distribución exponencial
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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Función de Densidad de Probabilidad
Función de Distribución de Probabilidad
DEFINICIÓN
Se dice que x tiene una distribución exponencial con parámetro si la función de densidad de probabilidad de x es
de lo contrario
Otra forma de escritura:
De modo que
)0(
0
0......);(
xexf
x
x
e
)1(0...1
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN:
x
xxtt
x
exF
edtexF
dttfxXPxF
1)(
)(
)()()(
00
CARACTERISTICAS:
La Distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma.
La distribución exponencial y gamma juegan un papel importante en teoría de colas y problemas de confiabilidad
Describe el tiempo hasta la primera ocurrencia de un evento
Ejemplo: La cantidad de tiempo, desde ahora, hasta que suceda un temblor o hasta que reciba una llamada telefónica y sea un numero equivocado.
MEDIA
VARIANZA
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Donde es el promedio de eventos en un intervalo de tiempo. Por ejemplo 3 eventos por hora
1/ (tasa de ocurrencia) es el promedio de tiempo transcurridos entre eventos. Por ejemplo: cada 0.33(1/3) horas ocurre un evento.
1
222 1
1
APLICACIONES:
Son las mas importantes aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson
Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempo de falla de partes componentes y sistemas eléctricos
Modela la distribución de la duración de un componente (debido a su propiedad de “falta de memoria o amnesia”)
RELACIÓN CON LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson se desarrollo como una distribución de un solo parámetro donde puede interpretarse como el número de eventos por unidad de “tiempo” .
Considérese ahora la variable aleatoria X descrita por el tiempo que se requiere hasta que ocurra el primer evento, X es un variable que se Distribuye Exponencial con parámetro
Donde: es el número promedio de eventos por unidad de “tiempo”. La media de Poisson
es la tasa de ocurrencia de un evento por unidad de “tiempo”. La media Exponencial
1
EJEMPLO 1 Suponga que un sistema contiene cierto tipo de
componente cuyo tiempo de falla en años esta dado por T. La variable aleatoria T se modela bien mediante la distribución exponencial con tiempo medio para la falla β=5. Si se instalan 5 de estos componentes en diferentes sistemas. Cuál es la probabilidad de que al menos dos aun funcionen al final de ocho años?
SOLUCIÓN.
La probabilidad de que un componente dado aun funcione después de ocho años esta dada por:
8
58
5 2.05
1)8( edteTP
t
EJEMPLO 2
El número promedio de recepción de solicitudes en un sistema de atención al cliente es de 3 por día.
a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo antes de recibir una solicitud exceda cinco días?
b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo antes de recibir una solicitud sea menor de diez días?
c) Cuál es la probabilidad de que el tiempo antes de recibir una solicitud sea menor de diez días, si ya han pasado 5 días y no se han recibido solicitudes?
5*3
3
3
)5(1)5(
)5(1)5(
1)(
*3)(
eFXP
XPXP
exF
exfx
x
SOLUCIÓN A.
SOLUCIÓN B.
30
3
1)10(
)10()10(
1)(
eXP
FXP
exF x
SOLUCIÓN C.
1515
3015
15
1530
3
1)510(
)1(1)5
10(
)5(1
)5()10()5
10(
1)(
ee
eeX
XP
e
eeX
XP
F
FFX
XP
exF x
La probabilidad de que pasen menos de 5 días mas sin recibir solicitudes, después de 5 días sin recibir solicitudes, es igual a la probabilidad de que pasen menos de 5 días sin recibir solicitudes
Esto significa que la V.A Exponencial no tiene memoria.
Y la podemos generalizar como:
)5(1)5)55(( 15
XPeXXP
)(1))(( sXPetXstXP s
EJEMPLO 2.1
Cuál es la probabilidad de que transcurran menos de 7 días sin recibir solicitudes, si ya llevan 3 días sin recibir solicitudes?
Como no tiene memoria entonces:
)3)34((
1)( 3
XXP
exF x
121)4(
)4()3)34((
eXP
XPXXP
BIBLIOGRAFÍA: WALPOLE, Ronald /Probabilidad y Estadística para
Ingenieros/6a Edición/ PRENTICE-HALL. HISPANOAMERICANA.S.A/ México,1999/Pág.168-170
DEVORE, Jay L./ Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias/ 7ª Edición/CENGAGE Learning / México,2008/ Pág.157-159
Enciclopedia Encarta 2001. Microsoft Corporation.