afirmación es parte de la definición de ángulosopuestos por el vértice; por lo tanto, la afirmación esverdadera.

En (111) se afirma que entre los ángulos definidospor dos rectas paralelas cortadas por una transversal,corno máximo se forman dos medidas de ángulosdiferentes, lo que al observar la figura, se puede verclaramente. En un caso particular pudiera ocurrir quetodos los ángulos sean rectos, pero esto no tienecomo consecuencia la veracidad de la afirmación. Así,esta afirmación es verdadera.

Distractores:

A) Esta alternativa es incompleta, ya que solo incluyóla afirmación (1), y no las afirmaciones (11) y (111),que también son verdaderas.

•••••B) Esta alternativa es incompleta, ya que 5010 incluyó

la afirmación (11), y no las afirmaciones (1) y (111),que también son verdaderas.

C) Esta alternativa es incompleta, ya que 5010 incluyóla afirmación (11I), y no las afirmaciones (1) y (11),que también son verdaderas.

O) Esta alternativa es incompleta, ya que 5010 incluyólas afirmaciones (1) y (11), Y no la afirmación (111),que también es verdadera.

D :'/'~:Gí;:)J~~Lt:yÉij'2~;~-,;::~!:¡~t:ft~En la siguiente figura, que representa el enunciado dela pregunta, el MBC es isósceles y rectángulo en C.Por lo tanto, las medidas de sus ángulos basa les son45° cada uno. Además, como el MBC es isósceles, labisectriz del <tACB es perpendicular aliado AB.

45'

eEntonces, los triángulos AOC y CDB son isóscelesrectángulos.

Distractores:

A) Un triángulo es equilátero si todos sus ángulosinteriores miden 60°. En este caso, las medidasde los ángulos interiores de los t-iangulosobtenidos son 45°, 45° Y 90°; por lo tanto, laalternativa es incorrecta.

C) Un triángulo es isósceles obtuséngolo si tienedos ángulos interiores de igual medida y unoobtuso, es decir, que sea mayor que 90' y menorque 180°. En este caso, ambos triéngulos poseendos ángulos agudos y uno recto; por lo tanto, laalternativa es incorrecta

O) Un triángulo es rectángulo escaleno si uno desus ángulos interiores es recto y los otros dos sonagudos y de distinta medida. En este caso, ambostriángulos poseen dos ángulos agudos de igualmedida; por lo tanto, la alternativa es incorreáa.

MrY1"~mip.nln• PSlI ¿f)

Page 132: Preparacion Psu de Matematica SM

11 iE) No existe un triángulo rectángulo que sea

equilátero, ya que tiene un ángulo interior quemide 90°, yen un triángulo equilátero todos susángulos interiores miden 60°. Por lo tanto, laalternativa es incorrecta.

":i;;¡l.r§;W;í,I''''~~C~ñ='~~S'~~","¡frl...~~~~.:...~~~

De acuerdo a los datos del enunciado, se tiene lasiguiente figura:

e

A

Como la suma de los ángulos interiores de todotriángulo es 180°, es posible afirmar quem(dCD) = 50°. Asimismo, m(<x:CAB) = 60°.Además, como el segmento AE biseca a este últimoángulo, se tiene que:

B

e

A

Finalmente, en el triángulo ACF se tiene que p = 120°.

Distractores:

A) Se cometió un error al asumir que como losángulos ABC y AFC son opuestos al mismo ladodel triángulo CBA, tienen la misma medida. Así, serespondió que ~ = 40°.

B) Se calculó correctamente que m( <x:CAB) = 60°,pero se cometió un error al no bisecarlo y seconsideró que el <rCAF mide 60°, obteniendo elsiguiente triángulo:

F

e

A

Por lo que se respondió p = 90°.

~ _ _ 262 CLAVE· Matemática

C) Se cometió el error de considerar que el segmentoCD biseca al <rBCA. Así, se asumió quem(<x:FCA) = m(<x:ECF) =30°, obteniendo lasiguiente figura:

B

A

Por lo que se respondió p = 110°.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que los datosentregados son suficientes para resolver elejercicio.

11.:;',~~...: '/:~·::~LA.vED:', . "l.

Sea x la medida del ángulo BEC e y la de su ánguloadyacente DEB. Así, de acuerdo a los datos delenunciado, se tiene la siguiente figura:

e

B

Como el8.ABC es isósceles de baseAB~ntoncesm( <x:CBA) = m( dAC) = 80°, Y como CD es la alturade dicho triángulo desde el vértice C, entonces CDtambién es su bisectriz.

Luego, se tiene:e

B

Por lo tanto, como la suma de las medidas de losángulos interiores de un triángulo es 180°, se tieneque y = 50°. Finalmente, como x + y = 180°, por serlas medidas de dos ángulos suplementarios, se tieneque x = 130°, es decir, m( dEC) = 130°.

f;'

1-

eg~.~-oeo-!!¡¡'"-o

~o.I

':2VI

~'0

'"uJ

9.-,"'1-"..

Distractores:

A) Se calculó correctamente que y = 50°, perose cometió un error al calcular x como elcomplemento de y. De esta forma, se respondióque x es 40°.

B) Se calculó solo el valor de y, respondiendo quex es 50°.

C) Como los ángulos BAC y BEC tienen como ladoopuesto al segmento BC, y m( <x:BAC) = 80°,se asumió erróneamente que deberían tener lamisma medida. De esta forma, se contestó quem( <x:BEC) también es 80°.

E) A partir de que los ángulos basa les del 8.ABCtienen igual medida, se cometió un erroral asignar las medidas de dichos ángulos,obteniendo la siguiente figura:

c

A D

Luego, en el triángulo DBC se tiene que y = tO°,entonces, x = 170°. Por lo tanto, se contestó quem(dEC)= 170°

CLAVE A

Sea x la medida del ángulo FCG. Según los datos delenunciado, se tiene la siguiente figura:

e

~\ A F G B D"

Entonces, en el MBC, m( <rACB) = 100°, Y como Ccesbisectriz, se tiene que m( <rACG) = m( <rGCB) = 50"'

Luego, las medidas de los ángulos interiores del ¿l.FBCson 90°, 20· Y x + 50·. Por lo tanto:

90° + 20° + x + 50° = 180°

x + 160°= 180·

x=20°

Finalmente, m( <x:FCG) = 20·.

Distractores:

B) Como CG es bisectriz, se cometió un error alconsiderar que la medida del <x:FCB es 50°,respondiendo que x es 25°.

C) Como m( <rACB) = 100· Y CG es su bisectriz, seasumió erróneamente que x también es 50° .

D) A la m( <x:FCG) = 20°, se le sumaron los 50° de lam( <rGCB), y se obtuvo 70·.

E) Solo se calculó que m( <rACB) = 100°, sinanalizar la pregunta del ejercicio.

D CLAVEC

Como ADCB es un cuadrado y ~EBC es equilátero,con un lado común de longitud 7 cm, se tiene:

E

7Ccs' ¡cmB Cz crn I

7Cff' ¡7cm

A ¡ cm D

Entonces, el perímetro P del po!igono ADCEB es

P = AD + DC + CE + EB + BA

P = 7 cm + 7cm + 7cm + 7 cm + 7 cm

P=35 cm

Distractores:

A) Solo se calculó el perímetro P del triángulo EBe

P = BC + CE + EB

P = 7 cm + 7 cm + 7 cm = 21 crr:

B) Solo se calculó el penrnetro P del cuadrado ABCD:

P = 4 . 7 cm = 28 cm

O) Se cometió el error de sumar, al perimetro P, lamedida del lado BC, que pertenece al interior delpoligono ADCEB y no a su perímetro, obteniendo:

P = AD + DC + CE + EB + BA + BC

P = 7 cm + 7cm + 7cm + 7 cm + 7 cm + 7cm

P = 42 cm

E) Se calculó el perímetro de ambas figuras porseparado y, erróneamente, se sumaron dichosresultados sin restar dos veces la Io.ngitud del ladocomún, obteniendo:

P = 21 cm + 28 cm = 49 cm

Modelamiento • psu 26

Page 133: Preparacion Psu de Matematica SM

1111

..·.1.

~q~~Sea un cuadrado de lado a. Luego, su área A y superímetro P son:

A =a' y P=4a

Si el área disminuye a la mitad, su expresión seráa2

A = -. Entonces, la medida de cada uno de sus lados2

es h' Por lo tanto, el perímetro P de un cuadrado de

alado r:: es:

"2 aP=4· -=2J2a=28a

J2 •

Es decir, el perímetro disminuyó de 4a a 2,8a.

Distradores:

A) Se consideró correctamente que en un cuadradode lado a, se tiene que:

A=al y P= 4a

Sin embargo, al reducir su área a la mitad seconsideró, erróneamente, que esta nueva área se

representa por ( %r dando como resultado que

la longitud del lado del nuevo cuadrado es ~. Así,2

al calcular el perímetro de este nuevo cuadrado seobtuvo 2a.

Finalmente, al comparar erróneamente 2a conla longitud del lado a del cuadrado inicial, serespondió que aumenta al doble.

B) Se realizó el mismo error señalado en A),obteniendo como perímetro 2a. Sin embargo, secomparó este valor con el perímetro del cuadradoinicial4a, y se respondió que este disminuyó a lamitad.

C) Se calculó correctamente que el perímetro delnuevo cuadrado, reducida su área a la mitad, es:

P=4· h=2J2a=2,Ba

Sin embargo, se comparó erróneamente, estevalor con a, que corresponde a la longitud del ladodel cuadrado inicial, respondiendo que aumenta,pero no necesariamente al doble.

264 r.1 AVF • M;,tpmAlir_

E) Si el perímetro de un cuadrado disminuye a lamitad, entonces, efectivamente, el área disminuyea la cuarta parte. Pero en este caso, es el área laque disminuye a la mitad y no el perímetro.

m!~l?ir~;(:~~i11~<;}~~~tg::drK!0~!i~De los datos se tiene la siguiente figura:

o ([ .rnL15cm B

Como el área de .óBEC es 32 cml y su altura h es 8 cm,entonces:

BE· h-=A

28, BE--cm=32cm'2

BE=8cm

En el rectángulo ASCO, la longitud de la diagonal OBse obtiene al aplicar el teorema de Pitágoras en eltriángulo rectángulo de catetos 8 cm y 15 cm:

OB'=15l+8'

DB' = 225 +54

OB' = 289

DS = .J289

08=17

Es decir, DB = 17 cm. Luego:

OB + BE = 17 cm + 8 cm = 25 cm

Distractores:

A) Solo se calculó que BE = 8 cm.

S) Solo se calculó que DB = 17 cm

C) Se cometió un error al calcular la medida de BEa partir del área de .óSEC. Como dicha área es32 cm', se omitió la división por 2 en la expresióndel área de un triángulo, obteniendo queBE = 4 cm. Luego, DB + BE se calculó como:

17 cm + 4 cm = 21 cm

D) Sin analizar lo que pedía el ejercicio, se calculó:

15 cm + 8 cm = 23 cm

~$..< .'..

e-oI'0u~-o

K I ~~~~~~E I .~o-

;:¡ I <Vl~~o

I-o ~:.o'Oi -@

m"::'" :'éLAVE e <:',:r?1~;1:t~El área A de un cuadrado de lado a es al. En este caso,la longitud de cada lado del cuadrado es (x + 7) cm,entonces el área se representa por (x + 7)2 cml, es decir.

(x + 7)l = 100

x+ 7=10

x=3

Por lo tanto, el valor numérico de Xl + 4 es:

3' + 4 = 9 + 4 = 13.

Distradores:

A) Solo se calculó que x = 3.

B) Erróneamente, se calculó el valor numérico dellado del cuadrado: x + 7 = 3 + 7 = 10.

D) En la resolución de la ecuación (x + 7)' = 100,se aplicó erróneamente el cuadrado de binomio,obteniendo x' + 49 = 100, Y luego al despejar seobtuvo:

X' = 100 - 49

x' =51

x=J5i

Entonces, el valor numérico de Xl + 4 es:

(J5i)' +4=51+4=55

E) Se consideró erróneamente que el perímetro es100 cm', y a partir de la expresión de perímetro deun cuadrado se tiene que:

4(x + 7) = 100

4x + 28= 100

4x=72

x=18

Entonces, el valor numérico de X' + 4 es:

18' + 4 = 324 + 4 = 328

m .:'~"~~~ :~:.~;~~~~~De los datos del enunciado se tiene la siguiente figura:

A Boo N (

Por lo tanto, m( <::DAB) = 120". Como ADCB esun paralelogramo, sus ángulos consecutivos sonsuplementarios, es decir, X + 120° = 1Bif. entonces,x = 60°. Finalmente, m( <LABC) = 60°.

Distractores:

A) Esta alternativa corresponde a la medida delángulo DAN.

C) Se consideró, erróneamente, que el paralelogramocumple con las caracteristicas de un rectángulo.Por lo tanto, la medida de cualquiera de susángulos interiores es 90°.

O) Se cometió el error de asumir que los ángulosconsecutivos en un paralelograrno son congruentes.Por lo tanto, como m(~DAB) = 120°. se contestóque la medida del ángulo CM también es 120°

E) No se reconocieron las propiedades de loscuadrilateros o se cometió algún error de cálculodistinto a los ya señalados.

m OAVEA

De los datos del enunciado se tiene la '>iguiente figura:

ts:JjJ M K

B angula KM] es extendido, entonces m( ~KML) = 55°.Los lados ¡y iK son parale!os; por lo tanto, <::ILM y<::KML son alternas internos. Así, m( -rlLM) = 55°.

Luego, a = 55°. Finalmente, su complemento es 35°.

MoóP.lamem· PSlJ 2f

Page 134: Preparacion Psu de Matematica SM

111 ~

Distradores:

B) De la figura se asumió erróneamente que LM esbisectriz del ángulo recto ILK, obteniendo quea = 45°. Por lo tanto, su complemento es 45°.

C) Solo se calculó que a. = 55', pero no sucomplemento.

D) Se calculó el suplemento de a. = 55°, obteniendo125°, pero no el complemento, como se pedíaen el ejercicio.

E) Se cometió el mismo error que en B),obteniendo que a. = 45°. Luego, se cometióun segundo error al calrular su suplemento,obteniendo 135°.

m CLAVE E

A partir de la figura se puede asumir, erróneamente,que los cuadriláteros ABCO y DEFGson cuadrados,pero esto no se señala en el enunciado.

En (1), se afirma que ~ = 135'; sin embargo, paraque esto ocurriera, los cuadriláteros deberían sercuadrados, de esta forma:

G~ ~

(

A

Entonces, ~ = 135'. Por lo unto, la afirmación nosiempre es verdadera.

En (11),se afirma que BC .lOF, pero para queesto ocurriera, el cuadrilátero ABCO debería ser uncuadrado. Por lo tanto, la afirmación (11)no siemprees verdadera.

En (111),se afirma que el triángulo CHF es equilárero,sin embargo, no hay datos suficientes como parajustificar la veracidad de esta afirmación. Por lo tanto,la afirmación no siempre es verdadera.

266 CLAVE· Matematica

Distradores:

A) Estaalternativa es incorrecta, ya que la afirmación(1) no siempre es verdadera.

B) Estaalternativa es incorrecta, ya que la afirmación(11)no siempre es verdadera.

C) Estaalternativa es incorrecta, ya que lasafirmaciones (1)y (11)no siempre son verdaderas.

D) Estaafirmación es incorrecta, ya que ninguna delas afirmaciones es siempre verdadera.

m CLAVE C

Con los datos del enunciado, se tiene lo siguiente:

~~

AlcmOlcm( 2cm

Sean 51, 52 Y 53 las semicircunferencias de la figura,desde la de menor a mayor radio. Para calcular elperímetro de la figura sombreada se deben sumarlos semiperímetros (P) de las circunferencias quecontienen a S1Y 52 y la medida del segmento DeLos radios para SI y 52 son r¡ = 0,5 cm y r, = 1 cm,respectivamente. Entonces, los semiperímetros son:

1 ¡¡pera Sl.P =-·2m=rer=-cm.

s 2 2

1para52:P =-·2m=rer=¡¡cm.s 2

y como DC = 1 cm, el perímetro P de la figurasombreada es:

(re) ( 3¡¡ Ip= '2+re+1 cm= 2'+lrm=(1,5¡¡+I)Cm

Distractores:A) Solo se calcularon 105semi perímetros de las

circunferencias que contienen a SI Y 52, perono se agregó la longitud del segmento De. Deesta forma, se respondió erróneamente que elperímetro de la figura sombreada es 1,5recm.

B) Se cometió el error de sumar los perímetrosde las circunferencias que contienen a S1 Y 52.

e-o] I2 ~~¡¡;,

-c

~E

1fo.

r,~ 1-¡fJ~o'" I ;o'0.~ "".", -(i~

-:.¡~i..e.

Además, no se consideró la longitud del segmentoDC, obteniendo que el perímetro de la figurasornbreada es:

(n + 21t) cm = 31t cm.

D) Se cometió el error de sumar los perímetros de lascircunferencias que contienen a S1 Y 52. Luego, sesumó la longitud del segmento De. De esta forma,el perímetro de la figura sombreada es:

(n + 2¡¡ + 1) cm = (3¡¡ + 1) cm.

E) Se cometió un error al considerar los radios comor, = 1 cm y r, = 2 cm. De esta forma, el perímetrode la figura sombreada es:

(21t + 4rr + 1) cm = (6rr + 1) cm.

m . CLAVE D

Como los ángulos de medida a y ~ son ángulosinscritos que subtienden el mismo arco FG,entoncesson de igual medida. Luego, a = ~ = 34°, ya quea + ~ =68°.

Por otro lado, como el ángulo del centro FEG,cuyamedida es y, también subtiende al arco FG,dichamedida es el doble de la medida de un ángulo inscritoque subtienda su mismo arco. Así,y= 68', que es eldoble de a y de p.

Distractores:

A) Se calculó correctamente que a. = p = 34°, perose cometió un error al calcular y como la mitad de34°. Por lo que se respondió que yes 17°.

B) Se asumió erróneamente que la medida deun ángulo inscrito es la misma que la medidadel ángulo del centro que subtiende el mismoarco. Luego, como a = p = 34°, se respondióque y es 34°.

C) El valor de y se obtuvo, erróneamente, al sumar34° y Ir. Entonces,se respondió que el valor deyes51°.

E) Se consideró erróneamente que los 68'correspondían a la medida de un solo ángulo. Porlo tanto, como la medida del ángulo del centroque subtiende al mismo arco es el doble, serespondió que yes 136°.

Ir] •.~~:~:;i~CLAVED'R~1l1tJ%~~JComo f = 0- 40° Y el t1KJL es isósceles de base iQ(por ser i(jy ¡¡: radios de la circunferencia de centro J),se tiene la siguiente figura:

Como o es la medida de un ángulo del centro,entonces es el doble de la del ángulo inscrito MKL,que subtiende el mismo arco, es decir:

0= 2E

Además. como E = 8 - 40°, entonces o = f + 40°, Yal considerar o = 2f, se tiene:

E + 40' = 2E

e = 40°

Por lo tanto, 8 = 80°

Distractores:

A) Se cometió un error al asumir que 8 es la mitad deE = 40°. Entonces,se respondió que 0=20°.

B) Solo se calculó el valor de f = 40'.

C) A partir de f. = 40°, se cometió un error alconsiderar los ángulos de medidas E y 8 comocomplementarios De esta forma, se contestó que8 = 50°.

E) Como 0= 80°, a partir de la relación de lasmedidas de un ángulo del centro y uno inscrito secalculó el doble de o = 80°, respondiendo 160'.

MN1PI:<miRntn. p~ 1 /1

Page 135: Preparacion Psu de Matematica SM

111I

1. Congruencia~.~."~;,~:~;~~;:l;3,:~J'0r~,¿¡::~~.~>~,-·--', '.

.:'¡ Do~ ~~r¡r.;.~Ia.n.~r~~ <pOgn.¡entes (=) si tienen la misma forma y las mismas dimensiones.l.~¡.'Et"~;1'1;~3,:~'~~%>\~,:::~z~~_~:-~"~:;::,'/¡';:(J',~~". r,,_ .

. . ,le!pgo:~¡~J%,;il.~.·.v .. ·, ~;:ir,'-,"" :~~,.. ,D . 'iJ>"'~ ., .··;'!;?'7:'~/~~·~,·;·>jC;:·::>.'···' d .• ;. I "

. e ' g G.. E e ( J I

. b B. a f

A F. .. ~~nj~ndo q~e:'

a=hb=iC=jd = fe=g

Entonces, las figuras son congruentes y se denota por:

AB=HIBC=UCD=JFDE=FGEA =GH

ABCDE=HUFG

Los vértices y lados que coinciden al sobreponer dos figuras congruentes se denominan correspondientes.En el ejemplo anterior, los vértices y lados correspondientes son:

I Vértices Lados

AyH AByHI

Be I BC e U

Cy J CDy JF

DyF DE Y FG

Ey G EAyGH

Ejercicio resuelto

1. Si ABC es un triángulo isósceles de base Be. BD = CD Y AD biseca al~BAC, demuestra que los triángulos ADB y ADC son congruentes. .~

"eo.i!!.ii1..~5.

i) 18 == AC y m( ~BO) = m( ~CD) por ser MBC isósceles de base se.ii) Por i) y como m( ~OAB) = m( ~DAC) se tiene que A

m(~BDA) = m( <l:CDA).

iii) Así, AB =AC, BO = CD Y AD (lado común). Además.m( ~ABD) = m( <l:ACD), m( dOA) = m( <l:CDA) ym( ~DAB) = m( <l:DAC).

Por lo tanto, MDB == MOC

• Para representar lacongruencia entredos o más figurases necesario queal escribirla semantenga el ordende correspondenciaentre sus vérticescorrespondientes.

B e

:2t/l

IDc:.·8 :~ti

268 CLAVE· Matemátir.a

Ejercicios propuestos

••••

1. Determina si los siguientes pares de figuras dibujadas sobre una cuadrícula son congruentes. Justifica turespuesta.

a. f:S1~I=-L.;.~,_~ .L,-----

b.

....~:-.-~:

c.

A~~ . ~

--i l~-------'

l

r~~----------------------------r

2. Aplicando las propiedades de 105 triángulos y sus elementos secundarios, resuelve los siguientes problemas.

a. Si FEHI es un rectángulo y Ei es una de sus diagonales, LlEFI =: .'lIHEI

[~2J'E H

b. El MBD es equilátero Si AB = DC y IJIJ es bisectriz del 4:CDA. tal que AN = NC, i.L'.DCN == -"DAN)

o

~------_.__ ._-----------,--- -- ._--~

e ~---------------------------------------_./c. En la figura. el ilUK es equilátero Si i]i Y jQ son alturas, ¿&,\10 =: ~MP)

Lv¡;,J

,.--

l------------------------------~r;nnorw~nri;::¡v 1r;::¡nc::::fnrm:1r:innp<:: ¡c:;nmiltrir~c:; ?F

Page 136: Preparacion Psu de Matematica SM

11 ~

I 2. Congruencia de triángulos~, ·'Y.:~'~:~g11~'r~z~1~\~:;~~;';j·:·~':.~":.'J ~\ ..;:'~'i.~-·.~¡;., __~"~g.:''''~C'i~r~)~~}'f ;.:' "¡<·YA',,>,./ ., !..

Paradeterminar si dos tnángulos son congruentes, bastacon comprobar alguno de los siguientes criterios, 'sin tene! .que determinar la congruencia entre todos SÚS elementos;

, ...• - "';Ir 't ~)

- ...•.•

Criterio III C ('

Dos triángulos son congruentes si ,6,,6, AB'A'B']las longitudes de sus tres pares de BC=B'(' MBC",M'BClados son iguales,

CA=C'A'

Criterio LAlDos triángulos son congruentes si c ('

tienen pos pares de lados de igual 66 BC·B'C' ]longitud y las medidas del par de c=c' MBC", M'B'Cángulos comprendido entre ellos,

CA=C'A'son iguales.A B A' B'

Criterio ALADos triángulos son congruentes c ('

si tienen dos pares de ángulos de aG b.b' ]igual medida y las longuitudes del BC=B'C' MBC",M'B'Cpar de lados comprendido entre

c=c'ellos, son iguales, A B A' B'

Ejercicio resuelto

l. Si los triángulos AECy BED son congruentes, demuestra que MCB '" LlBDA,

i) AC = BD, EC= ED Y AE= BE por ser MEC '" LlBED.ii) Como CB = EC+ BE; nA = ED + AE,Y además por i) se tiene que

EC= ED Y AE= BE,luego, EC+ BE= ED + AE.Por lo tanto, CB = DA,iii) Finalmente, por i), ii) Y AS lado común, y aplicando el criterio LLL,se

tiene que:

c o

MCB",I'.BDA

Otra manera de demostrar que MCB '" I'.BDA es la siguiente:

i) AE= EBY AC = BD por ser MEC '" I'.BED.ii) m(<tBAE) = m(<tEBA) por ser MBE isóscelesde base AS,iii) m( <tEAC) = m( <tDBE) por ser MEC '" I'.BED.iv) Luego: m(<tBAC) = m( 4:BAE) + m( <tEAC) y m(4:DBA) = m(4:DBE) + m(<tEBA),

Pero m(dAE) + m( <tEAC) = m(<tDBE) + m(4:EBA) por ii) y iii) Así, m(dAC) = m(4:ABD)v) Finalmente, considerando AS como lado común y aplicando el criterio LAL,se tiene que: MeB '" I'.BDA,

A

270 CLAVE· Matemática

,'j'0u~'O

~¡¡¡"'O~o:2''"~-

·3:.o;uJ "

9:"

Ejercicios propuestos•••

a,1, Identifica en qué casos los triángulos son congruentes, Para ello, escribe == o ,*,

e I'.HIG Y I'.JLKson triángulos equiláteros

b. I'.QVS es equilétero, ¿SoncongruentesLlRQSy 1'.T5m

Q s

txJ

M

e I'.MTN __ I'.STN

b.w

,~"u

I'.WZU LllJVW"--- '--~-------_ •.-. -- • .......-!

2, Resuelve los siguientes problemas,

a, ¿Soncongruentes los triángulosADC y BEOc

A D

,R

"6,,6,-"HGI __ -'>JLK

d8,~b,

L e

~B,~C ~FED

~-- -----._- _.~-- -- _ .. - ----- .._-- --------

'~-----

-.

I~--------------------~j

Conoruenoa v tran~f(lrm?r.lones l~nmMrir.;¡< ')7

Page 137: Preparacion Psu de Matematica SM

:111 ~I3. Identifica qué criterio permite demostrar la congruencia de los siguientes pares de triángulos. Justifica tus

respuestas.

a.

B

~2 cm e eA 3cm 4 cm B'

~A'

b.

K'

M,~~,m 96' ~L

56'96' M

L' 1 cmK

c.G'

G.>.~

F 3cm H

F'

1'-- J

4. Analiza la siguiente información. luego, demuestra las propiedades que se piden completando la tabla encada ejercicio.

Mediante los criterios de congruencia se puedendemostrar algunas propiedades de 105 polígonos.

Ejemplo: demuestra que en un paralelogramocualquiera los lados opuestos son congruentes.

Para esto, se traza la diagonal DB y se marcan losángulos que se determinan.

e~

272 CLAVE·Maternática

Afirmaóón Justificación

ADjjBCDefinición de paralelogramo.

ABjjDC

t=K Por ser ángulos alternas

11=9internos entre rectas paralelascortadas por una transversal.

DB lado común.

MBD:=ACDB Por postulado ALA.

AD=CB Porque 105 lados

AB=CD correspondientes de triánguloscongruentes son congruentes.

e<J

8:;¡-o~~:;¡<11

j I "~, ~::;¡<f>

'"1!o'0"6w

••a. Demuestra que en un paralelograrnocualquiera, los ángulos opuestos son congruentes.

,DeB

Afirmación Justificación

b. Demuestra que lasdiagonales de un paralelograrno se dimidian.

B e

\5<\A

Afirmación J~ficación

o

c. IHGFY FJHKson paralelogramos.Demuestra que AIJF:= AGKH.

F K G

L\ \1H

Afinnación Justificación

d. LMNOPQ es un hexágono regular Demuestra que ALOM := -,LOQ

M Q

N

o

Afirmadón JuStificación

Coroneroa y íraosíorrracones isornétricas -.1

Page 138: Preparacion Psu de Matematica SM

111I3. Transformaciones isométricas: traslación/"-~',¡:.~::~!~~t~i~g::~:~:_(~~;;.Y~~~.'r~~,-~.~t:~..~"~.,~<:,:~-,.~~,~:~~~~.,,-, ~ Una tránsformación isométrica es un movimiento en el ,

plano que mantiene la forma y tamaño de una figura, es -::.decir, la figura resultante es congruente a la inicial y sed,eriomiria figura homóloga o imagen. La inicial, en tanto, sedenomin~ figura origen..' '_ .. ;.;.

,. -....,:, :.}

~ Una traslación es una transformación isométrica que muevetodos los puntos de una figura según un vectar dado, es decir,según una dirección, un sentido yuna magnitud.

Por ejemplo, el cuadrilátero DCBA fue trasladado según elvector Ü. la dirección de la traslación está determinada parla recta que contiene al vectar; el sentido de la traslación esu'rlOde los dos sentidos posibles de la recta y está dado por la .punta de flecha del vectar, y su magnitud corresponde a la longitud del vector.

B' ,--'---1

1_ .. __J

I __._'---D~V-"" -ü -

r _L . _

_ -1

Ejercicios resueltos

1. En el plano cartesiano, al trasladar un punto P(x, y) según un vector ü = (a, b). sus nuevas coordenadas son(x + a, y + b). Observa las siguientes figuras y determina los vértices de las figuras homólogas.

a. En la figura, ü = (-2,1), Y los vértices del triángulo ABCson 105 puntosA(I, 2), B(2, 4) Y C(4, 3) Por lo tanto, las nuevas coordenadas de 105vértices son:

y~~

~Ll1 '

~ -1 o-1

(1 + (-2), 2 + 1)= (-1, 3)

(2 + (-2), 4+ 1)=(0,5)

(4 + (-2), 3 + 1) = (2, 4)

Así, 105 vértices de la figura homóloga son A'( -1,3), B'(O, 5) y ('(2, 4)4 X

b. En la figura, Ü = (O,-2) Y los vértices del triángulo ABCson 105 puntosA(-2, 4), B(I, 5) Y C(I, 2). Por lo tanto, las nuevas coordenadas de losvértices son:

(-2 + O,4 + (-2)) = (-2,2)

(1 + O, 5 + (-2» = (1,3)

(1 +0,2+(-2»=(1,0)

, Así, 105 vértices de la figura homóloga son A'(-2, 2), B'(I, 3) Y ('(1, O), -4 -3 -2

Observación: el vertor ü puede dibujarse en cualquier parte del planocartesiano, manteniendo sus componentes.

L _

274 CLAVE· Matemática

~.I;p.

e-o'8",'Oo"0.."';.~t;:":J

~.~'¡.

~";o:~1~;~;~:

el!;~.it·[:.,~.:~t;

2. Si los vértices de la figura homóloga son A'( -1, - ~). B'( ~, 1)' c( ~, ~ ) y D'( -4, ~} y los de la figura

origen son A( ~,- %). B(2, O),c(~,~)YD( -~, - ~). verifica que la transformación aplicada es una

traslación. De serio, ¿cuál es el vector de traslación ü = (a, b)?

Paradeterminar si se ha aplicado una traslación,se debe verificar que se haya utilizado un mismo vedar paratrasladar cada vértice de la figura ABCD,obteniendo así la figura homóloga A'B'(,D'

Así: A( ~+a,-~+b) = A'( -I,-~}

~+a= -1 ~a = -I-"!' ~a =-~2 2 2

-~+b= -..!. =o>b= -..!.+~~ b = I2 2 2 2

luego:

De manera análoga, es posible verificar que para cualquier par de vértices de la figura origen con su respecso

vértice homólogo se cumple Quea= - ~ y b = 1. .

Por lo tanto, la transformación aplicada efectivamente es una traslación, cuyo vectar de traslación es n = ( - ~, 1)'

Ejercicios propuestos

1. Determina en cada caso las coordenadas de los vértices de la figura homóloga.

a. b. JYOí

yI

6G

H/e

5 X-s -2 _1 o-1,

6 X

2. Verifica si la transformación aplicada es una traslación. De serio, determina el vector de traslación utilizado.

a. b.

Frgup- ongef1

8

c.

]

-Y_ + 3 . F¡g'_ra fT";il\("'l

Iiguraongen b __~flg~ ,-

~W

~ ~ , 2 :~,..: l':' ._-~- -----~ :-~

yJ ".::;~'~O".II":--~. O

F,gu:'ma¡;en. 3

, - 2

01 0.5 1 44.5X-s -2 -1 v"¡' 1 2 3 X_y1.5 _2"5 _1 01 o,; 1 2 X

'- ..--- -~--- - ~.~~ .._ .._.-

Congruencia y transformaciones isométr~2S_...-1

Page 139: Preparacion Psu de Matematica SM

11111

4. Transformaciones isométricas: rotación

Una ;~tación es una transformación isométrica que mueve lospuntos según un punto fijo llamado centro de rotación (D) y unéngulo de rotación (a), Se denotar~ R(O,ar

. ,

Lasrotaciones en sentido positivo se realizan en contra delmovimiento de los punteros del reloj; mientras que las que tienénsentido negativo, se realizan de acuerdo al movimiento de lospunteros del reloj,

En la figura, A'B'C' es la figura homóloga de ABC después de unarotación R(o,60")'

Ejercicios resueltos

It . .__ .~. _

J. Al óGFE de la figura se le aplica una rotación con centro en el origen según un ángulo de rotación de 900,Determina los vértices de la figura hornóloga

Al aplicar la rotación señaladasobre el óGFE se tiene:R,ow,P,-I)=(I,I)

R¡os,')( 1, 5) = (-5, 1)

R,o<;o.,(-2, 3) = (-3, -2)

Luego, los vértices del triángulohomólogo son G'(I, 1), F'(-5, 1)Y E'( -3, -2),

F, " .'\ 1: ) G'

E'

y

2 X

Lassiguientes rotaoonesconsideran :0010 centro derotaoón ai origen del planocartesiano', algunos ángulos

R • (\, " i= h, \1

R (\ :' = (-x, -y)

R ('( \', = (y, -xl

R (\, \' = (x, \)

2, A un triángulo de vértices A(-2, 1), B(O, 6) y C(-I, 2) se le aplica una rotación con centro en el origen delplano cartesiano con un ángulo de rotación de 180°, y luego otra rotación con centro en el origen y según unángulo de 90°. ¿Cuáles son los vértices de la figura homóloga final?

Pararesolver este problema, es posible realizar una rotación con centro en el origen del plano cartesiano y con unángulo de rotación de 180° + 90° = 270°, o también es posible aplicar las dos rotaciones, una seguida de la otra,De cualquier manera, se obtiene lo siguiente:

R(O,l7O,(-2, 1) = (1, 2)

R,o 270,(0, 6) = (6, O)R(O,170"( -1, 2) = (2, 1)

Por lo tanto, los vértices de la figura homóloga final son A'(I, 2), B'(6, O)Y ('(2, 1),

.•..' 276 CLAVE· Matemática

e-o'ou.gea.~.:

l'" I"O ~

;Q-§a:,-r;

~!'Jeo'0 I'Ó ..::uJ

1)-..~

Ejercicios propuestos

J. En cada caso, determina si fue aplicado algún tipo de rotación. De ser así, señala el centro de rotación y lamedida del ángulo de rotación,

----.....--'I--'---~a,

b,N

1i!f'~Q'p:;' -

'--}'~"~,'. ,- ;';.' ;

P' Q

. N". .

~

, l K

d _ B" /;'A

c~ 1~~_." ..,c_D

V·-E' o' - '- F

B- '-'. j - •

FA" E

Paradeterminar el centro derotación puedes realizar lossiguientes pasos:

Paso 1: une un par de vérticeshornólogos y traza la simetral dedicho segmento.

Paso 2 ,,"-e otro pc' ~c .eruceshO;--:.2go5 y traza Si....~cs~'ec:!Va5,,,,,:'2,,

Paso 3 el punto de ~;é:se(C!onde .es SI ;,eir sles es e C'::;íQ ~erouc cr

2, Realiza gráficamente las rotaciones con centro en el origen y los ángu los indicados en cada caso ydetermina las coordenadas de 105 vértices de la figura hornóloga.

a, Un triángulo de vérticesA(-3, -2), B(8, O) Y C(I, 3) es rotado en un ángulo de -90'.

b, Un cuadrado de vértices A(2, O),B(O,2), C(-2, O) Y D(O,-2) es rotado en un angcio de 270°,

Conoruenca '. :ransformaciOlles soremcss -2

Page 140: Preparacion Psu de Matematica SM

1

1

1

5. Transformaciones isométricas: reflexión::. -: '... ..' ;".:,. -.....•..

.. :: .....• ,,'

La reflexión (asocada a simetría axial) es una transformación isométricaque mueve cada punto de una figúra; de modo que el punto inicial y suhomólogo equidistán de una recta llamada eje de simetría .. ' ,

P~r ej~mpi~~ enia fig~ra; el polígono A'B'C'D'E' es la fig~;a hornólogadel pólígorio ABCDE aplicando una 'reflexión cuyo'eje 'de simetría es larecta L . :.. . , '." .

Las distánciás de cada vértice de la figura origen al eje de simetría sonigualeS a las de' sus' vértices homólogos.

Ejercicios resueltos

1. Al triángulo HIJ dibujado se le aplica una reflexión, considerando como eje de simetría al eje Y. Luego, almismo triángulo HIJ se le aplica otra reflexión, pero ahora considerando como eje de simetría al eje X,

¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de las figuras homólogas en ambas reflexiones?

Al aplicar las reflexiones dadas a los vérticesdel óHIJ se tiene:

Para H: 5,(2,5) = (-2, 5) \(2,5) = (2, -5)

Para 1: 5,(1,3) = (-1, 3) 5x(l, 3) = (1, -3)

Para J 5,(3,1) = (-3,1) 5/3,1) = (3, -1)

• Las reflexiones aolicadas aun punto (x y) del planocartesiano, consicer ando 105

ejes coordenados como elesde simetría, son:

Respecto al eje X:

5,(x, y) = (x, -ylPor lo tanto, los vértices de los triánguloshomólogos H'I'J' y H"I"j" son:

--4 -3 1;1.,.,I..-34X

j'"

[" ,.

H"

Respecto al eje YSr,. y) = (-x, yl

H'(-2, 5),\'(-1, 3) YJ'(-3, 1)

H"(2, -5), 1"(1, -3) Y J"(3, -1)

2, Determina las coordenadas del punto homólogo de K(-2, -1) luego de aplicarle las siguientestransformaciones de manera sucesiva:

- reflexión respecto al eje X- rotación en 90° con centro en el origen- reflexión respecto al eje Y- traslación según el vedor Il = (4, -2)

Aplicando cada una de las transformaciones anteriores al puntoK(-2, -1) dibujado en el plano cartesiano, se tiene:

5x(-2, -1) = (-2,1)

R(o.90,(-2, 1) = ( -1, -2)

5yH -2) = (1, -2)

T(, "p, -2) = (5, -4)

Por lo tanto, las coordenadas finales son (5, -4)

-4 ,3 -1 ,1 o I 2 3 4 5 Xj- ----- -e ---1 .. -- _._. -.. ..

,--"-- ~ • -2 - •. -.- _._"-- ..,,K'':'-3 ,K:". __, _,.

K"

~,:=:-- ~~ '=,~_~=~~.._,_.....--- -,. 'tv ,. -'- --'---

K' ··1:-.---e -·1

l .2l8... CLAVE· Matemática

e-o'0u:J-o2CL~~'" I ~ 3,-o

:¡;S;oO-:;¡ I -=~V1

'"~o'0

""~" IuJ

fj

. lWt

Ejercicios propuestos

1. Reconoce en cada caso si corresponde a una reflexión. De serio, dibuja el eje de simetría.

a.e -, .. -'7

~--.----- -------.

b. d.

é~'G4·~~-.~~. r --......,-. ')"1 J

o

[B!] Marca la alternativa correcta,

1. Si se aplica una reflexión respecto al eje X al triángulo de vértices A( 1, -7), B(5, -8) Y C(l, 2), cqué vértices tieneel triángulo homólogo?

A) A'(-l, -7), B'(-5, -8) Y('(-1, 2)B) A'(I, 7), B'(5, 8) Y ('(1, -2)C) A'(-1,7),B'(-5,8)yC(-I,-2)D) A'(l, 7), B'(5, 8) Y('(-1, -2)E) A'(-l, -7), B'(5, 8) Y ('(1, -2)

2, Si se aplica una simetría respecto al eje Ya los puntos A(3, O) Y D(O, -3), «uéles son las coordenadas de lospuntos homólogos de A y D, respectivamente?

A) (3, O) Y(0, -3)B) (3, O) Y (0,3)C) (0, -3) Y(O, -3)D) (-3, O) Y(0, 3)E) (-3, O) Y(0, -3)

¿Cuáles son las coordenadas de un punto (-y, x) si se rota en 90° respecto del origen del plano cartesiano yluego se le aplica una simetría respecto al eje Y?

A) (x, y)B) (-y, x)C) (x, -y)D) (-x, y)E) (-x, -y)

\'nnnn fPnri~ v tr;:¡nc;ff'\rrn~r.i()nRS ic::nmP.trir:;¡c: ?71

Page 141: Preparacion Psu de Matematica SM

111

! 6. Transformaciones isométricas: simetría central"'~':-

La simetrla central es una transformación isométrica que asociacada punto de una figura, de modo que él y su homólogoequidistan de un punto dado, llamado centro de simetría, ypertenecen a una misma recta.

Por ejemplo, en la figura, el polrgono A'B'CDl' es la figurahomóloga del polígono ABCDEsegún la simetría de centro F.

Aplicar una simetría céntral a una figura es equivalente a rotarla en180' considerando como centro de simetrfa el centro de rotación.

EjerCicios resueltos

50(-1,1)=(1, -1)

50(-2,4)=(2,-4)50<-4,4) = (4, -4)

50(-3,2) = (3, -2)

50(-2,2) = (2, -2)

G--¡~H 4iY.

.' 1

K . J 2. . I II L ....•

Enel plano rartesano,cuando se le aplica unasimetría central a un punto(x, y) cuyo centro de Simetríaes el origen del planocartesiano le tiene

""'"1'PO' lo "oto, 1" vértices de 1,figurahom",",. ~son 1'(1,-1), H'(2, -4), G'(4, -4), K'(3, -2) Y J'(2, -2).

b. Al aplicar la simetría sobre los vértices de la figura HGKJI se tiene:

50(3,4) = (-3, -4)

50(1,4) = (-1, -4)

VI,l)=(-l,-l)50(-3, -3) = (3, 3)

V2,-1)=(-2,1)

Por lo tanto, los vértices de la figura homóloga son

H'(-3, -4), G'(-l, -4), K'(-l, -1),1'(3,3) Y1'(-2, 1)

4 X

S .(x, y) = (-x, -'/)

J. ·--3

-4

2. A un punto P(x, y) se le aplica una simetría central respecto del origen y se obtiene el punto P'(3, 4).¿Cuáles son las coordenadas del punto P" que se consiguen al aplicar al punto P una simetría axial respectoal eje Y?

5i al aplicar una simetría central al punto P(x,y) respecto al origen del plano cartesianose obtiene P'(3, 4),entonces, el punto P(x,y) es (-3, -4). Luego, al aplicar a P una simetría axial respecto def eje Y, se logra5,(-3, -4) = (3, -4), es decir, P"(3, -4)

280 CLAVE· Matemática

.,i~

¡I;~·.·.'······.~... ,,·1'l1}'-J~.~:

~-¡..'j¿

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eg}\):0

9a.~'~~f.;lO'!"'O~

~1~!.~i'&f;Ei$

1

Ejercicios propuestos

••••

1. Reconoce en cuál (es) de los siguientes casos es posible identificar una simetría central. En caso de que losea, dibuja el centro de simetría.

a.

1. Determina los vértices de la figura homóloga si a cada uno de los poligonos dibujados se le aplica unasimetría central cuyo centro de simetría es el origen del plano cartesiano.

a. Al aplicar la simetría sobre los vérticesde la figura IHGKJ se tiene:

b. ---'í _._-_.. -. r-

-~.~----~....~; ; cr.: P p·-·l·ef~-.-__ . ..1 ü

I -- -

._-.':-_.--._.._- ¡ --_..Q ..

c.H H'+--

d.W'

V OC-< .. ~:_-~) •. ;.4'~ .~.~-..:.;',~- "'¡'-"'~ ~••"

lA

2. Determina las coordenadas de la figura homóloga de los siguientes triángulos luego de aplicar una simetríacentral con centro en el origen.

a.y

4,,8

·-2

t

-1 01 A

-1

3 X

b.ty

~r,

3 X

-2

1-3r,3. Si al aplicar una simetría central a P(x,y) con respecto al origen del plano cartesiano se obtiene el punto

P' Y luego, al repetir esta transformación a P' se logra P", «uáles son las coordenadas del punto P"',conseguido al aplicar a P" una simetría central respecto del origen? Justifica tu respuesta.

r

,------------------------------------------------------------ ~.

Conoruenca v iranstormacones sornétr'cas 2¡

Page 142: Preparacion Psu de Matematica SM

1\

I 7. Teselaciones regulares y semirregulares~ ':1,. ": '.~~~',;... .~ :;.

Teselar es un método para recubrir el' plano con figuras g~~métricas 'planas, de tal manera que se cumplanlas siguientes condiciones: .:: '

1°' Todo ipla~édeb~s~~~~bierto, es decir, no deben quedar espacios entre las'figuras utilizadas,. . :.~':; ,/''¡:>~%~' ""."";"',:, .~~-::. ',.-': ,"

2°Las figuras usadas no deb~n superp?nerse, , ,,"~", ' rr-r-r-"'<"'-',,-:-¡~--n~':'~'n~lies~i'~a6ri ;~ul~/~aq~eila ~~ que el recubrimient~ soi~" ", , " ", " ,

- realiza utilizando un polfgono regular, Este tipo de teselación es posibleefectuarla con triángulos equiláteros, con cuadrados o con hexágonosregulares, Por ejemplo, la figura muestra una teselación regular mediantetriángulos equüateros,

~ Una teselación semirregular es aquella en que el recubrimiento serealiza utilizando combinaciones de polígonos regulares, Este tipode teselación es posible efectuarla cuando los ángulos interiores delos polrgonos que se usarán suman 360° al juntarse en un vértice.

, Por' ejemplb, la figura muestra una teselación semirregular mediantedodecágonos regulares y triángulos equiláteros.

Ejercicios resueltos

1, A partir de una teselación regular utilizando triángulos equiláteros, équétransformaciones isométricas es posible identificar en dicho recubrimiento?

Si se asigna TI a un triángulo equilátero de la figura, es posible considerar la recta quecontiene a uno de sus lados como eje de simetría y realizar una reflexión, obteniendoasíT2, Luego, se puede escoger un lado de T2 distinto al usado anteriormente yefectuar otra reflexión respecto a la recta que contiene dicho lado, logrando T3. De lamisma manera, es posible conseguir el resto de los triángulos teselando el plano,

La descripción anterior no es la única que corresponde a esta teselaoón, También esposible identificar traslaciones, rotaciones y combinaciones de estas,

13

T4 '

2, (Qué polígonosregulares componen la siguiente teseladón semirregutar? ¿Qué figura-es la que tesela?Además, reconoce qué transformaciones isométricas fueron necesarias aplicar a esta figura para realizar elrecubrimiento.

En este caso, la teselación se ha realizado con octágonos y cuadrados,ya que la suma de los tres ángulos interiores de dos octágonos y uncuadrado, considerando un vértice común, es:135°+ 135° + 90°=360°,

Por otra parte, hay varias figuras con las que se pudo haber realizadoesta teselación. Por ejemplo, con cuatro octágonos y dos cuadrados, condos octágonos y un cuadrado, etc. Sin embargo, se considerará aquellaque contenga la menor cantidad de poligonos. Asi, la figura con la quese teseló es la compuesta por P1 y el,

Finalmente, y al igual que en el ejercicio anterior, es posible identificarvarias transformaciones isométricas; por ejemplo, traslaciones de lafigura,

282 CLAVE· Matemática

"1;'"*i.~

~!i~!

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I ~"S;:¡

'O "eo.l'! ";:¡'

'"'" , '"'O.s:i:e0.', I ,.;..:V>., r

1Ii> -r:

lO'

ª:~->-o~;uJ.~ -i9~ .J

,~-f,~;~,

Ejercicios propuestos

1•.. Analizalas siguientes teselaciones y reconoce si son regulares o semirregulares.luego, identifica en ellasalguna transformación isométrica que se le aplicó a la figura con la que se teseló (está .destacada).

a.

b.

c.

_.~ •.__ M~.,_''''''' _ • ._._••..•, ---

d.

Congruencia)'uaostormacenes'sométric~

Page 143: Preparacion Psu de Matematica SM

1:!I

8. Teselaciones irregulares~;

Una teselación irregular es aquella en la que no solo se·utilizan polígonos regulares, sino también polígonosirregulares y otras figuras.

Ejemplos: .

i) La siguientéteselación se realizó con pentágonos ii)regulares y rombos, es decir, está compuesta porpolígonos regulares e irregulares.

Ejercicios resueltos

1. ¿Esposible teselar el plano solamentecon romboides <ongruentes? Justifica.

Sí.es posible teselar el plano conromboides congruentes. La figuramuestra un ejemplo de cómo hacerlo. Endicho ejemplo se muestra también queen esta teselación se pueden identificartraslaciones. Por ejemplo, respecto a losvectores destacados.

La siguiente teselación se realizó con pentágonosregulares, rombos y una estrella de cinco puntas,es decir, está compuesta por polígonos regularese irregulares.

2. (Qué transformaciones isométricas es posible identificar en la siguiente teselación irregular?

Al observar la teselación es posiblereconocer que está compuestapor pentágonos y rombos. Enella se pueden identificar variastransformaciones isométricas. Porejemplo, en los pentágonos haytraslaciones segun el vedor ü dibujado,pero también se pueden apreciarsimetrías axiales con respecto a unode sus lados. Asimismo, en los romboses posible identificar traslaciones. Alanalizar un marco más amplio de lateselación se podrían visualizar mástransformaciones isométricas.

284 CLAVE· Matemática

.~;~.¡

íiI~V:.:?f.

f

e:9u.u.-6e~~f:ec '

~eo,

~.

~·8S9",

~~

Ejercicios propuestos

1. Anafiza cada embaldosamiento. Luego, determina qué figuras lo componen e identifica una transfomnacióniso métrica presente en cada caso.

c.

a.

b.

d

Conoruenoa v transtormacones sonétricas ~

Page 144: Preparacion Psu de Matematica SM

1\

I1. Semejanza

. <.~. . ';C-:'~.'~<~~~-.,.~..¡:.~::~.'~ A',"- , ' ..'. ': ,.~~;~ ':~.~1.·,;?-•.;.,:~'" "~~~~~.:':~:~Ü-lrt~:".!~~··~·,'~-.Dos figuras planas són semejantes H si tienén la misma forma y s¡ts-~injensióneS serlproporCionales.;. ;;.En los polígonos, la forma se verifica con las medidas de los ~ngulosLrÍtério'res: 'ylaS:ª0iehsio.~eS;-con las .;,'longitudes de los lados correspondientes. - ./ ,:';~::.'",.; 'f',",-'.'.'S.?· -~: -.", . <" >:~;\.~..'.«, -~~',.:'";" -.

E " En lasfiguras del ejemplo sew~ple -q~eJásmedidasde sus ~ngulos interiores correspondientes son igualesy que ambas tierien drnersicnes proporáonales, esdecir, el cociente entre las longitudes de susladoscorrespondientes és constante:.

2cm = 6cm = 4'cin = 6cm = 6cm =2lcm 3cm 2cm 3cm 3cm

A

Por lo tanto:

D

4cmH

ABCDE-FGHU

~ En dos polígonos semejantes, la razón de proporcionalidad o semejanza (r) es el cociente entre laslongitudes de un par de lados correspondientes. En el ejemplo, r = 2.

~ Para dos polígonos semejantes con razón de semejanza r se cumple lo siguiente:

i) la razón entre sus perímetros es r.ii) la razón entre sus áreas es r'-

Ejercicios resueltos

1. los perímetros de dos polígonos semejantes P y Q son 30 cm y 50 cm, respectivamente. Si el lado de menorlongitud del polígono P mide 7 cm, «uél es la longitud del lado correspondiente al anterior en el polígono Q?

C 'd do ijse ti la razc I . d b l' 30 cm 3onsi eran o I , se tiene que a razon entre os penmetros e am os po igonos es: r = -- = - = 0,6SOcm 5

Así, el cociente entre la longitud de los lados correspondientes de P y Q cumple lo siguiente:7cm 7cm - .-- = 0,6 =:> x = -- = 11,6 cm, donde x es la menor longitud de los lados de Q.

x 0,5

Por lo tanto, la longitud del lado de Q correspondiente al de menor longitud de P es 11,"6 cm.

2. Si DABC - DA'B'e y el área del DABC es 15 cm', «uál es el área del DA'B'C?_. 4cm. (

De la figura se tiene que r = - = 2. AsI, la razón2cm

entre las áreas de los triángulos es 2' = 4. Por lo tanto:

1 6 cm' t 6 cm' ,--=4=>x=--=4cmx 4

luego, el área deIDA'B'C es 4 cm'.A San

286 CLAVF • Miilp.mMir.~

~.Á.'1f~~:':W-;:;

*-s;

.;i~;'fJ~~e

A

c:15u

'"-o

K I --(!' ~'"'"'"-oe B'-5~

I .-0::<......:2'" I .,<fIB' ho. I'0

~ -Q

.'j!

~

Ejercicios propuestos

1. Determina si las siguientes figuras son semejantes. En caso de que lo sean, calcula la razón de semejanza.

a. c.

Figura imagenU 4cm V

2~78cmZ W

45'A Scm B

Respuesta:

Figura origen Figura imagenlASO cm D E 1\ cm F

Ir. "~D! B H G

i Respuesta: -------------

d.Figura origen Figura imagen

b.Figura origen

3cm

Respuesta:

3cm

z crn

4cm~4cm

~ 4 cm

lcrr.

l~:)CU:::]2 c..,-

Respuesta: _

2. Resuelve los siguientes problemas.

a. Si AC 11 DE, (MCB - t.OEB7 Aplica la definición de semejanza para justificar tu respuesta.

12cm

A< .L \C

b. En la figura, t.BOE - t.BAC ¿Cuál es la longitud de BO y de AC?

•14cm

A· \(

Semeianza de figuras planas ~

Page 145: Preparacion Psu de Matematica SM

1\ I 2. Semejanza de triángulos. ~; ,"

Criterio lLl <le eDos triángulos son semejantes

Si~=~=~=ksi las longitudes de sus

" a • {J.tres pares de lados están a' b' c'en la misma razón de

Entonces: MBC - M'B'eproporcionalidad.B B'

Criterio tALDos triángulos son semejantes

<f<:f a b k 'si las longitudes de dos de SI - = - = 1\ Y= Ysus pares de lados están a b Y a' b'en la misma razón de A A' a'

Entonces: MBC - M'B'eproporcionalidad yel par deángulos comprendido entre B B'ellos son de igual medida.

Criterio AA

'<:/'4eDos triángulos son semejantesSi a = <ú p = Wsi dos de sus pares de ángulos

son de igual medida. Entonces: MBC - M'S'e

B B'

Ejercicio resuelto

1. En la s~uie~e figura, ADCS es un romboide. Justifica por qué MFE - t.CFO y calcula la longitud de losladosEF y Fe.

i) m( <l:EFA)= m(<l:DFC) por ser opuestos por el vértice.ii) m( <l:AEF)= m(<l:COF)por ser ASCO un paralelogramo y dichos

ángulos son alternas internos.iii) Por i) y ii) es posible afirmar Que MFE - óCFD según criterio AA.iv) Por iii) es posible formar dos proporciones:

o ",e

12cm

5cmA o

o EF Af EF 8cm 3·81 -=-=)-=--=)EF=-cm=)EF=2cmFD CD 3cm 12cm 12

20 AE = /% =) 8cm = 5cm =)FC=~cm=)FC=7 5cmCD FC 12cm FC 8 '

Luego, los lados EF y FCtienen una longitud de 2 cm y 7,5 cm, respectivamente.

.' 288 CLAVE, Matemática

¡1.~.

'1f's'f;r,

c: I J.-o -"8:;¡

-ooC:ii!'

"'"..-o¿.J:

1-e-

Ba.

::2 ~'"Weo

I'0

~ .-Q

IWMI

Ejercicios propuestos

1. Determina si los siguientes pares de triángulos son semejantes. Justifica.

a. H c.B

(/

,5 cm .:3cm 2cm

A 24cmA' ,2cme 1,6cm

e

M~N97'

I 32' 5 cm

p

G

b. d.BO'LA2cm

K' 5 cm K 5 cm L

'\1"2,4 cm W l.2 cm

A

e e

2, En la figura, t.QRS es isósceles de base QR. Además, Ur .L QS y TV.L SR. Demuestra que .1QUT - 6RVT.

Q ("-/ \

._-_ .._---Si en el Mes dibujado, D, EY F son puntos medios de los lados respectivos, «uéntos triángulossemejantes al MCS puedes visual izar en la figura? Justifica.

/:

A' " ' e

Semeianza de fiauras olanas 28S

Page 146: Preparacion Psu de Matematica SM

1:[it3]] Marca la alternativa correcta.

1. Se tienen dos hexágonos regulares semejantes H I Y H2. Si el perímetro de H1 es 56 cm, ¿cuál es el perímetrode H2 si la razón de semejanza entre ambos hexágonos es 3,5?

32A) -cm

7B) 16 cmC) 40 cmD) 80 cmE) 186cm

2. Se tienen dos triángulos equiláteros TI y T2 en los que el área de TI triplica la de Tz. Si la longitud de cadalado de T1 es 5 cm, Lcuál es la longitud de 105 lados de n?

A)5-.13-cm

35B) -cm3

C) 5-.13 cm

D) (S+-.I3)cm

E) IScm

3. En la figura, HGFE es un trapecio isósceles. ¿Cuál es el área de un trapecio semejante cuya altura es de 15 cm?

E J cm FA) 72cml

.' \B) 120 cm' :C) 144 cm' :~ 200,~ ~E) 400 cml •

\H ----.....~ 12 cm tiC

4. En la figura, los triángulos isósceles ABC y A'B'C', de bases BC y B'C', respectivamente, son semejantes. Si surazón de semejanza es 0,8 y CA' = 2 cm, «uál es la longitud de BA?

3. División de segmentos••••

1;'~-;::S5x~zr~f;:;:)\1§ir:?~~;~!.-,.,...: ':-'T ,,' ." ." ' }" . '3"'.:,'¡: ::~~',;;c:;:.;:~.'~ 'Dividir inieriomente un segmento AB en una razón m : n dada sigilific.a detéiminar uñ únjCo puóto '" (

;;~,I~t~(~;l~I;~~~~~~·~;~.··:-:"_..' ....'.;::.,;......<~,.~<.< ~".Dividir exteriormente un segmento AB en una razón m: n dada signifiGI determinar un único punto,.; ,;.~y.-:'~~,:;~:~"~~~:'~.:~':_:"}'-:~';.. -'",) ,-\-::.::.,... :-r '"AQ m' .'7; -: :~~fI~}; -'t<-:, ..(.,': __\"~K{f'~~~-;~i

:, /~en Ic¡ prolongadón de AB! tal que QB =-;;-=~. ., :. > '.,' .~j"". ',,' ..,~-; .- ~~. -~;-.. Si rl < 1, dividir exterionmente se representa Si r, > 1, dividir exterionnente se representa

grcíficamente de la siguiente manera: gráficamente de la siguiente manera:~----I I I 1'---1Q A B A B Q

Ejercicios resueltos

1, Divide interiormente el segmento AB en la razón J : 4.

Paso l.Traza un rayo AK cualquiera.Paso 2. Considerando un segmento a de cualquier longitud. cópialo tres vecessobre Ai. Para esto, utiliza un compás. Luego, marca el punto P generado.Paso 3. A continuación del punto p. copia cuatro veces el segmento a sobre ti...Marca el punto M generado.Paso 4. Une con una recta los puntos B y M.

Paso 5. Traza una recta paralela a BM que pase por P. B punto Q donde estaparalela intersecta a Mi será el que lo divida en la razón 3: 4.

Q .BA ,a'xa/.

a'j:a':/.

P ajéa'/: 'áJ..

M '~K

2. Si un segmento AB es dividido interiormente por un punto Q en la razón 2 : 5, i.a qué distancia de B está Qsi AB= 49 cm?

Por los datos se tiene que AQ = ~ y AB = AQ + QB = 49 ano Luego, AQ = 49 - QB. Así. al reemplazar en laQB 5

. . b . 49 - QB 2 ( QB Qproporoon se o tiene: -- = - ~ S 49 - ) = 2 BQB 5

~ 245-sQB=2QB~ 245=7QB~ 3S=Q8

e

e'S .

A) 0.4 cm

""8

B) I cm

\c~,

~I 3.

C) 1,6 cm

-j~

D) 2 cm

~

E) 2,5 cm

iA'

B

ir.A

s I ~Vl

""~ I'O -'"íI.,

290_ CLAVE· Matemática

Por lo tanto, Q se encuentra a 35 cm de R

Divide exteriormente el segmento AB en la razón 2 : 3.Paso l. Traza dos rectas perpendiculares a A8, tales que una pase por A y la otra por B.Paso 2. Considerando un segmento a de cualquier longitud, cópialo dos veces sobrela recta perpendicular que contiene al punto A. Marca el punto P generado.Paso 3. A continuación, copia el segmento a tres veces sobre la recta perpendicularque contiene al punto B. Marca el punto M generado.Paso 4. Une con una recta los puntos P y M.

Paso 5. B punto Q donde esta recta corte a la prolongación del trazo AB será el que lo divida en la razón 2 : 3.

A B:::9:----,--"~a

.. ):.±~

Semeianza 00 fiouras oIanas 29

Page 147: Preparacion Psu de Matematica SM

l!

I

,}' •4. Si AB =:5 cm es dividido exteriormente por un punto Q en la razón :5: 2, ¿a qué distancia de A está Q?

t._-- _!_~----- --1 Por los datos se tiene que ~~ = ~ y como r> 1, AQ = A8 + BQ.

B Q luego, BQ = AQ - 3 cm. Así, al reemplazar en la proporción se obtiene:

4. Teorema de Thales~

A .-. :."':--~~:,~:'·-::;.I~~~:¡,:.F~~·:~~(/i~/~~'~?'~-~I~-.-~J~¡Teorema: si dos o más rectasparalelas son intersectadaspor dos transversales,entonces los trazos que se" ... : ;determinan son respectivamente proporooneles, EStoes:,,~ -. >~". ' 1 "

~=~ =>2AQ=3(AQ-3)cmAQ-3cm 2

=> 2AQ=3AQ-9cm=>9cm=AQ L,

Por lo tanto, Q se encuentra a 9 cm de A. .;

t,

Ejercicios propuestost,

1. SeaAB = 6,5 cm y CD= 4,8 cm.l, // L,// l, lJ/ L,// l,a. Divide interiormente ABen la razón 4 : 7.

b. Divide interiormente CD en la razón 3 : l.c. Divide exteriormente ABen la razón 3 : 4.

d. Divide exteriormente CD en la razón 2 : 1. AB BC AC-=-=-DE EF DF

BD DE EF-=-=-AC CE EG

2. Divide armónica mente el segmento AB en la razón 2 : 3.

Ejercicios resueltosSi un segmento es divididointenor y extenormente en lamisma razón, se dice que seha dividido armónicamente.

_________ 8

A

1. Aplica en cada caso el teorema de Thales para calcular el valor de la incógnita x considerando L,II L,// 1,.

a.l.

Aplicando el teorema de Thales, se tiene queI___ -".

1,9cm 1,6cm 1,9'2 3,8--=-- =>x=-- cm=- cm= 2,375 cm

x 2cm 1,6 1,6

Por lo tanto, x = 2.375 cm.

3. En la figura, Hl /1 FG Y el segmento EFse ha dividido interiormente en la razón 4 : 5.

a. Determina la longitud de los segmentos EFy HI.

b. ¿Cuáles la razón de semejanza entre los triángulos HEIy FEG? \H l,

24 cm¿:==\~m \G b.rm Marca la alternativa correcta.Aplicando el teorema de Thales, se tiene que:

12 cm x 12·36 432--=--=>x=-- cm=- cm=24cm18 cm 36 cm 18 18

Por lo tanto x = 24 cm.

1. Un segmento AB es dividido exteriormente en la razón 5 : 4 por Q. Si BQ = 60 cm, «uál es la distancia entreAyQ? c:

-o'0'g

I ~'OoCi ~~5-'" I~.

c.1)

i~I -;2- ;::11)

:B.e:o·-o

I:.o.. """"I!'.;':,;;t

A) 15 cm B) 48 cm C) 75 cm O) 120 cm E) 135cm

2. Un segmento CD es dividido armónicamente en la razón :5: 5. Si la distancia entre los puntos de divisióninterior y exterior es 120 cm, ¿cuál es la longitud del segmento cm

Aplicando el teorema de Thales, se tiene que:~8~~TI~0~~~%~~ 1~~

•• / \ •• II

~= (x+5) cm =>s6=(x+5)(x-5)=81=x:~ x=±9(x-S) cm 7 cm

Pero se descarta-9, ya que sumado con 5 resulta -4 yla longitud de un segmento no es menor que cero.Así,x= 9 cm.

7cm

•• / \ •• t,

?Q? r.1 A\lr: • M~üom~:.ti(':l

Serneaoza de fiouras olanas _2.5

Page 148: Preparacion Psu de Matematica SM

IEjercicios propuestos

~ Marca la alternativa correcta.

1. Si U/ / lM, IK = 6 cm, JK = 8 on y lK = 4 an, ¿cuál es longitud del segmento KM?

A) 2cmB) 3 cmC) 4cmO) 9cmE) 12 cm

2. En la figura, 'm // lO J J MP. Si Kl = 60 cm, LM = 40 cm y OP = 50 cm, «uél es la longitud del segmento NP?

A) 33,3cmB) 75 ~mC) 83,3 cmO) 100 cmE) 125 cm

3. Si U/ / LM, IJ = 12 cm, J K = 10 cm y lM = 15 cm, «uál es la longitud del segmento LK?

A) 8cmB) 12 cmC) 12,5 cmO) 16cmE) 18 cm

4. En la figura, KN l/lO // MP. Si KL = (x + 1) cm, lM = 2x' cm, NO = 2 cm y NP= (4x + 4) cm, ¿cuál es elvalor de x?

1A) --

31

B) --2

e) 0,6

D) ~2

E) ~3

5. En la figura, KN l/lO J/ MP. Si ML = x m, LK = (x + 6) m, PO = 4 m y NP = 16 m, «uél es la longitud delsegmento LK?

A) 2 mB) 3 me) 6 mO) 8 mE) 9 m o

M

N

tK

.~_.294 CLAVE· Matemática

I·~·:··..:;'

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e I 2.-o'8:o-oeo- . -QI;;,'" .'"] I.a. -e .0c.

:;¡<1>..,.<QI¡;,o'0:.o'uI.g

••••5. Proporcionalidad en triángulos

. :,";~":~<?,.l:':,'{; __'; ..:'~ "~~;,:l.\.·;:::"·'~-_~~::~r"'~,,(~~_e~~.."';.(;-' ~_....'."..Teorema: si una recta intersecta a un triéngulo en dos de sus lados y es paralela al tercer la~o, entonces .determina un triángulo semejante al primero, En la'figura, AB / / DE .lu;óMIlC :.:fJ,DEC. ~:. o'

< < <. I ~~~~~ 1.~i~;J~~~E"~.c. CD CA a CB CO::':CA

De la igualdad anterior se pueden obtener DE = AS' DE = AB Y.a -.CB '

Por otra parte; aplicando el teorema de Thales,se tiene:

I ~~=~ iI '

-.-- :,'.. ~A

AD BEDe la que se puede obtener De = EC

Ejercicios resueltos

1, Calcula el valor de DEen la siguiente figura si AB/ / DE.

P . de tri I . CE CBor semejanza e tnangu os, se tiene que: DE = AB

Como CE= 8 cm, CB= 18 cm, DE = (x + 1) cm y AB = (2x + 3) cm,al reemplazar, resulta:

c

8cm

8 18

iocrnx+ 1 2x+3

16x+ 24 = 18x+ 186= 2xx=3

Por lo tanto, DE = (x ,. 1) cm = 4 cm.

(2x+3)cm

Un asta proyecta una sombra de 80 m a cierta hora del día y una persona de 1,85 m de altura, a la mismahora, proyecta una sombra de 20 m. Calcula la altura del asta.

xm

En la figura, Ac representa la altura del asta y rn la de la persona.Además, Ac //m y ambos segmentos son perpendiculares al suelo,representado por AS.Por semejanza de triángulos, se tiene que:

20m 1,85m--=--~20x=148~x=7,480m xm

Por lo tanto, la altura del asta es 7,4 m.

D

1,85 m

A E 20m~80m--~

Sp.mp.i~nl<l(le fiauras Dianas 29

Page 149: Preparacion Psu de Matematica SM

113. Si en la figura DE// AC ¿cuál es el valor de x?

e Como DE / / AC, se tiene que MBC - ~OBE, Luego:

x 2x-5'--=--=Hx' +4x=4x' -10x+ 16x-4O2x + 8 4x + 4

4x = 6x - 40

4O=2x

20 = xA

4. Tres hermanos están alineados desde el más bajo al más alto y separados por la misma distancia, El másbajo mide 90 cm de estatura y el más alto, 1,85 m. Si la distancia entre estos dos hermanos es de 6 m, ¿cuáles la estatura del hermano de estatura media?

La situación se puede representar con la figura realizada, En ella, esposible apreciar dos triángulos semejantes, donde se puede calcularel valor de x. Así, aplicando la proporción adecuada, se tiene que:

¡ ¡0,95 mxm

9 j3m I 3m ¡,85m

I6m---

0,95=~ =:-O 95. 3=6x =:-x=O 4756 3 ' ,

0,9 m

Así,la estatura del hermano mediano es 0,475 m + 0,9 m = 1,375m.

Ejercicios propuestos

~ Marca la alternativa correcta.

1. Tres árboles están ubicados en línea recta según sus alturas. Si estas son 1,6 m, 2,5 m y 7 m, y el máspequeño está a 4 m del mediano, ¿a qué distancia se encuentra el árbol mediano del grande?

A) 6,25 m B) 11,2 m O) 20mC) 12.4m E) 24 m

2. Para calcular el ancho de un río, Juan mide algunas distancias y las representa en un diagrama como indicala figura. ¿Cuál es el ancho del río?

A) 4 mB) 6 mC) 9 mD) 10mE) 12 m Rio 17- •

l. La figura muestra dos cuadrados cuyos lados miden 9 cm y 6 cm, respectivamente. Calcula el valor de x.

A) 1,8 cmB) 4cmC) 4,5 cmO) 6cmE) Faltan datos

~ CLAVE· Matemálica

e:g .u~so. • ~2',a-ll • ~

~ I~ <~§

I-o~ --9"r~::

11M

6. Teorema de Euclides

Teorema: sea ABC un triángulo rectángulo en C. y h la anura trazadadesde C; entonces:

~ el cuadrado de la longitud de la altura es igual al producto de laslongitudes de las proyecciones de los catetos. En la figura:

I h' = p. q 1

c

..~

A q p. 8

~ el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto entrelas longitudes de la proyección respectiva y la de la hipotenusa. En la figura: 1 a' = p • c 11 b1= q • c 1

donde p y q son las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Además, se tieneque e= p + q.

Ejercicios resueltos

1. El triángulo ABC dibujado es rectángulo en C. ¿Cuál es la longitud de AC?

Al aplicar el teorema de Euclides respecto alas catetos, se tiene que:

x'=6·(6+8)

x' =6 ·14

e¿A 6 cm O 8 cm 8

x' =84

x=J84 =25J

Por lo tanto, AC = 25J cm.

2. El triángulo ABC dibujado es rectángulo en C. ¿Cuál es la longitud de CD7

e SiAB=c, aplicando el teorema de Pltágorasen ~BC se tiene:G "·5',12'~'·'69~,·1l.7 ~ Luego,AB = 13cm. Aplicando el teorema de Euclides respecto a loscatetos, se tiene que

A 8 144 25o 12' =DB· 13=:-08=- y 5' =AD . 13=:-AD=-.

13 13Finalmente, aplicando el teorema de Euclides respecto a la altura, se tiene que:

h'=¡l[).rn~h¡=I44 .~13 13

h' = 3Eal169

h = ~3fiXl169

60=-

13

Por lo tanto, CD =~ cm (aproximadamente 4,62 cm).13

Semeianza de fiauras Dianas 2~

Page 150: Preparacion Psu de Matematica SM

3. Si se ilumina un pino con dos focos, como se muestra en la figura, y los rayos de luz se representan con lossegmentos AC y BC, ¿cuál es la altura del pino?

Al aplicar el teorema de Euclides respecto de la altura se tiene que:

h' =1,8' 2

h' =3,6

h=J3:6h=I,9

l!I

e

~A 18m O 2m B

foco . foco

Ejercicios propuestos

ütB!] Marca la alternativa correcta.

Así, el pino mide aproximadamente 1,9 m.

1. Si el triángulo ACB es rectángulo en B, ¿cuál es la longitud del segmento BO?

N U5~~~~q~~~ ~6®ij%~ ,~,

--16cm D 6cm

2. Si el triángulo ACB es rectángulo en B, ¿cuál es el perímetro del MCB?

A) 12,5 cmB) 18 cmq 24 cmD) 30 cmE) 36 cm ":~

4.5 (m e

3. Si ACB es un triángulo rectángulo en B, ¿cuál es la longitud del segmento DO

A) 9cmB) 12 cmC) 15 cmD) 20cmE) 25 cm

B

~:A 16cm

4. Si BO es altura y MBC es rectángulo en B, ¿cuál es la longitud del segmento BD?

5A) -mm

2828

B) -mm5

C) 2Kscm

D) 10m rrnij 140 mm

-"'- 298 CLAVE· Matemática

A

Smmo

28mm

e

e I9.

-o"8 -::>-oeo-

I~ ~;;¡

'"'"-oBs:ea.

I -:2\Il

<!

iD·e·8-·15" I -"w{}

••••S. Si HIlF es un cuadrado, el óEGF es rectángulo en F, EH = 4 cm y HG = 8 cm, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. JK + KI = 4,n on11. Área(óEGF) = 24,n cm'

111. Área(MHF) = 8 ®'

A) Solo 1

B) Solo 11C) Solo 1 y 11O) Solo 1 y 111E) 1,11 Y 111

6. óMLN es rectángulo en L y lO es altura. Si LO = 12 cm Y NO = 6 cm, «uél es el área del semicírculo ML?

F J

J~E H I G

A) 12.J5 cm'B) 90 cm'C) 90n cm'D) 180cm'E) 180rt cm'

M

N

7. La altura que se traza respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo la divide en dos segmentosen la razón 3: 1. Si dicha altura mide 9 m, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?

A) ~mB) 3-/3 mC)4-/3mD) 9-/3 mE) 12-/3 m

8. Un adorno está sujeto al techo por dos cuerdas perpendiculares entre sí, cuyas longitudes son 30 cm y40 cm. ¿Cuál es la distancia entre el adorno y el techo?

A) 18 cmB) 24 cmC) 32 cmD) 40 cmE) 50 cm

Si en la figura la distancia entre la heladería y el hospital es de 90 m y la distancia entre el cine y el hospitales de 120 m, «uél es la distancia entre el hospital y el paradero de micra?

A) 150m Heladería

B) 160m r-, Hospital

C) 180mD) 200mE) 250 m

ttJ <,Gne ParadelO

de micra

Semeianza de fiauras olanas 2~

Page 151: Preparacion Psu de Matematica SM

A) y= ~ A DB) MBC",MDC

~

C) a=90° . I 7.D) a= ~+y

E) MBD ",tlCBD B (

11

IInstrucdones1. Esta prueba consta de 18 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A, B, C,

O y E. una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2. Dispones de 40 minutos para responderla.

Congruencia

1. En la figura, MBC",tlffiE, m(<rCBA) = 56" Y BC ",BA. ¿Cuál es la mitad de m(<rFED)?

A) 28°

B) 31°

C) WD) 62°

E) ]240c6,6

A D

2. Si ABCO es un rombo, «uál de las siguientes afirmaciones es falsa?

3. Si ABCD es un romboide, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. MBC ",tlCOA

11. MBD '" tlCDB

111. tlEBC '" tlDAE

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 1y 11

D) Solo 11ylll

E) 1,11Y 111

.>:B e

4. Si E, F, G, H son los puntos medios de los lados del rectángulo ABCO, ¿cuál de las siguientes afirmacioneses falsa? E

A oA) tlEAF == tlEDH

B) <rGFA =' <rEHC

C) tlHCG =' tlGBF

D) EFGH es un rombo.

E) tlFBG es un triángulo rectángulo.I :",¿ I

B G (

,\1,_300. CLAVE· Matemática

:~Al-;~

fi'i'1'~i¡.~~

e-o"8::J-o I 9.Ke:l

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I ,oo::? I «z!Il

'"~eo'0:.0-uJ

Q

>

••••5. Si ABCD es un paralelogramo y los puntos B, C y E son colineales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) siempre verdadera(s)?

1. <rFEC '" <rFAD

11. MFD '" tlEFC111.AF.LDC .L~EA) Solo I

B) Solo 1y 11

C) Solo 11y 111

D) Solo I y 111

E) 1,11Y 111

Transformaciones isométricas y teselación

6. ¿Cuáles son las coordenadas del vector que traslada, en el plano cartesiano, el punto A(2, 5) al puntoA'(-4, -I)?

A) (-2,4)

B) (-6,6)

C) (2, -4)

D) (-6, -6)

E) (6,6)

Al rotar un punto P en 2700 con respecto al origen del plano cartesiano, queda ubicado en el puntoP'(3, -5). ¿Cuáles eran sus coordenadas antes de la rotación?

A) (-S, -3)

B) (-3,5)

C) (5,3)

D) (3,5)

E) (-3, -5)

8, Si al punto A(-I, -3) se le aplica una simetría axial respecto del eje X, se obtiene el punto B. Luego, si alpunto B se le aplica una simetría central respecto del origen del plano cartesiano se obtiene el punto C.¿Cuáles son las coordenadas de este último punto)

A) (-1,3)

B) (1,3)

C) (1, -3)

D) (-1, -3)

E) (O, O)

¿Cuál de las siguientes alternativas contiene un elemento involucrado en la aplicación de unatransformación iso métrica sobre Pl para obtener P2?

A) Eje de reflexión

B) Centro de rotación

C) Centro de simetría

D) Ángulo de rotación

E) Vector de traslaciónf'

Fnsavo tpmático . PSU 3r

Page 152: Preparacion Psu de Matematica SM

l! 11

I

-.,' •...

10. Al triángulo ABC de la figura se le aplica una simetría central respecto a su vértice A. ¿Cuáles son lascoordenadas de los vértices B' y C' homólogos de B y e, respectivamente?

A) (-1,-3) y(l,-l)

B) (l,-3)y(3,-1)

C) (-l,3)y(l,l)

D) (3, -1) Y (1,-3)

E) (l.3) y (-1,1)

11. Para realizar una teselación regular se pueden utilizar:

l. pentágonos regulares11. hexágonos regulares111. octágonos regulares

A) Solo 1

B) Solo 11C) Solo 1 y 11D) Solo 11 y 111E) 1,11 Y 111

Semejanza

12. Los triángulos de la figura son semejantes y de perímetros P y PI dados. Si el área del MBC es 84 cm',«uánto mide, aproximadamente, el área del tJ.DEFl

A)B)

C)D)

E)

,6,,6,37,3 cm'56 cm'126 cm'189 cm'Otro valor

P=36cm p. = Z4 cm

13. Los lados correspondientes de mayor longitud de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 5 cm. Si elperímetro del triángulo de mayor área es 16 cm, «uál es el doble del perímetro del otro triángulo?

A) 12,5 cmB) 20cmC) 32 cm

D) 51,2 cmE) 81,92cm

14. S¡ las áreas de dos triángulos semejantes están en la razón 4 : 1, ¿en qué razón están los lados de lostriángulos?

A) 1:1

B) 2: 1C) 4: 1

D) 8: 1E) 16 1

y. 302 r.1 AVF • M~tp.mMic~

,~r,¿

I~

.,

15. Si en el MBC, DE / / CA, «uál es el valor de x? B

A) 5B) 5,83C) 6

D) 8

E) 17

16. En la figura, LI// L,. Si DB= 5 cm, BE= 7 cm y EA = 10 cm, «ual es la longitud deDO

BA)B)

8cm12 cm7

C) -cm215

D) -cm7

E) 50-cm7

17. El triángulo ABC de la figura es rectángulo en C, y CD es altura. ¿Cuál de las siguientes alternativasrepresenta la longitud del segmento DB? eA) 51 cm

,~

51B) -cm

2

C)21-cm2

D)29 2 cm o B-cm2

E)59-cm

2

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 crn, ¿cuál es la longitud de la proyección delcateto menor sobre la hipotenusa?e I

18,-c

] -

e-~Q.

"j; •'"s-

]J:.'

g~I~.. -.::

~.o-:g~,~e

.l_"!.

·í~~1>

A) 1,8 cmB) 2,4 cmC) 3 cmD) 3,2 cmE) 5 cm

Fn<"vn tpm~tirn • PC;¡¡ :11

Page 153: Preparacion Psu de Matematica SM

11

III

a:!I~~ftl~~~±~iAY~E~[~?;l~:~~:~ti.:·~En el MBe se tiene que BC = BA Y quem( -reBA) = 56°; por lo tanto, es un triángulo isóscelesde base CA. Así, 105 ángulos basa les son de igualmedida. Entonces, se tiene la siguiente figura:

cA

Por otro lado, como MBC := L'>FDE, 105 lados yángulos correspondientes son:

Correspondencia

Lados Angulos.

AB yFD BAC y DFE

BC y DE CBAy EDF

CA Y EF ACB y FED

Luego, se tiene:

o

Finalmente, como m( -rFEO) = 62°, su mitad es 31°

Distractores:

A) No se consideró la relación de correspondenciacorrecta debido a la orientación de los triéngulos,entonces se determinó que los ánguloscorrespondientes y congruentes son -rCBA y-rFED, con lo que m( -rFED) = 56°, siendo sumitad 28°

,y,. 304 CLAVE· Matemática

C) Se cometió un error al considerar como medidade los ángulos basa les 56°, quedando la siguientefigura:

6'56' 56'

e A

Luego, se cometió el mismo error de A) y secontestó que la mitad de la medida del angulaFEO es 34°.

D) Se resolvió correctamente el problema hastaencontrar la medida del ángulo FEO, pero nose calculó la mitad de este, ya que se contestóerróneamente que medía 62°

E) En este caso, también se resolvió correctamenteel problema hasta encontrar la medida del angulaFEO, pero en vez de calcular la mitad de este secalculó el doble, es decir, 124°

D CLAVE D

Para responder correctamente esta pregunta se debenconocer las propiedades de un rombo.

Como a = 90° (por ser AC y BD diagonal es de unrombo), para que a = ~ + y se debe cumplir que~ = y= 45°; sin embargo, esto no puede ocurrir, yaque la medida de los ángulos ADC y ASC deberíanser 90°, pero la figura es un rombo y sus ángulosinteriores no pueden ser rectos. Por lo tanto, estaafirmación es falsa.

Distractores:

A) Como ABCO es un rombo, se tiene queBC = CO, entonces L'>SCO es isósceles de baseBiS, con lo que sus ángulos interiores basa les sonde igual medida. Por lo ¡anta, y = ~. Luego, estaafirmación es verdadera.

B) Como ASCO es un rombo, se tiene que sus cuatrolados tienen igual medida, entonces AS = AD YSC = DC Además, el segmento AC es común alos triángulos ASC y ADC Luego, por postuladoLLL, MSC :=MDC, por lo que la afirmación esverdadera.

~.

e-o"8:o

~.~5l'"-o

~a.~oJ1

.n'~g ,..~ :.•..,,~.;UJ

o

e) Como AC y SD son las diagonales de un rombo,forman cuatro ángulos rectos en su intersección.Luego, (J. =90°. Por lo tanto, esta afirmación esverdadera.

E) Los triángulos ABD y CSD son congruentes por elpostulado LLL, ya que al ser ASCO un rombo, suscuatro lados tienen igual longitud. Así, AB = CB yAD = CD. Además, el segmento BD es común aambos triángulos. Por lo tanto, esta afirmación esverdadera.

D CLAVE C

De las propiedades del romboide se tienen lassiguientes relaciones:

A // D~

En (1) se afirma que MBC := L'>CDA. Los triángulosreferidos son:

A A D

Como las medidas de los ángulos en S y D sona + b, SC = AD Y AS = CD, por postulado LAL, se tieneMBC := ~CDA. Por lo tanto, la afirmación esverdadera.

En (11) se afirma que MBD:= t.CDB Los triángulosreferidos son:

A

Como las medidas de los ángulos en A y C son c + d,BC = AD Y AS = CD, por postulado LAL,MBD:= L'>CDB. Por lo tanto, la afirmación esverdadera.

o

-.En (111)se afirma que L'>EBC:= L'>DAE. Los triángulosreferidos son:

E

~Be

'~ceE

Como la medida de los ángulos en E, en ambostriángulos, es e, BE = ED Y eE = EA, ya que lasdiagonales de un romboide se dimidian, entonces, porpostulado LAL, se tiene que 6EBC := &DA Pero estacongruencia es distinta a la afirmada (liEBC := ~DAE),ya que no respeta el orden de correspondencia entrelos vértices. Por lo tanto, la afirmación es falsa

Distractores:

A) Esta alternativa es incompleta, pues solo consideracomo verdadera la afirmación (1) y no laa!:r~ación (11)

B) ESia alternativa es incompleta, pues solo consideracorno verdadera la afirmación (11) y no laa;,rmaClón (1)

D) Es:c alternativa es Incorrecta, ya que corsideracorro verdadera la afirmación (11)y la afirmación(iil). que es falsa.

E) Esa alternativa es incorrecta, ya que corsideracomo verdaderas las tres afirmaciones, pero laafirmación (111)es falsa.

CLAVE C

ABCO es un rectángulo y E. F, G Y H son los puntosmedios de sus lados. Con lo anterior y las propiedadesde los ángulos alternas internos, se tienen las Siguientesrelaciones:

Mcdelarníento • PSU --'

Page 154: Preparacion Psu de Matematica SM

111

I

1

La alternativa C) afirma que ó.HCG '= IlGBF, pero porcorrespondencia de vértices se tiene queIlHCG,= ó.FBG. Luego, esta afirmación es falsa, yaque no coincide con el orden de correspondenciadado.

Distractores:

A) En esta alternativa se afirma que IlEAF '= ó.EDH.Los triángulos referidos son:

v~F . H

Estos triángulos son congruentes, ya que sus ladosy ángulos correspondientes tienen igual medida.Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.

B) De la figura inicial se tiene que <l:GFA '= <l:EH(,ya que ambos miden a + zb. Por lo tanto, estaafirmación es verdadera.

O) Por la congruencia de los triángulos AFE, BFG, DHEY CHG, se tiene que EF = FG = GH = HE. Además,105 triángulos mencionados anteriormente sonrectángulos escalenos, porque las medidas de suscatetos son distintas; entonces se tiene quea * b. Luego, EFGH es un rombo, por lo que estaafirmación es verdadera.

E) De la figura inicial se tiene que el triángulo FBG esel siguiente:

>~

8 G

donde el ángulo en B es recto, ya que B es vérticedel rectángulo ABCO. Entonces, el triángulo FBGes rectángulo. Por lo tanto, esta afirmación esverdadera.

'"306 CLAVE· Matemática

D" ·~:ti'~LÁVEA:;Al considerar que ABCO es un paralelogramo, que 105puntos B, C y E son colineales y las propiedades de 105ángulos alternas internos entre paralelas cortadas poruna secante, se tiene lo siguiente:..r..

e

En (1) se afirma que <l:FEC '= ~D Estos ángulos sonalternas internos, ya que AD // BE, entonces son deigual medida.

Por lo tanto, la afirmación es siempre verdadera.

En (11) se afirma que MFD '= ó.EFe. Los triángulosreferidos son:

A~D

~C~E

Para que los triángulos sean congruentes se deberíatener por lo menos una de las siguientes situacones:

- AF '= 87, entonces, por postulado ALA se tendría lacongruenoa

- AD,= EC, DF '= CF y AF,= EF, entonces por 105postulados LLL o LAL se tendría la congruencia.

Pero no siempre se tienen estas situaciones; por lotanto, la afirmación no siempre es verdadera.

En (111) se afirma que AF 1. De. Para que esta situaciónocurra se debería tener que el triángulo AFD esrectángulo en F o que el triángulo EFC es rectánguloen F, pero no siempre setienen estas situaciones. Porlo tanto, la afirmación no siempre es verdadera.

Distractores:

B) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideracomo verdadera la afirmación (11), que no siemprelo es.

e-o'8:J-cO~-:

a'"-os0<

ti.>:

~.'.'"IV':c'··81'~~J;it:>

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideracomo verdaderas las afirmaciones (11) y (III), queno siempre lo son.

O) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideracomo verdadera la afirmación (tll), que nosiempre lo es.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideracomo verdaderas las afirmaciones (11) y (111), queno siempre lo son.

11 CLAVE D·

Al trasladar un punto A(x, y) según un vectorii = (a, b), se obtiene el punto A'(x + a, y + b). En estecaso, se tiene que A(x, y) = A(2, 5) YA'(x + a, y + b) = X(-4, -1). Entonces, las coordenadasdel vector de traslación ii se obtienen al resolver lasecuaciones:

2+a=-4yS+b=-1

Es decir, a = -6 Y b = -6. Finalmente, el vector detraslación es v = ( -6, -6) .

Distractores:

A) Erróneamente, el vedar v = (-2, 4) se obtuvo alsumar los puntos A y A':

(2,5) + (-4, -1) = (-2, 4)

que no representa al vector que traslada el puntoA al punto A'.

B) Al resolver las ecuaciones:

2+a=-4[>a=-4-2

5+b=-1 [>b=-l-S

se cometió un error de signo al sumar losnumeras, obteniendo a = -6 Y b = 6. A partirde Estos valores, se respondió que el vector detraslación es v = (-ti, 6)

C) Al igual que en A), se sumaron las coordenadas delos veneres: (2, 5) + (-4, -1), pero se cometió unerror de calculo y se obtuvo que v = (2, -4).

E) Se resolvió (2, 5) - (-4, -1) = -(x, y) y se obtuvoque (6, 6) = -(x, y). Luego, al escribir el vector seolvidó el signo, obteniéndose que V =(6,6) .

11 '?:i::';;t;:;:;~~~VEe ;¡;~.

Al aplicar una rotación de 270° a un punto A(x, y)con respecto al origen, se obtiene el punto homólogoA'(y, -x). Entonces, como P'(3, -5) es el punto que seobtuvo al aplicar la rotación al punto P(x, y), se tiene:

P'(3, -5) = P'(y, -x)

Entonces:

-x = -5 ~ x = 5 Y = 3

Por lo tanto, P(x, y) = P(S, 3).

Geométricamente, se tiene la siguiente figura:

..~~~--~-:-JY~• ·01 -- .

-.. ---- ._- ~ ,--.

-. . 2 - .p

(.(

~ -s -' -s -) -\ 01\ I 1 J 4\ x

-:1~t-'T . ".p' "

-<o.

D istractores:

A) No se entendió la instrucción del problema y seaplicó una rotación en 270° al punto P' (3, -5) envez de considerarlo como el punto homólogo deuna rotación. De esta forma, al aplicar la rotaciónse obtuvo P(-5, -3).

B) Se consideró erróneamente que el puntoP'O, -5) era el homólogo de un punto P(x, y)luego de una rotación en 180°. Por otro lado, alaplicar una rotación en 180° a un puntoA(x, y) con respecto al origen, se obtiene el puntohomólogo A'(-x, -y). En este caso:

P( -X, -y) = P'(3, -5)

Entonces:

-x=3~x=-3

-y=-5 ~ y=5

Por lo tanto, se respondió que P(x, y) = (-3, 5)

Modelamiento: P~ __ ,

Page 155: Preparacion Psu de Matematica SM

t 111

!

------------------------------------------------~~.

O) No se entendió el concepto de rotación y seconsideró que el punto P'(3, -5) era una simetríaaxial con respecto al eje X, obteniéndose el puntoP(3,5).

E) No se entendió el concepto de rotación y seconsideró que el punto P'(3, -5) era una simetríaaxial con respecto al eje Y, obteniéndose el puntoP(-3, -5)

11 CLAVE C

Si a un punto A(x, y) se le aplica una simetría axialcon respecto al eje X. se obtiene el punto B(x, -y), Ysi al punto B(x, -y) se le aplica una simetría centralcon respecto al origen, se obtiene el punto C(-x, y),Entonces, dado A(- 1,-3), al realizarle una simetríaaxial con respecto al ele X se obtiene el puntoB(-1, 3), Y si a B(-1,3) se le aplica una simetría centralcon respecto al origen, se obtiene el punto C(I, -3).

Distractores:

A) Solo se aplicó la simetría axial con respecto alele X, obteniéndose ((-1,3)

B) Solo se aplicó la simetría central con respecto alorigen, obteniéndose C(I, 3)

O) Se aplicó correctamente la simetría axial conrespecto al eje X, obteniéndose B(-1, 3) Luego,a B se le aplicó, erróneamente, una simetría axialcon respecto al ele X y se obtuvo (( -1, -3).

E) Se aplicó correctamente la simetría axial conrespecto al eje X. obteniéndose B(-1, 3). Luego,se confunde la simetría central respecto del origendel plano cartesiano con la ubicación del punto enel origen, obteniéndose ((O, O).

308 CLAVE· Matemática

11 CLAVE A

Al analizar la figura se observa 'que si se traza unarecta que contenga al punto G' y que los vérticescorrespondientes de los polígonos queden a la mismadistancia de ella, es decir:

F'

Entonces, la mejor transformación que representa estasituación es una reflexión, Por lo tanto, el elementoinvolucrado es un ele de reflexión.

Oistractores:

B) Al aplicar una rotación al polígono PI con centroen el punto G' en 180°, se tiene la siguiente figura

F'

Se observa que los vértices homólogos nocorresponden a los de la figura planteadainicialmente. Por lo tanto, no hay centro derotación involucrado en esta transformación.

C) Al aplicar una simetría central, la rneiorrepresentación podría ser la misma de laalternativa B). Paraque la transforrnaoón seauna simetría central con centro en G', los puntoshomólogos y el centro, en este casoG', deberíanser colineales, lo que en este caso no ocurre.Luego, no hay centro de simetría involucrado enesta transformación.

O) En B) se estableció que no había un centro derotación; por lo tanto, tampoco puede haber unángulo de rotación,

"~'

,;j,fl·'i..¡,~VI,'

j

",.'{

e-o ."8"'Oa-- I ~!!!.:J -~~_:

'"'O:oE:;·0'lr.;-

I:,; .-:V1,!D::c;,o,'o

I .:o -"'. -;)~>.}¿''''~

E) Una traslación mantiene la orientación deuna figura. En este caso, la figura modifica suorientación. Por lo tanto, en la figura inicial PI nofue aplicada una traslación para obtener P2, por loque no hay un vector de traslación involucrado.

1m CLAVE B

Al aplicar la simetría central con respecto al punto A sedebe cumplir que la distancia entre A y B debe ser lamisma que entre el punto homólogo B' y A. Además,B(I, 3), B'(x, y) y A(I, O) deben ser colineales. Enotraspalabras, el punto medio del segmento BB' debe serA; por lo tanto:

(I,O)=MB~

(I,O)=C~x, 3;Y)

I+x 3+y1=- 1\ 0=-2 22=I+x 1\ 0=3+yx=1 1\ y=-3

Así, B'(x, y) = 8'(1, -3)

Realizando el mismo procedimiento parae se obtiene('(3, -1)

Geométricamente:

e

B'

Oistractores:

A) Seaplicó una simetría central, pero con centro en elorigen. Entonces, se obtuvo 8'(-1, -3) Y C(I, -t).

C) No se entendió la instrucción y seaplicó unasimetría axial con respecto al eje Y.ParaB(I, 3), suvértice homólogo es B'(-I, 3) Y parae su vérticehomólogo es C(I, 1).

D) Se resolvió correctamente el problema, perose confundió B' con C. respondiendo e y B',respectivamente.

E) Se dio como respuesta las coordenadas de By C.respectivamente.

m ,CLAVE B

Una teselación regular es aquella en la que solo seutiliza un tipo de polígono regular.

Paraverificar si con cierto polígono regular es posibleteselar un plano debe ocurrir que al unir dos o más deellos, la suma de los ángulos interiores en los vérticescoincidentes sea360°; o bien que 360' dividido por lamedida del ángulo interior del polígono regular sea unnúmero entero.

En (1)se considera que con pentágonos regulares sepuede tese!ar un plano. Estaafirmación es falsa, yaque los ángulos interiores de un pentágono regularmiden 108' y 3600 : 108' = 3, 3 Por lo tanto, conpentágonos regulares no se puede teselar un plano

En (11)se ccnsdera que con hexágonos regularesse puede teselar un plano Los ángulos interioresdel hexágono regular miden 120°, entonces al hacercoincidir el vértice de tres de ellos, la suma obtenidade los ángLlos Interiores es 360°. Además,3600

: 120' = 3, Por lo tanto, con heégonos regulareses posible teselar un plano

En (111)se considera que con octágonos regulares esposible tesear un plano. Estaafirmación es falsa,yaque los ángulos interiores del octágono regular miden135° y 3600

: 135°= 2,6. Por lo tanto, con octágonosregulares no se puede teselar un plano.

Distractores:

A) Estaalternativa es incorrecta, ya que considera laopción (1),que no tesela un plano,

C) Estaalternativa es incorrecta, ya que incluye laopción (1),que no tesela un plano.

O) Estaalternativa es incorrecta, ya que incluye laopción (111),que no tesela un plano.

E) Estaalternativa es incorrecta, ya que considera lasopciones (1)y (Ill), que no teselan un plano

Mn~pl~ mipntn • PSI I ~

Page 156: Preparacion Psu de Matematica SM

, 1I 11

m ?~:i;~~5:?~~~n;1tt~CI¿\~E:K~~:;~!t~~~·~·:~Como los triángulos ABC y DEFson semejantes, sepuede obtener su constante k de proporcionalidad apartir de sus perímetros, esto es:

k = P(ll.ABC) = 36 cm = 1 5P(ll.DEF) 24 cm '

Además, sus respectivas áreas también se relacionan apartir de la constante k:

k' = A(t.ABC)A(t.OEF)

y como A(MBC) = 84 cm', entonces:

15' = 84cm' ., A(t.OEF)

Luego:

A(t.OEF)= 84 cm'1,5'

A(~OEF)=37jcm'

Así, el área del triángulo DEFes, aproximadamente,37,3 cm'.

Distractores:

B) Se cometió un error al establecer la razón entrelas áreas de dos triángulos semejantes escribiendok en vez de k'. Por lo tanto, se calculó el área deltriangulo DEFa partir de la expresión

84 cm'15=--, A(t.OEF)

84 cm'A(t.OEF) = -- = 56 cm'1,5

C) Se cometió un error al establecer la razón entrelas áreas y, luego, otro error al despejar el área deltriángulo DEF,obteniendo:

84 cm'15=--, A(t.OEF)

A(t.OEF) = 1,5 • 84 cm' = 126 cm'

D) En el cálculo de la expresión:

1S' = 84cm', A(t. DEF)

310 CLAVE· Matemática

se cometió un error al despejar A(t.DEF),obteniendo:

84 (m'· 1,5' = 189 cm'

E) Como es un ejercicio de aproximación, elestudiante pudo haber estimado otro valor; porejemplo, 38 cm' o 40 cm'.

m····,··.' ""_'"e ,;.:.:~, _.' •••~: ', ClAVE B e:

Los lados de mayor medida de dos triángulossemejantes son correspondientes; por lo tanto, apartir de sus medidas es posible calcular la razón desemejanza entre ellos. Eneste caso, las longitudes delos lados de mayor medida son B cm y 5 cm, por loque la constante k desemeianza es:

k = Bcm = 1,65cm

Además, la razón entre susperímetros también es k,por lo que:

P(t.,) =1,6~ 16cm =1,6P(t." P(t. J

16~ P(t.)= - cm = 10 cm. 1,6

Luego, el doble del perímetro del otro triángulo es20 cm.

Distradores:

A) Se aplicó la razón k', que es la constante deproporcionalidad entre lasáreasde dos triangulossemejantes y no la de los perímetros; por lo tanto,se obtuvo que el perímetro del primer triángulo es:

16-, cm=6,2scm1,6

Luego, el doble del perímetro del otro triángulo es12,5 cm.

C) Se respondió erróneamente que el doble delperímetro del tri~ngulo pedido es el doble delperímetro dado, obteniendo 32 cm.

,;

~

;{~

r-~~;1:i

Ir;t -..4:t~

t·l'*~i;~Ii$.

'~

l'

;~'ic

D) Se cometió un error al despejar P(t.) en laexpresión:

16cm -16P(t.,) - ,

obteniendo:

P(t.,) = 16 cm • 1,6= 25,6 cm

Luego, el doble del perímetro pedido es 51,2 cm.

E) Se aplicó la razón k' y luego se cometió un error aldespejar P(ll.,), obteniendo:

P(t.,) = 16 cm- 1,6' = 40,96 cm

Luego, el doble del perímetro pedido es 81,92 cm.

m ClAVE B

Si las áreasde dos triángulos semejantesestánen larazón 4 : 1,entonces, la constantede proporcionalidad(k) entre las longrtudes de susladoscorrespondienteses:

k' =~=4~k=21

Esdecir, las longitudes de los lados correspondientesentre los triángulos estén en la razón 2 : l.

Distractores:

A) Secalculó correctamente la razón entre los lados2 : 1, pero luego se obtuvo, erróneamente, la mitadde ella, respondiendo 1 : l.

C) Eneste caso se cometió un error al asumirque la razón entre las medidasde los ladoscorrespondientes es la misma que entre lasmedidas de las áreas, respondiendo 4 : l.

Secalculó erróneamente el doble de la razón desemejanza dada, obteniendo 8 : l.

Secometió un error al asumir que la razón entrelas medidas de los lados correspondienteses elcuadrado de la razón entre lasáreas,y como larazón entre las áreas es4 : 1,se contestó 16 : l.

O)

~·I-E)". --oea.

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m 5;f.~~jt;}J~ft~~rf~2C~VE··~·~S~-··~!'~1:;:2',~,tl~~:¿i~

Como en el MSC, DE/ / CA, es posible establecer una .relación de semejanza entre segmentos. Se tiene:

B

BO BC-=-DE CA4 6

-=-x+ 1 9

6(x+ 1) = 4·96x+6=36

6x = 30

x=5

Luego, el valor de x es 5.

Distractores:

B) Seestableció correctamente la razón:

BD Be-:;:;-

DE CA4 6

-:;:;-

x+ I 94·9-=x+l

6

Sinembargo, secometió un error al despejar x,obteniendo:

36-1_~=5,83x=-6--- 6

C) Seobtuvo Correctamentex = 5, pero se calculóelvalor de x + 1,contestando, erróneamente, 6.

O) Al calcular la longitud del segmento BC secometióun error al considerar solo la longitud del segmentoSOy no la del segmento De. Entonces, al establecerla proporción:

DB BC-:;:;-

DE CA

Modelamiento• PSU .....3.

Page 157: Preparacion Psu de Matematica SM

¡ r :1

Se obtuvo: Distractores: I Aplicando el teorema de Pitágorasen el MDC, se tiene: I m ~. CLAVE A4 4 A) En este caso, el error se produjo al establecer que h' +i =5'-=- Ix+ 1 9 la relación entre las longitudes de los segmentos !'$:'

h' =25-4=21 Si las longitudes de los catetos de un triángulo4(x+ 1)=4·9 SO Y BEes 5 + 2 = 7, Y que estamisma relación i rectángulo son 3 cm y 4 cm, entonces, aplicando eldebe cumplirse para los segmentos OCy EA. fjf. Luego, al aplicar el teorema de Euclidesen el MBC: teorema de Pitágoras,se tiene:4x+4=36 iEntonces: .~

2· q=h'4x=32x + 2 = 10 !l c' = 4' + 3'x=8 21x=8 1f,' 2· q=21~q=- ~c=5

E) Se aplicó una relación de proporcionalidad ;~ 2Luego, se respondió que DC= 8 cm. ~ Así. el triángulo rectángulo es:. I d I BD OC ~: Finalmente, la longitud de Os es ~ cm.Incorrecta, reaoonan o as razones - con - y

DE (A' B) Se cometió un error al afirmar que la longitud del z:;...2

,~

se obtuvo: segmento BC es la misma que la del segmento BA.

*Distractores:

4 2 Con esto, se obtuvo que: -..•. "

A) Solo se calculó h:-=- .:_~.

x+1 9 ~;>p qS+x=7+1O i~ h' =21~h=J2i 5cm---2(x+ 1)=4·9

S+x=17 .J2x+2=36 Por lo tanto, se respondió erróneamente que la Por otro lado, la proyección sobre la hipotenusa delx= 12

":', longitud de 00 es 51 cm. cateto de longitud 3 cm es el segmento de longitud q.2x=34x= 17 Entonces, se respondió que DC = 12 cm.

B) Se calculó correctamente h = J2i, pero se cometió y aplicando el teorema de Fudides. se tiene:C) Se estableció correctamente la relación: un error en la resolución de 2 • q = h' al no . 9m CLAVE E I BD BE 5 7 considerar el cuadrado de h, y se obtuvo: q. 5=3' ~q=5=1,8

-=-<=:}-=-J2iOC EA x 10 h Por lo tanto, la longitud de la proyección del catetoq=-=-Al considerar los datos en la figura, se tiene: I Luego, se despejó erróneamente la incógnita x 2 2 menor sobre la hipotenusa es 1,8cm.

obteniendo que x = ~, entonces, se respondió que Por lo tanto, se respondió erróneamente que laDistractores:2 - 51

- 7 longitud deOB es - cm.B) Se calculó el valor de h como la proyección en vezla longitud de OCes - cm. 2

2 D) Seaplicó de forma incorrecta el teorema de de la proyección pedida, mediante una ecuaciónO) Al igual que en C), se estableció correctamente la Pitágorasen el MDC y h' se calculó: que relaciona el afea:

relación:h' = 5' + 2' = 25 + 4 = 29 3·4 b·h 5·h

BO SE 5 7Luego, al aplicar el teorema de Euclidesen el

A(!'» =-2-=6 ~-2-=-2-= 6 =} h = 2,4-=-<=:}-=-

Luego, se respondió erróneamente que la longitudDC EA x 10 triángulo ASe, se obtuvo:Luego, se despejó erróneamente la incógnita x: de la proyección es 2.4 cm.Entonces, por semqanza de triángulos: 2 ·q=h'

5+ 10 15 29e) Se consideró, erróneamente, que la proyección

SO BE x=--=- 2·q=29=}q=- tiene la misma longitud que el cateto. En este-=:- 7 7 2 caso,3 cm.BC BA5 7 Así, se respondió que la longitud de OCes ~ cm. ~ Entonces, se respondió erróneamente que la D) Secalculó la longitud de la provercion del cateto-::::::- -o

7 'o - - 29 mayor sobre la hipotenusa, y no la del menor; en5+x 17 v~ longitud de OB es - cm.-oeste caso, p. Entonces:7(S+x)=5 ·17 m e 2

CLAVE C o-1! - E) Se cometió el mismo error de D), obteniendo, , 1635+ 7x =85 ~

Como el triángulo ASC es rectángulo en C y CD es '" h' = 29. Luego, se aplicó el teorema de Euclides, p. 5=4' ~P=5 =3,27x=SO '"-oaltura, se tiene la siguiente figura: .s considerando h y no h', resultando:50 l' Finalmente, se respondió erróneamente que laox=- e s: h 59 longitud de la proyección es 3,2 cm.7

;~

:2 q=-=-- 50 '" 2 2

E) Secalculó la longitud de la hipotenusa (5 cm),'"Luego, la longitud de DC es - cm. die Por lo tanto, se respondió erróneamente que la pero se confundió el concepto de proyección con7 o'0

- J29 el de hipotenusa, respondiendo que la longitud de~ longitud de OB es - cm. la proyección pedida es igual a lade la hipotenusa.A 2cmO q B ti 2

,"- 312 CLAVE· MatemáticaModelamlento • PSU -1

Page 158: Preparacion Psu de Matematica SM

1. Sistemas de medición de ángulos

~ Sistema sexagesimal: su unidad de medida básica es el grado sexagesimal ~), que se obtiene al dividirla circunferencia en 360 arcos de igual longitud. Sus subunidades son el minuto (1') y el segundo (1").Sus equivalencias son:

1°=60' 1'=60" 1° =3.600"

~ Sistema radial: su unidad de medida se llama radián (rad) y correspondea la medida del ángulo del centro de una circunferencia de radio r quesubtiende un arco de longitud r. Como un ángulo de 360° subtiende un arcode longitud 21tr, se tiene la siguiente relación entre longitud de arco, gradossexagesimales y radianes:

longitud del arco Medida del ángulo del centro en Medida del ángulo delgrados sexagesimales centro en radianes

-

2rrr 3600 2rrrad

360°1 radr -

2rr2rrr

~rad- 10360 360

Simplificando se obtiene que:,-o -------1

o ilrad = 1~0 I180° = r. ;~d I

I

Ejercicios resueltos

1. Expresa 11° 24' 45" solo en grados sexagesimales.

i) Para expresar 45" en grados, es posible aplicar la siguiente proporción:

l° 3600"-=_._~ x =0,0125°x 45"

ii) Para expresar 24' en grados, es posible aplicar la siguiente proporción:

l° 60'-=- ~y=0,4°y 24'

Parla tanto, 11° 24' 45" = 11° + 0,4° + 0,0125° = 11,4125°

.' 314 CLAVE·Matemática

~;I:~~~,:

I1-~.

'\:

e:g.u

"'O!Lo-~"'"'":5~a. I- «:

--

•••2. Expresa los siguientes grados sexagesimales en radianes.

a. 30° b. 900 c. 270°

Como 1800 = rr rad, para transformar x grados sexagesimales a y radianes es posible aplicar:

180 1t x-x-=-~y=-

x y ISO

Luego:

a. 300 = 30 .1t rad =.! rad180 6

b. 900 = 90 'rr rad = .! redISO 2

270· n: 3c. 270° = -- rad = -rr rad180 2

3. Expresa los siguientes radianes en grados sexagesimales.

a. 2:. rad b. ~ n rad12 6

c. ~ n rad3

Como n rad = 1800, para transformar x radianes ay grados sexagesimales es posible aplicar:

n: 180 x·1SO-=-~y=--x y rr

Luego:

~ .1800a. ~rad=_12 __ =15°

12 rr

2.1800

b 2rrrad =_6_-=150°. 6 rr

~rr ·180°c. ~Ttrad= 3 240'3 n

Ejercicios propuestos--------

1. Expresa los siguientes grados sexagesimales en radianes.

a. 600 b. 1800 c. 450

2. Expresa los siguientes radianes en grados sexagesimales.

2 5a -1t rad b. -rrrad. 3 4 C. ~1t rad3

3. Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala.

6° 10' 12"

36,25° 0,5°6,17°

370,2' 136'

22.212" 7,26" 1"

Triaonometria 31

Page 159: Preparacion Psu de Matematica SM

1111

Iy,.~•.

2. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Entodo triáng~¡~ rectángulose definenrazon~ trigonométricas para susángulos interioresagudos.Ellasson:seno (sen), coseno (cos), tangente (tg) y susredproeas:cosecante(cosee),secante(sec)y cotangente(cotg).

Enel ~8C dibujado, donde a y b son los (atetos del triángulo A8C, e la hipotenusa y a y ~ son los ángulosinterioresagudos, se tienen lassiguientesrazones:' B

a .- b asenea) = - cos(a)=- tg(a)=-

e c bb a bsen(~) = - eos(~) =- tg(~) =-c c a

11 ,a=...."C b A

A partir de ellas se definen sus razonestrigonométricas recíprocas:

I . ccosee(a)= sen(a) = a I c

sec(a) = cC6(a) =¡;-I b

cotg(ix) = tg(a) ~ a1 c

cosee(p)= sen(~) =bI c

sec(P) = cC6(P)= a I acotg(~) = tg(~) =b

Ejercicios resueltos

1. Calcula las razones trigonométricas para p en el ~8C dibujado.

6 6 10a. sen(p) = - = 0,5 c. tg(P) = - = 0,75 e. seC(P)=a=I,2510 8 8cm

8 10 - 8 -b. cos(~)=-=O,8 d. cosec(p)=-= 1,6 f. cotg(P)= - = 1,310 5 5C

6cm

2. Sien el siguiente triángulo dibujado sen(~) = 0,45, «uél es el valor de cos(a) y de tg(a)?

''"~bcm

i) Por ser triángulo rectángulo de caletas a y b cuya hipotenusamide 20 cm,se tiene:

bcmsen(p) = --= 0,45~b=9

20cm

ii) Porotro lado, aplicando el teorema de Pitágoras,se tiene:

a' +9' = 20' ~ a' = 400 - 81= 319 ~a= J3l9

iii) Finalmente,como ya se tienen las longitudes de los lados del triángulorectángulo dibuiado, es posible calcular que:

bcm 9 a J3l9cos(a)=--= - y tg(a)=-=-20 cm 20 b 9

316 CLAVE· Matemática

~,

A

i:-o •'S~],a. .!!g••.";§s:;~

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.1)e:.8/

I~" '""'o·.~.,J~,

i~

3. Representa las razones trigonométricas del ángulo de medida a dibujado en la circunferencia unitaria decentro O.

GI ---=:::: 7i La circunferenciaunitaria es aquella cuyo radio tiene unalongitud de una unidad de medida. Así,08 = OD = OG= l.Por lo tanto, en la figura se tiene que:

oi) sen(a) = AD ii) cos(a) = OA

Considerando los triángulos semejantesAOD, BOEy COF,es posible obtener:

iii) AO = ~ ~ sen(a) = BE~ tg(a) = BEOA 08 costa) 1

. 08 OC 1 OCIV) -=-~--=-~cotg(a)=OC

BE CF tg(a) 1

OB OE 1 OEv) -=-~--=-~5e{(a)=OE

OA 00 cC6(a) 1

. CF OF 1 OFVI) -=- ~--=-~cO\ec(a)=OF

AD 00 sen(a) 1

Ejercicios propuestos

1. Calcula las razones trigonométricas en 105siguientes triángulos:

a. ~13cmS cm

a12cm

b~,

a-I

2. la figura representa parte de una circunferencia unitaria.Si los triángulos AOD, BOEy COFson semejantesy cos(a) = 0,86, G I Fcalcula: =::::::: 71a. OA

b. OC

c. AD

d. BE

e. OE

f. OFo

~ Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál es el valor de sen'(a) + cos'(a) en un triángulo rectángulo, en el que las longitudes de sus catetosson 8 cm y 1S cm y la medida de uno de sus ángulos interiores agudos es a,7

A) 1 O) (~)' E) (*)'B) 17 C) 289

2. Si a es la medida de un ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo, tal que tg(a) = ~ y la longitud dela hipotenusa del triángulo es 10 cm, ¿cuálesel doble del perímetro del triángulo? 4

A) 6cm B) 12 cm C) 14cm O) 24 cm E) 48cm

Trioonometria 31

Page 160: Preparacion Psu de Matematica SM

111 ~

I 3. Razones trigonométricas de ángulos notables

A partir de la drtunterenda unitaria, es posible obtener las razones trigonométricaspara ciertos ángulos llamados notabl~:; '"' .

Eiemp¡~: "i, .. ,> ;.,,:~';-;'~;":.}¡;::;, ,,:. .En la figura es posible observar que se formó un triángulo equilátero. Por lo tanto,sen(300) = 0,5. También se pueden determinar las razones trigonométricas púa losángulos 0°, 45°, 60° Y 90°. . ;,.~.. ' ..•..,En resúmen:

u.T

a O· 30· 45° 60° 90°

sen ••••••cos • - ••-tg

o

No definido

132

o

133

13o

Ejercicios resueltos

l. ¿Cuál es el perímetro del siguiente triángulo?

e

b~'

~A 12cm

Para el ángulo de 30° se tiene:

') b ") 13 r:I tg(30")=- ~b=12· tg(30 =12, -=4>,3

12 3

.. 12 12 12 24 13 r:11) cr:JS(30}=-~a=--= n= r:' ,-=8>,3

a c05(30") "3 >'3 >,32

Así P =( 4J3 + 813 + 12) cm =(1213 + 12)cm = 12( 13 + l)cm

2. Una escalera de 8 m de longitud está apoyada en una pared, como muestra la figura. lA qué altura de lapared y a qué distancia de la base del muro está apoyada la escalera?

Como se muestra en la figura, se forma un triángulo rectángulo, donde h es laaltura de la pared a la que está apoyada la escalera y d es la distancia entre lapared y la base de la escalera, por lo tanto:

i) sen(60")=~~h=8' sen(60")=8 ' 13 =4138 2

ii) cos(60")=~~d=8' cos(60")=8 '.!.=48 2

8m

Por lo tanto, la altura h de la pared es ~13 m =6,93 m y la distancia d entre la base de la pared y la parte inferior de laescalera es 4 m.

318 CLAVE· Matemática

¡!.

1'~~"..."f ~

"..~e

e<J I'0u;:¡'O§.2!i.leo'OJ5:g

I ~o:

='111.

'"~o'0'6uJ

Q

",t.

Ejercicios propuestos

1. Determina el valor numérico de las siguientes expresiones.

a, sen(OO) + cos(600) + tg(1800)

b, sen(45°) - cos(900) + tg(300)

c. cos'( 45°) + cotg(600) - sec'(o")

d tg' (30°) - cos(OO). JCOtg(45°)

cosec(2700) sec(45°)e.sec(600)

f. sen(45°) + sec(45°)COtg(300) cosec(900)

2. Determina el perímetro y el área de los siguientes triángulos:

a.

5cm30'

~ Marca la alternativa correcta.

, Otros valores:

a 180· 270· 1

sen O -1cos -1 Otg I O No definido I

b,9cm

60"

l. La luz de un faro ilumina a un barco que está a 250 m de la base del faro. ¿Cuál es la longitud del rayo deluz si el ángulo que se forma entre el faro y el rayo luminoso es de 30°)

A) 125 mB) 250mC) 500 mD) 250J3 mE) 500J3 m

2. En el rectángulo ABCO, «uál es el área del.lABD7

A) 13 cm'3

B) 213 cm'e) 613 cm'D) 1213 cm'E) (2J3+6)cm'

~ 6® e30"

A B

Troonometna -1

Page 161: Preparacion Psu de Matematica SM

r 11

.\.L

4. Razones trigonométricas de algunos ángulos:{> ~'. (i . :;:;.'<.,:::::','r,i·,::'!i/:\''.'

A partir deun ángulo agudo a, se pueden determinar las razones trigonométricasparasucgmplem~nto<

( ~ - a]' ~ara su suplemento (It .~a),.p~ra~el ángulode medida (1t~ a) y para el~ng¿I~'d~ m~dida(-~;.

Para ello, se puede utilizar la circünferén(i~ uiiitaria. -.

1

sen( ~-a ) • =--.,

sen(a) •• ,1 I ~

g(~-a)= cos(a) 1

sen( %-0 )=COS(o.) cos( %-0. )=sen(o.)

tg( %-0. )=cotg(o.)

__.. ?~~~n_~:'-)ls_e!15<:¿ . __

-1 -costc) costo)

sen( ¡¡ - a. ) = sen( a)

cos( ¡¡ - a) = -cos( a)

tg( ¡¡ - a) = -tg(a)

sen(rr+a)=-sen(a) J sen(-a)=-sen(a)I wo'~'r '!l/a)) ¡ l. cos(rr+a)=-(os(a) () -1 cos(-a)=cos(a)

-. I -1 COSatg( rt +a) = tg(a) tg(-o.) = -tg(a)

-1 -1

Ejercicios resueltos

1. Calcula las siguientes razones trigo no métricas.

.J3a. sen(1200) =sen(I80° -600)=sen(600)=-

2..J3

b. cos(1500) = COS(180°- 30°) = -(OS(300) = --2

c. tg(I35") = tg(180° - 45°) =-tg(45°) =-1

1d. sen(210°) = sen(180° + 30°) = -sen(300) = --

2

320 CLAVE· Matemática

e. (os(225°) = cos(1800+45°)=-(OS(45°) =- J22

f. tg(2400) = tg(180° + 60°) = tg(600) =..J3

.fig. sen(315°) = sen(-45°) = -sen(45°)= --

2

1h. COS(3000)= cos(_60°) = (os(600) =-2

es'~

1~

~<

P-~.

f~~'-':0!r)

~q

- - - -- •.• 111.

Ejercicios propuestos

1. Calcula las siguientes razones trigonométricas.

a. sen(1500) f. sec(300') k.. cosec( 150°)

b. COS(2400) g. tg(1200) 1. sec(-600)

c. cosec(2700) h. cotg(315°) m. cotg(-600)

d. sen( -45°) i. tg(-300) n. cosec( -120°)

e. cos( -60°) j. sen(3600) ñ. sec(-3600)

2. Transforma los radianes a grados sexagesimales y calcula las razones trigonométricas.

a. sen(rr) f. cose:) k.. cose;)

b. cos(2rr) g. secC:) 1. tg( - 341t)

C. tg( ¡) h. sen(-rc) m. sec( ~ 23rr)

d. cotg( 3;) i. cos( 5;) n. cotg( -¡)e. sen( 2;) j. sen( - 3;) - ( Srt 1n. tg 4.

3. Determina el signo de las razones trigonornétricas de los siguientes ángulos.

6¡¡7

13rr11

9¡¡1t5

19° I 97° I 2010 I 312° I Interva lo I sen r (OS tg I11 rr 1; I

0<0.<- + ¡ + .,..:

I 2 1: I2 < cr < n I

J ~ ! ¡1 .::... l'

i 3 I1 ;;:<a<-rr '1

I 2+

~ I I-¡¡<a<2rr! - I + - I/ I ¡ I

4. ¿Cuáles son los valores de ~ en cada caso?

~

1 ..J33. cos(~) = -y sen(~)=--2 2

b. (otg(~) = I Y sec(~) =-J2 d. cosec(~)=J2 ysec(~)=-J2

c. sen(~) = O Y cos(~) =-1

Trinf'lnAmo1ri':l ~?

Page 162: Preparacion Psu de Matematica SM

11115. Identidades trigonométricas

~ Una identidad trigonométrica es una igualdad compuesta por razones trigonométricas que es verdaderapara cualquier valor en el dominio de definición de dichas razones. Algunas de ellas son:

cotg(a) = cos(a)sen(a)

tg(a) = sen(a)cos(a)

I sen(a)· cosec(a) = 1 I 1 cos(a)· sec(a) = 1 I I tg(a)· cotg(a) = 1

~ Las identidades pitagóricas son las que pueden ser deducidas del teorema de Pitágoras.

1 sen'(a) + cos'(a) = 1 11 sec'(a) = 1 + tg'(a) 1 cosec'(a) = 1 + cotg'(a)

Ejercicios resueltos

1. Si el coseno de un ángulo agudo a es .!. , «uál es el valor de sen(a) y de tg(a)?5

Aldespejar sen(a) de la identidad írigonornénica sen'(a) + cos'(o) = 1, se obtiene:

sen(a) = ±Jl- cos'(a)

Considerando el valor positivo, ya que a es agudo. es decir, O < a < 90°, se tiene:

sen(a)=~I-(.!.)' = Cl = (24 =2165 VI-iS ViS 5

216Y de la definición de tangente se obtiene que tg(a) = sen( a) = 5 = 216.

cos(a) 15

2. Si sen(a) =.!., y 90° S a S 180°. «uál es el valor de cos(a) y de secta)?3

Aldespejar cos(a) de la identidad trigonométrica sen'(c) + cos'(o) = 1, se obtiene:

cos(a)=±Jl- sen'(o)

Considerando el valor negativo. ya que 90° S a S 180°, se tiene:

cos(a)=-~I-(H =-R =-~=- 2¿

d I d f . '. d b . () 1 1 3 3.J2Y e a e 1n1(lon e secante se o tiene que sec a = -- = ---¡:: = - ~ = - - .cos(a) 2-.12 2-.12 4

3

,lo. _ 322 CLAVE· Matemática

e-o'uu~."oo.e"~~"'t..;

*~:o'tl I ~'Ó,'1'~<!:

--:~.~~:;..

•••3. Verifica las siguientes identidades.

a. tg(a) + cotg(a) =sec(a)cosec(a)

sen(a) cos(a)tg(a) +cotg(a) = -- +--

cos(a) sen(a)

= sen'{a)+cos'{a)cos(a)sen(a)

1

Como:sen'(n) + cos'(a) = 1

Se tiene:-1 S sen(a) S 1-1 S cos(a) S 1

para cualquier valor de a.

Luego:

cos(a )sen( a)=sec(a)cosec(a)

1- 2sen' (a)b. = cos(a) + sen(a)

cos(a) - sen(a)

1-2sen'(a) = cos'(a)+sen'(a)-2sen'(a)cos(a) - sen(a) cos(a)- sen(a)

cos' (a) - sen' (a)cos(a)- sen(a)

(cos(a) + sen(a»~aí5

~= costa) + sen(a)

1 - sen-(c) 2 O

1 - cos'(«) 2 O

Por lo tanto'

COS(rJ.) =±Jl- sen·(u.)

sen(ul = ±Jl- cüs-((/)

Ejercicios propuestos

1. Si ti, f3y y son las medidas de tres ángulos agudos, calcula el valor de las razones trigonométricas restantesen cada caso.

4a. tg(a) = -

3b. sec(f3) = 2 c. cotg(y) = 13

2. Si tg(a) = x, determina las otras razones trigonométricas de a en función de x.

3. Aplica identidades trigo no métricas para simplificar las siguientes expresiones.

sen'(c)a. ---1+ cos(a)

b. sen(rr+ f3)cotg(rr + f3)tg( rr - f3)

sen(rr + o)cas( n - o)c.

cos( ~-o )senD-8)

4. Verifica las siguientes identidades.

a. (1 - cos'(o) cosec'(o) = 1 d. ~+~=_2_secta) -1 secta) + 1 sen(a)

b. sen(f3) sec(p)( c1sec'(f3) - 1) = cotg(f3) . secta) - 1 1- sen(a)e. catg'(a)--- = sec'(a)---sen(a) + 1 sec(a) + 1

1 1 '( )c. --- + --- = 2sec a1+ sen(a.) 1- sen(a)

Trioonometri" 32

Page 163: Preparacion Psu de Matematica SM

r 116. Adición y sustracción de ángulos~~f~!"':j~E~t~'~~'F:r~-~'~;;~:~~~~;f:3'~~~~1-··~i.::~·-,.1r~<i;~.~:.-.,.~, .- _"~,~. ~ . 'OtraS identidádestngononíétricas que. tienen relación con la adición y sustracción de éngelos son lasg{~tt~~1~n.~§;~~t;~*:~~~if¿R~;~%t\~::f;'~>."..;'::;2Y'('~"'" :.',';;;"r!:, sen(a +~) = sen(a)cos(ll) + cos(a)sen(~) ., cos(a +~) = cos(a)cos(~) - sen(a)sen(~)

f!::;o;.-,.-,c",,,,',' ;":~",;'-,,~..'v~'~'l'••;. .c, ,Y'. :..'.:.,••:'. J'':. _.'~";;,.'.' ~

~"',.,,,....,?,,.... "".:,"~'.'--' '.~"'. ,._-------'--------I sen(a -~) = sen(a)cos(~) - cos(a)sen(~) 11 cos(a -Il) = cos(a)cos(ll) + sen(a)sen(~)• ".":.:.".:-"__>r - : ..~ .n-

cos(2a) = cos'(a) - sen'(a)sen(2a) = 2sen(a)cos(a)

·V __ ;>. sen( ~ )=±l-c¡a) cos( ~ ) = ±~1+ c~(a)

Ejercicios resueltos

1, Determina una fórmula para tg(a + Il)'

sen(a + A)tg(a+~) ..,cos(a+~)sen(a)c05(~) + cos(a)sen(~)cos(a)c05ep) - sen(a)sen(~)sen(a)cos(~) + cos(a)sen(~)

cos(a)cos(~)

/ identidad trigonométrica

/ identidad de adición de ángulo

1/ amplificando por cos(a)cos(~)cos(a)cos(~) - sen(a)senep)

cos( a )cos(~)

sen(a)~ ~sen(Il)'-'----'-''---':....:,-+cos(a)~ ~(os(ll)

~ sen(a)sen(ll)~ - c05(a)c05(~)

tg(a) + tg(~)1- tg(a)tg(~)

/ separando y simplificando

2. Determina una fórmula para tg(a - (3).

tg(a - ~) = tg(a + (-(3» / aplicando identidad ejercicio 1

= tg(a)+tg(-(3) /tgH)=-tg(~)l-tg(a)tgH)tg(a)- tg(ll)l+tg(a)tg(13)

En los eiercioos 2 y 3 se utilizó laidentidad

tg(a+I3)= tg(a)+tg(l3l1- tg(a)tg(ll)

encontrada en el primer ejercicio.

•••.••. 324 CLAVE· Matemática

",;

~

e:]:J

1la.:!!a

1a.

~..'"e:·8~Q

J. Determina una fórmula para tg(2a).

tg(2a) = tg(a + a) / aplicando identidad ejercicio 1= tg(a)+tg(a)

1- Ig(a)tg(a)

= 2tg(a)l-tg'(a)

Ejercicios propuestos

--- ...,

1. Aplica identidades de adiciones y sustracciones de ángulos para determinar cada valor.

a. sen(75°)

b. cos(75°)

c. Ig(75°)

d. sen(15°)

a. sen(1200)

2. Aplica identidades de ángulo doble para determinar cada valor.

b. cos( 120')

3. Si cos(a) = -0,5 Y 180° S aS 270°, determina cada valor.

a. sen(2a)

b. cos(2a)

c. sen(3a)

d. cos(4a)

e. cos(15°)

f. Ig(15°)

c. tg(1200)

e. Ig(5a)

sen(6a)

4. Aplica identidades de ángulo doble para demostrar las siguientes identidades.

a. sen,(~)=l-C~S«('() b. cos 1 ( ~ ) = 1+ (~s( a)

a. sen(22,5')

S. Aplica identidades de la mitad de un ángulo para determinar cada valor.

b. cos(7,5 0)

[i;El!] Marca la alternativa correcta.

c. Ig(37,5')

d. sen(37,5°)

1. Si tg(cx) = -2,4 Y 90°:::; « s 180°, «uál es el valor de sen(2a)?

120 120A) - B) - - C) -1 2 D) -48169 169 ' ,

2. Si sen(a) = -0,6 Y 180° s a:::; 270°, ¿cuál es el valor de sen( ~ }

1A) 3.J1O

10B)

'"

3.J1O10

C) -0,3 D) 0,3

t ,(a)_ l-cas(a)c. g - ----2 l+cas(a)

e. cos(22,5°)

f. tg(7,5°)

E) 4.8

E) -1,2

Trinr.nnmotri':l 1?

Page 164: Preparacion Psu de Matematica SM

1: 1'1.,¡i

Cuerpos geométri cos 0. .

1. Poliedros regulares

~ Un poliedro es un cuerpo geométrico acotado por polígonos. Sus elementos principales son:

- (aras: son cada uno de los polígonos que lo Cara ..acotan.

- Añstas: son los lados de sus caras.

Vértices: son las intersecciones de las aristas.

Angula diedro: ángulo formado por dos carascon arista común.

Angula poliedro: ángulo formado por tres o máscaras de vértice común.

Ángulopoliedro'Angulo

diedro

~ Un poliedro es convexo si es intersectado por una recta, a lo más en dos caras; o cóncavo, si esintersectado por una recta en más de dos caras.

~ Un poliedro es regular si todas sus caras son pollgonos regulares congruentes. Además, este tipo depoliedros es convexo y sus ángulos diedros son de igual medida. También sus ángulos poliedros soncongruentes. Se clasifican en:

Formado porseis cuadrados.También sedenomina cubo.

Formado porcuatro triángulosequiléteros.

Formado por12 pentágonosregulares.

Formado porocho triángulos

equiléteros.

Formado por20 triángulosequiláteros.

Ejercicios resueltos

1. Analiza los siguientes poliedros. Luego, clasifícalos entre cóncavos y convexos.

a. c. e.

Cóncavo CóncavoConvexo

f.d.

" ConvexoConvexo

b.

Cóncavo

~.26 CLAVE· Matemática

e<J'8,'OoC.l'!

"~~'OP-s:eo.

::i I .,'"·w~'0 I -"~'"g

Ejercicios propuestos

1. Completa la siguiente tabla.

Poliedro N° de caras N° de vértices N° de aristas

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

•••

Fórmula de Euler

En todo poliedro convexo S2 cumpleuna relación entre el número C decaras, el número V de vértices y elnúmero A de aristas. Esta relación seconoce como fórmula de Euler

C+V=A+2

2. Identifica el poliedro que se construye a partir de las siguientes redes. Luego, escribfja letra de la red en elcuadro del poliedro que corresponda.

V~A..fufPB~'C~D,- ...• . ,',':. . ",' , .!": .. " •"'. '. .. - .

G

~

H

~

~a:f:F0~RlfSj;j ~ ~ ~ LJ)

~. .------,LJ

<? oO

------, o~'

I-~I'---- '----~

~©l1······1 ./~ .¡---'~

~. .\-----------

~.

'-- __ o

Cueroos oeométrims 3;

Page 165: Preparacion Psu de Matematica SM

'1Ij2. Prismas y pirámides

J ,.~ -: •••• -:,~: ~ e-./ ... · R • .;._,'.,-.: > . .it:~..... _.',' ",~ Un prisma es un poliedni formado p§rdos caras congruentes y.

. paralelas, llamadas bases, y caras lateráleS.qué~son parafelogramos ..Su altura es la distancia entre las bases.CUando las bases son ('., "

<' poUgonos regulares, el prisma se denomina regular," '

E;~¡ea;éÁ)::~e la s;~pe~~ie' y e¡volu'm~~ M de ún prisma se puedeno.alcúlar como: ' '. . o . ,. .

Caralateral

Base

Altura

• I/~Base

Vértice

Cara. ,tjlateral

...• .~..

Ejercicios resueltos

Apotema

e.

1. Clasifica los siguientes poliedros entre prismas o pirámides y entre rectos u oblicuos.

a. c.

@!¡RectangUIOSI_ •.• __ l

...... -".

Prisma recto

rff7U1J [JJ""""

Prisma oblicuo Prisma recto

b. d.

J!j)f,

.... íriangulo:' sosceles

r,>: :_--_ :.. .

Pirámide recta Pirámide recta Pirámide oblicua

o. 328 CLAVE, Matemática

írianguloescaleno

Los prismas rectos e-ose diferencian de los 8~prismas oblicuos por -o

2tener sus aristas laterales o-

&perpendiculares a las ~~aristas basales. ~

:!!

Las pirámides rectas ~.

"-se diferencian de las :2pirámides oblicuas 11I

I -e;

'"por ser todas sus caras "eolaterales triangulos :0

sósceles. ~ -1)

,'.!t

••••2. ¿Cuál es el área (A) y el volumen M del prisma regular recto dibujado?

@!!: ¡

! ! 12cm

\ l4 an

Como la base (hexágono regular) se puede dividir en seistriángulos equiláteros congruentes (ver figura). es posibleaplicar el teorema de Pitágoras, con lo que se obtienea = 213 cm, Luego:

4·213 1 r= 1A =6· --cm =24"3 cmB 2

Además, el perímetro (P¡¡) de la base es 24 cm y como h = 12 cm, se tiene que\ = P, • h = 24 cm - 12 cm = 288 cml. Así, el área (A) es:

A=A, + 2A, = (288+ 2· 2413)cml =( 288+48J3)cm' =48( 6+ J3) cm'

Finalmente, el volumen es V =r« h=2413 on' ·12cm = 28813 en'.

2an

c=>3. ¿Cuál es el área (A) y el volumen M de la pirámide regular recta dibujada?

ScmApotema (a)

Ejercicio propuesto

Paracalcular la longitud de la apoterna lateral de la pirámide sepuede aplicar el teorema de Pitagoras sobre el triángulo dibujado(ver figura). Se obtiene así que a = 13 cm, y como la base de lapirámide es un cuadrado de lado 10 cm, se tiene que P, = 40 cmy ~ = 100 cm2 Luego, el área lateral (\) es: •

a -P 13·40, 'A =--' =--cmo=260cmo

l 2 2

~''''Scm

'~"~,: .' ;;~oo "A~,~ ~2Aa. oy =.1:-.' h. .:',donde Aa es el área basal, h es la altura y A¡, es el área lateral, que se puede calcular como:

\=PB-h .

donde Pses el perfmetro de la base del prisma,

~ . Una pirá~ide es un poliedro formad~ por una base quees un polígono cualquiera y por caras laterales que sontriángulos que concurren en un punto llamado vértice de lapirámide, Su altura es la distancia entre la base y el vértice,y sus apoternas laterales son las alturas de cualquiera desus caras laterales, Cuando su base es un polígono regular y Base

sus caras laterales son congruentes, se denomina pirámideo -regular,

Si PBes el perlmetro de la base de una pirámide regular y a la longitud de su apotema lateral, entonces elárea (A) de su superficie y su volumen 0/) se pueden calcular como:

A ·hA=\ +~ V=-'-

3donde Aa es el área basal, h es la altura y A... es el área lateral. que se puede calcular como:

..' , .. "",-~ ~::" ',' "ft,' a - P,'=T

Así, el área (A) es:

A = A... + Aa = 260 cm' + 100 cm' = 360 cm'

Finalmente. el volumen M de la pirámide es

A,·h l00.12an'=400cmV= '-= 33

1. Para cada poliedro regular de arista "a" dibujado aplica las fórmulas dadas y calcula su área (A) yvolumen 0/).

a. Tetraed ro b. Hexaedro c. Odeedro d. Dodecaedro e. lcosaedro

43 dJJ: ~. 2cm ©cm ocm3cm: i ...._ J .---- :.:-- -.

"J-------- --o 0.---- °i----o

-- ,:, -, \. (o o>, 'o",------ ._.... _--- 'scm : ' -'o,

------0,A=13a'

-12 1 iV=-a i

12 I'--~

r::>¡ A=6al!

lv = a' J

,.¡ t: ,i A = Sv3ao

i V=15+s-ISaJi 12\. -

A= 213a'-120

V=-a'3

A=3-hS+l0-lSa' :. 15+7-1S J. V=--a

4

r.lIp.rnos of'Omp.trim~ X

Page 166: Preparacion Psu de Matematica SM

Un sólido de revolución esaquel qué se genera al rotar una figura plana en torno a una recta llamada eje derevolución. Algunos de ellos son: '

~ Cilindro: se obtiene al rotar un rectángulo en .torno a uno de sus lados. Se llama generaIJiz'del cilindro ar lado del rectángulo paralelo al ejede revolución, que, en este caso, coincide conla altura del cilindro. Si la base del cilindro tiene

. radio r y su altura es h, entonces el área (A) y suvolumen 0f) se pueden calcular como:

3. Sólidos de revolución

A = 2Aa + \ = 2m' + 2mh

v= nr'h

donde ~ es el área basal y A,. es el área del manto.

~ Cono: se obtiene al rotar un triángulo rectángulo entorno a uno de sus catetos. la hipotenusa del triángulose llama generatriz del cono. Si la base del cono tieneradio r, altura h y generatriz g. entonces el área (A) y su

. volumen M se pueden calcular como:

A=~ + A,.= ltr' + nrg

V=~m'h3

donde ~ es el área basal y ~ es el área del manto.

~ Esfera: seobtiene al rotar un semicírculo entorno a su diámetro. Sellama generatriz de laesfera a la semicircunferenciaque determinaal semicírculo.Si la semicircunferencia tieneradio r, entonces el área (A) y su volumen Mse pueden calcularcomo:

A=4nr'

V=~m'3

Ejercicios resueltos

•Base

Manto

Altura (h)

Generatriz (g)

Base

Base

Eie de revolución

•• .• !'r=... ' .....~~

1. Determina el cuerpo de revolución que se genera al girar cada figura plana dada con respecto al eje derevolución definido en cada caso. luego, calcula su área y su volumen.-....6cmJ .'. ,:. h=6cm

~. I :~~~bn·~ ~_t _

2 cm '

"

a. Un rectángulo de ancho 2 cm y largo 6 cm. Su eje de revolución es ellargo del rectángulo.El cuerpo de revolución es un cilindro de radio 2 cm y altura 6 cm. Suárea (A) y su volumen M son:.¡

! A = 2m' + 2mh = 2rr • 2' cm' + 2rr • 2 • 6 cm' = 32rr cm'V = m'h = n • 2' cm' • 6 cm = 24rr cm'

340 CLAVE • Matemática

eo'8:>

'Oe~ -:>'"'"'O I"IJ'z '"oo:~ IoJl

~g:eo'o] I '"o.

w..b. Un triángulo rectángulo con catetos de longitud 4,5 cm y 6 cm e hipotenusa de longitud 7,5 cm. Su eje de

revolución es el cateto de mayor longitud,

El cuerpo de revolución es un cono de radio 4,5 cm, altura 6 cmy generatriz 7,5 cm.Su área (A) y su volumen M son:

A = m' + rrrg = (rt • 4,5' + rr • 4,5 • 7,5) cm' = s4n: cm'

4,5 cm V=~m'h=~rr. 4 s'om'. 6cm=40sn: cm'3 3' ,

c. Un semicírculo de radio 3 cm. Su eje de revolución es su diámetro .

~--~-~~

El cuerpo de revolución es una esfera de radio 3 cm.Su área (A) y su volumen M son:

A = 4m2 = 4rr • 3' cm' = 36rr cm'

V=~m' =~n:. 3' cm' =36rrcm'3 3Ejercicios propuestos

1, Según cada red de construcción, calcula el área y volumen del cuerpo generado .

a. b. c.cm

6cm

5cmr= I cm

~ Marca la alternativa correcta .

1. ¿Cuál es el área de la semiesfera dibujada?

A) 32rr cm'B) 48rr cm'C) 64rr cm'D) 80rr cm'E) 8S,3rr cm'

.:',~ 4cm~

-- cono truncado SE forr¡-a ,,1:,:/-:.31" '"'~ reno cor ur pla;--o=- ':."3;elc ~ ..: OJS'2.

m2. ¿Cuál es el volumen del cono truncado dibujado?

A) 10,24rr cm'1B) 32lt cm' 4cm

C) 160rrcm'

t3256 ,

6cmD) 75rrcm

11.248 cm'E) 25lt

Cuernos oeornémcos 3~

Page 167: Preparacion Psu de Matematica SM

4. Vectores en el plano y en el espacio';: -v~ .. ?"::,-:"~~:",~:¡¡,,,,,"~~d_"" -~,~~,-.:1;

'~··~:~~;ri·~~~~~~~,¿vedorop es' po~biereprése~tárt~ c~~ u~'- segmentq de recta orientado cuyo 'origen'o'inicio es el punto O (origen

•. > del sistema coordenado correspondiente) y sli punto extremo o final. . Y,.'./> efpuntci P. Se caracteriÍa por;tener níMulo'Qongitud del 'lector),"

--: "'dlrecaóri' Cdadapor la recta qú~lo contiene o 'cualquiera paralela a '.~':-. él) Y sentido (orieotación dada desde el origen al'punto final). A este'

'. : .. vedor O]' se denotará porü, v,'\~u otra letra. , . ..' --',~~:,.,): .\~., ,,,~: .~- - ¡~¿i·~~·':.r: '-,:',. .Ór ::.~. Cualquier vedor, tanto en el plano como en el espacio, es posible

dibujarlo de tal manera Que su 'origen no sea 0, sino que cualquier.otro punto del sistema coordenada.

~- ~.'-

y

···~""r:·'·A ·_··,B.. B:y't ..·..·\·· ¡y •••••••• .!.. :r::?P ¡

. - : OP i ¡~ x, K, x

~ En el plano, si A(x,; YI) y B(l), Y), lascoordenadas o componentes del vectar AS son:

AB = (x, - XI' Y, -YI)

Mientras que su módulo es:

~ En el espacio, si A(x" V" z,) YBCx" Y" z,), lascoordenadas o componentes de Aii son:

AB = (l) - x" Y, - YI' Z, - z,)Mientras que su módulo es:

IlAiiII=J(x, -xy +(Y, -yY IIAiiII=J(x, - x,)' +(y, - y,)' +(z, -z,)'

~ En general, al hacer referencia a las componentes de un vedar en el plano se utilizará la notaciónÜ = (u., u), mientras que para un vector en el espacio se utilizaráii= (u" u" u

3).

Ejercicios resueltos

1. Representa gráficamente en el plano lossiguientes vectores.

2, Representa gráficamente en el espacio lossiguientes vectores.a. U=(-2,-3,3).

b. V=(4,-2,7).c. 1=(1,2,-5)

d. W= (-3,1, -3)

a. ABconA(I,I)yB(-2,4).

b. CD con C(O, 1) Y0(2, -3).c. EF con E(- 3, -1) YB(1, O).

BY

. 4

3

'1

•• ~A-4 -3 -2. F

E'I

-2

.3r . 'D

-4

x

I

l 1.1? r.1 M¡I= • l\~~tom:ltir:l

~.I.'~.o:!,i..~11¡1ft

,:¡¡;.:$.~~'1~~.

..~;:J.'

3. Calcula el módulo de cada vedar.

a. ü =( -2,8)

Ilüll= ~(-2)' +8'= ..)4+ 64

=J68=2..m

MI

c. iÑ = (-3, -2,5)

Ilwll= !c-3)' +(-2)' +5'

= .J9+4+25

=J38

b. V=(J3 }..)2 '2

d. 1=(~ _3. 2./3)5' 5' 5

'(.J3)' ,Ilvll = ~ T + ( ~)

=J¡+¡=Ji=1

Ejercicios propuestos

1. Determina las componentes y el módulo de cada vedar graficado.a.

wv=(ü=(

1=(

w=(

v

-3 ·2---t

3 X- ..• _j

u

eo I b.·0u:;¡'OoC.!'!:;¡

'".•'O:o.""ea.

I::< -zV1•

:Geo

I'O

'"'<itU -(1

11111=,I(H +(-~)' +( 2¿ J'J 9 4 12

= 25 + 25 + 25

=m=Ji=1

); Ilv!l=); IIUII=); IITII=); Ilwll=

r=(5= C

1= (

ü=(v=(w=(

); /lfll =); 11:511=

); 11111 =); Ilull=); Ilvll=); Ilwll=

r.IIPrn('¡~ nf~nmPtrir.(1<::: 1~

Page 168: Preparacion Psu de Matematica SM

'11

5. Operataria con vectores

Tanto en el plano como en el espacio es posible realizar las siguientes operaciones con vectores;

~ Adición de vectores

Siü == (u., u.) y v = (v" v,), entonces la adiciónentre ellos se realizade la siguiente manera:

.: u+v=(u,+v"u,+v,)

Si n =(u"u"u,), v =(v" v" v.) yW= (w,. w,. w,), entonces:

u+v+ w=(u, + v, + w"u, + v, + w,.u, +v, + w,)

~ Multiplicáción de un escalar por un vedor

Siii = (u" u) y k E IR, entonces la multiplicaciónentre ellos se realiza de la siguiente manera:

k· ü=(k· u"k -u,)

Mientras que siü = (u" u" u.) y k E IR, entonces:

k· ü=(k. u.k- u,.k. u.)

~ Producto punto o escalar

A diferencia de las operaciones definidasanteriormente, al considerar dos vectores en el producto puntose obtiene un escalar como resultado y no un vector.

Siii = (u" u,) y V = (v;;-v,), su producto punto. es:

Mientras que si ü = (u" u" u.) y v = (v" v" v,J,su producto punto es:

n- v=u,' v,+u,' v, ii . v = u, • v, + u,' v, + u, . v,

Observación: si dos vectores son perpendiculares, su producto punto es O.

~ Producto cruz

Siü = (u"u" u.) y V = (v, v" v.), su producto cruz es:

üxv=(u,' v, -u,' v"u,' v,-u,' v"u,' v,-u,' v.)

Observación: dos vectores en el espacio son paralelos si su producto cruz es el vector nulo (O, O, O).

Ejercicios resueltos

1. Sean ü = (2, - 3) Y v = ( -~. v7). calcula:

a. u+v=(2,-3)+(-~,v7) b. Sv7'V=5v7-(-~,v7)

=( 2 - ~,-3+ v7) =( Sv7 -( -HSv7.J7)

=(%.-3+v7) =(-2v7,3S)

fl~L1 rl MIl=" • ~¡\';lton1:ltif'~

c. u- v = (2, - 3) . ( - ~,J7 )

=2·(-n+(-3)'v7

=-~- 3v7S

f~"j.

t

e

B:J-oefa'"-o

~e.,..''-~.

II,e'o:6lB

.~~:

••2. seanü=( -~,-3.0). V=(0, -6,-S)y W=(-S. O,~} calcula:

a. u+v+ w =( -~, - 3, 0)+(0,- 6,- 5)+( -5,0, ~)

( 1 49)= --+0-5 -3-6+0 0-5+-7 ' • 2

=(-~,-9 39)7 ' 2

b Ü'V=(-"!'-30)'(0-6-s). 7'" •

1= -- • 0+(-3)-( -ti) +0 • (-5)

7=18

_ _ (1 )c. ux v = -7' -3, O x (O, -ti, -S)

=( -3· e-5)- O . e-ti), o . 0- ( -He-s), - ~ . (-6) - (-3) . o )

j 15-0 O-~ ~-o)~ '7'7

=(1S-~~)~ , 7' 7

Ejercicios propuestos

1. seanü=( 1.-f )VV=( -4~.~} calcula

a. u+v d. 9· Ü - 21 . vb. u + v - v + u e. ü· v

9 - f - -e --·v . 3u.14v7

2. Sean Ü =(-2, -1,4), V =( 4. -i-,-~)yw = (-v's, O,O), calcula:

a. u+w d.5·(vxw)

b. u+v+v's. W e. üxv

c. u·v f. V x Ü

3. ¿Cuáles de los vectores ü = (5, O. O). v = (1,1, 1), W= (8, 7,7) YZ= (6. O. O) son paralelos entre sl7

4. Demuestra que el producto cruz entre dosvectores ii= (u" u" u, ) y v = (v,. v¡' v,) no es conmutativo .

Cuernos aeomélricos 3

Page 169: Preparacion Psu de Matematica SM

6. Rectas y planos_.':-' _;.•... , 1,

_" •. -:"' o,'

. ~:_,

~. Dada una recta l en el espacio que pasa por los puntosP(p" p¡; p)'y Q(q" q" q), se tiene qué el vector .

.PQ = (v" v,.v» lleva la misma direCción que dicha recta y: cualquiera,otra paralela a L la ecuación vectorial de les:'

z L

y.~;.«~,z)=P+t • PQ =(p,. P,. p,)+ t(v" v" v.), t E iR

las ec~a(¡~nes paramétricas de l son: x

x= p, +tv, y= P, + tv, z = P, + !vI

Al despeier t e igualar, se obtiene la ecuación cartesiana: x - p, = y - p, = Z - Pl

. v, v¡ v,

donde v, * O, v¡ ,*Oyvl *0.

~ la ecuación normal de un plano 1t en el espacio quecontiene al punto P(p" p" p) y que es perpendicularal vector Ñ = (a, b, e), denominado vedar normal, estádada por:

Ñ .~}

~Yn ; Ñ . [(x, y, z) - Pj = O

Al reducir, se obtiene la ecuación cartesiana:ax + by + a = ap, + bp, + cP

I

La ecuación vectorial de un plano 1t que contiene a los puntos A, B Y e, no colineales, es:

n: (x, y, z) =A + t, • As + t, • AC; ti' t, E iR

Ejercicios resueltos

l. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de las rectas que pasan por P y que tiene ladirección del vedar v.

a. P(1, -2, 2) Y v = (l.2. -3) b. prO, 1, -3) Y v = (2, - 4, O)LI (x, y,z)=(I, -2,2) +t(l, 2, -3) L,: (x, y, z) = (O, 1, -3) + t(2, -4, O)

e= (1, -2,2) + (t, 2t, -3t) = (0,1, -3) + (2t, -41, O) -o

'S~'O

Por lo tanto, la ecuación vectorial es: Por lo tanto, la ecuación vectorial es: eo.~

LI: (x, y, z) = (1 + t, -2 + 21. 2 - 3t), t E iR L,: (x, y, z) = (2t, 1 - 4t, -3), t E!R ~""

Las ecuaciones para métricas son: las ecuaciones para métricas son: ¡e,

I

x = 1 + t, Y = -2 + 21, z = 2 - 3t x = 2t, Y = 1 - 4t, z = -3 ".:2 I "'"La ecuación cartesiana es: la ecuación cartesiana es: ....

"c:y+2 z-2 x y-l. ·8 I

.~~. -x-I=-=- -=- z=-3 -I 2 -3 2 -4' qII ':"-',

L 336 CLAVE· Matemático '."

2. Determina las ecuaciones normal y cartesiana de los planos con vedar normal Ñ y que contiene al punto P.

a. P(2, 3, -5) Y Ñ =(-3, 2, 5) b. prO, 1,0)yÑ=(0, 1, -1)

La ecuación normal es: La ecuación normal es:

1t,: (-3, 2, 5)· [(x, y, z) - (2, 3, -5)] = ° )[,: (0,1, -1)· [(x, y, z) - (0,1, O)]= °Resolviendo, se tiene: Resolviendo, se tiene:

(-3,2,5)· [(x, y, z) - (2,3, -S)] =0

(-3,2,5)· [(x - 2, Y - 3, z + S)] =0

- 3x + 6 + 2y - 6 + 5z + 25 = O

-3x + 2y + 5z = -6 + 6 - 25

(0,1, -1) . [(x, y, z) - (0,1, O)] = °(0,1, -1)· [(x, y-I,Z)]=O

y-I-z=O

y-z=1

Así, la ecuación cartesiana es:

- 3x + 2y + 5z = -25

Así, la ecuación cartesiana es:

y - z = 1

Ejercicios propuestos

l. Reconoce si la recta l pasa por el punto P dado.

x-I Z + 1a. L: -2- = y- 2= 4;P(5, 4, 7)

.x y+3 ( 1 '\b. L'3 = -s-,Z= I,P\ -2'-'3,1)

2. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de las rectas que pasan por los puntos dados.

a. P(I, 3, 2)) 0(2,1,4)b. P(2, 3, -2) Y 0(2, 1, -2)

c. P(I, O, O) Y 0(0, 0,1)

l. A partir de la ecuación vectorial de la recta dada, determina la ecuación cartesiana y par arnétricade la recta.

a. L. (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(1 ,-3, O)b. l, (x, y, z) = (0, 2, -1) + t(2, -4, 5)

c. L,: (x, y, z) = (2, -3, 5) + t(I,-6, O)

4. Determina la ecuación cartesiana del plano que contiene al punto P y que tiene vector normal Ñ.

a. P(4,-S,0)yÑ=(-I,I,2)b. P(I,-3,-S)yÑ=(0,1,1)c. prO, -1,-2) Y Ñ = (3, 3, 4)

5. Determina, si es posible, la ecuación vectorial del plano que contiene a los puntos P, Q y R.

a. P(I, 2, -5), Q(O, 2, 3) YR(I, 8, 3)b. P(O, 0,0),0(1, 1, l)yR(-I,-I,-1)

Cuernos geomelricos ~

Page 170: Preparacion Psu de Matematica SM

11,1, 7. Intersección de planos

~ Planos para~los: s~n lt, y lt2 dos planos con vedores normales N, y N" entonces, TI, y lt2 sonparalelos si N, = k • N2 con k E lR. - (O). Es decir, dos planos son paralelos si sus vertores normales sonparalelos. "

~ Planos perpEndic~r~ sean lt, y lt2 dos planos con vertores normales N, y N2, entonces, lt, y TI, sonperpendiculares si N, • N2 = O. Es decir, dos planos son perpendiculares si sus vedores normales sonperpendiculares.

~ Intersección de tres (o más) planos: para determinar algebraicamente la intersección de tres (o más)planos es posible formar un sistema de tres (o más) ecuaciones de tres incógnitas.Así, el sistemaformado (para la intersección de tres planos) puede ser:

Sistemacompatible Sistemacompatible Sistemaincompatibledeterminado indeterminado

El sistema tiene solución única.Los tres planos se intersertenen un único punto.

El sistematiene infinitassoluciones, Los tres planosse intersedan en una recta ocoinciden.

rt.

Ejercicios resueltos

El sistema no tiene solución,Los tres planos no seintersectansimultáneamente,es decir, no existen puntoscomunes a los tres planos.

Á 71>\

1. Verifica si los planos lt,: 3x + 5y - z + 18 = OY 11:2:6x + 10y - 2z + 50 = Oson paralelos.

~ra v~ificar algebraicamente si 105 planos 11:,y 112son paralelos, es necesario determinar sus vertores normalesN, y N"

11:,:3x+ 5y-z + 18=0~ (3, 5,-1)· (x, y,z) + 18=0= (3,5, -1) • [(x, y, z) - P] = O

donde P • (3, 5, -1) = -18. Por lo tanto, N, = (3,5, -1).

It,: 6x + 1Oy - 2z + 50 = O~ (6, 10, -2) • (x, y, z) + 50 = O~ (6, 10, -2), [(x, y, z) - P]=0

donde p. (6, 10, -2) = -50. Por lo tanto, N, = (6, la, -2).

Ahora que se tienen ambos vedo res normales, es posible verificar que:1 - -

(3,5, -1) = '2(6, 10,- 2), es decir. N, = k· N" con k E lR. - {O}.

Por lo tanto, los planos 11:,:3x + 5y - z + 18 = OY 11:,:6x + 10y - 2z + 50 = Oson paralelos.

338 (;1 AVF ' M"tem~tir"

RecuerdJ que la ecuaciónnormal de un piano es:

¡¡: : Ñ . [1x, y. Z) - Pj = O

donde al reducir se obtiene laecuación cartesiana:

ax + by + Cl = ap + bp, + cp <

con P= (p , p . p)

e-o·0u.ao'C.!!:J.•'" I~ -

,hs:;:¡ I :;-<f>:Deo'ú~.,'"ºJ

•2. Verifica si los planos 7t,: x + 2y - z + 6 = OYIt,: 6x - 3y + 50 = O son perpendiculares.

Al igual que en el ejercicio anterior, para verif~ar a~ebraicamente si los planos 7t, y It, son perpendiculares, esnecesario determinar susvedores normales N, y N,. Asi, se obtiene que:

N, = (1.2. -1) Y N, = (6, - 3, O)

Luego, es posible verificar que:

(1, 2, -1) • (6, -3, O) = 6 - 6 + O= O,es decir, N • N, = O,

Por lo tanto, los planos 7ti: x + 2y - z + 6 = O Y 11:,:6x - 3y + 50 = O son perpendiculares.

Ejercicios propuestos

1. Determina si los siguientes planos son paralelos, perpendiculares o secantes (su intersección es una recta).

a. 1t,:3x + 6y-12z=0

b. 7t,:5x-2y+5z-13=0

c. 7t,: x + y - z + 17 = O

7t1' 4x + 8y - 16z - 2 = O

1l,: - 3x - 2y + z + 4 = O

It',: -2x + y - z - 53 = O

2. ¿Paraqué valor de k los planos lt,: 2x + 4y - 6z - 1 = OY ll,: 3x + ky - z = Oson perpendiculares'

3. ¿Paraqué valor de k los planos It,: -x + y + kz = OY 7t,: -sx + 3y - z + 8 = Oson paralelos'

4. Clasifica cada sistema de ecuaciones en compatible determinado, compatible indeterminado eincompatible.

x-y+z=-71Elemplo x - 2y + 21= 6

5x+3y-z=-8

De la primera ecuación se puede despejar x, resultando: x = y - z - 7. Luego, reemplazando en las otras dosecuaciones se obtiene el sistema de dos ecuacionescon dos incógnitas:

(y - z - 7)- 2y + 2z= 65(y - z- 7) + 3y - z= -8

~

, 105 131Que al resolverlo se obtiene y = - y z =-.

2 2

105 131 2 As' I 't '1 ' . .' iendo un s ,Finalmente x = - - - - 7 = - O. 1, e SIS ema propuesto nene so uClon unlca, sIen o un ssterna compatibler 2 2

determinado .

c. 2x-2y+z=8-3x + 3y-I.5z =6

x+ y=lO

b. x+y=lOY- t= 18

2x-z=l

a. 3x-2y+4z=-12x-y+z=7

2x + 6y - 4z=8

Cueroos oeométricos

Page 171: Preparacion Psu de Matematica SM

I!I

IIl 340 CLAVE· Matemática

Instrucciones1. Esta prueba consta de 16 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A, B, C, .

D Y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2. Dispones de 35 minutos para responderla.

Razones trigonométricas

lo ¿Cuál es el valor numérico de tg( a)?

A) 27620

eB) 20

.Ji76

.J1.076 I ~26cmC)

20

D)20- o i«>: B26 A 20 cm

E) .Ji7620

2. ¿Cuál es el valor numérico de sen(300) + (Os (60°) - cos(900)7

A) 1

B)1+.J3

2C) O

D) ~.J32

E) .J3

3. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

1 __ 1_+_1_= 2. sen'(a) cos'(o ) sen'(eo+cos'(«)

11 sec(a)= cosec(a). cotg(a)

111. cas'(a) = 1 - tg2(a) cas'(a)

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1y 11

D) Solo 11y 111

E) 1,11Y 111

eo'S·:l

"Oeo-i!!:lv>eo

"O i'

15

~a....~~.,I ~v>.v><11§~-'0·--~.f;: I ""

9

•4. Considerando el MBC, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones se cumple(n) siempre?

1. c • sen (300) = a

11. e- cos (600) = b

1 b'11I. sen'(300)+sen'(600)=~+-e' e'

e

A) Solo 1B) Solo 11

C) Solo 1y 111

D) Solo 11y 111

E) 1,11Y 111

30" 6(j

A

5. La altura de un edificio es 70 m. Si una persona observa la parte más alta del edificio con un ángulo de.elevación de 60°, ¿cuál es la distancia entre la persona y la cúspide del edificio?

70.J3 m3

B) 140.J3 m3

C) 140m

D) 70.J3 m

E)

A)

Ninguna de las anteriores

6. Desde un punto del suelo se ata un hilo y su otro extremo se fija en la parte más alta de un mueble de40 cm de altura. Si la medida del ángulo formado por el hilo y el suelo es 30°, ¿a qué distancia de la basedel mueble se encuentra atado el hilo en el suelo?

A) 40J3 cm

B) 40J3 cm3

C) 40../2 cm

D) 80.J3 cm3

E) 80 cm

Cuerpos geométricos

7. ¿Cuál es el área de una esfera inscrita en un cubo cuyo volumen es 64 cm'?

A)

B)

C)

O) 647t cm'

E) 2567t cm'

41tcm'167tcm'

lÉ.¡¡ cm'3

Ensavo temático· PSU 3

Page 172: Preparacion Psu de Matematica SM

I

III

Il--.11L

8. ¿En qué razón están los volúmenes de un cilindro y un cubo si el cilindro está inscrito en el cubo?

A) 4: nB) n : 1C) 4n: 1

D) n :4E) Ninguna de las anteriores

9. Una esfera de volumen 288n cm' está inscrita en un cilindro. ¿Cuál es el área del cilindro?

A) 54n cm'B) 144n cm'C) 180n cm'D) 216¡¡ cm'E) 432¡¡ cm'

10. ¿Cuál es el volumen de un cono cuya área basal es 6¡¡ cm' y la longitud de su altura es el doble que la delradio basal?

A) 4¡¡ cm'B) 8¡¡ cm'C) 4.J6¡¡ cm'

D) 12.J6¡¡ cm'

E) 4j3¡¡cm'

11. Si en la figura todos los ángulos interiores de las caras del cuerpo son rectos, «uáles son las coordenadasdel vértice K?

A) (4,3,1)

~HB) (4,3, O)

1cmC) (3,4, O) A K GI

D) (1,4,3)

E) (3,4, 1)4cm

12. ¿Cuál es la longitud de la diagonal dibujada si todos los ángulos interiores de las caras del cuerposon rectos?

A) J5uB) FouC) .J13uD) Jl4uE) Ninguna de las anteriores y

x

CLAVE· Matemática

1$',

~.

e

~~!l[1BY-l~-

I7Jl':f!'.

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e-o§

-oeo-~~'"-o~s:~ I ~sVI

~eo'0'Ó I ~uJ

Ii

Vectores en el plano y en el espacio

13. El vector de componentes (3, 4, -1) tiene la misma dirección y sentido que el verter de componentes:

A) (1,1,1)

B) (-3, -4, 1)

C) (4, -3, O)D) (-6, -8, 2)

E) (22-1.)2' , 2

14. En el dibujo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. Los vectores Ü y v son equivalentes.11. Las componentes del vector a son (3, 4)

111. u+z=(4,-3)

A) Solo 111

B) Solo I y 11

C) Solo I y 111

D) Solo 11 y 111

E) 1, 11 Y 111 4~

y

•x

v

~

-2 -1 r.11,

Rectas y planos

15. Considerando t E IR, la ecuación vedorial de la recta cuyo vector dirección tiene componentes(8, 2, -6) Y pasa por el punto P(3, 4, 9) es:

A) (x, y,z) = t(II, 6, 3)

B) (x y, z) = (8, 2, -6) + t(3, 4, 9)

C) (x y, z) = (3, 4, 9) + t(8, 2, -6)

D) (x, y, z) = (11,6,3) - t(8, 2, -6)

E) (x, y, z) = (8, 2, -6) - t(3, 4, 9)

16. la intersección entre dos planos en el espacio puede ser:

l. una recta.11. un plano.111.un punto.

A) Solo I

B) Solo 111

C) Solo I y 11

D) Solo I y 111

E) 1,11 Y 111

En;:?vo temMim· PSIJ :1cl

Page 173: Preparacion Psu de Matematica SM

iI!11

I1 344

a~;lP~2.!Ei;n~C:iA.iíE~2%J':::"~:J~fi.;;1Dado el triángulo ASC:

e

26 cm

aA B20cm

Al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene:

26' = AC' + 20'676 =AC' + 400«: = 276Ae =.J2i6

Luego, para el ángulo de medida a:

t ( )- m(catetoopuesto) J276g a - --m (cateto adyacente) 20

Distractores:

A) En el desarrollo del teorema de Pitágoras:

26' = AC' + 20'676 = AC' + 400AC' = 276

Se cometió el error de omitir el cuadrado. Deesta forma se obtuvo Ae = 276 cm. Luego, secontestó que tg(a) es 276.

20

B) Se señaló erróneamente la expresión detangente como:

m(catetoopuesto) 20m(catetoadyacente) J276

e) Se aplicó erróneamente el teorema de Pitágoraspara calcular el valor de AC, al considerar queAC2es igual a:

262 + 20' = 676 + 400 = 1.076

CLAVE, Matemática

y al aplicar raíz cuadrada, el valor de Ae seconsideró como ,/1 .076. De esta forma, tg(a) secalculó como:

m(cateto opuesto) ../1.076m(cateto adyacente) =--w

D) Se cometió un error al expresar la tg( a) comoel cociente entre el cateto adyacente y lahipotenusa. Así, se obtuvo que tg( a) es 20.

26

D ..CLAVE A

Al aplicar las razones trigonométricas de 30°, 60° Y 90°se tiene:

sen(300)+cos(600)- cos(900) = ..!.+..!.- O = 12 2

Distractores:

B) Se consideró, erróneamente, que cos(600) es

fi. De esta forma:2

sen(300) + cos(600) - cos(900)

se calculó corno:

..!.+ fi -0= l+fi2 2 2

e) Se consideró, erróneamente, que cos(900) es l.De esta forma:

sen(300) + cos(600) - cos(900)

se calculó como:

.1.+..!.-1=1-1=02 2

D) En la expresión cos(600) - cos(900) se restaronlos argumentos, por lo que se cometió un error,ya que esto es falso. De esta forma la expresión:

. sen(300) + COS(600)- cos(900)

se resolvió como:

sen(300) - cos(3O")

Luego, se obtuvo:

..!._J3=I-fi2 2 2

c:gv

].~i,l'"1

Q.

:E"",..~.c·o':0~,.W·

iI'.,

E) Se consideró, erróneamente, que

sen(300) y cos (60°) son 1.De esta forma:

sen(300) + cos(600) - cos(900)

se calculó como:

13 + 13+0=132 2

D CLAVE O

En (1), al sumar en el lado izquierdo de la igualdad yaplicar la identidad pitagórica queda:

t 1 cos'(a)+sen'(a)--+sen'(«) cos'(c) sen'(a)cos'(a)

1sen'(a)cos'(a)

En el lado derecho, al aplicar la identidad pitagóricaqueda:

_2 __ =l=2sen'(a)+cos'(a) 1

Por lo tanto, la proposición es falsa.

En (11), al desarrollar el lado derecho de la igualdadaplicando identidades se tiene:

1

cosec(a)= ~cotg(cx) cos(a)

~=_1_

«sr«)=sec(a)

Luego, la proposición es verdadera.

En (111), al desarrollar el lado derecho de la igualdadaplicando identidades se tiene:

, sen'(o) ,¿l-tg.(a)cos'(a)=l----~J',\a)'. sWfá}

=I-sen'(a)=cos'(a)

Luego, la proposición es verdadera .

Distractores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que incluye laafirmación (1), que es falsa.

B) Esta alternativa es incompleta, ya que soloincluye la afirmación (11), pero no la afirmación(111), que también es verdadera.

e) Esta alternativa es incorrecta, ya que a pesar deincluir la afirmación (11), incluye laafirmcción (1),que es falsa.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que a pesarde incluir las afirmaciones (11) y (111), incluye laafirmación (1), que es falsa.

!I CLAVE C

Dado el triángulo ASC:

30' ¡50'A

En (1), para el ángulo de 30°, el cateto opuesto mide ay la hipotenusa mide c. Luego, por detnicion

sen(300) m(catetoopuestol = ~m(hipotenusa) (

Esta afirmación considera que:c '5en(300) = a

Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

En (11), para el ángulo de 60°, el cateto adyacentemide a y la hipotenusa mide c. Luego. por definición:

(600)- m(catetoadyacen.¡e) _ acos - __m (hipotenusa) c

Esta afirmación considera que:

e- cos(6O") = b

Por lo tanto, la afirmación es falsa.

En (111), de las razones trigonométricss en el j,-\Be setiene que:

sen(300) = ~ y sen( 60°) = Qc c

Mode!arniemo • PSU 2

Page 174: Preparacion Psu de Matematica SM

1'1--~;

Luego, al desarrollar el lado izquierdo de la igualdad: Distradores: 11 D . ClAVE A:,;,.;.

Senl(300)+senl(500)=(~r +(HA) Secalculó la distancia entre la basedel edificio y

la persona:I La figura que representa la situación es:~a' b'=-+-

c' cl

I 170m "<; hilo<, ,~1:1 -Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

Distradores:

I -1 (60"fl'i t ..-¡ (3rtDA) Estaalternativa es incompleta, ya que solo

incluye la afirmación (1) y no la afirmación (111),Parael ángulo de 50° se tiene: Sead la distancia entre la base del mueble y el puntoque también esverdadera.

donde se encuentra atado el hilo en el suelo. ParaelB) Estaalternativa es incorreda, ya que incluye la t (50°)= m(catetoopuesto)ángulo de 30° se tiene:afirmación (11), que es falsa. g . m (cateto adyacente)

e m(cateto opuesto)D) Estaalternativa es incorrecta ya que a pesarde tg(600) = 70 m tg(30 )--incluir la afirmación (111), incluye la afirmación D -- m(cateto adyacente)(/1), que es falsa.

Entonces,al despejar D: tg(300) = ~O cmE) Estaalternativa es incorreda, ya que a pesarde incluir las afirmaciones (1) y (tll), incluye la

D=~ m=1Q. m= 70J3 m Entonces, al despejar d:afirmación (11), que es falsa.tg(60') J3 3

d=~cm= h cm=40J3cmD ClAVE B Se consideró erróneamente que sen(500) es 1.. tg(300) _ 3e)2 3

IDe esta forma en la expresión:Sead la distancia entre la cúspide del edificio y

Distradores:la persona. Entonces la figura que representa el d=_7_0_mB) Se cometió el error de considerar tg(300) comoproblema es: sen(600)

J3. De esta forma, en la expresión:Se obtuvo que des:

d=~cm70 m=140m tg(300)d I 12 se obtuvo que des:

D) Se consideró erróneamente que sen(600) es~ cm= 40J3 cm'60', 1

J3. De esta forma en la expresión: J3 33

C) Se consideró erróneamente tg(300) como ~. AParael ángulo de 60° se tiene:

d=_7_0_mm(catetoopuesto) sen(500)

e partir de esto, en la expresión:-osen(600)m(hipotenusa) "8 -

d=~cmse obtuvo que des: ~

'1J

Ig(300)sen( 60°) = 7d

Om e.!.Q. m = llQ m = 70-/3 m o.~ --J3 J3 " = se obtuvo que des:'"- ..~cm='ªº- cm= 8012 cm=4012 cm

Entonces, al despea. d: 3 -o

~d=_7_0_ m=.!.Q. m= 140 m= 140J3 mE) Estaalternativacorresponde a cualquier otro e - 12 fi 2error de cálculo que se haya cometido. o.

sen(500) J3 J3 3:2 -- 2uv '.2 ~eo'0

~ I -"I o1

I 346 CLAVE·Matemátical .

D) Se cometió el error de considerar tg(300) como

J3. De esta forma, en la expresión:2

d=~cmtg(300)

se obtuvo que d es:

...iQ.. cm = 'ªº- cm = 80J3 cm-/3 J3 3

2

E) Se cometió el error de considerartg(300) como~. De esta forma, en la expresión:

d=~cmtg(30')

se obtuvo que des:

40 cm=80cm1

2

a CLAVE B

Como el volumen del cubo es 54 cm, eronces, de la!órmula de volumen de un cubo de a~;st: a se tiene

V=a' =64 cm'a=4cm

La figura que representa a la esfera insG,:a en el cubode arista 4 cm es:

y como el diámetro de la esfera mide -+ un, su radiomide 2 cm.

Luego, el área A de la esfera es:A=4m'

= 4¡¡· 2' cm'=15¡¡cm:

Mcdel2Dlien!o • PSU ~

Page 175: Preparacion Psu de Matematica SM

Distradores:

A) Se calculó el área de un círculo de radio 2 cm, yno el área de la esfera. De esta forma se obtuvo:

1tr2 = 22 • 1t trn' = 41t cm2

C) Se confundió la expresión de área con la

expresión im,- Luego, se calculó el área como:3

i1tr2 = i1t o i = l.§.1t3 3 3

D) Como las aristas del cubo miden 4 cm, seconsideró erróneamente que el radio de la esferatambién mide 4 cm. A partir de esto, el área dela esfera se calculó como:

= 411:r2

= 411:.4' cm'= 64¡¡ cm'

E) A partir de a = 4 cm, se consideró erróneamenteque el radio de la esfera es 8 cm. Entonces, elárea de la esfera se calculó como:

= 41tr2

= 41t· 82 cm'

= 2561t cm2

D CLAVE D

La figura que representa el enunciado de la pregunta es

El volumen del cubo de arista a es:

V =aJcubo

El cilindro de la figura tiene radio basal r y altura a,entonces su volumen es:

v = m2h = n:r2acéndrc

348 CLAVE o Matematica

Además, como el cilindro está inscrito en el cubo,queda:

a =2r

por ser a la longitud del diámetro de la base delcilindro. De esta forma, la razón entre los volúmenesdel cilindro y del cubo es:

V"I;Od" 1tr2a 1tr2• 2r 21t1 1tV"bO =7=(20'= si =4

Por lo tanto, la razón entre los volúmenes es

¡¡:4

Distradores:

A) Se interpretó erróneamente el enunciado delproblema, por lo que se calculó la razón entre eivolumen del cubo y el volumen del cilindro

VC'bO a' (2r)' 81 4VC'¡"d" = rrr2a = ¡¡r' ·2r = 2rrl =-;

Por lo tanto, se contestó que la razón entre losvolúmenes es:

4:rr

B) Se cometió el error de considerar que laslongitudes del radio r y arista a son iguales. Apartir de esto, la expresión:

m2aa'

se resolvió como:

m20r ¡¡I--=--=rr

r' IPor lo tanto, se contestó que la razón entre losvolúmenes es:

n : 1

C) Se consideró erróneamente que r es el doble dea. De esta forma, la expresión:

Vedr.:óo = rr r2 aV a'cubo

se resolvió como:

rr(2a)2 ·a = 4rr/ = 4¡¡a' I

;.:

-----j~~;~~~,

.~~:.

"~~1f·;·I~.;~..~

f.J¡¡'

·l

e:Qti:l-oep.

l'!iii.,-oP-s:eo-

I -:2 ~V>

'"QJ

§ I,

:9s -"-

Por lo tanto, se contestó que la razón entre losvolúmenes es:

4¡¡ : 1

E) Se obtuvo otra razón entre los volúmenes apartir de errores de fórmulas y/o procedimientosde cálculo.

IP.II ' ,--' 'o • - ••.•••••U '. -s : CLAVE DO,

Para calcular el área del cilindro se deben considerarlos círculos de las bases y el manto. Para esto, setiene que el radio basal del cilindro es 6 cm, ya que alconsiderar que:

v = 288¡¡ cm'Esfe,atnSCnta

se tiene que:

288rr=4m' =>r'=215=>r=53

Luego, el área del cilindro se calcula resolviendo:

A=2m' + 2mh

donde h es la altura del cilindro, que en este caso esde 12 cm, por corresponder a dos radios de la esfera.

Por lo tanto:

A = 2rrr'+ 2mh

= 2rr(6 cm)' + 2¡¡·6 cm·12 cm

= 72rr cm' + 144rr cm'

= 216rr cm'

Distractores:

A) Se comete un error al considerar la mitad delradio de la esfera obtenido, es decir, r = 3 cmcomo radio basal del cilindro. Así, se tiene

2m2+2mh = 211:(3 cm)'+2rr • 3 cm· 6 cm

= 18rr cm2+36¡¡ cm'

= 54rr cm'

B) Se cometió el error de no considerar el área delas caras basa les, por lo que se calculó solamenteel área del manto del cilindro. Así, se obtiene:

2mh = 2rr • 6 cm- 12 cm = 144rr cm'

C) Se cometió un error al considerar solo unacara basal para calcular el área del cilindro,obteniendo:

m2 + 2mh = 1t(5 cm)2+ 2¡¡ • 6 cm • 12 cm

= 361t cm' + 144¡¡ cm'

= 1801t cm'

E) Se cometió un error al calcular el volumen delcilindro en lugar del área. Así, se plantea que:

rtr'h = rr • 52 • 12 = 432lt

Además, se omite la unidad de medidacorrespondiente y se selecciona la alternativa quecontiene 4321t.

m CLAVEC

Para calcular el volumen (V) del cono cuyo radio basales r y su altura es h hay que resolver:

V= rrr'h3

Como el enunciado de la pregunta afirma que el áreac!e la base es 5rr cm', se tiene que:

m: = 6¡¡ cm' => r' = 6 cm: => r = J6 cm

Además, también se menciona que le longitud dela altura (h) del cono es el doble que la longitud delradio basaí, por lo tanto:

h=2J6cm

Finalmente, el volumen (V) del cono es:

1t( J6 cm)' • 2..[6 cmV = --'----.!....---

3

1t·6cm'· 2..[6 cm

312.j6; ,

=--cm'3

= 4..[6 1t cm'

Modelarniento • PS!J _2

Page 176: Preparacion Psu de Matematica SM

Distractores:

A) Se comete un error luego de determinar quer = J6 cm al reemplazar en la fórmula delvolumen del cono y no elevar al cuadrado dichovalor, por lo que se obtiene:

red = re· J6 . 2.J63 3

~3

12re3

=4re

Además, se omite la unidad de medidacorrespondiente y se selecciona la alternativa quecontiene 4rr.

B) Se considera erróneamente que el volumen delcono se obtiene resolviendo la expresión:

2m' h3

que contiene en su numerador al perímetro dela base del cono por su altura. Así, resulta:

2re~ = 2rr . .J6 . 2.J6

3 3rr·4·6=---

324rr

3=8rr

Además, se omite la unidad de medidacorrespondiente y se selecciona la alternativa quecontiene Bn.

D) Se comete el error de considerar que el volumendel cono se obtiene multiplicando el áreabasal por la altura y no se divide por tres dichoresultado. Así, se obtiene:

m'h = re( J6 cm)' • 2.J6 cm

=71·6cm' .2.J6cm

= 12.J6recm'

350 CLAVE· Matemática

E) Se comete un error al calcular el doble delradio, por lo que se obtiene que la longitud dela altura es:

h=Jl"2cm

Luego, al reemplazar este valor, resulta:

re( ,f6 cm)' , .Jl2 cmV = -'-----''----

3

re· 6cm'. Jl2 cm3

= 6rrm cm'3

=2rrm cm'

= 4J3recm'

m CLAVE E

Para responder correctamente se debe saber quela primera coordenada de un punto en el espaciocorresponde al ele X; la segunda, al eje Y; y la tercera,al eje Z.

J I ,H

Icm

G

4cm

Así, como FG = 3 cm, la primera coordenada es 3;como EF = 4 cm, la segunda coordenada es 4, y comoGH = 1 cm, la tercera coordenada es 1 Por lo tanto, elvértice K tiene coordenadas (3,4, 1)

Distractores:

A) Se comete el error de confundir los valoresasociados al eje X y al eje Y, por lo que seobtiene el punto (4, 3, 1)

B) Se comete el mismo error señaladoanteriormente, pero se agrega el error de pensarque el punto K está en el eje Y, por lo que elvalor asociado al eje Z es O. Así, se obtiene elpunto (4, 3, O)

~"-eoa2!iil'"tel-

:z<1'

~'0'OUJ.g

C) Se comete el error señalado en B) sobre lapertenencia de K al eje Y, por lo que se obtieneel punto (3, 4, O).

D) Confunde el orden de las coordenadas asociadasa los ejes X y Z, obteniendo el punto (1,4,3).

m CLAV~ D

En el dibujo es posible considerar el triángulorectángulo para calcular la longitud de la diagonalpedida en este caso: la de la hipotenusa (d) deltriángulo rectángulo destacado.

Así, la longitud de uno de los catetos del triángulodestacado es 3 u, mientras que la del otro catetose calcula aplicando el teorema de Pitágoras en eltriángulo rectángulo de la base del paralelepipedocuyos catetos tienen longitudes de 1 u y 2 u. Luego:

(1 u)' + (2 u)' = c' => c= .J5 u

Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

(.J5 u)' + (3 u)' = d'

Su' +9u' =d'

d=.Jl4u

Distractores:

A) Erróneamente, solo se calcula la longitud de ladiagonal de la base del paralelepípedo, por loque se obtiene:

(tu)' + (2u)' =c' => c =.J5 u

-"

B) Se comete el error de calcular la longitud de ladiagonal de una cara rectangular de lados 1 u y3 u, por lo que resulta:

(tu)' +(3u)' =d'

lu' +9u' = d'

d=JiOu

C) Se comete el error de calcular la longitud de ladiagonal de una cara rectangular de lados 2 u y3 u, por lo que resulta:

(2 u)' + (3 u)' = d'4 u' + 9 u' = d:

d=J13u

E) Se comete cualquier otro error de cálculo en laresolución del problema

m CLAVE E

Un vedar tiene dirección, sentido y módulo. La direcciónestá dada por la recta que contiene al vector u otra receparalela; el sentido es cualquiera de las dos orien¡acionesde la recta y esta representado por la punta de flecha delverter, finalmente, el módulo del vector es la longitud delmismo Para hallarlo basta con calcular la distancia entreel punto inicial y final del vector.

En este caso, se deben identificar dos vectores en elespacio que tengan la misma dirección y sentiec Así,para que dichos veneres tengan la misma direCCiónse debe cumplir que las componentes de uno seanel resultado de multiplicar, por un mismo valor real,las componentes del otro. Es decir, si ü y v sor.vedo res que tienen la misma dirección, debe OCurrirque Ü = k . ij; k E ~ o verificar que los vectores seanparalelos, es decir, que su producto cruz sea el verternulo (O, O, O); mientras que para que tengan el mismosentido debe ocurrir que k> O. Así, el vector de

componentes ( %,2, - ~ ) cumple ambas condiciones,

ya que( %,2,-~ )=~(3,4,-1)

Modelamiento • PSU 3S

Page 177: Preparacion Psu de Matematica SM

11

Distradores:

A) Se considera erróneamente que el vedar decomponentes (1, 1, 1), al estar compuesto solopor números 1, conserva la dirección y sentidoque el vedar de componentes (3, 4, -1).

B) Se considera erróneamente que si se suman lascomponentes de los vectores y el resultado encada suma es cero, entonces ambos tienen lamisma dirección y sentido. Luego, como:

3+(-3)=0,

4+(-4)=O,y

-1+1 =0

se selecciona al vedar cuyas componentes son(-3, -4,1)

C) Se considera erróneamente que si el productopunto entre dos vectores resulta cero, entoncesambos tienen la misma dirección y sentido.Luego, como:

(4,-3,0)-(3,4,-1)=12-12+0=0

se selecciona al vedar cuyas componentes son(4, -3, O)

D) Se comete el error de no considerar el sentidode los vertores y solo se busca aquel que tengala misma dirección, seleccionando así el vedarde componentes (-6, -8, 2).

~ CLAVE· Matemática

m '·":1~:~~tf.~i~~fAV(~"l5}.~~~i~:;::.;~~

Para responder correctamente esta pregunta hayque considerar que dos vedores son equivalentessi tienen la misma dirección, módulo y sentido;que se deben identificar las componentes de unvedar dibujado en el plano cartesiano, y finalmente,que sumar dos vertores consiste en sumar laprimera componente de un vedar con la primeracomponente del segundo, y lo mismo con lassegundas componentes. Así, considerando el planocon los siguientes vectores dibujados:

y

.. 5

3

ii

'. ~. af-,. 2

-2 -i x-)

En (1) se afirma que los vedores ü y v sonequivalentes Sin embargo, al verlos en el plano esposible identificar que no tienen el mismo sentido. Porlo tanto. esta afirmación es falsa.

En (11) se afirma que las componentes del vedar a son(3, 4). Sin embargo, al calcular las componentes de ase tiene que:

a = (3 - 3, 4 - 3) = (O, 1)

Por lo tanto, la afirmación es falsa.

En (111) se afirma que u + z = (4, -3). Antes de calcularesta suma se tiene que las componentes de ü son(2, -2) Y las de i son (2, -1). Así:

u+ z= (2, -2)+ (2,-1)= (4,-3)

Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.

e-o§ I D)-ooo.~~.•-o

~I .=o:

:z I "'"!l.c·8 I ~~ú

Distractores:

B) Esta alternativa es incorrecta, pues considera que(1) y (11) son verdaderas; sin embargo, ambas sonfalsas.

e) Esta alternativa es incorrecta, pues considera que(1) y (111) son verdaderas y solo (111) lo es.

D) Esta alternativa es incorrecta, pues considera que(11) y (111) son verdaderas y solo (111) lo es.

E) Esta alternativa es incorrecta, pues considera que(1), (11) Y (111) son verdaderas y solo (111) lo es.

m CLAVE C

La ecuación vertorial de una recta L que pasa por unpunto P del espacio y tiene vedar dirección ü es:

L (x, y, z) = P + t - ü

Así, la ecuación vectorial de la recta que pasa porP(3, 4, 9) Y cuyo vector dirección tiene componentes(8,2, -6) es:

(x, y, z) = (3, 4, 9) + t(8, 2, -6)

Distractores:

A) Se cometió el error de sumar las coordenadasdel punto con las componentes del vector.obteniendo así:

(x, y, z) = t(ll, 6, 3)

B) Se cometió el error de considerar que la ecuaciónvectorial de la recta L que pasa por un punto P delespacio \' tiene vector dirección ü es:

L (x, y, z) = Ü + t - P

Así, se selecciona la ecuación:

(x, y, z) = (8, 2, -6) + t(3, 4, 9)

Se cometió el error de considerar que la ecuaciónvectorial de la recta L que pasa por la suma delas componentes del vedar y las coordenadas delpunto P es:

(x, y, z) = (11, 6, 3) - t(8, 2, -6)

El Se cometió el error de considerar que la ecuaciónvectorial de la recta L que pasa por un punto P delespacio y tiene vedar dirección ü es:

L (x, y, z) = Ü - t - P

Así, se selecciona la ecuación:

(x, y, z) = (8, 2, -6) - t(3, 4, 9)

m CLAVE C

Para responder esta pregunta se debe considerar quelas opciones, en determinadas condiciones, puedenser ciertas, ya que de la intersección de dos planos enel espacio no siempre resulta un único elemento.

En (1) se afirma que la intersección de dos planos enel espacio puede ser una recta. Efectivamente, de laintersección de dos planos oblicuos resulta una recta.Por lo tanto, esta afirmación es verdadera .

En (11) se afirma que la intersección de dos planosen el espacio puede ser otro plano Efectivamente,de la intersección de dos planos roinudentes resultael mismo plano Por lo tanto, esta afirmación esverdadera.

En (111) se afirma que la intersección de dos planosen el espacio puede ser un punto. Sin embargo. laintersección de dos planos nunca rescitara ser solo unpunto, tendría que ser la intersección de tres planosPor lo tanto, esta afirmación es falsa

O istractores

A) Esta alternativa es incompleta, pues soloconsidera que (1) es verdadera y no (11).

B) Esta alternativa es incorrecta, pues considera que(11I) es verdadera y es la única opción falsa

O) Esta alternativa es incorrecta, pues considera que(1) y (111) son verdaderas y (111) es falsa.

E) Esta alternativa es incorrecta, pues conSidera que(1). (11) Y (111) son verdaderas y (111) es falsa.

Mnrlpi.mipntn· p~" :Vi

Page 178: Preparacion Psu de Matematica SM

Estadlstlcayprobabilidad

Estadística descriptiva 356 - 373

Ensayo temático 1Modelamiento 37.1-385

Probabilidad 386 - 399

Combinatoria 400 - 405

Ensayo temático 2Modelamiento 406-415

Variable aleatoria 416-424

Distribución de variables 425 - 435

Ensayo temático 3Modelamiento PSU 436 - 448

Ir:r-:

Page 179: Preparacion Psu de Matematica SM

I

I1

III!

1t

1

1. Conceptos básicos

En lá Estadística d~scripti~a se recopilan, organizan, analizan y representan los datos de un estudioreferido a ~na población o parte de ella, ' , .

~ Una población (estadística) es un conjunto de individuos u objetos (elementos) en el que cada unopresenta características determinadas, observables y medibles; mientras que una muestra (estadística)es un subconiunto de la población. '

~ las variables estadísticas corresponden a características medibles y observables que se asocian a loselementos de una población o muestra, Se pueden clasificar en:

Variables cuantitativas: son' aquellas que "toman" valores numéricos, Si estos valores son solonúmeros enteros, se habla de variables cuantitativas discretas; mientras que si "toman" valoresreales, se habla de variables cuantitativas continuas.

- Variables cualitativas: son aquellas que no "toman" valores numéricos. Si estos valores sugierenuna ordenación en la que se pueden establecer comparaciones entre las categorías, se habla devariables cualitativas ordinales; en caso contrario, se habla de variables cualitativas nominales,

~. Una encuesta es un conjunto de preguntas tipificadas dirigidas a una muestra o a la población con elfin de conocer estados de opinión, características o hechos específicos,

Ejercicios resueltos

1. Clasifica las variables en cuantitativas discretas, continuas, cualitativas ordinales o nominales,

a, Equipo de fútbol favorito,

b. Número de trabajadores de una empresa..

Cualitativa nominal

Cuantitativa discreta

c. Número de peces en un acuario. Cuantitativa discreta

d. Estatura de los integrantes de un equipo de fútbol.

e, Color preferido.

f. Nacionalidad de una persona.

Cuantitativa continua

Cualitativa nominal .6"8~-ooa~~"-e~o,

Cualitativa nominal

g, Tipo de animal en una tienda de rnascotas.

h. Número de estudiantes en una sala de clases,

Cualitativa nominal

Cuantitativa discreta

l. Ingresos anuales de una empresa.

j, Curso al que pertenece un estudiante.

k. Presión arterial.

Cuantitativa continua

Cualitativa ordinal ~.~

~11

Cuantitativa conti nua

Cantidad de personas que se encuentran en una fila. Cuantitativa discreta

356 CLAVE·Matemática

Ejercicios propuestos

•••.i. Clasifica las variables en cuantitativas discretas, continuas, cualitativas ordinales o nominales.

n. Tiempo en recorrer dos kilómetros,a. Metros cuadrados de un terreno.

b. Estado civil de una persona.

c. Número de habitantes de una ciudad,

d. Color de pelo,

e. Promedio de notas obtenidas en el primersemestre.

f. Masa corporal de una persona,

g. IPCen los últimos cinco años.

h. Profesión de una persona.

1. Artículos más vendidos en un supermercado,

j. Número de escritorios en una oficina.

k, Grupo de sangre de una persona.

Estatura de los estudiantes de un curso.

m. Deporte preferido por los estudiantes de uncurso.

ñ. Puntaje obtenido en la PSU.

O. Capacidad de una piscina.

p. Nivel de inglés de un estudiante (básico, medio,avanzado),

q. Diámetro de las ruedas de un vehículo.

r. Asignatura aprobada durante el semestre,

s, Valor del dólar.

t. Lugar de llegada en una competencia.

u, Área de un rectángulo.

v, Sueldo mensual de los trabajadores de unaempresa.

w, Marca de automóvil preferido.

X. Edad de una persona.

y, Día del mes en que cada persona está decumpleaños

2. Analiza la siguiente información. Luego, responde.

Analfabetos por grupo de edad y zona de residencia, Censo 2002,(Número de personas)

15 a 29 40.207 17.212

10,39530a 39 57.251 21.117

11.938 6,913 ·U44

17.880 10.930 7.324

40a 49 67.716 21574

Fuente: wMv.ine,cI

50 a 64 137,229 34.24241.81665 Y más 178.462

22.416 13.33t48.192 29.125 25.67070.255 33.494 32.897

a. ¿Sobrequiénes se hizo el estudio de analfabetismo?

b. ¿Cuáles la variable en estudio? iA qué tipo de variable corresponde?

F~I;¡r1i~lir.8rlA,~rintiv;¡ :iS'

Page 180: Preparacion Psu de Matematica SM

2. Tablas de frecuencias

Una tabla de frecuencias es una ordenación en filas y columnas que usualmente contiene la siguienteinformación de una variable:

~ Frecuencia absoluta (1): número de veces que se repite un dato en un intervalo o clase.

~ Frecuencia absoluta acumulada (F): suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o igualesal valor de la variable en cuestión.

~ Frecuencia relativa (fJ cociente entre la frecuencia absoluta yel número de datos. Se puede representarcomo fracción, número decimal o porcentaje.

~ Frecuencia relativa acumulada (F,): suma de las frecuencias relativas de los valores menores o iguales alvalor de la variable en cuestión.

Para construir tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos se debe:

- Calcular el rango de la variable (diferencia entre el mayor y el menor valor).

- Determinar la cantidad de intervalos.

- Calcular la amplitud de los intervalos (cociente entre el rango y la cantidad de intervalos).

- Agregar la marca de clase a la tabla (semisuma de los valores extremos del intervalo).

Ejercicios resueltos

1. Los estudiantes de tercero medio de un colegio respondieron la pregunta "¿Cuántos hermanos tienes)",obteniendo las siguientes respuestas:

0,2,3,1,1,0,0,5,4,0,0,1,2,3,1,1,3,2,4,3,2,1,1.2,1,0, 0, 0,2,1,1,2,2,4,1,2,4,3,1 y2.

a. Construye la tabla de frecuencias.

¿Cuántos hermanos tienes?

~~;~i.~tti'~~~':~:Jf~;~:'~:'~\~~~~~1'~~~[f,(%) ~~{~:F;(fM.);:

° 8 8 20 20

1 12 20 30 50 •• ··

2 10 30 25 75- - ~.. _-

97,S - 53 5 35 12,5 87,S

4 4 39 10 97,S •• ·

5 1 40 2,5 100

Total 40 100

0=47,5'" ,

b. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene tres hermanos) El 125010 de los estudiantes encuestados tiene treshermanos.

c. ¿Cuántos estudiantes tienen menos de tres hermanos) 30 estudiantes encuestados tienen menos de tres hermanos.

d. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene más de un hermano y menos de cinco hermanos) El 475010 de losestudiantes encuestados tiene más de uno y menos de cinco hermanos.

3:18 (:1 AVF • MOlpmrílir"

cll:.{;fgjl~

,.;,:.

}aí·'

.t[•~,8-'.%1!!t:.·tl'~.

J.l~..l;'

MI

2. Las estaturas (cm) de los participantes de un torneo deportivo son:

173,182,176,181,183,185,188,183,179,177,181,175,167, 177, 169, 186, 173, 179, 185, 166,176,166,191,192,185,175,179,193,177,181,188,191,184,166,188,167, 181, 174, 181 Y 188 .

a. ¿Cuál es el rango? En este caso el rango es la diferencia entre 193 y 166 es decir 27.

b. Si se quiere agrupar en seis intervalos, «ual es la amplitud de estos?

La amplitud de cada intervalo es:, rango 27 = 4,5 = 5numero de intervalos 6

c. Construye una tabla de frecuencias.

Estaturas (cm) de los participantes

• La amplitud de intervalosconviene aproxirnería alentero siguiente

Marca de clase ' f' :;.'<. .:.. .•. :f;;:> v " "

Oase ' • , F. ; ': ~t,,:fr(lIb) . ~'~2:'Fr(~),~';.;[166,171[ 168,5 6 6 15 15

[171,176[ 173,5 5 11 12,5 27,5

[176,181[ 178,5 8 19 20 47,5

[181,186[ 183,5 12 31 30 77,5

[186,191[ 188,5 5 36 12,5 . 90

[191,196[ 193,5 4 40 10 100

Total 40 I 100

3. Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por los estudiantes de un curso en un ensayode PSU de Matemática:

651.488,720,456,698,567,670,543, 613,668,589,590, 518,498,578,628, 444,571,534, 597,524,668,640,610,477,540,489,619,538 Y 583.

a. ¿Cuál es el rango? En este caso, el rango es ia diferenCia entre 720 y 444 es decir 276.

b. Si se quiere agrupar en cinco intervalos, ¿cuál es la amplitud de intervalo)

La amplitud de cada intervalo es: rango 276 = 55 2 = 56número de intervalos 5 '

c. Construye una tabla de frecuencias.

Ensayo PSU Matemática_~_.~ ~ ~.. ~' ..,..:,:",~ ,/> i,)..:--:'~~k'~ >'t!~';;'~"'.ft~~"""'¿'~ ~,:",·~~"'-'~~;;r~~v~".:', Clase .~ ',Marca,de ~.~; :·;:¿tJ~,,~"~;1f<~~~F~.;'f~~:i:t\.{lMJr~l~~it't~,~

• I ~ """,,"4~ ~ ':" ~'A: ±~"qr't""~;;';;~"''''..J, >1 ti. ~".:I~.;''''''<:.~r,r,.,~,:'-.;.!J:r;'!.§..f¡

Page 181: Preparacion Psu de Matematica SM

Ejercicios propuestos

1. la siguiente información corresponde al registro de las infracciones de tránsito que ha cometido cadaconductor de una línea de colectivos.

Conductor 1 O Conductor 6 1 Condudor 11 O Conductor 16 O

Conductor 2 O Conductor 7 O Condudor 12 3 Conductor 17 O

Conductor 3 3 Conductor 8 4 Condudor 13 1 Conductor 18 3

Condudor 4 1 Conductor 9 O Condudor 14 O Conductor 19 O

Conductor 5 1 Conductor 10 2 Condudor 15 1 Conductor 20 O

a. Construye una tabla de frecuencias.

b. ¿Qué porcentaje de condudores tiene más de tres infracciones de tránsito'

2. las edades de los estudiantes de un cuarto año medio son las siguientes:

a. Construye una tabla de frecuencias que represente los datos recogidos.

b. ¿Qué porcentaie de estudiantes tiene más de 18 años? ¿y qué porcentaje tiene menos de 18 años'

3. los años de experiencia laboral que tienen los postulantes a un cargo son:

1, i.z. l,3, 3, 5, 7, 6, 1, 3, 2, 1, 9, 2, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 2, 5, 6, 12, 2, 3, 3, 4, 5, 4, 1, 2, 1, 1,4, i.z. 1, 2, 3, 3,1,3, 1 Y 2.

a. Construye una tabla de frecuencias de cuatro intervalos.

b. ¿Qué porcenteje de postuJantes tiene más de seis años de experiencia laboral?

c. ¿Cuántos postulantes presentan una experiencia laboral menor que cuatro años'

4. Se midió la cantidad de agua en litros ingerida por 77 personas en un fin de semana, obteniendo:

1,75 3 2,5 3 2,3 3 2,5 3 1 3 3

2 2,5 3 2,4 3 2,5 3 1,25 3 2,25 1,75

1,2 2,1 2,5 1,1 2,5 2,5 3 2,5 2,7 2 22,3 2,6 3 1)5 3 3 2,5 3 2,5 3 2,5

3 1,75 2,75 2 2 2,75 3 1,75 1,45 3 21,4 2,5 3 3 2,5 3 2,5 2 1,75 2,25 2,53 3 2 2 1,75 2,2 3 3 3 1 2

a. Construye una tabla de frecuencias para datos agrupados en cuatro intervalos.

b. ¿Cuál es el porcentaje de personas que beben dos o más litros de agua el fin de semana'

c. Si al medir la cantidad de agua ingerida por 1.000 personas se observó que los datos se mantienenproporcionalmente, «uántos de ellos bebieron 2,5 o más litros de agua'

360 CLAVE • M~tem;itica

••5. Las temperaturas (DC) registradas en enero fueron las siguientes:

30; 28,2; 33,5; 29,8; 30,5; 29; 31; 28,1; 32; 33; 29,6; 26,9; 28.5; 30; 30; 29; 27,2; 32; 30,1; 27,1; 30; 30,3; 30,1; 31;30; 30; 28,6; 30,9; 29; 28,7 Y 30, l.

a. Construye una tabla de frecuencias con los datos agrupados en seis intervalos.

b. ¿Cuál es la marca de clase del intervalo que tiene mayor frecuencia?

c. Si se quisiera construir una tabla de frecuencias con los datos agrupados en 12 iotervalos, ¿cuál sería laamplitud de cada intervalo?

6. En una encuesta se consultó a 40 familias sobre el número de integrantes que contenía cada una. losresultados son los siguientes:

Familia 1 6 Familia 9 3 Familia 17 7 Familia 25 3 Familia 33 4

Familia 2 4 Familia 10 4 Familia 18 4 Familia 26 4 Familia 34 4

Familia 3 3 Familia 11 5 Familia 19 3 Familia 27 3 Familia 35 3

Familia 4 4 Familia 12 3 Familia 20 6 Familia 28 5 Familia 36 6

Familia 5 3 Familia 13 4 Familia 21 3 Familia 29 6 Familia 37 4 ,Familia 6 3 Familia 14 3 Familia 22 4 Familia 30 3 Familia 38 3

Familia 7 5 Familia 15 5 Familia 23 3 Familia 31 4 Familia 39 3

Familia 8 3 Familia 16 8 Familia 24 I 4 Familia 32 10 Familia 40 4

a. ¿Cuál es el rango de la variable'

b. Construye una tabla de frecuencias.

c. ¿Cuál es el porcentee de familias que están compuestas por menos de cinco integrantes'

d. ¿Cuántas familias están compuestas por más de siete integrantes'

7. Un jugador de básquetbol registra los siguientes puntos anotados en 100 partidos:

18 23 29 29 33 24 32 30 27 3226 28 33 36 17 26 31 23 29 2527 31 23 28 21 32 32 30 32 2331 29 28 29 29 32 30 3t 29 27e29 28 31 33 31 31 23 30 25 17

-o -"8~ 27 29 32 32 28 21 29 26 37 34e 25 28 23 29 29 31 30 32 32 27o.~ 24 33 21 31 30 32 33 31 27 315l

28 29 27 32 27 28 26 30 29 27'"'O

26 28 33 33 32 29 31 30 35 32~oo: - a. Construye una tabla de frecuencia para datos agrupados en siete intervalos,:;EV> <;

:!l b. ¿Qué porcentaje de partidos registra menos de 20 puntos anotados?e:8 -Para ser invitado al juego de las estrellas un jugador debe registrar más de 25 puntos en el 60 % de los'Ó -e: C.

'"o - partidos disputados. LSerá invitado el jugador a este juego'

Estadisticadescnotiva 31

Page 182: Preparacion Psu de Matematica SM

I!I 3. Gráficos

~ Gráfico de barras: representación gráfica en forma de barras, verticales u horizontales. Sirve pararepresentar valores de variables cualitativas o cuantitativas discretas.

~ Gráfico de barras múltiples o agrupadas: es una representación que permite comparar distintascategorías de variables cuantitativas discretas.

~ Histograma: es una representación gráfica en forma de barras verticales. La altura de cada barra esproporcional a la frecuencia de los valores representados. Esútil para representar datos de variablescuantitativas continuas, agrupados en intervalos.

~ Polígono de frecuencias: es una representación gráfica que forma un polígono compuesto por la líneapoligonal, que se obtiene al unir los puntos referidos a las marcas de dese de cada intervalo y el eje de lasabscisas.Al igual que el histogramaes frecuentemente usado con valoresde vañables cuantitativas continuas.

~ Gráfico de líneas: es un tipo de gráfico formado por un conjunto de puntos unidos con líneas rectas. Esútil para el análisis de variables con respecto al tiempo.

~ Gráfico circular: se puede usar con variables cualitativas o cuantitativas y en ellos se representanproporciones o porcentajes.

~ Diagrama de tallo y hojas: en esta representación cada número se divide en uno o más dígitosprincipales, que forman el tallo, y uno o más dígitos secundarios, que constituyen las hojas.

Ejercicios resueltos

1. las masas corporales de un grupo de personas se muestran en la siguiente tabla:

Masa corporal de un grupo de personas. MaSil- co "<', {fcgy" .. ~ .:~';~~",: f ~~~~;~.~._'~~

[45.55[4

Construye un histograma y un polígono de frecuencias.

Antes de construir los gráficos, es necesario determinar las marcas de clasesde cada intervalo para poderestablecer los puntos del poligono de frecuencias. Asi:

Masa corporal de un grupo de personas

~~M~c~rPo!at"(lg) "~-'Matca-cJe'éiáSe ~

:; hC.._ .# --" __ ~_r}:..:::·/,~"'f.~::~y~-~.,.

145,5s[ [ss,6s[ [6s,7s[ [75,8s[ [85,95[ [95,105[50 60 70 80 90 1004 8 12 5 2 I

Luego. los gráficos son:

¡DO

Histograma Polígono de frecuencias

~ 15

g 10'"c.

~Z O

§ 10~'"c.

'"-oz O45-55 55-65 65,75 75·85 85-95 95·105

Masacorporal

~n? r.I AVF • M,lpmMic,

.~V.'t;;~

'~i;~,.-.

..~

e

~::>

"Uoae~'"~

"U

~oa:::< I 1'"'""eo'0'Ó I ..;;uJ

(1 -

MI

Azul Roja

2. En un colegio se realizan competencias para celebrar su aniversario. Los puntajes obtenidos por alianza son:

Blanca

600 500

Verde Morada Celeste

400

a. Construye un gráfico circular.

- 3600

• 400 = 320

aseao"," - 4.500

- 3600

.600 = 480

aseao"o~ - 4.500

- 3600

.1.200 = 960

aSOCIO,morado- 4.500

- 3600

.800 = 640

aseao"'I'.' - 4.500

- 3600

.1.000 = 800

aSf<1o",,,de - 4.5 00- 360

0

• 500 = 400

as",,,,_o - 4500

Puntajes obtenidos por alianza

~?~.Af¡anza~;~ f-:'.,,: f ~.::;;~~~ f(%) ¡¡q->;1;, .••• _ ' ~,,"'!><~r ".- ',"-» .~r_:;¡¡¿.~

Azul 400 9

Roja 600 13

Verde 1.000 22

Morada 1.200 27

Celeste 800 18

Blanca 500 11

Total 4.500 100

1.000 1.200 800

La medida o. del ángulo del centro decada sector circular es proporcional ala frecuencia absoluta correspondiente:

(J. = 3600

• fn

donde n es el total de datos recogidos.

Gráfico circularBlanca (1 I %) I ( )

~ Azu 9J.t

Celeste (l B "") •""

:"-i- .•."

Morada (27 %)

La alianza celeste obluvo el 18 Ofo de los puntos .

b. ¿Qué porcentaje del total de puntos disputados obtuvo la alianza celeste'

c. ¿Qué porcentaje del total de puntos disputados obtuvo la alianza vencedora?

La alianza morada fue la vencedora y obtuvo el 27 0k¡ de los puntos.

3. El número de tasaciones inmobiliarias que pide un banco a una empresa consultora desde junio anoviembre son:

687 789 I 865 I 900

Junio Julio

678

Agosto Septiembre I Octubre I Noviembre

667

a. Construye un gráfico de líneas. (Qué se puede decir de las frecuencias de las variables?

Gráfico de líneasiil \.000.8 aoo-~-- ._, ..-1"0 .--~ 600 ----- - o .- --------

~ 400

Z 200

oJun Jul Ago Sep Oct Nov

En el gráfico se puede observar que a medidaque pasan los meses. el numero de tasacionesinmobiliarias que el banco pide a la empresaconsultora aumenta. Los meses en que se vsualizanotoriamente este crecimiento son septiembre,octubre y noviembre. En tanto, en junio, julio yagosto este número no tuvo variaciones mayores.

I=c;t~rlil::tir:::l rilX:::rrjntj,,~ 1F-

Page 183: Preparacion Psu de Matematica SM

1:!

t

I

i

I

IiI

L

4. En la tabla se muestra el número de artículos, de un mismo tipo, vendidos en el primer semestre por dosempresas.

a. Construye un gráfico de barras horizontales agrupadas. ¿Cuálpuede ser una explicación de las variaciones?

En el gráfico se pueden compararmensualmente las ventas de ambasempresas. También se observa que laempresa 1 incrementa el número deartículos vendidos, mientras que para laempresa 2 ocurre lo contrario. Una posibleconclusión es plantear la hipótesis de quela empresa 2 disminuyó sus ventas porquela empresa 1 aumentó las suyas.

Gráfico de barras agrupadas

Junio A 4

I• Empresa2, ¡Mayo '" I I 1 • Empresa1

Abril-------

~~ Marzo

FebreroEnero

.•.. _ .. L.

O 200 400 600 SOO 1.000Númerode articulosvendidos

5. Las edades de 40 personas que asistieron a un concierto son las siguientes:

28 20 18 40 29 25 17 . 39 19 1617 25 21 28 39 34 38 18 37 2019 18 25 31 36 43 21 29 19 4124 22 32 22 23 36 27 35 25 26

a. Construye un diagrama de tallo y hojas.

Primero conviene ordenar los datos:

16 17 17 18 18 18 19 19 19 2020 21 21 22 22 23 24 25 25 2525 26 27 28 28 29 29 31 32 3435 36 36 37 38 39 39 40 41 43

El tallo estará formado por el primer dígito. En este caso, por 1,2,3Y4,ya que los datos varían entre 16 y 43.Es decir, el tallo está formado por las decenas.

Las hojas corresponden a números entre O y 9 Y corresponden a las unidades de los valores de los datos. Así,el diagrama de tallo y hojas es el siguiente:

2

3

4 o24566

3

6 7 7 8 889 9 92 2 4 5 5 5 5 6 7 8 8 9 9

899o O

:if)4 (:1 AVF • MrltAmMirrl

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I:.g{5 -o:~ I ".."eo'0

I ::~e

Ejercicios propuestos

1. las toneladas de frutas que una empresa exporta en dos años son:

a. ¿Qué tipo de gráfico sería más conveniente construir si se quieren comparar las exportaciones mensuales decada año?

b. Según la respuesta anterior, construye el gráfico correspondiente. ¿Qué conclusión puedes realizar?

2. En un colegio de 300 estudiantes se realiza la elección de directiva para el centro de alumnos. Los votosobtenidos por cada lista presentada son:

._ :9 I 88

3 I 1~ I ~ I 1~7

a. Construye un gráfico circular.

b. ¿Con qué porcentaje de votos ganó la lista elegida!

3. las edades de las personas que habitan un edificio son:

a. Construye un histograma y un polígono de frecuencias. ¿Qué conclusión puedes realizar?

4. El valor diario de las acciones de tres empresas (A, B Y C) expresado en pesos es:

a. Construye un gráfico de líneas.

b, Si quisieras comprar acciones de una de las empresas, ¿cuál escogerás? ¿Porque?

5. El consumo mensual de electricidad (kWh) de 40 familias es:

401 373 409 441 410 378 421 431416 436 392 371 374 439 445 425415 384 411 387 417 418 383 446421 396 416 410 387 380 395 373444 404 429 420 388 392 382 485

a. Construye un diagrama de tallo y hojas. ¿Qué conclusión puedes realizar?

Estadistica descripliva 3E

Page 184: Preparacion Psu de Matematica SM

6. Se realiza una encuesta a 40 personas sobre el gusto que les deja tres sabores de bebida, obteniendo lossiguientes resultados:

Gusto respecto al sabor de una bebida

a. ¿Qué tipo de gráfico es más útil para representar los resultados de la encuesta?Constrúyelo.

b. ¿Qué se puede concluir del gráfico?

7. Lasedades de las y los docentes de un colegio son: 26, 30, 32, 32, 35, 36, 36, 38, 39, 46,46,47,47 Y 51 años.

a. Construye un histograma que represente la información.

b. Construye un polígono de frecuencias.

c. ¿Qué se puede concluir a partir de los gráficos!

8. El consumo anual (kg) de pan de 40 personas es el siguiente:

100 122 150 90 160 156 152 131

116 136 92 171 174 139 145 163

115 134 111 117 127 118 123 170

121 136 116 110 117 140 135 173

144 104 129 120 148 112 \32 145

a. Construye un histograma y un diagrama de tallo y hojas que represente la información.

b. (Qué conclusión se puede realizar de los gráficoQ

9. En un curso se realizan tres series de tres evaluaciones cada una (prueba, control y taller). Los promedios delcurso para cada evaluación son los siguientes:

Promedio del curso en las evaluaciones de cada serie

a. ¿Qué tipo de gráfico es el más adecuado para representar la información entregada! Justifica tu respuesta.

b. Construye el gráfico mencionado en la pregunta anterior.

c. ¿Cómo se puede interpretar la información graficada? Redada por lo menos dos interpretaciones.

.366.. CLAVE· Matemática

e-o8"-oK~~'"'O

~eo-

:2 I <tJ1

~I'veol

g

••10. La siguiente tabla muestra la cantidad de créditos solicitados y créditos aprobados en los últimos seis meses.

Créditos solicitados y créditos aprobados

Mes N° de créditos solicitados N° de créditos aprobados

Enero 1.200 300

Febrero 980 310

Marzo 760 400

Abril 1.120 250

Mayo 850 310

Junio 1.004 420

a. (Qué tipo de gráfico permite distinguir mejor la variación entre los créditos solicitados y los créditosaprobados? Justifica.

b. Construye el gráfico señalado en la pregunta anterior.

11. La cantidad de trabajadores de una empresa varía según la siguiente tabla:

Cantidad mensual de trabajadores

a. Representa la información en un gráfico de barras por trimestre.

b. ¿Enqué trimestre del año hubo una mayor cantidad de trabajadores!

12. Un curso debe elegir un lugar.para salir de paseo a fin de año. Para esto, se realiza una encuesta a todos losestudiantes del curso, en la que deben escoger entre tres opciones. Los resultados son:

Lugar para salir de paseo a fin de año

11;_1'_4 _'_.'_a. Representa la información en un gráíico circular.

b. ¿qué porcentaje de los votos tuvo la opción con menos preferencias?

13. Una empresa quiere realizar un estudio para determinar si ha logrado aumentar su producción en los últimostres años o revisar cuáles fueron los períodos en que esto no se logró. Para esto, tiene 105 siguientes datos:

Producción mensual en millones de pesos durante tres años

a. ¿Qué gráficos son necesarios para dar respuestaal estudio realizado en la empresa! Justificatu respuesta.

b. Representa la información en el o los gráficos mencionados en a.

Estadistica descriptiva 3,

Page 185: Preparacion Psu de Matematica SM

III\L~

4. Parámetros estadísticos4.1 Medidas de tendencia central

~ Media aritmética (X): suma de los productos de los valores (x) de una variable (cuantitativa) y suscorrespondientes frecuencias absolutas (1) dividida por el número total de valores (n).

1 nx=-L,x.fn i=l I I

Para datos agrupados en intervalos, se reemplaza el valor de la variable por la marca de clase delintervalo.

1 nx=-L,x.fn i= I rna I

~ Moda (MJ: es el valor de la variable (cualitativa o cuantitativa) que tiene mayor frecuencia absoluta.Puede haber más de una moda o ninguna (en caso que todos los valores tengan la misma frecuenciaabsoluta).

Para datos agrupados en intervalos, la moda se puede determinar calculando lo siguiente:

O,M =L+a·--

e , 0,+0,

~: límite inferior del intervalo modal (intervalo con mayor frecuencia absoluta).

a: amplitud de los intervalos.

O,: frecuencia absoluta del intervalo modal menos la de la clase anterior.

D,: frecuencia absoluta del intervalo modal menos la de la clase siguiente.

~ Mediana (M): es el valor central de un conjunto de datos ordenados de manera creciente o decreciente.Si el total de datos (n) es impar, la mediana corresponde al dato x~;mientras que si es par,la mediana,

x +x!! !!+1

corresponde al dato -'--'-.2

Para datos agrupados en intervalos, la mediana se puede determinar calculando lo siguiente:

!l.-FM=L+~.a

e 1 ~

L¡:limite inferior del intervalo de la mediana (intervalo en el que la frecuencia absoluta acumulada es

mayor que!l. ).2

a: amplitud de los intervalos,

f¡: frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana.

F¡_,: frecuencia acumulada del intervalo anterior al que contiene la mediana.

CLAVE· Matemática

e:go

" I"O - 2.oCi. -~¡¡¡

-t5 I -~s:oo::2 I0./1

'"'"eo·0

~ I ~,í)

~~:..;

Ejercicios resueltos

l. Un colegio necesita determinar la edad promedio de sus 140 estudiantes de 4' medio. Para esto, se realizauna encuesta en la que se obtiene la siguiente información:

- 25 estudiantes tienen 16 años.

- 50 estudiantes tienen 17 años.

- 55 estudiantes tienen 18 años.

- 10 estudiantes tienen 19 años.

a. ¿Cuál es la media aritmética de las edades de los estudiantes de 4° medio del colegio?

Para calcular la media aritmética pedida, se tiene:

- lLn 1 2.430x=- x- f=- ·(16 ·25+17·50+18 ·55+19 ·1O)=--~17 36

n ,., ' , 140 140 '

Redondeado a la unidad, el promedio de edad de los estudiantes de 4° medio del colegio es 17años.

b. ¿Cuál es la moda de las edades de los estudiantes de 4° medio del colegio?

Para determinar la moda de las edades de los estudiantes de 4° medio del colegio se observa cuál es la edadcon mayor frecuencia absoluta; asi, en este caso la moda es 18 años.

c. ¿Cuál es la mediana de las edades de los estudiantes de 4° medio del colegio?

Para determinar la mediana, como la cantidad de datos es par (140), se calcula lo Siguiente:

X.+x. x .. +X .. _17+17=17M,=~= -·-2-·- 2

Por lo tanto, la mediana de las edades de los esiudentes de 4° medio del colegio es 17 años.

Ejercicios propuestos----------_._--

1. Las estaturas en centímetros de 30 estudiantes de educación física son: 172, 165, 166, 178, 182,178, 165, 157,185,177,165,172,169,170,181,166,187,165,158,184,183, 168, 169, 159,178,180,167, m, 177y 188.

a. ¿Cuál es la media aritmética de la estatura de los 30 estudiantes de educación física?

b. ¿Cuál es la moda de las estaturas medidas?

c. ¿Cuál es la mediana de la estatura de los estudiantes que fueron medidos?

En un colegio se quiere determinar cuál de sus dos 4"' medios tiene un mejor promedio de notas enMatemática. Para esto, se tienen los promedios de notas de ambos cursos.

4° A: 3,5; 3,5; 4,9; 5,2; 3,1; 4,1; 2,9; 2,9; 3,8; 4,5; 5,3; 4,5; 4,1; 5,8; 3,9; 3,6; 4,2; 4,6; 1,9; 2,8; 2,9; 3.3; 4,3; 4.2; 4,1;4,3; 4,6; 4,4; 3,8 Y 3,6.

4° B: 4,5; 3,9; 1,3; 1.7; 3,6; 5,6; 2,8; 5,2; 2,8; 4,5; 4,8; 4,4; 1,6; 5,1; 4,3; 6,0; 5,3; 5,2; 4,8; 4,6; 5,5; 6.4; 4,8; 5,9; 4,3;3,9; 3,9; 5,4; 5,8 Y 4,2.

a. (Qué curso tiene mejor promedio de notas en Matemática]

b. ¿Cuál es la moda y la mediana de ambos cursos?

Estadistica descriptiva _JE

Page 186: Preparacion Psu de Matematica SM

"

4.2 Medidas de dispersión

~ Rango: corresponde a la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.

~ Desviación media: corresponde a la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de losdatos. Es una medida de cuánto varlan, en promedio, los datos de la muestra con respecto a la mediaaritmética.

1 no, =- ¿Ixi - xln ¡_¡ ..

e

En datos agrupados en intervalos, para determinar la desviación media se calcula lo siguiente:

1 N .

O = - ¿Ix .- xl· tm n ¡=I me J

n: número total de datos.N: número de intervalos.

Xmó: marca de dase del i-ésimo intervalo.fi:frecuencia absoluta del i-ésimo intervalo.

~ Varianza (S'): corresponde a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones medias de losdatos de la muestra. Se expresa en unidades cuadradas. A mayor dispersión de los datos, la varianza es

. mayor; y a menor dispersión, menor es el valor de la varianza.

5' = J. ~:CXi - x)'n ¡""1

En datos agrupados en intervalos, para determinar la varianza se calcula lo siguiente:

5' =1~(x - x)'. fn~ mo I¡=\

n: número total de datos.N: número de intervalos.

Xm,;' marca de clase del i-ésmo intervalo.t;: frecuencia absoluta del i-ésirno intervalo.

~ Desviación estándar (S): corresponde a la raíz cuadrada de la varianza de los datos de la muestra y seutiliza cuando la media aritmética se ha escogido como medida de tendencia central.

5= ./1~)x;- x)'n j=l

En datos agrupados en intervalos, para determinar la desviación estándar se calculalo siguiente:

5= /.lf(x_ x)'.f.n~ mo I

1=1

n: número total de datos.N: número de intervalos.

Xm'i: marca de clase del i-ésmo intervalo.f;: frecuencia absoluta del i-ésimo intervalo.

370 CLAVE· Matemática

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'""eo'0-e I ::'"g

••Ejercicios resueltos

1. En una empresa se tiene la siguiente información:

Ganancias mensuales en millones de pesos

a. ¿Cual es el rango de los datos por semestre (Ene-Jun y Jul-Oic)?

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor dato. Así, el rango del primer semestre (Ene-Jun) es112 - 89 = 23 Y el del segundo semestre (Jul-Dic) es 102 - 75 = 27.

b. Calcula la desviación media de ambos semestres.

Para calcular la desviación media de cada semestre se deben conocer sus promedios. Así, se tiene que elpromedio del primer semestre es 99 y el del segundo semestre es 89. Luego:

0"'",e- ,"', = i tlx, - 991= i(199 - 991+ 1112 - 991+ !100 - 991+ 1100 - 991+ 194 - 991+ 189 - 991) = 5

0"",-<-)" = i tlx, - 891= i(l78 - 891 +175 - 891+187 - 891 + 191- 891 + 1102 - 891+'1101- 891)= 9

c. Calcula la varianza de ambos semestres, determinando cual presenta mayor variabilidad.

s',,,....=it(X -99)'

= i( (99 - 99)' + (112 - 99)' + (100 - 99): + (100 - 99)' + (94 - 99)' + (89 - 99):) = -lg.3

S', ,.o( = J. ~ (x - 89)'"" 67-=i(78-89)' +(75-89)' +(87-89): +(91-89)' +(102-89)' +(101-89)')= 105.3

El segundo semestre presenta una mayor variabilidad.

d. ¿Cuáles la desviación estándar de ambos semestres?

La desviación estándar del primer semestre es 5= )49, '3 ~ 7,02; mientras que la del segundo semestre es5=~106j ~10,31.

EjerciciDs propuestos

1. Las notas de un curso en el examen de Matemática son las siguientes:

6,2 - 6,0 - 5,5 - 5,0 - 4,4 - 2,1 - 6,3 - 5,5 - 4,4 - 4,3 - 3,8 - 2,2 - 2,1 - 3,4 - 3,6 - 4,6

5,5 - 3,4 - 5,7 - 7,0 - 3,6 - 3,8 - 4,1 - 5,4 - 5,2 - 5,8 - 5,0 - 4,6 - 6,2 - 6,8 - 3,2 - 4,0

a. Calcula el rango, el promedio y la desviación media de las notas del examen.

b. ¿Cuáles la varianza y la desviación estándar de las notas del examen)

Estadistica descriptiva 2

Page 187: Preparacion Psu de Matematica SM

liI

.

.\I

\1

4.3 Percentiles

~ Cuartiles: son los valores que dividen al conjunto de datosen cuatro partes igualesen cuanto a la frecuencia;por lo tanto, en un conjunto de datos sontres. 8 primer cuartil (O,) separael 25 %de los datos,el segundocuartil (O) separa el 50 % Y el tercer~artil. (OJ separael 75 Ojo.

~ QUintií~s: son los valor~ q~e divid~~ al co~junto de datos en cinc~ partes igualesen cuanto a la frecuencia.Quintill Ouintil2 Quintil3 Ouintil 4

-.,¡.

I 1 1 1 1

~ Deciles: son los valores que dividen al conjunto de datosen diez partes igualesen cuantoa la frecuencia.01 02 03 04 05 06 D7 D8 09

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

~ Percentiles: son los valores que dividen al conjunto de datos en cien partes igualesen cuanto a la frecuencia.1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

~ ~

Ejercicios resueltos

1. Analiza la siguiente tabla y luego, responde.

Cantidad de respuestas correctas en una prueba de Matem~tica

(;~ñti~.~~l~~~~~;f~~\::~~~~f!

5

4

a. ¿Cuántas respuestas correctas debe tener un estudiante para asegurar que está sobre el primer cuartil de lascalificaciones?

Para responder es necesario completar la información. Así, se tiene:

Cantidad de preguntas correctas en una prueba de Matemática

CantidaCfde'r~ú~:~-'¿?~f::~~!\i;~;f:~:;Mf¿:(%\WliW'f7i\~'"""'t" _ ~Y •. ~ l-:~~"'~~~-.-r~ e-.'r'..•r ~'1»-~~íF'~~r;..\_~.íMí;¿

5 4 4 9,1 9,1

6 8 12 18,2 27,3

7 8 20 18,2 45,5

8 12 32 27,3 72,8

9 8 40 18,2 91

la 4 44 9,1 100,1

Como O, corresponde al 25 010 de los estudiantes que obtuvo menor cantidadde respuestas correctas, es posible identificar en la tabla de frecuencias queO, = 6; por lo tanto, para asegurar estar sobre el 25 Ofo de las calificaciones, sedeben responder correctamente, a lo menos, siete preguntas.

b. ¿Cuáles la mediana de los datos?

P'1]= 8, correspondiente a O, ya la mediana del grupo; por lo tanto, lamediana del grupo es 8.

• La mediana coincide conO, y P,o'Las medidas de posiciónno siempre correspondena un valor exacto de lavariable en estudio.

372 CLAVE· Matemática

·,1-';!

'1&!"

esu:J

"e ~o, ,2!iil'":gse -a.

I:2'"ae·8-ewg

Ejercicios propuestos

1. Dada la siguiente tabla de frecuencias:

¿Cuántos minutos tarda en ir al colegio?

••

a. ¿Enqué intervalo se encuentra P/:.:;;/, M¡nutos f . F"

[66,72[ 42 42[72,78[ 35 77

[78,84[ 53 130

[84,90[ 45 175

[90,96[ 32 207

[96,102[ 30 237

[102,108[ 26 ·263

b. ¿Enqué intervalo se encuentra el segundo quintil?

c. Calcula la mediana de los datos.

2. En un cuestionario realizado a 60 personas sobre el número de ocasiones en las que ha viajado en avión seobtienen los siguientes resultados:

Cantidad de viajes en avión realizadosDetermina:

1 2 2 I a. P'5

2 4 6b. P",3 5 11

4 9 20 c. Pm5 8 28

6 la 38 d. P35

7 5 43e. Do

8 7 50 I9 4 54 f. O,10 6 60

3. Analiza la siguiente tabla. luego, responde.

Estatura en metros de un grupo de personas

a. Si se considera que una persona es de baja estatura si está bajo el percentil10, ¿a qué estatura se refiere estadenominación] ¿Cuantaspersonasaproximadamente son de baja estatura?

b. Si se considera Que una persona es de alta estatura si está sobre el tercercuartil, ¿aqué estatura corresponde dicha denominación? ¿Cuántaspersonasaproximadamente son de alta estatura?

c. ¿Cómo se clasificacon respecto alas deciles a una persona cuya estatura esde 1,72 m?

Paracekular e! percentilde orden k \p.) con datosagrupados en I~ter.aios:

~-FP=L+a .~• f

d. Si se considerara que una persona es de alta estatura por pertenecer a los últimos dos quintiles, ¿cualseríaeste intervalo?

Fstrlliistir.;¡ lip.<r.rintivi! ~

Page 188: Preparacion Psu de Matematica SM

Instrucciones1. Esta prueba consta de 18 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A. B, C,

D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.2. Dispones de 40 minutos para responderla.

Conceptos básicos

1. ¿Cuál de las siguientes variables es continua?

A) Número de hijos de una familia.B) Estatura de los integrantes de un grupo.C) Cantidad de estudiantes de un instituto.D) Número de semáforos en una ciudad.E) Cantidad de juguetes de un niño.

2. Una variable cualitativa puede ser:

A) muestralB) discretaC) nominalD) poblacionalE) continua

Tabla de frecuencias

Para responder las preguntas 3 a la 5 considera la siguiente información.

Puntajes obtenidos por los participantes en una competencia

Puntaje ';' ":.f _'_~"::" .F. ,_.'~,~ .I;{%)':: "·.~:;-;~(tlb5'</~(:i1 15 15 11,9 11,9

2 20 35 b 27,8

3 a 61 20,6 48,4

4 30 91 23,8 72,2

5 35 126 27,8 100

Total 126 100

3, ¿Cuáles son los valores de a y b, respectivamente?

I

II

A) 25 Y 15,9%B) . 25 Y 27,8 %

C) 26 yO,28%D) 26 Y 15,9%E) 26 Y 27,8 %

174 r.I AlfF ' M,tpm:;lir.

~~'.

e-o'0 >

Ie:>-o ,eo-~..,:>"'~"OP-s:o

I~:. -~\ ~1Il ..,,' .""~'k0-,'{l.' I ~:o ....~~ -

-:-"::1-'}.:

".

4, ¿Cuántos participantes obtuvieron menos de cuatro puntos?

A) 26B) 30C) 35D) 61E) 91

S. la frecuencia relativa porcentual acumulada equivalente al 48,4 Ofo corresponde a los participantes cuyopuntaje fue:

A) 3B) menor que 3C) menor o igual que 3D) mayor que 3E) mayor o igual que 3

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) Un conjunto de datos puede organizarse en una tabla,B) La frecuencia relativa es la cantidad de veces que se repite un dato.C) El rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de los datos.D) La marca de clase es la sernsurna de los valores extremos de un intervalo,E) La amplitud de intervalo corresponde al cociente entre el rango y el número de intervalos.

7. El rango de los datos 3, 5, 7, 13, 15, 12, 2, 8 es:

A) 2B) 7,5

C) 13D) 15E) 30

Ensavotemático' PSU 37

Page 189: Preparacion Psu de Matematica SM

-11

l. 376

Gráficos

8. El siguiente gráfico representa la distribución de los puntajes obtenidos por 18 competidores. ¿Cuál(es) delas siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. La moda de los puntajes es 2.11. Siete competidores obtuvieron puntajes

mayores que 3.

11I. Nueve competidores obtuvieron puntajesmenores o iguales que 2.

A) Solo IB) Solo 111

C) Solo I y 11D) Solo I y 111

E) 1,11 Y 111

Puntajes de la competencia~ 6 ----- .-----~RE8v

"O

evE.=>Z

5--[~14---'--- ------ -~--I-·I="----._~I=~~--.~= ._.'~.:] -o 2 3

Puntaje

9. El siguiente gráfico representa el resultado de una encuesta a 30 personas sobre su actividad preferidaentre cuatro propuestas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. El 40 % de los encuestados prefiere teatro.11. La frecuencia relativa de la actividadbollet es ellO %.

111. Más de la mitad de los encuestados no prefiere teatro.

A) Solo 1

B) Solo 111

C) Solo 1 y 111

D) Solo 11 y 111

E) 1,11 Y 111

Actividades preferidas

10. El siguiente gráfico muestra el consumo de agua de una familia durante el año 201 L ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)7

1. En junio no hubo consumo.11. El mayor consumo se produjo en febrero.111. La mayor variación mensual de consumo se produjo de

noviembre a diciembre.

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 1 y 11

D) Solo 11 y 111

E) 1,11 Y 111

CLAVE, Matemática

Consumo de agua de una familiam'

~,~: : ¡ : : : :

EfMAMJJASOND Meses

e-o'0~-eoo. -!!

"'"" I-o

~ -oO- -sv>:Geo

I-o ~'ÓUJ -ii

11, Según el gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

Talleres de veranoV> 12-.~ 10~v -V>.S 8--'cu '

""CJ 6" ----~ 4~--::2e 2--B 0-

--- -- --_.!_ ~ .Mujeres

D Hombres

Poesía MúsicaTaller

Pintura

1. El taller de poesía tuvo la mayor cantidad de inscritos.11. La mayor diferencia entre el número de hombres y mujeres inscritos se produjo en el taller de música111. Se inscribieron más mujeres que hombres a los talleres de verano.

A) Solo 1

B) Solo 11C) Solo 1 y 11

D) Solo 11 y 111

E) 1,11 Y 111

12. ¿Con cuál de los siguientes tipos de gráficos es posible realizar una mejor proyección de lasventas de lainmobiliaria en los próximos años?

Ventas anuales de una inmobiliaria

2007 2008 2009 2010 2011 I45.215 40.015 48.632 50.132 51.236 1

;~~r'-~~;,,o::? ~~0.S~V~ anuáles:(UF): .;,

A) Diagrama de cajaB) Gráfico circularC) Gráfico de líneasD) Gráfico de barras múltiplesE) Gráfico de barras horizontales

Parérnetrosestadísticos

13, Con respecto a las medidas de tendencia central en un conjunto de datos, «ual de las siguientesafirmaciones es falsa?

A) La media aritmética de los datos es única.B) La moda del conjunto de datos puede no existir.C) Puede ocurrir que en el conjunto de datos haya más de una moda.D) La mediana no siempre coincide con alguno de los datos del conjunto.E) Al agrupar los datos en iotervalos. no se puede calcular su media aritmética.

Ensavolemalco· PSU --I

Page 190: Preparacion Psu de Matematica SM

~~.

14. La tabla muestra las edades de 205 estudiantes de un colegio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Edad de los estudiantes de un colegio

Edad (años)

N° de estudiantes

15 16 17 18 19

45 30 65 50 15

1. la moda es 18 años.11. la mediana es igual que la moda.111. El promedio de edad es 18 años.

A) 50101B) Solo 11C) SololyllD) Solo 11y 111E) 1.11y 111

15. ¿Con cuál(es) de las siguientes medidas de posición coincide la mediana?

1. Segundo cuartil11. Tercer quintil111.Percentil50

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111D) Solo 1y 111E) Solo 11y 111

16. La desviación estándar de los datos 1, 2, 3, 4, 5 es:

A) 1,2

B) fiC) 2D) 3

E) 4

1

i1

l 378 CLAVE· Matemática

,,-t!.,o,,.

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e-o'()u

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'".•:;2,Q

~~ I «;.•1!.g';;

I ~~Ir

-17. La estatura promedio de cinco recién nacidos es 51 cm. Si se sabe que el promedio de cuatro de ellos es

52 cm, entonces ¿cuál es la estatura del quinto bebé?

A) 47 cmB) 51,5cmC) 52 cmD) 56 cmE) Falta información

18. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) En un conjunto de datos hay cuatro cuartiles,B) El rango es una medida de posición.C) El promedio es una medida de dispersión.D) La moda corresponde al dato que más se repite.E) En el conjunto 2, 3, 1, 2, 4, 6, 7, la mediana es dos.

Ensayo temático· PSU ..1

Page 191: Preparacion Psu de Matematica SM

;~~;:.Y,{.:;~;f;.:""~'éiA"E'B' ~I de los tres y dos puntos; luego, a = 61 - 35 = 26. -,-'En tanto, el valor de b corresponde a la frecuencia

Las variables cuantitativas pueden ser discretas o relativa porcentual de obtener dos puntos. Este valor

continuas. Las variables discretas consideran solo es posible obtenerlo calculando el cociente entre la Ivalores enteros, y las variables continuas pueden frecuencia absoluta de obtener dos puntos y el total de 'lr", -,"asumir" valores reales pertenecientes a un intervalo. los participantes, y el resultado se debe multiplicar por ;1Así como la estatura de los integrantes de un grupo 100. Así, b = 20: 126· 100 ~ 15,9. ;<;;[.

puede ser representada por cualquier valor deDistractores: I

un intervalo de números reales, dicha variable es ,~

continua. A) Se cometió el error de pensar que, como 'ti~~~.'

Distractores:las frecuencias absolutas para el resto de los ¡puntajes son 15,20, a, 30 y 35, el valor de a es $

A) La variable "número de hijos de una familia" es el múltiplo de cinco que falta, es decir, 25. -~tuna variable discreta, ya que solo puede tomar B) Se cometió el mismo error de A), pero ~

:~~.valores enteros. además se calculó erróneamente el valor de b, ,.

C) La variable "cantidad de estudiantes de un considerando que este correspondía al cociente /;1'instituto" es una variable discreta, ya que solo entre la frecuencia relativa de obtener dos

puede tomar valores enteros. puntos y el número total de participantes, es

O) La variable "número de semáforos en unadecir, 35 : 126, yel resultado se debe multiplicar

ciudad" es una variable discreta, ya que 5010por 100, Asi, b =35 : 126· 100 ~ 27,8.

puede tomar valores enteros. C) Se calculó correctamente el valor de a, pero para

E) La variable "cantidad de juguetes de un niño" esel valor de b se cometió el error de no dividir por100, así se obtuvo 0,28.

una variable discreta, ya que solo puede tomarE) Se calculó correctamente el valor de a, pero paravalores enteros.

el valor de b se cometió el mismo error de B).

~5~~ CLAVE C""-oIol . ..:!

I ,. CLAVE D,Las variables cualitativas pueden ser ordinales o I Obtener menos de cuatro puntos correspondenominales.

a lograr 1, 2 o 3 puntos Por lo tanto, la cantidadDistractores: de participantes con menos de cuatro puntos

A) Muestral no corresponde a la clasificación decorresponde a la frecuencia absoluta acumulada hasta

algún tipo de variable.tres puntos, es decir, 61.

B) Discreta corresponde a la clasificación de Distrartores:

variables cuantitativas, A) Esta alternativa es incorrecta, pues solo consideraD) Poblacional no corresponde a la clasificación de la cantidad de participantes que obtuvo e

<J

algún tipo de variable. exactamente tres puntos, es decir, 26. B"'O IE) Continua corresponde a la clasificación de B) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera eo. -

variables cuantitativas. solo la cantidad de participantes que obtuvo !'!".cuatro puntos, es decir, 30.

<ftOO,

'O

O I C) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera:g

CLAVE O -g.~la cantidad de participantes que obtuvo más de o-

"El valor de a corresponde a una frecuencia absoluta; cuatro puntos, es decir, 35. ::;",.

'"por lo tanto, será el número de veces que se obtuvo E) Esta alternativa es incorrecta, pues considera '"eotres puntos. Este valor es posible obtenerlo calculando la cantidad de participantes que obtuvo cuatro '0·-·

~la diferencia entre la frecuencia absoluta acumulada puntos o menos, es decir, 91. q

380 CLAVE· Matemática

;·CLAVE,C

La frecuencia relativa porcentual acumuladaequivalente al 48,4 0/O está en la fila correspondiente aobtener tres puntos; por lo tanto, es igual al porcentajede participantes cuyo puntaje obtenido fue menor oigual que tres.

Distractores:

A) El porcentaje de participantes que obtuvo trespuntos es 20,6; por lo tanto, esta alternativa esincorrecta.

. B) El porcentaje de participantes que obtuvomenos de tres puntos es 27,8; por lo tanto, estaalternativa es incorrecta,

D) El porcentaje de participantes que obtuvomás de tres puntos es 51,6; por lo tanto, estaalternativa es incorrecta.

E) El porcentaje de participantes que obtuvo tres omás puntos es 72,2; por lo tanto, esta alternativaes incorrecta.

CLAVE B

La frecuencia relativa corresponde al cociente entre lafrecuencia absoluta y el número total de datos y no alnúmero de veces que se repite un dato; por lo tanto,B) es falsa.

Distractores:

A) Un conjunto de datos puede ser organizadoen una tabla; por lo tanto, esta afirmación esverdadera.

C) El rango de un conjunto de datos es la diferenciaentre el mayor y el menor valor de estos; por lotanto, esta afirmación es verdadera.

O) Para calcular la marca de clase de un intervalose suman los valores extremos y el resultadose divide por 2. Por lo tanto, esta afirmación esverdadera.

E) La amplitud de intervalo, efectivamente,corresponde al cociente entre el rango yel número de intervalos; por lo tanto, estaafirmación es verdadera.

~

o- /CLAVE c.

El rango de los datos se obtiene calculando ladiferencia entre el dato de mayor valor y el dato demenor valor. Así, en el conjunto de datos 3, 5, 7, 13,15, 12, 2, 8 el mayor valor es 15 yel menor es 2; porlo tanto, el rango es 15 - 2 = 13.

Distractores:

A) En esta alternativa se consideró erróneamente queel rango es el menor de los datos, es decir, 2.

B) En esta alternativa se consideró erróneamenteque el rango de los datos es el cociente entre elmayor y el menor valor, es decir, 15 : 2 = 7,5.

D) En esta alternativa se consideró erróneamente queel rango es el mayor de los datos, es decir, 15.

E) En esta alternativa se consideró erróneamenteque el rango de los datos es el producto entre elmayor y el menor valor, es decir, 15 • 2 = 30.

CLAVE C

En (1) se afirma que la moda de los datos es 2. Esto escorrecto, ya que en el gráfico se puede apreciar que labarra más alta es justamente la que corresponde a dospuntos obtenidos, es decir, hay una mayor frecuenciaabsoluta. Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.

En (11) se afirma que siete competidores obtuvieronmás de tres puntos, lo que significa obtener cuatroo cinco puntos, y según el gráfico, tres competidoresobtuvieron cuatro puntos y otros cuatro obtuvieroncinco puntos; por lo tanto, siete competidoresobtuvieron más de tres puntos. Luegc, esta afirmaciónes verdadera.

En (111)se afirma que nueve competidores obtuvieronpuntajes menores o iguales que 2. Lo anteriorsignifica obtener O, 1 o 2 puntos, y según el gráfico,dos competidores no obtuvieron puntos, otros tresobtuvieron un punto y cinco obtuvieron dos puntos;por lo tanto, la competidores obtuvieron un puntajemenor o igual que 2. Luego, esta afirmación es falsa.

Distractores:

A) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera la afirmación (11), que también esverdadera.

Modelamiento • PSU ~

Page 192: Preparacion Psu de Matematica SM

11

.""",,,,,,,,':-:';;0= • t ~ • ....---- _ --B) Esta alternativa es incorrecta, ya que solo

considera la afirmación (111), que es falsa.

D) Esta alternativa considera la afirmación (1), quees verdadera; sin embargo, es incorrecta, puesincluye la afirmación (111), que es falsa.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideralas afirmaciones (1), (11) Y (111), Y esta última esfalsa.

"'-"""" 'Tc"~':'~':ÚAYEE_ '';,;';.

En (1) se afirma que el 40 % de las personasencuestadas prefiere teatro. Esto es cierto, ya que 12de las 30 personas encuesta das prefieren teatro, y 12

corresponde al40 010 de 30, es decir, 30 • ~ = 12.100

Luego, esta afirmación es verdadera.

En (11) se afirma que la frecuencia relativa de laactividad ballet es el io %. Esto es correcto, ya que 3de los 30 encuestados prefineron ballet y 3 es ellO %

de 30, es decir, 30 • ~ = 3. Luego, esta afirmación100

es verdadera.

En (111) se afirma que más de la mitad de las personasencuestadas no prefiere teatro. En el gráfico se puedeapreciar que el número de personas encuesta das queno prefiere ir al teatro es 3 + 6 + 9 = 18, que es mayorque 15. Luego, esta afirmación es verdadera.

Distractores:

A) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera las afirmaciones (11) y (111), quetambién son verdaderas.

B) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera las afirmaciones (1) y (11), quetambién son verdaderas.

C) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera la afirmación (11), que también esverdadera.

D) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera la afirmación (1), que también esverdadera.

II\ 382 CLAVE· Matematica

1m CLAVE B

En (1) se afirma que en junio no hubo consumo. Estoes incorrecto, ya que en junio se utilizó la mismacantidad (o muy similar) de m' de agua que los mesesde mayo y julio. Luego, esta afirmación es falsa.

En (11) se afirma que el mayor consumo se produjo enfebrero. Esto es correcto, ya que el punto más alto delgráfico de línea realizado corresponde justamente aeste mes. Luego, esta afirmación es verdadera.

En (111) se afirma que la mayor variación mensual deconsumo se produjo de noviembre a diciembre. Estoes incorrecto, ya que la mayor variación se prodqo deoctubre a noviembre. Luego, esta afirmación es falsa.

Distractores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es falsa.

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), que es verdadera, pero incluye laafirmación (1), que es falsa.

D) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), que es verdadera, pero incluye laafirmación (111), que es falsa.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que considerala afirmación (11), que es verdadera, pero incluyelas afirmaciones (1) y (111), que son falsas.

m CLAVE o

En (1) se afirma que el taller de poesía tuvo la mayorcantidad de inscritos. Esto es correcto, ya que seinscribieron 10 + 7 = 17 personas, mientras que en elde música se inscribieron 8 + 7 = 15 personas, y enel de pintura 5 + 9 = 14 personas Por lo tanto, estaafirmación es verdadera.

En (11) se afirma que la mayor diferencia en cuantoal número de inscritos entre hombres y mujeres seprodujo en el taller de música. Esto es incorrecto,ya que la diferencia entre el número de hombres ymujeres inscritos en el taller de poesía es 10 - 7 = 3, enel taller de música es 8 - 7 = 1 Y en el taller de pinturaes 9 - 5 = 4; por lo tanto, la mayor diferencia entre elnúmero de hombres y mujeres inscritos ocurrió en eltaller de pintura. Luego, esta afirmación es falsa.

e-o'0u.aoO-!!!51'"~oo::2 1 '"'":üeo'0 I ~'ÓuJ

~

En (11I) se afirma que se inscribieron más mujeresque hombres. Esto es incorrecto, ya que se inscribió larnsrna cantidad de mujeres que de hombres:

Mujeres: 10 + 8 + 5 = 23

Hombres: 7 + 7 + 9 = 23

Así, esta afirmación es falsa.

Distractores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es verdadera.

B) Esta alternativa es incompleta, ya que considerala afirmación (11), que es falsa, y no la afirmación(111), que también es falsa.

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que considerala afirmación (11), que es falsa, pero incluye laafirmación (1), que es verdadera

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideralas afirmaciones (11) y (111), que son falsas, peroincluye la afirmación (1), que es verdadera.

~.~J CLAVEC';<>:-.;M'!"~

Como los datos corresponden a una variablecontinua con respecto al tiempo, el mejor gráfico pararepresentarlos es el de líneas, ya que con él es posiblerealizar conclusiones sobre la tendencia de la variable.

Distractores:

A) El diagrama de cajas es el gráfico utilizado pararepresentar cuartiles, valores mínimo y máximo,los valores atipicos de un conjunto de datos, etc.En este caso, no es el más apropiado, ya que elconjunto de datos solo contiene cinco valores.

B) El gráfico circular se utiliza en caso de quererrepresentar proporciones o porcentajes, yen estecaso, la finalidad es realizar una proyección delas ventas con respecto al tiempo.

D) El gráfico de barras múltiples se utiliza parapoder realizar comparaciones entre los valoresde una variable, yen este caso, la finalidades realizar una proyección de las ventas conrespecto al tiempo.

E) El gráfico de barras horizontales se utiliza paravariables discretas y no continuas, como es eneste caso.

m".l •..~.••.;:'1 .,;¡,;. "'_,,?:.r·.~·-';1""'~·'_~·-."-·.V'·, "-'l'!'Y~'~~crÁ~VE'" E';,tM;¡' .d;¡-¡*'.•••l'.".'l.:'l·'~;t.: .•..,Y):~J;i.-~~~::..~ __ .J ;_};;~t~.~";)~~~~

Aunque los datos estén agrupados en intervalos,la media aritmética puede calcularse sumando losproductos de las frecuencias absolutas por la marca declase de cada intervalo y dividiendo este resultcdo porel número total de datos. Por lo tanto, la afi rmeoón E)es falsa.

Distractores:

A) Dado un conjunto de datos, solo puedecalcularse un promedio de ellos. Luego, estaafirmación es verdadera.

B) Si en un conjunto de datos todos ellos sondistintos, la moda no existe, Luego, estaafirmación es verdadera.

C) Si en un conjunto de datos hay varios de ellosque se repiten una rnisma cantidad d e veces,entonces la moda no es única. Luego, estaafirmación es verdadera.

D) Si un conjunto está compuesto por u n númeropar de datos y los valores centrales son distintos,entonces el promedio de ellos (que eqUivalea la mediana) es distinto a todos los dalos delconjunto. Luego, esta afirmación es verdadera.

CLAVE B

En (1) se afirma que la moda es 18 años. Esto esincorrecto, ya que la edad que tiene mayor frecuenciaabsoluta es 17 años. Luego, esta afirmación es falsa.

En (11) se afirma que la mediana es igual que la moda.Esto es correcto, ya que la moda es 1i Y la medianacorresponde al dato central del conjunto, en este casoal dato, cuya posición es 103, luego de ser ordenadoel conjunto. En este caso, 17. Entonces, esta afirmaciónes verdadera.

En (111) se afirma que el promedio de edad es 18 años.Esto es incorrecto, ya que:

- 15·45+16·30+17·65+18'50+19'15x=-------------- ~ __ ~205

3.345=--

205=16,8

luego, esta afirmación es falsa.

~_odelamientD' PSU J

Page 193: Preparacion Psu de Matematica SM

11

l

Distrac!ores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es falsa.

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), que es verdadera, pero incluye laafirmación (1), que es falsa.

O) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), que es verdadera, pero incluye laafirmación (111), que es falsa.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que considerala afirmación (11), que es verdadera, pero incluyelas afirmaciones (1) y (liD, que son falsas.

m CLAVE O

En (1) se afirma que el segundo cuartil es equivalente ala mediana. Esto es correcto, ya que el segundo cuartilsepara el 50 % de los datos. Luego, esta afirmación esverdadera.

En (11) se afirma que el tercer quintil es equivalente ala mediana. Esto es incorrecto, ya que el tercer quintilsepara el 60 % de los datos. Luego, esta afirmación esfalsa.

En (111) se afirma que el percentil 50 es equivalentea la mediana. Esto es correcto, ya que el percentil 50separa el 50 % de los datos. Luego, esta afirmación esverdadera.

Distractores:

A) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera la afirmación (111), que también esverdadera.

B) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), que es falsa.

C) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera la afirmación (1), que también esverdadera.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (111), que es verdadera, pero incluye laafirmación (If), que es falsa.

384 CLAVE· Matemática

m CLAVE B

Para calcular la desviación estándar se necesita calcularla varianza, y para esto se debe conocer el promediode los datos, que es:

- lf. 1·1+2·1+3·1+4·1+5·1x =- L."x, • \ =3n ,_, 5

Ahora se calcula la varianza (S'):

S' = J. :i)x. - x)'n 1:1 .

(1- 3)' + (2 - 3)' + (3 - 3)' + (4 - 3)' + (5 - 3)'5

4 + 1+0+ 1+45

=2

Como la desviación estándar (5) es la raíz cuadrada de

la varianza, se tiene que S = J2.

Distractores:

A) Esta alternativa es Incorrecta, ya que correspondeal cálculo de la desviación media:

Dm =~tlx - xl=J.~) - 31

5 =

11- 31+ 12- 31+13- 31+ 14- 31+15 - 31

52+1+0+1+2

565

=1,2

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que correspondeal cálculo de la varianza:

s,=J.'t(X-X)'n ,...\

(1-3)' +(2-3)' +(3-3)' +(4-3)' +(5-3)'5

4+1+0+1+45

=2

e-o'8:J'O2o,t!'"'"~ I

Bs:2 Ie, .''Z I'" 'CVIQJ

5'0]

º

O) Esta alternativa es incorrecta, ya que correspondeal cálculo del promedio:

x=J.~> .!n j=¡ I I

1·1+2·1+3,1+4,1+5·1 35

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que correspondeal cálculo del rango:

5-1=4

m ... ,,'!:'-.~.'"CLAVEA' ,,,;,!

Sean x" x" x" x, y ~ las estaturas en centímetros de loscinco bebés. Luego, como su promedio de estatura es51 cm, se tiene:

_ X. + x + x + x. + xX, • , l - , = 51 cm (1)

5

Pero como también se sabe que el promedio entrecuatro de ellos es 52 cm, se tiene que:

x +x, +xi +x, =52 cm (2)x, =' - 4

Entonces, x, + X, + Xl + X, = 208. Luego, reemplazandoen (1), se tiene:

- 208cm+ X,\ = 51 cm

5

Por lo tanto, x, = (51 • 5 - 208) cm = 47 cm, quecorresponde á la estatura del quinto bebé.

Distr actores:

B) Esta alternativa es incorrecta, ya que se consideróerróneamente que la estatura del quinto bebé erael promedio de los promedios dados, así:

_ 5 1cm + 52 cm 51 5x,- 2 ,cm

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que se cometió unerror al considerar como promedio de los cincobebés el mismo promedio que el de los cuatrobebés, así:

x, + X, + x, + x, = 52 cm ·4 = 208

Reemplazando:

_ 208cm+x,X, S2cm

5=? x, =52cm· 5 - 208cm=52cm

..•.~

La moda es una medida de tendencia central quecorresponde al dato con mayor frecuencia absoluta;pudiendo haber una moda, más de una o ninguna.

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que los cuartilesson tres:

- Q, que separa el 25 0/0 de los datos.- Q, que separa el 50 ~ode los datos.- Q;, que separa el 75 0'0 de I~s datos.

O) Esta alternativa es incorrecta, ya que se confundióel orden de los promedios considerando:

'\ x. + x, + Xi + x, + X, = 52 cm5

x, X,+X, +xJ+x, =Slcm4

Así, x, + X, + x, + x, = 51 cm • 4 = 204 cm. Luego,reemplazando:

- 204 cm + X,~ S2cm

5=? x; =52cm· S-204cm=56cm

E) Esta alternativa considera que los datos no sonsuficientes para resolver el problema, pero esto noes cierto. Por lo tanto, esta alternativa es incorrecta.

m CLA\{E D

B) Esta alternativa es mcorrecta. ya que el rango esuna medida de dispersión y no de posicon

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que el promedioes una medida de tendencia central y no dedispersión.

E) En el conjunto i, 3, 1,2,4,6,7, la medianaes tres, ya que al ordenar los datos se tiene elconjunto:

1, 2, 2,3, 4, 6, 7

Por lo tanto, la mediana es el cuarto dato, esdecir, tres. Así, esta alternativa es incorreda

Modelamiento' PSU 38:

Page 194: Preparacion Psu de Matematica SM

1. Conceptos básicos

~ Experimento determinístico: es aquel que no depende del azar y cuyo resultado puede predecirse,siempre que el experimento Se realice bajo las mismas condiciones. .

~ Experimento aleatorio: es un experimento cuyo resultado no se puede predecir, pues su resultado esincierto.

~ El espacio muestrál (O) de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los posiblesresultados del experimento. .

~ Un suceso o evento es un subconjunto del espacio muestral del experimento y puede ser simple oelemental cuando tiene un solo elemento de 0, compuesto cuando tiene dos o más elementos de 0,seguro o cierto si contiene todos los elementos de O o imposible si no contiene elementos de O, es decir,es vacío.

Ejercicios resueltos

1. Determina el espacio muestral del experimento "lanzar dos monedas".

Como al lanzar una moneda solo es posible obtener cara o sello, el espacio muestral O del experimento"lanzar dos monedas" es:

!J = (cara-cara, cara-sello, sello-cara, sello-sello)

»,~.:.

f·•

2. Identifica en cada caso el espacio muestral del experimento aleatorio, su cardinalidad y el suceso asociado.

a. Obtener un número par de puntos al lanzar un dado de ocho caras no cargado.

ExperimentoEspacio muestralCardinalidad del espacio muestralSuceso

: lanzar un dado de ocho caras no cargado: Q = (1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8):#D=8: obtener un número par de puntos

b. Patear una pelota hacia el arco en un partido de fútbol y hacer un gol.

ExperimentoEspacio muestralCardinalidad del espacio muestralSuceso

: patear una pelota de fútbol hacia el arco: !J = (convierte gol, no convierte gol):#0=2: convertir un gol

Un dado está cargadocuando ha sido alteradopara obtener undeterminado resultado.

La cardinahdad (#) de uncoruunto corresponde a lacantidad de elementos queeste tiene

e-o·0u:J

"U

5- •l"~'"-e

~o.1

-,..-e-~ <

'""e ~o.

1'0 .s'Ó -uJ(j

3. Dé un ejemplo de un suceso simple, un suceso compuesto, un suceso seguroy un suceso imposible en el experimento aleatorio "lanzar un dado de seis caras no cargado y registrar lospuntos obtenidos".

Suceso simpleSuceso compuestoSuceso seguroSuceso imposible

~ CLAVE • Matemática

: obtener dos puntos al lanzar el dado.: obtener un número de puntos mayor que cuatro.: obtener un número de puntos menor Que siete.: obtener un número de puntos que sea múltiplo de diez.

Ejercicios propuestos

1. Identifica el tipo de experimento (aleatorio o determinístico) y determina el espacio muestral asociado (!J).

Experimento Tipo de experimento Espacio muestral

Lanzar una moneda y registrar su resultado.Extraer una bolita de una urna que contiene unabolita blanca y registrar su color.Extraer una bolita de una urna Que contiene unabolita roja, una azul y una verde.

Extraer una carta de una baraja inglesa de 52 naipes.

2. Considera el experimento "extraer una carta de una baraja inglesa de 52 naipes y registrar su número ypinta" y verifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas M o falsas (F).

a. Obtener una carta cuya pinta sea de corazones es un suceso seguro.

b. Extraerun dos de diamantes es un suceso compuesto.

c. Obtener una carta numerada con un valor mayor que 13 es un suceso imposible.

J. Identifica en cada situación el experimento, el espacio muestra\, el suceso asociado y el tipo de suceso.

a. Se lanzan dos dados de seis carasno cargadosy se pide calcular la probabilidad de obtener en la suma deambos dados un número mayor que 12.

Experimento

Espacio muestral (n)

Suceso

Tipo de suceso

b. Se baraja un mazo de naipe inglésy al extraer una carta al azar. se espera obtener un 7 de diamantes.

Experimento

Espacio muestral (n)

Suceso

Tipo de suceso

4. Analiza la siguiente información. luego, responde.

La probabilidad es el grado de certeza que se tiene respeáo de la ocurrencia de un suceso.

a. Al lanzar una moneda, ¿esmás probable que se obtenga una caraque un sello! Justifica.

b. ¿Qué es más probable Queocurra: obtener un número impar de puntos al lanzar un dado de seis caraso queal extraer una bolita de una urna Quecontiene ocho bolitas numeradas del 1al 8 se obtenga una que esténumerada por un valor par?Justifica.

Probabilidad ..Jli

Page 195: Preparacion Psu de Matematica SM

111

I

1

2. Regla de Laplace',. :;;

v ,

En un experimento aleatorio, la probabilidad de ocurrencia de un suceso cualquiera A puede calcularsemediante la regla de Laplace corno el cociente entre el número de casosfavorablesy el número de casosposibles: ,,'o ''''':;~'~ i;.-.;: .',;~. .

peA) 4M' Número de casosfavorables; con O ~ peA) s 14Hl Númerodecasosposibles .

Observaciones

~ La regla de laplace solo se puede aplicar si O está compuesto por un número finito de sucesoselementales y todos ellos son equiprobables (tienen la misma probabilidad de ocurrencia),

ii) Si A es un suceso seguro, entonces peA) = P(O)= 1, y si es un suceso imposible, entonces peA) = o.

Ejercicios resueltos

1, ¿Cuál es el espacio muestral del experimento "extraer una bolita al azar de una urna que contiene dos bolitasnegras, tres rojas y cinco amarillas'?

Como el espacio muestral n está compuesto por los posibles resultados del experimento aleatorio,O = {NI, N2, R1, R2, R3, Al, A2, AJ, M, AS}. donde N 1Y N2 son las bolitas negras, R1, R2 Y R3 son las bolitasrojas y Al, A2, AJ, A4 Y AS son las bolitas amarillas.

2. Considerando el experimento anterior, «uat es la probabilidad de los sucesos A: extraer una bolita roja,B: extraer una bolita negra y C: extraer una bolita amarilla?

Como *0 = 10 (cantidad finita) y los sucesos (simples) del espacio muestral son equiprobables, es posibleaplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso. Así, se obtiene:

~~.:t,'-. ;.•...;.:f" re J.,;;.r; ' •••,., •••.~~'¿¡~,~~-:..;.~~), ~~~ -.""'-;fo .......•"ff·- '~.¡."..•.~!>o.""'~ ~.;,- ~(". • .•.~ "1o,;.~!t

~:; S,ieeso"';':~J¡.;Casos tiMiábres""''.~ ;:--r.casos POsib!eS~~;~~:PtObabilidad~.;J}j:"~';:,,-~-c« 3 :'~1~.l~•.•." j_.~"_'v~;""'''''''"''';¡'~3.:~'''!:,' ~ ~"'x.:.w~'~ J~'''';'"j~,:-! ,t'J!- • ..,~tf:."'_;,,5

A I 3 I 10 I EJ • Los SUCESOS A, B Y C no10 'son equiprobables, ya

B I 2 I 10 I 1.-=0,2 que sus probabilidades de10 ocurrenca son distintas.

C I 5 I 10 I 2=0,510

3, Considerando el mismo experimento, ¿cuál es la probabilidad del suceso o: extraer una bolita roja o amarilla?

Como *0 = 10 Y hay ocho bolitas entre rojas y amarillas, se tiene que #D = 8. Así, se tiene: P(D) = ~ = 0,8.

4. Considerando el mismo experimento, «uál es la probabilidad de los sucesos E: extraer una bolita negra, rojao amarilla y F: extraer una bolita verde?

- E es un suceso seguro, ya que al extraer una bolita esta puede ser de color negro, rojo o amarillo; por lotanto, P(E) = 1.F es un suceso imposible, ya que no hay bolitas verdes en la urna; por lo tanto, P(F) = O.

388 CLAVE· Matemática

t:;5r:~":;;.;-:

\~~. ;,~

eo'8~'Ooi'i!!~'"'O

:§I:.~

Io, .-

~ I <'"alc:o'0

~ I '"g,

••••Ejercicios propuestos

1. Considera el experimento "extraer una carta de una baraja española de 40 naipes y registrar su pinta (oro,copa, espada y basto)" y verifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas M o falsas (F).

a. _____ La cardinalidad del espacio muestral es 40.

----- Un suceso del espacio muestral es A: obtener una carta cuya pinta es de espada.

-- La probabilidad de extraer una carta cuya pinta es de copa es 0,25.

----- La probabilidad de extraer una carta cuya pinta es de oro o bastos es 0,5.

----- Extraeruna carta cuya pinta es de copas es un suceso imposible.

b.c.

d.

e.

f. Los sucesoselementales del espacio muestral son equiprobables.

g. --_ .. -- Los casosfavorables para el suceso B:extraer una carta cuya pinta es de oro, son 20.

h. ._._ .._ ..._ .._ La probabilidad de extraer una carta cuya pinta es de oro o copa es la misma que la deextraer una carta cuya pinta es de basto o copa.

2. En el experimento aleatorio "extraer una carta al azar de una baraja inglesa de 52 naipes", calcula laprobabilidad de que ocurra cada suceso.

a, A: extraer el siete de diamantes. .: peA) =

~ P(B) =

~ P(C)=

~ P(D) =

~ P(E) =

~ P(F) =

~ P(G) =

b. B: extraer un rey.

c. C: extraer una carta numerada con un valor menor que 6.

d. D extraer una carta numerada con un cinco o un siete (as = 1).

e. E: extraer una carta cuya pinta es de corazón o trébol.

f. F: extraer una carta cuya pinta es de basto.

g. G extraer una carta cuya pinta es de corazón, pica, trébol o diamante.

~ Marca la alternativa correcta.

1, Se tienen seis ampolletas, de las cuales dos presentan problemas. Si se escoge una de estas seis ampolleta sal azar, ¿cuál es la probabilidad de que presente problemas?

A) O B) J.4

E) 1C) J.3

D) J.2

2. En un grupo de ocho amigos, una mujer y dos hombres usan anteojos. Si se escoge uno de los ocho amigosal azar, «ual es la probabilidad de que no use anteojos?

1A) '8 C) 1

8B) J.

4D) 2

8E) 7..

8

3, En el experimento aleatorio "lanzar dos dados de seis caras no cargados", la probabilidad de que la sumade los puntos, entre ambos dados, sea 8 es:

A) OB) ..i..

365

C) 36 E) 1D) ...§.

36

Prnh,hilirl,rl :lR'

Page 196: Preparacion Psu de Matematica SM

11;

Ii 3. Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite organizar información; por ejemplo, enproblemas de conteo y probabilidad. Es útil para determinar los posibles resultados de un experimentoaleatorio y calcular sus probabilidades.

Ejercicio resuelto

1. Construye un diagrama de árbol para determinar la probabilidad de que al lanzar tres monedassimultáneamente, se obtengan dos sellos (S) y una cara (C).

C<C-CCC

<C<S<~=~~~

S -css

<C-SCC

s<C S-SCS

s<C-Sscs_Sss

Ejercicios propuestos._--

Al usar un diagrama de árbol, es posible observar quese obtiene el mismo resultado que al aplicar la regla deLaplace. En ambos casos, se tiene que la probabilidad deque ocurra A: obtener dos sellos y una cara es:

p(A)=l8

l. Se extraen dos bolitas de una urna que contiene dos bolitas verdes numeradas con el 1 yel 2 y tres bolitasazules numeradas del 1 a13.

a. Construye un diagrama de árbol que represente la situación.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean de color azul?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las bolitas extraidas sea de color azul y esté numerada por un 27

d. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas estén numeradas por un 17

e. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las bolitas extraidas esté numerada por un 21

f. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean de color verde o estén numeradas por un 1?

g. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las bolitas extraídas sea de color verde o esté numeradapor un 27

h. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas estén numeradas por un valor impar]

¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean de color azul o al menos una esté numerada por un valor impar?

390 r:1 AVF • M.tAmMir:¡

-1

j

e-o"8~"Oeo. • -~~'"<>

"O

~el' I -~ :2''" r

~eo'0

I "'Ó'"g

4. Triángulo de Paseal

En el cálculo de probabilidades, el triángulo de Paseal solose utiliza en el caso de experimentos aleatorios con dosresultados equiprobables. Si este experimento se realizan veces, el número de casos posibles se puede calcularsumando los valores de la n-ésima fila del triángulo dePascal y el número de casos favorables asociados a ciertacaritidad k (O ~ k ~ n) de uno de los resultadosdel experimento está dado por el valor numérico queocupa la posición k + 1 en la n-ésima fila.

3

4 6

5 10

6 15 20

EjerciCio resuelto

l. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras al lanzar cuatro monedas.

En este caso, n = 4 (se lanzan cuatro monedas o también podríaconsiderarse como si se lanzara cuatro veces una moneda) y k = 2(corresponde al número de caras pedidas).

Así, utilizando el triángulo de Pascal, la cantidad de casos posibles es 16,que se obtiene al sumar los valores de la cuarta fila (1 + 4 + 6 + .• + 1);mientras que el número de casos favorables es 6, que corresponde al 1 4valor que ocupa la posición 2 + I = 3 en la cuarta fila.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente dos caras al

lanzar cuatro monedas es ~ = 116 8

Ejercicios propuestos

•••

2

3

4

10 5

15 6

2

3

6 4

[m Marca la alternativa correcta.

l. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 caras al lanzar una moneda 6 veces?

A) -.L16

C)Q64

B) 1..32

D) 1..16

2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más 2 caras al lanzar 3 monedas simultáneamente?

A) .!8

B) 18

IC)2 D) 14

E) 1.3

E) 2.8

3. En una prueba hay cinco preguntas de verdadero y falso. ¿Cuál es la probabilidad de que todas seanverdaderas?

1A) 5' 1

B) 32C)-2.

32D) .!

5E) 2

16

4. Suponiendo que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es la misma. ¿Cuál es laprobabilidad de que tenga exactamente dos hijos y dos hijas?

A) ...!16

C) 18

D) l2

IB) ¡ E) 2.

8

Prnh;¡hilir1An ;¡e¡

Page 197: Preparacion Psu de Matematica SM

Lanzamientos de una moneda

I.¡¡

20 40 60 '0 -u

~oo.I -1! .: 2.

12 I 16 I 27 I 37 I 48 I 57 I 66 I 77 I 87 I 101 I J

'"'"-c

1 1 1 0,4625 1 0,48 1 0,475 p,4714··1 0,481251 0,483 I 0,505 I t0,6 0,4 0,45 o. -

:2'"",."§'0'Ó

"'fi·;.,;:oft!.

392 s:CLAVE· Matemátir.;¡

II!

5. Leyde los grandes números

La ley de los grandes númer~:~~:~I~~~'~t~:~~~e~i~aque la cantidad de veces que se realizaun experimento aleatorio aumenta indefinidamente, iafrécuenéia relativa de un suceso tiende a undeterminado valor. Este número correspondea la probabilidad del suceso.

• '. Sea A un suceso, si se realiza el exp~rim~~f~ti~'Rú:;,tródefinido de veces, entonces: ':- 0'- ;, (~41.::;~':;-~':..-\::::'~::~?:::: '

f (A) cantKladdevecesqueoCurreelsúc~oA' '; (probabilidad experimental)r cantKladde veces que se rea/izaelexpermento

• Si se realiza el experimento un número:i'n~~fi~id~'deveces, entonces:

f (A) '" número?e casos fiMlr<i>\es alsuceso A =P(A); (probabilidad teórica)r numero de casos posibles

Ejercicio resuelto

1. Se lanza al aire una moneda 200 veces y se anota el número de veces que apareció cara (C) después de 20,40,60,80, ... , 200 lanzamientos. Luego, se registran los resultados en la siguiente tabla:

Lanzamientos de una moneda

40 60 80 100 140 160 18020 120 200

1612 27 37 48 66 77 87 10157

¿Cómo se comporta el suceso A: obtener cara, conforme aumenta el número de lanzamientos?

Las frecuencias absolutas proporcionan una esi:asa información de cómo se comporta el suceso. Ahora, si serepresentan las frecuencias relativas, se tiene que:

.::~~.::;a~.~..'~.:\1:,;

I!W-~;~

.~

~f;~t

';,:

Lanzamientos de una monedaFrecuencia

relativa0,7

0,6t •0,

0,41• •

•0,

0,2

0,1

Las frecuencias relativas tiendena estabilizarse en torno a 0,5,es decir, la frecuencia asociada alsuceso A asume valores en torno a0,5, de tal manera que la diferenciaentre estas se hace menor mientrasel número de lanzamientos crece.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Número de lanzamientos

Ejercicios propuestos

1. Se lanza un dado de seis caras y se obtienen los siguientes resultados.--l." f.* ;" .••••••

11 I 170

0,11 I 0.1 i

a. iA qué valor crees que tiende la frecuencia relativa del resultado de obtener un punto?

b. ¿Qué relación tiene dicho valor con la probabilidad de ocurrence de cada suceso)

~ Marca la alternativa correcta.

1. Según la ley de 105 grandes números, ¿qué debería ocurrir si se lanza reiteradas veces un dado de seis carasno cargado?

A) En un terno de los lanzamientos se obtendrán cuatro o seis puntos.B) La frecuencia relativa de que se obtenga un punto se mantiene constante.C) El número de veces que se obtiene dos puntos se aproxima a un sexto de los lanzamientos .D) El número de veces que se obtiene cinco puntos es igual al de obtener tres puntos.E) Si se lanza 120 veces, en exactamente 20 de los lanzamientos se obtendrán seis puntos.

Si de una urna que contiene tres bolitas rojas, dos amarillas y cinco verdes se extrae una bolita al azar "n"veces y con reposición, équé se podría asegurar?

A) La frecuencia relativa de extraer una bolita verde se aproximara a 0,5.B) Si se realizan 100 extracciones se obtendrán 50 bolitas de color verde.C) Que por cada dos bolitas azules extraídas, se obtendrán tres bolitas rojas.D) El número de bolitas verdes extraídas será el mismo que el de las rojas y amarillas juntas.E) Al extraer una bolita verde, disminuye la probabilidad de que en la siguiente extracción también se obtenga

una bolita verde.

Probabilidad J

Page 198: Preparacion Psu de Matematica SM

IL 394

111

1 6. Conjuntos. Unión, intersección y complemento

~ Los sucesos son subconjuntosdel espacio lllu;;SÚ~1deun experimento aleatorio, por lo que la teorfade conjuntos está relacionada con el cálculo de probabilidades. .

~ Los diagramas de Venn permiten. visualizar las operaciones entre conjuntos y, en consecuencia, ayudanal análisis de probabilidades. Así, sean A y B dos sucesos de n, entonces:

A' (complemento de A) representaal suceso: no ocurre A.

A n B representa el suceso queocurre si y solo si ocurren A y Bsimultáneamente.

A U B representa el suceso queocurre si y solo si ocurre A, B oambos.

nco"Q

AUAc=nP(N) = 1 - P(A)

Ejercicios resueltos

1. Para determinar qué periódico (A, B Y C) es más leído en un grupo depersonas, fueron consultadas 45 de ellas. Si los resultados se puedenobservar en el diagrama, responde:

a. ¿Qué representan los valores del diagrama')

Q2 -

·.;':n":<:-

Los valores que no pertenecen a ninguna intersección corresponden alnúmero de personas que lee solo un determinado periódico; mientrasque los valores de las intersecciones representan a las personas que leenmás de un periódico. Por ejemplo, el valor 10 representa al número depersonas que solo leen el periódico C. mientras que el valor 1 representaa la persona que lee solo el periódico A y el C. Por otra parte, los valores que no pertenezcan a ningunode los conjuntos corresponden al número de personas que no respondieron la encuesta o tienen otrapreferencia de lectura y no leen los periócicos A, B o C.

10

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una de las personas esta lea el periódico Q

El número de personas que lee el periódico C se calcula sumando las diez personas que leen soloeste periódico, las cinco que leen solo By C. la persona que lee solo A y C y las siete que leen los tresperiódicos. Luego, las personas que leen el periódico C son 23. Por lo tanto, la probabilidad de que al

elegir a una persona encuestada esta lea el periódico C es n45

c. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una de las personas esta lea los tres periódicos')

p(AnSnC)=2.45

d. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una de las personas esta no lea el periódico Q

P(Cc)=l _ 23 = 2245 45

CLAVE· Matemática

A

6

el01:.:i.;1s:'"~;I.~.

e

]e.a.l!!.;J'¡

'"~:z;z :0;-c.t ~'.:2:<.1\$ ,5~~'0-;~-.'~uJ¡

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Ejercicios propuestos

1. Si el diagrama muestra las preferencias musicales de un curso,verifica si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Para ello,escribe V o F según corresponda.

Romántica

a. La probabilidad de que al elegir a un estudiantedel curso, le guste la música romántica es l.

9

b. Si el conjunto A representa a los estudiantes que

prefieren la música Pop, entonces P(Ac) = 29 .36

c. La probabilidad de escoger a un estudiante al que I POD -,,,- .- Rockle guste solo el rock es la misma que la de elegir auno que le guste la música romántica yel popo

d. La probabilidad de escoger a un estudiante que no le gusten estos estilos musicales es ~.36

e. 13 estudiantes prefieren solo dos estilos musicales.

2. Construye un diagrama de Venn que represente la siguiente situación. Luego, responde.

En un grupo de estudiantes se consultó por la participación en actividades eareescolares (etletismo. baile y coro),de lo cual se obtuvo que 55 encuestados participan en atletismo, 33 en atletismo y coro, 25 en las tres actividades,15 solo en atletismo y baile, tres solo en coro, 46 participan en baiie. 2 soio en baile y coro y 6 no pa rtopan enestas actividades.

a. ¿Cuál es el total de estudiantes consultados)

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante del grupo es:e paniope en coro)

c. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante del grupo este peniope en atleusmo y coro. pero noen baile')

d. ¿Cuántos estudiantes del grupo participan en dos actividades como rnexrno?

~ Marca la alternativa correcta.

1. Si la probabilidad de que ocurra un suceso Q es 0,7, «uál es la probabilidad de que este no ocurra?

A) 0,2 C) 0,5 E) Faltainformación

D) 0,7B) 0,3

2. Dados los sucesos A y B, «uál de las alternativas representa al suceso "ocurra A pero no B'?

A) AU BC B) A n BC C) An B El NnBcD) AUB

3. Si la probabilidad de que ocurra un suceso D es 1, ¿cuál es la probabilidad de DCU D')7

1A) '7 B) 1

7C) §.

7 El 1D) §.7

Prohahilidad 3(

Page 199: Preparacion Psu de Matematica SM

II1

! 7. Regla de la adición y regla del producto~'¡~.r.:'., '. 'f

~ Regla de la adición

Dados A Y B,dos sucesos cualesquiera de un-espacio muestral n, la probabilidad de que ocürra A U Bestá dada por: .

;:.:~" /;>'il~;

;;~ .Ó ;.;P(A U El) = peA) +'P(B) - peAn B)

Si A Y B son sucesos mutuamente excluyentes, es decir, la ocurrencia de uno exduye la ocurrencia delotro, se tiene que peAnB) =O, entonces peAU B) = peA) + P(B).

~ Regla del producto

Si A Y B son sucesos independientes, es decir, la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos nodepende de la ocurrencia del otro, la probabilidad de que ocurra A n B está dada por:

peAn B) = peA) • P(B)

Ejercicios reslleltos

1, En un estudio sobre motocicletas y automóviles se entrevistó a 700 personas. De ellas, 520 tienen algúnautomóvil, 315 tienen alguna motocicleta y 150 tienen ambos tipos de vehículos motorizados. Si entre las700 personas encuestadas se escoge una de ellas al azar, «uél es la probabilidad de que tenga algunamotocicleta o automóvil?

Pararepresentar de otra manera la situación, esposible hacerlo con un diagramade Venn, como se muestra en la figura. En él sepuede distinguir la cantidad deencuestadosque pertenece a cada conronto, su unión, interseccióny complemento.

Ahora, considerando los sucesos:A: tener algún automóvilM: tener alguna motocicleta

La probabilidad de que al escoger uno de los 700 encuestados este tenga algún automóvil o motocicleta estádada por peAUM), Y observando el diagrama se aprecia que la intersección entre ambos sucesosno es vacía;por lo tanto, aplicando la regla de la adición, sé tiene que:

peAU M) = peA) + P(M) - peAnM)

= 520 + l!2 _.!2Q.= lli= ° 98700 700 700 140 '

Finalmente, la probabilidad de que al escoger uno de los 700 encuestados este tenga algún automóvil omotocicleta es aproximadamente 0,98.

2, De manera consecutiva, se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primerlanzamiento se obtenga cara y en el segundo sello?

Sean: A: obtener cara en el primer lanzamientoB: obtener sello en el segundo lanzamiento

~ peA) = 0,5~ peB) = 0,5

Como el primer lanzamiento no afecta al segundo, los sucesos son independientes, por lo tanto:

peAn B) = 0,5 • 0,5 = 0,25

Luego, la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento y sello en el segundo es 0,25.

396 CLAVE' Matemati:?

--"' •• ' ."J e - u_. -.•. - ''t

Ejercicios propuestos

111!] .Marca la alternativa correcta.

1. En una caja hay cinco fichas rojas, tres blancas y cuatro azules. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraeruna ficha de la caja esta sea blanca o azul?

C)212

O) L12

B) .!12

A) 1..12

E) 2...12

2. Se tienen diez tarjetas numeradas del O al 9, Si se extrae una de ellas, se repone y se extrae una segundatarjeta, ¿cuál es la probabilidad de que ambas tarjetas estén numeradas por el mismo valor?

B) 0,01A) 0,01 C) 0,1 D) 0,2 E) 0,5

3, En el lanzamiento de cuatro monedas, «ual es la probabilidad de obtener cuatro sellos?

C) 0,125A) 0,0625 B) 0,1 O) 0,4 E) 0,5

4, Al lanzar un dado de seis caras no cargado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar o mayorque dos puntos?

'~

A) l4

1B) '3 E) .2.

6e) l

2D) 1.

3

5. Si en un conjunto de números la probabilidad de escoger un número impar es 0,5, de que sea múltiplede cinco es 0,2 y de que sea impar o múltiplo de cinco es 0,6, «uál es la probabilidad de que el númeroescogido sea impar y múltiplo de cinco?

A) 0,5 C) 0,3 E) 0,1B) 0,4 D) 0,2

6. En una reunión de 24 personas, diez tienen el pelo liso, nueve tienen los ojos claros y tres tienen el pelo lisoy ojos claros. Si se escoge al azar una de las personas, «ual es la probabilidad de que tenga el pelo liso olos ojos claros?

A) .!3

B) 18

E) l224

C)212

O) l3

7. Dada la siguiente ruleta, «uál es la probabilidad de que al girarla se obtenga un sector numerado por unvalor par o que esté entre cuatro y siete, incluyéndolos?

A).!.g6'0 -

u~'O .!2 B)o-

3!! -óf,,{l

~~;C)

2os:s ~ D) l11> 3'"~.o .2.·G· E):t;' -"

5uJ

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Page 200: Preparacion Psu de Matematica SM

11

1

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8. Probabilidad condicionada

~ La probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un suceso siempre y cuando ocurraotro, es decir, cuando un suceso B incide en la probabilidad de ocurrencia de otro suceso A. SeescribeP(AIB) y se lee "probabilidad de A dado B".

Paracalcular la probabilidad de A dado B se tiene la siguiente fórmula:

P(AIB)= p(AnB). P(B) 7:- OP(B) ,

Observación:

Si A Y B son sucesos independientes, entonces P(AIB)= p(AnB)P(B)

1

peA)· ~

~I

peA).

Ejercicios resueltos

J. Al extraer una carta de una baraja de naipe inglés se sabe que es de diamantes, «uál es la probabilidad deque además sea un nueve)

Definiendo los sucesos A: extraer un nueve y B: extraer una carta de diamantes, lo que se quiere calcular esP(AIB). Como los sucesos son independientes, ya que la ocurrencia de uno no incide en la ocurrencia del otro,es posible aplicar io siguiente:

P(AIB) = peA)

Luego, peA) = ~ = 1., ya que hay cuatro cartas numeradas con nueve en la baraja de 52 cartas. Por lo tanto:52 13

P(AIB)= peA)= 1.13

2. De una bolsa con nueve fichas numeradas del 1 al 9 se extrae al azar y sin reposición una de estas fichas. Siluego se extrae otra ficha, «ual es la probabilidad de que la primera ficha extraída esté numerada por unvalor par y que la segunda ficha extraída esté numerada por un valor impar?

Definiendo los sucesos A: la primera ficha extraída está numerada por un valor par y B: la segunda fichaextraída está numerada por un valor impar, lo que se quiere calcular es peA n B). Como 105 sucesosno sonindependientes, ya que la ocurrencia de uno incide en la ocurrencia del otro, es posible aplicar lo siguiente:

P(BIA)= p(An B):=) p(An B)=P(BIA). peA)peA)

Luego, peA)= ~,ya que son cuatro fichas numeradas por un valor par entre nueve posibles, y P(BIA)= 2, ya9 8que si A ocurrió, quedan ocho fichas. de las cuales hay cinco impares. Por lo tanto:

peAnB)=p(BIA) • peA)= ~ . ± = 20 = 2.8 9 72 18

398 el AVF • M~tpm~tir~

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•••Ejercicios propuestos

1. Analiza la siguiente información. Luego, responde.

Se sabe que cada estudiante de cuarto medio de un colegio se inscribió para rendir solo una prueba deconocimientos específicos entre Ciencias e Historia y Ciencias Sociales, obteniendo la siguiente tabla:

Sector/Curso 4°A 4°B

Ciencias 25 14

Historia y CienciasSociales 11 20

a. ¿Cuáles la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un estudiante de cuarto año medio este se hayainscrito en la prueba de Historia y CienciasSocialessi se sabe que es de 4° A7

b. ¿Cuáles la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un estudiante de cuarto año medio este sea de 4° B sise sabe que se inscribió para rendir la prueba de Ciencias)

2. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado de seis caras no cargado, la suma de los puntosobtenidos en ambos lanzamientos sea un número par si se sabe que en el primer lanzamiento se obtuvo unnúmero primo de puntos.-----.-.-----------.-- ~_ __0-- _. ._. .... . . .... . _

~ Marca la alternativa correcta.

J. En una bolsa que contiene doce bolitas numeradas del l al 12. «uál es la probabilidad de que al extraeruna de ellas, la bolita esté numerada por un valor primo, si se sabe que dicho valor es mayor que 4?

A) l4

B) l8

1C) '2 D) 2

5E) 1.

3

2. Se tienen dos urnas A y B. La urna A contiene cuatro bolitas rojas y seis negras, y la urna B contiene dosbolitas negras y ocho rojas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja, dado que proviene de laurna Al

A) l5

B) l3

E) ±5

C) l5

D) 25

~ 3. Si se extrae una carta de una baraja de naipe inglés, «ual es la probabilidad de extraer un rey o un as,sabiendo que la pinta de la carta es de color negro?

=~A) l

13C) l

4B) 1.

13D) l

2E) -ª.

13

Prohahilii1~rl 3C

Page 201: Preparacion Psu de Matematica SM

1. Principio multiplicativo

Principio multiplicativo: si una operación puede efectuarse de ", maneras diferentes, y una vez realizadacualquiera de ellas una segunda operación' puede llevarse a cabo de n) maneras distintas, y así, unacantidad k de operaciones diferentes se realizan consecutivamente, entonces el número total (N) demaneras diferentes en que se pueden realizar todas las operaciones simultáneamente es:

N = n, • n, •...• nk; k EN.

Ejercicio resuelto

l. Se quiere instalar una bandera de señalización. Para ello, se puede utilizar un mástil de metal o de madera.Si la bandera puede ser triangular o rectangular y de color rojo, verde o azul, ¿decuántas maneras distintasse puede colocar una bandera de señalización?

Considerando que:ni: número de tipos de mástil (2)n,: número de formas de la bandera (2)nJ: número de colores distintos (3)

Por lo tanto, hay 12 maneras distintas de colocar una bandera de señalización, ya que:

N = ni· n,· n, = 2' 2 ·3= 12

Ejercicios propuestos

rm Marca la alternativa correcta.

1. Si en un mueble hay un pantalón negro y otro gris, una palera blanca, una negra y una amarilla y comocalzado hay un par de botas, uno de zapatos y uno de zapatillas, «uántas tenidas (pantalón, palera ycalzado) diferentes se puede combinar?

A) 3 B) 8 E) 36C) 9 D) 18

2. Si para remodelar una casa es necesario elegir si las paredes serán de madera o ladrillo, si el piso será decerámica o alfombra y si tendrá uno o dos baños. me cuántas maneras distintas es posible remodelar la casa?

A) 3 B) 4 E) 8C) 5 D) 6

l. Para ir de un pueblo a otro hay tres caminos distintos y dos tipos diferentes de transporte. me cuántasmaneras distintas se puede llegar de un pueblo al otro?

A) 5 C) 7 D) 9 E) 12B) 6

4. Un restaurante ofrece dos tipos de entrada, tres platos de fondo distintos y una serie de postres. Si hay 24

maneras distintas de escoger un menú con las tres opciones, «uántos tipos de postre ofrece el restaurante?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 12 E) 24

,1nn rl 1\1/1:• "'~"tn•.•..";+ir-..,

e-o"8"Q~~~~a::::E~;;<p':c:».

·8:o'~'"

-2. Permutaciones

Considerando un conjunto de n elementos y que una permutaáón es cada una de las posiblesordenaciones de los elementos del conjunto, se tienen las siguientes fórmulas:

•. Permutación:Pn= n! = n • (n - 1). (n - 2)· ... ·3·2· 1,con n EN.

donde n! se lee Un factorial". Además, se define O! = l.

•. Permutación circular:Pn-, = (n - 1)!, con n EN.

•. Permutación con elementos repetidos:

p(n ,,= n! , con p + q + r + ... S n y p, q, r, n EN.~. .• pl- q! • rl • _

donde, de los n elementos, uno de ellos está repetido p veces, otro q veces, otro r veces,etc.

•. Variación o permutación de k elementos de n: es cada una de las posibles ordenaciones que sepueden realizar con k elementos de n.

p,n= _n_1_, con n ~ k y n, k EN.(n-k)1

Ejercicios resueltos

1. (De cuántas maneras distintas se pueden ordenar tres personas en una fila? ¿y alrededor de una mesaredonda?

Si las tres personas son A, B Y e. para el caso de la fila las ordenacones posibles son ASe. BAC CAB, ACB,SCAy CBA. Así, aplicando la fórmula

P, = 31 = 3 ·2 • I = E

Para el caso de la mesa redonda solo hay dos maneras diferentes de ordenar: la pnmera, cuando a la izquierdade B siempre está A ya la derecha de B siempre está C; y la segunda, cuando a la izquierda de S siempre estáC y a la derecha de B siempre está A. Esto significa que los seis orcenernieruos encontrados al permutar sepueden agrupar en dos grupos:

ABe. BCAy CAB (primera manero de ordenar)ACB, CBA y BAC(segunda manero de ordenar)

Así, es posible comprobar con la fórmula que la permutación circular de tres elementos es 2

PJ_, = p¡ = 2 . 1 = 2

2. (De cuántas maneras distintas se pueden sentar seis personas en una fila de cuatro asientos?

Como son seis personas y solo hay cuatro asientos, es posible aplicar la fórmula de permutación de cuatroelementos de seis. Entonces:

p' =_61 __ 6.5. 4·3·2 ·1, (6 - 4)1 - 2 • 1 = 360

Luego, seis personas se pueden sentar de 360 maneras distintas en cuatro asientos.

Com!Ji0atori~..J

Page 202: Preparacion Psu de Matematica SM

Ejercicios propuestos

1. Calcula el valor de las siguientes permutaciones.

a. P: b. ~~') c. P,

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a. Pn= 40320 C. Pk4= 12 e. ~~.l.r) =15120

b. Pn_1=720 d. ~~.l.,) = 138.600 f. p,n=20

3. Verifica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda.

a. -_PJ+P,=P, e. P, = 24P:c. __ p =pnn n-I

b. P =pn--n n d. --p,.p,=P

lOf. P; = n-l

~ Marca la alternativa correcta.

1. En una carrera de 100 metros planos corren 12 atletas. me cuántas formas distintas se podría dar laentrega de medallas (oro, plata, bronce)?

A) 36 B) 220 C) 576 D) 1320 E) 1.728

2. Un grupo de niños juega a la ronda. ¿Cuántos niños hay si se pueden ordenar de 5.040 formas diferentes?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

3. Un grupo de ocho estudiantes debe hacer una fila. Si hay seis mujeres y en los extremos se ubican 105

hombres, «uántas filas diferentes pueden formarse?

A) 120 B) 126 C) 720 D) 1.440 E) 40.320

4. Se tienen tres cubos amarillos, cuatro rojos y tres de otros colores diferentes entre sí. me cuántas manerasdistintas pueden apilarse?

A) 35 B) 720 C) 864 D) 5.040 E) 25.200

5. me cuántas maneras distintas podrían sentarse 15 personas en 16 sillas?

A) 12! B) 131 C) 141 D) 151 E) 161

6. Si se tienen cuatro rombos, tres triángulos, cuatro circunferencias y dos cuadrados, todos iguales entre sí,«íe cuántas formas distintas se pueden ordenar?

A) 56 B) 6.912 C) 900900 D) 10810.800 E) 111.196.800

402 CLAVE· Matemática

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-3. Combinaciones

Una combinación es cualquier subconjunto de k elementos elegidos de n donde no se considera el ordenentre ellos y en el que dos combinaciones son distintas si tienen al menos un elemento distinto. El total decombinaciones de k elementos de n está dado por:

C; = (n) = n! ; con n E!'I, k E No y n ~ k.k kl- (n-k)!

Ejercicios resueltos

1. Un ministro requiere contratar a ocho consejeros y tiene a doce candidatos, «íe cuántas formas distintaspuede armar su equipo de trabajo?

Como se deben escoger ocho de doce personas y no importa el orden de elección, el cálculo puede hacersepor medio de una combinación. Luego:

C" =(12)= 121 -1L =4958 8 81.(12-8)1 81.~1 .

Por lo tanto, hay 495 posibles grupos diferentes de consejeros.

2. Si Juan, Maria, Pablo, lorena y Andrés son los postulantes a dirigir el centro de alumnos de su colegio ysolo existen tres cargos:

a. me cuántas formas distintas puede quedar compuesta :a directiva del centro de alumnos'

Como se presentan cinco candidatos y de ellos se escogerán solo tres y además no importa el orden enque salgan elegidos. se tiene

(5\ 51 c t

e =ld= 31. (5- 3)1 3:\1 = 10

Luego, hay diez posibles directivas distintas.

b. We cuántas formas distintas puede conformarse la directiva si, después de una primera elección, Lorena yafue seleccionada'

Si Lorena ya fue seleccionada para pertenecer a la directiva, entonces quedan por escoger a dospostulantes de los cuatro que quedan. Así:

, (4) 4' ~Ie = = =--=62 2 21.(4-2)12:.21

Luego, hay seis posibles directivas distintas en las cuales Lorena está presente.

.- ~

c. We cuántas maneras distintas puede quedar compuesta la dired:va si debe estar formada por dos hombres yuna mujer'

De los tres hombres se deben escoger dos. entonces se tiene que e = _31

_ = 3' mientras que de las dos2 21.11 •

mujeres se debe escoger una, entonces se tiene que e =.L = 2.11.1'

Luego, hay 3 • 2 = 6 directivas distintas formadas por dos hombres y una mujer.

Combinatoría

Page 203: Preparacion Psu de Matematica SM

Ejercicios propuestos

1. Calcula el valor de las siguientes combinaciones.

a. e: e. e:c. C',b. c:~ d. c; f. C~

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a. C~ = 21 b. 12C:' = 35C:' c. 7C; =9C~

3. Verifica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda.

a. ___ , (n: k) = ( n: k) c. __ , (~)=n e. C' +('=C'.11-1 k k

b. C~o= C~o d. C~ = O f. 14C;=C~

4. Resuelve los siguientes problemas.

a. De un grupo de siete hombres y seis mujeres se desea formar un comité que debe estar compuesto por treshombres y tres mujeres. ¿Cuántos comités diferentes pueden formarse si María debe pertenecer a él?

b. Siete amigos van a ver una obra de teatro. En la boletería les dicen que solo quedan cuatro entradas. Si detodas maneras cuatro amigos verán la obra, «íe cuántas formas podrían repartirse las entradas?

L En un plano cartesiano hay ocho puntos: A, S, C. D, E, F, G Y H, entre los cuales no hay tres colineales.¿Cuántos triángulos distintos pueden formarse? ¿Cuántos triángulos contienen al punto C como vértice?¿Cuántos triángulos tienen al segmento DEcomo uno de sus lados?

~ Marca la alternativa correcta.

1. Un estudiante debe escoger responder seis de diez preguntas en una prueba. ¿Cuántas combinacionesdistintas puede elegir?

A) 24B) 210C) 720D) 5.040E) 151.200

2. Si hay seis monedas de distintos valores, «uantas sumas diferentes de dinero pueden formarse con una omás de esas monedas?

A) 1B) 6C) 62D) 63E) 720

404 CLAVE· Matemática

~I!:~- :·.~;I<'~,.;-'-'0; .. '

~~J

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e-o'o'u~o0.'~a ~ji~ ,~~'0:<~."

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-4. Aplicaciones al cálculo de probabilidades

'-;;'~i,- ~

. 'La combinatoria puede ser aplicada al cálculó de probabilidades, calculando el número de casos favorablesy el 'número 'de casos posibles de un' experimento aleatorio detemninado. '

Ejercicio resuelto

1. Isabel tiene 15 fichas en una caja y va a escoger aleatoriamente cinco de ellas. ¿Cuál es la probabilidad deque entre las cinco fichas escogidas esté su favorita?

En este caso, utilizando combinatoria, se puede calcular lo siguiente:

Casos posibles: (15)= 151 3,0035 51.(15 - 5)1

Casos favorables: (14 t 141 1.0014 J 41.(14 - 4)1

Luego, aplicando la regla de Laplace se tiene que la probabilidad pedida es 1.001 = l..3,003 3

Al tener una fichafavorita, de las 15queda" 14 y de las cincoposibles quedan cuatro.

Ejercicios propuestos

~ Marca la alternativa correcta.

1. Se quiere crear una clave secreta compuesta por cuatro dígitos. Si solo se pueden utilizar 105 números 2, 3,4,5 Y 6, pudiendo repetir dígitos, «uél es la probabilidad de que una clave comience con el número 5?

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

2. Para un concurso se debe elegir un jurado de tres personas. Si hay ocho candidatos y Juan es uno de ellos,«uál es la probabilidad de que Juan no sea jurado?

A) O S) 28

E) 1D) 28

1e) '2

3. Si en un costurero hay siete botones de diferentes colores y se pondrán en fila, en un chalero, ¿cuál es laprobabilidad de que el botón rojo quede en primer lugar?

A) .!7

B) l7

E) §.7

e) 27

D) 2.7

~~

4. En un estante se ordenarán diez libros de diferentes sectores de aprendizaje. ¿Cuál es la probabilidad que ellibro de Inglés quede junto al de Lenguaje?

A) 91 + lO! ) 9! + 101

101 B 91e) 91.91

101D) 91 +91

101

E) ..J.Q191+91

5. Un deportista quiere colgar de manera ordenada sus nueve medallas de diferentes competencias. Si en uno delos espacios destinado, para ello puede poner seis, «uál es la probabilidad de que la medalla de atletismo seacolgada en ese espacio y en tercer lugar?

A) l3

1B) '2 El .1

9C) 1

3D) 1

6

Combinatoria ....1i

Page 204: Preparacion Psu de Matematica SM

Instrucciones1. Esta prueba consta de 15 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A, B, e,

D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.2. Dispones de30 minutos para responderla.

Conceptos básicos

1. Según el experimento "girar la ruleta y registrar el número del sector al que apunta la flecha", «uákes) delas siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. El experimento es deterministico.11. Obtener un sector numerado por un valor natural es un sucesoseguro.111. Obtener un sector numerado por un valor par es un suceso compuesto. *

2

2 I

4 3I 2

A) Solo 111

B) Solo 1 y 11

C) SololylllD) SolollylllE) 1,11 Y 111

Regla de Laplace

2. En el experimento "extraer al azar una ficha de una tómbola que contiene 25 fichas numeradas del 1 atzsy registrar su número", «uál es la probabilidad de escoger una ficha numerada con un múltiplo de 37

A) 7258

259

25

9

D) 8

B) E)

C)

3. Según el experimento "extraer una carta de un naipe inglés y registrar su número y pinta", «uálres) de lassiguientes afirmaciones es (son) falsa(s)7

1. La probabilidad de obtener una carta numerada con un 2 es-.l.13

11. Esmás probable extraer una carta de corazones que una de tréboles.

11I. La probabilidad de obtener una carta numerada con un valor menor que 3 es ~.

IV. La probabilidad de obtener una carta con el tres de diamantes es l.52A) Solo 1

B) SololylVC) Solo 11 y 111

D) Solo 11, IIly IVE) 1,11,111 Y IV

t 100- CLAVE· Matemática

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Triángulo de Pascal

MI

4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro sellos y dos caras al lanzar seis monedas?

N -.l ~ ~ Q ~ ~ ~16 16 64 64

Ley de los grandes números

E) 15

5. Según la ley de los grandes números, ¿qué debería ocurrir al aumentar la cantidad de lanzamientos de undado de seis caras no cargado?

A) Enel 50 % de 105 lanzamientos se obtendrá un número de puntos menor que 3.B) Lafrecuencia relativa de obtener cinco puntos es constante.

C) La frecuencia absoluta de obtener cinco puntos se aproxima a l.___ 6D) Lafrecuencia relativa de obtener cinco puntos se aproxima a l.

6E) Seobtienen más caras numeradas con un punto que con dos puntos.

Conjuntos

6. Si P(A) = l ,«uál es el valor de P(A' n A)?8

A)58

o B) C) D) 158

E)1564

7. Según el diagrama que representa la preferencia de ensaladas de un grupo de personas, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

1. El grupo está compuesto por 170 personas.

11. La probabilidad de que al escoger aleatoriamente una de las

personas, esta prefiera solo palta es!..Q.t 7

111. La probabilidad de que al escoger aleatoriamente una de las

personas, esta prefiera solo tomate y lechuga es ~.170

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

D) Solo 1 y 111

E) Solo 11 y 111

Tomate

Palla

¡:n~::¡\lntom~tirn • P~I J An

Page 205: Preparacion Psu de Matematica SM

1

I11

Regla de la adición y del producto

8. Entre 500 personas, 350 tienen un PC,335 tienen un notebook y 200 tienen ambos equipos. Si se elige auna de estas personas al azar, «uál es la probabilidad de que tenga un PCo un notebook?

A) 0,17B) 0,469

C) 0,57O) 0,97E) 1,37

9. Si se lanza un dado de seis caras no cargado dos veces y se registran los puntos obtenidos, «uáltes) delas siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

Los resultados de los lanzamientos son sucesos independientes.

11. La probabilidad de que en ambos lanzamientos se obtengan cinco puntos es-.l.36

111. La probabilidad de que en ambos lanzamientos se obtenga un número par de puntos es 0,25.

A) Solo 1B) Solo 111

C) Solo I y I1

D) Solo 1 y 111

E) 1,11 Y 111

Probabilidad condioonada

10. Dados dos sucesos A y S, es posible cakular la probabilidad de A dado S si:

(1) P(A) = 0,2

(2) Los sucesosA y S son mutuamente excluyentes y P(S) * O.

A) (1) por sisolaB) (2) por sisolaC) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por si sola, (1) 0(2)

E) Se requiere información adicional

I

III

Iii

l

Combinatoria

11. Si primero se lanza una moneda y luego un dado de seis caras no cargado, «uántos resultados distintospueden ocurrir?

A) Dos resultadosS) Tres resultadosC) Seis resultadosD) Ocho resultadosE) Doce resultados

.1illL CLAVE·Matemátea

12. Se confeccionara una bandera con tres colores distintos, pudiendo elegir entre siete disponibles. ¿Cuántascombinaciones de colores pueden hacerse?

A) 21B) 24

C) 35D) 840

E) 5040

13. Si se cuenta con cinco hombres y seis mujeres para formar un equipo de trabajo compuesto por doshombres y dos mujeres, «íe cuantas maneras distintas se puede hacer?

A) C21JeJ D) (~I)'v: I.~,

S) (~I) E) 2( ~I):"I

C) (~J(~)14. Una prueba de selección múltiple consta de 20 preguntas. Cada una tiene cuatro alternativas y solo una

de ellas es la correcta. Si un estudiante responde al azar cada pregunta, «uál de las siguientes expresionescorresponde a la probabilidad de que todas sus respuestas estén correctas)

A) J..20 D) 4·204

(¡yo E)J.

B) .¡

C) ur15. En un curso de 25 estudiantes se elegiré a tres de ellos para una competencia del colegio. Si Pedro

pertenece a este curso, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la probabilidad de que Pedrono sea seleccionado?

(234 )(2.\ \

e24

)e l2 )] -::J 1.

(2;)11.

(:5 ) 111. 1- C35)-oeo. -!!!::J"'..

'O

A) Solo I~:e S) Solo 11a. -:2 C) Solo 1 y 111Vl -«:

O) Solo 11 y 111lí1

E) 1,11 Y 111eo'u'Ó ~UJ -11

Ensayotemanco-PSU --1J

Page 206: Preparacion Psu de Matematica SM

X~<'.:~~~i};\~"\::;S:LJ\~)~'!~if&~~f·j

En (1) se afirma que el experimento es determinístico.Sin embargo, al girar la ruleta en reiteradas ocasiones,se pueden obtener diferentes sectores de la misma,por lo que el experimento es aleatorio. Entonces, laafirmación es falsa.

En (11) se afirma que obtener un sector numerado porun valor natural es un suceso seguro. En este caso,como todos 105 sectores de la ruleta están numeradospor un número 1,2,3 o 4, 105 posibles resultados delexperimento son 5010 números naturales. Por lo tanto,la afirmación es verdadera.

En (11I) se afirma que obtener un sector numeradopor un valor par es un evento compuesto. En estecaso, este suceso puede darse cuando la flecha apuntaa un sector numerado por un 2 o por un 4, por loque, efectivamente, es un suceso compuesto, ya quecontiene más de un elemento del espacio muestral delexperimento. Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

Distradores:

A) Esta alternativa es incompleta, ya que soloconsidera la afirmación (111), pero no la (11), quetambién es verdadera.

B) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (11), pero también la (1), que es falsa.

C) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es falsa.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideratodas las afirmaciones como verdaderas, pero yase verificó que (1) es falsa. .

D CLAVEB

Según la regla de Laplace, la probabilidad deocurrencia de un suceso puede calcularse como elcociente entre el número de casos favorables y elnúmero de casos posibles. Así, considerando unatómbola que contiene 25 fichas numeradas de 1 a 25,las que están numeradas por un múltiplo de 3 son(3, 6, 9,12,15,18,21,24). por lo que en total hayocho casos favorables.

El número de casos posibles es la cantidad total defichas de la tómbola, que son 25.

I>. 410 CLAVE· Matemática

Finalmente, aplicando la regla de Laplace, laprobabilidad de escoger una ficha numerada con un

múltiplo de 3 es ~5'

Distractores:

A) Se cometió algún error al determinar los múltiplosde 3; por ejemplo, no se consideró el número 3,por lo que la cantidad de casos posibles es 7. Al

aplicar la regla de Laplace resulta 2..25

C) Al igual que en A), se cometió un error aldeterminar los múltiplos de 3. En este caso, seconsideró uno más, por ej emplo el 1, por lo quela cantidad de casos favorables es 9. Aplicando la

regla de Laplace, la probabilidad es ~25

O) En este caso, erróneamente se consideró solo elnúmero de casos favorables.

E) Al igual que en O), solo se consideró el númerode casos favorables, pero además se cometió elerror de incluir un múltiplo más; por ejemplo, el 1.

~¿ CLAVE O

En (1) se afirma que la probabilidad de obtener una

carta numerada con un 2 es .l Como en el naipe hay13

cuatro cartas numeradas con un 2 (uno de cada pinta),al aplicar la regla de Laplace, la probabilidad de extraer

una carta numerada con un 2 es .i. = .l. Por lo tanto,52 13

la afirmación es verdadera.

En (II) se afirma que es más probable extraer una cartade corazones que una de tréboles. Sin embargo, la

probabilidad de extraer una carta de corazones es .!l y52

la de extraer una de trébol también es]l, ya que hay52

13 cartas de cada pinta. Por lo tanto, esta afirmaciónes falsa.

En (11I) se afirma que la probabilidad de obtener una

carta numerada con un valor menor que 3 es 1., pero52

los casos favorables son 8, ya que hay 8 cartas quecumplen con la condición pedida (un as y un 2 de

cada pinta). Así, la probabilidad de este suceso es-ª-.52

Por lo tanto, la afirmación es falsa.

e-o-ou~;:¡e -o-i!!~'"-c:5

~e,

:2 • <;<1)

'"'"§,'o

I -:.a.uJ

En (IV) se afirma que la probabilidad de obtener el 3

de diamantes es 2. Sin embargo, como en el naipe52 .

inglés hay solo una carta numerada por 3 y que es de

diamante, la probabilidad de obtenerla es .l. Por lo52

tanto, la afirmación es falsa.

Distractores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es verdadera.

Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es verdadera, y la afirmación(IV), que es falsa.

Esta alternativa es incompleta, ya que no considerala afirmación (IV), que también es falsa.

Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es verdadera.

B)

C)

E)

CLAVE C

Como se lanzan seis monedas, se puede utilizar lasexta fila del triángulo de PascaL

1 6 15

OS 15 2S

6

5S 6S20 15

35 45

El quinto numero de la fila (15)corresponde a lacantidad de casos en que se obtienen cuatro sellos y,por consecuencia, 2 caras al lanzar seis monedas. Elnúmero de casos posibles al lanzar seis monedas seobtiene sumando todos los números de la sexta fila.Así, aplicandc la regla de Laplace, la probabilidad de

obtener cuatro sellos y dos caras es.!2.64

Distractores:

A) Utilizando la regla del producto, se calculó laprobabilidad de obtener cuatro sellos, pero en ellanzamiento de cuatro monedas. Así:

.l . .l . .l . .l=.l2 2 2 2 16

B) Para calcular la cantidad de casos favorablesse escogió correctamente el quinto número dela sexta fila, pero para calcular la cantidad decasos totales, se utilizó el principio multiplicativo.considerando solo cuatro monedas. Así:

_15_=.!22·2· 2·2 16

---------- ~

D) Se calculó correctamente la probabilidadde obtener cuatro sellos, pero se sumó conla probabilidad de obtener 2 caras. Así, se

respondió 30.64

E) Solo se consideró la cantidad de casos favorablesy no la probabilidad

11 CLAVE O

La ley de los grandes números establece que si lacantidad de veces que se realiza un experimentoaleatorio aumenta indefinidamente, la frecuenciarelativa de un suceso tiende a aproximarse a undeterminado valor, que es la probabilidad deocurrencia del suceso.

Por lo tanto, al lanzar un dado muchas veces,la frecuencia relativa Gel número de cada cara(particularmente de e.neo puntos) se aproxima a la

probabilidad teórica ce dicho suceso, que es l6

Distractores:

A) Después de !TeChOS lanzamientos. la cantidadde veces que se obtendrá un número depuntos menor o Igual que tres tiende a ser lamisma que la de obtener un número de puntosmayor o 19lJ3: : Je cuatro: StO embargo. losestudiantes qc~ selecoor.sron esta alternativaprobablemente .omeueron el error deconsiderar el caso de obtener exactamente trespuntos.

B) A medida que aumenta el número delanzamientos del dado, la frecuencia relativa vacambiando y se va aproximando al valor teóricode la probabilidad. por lo que no es constante.

C) La ley de los grandes números hace referencia ala frecuencia reetiva. no a la frecuencia absoluta.Por lo tanto, el error cometido al seleccionar estaalternativa es justamente confundir la frecuenciarelativa con la frecuencia absoluta.

E) Después de c;er.o número de lanzamientos deldado, teóricamente se obtiene la misma cantidadde apariciones para cada número de puntos, yaque el dado no está cargado.

Modelamiento • PSU 4

Page 207: Preparacion Psu de Matematica SM

'111

ilD~~1:~Lfu~~~~~IIA~~m~ñ!~JSrljComo los sucesos AC y A son excluyentes, ya que notienen elementos comunes, el suceso N n A tienecardinalidad cero. Por lo tanto, su probabilidad deocurrencia es cero.

Distractores:

B) Se consideró erróneamente que se debían sumarlas probabilidades de A y N. Así. se respondió:

2+2=LI8 8 8

C) Solo se consideró la probabilidad de AC, pero seolvidó la probabilidad de A.

D) Se cometió el error de multiplicar la probabilidadde que ocurra A por la probabilidad de que ocurraAC Así, se calculó que el resultado de 2.2 es 0. ,

8 8 8cometiendo además un error de cálculo.

E) Erróneamente, se aplicó la regla del productoporque es una intersección, pero en este caso nocorresponde, ya que los sucesos son mutuamente

excluyentes Así, la probabilidad de A es 2 y la de8

AC es 1- ~ = 2. Por lo tanto, se respondió:8 8

2.L0.8 8 64

l:!S"';<I CLAVE Bt~

En (1) se afirma que el número total de encuestadoses 170. Para calcularlo se suman todos los valores deldiagrama y se obtiene 170. Por lo tanto, la afirmación(1) es verdadera.

En (11) se afirma que la probabilidad de que al escogeraleatoriamente a uno de los encuestados este prefiera

solo palta es .!Q. Sin embargo, esta probabilidad es17

~ = ~. Por lo tanto, la afirmación (11) es falsa.170 34

En (111) se afirma que la probabilidad de que alescoger aleatoriamente a uno de los encuestados,este prefiera solo tomate y lechuga es J2.. Como se. 1mobserva en el diagrama, efectivamente 15 de los 170encuestados prefieren solo tomate y lechuga; por lotanto, la afirmación (111) es verdadera.

~, 412 CLAVE, Matem.itiC3

Distractores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es verdadera.

e) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (111), que es verdadera.

D) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideralas afirmaciones (1) y (111), que son verdaderas.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que a pesar deconsiderar la afirmación (11), que es la afirmaciónfalsa, también considera la afirmación (111), quees verdadera.

D CLAVEO'->;'·

Si se designa con e al conjunto de personas quetienen un pe y N al conjunto de personas que tienenun notebook, la probabilidad de que una personaescogida al azar tenga un pe o un notebook se escribeP(C U N) Y se calcula

P(C U N) = P(C) + P(N) - P(C n N)

Luego:

P(C U N) = 350 + 335 _ 200 = 485 = O 97. 500 500 500 500 '

Distractores:

A) Si 200 personas tienen ambos tipos de equipoy 350 tienen un pe entonces 150 personastienen solo un PC; mientras que si 335 personastienen un notebook, entonces 135 tienen solo unnotebook. Luego, se aplicó la regla de la adición,pero para calcular P(C) se consideró la cantidadde personas que tienen solo pe; y para calcularP(N), la cantidad de personas que tienen solonotebook. Así, se obtiene:

P(C UN)=.!2Q+.!lL 200 =~=O 17500 500 500 500 '

B) Erróneamente, utilizó la regla del producto yrespondió:

p(e)·p(N)= 350. 335 =0 7.0 67=0 469500 500 " ,

e) Se sumó la probabilidad de escoger a unapersona que tiene solo un PC y la probabilidadde escoger a una persona que tiene solo unnotebook, y se contestó:

--------- ----.

~~

..~

e-o"S I~-o -oa.!!~ I'".;J

;.Qs:e I .i'o-

~. ;;;V1 r,

~Co

I'u -"~¡;¡

.!2Q+ill = 285 = 057500 500 500 '

E) Se sumó P(C) + P(N), pero se olvidó restar laprobabilidad de la intersección. Así, se respondió

P(C) + P(N) = 350 + 335 = 685 = 1 37500 500 500 '

,,;,2::::t;:.:t~:C C;LA V~ E

En (1) se afirma que al lanzar un dado dos veces,los posibles resultados son sucesos independientes.Efectivamente, el resultado obtenido en el segundolanzamiento no depende del resultado obtenido en elprimero; por lo tanto, los sucesos son independientes.Así, la afirmación (1) es verdadera.

En (11) se afirma que la probabilidad de que enambos lanzamientos se obtengan cinco puntos es

J..... Como la probabilidad de obtener cinco puntos36en el primer lanzamiento es l, al igual que en el

6segundo lanzamiento, y como son independientes,la probabilidad de obtener cinco puntos en cada

lanzamiento es l .l = J..; por lo tanto, la afirmación6 6 36

(11) es verdadera.

En (111) se afirma que la probabilidad de que en amboslanzamientos se obtenga un número par de puntoses 0,25. Como la probabilidad de obtener un número

par de puntos en el primer lanzamiento es l, al2

igual que en el segundo lanzamiento, y como son

sucesos independientes, la probabilidad de obtener

un número par de puntos en ambos lanzamientos es

l ,l = l = O,25; por lo tanto, la afirmación (111) es2 2 4verdadera.

Distractores:

A) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera las afirmaciones (11) y (111), quetambién son verdaderas.

B) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera las afirmaciones (1) y (11), que tambiénson verdaderas.

e) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera la afirmación (111), que también esverdadera.

D) Esta alternativa es incompleta, ya que noconsidera la afirmación (11), que también esverdadera.

m; '~CLAVE B

Se necesita calcular la probabilidad de que ocurra Adado que ocurre B, es decir:

P(AIB)= PlAn B)P(B)

Al considerar válida la condición (1), se liene quepeA) = 0,2, pero no es condición necesaria pararesolver el problema

Al considerar válida la condición (2), se tiene que lossucesos son mutuamente excluyentes; por lo tanto,peA n B) = O. Además, se tiene que P(S) ;é O. Así

P(AIB)= PlAn B) =-º-=oP(B) P(B)

Así, la condición (2) es necesaria y suficiente pararesolver el problema

Distractores:

A) La cor.dioón (1) no es necesaria para resolver elproblema.

C) Solo la condición (2) es necesaria y suficientepara resolver el problema; por lo ta nto, no senecesita la condición (1).

D) La condición (1) no es necesaria para resolverel problema, por lo que cada una por si sola nopermite resolver el problema

E) Como el problema se puede resolver utilizandosolo la condición (2), no se requiere Informaciónadicional.

lJ>='"~jJ CLAVE E

El lanzamiento de una moneda tiene dos posiblesresultados (cara o sello), y el lanzamiento de un dadode seis caras tiene seis posibles resultados (1, 2, 3, 4,5 o 6). Por lo tanto, usando el principio multiplicativo,se tiene que hay 2 • 6 = 12 posibles resultados distintos.

~-1.9~ªmiento·PSU 41

Page 208: Preparacion Psu de Matematica SM

1111

I

....-Distractores:

A) Se consideró solo la cantidad de posiblesresultados distintos al lanzar la moneda (2), perose omitió el lanzamiento del dado.

B) Se dividió la cantidad de resultados posiblesen el lanzamiento del dado (6) por la cantidadde posibles resultados en el lanzamiento deuna moneda (2), y se obtuvieron tres posiblesresultados distintos.

C) Se consideró solo la cantidad de posiblesresultados distintos al lanzar el dado (6), pero seomitió el lanzamiento de la moneda.

D) Se sumaron los resultados posibles dellanzamiento de la moneda (2) con losresultados posibles del lanzamiento del dado(6), y se obtuvo 8 como la cantidad de posiblesresultados distintos.

m CLAVEC

Como la bandera se confeccionará utilizando trescolores y hay siete disponibles, para calcular el númerode combinaciones posibles que se pueden usarse empleará una combinatoria. Esto,porque no seconsidera diíerenciador el orden de los colores, ya queel diseño de la bandera no está cuestionado.

Luego:

_71_=_71_

31• (7-3)1 31.417.6·s·A 7·1'5, =--=35

31·A IDistradores:

Al Se cometió el error de calcular el producto delnúmero de colores que contendrá la banderapor el número de colores disponibles. Así, seobtuvo 3 • 7 = 21.

B) Se cometió el error de calcular el factoria Ide la diferencia entre el número de coloresdisponibles con el número de colores quecontendrá la bandera, resultando:

(7 - 3)1= 41= 4 . 3 o 2 o 1 = 24

D) Se cometió el error de considerar que la formade calcular la combinatoria de siete sobre tres esdividir ambos factoriales. Así, se calculó:

71 7· 6 o 5 o 4 • i 840

31 i\

1

l... 414 CLAVE' Matemática

E) Se cometió el error de calcular el factorial desiete. Así,se calculó:

71 = 7 o 6 o 5 o 4 o 3 o 2 o 1 = 5.040

m CLAVE C

Se deben escoger dos hombres de cinco, lo que

corresponde a la combinación (~]: además, se deben

escoger a dos mueres de seis, lo que corresponde a

la combinación (~JLuego, para calcular el número

posible de diferentes equipos de trabajo se debe

calcular (~)( ~).

Distradores:

A) En esta alternativa se consideró el total depersonas (5 + 6 = 111 y se calculó la eleccióntanto para hombres como para mujeresutilizando el total. Así se obtuvo erróneamente

( 121)(121)equipos de trabajo diferentes.

B) En esta alternativa también se consideró eltotal de personas (5 + 6 = 11) y, además, nose realizó la elección por género, haciendo laelección de cuatro personas de 11,es decir, se

obtuvieron (~1)equipos de trebejo diferentes.

D) En esta alternativa se consideró el total depersonas (5 + 6 = 111 y solo se realizó laelección de dos personas. Entonces, se

obtuvieron ( ~1)equipos de trebejo diferentes.

El Al igual que en la alternativa anterior, seconsideró el total de personas (5 + 6 = 11) Ysolo se realizó la elección de dos personas, perose debían escoger hombres y mujeres, por lo

que (121)se multiplicó por 2 y se obtuvieron

(11). . .2 2 equipos de trebejo diferentes.

,'Imi:.

e-oB:l

"Oe~~

.l'J

i::2VI

~·8·~@

m.~;:f~X:;~:l·if:I~¿;r<~~$__B:-T::~)?~r1:2JlfiFi~~Como cada pregunta consta de cuatro alternativas, laprobabilidad de que al escoger aleatoriamente unade ellas, esta sea la correcta es .l. Esta probabilidad

4se mantiene constante para cada pregunta, ya que laelección de una alternativa en una pregunta cualquierano influye en la elección de una alternativa en otra.Así, la probabilidad de acertar las 20 preguntas estádada por:

.l . .lo oL( 1)'4 4 - --~4

,."""Distractores:

A) Se calculó correctamente que la probabilidadde acertar la respuesta en cada pregunta es.l; sin embargo, se consideró erróneamente que4al calcular lo 20 se obtendría la probabilidad de

4acertar las 20 respuestas.

C) Se calculó correctamente que la probabilidad deacertar la respuesta en cada pregunta es

.l; sin embargo, se escribió mal el exponente al4

considerar su inverso multiplicativo, y se obtuvo

utD) Como son cuatro alternativas por pregunta, se

calculó erróneamente la probabilidad como eltotal de alternativas: 4 o 20.

E) Solo se consideró la probabilidad de acertar unapregunta, y se contestó .l.

4

~1 CLAVEC

~

La afirmación (1) representa lo pedido, ya que laprobabilidad de que Pedro no sea seleccionado paraparticipar está dada por el cociente entre la cantidad

(24J .de grupos en los que no está 3 y la cantidad total

de grupos (~}

""5

La afirmación (11)no representa lo pedido, ya que

( 2; ) corresponde a la cantidad de grupos donde

Pedro ,1 está induidO; po< lo "o,", f ~ 1"PO"'''''

la probabilidad de que sí sea seleccionado.

La afirmación (1\1)representa lo pedido, ya quecorresponde al cálculo del complemento de laprobabilidad de que Pedro sea seleccionado, es decir,que no sea seleccionado.

Distractores:

A) Estaalternativa es incompleta, ya que noconsidera la expresión (JII), que tambiénrepresenta lo pedido .

B) Estaafirmación es incorrecta, ya que considera laexpresión (11),que no representa lo pedido.

O) Estaafirmación es incorrecta, ya que considera laexpresión (11),que no representa lo pedido.

E) Estaafirrnaoón es incorrecta, ya que considera laexpresión (11),que no representa lo pedido

Modelamiento o PSU ...11

Page 209: Preparacion Psu de Matematica SM

I11 Variable aleatoria

1. Muestreo

El muestreo es una técnica que permite seleccionar una parte de la población. La muestra puedeser escogida con reposición o sin reposición (cuando un elemento seleccionado es devuelto o noa la población, pudiendo o no ser elegido nuevamente). Se habla de muestreo aleatorio cuando loselementos de la población son escogidos al azar.

~ Muestreo aleatorio simple: proceso de selección en que cada uno de 105 elementos de la poblacióntiene la misma probabilidad de ser escogido.

~ Muestreo aleatorio estratificado: proceso de selección en que la población se divide en claseso estratos. En cada estrato se escoge al azar una cantidad de elementos proporcional al total deelementos que lo conforman.

~ Muestreo aleatorio sistemático: en este proceso se elige al azar un elemento del listado quecompone la población ya partir de él se seleccionan los elementos múltiplos de un k (k E N)adecuado al tamaño de la muestra que se desee.

~ Muestreo por conglomerados: en este proceso se divide la población en grupos de característicassimilares y se incluyen en la muestra varios de ellos. Cada elemento de la población pertenece solo a

. un conglomerado.

Ejercicios resueltos

1. En un grupo de 60 personas se quiere seleccionar aleatoriamente 20 de ellas. ¿Cómo se seleccionan las 20personas utilizando el muestreo aleatorio sistemático? ¿y empleando un muestreo aleatorio simple?

Para el caso del muestreo aleatorio sistemático se enumeran las personas

del grupo del 1 al 60. Luego, se calcula k = 60 = 3 Y se elige un número al20

azar entre 1 y k; por ejemplo, 2.

Así, la primera persona seleccionada es la numerada con el 2; la segundaes la numerada con el 2 + k = 2 + 3 = 5; la tercera es la numerada con e18, yasí sucesivamente hasta seleccionar las 20 personas. Finalmente, las personas numeradas con: 2, 5, 8,1 t, 14, 17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,50,53,56 Y 59 son las seleccionadas.

J\luestreo aiestouo c;1<;reHl~ti(0

k = ~ ,donde N es el lamal':- :en

la población \' n es eltamano (-2la muestra.

En este caso, un rnuestreo aleatorio simple consiste en escoger alealoriamenle 20 de las 60 personas, y comoya están numeradas, se pueden elegir 20 números.

2. Identifica qué tipo de rnuestreo se utilizó en cada caso.

a. En una población de 100.000 individuos, en que el 55 %corresponde a mujeres y el 45 O/o a hombres, se escogealealoriamente una muestra de 110 mujeres y 90 hombres.

b. Para realizar un estudio a los habitantes de una ciudad, esta esdividida en sectores y se encuesta a una muestra formada por laspersonas que habitan los sectores seleccionados aleatoriamente.

~ Muestreo aleatorioestratificado

I\I 416 CLAVE· Matemálicat.~---~-"'=''''-''---'===

~ M uestreo aleatorio porconglomerados

~'

•••Ejercicios propuestos

1. Resuelve lo siguiente.

a. Explica cómo seleccionarías una muestra para realizar un estudio que refleje las preferencias alimentarias quetienen los estudiantes de 40 medio de una región del país.

b. Explica qué diferencias hay entre un muestreo aleatorio estratificado, uno sistemático y uno porconglomerados.

c. Da un ejemplo de los diferentes tipos de muestren.

~ Marca la alternativa correcta.

\. De una empresa conformada por 200 trabajadores se quiere extraer una muestra de 40 empleados. Si sesabe que 100 de ellos son de la sección A, 60 de la By 40 de la C. «uantos empleados de cada sección,respectivamente, debería tener la muestra si se utiliza el muestreo aleatorio estratificado?

A) 8, 12 Y 20B) 10,5 Y 4C) 13, 13 Y 13D) 20,12 Y 8E) 50,30 Y 20

2. Para realizar un estudio de calidad, por 1.000 productos generados se selecciona una muestra y se testeasu calidad. Si para esto se utiliza un muestreo aleatorio sistemático y además se sabe que los productosnúmero SO y 100 son los primeros en ser testeados, épor cuántos productos está compuesta la muestra?

A) 20B) 50C) 100D) 500E) Otra cantidad

3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. Para elegir una muestra aleatoria simple es necesario dividir la población en grupos.11. Seleccionar los estudiantes de mejor rendimiento de un curso es una muesra aleatoria.111. Una muestra aleatoria estratificada es proporcional a 105 estratos definidos de la población

A) Solo I

c: B) Solo 111-o - C) Solo I y 111Tlu::> D) Solo 11y 111"Ooo. ~ E) 1,11Y 1111!::>'"'"] I ":g :;o.:z I ~VI

'"§'0'Ó I .!fE¡;J .@

V'lri~hl~'llp~tnri'l 41

Page 210: Preparacion Psu de Matematica SM

!IIII 2. Coeficiente de variación

~1:~~\~~i';~~~:J::~~~:ciÓ~C(<:V) es el cociente entre la desviación estándar (S) y la media aritmética (x) y. la variabilidad de dos mue'stras, aunque tengan unidades de medida distintas. ..

• .' ;,:/' ",: !.~, •. ' ·S;~,·· '-' "'.. '~ rr. ,,~ '"".; ", .:~:;,

0/=- ., ~:. X

-.-;,'?:" r /:

Ejercicios resueltos

1. Una muestra tiene una desviación estándar igual a 25 y una media aritmética de 100; mientras que unasegunda muestra tiene una desviación estándar de 12 y una media aritmética de 60. ¿Cuál de las muestrases más dispersa?

Muestra 1: CV=~=~=0,25; muestra 2: CV=~=1l=0,20x, .1.00 x, . 60

Por lo tanto, la muestra 1 es más dispersa que la muestra 2.

2. Según la siguiente tabla, ¿cuál de las variables es más dispersa?

Estatura (cm)

Masa corporal (kg)

160

62

Para calcular el coeficiente de variación es necesario obtener el promedio y la desviación estándar, tantode las estaturas como de las masas corporales. Así, para la estatura se tiene que X; = 164 Y S, '" 8)7; mientrasque para las masas corporales se tiene que X; '" 65,8 Y S2'" 9,53. Por lo tanto, para la estatura se tiene queCV '" 0,05, mientras que para la masa corporal se tiene que CV '" 0,14.

Finalmente, es posible concluir que la masa corporal tiene una mayor variabilidad con respecto a la estatura, esdecir, hay una mayor dispersión en las masas corporales que en las estaturas de los datos recogidos.

Ejercicios propuestos

1, Analiza la situación. luego, responde.

El precio promedio de venta de x celulares de la marca A es S 64.000 Y su desviación estándar es $ 7.600; mientrasque el precio promedio de venta de x celulares de la marca B es $ 180.000 Y su desviación estándar es $ 10.750.

a. ¿Es posible utilizar el coeficiente de variación para comparar el precio de venta de celulares de la marca A conel precio de venta de celulares de la marca B? Justifica.

b. ¿Cuál de las marcas de celulares vendidos tiene un mejor coeficiente de variación? ¿Qué significa esto?

2. ¿Cuál de las siguientes variables es más dispersa?, donde f es la frecuencia absoluta.

Tabla A Tabla B

418 CLAVE, Matemálica

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3. Variable aleatoria

~J'n~v~r;~i~'ail~to;i~' ~ '~:;¿~ci~~~UYO dbm;~i~~- el es~~~iO ;;'uestral-~s~~~~o ~';ierto.experimento aleatorio y su recorrido 'es un subconjúnto de números reales (R).

•.. Una v~riable aleatoria' disc:eta'es aqu~lIa ~uyo r~~orri'do es u~subc~~junto de nÚ~er~ enteros.P~r .ejemplo, cantidad de hermanos, número de puntosobtenido, éic. ' ., . .r:» .

~ . ~na vari~~le ale~toria ~ontinua es u~a iu~ció~ cUY;;~OrridO corresponde a un intervalo de númerosreales. Por ejemplo, estatura, tiempo, etc.

~"?

Ejercicios resueltos

1, Identifica el dominio y el recorrido de la variable aleatoria involucrada en la "suma entre los números de laspatentes de dos letras y cuatro dígitos de 100 vehículos que transitan por una avenida".-------------------El espacio muestra I (Q) del experimento aleatorio esta dado por laspatentes de los 100 vehículos. La variable aleatoria X, que relacionacada patente con la suma de sus cuatro digitos, tiene como dominio aQ y su recorrido es el conjunto formado por todos los números enterosmayores o iguales que O y menores o iguales que 36, ya que podríahaber una patente que tuviera cuatro dígitos O o cuatro dígitos 9.

Observa que los elementos delrecomdo deben esta r asociados aotro del dominio, así como todos!os e!clientos del dcrririo debenestar relerionados con uno y soloun e¡f~~nto del recorrido; de locontrs:o. no sería función.

2. Representa en un diagrama sagitalla variable aleatoria X: número de caras obtenidas para el experimentoaleatorio E: lanzar tres monedas. Especifica de qué tipo es la variable, cuál es su dominio y cuál es surecorrido.

Se tiene que n= {Cee. ccs, cse sce. css, ses, sse. SSS}. A cada elementose le puede contar la cantidad de caras y, así, asignarle dicho valor. Por ejemplo.a CCC se le asigna el número 3, pues tiene tres caras, etc. El diagrama sagitaldibujado representa lo anterior. Finalmente, el dominio de X es Q y su recorridoes T = (O, 1,2, 3). con lo que se puede concluir que X es una variable aleatoriadiscreta.

Ejercicios propuestos

(ee \ ( •.(CS(5C--\ ~5CCC5SSCS I ==t:::t5SC5SS +------i~

1. Identifica el dominio y el recorrido de cada variable aleatoria.

a. Número de bolitas verdes obtenidas en tres extracciones de una urna que contiene cuatro bolitas verdes, tresrojas y cinco azules.

b. Ganancia obtenida al lanzar una moneda no cargada, en que al aparecer cara se gana $ 1.000 Y al aparecersello se pierde $ 500.

e. Producto del número de puntos de las caras superiores de dos dados no cargados.

2. Sea la variable aleatoria X: suma de los puntos obtenidos en cada cara superior de los dados, asociada alexperimento aleatorio E: lanzar dos dados de seis caras no cargados. Especifica de qué tipo es la variable,cuál es su dominio y cuál es su recorrido .

V;lri~hlo ::I1¡::¡~tnri~ .11 (

Page 211: Preparacion Psu de Matematica SM

!II! 4. Función de probabilidad

.:: '._. . -c ,r;:,~~~:? ~?7; ·;:~~{t~'?.~'~~0:"i·,1:.r, _..): '.:"~ _. . .~ '.;La función de probabilidad (f) de una variable aleatoria Xasocia a los elementos del recorrido de: ~...la variable aleatoria la probabilidad' (P) deqtie ocurra el suceso respectivo a cada uno de ellos. Su -r¡:~~~~;;~~~~~,,;",re,tl~r~~i;~~;'" " 'donde Te; lR:iÓ,I] es el intervai~ de números real~' ¿n"~¡'que;e encuentra';~ pro~~bilida~de los', ';sucesos; x es el número real asignado a cada resultadó del 'experimento aleatorio asociado a la variablealeatoria~, y P(X= x) es la probabilidad de que X "asuma" el valor x¡. .

Propiedades:

i) f(x.) = P(X = x) ~on

ii) ¿f(x)=1i=l

iii) Si f no está definida para un valor de x, entonces, f(x) = O.

Ejercicios resueltos

1. A partir del experimento aleatorio "lanzar tres monedas" de la página anterior, encuentra la función deprobabilidad de la variable aleatoria discreta X: número de caras obtenidas.

Sea C: obtene r cara y S: obtener sello. Así, el espacio muestral del experimento es n = (CCe. CCS,CSe. SCe.CSS,SCS,SSc. SSS)y el recorrido de la variable aleatoria X: número de carasobtenidas es T = (O, 1, 2, 3). Porlo tanto, se obtiene que de los ocho posibles resultados:

feO) =P(X = 0)= l,solo en uno no se obtuvo cara.8

• la luncion de probabilidad deX: número de carasobtenidasestadefinida por

1

1 .-slx=0,3.f(x) = 8

3 .gSIX=1.2

f( 1) = P(X= 1)= 2 , en tres se obtuvo una sola cara.8

f(2) = P(X= 2) = 2, en tres se obtuvieron solo dos caras.8

f(3) = P(X = 3) = l,solo en uno se obtuvieron tres caras.8

donde Dom(f) = (0, 1, 2, 3)

2. Verifica si f(x) =~ es una función de probabilidad cuando su dominio es {l, 2, 3 Y 4}.14

Si f es una función de probabilidad, debe cumplir la propiedad ii) señalada en el cuadro inicial, es decir, lasuma de las probabilidades de todos los sucesos descritos en f debe ser l.

f(2) =l::.! =~14 14

f(3)=~=.!14 14

f(4)=~=1..14 14

f(l)=~=1.14 14

Como 1..+.l. +.! + 2 =.!.i = 1, la función definida por f(x) = ~ es de probabilidad.14 14 14 14 14 14

4?n r.1 AII~ • M,tpm~t;r,

esu I -~ z;'O ~e xo-!!'a.•-oBss~ I ~</1

~eo·0'Ó 1-"tJJ

11

--,-_._, .• - J f"--- •...••• 1"

3. Verifica si f(x) =

! six=1,27

B - x si x =3,4,5 es una función de probabilidad.21° en otro caso

Si f es una función de probabilidad, debe cumplir que la suma de las probabilidades de todos 10\ sucesosdescritos en f debe ser 1.

f(l)=l7

f(3) = 8-3 =221 21

f(4)=~- 421 -21

f(s) = -ª-:2 _ 321 -21f(2)=l

7

Como 1+l + 2 +.! + 1..= l.! = 1 Yal evaluar la función en cualquier otro valor siempre resulta cero, f es7 7 21 21 21 21

una función de probabilidad.

Ejercicios propuestos

1. A partir de los siguientes experimentos aleatorios, determina la función de probabilidad.

a. Lanzar un par de dados de seis caras no cargados,donde se define la variable aleatoria X: suma de laspuntuaciones obtenidas.

b. Lanzar un dado de seis carasno cargado, en que si se obtiene un número par de puntos, ganatantos cientosde pesos como el puntaje obtenido, de lo contrario, pierde tantos cientos de pesos como el puntaje obtenido.

c. En una urna hay 12 bolitas, de las cuales cuatro son rojas, cuatro azules y cuatro verdes. Sedefine lavariablealeatoria X: número de bolitas azules extraídas,asociada al experimento "extraer una bolita".

d. Un estudiante responde aleatoriamente tres preguntas de cinco alternativas. Se define la variable aleatoria X:número de respuestas correctas.

2. Calcula la probabilidad de los valores asociados a la variable aleatoria discreta X: número de sellosobtenidos para el experimento aleatorio E: lanzar cuatro monedas.

3. Verifica si las siguientes son funciones de probabilidad.

2x + 3a. f(x) =45; con x = 1,2,3,4 Y 5.

b. f(x) = x + 9; con x =0, 1Y 2.19

4. Analiza las siguientes tablas de datos y calcula el valor de k en cada una de ellas para que representen unafunción de probabilidad.

a.~ 0120,2 0,5 k

b.~

~

\I~ri~hlo ~Io~tl'\ri!l d?~

Page 212: Preparacion Psu de Matematica SM

Ililr5. Función de distribución acumulada

. I~._,.. • ,r ."_'--~'. ' ~;~;:~~!~}~/~{i~;~;:;~~\\':~:f~~~:;;~.:~·~-··~-·.~;;':~~.;.;:.¿;/:~tf-\!'·;~,;/~~..:.~.;_, ", r '~'~'~. .:,:;:,-:' <"),

Dada una variable aleatoria X, es posiblé definir úna función 'de distribución (F) asociada al cálculo de laprobabilidad acumulada de cje~o suceso.Este es: .~_: -', . ~ -.. t. , -.:..,- ,..~~ '~~w·;·;.·T~,,-!·,":l ..) :-' __'~:'

':;:'~'FJ~[0,1] ' e, ':¡'

.j.::.,:·,'~~:·~1,f~~{~p~x~j).,.,,,~..donde T = {x" ..., xJ e R, P(X ~ x) = I(x,) .j.f(~)+ f(x) + _.. + I(x)_

-:-':~--.-~~ ,.':.".¿~:f::':..~'~ -;-;~:-.~~~'.~~-.~'-,':;... ~ -

Ejercicios resueltos

1. Volviendo al caso del lanzamiento de tres monedas, «uáles son los valores asociados a la función dedistribución acumulada (F) de la variable aleatoria discreta X: número de caras obtenidas?

En este caso, se tiene que:

F(O) = P(X 5 O) = 1(0) =1 = 0,1258

F(l) = P(X 51) = f(l) + 1(0) =~+ ~= ~ = 0,5

F(2) = P(X 5 2) = 1(2) + 1(1) + 1(0) =2+2+ l =l=o 8758 8 8 8 '

F(3) = P(X5 3) =1(3) + 1(2) +1(1) + 1(0) =1+2+2+l=ª= 18 8 8 8 8

2. Considerando el ejercicio anteriormente resuelto, responde.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan como máximo dos caras?

Se pide calcular P(X 5 2), que en este caso corresponde aF(2) = 0,875. Luego, la probabilidad de que se obtengan comomáximo dos caras en el lanzamiento de tres monedas es 0,875.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan al menos dos caras?

Se pide calcular P(2 5 X 5 3); por lo tanto, se necesita calcularP(X 5 3), que es el máximo posible de caras, y restarle P(X 5 1),que representa la probabilidad de obtener como máximo una cara.Luego, la probabilidad de obtener al menos dos caras es 0,5, ya que:

P(X 5 3) - P(X 51) = F(3) - F(l) = 1 - 0,5 = 0,5

• Entre la función de probabilidadI(x) y la función de distribuciónacumulada F(x), es posibleverificar que:

1) I(x) = F(x)

ii) f(x) = F(x) - F(x ,)

Así P(X =x ) = F(x) - F(x _

l. Analiza la lunción de distribución acumulada que se da en el recuadro. Luego,responde,

a. Si I es la lunción de probabilidad asociada a F, «uél es el valor de 1(1)1

Como en este caso x, = 1 YI(x) = F(x), se tiene que 1(1) = F(l) =~15

422 CLAVE·Matemática

F(x)=

~six=l15

2six=215.!isix=3151 si x = 4

~

t-~1'íti;~-~~~":t~;

~1'.

-<~::-i.·t

l}~

eo"S]~51

~e,

:2<Il

~-8~9

----.-.- •. --J ,...------.---".

b. Si f es la lunción de probabilidad asociada a F, ¿cuál es el valor de 1(3)7

Como I(x) = F(x) - F(x,_), se tiene que 1(3) = F(3) - F(2); por lo tanto, 1(3) = ~ - ~ =~

c. Expresa las relaciones 1(1) = F(l) Y 1(3) = F(3) - F(2) como cálculo de probabilidades.

1(1) = F(l) es equivalente a calcular P(X = 1) = P(X 5 1).

1(3) = F(3) - F(2) es equivalente a calcular P(X = 3) = P(X 5 3) - P(X~ 2).

Ejercicios propuestos

l. Completa la tabla, en la que X es una variable aleatoria discreta, f(x) es una función de probabilidad y F(x)es la función de distribución acumulada asociada.

o 32

16

12

310

130

.lsix=223

llsix=323

llsix=423k si x=5

2. Analiza la función de distribución dada en el recuadro. Luego, responde.

a. Si f es la función de probabilidad asociada a F, «uél es el valor de 1(4)1 ¿y el de k?

b. ¿Cuál es la función de probabilidad asociada a Fl

. F(x)=

~ Marca la alternativa correcta.

1. Se lanza una moneda cuatro veces y se define la variable aleatoria discreta X: número de sellos obtenidos.¿Cuál es el valor de F(2)?

A) 0,3125 B) 0,375 C) 0,625 D) 0,6875 E) 0,9375

2. Si I es la función de probabilidad asociada a la función de distribución F, «uál es el valor de a y b,respectivamente?

A) 0,4 Y 0,75 ¡0,2 ,,,.0 r ",,0B) 0,4 Y 0,85 a si x = 1 F(x)= 0.6 slx=lI x =C) 0,4 Y 0,95 () 0,25 SI x = 2 b 51x=2D) 0,5 Y 0,75

0,15 slx=3 1 SIX = 3E) 0,5 Y 0,85

l. El siguiente gráfico representa la función de distribución de una variable aleatoria X. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

l. F(3) = 0,911. 1(2) = 0,2IIL F(3) - F(2) = f(l)

A) Solo IB) Solo I y 11C) Solo I y 111

F(x):~:~Tn¡ ¡ .

D) Solo II y 111E) 1,11Y 111

GJ

3 4 x

V::¡rbhl¡J ::I1j:l::ltnri::l &?

Page 213: Preparacion Psu de Matematica SM

1I

I 6. Esperanza, varianza y desviación estándar- '~.. ·~~~'":-,;·r··;::}:~~{~~:~ --"r ..~~. ., ..

~ Si X es una variable aleatoi¡a~iscreta, la_esperanza de X o valor esperado de X es:I .~.:;:. ;':.:_ ", __ '~ )~ :.;,~,,'~.~:,~~~'~":" < .,<~,,>~; _'~;~"'~./_: '>: "

..~..-) . E(X)= L~:of(x); donde f~x) es la función de probabilidad de X.. " l-'"' ,: ~"",I ~ 'r:" '. <; . '~.' . " ".' .~. " :' ~

~ Pára X~también se defin~ I~'~~rianzi;'co~o:' .:- :> .,.,....z >'

. S~= if(x¡Xx¡ ':'E(X»2 ;"E(X2)-[E(X) J; donde E(X2)= ixi 01(X¡)- i=l ,- .'. -, .' ¡••I .

';,,"

~ Su desviación ;stá~dar es:

s, = ¡lif(x)Cx¡ -E(X»2 = JECX2)-[ E(X)Tj"'l .

Ejercicio resuelto

L Calcula la esperanza, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria X: número de puntosobtenidos al lanzar un dado de seis caras no cargado.

Con respecto a X, se tiene que f(x) = 1,con x = 1,2, 3, 4, 5, Y 6 es la función de probabilidad, por lo que se6

puede completar la siguiente tabla:

4 5

1 1 1 1 16 6 6 6 6

1 .!. 1 2 56 3 2 3 6

l 2 3 8 256 3 2 3 6

6 o Elvalor esperado de unavariable aleatoria discreta nonecesariamente es un valor quepueda "tomar" dicha variable.En el ejercicio resuelto, se puedeafirmar que SI se lanza el dadoen reiteradas oportunidades, seobtendrá un promedio de 3,5puntos

16

6

Así

Ln 1 1 1 2 5 7E(X)= (x ol(x ))=-+-+-+-+-+1=-=3 5,., I I 6 3 2 3 6 2 '

- 5' =E(X1)-[E(X)J' =(.!.+l+l+-ª-+ 25 +6)_(Z)' = 35=2 916• 6 3 2 3 6 2 12 '

S = (35 =171x ~12 '

Ejercicios propuestos

1. Dado el experimento aleatorio "extraer una bolita de una urna que contiene 20 bolitas numeradas del 1 al20", responde.

a. ¿Cuáles la función de probabilidad de la variable aleatoria X: número de bolita extraída'

b. ¿Cuáles la esperanza, varianza y desviación estándar de la variable aleatoria X: número de bolita extraída?

424 CLAVE· Malemática

Distribución de variables ·~Jc~:i,.~r~_ ~::

e,~ff

.t!!\

e-o"8:J'OSIo-i'!¡¡¡

-t5 I ~;gs:o.r. -~'""'QIe.9.',1;Eº

1. Correlación

La correlación estudia la relación o dependencia que hay entre las dos variables que intervienen en unadistribución bidimensional. ; _ '

Para determinar si dos variables están relacionadas linealmentese Utiliza el coeficiente de Pearson (r):

~:<x¡ -.xXy¡-~S ¡.,r = 1'( In 1

1'( S,o\ I~/~ =, L(Y¡-V); ••• 1

donde S, es la desviación estándar muestral de x; \ es la desviación estándar muestral de y, y SI'( es lacovarianza de x e y. -

Correlación positiva a medidaque una variable crece o decrece, laotra también lo hace. Esto sucedecuando el valor se acerca a t.

v'o9 -- ..8 --.- --------- --oi~---~.-.>-_:_:--¡;~:-.-:4 _••.. ------ - ---

3 ---.---- -----1 .- - ---- - ---, --- -0-.

Correlación negativa: a medidaque una variable crece la otradecrece, o viceversa. Esto sucedecuando el valor se acerca a-l.

v10·9-·· -_ .. --.-

1~~='~~.-:=~.=-~s~-_.- ----; -, -- -~-.!." -- -- . -- -- ---- ..._.-o I 1 .; J Se 6 1 8 9 re

Xo 1 ~ 3 5 é 7 S ~ 10

Ejercicio resuelto

Correlación nula: no existerelación enire las variables.Esto sucede cuando el valorse acerca a o.

y

~ " .t... .._.:

: . ".'- -.__ ._-_ .. ---.--_.-El --- ... - ,._-.:--_. :. --~_.

____ o ••.•••••• __ •

? ----_ ... ----------_.!_.~- - . - .....- ---- -

7 S 9 ',;

t Años de expeñencia (X)¡ Calificación obtenida 00

1. Analiza la correlación lineal entre las variables X: años de experiencia e y: calificación obtenida según lossiguientes datos recogidos al evaluar a cinco trabajadores.

r.---'--~r---~---r---.

4

Para analizar la correlación entre las variables X e Y. es posible representar gráficamente los daos recogidos yestimar si hay una correlación positiva, negativa o no hay correlación.

Gráficamente, se puede observar que hay una correlación positiva entrelas variables. Sin embargo, utilizando el coeficiente de Pearson se puedecuantificar el grado de correlación.

Para calcular el coeficiente de Pearson entre las variables se debedeterminar la media aritmética de cada variable:

_ 1+3+5+7+10x = 525 '_ 4+5+6+6+7Y = 5,6

V'0··-'9 ... --- -.---, ---.- o.

s· - - - --- -- .7- - - ~ --._. __ .6 -----·0---__---..s .----- ---.-------- __o

4-·•.--·--l ---- --- .. -- _.'------..--'1 .._- - .•-- . -- .. - - o., ._-_. _._- _. ---

.: J ; ti r 8 9 'O

x

Dlstrib~ción de variables 4

Page 214: Preparacion Psu de Matematica SM

11

I Luego, se puede completar la siguiente tabla:

XI - . YI. XI-X Vi-Y (XI.- X)~ (YI - V'l " (XI:- X}(YI - Y>

1 4 -4,2 -1,6 17,64 2,56 6,72

3 5 -2,2 -0,6 4,84 0,36 1,32

5 6 -0,2 0,4 0,04 0,16 -0,08

7 6 1,8 0,4 3,24 0,16 0,72

10 7 4,8 1,4 23,04 1,96 6,72

26 28 O O 48,8 5,2 15,4

Así, es posible aplicar la fórmula del coeficiente de correlación lineal de Pearson:

Sr =-"-

"1 S. S, y

\

~)x¡ - x)(y, - V>1=1 _ 15,4148s. h ~0,96

-.Jqll,~ -.¡5,2-Jt,(X, - X),·~t(y, -w

Por lo tanto, como r"l es muy cercano al, es posible afirmar que hay una correlación positiva entre las variables,lo que se puede interpretar de la siguiente manera mientras más años de experienciatenga eltraba¡ador, mayorserá su calificación.

Ejercicios propuestos

1. Resuelve los siguientes problemas.

a. La tabla muestra la cantidad de refrigeradores vendidos trimestralmente por las empresas A y B. (El númerode refrigeradores vendidos está relacionado con la empresa que los vende? Justificagráficamente.

," Einp~A :I. - EmíneSaB .1

22

18

b. Según los datos recogidos de una familia de seis integrantes, da estatura está relacionada con la masacorporal? Justifica calculando el coeficiente de Pearson.

Estatura (m) I~ CQ~ral (kg) I

1,71

72

c. La tabla muestra las horas diarias de entrenamiento de un ciclista antes de una competencia y el tiemporegistrado en las cinco competencias en las que ha participado ¿Hay correlación entre las variablesinvolucradas7 Justifica gráficamente y utilizando el coeficiente de Pearson.

Horas de entrenamiento

Tiempo registrado (min) 72

d. Las calificaciones de u n curso en los sectores de Historia y Matemática tienen un coeficiente de Pearsonde 0,92. SI la desviación estándar muestral de las asignaturas de Historia y Matemática son 1,61 Y 1,76,respectivamente, ¿cuál es el valor de la covarienza?\

l"426 CLAVE· Matemática--

eelu::J-ooo.'"Sleo I ~-g.D¡:le -a.

1:2V1

'"aJeoo'6urQJ

...'2. Regresión lineal

'~";'.c ' ~:..~. ¡~.;.~;. "',~ ~:., -;J!1- -<;.';':; , .Ór: .0'" ' "'\

Una recta deregresi6n (también líamad~ íeda deajust~) ~G;foriná ~ =;+ bx'Íiene la propiedad de. que las distancias entre los puntos del gráfico de la distribÍJción y la recta son mínimas. Además, a y b son

denominados coeficientes de regresión {cumplen con lo siguiente: .'

~ 6~ción:S .. ¿.,(x¡ - X)(y¡ - Vi '.. \,

a = y_bx' b = -'L = ¡-1 . La recta de regresión no necesariamente contendrá aS: . t(x _X)' todos. los puntos de la distnbución, pero es útJl cuando

¡-1 ' se quiere estImar un valor de y para un valorx,

Ejercicio resuelto

1. la tabla muestra la comisión pagada y lasganancias por ventas de ocho locales deuna compañía, Se piensa que al aumentar lacomisión recibida por la venta de un producto,los vendedores generarán más ventas; por lotanto, habrá mayor ganancia. Verifica si estarelación es cierta. De serio, si a los vendedoresdel local 4 se les aumentara la comisión al 6 %,«uánta ganancia esperaría la compañía obtenerde ese local?

GanaOOaS. ,

. l.ooIl Comisión(%) (millones de peSos) . !

1 3,6 12,28

2 5,3 14.74

3 7,3 21,01

4 3 9,5

5 7,5 27.4

6 6,1 18,8

I 7 5) 12,12

8 7,2 23.7Sean X comisión pagada a vendedores segúnlocal e Y las gananCias en millones de pesosobtenidas por la compañia por las ventas segúnlocal. Gráficamente, es posible estimar queefectivamente existe una correlación positiva entre lasvariables X e Y

Al calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson,utilizando la siguiente tabla y considerandoque'x;" 5,7125 e y = 17,44375, se obtiene que r" = 0,9

r y

\

'027

~~8, ;

'1

6 -- ------ -- .. _-.---- -_ ...:> ._---_._------_._~.-

o 1 2 3. S 5X

. '. o' -:>' _.•...~' "'.' "'~'i.~;~'~',,'t _ . 2 :.'~: :t ':.,:Yf:;:·~-:,"':'(x';""~~)&::'" "', .. Jt, '_.¡" s: A ~"M'" ',Yi',rL,;;f~,~.¡~¡'.}):". '... ~l' Y ·:i;" ¡ "l.r,.J).. "

3,6 12,28 -2,1125 -5,16375 4,46265625 26,66431406 10,9084219

5,3 14,74 -0,4125 -2,70375 0,17015625 7,310264063 1,11529588

7.3 21,01 1,5875 3,56625 2,52015625 12,71813906 5,66142188

3 9,5 -2)125 -7,94375 7,35765625 63,10316406 21,5474219

7,5 27,4 1)875 9,95625 3,19515625 99,12691406 17,7967959

6,1 18,8 0,3875 1,35625 0,15015625 1,839414063 0,52554688

5,7 12,12 -0,0125 -5,32375 0,00015625 28,34231406 0,06654688

7,2 23,7 1,4875 6,25625 2,21265625 39,14066406 9,30617188

45,7 139,55 ° ° 20,06875 278,2451875 66,927625

Distnbación de variables 4:

Page 215: Preparacion Psu de Matematica SM

I!

Como r", es muy cercano al, es posible afirmar que hay una correlación positiva entre lasvariables.Por lo tanto,si se les aumenta la comisión recibida por la venta de un producto a los vendedores, la compañía obtendrá másganancias.Ahora, para estimar la ganancia que obtendría la compañía aumentando al6 % las comisiones de losvendedores del local 4, se determinará la recta de regresión y = a + bx:

Sb=~

S,'

iex, - x)(y; - V)66,927625 = 3,33520,06875

• Si 5" = 1, las dos variables creceno decrecen.

• Si s., = -1, una variable crece y laotra decrece.

y

3,8 150 eo'8

2,4 98 :l-oe8,8 380 a.

!!:l

10,1 410 '"'" I ~]2,3 90 L;e I ,=19,3 900 o-

:;¡36,3 1.400 I/l

'"QJe24,9 1.100 o

'0

21,2 970 ~º

u •• 428 CLAVE· Matemática

,~I

n

¿(x; -x)'i=1

a = 17,44375 - b- 5,7125 =-1,61• Si S = O,no existerelación lineal

entre lasvariables.Por lo tanto, la ecuación de la recta de regresión que se utilizará pararesponder la pregunta es y = -1,61 + 3,335x.Finalmente, si a los vendedores del local 4 les subieran su comisión del 3 % al 6 OJo, la compañia en vez deobtener 9,5 millones de pesos de ganancia obtendría 18,4 millones.

Ejercicios propuestos

1. Representa gráficamente las distribuciones de las siguientes tablas, determina si hay una correlación entrelas variables involucradas y dibuja la recta de regresión.

a.~~~aÍ>l~:::~xi~:':;y.~

1 3 42

2 6,4 23,2

3 5,4 21

4 3,8 39

5 11 12,3

6 6,1 25,7

7 2,3 53,7

b.

i!~~~~~tl~~~l~g1 2,3 7,8

2 3,1 7,5

3 8,5 7

4 5,4 I 6,89

5 10,2 6,73

6 12,1 7,1

7 1,2 6,9

8 4,5 7,6

2. Determina la recta de regresión para la distribución tabulada y calcula las ventas en millones que debierarealizar aproximadamente un vendedor cuyo sueldo es $ 250.000.

véñ~(enmiliones)~' .~.Sueld~{e~~fuíl~'<1l.' ....;.:".•.• :'~, '':: \- "'.;:.""''>t,,:::<':'.i,$;:''-'8'?d

3. Distribución normal

WIIf;

La distribución normal (o gaussiana) es aquella en que los datos de una variable aleatoria continua seconcentran alrededor de la media Úl) con cierta desviación estándar (a).Se escribe NÚl,O') y su gráfica seconoce como campana de Gauss.

~..

¡¡.

~ Cuando una población se distribuye N(Il,0'), se puede asegurar que:

¡¡'-O' Il ¡¡'+O' Il- 20' Il u+ 20'

':~)"

¡¡.-36 ¡¡. ¡¡.+30'

Aproximadamente, el 68,3 OJo de Aproximadamente. el 95,4 0:0 de Aproximadamente, el 99,7 ~1ldela población se encuentra en el la población se encuentra en el la población se encuentra en elintervalo: intervalo: intervalo:

]Il - a, j.l + o] ]Il - zo. ¡.t + 2a[ J¡.t - 3a, j.l da[

Ejercicios resueltos

1. La estatura de los integrantes de una delegación de 180 deportistas se describe aproximadamente con unadistribución normal N(184, 9).

a. ¿Cuál es aproximadamente el porcentaje de deportistas en la delegación cuya estatura es mayor que 175 cm?~ O~ F~

Aproximadamente, como ,u - O' = 184 - 9 = 175 Y Il + cr = 184 + 9 = 193,la estatura en centímetros del 68,3 OJo de los deportistas de la delegación seencuentra en el intervalo] 175, 193[; mientras que la del 15,8500 es menorque 175 cm y la del otro 15,85% es mayor que 193 cm. Así. el 84, 15OJo dedeportistas de la delegación es de estatura mayor que 175 cm, ya que:

68,3 OJo + 15,85 OJo = 84,15 OJo 1l-0 ¡l-a

b. ¿Cuántos deportistas aproximadamente son de estatura mayor que 157 cm y menor que 211 cm?

Como ¡.! - 3cr = 184 - 3 • 9 = 157 Y ¡.t + 3a = 184 + 3 • 9 = 211, laestatura en centímetros del 99,7 Ofo de los deportistas de la delegación seencuentra en el intervalo] 157,211 [; mientras que la del 0,15 OJo es menorque 157 cm y la de otro 0,15 oA¡ es mayor que 211. Por lo tanto, el 99,7 1\'0de la delegación, que son 179 deportistas aproximadamente, es deestatura mayor que 157 cm y menor que 211 cm.

il- 30 Il 1'+30

Oislrih:lrinn rlp.v~ri;¡hlp.s 4í

Page 216: Preparacion Psu de Matematica SM

II1

I! 1 Ejercicios propuestos

[it[!] Marca la alternativa correcta.

Para responder las preguntas 1 a 4, se sabe que el promedio de notas de Matemática de un curso es unavariable aleatoria que se distribuye de forma normal con 11 = 4,8 ya = 0,7.

1. ¿Entre qué promedios de notas de Matemática se encuentra aproximadamente el 95,4 % de los estudiantesdel curso cuyos promedios son los más cercanos a 4,8?

A) J3,4; 6,2( B) J4,6[ D) J2,3; 6,3[ E) ]1,3;6,3(C) J4,1; 5,5[

2. (Desde qué promedio comienza el 15,85 % de mejor rendimiento del curso en Matemática?

A) 5,3 B) 6,2 E) 4,8C) 5,5 D) 6,8

3. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo un promedio de notas menor que 4,8 en Matemática?

A) 40% B) 54,78 % E) 50,8%C) 50,0 % D) 63,42 %

4. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo un promedio de notas menor que 5,5 en Matemática?

A) 70,1 % B) 59,78 % C) 64,05 % E) 75,8 %D) 84,15 %

Para responder las preguntas 5 a 8, se sabe que el número de taladros diseñados por una empresa que apruebael control de calidad y llega a la venta diariamente se distribuye de forma normal con 11 = 430 Y a = 6.

5. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de taladros aprobados sea mayor que 448?

A) 0,15% B) 1,5 % E) 8,5%C) 15 % D) 85%

6. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de taladros aprobados sea menor que 436?

B) 52,55 % D) 68,3 % E) 84 %C) 50%A) 84,15 %

7. ¿Entre qué cantidad de taladros se encuentra el 95,4 % de los diseñados?

D) J420, 465[B) ]418,442[ C) ]428,436[ E) ]428, 442[A) J430,436[

8. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de taladros aprobados sea mayor que 430?

B) 59,78 % D) 50,15 % E) 50,00 0/0C) 54,05%A) 70,1 OJo

~LAVE· Matematica...•.

~~~f{;;{I"f-~r,..'fe"f.

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!·1-.:;;:,':~r

s Iu-3eo.2!

"'" I "'"

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~eo-o~o

•••4. Estandarización

CualqiJi'er variable X que se distribuya NÚl:a) puede transformarse a una variable Zde distnb~óón ~(O, 1) J..•• '

,mediante el siguiente cambio de variable: '

. .:¿ .•.

Z=X-J,la

A esta distribución se le denomina estándar o tipificada y al cambio de variable se le conoce comoestandarización o tipificación y permite calcular probabilidades utilizando una tabla de valores(ver página 449).

EjerciCios resueltos

1. Se mide la masa en gramos de los huevos producidos en un gallinero. Si dichas masas se distribuyen deforma normal con ~ = 54 g Y O' = 16 g, «uál es la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un huevo sumasa sea menor que 52 g?

Sea X: masa de los huevos producidos en un gallinero. Como Il = 54 g Y O' = 16 g, ia distribución de X sedenota N(54, 16).

Luego, para calcular P(X < 52) se tipificará la variable X, por lo que

Z = X - Il = 52 - 54 = _1.. = _ .l = -0,125(J 15 16 8

Así:

P(X < 52) = P(Z < (-0,125)), Y

P(Z < (-0,125)) = P(Z > 0,125) 1,-(>,1250 0.125

1 10,01 0,02 0,03

05040 0,5080 I 0,5120

n "A 381 e,5478 0,5517

0,5832 0,5871 0,5910

Luego:

P(Z > 0, 125) = 1 - P(Z < 0,125)

= 1 - 0,54975

= 0,450250,00

0,0 ¡ 0,5000

Este último valor es el promedio entre los valoresde Z correspondientes a 0,12 Y 0,13 que esta nseñalados con las flechas en la tabla estándar para ladistribución normal.

1-. 0,1 I 0,5398 v,~

I0,21 0,5793

Finalmente, la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un huevo la masa de este sea menor que 52 g es 0,45aproximadamente, es decir, el45 OJo.

La masa promedio de un grupo de cargas es 148 kg Y su desviación estándar es 10 kg. Si se sabeque las masas se distribuyen de forma normal, «uál es la probabilidad de que la masa de una cargaseleccionada aleatoriamente sea mayor que 140 kg?

Sea X: masa de la carga, Il = 148 kg y O' = 10 kg. La distribución de X se denota N(148, 10) Luego, paracalcular P(X > 140) se tipificará la variable X, por lo que:

X-¡.¡ 140-148 8 4Z=-=--=--=--=-08

O' 10 10 5 '

Distribución de variables 4,

Page 217: Preparacion Psu de Matematica SM

11I1

: ¡I!

L

Así:• Si as R:

i) P(Z> a) = 1 - peZ< a)ii) peZ< (-a» = P(Z> ¡aD

P(X> 140) = peZ> (-0,8»,P(Z> (-0,8» = 1 - pez< -0,8), Ypez< (-0,8» = pez> 0,8)

Luego:

P(Z> (-0,8» = 1 - pez> 0,8)= 1 - (1 - pez < 0,8»= 1 - 1 + 0,7881= 0)881

peZ< 0,8) se pudo encontrar en la tabla de tipificación para distribucionesnormales (ver figura).

Finalmente, la probabilidad de que la masade una cargaseleccionadaaleatoriamente sea mayor que 140 kg es 0,7881,es decir, el 79 %aproximadamente.

Ejercicios propuestos

l. Calcula, utilizando la tabla de valores de Z, las siguientes probabilidades.

a. peZ< 2,89) b. pez s 0,02) c. P(Z> 3.25)

z o,~o 0,010,0 0,5~00 0,50400,1 0,5~98 0,54380,2 0,5793 0,58320,3 0,6\79 0,62170,4 0,6~54 0,65910,5 0,6~15 0,69500,6 O)b7 0,7291

0,7 O)~80 0)611. .(},3- 0)881 0,7910!

0,91 0,8159 ! 0,8186 i

d. P(Z~I.47)

2. Los puntajes de un examen se distribuyen N(80, 16). Calcula el valor estandarizado de los siguientespuntajes obtenidos en dicho examen.

a. 16 puntosb. 98 puntos

c. 40 puntosd. Opuntos

e. 80 puntosf. 100 puntos

3. Una embotelladora ha determinado que el tiempo de llenado de las botellas sigue una distribuciónnormal, con media 25 s y una desviación estándar de 3 s. Responde.

a. ¿Cuáles la probabilidad de que una botellade jugo seallenada en menosde 23 S7

b. ¿Cuáles la probabilidad de que una botellade jugo seallenada en másde 30 S7

4. La altura de los integrantes de un equipo de básquetbol se distribuye de forma normal con una mediade 185 cm y una desviación estándar de 5 cm. Responde:

a. ¿Cuáles la probabilidad de que al elegir uno de sus integrantes mida menos de 175 cm?

b. ¿Cuáles la probabilidad de que al elegir uno de sus integrantes mida másde 182 cm?

5. Los sueldos de 50 personas se distribuyen N(315, 85), en miles de pesos. Responde.

a. lcuál es la probabilidad de que al elegir una persona reciba más de 390 mil pesos?

b. ¿Quéporcentaje de personas reciben menosde 260 mil pesos?

c. ¿Cuántaspersonas,aproximadamente, recibenentre 230 y 400 mil pesos?

432 CLAVE· Matemática

e Ilo

-o ..'0v

"-o I ~oCi:!!

" I'" r:

'"-o;.Qs: Ioct ~~ 2.

~<fl

:íleo'0-eUJ

9

-5. Intervalo de confianza

,,'~, .:' ~',.

Un intervalo de confianza es·un rango de-valores que probablemente contiene al valor del pará';;etro quése quiere estimar. Los valores que establecen los límites del intervalo de confianza se denominan límites deconfiabilidad, y el nivel de confianza es la probabilidad de que el intervalo Calculadocontenga al verdaderovalor del parámetro. Así, un intervalo de confianza de (1 - a) • 100 % para la media poblacional ¡i, con (J~~~ ," . . .. ~

1C(\l) =]x - Z ex' C:-. x + Z ex' c:-[; donde n es el tamaño dela mu~ y x ~ s~ promedio .. 't-, vn t-, vn .

Ejercicios resueltos

1. Si el tiempo en minutos de atención se distribuye N(¡.¡,4), construye un intervalo de confianza al95 Oro parael tiempo promedio de atención (u). Para esto, se tiene que en una muestra aleatoria de 100 clientes, eltiempo promedio de atención es de 8 minutos.

Como x = 8 min, e = 4 min, n = 100 Y 1 - a = 0,95 ~ a = 0,05, se tiene que:

IC(¡.¡)=]s-z ,~,8+Z '~[=]8-Z,,,,.1,8+1,,.,.1[=]8-1,96,l,s+I,96.1r=J7,2;8,8[t-"P -.,1100 ""P ,,100 .'" 5 ... 5 5 SL

El tiempo promedio de atención a la población esta entre 7.2 y 8,8 minutos, aproximadamente.

2. Si los kg de pesca diaria se distribuyen N(¡.¡, 10), construye un intervalo de confianza al 99 OJo para los kgde pesca que se recolectan diariamente, sabiendo que en estos últimos nueve días se han pescado, enpromedio, 62 kg diarios.

Como x = 62 kg,o= 10 kg, n = 9 Y 1 - a = 0,99 ~ o: = om, se tiene que:

IC(I-l)=]62-Z ,'o.·2~,62+Z O'" 1~[=J62-Z0~' ,lQ,62+Zo= ,lQrL=J62-2,575,lQ.62+2,í75.lQ[~J53.4'70E¡', -.,19 ¡-f -.,19" 3' 3 3 3' ,

El promedio de kilogramos de pescadiario está entre los 53,4 kgY 70,6 kg.

Ejercicios propuestos

Se sabe que el tiempo en minutos que destina un grupo de jóvenes al estudio se distribuye N (u, 15). Sieltiempo en minutos de estudio de seis de ellos es: 55, 32, 47, 89, 44 Y56, determina:

a. Un intervalo de confianzaal 90 0A¡ para el tiempo promedio de estudio destinado por este grupo de jóvenes.

b. Un intervalo de confianzaal 990A> parael tiempo promedio de estudio destinado por estegrupo de jóvenes.

Al considerar una muestra aleatoria de 20 pilas, su tiempo promedio de duración fue de 19horas. Si en lapoblación este tiempo se distribuye N(I-l, 3), determina:

a. Un intervalo de confianzaal 92 1\'0 parael tiempo promedio de duración de las pilas

b. Un intervalo de confianzaal 99 1\'0 parael tiempo promedio de duración de las pilas.

Distribución de varabes _4,

Page 218: Preparacion Psu de Matematica SM

r6. Distribución binomial

~:~~':-'~:~'.;.'':'/;~~l~'.~~·#',·~i::~:~~lr"o;'.:!i, .l. o::' ~.~. • ,,~~- ~~~.~

Un experimento sigue el modelo dé distribución binomial si: <",' ..~" ""' ." .-;,~", 'C;~~""~":;" .~. ':;:'.':.::'~ ;.. :':~-:;". .' ~. 1:

i) '. en cada ensayo son ¡¡ósíbles ~O\o donéSufiadost éxito:o fracaso). " .r.; ~:' -v : ~,' ~,,:-,.~:~--: .!;:.,~~;;i.V.~,,,:,..:';l,~'.i~-:'-:-:,,,~~~~-'..:.~..(!:'- .. ¡,,,!.. .ÓÓ, ".: -:',!;

i~ la probabilidad de un suceso.(é¡<ito o fracaso) es constante en cualquier ensayo.:,,·.ii~ :cl'r~sJltad~ :ri~~d~erÍ~yo ~j~d~p'~~d¡~nt~'de I~~:~~teri~r~s",~ :';;';i;:,~:::;, ,'o ' .,

':;,:~~~-,):>~~'~.~:,;~.;,;;:;"';--'.j~><~.;.;.o::~\; '. "'- <''i .•rni.::'' .... .:..:.1,.~.? ~:.:.~.:::,;. _ >_ ~ _,', ~ .";', .La función de probabilidad de una distribución binomial, denotada por B(n,p), donde n es el número deensayos, p la probabilidad de éxito y x el valor de la variable X. es: ' ....' • .,

. ~(X;~X)=(:}p'.(1-pr (Qnx~~, xENO' n E N, o;~p~l'

La función de distribución acumulada de la distribución binomíal es:

P(X s X)=( ~ }O(1-P)" +(~}i(l_P)n-l+':'+(:}'(l_P tI

Ejercicios resueltos

1. La probabilidad de que un celular sea aprobado por un control de calidad en una industria, antes de salir almercado, es 0,6,

a, Determina la probabilidad de que exactamente 2 de 6 celulares sean aprobados por el control de calidad,En este caso se debe calcular P(X = 2), Los dos sucesos posibles son que el celular apruebe el control (éxito),con probabilidad p = 0,6, o que lo repruebe (fracaso), con probabilidad 1 - P = 1 - 0,6 = 0,4, La variable X esel número de celulares aprobados, es decir, x = 2, Elnúmero de ensayos es n = 6. Así:

P(X = 2) =(6) . 0,6' ·0,4' = 15·0,36·0,0256 ~O,138241 - Probabilidad de que 2 de 62 celulares sean aprobados

b. Determina la probabilidad de que entre cuatro celulares más de 2 sean aprobados,En este caso se debe calcular P(X > 2), Como la distribución es binomial, p = 0,6 es constante para cadaensayo, Además n = 4 Y x = 2. Así: .

P(X > 2)=1-P(X ~ 2)= 1-[ (~) • 0,6' (1-0,6)' +( ~) .0,6' (1- o.s)' +( ~). 0,6' (1- 0,6)' ]

= 1- [0,0256+ 0,1536 + 0,3456] = 0,4752

e Determina la probabilidad de que como máximo 2 celulares de 3 sean aprobados,En este caso se debe calcular P(X ~ 2), Como la distribución es binomial, p = 0,6 es constante para cadaensayo Además n = 3 Yx = 2, Así:

P(X s 2)=(~ }O,60 .O,43+U }O,61.0,4' +G}O,6' .0,4'i

I\L

= 1·1·0,064+ 3·0,6 ·0,16+3 ·0,36 ·0,4~o,7841- Probabilidad de que como máximo

2 de 3 celulares sean aprobados,

434 CLAVE· Matemática

é;-

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s 1 3.-8~'O -eo-~~ I ?'"ro'OP-,J:;oo:

I -:2Ifl

'"'"s'0'ÓúJ

{)

•••Ejercicios propuestos

1. Si se lanza 20 veces una moneda, determina la probabilidad de que:

a. se obtengan 9 caras,

b, como máximo se obtengan 7 sellos.

e. se obtengan más de 11 caras,

2. Un matrimonio planea tener exactamente cuatro hijos. Determina la probabilidad de que:

a. solo uno de ellos sea varón,

b. como máximo tengan dos hijas,

e al menos uno de los hqos sea mujer,

3, Un estudiante rinde una prueba de selección múltiple de 12 preguntas de 5 alternativas cada una. Si lasresponde todas al azar, determina la probabilidad de que:

a, tenga 10 respuestas correctas.

b. al menos 5 respuestas sean correctas,

C. menos de 7 respuestas sean incorrectas,

~ Marca la alternativa correcta.

1. La probabilidad de aprobar una asignatura es 0,7. Entonces, la probabilidad de que 3 de 5 estudiantesaprueben la asignatura es:

A) 0,3087B) 0,1323C) 0,3125D) 0,6913E) 0,6666

2. Se tiene una urna con tres bolitas rojas, dos azules y una verde. Si se extraen dos bolitas con reposición,«uál es la probabilidad de que al menos una sea azul?

A) l3

B) .!i27

O) 1127

E) J..3

C) 2.9

Dos jugadores, A y B, disputan una serie de 3 juegos, Si la probabilidad de que A gane un juego cualquieraes 0,6 y no hay empates, la probabilidad de que B gane al menos dos juegos de la serie es:

A) --ª125

B) l§..125

E) .!...!2125

81O) 125

44C) 125

Distribución de variables ~

Page 219: Preparacion Psu de Matematica SM

Instrucciones1.- Esta prueba consta de 14 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A, B, C,

D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.2. Dispones de 30 minutos para responderla.

Muestreo

l. Si los estudiantes y funcionarios de un colegio se distribuyen según la siguiente tabla, «uántos estudianteshombres de 10 medio y cuántas funcionarias se deben elegir para seleccionar una muestra estratificadade tamaño 20 para realizarles una encuesta?

A) 9 Y 10

B) 2 Y 1

C) 5 y 2D) 6 Y 2

E) 7 Y 3

2. Con respecto a los tipos de muestreos, es cierto que:

para realizar un muestreo aleatorio simple, la población se debe dividir en grupos con idénticascaracterísticas.

11. en el muestreo estratificado, los distintos estratosdeben tener la misma cantidad de elementos.111.para aplicar un muestreo sistemático, primero se debe numerar la población.

A) Solo 18) Solo 11C) Solo 111D) Solo 1y 11E) Solo 11y 11I

.1l§.... CLAVE· Matemática

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1)

•••Coeficiente de variación

3. La tabla muestra los goles anotados por dos jugadores en cinco años, con sus respectivas desviacionesestándar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

El promedio de goles anotado por el jugador 1 en los cinco años es mayor que el promedio de golesanotados por el jugador 2 en el mismo periodo.

11. La distribución de goles anotados por el jugador 2 es más homogénea que la del jugador 1.111.Si en el año 2011 el jugador 1 anotara diez goles, su coeficiente de variación disminuiría.

A) Solo I8) Solo 11C) Solo 111

D) Solo 1y 11E) Solo 11y 111

Variable aleatoria

4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)7

l. El número de hermanos es una variable aleatoria discreta.11. Si una variable aleatoria toma infinitos valores reales de un intervalo, entonces es continua111.El promedio de goles por partido anotados por un futbolista es una variable continua.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1y 11

D) Solo 11y 111E) 1,11Y 111

5. Si X es la variable aleatoria "número de caras obtenidas al lanzar tres monedas", «uál de las siguientesafirmaciones es falsa?

A) X es una variable aleatoria discreta.B) El espacio muestral de X tiene cardinalidad 8.C) El recorrido de X es 10, 1,2, 3).D) Hay tres sucesosasociados al valor 3.E) Al suceso obtener tres sellos se le asociael valor O.

Fnsavn rernatro . PSU 4:

Page 220: Preparacion Psu de Matematica SM

1'1Función de probabilidad

6. Sea f: {O, 1,2;"3}~[0,lj unafundón de probabilidad. Si 1(3)= 0,3,¿cuál es el valor numérico de1(0) + 1(1) + f(2)?

A) 0,3

B) 0,6C) 0,7

D) 0,9

E) Falta información

7. Si la variable aleatoria X relaciona las caras de dos dados y la cantidad de ellas que contiene un númeropar de puntos al ser lanzados, y 1es su función de probabilidad asociada, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

l. f(O) =0.I!. f(I}=2!(2)

111. El recorrido de X tiene dos elementos distintos de cero

A) Solo I

B) Solo 111C) Solo 1 y 11

D) Solo 11 y 111E) 1,11 Y 111

Función de distribución acumulada

8. A partir del siguiente gráfico, «uál es el valor de P(X s x,)?

Función de probabilidad de la variable X0,400,350,300,25

2- 0,20- 0,15

0,100,05

A) 0,20

B) 0,35

C) 0,55O) 0,65

E) 0,80

Il. 438 ClAVE. "",mát.,

x,.6Ti

11v:J-oEo-:!!:Jv>re]s:oa: I -:2 ""V1 r.

'"'"eoI ~g

"ur

Q

~l~=-I;]i_J:x, X,

Sucesox, x,

Esperanzay desviación estándar

9. La tabla muestra los valores que toma una variable aleatoria discreta X y los respectivos valores de sufunción de probabilidad l. ¿Cuál es el valor de la esperanza de X?

A) 0,16

B) 0,2C) 0,25O) 0,8

E) 2

Correlación

10. ¿Cuál de los gráficos representa una correlación positiva entre las variables X e Y?

A) O)Gráfico X - Y Gráfico X- y

> ----~.--- ._-,.~. --'" o~-~-.---- -. -. .-_ .._---~..._---. .. - ... - - ..... -------.. -..•> --.--------_ .._-_ .._----.---- ..

:> .-.-~---~~--~_.::.o e •

::E ----e -. -. --. - •...•...• ---.- ..•.. _-.~ .;;; -- - ----."--_._------_ .._--_ ..

Variable X Vanabie X

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o.-_..... - ..o •

>"~ - --- .

";s ----.-- ----------> ••o--~o--··-----~

> -•..• - o • __

:5 - __.._.. - __ .0_::; .;::= . 0_-•. _> •---_ .._--~-_..-----

o~-------.--~o

0. ------- • __ . ••.• __

Variable X Variable X

C)Gráfico X - Y

>-- --'" -~~--~ - -.---s-

Vanable X

Ensayotemáuco . PSU 43!

Page 221: Preparacion Psu de Matematica SM

I11!! Regresión lineal

11. Para el siguiente gráfico de dispersión de diez estudiantes, ¿cuál de las siguientes ecuaciones representamejor a la recta de regresión asociada?

A) y=x-l0B) y = 2x - 10C) y=x-l00D) y=-x-lOE) y= lO-x

Distribución normal

Desempeño escolar y resultado PSU750

700 • I650 • • i600 • ~=> • IV"> 550 ---~:e,

• !500 ,-"--.--450 ••400

400 450 500 550 600 650 700 750

NEM

12. Las calificaciones de un examen se distribuyen N(4,5; 0,8). ¿Qué porcentaje, aproximadamente, decalificaciones son mayores que 3,7?

A) 15,85 ¡YoB) 31,7 Ofo

C) 52,45 %

D) 68,3 Ofo

E) 84,15 %

440 CLAVE· Matemática

~

e:o'0u

"'Oeo-I e--!!

"'".•'O

~jj:zoa.~ J'"'"'"c;

'"-8j3 ~Q

Intervalo de confianza

13. Al tomar una muestra aleatoria de 36 casas se verificó que anualmente utilizan, en promedio.15 ampolletas. Si la población de casas se distribuye N(¡J, 6), «uál de los siguientes intervalos deconfianza corresponde al90 %?

A) J15 - Zo,,' 15+ Zo"[

B) J15 - lo.l' 15+ Zo,,[

C) ]15 - lo.SI' 15+ ZO.95[

D) ]15-lo.45,15+Zo.45[

E) J15- i; 15+ Z90[

Distribución binomial

14. Un estudiante contesta al azar una evaluación de 15 preguntas y 5 alternativas cada una. ¿Cuál es laprobabilidad de que responda correctamente 6 preguntas?

A) (1: J . 0,2' . 0,8'

B) (1:)- 0,2' . 0,8'

C) (1;)- 0,2' .0,810

D) (1; J. 0,2' ·0,8'

E) (1:)'0,5' .0,5'

Ensayotemático- PSU -±

Page 222: Preparacion Psu de Matematica SM

inI ¡1

1 D;~~i':;¡;~1\l[~,tLA~YB~~~k,flil;&i~~;:"~;~tétW~~.}J~;.,-.;. •.",•.., ..L.u,~...~~"1..~;'1 ••.;,.,~. ,

En el colegio hay en total N = 1.200 personas, entreestudiantes y funcionarios. Como la muestra es detamaño n = 20, entonces la cantidad x de estudianteshombres de 10 medio y la cantidad y de funcionariasincluidas se calcula:

.r:!=~=~=;X=20 ·125 z208N 1.200 125 1.200'

n 20 y 20·49-=--=-=;y=--z082N 1.200 49 1.200'

Al redondear al entero estos valores, en la muestradebería haber dos esludiantes hombres de 10 medio yuna funcionaria del colegio.

Oistractores:

A) Para el caso de los estudiantes hombres de10 medio y de las funcionarias, se consideróerróneamente como total de la población a 270,total de 10 medio, y 95, total de funcionarios delcolegio. De esta forma, las cantidades x e y secalcularon como:

~ = ~ = ~ =} x = 20 • 125 ~ 9 26N 270 125 270'n 20 y 20·49-=-=-=}y=--zI032N 95 49 95 '

Al redondear al entero estos valores, se respondeerróneamente que en la muestra deberia habernueve estudiantes hombres de 10 medio y diezfuncionarias del colegio.

C) Se consideró erróneamente al total de losestudiantes de 10 medio y al total de 105funcionarios del colegio. De esta forma, lascantidades x e y se calcularon como:

.r:!= ~ = ~ =} x = 20 • 270 = 4 5N 1.200 270 1.200'n 20 y 20·95-=--=-=;y=--zI58N 1.200 95 1.200 '

Al redondear al entero estos valores, se respondeerróneamente que en la muestra debería habercinco estudiantes hombres de 10 medio y dosfuncionarias del colegio.

442 CLAVE· Matemática

O) Se calculó erróneamente x e y como:

x = 125 =125= 6 25n 20 '

Y = 49 = 49 = 2 4Sn 20 '

Al redondear al entero estos valores, se respondeerróneamente que en la muestra deberia haberseis estudiantes hombres de 10 medio y dosfuncionarias del colegio.

E) Se cometió el error de considerar en el valor deN solo el total de estudiantes de 10 medio y lasfuncionarias, es decir, 270 + 95 = 365. De estaforma, la cantidad x e y se calcularon como:

.r:!=lQ..=~ =;x= 20 ·125 ~685N 365 125 .365'.r:!= lQ.. =L =} = 20 • 49 z 2 68N 365 49 Y 365 '

Al redondear al entero estos valores, se respondeerróneamente que en la muestra deberia habersiete estudiantes hombres de 10 medio y tresfuncionarias del colegio.

o CLAVE C

En el muestreo aleatorio simple, para la selección delos elementos no es necesario dividir la población engrupos. Por lo tanto, la afirmación (1) es falsa.

En el muestreo aleatorio estratificado, la poblacióndebe ser dividida en grupos o estratos a partirde una caracteristica en común; sin embargo, nonecesariamente estos grupos deben tener igualcantidad de elementos. Por lo tanto, la afirmación (11)es falsa.

En el muestreo aleatorio sistemático se numeran loselementos de la población, luego se elige al azar unnúmero de un intervalo para seleccionar los elementosnecesarios para la muestra. Por lo tanto, la afirmación(11I)es verdadera.

Oistractores:

A) Estaalternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (1), que es falsa.

B) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera laafirmación (l1);que esfelsa.

e<O'ou~II"Oeo.

!!!~ ,'""~e

1 ~a.

:2V1

'"'"eo'ü'ÓLlJ

g

D) Estaalternativa es incorrecta, ya que consideralas afirmaciones (1) y (11),que son falsas.

E) Estaalternativa es incorrecta, ya que incluye' laafirmación (11),que es falsa.

11"hs••t~::':"1'f":: CLÁVE E" = ." .t. ;(i~AII';J':tr.s4i'l;!'J." ~ ~ ~. '" ".< _•.•• ; ••

El promedio de goles anotados por el jugador 1 y elpromedio del jugador 2 son:

x =4+19+18+6+3=50=10J"i,dorl 5 S

x =11+9+8+10+12 50=10'''i,dor2 5 5

Por lo tanto, la afirmación (1) es falsa.

Para comparar la homogeneidad de las distribucionesse calculan los respectivos coeficientes de variación

CV =-º-- 74,m1 x-lO = 0,7

OJ _<J 1,4'-%am -"j=1O = 0,14

Por lo tanto, la afirmación (11)es verdadera.

Si el jugador 1 anota 10 goles el año 2011, entoncessu promedio seria:

x = 4 + 19 + 18+ 6+ 3 + 10 = 60 = 106 6

Asimismo, como en la fórmula de desviación estándarse suman las diferencias entre los datos y la media,divididas por el total de datos, en este caso:

(xs - X)' = (lO-lO)' = O

Pero ahora serían seis datos, es decir, el numeradorse mantendria, pero el denominador aumentaría.Entonces, la desviación estándar disminuiria.

Asi, el coeficiente de variación:

cv ="º-Jugador! X

disminuiría, ya que el jugador 1 mantendría supromedio de goles, pero su desviación estándardisrninuiria. Por lo tanto, la afirmación (111)esverdadera.

-Distractores:

A) Estaalternativa es incorrecta, ya que incluye laafirmación (1), que es falsa.

B) Estaalternativa es incompleta, ya que solo incluyela afirmación (11),que es verdadera,pero noconsidera la afirmación (111),que también lo es.

C) Estaalternativa es incompleta, ya que solo incluyela afirmación (111),que esverdadera, pero noconsidera la afirmación (11),que también lo es.

O) Estaalternativa es incorrecta, ya que adernásde incluir la afirmación verdadera (11), incluye laafirmación (1), que es falsa.

El CLAVE E

Para expresar la cantidad de hermanos se debeutilizar el conjunto de los números naturales o el cero.Entonces, por definición, esta variable es discreta Porlo tanto, la afirmación (1) es verdadera.

SI una variable puede tomar infinitos valores de unintervalo de los núrneros reales se denom ine continua.Por lo tanto, la afirmación (11)es verdadera.

51 bien los goles anotados por un futbolista es unavariable discreta, el promedio de goles anotados porpartido es una variable continua, ya que puede tomariníinitos valores reales. Por lo tanto, la afirmación (111)es verdadera.

Oistractores:

A) Estaalternativa es incompleta, ya que soloincluye la afirmación (1),que es verdadera, y nolas afirmaciones (11)y (111),que también lo son.

B) Estaalternativa es incompleta, yaque 5010incluye la afirmación (11),que esverdadera, y nolas afirmaciones (1) y (111),que también lo son.

C) Estaalternativa es incompleta, yaque soloincluye las afirmaciones (1) y (11),que sonverdaderas, y no la afirmación (111),que tambiénlo es.

D) Estaalternativa es incompleta, ya que solo incluyelas afirmaciones (11)y (111),que son verdaderas, yno la afirmación (1),que también lo es.

Modelamiento • PSU ....±

Page 223: Preparacion Psu de Matematica SM

:11IIm~~~:~~~it?~'¡~;~1;~Y~~~\~''¡~.i1:~·~~~t{~~~1i..".·~.. i\'i •.•"<:,;"",,, .",,,. ••••LAVE,D,.fif!§~;,~r~;,,r-~•. ;

~~~'l'~'-" •.•..••...r_~-< ~~.:-!!~ .•.••..••

El espacio muestral del experimento aleatorio "lanzartres monedas" es:

Q= ««.«s. ese, ess, s«, ses, ssc,SSS}

Entonces, la variable X se define como:

X: n~ {O, 1,2, 3}

Luego, el suceso obtener tres caras (Cee) es el únicoque se asocia al valor 3. Por lo tanto, X(ecC) solotiene una preimagen, y no tres como se afirma en laalternativa D.

Distractores:

A) Los valores que toma la variable son la cantidadde caras que ocurren al lanzar tres monedas: 0,1, 2 Y 3. Esdecir, solo toma valores naturales oel cero; por lo tanto, X es una variable aleatoriadiscreta. Luego, esta alternativa es verdadera.

B) El espacio muestral de X es:

Q = {CCC, CCS,ese, ess, s«, scs, ss; SSS}

donde la cantidad de elementos de Q es ocho.Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

C) Los valores que asume X son la cantidad decaras que se obtienen al lanzar tres monedas, esdecir: 0, 1, 2 o 3. Por lo tanto, la afirmación esverdadera.

E) X(SSS) significa, para esta variable, contar lascaras obtenidas en el suceso de obtener tressellos. Esdecir, X(SSS)= 0, ya que no hay caras.Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

D, CLAVE C

Como f es una función de probabilidad, entonces:

feO) + f(l) + f(2) + f(3) = 1

I¡!

\·1

\1) 444 CLAVE· Matematica

Como f(3) = 0,3, se tiene que:

feO) + f(l) +f(2) = 1 - f(3)

feO) + f(l) + f(2) = 1 - 0,3

feO) + f(l) + 1(2) = 0,7

Distractores:

A) A partir de f(3) = 0,3 se consideró erróneamenteque f(x) = ~. De esta forma, la expresión

10feO)+ f(l) + f(2) se expresó como:

-º-+J..+2=0+0 1+0 2=0 310 10 10 '"

B) Se consideró erróneamente que x = °es unsuceso imposible; de esta forma, f(x) = O.Además, como f(3) = 0,3, se asumió quef(l) Y f(2) son también 0,3. Por lo tanto,feO) + f(l) + f(2) se expresó como:

°+ 0,3 + 0,3 = 0,6

O) Como f(3) = 0,3, se consideró erróneamente af como la función constante f(x) = 0,3. EntoncesfeO)+ f(l) + f(2) se expresó como:

0,3 + 0,3 + 0,3 = 0,9

E) El estudiante que selecciona esta alternativaprobablemente no reconoce los elementos deuna función de probabilidad; por lo que no lograresolver el problema.

CLAVED

El espacio muestral Q del experimento tiene 36 pareesde números, de las cuales nueve no tienen númerospares de puntos, 18 tienen un par y en nueve parejasambos números son pares.

Así, feO) es la probabilidad de obtener una pareja sinningún número par Luego, del espacio muestral setiene que:

f(O)=P(X=O)= ~=136 4

Por lo tanto, la afirmación (1) es falsa.

Por otro lado, se tiene que:

f(l) = P(X= 1) = ~ =136 2

f(2) = P(X= 2) = ~= 136 4

Entonces:

1=2 _12 4

Luego, f(l) = 2f(2). Por lo tanto, la afirmación (11)esverdadera.

i!i*1~se,

il~'.~:~.,~;;

h.~

l"\:

e-c'ü Iu:J "-oe@"

iil'"-o

P-s: Ieo- ,-:2'"~~o:9-o'"iI

Para la afirmación (111) se tiene:

f:{o,1,2}-{H}

Por lo tanto, la afirmación (11I) es verdadera.

Distractores:

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que incluye laafirmación (1), que es falsa.

B) Estaalternativa es incompleta, ya que solo incluyela afirmación (111), que es verdadera, pero noconsidera la afirmación (11), que también lo es.

e) Esta alternativa es incorrecta, ya que incluye laafirmación (11), que es verdadera, pero tambiénconsidera la afirmación (1), que es falsa.

E) Esta alternativa es incorrecta, ya que incluye lasafirmaciones verdaderas (11) y (111), pero tambiénla afirmación (1), que es falsa.

D CLAVE C

De los datos del gráfico se tiene que:

P(X :::;x,) = f(x,) + f(x,) + f(x)= 0,30 + 0,05 + 0,20=0,55

Distractores:

A) Erróneamente, se calculó solo el valor deP(X = \), y se obtuvo 0,20.

B) Erróneamente, se calculó el valor de P(X < \), yse obtuvo 0,20 + 0,05 = 0,35.

O) Erróneamente, se calculó el valor de P(X ~ x,), yse obtuvo 0,30 + 0,10 + 0,35 = 0,65.

E) Erróneamente, se calculó el valor delcomplemento de P(X = x,). es decir:

1 - P(x) = 1 - 0,20 = 0,80

1I!!B~ml.i.~~BI1La esperanza E(X) se calcula como:

sE(X) = " x - f(x. )L..." ,,.,

=0-0,5+1·0,3+2·0,1+3-0,1+4-0= 0,3 + 0,2 + 0,3=0,8

Distractores:

A) Se asumió erróneamente que la esperanzade X es el promedio de los valores x, • f(x).Así, como la suma de estos valores es 0,8 y lavariable puede tomar cinco valores, se calculó laesperanza como:

0,8 =0165 '.

B) Como para calcular la esperanza se util izan lasexpresiones x, - f(x), se consideró solo 0.3 y0,1, que no se anulan al multiplicarlos, pero seconsideró erróneamente la esperanza como elpromedio de estos valores:

0,3 + 0,1 _ 0,4 = 0, 2-2-- 2

e) Se consideró erróneamente la esperanza comoel promedio de los valores no nulos de f(x). Asi:

0,5+ 0,3 + 0,1+ 0,1 = l =02544'

E) Se calculó el promedio de los valores de lavariable X:

0+1+2+3+4=lQ=25 5

Modelamiento - PSU 44

Page 224: Preparacion Psu de Matematica SM

.1:111

m•• '~"~"""""""VEf' ~.; ". ~'"I ..,~. : .. ~;ri\!iI¡''I:;~1 ..... .,-~j~,.¿~~-- - .~.~- - ., - ~

Una correlación positiva entre dos variables existecuando a medida que una variable crece o decrece,la otra también lo hace. Gráficamente, este tipo decorrelación es posible relacionarla con una recta conpendiente positiva. En este caso, el gráfico que más seasemeja a esta recta es:

Gráfico X- Yo 1

o o>- ov·~, .~:

Variable X

Distractores:

A) Este gráfico se puede modelar mediante dosrectas de pendientes distintas. Por lo tanto, noexiste correlación entre las variables.

Gráfico X- y

.>- ----::--tI------.--~----.'" o:g - ~.~-~.~.--.

";:a: ---.-.-----~-- .......•. --- ... -.>

Variable X

C) Este gráfico se puede modelar con una recta dela forma x = c, es decir, una variable aumenta sinque la otra aumente; por lo tanto, no hay unacorrelación positiva entre las variables.

Gráfico X - Y

t--- ------.-----e-------~-------------- ...._---;

>- ____.--.Í",' .~----~-"--------,~.------------t

------00·--· ,---------.---,~-------~

Variable X

446 CLAVE·Matemática

O) Estegráfico se puede modelar con una recta dela forma y = c, es decir, una variable aumenta sinque la otra aumente; por lo tanto, no hay unacorrelación positiva entre las variables.

Gráfico X - Y

,,--- ~(l) t • •J=-~~o o 0.0

,r I

Variable X

E) Estegráfico se puede modelar con una recta conpendiente negativa, es decir, cuando una variableaumenta la otra disminuye; por lo tanto, hay unacorrelación negativa entre las variables X e Y

Gráfico X - Y,.. ---. --- --'---'--_.-, .,._---~_._ ..' ,-------- -~~-------

;~ --~_ ....•._-.----------------_.-'¡1~--------...-------;e- •

Variable X

m CLAVE A

Al trazar una recta que modele la distribución de lospuntos del gráfico se tiene:

Desempeño escolar y resultado PSU750

~~650 '. -~ ==_. -,600---- ..--.---- •..--- __ .. ..1~, . )o... 550 '---.---- - •..-----1

500 --_ .. - --------- J450 ~ ----... -------J

• I400 '---- J

400 450 500 550 600 650 700 750

NEM

e·0'8~-o -eQ.

~ -~'"re r""-o

~oO-

:;; I ~V>

:íleo I~o'tíwQ

Se puede observar que la ecuación que mejorrepresenta a esta recta debe tener pendientepositiva cercana a 1 y coeficiente de posiciónpequeño con respecto a los valores de las variables.De las alternativas, la recta que cumple con estascondiciones es:

y=x-10

Distractores:

B) La ecuación y = 2x - 10 asigna a cada NEM casiel doble de puntaje en la PSU.Por ejemplo, paraun NEM de x = 500 puntos, el puntaje de PSUesperado sería:

y=2 ·500-10y= 1.000-10y=990

Lo que no se observa en el gráfico.

C) La ecuación y = x - 100 asigna a cada NEMun puntaje de PSU inferior en 100 puntos. Porejemplo, para un NEM de x = 500 puntos, elpunta¡e de PSU esperado sería:

y = 500 - 100y=400

Lo que no se observa en el gráfico.

O) La ecuación y = -x - 10 representa a una rectade pendiente negativa, lo que no ocurre en estecaso.

E) La ecuación y = I O- x representa a una recta dependiente negativa, lo que no modela el gráficodel ejercicio.

m'7~~M1;;:"f~~.~*,~~~",~~A~~

Para una población que se distribuye N(¡J.,a) se tieneque:

Il-(J Il Il+ (J

En este caso, ~ = 4,5, a = 0,8 Y el valor 3,7 se obtienecomo:

¡.t - a = 4,5 - 0,8 = 3)

Así, en el gráfico, el porcentaje de calificacionesmayores que 3) se representa:

4.5- 0,8 4,5 4,5+ 0,8

Entonces, el porcentaje de calificaciones mayores que3,7 es

68,3 Dio + 15,85 % = 84,15 %

Distractores:

A) Erróneamente, se calculó el porcentaje decalificaciones menores o iguales que 3,7. Segunel gráfico es el 15,85 %.

B) Como el porcentaje de calificaciones entre 3,7Y 5,3 es el 68,3 OJo, erróneamente se calculó sucomplemento, es decir:

100 O/o - 68,3 %= 31) %

Por lo tanto, se calculó el porcentaje decalificaciones menores o iguales que 3,7 ymayores o iguales que 5,3.

C) Al 68,3 0Jc que representa las calificaciones entre3) y 5,3, erróneamente se le restó el porcentajede calificaciones menores o iguales que 3,7, esdecir:

68,3 % - 15,85 % = 52,45 010

O) Solo se calculó el porcentaje de calificacionesmayores que 3), pero menores que 5,3. Segúnel gráfico es el 68,3 %.

Modelamie~to.~~~~

Page 225: Preparacion Psu de Matematica SM

1111I

I! mmm'~~~""'~.~=_"~C.,," . '':;~~~.~,f~A~¡ii~t.'ll!ij"j.; ";ih~;;r{0.- _~~'i __~J..t'-~Q'..¡~ •.....: J

De los datos se tiene' que:

x=15; CJ=6; n=36; 0.=0,10

El intervalo de confianza para la media ¡les:

]X-Z .2... r-z .2...[

a~' a t:r- ¡ \In "2 vn

Entonces, al reemplazar se tiene:

]15-Z Ola' ~,15+Z 010' ~[", \136 ", ,,36

= J15 - Z09,,15+ ZO.9'[

Distractores:

A) En este caso, se cometió un error al calcular elsubindice de Z:

1 - a = 1 - 0,10 = 0,9

Asi, se respondió ]15 - ZO.9'15 + Z09[.

B) Se consideró erróneamente que el subindicede Z es igual al valor de o: Asi, se respondió

]15 - ZO.I' 15 + zoJD) Se asumió erróneamente que el subindice de l.

es igual a:

l-cx= 1-0,1 =Q1=0 452 2 2 '

Asi, se respondió J15. t,4\ ,15 + Zo.,s[

E) Se cometió el error de considerar el valor de acomo 10. Luego, para obtener el subindice de Zse cometió otro error al calcularlo como:

100 - 0.= 100 - 10 = 90

Asi, se respondió J15- Z90' 15 + Z90['

448 CLAVE· Matemática

m ~~~f§~~f.~~~~J:!\Y~~A"~~~::~;~~:~~~:H~~~1}'"El experimento de contestar las preguntas al azar sigueuna distribución binomial, ya que una respuesta puedeestar correcta o incorrecta.

En este caso, el número de ensayos es n = 15, laprobabilidad de éxito (responder correctamente)

es p =.1. = 0,2 Y la de fracaso (responder5

incorrectamente) es 1- p=!= 0,8. Entonces,la5

probabilidad de acertar seis respuestas (x = 6) secalcula con la siguiente fórmula:

P(X=X)=(:) -p' '(I-p)'"

s.',(j~

•.t.'.-..'::~,

¡¡

Asi, se obtiene:

(15) _ qP(X =6)= 6 ·0,2"· 0,8

Distradores:

B) Se confundieron los exponentes de p y 1 - Py se contestó que la probabilidad es:

(I:J ·0,2' '0,8'

e) En la combinatoria se cometió el error deconsiderar el valor de x como 5, correspondientea la cantidad de alternativas, en vez del valorcorrecto, que es 6. De esta forma se contestóque la probabilidad es:

(155

) • 0,2' • 0,810

D) Erróneamente, en esta alternativa se calculó la e-oprobabilidad de acertar nueve preguntas de las -§15. Entonces, se contestó que la probabilidad es: ""eo-

e:) -o.r '0,8'l'::l'"'" , ' .-o;9

E) Se asumió que el valor de la probabilidad de ~o-

éxito y fracaso son iguales a 0,5. De esta forma :2 l.'se contestó que la probabilidad es:

t/l I~ ,di I -e

( 1: ) • 0,56 • 0,59o I ~'0 1 ~'ÓUJ

º

Tabla de tipificación para distribuciones normales (P(Z < z»l 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 005 0.06 0.07 0.08 0.09

00 05000 05040 05080 05120 0.5160 05199 0.5239 0.5279 05319 0.5359

0.1 05398 05438 05478 05517 05557 05596 0.5636 0.5675 0.5714 057530.2 0.5793 0.5832 05871 05910 05948 05987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

04 0.6554 0.659t 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

05 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 08599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.901511.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.917714 0.9192 0.9207 0.9222 09236, 0.9251 0.9265 0.92791 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0944111.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.95151 0.9525 0.9535 0.954517 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0963311.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.97321 0.9738 0.9744 09750! 0.9756 0.9761 0976712.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98171

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 i 0.9846 ! 0.9850 0.98541 0.9857t2.2 0.9871 0.9875 0.9878

I

0.9887¡0.9861 0.9864 0.9868 0.98811 0.9884 0.989012.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 099091 0.9911 09913 , 0.99151

24 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.99341 0.9936!2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973¡ 0.997412.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 09980, 09981'

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985' 099861 0.998ó30 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 09990 I 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 099921 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 09995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.999734 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.99983.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.99983.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 09999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10000 1.0000 1.0000 1.

Distribución de variables· PSU -±

Page 226: Preparacion Psu de Matematica SM

n

Solucionario

Solucionario capitulo I -152 . ~63

Solucionario capitulo 11 464 . ~83

Solucionario capitulo 111 484 . ~9,

Solucionario capitulo IV 498· 0:9

Page 227: Preparacion Psu de Matematica SM

rII o ucionano

Capítulo 1:Números y proporcionalidad

Números

Números naturales y números enteros(página 15)

1.

a. Sean p y q números impares, entoncesp = 2a - 1 Y q = 2b - 1 con a, b E N. Luego:p + q = 2a - 1 + 2b - 1 = 2(a + b - 1) Y comoa + b - 1 = e, con e E N, se tiene quep + q = 2e. Por lo tanto, la suma de dosnúmeros impares es un número par.

b. Sean p y q números impares, entoncesp=2a -1 yq=2b-l con a.b s N. Luego:p • q = (2a - 1)(2b - 1) = 2(2ab - a - b + 1) - 1Y como 2ab - a - b + 1 = e, con e E N,se tiene que p • q = 2c - 1. Por lo tanto, elproducto de dos números impares es unnúmero impar.

e. Sea p número par y q número impar,entonces p = 2a y q = 2b - 1 con a, b E N.Luegop + q = 2a + 2b - 1 = 2(a + b) - 1 Y comoa + b = e, con e E N, se tiene quep + q = 2c - 1. Por lo tanto, la suma de unnúmero par y uno impar es un número impar.

d. Sea p número par y q número impar,entonces p = 2a y q = 2b - 1 con a, b E l'i.Luego p • q = 2a(2b - 1) = 2(ab - a) y comoab + a = e, con c E N, se tiene quep • q = 2e. Por lo tanto, el producto de unnúmero par y uno impar es un número par.

452 CLAVE· Matematica

2.

Antecesor Antecesor Antecesorimpar par

2p + 1 2p 2p-l 2p3q - 4p 3q - 4p - 1 3q-4p-l 3q - 4p - 23(p - 3) 3p -jo 3p -10 3p - 11

Sucesor Sucesor Sucesorimpar par

2p + 1 2p + 2 2p+3 2p + 23q - 4p 3q - 4p + 1 3q -4p +1 3q-4p+23(p - 3) 3p - 8 3p - 8 3p - 7

~1, e 2. B 3. B

Divisibilidad (página 16)

1.

a. 42b. 40c. 18d. 35

2.

a. x = 2 o x = 8b. x = O o x = 7e. ~o existe x.d. x = 2

Operatoria con números enteros (página 17)

~1. O 2. B 3. E

.~~1.

.;~~

Solucionario--------~

Números racionales (página 19) Aproximación de números decimales (página 21)1. 1.

a. hl3 2

b. Z=.!.±9 18

c. l<~14 21

Aproximaóón por Aproximación porredondeo truncamiento

0,988 0,98712,55 12,547,889 7,888-1,0 -0,9

0,0120 0,0119-54,9 -54,91,0000 0,9999-5,00 -4,99

2.

a l14..l. 2' 3' 10

b. -11_2 l .!.Q3' 6' 5' 2

c _i _l Q i §.. 9' 10'1'7'7

3.

a. 25 g..l

2.36 3

b. l.!.? a. 5,79h. 6 b. 5,03

72 c. 100,3661 i. 1c. - -- cm1O lO

d. 341 j. i 1. O 2. e70 3

e. 20 k. 26Potencias de base positiva y exponente entero3 3

59 10 (páginas 22 y 23)f. L

12 13 1.

~a. -625 d. _1

9

1. O 2. A 3. E b. -131.072 e. 14

Transformación de fracciones a números decimales c. 1 f. 1(página 20) 1.ü24 2251.

a. 11 e. _2J. i. 767 2.50 33 333

d. _J.a. -41b. 112 f. _ 2.789 j. 100131 72

9 100 9.90022 k. lQ1 b. -525 e.c. 10 g. 8

99 165 200d. _.!z h. _11 17131 c. -7 f. 1000001

l. 10012 6 330

Snfllrinn:¡rin liS

Page 228: Preparacion Psu de Matematica SM

e, 0,25 i. I-I a. x=481

1. 81 j. 0,25

Ib. x= I

I k. -2,5·10; c. x=1E· 625

h. 7" 1. 3'" I~1. A

11Solucionario3.

a. 1.600 entradas.

b. En el minuto 5 se generan 2' = 32 bacteriasy en el minuto 45, 2".

4.

a. 2"

b. -512

c. 116

d. I1024

[11I]1. B 3. D

4. A5. e6, D2.

Notación científica (página 24)

1.

a. 3, l(JSb. -3,45' io-

c. -7,435' 10'

2.

a. 2.4' 10'b. 6,85' 10'

c. 3,74' 10"

3.

a. 3,12' 10' =31.200

b. 7, lü" = 0,00000000007

c. l· 10" = 0,0001

d. 2,3' 10' = 230.000

t_ 4'14 rl AI/F ' Motomot;ro

l1ln1. A 2, A

Ecuaciones exponenciales (página 25)

1.

d. x=3 g. x=_J.2

e. x=-6 h. x=4

f. x = 5

2. eNúmeros irracionales (página 27)

1.

a. V. N es subconjunto de Z y Z es suxomuntode Q, por lo tanto Q U Z U N = éQl.

b. F. 1,2 es un número real, pero no es entero.

c. F. Los factores de los números primos sonel 1 y el mismo número; por lo tanto, su raízcuadrada no pertenece a Q.

d. F. 0,3 = J.; por lo tanto 0,3 E (}3

e. F. rr' E ::i:, pero n E e.f. V. Z es subconiunto de Q.

g. F. 12E Q y 2 > O.

h. F. .J8 y J2 son números irracionales, pero

.J8 . J2 =4 es un número racional.

i. F. Existen números decimales infinitosperiódicos o semiperiódicos que son

racionales, ejemplo J. = 0,33

j. V. ~ = - 3; por lo tanto, es un númeroracional.

:.~

~~

2.

a. 13

12

o 132

b. J5

o I 215c. 2J2

/b I12 2 2123

d. 16

~ )O I 2 J5 J6 3

Solucíonaría

e. 213

/1\ "O 1 12 13 2 3 213

f. J2+1

J1J-;:--" 2 J2 + I

(O

r:m1. B 2. E 3. E

Raíces cuadradas y cúbicas (página 29)

1.

a. ISJ2 d. 4 J2 - 3fi + =!3

b. -312+13J5 e. ~J2 _!Jj310 4

9/3 -5 f. J2 t: r-r-c. 2 + 5-.J7 - ,'~9

2,

a. J15 d. J. g.3

b. 6 e. 2 - J6 h. -28

c. 15 f. 2(3+Ji4) 1, 17

3.

r: I 2a . ..;3, C'----c.,¡2 3..;5

5 J5 2b. 13' 12'13

e I 2c. ..;2, r:.,¡5 5

Snll!rinn~ri() 4~

Page 229: Preparacion Psu de Matematica SM

n olucionario4.

a. J24

b. J53

c. di,

d. 2 + J2 + J3 + J6e. 2(J5-13)f. 2J6-5

g. 29-IIM

3

h.3(13-J7)

2

7.Jii _ 29

60 20

5.

a. J22

b. 13 -lJ5 + JlO3 5 lO

c. 'iJ28

d. J22

e. 'l.Jl5 -1133 3

f -1J2. 7

g. -6

h. _.!25

JsJ6+5

j. Jl3497k. -

9

117M _ 3410

456 CLAVE· Matemática

~ Ensayo temático 1 (páginas 30 a 33)

1. O 9. e2. B 10.A

3. A 11. O

4. B 12. E

5. e n.E

6. A 14.(

7. O 15. E

8. O 16.A

Proporcionalidad y porcentajeVariable (página 42)

1.

a. Variable

b. Constante

2.

a. Variable independiente: radio.Variable dependiente: perímetro.

b. Variable independiente minutos hablados.Variable dependiente: monto pagado.

3.

a. 2.4 rn'

b. Al tercer segundo.

c. Un segundo.

Razones y proporciones (páginas 44 y 45)

1.

a. 3,3

b. 0,1

c. 65

..~.y

~"".'~.

;~

·f·-:~.'•f;

.:.~ .

.;'~-

2.

a. x= 2

b. x = 15

c. x=12

d. x=..l.75

e. x = 0,1

f. x=JJ.15

3.

a. No

b. Sí

c. No

4.

a. Uno de ellos recibe S 16.000 Y el otro S 20.000.

b. 3.750 m'

c. a = 48°, ~ = 96·, Y = 36·

d. 16

e. A = 560000, B = 1.120000,C = 2.240000, O = 1.680.000

nt:1!]1. C 7.

2. A 8. D

3. B 9. A

4. A 10. E

5. D 11. C

6. C

Proporcionalidad (páginas 47 y 48)

1.

a. I

b. NP

c. I

d. O

e. NP

f.

g.

s01ucionano

2.

a. 32 días

b. 35 canciones

c. S 70.000

3.

a. Sí

b. No

4.

a. No b. Si

[l1!]1. A2. B

3. E

4. B

d. 7,5 horas

e. 4 zapatos

f. 15 jarros

c. No

c. No d. No

5. e6. O7'. B

Proporcionalidad compuesta (páginas 49 y 50)

1.

a.

Cantidad de méqumas I ACantidad de latas de conserva ! B

Tiempo (segundos) ! C

b.

z

Cantidad de montañistas xTiempo (dias) y

Cantidad de comida (kg)

;:~?{: ~",._.., ; '¡f~¡.;"~~'#-);:~...t'j-::~,~t~ .~.~.f't

~~~V~bl~j ·.'i:r.<!~.~~~.:.X-y Inversay-Z Directaz-x Directa

~OI~Q0~

Page 230: Preparacion Psu de Matematica SM

1: 11

o ucionano2.

Variables:

· cantidad de operarios

· cantidad de pantalones ---7 direda

· tiempo (días) ---7 inversa

· tiempo (horas) ---7 inversa

3.

a. $ 97.200

b. 8 minutos

c. S 600.000

d. 2.343,75 kilos

e. 4 toneladas

rnlJ1. E2. e3. D

Porcentajes (páginas 52 y 53)

1.a. 28 h. 0,175

b. 23,04 i. 2,88c. 45 j. 0,01

d. 24 k. 0,2

e. 76,6 aprox. 1. 1.000f. 1.214,29 aprox. m.

g. 250 n. 2.000

2.

a. $ 1.805

b. $ 500

nmrJ1. D

2. B3. D4. B5. E

6. E

458 CLAVE· Matemática

c. S 215.300

d. $ 200.000

7. B

8. B

9. E

lO. D

[it[[) Ensayo temático 2 (páginas 54 a 57)

1. e 6. e 11. e2. D 7. A 12. e3. B 8. B 13. D

4. E 9. D 14. E

5. e lO. E 15. E

Números complejos

El número i (página 66)

1.

a. 1

b. -1

c. 1 e. 1 g.

h.d. -1 f. -1

2.

a. x = Si, x = -Si

b. x = lOi,x = -1 Oi

c. x = 3i, x = - 3i

d. x=iii,x=-iii

e. x=2!ii,x=-2!i.i

f. X=3J5i,x=-3J5i

g. x = 6i, x = -6i

h. x = 25i, x = -2Si

Números complejos (páginas 67 y 68)

1.

a. Re(z) = 2, Im(z) = 1

b. Re(z,) = -32, Im(z,) = °c. Re(z,) = O, Im(z) = -J5

d. Re(z) = -12, Im(z) = 0,5

¡.,~~.,¡:

~{~-

~~;:~

2.

a. x = 2, Y = 1

b. x =D, y= 3

c. x=-l, y=3

d. x= O,y=-6

e. x = -2, Y = 1.2

f. x=2,y=-!13 2

g. x = -8, Y = 24

h. x=-18, y=-12

3.

a. k=O

b. k=-I

c. k=1

d. k = 1

e. k=-~9f. k = -50

~1. E 4. B 7. D2. A 5. A3. D 6. A

Solucionario

Representación de los números complejos(página 70)

1.

y6

1,

1,r+r-'5 ó X

1, =i,

t,4 ...• 1, .

. 4 -3 -2-6 -o -/

1, / -s-~

1,-5

-6

2.

~1~~[''::}~:~2:;; ~~~~~-2 + 3i (2,3)9 + 2i (9,2)

(O, 1)3i + 8 (8,3)

-5 + 7i (-5,7)1 + i (1,1)

(2, O)9i (O 9)-5i (O, -6)

3.

a. Z = 2,5 + 51

b. Z. = 4

e. Z, = -4 - Si

f. Z=-3j-0,5i

g. Z.=-5+4,51c. t. = 5 - Si

d. Z,=2-5i

Solucionaria _1:

Page 231: Preparacion Psu de Matematica SM

111 SolucionarioMódulo y conjugado de un número complejo(página 72)

1.

a. 1 + i, .fib. 2,3 + 4i; 4,6141

-6+12i 3.j5e ---. 4' 2

d. 1 - i, .fie L9i 5..m

. 2 ' 2

f 1.+ §.i 2JlO. 5 5' 5

2. .~ 't .z:l,.

.l,. J-. '

1-1 .z,t; '[

-6 -5 -4 . '~l 1 2 4 5 5 x-J -2 -1 3-1 --z,-2

T '"-z;. -4Z,

-5

el, -6 • Z,

I:m1. E2. D

460 CLAVE·Matemática

Operaciones con números complejos(páginas 73 a 75)

1.

a. Sea z = a + bi, entonces -z = -a - bi.

Luego, Izl=~ y

l-zl=J(-af +(-bf =Ja'+b' ; por lo tanto,

Izl=1-zI

b. Sea z = a + bi, entonces z = a - bi.

Luego, y Izl' =( Ja' + b' r = a' + b': por lo

tanto, i- z=lzl'.

c. Sean z, = a + bi Y z, = c + di. Entonces:

Iz,.z,I=I(a+bi)'(c+di)1

=I( ac - bd)+( ad+bcJiI

=./(ae-bd)' +(ad+be)'

= Ja'e' + a'd' + b'd' +b'e'

. =~a'(e' +d')+b'(e' +d')

=J(a1 +b')(e' +d')

=Ja'+b'~

=lz}lz,1

Luego, Iz, .z,I=lz,I·lz,1

d. Sean z, = a + bi Y z, = c + di, entoncesZ, = a - bi Y ~ = c - di Luego

z,' z, =( a+ bi).( c+ di)

= ac + adi+ bci -bd

=( ac - bd)+(bc + ad)i

=( ac - bd) - (bc + ad)i

= ac - adi - bd - bei

= a( c -di)- bit c -di)

=(a-bi)(e-di)

=z, ·z,Por lo tanto, z. ·z, =z, .~.

2.

a. 2

b. 5

c. 9

d. -6e. 10

f. 5

g. 12

h. -3

9

3.

a. F

b. V

c. F

d. F

e. V

4.

a. (7,4)

b. (2,4)

c. (-1,3)

d. 7 + i

e. 5 + 2i

f. 9 + 3i

g. 6 + 2i m. lLl..i13 13

h. -5 + 11i n. -2 - 261

i. 3 + 2i ñ. -5 - 4i

j. 5 + 7i o . 10 + 33i

k. 12 - 7i 1 5p. --+-113 13

1. -7 - 13i q. -4 + 52i

Solucionario

5.

a. 17 - 5i

b. -19-2i

c. -31 +46i

d. -45 - 14i

77 4e. -+-1225 25

f. 221

g. J1.5i3h. ~-.!.2§.i

5 561 6--+-117 17

J. - 23 4J.---14 4

k. _ 21 35---158 ss

-l.+~i52 13

m. _!1J+ 297i68 58

n. J267.58268

ñ. _ 23 3---115 5

o. J1i-3-+1

<:"I"I"¡"n')ri" d~

Page 232: Preparacion Psu de Matematica SM

Solucionario

~1. B2. e3. e4. A

5. A

6. E7. EPotencias y raíces de números complejos(página 77)

1.

a. 6~

b. 1""

e. 2J2'j5d. 3",e. 10,,0'

f. (sfL2.

a. 4J2.",b. 2'''"".

C. 64,&,.

d. 32,3'°:550"

e. 47'050'

f. 2"600

g. 2!sJ ,00'

h. 131('0"

1,5iXl'

462 r.1 AVF • M~tp.m"tir"

3.

a. (os(4S0) + isen(4S0)(os(22S0) + isen(22S0)

b. (05(18°) + isen(18°)(OS (90°) + isen(900)(05(162°) + isen(162°)(os(234°) + isen(234")(os(306°) + isen(306°)

c. ~(coSC~0)+isenC3t))

~(cos( 4~SO)+i sen( 4~SO) )

~(cos( 8~SO)+isen( 8~SO))

V2( cos( 12~50 )+isen( 12~ 50))

d. J6 (COS(300)+isen(300))

J6 (COS(2100) +isen(21 0°))

e. z/2 (COS(22S) +isen(22S))

12(cos (202,5 o) + Isen( 202,So))

f. cos(900) + isen(900)cos(2 10°) + isen(2100)cos(3300) + isen(3300)

~1. B2. D

3. B

~ Ensayo temático 3 (páginas 78 a 81)

1. e2. B3. e4. B

5. e6. D

7. B8. D

9. e10.A

11. E

12. D

13. E

14.D

15.D

16. E

Solucionario

<::nlu/"'inn'lrin .aF

Page 233: Preparacion Psu de Matematica SM

1II

1

IIII.,

SolucionarioCapítulo 11:Álgebra y funciones

Introducción al álgebra

Lenguaje algebraico (página 93)

1.

a. 4'3(X+~)

Cb. -= 2P

2

c. 1:(X-2Fv)

d. V= a'

x 25e. "2 = 100 Y

f. 10x + y - 30 = 10y + x - 2

g. x + y = (_1 )'x+-y

h. ..!.xJ_~(..!.)'4 5 Y

2.

La suma de tres números pares consecutivos.

La suma entre la sexta parte de la cuartapotenoa de un número y otro número.

- El cuadrado de la suma de dos números.

- La suma entre un número y el elementoneutro aditivo es igual JI número.

- La raíz cuadrada del producto de dos númerosequivale al producto de las raíces cuadradasde dichos números.

- El inverso multiplicativo del cuadrado deun número es igual al cuadrado del inversomultiplicativo de dicho número.

4li4 rJ AIIF . M,tomót;ro

x + y' - z I 3 I Trinomio-2 ,

2 Binomio--x + 4y3 f.

7x'"'!;

-+ y' +-w' 3 Trinomio '~}4 ",:;

a' + 3a'b + 3ab' + b' 4 Polinomio

Expresiones algebraicas (página 95)

1.

a.2 9 (aIx)2--x a-S

Términos de la 2 9-(abc)'expresión

--xa5

2Coeficiente nu mérico -- -1

5

Factor literal x'a (abc)'

Grado del término10 6algebraico

Grado de la expresión10

algebraica

b. it¡~::;;~~~yz;'X6y~;;!~&:ii~/~Términos de la

8x'yz iy:J 12x'expresión

Coeficiente8 1 12numérico

Factor literal x'yz x'y"' x'

Grado del término7 17 2algebraico

Grado de laexpresión 17algebraica

2.

3.a. F

b. V

c. F

d. V

Valorización de expresiones algebraicas(página 97)

1.

a. 49

b. -~2

c. -~5

d. -3

e. -22

f. ~12

2.

a. -3

b. 210

480e-

7d. -1044

3.

a. La Figura 4 tendría 16 círculos, mientras que laFigura 8 tendría 64 círculos.

b. La enésima figura tendría n' círculos.

Operatoria (on expresiones algebraicas

Reducción de términos semejantes (página 99)

1.

a. 12

b. 27b'z + lOr

c. -a' + b' + 3a' + 3b'

1, ,d. --x y-y:.¡ +-3y:.¡4

9 , 19 ,e. -+-4x'y+-xy

2 20

f. ~y:.¡'+~x'y_14610 5 15

soiucronano

2.

a. 2x' + 2c' + 4y' +- 4x'

b. 2a + 8b' + 2c; + 2x'

3.a. 5x + y-51

b. -sx - 5y + 11z

c. 4x+y-8z

71 16 41d. -x--y--z

12 3 12

Multiplicación de expresiones algebraicas(página 101)

1.

a. 6'('

b. -50:(1'

c. 3x' + 9xy'

d. -20x'y'

e. ~c'b-~ab'+~a¡b'.¡ 3 6

f. -15y:.¡' + 30y' - 5x'y'

g. a' + 2ab+ b

e 11 t:h ---(Z+-

. 8 60 15

. 9X" + -XV - 5xz -9yl

5j. a: + b' + el + 2ab + 2bc + 2ac

2.

a. A = a' - b' + e' + 2ac"3 ..

b. A=-xy8

c. A=12b' +32ab+a'

3.

a. p'+19p+90

b. 4n' + 8n + 3

SoIUCiO~

Page 234: Preparacion Psu de Matematica SM

:1~~_~I.~_i.Onar~~

..iProductos notables (páginas 103 y 104)

1.

a. Cuadrado de un binomio: z, + 18z + 81

b. Cuadrado de un binomio: 0,25e' - ed + d',c. Suma por su diferencia: .:.- _ y'

16

d. Cubo de un binomio: 1.000 - 300a + 30a' - a'

'. .' . a' 4ae. Binornios con un terrmno comun: - + - + 39 3

f. Cuadrado de un binomio: 9x" - 30x'y + 25V'

g. Suma por su diferencia: x' - 6,25y"

2sk '0 ,h. Suma por su diferencia: -.- - .eL

P' 4

i. Cuadrado de un binomio: 25 w' + 5w' + 14

j. Cubo de un binomio: 1 - 12V + 48y' - 64V'

k. Cuadrado de un trinomio:x' + 49x' + Vi + 14x' + 14xy + 2x'y

1. Cubo de un binomio:343x' - 147x?z' + 21xz' - zo

m. Cubo de un binomio:p" p' q p'q' p'q'

---+---1.000 100 30 27

n. Cuadrado de un trinomio:

49 + x' + z' + ~ x + ~ Z l + 2xz'9 3 3

2.

a. a' - b' b. x' + bx

3.

a. V=a'+15a'+75a+125

b. V=x'- 9x' + 27x- 27

4.

a. 256

b. -3ac

c. z,

---4QlL CLAVE· Matemática

d. 2.025

e. x' 40

f. 2-411 3

g. 2üa 10h. 18x' 108x

J5j. 4xzk. ...!...

x'12120-x3

m. 9d' 3c'

n, 3x' {y 3xy v{y

Triángulo de Pascal (página 105)

1.

a. No, tiene 6 términos algebraicos

b. Si

c. Si

Fadorizaeión (páginas 107 y 108)

1.

a. x c. 2x'V'

b. a d. -2x

2.

a. x'V'z c. x - 1

b. 4a d. V + 1

3.

a. (4az' - i J'b. (V + 12)(V - 12)

c. (XlV' +iz J( x'v' - iz)d. (x+ b)'

e. XV

4.

e. m(np - 3p - 6n)

f. (w5+ I)(w'-l)

g. (3x - 8)(9x' + 24x + 64)

h. (x + 5V)'

1. w(12z-23w)

j. a'(1 + 3a + 10a')

k. (a + b + e)'

1. -IOab(2 + b + 3a)

m. -(5z' + 9)(25z" - 45z' + 81)

n. U: + x" )( ~: - x' )

4.

a. (V - 5)2

b. (w + ~ )( w + i)c. (x - 3)(x + 2)

d. (z - ~ J( z - ~ )e. (w + 9)(w - 7)

f. (b + 10)(b - 3)

g. (a -12)(a + 7)

h. (x + ~)( x - i J

(a + ~)( a - ~)

j. (a+3)(a-~)

l1:1!l1. e 2. A 3. CExpresiones algebraieas fraeeionarias (página 110)

1.

a. -2 c. Ob. 3 d. 15

~oluclonano

2.

a. V =-1[R- {-3,3}

c. w=-I

~-H}d. 0

IR- {b'}b. x = 1

R.- {-2,0}

3.

a. Mayor que cero

b. Menor que cero

c. Menor que cero

d. Mayor que cero

Multiplicación y división de expresiones algebraicasfraccionarias (páginas 112 y 113)

1.

XT X(X - y)a. - c.

7 ya-b d. Zb. -a+b

2.

a. 7 f. [- b

b. _3_ a+b3-x m' +12y

g. --c. m' -1

x+1 h. ~d.

2a a+5a' + 4 i. x - 3

1 4 - \\e. -- j. --x - y vv - 5

3.

a. xy x;tO. v =O

1b. -,- x ;t-I. X;t 1x: -1

c. (z -6)' z;t-3,z;t)(z - 3)'

d. W x>Oe. ax a ;t0, X;t Of. 1 y;t-1,y;t1

Solucionario

Page 235: Preparacion Psu de Matematica SM

'1~t 00lUCIOnanO11 --_.,.~-_._-_.-

Ii

Ig. ,G

p~q

h. b + S

4.

a. -yz

6b. bp'

Ic.-2(x - y)

d. (x + y)(3y - x)3

e. -4J3y'

f..x..2(x + 3)

3c + 2g. --3d(2c - 3)

[1lIJ1. 8 2. E

p'" 0, q "'0

b '" ":3, b '" -2, b ;e 5

h.

w'(w' + z ')j. (2x + I)(x -1)

k.3x + 22-(3 - z)52m-3

m.--2

n. 2p(p - 3)

3. (

Adición y sustracción de expresiones algebraicasfraccionarias (página 115)

1.

a. IOb'"

b. 25xy'z'

c. 5x'y'z

d. 4(a - 1)'

e. 6a'b5

f. (x - y)'(x + y)I(X' + y')

2.

a. I

Xl + 9x + 19yl

abp - 8ec.--16p'

b.

468 CLAVE· Matemática

9- a'b'd. --

5ab5

x' - 2x + 3e.

(x -I)(x + 1)'

f. a' - a'b - 2a - 2b

(a + bj'(a - b)

b5+3b'+b+6g.b+3

h. y' + 5y + 9

y(y + 2)

2(p' + 9p + 13)(p+6)1

j.2xl + 4x + 7

xl+2x+4

k. (x-2)(x+4)(x-8)(X-I)(X+I)

2a' - a + b - 4ab + 4b'

ata - 2b)

l'····í···'· ..!,-;f:

I-~\~.-l¡:,-~

!'2~=/:&,g

':y\-,-,,:,

~r~[m

~~1. D 2. A

División de polinomios de una variable(página 117)

1.

a. (x) =xl +4x

R(x) = 6

b. (x) =3x + 2

R(x) = -2

c. (x) = 2x + 10

R(x) = 17

d. (x) = x' + 2x' + 4x' + 8x' + 16x + 32

R(x) = 128

e. (x) = Xl - X - I

R(x) = -4

Xl 4x 4f. (x)=-+-+-

3 9 27

,"",<,

31R(x)=-

27g. C(x) = 3x' - 9x' + 27xl - 86x + 255

R(x) = -761

h. C(x) = 3xl + 4x - 2

R(x) = -31x + lO

2.

a. Resto: O; raíces {-I, I}, {-I}

b. {-2,2} Resto-15

c. No, ya que el resto de la división es -250.

~ Ensayo temático 1 (páginas 118 a 121)

1. D 10. D

2. ( 11. A

3. D 12.(

4. An.A

5. D 14.8

6. E 15.E

7. D 16.8

8. 8 17. e

9. e 18.E

19.(

Ecuaciones

Ecuaciones (página 131)

1.

a. Identidad

b. Ecuación

c. Ecuación

d. Identidad

e. Identidad

f. Ecuación

2.

a. SI

b. Sí

c. No

d. Sí

e. Sí

f. No

Solucionario

3.

a. Sean 2x - I Y 2x + I los dos números imparesconsecutivos, entonces se tiene que:(Zx - 1) + (2x + 1) = In

b. Sean x x + I Y x + 2 los tres números enterosconsecutivos, entonces se tiene que:x + (x + 1) + (x + 2) = 456.

c. Sean x e y los dos números positivos conx 4 5

x < y. entonces - = - y 2x = 6 + - x.y S 4

d. Sea x el numero, entonces se tiene que:x+3--=x-3.

2

Ecuaciones de primer grado con una incógnita(página 133)

1.

I f. b= -~a. x=-3 3S

69 77b. a=-- g. x=-137 23

8 h. x=-2c. y = '998

d. x = - ~ i. z= O4

150j. 132e. z=- p=-

7 5

[m1. ( 2. A 3. D 4.

Ecuaeiones literales (página 135)

1.

a. e = b - 5 2ee. a=--be - 3

ae - bx=--

m - an

b p=13a-y. 2

Frc. m=-CM

d. x = -t - 2

g. x = n

h. y=171z

Solucionario .;

Page 236: Preparacion Psu de Matematica SM

II~_U~U_~~~~~1. D 2. 3. B

Ecuaciones racionales (página 137)

1.

44a. =:

3b. Y=-i3

9c. a =2

1d. Y=Tie. x =3

f. z =0

2.

a. x=~38

b. w=o

[¡t1!]1. B 2. C

Ecuación de la rectaPlano cartesiano (página 138)

1.

a. H(I,I)

b. C(-4,-3)

c. D(4, O)

d. 1(5,5)

e. A(O, 2)

f. B(-7,5)

g. J(4, -4)

h. E(-5,1)

l. F(5, -2)

j. G(0,-4)

470 CLAVE· Matemática

4. O

2.

a. IV

b. 111

c. 11

d. IV

e. 11

f.

,.."oi

Distancia y punto medio entre dos puntos(página 139)

1.

a. d(P,Q)= ~,MIQ=U,¡)

1.:":. (225 21 Jb. d(H,I)=3v442, MH'= 2'2C. d0N.X)=10/34, M", = (O, -10)

d. d(C.D)=J65,M'9=(~,18)

Pendiente de una recta (páginas 140 y 141)

1.

a.

m.i >o m·<OA8 DA mES indefinida

'~,

m. =0 m. <OA( Be mc~ > O

b. Horizontal: AC

Vertical: EB'!':¿.

-.

2.

a. -1

b. Oc. Indefinida

d. 2

3.

a. Verdadero

b. Verdadero

c. Falso, mA• = -1 Y mi( = 1.

Ecuación de la recta punto-punto y punto-pendiente(página 143) .

1.

3 5x --a. y = -7 7

b. y= x

34 49c. y = -gX + 30

7 5d. Y = -x +-4 8

2.

a. y = -2x + 1

b. Y = 3x

2 4c. y=}x+}

d. y= J5x + Jls + 213

3.

a. A(-1,4), B(2, -1), C(3, 3)

- 5 7b. AB: y = - - x +-

3 3

BC: Y = 4x - 9- x 15CA:y=--+-4 4

x 13c. y=-¡+¡

4.

a. F

b. F

c. V

Sotucronano

Ecuación principal y general de la recta (página 145)

1.

a. m= 2, n =-1

b. m= 1, n =03

c. m = =>, n = 15 1

d. m= -5, n= 2"

e. m = -4, n = -1

f. m = -0,2; n = 0.25

2.

2 5a. m=-}, n=}

1 1b. m = 2' n = 2"c. m = 3, n = O

d. m=~. n=-~147 21

3.

a. Ix - 51' + 12 = O

b. x + 3y - 2 = O

Rectas paralelas y perpendiculares (página 147)

1.

a. Si. El produce ce sus pendientes es -t

b. L /í L. Y L ¡, L,.)'3 que sus pendientes soniguales

c. :\0. Son paralelas.

d. Paralelas

2.

a. Si. Ambas tienen pendiente O.

. 4b, Si. Ambas tienen pendiente --o3

~1. C2. D

3. O

4. A5.

Solucionarío --1.

Page 237: Preparacion Psu de Matematica SM

Ilr0~U_~~~!~~Sistemas de ecuaciones lineales (página 149)

l.

a. No b. Si c. Si

2.

a. y c., ya que al amplificar la primera recta por 2,se obtiene la segunda recta.

Clasificación de un sistema de ecuaciones(página 150)

l.

a. Única soluciónb. Única soluciónc. No tiene soluciónd. Única solución

2.

a. F b. V c. VResolución de un sistema de ecuacionesMétodo de sustitución (página 151)

l.

a. (~,~)23 23

b. (4, -3)

c. (3, -4)

d. (93, -120)

e. (-%,¡)f. (6,7)

Método de igualación (página 152)

l.

a. (-1,-1)

b. (8,2)

(20 6)

c. 19'19

d. (-~, 2)

472 CLÁVE· Matemática

d. Si

e. (4,4)

f. (-~ _2.)1¡' 11

.-,;~

Método de reducción (página 153)

l.

a. (_2. - 2.!.)13' 26

b (45 ~). 13' 13

c. (70,_!.Q)41 41

d. (-15,16)

(13 17)

e. 75'-125f (_1+./2 ./2+JsJ. Js - 2' .J15 - 2/5

Método de Cramer (página 155)

l.

a. M=-3 &=-5 D.Y= 1

5= (~ -~)3' 3

b. M = 3,3 & = 2.4 D.Y= 0,5

S- (~ 2.)- 11' 33

c. /',.A=-~ /',.X=-~ M=o8 2

S = (4, O)

d. M=-2 /',.X=-8 M=oS = (4, O)

e. /',.A = J10 /',.X = 3./2- 2

/',.y=.Js-M

S = (3Js - Fa ./2 - 2 )5 ' 2

f. M=o /',.X= 12 M=8

Sin solución

':¡. .••-·:r~

2.

a. p;é-l

5P= -1, q;é-'2

b. p=2,q=2op=-2,q=-6

PEIR-{-2,2}

Problemas de aplicación (página 157)

1.

a. (2,4)

b. (73 ,_~)36 84

~1. A 5. e2. B 6. D

3. o 7.

4. o

Inecuaciones

Intervalos en IR (página 159)

l.

a. f---2 --4

b.

c.

-1

d.

2.

a. F

b. V

c. F

d. Ve. Ff. V

3.

a. {x E IR/ - i s x < 8}

g. V

Solucionaria

b. {x E R / 2 < x < 5}

. c. {xE~/-3<x.,2I\x;t-l}

d. {x E ~ / ./2 ., x < Js}4.

a. Bb. A

c. Bd. B

e. [-~,2[f. A

Inecuaciones de primer grado con una incógnita(páginas 161 y 162)

1.

a. x < 5

b. x 2 7

c. X2-~19

d. x S O1

e. '\<--19

f. x 2 ~~

g. x"~26h. x< ~- 5

. 251. x<-

92.

a. x < 5

b. x> - ~3

c. 7<xS224d. x> --3

e. x> 2. o x < 24

Solucionario -.f

Page 238: Preparacion Psu de Matematica SM

Ilr~~~io~_a~~

f. x > - 4 O x S _ 358

3.

a. Andrea tiene más de $ 3.200 Y menos de$ 6.500.

b. 27 Y 29

Inecuaciones de primer grado con valor absoluto(página 162)

1.

a. ~

b. x < O o x> 10

~m:.o 10

c. 0

Sistemas de inecuaciones con una incógnita(página 163)

1.

a. x S - 3.24

b. x S 6

5 1c. --<xS-2 4

ntl!l Ensayo temático 2 (páginas 164 a 167)

1. B 10.C

2. A 11. C

3. A 12. A

4. C 13. C

5. C 14. C

6. A 15.A

7. D 16.D

8. E 17. E9. B 18. D

474 CLAVE· Matemática

iR.

Fundones

Función (página 179)

1.

a. No

2.

39a. -4

3.

b. Sí c. No

b. ~2

c 2110

g¡x) "I(x,

1.

a. Afín

b. Lineal

c. Constante

d. Lineal

e. Afín

f. Constante

-4 -2'" x

-2

Función lineal, afín y constante (página 181)

2.

a. g(x)= 3

-2 6 X-6 -4

'-2

b. h(x)= -1,3x

-4 -2

3.

a.

-4

-6

Plan A P(x) = 60x + 1.500

Plan B P(x) = 45x + 4.900

Plan e P(x) = 10.900

El plan A es el más económico.

b.

- P(x) = 980 + 13,8x

- Aproximadamente 971 kWh.

- P(x)PIS)

2360·- ..

980

~/

100 kWh

1.

Función definida por tramos (página 182)

a. 1

b 243112

c. _ 20716

d. _~83

Solucionario

2.

l-xa. f(x)= 2

2x- 2

¡3x+9

b. g(x)= -%3

si x <-2

si-2:S:xS2

six > 2

six S-2

si-2<xS2

9X> 2

Función valor absoluto y función parte entera(página 184)

1.

a. f(x) = [x] - 3

f• ..':1o-o1.,r'

~ ~j,

6 X

b. h\x) = [x + 1[ - 4

!y

~,]./

//

"\ -~

Gmll. C

2. C

Solucionario 4

Page 239: Preparacion Psu de Matematica SM

il-Solucionario~r--------· ---Ecuación de segundo grado con una incógnita(páginas 186 y 187)

1.

a. x, = 'S =-4

b. x, = 0, 'S = 10

c. x, = 0, 'S = 2

d. x, = X, =-8

e. x, = 2, X, = 9

2 2f. x, =-3' x, =3

2.

a. x, = -4, X, = 4

b. x, = -10, X, = 10

c. x, = -1, X, = 1

d. x, = -Si, X, =Si

3 3e. X =--1 X =-1I 2" 2

f __ .Jl3 _.J]3· x, - 2' x, - 2

3.

9 J4i 9 J4ia x =---- x =-+-· I 5 5" 5 5

Restricciones: x 7 °Y x 7 2

b. x, = -18, X, = 5

Restricciones: x 7 -5

1m 1.Jl3c x =---- X =-+--

• I 4 4' 2 4 4. . 1 1

Restricoones; x 7 - - y X 7 -2 24.

5a. x,=-I,x,=-< 3

2Js 2.Jsb. x, =-I--

S-'X' =-1+-

5-

c. x, = -.Jsi, x, = lSid. X,=-6,x,=8

e. x, = 0, x, = 12

f. x, = -.fi - .J]3,x, = -.fi +.J13g. x, =x,=-S

h. x, = 0, x, = 4

476 CLAVE· Matemática

X=~X =1I 3"

. 18J. x

'=-s,x,=5

k. x, = -s-.J14, x, = -5 + $41

X = -2 X =-I "3

ll1!l1. D

2. A

3. E

4. B

Función cuadrática (paginas 189 y 190)

1.

a. f(x) = 2x'

-2

!I,,;

-2

b. g(x) = -X' + 1

5. C

J::

c. i(x) = (x + 4)'

!-

d. j(x) = (x - S)' + 3

tv8

- 6·--

- 4

-6 -4 -2

2.

a. f(x) = 3(x - 0,5)' - 1

b. g(x) = 0,5(x + 2)' + 3

-6

f¡,)

-4 -2

-2

01 X

6 X

3.

~oluclonano

a. La función no tiene ceros en IR Sí, seinterseca con el eje Y.

b. El discriminante de la función es cero; por lotanto, la función tiene un cero en :R (x = -3).

c. k>13

4.

V., (3 1)a. ertrce: ¡,'8

E· d . 3Je e simetría: X = -4

(1 )Ceros l2"O y(I,O)

~i!'I \

-1' \

\I

¡--ói.

I,. ( 2 \

b. Ve~i(e:' -r , °\ 3 )

.. 2EJe de simetría: x = -

3

Ceros ( ~,o)\ 3

A.y

~ i\U•

°1 2

-21,

•4 X

•4 X

SoluCion~

Page 240: Preparacion Psu de Matematica SM

Ilr-~~~-~?_~~~O[m1. C

2. C

3. B

Función raíz cuadrada (página 192)

1.

. (9 9) ( 3 .J6)a. fYJ-+ -- hyw-+ ---4' 2 2' 2

b. Las funciones g(x), w(x), j(x) y f(x) crecen amedida que x aumenta, mientras que h(x)disminuye.

w(x) está desplazada hacia la izquierda tresunidades en comparación con g(x), ¡(x) y f(x).

j(x) crece más rápido que g(x), w(x) y f(x)

f(x) se encuentra sobre el eje X y g(x) bajoeste.

2.

a. Dom(f) = [ - i, + 00[, Rec(f) =10, +001

-1

-2

b. Dom(h) = )-00, O). Rec(h) =10, +001

-2 I -35

-1 --4

O -1

-10 .-8 .;; .., -2 o¡ 2 X I I 31 --

4-lj I

2 1

478 CLAVE· Ma,lematica

10 X

c. Dom(w) = [O, +001. Rec(w) = 1-1, +oo[

-2 10 X

-2

3.

a. F

b. Vc. F

d. Fe. V

4.

a. x=~5

b. x=~3

c. x=5

Función potencia (página 194)

1.

a.

-2 5

-1 2

O2

5

b. ~:. ":r"'~*'~~..•'.>e""~'1-.'~éVA!W~·f¡¡;"'l.!"~~:'jf?":·'~r1'i'";m.~,,*{- • :.....;;,-:¡.. h(x> -' ,A'::. Ij'"J;~~i~i>~t~~;#~~~T~i;~j

:~~

-a

c.Ix f(x)=-x'2

-2 81

-1 -2

O O1

1 -2

2 8

g(x)

...¡-2~2 , x

i:,2.

a. Entre f y g hay un punto de intersección. Entreh y f hay dos puntos de intersección.

b. A medida que x aumenta, f(x) aumenta.

e. A medida que x disminuye en )'00, O[ h(x)aumenta y para x en )0, +00 1. h(x) disminuye

A medida que x disminuye en )-00, 21 g(x)aumenta y para x en )2, +00 1. g(x) disminuye.

d. El valor mínimo de h es O y eJvalor mínimode g es 3.

e. La función h(x) es par y no hay funcionesimpares.

Función exponencial (páginas 196 y 197)

1.

a. f(x) = 3'

b. f(x) = (H

Sorucionano

2,a.

Reproducción de la pobla ci ónde bacterias

TIempo Población (cantidad(minutos) de bacterias)

1 I 100

2 200

3 400

- 4 800

5 1.600

6 3.200

7 6.-100

8 12.800

9 25.600

b. f? -7 :.:o., definida por f(xl = 50 ·2'

e. Conjunto de partida:: U (alCorqunto de llegada: los múltolos de 50 poruna potencia de coso

d.

~;·r"""1":'=1~)l·1~~(:4~n~~~:I2,'(·1St.-,

:\'('1 •5<:]

1 I • ••1 J '5 6 ¡ a 9 x•

Solucionario -.i

Page 241: Preparacion Psu de Matematica SM

!r~OI.~c~on~~

l.

a. I(x) = 2' + 5: -..,~

: 'T l' .. _."i ,¡ ¡- -1 :._-¡ -" .;-i _.L_~ __ ~_,!_ : -~i j_¡' i rr : --1. l " 1---'-1- '1 ¡ ! • ! I -r-T -- .l! ( j i ¡ ¡ •• I~+._._:_,_~~ 8---~--

r:.::-

•-10 -8 -6 -4

b. g(x) = 1,5' - 3

-2 2"

-6 -4 -2

c. h(x) = 5' - I

-4

-8 -6 -4 :l

-2

d. w(x) = 3' + 0,2

-2-8 -6 -4

-2

\ 480 CLAVE· Matemática

• x

4.

2a. x=-3

b. x= OL x=1

d. x = 3

Función logarítmica (páginas 199 y 200)

1.

16 1 64 1 2561 11 11256 64 16

f(x) = log/ 1 -4 I -3 1 -2 I O 3 I 4

g(x)=log, XI 4 1 3

a. Dom(O = R', Rec(O = IR

Dom(g) = i.{', Rec(g) = IR

O I -2 1 -3 1 -4

b. A medida que x aumenta, las Imágenes de ftambién aumentan.

A medida que x aumenta, las imágenes de gdisminuyen.

2.

a. V

b. V

3.

a. I(x) = log)x

-)

c. F

d.

-2

-4

·ff.".":;:

b. h(x) =Iog,x

---:-r--E.I=±±±i. ¡ i :1 t ~~ __ , _-¡. , I ' - i' !! 1

· : ! ' , ¡ i j ¡ :· 1 I I ¡ , I I '.! I ,1 ¡ __....i

I I 1 I ; \ : : ¡:---r-t-l-'-·-r-i-Tj· I I . I : .

--~-- -:~-- - ~- ~- ¡----¡- -; :

,--r-++i '--1-1-'--, ...- ---¡--

I

,;-~ °l_'~'x=~~+~~~2±-=-~q:_._.~~-~." ,----.-,-.....:...-.... __ .~__ . .__ . __ L.-..- __

4.

a. f(x) = log,x - 1

-z 10

y)

--2~~J(-,-_ ....-6

b, g(x) = log,x+ 2

·'l~y···~- -. ..) ,.,

-2 UI _ ,L_4 ._.6,_

--2

-4

Solucionario

c. h(x)=log,x+1

-------_. "-- -.'._------ --- -y

-2 O/ _ •. .2. _ .5_, 8 X

-. - - - -2

1d. w(x) = lag x +-2

•r+'"-z Ji~'1

5.

a. x= 32.768

b. x= 1+.J52

c. x = 265108

d. x =..!.4

Composición de funciones (página 202)

1.

a. log2b. ..!..

81c. log2

d. ~9

Solucionario 48

Page 242: Preparacion Psu de Matematica SM

l Solucionarior-----------e. J2fi+3f. 3'-108'

J619 + 27g. -13

( -J22 ) Jl3h. log -2-+ 1 +-2-

.[6J3:;i _3,-Ji3

2.

a. Fb. F

e Fd. V~ F

3.

a. (f o g)(x) = 3'·'

-8 -6 -4 -)

b. (h o g)(x) = x

) x

4v

-2

, ----4 -z

-1

482 CLAVE· Matemática

Función invectiva y sobreyectíva (página 204)

1.

a. F

b. V

e Vd. F

2.

a. Si

b. No

3.

a. Sí

b. No

e Si

d. Sí

Función inversa (página 205)

1.

a. Dom(w)=R

Rec(w)= R

, x-9w'(x)=-

2

b. Dom(¡) = JO,+00 [

Rec(j) = iR

. ' 10'-'((x)=-

)

c. Dom(g) = l=. 3]

Rec(g) = [3. +00 [

nx) = 3 - (x - 3)'

d. Dom(r) = iR

Rec(r) = IR-

. i-tog.x((x)=--'

2

I~I'

.-, .. ,'" ;<:

".''t .•....

':'~~~.~.;..""'f..

~.J$~"1:'"~~.

.,.

\,;:/

e. Dom(h) = iR - {2}

Rec(h) = IR - {I}

h-'(x) = 2x + 2x-I

f. Dorntf) = [0, +00 [ o IR-

Rec(f) = [3, +00 [

f-'() f,i-3 f-'() f,i-3x = - o x =- -2 2

2.

a. Sí

b. Sí

e No

[it3]] Ensayo temático 3 (páginas 206 a 211)

1. D 13. E

2. B 14.B

3. A 15. B

4. A 16. A

5. E 17. e6. B 18.0

7. E 19.B

8. O 20.(

9. ( 21. e10.A 22. O

11. O 23.E

12. E

Solucionario

SOl' ,C!nnilrin 48,

Page 243: Preparacion Psu de Matematica SM

l» SolucionarioCapítulo 11I:Geometría

Rectas y polígonos

Rectas y ángulos (página 229)

1.

a. m(<tAOC) = 60°

b. y=65°

c. <tBOC y <tCOA«soov 4:DOA

2.

a=400 8 = 50°P = 50° '1=40°

3.

a. F c. V e. V

b. V d. F f. V

Ángulos entre rectas (página 231)

1.

a. V c. Fd. F

e. V

b. V f. V

2. a= 120°p= 60°

0=60°'1=60°

3.

a, x = 75°

b. x = 60°, Y = 10°

c. x = 84°

d. x = 29°, y= 78°, Z = 49°

Polígonos (página 233)

1.

a. D = 2, \ = 360°

b. D=5,5.=5400

c. D=27, Sa= 1.260°

2.

a. p =72°, 0= 144°

b. ¡p=600

t 484 CLAVE· Matemático

3.

a, Decágono

b. Heptágono

e, 160°, 135

d. 24°,2,340°

Los ángulos de la estrella de cinco puntas miden36° y 252°

Triángulos (página 235)

4.

~1. C

2. D

3. C

4. 8

s. O

6. B

Elementos secundarios del triángulo (página 237)

1.

a. p = 45°

b. 0= 117°,y=84°

c. y=45°, 0=60°,1:=15°

d. "(= 76°, 0= 136°, E= 119°, ~ = 29°

e. m( 4:EDC) = 60°

f. m( 4:DEB) = 75°, m( <rOCE) = 40°

Teorema de Pitágoras (página 239)

1.

a. No b. No c. Si

~1. D

2. E

3. D

4. D

Cuadriláteros (página 241)

1.

a. p = 62,5°

b. m(4:KJG) = 300

d. y= 120°

e. m( <rADC) = 135°

f. P = 120°c. a = 54°

!?;:

e-o'ov:>

"Oo5.~ ~:> --'".;5,

P--ee, -:2V1

'"'"eo'Y''our

0.~.l;

Perímetro y área (páginas 243 y 244)

1.

a. P = 26 cm, A = 31 cm'

b. P = 60 cm, A = 240 cm'

c. P = 52 cm, A = 99 cm'

d. P= (19+J73)cm,A=36cm'

e. P = 44 cm, A= 54,5 cm'

f. P= (143+ J769)cm, A = 1.400 cm'

g. P= (183+3J41)cm,A= 1.640 cm'

h. P = 204 m, A = 1390 m'

2. P = 24 cm, A = 24J3 cm'

Circunferencia y círculo

Conceptos básicos (página 246)

1.

a, Cuerda

b. Radio

e. Diámetro

f. Radio

g. Recta tangente

h. Arco

c. Recta secante

d. Radio

~1. A 2. B 3. B 4. E

Perímetro de la circunferencia (página 248)

1.

a, P = 16rr cm

b. P = 11 n cm

c. P = .J2rc cm

2.

a. P = (7 + 3,5rc) cm

b. P = ( .J2 + ~ ) cm

Solucionario--------.,

c. p=(4+~n)cm

d. P= (2+~rr ) cm

e. P = (8 + 2rr) cm

f. P=14rrcm

3. (40 + lün) cm

Área del círculo (página 250)

1.

a. A = 16rr cm~ c. A = 6,25rc cm'

b. A = 25rc cm~

2.

27 _a. A = -rr cm-

8b. A = 432rr cm:

c. A=ISrrcm:

~1. C 2. C

Ángulos y circunferencia (página 253)

1.

a. m«OOE) = 15'

b. m( 4:EOF) = 115"

c. m( «08) = 3300

d. m (E"A) = 1650

e, m(6B)=2w

f. m(Bc)=300

rm1. B 2. 8 3. B 4. D

Relaciones métricas en la circunferencia (página 255)

1.

a. m(ÁB)=950

~"I'II'''iM~r;" .d~1

Page 244: Preparacion Psu de Matematica SM

Solucionariob. m( <rCED) = 62,5°

e. m( <rECA) = 35°

d. x = 25°

e. 3Al = 1 12 cm

f. A= 84111:cml

9g. BT =20 cm

h. LA= 5 cm,KB= 9 cm

[ID Ensayo temático 1 (páginas 256 a 259)

l. D 10.D

2. E 11. E

3. D 12.C

4. E 13.B

5. B 14.A

6. D 15. E

7. D 16.C

8. A 17. D

9. C 18.D

Congruencia y transformaciones isométricas

Congruencia (página 269)

1.

a. No. Las medi das de los lados correspondientesno son iguales.

b. No. Las medi das de lo, lados correspondientesno son iguales.

e. Si. Las figuras tienen igual forma ydimensiones.

2.

a. Si b. Si e. Si

Congruencia de triángulos (páginas 271 a 273)

1.

a. 6MTN t 6STN

b. 6WZU t 6UWtJ

e. 6HGI t 6JLK

d. 6BAC",6FED

l1RR ('1 "\fe. U ...•t •••.•..•.•M;,..'"

2.

a. Si b. Si

3.

a. LLL, ya que los lados correspondientes tienenigual medida.

b. ALA, ya que tienen dos pares de ánguloscorrespondientes de igual medida y 105 ladoscorrespondientes entre ellos también son deigual medida.

e. LAL, ya que tienen dos pares de ladoscorrespondientes de igual medida y 105ángulos comprendidos entre ellos tambiénson de igual medida.

4.

a.

'~~;"'~":;~~;":~""Aón~::t"t}~~~~-~'~t,,:.~"::~_H,-:~~-~rí;.._' ''''~(;; ~ ee~.~r;.-JlCKIllU\.IUI' -: -;¡(t,"'f::t.

:n. ,<,,,,,,<:,,,~::;:·~.,.;'..•."J,:,r¿;:!.!f. • ......-r _ ~ .....,. {<,,~-:::~fi-fz~

DC",AB

AO",BC

Por ser lados opuestos de unparalelogramo.

AC",AC Por identidad.

6ABC", LJ.CDA Por postulado LLL.

POr ser angulos ".correspondientes de triángulos

congruentes.o.=y

Para demostrar ~ = 8, se procede de la mismamanera considerando la diagonal BD.

b.

AO//BC Definición de

M//DC paralelogramo.

<l:8CE '" -<rDAE Por ser ángulos alternos<rEBC", -<rEDA internos entre paralelas.

BC",AOPor ser lados opuestos de

un paralelogramo.

6BCE", 6DAE Por postulado ALA.

AE= ECPor ser lados

BE = ED correspondientes deíriángulos congruentes.

~~~'.~',;{'.:'.'<.".-: .~

~~

e-O ,

"8.-6e~o, .~:!'¡¡¡.oo·

~~s:,---:2'V>

~.;.c ..o',~.~UJ

Q'

c.

Afinnadón Justificación

Fe // iRFI//GH Por definición de

paralelogramo.FJ // KH

<rHIF", <rFGH Por ser ángulos opuestos<rHJF", <rFKH de un paralelogramo.

R",GHPor ser lados opuestos de

un paralelogramo.

<rFJI '" <rHKGPor ser suplementos deángulos congruentes.

Por ser la suma de los<rIFJ", <rGHK ángulos interiores de un

triángulo 180°.

61JF", 6GKH Por postulado ALA.

d.

f~!!~~}i0¡::'s!!f~~~iuSJ!fi~:-~~LM, MN, NO, OP,

Por ser LMNOPQ unPQ y QL segmentoscongruentes.

hexágono regular.

<rONM", <rQPOPor ser LMNOPQ un

hexagono regular.

60MN"'60~ Por postulado LAL.

Por ser lados

MO",OQ I correspondientes detriángulos congruentes.

--

LO",LO Por identidad.

t.LOM", LJ.LOQ Por postulado LLL.

Transformaciones isométricas: traslación(página 275)

1.

a. A'(2, 3), B'(O, 2), ('(1, 2),0'(-1,1), F(I, 1),F'(I, O), G(3, O), H'(3, 1), 1'(5, 1), ro, 2),K'(4,2)

Solucionario

b. A'(5, -2), B'(7, -2), ('(8, -1), D'(6. -1),F(4. -1), F'(6, 1), G'(6, 2), H'(5, 1)

2.

a. No

b. Si. Ü=(3,5; 1,5)

c. No

Transformaciones iso métricas: rotación(página 277)

1.

a. Si

Angula de rotación: 180°

Centro de rotación: punto medio enrre J \' J'

~,.,<LH~/ V

K .=¿r./..~.o::ree, ":1

b. 1\0

c. Si

Angulo de rotación 1800

Centro de rotación: punto medio entre !-i v H'

@Kl

J IH

l' •, H'

J

l K

d. Si

Angulo de rotación 270°

Centro de rotación: punto O

B

¿v.A.

}.c O

E~: FF' n E

~ll!I'inn::;ri" .4F

Page 245: Preparacion Psu de Matematica SM

l· Solucionario2.

a. A'(-2, 3), B'(O, -8) y ('(3,-1)

_~--=-i:-3~ ' ;-----=_-=-:--r -,-=

--- --~-8.K-,- ----_ .._-~b. A'(O, -2), B'(2, O), ('(O, 2) Y 0'(-2, O)

O' B'-2

-2, A'

Transformaciones isométricas: reflexión(página 279)

1.

a. Si

•. c'i ezjl~- .¡ i

B .. . ._L-+ B

A A'f

b. Noc. Nod. No

LiRR ('1 "\le . ~~'1tn""';ti,,.,

[¡m]1. B 2. E l. C

Transformaciones isométricas: simetría central(página 281)

1.

a. Nob. Si

--~.~-~~_. O

-- --_ _,_ . Ceruro de --rOldClon .

Q

c. Nod. Sí

W'

v v·

w

2.

a. A'(O, O), B'(O,-4) y ('(-3, O)

b. A'(2, -1), B'(-2, 2) Y ('(-2, -3)

3. A P(x, y) se le aplica una simetría central earespecto al origen y se obtiene P'(-x, -y), luegose aplica la misma transformación a P' y seobtiene P"(x, y) y una vez más se aplica la mismatransformación ahora a P" y se obtieneP"'( -x, -y).

'~l<jf.'1C'~;'~sr~.~:..-..~'J~~'~.

,i3J1.~~:{r ~'

.:::::i'...".';.-~

e-o-o

Iu:>

'Oe~o-

l!!a'" -:í-o

15 ~~a. ,

:;; .. -:V)" .• ."'" r-Q)'! "e/o,o «'0"''tí '5uJ

Or:

Tesefaciones regulares y semirregulares(página 283)

1.

a. RegularRotación, reflexión, traslación o simetríacentral.

b, RegularRotación, reflexión, traslación o simetríacentral.

c. SemirregularRotación.

d. SemirregularSimetría central.

Teselaciones irregulares (página 285)

1.

a. Teselación comupuesta por aves.Rotación, traslación o simetría central.

b. Teselación comupuesta por reptiles.Rotación.

c. Teselación comupuesta por peces.Traslación.

d. Teselación comupuesta por estrellas de mar yconchas.Rotación, reflexión o traslación.

Semejanza de figuras planasSemejanza (página 287)

1,

a, No c. Sí, r = 0,5

d. Si, r = 0,5b. Si, r=I,6

2,

a. <l:ABCcomún<l:CAB=<l:EDB<l:BCA=<l:BED

DB=R= DE~.!1=~=l±=o,6AB Be AC 30 28 40

Luego, lIACB - II OEB.

b. 80=11,6 yAC=26,4

Solucionario

Semejanza de triángulos (páginas 289 y 290)

1.

a, Si, por criterio AA.

b. Sí, por criterio LAL.

c. Si, por criterio LLL.

d. Si, por criterio LAL.

2,

;~~~[*:1:~.~;1:~~ f:" .'Por ser ..\QRSisósceles debase QR.Por ser UT1. QSTVl.SRPor criterio .AA

<l:TQU = <l:VRT

<l:QUT =<l:TVR

lIQUT - ilRVT

3, Cuatro triángulos.

[clI]1. B 2, A 3, O 4,

División de segmentos (página 292)

1.

b. . .:.----.CQ = 3,6 cm QO = 1,2cm

QB=26 cm A BQ ~- oc. o>---~:::-;:-:-~

QA=19,5cm

CQ = 9,6 cme D '2d. o o o

DQ=4,8cm2, Q divide exteriormente a AS y Q lo divide

interiormente.s

Solucionario 41'

Page 246: Preparacion Psu de Matematica SM

Solucionario~

3.

a. EF= 36 cm y HI= 10,6 cm

b. r = 2,25

~1. e 2. eTeorema de Thales (página 294)

~1. B2. E3. e

4. A

5. E

Proporcionalidad en triángulos (página 296)

~1. D

2. E

3. e

Teorema de Euclides (páginas 298 y 299)

r11TI1. B 6. e2. D 7. E3. A 8. B

4. e 9. B

5. e

~ Ensayo temático 2 (páginas 300 a 303)

1. B 7. e2. D 8. e3. e 9. A4. e 10.B

5. A

6. D

11. B

n.A

490 CLAVE· Malemalicél

13. B

14. B

15. A

16. E

17.(

18.A

TrigonometríaSistemas de medición de ángulos (página 315)

1.

a. ~rad3

b. re rad

c. ~rad4

2.

a. 1200

b. 2250

c. 3000

3.

Grados (0) . Min O .. ' S,eg'('') 'Co

6010' 12" 6,17° 370,2' 22.212"

36015' 36,250 2.175' 130.500"

20 16' 2,260 136' 8.160"

20 r 2,0160 121' 7,260"

30' 0,50 30' 1.800"

1" 0,000270 0,016 1"

c:-o"e-v-go.. o"

í'!iii'"'O~sel.

'i'

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo(página 317)

1.

5a. sen(a)=u

12cos(a)=u

5tg(a)=12

12sen(~ )=13

5cos(~)=u

12tg(~)=s

13cosec( a)=s

13sec(a)=12

12cotg( a)=s

13cosec(~) = 12

13sec(~)=s

Scotg(~)=12

ab. sen(y)= J2a'-2a+1

a-Icos(y)= J2a' -2a+1

tg(y)=_aa-I

cosec( y) = J2a' - 2a+ Ia

j

2:..'¡'

J2a' -2a+1sec(y)= a-I

a-Icotg(y)=-a

a-Isen(8)= ~2a'-2a+1

acos(8)= ~2a'-2a+1

a-Itg(8)=-a

J2a2 -2a+ 1cosec(8)= a- I

f.

-s~

sec(8)= ·ha' - 2a+ Ia

cotg(8)=_aa-l

7'"~'5G

:3cr

2.

a. OA=0,85

b. oe ~ 1,69

c. AD ~ 0,5 I

d. BE~ 0,59

e. OE = 1,16

f. OF ~ 1,96

~1. A

2. E

Sol ucionario

Razones trigonométricas de ángulos notables(página 319)

1.

I

2

b. 3.Ji +2135

2J3-3c. --6

a.

2.

P (sJ3 + I 5)a. =l-2- cm

b. P=(9+9J3)cm

[m1. e

d. 2

3

e. _..Ji2

f. 12+ J66

r:A= 2s..,J3 cm

8

A= 2713 cm'2

2. eRazones trigonométricas de algunos ángulos(página 321)

1.

a ! d._..Ji2

~ _!2

2 ~ !

c. -1

2L

Snlllcionario 4

Page 247: Preparacion Psu de Matematica SM

1, Solucionario

g. -../3 1. 2 Identidades trigonométricas (página 323)

h. -1 m. _../3 1.

3 4_13 n. _ 2/3 a. sen(o.)=s

3 3 3j. O ñ. 1 cos(0.) = Sk. 2

52.

cosee ( 0.)= 4a. O f. 12 j. 5-- 1 see(o.)="32b. 1 g. 12 k. O

cotg(o.)=¡1. 1c. 1h. O m. -2 13

13b. sen(~)=2d. -1

i. n. -113 2

i1

e. - ñ. 1 cos(~)=22

3.tg(~)=13

213cosec(~)=-3-

J3cotg(~)=- .,. 3

c. sen(y)=J..2

eos(y)= J32

tg(y)= J33

cosec(y)= 2

sec(y)= 2133

2. sen( 0.)= ± X.}I+x'

4.

l+x'e-o

cos(0.)= ± )1+ x'

'o

a. ~ = 300' o ~ = 5rr

~."o

3l+x'

5.

b. ~ = 225' o ~ = 5rreosec(0.)= ± )1+ x'

i'!'~ f,

4

'"x

." ,

C. ~= 180°0 ~ =rrsec(a)=b/~

15-';:::. -e" -

d. ~=13500 ~=3rr

(l.

cotg(o.)=~

-

I

:;;

4

V> ~x

G) :\>e .:¡

o~':!iur { I :;;

492 CLAVE· Matemática

3.

a. 1 - cos(o.)

b. sen(~)tg'(~)c. 1

4.

a. (1 - cos'(a»cosec'(a)= (sen'(o.) + cos'(o) - cos'(a»cosec'(a)= sen'(a)· cosee'(o.)= (sen(a) . cosec(o.»'=1'=1

b. sen(,3)sec(3)(cosec'(0)-I)

= sen(3) . _1_ . cotg' (3)cos(:J)

= tg(.3) . _.1_tg'(")

=_1-Ig(.1)

=cotg(b.:l)

1 1e -~+-. l+sen(a) l-sen(a)

l-sen(a)+I+sen(a)I-sen' (a)

2l-sen'(a)

2cos' (a)

= 2 sec'(o)

tg( a) tg(a)d +--

. sec( a )-1 sec( a)+ 1

_ tg( a)sec( a )+tg( o. )+tg( a)see( a)- tg(a)- see' (a )-1

_ 2tg( o. )see( 0.)- sec' (0.)-1

Solucionario

2tg( o. )sec( a)tg' (a)

2sec( a)=~

2._1_costa)

sen( a)cos(a)

2

sen(a)

. secta )-1e. cotg'(a)-'-'--

sen(a)+1

1 sec( a ):"1= tg ( a) . sen( o. ) + 1

1 sec(a)-Isec'(a)-I' sen(a)+1

1 sec(,,)-1(sec(<\H)( sec(,\)+ 1) • sen(n)+l

1 1= sec(a)+ 1. sen(a)+ 1

1 1- sen(a)(sec(a)+I).(sen(a)+l) 'l-sen(a)

l-sen(a)(see( 0.)+ 1)( I-sen: (0.))

I-sen(a)(see( 0.)+ 1) cos (a)

1- sen( a) 1

sec (a ) + 1. cos: (a )

, l-sen(a)= sec (a) sec (a) + 1

c:"rH,...it"\n~ri" 61

Page 248: Preparacion Psu de Matematica SM

Solucionario~

Adición y sustracción de ángulos (página 325)

1.

a . .J6+J2 c. 2+.J3 e. J6+J24 4

b . .J6-J2 d. J6-J2 f. 2-.J34 4

2.

a. 13-2

b. ..'2

c. -13

3.

a. 13 c. O e. -132

b. .! d. _~ f. O2 2

4.

a. 1- cos(ex)2

1-COS(2.~)

2

l-(COSI( ~)-senl( ~))

2

1-( l-sen'( ~ )- sen' ( ~ ))

2

1-(1-2sen'( ~))

2

= 2sen'( ~)2

=sen'( ~ )

AnA rw 1I\,r ~I~.~_~.t.:~_

b. 1+ COs(ex)2

1+COS(2'~)

2

l+(COS'( ~ )-sen'( ~ ))

2

1+( COS'(~ )-(l-COS'( ~)))

2

1+(2COS'(~)-1)~~'iii.~:-~,

.:.\W

~.'.;1:..:"'.:~':\

',',i~·:~A,"

2

2COS'(~)

2

=COs,(~)

~~~:t ,

1-COS(ex)c.-l+COS(ex)

1-COS(2 • ~ )

1+COS(2.~)

l-(COS'( ~ )-sen'( ~ ))

1+( cos'( ~ )-sen'( ~))

1-( l-sen'( ~ )-sen'( ~))

l+(COSI(~)-(l-COS'(~))J

_ 1-( 1- 2sen'( ~ ))

-1+( 2COS'(~ )-1)

2sen'( ~)

2COS'(~)

e

I-o ~'uu:>

'O"oa.

~'~.:""'.tú"' -o:-9.-:) -.;

~'-\~:~~,'~es: :;:

~')~" 7-~~.~~ '"9ic.

i50-'''':

:g,$':'=' -::::¡

UJ.',t;, ~~"''', 0

t.~{}

sen'( ~)

= cos'( ~)

=tg'(~)

5.

a. J2-J22

b. M+2J6 +84

c. J6+.J3-J2-2

d. J2J2 -2J6 +84

e. J2+J22

f. .J6-13+J2-2

nmn1. B 2. A

Cuerpos geométricos

Poliedros regulares (página 327)

1.

:' Poliidro '; N° de, . N° de N° de;".~",:.' :~':. c;.,~ ~ras, ., vérticeS : aristas:.

Tetraedro 4 4 6

Hexaedro 6 8 12Octaedro 8 6 12

Dodecaedro 12 20 30lcosaedro 20 12 30

Sol ucionario

2.

F H E J BDie A G

Prismas y pirámides (página 329)

1.

a. A=9.J3 cm'

V= 9J2 cm'4

b. A= 150 cm'V= 125 cm'

c. A=8rrcm't;

V=~ cm'3

d. A=48Jr-25-+-I-oJ5-=5.cm'

V=(240+112J5) cm'

e. A= 125-13 cm'

V 62SJ5 + 1875 ,--'---cm'12

Sólidos de revolución (página 331)1.

a. A=12rrcm:V= Srr cm'

b. A= Tt: cm:

V= .J35rr cm'3

c. ~ =8rr cm:

4/3 'V=- cm3

lli!]1. A 2. E

Vectores en el plano y en el espacio (página 333)1.

a. v=(2,4); Ilvll=2J5

Ü=(4,-2); Ilüll=2J5

f =( -3,-1); 11111 = JiOW=(-3,2); Ilwll=[¡3

~(\It rinn;::¡rin

Page 249: Preparacion Psu de Matematica SM

1"Solucionario

o. 1'=(4,-3,0); 111'11=5

5=(3,-1,3); IISII=Mt =(-2,-3,6); IITII=7Ü. =(1,2,8); IIOII=J69V=(-1,3,4); IIVII=E6W=(3,4,3); IIWII=v34

Operatoria con vectores (página 335)

1.

a. (_22_89) d. (96-~)7' 42 ' 2

O. 5 e. _ 6514

c. (261_27) f. -19549' 98

2.

a. (-/5-2,-1,4)

O. (-3 _!2~). ' 8' 3

203c. --24

d. (o 5/5 _ 35/5), 3' 8

e. (23 46 23)6' 3 ' 4

f. (_~,_46,_23)634

3. Son paralelos O con t.

4 qf) rI A\J~• M,t.m;t;~o

4. Sean ü=(u"u"u,) y v=(v" v"v,).

Oxv=(u," v, -u," v"u," v,-u," v"u,' v,-u,' v')

vxO=(v," u, -v," u" v-: u,-v," u"v," u,-v,' u')

Luego, Ü x v = -v x Ü, por lo que el producto cruz noes conmutativo.

Rectas y planos (página 337)

1.

a. Si

b. No

2.

a. Ecuación vectorialL (x, y, z) = (1, 3, 2) + t(l, -2,2)Ecuación paramétricax= 1 + t, Y = 3 - 2t, Z = 2 + 2tEcuación cartesiana

y-3 z-2x-l=-=--2 2

b. Ecuación vectorialL (x, y, z) = (2, 3, -2) + t(O, -2, O)Ecuación paramétricax = 2, Y = 3 - 21.z = - 2Ecuación cartesiana

y-3x=2 - z=-2, 2 '

c. Ecuación vectorialL (x, y, z) = (1, 0, O) + t(-l, 0,1)Ecuación para métricax= 1 - t, Y = 0, z = tEcuación cartesianax-l--:::¡=z;y=O

-5-8~

'5os, E..~,~ .. :::~ -1' ~,10 -. ,

~]~~..

{j ~a': .~

:2' 2Vl .11

'" ~Q)e o;o'u o-e ~ur@< u,

-e.~'...

3.

a. Ecuación paramétricax=l +t,y=-3t,z=2Ecuación cartesiana

X-l=..'L·z=2-3'

b. Ecuación para métricax = 21,Y= 2 - 4t, z = 5t - 1Ecuación cartesiana

~=Y.:2=~2 -4 5

c. Ecuación paramétricax = 2 + t, Y = -3 - 6t, Z = 5Ecuación cartesiana

x-2= y+3'Z=5-6 '

4.

a. -x + y + 2z =-9

b. Y+ Z =-8

c. 3)(+ 3y + 4z = -11

5.

a. ir,: (x, y, 1) = (1,2, -5) + t,(-l, 0, 8) + 1,(0, 6, 8)

b. No es posible determinar solo una ecuaciónvectorial.

Intersección de planos (página 339)

1.

a. Paralelos

O. Secantes

c. Perpendiculares

2. k =-3

3. k=-~3

Solucionario

4.

a. Sistema compatible determinado

SI" (131116)'oiuoon; -,----3 3' 3

b. Sistema cornpanble determinado

S I " (7 37 17)o uClon: -- - --3' 3' 3

c. Sistema incompatible

~ Ensayo temático 3 (páginas 340 a 343)

1. E 9. O

2. A 10.(

3. O 11. E

4. ( 12. O

5. B 13. E

6. A 14.A

7. B 15. (

8. O 16. e

Solucionario

Page 250: Preparacion Psu de Matematica SM

Sol ucionarioCapítulo IV:Estadística y probabilidad

Estadística descriptiva

Conceptos básicos (página 357)

1.

a. Cuantitativa continua

b. Cualitativa nominal

c. Cuantitativa discreta

d. Cualitativa nominal

e. Cuantitativa continuaf. Cuantitativa continua

g. Cuantitativa continua

h. Cualitativa nominal

Cualitativa nominal

J. Cuantitativa discreta

k. Cualitativa nominal1. Cuantitativa continua

m. Cualitativa nominal

n. Cuantitativa continua

ñ. Cuantitativa discreta

o. Cuantitativa continua

p. Cualitativa ordinal

q. Cuantitativa continua

r. Cualitativa nominal

s. Cuantitativa continua

t. Cualitativa ordinal

u. Cuantitativa continua

v. Cuantitativa continua

w. Cualitativa nominal

x. Cuantitativa continua

y.. Cuantitativa discreta

2.

a. Sobre la población chilena de 15 años y más.

b. Variable: cantidad de analfabetosTipo de variable: cuantitativa discreta

498 CLAVE·Matemática

Tablas de frecuencias (páginas 360 y 361)

1.

a.

Cantidad de infracciones de tránsito

Cantidad de f F fr Frinfracciones (%) (%)

O 10 10 50 501 5 15 25 752 1 16 5 803 3 19 15 954 1 20 5 100

Total 20 100

b. El 5 Ofo de los conductores tiene más de tresinfracciones.

2.

a.

Edad de los estudiantes de 4° medio

Edad f.' F fr F,.. ' , <añ~),' .. ' .~.,'" : ,'. .; " (~). ~ '. (%).,

16 1 1 3,8 3,817 8 9 30,8 34,618 15 24 57,7 92,319 1 25 3,8 96,120 1 26 3,8 99,9

Total 26 99,9

b. El 7,6 % de los estudiantes tiene más de18 años y el 34,6 % tiene menos de 18 años.

3,

a.

Años de experiencia laboral postulantes

'0' Mos.,:. >M( f., -F ," r' Fr.expeñenáa .~ ~ " o'. '.~ • (%) (%),

, - - - ¡. . .~l • • A'

[l,4[ 2,5 34 34 68 68[4,7[ 5,5 12 46 24 92

[7,10[ 8,5 3 49 6 98[10,13[ 11,5 t 50 2 100

Total 50 100

b. El 8 Ofo de los postulantes tiene más de seisaños de experiencia.

~-

.....

'1c'tJ: 1';f~~e

t1;~?l

l'':':;;~..;~~.

~.2.."-,)~~-.-t7-

e

I.;:;-o

Ü ::{u:;J -§'Oea.1! e;

iil :;;'" -o:g -o.D ..Q:E -geo.. _." :5:

~ ,~ I~'-"

V> V>Q) Q)e eO O'0 G'6 'DuJ I w

y:,

c. 34 postulantes presentan una experiencialaboral menor o igual que tres años.

4.

a.

Agua ingerida en un fin de semana

cantidad Me f F f, F,(litros). , (oro) (%)[l; 1,5[ 1,25 7 7 9,1 9,1

[l,5; 2[ 1,75 7 14 9,1 18,2

[2; 2,5[ 2,25 17 31 22,1 40,3

[2,5; 3] 2.75 46 77 59,7 100

Total 77 100

b. El 81,8 % de las personas ingiere dos o máslitros el fin de semana.

c. 597 personas bebieron 2,5 o más litros deagua.

5.

a.

Temperaturas de enero:.3-" 0C:" '<: M ::- f;: . F t, -( '~"\F~~".- '"" (, ~ , r"'

"'. ';o,... " ."';. ".. ,J%)" .(%).:[26,9; 28[ 27,45 3 3 9.7 9,7

[28; 29,1[ 28,55 8 11 25,8 35,S

[29,1; 30,2[ 29,65 11 22 35,S 71

[30,2; 31,3[ 30.75 5 27 16,1 87,1[31,3; 32,4[ 31,85 2 29 6,5 93,S

[32,4; 33,S] 32,95 2 31 6,5 100,1

Total 31 100,1

b. La marca de clase del intervalo que representalas temperaturas más registradas es 29,65 O(

c. La amplitud de cada intervalo seria 0,55,

Solucionario

6.

a. El rango es 7.

b.

Integrantes de la familia

N" integrantes f F f, F,(%) (oro)

3 16 16 40 404 13 29 32,5 72,55 4 33 10 82,S6 I 4 37 10 92,57 1 38 2,5 I 958 I 1 39 2,5 I 97,510 1 40 2.5 I 100

Total I 40 100

c. El 72,5 00 de las familias está compuesta pormenos de cinco integrantes,

d. Dos famil!as están compuestas por mas desiete Integrantes,

7.

a.

Puntos anotados en 100 partidos

~.~I~ifuli,~Í;~t~~~~~~j~~b[17,20[ 18~ 3

63 3

[20,23[ 21,) I ) 6,- ...., --1. ,24.5 i 1 1 ¡ 1-7 ; 1-1 ! 1-7 I[23.26[

I [26,29[ 27,S 23 I 40 ! 23 1 401 [29,32[ 30,S 35 I 75 ¡ 35 I 75¡ [32,35[ 33,S 22 1 ~7 I 22 i 971 [35,38[ ! 36,5: 3 ¡ 100 I 3 ! 100 I

Total r ioo 1 I 100 i

b. El3 Qo de los partidos registra menos de20 puntos anotados.

c. El jugador si será invitado al juego de lasestrellas, ya que en más del 83 % de lospartidos tiene más de 25 puntos.

So'uconaro

Page 251: Preparacion Psu de Matematica SM

< o uClonanoGráficos (páginas 365 a 367)

L

a. El gráfico más adecuado es uno de barrasmúltiples o agrupadas.

b.

180 Fruta exportada:~~~'I_~--------- .11 2010

J lllnÜjfff) U'

<-v~t¿~~~-& ~\ ~if..\~<:.- \:s- 't~ '-,'?-<). r:P~c~<!:;'*-

Meses

El comportamiento de los datos es muy parecidoen ambos años. En el año 2011, las exportacionesaumentaron, siendo mayores que las de 2010 en cadames.

2.

a.

VotosA

10~G

E42% B

28 Ojo

eD 3%

17%

b. La lista elegida (E) ganó con el 42 % de losvotos,

l.

a.

Edad3025 - - - ... --

.~ 20~ 151! 10~~

5 ~~"'-""""'=-"'t_""~I::",," __ """""""=o·~"~""""~"""""_~~[0.\0[[10.20[[10. 30[[JO. 40[[40, 50[[50. 60[[60. 70[[70. 80[[30.901

Edad(años)

500 CLAVE· Matemática

Edad

30 ----.25· _

c20 -- --- o

~15- - ...~ 10

5O

25 35 45Edad(años)

15 55 6S 75 85

La mayor cantidad de personas está en la clase55 años. La cantidad de personas disminuyedrásticamente pasados 105 60 años.

4.

a.

Valor diario de las acciones

500

[j.400 . • B

~ 300.•... . (./ -, .. ~ . ....g 200 <,

....•"<, ..•.----//100

OMie VieLun Mar Jue Sab Dom

Dia

b. Escogería la empresa C. ya que elcomportamiento del valor de sus acciones esmás estable. Presenta más alzas y sus bajasson leves.

5.

a.

37 1 3 3 4 838 O 2 3 4 7 7 839 2 2 5 640 1 49410015667842 O 1 1 5 943 1 5944 1 4 5 648 5

La mayor concentración de datos se encuentraentre los 410 Y 420 kWh de consumo. Solo una familiaconsume más de 450 kWh.

e'0'8;J-ole~iil'":E {~o::2V1Ifl •.~'-~\~ :;:o ¡:-.

~.

~

~,J

;¡3iJ.

I'JE":,;~;,~"'- o')

:J~:..;."~,,

~,~w.:'.2

,!'.~1:~-'

:.¡..';

oí'

6.a. El gráfico más útil es uno de barras múltiples

o agrupadas.

Gusto respecto a una bebida

§ 25-' ---2 20 -- -- ---- ..--' -,,-,,-_..._-

J!'i!' IS----'.r----iIO--.~--g----"i~

~ ~ _-L '~-[i~ O -11 =a Muy malo Malo Regular BuenoMuy Bueno

Categora

• Sabor 1_.• Sabor2

Sabor3

b. El sabor 3 es el que menos gusta y el sabor 2es el que más gusta.

7.

a.

Edad de las y los docentes

65

.§ 4

a 3~ 2

1o

126. 331 147, 541

b.

Edad de las y los docentes

g!~~ 3~ 2

1

o 29,5 36.5 43.1 50,5Edad(años)

c. Hay más docentes con edad entre 33 y40 años.

j

8.

a.

Sol ucionario

Consumo anual (kg) de pan

."e

"~

[9O,10-1[ [IM.118[ [118,1121 [lll.146[ [1~6.!60[ [160.17![

Cantidad de kg

9 0210 O 41101255677812 O 1 2 3 7 913 1 2 4 5 6 6 914 O 4 5 5 815 O 2 616 0317 O 1 3 4

b. En el primer gráfico se puede observar quelos datos se concentran entre 104 kg Y 146 kg;en cambio, en el segundo gráfico. fos datos seconcentran entre 110 kg y 139 kg. Esto ocurreporque la ampfitud de intervalo en ambosgráficos es distinta.

9.

a. El gráfico más adecuado es uno de barrasmúltiples o agrupadas, ya que se debecomparar varias categorías de una variable.

b.

ó

Promedio del curso en las evaluacionesde cada serie

i~i~'

l",i"'

• Sene 1• ierie2

Sene 3

." 4 ~ Il"• $(:

~i;'~ ~- ~ ~9 ~

Prueba ControlEvaluación

Talle'

c. El promedio de las pruebas en cada serieaumentó, al igual que en los controles. Elpromedio de los controles fue siempresuperior al de las pruebas en cada serie.

Solucionario __5

Page 252: Preparacion Psu de Matematica SM

o ucicnano10.

a. Los gráficos que se pueden utilizar son el delíneas y el de barras agrupadas. El de líneas sepuede utilizar ya que los datos se relacionancon el tiempo y el de barras agrupadas porquepermite comparar las distintas categorías de lavariable.

b.

Créditos solicitados y créditos aprobadoslADO _ _ _ .

1.200 -~.=:==~~~=.~.iI¡~~~~_=~=~~=..~~ ..=.~ 400 -.·C'c •.._· ..· ···--- •.•~c.~·" .

200 ~:.:="~'-.__ .--.::::.•.=:::' _ :O .

Ene Feb Mar Abr May JunMes

I-+- N° créditos solicitados • N° créditos aprobados ICréditos solicitados y créditos aprobados

1.400 .

ES ¡6~~.~.. . ...~.....J ~~~...·....0.r. ...••..~ .~o r·.

Ene Feb Mar Abr May JunMes

I O N° «edites solicitados • N° créditos aprobados I

11.

a.

Cantidad de trabajadores por trimestre

~ 2501200.LO

g 150~ 100~ 50'E oc:5 Ene .. Mar Abr ..Jun Jul ..Sep Ort ..DlC

Trimestres

b. En el tercer trimestre (lul-Sep),

502 CLAVE· Matemática

12.

a.

Lugar para salir de paseo

Otra ciudad35%

Playa530(0

b. La opción con menos preferencias fue ir alcampo y obtuvo el13 Ofo.

13.a. Los gráficos que se pueden utilizar son el de

líneas y el de barras agrupadas. El de líneas sepuede utilizar ya que los datos se relacionancon el tiempo y el de barras agrupadas porquepermite comparar las distintas categorías de lavariable.

b.

Producción mensual en millones de pesos"... ... . !.•.. 2008:,,--,1-20091

~LlQlj)1

200180:s 160

~140~ 120:; 100~ 80,g 60~ 40

20O

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov OleMeses

Producción mensual en millones de pesos

fij.~~~~~~~~~~1~ ~~~~~~W~~~~~

~es

11!'iil2008 .2009 020101

e

'8::J'OoC.:!!~'"

Parámetros estadísticos

Medidas de tendencia central (página 369)

1.

a. La media aritmética de las estaturas esaproximadamente 173 cm.

b. La moda es 165 cm.

e. La mediana es 172 cm.

2.

a. El 40 A obtuvo un promedio de 4,0 y el4° B 4,4; por lo tanto el 40 B obtuvo mejorpromedio.

b.

Medidas de dispersión (página 371)

1.

a. Rango = 4,9

Promedio = 4,6Desviación media = 1,1

b. Varianza = 1,7Desviación están dar = 1,3

Percentiles (página 373)

1.

a. Tercer percentil: [66, 72[

b. Segundo quintil: [78, 84[

c. Mediana: 84,2

2.

a. Po;=4 d. P" = 9

b. P,0=4 e. O, =6

e. P;.,= 7 f. 0,=9

3.

.e';

a. P" = 1,56 cm. 22 personas son de bajaestatura aprox.

b. Q, = 1,85 cm. 55 personas son de alta estaturaaprox.

Solucionario

c. Aproximadamente quinto decil.

d. [1,77; 2,OO[

nt1!] Ensayo temático 1 (páginas 374 a 379)

1. B 7. e n. E

2. e 8. e 14. B

3. O 9. E 15. o4. D 10.B 16. B

5. e 11. o 17. A

6. B 12. e 18. O

Probabilidad

Conceptos básicos (página 387)

1.,,'i~~ ~""j'<"" _ ~:.~ ,,~~ ~"'''''

Jipo~.~"" .~~~~l.

Aleatorio

Aleatorio {cara, sello}Deterrninistco bolita blancaAleatorio {rola, azul, verde}

{A.,2.,., K.,ft .•••.2 •••,., K•••, A,,-, 2"-,Ko!o,A+,2+,.,K+}

2.

b. Fa. F c. V

3.

a. Experimento lanzar dos dados de seis carasno cargados y registrar los puntos obtenidos.Q= (1,1), (1, 2), (1,3), u, (6, 6»)Suceso obtener un número mayor que 12 alsumar los puntos obtenidos.Tipo de suceso: imposible

b. Experimento: extraer una carta de un mazo denaipe inglés y registrar su número y pintaQ = (A •. 2., ... , K., A •••, 2"" ... , K•••. Ao!o,2"-, .."Ko!o,A+,2+,~K+)Suceso: obtener una cara cuya pinta seadiamantes y que esté numerada con un 7.Tipo de suceso: simple o elemental.

4.

a. Una moneda tiene una cara y un sello y, SI noestá cargada, la probabilidad de que salga carao sello es la misma ..

Soluciorario ...8

Page 253: Preparacion Psu de Matematica SM

b. En ambos casos el suceso contiene la mitad de105 elementos del espacio muestral, por lo quela probabilidad de ocurrencia es la misma.

Regla de Laplace (página 389)

1.

a. V d. V g. F

b. V e. F h. Vc. V f. V

2.

a. peA) =..l52

b. P(B) =-.l13

c. P(C) = ~13

d. P(D) =213

e. P(E) = J.2

f. P(F) = O

g. P(C) = 1

[l1!]l. C 2. O

Diagrama de árbol (página 390)

1.

3. C

a.

504 CLAVE· Matemática

b. La probabilidad de que las bolitas sean decolor azul es de 3/10.

c. La probabilidad de que una bolita sea azul yesté numerada con el dos es de 2/5.

d. La probabilidad de que ambas bolitas esténnumeradas por un 1 es de 1/10.

e. La probabilidad de que al menos una bolitaesté numerada con un 2 es de 7/10.

f. La probabilidad de que ambas sean de colorverde o ambas estén numeradas por un 1 esde 1/5.

g. La probabilidad de que al menos una sea decolor verde o esté numerada por un 2 es de9/10.

h. La probabilidad de que ambas bolitas esténnumeradas por un valor impar es de 3/10.

i. La probabilidad de que ambas sean de colorazul o al menos una esté numerada por unvalor impar es de 9/10.

Triángulo de Pascal (página 391)

l1BJ]1. C2. E

3. B4. C

Ley de 105 grandes números (página 393)

1.

a. J.6

b. La probabilidad teórica de ocurrencia de cadasuceso elemental del lanzamiento de un dadoes J..

6

r1:l1J1. C 2. A

..:,.":~q't,

e ~su::l

7]a.

"-!! '"'i,l :;;'" c5"O

]S."e ~Q../:;; :2VI V1~ :Ge

6o'0 º'ó "DUJ wÍJi

Conjuntos. Unión, intersección y complemento(página 395)

1.

a. F

b. F

c. Vd. V

e. F

2. I Atletismo

a. 70

b. 1135

c. ~35

d. 45

nm1. B 2. B 3. E

Regla de la adición y regla del producto(página 397)

nm1. O 4. E 7. O

2. C 5. E3. A 6. O

Probabilidad condicionada (página 399)1.

a . .!..!36

b 1439

2. 12

I1l!]1. B 2. C 3. A

t;OI ucionano

Combinatoria

Principio multiplicativo (página 400)

~1. O 2. E 3. B 4. CPermutaciones (página 402)1.

a. 60 b. 28 c. 5.040

c. k=2 e. r=2

d. n = 11 f. 0=5

c. V e. V

d. F . f.

2.

a. n = 8

b. n = 7

3.

a. F

b. V

~1. O 3. D 5. E

6. C2. B 4.

Combinaciones (página 404)

1.

a. 10 c. 7

b. 1 d. 9

2.

a. n = 7 b. k= 6

3.

a. F c. F

b. V d. F

e. 20

f. 28

c. n=15

e. V

f. V

4.

a. 350

b. 35

c. 56 triángulos en total. 21 con vértice C. 6 conel segmento DE.

~1. B 2. O

Solucionario ..!i

Page 254: Preparacion Psu de Matematica SM

Aplicaciones al cálculo de probabilidades(página 405)

[11!]1. B l. A 5. E2. B 4. O[11!] Ensayo temático 2 (páginas 406 a 409)

1. D 6. A 11. E

2. B 7. B 12. C

l. D 8. O 13. C

4. e 9. E 14. B5. D I(J. B 15. C

Variable aleatoria

Muestreo (página 417)1.

a. Seleccionar al azar un grupo de colegios y,de ellos, seleccionar al azar una cantidad deestudiantes según el tamaño de la muestra.

b. En el muestreo aleatorio estratificado, lapoblación se divide en clases o estratos yse escoge de cada uno de ellos al azar unacantidad de elementos proporcional al tamañode la población. En el muestreo aleatoriosistemático, se elige al azar un elemento dellistado que compone la población ya partir deél se seleccionan los elementos múltiplos deun k E N adecuado al tamaño de la muestra.En el muestreo por conglomerados se dividea la población en grupos de caractensticassimilares y se incluyen en la muestra varios deellos.

c. Muestreo aleatorio simple: elegir al azar a ungrupo de trabaadores de una empresa parasaber a qué sistema de previsión de saludpertenecen.

Muestreo aleatorio estratificado: elegirestudiantes de un colegio para un estudio deíndice' de masa corporal.

506 CLAVE· Mall!.málica

Muestreo aleatorio sistemático: para unestudio de mercado se selecciona al azar unnúmero telefónico y a partir de él se eligen 105restantes cada 20.

Muestreo por conglomerados: se seleccionanal azar familias que viven en condominios paraun estudio socioeconómico.

~1. O 2. A 3. B

Coeficiente de variación (página 418)1.

a. Sí, ya que este coeficiente permite determinarla homogeneidad de los datos mediante elpromedio y la desviación estándar.

b. CV. = 7.600 '" 0,12ri 64.000

ev. = 10.750 ""O 06, 180000 '

La empresa B tiene un mejor coeficiente devariación. Esto significa que sus precios sonmas homogéneos que 105 de la marca A.

2. Es posible considerar que los datos de ambasablas son igualmente homogéneos

Variable aleatoria (página 419)1.

a. Dom {VI. V2, V3, V4, R1, R2, R3, Al, A2. A3,A4. AS)Rec: (O, 1,2, 3)

b. Dom: {cara, sello)Rec: {-SOO, IODO}

c. Dom {(1, 1), (1.2), ... , (1, 6)

(2,1), (2.2), ... , (2, 6), (3,1), (3,2)" (3,6), (4,1), (4, 2)" (4, 6), (5,1), (5,2), .(5,6), (6, 1), (6, 2), ., (6, 6»)

ReC:(1,2,3,4,S,6,8,9, 10,12,15,16,18,20, 24,25.30, 36}

e

]-6.eQ.

~-~

:;¡.~~:;!p-'15;;o: :~

2. X: suma de 105 puntos obtenidos en cada carasuperior de los dados es una variable aleatoriadiscreta.

Dom Q = (1,1), (1.2), ... , (1, 6)(2,1), (2,2), .. , (2, 6), (3,1), (3, 2), .. , (3, 6),(4, 1), (4, 2), , (4, 6), (5, 1), (5, 2), .. , (5, 6),(6, 1), (6, 2), , (6, 6)}

Rec: T = (2, 3, 4, 5,6,7,8,9, lO, 11, 12)

Función de probabilidad (página 421)1.

a.

f(x)=

-.l si x = 2, 1236

2 six=3, 1136

l.. six=4, 1036

~ six=s,936

2 six=6,836

~ six= 736O en otro caso

b.

J1 .

f( x) = 6 SIX =-500, - 300, -100,200,400,600

lo en otro caso

c.

1SIX= 13

1. six = O3O enotrocaso

f( x)=

¿

d.

f( x)=

~six=O12548 .

-Slx=1125

.Q. six=2125

~six=3125O en otro caso

2.

(1 .

1

- Slx=0,416

f( x )=j 2 si x= 1,3116

¡ ~ six=2116

3.

a.

1(1)=2.!+ 3=2";5 45

f(2)=~=..L";S 45

f(3)= 2·3 + 3 = 9~s 45

Solucionario------.

f( 4) = 2 • 4 + 3 =-.!..!.45 "¡s

f(s)=~=Jl45 -15

t( 1) + t( 21 + f(3) + tl"¡ i+ f( 5) = 1

Por lo tanto. 1es una función de probabilidad

b.

f(O)= 0-9 =2. 19 19

f(I)=l':2=i9.19 19

1(2)= 2+9 =.!..!.19 19

f ( O) + f( 1)+ f ( 2 ) = 30 ~ 119

Luego, f no es una función de probabilidad

Solucionario ~

Page 255: Preparacion Psu de Matematica SM

4.

a. k = 0,3b. k=O,183

Función de distribución acumulada (página 423)1.

I;EI~EJ2.

a. f(4)=~,k=123

b.

.l. si x=2238 .

f(x)=j23 SI x=3

~six=4,523O en otro caso

~1. D 2. B 3. B

Esperanza, varianza V desviación estándar(página 424)1.

¡l.f()

- SIX=I,2,.,20a. x = 20

O enotrocaso

b. Esperanza: 10,5Varianza: 33,25Desviación estándar: 5,77

~ . CLAVE· Matemática

Distribución de variables

Correlación (página 426)1.

a.Refrigeradores vendidos

en un trimestre

40 _"'- _ . ..._ .. _ •... _35 ;--- ----30 L

cc 25 ,.-.,,-.

~ 20:Q.

.É 15---

10 ,.--- -5 .

o·o

• ••

10 20

Empresa A30 40

Gráficamente, es muy dificil inferir si elnúmero de refrigeradores vendidos estárelacionado con la empresa que los vende,ya que son muy pocos datos.

b. La estatura si está relacionada positivamentecon la masa corporal, ya que el coeficientede Pearson entre estas variables esaproximadamente 0,95.

Horas de enlrenamienlo

Horas de entrenamiento v/s tiemporegistrado

'2100g 80o~ 60·~ 40

s 20E

~ o O

• • • •10

Las horas de entrenamiento están relacionadascon el tiempo registrado en las competenciasnegativamente. El coeficiente de Pearson entreambas variables es aproximadamente -0,995.

d. La covarianza es aproximadamente 2,61.

c :-o'"§'Oe·0.'~.;

:1'[~'~'

'Ol5.':gt-'~>i

,',:1"

:2'lIl.~.r,ti"al'e:!~9~,'2';~

. :~;~~1~.->-

1~§;-

';.S

1

Regresión lineal (página 428)

1.

a.

~~r::::=!:::-=-===-==--== ._...::...-.:::y ~~;........ •••••• ~_.:

201-.----.-. ._....._-..,10~ ._+_O· ---.--._-_ .... _- ... - •

o 2 4 6 8 10 12

Existe correlación negativa entre las variablesX e Y.

b.

87.8 •

Y 7,6· ..•.•7.4. .7,2

6.~ ...• . •6.6

o• •

•10 12 14

No existe correlación entre las variables X e Y

2. y=20,77+41,14xAproximadamente 5,6 millones.

Distribución normal (página 430)

~1. A 4. D 7. B

2. C 5. A 8.

3. e 6. A

Estandarización (página 432)

1.

a. 0,9981b. 0,5080c. 0,0006d. 0,0708

2... a. -4

b. 1,125c. -2,5d. -5e. Of. 1,25

Solucionario-----------

3.

a. 0,2514b. 0,0475

4.

a. 0,0228b. 0,7257

5.

a. 0,1894b. 0,2578c. Aproximadamente 34 personas .

Intervalo de confianza (página 433)1.

a. ]43,8; 63,9[b. ]38,1; 69,6[

2.

a. Ji 7,8; 20,2 [b. Ji 7,3; 20,7[

Distribución binomial (página 435)1.

a. 0,16 b. 0,13 c. 0,25

2.

a. 0,25b. 0.6875c. 0.9375

3.

a. 0,0000043b. 0,0726c. 0,019

~l. A 2. e 3. ermEnsayo temático 3 (páginas 436 a 441)

1. B 6. e 11. A

2. e 7. D 12. E3. E 8. e 13. e4. E 9. D 14. A

5. o 10.B

Solucionario -ºº

Page 256: Preparacion Psu de Matematica SM

.," • ••••

• ••• • •• •• • •• ••• •• •

..., • •\¡)fa

9.'S . SLS G sstsandsar sp BfoH

~ seisandsai ap efoH

1'G ·ovS loÁesU3

6S~ . GlS ~ oÁesu3

nSd sol\esu3• •• • •• ••

Page 257: Preparacion Psu de Matematica SM

~

PRUEBA DE MATEMÁTICAINSTRUCCIONES

1. Esta prueba consta de 75 preguntas.

2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultardurante el desarrollo de los ejercicios.

3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁNnecesariamente dibujadasa escala.

4. Antes de responder las preguntas N° 69 a la N° 75 de esta prueba, leaatentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la preguntaN° 68. ESTASINSTRUCCIONESLE FACILITARÁNSUS RESPUESTAS.

SíMBOLOS MATEMÁTICOS

< menor que

> mayor que

'" menor o igual que

;" mayor o igual que

~ ángulo recto

<t ángulo

lag logaritmo en base 1 O

el conjunto vacío

[xl parte entera de x

es congruente con

es semejante con

.L es perpendicular a

*- es distinto de

// es paralelo a

E pertenece a

AS trazo AB

Ixl valor absoluto de x

n! el factorial de n

lValidado por J,5Q~,A$ESORAMI[<;TO (Dl;(,l-:,>O

512 CLAVE· Matemática rValidado DariDOO 1

1'·=·'·;" ~~ ~;~

.¡;~.'(."~"

<

e-o"8--6 ;,o~:~-\.s -:o~:.co.G:'~:~2'V1..-;

CCi,C~~·o';

~~tu,J-,#

Ensayo 1 PSU

1. ¿Cuálde las altemativas representa el resultado de (-0,5)-2?

A) -4B) 1C) 4

1O) -

41

4E)

2. Un viajero debe recorrer 12.500 metros para llegar a su destino. Si ha avanzado 4,5 km,«uánto le falta por recorrer?

A) 8.000 mB) 12.050 mC) 12.495,5 mO) 12.455 mE) 17.000 m

3. T2+T'---=

21

A) -41

B) -23

C) "23

O) -8

E)1-16

4. En una tienda se venden pantalones con un descuento del 35 Ofo. Si el valor original decada pantalón es de $ 15.900, «uél es su precio luego del descuento?

~

A) $ 5.565B) $ 8.745C) $ 10.335O) $ 21.465E) $ 26.235

~?"3:d

rValidado ooriDee 1 EnsaY01.'p~

Page 258: Preparacion Psu de Matematica SM

11Ensayo 1 PSU

5. Una persona invierte en un negocio $ 250.000 Y pierde el 15 %. Si luego de esta pérdidarecupera un 15 %, «en cuánto dinero queda finalmente?

A) $ 212.500

B) $ 235.000

C) $ 244.375

D) $ 250.000

E) $ 287.500

6. Dos de cada cinco personas asistentes a una fiesta son hombres. ¿Cuál es la razón entre eltotal de mujeres y el total de asistentes?

A) 2: 3B) 3: 2C) 2: 5D) 5: 3E) 3: 5

7. Respecto a la siguiente sucesión O, 1, 4, 9, oo, ¿qué número se obtiene como resultado aldividir el sexto por el octavo término?

4A) 9

25B) 49

9C) 25

36D) 64

25E) -

36

8. Si A Y B son dos variables directamente proporcionales, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

Si A aumenta en un factor, B aumenta en el mismo factor.

11. El gráfico que representa esta relación nunca intersecta al eje X.

111. Si A aumenta en cierta cantidad de unidades, B aumenta en las mismas unidades.

A) Solo 1B) 501011C) Solo 1 y 11D) 50101 Y 111E) 1,11 Y 111

514 CLAVE· Matemálica [Validado oor;D001

tnsayo 1 ~bU

i~

e·0ov:;¡

"oo.1;'a'"'O

~os:1

;;;VI

'"'"eo:Q-ouJ

o

9. X - [y - (x - y) - y] + y =

A) OB) 2x

C) 2y

D) 2x + 2y

E) 2x - 2y

10. (5x - o, 1y)(5x + o, ly) =

A) 25x2 + o.ivB) 25x2 - 0,ly2C) 25x2 - 0,01y2D) 25x2 + 0,01y2E) 25x2 - xy + 0,01 y2

11. 5· 2 1. '1 lid I ,1""?IX=- ey=--,Lcua ese vaor e aexpreslon-x" -y".2 29

A) -47

B) -43

C) 47

D) 47

E) -2

12. Las edades de dos amigos son P y O, respectivamente. Si hubiesen nacido cinco añosantes, sus edades sumarían 42 años. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa lasituación descrita?

A) 5P + 50 = 42

B) P + 0+ 5 = 42

C) P+ O - 5 = 42

D) (P-5)+(0-5)=42

E) (P + 5) + (O + 5) = 42

rV,linAOO nnr ;D001 Ensayo 1 • PSU 5-

Page 259: Preparacion Psu de Matematica SM

11 lmIIDl!J13. Si - 3p - 3 =6, (cuál es el valor de la quinta parte de p?

8A) 15

B) 3C) -3O) -15

E) -75

14. Si q es un número entero negativo, zqué alternativa representa una relación de orden1

correcta entre 2q, _ .q' y -q?q

1A) -q s 2q ~ q' ~-q

1B) -q~ql Qq~_q

1C) -q ~2q ~ - ~ q'q

1O) 2q ~ _ ~ _q s q2q

1E) 2q s _ ~q' ~ -q

q

15. En un restaurante se compran t kilogramos de tomates en $ 18.500, 15 kilogramos más depaltas que de tomates en $ 30.400 Y 12 kilogramos menos de papas que de paltas en$ 7.800. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el costo de comprar un kilogramode cada producto?

A)18.500 30.400 7.800--+--+--

t 1+15 t+3

)18.500 30.400 7.800

B --+--+--t t+1S t+12

C) 18.500 + 30.400 + 7.800t 1+15 1+27

D) 18.500 + 30.400 + 7.800t t + 1St t + 3t

E). J 8.500 30.400 7.800--+--+--

t t+1S t-12

C:::1C::: ("'I I\\fr AA ••••~""' •••••• ;;,f.: ••..•••r V"lirl"rln nnr iDeJa1

Ensayo 1 PSU

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~ :3e .",

16. Si compro doce lápices más que las x gomas que compré y cinco sacapuntas menos quelos lápices, zcuantos productos entre lápices, gomas y sacapuntas compré?

A) (7 + 3x) productos

B) (19 + x) productos

C) (17 + 3x) productos

D) (1 9 + 2x) productos

E) (19 +3x) productos

17. Si una persona hubiese nacido quince años antes, su edad correspondería al doble de laedad que tendrá en cuatro años. ¿Qué edad tiene la persona?

A) 7 años

B) 11 años

C) 19 años

D) 23 años

E) Menos de cinco años

18.a'? _ a9

-a9-=

A) aS8) aiO

C) a-I

D) a-8

E) a - 1

19, El promedio entre las calificaciones obtenidas en dos pruebas es un 6,0. ¿Qué calificaciónse debe obtener en una tercera prueba para que el promedio sea un 6,27

A) 6,0B) 6,4

C) 6,6

D) 7,0

E) No se puede calcular

rV"lirt"rlO nor iDeJalEnsavo 1 • PSU 51

Page 260: Preparacion Psu de Matematica SM

11Ensayo 1 PSU

20. Por 18 kg de pan una persona paga $ p. ¿Cuánto pagará por la compra de 6 kilogramosmenos de pan?

A) $ 2p

B) $ 2p3

C) $E3

D) $ 3p2

E) $ (p - 6)

21. ¿Cuál de los siguientes puntos representa la solución del sistema x - y = 7173x+y=25

A) P(l, 8)

B) P(8,1)

C) P(9,2)

D) P(-1,8)

E) P(8, -1)

22. Si el perímetro de un triángulo equilátero es L cm, «uál es su área?

A) L2

-cm2

2

L2B) -cm2

4

C) L2J3 0112

D) L2J3 2-cm2

E)L2J3-cm2

36

23. El ancho de un rectángulo mide 10 cm menos que su largo, que mide ~ cm. ¿Cuál es la2

medida de su perírnetro?

A) (a- 20) cm

B) (2a + 20) cm

C) (2a -e- 20) cm

D) (4a - 40) cm

E) (a~20 )cm

!i1R rV~li(j~(jonor ;0001r:1 AVF • M.lpm:itir.

e-o-8:¡e~a'""-P-{j.i:

..2'"~.•.'c.0'V~.Ul

tnsayo 1 t-'~U

24. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones se obtiene como resultado un número racional?

1.J2(~ -2J2)

11. (~+l)n

111. .J3. J12A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

O) Solo 1y 111

E) 1,11Y 111

25. (J2+2J3)(2J2-J3)=

A) 2

B) 2-316C) 2+316O) -2 -316E) -2+316

26. En el siguiente gráfico se muestra el costo de envío de una encomienda en una detennninadaempresa en relación con su peso en kilogramos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderats)?

Costo de envío de una encomienda

Costo ($)

2.000b.···.·--·....·--·--·--...~1500------·----·~1.000------·M : ;

500 : :

1 2 4 5 6 Peso (kg)

1. Por una encomienda de 3 kg se pagan $ 1.500.

11. Por una encomienda que pese más de 2 kg se pagan $ 1.000.

111. '$ 2.000 se paga por una encomienda de 5,3 kg.

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

O) Solo 1y 111

E) 1,11Y 111

rValidado nor iDOO 1 Ensayo1 . psu 519

Page 261: Preparacion Psu de Matematica SM

I Ensayo 1 PSU tnsayol t"';:,u

27. Un joven juntaba en una alcancía solo monedas de $ 50 Y de $ 100. Si en total tenía 28monedas y le regalan 5 de $ 50, con lo que reúne un total de $ 2.450, ¿qué alternativarepresenta la cantidad monedas de cada tipo que tenía el joven?

A) 1 2 de $ 50 Y 16 de $ 100

B) 2 de $ 50 Y 26 de $ 100

C) 17 de $ 50 Y 11 de $ 100

O) 16 de $ 50 Y 12 de $ 100

E) 7 de $ 50 Y 2 1 de s 100

28. Respecto a la recta de ecuación 2y + 3x = 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses (son) verdadera(s)?

1. El punto (~, - 2) pertenece a la recta.

11. lntersecta al eje de las ordenadas en el punto ( O, %).111. Es perpendicular a la recta de ecuación 4x - 6y - 15 = o.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111D) Solo 11 y 111E) 1,11 Y 111

29. Sea 2 • 2"-1 = 64, entonces el valor de x es:

A) 27

B) -3

C) 6O) 26

E) ~3

520 r.1 AVF • MMRmMir8 rV8lirl"rln nnr iD@.!al

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~.U"'.·,~}f¿·o,ió. :g

.4~-·.",:;';"

30. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la expresión ~Iog a + lag b?2

A) 10gaFb

B) 10gbJa

C) 10g.Ja+b

1O) -Iogab

2abE) log-2

31. Si se sabe que el siguiente gráfico representa a la función cuadrática f(x) = ax' + bx + c,«uál de las siguientes alternativas es correcta?

y

x

A) a >0B) c < OC) b=OD) b' - 4ac = OE) b' - 4ac < O

32. Si el punto (2, 5) pertenece a la recta L: 1Ox - (1; + ~ ) y = 5k, entonces, ¿cuál es el valor

de k?

A) 2

B) 30C) -2D) -30

2E) --3

rValidado por iD&e 1 Ensayo 1 • PSU 52

Page 262: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 1 PSU ensayo I t"'\)U

33. El siguiente gráfico representa la relación entre el tiempo invertido por un excursionistaen el ascenso de una montaña y la altura que logra. Si la montaña tiene una pendientepositiva, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

Altura alcanzadapor unexcursionista

300ooooooo .. ~OOOOOOOO.O.OOOOO •. OOO.O¡f 200 0.0.0000000000.000 •• 00000: ¡~ 100 0.0.0 .• 00.... • : ¡

15 30 45 60 75

TIempo (min)

El excursionista se detuvo por 15 minutos.

11. Después de los 45 minutos ascendió a mayor rapidez.

111. La función h(t) = 10t permite modelar la relación entre la altura alcanzada yel3

tiempo (t) invertido en el tramo [O, 30].

A) Solo 11B) Solo 1 y 11C) Solo 1 y 111O) Solo 11 y 111E) 1,11 Y 111

34. ¿Cuál es la suma de las raíces de la ecuación 2x' - 7x - 4 = O?

A) -77B) --2

C) -2

O) ~7

E)7-2

522 CLAVE· MatemiÍtica [ValidadO por iDOO]

{if;~~

.~.~.":Il:-

"f'.~):~r'

~\:,

9t-'

e-O

'8:>'O8c.

'"z;.'"'"

~.~

o

'"~.'

g-e'0

.. ~.

O-c

35. La población de árboles en cierta ciudad disminuye en 2. cada cinco años. Si actualmente8

en esa ciudad hay 3 • 107 árboles, ccuéntos habrá dentro de cinco décadas?

crA) 8" .3.107

B) (ir .3.107

C) C~J.3.107

(7fO) 8" .3.107

E) (ir ·3·10'

36. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa el conjunto solución de x - ~ < 3(x + 1)7

•A) '" ..

7

4

'" 1B) '" •7

4

•C) .---.:: •7

4 .O) • •7

4

j •E) '" •7

4

3 {X3 - 1 si x:::; 1 . 1(2)- 2. I( 1)7. Sea I(x)= r ,Lcuál es el valor de 7y X + 1 si x> 1 1(0) .

rA) fiB) .n..C) -J2-1

O) -fi+lE) -fi+3

[validado por iDOO] Ensayo 1 • PSU 5-

Page 263: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 1 PSU

38. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = [x - 11+ 2?

A)

; _i ¡ I; . .,4 -3 -' l '1 I~:-··

. I j I o 1: i Xi

i-'; 1 I i ! i i ! I~~~-2 . -r·-t--t-i

l"__;_I_~i_! __ l~_

B)

, .---- --- --1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 ••

o.•. -1

, x

.- ~- _.~ -, -2--1 ---"- ~ _

C) y. &

..: I

_ 2

-t -3 =2 -..:¡ 11 :2 3 4

o-,--·-2

O)

-4 -3 -2:/-1 I 1 J 4

o-,-2

.. x

E)

2 ..• -_.-. ---

+-1-4 -3 -2 -1 ¡ J ,

o.-,.•-:-2

I

~_. __ ... _x_-- --:-''"---'" -¡

524 CLAVE· Matemática rValidado oor iooo1

.8"8:;J-ooa~~'+::re'",:

"li~a.

s,~'"e;Q."o ~~.:ou.Jg'

Ensayo 1 PSU

39. En la figura MBC == MDE Y O E Be. Si m( <tCAB) = 700 Y m( <t:ACB) = 300, «uál es lamedida del <t:EAO

BA

EA) 200

B) 300

C) 600

D) 700

E) 800

40. ¿Cuáles la razón de semejanza entre los triángulos si se sabe que MBC -ADEF7

C

6E D

11 m V2'2m

A B F

A) 1: 2

B) 5: 1C) 1: 8,9D) 1,1: 2,2E) 11: 22

41. En el triángulo ABC de la figura, los puntos A, By D son colineales, al igual que 105 puntosB, C y E. ¿Cuánto suman los ángulos x e y?

E

5

"' A '- "'-.,1 \ ~B o

¿:.r.

*§3~

A) 400

B) 800

C) 1400

O) 2200

E) 3200

r \/olirl,rln nnr ; DPJ81 Ensavo 1 • psu 525

Page 264: Preparacion Psu de Matematica SM

I Ensayo 1 PSU

42. Sobre el rombo ABCO se dibujan los segmentos EF y EG, perpendiculares a los lados AB yAO, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

D

A~C

B

GD=FB

11. ED=EB111. MFE=MGE

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

D) Solo 1 y 111

E) 1,11 Y 111

43. Si se aplica una rotación de 900 con centro en C(-1, 2) al punto A(3, - 1), zqoé punto delplano cartesiano se obtiene como imagen de A?

A) (O,-5)B) (2,6)C) (3, 5)O) (-5,5)E) (-4, -2)

44. ¿Cuáles el vectar v que permite trasladar el punto A(9, -7) al origen del plano cartesiano?

A) v=(O,O)

B) v=(-9,0)

C) v=(0,-7)O) v=(-9,-7)

E) v=(-9,7)

45. ¿En qué consiste teselar un plano con figuras geométricas?

A) En cubrir parte del plano con figuras geométricas.B) En aplicar las rotaciones necesarias para cubrir el plano.C) En aplicar las traslaciones necesarias para cubrir el plano.O) En determinar los ejes de simetría de polígonos regulares.E) En cubrir el plano sin dejar espacios vacíos ni superponer figuras.

r\fo'irlorln nnr iD/?.Ja1

eo'8""Oeo-El

'"-o:oEea.

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"j,:';-

Ensayo 1 PSU

o-

a

46. El punto que es centro de simetría entre el polígono ABCOEF y el polígono A'B'C'O'E'P es:

y

4A

A) (O, O) '~Lf'CS·B) (0,2)

o E 1 F'

C) (2, O)

A'

-3 -2 -1 o

O) (O, 1)

1 2 3-1

4 X

E) (1, O)

47. En un triángulo ABC rectángulo en e, D es el punto medio de AB, el punto E pertenece a CBy DE bisectriz del <l:CDB.LCuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)7

1. MBC -t.DBE11. t.OEC - t.CDB

111. MBC - t.DCE

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 1 y 11

D) Solo 1 y 111

E) 1,11 Y 111

48. Si L, // L;, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)7

1. t.OGF - t.CGE11. t.GAC - t.FBG

111. MEG - t.CEG

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

O) Solo 1 y 11

E) Solo 1 y 111

fvalidadoooríoeelEnsavo1 • PSU .J.

Page 265: Preparacion Psu de Matematica SM

I Ensayo 1 PSU

49. El punto Q divide interiormente al segmento AB en la razón 2 : 5. Si AB mide 28 cm,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?- -

1. m(BQ)-m(AQ)=8cm

11. AB: AQ = 7 : 2

111. m(AQ)'m(BQ)=160cm2

A) Solo 1

S) Solo 1 y 11C) Solo 1 y 111O) Solo 11 y 111E) 1,11 Y 111

50. En la figura, L, // t, ¿Cuánto mide ES?

A) 1 cm

S) 8 cm

C) 12 cm

D) 16 cm

E) 20 cm

L2

51. Una persona que mide 1,8 m hace coincidir las copas de dos árboles con su mirada, comose muestra en la figura. El árbol más pequeño mide 7,8 m y se encuentra a 12 metros deesta persona y a 8 m del otro árbol. ¿Cuánto mide el árbol más alto?

A) 5,8 mB) 8,2 m

e) 11,8 m

O) 13 mE) 16,8 m

0')0rV"'irl"rln nnr iDe;a 1

tnsayo 1 t-'::iU

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52. El cuerpo geométrico de la figura tiene como vértices los puntos A = (O, 0, 2),S = (2, 0, O), C = (O, 0, -2), 0=(-2,0, O) Y E = (0, 4, O). ¿Cuál es el volumen delcuerpo?

A) 32 cm'S) 64 cm3

C) S..!. cm;32

O) 10- cm'3

E) 21..!. cm'3

y (cm)E

D

X (cm)B

A

Z (cm)

53. En la circunferencia de centro 0, el ángulo AOC mide 62°. ¿Cuál es la medida del ánguloinscrito BAO?

A) 31 °B) 59°C) 62°

O) 118°

E) No se puede calcular

[validadO par iDee]

A

Ensayo 1 • PSU _

Page 266: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 1 PSU

54. Respecto al triángulo ABC, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

-----y

c

1. p' c + q . c = e2

11. p' q = a2 _ p2

111 h=~- b

A) Solo 1

B) Solo 1 y 11C) Solo 1 y 111O) Solo 11 y 111E) 1, 11 Y 111

55. Según el siguiente triángulo, ¿cuál de las expresiones es equivalente a tga - cos13?sena

sr-,~/

~'l .~C b A

A) b1--

c

S) ~-1be) b2

b--a

O)b2c -a2b

a2c

E) a'c - a'b~

"i::lO rl AIIF • M~tpm;itir~ rValidado Dar iDee 1

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ensayo 1 t"';:'U

56. Una persona ubicada a cierta distancia de una torre divisa su punto más alto con unángulo de elevación de 300. Si se acerca 100 m, observa el punto con un ángulo deelevación de 60°. Sin considerar la altura del observador, zcuál es la altura de la torre?

A) 50../3m

B) 50 m

C) 50../3 m2

O) 50fi m2

E) 50../3 m3

57. El cuadrado ASCO, de lado 8 cm, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cmcada uno. ¿Cuál es el área sornbreada?

x x

x xS x x C

A) (8 - x) cm'B) (8 - x2) cm-C) (64 - x2) cm-O) (64 - 4x') cm'E) (8 - 2x)' cm-

58. Los lados de dos cuadrados están en la razón 2 : 3. Si el lado del primero mide 5 cm, ccuáles la medida del lado del otro cuadrado?

A) 2,5 cmS) 3,3 cme) 7,5 cmO) 8,5 cmE) 10 cm

r Validado por iDee 1 Ensayo 1 • psu _

Page 267: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 1 PSU

59. Si en el cilindro recto O es el centro de la base, cuyo diámetro es 12 cm, «ual es elvolumen?

A) 961t crn-B) 1201t cm3

C) 1441t cm3

D) 2881t crn-E) 3601t cm3

60. Respecto al experimento aleatorio de lanzar dos monedas al aire, ¿cuál(es) de lassiguientes proposiciones es (son) verdaderers)?

1. Obtener dos caras es menos probable que obtener dos sellos.11. Obtener una cara y un sello es más probable que obtener dos sellos.

111. Obtener dos caras o dos sellos es más probable que obtener cara y sello

A) Solo 1

B) Solo 11C) Solo 111D) Solo 1 y 11E) 1,11 Y 111

61. Si se lanzan dos dados de seis caras, «uél es la probabilidad de que la suma de los puntosde las caras superiores sea menor que dos?

A) OB) 1

1e) -61

D) 24

1E) 36 .

~ CLAVE· Matemática rvalidadO ooriDool

~l

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tnsayo I I"'~U

62. Respecto al experimento E = (lanzar dos monedas al aire). si se define la variable aleatoria Xcomo la cantidad de sellos obtenidos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

1. X((cara, cara)) = O1

11 P(X=l)=-. 2111. P(X=2)=2 ·P(X= 1)

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1 y 11D) Solo 1 y 111E) Solo 11 y 111

63. La siguiente tabla registra la distribución de 105 estudiantes de 4° medio que participaron enun sorteo. Si se elige al azar a un estudiante, «uél es la probabilidad de que sea una mujero un estudiante del 4° A? .

Distribuciónde los estudiantesde 4° medio

Género 4° A 4° B Total

Mujeres 12 13 25

Hombres 15 10 25

Total 27 23 50

10A) 50

15B) 50

17C) 50

27D) 50

40E) 50

[validadO por iooo] Ensayo t • PSU ~

Page 268: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 1 PSU

64. Si la probabilidad de ganar en un juego de azar es ~, zcuál es la probabilidad de no ganar?5

A)

B)

o253

C) "5D) 1

52

E)

65. Al encuestar a seis familias para saber cuántos televisores tienen en sus hogares seobtuvieron los siguientes datos: 2, 3, 5, 3, X Y 4.

Respecto a la situación descrita, ¿cuál(es) de los siguientes valores de X permitiría(n)obtener como mediana tres televisores?

1. 111. 3

111. 4

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111D) Solo 1y 11E) 1,11Y 111

66. ¿Cuál es la media aritmética entre los números 3, 4, 6, 7 Y 87

A) 5B) 5,5C) 5,6D) 5,8E) 6

fjj4 CLAVE· Matemática [validadO por iDOO]

i·41.~~'!il;/¿F-~,.~'';.-

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ensayo I r~u

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67. El siguiente gráfico representa la distribución de la cantidad de hijos que tienen lostrabajadores de una empresa, Respecto a esta información, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

Distribución del número de hijos de los trabajadores

Cantidad detrabajadores

5

4

3

2

Númerode hijos

3 4

1. Cuatro de los trabajadores no tienen hijos.11. Tres trabajadores tienen cinco hijos cada uno.

111. Los hijos de los trabajadores suman en total 26.

A) Solo 1B) Solo 111C) Solo 1y 11D) Solo 1y 111E) 1,11Y 111

68. Respeto al experimento aleatorio de lanzar un dado de seis caras y una moneda a la vez,¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdederats)?

Su espacio muestral tiene doce elementos.11. Existe un 25 % de posibilidades de que al realizar el experimento resulte cara y

un número par de puntos.

111. Existe un 50 % de posibilidades de que al realizar el experimento resulte unnúmero mayor que cuatro puntos,

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111D) Solo 1y 11E) 1,11Y 111

[validado por iooo]Ensayo 1 • PSU 535

Page 269: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 1 PSU

EVALUACiÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

Instrucciones para las preguntas N° 69 a la N° 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si losdatos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) Y(2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes pararesponder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder lapregunta.

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

69. Pedro tiene diez años más que Oiego. Se puede calcular la suma de sus edades si:

(1) La suma de la edad de Pedro y Oiego corresponde a un número par de años.

(2) El doble de la edad de Oiego es igual a la de Pedro disminuida en cuatro años.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

O) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

70. Sean a y b números reales. Se puede determinar si Ji,b es un número real si:

(1) a>O

(2) a y b tienen igual signo.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

O) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

536 [validadOpor ioooJCLAVE· Matemátca

e-o"8:J-cOo.~ -:l-'"~."",.-o -:

15 -..~ ::~.(¡. ~,.-

'-':-~

~~.....,.'•.e.a.!.}.~:

CII;)ayu I •. vv

71. Sea g(x) = b· a'. ¿Cuál es el valor de g(l)?

(1) a < b

(2) g(O) = 10

A) ( 1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

O) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

72. Si n, k E N, entonces se puede calcular el valor de (: )si:

(1) k<2

(2) n = 8

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 0(2)E) Se requiere información adicional

73. En la circunferencia de centro O de la figura, se puede determinar la medida del <tAD8 si:

B

O(1) EO: 00 = 1 : 2(2) OE..L AC

,A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

~

o::

:2':/,

.º3~.

[Validadopor ioe;a 1 Ensayo 1 • psu 537

Page 270: Preparacion Psu de Matematica SM

I Ensayo 1 PSU

74. Respecto a la siguiente figura, es posible determinar que los triángulos son semejantes si:

D

AC

B(1) AB // CD

(2) m(<t:DBA)=75°

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 0(2)E) Se requiere información adicional

75. Sean A y B sucesos de un experimento aleatorio. Se puede calcular P(B) si:

(1) A Y B son sucesos complementarios

(2) peA) = 0,4

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

538 CLAVE· Matemálica [validada Dar íeeel

Le 16. E 31. B 46.8 61. A2. A 17.A 32.( 47. D 62. e3. o 18.E 33. E 48.A 63. E4. e 19.e 34. E 49.0 64. (5. e 20.8 35. D 50.D 65. D6. E 21.B 36. D 51 e 66. (7. B 22. E 37. ( 52. o 67. D8.A 23.( 38.A 53.A 68. D9. B 24. D 39.A 54. 8 69. B

.~ J 10.e 25. E 40. B 55. B 70. B11 D 26. ( 41. D 56. A 71. E12. E 27. A 42. E 57. D ne13.e 28. D 43.B 58. ( 73. (14. D 29.A 44. E 59. o u. o15.A 30. B 45. E 60. B 75.(

e-o"8"'Eal!!

·a'"'O15~a:;';'"

rValidado poriDOO 1 Ensayo 1 • PSU 53'

Page 271: Preparacion Psu de Matematica SM

·1)40

PRUEBA DE MATEMÁTICAINSTRUCCIONES

1. Esta prueba consta de 75 preguntas.

2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultardurante el desarrollo de los ejercicios.

3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadasa escala.

4. Antes de responder las preguntas N° 69 a la N° 75 de esta prueba, leaatentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la preguntaN° 68. ESTASINSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

SíMBOLOS MATEMÁTICOS

< menor que

> mayor que

~ menor o igual que

~ mayor o igual que

l ángulo recto

<t: ángulo

log logaritmo en base 10

0 conjunto vacío

[xl parte entera de x

es congruente con

es semejante con

1. es perpendicular a

*' es distinto de

// es paralelo a

E pertenece a

AB trazo AB

[x] valor absoluto de x

n! el factorial de n

lValidado por jINtgo~vASESORAV.¡ENTQ ::DI.;C~ nvo

rl Al/F. M"tpm:\tir, [validado Dar iDOO]

~;

~"8"-ooo.~ . -a'"'O

15~c: 1-:;;'"'".,eoT;'tí'"g

l-1•..:JUjU'- 1"-'_

1. 15 - 50 • 0,1 + 8 =

A) 10B) 11,5C) 13D) 18E) 28

2. Si a un número se le resta _3. resulta ~,¿cuál es el número?5 10

A) 712

B) 1--10

C) 110

D) 510

E) 710

3. Se cuenta con 45 cajas iguales, cada una de las cuales puede contener 25 sobres de sopa.Si se quiere embalar 675 de estos sobres, zcuéntos faltan para llenar todas las caias?

A) 15B) 27C) 450D) 1.125E) Ninguna de las anteriores

4. El frente de una casa mide 7,5 m. Si se dibuja en un plano con escala 1 : 200, ¿cuántomide en el plano la representación del frente de la case?

A) 0,0375 cmB) 3,75 cmC) 7,5 cmD) 37,5 cmE) 75 cm

[validada por iDOO 1 Ensayo 2 • PSU 54

Page 272: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU

5. Los valores de la variable A son directamente proporcionales a 105 valores de la variable Baumentada en 2. Cuando A es 8, B es 10. ¿Cuál es el valor de A si B es 16?

A) 5~3

B) 6C) 12D) 12,8E) 27

6. El número 0,0000052 • 103 expresado en notación científica es:

A) 5,2.10-9

B) 5,2.10-6

C) 5,2.10-3

O) 5,2· io-E) 5,2· 109

7. Si A es el 20 % de B, cqué porcentaje es A de A + B7

A) 12 %

B) 50 %

C) 1,6 %

D) 1,16 %

E) 16,6 %

8. LCuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderats)?

Si al aumentar una variable, la otra disminuye, entonces son directamenteproporcionales.

11. Cuando dos variables son inversamente proporcionales, si una aumenta al doblela otra disminuye a la mitad.

111. Si dos variables son directamente proporcionales, su gráfico contiene al origen delsistema coordenada.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1y 11D) Solo 11y 111E) 1,11Y 111

t;t1? rl Alle • o\'htorn';'tir'l rV~li¡j~rlOnor iDeJa1

~~.C·0··,~o

.~t}

e-o"o\J-6oo..~

~'"~~C>-

ensayo e: r ou

9. Una bodega tenía 10p productos almacenados. Si se incorpora el doble de productosque contiene y del total se retira un tercio de todos los que contiene, «uántos productosquedan almacenados en la bodega?

A) 10pB) 15pC) 20pD) 30pE) 60p

10. El cuadrado del promedio del triple de dos números se expresa como:

A) 3(x2;y2)

B) (3X;3y)2

C) 32(x;y)

D) (3X;y rE) 3( x;y r

11. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones puede(n) representar la longitud de la base y de laaltura de un triángulo cuya área es posible expresarla por (x-' - 2x - 24) crn-?

1. 2 cm y (x2 - 2x - 24) cm, respectivamente11. 2(x - 6) cm y (2x + 8) cm, respectivamente

111. (2x - 12) cm y ex + 4) cm, respectivamente

A) Solo 11B) Solo 111C) Solo 1y 11O) Solo 1Y 111E) 1,11Y 111

[validado pori DeJa 1 Ensayo 2 • PSU 543

Page 273: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU

12. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de 2a4 - 32b4?

1. 211. a -2b111. a' + 4b'

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1y 11D) Solo 1y 111E) 1,11Y 111

13. Hace cinco años, Matías tenía la mitad de la edad que tendrá en nueve años más. ¿Cuántosaños tenía el año pasado?

A) 13B) 14C) 18D) 19E) Ninguna de las anteriores

14. El radio de un círculo mide 2p metros. Si se aumenta la longitud de su radio en q metros,«uél de las siguientes expresiones representa su área? .

A) (2p + q)2¡¡ m'B) (4p + 2q)7t m'C) (4p' + q')7t m'D) (2p + 2q)' m'E) (4p' + 2q')7t m2

15. ( ~ )' • a3x: a-

2,

2a Z2 x-2

A) a'4z'

B) a'x4z'

C) a4x2z'

D) a3x2z'

E) x5

4az2

544 CLAVE· Matemática rValidado por iD€Ia 1

Ensayo 2 PSU

e-o'8""Ooa.~a"'""OP-~e,

.;!!uv.~"·3':o ..",

·0}.-

16. 1 1-+-=a-b b-a

A) oB) 2bC) a - b

D) 2a-b

2b-a

E)

17. Si A=..!.-C, «uál de las siguientes expresiones equivale a 3.?B C

A)l-AB

B

B)2-2AB

B

C)l-AB

2B

D) Bl-AB

E)2B

l-AS

18. Sean a= ~ y b=~, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera/s)?e f

a df¡;= ec

d-ea-b=-c-f

df+ec111 a+b=--. d

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1y 11D) Solo 1y 111E) 1,11Y 111

11.

rValidado por iDOO 1 Ensayo 2 • PSU __5j5

Page 274: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU

19. Si a < b Y c < d, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?

1. a<d11. a-b<O

111. a+c<b+d

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1 y 11D) Solo 1 y 111E) Solo 11 y 111

20. ~5+%-2~1-¡ =

A) 1-4

B) 1-2

C) 3-2

D) 5-2

E) 1--2

21. fub·{ja2 -ab+b2 =

A) a+bB) a-b

C) <./a'+bJ

D) <./a5_bJ

E) Ninguna de las anteriores

22. La incógnita x representa la cantidad promedio de horas dedicadas semanalmente por unestudiante a estudiar durante el primer semestre; mientras que y representa la cantidadpromedio de horas semanales dedicadas a estudiar en el segundo semestre.Si 7 s x s 11 Y 5 s Y :s; 7, écórno varía,en promedio, la cantidad de horas de estudiodedicadas semanalmente por el estudiante durante un año?

A) ]5, 1 1[B) [5, 11]C) ]6,9[D) [6,9]E) [12, 18]

~M:: rvalidadooor iooo]rl I\\/C. "11.,to~";t;f".,

e-o"o..;.,v •:> •

"tJoa.~ ;:-,,'U) ;::-~

'" ,-.~~~s.~~~!~. ''"

~~~it

Ensayo 2 PSU

23. La suma de dos números es 20 y su diferencia es 140, écuél es el producto de estosnúmeros?

A) -4.8008) -60C) 80D) 480E) 4.800

24. La suma de las cifras de un número de dos dígitos es 9. El número que resulta al invertirlas cifras, excede en 27 unidades al número original. ¿Cuál es el número)

A) 18B) 27C) 36D) 63E) 72

25. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) ~iempre verdadera(s»)

1. El gráfico de una función exponencial es creciente.11. El gráfico de una función afín es una recta que pasa por el origen.

111. La función constante relaciona cada valor de la variable independiente con unmismo valor.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111D) Solo 1 y 11E) 1,11 Y 111

26. El punto (3, 2m) pertenece a la recta definida por la ecuación 2x-~y=l. ¿Cuáles el valor1 3de la mitad de m aumentado en _ 72

-A) 13--

4

B) 13-6

C) 17-4

D) 15-2

E) 8

rValidadoporiooo 1~f'!.sayo 2 • PSU 5

,-

Page 275: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSUEnsayo 2 PSU

27. Dadas las rectas L,: 3x - 5y - 15 = 0, ~: 5x + 3y - 6 = 0, L3: 3x - 5y + 10 = 0,L.: 5x - 3y - 3 = 0, Lcuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 29. El gráfico muestra la relación entre la altura que alcanza un alpinista durante el ascenso y

descenso de una montaña de 2.000 m de altura y el tiempo que demora. Si la montaña. no tiene planicies, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?1. L,/ /l,

11. l,.ll,• Altura que alcanzaun alpinista111. L, / /L.

2.500IV. L2J..L

4

A) Solo IV :§: 2.000 .•......................................

~B) Solo 1y 11 ~ 1.500C) Solo 111y IV

I1.ooo-r-··················"~-lO) Solo 11,111Y IV

<~': . I¡t#ft· 700 IE) Ninguna de las anteriores .t~\,O 60 120 180 240 300

Tiempo (min)28. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función f : IR ~ IR, definida por

El alpinista demoró tres horas y media en alcanzar la cumbre de la montaña.f(x)=lx+ 1Hx-117

A)

T CJt E)

-22

I X

B)~

D) -, y

2

I X

11. El alpinista durante el ascenso descansa en una oportunidad durante 15 minutos.

111. El alpinista se demoró una hora en descender desde la cumbre a la base de lamontaña.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1y 11O) Solo 1y 111E) 1,11Y 111

e:Q ".~ {<;:~;.

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'i4R rI AVF • lv1~tRmMir.~ rValidado por iDOO J rValidado por iDOO 1Ensayo 2 • PSU .,j

Page 276: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU

30. El gráfico muestra el precio por kilogramo que cobra una empresa de envío deencomiendas. Una persona envía tres encomiendas cuyas masas son 0,8 kg 3 kg Y2,5 kg.Si el costo de envío se aplica por cada caja dependiendo de su masa, écuénto dinero sedebe pagar por las tres encomiendas?

A) $ 1.000B) s 2.000C) $ 4.000O) $ 5.000E) $ 5500

Costode envíode encomiendasegúnsu masa

2500 ... ----.----------------r¡

i::~m! 1 !

I ¡ io 234

Masa (kg)

31. El ancho de un terreno rectangular mide 4 m menos que el largo. Si la superficie delterreno mide 84 rn-, zcuél de las siguientes ecuaciones permite calcular la longitud x dellargo del terreno?

A) x + (x + 4) = 84B) x(x - 4) = 84C) 4x - 8 = 84D) x(x+4)=84E) Xl - 4 = 84

~~n 1"'1 ,,\Ir. • ~ A••.••" •.•.•.;.:" ••.•

rV~lid~dOooriD001

e-o'0u.'.-g ~-,,-o.~.¡;:..:Q,g

...c _e:).

~··'f~·1

~:!~,!

~I

ensayo ¿ I-';)U

32. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. ¡;¡es un número mayor que cero para todo a E IR.

11. ¡;¡= a solo cuando a es un número real mayor o igual que cero.

111. Si a es un número real menor que cero, entonces ~ no es un número real.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1 y 11O) Solo 11 y 111E) 1,11 Y 111

33. Para la función real definida por f(x) = 2X2 + 3x - 2 se tiene que:

A) I ' . 3su va or rrurumo es 4

B) I ,. 3su va or rrururno es -4

C) I ' . 3su va or rnaxrrno es --4

O) I .. 25su va or rmrurno es -S

E) I ' . 25su va or rnaxirno es -8

34. lag b - (lag a + lag c) =

A) 10g(~C )

B) 10g(!JC) IOg(~)a+cO) lag (b - a - e)E) lag (b - a + c)

os;

[validado poriDOO JEnsayo 2 • PSU ~

Page 277: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU

35. La función f(x) = 8.000.000 • 1,4°,1" donde x es el tiempo en años, modela el crecimientode la población de una ciudad que adualmente tiene 8 millones de habitantes. ¿Cuál delos siguientes gráficos representa la variación poblacional para los siguientes años?

552 [Validado oor iDOO1CLAVE • M~tp.mMir<l

ensayo ¿ rou

.5-§ ·~i'O.D

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A) D)

'" '"~~l 'O~h:E~-:J ~ -=::Iv..:.:( .".:¡

d i I •1 2 o 1 2

Años transcurridos Años transcurridos

B) E)I -~~~~'1'" '" 37.'O " .~~ ~~

E~ E~'::J <u -:J (¡¡Z a. Za.

8.000.000 ....----- 8.000.000

..-O I 2 O

Años transcurridos Años transcurridos

C)

'""o:G.,¡ /.§~

sa::a ......., I !

38.--.I

,I

Años transcurridos

36. Sean f(x)=-~x2, g(x) = -x2 y h(x) = _2X2 tres funciones definidas en los reales.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. fex) > g(x) > h(x), para todo número real x.11. Los gráficos de las tres funciones se intersedan en un solo punto.111. Los gráficos de las tres funciones son parábolas que se abren hacia abajo.

A) Solo 1B) Solo 111C) Solo 1y 11D) Solo 11y 111E) 1,11Y 111

¿Cuál es el dominio de la función f(x) = lag (2x - 3) definida para números reales?

A) H,+oo[B) [~,+oo[C) ]-~, +oo[D) [-~,+oo[E) ]-00, ~[

Sea f : A ~ IR ~ IR una función. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera (s)?

1. El dominio de f es A.11. El recorrido de f es B ~ lR.111. Todo elemento perteneciente a A está relacionado con solo un elemento de

B <;;; lR.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111D) Solo 1y 111E) 1,11Y 111

[validado por iDOO 1 Ensayo 2 • PSU ,-

Page 278: Preparacion Psu de Matematica SM

lmIDm39. La siguiente figura es rotada en el plano en -90°, con el punto P como centro de rotación.

¿Cuál de las siguientes alternativas representa dicha rotación?

A) P )1

B) )1P

A.P

PCJl/ E) P eD) e p

40. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras es (son) posible embaldosar utilizando la figura l?

1.

11.

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

D) Solo 11 y 111

E) 1,11 Y 111

554 CLAVE· Matemática

FiguraI

EP111.

r--

I

- r--r--

-

rValidado pori000 1

Ensayo 2 PSU

e:Q ~.l:j .~:,::>

'"ea··e",a~;.:.~~~-(I) .•••~~

-e ~:'/

f~li

41. Dado el romboide ABCD cuyas diagonales ACy BD se intersectan en el punto E. ¿Cuál(es)de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

MeA B

1. CE= DE11. .ó.CBA::MDC

111. .ó.DEA:: .ó.CED

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

D) Solo 1 y 11

E) Solo 11 y 111

42. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

Al aplicarle una reflexión a un cuadrado con respecto a uno de sus lados, seobtiene un rectángulo.

11. Al aplicarle una reflexión a un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 3 cm y4 cm, con respecto a su hipotenusa, se obtiene un triángulo de igual área.

111. Al aplicarle una reflexión a un pentágono regular con respecto a una de susdiagonales, se obtienen un trapecio y un triángulo isósceles.

A) Solo 1

B) Solo 11

C) Solo 111

D) Solo 11 Y 111

E) 1,11 Y 111

43. Al punto A(7, 8) se le aplica una refiexión respecto al eje de las ordenadas. Si su imagen estrasladada según el vector ü =(-5,3), écuéles son las coordenadas del punto resultante'

·0 A) (2, -5)B) (2, -11)C) (-12, -5)D) (12, -11)E) (-12, 11)

].

.-.~

rValidado poriD001Ensayo 2 • PSU

Page 279: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU

44. En el rectángulo ABCD, el cuadrado EBCG tiene perímetro 4fi cm y el cuadrado AEIHtiene perímetro 8 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo HFCD?

:~:A E B

A) 3 cm-B) 5 cm2

C) (2fi +7 ) cm2

D) (2fi -1)cm2

E) -(2fi+ 7)cm2

45. A continuación se representan trozos de papel y los dobleces que se pueden realizar enellos. ¿Cuál(es) de estos trozos de papel permite(n) formar un cuerpo geométrico?

I.(?\.... c;:~:.~.....\\. ".¿p 111.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111O) Solo 11 y 111E) Ninguno

C:;C;h rl 1\\11= • "btnm6ti,..~ rValidado Dar i000 1

c:-o"8"-oea. ".,"e'~'" _.-o ";Qs:oo::2V>

º

"

Ensayo 2 PSU

46. El cuadrilátero ABCD es un rombo cuyo lado mide 13 cm. Si una de sus diagonal es mide10 cm, ¿cuál es su área?

/?CA B

A) 30 crn-

B) 60 crn-

C) 120 cm-D) 169 crn?E) 240 cm-

47. El segmento AS está dividido exteriormente por el punto C en la razón 5 : 3. Si elsegmento AB mide 70 cm, ¿cuál es la distancia entre A y O

>------+1-------------· ·1A B C

A) 35 cm

B) 105 cm

C) 112 cm

O) 350-cm

3E) 175 cm

48. En el 6ABC, DE, EF y FD son medianas. LCuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

1. t>EDF - MBC

11. .3BED '" .3BCA

111. .3FCE'" MFD

C

F~

~B

-a

A). Solo 1

B) Solo 11C) Solo 111O) Solo 1 y 111E) 1, 11 Y 111

~

~~.

rValidado oor iooo 1Ensayo 2 • psu .j

Page 280: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU

49. ¿En qué caso(s) los triángulos son semejantes?

1. A D

B

EC

11. C

A

111.o

~6~on80° 800 A B

E F

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111

O) Solo 1 y 111

E) Solo 11 y 111

cco .....• , ~",..... .._. - -- ..:.:-.

rl/ol;rlorln nM ; I)PIA 1

1"-iV¡:.~/.-"5.);."'~,,,'I,~tt1i.¡

,

e-o-8:>sa.~a".~ ~:a ..s:c ...::~ E

Ensayo 2 PSU

50. En la siguiente figura, «uánto mide el ángulo DEB?

A) 20°B) 46°C) 56°O) 66°E) 112°

p

51. Sea la circunferencia con centro en O. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son)verdaderas!

BE DE-=-AD CE

11. ~ + '1= o. + o111. m(4:AEC) = P + '1

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111

D) Solo 1 y 11

E) Solo 11 y 111

;.

~~o:;~g

r VRlidildo oor ioool

D

Ensayo 2 • PSU "

Page 281: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU

52. En la siguiente figura, «ual es la expresión equivalente a x?

A) p+2C)

p-1E) p+1

p-1 p-2 p+2

B) p+2D)

p-1p+1 p+2

53. En el 6ABC, DEI/Be, ¿cuál es la longitud de DE?

e12 cm

12cm/ ~

x 6cm

B D AA) 4 cm

B) 5 cm

e) 6 cm

D) 8 cm

E) 9 cm

54. En la figura, ¿cuál es la longitud del segmento AC?

C/E~A 16 cm D B

A) 9 cm

B) 12 cm

e) 16 cm

D) 20 cm

E) 25 cm

ccn n, ~"~ ._~.~ __.:.:__

[",Ii,hrln nnr iD8I81

Ensayo 2 PSU

"",'

.¡I,~

1,;"J

e-oB:>-eo·0..::';.',~·~A;

55. En el 6ABC rectángulo en e, BC = a y AC = b. ¿Cuál de las siguientes expresionescorresponde a sen(a)

A) a

Ja' -b'

B) a

Ja' +b'

C) Ja' +b'a

D) Ja' -b'a

E) b

Ja'+b'

56.

A~8

¿euál(es) de los siguientes prismas rectos, cuyas bases son polígonos regulares, tiene(n)más de dos pares de caras paralelas?

~

A) Solo 1

B) Solo 11

e) Solo 1 y 11

D) Solo 1 y 111

E) 1,11 Y 111;<.:

;;-5~ed:

¿v,<Ve.9

~¡g

rValidado por iDEYa 1

11. 111.

Ensayo 2 • psu

Page 282: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU Ensayo 2 PSU

57. Si el triángulo dibujado y su simétrico con respecto al eje Y giran en torno al eje X, «uél delas alternativas representa mejor el cuerpo que se genera? 58. Si FD.l AS Y FC.lAC, ¿cuál es el valor de ex?

y20°

Cx

I"'if

YA y .•. .~!!:'A) ( 111 D) Ii! ) '1.. • .. • .~X X ',.,

,~•...-

'ftil 59.:;f

YA v. ~;..':!;f

~/ 11: \

B) .. • E)X \ 11: / X

E

¿= 1 \,~A D

A) 200

B) 700

C)D)

E)

1.100

1600

Ninguna de las anteriores

La siguiente tabla muestra la cantidad de estudiantes de tercero y cuarto medio y supuntaje obtenido, según los intervalos dados, en un ensayo PSU de matemática. ¿Cuál(es)de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderats)?

Puntajeobtenido en un ensayoPSUde MatemáticaCurso Menosde 600 600 o más

TerceroMedio 40 30CuartoMedio 25 50

Los estudiantes de tercero medio que obtuvieron menos de 600 puntosrepresentan más del 25 % del total de los estudiantes que rindieron el ensayo.

11. De los estudiantes de cuarto medio que rindieron el ensayo, menos del 20 %obtuvieron un puntaje inferior a 600 puntos.

111. Si se elige un estudiante al azar, la probabilidad de que este sea de tercero medio

o haya obtenido 600 o más puntos es 24.29

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111D) Solo 1Y 111E) 1,11Y 111

C)X e-o

B"-oeo.~a~_:~:

~;~~'"::;; ,'1,;V'I";;o.~',':'

t" Ensayo2 • PSb'. __

~

~

~~o~~,

562 CLAVE· Matemática[Validado nor ioool [validado por iooo 1

Page 283: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU Ensayo 2 PSU

60. En una caja se disponen en tarjetas cada una de las letras de la palabra TRIÁNGULO sinrepetirlas. Si se extraen al azar dos tarjetas, sin reposición, (cuál es la probabilidad deobtener dos vocales?

A)16

4

27

E)2581

B)

518

D) 1681

C)

61. Se lanzan dos dados, de seis caras cada uno, no cargados. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. La probabilidad de obtener igual número de puntos en cada dado es L6

11. La probabilidad de obtener un número primo al sumar sus puntajes es 1~ .

111. La probabilidad de obtener un número menor que 2 al sumar sus puntajes es1

36'

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1y 11D) Solo 1y 111E) Solo 11y 111

62. Sean A y B dos sucesos mutuamente excluyentes de un experimento aleatorio, donde

P(A)=~ y P(B) =~. Al realizar el experimento, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra al

menos uno de estos sucesos?

11A) -

15

3B) -

15

2C) -

15

2D) -

8

E). No se puede determinar

564 CLAVE· Matemática rValirl~rl()nor iDB'81

c:-o'8:>uec.~Ol'"'O:aEoQ:

I

.12:~ .{.e:s':.owe

63. Respecto del lanzamiento de un dado de seis caras no cargado, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. Si se lanza seis veces, en una de ellas se obtienen cuatro puntos.11. Teóricamente, si se lanzara 600.000 veces, se esperaría que en 100.000 de ellas

se obtuvieran cinco puntos.111. Si se lanza diez veces, la suma máxima de los puntajes obtenidos es 30.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111D) Solo 1y 111E) 1,11Y 111

64. Según la tabla, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

Saltolargo en metros de 20 jóvenesDistancia(m) Frecuencia

[3,5; 4,5[ 4

[4,5; 5,5[ 8

[5,5; 6,5[ 5

[6,5; 7,5[ 3

1. Ocho jóvenes saltan 5,5 metros o más.11. Doce jóvenes saltan menos de 5,5 metros.111. El 40 % de los jóvenes salta desde 4,5 m y menos de 5,5 m.

A) Solo IB) Solo 11e) Solo 111D) Solo 1y 11E) 1,11Y 111

"3s;

rValidado oor ;DOO 1 Ensayo?~

Page 284: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU~ tnsayo L t'~U~I----------------------------------------~~

65. Según el gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

Preferenciade lugaresde veraneo

'".~uc::~~Q.

Q.>

"eQ.>

E'::>Z

Lago Camping Playa Campo Otros

Lugares

1. Se encuestó a 220 personas en total.

11. Un 10 % más de personas prefieren ir a un camping que aliaga.111. Aproximadamente, el 35 % de las personas encuestadas prefieren ir a la playa.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1y 11D) Solo 1y 111E) 1,11Y 111

66. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1. Cualquier variable cuantitativa discreta tiene solo una moda.11. Si la variable de estudio es cualitativa, no se puede calcular la media aritmética.

111. La mediana es el dato que más se repite.

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 111O) Solo 11y 111E) 1,11Y 111

566 CLAVE· Matemática[validado por iD&el

e-o"8::>

"OOa~ ;-a ,,\:,'" .~-:;<f:ft;2::" ,"'" I~.:'!' I0·'\:'-

~ ~:~,uJ'-' i• , I

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'"l .~'1,1iSi,~~.':;:~.f;

67. El gráfico representa el aporte de diferentes regiones del país a la producción nacional deharina. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

VI

1. Se produce más harina en la VIII que en la VII Región.

11. Más del 50 % de la producción nacional de harina es producida por la IXRegión.111. En la VII Región se produce alrededor de un tercio de lo que se produce en la VI

Región .

A) Solo 1B) Solo 11C) Solo 1Y 11D) Solo 1y 111E) 1,11Y 111

68. La probabilidad de acertar al blanco con un dardo es q. Si se lanzan dos de estos dardos,¿cuál es la probabilidad de acertar al blanco en ambas oportunidades?

A) q22<f

C) 2qO) qqE) q2

B)

"3-

s;

"

ª

[validado por iDOO 1Ensayo2 • PSU

Page 285: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU Ensayo ¿ ~~u-EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

Instrucciones para las preguntas N° 69 a la N° 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si losdatos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) Y(2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.

C) Ambas juntas, (1) Y(2), si ambas afirmaciones (1) Y(2) juntas son suficientes pararesponder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder lapregunta.

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

69. Sean p, q y r el aporte de tres personas a una sociedad. Se puede concluir que q es el20 % de r si: .

(1) 5q = r

(2) 4q = P

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

70. Sean a y b números reales. El producto ab es mayor que cero si:

(1) a < b(2) a> O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C). Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

568 CLAVE· Matemática [validadO por iDee]

71. Se puede calcular la suma de las edades de Rodrigo y Juanita si:

(1) Rodrigo tiene cinco años más que Juanita.

(2) Juanita tiene tres cuartos de la edad de Rodrigo.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

72. Sean a, b y e números reales con a of. O. El gráfico de la función definida pory = ax2 + bx + c intersecta al eje X en dos puntos si:

(1) c > O Y a < O(2) b> O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

73. El lIABC está inscrito en la circunferencia con centro 0, CD es altura del triángulo yOD = DB. Se puede determinar el perímetro del 6ABC si:

AI¿ al b 1 B

':::

(1) L'lOBC es equilátero.

(2) El radio de la circunferencia mide 8 cm.

'7,'0.;

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

oo:

.~(U

§G;S@

rValidado por ;DOO 1 Ensayo 2 • psu _

Page 286: Preparacion Psu de Matematica SM

Ensayo 2 PSU

74. En la figura, ¿cuál es el valor de x?,1

~D - I

I 1.0 16.A 3l.B 46.C 61.(2. B 17. E 32.B 47.E 62.A3.C 18. O 33.0 48.0 63. B4. B 19. E 34.B 49.E 64. E~

(1) a=~ t 5.C 20.C 35.E 50.0 65. ABC CD es: 6.C 2l.C 36.0 SU 66. B(2) -=-AC CE 7. E 220 37. A 52.A 67.A

A) (1) por sí sola 8. O 23.A 38. E 53.A 68 EB) (2) por sí sola9. ( 24.( 39.A 54. O 69.AC) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2) 10. B 25.C 40.0 55.8 70.CE) Se requiere información adicional 11. O 26.C 41. B 56.0 ?L(

12. E 27.B 42. B 57. E nA75. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio. Se puede calcular peA U B) si: 13.( 28. E 43. E 58.C 73. B

(1) peA) = 0,3 14.A 29.A 44.A 59. O no(2) peB) = 0,2 15. B 30.0 45. E 60.A 75. E

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) Y (2)D) Cada u na por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

-t',':;,~..

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570 CLAVE· Matemática rV"lio~rlo oor ;0001rValidado nor ;Doo 1 Ensayo 2 • PSU ..l

Page 287: Preparacion Psu de Matematica SM

IDENTIFICACiÓN DEL POSTULANTE

APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO

RESPUESTAS1 @@©®® 41 @@©®®2 @@©®® 42 ®@©@®3 @@©®® 43 @@©@®4 @@©®® 44 @@©@®5 @@©®® 45 ®@©@®6 @@©®® 46 ®@©@®7 @@©®® 47 @@©®®8 @@©®® 48 @@©®® OJ II I II I ti O9 @@©®CD 49 @@©®® ®® ®®® ~::[® @

10 @@©®CD 50 ®@©®® G)<D (DG)(D 1: G>::r G)11 ®@©®CD 51 ®@©®® :1)® @®® 1: ~CI" @12 ®@©®CD 52 ®@©®® J:® @®®.]::X® @13 @@©®® 53 ®@©®® j)8) @@@ .IJ~ @14 ®@©®® 54 @®©®® ,]: ,:[) ®®,'I' 3:I1' @15 @@©®® 55 @@©®® :§:~ @@]) :§:§,E ,]:;16 @@©®® 56 ®®©®® JYj) (J)(J):];, TI'!: 1)17 @@©@® 57 ®@©@® ,]; :ID @(]:]) J]::[ '1)

18 @@©@® 58 ®®©®lJ ]:]) @í]::ID ]:i]:: :[19 @@©@® 59 ®®©®® :K20 @@©@® 60 ®®©®::r

I21 @<ID©@(B 61 I~®~@l)

I 22 @@©@® 62 ®®©@,g;,I 23 @@©@,CD 63 ®®©.];g;I 24 @@©@® 64 ®®ct(1)I

I 25 @@©®® 65 ®®©@®I 26 @@©@® 66 ®®©@®I

27 ®@©®® 67 ®®©@® BuenasII 28 ®@©@® 68 ®®©@® MalasI 29 ®@©@® 69 ®®©@®I

30 ®@©®® 70 ®®©®® OmitidasII 31 ®®©®® 71 ®®©@(~)I 32 ®@©®® 72 ®®©@®.. I

33 ®®©®® 73 ®®©@®II 34 ®®©®® 74 ®®©@®

.0 I 35 ®@©®® 75 ®@©@®I

36 ®@©®®II 37 ®@©®®I 38 ®@©®®

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rValidado oor ;DOO 1 Hoja de respuestas 5

Page 288: Preparacion Psu de Matematica SM

11www.ediciones-sm.cl

Servicio de Atención al Cliente:600381 1312

IDENTIFICACiÓN DEL POSTULANTEI

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III

I

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III

III

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APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO

RESPUESTAS1 @@©@® 41 @@©@®2 @@©@® 42 @@©@®3 @@©@® 43 @@©@®4 @@©@® 44 @@©®®5 @@©@® 45 @@©®®6 @@©@® 46 @@©®®7 @@©@® 47 @@©@®8 @@©@® 48 @@©@®9 @@©®® 49 @@©@®10 @@©@® 50 @@©@®11 @@©@® 51 @®©®®12 @@©@® 52 @@@@®13 @@©@® 53 ®@©®®14 @@©@® 54 ®,~©,])®15 @@©®® 55 @@©~®16 @@©@® 56 @@©@®17 @@©@® 57 ®@@·]:;·(f18 @@©@® 58 ®.];~, .,Q:"(t,19 @@©@(D 59 @@©@®20 @@©@(D 60 ®@'C'~:r21 @@©@® 61 CE ~ I ]!I'j22 @@©@® 62 ®.ID© @:f¡23 @@©@(D 63 ® @©' ]: :1)24 @@©@(D 64 ®@©@(D25 @@©®(D 65 ®@©@(D26 @@©@(D 66 @@©@(D27 @@©@(D 67 ®@©@®28 @@©@(D 68 ®@©®®29 @@©@(D 69 ®@.©@(D30 @@©@® 70 ®@(~)@®31 @@©@® 71 ®@@@(D32 @@©@® 72 ®@©@®33 @@©@® 73 ®@©@®34 @@©@® 74 ®@©®®35 @@©®® 75 @@©@®36 @@©®®37 @@©@®38 @@©@®39 @@©@®40 @@©®®

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NÚMERO DE IDENTIFICACiÓN

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