una introducción a la dinámica de sistemas
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Una introducción a la Dinámica de Sistemas - Sistemas de segundo ordenIntroducciónObjetivosEl SistemaImpulse ResponseRespuesta al EscalónProblemasUsted está en Conceptos Básicos - Tiempo de respuesta - Paso 2 º orden y la respuesta de impulso Volver al índice
¿Por qué estudiar los sistemas de segundo orden?
sistemas de segundo orden son importantes por varias razones. Son los sistemas más sencillos que las oscilaciones de exhibición y llegar más allá.
Muchos sistemas presentan importantes de segundo orden sistema de comportamiento.
comportamiento de segundo orden es parte del comportamiento de los sistemas de orden superior y la comprensión de los sistemas de segundo orden le ayuda a entender los sistemas de mayor orden.
En esta lección usted aprenderá sobre el tiempo de respuesta y, en una lección de compañía, sobre la respuesta de frecuencia de los sistemas de segundo orden. A continuación podrá ver cómo las mediciones de laboratorio se puede utilizar para determinar los parámetros de los sistemas de segundo orden.
Objetivos de esta lección
Hay una serie de metas para que en esta lección.
En primer lugar, si usted tiene un sistema de segundo orden, debe ser capaz de predecir y comprender la forma en que responde a una entrada, por lo que necesita para poder hacer esto.
Dado un sistema de segundo orden,
Determinar si el sistema es subamortiguado - con una respuesta oscilatoria - o si es sobreamortiguado sin oscilaciones en la respuesta.
Dada una función de transferencia para un sistema de segundo orden,
Determinar la ganancia DC del sistema, G CC , y el coeficiente de amortiguamiento, , y la frecuencia natural no amortiguada, n .
Otros objetivos para esta lección son los mismos. Dado un sistema de segundo orden, Determinar la respuesta al escalón unidad y la respuesta al impulso
unidad del sistema. Determinar la ganancia DC, factor de amortiguamiento y la frecuencia
natural de un diagrama de la respuesta escalón unitario del sistema.
El Sistema
Empezamos con un ejemplo de un sistema de ese segundo comportamiento para exposiciones. Es posible que haya visto un ejemplo similar en la lección sobre los sistemas de primer orden. Haga clic aquí para ver este ejemplo.
Un biplano de la historieta.
Por encima es una película de un avión - en realidad un biplano - en la que el piloto cambia de repente los controles para que la altura de los cambios biplano. La constante altititude nuevo estado es mayor que la altura anterior. Este sistema muestra el comportamiento del sistema para el segundo como cambios de altitud del avión. Puede hacer clic en el botón en la parte inferior derecha para ver la ruta seguida por el
biplano. (Haga clic en el botón para mostrar la ruta de acceso, y suelte el ratón fuera del botón para permitir que el camino para mostrar de forma continua.) Este es un ejemplo de un sistema de segundo orden que usted puede ver .
Aceptar. Ustedes han visto el ejemplo. Lo que ves no es un ejemplo de una respuesta para el segundo paso. Tiene características - como la descomposición oscilaciones - que se puede tener en los sistemas de segundo orden. Esas oscilaciones características en descomposición no deben ser vistos en los sistemas de primer orden. Si usted ve en descomposición oscilaciones, usted sabe que no tiene un sistema de primer orden. Por otro lado, no todos los sistemas de segundo orden se presentan las oscilaciones en descomposición. sistemas de segundo orden es más complejo que eso.
Con esto en mente, echemos un vistazo a algunas ideas básicas sobre los sistemas de segundo orden. El sistema más simple de segundo orden satisface una ecuación diferencial de esta forma.
donde:x (t) = respuesta del sistema, u (t) = entrada al Sistema, = coeficiente de amortiguamiento , n = frecuencia natural no amortiguado , G CC = El aumento de la CC del Sistema. Los parámetros que se encuentra en un sistema de segundo orden, determinar los aspectos de los diversos tipos de respuestas. Ya sea que estemos hablando de respuesta al impulso, la respuesta de paso o de respuesta a otros insumos, que todavía se encuentran las siguientes relaciones., el coeficiente de amortiguamiento , determinará hasta qué punto el
sistema oscila cuando decae la respuesta hacia el estado estacionario. n , la frecuencia natural no amortiguada , determinará la rapidez con
que las oscilaciones durante cualquier respuesta transitoria. G CC , la ganancia DC del sistema, determinará el tamaño de la
respuesta de estado estacionario cuando la entrada se instala a un valor constante. En esta lección vamos a discutir varias respuestas momento en particular en los sistemas de segundo orden,
La respuesta al impulso, La respuesta escalón unitario, La respuesta a condiciones iniciales arbitrarias y sin entrada.
Vamos a asumir algunos antecedentes de su parte en las zonas de transformadas de Laplace, la teoría de sistemas lineales (en particular la transferencia de funciones) yecuaciones diferenciales .
Hasta ahora hemos visto una descripción matemática del sistema.
Los sistemas no existen en forma aislada. Por lo general tienen señales de entrada, y estamos interesados en cómo responden a las señales de entrada.
Hay una familia de señales de entrada estándar. Usamos esas señales estándar y la respuesta de los sistemas a las señales cuando queremos comparar cómo los diferentes sistemas de responder.
Dos señales comunes son los impulsos y los pasos . Haga clic en el HOTWords para ir a la sección de esa señal en particular visto como una entrada a un sistema de primer orden.
Impulse Response
Empezaremos con la respuesta de impulso .
Asumamos que tenemos un sistema descrito por esta ecuación diferencial.
Hay un número de maneras en que podemos calcular la respuesta al impulso de un sistema descrito por esta ecuación diferencial. La primera manera es resolver la ecuación diferencial, teniendo en
cuenta cómo el impulso de cambios de los valores iniciales. Haga clic aquí para ver la solución de la ecuación diferencial.
La segunda manera es utilizar lo que sabe sobre las transformadas de Laplace para determinar la respuesta de impulso. Haga clic aquí para ver cómo calcular la respuesta al impulso de la función de transferencia.
Vamos a examinar la solución de la ecuación diferencial de primer.
Dada la ecuación diferencial:
Si la entrada, u (t), es un impulso unitario, (t), entonces podemos calcular los cambios en la primera derivada de arriba. Si pensamos en lo que ocurre cuando u (t) es un impulso con la ecuación diferencial, llegamos a las siguientes conclusiones.
Por un instante, en t = 0, el lado derecho de la ecuación diferencial es infinito ya que u (t) es un impulso y el impulso es infinito en t = 0.
En ese mismo instante, algo en la mano izquierda tiene que ser infinito.
Respecto a las variables, x (t) a ser infinita, la derivada, dx (t) / dt también tendría que ser infinita.
Para los derivados para ser infinito, la segunda derivada también tendría que ser infinita.
Tenga en cuenta, es posible que desee revisar lo que sucede en los sistemas de primer orden para una entrada de impulso. Haga clic aquí para ver ese material.
Es una buena suposición de que lo que pasa es que tenemos:
Integrar ambos lados de todo el punto t = 0.
Y, después de la integración, esto se convierte en:
Así, el efecto neto del impulso es que la primera derivada tiene un valor diferente después de que el impulso se ha producido. Aparte de eso, no cambia nada más. Así, para calcular la respuesta al impulso que calcular la respuesta de un sistema sin entrada (por lo que obtener la respuesta
homogénea), pero con una condición diferente que viene determinada por el impulso.
La ecuación homogénea es:
Solución de, ecuaciones lineales homogéneas se inicia por asumir que la solución es de la forma Ae st . Hacer eso, tenemos:
Como dos de e st + 2 n Ase c + n 2 Ae st = 0
El factor común, Ae c , se puede quitar para obtener:
s 2 + 2 n s + n 2 = 0
Ahora, en este punto usted debe darse cuenta de que hay varias cosas que podrían ocurrir debido a las raíces de esta ecuación polinómica puede ser cualquiera de las tres posibilidades siguientes.
Dos reales - raíces distintas - y. Dos raíces reales iguales. Un par de raíces complejas.
Y esas raíces - denota por s 1 y s 2 - están dadas por:
El caso de dos raíces reales - Respuesta de impulso
Examinemos primero el caso de dos distintas raíces reales . Con el fin de tener dos, distintas raíces reales, que deben tener:
> 1
Cuando esto es cierto, la respuesta del impulso será de la siguiente forma:
En t = 0, podemos suponer condiciones iniciales nulas, por lo que deben tener:
A 1 + A 2 = 0
oA 1 = - A 2
Y, también tenemos el valor de la derivada en t = 0.
s 1 A 1 + s 2 A 2 = G CC n 2
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas - A 1 y A 2 - para que podamos resolver las incógnitas. Hacer que tenemos:
A 1 = G CC n 2 / (s 1 - s 2 )
y:A 2 =-G CC n 2 / (s 1 - s 2 )
lo que significa que la solución es:
Ejemplo
E1 Veamos algunos ejemplos que nos ayuden a visualizar lo que este tipo de respuesta parece. Una situación típica sería un sistema que satisface una ecuación diferencial:
d 2 x (t) / dt 2 + 6 dx (t) / dt + 5 x (t) = 5 d (t)
Este sistema tendría dos exponenciales en la solución:
A un e -t
yUn dos por e -5t
Llevar a través del álgebra de arriba, usted debe encontrar que la solución resulta ser:
1.25e -t - 1.25e -5t
La respuesta es la suma de dos exponenciales en descomposición. Tenga en cuenta lo siguiente acerca de esta respuesta.
La respuesta comienza en 0 en t = 0. La respuesta decae a cero cuando t llega a ser grande. Hay un punto - y sólo un punto - en la que la respuesta llegue a un
pico.o No habría un pico si uno de los polos estaban en s = 0.
Podemos determinar que el pico es en la respuesta. Tome la expresión de la respuesta. Ahora que sabemos que la respuesta será cero en t = 0, así que sabemos que la respuesta va a tener esta forma general:
r (t) = A (e -a - e -bt )
Diferenciar esta expresión, y establecer el resultado a cero:
dr (t) / dt = A (ae -a - ser -bt ) = 0
y la solución de esto, debemos tener:
ae -a = ser -bt
o:
(A / b) = e - (bis) t
ln (a / b) = - (bis) t pico
así:t pico =-ln (a / b) / (bis)
Algunas observaciones y una pregunta
¿Cómo puede este resultado se utiliza? Si una de las constantes de tiempo - es decir, 1 / año o 1 / b - se puede determinar, a continuación, saber dónde se encuentra el pico le permitirá calcular la constante de tiempo de otros. Si usted puede medir la respuesta al impulso de un sistema puede ser capaz de averiguar lo que el sistema es - que es calcular G cc , A y B.
¿Se puede realmente obtener una constante de tiempo? Si una constante de tiempo se extingue rápidamente, entonces el otro es todo lo que se ve después de un tiempo. Aquí está esa parcela ejemplo de nuevo.
Después de aproximadamente un segundo, el comportamiento constante de tiempo rápida ha desaparecido y lo que queda después de un segundo se ve casi como una constante de tiempo única. Por lo tanto, aquí hay una estrategia para determinar las constantes de tiempo aquí.
Obtener la constante de tiempo lenta utilización de los datos a largo plazo. Esos son los datos después de un segundo por encima.
Después de tener la constante de tiempo lenta, utilice la fórmula por encima de la le permite relacionar el tiempo de pico y las dos constantes de tiempo. Si usted tiene el tiempo de pico y uno de los polos puede putter para obtener el segundo poste.
o t pico =-ln (a / b) / (bis)
Una observación
Una observación interesante de este sistema es que el sistema puede ser visualizado como dos sistemas de primer orden en cascada , donde
la salida de un sistema de canales en el siguiente. Ese sistema de cascada se muestra a continuación. Tenga en cuenta que el producto de las dos funciones de transferencia es igual a la función de transferencia del sistema compuesto.
En este sistema compuesto debe ser capaz de visualizar la respuesta al escalón.
Una entrada escalonada producirá la exponencial usual que comienza a subir desde cero en la salida del primer sistema (como una curva de carga del condensador en un circuito RC).
La salida del segundo sistema no comenzará a cambiar de inmediato porque el segundo sistema no tiene una entrada escalonada.
Por lo tanto, el segundo sistema no comenzará a responder inmediatamente, y la salida del segundo sistema será inicialmente plana. En otras palabras, la respuesta de paso no tiene un salto rápido en la primera derivada (pendiente) de la salida.
El caso de dos raíces complejas - Respuesta de impulso
Hasta ahora hemos considerado la situación en la que el coeficiente de amortiguamiento, , es mayor que 1. En esa situación el exponenciales en la solución están en descomposición exponenciales. En otras palabras, si la solución es de la forma:
las raíces, s 1 y s 2 son reales y son negativas. Todavía tenemos que considerar el caso en el que el coeficiente de amortiguamiento, , es menor que 1.
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que uno, a continuación, las raíces, s 1 y s 2 , son complejas. Cuando las raíces tienen una parte imaginaria habrá oscilaciones en la respuesta del impulso. Con el fin de tener dos, distintas raíces reales, que deben tener:
<1
Recuerde, desde arriba, que las dos raíces vienen dadas por:
Cuando el coeficiente de amortiguamiento es menor que uno, estas raíces serán complejas, y la respuesta del impulso será de la forma.
Las condiciones iniciales se determinan las constantes A y F.
NOTA: Es posible que desee revisar el material en los sistemas de primer orden, sobre todo el material sobre la forma de un impulso cambios en las condiciones del sistema inmediatamente después de que el impulso se produce. Haga clic aquí para ir a ese material, donde puedes encontrar un cálculo de la variación de salida de un sistema lineal de primer orden cuando se produce un impulso en t = 0. Tendrá que entender que para el siguiente material.
En t = 0, la salida es cero, por lo que debe tener el pecado ( ) = 0, o = 0. Eso significa que la respuesta, llamamos r (t), es en realidad:
Sabiendo que también podemos examinar la derivada en t = 0. Tomando la derivada tenemos la camiseta y el uso de derivados = 0 ó 0 +, se encuentran:
Ahora, la pregunta es "¿Qué tiene esto que ver con la respuesta de impulso?" Anteriormente hemos señalado que el efecto del impulso fue cambiar el valor de la derivada de la respuesta inmediatamente después de ocurrido el impulso. Podemos calcular el valor de la derivada en t = 0 +, y que equivale al valor de los derivados calculado anteriormente. Más temprano, encontramos:
Pero, también sabemos:
Esto se puede solucionar para la constante, A:
Saber Un podemos determinar la expresión de la respuesta al impulso:
Ahora, podemos examinar un ejemplo de una respuesta del impulso. La trama muestra una respuesta al impulso de estos parámetros.
G CC = 1.0 = 0,17 n = 1.0
Hay algunos puntos a destacar en la respuesta.
La constante, A, en la respuesta viene dada por:o A = 1 / (1-.17 2 ) 0.5 = 1 / (1-.0289) 0,5 = 1 / (1-.0289) 0,5 =
1.015 A pesar de que este es más grande que uno, la única respuesta
que alcanza un valor de alrededor de 0,8 en el primer pico, porque el factor de deterioro ha reducido.
La respuesta de impulso - Poniendo todo junto
¡Tienes que ser capaz de ver cómo cambia la respuesta de impulso a medida que cambian los parámetros. El parámetro más interesante es el coeficiente de amortiguamiento. He aquí un video de la respuesta impulsiva de un sistema lineal de segundo orden que muestra cómo la respuesta varía según el coeficiente de amortiguamiento, , es variada. Juega a este vídeo para ver cómo cambia la respuesta al impulso de diferentes relaciones de amortiguamiento en el rango de cero a uno. En este video, la frecuencia natural, n , se mantiene constante en n = 1 .
Hay una serie de puntos a destacar en esta respuesta en descomposición sinusoidal.
La frecuencia de oscilación de la sinusoide es igual a:
La frecuencia de oscilación es siempre menor que la frecuencia de oscilación sin amortiguamiento - la frecuencia natural no amortiguada, n . Puede ser un poco menos, pero es menos.
Por razones de amortiguamiento suficientemente pequeño, la frecuencia de oscilación está muy cerca de la frecuencia natural no amortiguada. Por ejemplo, si = 0.2, tenemos:
Así, por un coeficiente de amortiguamiento de 0.2, la frecuencia es de 2% inferior a la frecuencia natural.
Otras formas de calcular las respuestas
Hay otras maneras en que la respuesta de impulso se puede calcular, y podemos considerar otros métodos para calcular la respuesta al impulso que viene. Supongamos que tenemos la ecuación diferencial que antes:
Entonces, la transformación de Laplace a ambos lados y despejando la función de transferencia - la relación entre la transformación de la producción a la transformación de la entrada, nos encontramos con la función de transferencia a ser.
Una vez que tenemos la función de transferencia, tomando la transformada inversa de la función de transferencia nos da la respuesta al impulso:
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que uno, entonces la respuesta al impulso es una sinusoide en descomposición con una frecuencia de:
La sinusoide es modulada por una exponencial decreciente:
La descomposición exponencial tiene una constante de tiempo de la decadencia dada por:
Tiempo de caída constante = 1 / n
Para entender el efecto de estos dos elementos - el tiempo de caída constante y la señal de modulación exponencial, vamos a ver cómo varía la respuesta de impulso como el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural varían.
Paso de respuesta de los sistemas de segundo orden
Hasta ahora, hemos considerado la respuesta al impulso de los sistemas de segundo orden. Sin embargo, la respuesta al escalón es también importante, y en esta sección vamos a examinar cómo los sistemas de segundos para responder a los pasos. El sistema más simple de segundo orden satisface una ecuación diferencial de esta forma.
donde:x (t) = respuesta del sistema, u (t) = entrada al Sistema, = coeficiente de amortiguamiento , n = frecuencia natural no amortiguado , G CC = El aumento de la CC del Sistema. Al igual que en la respuesta al impulso, los parámetros que se encuentra en un sistema de segundo orden, determinar los aspectos de la respuesta al escalón. Ya sea que estemos hablando de respuesta al impulso, la respuesta de paso o de respuesta a otros insumos, que todavía se encuentran las siguientes relaciones., el coeficiente de amortiguamiento , determinará hasta qué punto el sistema oscila cuando decae la respuesta hacia el estado estacionario. Y para un paso que el estado de equilibrio dependerá de la magnitud de paso de entrada y el aumento de la CC.
n , la frecuencia natural no amortiguada , determinará la rapidez con que las oscilaciones durante cualquier respuesta transitoria.
G CC , la ganancia DC del sistema, determinará el tamaño de la respuesta de estado estacionario cuando la entrada se instala a un valor constante.
Al igual que en la respuesta al impulso, hay dos casos especiales para la respuesta al escalón.
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que uno, entonces la respuesta al escalón contiene una sinusoide en descomposición con una frecuencia de:
Si el coeficiente de amortiguamiento es mayor que uno, entonces la respuesta al escalón contiene dos exponenciales en descomposición. Y, como en la respuesta al impulso que no habrá ninguna sinusoides en descomposición.
El caso de dos raíces reales, cuando = 1 , produce una situación especial, y requiere una forma de análisis diferentes.
He aquí una película que puede examinar para ver cómo las respuestas de paso para los dos casos diferentes mirada. Después de la película vamos a examinar la solución analítica.
Si un sistema tiene una función de transferencia:
Hay dos casos - como de costumbre. No puede haber dos raíces reales / polos para el sistema, y no puede haber un par de polos complejos. Si los dos polos son complejos y, a continuación, la respuesta al escalón de este sistema se pueden obtener (Aquí nos basamos en la transformada de Laplace y la ecuación diferencial de fondo):
Aquí está el vídeo de la respuesta al escalón de un sistema lineal de segundo orden que muestra cómo la respuesta varía según el coeficiente de amortiguamiento, , es variada. Juega a este vídeo para
ver cómo cambia la respuesta al escalón de diferentes proporciones de amortiguación.
Tenga en cuenta lo siguiente en el vídeo (para los casos en que el factor de amortiguamiento, , es menos de uno!)
Si el coeficiente de amortiguamiento es menor que uno, entonces la respuesta al escalón contiene una sinusoide en descomposición con una frecuencia de:
Cuando el coeficiente de amortiguamiento es menor que uno, la respuesta al escalón tiene una sinusoide en descomposición, y es la envolvente exponencial de la decadencia:
e - nt
El caso de dos raíces reales, cuando = 1 , produce una situación especial - raíces repetidas - y requiere una forma de análisis diferentes.
Hay algunos puntos a destacar en la respuesta de segundo orden.
Ni la respuesta o los primeros cambios derivados de repente cuando el paso se aplica.
o Dado que el paso es el integrante del impulso, la respuesta al escalón es la integral de la respuesta impulsiva. Eso significa que la respuesta no cambia en t = 0, y tampoco lo hace la derivada de la respuesta.
o Esta observación no puede ser cierto si la función de transferencia del sistema tiene un s-término en el numerador.
Con tres parámetros - coeficiente de amortiguamiento, la frecuencia natural y aumento de la CC - que puede prestarse a confusión. Para darle una oportunidad de examinar algunos sistemas diferentes, no es un simulador de abajo que le permitirá variar los tres parámetros.
Problemas y Preguntas
P1 Utilizando el simulador, determinar el rebasamiento por ciento cuando la entrada es un escalón unitario (que es lo que se supone en el simulador), el aumento de la CC es 2 , la frecuencia natural es 0.5 rad / seg y el coeficiente de amortiguamiento es 0.2 . Tenga en cuenta, para calcular el rebasamiento por ciento, lo que necesita para calcular la
cantidad que el porcentaje de respuesta - en el primer pico - excede el valor del estado estacionario .
Escriba su respuesta en el cuadro a continuación, haga clic en el botón para enviar su respuesta. Usted recibirá una calificación en una escala
de 0 (totalmente incorrecta) a 100 (perfecta respuesta correcta).
Su calificación es:
P2 Ahora, cambiar la frecuencia natural de 0.25 rad / seg y volver a calcular el rebasamiento.
Ingrese su resultado por debajo.
Su calificación es:
Q1 ¿El cambio de la frecuencia natural cambia el sobrepico porcentual?
Una nota sobre las respuestas del sistema
Saber cómo calcular la respuesta del impulso y el paso no es un fin en sí mismo. Seamos realistas, cualquier sistema que construir, no tendrá muchos impulsos o pasos como entradas. Sin embargo, es importante que estas respuestas son importantes por varias razones.
de respuesta es una respuesta importante. insumos Paso a menudo se utilizan como insumos de prueba para determinar qué tan bien está funcionando un sistema. La forma de la respuesta al escalón - la rapidez con que se produce, cuánto oscila, etc ayudar al diseñador de predecir qué tan bien el sistema responderá a otros insumos.
o ¿Cómo influye en el coeficiente de amortiguamiento la respuesta es importante. Hemos visto cómo los cambios en respuesta al escalón cuando el coeficiente de amortiguamiento es variada.
Ubicación del Polo es una función del coeficiente de amortiguamiento. Un cambio en el coeficiente de amortiguamiento significa que la ubicación del poste ha cambiado. Ubicación del Polo es importante para predecir la respuesta a todo tipo de insumos.
o Aquí hay un video que muestra cómo la pole position y la respuesta al escalón están relacionados.
Hay una cosa curiosa que ocurre en este vídeo.
El coeficiente de amortiguamiento, , los cambios en estas parcelas, que van 0-1
La frecuencia natural no amortiguada, n , no cambia. Sin embargo, tenga en cuenta cómo se mueve el polo en el plano
s en el complot de la derecha. Parece extraño, ¿no? El polo se mueve en un movimiento circular.
Vamos a examinar la ubicación del poste en un poco más de detalle. Aquí está la función de transferencia de
nuevo. Para obtener los polos de este sistema en cuenta lo siguiente.
Los polos se encuentran en valores de s para los que el denominador es cero.
Marco el denominador a cero y despejando s, obtenemos dos polos:
Los polos forman un par conjugado complejo si <1. Hay otras conexiones que tenemos que entender.
de respuesta es una respuesta importante. insumos Paso a menudo se utilizan como insumos de prueba para determinar qué tan bien está funcionando un sistema. La forma de esta respuesta nos dice mucho sobre el sistema.
¿Cómo influye en el coeficiente de amortiguamiento la respuesta es importante. Hemos visto cómo los cambios en respuesta al escalón cuando el coeficiente de amortiguamiento es variada, y el video muestra la ubicación del poste como el coeficiente de amortiguamiento es variada.
Ubicación del Polo es claramente una función del coeficiente de amortiguamiento. Un cambio en el coeficiente de amortiguamiento significa que la ubicación del poste ha cambiado.
Hay una cosa curiosa que ocurre en este vídeo. A pesar de coeficiente de amortiguamiento, , los cambios en estas parcelas, la frecuencia natural no amortiguada, n , no cambia.
o Sin embargo, tenga en cuenta cómo se mueve el palo en el plano-s.
o Comprobar cómo varía el polo.
Vamos a ver la ubicación del poste un poco más y vamos a verlo analíticamente. Esta es la expresión de los polos.
Sólo vamos a considerar los casos en que los polos son complejos y están fuera del eje real.
Vamos a examinar el ángulo de los polos se encuentran sobre el eje - y recordar el vídeo.
Vamos a examinar en qué medida los polos desde el origen.o Éstos son los polos.
El trabajo sobre la magnitud de los polos primero - es decir, hasta qué punto los polos desde el origen.
Plaza de lo real y lo imaginario de cualquiera de las partes de la raíz. A continuación, añada.
o El resultado es:
n
El resultado importante es que, por un polo de segundo orden, la distancia desde el origen del plano s es igual a n - la frecuencia natural no amortiguada.
o Desde la distancia es constante, el polo atraviesa una trayectoria circular alrededor del origen cuando el coeficiente de amortiguamiento es variada y la frecuencia natural no amortiguada se mantiene constante.
Esa información se resume en la figura siguiente, donde el rojo "X" marca el polo, y la parte real e imaginaria se muestran. La distancia desde el origen en el plano s es n .
El ángulo con la horizontal es también un parámetro útil para este poste.
El ángulo con la horizontal es una medida del coeficiente de amortiguamiento.
Tenemos cos ( ) = .o El ángulo con la horizontal se convierte así en una medida
del coeficiente de amortiguamiento.o Cuanto mayor sea el ángulo, menor será el coeficiente de
amortiguamiento, ya que la función del coseno se hace más pequeño a medida que aumenta el ángulo a 90 o .
Observaciones sobre los sistemas de segundo orden
Hay algunos puntos importantes a destacar en las respuestas de un sistema lineal de segundo orden.
Cuando el paso se aplica, la derivada de la salida no cambia de inmediato.
o En un sistema de segundo orden, los cambios de la segunda derivada de repente en la respuesta al escalón. La primera derivada no cambia de repente en la respuesta al escalón.
En un sistema de segundo orden, el derivado de los primeros cambios de repente en la respuesta al impulso .
o El tamaño de los cambios derivados depende del tamaño del paso, pero siempre y cuando el paso no es cero, la derivada tendrá un salto.
Para obtener el valor de estado estacionario, se multiplica el tamaño del paso de entrada por el aumento de la CC.
Si la entrada no es un paso, pero si se llega a un valor de estado estacionario, la salida será la ganancia DC
multiplicado por el valor del estado estacionario de la entrada.
Problema
P2 Un sistema de segundo orden tiene polos en s = -1 + j, s = -1 - j. Determinar el coeficiente de amortiguamiento para el sistema con estos polos.
Escriba su respuesta en el cuadro a continuación, haga clic en el botón para enviar su respuesta. Usted recibirá una calificación en una escala
de 0 (totalmente incorrecta) a 100 (perfecta respuesta correcta).
Su calificación es:
Rebasamiento de los sistemas de segundo orden
Cuando miró a la respuesta al escalón del sistema de segundo orden, usted debe haber notado que la respuesta del sistema fue mucho más allá del valor final. Tenga en cuenta lo siguiente.
sobrepico porcentual depende totalmente de la relación de amortiguamiento del sistema de segundo orden.
Aquí está un gráfico de la respuesta de un sistema.
El sistema se asienta en un estado de equilibrio de 2.0. La respuesta va hasta 3,5 3.5 es 75% superior a 2 - el estado de equilibrio - por lo que el
rebasamiento es de 75%.
Rebasamiento es importante y está estrechamente relacionado con el coeficiente de amortiguamiento. (Lo hace no depender de la frecuencia natural no amortiguada!) Podríamos tener una expresión analítica para el rebasamiento por:
Diferenciar la expresión de la respuesta. Establecer la derivada a cero. Resolver para el primer no-cero, tiempo durante el cual la derivada
es cero.
Haciendo todo esto, obtenemos la expresión analítica para el rebasamiento que viene dada por la expresión:
Aunque no es inmediatamente evidente a partir de esta expresión, el sobrepico porcentual disminuye a medida que aumenta el factor de amortiguamiento. Si graficamos el sobrepico porcentual de utilizar esta función, obtenemos la gráfica que se muestra a continuación.
Tenga en cuenta los siguientes puntos sobre el exceso, la fórmula anterior y trazar la siguiente:
En un sistema de segundo orden, el exceso por ciento depende enteramente de coeficiente de amortiguamiento.
A medida que el aumento de coeficiente de amortiguamiento, el sobrepico porcentual disminuye .
o Cuando el coeficiente de amortiguamiento alcanza en algún lugar alrededor de 0,8 rebasamiento se hace tan pequeña que no será capaz de observar. Es todavía allí, pero usted no puede verlo en los datos de laboratorio típicos. Usted probablemente no puede verlo para amortiguar proporciones mayores a 0,7 para el caso.
Si el sistema es de tercer orden o superior este argumento no es válido . Es posible que pueda obtener alguna información útil a partir de ella, pero no cuentes con ello.
Si el sistema es de segundo orden, pero tiene un s-término en el numerador de la función de transferencia de esta parcela también podría no brindar información útil.
El porcentaje de rebasamiento se mide por ciento para el primer pico solamente .
Eso es para los sistemas de segundo orden. Pensamos que es posible que desee examinar el camino de la aeronave es un poco más crítico ahora que ha completado la lección.