Fizika za studente RGN fakulteta - dodatak

Zeljko Andreic

c© Sva autorska prava zadrzavaju autor i RGNF.Dozvoljeno je preuzimanje i ispis za vlastite potrebe.

Primjenjuje se Creative Commons autorskopravna licenca CC-BY-SA 4.0

Datum zadnje promjene:

svibanj 14, 2020

Kazalo

Kazalo ii

Popis slika iv

Predgovor 1

1 Geometrijska optika 31.1 Sabirna (pozitivna) leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Geometrijska konstrukcija slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Rasipna (negativna) leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Udubljeno (konkavno) zrcalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Ispupceno (konveksno) zrcalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Ravno zrcalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Rjesavanje sustava vise leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Debele lece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Opticki instrumenti 172.1 Ljudsko oko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Greske vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Kamera s rupicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Kamera (fotoaparat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Povecalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Dalekozor (teleskop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Dvogled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8 Granice geometrijske optike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.9 Opticke pogreske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.9.1 Kromatska pogreska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9.2 Sferna pogreska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9.3 Koma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9.4 Astigmatizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.9.5 Distorzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.9.6 Zakrivljenost vidnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Fizikalna Optika 373.1 Valna priroda svjetla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Opticka resetka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Interferencija na tankim listicima ili filmovima . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

ii KAZALO

3.4 Interferencija na zracnom klinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Model elektromagnetnog vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Literatura 47

Indeks 48

Popis slika

1.1 Sabirna leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Prolaz paralelnog snopa kroz sabirnu lecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Prolaz paralelnog snopa kroz sabirnu lecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Konstrukcija slike kod sabirne lece 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Konstrukcija slike kod sabirne lece 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Konstrukcija slike kod sabirne lece 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Zavrsena konstrukcija slike kod sabirne lece . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8 Sabirna leca kao povecalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 Prolaz paralelnog snopa kroz rasipnu lecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Konstrukcija slike kod rasipne lece 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11 Konstrukcija slike kod rasipne lece 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.12 Udubljeno zrcalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.13 Udubljeno zrcalo - konstrukcija slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.14 Ispupceno zrcalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.15 Ispupceno zrcalo - konstrukcija slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.16 Ravno zrcalo - konstrukcija slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.17 Sistem vise leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.18 Debela leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Presjek ljudskog oka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Kamera s rupicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Kamera s rupicom - primjer slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Kamera (fotoaparat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Povecanje povecala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Objektiv mikroskopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 Dalekozor (teleskop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9 Dvogled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.10 Oznake dvogleda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11 Ogib kod slike tockastog izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.12 Kromatska pogreska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.13 Kromatska pogreska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.14 Akromatska leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.15 Sferna pogreska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.16 Koma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.17 astigmatizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.18 Distorzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii

iv POPIS SLIKA

3.1 Prolaz svjetla kroz pukotinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Prolaz svjetla kroz dvije pukotine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Youngov pokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Slika na zaslonu kod opticke resetke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5 Disperzija opticke resetke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6 Preklapanje visih redova kod opticke resetke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7 Intenzivne boje tankog uljnog filma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.8 Interferencija svjetla reflektiranog na tankom filmu . . . . . . . . . . . . . . 443.9 Interferencija svjetla na zracnom klinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.10 Model elektromagneskog vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Predgovor

Ovaj tekst dodatak je skripti iz fizike za studente RGNF-a iz 2016. godine. Radi se o prvoj,neprociscenoj verziji, pa se ponegdje jos mogu pojaviti pogreske i nejasnoce.

Autor, Merenje, svibanj 14, 2020

1

2 POPIS SLIKA

Glava 1

Geometrijska optika

Geometrijska optika sluzi se aproksimacijom koja svijetlo prikazuje pravocrtnim zrakamakoje se sire od izvora u okolni prostor. Ova je aproksimacija analogna cesticnom modelu ukojem se svjetlo sastoji od sitnih cestica (fotona), koje se gibaju pravocrtno konstantnombrzinom, koju nazivamo brzina svjetla. Ona u vakuumu iznosi 299792,458 km/s i nosi oznakuc. c spada u osnovne prirodne konstante. U prakticnim racunima u kojima se ne zahtjevavrlo velika tocnost, c se vrlo cesto zaokruzuje na 300 000 km/s.

Ako svjetlo prolazi kroz neku tvar, utjecaj te tvari opisuje se pomocu tri konstante. Prvaje tzv. indeks loma, koji se pojavljuje kod Snellovog zakona loma, a definiran je kao omjerbrzine svjetla u vakuumu i brzine svjetla u doticnoj tvari:

n1 =c

v(1.1)

Ako omjer brzina v1/v2 u Snellovom zakonu loma zamjenimo indeksima loma n1 i n2,dolazimo do standardnog oblika Snellovog zakona za optiku:

n1 sinα = n2 sin β (1.2)

gdje su n1 i n2 indeksi loma prve, odnosno druge tvari. Tu jos treba napomenuti da se uoptici (kao i kod valova) kutovi zraka mjere prema okomici na granicu dviju tvari, dakle zaokomiti upad je kut α = 0.

Uz Snellov zakon loma, u slucaju da se svjetlo odbija od granice, koristimo zakon reflek-sije:

β = −α (1.3)

Primijetite da se zakon refleksije moze ukljuciti u Snellov zakon loma ako stavimo n2 =−n1. To se vrlo cesto koristi u racunalnim programima za geometrijsku optiku.

Druga konstanta koristi se u slucaju da tvar nije potpuno prozirna, tj. da tvar upija diosvjetla koji prolazi kroz nju. Ova konstanta naziva se koeficijent apsorpcije i definira se kaoomjer jakosti svjetla koju tvar upija po jedinicnom putu kroz tvar i jakosti svjetla koja ulaziu tvar. Za poluprozirnu tvar debljine d ovo dovodi do zakona apsorpcije:

I = I0e−αd (1.4)

gdje su I0 jakost (intenzitet) upadnog svjetla, I jakost svjetla nakon sto je kroz tvar prevaliloput duljine d i α koeficijent apsorpicje za tu tvar.

3

4 GLAVA 1: GEOMETRIJSKA OPTIKA

Treca konstanta opisuje koji dio svjetla se na granici dvije tvari odbija od te granice, daklene ulazi u drugu tvar. Ta se konstanta naziva koeficijent refleksije. Ona ovisi o indeksimaloma tvari ispred i iza granice te o upadnom kutu svjetla. Najcesce se mjeri u postocima.Na primjer, za okomiti upad svjetla iz zraka na staklenu plohu koeficijent refleksije je oko4%. Napomenimo jos da se kod modernih optickih sustava reflektirani dio svjetla upotrebomtzv. antirefleksnih slojeva, koji se posebnim postupcima nanose na plohe leca, smanjuje nazanemarivu razinu. Na isti se nacin koeficijent refleksije modernih zrcala podize vrlo blizuidealnom (=1!), pa takva zrcala reflektiraju gotovo sve svjetlo koje na njih dolazi.

Kad je teziste optickog proracuna na formiranju slike nekog predmeta, apsorpcija i re-fleksija svjetla se zanemaruju, jer ne utjecu na samu sliku, osim sto smanjuju jakost svjetlakoje ju tvori (tj. slika postaje tamnija nego sto bi to bila u slucaju da nema refleksije iapsorpcije svjetla u optickom sustavu).

Naziv geometrijska optika dolazi od toga sto se u ovom modelu opticki problemi rjesavajugeometrijskim metodama, bilo da se zaista radi o crtanju geometrijskih konstrukcija ilimatematickim izracunima koji pocivaju na geometrijskim nacelima.

1.1 Sabirna (pozitivna) leca

n1 n1n2

R2R1

optička

os d

Slika 1.1: Sabirna leca je komad prozirne tvari ogranicen s dvije sferne plohe. Polumjerizakrivljenosti ploha su R1 i R2, a sredisnja debljina lece (d) je razmak tjemena te dvijeplohe.

Sabirna leca osnovni je opticki element. Napravljena je od komada prozirne tvari ogranice-nog sfernim plohama s polumjerima zakrivljenosti R1 i R2 (slika 1.1). Centralna ili sredisnjadebljina lece (d) jednaka je razmaku tjemena te dvije sferne plohe. Indeks loma materijala,n2, od kojeg je leca izradena je najcesce veci od indeksa loma okolne tvari n1. Pri tome jeokolna tvar u najvecem broju slucajeva zrak. Sabirna leca cesto se puta naziva i pozitivnaili konvergentna leca.

Geometrijski pravac koji spaja oba tjemena sfernih ploha naziva se opticka os lece. Lecaje pri tome uglavnom izradena tako da je okruglog oblika pri cemu se tjemena nalaze u

1.1: SABIRNA (POZITIVNA) LECA 5

njenoj sredini. Takva leca posjeduje tzv. rotacijsku simetriju oko opticke osi. Izuzetak sunpr. naocalne lece, koje se oblikuju prema otvoru okvira naocala i to tako da im opticka osu produzetku prolazi kroz srediste zjenice oka osobe koja nosi naocale.

F

f

Slika 1.2: Ako na sabirnu lecu upada paralelni snop svjetla, nakon prolaska kroz lecu svezrake svjetla proci ce kroz jednu tocku na optickoj osi. Ta tocka naziva se zariste lece.

Ovakva leca naziva se sabirna zato sto paralelni snop svjetla koji s jedne strane dolazina nju na drugoj se strani lomi prema optickoj osi tako da svjetlo prolazi kroz jednu tockuna njoj (slika 1.2). Ta tocka se naziva zariste ili fokus, F. Sabirna leca ponekad se naziva ipozitivna leca. Udaljenost zarista od lece naziva se zarisna daljina lece, f .

F

f

Slika 1.3: Ako okrenemo smjer upada paralelnog snopa svjetla na sabirnu lecu, ono ce procikroz zariste s druge strane lece.

Posalje li se snop svjetla s druge strane (slika1.3), sve ce zrake proci kroz zarisnu tockuna suprotnoj strani, uz istu zarisnu daljinu (uz uvjet da je s obje strane lece ista tvar!).

6 GLAVA 1: GEOMETRIJSKA OPTIKA

Ovakva leca naziva se debela leca. No, radi pojednostavljenja skiciranja i racunanjaponasanja leca koristi se tzv. gaussova aproksimacija. Kod te se aproksimacije pretpostavljada su lece vrlo male, tj. da sve zrake svjetla putuju vrlo blizu optickoj osi. To dovodi dotoga da su svi upadni kutovi, te kutovi loma toliko mali da se njihovi sinusi i tangensi moguaproksimirati samim kutovima, sto znatno pojednostavljuje racunske postupke. Uz to sezanemaruje sredisnja debljina leca. Takve, zamisljene lece nazivaju se tanke lece.

1.2 Geometrijska konstrukcija slike

Ako malo detaljnije pogledamo kako svjetlo prolazi kroz sabirnu lecu (slika 1.2), mozemodoci do sljedecih zakljucaka:

1. zraka svjetla koja putuje paralelno optickoj osi nakon prolaska kroz lecu prolazi krozzariste.

2. zraka svjetla koja pada na tjeme lece prolazi kroz nju bez promjene smjera. Ovo mozemozakljuciti iz cinjenice da se obje plohe koje tvore lecu u neposrednoj blizini tjemena (za objeplohe) mogu aproksimirati ravnim plohama koje su okomite na opticku os. Svjetlo nakonprolaska kroz ravnu plocu (u optici se ona naziva plan-paralelna ploca jer je ogranicenadvijema paralelnim ravnim plohama) izlazi iz nje u istom smjeru u kojem je i uslo. Uaproksimaciji tanke lece ne postaji ni lateralni pomak zrake, koji postoji kod realnih plan-paralelnih ploca.

3. ako okrenemo smjer u kojem svjetlo putuje (za zraku 1), vidjet cemo da zraka koja prolazikroz zariste, nakon prolaska kroz lecu, izlazi paralelno optickoj osi.

Ova tri pravila zajedno se nazivaju pravilo tri zrake i koriste se kod geometrijskog(grafickog) rjesavanja optickih problema. Ilustrirajmo to na primjeru konstrukcije polozajai velicine slike nekog predmeta koju formira sabirna leca. Neka je pri tome udaljenost pred-meta od lece a, udaljenost slike od lece b i zarisna daljina lece f .

F1F

2

a

f f

Slika 1.4: Pocetak graficke konstrukcije slike predmeta koju tvori sabirna leca.

Graficku konstrukciju pocinjemo odredivanjem mjerila crteza. Pri tome horizontalnomjerilo biramo tako da cijela skica stane na raspolozivi prostor, a vertikalno tako da jevisina predmeta prikladna (npr. 1 do 2 cm). Sam crtez (slika 1.4) zapocinjemo crtanjemopticke osi. Na samom lijevom kraju osi nacrtamo predmet, za koji je standardni simbolstrelica ciji vrh oznacava vrh predmeta. Pri tome predmet svojim dnom dira opticku os (tj.

1.2: GEOMETRIJSKA KONSTRUKCIJA SLIKE 7

lezi na njoj). Zatim (uz postivanje mjerila) na udaljenosti a od predmeta nacrtamo lecu.Standardni simbol lece je u ovom slucaju vertikalna duzina sa strelicama na krajevima.Ovako postavljene strelice oznacavaju da se radi o sabirnoj leci. Na kraju na odgovarajucimudaljenostima (zarisna daljina u mjerilu) ispred i iza lece oznacimo njena zarista.

U iducem koraku odabiremo jednu tocku predmeta i iz nje saljemo zrake svjetla premaleci. Da bi dobili velicinu slike predmeta, za tu tocku uzimamo vrh predmeta, a odaslanezrake biramo po pravilu tri zrake. Recimo da smo zapoceli sa zrakom koja je paralelnaoptickoj osi. Nacrtamo je do same lece, gdje ju lomimo tako da ona iza lece prolazi krozzariste (slika 1.5).

F1

F2

1

a

Slika 1.5: Crtanje puta prve zrake.

Nakon toga ucrtamo sljedecu zraku, npr. onu koja prolazi kroz tjeme lece bez mijenjanjasmjera. Sad vec mozemo odrediti polozaj slike te tocke, odn. vrha predmeta. Ona se nalaziu presjecistu te dvije zrake (slika 1.6).

F1

F2

1

a

2

b

Slika 1.6: Crtanje puta druge zrake.

Istovremeno znamo da se slika dna predmeta mora nalaziti na optickoj osi iz jednostavnograzloga sto se i dno predmena nalazi na njoj. Drugim rijecima, ako iz dna predmeta posaljemozraku koja putuje po optickoj osi, ona ce po pravilu druge zrake nastaviti kroz lecu bezpromjene smjera, slijedit ce dakle i dalje opticku os. Kako dno slike predmeta mora biti natoj zraci, ocigledno ce ono biti na optickoj osi. Da odredimo gdje, jednostavno iz slike vrhapredmeta spustimo okomicu na opticku os.

Vec smo sada graficki odedili dvije vazne velicine: udaljenost slike od lece, b, i velicinuslike predmeta. Uobicajeno je da se velicina predmeta oznacava simbolom y a velicina slikesimbolom y′.

Na kraju ucrtamo i trecu zraku, onu koja prolazi kroz zariste ispred lece, pa izlazi par-alelno sa optickom osi. Ako je skica pravilno nacrtana, ona mora proci kroz sjeciste prvedvije zrake, odn. kroz vrh slike predmeta. Potpuno zavrsena skica prikazana je na slici 1.7:

8 GLAVA 1: GEOMETRIJSKA OPTIKA

F1F2

1

a

2

b

3

y

y'

V

V'

O

O'

T

L

Slika 1.7: Zavrsena konstrukcija slike kod sabirne lece. Uz ucrtane sve tri zrake, dodane suoznake za vrh (V) i dno (O) predmeta i odgovarajuce oznake za vrh (V’) i dno (O’) slike.Dodatno je oznaceno tjeme lece, T i sjeciste druge zrake s lecom, L.

Posvetimo sad jos malo paznje dobivenom crtezu. Trokuti OVT i O’V’T su slicni trokuti,pa mozemo postaviti omjer:

y

a= −y

′

b(1.5)

odakle preslagivanjem nalazimo:

m = −y′

y= − b

a(1.6)

Velicina m naziva se povecanje (optickog sustava) a predznak ”-” uveden je zato sto jeslika obrnuta (duzina O’V’ pokazuje u smjer -y osi). Primijetite da povecanje moze biti, inajcesce je, manje od 1.

Nadalje, ako izvedemo pokus sa stvarnom lecom, primijetiti cemo da sliku premetamozemo vidjeti na zaslonu koji stavimo u tocku O’ okomito na opticku os. Ako umjestozaslona upotrijebimo neki od detektora koji mogu trajno zabiljeziti sliku, dobili smo kameru(fotoaparat). Zbog ove cinjenice kaze se da je slika realna. Opcenito negativni predznakukazuje na to da je dobivena slika realna. Kanije cemo se susresti i sa slikama koje su priv-idne (virtualne) jer se ne mogu uhvatiti na zaslon vec postoje samo u oku opazaca ili nekomdrugom instrumentu kojim tu sliku biljezimo.

Iz crteza na slici 1.7 nadalje vidimo da su trokuti OVF2 i LTF2 slicni, pa mozemo postavitiomjer:

y

a− f= −y

′

f(1.7)

gdje smo negativni predznak na lijevoj strani kao i prije uveli zbog toga sto je y′ negativnavelicina. Preslagivanjem nalazimo:

f

a− f= −y

′

y(1.8)

Nakon uvrstavanja formule 1.6 i sredivanja izlazi:

af = ab− bf (1.9)

1.2: GEOMETRIJSKA KONSTRUKCIJA SLIKE 9

i konacno, nakon dijeljenja izrazom abf i zadnjeg preslagivanja dolazimo do tzv. jed-nadzbe lece:

1

a+

1

b=

1

f(1.10)

Jednadzba lece omogucava nam da relativno jednastavnim racunom odredimo polozaji (uz pomoc jednadzbe 1.6) velicinu slike koju tvori sabirna leca. Osvrnimo se jos malona konstrukciju slike sabirne lece (slika 1.7). Onako kako je skica konstruirana, sve bitnevelicine (a, b i f) su pozitivne. Dodatno, ako predmet stoji tako da slika (tj. b) pada ispredlece (na lijevu stranu skice), b postaje negativan. Nadalje, ako je predmet iza lece, daklena desnoj strani skice (o tome kako je to moguce nesto kasnije) a postaje negativan. Ovapravila nazivaju se konvencija o predznacima i ako je se pridrzavamo, jednadzbe lece ipovecanja ce uvijek dati rezultate s ispravnim predznacima.

Ovi zakljucci tocni su u gaussovoj aproksimaciji (tanke lece, zrake pod malim kutovimai uz samu opticku os) u kojoj se mogu i racunski dokazati. Kod debelih leca dolazi doodredenih odstupanja. Medutim, uz malu promjenu nacina na koji se mjere zarisne daljinei udaljenosti predmeta i njihovih slika od debelih leca, dobro konstruirani opticki sustavi posvojim se svojstvima priblizavaju idealnom slucaju tankih leca. Zato su, uz gore spomenutepromjene definicija optickih velicina, i za njih racuni izvedeni u gaussovoj aproksimacijidovoljno tocni.

Zavrsimo analizu ponasanja sabirne lece slucajem u kojem je predmet izmedu zarista ilece (slika1.8).

b

F2

a

2

3

Slika 1.8: Konstrukcija slike kod sabirne lece u slucaju kad je predmet izmedu zarista ilece. U tom slucaju slika se nalazi na istoj strani lece, ne moze se uhvatiti na zaslon, vec semora opazati kroz lecu, i veca je od predmeta. Sabirnu lecu u ovoj konfiguraciji nazivamopovecalo. Oko kojim gledamo kroz povecalo naznaceno je na desnoj strani skice standardnimsimbolom koji se u optici koristi.

Kad pocnemo crtati skicu u ovom slucaju, primijetiti cemo da se niti jedna od tri zrakekoje koristimo za crtanje ne sijeku s drugim zrakama. To znaci da na desnoj strani ne postojislika predmeta. U takvom slucaju zrake produzujemo unatrag (crtkani dio zraka na skici)na lijevu stranu, dok ne nademo njihovo sjeciste. I opet se produzetci sve tri zrake morajusijeci u istoj tocci. Na nasoj skici radi preglednosti koristene su samo zrake 2 i 3. Ovimpostupkom nasli smo sliku, koja je u ovom slucaju uspravna i veca od predmeta. Kako jeb na lijevoj strani, on je negativan i povecanje m ce biti pozitivno. Takva slika naziva sevirtualna slika, i to zato sto ona postoji samo u oku (ili nekom drugom instrumentu kojim ju

10 GLAVA 1: GEOMETRIJSKA OPTIKA

opazamo) a ne i u stvarnosti. Ako stavimo zaslon na njeno mjesto, ne njemu necemo vidjetibas nista!

Ali, ako gledamo s desne strane kroz lecu prema predmetu, vidjet cemo povecanu slikupredmeta (sam predmet na njegovom stvarnom mjestu ne!), pa se sabirna leca u ovomnacinu koristenja naziva povecalo. Ako malo proanaliziramo sto se u tom slucaju desava(bilo izradom nekoliko skica, ili upotrebom jednadzbe lece), ustanovit cemo da b raste kad sepredmet priblizava zaristu (a se priblizava zarisnoj daljini lece). To znaci da povecanje raste.Kad se predmet nade tocno u zaristu, b postaje beskonacan, i slika predmeta je projicirana ubeskonacnost. Povecanje slike kad ju gledamo kroz povecalo ne mozemo odrediti iz omjera bi a i to zato sto je slika virtualna, i sto ju gledamo dodatnim optickim sustavom, a to je naseoko. O nacinu na koji se odreduje povecanje u ovakvim slucajevima, bit ce rijeci kasnije.

1.3 Rasipna (negativna) leca

F

Slika 1.9: Nakon prolaska kroz lecu snop se siri kao da izlazi iz zarista koje se nalazi is-pred lece. Ako okrenemo smjer upada paralelnog snopa, naci cemo i drugu zarisnu tockusimetricno postavljenu s druge strane lece.

I rasipna leca (slika 1.9) ogranicena je dvijema sfernim plohama, ali su one postavljenetako da je leca u sredini tanja nego na rubovima, dakle suprotno nego kod sabirne lece.Zbog cinjenice da se zariste rasipne lece nalazi ispred nje, uzima se da je njena zarisna daljinanegativna, pa se rasipna leca naziva i negativna leca.

Konstrukciju slike pocinjemo na isti nacin kao i kod sabirne lece, uzimajuci u obzir goreopisano ponasanje rasipne lece. Pravilo tri zrake sad postaje:

1. zraka svjetla koja putuje paralelno optickoj osi nakon prolaska kroz lecu, izlazi otklonjenaod opticke osi kao da je izasla iz zarista ispred lece.

2. zraka svjetla koja pada na tjeme lece kao i kod sabirne lece prolazi kroz rasipnu lecu bezpromjene smjera.

1.4: UDUBLJENO (KONKAVNO) ZRCALO 11

F2F

1

a

f f

1

Slika 1.10: Pocetak graficke konstrukcije slike predmeta koju tvori rasipna leca.

3. ako okrenemo smjer u kojem svjetlo putuje (za zraku 1), vidjet cemo da zraka koja jeusmjerena prema zaristu iza rasipne lece, nakon prolaska kroz lecu izlazi paralelno optickojosi.

Na slici 1.10 prikazan je poctak konstrukcije slike za rasipnu lecu, a ucrtanom prvomzrakom, a na slici 1.11 je zavrsena konstrukcija slike. Primijetite da su strelice kod simbolalece za rasapnu lecu okrenute tako da pokazuju prema optickoj osi. To simbolizira cinjenicuda je rasipna leca u sredini tanja nego na svom rubu.

F2F

1

a

f f

1

2

3

b

Slika 1.11: Zavrsena graficka konstrukcija slike predmeta koju tvori rasipna leca.

Iz zavrsene konstrukcije vidimo de se slika nalazi ispred lece, ona je dakle virtualna. Uzto je i manja od samog predmeta i stoji uspravno, pa je povecanje pozitivno i manje od 1.To je skladu s onime sto smo za virtualnu sliku vec ustanovili kod sabirne lece.

1.4 Udubljeno (konkavno) zrcalo

U modernoj optici zrcala se koriste podjednako cesto kao i lece, posebno kod optickih ssustavavelikih dimenzija. Geometrija udubljenog zrcala prikazana je na slici 1.12. Za razliku odleca kroz koje svjetlo nakon loma na njihovim plohama prolazi na drugu stranu, kod zrcalase svjetlo odbija, tj. vraca se natrag na stranu sa koje je doslo. Nadalje, zrake se nazrcalima odbijaju u skladu sa zakonom refleksije, tj. kut odbijanja jednak je kutu upadagledano prema okomici na plohu zrcala u tocki upada svjetla na zrcalo. Kako se svjetloodbija na drugu stranu okomice, kut odbijanja ima u zakonu loma ima negativni predznak.Ploha zrcala je, kao i kod leca, najcesce dio kugline plohe, iako se kod zrcala cesto koristei drugi oblici ploha, sto cemo u ovoj jednostavnoj analizi zanemariti. To znaci da je zrcalo

12 GLAVA 1: GEOMETRIJSKA OPTIKA

C

R

α

-α

F

f

Slika 1.12: Geometrija udubljenog zrcala i refleksija paralelne zrake na njemu. Srafura izaplohe zrcala dodatno ukazuje na to da se radi o zrcalu a ne o lei.

definirano sredistem zakrivljenosti, C, i polumjerom zakrivjenosti svoje plohe, R. Okomicau tocki upada zrake svjetla na zrcalo je polumjer zrcala koji tocku upada spaja sa sredistemzakrivljenosti (geometrija kruznice odnosno kugline plohe). Udubljeno zrcalo cesto se nazivai konkavno zrcalo.

Udubljeno zrcalo analogno je sabirnoj leci. Zbog toga sto se svjetlo od zrcala odbijanatrag, i predmet i slika su na istoj strani zrcala (najcesce!), a pravilo tri zrake samo se malomodificira:

1. zraka svjetla koja putuje paralelno optickoj osi odbija se kroz zariste.

2. zraka svjetla koja pada na tjeme zrcala odbija se pod istim kutom na drugu stranu optickeosi.

3. zraka koja prolazi kroz zariste, odbija se paralelno optickoj osi.

Slicno, konvencija o predznacima se malo mijenja. Kako zrcala ne propustaju svjetlo negoga vracaju u prostor ispred sebe, za zrcala su a i b pozitivni kad su na lijevoj a negativnikad su na desnoj strani zrcala. Kao i kod sabirne lece, zarisna daljina udubljenog zrcala jepozitivna. Uz ovakvu konvenciju, jednadzba lece u istom obliku vrijedi i za zrcala. Dovrsenakonstrukcija slike za udubljeno zrcalo prikazana je na slici 1.13. Slika je u ovom primjeru,kao i kod sabirne lece, realna i obrnuta.

a

b

F

1

23

f

Slika 1.13: Konstrukcija slike za udubljeno zrcalo. Simbol zrcala je, kao i kod lece, ravnavertikalna linija, a da se radi o zrcalu govori srafura iza nje. Da je rijec o udubljenom zrcaluznamo po tome sto mu je zariste ispred zrcala (na lijevoj strani).

1.5: ISPUPCENO (KONVEKSNO) ZRCALO 13

1.5 Ispupceno (konveksno) zrcalo

C

α

-α

RF

f

Slika 1.14: Geometrija ispupcenog zrcala i refleksija paralelne zrake na njemu. Srafura izaplohe zrcala dodatno ukazuje na to da se radi o zrcalu a ne o leci.

Ispupceno ili konveksno zrcalo ima centar zakrivljenosti i zarisnu tocku iza samog zrcala ianalogno je rasipnoj leci. Konvencija o predznacima ista je kao i za udubljeno zrcalo, s timeda je zarisna daljina ispupcenog zrcala negativna. Konstrukcija slike za ispupceno zrcaloprikazana je na slici 1.15. Slika je uspravna i umanjena i nalazi se iza zrcala, radi se dakle ovirtualnoj slici.

a b

F

f

Slika 1.15: Konstrukcija slike kod ispupcenog zrcala. Da se u ovom slucaju radi o ispupcenomzrcalu znamo po tome sto mu se zarisna tocka nalazi iza zrcala.

1.6 Ravno zrcalo

Ravno zrcalo cesto se koristi za promjenu smjera u kojem svjetlo putuje. Konstrukcija slikevrlo je jednostavna i bazira se na zakonu refleksije. Tako zraka koja putuje paralelno optickojosi biva odbijena natrag u suprotnom smjeru a zraka koja upada na tjeme zrcala je odbijenapod istim kutom na drugu stranu. Do istih ovih pravila mozemo doci i primjenom pravilatri zrake, ako se sjetimo da je ravna ploha zapravo kuglina ploha beskonacnog polumjerazakrivljenosti. To znaci da ce zarisna daljina biti beskonacna (svejedno je krecemo li odispupcenog ili udubljenog zrcala) i zarisna tocka ce takoder biti u beskonacnosti. Ociglednoonda prva zraka putuje paralelno optickoj osi, upada okomito na zrcalo i biva vracena usuprotni smjer. Druga zraka kao i uvijek odbija se od tjemena pod istim kutom na suprotnustranu opticke osi, a treca zraka postaje identicna prvoj. Konstrukcija slike ravnog zrcalaprikazana je na slici 1.16. Slika je uspravna, isti velicine kao i predmet, i nalazi se na istoj

14 GLAVA 1: GEOMETRIJSKA OPTIKA

α

-α

a b

Slika 1.16: Konstrukcija slike kod ravnog zrcala. Da se u ovom slucaju radi o ravnom zrcaluznamo po tome sto ono nema zarisnu tocku.

udaljenosti iza zrcala, na kojoj je predmet ispred njega. Isti odgovor nalazimo i iz jednadzbelece ako uvrstimo f =∞.

1.7 Rjesavanje sustava vise leca

a1b1

1

F1 F1

2

F2

F2

y y1

d12

a2

a2=d12-b1

y2

b2m=-y2/y

Slika 1.17: Konstrukcija slike za sistem od dvije sabirne lece.

Uz upotrebu pravila tri zrake moguce je rijesiti i probleme koji ukljucuju opticke sustaveslozene od vise leca i zrcala. Princip je vrlo jednostavan: Prvo se nade sika predmeta kojuformira prvi opticki element (leca ili zrcalo). Nakon toga iz geometrije sustava se odrediudaljenost te slike od drugog optickog elementa. Ova slika postaje predmet za drugi optickielement pa se slika koju tvori taj element opet odredi upotrebom pravila tri zrake. Pri tomeuopce nije bitno postoje li te tri zrake u stvarnosti ili ne. Ovaj postupak ponavlja se svedok ne nademo sliku koju tvori zadnji opticki element. Ta, konacna, slika rjesenje je kojetrazimo.

Analogno postupamo i racunski, uz upotrebu jednadzbe lece. Na kraju dobijamo polozaji velicinu zadnje slike, a povecanje mozemo odrediti direktno kao omjer velicine konacne slikei velicine predmeta.

1.8 Debele lece

U stvarnosti lece naravno imaju svoje dimenzije, ukljucujuci i sredisnju debljinu koja zboggeometrije i svojstava materijala od kojeg je leca izrazena nikad nije manja od neke minimalne

1.8: DEBELE LECE 15

f

F1F2

f

BFL

prednja zadnja

1

1

2

2

3

3

Slika 1.18: Presjek jedne stvarne debele lece. U ovom slucaju radi se o fotografskom objektivusastavljenom od tri lece.

debljine. Zato se stvarne lece nazivaju i debele lece, a isto ime koristi se i za sustave slozeneod vise leca ili zrcala. Primjer jedne takve debele lece prikazan je na slici 1.18.

Debele lece posjeduju dvije zamisljene ravnine koje su okomite na opticku os. One senazivaju principalne ravnine (prednja te straznja). One imaju izuzetno korisno svojsto da jeudaljenost prednje zarisne tocke (F2) od prednje principalne ravnine jednako zarisnoj daljinidebele lece. Udaljenost predmeta od lece takoder se mjeri od te ravnine. Slicno, udaljenoststraznje (F1) zarisne tocke od zadnje principalne ravnine jednako je zarisnoj daljini debelelece. Nadalje, udaljenost slike mjeri se od zadnje principalne ravnine. Drugim rijecima,u geometrijskoj konstrukciji slike debelu lecu mozemo zamijeniti principalnim ravninama.Nakon toga konstrukciju crtamo tako da tocke upada predmetnih zraka na prvu principalnuravninu prenesimo paralelno optickoj osi na drugu principalnu ravninu. Na kraju od prene-senih tocaka po pravilu tri zrake nastavljamo crtez. Dobiti cemo ispravno rjesenje problema.Isto vrijedi za upotrebu jednadzbe lece.

Spomenimo samo jos tzv. zadnju zarisnu daljinu, engl. back focal length ili skracenoBFL. Ona je jednaka udaljenosti prve zarisne tocke od tjemena zadnje lece u sustemu. Radise o mehanickoj mjeri koja je bitna ako se taj sustav leca montira na neki detektor. Izazadnje lece mora naravno biti dovoljno mjesta da se to moze napraviti. Te su udaljenosti zaodredene tipove kamera i leca standardizirane. Tako npr. nadzorne kamere obicno posjedujustandardni navoj za objektive koji se naziva ”c-mount”. Samo objektivi s odgovarajucimnavojem mogu se koristiti na takvoj kameri.

16 GLAVA 1: GEOMETRIJSKA OPTIKA

Glava 2

Opticki instrumenti

2.1 Ljudsko oko

S

Ž

G

H

B

E

D

C

F

A

Slika 2.1: Presjek ljudskog oka. A: staklovina, B: leca, C: roznica, D: zjenica, E: sarenica,F: Bjeloocnica, G: ocni zivac, H: mreznica, S: slijepa pjega, Z: zuta pjega (izvor slike:wikipedija).

Ljudsko oko je vrlo slozen organ. Priblizno je kuglastog oblika (slika 2.1). Svjetlo u okoulazi kroz roznicu koja stiti unutrasnjost oka od vanjskih utjecaja a ujedno sluzi kao prvaploha optickog sustava cija zadaca je tvorba ostre slike okoline na mreznici. Svjetlo nadaljeprolazi kroz kruzni otvor koji nazivamo zjenica (unutrasnji rub sarenice). Zjenica se vrlobrzo moze prosiriti ili stisnuti, cime se oko prilagodava naglim promjenama svjetline okoline.Pri tome se promjer zjenice mijenja otprilike od 2 do 8 mm kod zdravih odraslih osoba.U starosti se maksimalni promjer zjenice polagano smanjuje pa stare osobe cesto ne moguzjenicu otvoriti vise od 5 mm.

Iza zjenice se nalazi leca ciji oblik se mijenja pod utjecajem misica na njenom rubu.Time se omogucava izostravanje slike predmeta (akomodacija) koji se nalaze na razlicitimudaljenostima od opazaca. Zdrave osobe mogu ostro vidjeti predmete na udaljenosti od oko25 cm pa do beskonacnosti, a u starosti sposobnost akomodacije moze znatno opasti, patakve osobe moraju nositi naocale ili kontakte lece.

Nakon zjenice svjetlo prolazi kroz unutrasnjost oka, ispunjenu prozirnom zelatinastomtvari, tzv. staklovinom, sve do mreznice. Stanice mreznice osjetljive su na svjetlo i pretvaraju

17

18 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

ga u zivcane impulse koji ocnim zivcem odlaze u mozak gdje zapravo nastaje slika okolinekoju osoba vidi. U ljudskom oku postoje dvije razlicite vrste osjetnih stanica: stapici icunjici. Stapici su osjetljivi na slabo svjetlo, ali ne omogucavaju razlikovanje boja (tzv.nocni vid). Ako je svjetlo dovoljno jako, ukljucuju se cunjici kojih postoje tri razlicitevrste, s razlicitom osjetljivoscu na pojedine boje svjetla, sto omogucava razlikovanje boja(tzv. dnevni vid). Kod dnevnog vida stapici postaju neosjetljivi i ne koriste se. Osjetnestanice nisu jednako rasporedene po mreznici. Cunjica je najvise u sredini vidnog polja,u tzv. zutoj pjegi, a njihova koncentracija opada prema rubovima vidnog polja. Stapica uzutoj pjegi uopce nema, a broj im raste prema rubu vidnog polja. Zato nocu cesto putakoristimo rubni dio vidnog polja za opazanje objekata male svjetline. Nazalost, razlucivanjeu rubnim dijelovima vidnog polja opada pa je ovom tehnikom uglavnom moguce opaziti samorazlike u svjetlini. Na mjestu na kojem ocni zivac ulazi u oko nema osjetnih stanica, pa seto mjesto naziva slijepa pjega. Nju u svakodnevnom zivotu ne primijecujemo jer mozaksliku nadopunjava podacima iz drugog oka. Dva oka, osim za poboljsanje slike, sluze zasteroskopski vid. Naime, na osnovu malih razlika u slici zbog razlicitog polozaja ociju uprostoru, mozak odreduje udaljenost do objekata koje gledamo.

Kad se svjetlina okoline povecava, oku je potrebno nekoliko trenutaka da se na tu prom-jenu prilagodi. Ukupni raspon osjetljivosti oka je jako velik i iznosi vise od 9 redova velicina.Nagle promjene kompenzira zjenica (do faktora od oko 15 puta), ali vecina promjene os-jetljivosti oka odvija se u mreznici. Ako se pak svjetlina okoline smanjuje, oku je potrebnovise vremena da se prilagodi slabijim uvjetima rasvjete. Nakon prelaska na nocni vid,povecavanje osjetljivosti stapica traje i do dva sata, pri cemu se najveca promjena desava uprvih petnaestak minuta. To znaci da kod izlaska iz osvjetljene prostorije u tamu moramopricekati da se oko prilagodi tami, inace ce biti nemoguce ili nesigurno ista vidjeti. Tu sepreporuca upravo prije spomenuti period od oko 15 minuta, pri cemu u osvjeljenom pros-toru treba izbjegavati izvore svjetla s mnogo plavog svjetla. Stapici nisu osjetljivi na tamnocrveno svjetlo, pa se zato priguseno tamno crveno svjetlo standardno koristi kod nocnihopazanja, npr. za gledanje karata neba ili za pomoc pri pisanju biljeski. Pri tome trebapaziti da je crveno svjetlo zaista slabog intenziteta i da je spektralno cisto (tj. da u njemunema primjesa svjetla kracih valnih duljina, a posebno zelenoga ili plavoga svjetla).

2.1.1 Greske vida

Nase oci nisu savrsene i ponekad ne mogu dati sliku zadovoljavajuce ostrine. Najcesci ne-dostatak je nemogucnost izostravanja koja se javlja kao kratkovidnost, kad osoba dobro vidibliske predmete a udaljeni predmeti ostaju mutni, te dalekovidnost u obrnutoj situaciji kadosoba dobro vidi na daljinu ali ne moze izostriti bliske predmete. Obje ove greske danasse ispravljaju naocalama ili kontaktnim lecama. Pri tome se ispred oka stavlja leca kojataman ispravlja nedostatak oka. Za kratkovidnost se koriste rasipne, a za dalekovidnostsabirne lece. Ponekad je oko deformirano tako da se javlja astigmatizam, koji se ispravljacilindricnim lecama (lece kod kojih su plohe cilindricne a ne sferne). Danas se u tu svrhuuglavnom koriste toroidalne plohe koje omogucavaju bolje ispravljane nedostataka slike.

U ocnoj optici lece se ne specificiraju zarisnom daljinom vec njenom reciprocnom vri-jednoscu, koja se naziva jakost lece. Ona je definirana kao:

D =1

f(2.1)

2.2: KAMERA S RUPICOM 19

gdje je D jakost lece, a f njena zarisna daljina u metrima. Jedinica za jakost lece nazivase dioptrija.

2.2 Kamera s rupicom

Slika 2.2: Kamera s rupicom vrlo je jednostavne konstrukcije. Na prednjoj strani kutijekoja je nepropusna za svjetlo nalazi se malena rupica kroz koju svjetlo ulazi u kameru. Nasuprotnoj stijenci postavi se bijeli zaslon (ili neki detektor) na kojemu se opaza obrnuta slikaprostora ispred kamere.

Kamera s rupicom ili camera obscura (lat. tamna soba) nastala je najvjerojatnije u dobarenesanse kad se u slikarstvu koristila kao pomoc pri skiciranju portreta. U to doba zaista seradilo o prostoriji na cijoj prednjoj strani je u zidu izradena malena rupica. Svjetlo koje ulazikroz rupicu na drugoj strani tvori obrnutu sliku predmeta ispred rupice. Ostrina te slikeodredena je velicinom rupice jer je za daleke predmete svjetlosna mrlja koja odgovara jednojtocki predmeta otprike iste velicine kao i sama rupica, sto se lako provjeri geometrijskomkonstrukcijom. Glavni nedostatak ovakve kamere je vrlo mala kolicina svjetla koje prolazikroz rupicu pa je slika vrlo tamna. S druge strane, slika je geometrijski vjerna originalu.nadalje, ako se rupica previse smanji, dolazi do primjetnog ogiba svjetla na njoj (vidi podfizikalna optika!) pa mrlja svjetla postaje sve veca, umjesto da se smanjuje kako to predvidageometrijska optika.

Isto tako, slika je podjednako ostra za sve udaljenosti predmeta (osim ako su one tolikomale da su usporedive sa velicinom same kamere s rupicom), sto znatno olaksava njenokoristenje.

Danas se kamera s rupicom koristi u umjetnosti, fotografiji i u znanosti kad zelimo do-biti sliku elektromagnetskim zracenjem za koje ne mozemo napraviti lece ili zrcala, npr.x-zrakama (slika 2.3).

20 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

Slika 2.3: Primjer slike dobivene modernom kamerom s rupicom. Radi se o interakciji dvabrzosireca oblaka vruce plazme, snimljena u ekstremnom ultraljubicastom podrucju (otprilike3 - 30 nm valne duzine). Skala u dnu svake slicice ima podjelu po 0,5 mm, vrijeme navedenoispod njih je vrijeme proteklo nakon sto je plazma stvorena jakim laserskim impulsom, asvaka je slicica osvjetljavana 5 ns.

2.3: KAMERA (FOTOAPARAT) 21

2.3 Kamera (fotoaparat)

a b

f

Slika 2.4: Kod kamere na mjesto rupice je stavljena leca koja u kameru propusta znatno visesvjetla. Medutim, sad je potrebno zadovoljiti jednadzbu lece da bi se na zaslonu dobila ostraslika predmeta.

Malu kolicinu svjetla koje ulazi u kameru s rupicom moguce je znatno povecati ako seumjesto rupice na kutiju stavi sabirna leca. Ona moze biti znatno veca od rupice, pa je idobivena slika znatno svjetlija. Tako smo dobili kameru (fotoaparat). Umetnuta leca pritome se naziva objektiv, jer stvara sliku predmeta (objekta) na zaslonu kamere. Kod prvihkamera objektiv je zaista bila jednostavna leca, no vrlo brzo su uoceni njeni nedostaci (optickepogreske) pa je ona zamijenjena slozenijom kombinacijom vise leca. Moderni fotografskiobjektivi mogu u sebi sadrzavati i vise od desetak leca.

Stavljanjem objektiva kvaliteta slike (ostrina i svjetlina) znatno se popraviljaju. Medutim,dok je kamera s rupicom neosjetljiva na udaljenost predmeta, za objektiv moramo zadovoljitijednadzbu lece. To znaci da ce, strogo gledano, slika biti tocno na zaslonu za tocno odredenuudaljenost predmeta od kamere. Naravno, vrlo brzo je tome doskoceno tako da je objektivdobio mogucnost pomicanja po optickoj osi. Time se moze mijenjati udaljenost od objektivado zaslona tako da za odredenu udaljenost predmeta zaslon bude tocno na potrebnoj udal-jenosti od objektiva. To se podesavanje na starijim kamerama radilo rucno, bilo direktnomkontrolom (gledanjem) ostrine slike, bilo namjestanjem polozaja objektiva po skali udal-jenosti predmeta koja je bila naznacena na pomicnom dijelu objektiva. Danasnje kamere torade automatski (tzv. autofokus), i korisnik o namjestanju ostrine uglavnom ne mora voditiracuna.

2.4 Povecalo

Ako predmet stavimo izmedu sabirne lece i njenog zarista, kroz lecu cemo vidjeti povecanusliku predmeta, sto smo vec spomenuli kad smo analizirali ponasanje sabirne lece (vidi sliku1.8). Teoretski povecalo najbolje radi kad je predmet u zaristu lece jer je njegova slika ondaprojicirana u beskonacnost, sto odgovara nasim ocima. U stvarnosti se pokazuje da je boljekad je predmet malo ispred samog zarista, jer su onda deformacije i opticke pogreske znatnomanje izrazene.

22 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

Predmet gledan golim okom:

25 cm = bliska točka oštrog vida

α

Predmet gledan povećalom:

F2

β

Slika 2.5: Odredivanje povecanja povecala. Velicinu predmeta mozemo mjeriti i kutom podkojim ga vidimo. Kad isti predmet gledamo kroz povecalo, vidimo ga pod vecim kutem.Povecanje se odreduje kao omjer ta dva kuta i naziva se kutno povecanje.

Povecanje povecala (slika 2.5) odreduje se iz omjera vidnih kuteva predmeta, kad gagledamo sa i bez povecala. Za vidni kut predmeta gledanog golim okom uzimamo da jepredmet na najmanjoj udaljenosti na kojoj ga jos mozemo vidjeti ostro. Ta udaljenost ovisio pojedincu i posebno o njegovoj dobi, a za odraslu osobu normalnog vida iznosi 25 cm. Taudaljenost naziva se bliska tocka ostrog vida.

Kad isti predmet gledamo kroz povecalo, njegova slika je projicirana u beskonacnost, avidni kut α je prividno povecan na kut β. Povecanje povecala definira se kao omjer ta dvakuta:

m =β

α(2.2)

Negativni predznak je ispusten zato sto je slika virtualna i uspravna, pa su oba kutapozitivna. Opcenito, kad se povecanje izrazava na ovaj nacin, naziva se kutno povecanje.

2.5 Mikroskop

Ako zelimo povecati sliku nekog malog, bliskog predmeta, koristimo sabirnu lecu male zarisnedaljine koju postavimo tako da iza sebe projicira jako povecanu sliku predmeta (slika 2.6).Tako smo dobili objektiv mikroskopa. Sliku u ovoj konfiguraciji mozemo direktno zabiljezitikamerom, sto se danas sve cesce radi. Klasicni standard za udaljenost slike, ”b” je kodmikroskopa 160 mm, iako danas ima sve vise odstupanja od tog pravila.

Mikroskopski objektivi oznacavaju se povecanjem slike koju taj objektiv postize. Povecanjamikroskopskih objektiva uglavnom su u rasponu od 6X do 100X (”X” je u optici standardnaoznaka za povecanje).

Standardno se mikroskop koristi za gledanje malih predmeta. U tom slucaju sliku kojudaje objektiv dodatno povecamo povecalom, koje se u ovakvoj upotrebi naziva okular.

2.5: MIKROSKOP 23

F1

F2

ba

Slika 2.6: Princip rada mikroskopskog objektiva. Predmet se nalazi blizu (ali ispred) zaristasabirne lece male zarisne daljine. Slika je, shodno tome znatno dalje od lece, realna je i jakopovecana.

Povecanje mikroskopa u ovoj konfiguraciji racunamo tako da povecanje slike koju dalje ob-jektiv pomnozimo povecanjem okulara. Bez obzira na to sto se prvo povecanje izrazava kaoomjer velicina, a drugo kao kutno povecanje, rezultat je kutno povecanje zato sto je konacnaslika virtualna i projicirana u beskonacnost.

Okulari se, kao i objektivi, kod mikroskopa oznacavaju povecanjem koje daju. Najcesciraspon povecanja mikroskopskih okulara je od 5X do 25X, a ukupno povecanje mikroskopakrece se u rasponu od nekoliko desetaka do oko 1500X.

24 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

F1F1

F2

objektiv

okular

F2

Slika 2.7: Ako mikroskop koristimo za gledanje malih predmeta, sliku koju tvori objektivdodatno povecamo i ucinimo prikladnom za gledanje povecalom.

2.6: DALEKOZOR (TELESKOP) 25

2.6 Dalekozor (teleskop)

F f

α β

objektiv

okular

T S

V

Ž

Slika 2.8: Za gedanje dalekih predmeta koristimo dalekozor. Kod njega sliku koju tvorisabirna leca vece zarisne daljine opazamo okularom.

Za gledanje dalekih objekata koristi se dalekozor, koji se u svojoj najjednostavnijoj var-ijanti sastoji od objektiva (sabirna leca vece zarisne daljine) i okulara. Objektiv tvori slikudalekog objekta u svom zaristu, pri cemu vidni kut ostaje sacuvan. Kao i kod mikroskopa,tu sliku opazamo okularom. Iz pravokutnih trokuta TVZ i SVZ na slici 2.8 dolazimo doizraza za kutno povecanje dalekozora:

m =β

α=F

f(2.3)

Tradicionalo se negativni predznak u ovom slucaju ispusta. Za razliku od mikroskopa,objektivi dalekozora opisuju se svojim otvorom i zarisnom daljinom, a okulari zarisnomdaljinom.

Napomenimo jos da ovakav dalekozor (koji se ponekad naziva i astronomski dalekozor)daje obrnutu sliku. Dalekozori koji se koriste za opaznje zemaljskih objekata zato imajuugraden sustav leca ili prizmi koji ispravlja orijentaciju slike.

2.7 Dvogled

U mnogim poslovima ali i u svakodnevnom zivotu za opazanje udaljenih objekata koristise dvogled (slika 2.9). Radi se o slozenom uredaju koji se sastoji od dva paralelno monti-rana dalekozora, od kojih svaki ima ugraden sustav prizmi za ispravljanje orijentacije slike.Razmak pojedinih dalekozora moze se mijenjati da bi se prilagodio individualnom razmakuzjenica osobe koja instrument koristi. Izostravanje se najcesce vrsi zajednickim pomicanjemoba okulara (tzv. centralno izostravanje) pri cemu se jedan okular moze dodatno nezavisnopodesiti da se ispravi eventualna razlika u dioptrijama lijevog i desnog oka. Prednost ovogsustava je da se brzo i lako moze podesiti ostrina za objekte na razlicitim udaljenostima,a nedostatak je relativno losa mehanicka stabilnost. Stariji dvogledi i dvogledi za posebne

26 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

Slika 2.9: Nekoliko dvogleda razlicitih velicina. Zajednicki su im sustavi za uspravljanjeslike u svakoj strani dvogleda te mogucnost podesavanja razmaka, da bi se mogli prilagoditirazmaku zjenica opazaca.

namjene (npr. astronomski, gdje su svi objekti prakticno u beskonacnosti) imaju posebnoizostravanje lijevog odn. desnog okulara dvogleda.

Dvogledi se standardno oznacavaju povecanjem i otvorom objektiva, zato jer o potonjemovisi kolicina svjetla i svjetlina slike koju dani dvogled daje, te maksimalnim vidnim kutom uprostoru predmeta koji stane u vidno polje dvogleda. Nacin oznacavanja dvogleda objasnjenje na slicli 2.10.

Napomenimo samo jos da se dvogledi (i dalekozori naravno) s povecanjima vecim oddesetak puta ne mogu uspjesno drzati u ruci, jer uz povecanje slike predmeta ide i prividnopovecanje tresnje ruku. Takvi instrumenti moraju biti postavljeni na neki cvrsti stalak.

2.7: DVOGLED 27

Slika 2.10: Standardna oznaka na tijelu dvogleda. Prvi red: povecanje i otvor objektiva umm (oznaka WA nije standardna i odnosi se na veci vidni kut doticnog modela). Dugi red:vidni kut u prostoru objekta (stvarni vidni kut) izrazen u stupnjevima i u linearnoj mjeri.

28 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

2.8 Granice geometrijske optike

Geometrijska optika vrlo je korisna i primjenjiva u svakodnevnoj praksi. Medutim, ona jei dalje idealizacija, pojednostavljeni model stvarne prirode svjetla. Da nije u potpunostitocna, primijeceno je u doba prvih optickih instrumenata. Naime, savrseni instrument ugeometrijskoj optici preslikava svijetlu tocku (tocasti izvor svjetla, npr. zvijezda) u svijetlutocku. Medutim, usprkos svom trudu, nijedan instrument to nije mogao postici, vec je slikutocke pretvarao u sicusni disk okruzen jednim ili dva prstena slabog sjaja (slika 2.11).

stvarnostgeometrijska optika

Slika 2.11: U geometrijskoj optici slika tockastog izvora svjetla je isto tako tocka (lijevo). Ustvarnosti dolazi do ogiba svjetla i slika se pretvara u maleni kruzic okruzen jednim ili visevrlo slabih svijetlih prstenova, koji se nazivaju ogibni prsteni (desno).

Ova slika pokazuje nam da geometrijska optika ne daje potpuni opis svjetla, jer zane-maruje njegovu valnu prirodu, koja se manifestira ogibom, u ovom slucaju u obliku ogibneslike tockastog izvora. Vise ce o tome biti rijeci u iducem poglavlju (fizikalna optika).

2.9 Opticke pogreske

U Gaussovoj aproksimaciji lece i zrcala tvore savrsene slike predmeta. Medutim u stvarnostito nije sasvim tocno i slike nisu potpuno vjerne predmetu. Odstupanja od idalne slike nazi-vaju se opticke pogreske. One nastaju zbog dva razloga: kao prvo, opticka svojstva materijalaod kojih se izraduju lece mijenjaju se ovisno o valnoj duljini, sto utjece na ponasanje leca.Kao drugo, sferna ploha u stvarnosti ni kod zrcala ni kod leca ne moze osigurati idelanukvalitetu slike. S druge strane, kod izrade leca (ili zrcala) puno je lakse izraditi sfernu plohupotrebne tocnosti (koja se u optici mjeri u desecima nanometara, ili manje) nego plohu bilokojeg drugog oblika.

Prije nego sto se posvetimo analizi optickih pogresaka, recimo jos nekoliko rijeci o svo-jstvima slike u idealnom slucaju. U Gaussovoj aproksimaciji gledamo podrucje uz neposrednublizinu opticke osi. Predmet nam stoji okomito na opticku os, a isti slucaj je i s njegovomslikom. Radi jednostavnosti sve se analize rade s jednodimenzionalnim predmetom (strelicana nasim geometrijskim konstrukcijama). Medutim, lece i zrcala su rotacijsko simetricne okoopticke osi, pa svi rezultati dobiveni u Gaussovoj aproksimaciji vrijede za mali dvodimen-zionalni predmet smjesten na optickoj osi. Taj predmet definira ravninu okomitu na opticku

2.9: OPTICKE POGRESKE 29

os koja se naziva ravnina predmeta (predmetna ravnina). Na isti nacin slika tog predmetadefinira ravninu koja se naziva ravnina predmeta (predmetna ravnina). Ako je predmetnaravnima u zaristu (to se dogada kad su premeti jako daleko i a >> f) ona se naziva zarisnaravnina.

Opticke pogreske nazivaju se po ”efektu” koji izazivaju u slici, a dijele se na dvije vrste:osne i izvanosne opticke pogreske. Osne opticke pogreske javljaju se u cijeloj slici podjednako,neovisno radi li se o tocki slike na optickoj osi ili izvan nje. U njih spadaju kromatska i sfernapogreska.

Izvanosne opticke pogreske javljaju se samo izvan opticke osi, i brze ili sporije rastu sudaljenoscu od nje. Ta se udaljenost u optici najcesce mjeri u kutu otkona sredisnje zrakeod opticke osi. Najvaznije od njih su koma, astigmatizam i distorzija.

2.9.1 Kromatska pogreska

Slika 2.12: Indeks loma stakla (i ostalih prozirnih materijala) raste kad se valna duljinasmanjuje. Zbog toga je zariste za plavo svjetlo blize leci od zarista za crveno svjetlo. Ovapojava naziva se kromatska pogreska.

Lece se uglavnom izraduju od stakla, ponekad i od drugih prozirnih materijala. Nazalost,indeks loma prozirnh materijala nije konstantan, nego raste sa smanjenjem valne duljinesvjetla. Ta pojava naziva se disperzija (svjetla). Kako zarisna daljina dane lece ovisi oindeksu loma materijala od kojeg je ona izradena, a on se mijenja s promjenom valne duljinesvjetla, mijenja se i zarisna daljina lece ovisno o valnoj duljini svjetla. Naime, uz poznategeometrijske parametre lece (polumjeri zakrivljenosti i sredisnja debljina) zarisna daljinatanke lece moze se izracunati po formuli:

1

f= (n− 1)

(1

R1

+1

R2

+n− 1

n

d

R1R2

)(2.4)

Ako je debljina lece malena u usporedbi sa R1 i R2, clan koji ju sadrzi moze se zanemaritipa dolazimo do znatno jednostavnije priblizne formule (koja je tocna za tanku lecu!):

1

f= (n− 1)

(1

R1

+1

R2

)(2.5)

30 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

Iz ovih je formula vidljivo da je jedini parametar koji za dani oblik lece moze utjecatina njenu zarisnu daljinu upravo indeks loma. Kako indeks loma raste sa smanjenjem valneduljine svjetla, izlazi da je zarisna daljina sabirne lece veca za crveno svjetlo, a manja zaplavo. Posljedicno, ako u kameri izostrimo sliku u crvenom svjetlu, plava slika nece bitiizostrena i tvorit ce plavicasti obrub oko crvene slike. Ako pokusamo izostriti plavu sliku,crvena ce postati neostra. Ova pojava naziva se kromatska pogreska, i naglo raste s velicinomlece i smanjenjem njene zarisne daljine.

UV plavo žuto crveno infracrveno

BK 7

1,6

1,5

n F 6

Slika 2.13: Tipicna krivulja disperzije (ovisnosti indeksa loma o valnoj duljini svjetla) zadvije vrste stakla. U oba slucaja indeks loma se smanjuje kad valna duljina svjetla raste.

Kromatska pogreska moze se znatno smanjiti ako se kombiniraju dvije lece izradene odrazlicitih vrsta stakla. Pri tome je jedna leca sabirna, a druga rasipna, ali manje snage,tako da njihova kombinacija daje sabirnu lecu nesto vece zarisne daljine, ali s kromatskompogreskom visestruko smanjenom. Takve se lece nazivaju akromatske lece slika 2.14.

Napomenimo jos da zakon refleksije nije ovisan o valnoj duljini pa zrcala nemaju kro-matsku pogresku. To je razlog zasto su najveci teleskopi svijeta (sa otvorima objektiva kojitrenutno premasuje deset metara) zrcalne konstrukcije.

2.9: OPTICKE POGRESKE 31

Slika 2.14: Akromatska leca pazljivo je slozena kombinacija sabirne lece izradene od staklamanje disperzije i rasipne lece od stakla vece disperzije koja kao cjelina ima jako malukromatsku pogresku.

32 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

2.9.2 Sferna pogreska

F

Slika 2.15: Stvarni put zraka svjetla paralelnog snopa koji upada na sferno zrcalo velikezakrivljenosti. Samo zrake u blizini opticke osi prolaze kroz zariste, sve druge sijeku optickuos ispred njega, i to blize zrcalu sto su dalje od opticke osi.

Sferna pogreska posljedica je sfernog oblika plohe. Posebno je izrazena kod zrcala, i mozese demonstrirati cak i grafickom konstrukcijom puta zraka koje se odbijaju od sfernog zrcalavelike zakrivljenosti (slika 2.15). U slici se sferna pogreska manifestira slicno kromatskoj.Ako se slika izostri za zrake koje kroz lecu prolaze blizu optickoj osi, zrake koje prolaze daljeod nje nece biti u zaristu vec ce tvoriti mutni okrugli disk. Analogno, ako sliku izostrimo zazrake koje prolaze blize rubu lece, zrake koje prolaze blizu opticke osi tvorit ce mutni disk.U najboljoj situaciji svaka tocka predmeta preslikava se u mali nutni kruzic i slika gubi naostrini.

Sferna pogreska moze se ukloniti promjenom oblika plohe, pa je tako uobicajeno da seizraduju zrcala s parabolicnim oblikom plohe. Time se u potpunosti uklanja sferna aberacija,ali nazalost koma (vidi sljedeci odjeljak) je kod ovakvih zrcala izrazito jaka. Sferna pogreskajavlja se u cijeloj ravnini slike podjednako, tj. ne ovisi o udaljenosti tocke slike od optickeosi. Uklanja se vrlo uspjesno kombinacijom nekoliko leca (ili zrcala).

2.9.3 Koma

Ova opticka pogreska dobila je ime po tome sto sliku tockastog izvora svjetla (npr. zvijezde)pretvara u ”lepezu” koja lici na kosu (slika 2.16). Izrazito je jaka kod parabolicnih zrcalakoja se cesto koriste kod astronomskih instrumenata, a njena velicina raste s udaljavanjemod opticke osi. Isto tako se cesto javlja kod sirokokutnih fotografskih objektva, zajedno sastigmatizmom. Moze se donekle ukloniti kombinacijom vise optickih elemenata.

2.9: OPTICKE POGRESKE 33

izvan osi rub slikena osi

Slika 2.16: Na samoj optickoj osi slika tockastog izvora (npr. zvijezde) ima oblik diskaokruzenog sa nekoliko vrlo slabih prstenova. Koma se pojavljuje kad se udaljavamo odoptice osi i manifestira se u kvarenju i deformaciji ogibne slike.

34 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

2.9.4 Astigmatizam

ravnina slike izaispred

Slika 2.17: Astigmatizam sliku tockastog izvora (npr. zvijezde) deformira u vertikalnu linijukoja se nalazi malo ispred ravnine slike i koja prelazi u neostri krizic kad se priblizavamoravnini slike, pa opet u horizontalnu liniju iza nje. Moguca je i obrnuta situacija.

Naizgled zbunjuca opticka pogreska, kod koje slika tockastog objekta prvo postaje ver-tikalna linija, koja udaljavanjem od lece prvo prelazi u maleni krizic a onda u horizontalnuliniju. Javlja se na relativno velikim udaljenostima od opticke osi pa je karakteristicna zasirokokutne objektive i okulare.

Astigmatizam se moze pojaviti i na samoj optickoj osi i tada je uzrokovan ili losimnamjestanjem pojedinih optickih elemenata (npr. oni nisu potpuno okomiti na opticku os iliim tjeme ne lezi na njoj) ili losom izradom. Cesto se javlja kod ljuskog oka gdje se ispravljatzv. cilindricnim lecama (lece kod kojih je jedna ili obje plohe cilindricna a ne sferna).

2.9: OPTICKE POGRESKE 35

2.9.5 Distorzija

predmet jastučasta

distorzija

bačvasta

distorzija

Slika 2.18: Distorzija slike geometrijska je deformacija njenog oblika. Distorzija moze bitijastucasta, u slucaju kad su rubni dijelovi slike vise povecani od njene sredine, ili bacvastau suprotnom slucaju.

Sve dosad spomenute opticke pogreske smanjuju ostrinu slike. Kod distorzije to nijeslucaj, ona ne dira ostrinu vec mijenja oblik slike. Distorzija moze biti veliki problem ako naslici zelimo vrsiti mjerenja velicine ili oblika predmeta na njoj. Kod sirokokutnih objektivaona se ne moze u potpunosti izbjeci, a u nekim slucajevima se i namjerno izaziva kako bi sepovecalo vidno polje ili izazvali posebni efekti u slici, kao npr. kod takozvanih ”riblje oko”leca koje pokrivaju kut od 180◦ u predmetnom prostoru. Takve lece rado koriste umjetnickifotografi a imaju i svoju primjenu u nekim znanstvenim disciplinama, npr. kod snimanjanocnog neba ili osvjetljenosti sumskog tla, kad je na jednoj snimci potrebno uhvatiti cijeliprostor iznad kamere.

2.9.6 Zakrivljenost vidnog polja

Zakrivljenost vidnog polja cesto se pojavljuje kod jednostavnijih optickih sustava. Radi seo tome da slika ne pada na ravninu vec na zakrivljenu plohu cije tjeme se nalazi na optickojosi. Kod instrumenata namjenjenjih gledanju ona se cesto puta tolerira (npr. kod dvogleda,dalekozora, i mikroskopa) jer oko moze djelomicno kompenzirati njen efekt. No kod uredajakoji biljeze sliku nekim detektorom predstavlja veliki problem jer su svi moderni detektoriravni. U tom slucaju, ako slika pada na zakrivljenu plohu, ona nece biti jednako ostra u sre-dini i uz rub detektora. Kod kvalitetnih fotografskih objektiva i slicnih uredaja zakrivljenostvidnog polja smanjena je na primjetnu velicinu i ne predstavlja poseban problem.

36 GLAVA 2: OPTICKI INSTRUMENTI

Glava 3

Fizikalna Optika

3.1 Valna priroda svjetla

Geometrijska optika izuzetno je uspjesna u mnostvu svakodnevnih situacija. Medutim,upotreba optickih instrumenata velikog povecanja (npr. mikroskopi, teleskopi) pokazala jeda slika tockastog izvora ima konacnu velicinu, sto geometrijska optika ne moze objasniti.Granice geometrijske optike dodatno su pokazali pokusi s pukotinama, koji u najjednos-tavnijem slucaju izgledaju kao pokus prikazan na slici 3.1.

izvorpukotina (točkasti ili

elementarni izvor)zaslon

jakost svjetla

na zaslonu

Slika 3.1: Ako pustimo da svjetlo prolazi kroz uski otvor (rupicu ili pukotinu), ono ce seponasati kao elementarni izvor svjetla. Zaslon postavljen iza njega osvijeljen je tako da musvjetlina lagano opada kad se udaljavamo od osi izvora u stranu.

U ovom slucaju trazimo odstupanja od zakona geometrijske optike, pa polazimo od pret-postavke da je svjetlo valne prirode. Ako je tako, malena rupica ponasat ce se kao elemen-

37

38 GLAVA 3: FIZIKALNA OPTIKA

tarni izvor vala (vidi skripta, str. 97-98). Umjesto rupice u ovakvim pokusima koristi senjen jednodimenzionalni ekvivalent, pukotina. Pukotina se koristi zato sto propusta znatnovise svjetla od rupice, pa je pokus lakse izvesti, a i rezultate je jednostavnije matematickiobraditi.

Pokus s jednom pukotinom lako je razumljiv: pukotina ce se ponasati kao elementarniizvor svjetla, pa ce se iza nje siriti cilindricni val (dvodimenzionalni ekvivalent sfernog vala).Zaslon postavljen iza pukotine bit ce osvijetljen tako da mu je svjetlina najveca na osi, spolaganim smanjenjem svjetline sa udaljavanjem od nje (na obje strane jednako).

izvor dvije bliske

pukotine

očekivano stvarno

Slika 3.2: Ako svjetlo prolazi kroz dvije pukotine, ocekivana osvijetljenost zaslona je zbrojosvijetljenosti koje proizvode obje pukotine (lijevo). U stvarnosti se na zaslonu pojavljujeniz jednako razmaknutih svijetlih pruga (desno).

Ako sad umjesto jedne, upotrijebimo dvije pukotine (slika 3.2) ocekujemo da je osvi-jetljenost zaslona jednaka zbroju osvijetljenosti koju daju obje pukotine (lijevo). To semedutim ne dogada vec se na zaslonu pojavljuje niz jednako razmaknutih svijetlih i tamnihpruga (desno). Ovaj, na prvi pogled zbunjujuci, rezultat moze se objasniti uz pretpostavkuda se svjetlo u ovom slucaju ponasa kao val. U tom slucaju dolazi do zbrajanja amplitudavalova koji izlaze iz pojedine pukotine, s rezultatom koji odgovara desnoj slici. To je josjasnije, ako zaista provedemo zbrajanje valova, kako je prikazano na slici 3.3. Dio optike kojise bavi valniom prirodom svjetla naziva se fizikalna optika.

Pukotine od vala koji nastaje u izvoru stvaraju dva nova, elementarna vala, koja najjed-nostavnije mozemo opisati sljedecim jednadzbama:

A1 = A0 cos (ωt)A2 = A0 cos (ωt)

(3.1)

Kako oba vala potjecu od istog izvora, oni su u fazi. Medutim, kad dodu do tocke x nazaslonu, prevalili su putove s1 i s2, koji nisu jednaki, nego ovise o koordinati x (uzimamo daje x=0 na osi). Valovi su sad opisani jednadzbama:

3.1: VALNA PRIRODA SVJETLA 39

ϑ

s1

∆s

a

d

xs2

Slika 3.3: Geometrijski odnosi kod pokusa s dvije pukotine.

A1 = A0 cos (ωt− ks1)A2 = A0 cos (ωt− ks2)

(3.2)

gdje je k valni broj vala. On je, kao i ω, isti za oba vala. Zbroj ova dva vala u proizvoljnojtocci zaslona s koordinatom x je:

Au = A0 cos (ωt− ks1) + A0 cos (ωt− ks2) (3.3)

Kao sto smo to vec analizirali kad smo govorili o zbrajanju valova, maksimum amplitudece se dogoditi kad je:

ωt− ks1 = ωt− ks2 + 2nπ (3.4)

gdje je n cijeli broj. Sredivanjem, uz k = 2π/λ, nalazimo:

s2 − s1λ

= n (3.5)

na isti nacin dolazimo i do uvjeta minimuma (tj. ponistavanja, jer su amplitude oba valaiste):

s2 − s1λ

= n+1

2(3.6)

Ovakvo, vremenski stabilno (primijetite da u uvjetima maksimuma i minimuma nigdjenema vremena), zbrajanje valova naziva se interferencija. Ovaj pokus se, po znanstvenikukoji ga je prvi sistematski izveo i opisao, naziva Youngov pokus. On se smatra prvimnepobitnim dokazom da svjetlo pokazuje i svojstva vala.

40 GLAVA 3: FIZIKALNA OPTIKA

Odredimo jos razmak svijetlih (ili tamnih, isto je) pruga na zaslonu. Sa slike 3.3 vidimoda je razlika putova:

∆s = aϑ =ax

d(3.7)

odnosno, za maksimume svjetline:

∆s = nλ =ax

d(3.8)

ili:

xn =nλd

a(3.9)

a na isti nacin dolazimo i do uvjeta za minimume svjetline:

xn =(2n+ 1)λd

2a(3.10)

3.2 Opticka resetka

Ako upotrijebimo mnogo jednako razmaknutih pukotina, pa na njih pustimo paralelan snopsvjetla, slika na zaslonu se drasticno mijenja (slika 3.4).

ϑ

I

0 1 212n=

Slika 3.4: Kad opticku resetku obasjamo svjetlom jedne valne duljine, na zaslonu dobijemonekoliko uskih, vrlo intenzivnih, linija svjetla. One se obiljezavaju rednim brojevima, pricemu 0 odgovara svjetlu koja kroz resetku prolazi bez otklona, a 1, 2, itd. simetricno naobje strane, pod sve vecim kutovima.

Umjesto paralelnih pruga, na udaljenom zaslonu se pojavljuje samo nekoliko uskih, vrlointenzivnih linija svjetla (uz pretpostavku da smo u pokusu koristili svjetlo samo jedne valneduljine). Jedna od njih nalazi se tocno na optickoj osi (kut otklona ϑ = 0), a druge su

3.2: OPTICKA RESETKA 41

simetricno rasporedene na obje strane. Racunom slicnim onome kod Youngovog pokusa,nalazi se da se linije nalaze na kutovima koji su definirani jednadzbom opticke resetke:

sinϑn = nλ

a(3.11)

gdje je λ valna duljina svjetla, a a razmak dvije susjedne pukotine opticke resetke. n jecijeli broj, koji moze imati sve vrijednosti za koje jednadzba resetke ima rjesenje (tj. sinus jeu granicama -1,1). Uobicajeno je da se snopovi koje resetka stvara nazivaju redovima premarednom broju n, uz ispustanje predznaka. Tako se snop za n = 0 naziva nulti red, redovi san = 1 i n = −1 prvi red, itd. Redovi s n >| 1 | skupno se nazivaju visi redovi.

Opticka resetka danas ima mnostvo primjena u modernim uredajima, pocevsi od spek-trografa i slicnih uredaja, pa do lasera i telekomunikacijske opreme. Njezina velika prednostje da joj je disperzija (razlaganje svjetla po valnim duljina) znatno veca nego kod prizme,i uz to je prakticki linearna (vidi sliku 3.5). S druge strane, zbog toga sto resetka stvaranekoliko snopova svjetla iste valne duljine pod razlicitim kutovima, moze doci do preklapanjaspektara visih redova, sto izaziva komplikacije kod primjene takve resetke ako je opseg valnihduljina svjetla koje se koristi prevelik (slika 3.6).

ϑ

λP C

rešetka

prizma

Slika 3.5: Usporedba tipicnih disperzija opticke resetke i prizme.

42 GLAVA 3: FIZIKALNA OPTIKA

ϑ11

1 red

n= 2 2

2 red

preklapanje!

3

3 red

3

I

Slika 3.6: Kod opticke resetke moze doci do preklapanja visih redova ako je opseg valnihduljina svjetla koje njome razlazemo velik (u ovom slucaju od plavog do crvenog). Vidimoda je spektar prvog reda ”cist”, ali u crveni dio spektra drugog reda upada plavi dio spektratreceg reda.

3.3: INTERFERENCIJA NA TANKIM LISTICIMA ILI FILMOVIMA 43

3.3 Interferencija na tankim listicima ili filmovima

Slika 3.7: Uljni film na vodenoj podlozi pokazuje intenzivne boje selektivnom interfencijomreflektiranog svjetla.

Tanki slojevi prozirnih materijala znadu pokazivati jarke boje (slika 3.7). Uzrok ovepojave lezi u interferenciji svjetla koje se reflektira na gornjoj i donjoj plohi takvog tankogsloja. Geometrija ove pojave ilustrirana je na slici 3.8.

Svjetlo upada iz sretstva indeksa loma n1 (najcesce zrak) na tanki listic (film) prozirnogmaterijala debljine d. Veci dio upadnog svjetla ulazi u materijal (zraka se lomi po Snellovomzakonu), a manji dio, obicno nekoliko postotaka, se odbija natrag po zakonu odbijanja (zrakaR1). Svjetlo koje je uslo u listic dolazi do njegove donje plohe, gdje se lom i refleksija odvijajuslicno kao i kod gornje plohe. Materijal ispod listica moze biti zrak, voda ili neka druga tvar.Svjetlo odbijeno na donjoj plohi (zraka R2) izlazi van iz listica paralelno zraci R1. Ako jedebljina filma malena (nekoliko mikrometara ili manje) te dvije zrake toliko su blizu da mogumedusobno interferirati. Rezultat interferencije ovisi o razlici optickih putova (opticki put jeput koji svjetlo prelazi mjeren u jedinicama valne duljine svjetla u sredstvu kroz koje svjetloputuje i jednak je geometrijskom putu pomnozenom s aindoksom loma sretsva) koje prevalezrake R1 i R2. Ona je jednaka:

∆l = 2sn2 +λ

2(3.12)

Dodatnih pola valne duljine dolazi od toga sto kod refkesije zrake na granici rjedeg igusceg sretstva dolazi do dodatnog pomaka u fazi reflektiranog vala za polovicu valne duljine.

44 GLAVA 3: FIZIKALNA OPTIKA

dn2

n1

n1

R2

R1

β

s

Slika 3.8: Svjetlo koje upada na tanki listic prozirnog materijala dijeli se na dva dijela: vecidio se lomi i ulazi u materijal, a manji dio se odbija od povrsine. Ista stvar dogada se kadsvjetlo dode do donje plohe materijala. Debljina materijala i kutovi su na skici prikazaninesrazmjerno velikima.

Ako se refleksija dogada na granici gusceg i rjedeg sretstva, pomaka u fazi nema. s je optickiput koji zraka prevali od gornje do donje plohe listica:

s =d

cos β(3.13)

U slicnim smo situacijama vec vidjeli da ce zbroj zraka R1 i R2 biti maksimalan ako suone u fazi, a minimalan ako su u protufazi. Ako opticki put izrazimo u pomaku u fazi (stopostignemo tako da ga podijelimo valnom duljinom i pomnozimo s 2π) nalazimo:

∆φ = 2π(

2sn2

λ+

1

2

)(3.14)

Za dani kut upada i debljinu filma, sve u ovoj naizgled slozenoj formuli je konstantnoosim valne duljine i donekle indeksa loma, no on se sa valnom duljinom jako malo mijenja,pa tu promjenu ovdje mozemo zanemariti. Interferencijom ce najvise biti pojacano svjetloonih valnih duljina za koje je pomak u fazi visekratnik od 2π. To je ona boja koju u refleksijina tankom filmu vidimo. Koja ce to valna duljina biti, odredeno je gornjom jednadzbom.Boja na nekom mjestu listica uz to ovisi o kutu upada svjetla i debljini listica na tom mjestu,pa zato razni dijelovi listica pokazuju razlicite boje. Promijenimo li kut gledanja, i boje cese promijeniti.

Kad debljina filma postane veca od nekoliko valnih duljina svjetla, promjene u fazi vezanena valnu duljinu toliko su brze da svjetlo gubi izrazitu boju, a uz to se i reflektirane zrakemedusobno razmicu, pa reflektirano svjetlo poprima boju upadnog (obicno bijelog) svjetla.

3.4: INTERFERENCIJA NA ZRACNOM KLINU 45

3.4 Interferencija na zracnom klinu

d

R3

R2

α

R1

R4

x

Slika 3.9: Stavimo li dvije staklene plocice jednu na drugu tako da medusobno tvore mali kut(α), u prostor izmedu njih nazivamo zracni klin. On se obicno opaza pod okomitim upadomsvjetla jedne boje, i tada se u njemu vide svijetle i tamne pruge.

Zracni klin dobijemo ako dvije prozirne plocice (obicno staklene) polozimo jednu na drugutako da izmedu njih ostane tanki klin zraka. Ako ih odozgo obasjamo svjetlom jedne boje,i odozgo gledamo na njih, i opet cemo vidjeti svijetle i tamne pruge. One su posljedicainterferencije svjetla koje je odbijeno na gornjoj i donjoj plohi zracnog klina (zrake R2 iR3 na slici 3.9). Ostale reflektirane zrake predaleko su da bi imale ikakvu ulogu u procesuinterferencije (zrake R1 i R4). Donja plocica obicno lezi na crnoj podlozi da se povecavidljivost pruga. Situacija je analogna interferenciji na tankom listicu, uz jedinu razliku utome da debljina klina raste prema njegovom otvoru. Razlika optickog puta zraka R2 i R3

je u ovom slucaju:

∆l = 2d+λ

2(3.15)

ako je upad svjetla na klin priblizno okomit, i klin je ispunjen zrakom (n1 = 1). Razmakplocica na mjestu ”s” je:

d = xα (3.16)

Pa n kraju nalazimo da je razmak susjednih pruga (svijetlih ili tamnih) jednak:

∆x =λ

2α(3.17)

Na mjestu dodira plocica niz pruga zapocinje tamnom prugom. Svaka iduca tamna prugaodgovara mjestu na kojem se razmak d klina povecao za polovicu valne duljine, pa jednos-tavnim brojanjem mozemo vrlo precizno odrediti razmak plocica na odredenom mjestu. Ovajse pokus cesto koristi za mjerenje tankih materijala (npr. listova papira i sl. ). Jednostavno

46 GLAVA 3: FIZIKALNA OPTIKA

klin napravimo tako da na jednu stranu izmedu plocica stavimo komadic lista ciju debljinuzelimo izmjeriti, pa izbrojimo koliko tamnih pruga imamo od vrha klina do tog komadica.Svaka nova pruga nosi polovicu valne duljine upotrebljenog svjetla, a ako ukljucimo i svijetlepruge, bez problema mozemo mjeriti s tocnoscu od cetvrtine valne duljine.

Pruge se vide i pod bijelim svijetlom, ali su znatno manjeg kontrasta i u mijesanimbojama, pa ih je teze uociti. Slicna se pojava opaza i kod tzv. newtonovih kolabara, kad setanki sloj zraka zadrzava izmedu dvije sferne plohe slicnih polumjera zakrivljenosti.

3.5 Model elektromagnetnog vala

M

E

E

M

Slika 3.10: Pojednostavljeni model elektromagnetskog vala. Magnetsko polje periodicki titra.Promjene magnetskog polja stvaraju elektricno polje koje kasni u fazi za magnetskim i kojetitra okomito na magnetsko polje, i obratno.

Elektromagnetski valovi vrlo su kompleksna pojava, zato, ovisno o situaciji, i koristimopojednostavljenu geometrijsku ili valnu sliku njihova ponasanja. U stvarnosti oni naravnoimaju oba svojstva istovremeno, a o situaciji u kojoj se nalazimo ovisi koje ce svojstvo bitidominantno, a koje s emoze zanemariti.

Nadalje, prema zakonima elektrodinamike (koje ovdje necemo detaljnije proucavati)svaka promjena magnetskog polja stvara elektricno polje i obratno. Time se objasnjavacinjenica da se elektromagnetski valovi mogu siriti i vakuumom. Jednom kad su stvoreni,oni se sami obnavljaju.

Gledamo li u sam val (slika 3.10), vidjet cemo da elektricno polje uvijek titra tako da jenjegov trenutni smjer titranja okomit na trenutni smjer titranja magnetskog polja. Ovisnoo tome kako je val nastao, i kako putuje kroz prostor, ovi smjerovi mogu biti nepromjenjivi(dakle titranja su uvijek u istim ravninama) ili se mogu stalno mijenjati.

Literatura

[1] Radi, H A and Rasmussen, J O, Principles of Physics, Springer 2013, ISSN 2192-4805(electronic)

[2] Tillery, B W, Physical Science, McGraw-Hill, Boston 1999, ISBN 0-697-35803-8

[3] Horvat, D Fizika odabrana poglavlja, Hinus, Zagreb 1999.

[4] Car, T, Predavanja iz fizike, Visoka elektrotehnicka skola Varazdin, Varazdin 2004.

[5] Mikulicic, B, Vernic, E, Varicak, M, Zbirka zadataka iz Fizike, Skolska knjiga, Za-greb, 1968-nadalje, ISBN 953-0-20171-0

47

Indeks

cunjici, 17stapici, 17zarisna daljina, 5zarisna ravnina, 29zariste, 5

akomodacija, 17astigmatizam, 34astigmatizam (oka), 18autofokus, 21

dalekovidnost, 18dalekozor, 25debela leca, 6debele lece, 14dioptrija, 18disperzija svjetla, 29distorzija, 35dvogled, 25

fizikalna optika, 38model elektromagnetskog vala, 46opticka resetka, 40Youngov pokus, 38

fokus, 5fotoaparat, 21

gaussova aproksimacija, 6geometrijska optika

zarisna daljina, 5zariste, 5debela leca, 6debele lece, 14fokus, 5gaussova aproksimacija, 6ispupceno zrcalo, 13konkavno zrcalo, 12konveksno zrcalo, 13konvencija o predznacima, 9konvergentna leca, 4negativna leca, 10

opticka os, 4plan-paralelna ploca, 6povecalo, 9, 10povecanje, 8pozitivna leca, 4, 5pravilo tri zrake, 6rasipna leca, 10ravno zrcalo, 13realna slika, 8sabirna leca, 4sistem vise leca, 14tanke lece, 6udubljeno zrcalo, 11virtualna slika, 9

greske vida, 18

interferencijatanki film, 43tanki listic, 43zracni klin, 45

ispupceno zrcalo, 13izvanosne opticke pogreske, 29

kamera, 21kamera s rupicom, 19koma, 32konkavno zrcalo, 12konveksno zrcalo, 13konvencija o predznacima, 9konvergentna leca, 4kratkovidnost, 18kromatska pogreska, 29

mikroskop, 22model elektromagnetskog vala, 46mreznica, 17

negativna leca, 10

ocna leca, 17objektiv, 21

48

INDEKS 49

oko, 17opticka os, 4opticka resetka, 40opticke pogreske, 28

astigmatizam, 34disperzija svjetla, 29koma, 32kromatska pogreska, 29sferna pogreska, 32

opticki instrumenticunjici, 17stapici, 17zarisna ravnina, 29akomodacija, 17astigmatizam (oka), 18autofokus, 21dalekovidnost, 18dalekozor, 25dioptrija, 18distorzija, 35dvogled, 25fotoaparat, 21greske vida, 18izvanosne opticke pogreske, 29kamera, 21kamera s rupicom, 19kratkovidnost, 18mikroskop, 22mreznica, 17ocna leca, 17objektiv, 21oko, 17opticke pogreske, 28osne opticke pogreske, 29povecalo, 21ravnina predmeta, 29ravnina slike, 29staklovina, 17stereoskopski vid, 18teleskop, 25zakrivljenost vidnog polja, 35zjenica, 17

osne opticke pogreske, 29

plan-paralelna ploca, 6povecalo, 9, 10, 21povecanje, 8

pozitivna leca, 4, 5pravilo tri zrake, 6

rasipna leca, 10ravnina predmeta, 29ravnina slike, 29ravno zrcalo, 13realna slika, 8

sabirna leca, 4sferna pogreska, 32sistem vise leca, 14staklovina, 17stereoskopski vid, 18

tanke lece, 6teleskop, 25

udubljeno zrcalo, 11

virtualna slika, 9

Youngov pokus, 38

zakrivljenost vidnog polja, 35zjenica, 17