modul matek 2

Upload: achmad-azzam

Post on 07-Aug-2018

244 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    1/96

     MODUL MATEMATIKA EKONOMI 2

    LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR

    FAKULTAS EKONOMI

    UNIVERSITAS GUNADARMA

    PERIODE ATA 12/13

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    2/96

    MATEK 2 Hal. 2 Periode ATA 12/13

    DAFTAR ISI

    Halaman

    HALAMAN JUDUL………………………………………………………… 1 

    DAFTAR ISI………………………………………………………………… 2 

    KATA PENGANTAR…………………………………………………….... 5 

    DERIVATIF…………………………………………………………………. 5 

    1. Konsep Dasar Derivatif………………………………………………... 5 

    2. Hubungan Antara Fungsi Dan Derivatifnya………………………. 9 

    3. Penerapan Ekonomi………………………………………………….. 10 3.1 elastisitas ………………………………………………………….. 10 

    3.1.1 Elastisitas Harga………………………………………………. 10 

    3.1.2 Elastisitas Permintaan…………………………………………11 

    3.1.3 Elastisitas Penawaran………………………………………… 15 

    3.1.4 Elastisitas Produksi……………………………………………. 20 

    3.1.5 Elastisitas Biaya……………………………………………….. 24 

    3.1.6 Elastisitas Penerimaan……………………………………….. 29 

    3.1.7 Laba Maksimum……………………………………………….. 35

    INTEGRAL TAK TENTU…………………………………………………. 35 

    1. Konsep Dasar Integral…………………………………………………. 35 

    2. Penerapan Ekonomi…………………………………………………… 36 

    2.1 Fungsi Biaya……………………………………………………….. 36 

    2.2 Fungsi Penerimaan……………………………………………….. 38 

    2.3 Fungsi Utilitas……………………………………………………… 41 

    2.4 Fungsi Produksi…………………………………………………… 42 

    2.5 Fungsi Konsumsi dan Tabungan……………………………….. 45 

    INTEGRAL TENTU……………………………………………………… 52 

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    3/96

    MATEK 2 Hal. 3 Periode ATA 12/13

    1. Konsep Dasar Integral Tentu……………………………………….. 52 

    2. Penerapan Ekonomi………………………………………………… 52 

    a. Surplus Konsumen……………………………………………… 53 

    b. Surplus Produsen……………………………………………….. 60 

    FUNGSI TRANSEDENTAL 1…………………………………………. 70 

    1. Konsep Dasar Transedental……………………………………….. 70 

    2. Penerapan Ekonomi………………………………………………... 72 

    2.1 Model Bunga Majemuk………………………………………… 73 

    2.2 Model Pertumbuhan……………………………………………. 78 

    FUNGSI TRANSEDENTAL 2…………………………………………. 82 

    1. Kurva Gompertz……………………………………………………... 82 

    2. Kurva Belajar………………………………………………………… 85 

    DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………. 90 

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    4/96

    MATEK 2 Hal. 4 Periode ATA 12/13

    KATA PENGANTAR

    Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat,

    hidayah, dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penulis dapat

    menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan

    kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran

    dalam perkuliahan, maka modul ini dapat digunakan untuk memenuhi

    kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran.

    Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modulpraktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini

    dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai

    pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi.

    Selain itu, modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan

    mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-

    teori ekonomi yang ada.

    Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu

    disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya

    sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terimakasih kepada tim Litbang

    Matematika Ekonomi 2 - Laboratorium Manajemen Dasar yang turut

    berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini.

     Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak

    yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.

    Jakarta, 2012

    Tim Litbang ATA 12/13

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    5/96

    MATEK 2 Hal. 5 Periode ATA 12/13

    DERIVATIF

    1. KONSEP DASAR TURUNAN

    Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi

    sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang

    bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi

    diferensi, dimana : x 0.

    y

    Jika y = f ( x ), maka

    Δy = f ( xo + Δx ) - f ( xo )

    Δx x

    Δy / Δx merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan

    menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ),

    dirumuskan : y = f (x) = lim Δy/Δx = lim f (x + Δx) f(x)Δx 0 Δx  0 Δx

    1.1 Kaidah Diferensiasi

    Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :

    1. Diferensiasi fungsi konstanta

    Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0 

    Contoh : y = 4 maka y’ = 0 

    2. Diferensiasi fungsi linear

    Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = b 

    Contoh : y = 25 + 12x maka y’ = 12  

    3. Diferensiasi fungsi pangkat

    Jika y = axn, dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a xn-1 

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    6/96

    MATEK 2 Hal. 6 Periode ATA 12/13

    Contoh : y = 5x4 maka y’ = 5.4x4-1 = 20x3

    4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

    Jika y = Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = n (x), maka y’ = u’ ± v’ 

    Contoh : y = 8x3  – 8x2 

    u = 8X3 , u’ = 8.3x3-1 = 24x2

    v = – 8x2, v’ = -8.2x2-1 = -16x

    karena y’= u’ ± v’

    maka y’ = 24x2  – 16x

    5. Diferensiasi perkalian

    a. Perkalian fungsi dan konstanta

    Jikay = k.u

    , dimanau = g (x)

    , makay’= k.u’

    Contoh : y = 8.7x2

    u = 7x2 u’ = 7.2x = 14x

    karena y’ = k.u’

    maka y’ = 8.14x = 112x

    b. Perkalian fungsi

    Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x),

    maka y’ = u’.v + u.v’

    Contoh : y = ( 2x6 – 2 )( 3x3 – 7 )

    u = ( 2x6 – 2 ) u’ = 2.6x6-1 = 12x5

    v = ( 3x3 – 7 ) u’ = 3.3x3-1 = 9x2 

    karena y’ = u’.v + u.v’

    maka y’ = (12x5)(3x3 – 7) + (2x6 – 2)(9x2)

    = 36x8  – 84x5 + 18x8  – 18x2

    y’ = 54x8  – 84x5  – 18x2

    6. Diferensiasi hasil bagi fungsi

    Jika y = u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = u’.v – u.v’

    v v2

    Contoh : y = (9x2  – 5) maka y’ = (18x)(4x3  – 6) – (9x2  – 5)(12x2)

    (4x3  – 6) (4x3  – 6)2 

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    7/96

    MATEK 2 Hal. 7 Periode ATA 12/13

    y’ = 72x4  – 108x – 108x5 + 60x3 

    (4x3  – 6)2 

    y’ = -108x5  – 72x4  – 60x3 -108x

    (16x6  – 48x3 + 36)

    7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai )

    Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka

    dy = dy . du

    dx du dx

    contoh : y = ( 6x2 + 4 )2 

    misalkan : u = 6x2 +4 , sehingga y = u2

    du / dx = 12x dy / du = 2umaka dy = dy . du = 2u . 12x = 2 (6x

    2 + 4) (12x) = 144x

    3 + 96x

    dx du dx

    contoh: y = √3x2 + 4x – 5

    y = (3x2 + 4x - 5)1/2

    misalkan : u = 3x2 + 4x -5 , sehingga y = u1/2 

    du/dx = 6x + 4 dy/du = ½ u-1/2

    maka dy = dy . du

    dx du dx

    = ½ u-1/2. (6x + 4)

    = ½ (3x2+ 4x -5)

    -1/2 . (6x + 4)

    = 1 . 1 . (6x + 4)

    2 √3x2 + 4x – 5

    = 6x + 4

    2√3x2 + 4x – 5

    8. Derivatif tingkat tinggi

    Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan

    sebanyak n kali.

    Derivatif ke-n dilambangkan : dny atau f n(x) atau dn (y)

    dxn  dx 

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    8/96

    MATEK 2 Hal. 8 Periode ATA 12/13

    Contoh : y = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x maka

    y’ atau dy / dx = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1

    y’’atau d2y/+ d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ………..dst

    9. Diferensiasi implisif

     Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0

    suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x , kemudian dari

    persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx .

    Contoh : xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :

    1.y2 + x.2y dy/dx – 2x + dy / dx = 0

    ( 2xy + 1 ) dy/dx = - y2 + 2x

    dy/dx = - y2 + 2x2xy + 1

    10. Derivatif fungsi logaritmik

      y = ln x   dy/dx = 1/x

    y = ln u , dimana u = g (x)

    dy = du . 1 = u

    dx dx u u

      y = alog x dy/dx = 1/ aln a

    Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx

    u = 3 – 3x2

    du / dx = u’ = -6x

    dy = u’ = -6x

    dx u 3 – 3x2

    11. Derivatif fungsi eksponensial

      y = ex dy/dx = ex 

      y = ax dy/dx = ax ln a

    12. Derivatif fungsi trigonometrik

    Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :

      y = sin x dy/dx = cos x

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    9/96

    MATEK 2 Hal. 9 Periode ATA 12/13

      y = cos x dy/dx = - sin x

      y = tg x dy/dx = sec2 x

      y = ctg x dy/dx = - cosec2 x

      y = sec x dy/dx = sec x . tg x

      y = cosec x dy/dx = - cosec x . ctg x

      Catatan : sec x = 1 / cos x

    cos x = 1 / sin x

    2. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

    2.1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal

    Langkah  –  langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normaladalah :

    1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo )

    2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x)

    3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x – xo)

    4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = -1 ( x – xo )

    m

      Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis

    Singgung kurva

    2.2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

    1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0

    2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0

    3. Nilai stasioner

    Jika diketahui y = f (x) , maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai

    Stasioner

    Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :

    Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum

    Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum

    Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    10/96

    MATEK 2 Hal. 10 Periode ATA 12/13

    Contoh : Diketahui TR = 100Q - 5Q2 , tentukanlah nilai maksimum atau

    minimum dari fungsi tsb !

    Jawab : Karena TR’ = 0

    Maka TR’ = 100 – 10Q = 0

    10Q = 100 jadi Q = 10

    TR = -10 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum)

    Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q2

    = 100(10) - (10)2

    = 900

    3. PENERAPAN EKONOMI 

    3.1 ELASTISITAS

    3.1.1 Elastisitas harga

     Adalah perbandingan antara perubahan relative dari jumlah dengan

    perubahan relative dari harga.

    Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang

    digunakan yaitu :

    1. Elastisitas titik ( point elasticity)

    2. Elastisitas busur ( Arc Elasticity)

    Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.

    Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.

    ƞ =

     ∙ 

     

    ƞ =

     ∙ 

     

    ƞ =

     ∙ 

     

    Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung :

    a. Elastisitas harga permintaan, ƞd < 0 (negative)

    ƞ = = ∙

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    11/96

    MATEK 2 Hal. 11 Periode ATA 12/13

    b. Elastisitas harga penawaran, ƞs > 0 (positif )

    Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :

      ƞ > 1 = elastis

      ƞ < 1 = inelastis

      ƞ = 1 = unitary elastis

      ƞ = 0 = inelastis sempurna

      ƞ = ∞  = elastis tak hingga

    3.1.2 Elastisitas Permintaan

     Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang

    diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan

    dinyatakan dengan Qd = f(p), maka elastisitas permintaannya

    Contoh soal :

    Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 40 -

    40P2. Tentukanlah elastisitas permintaan pada saat P = 2 ?

    Dik : Qd = 40 – 40P2

    Qd’ = -80P

    P = 2

    Dit : ŋd ? 

    Jawab :

    nd = Qd’ x P / Qd

    = -80P x P / 40 - 40P2

    = -80P2/ 40 - 40P

    = -80(2)2 / 40 - 40(2)2 

    nd = Qd’ ∙

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    12/96

    MATEK 2 Hal. 12 Periode ATA 12/13

    = 2.6667 elastis

     Analisis  : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 2,7 pada saat harga

    produk sebesar Rp 2 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka

    barang yang diminta akan turun sebanyak 2,7%.

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE

    EC-MATH

    1. Buka aplikasi EC – Math

    2. Pilih Derivatif

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    13/96

    MATEK 2 Hal. 13 Periode ATA 12/13

    3. Pilih Mencari Elastis Permintaan

    4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    14/96

    MATEK 2 Hal. 14 Periode ATA 12/13

    5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.

    Masukkan angka-angka yang diketahui:

    Koefisien P^2 = -40 

    Koefisien P^1 = 0

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    15/96

    MATEK 2 Hal. 15 Periode ATA 12/13

    Konstanta = 40 

    P = 2 

    Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear

    6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.

    3.1.3. Elastisitas Penawaran

     Adalah suatu koefisian yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

    barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika

    fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f (p), maka elastisitas

    penawarannya :

    Contoh soal :

    Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = 2P2 -

    42. Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 2/ unit.

    Bagaimana sifat elastis penawaran tersebut, analisislah !

    ns = Qs’ ∙

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    16/96

    MATEK 2 Hal. 16 Periode ATA 12/13

    Dik : Qs = 2P2  – 42

    Qs’ = 4P

    P = Rp 2/ unit

    Dit : Elastisitas penawaran?

    Jawab : ns = Qs’ . P

    Qs

    = 4P . P

    2P2 – 42

    = 4(2) . 2

    2(2)2  – 42

    = 16 / -34 = - 0,47 = - 0,5 Inelastis Analisis  : Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 0,5 pada saat harga

    produk sebesar Rp 2 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka

    barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 0,5%

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE

    EC-MATH 

    1. Buka aplikasi EC – Math

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    17/96

    MATEK 2 Hal. 17 Periode ATA 12/13

    2. Pilih Derivatif

    3. Pilih Mencari Elastis Penawaran

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    18/96

    MATEK 2 Hal. 18 Periode ATA 12/13

    4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

    5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    19/96

    MATEK 2 Hal. 19 Periode ATA 12/13

    Masukkan angka-angka yang diketahui:

    Koefisien P^2 = 2 

    Koefisien P^1 = 0

    Konstanta = -42 

    P = 2 

    Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear

    6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    20/96

    MATEK 2 Hal. 20 Periode ATA 12/13

    3.1.4 Elastisitas Produksi

     Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

    keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah

    masukan (input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan

    dengan p = f(x), maka elastisitas produksinya :

    Contoh soal :Diketahui Fungsi Produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 5x2  – x .

    Hitunglah elastisitas pada x=4 dan analisislah !

    Dik : P = 5x2-x

    P’ = 10x - 1

    np = P’ ∙

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    21/96

    MATEK 2 Hal. 21 Periode ATA 12/13

    x = 4

    Dit : np?

    Jawab : np = P’. X 

    P

    = (10x - 1) . X

    5x2 - x

    = 10x2  – x

    5x2 – x

    = 10 (4)2 – 4

    5 (4)2  – 4

    = 2,05 Analisis : Jadi Elastisitas produksi sebesar 2,05 pada saat jumlah

    masukan produk sebesar Rp 4/unit .

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE

    EC-MATH 

    1. Buka aplikasi EC – Math

    2. Pilih Derivatif

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    22/96

    MATEK 2 Hal. 22 Periode ATA 12/13

    3. Pilih Mencari Elastis Produksi

    4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    23/96

    MATEK 2 Hal. 23 Periode ATA 12/13

    5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.

    Masukkan angka-angka yang diketahui:

    Koefisien X^2 = 5 

    Koefisien X^1 = -1 

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    24/96

    MATEK 2 Hal. 24 Periode ATA 12/13

    Konstanta = 0 

    X = 4 

    Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear

    6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.

    3.1.5 BIAYA

      Biaya Total ( TC )

     Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau

    memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya

    tetap atau biaya variabel.

    Dimana :

    TC = Total cost

    VC = Variabel cost

    FC = Fixed cost

    TC = F(Q) atau TC = FC + VC

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    25/96

    MATEK 2 Hal. 25 Periode ATA 12/13

    Q = Quantitas

      Biaya Rata – rata (AC)

     Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang

    atau jasa pada tingkat produksi total.

      Biaya Marginal ( MC)

     Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat

    pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksitertentu.

    Contoh soal :

    Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan tas PT. Galau Terus di

    tunjukkan oleh persamaan TC = 50Q3 + 50Q2 - 50Q + 50. Tentukanlah

    besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat

    kuantitas 5 unit ? berikan anlisisnya !

    Dik : TC = 50Q3 + 50Q

    2 - 50Q + 50

    Q = 5

    Dit : TC, AC dan MC pada Q = 5

    Jawab :

    TC = 50(5)3 + 50(5)2  – 50(5) + 50

    = 6250 + 1250 – 250 + 50= 7300

     AC = TC / Q

    = 7300 / 5

    = 1460

     AC = TC / Q

    MC = TC’ =

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    26/96

    MATEK 2 Hal. 26 Periode ATA 12/13

    MC = TC’ 

    TC’  = 150Q2 + 100Q – 50

    Maka besarnya MC

    MC = 150(5)2 + 100(5) – 50

    = 3750 + 500 – 50 = 4200

     Analisis : jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 5 unit maka

    biaya total yang dikeluarkan sebesar Rp 7300 dengan biaya rata  – rata

    sebesar Rp 1460 dan biaya marginal Rp 4200.

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE

    EC-MATH 

    1. Buka aplikasi EC – Math

    2. Pilih Derivatif

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    27/96

    MATEK 2 Hal. 27 Periode ATA 12/13

    3. Pilih Mencari Fungsi Biaya

    4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 3 kemudian tekan Enter

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    28/96

    MATEK 2 Hal. 28 Periode ATA 12/13

    5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.

    Masukkan angka-angka yang diketahui:

    Koefisien Q^3 = 50 

    Koefisien Q^2 = 50 

    Koefisien Q^1 = -50

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    29/96

    MATEK 2 Hal. 29 Periode ATA 12/13

    Konstanta = 50 

    P = 5 

    Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear

    6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.

    3.1.6 PENERIMAAN

      Penerimaan Total (TR)

     Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

      Penerimaan Rata – rata (AR)

     Adalah hasil dari penerimaan perunit yang diperoleh dari penjualan

    suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi average revenue

    sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

    TR = F(Q) = P ∙ Q 

     AR = TR / Q = (P ∙ Q) / Q =

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    30/96

    MATEK 2 Hal. 30 Periode ATA 12/13

      Penerimaan Marginal ( MR )

     Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat

    pertambahn penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas

    tertentu.

    Contoh Soal :

    Fungsi penerimaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P =

    45Q + 2 bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya. Berapakah

    besarnya penerimaan total harga jual per unit jika penjualan sebesar 20unit, tentukanlah penerimaan rata – rata dan penerimaan marginalnya ?

    berikan analisinya !

    Dik : P = 45Q + 2

    Q = 20

    Dit : TR, AR dan MR pada saat Q = 20

    Jawab :

    TR = P x Q

    = (45Q + 2) x Q = 45Q2 + 2Q

    TR = 45(20)2 + 2(20)

    = 18000 + 40

    = 18040

     AR = TR / Q

    = 18040 / 20 = 902

    MR = TR’ 

    TR’  = 90Q + 2Maka besarnya MR

    MR = 90Q + 2

    = 90(20) + 2

    = 1802

    MR = TR’ =

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    31/96

    MATEK 2 Hal. 31 Periode ATA 12/13

     Analisis : Jadi penerimaan total pada saat perusahaan menjual 20 unit

    adalah 18040, penerimaan rata-rata sebesar 902, dan penerimaan

    marjinal sebesar 1802 yang berarti terjadi penambahan penerimaan

    sebesar 1802 setiap penambahan penjualan.

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE

    EC-MATH 

    1. Buka aplikasi EC – Math

    2. Pilih Derivatif  

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    32/96

    MATEK 2 Hal. 32 Periode ATA 12/13

    3. pilih mencari fungsi Penerimaan 

    Karena P = 45Q + 2, maka TR = P . Q = (45Q + 2) . Q = 45Q2 + 2Q

    4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    33/96

    MATEK 2 Hal. 33 Periode ATA 12/13

    Maka akan muncul tampilan di bawah ini.

    Masukkan angka-angka yang diketahui:

    Koefisien Q^2 = 45 

    Koefisien Q^1 = 2

    Konstanta = 0

    Q = 20 

    Kemudian tekan Enter,

    Maka hasilnya adalah sebagai berikut.

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    34/96

    MATEK 2 Hal. 34 Periode ATA 12/13

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    35/96

    MATEK 2 Hal. 35 Periode ATA 12/13

    3.1.7 LABA MAKSIMUM

    Terdapat tiga pendekatan perhitunan laba maksimum yaitu :

    1. Pendekatan totalitas (totality approach)

    2. Pendekatan rata-rata (average approach)

    3. Pendekatan marginal (marginal approach)

    Pada bagian ini kita hanya akan membahas perhitungan laba

    maksimum dengan pendekatan marginal (marginal approach).

    Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan biaya marginal

    (MC) dan pendapatan marginal (MR). laba maksimum akan tercapai

    pada saat MR = MC.

    Laba (phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertamafungsi (δn/δQ) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai turunan

    pertama TC ( δTC/δQ atau MC ). Sehingga MR –  MC = 0 dengan

    demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian

    minimum) bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.

    Contoh soal :

    Fungsi permintaan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = -250Q

    + 20000 dengan biaya variabel yang berupa persamaan VC = 20Q2-

    2000Q+500. biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar Rp.

    25000, tentukanlah pada tingkat penjualan berapa laba perusahaan

    maks dan berapa besarnya laba tersebut? analisislah !

    Dik : P = -250Q + 20000

    VC = 20Q2-2000Q+500

    FC = 25000

    MR = -5000Q + 15000

    Dit : Q pada saat laba maks? Analisis ?

    Jawab :

    TR = P x Q

    = (-250Q + 20000)Q

    = -250Q2 + 20000Q

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    36/96

    MATEK 2 Hal. 36 Periode ATA 12/13

    TC = VC + FC

    = (20Q2-2000Q+500) + 25000

    = 20Q2 - 2000Q + 25500

    laba = TR – TC

    = (-250Q2 + 20000Q) – (20Q2 - 2000Q + 25500)

    = -270Q2 + 22000Q - 25500

    laba maks = laba’ 

    = -540Q + 22000

    540Q = 22000

    Q = 40,74 = 41

    Q = 41, laba = -270Q2 + 22000Q + 25500= -270 (41)2 + 22000(41) - 25500

    = -453870 + 902000 - 25500

    = 422630

     Analisis :

    berawal dari tingkat penjualan sebesar 41 unit, diperoleh laba sebesar

    Rp. 422630

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN

    SOFTWARE EC-MATH 

    1. buka software ec-math seperti tampilan dibawah ini

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    37/96

    MATEK 2 Hal. 37 Periode ATA 12/13

    2. pilih menu derivatif

    3. Pilih mencari fungsi laba

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    38/96

    MATEK 2 Hal. 38 Periode ATA 12/13

    Kemudian masukan data-data yg ada di soal, maka akan muncul

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    39/96

    MATEK 2 Hal. 39 Periode ATA 12/13

    INTEGRAL TAK TENTU

    1. Konsep Dasar Integral

    1.1 Pengertian Integral tak tentu

    Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral,

    yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Integral tak tentu adalah

    kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan

    proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan dari fungsinya

    diketahui.

    1.2 Rumus Integral tak tentu

    Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari

    integral atau turunan-antinya, yaitu F(x). Bentuk umum integral dari f (x)

    adalah :

    keterangan :

    k = konstanta pengintegralan

    f(x) dx = diferensial dari F(x)

    f(x) = integran

    F(x) = integral particular

    F(x) + k = fungsi asli

    Formula pangkat integral tak tentu, yaitu :

    n ≠ 1 

    ∫ f(x) dx = F(x) + k  

    ∫Xn Dx = Xn + 1 + k 

    n + 1

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    40/96

    MATEK 2 Hal. 40 Periode ATA 12/13

    2. Penerapan Ekonomi

    Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari

    persamaan fungsi dari total suatu variable ekonomi apabila persamaan

    fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya

    merupakan turunan dari fungsi total.

    2.1 Fungsi Biaya

    Contoh soal :

    Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukan oleh MC = 4Q2 + 2Q +

    5. Nilai konstanta adalah 4. Hitunglah persamaan biaya total dan

    biaya rata- ratanya!

    Dik : MC = 4Q2 + 2Q + 5

    c = 4

    Dit : persamaan TC dan AC ?Jawab :

    TC = ∫ MC dQ

    = ∫ 4Q2 + 2Q + 5 dQ

    = 4/3Q3 + Q2 + 5Q + c

    = 4/3Q3 + Q2 + 5Q + 4

     AC = TC / Q

    = (4/3Q3 + Q2 + 5Q + 4) / Q

    = 4/3Q2 + Q + 5 + 4/Q

     Analisis : maka diperoleh persamaan biaya totalnya adalah TC =

    4/3Q3 + Q2 + 5Q + 4 dan biaya rata-ratanya yaitu AC = 4/3Q2 + Q + 5

    + 4/Q

    Biaya Total (TC) = f (Q) atau ∫ MC dQ

    Biaya Rata-rata (AC) = TC / Q

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    41/96

    MATEK 2 Hal. 41 Periode ATA 12/13

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN

    SOFTWARE EC-MATH 

    1. Masuk ke software EC MATH, kemudian pilih integral tak tentu

    2. Pilih fungsi biaya

    3. Karena diketahui banyaknya variable pada MC adalah 2, maka

    pilih yang 2 variabel. Kemudian masukan nilai konstanta pada

    kolom FC, dan masukan persamaan MC

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    42/96

    MATEK 2 Hal. 42 Periode ATA 12/13

    4. Kemudian pilih calculate, maka akan keluar hasil TC dan AC

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    43/96

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    44/96

    MATEK 2 Hal. 44 Periode ATA 12/13

    2. Pilih fungsi penerimaan

    3. Karena banyaknya variable pada MR adalah 1, maka pilih yang

    satu variable. Kemudian masukan persamaan MR pada kolom

    MR

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    45/96

    MATEK 2 Hal. 45 Periode ATA 12/13

    4. Kemudian pilih calculate, maka akan keluar hasil persamaan TR

    dan AR

    2.3 Fungsi Utilitas

    Utilitas total (U) = f(Q) atau ∫ MU dQ / Q

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    46/96

    MATEK 2 Hal. 46 Periode ATA 12/13

    Contoh soal :

    Jika diketahui seorang konsumen buah aren memiliki utilitas marginal

    MU = 442Q + 55Q4 + 24Q5. Tentukanlah persamaan utilitas total dari

    konsumen tersebut dan berapakah nilai utilitas total pada saat Q = 2

    dan c (konstanta) sebesar nol...

    Diketahui : MU = 442Q + 55Q4 + 24Q5 

    Q = 2

    c = 0

    Ditanya : U dan nilai U saat Q=2

    Jawab : U = ∫ MU dQ 

    = ∫ (442Q + 55Q

    4

    + 24Q

    5

    ) dQ= 221Q

    2 + 11Q

    5+ 4Q

    6+ c

    = 221Q2 + 11Q5 + 4Q6 + 0

    = 221Q2 + 11Q5 + 4Q6 

    Saat Q=2, maka

    U = 221(2)2 + 11(2)5 + 4(2)6

    = 221 (4) + 11 (32) + 4 (64)

    = 1492

     Analisa : Dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa

    fungsi utilitas total perusahaan tersebut adalah U = 221Q2  + 11Q5 +

    4Q6dan nilai utilitas total pada saat Q=2 adalah 1492

    2.4 Fungsi Produksi

    Contoh soal :

    Produk total (TP) = ∫ MP dP

    Rata-rata roduk AP = TP / Q

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    47/96

    MATEK 2 Hal. 47 Periode ATA 12/13

    Produk marginal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 3Q2 +

    18Q + 2. Carilah persamaan produk total dan produk rata-ratanya!

    Dik : MP = 3Q2 + 18Q + 2

    Dit : persamaan TP dan AP ?

    Jawab :

    TP = ∫ MP dP

    = ∫ 3Q2 + 18Q + 2 dP

    = Q3 + 9Q2 + 2Q + C

     AP = TP / Q

    = (Q3 + 9Q2 + 2Q) / Q

    = Q

    2

     + 9Q +2 Analisis : Jadi besarnya persamaan produksi total perusahaan

    tersebut adalah TP = Q3 + 9Q2 + 2Q dan persamaan produksi rata-

    ratanya adalah AP = Q2 + 9Q +2

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN

    SOFTWARE EC-MATH 

    1. Masuk ke software EC MATH, kemudian pilih integral tak tentu

    2. Pilih Fungsi produksi

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    48/96

    MATEK 2 Hal. 48 Periode ATA 12/13

    3. Karena pada MP banyaknya variable adalah 2, maka pilih yang

    2variabel. Masukan persamaan MP pada kolom MP

    4. Kemudian pilih calculate, maka akan muncul hasil persamaan TP

    dan AP

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    49/96

    MATEK 2 Hal. 49 Periode ATA 12/13

    2.5 Fungsi Konsumsi dan Tabungan

    Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan

    fungsional terhadap pendapatan nasional (Y)

    Karena Y = C + S, maka :

    Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masing-

    masing adalah integral dari marginal propensity consumption dan

    autonomous saving.

    MPC ≥ 0,5 

    C = f Y = a + bY

    S = - a + 1 – b Y

    C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k = a

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    50/96

    MATEK 2 Hal. 50 Periode ATA 12/13

    Karena sebagian besar pendapatan kita digunakan untuk

    mengkonsumsi dan sisanya untuk menabung.

    Contoh Soal

    1. Diketahui konsumsi otonomus adalah 54 miliar dan besarnya MPC

    sebesar 0,55. Maka bagaimanakah fungsi konsumsi, tabungan, dan

    pendapatan nasional nya? 

    Dik : c = 54

    MPC = 0,55

    Dit : C, S, dan Y?

    Jawab :

    C = ∫ MPC dY= ∫ 0,55 dY

    = 0,55Y + c = 0,55Y + 54

    S = Y – C

    = Y – (0,55Y + 54)

    = 0,45Y – 54

    Y = C + S

    = (0,55Y + 54) + (0,45Y - 54)

     Analisis : Dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa

    fungsi konsumsi adalah C = 0,55Y + 54 miliar, fungsi tabungan S =

    0,45Y  –  54 miliar, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y =

    (0,55Y + 54) + (0,45Y - 54)

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN

    SOFTWARE EC-MATH 

    1. Masuk ke software EC MATH, kemudian pilih integral tak tentu

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    51/96

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    52/96

    MATEK 2 Hal. 52 Periode ATA 12/13

    4. Kemudian pilih calculate, maka akan muncul hasil persamaan C,

    S, sedangkan untuk persamaan Y dapat anda temukan sendiri.

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    53/96

    MATEK 2 Hal. 53 Periode ATA 12/13

    2. Bagaimanakah fungsi konsumsi, tabungan dan pendapatan nasional

    sebuah negara jika diketahui autonomous saving-nya sebesar -42

    miliyar dan MPS = 0.2 !

    Dik : s = -42 miliyar

    MPS = 0.2

    MPC = 1 – MPS

    = 1 – 0.2 = 0.8

    Dit : C, S dan Y ?

    Jawab : S = ∫ MPS dY 

    = ∫ (0.2) dY 

    = 0.2Y + c= 0.2Y - 42 miliar

    C = Y – S

    = Y – (0.2Y – 42)

    = 0.8Y + 42

    = 0.8Y + 42 miliar

    Y = C + S

    = (0.8Y + 42) + (0.2Y - 42)

     Analisis : Dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi

    konsumsi adalah C = 0.8Y + 42 miliar, fungsi tabungan S = 0.2Y + 42

    miliar, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = (0.8Y - 42)

    (0.2Y + 42)

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN

    SOFTWARE EC-MATH 

    1. Masuk ke software EC MATH, kemudian pilih integral tak tentu

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    54/96

    MATEK 2 Hal. 54 Periode ATA 12/13

    2. Pilih Fungsi tabungan

    3. Isi besarnya konsumsi otonoum pada kotak k = a = -42, dan

    masukan besarnya MPC = 0,2

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    55/96

    MATEK 2 Hal. 55 Periode ATA 12/13

    4. Kemudian pilih calculate, maka akan muncul hasil persamaan C,

    S, sedangkan untuk persamaan Y dapat anda temukan sendiri.

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    56/96

    MATEK 2 Hal. 56 Periode ATA 12/13

    INTEGRAL TENTU 

    1. Konsep Dasar Integral Tentu

    Integral Tentu (definit) merupakan suatu konsep yang

    berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-

    batasan (limit) nya sudah ditentukan. 

    Rumus Integral tertentu : 

    Keterangan : 

    a = x = batas minimum 

    b = y = batas maksimum dimana a < b

    Contoh : 

    Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan nilai a = 2 dan

    nilai b = 5 pada persamaan  5x2 + 4x + 2 dx !

    Jawab :

     5x2 + 4x + 2 dx = 52 5/3 x3 + 2x2 + 2x  

    =  5/3 (5)3 + 2 (5)2 + 2 (5)  -  5/3 (2)3 + 2 (2)2 + 2 (2)  

    = 268,33 – 25,33

    = 243

    2. Penerapan Integral Tentu Dalam Ekonomi

    Integral Tentu (definit) banyak aplikasinya didalam bisnis dan ekonomi

    ; konsep surplus  konsumen dan surplus  produsen mewakili dua macam

    aplikasinya.

       f  x dx   F  x b

    a F b  F a  

    a

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    57/96

    MATEK 2 Hal. 57 Periode ATA 12/13

    a. Surplus Konsumen

    Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih yang dinikmati oleh

    konsumen tertentu dimana ia sebenarnya mampu membayar lebih

    tinggi dari harga pasar (Pe). Besarnya surplus konsumen (Cs)

    ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan (P=f(Q)) tetapi

    diatas tingkat harga pasar (Pe).

    Catatan : Untuk mencari besarnya suplus  konsumen yang

    digunakan adalah fungsi permintaan.

    Rumus Surplus Konsumen :

    Keterangan :

    Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar  

    Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar  

    ^P = Tingkat harga pada saat Q=0

    Contoh Soal :

    Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang pada perusahaan

    PT. Kece masing-masing ditunjukkan dengan fungsi sebagai

    berikut : Qd = 22  –  2P dan Qs = -5 + P. Jika Bapak Sukimin

    sebagai konsumen, hitunglah besarnya surplus  konsumen yang

    diperoleh dan analisislah !

    Jawab :

    - Cara 1

    Dik : Qd = 22 – 2P dan Qs = -5 + PDit : Cs?

    Jawab :

    Qd = Qs Pe = -9 => Qe = -5 + P

    22 - 2P = -5 + P Qe = -5 + 9 

    e ^P  

    Cs  =

    f (Q) dQ – Qe . Pe  =

    f (P)

    dP 

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    58/96

    MATEK 2 Hal. 58 Periode ATA 12/13

    3P = 27 Qe = 4

    Pe = 9

    Karena fungsi permintaan masih dalam bentuk fungsi (P) :

    Qd = 22  –  2P , untuk mengunakan rumus pertama kita ubah dulu

    menjadi fungsi (Q) => Pd = 11 – 0,5Q , sehingga :

    Pd = 11 – 0,5Q Jika Q = 0 => ˆP = 11 

    P = 0 => Q = 22

    Qe

    Cs = f (Q) dQ – Qe . Pe

    0

    = 40 11 – 0,5Q dQ – (4 . 9) 

    = [-0,25Q2 + 11Q]40 - 36 

    = [-0,25 (4)2 + 11 (4) ] – [-0,25 (0)2 + 11(0) ] - 36

    = 40 – 36 = 4

     Analisis : Jadi, Bapak Sukimin memperoleh surplus  sebesar Rp. 4

    karena bapak Sukimin dapat membeli barang dengan harga Rp. 9 ,

    Padahal sebenarnya ia sanggup membayar lebih tinggi dari harga

    keseimbangan pasar.

    LANGKAH –LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH :

    a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul

    tampilan seperti dibawah ini :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    59/96

    MATEK 2 Hal. 59 Periode ATA 12/13

    b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan

    soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    60/96

    MATEK 2 Hal. 60 Periode ATA 12/13

    c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 1 (fungsi (Q) ),

    pilihlah submateri Surplus Konsumen 1 dengan cara diklik,

    kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas

    ke dalam software seperti dibawah ini :

    * Keterangan :

    - Untuk menggunakan Surplus Konsumen 1, apabila pada soal yang

    diketahui adalah fungsi (P), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi

    (Q) terlebih dahulu.

    - Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya koefesien yang

    ada pada fungsi (Q).

    - Nilai Qe dan Pe dihitung secara manual jika pada soal

    belum diketahui.

    d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung

    untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti

    berikut :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    61/96

    MATEK 2 Hal. 61 Periode ATA 12/13

    - Cara 2

    Dik : Qd = 22 – 2P dan Qs = -5 + P

    Dit : Cs?

    Jawab :

    Qd = Qs Pe = -9 => Qe = -5 + P

    22 - 2P = -5 + P Qe = -5 + 9 

    3P = 27 Qe = 4

    Pe = 9

    Qd = 22 – 2P Jika Q = 0 => ^P = 11

    P = 0 => Q = 20

    ^P

    Cs = f (P) dPPe

    = 119[22 - 2P] dP

    = [22P –  P2]119 

    = [22 (11) – 1 (11)2] – [22 (9) – 1 (9)2]

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    62/96

    MATEK 2 Hal. 62 Periode ATA 12/13

    = 121 – 117 = 4

     Analisis : Jadi, Bapak Sukimin memperoleh surplus sebesar Rp. 4

    karena Bapak Sukimin dapat membeli barang dengan harga Rp. 9 ,

    Padahal sebenarnya ia sanggup membayar lebih tinggi dari harga

    keseimbangan pasar.

    LANGKAH  –  LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-

    MATH :

    a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan

    muncul tampilan seperti dibawah ini :

    b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan

    soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    63/96

    MATEK 2 Hal. 63 Periode ATA 12/13

    c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 2 (fungsi (P) ),

    pilihlah submateri Surplus Konsumen 2 dengan cara diklik,

    kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas

    ke dalam software seperti dibawah ini :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    64/96

    MATEK 2 Hal. 64 Periode ATA 12/13

    * Keterangan :

    - Untuk menggunakan Surplus Konsumen 2, apabila pada soal yang

    diketahui adalah fungsi (Q), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi

    (P) terlebih dahulu.

    - Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya koefesien yang

    ada pada fungsi (Q).

    - Nilai ^P  dan Pe dihitung secara manual jika pada soal

    belum diketahui.

    d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung

    untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya sepertiberikut :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    65/96

    MATEK 2 Hal. 65 Periode ATA 12/13

    Gambar kurva Cs :

    b. Surplus  Produsen

    Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih yang dinikmati

    oleh produsen tertentu dimana ia sebenarnya mampu mejual

    barang yang ditawarkan lebih rendah dari harga pasar (Pe).

    Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas

    kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar

    (Pe) rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas

    bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.

    Catatan : Untuk mencari besarnya suplus  konsumen yang

    digunakan adalah fungsi penawaran.

    Rumus Surplus Produsen :

    Qe Pe

    Ps  = Qe . Pe – 

    f (Q) dQ =

    f (P) dP 

    0 ^ P  

    P

    11

    0 Q4

    9

    22

    Surplus konsumen atau

    luas area berikut sebesar 4

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    66/96

    MATEK 2 Hal. 66 Periode ATA 12/13

    Keterangan :

    Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar  

    Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar  

    ^P  

    = Tingkat harga pada saat Q=0

    Contoh soal:

    Dalam sebuah Toko  AlayMart   diketahui fungsi penawaran alat

    kosmetik ditunjukkan oleh persamaan Ps = 25 + Q dan kuaantitas

    keseimbangan 5 pack.  Berapakah besarnya surplus yang diperoleh

    oleh Miss. Cihuy sebagai penjual kosmetik serta Analisilah !

    Jawab :

    - Cara 1Dik : P = 25 + Q

     , Qe = 5

    Dit : Ps?

    Jawab : 

    Qe = 5 => P = 25 + Q

    = 25 + 5

    Pe = 30

    P = 25 + Q  Jika Q = 0 => ˆP = 25 

    P = 0 => Q = - 25

    Qe

    Ps = Qe . Pe - f (Q) dQ0

    = (5 . 30) -

    5

    0 25 + Q dQ= 150 - 0,5Q2 + 25Q50 

    = 150 - [0,5 (5)2 + 25 (5)] – [0,5 (0)2 + 25 (0)]

    = 150 – (12,5 + 125)

    = 12,5  13

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    67/96

    MATEK 2 Hal. 67 Periode ATA 12/13

     Analisis : Jadi, Miss.  Cihuy memperoleh surplus  sebesar Rp. 13

    karena Miss. Cihuy dapat menjual barang dengan harga Rp. 30.

    Padahal sebenarnya ia sanggup menjual dengan harga yang lebih

    rendah dari harga keseimbangan pasar.

    LANGKAH  –  LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-

    MATH :

    a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul

    tampilan seperti dibawah ini :

    b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan

    soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    68/96

    MATEK 2 Hal. 68 Periode ATA 12/13

    c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 1 (fungsi (Q) ),

    pilihlah submateri Surplus Produsen 1 dengan cara diklik,

    kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas

    ke dalam software seperti dibawah ini :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    69/96

    MATEK 2 Hal. 69 Periode ATA 12/13

    * Keterangan :

    - Untuk menggunakan Surplus Produsen 1, apabila pada soal yang

    diketahui adalah fungsi (P), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi

    (Q) terlebih dahulu.

    - Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya koefesien yang

    ada pada fungsi (Q).

    - Nilai Qe dan Pe dihitung secara manual jika pada soal

    belum diketahui.

    d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung

    untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti

    berikut :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    70/96

    MATEK 2 Hal. 70 Periode ATA 12/13

    - Cara 2

    Dik : P = 25 + Q , Pe = 5

    Dit : Ps?

    Jawab : 

    Qe = 5 => P = 25 + Q

    = 25 + 5

    Pe = 30

    Karena fungsi penawaran masih dalam bentuk fungsi (Q) :

    P = 25 + Q , untuk mengunakan rumus kedua kita ubah dulu

    menjadi fungsi (P) => Qs = P – 25 , sehingga :

    Qs = P – 25 Jika Q = 0 => ˆP = 25 

    P = 0 => Q = -25

    Pe

    Ps = f (P) dP^P

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    71/96

    MATEK 2 Hal. 71 Periode ATA 12/13

    = 30 25[P - 25] dP

    = [-25P + 0,52]3025 

    = [-25 (30) – 0,5 (30)2] – [-25 (25) – 0,5 (25)2]

    = -300 – (-312,5)

    = 12,5  13

     Analisis : Jadi, Miss.  Cihuy memperoleh surplus  sebesar Rp. 13

    karena Miss. Cihuy dapat menjual barang dengan harga Rp. 30.

    Padahal sebenarnya ia sanggup menjual dengan harga yang lebih

    rendah dari harga keseimbangan pasar.

    LANGKAH  –  LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH :

    a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul

    tampilan seperti dibawah ini :

    b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan

    soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    72/96

    MATEK 2 Hal. 72 Periode ATA 12/13

    c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 2 (fungsi (P) ),

    pilihlah submateri Surplus Produsen 2 dengan cara diklik,

    kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas

    ke dalam software seperti dibawah ini :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    73/96

    MATEK 2 Hal. 73 Periode ATA 12/13

    * Keterangan :

    - Untuk menggunakan Surplus Produsen 2, apabila pada soal yang

    diketahui adalah fungsi (Q), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi

    (P) terlebih dahulu.

    - Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya koefesien yang

    ada pada fungsi (Q).

    - Nilai ^P  dan Pe dihitung secara manual jika pada soal

    belum diketahui.

    d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung

    untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti

    berikut :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    74/96

    MATEK 2 Hal. 74 Periode ATA 12/13

    Gambar kurva Ps :

    25

    5

    30

    - 25

    P

    Q

    0

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    75/96

    MATEK 2 Hal. 75 Periode ATA 12/13

    c. Surplus  Konsumen dan Surplus  Produsen Dalam Grafik

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    76/96

    MATEK 2 Hal. 76 Periode ATA 12/13

    FUNGSI TRANSEDENTAL 1

    1. KONSEP TRANSEDENTAL

    Konsep transedental merupakan hubungan matematis yang menyatakan

    hubungan ketergantungan. Konsep ini berguna untuk menentukan tingkat

    pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang termasuk ke dalam

    fungsi transedental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi

    trigonometric, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Namun,

    pokok pembahasan dalam modul ini hanya pada fungsi eksponensial dan

    fungsi logaritmik.

    1.1. FUNGSI EKSPONENSIAL

    Fungsi eksonensial adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat

    variabel bebas.

      Bentuk fungsi eksponensial yang paling sederhana adalah :

    dimana : n > 0

      Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah :

    dimana : n ≠ 0 

    e = 2,71828

    k, c adalah konstanta

    Contoh soal :

    Tentukanlah titik potong kurva eksponensial y = e0,45x - 2 pada masing-

    masing sumbu dan hitunglah f(2)!

    Jawab :

      Pada sumbu x ; y = 0

    e0,45x – 2 = 0

    y = nx 

    y = ne x + c

    Ln e = 1

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    77/96

    MATEK 2 Hal. 77 Periode ATA 12/13

    e0,45x = 2

    Ln e0,45x = Ln 2

    0,45x Ln e = Ln 2

    0,45x = 0,693

    x = 1,54

    Titik potongnya (1,54 ; 0)

      Pada sumbu y ; x = 0

    y = e0,45(0) – 2

    y = e0 – 2

    y = 1 – 2

    y = -1Titik potongnya (0 , -1)

      Untuk x = 2

    y = e0,45(2) – 2

    y = e0,9 – 2

    y = 2,46 – 2

    y = 0,46

    Ttitik potongnya (2 ; 0,46)

    1.2. FUNGSI LOGARITMIK

    Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial,

    Dengan kata lain, fungsi logaritmik merupakan fungsi yang variabel

    bebasnya merupakan bilangan logaritma.

      Bentuk funngsi logaritmik yang paling sederhana :

    dimana : n > 0

    n ≠ 1 

      Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum :

    dimana : x > -1

    y =

    n

    logx

    y = a ln(1+x) + b

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    78/96

    MATEK 2 Hal. 78 Periode ATA 12/13

    Contoh Soal :

    Tentukanlah titik potong kurva logaritmik y = -0,2 Ln(1 + x) + 0,4 pada

    masing-masing sumbu dan hitunglah f(2)!

    Jawab :

      Pada sumbu x ; y = 0

    -0,2 Ln(1 + x) + 0,4 = 0

    -0,2 Ln(1 + x) = -0,4

    Ln(1 + x) = 2

    1 + x = e2

    1 + x = 7,389

    x = 6,389Titik potongnya (6,389 ; 0)

      Pada sumbu y ; x = 0

    y = -0,2 Ln(1 + 0) + 0,4

    y = -0,2 Ln 1 + 0,4

    y = -0,2 (0) + 0,4

    y = 0,4

    Titik potongnya (0 ; 0,4)

      Untuk x = 2

    y = -0,2 Ln(1 + 2) + 0,4

    y = -0,2 Ln 3 + 0,4

    y = -0,2 (1,099) + 0,4

    y = -0,22 + 0,4

    y = 0,18

    Titik potongnya (2 ; 0,18)

    2. PENERAPAN EKONOMI

    Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan

    fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    79/96

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    80/96

    MATEK 2 Hal. 80 Periode ATA 12/13

    Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu

    tahun (m  sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus

    atau sering), maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :

    dimana : e = 2,71828

    Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous

    compound interest ). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam-

    meminjam seringkali dipraktekkan oleh para “pelepas uang” atau

    “rentenir” atau “lintah darat” yang kadang-kadang menetapkan atau

    memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian

    (m = 360 

    ). Oleh karena itu, model ini dapat pula disebut “model lintahdarat” 

    Contoh soal :

    Pak Hasan menabung di Bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan bunga 5%

    per tahun. Berapakah besarnya nilai uang pak Hasan setelah 4 tahun,

     jika bunga diperhitungkan :

    a. setiap semester

    b. setiap per jam

    Jawaban :

    Dik : P = 5.000.000

    i = 5% = 0,05

    m = 2 (semester)

    n = 4

    Dit : F4 semester dan per jam

    Jawab :

    a. setiap semester

    Tanpa menggunakan logaritma

    F4 = 5.000.000 (1 + (0,05/2))2*4 

    F4 = 5.000.000 (1,025)8 

    F4 = 5.000.000 (1,2184)

    Fn ≈ P.e .n

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    81/96

    MATEK 2 Hal. 81 Periode ATA 12/13

    F4 = 6.092.000

    Dengan menggunakan logaritma

    F5 = 5.000.000 (1,025)8 

    F5 = 5.000.000 (1,218)

    Log F4 = log 5.000.000 + log 1,2184

    Log F4 = 6,699 + 0,0857

    Log F4 = 6,7847

    F4 = 6.091.159

     Analisis :

    Jadi, besarnya nilai uang pak Hasan setelah 4 tahun, jika bunga

    diperhitungkan setiap semester adalah Rp. 6.092.000

    b. Bunga dibayar setiap jam

    Tanpa menggunakan logaritma

    F4 = P . ei.n 

    F4 = 5.000.000 x (2,71828)0,05*4 

    F4 = 5.000.000 x (2,71828)0,2

    F4 = 5.000.000 x 1,2214

    F4 = 6.107.000

    Dengan menggunakan logaritma natural

    F5 = 5.000.000 x (2,71828)0,2

    F5 = 5.000.000 x 1,2214

    Ln F4 = ln 5.000.000 + ln 1,2214

    Ln F4 = 15,425 + 0,1999

    Ln F4 = 15,6249 ≈ 15,625 

    F4 = 6.107.328,491

     Analisis :

    Jadi, besarnya nilai uang pak Hasan setelah 4 tahun, jika bunga

    diperhitungkan setiap semester adalah Rp. 6.092.000, dan jika bunga

    diperhitungkan setiap jam adalah Rp 6.107.000

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    82/96

    MATEK 2 Hal. 82 Periode ATA 12/13

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN

    SOFTWARE EC-MATH

    1. Buka software EC-Math , lalu klik Transedental  

    2. Klik lagi Transedental, lalu pilih Model Bung a Majemuk  

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    83/96

    MATEK 2 Hal. 83 Periode ATA 12/13

    3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hasil maka akan

    muncul jawaban dari data yang diketahui.

    Catatan :

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    84/96

    MATEK 2 Hal. 84 Periode ATA 12/13

    Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-

    Math mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual

    menggunakan 3 angka dibelakang koma, sedangkan pada software

    EC-Math tidak.

    2.2 Model Pertumbuhan

    Model pertumbuhan tak lain juga merupakan bentuk fungsi

    eksponensial. Model ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel

    kependudukan, tetapi juga dapat diterapkan untuk menaksir variabel-

    variabel lain yang berkenaan dengan pertumbuhannya.

    dimana :

    Pt  = Jumlah penduduk pada tahun ke - t

    t = Jumlah tahun

    P1  = Jumlah pada tahun pertama (basis)

    r = Persentase pertumbuhan per tahun

     Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala

    macam variabel sehingga jalan pikiran kita tidak semata-mata terpaku

    pada persoalan kependudukan, maka perlu sedikit perubahan notasi

    menjadi :

    dimana :

    N = Variabel yang sedang diamati

    r = persentase pertumbuhan per satuan waktu

    t = indeks tahun

    Pt = P1 . Rt-1  R = 1 + r

    Nt = N1 . Rt-1  R = 1 + r

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    85/96

    MATEK 2 Hal. 85 Periode ATA 12/13

    Contoh soal :

    Produk Domestik Bruto Indonesia pada tahun 1985 menurut harga

    konstan tahun 1971 tercatat sebesar Rp. 20.504 milyar. Jika dalam

    periode 1985  –  1989 perekonomian bertumbuh dengan rata-rata 4%

    per tahun, berapa PDB Indonesia pada tahun 1989?

    Dik : N1 = 20.504

    t = 5

    r = 4% = 0,04

    R = 1 + 0,04 = 1,04

    Dit : N5 = … ? 

    Jawab :Tanpa menggunakan logarima

    Nt = N1 x R(t-1)

    N5 = 20.504 x 1,04(5-1)

    N5 = 20.504 x 1,17

    N5 = 23.989

    Dengan menggunakan logaritma

    N5 = 20.504 x 1,04(5-1)

    N5 = 20.504 x 1,17

    Log N5 = log 20.504 + log 1.17

    Log N5 = 4,312 + 0,068

    Log N5 = 4,38

    N5 = 23.988,33

     Analisis :

    Jadi, PDB Indonesia pada tahun 1989 adalah Rp, 23.989 milyar.

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN

    SOFTWARE EC-MATH

    1. Buka software EC-Math , lalu klik Transedental  

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    86/96

    MATEK 2 Hal. 86 Periode ATA 12/13

    2. Klik lagi Transedental, lalu pilih Model Pertumb uhan Majemuk  

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    87/96

    MATEK 2 Hal. 87 Periode ATA 12/13

    3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hasil maka akan

    muncul jawaban dari data yang diketahui.

    Catatan :

    Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-

    Math mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manualmenggunakan 3 angka dibelakang koma, sedangkan pada software

    EC-Math tidak.

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    88/96

    MATEK 2 Hal. 88 Periode ATA 12/13

    Fungsi Transedental 2

    1. Kurva Gompertz

    Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat

    secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu

    peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus

    berjalan.

    di mana :

    N = Jumlah variabel yang diamati.

    c = Batas jenuh pertumbuhan.

    a = Proporsi pertumbuhan awal.

    r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    89/96

    MATEK 2 Hal. 89 Periode ATA 12/13

    Jawab :

    N = c a^(r^t)

    N = 5400 . 0,44^(0,4^4)

    N = 5400 . 0,44^0,0256

    Log N = log 5400 + 0,0256 log 0,44

    Log N = 3.73239376 + 0,0256 .(-0.356547323)

    Log N = 3,723266149

    N = 5288

     Analisis : Dengan produksi awal sebanyak 2.400 bungkus dan rata-rata

    pertumbuhan 40% didapatkan jumlah permen karet tahun ke-4 sebanyak

    5.288 bungkus. 

    Jumlah produksi tahun ke-4 masih dibawah produksimaksimum perusahaan yaitu 5.400 bungkus..

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-

    MATH

    1. Buka software EC MATH, lalu klik mater i transendental , kl ik

    transendental

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    90/96

    MATEK 2 Hal. 90 Periode ATA 12/13

    2. Lalu pilih icon model kurva gomp ertz

    3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan

    muncul jawaban dibawah data diketahui.

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    91/96

    MATEK 2 Hal. 91 Periode ATA 12/13

    Catatan

    Hasil pada cara manual dibandingkan dengan software mengalami

    perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan angka

    di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan

    pembulatan.

    2. Kurva Belajar ( Learning Curve)

    Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk

    menggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan

    variabel waktu.

      Bentuk dasar :

    ket : k, m, s > 0

    Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat

    tercapai

    .

      Prilaku Produksi :

    di mana :

    P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu.

    Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu.

    Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi

    (pada t = 0).

    t = Indeks waktu.

    r = Tingkat pertumbuhan produksi.

      Prilaku Biaya :

    y = m - se - kv 

    P = Pm – Ps. e  – r.  

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    92/96

    MATEK 2 Hal. 92 Periode ATA 12/13

    di mana :

    C = Biaya total persatuan waktu.

    Cm =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan)

    persatuan waktu.

    Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0).

    t = Indeks waktu.

    r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu.

    Contoh Soal :

    Sebuah mesin pencetak batu bata dapat memproduksi maksimal 200 unit

    batu bata. Pada awalnya mesin tersebut hanya mampu beroperasi 54% dari

    kapasitas yang ditentukan. Joko yang mempunyai mesin tersebut yakin

    bahwa produksi dapat ditingkatkan 4% setiap bulannya. Tentukanlah :

    a. Bentuklah persamaan perilaku produksi bulanan mesin cetak tersebut !

    b. Berapa kaleng batu bata yang dihasilkan pada produksi perdananya ?

    c. Berapa produksi batu bata per bulan setelah mesin tersebut dioperasikan

    selama 5 bulan ?

    d. Analisislah !

    Dik : Pm = 200 r = 0,04

    Ps = 46 % (200) = 92 t = 5

    Dit :

    a. Persamaan P ?

    b. Produksi Perdana ?

    c. P12 ?

    d. Analisis !

    Jawab :

    C = Cm – Cs . e  – r.t 

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    93/96

    MATEK 2 Hal. 93 Periode ATA 12/13

    a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan.

    P = Pm - Ps . e - r . t 

    P = 200 – 92 . e  – 0,04. t 

    b. Jumlah perdana cetakan / produksi.

    54 % x 200 = 108

    c. Jumlah produksi batu bata yang dapat dioptimalkan

    P = 200 – 92 . e  – 0,04. t 

    = 200 – 92 . e  – 0,04. 5 

    = 200 – 92 . ( 0,8187 )

    = 200 – 75,3204

    = 124,68d. Analisis : Jadi hasil produksi batu bata yang dioptimalkan setelah 5 bulan

    adalah sebanyak 125 unit batu bata dari awal produksi sebanyak 108 unit.

    Hal ini berarti ada peningkatan dalam optimalisasi produksi selama 5 bulan

    sebanyak 17 unit.

    LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-

    MATH

    1. Buka materi software EC MATH, lalu klik mater i transendental , kl ik

    transendental .

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    94/96

    MATEK 2 Hal. 94 Periode ATA 12/13

    2. Lalu pilih icon model kurva belajar (learning curve)

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    95/96

    MATEK 2 Hal. 95 Periode ATA 12/13

    3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan

    muncul jawaban dibawah data diketahui.

    Catatan

    Hasil pada cara manual dibandingkan dengan software mengalami

    perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan angka

    di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan

    pembulatan.

  • 8/20/2019 Modul Matek 2

    96/96

    DAFTAR PUSTAKA 

    Dumairy (1995). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, edisi kedua.

    Penerbit : BPFE Yogyakarta

    Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi , 2002.

     Alpha C.Chiang , Kevin Wainwraight .Dasar-dasar Matematika Ekonomi

    .Jilid 1

    Bambang Kustituanto, 1994 , “Matematika Ekonomi” , Yogyakarta ;Gunadarma

    Hedwigis Esti Riyanti, “Matematika Ekonomi Bisnis” , Grasindo 

    Kalangi, Joseph Bintang. 2006. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta :

    Salemba Empat.

    Johannes dan Budiono Sri Handoko. 1986. Pengantar Matematika untuk

    Ekonomi. Jakarta : LP3ES

    Modul Matematika Ekonomi 2 , Lab. Manajemen Dasar Periode ATA

    2011/2012.