mera integral izvod

Click here to load reader

Post on 17-Nov-2015

90 views

Category:

Documents

10 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Teorija mera, integral

TRANSCRIPT

  • Mera, integral i izvodDragan S. Dordevic

    3.1.2014.

  • 2

  • Sadrzaj

    Predgovor 5

    1 Uvod 71.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Topoloski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Metricki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Prostori R, R i Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Banahovi i Hilbertovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2 Pozitivne mere 212.1 Merljivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Monotone familije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Pozitivne mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 Konstrukcija Karateodorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3 Lebegova mera 493.1 Lebeg-Stiltjesova mera na R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Lebegova mera na R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Lebegova mera na Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 Transformacije prostora Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4 Integral 734.1 Integral proste nenegativne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Integral nenegativne merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Integral prosirene realne merljive

    funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4 Integral kompleksne merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . 85

    3

  • 4 SADRZAJ

    4.5 Lebegov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5 Konvergencije nizova funkcija 1035.1 Lp prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2 Konvergencija po meri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    6 Kompleksne mere 1156.1 Apsolutna varijacija kompleksne mere . . . . . . . . . . . . . . 1156.2 Apsolutna neprekidnost i singularnost . . . . . . . . . . . . . . 1206.3 Teoreme Radona-Nikodime i Lebega . . . . . . . . . . . . . . 1236.4 Dekompozicija mere i prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    7 Izvod 1317.1 Vitalijev pokrivac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 Monotone funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3 Funkcije ogranicene varijacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.4 Apsolutno neprekidne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.5 Teoreme diferencijalnog i integralnog racuna . . . . . . . . . . 1517.6 Diferencijabilne funkcije kao skup prve kategorije . . . . . . . 1547.7 Vazni primeri u teoriji funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    8 Mera i integracija na proizvodu prostora 1658.1 Proizvod merljvih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    9 Reprezentacije funkcionala 1679.1 Reprezentacija pozitivnih funkcionala na Cc(X) . . . . . . . . 1679.2 Aproksimacije neprekidnim funkcijama . . . . . . . . . . . . . 1689.3 Reprezentacia ogranicenih funkcionala na Lp(X, ) . . . . . . 1689.4 Reprezentacija ogranicenih funkcionala na C0(X) . . . . . . . 171

    10 Diferenciranje mera 173

    11 Vektorske mere 175

  • Predgovor

    Izlozeni rezultati predstavljaju osnovni materijal za izucavanje mere, inte-grala i izvoda, uzimajuci u obzir potrebe studenata na razlicitim nivoimastudija.

    Citanje kompletnog teksta uslovljeno je poznavanjem elemenata opste ilinearne algebre, kao i teorije skupova. Posebno, vazno je razumeti gustinuskupova Q i I u skupu realnih brojeva R, postojanje supremuma i infi-muma podskupova od R, razlikovati prebrojive skupove (N,Z,Q) od nepre-brojivih skupova (I,R,C), kao i uociti primenu aksiome izbora. Poznavanje- tehnike je svuda neophodno.

    Glave 2 - 4 sadrze materijal namenjen prevashodno studentima osnovnihakademskih studija. Ovaj materijal citalac moze savladati uz poznavanjeosnova matematicke analize: diferencijalnog i integralnog racuna funkcijejedne promenljive, kao i osobina brojnih i funkcionalnih redova.

    Glave 5 - 8 su ozbiljnije prirode i namenjene su studentima master akadem-skih studija. Neophodno je poznavanje elemenata funkcionalne analize itopologije.

    U ovom trenutku tekst nije kompletan, a takode ima slovnih i drugihgresaka. Konstantno se radi na poboljsanju materijala namenjenog studi-entima (obratiti paznju na datum upisan na prvoj strani). Studenti su uobavezi da konsultuju dodatnu literaturu, koja je navedena u spisku referen-ci. Obavezno posetiti bilioteku Fakulteta.

    5

  • 6 SADRZAJ

  • Glava 1

    Uvod

    Ova glava predstavlja rekapitulaciju pojmova i teorema koje se koriste u ovomrukopisu, ali pri tome ne predstavljaju glavnu temu izucavanja. Sadrzajove glave ne moze zameniti detaljno izucavanje realne prave, topoloskih,metrickih, ili normiranih prostora.

    1.1 Osnovni pojmovi

    Smatramo da je student upoznat sa - definicijama i tehnikama dokazivanja.

    Podvlacimo neophodnost razumevanja sledecih osnovnih principa.

    1) Uocavanje razlike izmedu prebrojivih i neprebrojivih skupova. SkupoviN, Z i Q su prebrojivi, a skupovi I, R i C su neprebrojivi. Skup je najviseprebrojiv, ako je konacan ili prebrojiv.

    2) Postojanje infimuma i supremuma podskupova od R. Neka je A R.Infimum skupa A, u oznaci inf A, jeste najveca donja granica skupa A. Akoje A = , onda je inf A = +. Ako je A 6= i A je odozdo ogranicen,tada postoji inf A R. Ako A nije odozdo ogranicen, tada je inf A = .Supremum skupa A, u oznaci sup A, je najmanja gornja granica skupa A.Ako je A = , tada je sup A = . Ako je A 6= i A je odozgo ogranicen,tada postoji sup A R. Ako A nije odozgo ogranicen, tada je sup A = +.Slicno ako je A R = R {, +}.

    3) Skupovi Q i I su gusti u skupu R. Ako je (a, b) proizvoljan intervalu skupu R, tada postoji beskonacno mnogo racionalnih brojeva u intervalu(a, b), a takode postoji beskonacno mnogo iracionalnih brojeva u ovom inter-valu.

    7

  • 8 GLAVA 1. UVOD

    Ako je (Ai)i neka familija skupova, pri cemu je I indeksni skup, tada jedirektni proizvod skupova ove familije definisan na sledeci nacin:

    A =iI

    Ai = {f |f : I iI

    Ai, (i I)f(i) Ai}.

    Dakle, prirodno je za element a A uvesti formu a = (ai)iI , pri cemu jeai Ai za svako i I.

    Aksioma izbora tvrdi da ako su svi skupovi Ai neprazni, tada je i njihovdirektan proizvod A takode neprazan skup.

    Drugim recima, ako su svi skupovi Ai neprazni, onda postoji proceduraformiranja nekog skupa B, koji sadrzi bar po jedan elemenat svakog skupaAi.

    Napomena 1.1.1. Cesto koristimo oznaku x := y sa sledecim znacenjem:novoj velicini x dodeljujemo istu vrednost koju ima poznata velicina y, unajsirem smislu (na primer, x, y mogu biti brojevi, izrazi, funkcije, skupovi,. . . ).

    1.2 Topoloski prostori

    Neka je X neprazan skup i neka je P(X) partitivni skup od X. Pretpostavimoda familija P(X) zadovoljava sledece uslove:

    (1) X, ;(2) Ako je A, B , tada je A B ;(3) Ako je I proizvoljan (indeksni) skup, i ako je (Ai)iI familija skupova

    sa svojstvom Ai za svako i I, tada jeiI

    Ai .Tada je topologija na skupu X, a ureden par (X, ) je topoloski prostor.

    U slucaju da se topologija na skupu X podrazumeva, onda se moze kratkoreci da je X topolosku prostor.

    Elementi topologije nazivaju se otvoreni skupovi.

    Ako je A X i (X, ) je topoloski prostor, onda je unutrasnjost skupaA, u oznaci int A, definisana kao

    int A ={G : G A, G }.

    Dakle, int A je najveci otvoren skup sadrzan u A.

  • 1.2. TOPOLOSKI PROSTORI 9

    Teorema 1.2.1. Neka je (X, ) topoloski prostor i G X. Tada je G ako i samo ako je G = int G.

    Skup A je zatvoren, ako i samo ako je Ac . Neka je z familija svihzatvorenih skupova prostora (X, ). Dakle, A z ako samo ako je Ac .

    Na osnovu De Morganovih1 pravila za uniju, presek i komplement skupova,vazi sledi sledeci rezultat.

    Teorema 1.2.2. Neka je (X, ) toploski prostor i neka je z familija odgo-varajucih zatvorenih skupova u X. Tada vaze sledeca svojstva:

    (1) X, z;(2) Ako je A,B z, tada je A B z;(3) Ako je I proizvoljan (indeksni) skup, i ako je (Ai)iI familija skupova

    sa svojstvom Ai z za svako i I, tada jeiI

    Ai z.

    Ako je (X, ) topoloski prostor, tada je zatvorenje skupa A, u oznaci cl A,definisano kao

    cl A ={F : F A,F z},

    pri cemu je z odgovarajuca familija zatvorenih skupova u X. Proizilazi daje cl F najmanji zatvoren podskup od X koji sadrzi skup F .

    Teorema 1.2.3. Neka je (X, ) topoloski prostor i F X. Tada je F zako i samo ako je F = cl F .

    Neka su (X, 1), (Y, 2) topoloski prostori, i neka je f : X Y preslika-vanje. f je neprekidno preslikavanje na skupu X, ako za svako G 2 vazif1(G) 1.Teorema 1.2.4. Neka su z1 i z2 familije zatvorenih skupova u topoloskimprostorima (X, 1) i (Y, 2), redom. Preslikavanje f : X Y je neprekidno,ako i samo ako za svako F z2 vazi f1(F ) z1.

    Neka je (X, ) topoloski prostor. Ako je x A, U X, i ako postojiV , tako da je x V U , tada je U okolina tacke x.

    Neka su (X, 1) i (Y, 2) topoloski prostori, i neka je f : X Y preslika-vanje. f je neprekidno u tacki x X, ako za svaku okolinu V tacke f(x) uprostoru Y , postoji okolina U tacke x u prostoru X, tako da je f(U) V .

    1Augustus De Morgan (1806-1871), britanski matematicar i logicar

  • 10 GLAVA 1. UVOD

    Teorema 1.2.5. Neka su (X, 1) i (Y, 2) topoloski prostori, i neka je f :X Y preslikavanje. f je neprekidno preslikavanje na skupu X, ako i samoako je f neprekidno u svakoj tacki x X.

    Familija skupova (Gi)iI je pokrivanje skupa K, ako je K iI

    Gi. Ako

    su Gi otvoreni skupovi u topoloskom prostoru X, tada je (Gi)iI otvorenopokrivanje skupa G.

    Skup K je kompaktan u topoloskom prostoru X, ako se svako otvorenopokrivanje skupa K