Mecánica

Cinemática Dinámica

Movimientos de rotación Movimientos de traslación

Movimiento

Rectilíneo

Uniforme

(M.R.U)

Movimiento

Rectilíneo

Uniformemente

Acelerado

(M.R.U.V)

Movimiento

Circular

(M.C)

Movimiento

Parabólico

o de

Proyectiles

(M.P)

Caída libre

Uniforme

(M.C.U)

No

Uniforme

(M.C.N)

MECÁNICA: Rama de la física que se encarga de describir el movimiento de partículas u

objetos y sus causas.

CINEMÁTICA: Rama de la física que se encarga de describir el movimiento de partículas

u objetos sin considerar sus causas.

DINÁMICA: Rama de la física que estudia las causas de origen y consecuencias del

movimiento de objetos o partículas.

MARCO DE REFERENCIA: «En mecánica clásica frecuentemente se usa el término para

referirse a un sistema de coordenadas ortogonales para el espacio euclídeo o polar, a lo largo

del curso sólo manejaremos el sistema de coordenadas ortogonales mejor conocido como

plano coordenado. En nuestra notación manejaremos el eje de ordenadas como el eje de la

variable dependiente y el eje de las abscisas como el eje de la variable independiente.

ANÁLISIS DIMENSIONAL (A.D): Es la herramienta de la física encargada de verificar la

lógica de las unidades y magnitudes de una ecuación y además a ello establecer nuevas

fórmulas de manera intuitiva. Denotaremos en los ejemplos las magnitudes que trabajaremos

(junto con la letra que representa la cantidad). Ejemplo:

L= Longitud (Ej: m, cm, in, ft, etc)

T= Tiempo (Ej: s, min, h, días, etc)

= Ángulo (Ej: rad,º,etc)

Suponga que usted no sabe el tiempo que demora en caer un objeto desde determinada

altura, sin embargo su intuición y experiencia le permite ver que de alguna manera

están relacionadas tiempo de cáida TC, la altura a la cual se lanza el objeto h, la

aceleración que adquiere el cuerpo conocida como gravedad G y de alguna manera la

masa M.

Podríamos dedicarnos a hacer esto durante un largo tiempo pero en vez de ello nos

ayudaremos en el trabajo realizado por Galileo Galilei para ver que la masa no

importa en el tiempo de caída.

La relación que obtenemos es1.

[𝑇]~[𝑀]𝛽[𝐿]𝛼[𝐺]𝛾 (1)

Como ya dijimos la masa no tiene relación alguna con el tiempo de caída en la teoría clásica,

luego β=0. Además sabemos que la gravedad es una aceleración y sus unidades. Luego:

[𝑇]~[𝑀]0[𝐿]𝛼[𝐿]𝛾

[𝑇]2𝛾

(2)

[𝑇]~1 ∗[𝐿]𝛼+𝛾

[𝑇]2𝛾

(3)

[𝑇]~[𝐿]𝛼+𝛾

[𝑇]2𝛾

(4)

Si miramos con atención podemos obtener una relación para los exponentes teniendo en

cuenta que el exponente al lado izquierdo del símbolo de proporcionalidad debe ser igual al

de la derecha, después del signo de la igualdad.

{𝛼 + 𝛾 = 0−2𝛾 = 1

(5)

(6)

De (6) se obtiene que

𝛾 = −1

2

(7)

Y de reemplazar (7) en (5) se obtiene

𝛼 =1

2

(8)

1 Los símbolos ~ 𝑦 𝛼 denotaran proporcionalidad mas no igualdad

De la anterior relación en (8) y (7) se concluye que

𝑡𝑐 = 𝑘√ℎ

𝑔, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = √2

Resultado que coincide perfectamente con la teoría propuesta en las ecuaciones de la

cinemática.

CANTIDAD ESCALAR: Son magnitudes físicas que no tienen dirección, es decir, sin

importar el punto de referencia u origen, su magnitud es positiva.

CANTIDAD VECTORIAL: Son magnitudes físicas que tienen dirección y sentido, según

el punto de referencia u origen, su magnitud puede ser positiva o negativa.

Δ: En física, la letra Δ (Delta) significa un cambio (diferencia entre una condición final y

una condición inicial).

2

DISTANCIA RECORRIDA: Trayecto que recorre la partícula u objeto dentro de su

trayectoria sin importar su dirección dentro del marco de referencia. (CANTIDAD

ESCALAR).

𝑨. 𝑫 = 𝐿

DESPLAZAMIENTO (Δx): Cambio de posición “real” de la partícula u objeto dado

por su posición final e inicial, interesando su dirección dentro del marco de referencia.

(CANTIDAD VECTORIAL).

𝑨. 𝑫 = 𝐿

RAPIDEZ: Indica que tan lejos viaja el objeto o partícula (DISTANCIA RECORRIDA)

en un intervalo de tiempo (Δt) sin importar la dirección dentro del marco de referencia.

(CANTIDAD ESCALAR).

𝐕 =𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑹𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒂

𝚫𝐭

2 A.D simboliza análisis dimensional, es decir, las unidades asignadas a la cantidad física en mención

𝑨. 𝑫 =𝐿

𝑇

VELOCIDAD (ΔV): Indica que tan rápido cambia la posición del objeto o partícula

(Δx) en un intervalo de tiempo (Δt) interesando la dirección dentro del marco de referencia.

(CANTIDAD VECTORIAL).

𝚫𝐕 =𝚫𝐱

𝚫𝐭

𝑨. 𝑫 =𝐿

𝑇

ACELERACIÓN (a): Indica que tan rápido cambia la velocidad del objeto o partícula

(ΔV) en un intervalo de tiempo (Δt) interesando la dirección dentro del marco de

referencia. (CANTIDAD VECTORIAL).

𝒂 =𝜟𝑽

𝜟𝒕=

𝜟𝒙

(𝜟𝒕)𝟐

𝑨. 𝑫 =𝐿

𝑇2

Δx= Xf – X0

Δt = tf – t0

ΔV= Vf – V0

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.U.R).

Este tipo de movimiento se caracteriza por presentarse en una sola dimensión, sobre

el eje de las abscisas (eje x).

La velocidad es constante.

Describe una trayectoria en forma de recta.

La posición es proporcional a (∝) la velocidad.

La posición es directamente proporcional al tiempo.

Gráfico 1: Tiempo (Δt) vs. Posición (Δx)

Gráfico 2: Tiempo (Δt) vs. Velocidad (ΔV)

Gráfico 3: Tiempo (Δt) vs. Aceleración (a)

Concentrándonos en el Gráfico 2, la línea verde de la gráfica junto con el eje de las

abscisas y ordenadas pueden formar un rectángulo si se trata una paralela al eje de las

ordenadas.

Por definición matemática el área de un rectángulo está dada así:

𝐴 = 𝑏ℎ

A= Área

b= Base

h= Altura

En términos de nuestro gráfico:

Δx = ΔVΔt

Utilizando Δx= Xf – X0

𝑋𝒇 – 𝑋𝟎 = ΔVΔt

Despejando para Xf

𝑋𝒇 = 𝑋𝟎 + ΔVΔt

Δt

ΔV

Utilizando ΔV= Vf – V0; V0=0

𝑋𝒇 = 𝑋𝟎 + (𝑉𝑓 − 𝑉0)𝛥𝑡 V0=0

𝑿𝒇 = 𝑿𝟎 + 𝑽𝒇𝜟𝒕 (I)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

(M.R.U.A).

Este tipo de movimiento se caracteriza por presentarse en una sola dimensión, sobre

el eje de las abscisas (eje x).

La velocidad no es constante.

Describe una trayectoria en forma de recta.

La aceleración es constante.

La posición es proporcional a (∝) la aceleración.

La posición es proporcional al (∝) cuadrado del tiempo (Δt2).

La velocidad es proporcional a (∝) la aceleración.

La velocidad es directamente proporcional al tiempo.

𝑎 =𝛥𝑉

𝛥𝑡

Reemplazando 𝚫𝐕 =𝚫𝐱

𝚫𝐭

𝑎 =

𝛥𝑥𝛥𝑡𝛥𝑡

Aplicando ley de medios y extremos (Ley de la oreja)

𝒂 =𝜟𝒙

(𝜟𝒕)𝟐

Gráfico 1: Tiempo (Δt) vs. Posición (Δx)

Gráfico 2: Tiempo (Δt) vs. Velocidad (ΔV)

Gráfico 3: Tiempo (Δt) vs. Aceleración (a)

Partiendo del Gráfico 2, la recta con 𝑚 ≠ 0 (m = pendiente de la recta), se puede

descomponer en un rectángulo y triangulo rectángulo trazando una paralela a su eje de

ordenadas. A partir de eso hallaremos su área

Por definición matemática el área de la figura está dada así:

𝐴𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 = 𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 + 𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =1

2𝑏ℎ

A= Área

b= Base

h= Altura

En términos de nuestro gráfico:

t

V

Δt

V0

Δv

Vf

𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑉0𝛥𝑡

𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =1

2𝛥𝑉𝛥𝑡

Expresando A figura en términos de A rectángulo y A triángulo rectángulo

𝐴𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 = 𝑉0𝛥𝑡 +1

2𝛥𝑉𝛥𝑡

Utilizando ΔV= aΔt y expresando A figura en términos de nuestra figura

𝛥𝑥 = 𝑉0𝛥𝑡 +1

2(𝑎𝛥𝑡)𝛥𝑡

Realizando el producto (multiplicación)

𝜟𝒙 = 𝑽𝟎𝜟𝒕 +𝟏

𝟐𝒂(𝜟𝒕)𝟐 (II)

Expresando de otra forma utilizando Δx= Xf – X0

𝑋𝒇 – 𝑋𝟎 = 𝑉0𝛥𝑡 +1

2𝑎(𝛥𝑡)2

Despejando para Xf

𝑿𝒇 = 𝑿𝟎 + 𝑽𝟎𝜟𝒕 +𝟏

𝟐𝒂(𝜟𝒕)𝟐

Otras dos ecuaciones de M.R.U y M.R.U.A…

Partiendo de la fórmula de aceleración

𝑎 =𝛥𝑉

𝛥𝑡

Despejamos para ΔV

𝑎𝛥𝑡 = 𝛥𝑉

Utilizando ΔV= Vf – V0

𝑎𝛥𝑡 = 𝑉𝑓 − 𝑉0

Despejando para Vf y organizando términos

𝑽𝒇 = 𝑽𝟎 + 𝒂𝜟𝒕 (III)

Para la última fórmula principal de M.U.A y M.R.U.A tendremos en cuenta del algebra el

BINOMIO AL CUADRADO PERFECTO

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Partiendo de la ecuación (III)

𝑉𝑓 = 𝑉0 + 𝑎𝛥𝑡

Elevamos al cuadrado cada lado de la expresión y la resolvemos

(𝑉𝑓)2 = (𝑉0 + 𝑎𝛥𝑡)2

𝑉𝑓2 = 𝑉0

2 + 2𝑎𝛥𝑡𝑉0 + 𝑎2𝛥𝑡2

Factorizamos por el factor común 2a para los últimos dos términos del lado derecho de la

igualdad

𝑉𝑓2 = 𝑉0

2 + 2𝑎(𝑉0𝛥𝑡 +1

2𝑎𝛥𝑡2)

EL TÉRMINO ½ SE AGREGA COMO “INVERSO MULTIPLICATIVO” DE

𝒂𝟐𝜟𝒕𝟐

Todo el paréntesis en rojo equivale a Δx, por lo tanto vamos a sustituirlo

𝑽𝒇𝟐 = 𝑽𝟎

𝟐 + 𝟐𝒂𝜟𝒙 (IV)

Para concluir, enunciemos las 4 fórmulas básicas de M.R.U y M.R.U.A

𝑿𝒇 = 𝑿𝟎 + 𝑽𝒇𝜟𝒕

𝜟𝒙 = 𝑽𝟎𝜟𝒕 +𝟏

𝟐𝒂(𝜟𝒕)𝟐

𝑽𝒇 = 𝑽𝟎 + 𝒂𝜟𝒕

𝑽𝒇𝟐 = 𝑽𝟎

𝟐 + 𝟐𝒂𝜟𝒙

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

vertical (Caída libre).

Este tipo de movimiento se caracteriza por presentarse en una sola dimensión, sobre

el eje de las ordenadas (eje y).

La velocidad no es constante.

Describe una trayectoria exclusiva al campo gravitatorio uniforme que actué sobre

el objeto o partícula.

La aceleración es constante y su valor nunca cambia, para este caso es la gravedad

(g=9.8m/s2).

Cuando el objeto llega a su altura máxima su velocidad es nula (V=0)

La velocidad no aumenta de manera indefinida por acción de la gravedad

El valor de la gravedad se va denotar como negativo dentro de las ecuaciones. (g=-9.8m/s2)

La gravedad es igual para TODO objeto o partícula.

A alturas iguales, velocidades iguales.

Gráfica de una pelota en caída libre.

Para la parte de ecuaciones de caída libre se manejan las mismas de M.R.U y M.R.U.A

cambiando toda X por Y y toda aceleración (a) por la gravedad (g). Esto es:

𝒀𝒇 = 𝒀𝟎 + 𝑽𝒇𝜟𝒕

𝜟𝒚 = 𝑽𝟎𝜟𝒕 +𝟏

𝟐𝒈(𝜟𝒕)𝟐

𝑽𝒇 = 𝑽𝟎 + 𝒈𝜟𝒕

𝑽𝒇𝟐 = 𝑽𝟎

𝟐 + 𝟐𝒈𝜟𝒚

Movimiento Parabólico o de proyectiles (M.P)

Este tipo de movimiento se caracteriza por presentarse en dos dimensiones, sobre el

eje de las abscisas (eje x) y el eje de ordenadas (eje y).

Su trayectoria describe la forma de una parábola con vértice en donde alcanza el

punto más alto la partícula u objeto con acción exclusiva del campo gravitatorio

uniforme que actué.

La velocidad no es constante.

La aceleración es constante y su valor nunca cambia, para este caso es la gravedad

(g=9.8m/s2).

El valor de la gravedad se va denotar como negativo dentro de las ecuaciones. (g=-9.8m/s2)

Su análisis puede ser visualizado desde cada eje, en el de abscisas (eje x) un M.R.U,

esto es velocidad constante. En el de ordenadas (eje y) un M.R.U.A VERTICAL,

esto es caída libre con aceleración g=9.8m/s2

Por favor visualizar el siguiente link para observar un M.P semiparabólico

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/Rzutp.gif

Para las fórmulas de M.P se analizará el vector de velocidad inicial (V0)

Gráfica de la velocidad inicial y trayectoria del objeto

Trazando una perpendicular a Δx se obtiene un triángulo rectángulo que permite

descomponer el vector V0 en sus componentes rectangulares

𝑽𝟎𝒚 = 𝑽𝟎𝑺𝒆𝒏𝝋

𝑽𝟎𝒙 = 𝑽𝟎 𝑪𝒐𝒔𝝋

V0 V0y

V0x

𝝋

Eje de abscisas (eje x) Eje de ordenadas (eje y)

Maneja un M.R.U

Velocidad constante

Aceleración nula en el eje X

Maneja el vector V0x (Velocidad inicial

en x)

Maneja un M.R.U.A

Aceleración constante con valor

g=9,8m/s2

Maneja el vector V0y (Velocidad

inicial en y)

Fórmulas eje x Fórmulas eje y

𝑉𝑥 =𝛥𝑥

𝛥𝑡

𝑉0𝑥 = 𝑉0𝐶𝑜𝑠𝜑

𝑉𝑥 = 𝑉0𝑥

𝑉0𝑦 = 𝑉0𝑆𝑒𝑛𝜑

𝑉𝑦 = 𝑉0𝑦 + 𝑔 𝛥𝑡

𝛥𝑦 = 𝑉0𝑦𝛥𝑡 +1

2𝑔𝛥𝑡2

3 Fórmulas que simplifican el análisis del M.P…

1. Alcance (X máxima) Es la distancia horizontal recorrida por el objeto u partícula.

Su valor máximo se obtiene para un ángulo 𝝋 = 𝟒𝟓º, teniendo el

mismo valor para 𝝋 = 𝟒𝟓º + 𝒂, que para 𝝋 = 𝟒𝟓º − 𝒂

Δy=0 (El desplazamiento en Y es 0, no hay altura).

Partimos de la ecuación Δy= V0yΔt +1/2 gΔt2 y despejamos para Δt, pero

Δy=0

𝛥𝑦 = 𝑉0𝑦𝛥𝑡 +1

2𝑔𝛥𝑡2 Δy=0

0 = 𝑉0𝑦𝛥𝑡 +1

2𝑔𝛥𝑡2

Factorizando el lado derecho de la igualdad por Δt

0 = 𝛥𝑡(𝑉0𝑦 +1

2𝑔𝛥𝑡)

Pasando Δt (Rojo) a dividir

0 = 𝑉0𝑦 +1

2𝑔𝛥𝑡

Despejamos para Δt

𝑉0𝑦 =1

2𝑔𝛥𝑡

2𝑉0𝑦 = 𝑔𝛥𝑡

2𝑉0𝑦

𝑔= 𝛥𝑡

Utilizando V0y= V0Sen 𝝋

𝟐𝑽𝟎𝑺𝒆𝒏𝝋

𝒈= 𝜟𝒕 (I)

De otra segunda ecuación 𝑉𝑥 =𝛥𝑥

𝛥𝑡 despejamos para Δx

𝛥𝑥 = 𝑉𝑥𝛥𝑡

Reemplazando 𝑽𝒙 = 𝑽𝟎𝒙

𝜟𝒙 = 𝑽𝟎𝒙𝜟𝒕(III)

Utilizando Δx= Xf – X0; Xf=X máxima; X0=0

𝛥𝑥 = 𝑋𝑓 − 𝑋0 X0=0

𝛥𝑥 = 𝑋𝑓 − 0 Xf=X máxima

𝜟𝒙 = 𝑿𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂(II)

Reemplazando (II) y (I) en (III)

𝑋𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑉0𝑥2𝑉0𝑆𝑒𝑛𝜑

𝑔

Reemplazamos V0x= V0Cos𝝋

𝑋𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑉0𝐶𝑜𝑠𝜑2𝑉0𝑆𝑒𝑛𝜑

𝑔

Realizando el producto (multiplicación) del lado derecho de la igualdad

𝑋𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 =2𝑉0

2𝑆𝑒𝑛𝜑𝐶𝑜𝑠𝜑

𝑔

Finalmente utilizando trigonometría, la identidad trigonométrica Sen2𝝋= 2Sen𝝋Cos𝝋

𝑿𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂 =𝑽𝟎

𝟐𝑺𝒆𝒏𝟐𝝋

𝒈

2. Altura máxima (Y máxima)

Es la distancia vertical máxima (altura máxima) alcanzada por

el objeto o partícula

Su valor máximo se obtiene para un ángulo 𝝋 = 𝟗𝟎º

Vy= 0 (Velocidad en y es 0).

Partiendo de 𝑉𝑦 = 𝑉0𝑦 + 𝑔 𝛥𝑡 y despejamos para Δt, pero Vy=0

0 = 𝑉0𝑦 + 𝑔 𝛥𝑡

𝑉0𝑦 = 𝑔 𝛥𝑡

𝑉0𝑦

𝑔= 𝛥𝑡

Utilizamos V0y= V0Sen𝝋

𝑽𝟎𝑺𝒆𝒏𝝋

𝒈= 𝜟𝒕 (I)

De otra segunda ecuación Δy= V0yΔt +1/2 gΔt2; Δy=Y máxima

𝛥𝑦 = 𝑉0𝑦𝛥𝑡 +1

2𝑔𝛥𝑡2

𝑌𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑉0𝑦𝛥𝑡 +1

2𝑔𝛥𝑡2

𝒀𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂 = 𝑽𝟎𝑺𝒆𝒏𝝋𝜟𝒕 +𝟏

𝟐𝒈𝜟𝒕𝟐 (II)

Reemplazamos (I) en (II)

𝑌𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑉0𝑆𝑒𝑛𝜑𝑉0𝑆𝑒𝑛𝜑

𝑔+

1

2𝑔(

𝑉0𝑆𝑒𝑛𝜑

𝑔)2

𝑌𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑉0𝑆𝑒𝑛𝜑𝑉0𝑆𝑒𝑛𝜑

𝑔+

1

2𝑔(

𝑉02𝑆𝑒𝑛2𝜑

𝑔2 )

Resolviendo productos (multiplicaciones) al lado derecho de la igualdad y simplificando g

en el último término

𝑌𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 =𝑉0

2𝑆𝑒𝑛2𝜑

𝑔+

𝑉02𝑆𝑒𝑛2𝜑

2𝑔

Realizando la suma de fracciones

𝒀𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂 =𝑽𝟎

𝟐𝑺𝒆𝒏𝟐𝝋

𝟐𝒈

3. Tiempo de vuelo (t vuelo). Es el tiempo total que el objeto o partícula permanece en movimiento y

en su trayectoria Δy=0 (El desplazamiento en Y es 0, el objeto llega de nuevo al

suelo).

Partiendo de la ecuación Δy= V0yΔt +1/2 gΔt2 y despejamos para Δt, pero

Δy=0

𝛥𝑦 = 𝑉0𝑦𝛥𝑡 +1

2𝑔𝛥𝑡2 Δy=0

0 = 𝑉0𝑦𝛥𝑡 +1

2𝑔𝛥𝑡2

Factorizando el lado derecho de la igualdad por Δt

0 = 𝛥𝑡(𝑉0𝑦 +1

2𝑔𝛥𝑡)

Pasando Δt (Rojo) a dividir

0 = 𝑉0𝑦 +1

2𝑔𝛥𝑡

Despejamos para Δt y teniendo en cuenta Δt= t vuelo

𝑉0𝑦 =1

2𝑔𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜

2𝑉0𝑦 = 𝑔𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜

2𝑉0𝑦

𝑔= 𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜

Utilizando V0y= V0Sen 𝝋

𝟐𝑽𝟎𝑺𝒆𝒏𝝋

𝒈= 𝒕𝒗𝒖𝒆𝒍𝒐

A manera de conclusión las fórmulas principales para M.P son

𝑿𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂 =𝑽𝟎

𝟐𝑺𝒆𝒏𝟐𝝋

𝒈

𝒀𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂 =𝑽𝟎

𝟐𝑺𝒆𝒏𝟐𝝋

𝟐𝒈

𝟐𝑽𝟎𝑺𝒆𝒏𝝋

𝒈= 𝒕𝒗𝒖𝒆𝒍𝒐

𝑽𝟎𝒙 = 𝑽𝟎𝑪𝒐𝒔𝝋

𝑽𝒙 = 𝑽𝟎𝒙

𝑽𝟎𝒚 = 𝑽𝟎𝑺𝒆𝒏𝝋

Gráfica de M.P denotando el Alcance (X máxima)

Movimiento Circular Uniforme (M.C.U)

Este tipo de movimiento se caracteriza por presentarse en dos dimensiones, sobre el

eje de las abscisas (eje x) y el eje de ordenadas (eje y). Preferiblemente se trabaja

con un sistema coordenado polar.

Este tipo de movimiento se caracteriza por presentarse sobre un eje de giro con

radio constante.

Su trayectoria describe la forma de una circunferencia (NO ES LO MISMO

CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA).

La VELOCIDAD ANGULAR es constante.

La aceleración es constante y CENTRÍPETA.

La VELOCIDAD TANGENCIAL no es constante, cambia en cada punto de

dirección y es tangente.

RECTA TANGENTE: Es una recta que al pasar por una curva toca ÚNICAMENTE un

punto, en cálculo diferencial es lo que se conoce como derivada y permite calcular la

pendiente de la curva en dicho punto. Para nuestro caso será aquella que solo toque un

punto de la circunferencia.

EJE DE GIRO: Corresponderá al centro de la círculo y se simbolizara como C en

gráficos.

ARCO (S): Curva continúa o segmento de la circunferencia que une dos puntos

RADIO (r): Cualquier segmento de recta que una cualquier punto de la circunferencia

con el eje de giro.

ÁNGULO ( o θ): «Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas

que tienen el mismo punto de origen o vértice» http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

. En nuestro caso utilizaremos sistema sexagesimal y en algunos casos radianes.

𝑺 = 𝜟𝜽𝒓

Conversión de sexagesimal a radianes.

Radián (Rad): Ángulo subtendido (abarcado) por un arco iguala la distancia del radio.

El arco subtiende al ángulo θ. Entonces 1 rad= θ si y solo sí S=r

Tener en cuenta que 360º→2πr

S subtiende el ángulo 360º. Entonces S=2πr

2πr= Circunferencia (Perímetro del circulo)

Utilizamos S= θr y despejamos para θ medido en Rad

𝑆 = 𝜃(𝑟)

𝜃 =𝑆

𝑟𝑅𝑎𝑑

𝜃 =2𝜋𝑟

𝑟𝑅𝑎𝑑

𝜃 = 2𝜋𝑅𝑎𝑑

Volviendo a la otra proposición

360º → 2𝜋𝑟

360º → 2𝜋𝑅𝑎𝑑

Simplificando

𝟏𝟖𝟎º → 𝝅𝒓𝒂𝒅

Δ θ: Es la variación de dos ángulos medidos en Rad simbolizando un verdadero

desplazamiento de ángulo en el movimiento.

𝛥𝜃 = 𝜃𝑓 − 𝜃0

Frecuencia (f): Es el número de revoluciones (vueltas) en un segundo o minuto dadas por

el objeto o partícula (#Rev/s) (#Rev/min). Su unidad en el S.I es el Hertz (Hz).

(CANTIDAD ESCALAR).

𝒇 =𝟏

𝑻

𝑨. 𝑫 =𝟏

𝑻= 𝑻−𝟏

NO CONFUNDIR LA T DE LA FORMULA CON LA DE A.D, LA PRIMERA ES

PERIODO, LA SEGUNDA ES PARA LAS UNIDADES

Periodo (T): Es el tiempo necesario para que el objeto o partícula de una revolución (una

vuelta). Su unidad en el S.I es el segundo (s). (CANTIDAD ESCALAR).

𝑻 =𝟏

𝒇

𝑨. 𝑫 = 𝑻

Velocidad Angular (ω): Velocidad angular o PULSACIÓN, es la variación del ARCO

(ÁNGULO GIRADO) respecto al tiempo.

Su unidad en el S.I es el Rad/s (CANTIDAD VECTORIAL).

𝝎 =𝜟𝜽

𝜟𝒕=

𝟐𝝅

𝑻𝒓𝒂𝒅 = 𝟐𝝅𝒇𝑹𝒂𝒅

𝑨. 𝑫 = /𝑻

Demostración fórmula velocidad angular.

Consideremos la definición de periodo en términos lógicos y Δt

Δt= Tiempo necesario para 1rev (toda la vuelta a la circunferencia)

Δt= T

1rev → 1 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

1rev → 360º

1rev → 2𝜋𝑅𝑎𝑑

Entonces

𝛥𝜃 = 360º = 2𝜋𝑅𝑎𝑑 = 1𝑟𝑒𝑣

Ahora, tenemos en cuenta Δθ= 2πRad

𝝎 =𝜟𝜽

𝜟𝒕=

𝟐𝝅

𝑻𝒓𝒂𝒅

Velocidad tangencial (Vtan): Es la tasa entre el ARCO RECORRIDO por la partícula

u objeto y el tiempo empleado. Se considera la velocidad “real” del objeto o partícula en

M.C.U o M.C.N.

SIEMPRE ES PERPENDICULAR AL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA.

Su unidad en el S.I es m/s (CANTIDAD VECTORIAL).

𝑽𝒕𝒂𝒏 =𝑺

𝜟𝒕= 𝝎𝒓 =

𝟐𝝅𝒓

𝑻= 𝟐𝝅𝒓𝒇

𝑨. 𝑫 = 𝐋/𝑻

DOS Demostraciones fórmula Velocidad tangencial.

1. El arco recorrido por la partícula u objeto será una circunferencia, es decir, 1 revolución

𝑺 = 𝟐𝝅𝒓 (I)

El tiempo empleado Δt para una revolución ya lo concluimos con la velocidad angular

(ω), entonces

Δt= T (II)

𝑽𝒕𝒂𝒏 =𝑺

𝜟𝒕(III)

Reemplazamos (II) y (I) en (III)

𝑉𝑡𝑎𝑛 =2𝜋𝑟

𝑇

Agrupamos 𝟐𝝅

𝑻

𝑉𝑡𝑎𝑛 =2𝜋

𝑇𝑟

Utilizando 𝝎 =𝟐𝝅

𝑻 (Omitimos el Rad puesto que la velocidad tangencial NO

maneja ningún ángulo “Constante”)

𝑽𝒕𝒂𝒏 = 𝝎𝒓

2. Por definición clásica sabemos

ΔV =Δx

Δt

El desplazamiento en un movimiento circular es el ARCO RECORRIDO

Δx = S

La variación de velocidad (ΔV) en un movimiento circular es en un solo punto, después

de utilizar cálculo

ΔV ≅ 𝑉𝑡𝑎𝑛

Utilizando 𝑺 = 𝜟𝜽𝒓

𝑉𝑡𝑎𝑛 =𝛥𝜃𝑟

Δt

Agrupando 𝜟𝜽

𝜟𝒕

𝑉𝑡𝑎𝑛 =𝛥𝜃

Δt𝑟

Utilizando 𝝎 =𝜟𝜽

𝜟𝒕

𝑽𝒕𝒂𝒏 = 𝝎𝒓

ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac o ar): Aceleración centrípeta o RADIAL,

indica el cambio de posición de la partícula u objeto cada metro por segundo. Relación con

la posición “real” del objeto. (CANTIDAD VECTORIAL).

Siempre va dirigida al eje de giro de la circunferencia.

𝒂𝒄 =(𝑽𝒕𝒂𝒏)𝟐

𝒓= 𝝎𝟐𝒓 =

𝟒𝝅𝟐𝒓

𝑻𝟐= 𝟒𝝅𝟐𝒓𝒇𝟐

Demostración fórmula aceleración centrípeta o radial.

Gráfico 1: Vectores factores del M.C.U.

Gráfico 2: Gráfica del arco de una circunferencia.

Partiendo del Gráfico 1, ubicaremos cada vector para cada punto en el Gráfico 2

┴= Perpendicular

║= Paralelo

→= Tiende a

≈= Es aproximadamente igual a

Partiendo de la distancia entre A y B definimos todos los vectores que en él actúan, ahora

ahora el mismo procedimiento pero si A y B están más cerca

VA

VB

Δθ

r

r

VB

VA

ΔV=VB-VA

Δθ

ac

A medida que A y B están más cerca Δl, Δθ, ΔV. Esto es

ΔV ┴VA

ΔV ┴VB

VA║ VB

B r

r

Δθ

VA

VB

ΔV=VB-VA

VA

VB

Δθ

ac

Δl →0

Δθ→0

ΔV→0

Dirección de (ΔV) ≈ Dirección de (a)

A partir de los dos triángulos que forman los puntos A, B y C y VA, VB y ΔV se obtendrá la

ecuación de ac y teniendo en cuenta que la velocidad es constante y tangente a la

circunferencia, esto es

𝑽𝒕𝒂𝒏 = 𝑽𝑨 = 𝑽𝑩

𝚫𝜟𝑽𝑽𝑨𝑽𝑩 𝚫ABC

𝚫 = Triángulo en el gráfico

≅= Equivale, es congruente con

↔= Si y solo si

↠= Entonces…

VA

Δθ

Δθ

V tan

V tan

A

r

r

Utilizando el criterio básico LAL (Lado, ángulo, lado) de congruencia de triángulos, se

puede decir que 𝚫𝜟𝑽𝑽𝑨𝑽𝑩 ≅ 𝚫𝑨𝑩𝑪 porque:

Comparten el Δθ

𝑪𝑨┴𝑽𝑨 ↠ 𝑪𝑨 = 𝐫 = 𝑽𝑨

𝑩𝑪┴𝑽𝑩 ↠ 𝑩𝑪 = 𝐫 = 𝑽𝑩

Utilizando una razón geométrica entre los dos triángulos.

𝛥𝑉

𝑉𝑡𝑎𝑛=

𝛥𝑙

𝑟

Despejando para 𝜟𝑽

𝜟𝑽 =𝑽𝒕𝒂𝒏𝜟𝒍

𝒓↔ 𝜟𝒕 → 𝟎

𝜟𝑽 =𝑽𝜟𝒍

𝒓↔ 𝜟𝜽 → 𝟎

𝜟𝑽 =𝑽𝒕𝒂𝒏𝜟𝒍

𝒓(II)

Utilizando la definición clásica

𝒂 =𝜟𝑽

𝜟𝒕(III)

Reemplazamos (II) en (III) y 𝒂 = 𝒂𝒄

𝑎𝑐 =𝑉𝑡𝑎𝑛𝛥𝑙

𝑟

𝛥𝑡

Realizando ley de medios y extremos (Ley de la oreja)

𝑎𝑐 =𝑉𝑡𝑎𝑛𝛥𝑙

𝑟𝛥𝑡

Agrupando 𝛥𝑙

𝛥𝑡

𝒂𝒄 =𝑽𝒕𝒂𝒏

𝒓

𝜟𝒍

𝜟𝒕 (IV)

El desplazamiento circular está dado por 𝛥𝑙 entonces

𝜟𝒙 = 𝜟𝒍 (V)

Utilizando la definición clásica

𝜟𝑽 =𝜟𝒙

𝜟𝒕 (VI) 𝜟𝑽 = 𝑽𝒕𝒂𝒏

Reemplazando (V) en (VI)

𝑽𝒕𝒂𝒏 =𝜟𝒍

𝜟𝒕 (VII)

Reemplazando (VII) en (IV)

𝒂𝒄 =𝑽𝒕𝒂𝒏

𝒓 𝑽𝒕𝒂𝒏

Finalmente

𝒂𝒄 =(𝑽𝒕𝒂𝒏)𝟐

𝒓

LAS OTRAS FÓRMULAS PARA ACELERACIÓN CENTRÍPETA…

Partimos de la fórmula de ac

𝒂𝒄 =(𝑽𝒕𝒂𝒏)𝟐

𝒓

Utilizando por definición anterior 𝑽𝒕𝒂𝒏 = 𝝎𝒓

𝒂𝒄 =(𝝎𝒓)𝟐

𝒓

𝒂𝒄 =𝝎𝟐𝒓𝟐

𝒓

Simplificando

𝒂𝒄 = 𝝎𝟐𝒓 (I)

Utilizando 𝝎 =𝟐𝝅

𝑻 (Omitimos el Rad puesto que la velocidad tangencial NO

maneja ningún ángulo “Constante”)

𝒂𝒄 = (𝟐𝝅

𝑻)𝟐𝒓

𝒂𝒄 =𝟒𝝅𝟐𝒓

𝑻𝟐

MOVIMIENTO CIRCULAR NO UNIFORME

(M.C.N)

Este tipo de movimiento se caracteriza por presentarse en dos dimensiones, sobre el

eje de las abscisas (eje x) y el eje de ordenadas (eje y). Preferiblemente se trabaja

con un sistema coordenado polar.

Este tipo de movimiento se caracteriza por presentarse sobre un eje de giro con

radio constante.

Su trayectoria describe la forma de una circunferencia (NO ES LO MISMO

CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA).

La VELOCIDAD ANGULAR no es constante.

La aceleración es constante, ANGULAR y CENTRÍFUGA.

La VELOCIDAD TANGENCIAL no es constante, cambia en cada punto de

dirección y es tangente.

La ACELERACIÓN ANGULAR provoca la acción centrífuga.

DIRECCIÓN CENTRIFUGA: En el estudio del M.C.N, se denomina dirección

centrifuga a aquella dirección que se aleja de la trayectoria circular, del eje de giro. Aun

cuando esta es ficticia.

ACELERACIÓN ANGULAR (α): Variación del ángulo cada radián por segundo.

Relación con el ángulo. (CANTIDAD VECTORIAL).

𝜶 =𝜟𝝎

𝜟𝒕=

𝜟𝜽

𝜟𝒕𝟐=

𝟐𝝅

𝑻𝟐𝑹𝒂𝒅 = 𝟐𝝅𝒇𝟐𝑹𝒂𝒅

LA DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA ES La MISMA QUE M.R.U y M.R.U.A

(PÁGINA 7) DONDE 𝜶 ≡ 𝒂 Y 𝜟𝝎 ≡ 𝜟𝑽

≡= 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎

ACELERACIÓN TANGENCIAL (atan): Aceleración tangencial o LINEAL, es

aquella que permite la FUERZA FICTICIA centrifuga cambie el módulo de la velocidad

tangencial, ya que tienen la misma dirección (dirección tangente a la circunferencia).

(CANTIDAD VECTORIAL).

Siempre es perpendicular a la aceleración radial o centrípeta.

𝒂𝒕𝒂𝒏 =𝑽𝒕𝒂𝒏

𝜟𝒕= 𝜶𝒓

EL VERDADERO VECTOR DE ACELERACIÓN DE UN M.C.N ESTA DADO

POR:

𝒂 = √(𝒂𝒕𝒂𝒏)𝟐 + (𝒂𝒓)𝟐

DINÁMICA.

Rama de la física que estudia la causas del movimiento, el porqué de sus trayectorias y la

fuerza.

FUERZA: Tipo de empuje o de jalón sobre un objeto o partícula. Su unidad S.I es el

Newton (N)= 𝒌𝒈𝒎

𝒔𝟐

𝑭 = 𝒎𝒂 =𝒎𝒗

𝒕

𝑨. 𝑫 =𝑴𝑳

𝑻𝟐

Mecánica

Dinámica

Fuerzas de Acción a distancia Fuerzas de contacto

4 interacciones fundamentales de

la física

Fuerza Gravitacional

Fuerza electromagnética

Fuerza Nuclear fuerte

Fuerza Nuclear Débil

Fuerza de

tensión

Fuerza

normal

Fuerza de

rozamiento o de

fricción

Fuerza

elástica

Estática Dinámica

Leyes de

Newton

Fuerza gravitacional

PARTÍCULA

FUNDAMENTAL

G (gravitón)(Aún

teórico)

Es la fuerza generada todo

instante a un cuerpo para que

este permanezca en inercia. Acá

todo cuerpo con masa puede

relacionarse con el peso.

Fuerza electromagnética

PARTÍCULA

FUNDAMENTAL

γ (Fotón)

Es la fuerza que afecta a cuerpo

electrónicamente cargados

Fuerza nuclear fuerte

PARTÍCULA

FUNDAMENTAL

g ( Gluón)

Es la fuerza que mantiene unida

a los protones con los neutrones

para la formación de núcleos

atómicos (Física Nuclear)

Fuerza nuclear débil

PARTÍCULA

FUNDAMENTAL

W+

-, Z (Bosón W y Z)

Actúa en las partículas

elementales. Esta fuerza es la

causal de la desintegración

radiactiva

Fuerza de tensión Es la fuerza ejercida a un cuerpo

que se transmiten en cuerdas

tensionadas, es decir, extendidas

Fuerza normal Es la fuerza que experimenta un

cuerpo sobre una superficie con

respecto a la perpendicular.

Fuerza de rozamiento o

de fricción

Estática: impide el movimiento y

la velocidad entre las dos

superficies es 0

Dinámica: logra el movimiento

del objeto y la velocidad entre

las dos superficies es diferente

de 0

Fuerza elástica Es ejercido por objetos como

resortes, que reacciona contra la

fuerza deformadora con una

fuerza recuperadora (ley de

Hooke)

Fuerza Ficticia “Es el efecto percibido por

un observador estacionario

respecto a un sistema de

referencia no inercial cuando

Fuerzas

de acción

a

distancia

Fuerzas

de

contacto

Otros

tipos de

fuerza

analiza su sistema como si fuese

un sistema de referencia

inercial”

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuer

za_ficticia

Fuerzas concurrentes Es cuando dos o más fuerzas

actúan en un mismo punto de un

objeto

Fuerza resultante Es la fuerza que se obtiene de la

suma de fuerzas concurrentes

MARCOS DE REFERENCIA: Definición página 2.

INERCIA: Característica de un cuerpo de permanecer en su estado de reposo o

movimiento rectilíneo uniforme.

MASA: Es una propiedad de un objeto en sí mismo que indica la cantidad de materia contenida en

él. La unidad S.I es el Kg (Kilogramo)

KILOGRAMO: La medida estándar de la masa obtenida de un cilindro particular de Platino-

Iridio, cuya masa es 1Kg.

Las tres leyes del movimiento de Isaac Newton:

Primera ley newtoniana o Ley de la inercia.

La primera de sus ideas, se centra en el movimiento y el reposo. Antes de exponer su idea, la

interpretación aristotélica sostenía que la manera en que un cuerpo conserve su movimiento, si

solamente se le aplica una fuerza.

Newton presenta su idea diciendo:

"Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi

quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare".

"Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea

obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él".

𝜮𝑭 = 𝟎

Segunda ley de Newton o Ley de fuerza.

Newton expone:

"Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum lineam rectam qua

vis illa imprimitur".

"El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a

lo largo de la cual aquella fuerza se imprime".

𝐹 =𝛥𝑝

𝛥𝑡

Demostración a la fórmula actual F=ma

Teniendo en cuenta que la masa es INVARIANTE y P (CANTIDAD DE

MOVIMIENTO) equivale a 𝛥P=mΔV

𝐹 =𝑚𝛥𝑉

𝑡

Agrupando ΔV y Δt

𝐹 = 𝑚𝛥𝑣

𝛥𝑡

Utilizando 𝑎 =𝛥𝑉

𝛥𝑡

𝑭 = 𝒎𝒂

En diagramas de fuerza o de cuerpo libre

𝜮𝑭 = 𝒎𝒂

Tercera ley de Newton o Ley de acción y reacción.

OCURRE ENTRE DOS OBJETOS.

NO CONFUNDIR CON EQUILIBRIO.

Newton argumenta:

"Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in

se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi".

"Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las

acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto".

Sus tres leyes sientan las bases de lo que consideramos como la mecánica clásica, significó

una revolución muy importante en el entendimiento de la física.

En diagramas de fuerza o de cuerpo libre

𝜮𝑭 = 𝟎

𝑭𝑨𝒄𝒄𝒊ó𝒏 − 𝑭𝑹𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏 = 𝟎

𝑭𝑨𝒄𝒄𝒊ó𝒏 = ⎸𝑭𝑹𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏⎸

║= Valor Absoluto

DIAGRAMAS DE FUERZA O DE CUERPO LIBRE.

Método gráfico utilizado para analizar las fuerzas que actúan sobre un objeto.

1. Dibuje el diagrama.

2. Elija los ejes.

3. Encuentre las componentes rectangulares.

4. Calcule las componentes.

5. Sume las componentes.

6. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza resultante.

MARCO DE REFERENCIA INERCIAL: Marcos de referencia donde aplica la primera

ley de Newton.

MARCO DE REFERENCIA NO INERCIAL: Marcos de referencia donde no aplica la

primera ley de Newton.

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO (μ): Es una propiedad intrínseca de cada material

que expresa la interacción de partículas microscópicas entre dos superficies impidiendo en

una de ellas el movimiento dependientes de factores como temperatura, acabado de las

superficies (superficie, área de contacto).

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO (O FRICCIÓN) ESTÁTICO (𝝁𝒆): Expresa la

interacción de partículas microscópicas entre dos superficies impidiendo en una de ellas el

movimiento en su totalidad. (Velocidad relativa entre superficies igual a 0).

𝑉𝐸𝑁𝑇𝑅𝐸 𝑆𝑈𝑃𝐸𝑅𝐹𝐼𝐶𝐼𝐸𝑆 = 0

𝑨. 𝑫 = 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO (O FRICCIÓN) DINÁMICO (𝝁𝒅): Expresa la

interacción de partículas microscópicas entre dos superficies impidiendo en una de ellas el

movimiento en cierto valor, pero NO en su totalidad. (Velocidad relativa entre superficies

distinta a 0).

𝑉𝐸𝑁𝑇𝑅𝐸 𝑆𝑈𝑃𝐸𝑅𝐹𝐼𝐶𝐼𝐸𝑆 ≠ 0

𝑨. 𝑫 = 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙