J.E.N.516Sp ISSN 0081-3397

APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN EXACTA pK A LA

DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS CINÉTICOS

DE UN REACTOR

por

ALCALÁ RUIZ, F.

JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR

MADRID, 1982

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES

E21REACTOR KINETICSREACTIVITYREACTOR NOISEACCURACYFEYMAN METHODCOMPARATIVE EVALUATIONSJEN-2 REACTOR

Toda correspondencia en relación con este traba-jo debe dirigirse al Servicio de Documentación Bibliotecay Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Uni-versitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares'deben dirigirse aeste mismo Servicio.

Los descriptores se han seleccionado del Thesaurodel INIS para-describir las materias que contiene este in-forme con vistas a su recuperación. Para más detalles con_súltese el informe ISEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indiza- ~cion) y IAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el Or-ganismo Internacional de Energía Atómica.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes ana-líticos que aparecen en esta publicación.

Este trabajo se ha recibido para su impresión enFebrero de 1982.

Depósito legal no M-10556-1982. I.S.B.N. 84-500-5363-3

I I

NOTA PRELIMINAR

Las medidas experimentales cuyos datos se recogen en el presente

t raba jo fueron r e a l i z a d a s en e l Reactor JEN-2 de la Junta de Energía

Nuclear durante los años 1973 y 1974. El proceso de la mayoría de los

datos se llevó a cabo durante e l año 1975 y algunos r e su l t ados fueron

presentados en la XVII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de

F í s i c a y Química celebrada en Al ican te en 1975.

El i n t e r é s ac tua l en la ap l i cac ión de d iversas t écn i cas de medi-

da, basadas en e l Aná l i s i s de Ruido Neutrónico, a los r e a c to r e s de p£

tenc ia han aconsejado recoger en un volumen el a n á l i s i s detenido de la

ecuación bás ica del modelo de la c i n é t i c a e s t o c á s t i c a de l r eac to r pun-

t u a l , monocinético y de potencia cero que aquí se p resen ta .

Además de es tud ia r la ecuación bás ica se han analizado t r e s de los

métodos p rác t i cos que se pueden deducir de e l l a ; los dos primeros, el -

método de Feynman-alfa y e l de la probabi l idad de obtener cero cuentas

(método de Mogilner y Zolothukhin) han sido extensamente apl icados mien

t r a s e l t e r c e r o , e l método de la d i s t r i b u c i ó n exacta t o t a l , e l más r i co

en información, no ha sido por razones d i f í c i l e s de comprender. El aná-

l i s i s de la p rec i s ión con la que se obt ienen los diversos parámetros de

i n t e r é s aboga en favor de e s t e ú l t imo .

III

Í N D I C E

INTRODUCCIÓN.

CAPITULO 1.- CINÉTICA DEL REACTOR

1.1 Generalidades... 5

1.2 Ecuación General de Transport e. 5

1.3 Dificultades de obtención de soluciones de la Ecuación General de

Transporte. Valores propios y k 10

1.4 Ecuaciones Adjuntas. Importancia 17

1.5 Métodos aproximados de solución de la Ecuación de Transporte 20

1.5.1 Ecuaciones independientes del espacio y de la energia. Teo-

ría Puntual del Reactor 24

1.6 Aplicación de las ecuaciones cinéticas a la determinación de pará-

metros cinéticos 29

CAPITULO 2.- TRATAMIENTO MARKOVIANO DE LOS PROCESOS FÍSICOS QUE OCURREN

EN UN REACTOR

2.1 Planteamiento del problema .......37

2.2 Ecuación directa de Kolmogorov para las probabilidades 40

2.3 Función generadora de probabilidad 45

2.4 Ecuación directa de Kolmogorov para la f.g.p. G(x,t) 48

2.5.1 Función generadora de probabilidades para neutrones 52

2.5.2 Función generadora de probabilidades para detecciones 59

2.6 Consideraciones acerca de la validez de la f.g.p. G(x,t) 66

CAPITULO "3.- ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS EXPERIMENTALES

3.1 Métodos experimentales basados en la distribución de probabilida-

des p k 69

3.2 Meto do de F eynman. - 70

3.3 Método de Mogilner 73

IV

3.4 Método de la distribución exacta 74

3.4.1 Contenido de información de la f .g .p . G(x) . « 77

3.4.2 Desarrollos en serie de la. f .g .p . G(x) . . . . . . 81

3.4.3 Cálculo de las probabilidades P^.. 87

3.5 Otros métodos experimentales • 95

CAPITULO 4 . - EQUIPO Y OBTENCIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES

4.1 Reactor JEN-2 97

4.2 Detector de BF3 y preamplificador PTR-1 100

4.3 Unidad amplificadora H-27 101

4.4 Unidad de tratamiento estadístico.-H--26 . . 104

4.5 Analizador multicanal DIDAC-800 . 105

4.6 Comprobación del equipo de adquisición de da tos . . • • • • 107

4.7 Tamaño de las muestras 109

CAPITULO 5 . - PROCESO Y AJUSTE DE DATOS EXPERIMENTALES

5.1 Proceso de datos experimentales 115

5.2 Análisi de errores 116

5.2.1 Error de y 117

5.2.2 Error de p k 120

5.3 Ajuste de datos experimentales 123

5.3.1 Métodos de minimización. 123

5.3.2 Estimación de los parámetros y de sus errores 127

5.3.3 Ajuste de la varianza re la t iva correlacionada 131

5.3.4 Ajuste de la probabilidad de obtener cero cuentas • 132

5.3.5 Ajuste de la dis t r ibución exacta. 1322

5.4 Consideraciones sobre la función F= Q 136

CAPITULO 6 . - RESULTADOS EXPERIMENTALES

6.1 Resultados de ajustes para diversos in te rva los • 141

6.2 Constantes de decaimiento y parámetro oíc=^>/A .144

6.3 Reactividades. Valor de las placas 1 y 3 del reactor JEN-2 160

6.4 Variación deo(con la temperatura: Coeficiente de reactividad _163

CONCLUSIONES 167

BIBLIOGRAFÍA - . — .. . . » * «« 171

APÉNDICES

Apéndice A. . . . . . . . . . . « . . . . . * . . . . . « . . . . . . . . . . . . . . . . • 174

Apéndice B. . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

1 -

INTRODUCCIÓN

Los problemas cinéticos en el cálculo y diseño de un reactor adquie

ren una importancia capital por cuanto están relacionados con los de con-

trol, seguridad y explotación eficiente del mismo. Las previsiones hechas

sobre el comportamiento temporal del reactor durante su diseño dependen -

de los valores adoptados para los llamados parámetros cinéticos (fracción

efectiva de neutrones diferidos, tiempo de generación, reactividad, etc.)

y la aceptación de tales previsiones requiere la posterior comprobación -

experimental de aquellos valores.

Desde hace algunos años se ha intensificado el estudio y aplicación

de un tipo de técnicas idóneas para la determinación de aquellos parámetros.

Consisten en el análisis de las fluctuaciones estadísticas de los procesos-

de la reacción en cadena (Análisis de Ruido Neutrónico). Se estudia la co-

rrelación de los impulsos que proporciona un detector ( o detectores), co-

locado en el reactor, debido a los procesos típicos de aquella reacción. -

Este tipo de experiencias se realizan en el dominio del tiempo o de la fre-

cuencia y dan información, en general, sobre los mismos parámetros.

En el presente trabajo se ha analizado la distribución de probabi-

lidad P (z) de que un detector, colocado en el reactor, registre k impul-

sos durante el intervalo de tiempo t- La expresión teórica de esta probabi-

lidad depende de la constante de decaimiento de los neutrones instantáneos

(0

- 2 -

eficiencia del detector (€). La constante (X está relacionada con la reac-

tividad ( P) y la fracción de neutrones diferidos ( 0 ) . A partir de la t_a

sa de cuentas del detector (R) y de la constante & se puede deducir el pa

rámetro Oí = p/A(constante de decaimiento de neutrones instantáneos para

el reactor crítico con neutrones diferidos) que interviene decisivamente,

junto con la reactividad, en las ecuaciones que describen la evolución tem

poral de la densidad neutrónica o de la potencia del reactor.

Existen diversos métodos experimentales para determinar los paráme-

tros cinéticos. Dos de ellos, el método de Feynman o de la varianza relati

va y el de Mogilner o método po, han sido utilizados con frecuencia. Para

obtener la información descrita mas arriba el primero utiliza la razón -=

varianza/media de varias distribuciones experimentales |p ("C"¿)}j correspon-

dientes a otros tantos valores de T¿, y el segundo el valor de la probabi-

lidad de obtener cero cuentas en aquellas distribuciones.

Nuestro trabajo ha consistido en desarrollar un nuevo método para -

obtener la misma información utilizando una sola distribución "(piC )̂} y

comparar sus resultados, precisión y aplicabilidad con los obtenidos median

te los dos métodos anteriores. Los tres métodos se han aplicado al .reactor

de piscina JEN-2 para el que se han determinado el parámetro (3/A ,curvas de

reactividad de sus placas y coeficiente de temperatura. El análisis de los

resultados ha permitido deducir una serie de consecuencias prácticas y se

sugiere la posible aplicación de la nueva técnica de la distribución "exac-

ta" p a las medidas nucleares que se llevan a cabo con reactores de potencia,

durante la etapa, anterior a su criticidad, por su rapidez y sencillez puesto

que el equipo experimental requerido se reduce a un detector y un analizador

multicanal.

Este trabajo se ha dividido en seis capitulos que tratan de lo siguien

te:

- 3 -

En el primero se plantean los problemas de la dinámica del reactor

y se hace un resumen de las aproximaciones que se aplican para su resolu-

ción, obteniéndose una serie de fórmulas prácticas usadas en los capitu-

lo s siguientes.

En el segundo capítulo se expone la solución aproximada de estos -

problemas estudiándolos como procesos de generación, difusión y desapari-

ción de neutrones de acuerdo con la Teoría de los Procesos Estocásticos

de Ramificación; se deduce la función generadora de la probabilidad P1 (~c)

a partir de la ecuación directa de Kolmogorov y se estudian las condicio-

nes de aplicabilidad.

El capítulo tercero se ha dedicado al estudio teórico de la in-

formación contenida en la distribución experimental {p ( T ) } y los posi-

bles métodos para obtenerla con la máxima precisión y mínimo esfuerzo; -

aquí se señalan las posibles razones por las que los datos de estas dis-

tribuciones no se han aplicado hasta ahora y se expone el método seguido

en este trabajo.

El capítulo cuarto trata del equipo experimental empleado en la ad

quisición de datos y de las experiencias previas llevadas a cabo para de-«

terminar las condiciones óptimas de trabajo. El equipo básico lo constitja

ye un analizador multicanal que opera estadística y no secuencialmente; -

este procedimiento permite reducir el procesamiento intermedio de datos -

ya que suministra directamente la distribución.

En el capítulo quinto se discuten los errores de obtención de los

datos experimentales que, a veces, en la literatura, se han tratado bajo

hipótesis generalmente no admisibles y se sugieren distribuciones teóri-

_ L _

cas que concuerdan con los resultados experimentales. Se sugiere un proce

dimiento general de ajuste adecuado a las características de las funciones

a minimizar en análisis de ruido con objeto de unificar los criterios seguí

dos al establecer la precisión obtenida en los parámetros ajustados ya que,

acerca de este punto, se observa una cierta confusión en la literatura.

En el capítulo sexto se pi^esentan los resultados de las medidas rea-

lizadas: determinación de constantes de decaimiento de neutrones instantá-

neos para diversos grados de subcriticidad, valor de (5/A , reactividades y

calibrado de placas de control del reactor JEN-2.

Por último, se exponen una serie de conclusiones y consecuencias —

prácticas deducidas del análisis de resultados.

- 5 -

C A P I T U L O 1

CINÉTICA DEL REACTOR

1.1 Genera l idades

Los problemas que estudia la cinética del reactor están relacionados

con los de control, seguridad y explotación del mismo. En el diseño de todo

reactor,y especialmente en los de potencia, estos problemas juegan un papel

fundamental. No solamente se consideran los puramente cinéticos (evolución

temporal del flujo neutrónico y parámetros relacionados: tiempo de generación,

reactividad y fracción de neutrones diferidos) sino también los dinámicos, es

decir, el estudio de las causas y efectos que tienen lugar en aquella evolu-

135 149cion: coeficiente de temperatura, envenenamiento por Xe y Sm , quemado de

combustible, estabilidad, etc. La necesidad de estimación de estos efectos y

su posterior comprobación experimental ha proporcionado un gran impulso al es-

tudio teórico y experimental de la cinética del reactor.

En este primer capítulo se plantean las ecuaciones cinéticas en su ex-

presión mas general (Ecuación General de Transporte) exponiendo toda su comple-

jidad y recordando los resultados generales sobre existencia y propiedades de

las soluciones obtenidas mediante diversas aproximaciones. Al&anas de éstas

solamente se citan de paso para dedicar el máximo espacio a la deducción de

las ecuaciones de la Teoría Puntual del Reactor que es la aproximación emplea-

en el presente trabajo. Estas ecuaciones constituyen la base del Análisis de

Ruido Neutrónico y de todos los demás procedimientos de obtención experimental

de los parámetros cinéticos. En nuestro caso servirán para deducir una serie de

fórmulas prácticas que serán utilizadas en capitulos posteriores.

1.2 Ecuación General de Transporte

El comportamiento de la población neutronica se puede estudiar median-

te diversos modelos matemáticos; todos tienen como base un balance neutrónico

que brevemente se puede expresar así:

Tasa de variación]

de la población f =

neutronica J

- 6 -

Tasa de pro ") ( Tasa de desá-ducción de - parición de i /1 .1 /

neutrones I neutrones

La diferencia entre los diversos modelos utilizados reside en los diferentes

conceptos teóricos empleados en la descripción de los procesos físicos que -

tienen lugar en el reactor. El procedimiento más general y más extensamente

utilizado es la Teória del Transporte. Este método matemático facilita la me

jor y más completa representación de todos los procesos físicos de los neutro

nes en el reactor y utiliza un número mínimo de hipótesis de partida.

Sea N(r,E, í l , t) A"r AE Afl el número esperado de neutrones que exis

ten en el instante t en el volumen Ar*, situado en la posición 7, que se mue-

ven dentro del ángulo sólido &£l, en la dirección SI y que poseen una energía

comprendida entre E y E + AE. N(r,E,£l,t) se denomina densidad neutronica angu

lar; no se puede medir experimentalmente pero tiene una gran utilidad concep-

tual.

Los neutrones son generados o producidos en el volumen elemental

A? A E Afí, del espacio de fases V(r*,E,ÍL) por los siguientes mecanismos:

Pl) fisiones originadas por neutrones,

P2) dispersiones elásticas, fisiones espontáneas u otros procesos

mas sofisticados,

P3) desistegracion de los núcleos precursores de neutrones diferidos,

P4) fuentes externas.

De la misma forma, del volumen elemental, los neutrones de las carac

terísticas (r*,E,X2.) desaparecen como tales por

DI) fugas,

D2) absorción y dispersión elástica o inelástica

El balance / I . 1 / aplicado a los neutrones y a las poblaciones de nú

cieos presursores de neutrones diferidos, después de dividir por el elemento

Ar AE ¿ ü , se suele escribir (Henry, A. F.; 1958):

N(r*,E,íl,t)=

- 7

JdÜ?[f o (E) j dE' V(E') [ 1- ^S(E') J tf1 £ f ( ? , E ' , t)N( ?, E ' , Ü

1 , t ) +(Pl)

í dE' v1 2. (?;E', &'-*E,Il ,t) N ( r ; E ' , i í ' , t )} S (P2)

a.2/f .(E) + Q(r*E,n,t) -

(P3)

X- CC^t) f .(E) + Q(r*E,n,t)

vií.VN(?,E,S,t) -vZ(r*,E,t) N(?,E,H,t)(DI) (D2)

~ G (r,t) = J dE1 y(E') /3.(E')V Z (?,E',t) N(r*, E' , Z' ,t) - X.G.(r*,t)

A. 37

en donde,

v 2 (r*, E,t) probabilidad por unidad de ti capo de que un ne_u

trón de las características (?, E) produzca una

fisión en el instante t.

v T (r;E' ,-fL'-»E,H ,t) probabilidad por unidad de tiempo de que un neus —

trón de las características (r", E',iV), por me-

dio de una dispersión, se convierta en otro del

tipo (r*, E,Ü) en el instante t.

v X(r,E,t) probabilidad por unidad de tiempo de que un neu

trón del tipo ("r, E) desaparezca como tal en el

instante t.

f ( E) (k==0,1,. .. ,g) espectro energético de los neutrones instantáneos y

diferidos (normalizados: i f, (E)dE=l).; k

: i

/ . constante de desintegración del grupo j de núcleos

precursores.

Q(r,Esilst) número de neutrones por unidad de tiempo que la fue_n

te externa inyecta en el volumen A F A E A ¿ 1 .

v velocidad del neutrón correspondiente a la energía

E.

La ecuación [\»2] se aplica, o mejor, sus soluciones son ele--

mentos de un espacio de Hilbert 3~C convenientemente definido. La integra

ción respecto de r se extiende a una región convexa H, que representa e_s

pacialmente al reactor, y respecto de la energía desde cero hasta un va-

lor máximo Emax (eventualmente infinito). Sus soluciones verican las con

diciones de contorno:

N(r*,E, il,t) = 0 si "ñ.Ií- 4. 0 /1»V

donde r* es un punto de la frontera de H y n un vector unitario normal en

dicho punto. Las condiciones /I.4/ se llaman de "superficie libre" y fí-

sicamente significan la imposibilidad de que en H entren neutrones desde

el exterior. Estas soluciones son continuas en H; en general, las seccio

nes eficaces macroscópicas, ¿. , son funciones continuas en H pero, a ve-

ces, esta región está formada por subregiones en cuyos contornos no se -

cumple esta consideración; sin embargo, la solución se supone continua en

estos puntos.

Las hipótesis que permiten escribir las ecuaciones /"l.2_7 y /"1.3/

- 9 -

son las siguientes: a) el neutrón se considera una particula puntual, b)

se estudian valores medios o espexados de N y c) se lineariza la ecuación.

Por la primera se describe el neutrón por su posición y energía que, en -

general, corresponde a valores comprendidos entre 10 Mev y 0.01 ev. Esta

suposición no tiene en cuenta efectos (polarización, interferencias) que,

en algunas ocasiones, se estudian como correcciones sobre las secciones -

eficaces microscópicas.

Por la hipótesis b) se consideran valores medios de N, despre-

ciando las fluctuaciones, debidas a la propia naturaleza de los procesos

de la reacción en cadena, cuyo análisis es el objeto del presente traba-

jo. En un reactor de potencia no nula aquella son despreciables frente -

al valor esperado de N y la ecuación de transporte describe perfectamente

su comportamiento.

La última hipótesis implica no considerar reacciones neutrón -

neutrón, justificada porque la densidad neutrónica es despreciable frente

a las de los núcleos del moderador o combustible. Aunque en las secciones

eficaces hemos incluido el tiempo por la posibilidad de que dependan de la

propia densidad neutrónica (como ocurre en un reactor de potencia) éste no

será nuestro caso por lo que la ecuación [1-2] es lineal.

La dificultad de obtener soluciones analíticas de [\.2] y [1.3],

tal como se han escrito, es evidente. En cualquier caso, el problema se ha

de simplificar si se quiere obtener un resultado. La simplificación que se

introduzca dependerá del problema que se quiera resolver. Mas adelante se

describirán las que usualmente se emplean en el cálculo de la dependencia

temporal de la densidad neutrónica.

10 -

1.3 Dificultades de obtención de soluciones de la ecuación de trans-

porte. Valores propios oi y k.

El reactor es un medio multiplicativo en donde neutrones produ-

cen fisiones que dan lugar a nuevos neutrones. Desde el punto de vista de

la evolución de la población neutronica cabe considerar tres estados fun-

damentales en él.

Un reactor es subcritico si para una población no nula en t=0,

en un instante posterior, suficientemente alejado (t-»Oo)j aquella se anu

la o se hace despreciable a menos que exista una fuente externa. El reac

tor es supercrítico cuando el valor de la población neutronica diverge pa

ra t-»o

- L i -

nes:

PN = J((l-f3') fo+ 2_ fj v ' dE's f FN, /1.1]

donde

f (E) = f ( E ) ( l - f l ) + ">~ f.(E) |3.(E), /1.87

y el segundo t i ene en cuenta la desaparición por fugas, absorciones y dis-

persiones:

DN = v£L. VN + - ív1 ¿ N' dE' [1,9]

Para estudiar las propiedades asintui_iCas de la ecuación de trans

porte supongamos la ecuación /1 .5 / sin el término independiente:

A.10/

Sea

N(r,E,Ü,t) dt

la transformada de Laplace de N y Fo= N(r,E,/l,0). N ^ es una función de

la variable compleja oí (conjugada del tiempo en la transformación /l.ll/)

cuya existencia se supone. La transformada de Laplace del miembro de la

12 -

izquierda de fl.lO] es

3N - «t-r— e dt = 0< N . - Fa t "

Cuando L es un operador independiente del tiempo (y éste será siempre núes

tro caso) aplicando transformadas de Laplace a fl.lOj se obtiene:

(K- L) N* = Fo /1.12/

Si o( pertenece al conjunto resolvente, p(L) de L y éste es acó

tado (1), la ecuación {l.loj tiene solución única y ésta es:

N = (U- L ) "1 Fo A - 1 3 7

Por tanto, la solución de fl.loj está relacionada con el espec-

tro del operador L, 0"(L) = Z - p(L), donde Z es elcuerpo al que pertene

ce c< • Este espectro está definido por la ecuación de valores propios

(oC- L) N^ = 0

Toda solución no nula de /*1.14/, N^¿3C«se llama función propia de L co-

rrespondiente al valor propio oc ; el conjunto de todas las funciones pro-

pias, N^ , correspandientes a oí forman un subespacio de JC* . El conjunto

de valores propios constituyen el espectro puntual de L, Q° (L). Eviden-

(1) Implica que el operador D [1.9] sea acotado; cuando el núcleo -dispersor no está en movimiento pueden aparecer problemas (caso de la di_spersión por núcleos de redes cristalinas), ya que el núcleo integral de -dispersión puede poseer singularidades. Sin embargo, estas situaciones sepueden soslayar y considerar acotado el operador de transporte (Bell,G.I.;1970).

13

temente 0-(L) £ por el método de los

residuos. Si la integral en el camino dibujado a trazos es nula, el

resultado será N(r*,E, íl ,t) .

En el caso aproximado de una sola velocidad, dispersión isotró-

pica y geometría plana, las propiedades espectrales del operador de trans

porte, con g grupos de núcleos precursores de constantes de desintegración

/., han sido estudiadas (Mika, J.;1967) y los resultados son los siguien-

14 -

t e s : El semiplano Re o< ¿- - v Z. pertenece a l espectro de L. En el otro s_e

miplano, excluyendo los puntos - X . > j = I j 2 , . . . , g , el espectro consis te en

puntos ais lados pertenecientes a (f (L)UO(L). Los pertenecientes a 0"(L)p ) p

son reales y aislados y los puntos - X. pertenecen a él y pueden ser sus -

puntos de acumulación. En todos los puntos aislados del espectro, el resoj.

vente tiene polos. Por tanto, el problema de valores iniciales tiene solu-

ción única y no negativa si la condición inicial es no negativa.

r

Singular idadis

im que es algebraicamente mayor que cualquier otro. Este va-

lor determinará si el reactor es subcrítico, crítico o supercrítico.

Soluciones estacionarías de la ecuación de transporte inhomogénea

- 15 -

A. 5¡,

~ = O , L N + Q = O , A. 167dt

asumiremos que existirán en el caso de que el reactor sea subcrítico, pa

ra tiempos suficientemente posteriores al de introducción de la reactivi

dad negativa, por razones simplemente físicas. Aunque o( < 0, la existen

cia de la fuente externa nos asegurará una población aproximadamente cons

tante después de esperar un cierto tiempo. Estas conclusiones parece que

no han sido probadas rigurosamente (Case, K.M.; 1967). Por supuesto, cuan

do el reactor es crítico también se admite la existencia de soluciones es

tacionarias (correspondientes al autovalor oLo — 0).

El problema del reactor crítico se ha estudiado extensamente in

troduciendo un nuevo autovalor k. .(= kgjr) llamado factor efectivo de mul-

tiplicación. Es evidente que la condir^-i de criticidad se puede conse-

guir en [1.2] o en A*57 "variando" el nímero medio de neutrones emitidos

por fisión (reactor virtual). Esta situación se puede describir sustitu-

yendo y por V/k donde k sería un parámetro variable de modo que al ser -

crítico el reactor, su valor sería del factor efectivo de multiplicación

(k £ = 1 ) . En el caso de que fuese necesario hacer >> mayor que su valor

real, significaría k 4. 1, es decir, tendríamos el reactor subcrítico; de

la misma forma se interpretaría la supercriticidad que implicaría k > 1.

LLevando a cabo la sustitución anterior en fl.loj y teniendo en cuenta -

que ~— = 0 se podría escribir:4 3 t v

-177

donde N (r", E,íl) son las funciones propias correspondientes al valor proj£ mam

- 16

pió "estático" k que son independientes del tiempo.

Para la aproximación de una sola velocidad, la ecuación [1.11 J se

ha resuelto para diversas geometrías, encontrándose (Bell, G.I.j 1970,. cap.

2) un número infinito de valores reales de k; existe uno, el menor, que es -

el factor de multiplicación efectivo. Las funciones propias correspondien-

tes a este valor propio no forman un conjunto completo que permitan, en g_e

neral, desarrollar las funciones propias N^ correspondientes al valor pro-

pio cinético oí. Sin embargo, a veces, es posible encontrar conjuntos com-

pletos de aquellas funciones con solamente dependencia espacial (véase pá-

rrafo 1.5.2). Entonces es posible el cálculo de parámetros cinéticos con

la ayuda de estas funciones propias estáticas, más fácilmente calculables

que las cinéticas, sobre todo, por medio de métodos iterativos que son los

empleados en los programas de cálculo de reactores (Kaplan, S.; 1966).

En la teoría elemental del reactor, el factor de multiplicación

efectivo se introduce como la razón entre el número de neutrones nacidos

en dos generaciones sucesivas (Glasstone, S.; 1952). A partir de la ecua

ción de transporte se puede llegar al mismo resultado por medio de un pro

ceso interativo de modo que

Nilim = cte = k [1.18/-»cs N.

í-l

donde N. es la densidad neutrónica angular obtenida a partir de la N.

por el proceso iterativo antes aludido (Bell, G.I.; 1970), usado frécue_n

temente para determinar el valor propio estático.

17

•!•• ̂ Ecuaciones adjuntas. Importancia

El operador de transporte [1.6/ se ha definido en el espacio de

Hilbert JC. cuyo producto escalar es

( W = ÍN1N2 m A-19/

donde dV es el elemento diferencial del espacio de fases V(?,E,/l) y la

integración espacial se extiende a todo el reactor. El operador adjunto

L de L queda definido por (2):

(N' , L N) = (N, L N') A.20/

donde N son funciones de }•£ que verifican condiciones de contorno diferen

tes a las [1.4/ (Lewins, J; 1965, jj.í4):

N (r,E,K) = 0 si n.H > 0 A»21/

donde r* pertenece a la frontera de H; las condiciones fl.2lj significan

la anulación de la función densidad adjunta en la frontera del reactor- pa

ra todo neutrón saliente.

La función N se suele introducir considerando el reactor est_a

cionario, es decir,

L N + Q = 0 A'227

(2) Se dice que el operador L es autoadjunto si L=L .

18 -

La forma del operador adjunto L se puede deducir de [U20]. En efecto, de

sarrollando fl.2Oj, aplicando el teorema de la divergencia y teniendo en -

cuenta fU2l], se obtiene:

L+N+ = V K . V N + - v J(r,E)N"1"+ Jv1 Z (r;E,H-E'JL' )NI+dE' dÜ'+

A . 237

+ f j E ) íyCEOv' Z ^ ( ? j E ! ) N + ( ? , E I , n , í ) d E ' d i l I S P ' N ' - D ' N '(E) fyíEOvI (

Comprando esta expresión con la correspondiente [l.2j se observa que L di

fiere de L en el cambio de signo del término de fugas y en la inversión de

argumentos E,1X y E ' , i l '«

Las funciones propias N y N son ortogonales en el sentido

( / . - A+)(N+,N) = 0 fU 24/

donde X y A son sus correspondientes valores propios, es decir, si/ /+ + + / /+

A ^ A ,(N ,N)=0 y s i (N ,N)i=Q, A = Á .

Supuesta la existencia de la función N para el reactor crítico,

tal como se hizo para la densidad ordinaria, veamos una interpretación fí-

sica de la densidad adjunta. Supongamos que en el reactor existe un detec-

tor B (n, QC ) o U (n,f) cuya señal es proporcional a la sección eficaz

2, de aquellas reacciones. Consideremos la ecuación inhomogénea

L+N+ + Id = 0 A-25/

donde £ actúa de "fuente" (mas exactamente, de "sumidero"). Multiplicand +

do [U25] a la izquierda por N y fU20] y a la derecha por N y restando.

19 -

se obtiene:

Q(r,E,JÜ) N ' ( r , E , A ) dV = Z d ( r ,E)N(r ,E, Í Í ) dV

Si Q es una fuente unitaria en r" que inyecta neutrones del tipo (E , ¿lo)

(distribución de Dirac), la igualdad anterior se reduce a

N+(ro,Eo,Ho) = j 5¿(r,E) N(r,E,2l) dV [1.26J

es decir, la densidad adjunta en x para un neutrón (EQ,ZÍO) mide la "im

portancia" de este neutrón en la contribución a la respuesta del detectóte

Esta interpretación es debida a Soodak (basada en ideas de Weimberg, Wi_g

ner y Hurwitz) y desarrollada por Lewins (Lewins, J«; 1960). Una interpre

tación similar sin tener que introducir el detector, sino simplemente con

siderando las características .ropias del sistema (la potencia, la proba

bilidad de fisión por unidad de tiempo, v ^ ) fue dada por Ussachov (Ussa

chov, L.N.; 1965) y mediría la contribución a la tasa de fisiones del neu

trón original.

Lewins (Lewins, J.; 1965) deduce una ecuación de transporte para

N (ahora función del tiempo) haciendo la siguiente hipótesis: Un-neutrón

es tan importante como su descendencia. Es decir, un neutrón contribuye a

la respuesta del detector a través de su descendencia, conservando la im-

portancia del neutrón a través de ella hasta que se ha realizado la lec-

tura. -Para neutrones instantáneos se obtiene,

~ = vJÜ. V N+-v Z N++ ív1 Z'N'^dE'dH'+ íf 0(E) y1 v' 2fNI+dE' dft1

Í1.27J

- 20 -

que es completamente diferente a la [l.i] ó [1.5] sin neutrones diferidos.

Esta última presenta un problema de valores iniciales mientras que [1.11]

trata un problema de "valores finales": dada N en t=t es posible deducir

N' en instantes anteriores integrando /"1.277 e n si sentido inverso del tiem

po. Significa que la respuesta del detector es efectuada por la importancia

de los neutrones en instantes anteriores, y no en posteriores, a la reali-

zación de la lectura-

Otra interpretación de la densidad adjunta es la siguiente: La -

importancia de un neutrón en ~rQ es el número medio - de neutrones, gene-

rados por él, que, en el instante final, se tendría en el reactor. Esta in

terpretación se puede extender al caso de un reactor estacionario (Schmid,

P. ; 1958), es decir, la densidad adjunta persistente NO(?,E,H) sería la -

contribución de un solo neutrón en (?,E,fi) a la densidad persistente ordi

naria NQ(?, E, Q. ) .

Por último obsérvese que la función adjunta no tiene 'dimensiones;

por esta razón es muy apropiada para utilizar como función de peso; este -

es su mayor uso y será aplicada en el párrafo 1.5.3.

1.5 Métodos aproximados de solución de la ecuación de transporte

Soluciones analíticas de [1.1] y [1.3] dependientes del espacio y

de la energía son inviables a causa de la compleja forma en que las secci_o

nes eficaces dependen de la energía. Cuando hablemos de soluciones de la

ecuación de transporte siempre nos referimos a alguna solución aproximada;

la precisión de los métodos empleados en estas aproximaciones ha evolucio-

nado al ritmo de los computadores.

21 -

En los problemas dependientes del tiempo nos interesa conocer

la dependencia temporal de la generación de energía o de la población neu

trónica; esto implica una integración o promedio de la ecuación de trans-

porte respecto de las variables espacio-energía que no es posible al des-

conocer la forma exacta de la densidad neutrónica respecto de estas varia

bles. Para resolver este problema se adoptan dos procedimientos generales:

a) Las soluciones N se desarrollan como combinación lineal de -

funciones dependientes de las variables espacio-energía (por ejemplo, las

funciones N de /I.17/)con coeficientes dependientes del tiempo; se obti_e

ne un sistema de ecuaciones diferenciales para los coeficientes cuya so-~

lución resuelve el problema de forma aproximada; su precisión dependerá -

de las funciones elegidas y del número de términos empleados en el desa-

rrollo. Este método es el generalmente empleado en la solución de los pro

blemas estacionarios.

b) La integración aspecto a las variables espacio-energía se

lleva a cabo después de "pesar" la ecuación de transporte con la densi-

dad adjunta N Q, solución de la expresión [1.21/ igualada a cero (reactor

estacionario y sin término fuente). Este es el procedimiento empleado en

la obtención de las ecuaciones cinéticas convencionales usadas en los e_s

tudios de dinámica y ruido neutrónico.

i Al primer procedimiento pertenecen los métodos mas potentes y

sofisticados que requieren costosos programas de cálculo. Por ejemplo, la

teoría de multigrupos, utilizada principalmente en problemas estáticos,

se ha empleado también en la resolución de cuestiones cinéticas (Gozani,

T; 1962), (IAEA; 1972). Consiste en dividir el intervalo de energías en

un número finito de subintervalos o grupos energéticos, promediando en -

cada uno de ellos el flujo (3) respecto de la energía según un espectro

(3) Véase nota al pie de la página siguiente.

- 22 -

neutrónico previamente adoptado (Lamarsh, J .R . ; 1966). La dependencia de

los parámetros de cada grupo g, 0- y £»;» respecto de la dirección de la

velocidad se suele eliminar mediante la aproximación P y S (Bel l , G . I . ;N N

1970). Ambas aproximaciones se usan aplicando teoría de difusión o difu-

sión-edad que reducen la ecuación de transporte a otras mas simples que -

han sido y son ampliamente utilizadas (Glasstone, S.; 1952).

Otro procedimiento extensamente empleado como base teórica en las

técnicas experimentales sobre cinética del reactor es el análisis modal.

Consiste en desarrollar el flujo [1.287 o la densidad angular en "modos"

0Í(?,E,A):

0(r,E,n,t) = 2 1 a i ( t ) 0i(r,E,ií) A-297i=0

que pueden ser funciones propias del operador de transporte estacionario

o de los otros que lo integran. El problema reside en la elección mas -

apropiada de estos modos. De todas formas, para establecer las ecuaciones

diferenciales que deben cumplir los coeficientes a.(t) es necesario cono-

cer el flujo adjunto 0.; por medio de las relaciones de ortogonalidad --

( equivalentes a las /"l.24/)se pueden determinar aquellos.

(3) Hasta ahora hemos venido utilizando la densidad neutrónica angu-

lar en la ecuación de transporte porque, sin razón aparente, es la magni-

tud mas usada en los problemas dependientes del tiempo. Sin embargo, en -

los problemas estacionarios, casi unánimamente, se utiliza el flujo angu-

lar

0(r,E,K,t) = v N (?,E,ü,t) /l.287

Todas las ecuaciones escritas con N se pueden escribir en función de 0 al

tener en cuenta su definición fl.28].

- 23

Se suelen elegir las funciones propias del problema de valor

propio k (párrafo 1.3) para estado estacionario y reactor homogéneo. Co

mo, en general, éstas no forman un conjunto completo, la mayoría de las

veces las funciones 0-¡_, así como sus adjuntas, son soluciones de la

ecuación de ondas de la teoría elemental de la difusión (Glasstones,S.?

1952)

y í.(r) + B± 0i(r) = 0 [l.30¡

con solo dependencia espacial, que forman un conjunto completo ortogonal

(Garabedian,H.L.; 1965). Generalmente son necesarios muchos modos para -

obtener una aproximación razonable, sobre todo en reactores heterogéneos

con regiones fuertemente acopladas.

En ocasiones, las funciones 0. son simples funciones de prueba,

razonablemente elegidas, a las que no se les exige ortogonalidad ni com-

pletitud. Entonces, los coeficientes aj_(t) no se determinan por el proee

dimiento usual de multiplicación por funciones adjuntas e integración -

sino por otros procedimientos que se han venido en llamar "métodos de sin

tesis de modos" (Kaplan,S.; 1966), (Dougherty, D.E.; 1962). Entre'otros

procedimientos, los métodos variacionales se han utilizado con profusión,

(Kaplan, S.j 1964), (Yasinsky, J.B.; 1969). Realmente, las ecuaciones de

valores propios ya estudiados se pueden deducir por métodos variacionales

utilizando lagrangianos apropiados (Lewins, J.j 1965). Estos últimos pro-

cedimientos se generalizan para la estimación de valores propios y flujos

(métodos de síntesis de flujos).

Guando la aproximación modal se aplica a la ecuación [1-2J cada

modo consta de un haz de submodos (siete en total, para g=6) (Henry,A.F.;

24 -

1.964) que es preciso tener en cuenta en las experiencias con el reactor

próximo a la criticidad.

Al segundo procedimiento corresponde la aproximación que detalla

damente exponemos en el párrafo siguiente por su ulterior aplicación y que

se ha venido a llamar Teoria Puntual del Reactor porque prescinde de la -

dependencia espacio-energía. Sin embargo, esta aproximación es pobre en el

caso de un reactor suficientemente grande como los actuales de potencia; -

cuando se producen cambios locales en estos reactores, la dependencia espa

cial es suficientemente importante y el factor de forma definido en fl.33]

suele variar con el tiempo; en el caso de problemas de xenón y quemado de

combustible la variación temporal es lenta y se aplica el procedimiento --

llamado aproximación adiabática o bien el método conocido por aproximación

cuasiestática que mejora al anterior en problemas donde aquella variación

es más rápida (Ott, K.O.; 1969).

1.5.1 Ecuaciones independientes del espacio y de la energía. Teoria

Puntual del Reactor.

Se trata de deducir de forma exacta, a partir de la ecuación --

de transporte, un sistema de ecuaciones diferenciales que describan la -

dependencia temporal de la densidad. ;neutroñica y donde intervengan pará-

metros integrales del reactor. Sea N la solución de la expresión [1.23J

igualada a cero (reactor estacionario); esta función va a servir para "pe

sar" las ecuaciones /1.2/ y /*1.3/. Multiplicándolas por N o e integrando -

en el espacio de fases, se obtiene:

g

-

- 25

. § .FN) - X . ( N 0 , f. C.) j = l , 2 , . . . , g A - 3 2 /J ' J J JJ

Si hacemos

N(r,E,H,t) = N(t). N'(r,E,K,t), [1.337

donde N1 (r*, E,ü,t) es un factor de forma sobre el que impondremos la con

dición

d +j^ (No, N') =0, A-34/

las ecuaciones /*1.3l7 y fl.32] se pueden escribir

dt /\ N ( t ) +¿x, c, ( t H Q ( t ) A.35;

dc.(t) ¡3.(t)- ¿ =—r- N(t) - X.C.(t), j=l,2,...,g A-367

donde se han hecho las siguientes definiciones:

(N1 , f. |3. FN') gfracción efectiva: A (t)= , 8(t)= "> Á (t)

+ A . 37/(NQ,N')

tiempo de generación: A(t) =

( N P N 1 )

- 26

(N , PN1) - (N',DN!)o o

reactividad: P(t) = :—7 —(N , PN')o

densidad de núcleos (N , f C )•precursores: C.(t) = — — — ——-

J (N , N1)o

intensidad de (N , Q)la fuente: Q(t) =

(N , N1)o

Las expresiones [1.35J y fl.36j son las ecuaciones que se utili

zan convencionalmente en los estudios sobre dinámica del reactor. Fueron

deducidas por Henry (Henry, A.F.; 1958) de forma algo diferente a como se

ha hecho aquíi tanto en esta referencia como en (Giftopoulos,E.P.; 1964)

y (Bell, G.I.; 1970) las expresiones deducidas para /1.37/son adecuadas en

los problemas de cálculo y diseño del reactor. Sin embargo, la definición

de reactividad dada en /I.37/ es mas útil en la interpretación de resulta

dos experimentales. Esta definición de reactividad es equivalente a estas

otras definiciones de parámetros cinéticos:

(N , PN')factor efectivo de multiplicación: k(t)= ;

(N , DN')o

(N , N1)

vida media: £(t) =

A. 38/

(N ,DN')o

Las ecuaciones fl.35] y /"1.36/se han venido a llamar de la Teo

ría Puntual del Reactor cuando, en realidad, están definidas de una forma

- 27 -

global o integral en todo el reactor y son exactas en tanto en cuanto se

verifique la condición /1.34/.

En el caso de que la densidad neutrónica sea separable en su de

pendencia temporal, el factor de forma N' es independiente del tiempo, se

verifica automáticamente /*1.34/ y las ecuaciones [1.35J y /1.367 son exac

tas.

Nuestras experiencias se desarrollarán en estas circunstancias.

Siempre mantendremos el reactor subcrítico y estacionario con la ayuda de

una fuente externa; en estas condiciones se alcanza una distribución per-

sistente un cierto tiempo después de haber introducido la reactividad ne-

gativa» Si imponemos la condición

(N+, N') = 1o

equivalente a la /1.34/, el significado físico de los parámetros /\, p,k

y £ es el siguiente:

Producción total media

£Desaparición total media

A.397_ Producción neta- media

) Producción total media

Producción total mediak = Desaparición total media

- 28 -

y se verifican las relaciones

k A.407

/v — L

deducidas en teoria elemental del reactor (Glasstone, S; 1952).

El parámetro & , llamado fracción efectiva de neutrones diferi-

dos, puede discrepar del valor experimental obtenido para los diferentes

isótopos fisibles en el 20% ó 30% (Henry, A.F; 1958). Su introducción se

debe a la conveniencia de tratar todos los neutrones con el espectro co-

mún f (E) [l'8j a pesar de que los diferidos contribuyen relativamente en

mayor cuantía al desarrollo de la reacción en cadena porque nacen con ener

gias inferiores que los inmediatos. El parámetro |3 es el que realmente se

mide en un reactor; las diversas técnicas experimentales (Mogilner, A.I.j

1967) y los cálculos teóricos (de Francisco, J.L. ; 1973) dan excelentes -

concordancias.

Los parámetros cinéticos £l.39j tienen sentido físico únicamente

en el caso de que el reactor posea una distribución persistente (reactor -

estacionario) o en cualquier caso en el que el factor de forma N1 no varié

con el tiempo. Esta segunda condición se puede dar en un reactor grande y

lejos de la periferia si su comportamiento es netamente exponencial, es d_e

cir, en el caso de que se alcance un periodo asintótico o estable; en estas

circunstancias solo varia la amplitud N(t) de la densidad neutrónica y las

ecuaciones [X.35J y /"1.36/ describen exactamente su evolución. En las dos

circunstancias citadas puede admitirse que la densidad-o el flujo neutró-

nico son separables en su dependencia temporal.

- 29 -

Cuando las perturbaciones que originan La evolución del reactor

afectan únicamente la desaparición,las magnitudes cinéticas p y A deben

usarse, mi entras que cuando se produzcan variaciones en la producción neja

trónica es recomendable el uso de k y £. En nuestro caso actuaremos prin

cipalmente sobre las absorciones y fugas (movimientos de placas de con--

trol) por lo que emplearemos el primer par de parámetros cinéticos que -

hemos citado.

1.6 Aplicación de las ecuaciones cinéticas a la determinación

experimental de los parámetros cinéticos.

En el caso de un reactor de potencia cero el operador de trans

porte es estacionario y lineal (4). En este caso si en t=0 el reactor es

crítico ( 0 = 0 ) y N Q es la densidad inicial, el procedimiento general e_x

plicado en í:~ párrafo 1.3 permite deducir la solución analítica para va-

rios tipos de dependencia temporal de O . Si se introduce una reactivi-

dad O en forma de escalón, llamando cu al valor propio cinético o< , las

soluciones de /1.357 y A-36/ son (Bell, G.I.; 1970):

[1.41/

J=l J

(4) Si el reactor es de potencia, la reactividad es una función del

nivel de potencia o densidad neutrónica a través de las características -

que presenta un reactor en operación, es decir, a través del quemado de -

combustible, envenenamiento y variación de temperatura, entre otros proce

sos.

- 30 -

Aplicando fl.15] se obtiene:

donde u/. ( k=0,l,2,. . . ,g) son las g+1 raices de la ecuación característi

ca del sistema [1-35J y /I.367» llamada también de Nordheim:

y los coeficientes se obtienen por el procedimiento usual de cálculo de

residuos:

4 , AQA = lim (W -CU )N(CÜ) = — -J ¿ , . / 1 .k k g / O

A . v ÁJ n

La raiz de /l^Sy de mayor valor algebraico, QJ , es el valor

propio asintótico del reactor ya que dichas raices o son todas negativas

(caso de Q 4.0) o todas negativas expepto una, uj , que es positiva (caso de

0 > 0) . La solución /*l-42/ demuestra que después de transcurrir un cierto

tiempo solo prevalecerá el término correspondiente a uj en la sumatoria

A -42/.

La ecuación /1.437 permite determinar la reactividad de reactor si

se conoce el período asintótico o estable 1/cu cuando esta reactividad eso

positiva- Si la reactividad introducida es negativa, su valor se puede de-

terminar resolviendo "inversamente" el sistema fl.35j y fí.3ój, si se co-

- 31 -

noce N(t) (proporcional a la señal de un detector), mediante cálculo nu-

mérico. De esta forma podemos medir reactividades supuestos conocidos &

yA.

Realmente el parámetro que se suele conocer con precisión es -

/3 / A , de modo que la reactividad, por los procedimientos anteriores --

siempre se determinará en unidades de jS (dólares):

r($) = - I — [l. 457

En el presente trabajo emplearemos exclusivamente teoría puntual

del reactor (ecuaciones [1.35] y /1 .36J) , un solo grupo energético de - -

neutrones y reactor homogéneo. En este caso podemos escribir :

Vv2-f - v

/ w ii s r

donde V es el número medio de neutrones emitidos en la fisión y los demás

simbolos tienen el significado usual (5) .

(5) En la sección eficaz X podemos incluir el término de fugas que se

suele escribir: DV £>("?) ^^2- ^ — DB

En este caso,

a'

- 32 -

En el caso de que no se tenga en cuenta la contribución de los -

neutrones diferidos (que será nuestro caso), el reactor sea subcrítico y -

presente su distribución persistente, el valor propio cinético introducido

en el párrafo 1.3 representará ahora la constante de decaimiento de los neu

trones instantáneos, es decir,

1_ d N(t)

" N(t) dt

donde debido al signo menos, OÍ será un número positivo por ser siempre nega

tiva la derivada de N(t). El primer término del miembro de la derecha de -

fl.35j representa la contribución de los neutrones instantáneos a la tasa

de variación de N(t). Comparándolo con /"1.477 se obtiene (6):

(*=—~ = — Z" l-r($)/ A-48/

que es otra forma de definir la constante de decaimineto de los neutrones -

instantáneos. Obsérvese que la reactividad que figura en /"1.48/ incluye las

contribuciones de ambos tipos de neutrones, instantáneos y diferidos.

Cuando el reactor sea crítico con la única contribución de los -

neutrones instantáneos, r {$) = 1 $ y 0< = 0 como corresponde al significado

(6) Obsérvese que si la ecuación /*1.35/se hubiese escrito desde el -

principio sin tener en cuenta la existencia de neutrones diferidos, la defi

nición /I.48/ se reduciría a

QO< = --j- ( P < 0) fl.teaj

donde, ahora, Q solamente incluye la contribución de neutrones instantáneos

y será, por tanto, diferente a la que aparece allí.

- 33 -

físico del parámetro cinético. En el caso de que el reactor sea crítico

con la contribución de neutrones instantáneos y diferidos, r ($) = 0 y

el valor propio cinético vale

/\ /1.49/

De las ecuaciones /"1.48J y /1.497 se obtiene inmediatamente:

e x - e xr($) =—J Í1.50J'

que nos permitirá determinar la reactividad en dolores a partir de las -

medidas délas constantes Oí y O( •cc

El valor de la constante o< s e puede determinar directamente,

midiendo oi con el reactor crítico con diferidos, o indirectamente media_n

te û ci serie de medidas de c< para deversos estados de subcriticidad. En

efectOysi el reactor es estacionario con densidad N o mediante una fuente

de intensidad Qo, [1.35J y [1.36J se reducen a

j = 1

Sustituyendo en la primera de las anteriores ecuaciones el valor de Cjo

obtenido de las restantes, obtendremos:

A

- 34 -

o bien

c o

De /"1.51/ y /"1.50/se obtiene definitivamente

Q

— 35

Coeficiente de temperatura.- Este parámetro es de fundamental impor

tancia en la seguridad y operación del reactor. Normalmente se defi

nen(y calculan) varios coeficientes de temperaturas relativos al com

bustible y al moderador. Sin embargo también se define", (y calcula)

el llamado coeficiente isotermo que se produce en el núcleo cuando -

este cambia ligera y homogéneamente su temperatura; entonces dicho -

coeficiente vale

y se suele determinar en las pruebas de arranque del reactor. Su de-

terminación consiste en variar ligeramente la temperatura del núcleo

critico a baja potencia y obtener el valor de AP haciéndolo de nue-

vo criticó modificando las condiciones de control. Esta operación im

plica conocer previamente las curvas de reactividad de los elementos

de control lo cual, a su vez supone el conocimiento de o(c (C se mide

en $/2C) y también el de A si C se expresa en unidades naturales de

Sin embargo teniendo en cuenta fl.50] y esperando que el cambio

de temperatura no modifique el valor o(c /1.49/, se obtiene:

± A*. [í'56]

La hipótesis Ac(Mes completamente aceptable ya que los parámetros 3 w

A, /I.377 dependen de la producción de neutrones diferidos y total , -

además de las distribuciones ordinarias y adjuntas de neutrones, las

cuales apenas se modifican al producir un cambio homogéneo de tempera

tura en el núcleo.

Sustituyendo [1.56J en /"1.55/ se obtiene,

Que muestra la posibilidad de determinar C a través de la medida de

C*, en diferentes estados de subcritijridad ocasionados por cambios de

36 -

temperatura» Con este último experimento,llevado a cabo con el reactor

subcrítico y cambiando la temperatura del núcleo, se podría determinar

o

- 37 -

C A P I T U L O 2

TRATAMIENTO MARKOVIANO DE LOS PROCESOS

FÍSICOS QUE OCURREN EN EL REACTOR

2.1 Planteamiento del problema

En el capitulo primero hemos visto que la población neutronica

media en un instante t se podía determinar a partir de su conocimiento en

un instante anterior to. Corresponde este método al principio fundamental

del determinismo científico que se aplica a los sistemas físicos que obe-

decen leyes determinísticas. Cuando el sistema físico obedece leyes proba

bilísticas, se aplica un método análogo: la probabilidad de que un siste-

ma físico se encuentre en un estado en el instante t se puede determinar

si se conoce la correspondiente a un estado en un instante t 0 ^ t, y no

depende de la historia del sistema en instantes anteriores a tQ. Los pro

cesos estocásticos que satisfacen esta condición se llaman cadenas o pro

cesos de Markov, según que el espacio de los estados sea discreto o conti.

nuo, respectivamente.

Courant trató los procesos que tienen lugar en el reactor como

casos de producción, multiplicación, difusión y absorción y fugas de las

particulas que intervienen (Courant, E.D.; 1947). La idea es similar a -

la de los procesos de nacimiento, ramificación, inmigración y muerte que

ocurren en las poblaciones de individuos que tienen un tratamiento adecúa

do en el marco de la estadística (Feller, W.; 1968).

- 38 -

En efecto, las cadenas de fisión pueden tratarse como cadenas de

Markov ya que son independientes entre sí (neutrones pertenecientes a dis-

tintas cadenas no están correlacionados) y los estados finales de partícu-

las, superposición de todas las cadenas, solamente dependen del estado ob-

servando anteriormente, es decir, una generación dada de partículas en un

reactor depende exclusivamente de una generación anterior y no de las que

preceden a ésta (7).

Al hablar de "partículas" existentes en el reactor queremos hacer

referencia a neutrones, instantáneos y diferidos, núcleos precursores, etc..

También se pueden incluir las cargas eléctricas generadas por neutrones o -

rayos gamma en el volumen'activo de un contador o cámara de ionización (ó -

bien las detecciones o cuentas y señal suministradas por ellos) situados en

el reactor.

De ahora en adelante, los "estados" que observaremos en el reactor

estarán constituidos por m + 1 clases diferentes de partículas cuyos números

serán las componentes del vector estado

- 39 -

g+¿ m mt- i,(v , Q¿ = número de cuentas registradas en el contador

m mt- i

d (t) , k=l,2,.. ,m-g k, situado en r* , en el instante t.

El vector Oí se podrá representar brevemente por X(n,c*,d,) -

con el significado obvio que se deduce de lo dicho anteriormente. Explici

taremos el tiempo llamando estado E( ot ,t) al compuesto por las oT partí-

culas existentes en el instante t.

El estado E( O. ,t) poseerá una cierta probabilidad condicional

P(5t,t 1 oco,to) [l.lj

de ser generado por el estado E(

- 40 -

El problema que nos planteamos no es la obtención de la probabili

dad absoluta f2.2] de obtener el estado E(c?,t) a partir de uno elemental,

sino estudiar lo evolución de aquel estado con el tiempo t, después de haber

sido originado por un estado anterior E(oC0,t0); por esta razón la probabi-

lidad /2.3J se escribirá brevemente:

P(5,t)5P(ó(,t|5o,to) [l.k]

que es continua en el tiempo y discreta en las demás variables. Se trata, -

en primer lugar, de encontrar una ecuación diferencial que verifique P(5í,t)

o una función de ésta.

2.2 Ecuación directa de Kolmogorov para las probabilidades.

En este párrafo aplicaremos a las particulas que existen en el -

reactor el formalismo empleado en la teoría de los procesos markovianos; -

tratamos un ejemplo sencillo de generación pura para extenderlo después a

los demás procesos y obtener una ecuación diferencial que relacione las pro

"habilidades definidas en el párrafo anterior»

Los procesos que consideramos que ocurren en el reactor son los -

mismos que se tuvieron en cuenta en el párrafo 1.2 para deducir la ecuación

general de transporte. Respecto a los simbolos, en este párrafo, se modifi-

can ligeramente en el siguiente sentido:

v 2, probabilidad por unidad de tiempo de que un neutrón

desaparezca por absorción, fuga o dispersión /1.9/.' .

- 41 -

y probabilidad por unidad de tiempo de que un neja

trón produzca una fisión y dé lugar a \j Q n e u -

trones y ^ , u , •") i> núcleos precursores1 2 g

de neutrones diferidos de los grupos 1,2, .. g,-

respectivamente. Esta emisión se produce con -

una probabilidad P( yQ, \)p ..., yCT) = P(V)

que es función de la velocidad del neutrón que

produce la fisión; por esta razón, la probabi-

lidad v 2 representa la integral de produc—>

ción [1.1] .

., 3 = 1,2,..,g probabilidad por unidad de tiempo de que un pre

cursor del grupo j dé lugar a un neutrón diferí

do del mismo grupo o que desaparezca como tal -

precursor.

probabilidad por unidad de tiempo de que, en el

instante t, sea inyectado un neutrón en el rea_c

tor por la fuente externa. Obsérvese que el sig

nificado actual de Q es diferente del utilizado

en el párrafo 1.2; allí representaba la intens_i

dad de la fuente.en el volumen elemental.

r̂* probabilidad por unidad de tiempo de que el de

v 2-k

tector k registre una cuenta debido a la abso_r

ción de un neutrón.

Los parámetros definidos mas arriba pueden ser funciones del -

tiempo. Cuando no dependen de éste, el proceso se dice homogéneo y enton

- 42 -

ees, como se verá más adelante, las probabilidades condicionales /"2.4/ de-

penden solamente del intervalo t - t • Los procesos considerados en el pre

senté trabajo serán de este tipo y, además, lineales, es decir, aquellos pja

rámetros no dependerán del número de partículas existentes en el instante

t y las partículas no interaccionarán entre sí.

Para encontrar una ecuación diferencial que verifiquen las proba

bilidades /"2.4/ debemos determinar su valor en un instante t+At, siendo -

^t un intervalo pequeño con origen en t. La probabilidad de que en este -

intervalo ocurran dos de los procesos fundamentales citados es proporcional

2a (At) ; por esta razón podemos considerar solamente uno de ellos (por --

ejemplo, emisión de un neutrón por la fuente externa5 captura de un neutrón

por fisión, etc.).

Para fijar ideas, consideremos que P(n,t) sea la probabilidad de

que, durante el intervalo t-to, se hayan generado n neutrones; tQ es, sim-

plemente, un instante de referencia. La probabilidad de que se generen uno

o mas neutrones en este intervalo es l-P(O,t). Evidentemente, si t-tQ es -

pequeño, P(O,t) tiende a la unidad y existirá el límite:

lim 1 - P ( ° ' t ) = TL(n,t) ¿"2.5;t~to

o bi en

l-P(O,t) = TL(n,t) (t-tn) + O(t-tn) /2.6/

en donde 7t(n,t) (t-to) es la probabilidad de que se genere un solo neutrón

en. el intervalo t-tQ y 0(t-to) la probabilidad de que se generen dos o más.

- 43 -

El proceso se dice lineal y homogéneo si

Tt(n,t) = nit(t) = nit , Tt= cte [2.%]

Evidentemente, los parámetros definidos al principio del párrafo tienen:

el mismo significado que la "K de [2.8].

Siguiendo con el ejemplo anterior, la generación de n neutrones

en el intervalo &t en t puede ocurrir por tres precesos fundamentales:

1) Generación de n-1 neutrones entre t y t y un neutrón entre

t y t+At. Su probabilidad es

P(n-l,t) .n «TI- At

2) Generación de n neutrones entre tQ y t y ninguno entre t y

t+At. Su probabilidad es

P(n,t)'(l-n-TC-A t)

3) Generación de n-x,x ^ 2 , neutrones entre t o y t y x e n A t s

cuya probabilidad es 0( A t ) .

Por t an to , la probabil idad P (n , t+At ) será la suma de las correj.

pondientes a los t r e s procesos an te r io res :

P (n , t+ At)=P(n-l , t )n-Tt- At+P(n,t) (1-n-t t-41)+0( ¿ t ) /"2.97

- 44 -

De la expresión /*2.97 podemos deducir la derivada de P(n,t):

lim.P(n,t+At)-P(ntt:) 5 3P(n,t) = 7L[(n.1)P(ll.1,t) -nP(n,t)JAt-O At 3t

Procediendo, como se acaba de indicar, con cada uno de los proce-

sos que ocurren en el reactor, se obtiene la ecuación?

¿•p P(5,t) = v Z [(n-M)P(n+l,c*,d*,t)-nP( ST,t)] +

+v Z r X P ( V ) f(n- y +l)P(n- y + l , c - ¿/ , . . . , c - 2/ ,d' , t)-nP(.f pF u n n l l gg

gi f* ""'^ ...i, f *y/ I / t "j f "O ( TI „., 1 I— _» ] -4 n . J 4- \ ID /" y^¿ 4- \ J | |

m-g

k=l k &

m"S _ _oC ,t) J

Q [P(n-l,c*,d",t) - P(oT,t)J

en donde A es el tiempo durante el cual el detector k está registrando cuen

tas; o( A ) es 1 si t é A y 0 en cualquier otro caso. Durante el tiempo

t £ A se absorbe un neutrón y aparece una cuenta mientras que si t &, A ,k ' k

simplemente perdemos un neutrón con la probabilidad por unidad de tiempo

v 21, (penúltimo término de [l.llj. La sumatoria ^ implica sumar sobre com

ponentes de j7, criterio adoptado en (Kolmogorov,A.N«> ;1947).

2.3 Función generadora de probabilidad

La función generadora de probabilidad ( f . g . p . ) fue introducá

da en la Teoría de Probabilidades por De Moivre y Laplace (Fe l le r , W.;

1968) como un método operacional mas. Se define de la siguiente forma:

Sea a0 , a\, &2» una sucesión de números. Si la función

G(x) = ao + aj_ x + a2 x2 + [2.12J

converge en algún intervalo -xo

46 -

Como las probabilidades P verifican

k=o

la función [2.13J existe en f~l,lj y cumple:

G(0) = Po 5 G(x) é 1 ,*fxe[-l,lj [2.15J

La f.g.p. G(x) describe completamente la distribución ya que es

analítica en todo el intervalo [-1,1]i

Po = G(0)

/2-167

También se pueden determinar los momentos de la distribución a -

partir de las derivadas sucesivas de G(x) particularizándolas en x = 0, es

decir3 introduciendo [2-16J en

= y«í-—-k

Pk

k=o

o biens en función de aquellas derivadas particularizadas en x = 1 :

k=o

Í2.17/

(2)G (1) =

k=o

- 47

(3)G w y(l) = } k(k-l)(k-2)P. =

[2.17 J

(4) xr—V (1) =^>_k(k-l)(k-2)(k-3)Pk= O^-ÓO^+llO^-óO^, e t c .

k=o

Por tanto, el conocimiento de la f.g.p. es equivalente al de la

propia distribución.

Cuando^se tienen varias variables aleatorias, la generalización

del concepto de función generadora de probabilidad es inmediata. En el ca

so de que existan mf 1 variables cuyos valores sean cío' ̂ !»•••> (X

(¡no confundirlos con los momentos de la distribución /"2.13/'.) con proba-

bilidad P(o¿o, cX-1, ..., (X ,t), su f»g,p, será

-1- m

xo °xl ••x^ o o(d=o

ó brevemente

Z m (X •I""! x X P(OC,t)oT i=o

Obsérvese que la probabilidad P(oC,t) [2.k] es condicional;y la

función G(x", t) es una escritura breve de

G(iT,t|ao,to) = G(x,t)

- 48 -

2.4 Ecuación directa de Kolmogorov para la f.g.p. G(x,t).

Multiplicando ambos mienbros de fl.llj por fl x- , recordando1=0 ±

que c(0 = n? 0< . = C . ( j = 1,2,. .. ,g) y oC = d (k=l,2,.. .m-g) , sumandoJ J g+K K

respecto de todos los valores de las variables anteriores y recordando la

definición /2.18/, se obtiene:

h

j=l

m-g

k=l

Í2.2O7

v

donde

1=0

es la f.g.p. de que en una fisión se emitan las partículas V =( >> , V15

con probabilidad P( i^0, J-̂ ,..., î CT)

La ecuación /2.20/la escribiremos de forma reducida así

m

gf(x,t) + g(x,t) G(x*,t)C c?X

Cl.lQaJ

en donde,

- 49 -

m-g(l-xo)+v Z ( Q?(x) -x ) -

f k=l

m-g

/2.21;

;.Cx,t) = X.(xo-x.) j=

gk(x,t) =-0

g(x,t) = Q(xo-1)

La ecuación /"2.2Oa7 es la forma usual de ver escrita la ecua-

ción directa de Kolmogorov para la f.g.p. de los estados definidos en el

reactor. Esta ecuación se puede transformar en una ecuación de difusión

(ecuación de Fokker - Planck) o ecuación directa de Kolmogorov para un. -

proceso de Markov m+1 dimensional continuo en el tiempo y en los estados

(8) (Dalfes, A.; 1963).

La ecuación f2.2Oa] se llama directa ("forward") de Kolmogorov

y es posible deducir otra ecuación diferencial en donde aparece •--

dG{

- 50 -

les", ya que el parámetro variable es t y no t, mientras que las solucio-

nes de la directa verifican las condiciones iniciales que se moscrarán mas

adelante.

Matthes demuestra que la ecuación directa de Kolmogorov es equiva

lente a la ecuación general de transporte [\.2] y que la inversa conduce a

una ecuación adjunta de aquella (Matthes, W.;1966). Por tanto, se trata de

dos formalismos diferentes usados en la discripción del mismo tipo de proce

sos»

La ecuación inversa ha sido resuelta por diversos autores (Pal,L.;

1.963),(Babala, D.; 1.967),(Pérez Navarro, A. 1.973) para obtener la f.g.p.

de las cuentas registradas por uno o varios detectores. Sin embargo, la di-

recta no ha sido tan utilizada a pesar de que su contenido físico es segura

mente mas aparente que el de aquella: En la referencia (Courant, E.D.;1947)

se utilizó para deducir la expresión de la varianza y otras formulas usadas

en correlación; Borgwaldt la empleó en el. análisis de momentos superiores

de la distribución (Borgwaldt, H.; 1966) y en la referencia (Dalfes,A.j1965)

se resuelve con el propósito de obtener la distribución de cuentas registra

das en uno o varios detectores sin utilizar de forma práctica dicha distri-

bución.

En el presente trabajo, la ecuación directa de Kolmogorov se res_uel

.ve siguiendo directrices similares a las de este último autor; sin embar-

go, hemos generalizado el procedimiento de solución de este tipo de ecuacio

nes y lo hemos aplicado a la obtención de la f.g.p. de los neutrones en el

reactor. Con el presente formalismo también se pueden deducir expresiones pa

ra el estudio de correcciones por tiempo•• muerto del contador y distribucio

- 51 -

nes de intervalos entre detecciones que hasta ahora solamente se han ob

tenido a través de la solución de la ecuación inversa.

Condiciones de contorno de la f.g.p. G(x,t).

Cuando x = 1, la identidad /2.18a/ se reduce a

G(7,t|« ,t ) = Jp(5?,tló< ,t ) s P ( « ,t ) ¿"2.22/o o ~r oo l o o

que es la probabilidad absoluta de tener el estado 5( en el instante tn o o

a partir de cualquier instante anterior. La probabilidad absoluta P (S,t)

de obtener el estado

- 52 -

La expresiones [2.22] y [2.26J constituyen las condiciones inicia

les o de contorno que habrán de cumplir las soluciones de [2.2.0a] -

2.5 Solución general de la ecuación de Kolmogorov

En el presente trabajo, la ecuación /2.20a/ se ha resuelto en las

siguientes circunstancias que son las mas convenientes para la realización

de las exp_erlencias llevadas a cabo en reactores del tipo del JEN-2:

1) No se tiene en cuenta la existencia de neutrones diferidos; -

implica hacer X . = 0 e n [2.21J por lo que g = 0 para 1 = l,2,...,g. Es-

ta hipótesis es admisible siempre que los intervalos de observación sean

pequeños. En nuestro caso nos hemos asegurado que la contribución de aque

líos al término de correlación [3.2] sea despreciable (Pal,L.; 1963).

2) El reactor permanecerá subcrítico y estacionario con la ayuda

de una fuente externa.

3) Supondremos que los procesos son homogéneos en el tiempo y li

neales, es decir, tanto Q como las secciones eficaces serán independientes

del tiempo y del número de particulas existentes en el reactor.

4) Se utiliza Teoria Puntual del Reactor y un solo grupo energé-

tico, es decir, la densidad neutrónica será una función exclusivamente del

tiempo, el factor de forma [1.33] no dependerá del tiempo y las fórmulas -

/"1.46/ definirán los parámetros cinéticos del reactor.

5) Solamente consideraremos un detector situado en cualquier pun-

- 53 -

to del reactor. En este modelo la correlación de los neutrones no es fun-

ción de las coordenadas espaciales.Si esto no se cumpliese, los parámetros

cinéticos, determinados por análisis de esta correlación, representarían

propiedades locales y no globales del reactor como representan las formu-

las A-397 ó /1.46/.

Por la primera de la hipótesis, las partículas existentes en el

reactor se reducen a dos tipos: neutrones y detecciones o cuentas regis-

tradas en el detector. Las primeras se describen con la variable formal -

x y las segundas por xi. En estas circunstancias, la ecuación' /"2.20a/

se escribirá así:

dG(x,t)

donde,

o(x) = goCxcXj^) = -irZ(l-xo) + v l ( (f (xo)-xo) +

1(x1-xo)+(l- ¿{ A ^ v j ^ l

g(x) s g(xo,x ) = - Q(l-xo)

Expresión general de la función go(xo,xi)

La f.g.p. de los neutrones emitidos en la fisión es

Í2.28J

(f(xo) = ¿ _ ^ o p( y> /2.21a7

- 54 -

donde hemos escrito simplemente >> por V . Haciendo el cambio x = 1 - z,

desarrollando la potencia de /"2.21a/ y deshaciéndolo, se obtiene:

V=o

/- 1 - 7(l-xn) + -V "~ (l-xn)

donde la serie se ha truncado a partir del tercer término como se justifi

ca en el párrafo 2.6.

Por las definiciones [1.397, podemos escribir:

f /2.3O7

k=—= ív

La eficiencia del detector, € , se define como el cociente de las

probabilidades de detección y fisión, en todo el reactor, por unidad de tiem

po, es decir,

vZ,f2'31J

Introduciendo /"2.297 en /2.287 y teniendo en cuenta /2.30/y [2.3lJ,

arreglando términos, se obtiene:

- 55 -

/2.32Í

Recordando las definiciones fl.hoj y /"l.48a7,

A

.e introduciendo el parámetro de Diven (Diven,B.C; 1956),

la expresión [2.32J puede escribirse definitivamente de la forma:

g _ v ^ o * ^ l ^ & • { ̂ " X Q / T O A • ' - " ^ • O ^ ~ ^ i i T A ^ ^ 1 '

Í2.347

= h [(l-xQ+b)2 - b V j

donde

n —

b =

0 =

vD2A

* A

\Jl+2Yo(l-Xl)

e Dex2 A 2

- 56 -

El parámetro 0, que contiene la "varianza relativa correlaciona

da" Y o /"3.2/j está relacionado con la detección de neutrones pertenecien-

tes a una misma cadena. En la expresión /~2«34/ se ha hecho

- 57 -

La última ecuación permite tratar a x como un parámetro constante. Las

otras dos integrales primeras son:

d xoU(xo,t) = t + , - = t + F(xo) /2.387

La solución general de [2.21] se escribe mediante la función arbitraria

(U,G ) = 0; otra forma de expresar la solución general es

/"2.407

siendo xj/ una función arbitraria. Esta solución ha de cumplir las condi-

ciones de contorno'{2.31]. Condiciones de este tipo se cumplen con 1' /u

da de una función z(U) que verifique las condicones,

a) Pata t = t 0 , z = xoÍ2.41/

b) Para xo=X|=l , z =1

haciendo (9):

La función z se determina a partir de /2.38/; esta función es

una solución de f2.3l] de modo que cumple (Parzen, E.; 1972, p 348):

(9) Un bosquejo de esta demostración se puede ver en (Syski, R.;

1960, p. 696).

- 58 -

U(z,t) = cte*

Rápidamente se observa que las condiciones [l.hl] se cumplen si z se define

como la inversa de U cuando t = t o : en efecto, haciendo,

U(xo,to) = t o + F(xo) 5 s Z"2.437

y despejando x de

F(xQ) = s - t^, Í2.447

se obtiene?

Cambiando la variable s por U, tenemos la función z(U)

Sustituyendo en /"2.467 el valor de U dado por /*2.387,

-1

de donde se deduce:

z(U) = F"L(U-t0) /2.467

z(xo,t) = F" ( t - t o + F(xo)), Í2.477

La solución general se obtiene de [2.39], /"2.4O7 y /"2.437 (10)

(lo) Ver nota al pie de la página siguiente.

- 59 -

G(xo,x1,t)=P1(no,t:o) [z(t-to+F(xo)) ] n ° - . exP í

. 497

2.5.1 Función generadora de probabilidades para neutrones

En este párrafo deducimos la f.g.p. para los neutrones existen

tes en un reactor; en el caso de un reactor estacionario, demostramos, -

de forma simple y diferente a como se hace en la literatura sobre reacto

res, que el valor medio de la población neutrónica solamente depende de

la fuente externa y del grado de subcriticidad, es decir, de la constan-

te de decaimiento de los neutrones instantáneos. Esta f.g.p. tiene mas -

interés teórico que práctico puesto que no se puede medir directamente -

ninguno de los parámetros que intervienen. La f.g.p. de interés práctico

será la que deduciremos, en el próximo párrafo.

En el presente caso x = 1 y la ecuación [2.21] se reduce a

9G(xn,t) 3G(xo ,t0) , ,T~ - gcAxo' T^ + g (xo; G(xo,t; L2.5KJJo t ox n

donde

go(xo) =(l-xo) [

- 60 -

Integrando el sistema equivalente /2.37/ se obtiene:

l-xoU(xo,t) = t -0

- 61 -

Sustituyendo [2.53J en /2.49/ se obtiene la solución general de /2.5O7:

G(xo,t) =P1(no,to) Zn°[(l-hp(xo).exp(-o¿(t-to))J[ l-£(l-xo)J

/"2.54/

que verifica las condiciones de contorno [2.36].

En el caso de que el reactor sea estacionario, la solución

G (xo) se puede obtener directamente de [2.5OJhaciendo — — = 0

ó bien, de /*2.54/. En efecto, esta situación es equivalente a hacer

tQ-* -©o; entonces, las exponenciales de /"2.52_7 y [25h] se anulan y se

tiene z = 1; como P (n , -oo) = 1 (11), se obtiene:

El valor medio de la población neutrónica es

N =3 G st ( x ° )

xo J x o = I

- 62 -

2.5.2 Función generadora de probabilidades para detecciones.

En este caso, la ecuación para integrar es la [2.21] que solamen

te difiere de la [2.50] en el parámetro x. , constante en la integración.

Teniendo presente que el número de cuentas registradas por el detector

en t es nulo, las condiciones de contorno son idénticas y la solución seo J

obtiene como en el caso anterior.

Sin embargo, la f.g.p. de las detecciones G(x ,t) ha de presciri

dir del número de neutrones presentes en los instantes inicial t y final

t. Esto se consigue sumando para todos los posibles estados neutrónicos -

iniciales n (ya que todos contribuyen al número final de cuentas registra

das) y eliminando el estado final haciendo xQ = 1. Por tanto,

G(x.,t) =

Í2.57J

¡ I o(v-} I= G (z) exp

st

ya que

¿2-58/no=o

por ser el reactor estacionario y P (n o , t o ) = P (nQ).

- 63 -

La función.z se determina siguiendo los mismos pasos que en el

caso anterior:

( dxo 1 j} l -xo+b(l-0)

= t + j——fip^ « t. — ín _ _ _

s = U(xo5x l 5to) = to+ F(XQ),

Llamando

Z = t - t 0

al intervalo en el que permanece activo el detector y sustituyendo en la

ecuación anterior s por U, se obtiene z(U) = F ( t - t o+ F(xo)):

l-xo+b(1+0)

Haciendo en /"2.6O/ xo = 1 obtenemos la función z(l,X]_,"c) que se ut i l iza

en /2.577 y /2.587:

2 ( x o = 1 ) =

Las integraciones en [2.51] y f2.58] se llevan a cabo sin difi

- 6 4 -

cuitad. Se obtiene:

G ( x i 5 z ) = exp

- 65 -

constante, la ecuación d i rec ta de Kolmogorov [l.ll] asegura su d i s t r i bu -

ción poissoniana. De esta forma simple, pero general , se obtiene que la

d i s t r ibuc ión de los impulsos regis t rados por el detector es la correspon

diente a la f . g . p . G(x, Z.) ¿"2.637 que depende exclusivamente del interva

lo t , de la constante de decaimineto de los neutrones instantáneos oí y

de su tiempo de generación A|de: la e f ic ienc ia del detector £. (estos dos

últimos parámetros intervienen a través del parámetro de correlación 0)

y de la magnitud Q que se suele e sc r i b i r en función del ritmo de contaje

o del número medio de cuentas obtenido en la d is t r ibuc ión experimental.

En efecto, según C2.17J el número medio de cuentas m se obtiene deriva_n

do /2 .63Jrespectó de x'y par t icular izando en x=l:

]x=l

de modo que

Q m R_2h ~ otrYo ~ 0í.Yo Z"2.64/

o bien

ot 6

donde R es el ritmo de cuentas.

Sustituyendo /2 .64 /en /"2.637se obtiene,

- 66 -

, 2 m r oCfc(0-l)G( x, X ) = exp -I - — \ ; + ln 40

de la que se deducen dos formas u s u a l e s de e s c r i b i r G(x, "£•):

G(x ,r)=exp J-

- 67 -

Veamos qué implicación tiene esta condición sobre la in tegra -

ción de go(xQ,x ) en el intervalo usado en /"2.57J al despreciar los térmi

nos restantes de la serie /*2.297»

Según /2.48/5 si xo = 1,

dxn

Desarrollando en serie de Taylor la función x (z ) , definida en [2.67],

alrededor de z = 1, se obtiene

que implica la desigualdad

¿7 A

Suponiendo que x varia en el intervalo de integración de [2.57J, se t ie

ne

Teniendo presente /"2.667, de la expresión anterior se deduce

- 68 -

2 ]7 A 2x2.4x6x10* 288 ms

5x10 (1-X )

Por tanto, para valores x próximos a cero, x, «288 ms. Esta cota es muy

superior a la exigida por haber excluido los neutrones diferidos en nues-

tro formalismo»

- 69 -

C A P I T U L O 3

ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS EXPERIMENTALES

3.1 Métodos experimentales basados en la d i s t r ibuc ión de probabi-

l idades { p i }

La f . g . p . G(x) deducida en e l cap i tu lo an te r io r contiene toda

la información de la d i s t r i buc ión experimental {p,} de l a s cuentas regijs

t r adas por un de tec tor colocado en e l r eac to r . Esta función es la base

t e ó r i c a de var ios de los métodos experimentales por los que se puede o'b

tener aquella información.

El método mas u t i l i z a d o durante muchos años ha sido el de Feyn

man (Feynman, R.P. ; 1956) o de l a varianza r e l a t i v a (razón varianza/media)

de la d i s t r ibuc ión {p,} • Mas t a rde (Mogilner, A . I . ; 1961) se proponía -

un nuevo método basado en la probabil idad de no obtener cuentas durante

e l in te rva lo de contaje T (método p o ) • Posteriormente se propusieron nue

vos métodos cons i s t en tes en la probabi l idad de obtener una cuenta (método

p, ) o un número par de e l l a s (método p ) durante el in te rva lo "C.1 par

Durante los últ imos años se ha u t i l i z ado la d i s t r ibuc ión {p,}

ajustando sus probabi l idades a las de una d i s t r ibuc ión binomial negativa

o d i s t r ibuc ión de Polya (Zolothukhin, V.G.; 1963)o se han comparado aque

l i a s con las calculadas mediante es ta d i s t r ibuc ión ( P a c i l i o , N. ; 1966),

(Turckan, E . ; 1968), (Sze le s s , A.; 1971) s in l l e g a i a u t i l i z a r l a s en un

a jus te d i rec to a la d i s t r i buc ión cuya f . g . p . es G(x) / 2 . 6 3 a / , que de aho

ra en adelante llamaremos d i s t r ibuc ión exacta para d i f e renc ia r l a de las

aproximaciones empleadas anter iormente.

- 70 -

Por el contrario, en este trabajo la distribución {p, } se ha

usado, como se explica en el párrafo 5.5.3, para hallar directamente los

parámetros cinéticos contenidos en la expresión /2.63a/. Los resultados

obtenidos por este nuevo método se comparan con los deducidos por los -

anteriores de los que a continuación se hace un análisis relativo a su -

precisión y eficacia. Una revisión muy completa sobre métodos de análi--

sis de ruido neutrónico en el dominio del tiempo se puede encontrar en -

las referencias (Pacilio, N.; 1969) y (Dragt, J.B.; 1968).

3.2 Método de Feynman

Si la distribución {p, } de los impulsos originados por los

neutrones que llegan al detector fuese de Poisson, su razón varianza/me

dia sería igual a la unidad. Sin embargo, como algunos de la neutrones

detectados pertenecer s una misma cadena de fisión, aquella se aparta -

tanto mas de la unidad cuanto mayor sea el número de neutrones correla-

cionados, es decir, pertenecientes a una misma cadena, detectados duran

te el intervalo "C .

Diversos autores (Bennet, E.F.; 1960), (Albrecht, R.W.j 19'62),

(Borgwaldt, H.; 1965), entre otros, suponiendo teoría puntual y un solo

grupo energético de neutrones, demostraron que la razón varianza/media -

de tal distribución se puede escribir así

k=0

donde ~tx> (k=0,1,2,... ,g) son las raices de la ecuación característica

- 71 -

/1.43/, Y son funciones que dependen de la eficiencia del detector y

del estado del reactor a través de aquellas raices y F es una función

de la forma:

F ( x ) =X

El primer término del sumatorio [3.1] representa la contribu-

ción de los neutrones instantáneos y el resto la de diferidos. Desde que

el experimento se realizó por vez primera (Feynman, R.P.; 1956) se ha

utilizado extensamente en la medida de constantes « empleando valores

de "2 grandes (incluso del orden de los segundos) (Albrecht, R.W.; 1962)

o bien reduciéndolos (Pacilio, N.; 1965). En la mayoría de los casos la

experiencia se lleva a cabo con reactor subcrítico y para intervalos de

observación que permitan despreciar la contribución de los neutrones di-

feridos (Pal, L. ; 1963). En este caso / 3 . 1 / se puede escribir así :

Ü2= l + y (1 - —— ) = 1 + Y /3 . la/m o íZ

donde se ha hecho wo=j¡e Y tiene el significado ya conocido: es el va-

lor asintótico de

^2 1 - e""ZY = — - 1 = Y (1 - - — ) /3.2/m o «•£

que se suele llamar "varianza relativa correlacionada" y cuya expresión

ya se mostró en /"2.35/.

La expresión /3.1a/ se puede deducir fácilmente de la f.g.p.

G(x). En efecto, de [2.11] se obtiene:

- 72 -

/i = E(k 2 ) - E(k)2 =r 2 1

3x24-

x=l

B G •dx

x=l

3G" ¿3.3/J x= l

Derivando /2.63a7 sucesivamente se obtiene:

x=l = m

= m(nri-Y)

Sustituyendo las expresiones anteriores en /3.3/ y dividiendo -

por m se obtiene /"3.1a/. Esta expresión se aplicará con las mismas restric

clones que la expresión general G(x), es decir, teniendo en cuenta las con

clusiones del párrafo 2.6.

Si OCT

- 73 -

3 >3 Método de Mogilner

Este método fue u t i l i z a d o (Mogilner, A . I . ; 1961) ajustando los

v a l o r e s experimentales de p o ( " C ) , determinados para d ive r sos va lores de

X , a una d i s t r i b u c i ó n binomial nega t iva . Mas t a rde ( P a l , L. ; 1963), -

(Zolothukin, V.G.; 1963) se derivó una expresión "exacta"para dicha proba

b i l i d a d u t i l i z a n d o t e o r í a pun tua l , monoenergética y despreciando la con-

t r i b u c i ó n de los neutrones d i f e r i d o s . Dicha expresión no es mas que e l -

va lo r de G(x) en x=0:

donde y = y¡ 1+2 YQ.

Este método puede competir ventajosamente con el de Feynman c£

mo se deduce de los resultados del presente trabajo; sin embargo, otros

autores, utilizando el método p , han obtenido los parámetros cinéticos

Oí e Y con errores mas altos que los obtenidos aplicando el método de la

varianza relativa (IAEA, 1972). En principio, el método pQ es mas rápido

que el de Feynman porque los valores de z necesariamente han de ser bajos,

aunque, naturalmente, dependen del ritmo de cuentas del reactor. Además,

el error en la determinación de p ( T ) siempre es menor que el de la va-

rianza relativa correlacionada como se verá en el párrafo 5.4.

Al igual que la expresión /3.1aJ, la /3.4/ se debe uti l izar con

cuidado; en el párrafo 3.4.1 se verá que si los parámetros cumplen la con

dición

/3.5/

- 74 -

la expresión /"3.4/ se reduce a

- 1

que solamente depende del producto

- 75

p, ( r ) =i

k k!3(k)G^ k

x

k=0, l ,2 , . . . /3.7/x=0

Ahora conviene escribir G(x) /"2.63a/ de la forma,

rM ,.2 -a (1-0) 2 -a(l+0)7-AG(x) = U + 0 ) 6 - ( 1 - 0 ) £ • /3.8/

L 4 0 J

donde,

(XX 2 m

Es evidente, dada la compleja forma de G(x), que un ajus te

directo de los valores experimentales -[p ( x ) } a los teór icos /"3.7/

es i r r e a l i z a b l e ; el número de té 1 " ' ,os de es ta expresión aumenta r á - -

pidamente con el número máximo de cuentas reg is t radas durante el inte_r

valo x • En nuestras experiencias es te número ha oscilado entre 3 ó 4

para X = 0.1 ms y 70 u 80 para ~L = 4.5 rus. Considerando que la expre

sión dentro del corchete de / 3 . 8 / contiene se is términos, la primera -

derivada contendría d