fizika za rgn[1]

Fizika za studente RGN fakulteta

Zeljko Andreic

c© Sva autorska prava zadrzavaju autor i RGNF.Dozvoljeno je preuzimanje i ispis za vlastite potrebe.

Datum zadnje promjene:

veljaca 28, 2012

Kazalo

Kazalo iii

Popis slika vii

Popis tabela ix

Popis simbola xi

Predgovor 1

1 Uvod 31.1 Fizikalne velicine i fizikalne jedinice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Znanstveni (Scientific) brojcani zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Vremenske jedinice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Kutne jedinice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Dimenzionalni racun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Koordinatni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Graficko prikazivanje fizikalnih velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Kinematika i dinamika materijalne tocke 172.1 Pravocrtno gibanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Inverzni problem u fizici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Gibanje u vise dimenzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Newtonovi aksiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Impuls sile i kolicina gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Sila trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 Kosina i trenje na njoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Gibanje po krivulji 293.1 Kruzno gibanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Primjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Centripetalno ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Gibanje po krivulji proizvoljnog oblika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Rad stalne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Rad promjenjive sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5.1 Primjer: Opruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 Snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7 Kineticka energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

i

ii KAZALO

3.8 Potencijalna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.9 Zakon sacuvanja mehanicke energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.9.1 Primjer: Atwoodov stroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.10 Sacuvanje mehanicke energije i trenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.10.1 Primjer: Zaustavna rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.11 Potencijalna energija opruge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.11.1 Primjer: strelicarski luk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.12 Mehanicki strojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.12.1 Primjer: poluga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Centar mase 454.1 Centar mase fizikalnog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.1 Povrsinska i linijska gustoca mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2 Primjer: Teziste trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.3 Primjer: Camac na vodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Gibanje krutog tijela 535.1 Kineticka energija rotacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1 Primjer: moment inercije stapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2 Teorem o paralelnim osima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.3 Moment sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.4 Rotacijski rad i snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.5 Kineticka energija kotrljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.6 Kutna kolicina gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.7 Precesija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1.8 Rotacija i precesija Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1.9 Coriolisov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Gravitacija 636.1 Keplerovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Newtonov zakon gravitacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.1 Primjer: gravitacija u svakodnevnom zivotu . . . . . . . . . . . . . . 656.3 Sila teza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4 Gravitacijska potencijalna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4.1 Potencijalna energija sile teze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7 Ravnoteza tijela i Statika 697.0.2 Primjer: nosenje grede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8 Titranja 738.1 Uteg na opruzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.1.1 Primjer 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.1.2 Primjer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.1.3 Primjer 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.2 Veza harmonickog titranja i kruznog gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.3 Energija harmonickog titranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.4 Njihala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.4.1 Matematicko njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

KAZALO iii

8.4.2 Primjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.4.3 Fizikalno njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.4.4 Primjer 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.4.5 Primjer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.5 Guseno titranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.5.1 Kriticno gusenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.6 Prisilna titranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.7 Slaganje titranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9 Valovi 899.1 Osnovna svojstva valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.1.1 Primjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.2 Zbrajanje valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.3 Stojni valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.3.1 Primjer: stojni val na zici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.3.2 Primjer: udari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.4 Energija vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.5 Prikazivanje valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.6 Huygensov princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.6.1 Sirenje ravnog vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.6.2 Odbijanje vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.6.3 Lom vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.7 Vrste valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.7.1 Podjela valova po vrsti titranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.7.2 Podjela valova po nacinu sirenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.7.3 Podjela valova po nacinu titranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.7.4 Elektromagnetni valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10 Optika 10310.1 Polarizacija svjetla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

10.1.1 Polarizacija refleksijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.1.2 Polarizacija rasprsenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.1.3 Polarizacija kristalima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610.1.4 Depolarizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.1.5 Propusnost polarizatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.1.6 Dva polarizatora u nizu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

10.2 Dvolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.3 Prolazak polariziranog svjetla kroz kristale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Literatura 121

Indeks 122

iv KAZALO

Popis slika

1.1 Desni i lijevi kartezijev koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Cilindricni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Sferni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Crtanje grafikona 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Crtanje grafikona 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Crtanje grafikona 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Crtanje grafikona 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Crtanje grafikona 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Ilustracija jednodimenzionalnog gibanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Graficki prikaz jednodimenzionalnog gibanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Graficki prikaz dvodimenzionalnog gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Graficki prikaz neke proizvoljne kratkotrajne sile. . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Kako nastaje staticka sila trenja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Sila trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7 Dinamicka sila trenja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8 Dinamicka sila trenja kod kotrljanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.9 Tijelo na kosini i sile koje na njega djeluju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Kruzno gibanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Ubrzanje kod kruznog gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Gibanje materijalne tocke po krivulji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Rad stalne sile 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Rad stalne sile 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6 Rad promjenjive sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.7 Opruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.8 Bacanje loptice u vis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9 Atwood-ova masina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.10 Rampa za zaustavljanje u nuzdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.11 Poluga i odnosi sila na njoj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Povrsinska gustoca tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Linijska gustoca tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Racunsko odredivanje koordinata tezista trokuta. . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Geometrijsko odredivanje koordinata tezista trokuta. . . . . . . . . . . . . . 504.5 Geometrijsko odredivanje koordinata tezista trokuta (2). . . . . . . . . . . . 504.6 Camac kod pristajanja uz obalu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.7 Odmicanje camca od obale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

v

vi POPIS SLIKA

5.1 Geometrija stapa, koji rotira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Odredivanje momenta sile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Promjena kutne kolicine gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4 Precesija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.1 Nosenje grede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.1 Uteg na opruzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.2 Grafikoni gibanja utega na opruzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.3 Shematski prikaz matematickog njihala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.4 Shematski prikaz fizikalnog njihala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.5 Graficki prikaz gusenog titranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.6 Graficki prikaz amplitude prisilnog titranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.7 Matematicko njihalo moze se njihati u dva smjera . . . . . . . . . . . . . . . 878.8 Lissajousove krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.1 Valovi na vodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.2 Presjek vala na vodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.3 Trenutna slika vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.4 Vremenska slika vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.5 Zbroj dva vala u fazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.6 Zbroj dva vala u protufazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.7 Stojni val na zici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.8 Zbroj dva vala bliskih frekvencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.9 Zbroj veceg broja valova bliskih frekvencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.10 Pojam zrake i valne fronte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.11 Huygensova konstrukcija sirenja valne fronte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989.12 Huygensova konstrukcija sirenja ravnog vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.13 Odbijanje ravnog vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.14 Lom ravnog vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.1 Vrste polarizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310.2 Polarizacija refleksijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.3 Polarizacija rasprsenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.4 Polarizator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.5 Propusnost polarizatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.6 Dva polarizatora u nizu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.7 Dvolom u kristalu kalcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.8 Pravilni kristal kalcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.9 Prolaz svjetla kroz kristal kalcita 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.10Prolaz svjetla kroz kristal kalcita 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210.11Huygensova konstrukcija sirenja ravnog vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210.12Huygensova konstrukcija sirenja ravnog vala uz promjenjivu brzinu svjetla . 11310.13Graficki prikaz brzine svjetla u kristalu za normalnu zraku . . . . . . . . . . 11410.14Graficki prikaz brzine svjetla u kristalu za anomalnu zraku . . . . . . . . . . 11510.15Graficki prikaz brzine svjetla u kristalu za obje zrake 1 . . . . . . . . . . . . 11510.16Graficki prikaz brzine svjetla u kristalu za obje zrake 2 . . . . . . . . . . . . 11610.17Graficki prikaz brzine svjetla u dvoosnom kristalu . . . . . . . . . . . . . . . 116

POPIS SLIKA vii

10.18Prolazak polariziranog svjetla kroz kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.19Pogled na plocicu dvolomnog kristala u smjeru prolaska svjetla . . . . . . . . 11810.20Pogled na poluvalnu plocicu u smjeru prolaska svjetla . . . . . . . . . . . . . 11910.21Pogled na plocicu dvolomnog kristala u ocem slucaju . . . . . . . . . . . . . 119

viii POPIS SLIKA

Popis tabela

1 Simboli fizikalnih velicina i konstanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1.1 Medunarodni sustav jedinica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Standardni prefiksi fizikalnih jedinica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Vodostaj Save . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Tablica predenog puta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Tablica predenog puta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9.1 Podjela elektromagnetnih valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10.1 Brewsterov kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

ix

x POPIS TABELA

Popis simbola

Tablica 1: Simboli fizikalnih velicina i konstanti koristeni u ovoj knjizi. Treba obratiti paznjuna to da, ovisno o kontekstu, isti simboli mogu imati razlicito znacenje.

simbol dimenzija opis .

~a,a ms−2 ubrzanje

a m Bohr-ov polumjer atoma vodika

A m2 povrsina

AV mol−1 Avogard-ov broj

A21, A12, B12 s−1 Einstein-ovi koeficijenti (atomska fizika)

~B, B T magnetsko polje

b kgs−1 konstanta gusenja (mehanicka)

BFL m zadnja zarisna daljina (optika)

c Jkg−1 specificni toplinski kapacitet

c ms−1 brzina svjetla u vakuumu

C C kapacitet (elektricni)

Ci s−1 Curie, stara jedinica za aktivnost kod radioaktivnog raspada

Cp Jmol−1K−1 molarni toplinski kapacitet plina (p=konst.)

Cs Wm2s−1 solarna konstanta, astronomija/geofizika

CV Jmol−1K−1 molarni toplinski kapacitet plina (V=konst.)

CM centar mase (oznaka)

D 1 deformacija

D m−1 jakost lece (dioptrija) (optika)

xi


e 1 prirodni broj, 2,718281828

e C pozitivni elementarni naboj

η 1 efikasnost

eV J nestandardna jedinica za energiju (atomska fizika)

ES cd jakost izvora svjetlosti

E J energija

E 1 volumni modul stisljivosti

~E, E Vm−1 elektricno polje

f Hz frekvencija

f m zarisna daljina (optika)

fp Hz frekvencija plazme (fizika plazme, geofizika)

~F , F N sila

~g, g ms−2 9,80665 ms−2, ubrzanje sile teze

G Nm2kg−2 konstanta gravitacije, 6,6726×10−11 Nm2kg−2

H Js−1 tok topline

H m tlacna skala visine (atmosferska fizika)

h Js Planck-ova konstanta

I A elektricna struja

I kgm2 moment inercije

~IF Ns impuls sile

J Acm−2 gustoca elektricne struje

k N−1 konstanta opruge

k F−1m=Nm2C−2 konstanta Coulomb-ovog zakona, 1/4πε

k m−1 valni broj

kB JK−1 Boltzmann-ova konstanta

KE J kineticka energija

l m duljina, udaljenost

~L, L kgm2rad s−1 kutna kolicina gibanja

L H induktivitet

xii


m kg masa

m 1 mehanicko pojacanje masine

m 1 povecanje (optika)

mp kg masa protona

mn kg masa neutrona

me kg masa elektrona

M kg mol−1 molarna masa

M1,2, M2,1 H koeficijenti meduinduktiviteta

~M , M Nm moment sile

N mol kolicina tvari (u molovima)

N s−1 broj okreta u jedinici vremena

N Pa naprezanje

N 1 ukupni broj zareza resetke (optika)

~N , N N normalna komponenta sile

n m−1 broj namotaja solenoida po jedinici duzine solenoida

n 1 indeks loma tvari (optika)

n 1 redni broj, red resetke (optika)

p Nm−2 tlak

~p, p kgms−1 kolicina gibanja

~p, p Cm dipolni moment (elektricni)

P W snaga

PE J potencijalna energija

Q J kolicina topline1

q C elektricni naboj

~r, r m radijus-vektor, polozaj

r 1 omjer kompresije5

r 1 relativna vlaznost zraka (atmosferska fizika)

R Jmol−1K−1 univerzalna plinska konstanta

R m polumjer zakrivljenosti sferne plohe (optika)

R Ω elektricni otpor

RKE J rotaciona kineticka energija

xiii


s m put

s m konstanta resetke (optika)

S Pa smicno naprezanje

S JK−1 entropija

S Wm−2 gustoca ozracenosti povrsine

~S Wm−2 Poyntig-ov vektor

t s vrijeme

t1/2 s vrijeme poluraspada (radioaktivnost)

T K, C temperatura1

T s−1 period titranja (njihanja)

T teziste (oznaka)

u kg atomska jedinica mase

U (J) potencijal, potencijalna funkcija

~v, v ms−1 brzina

v ms−1 brzina vala

V m3 volumen

V V razlika elektricnog potencijala

W J rad W>0 sila vrsi rad, W<0 rad se vrsi na sili

W eV radna funkcija (atomska fizika)

Y Pa Young-ov modul elasticnosti

x, y, z m kartezijeve koordinate

ρ, φ, z rad, rad, m cilindricne koordinate

r, φ, ϑ m, rad, rad sferne koordinate

xiv


α rads−2 kutno ubrzanje

α K−1, C−1 koeficijent toplinskog sirenja

α K−1, C−1 temperaturni koeficijent elektricne otpornosti

αB rad Brewster-ov kut (optika)1

β K−1, C−1 volumni koeficijent toplinskog sirenja

γ 1 Cp/CV

δ 1 reducirana konstanta gusenja (mehanicka)

ε 1 emisivnost

ε V elektromotorna sila

κ Wm−1K−1, Wm−1 C−1 koeficijent toplinske vodljivosti

κ Nmrad−1 torziona konstanta opruge

λ kgm−1 linijska gustoca tvari

λ m valna duljina

λ s−1 konstanta (radioaktivnog) raspada1

~µ, µ Am2 magnetski moment

µ NA−2 magnetska permaebilnost vakuma

µr 1 relativna magnetska permaebilnost tvari

π 1 pi, 3,1415926541

ρ kgm−3 gustoca tvari

ρ Ωm elektricna otpornost

σ kgm−2 povrsinska gustoca tvari

σ Cm−2 povrsinska gustoca naboja

σ Sm−1=Ω−1m−1 vodljivost

σ Wm−2K−4 Stefan-Boltzmann-ova konstanta

τ s−1 vremenska konstanta

Φ Wb=Tm−2 tok magnetskog polja

ϕ rad kut zaokreta (kutni put)

ϕ rad pocetna faza

ω rad s−1 kutna brzina, kruzna frekvencija

xv

Predgovor

Ova knjiga pokriva osnove fizike u opsegu u kojem se one iznose u istoimenom kolegiju naRudarsko-geolosko-naftnom fakultetu Sveucilista u Zagrebu. Knjiga je strogo usmjerena naspomenuti predmet i potrebe tehnickih struka kojima je taj predmet namijenjen pa je tezistestavljeno na preglednost i razumijevanje osnovnih teoretskih postavki fizike. Nadam se daje tako dobiven tekst koji ce studentima biti pregledniji i laksi za upotrebu.

1

2 POPIS TABELA

Glava 1

Uvod

1.1 Fizikalne velicine i fizikalne jedinice

Svijet oko nas prilicno je slozen. Da bismo si olaksali njegovo proucavanje, koristimo sepokusima i modelima. Pokus ili eksperiment je osnovni alat moderne fizike. Uz njegovupomoc stjecemo nova saznanja o svijetu oko nas, ali i provjeravamo ranije steceno znanje.Pokus u svojoj biti pretstavlja namjerno izazivanje i pracenje nekog procesa u kontroliranimuvjetima. Pri tome se pokusava shvatiti o cemu ovisi odvijanje proucavanog procesa. Sa-stavni dio pokusa je tocno mjerenje svih fizikalnih velicina koje u sklopu pokusa djeluju nanjegov tok i rezultat.

Pokus zavrsava detaljnom analizom dobivenih rezultata, a rezultati analize ugraduju seu postojeca fizikalna saznanja. Vrlo cesto pokus se ponavlja u istom ili malo promijenjenomobliku sve dok fizicari nisu sasvim sigurni da potpuno razumiju odvijanje proucavane pojave.

Prilikom analize izvrsenih pokusa stvarna situacija se maksimalno pojednostavljuje izamjenjuje pojednostavljenim fizikalnim modelom kojeg je lakse analizirati. Opis takopojednostavljenog modela pretstavlja tzv. fizikalnu teoriju. Uspijeva li fizikalna teorijadobro opisati proucavanu pojavu ona se prihvaca i koristi. Teorije koje ne odgovaraju rezul-tatima pokusa modificiraju se ili u potpunosti odbacuju. Teorije koje se pokazuju ispravnimau svim mogucim situacijama nakon iscrpnih provjera i ponovljenih pokusa polagano prelazeu fizikalne zakone. Ovdje je vazno napomenuti da fizikalni zakoni uglavnom nisu apsolutni,vec vrijede unutar odredenih granica. Izvan tih granica oni se ne smiju koristiti jer njihovapredvidanja ne odgovaraju stvarnosti. Fizikalni zakoni se radi potrebne preciznosti najcescezapisuju jezikom matematike. Tako dobivamo fizikalne formule i relacije.

U opisivanju fizikalnih modela i procesa sluzimo se razlicitim parametrima (varijablama),koje u fizici opcenito nazivamo fizikalne velicine. Za razliku od matematickih varijabli cijavelicina je u danom slucaju potpuno odredena njihovom brojcanom vrijednoscu, fizikalnevelicine uz brojcanu vrijednost posjeduju i tzv. dimenziju. Tako je u matematici izrazom

x = 5 (1.1)

potpuno odredena vrijednost varijable x. Za razliku od toga, u fizici je uz brojcanuvrijednost potrebno navesti i dimenziju te velicine. Npr. pretstavlja li x udaljenost, pisatcemo

x = 5 m (1.2)

3

4 GLAVA 1: UVOD

gdje nam standardna oznaka ”m” govori da se radi o jedinici za duzinu, metru. Bezdimenzije fizikalna velicina nije potpuno odredena, pa ispravnom pisanju iznosa fizikalnihvelicina treba obratiti posebnu paznju.

Fizika barata s vrlo velikim brojem razlicitih fizikalnih velicina, no pokazuje se da sedobar dio njih moze izraziti kombinacijama nekoliko osnovnih velicina. Kroz povijest fizikeskup osnovnih fizikalnih velicina stalno je nadopunjavan i mijenjan, a danas vazeci skupnaziva se medunarodni sustav jedinica, pokrata SI. On uz osnovne fizikalne velicinedefinira i jedinice u kojima se one mjere. Pregled fizikalnih velicina medunarodnog sustavajedinica dan je u tablici 1.1.

osnovna velicina simbol jedinica kratica

duljina l metar m

vrijeme t sekunda s

masa m kilogram kg

temperatura T Kelvin K

kolicina tvari N mol mol

jakost el. struje I Amper A

jakost izvora svjetla ES svijeca (kandela) cd

kut radijan rad

prostorni kut steradijan sr

Tablica 1.1: Medunarodni sustav jedinica (SI). U prvom stupcu naveden je naziv osnovnefizikalne velicine. U drugom stupcu je oznaka koja se za tu velicinu najcesce koristi ufizikalnim formulama. U trecem stupcu je naziv osnovne jedinice koja se koristi za mjerenjete fizikalne velicine, a u cetvrtom standardna kratica te jedinice koja se koristi u ispisu iznosafizikalnih velicina.

Definicije, odn. nacin odredivanja velicine osnovnih jedinica se napretkom mjerne tehnikestalno mijenjaju i nadopunjuju, pri cemu se stariji mjerni postupci zamjenjuju novijim itocnijim postupcima. O tome se brinu nacionalni i medunarodni specijalizirani laboratoriji,koji u medusobnoj suradnji odreduju i nadopunjavaju medunarodne standarde iz podrucjamjeriteljstva. U Hrvatskoj je ovaj posao povjeren Drzavnom zavodu za normizaciju imjeriteljstvo.

Fizikalne velicine koje se mogu izraziti kombinacijom osnovnih fizikalnih velicina nazivajuse izvedenim fizikalnim velicinama. Vrlo cesto se izvedene velicine prikazuju i kao kombinacijedrugih izvedenih velicina, ako su one u cestoj upotrebi. Tako se npr. jedinica za silu, Newton(N), moze izraziti kombinacijom osnovnih jedinica za masu, duljinu i vrijeme kao 1 N = 1kg m s−2, jedinica za rad, Joule (J), kombinacijom istih osnovnih jedinica kao 1 J = 1 kg m2

s−2, ali se vrlo cesto koristi i 1 J = 1 N m.

1.1.1 Znanstveni (Scientific) brojcani zapis

Brojcani iznosi fizikalnih velicina cesto puta su jako veliki ili jako mali, pa je decimalni nacinnjihovog prikazivanja nespretan. U fizici se zbog toga koristi modificirani eksponencijalninacin zapisivanja brojcanih vrijednosti koji se u nekoliko detalja razlikuje od svoje strogo

1.1: FIZIKALNE VELICINE I FIZIKALNE JEDINICE 5

matematicke inacice. Razlike cemo najlakse pokazati na slijedecem primjeru: Srednja udal-jenost Zemlje od Sunca iznosi 150000000000 m, a baratanje ovako napisanim brojem ocitoje nespretno. Isti taj broj prikazan pomocu eksponencijalne notacije izgleda ovako: 1,5·1011

m. Fizicar pak koristi ovu inacicu eksponencijalne notacije: 1,500·1011 m. Pravila pisanjasu pri tome slijedeca:

• mantisa se pise tako da uvijek ima jedno cijelo brojcano mjesto cija je znamenkarazlicita od 0, i potreban broj decimala iza njega. (to drugim rijecima znaci da jevrijednost mantise izmedu 1 i 9,99...).

• broj decimala ukazuje na tocnost kojom je napisani broj poznat. Tu je glavna razlikaprema matematickom zapisu. U matematici naime vrijedi 1,5=1,500 i nule na kraju seispustaju. U fizici broj 1,5 znaci da je vrijednost koju prikazujemo izmedu 1,45 i 1,54a vrijednost 1,500 da je stvarna vrijednost izmedu 1,4995 i 1,5004!

• u pravilu se krajnji rezultat izrazava s dva decimalna mjesta, ako nije drugacije za-trazeno. Nekad se standardno i cijeli racunski postupak radio sa dvije decimale, no kakose danas numericko racunanje obavlja pomocu kalkulatora ili racunala, u racunskompostupku treba koristiti sve raspolozive decimale, a zaokruzivanje obaviti na krajnjemrezultatu da se izbjegnu greske zaokruzivanja. To se posebno odnosi na slucajeve kadau racun ulaze logaritamske, eksponencijalne ili trigonometrijske funkcije.

Znanstveni brojcani zapis izuzetno je koristan kod racunanja. Zato je prije svakoguvrstavanja brojcanih vrijednosti u fizikalne formule potrebno te vrijednosti prikazati u ovombrojcanom zapisu.

Kod prikazivanja brojcanih vrijednosti u tekstu, tablicama ili grafikonima, radi pregled-nosti i bolje razumljivosti se umjesto znanstvenog brojcanog zapisa koriste tzv. prefiksi.Prefiksi su standarde pokrate (simboli) koji nam govore kojom potencijom broja 10 trebamopomnoziti brojcanu vrijednost da bismo dobili njenu pravu vrijednost. Prefiks se pise ispredoznake (simbola) fizikalne jedinice koja pripada toj brojcanoj vrijednosti. Primjer:

kJ = 103 J pa je 2,83 kJ = 2,83·103 J = 2830 J

Prefiksi u pravilu rastu ili padaju sa faktorom 1000. Izuzetak su prefiksi koji odgovarajufaktorima 10 i 100, odnosno 0,1 i 0,01 jer se oni vrlo cesto koriste u svakodnevnom zivotu.

Pravilo prikazivanja brojcane vrijednosti ovdje je malo drugacije: mantisa treba bitiu rasponu od 1 do 999,999 s potrebnim brojem decimalnih mjesta, iza cega slijedi fizikalnajedinica s odgovarajucim prefiksom. Ako je neku vrijednost prikazanu na ovaj nacin potrebnouvrstavati u neku formulu, mora se ona prije toga prikazati odgovarajucim znanstvenimbrojcanim zapisom, jer su sve fizikane formule u svom osnovnom obliku uskladene s med-unarodnim sustavom jedinica.

U tehnici se cesto puta koriste formule prilagodene direktnom unosu velicina izrazenihu jedinicama s prefiksom ili cak u nestandardnim jedinicama, no to mora biti posebnonaglaseno u objasnjenju takove formule. Tada se mora postupati po uputama koje uz tuformulu idu.

6 GLAVA 1: UVOD

prefiks simbol multiplikator

egza E 1018

peta P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

hekto h 102

deka da 101

deci d 10−1

centi c 10−2

mili m 10−3

mikro µ 10−6

nano n 10−9

piko p 10−12

femto f 10−15

Tablica 1.2: Standardni prefiksi fizikalnih jedinica. U prvom stupcu naveden je naziv pre-fiksa, u drugom je simbol koji se za taj prefiks koristi, a u trecem stupcu je multiplikator(faktor) kojim se mnozi vrijednost jedinice na koju se prefiks odnosi.

1.1.2 Vremenske jedinice

Osnovna jedinica za vrijeme je sekunda (s). Nazalost, vece jedinice koje se nalaze u svakod-nevnoj upotrebi (minuta, sat, dan, godina) nisu dekadske pa je pretvaranje izmedu njihizvor cestih pogresaka. Ovdje je najpametnije prije ulazenja u bilo kakav racun sve svestina osnovnu jedinicu, sekundu, i njene decimalne dijelove. Npr. ako je neki vremenski periodizmjeren kao 3 sata 5 minuta 11 sekundi i 6 desetinki, pretvorimo ga u sekunde na slijedecinacin:

3h 5m 11, 6s = 3 · 3600 + 5 · 60 + 11, 6 = 11111, 6 s (1.3)

1.1.3 Kutne jedinice

U fizici je, jednako kao i u matematici, osnovna jedinica za kut radijan. Pri tome je kutod jednog radijana definiran kao kut kod kojeg je pripadajuci kruzni luk jednak polumjerukruznice na kojoj se taj luk nalazi. Iz toga proizlazi da puni krug zatvara kut od 2π radijana,pravi kut ima π/2 radijana, itd.

U slucaju da se ipak koriste stupnjevi, minute i sekunde, pretvara se sve u stupnjeve injihove decimalne dijelove na slican nacin kao i kod vremenskih jedinica, pa se u racun ulazisa stupnjevima i njihovim decimalnim dijelovima.

Pretvorba stupnjeva u radijane bazira se na cinjenici da puni kut ima 2π radijana, pa jedakle:

1.1: FIZIKALNE VELICINE I FIZIKALNE JEDINICE 7

2π rad = 360 ⇒ 1 rad =180

π

= 57, 29578 (1.4)

i obratno

1 =π

180rad = 0, 01745329 rad (1.5)

Kod koristenja radijana treba obratiti paznju na nekoliko stvari: kao prvo, kutevi izrazeniu radijanima obicno su iracionalni brojevi (npr. pravi kut je π/2 = 1, 570796... rad). Drugo,radijan je prilicno velika jedinica, pa je radi zadrzavanja potrebne tocnosti potrebno koristitibarem 5 decimalnih mjesta. I na kraju, kod svodenja na osnovni interval treba koristiti punupreciznost kalkulatora ili racunala a ne uobicajenu pribliznu vrijednost broja π zaokruzenuna samo dvije decimale!

1.1.4 Dimenzionalni racun

U fizikalne formule ulaze kompletne fizikalne velicine, dakle njihova brojcana vrijednost za-jedno s njihovom fizikalnom dimenzijom. Strogo gledano, fizikalni racun provodi se i sbrojcanim vrijednostima i njihovim dimenzijama, pri cemu se na dimenzije primijenjujupravila racunanja s opcim brojevima. Nazalost u postupku racunanja se precesto dimenzijeispustaju da bi racun bio brzi i pregledniji, no to sa sobom nosi opasnost od pogresaka u di-menzijama rezultata. Dobro je stoga, pogotvo u procesu ucenja i vjezbanja, racun provoditikompletno, dakle i s dimenzijama pojedinih velicina koje u taj racun ulaze.

Pri tome moramo voditi racuna o tome da dimenzija lijeve i desne strane bilo koje fizikalnejednadzbe mora biti jednaka. Izade li u racunu drugacije, to je jasna indikacija da je u njemunesto pogresno napravljeno. Primjerice, ako se neko tijelo 5 sekundi giba konstantnombrzinom od 3 metra u sekundi, podaci za racunanje prevaljenog puta su slijedeci:

t = 5s v = 3ms−1 (1.6)

a put racunamo po dobro poznatoj formuli

s = vt (1.7)

Uvrstavanjem poznatih podataka prvo dobijamo

s = 5s · 3ms−1 (1.8)

radi lakseg racunanja prvo odvojeno grupiramo brojeve i dimenzije:

s = 5 · 3s ·ms−1 (1.9)

i onda posebno izracunamo brojcanu vrijednost a posebno rezultirajucu dimenziju rezul-tata:

s = 15m (1.10)

Vidimo da je racun dao ispravnu dimenziju puta, metre. Da nije tako, znali bismo dasmo u racunu pogrijesili, ili da smo uzeli krive dimenzije ulaznih podataka. Racunanjes dimenzijama posebno je vazno ako u formulu uvrstavamo vrijednosti koje nisu izrazene

8 GLAVA 1: UVOD

u osnovnim jedinicama, vec se koriste jedinice s prefiksima. Zato je znatno bolje prijesamog racuna iznos svih ulaznih podataka pretvoriti u osnovne jedinice, jer onda znamo dai dimenzija rezultata mora biti u osnovnim jedinicama, sto smanjuje mogucnost pogreske uracunu. Ako je rezultat pri tome vrlo velik ili vrlo malen, nakon zavrsenog racuna opet gamozemo izraziti u prikladnoj izvedenoj jedinici.

1.2 Koordinatni sustavi

Jedan od najvaznijih podataka o fizikalnom objektu (objektima) kojeg proucavamo je njegovpolozaj u prostoru. Da bismo ga tocno i jednostavno definirali, koristimo se koordinatnimsustavima koji su uglavnom istovjetni onima koji se koriste u matematici. No, u fizici sudogovorno uvedena odredena ogranicenja na izgled i vrstu koordinatnih sustava koji se koristei o tim ogranicenjima treba itekako voditi racuna.

Osnovni i najcesce koristeni koordinatni sustav je pravokutni kartezijev sustav. Kakoizgled i odvijanje fizikane pojave ne moze ovisiti o koordinatnom sustavu (barem u slucajukad on miruje, o gibajucin koordinatnim sustavima bit ce rijeci kasnije) polozaj njegovogishodista i smjer koordinatnih osi biramo onako kako nam u danoj situaciji najbolje odgovara.Tu medutim moramo paziti na sljedece pravilo: fizikalni koordinatni sustavi uvijek sudesni!

Desni koordinatni sustav je onaj kod kojeg desni vijak koji stoji u smjeru z osi napreduje u+z smjeru kad se zakrece od +x-osi prema +y-osi. Kako je desni vijak neki puta dosta teskozamisliti, koristimo se pravilom desne ruke: ako ispruzene prste desne sake postavimou smjer +x osi, pa nakon toga prste najkracim putem savinemo prema +y osi,ispruzeni palac pokazuje smjer +z osi. Ovo pravilo od velike je pomoci pri postavljanjui analizi najrazlicitijih fizikalnih problema pa ga je potrebno dobro usvojiti. U matematicipostoje i lijevi koordinatni sustavi, a to su oni koji ne postuju gornje pravilo. Njihovaupotreba u fizici bi dovela do promjene predznaka nekih fizikalnih jednadzbi, sto bi unijeloprilicnu zbrku i nesigurnost u racunu, pa se zbog toga lijevi sustavi ne koriste.

x

y

z

y

x

z

Slika 1.1: Desni kartezijev koordinatni sustav kakav se koristi u fizici (lijevo) i primjer lijevogkoordinatnog sustava (desno).

1.2: KOORDINATNI SUSTAVI 9

Kad se u proucavanju nekog problema susretnemo s rotacijskom simetrijom, mozemoiskoristiti tu simetriju da pojednostavimo fizikalne formule. Kod toga se prelazi u cilindricnikoordinatni sustav kod kojeg su koordinate definirane na slijedeci nacin:

• z koordinata ostaje z koordinata

• udaljenost tocke od z-osi naziva se polumjer i oznacava simbolom ρ

• kut izmedu projekcije polumjera na x-y ravninu i +x osi, mjeren u pozitivnom smjeru,oznacava se simbolom ϕ

Primijetite da u dvije dimenzije (kad nema koordinate z!) ovaj sustav prelazi u polarnikoordinatni sustav u ravnini.

x

y

z

ρ

ϕ

Slika 1.2: Cilindricni koordinatni sustav i njegova veza s kartezijevim koordinatnim sustavom.

Prelazak iz kartezijevog u cilindricni koordinatni sustav:

ρ =√x2 + y2

ϕ = arctan yx

z = z

(1.11)

Ovdje je potrebno odrediti kvadrant u kojem se kut ϕ nalazi. Sama funkcija arkustangens ovdje nije dovoljna jer je njezina periodicnost π a ne 2π. To radimo uz pomocpredznaka funkcija sinx i cos x.

Obrnuti prijelaz nesto je jednostavniji i odvija se uz pomoc sljedecih formula:

x = ρ · cosϕ

y = ρ · sinϕz = z

(1.12)

Kad fizikalni problem posjeduje sfernu simetriju (objekti oblika kugle i sl.), koristi sesferni koordinatni sustav. Kod sfernog koordinatnog sustava koordinate su definirane nasljedeci nacin:

10 GLAVA 1: UVOD

θ

ϕ

x

y

z

r

Slika 1.3: Sferni koordinatni sustav i njegova veza s kartezijevim koordinatnim sustavom.

• udaljenost od ishodista do tocke cije koordinate odredujemo naziva se polumjer i odgo-vara duljini radijus-vektora te tocke. Oznacava se oznakom r.

• Kut koji polumjer zatvara sa +z koordinatnom osi oznacava se oznakom ϑ.

• kut izmedu projekcije polumjera na x-y ravninu i +x osi, mjeren u pozitivnom smjeru,oznacava se simbolom ϕ

Za prelazak iz kartezijevog u sferni koordinatni sustav koristimo sljedece formule:

r =√x2 + y2 + z2

ϑ = arctan

√x2+y2

z

ϕ = arctan yx

(1.13)

a za prelazak iz sfernog u kartezijev koordinatni sustav sljedece formule:

x = r sinϑ cosϕ

y = r sinϑ sinϕ

z = r cosϑ

(1.14)

Primjer ovakvog koordinatnog sustava je zemljopisni koordinatni sustav, ali uz malerazlike o kojima treba voditi racuna:

• kut ϕ naziva se zemljopisna duzina i mjeri se od pocetnog (tzv. nultog) meridijana od0 do 180 u smjeru istoka (E) i od 0 do 180 u smjeru zapada (W). Umjesto oznakastrana svijeta vrlo cesto koriste se predznaci + i -, pri cemu predznak + odgovarazapadnim zemljopisnim duzinama, a predznak - istocnim.

• Kut ϑ naziva se zemljopisna sirina i mjeri se od x-y ravnine (koja se podudara sazemljinim ekvatorom) od 0 do 90 u smjeru sjevera (N) i od 0 do 90 u smjerujuga (S). Umjesto oznaka strana svijeta vrlo cesto koriste se predznaci + i -, pri cemupredznak + odgovara sjevernim zemljopisnim sirinama, a predznak - juznim.

1.3: GRAFICKO PRIKAZIVANJE FIZIKALNIH VELICINA 11

• udaljenost r najcesce se ne koristi jer su za polozaj na zemljinoj povrsini dovoljnesamo dvije koordinate, zemljopisna sirina i zemljopisna duzina. Ako je ipak potrebnopoznavanje udaljenosti r, ona se naziva nadmorska visina i mjeri se od tzv. srednjeggeoida koji odgovara otprilike morskoj povrsini, a ne od sredista zemljine kugle.

• formule pretvorbe iz kartezijevog koordinatnog sustava u zemljopisni prilagodene sugornjim definicijama koordinata i razlikuju se od gore navedenih formula koje vrijedeza standardizirani sferni koordinatni sustav.

1.3 Graficko prikazivanje fizikalnih velicina

Rezultati proucanja fizikalnog modela neke pojave ili procesa uglavnom su brojacane vrijed-nosti parametara koji ga opisuju, cesto izrazene kao funkcije vremena. U prvom koraku tese vrijednosti mogu tabelirati. Npr. zamislimo si da smo pratili vodostaj rijeke Save kodZagreba i pri tome smo u vise ili manje pravilnim vremenskim razmacima zabiljezili njegoviznos. Rezultat takvog postupka mozemo staviti u tablicu:

t [dani] h(t) [cm]

1 128

2 156

3 201

4 156

5 166

6 144

7 133

8 135

Tablica 1.3: Vodostaj Save mjeren uvijek u isto vrijeme dana. Da bi se oznake fizikalnihjedinica razlikovale od oznaka funkcionalnih ovisnosti i sl. obicno se stavljaju u uglate za-grade. Tako je npr. u drugom stupcu odmah jasno da je h funkcija vremena t, te da je utablici vrijednost varijable h izrazena u centimetrima [cm].

Iako ova tablica sadrzi sve informacije koje nas zanimaju, ona je nepregledna. Ljudskimozak puno lakse se snalazi sa slikama nego s tablicama brojeva. Zbog toga se fizikalnipodaci najcesce prikazuju graficki, pocevsi od jednostavnih skica, preko grafikona pa do vrloslozenih slika ili slikama slicnim nacinima prikazivanja (npr. slike u laznim bojama i sl.). Micemo se ovdje zadrzati na jednostavnim grafikonima.

Grafikon, ili graf kako se cesto puta skraceno naziva, u svom osnovnom obliku je kartezijevsustav u ravnini. Pri tome se x-os postavlja horizontalno (ide po sirini papira na kojemcrtamo graf) i naziva se os apscisa, a y-os se postavlja vertikalno i naziva se os ordinata.Prije pocetka crtanja osi grafikona moramo odluciti kako velik ce taj grafikon biti, ukljucujucii dodatni prostor izvan samih osi potreban za njihove naslove i brojcane podjele na njima.Uzmimo na primjer da je raspoloziv prostor prikazan okvirom na slici 1.4. Ako radimo napapiru velicine A4, dobra pocetna velicina prostora za grafikon je 18 cm sirine i 15 cm visine.

12 GLAVA 1: UVOD

papir

prostor za graf

Slika 1.4: Prostor koji smo izabrali za grafikon na listu papira oznacen je okvirom.

Grafikon ipak ima jednu specificnost po kojoj se razlikuje od kartezijevog koordinatnogsustava: velicina podjele na osi apscisa ne mora biti (najcesce ni nije!) jednaka velicinipodjele osi ordinata. Uz to, kako se na osi nanose vrijednosti fizikalnih velicina, podjele osiimaju i svoje dimenzije koje su obicno razlicite za os ordinata i za os apscisa. Dogovorno seos apscisa pridruzuje nezavisnoj fizikalnoj velicini (onoj o kojoj promatrani proces ovisi),a os ordinata zavisnoj fizikalnoj velicini. U nasem primjeru nezavisna fizikalna velicinaje vrijeme, koje u ovom slucaju mjerimo u danima, a zavisna fizikalna velicina je vodostaj.

Kad smo dakle odredili ukupnu velicinu grafikona, ostavimo prostor za oznake na osimai za naslove osi (u nasem primjeru po 2 cm ispod osi apscisa i lijevo od osi ordinata, te 1 cmispod vrha okvira za naslov grafikona, pa ucrtamo same osi (slika 1.5).

Druga posebnost grafikona je da se osi ne moraju sijeci u ishodistu. Naime, da se opti-malno iskoristi raspolozivi prostor grafikona, na osi se nanosi samo interval vrijednosti unutarkojeg se nalaze sve opazene vrijednosti pripadajuce fizikalne varijable. Tako u nasem slucajuos apscisa treba prikazati samo interval od 1 do 8 dana, a os ordinata vrijednosti vodostaja od128 do 201 cm. Pri tome se pazi da su vrijednosti na osima zaokruzene (obratite paznju na toda mnogo racunalnih programa prilikom grafickog prikaza ne postuje ovo pravilo. Takvi suprogrami neupotrebivi za ozbiljan rad!). Tako bismo u slucaju osi ordinata interval postaviliod 120 do 220 cm. Nadalje, kod odredivanja glavnih podjela (brojcanih oznaka) na osimavodimo racuna o tome da ih ne bude previse jer je tada grafikon nepregledan. U praviluse za oznacavanje brojcanih vrijednosti na osima koriste okrugli brojevi a ukupan brojpodjela se krece izmedu 5 i 10 (slika 1.6). Zeli li se omoguciti precizno ucrtavanje podatakai njihovo kasnije ocitavanje sa grafikona, grafikon se crta na milimetarskom papiru.

U iducem koraku u grafikon ucrtavamo podatke (u nasem primjeru one iz tablice 1.3).Svaki podatak oznacimo tockom ciji polozaj na grafikonu odgovara njenim koordinatama(vrijednostima apscise i ordinate). Ovo ucrtavanje mora se napraviti precizno (slika 1.7).

Na kraju se sve tocke povezu linijama kako bi se naznacio njihov slijed u grafikonu.Slijede li tocke neku krivulju, tocke ne spajamo ravnim crtama nego pokusavamo sto tocnijeslijediti oblik te krivulje. U najjednostavnijem slucaju to se radi prostorucno, ali se boljatocnost postize koristenjem krivuljara. Ako se grafikon crta pomocu racunala te ako znamo


os apscisa

os o

rdin

ata

oznake podjela i naslov osi

oznake p

odje

la i n

aslo

v o

si

naslov (ime) grafikona

Slika 1.5: Osi na grafikon ucrtamo tako da ostane dovoljno mjesta za brojcane oznake nanjima i za njihove naslove. Naslov (ime) cijelog grafikona dolazi obicno ispod gonjeg rubaraspolozivog prostora.

funkcionalni oblik krivulje moze se taj oblik krivulje pripasati na podatke u grafikonu(pripasivanje, od engleskog termina za ovaj postupak: ”fitting”). Zavrsen grafikon iz nasegprimjera prikazan je na slici 1.8.

14 GLAVA 1: UVOD

vodosta

j (c

m)

1 2 4 6 8

proteklo vrijeme (dani)

120

160

200

Vodostaj Save kod Zagreba

Slika 1.6: Oznacavanje brojcanih vrijednosti na osima i upisivanje naziva osi.

vodosta

j (c

m)

1 2 4 6 8


120

160

200


Slika 1.7: U slijedecem koraku u graf se ucrtavaju podaci, najcesce kao tocke na odgo-varajucim koordinatama u njemu.


vodosta

j (c

m)

1 2 4 6 8


120

160

200


Slika 1.8: Zavrseni grafkon. Vremenski slijed tocaka ucinjen je vidljivijim tako da su tockemedusobno povezane tankim ravnim crtama.

16 GLAVA 1: UVOD

Glava 2

Kinematika i dinamika materijalnetocke

Materijalna tocka najjednostavniji je fizikalni model stvarnog tijela. Ovaj model zanemarujevelicinu i oblik tijela i uzima da je cijelo tijelo sazeto u tocku bez dimenzija. No, za razlikuod matematicke tocke, materijalna tocka zadrzava fizikalna svojstva tijela (masu, naboj isl.). Kad proucavamo gibanje materijalne tocke uzimamo da je ukupna masa tijela sazeta unju sto znatno pojednostavljuje matematicki aparat potreban za pracenje tog gibanja. Pritome se unutar kinematike bavimo zakonitostima tog gibanja ne istrazujuci njegove uzroke,a unutar dinamike proucavamo prvenstveno uzroke gibanja (sile) i njihovo djelovanje nasvijet oko nas.

2.1 Pravocrtno gibanje

Zasmislimo si pjesaka koji sece nekom gradskom ulicom. Uz pomoc sata lako mozemo odre-diti vrijeme proteklo od pocetka nase setnje a pomocu plana grada ili nekog mjernog uredajazabiljeziti i nas trenutni polozaj. Npr. nakon 18 minuta setnje prevalili smo put od 1360m. Pri tome vec intuitivno radimo pojednostavljenje o kojem smo govorili u prethodnompoglavlju: zanemarujemo nasu velicinu i oblik, a nas polozaj odredujemo kao da se radi omaterijalnoj tocki.

xO x(t1) x(t2) x(t3) x(tn)...

Slika 2.1: Ilustracija jednodimenzionalnog gibanja.

Ponavljanjem mjerenja dobit cemo tablicu koja nam opisuje kako nas polozaj ovisi ovremenu (2.1).

17

18 GLAVA 2: KINEMATIKA I DINAMIKA MATERIJALNE TOCKE

t [min] x(t) [m]

0 0

5 300

12 930

18 1360

22 1840

28 2200

Tablica 2.1: Tablica predenog puta u ovisnosti o vremenu kod jednodimenzionalnog gibanja.t predstavlja vrijeme proteklo od pocetka setnje, a x(t) polozaj setaca u tom trenutku. Uuglatim zagradama su mjerne jedinice u kojima su izrazeni podaci u tablici.

S ozirom na to da je kod mjerenja kao jednica za mjerenje vremena koristena minuta, uprvom koraku tablicu prepisemo tako da vrijeme izrazimo u njegovim osnovnim jedinicama,sekundama:

t [s] x(t) [m]

0 0

300 300

720 930

1080 1360

1320 1840

1680 2200

Tablica 2.2: Prepisana tablica sa vremenom u osnovnim jedinicama: sekundama.

Ova tablica vec sadrzi sve podatke koji su nam potrebni za analizu gibanja, ali je mnogobolje podatke iz tablice prikazati graficki. Pri tome vrijeme kao nezavisnu velicinu nanosimona os apscisa a prijedeni put na os ordinata. Tako dobiven graf prikazan je na slici 2.2.

Posvetimo sad malo paznje ovom grafikonu. On pokazuje kako prevaljeni put ovisi ovremenu. Prva stvar koju mozemo napraviti je da izracunamo brzinu hodanja. Brzina sedefinira kao promjena puta u vremenu, dakle

v =∆x

∆t(2.1)

gdje je ∆x put koji je prevaljen u odgovarajucem vremenskom intervalu ∆t.Pri tome je

∆x = x(t2)− x(t1) (2.2)

odnosno

∆t = t2 − t1 (2.3)

2.1: PRAVOCRTNO GIBANJE 19

0

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500

s (m

)

t (s)

Slika 2.2: Graficki prikaz jednodimenzionalnog gibanja.

gdje t1 oznacava pocetak a t2 kraj vremenskog intervala. Ovako izracunata brzina nazivase srednja brzina u vremenskom intervalu ∆t. U nasem primjeru srednja brzina pjesakaje:

v =2200− 0

1680− 0

m

s= 1, 31 ms−1 (2.4)

Primijetite da smo u racunu radi preglednosti odvojili brojcane vrijednosti i njihovejedinice, ali je racun proveden kompletno, s brojcanim vrijednostima i njihovim jedinicama,a tako je zapisan i krajnji rezultat. U postupku rjesavanja fizikalnih jednadzbi vrlo cestose jedinice izuzimaju iz racuna a krajnjem rezultatu se pripisuje njegova ispravna fizikalnadimenzija. No, to podrazumijeva da su u jednadzbe uvrstavane brojcane vrijednosti varijabliizrazene u njihovim osnovnim jedinicama!

Koncept srednje brzine vrlo je koristan i cesto se koristi u jednostavnijim razmatranjima.No, pri rjesavanju fizikalnih problema on najcesce nije dovoljan, vec se mora koristiti trenutnabrzina, tj. trenutni iznos brzine u nekom vremenskom trenutku t. Trenutnu brzinu mozemonaci tako da smanjujemo vremenski interval za koji racunamo srednju brzinu. Sto je tajinterval manji, srednja je brzina bliza trenutnoj, ali je (s prakticne strane!) potrebno tocnijemjeriti i polozaj i vrijeme. Kad vremenski interval postane beskonacno malen, srednja brzinapostaje jednaka trenutnoj, a matematicki se taj proces opisuje postupkom nalazenja granicnevrijednosti (limesa) srednje brzine:

v(t) = lim∆t→0

∆x

∆t(2.5)

Trenutna brzina mijenja se iz trenutka u tren pa kazemo da je brzina funkcija vremena.Kako je i prevaljeni put ocito funkcija vremena, gornja jednadzba svodi se na derivaciju:

v(t) =dx(t)

dt(2.6)

Kad god u fizici spominjemo brzinu, podrazumijeva se da govorimo o trenutnoj brzini,a pridjev trenutna (ili prava) se ispusta. Koristimo li srednju brzinu to se onda posebno


naglasava, a simbolicki se srednja brzina (kao i sve druge srednje vrijednosti s kojima cemose susretati) oznacava ravnom crtom iznad samog simobla: v je dakle simbol za srednjubrzinu a v za (trenutnu) brzinu.

Iz svakodnevnog iskustva znamo da se brzina isto tako najcesce stalno mijenja. Npr. naspjesak sporije ide uzbrdo, mora stati na semaforu i pricekati zeleno, pa onda opet krenuti,itd. Vremenske promjene brzine nazivamo ubrzanjem, pri cemu za razliku od svakodnevnogzivota, pojam ubrzanje (akceleracija) u fizici ukljucuje i povecanje i smanjenje brzine, alii promjenu smjera brzine, o cemu ce vise rijeci biti kasnije. Nadalje, ubrzanje u fizici imaizuzetno veliku vaznost jer je preko Newtonovih aksioma direktno povezano sa silama.

Kao i prije, nacesce cemo se koristiti trenutnim ubrzanjem (gdje isto tako pridjev trenutnouglavnom ispustamo) koje definiramo kao vremensku promjenu brzine:

a(t) =dv(t)

dt(2.7)

Kombiniramo li jednadzbe 2.6 i 2.7 nalazimo da je ubrzanje druga derivacija puta povremenu:

a(t) =d

dt

(dx(t)

dt

)=d2x(t)

dt2(2.8)

Kod cega nam funkcija x(t) opisuje kako prevaljeni put ovisi o vremenu. Podrazumijevase da nam je ta funkcija poznata.

Ponovimo jos jednom: ako znamo kako put ovisi o vremenu (tj. znamo funkciju x(t)),mozemo iz nje deriviranjem naci brzinu i ubrzanje u svakom trenutku za koji je ta funkcijapoznata. Brzina je opisana funkcijom v(t) koja je prva derivacija puta po vremenu a ubrzanjefunkcijom a(t) koja predstavlja drugu derivaciju puta po vremenu.

2.1.1 Inverzni problem u fizici

Moze se dogoditi da umjesto puta, poznajemo ovisnost ubrzanja o vremenu. Ovakav prob-lem naziva se inverzni problem. Opcenito rjesavanje inverznog problema moze biti jed-nostavnije ali i slozenije od rjesavanja osnovnog problema, a moguce je i to da osnovniproblem uopce ne mozemo rijesiti, a inverzni mozemo, ili obratno. U slucaju puta, brzinei ubrzanja inverzni je problem je relativno jednostavno rijesiti. Ako je poznato ubrzanje(dakle poznajemo funkciju a(t)), brzinu nalazimo obrnutim postupkom od deriviranja, dakleintegracijom:

v(t) =∫a(t)dt+ v0 (2.9)

Ovdje se pojavila konstanta integracije v0. U fizici ova konstanta predstavlja vrijednostbrzine u trenutku t=0, pa se ona naziva pocetni uvjet. Dakle, da bismo mogli naci brzinuiz poznatog ubrzanja, osim integracije ubrzanja po vremenu moramo dodatno poznavati iiznos brzine u pocetnom trenutku, ili neki podatak koji nam omogucava da ju nademo (npr.poznata brzina na kraju, ili u nekom trenutku za vrijeme samog gibanja). Krenemo li korakdalje, vidimo da jos jednom integracijom dolazimo do puta:

x(t) =∫v(t)dt+ x0 (2.10)

2.2: GIBANJE U VISE DIMENZIJA 21

Vidimo da je i ova integracija sa sobom donijela jos jedan dodatni pocetni uvjet, polozajtijela u trenutku t = 0!

Primjer: jednoliko gibanje po pravcu

Kod jednolikog gibanja brzina je konstantna, a ubrzanja nema. To znaci da je

v(t) =∫

0dt+ v0 = v0 (2.11)

i

x(t) =∫v0dt+ x0 = v0t+ x0 (2.12)

x0 je pocetni uvjet za jednoliko gibanje i predstavlja polozaj tijela u trenutku t = 0.

Primjer: Slobodni pad

Kod slobodnog pada ubrzanje je konstanto i jednako ubrzanju sile teze g (naravno uz zane-marivanje otpora zraka!), a gibanje se odvija u smjeru vertikale prema dolje. I tu se dakleradi o gibanju po pravcu, ali sa stalnim ubrzavanjem. Opcenito se gibanje kod kojeg jeubrzanje konstantno naziva jednoliko ubrzano gibanje, a kad se radi o padanju onda ufizici koristino naziv slobodni (li prosti) pad. Jednadzbe 2.9 i 2.10 nam, uz poznavanjerubnih uvjeta daju

v(t) =∫gdt+ v0 = gt+ v0 (2.13)

i

x(t) =∫

(gt+ v0)dt+ x0 =g

2t2 + v0t+ x0 (2.14)

v0 i x0 su pocetni uvjeti za jednoliko ubrzano gibanje a predstavljaju brzinu i polozajtijela u trenutku t = 0.

2.2 Gibanje u vise dimenzija

Kod gibanja na pravcu (u jednoj dimenziji) bio nam je dovoljan predznak ”+” ili ”-” danam odredi u kojem smjeru se gibanje odvija. U ravnini je problem nesto slozeniji. Naskoordinatni sustav sad je dvodimenzionalan i izgleda ovako:

Kod dvodimenzionalnog gibanja trenutne polozaje tijela opisujemo tockama A, B, C,...itd. Svaka ta tocka posjeduje dvije kordinate, x i y. Opis smjera gibanja sad je slozeniji, imoze se napraviti na nekoliko nacina. Jedan od njih je vektorski prikaz koji radi njegovejednostavnosti i preglednosti koristi moderna fizika. U tom prikazu put, brzina i ubrzanjepostaju vektorske velicine. Pri tome je definicija i nacin koristenja vektora u fizici potpunojednak matematickoj definiciji vektora. Velika prednost vektorskog prikaza je i ta da je onjednak i u trodimenzionalnom slucaju, a jednodimenzionalni slucaj jednostavno je pojednos-tavljenje dvodimenzionalnog.

U vektorskom prikazu polozaj u koordinatnom sustavu opisuje se tzv. radijus vektorom.Radijus vektor je vektor koji spaja ishodiste i tocku ciji polozaj zelimo opisati, s time da je


s(t)

xO

r1

r2r3

y

s1,2

Slika 2.3: Graficki prikaz dvodimenzionalnog gibanja od tocke A do tocke B.

pocetak radijus vektora uvijek u ishodistu. Put prevaljen od tocke A do tocke B jednak jerazlici njihovih radijus vektora:

~s = ~rB − ~rA (2.15)

Obratite paznju na to da se uvijek od radijus vektora krajnje tocke oduzima radijusvektor pocetne tocke! Kako u dvije dimenzije put moze biti bilo kakva krivulja, prikazivanjedijela prevaljenog puta na ovaj nacin moguce je samo ako se taj dio puta moze aproksimirativektorom. To je uglavnom moguce ako je vremenski interval malen, pa se ovakav nacinopisivanja prevaljenog puta koristi u izvodima kod kojih vremenski interval tezi k nuli. U

ostalim slucajevima staza tijela opisuje se vektorskom funkcijom ~r(t) koja predstavlja radijusvektor tijela kao funkciju vremena. Brzina i ubrzanje su kao i prije vremenske derivacije puta:

~v =d

dt~r (2.16)

~a =d

dt~v =

d2

dt2~r (2.17)

Radi preglednosti se navodenje funkcionalne ovisnosti fizikalnih velicina o vremenu vrlocesto ispusta iz fizikalnih jednadzbi. Treba dakle imati na umu da su opcenito sve fizikalnevelicine funkcije vremena. U rjesavanju fizikalnih jednadzbi koje su formulirane vektorskiuvijek se nastoji pravilima vektorskog racuna doci sto je moguce blize krajnjem rjesenju, atek kad je to zaista nuzno raspisuju se te jednadzbe u komponente i rjesavaju do kraja pokomponentama.

2.3 Newtonovi aksiomi

Cijela dosadasnja analiza gibanja pocivala je samo na poznavanju ovisnosti puta o vremenu(odn. u inverznom problemu na poznavanju ovisnosti ubrzanja o vremenu!) i kao rezultat

2.3: NEWTONOVI AKSIOMI 23

nam je dala alate pomocu kojih mozemo analizirati gibanje u najrazlicitijim situacijama.No, o uzrocima gibanja u tom razmatranju nije receno ama bas nista.

Znanost se mogucim uzrocima gibanja bavila od samog svojeg pocetka, a moderan pogledna tu problematiku postavio je Isaac Newton krajem 17. stoljeca. Njegovi zakljucci temeljsu moderne mehanike i poznati su pod imenom Newtonovi aksiomi:

I. Kad na tijelo ne djeluje nikakva sila, ili je zbroj svih sila koje na tijelo djeluju jednaknuli, tijelo miruje ili se giba jednoliko po pravcu.

II. Promjena kolicine gibanja tijela jednaka je sili koja na to tijelo djeluje, a odvija se usmjeru sile.

III. Ako jedno tijelo djeluje nekom silom na drugo tijelo, tada drugo tijelo djeluje naprvo silom istog iznosa a suprotnog smjera.

Aksiom je u znanosti tvrdnja za koju se smatra da je potpuno i sigurno tocna, ali se tone moze dokazati. Aksiomi su obicno osnovni principi na kojima pociva moderna znanost, aima ih svaka znanstvena disciplina.

Pogledajmo sad malo detaljnije izricaje ova tri aksioma:Prvi aksiom nam govori kako se giba tijelo na koje ne deluje nikakva sila. Ono u tom

slucaju ostaje u stanju gibanja u kojem se nalazi. tj. ako miruje, mirovat ce i dalje, a ako segiba, giba se jednoliko po pravcu. To znaci da je ubrzanje tijela jednako nuli a brzina mu jekonstantna (vektorska!). Na kraju, ovaj aksiom nam govori da ce se ista stvar dogoditi i akona tijelo djeluju nekakve sile, pod uvjetom da je vektorski zbroj svih tih sila jednak nuli.

Drugi aksiom nam govori sto se dogada kad na tijelo djeluje neka sila. Sila izazivapromjenu kolicine gibanja tog tijela. Kolicina gibanja je vrlo vazna fizikalna velicina, adefinira se kao vektor koji je jednak umnosku mase i brzine tijela:

~p = m~v (2.18)

Izricaj drugog Newtonovog aksioma moze se matematicki zapisati kao

~F =d

dt(m~v) (2.19)

Raspisivanje ove definicije daje

~F =dm

dt~v +m

d~v

dt(2.20)

Kako je masa tijela najcesce konstantna (ali ne uvijek!) prvi dio ovog izraza postajenula pa nam ostaje

~F = md~v

dt= m~a (2.21)

Sto je pojednostavljeni izricaj II. Newtonovog aksioma koji poznajemo iz srednje skole.Primjeri situacija kad se mora koristiti puni izricaj 2.19 su npr. let rakete (izgaranjem gorivamasa rakete stalno se smanjuje) i sl.

Treci aksiom, poznat i kao zakon akcije i reakcije, nam govori da svaka sila prilikomdjelovanja na neki objekt u njemu izaziva silu reakcije koja na izvor prve sile djeluje jednakomjacinom, ali u suprotnom smjeru. Npr. prilikom leta rakete plameni mlaz biva velikom silomizbacivan iz mlaznice prema natrag, a reakcija na tu silu ubrzava raketu prema naprijed.


Napomenimo jos samo to da Newtonovi aksiomi identificiraju uzroke gibanja kao sile, padapace i omogucavaju tocno predvidanje posljedica djelovanja tih sila, ali o samim silama negovore ama bas nista. U protekla tri stoljeca Fizika je sakupila poprilicnu kolicinu znanja osilama i njihovom ponasanju u svijetu koji nas okruzuje. S dijelom tog znanja upoznat cetese i u toku ovog kolegija.

2.3.1 Impuls sile i kolicina gibanja

tO

F

t1

t2

Slika 2.4: Graficki prikaz neke proizvoljne kratkotrajne sile.

Neka na tijelo mase m u kratkom vremenskom periodu (t1, t2) djeluje neka sila opisanafunkcijom f(t). Zanima nas posljedica djelovanja te sile. Radi jednostavnosti cemo seograniciti na 1-D problem. Matematicki cemo si tu silu opisati ovako:

F = 0 t ≤ t1

F = f(t) t1 < t < t2

F = 0 t ≥ t2

(2.22)

Iz II. Newtonovog aksioma znamo da je (uzimamo da je masa u kratkom vremenskomperiodu u kojem sila djeluje konstantna!)

a =F

m(2.23)

a iz prijasnjih analiza gibanja znamo i da je

v(t) =∫a(t)dt+ v0 (2.24)

Uvrstimo li sad gornji oblik sile nalazimo

v(t) =∫ t1

−∞0dt+

∫ t2

t1f(t)dt+

∫ t

t20dt+ v0 (2.25)

Prvi i treci integral iscezavaju, pa je krajnji rezultat sljedeci:

2.4: SILA TRENJA 25

v(t) = v0 t ≤ t1 (2.26)

prije pocetka djelovanja sile, odnosno

v(t) = v0 +IFm

t ≥ t2 (2.27)

nakon sto je sila iscezla. Zanemarimo u ovom casu onaj mali interval vremena (t1, t2) ukojem je djelovala sila. Velicina IF naziva se impuls sile i ima dimenziju N·s:

IF =∫ t2

t1f(t)dt (2.28)

Pomnozimo li jednadzbu 2.27 masom, nalazimo da je

mv(t) = mv0 + IF t ≥ t2 (2.29)

iz cega vidimo da je promjena kolicine gibanja jednaka impulsu sile:

∆~p = m~vo + IF −m~vo = IF (2.30)

2.4 Sila trenja

veze nastaju na

mjestima bliskog dodira

Slika 2.5: Kako nastaje staticka sila trenja.

Kad god su dva tijela u dodiru, javlja se izmedu njih privlacna sila koju nazivamo silatrenja. Uzrok ove sile su tzv. kohezijske sile kojima se na atomskoj skali povezuju atomi (ilimolekule, ovisno o slucaju) na povrsini jednog tijela s atomima na povrsini drugog tijela. Akotijela medusobno miruju, nastaje staticka sila trenja koja se odupire pomicanju jednogtijela prema drugome. Zelimo li neki ormar guranjem premjestiti iz jednog mjesta u sobi nadrugo, to je sila koja se odupire pomicanju ormara!

Posebna karakteristika sile trenja je da ona djeluje uvijek u smjeru suprotnom od smjerau kojem jedno tijelo klizi po drugome, odn. u slucaju da tijela miruju, u smjeru suprotnom


G

F

FT

Slika 2.6: Sili ~F kojom zelimo pomaknuti tijelo odupire se sila trenja ~FT . Sila trenjaproporcionalna je tezini tijela, a tako dugo dok je vanjska sila ~F manja od nje, tijelo ceostati u stanju mirovanja.

od smjera u kojem bi zeljeli pomaknuti tijelo na koje djelujemo (slika 2.6). Kod kotrljanja jesila trenja suprotna smjeru u kojem se giba kotrljajuce tijelo. Iznos sile trenja matematickiopisujemo sljedecom relacijom:

FT = µF⊥ (2.31)

FT je iznos sile trenja, µ je koeficijent trenja koji se odreduje pokusima, a ovisi o ma-terijalima od kojih su nacinjena dva tijela u kontaktu te o stanju njihovih povrsina (hrapave,glatke, polirane i sl.), a F⊥ je sila koja pritisce jedno tijelo na drugo u smjeru okomitom naspojnu plohu ta dva tijela. Ako spojna ploha nije ravna, situacija se komplicira i ukupniiznos sile trenja mora se naci integracijom po spojnoj plohi. F⊥ je najcesce komponentatezine tijela okomita na spojnu plohu.

objekt se giba u ovom smjeru

veze nastaju

veze pucaju

Slika 2.7: Dinamicka sila trenja.

Klize li jedno tijelo po drugome, kohezijske sile na mjestima dodira negdje pucaju a is-tovremeno se negdje drugdje stvaraju nove (slika 2.7). Posljedica je i opet gotovo konstantna

2.4: SILA TRENJA 27

sila koja se odupire pomicanju, a karakterizira je to da je njen smjer uvijek suprotan smjerupomicanja. Pokusi pokazuju da je sila trenja u ovom slucaju najcesce primjetno manja odstaticke sile trenja pa se ona naziva dinamicka sila trenja.

Kod kotrljanja jednog tijela po drugome dolazi do pojave posebne vrste dinamicke siletrenja koja je manja od sile u slucaju klizanja zato jer kohezijske veze pretezno nastaju nastrani tijela koja se primice podlozi a pucaju na suprotnoj strani, pa se djelomicno medusobnokompenziraju (slika 2.8), pa govorimo o trenju kotrljanja.

kotrljanje pomiče objekt u ovom smjeru

veze nastajuveze pucaju

Slika 2.8: Dinamicka sila trenja kod kotrljanja.

Kad na dva tijela u mirovanju djelujemo nekom silom, ona ce mirovati tako dugo dokse ta sila ne izjednaci sa silom trenja. U tom casu jedno tijelo pocinje klizati po drugome,trenje iz statickog prelazi u dinamicko, pa kako je obicno dinamicki koeficijent trenja manjiod statickog, tijelo se pocne gibati jednoliko ubrzano. Kod vecih brzina dinamicki koeficijenttrenja vise nije konstantan, a ovisno o situaciji moze rasti ili padati. Tipican primjer ovakvogpromjenjivog dinamickog koeficijenta trenja je otpor zraka, koji sa porastom brzine nagloraste.

2.4.1 Kosina i trenje na njoj

Kosina je jedna od najstarijih mehanickih strojeva (o mehanickim strojevima ce vise rijeci

biti kasnije). Na tijelo na kosini djeluje sila teza koja se manifestira kao tezina tijela ~G (vidisliku 2.9). Tezina tjela djeluje uvijek u smjeru lokalne vertikale prema dolje, a hvatiste joj

je u tezistu tijela. Na kosini se ona rastavlja na dvije komponente: normalnu, ~GN kojadjeluje okomito na plohu kosine i tangencijalnu, ~GT koja djeluje u smjeru plohe kosineprema dolje. Normalna komponenta odreduje iznos sile trenja, a tangencijalna predstavljasilu koja tijelo zeli pokrenuti prema dolje. Treba napomenuti da je hvatiste sile trenja FTu geometrijskom tezistu dodirne plohe tijela i kosine, no u slucaju klizanja tijela po kosinibez prevrtanja moze se vektor sile trenja translatirati do tezista tijela (u polozaj F ′T ) cimeanaliza sila postaje jednostavnija. Postane li tangencijalna komponenta jednaka sili trenja,tijelo ce poceti kliziti niz kosinu. Ako je vrsni kut kosine α, nalazimo:

GN = G cosα (2.32)


T

HT

GT

FT'

FT

GGN

α

Slika 2.9: Tijelo na kosini i sile koje na njega djeluju.

FT = µGN (2.33)

i

GT = G sinα (2.34)

pa u trenutku izjednacavanja sile trenja i tangencijalne komponente tezine dobijamo daje

G sinα = µG cosα (2.35)

ili

µ = tanα (2.36)

Primijetite da je tezina tijela u ovom slucaju ispala iz racuna! To znaci da rezultat ne ovisio tezini. Na ovaj nacin cesto puta se eksperimentalno odreduje koeficijent trenja. Na kosinuizradenu od jednog materijala stavimo predmet (npr. kvadar) od drugog materijala, naravnouz odgovarajuci priredene povrsine. Kut kosine nekim se mehanizmom (npr. vijkom) laganopovecava sve do trenutka u kojem tijelo pocne klizati po kosini. Iz kuta kosine u tom trenutkuizracunamo koeficijent trenja uz pomoc jednadzbe 2.36.

Glava 3

Gibanje po krivulji

3.1 Kruzno gibanje

v

ωr

Slika 3.1: Gibanje tocke na obodu kotaca. Primijetite da je trenutna brzina v uvijek tan-gencijalna na kruznicu.

Na slici 3.1 skiciran je kotac koji se okrece oko osi koja prolazi kroz njegovo srediste,okomito na ravninu kotaca. Ako se kotac okrene N puta u sekundi, kazemo da je njegovafrekvencija (u tehnici se cesto puta koristi termin broj okretaja) N okreta u sekundi.Standardna oznaka za frekvenciju je f a jedinica za frekvenciju ima dimenziju s−1. Pojamfrekvencije u fizici se koristi kod svih pojava koje se periodicki ponavljaju sto osim kruznoggibanja obuhvaca sve vrste titranja i valnih pojava.

Ako na obodu kotaca oznacimo neku tocku T, vidjet cemo da ona tijekom vrtnje uprostoru opisuje kruznicu. Brzina gibanja te tocke je:

v = 2πrf (3.1)

gdje je r polumjer kruznice, a f frekvencija kojom se kotac okrece. Ovakvu brzinunazivamo obodna brzina tocke T. U fizici vrlo cesto umjesto frekvencije koristimo kutnu

29

30 GLAVA 3: GIBANJE PO KRIVULJI

brzinu koju definiramo kao kut (izrazen u radijanima!) za koji se kotac zakrene u jedinicivremena. Kako puni kut ima 2π radijana, veza izmedu kutne brzine i frekvencije je:

ω = 2πf (3.2)

gdje smo za kutnu brzinu koristili njenu standardnu oznaku, ω. Izraz za obodnu brzinutime postaje:

v = rω (3.3)

Polozaj tocke na obodu kotaca opisuje se polarnim koordinatama, pri cemu je ishodistekoordinatnog sustava u sredistu rotacije kotaca, a x-os se postavi u nekom zgodnom smjeru(recimo tako da je tocka za t = 0 na x-osi). Trenutni polozaj tocke sad se moze opisatifunkcijom ϕ(t) jer je polumjer r kod kruznog gibanja uvijek isti. U slucaju jednolike rotacijeobodna brzina je konstantna pa je:

ϕ(t) = ωt (3.4)

Put koji tocka T prevali kad se kotac zakrene za kut ϕ(t) je:

s = rϕ (3.5)

Ovdje se kut φ ne smije svoditi na osnovni interval jer on predstavlja ukupni kut zakretakotaca!

Usporedimo li jednadzbe koje opisuju kruzno gibanje s jednadzbama jednolikog gibanjapo pravcu, vidjet cemo da su one matematicki potpuno jednake:

gibanje po pravcu kruzno gibanje

s = vt ϕ = ωt(3.6)

To znaci da jednostavnom zamjenom varijabli mozemo iz vec poznatih jednadzbi gibanjapo pravcu dobiti odgovarajuce jednadzbe za kruzno gibanje. Ovakav postupak naziva seanalogija. Primjerice, za jednoliko ubrzano kruzno gibanje ovim postupkom nalazimo:

gibanje po pravcu kruzno gibanje

v = at+ vo ω = αt+ ωo

s = a2t2 + vot+ so ϕ = α

2t2 + ωot+ ϕo

v2 = v2o + 2as ω2 = ω2

o + 2αϕ

(3.7)

3.1.1 Primjer

Neka se svrdlo elektricne busilice okrece s f = 1800 okreta u minuti. Za koji kut se svrdlozakrene u vremenu t = 2 ms? Ako kod pokretanja svrdlo iz stanja mirovanja do konacnebrzine ubrzava 0,64 s, koliko je kutno ubrzanje svrdla u tom vremenskom periodu?

Prvo nademo kutnu brzinu svrdla a onda iz nje i trazeni kut zakreta:

ω = 2πf = 2π 180060

= 188, 50 rads−1

ϕ = ωt = 188, 50 · 0, 002 = 0, 37 rad(3.8)

3.2: CENTRIPETALNO UBRZANJE 31

Nakon toga odredimo i kutno ubrzanje koje se javlja za vrijeme ukljucivanja busilice:

α =ω

t=

188, 50

0, 64rads−2 (3.9)

3.2 Centripetalno ubrzanje

Ako je kutna brzina konstantna, obodna brzina je konstatna po iznosu, ali cijelo vrijemeneprestano mijenja svoj smjer.

v1

v2

∆α

r1

r2

T1

T2

∆α

v1

v2

∆v

Slika 3.2: Ubrzanje kod kruznog gibanja. U nekom malenom vremenu ∆t kotac se zaokreneza kut ∆α, a tocka na obodu prevali put ∆s. Iako je brzina po iznosu konstantna, zbogokretanja se njen smjer promijeni za ~∆v.

Zamislimo si da je u odabranom vremenskom trenutku tocka T bila u polozaju T1 (slika3.2). Nakon nekog malog intervala vremena ∆t tocka T dosla je u polozaj T2. Pri tome seradijus vektor (ishodiste radi jednostavnosti stavimo u srediste kruznice po kojoj se tockaT giba) zakrenuo za kut ∆α iz polozaja r1 u polozaj r2. Brzina tocke T je po iznosu ostalanepromjenjena, ali se vektor brzine ~v zaokrenuo. Kut zaokreta lako nademo iz cinjenice daje obodna brzina uvijek tangencijalna na kruznicu, sto znaci da je obodna brzina uvijekokomita na polumjer kruznice po kojoj se gibanje odvija. Odatle dalje slijedi da je kut zakoji je brzina promijenila svoj smjer jednak kutu za koji se tocka T zaokrenula oko sredistakruznice.

Ako pretpostavimo da je kut zakretanja jako malen, promjena brzine bit ce okomita natrenutni smjer brzine, a iz slicnih trokuta (umetak na slici 3.2) nalazimo i njen iznos:

∆v

v=

∆s

r(3.10)

gdje je ∆s put koji je tocka T prevalila po obodu kruznice za vrijeme zakretanja. No,taj je put jednak umnosku obodne brzine i vremena:

∆s = v∆t (3.11)

Kad ovo uvrstimo u gornju jednadzbu i sredimo, nalazimo da je (za male kuteve zaokreta!)


∆v

v=v∆t

r(3.12)

ili, ako podijelimo s ∆t i sredimo

∆v

∆t=v2

r(3.13)

pustimo li sad da vremenski period ∆t ide prema nuli, dobit cemo izraz za ubrzanje kojetocku T drzi na kruznici po kojoj se ona giba (da tog ubrzanja nema, nasa tocka bi se po I.Newtonovom aksiomu gibala jednolikom brzinom po pravcu!):

dv

dt= acp =

v2

r(3.14)

Ovo ubrzanje je konstantnog iznosa (naravno ako je v po iznosu konstantno!) i uvijekpokazuje prema sredistu kruznice po kojoj se gibanje odvija. Ono se naziva centripetalnoubrzanje i javlja se kod svake promjene smjera gibanja. Njegov uzrok mogu biti najrazlicitijesile koje djeluju na tijelo u gibanju. Ako te sile nestanu, nasa tocka ce se nastaviti gibatijednoliko po pravcu brzinom v. Ubrzanje koje tijelo osjeca kad je prisiljeno gibati se pokruznici je reakcija na ubrzanje sile koja ga na to gibanje tjera i naziva se centrifugalnoubrzanje. Ono je po iznosu jednako centripetalnom ubrzanju, ali mu je smjer (III: Newtonovaksiom!) suprotan, dakle od sredista kruznice prema van. Centrifugalno ubrzanje, odn. silakoju ono proizvodi na tijelo mase m (F=ma!) spada u tzv. inercijske sile, tj. sile kojesu posljedica tromosti (”otpora” tijela promjeni nacina gibanja). Primijetite da ova sila ustvari ne postoji, jer je povezana sa silom koje tijelo drzi na njegovoj putanji. U onomtrenutku kad ta sila nestane, nestane i centrifugalna sila i tijelo se dalje giba jednoliko popravcu. Radi se jednostavno o sili reakcije koja se pojavljuje u racunima ravnoteze stvarnihsila. U modernoj fizici se koristenje ovakvih sila izbjegava a umjesto njih se koriste njihoviuzroci (u nasem slucaju centripetalna sila). Ulogu centripetalne sile najcesce najcesce imajurazne mehanicke sile npr. cvrstoca kotaca, napetost uzeta i sl., gravitacija te elektricna ilimagnetna sila u slucaju kad je tijelo koje se giba elektricki nabijeno.

3.3 Gibanje po krivulji proizvoljnog oblika

FFR

FT

v

P

Slika 3.3: Gibanje materijalne tocke po krivulji.

3.4: RAD STALNE SILE 33

Krivulja koju opisuje tijelo za vrijeme svojeg gibanja naziva se staza ili putanja. Kodovakvog gibanja, trenutna brzina tangencijalna je na krivulju u tocki u kojoj se tijelo upravonalazi. Sila koja izaziva to gibanje ne mora biti kolinearna s brzinom (smjer sile ne morabiti jedak smjeru brzine!). Zbog toga silu rastavljamo na dvije komponente: tangencijalnu iradijalnu.

Tangencijalna komponenta sile, ~Ft je komponenta sile u smjeru trenutne brzine tijela(dakle tangencijalno na stazu tijela). Ova komponenta sile mijenja iznos (velicinu) brzinetijela.

Radijalna komponenta sile, ~Fr je komponenta sile koja je okomita na trenutnu brzinutijela. Ova komponenta sile mijenja smjer brzine tijela. Ako postoji samo radijalna kompo-nenta sile, imamo gibanje po kruznici, kao sto smo to vec raspravili u prethodnom paragrafu.Ako postoji samo tangencijalna komponenta, sila je u smjeru brzine tijela i imamo gibanje popravcu (ubrzano ili usporeno, ovisno o tome da je sila u smjeru brzine, ili mu je suprotna!).

3.4 Rad stalne sile

Fx

∆x

Slika 3.4: Rad stalne sile. Zbog jednostavnosti x-os koordinatnog sustava postavljena je usmjer u kojem djeluje stalna sila, pa problem mozemo analizirati jednodimenzionalno.

Rad definiramo kao umnozak sile i puta na kojem je ta sila djelovala. U slucaju gibanjapo pravcu je

W = Fx∆x (3.15)

Iz ove jednadzbe vidimo da je dimenzija rada N·m, a zbog svoje velike vaznosti jedinicaza rad ima i svoje ime: Joule (Dul) i oznaku: J. Dakle,

1 J = 1 N · 1 m, ili krace zapisano J=Nm

Pojam rada u fizikalnom smislu donekle se razlikuje od pojma rada u svakodnevnomzivotu. Najbitnje razlike su slijedece:

• da bi sila izvrsila rad, tijelo na koje sila djeluje mora se pomaknuti. Ako tijelo miruje,rad je jednak nuli, bez obzira na iznos sile koja na to tijelo djeluje!

• rad vrsi samo komponenta sile koja djeluje u smjeru pomaka, pa silu koja nije u smjerupomaka rastavljamo na dvije medusobno okomite komponente (slika 3.5), jednu usmjeru pomaka, a drugu okomito na njega.


Fx

∆x

Fy

F

ϕ

Slika 3.5: Rad vrsi samo komponenta sile u smjeru pomaka.

3.5 Rad promjenjive sile

U svijetu oko nas sile su vrlo rijetko stalne. Bas naprotiv, uglavnom cesto mijenjaju i smjeri velicinu, javljaju se i nestaju. U takvom slucaju rad se mora racunati korak po korak takoda vrijeme djelovanja sile razdijelimo na toliko male vremenske intervale da mozemo reci daje za njih sila konstantna (slika 3.6).

sila F

put x

x1 x2∆x

F(x)

Slika 3.6: Rad promjenjive sile. Zbog jednostavnosti i dalje uzimamo da su sila i put ux-smjeru.

U tom slucaju rad koji sila ucini na malom djelicu puta ∆x je

∆W = F (x)∆x (3.16)

a ukupni rad nalazimo zbrajanjem (integracijom kad pustimo da ∆x→ 0):

W =∫ x1

x2F (x)dx (3.17)

U vise dimenzija moramo rabiti vektorski racun:

W =∫ ~r1

~r2F (x)d ~dr (3.18)

gdje ~dr mora slijediti krivulju koja opisuje put koji tijelo prolazi.

3.5: RAD PROMJENJIVE SILE 35

3.5.1 Primjer: Opruga

x=0

xF

xF

Slika 3.7: Opruga. Ako ishodiste (x = 0) postavimo u kraj slobodne opruge (gore) pa oprugustisnemo za neku velicinu x, opruga ce se opirati stiskanju silom F u suprotnom smjeru(sredina). Ako pak oprugu istegnemo, otpor opruge opet ce djelovati u smjeru suprotnomod istezanja (dolje).

Kod idealne opruge veza izmedu istezanja (stezanja) opruge i sile kojom se opruga tomeprotivi dana je Hookeovim zakonom:

F = −kx (3.19)

gdje je x pomak kraja opruge od njegovog ravnoteznog polozaja. Predznak ”-” govorinam da je sila uvijek suprotna smjeru istezanja odn. stezanja opruge. Konstanta k naziva sekonstanta opruge. Sila kojom moramo djelovati na oprugu da ju istegnemo odn. stisnemoza velicinu x, suprotnog je smjera od sile koju proizvodi opruga, pa u tom slucaju negativnipredznak u Hookeovom zakonu nestaje. Opruge koje se danas izraduju i koriste u tehnici posvojem ponasanju vrlo su blizu modelu idealne opruge, pa se razlike najcesce u potpunostizanemaruju.

Ako oprugu istegnemo od ravnoteznog polozaja do polozaja xk ucinili smo rad jednak

W =∫ xk

0F (x)dx = k

∫ xk

0xdx (3.20)

odnosno,

W =kx2

k

2(3.21)

Primijetite da je rad za isti krajnji iznos deformacije opruge (kako se cesto velicina xknaziva) jednak, bez obzira jesmo li oprugu istegnuli ili stisnuli.


3.6 Snaga

Nije svejedno je li neki rad izvrsen u kratkom ili u dugom vremenskom periodu. Brzinukojom se rad vrsi nazivamo snagom:

P =dW

dt(3.22)

Odavde vidimo da je dimenzija snage J/s. Snaga je toliko vazan fizikalni pojam da zanju postoji posebna jedinica koja se naziva Wat (W). 1 W ocito je 1 J/s.

Svi zakljucci do kojih smo upravo dosli na jednostavnom slucaju kad je smjer sile kolin-earan sa smjerom gibanja, vrijede i opcenito. U vise dimenzija moramo naravno koristitivektore: Tako je rad sile na putu d~s jednak

dW = ~F · d~s (3.23)

gdje tocka oznacava skalarni vektorski produkt vektora sile i vektora pomaka.Za snagu bi u ovom slucaju nasli

P =dW

dt=

~F · d~sdt

= ~F · ~v (3.24)

Snaga je dakle skalarni produkt sile i brzine!

3.7 Kineticka energija

Znamo vec iz Newtonovih aksioma da djelovanje sile ubrzava tijelo na koje djeluje. Pretpo-stavimo najjednostavniji slucaj takvog djelovanja, kada je sila konstantna i kad djeluje usmjeru gibanja tijela. Neka se zbog djelovanja takove sile tijelo ubrza od pocetne brzine vodo krajnje brzine v. Put koji tijelo prevali za vrijeme ubrzavanja nademo iz jednadzbi zajednoliko ubrzano gibanje:

x = vot+a

2t2 (3.25)

kako vrijeme djelovanja sile ne znamo, odredimo ga iz jednadzbe za brzinu:

v = vo + at (3.26)

odnosno

t =v − voa

(3.27)

Ovo uvrstimo u jednadzbu 3.25:

x = vov − voa

+a

2

(v − vo)2

a2(3.28)

sredimo pa pomnozimo s 2a pa nalazimo da je

v2 = v2o + 2ax (3.29)

Ubrzanje preko II. Newtonovog aksioma povezemo sa silom:

3.8: POTENCIJALNA ENERGIJA 37

a =F

m(3.30)

pa 3.29 prelazi u

v2 = v2o + 2

Fx

m(3.31)

Fx je rad sile F na putu x pa slijedi da je taj rad jednak

W =mv2

2− mv2

o

2(3.32)

Rad je dakle razlika velicine mv2

2nakon djelovanja sile i prije toga. Ovu velicinu nazivamo

kineticka energija. Ocigledno je kineticka energija tijela rad koji treba uloziti da se tijelomase m iz stanja mirovanja ubrza do brzine v. Nadalje, iz gornje jednadzbe slijedi da sekineticka energija mjeri istim jedinicama kao i rad: jouleima.

Jednadzba 3.32 naziva se teorem o radu i kinetickoj energiji. Izrecen rijecima onglasi: rad ucinjen na tijelu jednak je povecanju kineticke energije tijela. Skracenoga mozemo zapisati i ovako:

W = KE2 −KE1 (3.33)

gdje smo s KE oznacili kineticku energiju tijela,

KE =mv2

2(3.34)

Teorem o radu i kinetickoj energiji vrijedi i kad sila nije konstantna:

W =∫ x2

x1F (x)dx =

∫ x2

x1madx =

∫ x2

x1mdv

dtdx (3.35)

Ovo mozemo presloziti ovako (uz odgovarajucu zamjenu granica integracije!):

W =∫ v2

v1mdx

dtdv =

mv22

2− mv2

1

2= KE2 −KE1 (3.36)

Ako sila djeluje protivno smjeru gibanja tijela, tijelo se usporava i kineticka energija muse smanjuje. U tom slucaju kazemo da tijelo vrsi rad na izvoru sile.

Kineticka energija samo je jedan od vidova energije. Energiju opcenito definiramo kaomjeru sposobnosti tijela da izvrsi rad. Veca energija dakle znaci da tijelo moze izvrsitiveci rad. Ujedno je po teoremu o radu i kinetickoj energiji izvrseni rad jednak smanjenjuraspolozive (u ovom slucaju kineticke) energije. Kad energija tijela padne na nulu, tijelo visene moze vrsiti nikakv rad.

3.8 Potencijalna energija

Zamislimo si jednostavni pokus, skiciran na slici 3.8: malenu lopticu bacimo u vis nekompocetnom brzinom vo. Zbog djelovanja sile teze loptica ce tako dugo usporavati dok se nezaustavi. U tom trenutku ona ce biti na maksimalnoj visini iznad tla. Nakon toga loptica


KE=max.

z=z2 KE=0

a. bacanje u vis

KE=max.

KE=0

b. padanje

-vo

vo

z=z2

z=z1

z=z1

Slika 3.8: Bacanje loptice u vis. Loptica bacena u vis nekom pocetnom brzinom zbogdjelovanja sile teze usporava, sve dok se konacno ne zaustavi (lijevo). Loptica nakon togapocinje padati i vraca se na mjesto sa kojeg je izbacena istom brzinom, ali suprotnog smjera.

pocinje padati, i u trenutku kad se vrati na mjesto sa kojeg je izbacena, njena brzina bit cejednaka pocetnoj brzini, ali u suprotnom smjeru.

Ako malo detaljnije razmislimo o ovom jednostavnom pokusu, upast ce nam u oci daloptica u trenutku izbacivanja ima neku kineticku energiju koja se smanjuje kako lopticaide u vis (brzina loptice se zbog djelovanja sile teze smanjuje!). Dapace, u trenutku kad seloptica zaustavi, njezina je kineticka energija u potpunosti nestala. Naravno da nakon togazbog djelovanja sile teze loptica pocinje padati i nije tesko provjeriti da ce u trenutku kad sevrati na mjesto sa kojeg je izbacena u vis imati brzinu po iznosu jednaku brzini izbacivanja,ali u suprotnom smjeru. Poznajuci izraz za silu tezu, F = mg, mozemo u svakom trenutkuuz pomoc teorema o radu i kinetickoj energiji odrediti rad koji je loptica ucinila (kad sepenje u smjeru suprotnom od smjera sile teze!), odnosno rad koji sila teza vrsi na loptici(kad loptica pada u smjeru sile teze!), i preko njega odrediti trenutnu kineticku energijuloptice. Kako su i prevaljeni put i sila teza opisani vektorskim velicinama, moramo opcenitoovaj racun raditi vektorski. Kako je medutim sila teza uvijek u −z smjeru, ucinjeni rad nabilo kojem proizvoljnom putu d~s jednak je

dW = ~F · d~s = mgdz (3.37)

jer se ostale dvije komponente puta (x i y komponenta) u skalarnom produktu mnoze snulom i tako iscezavaju iz racuna. Ukupni ucinjeni rad je

W =∫ ~r2

~r1dW = mg(z2 − z1) (3.38)

Ovaj rad uopce ne ovisi o putu koji je tijelo prevalilo, vec samo o z-koordinatama pocetne ikrajnje tocke tog puta! Nadalje, napravimo li zatvoreni put bilo kojeg oblika (tj. vratimo se upocetnu tocku!), ukupni rad iscezava. Sile koje imaju ovo svojstvo nazivaju se konzervativesile. Ako pocetnu tocku postavimo na visinu z = 0, rad ucinjen da tijelo dovedemo u krajnjutocku puta jednak je mgz. Velicina U(~r) = mgz naziva se potencijalna energija tijela.

3.9: ZAKON SACUVANJA MEHANICKE ENERGIJE 39

Ona ovisi iskljucivo o polozaju tijela u prostoru. Nije tesko pokazati da se rad koji jepotrebno napraviti da se tijelo pomakne iz proizvoljne tocke ~r1 u proizvoljnu tocku ~r2 jednak

W = U(~r2)− U(~r1) (3.39)

odnosno, u slucaju sile teze jos jednostavnije

W = U(z2)− U(z1) = mgz2 −mgz1 (3.40)

Funkcija U(~r) naziva se potencijalna funkcija. Ovdje je vazno dodati da se radi oskalarnoj funkciji s kojom je znatno lakse i brze racunati, pa se iz tog razloga potencijanefunkcije koriste kad god je to moguce.

Potencijalna funkcija ima jos jedno vazno svojstvo koje cemo ilustrirati bas na slucajusile teze: moze se naime pokazati da je

F =dU

dz=d(mgz)

dz= mg (3.41)

U opcem slucaju mora se umjesto obicne derivacije koristiti derivacija u smjeru najvecepromjene funkcije U(~r) koja se naziva i gradijent.

3.9 Zakon sacuvanja mehanicke energije

Zadrzimo se jos malo na primjeru loptice bacene u zrak. Ako je ona izbacena iz tocke 1, pase nakon nekog vremena nasla u tocki 2, porast njene potencijalne energije (nalazimo se upolju sile teze!) je

W = U2 − U1 (3.42)

Ovaj rad izvrsen je na racun smanjenja kineticke energije loptice, koje je jednako (kakou ovom slucaju loptica vrsi rad, rad je negativan, sto je u donjoj jednadzbi uzeto u obzirzamjenom clanova na desnoj strani!):

W = KE1 −KE2 (3.43)

Izjednacavanjem dolazimo do zakona sacuvanja mehanicke energije:

U1 +KE1 = U2 +KE2 (3.44)

Ovaj zakon vrijedi za sve konzervativne sile (gravitacija, elektricna sila itd.).

3.9.1 Primjer: Atwoodov stroj

Ovaj stroj sastoji se od koloture preko koje je prebaceno uze. Na krajeve uzeta objeseni suutezi masa m1 i m2. Dozvoli li se pomicanje koloture, tezina vece mase ce prevagnuti i onace se poceti spustati prema tlu. Treba odrediti brzinu sa kojom ce teza masa udariti u tlo.

Da bismo rijesili ovaj problem, posluzit cemo se zakonom sacuvanja mehanicke energije.Po njemu je ukupna energija obje mase u trenutku kad ih pustimo iz stanja mirovanja jednakaukupnoj energiji u trenutku kad teza masa udari u tlo. U prvom trenutku ukupna energijasastoji se samo od zbroja potencijalnih energija obje mase, a u trenutku kad teza masa udari


•

m1

m2

h1

h2

Slika 3.9: Atwoodov stroj sastoji se od koloture i uzeta na cijim krajevima su objesene masem1 i m2. Ako su mase razlicite, teza ce se poceti spustati, dizuci pri tome laksu masu.

u tlo, obje mase gibaju se istom brzinom (teza prema dolje, a laksa prema gore) i imajuodgovarjuce kineticke energije. Njima treba jos dodati potencijalnu energiju lakse mase jerje teza masa dosla do tla za koje uzimamo da je na visini 0. Ako uzmemo da je masa m2

veca, zakon o sacuvanju mehanicke energije nam daje:

m1gh1 +m2gh2 = m1g(h1 + h2) +m1v

2

2+m2v

2

2(3.45)

sredivanjem ove jednakosti dolazimo do izraza za brzinu:

v =

√2gh

m2 −m1

m2 +m1

(3.46)

3.10 Sacuvanje mehanicke energije i trenje

U slucajevima kad silu trenja ne mozemo zanemariti, zakon sacuvanja mehanicke energijevise ne vrijedi zato jer trenje energiju nepovratno pretvara u toplinu. Ukoliko energijuizgubljenu trenjem pribrojimo preostaloj mehanickoj energiji na kraju procesa, zakon osacuvanju mehanicke energije mozemo koristiti i dalje. On sada glasi

U1 +KE1 = U2 +KE2 +Wt (3.47)

gdje je Wt energija (rad sile trenja!) koja se zbog trenja pretvorila u toplinu.

3.10.1 Primjer: Zaustavna rampa

Na kraju velikih nizbrdica postavlju se neki puta rampe za zaustavljanje u nuzdi. Vozilakoja se na kraju izbrdice ne mogu zaustaviti mogu skretanjem na takvu rampu izbjeceteske nesrece. Rampa se izvodi kao strma uzbrdica. Pokusajmo odrediti potrebnu duzinuuzbrdice ako je njen nagib prema horizontali α = 30o te ako je rampa neasfaltirana (podloga

3.10: SACUVANJE MEHANICKE ENERGIJE I TRENJE 41

v

Ftr

mgsinα

mgcosα

α

mg

α

sh

Slika 3.10: Rampa za zaustavljanje u nuzdi. Vozilo koje se ne moze zaustaviti na kraju velikenizbrdice moze izbjeci nesrecu skretanjem na zaustavnu rampu na kojoj ce se nakon nekogvremena zaustaviti i bez pomoci kocnica.

je nabijeni sljunak) s koeficijentom trenja µ = 0, 50. Uzmimo da je najveca brzina kojomvozilo moze doci na dno rampe v = 40 ms−1.

Pogledajmo prvo sile koje djeluju na vozilo na rampi. Sila trenja odredena je koeficijentomtrenja i normalnom komponentom tezine vozila:

Ft = µN = µmg cosα (3.48)

Zakon sacuvanja energije postavljamo za pocetak kosine i tocku na kosini u kojoj se vozilozaustavlja. Neka je ta tocka na udaljenosti s od pocetka kosine:

U1 +KE1 = U2 +KE2 +Wt (3.49)

odnosno

mv2

2= mgh+ µmgs cosα (3.50)

visinu na koju se vozilo popelo povezemo s putem prevaljenim po kosini:

h = s sinα (3.51)

pa sredivanjem dolazimo do izraza za potrebnu duzinu kosine:

s =v2

2g(sinα + µ cosα)(3.52)

Uvrstavanje gore navedenih podataka daje nam s = 87, 5 m.


3.11 Potencijalna energija opruge

Od prije znamo da je sila kojom se opruga odupire istezanju ili stezanju proporcionalnavelicini tog istezanja:

F = −kx (3.53)

Znamo i da je rad koji treba uciniti da se opruga stisne (istegne) od 0 do x jednak

U =1

2kx2 (3.54)

Ovaj rad jednak je potencijalnoj energiji koja je spremljena u opruzi, a ta energija ce seosloboditi ako uklonimo vanjsku silu koja na oprugu djeluje. Ako je na kraj opruge ucvrscenotijelo mase m, vrijedit ce i u ovom slucaju zakon sacuvanja mehanicke energije:

U +KE = konst. (3.55)

odnosno

1

2kx2 +

1

2mv2 = konst. (3.56)

Ovo je zakon sacuvanja mehanicke energije za oprugu.

3.11.1 Primjer: strelicarski luk

Strelicarski luk ponasa se kao opruga. Ako strijelac silom od 220 N zategne luk 64 cm unazad,odredite konstantu opruge za taj luk. Ako strelica ima masu od 24 g, kojom brzinom ce bitiizbacena iz luka?

Konstatu opruge odredimo direktno:

k =F

x=

220N

0, 64m= 344N/m (3.57)

Brzinu strelice odredimo uz pomoc zakona o sacuvanju mehanicke energije:

1

2kx2 =

1

2mv2 (3.58)

odnosno

v =

√k

mx = 76, 6ms−1 (3.59)

3.12 Mehanicki strojevi

Mehanick strojevi su svi uredaji koji mehanickim sretstvima (poluge, koloture, zupcanicii sl.) povecavaju ili smanjuju sile. Najjednostavniji ”strojevi” u ovom smislu su poluga,kosina, klin, kolotura i sl. Kod ovakvih strojeva s jedne strane ulazemo neki rad (W1)da bi na drugoj dobili korisni rad (W2) koji stroj vrsi na svojoj okolici. Ako zanemarimogubitke u stroju (trenje) i njegovu unutarnju energiju (dio ulozenog rada moze privremeno

3.12: MEHANICKI STROJEVI 43

biti spremljen u stroju, npr. u nekoj opruzi kao kod zategnutog luka) po zakonu o sacuvanjumehanicke energije ulozeni i dobiveni rad moraju biti jednaki:

W1 = W2 (3.60)

Kako je mehanicki rad produkt sile i puta (u ovom slucaju pomaka dijela stroja na kojidjeluje ulazna sila, odn. dijela stroja koji predaje izlaznu silu) mora biti

F1s1 = F2s2 (3.61)

odn. izlazna sila je

F2 =s1

s2

F1 (3.62)

Drugim rijecima, da bi na izlazu dobili vecu silu, moramo na ulazu manjom silom ostvaritiveci pomak. Omjer sile na izlazu i sile na ulazu stroja naziva se mehanicko pojacanjestroja:

MP =F2

F1

=s1

s2

(3.63)

3.12.1 Primjer: poluga

∆ϕ

F1

F2

l1

l2

O

T

Slika 3.11: Poluga i odnosi sila na njoj.

Horizontalna poluga je poduprta u tocki O koja je na udaljenosti l1 od lijevog i l2 oddesnog kraja poluge. Desnim krajem poluge podize se teret T. Ako na lijevi kraj polugedjeluje sila F1, odredite silu F2 kojom poluga djeluje na teret T.

Ovaj problem moze se rijesiti na nekoliko razlicitih nacina, a mi cemo ovdje upotrijebitizakon sacuvanja mehanicke energije. Po njemu rad sile F1 na lijevoj strani poluge mora bitijednak radu sile F2 na desnoj strani poluge.

Kad se poluga zbog djelovanja sile F1 zaokrene za mali kut ∆ϕ, njen lijevi kraj pomaknese za:


∆s1 = l1∆ϕ (3.64)

pa je rad sile F1 jednak (sila djeluje okomito na polugu!):

W1 = F1∆s1 = F1l1∆ϕ (3.65)

Na isti nacin nalazimo da je rad sile F2 jednak:

W2 = F2∆s2 = F2l2∆ϕ (3.66)

Kako je W1 = W2, nalazimo:

F2 =l1l2F1 (3.67)

Ovaj izraz naziva se zakon poluge.

Glava 4

Centar mase

Kad se bavimo sustavom koji je sastavljen od vise dijelova (koje u fizici nazivamo cesticama),vrlo cesto pojednostavljujemo problem tako da te dijelove u prvom koraku zamijenimo ma-terijalnim tockama. Ukoliko nas ne zanimaju detalji gibanja svih tih materijanih tocaka,vec samo njihovo zajednicko gibanje, u iducem koraku pojednostavljenja sve te materijalnetocke zamjenjujemo jednom materijalnom tockom cija masa je ocigledno jednaka zbrojumasa svih materijalnih tocaka koje zamjenjujemo. Ono sto nije odmah jasno je gdje u pros-toru cemo tu ”zajednicku” materijalnu tocku staviti. Da bismo razrijesili ovaj problem,pretpostavit cemo da na sustav kojim se bavimo ne djeluju nikakve vanjske sile. To znacida je kolicina gibanja tog sustava sacuvana jer je

~F =d~P

dt= 0 (4.1)

No, ukupna kolicina gibanja sustava je zbroj kolicina gibanja njegovih cestica pa je:

~P = ~p1 + ~p2 + ...+ ~pn = konst. (4.2)

sto uz upotrebu definicije kolicine gibanja prelazi u:

~P = m1 ~v1 +m2 ~v2 + ...+mn ~vn =d

dt(m1~r1 +m2~r2 + ...+mn ~rn) = konst. (4.3)

istovremeno je:

~P =d

dt(M ~R) = konst. (4.4)

gdje jeM masa nase zamjenske materijalne tocke a ~R njen polozaj u prostoru. Usporedivanjemvidimo da je:

M ~R = m1~r1 +m2~r2 + ...+mn ~rn (4.5)

odnosno (uz M = m1 +m2 + ...+mn)

~R =m1~r1 +m2~r2 + ...+mn ~rn

m1 +m2 + ...+mn

(4.6)

Tocka ~R naziva se centar mase sustava. Vidimo da cijeli sustav materijalnih tocakamozemo zamijeniti jednom materijalnom tockom koja se nalazi u centru mase cijelog sustava.

45

46 GLAVA 4: CENTAR MASE

Ne zanimaju li nas medusobna gibanja pojedinih dijelova sustava, zajednicko gibanje sustavajednako je gibanju materijalne tocke koja se nalazi u centru mase sustava i ima masu jednakuukupnoj masi sustava. Polozaj centra mase odredujemo uz pomoc jednadzbe 4.6 ili, raspisanopo komponentama, uz pomoc slijedecih jednadzbi:

xCM =∑

imixi

M

yCM =∑

imiyi

M

zCM =∑

imizi

M

M =∑imi

(4.7)

gdje suma ide po svim cesticama sustava.

4.1 Centar mase fizikalnog tijela

Iako to mozda ne prvi pogled ne izgleda tako, pomocu jedandzbi 4.7 moze se naci i centarmase fizikalnog tijela. Da bi se to postiglo, tijelo se podijeli na mnogo malih komadica i svakiod njih zamijeni odgovarajucom tockastom masom. Podsjetimo se jos nacina na koji od sumeprelazimo na integral: smanjivanjem pojedinih dijelica tijela broj tih dijelica (clanova sume)raste, ali se svaki djelic smanjuje i velicinom i masom. U granici vrlo malih djelica suma ceprijeci u integral, pa umjesto velike nespretne sume mozemo metodama integralnog racunarijesiti odgovarajuci integral.

U tome postupku tijelo se prvo dijeli na vrlo male komadice cije se stranice obicno postaveu smjeru koordinatnih osi. Npr. u kartezijevom koordinatnom sustavu tijelo ce se podijelitina mnostvo kockica cije su stranice dx, dy i dz. Volumen jedne takve kockice je dV = dxdydza masa dm. U racunu se vrlo cesto koristi masena gustoca (najcesce govorimo samo gustoca!)tijela koja se definira kao masa po jedinici volumena tijela:

ρ(~r) =dm(~r)

dV(4.8)

Masena gustoca opcenito ovisi o polozaju u prostoru, no vrlo cesto su tijela sa kojimase bavimo homogena, tj. njihova je gustoca konstantna. Uz prevodenje sume u integral iupotrebu relacije 4.8 jednadzbe 4.7 prelaze u:

4.1: CENTAR MASE FIZIKALNOG TIJELA 47

xCM = 1M

∫xdm = 1

M

∫ρxdV

yCM = 1M

∫ydm = 1

M

∫ρydV

zCM = 1M

∫zdm = 1

M

∫ρzdV

M =∫ρdV

(4.9)

Nadalje, u slucaju homogenog tijela gustoca je konstantna pa se moze izvuci iz inte-grala i staviti ispred njega. Ono sto ostaje je geometrijski integral po volumenu tijela kojidaje matematicko teziste tijela (koordinate geometrijskog sredista tijela). Pojam tezista umatematici odgovara pojmu centra mase homogenog tijela u fizici. U tom slucaju centarmase i teziste padaju u isto tocku. Kod nehomogenog tijela matematicko teziste je i daljena istom mjestu, ali mu se centar mase u pravilu nalazi negdje drugdje.

4.1.1 Povrsinska i linijska gustoca mase

Ako je homogeno tijelo svugdjde jednake debljine (npr. izradeno od lima) umjesto gustocekoristi se u racunu povrsinska gustoca koja predstavlja masu jedinicne povrsine tijela.Znade li se ukupna masa tijela, povrsinsku gustocu mase nalazi se tako da se masa tijelapodijeli sa povrsinom jedne strane tog tijela (v. sliku 4.1):

σ =M

A(4.10)

A

σ =

M

A

Slika 4.1: Povrsinska gustoca tijela nalazi se tako da se masa tijela podijeli sa povrsinomjedne njegove stranice (uzima se da je tijelo izrezano iz ploce konstantne debljine okomitimrezom).


A

L

λ=M

L

Slika 4.2: Linijska gustoca tijela nalazi se tako da se masa tijela podijeli sa duzinom tijela(uzima se da je tijelo izrezano iz sipke konstantnog presjeka okomitim rezom).

Povrsinska gustoca moze se izracunati iz (volumne) gustoce tako da se gustoca pomozisa debljinom tijela, d:

σ = ρd (4.11)

Na slican nacin se za tijela konstantne povrsine presjeka (sipke i sl.) definira linijskagustoca mase kao omjer mase tijela i njegove duljine (v. sliku 4.2).

Linijska gustoca moze se izracunati iz (volumne) gustoce tako da se gustoca pomozi sapovrsinom presjeka tijela, A:

λ = ρA (4.12)

gdje je A povrsina okomitog presjeka tijela.

4.1.2 Primjer: Teziste trokuta

Neka je od komada lima izrezan pravokutni trokut, duljine kateta a i b i ukupne mase M .Potrebno je naci koordinate njegovog tezista.

Prvo se trokut podijeli na uske, uspravne pravokutnike sirine dx. Ako je jedan od tihpravokutnika na udaljenosti x od ishodista, njegova visina je:

y = xb

a(4.13)

Povrsina tog pravokutnika je:

A = ydx =bxdx

a(4.14)

a njegova masa:

dm = σA = σbxdx

a(4.15)

x-koordinata tezista je:


0 x

y

a

dx

b

dm

Slika 4.3: Racunsko odredivanje koordinata tezista trokuta.

xT =1

M

∫ a

0

σbx2

adx =

σba2

3M(4.16)

Masa trokuta jednaka je umnosku njegove povrsine i povrsinske gustoce mase:

M = σab

2(4.17)

pa se uvrstavanjem u (4.16) nalazi:

xT =2

3a (4.18)

Na analogan nacin slijedi:

yT =2

3b (4.19)

cime je problem rijesen. Primijetimo medutim da se uz upotrebu simetrije problem mozeznatno jednostavnije rijesiti. Naime, teziste svake uske trake na koju je trokut podijeljen uprethodnom primjeru je u njenoj sredini, pa ako se ta traka zamijeni tockastom masom natom mjestu, polozaj tezista ostat ce nepromijenjen. Spajajuci sve tako dobivene tockastemase dobija se spojnica polovista stranice trokuta i njegovog nasuprotnog vrha (linija QCna slici 4.4). Teziste trokuta mora se nalaziti na toj spojnici.

Ponovi li se taj zamisljeni postupak dijeljenja trokuta na trake, ali ovaj puta s trakamaparalelnima s x-osi, dobija se druga spojnica (linija AP na slici 4.5), cije sjeciste s prvomdaje polozaj tezista trokuta. Iz geometrije trokuta odmah slijede i koordinate tog sjecista.

Upotreba svojstava simetrije tijela (trokuta u ovom primjeru) omogucava da se do trazenogrezultata dode znatno brze i bez upotrebe integralnog racuna. To vrijedi i u svim drugimsituacijama kad simetrija bilo koje vrste postoji, pa prije zapocinjanja racuna treba malorazmisliti o tome mogu li te simetrije pomoci u pronalazenju odgovora koji se trazi.


A B

C

Q

Slika 4.4: Geometrijsko odredivanje koordinata tezista trokuta.

A B

C

Q

P

CM

Slika 4.5: Geometrijsko odredivanje koordinata tezista trokuta (2).


4.1.3 Primjer: Camac na vodi

CMT1

T2

x2

x1

x

Slika 4.6: Camac kod pristajanja uz obalu.

Svaki pomorac zna da ce pasti u vodu ako kod pristajanja pokusa iz zadnjeg dijela camcaizaci na obalu. Pokusajmo to objasniti. Neka je u trenutku pristajanja pomorac u zadnjemdijelu camca, udaljen (teziste T2) za x2 od obale i neka mu je masa m2 (slika 4.6). Masacamca je m1 a teziste camca T1 je za x1 udaljeno od obale. Iz ovih podataka izlazi da jecentar mase cijelog sustava (camac+pomorac) na udaljenosti x od obale:

x =m1x1 +m2x2

m1 +m2

(4.20)

CM T1

T2

x4

x3

x

Slika 4.7: Odmicanje camca od obale kod pokusaja izlazenja iz njega.

Ako pomorac sad krene prema prednjem dijelu camca da bi izasao na obalu, camac ce seispod njega odmaknuti od obale (slika 4.7). Zasto se to dogada?

Uz pretpostavku da na sustav ne djeluju vanjske sile, polozaj centra mase sustava uvijekje na istom mjestu. To znaci da je nakon sto se pomorac premjestio sa zadnjeg na prednjidio camca x-koordinata centra mase ista, dakle:

x =m1x3 +m2x4

m1 +m2

(4.21)

Izjednacavanjem (4.20) i (4.21) nalazi se:

x3 − x1 =m2

m1

(x2 − x4) (4.22)


Kako se polozaj tezista camca, gledano prema camcu, ne mijenja, za vrijeme premjestanjapomorca sa zadnjeg na prednji dio camca camac se mora odmaknuti od obale upravo zarazliku x3 − x1 pa nepazljivi pomorac pada u vodu!

Na kraju se za primjer mogu u jednadzbu (4.22) uvrstiti i neki stvarni podaci, primjericem1 = 200 kg, m2 = 80 kg, x1 = 200 cm i x2 = 50 cm. U tom slucaju pomak camca jex3 − x1 = 60 cm, sto zaista nije zanemarivo.

Glava 5

Gibanje krutog tijela

Kruto tijelo je tijelo koje za vrijeme gibanja ili pod djelovanjem sila ne mijenja svoj oblik(ne deformira se). Za razliku od materijalne tocke kruto tijelo ima konacne dimenzije i tocnodefiniran oblik pa su za njegov opis osim polozaja (kod polozaja krutog tijela misli se na napolozaj njegovog centra mase) potrebni i podaci o njegovom obliku i raspodjeli mase unutarnjega, ali i o tome kako to tijelo u prostoru stoji (primjerice, valjak moze imati os usmjerenuu bilo koji smjer u prostoru, i taj smjer se za vrijeme gibanja moze mijenjati). Srecom,u mnogim je problemima dovoljno znati polozaj centra mase i ukupnu masu krutog tijela,ali ce cinjenica da su dimenzije tijela konacne preko rotacijske kineticke energije (koja zamaterijalnu tocku ne postoji) posredno dati svoj doprinos ukupnoj energiji tijela.

5.1 Kineticka energija rotacije

Promotrimo kruto tijelo koje rotira oko neke osi u prostoru kutnom brzinom ω. Tijelo sepodijeli na infinitezimalno malene volumene cije se mase oznace sa mi. Ako je i-ti volumenod osi udaljen za ri, njegova je obodna brzina:

vi = riωi (5.1)

Zbog te brzine ovaj djelic tijela posjeduje kineticku energiju KEi:

KEi =1

2mir

2iω

2i (5.2)

Ukupnu kineticku energiju tijela nalazimo sumacijom po svim njegovim djelicima:

KE =∑i

1

2mir

2iω

2i (5.3)

kako je kutna brzina za sve djelice ista, moze se izluciti iz sume, pa ostaje:

KE =1

2ω2i

∑i

mir2i (5.4)

Preostala suma naziva se moment inercije, I:

I =∑i

mir2i (5.5)

53

54 GLAVA 5: GIBANJE KRUTOG TIJELA

pa je kineticka energija rotacije tijela jednaka:

KE =1

2Iω2

i (5.6)

U slucaju tijela sastavljenog od manjeg broja dijelova moment inercije racuna se po izrazu(5.5). Pri tome se za svaki dio tijela udaljenost od osi rotacije odreduje kao udaljenost tezistatog djela od osi.

Kod vecine tijela se moment inercije racuna u granici ∆m → 0 sto sumu prevodi uintegral:

I =∫r2dm (5.7)

Ovisno o izgledu tijela, ovaj se integral rjesava na nekoliko nacina. U prvom redu, najcescesu tijela koja nas zanimaju homogena, sto znaci da im je gustoca u svim tockama tijela ista.U ovom se slucaju element mase prikazuje kao umnozak konstantne gustoce i volumena togelementa mase:

dm = ρdV (5.8)

sto pojednostavljuje integral:

I = ρ∫r2dV (5.9)

Nadalje se nastoji dV izraziti preko neke pogodne koordinate tako da integral bude stojednostavniji. Opcenito je (ako integral rjesavamo u kartezijevom koordinatnom sustavu):

dV = dxdydz (5.10)

ali se kod tijela koja posjeduju neku simetriju ovo lako moze pojednostaviti tako daumjesto volumnog preostane plosni ili linijski integral. Primjerice, ako je tijelo u nekomsmjeru konstantne debljine (recimo izradeno iz lima ili sl.), postavi se u tom smjeru z-os pase prvo izvrsi integracija po koordinati z, koja kao rezultat daje debljinu tijela d. Nju se uiducem koraku stavlja ispred integrala (konstantna je) gdje se pomnozi s gustocom tijela.Ovaj umnozak nije nista drugo nego povrsinska gustoca mase s kojom smo se vec susreli.On predstavlja masu po jedinici povrsine tijela:

σ = ρd (5.11)

a izraz za moment inercije (uz dxdy = dA) prelazi u:

I = σ∫r2dA (5.12)

cime je integral po volumenu tijela preveden u plosni integral po jednoj plohi tog tijela.Ako tijelo ima konstantni presjek, integral se dalje moze prevesti u linijski integral. U tu

svrhu koordinatne osi postave se tako da x-os ide u smjeru osi tijela. Presjek tijela okomitna x-os lezi u y-z ravnini, i ima konstantnu povrsinu koju oznacimo s A. Ona je rezultatdvostruke integracije po y i z, i kao i u prethodnom primjeru, stavlja se ispred integrala gdjese pomnozi s gustocom:

λ = ρA (5.13)

5.1: KINETICKA ENERGIJA ROTACIJE 55

λ predstavlja masu po jedinici duzine tijela, odn. linijsku gustocu mase, a sam integralsveden je na linijski integral po x koordinati:

I = λ∫r2dx (5.14)

Pri rjesavanju svih ovih integrala dodatno se koriste i preostale simetrije, ako ih ima.U praksi se momenti inercije za oblike tijela koji se cesto susrecu mogu naci u tehnickimprirucnicima i tablicama. Pri tome se uglavnom navode momenti inercije za osi koje prolazekroz centar mase tijela a paralelne su s osima simetrije tijela (tzv. glavni ili centralnimomenti inercije).

5.1.1 Primjer: moment inercije stapa

Potrebno je naci moment inercije stapa mase m i duljine l, koji rotira oko osi okomite nastap a koja prolazi kroz jedan njegov kraj (slika 5.1).

ω

l

x

dm

dx

Slika 5.1: Geometrija stapa, koji rotira oko osi okomite na stap a koja prolazi kroz jedannjegov kraj.

Koordinatni sustav postavi se tako da se os rotacije podudara sa z-osi sustava, a os stapas x-osi. Za element mase odabere se volumen izmedu dva bliska presjeka stapa ravninamaokomitim na x-os, a razmaknutima za dx. To omogucava jednodimenzionalnu integraciju usmjeru x-osi. Masa odabranog elementa je:

dm = λdx (5.15)

pri cemu se linijska gustoca mase odredi iz omjera ukupne mase i duljine stapa:

λ =m

l(5.16)

Primijetite da nije bilo potrebno odredivati povrsinu presjeka stapa! Moment inercije sadizracunamo uz pomoc relacije (5.12):

I = λ∫x2dx =

1

3ml2 (5.17)


5.1.2 Teorem o paralelnim osima

Ovaj teorem omogucava jednostavno nalazenje momenta inercije tijela oko bilo koje osi kojaje paralelna s osi koja prolazi kroz centar mase tijela a za koju znamo moment inercije. Zatoga ovdje navodimo bez njegova dokazivanja:

Ako je ICM moment inercije tijela za os koja prolazi centrom mase tijela, ondaje moment inercije I tog tijela za bilo koju drugu os koja je paralelna s njomjednak:

I = ICM +Md2 (5.18)

gdje je M masa tijela a d udaljenost osi za koju se trazi moment inercije I od paralelneosi kroz centar mase tog tijela.

Primjer:

Koliki je moment inercije stapa iz prethodnog primjera ako on rotira oko osi okomite nanjega a koja prolazi kroz centar mase stapa?

Upotrijebimo teorem o paralelnim osima. Po njemu je moment inercije stapa oko osi kroznjegov rub jednak (centar mase stapa nalazi se u sredini stapa, pa je njegova udaljenost odruba L/2, ako je L duljina stapa):

1

3ML2 = ICM +M

(L

2

)2

(5.19)

Odakle slijedi:

ICM =1

12ML2 (5.20)

5.1.3 Moment sile

CM

F

r

r sinϕ

ϕ

Slika 5.2: Odredivanje momenta sile.


Ako na materijalnu tocku djeluje neka sila, ona se ubrzava. No, ako se radi o tijelu,hvatiste sile je na njegovoj povrsini a ne u centru mase, pa tijelo uz ubrzavanje pocinje irotirati. Ovakvo djelovanje sile opisuje se momentom sile. Situacija je shematski prikazanana slici 5.2. Moment sile po iznosu je jednak umnosku iznosa sile s najmanjom (okomitom)udaljenoscu pravca djelovanja sile od centra mase tijela:

T = Fr sinϕ = Fr⊥ (5.21)

gdje je r⊥ udaljenost pravca djelovanja sile od centra mase tijela. Kao i sila, moment sileje vektor, a njegov smjer je okomit na ravninu u kojoj leze pravac djelovanja sile i centarmase, a odreduje se pravilom desne ruke:

~T = ~F × ~r (5.22)

Neka na cesticu mase m koja se giba po kruznici polumjera r djeluje tangencijalna silaF . Ubrzanje cestice dano je II Newtonovim aksiomom:

F = ma (5.23)

Pomnoze li se obje strane ovog izraza s r, izlazi:

Fr = mra (5.24)

No, Fr je moment sile, T , i a = rα, pa uvrstavanje u (5.24) rezultira sa:

T = mr2α (5.25)

Ako umjesto jedne cestice promatramo fizikalno tijelo, podijeli ga se na infinitezimalnomale dijelove, i svaki dio tretira kao materijalnu cesticu. Sve se te cestice ubrzavaju istimkutnim ubrzanjem α (tijelo se smatra krutim) pa za svaku od njih vrijedi izraz (5.25):

dT = dmr2α (5.26)

Integracija po svim djelicima tijela daje:

T = α∫r2dm = Iα (5.27)

Izraz (5.27) je II Newtonov aksiom za rotacijsko gibanje krutog tijela.

5.1.4 Rotacijski rad i snaga

Neka se tijelo pod djelovanjem tangencijalne sile zakrene za infinitezimalni kut dϕ. Sila jepri tome izvrsila rad:

dW = Fds = Frdϕ = Tdϕ (5.28)

Ukupni rad ucinjen pri rotaciji tog tijela je dakle:

W =∫Fds =

∫Tdϕ (5.29)

a snaga je:


P =dW

dt= T

dϕ

dt= Tω (5.30)

Teorem o radu za rotacijsko gibanje postaje:

W =∫ ϕ2

ϕ1

Tdϕ =1

2Iω2

2 −1

2Iω2

1 (5.31)

5.1.5 Kineticka energija kotrljanja

Ako se kotac polumjera R kotrlja bez proklizavanja, tocka na njegovom obodu giba se obod-nom brzinom v = Rω, a kotac ima kineticku energiju rotacije:

KR =1

2ICMω

2 (5.32)

jer se rotacija odvija oko sredista kotaca, koje se (uz pretpostavku da je kotac simetricnograden) podudara sa centrom mase kotaca. Kotrljanje bez proklizavanja istovremeno nosikotac brzinom v u smjeru kotrljanja, sto se moze opisati jednolikim gibanjem po pravcu sbrzinom v. Kotrljanje je shodno tome slozeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanjapo pravcu brzinom v = Rω i jednolike rotacije oko sredista kotaca kutnom brzinom ω. Kakojednolikom gibanju po pravcu pripada kineticka energija:

KE =1

2mv2 (5.33)

ukupna kineticka energija kotrljanja je zbroj ova dva doprinosa:

KEK = KR +KE =1

2ICMω

2 +1

2mv2 (5.34)

5.1.6 Kutna kolicina gibanja

Analogno kolicini gibanja ~P = m~v definira se kutna kolicina gibanja:

~L = ~r × ~P = ~r ×m~v (5.35)

Ako su vektori ~r i ~P u xy-ravnini, vektor kutne kolicine gibanja je u +z smjeru. Njegovavremenska promjena je:

d~L

dt=

d

dt(~r × ~P ) =

d~r

dt× ~P + ~r × d~P

dt(5.36)

medutim,

d~r

dt× ~P = ~v × ~mv = m~v × ~v = 0 (5.37)

pa je:

d~L

dt= ~r × d~P

dt= ~r × ~F = ~T (5.38)

Ako se pretpostavi da neko kruto tijelo rotira oko z-osi, njegova kutna kolicina gibanjaje takoder u smjeru te osi i iznosi:


Lz =∑i

mirivi (5.39)

pri cemu je tijelo podijeljeno na infinitezimalno malene komadice koji su obiljezeni (po-brojeni) indeksom i. Kako je za kruto tijelo kutna brzina svih njegovih dijelova ista, gornjiizraz (uz vi = riω) postaje:

Lz =∑i

mir2iω = Iω (5.40)

Gdje je I odgovarajuci moment inercije. Nadalje, primijeni li se jednadzba (5.38) nakruto tijelo, izlazi:

d~L

dt=∑i

~ri × ~Fi (5.41)

Pri tome se svi clanovi koji sadrzavaju sile medudjelovanja (sile izmedu dijelova tijela)krate jer su te sile prema III. Newtonoom aksiomu jednake po iznosu, a suprotnoga smjera,pa ostaje:

d~L

dt=∑i

~ri × ~Fi,vanjska = ~Tvanjski (5.42)

Sto odgovara izrazu d~p/dt = ~Fvanjski za translatorno gibanje. Ako nema vanjskog mo-menta sile, izraz (5.42) iscezava, sto znaci de je u tom slucaju kutna kolicina gibanja kon-stantna. Ovaj zakljucak vrijedi i opcenito i naziva se zakon sacuvanja kutne kolicinegibanja.

Primjer

Sunceva gravitacijska sila ne proizvodi gotovo nikakav moment sile na Zemlju jer je Zemljagotovo idealna kugla. Zemlja se oko Sunca giba po elipticnoj stazi, i u trenu kad je najblizaSuncu njena brzina iznosi 30 kms−1. Njena udaljenost od Sunca je u tom casu 1,47×108

km. Kolika je brzina Zemlje u trenu kad je od Sunca najudaljenija, ako ta udaljenost iznosi1,52×108 km?

rjesenje: Kako nema vanjskog momenta sile na Zemlju, njezina kutna kolicina gibanjaje konstantna, pa je:

mr1v1 = mr2v2 (5.43)

odakle slijedi da je:

v2 =r1

r2

v1 = 29, 3 kms−1 (5.44)

5.1.7 Precesija

Ako na neko tijelo djeluje moment sile, mijenja se njegova kutna kolicina gibanja. Pri tomeje, za mali vremenski interval ∆t:

∆~L = ~T∆t (5.45)


To znaci da je promjena kutne kolicine gibanja vektor ciji smjer je jednak smjeru vektoramomenta sile. Ako se ogranicimo na kruto tijelo, njegov moment inercije je konstantan pase promjena kolicine gibanja, L = Iω, ocituje u promjeni kutne brzine rotacije, ω.

T

L

T

∆LT

L L

∆L∆L

Slika 5.3: Promjena kutne kolicine gibanja ovisi o medusobnoj orijentaciji vektora kutnekolicine gibanja i vektora njene promjene.

Ako je moment sile, ~T , paralelan s kutnom kolicinom gibanja, ~L, promjena kutne kolicinegibanja je u smjeru same kutne kolicine gibanja pa se vektor kutne kolicine gibanja povecava(slika 5.3 lijevo). To znaci (uz konstatan moment inercije) da se kutna brzina rotacijepovecava.

Ako je moment sile, ~T , u suprotnom smjeru od kutne kolicine gibanja, ~L, promjena kutnekolicine gibanja je takoder u suprotnom smjeru od kutne kolicine gibanja pa se vektor kutnekolicine gibanja smanjuje (slika 5.3 sredina). To znaci (uz konstatan moment inercije) da sekutna brzina rotacije smanjuje.

Ako je moment sile, ~T , okomit na kutnu kolicinu gibanja, ~L, i promjena kutne kolicinegibanja je okomita na kutnu kolicinu gibanja pa vektor kutne kolicine gibanja zadrzava svojuvelicinu, ali mu se mijenja smjer (slika 5.3 desno). To znaci (uz konstatan moment inercije)da se kutna brzina rotacije ne mijenja, ali se smjer osi rotacije u prostoru s vremenommijenja.

Ako je moment sile proizvoljnog smjera, promjena kutne kolicine gibanja je vektorskizbroj promjene (koja je uvijek u smjeru momenta sile) i trenutne kutne kolicine gibanja.Najcesce se problem rjesava tako da se promjena kutne kolicine gibanja rastavi na kompo-nentu koja je paralelna sa smjerom kolicine gibanja i na komponentu koja je na taj smjerokomita.

U slucaju da je moment sile okomit na smjer kutne kolicine gibanja, i promjena kutnekolicine gibanja okomita je na taj smjer, pa dolazi do rotacije smjera kutne kolicine gibanja,pri cemu se kutna brzina rotacije ne mijenja. Ova pojava naziva se precesija. Ovakvogibanje pokazuje zvrk. Zvrk je tijelo koje rotira oko osi koja nije u smjeru sile teze.

Problem zvrka shematski je prikazan na slici 5.4. Os rotacije zvrka nagnuta je za kutα prema vertikali (z-os), a zvrk dira podlogu (x-y ravninu) u ishodistu. Tezina zvrka imahvatiste u centru mase zvrka i djeluje prema dolje, pa moment sile teze oko ishodista stojiokomito na vektor kutne kolicine gibanja zvrka. To znaci da je i promjena kutne kolicinegibanja, ∆L, okomita na kutnu kolicinu gibanja. U malom vremenskom intervalu ∆t je:


x

y

z

T

L

CM

mg

α

x

y

z∆L

L

α

∆ϕ

Lsinα

Slika 5.4: Do precesije dolazi kad tijelo rotira u polju sile teze oko osi koja nije u smjerusile teze (lijevo). Rezultirajuca promjena kutne kolicine gibanja dovodi do rotacije vektorakutne kolicine gibanja oko z-osi (desno).

∆L = L sin (α)∆ϕ (5.46)

odakle se dijeljenjm sa ∆t u granici kad ∆t ide u nulu nalazi:

dL

dt= T = L sin (α)

dϕ

dt(5.47)

Vremenska promjena kuta ϕ pretstavlja kutnu brzinu s kojom os rotacije zvrka rotira okoz-osi i naziva se kutna brzina precesije:

ωP =dϕ

dt=

T

L sin (α)(5.48)

Vidimo da je precesija sporija ako je kutna kolicina gibanja zvrka veca, i ako je kutnagiba prema vertikali veci. Ovaj racun je valjan samo ako je kutna kolicina gibanja zvrka,Iω, znatno veca od kutne kolicine gibanja precesije, IPωP , te ako kut nagiba osi rotacijeprema verikali nije premalen.

5.1.8 Rotacija i precesija Zemlje

Period rotacije Zemlje je T = 23h 56m, sto odgovara kutnoj brzini ω = 7, 29 × 10−5 s−1.Obodna brzina rotacije ovisi o zemljopisnoj sirini:

v = rω = R cos (ϕ)ω (5.49)

gdje je R polumjer Zemlje a ϕ zemljopisna sirina. Uz uvrstavanje poznatih numerickihpodataka nalazi se:

v = 465 cos (ϕ) ms−1 (5.50)

Zbog rotacije objekti na zemljinoj povrsini osjecaju i centrifugalno ubrzanje:


acp = 0, 0339 cos2 (ϕ) ms−2 (5.51)

koje se najcesce moze zanemariti jer mu je maksimalni iznos (na ekvatoru!) 3,39 cms−2.Zemljina os rotacije nagnuta je prema ravnini zemljine staze oko Sunca za oko 23,5.

Zbog toga postoji mali moment sunceve gravitacijske sile koji izaziva precesiju zemljine osioko okomice na njenu stazu oko Sunca. Taj moment sile nije velik, pa je period precesijevrlo dug, oko 26 000 godina. Iako se u svakodnevnom zivotu moze zanemariti, precesija imaznacajan utjecaj na spore procese (klimatske promjene i sl.).

5.1.9 Coriolisov efekt

Jedna od posljedica Zemljine rotacije je i Coriolisov efekt. On se ocituje kad se tijelo gibapo Zemljinoj povrsini. Zbog inercije tijelo za vrijeme tog gibanja tezi zadrzavanju svojetrenutne brzine (i po iznosu i po smjeru!). Medutim, rotacija Zemlje tu brzinu pokusavastalno mijenjati. Vezemo li koordinatni sustav u kojem promatramo gibanje tijela za jednutocku Zemljine povrsine, rotacija Zemlje ocitovat ce se u stalnoj promjeni smjera i iznosabrzine tijela, koje je posljedica toga da koordinatni sustav nije nepomican vec rotira zajednosa Zemljinom povrsinom. Ovaj efekt naziva se Coriolisov efekt, a najlakse ga mozemo shvatitipromatrajuci neko tijelo koje se giba konstantnom brzinom po Zemljinoj povrsini.

Ako se takvo tijelo giba po meridijanu od pola prema ekvatoru, obodna brzina Zemljeispod njega stalno raste, pa tijelo pocinje zaostajati za Zemljinom povrsinom jer zadrzavaobodnu brzinu mjesta s kojeg je krenulo. Za opazaca na Zemljinoj povrsini cini se da tijeloneobjasnjivo skrece prema zapadu (ako se gibanje odvija na sjevernoj polutci). Ako setijelo giba u suprotnom smjeru, opaza se skretanje prema istoku. Ovo skretanje opisujese prividnom silom (prividnom zato jer se opaza u koordinatnom sustavu koji rotira, pa jeta sila posljedica te rotacije; za opazaca u koordinatnom sustavu koji miruje, ova sila nepostoji) koja se naziva Coriolisova sila. Njen iznos je:

Fc = −2mvω (5.52)

gdje je m masa tijela koje se po zemljinoj povrsini giba brzinom v, a ω je kutna brzinazemljine rotacije. Pripadajuce ubrzanje je:

ac =Fcm

= −2vω (5.53)

Tako naprimjer, rijecni tok koji se giba brzinom od 1 ms−1 osjeca Coriolisovo ubrzanje odac = 1, 4×10−4 ms−2, a avion koji leti brzinom od 300 ms−1, osjeca znatno vece ubrzanje odac = 0, 044 ms−2. Coriolisov efekt uglavnom je primjetan kod velikh tijela, npr. atmosferskihciklona i anticiklona kod kojih dovodi do kruznog gibanja zracnih masa.

Glava 6

Gravitacija

Sto god radili i gdje god se kretali, uvijek osjecamo djelovanje sile teze. Ona nam dajetezinu, zbog nje tijela padaju prema Zemlji. Vec su stari filozofi naslucivali da to nije sve,vec da se djelovanje sile teze proteze i u prostor izvan same Zemlje. Znastveno proucavanjesile teze zapoceo je Galileo Galilei krajem 16. stoljeca svojim poznatim pokusima bacanjaraznih tijela s Kosog tornja u Pizi. Djelovanje sile teze u svemiru objasnio je Isaac Newton1687. u svojoj knjizi ”Principia”. Danas je uobicajeno da se ova sila naziva ”Gravitacija” apojam ”sila teza” odnosi se na gravitacijsku silu planeta Zemlje u blizini njene povrsine.

6.1 Keplerovi zakoni

Pocetkom 17. stoljeca njemacki astronom Johannes Kepler je na osnovi proucavanja preciznoizmjerenih polozaja planeta arsa formulirao tri zakona planetarnih gibanja koji se danas ponjemu nazivaju Kepler-ovi zakoni. Oni su bili zadnji udarac geocentricnom sustavu ipodloga za Newton-ov zakon gravitacije koji je na njihovoj osnovi izveden. Bez ulazenja udetalje njihova dokazivanja, ovdje ce oni biti sazeto navedeni:

1. Keplerov zakon: Planeti se gibaju oko Sunca po elipticnim stazama, pri cemu jeSunce u jednom zaristu elipse.

2. Keplerov zakon: Omjer kvadrata ophodnog vremena planeta i kuba velike poluosinjegove staze je isti za sve planete.

Ovaj zakon najcesce se formulira tako da se poluos staze planeta izrazava u poluosimazemljine taze, a period u preiodima ophoda Zemlje. Tada je njegov matematicki izraz naj-jednostavniji:

T 2

R3= 1 (6.1)

gdje je T ophodni period planeta (period revolucije) u godinama, a R velika poluosnjegove staze u astronomskim jedinicama. Astronomska jedinica definira se kao velikapoluos Zemljine staze oko Sunca. Njena velicina je 149 590 000 km.

3. Keplerov zakon: Radijus vektor planeta u jednakim vremenskim razmacima pre-brise jednake povrsine. Radijusvektor planeta je vektor polozaja planeta u heliocentricnomkoordinatnom sustavu koji ishodiste ima u onom zaristu staze u kojem se nalazi Sunce.

63

64 GLAVA 6: GRAVITACIJA

Proucavajuci Keplerove zakone Isaac Newton je postavio univerzalni zakon grav-itacije. Jedan od nacina da se to postigne je da se zanemari elipticnost planetnih stazai da se pretpostavi da su sve planetne staze kruznice. Uz tu pretpostavku 3. Keplerov zakonpostaje:

v = konst. (6.2)

Pa je brzina gibanja planeta jednostavno omjer opsega staze i perioda revolucije:

v =2Rπ

T(6.3)

Da bi planet ostao na kruznoj stazi, mora postojati centripetalna sila koja ga sili nakruzno gibanje:

Fcp = mv2

R(6.4)

gdje ej m masa planeta. Uvrstimo izraz za brzinu (6.3):

Fcp = m4R2π2

RT 2(6.5)

T 2 se izrati preko 2. Keplerovog zakona:

T 2 = cR3 (6.6)

gdje je c konstanta u 2. Keplerovom zakonu. Ona ovisi o jedinicama u kojima se izrazavajuT i R. Uz pomoc (6.6) (6.5) postaje:

Fcp = m4π2

cR2= k

m

R2(6.7)

gdje je k konstanta. Newton je na osnovu svojeg rada na teoriji gravitacije zakljucio daje k = GM gdje je G univerzalna gravitacijska konstanta a M masa sredisnjeg tijelaplanetnog sustava, u ovom slucaju Sunca.

6.2 Newtonov zakon gravitacije

Proucavajuci silu tezu Newton je dosao do zakljucka da je ona samo jedna manifestacijaopcenitije sile koja se proteze kroz cijeli Svemir. Ovu opcenitu silu nazvao je Gravitacija injeno djelovanje formulirao u obliku poznatog Newtonovog zakona gravitacije:

F = Gm1m2

r2(6.8)

F je iznos sile izmedu dva tijela cije mase su m1 i m2. Obje mase osjecaju istu silu, kojaih vuce prema onoj drugoj masi (sila dakle uvijek djeluje u smjeru spojnice dviju masa!), uskladu s trecim Newtonovim aksiomom. Sila je uvijek privlacna i proporcionalna umnoskumasa dvaju tijela. G je konstanta proporcionalnosti koja se danas naziva univerzalnagravitacijska konstanta. Njen iznos je

G = 6, 67 · 10−11 Nm2kg−2 (6.9)

6.3: SILA TEZA 65

Strogo gledano, ova formula vrijedi za tockaste mase. Gravitacija je relativno slaba sila,sto najbolje mozemo vidjeti iz sljedeceg primjera:

6.2.1 Primjer: gravitacija u svakodnevnom zivotu

Pokusajmo odrediti kolika je gravitacijska sila izmedu mladica mase 80 kg i djevojke mase60 kg, ako oni stoje 1 m udaljeni jedno od drugog. Radi jednostavnosti cemo pretpostavitida se radi o tockastim masama, da bismo mogli koristiti jednostavnu formulu 6.8.

F = 6, 67 · 10−11 80 · 60

12= 3, 2 · 10−7 N (6.10)

Ova je sila zaista malena pa je lako doci do krivog zakljucka da je gravitacijska sila usvakodnevnom zivotu zanemariva. Zanemariva je gravitacijska sila izmedu vecine tijela iznase okolice, ali samo toliko dugo dok njihove mase nisu prevelike. Presudna je s drugestrane gravitacijska sila izmedu tih tijela i Zemlje, zato sto je masa Zemlje toliko velika(Mz = 5, 97 · 1024 kg) da je gravitacijska sila s kojom ona djeluje na tijela u blizini njenepovrsine itekako znacajna.

6.3 Sila teza

Vec smo rekli da pod silom tezom podrazumijevamo gravitacijsku silu Zemlje u blizini njenepovrsine. Iz Newtonovog zakona za iznos sile kojom Zemlja djeluje na neko tijelo na njenojpovrsini nalazimo:

F = Gm ·mz

r2z

(6.11)

Ovu silu nazivamo tezina a obicno je oznacavamo s T ili G pri cemu u ovom drugomslucaju moramo paziti da oznaku G ne pobrkamo s univerzalnom gravitacijskom konstantom.Malo preslagivanje Newtonovog zakona uz zamjenu oznaka daje nam slijedece:

T = mGmz

r2z

(6.12)

ili, zapisano na odavno poznati nacin:

T = mg g =Gmz

r2z

(6.13)

Kako je masa Zemlje 5, 97 · 1024 kg, a njen polumjer 6, 38 · 106 m, nalazimo:

g ≈ 9, 78 ms−2 (6.14)

Konstanta g naziva se ubrzanje sile teze. Iznos ubrzanja sile teze standardiziran je nag = 9, 81 ms−2.


6.4 Gravitacijska potencijalna energija

Detalnjije proucavanje gravitacije pokazalo je da je ona konzervativna sila pa mozemo defini-rati i potencijalnu energiju vezanu uz nju. Kao i prije, do izraza za gravitacijsku potencijalnuenergiju dolazimo preko proucavanja rada gravitacijske sile. Kako je gravitacijska sila uvi-jek usmjerena prema masi na koju djeluje, stavimo jednu masu u ishodiste koordinatnogsustava, a drugu na udaljenost r od nje. Neovisno o smjeru u kojem se druga masa nalazi,gravitacijska sila ovisi samo o iznosu udaljenosti r, pa mozemo pisati:

W = U(r2)− U(r1) =∫ r2

r1Fdr (6.15)

Nakon uvrstavanja izraza za gravitacijsku silu 6.8 i integriranja dobijamo slijedeci izraz:

U(r2)− U(r1) =∫ r2

r1Gm1m2

r2dr = −Gm1m2

(1

r2

− 1

r1

)(6.16)

Dogovorom je odredeno da potencijalna funkcija U(r) bude jednaka nuli u beskonacnosti,pa je izraz za gravitacijsku potencijalnu funkciju

U(r) = −Gm1m2

r(6.17)

6.4.1 Potencijalna energija sile teze

Ako se ogranicimo na male visine h iznad povrsine Zemlje (tj. h << Rz) mozemo pisati

r1 = Rz

r2 = Rz + h(6.18)

Time izraz za rad u polju sile teze postaje

W = U(Rz + h)− U(rz) = −G mMz

Rz + h+G

mMz

Rz

(6.19)

Nadalje, svodenje na zajednicki nazivnik daje

W = −GmMz

(−h

R2z + hRz

)(6.20)

No kako je h << Rz moze se drugi clan nazivnika zanemariti prema prvome pa dolazimodo pojednostavljenog izraza za gravitacijsku potencijalnu funkciju koji vrijedi za male visineiznad zemljine povrsine:

W = GmMz

(h

R2z

)(6.21)

odnosno (uz upotrebu 6.13):

W = mgh (6.22)

pri cemu h=0 odgovara povrsini Zemlje. Tako smo dosli do izraza za potencijalnu energijusile teze koji nam je odavno poznat. Podsjetimo jos da zbog slobodnog izbora visine h zakoju je potencijalna enrgija sile teze jednaka nuli vrlo cesto u prakticnim racunima stavljamo

6.4: GRAVITACIJSKA POTENCIJALNA ENERGIJA 67

da je potencijalna energija nula u najnizoj tocki koja nam se u racunu javlja. To namosigurava racun u kojem su sve potencijalne energije pozitivne sto umanjuje mogucnostracunske pogreske.

Glava 7

Ravnoteza tijela i Statika

Ako se neko tijelo giba jednoliko ili miruje, kazemo da se nalazi u stanju ravnoteze. PrviNewtonov aksiom odmah nam govori da zbroj sila koje na neko tijelo djeluju mora iscezavati.Ako tijela mozemo pojednostaviti na materijalne tocke to je jedini i dovoljni uvjet jer svesile djeluju na istu tocku u prostoru pa momenti sila automatski iscezavaju. Uvjet ravnotezeza materijalnu tocku je dakle

∑i

~Fi = 0 (7.1)

gdje suma ide po svim silama koje djeluju na odabranu materijalnu tocku.S druge strane, tijela u stvarnosti imaju odreden oblik i velicinu i mogu se osim translacijskog

gibanja i rotirati oko proizvoljne osi pa su uvjeti ravnoteze za njih slozeniji. Ovakva tijelanazivamo i fizikalna tijela. Za njih cemo reci da su u ravnotezi ako je uz gornji uvijet(mirovanje ili jednoliko gibanje po pravcu) zadovoljen i uvjet da je kutna brzina fizikalnogtijela konstantna po iznosu i smjeru, tj. da se tijelo jednoliko rotira oko osi koja je fiksna uprostoru. Ovo nam daje dodatni uvjet ravnoteze koji zahtjeva da zbroj momenata svih silakoje na tijelo djeluju iscezava, dakle da je

∑i

~Ti = 0 (7.2)

Ovdje se prirodno postavlja pitanje izbora tocke prema kojoj cemo racunati momente sila.Pogledajmo prvo jednostavniji slucaj tijela koje miruje (dakle niti se giba niti rotira). Akotijelo ne rotira, onda ono ne rotira bez obzira na to koju proizvoljnu tocku mi odaberemokao srediste rotacije, pa ukupni moment sila oko te tocke mora isceznuti. Kako je tockaproizvoljno odabrana, slijedi da ukupni moment sila za svaku proizvoljno odabranu tockumora isceznuti ako tijelo miruje.

Matematicki se moze pokazati da ovaj zakljucak vrijedi i u slucaju kad tijelo jednolikorotira. I tada ukupni moment sila iscezava za svaku proizvoljno odabranu tocku za koju tajmoment sila racunamo.

Ova cinjenica nam znatno olaksava racun momenata sila u uvjetima ravnoteze. Naimeako zamisljeno srediste rotacije odaberemo tako da se nalazi na produzetku vektora nekenepoznate sile, moment te sile iscezava iz racuna, cime si znanto olaksavamo rjesavanjezamrsenih problema ravnoteze.

Statika je poseban slucaj ravnoteze u kojem tijela miruju. Unutar statike obicno izracuna-vamo sile i momente koji djeluju na ili unutar neke strukture ili konstrukcije (npr. dio nekog

69

70 GLAVA 7: RAVNOTEZA TIJELA I STATIKA

stroja, strukture mosta, dizalice i sl.). Na osnovu tih izracuna konstruiraju se te strukturetako da mogu izdrzati sve sile koje za vrijeme njihovog koristenja na njih mogu djelovati(npr. most ocigledno mora izdrzati tezinu svih vozila koja se u jednom trenutku na njemumogu naci!).

Kod rejsavanja statickih problema posebno je vazno nacrtati tocnu skicu svih sila i nji-hovih hvatista. Ako je sustav tih sila jako zamrsen, proucava s epo svojim pojedinim di-jelovima, a onda se od njih slaze cijela struktura.

Ponovimo jos jednom uvjete za ravnotezu fizikalnog tijela:

∑i~Fi = 0∑

i~Ti = 0

(7.3)

7.0.2 Primjer: nosenje grede

A BT

F1 F

2

G

Slika 7.1: Dva radnika nose gredu tako da ju drze u tockama A i B. Teziste grede je u njenojsredini (tocka T).

U primjeru na slici 7.1 dva radnika nose gredu tezine 600 N i duzine 6 m tako da prviradnik (A) drzi gredu na mjestu udaljenom 1 m od prednjeg kraja grede, a drugi radnik (B)na mjestu koje je 2 m udaljeno od zadnjeg kraja grede. Zanima nas koju tezinu nosi svakiod ta dva radnika.

Da bismo rijesili ovaj problem, posluzit cemo se uvjetima ravnoteze 7.3. Prvi uvjet namodmah daje da je zbroj sila kojima radnici djeluju na gredu jednak njenoj tezini (pazite nasmjer djelovanja sila!):

F1 + F2 −G = 0 ili F1 + F2 = G (7.4)

Da bi iskoristili drugi uvjet, moramo prvo orediti tocku za koju cemo racunati momentesila. Uzmimo npr. da je to tocka A. Jednadzba ravnoteze momenata (udaljenosti izrazavamou metrima!) nam onda daje:

F1 · 0 + F2 · 3−G · 2 = 0 (7.5)

71

odakle odmah nalazimo da je:

F2 =2

3G = 400N (7.6)

a uz pomoc prvog uvjeta nalazimo i F1:

F1 = G− F2 =1

3G = 200N (7.7)

Drugi radnik dakle zbo loseg odabira tocke u kojoj podupire gredu nosi dva puta vecutezinu od prvog. Za vjezbu mozete ponoviti racun sa drugacijim odabirom sredista rotacijei uvjeriti se da ce rezultat biti isti!

72 GLAVA 7: RAVNOTEZA TIJELA I STATIKA

Glava 8

Titranja

8.1 Uteg na opruzi

kxm

k

mg

+x

0

-x

Slika 8.1: Uteg na opruzi kao model harmonickog titranja. Na oprugu konstante k objesen jeuteg mase m. Na uteg djeluju sila opruge i sila teza, a ako se uteg pomakne izvan ravnoteznogpolozaja, dolazi do njegovog titranja gore-dolje. Titranje je jednodimenzionalno, a x-osorijentirana je tako da njen pozitivni smjer pokazuje prema dolje.

Jedan od najjednostavnijih modela titranja je uteg objesen na oprugu. Opruga je svojimgornjim krajem vezana za cvrsti oslonac, a na njenom donjem dijelu visi uteg mase m. Nauteg djeluju dvije sile: sila opruge (Fo = −kx) i sila teza (Fg = mg). Ako se u takvojsituaciji uteg pomakne izvan ravnoteznog polozaja, dolazi do njegovog titranja gore-dolje.Titranje je jednodimenzionalno, pa cemo analizu raditi uz upotrebu x-koordinate. Pri tomecemo x-os postaviti tako da njen pozitivni smjer pokazuje u smjeru istezanja opruge (premadolje). Ishodiste cemo odabrati tako da je kraj neistegnute opruge (opruge bez utega) uishodistu. Ako su sile u ravnotezi, uteg miruje, a jednadzba ravnoteze sila je:

73

74 GLAVA 8: TITRANJA

Fo + Fg = 0 (8.1)

ili, uzevsi u obzir suprotne smjerove sila:

kxo = mg (8.2)

odatle nalazimo ravnotezni polozaj utega (=istezanje opruge) kao:

xo =mg

k(8.3)

Ako uteg izbacimo iz ravnoteze, zbroj tezine i sile opruge bit ce razlicit od nule i vuci ceuteg u smjeru vece sile:

Fo + Fg = ma (8.4)

ili

ma = −kx+mg (8.5)

tezinu eliminiramo uz pomoc jednadzbe 8.3:

ma = −kx+ kxo = −k(x− xo) (8.6)

U iducem koraku pomaknemo ishodiste u tocku x = x0, sto odgovara zamjeni varijabli:

x′ = x− xo (8.7)

s rezultatom:

ma = −kx′ (8.8)

Odavde vidimo da se u pomaknutom koordinatnom sustavu nas model ponasa kao danema sile teze. To je zato sto je u slucaju opruge sila proporcionalna pomaku. U daljnjojanalizi ispustit cemo crticu na koordinati pomaka x′, pri cemu treba zapamtiti da se x sadamjeri od ravnoteznog polozaja utega na opruzi. Nasa jednadzba dakle glasi:

ma = −kx (8.9)

Sjetimo se sad da je ubrzanje druga derivacija pomaka x:

a =d2x

dt2(8.10)

cime jednadzba prelazi u:

md2x

dt2= −kx (8.11)

Dobili smo tzv. jednadzbu harmonickog (ili harmonickog) titranja. Njeno opce rjesenjeje:

x = A cos(ωt+ ϕo) (8.12)

8.1: UTEG NA OPRUZI 75

gdje su A, ω i ϕo konstante kojima cemo se vratiti nesto kasnije. Prije toga provjerimozadovoljava li nase pretpostavljeno rjesenje 8.12 jednadzbu 8.11. U prvom koraku iz rjesenja8.12 nademo izraze za brzinu i ubrzanje:

v =dx

dt= −Aω sin(ωt+ ϕo) (8.13)

a =dv

dt=d2x

dt2= −Aω2 cos(ωt+ ϕo) (8.14)

Uvrstavanjem 8.12 i 8.14 u 8.11 nalazimo da je jednadzba 8.11 zadovoljena ako je:

ω =

√k

m(8.15)

Konstanta ω naziva se kutna frekvencija titranja. Detaljnijom analizom jednadzbe 8.12nalazimo da se titranje utega periodicki ponavlja, pri cemu je amplituda titranja dana kon-stantom A.

x

v

a

t

A

-A

Aω

-Aω

-Aω2

Aω2

TT/4 3T/4T/2

tTT/4 3T/4T/2

tTT/4 3T/4T/2

Slika 8.2: Graficki prikaz polozaja, brzine i ubrzanja utega koji titra na opruzi. Titranje seodvija s periodom T i amplitudom A.

Kao i kod kruznog gibanja, titranje je periodicno, s periodom vracanja utega u istipolozaj:

T =2π

ω=

1

f(8.16)

ovdje je f je frekvencija titranja tj. broj ponavljanja titraja u jedinici vremena. Konstantaϕo je faza u kojoj se titranje nalazi u trenutku t = 0 i naziva se fazna konstanta (titranja).


Amplituda titranja i fazna konstanta ϕo nalaze se iz pocetnih uvjeta koji su u ovomslucaju najcesce pocetni polozaj i pocetna brzina utega (polozaj i brzina utega u trenut = 0).

U najjednostavnijem slucaju uteg se povuce iz ravnoteznog polozaja u polozaj x0 i unekom trenutku pusti da iz stanja mirovanja pocne titrati. Ako trenutak pustanja proglasimonultim vremenom (t = 0), onda su pocetni uvjeti ocito x(0) = xo i v(0) = 0, sto, uz pomocjednadzbi 8.12 i 8.13, daje A = xo i ϕo = 0. Uobicajeni grafikoni prijedenog puta, brzine iubrzanja za ovakvo titranje prikazani su na slici 8.2

8.1.1 Primjer 1

Utez na opruzi oscilira po zakonu:

x = 0, 02 cos (πt) (m) (8.17)

Odredite amplitudu, maksimalnu brzinu i maksimalno ubrzanje utega te period titranja.Direktnim iscitavanjem iz jednadzbe gibanja nalazimo:

A = 0, 02 (m) (8.18)

ω = π (s−1) (8.19)

i dalje, uz pomoc jednadzbi 8.13 i 8.14:

vmax = ωA = 0, 0628 (ms−1) (8.20)

amax = ω2A = 0, 197 (ms−2) (8.21)

te na kraju, preko formule 8.16:

T = 2 (s) (8.22)

f = 0, 5 (s−1) (8.23)

8.1.2 Primjer 2

Na oprugu objesimo uteg mase 130 g, pri cemu se opruga istegne za 3 cm. Ako nakon togauteg povucemo za jos 1 cm prema dolje, i pustimo ga iz stanja mirovanja, odredite jednadzbutitranja utega, amplitudu i period titranja.

mg = kxo (8.24)

pa je:

k =mg

xo= 42, 5 (Nm−1) (8.25)

A = x0 = 0, 01 (m) (8.26)

8.1: UTEG NA OPRUZI 77

Iz cinjenice da je vo = 0 slijedi da je:

ϕo = 0 (8.27)

Na kraju jos izracunamo kutnu frekvenciju titranja:

ω =

√k

m= 18, 08 (s−1) (8.28)

a period je T = 0, 35 s. Jednadzba titranja utega je:

x = 0, 01 cos (18, 08t) (m) (8.29)

8.1.3 Primjer 3

Odredite jednadzbu titranja utega iz prethodnog primjera, ako mu je prilikom pustanja izpocetnog polozaja dana pocetna brzina vo = 1 ms−1.

Iz jednadzbi 8.13 i 8.14 slijedi:

xo = A cosϕo (8.30)

vo = −Aω sinϕo (8.31)

Dijeljenjem prve jednadzbe s drugom nalazimo:

tanϕo =−voωxo

(8.32)

Problem nam ovdje stvara funkcija tangens. Naime, fazna konstanta moze poprimiti bilokoju vrijednost izmedu 0 i 2π. Medutim, period funkcije tangens je π, pa jednadzba 8.32u intervalu (0,2π) ima dva rjesenja, koja se medusobno razlikuju za π. Drugim rijecima,ako je rjesenje jednadzbe 8.32 ϕ, onda fazna konstanta moze biti ϕo = ϕ, ϕo = ϕ + π iliϕo = ϕ+2π. Ovo zadnje rjesenje prouzroceno je cinjenicom da je interval rjesenja jednadzbe8.32 (-π/2,+π/2) a fazna konstanta treba biti u osnovnom intervalu (0,2π).

Ovaj problem rjesava se tako da se gledaju predznaci pocetnog polozaja i pocetne brzine.Kako je predznak pocetnog polozaja jednak predznaku funkcije kosinus, a predznak pocetnebrzine suprotan predznaku funkcije sinus, mozemo iz njih odrediti kvadrant u kojem setrazeni kut mora nalaziti.

U nasem slucaju, kosinus je pozitivan, a sinus negativan, sto je istovremeno moguce samou cetvrtom kvadrantu, odn. za kuteve izmedu 3π/2 i 2π. Rjesenje jednadzbe 8.32 je:

ϕ = arctan−voωxo

= arctan 5, 530973 = −1, 391929 (rad) (8.33)

Ako ovom rjesenju dodamo π dobijamo ϕ = 1, 749664, no taj kut se nalazi u drugomkvadrantu, pa mu jos jednom dodamo π, s rezultatom ϕ = 4, 891257. Kako je ovaj kut ucetvrtom kvadrantu, on je fazna konstanta koju trazimo. Dakle, ϕo = 4, 891257. Preostajenam jos pronaci amplitudu titranja, za sto cemo se posluziti jednadzbom 8.30:

A =xo

cosϕo= 0, 056 (m) (8.34)


Sad mozemo napisati i trazenu jednadzbu titranja:

x = 0, 056 cos (18, 08t+ 4, 891257) (m) (8.35)

8.2 Veza harmonickog titranja i kruznog gibanja

Neka se tijelo giba kutnom brzinom ω po kruznici polumjera A koja lezi u x-y ravnini.Trenutni polozaj tijela opisan je kutem ϕ:

ϕ = ωt (8.36)

Gdje je t vrijeme proteklo od trenutka kad je kut ϕ bio jednak nuli. Prijedemo li nakartezijeve koordinate, trenutni polozaj tijela opisan je koordinatama x i y:

x = A cosϕ = A cos (ωt) (8.37)

y = A sinϕ = A sin (ωt) (8.38)

Nadalje, komponente brzine i ubrzanja nalazimo deriviranjem ovih izraza:

vx = −ωA sin (ωt) (8.39)

vy = ωA cos (ωt) (8.40)

odnosno,

ax = −ω2A cos (ωt) (8.41)

ay = −ω2A sin (ωt) (8.42)

Vidimo da su jednadzbe koje opisuju x, odnosno y komponentu kruznog gibanja iste kaojednadzbe koje opisuju harmonicko titranje. I zaista, ako bismo kruzno gibanje promatrali uprojekciji na x, odn. y-os, vidjeli bismo da se tijelo giba amo-tamo kao da harmonicki titra.Obrnuto, ako bismo tijelo natjerali da istovremeno harmonicki titra u x i y smjeru s istomamplitudom i fazom, tijelo bi se pocelo gibati po kruznici.

8.3 Energija harmonickog titranja

Ukupna energija harmonickog titranja je zbroj kineticke i potencijalne energije titrajucegtijela. Potencijalna energija dana je potencijalnom energijom opruge:

U =1

2kx2 (8.43)

Uvrstimo li za istezanje opruge izraz za trenutni polozaj tijela koje harmonicki titranalazimo:

U =1

2kA2 cos2 (ωt+ ϕo) (8.44)

8.4: NJIHALA 79

Istovremeno, kineticka energija tijela je:

KE =1

2mv2 =

1

2mω2A2 sin2 (ωt+ ϕo) (8.45)

medutim, kako je:

ω =

√k

m(8.46)

jedandzbu za kineticku energiju mozemo prepisati kao:

KE =1

2kA2 sin2 (ωt+ ϕo) (8.47)

Ukupna energija je zbroj potencijalne i kineticke energije:

U +KE =1

2kA2

[cos2 (ωt+ ϕo) + sin2 (ωt+ ϕo)

](8.48)

odnosno:

U +KE =1

2kA2 (8.49)

I to neovisno o trenutku t u kojem ukupnu energiju promatramo. Ukupna energija har-monickog titranja je dakle sacuvana (konstantna). Za vrijeme titranja potencijalna energijaneprestano prelazi u kineticku i obratno, ali tako da je njihov zbroj uvijek konstantan.

8.4 Njihala

8.4.1 Matematicko njihalo

l

mg

ϕ

mgcos(ϕ)

mgsin(ϕ)s

T

Slika 8.3: Shematski prikaz matematickog njihala. Na nit zanemarive masi objesena jetockasta masa m i pomakom iz ravnoteznog polozaja navedena da se periodicki njise.


Matematicko njihalo najjednostavniji je fizikalni model njihala. Sastoji se od tockastemase objesene na tanku nit, koja je pomakom iz ravnoteznog polozaja navedena da se njiseamo-tamo. U stvarnosti su njihala koja su konstruirana tako da je masa kuglastog ili cilin-dricnog oblika objesena o nit ili nosac cija je masa znatno manja od mase koja visi nanjemu toliko slicna idealnom matematickom njihalu da se preostale male razlike uglavnommogu zanemariti tako da je model matematickog njihala cesto koristena zamjena za realno(fizikalno) njihalo.

Ako pomak mase od ravnoteznog polozaja mjerimo po luku koji ta masa (odn. kodstvarnog njihala centar mase objesenog utega) opisuje za vrijeme njihanja, mozemo pisati(za oznake vidi sliku 8.3):

md2s

dt2= −mg sinϕ (8.50)

Pri cemu kod stvarnog njihala duljinu niti mjerimo od njenog hvatista do centra maseutega. No, s = lϕ pa uvrstavanjem u 8.50 nalazimo jednadzbu matematickog njihala:

d2ϕ

dt2= −g

lsinϕ (8.51)

Iako naizgled vrlo slicna jednadzbi harmonickog titranja, ova je jednadzba nerjesiva anal-itickim metodama. Zbog toga se pri njenom rjesavanju pretpostavlja da je amplituda nji-hanja mala, sto znaci i da je kut ϕmalen. U tom slucaju mozemo se posluziti aproksimacijom:

sinϕ ≈ ϕ (8.52)

koja je to tocnija sto je kut ϕ manji. Uz ovu aproksimaciju jednadzba njihala prelazi ujednadzbu harmonickog titranja:

d2ϕ

dt2= −g

lϕ (8.53)

pa odmah mozemo napisati i njeno rjesenje:

ϕ = Φ cos (ωt+ ϕo) (8.54)

gdje je Φ amlituda njihanja u radijanima, ω kao i ranije kutna frekvencija njihanja i ϕofazna konstanta. Kutna frekvencija je u ovom slucaju dana s:

ω =

√g

l(8.55)

a period titranja:

T = 2π

√l

g(8.56)

Primijetimo da period njihala ne ovisi o masi utega, vec samo o duljini niti njihala iubrzanju sile teze. Zato su se donedavno pazljivo konstruirana njihala koristila za odredivanjelokalnog ubrzanja sile teze.

8.4: NJIHALA 81

8.4.2 Primjer

Koju duljinu mora imati matematicko njihalo da bi mu period bio 1 s?Preslagivanjem jednadzbe 8.56 nalazimo:

L = gT 2

4π2(8.57)

a uvrstavanjem poznatih vrijednosti nalazimo L=0,248 m. Za period od 2 sekunde do-bijamo L=0,992 m. Klatna ove duljine nekad su bila vrlo cesta kod preciznih satova s klat-nom, koje je moderna tehnologija zamijenila u prvoj polovici dvadesetog stoljeca preciznijimsatovima drugih vrsta.

8.4.3 Fizikalno njihalo

ϕ

mg mgcos(ϕ)

mgsin(ϕ)

l

P

CM

Slika 8.4: Shematski prikaz fizikalnog njihala. Njihalo se njise oko osi koja kroz njega prolaziu tocki P okomito na ravninu slike. Centar mase njihala oznacen je oznakom CM.

Fizikalnim njihalom nazivamo svako stvarno tijelo koje se slobodno njise oko neke osi kojaprolazi kroz njega (slika 8.4). Analiza fizikalnog njihala slicna je postupku kod matematickognjihala, ali se radi uz upotrebu izraza za kruzno gibanje. Polazimo od II. newtonovog aksiomaza kruzno gibanje:

Id2ϕ

dt2= T (8.58)

gdje je I moment inercije tijela oko osi njihanja a T moment sile teze s hvatistem u centrumase (CM) s obzirm na istu tu os:

T = −mgl sinϕ (8.59)

odnosno:

d2ϕ

dt2= −mgl sinϕ (8.60)


I ovdje se moramo posluziti aproksimacijom malih kutova cime dobijamo:

d2ϕ

dt2= −mglϕ (8.61)

Sto je i opet jednadzba harmonickog titranja, cije rjesenje je kao i kod matematickognjihala:

ϕ = Φ cos (ωt+ ϕo) (8.62)

s tom razlikom da je sada:

ω =

√mgl

I(8.63)

a period titranja:

T = 2π

√I

mgl(8.64)

8.4.4 Primjer 1

Neka se fizikalno njihalo sastoji od tockaste mase m koja se njise na kraju sipke duljine l izanemarive mase. Izvedite opcu jednadzbu za period njihanja takvog njihala. O kakvom senjihalu radi?

Prisjetimo se da je moment inercije materijalne tocke mase m udaljene l od osi rotacijeI = ml2. Uvrstavanjem u 8.64 dobijamo:

T = 2π

√l

g(8.65)

sto je izraz za period matematickog njihala. U ovom primjeru upravo se i radi o matematickomnjihalu.

8.4.5 Primjer 2

Kod hodanja se noge njisu otprilike na isti nacin kao fizikalno njihalo, sto znatno smanjujeenergiju potrebnu za hodanje. Uz pomoc ove cinjenice moze se procijeniti brzina kojom suhodale izumrle zivotinje. Primjerice, ako je neki veliki biljozder imao noge duge 5 m i korakod 2 m (sto se moze odrediti iz fosilnih tragova takovih zivotinja), za njegovu brzinu hodanjanalazimo sljedece:

Nogu modeliramo kao okrugli trupac podrput u gornjem kraju. Njegov moment inercijeje:

I =1

3ml2 (8.66)

pa za period njihanja nalazimo:

T = 2π

√l

3g(8.67)

8.5: GUSENO TITRANJE 83

Odnosno, uz podatke iz primjera T = 2,6 s. Brzina hodanja jednaka je duljini korakapodijeljenoj s trajanjem koraka, ili, u ovom primjeru:

v =∆x

T= 0, 77 ms−1 = 2, 8 kmh−1 (8.68)

Za provjeru, mozemo provjeriti podatke za covjeka. Uz duljinu noge od 0,9 m i korak od60 cm nalazimo T = 1,1 s i v = 0,55 ms−1, odnosno 2,0 kmh−1.

8.5 Guseno titranje

U svim stvarnim situacijama javljaju se i sile otpora koje polagano guse titranje. Primjerice,kod utega na opruzi dolazi do unutarnjeg trenja medu cesticama materijala od kojeg jenapravljena opruga a i uteg osjeca otpor okolnoga zraka. I u drugim situacijama javljaju sesile cije djelovanje je slicno djelovanju sile trenja, sto znaci da se energija tiranja postepenopretvara u toplinu. U vecini slucajeva sila otpora je barem priblizno proporcionalna brzinigibanja oscilatora pa se opisuje na sljedeci nacin:

Fg = −bv (8.69)

gdje je b konstanta proporcionalnosti, a v brzina gibanja oscilatora, primjerice u slucajuutega na opruzi trenutna brzina utega. Ova jednostavna veza vrijedi sve dok je brzinagibanja oscilator mala, a kod vecih brzina mogu se pojaviti i znatno slozenije ovisnosti.

Dodamo li sila gusenja 8.69 jednadzbi harmonickog titranja 8.11, dobijamo jednadzbugusenih oscilacija:

md2x

dt2= −kx− bv = −kx− bdx

dt(8.70)

Rjesenje ove jednadzbe nesto je slozenije od rjesenja jednadzbe harmonickog titranja. Uslucaju kad je b malen (gusenje nije prejako) rjesenje je oblika:

x = Ao exp

(− b

2m

)t cos (ωt+ ϕo) (8.71)

pri cemu je Ao pocetna amplituda titranja a ω kutna frekvencija titranja:

ω =

√√√√ k

m−(b

2m

)2

=

√√√√ω2o −

(b

2m

)2

(8.72)

ωo je frekvencija titranja oscilatora bez gusenja, koja se u ovom slucaju jos naziva iprirodna frekvencija titranja:

ωo =

√k

m(8.73)

Jednadzba gusenog titranja 8.71 zorno je prikazana na slici 8.5. Ona u sebi sadrzi produktdva clana (dvije funkcije). Prvi clan opisuje trenutnu amplitudu titranja A, koja sad ovisi ovremenu:

A = Ao exp

(− b

2m

)t (8.74)


-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60

vrijeme (s)

Po

mak (

mm

)

Slika 8.5: Graficki prikaz gusenog titranja. Titranje je i dalje periodicko (plavo) ali mu seamplituda smanjuje eksponencijalno s vremenom (ljubicasto).

a drugi clan je jednostavno harmonicko titranje, kao i ranije opisano funkcijom kosinus.Primijetimo uz to da je frekvencija titranja nesto manja od prirodne frekvencije titranja kojubi tijelo imalo da nema otpora.

8.5.1 Kriticno gusenje

Ako je sila gusenja jaka, oscilacije naglo trnu. U trenutku kad ona postane toliko velika dafrekvencija oscilacija iscezne, gibanje uopce vise nije periodicno. Iz jednadzbe 8.72 nalazimoda se to dogada kad je:

b = 2√mk (8.75)

Gusenje u ovom slucaju naziva se kriticno gusenje, a gibanje koje opisuje oscilator sadse naziva aperiodicno gibanje. Ono je opisano slijedecom jednadzbom:

x = Ao exp

(− b

2m

)t (8.76)

a mozemo je dobiti iz jednadzbe 8.71 ako stavimo da je ω = 0. Ako je konstanta gusenjajos veca, nalazi se slicna jednadzba gibanja, ali je vracanje tijela u ravnotezni polozaj jossporije nego u kriticnom slucaju.

Zakljucimo ovu analizu s nekoliko rijeci o energiji gusenog oscilatora. Vec smo ustanovili(v. jedn. 8.49) da je ukupna energija oscilatora:

E =1

2kA2 (8.77)

Upotrijebimo li izraz za amplitudu gusenog oscilatora 8.74 dolazimo do izraza za energijugusenog oscilatora:

8.6: PRISILNA TITRANJA 85

E =1

2kA2

o exp

(− b

m

)t (8.78)

Vidimo da energija gusenog oscilatora nije konstantna vec se s vremenom eksponencijalnosmanjuje. Pri tome izgubljena energija najcesce odlazi u toplinu.

8.6 Prisilna titranja

U mnostvu stvarnih situacija oscilator ne titra slobodno, vec je prisilno tjeran nekom vanj-skom silom. Nacin na koji ce u takvom slucaju tijelo titrati ovisi o obliku sile. Najcesce seanaliza provodi za silu periodicnog oblika:

Fv = cos (ωvt) (8.79)

gdje je ωv frekvencija vanjske (nametnute) sile. Titranje se sad ocigledno odvija s tomfrekvencijom, ali amplituda ovisi o nekoliko faktora na prilicno slozen nacin:

A(ωv) =Fo√

(ω2o − ω2

v) + 4δ2ω2v

(8.80)

pri cemu je:

δ =b

m(8.81)

i:

ωo =

√k

m(8.82)

a titranje zaostaje za vanskom silom za faznu razliku:

tanϕo =2δωv

ω2o − ω2

v

(8.83)

Opce rjesenje sad je prilicno slozeno:

x(t) = A(ωv) cos (ωvt− ϕo) (8.84)

Ovisnost amplitude titranja o frekvenciji i konstanti gusenja zorno je prikazana na slici8.6. Odatle se vidi da amplitude titranja mogu postati vrlo velike ako je nametnuta frekven-cija titranja blizu prirodnoj frekvenciji u situaciji kad je gusenje malo. Ova se pojava nazivarezonancija i u praksi se izbjegava jer realna tijela cesto puta ne mogu podnijeti velikeamplitude titranja bez ostecenja.

Frekvenciju na kojoj je amplituda maksimalna mozemo naci analizom jednadzbe 8.80.Kako je Fo konstata, A(ωp) ce biti maksimalna kad je funkcija pod korijenom u brojnikuminimalna. Nakon deriviranja i izjednacavanja s nulom nalazimo da postoje tri rjesenja ovogproblema:

ωv1 = 0

ωv2,3 = ±√ω2o − 2δ2

(8.85)


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

49,985 49,99 49,995 50 50,005 50,01 50,015

Frekvencija (Hz)

Am

plitu

da

(m

m)

delta=0,01

delta=0,003

delta=0,001

Slika 8.6: Graficki prikaz amplitude prisilnog titranja. Ako je gusenje malo, dolazi do pojaverezonancije kada u slucaju podudarnosti nametnute frekvencije i prirodne frekvencije titranjadolazi do vrlo velikih amplituda titranja.

Da bi titranje postojalo, frekvencija mora biti veca od nule, pa prvo rjesenje odbacimo,a od preostala dva uzmemo ono pozitivno:

ωv,max =√ω2o − 2δ2 (8.86)

a maksimalna amplituda titranja je:

Amax =Fo

2δ√ω2o − 2δ2

(8.87)

Ako je je gusenje slabo (δωo < 1) maksimalna amplituda moze biti mnogostruko veca odamplitude nametnute sile.

8.7 Slaganje titranja

Uteg objesen o nit (matematicko njihalo) moze se njihati u bilo kojem smjeru u xy-ravnini.Takvo njihanje mozemo prikazati kao vektorski zbroj njihanja u x i u y smjeru, koje ponekadnazivamo osnovnim gibanjima. Kod ovakvog jednostavnog njihala period njihanja je zaoba smjera isti a odabirom pocetnih uvjeta mozemo mijenjati amplitude i fazne konstanteosnovnih gibanja. Kako su amplitude njihanja malene, maleno podizanje tijela u smjeru z-osiza vrijeme njihanja zanemarujemo i njihanje promatramo kao da se odvija u xy-ravnini. Utom slucaju jednadzbe osnovnih gibanja predstavljaju parametarske jednadzbe staze kojutijelo opisuje u xy-ravnini:

8.7: SLAGANJE TITRANJA 87

x

y

z

m

Slika 8.7: Matematicko njihalo moze se njihati u dva smjera: x i y. Pri tome je frekvencijanjihanja za oba smjera ista.

x = Ax cos (ωt)

y = Ay cos (ωt+ ϕo)(8.88)

Pri cemu smo izborom trenutka t = 0 uklonili faznu konstantu za gibanje u x smjeru.Jednadzbu staze tijela mozemo dobiti ako iz ovih jednadzbi uklonimo vrijeme t. Pri tomedrugu jednadzbu raspisemo uz pomoc izraza za kosinus zbroja kuteva:

cos (α + β) = cosα cos β + sinα sin β (8.89)

s rezultatom:

y = Ay cos (ωt) cosϕo + sin (ωt) sinϕo (8.90)

Nakon toga cos (ωt) i sin (ωt) eliminiramo upotrebom prve jednadzbe (x = Ax cos (ωt)).Zbog trigonometrijskih funkcija ovo moze biti prilicno slozeno. U nasem slucaju nalazimo:

cos (ωt) = xAx

sin (ωt) = ± 1Ax

√1− x2

(8.91)

gdje predznak druge jednadzbe ovisi o kvadrantu u kojem se nalazimo. Uvrstavajuci oveizraze u jednadzbu 8.90 dobijamo jednadzbu staze gibanja:

y =Ax

Ay(x cosϕo ±

√1− x2 sinϕo

) (8.92)

Krivulje opisane ovakvom jednadzbom nazivaju se Lissajousove krivulje. Izgled krivuljeovisi o omjeru amplituda i faznoj kostanti, a za neke posebne slucajeve prikazan je na slici8.8.

U sucaju kad su oba osnovna titranja u fazi (slika 8.8 gore), njihalo se njise u ravnini aputanja u xy ravnini mu je ravna crta. Ako je titranje u y smjeru pomaknuto u fazi za π/2,


x

y

Ax

Ayϕo=0

ϕo=π/2

x

y

Ax

Ay

Slika 8.8: Lissajousove krivulje za neke posebne slucajeve.

putanja njihala je elipsa cije poluosi su Ax i Av, a ako su amplitude osnovnih njihanja iste,putanja je kruzica.

U opcem slucaju, kad i frekvencije osnovnih njihanja mogu biti razlicite, putanje mogubiti vrlo kompleksne krivulje. One ce se zatvoriti (tj. nakon nekog vremena gibanje ce sepoceti ponavljati) samo ako je omjer ωx/ωy racionalan broj.

Glava 9

Valovi

A B

Slika 9.1: Povrsinski valovi na vodi nastaju kad mirnu povrsinu vode uznemirimo, npr.bacanjem kamencica u nju. Nastali valovi sire se koncentricno od mjesta udara.

Prisjetimo se na tren omiljenje djecje igre: bacanja kamencica u vodu. Od mjesta nakojem je kamencic upao u vodu, njenom se povrsinom sire koncentricni kruzni valovi. Ovanam jednostavna slika o valovima govori mnogo toga:

• val moze nastati poremecajem sretstva u kojem se val siri.

• val je pojava koja putuje kroz prostor.

• brzina vala u homogenom sretstvu je konstantna. U nasem primjeru, brzina sirenjavala po povrsini vode je u svim smjerovima ista, sto zakljucujemo iz njegovog kruznogoblika.

• val se moze siriti po povrsini sredstva (vode u nasem primjeru).

• pazljivim opazanjem primijetit cemo da se velicina vala smanjuje s udaljenoscu odizvora.

89

90 GLAVA 9: VALOVI

• na isti nacin mozemo primijetiti da se razmak susjednih valova ne mijenja.

Valovi na povrsini vode cesto se koriste za proucavanje valova jer ih je lako stvoriti a uzto su vidljivi sto jako olaksava interpretaciju rezultata pokusa. Teoretski se valovi opisujutzv. valnom jednadzbom koju ovdje necemo izvoditi, vec cemo je samo navesti:

c2d2u

dx2=d2u

dt2(9.1)

gdje je c konstanta za koju se lako ustanovi da je jednaka brzini sirenja vala, a u je pomakvala od ravnoteznog polozaja u tocki x. Primjerice, kod vala na vodi u je trenutni polozajpovrsine vode, gledano prema polozaju mirne povrsine.

Nazalost, i metode kojima se ova jednadzba moze rijesiti prelaze nase trenutne mogucnosti,pa cemo se posluziti gotovim rjesenjem. Ono je opceg oblika:

u(x, t) = f1(x− ct) + f2(x+ ct) (9.2)

gdje su f1 i f2 proizvoljne funkcije ciji je tocni oblik odreden rubnim i pocetnim uvjetima(primijetite da ovdje imamo dva seta uvjeta: prostorne i vremenske!). c je brzina sirenjavala, a iz izgleda jednadzbe 9.2 mozemo jos zakljuciti da funkcija f1 opisuje val koji putuje usmjeru +x osi, sto vidimo iz cinjenice da se vrijednost funkcije f1 ne mijenja za x−ct = konst,odn. x = konst+ ct, tj. x za koji funkcija f1 zadrzava svoju prvotnu vrijednost s vremenomraste. Na slican nacin moze se zakljuciti da funkcija f2 opisuje val koji se siri u smjeru -x osi.Ovisno o prirodi pojave koju promatramo, moze postojati jedan ili oba ova vala istovremeno.Primjerice, u slucaju prije spomenutih valova na vodi, postojat ce samo prvi val, ako sa xoznacimo udaljenost od sredista vala.

9.1 Osnovna svojstva valova

x

z

A

Slika 9.2: Presjek vala na povrsini vode. Presjek je ucinjen u nekom vremenskom trenutku,tj. vrijeme je ”zamrznuto”.

9.1: OSNOVNA SVOJSTVA VALOVA 91

Vratimo se na trenutak slici 9.1. Ako u jednom trenutku presjecemo povrsinu voderavninom okomitom na nju (ravnina A-B na slici), dobit cemo trenutni izgled vala na vodi(slika 9.2). Iz toga presjeka vidimo da je povrsina vode na nekim mjestima izdignuta a nanekima pak spustena ispod nivoa mirne povsine. Dapace, ta se slika periodicno ponavlja, aako bismo isli detaljnije mjeriti oblik presjecene povrsine, potvrdili bismo intuitivnu sumnju(slika 9.3) da je on vrlo blizak matematickoj funkciji kosinus (ili sinus).

x

z

0

A

-A

λ

Slika 9.3: Trenutni presjek vodenog vala. Presjek je ucinjen u nekom vremenskom trenutku,tj. vrijeme je ”zamrznuto”. Val, kao i titranje, ima amplitudu A i period ponavljanja, kojije u ovom slucaju prostorni period koji se naziva valna duljina λ.

Krivulju na slici 9.3 mozemo opisati formulom:

z(x, to) = A cos (kx+ ϕo) (9.3)

gdje je k konstanta koja se naziva valni broj:

k =2π

λ(9.4)

Valni nam broj govori koliko puta se po jedinici duljine val ponavlja, a valna duljinaje razmak izmedu dva susjedna vala. Najcesce se promatra razmak izmedu dva susjednamaksimuma, ali iz svojstava periodickih funkcija lako zakljucimo da to isto vrijedi za bilokoje dvije susjedne tocke koje su u istoj fazi.

Val se vrlo cesto promatra i vremenu. Primjerice, zamislimo si da gledamo sto se desavas nekom odabranom tockom na povrsini vala (tocka A na slici 9.2). Pratimo li njenu z-koordinatu u vremenu, dobit cemo grafikon vrlo slican onome na slici 9.3, ali s bitnomrazlikom da je na apscisi sad vrijeme, a ne prostorna koordinata x (slika 9.4). Ovaj nam grafpokazuje da se tocka A periodicki giba gore-dolje, kao da titra. Ne treba nas stoga cuditida se za opisivanje njenog gibanja koristi ista terminologija kao i za titranje. Period s kojimse tocka A vraca u prvobitno polozaj naziva se period vala, T . Uz period, cesto se koristifrekvencija vala f :

f =1

T(9.5)

ili kutna frekvencija:

ω = 2πf =2π

T(9.6)

92 GLAVA 9: VALOVI

t

z

0

A

-A

T

Slika 9.4: Pomicanje tocke T u vremenu takoder je periodicka fukcija, no ona se u ovomslucaju (isto kao i tiranje) opisuje vremenskim periodom T , a amplituda pomicanja A jenaravno ista kao u prostornoj slici vala.

Izgleda vala sad opisujemo izrazom:

z(xo, t) = A cos (ωt+ ϕ1) (9.7)

Uz pretpostavku da se val siri u smjeru +x osi, usporedbom izraza 9.3 i 9.7 s 9.2 nalazimoda bi opci oblik jednadzbe 9.2 za opisani val trebao biti:

z(xo, t) = A cos (B(x− ct)) (9.8)

Nadalje, usporedbom 9.3 s 9.8 vidimo da je B = k, a usporedbom 9.6 sa 9.7 nalazimo:

ω = Bc = kc (9.9)

Nadalje, uz pomoc 9.4 i 9.7 9.9 postaje:

λf = c (9.10)

Jednadzba 9.7 postaje:

z(x, t) = A cos (kx− ωt+ ϕo) (9.11)

pri cemu, kao i u prijasnjim slucajevima, faznu konstantu ϕo odredujemo iz pocetnih irubnih uvjeta.

9.1.1 Primjer

Val je opisan jednadzbom y = 0, 0002 sin (0, 5x− 628t)m. Odredite A, f , T , λ i c. U kojemsmjeru val putuje?

Iz jednadzbe vala direktno iscitamo A=0,002 m, k=0,5 m−1 i ω = 628 s−1. Uz pomocjednadzbe 9.4 nalazimo λ = 12, 6 m, jednadzba 9.6 daje ω =100 Hz, jednadzba 9.5 dajeT =0,01 s i na kraju jednadzba 9.10 daje c = 1260 ms−1. Val putuje u smjeru +x osi.

9.2: ZBRAJANJE VALOVA 93

9.2 Zbrajanje valova

U stvarnim situacijama se najcesce susrecemo s mnogo razlicitih valova. U takvim situaci-jama valovi se sastavljaju u slozeni val koji moze biti vrlo slozenog oblika. Matematicki torjesavamo tako da jednadzbe pojedinih valova zbrojimo. Tu je problem vise matematickeprirode jer moramo zbrajati trigonometrijske funkcije.

Zbrajanje valova mozemo ilustrirati na najjednostavnijem primjeru: zbroju dva razlicitavala iste frekvencije i istih faznih konstanti. Zbog jednostavnosti promatrajmo situaciju ujednoj tocki. U tom je slucaju prostorni dio argumenta valne funkcije (kx) konstantan, paga mozemo ukljuciti u faznu konstantu. Uz to ogranicenje zbroj ovakva dva vala je vrlojednostavan:

y1 = A1 cos (ωt+ ϕo)


y1 + y2 = (A1 + A2) cos (ωt+ ϕo)

(9.12)

Za ovakve valove kazemo da su u fazi, i u tom slucaju njihov zbroj je val istog oblika, cijaje amplituda jednaka zbroju amplituda pocetnih valova. Ova je situacija dodatno ilustriranana slici 9.5.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20

vrijeme (s)

y (

mm

) val 1

val 2

zbroj

Slika 9.5: Graficki prikaz zbroja dva vala iste frekvencije, koji su u fazi.

Ako je pak razlika u fazama dva vala pola perioda (π), valovi se medusobno oduzimaju:


y2 = A2 cos (ωt+ ϕo + π)

y1 + y2 = (A1 − A2) cos (ωt+ ϕo)

(9.13)

U ovoj situaciji kazemo da su valovi u protufazi. U slucaju da su im amplitude iste, kaorezultat dobijamo potpuno ponistavanje dva vala!. Ovakva je situacija dodatno ilustriranana slici 9.6.

94 GLAVA 9: VALOVI

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20

vrijeme (s)

y (

mm

) val 1

val 2

zbroj

Slika 9.6: Graficki prikaz zbroja dva vala iste frekvencije, koji su u protufazi.

Ako frekvencije valova koji se zbrajaju nisu iste, njihov zbroj je znanto slozeniji i vre-menski promjenjiv, no matematicki je postupak isti. Obrnuto, moze se pokazati da se svakislozeni val moze rastaviti na zbroj jednostavnih valova, cije su frekvencije visekratnici nekeosnovne frekvencije ωo. Prikaz slozenog vala je oblika:

y(x, t) =n∑i=1

Ai cos (iωot+ ϕi) (9.14)

Postupak razlaganja slozenog vala na jednostavne valove na ovaj nacin naziva se Fourierovaanaliza i ima veliku primjenu u znanosit i tehnici. Pri tome se frekvencija ωo naziva os-novna frekvencija a vise frekvencije, koje su oblika ωi = iωo, nazivaju se harmonici.

9.3 Stojni valovi

Ako se zbrajaju dva vala koja putuju u suprotnim smjerovima, dolazi do zanimljive pojave:stojnog vala. Njegovo je svojstvo da izgleda kao da u prostoru miruje. Da vidimo o cemuse radi:

y1 = A cos (kx− ωt)y2 = A cos (kx+ ωt)

(9.15)

zbog jednostavnosti uzeli smo da su fazne konstante oba vala jednake nuli. Uz:

cos (α + β) = 2 cos

(α + β

2

)cos

(α− β

2

)(9.16)

dobijamo:

y = y1 + y2 = 2A cos (kx) cos (ωt) (9.17)

9.3: STOJNI VALOVI 95

Ovaj val miruje u prostoru, i u danoj tocki jednostavno oscilira oko ravnoteznog polozajakutnom frekvencijom ω i amplitudom 2A cos (kx). Mjesta na kojima je amplituda valamaksimalna (u apsolutnom smislu) nazivaju se trbusi stojnog vala, a mjesta u kojima jeona nula (u tim mjestima dakle titranja uopce nema) nazivaju se cvorovi.

9.3.1 Primjer: stojni val na zici

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

Slika 9.7: Osnovni stojni val (n = 1) na napetoj zici i nekoliko prvih harmonika (n = 2− 5).

Jedan od najpoznatijih primjera stojnog vala je titranje nategnute zice. Zica je ucvrscenana svojim krajevima, sto zanci da mjesta ucvrscenja moraju biti cvorovi stojnog vala, kojinastaje ako zicu potezanjem u stranu i pustanjem dovedemo u stanje titranja. Ako je razmakmedu krajevima zice l, val osnovne frekvencije imat ce valnu duljinu λ = 2l jer takav val naduljini l ima dva cvora sa jednim trbuhom izmedu njih. Lako je vidjeti da su valne duljineharmonika:

λi =λoi

=2l

i(9.18)

uz i = 1 za osnovni val i i = 2, 3.... za harmonike. Da bismo odredili frekvenciju ovakvihstojnih valova, moramo znati mehanicka svojstva zice i njenu napetost, a opcenito frekvencijaraste s povecanjem napetosti zice.

Na ovaj nacin titraju zice muzickih instrumenata, zice dalekovoda i sve druge napetezice i tanki nosaci. Pri tome se visina tona muzickih instrumenata podesava podesavanjemnapetosti odgovarajuce zice.

9.3.2 Primjer: udari

Udari nastaju zbrajanjem mnostva valova bliskih frekvencija. Ako primjerice imamo dvavala frekvencija ω1 i ω2, opisanih s:

96 GLAVA 9: VALOVI

y1 = A cos (ω1t)

y2 = A cos (ω2t)(9.19)

njihov zbroj je:

y = y1 + y2 = 2A cos (ω1 − ω2

2t) cos (

ω1 + ω2

2t) (9.20)

Ako su frekvencije ω1 i ω2 bliske, mozemo uvesti sljedecu aproksimaciju:

ω1 ≈ ω2 = ω ω2 − ω1 = ∆ω (9.21)

cime jednadzba 9.22 postaje:

y ≈ 2A cos (∆ωt) cos (ωt) (9.22)

-2

-1

0

1

2

0 50 100 150 200 250 300

vrijeme (s)

y (

mm

)

Slika 9.8: Zbroj dva vala bliskih frekvencija pokazuje tendenciju da se amplituda zbrojaperiodicki smanjuje i povecava.

-12

-8

-4

0

4

8

12

0 50 100 150 200 250 300

vrijeme (s)

y (

mm

)

Slika 9.9: Zbroj veceg broja valova bliskih frekvencija proizvodi udare - vremenski kratkevalove vrlo velikih amplituda izmedu kojih je amplituda slozenog vala vrlo malena.

9.4: ENERGIJA VALA 97

9.4 Energija vala

Iako se val siri kroz prostor, tvar kroz koju putuje miruje. Na mikroskopskoj razini cesticetvari zbog djelovanja vala titraju oko svojeg ravnoteznog polozaja, opisjuci pri tome har-monicko gibanje. Znamo od prije (vidi glavu 8.3) da harmonicko titranje posjeduje odredenuenergiju, koja je proporcionalna kvadratu amplitude tiranja. Iz toga mozemo zakljuciti dai val posjeduje odredenu energiju, koja ce takoder biti proporcionalna kvadratu amplitudevala. Zbog cinjenice da val putuje kroz prostor, a njegova energija putuje zajedno s njime.Drugim rijecima, val nosi energiju kroz prostor.

9.5 Prikazivanje valova

Valove uglavnom ne mozemo vidjeti, a apstraktna analiza njihovih svosjtava znade bitiprilicno kompleksna i nepregledna. Da bismo u takvoj situaciji lakse razumjeli ponasanjevalova, koristimo se raznim vizualizacijama koje pojednostavljeno prikazuju valove i njihovoponasanje. Tu se prvenstveno radi o zrakama i valnim frontama. Zraka se vrlo cestokoristi u optici gdje predstavlja svjetlosnu zraku koju si mozemo predociti kao vrlo tankisnop svjetla (npr. laserski snop). Zraka je opcenito matematicka zraka koja pokazuje u sm-jeru u kojem se val siri. Valna fronta je zamisljena ploha koja povezuje sve tocke vala istefaze, najcesce one u kojima je pomak vala maksimalan. Val ima mnogo valnih fronti, kojesu u prostoru medusobno razmaknute za valnu duljinu, a u vremenu za period vala. U ho-mogenom i izotropnom sretstvu zrake su okomite na valne fronte. Zrake i valne fronte zornosu prikazane na slici 9.10.

λλ

λ

zraka

zraka

valna fronta

Slika 9.10: Valna fronta je ploha (krivulja u 2D) koja spaja sve tocke u prostoru koje suiste faze a s maksimalnim odmakom vala od ravnoteznog polozaja. U slucaju vala na vodi,prikazanom na ovoj slici, valne fronte su kruznice koje leze na vrhovima pojedinih valova.Razmak dvije susjedne valne fronte jednak je valnoj duljini vala. Zraka je smjer u kojem seval na danom mjestu siri.

Izlazi li val iz jedne tocke, kao u slucaju vala na vodi sa slike 9.10, nazivamo tu tocku izvor

98 GLAVA 9: VALOVI

vala. Izvor vala moze biti i ploha, primjerice membrana zvucnika koja svojim titranjemproizvodi zvucni val, ili cijeli volumen nekog sretstva, primjerice aktivni volumen kod lasera,u kojem nastaje vrlo intenzivan snop svjetla. Zato se tockasti ivor vala pocesto naziva ielementarni izvor.

Titra li elementarni izvor jednom odredenom frekvencijom, stvara se sferni val cije valnefronte imaju oblik kuglinih ploha koje se sire u prostor. Nalazimo li se daleko od izvora takvogvala, i zanima nas situacija u ogranicenom prostoru oko nas, zakrivljenost sferne valne frontemoze biti tako malena da bude neprimjetna. U takvim situacijama valne fronte prikazujemoravnim plohama i govorimo o ravnom valu.

Ako je pak val ogranicen na mali dio prostora oko zrake (smjera sirenja) govorimo osnopu. Primjer snopa je laserska zraka, primerice ona iz laserskog pokazivaca.

9.6 Huygensov princip

fronta 1

fronta 2

r

smjer širenja

fronta 2

elementarni izvor

Slika 9.11: Huygensova konstrukcija sirenja valne fronte. Svaka tocka pocetne valne fronte(valna fronta 1) postaje sekundarni izvor koji emitira sferni val u prostor ispred sebe. Novavalna fronta je tangencijalna ploha koja dira sve te sferne valove (valna fronta 2).

Ako iz izgleda valne fronte moramo zakljuciti kako ce se ona dalje siriti kroz prostor,mozemo se posluziti tzv. Huygensovim principom. Po njemu svaka tocka valne frontepostaje elementarni izvor koji u prostor ispred sebe salje sferni val. Polumjer tog sfernogvala dan je umnoskom proteklog vremena i brzine vala u tvari kroz koju se val siri:

r = v∆t (9.23)

Nova valna fronta je po Huyensovom principu tangencijalna proha koja dira sve takonastale sferne valove. Ova konstrukcija zorno je prikazana na slici 9.11.

9.6: HUYGENSOV PRINCIP 99

9.6.1 Sirenje ravnog vala

valna fronta 1

valna fronta 2

r

Slika 9.12: Huygensova konstrukcija sirenja ravnog vala.

Konstrukciju pocinjemo od prve valne fronte. Svaka njena tocka postaje sekundarniizvor koji u prostor ispred sebe salje sferni val. Polumjer tog sfernog vala dan je umnoskomproteklog vremena i brzine vala. Nova valna fronta je tangencijalna ploha koja dira svetako nastale sferne valove. U ovom slucaju ona je takoder ravna i paralelna je sa pocetnomfrontom, a od nje je odmaknuta za put koji je val prevalio u proteklom vremenu (= v∆t).

9.6.2 Odbijanje vala

1

2

2'

1'β

α

sr=s

Slika 9.13: Huygensova konstrukcija odbijanja (refleksije) ravnog vala na granici dva sred-stva.

Ako val naide na granicu izmedu dvije razlicite tvari, dolazi do njegova loma ili odbijanja.U mnogim realnim situacijama dogadaju se obje stvari istovremeno, tj. dio vala biva lomjen,a ostatak odbijen od granice. Srecom ove dvije pojave mozemo analizirati odvojeno, pacemo prvo pogledati sto se desava prilikom odbijanja (refleksije) ravnog vala na granici dvasredstva. Pri tome cemo zbog jednostavnosti pretpostaviti da je granica ravna ploha. Ovakvasituacija ilustirana je na slici 9.13. Neka ravni val dolazi s lijeve strane (plava zraka) podkutom α prema okomici na granicu dvije tvari. Promatramo dio valne fronte 1-2, u trenutkukad tocka 1 dodirne granicu. U tom trenutku tocka 2 mora jos prevaliti put s prije nego

100 GLAVA 9: VALOVI

sto ona dodirne granicu u tocki 2’. Za to vrijeme je sekundarni val, koji je krenuo iz tocke1 u trenutku kad je ona dotakla granicu narastao do polumjera r. Kako je brzina vala uprostoru iznad granice svudje ista, nalazimo da je r = s. Posto se val odbija, promatramodio sekundarnog vala koji se siri iznad granice, dakle u tvar iz koje je val dosao do granice.Novi polozaj tocke 1 u trenutku kad tocka 2 dotakne granicu (tocka 1’) mora biti negdje navalnoj fronti sekundarnog vala, a nalazimo ga tako da u skladu s Huygensovim principomiz tocke 2’ povucemo tangentu na valnu frontu sekundarnog vala. Ovaj postupak mozemoponoviti za bilo koju proizvoljnu tocku valne fronte dolaznog vala, ali rezultat ce uvijekbiti isti: odbijena valna fronta 1’-2’ u prostoru stoji tako da njena zraka (crveno) odlaziod granicne plohe na desnu stranu pod kutom β. No iz slike lako vidimo da je β = α(npr. pomocu slicnosti trokuta 1-2-2’ i 2’-1’-1)! Kut odbijanja jednak je dakle kutu upada.Ova cinjenica naziva se zakon odbijanja (refleksije), a pazljivim proucavanjem slike 9.13vidimo da zakon loma zapravo glasi:

β = −α (9.24)

Negativni predznak dolazi od toga sto se kut β mjeri u smjeru suprotnom od kuta α.Ovaj predznak treba uzeti u obzir kad se matematicki proracunava put zraka kroz prostor,a u svim ostalim situacijama se on zanemaruje.

9.6.3 Lom vala

1

2

2'

1'β

αs1

r

v1(>v2)

v2

s2

Slika 9.14: Huygensova konstrukcija loma (refrakcije) ravnog vala na granici dva sredstva.

Pogledajmo sada sto se desava prilikom loma (refrakcije) ravnog vala na granici dvasredstva. Pri tome cemo pretpostaviti da je granica ravna ploha. Ovakva situacija ilustiranaje na slici 9.14. Neka ravni val dolazi s lijeve strane (plava zraka) pod kutom α premaokomici na granicu dvije tvari, i neka su brzine vala u sredstvu iznad granice v1 a u sredstvuispod v2. Opet promatramo dio valne fronte 1-2, u trenutku kad tocka 1 dodirne granicu.U tom trenutku tocka 2 mora jos prevaliti put s1 prije nego sto ona dodirne granicu u tocki2’. Vrijeme potrebno za to je t = s1/v1. Za to vrijeme je sekundarni val, koji je krenuoiz tocke 1 u trenutku kad je ona dotakla granicu narastao do polumjera r. Posto se val

9.7: VRSTE VALOVA 101

lomi, tj. ulazi u donje sredstvo, sada promatramo dio sekundarnog vala koji se siri ispodgranice, dakle u donje sredstvo. Kako je brzina vala u donjem sredstvui razlicita od brzineu gornjem, polumjer sekundarne valne fronte sada je r = v2t. Ako je v2 < v1, kao sto jeto pretpostavljeno na slici 9.14, r = s2 < s1. Novi polozaj tocke 1 u trenutku kad tocka 2dotakne granicu (tocka 1’) mora biti negdje na valnoj fronti sekundarnog vala, a nalazimo gatako da u skladu s Huygensovim principom iz tocke 2’ povucemo tangentu na valnu frontusekundarnog vala. Odbijena valna fronta 1’-2’ u prostoru stoji tako da njena zraka (crveno)odlazi od granicne plohe na desnu stranu pod kutom β u sredstvo ispod granice.

Zbog razlicitih brzina vala iznad i ispod granice, trokuti 1-2-2’ i 2’-1’-1 nisu slicni, ali sui dalje pravokutni (pravi kut je kod vrhova 2 odn. 1’) i imaju zajednicku hipotenuzu 1-2’.Uz to, kut uz vrh 1 u prvom trokutu jednak je α, a kut uz vrh 2’ u drugom trokutu β. Akobazu oznacimo sa b, mozemo pisati:

sinα =s1

bsin β =

s2

b(9.25)

gdje je sa s2 oznacena stranica 1-1’ drugoga trokuta. Odatle nalazimo:

sinα

sin β=s1

s2

(9.26)

Nadalje,

s1 = v1t s2 = v2t (9.27)

pa jednadzba 9.26 postaje:

sinα

sin β=v1

v2

(9.28)

Ovaj izraz naziva se Snellov zakon loma.

9.7 Vrste valova

Svijet oko nas pun je najrazlicitijih valova. Da bismo ih lakse razumjeli, dijelimo ih narazlicite vrste na nekoliko nacina:

9.7.1 Podjela valova po vrsti titranja

Kao i u primjeru tiranja napete zice s akojim smo se sreli ranije, vecina valova nastajemehanickim titranjem tvari kroz koju se val siri. Takvi valovi nazivaju se mehanicki valovi.Valovi koji nastaju titranjem elektromagnetnog polja nazivaju se elektromagnetni valovi.Oni se mogu siriti i koz zrakoprazan prostor (vakuum).

9.7.2 Podjela valova po nacinu sirenja

Valovi se najcesce sire kroz cijeli prostor (volumen tvari). Takove valove nazivamo prostorniili volumni valovi. Primjeri takvih valova su elektromagnetni valovi i zvucni valovi. Osimnjih postoje i valovi koji se sire po povrsini tvari. Oni se nazivaju povrsinski valovi.

102 GLAVA 9: VALOVI

9.7.3 Podjela valova po nacinu titranja

Ovisno o tome kako cestice tvari titraju dok val prolazi kroz nju, razlikujemo transverzalnevalove kod kojih se titranje odvija u ravnini okomitoj na smjer sirenja vala i longitudinalnevalove kod kojih se titranje odvija u smjeru sirenja vala. Primjeri transverzalnih valova suelektromagnetni valovi i potresni s-valovi. Dodajmo jos da se mehanicki transverzalni valovimogu siriti samo kroz krute tvari. Primjer longitudinalnih valova su zvucni valovi i potresnip-valovi.

9.7.4 Elektromagnetni valovi

Tablica 9.1: Podjela elektromagnetnih valova prema frekvenciji/valnoj duljini. Graniceizmedu pojedinih podrucja odredene su dogovorom i ne smiju se uzeti strogo, jer se svo-jstva elektromagnetnih valova s frekvencijom mijenjaju postupno a ne skokovito.

naziv frekvencija valna duljina

ELF (extremno niske frekvencije) 3 - 300 Hz 100 - 1 Mm

VLF (vrlo niske frekvencije) 300 - 30 000 Hz 1 000 - 10 km

LF (kilometarski valovi) 30 - 300 kHz 10 - 1 km

MF (hektometarski valovi) 300 - 3 000 kHz 1 000 - 100 m

HF (dekametarski valovi) 3 - 30 MHz 100 - 10 m

VHF (metarski valovi) 30 - 300 MHz 10 - 1 m

UHF (decimetarski valovi) 300 - 3 000 MHz 10 - 1 dm

SHF (centimetarski valovi) 3 - 30 GHz 10 - 1 cm

EHF (milimetarski valovi) 30 - 300 GHz 10 - 1 mm

daleko (toplinsko) infracrveno 300 - 30 000 GHz 1 mm - 10 µm

infracrveno 30 - 300 THz 10 -1 µm

blisko infracrveno 300 - 375 THz 1 µm - 800 nm

vidljivo 375 - 750 THz 800 - 400 nm

ultraljubicasto 750 - 1 500 THz 400 - 200 nm

ekstremno ultraljubicasto 1,5 - 30 PHz 200 - 10 nm

X-zrake 30 - 10 000 PHz 10 nm - 30 pm

γ-zrake vise od 10 EHz manje od 30 pm

Glava 10

Optika

10.1 Polarizacija svjetla

Vec smo napomenuli da je svjetlo transveralni elektromagnetni val. To znaci da se titranjeelektricnih i magnetsih polja cije medudjelovanje tvori elektromagnetni val odvija u ravniniokomitoj na smjer sirenja vala. Kako je kod elektromagnetnog vala vektor magnetskogpolja u svakom trenutku okomit na vektor elektricnog polja, uobicajeno se kod proucavanjaelektromagnetnih valova promatra titranje elektricnog polja. Pri tome se pod polarizacijomelektromagnetnog vala podrazumijeva nacin na koji taj vektor titra u ravnini u kojoj se nalazi(slika 10.1).

Slika 10.1: Ako gledamo u smjer iz kojeg nam elektromagnetni val dolazi, vidjet cemo kakonjegov vektor elektricnog polja titra u ravnini okomitoj na smjer sirenja (ta je ravnina uravnini slike). Ako pri tome vektor polja titra gore-dolje, zadrzavajuci svoju orijentaciju(lijevo) kazemo da je svjetlo linearno polarizirano. Mijenja li pri titranju vektor polja svojuorijentaciju i pri tome svojim vrhom pri maksimalnoj elongaciji opisuje elipsu (sredina)svjetlo je elipticki polarizirano. Ako je elongacija vektora polja neovisna o smjeru titranja,on opisuje kruznicu (desno) pa govorimo o cirkularno polariziranom svjetlu.

Titra li vektor polja uvijek u istom smjeru, zadrzavajuci svoju orijentaciju svjetlo jelinearno polarizirano. Mijenja li pri titranju vektor polja svoju orijentaciju i pri tome

103

104 GLAVA 10: OPTIKA

svojim vrhom pri maksimalnoj elongaciji (maksimalnom otklonu od osi) opisuje elipsu svjetloje elipticki polarizirano. Ako je elongacija neovisna o smjeru titranja, vektor polja opisujekruznicu i govorimo o cirkularno polariziranom svjetlu.

Prirodno je svjetlo mjesavina vrlo velikog broja svjetlosnih valova medusobno razlicitihi neovisnih stanja polarizacije. Takovo svjetlo naziva se nepolarizirano svjetlo, pri cemumoramo voditi racuna da se ovaj pojam uvijek veze za mjesavinu mnostva svjetlosnih valova.Osnovni svjetlosn val uvijek je polariziran, no u to ovdje necemo dublje ulaziti. Isto tako,kad govorimo o polariziranom svjetlu, to se u vecini slucajeva odnosi na mnostvo svjetlosnihvalova cije je stanje polarizacije na neki nacin medusobno uskladeno, pa je polarizacija cijelogskupa primjetna i stalna.

10.1.1 Polarizacija refleksijom

β

αα

Slika 10.2: Kada na povrsinu prozirne tvari, npr. stakla, upada zraka nepolariziranog svjetla,reflektirani dio zrake elipticki je polariziran, s duljom osi elipse polarizacije okomitom naravninu refleksije (ravninu koju tvore upadna, odbijena i lomljena zraka) a lomljeni dio jeelipticki je polariziran, s duljom osi elipse polarizacije u ravnini refleksije.

Prilikom refleksije svjetla od povrsine neke prozirne tvari dolazi do djelomicne polar-izacije reflektirane zrake. Ako je upadno svjetlo nepolarizirano, reflektirana zraka je slaboelipticki polarizirana tako da je veca os elipse polarizacije okomita na ravninu refleksije. Is-tovremeno je lomljena zraka elipticki polarizirana u suprotnom smjeru, tako da je veca oselipse polarizacije u ravnini refleksije. Nadalje, ako je zbroj kutova loma i refleksije pravi kut(tzv. Brewsterov zakon), reflektirana zraka je potpuno linearno polarizirana, s ravninompolarizacije okomitom na ravninu refleksije. Upadni kut kod kojeg se to dogada naziva seBrewsterov kut. Upotrjebimo li Snellov zakon, iz Brewsterovog zakona izlazi da je:

n2 sin (π/2− αB) = n1 sin (αB) (10.1)

gdje je αB Brewsterov kut upada. Daljnjim sredivanjem nalazimo:

tan (α) =n2

n1

(10.2)

10.1: POLARIZACIJA SVJETLA 105

Ukoliko je okolno sretstvo zrak, n1 = 1 pa je tan (αB) = n2. Brewsterovi kutovi za nekeceste tvari dani su u tablici 10.1.

Tablica 10.1: Brewsterov kut za neke ceste tvari. U zadnoj koloni je priblizan postotaksvjetla koje je reflektirano pod Brewsterovim kutem.

tvar n αB intenzitet

voda 1,33 53o 6%

staklo 1,523 57o 8%

plastika 1,3 - 1,6 52o - 58o 5 - 8%

voda/staklo 1,33/1,52 49o 3%

Napomenimo jos da refleksija na metalnim povrsinama ne mijenja polarizaciju reflekti-ranog svjetla.

10.1.2 Polarizacija rasprsenjem

Slika 10.3: Kada svjetlo prolazi kroz oblak vrlo sitnih cestica, mali dio svjetla rasprsi se nanjima. Rasprseno svjetlo slabo je elipticki polarizirano i to najvise kad je kut rasprsenja(kut izmedu rasprsene i ulazne zrake) pravi. Uz to se bolje rasprsuje svjetlo kracih valnihduljina, pa je rasprseno svjetlo bogatije plavom bojom od upadnog svjetla.

Kad svjetlo prolazi kroz oblak malih cestica (u ovom slucaju cestica znatno manjih odvalne duljine svjetla) mali dio svjetla biva rasprsen u svim smjerovima. Ako cestica nijeprevise, najveci dio svjetla ce proci kroz oblak, a samo vrlo mali dio bit ce rasprsen u svimmogucim smjerovima. Pri tome se zbog malog broja cestica rasprsenje dogodi samo jednom,


tj. od izvora do opazaca biva svjetlo rasprseno samo na jednoj cestici. Ovakvo rasprsenjenaziva se jednostruko rasprsenje. Efikasnost jednostrukog rasprsenja (dio svjetla koji bivarasprzen) naglo raste sa smanjenjem valne duljine svjetla. Primjerice u slucaju Zemljine at-mosfere suncevo se svjetlo rasprsuje na molekulama zraka. Ako je zrak cist pri tome seplavo svjetlo rasprsi desetak puta bolje od crvenog, sto danjem nebu danje njegovu karak-teristicnu plavu boju. Druga je posljedica jednostrukog rasprsenja da je rasprseno svjetloblago elipticki polarizirano, a stupanj polarizacije je najveci u smjeru od 90o prema smjerusuncevih zraka.

Ako je zrak necist, tj. ako u njemu ima vecih cestica dima ili prasine, rasprsenje visenije selektivno, vec se sve boje svjetla rasprsuju podjednako dobro, pa nebo poprima bijeluboju. Pri tome se polarizacija rasprsenog svjetla gubi, a ako je cestica u zraku toliko darasprsenje postane visestruko, tj. svjetlo se na putu od izvora do opazaca rasprsi vse odjedanput, polarizacija potpuno nestaje.

10.1.3 Polarizacija kristalima

Kristali imaju pravilno uredenu mikrostrukturu. Kod nekih kristala dolazi do takvog medu-djelovanja svjetla i kristalne strukture da se svjetlo koje prolazi kroz kristal razdvaja na dvijelinearno polarizirane komponente, cije ravnine polarizacije su medusobno okomite. Ova sepojava naziva dvolom i o njoj ce vise rijeci biti kasnije (vidi glavu 10.2).

Zgodnim odabirom orijentacije takovoga kristala i ravnina njegovog rezanja moguce jepostici da iz njega izade samo jedna od dvije polarizirane komponente svjetla. Tako rezankristal ima izgled prizme koja se po svom otkrivacu naziva Nicol prizma. Danas seuglavnom vise ne koristi jer su prirodni kristali od kojih se ona izraduje rijetki i skupi,a i proces izrade je prilicno slozen. Umjesto toga, koriste se polarizatori izradeni od um-jetno dobivenih kristala ili posebnih vrsta plastike. Njih je moguce izraditi znatno jeftinije,i uz to u svim velicinama koje su nam potrebne.

Za izradu polarizatora cesto se puta koriste dikroicni kristali. Svojstvo takovih kristalaje da jako upijaju jednu od dvije linearno polarizirane zrake na koje se ulazno svjetlo u njimarazdvaja. Preostala zraka izlazi iz kristala kao linearno polarizirano svjetlo. Kristali se obicnoproizvode umjetno, i pri izradi polaroida sve orijentiraju u istom smjeru i umecu u ljeploistog indeksa loma. Na taj nacin svjetlo ne vidi granice kristala i ljepila i bez skretanja iliodbijanja prolazi kroz polaroid. Radi zastite takav se sloj ljepila i kristala stavlja izmedudvije tanke staklene plocice. Ovako izradeni polarizatori imaju mnostvo primjena u znanosti,fotografiji i sl.

Jedan od najpoznatijih prirodnih dikroicnih kristala je turmalin a za izradu polarizatoracesto se koriste umjetno proizvedeni kristalici hepatita. Oni vec kod debljine od 0,1 mmpotpuno apsorbiraju jedan smjer polarizacije.

Danas se polarizatori izraduju od posebnih vrsta plastike. Takove plastike sastoje se oddugih molekula koje takoder utjecu na polarizaciju svjetla, a tehnoloskim se postupkom sveporedaju u istom smjeru.

Napomenimo jos da se smjer polarizacije svjetla koje napusta polarizator naziva os po-larizatora. Ona se obicno oznacava na polarizatoru ili negovom nosacu.


os polarizatora

Slika 10.4: Kada svjetlo prolazi kroz polarizator, propusteno biva samo linearno polariziranosvjetlo cija je ravnina polarizacije paralelna s osi polarizatora.

10.1.4 Depolarizacija

Ako se polarizirano svjetlo visestruko rasprsi, dolazi do gubitka njegove polarizacije. To sedogada zato sto visestruko rasprsenje potpuno izmjesa smjerove i faze sjetlosnog vala. Slicnapojava desava se kod refleksije na hrapavoj povrsini, cije neravnine djeluju na slican nacin,pa umjesto refleksija i u tom slucaju cesto koristimo pojam rasprsenje. Ovakvo ponistavanjepolarizacije nazive se depolarizacija. Kao i prije velicina neravnina usporeduje se sa valnomduljinom svjetla pa ce povrsina biti hrapava ako su njene neravnine vece od valne duljinesvjetla koje na nju upada.


10.1.5 Propusnost polarizatora

y

x

α

Ey

Ex

E

Slika 10.5: Kada linearno polarizirano svjetlo upada na polarizator, propustena je samokomponenta cija ravnina polarizacije je paralelna s osi polarizatora, koja je u ovom slucajupostavljena paralelno x-osi.

Neka je os polarizatora paralelna s x-osi koordinatnog sustava. Na polarizator upadalinearno polarizirano svjetlo cija ravnina polarizacije stoji pod kutom α prema osi polar-izatora. Prilikom prolaska kroz polarizator, svjetlo se razlaze na dvije linearno polariziranekomponente, od kojih ce iz polarizaotra izaci samo x-komponenta. Ako je amplituda svjet-losnog vala E, njena x-komponenta je Ex = E cos (α). Prisjetimo se sad da je energija valaproporcionalna kvadratu amplitude. Snagu svjetlosnog vala (=energija u jedinici vremena)nazivamo intenzitet svjetla. Ako je dakle intenzitet upadnog svjetla Io, intenzitet svjetla Ikoje izlazi iz polarizatora bit ce:

I = Io cos2 (α) (10.3)

Ova zakonitost naziva se po njenom otkrivacu Malusov zakon. Ne zaboravimo da je iupadno svjetlo u ovom slucaju bilo linearno polarizirano!

Upada li pak na polarizator nepolarizirano svjetlo, prikazat cemo ga kao mjesavinu svjetlasvih mogucih smjerova polarizacije, pri cemu su svi oni jednako zastupljeni. U tom je slucajuintenzitet propustenog svjetla zbroj intenziteta svih propustenih zraka:

I =90o∑α=0

Iu cos2 (α) (10.4)

sumu radi lakseg racuna prebacimo u integral:

I = Iu

∫ π/2

α=0cos2 (α)dα (10.5)

pa, uz cinjenicu da je:

∫ π/2

α=0cos2 (α)dα =

π

4(10.6)

nalazimo:


I = Iuπ

4(10.7)

U ovom racunu Iu je intenzitet svake pojedine komponente svjetla na ulazu u polarizator,pa je ukupni intenzitet ulaznog svjetla (=zbroj po svim smjerovima polarizacije, kao i prije):

Io = Iu

∫ π/2

α=0dα = Iu

π

2(10.8)

Odavde zakljucujemo da je intenzitet linearno polariziranog svjetla nakon polarizatorajednak polovici intenziteta nepolariziranog svjetla koje upada na njega:

I =Io2

(10.9)

10.1.6 Dva polarizatora u nizu

Slika 10.6: Dva polarizatora u nizu. Prvi od ulaznog nepolariziranog svjetla izdvaja linearnopolarizirano svjetlo, a drugi, koji se moze zakretati prema prvome, sluzi za analizu raznihsmjerova polarizacije, pa se naziva i analizator. U stvarnosti se izmedu njih umece prozirnotijelo cije djelovanje na polarizirano svjetlo zelimo istraziti.

Kod proucavanja prolaska polariziranog svjetla kroz razne tvari najcesce se koriste dvapolarizatora u nizu. Prvi polarizator od ulaznog nepolariziranog svjetla izdvaja linearnopolariziranu komponentu, koja nakon toga prolazi kroz drugi polarizator. Drugi polariza-tor ce naravno propustiti samo komponentu upadnog linearno polariziranog svjetla koja jeparalelna s njegovom osi polarizacije. Ovaj polarizator moze se zakretati, pa tako mozemomijenjati ravninu polarizacije i intenzitet svjetla koje iz njega izlazi. Zato se on nazivaanalizator. Postavimo li os analizatora pod pravim kutem prema osi prvog polarizatora,ponistit ce on sve svjetlo iz njega nece izaci nista. Ovakova situacija naziva se ukrstenipolarizatori.

Umetnemo li neko tijelo izmedu ovakova dva polarizatora mozemo vidjeti mijenja li onointenzitet ili ravninu polarizacije svjetla koje kroz njega prolazi. Radimo li s bijelim svjet-lom, vrlo cesto cemo iza analizatora zapaziti intenzivne boje jer djelovanje umetnutog tijelauglavnom jako ovisi o valnoj duljini svjetla koje kroz njega prolazi. Ako su kod toga polar-izator i analizator ukrsteni, svako djelovanje umetnug tijela bit ce izrazito uocljivo jer cemopropusteno svjetlo vidjeti u kontrastu prema tamnoj pozadini ukrstenih polarizatora.


10.2 Dvolom

Slika 10.7: Dvolom u kristalu kalcita. Predmeti promatrani kroz njega izgledaju dvostruki,kao crna linija u ovom primjeru.

Prilikom prolaska svjetla kroz kristale moze doci do pojave dvoloma (slika 1). U tomslucaju zraka svetla koja prolazi kroz kristal razdvaja se na dvije zrake koje kroz kristalprolaze na razlicite nacine, pa opazac koji gleda kroz kristal vidi dvostruku sliku. Zbog togase ova pojava naziva dvolom (birifrigencija). Pri tome se opaza i da razdvanje dviju slikaovisi o smjeru gledanja kroz kristal.

Smjer gledanja se odreduje relativno prema smjeru tzv. opticke osi kristala (slika 10.8).Jedno od svojstava opticke osi je da se dvolom u njenom smjeru ne opaza. Drugim rijecima,da bismo opazili pojavu dvoloma, moramo kroz kristal gledati u smjeru koji se ne podudaras njegovom optickom osi.

Pojavu dvoloma mozemo ispitivati jednostavnim pokusom (slika 10.9). Na osvijetljenurupicu u nekom zaslonu polegnemo kristal kalcita. Gledajuci kroz kristal vidimo dvostrukusliku rupice, a razmak dviju slika i smjer njihove spojnice mijenja se sa smjerom gledanja.Ovaj jednostavni pokus pokazuje nekoliko cinjenica. Kao prvo, slika rupice R1 nalazi se namjestu gdje ju i ocekujemo. Da umjesto kristala stavimo staklenu plocicu istih dimenzija iindeksa loma kao i kristal, slika bi bila na tom mjestu. Ta se slika zato naziva normalna iliordinarna slika, a zrake koje ju tvore su normalne ili ordinarne zrake.

Slika R2 ne moze se objasniti zakonom loma, pa se naziva anomalna ili ekstraordinarnaslika, a zrake koje ju tvore su anomalne ili ekstraordinarne zrake. Nadalje, spojnica slika R1

i R2 paralelna je sa projekcijom opticke osi OD na donju plohu kristala. Rotira li se kristal uravnini plohe ABCD, primijecuje se da slika R2 rotira oko slike R1 tako da njihova spojnicaostaje paralelna s projekcijom opticke osi.

10.2: DVOLOM 111

O

A

B

C

DA'

B'

C'

D'

Slika 10.8: Pravilni kristal kalcita omeden je tzv. kristalnim plohama koje su odrazmikroskopske strukture kristala. Takav kristal posjeduje opticku os na slici prikazanupravcem OD’. Smjer te osi je odreden kutovima prema glavnim kristalnim ravninama.

BA

CD

R1

R2

O

D' C'

A'

B'

Slika 10.9: Ako kristal kalcita polozimo na crni zaslon u kojem se nalazi osvijetljena rupica Rtako da ploha ABCD lezi na zaslonu, pa gledamo kroz gornju plohu kristala (ploha A’B’C’D’)vidjet cemo dvije rupice, R1 i R2. Pri tome sliku R1 vidimo na mjestu na kojem ju i ocekujemoprema zakonima loma svjetlosti, a slika R2 je tim zakonima neobjasnjiva i posljedica jerazdvajanja svjetlosti pri prolasku kroz kristal.


Razmotri li se situacija detaljnije, u okomitom presjeku kroz kristal (slika 10.10), opazase da se zraka svjetla koja izlazi iz rupice R dijeli na dvije zrake (radi jednostavnosti jenacrtana zraka koja iz rupice ulazi okomito na plohu kristala).

C'D'

R1 R

2

OD CR

Slika 10.10: Prolaz svjetla kroz kristal kalcita gledan u presjeku okomitom na plohu ABCD.

Zraka R1 koja kroz kristal prolazi bez promjene smjera (u ovom pojednostavljenomslucaju!) ponasa se u skladu sa Snellovim zakonom loma. Zato se naziva normalna zraka. Daje ta zraka usla u kristal pod nekim kutem, lomila bi se onako kako to zakon loma predvida.

Zraka R2 koja kod ulaska u kristal mijenja smjer, ne moze se objasniti Snellovim zakonomloma. Primijetite da se ona, bez obzira na okomiti upad u kristal, otklanja od okomice ikroz kristal prolazi koso, pod nekim kutom prema okomici. To je anomalna zraka.

valna fronta 1

valna fronta 2

r

Slika 10.11: Huygensova konstrukcija sirenja ravnog vala. Svaka tocka pocetne valne fronte(valna fronta 1) postaje sekundarni izvor koji emitira sferni val u prostor ispred sebe. Novavalna fronta je tangencijalna ploha koja dira sve te sferne valove (valna fronta 2).

Ovo neobicno ponasanje mozemo objasniti ako dozvolimo mogucnost da brzina svjetla,odnosno u optici cesce koristeni indeks loma, ovisi o smjeru sirenja svjetla kroz kristal. Uz to,prisjetimo se Huygensovog principa i nacina kojim smo uz njegovu pomoc konstruirali sirenjevalne fronte kroz tvar. Kad je indeks loma konstantan za sve smjerove (slika 10.11) imamo vecpoznatu situaciju: svaka tocka valne fronte postaje sekundarni izvor koji u prostor ispredsebe salje sferni val. Polumjer sfernog vala dan je umnoskom proteklog vremena i brzinesvjetla u tvari:

r = v∆t =c∆t

n(10.10)

10.2: DVOLOM 113

Ovdje je n indeks loma svjetlosti za tu tvar. Nova valna fronta je tangencijalna plohakoja dira sve tako nastale sferne valove. Kad je pocetna valna fronta ravna, novonastalavalna fronta takoder je ravna i paralelna s pocetnom frontom, a od nje je odmaknuta za putkoje je svijetlo proslo u proteklom vremenu (= v∆t). Zrake svjetla u toj su slici okomitena valnu frontu i pokazuju u smjeru putovanja svjetla. Tvar u kojoj brzina svjetla ne ovisio smjeru sirenja naziva se izotropna tvar, a takva je srecom vecina prozirnih tvari oko nas.Osim, naravno, kristala...

Ako dozvolimo da indeks loma ovisi o smjeru sirenja svjetla, situacija postaje znatnoslozenija (slika 10.12). Valna fronta sekundarnog izvora nije vise sferna, vec njen oblik ovisio tome kako brzina svjetla (ili indeks loma) ovisi o smjeru sirenja. Ppokusi pokazuju dase kod dvolomnih kristala ta ovisnost moze prikazati elipsoidom, i to najcsce rotacijskim.Na rotacijski elipsoid mozemo gledati kao na pravilno deformiranu kuglu, cija projekcijana ravninu gledanja je elipsa, kako je i prikazano na slici 10.12. Konstrukcija novonastalevalne fronte, i opet uz pretpostavku da je izvorna fronta ravna, pokazuje da je ona i tomslucaju ravna i paralelna s izvornom frontom, ali je pomaknuta u smjeru navece brzinesirenja svjetla. Nadalje, zrake svjetla nisu vise okomite na valnu frontu, kao u izotropnojtvari. Kristal je dakle anizotropna tvar, sto je posljedica uredene kristalne strukture takovetvari. Ovo objasnjava ponasanje anomalne zrake.

valna fronta 1

valna fronta 2

a

b

Slika 10.12: Huygensova konstrukcija sirenja ravnog vala u slucaju kad brzina svjetla ovisi osmjeru sirenja. Valna fronta sekundarnog izvora sad nije sferna, vec njen oblik ovisi o tomekako brzina svjetla u tvari ovisi o smjeru sirenja. Najcesce se ta ovisnost moze prikazatielipsoidom, koji se u 2D prikazu projicira u elipsi. Nova valna fronta je i sada tangencijalnaploha koja dira sve sekundarne valne fronte (valna fronta 2).

Detaljniji pokusi pokazuju jos jednu zanimljivu cinjenicu: normalna i anomalna zrakalinerno su polarizirane i to tako da su im ravnine polarizacije medusobno okomite. Kristaldakle nepolariziranu zraku svjetla koje u njega ude, razdvaja na dvije linearno polariziranezrake medusobno okomitih ravnina polarizacije.

Kad ove dvije zrake na drugoj strani izadu iz kristala, ponovno se nastave siriti u smjeruulazne zrake, ali su medusobno razmaknute. Ovo razmicanje objasnjava dvije slike kojevidimo kad gledamo kroz takav kristal. Ako je kristal jako tanak, razmicanje je malo i dvijezrake mogu se ponovno stopiti (interferirati) u jednu zraku, o cemu ce biti vise rijeci kasnije.

Ovisnost brzine svjetla u kristalu cesto se puta prikazuje graficki. Pri tome se koristikartezijev koordinatni susta a kristal se orijentira tako da mu je opticka os u smjeru z osikoordinatnog sustava. Da bi prikaz bio pregledan, ne crtaju se vektori brzina, vec se njihovivrhovi povezuju u kontinuiranu plohu. U takvom prikazu udaljenost od ishodista do neketocke plohe jednaka je brzini svjetla u tom smjeru. Primijetite da u stvari imamo dvije plohe,jednu za normalnu zraku, a drugu za anomalnu.


x

y

z

v

Slika 10.13: Graficki prikaz brzine svjetla u kristalu za normalnu zraku. Opticka os kristalaje u smjeru z-osi, a kako je brzina normalne zrake za sve smjerove ista, prikazana je kuglinomplohom.

Kako je brzina normalne zrake u svim smjerovima ista, ploha koja ju opisuje u takvomprikazu je kuglina ploha (slika 10.13). S druge strane, ploha anomalne zrake najcesce imaoblik rotacijskog elipsoida (slika 10.14). Pri tome je moguce da opticka os bude u smjerumale, ili pak velike osi elipsoida.

Spojimo li oba prikaza na istom grafikonu, dobijamo nesto kompleksniji prikaz, koji semoze pojaviti u tri razlicita izgleda:

1. Elipsoid anomalne zrake tangencijalan je na kuglu normalne zrake u tockama krozkoje prolazi opticka os, pri cemu je kugla upisana u elipsoid. To znaci da je brzina anomalnezrake u svim smjerovima veca od brzina normalne zrake, osim u smjeru opticke osi gdje suobje brzine jednake (slika 10.15).

2. Elipsoid anomalne zrake tangencijalan je na kuglu normalne zrake u tockama krozkoje prolazi opticka os, pri cemu je elipsoid upisan u kuglu. To znaci da je brzina anomalnezrake u svim smjerovima manja od brzina normalne zrake, osim u smjeru opticke osi gdje suobje brzine jednake (slika 10.16).

3. Elipsoid anomalne zrake takve je velicine da se sijece s kuglom normalne zrake. Ovisnoo smjeru, brzina anomalne zrake moze biti veca, jednaka ili manja od brzine normalne zrake.Ovakav kristal ima dvije opticke osi, pa se naziva dvoosni kristal (slika 10.17).

Sva ova svojstva normalne i anomalne zrake mogu se odrediti pokusima. Nadalje, ispiti-vanje polarizatorom pokazuje da su i normalna i anomalna zraka linearno polarizirane, pricemu su im ravnine polarizacije medusobno okomite.

10.2: DVOLOM 115

x

y

z

v(θ,ϕ)

Slika 10.14: Graficki prikaz brzine svjetla u kristalu za anomalnu zraku. Opticka os kristalaje u smjeru z-osi, brzina anomalne zrake moze se u vecini slucajeva prikazati rotacijskimelipsoidom.

x

y

z

vove

Slika 10.15: Graficki prikaz brzine svjetla u kristalu za obje zrake u slucaju kad je brzinaanomalne zrake veca od brzine normalne zrake.


z

x

y

vove

Slika 10.16: Graficki prikaz brzine svjetla u kristalu za obje zrake u slucaju kad je brzinaanomalne zrake manja od brzine normalne zrake.

x

y

z

vove

2

1

Slika 10.17: Graficki prikaz brzine svjetla u dvoosnom kristalu. Ovisno o smjeru, brzinaanomalne zrake moze biti veca, jednaka ili manja od brzine normalne zrake, a kristal imadvije opticke osi (zeleno 1 i 2 na slici).

10.3: PROLAZAK POLARIZIRANOG SVJETLA KROZ KRISTALE 117

10.3 Prolazak polariziranog svjetla kroz kristale

Slika 10.18: Prolazak polariziranog svjetla kroz tanku plocicu dvolomnog kristala. Plocicaje rezana tako da je opticka os (zeleno) paralelna s plohama kristala.

Dvolomni kristali cesto se koriste za rad s polariziranim svjetlom. Najcesce se radi otankim plocicama koje su iz kristala izrezane tako da je opticka os kristala paralelna sulaznom i izlaznom plohom izrezane plocice. Ako na takav kristal okomito na ulaznu plohukristala upada linearno polarizirano svjetlo (vidi sliku 10.18) cija ravnina polarizacije zatvarakut α s optickom osi, u kristalu ce se ulazna zraka razdvojiti na normalnu i anomalnu.Ravnina polarizacije normalne zrake bit ce paralelna s optickom osi, a ravnina polarizacijeanomalne zrake okomita je na nju. Pogledamo li u smjer iz kojeg nam dolazi svjetlo, ovopostaje malo jasnije (slika 10.19).

U kristalu se vektor titranja upadnog svjetla dijeli na dvije komponente: normalnu kojalezi u smjeru opticke osi i anomalnu koja je okomita na nju. Kod ulaza u kristal ove dvijekomponente titraju u fazi s amplitudama Asin(α) za normalnu odn. Acos(α) za anomalnukomponentu, gdje je A amplituda titranja upadnog vala. Uz pretpostavku da je upadni valrelativno velik (ravni val), a plocica tanka, nece doci do primjetnog prostornog razdvajanjaove dvije komponente. To znaci da ce se one na izlazu iz kristala i dalje preklapati, pa cedoci do njihove interferencije. Kako su brzine normalne i anomalne zrake u kristalu razlicite,interferencija opcenito nece biti konstruktivna, vec ce rezultat interferencije ovisiti o razlicioptickih putova ove dvije zrake.

Za ovakvu kristalnu plocicu se stoga definira razlika u optickom putu ∆ kao:

∆ =nod− ned

λ=d

λno − ne (10.11)

gdje je no indeks loma normalne zrake, ne indeks loma anomalne zrake, d debljina plocicekristala i λ valna duljina svjetla. Pri tome je razlika optickog puta izrazena u valnim dulji-nama svjetla, sto je prikladno za analizu rezultata interferencije svjetla prilikom izlaska izkristala. Vidimo da je razlika u optickom putu proporcionalna debljini plocice i razlici uideksima loma normalne i anomalne zrake, a obrnuto proporcionalna valnoj duljini svjetla.


Kako je za danu plocicu njena debljina odredena izradom, a razlika indeksa lomova samimkristalom, promjenu razlike optickog puta moze izazvati samo promjena valne duljine svjetla.

α

Slika 10.19: Pogled na plocicu dvolomnog kristala u smjeru prolaska svjetla. Opticka osnalazi se u ravnini upadne plohe kristala (zeleno), a ravnina titranja ulaznog svjetla sasmjerom opticke osi zatvara kut α. Vektor titranja upadnog svjetla (crno) u kristalu se dijelina dvije komponente: anomalnu (crveno) koja je u smjeru opticke osi i normalnu (plavo)koja je okomita na nju.

Ako se dogodi da je ∆ = λ, 2λ, 3λ, ..., nλ tj. razlika u optickom putu je cjelobrojnivisekratnik valne duljine, obje komponente ce na izlazu opet biti u fazi, doci ce do kon-struktivne interferencije i izlazni val bit ce jednak ulaznom, tj. imati ce istu amplitudu iorijentaciju ravnine polarizacije kao i ulazni val. Plocica s ovim svojstvom naziva se puno-valna plocica.

Medutim, ako se dogodi da je ∆ = 1/2λ, 3/2λ, 5/2λ, ..., (n− 1)/2λ tj. razlika u optickomputu je neparni broj polovica valne duljine, obje komponente ce na izlazu titrati u protufazi(faze ce im biti pomaknute za π radijana) interferencija izlaznih valova dat ce linearnopolarizirani val iste amplitude ali ce ravnina polarizacije biti zakrenuta za 2α prema ravninipolarizacije ulaznog vala. Plocica s ovim svojstvom naziva se poluvalna plocica. Kako dolazido zakretanja ravnine polarizacije zorno je prikazano na slici 10.20. Kod ulaska u plocicuvektori titranja obje zrake su u fazi. No, nakon izlaska iz plocice njihove faze razlikuju se za πradijana, pa kad vektor titranja normalne zrake krene prema gore, vektor titranja anomalnezrake krene nalijevo, umjesto nadesno. Zbroj ova dva vektora daje vektor titranja izlaznezrake svjetla, koji sad titra u smjeru zaokrenutom za 2α prema smjeru titranja ulazne zrake.

Primijetite da oba ova svojstva ovise o valnoj duljini svjetla, a uobicajeno je da se nazivipunovalna ili poluvalna plocica odnose na valnu duljinu zutog natrijevog svjetla (tzv. Dlinija) od 589 nm.

Ako je razlika optickih putova drugacija, dolazi do pretvaranja linearno polariziranogsvjetla u elipticki polarizirano svjetlo, tj. vrh vektora titranja ne putuje po ravnoj liniji gore-dolje, vec opisuje elipsu veceg ili manjeg ekscentriciteta. Neke zanimljive situacije prikazanesu na slici 10.21.

10.3: PROLAZAK POLARIZIRANOG SVJETLA KROZ KRISTALE 119

α α

α

na ulazu na izlazu

Slika 10.20: Pogled na poluvalnu plocicu u smjeru prolaska svjetla. Nakon prolaska krozkristal vektor titranja normalne zrake (plavo) zaostaje za vektorom titranja anomalne zrake(crveno) za π radijana zbog cega je ravnina polarizacije izlazne zrake zaokrenuta za 2α premaravnini ulazne zrake.

α=45o

α≠45o

α=45o

α≠45o

∆=λ/8∆=0 ∆=λ/4 ∆=3λ/8 ∆=λ/2

∆=5λ/8 ∆=3λ/4 ∆=7λ/8 ∆=λ∆=λ/2

Slika 10.21: Kad je razlika optickih putova proizvoljna, linearno polarizirano svjetlo opcenitose nakon prolaska kroz plocicu pretvara u elipticki polarizirano. Na slici je prikazan rezultatprolaska linearno polariziranog svjetla kroz plocicu dvolomnog kristala, ako je razlika optickihputeva visekratnik 1/8λ, za posebni slucaj kad je kut ravnine polarizacije upadnog svjetlaprema optickoj osi π/4 te za opci slucaj.

Literatura

[1] Tillery, B W Physical Science, McGraw-Hill, Boston 1999.

[2] Horvat, D Fizika odabrana poglavlja, Hinus, Zagreb 1999.

[3] Car, T Predavanja iz fizike, Visoka elektrotehnicka skola Varazdin, Varazdin 2004.

121

Indeks

abnormalna zraka, 110analogija, 30Atwoodov stroj, 39

birifrigencija, 110Brewsterov kut, 104Brewsterov zakon, 104

centar mase, 45fizikalno tijelo, 46

centrifugalno ubrzanje, 32centripetalno ubrzanje, 31Coriollis-ov efekt, 62

depolarizacija, 107dikroizam, 106dimenzionalni racun, 7dinematika materijalne tocke, 17dvodimenzionalno gibanje, 21dvolom, 110

abnormalna zraka, 110ekstraordinarna zraka, 110normalna zraka, 110opticka os, 110ordinarna zraka, 110

ekstraordinarna zraka, 110energija

harmonicko titranje, 78kineticka, 36potencijalna, 37

fizikalne jedinice, 3fizikalne velicine, 3fizikalno njihalo, 81

gibanjekruto tijelo, 53po krivulji, 33

gibanje po pravcu, 17gibanje u dvije dimenzije, 21gibanje u vise dimenzija, 21

graficko prikazivanje, 11gravitacija, 63

potencijalna energija, 66potencijalna energija sile teze, 66sila teza, 65

gravitacijska potencijalna energija, 66guseno titranje, 83gustoca, 46

linijska, 47mase, 46povrsinska, 47

harmonicko titranje, 74hepatit, 106Hookeov zakon, 35Huygensov princip, 98

impuls sile, 24inverzni problem, 20

jedinicemedunarodni sustav, 4za kuteve, 6za vrijeme, 6

kalcit, 110Keplerovi zakoni, 63kinematika materijalne tocke, 17kineticka energija, 36

kotrljanja, 58rotacije, 53

kolicina gibanja, 24konstanta opruge, 35koordinatni sustavi, 8

cilindricni, 9desni, 8kartezijev, 8lijevi, 8sferni, 9zemljopisni, 10

kosina, 27

122

INDEKS 123

kriticno gusenje, 84kruzno gibanje, 29

broj okretaja, 29frekvencija, 29

kruto tijelo, 53gibanje, 53

kutna brzina, 29kutna kolicina gibanja, 58

linijska gustoca, 47Lissajousove krivulje, 87

Malusov zakon, 108matematicko njihalo, 80materijalna tocka, 17

dinamika, 17kinematika, 17

mehanicki strojevi, 42mehanicko pojacanje, 43moment inercije, 54

stap, 55teorem o paralelnim osima, 56

moment sile, 56

Newtonov zakon gravitacije, 64Newtonovi aksiomi, 22Nikol prizma, 106njihalo

fizikalno, 81matematicko, 80

normalna zraka, 110

obodna brzina, 29opruga, 35

Hookeov zakon, 35konstanta, 35potencijalna energija, 42

ordinarna zraka, 110

polarizacija, 103Brewsterov kut, 104Brewsterov zakon, 104cirkularna, 103depolarizacija, 107dikroizam, 106elipticka, 103hepatit, 106kristalima, 106linearna, 103

Nikol prizma, 106os polarizatora, 106rasprsenjem, 105refleksijom, 104turmalin, 106

polarizator, 106analizator, 109dva u nizu, 109Malusov zakon, 108propusnost, 108ukrsteni, 109

poluga, 44potencijalna energija, 37

opruga, 42potencijalna energija sile teze, 66potencijalna funkcija, 39povrsinska gustoca, 47prava brzina, 19pravocrtno gibanje, 17precesija, 59

Zemlje, 61prisilno titranje, 85

radpromjenjive sile, 34stalne sile, 33

rasprsenje na malim cesticama, 105ravnoteza tijela, 69rotacija

Zemlje, 61rotaciona snaga, 57rotacioni rad, 57

sila teza, 65potencijalna energija, 66

sila trenja, 25slaganje titranja, 86slobodni pad, 21snaga, 36Snellov zakon, 101srednja brzina, 19statika, 69

ravnoteza tijela, 70

tezistetrokut, 48

teorem o paralelnim osima, 56teorem o radu i kinetickoj energiji, 37

124 INDEKS

titranje, 73energija harmonickog titranja, 78guseno, 83harmonicko, 74i kruzno gibanje, 78kriticno gusenje, 84Lissajousove krivulje, 87prisilno, 85slaganje, 86uteg na opruzi, 73

trenje, 25dinamicko, 26i sacuvanje mehanicke energije, 40kotrljanja, 27na kosini, 27staticko, 25

trenutna brzina, 19turmalin, 106

ubrzanje, 20uteg na opruzi, 73

valna jednadzba, 90valovi, 89

amplituda, 91elektromagnetski, 102elementarni izvor, 98energija vala, 97fazna konstanta, 92Fourierova analiza, 94frekvencija, 91harmonici, 94Huygensov princip, 98kutna frekvencija, 91lom, 100odbijanje, 99osnovna frekvencija, 94osnovna svojstva, 90period, 91prikazivanje, 97ravni val, 98refleksija, 99refrakcija, 100sferni val, 98Snellov zakon loma, 101snop, 98stojni val na zici, 95stojni valovi, 94

udari, 95valna duljina, 91valna jednadzba, 90valne fronte, 97valni broj, 91vizualizacija, 97vrste, 101zbrajanje, 93zrake, 97

zakon poluge, 44zakon sacuvanja mehanicke energije, 39zaustavna rampa, 40Zemlja

Coriollis-ov efekt, 62precesija, 61rotacija, 61

znanstveni brojcani zapis, 4

fizika za rgn[1]

Documents