libro psu matematica uc parte 7

PSU. Cuaderno de-Ejercicios. Matemática

CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICASTest N° 4: Transformaciones isométricas

1), ¿Cuál de las siguientes transformaciones no corresponde a una isometría o. movimiento rígido.del plano? .

A) Reflexión respecto de una recta dada.

E) Rotación en torno a un punto en un ángulo dado.

el .Homotecia con centro en un punto dado y razón 2.

D) Traslación en un vector dado.

E) Reflexión respecto de un punto dado,

2)' ¿euál(es) de las figuras siguientes tiene(n) dos ejes de simetría?n<:>Rombo

IlI)QElipse

1)1· .. ' 1Rectángulo

A) Sólo I

E) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo l y IÍ

E) t, n y III

3) Dado el 6. ABC', rectángulo en C, ¿cuál(es) .de las figuras siguientes se pueden obtener siempre apartir del triánguloABe mediante isometrías o composiciones de isometrías?

e1) Rectángulo de lados a y b

II) Rombo de lado e

Ifl) Paralelógramo de lados b y e,

A) Sólo I

B) S610 II

e) ·Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) r, n y III

A~Be

4) En la figura adjunta: la recta L es un eje de simetría, A, G, D Y E: G, B son tríos de puntoscolineales. Si 4: GBe = 30° y·4:K.AG = 58°, entonces la medida del 4: AKE es

. K<\)4 L

E

124°A)B)

'C)

D)E)

120°

100°

90°

64°Para los aspectos teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e.E.), se recomienda nuestro Manual de Preparacién .P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile. Sexta Edición. Mano de 2006

268

! -- --------------------_.

~~I~

TERCER EJl3 TEMÁTICO f Test N' 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICS.S

5) La figura está formada por triángulos equiláteros congruentes. Si la traslación T es tal que laimagen del punto D es el punto .B, entonces si aplicamos T al punto H, se obtiene' el punto"11

1" A) J

B) G

el F

D) M

E) A

'(iiii)L M N o P

6) Si la T es una traslación tal que T: (2, -3) ~ '(0, O), entonces T: (1,2) ~

A) H,O)

B) (1, 2)

e) (0, O)

D) (-1,5)

E) (-2, 3)

7) Si k Y n son dos ejes de simetría del octágono regular de la figura, entonces la imagen .del puntoD bajo la composición de reflexiones r, ° r, es

A) F

B)B· :[ X J:e) H

D) G

E) D

8) Si P es el punto en que se intersectan las diagonales del cuadrado ABCD de la figura, entonces¿cuál es 'la imagen del' punto D bajo una rotación con centro en P y ángulode 2700 en sentidocontrario a los punteros del reloj?

A) A D[JCB) B

e) eD) D

A . BE) P

9) Las coordenadas del punto de reflexión P que transforma al punto (-6, 1) en el punto (2, -3) son

A) (-2, -2)

B) (-2, O)

e) H, -2)

D) (-2,-1)

E) (-1, O)

269

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

. 10) La figu;a B puede ser la imagen de la figura A bajo una:

1) Traslación A

c? BlI) Reflexión

.JJ. IlI) Rotación

A). Sólo 1

E) Sólo II

C) S'610 III

D) Sólo 1 ó III

E) Sólo II ó m

11) Si al triángulo de la figura' se le aplica una rotación con centro en el punto D y con un ángulo de900 en sentido contrario a los 'punteros del reloj se obtiene como imagen

¡,.

I1:

l'1,i~'1:1

1':1,.:

II1'1I j

-:--1

I1

A)._._; __~..

E) ¡:':.TH-Li~·.TLd·1

I ¡ ,

L.LLLLJ..r.LL-4--• 1 1 I I I 11 ! I IC)! i 1 '

;:::r

TERCER. EJE TEMÁTICO I T«st N" 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTiUCAS;Il, 13)Si el heptágono de la figura es simétrico respectó de la recta L, entonces x + y = ,A) 1800

L

B) 1600

C) 150·

D) 1400

'E)' 1300

i

"

14) ¿Con cuál(es) de .los siguientes polígonos se puede cubrir completamente (teselar) el plano?

1'0

A)

HA

B)

Prismacuadrangular

,,1

;' iJJJJ I i IW .. ....LL~B). D)•.. _.- . . 1

-- .-- -_._.. ' - - - +..--- -l --

. "- ,.. - . --

_.- -. -~~- ,_ [ "._.1

12) Dada la traslación T: (x, y) ~ (x,.-- 5, Y + 1), la imagen del punto (-1, -2) es

A) (4, -3)

B) (-4,1)

C) (4; -1)

D) (.,-4,-3)

E) (-6, -1)

270

Hexágonoregular

A) 'Sólo con L

B) Sólo con II

¡¡ C) Sólo con III

'\ - D) Sólo con 1 y II,1Ij E) Sólo con 1 y III,~

11:,. 15)' ¿Con cuál de los si~uientes cuerpos geométricos no es posi,ble rellenar completamente el espacio?-ffi~

1I¡, Cubo

Cuadriláterocóncavo

C)

Prisma'triangular

_16) El siguiente diseño de Scott Kim tiene simetría:\

1) Horizontal.

Il) Vertical

IlI) Rotaciona1

A) Sólo 1

B) S610 II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo 1 y III

III) oOctágono. regular

D)

Cilindro Prisma- hexagonal

~

271

i[:!

PSU. Cuader~~ de Ejercicios, Matemática

17) Los ejes de simetría' de la figura siguiente son

,¡II

A) 2

B) 4

C) 6D) 8E) 12

O"·'. '. .

18) El segmento A'B' es la imagen del segmento AB bajo una rotación con centro en un punto O y'.con un- .ángulo dado, Para encontrar el centro de rotación O, basta

E) , encontrar el simétrico de A respecto de ,larecta BB'

19) El problema de cubrir completamente (teselar) el plano con polígonos regulares de n lados tienesolución sólo para n =

A) dibujar las simetrales de AA~ y BB'

B) trazar la bisectriz del ángulo que forman las rectas AB y A'B'

1,I

I'¡

'C) dibujar las rectas, AA" Y BB'

D) dibujar paralelas a AB y A'B'

tiI:,'1

/1':.,

\~A) 3, 4y 5

B) 3, 4y 6

C) 3,4 y 8

D) 3,5 Y 8

E) 4, 6 Y 8

20) Si a un triángulo escaleno ABC, se le aplica una reflexión con respecto al -lado AB, la figuraAC'Be que resulta es

A) un romboide

B) un trapecio

C) un deltoide

D) un rectángulo

E) un cuadrado

21) La imagen del punto (-'2, 3) bajo la transformación F: (x, y) '-? (x - 2, Y - 3) esI

A) (-4, O)

B) (O, O)

C)(-4, -6)

D) (O, 6)

E) (-4,6)

272

--._-p-"----- -~

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

1

"

"

"

22) ¿Cuál(es) de los siguientes polígouos tienem) simetría respecto a sus diagonales?

1) El rombo

11) El romboide

I1I) El rectángulo

A) Sólo 1

B) Sólo ir 'e) Sólo III

D) Sólo 1 y III

E) S6lo 1y n23) ¿euál es la preirnagen del punto r(2, 4) bajo una rotación con centro en el origen y en 2700 en

sentido antihorario?

A) (-4,2)

B) (4, -2)

e) (-4, O) ,

D) (O; 2)

E) (-4, -2)'

24) Dadas la transformacionesT: (x, y) ~ (x - 1, Y + 1) Y T,: (x, y) ~,(-x, -y). al aplicar latransformación T, o TI al punto M(2, -1) se obtiene el punto de coordenadasA) (-3,2)

E) (1, O)

e) (-1, O)

D) (-1,2)

E) (3, -2)

25) Mediante una reflexión, el punto (3,4) se transformó en el punto (-3, 4), La ecuación del eje dereflexi ón es '

A) Y = O

B) x = O

e) y = 4

,D) x = 4

E) Y =-x

26) En la figura, ABeDE es un pentágono regular. El ángulo de la rotación de centro O que permitepasar del vértice e al vértice A, mide

('

DA) 1800

'E~tB) 1440

e) 1560

D) 2160

E) -2160 ,'A B

273


27) Al aplicar a Li una reflexión con respecto al eje Y de un plano cartesiano, seguida de unareflexión respecto del origen' 0(0, O), ella se transforma en .

A) D.B) <:=C) q

D) LiE) r?

28) Dado un polígono regular, ¿es posible recubrir el plano con él?

(1) La suma de sus ángulos exteriores es 360°.'

(2) Su ángulo interior mide 120°.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información' adicional

29) Para determinar la imagen B' del vérticeB del Ó. ABC, equilátero, bajo una isometría se conoceque:

(1) La isornetría es una 'rotación con centro en A.

(2) La imagen de e bajo esta isometría es el vértice B.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicional

30) Se quiere determinar qué tipo de cuadrilátero es el cuadrilátero ABeD.

(1) Tiene .simetría respecto de sus diagonales.

(2) Tienejl ejes de simetría.

A) (1) por sí sola

B) (2) po~ sí sola


D) Cada nna por sí sola, (1)· ó (2)


RESPUESTAS CORRECTAS

274

TERCER EJE TEMÁTICO / Test N" 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

CAPÍTULO 5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIATest N° 5: Ángulos en la circunferencias

1) A las 11 en punto, los punteros del reloj forman nn ángulo que mide

A) 12°

B) 30°

C) .32,72°

D) 45°

E) 60°

2) Si en la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia, <I:ABÓ = 35° Y AC es un diámetro,entonces la medida del ángulo BOe es A

A) 17,5°

B) . 35°

e) 70°

D) 90°

E) 110°e

3) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. Si <I:PSR =' 50° y<I: PTQ = 20° , entonces elarco RQ mide

A) 15°

B) 30° i >: / AOSe) 45°

D) 60°'

E) 80°T

4) Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AC es diámetro, <t ABD =40° Y<I: BCA =30°, entonces x + y - z =

A) 20°

B) 30°

C) 40°

D) 50° 42 ~i ~ IX~C

E) 60°

275

!:Il,~1:ll¡¡¡1I~It,ti¡,,n¡I

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!lni:j~,I

r

")j ei,

r,

»su. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

9) Si un lado de un triángulo mide 12 cm y el ángulo opuesto a este lado mide 30°, ¿cuál es el' diám~trode la circunferencia circunscrita, a este, triángulo? '

TER'CER EJE TEMÁTICO I Test N" 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

~¡f.

!:

1:

5) 'En la figura adjunta, la recta R. es tangente a la circunferencia en C, Si Be =150° Y<tABC =40°"entonces x + Y' =

A) 18 cmA) 105° . B) l2.J3 cmB) 110°

C) 24 cmC) 115°D) 36 cm

"

D) 120°

E) 24.J3 cmE) 125°

6)' En la circunferencia de centro O y radio r de la figura adjunta, el A ABC es isósceles de base' AB ,Si

AB == r y CD es bisectriz del <t ACB , entonces la medida del <t OBC ,es

10) Si en la figura adjunta, ABC es un triángulo' inscrito en la circunferencia, y P, Q y R son los puntos .deintersección de las bisectrices .de los ángulos interiores con la circunferencia; entonces la medida delángulo PQR es '

A) 10°

B) 15°

C) 25°

D) 30°

E) 35°

D) a + 1)4

E) ~(a + 1))3

A) a + 1)B) a + 1)

2

C) 2 (a + 1)), ", D

'7) En la circunferencia de centro O de l~ figura adjunta, <t BOC = 600 y <t' ECD ;= 5'00• ¿Cuánto mide el

<tBEC?

A) 30°

B) 50° Al \DC) 60°

D) 80°

E) 120°

11) En la figura adjunta, O eselcentro de la semicircunferencia y Be = 3 EA, ¿Cuánto mide el ánguloACO?

A) zz.s-B) 30°

e) 45°

D) 67,5°

E) 75°

( ~ :>'IB

8) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado inscrito en la circunferencia, y E es un punto cualquiera

del arco en, enton~es a + p =

A) 45°

B) 90°

e) 105°

D) 125°

E) 135°

12) Si 'las cuerdas AB, Be, CD, DE y' EA son todas congruentes, entonces a + 'Y+ 8 =

A) 36° D~B) 72°

C) 108°

D) 120°

E) 180°

276 277

-----_._--- .-


13) Con los datos indicados en la figura adjunta, si O es el centro de la circunferencia circunscrita al

t1 ABC, ¿cuánto mide el 4: AOB?

A) 20°

B) 30°

C) 40°

D) 50°

E) 100°

14) En la figura adjunta, AB 'es tangente a la circunferencia de centro O en el punto B y AD es secante,

~ 1CB mide. '5 de la circunferencia. El 4: BAD mide

~ 1El arco BD mide 3' de la circunferencia y el arco

A) 24°

B) 36°

C) 45°

D) 48° A

E) 60° B

15) En la Semicircunferencia de diámetro AB de la figura adjunta, se trazó una cuerda ACtal que el

<t:BAC mide 20°, Si la tangente XDY es paralela a AC, entonces los ángulos ADX y BDYmiden, respectivamente. .

I'il··~i,

'1l.

!!

y

A) 30'0 Y 60°

B) 35° Y 55° )\

C) 55° y 35°

D) 60° Y 30° A~':",I

B

E) Falta informaciónpara determinarlo

,"J.

lili

il!1:

I'¡"~ ' ';iti,

¡i¡

11'

I!'fi,1,1,

LI!

16) ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros es (son) siempre inscriptible(s)en una circunferencia?

I) Cuadrado

II) Rombo

III) Trapecio isósceles

A) Sólo l

B) Sólo II

CJ Sólo l y II

D) Sólo l y III

E) l, II Y III

278

L

TERCER EJE TEMÁTICO! Test N" 5, ÁNGULOS EN LA:CIRCUNFERENCIA

17) En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AD y BE son diámetros, Si BE J/ CD y

4: 0= 72° , ¿cuánto mide el 4: a 1

A) '108°

:8) 72°

C) 36°

D) 18°

E) 9°

18) En la circunferencia de la figura adjunta, PT y PQ son tangentes a la circunferencia en .P y Q,

respectivamente, Si <l:PQT = 63°, entonces X + Y =

A) 117°

B) 126°

C) 135°

D) 171 °

E) 180° N/ ...-/ "p19) Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AB es un diámetro y <t:ABD =.,,7° , entonces

el <t: DCB mide

A) 254°

B) 198°

C) 161° M "'>'1BD) 143°

E) 127°

20) Si en la circunferencia de la figura adjunta, MN es tangente en T y fA ÁB BTentonces la medida del 4: MTB es

5 : 6 : 7,

M

A) 110°

B) 100°

C) 70°

D) 60°

E) 50° N

279

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

25) En la figura adjunta, PB y PD son dos secantes a la circunferencia 'de centro O. Si se trazan las- -

cuerdas BC y AD, con los datos indicados, ¿cuánto mide el ángulo BCP?'

A) 25°

B) 40°

e) 65°

D) 90°

E) 115°

(PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

2i) Si O es el centro de la circunferencia de la figura adjunta, entonces '¿cuál(es) de las relaciones siguienteses (son) correcta(s)?

l) ÁB",éDII) <tAOD = ~ +y

III) <tAED = ~+ OA) Sólo l tlí e , El ( 871DB) Sólo II

ej Sólo 1 y TI

D) Sólo II y III

E) l, II y m

22) En la circunferencia de la figura adjunta, la longitud de BA es un quinto de la longitud de la

. circunferencia completa. Si <tAEB = 25.° , entonces la medida de éD es

A) 9"E) 11 °

e) 18° / \~ED) 22°

E) 25°

26) En la Circunferencia de centro O de la figura adjunta, <tDOC = 60° y <l:APB = 45°, ¿cuánto mide el .

arco EA?

A) 30°

B) . 45°

C) 60°

D) 90°

E) 105°,l'

lt '

l'1I,1~!tit.!

23) En la circunferencia de la figura adjunta, AB.'" BD, ÁB = 140° Y Be =26°. La medida del <l:APDes

27) En la circunferencia deceritro o de la figura adjunta, EB//DC, <t DAC = 40° Y« EFD =80°.¿Cuánto mide el <l: DPC'?

A) 60°'

B) 65°

C) . 70°

D) 75°

E) 80°

-¡

":i"

A) 27°

B) 53°

C) 80°

D) 83°

E) 114°

B

28) Si en la circunferencia de la figura adjunta, AS y AR son tangentes en R' yS, respectivamente,entonces se puede determinar la medida del ángulo inscrito RPS si:'

(1) <l: SAR = 30°

(2) <l: RSA excede en 45° al -c SAR

A

~:jI;.;!I!

~¡

111~Iil.1'1,'1'1

1';1r¡! :

24) En la circunferencia de centro. O de la figura adjunta, BC = OD. Si <l:OBC = 20°, ¿cuánto mide elángulo AOD?

A) 60°

B) 50°

e) 40°

1) 30°

E) Falta información para determinarlo

\1 ().. 1 '>.B A) (1) por sí sola.

Ii) (2) por sí sola.

.' C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

281280

A) 200 cm'~ F B) 400 cm'DIIJI \c

BI,

C) 800 cm',.D) 1.200 cm'

'E) 1.600 cm'

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Mateln:ática

29) El radio.de la circunferencia de centro O. de la figura adjunta. mide 8 cm. ¿Cuánto mide la cuerda

AB?

(1) T es el punto medio de AB

'~:'¡

TERCER EJE TEMÁ TrCO / Test N" 6. PERfMETROS y ÁREAS

CAPÍTULO 6. PERÍMETROS Y ÁREASTest N° 6: Perímetros y áreas

1) El área del rectángulo de la figura adjunta es,

A) 40 cm'

E) 48 cm'

C) 50 cm'

D) 80 cm'

E) 100 cm'

(2) OTl.AB y OT=6 cm

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas. (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) 'Se requiere información adicional.

:i

1

1

30)' Si O es el centro de la circunferencia de la figura adjunta y BD y AC' son diámetros. Es posibledeterminar la medida del ángulo ACB si se conoce que: '

"", ..10 c~/'-,/.-

...,,'

8cm

(1) Be =2·,ij3(2) a = 120°

D

2) Un pasillo embaldosado de 2 m de ancho, rodea un jardín rectangular de 20 m de largo y 12 ID deancho. El área del pasillo mide ' ,

A) 68 m'

B) 120 m'

C) 144 m'

D) 150 m'

E) 160 m'

3) EÍJ la figura: ABCD' es un cuadrado cuyo lado mide 40 cm y t1 DCE es equilátero. El área achuradamide

E

A lB

4) En la figura adjunta se tiene una circunferencia de centro O y radio r. El área achurada mide

A) 1!r2

12



C) Ambas juntas. (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2).


B)1! r2-

1 9[1

11 - ,1H2

Cli C) -

jl8

2!~ 'D) 1!.f

¡l" . 6A1

RESPUESTAS CORRECTAS'11t r2

E) -41 t:1 H I V Vl I ~,·'t.L I J "(,l IU II la Ul I J e 1" " 1 U 'L 1 a '9 1 V', I V'v I a'E oz I H'I I

~.282

283

•..

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

5) Si el lado de un cuadrado disminuye en 3 cm, su área resulta igual a 81 cm', entonces ¿cuánto mideel perímetro del. cuadrado original?

A) 48 cm

B) 44 cm

C) 36 cm

D) 24 cm

E) 12 cm

6) Si en la figura adjunta todos ios 'ángulos son rectos, entonces su área, en términos de x, se puedeobtener mediante:

TERCER EJE TEMÁ -rICO I Test N" 6, PERÍMETROS Y ÁREAS

9) ABCD es un cuadrado de lado 2 cm, Los cuatro arcos. de circunferencia se dibujaron con centro enel punto medio de cada lado .del cuadrado, El, área sombreada mide

A) (21i - 4) cm' D

B) ,(4.- :i41t) cm'

C) (1t - 1) cm'

D) (27t - 2) cm'

E) 2 cm'1) (8x '3x) +(2x 'x) + (4x ' 2x)

TI) (IOx' 5x) -[(2x)'-i- 2 (2x' 3x)] I lO)4x

l!HIiIiIIIilIIlir) [(7x' 5x) - (3x' 2X)] + 83x)'_(2x)']

A) '$ólo 1 x

B) Sólo II 2x _=n7 3)(

'C) Sólo III 8x

D) Sólo I,Y II h 11)

E) 1, n y In,',I1;

7) En la figura adjunta, las dimensiones del rectángulo inscrito en la circunferencia son 16 cm y 12 cm,¿Cuánto mide el área achurada?

o:'A) 196" - 192 cm?

B) 144" --192 cm?

C) 1211t - 192 cm?

D) 100" - 192 cm'

E) 81lt - 192 C¡p2

8) Si en la figura adjunta, el paralelógramo ABCD tiene área igual a 48 cm' y AE = 2, EB , entonces¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

1) - Área(tlDEC) ~ 24 cm'

II) Área(tlEBC)=8cm'

III) Área(tlEFB) = 6cm'A) Sólo 1

B) Sólo II

C)Sólo III

D) Sólo I y IIE) I, n y 1lI

~\ . ;;¡e

A~ Y }~

F

284

¿Cuál es el área de 'un triángulo cuyos lados miden 15 cm, 15 cm y 24 cm?

A) ·54 cm'

,B) 108 cm-

C) 180 cm'

D) 216 cm':

E) 240 cm'

¿C~ál es el 'área de un hexágono regular inscrito en un círculo de radio 8 cm?

A) 16,J3 cm?

B) 96.fj cm'

C) 128,J3 cm?

D) 192.J3 cm'

E) 20813 cm!

ill, ¿Cuál es el radio de una circunferencia, si la longitud de un arco de 45° en ella es 31<?A) 214

B) 18

C) 12

D) 8

E) 613) Se tiene un triángulo ABC, cuyos lados miden a ~ 35 mm, b = 53 rnrn Y e = 66 mm, Desde el vértice

C se trazauna recta CD que divide al triángulo en otros ,dos. de igual ¡J~rímetro, Los segmentos ADy DB miden, respectiVamente


14) Si en el paralelógramo. ABeD de la figura adjunta. E y F son los puntos medios de AB y Be.respectivamente. ·¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1) Área achurada = 2.Área(L\ AED}

Il) Área achurada = 2 Área (L\ FCD)

ID) Área achur~da = Área (L\ AED) + Área {L\ FCD)

A) Sólo I

B) Sólo nC)· Sólo ID

D) Sólo I y II

E) I.IIyID

AL-' -----'

TERCER EJE TEMÁTICO I Test·N" 6; PERÍMETROS Y ÁREAS

( 17) En la figura adjunta. si el área del paralelógramo ABeD es n, y si la longitud de DE es n +..!.. .•entonces la longi;ud de AB es . n

A)n

B) _1_. J l'n + 1

C I . e) n + 1

,D) .z., A E B

n + 1

E)n'

~

15)' El perímetro de un rectángulo es 6x. Si uno de sus lados mide'::' • ¿cuál es el área del rectángulo?·2 .

IIl.

I

A) x'4

B)5x2-

4

e) 5x'-

2'

D) l1x2

4

E) .1lx'2

16) ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles de .la figura?

A) 21

B) 24

e) 24 + J2D) 18 + 6.fi

E) 24.fi

286

6

A\I 12 I

18) Si el área de un círculo es ·64n cm'. entonces la longitud desu circunferencia es

A) 8ncm

B) 16ncm

C) 321tCm

D) 64ncm

E) 128n cm

19) En la figura. L\ ABC es rectángulo en C. D y E son puntos medios de AB. y CA. respectivamente yAe = BC = 2 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones esíson) verdadera(s)? .

I) El triángulo CDE es isósceles.

TI) El ~ea del triángulo CDE es 0.5 cm'.

III) El perímetro del triángulo CDE .es (2 + J2) cm.

B

A) Sólo l

B) Sólo Ir

C) Sólo ID

D) Sólo 1 y Ir

E) l. II Y ID

D

VI"e E A

20) Si el área del rectángulo ABCD de la figura adjunta mide 48 cm'. ¿cuál es el área del triángulo ABE?. .A) 12 cm'

B) 24 cm'

C) 30 cin'D) 48 cm'

E) 60 cm'

287

iI¡

I1:

1:¡:!¡~;~I;1

¡'I

!...

PSU,. C~aderno de Ejercicios. Matemática

21) En la figura adjunta, ABCD y AEFG son rectángulos. EB =AG = 8 cm, FC = la cm y FD =2JlO cin.El área de la superficie achurada es r- F

!~ . TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 6, PERíMETROS Y ÁREAS

25) Cuatro palos redondos -de 6 cm de diámetro cada uno se han atado con una cinta de plástico .como se .muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud de la cinta de plástico que ata los palos?

A) . 24 + 61t cmA) 28cm2

B) 30cm' " B) 48+121t cm

C) 32cm'. e) 12.+ 31t cm

D) 34cm' C D) 36 + 91]; cmE) 36cm'

B E) 24 + 121t .cm

22) En la figura, ABCD es un cuadrado y 6 ABE es equilátero. ¿Qué parte dei área del cuadrado es elárea achurada? .

1A) ¡

1'B) '3

1C) '2

2D) 3

3E)¡

)..., =-C

Ir 'B

23) En la figura, ABeD es un rectángulo. Si AC es una semicircunferencia de radio 3 cm y ",1<l: BACmide 300

, entonces el área achurada mide

A) rt cm-

B) '2n cm' .

C) '3n cm'

D) 4n cm'

E) 5n cm'

24) El triángulo ABC es rectángulo en. C. Se han construido sobre los catetos los cuadrados Entrc yACDE. Si Á.B = la cm, ¿cu~to mide el. área achurada?' .~

D'A) la cm'

E) 20 cm'

q 50 cm'

D) 100 cm'

E) No se puede determinar

• 288

26) En un círculo de radio r se dibujan los diámetros perpendiculares PQ y RS, y haciendo centro en Py radio PS se traza el cuadrante de circunferencia PRS. El área de la superficie achurada mide.

1 2A) ¡ 1t r

E) (2: - 1}', . 2

C) 1t r'D) r'

1 ,

RE) '2 1t r

27) El área de un cuadrado que tiene igual perímetro que un triángulo equilátero cuya altura mide ~.f3. . . 4cm es

A) 36a' cm'

9a'B) - cm-

4

9a'e) - cm'

16

9a'D) - cm?

64

a'. E) -- cm'

576

H

289


28) ¿Cl!áI es el área del trapecio ABCD de la figura adjunta?

(1) El trapecio es isósceles y Ab = 10 cm.

(2) La mediana del trapecio mide 12 cm y su altura 8 cm.



C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1). ó (2).

E) . Se requiere información adicional,

L6,m.~A 18 cm B

29) En el ó. ABC de la figura: CD es bisectriz del4:ACB y AC = BC. ¿Cuál es el perímetro del

Ll ABC?

(1) AD = 3 cm y BC= 5 cm

(2) CD = 4 cm


B) (2) por sí sola ..


D) .Cada una por sí sola, (1) ó (2).


e

J - tD 'B

30) Dos lados de un triángulo miden 6 cm y 8 cm.· Se puede calcular su área si:

(1) El triángulo es isósceles.

(2) El triángulo no es rectángulo.



C) Ambas juntas, (1) y (2) .

. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) .Se requiere información adicional.


290

I~ .

• TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7. SEMEJANZA

CAPÍTULÓ 7. SEMEJANZATest N° 7: Semejanza

1) Si dos polígonos son semejantes, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)siempre verdaderat s)?

1) .Los polígonos tienen ángulos correspondientes de igual. medida.

II) Sus lados correspondientes son proporcionales.

IU)" Los polígonos tienen la misma forma.

A) Sólo 1

B) Sólo 1 y II

el Sólo 1 y III

D) Sólo U y III

E) .r, II Y III

2) La razón entre. la altura del triángulo ABe y la altura correspondiente del triángulo MNP es7 : 10. Si los dos triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón entre las áreas de estos triángulos?A) 7 ·10

B) 10 7 ,

e). 49 100

D) 343 1.000

E) 1.000 343.

3) Si en la 'figura adjunta t; ABC - t;DEF , entonces x _ y =

A) 1,5

B) 2.0.

e) 2,5

D) 3,0

E) 3,5

e

~A 7 .B

F

~D .. E

12m

~2m

. 4) En la figura, los triángulos son semejantes. La altura del árbol es

A) 6mB) 8m

C) 12 mD) 18 m

E) 24 m

~~~

4m

1)·

Ix

~

291

f~t

I1,

F',1I~~

~d!I1,

¡i

liI

I~

tl'1

1

111:


5) Un triángulo tiene lados con longitudes 8, 12 Y 15. Las longitudes de los lados de otro triánguloson 12, 18 Y 22,5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Los triángulos tienen sus áreas en la razón 2:' 3.

B) Los triángulos son semejantes por el postulado Lado-Lado-Lado.

C) Los triángulos son semejantes por homotecia.

D) Los triángulos no son semejantes.'

E) Ambos triángulos son rectángulos.

6) De acuerdo a la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1) BE: CD = 2,: 7

I1) perímetro del A ACD = 2, perímetro del A ACD 1

área del A ABE 1Jrr) área del A APC = 9A} Sólo rB) Sólo II

C) Sólo 1 y rr

D)Sólo II yIII

E) r, II Y III

e

d J "A

TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7, SEMEJANZA

8) Si a un cuadrado ABCD le aplicamos una homotecia concentro en A y razón -1,: 2 secbtieneotro cuadrado A'B'C'D'. La figura que mejor rep~esenta esta situación es,

A' liT C) D' e' E) "tEJD' e', .

A =A' B' B D eD' A=A' B

A=,A' B B'"'pe D) :bJeB' ,B D' B

e' D' B' e'·

'~

9) Si a un pentágono de perímetro 24 cm se le aplica una homotecia de razón k = 3 1, ¿cuántomide el perímetro del pentágono resultante? '

A) 4 cm

B) 6 cm

C) 8 cm

D) 72 cm

fl) 96 cm

10) Se llama semejanza al movimiento obtenido por

A) traslaciones

B), rotaciones

C) reflexiones

D) simetrías deslizantes

E) hómotecias

11), Silos triángulos de la figura son semejantes, entonces el perímetro y área del triángulo A'B'C'son, respectivamente

7) A un triángulo con vértices en los puntos A( -2, -1), B(2, ~ 1) Y ecO, 4), se le aplica una homoteciacon centro en el origeny. razón 3 : 2. Las coordenadas de los vértices del triángulo que se obtieneson

A) A'( -3,-%} B'(3:-%} C'(O,6)

B) A'(-.!..!.) B,(2 2.) c,(i 2.l.12'2' ,2'2' 2'2)

A) 18 cm y 13,5 cm'

B) 12 cm y 6 cm'

C) 8 cm y 4 cm'

A A~'

3,:~ 4.5= .. '4cm e 'B' e:

A'( -t,-%} B'( ~,-~} C' (-~,~)

D) A'(3,n B't3,~} C'(O,-6)

C)

E) A,(_i -~) B,(i: -~) c'(o ª-)3,' 3' 3' 3' , 3

D) 8 cm y 2f cm'

E) 18 cm y 9 cm', ,

292 293

1:.,PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática,¡I

: I~

11

11

J2) La pizzería "don Vitto" ofrece una pizza napolitana de 15 cm de diámetro a $1.800, ¿a quéprecio deberá vender una pizza con el mismo grosor, con los mismos ingredientes, pero' con 45cm de diámetro?

A) $3.600

B) $5.400

C) $7.200

D) $iO.800

E) $16,200

13) ¿CuáJ(es)de las siguientes parejas de triángulos es(son) semejantes?

1)

~

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) SóloJ y III

E) Sólb II y III,

7A?'l. '~ G)·,'2,A,? 2116 8, ~

, , 3t10

III)

.A ,30'

~

14) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

A) Dos.polígonos congruentes son ',siempre semejantes.

El) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes,

C) Dos cuadrados son siempre semejantes,

D) Dos círculos son siempre ,semejantes.

E) 'Dos rectángulos son siempre semejantes.

15) Los perímetros de dos figuras 'semejantes son 30 cm y 18 cm. ¿En qué razón están los lados?

A) 25 : 9

B) 10: 9

C) 6:2

D) 5: 3

E) 5: 2

iI~1,

Ii~

294

*li' TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 7, SEMEJANZA

16) En la figura, AC .LBD y ED .L AB , ¿cuá1(es) de las siguientes alternativas es(son) verdadera(s)?

1) FD' FE = FA . Fe

Il) AC' ED = AB . BD

III) FD' FA = FC . FE

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

El Sólo 1 y III

o

e

AL E "B

17) En la figura: CE = 2 cm, DE = 6 cm y AB = 12 cm, entonces la medida de AC es

eA) 3 cm

B) 4 cm~EC), 5 cm

D) 6 cm

E) 8 cm a''' .... , 'B

1"8) Si li. ABe ~ li. DEF, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a AB?

1) BeDE ' EF·AC AC·DEI~

Il) -- I1I)EF' Be DF

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1y II

E) Sólo 1y III

i9) La tarjeta de la figura está dividida en cuatro partes, cada una de ellas semejante a la tarjetaoriginal. El valor de x es

Al 5B) 10 EllIJx" . ,C), 15D) 20

) 10 10 10 10

E) 30

295

PSU. Cuaderno de EjercícíosvMatemútica

20) De acuerdo a la figura, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera/s)?

1) PQ = 8

II) <l: OPQ = 90°

III) '" SOR - '" QOPA) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo 1 y II

D) .Sólo 1 y III

E) (TI Y III s

R

II,~

~

1J!~•~~f'

JI

~

~~~.~~~~~1('

rtr~

21) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. D es el punto medio de AB. DE es

perpendicular a AB. Si AC = 12 Y AB = 20, el área del triángulo DBE es·c

A) 30 .B) 35

C) 37,5A uD) 48

E) 58,5

.E

/ 1 '>.8

22) En el triángulo is6sceles PQR de la figura, PR'= QR; PS es bisectriz del ángulo en P. ¿Cuá1(es)de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

1) Los triángulos PQS y PRQ son isósceles .

II) El triángulo PQR es semejante al triángulo QSP.·x 3 .

R

III) 3' = x-3

A)

B)

C)D)'E)

Sólo 1. ,

Sólo II

Sólo 1 y II

Sólo II y III

1, II Y III

pV ~ la

23) Dos octógonos regulares tienen lados cuyas longitudes son 6 fj y 9. La razón de sus áreas es

l.l'

il'

A) 4: 3

B) 2,[j: 3

C) 2:.[3

D) Ms:9É) 2: 1

296.

Q

TERCER EJE TEMÁTiCO I Test N" 7, SEMEJANZA

24) Si DoABC - '" JOT, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

'A) BC· OT = AC . JT

B) AB· JO = AC . JT

C) AB· JT = BC . OT

D) AC· OT = BC . JT

E)AC • OT = AB .' JO

25) ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es siempre verdadera?

A) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

B) Dos triángulos is6sceles son semejantes cuando tienen igual el ángulo del vértice.

C) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcio-nales. . .

D) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen Iashípotenusas iguales ..

E) . Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus lados respectivamente paralelos.

26) En el triángulo ABC, rectángulo en B: EFI/BC, AF = Fe = 5 cm y AB =.6 cm. Si la mediana deltrapecio BCFE mide 6 cm, entonces ¿cuánto mide el perímetro de este trapecio?

. A) 12 cm

B) l5cm

C) l8·cm

D) 20 cm

E) 24 cm

A~.··F·'···

E .

CB

27) En. la figura: ABCD es un paralelógramo. El valor de x+y es

A) 14,4 cm

B) 10,0 cm

C) 9,0 cm

D) 8,0 cm

E) 7;6 cm A

28) ¿Es el <t PSR congruente. con el <l:TQR?16

( 1) <t SPR '= <t: QTR

PR SR(2) TR = QR

!

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D)Cada una por sí sola, (1) 6 (2)

E) Se re·quiere. información adicional

pQ

297

I

i1:

¡ti¡


29) Se puede determinar la medida del segmento WZ si:

(1) RW = 15, ZR;= 10 Y SZ = 8.

(2) 4:SRZ := 4: WZS

w

B

'{ TERCER EJE TEMÁ rtco I Test W 8. GEOMETRíA DE PROPORCIÓN~--------------------------~~~~~~~~~~~~~~--~~~~~~!'~I CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

Test N° 8: Geometría de proporción

1) Dado un trazo AB = 80 cm 'y un número real A. = ~, entonces dividir armónj~amente dicho trazo ABen la razón i significa 3

. AC 51) Encontrar un punto e entre A y B tal que '" _

'. CB 3

II) Encontrar un punto D en la prolongación de AB, a la derecha de B, tal que AD. . DB

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambasjuntas, (1) y (2)

D) Cada -una por sí sola, (1) ó (2)


RI 'JZ·

III) Encontrar un punto D. en la prolongación de AB" ala izquierda de A" tal que AD = ~DB 3

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correcta(s)?

A), Sólo

B) Sólo TI

C) ,Sólo III

D) Sólo 1 y TI

E) 'Sólo 1 y III

2) Se tiene un segmento AB de 95 cm. Al 'dividirlo interiormente por dos puntos dados P y Q tales queAP : PQ ': QB ;=3 : 5 : 11, la diferencia entre el mayor y er menor de los segmentos que resultan de taldivisión es

A) 15 cm

B) 25 cm

C) 40 cm

D) 55 cm

E) 60 cm3) Cuando se divide un cierto trazo, AB, armónicamente en la razón de l....:. 4, la distancia entre los

puntos de división interior y exterior es de 48 cm. La medida del trazo AB es

A) 12 cm

B) 14 cm

C) 18 cm

D) 24 cm

E) 28 cm

30) Con respecto a la figura adjuntavpodemos determinar el valor de y - x si sabemos que:

(1) EDIl AB(2) CD = 14 A

4) En la figura adjunta, ABIiCD. Si OA;= 10 cm, AC .; 8 cm y BD;= 12 cm, entonces OB;=

OA) '9,6 cm

B) 10 cm

C) 14 cm

D) 15 cm

E) 16 cm'

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola'


D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2) .

E) Se requiere 'inforrnaclón adicional


298299

PSU - Cuaderno de Ejercicios, Matemática

, 5) En "la figura adjunta se muestra un trazo AB de 20 cm, M es el punto memo de .AB, Los puntos C

y D dividen al trazo AB, el primero interiormente y el segundo exteriormente, en la razón 7 : 3,

fA B DM e

.Al respecto -se' plantean las' siguientes afirmaciones:

1) MA2 MC 'MD

II)2

AB1 1-+-

AC 'AD

III) Los puntos B y A dividen armónicamente al trazo CD en la razón 2 : S, ,

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correctaís)?

A) Sólo 1 y TI

B) Sólo II y mC) Sólo 1 y III

D) Sólo III

E) Todas

6) En la figura adjunta, AB/I CD /1 EF, Suponiendo que todos los trazos indicados a continuación semiden con la misma unidad de medida "u", y si AC = 6u, CE = 4u y DF = 6u, entonces BF =

A) 4u

B) 9u

C) 12u

D) lSuF

E) 18u

7) En la figura adjunta se cumple que CDII AB, OA ~ 12 cm, OD = 18 cm y eB = 35 cm. El segmento

oe mide

A) 12 cm

B) 14 cm

C) 15 cm

D) '16 cm

E) 21 cm',

300

TERCER,EJETEMÁTICO I Test N" 8, GEOMETRJA DE PROPORCIÓN

8) En el cuadrilátero ABCD de la figura adjunta, se han dibujado sus diagonales AC y BD, las cuales se' cortan en P. ,Se trazan DM /1 Be y eN 1/ AD. En tales condiciones se afirma que

CP NP D1) -=-

PA PD

MI> DPTI) -=-

,PC PB

1Il) MN// AB

De las afirmaciones anteriores,¿cuál(es) de ellas es(son) correctá(s)?

A) Sólo 1

B) Sólo TI

C)~m V ~D) Sólo r y TI A B

E) Todas

9) Los lados de un triángulo ABC miden BC = 8 cm, Cs: = 10 cm y AB = 12 cm. Se dibuja un~ paralela

MN al lado AB de tal modo que el perímetro del triángulo MNC sea igual al perímetro del trapecioABNM. Él valor de MN es" ,

A) 10 cm

B) 8 cm

C) 6 cm'

20D) '3 cm

25E) 3cm

10; ¿En cuál de los casos -síguientespodemos afirmar que dos triángulos son semejantes?

1) ,Tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

TI) Tienen un ángulo respectivamente congruente comprendido entre .lados proporcionales.

IlI) Tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es (son) correcta(s)?

A) 'Sólo TI

B) Sólo III

e) S610 TI y III

D) S610 1 y TI

E) 1, II Y III

301


11) Se da un triángulo ABC rectángulo en C. ¿Con cuál de los Procedimientos siguientes podemosasegurar que se obtiene, al menos, un. triángulo semejante al triángulo ABC?

I) Trazando una paralela DE a la hipotenusa.

ir) Dibujando la altura CD = he relativa a la hipotenusa.

Ill) Trazando la bisectriz del ángulo recto;

De los procedimientos anteriores, ¿cuál(es) de ellos esfson) correcto(s)?

A) S610 rB) S610 II

C) S610 III

D)S610 l y II

E) Sólo l y III

12) La media proporcional geométrica entre dos trazos de 6 cm y de 24 cm es un trazo de

A) 9,6 cm

'B) 12 cni.

C) 13 cm

. D) 14 cm

E) 15 cm

13) En el triángulo rectángulo ABC de la' figura adjunta, rectángulo en C, BC '" a y CA '" b '" 2a.

CD = he es la altura relativa a la hipotenusa, entonces CD '"

1A) -' -'a215

115'B) - 5 a5

C) ~15 a2

e

l·

. 5 IrD) -...;5 a, 2

E) 3.15 a5 ,

En un cierto triángulo rectángulo ocurre que la suma de la medida de la hipotenusa con la medida deuno de los catetos es 25 cm, mientras que la diferencia entre las medidas 'de ambos es. de 9 cm.Entonces la medida del otro .cateto es de

o \BA/ D

14)

A) 8cm

,B) 9 cm

C) 12 cm

D) 15 cm

E) 16 cm

302

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

15) Cuando dos circunferencias son tangentes exteriormente, ocurre que la longitud del segmento detangente común exterior es igual a lamedia proporcional geométrica entre sus diámetros, Según estapropiedad, '¿cuánto mide la longitud de la tangente común exterior a las dos circunferencias tangentes,exteriormente de la figura adjunta de radios r = 4 cm y R '" 9 cm? '

A) 6cm

B) 6,5 cm

C) 12 cm

D) 13 cm

E) 14 cm

16) ¿En cuál(es) de los siguientes casos secumple que la medida del segmento indicado es mediaproporcional geométrica entre las 'medidas pe los otros dos segmentos?

1) La altura de un triángulo 'rectángulo y los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.

II) Un cateto de un triángulo rectángulo con respecto a su proyección sobre la hipotenusa y lahipotenusa entera.

1lI) La tangente trazada a una cb:cunferencia desde un punto exterior y los dos segmentos deuna secante trazadas por el mismo punto exterior: el segmento ínterior y el segmento exterior

De las afirmaciones -anteriores, ¿cuál(es) de ellas es (son) correcta(s)?Si

A) Sólo I

B) S610 II

C) SóloIII

D) Sólo 1 y II

E)' Sólo l, y III

17) En la figura siguiente, siendo ABC un triángulo rectángulo en e, ocurre que el área del cuadradoBHIC es idéntica al área delrectángulo BDEG. Este hecho. geométrico ilustra mejor el teorema de

, 1

A) Euclides de la altura

B) Euclides del cateto

C) Pitágoras

D) los paralelogramos complementarios

E) no corresponde a ningún teorema en

espe~ial

18) 'Las diagonalesde un rombo miden 30 cm y 40 cm. ¿Cuánto 'mide el radio de la 'circunferenciainscrita en él? '

A) 12 cm

B) 15 cm

C) 18 cm

D) 21 cm

E) 25 cm

,,----_. ~

Á'

303

A) 24 cm

"1

B) 28 cmje) 32 cm

IID) 40 cm11

E) 60 cm~~ ~

1

305I304

II~,

J

r!r~I1

~

~r~II

e 'Al2pq ~B) pq

h.e) p2 + q', .'. E

Aé y ~B I D) q2_p' '~D~'q p, . q p

E) (p+q)he


19) En la figura adjunta, los catetos del triángulo ABe, rectángulo en e, miden a = 3 cm y b = 4 cm. Larazón en que están los segmentos p y q, proyecciones de a y b respectivamente, sobre la hipotenusa, es

13A) 2

3B) "4

9e) 16

81D) 256

4El "3

TERCER EJE TEMÁTICO / Test W 8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

22) En el triángulo ABC, rectángulo en e, indicado en la figura adjunta, se traza la altura CD = he ' la que

determina sobre la hipotenusa dos segmentos de longitudes p y q. En seguida se trazan DE.L Be y- - . 2DF .L AC. En tal caso, EF

23) En la figura adjunta, PT es tangente a la circunferencia de centro O y la recta PB es secante a dicha

circunferencia yno pasa por el centro. Si construimos un cuadrado cuyo lado es PT , entonces élserá eql.\ivalente a un rectángulo cuyos lados son los segmentos de medidas:

1) PAy AB

, II) PA Y PB

III) AB Y PB

IV) (PO + OT)y (PO - OT)

De las expresiones anteriores,QI / \ -->p

¿cuál(es) es(son) correcta(s)?

A) Sólo 1 y mB'

B) Sólo II

e) Sólo IV

D) Sólo II y IV

E) S610 I, TI Y m

20) Dado el triángulo rectángulo ABC -con todos sus elementos, indicado .en.Ia figura adjunta, . Si 'seconstruye otro triángulo rectángulo cuyos catetos sean la suma de los catetos del triángulo .dado y laaltura del triángulo dado, entonces la hipotenusa sería: .

A) a + b + he e

B) e + he AA, 1:,

e) a·+ b + e

r» a + he

E) b + he'<....... . --v- D_-----------"

e

21) En un cierto triángulo rectángulo ABe, rectángulo en e, lahipotenusa mide 15' cm y su alturacorrespondiente mide 6 cm, La longitud del cateto mayor es de

A) 6:.J5.8) 5:.J5C) 4:.J5

I 24)

r» 3.:.J5E) 2:.J5

P es el punto de intersección de las tangentes exteriores a las circunferencias de centros' O yO', Si elradio de la circunferencia menor es r = 3,5 cm, el radio de la circunferencia mayor es R = 14 'cm y-la

distancia AP = 8 cm, entonces PB =

PSU. Cuaderno de' Ejercicios, Matemática

.25) Dos cuerdas AB y .CD se cortan en un punto P de un círculo cuyo centro es 0, tal como se muestraen la figura adjunta.

A

c.B

Si con algunas parejas de los trazos determinados en la' figura anterior se construyen dos rectángulos,éstos resultan ser equivalentes. La opción que ,nos indica los rectángulos que siempre son equivalenteses

306

!!'

A)

B D

p

p

C

p

p

B

p

D

~'.TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

A

'B)

p

e

26) En el triángulo ABC de la figura adjunta, EF // AB. Además EF = a, AB = 1,4a y el área del triángulo

ABC es 98 cm". El área del triángulo EFC esC

A) 35 cm?

A

C)

p B

B) 42 cm?

C) ~9 cm" El '>, FI ,

A

D)

D

D) 50 cm '

E) 56 cm?

Al 'B

E)

P. B

27) En un trapecio ABCD, de bases AB y CD, se trazan las diagonales AC y BD, las cuales se cortan

enO, El área del triángulo COD es de9 m2y el área del triángulo ABO es de 16 m2, Elárea del

trapecio' es igual a' .

A) 49 m2

B) 37 m '

C) 28 m '

D) 25 m2A: TI • -=ZVIT"'" R

E) . Faltan datos

728) Se' desea dividir armónicamente un trazo AB = 40 cm en la razón A. = '3' Para ello es necesario y

suficiente

(1) Dividirlo interiormente en la razón A.

(2) Dividirlo exteriormente en la razón A.

A) (1) por 'sí soiit

B)' (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (l)y (2)


'E) Se requiere información adicional

.. 307

A

B

P

p

B C

PSU. Cuaderno deEjercicios, Matemática

29) Con respecto a las medidas de los trazos de la figura adjunta, se cumple entre ellos la relación

AO BOOD = OC' Para que ocurra la proporción anterior debe cumplirse necesariamente que:

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS

CAPÍTULO 9. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y DE PITÁGORASTest N° 9: Triángulo rectángulo: Teoremas de Euclides y de Pítágoras

(1) el // e, BI Il 1)"==:,A el" I(2) tl ABO - ,t!. DCO

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola oC) Ambas juntas, (1) y (2) cl "':"D e2) "D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)


30) En el triángulo ABC de la figura adjunta, la altura CD = h, cae en el interior del trazo AB , dividiéndolo

en dos' segmentos p y. q tales que p + q = c . Entre las longitudes de los segmentos p, q y h, se

cumple la relación h; .~ P q, Esta relación es válida siC

(1) El triángulo ABC es rectángulo en C

(2) El triángulo ABC es isósceles de base. AB

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola'

C) Ambas juntas, (1) y (2)AC:y: 'Xy'>B

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) q D p

l' e' IE) Se requiere información adicional


V 'DE a '91

;).'\,! a '1

308"

En la figura adjunta, el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C. El valor de x es

A) 3MB) 30.J5

B

C) 4M I ~x.30

D) SM,E) IO.J5

C 60 'A

2) ·En el triángulo ABC de la figura adjunta, rectángulo en A, la medida del lado AB es

GA) ±2~

B) .,-.fiC)D) .fi

AD '\.BxE) 2

¡;...-

3) En el triángulo rectángulo de la figura adjunta, la medida de BC es

A) 7B) / 8

C) 11

D) 12

E) Jl94.~,A 13

4) De acuerdo a .los datos en la figura adjunta, el valor de x es

A) 7l-5

B) gol3

C) 10±

D) 11

E) IS

C

A~B x

309

..._--_.


. 5) Eltriangulo ABC de la figura es rectángulo en C. Si CD es la altura respecto de la hipotenusa,

AC = 6 cm y BC = 12 cm, entonces Ia medida del segmento AD es

6../5

3../5

2../5

.6 ~. D) -,,55

E) '!:..../53

A)

B)

C)

cm

cm

.~A. x D . B

'~TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y mi PlTÁGORAS

cm

9) El perímetro de la figura adjunta es

!~' A) 28 cm

B) 32 cm

C)36 cm

D) 37 cm

E) 39 cm

3cmn40m

cm

cm

10) En la figura adjunta, el triángnlo ABC es rectángulo en C y CD es la. altura respecto de la

hipotenusa. Si AD = 8 cm y CD = 16 cm, entonces la longitud d~ BC es

A) 16)5 cm

.~

B) 32 "cm

C) 16J3 cm

D) 16J2 cmA D B

E) 8)5 cmr,~-. .,. ... 11) De acuerdo a.los datos de la figura adjunta, el perímetro del triángulo ABC es

ir"_.

A) 8 + 12)5 cme '. .

B) 20 + 12$ cm

4~~C) 16 + 10)5 cm

D) . 16 + 12)5 cmA 4cm D B

E) 30 + 4)5 cm

6) Enelrriángulo ABC, rectanguloen C, AB = 20 cm y AD = 4 cm. La medida de la altura CD es

.~.A D B

A) 6 cm

B) sJ2 cmC) 8 cm

D). 4../5 cm

E) 10 cm

7) El triángulo ABC es rectángulo en B e is6sceles. Si

AB es

A) 9J2 cmB) 11 cmC) 10 cm.D) 9 cm

E) ·4J2 cm

AC = 18 cm, entonces la longitud del lado

A¿JCB

12) De acuerdo a los datos de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdaderars)?

1) AC=)5. cm.

I1) <r ADC= 90°.

III) <r:BCD = 90° .

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) S610 1 y II

D) Sólo 1 y mE) 1, II Ym

'C

" , \BA 2cm

8) En la figura adjunta, ABCD y CEFG son cuadrados. Si el área de CEFG es 36 cm2,¿cuál es el áreade ABCD? .

Q.A) 6 cm2

B) 6J2 cm?LJ~ )FC) 9 cm'

D) 18cm2

E) 24 cm- A. BilIII

310311

15) En la figura adjunta, el t.ABC es equilátero de perímetro 24 cm, AD = 813 cm y AB 11 DE .¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero DECA?

C

A) 12(3 + -13) cm

B) 8(6 +-13) cm Al \8

C) 4(17 + 7-13) cm

72-13I \ I 20)

f~ D) cm

E) 8(3 + 11-13) cm J I lED

16) De' acuerdo a la figura adjunta, ¿cuál es la longitud de DB?'

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

13) Si todos los triángulos de la figura son rectángulos e isósceles y OA = 1 cm, entonces la longitud

de EO es

A) 4fi cm

B) 4 cm

e) 3J2 cm~B

¡I~i!l"

D) 3 cm

E) 2J2 cm

E o 1 A

14) En la figura adjunta, Ae =8 cm, BC = 4 cm y BD = fi. ¿euál es la longitud de AB?

1A) 4J2 cm

~' B) 4-13 cm'l

4.[5 cme)

D) .fi4 cmA

E) 4.J7 cm

JjA) 13m

B) 11m

C) 9 m

·::1:D) 7 m

~¡! E) 5' m

ir"n;I.: 312,.~:¡¡;

ALh

16m D ,B

e'

TERCER EJE TEMÁTico I Test N" 9. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAs DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS

17) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a ésta en dos segmentos cuyaslongitudes son entre sí como 1 : 9. Si la longitud -de la altura es 9 cm, entonces la longitud de lahipotenusa es

A) 10cm.

B) 20cm

e) 30cm,

D) 40cm

E) 50cm

18) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en dossegmentos cuyas longitudes son 5 cm y 45 cm. ¿euál es la longitud de la altura?

A) llcm

B) 12cm

e) 13cm

D) 14cm

m IScm

19) Si en la figura adjunta, AC =13 cm y BC = J6 cin, entonces ¿cuál(es) de las siguientesproposiciones es(son) correctats)?

1) AB=3 cm

1I) CD =12 cm ..'.A D

IlI) Área(t. DBe)=vIz cm'

A) Sólo 1

B) Sólo 1 y TI'C) Sólo 1 y III

D) Sólo II y III

E) 'I, II Y III

Si se construye un 'rombo con .lado igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado p,entonces la mayor de las diagonales del rombo tiene longitud

Al2p 21--B) 2pJ2 . . ,,/-,_,/

e) P.J5 p . . ,/

D) - 2p.[5 , __,/

E) p~4+2J2 ,/

313

A) 3J2 cm27)

R

B) 3J3 cm

P~Q

C) 3-J6 cm

D) s.Ii cm

E) 3M cm


21) Si MNPQ es un rectángulo y QR -L MP , entonces, de acuerdo a los datos de la figura, QR =

m2n2A)

m2 + n2

mi + n2 Q. P

B) --mn

rnn ' , I .\. ../' InC) .Jm2 + n2 ,I/R,

IN~D) M m

m2 +'n2

E) )m2

u:n2

22) La altura correspondiente a I~hipotenusa de ,un triángulo rectángulo divide a ésta en segmentoscuyas longitudes son 6, cm y 21 cm, ¿cuáles son las lon~itudes, de los catetos?

A) 9J2 cm y 9,fi cm

B) 3-J6cm, y 3m cm

C) is cm y 56 cm

D) 3-/14 cm y 6 cm

E) 3-/14 cm y 21 cm

23) Si en la figura adjunta, eltriángulo PQR es réctángulo en R iRQ = 6 cm, entonces la longitud de

RS es

314

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS

24) Si en la figura adjunta, BD = De ,,;6 cm y AB =2' Be, ¿cuál es la longitud de AD 't :

A) 6J2 cm /VeB) 9 cm

C) 12 cm

D) 12J2 cm ,:1-

A ' BE) 18 cm

25) ¿Cuál es el área del triángulo ABC de la figura adjunta?

BA) 4J5 cm'

B) 10 cm'

e) 'sJ5 cm'

D) 20 cm'

E) 40 cm'

26) ¿Cuál es la longitud de Be en la figura adjunta?

A) lOcm

B) l6cm

C) 18cm

D) 20cm

E) 24cm

!! u 'A

e

Si el triángulo ABC de la figura adjunta, es rectángulo en el vértice e, entonces ¿cuál(es) de lassiguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)? '

1) (AC)' +'(BC)2 =(AB)' ;

II)' (BE)' + (AD)2 =(AB)' +(ED)'

ill) CE,DB=CD,EA

A) S610 1

B) Sólo III

C) Sólo 1 y 11

D) Sólo 1 y III

E) I, TIY III

I~B

315

a-

'í. .e.,~: ..; ;,

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Maremática

28) En el triángulo ABC de la figura adjunta, rectángulo en C; a2 +b2 =

(1) P = 3 cm y q = 4 cm

(2) a·b=7·h, e

/hBA· q D P'.


B) (2) por sí sola:

C) , Ambas juntas, (1) y (2).

D) .Cada una por sí sola, (1) ó (2).


..

29) Si en.la figura adjunta se cumple' que AD = DC .' Se puede afirmar que el triángulo' ABC esrectángulo en 'C si:

(1) Triángulo ADC es rectángulo en D

(2) AD=DBB

. A) (1) por sí sola.


e) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1)ó (2).


D

CV '>A

~

1I1"1

j

30) ,¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo?

(1) La altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta en segmentos cuyas longitudes son 6 ,Y 21 cm. '.

(2) La hipotenusa mide 27 cm.




D) Cada una por sí sola, '(1) ó (2).


,1

rl

,¡ .

316

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" ¡Ó, TRIGONOMETRÍA PLANA

1\, CAPÍTULQ 10. TRIGONOMETRÍA PLANATest W 10: Trigonometría plana

1) Dado el triángulo rectángulo ABC de la figura adjunta, de catetos Be = a = 20 cm y C,A= b = 21 cm,los valores de' sen a, cos: a y tan a son, respectivamente:

l.;.

A) 20 3..!. 20,29' 29 Y 21

21 20 20B) 29' 21 y 29

20 20 21.C) 21' 29 Y 29

20. 20 ,21D) 29' 21 y 29

AL a) ,'\, B

C

j!¡

i~:

; 2120 201;, ,E) 29' 29 Y 21

~.

2) El valor exacto de la expresión sen 30" + sen 60' - sen 90 =A) O

B) ~2

"11,"

C) ~-132

í1 '

P) ~ (-13 - 1)E)

3) En el triángulo rectángulo ABe, rectángulo en C, de la figura adjunta, se tiene que eB = 6 -13 'cm' y

el ángulo ABC mide 60°. En tal caso, la altura CD = he mide

A) 12-13 cm_C

B) 9-13 cm

C) 3 -13 cm

D) 9 cm

E) 6 cm A /' O \ B

"317

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática'

4) Si o. corresponde a la medida de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, entonces, ¿cuál de las'.condiciones siguientes debe verificar necesariamente sen a ?

A) seno. > O

B) seno. < 1

e) Ay B

D) la función sen a puede asumir cualquier valor 'numérico

E) la función sen a sólo puede asumir valores racionales

5) De las expresiones dadas a continuación, para up ángulo dado a :

1) sen? a + cos"«

ll) sec" a + tan' o.

ID) cosec? a. - cotan 2 a:

¿euál(es) de ellas tiene(n) por valor l? .

A) Sólo

B) Sólo II y III

e) Sólo 1 y TID) Sólo 1 y III

E) 1, TI Y ID

6) En la figura adjunta, tenemos un cuadrado AISCD de lado 1. M es el punto medio del lado BC" Entales condiciones, tan a =

1A) -

2

1B) .J5

2C)' .J5

.J5D) -

2

E) .J5

318

DC

M

B

TERCER EJE TEMÁ neo I Test N' t O, TRIGONOMETRíA PLANA

7) Dadas las siguientes parejas de 'funciones trigonométricas:

1) seno y coseno

Il) . tangente y cotangente

III) secante y cosecante

¿euál(es) de ellas ea(son), 'a la vez, recíproca(s) y cofunción(es)?

A) Sólo TI

B) Sólo 1 y ID

e) Sólo TI y ID

D) Sólo 1 y TIE) .1, II Y ID

8) En el rectángulo ABeD de la figura adjunta, con los datos indicados en ella, el lado AB mide

2'A)3'

2.J3Bl -3-

e) 2.J3D) 3

J3E) 2'

D e¡ 51

AV 30° t I

2

D) sec- a. tan' a.

B

9) En, un rombo ABeD de lado 10 cm, .dicho lado forma un ángulo de 20° con la diagonal mayor AC,

Las expresiones trigonométricas que ~ejor representan las longitudes de las diagonales AC y BDson, respectivamente:

A)' 10 cos 20°; 10 sen 20°

'B) 20 cos 2.0°; 20 sen 20°

e) lOcos 40°; 10 sen 40°

.D) 20 cos 40°; 20 sen 40°

E) 10 cos 10°; 10 sen 10°

10) ¿Cuál de las siguientes. es un ejemplo de identidad trigonométríca?'

A) sec a: cosec a: ~

E) sec a: + cos .c ~

e) sec a: - cos a: ~

El cos' a. - sen' a. =

A,e ~ I

319

PSU. Cuaderno de Ejercidos, Matemática

11) ¿Cuál e~ el valor de cos' 30° + cos' 45° + cos' 60°?

5A) -

8

3B) -

'4

5e) >'4

3D) -2

.7E) -

412) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones correspondetn) al valor exacto de sen 60°?

1)- . 2 sen 30°'

Il) '2 sen 30° cós 30°

IlI)12'sen1200

De las expresiones anteriores, es(son) correcta(s):

A) Sólo 1

B) Sólo Il

C) Sólo ID

D) Sólo 1 ó III

E) Sólo 1 ó II

13) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado de lado 2. AM es la tr~nsversal de gravedad

correspondiente al lado BC' del triángulo ABC. Con los datos angulares indicados en la figura, la

relación correcta entre las tangentes de los ángulos o: y ~ es:

A) tan ~ = tan 20: D C

B) tanp. = tan a

C) tan~. = 2 tan a

l' / ~M1 'D) tan~'= -tan 20:2 '

~,

'B,:11 A'"E) tan ~ = - tan o:

, 2

I¡320

14) La expresión sen 60° cos 30° + sen 30° cos 60° tiene por valor

TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N' lO, TRIGONOMETRIA PLANA

1A) -'-

4

1B) -

2

C) iJ]2

3D) -

4E) 1

15) Un posible valor de x que satisface la ecuación 3 sen (x) - 4· sen (x) - 3, es1:" 1

1) x = 2' II) x = 30°

A) Sólo

B) Sólo Il

C) Sólo ID

D) Sólo 1 ó III

El Sólo Il ó ID

ID) x = ~ radianes6

B) J]

A) 3

1.6) Sea el rectángulo ABeD de la figura adjunta, Con el dato lineal y los datos angulares indicados enella, él área del triángulo BED, en centímetros cuadrados, mide:'

) eK ¡

16C)

D) 2J]

E) 3J]

Al ~B

17) Dado que sec o: - tan o: = 2, entonces el valor de sec o: + tan o: =A) 0,1

B) 0,2

e) 0,3

D) 0,4

. E) 0,5

E

'3cm

. 321


18) Al factorizar completamente la expresión tan' !3 - tan 13 se obtiene

A) tan 13(tan'-!3 - 1)

B) tan' 13(tan 13 - 1)

e) tan 13 (1- tan 13) (1 + tan13)

D) tan 13 (1- tan' 13)

E) tan 13 (tan 13 -1)(tan!3 + 1)

19) Si el ángulo a es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, entonces la expresión

cos? asena + --'- =

sena

A)

B) cosec n

e) cos aD) sec a

E) sen a

20) Al expresar en su.forma más simple la fracción sen' e - cos' e ,(con sen () '" cos e), obtenemossen? e - cos ',e

A)

B) 1+-sene cose

e) sen e cose

D) sen' e cos' eE) cos? e - sen' e

ti) En la figura adjunta, sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia unitaria. Entonces las.coordenadas de dicho punto P, en funció~ del ángulo e, están dadas- por:

322

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N° 10, TRIGONOMETRÍA PLANA

22) Si X = sec e e y = cosec e, entonces x' + y2

A) (x + y)'

B) (x _ y)'

e) x' i.D) x y

IB) "2

3e) "2

D) 3·

E) no se puede determinar

24) En la figura adjunta, se tiene que: AB 11 CD, BC ..1 AC y BD .1 CD. Si AB = 1 Y el ángulo. , BAe = X, entonces' eD =

BA) sen xB) cos x

D

C) sen ' X

D)cos2 X

E) tan x AL !:::

25) Dado el cubo de arista unitaria de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las razones trigonornétricas queaparecen a continuación nos sirve(n) para determinar el ángulo agudo a .entre la diagonal interior yla diagonal de la cara?

1 .fi 1I) sen a = - II) cos a = - III) tan a = r;;

~ ~ ~2.A A

A) Sólo l y II

X I B) Sólo II y mC) Sólo l y III

D) Sólo II

E) l, II Y III ,. l,//~323


26) Dado el teorema trigonornétrico: "El área de cualquier triángulo plano está dada por el serniproductode dos de sus lados por el seno del ángulo que forman", Al aplicar dicho teorema a un triánguloequilátero ABC de lado Ha", como el de la figura adjunta, se obtiene como expresión para el área:

A) (a + a)sen300

1 'B) -(a + a)sen60°

2e

C) (a ' a) sen 300

1D)2 (a ' a) sen30°

.' 'B, 1

E) 2 (a ' 'a) sen 600

27)" Para todos los valores de x para J;~cuales se cumple que tan(x) > O, si log (tan (x)) = ID, entonces

log (cot(x») =

A)·~m

B) -m

e) I -r m

D)'-~\:'

m

E) m - l

28) Se necesita determinar el ancho de un ríoypara ello se sabe que un ·árbol que crece exactamente ensu ribera, a una cierta hora del día, arroja una sombra sobre el río de igual medida que el ancho delmismo: Por lo tanto, el ancho del río se puede conocer si .

(1) en el momento indicado, el ángulo de elevación de la sombra con respecto a la cúspide delárbol es de 45·

(2) a esa hora del día, la sombra del árbol es de 15 metros

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

. e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)


324

11' , TERCEREJE TEMÁTICO I Test N" 10, TRIGONOMETRÍA PLANA,,i

29) En el triángulo 'rectángulo ABe de la figura adjunta, rectángulo en e, se tiene qúe sen IX = sen ~,Para que ocurra lo anterior, entonces debe cumplirse que:

(1) e es el punto medio del arco·ÁB

(2) /';,ABC es isósceles de base AB

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)


e

11-' \lBv I

30) Ei triángulo ABC de la figura adjunta es rectángulo en C. Para poder determinar eliperímetro deltriángulo ABe tenemos

(1) el cateto eB = 5 IDr 'I

(2) tan ~ = 2,4

A~B

JU;SPUEST AS CORRECTAS

A) (1) por sí .sola

B) .,<2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) Y(2)

D) Cada una por sí sola, (1)6 (2)

E) Se requiere información adicional..,y

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libro psu matematica uc parte 7

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