introducción programación dinámica determinística

8/17/2019 Introducción Programación Dinámica Determinística

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INVESTIGACION DE OPERACIONES 2Programación Dinámica Determinística


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PROGR M CION DIN MIC

Una forma razonable y comúnmenteempleada de resolver un problema es definir o

caracterizar su solución en términos de las

soluciones de subproblemas del mismo.

La programación dinámica encuentra la

solución óptima de un problema con n

variables, descomponiéndolo en n etapas,

siendo cada etapa un subproblema de una

sola variable.


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PROGRAMACION DINAMICA

DETERMINÍSTICA

En este tipo de programación dinámica, el estado

de la siguiente etapa está determinado por

completo por el estado y la política de decisión dela etapa actual. El caso probabilístico es en el cual

existe una distribución de probabilidad del valor

posible del siguiente estado.


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Naturaleza Recursiva

Los cálculos de programación dinámica se hacen en formarecursiva, ya que la solución óptima de un subproblema se

usa como dato para el siguiente subproblema. Para

cuando se resuelve el último subproblema se obtiene la

solución óptima de todo el problema.

Se usa la recursión en avance, cuando los cálculos se hacen

de la primera etapa a la última etapa; y se usa la recursión

en reversa, cuando los cálculos se hacen de la última etapa

a la primera etapa. Con las recursiones en avance y en

reversa se obtiene la misma solución. Se usa la recursión

en reversa porque, en general, es más eficiente desde el

punto de vista computacional.


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Etapa (n)

Estado (sn )

Elemento

ELEMENTOS DE UN PROBLEMA DE


Variable de decisión (x n )

Es el período de tiempo, lugar,

fase o situación en donde se

produce un cambio debido a una

decisión (x n ).

Evolución del sistema

n=1 n=2 n=3 n=4

Función recurrente (f n )


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Etapa (n)

Estado (sn )

Elemento


Muestra la situación actual de

cada etapa. Información que

enlaza las etapas, de tal modo

que se puedan tomar las

decisiones. También se puede

decir que es la información que

se necesita en cualquier etapa

para tomar una decisión óptima.


n=1

s1

n=2

s2

n=3

s3

n=4

s4





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Etapa (n)

Estado (sn )

Elemento


Hacen referencia a toma de

decisiones (o política de

decisión) que se producen en

una etapa y que produce un

cambio en el estado actual del

sistema.


n=1

s1

n=2

s2

n=3

s3

n=4

s4 x 1 x 2 x 3 x 4





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Etapa (n)

Estado (sn )

Elemento


Refleja el comportamiento del

sistema en función de los

estados y de las variables de

decisión. Relaciona el costo o la

contribución ganada durante

alguna etapa con el costo o la

contribución ganada en la etapa

posterior de forma acumulativa.

f 4(s4 , x 4 )

f 3(s3 , x 3 )

f 2(s2 , x 2 )

n=1

s1

n=2

s2

n=3

s3

n=4

s4 x 1 x 2 x 3

f 1(s1 , x 1 )

x 4

Función recurrente (f n )Evolución del sistema

f 4(s4 , x 4 )




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Enunciado

Análisis

Problema

EJEMPLO PROTOTIPO DE


Etapa 4

Etapa 3

Etapa 2

Etapa 1

Interpretación

Tomando en cuenta el siguiente sistema de caminos, si se

encuentra inicialmente en el nodo A, encontrar la trayectoria más

económica para llegar al nodo J considerando que los valores que

se encuentran en las ramas representan los costos de trasladarse

de un nodo a otro.


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Problema Si se tomara la decisión de ir por la ruta más barata en cada etapa, éstasería: A – B – F – I – J con un costo total asociado de 13. Pero note que

si desde el nodo A llegamos al nodo F mediante D, en lugar de ir por B

el costo sería menor. El evaluar todas las posibles rutas y sus costos

asociados sería una tarea tediosa. Mediante la programación dinámica

se puede hallar la solución con mucho menor esfuerzo.

Variables de decisión: x n : destino inmediato de la etapa n,

Estado: sn : lugar donde se encuentra en la etapa n

Ruta a seleccionar: A – x 1 – x 2 – x 3 – x 4, donde x 4 = J

Como el destino final es J se alcanza al terminar la etapa 4.El objetivo es encontrar f 1

*(A) y la ruta correspondiente. La

programación dinámica la encuentra al determinar en forma sucesiva

f 4*(s4 ), f 3

*(s3 ), f 2*(s2 ) y f 1

*(s1 )

Función recursiva: f n(sn , x n )= csnxn + f n+1*(x n )

Enunciado

Análisis

Etapa 4

Etapa 3

Etapa 2

Etapa 1

Interpretación




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Problema Cuando se está en la última etapa, el destino final es x 4 = J y su estadoactual s4 puede ser H o I , de manera que su último tramo es desde s4hacia J. Por lo tanto, f 4

*(s4 ) = f 4(s4 , J) = cs4J

s4

f 4(s4 ,x 4 )= c s4 x 4 Solución óptima

x 4 = J f 4* (s4 ) x 4

*

H 3 3 J

I 4 4 J

Enunciado

Análisis

Etapa 4

Etapa 3

Etapa 2

Etapa 1

Interpretación




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Problema

s3f 3(s3 ,x 3 )= c s3 x 3 + f 4*(x 3 ) Solución óptima x 3 = H x 3 = I f 3

* (s3 ) x 3*

E 1+3=4 4+4=8 4 H

F 6+3=9 3+4=7 7 I

G 3+3=6 3+4=7 6 H

Enunciado

Análisis

Etapa 4

Etapa 3

Etapa 2

Etapa 1

Interpretación




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Problema

s2

f 2

(s2

,x 2

)= c s

2

x 2 + f

3

*(x 2

) Solución óptima

x 2 =E x 2 =F x 2 =G f 2 * (s2 ) x 2

*

B 7+4=11 4+7=11 6+6=12 11 E o F

C 3+4=7 2+7=9 4+6=10 7 E

D 4+4=8 1+7=8 5+6=11 8 E o F

Enunciado

Análisis

Etapa 4

Etapa 3

Etapa 2

Etapa 1

Interpretación




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Problema

s1

f 1(s1 ,x 1 )= c s1 x 1 + f 2 *(x 1 ) Solución óptima

x 1 =B x 1 =C x 1 =D f 1* (s1 ) x 1

*

A 2+11=13 4+7=11 3+8=11 11 C o D

Enunciado

Análisis

Etapa 4

Etapa 3

Etapa 2

Etapa 1

Interpretación




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ProblemaCosto total =11Ruta1: A-C-E-H-J

Ruta2: A-D-E-H-J

Ruta3: A-D-F-I-J

s4

x 4

H J

I J

s3 x 3

E H

F I

G H

s2

x 2

B E o FC E

D E o F

s1

x 1

A C o D

Enunciado

Análisis

Etapa 4

Etapa 3

Etapa 2

Etapa 1

Interpretación




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Joe Cougar vive en Nueva York, pero proyecta viajar en su automóvilhasta Los Ángeles en busca de fama y fortuna. Los fondos de Joe sonlimitados, así que decide pasar cada noche de su viaje en la casa de unamigo. Joe tiene amigos en Columbus, Nashville, Louisville, Kansas City,

Omaha, Dallas, San Antonio y Denver. Joe sabe que después demanejar un día puede llegar a Columbus, Nashville o Louisville. Despuésde manejar dos días puede llegar a Kansas City, Omaha o Dallas.Después de tres días de viaje puede llegar a San Antonio o Denver.Luego de cuatro días de manejar puede llegar finalmente a Los Ángeles.Para minimizar la cantidad de millas recorridas, ¿dónde Joe pasar cada

noche del viaje?. Las millas reales por carretera entre las ciudades sedan en la figura 1.

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