kim01520132010bahan ajar matek 2(1)

Download KIM01520132010Bahan Ajar Matek 2(1)

Post on 23-Oct-2015

130 views

Category:

Documents

22 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • BAHAN AJAR

    MATA KULIAH

    MMAATTEEMMAATTIIKKAA TTEEKKNNIIKK KKIIMMIIAA 22

    Untuk digunakan di

    Jurusan Teknik Kimia

    Universitas Muhammadiyah Jakarta

    Disusun kembali oleh:

    Irfan Purnawan, ST, MChemEng

    Fakultas Teknik

    Universitas Muhammadiyah Jakarta

    2013

  • - Bahan Ajar Matematika Teknik Kimia 2 -

    - Jurusan Teknik Kimia Universitas Muhammadiyah Jakarta - i

    DAFTAR ISI

    DAFTAR ISI ....................................................................................................................................i

    I. AKAR-AKAR PERSAMAAN .................................................................................................... 1 1.1. Metoda Iterasi Satu Titik ................................................................................................... 2 1.2. Metoda Grafis .................................................................................................................... 5 1.3. Metoda Bisection ............................................................................................................... 6 1.4. Metoda Regula Falsi .......................................................................................................... 8

    1.5. Metoda Newton-Raphson ................................................................................................ 12 1.6. Metoda Secant ................................................................................................................. 14

    1.7. Akar-akar Ganda (Multiple roots) ................................................................................... 15

    II. TRANSFORMASI LAPLACE ................................................................................................. 20 2.1 Pendahuluan .................................................................................................................... 20

    2.2 Definisi Tranformasi Laplace .......................................................................................... 20 2.3 Transformasi Fungsi-Fungsi Sederhana .......................................................................... 21

    2.3.1 Fungsi Tangga (Step function) ............................................................................... 21 2.3.2 Fungsi Eksponensial ............................................................................................... 21 2.2.6 Fungsi Ramp ........................................................................................................... 22

    2.3.4 Fungsi Sinus ........................................................................................................... 22

    2.3.5 Transformasi Laplace Derivative atau Turunan ..................................................... 23

    2.4 Penyelesaian Persamaan Diferensial ............................................................................... 25 2.5 Teknik Peruraian Parsial.................................................................................................. 26

    2.5.1 Peruraian Parsial .................................................................................................... 26 2.6 Rangkuman ...................................................................................................................... 32 2.7 Soal-Soal ......................................................................................................................... 32

    2.8 Penyelesaian .................................................................................................................... 33

    III. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL SECARA NUMERIK ........................ 41 3.1 Penyelesaian Persamaan Differensial Ordinair ............................................................... 41 3.2 Persamaan Differensial Ordinair Orde Satu .................................................................... 41

    3.2.1. Metoda Picard ....................................................................................................... 42

    3.2.2. Metoda Ekspansi Taylor ........................................................................................ 44 3.2.3. Metoda Runge........................................................................................................ 46

    3.2.4. Metoda Runge-Kutta ............................................................................................. 46 3.3 Persamaan Differensial Serentak Tingkat Satu ............................................................... 48 3.4 Persamaan Differensial Ordinair Orde Tinggi (Tingkat n) ............................................. 50 3.4 Soal Latihan Bab III ........................................................................................................ 53

  • - Bahan Ajar Matematika Teknik Kimia 2 -

    - Jurusan Teknik Kimia Universitas Muhammadiyah Jakarta - 1

    I. AKAR-AKAR PERSAMAAN

    Dalam perhitungan matematik, seringkali perlu untuk menentukan akar-akar dari suatu

    persamaan f (x) = 0, yaitu harga-harga x yang memenuhi persamaan f (x) tersebut.

    Persamaan tersebut tidak selalu berbentuk sederhana, sehingga akar-akar persamaan tidak

    selalu dapat ditentukan dengan mudah.

    Sebagai contoh persamaan aljabar f (x) = ax2 + bx + c = 0 dengan rumus kuadrat

    2

    1,2

    4

    2

    b b acx

    a

    dapat dengan mudah ditentukan akar-akar persamaan tersebut, tapi

    tidaklah demikian untuk persamaan yang berbentuk komplek, seperti: f (x) = e x + cos x = 0,

    maka penentuan akar-akarnya yang berjumlah tak terhingga, menjadi sulit bila dihitung

    secara biasa saja. Untuk itu metoda numerik banyak digunakan untuk menentukan akar-

    akar persamaan yang berbentuk kompleks tersebut.

    Pada dasarnya ada 2 (dua) macam persamaan f (x) = 0, yaitu:

    (1) Persamaan bersifat aljabar, jika fungsi diungkapkan dalam bentuk :

    fn yn + fn-i y

    n-i + + f1y + f0 = 0

    dimana tiap f adalah polinom dalam x. Polinom adalah suatu kelas sederhana dari

    fungsi aljabar, secara umum dinyatakan :

    f (x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + anx

    n

    Contoh: f (x) = x2 + 3x + 2

    (2) Persamaan bersifat transeden, adalah fungsi yang bukan bersifat aljabar, termasuk

    fungsi goneometri, eksponensial, logaritma, dan Iain-lain.

    Contoh: f (x) = e - x + x ; f (x) = sin x ; f (x) = ln x 1

    Di dalam praktek, metoda numerik banyak digunakan untuk menentukan akar-akar

    persamaan. Metoda pendekatan yang dilakukan meliputi:

    a. Penentuan akar-akar pendekatan

    b. Perulangan perhitungan pendekatan sampai dicapai ketepatan yang diinginkan

    Ada beberapa metoda penentuan akar-akar pendekatan yang dapat digunakan, dan karena

    akar-akar diperoleh dengan iterasi (pendekatan berurutan), maka pada iterasi keberapa

  • - Bahan Ajar Matematika Teknik Kimia 2 -

    - Jurusan Teknik Kimia Universitas Muhammadiyah Jakarta - 2

    diperoleh harga akar-akar yang cukup teliti, perlu pula diketahui kesalahan relatif yang

    diminta atau dapat ditoleransi.

    Definisi-definisi kesalahan:

    (1) Kesalahan sebenarnya (true error):

    Et = nilai sebenarnya - nilai pendekatan = 1ix x

    (2) Prosentase kesalahan sebenarnya relatif:

    Et = 1 100%ix x

    xx

    (3) Prosentase kesalahan pendekatan relatif:

    Ea = 1

    1

    100%i i

    i

    x xx

    x

    (4) Kriteria berhenti: Hentikan perhitungan jika Ea Es

    Dimana Es adalah % kesalahan relatif yang diminta.

    1.1. Metoda Iterasi Satu Titik

    Bila x adalah salah satu dari akar persamaan f (x) = 0, maka: f ( x ) = 0.

    Sebaliknya bila x bukan salah satu akarnya, maka: f (x) 0.

    Dari persamaan f (x) = 0, diusahakan untuk memisahkan x sedemikian sehingga diperoleh

    hubungan:

    x = g (x) ........................ (1.1)

    Transformasi ini dapat dilaksanakan dengan manipulasi aljabar atau dengan hanya

    menambahkan x pada kedua ruas persamaan semula, misalnya :

    x2 - 2x + 3 = 0

    dapat dengan mudah dimanipulasi untuk memberikan

    2 3

    2

    xx

    Sedangkan sin x = 0, dengan cara menambahkan x pada kedua ruas untuk memberikan

    x = x + sin x

    Kegunaan persamaan (1a) adalah akan memberikan suatu formula untuk memperkirakan

    suatu nilai x sebagai fungsi dari x. Perhitungan iteratif dimulai dengan memisalkan x0

    sebagai salah satu akar persamaan dan selanjutnya disubstitusikan dalam g(x).

  • - Bahan Ajar Matematika Teknik Kimia 2 -

    - Jurusan Teknik Kimia Universitas Muhammadiyah Jakarta - 3

    Hasil substitusi dinyatakan sebagai:

    x1 = g (x0)

    dimana x1 x0, karena x0 hanya salah satu akar persamaan yang dimisalkan. Selanjutnya

    iterasi berikutnya akan memberikan susunan persamaan:

    x2 = g (x1)

    x3 = g (x2)

    .

    .

    .

    .

    ix = g ( 1ix )

    1ix = g ( ix )

    atau dapat diperoleh rumus iterasi:

    1ix = g ( ix ) ...............(1.2)

    Cara perhitungan iteratif seperti tersebut di atas diharapkan dapat memeberikan hasil

    penyelesaian yang positif, bila kondisi perhitungan menunjukkan konvengensi. Yang perlu

    dicatat adalah bahwa berdasarkan teori nilai rata-rata (mean value theorem), dapat

    dinyatakan bahwa hubungan berikut dapat dianggap syarat cukup mendapatkan kondisi

    konvergen.

    | g' (x) | < 1

    Sedangkan kesalahan pendekatan untuk persamaan 1) dapat ditentukan dengan rumus:

    Ea = 1

    1

    100%i i

    i

    x xx

    x

    Contoh Soal:

    (1) Tentukan akar f(x) = xe x dengan menggunakan iterasi satu titik sederhana, dengan

    terkaan awal x0 = 0, dan sampai Es = 1,5%.