Função Exponencial...

  Uma função exponencial é uma função do tipo

                                  

onde o número b é denominado base. A figura abaixo mostra os gráficos das funções   e  .

 

  Funções exponenciais são geralmente utilizadas para representar o crescimento(decrescimento) de uma quantidade ou de uma população. Quando o crescimento

não é restrito, normalmente utilizamos um modelo exponencial do tipo f(t) = aebt. Agora, quando o crescimento da grandeza é restrito, geralmente o melhor modelo é uma função de crescimento logístico da

forma 

 

 

 Observe que:

Assim como todas as funções do tipo  , ambas as funções passam pelo ponto (0,1).

Funções exponenciais são sempre positivas: 

 é crescente se b > 1 e decrescente se 0 < b < 1.

            

O domínio de   é o conjunto de todos os números reais.

A imagem de   é o conjunto de todos os números reais positivos - ]0,+ [.

Quanto maior for a base da função  , mais inclinado é o seu gráfico.

A função  , cuja base é a constante de Euler e (

), desempenha um papel muito importante nas aplicações e será referida como a função exponencial.

  Regras de expoentes (b > 0):

       Expoente zero

      Produto

      Quociente

      Expoente Negativo

      Potência de Potência

      Raiz           

 

 

 Reescreva utilizando as regras dos expoentes simplificando cada uma das expressões dadas.

  (a) 16-1/2 (b) 272/3 (c) (43)64-16(d) 

 

 Resolva cada uma das equações dadas.

  (a) 23x + 1 = 25 (b) a3 = 56(c)  (d) e2x = ex+1

 

 Uma cultura de bactérias cresce de acordo com o modelo de crescimento logístico

onde y é o peso da cultura (em gramas) e t é o tempo (em horas). Determine o peso da cultura após 10 horas. Esboce o gráfico da função, utilizando o programa Graphmatica. Qual é o limite do modelo à medida que o tempo t aumenta ilimitadamente? De acordo com o modelo, o peso da cultura chegará a 1,5 grama?

 

 Esboce o gráfico da função y = 3 - 2x e determine seu domínio e imagem (variação).

 

 Utilize o programa Graphmatica para comparar a função exponencial f(x) = 2x e a função potência g(x) = x2. Qual função crescerá mais rapidamente quando x for muito grande? Como você justifica esse fato?

 

 

      Tente resolver os exercícios antes de olhar as respostas!

 

1.Usando as propriedades dos expoentes, simplifique as

expressões:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

 

2.Esboce os gráficos das funções:

a)  d) 

b)  e) 

c)   

 

3. A população P (em milhares) de Las Vegas, Nevada, entre 1960 e 2005 pode ser modelada por P = 68,4e0,0467t, em que t é o tempo em anos, com t = 0 correspondendo a 1960.

a) Determine as populações em 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 e 2005.

b) Explique porque os dados não se ajustam a um modelo linear.

c) Use o modelo para estimar quando a população excederá 900 000 pessoas.

 

4. A população y de uma cultura de bactérias é modelada pela função do crescimento logísticoy = 925/(1+e-0,3t), onde t é o tempo em dias.

a) Use o Graphmática para desenhar o gráfico do modelo.

b) A população tem um limite à medida que t aumenta ilimitadamente? Explique sua resposta. 

c) Como o limite mudaria se o modelo fosse y = 1000/(1+e-0,3t)? Explique sua resposta. Tire algumas conclusões sobre esse tipo de modelo.

 

5. Determine a derivada das funções:

a)  d) 

b)  e) 

c)  f) 

 

6. A velocidade média de digitação N (em palavras por

minuto) após t semanas de aulas é modelada por  .Determine as taxas nas quais a velocidade de digitação sofre variações quando:a) t = 5 semanas                   b) t = 10 semanas                 c) t = 30 semanas

 

7. O Modelo de Ebbinghaus para a memória humana é p = (100-a)e-bt + a, no qual p é a porcentagem retida após t semanas (as constantes a e b variam de uma pessoa a outra). Se a = 20 e b = 0,5, a que taxa as informações são retidas após uma semana? E após três semanas?

 

8. Começando com o gráfico de y = ex, escreva as equações correspondentes aos gráficos que resultam de:

a) deslocar 2 unidades para baixo

d) refletir em torno do eixo y

b) deslocar 2 unidades para a direita

e) refletir em torno do eixo x e depois em torno do eixo y

c) refletir em torno do eixo x

 

9. Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bactérias.

a) qual o tamanho da população após 15 horas?

b) qual o tamanho da população após t horas?

c) qual o tamanho da população após 20 horas?

d) Faça o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 50.000 bactérias

 

10. Calcule as integrais indefinidas:

a)  d) 

b)  e) 

c)  e) 

 

11. Prove que f(x) = ex não é uma função polinomial. Sugestão: a derivação baixa por 1 o grau de um polinômio.

 

12. Uma certa molécula de RNA se duplica a cada 3 minutos. Encontre a equação diferencial para o número N(t) de moléculas presentes no instante t (em minutos). Começando com uma molécula, quantas estarão presentes depois de 10 minutos?

 

13. A pressão atmosférica P(k) (em libras por polegada quadrada) a uma altitude h (em milhas)acima do nível do mar terrestre satisfaz uma equação diferencial P' = -kP para alguma constante k positiva.

a) Medições com um barômetro indicam que P(0) = 14,7 e P(10) = 2,13. Qual é a constante de decaimento k?

b) Determine a pressão atmosférica 15 milhas acima do nível do mar.

 

14. 10kg de um isótopo radioativo decaem a 3kg em 17 anos. Encontre a constante de decaimento desse isótopo.

 

Respostas

 

1.

a)  d) 

b)  e) 

c)  f) 

 

2.

a) 

 

b) 

c) 

d) 

e) 

 

4.

a) 

b) Sim, 

c) 

 

5.

a)  d) 

b) e) 

c) f) 

 

6.

a) 1,66 palavras por min/semana

b) 2,30 palavras por min/semana

c) 1,74 palavras por min/semana

 

7.

 t = 1: -24,3%/semana               t = 3: -

8,9%/semana

 

8.

a) y = ex-2            

d) y = e-x

b) y = ex-

2               e) y = -e-x

c) y = -ex

 

9.

a) 3200               

b) 

c) 100 159

d) 

 

10.

a) d) 

b)  e) 

c)  f) 

 

11.

Suponha que   seja uma função

polinomial de grau n. Então . Mas sabemos que qualquer derivada

de   é   e que  . Logo,   não pode ser uma função polinomial.

 

12.

, depois de 10 minutos, há 10 moléculas.

 

13.

a) 

b) 

 

14.