“ Familia Exponencial”

Prof. Matías Hernández Sergio Alejandro

Integrantes:

Romero González Verónica

Ponce Rosas Diana Gisela Gpo.1502

Universidad Nacional Autónoma De México

Facultad de Estudios Superiores Acatlán

MAC

Índice1. Objetivo2. Introducción3. Familia Exponencial4. Ejemplos5. Generalización para k-parámetros6. Ejemplos7. Conclusión8. Bibliografía

Objetivo

Conocer la FAMILIA EXPONENCIAL , y su utilidad para obtener estadísticos suficientes.

IntroducciónIMPORTANCIA:

Si la distribución de Probabilidad de la muestra representada por f( •, θ) admite la descomposición exponencial, esto facilita el cálculo de un estadístico suficiente de dimensión k para θ (parámetro poblacional)

mu

Tenemos muestra aleatoria x1,…,xn f(•,θ) , tal que la función de densidad se pueda expresar como:

Entonces dicha distribución pertenecea la FAMILIA EXPONENCIAL y no es una estadística suficiente.

De hecho, se puede demostrar que la estadística suficiente para obtener es mínima.

muestra

θ=?

Parámetros Poblacionales

m.a.

Estadísticos MuéstralesPara cada parámetro poblacional se elige un estadístico

muestra

Estimación Máxima

verosimilitud

Método de los Momentos

Estimación Mínima Chi-Cuadrada

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL

Estimador de θ

PROPIEDADES DESEALES

INSESGADO

EFICIENTE

CONSISTENTE

SUFICIENCIA

Famil ia Exponencial de Densidades

DEFINICIÓN. Una familia con un parámetro (θ es

unidimensional)

de densidad f(*,θ) se puede expresar como:

Para y para una elección

adecuada de las funciones se

definen concretamente a la familia exponencial o clase

exponencial.

Ejemplos

Si

entonces pertenece a la familia

exponencial para:

Distribución Exponencial

∴ pertenece a la clase exponencial

Distribución Poisson

Ejemplos

Si f(x, θ)= f(θ,λ) es la función de densidad de una Poisson entonces :

Para

∴ pertenece a la clase exponencial

K-Parámetros de la Familia Exponencial

DEF. Una familia de densidad

puede ser expresada como:

K-Parámetros de la Familia ExponencialPara una elección adecuada de las funciones

pertenece a la familia exponencial.

Observación: note que el número de

términos en la suma de exponentes es

k y por tanto la dimensión del

parámetro.

EjemplosDistribución Normal

Si ,

donde

entonces

pertenece a la familia exponencial

Tome:

∴ pertenece a la clase exponencial

Distribución BetaTenemos la función de densidad de una distribución beta

Entonces se puede expresar

∴ pertenece a la clase exponencial

donde

Conclusiones

Una herramienta para encontrar los mejores estimadores, es verificar que pertenecen a la CLASE EXPONENCIAL brinda:

Estimadores con CARACTERÍSTICAS DESEABLES.

f(•,θ) de una m.a es MIEMBRO DE LA CLASE EXPONENCIAL con k-parámetros entonces

d(x) es suficiente.

Condensa la info. en la muestra sin perder la info. de θ

¿Por qué es una estadística suficiente mínima?

Si pusiste atención…Al pertenecer a la clase exponencial cumple con ser insesgado, eficiente, y suficiente.

Donde tenemos 2 estimadores insesgados (T y T´) y var (T)≤ var (T´) con mínima varianza entonces, NO solamente tenemos un estimador insesgado sino un UMVUE.(Estimador Uniformemente insesgado de mínima varianza)

•Mood, Alexander McFarlane. “Introduction to the theory of statistics” Ed. McGraw – Hill. 1913

•Cepeda Cuervo, Edilberto. “Estadística Matemática” Ed. Universidad Nacional de Colombia

• Mateos, Gregoria. et. al. “Statistical Methods”

Bibliografía