mater matek 1

34
MATEMATIKA TEKNIK KIMIA Tujuan Mata Kuliah Memformulasikan suatu proses kimia ke dalam persamaan matematis dengan menerapkan prinsip-prinsip keteknik- kimiaan (Chemical Engineering Tools) untuk membantu perancangan atau pengendalian proses. Pendekatan Mata Kuliah Untuk memahami mata kuliah ini, tekankan pada pemahaman konsep proses kimua yang dipelajari. Jangan terfokus pada menghafal contoh soal. Sebelum mengikuti kelas, baca materi yang akan disampaikan di kelas sehingga mempermudah pemahaman. Sewaktu menyelesaikan soal, mulai lah dengan menerangkan konsep proses yang terjadi, jangan hanya meniru dari contoh soal. Penilaian akan difokuskan pada pemahaman soal, bukan hasil akhir. Persyaratan Mata Kuliah Kalkulus 1 dan II Referensi 1. Sediawan, W.B, Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia:, Andi Offset 2. Sherwood, M, Chemical Engineering Mathematic 3. Schaum Series, Differential Equation Silabus 1. Review Persamaan Diferensial 2. Prinsip-prinsip teknik kimia (Chemical Engineering Tools) 3. Formulasi matematis dengan penerapan neraca massa 4. Formulasi matematis dengan penerapan neraca massa dan kesetimbangan 5. Formulasi matematis dengan penerapan neraca massa dan reaksi kimia 6. Formulasi matematis dengan penerapan neraca panas dan proses kecepatan

Upload: ahmadbustomi

Post on 27-Dec-2015

486 views

Category:

Documents


76 download

DESCRIPTION

ffff

TRANSCRIPT

Page 1: Mater Matek 1

MATEMATIKA TEKNIK KIMIA

Tujuan Mata KuliahMemformulasikan suatu proses kimia ke dalam persamaan matematis

dengan menerapkan prinsip-prinsip keteknik-kimiaan (Chemical Engineering Tools) untuk membantu perancangan atau pengendalian proses.

Pendekatan Mata KuliahUntuk memahami mata kuliah ini, tekankan pada pemahaman konsep

proses kimua yang dipelajari. Jangan terfokus pada menghafal contoh soal. Sebelum mengikuti kelas, baca materi yang akan disampaikan di kelas sehingga mempermudah pemahaman. Sewaktu menyelesaikan soal, mulai lah dengan menerangkan konsep proses yang terjadi, jangan hanya meniru dari contoh soal. Penilaian akan difokuskan pada pemahaman soal, bukan hasil akhir.

Persyaratan Mata KuliahKalkulus 1 dan II

Referensi1. Sediawan, W.B, Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris

dalam Teknik Kimia:, Andi Offset2. Sherwood, M, Chemical Engineering Mathematic3. Schaum Series, Differential Equation

Silabus1. Review Persamaan Diferensial2. Prinsip-prinsip teknik kimia (Chemical Engineering Tools)3. Formulasi matematis dengan penerapan neraca massa4. Formulasi matematis dengan penerapan neraca massa dan

kesetimbangan5. Formulasi matematis dengan penerapan neraca massa dan reaksi kimia6. Formulasi matematis dengan penerapan neraca panas dan proses

kecepatan7. Formulasi matematis dengan penerapan neraca massa dan proses

kecepatan8. Formulasi matematis dengan penerapan neraca massa, neraca panas,

dan proses kecepatan

PenilaianUnsur penilaian:1. Latihan/PR 30%2. Keaktifan 10%3. Midtes 25%4. Ujian Akhir 35%

Page 2: Mater Matek 1

KULIAH 1

REVIEW PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial yaitu persamaan matematika yang memiliki suku diferensial.

Contoh:

Klasifikasi Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial (PD) dibedakan menjadi:1. PD ordiner, yaitu PD yang memiliki hanya satu variabel bebas

Contoh:

2. PD Parsial, yaitu PD yang memiliki lebih dari satu variabel bebas

Contoh:

Penyelesaian PD secara analitis dimungkinkan hanya dalam bentuk PD ordiner, sehingga penyelesaian PD parsial hanya bisa dilakukan dengan mengubahnya menjadi bentuk PD ordiner. Oleh karena itu, pembahasan penyelesaian PD difokuskan pada PD ordiner.

PD Ordiner selanjutnya dibedakan lagi menurut pembagian sebagai berikut:1. Berdasarkan orde

Orde suatu PD adalah pangkat diferensial tertinggi dalam persamaan tersebut.

Page 3: Mater Matek 1

Contoh PD ordiner orde satu:

Contoh PD ordiner orde dua:

2. Berdasarkan linier/nonlinier

Suatu PD ordiner disebut linier bila memenuhi bentuk:

di mana A, B, C, D, E adalah konstanta atau suatu fungsi x.

PD yang tidak memenuh persamaan di atas disebut PD ordiner nonlinier.

Contoh persamaan linier:

A= 1, D = 0, E = -x A = 1, B = 0, D = 1, E = t

Contoh persamaan nonlinier:

Tugas:1. Tuliskan masing-masing 10 contoh PD ordiner berdasarkan

klasifikasinya. 2. Carilah metode penyelesaian untuk PD orde satu linier dan PD orde dua

linier. Gunakan metode tersebut untuk menyelesaikan min 2 PD anda.

PRINSIP-PRINSIP TEKNIK KIMIA(CHEMICAL ENGINEERING TOOLS)

Penyelesaian persoalan dalam teknik kimia selalu berdasarkan pada prinsip-prinsip teknik kimia atau chemical engineering tools. Prinsip tersebut adalah:

1. Neraca Massa (Mass balance)2. Neraca Panas (Heat balance)

Page 4: Mater Matek 1

3. Kesetimbangan (Equilibrium)4. Proses kecepatan, terdiri dari kecepatan reaksi dan kecepatan

perpindahan fisis (momentum, panas, dan massa)

1. Neraca MassaNeraca massa disusun berdasarkan prinsip kekekalan massa yang

menyatakan bahwa massa tidak bisa dimusnahkan, hanya berubah bentuk. Neraca massa terbagi 2:

a. Neraca massa totalNeraca massa total disusun dengan menghitung secara total semua komponen dalam aliran massaPersamaan neraca massa total:

Massa masuk – massa keluar = massa akumulasiM in – Mout = Macc

atauLaju massa masuk – laju massa keluar = laju massa akumulasiR in – Rout = Racc

b. Neraca massa komponen

Neraca massa komponen disusun dengan menghitung massa komponen tersebut dalam aliran aliran massa.Persamaan neraca massa komponen:

Massa masuk – massa keluar +massa terbentuk – massa hilang = massa akumulasiM in – Mout + Mform - Mdissap = Macc

atauLaju massa masuk – laju massa keluar + laju massa terbentuk –laju massa hilang = laju massa akumulasiR in – Rout + Rform - Rdissap = Racc

Satuan neraca massa yang biasa digunakan adalah kg, mol, atau bila dinyatakan dalam kecepatan massa kg/waktu, mol/waktu.

Pada keadaan steady, massa akumulasi = 0.

2. Neraca PanasAnalog dengan neraca massa, neraca panas juga disusun berdasarkan

prinsip kekekalan energi yang menyatakan bahwa energi tak dapat dimusnahkan atau diciptakan, hanya mengalami perubahan bentuk.Persamaan neraca panas:

Panas masuk – panas keluar = panas akumulasi

Page 5: Mater Matek 1

Qin – Qout = Qacc

Atau Laju panas masuk – laju panas keluar = laju panas akumulasi

Rin – Rout = Racc

Satuan yang digunakan adalah Btu, cal atau Btu/waktu, cal/waktu.

3. Kesetimbangan Ada dua jenis kesetimbangan dalam teknik kimia:

a. kesetimbangan fasa Kesetimbangan fasa adalah kondisi di mana suatu zat bisa berada dalam keadaan lebih dari satu fasa.

y = fraksi zat dalam fasa 1 x = fraksi zat dalam fasa 2

Persamaan yang menghubungkan y dengan x antara lain: Pers. Roult-Dalton untuk kesetimbangan uap-cair

y = fraksi zat dalam fasa uap

x = fraksi zat dalam fasa cair α = konstanta Roult

Pers Henry H = konstanta Henry

b. kesetimbangan kimiaKesetimbangan kimia adalah kondisi di mana kecepatan reaksi ke kanan sama dengan reaksi ke kiri.

Reaksi setimbang A + B ↔ C

Konstanta kesetimbangan

4. Persamaan kecepatan

Persamaan kecepatan Perpindahan fisis atau dikenal juga dengan peristiwa perpindahan (transport phenomena) meliputi perpindahan momentum, panas, dan massa.Persamaa kecepatannya adalah sebagai berikut:

Perpindahan momentum

Hukum Viskositas Newton

Fasa 1y

Fasa 2x

Page 6: Mater Matek 1

Perpindahan panasKecepatan perpindahan panas dalam arah x dinyatakan dengan:

Hukum Fourier

q = kecepatan panas, Btu/ft2s, cal/m2sQ = q. A = Btu/s, cal/s

Perpindahan massaKecepatan perpindahan massa komponen A dalam komponen B dinyatakan dengan

Hukum Fick

NA = kecepatan massa A, mol/m2.s, kg/m2.s

b. Kecepatan Reaksi Kimia

Reaksi A + B → CKecepatan reaksi komponen A dinyatakan dengan rA

rA = k CA CB k = konstanta reaksi

FORMULASI MATEMATIS DENGAN PENERAPAN NERACA MASSA

1. Pencampuran dalam Tangki Secara Batch (Volum tetap)

Suatu tangki berpengaduk mula-mula berisi Vo kg air murni. Mulai suatu saat ke dalam tangki dimasukkan F kg/menit larutan garam dengan kadar x (kg garam/kg larutan), dan dari tangki dikeluarkan larutan dengan juga dengan kecepatan F kg/menit. Akan disusun persamaan – persamaan matematis yang bisa dipakai untuk mencari kadar garam dalam larutan keluar tangki pada berbagai waktu (t). Misal pada saat t, jumlah larutan dalam tangki V kg, sedangkan kadar garam dalam larutan keluar = x. Karena pengadukan

Page 7: Mater Matek 1

dianggap sempurna maka kadar garam larutan dalam tangki sama dengan kadar garam dalam larutan keluar tangki, yaitu x.

Penyelesaian:Diketahui: F = kecepatan larutan garam masuk ,kg/menit xF = kadar garam dalam larutan garam masuk, kg garam/kg larutan x = kadar garam dalam larutan keluar tangki, kg garam/kg larutan V = jumlah larutan dalam tangki setiap saat, kg

Dicari : Kadar garam keluar tangki sebagai fungsi waktu, x(t)Asumsi : 1. Pengadukkan homogen sehingga kadar garam dalam tangki sama dengan kadar garam dalam aliran keluar tangki

Neraca massa total dalam tangki:

Rate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation

(3.1)

Neraca massa garam dalam tangki:R in – Rout + Rform - Rdissap = Racc

(3.2)

Manipulasi persamaan (3.2) menghasilkan: (3.3)

Substitusi Persamaan (3.1) ke (3.3): (3.4)

(3.5)Diperoleh persamaan ordiner linier orde 1.

Keadaan batas untuk persamaan di atas adalah :

t = 0 ; x = 0

F, x

F, xF

V, x

Page 8: Mater Matek 1

2. Pencampuran dalam Tangki Secara Batch (Volum berubah)Suatu tangki berpengaduk mula-mula berisi Vo kg air murni. Mulai suatu

saat ke dalam tangki dimasukkan F kg/menit larutan garam dengan kadar x (kg garam/kg larutan), dan dari tangki dikeluarkan larutan dengan kecepatan L kg/menit. Akan disusun persamaan – persamaan matematis yang bisa dipakai untuk mencari kadar garam dalam larutan keluar tangki pada berbagai waktu (t). Misal pada saat t, jumlah larutan dalam tangki V kg, sedangkan kadar garam dalam larutan keluar = x. Karena pengadukan dianggap sempurna maka kadar garam larutan dalam tangki sama dengan kadar garam dalam larutan keluar tangki, yaitu x.

Penyelesaian :Diketahui : F = kecepatan larutan garam masuk ,kg/menit xF = kadar garam dalam larutan garam masuk, kg garam/kg larutan L = kecepatan larutan garam keluar, kg/menit x = kadar garam dalam larutan keluar tangki, kg garam/kg larutan V = Volume larutan dalam tangkiDicari: Kadar garam keluar tangki sebagai fungsi waktu, x(t)Asumsi : 1. Pengadukkan homogen sehingga kadar garam dalam tangki sama dengan kadar garam dalam aliran keluar tangki

Penyelesaian:

Neraca massa total dalam tangki:

Rate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation

(3.6) Neraca massa garam dalam tangki:

R in – Rout + Rform - Rdissap = Racc

(3.7)

Manipulasi persamaan (3.7) menghasilkan:

(3.8)

Substitusi Persamaan (3.6) ke (3.8):

L, x

F, xF

V, x

Page 9: Mater Matek 1

(3.9) (3.10)

Diperoleh persamaan ordiner non linier dengan dua variabel. Penyelesaian dapat dilakukan secara simultan dengan metode numeris atau dengan melinierkan persamaan non linier.

Keadaan batas untuk persamaan di atas adalah :

t = 0 ; x = 0, V = V0

3. Suatu fluida mengalir melalui dari pipa berdiameter besar ke pipa berdiameter kecil seperti pada gambar. Tentukan kecepatan fluida keluar dari pipa kecil jika jari-jari pipa masing masing R1 dan R2 dan kecepatan aliran masuk v1.

Penyelesaian:Penerapan neraca massa total pada sistem pada keadaan steady:

Rate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation

Contoh 2:

Suatu tangki silinder dengan sumbu vertikal, diameternya 3 m. Fluida

masuk ke silinder melalui saluran berdiameter 0.1 m dan keluar tangki

melalui saluran berdiameter 0.2 m. Laju aliran masuk adalah 2 m/s,

sedangkan laju aliran keluar 1 m/s. Tentukan tinggi fluida dalam tangki setiap

saat.

2

1

Batas sistem

Page 10: Mater Matek 1

Penyelesaian:

Penerapan neraca massa total:

Densitas fluida dianggap tetap

1

2

Page 11: Mater Matek 1

Latihan

1. Sebuah tangki berisi 100 ft3 air. Larutan garam dengan kadar garam 1

pcf (pon per cubic feet) dialirkan ke dalam tangki dengan laju 2 ft3/menit,

dan larutan dijaga tetap homogen dengan pengadukkan sehingga kadar

garam dalam tangki sama dengan kadar garam keluar tangki. Larutan

keluar tangki pada laju alir 1 ft3/menit. Berapkah kadar garam dalam

aliran keluar saat volum larutan dalam tangki mencapai 150 ft3.

2. Sebuah tangki berisi 50 L larutan gula dengan kadar gula 0.1 kg/L. Ke

dalam tangki dialirkan air dengan laju alir 0.5 L/menit. Larutan dalam

tangki di aduk sehingga kadar gula dalam tangki sama dengan kadar

gula keluar tangki. Laju aliran keluar tangki adalah 0.5 L/menit.

L, x

F, xF

V, x

Page 12: Mater Matek 1

Tentukanlah kadar gula dalam aliran keluar sebagai fungsi waktu.

Berapakah kadar gula dalam aliran keluar setelah satu jam?

Formulasi Matematis dengan Penerapan Neraca Massa dan Kesetimbangan

1. Penguapan secara Batch

Dalam suatu labu kaca terdapat dalam campuran biner cair A dan B (A

lebih mudah menguap atau lebih volatil), sebanyak gmol dengan fraksi

mol A = . Labu dipanasi sehingga terjadi penguapan cairan. Uap yang perlu

dianggap selalu berada dalam keadaan setimbang dengan cairannya. Kesetimbangan uap-cair dianggap mengikuti hokum Raoult-Dalton. Akan disusun persamaan- persamaan matematis yang bisa dipakai untuk mencari kadar A dalam cairan sisa, pada saat 30 % cairan menguap.

Penyelesaian:Diketahui: W0 = jumlah cairan dalam labu mula-mula, gmol

x0 = jumlah A dalam cairan mula-mula, gmol A/gmol cairan W = jumlah cairan dalam labu setiap saat, gmol V = jumlah uap yang terbentuk setiap saat, gmol x = jumlah A dalam cairan setiap saat, gmol A/gmol cairan y = jumlah A dalam uap setiap saat, gmol A/gmol uap

W, x

y

V

Page 13: Mater Matek 1

Selama interval waktu yang sama, jumlah cairan berubah sebesar dW dan fraksi mol A dalam cairan selam interval waktu sangat kecil tersebut diangap x.

Neraca massa cairan dalam labu:Input – Output = Accumulation

0 – V = dW (4.1)atau

dW = -V (4.2)

Neraca massa A dalam labu :Input – Output = Accumulation

0 – y.V = d(W.x) (4.3)

(Accumulation diisi d dari yang dineracakan, yaitu massa A dalam labu; karena tidak menggunakan rate, maka bentuknya bukan d/dt).

Manipulasi persamaan (4.3) dengan bantuan persamaan (4.2) mengahasilkan:

-y(-dW) = W.dx + x.dW (4.4)

W.dx = (y-x) dW (4.5)

Hubungan kesetimbangan Raoult-Dalton:

(4.6)Subtitusi persamaan (4.6) ke persamaan (4.5) menghasilkan:

W.dx = dW (4.7)

(4.8)

Dengan integrasi persamaan (3.12), harga x dapat dicari.

2. Absorpsi Gas dengan Penggelembungan dalam Cairan

Udara buangan pabrik yang mengandung A akan dihilangkan A nya sebelum dibuang ke udara, dengan cara menggelembungkan udara tersebut dalam larutan penyerap A yang tidak volatil, sehingga sebagian besar A terserap dalam larutan. Jumlah udara = G gmol udara bebas A/waktu dengan

kadar A = gmol A/gmol udara bebas A. Kandungan A dalam gas keluar

Page 14: Mater Matek 1

cairan dianggap dalam keadaan setimbang dengan A dalam cairan (kontak dianggap sangat baik). Hubungan kesetimbangan uap-cair mengikuti hukum Henry:

y = H.xdengan x = gmol A/gmol pelarut bebas A. Suhu sistem dianggap tetap sehingga harga H tetap. Larutan penyerap berjumlah V gmol dan mula-mula belum mengandung A. Dengan berjalannya waktu, kandungan A dalam cairan makin tinggi sehingga kadar A dalam udara keluar makin tinggi pula. Pelarut harus diganti dengan yang baru setelah kadar A dalam udara keluar menjadi

. Ingin disusun persamaan-persamaam matematis yang dapat dipakai

untuk mencari waktu sampai pelarut (solven) harus diganti dengan yang baru.

Penyelesaian:Diketahui: G = laju alir udara bebas A, gmol/waktu

yF = kadar A dalam udara masuk, gmol A/gmol udara bebas A y = kadar A dalam udara keluar, gmol A/gmol udara bebas A

V = jumlah cairan penyerap, gmol x = jumlah A dalam cairan, gmol A/gmol cairan

Neraca Massa total:Rate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation

Neraca massa A dalam tangki:Rate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation

(A dalam cairan + A dalam gelembung) (4.9)

Karena rapat massa gas jauh lebih kecil daripada rapat massa cairan, maka pada rate of accumulation, A dalam gelembung dianggap sangat kecil dibanding A dalam cairan, sehingga diabaikan. Sebagai hasilnya, diperoleh persamaan:

(4.10)

G, yF

G, y

V, x

Page 15: Mater Matek 1

(4.11)

Subtitusi persamaan (3.13) ke persamaan (3.16) menghasilkan:

(4.12)

(4.13)

Integrasi persamaan (3.18) akan menghasilkan

3. Ekstraksi dalam tangki berpengaduk

Asam benzoat (AB) dalam toluen akan diekstraksi dengan pelarut air dalam sebuah tangki berpengaduk. Larutan masuk dengan laju F m3/detik dengan kadar AB yF kg/m3. Air masuk dengan laju S m3/detik. Toluen dan air tidak saling melarutkan sehingga laju alir toluen dan air yang keluar dari tangki sama dengan yang masuk. Kelarutan

Neraca massa total:Input – Output = Accumulation

(4.14)

Neraca massa AB:

Input – Output = Accumulation

(4.11)

Air S, x

Toluene F, yF

Air S, xF

Toluen F, y

Page 16: Mater Matek 1

(4.12)

Substitusi pers (4.10) ke (4.12) :

(4.13)

(4.14)

(4.15)

Page 17: Mater Matek 1

FORMULASI MATEMATIS DENGAN PENERAPAN NERACA MASSA DAN KECEPATAN REAKSI

1. Reaksi Homogen Fasa Cair dalam Tangki Berpengaduk yang Bekerja Secara Batch

Reaksi fasa cair order satu dijalankan dalam reaktor tangki berpengaduk yang bekerja secara batch. Konsentrasi A mula-mula = CAo mol/L. Kecepatan reaksi mengikuti persamaan:

(mol/L.menit)

Reaksi berlangsung secara isotermal sehingga nilai k konstan. Karena adanya reaksi, terjadi pengurangan A dan pembentukkan B. Volum cairan dalam reaktor dianggap tetap V liter. Ingin disusun persamaan-persamaan matematis yang bisa dipakai untuk menghitung konversi A (xA) pada berbagai waktu.

PenyelesaianDiketahui: CA0 = konsentrasi A awal, mol/L CA = konsentrasi A setiap saat, mol/L rA = kecepatan reaksi, mol/L.menit k = konstanta kecepatan reaksi xA = konversi A

Neraca massa total:

R in – Rout = Racc

Neraca Massa A:R in – Rout + Rform - Rdissap = Racc

(5.1)

Page 18: Mater Matek 1

(Rate of accumulation diisi d/dt dari yang dineracakan, yaitu A dalam larutan).Karena V tetap, maka:

(5.2)

(5.3)

Misal konversi A = xA, maka:

(5.4)

Subtitusi persamaan (5.4) ke persaman (5.3) menghasilkan:

(5.5)

(5.6)

2. Reaksi Homogen Fasa Cair dalam Tangki Berpengaduk yang Bekerja Secara Kontinu

Reaksi fasa cair order satu dijalankan dalam reaktor tangki berpengaduk yang bekerja secara kontinu. A masuk ke dalam reaktor dengan konsentrasi CAo mol/L dan laju alir F L/menit dan keluar dengan laju alir yang sama tapi dengan konsentrasi CA mol/L. Karena pengadukkan yang baik, konsentrasi A dalam reaktor dianggap sama dengan konsentrasi dalam aliran keluar. Di dalam reaktor yang bekerja secara kontinu, konsentrasi A dan B selalu tetap.

Kecepatan reaksi mengikuti persamaan:

Reaksi berlangsung secara isotermal sehingga nilai k konstan. Karena adanya reaksi, terjadi pengurangan A dan pembentukkan B. Volum cairan dalam reaktor dianggap tetap V. Ingin disusun persamaan-persamaan matematis yang bisa dipakai untuk menghitung konversi A (xA) dan B (xB).

Penyelesaian:

F, CA, CB

F, CA0

V, CA, CB

Page 19: Mater Matek 1

Neraca Massa A:R in – Rout + Rform - Rdissap = Racc

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.11)

Neraca massa B:

(5.12)

(5.13)xA = xB

(5.14)

(5.15)

4. Biodegradasi Zat Organik dalam Sungai (Neraca Massa, Kesetimbangan dan Proses-proses Kecepatan)

Di dalam sungai, zat organik (CxHyOz) dibongkar oleh mikroba menjadi dan , menurut reaksi:

(3.18)

Dalam hal ini zat organik bereaksi dengan oksigen terlarut dalam air. Bila kadar oksigen terlarut dalam air lebih rendah dari kadar jenuhnya karena terpakai untuk reaksi maka akan terjadi transfer oksigen dari udara ke air. Oleh karena itu, dalam proses biodegradasi zat organic dalam sungai terjadi 2 proses simultan, yaitu reaksi kimia di fasa cair dan transfer massa dari udara ke air. Bila kadar zat organic dalam air sangat tinggi, maka kecepatan reaksi kimia akan sangat besar sehingga kecepatan pemakaian oksigen akan lebih

Page 20: Mater Matek 1

tinggi dari kecepatan transfer oksigen dari udara. Akibatnya, kadar oksigen terlarut dalam air akan turun. Jika kadar oksigen tersebut mencapai harga di bawah suatu batas tertentu, maka mikroba akan mati. Hal ini perlu dicegah antar lain dengan pembatasan jumlah buangan limbah zat organik ke sungai, atau dengan aerasi sungai tersebut. Oleh karena itu, deskripsi kuantitatif proses biodegradasi zat organik dalm sungai diperlukan.

Kecepatan reaksi kimia antara zat organik dan oksigen dengan bantuan mikroba cukup kompleks, tetapi dalam contoh ini diambil bentuk yang sangat sederhana, yaitu:

(3.20)

dengan: = kadar zat organik di air, dinyatakan dalam BOD (mg/L) = kadar oksigen terlarut di air (mg/L) = kecepatan reaksi zat organic (mg BOD/detik/L) = kecepatan reaksi oksigen (mg/detik/L)

= tetapan

Dalam hal ini = , karena jumlah zat organik dinyatakan dalam BOD. Persamaan (3.20) adalah konsep kinetika kimia (proses kecepatan). Perlu diperhatikan bahwa pemodelan akan lebih mudah jika jumlah zat organik dinyatakan dalam BOD (biological oxygen demand), yaitu jumlah oksigen yang diperlukan untuk mengoksidasi secara sempurna zat organik tersebut secara biologis. Kecepatan perpindahan massa oksigen dari udara ke air dapat didekati dengan persamaan:

(3.21)

(3.22)

(3.23)

Dalam hal ini:

= kecepatan transfer oksigen (mg/detik/ ) = koefisien perpindahan massa gabungan = koefisien perpindahan massa fasa air = koefisien perpindahan massa fasa gas = kadar oksigen jenuh dalam air = tetapan Henry = tekanan parsial oksigen di udara (atm) = 0,21 atm.

Persamaan (3.21), (3.22), dan (3.23) adalah konsep prosses kecepatan di bidang fisis (perpindahan massa).

Untuk oksigen, Harga sangat besar sehingga dari persamaan (3.22) dapat disimpulkan bahwa:

(3.25)

Page 21: Mater Matek 1

Oleh karena itu persamaan (3.21) dapat diganti dengan:(3.26)

5. Distribusi Suhu Batang di Udara (Neraca Panas dan Proses Kecepatan)

Suhu batang logam dengan diameter D, panjang L, kedua ujungnya melekat pada dinding-dinding yang suhunya berbeda, yaitu dan (Gambar 3.5). Suhu udara diketahui = . Diameter batang sangat kecil dibanding dengan panjang batang dan konduktivitas panas batang besar, sehingga gradien suhu dalam batang pada arah radial bisa diabaikan. Koefisien perpindahan panas antara permukaan batang dan udara = h. Ingin disusun persamaan matematis yang dapat dipakai untuk mencari distribusi suhu batang pada keadaan steady

Dalam hal ini terjadi 2 macam perpindahan panas, yaitu:1) Perpindahan panas konduksi arah aksial dalam batang (Q= -k.A dT/dx).2) Perpindahan panas antara fasa dari permukaan batang ke udara Q=h.A.

Neraca panas pada elemen volum sepanjang pada batang:

Rate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation

(3.36)

Dalam hal ini adalah suhu batang rata-rata antara x sampai x + x .Manipulasi persamaan (3.36) menghasilkan:

(3.37)

Jika diambil x 0, maka menurut definisi matematika (lihat Bab 4.1) diperoleh:

(3.38)

( berubah menjadi T karena )Jadi persamaan matematis untuk peristiwa ini adalah:

(3.39)

dengan keadaan batas:

Page 22: Mater Matek 1

x = 0 ; T = Ta (3.40)

x = L ; T = (3.41)Penyelesaian persamaan (3.39) dengan keadaan batas (3.40) dan (3.41) akan menghasilkan T = f(x).

6. Difusi dan Reaksi Kimia dalam Katalisator Padat Berbentuk Bola Berpori

(Neraca Massa dan Proses Kecepatan)

Reaksi fasa gas order satu:

A B

Berlangsung di permukaan pori katalisator padat berbentuk bola berjari-jari R. Sistem dianggap isotermis. Konsentrasi A pada fasa gas di permukaan luar bola = . Gas A mendifusi ke dalam bola melalui pori katalisator sambil sebagian bereaksi di permukaan pori katalisator. Kecepatan difusi A melalui pori dianggap mengikuti persamaan yang mirip dengan difusi gas, yaitu:

(3.42)

Kecepatan bereaksi di permukaan pori katalisator mengikuti persamaan:

(3.43)

Luas dinding pori tiap volum bola = a. Ingin di susun persamaan matematis yang bias dipakai untuk mencari konsentrasi gas A pada berbagai posisi dalam bola dalam keadaan steady .

Dalam penyusunan model matematis, perpindahan massa A dalam bola dianggap ke arah r positif (keluar) walaupun sebenarnya ke arah r negatif (ke dalam). Karena kedua keadaan tersebut akan memberikan hasil persamaan matematis yang sama.

Neraca massa A pada elemen volum:

Page 23: Mater Matek 1

Rate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation

(3.44)

menyatakan volum dari elemen volum, yaitu luasnya dan tebalnya menyatakan r rata-rata).Manipulasi persamaan (3.44) menghasilkan:

(3.45)

Jika diambil , maka menurut definisi matematika diperoleh:

(3.46)

(3.47)

(3.48)

Keadaan batas untuk peristiwa ini adalah:

(3.50)

(konsentrasi A pada pusat bola selalu minimum, karena sambil berjalan ke arah pusat bola, A bereaksi). Persamaan (3.48) dengan keadaan batas (3.49)

dan (3.50) bila diselesaikan akan menghasilkan .

6. Reaksi Homogen Fasa Cair dalam Tangki Berpengaduk yang Bekerja Secara Batch (Neraca Massa, Neraca Panas dan Proses Kecepatan)

Reaksi fasa cair endotermis order satu:

dijalankan dalam reaktor tangki berpengaduk yang bekerja secara batch (Gambar 3.7). Konsentrasi A mula-mula = CAo. Kecepatan reaksi mengikuti persamaan:

(3.51) dengan

(3.52)

Page 24: Mater Matek 1

Panas reaksi endotermis besarnya cal/gmol A. Rapat massa campuran dianggap tetap, sedangkan kapasitas panasnya dianggap tetap cp. Suhu campuran mula-mula = To. Untuk menjaga agar suhu campuran tetap tinggi, reaktor dilengkapi dengan koil pemanas yang dialiri steam jenuh bersuhu Ts. Embunan keluar koil pada suhu Ts. Koefisien perpindahan panas antara steam dan cairan = U. Luas permukaan koil = Ac. Tangki, pengaduk, dan koil dianggap tidak menyerap panas dan panas hilang keseliling diabaikan. Ingin disusun persamaan-persamaan matematis yang bisa dipakai untuk menghitung konversi A (x) dan suhu campuran (T) pada berbagai waktu (t).Neraca massa A pada larutan:

Rate of Input – Rate of Output – Rate of Reaction + Rate of Accumulation

(3.53)

(Rate of accumulation diisi d/dt dari yang dineracakan, yaitu A dalam larutan).Karena V tetap ( dianggap tetap ), maka:

(3.54)

Misal konversi A = x, maka:

(3.55)

Subtitusi persamaan (3.55) ke persaman (3.54) menghasilkan:

(3.56)

Neraca panas dalam campuran:

Rate of Input – Rate of Output – Rate of Reaction = Rate of Accumulation

(3.57)

( kCA.V menyatakan A bereaksi tiap satuan waktu, H menyatakan entalpi campuran).Menurut termodinamika:

Page 25: Mater Matek 1

(3.58)

sehingga

(3.59)

Subtitusi persamaan (3.59) ke persamaan (3.57) menghasilkan:

(3.60)

(3.61)

Persamaan tambahan (persamaan Arrhenius):

(3.62)

Keadaan batas untuk peristiwa ini adalah:

(3.63)

Persamaan (3.56), (3.61), (3.62) dengan keadaam batas (3.63) bila diselesaikan akan menghasilkan dan T = f(t).