INTRODUCCIN A LA DINMICA

El estudio de la dinmica, parte de la mecnica que se refiere al anlisis de los cuerpos en movimiento.

La primera contribucin importante a la dinmica la realizo Galileo Galilei

(1564 - 1642). Los experimentos de Galileo en cuerpos uniformemente acelerados llevaron a Newton (1642 - 1727) a formular sus leyes de movimiento fundamentales.

La dinmica incluye:

1) La Cinemtica, la cual corresponde al estudio de la geometra del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento.

La Cinemtica, estudia el movimiento sin entrar en el problema de las interacciones. Es decir estudia el movimiento sin estudiar las causas que lo generaron.

2) La Cintica, que es el estudio de la relacin que existe entre las fuerzas que actan sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de este mismo. La cintica se utiliza para predecir el movimiento

ocasionado por fuerzas dadas, o para determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento especfico.

UNIDAD 1 CINEMTICA DE LA PARTCULA

1.1) Definicin de los sistemas de referencia.

1.1.1 Cartesiano.

Sistema de coordenadas Cartesianas:

Mtodo para definir la posicin de un punto por medio de su distancia perpendicular a dos o ms lneas de referencia.

En geometra plana, dos lneas rectas, llamadas eje X y eje Y, forman la base de un sistema de coordenadas Cartesianas en dos dimensiones.

Por lo general, el eje X es horizontal y se conoce como el eje de las abscisas, el eje Y es vertical y se conoce como eje de las ordenadas y este a su vez es perpendicular al eje X.

Al punto de interseccin de los dos ejes se le llama origen O. Cualquier punto en este plano se puede identificar por un par ordenado de nmeros que representan las distancias a los dos ejes.

En tres dimensiones, se introduce un tercer eje, el eje Z, para definir la altura o profundidad de un punto.

En el sistema de coordenadas Cartesianas, los tres ejes se encuentran a ngulos rectos entre s. Por ello, un punto se determina por tres nmeros (X, Y, Z).

1.1.2 Polar.

Sistema de coordenadas Polares:

Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posicin del plano se determina por un ngulo y una distancia.

De manera ms precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y es el ngulo positivo en sentido anti horario medido desde el eje polar (equivalente al eje X del sistema cartesiano).

La distancia se conoce como la coordenada radial o radio vector mientras que el ngulo es la coordenada angular o ngulo polar.

En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de es indefinido. En ocasiones se adopta la convencin de representar el origen por (0,0).

En tres dimensiones:

El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilndricas y el sistema de coordenadas esfricas.

El sistema de coordenadas cilndricas aade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esfricas aade una coordenada angular.

1.1.3 Cilndrico.

Sistema de coordenadas Cilndricas:

Es un sistema de coordenadas, que extiende al sistema de coordenadas polares aadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto

sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones.

La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notacin de dichas coordenadas sea (r, , h).

1.1.3 Esfrico.

Sistema de coordenadas Esfricas:

Las coordenadas polares tambin pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (, , ), donde es la distancia al origen, es el ngulo con respecto al eje Z (medido de 0 a 180), y es el ngulo con respecto al eje X (igual que en las coordenadas polares, entre 0 y 360).

Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sita el origen en el centro de la Tierra, la latitud es el ngulo complementario de (es decir, = 90 ), y la longitud viene dada por 180.

1.2) Elementos que definen el movimiento en general: posicin, desplazamiento, trayectoria, tiempo, distancia, velocidad y aceleracin.

1.2.1 Posicin de la partcula.

Una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilneo.

En cualquier instante dado t, la partcula ocupara cierta posicin (x) sobre la lnea recta. Para definir la posicin P de la partcula se elige un origen fijo O sobre la direccin positiva a lo largo de la lnea.

Se mide la distancia x desde O hasta P, y se marca con un signo ms o menos, dependiendo de si P se alcanza desde O al moverse a lo largo de la lnea en la direccin positiva o en la negativa, respectivamente.

Por ejemplo, la coordenada de la posicin correspondiente a P en la siguiente figura es x = +5m.

La coordenada correspondiente a P en la siguiente figura es x = -2m.

Cuando se conoce la coordenada de la posicin x de una partcula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partcula.

La descripcin de un camino o una ruta del movimiento puede expresarse en forma de una ecuacin en x y t, tal como es x = 6t2 t3, o en una grafica de x en funcin de t, como se ve en la figura siguiente:

Las unidades que se usan con mayor frecuencia para medir la coordenada de la posicin x son el metro (m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft) en el sistema de unidades ingls.

El tiempo t suele medirse en segundos (s).

Las unidades que se usan con mayor frecuencia para medir la coordenada de la posicin x son el metro (m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft) en el sistema de unidades ingls.

El tiempo t suele medirse en segundos (s).

1.2.2 Desplazamiento de la partcula.

El desplazamiento de la partcula se define como el cambio en su posicin.

Por ejemplo, si la partcula se mueve de P a P, como se observara en la figura, el desplazamiento es r = r r.

Empleando escalares algebraicos para representar a r, se tiene tambin, que x = x x. Aqu x es positivo, ya que la posicin final de la partcula est a la derecha de su posicin inicial; es decir, x > x. Igualmente, si la posicin final est a la izquierda de su posicin inicial, x es negativo.

Como el desplazamiento de una partcula es una cantidad vectorial, se debe distinguir de la distancia que viaja la partcula. Especficamente, la distancia recorrida es un escalar positivo que representa la longitud total de la trayectoria recorrida por la partcula.

De la definicin de desplazamiento se puede concluir que ste no depende de la trayectoria seguida por la partcula, sino que slo depende del punto de partida y del punto de llegada. La figura nos ilustra esta importante afirmacin. En esta figura, tres partculas tienen el mismo desplazamiento siguiendo trayectorias diferentes.

1.2.3 Trayectoria de la partcula.

Es la lnea imaginaria que describe la partcula en su movimiento. En la siguiente figura se ilustran ejemplos de varias trayectorias:

1.2.4 Velocidad de la partcula.

La velocidad de una partcula se define como la relacin existente entre una distancia recorrida en un cierto tiempo.

Considere la posicin P ocupada por la partcula en el tiempo t y la coordenada correspondiente x de la siguiente figura.

Considere tambin la posicin P ocupada por la partcula en un tiempo posterior t + t; la coordenada de la posicin P puede obtenerse sumando a la coordenada x de P el pequeo desplazamiento x, el cual ser positivo o negativo segn si P esta a la derecha o a la izquierda de P.

La velocidad promedio o velocidad media (vavg) de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se define como el cociente entre el desplazamiento x y el intervalo de tiempo t:

Velocidad promedio (vavg)= x / t *(1.0)

Si se usan unidades del SI, x se expresa en metros y t en segundos, la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros por segundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso comn en el Sistema Ingles, x se expresa en pies y t en segundos; la velocidad promedio se expresara entonces en pies por segundo (ft/s).

La velocidad instantnea (v) de la partcula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos t y desplazamientos x cada vez ms cortos:

Velocidad instantnea (v) = lm x / t

La velocidad instantnea se expresa tambin en m/s o ft/s. observando que el lmite del cociente es igual, por definicin, a la derivada de x con respecto a t, se escribe:

V = dx / dy (1)

t 0

La velocidad v se representa mediante un nmero algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de v indica que x aumenta, esto es, que la partcula se mueve en la direccin positiva como se muestra en la siguiente figura.

Un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir, que la partcula se mueve en direccin negativa, como se vera en la siguiente figura.

La magnitud de v se conoce, como la rapidez de la partcula.

1.2.5 Aceleracin de la partcula.

La aceleracin de una partcula se define como el incremento considerable de la velocidad en tiempos muy cortos.

Considere la velocidad v de la partcula en el tiempo t y tambin su velocidad v + v en un tiempo posterior t + t, como se aprecia en la siguiente figura.

La aceleracin promedio o aceleracin media de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se refiere como el cociente de v y t :

Aceleracin promedio (Aavg) = v / t *(2.0)

Si se utilizan las unidades del SI, v se expresa en m/s y t en segundos; la aceleracin promedio se expresara entonces en m/s2. Si se recurre a las unidades de uso comn en la Unin Americana, v se expresa en ft/s y t en segundos; la aceleracin promedio se expresara entonces en ft/s2.

La aceleracin instantnea (a) de la partcula en el instante t se obtiene de la aceleracin promedio al escoger valores de t y v cada vez ms cortos:

Aceleracin instantnea (a) = lm v / t

La aceleracin instantnea se expresa tambin en m/s2 y ft/s2. El limite del cociente, el cual es por definicin la derivada de v con respecto a t, mide la razn de cambio de la velocidad. Se escribe:

a = dv / dt (2)

o con la sustitucin de v de la formula (1).

a = d2x / dt2 (3)

La aceleracin a se representa mediante un nmero algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir, el nmero algebraico v) aumenta. Esto puede significar que la partcula se est moviendo ms rpido en la direccin positiva (figura a) o que se mueve ms lentamente en la direccin negativa (figura b); en ambos casos, v es positiva.

Un valor negativo de a indica que disminuye la velocidad: ya sea que la partcula se est moviendo ms lentamente en la direccin positiva (figura c) o que se est moviendo ms rpido en la direccin negativa (figura d).

t 0

El termino desaceleracin se utiliza en algunas ocasiones para referirse a a cuando la rapidez de la partcula (esto es, la magnitud de v) disminuye; la partcula se mueve entonces con mayor lentitud.

Por ejemplo, la partcula de la figura anterior se desacelera en las partes b y c; en verdad se acelera (es decir, se mueve ms rpido) en las partes a y d.

Es posible obtener otra ecuacin para la aceleracin eliminando la diferencial dt en las ecuaciones (1) y (2). Al resolver (1) para dt, se obtiene dt = dx / v; al sustituir en (2), se escribe:

a = v (dv / dx) (4)

Ejemplo. Considere la partcula que se mueve en una lnea recta y suponga que su posicin esta definida por la ecuacin:

x = 6t2 t3

Donde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad de v en cualquier tiempo t se obtiene al diferenciar x con respecto a t.

v = dx/dt = 12t 3t2

La aceleracin a se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a t.

a = dv/dt = 12 6t

La coordenada de la posicin, la velocidad y la aceleracin se han graficado contra t en la figura siguiente.

Las curvas obtenidas se conocen como curvas de movimiento.

Recurdese, sin embargo, que la partcula no se mueve a lo largo de ninguna de estas curvas; la partcula se mueve en una lnea recta.

Puesto que la derivada de una funcin mide la pendiente de la curva

correspondiente, la pendiente de la curva x-t en cualquier tiempo dado es igual al valor de v en ese tiempo y la pendiente de la curva v-t es igual al valor de a.

Puesto que a = 0 en t = 2s; la velocidad alcanza un mximo en este instante.

Adems, puesto que v = 0 en t = 0 y t = 4s, la tangente a la curva x-t debe ser horizontal para ambos de estos valores de t.

Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura anterior, muestra que el movimiento de la partcula dese t = 0 hasta t = puede dividirse en cuatro etapas:

1) La partcula inicia desde el origen, x = 0 sin velocidad pero con una aceleracin positiva. Bajo esta aceleracin, gana una velocidad positiva y se mueve en la direccin positiva. De t = 0 a t = 2s, x, v y a son todas positivas.

2) En t = 2s, la aceleracin es cero; la velocidad ha alcanzado su valor mximo. De t = 2 a t = 4s, v es positiva, pero a es negativa. La partcula an se mueve en direccin positiva, pero cada vez ms

lentamente; la partcula se esta desacelerando.

3) En t = 4s, la velocidad es cero; la coordenada de la posicin x ha alcanzado su valor mximo. A partir de ah, tanto v como a son negativas; la partcula se est acelerando y se mueve en la direccin negativa con rapidez creciente.

4) En t = 6s, la partcula pasa por el origen; su coordenada x es en ese caso, en tanto que la distancia total recorrida desde el principio del movimiento es de 64m. Para valores mayores de t que es 6s, x, v y a sern todas negativas. La partcula continua movindose en la direccin negativa, alejndose del O, cada vez ms rpido.

*Estas formulas se ocuparan poco para el desarrollo de ejercicios pero si deben tenerlas presentes para poder resolver algn ejercicio que pudiese venir en el Examen Parcial.