introducción a la dinámica

INTRODUCCIN A LA DINMICAComo su nombre lo indica, ladinmicase ocupa del movimiento de los cuerpos. Pero lacinemticatambin, eso nos obliga a una explicacin ms detallada. Mientras que la cinemtica se ocupa de ladescripcindel movimiento, la dinmica se ocupa de laexplicacindel movimiento.La cinemticaes fundamentalmentedescriptivaLa dinmicaes fundamentalmenteexplicativaO sea, mientras la cinemtica nos ensea a describir el movimiento de un cuerpo, almacenar los datos de posicin, tiempo y cualquier otro que describa con ms detalle el fenmeno, la dinmica nos dice por qu se mueve de tal o cual manera, predice cmo se va a mover en tales condiciones y viceversa, nos dice qu debe estar ocurriendo para que un cuerpo se mueva de tal o cual manera.Otra diferencia fundamental entre la dinmica y la cinemtica es la siguiente: con la cinemtica estamos acostumbrados a describir todo un movimiento, con sus infinitas posiciones en cada uno de los infinitos instantes durante los que se mueve. En cambio cada descripcin dinmica habla de apenas un instante, una foto. Las descripciones de la cinemtica sonpelculas, las de la dinmica soninstantneasdel universo.La cinemticadescribeprocesosLa dinmicadescribeinstantes

CHISMES IMPORTANTES:

La dinmica que estudiamos fue inventada (o descubierta?) por Isaac Newton, con un importante aporte de Galileo Galilei. Se basa en cuatro leyes o principios que no pueden ser deducidas de leyes anteriores o ms fundamentales (por eso se los llama principios). Los principios no se pueden demostrar, pero se pueden corroborar tantas veces como uno quiera. Este conjunto de leyes y sus derivaciones lleva el nombre de Mecnica Clsica. La Mecnica Clsica describe correctamente el funcionamiento del universo mientras los sistemas que querramos describir no incluyan cuerpos enormes ni velocidades cercanas a la velocidad de la luz. En tales casos el uso de la Mecnica Clsica comete errores no despreciables. En tal caso se usa la Mecnica Relativista. Antes de la Mecnica Clsica la descripcin del mundo corra por cuenta de la Mecnica Aristotlica.

LEYES DE NEWTONLasLeyes de Newton,atribuidas a Isaac Newton (1643-1727), tienen, en realidad, demasiados autores. Pero fue Newton quien se las puso al hombro (y al bolsillo), las explot y las utiliz en su conjunto, edificando con ellas una Teora Mecnica (conocida actualmente comoMecnica Clsica) que goza de excelente salud y que seguimos utilizando con todo xito.Adems de su probada utilidad y eficacia constituye un ejemplo arquetpico deteora(epistemolgicamente hablando), destacada por su belleza intrnseca, ya que con muy pocas premisas (o principios) algebraicamente sencillas, logra una explicacin muy acabada del universo.Son en total cuatro leyes. Se llaman tambinprincipiosporque no se pueden probar a partir de leyes anteriores o ms bsicas, pero que el universo cumple a rajatabla, aunque no sepamos por qu. Voy a presentar los tres primeros aqu, y el cuarto,gravitacin universal, aparte.Primera Ley de la Dinmica, oLey de la inercia, oPrincipio de Galileo.Ya te imaginaste quin fue el que lo cocin unas dcadas antes que Newton. Hay decenas de redacciones alternativas. Ac va la ma.Si sobre un cuerpo no acta ninguna fuerza, o actan varias pero que se compensan entre s, entonces el cuerpo permanecer en reposo o en movimiento rectilneo y uniforme.Y viceversa.

Abajo hay un chisme requeteimportante sobre este Principio.

Segunda Ley de la Dinmica, oLey de la masa, oPrincipio de Newton.Se llamade la masa, porque en l juega un papel importantsimo esa propiedad de la materia llamada masa, que nadie sabe qu es (abajo hay un chisme sobre la masa, que aclara y que oscurece), pero no hace falta, tenemos una idea aproximada.La sumatoria de todas las fuerzas que recibe un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleracin.

La Segunda Ley es una ecuacin vectorial: dice que la sumatoria de todas las fuerzas que recibe un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleracin, y que la direccin y el sentido de la resultante (la suma de todas las fuerzas) es igual a la direccin y el sentido de la aceleracin (la masa es un escalar). En muchos textos, sin embargo (y tambin en este sitio) aparece esa misma expresin pero escrita sin la notacin vectorial, as:F = m a. Es perdonable, no trae graves consecuencias.Lo que no es perdonable es que en muchos textos te presenten la Ley as:F = m a(MAL, PESIMO, EXECRABLE, CENSURABLE, IMPERDONABLE)Esa expresin tiene validez nicamente en aquellos casos en los que hay una nica fuerza actuando sobre un cuerpo. No puede ser presentado como una ley (de validez eterna y universal). Adems lleva a una confusin muy negativa: hace creer que se trata de una propiedad de las fuerzas (como si cada fuerza tuviese una aceleracin), cuando se trata de una propiedad de los cuerpos. A cadacuerpose aplica la Ley,noa cada fuerza.Podra, en todo caso, representarla as:R = m a, aclarando queRsignificaResultantey no es otra cosa que la sumatoria de todas las fuerzas que estn actuando sobre un cuerpo.R = F.Si en un examen de Fsica te olvids de establecer claramente elsistema de referencia,el docente que te corrija te lo va a cobrar en dlares y con intereses.

Tercera Ley de la Dinmica, oPrincipio de Accin y Reaccin.Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el otro aplica una fuerza sobre el primero de igual mdulo, igual direccin y sentido opuesto a la que el primero ejerce sobre l.De los tres principios es el ms revelador de la naturaleza de las fuerzas. En realidad deberamos hablar de interacciones. Siempre entre dos cuerpos: se atraen, o se repelen, o se empujan, o se tocan, o se chocan, o lo que sea... pero siempre entre dos cuerpos. Entonces aparecen dos fuerzas (el par de fuerzas de la interaccin), una sobre cada cuerpo de los que estn interactuando.

Parece que el universo es un pandemonium de venganzas, en el que reina la Ley de Talion.


A golpe de vista, pareciera que el Primer Principio es apenas un caso particular del Segundo. Efectivamente, partiendo de la Segunda Ley, siF = 0, lo que debe valer cero es la aceleracin, ya que la masa no puede valer cero... Sin embargo el primer principio es el que asegura la existencia de los otros dos, y exige el establecimiento de unSistema de Referenciaacorde. Puede ocurrir que la eleccin delSR(por ejemplo uno montado en una calesita o en un tren que arranca) nos lleve a un universo en el que no se cumplen las Leyes de Newton. Esos sistemas -que son ampliamente estudiados- se llamanSistemas No Inerciales. Vos dejalos para ms adelante. Tantomasacomofuerzason magnitudes dificilsimas de definir. Con slo definir una de las dos basta, ya que la otra saldra definida por inferencia utilizando la Segunda Ley. El pobre Newton se muri muy triste sabiendo que su teora haca agua por el agujero de la falta de definicin para esas dos magnitudes tan importantes en la Mecnica. Hubo que esperar 200 aos para que un fsico llamado Ernst Mach (1838-1916) lograse una definicin de masa que convenciese a la comunidad cientfica. Sin embargo Newton se las arregl perfectamente con la aproximacin ms intuitiva del concepto de masa:es un escalar -un nmero- que nos indica la cantidad de materia que forma a un cuerpo. Leete la definicin de Mach de la masa: "la masa inercial no es una caracterstica intrnseca de un mvil, sino una medida de su acoplamiento con el resto del universo". Seor Mach: usted me quiere volver loco? Una de las inferencias inmediatas del Principio de Accin y Reaccin, es que los pares de interaccinnuncaestn aplicados sobre elmismocuerpo. Siempre estan aplicados en distintos cuerpos (justamente: los que estn interactuando)

DIAGRAMA DE CUERPO LIBREEldiagrama de cuerpo libre o desvinculado,DCL, consiste en dibujar cada uno de los cuerpos que aparezca en un problema y sobre el cual querramos establecer su dinmica por separado (unDCLpara cada uno), y sobre l indicar con vectores todas las fuerzas que obran sobre el cuerpo (NO las que l ejerce sobre otros...slo las que l sufre, las que l recibe!)Suelen tener esta pinta.

Es bueno no encimar los vectores. No hace falta que concurran todos en un punto. Es slo una cuestin esquemtica. Si encimaras por ejemploF2conF3te quedara muy engorroso y no alcanzaras a identificar correctamente las fuerzas. (Distinto sera el caso si estuvieras trabajando con cuerpos extensos, en los que s importa el lugar exacto -dentro del cuerpo- sobre el que acta la fuerza, cuerpos en los que la posibilidad de que haya rotaciones es cierta). Lo que s importa es que el origen de cada vector lo dibujes adentro del cuerpo sobre el que se ejerce esa fuerza.

No olvides que este captulo de ladinmicase ocupa de cuerpos puntuales

El esquema te va a guiar para establecer las ecuaciones de Newton,, y digolasecuaciones porque si las fuerzas no son codireccionales vas a tener que escribir dos ecuaciones por cadaDCL, una paraxy otra paray, segn elSRque vos decidas. Luego, descomponer las fuerzas que no coincidan con las direcciones de los ejes.

Te conviene repetir losDCLsdespus de la descomposicin. Ac lo tens nuevamente pero slo con las fuerzas que tienen la misma direccin que los ejes delSR.Entonces me olvido de la fuerzaF5que era muy molesta y que fue reemplazada por sus componentesF5xyF5y.Ahora resulta muy fcil armar las ecuaciones de la 2da. Ley.

Fx= m axF5x-F2F3=m ax Fy= m ayF5y+F4F1=m ay

En unDCLnunca tens que dibujar vectores que no sean las fuerzas que actan sobre el cuerpo. Si necesits dibujar una aceleracin, o ms infrecuentemente una velocidad, hacelo cerca, peroafueradel cuerpo. Ok? Slo fuerzas.

UNIDADESPara trabajar en dinmica vamos a necesitar algunas unidades nuevas. Las magnitudes que nos ocuparn sonfuerza,masayaceleracin(F,mya).Para mediraceleracionesno hay novedades, ya lo hiciste en cinemtica con varias unidades, entre las que la ms importante es la del Sistema Internacional, SI.[a] =m/sPara medirmasasusaremos el kilogramo,kg, y sus submltiplos.[m] =kgPara medirfuerzasya no es necesario definir una nueva unidad, ya que existe un compromiso entre las tres magnitudes (tal como surge de la 3era. Ley de la dinmica): las unidades en las que medimos las fuerzas deben ser iguales al producto entre las unidades en que medimos las masas por las unidades en las que medimos las aceleraciones.[F] =[m] .[a]De modo que en el SI tendremos:[F] =kg.m/sPor una cuestin de comodidad, y para aprovechar la ocasin y rendirle un homenaje a Newton, a ese conjunto de unidades lo llamaremos newton, que se simbolizaN.N=kg.m/sEntonces para medir fuerzas nos queda:[F] =NComo en tantas otras magnitudes, no es la nica unidad en la que podemos medirla, y -de hecho- en el uso cotidiano hay una unidad de fuerza muy popular: el kilogramo-fuerza,kgfokgr. Aunque tiene un parentezco muy fuerte con la unidad de masa, no debs confundirlas. Una mide fuerzas y otra mide masas... son magnitudes diferentes.Existe una equivalencia muy sencilla entre el newton y el kilogramo-fuerza (ambas unidades para medir fuerzas):1kgf=10N(En realidad el factor de proporcionalidad es9,8, no10. Pero vos ya viste cmo esNo me salen).FUERZAS DE ROZAMIENTOEsta es la historia de una interaccin misteriosa, oculta, escondida. Que cuando sali a la luz sent las bases de una revolucin cientfica, en la que Galileo Galilei tom la delantera. Te la presento con este experimento.Supongamos que tenemos un bloque apoyado en el piso y lo empujamos con una fuerza lateral... pero pese a nuestro intento el bloque no se mueve:

Ah aparecen las fuerzas que obran sobre el bloque. El peso del bloque,P, y el apoyo del piso,N, son las fuerzas verticales. Y en la direccin paralela al piso la fuerza con la que empujamos al bloque,F.No vemos que haya nadie ms interactuando con el bloque... pero ste no se mueve, luego, su aceleracin es cero. Y como confiamos en Newton y su Segunda Ley,Fx= m ax, no nos cabe ms que concluir que alguna otra fuerza, tambin horizontal, de igual en mdulo queFy sentido contrario debe estar actuando. La llamaremosfuerza misteriosa,Fm.Como somos obstinados y estamos decididos a mover el bloque, podemos hacer una fuerza mayor,F'; pero si el bloque contina sin moverse habr que concluir que la fuerza misteriosa tambin es capaz de crecer, y ahora habr adoptado un valorFm'.Si continuamos aumentando la fuerza de empuje, encontraremos que la fuerza misteriosa tambin contina aumentando... pero, por suerte, siempre existe un valor de fuerza de empuje, o de traccin, que la fuerza misteriosa no puede igualar, y a partir de ah se rompe el equilibrio y se produce el movimiento.Desaparece la fuerza misteriosa cuando el bloque est movindose? El experimento nos dice que no. Si retiro la fuerza del empuje el bloque se vuelve a detener. Y para mantenerlo en movimiento -digamos, a velocidad constante- hay que seguir empujando, por suerte, con una fuerza bastante menor que la que tuvimos que hacer para poner el bloque en movimiento.

Una clave importante sobre la fuerza misteriosa la provee el siguiente experimento: es el mismo que el anterior, pero se realiza con un cuerpo apoyado arriba del bloque.

Y el resultado es cualitativamente idntico al anterior... pero la fuerza mxima que hay que derrotar para poner el bloque en movimiento resulta mayor que antes... Y la fuerza para mantener velocidad constante una vez logrado el movimiento tambin.Y lo nico que cambi entre un experimento y otro es la fuerza de contacto entre el bloque y el piso.

Todas las dudas se despejan cuando repetimos una y otra vez el mismo experimento pero cambiando las superficies del apoyo, por ejemplo, sobre un piso de madera, de baldosas, de hielo, de mosaicos encerados... Cuanto ms lisas son las superficies menores son las fuerzas; cuanto ms rugosas, mayores.La fuerza misteriosa es elrozamientoentre las superficies que quieren deslizar, o que ya estn deslizando. Y el resultado de los experimentos lo podemos sintetizar en estas tres brevsimas expresiones:

Roze= Tracc. RozeMx= e. NRozdin= d. N

La primera ecuacin nos dice que lafuerza de rozamiento esttica,Roze, es igual a la fuerza de traccin (el empuje en nuestro experimento) que intenta poner los cuerpos en deslizamiento.La segunda ecuacin nos dice que lafuerza de rozamiento esttica mxima,RozeMx, que es aquella que acta justo antes de que los cuerpos entren a deslizar, es igual a uncoeficiente de rozamiento esttico,e, un factor que representa la rugosidad de las superficies enfrentadas, por la fuerza de contacto entre el piso y el bloque, o sea la fuerza con que se unen los cuerpos que estn rozando,N.La tercera ecuacin nos dice que lafuerza de rozamiento dinmica,Rozdin, que es aquella que acta cuando los cuerpos ya estn deslizando, es igual a uncoeficiente de rozamiento dinmico,d, un factor que representa la rugosidad de las superficies enfrentadas y deslizando, por la fuerza de contacto entre el piso y el bloque,N.Mir el grfico que cuenta los experimentos:

Los coeficientes de rozamiento, tanto esttico como dinmico suelen hallarse tabulados para aquellos pares de superficies relevantes para la industria. Si no los halls, de todos modos, son muy fciles de calcular.Se trata de a-dimensionales, no tienen unidades, son slo un nmero, que representa la rugosidad entre un par de superficies cuando se enfrentan quietas,e, o cuando se enfrentan deslizando una con otra,d.

En general se trata de valores comprendidos entre0y1... pero tambin los hay mayores. Tambin por lo general (salvo raras excepciones) el coeficiente de rozamiento esttico es mayor que el dinmico.e> dComo vas a ver en los ejercicios no siempre la fuerza de rozamiento esttico se opone al movimiento. Ms an: en general, el movimiento se logra gracias a una fuerza de rozamiento. Record esto, que la diferencia es importante:

esMENTIRAqueLA FUERZA DE ROZAMIENTO SE OPONE AL MOVIMIENTO

Aunque te resulte sorprendente muchos textos de Fsica incurren en este error gravsimo. La diferencia te puede parecer sutil -ahora- pero vas a ver que es fundamental.

esVERDADqueLA FUERZA DE ROZAMIENTO SE OPONE AL DESLIZAMIENTO

Te voy a dar un slo ejemplo, ahora, para que las frases anteriores cobren sentido, pero creeme que la diferencia es importantsima, y no advertirla lleva a cometer muchos errores.El ejemplo: subite a una cinta transportadora, en un aeropuerto. Quin te cres que te mueve hacia adelante? Cul te penss que es la fuerza que logra ponerte en movimiento, y que lejos de oponerse es la que gracias a ella llegs hasta el preembarque?El rozamiento, of course, departures gate 10!


En todos los desplazamientos (excepto en el vaco y en las escalas subatmicas) el rozamiento es inevitable. Las mesas de aire para jugar al tejo logran reducir el rozamiento considerablemente, el coeficiente ronda el milsimo. Los fsicos aristotlicos observaban que para que un carro permaneciese en movimiento haba que imprimirle constantemente una fuerza de tiro. Semejante error obedeca a que pasaban por alto la fuerza de rozamiento que frenaba al carro al desaparecer el tiro. En base a ese error se fundaba la mecnica aristotlica. Imaginate el despiole que se arm cuando lleg Galileo y dijo que en ausencia de fuerzas los carros deban proseguir con velocidad constante.

NATURALEZA DE LAS FUERZAS DE ROZAMIENTONo basta con entender cmo funcionan las fuerzas de rozamiento, poder predecir su aparicin, su direccin y sentido y su mdulo... tambin hace falta una explicacin: a qu se deben las fuerzas de rozamiento? por qu existen?Por suerte, sas las sabemos... y nos ayudan en muchos casos a predecirlas correctamente.

El asunto se relaciona con la naturaleza de la materia. Resulta que la materia es discontinua, particulada, granulada. No es una cosa continua... aunque muchas veces posea la apariencia de serlo.Uno se da cuenta a simple vista que el hormign armado es una cosa granulosa. No es tan fcil advertirlo en el acero, o en el agua, o en el vidrio, o en tantos otros materiales de apariencia continua. Sin embargo, si poseyramos un microscopio suficientemente potente podramos ver que TODA LA MATERIA ES PARTICULADA (o sea, formada por partculas).

Superficie de un vidrio de silicio visto con un microscopio de efecto tnel. Lo que se observa son tomos.

Y entre partcula y partcula siempre queda espacio vaco.

Esta propiedad de la materia hace que dos superfices cualesquiera, de dos cuerpos cualesquiera, por lisas y pulidas que se sean... cuando entran en contacto, en la intimidad del contacto, aparece una cuestin intrusiva: algunas partes de cada cuerpo se meten dentro del otro.

Una especie de encastre, de enganche. Entonces, cuando se intenta desplazar un cuerpo respecto del otro, las partes enganchadas se resisten al deslizamiento mutuo. La suma de todas esas resistencias constituyen lafuerza de rozamiento.Esta visin microscpica del asunto explica perfectamente todas las propiedades macroscpicas del fenmeno del rozamiento. Por ejemplo, la dependencia directa con la fuerza que une las superficies,N. Es lgico suponer que cuanto ms apretadas estn las superficies enfrentadas, mayor ser la intrusin mutua, mayor el grado de encastre, y por lo tanto mayor la fuerza que resistir del desplazamiento mutuo entre las superficies.Tambin es lgico que el rozamiento dependa de la rugosidad del par de superficies enfrentadas,, que sea mayor cuanto ms rugosas sean las superficies y menos cuanto ms lisas y pulidas.Por ltimo, resulta lgico que el coeficiente de rozamiento esttico sea mayor al dinmico,e> d, ya que si dos superficies enfrentadas estn quietas, sus partculas, sus molculas, sus tomos, sus lo que sea... tienen suficiente tiempo y oportunidad de intruirse mutuamente, de acomodarse entre s, de invadirse una a la otra... y luego cuando uno intenta deslizarlas las encuentra mucho ms unidas. Si ya se encuentran en movimiento no se les da tiempo suficiente a las rugosidades microscpicas para acomodarse entre s, y todo se reduce a los innumerables choques entre las partculas que sobresalen de cada uno de los lados.Te repito una advertencia que ya te hice en el otro apunte de rozamiento:

esMENTIRAqueLA FUERZA DE ROZAMIENTO SE OPONE AL MOVIMIENTO

Se opone al deslizamiento mutuo entre dos superficies de dos cuerpos en contacto... que es algo muy diferente.


Se piensa que las fuerzas de rozamiento dificultan el movimiento, no es as. De hecho hay fuerzas de rozamiento tiles a los fines del movimiento. El trnsito vehicular, por ejemplo, se realiza gracias a la fuerza de rozamiento. Los autos arrancan, frenan y doblan gracias a la fuerza de rozamiento entre los neumticos y el pavimento. Los dibujos de las cubiertas de los autos estn diseados para aumentar ese rozamiento, que los automovilistas llaman agarre. Salir con las gomas lisas, gastadas, es muy peligroso, ya que el rozamiento es la fuerza primordial de la seguridad vial. Pero tambin hay muchas actividades en las que el rozamiento representa una prdida de esfuerzos y energa. En esos casos, para disminuir el rozamiento, inventaron loslubricantes. Se trata de fluidos con suavidad al tacto, como grasas y aceites, que se colocan entre las superficies que rozan y las mantienen ms separadas entre s, evitando el encastre del rozamiento.

FUERZAS ELSTICAS-Ley de HOOKEEmpecemos por entender a qu se llama un cuerpo elstico: es aquel que despus de deformarlo recupera por s solo su forma original. Por ejemplo, una pelota de ftbol: uno puede aplastarla un poco ejerciendo una fuerza sobre ella (dos fuerzas, en general); a esa fuerza vamos a llamarla fuerza deformante. Cuando uno retira la fuerza deformante la pelota recupera su forma esfrica.No siempre los cuerpos elsticos se comportan en forma elstica en todas direcciones de las deformaciones como el caso de la pelota. En esta leccin vamos a trabajar con cuerpos que se comportan elsticamente en una sola direccin (y en ambos sentidos). Se trata de los resortes ideales (en la jerga, simplemente: elsticos).

La elasticidad de los resortes se manifiesta en su direccin longitudinal (si lo aplasts de costado lo ms probable es que te quedes sin resorte). Como te imagins para comprimirlo o estirarlo hay que hacer fuerza en ambos extremos. Pero para entender el funcionamiento de los resortes conviene que experimentemos en un slo extremo, as que vamos a apoyarlo contra una pared y ah lo pegamos con poxipol 10 minutos (no tenemos todo el da). Trabajaremos slo en el extremo libre.Cuando una fuerza deformante acta sobre un elstico, el elstico responde sobre el cuerpo que lo deforma con una fuerza igual y opuesta. No es que los elsticos sean vengativos, sino que, como todos los cuerpos del universo, estn obligados a cumplir con la tercera Ley de la Dinmica: el Principio de Accin y Reaccin. A esa fuerza que hacen los elsticos se la llamafuerza elstica.un cuerpo plsticonorecupera su forma original

La fuerza que hace el elstico (la fuerza elstica,Fe) la represent en verde. Y la fuerza deformante,Fd, en rosa.Las deformaciones (representadas con flechas negras) se miden siempre desde la posicin de la ltima espira del resorte cuando no est perturbada por fuerzas externas (en la jerga: libre, sin carga, en reposo, y otras expresiones). Hice una marca roja en el piso indicando la posicin desde la que medimos la deformacin.Cuanto mayor es la fuerza deformante ms se deforma el elstico, y tambin mayor es la fuerza elstica. El seor Robert Hooke (1635-1703), encontr que la deformacin y la fuerza elstica eran directamente proporcionales.Fe~xEsto vale tanto para los estiramientos o elongaciones como para las compresiones.La fuerza elstica y la deformacin del elstico siempre tienen sentidos opuestos.

Considerando esto, y considerando que cada resorte en particular se estiraba (o se comprima) de modo diferente a los otros sometidos a una misma fuerza deformante es obvio que el factor de proporcionalidad deba ser una constante que dependiera de cada resorte en particular. El resultado de esto es la Ley de Hooke:

Fe=k .x

En la quekes la constante elstica, un valor que representa a cada resorte, que se mide enN/mo cualquier otra unidad de fuerza dividida por una unidad de longitud; y es mayor cuanto ms duro y robusto sea el resorte, y menor cuanto ms flacucho y debilucho sea. Ms precisamentekrepresenta la fuerza de restitucin de cada resorte.

El grfico nos muestra cmo vara la fuerza elstica en funcin de la posicin de su ltima espira (respecto de la posicin de relajamiento).La zona graficada se llama perodo elstico (si un elstico real se lo estira o comprime mucho deja de ser un elstico y tens que tirarlo). Bajn.

Los signos que llevan las fuerzas en las ecuaciones de Newton dependen de la discusin que realices en elDCLy del sistema de referencia que arbitrariamente elijas para resolver los ejercicios. A partir de ah cada fuerza se comporta como un ente algebraico: no pods volver a cambiarle su signo arbitrariamente. De modo que yo te recomiendo usar la ley de Hooke slo en mdulo,Fe= k .x, sin el signo menos, que oscurece ms que aclara, induce a error demasiadas veces. Siempre es ms prctico y sencillo trabajar los sentidos de las fuerzas visualmente que analticamente.


Losresortes idealesse pueden estirar tanto como se precise y comprimir tambin tanto como se necesite, que siempre van a responder con fuerzas elsticas hookianas y siempre van a recuperar su longitud ideal. Todo el mundo sabe que los resortes de verdad no cumplen con ese requisito. El rango de deformaciones en el que un resorte de verdad se comporta como uno ideal se denominaperodo elstico. muchos resortes de verdad, an trabajando dentro de su perodo elstico, se desvan considerablemente de la Ley de Hooke: no sonlineales. En muchos textos, y en varios ejercicios de este sitio, se toma en cuenta la longitud del resorte. Y se distingue la longitud natural, o longitud sin carga, o longitud sin deformacin,lo, de la longitud que adopta cuando est deformado,l; resulta obvio quex=llo. Como la longitud es una magnitud de fcil medida los resortes hookianos se convirtieron en el instrumento de medida de las fuerzas ms confiable y seguro. El adminculo recibe el nombre dedinammetroy consta de un par de ganchos, un extremo del resorte fijo en una regla y el otro extremo con una aguja deslizante sobre la misma regla. Las balanzas a resorte (dinammetros) miden fuerzas; en cambio las balazas de brazos o platillos miden masas usando el principio de comparacin. Las balanzas digitales modernas utilizan una propiedad material llamadapiezoelectricidad.

FUERZAS GRAVITATORIASLaLey de Gravitacin Universal, atribuida a Isaac Newton (1643-1727), constituy el remate de una revolucin cientfica. Dice algo bastante sencillo de entender, muy difcil de creer, y catastrficamente revolucionario.Dice que dos cuerpos cualesquiera se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros. Todo ello se puede resumir con esta ecuacin:

En la queFGes la fuerza gravitatoria (siempre de atraccin, nunca de repulsin);m1ym2son las masas de los cuerpos que se estn atrayendo;d12es la distancia entre los centros de los cuerpos (despus afinaremos la definicin de centro); yGes la constante de proporcionalidad, que permite transformar la ley de proporcionalidad en una ley de igualdad.

En esta atraccin mutua, como en toda interaccin, aparecen dos fuerza iguales en mdulo y direccin, y contrarias en sentido, una sobre cada cuerpo:FG12= FG21(o sea, no puede dejar de cumplir el Tercer Principio de la Dinmica). En una interaccin gravitatoria nos referiremos indistintamente a cualquiera de ambas y la llamaremos directamenteFG.Por qu digo que es sencilla de entender

Qu significa que la fuerza de atraccin gravitatoria es directamente proporcional al producto de las masas que se estn atrayendo? Si en idnticas condiciones se estuvieran atrayendo dos cuerpos de masas:m1=2Kgym2=10Kg,se atraeran con menor intensidad que estos otros dos cuerpos, de masas:m'1=3Kgym'2=7Kg,El segundo par se atrae ms intensamente, ya que el producto de las dos segundas es mayor que el de las dos primeras. Fcil.Y qu significa que es inversamente proporcional al cuadrado de las distancia que las separa? Supongamos que tenemos un par de cuerpos de masa unidad... distanciados una distanciad. Si las separo una distancia10 d... la fuerza con la que se atraern ser100 vecesmenor. Y si ahora las acerco para que queden separadas una distanciad/2... entonces la fuerza con la que se atraern ser4 vecesmayor que la inicial. Fcil, no?Por qu digo que es difcil de creer

La constante de proporcionalidad,G, conocida como Constante de Gravitacin Universal, no depende de otra cosa que de nuestro universo... o sea, vale lo mismo independientemente de todo tiempo y lugar, toda circunstancia y todo medio material... y vale...G = 6,67x 10-11Nm/kgO sea, tiene un valor muuuuy chiquitiiito:G = 0,000.000.000.0667Nm/kgCasi -te dir- unanada. Las unidades que tiene la constante son las necesarias para que la fuerza gravitatoria se mida en las unidades de fuerza,N. Por lo tanto tiene en el numerador unidades de longitud al cuadrado,m, para que se cancelen con las de la distancia al cuadrado de la Ley; y en el denominador unidades de masa al cuadrado,kg, para que se cancelen con las de las masas de la Ley.Newton se muri sin conocer el valor deG. Se saba que era chiquititsima... pero hubo que esperar casi 200 aos para conocer su valor con precisin, y cuando el seor Henry Cavendish logr hacer la medicin no se dio cuenta (ni sus colegas tampoco) lo que en verdad haba calculado. Es una historia muy curiosa que, si te interesa, te la cuentoac.La cuestin es que las fuerzas gravitatorias son casi insignificantes cuando consideramos cuerpos de tamaos corrientes: manzanas, biblias, calefones, autos, portaviones... y prcticamente imposibles de medir con instrumentos comunes y corrientes. Si de cuerpos humanos estuviramos hablando y nos dijeran que hay fuerzas de atraccin, jams podramos imaginarnos que de gravitacin se tratara.Por qu digo que es catastrficamente revolucionaria.

La clave est en la palabrauniversal. Desde Aristteles en adelante se pensaba que haba dos Fsicas: una para explicar el universo celestial y otra para el mundo terrenal. La Ley de Gravitacin Universal viene a contar que el universo es uno solo y la Fsica que lo describe tambin: una sola.La fuerza que hace caer los cuerpos (el viejo y familiar peso), no es otra que la fuerza de atraccin gravitatoria entre el cuerpo que cae (aquel cuyo peso medimos en la balanza de la verdulera de la esquina) y la Tierra. Actualmentepesoes el nombre que le damos a lafuerza gravitatoria, ac, en el barrio de la superficie terrestre. El nombre vulgar (y local).La misma ley que describe la cada de los cuerpos, describe el orbitar de la Luna, los planetas, las estrellas, las galaxias. El mito de la manzana cayendo sobre la cabeza de Newton justo en el momento en que se da cuenta de la Luna tambin caa con la misma ley, es enormemente descriptiva de la unificacin del universo. La cuentoac. Una catstrofe en la fsica aristotlica, que dej de cotizar en bolsa.

Isaac Newton

Henry Cavendish

Manzana


Se dice por ah que la ley inversa al cuadrado de la distancia pertenece a Robert Hooke, y Newton no se lo reconoci nunca. Ms an, la clebre frase "a hombros de gigantes" era una alusin irnica y ofensiva a Hooke, que era bastante petiso. Newton call sus convicciones por ms de 15 aos debido a que no exista en aquella poca una matemtica suficientemente potente como para sostener sus afirmaciones que, supona, seran fuertemente resistidas. En el intern desarroll (paralelemente con Gottfried Leibniz) elanlisis matemtico. Cuando elclculonumrico(un sinnimo) fue un hecho entre la comunidad cientfica, present la Ley... y no hubo con qu darle. La parte de la teora ms difcil de sostener era que los cuerpos se comportaban (para la Ley de Gravitacin) como si toda su masa estuviera reunida un un slo punto, su centro de masa (generalmente el centro geomtrico del cuerpo), y las distancias entre los cuerpos haba que tomarlas desde ah. Ese asunto espinoso cedi al ser abordado con una herramienta matemtica del clculo numrico: la integral. En 1915 Albert Einstein enuncia la Teora General de la Relatividad que reemplaza la gravedad por la deformacin del espacio producida por las masas. La pista que condujo a Einstein hasta la Relatividad fue sta: lamasaa la que alude la Ley de Gravitacin no era la mismamasaa la que alude la Segunda Ley de la dinmica... es totalmente cierto, y a todos se les haba pasado por alto. (Actualmente se las distingue llamndolasmasa gravitatoriaymasa inercialrespectivamente). Pero vos no tens que preocuparte. Aunque sean cosas distintas no est mal que no las distingamos, ya que a los efectos de la dinmica traen las mismas consecuencias. Existe un principio que reconoce sto, y se llamaprincipio de correspondencia.

CENTRO DE MASALos cuerpos reales ya sean chicos o grandes tienen su masa distribuida en un volumen. Sin embargo en muchos aspectos se comportan como si toda la masa corporal estuviese reunida en un punto. Esa posicin es elcentro de masa,G, y se trata de un concepto bastante intuitivo, la gente de a pie acierta sin esfuerzo a predecir la posicin del centro de masa,xG, de variados cuerpos.

Habrs notado que el centro de masa es una posicin que no necesariamente pertenece al cuerpo, sino que puede estar afuera de l, por ejemplo en el caso del anillo, la esfera hueca, una silla, etc.Existe un mtodo analtico para hallar el centro de masa y para que lo entiendas lo voy a desarrollar partiendo de una situacin muy sencilla. Sea un cuerpo (ms propiamente dicho: un sistema de masas) integrado por dos masas puntuales idnticas. Dnde se halla el centro de masa?

Correcto: en el medio de ambas posiciones. Y ese medio lo hallamos promediando las posiciones:

xG=x1+x2

2

Ahora supongamos que una de las masa es ms grande que la otra. Dnde se hallar ahora el centro de masa? No es difcil predecirlo: sobre la recta que une las dos masas y ms cerca de la masa mayor. Pero exactamente dnde?

La expresin que lo indica se llamapromedio ponderado("pesa" ms la posicin de la porcin ms pesada). Es sta:No me salenno hace desarrollos tericos... pero la frmula del promedio ponderado es tan sencilla que pods tratar de deducirla sin ayuda; el nico principio fsico que se necesita conocer es que la masa es una magnitud aditiva.

xG=m1x1+ m2x2

m1+ m2

xG=m1x1+ m2x2

M

DondeMes la masa total del sistema, o sea, la suma de las dos porciones de masa distribuidas por el volumen del sistema. Aunque te cueste creerlo esa posicin no depende del sistema de referencia que se te ocurra usar.Si queremos generalizarla para un nmero cualquiera de corpsculos discretos:

xG=m1x1+ m2x2+ m3x3+ ...+ mixi

M

Nuevamente,Mes la masa total del cuerpo. Podramos resumirlo de esta manera:

xG=mixi

M

El resto es simple. Si la masa de un cuerpo se halla distribuida sobre una superficie hallaremos lascoordenadas del centro de masa,xGeyG, operando de la misma manera que antes pero por separado para cada eje.

Entonces haremos:xG=(mixi) /MyG=(miyi) /MY si el sistema de distribucin de masa ocupara un volumen tridimensional, como todo cuerpo de verdad, entonces procederemos de la misma manera en un sistema de referencia volumtrico, tridimensional, de 3 ejes. Entonces haremos:xG=(mixi)/MyG=(miyi)/MzG=(mizi)/M

Tal vez hayas objetado: qu clase de cuerpos son stos cuyas partes masivas se encuentran separadas... no es una mala objecin. La respuesta es la siguiente: la naturaleza de la materia es corpuscular; por ms compacto que te parezca un cuerpo, est hecho principalmente por espacio vaco, su masa est concentrada en partculas que se hallan muy separadas unas de otras. Si no fuese por las fuerzas de atraccin y repulsin que se establecen entre stas partculas los cuerpos podran traspasarse limpiamente unos a otros y la probabilidad de choque entre partculas sera muy remota. Podramos atravesar paredes, ingresar a las cajas fuertes de los bancos... eso s, sera casi imposible hacer el amor.Por otro lado, la idea de cuerpos con su masa concentrada en porciones separadas, nos ofrece un mtodo prctico para hallar el centro de masa de cuerpos no geomtricos, o no uniformes. El mtodo consiste en seccionar el cuerpo (mentalmente) en porciones cuyas masas sean fciles de calcular y cuyos centros de masa (de la porcin) fcil de determinar. Luego el cuerpo queda idealmente constituido por un conjunto discreto y manejable de porciones de masa puntuales... su ruta.Si el ncleo de un tomo (que rene el 99% de toda la masa) tuviese el tamao de una pelota de ftbol, lo electrones tendran el tamao de granitos de arena y andaran dando vueltas a cientos de metros de la pelota.


El asunto ms difcil de defender en la Ley de Gravitacin Universal, para Newton, era que un cuerpo celeste cualquiera (la Luna, la Tierra...) se comportaba como si toda su masa estuviese reunida en un punto (el centro de masa). Para resolver el problema... invent el anlisis matemtico (qu hdp!). El centro de masa tiene muchas propiedades notables. Por ejemplo, los equilibrios de cuerpos apoyados se resuelven y plantean teniendo en cuenta el centro de masa: un cuerpo est en equilibrio si su centro de masa se halla sobre una vertical que pase por el rea de sustentacin (de apoyo). Otra propiedad notable es que las fuerzas aplicadas en la direccin que contiene el centro de masa no produce rotacin en el cuerpo. Los "sistemas de partculas" (una galaxia, un sistema planetario, los fragmentos de una explosin, por ejemplo) son complicadsimos de describir o plantear o resolver si pretendemos analizarlo como la superposicin de la dinmica de cada partcula... pero si en lugar de poner el ojo sobre cada partcula ponemos el ojo sobre el centro de masa del sistema... su descripcin se torna asombrosamente simple.

VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASAUna de las propiedades ms interesantes del centro de masa aparece cuando se considera un sistema de cuerpos que se mueven en diferentes direcciones, por ejemplo un conjunto de estrellas en una galaxia, los fragmentos de una explosin, etctera.En laseccin anteriorte cont que la posicin del centro de masa se puede hallar resolviendo un "promedio ponderado" entre todas los posiciones,xi, que ocupa cada uno de los fragmentos de masa,mi, que integran un cuerpo o simplemente un sistema de masas.

xG=mixi

M

Cuando la distribucin de masas se halla en el plano o en un volumen se repite el procedimiento para hallar las 2 o las 3 coordenadas del centro (x,y,z) de masa segn corresponda.En este apartado, a los fines de la abreviacin voy a llamaria la posicin de cada fragmento independientemente de cmo sea la distribucin general. Entonces:Se suele denominarr(con flechita arriba) alvector posicin, y es mucho ms verstil que el concepto de coordenada. pero no cuento con flechita para laren HTML. Sorry.

rG=miri

M

Hagamos un sencillo desarrollo algebraico que nos va a revelar una propiedad sorprendente. Primero pasemos multiplicando la masa total del sistema,M, al primer miembro:MrG=miriAhora supongamos que todo est en movimiento: las posiciones de los fragmentos cambian, y por supuesto, la del centro de masa tambin. Eso se podra representar -aunque un poco groseramente- as:MrG=miriAhora, si dividimos miembro a miembro por un intervalo de tiempo en el que ocurre un cambio de posiciones, tenemos:

MrG=miri

tt

Haceme un favor: no dejes de imaginar las flechitas de vector sobre lasvy lasr(ambas son magnitudes vectoriales)

O, lo que es lo mismo:MvG=miviSorpresa:

pG=pi

Lo mismo parap(cantidad de movimiento)

Esto nos dice que la cantidad de movimiento del centro de masa es igual a la suma de todas las cantidades de movimiento de cada fragmento de masa que integra el cuerpo o el sistema (pero no te olvides: hablamos de una suma vectorial).A partir de esta relacin se concluyen relaciones verdaderamente sorprendentes. Por ejemplo: si un sistema de partculas no recibe fuerzas externas, entonces la velocidad del centro de masa ser nula o bien tendr una velocidad constante.Otra: si todas las partculas que integran un sistema reciben exactamente la misma fuerza, hagan lo que hagan cada una de ellas, el centro de masa se comporta como si toda la masa estuviera reunida en ese punto y ah, justo ah, estuviera recibiendo esa fuerza externa.Si lo que te interesa es la velocidad del centro de masa, basta con que volvamos a pasar dividiendo la masa total al segundo miembro.

vG=mivi/M

Si estuvieses frente a un problema bi-dimensional o de ms dimensiones, habr que resolver la ecuacin para cada una de las componentes de la velocidad. Por ejemplo:vGx=mivix/MvGy=miviy/MLuego recompons la velocidad a partir de sus componentes.


La deduccin correcta de estas relaciones se efecta con el auxilio del anlisis matemtico (derivadas e integrales). Y de la misma manera se demuestra que la aceleracin del centro de masa es igual a la suma de las "aceleraciones ponderadas" de la totalidad de los fragmentos. Los ciclistas ganan las carreras tirando su cuerpo hacia atrs a ltimo momento. En ese breve intervalo en que se est por cruzar la meta la bicicleta sufre una fuerte aceleracin hacia adelante y el ciclista gana. Sin embargo el centro de masa del conjunto ciclista-bicicleta no vari su velocidad. El clavadista se tira desde el trampoln y mientras cae a la pileta realiza vueltas, tirabuzones y 248 piruetas ms. Las velocidades y aceleraciones de cada una de sus partes: brazos, manos, cabeza, cintura, piernas, orejas, dientes y pelitos de la cabeza, parecen realmente caticas y es imposible perseguirles el rastro. Sin embargo el centro de masa del clavadista describe una trayectoria limpia y pura: una parbola perfecta.

ESTTICADEL CUERPO PUNTUALOesttica de la partcula, es lo mismo. Se llama as porque ignora o desprecia los movimientos de rotacin que puede tener un cuerpo real, slo le interesa que se mueva o no se mueva en cuanto a su desplazamiento (que es el mismo criterio que usamos en toda la cinemtica).La esttica es el estudio de losequilibrios, y entendemos que un cuerpo est en equilibrio si no posee aceleracin. De modo que se puede resumir (o representar) el equilibrio de un cuerpo de esta manera:

O sea, que la resultante de todas las fuerzas que actan sobre l,Res, o la sumatoria de todas las fuerzas que actan sobre l,F, es igual a cero. De modo que la esttica es un caso particular de la dinmica (F= m.a), aquel en el que la aceleracin del cuerpo vale cero.Para plantear esta condicin de equilibrio en ecuaciones, hay que recordar que se trata de una relacin vectorial. De modo que si las fuerzas que actan sobre el cuerpo tienen todas la misma direccin, bastar una sola ecuacin (F= 0).Si las fuerzas que actan sobre el cuerpo apuntan en varias direcciones pero todas en un plano, necesitaremos 2 ecuaciones:Fx= 0Fy= 0Por supuesto, nunca nos olvidaremos de establecer claramente el sistema de referencia, SR,x-y. O sea, bsicamente, lo mismo que hacemos en dinmica.Si las fuerzas actan en diversas direcciones que no estn contenidas en un nico plano, necesitaremos 3 ecuaciones: una para cada una de las direcciones del SR tridimensionalx-y-z.Al tratarse de cuerpos puntuales, resulta obvio que todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo sonconcurrentes. En el captulo siguiente (cuerpos extensos) es justamente sto lo que cambia. Vamos con un ejemplo.

Supongamos que sobre un cuerpo actan cinco fuerzas que son las que te acabo de representar en eseDCL.Cuatro de ellas apuntan en direcciones ortogonales y una sola,F5, en una direccin dscola. Ac no cabe duda que el sistema de referencia ms econmico (a los fines algebraicos) es aquel que coincide con las direcciones de las primeras cuatro. (de todos modos, debo recordarte, que cualquier otro SR es igualmente vlido y te ha de conducir a las mismas conclusiones).

Una vez elegido elSR, aquellas fuerzas (en este caso sloF5) cuyas direcciones no coinciden con las direcciones deSR, hay que reemplazarlas por sus componentes en las direcciones delSR.

Fijate que este segundoDCLva acompaado de la representacin delSR,nunca te lo olvides!Si nos dicen que el cuerpo est en equilibrio, entonces estamos habilitados a plantear...dir.x: F5xF2F3= 0dir.y: F5y+F4F1= 0

Si en un examen de Fsica te olvids de establecer claramente elsistema de referencia,el docente que te corrija te lo va a cobrar en dlares y con intereses.

Fijate que en una representacin clara las fuerzas no se dibujan encimadas (se sobreentiende que se trata de fuerzas concurrentes, o sea, aplicadas todas sobre un mismo punto).


Una de las bondades ms provechosas de la esttica consiste en que cuando un objeto (o un sistema de objetos) est en equilibrio se puede aplicar la relacin esttica (F= 0) a cualquiera de sus partes, como puntos de encuentro de vigas y columnas, nudos en una malla de sogas, y cualquier otro lugar en el que concurran fuerzas.

ESTTICADEL CUERPO EXTENSO-MOMENTOEn este captulo vamos a considerar cuerpos y tener en cuenta su extensin, su postura y, sobre todo, su capacidad de rotar. Veremos que el lugar del cuerpo sobre el que acta una fuerza no es irrelevante ya que actuando en distintas posiciones de un mismo cuerpo se obtienen efectos diferentes.La magnitud que mejor describe esta propiedad se llamamomento.Momento de una fuerza,M(Tambin llamadotorqueomomento de torsin)Prestale atencin a este ejemplo: supongamos que queremos aflojar una tuerca que est muy adherida al buln, todo oxidado, casi clavados. Lo intentamos con una llave fija de 50 cm de largo y nos aparece la intriga: en qu lugar de la llave conviene poner la mano para hacer fuerza?

Seamos ms precisos: tiraras del puntoA, delBo delC?Si elegiste elAelegiste correctamente, igual que 27 de cada 28 personas que an sin haber estudiado Fsica en su vida confan en la intuicin y hacen bien. (Me ro de los colegas que dicen que la Fsica es anti-intuitiva).Tu fuerza es la misma en los tres casos, pero tens mucha ms probabilidad de xito si la aplics en el puntoAde la llave, que en ningn otro lado.

Efectivamente, la eficacia de tu fuerza para lograr una rotacin crece si la aplics en forma distante al objeto que quers hacer rotar. Y con esto estamos como para hacer una definicin:Se llamamomento de una fuerzay se simbolizaMal producto entre la fuerza,F, y la distancia,d, entre la recta de accin de la fuerza,r, y el centro de rotacin,C.CMF=F . dNosotros usaremos el smboloMtambin se utiliza el smbolo(letra griega minsculatau)

Notars que la distancia entre una recta y un punto se obtiene trazando una perpendicular a la recta que pase por el punto. Esa distancia no es otra que la distancia mnima entreCyr.El momento de una fuerza es un vector (pero en este curso inicial lo trataremos como un escalar, o, mejor dicho, tomaremos de ese vector su parte escalar -su mdulo- que es la parte ms descriptiva de la magnitud).

Las unidades en que mediremos los momentos debern ser:[M]=Nm (newton por metro)Arbitrariamente, le asignaremos a los momentos un signo (positivo o negativo) segn tiendan a provocar un giro horario o antihorario. No hay criterio universal para esta asignacin, de modo que pods optar alegremente frente a cada ejercicio...siempre y cuando se lo comuniques a tus lectores!(Ser parte de nuestro SR).

Si en lugar de considerar ad, tens ganas de considerar ad', la distancia entre el punto de aplicacin de la fuerza y el centro de giro o centro de momentos, entonces podemos expresar al momento de la fuerza as:CMF=F . d'.sen

Esto nos lleva a una conclusin muy sencilla que vos pods verificar mentalmente con nuestro ejemplo de la tuerca oxidada y la llave fija. Si aplics tu fuerza en la posicinA(como habamos quedado) tendrs mayor efectividad si la ejercs a 90 grados de la llave (sen 90 = 1); y ser totalmente inefectiva si la ejercs en la misma direccin que la llave (sen 0 = 0), adems de que se reiran de vos.Advertencias: hay cuerpos que tienen un centro de rotacin casi obligado: una tuerca en torno a su eje, las puertas y ventanas en torno a la bisagra, las ruedas, los engranajes, etctera, pero la mayora de los cuerpos extensos podran rotar entorno a cualquier eje, incluso los que te mencion recin. Adems, ya te habrs dado cuenta de que el momento de una fuerza depende del punto que consideremos como centro de rotacin.Volvamos al asunto de la esttica y los equilibrios. Para un cuerpo extenso vale el mismo considerando que para un cuerpo puntual: como no est acelerado la suma de las fuerzas que actan sobre l debe valer cero. Pero como tampoco debe rotar, la suma de los momentos de todas las fuerzas que actan sobre l tambin debe valer cero.Miralo de este modo: para cualquier fuerza cuyo momento no nulo tienda a hacer rotar al cuerpo en alguna direccin, debe haber al menos otra fuerza que tenga el momento opuesto y se contraponga a esa rotacin. Generalizando:si un cuerpo no rota es porque la suma de todos los momentos de todas las fuerzas que actan sobre l es igual a cero.M = 0 (el cuerpo no rota)Pero qu punto elegimos para plantear los momentos de las fuerzas?Cualquiera!Si el cuerpo no rota...no rota en torno a ningn punto!

Cuando un cuerpo no rota,cualquier punto(incluso puntos que se encuentran fuera del cuerpo) sirve para usar como centro de rotacin y plantear los momentos de todas las fuerzas, y afirmar que la suma de todos esos momentos es nula. CM = 0 (cualquiera seaC)Esto es una ventaja, ya que nos da libertad a nosotros de elegir el puntocentro de momentosque ms nos convenga para resolver un ejercicio.

Resumiendo: si nos afirman que un cuerpo extenso est en equilibrio, podemos plantear para todas las fuerzas que actan sobre ese cuerpo que:Fx= 0Fy= 0M= 0Esas 3 ecuaciones (es el caso ms general, pero seran 2 si todas las fuerzas fueran codireccionales, o 4 si en una situacin tridimensional) describen el equilibrio.En muchos textosaparece la denominacincuerpo rgidoen lugar decuerpo extenso

Aunque no aluden a la misma propiedad son equivalentes.


Tal vez ya hayas estudiado (o estars por hacerlo) las magnitudestrabajoyenerga. Esas magnitudes, que nada tienen que ver con elmomento de una fuerza, se miden en las mismas unidades:Nm. No dejes que esto te confunda. Las primeras son escalares y en cambio las que estamos estudiando en esta leccin son vectores (aunque aqu no explotemos esa propiedad). Por eso a las primeras les damos una unidad especial, el joule,J(J=Nm), en cambio para los momentos usamos siempreNm. Si con la fuerza y la distancia arms un plano, la direccin de vector momento de la fuerza es perpendicular a ese plano. Casi todas las herramientas manuales funcionan gracias a la propiedad de los momentos de las fuerzas que realizan las manos. Las palancas, son de la propiedad de una aplicacin los momentos.

CUPLA o PAR DE FUERZASo TORQUEUno de los efectos ms curiosos que explica el concepto demomento de una fuerzaes lo que se conoce comocuplaopar de fuerzasotorque, y que aparece cuando dos fuerzas iguales y opuestas actan en rectas paralelas sobre un cuerpo extenso, como ilustra la figura.

Si no hay ms fuerzas actuando sbre el cuerpo, este no puede estar en equilibrio, ya que aunque la suma de fuerzas vale cero, la suma de momentos, no: debe estar rotando.Mcupla=MF1+MF2El momento de la cupla es igual al momento deF1ms el momento deF2. Y lo curioso es que es independiente del punto que elijamos para tomar comocentro de momentos(o centro de rotacin). Vale siempre lo mismo.

Hagamos la prueba con algunos casos; primero tomemos el centro de rotacin en el punto de aplicacin deF1. A ese punto lo llamaremosU.UMcupla=UMF1+UMF2

Est claro que el momento deF1vale cero porque la distancia entre su recta de accin y el punto es cero.UMcupla=UMF2UMcupla=F2.d2Perod2no es otra cosa que la distancia entre las paralelas,d. Recordando queF1yF2son iguales y asignando signos a los momentos, nos queda que:

UMcupla=F.dAhora tomemos como centro de rotaciones al punto de aplicacin deF2. A ese punto lo llamaremosD.

Est claro que el momento deF2vale cero porque la distancia entre su recta de accin y el punto es cero.DMcupla=DMF1DMcupla=F1.d1Perod1no es otra cosa que la distancia entre las paralelas. Recordando queF1yF2son iguales y asignando signos a los momentos, nos queda que:

DMcupla=F.dAhora tomemos como centro de rotaciones un punto cualquiera que sea externo a la franja delimitada por las paralelas. A ese punto lo llamaremosE.

EMcupla=EMF1+EMF2Ahora el momento deF1ser positivo mientras que el deF2negativo.EMcupla=F1.d1F2.d2Como las fuerzas son iguales las puedo llamar direcatmenteFy sacarla como factor comn.EMcupla=F.(d1d2)

Pero la diferencia entre esas distancias no es otra cosa qued, la distancia entre las paralelas. De modo que volvemos a obtener:EMcupla=F. dTe dejo a vos que hagas la prueba para un punto del interior de la franja determinada por las paralelas. Concluiremos que el momento de una cupla integrada por dos fuerzas iguales,F, actuando en paralelas separadas una distanciades igual a:Mcupla=F. dIndependientede cualquierejeocentro de rotacin. Y que, como todo momento de fuerzas, mediremos enNm.Otra curiosidad de las cuplas es que una cupla slo puede ser equilibrada por otra cupla. Esacupla equilibrantedebe tener el mismo momento y sentido contrario al de la cupla que quiere equilibrar.


En la situacin ms corriente de accin de las cuplas el cuerpo gira sobre un eje que equidista del punto de accin de cada fuerza, o sea justo en la mitad. Los cuerpos que giran suelen tener su masa distribuida simticamente en torno al eje de giro; curioso, no?

introducción a la dinámica

Documents