Hálózatok a fizikában és a fizika oktatásában

Farkas IllésMTA-ELTE Statisztikus és Biológiai Fizika kutatócsoport Békéscsaba, 08. márc. 29.

• Bevezetés

• komplex rendszerek: fizika és fizikusok a biológiában, pénzügyekben, Internet forgalom elemzésében, szervezetfejlesztésben, …

• alkotóelemek – komplex rendszerek – hálózatok – modulok

• kísérletek (megfigyelések), modellezés, …

• Megfigyelések

• hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak

• szomszédaim gyakran ismerik egymást

• néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van

• Modellek

• Erdős-Rényi

• Kis világ

• Skálafüggetlen

• Érdekes példák

Komplex rendszer

A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól.

• Példák• Betű szó mondat bekezdés fejezet könyv• Tanuló csoport osztály iskola• Atom molekula sejt szövet szervezet … társadalom

Komplex rendszer

A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól.

Dékán

Intézetvezetők

Tanszékvezetők

• Példák• Betű szó mondat bekezdés fejezet könyv• Tanuló csoport osztály iskola• Atom molekula sejt szövet szervezet … társadalom

• Csoportok, hierarchia* Tartalmazási * Alárendelési

Komplex rendszer

A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól.

Dékán

Intézetvezetők

Tanszékvezetők

Doktori Iskola vezetője

• Példák• Betű szó mondat bekezdés fejezet könyv• Tanuló csoport osztály iskola• Atom molekula sejt szövet szervezet … társadalom

• Csoportok, hierarchia* Tartalmazási * Alárendelési

Hálózatok (gráfok)

A komplex rendszerek vizsgálatára gyakran használt eszköz:

. Rendszer alkotóeleme – hálózat pontja

. Két elem (résztvevő) között kapcsolat v. hasonlóság – két pont összekötése a hálózatban

Előny:

. Szerkezetet jól megőrzi: csoportok (csoportosulások, modulok, klaszterek), hierarchikus szerveződés

Megjegyzés:

. Hálózatban általában nincsen tér (koordináták)

Utak részletes térképe

Hálózat• csúcspontok: utak• élek: kereszteződések

Csúcs csoportok a hálózatban• Települések• Megyék (régiók)• Országok• Kontinensek

szomszéd csúcs

N, E csúcsok és élek száma

ki i. csúcs fokszáma, átlagos érték: <k>

L átlagos legrövidebb úthossz

Ci i. csúcs klaszterezettsége

C átlagos csomósodás (clustering)

Hálózatok (gráfok)

Két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük. (legrövidebb összekötő útvonal hossza)

AB

d A B = 2

hurok fa

21

iii kk

Cszomszédok közötti élek száma

Ci = 1 / 3

Klaszterezettség (egy csúcspont)

• Megfigyelések

• hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak

• szomszédaim gyakran ismerik egymást

• néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)

• Definició, hálózaton két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük. (legrövidebb összekötő útvonal hossza)

AB

d A B = 2

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)

• Definíció, hálózaton két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük. (legrövidebb összekötő útvonal hossza)

AB

d A B = 2

• Stanley Milgram kísérlete (1967): levelezőlapok továbbítása

• Kiindulás: Omaha, Célpont: Boston• Továbbítás csak közvetlen ismeretségeken keresztül • Eredmény: célba ért képeslapok átlagos lépésszáma: 5.5 “hat lépésnyi világ”

Tessék egy akármilyen meghatározható egyént kijelölni a Föld másfél milliárd lakója közül, bármelyik pontján a Földnek -- ő fogadást ajánl, hogy legföljebb öt, más egyénen keresztül, kik közül az egyik neki személyes ismerőse, kapcsolatot tud létesíteni az illetővel, csupa személyes ismeretség alapon.

• Karinthy (1929), Minden másképpen van (Láncszemek)

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)

„rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !!

teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi)

• PéldákLánc: N ~ L

• Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont)

• a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)

„rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !!

teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi)

• Példák

Filmszínészek hálózata

Erősáramú rendszer

C. elegans idegsejtek

N <k> L

225 226 61 3.65

4 941 2.67 18.7

282 14 2.65

Watts, Strogatz, 1998, Science

Lánc: N ~ L

• Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont)

• a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)

„rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !!

teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi)

• Példák

Filmszínészek hálózata

Erősáramú rendszer

C. elegans idegsejtek

N <k> L

225 226 61 3.65

4 941 2.67 18.7

282 14 2.65

Watts, Strogatz, 1998, Science

Lánc: N ~ L

WWW részhalmazokBarabási, Albert, 1999, Science

mérés N = 325,729 (nd.edu) : L = 11.2,

illesztés mérési pontokraL = 0.35 + 2.06 log N

jóslat teljes www-reN ≈ 8*108 (1999-ben) L ≈ 19

• Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont)

• a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos

Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség)

él között van szomszédomkét 21

Pkk

nC

ii

ii

• Mark Granovetter (1973)

Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok magas C és alacsony L

Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség)

él között van szomszédomkét 21

Pkk

nC

ii

ii

• Példa hálózat és kérdések (szociometria):

Csúcspontok: diákok

Élek: A és B tudják egymás testvéreinek nevét, ha túl sűrű (ritka) a hálózat, módosított kérdés (pl. iwiw-en bejelölték egymást)

Kérdések:

N, E betöltési valószínűség (hálózat sűrűsége), p = 2 E / [ N ( N – 1 ) ]

Ci mekkora a mérésből és mekkora lenne véletlenszerű esetben

[ iwiw Bp (N=850k, E=110M), Sopron (N=27k, E=4.1M), Szarvas (N=5.5k, E=840k) ]

• Mark Granovetter (1973)

Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok magas C és alacsony L

Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség)

él között van szomszédomkét 21

Pkk

nC

ii

ii

• Mark Granovetter (1973)

Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok magas C és alacsony L

Filmszínészek hálózata

Erősáramú rendszer

C. elegans idegsejtek

N <k> L mért, rnd C mért, rnd

225 226 61 3.65 2.99 0.79 0.00027

4 941 2.67 18.7 12.4 0.080 0.005

282 14 2.65 2.25 0.28 0.05

Watts, Strogatz, 1998, Science

• Definíció: csúcs fokszáma

• Megjegyzés: melyik pontokon át vezet sok legrövidebb útvonal…

Megfigyelés: kiugróan magas fokszámok (hatványfüggvény szerinti fokszám eloszlás)

log p(k)

log k

Hatványfüggvény (az eloszlás vége hosszú)

Nincsen karaketerisztikus fokszám

p(k)

k<k>

Gyorsan lecsengő eloszlás

Van jellemző fokszám

Példa hálózatok

Fokszám eloszlás

• Modellek

• Erdős-Rényi gráf

• Kis világ modell

• Skálafüggetlen modell

bármely két csúcs összekötése p=const. valószínűséggel

5.1~

106

1

k

N

p

Fokszám eloszlás: binomiális … Poisson

Erdős-Rényi modell P. Erdős, A. Rényi, Publ. Math. 6, 290-297 (1959)

Kis világ modell (small world) D. J. Watts, S. H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998)

kiindulás: reguláris (szabályos) gráf

az élek p részének véletlen átkötése

közepes p értékek esetén:

magas C, alacsony L

a fokszám-eloszlás lecsengése exponenciális

Kis világ modell (small world) D. J. Watts, S. H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998)

Megjegyzések:

1) a kis világ hálózat szerkezete

• rács (szabályos rész) magas klaszterezettség

• véletlen komponens (E-R) „rövidzárak” miatt rövid utak

2) Nagy fokszámok valószínűsége: exponenciálisan kicsi

1) Növekedés

2) Új csúcspont választ a régiek közül: fokszám szerint lineárisan növekedő eséllyel

N

1j j

ii

k

k 3~k kp

www erősáramú hálózat színészek

a fokszám eloszlás hatványfüggvény szerint csökken

Skálafüggetlen modell A.-L. Barabási, R. Albert, Science 286, 509-512 (1999)

• Bevezetés

• komplex rendszerek: fizika és fizikusok a biológiában, pénzügyekben, Internet forgalom elemzésében, szervezetfejlesztésben, …

• alkotóelemek – komplex rendszerek – hálózatok – modulok

• kísérletek (megfigyelések), modellezés, …

• Megfigyelések

• hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak

• szomszédaim gyakran ismerik egymást

• néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van

• Modellek

• Erdős-Rényi

• Kis világ

• Skálafüggetlen

• Érdekes példák

További példák

Albert et.al. (2000)

f

L

Jeong et.al. (2001)

Egymás után csúcsok törlése átlagos úthossz változik

Ha a nagy fokszámú csúcsoktól indulunk, akkor L gyorsan nő.

Sarjadzó élesztő (S. cerevisiae) fehérje-fehérje kölcsönhatási hálózatában nagy fokszámú csúcsok

3x nagyobb eséllyel esszenciálisak

Köszönöm a figyelmet !

Fizikai szemle, 2007/06 Mindentudás az iskolában: Hálózatok mindenütt.

http://www.CFinder.org