izvod funkcije

Click here to load reader

Post on 31-Oct-2014

392 views

Category:

Documents

16 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

seminarski rad

TRANSCRIPT

SEMINARSKI, DIPLOMSKI I MATURSKI RADOVISEMINARSKI, DIPLOMSKI I MATURSKI RADOVI IZ SVIH OBLASTI, POWERPOINT PREZENTACIJE I DRUGI EDUKATIVNI MATERIJALI.

WWW.DIPLOMSKI-RAD.COM WWW.SEMINARSKI-RAD.COMAKO VAM TREBA EDUKATIVNI MATERIJAL BILO DA JE TO SEMINARSKI, DIPLOMSKI , MATURSKI RAD, ILI POWERPOINT PREZENTACIJA NA NASIM SAJTOVIMA CE TE NACI SVE NA JEDNOM MESTU . SVI VAM PRUZAJU SAMO IME ZA SEMINARSKI, DIPLOMSKI ILI MATURSKI RAD A MI VAM DAJEMO DA POGLEDATE SVAKI RAD NJEGOV SADRAJ I PRVE TRI STRANE U PDF-U TAKO DA MOETE TACNO DA ODABERETE PRAVI RAD BEZ PROMASAJA. NASA BAZA SADRZI SVAKI GOTOV SEMINARSKI, DIPLOMSKI I MATURSKI RAD KOJI CE VAM IKADA ZATREBATI, MOETE GA SKINUTI I UZ NJEGOVU POMOC NAPRAVITI JEDINISTVEN I UNIKATAN RAD. AKO U BAZI NE NADJETE SEMINARSKI, DIPLOMSKI ILI MATRUSKI RAD KOJI VAM JE POTREBAN, U SVAKOM MOMENTU MOZETE NARUCITI DA SE IZRADI NOVI POTPUNO UNIKATAN SEMINARSKI, DIPLOMSKI ILI MATURSKI RAD NA LINKU NOVI RADOVI. SVA PITANJA I ODGOVORE MOETE DOBITI NA NAEM FORUMU KAO I BESPLATAN SEMINARSKI, PREPRICANE LEKTIRE, PUSKICE I POMOC. ZA BILO

KOJI VID SARADNJE ILI REKLAMIRANJA MOZETE NAS KONTAKTIRATI NA KONTAKT FORMI.

Sadraj

1.Uvod 2.Izvod funkcije 1.Geometrijsko znaenje izvoda 2.Osobine diferencijalnih funkcija 3.Osnovne teoreme diferencijalnog rauna 4.Pravila diferenciranja 5.Izvodi nekih elementarnih funkcija 6.Tablica osnovnih izvoda 7.Neki primjeri izvoda 3.Primjena prvog izvoda u ekonomiji 4.Zakljuak 5.Literatura

3. 4. 6. 9. 10. 11. 13. 16. 17. 18. 20. 21.

2

Uvod

Problemi tangente i brzine, kao i problemi ekstrema, tj. minimuma i maksimuma postepeno su potsticali nastajanje pojma izvoda. Mnogi matematiari jo od antike Grke uspijevali su da rijee neke od ovih problema za pojedinane sluajeve. Tek kada je Dekart pronaao metodu koordinata omogueno je da se krive predstavljaju jednainama, tako da je stvoren osnovni preduslov za pojavu opte metode za analitiko rjeavanje problema tangente, odnosno za definisanje pojma izvoda. Problem tangente prvi je rijeio njemaki matematiar i filozof Lajbnic definiui novu oblast matematike pod nazivom diferencijalni raun. U isto vrijeme Njutn je definisao izvod kao posljedicu istrivanja fenomena kretanja. To su bile dvije idejno i metodolki razliite koncepcije koje su dovele do istog rezultata. Danas, diferencijalni raun, predstavlja nezaobilazno sredstvo u rjeavanju mnogih problema savremene nauke i tehnike. Najpoznatiji spor u istoriji matematike voen je izmeu Njutna i Lajbnica oko otktia diferencijalnog rauna. Njutn je ima samo 23 godine kada je 1666god. otkrio metod, koji je nazvao metod fluksije. On je prvi shvatio da su integracija i diferenciranje dvije inverzne operacije. Meutim oklijevao je sa objavljivanjem svojih rezultata. U meuvremenu 1675, Lajbnic je samostalno doao do istog metoda koji je nazvao diferencijalni raun. On je svoje rezultate odmah publikovao i zadobio sva priznanja. Sukob ovih matematiara se nastavljao tako da je Londonsko kraljevsko drutvo formiralo komitet koji je 1713 god dalo prioreitet Njutnu. Meutim simbolika koju je uveo Lajbnic bila je mnogo jednostavnija i opte je prihvaena.

3

G. Leibniz ( 1646-1716 )

I. Newton ( 1642-1727 )

IZVOD FUNKCIJEDefinicija 1. Neka je funkcija y=f(x) definisana u intervalu I= i neka je

I, Ako postoji konana i odreena granina vrijednost(1)

= f '(x) za funkciju taki x. y= f(x) se kae da ima izvod u taki x ili da je diferencijabilna u

Pored oznake f '(x) za izvod funkcije y=f(x) se upotrebljavaju i druge oznake, kao naprimjer: ; y'; ; .

Na osnovu (1) izvod funkcije y=f(x) se moe izraziti u obliku(2)

y '=

odakle slijedi da je izvod funkcije y=f(x) granina vrijednost kolinika prirataja funkcije i prirataja argumenta kada prirataj argumenta tei nuli. U definiciji izvoda pretpostavili smo da moe imati proizvoljan znak, + ili - . Ako je tada emo izraz

zvati desni izvod i oznaavati sa

(x). Slino se definie i lijevi izvod i oznaava sa

(x).

4

Izvod funkcije jednak je graninoj vrednosti kolinika prirataja funkcije i prirataja nezavisno promenljive, kad prirataj nezavisno promenljive tei nuli.

Postupak nalaenja izvoda naziva se diferenciranjem. Funkcije koje imaju izvod nazivaju se diferencijabilne funkcije.

Primjer 1. Data je funkcija y=2x. Nai y za x=1 Rjeenje: Za x=1 je Za x=1+ Odakle je = Po definiciji izvoda je y(1)= = =4 =2( -2=(4+ ) . je f(1)=2* f(1)+ =2 =2(

Primjer 2. Za funkciju y= Rjeenje: y+ y=

nai y. , odakle je = +3 = (3 +3x +3x + + ) =

pa je

5

y'=

=

=

1.GEOMETRIJSKO ZNAENJE IZVODAU ispitivanju ekonomskih pojava esto se upotrebljava tzv statika analiza, tj odreivanje stanja ekvilibrijuma datog modela. Pri tome se ne dotie pitanje koliko se taj ekvlibrijum mijenja ukoliko promijenimo poetne uvjete. Time se bavi dinamika analiza. U dinamikoj analizi bavit emo se tzv stepenom promjene odreene varijable y = f ( x ) pri nekoj promjeni varijable x . Taj stepen promjene moemo ispitivati kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativno, zanima nas da li sa porastom x - sa dolazi do porasta ili smanjivanja y-a i kvantitativno, zanima nas kolika je ta promjena.

y

f ( x0 + x ) f ( x0 )

y

y x

O

x x0 x0 + x

x

Pretpostavimo sada da naa varijabla y zavisi samo od x.6

Ukoliko x promijeni svoju vrijednost od x0 do x0 + x , tada y mijenja svoju vrijednost od f ( x0 ) do f ( x0 + x ) . Razmjera, ili stepen promjene y po jedinici promjene x-a je y f ( x0 + x ) f ( x 0 ) . = x x

Vidimo da je

y Ako je ugao oznaen na slici, vidimo da je tg = . xf ( x0 + x ) f ( x0 )

y funkcija x0 i x (za dato f). x

:= f ' ( x0 ) kaemo da je funkcija x diferencijabilna u taki x0 (odnosno da ima izvod u x0 ). Izvod funkcije u x0 oznaavamo sa f ' ( x0 ) . Definicija: Ako postojix 0

lim

Piemo jo i lim Dakle,

x 0

y dy za malo x . (ovdje je oznaka za priblinu vrijednost). x dx

y dy = = y '. x dx

Geometrijski gledajui, prvi izvod funkcije f u taki x0 (dakle, f ' ( x0 ) ) jednak je koeficijentu pravca tangente na krivu y = f ( x ) u taki x0 .

Prvi izvod nam odreuje smjer promjene funkcije. Ako je f ' ( x0 ) > 0 tu je promjena pozitivna (s rastom x-a raste i y), a ako je f ' ( x0 ) < 0 tu je promjena negativna (s rastom x-a y opada). Proces nalaenja izvoda zovemo diferenciranjem. y Vidjeli smo ranije da lim ne mora postojati. Meutim mogu postojati lijevi i desni limesi. x 0 x Takvi limesi su desni i lijevi izvod funkcije f u taki x0 (tu funkcija nije diferencijabilna). ( Sluaj kada postoje dvije razliite tangente (lijeva i desna), tj. kada su desni i lijevi izvod funkcije u taki x0 razliiti prikazan je na slici dole lijevo).

y = tu funkcija nije x 0 x diferencijabilna, ali to geometrijski znai da je tangenta u taki ( x0 , f ( x0 ) ) okomita na x osu. Ukoliko je lim

1

x0

x

7

2

Moemo rei da izvod funkcije oznaava "brzinu njene promjene".

Neka je A = ( x0 , f ( x0 ) ) taka na grafiku krive y = f ( x) , B = ( x0 + x, f ( x0 + x) ) taka na krivoj koja odgovara apscisi x0 + x . Neka je C taka takva da je ugao ACB pravi. Tada je

AC = x , a BC = y = f ( x0 + x) f ( x0 ) . Povucimo tangentu na krivu u taki A, i neka ona sijee pravu BC u taki D. Tada je ugao kod vrha A u trouglu ACD jednak uglu kojeg zaklapa tangenta na y B krivu u taki A sa x-osom. Kako je f ' ( x0 ) = tg , a na D osnovu osobina pravouglog trougla ACD je A C CD CD CD , to je , pa je tg = = f ' ( x0 ) = AC x x xO x

CD = dy = f ' ( x0 ) x . Kako je y = CB , vidimo da je

dy y , za male x .

Primjer.

Izraunajmo

13

999

, koristei se osobinom da je dy y , za male x .

Dakle,

3

1 1 3 . Aproksimiramo na slijedei nain: 999 10001

Stavimo x0 = 1000, x0 + x = 999 , pa je x = 1 . Funkcija koju posmatramo je f ( x ) = x 3 .

Sada imamo: y dy = f ' ( x0 ) x , odakle slijedi

y = f ( x0 + x ) f ( x0 ) = f (999) f (1000) f '(1000) x .Odavde je f (999) = f (1000) + f '(1000) ( 1). Ostalo je jo da izraunamo f '(1000) . Imamo:8

4 4 1 1 1 3 1 1 = , to f ' ( x ) = x , pa je f '(1000) = 1000 3 = 104 . Kako je jo f (1000) = 3 1000 10 3 3 3

je

3

1 1 1 + 4 . 999 10 3 10

2.OSBINE DIFERENCIJALNIH FUNKCIJA

Teorema1.

Ako je funkcija y=f(x) diferencijabilna u taki x=c, tada je ona u toj taki i neprekidna.

Dokaz: Na osnovu pretpostavki date teoreme i teoreme o beskonano malim funkcijama je =f ' (c) + (c + x), gdje je (c + x) 0 kada x 0. Iz predhodne jednakosti se dobije y = f ' (c) * x + x*(c+x) odakle slijedi da y 0 kada x 0 to znai da je funkcija neprekidna u taki x=c.

Teorema 2.

Ako je funkcija y=f(x) injekcija i diferencijabilna u taki x, pri emu je f (x) 0, tada je I njena inverzna funkcija diferencijabilna u tki f(x) i vrijedi =

(1)

(

(f(x))) =

, ili

Dokaz: Dokaz kao i u relaciji y = f ' (c) * x + x*(c+x) je

9

(2) kako je (3) Takoe, iz (4) x=

f(x+x) f(x) = y+y=f(x+x) to je x+x= (y+y)

x

y=f(x) slijedi jednakost (y)

Zamjenom vrijednosti (3) i (4) u (2) dobijemo y=[f '(x)+(x+x) ] * [ Ili = Ako x 0 tada i y . , jer je neprekidna funkcija u taki x , pa je =( (f(x))) = . (y+y)(y)]

3.OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAUNA 1) Fermaova teorema Neka je funkcija y=f(x) definisana na odsjeku [a,b] i neka u nekoj taki c (a,b) ima najveu (ili najmanju) vrijednost. Ako postoji obostrani konaan izvod f `(c) , onda je f(c) = 0 2) Darbuova teorema Ako funkcija y=f(x) ima konaan izvod u svakoj taki odsjeka [a,b] , tada funkcija y=f(x) za x [a,b] uzima bar jednom sve vrijednosti izmeu f (a) i f (b) 3) Rolova teorema Neka je funkcija y=f(x) definisana i neprekidna na odsjeku [a,b] i neka postoji konaan izvod y`=f `(x) bar na intervalu (a,b) i neka je f(a) = f(b). Tada postoji bar jedan broj c (a,b) , takav da je f `(c) = 0 4) Lagranova teorema Neka je funkcija y=f(x) definisana i neprekidna na odsjeku [a,b] i neka postoji konaan izvod y`=f `(x) bar u svakoj taki na intervalu (a,b) . Tada postoji bar jedan broj c(a,b) , takav da je :

10

= f(c)5) Koijeva teorema Neka su funkcije f(x) i g(x) definisane i neprekidne na odsjeku [a,b] , neka postoje konani izvodi f (x) i g (x) bar na intervalu (a,b) i neka je g (x) 0, za svako x (a,b). Tada postoji bar jedan broj c (a,b) takav da je :

=

4.PRAVILA DIFERENCIRANJA Izraunavanje diferencijala funkcije takoer nazivamo diferenciranjem. Pravila diferenciranja su analogna pravilima za izraunavanje izvoda. To su slijedea pravila:

Teorema 1.

Ako je y=c*u(x), c=const, i ako postoji u(x) tada vrijedi y=c*u(x)

Dokaz:Za

y=c*u(x) je y+y=c*u(x)=c[u(x+x)-u(x)]

Po definiciji izvoda je y= = = [c*u(x)] '=c*u'(x), Teorema 2. [ c=const. = =c u'(x),

Izvod zbira konanog broja diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru izvoda pojedinih sabiraka, tj, (x)++ (x)] = (x)+ (x)+ (x)

(x) +

11

Dokaz: Teoremu emo dokazati samo za zbir od dva sabirka u(x) i v(x). Neka je y=u(x) + v(x) tada je y+y=u(x+x)+v(x+x), a

y=u(x+x)+v(x+x)-u(x) v(x)==[u(x+x)-u(x)]+[v(x+x)-v(x)].

Dalje je y= tj. [u(x)+v(x)]= u'(x)+v'(x). ime je teorema dokazana. Primjenom matematike indukcije nije teko dokazati da teorema vrijedi i u optem sluaju. Ako su funkcije u(x) i v(x) diferencijabilne funkcije u taki x tada je diferencijabilnai i funkcija y=u(x)*v(x) i pri tome vrijedi y=[u(x) * v(x)] = u'(x) * v(x)+u(x)*v'(x) Dokaz: Kako je y=u(x)*v(x) to je y+y=(u+u)*(v+v) pa je y=uv+vu+uv+uv-uv = = u'(x)+v'(x).

Teorema 3.

dijeljenjem sa x dobiemo = +u +u .

Nakon izraunavanja granine vrijednosti se dobija y=uv+uv jer je

u

=

u *

=0

Teorema 4.

Ako su funkcije u(x) i v(x) diferencijabilne funkcije u taki x i ako je v(x) 0, tada je diferencijabilna i funkcija y= , i pri tome vrijedi

12

y'= [

]=

Dokaz: Iz

y=

slijedi y+y = y = ,ili

y=

-

Nakon oduzimanja razlomaka desna strane predhodna jednakost je oblika

odnosno

=

Ako x 0 tada po teoremi kada je funkcija neprekidna I na osnovu pretpostavke date teoreme i v 0, pa je

y =5.IZVODI NEKIH ELEMENTARNIH FUNKCIJA

=

Prije nego navedemo pravila za izraunavanje izvoda, objasnimo kako izraunati izvode nekih elementarnih funkcija. Neke od njih emo izraunati po definiciji, a neke emo samo navesti.a) Izvod konstante. Ako je f(x)=c , gdje je c neka konstanta, tada je

pa je tj.

f(x) +f(x) =f(x+x) =c y= (c)=0 =

=0

b) Izvod funkcije y=

, q y+y=

.Ako argumentu x dodamo prirataj x tada e vrijednost

funkcije u x+x biti ili

y=Dalje je ili

-

13

Ako se stavi

u=

, tada je = =q =q* .

pa je y= tj. ( )= q* ,q =

c) Izvodi funkcija y=sin x i y=cos x. Neka je y=sin x . Vrijednost funkcije u x+x je

y + y = sin (x+x) odakle je prema formuli za razliku funkcije sin x

y=sin(x+x)-sinx= 2*sinPo definiciji izvoda je y= =

cos (x+ ) cos(x+ )= 1*cosx= cos x

(sin x) = cos x Slino se dobija i izvod funkcije y=cos x .Tada je y+y=cos(x+x) ili

y=cos(x+x) cos x = -2 sin * sin(x+ ),pa je y= tj. = (cos x)=-sin x sin(x+ )= -sinx

d) Izvod funkcije y= tg x i y= ctg x. Kako je

y= to je prema formuli y= tj. (tgx)= Slino se dobija da je (ctgx)=14

=

=

e) Izvod funkcije y=

, a

. Kako za y= y+y= y= -

vrijedi = = ( -1)

to je pa je = Iz definicije izvoda slijedi da je y= tj. ( )= za a=e slijedi da je Ina ( )= jer je Ine= 1. = = Ina

f) Izvod funkcije y=

y+y = ili y =

. Ako je y= +x)

tada je

=

)

Po definiciji izvoda je y= = tj. ( Ako je a=e tada ) = =In x, pa je (Inx)= , jer je Ine=1. = )= )=

g) Izvodi inverznih trigonometrijskih funkcija. Funkcija y= arcsinx za -1 x 1, pri emu je

-

y

, ima inverznu funkciju x=siny. Tada je

= cosy i vrijedi

15

= tj.

=

=

=

(arcsinx) = Analog se dobija (arccosx) = (arctgx) = (arcctgx)=

6.TABLICA OSNOVNIH IZVODA Izvodi elementarnih funkcija, datih u prethodnom dijelu, mogu se izraziti na sljedei nain:

y = f ( x)

y = f ( x)

constx , Rx

0

x 11 2 x16

a x , a R, 0 < a 1 exlog a x , a R, 0 < a 1

a x ln a ex1 log a e x1 x

ln x

sin xcos x

cos x

sin x

7.NEKI PRIMJERI IZVODA Primjer 1. Nai izvod funkcije Rjeenje: Funkcija y= funkcije i to y= cos x

cos x se moe posmatrati kao prizvod dvije elementarne i cos x , pa je =

y= ( )cos x + (cos x) = 2xcos x + =2xcosx - sin x = x( 2cos x x sin x)

Primjer 2. Funkcija y=

se moe posmatrati kao kolinik elementarnih funkcija

i tg x,pa je

17

y =

=

=

.

Primjer 3.Nai y ako je y= Rjeenje: y= (

Inx )Inx+ (Inx) = Ina Inx+ =

(Ina Inx + )

Primjer 4. Ako je

y= y = (

arctg x tada je )arctg x + (arctg x) = 4 arctg x +

PRIMJENA PRVOG IZVODA U EKONOMIJIKao to smo vidjeli, izvod funkcije nam govori kojom se brzinom i kako funkcija mijenja. Ukoliko je prvi izvod veliki pozitivan broj, to znai da funkcija brzo rasle, ukoliko je malen (po apsolutnoj vrijednosti) negativan broj, to znai da funkcija sporo opada i sl. Ukoliko je rije o funkciji koja ima neko ekonomsko znaenje, tada nam prvi izvod predstavlja graninu ili marginalnu funkciju te funkcije. Primjer 1. Ako je C = C ( Q ) funkcija trokova (gdje smo sa Q oznaili koliinu proizvodnje) , u ekonomiji se definie tzv. funkcija marginalnog ili graninog troka, koju oznaavamo sa MC(Q) sa MC ( Q ) = C ' ( Q ) .18

Ako sa AC ( Q ) oznaimo funkciju prosjenog troka, tj. AC ( Q ) =

C ( Q) Q

, tada je

MC ( Q ) AC ( Q) za male Q.

Primjer 2. Koeficijent elastinosti pojave y u odnosu na promjenu pojave x se definie sa y x 1 y = y , x := . Ekonomski, to znai da, ako se x promijeni za 1% (tj. ) tada se varijabla x x 100 x y 100% . y promijeni za y , x = y Ako je y , x > 1 tada je y elastina na promjenu x, a za y , x < 1 kaemo da je y neelastina na promjenu x. Zapravo kad je rije o malim promjenama (u ekonomiji su uglavnom takve u dy x x vremenu) , moemo smatrati da je y , x = = y 'x . dx y y (U mikroekonomiji se definiu razliite elastinosti, npr. elastinost supstitucije proizvodnih faktora skupljeg faktora jeftinijim, ili elastinost potranje u odnosu na dohodak, ...). Pomou izvoda moemo, za datu funkciju ukupnih trokova proizvodnje izraunati nivo proizvodnje na kome su jedinini trokovi proizvodnje minimalni. Vidjeli smo da prvi izvod funkcije jedne promjenljive u ekonomiji predstavlja tzv. graninu ili marginalnu funkciju date ekonomske funkcije. Analogno tome, ukoliko imamo neku ekonomsku funkciju dvije promjenljive (npr. koliinu proizvodnje kao funkciju rada i kapitala ili ukupan prihod kao funkciju trokova proizvodnje i koliine proizvodnje) tada moemo smatrati da se jedna promjenljiva nalazi na istom nivou i posmatrati kako se mijenja naa funkcija s promjenom druge promjenljive. Brzina te promjene je marginalna funkcija date funkcije, a ona zapravo predstavlja prvi parcijalni izvod te funkcije po posmatranoj promjenljivoj. To emo detaljnije 1 objasniti na primjeru Cobb-Douglasove funkcije proizvodnje Q = Q ( L, K ) = A L K .

Ukoliko pretpostavimo da je u nekom kraem vremenskom intervalu uloeni kapital K = const , poveanje rada za neko L dovest e do poveanja proizvodnje za neku koliinu

Q . Porast proizvodnje po jedinici porasta ulaganja faktora rada L jednak je

Q . Ukoliko L

Q L 0 L granina produktivnost faktora L (u sluaju da je kapital konstantan). S druge strane, vidimopustimo da L 0 , pribiavamo se poetnom vremenskom trenutku. Upravo je lim

19

Q Q ' = = QL prvi parcijalni izvod funkcije proizvodnje po varijabli L . Dakle, L 0 L L granina produktivnost proizvodnog faktora L je prvi parcijalni izvod funkcije proizvodnje po varijabli L . Ukoliko pretpostavimo da je u nekom kratkom vremenskom intervalu uloeni rad L = const. , tada je porast proizvodnje po jedinici porasta ulaganja faktora kapitala K jednakda je lim

Q Q . Ukoliko pustimo da K 0 , dobijamo lim to predstavlja granini (marginalni) K 0 K K Q Q ' = = QK prvi K K parcijalni izvod funkcije proizvodnje po varijabli K . Dakle, granini proizvod faktora K je prvi parcijalni izvod funkcije proizvodnje po varijabli K .proizvod faktora K (u sluaju da je rad konstantan). S druge strane je lim K 0 1 Ukoliko je Q ( L, K ) = A L K , tada je marginalna produktivnost faktora L jednaka:

Q = A K 1 L )' A K 1 (= L

= L 1

K A = L

Q L

1

.

Odavde vidimo da je marginalna produktivnost faktora L jednaka proizvodu broja i prosjene produktivnosti. Marginalni proizvod faktora K jednak jeQ = A (K 1 ) L A 1 '= ( L K1 = L ) 1

L 1 A ) (= K

Q 1 K

(

)

.

Vidimo da je marginalni proizvod faktora K jednak proizvodu broja ( 1 ) i prosjenog proizvoda.

Z A K LJ U A K

U ovom seminarskom radu sam pokuao objasniti jednu od interesantnih tema matematike a koja je vezana za ekonomiju kao i razvoj diferencijalnog rauna kroz povijest. Newtonov i Leibnizov pristup diferencijalnom raunu. Geometrijska interpretacija derivacije funkcije u toki kao nagib tangente u zadanoj toki. Definicija derivacije funkcije u toki. Nuan20

uvjet za postojanje derivacije u toki je da je ona neprekidna u toj toki. Pravila za deriviranje: derivacija zbroja funkcija, derivacija produkta i kvocijenta funkcija, derivacija konstantne funkcije. Dokazi pravila za deriviranje. Primjeri derivacija. Derivacija kompozicije funkcije. Diferencijal funkcije i njegovo geometrijsko znaenje.

LITERATURA

1. Sabahet Drpljanin, Matematika, Univerzitet u Tuzli, Tuzla 1997.2. Nataa Dubur, Matematika sa zbirkom zadataka za 4.razred srednje kole, IP Svjetlost

d.d.Zavod za udbenike i nastavna sredstva Sarajevo, 1998.god.

21

3. Prof.dr.ing.Boris Aspen, Repetitorij vie matematike, Tehnika knjiga Zagreb, 1963.god,

22