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  • Edicion Revisada hasta el 1 de Marzo de 2009

    Apuntes de preparacion para la

    Prueba de Seleccion Universitaria

    M A T E M A T I C A2009

    Pamela Paredes N unezManuel Ramrez Panatt

    Estudiantes de Licenciatura en Ciencias ExactasFacultad de Ciencias, Universidad de Chile

  • Apuntes de Preparacion para la Pruebade Seleccion Universitaria Matematica.

    c AutoresPamela Paredes NunezManuel Ramrez Panatt

    Diseno y Diagramacion

    Manuel Ramrez Panatt

    Primera edicion

    Abril de 2008

    Segunda edicion

    Marzo de 2009

    Registro de Propiedad Intelectual N171.533

    Santiago, Chile.

    Las ediciones de este documento se mantendran actualizadas en la web http://zeth.ciencias.uchile.cl/manramirez

  • Simbologa Matematica

    < es menor que = es igual a> es mayor que 6= es distinto de es menor o igual que es equivalente a es mayor o igual que es semejante a es perpendicular a = es congruente con// es paralelo a pertenece a] angulo 6 no pertenece a contenido en AB trazo AB para todo existe implica union entre conjuntos si y solo si (doble implicancia) interseccion entre conjuntos

    Y para nuestro libro. . .

    Ejemplos Actividades Observaciones

  • Indice general

    Presentacion VII

    I Apuntes de Preparacion para la PSU Matematica 1

    1. Numeros 31.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.1. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2. Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Numeros Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Numeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4. Numeros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.5. Numeros Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.6. Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3. Operatoria con los numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2. Mnimo Comun Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3. Maximo Comun Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.5. Orden Operatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.6. Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.7. Potenciacion y Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.8. Notacion Cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.4. Mini Ensayo I, Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2. Proporcionalidad 232.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.1.1. Razon Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2. Razon Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1. Proporcion Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2. Proporcion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3. Proporcionalidad Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.4. Proporcionalidad Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.5. Proporcionalidad Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    i

  • INDICE GENERAL

    2.3. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Porcentaje de una Cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2. Porcentaje de un Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.4. Mini Ensayo II, Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3. Introduccion al Algebra 373.1. Signos del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Lenguaje Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.3.1. Termino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2. Clasificacion de las Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.3. Terminos Semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.4. Eliminacion de Parentesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.4. Productos Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.1. Multiplicacion de Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.2. Multiplicacion de Polinomio por Monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.3. Multiplicacion de Polinomio por Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.5. Mini Ensayo III, Expresiones del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    4. Desarrollo Algebraico 474.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4.1.1. Cuadrado de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2. Suma por su Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.3. Cubo de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.4. Multiplicacion de binomios con un termino en comun . . . . . . . . . . . 484.1.5. Binomio a una Potencia Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    4.2. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.1. Factor Comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.2. Factorizacion de Trinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.3. Factorizacion de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.4. Diferencia de Cuadrados Perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.5. Completacion de Cuadrados de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4.3. Mini Ensayo IV, Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5. Ecuaciones Algebraicas 575.1. Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2. Ecuacion de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    5.2.1. Resolucion de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.2. Redaccion de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    5.3. Ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.1. Ecuacion incompleta total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.2. Ecuacion incompleta binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.3. Ecuacion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.4. Propiedades de las raices de la ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . 62

    5.4. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4.1. Resolucion de Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4.2. Sistemas de Ecuaciones de 3 incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4.3. Casos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.5. Mini Ensayo V, Ecuaciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    ii P. ParedesM. Ramrez Prueba de Seleccion Universitaria

  • INDICE GENERAL

    6. Ecuaciones no Algebraicas 776.1. Ecuacion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    6.1.1. Resolucion de Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2. Ecuacion Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    6.2.1. Significado de un Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.2. Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.3. Resolucion de Ecuaciones Logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    6.3. Aplicacion de los Logaritmos a las ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . 816.4. Mini Ensayo VI, Ecuaciones no Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    7. Inecuaciones 877.1. Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    7.1.1. Intervalo Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1.2. Intervalo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1.3. Intervalo Semi-Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    7.2. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2.1. Desigualdad Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2.2. Desigualdad Condicionada o Inecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    7.3. Resolucion de Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.4. Mini Ensayo VII, Desigualdades e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    8. Funciones 958.1