introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Laboratorio de Ingeniería Mecánica Universidad de La Coruña http://lim.ii.udc.es LIM Introducci Introducci ó ó n a la n a la din din á á mica de sistemas mica de sistemas multicuerpo multicuerpo Seminario: “Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo y aplicaciones en biomecánica” Curso de Biomecánica del Master en Ingeniería Biomédica de la UPC Javier Cuadrado Aranda Barcelona, 27 de noviembre de 2009

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Page 1: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

Laboratorio de Ingeniería MecánicaUniversidad de La Coruña http://lim.ii.udc.esLIM

IntroducciIntroduccióón a lan a ladindináámica de sistemas mica de sistemas multicuerpomulticuerpo

Seminario: “Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo y aplicaciones en biomecánica”

Curso de Biomecánica del Master en Ingeniería Biomédica de la UPC

Javier Cuadrado Aranda Barcelona, 27 de noviembre de 2009

Page 2: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Desarrollo virtual de productoDesarrollo virtual de producto

Ventajas:

• Anticipación del comportamiento del sistema en las primeras fases del ciclo de diseño.

• Reducción de prototipos físicos y ensayos experimentales.

• Consecuencias: mayor calidad, menor coste, antes en el mercado.

Sistema multicuerpo: sistema mecánico móvil o con partes móviles.Dinámica multicuerpo:

Simulación por ordenador de la dinámica de sistemas multicuerpo.

Forma parte del concepto de desarrollo virtual de producto (virtual productdevelopment).

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DinDináámica mica multicuerpomulticuerpo ((MultibodyMultibody dynamicsdynamics))

Sectores industriales de aplicación:Automoción, Aeroespacial, Ferroviario, Naval, Maquinaria pesada, Máquina-herramienta, Robótica, Biomecánica, Médico, Deportivo, Entretenimiento, etc.

Aplicación en todas las fases del ciclo de diseño:

Diseño, Simulación, Análisis, Control, Ensayo, Fabricación y Mantenimiento.

Mecánica computacional de máquinas y mecanismos: mecánica + métodos matemáticos + programación.

Permite resolver en el ordenador la dinámica directa (y la cinemática, y la dinámica inversa) de modelos de vehículos, máquinas y mecanismos tan detallados como se desee.

Page 4: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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EjemplosEjemplos

Page 5: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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EjemplosEjemplos

Page 6: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Fases del problemaFases del problemaFases del problema de dinámica multicuerpo:

Modelado físico: simplificaciones, teorías para flexibilidad, contacto, etc.Selección de coordenadas.Formulación de ecuaciones del movimiento: cinemática y dinámica.Integración numérica.Implementación: Fortran, C++, Matlab.

Cuestiones básicas:Modelado.Cinemática.Dinámica.

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Modelado: mModelado: méétodo tradicionaltodo tradicional

Tradicionalmente, en Mecánica clásica se modelan los mecanismos mediante coordenadas mínimas.Coordenadas mínimas: tantas como grados de libertad del sistema (independientes).Problemas en cadenas cerradas.

Page 8: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Modelado: mModelado: méétodo computacionaltodo computacional

Coordenadas dependientes: más que grados de libertad del sistema.Relacionadas por ecuaciones de restricción.

n: número de coordenadas

g: número de grados de libertad del sistema

m: número de ecuaciones de restricción

m=n-g

Tres familias: relativas, punto de referencia, naturales.

Page 9: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Modelado: relativasModelado: relativas

+ + − =AB BC CD AD 0

L1 cosψ1 + scos(ψ1 + ψ2 − π) + L3 sen(ψ1 + ψ 2 − π ) − L4 = 0

L1 senψ1 + ssen(ψ1 +ψ 2 − π) − L3 cos(ψ1 + ψ 2 − π ) − L4 = 0

Page 10: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Modelado: punto de referenciaModelado: punto de referencia(x1 − xA ) −

L12

cosψ1 = 0

(y1 − yA ) −L12

senψ1 = 0

(x1 +L12

cosψ 1) − (x2 −L22

cosψ 2 ) = 0

(y1 +L12

senψ1) − (y2 −L22

senψ 2 ) = 0

ψ 3 − (ψ2 +π2

) = 0

(x2 − x3)cosψ 3 + (y2 − y3)senψ 3 −L32

= 0

(x3 − xD ) −L32

cosψ3 = 0

(y3 − yD ) −L32

senψ 3 = 0

Page 11: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Modelado: naturalesModelado: naturales

(x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L12 = 0

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 − L22 = 0

(x3 − xD )2 + (y3 − yD )2 − L32 = 0

(x2 − x1)(x3 − xD ) + (y2 − y1)(y3 − yD ) = 0

(x3 − x1)(y2 − y1) − (y3 − y1 )(x2 − x1) = 0

Page 12: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Modelado: mixtas (naturales + relativas)Modelado: mixtas (naturales + relativas)

(x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L12 = 0

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 − L22 = 0

(x3 − xD )2 + (y3 − yD )2 − L32 = 0

(x2 − x1)(x3 − xD ) + (y2 − y1)(y3 − yD ) = 0

(x3 − x1)(y2 − y1) − (y3 − y1 )(x2 − x1) = 0j

1 1 1 4( )( ) ( )( ) cos 0A D A A D Ax x x x y y y y L L ϕ− − + − − − =

Page 13: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Modelado: ejemplosModelado: ejemplos

ϕ ψA B

1 2

ϕ

A

B1

s

3

2

pApB

p1

p2

p3

vA

vB

v1

ϕ

ψ

p1

p2

pA

pB

vA

vB

Page 14: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Modelado: ejemplosModelado: ejemplos

p1

v1p2

p3

p4

p5

p6v2

p7

p8

p9

p10

v3

x

y

z

s

x y

z

ϕ

ψ

s

pA

pB

pC

pDpE p1

p2

vA

v1v2

v3

v4

v1

v4

Page 15: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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CinemCinemáática: problema de posicitica: problema de posicióónnq t = x1, y1, x2 , y2,α{ }

(x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L12 = 0

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 − L22 = 0

(x2 − x B)2 + (y2 − yB )2 − L32 = 0

(x1 − xA ) − L1 cosα = 0

Φ(q) = 0

Φ(q) ≅ Φ(q0 ) + Φq (q0 )(q − q0 ) = 0 Φq (q0 )(q − q0 ) = −Φ(q0 )

Φq (q) =

2(x1 − x A) 2(y1 − xA ) 0 0 0−2(x2 − x1 ) −2(y2 − y1) 2(x2 − x1) 2(y2 − y1) 0

0 0 2(x2 − xB ) 2(y2 − yB ) 01 0 0 0 L1 senα

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Φq (qi )(qi+1 − qi ) = −Φ(q i )x

y

f(x)

x ix i+1x i+2

Page 16: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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CinemCinemáática: problema de velocidad y aceleracitica: problema de velocidad y aceleracióónn

0qΦ =)( ( ) 0qqΦq = qΦqqΦ qq −=)(

Φq (q) =

2(x1 − x A) 2(y1 − xA ) 0 0 0−2(x2 − x1 ) −2(y2 − y1) 2(x2 − x1) 2(y2 − y1) 0

0 0 2(x2 − xB ) 2(y2 − yB ) 01 0 0 0 L1 senα

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+−+−

+

−=−

αα cos)(2

])()[(2)(2

21

22

22

212

212

21

21

Lyx

yyxxyx

qΦq

Page 17: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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DinDináámica: ecuaciones del movimientomica: ecuaciones del movimiento

QλΦqM q =+ t

0Φ =

QλΦqq q =+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ t

dd

∂∂

∂∂ TT

tqMq t

21

=T

Ecuaciones de Lagrange Energía cinética

Sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas (DAE)

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DinDináámica: matriz de masas y vector de fuerzasmica: matriz de masas y vector de fuerzas

( )( ) ( )( )( )

t TG 1

t1 1 TG 1 G G 1 G 1

m m

m m

− − −

⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥− Π + − −⎣ ⎦

r r XM

X r r X r r r r X

( )

( )

( )

G

12

12

12

x y z xy xz

xy x y z yz

xz yz x y z

I I I I I

I I I I I

I I I I I

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Π

[ ]=X u v w

TP=Q C F

[ ]1

P 1 2 3 Pc c c

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

ru

r I I I I C qvw

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DinDináámica: mica: LagrangeLagrange estabilizadoestabilizado

QλΦqM q =+ t

0Φ =Se trata de resolver

las DAE

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡qΦ

Qλq

0ΦΦM

qq

qTQλΦqM q =+ t

0Φ =

Opción: pasar a ODE

QλΦqM q =+ t

0ΦΦΦ =++ 22 ωξω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ΦΦqΦ

Qλq

0ΦΦM

qq

q2

T

2 ωξω

Inestable

Estable

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DinDináámica: matriz Rmica: matriz R

QλΦqM q =+ t

0Φ =

zRq =zRzRq +=

( )zRMQRzMRR −= TT

QzM =

Paso a coordenadas independientes

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

0...1...0

.....................

.....................

......

...

...

1

1

11111

nfnin

ifiii

fi

n

i

RRR

RRR

RRR

q

q

q

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DinDináámica: mica: penalizadorespenalizadores

QλΦqM q =+ t

0Φ =

( )ΦΦΦλ 22 ωξωα ++=

( ) QΦΦΦΦqM q =+++ 2T 2 ωξωα

( ) ( )ΦΦqΦΦQqΦΦM qqqq2TT 2 ωξωαα ++−=+

Aproximación de los

multiplicadores

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DinDináámica: integracimica: integracióón numn numééricarica

Se ha visto que las DAE se pasan a ODE.Existen gran cantidad de integradores disponibles para ODE de primer orden de la forma:

Como nuestro problema es de segundo orden, hay que duplicar variables para usar esos integradores:

Propiedades de los integradores: estabilidad y precisión.Problemas stiff.

),( tyfy =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=qq

y⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=qq

y

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DinDináámica: integracimica: integracióón numn numééricarica

Clasificación de los integradores:Paso simple (single step) vs paso múltiple (multistep).

Paso fijo vs paso variable.

Explícitos vs implícitos (iteración: punto fijo vs Newton-Raphson).

( )11 2 ++ ++= nnnnΔt yyyy

( )211 2yyyy ++=+

Δtnn

( )tn ,1 yfy =

( )ΔttΔtn ++= ,12 yyfy

( )3211 937595524 −−−+ −+−+= nnnnnnΔt yyyyyy

( )2111 519924 −−++ +−++= nnnnnnΔt yyyyyy

1n n nΔt+ = +y y yEuler explícito

Regla trapezoidalRunge-Kuttaexplícito de 2º orden

Adams-Bashforth / Adams-Moulton

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Aplicaciones industrialesAplicaciones industriales

Las diferentes fases del problema deben ser consideradas de manera conjunta:

modelado físicoselección de coordenadasformulación de ecuaciones del movimientointegración numéricaimplementación

El desafío es mayor cuanto mayor detalle se requiere en el modelo:

flexibilidadcontactocontrolmultifísica

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Aplicaciones industrialesAplicaciones industriales

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InvestigaciInvestigacióón en el LIMn en el LIMTeórica.

Métodos eficientes para la dinámica de sistemas multicuerpo.• Aspectos: modelizado físico, selección de coordenadas, ecuaciones del

movimiento, integración numérica, implementación.• Fenómenos: flexibilidad, contacto, multifísica (hidráulica, electricidad, etc.).• Complementos: control, optimización.

Aplicada.Simuladores: automóvil, excavadora.Control de automóviles.RV en operaciones de montaje y desmontaje.Diseño de ortesis para ayuda a la marcha de discapacitados.Simulación de redes y aparejos de pesca.

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SimulaciSimulacióón en tiempo realn en tiempo realEl movimiento del sistema multicuerpo es simulado por el ordenador en el mismo tiempo en que se produciría en la realidad.Necesario en simulaciones con:

Human-in-the-loop Hardware-in-the-loop

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Simuladores: automSimuladores: automóóvilvil

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Simuladores: excavadoraSimuladores: excavadora

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Simuladores: excavadoraSimuladores: excavadora

Page 31: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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Control de automControl de automóóvilesvilesValidación directa e inversa de modelo.

Sensorización y actuación de prototipo.

Steering-by-wire.

Modelo como observador de estados (sensor virtual).Desarrollo de controladores.

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RV en operaciones de montaje y desmontajeRV en operaciones de montaje y desmontaje

Modelos de piezas y herramientas importados desde el CAD.Simulación en tiempo real con gravedad, impactos, etc.Interface: captura óptica del movimiento y HMD o pantalla estereoscópica.

Page 33: Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo

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DiseDiseñño de o de ortesisortesis para ayuda a la marcha de discapacitadospara ayuda a la marcha de discapacitados

SW para probar ortesis sobre el paciente de manera virtual.

Dinámica directa: optimización.

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SimulaciSimulacióón de redes y aparejos de pescan de redes y aparejos de pesca

Modelos de gran tamaño.Fuerzas de interacción con el agua.Contacto con el fondo marino.