Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA MODUL DERIVATIF A. KONSEP DASAR TURUNAN Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : .x . 0. y Jika y = f ( x ), maka .y = f ( xo + .x ) - f ( xo ) .x .x .y / .x merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan : y. = f. (x) = lim.y/.x = lim f (x + .x) f (x) .x . 0 .x . 0 .x Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi : 1. Diferensiasi fungsi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y. = 0 Contoh : y = 5 maka y = 0 2. Diferensiasi fungsi linier Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y. = b Contoh : y = 29 + 15x maka y = 15 3. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = axn , dimana a adalah konstanta, maka y. = n.a xn 1 Contoh : y = 8x7 maka y = 8.7x7-1 =54x6 4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi Jika y = u . v , dimana u = g (x) dan v = n (x), maka y. = u. . v. Contoh : y = 8x3 8x2 u = 8x3 . u = 8.3x3-1 = 24x2 v = 8x2 . v = -8.2x2-1 = -16x1 karena y. = u. . v. maka y = 24x2 16x 5. Diferensiasi perkalian a. Perkalian fungsi dan konstanta Jika y = k.u , dimana u = g (x), maka y. = k.u. Contoh : y = 8.7x2 u = 7x2 . u = 7.2x1 = 14x karena y. = k.u. maka y = 8.14x = 112x b. Perkalian fungsi Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y. = u..v + u.v.

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Contoh : y = ( 2x6 2 )( 3x3 7 ) u = ( 2x6 2 ) . u = 2.6x6-1 = 12x5 v = ( 3x3 7 ) . u = 3.3x3-1 = 9x2 karena y. = u..v + u.v. maka y = (12x5)(3x3 7) + (2x6 2)(9x2) = 36x8 84x5 + 18x8 18x2 y = 54x8 84x5 18x2 6. Diferensiasi hasil bagi fungsi Jika y =u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y. = u..v u.v. v v2 Contoh : y = (9x2 5) maka y = (18x)(4x3 6) (9x2 5)(12x3) (4x3 6) (4x3 6)2 y = 72x4 108x 108x5 + 60x3 (4x3 6)2 y = -108x5 72x4 60x3 -108x (16x6 48x3 + 36) 7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai ) Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka dy = dy . du dx du . dx contoh : y = ( 6x2 + 4 )2 misalkan : u = 6x2 +4 , sehingga y = u2 du / dx = 12x dy / du = 2u maka dy = dy . du = 2u . 12x = 2 (6x2 + 4) (12x) = 144x3 + 96x dx du dx contoh: y = v3x2 + 4x 5 y = (3x2 + 4x - 5)1/2 misalkan : u = 3x2 + 4x -5 , sehingga y = u1/2 du/dx = 6x + 4 dy/du = u-1/2 maka dy = dy . du dx du dx = u-1/2 . (6x + 4) = (3x2 + 4x -5) -1/2 . (6x + 4) = 1 . 1_____ . (6x + 4) 2 v3x2 + 4x 5 = 6x + 4__ 2v3x2 + 4x 5 8. Derivatif tingkat tinggi Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali. Derivatif ke-n dilambangkan : dny atau fn (x) atau dn (y) dxn dx Contoh : y = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 +x maka y atau dy / dx = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1 y atau d2y/d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ..dst

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA 9. Diferensiasi implisif Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx . Contoh : xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka : 1.y2 + x.2y dy/dx 2x + dy / dx = 0 ( 2xy + 1 ) dy/dx = - y2 + 2x dy/dx = - y2 + 2x 2xy + 1 10. Derivatif fungsi logaritmik . y = ln x . dy/dx = 1/x y = ln u , dimana u = g (x) dy = du . 1 = u. dx dx u u . y = alog x . dy/dx = 1/ aln a Contoh : jika y = ln ( 3 3x2 ) maka tentukan dy / dx u = 3 3x2 du / dx = u = -6x dy = u = -6x__ dx u 3 3x2 11. Derivatif fungsi eksponensial . y = ex . dy/dx = ex . y = ax . dy/dx = ax ln a 12. Derivatif fungsi trigonometrik Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah : . y = sin x . dy/dx = cos x . y = cos x . dy/dx = - sin x . y = tg x . dy/dx = sec2 x . y = ctg x . dy/dx = - cosec2 x . y = sec x . dy/dx = sec x . tg x . y = cosec x . dy/dx = - cosec x . ctg x . Catatan : sec x = 1 / cos x cos x = 1 / sin x B. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA 1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal Langkah langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah : 1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo ) 2. Cari koefisien arah m = f (x) 3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x xo) 4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = -1 ( x xo ) m . Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA 2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f. (x) > 0 2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f. (x) < 0 3. Nilai stasioner Jika diketahui y = f (x) , maka pada f. (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner Jenis jenis Titik Stasioner adalah : . Jika f . (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum . Jika f . (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum . Jika f . (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok Contoh : Diketahui TR = 100Q - 5Q2 , tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tsb ! Jawab : Karena Tr = 0 Maka TR = 100 10Q = 0 10Q = 100 jadi Q = 10 TR.. = -10 (TR.. < 0, merupakan titik balik maksimum) Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q2 = 100(10) - (10)2 = 900 C. APLIKASI DERIVATIF DALAM BISNIS DAN EKONOMI 1. ELASTISITAS a. Elastisitas Harga Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu : 1. Elastisitas Titik ( Point Elasticity ) . = .Q/Q = .Q . P .P/P .P Q 2. Elastisitas Busur ( Arc Elasticity ) Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva. Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda. . = P1 . .Q Q1 .P . = P2 . .Q Q2 .P . = P1 + P2 . .Q Q1 + Q2 .P Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung : a. Elastisitas harga Permintaan, .d < 0 (negatif) b. Elastisitas harga Penawaran, .s > 0 (positif)

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan : . ... > 1 . Elastis . ... < 1 atau 0 , menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi. MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik. Contoh : Dimana C = . MPC dY = 0.7 dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut C = . MPC dY = .0.7 dY + c = 0.7Y + 50 S = Y ( 0.7 Y + 50 ) = Y 50 0.7Y S = 0.3 Y 50 Atau S = Y C S = . MPS dY = . 0.3 dY c = 0.3Y 50 Y = C + S Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y 50 ) Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adala h C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y 50 ). C = . MPC dY = F(Y) + c S = . MPS dY = G(Y) + c 1 > MPC >

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi konsumsi seperti gambar dibawah ini

Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Di Output Fungsi konsumsi akan terlihat fungsi konsumsi dan fungsi tabungan, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini. Contoh : Dimana S = . MPS dY = 0.3 dY c, bila pendapatan = 0 dan tabungan autonomosnya adalah 50, maka fungsi tabungan, konsumsi dan Pendapatan Nasionalnya adalah Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut S = . MPS dY = .0.3 dY = 0.3Y 50 Mencari fungsi konsumsi C= Y S = Y (0.3Y 50) = Y 0.3Y + 50 = 0.7Y + 50 Jadi pendapatan nasional adalah Y = C + S Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y 50 )

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adala h C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y 50 ). Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi tabungan seperti gambar dibawah ini Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Di Output Fungsi Tabungan akan terlihat fungsi konsumsi, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini. tabungan dan fungsi MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA MODUL INTEGRAL TERTENTU KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU Integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan. Rumus Integral tertentu : Keterangan : a = x = batas minimum b = x = batas maksimum dimana a < b Contoh : Hitunglah luas daerah persamaan 2x + 5 dibatasi oleh a=2 dan b=5 ! Jawab PENERAPAN INTEGRAL TERTENTU DALAM EKONOMI 1. Surplus Konsumen Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan ( P=f ( Q ) ) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe). Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar .P = Tingkat harga pada saat Q=0 . . . . . . .. . . .. . . b a b a f x dx F x F b F a . . . . . . . Qe P Pe Cs f Q dQ Qe Pe f P dP 0 ( ) ( ) 36 [5 5(5)] [2 5(2)] 2 5 [ 5 ] 2 2 5 2 2 . . . . . . x . dx . x . x

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Contoh : 1. Jika fungsi permintaan suatu barang Pd = 38 Q dan fungsi penawaran Ps = 10Q + 5, berapakah surplus Mr. Edward sebagai konsumen cabe rawit ? analisis dan grafik ! Dik : Pd = 38 Q , Ps = 10Q + 5 Dit : Cs ? Jawab : Pd = Ps Qe = 3 Pe = 38 - Q 38 - Q = 10Q + 5 Pe = 38 - 3 11Q=33 Pe = 35 Qe = 3 Pd = 38 Q Qd = 38 P Q = 0 .P = 38 P = 0 Q = 38 Cara 1 : Cs = = = = 2] 2] 105 = 109,5 0 105 = 4,5 Cara 2: Cs = = = = = 722 717,5 = 4,5 Analisis : Mr. Edward memperoleh surplus sebesar Rp 4,5 karena Mr.Edward dapat membelicabe rawit dengan harga Rp 35,-. Padahal Mr.Edward sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Cara pengerjaan di software matek 2 dengan rumus 1 surplus konsumen . Pilih materi integral tentu => aplikasi => surplus konsumen (rumus 1) Gambar 3.3 Aplikasi Materi Intergral Tertentu . Input Data Sesuai Soal : Gambar 3.4 Output Integral Tertentu

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Contoh : 2. Hitunglah surplus konsumen yang didapatkan Tn.Putra disaat fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 550 5P dan tingkat harga keseimbangan pasarnya Rp 100,-! analisis dan grafik ! Dik : Q= 550 5P, Pe= 10 Dit : Cs ? Analisis : Tn.Putra memperoleh surplus sebesar Rp 250,-karena konsumen dapat Membeli barang tersebut dengan harga Rp 100,-, padahal Tn.Putra sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar. MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA 2. Surplus Produsen Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen Tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe), rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas. Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar = Tingkat harga pada saat Q=0 Contoh : 1. Bila diketahui fungsi penawaran Ps = 4Q + 1 dan fungsi permintaan Pd = 16 - Q . Carilah surplus PT.Harapan Jaya sebagai produsen dengan dua cara, analisislah dan gambarkan grafik ! Cara 1 : = 1 . .. . . . . Qe Pe P Ps Qe Pe f Q dQ f P dP 0 ( ) ( )

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Cara pengerjaan di software matek 2 dengan rumus 1 surplus produsen. . Pilih materi integral tentu => aplikasi => surplus produsen (rumus 1) . Input data sesuai soal,seperti tampilan pada software :

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Cara 2 : Analisa : PT.Harapan Jaya sebagai produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp.18,dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 13,- padahal sebenarnya ia dapat menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan Contoh : 2. Bila diketahui fungsi penawaran P = 6Q + 3 dan tingkat kuantitas keseimbangan pasar adalah 8. Carilah surplus PT.The Reds sebagai produsen ! analisislah dan gambark an grafik ! Dik : Dit : Jawab : Analisa : PT.The Reds sebagai produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp192,dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 51,padahal sebenarnya ia dapat menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar.

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL . Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan. . Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. . Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logarit mik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. . Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. A. Fungsi Eksponensial Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas. . Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah : di mana n > 0 . Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah : di mana n . 0 e = 2,71828 k , c merupakan konstanta Contoh Soal : Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e 0.5x - 1 , pada masing-masing sumbu dan hitunglah f (2) ! Jawab : . Pada sumbu x ; y = 0 e 0,5x = 1 Ln e 0,5x = Ln 1 0,5x Ln e = Ln 1 Ln e = 1 0,5x = 0 Ln 1 = 0 x = 0 Titik potongnya ( 0 ; 0 ) . Pada sumbu y ; x = 0 y = e 0,5x - 1 y = e 0,5 (0) - 1 y = e 0 - 1 y = 1 - 1 y = 0 Titik potongnya ( 0 ; 0 ) . Untuk x = 2 y = e 0,5x - 1 y = e 0,5 (2) - 1 1 y = e 1 y = 2,72 1 y = 1,72 Titik potongnya ( 2 ; 1,72 ) y = nx y = ne kx + c

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA B. Fungsi Logaritmik Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. . Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah : di mana n > 0 n . 1 . Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah : di mana x > -1 Contoh soal : Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) 1, pada masingmasing sumbu dan hitunglah f (3) ! Jawab : . Pada sumbu x ; y = 0 -0,5 Ln (1 + x) = 1 Ln (1 + x) = -2 1 + x = e 2 1 + x = 0,14 x = - 0,86 Titik potongnya (-0,86 ; 0 ) . Pada sumbu y ; x = 0 y = -0,5 Ln (1 + x) 1 y = -0,5 Ln (1 + 0) 1 y = -0,5 Ln 1 1 y = -0,5 .0 1 y = 1 Titik potongnya ( 0 ; -1 ) . Untuk x = 3 y = -0,5 Ln (1 + x) 1 y = -0,5 Ln (1 + 3) 1 y = -0,5 Ln 4 1 y = -0,69 1 y = -1,69 Titik potongnya ( 3 ; -1,69 ) y = n log x y = a ln (1 + x) + b Grafik 1 Kurva Eksponensial pada y = e 0.5x - 1

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Grafik 2 Kurva Logaritmik pada y = - 0,5 Ln (1 + x) = 1 C. Penerapan Ekonomi Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain : 1. Model Bunga Majemuk Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial. atau di mana : Fn = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun. P = Jumlah sekarang (tahun ke-0). i = Tingkat bunga pertahun. m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun. n = Jumlah tahun Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan atas model ini. Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan cara : di mana e = 2,71828 Contoh Soal : Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal yang dibutuhkan sekitar Rp 10.000.000,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank Konvensional dengan bunga pinjaman 10 % pertahun dan diperhitungkan secara bulanan (1 tahun = 12 bulan) untuk jangka waktu 5 tahun. Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat pinjamannya jatuh tempo ! Fn = P(1 + i)n Pei.n Fn Fn = P(1 + ) m.n m i

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Jawab: A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa 1). Tanpa Menggunakan Logaritma F5 = 10.000.000 (1 + 0.10/12 ) 12.5 F5 = 10.000.000 (1,008) 60 F5 = 10.000.000 (1,613) F5 = 16.130.000,2). Dengan Menggunakan Logaritma F5 = 10.000.000 (1,008) 60 Log F5 = log 10.000.000 + 60 log 1,613 Log F5 = 7 + 0,208 Log F5 = 7,208 F5 = 16.130.000,B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung 1). Tanpa Menggunakan Logaritma F5 10.000.000. e 0,10 . 5 F5 10.000.000 (e 0.5) 10.000.000 (1,65) 16.500.000,2). Dengan Menggunakan Logaritma F5 10.000.000 (e 0,50) Ln F5 Ln 10.000.000 + 0,5 Ln e Ln e = 1 Ln F5 16,12 + 0,5 Ln F5 16,52 16.500.000,Analisis : Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh tempo adalah sebesar Rp 16.130.000,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam jangka waktu 5 tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp 6.130.000,-. Fn = P(1 + ) m.n m i Fn Pe i.n

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Langkah-langkah menggunakan software : 1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi. 2. Pilih model bunga majemuk pada Fungsi Transdental. 3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui. MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA Catatan : Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma. 2. Model Pertumbuhan Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Model semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi dapat juga diterapkan untuk menaksir variabel variabel lain, berkenaan dengan pertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut : di mana : Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t. t = Jumlah tahun. P1 = Jumlah penduduk sekarang. r = Tingkat pertumbuhan Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variable dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi : di mana : N = Variabel yang diamati. r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu. t = Indeks waktu. Contoh Soal : Mulia Sejahtera Networking (MS Net) merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang MLM (Multilevel Marketing) di Indonesia, mulai beroperasi tahun 2003. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing / sales sebanyak 100 orang untuk seluruh Indonesia. Dan diperkirakan pertumbuhan Personal Marketingnya sebesar 15 % pertahun. Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing dalam jaringan MS Net pada tahun 2010 ? dan analisislah ! Jawab : . Diketahui : N = 100 orang t = 8 tahun R = 1 + 0,15 r = 0,15 . Ditanya : N8 = .. ? . Jawab : Nt = N1.R t-1 N8 = 100 (1,15) 8 -1 N8 = 100 (2,66) N8 = 266 orang Analisis : Dalam kurun waktu 8 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personil Marketing (sales) akan meningkat menjadi 266 orang, dengan peningkatan sebesar 166 orang. Peningkatan ini tergolong kecil atau belum optimal peningkatannya. Pt = P1. R t-1 R = 1 + r Nt = N1.R t-1 R = 1 + r

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Langkah-langkah menggunakan software : 1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi. 2. Pilih model pertumbuhan majemuk pada Fungsi Transdental. 3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui. MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Catatan : Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma. 3. Kurva Gompertz Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya san gat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan. N = c a r t di mana : N = Jumlah variabel yang diamati. c = Batas jenuh pertumbuhan. a = Proporsi pertumbuhan awal. r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r 0 Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai. . Prilaku Produksi : di mana : P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu. Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu. Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Tingkat pertumbuhan produksi. . Perilaku Biaya : di mana : C = Biaya total persatuan waktu. Cm =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) persatuan waktu. Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu. Contoh Soal : Percetakan Adil Sejahtera mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi hingga 10.000 cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi (pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 60 % dari kapasitas yang tersed ia. Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 5 % s etiap bulannya. Maka : a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan tersebut ! b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya ! c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan perbulannya setelah pab rik beroperasi selama 1 tahun (12 bulan) ! d. Analisislah ! P = Pm - Ps . e - r. t C = Cm - Cs . e - r. t y = m - se -kx

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA . Diketahui : Pm = 10.000 r = 0,05 Ps = 40 % (10.000) = 4.000 t = 1 tahun (12 bulan) . Jawab : a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan. P = Pm - Ps . e - r. t P = 10.000 4.000 . e 0,05. t b. Jumlah perdana cetakan / produksi. 60 % x 10.000 = 6.000 cetakan c. Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan). P = 10.000 4.000 . e 0,05. t = 10.000 4.000 . e 0,05. 12 = 10.000 4.000 . ( 0,549 ) = 10.000 2196 P = 7.804 cetakan. . Analisis : Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah sebanyak 7804 cetakan, di mana dari 6000 cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti ada peningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 1 tahun (12 bulan) sebesar 1804 cetakan. Langkah-langkah menggunakan software : 1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi. 2. Pilih Kurva Belajar pada Fungsi Transdental.

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 3. Pilih pertanyaan yang akan dicari, dalam kasus ini adalah Cari N . Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui. Catatan : Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma. MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 MATEK 2 Hal. Periode ATA MODUL BREAK EVEN POINT A. FUNGSI BIAYA Biaya dalam pengertian ekonomi adalah segala sesuatu yang harus dibayar produsen untuk menghasilkan barang atau jasa, sampai barang atau jasa tersebut siap dikon sumsi konsumen. Oleh karena itu, besar kecilnya biaya yang dikeluarkan tergantung pada besar kecilnya barang atau jasa yang dihasilkan. Dalam matematika dapat dikataka n bahwa biaya merupakan fungsi dari jumlah produksi. Secara rumus dapat ditulis : Dimana TC = Total Cost ( jumlah biaya ), sedangkan Q = jumlah produksi. Jadi fungsi biaya adalah suatu fungsi yang menunjukkan hubungan antara biaya dan jumlah barang yang diproduksi. Fungsi biaya dapat digambarkan dalam bentuk kurva. Maka yang dimaksud dengan kurva biaya adalah suatu kurva yang menggambarkan titik titik kemungkinan besarnya biaya di berbagai tingkat produks i. Elemen elemen fungsi biaya Menurut analisa jangka pendek, pengertian biaya ini dapat dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu : TC = Total Cost ( Jumlah biaya keseluruhan ) TFC = Total Fixed Cost ( Jumlah Biaya tetap ) TVC = Total Variable Cost ( Jumlah biaya variabel) VC = Variabel Cost ( Biaya variable yang digunakan perusahaan ) AC = Average Cost ( Biaya Rata rata ) MC = Marginal Cost (perubahan biaya karena adanya perubahan produksi per unit) Bentuk umum rumus fungsi biaya dan kurva biaya : P TC TVC TFC Q TC = a + f (Q) . TC = TFC + TVC = TFC + VC ( Q ) . TVC = VC per unit X Q . MC = . TC / . Q . AC = TC / Q

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Contoh : Diketahui suatu perusahaan CLAYSTATION yang bergerak dalam bidang penjualan

aksesoris wanita mempunyai biaya tetap 500.000, biaya variabel 20.000 dengan Quantitas 20 unit. Berapa TC dan AC ? Diketahui : FC = 500.000 VC = 20.000 Q = 20 Unit Ditanya : TC serta AC? Jawab : TC = TFC + VC(Q) = 500.000 + 20.000 ( 20 ) = 900.000 AC = TC/Q = 900.000/20= 45.000 P TC TVC 500.000 TFC Q Klik ini MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Isi sesuai yang diketahui di soal. Setelah itu Enter. Analisis : jadi, total biaya dan biaya rata-rata yang dikeluarkan CLAYSTATION masing-masing sebesar Rp 900.000 dan Rp 45.000 B. FUNGSI PENERIMAAN Apabila barang hasil produksi telah dijual kepada konsumen, maka uang hasil penjualan barang tersebut dinamakan jumlah pendapatan dan dapat pula disebut Tota l Revenue . Oleh karena itu, besarnya Total Revenue sama dengan harga perunit dikali kan jumlah unit yang terjual. Secara matematika dapat dirumuskan : TR =P X Q Elemen elemen fungsi penerimaan :

TR = Total Revenue (Jumlah pendapatan yang diterima secara keseluruhan) AR = Average Revenue (Rata rata penerimaan) P= Price ( Harga per unit barang ) MR= Marginal Cost ( Perubahan penerimaan karena adanya perubahan produksi peruni t ) P TR Q MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Contoh Soal : Perusahaan UMMI menjual 50 unit produknya dengan harga sebesar 40.000. Berapa besarnya TR dan AR ? Diketahui : Q = 50 unit P = 40.000 Ditanya : TR serta AR ? Jawab : TR =PXQ = 40.000 X 50 = 2.000.000 AR =TR/Q = 2.000.000 / 50 = 40.000 P TR 40.000

Klik ini MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Isi sesuai yang diketahui di soal. Setelah itu Enter. Analisis : Jadi, perusahaan UMMI memiliki total penerimaan Rp 2.000.000 dengan penerimaan rata-rata Rp 40.000 C. BREAK EVEN POINT Berdasarkan TR dan TC diatas, dapat ditemukan bahwa pada suatu saat perusahaan berada disalah satu kemungkinan dari ketiga kemungkinan dibawah ini, yaitu : TR < TC --------------Rugi TR = TC --------------BEP TR > TC --------------Laba Bentuk umum BEP TR =TC P X Q = TFC +TVC BEP Dalam unit : FC Q = P VC BEP Dalam rupiah : FC P= 1 VC /P

MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 TR P TC TVC TFC Q Contoh : Lely House memproduksi sepatu batik dengan harga jual Rp 80.000,-per pasang. Diketahui biaya tetap dan biaya varibelnya masing-masing adalah Rp 2.000.000,-da n Rp 40.000,-per pasang sepatu. Hitunglah : a) Berapa unit dan rupiah agar perusahaan tidak mengalami untung maupun rugi! b) Kenaikan BBM mengakibatkan kenaikan untuk biaya variabel per pasang sepatu sebesar Rp 30.000,-. Berapa BEP unit dan BEP rupiah setelah kenaikan BBM ! c) analisa ! Dik : P = Rp 80.000,-per pasang FC = Rp 2.000.000,VC = Rp 40.000,-per pasang Dit : a) BEP dalam Unit, BEP dalam rupiah? b) BEP dalam Unit & BEP rupiah, setelah adanya kenaikan VC sebesar Rp. 30.000? Jawab : a) BEP dalam UQ = nit 2.000.000 = 50 unit 80.000-40.000 BEP dalam Rupiah P = 2.000.000 = 4.000.000 1-40.000/80.000 b) BEP Unit setelah ada kenaikan VC sebesar Rp 30.000 2.000.000 Q = = 200 unit 80.000-70.000 MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 BEP Rupiah setelah ada kenaikan VC sebesar Rp 30.000 P = 2.000.000 = 16.000.000 1-70.000/80.000 Analisis : agar tidak untung/tidak rugi, Lely House harus memproduksi 50 pasang sepatu dengan BEP dalam rupiah sebesar Rp 4.000.000. Sementara kenaikan biaya variabel sebesar 30.000 menyebabkan perubahan BEP unit dan BEP rupiah masing-masing menjadi 200 unit dan Rp 16.000.000 Klik ini Isi sesuai yang diketahui di soal. Setelah itu Enter. MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Klik change value, Kemudian pilih VC dan P dimana VC sudah ditambahkan 30.000 menjadi 70.000 dan P tetap. Dan pilih OK. D. PENJUALAN MINIMAL ( MINIMAL SALES ) Dalam penjualan minimal ini perusahaan ingin mengetahui berapa unit yang harus dijual jika perusahaan mentargetkan laba yang harus dicapai. Bentuk umum untuk penjualan minimal : FC + laba Q = P VC Contoh : Jika CLAYSTATION menargetkan laba sebesar 100.000 dimana biaya tetap dan biaya variabel masing-masing sebesar 400.000 dan 20.000 dengan harga 40.000, maka berapakah penjualan minimal perusahaan tersebut ? Diketahui : FC = 400.000 P = 40.000 VC = 20.000 Laba = 100.000 Ditanya : Berapa penjualan minimal . . . . . . . . . . . ? Jawab : FC + Laba Q= P VC 400.000 + 100.000 Q = = 25 unit 40.000 20.000 Analisis : Jika perusahaan minimal adalah 25 unit. MATEK 2 Hal. Periode ATA

CLAYSTATION

ingin mencapai target maka penjualan

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Klik ini Isi sesuai yang diketahui di soal. Setelah itu Enter. MATEK 2 Hal. Periode ATA

Modul Praktikum Matematika Ekonomi 2 Kemudian isi Laba yang diinginkan sesuai dengan soal di atas sebesar 100.000 Kemudian Enter dan hasilnya seperti di bawah ini, Daftar Pustaka : Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi , edisi kedua, BPFE, Yogyakart a, 1995. MATEK 2 Hal. Periode ATA