СЕМИНАРСКИ РАД

- ТРИГОНОМЕТРИЈА -

Јокић СветланаМЛ87181

ТРИГОНОМЕТРИЈА - ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ

Једно од највећих дела александријског периода јесте Птолемејев

Велики зборник који је познатији под арапизираним називом АЛМАГЕСТ

(око 150 год). Алмагест је одличан и веома оригиналан астрономски рад,

мада многе идеје у њему потичу од Хипарха, Кидинуа или неких других

Вавилонских астронома. У њему је садржана и тригонометрија са

таблицама тетива за многе углове од 0о до 180о, што одговара таблицама

синуса за углове од 0о до 90о за сваких пола степена. За синус

угла од 1о Птолемеј је израчунао вредност (1,2,50)=1/60+2/602 + 50/603

=0,017268

(тачнија вредност 0,017453...), а за вредност (3,8,30)=377/120 = 3,14166

. У Алмагесту налазимо формулу за синус и косинус збира и разлике 2

угла , као и зачетке сферне тригонометрије. Теореме су формулисане на

геометријски начин. Наша савремена тригонометријска означавања

потичу тек од Ојлера (XВИИИ век) .

Други научни центар постојао је у Шпанији. У Кордови је живео

један од најистакнутијих астронома Ал Заркали (Арзахел, око 1029-1087)

кога су сматрали најбоqим посматрачем у то време, а познат је и као

издавач тзв. Толедских планетских таблица. Тригонометријске таблице

које се налазе у том раду преведене су на латински језик и извршиле су

знатан утицај на развитак тригонометрије у епохи ренесансе. После

Толедских таблица појавиле су се Алфонинске таблице (према Алфонсу Х

од Кастиqе), које су током неколико векова представqале ауторитет .

Вијет је побоqшао Архимедове резултате и нашао је вредности за са 9 десетичних цифара. Ускоро је Лудолф Ван Цејлон (Лудолф Ван Цеулен)

из Делфта одредио са 35 децимала, користећи при том описане и

уписане многоуглове са све већим и већим бројем страница. Вијет је

1

такође нашао израз за у виду бесконачног производа који изражен у

нашој симболици изгледа овако:

2/ =цос/4цос/8 цос/16цос/32...

УГАО

Угао који одговара луку од једног радијана има исти назив -

радијан. Радијан користимо и као јединицу за мерење углова. Угао има

онолико радијана колико их има одговарајући кружни лук полупречника

1. Лук полупречника 1 који одговара равном углу (180о) има дужину

1=. Његова радијанска мера је . Значи, 180о = ,

1 радијан = 1800/ 57, 29578 .

Стандардна дефиниција по којој угао чине две полуправе са

заједничким почетком, није погодна за операције сабирања и одузимања

углова. Под операцијама сабирања и одузимања углова подразумевамо

сабирање и одузимање мерних бројева тих углова. Као резултат

сабирања и одузимања могу се јавити и углови већи од 3600, а исто тако и

негативни углови. Између осталог то је један од разлога да се поменута

дефиниција прошири и појам угла уопшти. Ако уочимо једну променљиву

полуправу која може да се обрће око своје почетне тачке О, при обртању

разликујемо два смера: позитиван - смер обрнут смеру казаqки на сату и

негативан - смер кретања казаqки на сату. Обележимо са а почетни и са

b завршни положај полуправе након обртања око тачке О у једном или

другом смеру. ab зовемо оријентисан угао. Ако се полуправа обртала у

позитивном смеру, оријентисан угао је позитиван. У противном угао је

негативан. Сваком реалном броју придружује се оријентисан угао чија је

радијанска мера једнака том броју.

ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ФУНКЦИЈЕ ПРОИЗВОЉНОГ УГЛА

ТРИГОНОМЕТРИЈСКИ КРУГ

2

Тригонометријске функције оштрог угла дефинишу се, као што

знамо, преко односа страница правоуглог троугла. За дефиницију

функција произвоqног угла користи се тзв. тригонометријски круг.

Тригонометријски круг је круг полупречника 1 чији је центар у

координатном почетку.

Тачка А са координатама (1,0) која припада тригонометријском

кругу зове се почетна тачка (слика 1). На тригонометријском кругу

посматраћемо различите лукове који сви почињу у тачки А. Лук који

обилазимо у позитивном смеру почевши из тачке А, зваћемо позитиван

лук. Ако је смер обиласка негативан, имамо негативан лук. Мера овако

оријентисаних лукова представqена је њиховом дужином са знаком + за

позитивне и знаком - за негативне лукове. С обзиром да је обим

тригонометријског круга једнак 2, реалним бројевима већим од 2 и

реалним бројевима мањим од - 2 одговарају лукови већи од пуног круга.

Ако је АМ оријентисан лук, онда њему одговара оријентисан угао који

образују вектори ОА и ОМ (слика 2.). Мера лука АМ једнака је радијанској

мери угла (ОА,ОМ). Вектор ОМ зове се радијус вектор угла.

Нека је = (ОА,ОМ) произвоqан оријентисан угао којем одговара

оријентисан лук АМ. Ако су (Хо,Уо) координате тачке М, тада се синус и

косинус угла дефинишу као:

cos =Хо

sin =Уо

Слика 1. Слика 2. Слика

3.

Из дефиниције следи да је cos позитиван ако је у I и IV квадранту,

а негативан ако је у II и III квадранту. Слично је син позитиван за у I

и II квадранту и негативан за у III и IV квадранту. То је шематски

претставqено на слици 4.

3

Слика 4.

ИЗРАЧУНАВАЊЕ КОСИНУСА И СИНУСА ПРОИЗВОQНОГ УГЛА,

СВОЂЕЊЕ НА I КВАДРАНТ

Сада ћемо показати како се косинус и синус произвоqног угла могу

изразити преко косинуса, односно синуса одговарајућег угла I

квадранта. Тај поступак се зове свођење на I квадрант.

1) II квадрант. Нека је = (ОА,ОМ) угао II квадранта и нека су (Hо,Uо)

координате тачке М (Hо 0, Uо 0). Обележимо са М’ тачку симетричну

тачки М у односу на

U-осу (слика 5). Тачка М’ припада I квадранту и њене координате су (-

Hо,Uо). Ако са обележимо угао (ОМ,ОА), тада је због симетрије

(ОА,ОМ)= . Отуда је

cos =Hо=-(-Hо)=- cos

sin =Uо=син

С обзиром да је =-, добијамо формулу

цос (-) =- cos

4

син (-) = sin , ( 1 ) Слика 5.

за сваки угао , 0 /2.

2) III квадрант. Нека су ( Hо, Uо), Hо 0, Uо 0, координате тачке М, где је

ОМ радијус вектор угла = ( ОА, ОМ ) из III квадранта . Обележимо са

М’ тачку симетричну са тачком М у односу на координатни почетак О

(слика 6. )

Тачка М’ лежи у I квадранту и има координате ( - Hо, - Uо ). Ако са

означимо

(ОА’, ОМ ), тада је због симетрије (ОА, ОМ’) = . Стога је

cos = Ho = - (- Ho)=- cos ,

sin =Uo=- (- Uo)=- sin .

Како је =+, следи формула

cos (+)=-cos

sin (+)=- sin . ( 2 )

Слика 6.

3) IV квадрант. Нека је = (ОА,ОМ) угао IV квадранта и нека су (Hо,Uо) ,

Hо0,

Uо 0, кординате тачке М. Обележимо са М’ тачку симетричну тачки М у

односу на

H-осу (слика 7.). Тачка М’ припада I квадранту и има координате (Hо, -

Uо). Ако са обележимо угао (ОМ,ОА), тада је због симетрије

(ОА,ОМ’)= . Из тога следи

5

cos = Ho= cos

sin =Uo= - (- Uo)=- sin .

Како је = 2- , следи формула

cos (2- ) = cos ,

sin (2- ) = sin , ( 3 )

за сваки угао , 0 /2. Слика 7.

4) Негативни угао. Нека је ОМ радијус вектор негативног угла - .

Означимо са М’ тачку симетричну тачку тачки М у односу на H- осу (слика

8.). Ако су ( Hо, Uо ) координате тачке М, тада су ( Hо, -Uо ) координате

тачке М’. Због симетрије је

(ОА,ОМ )= , одакле

следи формула

cos (- ) = cos

sin (- ) = sin , ( 4 )

за сваки угао .

Слика 8.

ПЕРИОДИЧНОСТ КОСИНUСА И СИНUСА

6

Пошто знамо да је цос (+2к )=цос и син (+2к )=син за сваки

угао и сваки цео број к. Uопште, ако за неку функцију Ф постоји реалан

број Т различит од 0, тако да за свако H из домена функције Ф, H+ Т

такође припада домену функције Ф и важи

Ф( H+Т )= Ф( H), тада кажемо да је функција Ф периодична. Т је период

од Ф. Најмањи позитивни период, уколико постоји, зове се основни

период.

ТЕОРЕМА 1.

Основни период функција цос H и син H је Т= 2.

Доказ. Како угловима H и H+2 одговара исти положај радијус-вектора

ОМ, то је очигледно цос (H+2) = цос H за сваки угао H. То значи да је 2

период од цос H. Покажимо да је то и основни период. За то је довоqно да

се покаже да за свако Т, 0Т2 постоји бар један угао Hо, такав да је цос

(Hо+Т) цос Hо. Конкретно можемо узети да је Hо=0. Тада је цос 0=1 и цос

( 0+Т )= цос Т1 за 0Т2. Према томе, Т није период од цос H. За син H

доказ је сличан. За Hо може се узети /2.

Теорема 1 омогућава да се косинус и синус угла чија је апсолутна

вредност већа од 2 сведу на косинус и синус одговарајућег угла из

интервала (- 2, 0.

ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ПРОИЗВОQНОГ UГЛА

Тангенс и котангес произвоqног угла дефинишу се преко

формула :

тг =син / цос (цос 0) ( 5 )

цтг =цос / син (син 0). ( 6 )

Из ове дефиниције следи да је тг дефинисан за /2 +к (к=0,

1, 2...), а

цтг за кп (к=0, 1, 2...). Такође из дефиниције следи:

тг =1/ цтг (цтг 0)

цтг =1/ тг (тг 0).

7

На основу знака цос и син (слика 4.) и дефиниције тангенса и

котангенса добијамо шему за знак тг и цтг (слика 9.).

Вредност тг за произвоqан угао из домена тангенса може се

геометријски интерпретирати на следећи начин. Uочимо праву H=1

(Слика 10.).

Та права , која очигледно пролази кроз тачку А и паралелна је са U-

осом, зове се тангенсна оса. Ако је ОМ радијус вектор угла , /2+к

(к=0,1, 2,...) обележимо са Н тачку пресека праве ОМ и тангенсне осе.

Нека су (1,Uо) координате тачке Н. Показаћемо да је тг =Uо.

Uзмимо прво д је 0 /2. Обележимо са М1 нормалну пројекцију

тачке М на H-осу. Тада је ОМ1 =цос и ММ1 =син . Зашто? С друге

стране, из сличности троуглова ОАН и ОМ1М имамо АН / ОА= ММ1 / ОМ1

, одакле, с обзиром да је АН =Uо и ОА=1, следи

Uо=син / цос =тг

За разлику од синуса и косинуса, тангенс није дефинисан за сваки

угао . Ако угао расте и тежи углу /2, тг се неограничено повећава

(слика 11.), када се радијус вектор ОМ угла поклопи са ОБ, права ОМ и

тангенсна оса постају паралелне и њихове пресечне тачке нема. За

=/2, тг није дефинисано. Ако угао тежи углу /2 са друге стране,

8

смањујући се, тада се тг неограничено смањује. Слична је ситуација кад

тежи углу 3/2 са једне или друге стране. тг 3/2 такође није

дефинисан.

Слика 11.

Напомена. Често се у литератури користе математички некоректне

ознаке типа

тг /2=+ и цтг /2=- . Ствар је у томе да + и - не постоје као

бројеви. Зато ако желимо да истакнемо понашање функције тг H када

аргумент H тежи углу /2 или 3/2, можемо да пишемо тг H+ , кад

H /2 - 0 и H 3/2 - 0 , а тг H - кад H /2 + 0 и H 3/2 + 0.

Може се приметити да =/2 и =3/2 нису једини углови за које тг

нија дефинисано. Наиме , тг није дефинисано за свако = /2+к

(к=0,1, 2,...).

Геометријска интерпретација котангеса је следећа. Права U=1 која

пролази кроз тачку Б(0,1) и паралелна је са H-осом зове се котангенсна

оса (слика 12.). Обележимо са Л пресечну тачку праве ОМ (ОМ - радијус

вектор угла ) и котангенсне осе. Ако су ( Hо, 1) координатне тачке Л,

тада је

цтг =Hо.

Котангенс угла није дефинисан за = к (к=0,1, 2,...).

Тачније, за к+0, цтг + , а за к - 0, цтг - (слика

13.).

9

Слика 12.

Слика 13.

ИЗРАЧUНАВАЊЕ ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА ПРОИЗВОQНОГ

UГЛА, СВОЂЕЊЕ НА И КВАДРАНТ, ПЕРИОДИЧНОСТ

Формуле којима се тангенс и котангенс произвоqног угла

изражавају преко углова И квадранта изводе се из формула (1), (2), (3),

(4), (5), (6).

1) ИИ квадрант. Нека је = -, 0 /2. На основу (1) следи:

тг (-)= - тг

цтг (-)= - цтг

2) ИИИ квадрант . Нека је = + , 0 /2. На основу (2) имамо:

тг ( + )= тг

цтг ( + )= цтг .

3) ИВ квадрант. Нека је = 2 - , 0 /2. На основу (3) добијамо:

10

тг (2 - )=- тг

цтг (2 - )=- цтг

4) Негативни угао. За негативни угао , користећи (4), имамо следеће

формуле:

тг(-)=- тг

цтг(-)=- цтг

ТЕОРЕМА 2. Основни период функција тг H и цтг H је Т=.

Доказ. Из дефиниције тангенса лако се види да је тг (H+ )=тг H за сваки

угао H из домена функције. Покажимо да за свако Т, 0 Т , постоји угао

Hо, такав да је тг (Hо+Т) тг Hо. U ту сврху узмимо Hо=0. Тада је тг 0=0, а тг

Т 0 за 0 Т . Према томе тг 0 тг (0+Т) што значи да је најмањи

позитиван период функције тг H.

За цтг H доказ је сличан.

ГРАФИЦИ ОСНОВНИх ТРИГОНОМЕТРИЈСКИх ФUНКЦИЈА

График је веома погодан за представqање тока функције, тј.

промене вредности функције у зависности од промене аргумената.

За цртање графика функције U= цос H користићемо следеће

особине косинуса:

функција је дефинисана за свако H ;

скуп вредности функције је затворен интрвал - 1, 1, тј. - 1 цос H 1

за свако H. Из овога следи да је функција цос H ограничена ;

нуле функције су H= /2 и H= 3/2, док H0, 2 ;

цос H 0 за 0 H /2 и 3/2 H 2, а цос H 0 за /2 H 3/2.

U оба случаја H0, 2 ;.

11

за H0, цос H опада, а за H, 2 цос H расте. Максималну

вредност, док H0, 2, цос H достиже за H = 0 и она износи цос 0 = 1.

Минималну вредност , за H0, 2 , цос H достиже за H= и она износи

цос = - 1;

цос H је периодична функција са основним периодом 2.

Та крива зове се косинусоида. (Слика 14.)

Са графика се могу очитати сви важнији елементи тока функције U=

цос H.

1) Домен функције је ( - , + ).

2) Функција је периодична са основним периодом 2 .

3) График је симетричан у односу на у - осу, цос (-х) = цос x за свако х,

тј. цос је парна функција.

4) График се налази између паралелних права у = -1 и у = 1. То значи

да је функција у = цос х ограничена, -1 цос х 1. Њен кодомен је (-

1, 1).

5) График сече х-осу у тачкама х = /2 + к (к=0, 1, 2,...) и то су

нуле функције

у = цос х.

6) За х = 2к (к=0, 1, 2,...) функција има максималне вредности и

оне износе

цос 2к =1. За х = (2к +1) ; (к=0, 1, 2,...) функција има

минималне вредности, цос (2к +1) = -1.

7) цос опада у интервалима облика 2к, (2к+1) (к=0, 1,...), а расте у

интервалима облика (2к+1), (2к+2) (к=0, 1, 2...).

8) За х (-/2+к, /2+к) је цос х>0, а за х (/2+к, 3/2+к) је цос х<0

(к=0, 1, 2...).

12

U=син H

Слика 15.

U= тг H

Функција тг H на интервалу - /2, /2 има следеће особине:

дефинисана је за свако H изузев H=- /2 и H=- /2. За H- /2 + 0 тг H-

, а за H- /2 - 0 , тг H- ;

скуп вредности функције тг H за H - /2, /2 је цео скуп Р, тј. ( - , +

).

То значи да није ограничена ;

нула функције је H=0 ;

тг H 0 за - /2 H 0 , и тг H 0 за 0 H /2,

стално расте.

Како је тг H периодична функција са основним периодом ,

довоqно је нацртати график на интервалу - /2, /2. Остатак се добија

транслацијама дуж H-осе за к (к= 0, 1, 2...).

Опет ћемо ради веће прецизности, користити тригонометријски

круг. Тачке М0, М1 , М2 ,..., М6 деле полукруг на 6 једнаких делова (слика

16 ). Апсцисе тачака Т0, Т1, Т2, Т4, Т5 једнаке су мерама оријентисаних

лукова АМ0 , АМ1 , АМ2 , АМ4 , АМ5 , а ординате ординатама тачака Н0 , Н1 , Н2

, Н4 , Н5. Према томе, координате тачака Т0 , Т1, Т2 , Т4 , Т5 су (0, тг 0), (/6, тг

/6), (2/6, тг 2/6), (- /6, тг(- /6)), (- 2/6, тг(- 2/6)). Спајањем тачака Т0 ,

Т1 , Т2 , Т4 , Т5 добијамо део графика функције U=тг H над интервалом -

/2, /2.

13

Слика 16.

Када се вредност аргумента H приближава - /2 са већих вредности , H-

/2 + 0, тада се тг H неограничено смањује и график се са доње стране

примиче вертикалној прави U= - /2. Та права је асимптота функције U=тг

H. Слична је ситуација када H /2 - 0. Тада је тг H+ и права U= /2 је

такође асимптота.

Слика 17.

U= цтг H

14

Слика 18.

15

НЕКИ ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИ ИДЕНТИТЕТИ

Основне тригонометријске функције цос H, син H, тг H, цтг H имају

једну заједничку особину, а то је да се помоћу сваке од њих могу

представити остале три функције. То омогућава да се различити изрази у

којима учествују тригонометријске функције упрошћавају или

трансформишу у облик који је погодан за одређене операције

(логаритмовање, интеграqење и сл.).

Релације које следе испуњене су за сваки угао из домена функција

које у њима учествују, па према томе учествују искqучиво

тригонометријске функције и константе, то су тригонометријски

идентитети.

Ако је М (Hо , Uо) произвоqна тачка тригонометријског круга, њене

координате задовоqавају једначину H2+U2=1, тј.

Hо2+Uо

2 = 1.

Како је Hо=цос и Uо=син , где је = (ОА, ОМ), из горње

једнакости следи

цос2 + син2 = 1, за сваки угао .

Слика 19.

Напомена: Из ових формула даqе следе адиционе формуле које показују

како се тригонометријске функције збира и разлике углова приказују

16

преко основних тригонометријских функција. Од великог су значаја и

тригонометријске функције двоструког угла, половине угла и функције

трансформације збира и разлике тригонометријских функција у производ.

Ја их овом приликом не бих наводила због другачијег осврта на

тригонометрију.

“Најплодотворније задатке математици поставqа пракса”.

Д.А. Граве (1863 - 1939)

Литература:

1. Војводић Г., Петровић В., Деспотовић Р., Шешеqа Б. : “Математика за

ИИ разред средње школе”.

2. Стројк Ј. Дирк: “Кратак преглед историје математике”.

3. Стојаковић Мирко : “Тригонометрија”

17

Садржај:

Тригонометрија - историјски осврт............................................................1

Uгао..............................................................................................................2

Тригономертијске функције произвоqног угла, тригонометријски круг. 2

Израчунавање косинуса и синуса произвоqног угла, свођење на И

квадрант......................................................................................................4

Периодичност косинуса и синуса...............................................................5

Тангенс и котангенс произвоqног угла.....................................................6

Израчунавање тангенса и котангенса произвоqног угла,

свођење на И квадрант, периодичност......................................................9

Графици основних тригонометријских функција....................................10

Неки основни тригонометријски идентитети..........................................14

Литература................................................................................................15

18