libro psu matematica uc parte 4

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICATest W 7: Geometría Analítica básica

1) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado con su centro en el origen O y de lados paralelos a losejes X e Y. Si las coordenadas del vértice C son (4,4), ¿cuáles son las coordenadas del vértice A?

A) (-40/2, -4-12)

B) (-':-4-12;~)

C)' ('-4, -4)

D) (~,4)

E) (4,-4)

y.

D e

o

A· B

2)· Si el punto A tienecoordenadas (1, 2) y.el punto B tiene coordenadas (9,8), ¿cmí.l es la distancia entreA y B?

A) 10

B) 9

C) 8D) 7

E) 6

3) La 'distancia entre los puntos A(-5, 4) Y B(7, -1) es

A) 5

B) 17'

C) 13

D) 18

E), 600,

4) ¿Cuál es el perímetro de un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas (1,4); (1, 7)y (4;4)?

A) 3+.J2

B) 3-12.C) 6

D) 6+3F2

E) 9+3.fi

l'J '" ,\

x

¡,;SEGUNDO EJE TEMÁTICO f Test' N" 7. GEOMETRÍA ANALíTICA BÁSICA

5) ¿Cuál es el área de' un círculo que tiene un diámetro con extremos A (-3,3) y B (3, -3) ?

A) 24n:

B) l8n:

C) l2n:

D) 9n:

E) 4n:

,6) Si A ( 0, a). B (O,-4) :C(2, -1) Y D (2,2) son los vértices de un paralelógrarno, entonces a =A) -8

B) -7

C) -6

D)-2

E)-l

7) El área de la figura que resulta al unir consecutivamente los puntos ~ (-1,-2), B(3,-2), C(5,2) y

D(I,'2) es

. A) 4$5

B) 1612

C) 2$5

D) 16

E) sF2

8) El área del triángulo con vértices en los puntos A(3,4), B(-3,-I~ y C(I,-3)' es

A) 16

, .Jl3. J6íB) --

2

.Jl3.~C) 2

D) 12

E) 10

135

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

9) El cuadrilátero ABCO es un trapecio isósceles con An·!! BC y vértices A{3,O) , B(2,3).y

C (-2,3). Las coordenadas del vértice D son

A) (-1,0)

B) (-2,0)

e) (-3,0)

D) (~4,0)

E) (7,0)

lO) Tres de los cuatro vértices de unparalelógrarno tienen coordenadas: (O,-2), (-1, O) y (-2, -2). Las'

coordenadas del cuarto vértice pueden ser:

1) (-3,0) II) (1,0)De las afirmaciones anteriores, esíson) verdaderats):

A) Sólo 1

B) Sólo TI

e) Sólo IDD) Sólo 1 y II

E) 1, II Y ID

11) El triángulo que tiene vértices en los puntos A(0,3), B(7,6) y C(2,8) es

A) escaleno

B) equilátero

e) re~táng\llo escaleno

. D)' rectángulo isósceles

E) obtusángulo

12) Las coordenadas del punto medio del trazo que· tiene por extremos los puntos

Q(2,5 ; 1,6) son

A) (3,8; 4,0)

B) (1,9;2,0)

e) ,(3,8; 2,0)

O) (1,9; 4,,0) . ,

E) (1,8; 2,5) .

136

-<

ID) (-1,-4)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N" 7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁS!C~'

13) Si· M (-3, O) es el punto medio del trazo AB, con A (4,6) . entonces las coordenadas de B' son

A) (-ID. -6)

B) (i, 3)e) (11. 12)

O) (i.3)E) (-:-5. -3) .

14) Si el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos P(m.2) y Q(3m,~4) tiere

coordenadas (-6, -1), entonces m =

A) -4B) -3

e) -2

. 3D) --

2E) 2

15) Si A(-2,0), B(1O,8)Y e(0,8) son los vértices de un triángulo. ento~ces, la ~edida de la longitud cela transversal dé gravedad t, es

A) 4.[2

B) .J29

e) 216p (1,,3 ; 2,4) Y t D) 215

E) 4.

r

117


16) Si A(-2,S), B(-4,1) , C(-2,-3)y D(O,I) son los vértices de un cuadrilátero, ¿cuál(es) de las

siguientes proposiciones es(son) verdaderaís)?

1) ABCO es un rombo

U) Perímetro de ABCO es 8.)5

Ill) Área de ABCD es 32

A) Sólo 1 '

B) sere r y nC) Sólo Iy III

, O) , Sólo II y III

'E) 1, U Y III

l7) La distancia entre los puntos P [a,b) y Q (b, a) es siempre igual a

,A) °B) a+b

C) 2a+2b

O) (b-a)$

E) lb.., al.J2

18) ¿Cuál(es) de las siguientes PíOPosicion~s relativas al triángulo de vértices D(4,1), E(-l,-l) y

F(2,-4) es(son) verdaderars)?

1) 6, OEF es isósceles con base EF

7.J2II) La altura respecto al lado EF mide --" 2

rm 'El áfea del 6, DEFes E, 2A) S610 1

B) S610 II

C) Sólo 1 y U

O) S610 1 y III

E) , 1, II Yni

138

"

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICA

19) En la figura adjunta, el área del triángulo ABC es 24, ¿Cuáles son las coordenadas del punto B?

A) (W,-2)l'j¡

E) (10,2)<;:(2,4)

C) (2,6)

°1 b ~BX

O) (8,-2) A(2,-2)

E) Falta información para .determinarlas.'L,

20) Si ,A(-2,-i) Y B(2,-2) son dos vértices del triángulo equilátero ABC, entonces las coordenadas,del vértice C pueden ser:

1) (0,2(F-:-l)) II) (0,-2(,.}3+1)) III) (0,0)

A) Sólo 1

B) S6lo nC) S6lo III

D) Sólo 1 y nE) I, II Y ID

21) En la figura adjunta. ¿cuál es el área 'de la superficie achurada?

yA) 5,5

3B) 5.0

2C) 4.5

O), 3,0

'E) 2,5 UI 1 2 3 X

,22) Si A(-6,0). B(O,O) y C(0,8)' son los vértices de un triángulo. la medida de la longitud de la

mediana que es paralela al lado AC es

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) io

139

25) ¿Cuáles son las coordenadas del.vértice B del triángulo OAB de la figura adjunta? I (2) El círculo tiene su centró en el origen y pasa por el punto de coordenadas (-1,2.J3).A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)'

D), Cada una por sí sola, (1) ó (2) .

E) Se requiere información adicional

29) Se quiere determinar I<\Scoordenadas del vértice B de un triángulo equilátero ABC del cual se conocen:

A(-:-6;O) y C(O,.6).

PSU. Cuaderno 'de Ejercicios; Matemática

23) Si el "'- PMN de la figura adjunta, es isósceles con base PM, entonces ,se puede afirmar que lascoordenadas del vértice M son

A) (O,2b)Y.

B) (2b,i) I Wb,c)

C) (2c,a)P(O,a)t'J '>M

D) (2b,a)

°1 X

E) (2a,2b)

24) En la figura del ejercicio anterior, ¿cuáles sonIas coordenadas de la, imagendel punto N, 'como

resultado de' una reflexión respecto de la recta PM 7

A)(b, -c)

B) (-b,c)I

I C) (b,a-c)

D) (bJ2il+c)

E) (b,2a-c)

(O aJ3)A) '3

(o2aJ3) y,B) '3

C) (O,2a) B

D) (O,~)

E) (o,~)A(a,O)

140

x

SEGUNDO EJE TEMÁTICO J Test N° 7. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSIC~',

26) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a una circunferencia con centro en el origen y radio107

l) (8,6) ,Il) (-sfi, -sfi) 'IlI) (-251,4)A) seierB)Sólo rrC) 'Sólo ly II

D) Sólo l yIlI

El l, TI r lIT

27) Si A( -2,3), B( 5,3), C( a, 7) y D(l,7) son los vértices del paralelógramo ABCO, entonces la

diagonal. AC mide

A) n

B) ,2J29C) 6.J3,D) 10

E) 4fi28) Para determinar el área de un círculo se sabe que:

(1) Los puntos de coordenadas (3,2) y (-3,-2) son los extremos de un diámetro del círculo,

(1) B es un punto del cuarto cuadrante ..

(2) B es un punto de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)


111


30) Para determinar las coordenadas del baricentro G de un triángulo ABe se sabe que:

(1) Sus vértices son: A(-5,2), B(3,0) y C(I,6).

(2) Los puntos medios de los lados tienen coordenadas: (-1,.1), (2,3) Y (-2,4).

A) (1) por sí sola

B) ·(2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)


142

~r'f

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 8. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECIA

CAPÍTULO '7. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTATest N° 8: Ecuación cartesiana de la recta

1) Dados los puntos A(2, S), B(3, 4) Y CC-l, x). ¿Qué valor debe tener x para que los puntos A,By e sean colineales?

A) -1

B) Oel

D) 4

E)

2) Si, el punto Q, cuya ordenada es -7, pertenece a la recta cuya ecuación cartesiana es ,6x - Sy = iJ,entonces la abscisa de Q es: '

Al -3

Bl -2

el O

D) 1

E) 7

3) El punto Míx, x + 1) es el punto medio del segmentocuyos extremos son los puntos A(-x + 3; 5; YB(5x - 1, 3x - 2l,'entonces x =

Al -5

Bl -1

e) 3

D) 7

E) 9

4) El punto P, de abscisa -2, es un punto' de la recta de ecuación cartesiana 3y'- 2x = 19. Entonces, la ordenada' de P es

Al

B) 3,e) , -2

23D) 3'

El252 .

S) La ecuación cartesiana que representa a la recta de la figura es

A) -3x -lo 2y = O

Bl3x-2y+2=O

e) 2x-3y+2=O

D) -2x + 3y + 6 = O

E) 2x - 3y + 6 = O

-3 o x

~3


6) La ecuación que representa a la recta de la figura es

A) 2x + 3y - 6a = O

B) 3x+2y-6a=0

'e) 3x - 2y - 6a = O

D) 3x + 2y + 6a =0

E), 3x - 2y + 6a = O

7) La recta de la figura está ,mejor representada por la ecuación

A) x - 2 = O

E) y - 2 = O

C) x+y-2:=0

D) x + y +2 = O

E) x-y+2=0

8) La recta de la. fj~ura está mejor representada por la ecuación

A) X,- 1 = O

B) x + 1 = O

C) y~l=O

D) y + 1 = O

E) x + y +'1 = O

,9) La ecuación' de la recta de la figura es

A) x + y + '2 = O

E) x + y ~ 2 = O'

e) x - y + 2 = O

D) x - y - 2 ='0

E) x'-y=O

10) La ecuación cartesiana que representa a 'la recta .de la figura es

A) 2x - 3y = O

B) 2x + 3y = O

e) 3x + 2y = O

D) 3x - 2y = O

E) 3x + y = O

144

,Y

2.1

o1

y2

1 -

-1 oI -1

2

.x

x

x

x

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RICTA

\.1) La pendiente de la recta de ecuación: 3ic - 9y - 4 = O es

A) 3

B) -31e) --3

1D) -3

E)4

9

12) La pendiente de la recta de ecuación: x = 4y _ 8 es

14

B) 4

e) 1

D) 8

E) 2

A)

13) Para' que la recta de ecuación: 3kx + y - 10 = O tenga una 'pendiente 6, el valor de k debe ¡er

A) 2

B) -2e) 3D) -3

E)6

14) Una recta paralela" a la recta de ecuación: 5y = 12x + 20 es

A) Y = 12x + IB) y ,,;-sx - 2

C) Y = 4x + 8

12D) 5y= s-x-l

E) ,10y = 24x

15) La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-5, ,2) Y Q(2, -1) es'

A) 3x + 7y + 1 = O

B) x + 2y = O

C) 3x + 8y -r 1 = O

D) 4x + 7y - 1 = O

E) 2x + 5y = O

145

\1···.·

1,i~,,

It·

~~

I~~

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Maremática

16) La recta L del gráfico de la figura siguiente tiene por ecuación:

J7) ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la nieta 5x - 10y + 8 ,;, O? .

'. . ' , . 3,18) La recta que pasa por el punto (-3,2) Y que es paralela a la recta y =- x+2 es. '. . 2

A) x - 2y + 7 = O

B} Jx - 2y + 13 = O '

C) 3x + 2y ~ 2 = O

D) 3x": 2y - 5 = O

E) 2x + 3y - 1 = O.

19) Si las rectas L, : 4x - 3y = p, Y' L2 :-2x + ky = 15 son paralelas, entonces el valor de k, es:

'j.•

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

I . . '

20) La rectal pasa por el origen del sistema de coordenadas y es perpendicular a la recta y = x - 2.La ecuación de l es

A) Y = x

B) y =-x

C) y = x + 2

D) y=-x+2

E) y = -x - 2

2.1) La ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (-2, O) Y es perpendicular a la recta3x + y = 2es:

A) y = x + 2

B) Y = 2x + 3

1e) y=-x+2

3

1D) y=-x-2

3

1 1-E) y=-x+-

3 3

22) La ecuación que representa a la recta L de lafigura adjunta es:

Al -x -'3 = Y

E) x - 3 = Y

C) x + 3 = Y

D) x - 3y - 3 = O

E) 3x - 1 = 3y

L

3 x

y3

2

-3 -2 -1

A) -3 l . 23).;.

3B) -"2

2C) -

3

3D) -2

E) 3

o 2

Dados los puntos M(7, -1) Y N(-2, 8),en¿ontrar la ecuación de la recta que pasa por el origende!. sistema de coordenadas y es perpendicular a la recta. MN.

A) x + y =0

E) x - y '= O

C) 4x -:-y = O

D) x + 4y = O

E) 7x - y = O

147

yA) x + y = 2 3

L, "-B) x -i- y = 3

<; 2C) 2x - y = l

~ ~I D) x + 2y = 2 • ,

01 2'--- " X1E) 2x'¡' y '= 2

A) Sx - 2y + 4 = O

B) x - 2y -i- 16 = O

I I 8C) x + 10y +.'-'- = Oi . 5

I."1

8 .D) x - lOy +- = O

5~I~ 1 8~ . El x + 2y + - = O~ 5!.

146


~

I\

l.

24) La ecuación de la recta que corta a los ejes X e Y en los puntos (5, O) Y (O, 2) respectivamente,.es:

A) 2x -5y = 10

2 .B) y=--x+l

5.

2 .C) x =l--y

5

D) 5x + 2y = 10

El 2x + 5y = 10

25) El perímetro del triángulo determinado por la recta ~ + 'i... = 1, Y los ejes de coordenadas es:.4' 3 '

A) 5

B) 6C) 7D) 9

E) 12

26) En la figura adjunta, la ecuación de la recta L, es y = % x , ;la ecuación de la recta L2 es y = ~ x +2 ,

y L¡ L,El área del triángulo OI'Q mide, en. unidades, cuadradas:

A) 1

Bl' 2

C) 3D) 4

E) 6

27) Si se hace rotar en 90°, enel sentido antihorario, la recta x + y = O en torno al origen del sistema. de coordenadas, entonces la ecuación de la recta así retada será:

1)

Il)

III)

A)

B)

C)

D)E)

-x - y = O

x-y=O-x + y = OSólo 1

.sólo II

Sólo III

Sólo II y III

Ninguna de las anteriores

148

x

lSEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

~.28) Se pide determinar la ecuación de' una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas;

Para ello se sabe, además que: ' '

(1) pasa por el punto (1, 2)

(2) tiene pendiente 2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




29) Dada la recta cuya ecuación es 2x + ky - 7 = 0, se pide hallar la ecuación de la recta paralela aella si se sabe que:

(1) pasa por el origen del sistema de coordenadas

(2) k = 5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2),


30) Una recta corta a los ejes de coordenadas X e Y en los puntos P y Q, respectivamente, Se pidedeterminar la pendiente de la recta PQ y para ello se. da la siguiente información:

(1) P(4, O)

(2) Q(O, 3)

.A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




149


CAPÍTULO 8. SISTEMAS DE EéuACIONES LINEALESTest N° 9: Sistemas de ecuaciones lineales

1) Si u = v, y 4u = 2v - 6, entonces' u =

A) -12

B) , -6

C) -4

D) ,:-3

E) -2

'2) Dado que x = 5 - 3y, y' x = 9 + y, entonces ,«y» es igual a

A) -7, B) ,-2

C) -1

D) 7E) 8

3) Si 2x - Y = 5, Y x + 2y = 25, 'entonces x =

A) 25

B) 9

C) 7

D) 3

35E) 4

4) Si x + 3y =15, y «x» es el doblede «y», entonces los valores de «x» y de «y» son, respectivamente

A) 6 y.3

B) 4 Y 2

C) 2 Y 1

D) 10 y 5

E) 8 Y 4

5) Si 3x - 10y = 40, y

A) -7

B) 3~5

e) 6'

D) 7

E) 14.

4x + 3y = 9, entonces x - y =

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6) Dado el sistema 13x-lly =171, los valores de (x + y), y de (x-y) son respectivamentellx-13y=7 .

150

A) 5 Y

B) -1 Y 5C) 1 y 5

D) -5 Y -1

E) -1 Y-5

7) Dado el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente

x+2y=0x:y=2:3

El conjunto solución del sistema es

A) {(O, O) }

B) ((-2, l)'}

C) ((2, 3) }

D) (H, -3) }

E) <1>

8) La solución del siguiente sistema está dada por dos números enteros consecutivos y positivos x e ytales que x > y: I

x+.y =k Ix-y=k-2

entonces el valor de «k» es

A) OE) 1

C) 2D) 3

E) 4)

2x-3y=89) Dado el sistema ,',1, entonces la solución es

6y-4x=9

A) x =4, Y = °" 2

B) x=O,y=3"

C) -x = O, Y = °D) no hay solución.

E) hay un número infinito de soluciones.

151


10) ¿Qué valor debe tener el parámetro «a» para que sea x= y en el siguiente sistema?

ax-t-4y=1l9

5x-ay= 34

A) -3E) O

el 3

D) 17

E) 34

11) La representación gráfica de las ecuaciones delsistema:

4x-6y=8-6x-t-9y=0

corresponde a:

A) 2 rectas paralelas.

E) 2 rectas perpendiculares.

e) 2 rectas concurrentes.

D) 2 rectas coincidentes.

E) No corresponde a recias.

. 2x + ty = 4 . . , .12) El sistema 2 6'1, no tiene solución SI t =4x-t- y=

A) -4E) -1

C) 1

D) 2

E) 4

13) ¿Qué valorhay ,que dar a los coeficientes a y brespectivamente, para que el siguiente sistema seaindeterminado?

3x+5y=1

ax-by=4

A) 12 Y -20

E) 12 Y 20

e) -12 y 20

D) -12 Y -2.0

E) Otros valores

152

SEGUNDO EJE TEMÁTlCO I Test W.9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

'14) Dado el sistema:

8x-t-6y-24=0

-12x -9y + 36 =0

Los valores de x e y corres ponden al par ordenado

A) (3, O)

E) (0,4)

e) (--,3,8)

D) (6, -4)

E) Hay una infinidad de pares ordenados que lo satisfacen.

15) ¿Cuáles'son los valores de aye, respectivamente, para que la gráfica de ax+Sy= c contenga al

origen y al punto (-6, -lO)?

Al 5 Y O

B) -5 Y O

e) O y -5

D) O y 5

E) -5 Y 5

ax+ by =a' + ab16) Sean a 10 b, Y a 10 -r b. Si 'ay + bx: =b' + ba entonces xy =

A) O

B) a + b

e) ab

D) a' -b'

E) a'-t-b'

17) Dado el siguiente sistema de ecuaciones para x e y, siendo a'" b , entonces (x + y) ,=

x y--+--a + b a-b

x-y4ab

2a

A) 4a2

B) (a-t-b)'

C) a'-b'

D) a2 + b'

'E) 2(a'+b')

153

"!~


18) ¿Para cuál, de los siguiente-s pares de valores de u y v las rectas L¡: 5x - 2y-l0 = O, y

L, : .15x - uy- v = O son paralelas no coincidentes?

u v

A) 3 6

E) 3 30

Cl 6 10

D) 6 30

E) 10 20

l·

19) La 'suma de dos números es 27. Dividiendo el mayor por el menor se obtiene un cuociente igual a 2y un resto de 6 unidades. ¿Cuáles son los números?

Ál 19 y 8

E)' 20 y7

C) 22 y 8

D) 11 y 10

E) 18 y 11

Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, menos un año. En dos años más, el padre tendrá eldoble de la edad de su hijo más nueve años. ¿Cuál es la edad actual del padre 'f del hijorespectivamente? .

20)

Al 23 y 8

El 29 Y 10

Cl 56 y 19

r» 35 y 12

El 59 Y 2021 1 El denominador de una fracción excede al numerador en 5 unidades. Si el denominador se aumentara.

en 7, el valor de la fracción sería ~. ¿Cuál es la fracción?2

2Al -. 7

1El '2

12C) . 17

22r» 27

32E) 37

154


22l En un rombo la suma de las díagonales es 14 cm y se sabe que el área no varía cuando la diagonalmás corta aumenta en 2 cm y, al mismo tiempo, la diagonal más larga disminuye en 2 cm. Elperímetro del, rombo es de

Al 14 cm

E) 15 cm

C) 16 cm

D) 20 cm

E) 24 cm

23 1 Una lancha recorre 6 km en 40 minutos en favor de la corriente; el viaje de regreso le toma 1 hora.

Encontrar la rapidez de la lancha en agua tranquila, en kif¡h

Al 1,5

Bl 3C) 4,5

D) 6

E) 7,5

24) La suma de 'los dígitos de un cierto numero menor que cien es once. Si los dígitos se invierten,entonces 'el 'numero disminuye en nueve unidades. La diferencia positiva entre las cifras del númerooriginal es

A) O

E)

C) 2

D) 3

E) 9

25) En la' figura adjunta, MN..L OM Y PN..L OP. Si R es el punto de intersección de la recta

L¡ : x - y = O con la recta L2: 3x + y - 3a = O. ¿Cuál es la razón entre las áreas del triángulo OMRy el cuadrilátero OMNP?

yA) 1: 8

E) 1:6

C) 1:4

D) 1:3

V ~b I

E) 3:8

Jl\~

X

155


ti¡:i'

~~~'

tt

\11:t,l'!i.I

~

i!¡:¡e: I¡,

¡lI

~i!!II¡11~

En una bolsa hay bolitas blancas y negras, 'La quinta parte de las blancas equivale a la tercera partede las negras y el promedio del total de boJitas excede en seis a la mitad de las blancas, S.í b es elnúmero de boJitas blancas y n el número de bolitas negras, el sistema que nos permite calcular b y nes:

26)

b n- -

3SA) b~=~+6

2 2

b n- -

53B) b+n=~+6

_2_ 2

b n- -3S

e) b~=~_6L 2

b n- -

53D) b+ n _ ~ + 62 - 2 '

~=~_ 5 3E) b~=~_6

2 22x -'-,6y'=. 3

27) Si el siguiente sistema px + lOy = qdepyqson

10 15A) P=~3' q=-3

6B) P=-s

9q=-S

10 9,C) P=-3' q=-S

9q=-5

6D) p=-S

6E) P=S'

tI

Ü9q=-S

156

••••

tiene un número infinito de soluciones. entonces los valores'


28) El siguiente sistema tiene una única solución para las incógnitas "x" e "y" si:

ax+by e cdx+ey=f

(1)a b-;é-d ' e

(2) c;é f

A) (1) por sí sola

B) (2)por sí sola

C) Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)

E) ,Se requiere información, adicional

'29) Se pueden determinar las ed~des de Ignacio y Francisca si se sabe que:

(1) La edad de Francisca excede' en 7 años a la tercera parte de la edad de Ignacio,

(2) La edad-de Ignacio es ig~a1 al tri;le de la de Francisca disminuid~ e~ 21.

A) (1) por .sf sola

B) (2) por sí sola,

C), Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (I), ó (2)


30) ¿Cuál es el valor de x e- y?

(1) a-b = 12

(2) ax + by-ay-bx = 24

A) (1) por sí sola

B) , (2) por sí sola

C) 'Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)

E), Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

157

3' - 33 equivale a

A) 3'

B) 15 t 11 )

C) 33',23

D) 33.24• 5

E) 33


CAPíTULO 9. POTENCIACIÓNTest N° 10:' Potendas

,1) De acuerdo a la d~finición inductiva '(n de potencia para basé real y exponente natural, la expre-sión a' +, es igual a' ,

'1) a' +, . aO II) a" a III) a' -, . a'

A) Sólo L

B) Sólo n..e) ,Sólo III.

D) Sólo I Y,II.

E) 1, II't IlL

2) La, potencia 96

1)

A)

B)

e)D)E)

tiene el mismo valor que lafs) potencia(s)

3" II) 81'

Sólo I y n.

Sólo n y III.

Sólo I y 111. '

1, u y III.

1Il)

Ninguna.

3)2'+11'=

A) 53

B) 13 z

C) 133

D) 13'

E) 223

4) 73_ '10'=

A) (-W)3) (_3)3

e) (-3)'

D) 3'

E) 3'

5)

• Para la definición inducuva del concepto de potencia de base reafy exponente natural. consultar-nuestro Manual de Preparación P.S.U. Matemática, editado porEdiciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006, página 188. '

158

729'

f

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 10. POTENCIAS

6) El número más grande que se puede escribir utilizando exactamente tres veces la cifra tres, sinusar signos de operación, es '

A) 333

B) 333

C)- 333

D) (33)3

E) 313'l,

7) l > (-1)' _(_1)0. (-1)': (-1)3 =A) -2

13) -1

C) OD) 1

E) 2,

8) ¿Cuál es la cifra de las unidades del número 36O?A) O

B) 1

e) 3

D) 7

E) 99) (-2)' + 2-'

A) O

B) 1

C) 4

D) 4!

E) indeterminado

10) 3' . 27' =

A) 3"B) 322

C) 81'

D) 81"E) 81 as

La cuarta potencia del doble del cubo de cinco se escribe simbólicamente comoA) 4.2.53

B) 4· (2 . 5)3

C) 2· (53)'

O) (2' 53)4

E) (23• 53)4

159,

1, :


12) (n-I + n-')n' =A) n-' + n-<;

B) n-'

e) n'

D) n-6

E) n(n + 1)

13). 22 " ,

Al simplificar la expresión ~ se obtienecomo resultado2(22)

A) 2-'-E) 2-1

e) 20

D)21

E) 2'

14) El promedio de las 'potencias 2'0 y 2'" es

¡, A) 260

B) 230

e) 130

i D) 210 + 220

:. E) 21' + 239'

sn .-5"-115) Siendo "n" un número natural, al simplificar la expresión . se obtiene

sn+l . S" . ,5-1

A) 15

B) 1

C) 2

nD) 1n+

2n -1

2nEl

34.33.3-2

16) -T73-. 370 -. 371

A) 3'

B) 36

C) 3'

D) 3'E) }3

160

:w'

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I TeS! N" ID, POTENCIAS

17) Si 3' = a, y 2' = b, entonces 3'+1. 2'+1 =A) 6ab

13) ab?

e) (ab)'

D) 5ab

E) 6ab'

( ,)3 ( 3)'18) Si ab *·0, al simplificar la expresión a b 6

((ab )').

A)

B) ab .

C) (ab(

D) a'b'

E) a'b3

(3')" + (33)" + (3,)619)' ,

.(3')

A) 3"

B) 3'4

e)3D) l

E) !. 3

63' +6"20) '6" +6' =

A) 6'

B) 63

e) 6'

D) 6"

E) 6"

21) (2",1 - 1)'

A) 2,+3 + 1

B) 2"+' + 1

e) 2,·+1 + l

D) 2,,+2 _ 2'+' -+- 1

E) 2"+' - 2'+1 + 1

se obtiene

161

r 2'P + 2'P26) 2" + 2PI

IA) 2P

B) ~'P

e) 2

D) 2'

E) 2'

2° ·3,+3-3.3" =27)

8·3"+'

. A) oB)

1e) "4

22) Si "a" es un 'número real no n~lo (a •• O), entonces (a')'-' .(a't' .(a')'-Y =

A) a'Y

B) a"

C) a"

D) aE) aO

[ 'r23) Si X;é 1,entonces 2+2(x-lf =

x-1A) -. 2x

B) ~x-l

x-le) ---¡'

4D) -x-l

2x-2E) --

4x-3

24) Si a y b son números reales no nulos y a + b ;é 0, entoncesIa" + b-')-' : (a + b)-' =A) ab

abB) -.-.

a + b

I

e) a + b

D)" a + b. ab

1E) -

a + b

2°_Z-"25) ---=

2-2·2-'

A) 4

B) 2

C) 1

'D) ..!..2

1E) -

4

162

1D) '3

E) 3

2

28) El valor de la potencia a' es uno si:

(1) a = 1

(2) n = O Y a ;é °A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola.


D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)


29) Si x'yse defin~ como x'y, entonces ¿es x'y positivo?

(1) y' > O

(2) x;" 2

A) (1) .por sí sola.

B) (2) por sí sola


D) Cada u~a por sí sola, (1) 6 (2)

.E) Se requiere información adicional

163


30) ¿Cuál es el valor de a, siendo. a un número entero?

(1) a4 =1

(2) a3 + 1 = °A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí .sola, (1) Ó (2)


RESPUESTAS CORRECTAS ,

164

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 11, RAÍCES

CAPÍTULO 10. RADICACIÓNTest N° 11: Raíces

1) 1- 6~ =

1A) --

8.

1B) -¡

1C) ~2

1D) -8

1E) -

4

2) ";0,0196 =

A) 0,014.

B) 0,104

C) 0.,14

D) 1,04

E) 1,4'

3) ";169-25 =

Al 8

B) 12

C) 144

D) f8E) Jfi

4) .Jf69 - Es =

, A) 8

B) 12

C) 144

D) {8

E) Jfi

165

PSU. Cuaderno de Ejercicios; Matemática

5) De las siguientes igualdades, ¿cuál(es) es(son) verdadera(s)?

1) .../3...fii = 9 1Il) J3: ~ = 2

11) 2E· 5.fi =' 10.[7 IV) 2)(~r = ~.fi

A) S610 Iy III.

B} Sólo 1 y H.

C) Sólo. II y III.

D) Sólo III y IV.'

E) Sólo. r, III Y IV. '.

6) ~(2 _ J5)' =

A) 2 - J5

B) J5 - 2

C) 2+J5.D) J5E) .J=j'

7) Si a=.Jb; b=*"entre a y d?

A) a=~

B) a e cd

C) a='1d

. . .

y. c= id, con a,' b, e y d números 'reales positivos, ¿cuál es la relación correcta

D) d=2J;.

E) a s= bcd

,j¡8) La suma de las raíces .J8+ .J5Oes igual a

Al EsII

IB) 7.fi

C) 13.fi,

D) fiOO,j

E) No se pueden sumar

166

~

:"" ,

SEGUNDO EJE TEMÁTICO /Test N" 11, RAÍCES

9) Ks - .J56 + 132 - m =

A) -4J2'B) .-.fi

C) J2D) 2.fiE) 34

10) ../3 + 16 =A) -3B) -J9C) 9D) 2../3

E) F6( Jz + 1). 1

11) J2 -1Ft + ~J2 =2· 2

A) .fi

B)J..ji2

C) _L.fi2

D)-J2E) o

12) xfi +'xfi + 2V2 =

A) 4'xfi

B) 4'16C) 216 .D) 4xfi

E) 416

167

PSU. Cuaderno de Ej~rcicios, Matemásíca

13) (J8 + ..fi)'A) 10

E) 16

C) 18

D) 100

E) 10 + 2h14) La expresión (5J3 - J2f es igual a

A).13

E) 73·

e) ·73 - 516D) 73 - 1OJ6

E) 77- 1OJ6

z15) Si (5 + 2J3) =.a + bJ3 , entonces los valores de a Y~ son, t~spectivamente

a b

A) 37 20E) 37 10

C) 31 20, D) 3.1 101,

E) 147 O

16) (h - l)(h + 1)'A) 1

E) 3e) 8D) h + 1

E) 3+ 2h17) (3h + 2)(312 - 2)

A) 5

E) 10

C) 14

D) 18

E) 3h

168

~,.,1'.

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N° 11. RAÍCES

18) Si a ~ 1, entonces (.,¡;:;¡ - ~f -.A) -2

E) 2

e) 2a

D) -2~

E) ~(a~~a'-1)

19) Si. "n" es un número· natural, entonce·s .J9' '- 2 . 3" + 1

A) 3' -.1

E) 3' + 1

e) 9'

D) 9' +

. E) 9' - 3"

··1 1_20) 15 - 1 15 + 1 -

A) O

E) 0,25

e) 0,5

D) 11.

E) 2J521) Si n es un entero positivo, entonces la expresión (hr . (fir'

A) 2' + 2

E) 2' + 1

e) 20+ 2

D) 20+'

E) 2'

.169

\! __ o __ '-="

PSl:!. Cuaderno de Ejercicios, M~temálica

?<.'

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test W 11,' RAíCES

26) Si (2jf + 3JfJ = 5. -\- x , entonces x

A) .!2. + 2 16, 6

B) , !2 + -./66

e) 5 + 2-./6

D) 2 + 2-./66 '

E) 20 + 2163

27) J3J2 =,A) -./6

Bl 118

e) !J6D) FaE) ifl8

28) Si a es. un número real, entonces para que se verifique la igualdad .,Ja = a, se debe ~umplir:

(1) a = O

,(2) a= 1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)



29) .;Jx + J9, = fi5 se verifica si y sólo sí:

(1) x = 16

m x=4

A) (1) por 'sí sola

B) (2) por sí sola

e) .Ambas juntas, (1) y (2)

'n) Cada una por. sí sola: (1) ó (2)


, 170 171

Ji Ji22) J7 - 1 - J7 + 1

A) O

J2B) 3

1e) '3

1D) '6

;fj,E) 2'

, , 1 +_1_23)' La expresión 1 - 1 _ -J3 ,1 + -J3

A)

1 B) --J3e) -J3

D) 1 - -J3E) 1+.Jj

24) Si .Jx +' 2 = 3, entonces x

A) -1

B)

e) 2

D) 3

E) 4

25) rx+2 = 3, entonces x

A) -1

Ble), 5

D) 7

E) 9

IL...__.

PSU. C~ademo de Ejercicios, Matemática

30) EnOC, la igualdad (.rxf =[x[ se verifica si:

(1) x z O

(2) X < O

- A) (1) por sí sola

,E) (2) por sí sola



.E) Se requiere información adicional

riI

,-,"1

i172

tSEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

CAPíTULO 11. FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALESTest N° 12: Funciones: conceptos fundamentales

1) ¿euál(es)-de los siguientes diagramas representa(n) una función f de A en B?

I) A~B - -lI) A~B I1I) A~B

I

,

A) Sólo L

B) Sólo n.e) Sólo III.

D) Sólo 1 y m.E) Sólo TI y ID;

2) Siendo A = ( 2,_3,5} Y B = { 1,7 }. ¿cuál de los siguientes conjuntos define una función de B hacia A?. A) ((1,2)}

B) {(1, 3),0,5) }

e) ((1,5), (7, 3) }

D) ((1, 2), (1, 3), (1,5), (7,2), (7,3), (7, 5)}

E) ((1, 1) , (7,

- j2X'+13) Si f(x) = -

x-4 .

si x >

si x s 1

entonces se afirma que:

I) f(3)=7

De estas igualdades, estson) verdaderajs):A) Sólo L

B) Sólo H.

e) Sólo 1 y lI.

D) Sólo H y .m.E) Todas las anteriores.

4) La función f de N a N que le hace corresponder a ~ada número natural «ene» el triple del cuadradode su sucesor está dada por la fórmula matemática:A) f(n) = 3(n + 1)'

B) f(n) = 3n';!- 1

e) [en) = 3(n' + ~)

D) f(n) = (3n); 4: l

E) [en) = (3n + 1)'

H) f(1) -3 ID) feO) = -4

,173

______________________~ ~--~----.a=s••~----- ~~ _

psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

5) Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 5 J y B = ( a, b, e, d J y una cierta función f :A -7B definidacomo sigue f(l) = b; f(2) = a; f(3) = e y f(5) = a. Entonces, de las afirmaciones siguientes, es(son)verdadera(s)

1) «a» es la imagen de 2 y de 5

Il) la preimagen de '"b» es 1

III) el 'conjunto A es el dominio de. la función

IV) el conjunto B es el recorrido de la función

A) Sólo IDy IV.

B) Sólo 1.

.el. Sólo 1, TI Y III.

D) Todas.

E) Ninguna de las anteriores.

6) El gráfico de la función y = f(x),. donde x es ia longitud del lado de un cuadrado y f(x) es la mitaddel perímetro respectivo es ..

A) E)Y

e)

¡-

YT-"fr'¡T"lI ve!!: i'i" !

YI-1Tf1TfT1r-l-r'OT-r:r-":!

¡tí 11 i ¡ i.i ! l.-,¡, i

rr+rt d::::: :1l¡.

x xD) E)

. YtJi¡-. . -.-.'-"....•.i i ¡ i i i: iy f~"T:-~-rTr1;

! l·-í i j

xx

.7) Sean f: Z -7 Zf(g(IO)) =

A) 60

B) 202

. e) 262

D) 828

E) 848

definida por f(x) == 4x + 20 Y g: Z' -7 Z definida por' g(x) ~ 2X2 + 2; entonces

17<t.

i I

x

·.1SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 12. FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

8) Dada la función f(x)

A) -8

B) -6C) OD) 6E) 8

9) Sean las funciones enteras f y h definidas de Z en Z por las fórmulas f(x)entonces al calcular 3.. f(-'I) +. 5 . h(2) resulta

x2 - 4 ,entonces el valor de f(1) + f(-I)

x' - 3, y h(x) x + 4

A) -6B) 12

e) 20

D) 24

E) 36

10) Si f(x) =x' - i3, entonces f(-2) - f(-3)

A) -24

B) -4

e) OD) 4

E) 12

11) Sea la función real f: llt-7lRdefinida por f(x) =5 .. Entonces: f(-I) + f(l)

. A) -1'

B) oe)D) 5

E) 10

x - 2,12) La expresión. x' + 8

A) -8

B) -2

C) O

D) 2

E). 8

no está definida cuando x toma uno de los valores siguientes:

175


'13) Sea la función real definida por f(x)3_ , V x cf. O, Entonces 2, f (1) , f (2)X ' f(1)+f(2)

1A) '4

1B) '2C) 2

3D) 2E) 4

14)'Si f(x) = 2x' -5x + a ,entonces al calcular el valorde J(a+b)-f(a) seobtiene2b

A) (a+b)'

b1

B) -2

C) 2(a + b)'

D) 2a + b

5E) 2a+b--

2

15) Dado el polinornio p(x)

A) p(-1)

E) p(O)

el pGJD) p(1)

El p(2)

6x2- 5x + 1. Entonces pf ~J =

176

"l~rSEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N" 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

16) Dada la función f (x) = kx '- 2kx + 8 ,Si f (-1) = O, entonces k =A) -8

83

B)

C) O,

8,3

D)

E) ,8

, si x ~ O,si x < O

Entonces f(2) + f(-2) =A) O

E) 2

e) 4D) 5

E) 7

18) Dada la función 't f:~ -7 ~ definida por f(x) = 7x -9, Entonces, para elementos distintos a y b de

17) Dada la función real f : ~ -7 ~ definida por: f(x); {x' +,3x-l

su dominio se tiene que' f(b) - f(a)b - a '

A) -9

B) -7

C) OD) '7E) 9

19) El dominio de la función real dada por la fórmula f(x)=:lx2 +1 es

',Al bomf={;E~!X>O)

E) Domf=(xE~/x,~O)

e) Dorn f e {XE ~/x>-l}

D) Domf={xE,~/?l~-l}

E) Dom f= ~

"- -', ,.,. -----_ ....._-'-----'---177


,.¡.:! 20) Se da la función f : A ~ B definida por el diagrama adjunto ..

Entonces el valor de la expresión f(4)· f(2) - f(I)· f(3)f(2)...:f(l)

f

. . . a"-b" f(4)'21) Sea la función f:N~lRdefinidapor f(n)=--.- cona e b. Entonces -

a- b f(2)

A) f(2)-f(l)

B) f(4)+f(3)

C) f(2)-f(4)

. D) f(3)-f(2)

E) f(2)+f(4)

.r a' + b2

A) Sólo 1.

B) Sólo H.e) Sólo m.D) Sólo I y H.

E) Sólo' H y Ill.

22) El dominio de la función real dada por la fórmula g(x):=..Jx -1 es .

A) Domg= (XE IR/x>O)

B) Dom'g= {XE IR/x~O}

e) Dom g = {x E IR t x » l ]

D) Domg= (XE IR/x~ 1)

E) Dom g =IR

H) a' + ab + b'

23) El dominio de la función real dada por la fórmula h(x) =..Jx -7 - ,17 - x es

A) .Dom Ir = {x E IR I x ~ 7)

B) Dom h ., (x E IR Ix 5, 7)

e) Dom h = (7)

D) Dom Ir =IRE) Dom h = <Jl

178

JIl) a' - ab + b'

.\~

J~ SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

l' 24) Sean las funciones h : IR ~ IR y f:1R '-7 IR definidas por las fórmulas h(x) = 2x + 5 Y f(x:) = 3x + 11.f,¡l. Entonces .el par ordenado que pertenece a Ir y f es

'.

A) (-6,-7).

B) (1, O)

C) (3, O)

D) (:-6, -1).

E). (-7, -6)

25) Si f: A -?IR, con A = {-2, -1,0,4) está definida por f(x:)el conjunto

x3 - 1, entonces el recorrido de f es.

A) Rec f = {-'l,O, 7, 63 }

B)Recf= {-9, -2, :-1,63}

C) Rec f = {-2, -1, O,4} .

D) Recf= {-8, -1, D, 63}

E) Recf = {-8, O, 1, 64 }

26) Sea la función r .~C " ••• en IR definida por la fórmula f'(x) = ax + 10. Si f(-3) = -2, entonces f(-2) =

A) -3

B) -2

e) -1

D) oE) 2

. '. . T1J)' ) f(n+l} N27) Una función del conjunto N al. conjunto ~ es tal que f(1 =2 y - __ = 3, vn E I . En talcaso f(5) = . . f(n)A) 6

. B)18

e) 54

D) 162

E) 486

179

PSU. Cuaderno de Ejercicios, MatemáticaSEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 13, FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOÚJTO, FUNCIÓN PARTE ENTERA

28) . ¿Es f;1R ---7 IR una función?

(1) El dominio de f es IR(2) El recorri<i~ de f es IR

A) (1) porsí sola

B) (2) por sí sola




29) La expresión

(1) b*2

h(x) = ~ ,con a y b números reales, define una. función de IR en IR si;b -2

CAPÍTULO 12. FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Y FUNCIÓN PARTE ENTERA

Test N" 13: Función afin, función valor absoluto ~ función parte entera

1) El costo de arrendar una casa de veraneo es $15.000 más $22.500 por semana. Una función quepermite calcular el costo de arrendar la casa durante n semanas es

A) C(n) = (15.000 + 22.500) . n

B) C(n) = !(l5.000 + 22.500)n

C) C(n) = 15.000 + 22.500n

D) C(n) = 15.000n + 22.500E) C(n) = 22.500 + 15.00

n2) Un excursionista estima que el tiempo que demora en subir una .colina en una. cierta: región está

dado por T(h) = 2 + _._h_ horas, donde h es la altura de la' colina en metros. ¿Cuál es' la altura. . . 1.600 .

de una colina si demora 4 horas en subiría?

A) 3.200 m

B) 30400 m

C) 3.500 m

D) 4.000 m

. E) 5.200 m

3) Una compañía de t..léfonos cobra mensualmente $7.000 por arriendo de equipos y $45 por mi-nuto en cada llamada. ¿Cuántos minutos usó un consumidor 'cuya cuenta mensual asciende a$26A40? . .

A) 743

B) 622

Cl 532

D) 432

E) 332

4) María José, agente promocional de-una compañía de teatro, gana un salario semanal de US $300. más US $3.por cada entrada que vende. Su salario mensual se puede representar como s = 300 ,. 3n.

Se le ofrece la oportunidad de cambiar su plan salarial. Con el nuevo plan, ganaría un salariosemanal de US $400 más US .$2 por cada entrada que venda.'Su salario semanal con el nuevoplan se puede representar como s = 400 + 2n. ¿Cu'ántasentradas tendría que vender en unasemana para que su salario sea el mismo bajo ambos planes? .

A)B)

C)D)E) .'

140

IDO'

80

502.0

(2) a * O

I

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Arribas juntas, (1) Y (2)


El Se requiere información adicional

30) Se desea conocer el valor de f(3) si f(x.)

(1) feO) = b Y a = 2

(2) f(1) = S Y f(-l) =

ax + b.

Para los aspectos teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e.E.), se recomienda nuestro Manual de PreparaciónP.sy. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006.

181

i

:! A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas; (1) y (2)


Ej. Se requiere información adicional

RESPUESTAS' CORRECTAS

i

\

L

180

PSU. Cuaderno de Ejercidos, Matemática

5) Los biólogos han observado que la frecuencia del canto 'de los grillos de una cierta especie estárelacionada con la temperatura, y la relación parece afín. Un grillo produce 120 sonidos porminuto a 70°F y 168 por minuto a 80°F. La función afín que relaciona la temperatura "t" y elnúmero 'de sonidos por minuto es

A.) f(t) = 75t + 144

B) f(t) =150t + 288

C) f(t) = 24t:"'216, 5

D) f(t) = 144t + 75

E) f(t) = 2l6t -1' 24, 5

6) El señor y la señora Herrera planean instalar un sistema de seguridad en su casa: Han red~cidosus 'opciones a dos compañías de seguridad, Moneywell y Doile. El sistema de Moneywell cuesta$336.000 de instalación y $1.700 semanales. El sistema equivalente en Doile cuesta s610 $226,OQOde instalación, pero su tarifa semanal es de $2.800, Si las tarifas semanales no cambian, ¿dentrode .cuántas semanas se igualarían los costos de ambos sistemas?

A) 10

B-) 20

é) 35

D) 44

El 100

" 7) Un colegio está considerando la compra de uno de dos sistemas 'computacionales. En el sistemaA, el computador principal cuesta US $3,600 y los termina1es US $400 cada uno. En el sistemaB, el computador principal cuesta US $2.400 y los terminales US $600 cada uno. Representandoesta situación con el sistema de ecuaciones .

e = 3.600 + 400n

e = 2.400 + 600n

en que "e" es el costo total y "n" es el número de terminales, ¿Cuál es el número de terminalespara el cual ambos sistemas cuestan lo mismo? '

A) <}

B) 8

lI q 7¡i·'1,

D) 6

E) 5

/

~~ i'-'"--'

182.

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W t 3. FUNCIÓN AFÍN. FUNCIÓN V ALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA

(..,

si En una cierta ciudad se puede arrendar un automóvil pagando $1.000 más $75 por kilómetrorecorrido. La función que permite calcular el costo, en pesos, de arrendar un auto por un día, sise recorren x kilómetros es

A) f(x) = 1.000x + 75x

B) f(x) = 75x - 1.000

C) f(x) =1.000 + 75x

D) f(x) = 75x - 1.000

(l.OOO)x'

E) f(x) = ""75

9) El punto donde el gráfico de f(X)=-~X+() intersectaal eje X es

A) (O, 6)

B) (16, O)

C) (6, O)

D) (O, 16)

E) (-%, 6)l O) L(x) es una funci i aíín con Lf-í)

sistema

{4a+b =2A)

2a+2b =-1

B)¡2;+b.4

--a+b=l2

C){"+4b=,2

a+b=--2

{ a+4b=2D) " ,

2a-2b=-1

¡±>+4b=2EJ.¡

a+b=--2

12 Y L(l) = --, Para encontrar Líx) podemos resolver.el2

183

¡¡-- ,j


11) El curso de Francisca quiere juntar dinero para su viaje de estudios, Tienen.la idea de hacer unperiódico semanal, y averiguan que si se hacen "n" periódicos, el costo por semanario vienedado por la fórmula:

C=2 (40 + 10,~)

dondeC = costo y n =' número de periódicos. ¿Cuál es el costo de cada periódico, si decidenimprimir 500 ejemplares?

A) $80

B) $100

C) $UO

D) $120

E) $130

12) El punto de, intersección de las rectas de ecuación x = -3 e y = 7 es

A) (4, -ID)

E) (3, -7)

C) (-3,7)

D) (7, -3)

E) (-7, -3)13) Si E(x) es la función "Parte Entera" que asigna a cada a número real x él mayor número entero

que es menor o igual que x, entonces, '¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempreverdadera(s)? .

1) VXE IR:E(~) = E;X)

Il) VnEZ:E(n) = n

1Il) E(-1,5) = -1

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D)Sólo 1y II

E) Sólo II ym14) Si E(x) es la función Parte Entera, ¿cuál de las proposiciones siguientes es falsa?

, ,A) -E(O) = O

B) E(5) - E(4) = 1

CJ. E(l,72) - E(I) = 0,72

. E(2,5) 1D) E(2) =

E) E(- 1,34) = - 2

184

::¡{ SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 13, FUNCIÓN AFIN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO, FUNCIÓN PAR TE' ENTERA

Paula y Mónica comienzan su recorrido cuando se encuentran a cierta distancia de un pueblo. Elgráfico muestra el movimiento de sus autos, donde d representa la distancia de los autos al pue-blo y t el tiempo que llevan de -viaje,

A partir de la información del gráfico,

15)

se puede afirmar que:

"

d(km)

250

200

, ,150

100

50

Paula

$

. 800

A) $200 600, E B) $300

400. C) $400

D) $510 200

E) $600

Mónica

,2 t(hr)

A) ambas recorreri ISO km en una hora.

B) en una hora de viaje, los dos autos alcanzan la misma velocidad.

C) el auto de Paula va más rápido que el de Mónica durante todo el viaje.

D)ambos autos recorren la misma distancia hasta el final del viaje

E) el auto de Mónica es más antiguo que el, de Paula..

16) En la recepciónde encomiendas de la oficina de correos de-cierta ciudad disponen de gráficos comoel siguiente para e " ular el costo de envío .de encomiendas, ¿Cuál es el precio de una 'encomiendaque pesa 425 gramos'?

17) El conjunto de la(s} solución(es) de la ecuación I -3¡¡ I = 36, es

A) {12}

B) {'::'12, 12}

C) 0

D) IR

E) " {-12}

100' 300 500 . .gramos

185,

X t: 1C) c= -(25+s)

50

D) e = 25s + 0,.02

E) e = (25 +- D,D2)s

P'Sll, Cuaderno de Ejercicios, Matemática

l8).El gráfico siguiente podría corresponder al- de la función:y

,t{;j

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 13, FUNCIÓN AFíN. FUNCIÓN V ALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA

A) f(x:) = - I 2x I

B) f(x) =3 -Ix + 2 I

C) f(x) = 3 + I x . ..;. 2 I

D) f(x) = -2 + I x - 3 I

E) f(x) = -2 + 1x + 3 I

23) La comisión c de un corredor de bolsa' es de US$25 más 2%' del valor de la venta, -s; por lo tanto,su comisión es. una función de las ventas que está dada por la ecuación

A) e = 25 + D,D2s

B) e = 25.+ 2s

24) La ganancia semanal p de una pista para patinaje sobre hielo es una función del número depatinadores po: semana,. n. La función que aproxima la ganancia es

p = f(n) = 8n - 60.0, para .O ~ n ~ 4.0.0

Si una semana la ganancia fue 1..080, ¿cuántos fueron los .patinádores en esa semana?

A) 8 ..04.0B) 4 ..02.0

e) 21.0

D) 6Ó

E) 5.0_

25) El largo de un rectángulo es el doble del ancho, La función que permite calcular el perímetro delrectángulo si' se' conoce su ancho x es

A) f'(x) = 2x

B) f(x) = 4x

C) f(x) = 6x

D) f(x) ~ 8x

E) f'(x) = IOx

26) ¿Cuál de las funciones siguientes corresponde a una función afín?

A) f = ( (-1, 1), (.O, O). (1, l)}

B) f = { r-i, 1), (.0,2), (1, 4»)

e) f = f (..;.1, 1), (.0,2), (1, 3»)

D) f = ( (_1, 1), (D~ 1), (1, 2»)

E) f = ( (-1, 1), (.0,3), (1, 6»)

.O

. '27) Si f(x) = 2x ya> .O, entonces el perímetro del triángulo rectángulo sombreado de la

A13a

B) 6a

figura es

19) ¿euál(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdaderaís) para todo número real x?

I)N= x

II) Ixl =N

Ill) 12-x I ~ ~(X_2)2

A)S610 1

E) Sólo II

e) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo II y III

2.0) Los gráficos de las funciones f(x) = l x l - 1, .; g(x) 2. se intersectan en el(los) punto(s):

yf(x)

A) (3, .O)

E) (-3, .O)

e) (-3, 2) Y (3, 2)

D) (2• .O) Y (3, .O)

E)' (-2, 2) Y (2, 2)

21) ¿En cuál de las siguientes alternativas, las variables tienen una relación definida por.una funciónlineal? . '.

Volumen de una esfera H Radio de la esfera

Diagonal de un cuadrado H Lado del cuadrado

Volumen de un cilindro H .Radio de la base del cilindro

Area de un cuadrado ·H Lado del cuadrado

Área de un 'círculo H Radio del círculo

A)

E).

C)

D)

E)

22) ¿Cuál de las afirmaciones siguientes. es verdadera respecto de la función valor absoluto?

A) Su dominio es el conjunto de los números reales no negativos.

B) Su recorrido es el conjunto de los números reales.

C)' Es una función decreciente en todo su dominio.

D) Es una función de segundo grado.

E) Tiene un mínimo valor.

186.

e) 3a(1 + J5)

D) a(3 ~ J5)

x.E) 3a + J5

. ,187

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Mille~tica

28) ¿Es la función f lineal?

'( 1) SU gráfico es una recta con pendiente positiva que pasa por el origen.

(2) Su gráfico pasa por los puntos P(-2,0) y Q(0,5).

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

el Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una, por sí 'sola, (1) ó (2)

E) Se requiere informacióu adicional

29) Ixl =

(1) R= 3

(2) I xl' = 9

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2}

D) Cada una por sí sola, (1) ó(2)

E) Se, requiere información adicional'

30) La parte entera del número entero x (Eíxj), se puede determinar si se sabe q~e:

(1) ,...3~ xc O,

(2) x' = 4.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por si sola, (1) ó (2)


I i;1

1RESPUESTAS CORRECTAS

;¡¡.;.

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA~,-------------------------~~~~~~~~~~~~~~~==~~

¡.

CAPÍTULO 13. FUNCIÓN CUADRÁ "rICATest N°, 14: Función cuadrática

1) ¿Cuál/es) de las siguientes funciones estson) cuadrática(s)?

1) f(x) = (1-x)(x+3)

lI) g(x)=5-3x-x'

IU) h(x)x3-3x2+2x+l

~x

Al S6lo

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

,E) S610 1 ,y III

,2) ¿Cual(es) de las gráficas siguientes corresponde(n) a función(es)'de segundo grado en la variable x?

,III)

x-6 -4, ~2 o 2 4 6

-2

-4

188

1)

,'6 -4

189

I1) ,. L

" -6 -4 ,-2~

4'

-2

'-4

Al Sólo 1

B) Sólo II

C) S610 1 y II

D) S610 1 Y III'

E) I,n y III

1

1

1: 1. .~l

itil'

¡Iti

~I

f!t,t

PSU. Cuaderno de' Ejercicios, Matemática

3) El gráfico de la función f(x) = x2 - X -6, intersecta al eje Y en el(los) puntots) de coordenada(s):

A) (O, 6)

B) (3, O) Y (-2, O)

e) (-6, O)

D) (O,-6)

. (1 o). E) 2'

4)· ¿euál(es) de los siguientes puntos pertenecem) ál gráfic~ de la función f(x) = _x2 +1?

l) (0,1) II) (1,0) rnl( -1, O) ,

A)Só~o l

B)Sólo TI

e) Sólo l y II

D) Sólo 1 y ID

E) r, II Y ~TI

5) ¿euál(es) de las siguientes relaciones está(n) dada(s) por una [unción cuadrática?

1) Diagonal de un cuadrado y ·el área del mismo.

II) Lado de un triángulo equilátero y área: del ITÚSffiO.

III) Superficie de un cubo y volumen del mismo.

A} Sólo I

B) Sólo TI

e) Sólo IDD) Sólo l y II

E) Sólo l y ID

6) El vértice de la parábola cuya ecuación es y=-2x2+4x+10 ·es el punto de coordenadas

A) (1,0)

B) (1,10)

C) (1;12)

D) (-I+F6,-I-F6)

E) (-1,4)

190

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 14. FUNCIÓN CUADRÁTICA-J;

r",:'

7) La ecuación del eje de simetría de la parábola y= 3 (x - sf +2 es

A) x-3';'0

B) x-5=0

e) x-2=0

D) x+3~0

E) x+5 =0

8) El vértice de la parábola y = -(x + 1)2 -2 es el punto de coordenadas

A) (-1,-2)

B) (1,-2)

e) (-1,2)

D) (1,2)

E) (-2,-1)

9) .Respecto del gráfico de la: función f(x) = x2 +4x+ 1, es correcto afirmar que:

1) tiene un mínimo valor en el punto. de abscisa -2.

II) es simétrico respecto de la recta de ecuación y = -2 .

ID) intersecta al eje Y en el punto de coordenadas .(0,1).

A) Sólo 1

B) Sólo II

e) Sólo III

D) Sólo 1 Y TI

E) Sólo 1 Y III

10)· Si el vértice de la parábola de ecuación f(x) = x2 + kx +36 es un punto del eje X, entonces el(los)'. valorfes) de k es(son)

A) ±4

B) ±6

e) 9.

D) ±12E) 36 -'---,----

191


ii..

r· iIi ;

ilIU

11) El gráfico de la función [(x)

A)

5 - 2x - x2 es

D)

A) Sólo 1·3 ·6 -4 -¡ -,f 2 \4 • S • I , B) Sólo II

.a -6 -4 -, lo '<./4 6 s'l I C) Sólo ID

l D) Sólo 1 y IIIB) E)El . l.:II Y III

-8 -6 -4

1\ I ~I 1-" -6 -4

e)

,r C\ s.-K -ú ' -4 -2

12) Una función cuya gráfica tiene la misma forma de la gráfica de y=2x2 es

1

11

h fi

j.,

¡ll'

A~ y=-2x2

1 zB) Y=2x

e)y=x'+2

D) y=-2(x+I(1-3

E) y=2(x-I)2+3

19,2

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA

.I~'¡.. 13) ¿euál(es) de las siguientes afirmaciones relativas a la función f(x) = 2x2 +12x+ 16 es(son)verdaderats)?

1) Tiene un máximo .valor en el punto (-3, -2),

II) Su dominio es el conjunto de los números reales (IR).ID) Su recorrido es el conjunto de los números reales menores o iguales que -2.

14) Si la ecuación de una parábola es y=3-2x-3x'. entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)?

1) La parábola corta sólo uno de los ejes coordenados.

Ii) La parábola corta ambos ejes coordenados,

ID) La parábola corta al eje X en dos. puntos distintos.A) Sólo 1

B) Sólo II,'

e) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo II y ID

15) Un intervalo en el cual la función dada por f(x)= _x2 + 8x- 3 es estrictamente creciente es

'A) ]-'00,13[

B) ]-4,+oo[

e) ]4, +00[

D) ]-"",4[

E) ]-00,-4[

,16) '¿Cuál debe ser elvalor de k para que la parábola y=x2 +kx+S tenga su vértice en el pu~to, (2,:-1)?

A) ~6B) -4e) -3

D) 2E) 4

193


17l La ecuación de la parábola que tiene la misma forma que y = x' pero con vértice en (-3,2) es

Al y=-3x2 +2

.B) Y=(X-3)2+2

Cl Y=(X-3)2-'2

D) Y=(X+3)2_2

El Y=(X+3)2 +2

18l Si se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ésta sube hasta un cierto punto y luego empieza acaer. La relación que existe entre el tiempo t, en segundos, que la piedra lleva en el aire cuando se

encuentra a una altura y, viene dada por la fórmula y = -5e + 20t + 10. ¿Cuándo alcanzará el punto

más alto?

Al A los 0,5 segundos. '

B) A 1 segundo.

C) A los 1,5 segundos.

Dl A los 2 segundos.

El A los 5 segundos.

19l Al hacer un estudio de mercado de relojes con teléfono incorporado, una compañía finlandesa obtuvolas siguientes funciones de ofertay demanda de dicho producto en función de su precio:

1 z 2 2demanda: y=--x +7.000.000 oferta: y=-x5 ~

siendo x el precio de un reloj-teléfono, en UM (unidades monetarias) y la cantidad de relojes-teléfono que se demandan o se ofrecen en un año. ¿A qué precio, en unidades monetarias (UMl sedeberían vender los relojes-teléfono para que la demanda iguale a la oferta?

Al 7.000

Bl 6.500

Cl 6.000

D) 5.500

El 5.000

20l De entre todos los rectángulos' que tienen un perímetro de 20 cm, el de mayor área tiene dimensiones:

Al 1 cm y 9 cni

.Bl 2 cm y 8 cm

C) 3 cm y 7 cm

D) 4 cm y 6 cm.

E) 5 cm y 5 cm

194

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 14, FUNCIÓN CUADRÁTICA

21) ¿Cuál de los siguientes podría ser el gráfico de la función que expresa la relación entre el cateto de untriángulo rectángulo isósceles y el área del triángulo?

. .

Al 2l)i .............j •••••••••••••••• / •••••••• ) ••••••••••••••••••

B)2tX ..:...... !.....

"."'"'"

,x

! I .O :1 :2 !3 O !1 :2 !3

Dl4Y..

, 1+- ..·.....¡. .... ···.. ~····· ........ ·4...... · .......... ¡...... .........

xI I ,!2 '!3 O ! 1 !2 !3

x

x

El 2+< L .

x

! 1 :2 !3O

22) Se arroja una pelota desde el suelo y la altura, en metros, viene dada por y = ~5t' + 1al, siendo t el

tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

Al 10 m

B) 7,5 m

C) 5m

r» 2,5 m

E) 1m

195


23) La ecuación de la parábola que tiene vértice en el punto (2, 3) y que pasa por el punto (3, 5) es

A) y=2x2-:-8x,+1l

B) y=2x2+8x+1I

C) y=-2x2 -8x+1l

D) y'=-2x2+8x-ll

E) y= 2x2 +8x-ll

24) . La efecti vidad de un comercial en televisión depende de cuántas veces lo ve un espectador. Despuésde algunos experimentos.. una agencia de publicidad ·determinó que si la efectividad E se mide en unaescala del O al 10, entonces

2 1 . 2-nE(n) = 3n - 90

donde n es el número de veces que un espectador ve un cierto comercial, Para que éste tenga unaefectividad máxima, ¿cuántas· veces deberá verlo ·un espectador?

A) 60

E) 50

C) 40

D) 30

E) 20

25). Dos números cuya suma es -24 y cuyo producto es máximo son

A) ~36 Y 12

El -24 Y O

C) ~14 Y -10

D) -12 Y -12

El -6 y -18

26) Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 cm de ancho. ¿Cuál. es la medida x para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canalera de máxima capacidad?

Al 7,5 cm

. Bl 10cm 1<-30-"¡

~¡ C) 12,5 cm

,,.~,,

D) 15 cm ,, •,El 17',5 cm

,. ,,,,ty=

x

196

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SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 14, FUNCIÓN CUADRÁTICA

,~ 27) El valor máximo de la funciónf (x) = 3 + 4x' - x" es¡:A) 6

B) 7

C) 8D) 10

E) 12

28) ¿Es f(x) una función cuadrática?

(1) El gráfico ·de f(x) tiene dos intersecciones con el eje X.

. (2) El gráfico de f(x) tiene simetría respecto del eje Y.A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)



29) La altura de 'una pelota en vuelo está dada por h(t) = At -.Et2 , con t > O. Poderrios determinar laaltura máxima que alcanza la pelota si se conoce que:

(1) El' gráfico de h(t) es simétrico respecto de la recta cuya ecuación es t = 5.

(2) h(l) ='18.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).;


3 O) Se puede determinar la ecuación de una parábola' de la forma f (x) = ax2 + bx + e, si se sabe que:

(1) Pasa por los puntos (0,0) y (8,0)

(2) Tiene un mínimo valor en e¡"punto (4,~12)

A) (i) por sí .sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (l) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 6(2)

El Se requiere información adicional

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