Геометрија

Геометрија је грана математике која се бави проучавањем особина просторних облика. У основи, геометрија је наука о фигурама, о узајамном положају и размјерама њихових делова и о њиховим трансформацијама. Фигура је непразан скуп тачака.

Полуправа је скуп свих тачака једне праве p са једне стране било које њене фиксне тачке P заједно са овом тачком. Поменута тачка P је почетна тачка полуправе. Угао је скуп од две полуправе са заједничком почетном тачком; те полуправе се тада називају краци угла, а заједничка тачка теме угла. Угао увек припада једној равни, коју краци деле на унутрашњу и спољашњу област.

Дуж је скуп свих тачака једне праве p између две њене тачке A и B, заједно са овим тачкама. Поменуте тачке A и B називају се крајње тачке дужи. Свака тачка T Є p дате праве унутар датих тачака p Є AB је унутрашња тачка дужи. Ако дуж AB чија је једна крајња тачка на једном, а друга на другом краку угла, припада (унутрашњој) области угла ова област је испупчена па се такав угао назива испупчен, или конвексан. Ако ова дуж не припада области угла, ова област је удубљена, па се такав угао назива удубљен, или конкаван. Угао чији краци образују праву назива се испружен угао. Два угла који имају један заједнички крак, а остала два крака образују праву називају се упоредни углови. Угао који је једнак свом упоредном углу назива се прав угао. Два угла чији краци образују двије праве називају се унакрсни углови.

Кружница је скуп свих тачака у равни које су подједнако удаљене од једне фиксне тачке те равни. Фиксна тачка се назива средиште или центар кружнице, а подједнака удаљеност је полупречник кружнице. Кружница дели раван којој припада на унутрашњу и спољашњу област. Полураван је скуп свих тачака неке равни β с једне стране дате праве p те равни заједно са том правом. Права p зове се гранична права полуравни. Овде ћемо се бавити само геометријом у једној равни.

Планиметрија је део геометрије у једној равни који се бави проучавањем мерења дужина, углова, или површина, за разлику од стереометрије која проучава мјерења тродимензионалних геометријских фигура, са дужином, ширином и висином. Диједар, или двостран, је скуп од две полуравни pα и pβ са заједничком граничном правом p. Те полуравни pα и pβ су стране диједра, а заједничка права p ивица диједра. Диједар дели простор на две области, унутрашњу и спољашњу. Ако дуж чије су крајње тачке у странама диједра припада (унутрашњој) области диједра. Сфера је скуп свих тачака у простору подједнако удаљених од једне фиксне тачке. Фиксна тачка је средиште или центар сфере, а подједнака удаљеност је полупречник сфере. Дио простора ограничен сфером назива се лопта.

Први записи о геометрији нађени су у древном Египту и Вавилону у периоду до око 6. века п.н.е. Геометрија је настала са потребама мерења тла. У периоду од Талеса до Еуклида), у античкој Грчкој од 6. до 3. века п.н.е. геометрија је заснивана на тада откривеној дедуктивној методи закључивања. Наредних два миленијума су 13 томова књига Еуклидових Елемената биле основни уџбеник геометрије у земљама арапског Истока, у средњој Азији, у Индији и Европи. Аналитичка геометрија, коју су открили Декарт и Ферма почетком 17. вијека, изучава својства геометријских фигура на основу њихових алгебарских једначина, ослањајући се на метод координата. Убрзо се појавила пројективна геометрија Дезарга, Паскала и Понселеа. У 18. веку су Ојлер и Монж открили диференцијалну геометрију. Затим, почетком 19. века, истражујући постулат о паралелним правама Лобачевски је отрио нову, нееуклидску геометрију, којој је на трагу био и Бољаји, а коју су убрзо прихватили Гаус, Риман и Ајнштајн. Хилбертов систем аксиома је први пут објављен на самом крају 19. века у делу: Др Давид Хилберт, Основе геометрије (David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899), као одговор на тадашње фундаменталне проблеме Еуклидске геометрије. Књига која је много пута превођена и прерађивана, да би данас била позната под именом Хилбертове основе геометрије. Код нас је 1957. године изашла под уредништвом академика Радивоја Кашанина, тадашњег управника Математичког института САНУ, и у преводу Ж. Гарашанина са 8. немачког издања. То је основа за онај део математике који називамо

елементарна геометрија.

Обртна тела

Ваљак

Ваљак је геометријско тело ограничено са два круга у паралелним равнима и делом цилиндричне површи чије су изводнице нормалне на раван тих кругова. Оса ваљка је права која пролази кроз центре база. Наравно као и до сада ознаке су: - P је површина ваљка - V је запремина ваљка - B је површина базе - M је површина омотача - H је висина ваљка - r је полупречник основе ( базе ), онда је 2р пречник

Почетне формуле за површину и запремину ваљка исте су као и формуле за P и V призме:

Пре него ли склопимо формуле за P и V погледајмо мрежу ваљка:

Базе су очигледно кругови чија је површина :

Омотач је правоугаоник чије су странице висина Х и обим круга О р = 2 π па је површина омотача једнака

Погледајмо сада како изгледа осни пресек ваљка:

Овде примењујемо Питагорину теорему:

Површина осног пресека је

Ако у тексту задатка каже да је ваљак РАВНОСТРАН, то значи да му је осни пресек

квадрат и да је

Напоменимо још да ваљак може настати обртањем квадрата или правоугаоника око једне странице или симетрале странице.

Задаци

1) Израчунати запремину правог ваљка ако је дата површина P = 324πcm и однос висине према полупречнику

Решење:

2) Површина правог ваљка је 84 2πcm , а висина му је за 5cm већа од пречника основе. Израчунати запремину ваљка.

Решење:

3) Од дрвеног ваљка полупречника основе r = 9cm , висине H =12cm истесана је највећа могућа правилна тространа призма. Колика је запремина одпадака?

Решење:

Купа и зарубљена купа

Површина базе: Површина омотача:

то јест

то јест

Осни пресек

Обим осног пресека

Површина осног пресека

Примена Питагорине теореме

Равнострана (једнакострана ) купа је она код које је 2r = s, па је осни пресек једнакостранични троугао.

Зарубљена купа

Површина горње базе:

Површина доње базе:

Површина омотача:

то јест

то јест

Осни пресекОбим осног пресека:

Површина осног пресека:

Примена Питагорине теореме на ова 2 правоугла троугла:

(на десни троугао)

(на леви троугао)

Задаци

Површина купе је 24π, а површина њене основе 9π израчунати запремину купе.Решење:

Правоугли троугао са катетама а и б ротира око хипотенузе. Наћи запремину добијеног обртног тела.

Из обрасца за површину правоуглог троугла:

Права зарубљена купа има изводницу s=5 и полупречнике основа R=5 и r=1 .Наћи полупречник основе правог ваљка који има с њом једнаку висину и површину омотача.

Лопта и делови лопте

- R је полупречник лопте

- h је висина зоне ( одсечка, исечка)

- r1 и r2 су полупречници пресечних кругова

Површина калоте:

Површина зоне:

Запремина лоптиног одечка:

Запремина лоптиног исечка:

Запремина лоптиног слоја:

Узајамни положај лопте и других тела

- Да би се у призму могла уписати сфера потребно је и довољно да се у њен нормални пресек може уписати круг чији је пречник једнак висини призме.

- Да би се у пирамиду могла уписати сфера довољно је да нагибни углови бочних страна према основи пирамиде буду једнаки.

- Ако се око полиедра може описати сфера, тада њен центар лежи у тачки пресека симетралних равни свих ивица полиедра.

- Да би се око призме могла описати сфера потребно је и довољно да призма буде права и да се око њене основе може описати круг.

- Да би се око пирамиде могла описати сфера потребно је и довољно да се око њене основе може описати круг.

- Лопта је уписана у прав ваљак ако основе и све изводнице ваљка додирују лопту. То је могуће ако је пречник основе ваљка једнак висини ваљка.

- Лопта је уписана у праву купу ако основа и све изводнице купе додирују лопту. То је увек могућно!

- Лопта је описана око ваљка ако су основе ваљка пресеци лопте. Око сваког правог ваљка може се описати лопта.

- Лопта је описана око купе ако је основа купе пресек лопте и ако врх купе припада одговарајућој сфери. Око сваке купе може се описати лопта.

Задаци

Површина лопте једнака је 225 π . Наћи њену запремину.

Пресеци две равни и лопте имају површине 49π и 4π , а растојање измедју тих равни које су са разних страна центра лопте износи 9. Наћи површину лопте.

Полупречник лопте је 15. Који се део површине лопте види из тачке које је од центра лопте удаљена за 25?

Литература

ТАТОМИР АНЂЕЛИЋ, Елементарна геометрија, Техничка књига, Београд, 1954,ДУШАН АДНАЂЕВИЋ, ДРАГОСЛАВ МИЛИЋ, Математика за осми разред основне школе, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 1988,ИВАН М. БАНДИЋ, МИЛИЦА ИЛИЋ – ДАЈОВИЋ, Математика за III разред гимназије природно математичког смера, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 1973Д. ЛОПАНДИЋ, Геометрија за III разред усмереног образовања, Научна књига, Београд, 1985,

Садржај

Геометрија.................................................................................................................................1Обртна тела................................................................................................................................2

Ваљак.....................................................................................................................................2Задаци.................................................................................................................................5

Купа и зарубљена купа.........................................................................................................7Зарубљена купа.................................................................................................................8Задаци.................................................................................................................................9

Лопта и делови лопте..........................................................................................................10Узајамни положај лопте и других тела.........................................................................12Задаци...............................................................................................................................13

Литература...............................................................................................................................15Садржај....................................................................................................................................16