Latihan UTS

Download Latihan UTS

Post on 18-Oct-2015

49 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Untuk Latihan UTS 2014

TRANSCRIPT

<ul><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 1/95</p><p>DIKTAT MATA KULIAH DASAR TEKNIK</p><p>2010 - 2011</p><p>Kalkulus - Aljabar Linier- Fisika Mekanika -</p><p>Fisika Panas - Fisika Listrik Magnet - Fisika</p><p>Gelombang Optik</p><p>Piptek BEM FTUI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 2/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>KATA PENGANTAR</p><p>Puji syukur kehadirat Allah SWT, berkat izin dan ridha-Nya diktat kuliah ini dapat</p><p>dipersembahkan kepada rekan-rekan teknik satu perjuangan dan satu cita, menggapai</p><p>kesuksesan akademik di bumi Fakultas Teknik Universitas Indonesia.</p><p>Diktat Mata Kuliah Dasar Teknik 2010-2011 ini berhasil disusun atas kerja sama dan</p><p>partisipasi segenap pihak. Untuk itu, diucapkan terima kasih kepada :</p><p>- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Sipil, TrianandaPangestu (S 08) dkk</p><p>- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Mesin, GuniRydhanta Nim (M 08) dkk</p><p>- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Elektro, KurniawanWidhi Permana (E 08) dkk</p><p>- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Metalurgi danMaterial, M. Ekaditya Albar (Mt 08) dkk</p><p>- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Arsitektur, Imaniar Sofia(A 08) dkk</p><p>- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Kimia, IlliyinBudianta (TK 08) dkk</p><p>- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Industri, StefanDarmansyah (TI 08) dkk</p><p>- Pihak dekanat FTUIRekan Piptek BEM FTUI 2010 : Maisarah Rizky (S08),Novika Ginanto (E08), Arif</p><p>Noor S (E08), Mirna Fauziah (S08), Winny Laura Hutagalung (L08), Terry</p><p>Atmajaya (Mt08), Nur Muchamad Arifin (TK08), Nofaini (E09), Atikah Mutia</p><p>(L08),</p><p>- dan seluruh pihak yang telah menyukseskan pengadaan diktat ini.</p><p>Dari kami, Tri Cahyo Wibowo M07 selaku Kepala Bidang PIPTEK BEM FTUI 2010 dan</p><p>Mohammad Gavin Rhenaldi R E08 selaku wakabid, mengharapkan diktat ini dapat</p><p>membantu kelancaran rekan-rekan semua dalam menimba ilmu di Fakultas Teknik</p><p>Universitas Indonesia.</p><p>Hidup Mahasiswa!!</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 3/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 4/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 5/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 6/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 7/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 8/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 9/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 10/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 11/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 12/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 13/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 14/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 15/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 16/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 17/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>UJIAN AKHIR SEMESTER</p><p>Mata Kuliah : Kalkulus</p><p>Hari / Tanggal : Rabu, 19 Desember 2007</p><p>Waktu : 10.0011.50 WIB</p><p>Jurusan : Teknik Kimia</p><p>Soal</p><p>1. Tentukan2. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh , , dan . Hitunglah luasnya!3. a) Hitunglah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah pada soal 1 diputar terhadap</p><p>sumbu x!</p><p>b) Berikan perumusan bentuk integral untuk menentukan volume benda putar yang terbentuk</p><p>apabila daerah tersebut diputar terhadap garis x = 2!</p><p>4. Tentukanlah nilai limit berikut ini:a)b)</p><p>5. a) Fungsi bernilai 0 di (0,0). Apakah fungsi tersebut kontinu di (0,0)?</p><p>b) Jika kontinu di seluruh bidang, tentukan fungsi !</p><p>c) Tentukan nilai6. Misalkan , , , , tentukanlah</p><p>!</p><p>7.</p><p>Harga bahan untuk pembuatan alas dari kotak persegi panjang adalah 3 kali lipat harga bahanuntuk pembuatan sisi kotak; untuk per m2. Harga bahan untuk atap sama dengan harga bahan</p><p>untuk sisi, per m2. Tentukanlah volume maksimum kotak yang terbentuk jika harga bahan untuk</p><p>alas adalah $0.6 per m2, dan total biaya yang tersedia adalah $12!</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 18/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>Jawaban</p><p>5. c) Misal</p><p>Karena hasilnya adalah , maka dapat digunakan dalil lHopital menjadi:</p><p>6.</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 19/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>UJIAN TENGAH SEMESTER</p><p>Mata Kuliah : Kalkulus</p><p>Hari / Tanggal : Kamis, 25 Oktober 2007</p><p>Waktu : 90 Menit</p><p>Jurusan : Arsitektur, Mesin dan Perkapalan</p><p>Soal</p><p>1. Diperlukan sebuah kotak terbuka dengan kapasitas 36000 m3. Jika panjang kotak harus dua kalilebarnya, berapa ukuran kotak agar bahan yang diperlukan untuk membuatnya sesedikit mungkin?</p><p>2. Tentukan nilai a dan b supaya fungsi di bawah ini kontinu</p><p>3. Carilah hasil dari integral di bawah ini:a.b.</p><p>4. Pada selang [0,6], sketsakan grafik suatu fungsi f yang memenuhi kondisi berikut:f(0) = f(4) = 1; f(2) = 2; f(6) = 0;</p><p>f(x) &gt; 0 pada (0,2); f(x) &lt; 0 pada (2,4) (4,6);</p><p>f(2) = f(4) = 0; f(x) &gt; 0 pada (0,1) (3,4);</p><p>f(x) &lt; 0 pada (1,3) (4,6).</p><p>a. Tentukan titik maksimum dan minimum global dari fb. Selidiki apakah f mempunyai titik belok</p><p>5. Carilah dari soal berikut:a.b.</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 20/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 21/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>UJIAN AKHIR SEMESTER</p><p>Mata Kuliah : Aljabar Linier</p><p>Hari / Tanggal : Rabu, 31 Mei 2006</p><p>Waktu : 120 menit (Ujian : pilih 5 soal)</p><p>SOAL :</p><p>1. S = {(2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2), (-1, -1, 2, 0)}Jika V adalah ruang vector yang direntang oleh S, maka carilah dimensi basis untuk V</p><p>2. Misalkan {v1, v2, v3) adalah basis untuk ruang vector V. Tunjukkan bahwa {u1, u2, u3} jugamerupakan basis untuk V dimana u1= v1, u2 = v1 + v2, dan u3= v1+v2+v3</p><p>3. Diketahui M22adalah ruang vector. Apakah M22dengan fungsi = Tr (BTA) umtuksetiap pasang matriks A dan B merupakan ruang hasil kali dalam?</p><p>4. B = {(2, 3), (-1, 2)}C = {(-1, -1), (2, 0)}</p><p>Jika [u]B= (3, 3)</p><p>a. Carilah [u]Cb. Carilah matriks transisi dari B ke C</p><p>5. A =</p><p>a. Cari nilai eigen untuk A.b. Apakah A dapat ddiagonalisasi? Jika bias, carilah matriks P yang mendiagonalisasi</p><p>A.</p><p>c. Apakah A dapat didiagonalisasi secara orthogonal? Jika bias, carilah matriks Q yangmendiagonalisasi A secara orthogonal.</p><p>6. Diketahui vector eigen untuk masing-masing adalah sebagai berikut := 0 ; = 2 ; = 4</p><p>Tentukan A2 !</p><p>I</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 22/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>7. Misalkan T : M22 M22adalah suatu transformasi yang didefinisikan sebagaiT (A) = A + AT, dimana A =</p><p>a. Tunjukkan bahwa T adalah transformasi linier.b. Misalkan B adalah sembarang anggota dari M22sedemikian sehingga BT= B. carilah</p><p>matriks A di M22sedemikian sehingga T (A) = B</p><p>c. Tunjukkan bahwa range dari T adalah himpunan B di M22yang memiliki sifatBT= B</p><p>d. Tentukan kernel dari T</p><p>8. Misalkan T : P2 P3adalah suatu transformasi linier yang didefinisikan sebagaiT(p(x)) = x p (x3), dimana p(x) = c0+ c1x + c2x</p><p>2.</p><p>B = {1, x, x} adalah basis untuk P2, = {1, x, x2, x3} adalah basis untuk P3</p><p>a. Tentukan [T]B Bb. Jika q(x) = 2 + xx2, maka carilah [T(q(x))]B</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 23/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>JAWABAN :</p><p>1. S = {(2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2), (-1, -1, 2, 0)}</p><p>Karena vektor-vektor yang ada di Sdisusun kolom, maka basis untuk Vadalah baris kolom.</p><p>Baris V = (2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2)</p><p>Dimensi : 3</p><p>2. S = { 1, 2, 3} baris untuk ruang V</p><p>T = { 1, 2, 3} juga merupakan baris untuk V dimana u1= v1, u2 = v1 + v2, dan u3= v1+v2+v3</p><p>S = { 1, 2, 3} basis untuk ruang V, maka :</p><p>i. S bebas linierii. S merentang V</p><p>Jika kita mengacu pada S dengan jumlah 3 vector, maka bias diasumsikan . dan 3vektor</p><p>pada R3, dimana determinan matriksnya 0</p><p>Maka,k1 1 + k2 2 + k3 3 = .. (i)</p><p>k1k2k3 = 0</p><p>misal :</p><p>1 = (a, b, c)</p><p>2 = (d, e, f)</p><p>dimana salah satu vektornya bukan merupakan</p><p>kombinasi vector lainnya</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 24/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>3 = (g, h, i)</p><p>A= dimana 0 . (ii)</p><p>aei + dhc + gbfcegfhaibd 0</p><p>aei + dhc + gbf ceg + fha + ibd</p><p>T = { 1, 2, 3} = { 1 , ( 1 +</p><p>2 ), ( 1 +</p><p>2 + 3 )}</p><p> Kita harus buktikan { 1, 2, 3} bebas linier.l1 1+ l2 2+ l3 3=</p><p>l1 1 + l2 + l3( 1 + 2 + 3 )=</p><p>(l1 + l2 + l3) 1(l2 + l3) 2+ l3 3=</p><p>Dari pers (i) bisa terlihat :</p><p>l1 + l2 + l3= 0 ; l2 + l3= 0 ; l3 = 0</p><p>maka,l2= - l3= 0</p><p>l1= - l2 - l3= 0</p><p>Jadi terbuktil1 = l2 = l3 = 0</p><p>Dengam demikian, syarat bebas linier terpenuhi</p><p> S merentang Vk1 1 + k2 2 + k3 3 = b ; b = konstanta 0 .. (iii)</p><p>ada nilai untuk k1, k2, dan k3</p><p>tinjauan untuk{ 1, 2, 3}</p><p>l1 1+ l2 2+ l3 3= c ; c = konstanta 0</p><p>l1 1 + l2 + l3( 1 + 2 + 3 )= c</p><p>(l1 + l2 + l3) 1(l2 + l3) 2+ l3 3= c</p><p>Dari pers. (iii) dapat dinyatakan</p><p>l1 + l2 + l3= memiliki nilai</p><p>l2 + l3 = memiliki nilai</p><p>l3= memiliki nilai</p><p>Jadi, l1, l2 dan l3memiliki nilai yang dapat merentangkan ruang vector V (sembarang</p><p>titik di ruang vector V)</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 25/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>3. M2x2suatu ruang vectorApakah = Tr (BTA) ruang hasil kali dalam?</p><p>Jawab : Untuk menentukan masuk ruang hasil dalam / tidak harus terpenuhi syarat2 :</p><p>i.( . ) = ( , )ii.( + , ) = ( ) + ( , )</p><p>iii.(k , ) = k ( , )iv.( , ) 0</p><p>Dimana ( , ) = 0 =</p><p>Kita misalkan : A = ; B = ; AT= ; BT ;</p><p>BT. A = =</p><p>AT. B = =</p><p>i. = Tr (BTA)= Tr = +</p><p>= Tr (ATB)</p><p>= +</p><p>Ternyata = , syarat I terpenuhi</p><p>ii. = +</p><p>A + B = ; misal C = CT=</p><p>CT. A = =</p><p>CT. B = =</p><p>= Tr (C</p><p>T</p><p>A) =</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 26/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>= Tr (CTB) = + +</p><p>=</p><p>= Tr (CT(A+B))</p><p>CT(A+B) = =</p><p>Tr (CT(A+B)) = +</p><p>Jadi, = + , syarat II terpenuhi</p><p>iii. k A == Tr (BT. k A)</p><p>(BT. k A) = =</p><p>= +</p><p>= k (ae + cg + bf + dh)</p><p>= k BT. A = k.</p><p>Syarat III terpenuhi</p><p>iv. 0= Tr (A</p><p>T</p><p>. A)AT. A = =</p><p>= a2+ b2+ c2+ d2 0</p><p>Syarat tambahan = 0 A = 0</p><p>Dari = a2+ b2+ c2+ d2, akan = 0 jika A =</p><p>Syarat IV terpenuhi</p><p>Karena semua syarat terpenuhi, maka M2x2merupakan ruang hasil kali dalam.</p><p>4. B = {(2, 3), (-1, 2)}C = {(-1, -1), (2, 0)}</p><p>[u]B= (3, 3) = (k, l)</p><p>a) Carilah [u]C= (m, n)[ ] = k + l</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 27/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>= 3 + 3</p><p>[ ] =</p><p>[u]C= (m, n)</p><p>[u] = m + n</p><p>m + n</p><p>-m + 2n = 3 2n = 3+m</p><p>-m = 15 n = = = -6</p><p>m = -15</p><p>[u]C= (m, n) = (-15, -6)</p><p>Jadi, [u]C= (-15, -6)</p><p>b) Martriks transisi dari B ke CB . [u]B = C [u]C</p><p>=</p><p>-1 =</p><p>P = matriks transisi dari B ke C</p><p>P =</p><p>=</p><p>=</p><p>Jadi matriks transisi dari B ke C adalah P =</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 28/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>5. A =a. carilah nilai eigen untuk A</p><p>(A - I) x = 0</p><p>(A - I) = - =</p><p>(1 - )2= (1 - 2 + 2- + 2 2- 3) = - 3+ 3 2- 3 +1</p><p>= 0</p><p>(1- )(1- )(1- ) + 0 + 0((1- ) + 0 + 0) = 0</p><p>- 3+ 3 2- 3 +1 + 4- 4 = 0</p><p>3- 3 2 +3 = 0</p><p>Metode Horner</p><p>1 1 -3 -1 3</p><p>1 -2 -3</p><p>-1 1 -2 -3 0</p><p>-1 3</p><p>3 1 -3 0</p><p>3</p><p>1 0</p><p>( - 1) ( + 1) ( - 3) = 0</p><p>= 1; = -1; dan = 3</p><p>Jadi nilai eigen A adalah = 1; = -1; dan = 3</p><p>b. apakah A dapat didiagonalisasi</p><p>i. = 1(A - I) x = 0 2 x1= 0 x1= 0</p><p>= 0 2 x3 = 0 x3= 0</p><p>x2= t (bebas sembarang)</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 29/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>x = = t</p><p>P1 2 x1 = -2 x3 (x3= t)</p><p>x1= -t</p><p>ii. = -1(A - I) x = 0</p><p>= 0 2 x2 = 0 x20</p><p>x = = t</p><p>P2</p><p>iii. = 3(A - I) x = 0 -2 x1+2 x3= 0 x1= x3</p><p>= 0 x3 = t x1=t</p><p>-2x 2= 0 x2= 0</p><p>x =</p><p>= t</p><p>P3</p><p>P = matriks yang mendiagonalisasi</p><p>P =</p><p>P =</p><p>Jadi, matriks A dapat didiagonalisasi dengan matriks yang mendiagonalkannya, yaitu P =</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 30/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>c. Apakah A dapat didiagonalisasi secara orthogonal?</p><p>Syarat diagonalisasi secara orthogonal adalah :</p><p>- A = n x n- Asimetris, AT= A</p><p>Dapat kita lihat disini A = AT= , jadi A simetris, Anxn. Sehingga A dapat</p><p>didiagonalisasi secara orthogonal.</p><p>6. = 0 ; = 2 ; = 4</p><p>Misal : A =</p><p>A - I =</p><p>(A - I) x = 0</p><p>1= 0; = 0 a=0; d=0; g=0 ; b, c, e, f, h, i = sembarang</p><p>2= 2; = 0 b=c ; c=f+2 ; h=i-2</p><p>3= 4; = 0 b+c=0; 2c=0; c=0;b=0</p><p>f= 1; e= 3; h=1; i=3</p><p>A = ; A2= =</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 31/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>7. T: M22 M22T(A) = A + AT; A = ; AT =</p><p>a. Tunjukkan bahwa T adalah transformasi linier.</p><p>Untuk T sebagai transf.linier, harus memenuhi syarat :</p><p>- T ( + ) = T ( ) + T (</p><p>)</p><p>- T (k ) = k T (</p><p>)</p><p>A = ; AT =</p><p>B = ; BT =</p><p>i. T(A) = A + AT= + =</p><p>T(B) = B + BT = + =</p><p>T(A) + T(B) = + =</p><p>A + B = ; (A+B)T=</p><p>T (A+B) = (A+B) + (A+B)T= + =</p><p>Jadi, T(A) + T(B) = T (A+B) ; syarat I terpenuhi</p><p>ii. k (A) = k =[k (A)]T=</p><p>T (k A) = [k(A)] + [k(A)]T= + =</p><p>T(A) = A + AT=</p><p>k T(A) =</p><p>Jadi, k T(A) = T (k A)</p><p>Sehingga T adalah transformasi linier</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 32/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>b. Misal : R sembarang angora M22sedemikian sehingga BT= B</p><p>B = BT= B</p><p>T(A) = B</p><p>A + AT=</p><p>@ kondisi I : Jika A juga memiliki sifat AT= A, maka A + AT= 2AT= 2A</p><p>2 A =</p><p>A =</p><p>@ kondisi II : Jika A tidak simetris</p><p>T(A) = B A = T-1(B)</p><p>= (B + BT)-1</p><p>A = (2B)-1</p><p>c. Tunjukkan bahwa range dari T adalah himpunan</p><p>T(A) = B</p><p>A + AT= B</p><p>= B BT= ; B=BT</p><p>Range/hasil dari T</p><p>Jadi, terlihat bahwa range dari T adalah himpunan B di M22bersifat BT= B</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 33/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>UJIAN AKHIR SEMESTER</p><p>Mata Kuliah : Aljabar Linier</p><p>Hari / Tanggal : Rabu, 6 Juni 2007</p><p>Waktu : 110 menit (Ujian : Pilih 4 soal)</p><p>SOAL :</p><p>1. Diketahui</p><p>a. Tentukan basis untuk ruang kolom Ab. Tentukan basis untuk ruang kolom ATc. Tentukan basis untuk ruang kosong AT</p><p>2. V adalah ruang vektor yang direntang oleh ,, , dan</p><p>a. Tentukan basis untuk Vb. Tentukan basis untuk</p><p>3. Tentukan dekomposisi QR dari</p><p>4. Diketahui</p><p>a. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari Ab. Apakah A bisa didiagonalisasi secara ortogonal? Jika bisa, maka tentukan matriks yang</p><p>mendiagonalisasi A secara orthogonal.</p><p>5. Suatu transformasi T : P2 P2adalah transformasi linier, dimana</p><p>, adalah basis dari P2</p><p>a. Tentukan matriks transisi dari B ke Cb. Tentukan matriks trnsformasi [T]C nc. Jika , tentukan [T(u)]B</p><p>II</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 34/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>6. Misalkan T : P1 R2, dimana T(p(x)) = (p(0),p(1)).a. Hitung T(1-2x)b. Apakah T merupakan transformasi linier? Jelaskan!c. Apakah T satu-satu? Jelaskan!</p><p>JAWABAN :</p><p>1.</p><p>AT=</p><p>a. baris ruang vector kolom A = baris ruang baris AT</p><p>= (2, -3, 4, 1), (6, 3, 12, 1) dan (-1, 0, -2,0)</p><p>b. baris ruang kolom AT= (2, 6, -1, 3), (-3, 3, 0, 6) dan (1, 1, 0, 2)</p><p>c. baris ruang kosong</p><p>=</p><p>x3= t;x4= 0;</p><p>x2= - x4= 0; = =</p><p>x1-3x2+2x3+x4= 0;</p><p>x1= -2x2=-2t</p><p>Basisnya = (-2, 0, 1, 0)</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 35/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>2. V = ), (</p><p>), ), (</p><p>)}</p><p>Jika p(x) = a0+a1x+a2x2+.+ anx</p><p>n</p><p>P(x) = =</p><p>Sehingga V = {(0, 6, 2, 1), (-1, 6, 0, 3), (-1, 6, 0, 3), (1, -4, 0, -2), (1, 2, 2, -1)}</p><p>Basis untuk V ? kita susun secara baris</p><p>V =</p><p>a.basis V = basis dari ruang baris vector V yaitu : {(0, 6, 2, 1), (-1, 6, 0, 3), (1, -4, 0, -2)}ataudapat dituliskan secara kuadatik :</p><p>6x + 2x2+ x3+, -1+ 6x + 3x3, 1 -4x -2x3</p><p>b.Baris V = baris ruang kosong V</p><p>=</p><p>x1 +2 x2 + 2 x3 -x4= 0</p><p>x2 + x3+ x4= 0 maka ; = = t</p><p>x3 - x4= 0 basis = (0, - , 1, 1)</p><p>x4 = x3 = t = - x + x2+ x3</p><p>x2+ (t) + (t) = 0 x2= -1/2 t</p><p>x1+2 (-1/2t) + 2 (t)t = 0</p><p>x1=0</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 36/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>3. B =</p><p>Q =</p><p>Gram-Schmidt :q1= (1, 2, 3)</p><p>q2= (1, 0, 2)Projq1(1, 0, 2)</p><p>= (1, 0, 2) (1,2,3)</p><p>= (1, 0, 2) - (1,2,3)</p><p>= (1, 0, 2)( , 1, )</p><p>= ( )</p><p>q3 = (-2,1,0)Projq1(-2,1,0) + Projq2(-2,1,0)</p><p>= (-2,1,0) - (1,2,3) +</p><p>= (-2,1,0) - ( 0 + )</p><p>= (-2,1,0) +</p><p>= (-2,1,0) +</p><p>=</p><p>a1 = (1,2,3) = ( )</p><p>a2= ( ) = ( , , )</p><p>a3= =</p><p>R = =</p><p>= =</p></li><li><p>5/28/2018 Latihan UTS</p><p> 37/95</p><p>Diktat 2010</p><p>PIptek BEM FT UI 2010</p><p>Q R</p><p>B =</p><p>6. T : P1 R2(T(p(x) = p(0), p(1))p(x) = a...</p></li></ul>