documents.tips izvod funkcije

Post on 07-Jul-2018

224 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    1/23

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    2/23

    S a d r ž a j

    1.Uvod 3.

    2.Izvod funkcije 4.1.Geometrijsko značenje izvoda 6.2.Osobine diferencijalni funkcija !.3.Osnovne teoreme diferencijalno" računa 1#.4.$ravila diferenciranja 11.%.Izvodi neki elementarni funkcija 13.6.&ablica osnovni izvoda 16.'.(eki )rimjeri izvoda 1'.

    3.$rimjena )rvo" izvoda u ekonomiji 1*.

    4.+aključak 2#.

    %.,iteratura 21.

    U v o d

    2

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    3/23

     Problemi tangente i brzine, kao i problemi ekstrema, tj. minimuma i maksimuma

     postepeno su potsticali nastajanje pojma izvoda. Mnogi matematičari još od antičke Grčkeuspijevali su da riješe neke od ovih problema za pojedinačne slučajeve.

    Tek kada je Dekart pronašao metodu koordinata omogueno je da se krive predstavljaju

     jednačinama, tako da je stvoren osnovni preduslov za pojavu opšte metode za analitičko

    rješavanje problema tangente, odnosno za de!inisanje pojma izvoda.

     Problem tangente prvi je riješio njemački matematičar i !ilozo! "ajbnic de!inišui novu

    oblast matematike pod nazivom di!erencijalni račun.

    # isto vrijeme $jutn je de!inisao izvod kao posljedicu istr%ivanja !enomena kretanja.

    To su bile dvije idejno i metodolški različite koncepcije koje su dovele do istog rezultata.

     Danas, di!erencijalni račun, predstavlja nezaobilazno sredstvo u rješavanju mnogih

     problema savremene nauke i tehnike.

     $ajpoznatiji spor u istoriji matematike vo&en je izme&u $jutna i "ajbnica oko otktia

    di!erencijalnog računa.

     $jutn je ima samo '( godine kada je )***god. otkrio metod, koji je nazvao metod 

     !luksije. +n je prvi shvatio da su integracija i di!erenciranje dvije inverzne operacije. Me&utim

    oklijevao je sa objavljivanjem svojih rezultata. # me&uvremenu )*-, "ajbnic je samostalnodošao do istog metoda koji je nazvao di!erencijalni račun. +n je svoje rezultate odmah

     publikovao i zadobio sva priznanja. ukob ovih matematičara se nastavljao tako da je

     "ondonsko kraljevsko društvo !ormiralo komitet koji je ))( god dalo prioreitet $jutnu.

     Me&utim simbolika koju je uveo "ajbnic bila je mnogo jednostavnija i opšte je prihvaena.

    G. "eibniz / )*0*1))* 2 I. Newton ( 1642-1727 )

    3

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    4/23

    I Z V O D F U N K C I J E

     Definicija 1.   $eka je !unkcija 34!/52 de!inisana u intervalu 6 4 i neka je

     6, 7ko postoji konačna i odre&ena granična vrijednost

    -1 / ! 8/52

     za !unkciju 34 !/52 se ka%e da ima izvod u tački 5 ili da je di!erencijabilna u

    tački 5.

    $ored oznake  ! 8/52 za izvod funkcije 34!/52 se u)otrebljavaju i dru"e oznake0 kao na)rimjer

       3 8 9 9 .

     (a osnovu -1 izvod funkcije  34!/52 se moe izraziti u obliku

    -2  3 84

    odakle slijedi da je izvod funkcije  34!/52  "ranična vrijednost količnika )rirataja funkcije i

     )rirataja ar"umenta kada )rirataj ar"umenta tei nuli. U definiciji izvoda )ret)ostavili smo da

    moe imati )roizvoljan znak0 5 ili . 7ko je tada 8emo izraz

    zvati desni izvod i označavati sa - 5. 9lično se definie i lijevi izvod i označava sa - 5.

    Izvod funkcije jednak je graničnoj vrednosti količnika priraštajafunkcije i priraštaja nezavisno promenljive, kad priraštaj nezavisno

     promenljive teži nuli.

    4

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    5/23

    Postupak nalaženja izvoda naziva se diferenciranjem.Funkcije koje imaju izvod nazivaju se diferencijabilne funkcije.

     Primjer 1. :ata je funkcija 34'5.  (a8i 3: za 5/1

     Rješenje: +a 5/1 je  !/)242; /2

    +a 5/15 je  !/)2; /2-

    Odakle je

    / /2- 2/-45 .

    $o definiciji izvoda je

     3:/)24 4 44

     Primjer 2. +a funkciju 34  na8i 3:.

     Rješenje:  3; , odakle je

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    6/23

     384 4 4

    1.GEOMETRIJSKO ZNAČENJE IZVODA

    U is)itivanju ekonomski )ojava 8esto se u)otrebljava tzv statička analiza0 tj odre=ivanje stanjaekvilibrijuma dato" modela. $ri tome se ne dotiče )itanje koliko se taj ekvlibrijum mijenjaukoliko )romijenimo )očetne uvjete. &ime se bavi dinamička analiza. U dinamičkoj analizi bavit

    8emo se tzv ste)enom )romjene odre=ene varijable ( ) 3 ! 5=  )ri nekoj )romjeni varijable  5 . &aj

    ste)en )romjene moemo is)itivati kvalitativno i kvantitativno. >valitativno0 zanima nas da li sa )orastom  5   sa dolazi do )orasta ili smanjivanja  3a i kvantitativno0 zanima nas kolika je ta

     )romjena.

    6

     3

    + 5

    ( )# ! 5

    ( )# ! 5 5+ ∆

    # 5 5+ ∆# 5

     5∆

     5∆

     3∆ 3∆ϕ 

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    7/23

    $ret)ostavimo sada da naa varijabla 3 zavisi samo od 5.

    Ukoliko  5  )romijeni svoju vrijednost od # 5   do # 5 5+ ∆ 0 tada  3  mijenja svoju vrijednost od

    ( )# ! 5   do ( )# ! 5 5+ ∆ . ?azmjera0 ili ste)en )romjene  3  )o jedinici )romjene  5a je

    ( ) ( )# # ! 5 5 ! 5

     3 5 5

    + ∆ −∆=

    ∆ ∆.

    @idimo da je 3

     5

    ∆ funkcija # 5  i  5∆  -za dato ! .

    7ko je ϕ  u"ao označen na slici0 vidimo da je 3

    tg  5

    ϕ   ∆

    =∆

    .

     Definicija: 7ko )ostoji( ) ( )

    ( )# # ##

    lim A 5

     ! 5 5 ! 5 ! 5

     5∆ →

    + ∆ −=

      kaemo da je funkcija

    diferencijabilna u tački # 5  -odnosno da ima izvod u # 5 . Izvod funkcije u # 5  označavamo sa

    ( )#A ! 5 .

     $iemo jo i#

    lim A 5

     3 d3 3

     5 d5∆ →

    ∆= =

    ∆.

    :akle0 3 d3

     5 d5

    ∆≈

    ∆ za malo  5∆ . -ovdje je ≈ Boznaka za )riblinu vrijednost.

    Geometrijski "ledaju8i0 )rvi izvod funkcije  !   u tački # 5  -dakle0 ( )#A ! 5 jednak je koeficijentu

     )ravca tan"ente na krivu ( ) 3 ! 5=

     u tački # 5 .

    $rvi izvod nam odre=uje smjer )romjene funkcije. 7ko je ( )#A # ! 5   >  tu je )romjena )ozitivna -s

    rastom 5a raste i 30 a ako je ( )#A # ! 5   <  tu je )romjena ne"ativna -s rastom 5a 3 o)ada.

    $roces nalaenja izvoda zovemo diferenciranjem.

    @idjeli smo ranije da#

    lim 5

     3

     5∆ →

    ∆ ne mora )ostojati. Ce=utim mo"u )ostojati lijevi i desni limesi.

    &akvi limesi su desni i lijevi izvod funkcije  !   u tački # 5  -tu funkcija nije diferencijabilna.- 9lučaj kada )ostoje dvije različite tan"ente -lijeva i desna0 tj. kada su desni i lijevi izvodfunkcije u tački # 5  različiti )rikazan je na slici dole lijevo.

    Ukoliko je#

    lim 5

     3

     5∆ →

    ∆= ±∞

    ∆  tu funkcija nije

    diferencijabilna0 ali to "eometrijski znači da je

    tan"enta u tački ( )( )# #0 5 ! 5  okomita na 5 osu.

    7

     5

    2β 1β 

      # 5

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    8/23

    Coemo re8i da izvod funkcije označava Dbrz!" !j#!# $ro%j#!#D.

     (eka je   ( )( )# #0 7 5 ! 5=   tačka na "rafiku krive -  3 ! 5= 0 ( )( )# #0 < 5 5 ! 5 5= + ∆ + ∆   tačka na

    krivoj koja od"ovara a)scisi # 5 5+ ∆ . (eka je E tačka takva da je u"ao 7EF )ravi. &ada je

     7= 5= ∆

    0 a # #- -  ako je ( )#A ! 5 tg ϕ = 0 a na

    osnovu osobina )ravou"lo" trou"la 7E: je

    =D =Dtg 

     7= 5ϕ   = =

    ∆0 to je ( )#A

      =D ! 5

     5=

    ∆0 )a je

    ( )#A=D d3 ! 5 5= = ∆ . >ako je   3 =

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    9/23

    Ostalo je jo da izračunamo A-1### !   . Imamo

    ( )4

    31

    A3

     ! 5 5−

    = − × 0 )a je4

    431 1

    A-1###. 1### 1#3 3

     !  −

    −= − = − . >ako je jo

    3

    1 1-1###

    1#1### !     = = 0 to

     je 431 1 1

    1# 3 1#!!! ≈ + × .

    &.OS'INE DIFERENCIJA(NI) FUNKCIJA

    Teorema1.  7ko je !unkcija 34!/52 di!erencijabilna u tački 54c, tada je ona u toj tački i

    neprekidna.

     Dokaz:  $a osnovu pretpostavki date teoreme i teoreme o beskonačno malim

     !unkcijama je

     4! 8 /c2 ; /c ; ∆ 52,

    "dje je  /c ; ∆ 52 > kada ∆ 5 >. Iz )redodne jednakosti se dobije

    ∆ 3 4 ! 8 /c2 ? ∆ 5 ; ∆ [email protected]/c;∆ 52

    odakle slijedi da ∆ 3 > kada  ∆ 5 >

     to znači da je funkcija ne)rekidna u tački 54c.

    Teorema 2.  7ko je !unkcija 34!/52 injekcija i di!erencijabilna u tački 5, pri čemu je ! A/52 >,

    tada je 6 njena inverzna !unkcija di!erencijabilna u tčki !/52 i vrijedi

    9

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    10/23

    /)2 / /!/5222 A 4 , ili 4

     Dokaz: :okaz kao i u relaciji 

    ∆ 3 4 ! 8 /c2 ? ∆ 5 ; ∆ [email protected]/c;∆ 52 je

    /'2 !/5;∆ 52 B !/52 4 ∆ 5

    kako je  3;∆ 34!/5;∆ 52 to je

    /(2 5;∆ 54 /3;∆ 32

    &ako=e0 iz  34!/52 slijedi jednakost

    -4  54 /32

    +amjenom vrijednosti -3 i -4 u -2 dobijemo

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    11/23

    7ko funkcija

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    12/23

     3;∆ 34c?u/524cCu/5;∆ 521u/52

    $o definiciji izvoda je

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    13/23

     )a je   ∆ 34uv;v∆u;u∆v;∆u∆v1uv

    dijeljenjem sa ∆ 5 dobi8emo

     / ; u  5∆

    u .

     (akon izračunavanja "ranične vrijednosti se dobija

     3:4u:v;uv: 

     jer je   u ' u ( '

    Teorema 4.  7ko su !unkcije u/52 i v/52 di!erencijabilne !unkcije u tački 5 i ako je v/52 >, tada

     je di!erencijabilna i !unkcija 34 , i pri tome vrijedi

       384 C 4

     Dokaz: Iz  34 slijedi

     3;∆ 3 4 ,ili   ∆ 34 1

     (akon oduzimanja razlomaka desna strane )redodna jednakost je oblika

    ∆ 3 4

    odnosno /

    13

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    14/23

    7ko ∆ 5 > tada )o teoremi kada je funkcija ne)rekidna I na osnovu )ret)ostavke

    date teoreme i ∆v >0 )a je

    5, 0 0

    6.IZVODI NEKI) E(EMENTARNI) FUNKCIJA

    $rije ne"o navedemo )ravila za izračunavanje izvoda0 objasnimo kako izračunati izvodeneki elementarni funkcija. (eke od nji 8emo izračunati )o definiciji0 a neke 8emo samonavesti.

    a) *zvo+ kon,tante. 7ko je !/524c 0 "dje je c neka konstanta0 tada je

     !/52 ;∆ !/52 4!/5;∆ 52 4c )a je

     3:4  '  4>

    tj.

    /c2:4>

    b) *zvo+ funkcije  34 , F .7ko ar"umentu  5 dodamo )rirataj ∆ 5 tada 8e vrijednost

    funkcije u  5;∆ 5  biti

     3;∆ 34

    ili

    ∆ 34 1

    :alje je

    ili

    7ko se stavi u4  0 tada je

    14

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    15/23

     / /F

     )a je

     3:4 4  /F?

    tj.

      - :4 F? , F .

    c) *zvo+i funkcija  34sin 5 i  34cos 5. (eka je  34sin 5 . @rijednost funkcije u 5;∆ 5 je 3 ; ∆ 3 4 sin /5;∆ 52

    odakle je )rema formuli za razliku funkcije  sin 5

    ∆ 34sin/5;∆ 521sin54 '?sin cos /5; 2

      $o definiciji izvoda je  3:4 4 cos/5; 24 )?cos54 cos 5

    $,in -)# ' co, - 

    9lično se dobija i izvod funkcije 34cos 5 .&ada jeako je

     34

    to je )rema formuli

     3:4 4 4

    tj.

    15

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    16/23

    $t!-)#'

    9lično se dobija da je

    $ct!-)#'

    e) *zvo+ funkcije  34 , a . >ako za  34 vrijedi

     3;∆ 34 4

    to je

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    17/23

    - /# '

    7ko je a4e tada /In 50 )a je

    / In 52:4 ,

     jer je Ine4).

     !) *zvo+i inverzni/ tri!onometrij,ki/ funkcija. Hunkcija 34 arcsin5 za 1) 5 ), )ri čemu je

    < 0 ima inverznu funkciju 54sin3. &ada je / cos3 i vrijedi

     / / / /

    tj.

    -arc,in-)# '

    7nalo" se dobija

    $arcco,-)# '

    $arct!-)# '

    $arcct!-)#'

    17

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    18/23

    7.TA'(ICA OSNOVNI) IZVODA

    Izvodi elementarni funkcija0 dati u )retodnom dijelu0 mo"u se izraziti na sljede8i način

    ( ) 3 ! 5=   ( ) 3 ! 5′=

    const    #

     5α  8  Gα ∈   1 5α α    −

     5   1

    2   5

     5a 8 0 # 1a G a∈ < ≠   ln 5a a

     5

    e

      5

    e

    lo"a  5 8 0 # 1a G a∈ < ≠   1 lo"a e 5

    ln 5   1

     5

    sin 5   cos 5

    cos 5   sin 5−

    18

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    19/23

    9.NEKI 4RIMJERI IZVODA

     Primjer 1. (a8i izvod funkcije  34 cos 5

     Rješenje:  Hunkcija  34 cos 5 se moe )osmatrati kao )rizvod dvije elementarne

    funkcije i to i cos 5 , )a je

     3:4 / 2:cos 5 ; /cos 52: 4 '5cos 5 ; 4

      4'5cos5 1  sin 5 4 5/ 'cos 5 B 5 sin 52

     Primjer 2. Hunkcija 34 se moe )osmatrati kao količnik elementarni funkcija i tg 5, )a je

     3: 4 4 4 .

     Primjer 3. (a8i 3: ako je  34  6n5

     Rješenje:  3:4 / 2:6n5; /6n52: 4 6na 6n5; 4

      /6na 6n5 ; 2

    19

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    20/23

     Primjer 4. 7ko je  34 arctg 5 tada je

     3: 4 / 2:arctg 5 ; /arctg 52: 4 0 arctg 5 ;

    4RIMJENA 4RVOG IZVODA U EKONOMIJI

    >ao to smo vidjeli0 izvod funkcije nam "ovori kojom se brzinom i kako funkcijamijenja. Ukoliko je )rvi izvod veliki )ozitivan broj0 to znači da funkcija brzo rasle0 ukoliko jemalen -)o a)solutnoj vrijednosti ne"ativan broj0 to znači da funkcija s)oro o)ada i sl.

    Ukoliko je riječ o funkciji koja ima neko ekonomsko značenje0 tada nam $rv zvod $r#d:;av!"

    ekonomiji se definie tzv. funkcija mar"inalno" ili "ranično" troka0 koju označavamo sa  M=/H2sa

    ( ) ( )A M= H = H= .

    7ko sa ( ) 7= H označimo funkciju )rosječno" troka0 tj. ( )  ( )= H

     7= HH

    = 0 tada je

    ( ) ( ) M= H 7= H≈  za male H.

     Primjer 2. >oeficijent elastičnosti )ojave  3   u odnosu na )romjenu )ojave  5   se definie sa

    0    3 5

     3

     3

     5

     5

    ε 

    =∆

     . Qkonomski0 to znači da0 ako se  5  )romijeni za 1R -tj.1

    1##

     5

     5

    ∆= tada se varijabla

    20

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    21/23

      3 )romijeni za 0   1##R 3 5 3

     3ε 

      ∆= × .

    7ko je 0   1 3 5ε    >  tada je 3 elastična na )romjenu 50 a za 0   1 3 5ε    <  kaemo da je 3 neelastična na

     )romjenu  5. +a)ravo kad je riječ o malim )romjenama -u ekonomiji su u"lavnom takve u

    vremenu 0 moemo smatrati da je 0   A 3 5 5d3 5 5 3d5 3 3

    ε    = × = .

    -U mikroekonomiji se definiu različite elastičnosti0 n)r. elastičnost su)stitucije )roizvodnifaktora S sku)lje" faktora jeftinijim0 ili elastičnost )otranje u odnosu na doodak0 ....

    $omo8u izvoda moemo0 za datu funkciju uku)ni trokova )roizvodnje izračunati nivo )roizvodnje na kome su jedinični trokovi )roizvodnje [email protected] smo da )rvi izvod funkcije jedne )romjenljive u ekonomiji )redstavlja tzv. "raničnu ilimar"inalnu funkciju date ekonomske funkcije. 7nalo"no tome0 ukoliko imamo neku ekonomskufunkciju dvije )romjenljive -n)r. količinu )roizvodnje kao funkciju rada i ka)itala ili uku)an )riod kao funkciju trokova )roizvodnje i količine )roizvodnje tada moemo smatrati da se jedna )romjenljiva nalazi na istom nivou i )osmatrati kako se mijenja naa funkcija s )romjenomdru"e )romjenljive. Frzina te )romjene je mar"inalna funkcija date funkcije0 a ona za)ravo )redstavlja )rvi )arcijalni izvod te funkcije )o )osmatranoj )romjenljivoj. &o 8emo detaljnije

    objasniti na )rimjeru Eobb:ou"lasove funkcije )roizvodnje ( ) 10H H " I 7 " I  α α −

    = = × × .

    Ukoliko )ret)ostavimo da je u nekom kra8em vremenskom intervalu uloeni ka)ital I const = 0 )ove8anje rada za neko  "∆  dovest 8e do )ove8anja )roizvodnje za neku količinu

    H∆. $orast )roizvodnje )o jedinici )orasta ula"anja faktora rada  "   jednak je

    H

     "

    ∆ . Ukoliko

     )ustimo da # "∆ → 0 )ribiavamo se )očetnom vremenskom trenutku. U)ravo je#

    lim "

    H

     "∆ →

    =ra!>!a $rod"?;v!o:; faktora  "  -u slučaju da je ka)ital konstantan. 9 dru"e strane0 vidimo

    da je A#

    lim  " "

    H HH

     " "∆ →

    ∆ ∂= =

    ∆ ∂  )rvi )arcijalni izvod funkcije )roizvodnje )o varijabli  " . :akle0

    "ranična )roduktivnost )roizvodno" faktora  "   je )rvi )arcijalni izvod funkcije )roizvodnje )ovarijabli  " .

    Ukoliko )ret)ostavimo da je u nekom kratkom vremenskom intervalu uloeni rad

    . " const = 0 tada je )orast )roizvodnje )o jedinici )orasta ula"anja faktora ka)itala  I   jednak H

     I 

    ∆. Ukoliko )ustimo da # I ∆ → 0 dobijamo

    #lim I 

    H

     I ∆ →

    ∆ to )redstavlja =ra!>! -%ar=!a

    $rozvod faktora  I  -u slučaju da je rad konstantan. 9 dru"e strane je A#

    lim  I  I 

    H HH

     I I ∆ →

    ∆ ∂= =

    ∆ ∂ )rvi

    21

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    22/23

     )arcijalni izvod funkcije )roizvodnje )o varijabli  I . :akle0 "ranični )roizvod faktora  I  je )rvi )arcijalni izvod funkcije )roizvodnje )o varijabli I .

    Ukoliko je ( )   10H " I 7 " I  α α −= × × 0 tada je mar"inalna )roduktivnost faktora  "  jednaka

    ( )1

    1 1 1A

    H I H 7 I " 7 I " 7

     " " "

    α 

    α α α α  

    α α α 

    −− − −∂    = × × = × × = = ÷∂    .

    Odavde vidimo da je mar"inalna )roduktivnost faktora  "   jednaka )roizvodu broja α    i )rosječne )roduktivnosti.

    Car"inalni )roizvod faktora  I  jednak je

    ( )   ( ) ( ) ( )1 1 1A 1 1 1H " H

     7 I " 7 I " 7 " I I 

    α 

    α α α α  

    α α α − − −∂    = × × = × − × = − = − ÷∂    

    .

    @idimo da je mar"inalni )roizvod faktora  I  jednak )roizvodu broja ( )1   α −   i )rosječno"

     )roizvoda.

    Z A K (J U Č A K 

    U ovom seminarskom radu sam )okuao objasniti jednu od interesantni temamatematike a koja je vezana za ekonomiju kao i razvoj diferencijalno" računa kroz )ovijest. (eTtonov i ,eibnizov )ristu) diferencijalnom računu. Geometrijska inter)retacija derivacijefunkcije u točki kao na"ib tan"ente u zadanoj točki. :efinicija derivacije funkcije u točki. (uanuvjet za )ostojanje derivacije u točki je da je ona ne)rekidna u toj točki. $ravila za deriviranjederivacija zbroja funkcija0 derivacija )rodukta i kvocijenta funkcija0 derivacija konstantnefunkcije. :okazi )ravila za deriviranje. $rimjeri derivacija. :erivacija kom)ozicije funkcije.:iferencijal funkcije i nje"ovo "eometrijsko značenje.

    22

  • 8/18/2019 Documents.tips Izvod Funkcije

    23/23

    ( I T E R A T U R A

    1. 9abaet :r)ljanin0 Catematika0 Univerzitet u &uzli0 &uzla 1!!'.

    &.  (ataa :ubur0 Catematika sa zbirkom zadataka za 4.razred srednje kole0 I$ 9vjetlostVd.d.+avod za udbenike i nastavna sredstva 9arajevo0 1!!*."od.

    *. $rof.dr.in".Foris 7s)en0 ?e)etitorij vie matematike0 &enička knji"a +a"reb0 1!63."od0

    23