Ley exponencial de Falla

LA LEY EXPONENCIAL DE FALLA

Aplicable al estudio de la confiabilidad decomponentes que aún no están afectados porproblemas de vejez o desgaste.

Los elementos y dispositivos con funcionesprimordiales de seguridad, además de ser idóneosante unas exigencias del sistema, deben aseguraruna correcta respuesta en el tiempo . Para ello esImprescindible establecer programa demantenimiento basado en la Condición y el Tiempoque permita mantener los elementos y dispositivosen buenas condiciones de uso, renovándolosantes de que su tasa de fallos sea inaceptable.

Un modelo matemático para la probabilidad defallo es definir la variable aleatoria como eltiempo durante el que el elemento funcionasatisfactoriamente antes de que se produzca la falla. Lafunción confiabilidad será entonces:

Ni(t) = Número de elementos en funcionamiento enel instante t

N0 = Número de elementos en funcionamiento inicial

Nf(t) = Número de elementos averiados hasta elmomento t. (Se cumple N0 = Nf(t) + Ni(t)).

La probabilidad de que ocurra un fallo antes del instante t es:

Suponiendo que un artículo funciona en el instante t y falladurante los siguientes ∆t (∆t > 0), entonces la probabilidadcondicional de que se produzca una avería entre elmomento t y t+∆t puede escribirse de la siguiente manera: (ec. 19)

De donde podemos hallar el valor de la función confiabilidad

T = Tiempo de Fallo

α(t ) = Tasa de fallos

Demostración de la Fórmula de R(t)

La función densidad de probabilidad, es decir, la probabilidad de que un dispositivo tenga una falla entre los instantes t y t + dtes:

Analizando las anteriores ecuaciones, se cumple que laprobabilidad de producirse una avería en un elemento entre t yt+dt es igual a la probabilidad de que funcione hasta t por laprobabilidad de que falle entre t y t+dt:

En la siguiente figura se puede observar la representación gráfica de los parámetros característicos de la distribución exponencial más general

Analizando cuidadosamente la representación de la curvatípica de la evolución de la tasa de fallos dependiente deltiempo, también conocida como curva bañera, se puedendistinguir tres etapas.

La primera corresponde a los fallos iniciales (la mortalidadinfantil de las estadísticas demográficas) que semanifiestan prematuramente y se caracteriza por una tasadecreciente, corresponde, generalmente, a la existencia dedispositivos defectuosos o instalados indebidamente con unatasa de fallos superior a la normal.

La segunda etapa (la edad adulta) representa los fallosnormales y se presentan de forma aleatoria; su tasa esconstante en el tiempo de vida del componente.

La tercera y última etapa (la vejez) se atribuye a los fallospor desgaste donde se ha superado la vida prevista delcomponente; en este caso la tasa se caracteriza por unaumento significativo debido a la degradación.

Este modelo, con algunas variantes, es válido para lamayoría de los componentes de un sistema tecnológico.

Las fallas iniciales pueden eliminarse mediante pruebasprevias a la operación, mientras que una política adecuadade reemplazos permite reducir las producidas al fin de la vidaútil.

La mayoría de las evaluaciones de confiabilidad se refierenal período en que prevalecen las fallas aleatorias.

El caso más sencillo para describir la ley exponencial essuponer que la tasa de fallas es constante, es decir quedespués de un tiempo de uso del artículo, la probabilidad deque falle no ha cambiado, hecho que se puede expresar através de la siguiente función: Z(t) = α. En este modelo,

claramente se está despreciando el efecto de desgaste. La fdpasociada con el tiempo de fallo T está dada por:

En este caso particular, la distribución sólo requiere elconocimiento de un parámetro, la tasa de fallas α. Algunas de

las características de la distribución exponencial de unparámetro son:

A medida que α disminuye en valor, la distribución se extiende hacia el lado derecho y por el contrario, a medida que α

aumenta en valor, la distribución se acerca al origen.

Efecto de los posibles valores tomados por el parámetro α en la

función distribución de probabilidad exponencial

La distribución no tiene parámetro de forma pues tiene una única forma, la exponencial; por lo tanto el único parámetro es la tasa de fallas.

El parámetro de escala es 1/α = m = s (siendo s la

desviación estándar). Entonces, la confiabilidad para un tiempo de duración t = m es siempre igual a 0,3679 o lo que es lo mismo a un 36,8%. Esto es así pues:

Este hecho implica que la confiabilidad es relativamente baja puessólo el 36,8% de los componentes en estudio, por ejemplo,sobrevivirán.

La distribución comienza en t = 0, donde f (t=0) = a; a partir deallí, decrece exponencialmente y monótonamente a medida que tse incrementa. Además es convexa.

Cuando t tiende a infinito, la función distribución deprobabilidades tiende a cero, en consecuencia también tiende acero la función confiabilidad R(t).

Si f tiene la forma:

Entonces

La confiabilidad R(t) representa, en este caso, la probabilidadde que el dispositivo, caracterizado por una tasa de fallosconstante, no se averíe durante el tiempo de funcionamiento t.Es importante destacar que la última fórmula se aplica a todoslos elementos que han sufrido un uso adecuado que permitaexcluir los fallos iniciales característicos de la tasa de fallos.Además, aplicando la función de probabilidad condicionalexpresada en la ec. (19), se observa que la misma esindependiente de t y sólo depende de ∆t , es decir que elartículo en cuestión podrá ser considerado como si fuera nuevomientras perdure su funcionamiento.

Finalmente, es posible concluir que si T es una variablealeatoria contínua que toma todos los valores no negativos, lecorresponde una distribución exponencial si y sólo si tiene unatasa constante de fallas.

Este modelo es aplicable, por ejemplo, a lámparas que puedenconsiderarse que funcionan como si fueran nuevas mientrasfuncionen y no se queme su resistencia.

Las gráficas características de los parámetros de este casoparticular de la ley exponencial de falla son:

A partir de la representación gráfica de R(t), también conocida como curva de supervivencia, es posible definir el “tiempo medio hasta un fallo”. Matemáticamente se recurre a un cálculo estadístico para obtener una expectativa de este tiempo a partir de la siguiente expresión:

Siendo T el tiempo que se espera que transcurra hasta un fallo y m el parámetro que describe completamente la confiabilidad de un dispositivo sujeto a fallos de tipo aleatorio.

Se observa, entonces que el tiempo medio y la tasa de fallos son recíprocos, es decir que uno es el inverso del otro.

Esto sólo es cierto para una distribución exponencial pues lamayoría del resto de las distribuciones no tiene una tasa defallo constante. Entonces R(t ) = exp(-t/m); proporciona laprobabilidad de supervivencia del dispositivo para cualquierintervalo de tiempo comprendido dentro del ámbito de la vidaútil del mismo.

En el caso en que t=m/100, la confiabilidad es R=0.99, es decirque funcionan 99 dispositivos y falla sólo 1.

Por lo tanto, la calidad de funcionamiento de un ciertoelemento vendrá dada por el tiempo que se espera que dichoelemento funcione de manera satisfactoria.

A partir de la teoría previamente expuesta, es posible, calcular para un conjunto de dispositivos, por ejemplo válvulas, la tasa de fallos anual conociendo el número de elementos totales y aquellas que fallaron, también es posible conocer la probabilidad que tiene una de las válvulas de que falle antes de un determinado tiempo, es decir, F(t) o bien calcular la probabilidad de que la válvula esté en funcionamiento al cabo de un determinado tiempo, por ende debo hallar R(t). Otro parámetro posible de calcular es la probabilidad de que el tiempo de vida de la válvula esté comprendido entre dos tiempos distintos, para ello debo obtener la diferencia entre la probabilidad de que falle antes de uno de esos dos tiempos y el otro, es decir la diferencia de las confiabilidades de ambos períodos de tiempo. Por último se puede determinar un intervalo de vida con cierto nivel de confianza dado.

Otra ventaja que proporciona esta ley de fallas exponencial esque es posible estimar el tiempo de operación de un artículo osistema conociendo el parámetro α e imponiendo R(t).

Entonces dicho artículo será tan bueno como si fuera nuevodurante ese tiempo o edad para funcionar,independientementede su historia previa. A esta propiedad característica de lafunción exponencial se la suele llamar “pérdida de memoria”.Fenómeno que no ocurría para le ley normal. Es importantedestacar también que la confiabilidad de un dispositivocualquiera es constante para períodos de utilización iguales sise eliminan los fallos iniciales, si el dispositivo ha sobrevivido alfuncionamiento durante los períodos anteriores al consideradoy si no se supera el límite de vida útil, más allá del cual laconfiabilidad disminuye con mayor rapidez pues la tasa defallos deja de ser constante y empieza a crecersignificativamente.

Supongamos ahora que la falla ocurre debido a factores externos aleatorios, por ejemplo una subida de tensión o a factores internos como una desintegración química, el tiempo de espera en una consulta sin cita previa o la vida de los vasos de vidrio en un bar. La ley de fallas exponencial puede mejorarse a través de la distribución de Poisson, es decir, para cualquier t fija, la variable aleatoria Xt tiene una distribución de Poisson con parámetro αt . Para ello se supone que Xt es el

número de accidentes que ocurren en un intervalo de tiempo t>0. Se considera que la falla en dicho intervalo se produce si solo si al menos ocurre un accidente. Si T es la variable aleatoria que representa el tiempo para que ocurra la falla, entonces

Entonces, T>t si ningún accidente ocurre en [0,t] y esto sucede si y sólo si Xt = 0. Por lo tanto:

Que representa la fda de una ley exponencial de falla; físicamente la causa de las fallas implica una ley exponencial de falla. Si cada vez que aparece un accidente hay una probabilidad constante p de que éste no produzca fallas, entonces:

A continuación se presenta una alternativa para estimar elparámetro α de la distribución exponencial. El método consiste

en linealizar la función de distribución de probabilidad, para ellose recurre a la expresión de la función densidad acumulativaF(t)

Luego se toma el logaritmo natural a ambos miembros:

Finalmente la ecuación lineal es y =b t , siendo b =-a

Supongamos un caso particular en el cual se desea estudiar,por ejemplo, el test de vida de ciertos componentes a través dela estimación del parámetro característico de la distribuciónexponencial. Entonces, conociendo los tiempos en los que seanalizan los elementos que sobrevivieron y sus respectivosporcentajes, es decir su respectiva función confiabilidad, esposible graficar R(t). Lo primero que se observa es que lospuntos describen una recta cuya pendiente es negativa. Luego,la recta que mejor aproxima a la distribución de esos puntospuede trazarse usando el método de cuadrados mínimos. Elvalor del tiempo que corresponde a la intersección de la rectacon el valor de confiabilidad 36,8% es precisamente el tiempomedio hasta un fallo, es decir m o lo que es lo mismo, elrecíproco de la tasa de falla α. Finalmente, a partir de un

cálculo sencillo es posible obtener el valor del parámetrobuscado α .

Para la utilización del método de mínimos cuadradossupondremos ignorable la incerteza de la variable tiempo.Entonces es necesario ajustar la función lineal teórica por elconjunto de puntos distribuidos en la representación gráfica talque la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales delos puntos hasta la recta sean mínimas. A continuación sepresentan las ec. a ser usadas para dicho método:

En este caso, las ecuaciones para yi y para xi son:

También es posible obtener el parámetro α a partir del

estimador de máxima verosimilitud para la distribuciónexponencial, es decir que, teniendo la función de verosimilitudde la muestra se puede encontrar el valor del parámetro quemaximice dicha función. Para el caso de la distribuciónexponencial, la función de verosimilitud L es:

Utilizando la propiedad de que el logaritmo es una funcióncreciente y monótona, es lo mismo maximizar L que el ln(L),entonces L es máxima si:

El modelo de la distribución exponencial en la teoría de fallas esaplicable a un número considerable de ejemplos en los cuales seasuma el concepto básico de tasa de fallos constante, en loscuales se desprecia el desgaste del artículo en cuestión producidoen el tiempo. Esta propiedad simplifica considerablemente elanálisis, sin embargo, por otro lado limita el uso de este modelohaciéndolo inapropiado para la mayoría de las aplicacionesposibles en el “mundo real” pues existe evidencia suficiente eirrefutable que la tasa de fallo de los productos, en general, no esconstante.

Un ejemplo que aclara bastante este hecho es el caso de losautos. Los modelos nuevos poseen un precio considerablementesuperior comparado con aquellos modelos más antiguos en loscuales el rendimiento de los mismos afectan significativamenteel precio de venta, por lo tanto la tasa de fallo no es constanteen el tiempo y la confiabilidad se ve afectada por esta razón. Lomismo ocurre con los componentes electrónicos que sedegradan con el tiempo.

A pesar de estas limitaciones, la contribución en la teoría defallas de la distribución exponencial todavía tiene valoren el análisis de confianza para determinados casos, no esposible subestimarla; incluso se utiliza en la evaluaciónprobabilística de seguridad de centrales nucleares para estudiarla confiabilidad de los sistemas o subsistemas que las

componen.

En la actualidad se requiere del uso de métodos deanálisis más sofisticados que modelen y reflejen de unamejor manera las condiciones del “mundo real”.

Tales modelos han sido descubiertos y sonacompañados de una alta tecnología computacionalcompleja y de formulaciones matemáticas de alto nivel.

GRACIAS