fizika - skripta copy

PRIPR

EME

Zagreb, 2006.

1

PRIPREMIO

FIZIKA

DARIO MI!I"

provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Nakladnik

PRIPREME , Zagreb, 1. Ferenšþica 45

tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794

Skripta služi iskljuþivo za internu uporabu na teþajevima koji se, u okviru PRIPREMA , održavaju kao pripreme za polaganje razredbenog ispita na svim fakultetima na kojima se piše razredbeni test iz fizike. Zabranjeno je kopiranje i prodavanje ovog materijala ili njegovih dijelova.


��1�� Pripreme za razredbene ispite

O x

y

1 2 3 4 51

123

4

1

P(4, 3)

Ishodište izaberemo proizvoljnoO

I. MEHANIKA

Pod pojmom mehanika razumjevamo skup znanosti koje prouþavaju meÿudjelovanje tijela te njihovo gibanje u prostoru tijekom vremena. Fizikalno utemeljenje pojma prostora i vremena te meÿudjelovanja tijela prvi je dao Isaac Newton 1687. u svom djelu Philosophica Naturalis Principia Matematica. Prostor je, prema Newtonu, velika šuplja kutija u kojoj su razmještena tijela (zvijezde, planeti, ljudi, cvijetovi, kamenje, mobiteli ...). Valja uoþiti da je prostor nezavisan od tijela koja su u njemu razmještena. Dakle, postoji trodimenzijski prostor kao neovisna kategorija. Vrijeme, prema Newtonu, takoÿer postoji neovisno o prostoru i tijelima u prostoru. Ono teþe uvijek jednako, neovisno o promatraþu i njegovom položaju u prostoru. Fiziku u kojoj se prostor i vrijeme razumjevaju u navedenom smislu uobiþajeno je zvati Newtonovska ili klasiþna fizika. I. 1. KINEMATIKA U kinematici opisujemo gibanje proizvoljnog tijela zabacujuüi uzrok gibanja toga tijela. Dakle, zanemarujemo meÿudjelovanje toga tijela i svih ostalih tijela. Utemeljimo pojam gibanja nekog, proizvoljno odabranog, tijela. Tijelo se giba kad mijenja svoj položaj u odnosu na neka okolna (referentna) tijela tijekom vremena. Na primjer, vrh krede (tijelo) se giba u odnosu na ploþu (referentno tijelo) kod pisanja kredom po ploþi. Položaj odreÿujemo pomoüu koordinatnog sustava kojeg možemo proizvoljno odabrati.

O x

y

1 2 3 4 51

123

4

1

P(4, 3)

Ishodište izaberemo proizvoljnoO Da bismo dobili jediniþne duljine na koordinatnim osima moramo se dogovoriti za osnovnu jedinicu za mjerenje duljine (a takoÿer i vremena odnosno intervala vremena). DULJINA (L, l, d, x' ...) je odabrana za osnovnu fizikalnu veliþinu u SI sustavu, pa se njena jedinica mora definirati. 1 METAR (1 m) je duljina prametra (štapa) koji se þuva u Parizu Godine 1983. usvojena je sljedeüa definicija: Jedan metar jednak je duljini puta koji prevali val svjetlosti u vakuumu tijekom vremenskog intrvala (1/299 792 458) sekundi. Izvedene jedinice za metar (ili bilo koju drugu fizikalnu veliþinu) su: VREMENSKE TRENUTKE (i intervale) odreÿujemo pomoüu sata (tj. ure ili dobnjaka). VRIJEME (t, T ...) je odabrano za osnovnu fizikalnu veliþinu u SI sustavu, pa se jedinica mora definirati. Godine 1976. definiran je standard za vrijeme: Jedna sekunda je vremenski interval potreban za 9 192 631 770 vibracija atoma cezija.

Npr. pri gibanju u ravnini rabimo dvodimenzionalni koordinatni sustav Oxy koji ima dvije koordinatne osi x (apscisa) i y (ordinata) koje najþešüe uzimamo meÿusobno okomitima. Položaj toþke P u ravnini u odnosu na ishodište O(0, 0) odreÿen je ureÿenim parom (x, y) – njenim koordina-tama, npr. P(4, 3) (crtež). Toþka P je od ishodišta udaljena 5 jedinica (Pitagorin teorem).

Sliþno, pri gibanju po pravcu rabimo jednodimenzionalni koordinatni sustav npr. Ox. Na crtežu je prikazana toþka Q(3) koja je od ishodišta O(0) udaljena 3 jedinice.

O x1 2 3 4 51 0

Q(3)

1 dm = 110� m 1 dam = 110 m 1 cm = 210� m 1 hm = 210 m

1 mm = 310� m 1 km = 310 m

1 Pm = 610� m 1 Mm = 610 m



U klasiþnoj fizici je potreban samo jedan sat, jer se pretpostavlja da se informacija izmeÿu dviju toþaka u prostoru može prenositi beskonaþnom brzinom (pogledati komentar na stranici 26.). Koordinatni sustav sa satom nazivamo sustavom referencije. Bitno je uoþiti da referentni sustav þine: referentno tijelo smješteno u ishodištu, sat i koordinatni sustav. Dimenzije tijela su þesto nebitne za danu fizikalnu pojavu, pa se pri opisu pojave one mogu zanemariti. Tada tijelo nadomještamo materijalnom toþkom. Materijalna toþka je matematiþki objekt koji nema dimenzije i u njoj je smještena ukupna masa tijela. Zamjena realnog tijela s materijalnom toþkom je uvijek valjano kod translacijskog gibanja krutog tijela. Npr. kod opisa gibanja automobila po autoputu automobil zamišljamo kao materijalnu toþku. Jednako tako postupamo kod gibanja automobila u zavoju zato jer za kratke intervale vremena (odgovarajuüi) kružni luk možemo zamijeniti odsjeþkom tangente na kružni luk. Putanja gibanja je stvarni ili zamišljeni trag kojeg tijelo ostavlja pri svom gibanju. Npr. vrh krede po ploþi. Ako je putanja pravac onda je to pravocrtno gibanje. Ako je pak putanja zakrivljena krivulja,onda govorimo o krivocrtnom gibanju. (pravocrtno gibanje udesno ili ulijevo) (krivocrtno gibanje) Prevaljeni put je duljina putanje od poþetne toþke (P) do krajnje toþke (K). Prevaljeni put najþešüe oznaþavamo sa s, ili x ili L … Uoþimo:

Tu veliþinu mjerimo na brojþaniku automobila. Odrediti prevaljeni put u opüem sluþaju krivocrtnog gibanja tijela je vrlo netrivijalno! Razmislite, kako odrediti duljinu puta od

toþke P do toþke K na crtežu!

Pomak, r , je usmjerena dužina (vektor) koja spaja poþetnu(P) i krajnju toþku (K). Pomak je (kao i svaki vektor) odreÿen duljinom (ili iznosom ili modulom), smjerom (pravac na kojem leži) i orjentacijom (poþetna i konaþna toþka). Oznaka za pomak je npr. PK

JJJG, ili

rG

... a) pravocrtno gibanje

To je gibanje kod kojeg je putanja tijela pravac. Dakle, za opis pravocrtnog gibanja rabiti üemo jednodimenzionalni koordinatni sustav. Potanko üemo o tom gibanju govoriti kasnije.

Primjeri: Sprinteri u utrci na 100 m, vlak na ravnom dijelu pruge, muha pri letu u sobi (kraüevrijeme), puž na listu kupusa (kraüe vrijeme).

Sada üemo uvesti pojam brzine i ubrzanja za translacijsko gibanje tijela.

P

Kr

P

K



kt kt

Promotrimo gospoÿicu Micu pri subotnjoj šetnji Ilicom. pt =10h 30min kt =10h 45min

px =50m kx =200m

U trenutku pt poþinje razgledati izlog “Benettona”, u 1t =10h 35min stiže pred izlog “Mladosti”

na položaju 1x =100m, baci pogled na nova izdanja, prisjeti se neke stvarþice iz izloga “Benettona”, vrati se do “Benettona” da bi pomnije razgledala … te se u trenutku kt naÿe na uglu Ilice i Frankopanske (na položaju kx ).

ou vremenskom intervalu k pt t t' � =15min

gospoÿica Mica se pomakla za k pt x x' � = 200m – 50m = 150m

pritom je prevalila put 1 1( ) ( ) ( )p p k px x x x x x' � � � � � = 50 + 50 + 150 = 250m Za opisivanje translacijskog gibanja valja nam definirati sljedeüe veliþine: brzina 1˚ Srednja brzina tijela po pomaku kao omjer pomaka i pripadnog vremenskog intervala.

k p

k p

x xxv

t t t

�' ' �

To je vektorska veliþina.

Razumno je zapitati se kako to da je srednja brzina tijela po pomaku vektor kad je nismo zapisali kao vektor? Razlog leži u þinjenici da napisani izraz vrijedi samo za gibanje po pravcu na kojem svaki vektor (pa tako i uvedena veliþina) može imati samo dva smjera! Znaþi, x' je algebarska veliþina koja može biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna. U prvom sluþaju se tijelo giba stalno u istom smjeru, u drugom miruje i u treüem sluþaju brzina tijela je mijenjala smjer tijekom gibanja! Nazivnik je, dakako, uvijek pozitivan. 2˚ Srednju brzinu tijela po prevaljenom putu kao omjer ukupnog prevaljenog puta i pripadnog vremenskog intervala.

s

vt

'

To je skalarna veliþina. Jedinica za mjerenje se izvodi iz definicije:

> @ > @> @

1 11

x m mv

t s s

'

'

Trenutnu brzinu vG

definiramo kao graniþnu vrijednost omjera x

t

''

G kada 0t' o .

vG

= x

t

''

G kada 0t' o ili

0lim

t

xv

t' o

'

'

GG

Veliþina (modul) ovog vektora jednak je graniþnoj vrijednosti srednje brzine po putu.

0

limt

sv

t' o

'



Ubrzanje (akceleracija) Ukoliko se trenutna brzina tijela v

G mijenja (po modulu i/ili po smjeru) tijekom vremena,

definiramo novu fizikalnu veliþinu koja opisuje tu promjenu. Za vremenski interval

k pt t t' � brzina se promjeni za k pv v v' �

G G G

o Srednje ubrzanje

aG

- omjer promjene brzine i pripadnog vremenskog intervala

v

at

' '

GG tj. to je brzina promjene brzine.

Ovako napisani izraz za srednje ubrzanje vrijedi za svako gibanje i to pri jednodimenzijskom (pravocrtnom), dvodimenzijskom (ravninskom) ili trodimenzijskom (prostornom) gibanju

tijela. Inaþe, za pravocrtno gibanje dovoljno je napisati v

at

' '

pri þemu se podrazumjeva da

je promjena brzine v' algebarska veliþina koja može biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna. o Trenutno ubrzanje

aG

- graniþna vrijednost omjera v

t

''

G kada 0t' o tj.

0lim

t

va

t' o

'

'

GG

Jedinicu za mjerenje ubrzanja dobivamo iz definicije:

> @ > @> @ 2

11

1

mv msat s s

'

'

1a Jednoliko gibanje po pravcu

Putanja je pravac, a brzina konstantna, tj. konstv G JJJJJG

� � � �k pk p k p k p

k p

x xxv t t x x v t t

t t t

�' � � o � �' �

Obiþno odaberemo

0p

k

t t

t t

� �p o

k

x x

x x t

o Položaj tijela u ovisnosti o vremenu ima oblik � � 0 0( )x t x v t t � � .

Ako uzmemo za poþetni trenutak t0 = 0 onda imamo � � 0x t x vt � .

o Položaj toþke kod jednolikog pravocrtnog gibanja je afina funkcija vremena.



Grafiþki prikaz ovisnosti položaja o vremenu: x - t dijagram: To je pravac koji sijeþe os položaja u toþki 0x ! Nagib pravca ovisi o brzini: tg vD , D je kut izmeÿu grafa i osi t. Navedimo dva primjera:

1) 01 15 ; 5 mx m v

s o 1( ) 5 5x t t �

2) 02 20 ; 9 mx m v

s o 2 ( ) 9x t t

Jedna od moguüih fizikalnih interpretacija grafova na crtežu: Biciklist Tonþi prošao je kroz ishodište konstantnom brzinom 9 m/s u smjeru osi x i nastavio tako voziti u istom smjeru. U istom trenutku i u istom smjeru ali na 5 m od ishodišta prošla je biciklistica Ruža konstantnom brzinom 5 m/s i nastavila tako voziti u istom smjeru. oPrevaljeni put s(t) u ovisnosti o vremenu je � � � � 0s t x x t x vt ' � . Dakle

� �s t vt . Uoþimo da je put linearna funkcija vremena.

Grafiþki prikaz ovisnosti puta o vremenu: s - t dijagram: Uzmimo dva prethodna primjera: 1) 1( ) 5 5s t t � 2) 2 ( ) 9s t t Vidimo da nema razlike izmeÿu s-t grafa i x-t grafa! To je zbog toga što brzina tijela nije mijenjala smjer tijekom gibanja!

Grafiþki prikaz ovisnosti brzine o vremenu: v - t dijagram Uzimamo prethodna dva primjera:

1) 1 5 mv

s

2) 2 9 mv

s

Oba pravca su paralelna s vremenskoj osi!

0.5 1 1.5 2t,s

2.55

7.510

12.515

17.520x,m

x2

x1

0.5 1 1.5 2t,s

2.55

7.510

12.515

17.520s,m

s2

s1

0.5 1 1.5 2t,s

2

4

6

8

10

12v,ms 1

v1

v2



Površina ispod tog dijagrama odgovara brojþano prevaljenom putu u tom vremenskom intervalu.

Kako je kod ovog gibanja konst.v o 20v ma

t s

' '

Grafiþki prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a - t dijagram a = 0 m/s2

To je pravac koji se poklapa s vremenskom osi.

2a Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu Putanja je pravac a ubrzanje je konstantno (i po modulu i po smjeru), tj. konst.a

G JJJJJJG

Kako ovisi brzina o vremenu?

� �k pk p

k p

v vva t t

t t t

�' � �' �

o � �k p k pv v a t t � �

obiþno odaberemo

0p

k

t s

t t

� �0p

k

v v

v v t

brzina tijela u ovisnosti o vremenu � � 0v t v at �

o Linearna funkcija vremena Grafiþki prikaz: v - t dijagram Pravac koji sijeþe os ordinata u toþki 0v . Nagib pravca ovisi o ubrzanju: tg aD , D je kut izmeÿu grafa i osi t. Navedimo primjer:

1) 01 1 22 ; 2m mv a

s s o 1( ) 2 2v t t �

2) 01 2 20 ; 6m mv a

s s o 2 ( ) 6v t t

Jedna od moguüih fizikalnih interpretacija grafova na crtežu: OpelVectra2.2 krenula je u poþetnom trenutku t = 0 s iz ishodišta ubrzanjem a2 = 6 m/s2 i nastavila se gibati po pravcu tim ubrzanjem. OpelCorsa1.4 gibala se u poþetnom trenutku brzinom v1 = 2 m/s i nalazila se ispred OpelVectre2.2 na udaljenosti v01 = 2 m. OpelCorsa1.4 se nastavila gibati po istom pravcu konstantnim ubrzanjem a1 = 2 m/s2. Automobili su se sudarili nakon 1s.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t,s

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5a,ms 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t,s

2

4

6

8

v,ms 1

v1

v2



Površina ispod dijagrama odgovara prevaljenom putu.

� ��

� ��

1 2

1 0 0

22 0

0 01 1 102 2 2

s s s

s v t v t

s v v t at t at

�

� �

� � �

o � � 20

12

s t v t at �

Izraz za prevaljeni put s(t) je kvadratna funkcija vremena. Grafiþki prikaz: s - t dijagram Graf je parabola koja polazi iz ishodišta! Taj graf nikad ne pada! Znaþi, kako vrijeme teþe put se uvijek poveüava! Navedimo primjer:

1) 01 1 22 ; 2m mv a

s s o 2

1( ) 2s t t �

2) 01 2 20 ; 6m mv a

s s o 2

2 ( ) 3s t t

Kako je kod ovog gibanja � � � � 0s t x x t x ' � slijedi � � � �0x t x s t � pa uvrštavanjem

izraza za s(t) dobivamo � � 20 0

12

x t x v t at � � . Poluþeni izraz je ponovo kvadratna

funkcija vremena. Grafiþki prikaz: x-t dijagram Graf je parabola koja sijeþe os ordinata u 0x ! Navedimo primjer:

1) 01 01 1 22 ; 2 ; 2m mx m v a

s s � o 2

1( ) 2 2x t t t � � �

2) 02 02 2 22 ; 0 ; 6m mx m v a

s s � o 2

2 ( ) 2 3x t t � �

Grafiþki prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a-t dijagram a = konst. Graf je pravac paralelan s vremenskom osi. Navedimo primjer:

1) 1 22 ma

s

2) 22 6s

ma

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t,s

2

4

6

8

s,m

s1

s2

0.5 1 1.5 2t,s

-2

2

4

6

8

x,m

x1

x2

0.5 1 1.5 2t,s

12345678

a,ms 2

a1

a2



Površina ispod tog dijagrama odgovara brojþano promjeni brzine u danom vremenskom intervalu. Vrlo þesto odabiremo da je na poþetku tijelo mirovalo u ishodištu, tj. sljedeüe poþetne uvjete: 0 0 00 ; 0 ; 0t s x m v m o � � � � � �2 21 1; ;

2 2v t at s t at x t at

3a Jednoliko usporeno gibanje po pravcu

Putanja je pravac, a ubrzanje je konstantno ali negativno, tj. brzina se jednoliko smanjuje. 0a � Uzmemo li u obzir da je ubrzanje negativno, možemo izraze za ovisnost brzine o vremenu, prevaljenog puta o vremenu i koordinate (položaja) o vremenu prepisati u obliku: � � 0v t v at � � � 2

012

s t v t at � � � 20 0

12

x t x v t at � �

Ubrzanje a uzimamo u ovim izrazima kao pozitivnu veliþinu! Navedimo primjer:

0 0 22 ; 4 ; 3m mx m v a

s s

1) v = 4 – 3 t, t t 0 2) s = 4 t – 1.5 t2, t t 0 3) x = 2 + 4 t – 1.5 t2, t t 0 Jedna od moguüih fizikalnih interpretacija grafova na crtežima (tj. podataka iz primjera): Tijelo (Ana na dasci za jedrenje) se u poþetnom trenutku vremena t = 0 s nalazi na udaljenosti 2 m od referentnog tijela (bova), ima brzinu 4 m/s i giba se po pravcu (jedri po pravcu). Vjetar puše u suprotnom smjeru od smjera gibanja tako da tijelu (Ani s daskom) daje deceleraciju 3m/s2. Iz v-t grafa vidimo da üe se tijelo zaustaviti nakon (4/3) s te üe nakon toga zapoþeti jednoliko ubrzano gibanje u suprotnom smjeru. Iz s-t grafa vidimo da je od poþetka gibanja do trenutka zaustavljanja tijelo (Ana s daskom) prevalila put (8/3) m. Obzirom da se put ne može smanjivati iz s-t vidimo da prikazani graf ima smisla (prikazuje put) od poþetka gibanja do trenutka (4/3) s! Ostali dio grafa u s-t dijagramu nema smisao puta! Iz x-t grafa vidimo položaj tijela u proizvoljnom trenutku od poþetka gibanja. Tako npr. Ana üe biti kod bove nakon 3.1 s.

0.5 1 1.5 2t,s

-1

1

2

3

4

5v,ms 1

v

0.5 1 1.5 2 2.5t,s

0.5

1

1.5

2

2.5

3s,m

s

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5t,s

-1

1

2

3

4

5x,m

x



0

Slobodan pad U homogenom gravitacionom polju Zemlje (mala promjena visine i uz zanemarivanje otpora zraka) sva tijela dobivaju jednako ubrzanje

a { g = 9.81 2

m

s | 10 2

m

s

Vrijednost ubrzanja ovisi o geografskoj širini. o Relacije koje opisuju to jednoliko ubrzano gibanje po pravcu, zapisuju se u obliku: v(t) = gt

s(t) = 12

g t2

x(t) = 0x + 12

g t2

Vrijeme padanja dobijemo iz uvjeta

s( pt ) = H = 12

g 2pt o pt = 2H

g

Brzina kojom tijelo udari o pod iznosi

kv { v( pt ) = g pt = g 2H

g o kv = 2gH

Vertikalni hitac prema dolje Tijelo na nekoj visini bacimo poþetnom brzinom 0v

G vertikalno

prema dolje. oto je jednoliko ubrzano gibanje s poþetnom brzinom v(t) = 0v + gt

s(t) = 0v t + 12

g t²

x(t) = 0x + 0v t + 12

g t²

6a Vertikalni hitac prema gore

Tijelo izbacimo poþetnom brzinom 0vG

vertikalno uvis. Vektori brzine v

G(t) i ubrzanja g

JG su suprotnog smjera.

ĺ to je jednoliko usporeno gibanje s poþetnom brzinom v(t) = 0v – g t

s(t) = 0v t – 12

g t²

x(t) = 0x + 0v t – 12

g t²

ĺ vrijeme uspinjanja do najviše visine dobijemo iz uvjeta

kv = v( uspt ) = 0 ĺ 0usp

vt

g

x

O(0)x0

H

v0 = 0

x

O(0)x0

H

v0 = 0

x

v0

O(0)x0

H



ĺ visina do koje se tijelo popne dobije se iz

H = s( uspt ) = 2 2

0 0 00 2

12 2

v v vv g

g gg� � ĺ

20

2v

Hg

b Kružno gibanje

Gibanje kod kojeg je putanja – kružnica. Položaj na kružnici možemo odrediti u pravokutnom koordinatnom sustavu s dvije coordinate: P( ,T Tx y )

ĺ 2 2 2T Tx y R�

ýešüe položaj odreÿujemo radijusom R i kutom M kojega taj radijus zatvara s odabranom (najþešüe horizontalnom) osi. Kut M najþešüe mjerimo u radijanima. 1 rad = kut kojeg zatvaraju dva radijusa date kružnice koji na pripadnoj kružnici odsjecaju luk duljine radijusa. Opüenito je duljina luka l dana s l = R� M M - iskazan u radijanima Ukoliko tijelo napravi puni okret ĺ l = 2 R ʌ Radijus prebriše kut od 360° o R � M = 2RS M = 2S rad = 360q S rad = 180q

2S

rad = 90q

3S

rad = 60q

O x

y

xT

TyxTT( , )Ty

R

O x

y

R

T( , )IR

I

O x

y

R

R

R

1 radI �

R

R

lI

R



Pri gibanju tijela po kružnici, tijelo za vremenski interval 't = kt – pt prevali

put l odnosno pomakne se za PKJJJG

. Istovremeno radijus “privezan” za tijelo “prebriše” kut 'M. o Srednja kutna brzina

k p

k pt t t

M MMZ Z�'

{ ' �

- omjer prebrisanog kuta i proteklog vremenskog

intervala. o Trenutna kutna brzina

0

limt t

MZ' o

'

' - graniþna vrijednost omjera

t

M''

kad 0t' o

jedinica za mjerenje

> @ > @> @

1 rad

t s

MZ

Ukoliko se kutna brzina mijenja uvodimo fizikalnu veliþinu koja opisuje tu promjenu k p k pt t t Z Z Z' � o ' �

o Srednje kutno ubrzanje

k p

k pt t t

Z ZZD�'

' �

- omjer promjene kutne brzine i pripadnog vremenskog intervala

o Trenutno kutno ubrzanje

0

limt t

ZD' o

'

' - graniþna vrijednost omjera

t

Z''

kad 't o 0.

Jedinica za mjerenje kutnog ubrzanja se dobije iz definicije: > @ > @> @ 21 rad

t s

ZD

'

'

b1) jednoliko gibanje po kružnici putanja kružnica, a kutna brzina konstantna, tj Z = konst. o prebrisani kut u ovisnosti o vremenu

� � 0

0

t

t t

M MZ

�

� o � � 0t tM M Z � uz 0t = 0 s

Period vrtnje T – vrijeme jednog ophoda

Frekvencija vrtnje f – broj okretaja u 1s o 1

fT

Jedinica za mjerenje > @ > @11 1

f sT s

� { Hz herc

Obodna brzina v tog tijela jednaka je 2l R

vt T

S '

Kako je pritom kutna brzina 2 12 2 f

t T T

M SZ S S' '

o v = R Z ili v = 2 S R f



Kako je Z = konst. o D = 0 o b2) jednoliko ubrzano gibanje po kružnici Putanja je kružnica, a kutno ubrzanje konstantno, tj D = konst. o Kutna brzina ovisi linearno o vremenu

� � 0

0

t

t t

Z ZD

�

� o � � 0t tZ Z D � uz 0t = 0 s

o Kut M ovisi kvadratiþno o vremenu (crtež, 0M = 0)

� � 20

12

t t tM Z D �

Naputak: Postoji puna matematiþka analogija izmeÿu jednolikog pravocrtnog gibanja (jedno-like translacije) i jednolikog gibanja po kružnici. Doista, jednolika translacija je opisana izra-zom � � 0x t x vt � , v = konst, a = 0. U drugu ruku, jednolika rotacija je opisana izrazom

� � 0t tM M Z � , Z = konst, D = konst. Dakle, u izrazima za translacijsko gibanje valja uþiniti zamjenu

x ĺ M, v ĺ Z, a ĺ D . Navedena analogija vrijedi i za jednoliko ubrzano (usporeno) translacijsko gibanje i jednoliko ubrzano (usporeno) rotacijsko gibanje. Dakle, možemo pisati: Translacijsko gibanje, a = konst Rotacijsko gibanje, D = konst

� � 20 0

12

x t x v t at � � � � 20 0

12

t t tM M Z D � �

� � 0v t v at � � � 0t tZ Z D �



I. 2. DINAMIKA a) vektori

pomak, brzina, ubrzanje … odreÿeni su iznosom (modulom), smjerom i orjentacijom. To su, dakle, vektorske veliþine.

Vrijeme, prevaljeni put … odreÿeni su samo iznosom o skalarne veliþine

Vektore predoþujemo usmjerenim dužinama - znamo poþetnu toþku P, znamo konaþnu toþku K. Na konaþnoj toþki stavljamo strelicu koja definira smjer vektora.

Vektore üemo oznaþavati simbolima ,a b

G G …

Duljinu vektora (ili iznos ili modul ili veliþinu vektora) üemo oznaþavati simbolima bez strijelice a, b ...

Jednakost vektora a b

G G je ispunjena ukoliko vektori imaju jednaku veliþinu (iznos) i

gledaju u istom smjeru. Jediniþni vektor (ort)

0a

aa

GG

o 0a a a G G

Na crtežu je prikazan vektor 03a a G G

Zbrajanje vektora - pravilo paralelograma c a b �

G G G

Poþetak prvog dovedemo na poþetak drugog. Konstruiramo paralelogram o zajedniþka dijagonala je zbroj. - pravilo trokuta c a b �

G G G

Poþetak jednog dovedemo na na kraj drugog. Zbroj je vektor koji ide od poþetka prvog do kraja drugog. Množenje vektora skalarom o vektor a

G množimo skalarom RO � i dobivamo

novi vektor | O | a þija je veliþina (iznos): |O |a, a orijentacija: - ista kao i a

G za O ! 0

- suprotna od aG

za O � 0 Za O = 0 dobijemo nul-vektor 0

G koji nema smjera.

Za O = –1 dobijemo (suprotni) vektor koji ima jednaki

modul ali suprotnu orijentaciju.



Oduzimanje vektora o Zbrajanje sa suprotnim vektorom ( )c a b a b � � �

G G G G G

Rastavljanje vektora na komponente Rastavljanje vektora na komponente vršimo uvijek u zadanom koordinatnom sustavu o najþešüe se odabire pravokutni koordinatni sustav npr. dvodimenzionalni xa

JJG je x - komponenta

yaJJG

je y - komponeneta

Tada je x ya a a �G JJG JJG

. o definiramo jediniþne vektore (ortove)

u smjeru x - osi x

x

ai

a

JJGG

; u smjeru y - osi y

y

aj

a

JJGG

; u smjeru z - osi z

z

ak

a

JJGG

o Tada se svaki vektor u koordinatnom sustavu Oxy (tj. u ravnini) može zapisati u obliku x ya a i a j �

G G G

o zbrajanje i oduzimanje vektora se lako obavlja: Neka su zadani vektori x ya a i a j �

G G G i x yb b i b j �G G G

. Tada je

( ) ( )x x y ya b a b i a b jr r � rG G G G

Množenje vektora - skalarno množenje cosa b ab M�

G G

Rezultat množenja je broj (skalar). On je jednak umnošku iznosa vektora i kosinusa kuta kojeg zatvaraju. Buduüi da je 1i i j j� �

G G G G, 0i j� G G

onda je skalarni produkt

x x y ya b a b a b� �G G

Vektorsko množenje a b cu

G G G kod þega je modul vektora c

Gjednak c = a b sin M

b a cu �G G G

Dobije se kao rezultat vektor okomit i na a

G i na b

G.

Duljina vektora jednaka je površini paralelograma kojeg razapinju a

G i bG

, tj umnošku iznosa vektora aG

i b

G i sinusa kuta izmeÿu njih.

Orijentacija vektora cG

je odreÿena pravilom desne ruke:

prstima preklapamo prvi vektor aG

na drugi bG

, a onda palac pokazuje orijentaciju vektora c

G.



Vrijede relacije (tablica množenja jediniþnih vektora) 0i i j j k ku u u G G G G G G

, a takoÿer i i j ku G G G

, j k iu G G G

, k i ju G G G

. Ako vektore aG

i bG

zapišemo u koordinatnom prikazu x ya a i a j �G G G

, x yb b i b j �G G G

tada je njihov vektorski produkt ( )x y y xa b a b a b ku �G G G

. b) Meÿudjelovanje tijela. Sila Da neko tijelo meÿudjeluje s nekim drugim tijelom zapažamo po nekim uþincima:

- poveüanju ili smanjenju brzine - deformaciji tijela - promjeni oblika tijela - promjeni obujma tijela - promjeni stanja površine tijela - promjeni agregatnog stanja tijela ...

Sila je fizikalna veliþina kojom opisujemo koliko je meÿudjelovanje jednog tijela na drugo. Odreÿena je iznosom, smjerom i orijentacijom o vektor! Tijela mogu meÿudjelovati kad su u dodiru (npr. ruka i spužva) o Sile dodira - elastiþna sila pri deformaciji tijela - sila trenja pri klizanju jedog tijela na površini drugog.

Tijela mogu meÿudjelovati kad su meÿusobno razmaknuta (npr. Zemlja i Sunce, Zemlja i magnetska kazaljka, natrljani balon i ruka).

o Sile na udaljenost (ili sile polja) - gravitaciona sila - magnetska sila - elektriþna sila

o Sile dodira i sile na udaljenost potjeþu od djelovanja (najmanje) dvaju tijela. Kažemo da su to sile u Newtonovom smislu ili da su to Newtonove sile. Meÿutim postoje inercijalne sile (npr. centrifugalna inercijalna sila) koje se pojavljuju u neinercijalnim referentnim sustavima koje ne potjeþu od meÿudjelovanja dvaju tijela. Inercijalne sile nisu Newtonove sile! b1) Masa. Gustoüa Lakše je pokrenuti “fiüeka” nego kamion. Kažemo da je kamion tromiji ili inertniji od “fiüeka”. Masa – fizikalana veliþina kojom mjerimo inertnost tijela ili veliþinu gravitacionog meÿudjelovanja tijela sa Zemljom. o odabrana za osnovnu fizikalnu jedinicu o jedinica se definira >m@ { 1 kilogram o 1kg - masa prakilograma – utega koji se þuva u Parizu

Gustoüu U homogenog tijela definiramo kao omjer mase i obujma tijela: m

VU

Jedinicu za gustoüu dobivamo iz > @ > @> @ 31m kg

V mU

b2) Newtonovi zakoni Svakodnevno iskustvo nas upuüuje na to da postoji odreÿena veza izmeÿu:

- ubrzanja aG

tijela - mase m tijela - sile F

G koja djeluje na tijelo

F konst JJJJJGG

Pretpostavimo da guramo (iz mirovanja) fiüeka i kamion jednakom silom. Obzirom da je

F Km m� slijedi da üemo fiüeka lakše pokrenuti, a takoÿer da üemo lakše poveüavati brzinu fiüeku nego kamionu. Dakle je F Ka a! .



Eksperiment ĺ 1~am

Ubrzanje tijela je, uz djelovanje iste sile obrnuto proporcionalno s masom tijela na koje sila djeluje. Ako je m = konst (npr. djelujemo razliþitim silama na fiüeka) tada

1 2F F� povlaþi 1 2a a� . Eksperiment ĺ a ~ F Ubrzanje tijela je proporcionalno veliþini (modulu) sile koja djeluje na tijelo i ima smjer sile. Ako na tijelo istovremeno djeluje veüi broj sila

1 2,F FG G

… tada prethodni zakljuþak vrijedi za njihovu

rezultantnu RFG

. Dakle, 1 2RF F F � �G G G

… pa je ubrzanje tijela

jednako RFa

m G

G. Izraz Rma F

GG predstavlja II Newtonov zakon ili

temeljnu jednadžbu gibanja. Jedinicu za mjerenje sile dobivamo iz

> @ > @> @ 21 1mF m a kg N

s { i zovemo je Newton.

Umnožak mase tijela i njegove akceleracije jednak je rezultanti svih sila koje djeluju na tijelo. Zakon smo formulirali u referentnom sustavu “Zemlja” (tj. Zemlja je referentno tijelo). Ukoliko je 0RF

GG (ili sile ne djeluju) onda imamo

0ma

va

t

'

'

GGG �

0

K P

v

v v v

' ' �

GG G G � K Pv v

G G

a to znaþi brzina tijela se ne mijenja (niti po modulu niti po orijentaciji). Drugim rijeþima, ako je zbroj sila koje djeluju na tijelo jednak nuli ili nikakve sile ne djeluju, tada se tijelo giba jednoliko po pravcu ili miruje tj. 0RF

GG � K Pv v

G G. To je prvi Newtonov zakon (I N. Z.).

Promjenu brzine, (tj. ubrzanje) uzrokuje meÿudjelovanje tog tijela i drugih tijela (tj. sila). I N. Z. se þesto naziva zakonom inercije. Referentni sustavi u kojima vrijedi ovako formuliran zakon inercije nazivaju se inercijalnim referentnim sustavima (IRS) (npr. “površina Zemlje” je približno IRS). Svi inercijalni referentni sustavi se, jedan prema drugom, gibaju jednolikom brzinom po pravcu. Djelovanje je uzajamno! Naziv sila i protusila se pridjeljuje postojeüim silama proizvoljno!

21FG

- sila s kojom na tijelo 2 djeluje tjelo 1 (npr. sila)

12FG

- sila s kojom na tijelo 1 djeluje tijelo 2 (protusila) III Newtonov zakon glasi 12 21F F �

G G

Protusila i sila su jednake po veliþini ali su supotnog smjera. One djeluju na dva razliþita tijela! (npr. sila 12F

Gdjeluje na tijelo 1 tj. hvatište tog vektora je u

tijelu 1 i ona opisuje meÿudjelovanje tijela 2 i tijela 1 (crtež)). III N. Z. vrijedi samo za dva tijela koja meÿudjeluju ali ne za tri ili više tijela u (istodobnom) meÿudjelovanju! b3) Neke vrste sila 1q Sila teža gF

JG - sila s kojom Zemlja djeluje na tijelo u svojoj blizini. Naime, Zemlja djeluje

na sva tijela gravitacijskom silom. Pritom je gravitacijska sila tim manja što je tijelo udaljenije. Uobiþajeno je gravitacijsku silu Zemlje blizu površine Zemlje zvati sila teža.

1

2

21FF12



Sila teža je jednaka umnošku mase m tijela i ubrzanja sile teže g. gF mg Sila teža je okomita na površinu Zemlje (u smjeru prema središtu Zemlje). Ubrzanje sile teže (na Zemlji) jednako je g = 9.81 ms–2 . Dakako, i druge planete imaju svoju silu težu kojoj je ubrzanje razliþito od navedenog na Zemlji. 2q sila pritiska, pF - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi 3q sila reakcije podloge, rF - sila kojom podloga djeluje na tijelo koje se nalazi na podlozi. III N. Z. � r pF F 4q težina tijela, G - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi ili na ovjes ako je obješeno. Valja se zapitati kolika je težina tijela? Ako tijelo miruje na horizontalnoj podlozi ili se zajedno s podlogom giba jednoliko po pravcu onda imamo rG F iz III. N. Z. i g rF F iz I N. Z. otkuda slijedi da je težina u tom

sluþaju jednaka gG F mg . 5° sila trenja trF - sila koja se javlja kad su dva tijela u dodiru - sila trenja mirovanja – djeluje horizontalna vuþna sila vF , a tijelo miruje. Na njega u suprotnom smjeru djeluje sila trenja mirovanja Ftrm (koju uzrokuje podloga) - sila trenja klizanja – ukoliko vuþna sila vF dovoljno poraste, i poprimi vrijednost Fvk tijelo üe zapoþeti kliziti po podlozi. Ako se giba konstantnom brzinom tada iz I N. Z. � tr vkF F . pokus � sila trenja klizanja ovisi o:

- pritisnoj sili pF , s kojom tijelo djeluje na podlogu - kvaliteti dodirnih ploha - vrsti dodirnih ploha

tr pF FP � P - faktor (koeficjent) trenja. Opisuje ovisnost sile trenja o kvaliteti podloga i o vrsti podloga. Uoþiti da sila pritiska Fp ne djeluje na tijelo nego na podlogu. Protusila te sile djeluje na tijelo i jednaka je Fr.



- sila trenja kotrljanja – javlja se pri kotrljanju tijela po podlozi. Stotinjak puta je manja od sile trenja klizanja.

6° Elastiþna sila, eF - sila koja se javlja u deformiranom tijelu U sluþaju elastiþne opruge ona je proporcionalna veliþini deformacije opruge x. 0l - duljina nerastegnute opruge l - duljina rastegnute opruge x = l – 0l je produljenje (ili skraüenje) opruge

~eF x � eF k x � gdje je eFk

x koeficijent elastiþnosti

opruge. On ovisi o materijalu od kojeg je opruga napravljena.

Jedinica za k je > @ > @> @

1eF Nk

x m .

c) Primjena Newtonovih zakona c1) horizontalni hitac U homogenom gravitacionom polju zemlje g

JG na

visini H, tijelu damo poþetnu brzinu 0vJJG

u horizontalnom smjeru i omoguþimo mu da pada. Na tijelo djeluje samo sila teža gF

JJG (otpor zraka

zanemarujemo) gma F mg a g o

G JJG JG G JG

Uz koordinatni sustav kao na slici imamo: 0xa , ya g Poþetni uvjeti: 0 0t s x(0) = 0 m 0(0)xv v

y(0) = 0 m (0) 0y

mv

s

x – komponenta gibanja je jednoliko gibanje po pravcu 0 :xa � � 0xv t v konst., � � 0x t v t , y – komponenta gibanja je jednoliko ubrzano gibanje po pravcu

:ya g � �yv t gt , � � 212

y t gt

Vrijeme padanja tijela odredimo iz uvjeta:

� � 21 22p p p

HH y t gt t

g �

Domet D je pomak u x – smjeru

� � 0 02

p p

HD x t v t v

g

Vektor brzine ( )v tG

je u svakom trenutku tangencijalan na putanju – parabolu.



2

20 0

( ) 1 ( )( )2

x t x tt y t g

v v �

220

( ) ( )2g

y t x tv

Iz Pitagorinog pouþka slijedi da je veliþina (modul) brzine u bilo kojem trenutku data izrazom

2 20( ) ( )v t v gt �

Horizontalni hitac možemo gledati kao kombinaciju jednolikog gibanja po pravcu u horizontalnom smjeru i jednoliko ubrzanog gibanja (slobodnog pada) u vertikalnom smjeru prema dolje. c2) kosi hitac Gibanje tijela izbaþenog poþetnom brzinom 0v

JJG, pod

kutem D, u odnosu na horizontalu u homogenom gravitacionom polju Zemlje. Na tijelo tijekom gibanja djeluje samo sila teža gF

JJG (zanemarujemo otpor zraka)

pa slijedi gma F mg a g � G JJG JG G JG

U odabranom koordinatnom sustavu je

20x

ma

s , ya g �

Poþetni uvjeti: 0 0t s x(0) = 0 m 0 0(0) cosx xv v vD { y(0) = 0 m 0 0(0) siny yv v vD { U x – smjeru - jednoliko gibanje po pravcu 0 0( ) cosx xv t v v D 0 0( ) cosxx t v t v tD � � U y – smjeru - jednoliko usporeno gibanje po pravcu s poþetnom brzinom 0 0( ) siny yv t v gt v gtD � �

20 2

1)sin()( tgtvty � D

Vrijeme uspinjanja Ht do najviše visine H odreÿujemo iz uvjeta da je u tom trenutku y-

komponenta brzine jednaka nuli. Slijedi g

vtH

Dsin0 . Dakle, najviša visina H koju dosegne

tijelo jednaka je

2 2 2 20 0

2

sin sin1( )2H

v vH y t g

g g

D D � otkuda dobivamo

2 20 sin

2v

Hg

D .

Ukupno vrijeme trajanja hica:

02 sin2p H

vt t

g

D

Domet kosog hica:

2

0 00

2 sin 2sin cos( ) cosp

v vD x t v

g g

D D DD �

20 sin 2v

Dg

D



Jednadžba putanje kosog hica:

Iz izraza x(t) za jednoliko gibanje po osi x dobivamo 0

( )cosx t

tv D

. Uvrštavanjem u izraz za

y(t) dobivamo 22 20

1( ) ( ) tg ( )2 cos

gy t x t x t

vD

D � a to je jednadžba putanje (parabola).

I. 3. Koliþina gibanja Drugi Newtonov zakon ma F

G JG

možemo zapisati i u malo drugaþijem obliku. Rabeüi k pv vva

t t

�' ' '

JJG JJGJJGG imamo

k pmv mvma F

t

�

'

JJG JJGG JG

Veliþina mv p

G JG

tj. umnožak mase tijela i njegove brzine ima važna svojstva. Naziva se koliþina gibanja (ili katkada impuls) tijela. Jedinicu koliþine gibanja dobivamo iz definicije:

> @ > @> @ mp m v kg Ns

s {

II Newtonov zakon sada ima oblik k pp pF

t

�

'

JJG JJGJG

ili F t p�' 'JG JG

.

Izraz I F t �'G JG

se zove impuls sile i jednak je umnošku sile i vremena djelovanja sile. > @ > @ > @I F t Ns � '

Impuls sile jednak je promjeni koliþine gibanja p'JG

. a) Zakon oþuvanja koliþine gibanja Neka imamo zatvoreni sistem tijela, vanjske sile neka ne djeluju, ili je njihov zbroj nula za svako tijelo sustava. Neka izmeÿu tijela sustava djeluju sile meÿudjelovanja, koje zadovoljavaju treüi Newtonov zakon 21 12F F �

JJJG JJG (radi jednostavnosti dvije biljarske kuglice):

1 1 1p m v

JJG JG

2 2 2p m v JJG JJG

1 1 1p m vc c JJG JG

2 2 2p m vc c JJG JJG

Promjene koliþina gibanja kuglica su 11 1p p pc' �JG JJG JG

22 2p p pc' �JG JJG JG

Ako su þestice za vrijeme sudara meÿudjelovale vremenski interval 't, tada iz III N. Z. �

21 12F t F t�' � �'JG JG

odnosno 2 1p p' �'JJG JJG

. To znaþi da vrijedi 2 2 1 1( )p p p pc c� � �JJG JG JJG JG

odnosno ' '1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v� �

JG JJGJG JJG. To je zakon oþuvanja koliþine gibanja (ZOKG)

ZOKG: Ukupna koliþina gibanja zatvorenog sustava je konstanta u vremenu.

o 1 2up p p �JJG JJG JJG

o 1 2up p pc c c �JJG JJG JJG



Ako se nakon sudara tijela gibaju zajedno o apsolutno neelastiþni sudar. ZOKG: 1 1 2 2 1 2 12( )m v m v m m v� �

JG JJG JJG

1 1 2 212

1 2

m v m vv

m m

�

�

JG JJGJJG

Dio mehaniþke energije (kinetiþke) se pretvori u unutrašnju energiju. Ukoliko je mehaniþka energija oþuvana o apsolutno elastiþni sudar 1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m vc c� �

JG JJG JG JJG

Nakon sudara tijela se ne gibaju zajedno. I. 4. Rad. Snaga. Energija a) rad sile Kažemo da sila F

JG vrši rad ako se pod njenim djelovanjem tijelo

pomakne za sG

. Izvršeni rad sile definiramo kao umnožak komponentne sile u smjeru pomaka i veliþine tog pomaka. W F s �& ili W = F � s � cosD ili kao skalarni produkt W F s �

JG G

Pretpostavljamo da je sila konstantna i po veliþini i po smjeru na þitavom pomaku. Jedinica za mjerenje > @ > @ > @W F s Nm J � { džul

Rad je pozitivan kad je F&JJG

istog smjera kao i sG

, tj. W > 0 kad je D < 90° Rad je negativan kad je F&

JJG suprotnog smjera od s

G, tj

W < 0 kad je 90° < D < 270° Rad je jednak nuli, W = 0 za 1° s = 0 – nema pomaka 2° F& = 0 – tj. sila okomita na pomak. Sila FA nikada ne vrši rad. Grafiþko raþunanje rada: Površina ispod F-s dijagrama brojþano odgovara izvršenom radu. Ako je sila konstantna tijekom gibanja onda je situacija prikazana na crtežu: Za elastiþnu silu eF k x � (uoþiti da sila nije konstantna tijekom gibanja) rad je brojþano jednak površini trokuta (crtež):

1 12 2eW F x kx x � �

212

W k x �



Opüenito: Ako se sila mijenja (crtež) tada uzimamo male pomake 1s' na kojima možemo silu

1sF' smatrati konstantom. Raþunamo mali

doprinos rada 11 1sW F s'' �' a ukupan rad dobijemo zbrajanjem

ovih malih doprinosa rada 1 2 ...W W W ' � ' � Korisnost ureÿaja, K

UW - uloženi rad

KW - korisni (dobiveni) rad

Tada je K K

U U

W P

W PK . Uvijek je 0 d < K < 1.

b) snaga Ako sila F djelujuüi na tijelo tijekom intervala vremena 't, izvrši nad njim rad 'W, tada definiramo srednju snagu te sile

W

P P F vt

' �

'

GJG

Snaga je omjer izvršenog rada 'W i vremenskog intervala 't za koji je dani rad izvršen.

> @ > @> @

1 1W J

P Wt s

' {

'

Ako 'to0 tada dobivamo trenutnu snagu P tj. to je graniþna vrijednost omjera W

t

''

kada

'to0! Dobivamo P F v �JG G

gdje je v trenutna brzina. c) mehaniþki oblici energije ˝Zaliha˝ rada kojeg tijelo može izvršiti mijenjajuüi svoje stanje naziva se energijom. c1) energija gibanja (kinetiþka energija) Posjeduje ju tijelo koje se giba. Ovisi o: - masi ~kE m

- brzini 2~kE v Pogledajmo tijelo mase m, koje leži na horizontalnoj podlozi i miruje. Neka na njega poþne djelovati konstantna sila F u horizontalnom smjeru ( trF - zanemarujemo). Nakon što tijelo prevali put s ono ima brzinu v (jednoliko ubr. gib.). Sila F je

izvršila rad 212 2v

W F s ma mva

� �

Ako tijelo koje se giba brzinom v ima kinetiþku energiju 21

2kE W mv

Naputak: Kada se kaže “zaliha” rada onda se ne misli da je rad pohranjen u tijelu tj. ne misli se da tijelo ima rad. Rad nije funkcija stanja tijela (vidjeti poglavlje o toplini). To znaþi da tijelo ne sadrži rad u sebi. Takoÿer, koliþina topline i toplinski kapacitet tijela nisu funkcije stanja tijela. U drugu ruku, obujam, broj þestica, unutarnja energija su funkcije stanja tijela (dakle, te veliþine tijelo sadrži u sebi). Rad se pojavljuje pri meÿudjelovanju dvaju ili više tijela. U tom procesu se mijenjaju energije tih tijela. Analogna tvrdnja vrijedi za koliþinu topline i toplinski kapacitet tijela.

212kE mv�



c2) Energija položaja u homogenom gravitacionom polju - Gravitaciona potencijalna energija, pgE Posjeduje ju tijelo koje se nalazi u gravitacionom polju. Ovisi o: - masi ~pgE m

- visini ~pgE h

- jakosti gravitacionog polja ~pgE g

pgE mgh Razina (referentno tijelo) od koje se mjeri visina može se proizvoljno odabrati, jer je u svim fizikalnim pojavama važna ne sama potencijalna energija pgE , veü njena promjena

pgE' kojom se odreÿuje izvršeni rad. Dakle, pgE ovisi otkuda mjerimo visinu a pgE' ne ovisi o tome. Neka tijelo mase m podižemo s površine Zemlje jednoliko malom brzinom (pa kE možemo zanemariti). Znaþi tijelo podižemo silom gF F . Rad te sile na putu h jednak je W = F � h = m g h. Ako tijelo ispustimo s te visine tako da ono padne na površinu Zemlje, ono može izvršiti upravo toliki rad, tj. u stanju na visini h ima ˝zalihu˝ rada mgh tj. pgE mgh

c3) potencijalna elastiþna energija, peE To je energija pohranjena u deformiranom tijelu. U sluþaju elastiþne opruge ovisi o: - deformaciji 2~peE x

- konstanti elastiþnosti ~peE k

Da bismo oprugu rastegli (ili stisnuli) za x, moramo izvršiti rad nad njom jednak 212

W kx

Kad se opruga vraüa u nerastegnuto stanje, može upravo toliki rad izvršiti, tj u stanju protegnuüa x ima ˝zalihu˝ rada, tj. elastiþnu potencijalnu energiju

212peE kx

d) Zakon oþuvanja mehaniþke energije (Emeh = Ek + Epg + Epe) Gledamo tijelo mase m koje slobodno pada s visine H (otpor zraka zanemarujemo). U stanju 1 tijelo ima ukupnu mehaniþku energiju 1 1 1 0u k pgE E E mgH mgH � � ; u stanju 2

22

2 1 12 ( )2 2u

mv mE mgh h g mgh mg h h mgH � � � ;

u stanju 3

23

3 0 22 2u

mv mE gH mgH � .

Dakle, tijelo ima jednaku energiju u stanjima 1, 2 i 3 a takoÿer i u svim ostalim meÿustanjima koja nismo naveli. Kažemo da je mehaniþka energija oþuvana

1 2 3 konst.u u uE E E mgH



Opüenito, u zatvorenom sustavu (u kojem nema sila trenja i sila otpora (disipativnih sila)) je zbroj svih oblika mehaniþke energije konstantan tijekom vremena, tj. 1 1 1 2 2 2k pg pe k pg peE E E E E E� � � � ili konst.k pg peE E E� � ZOME! Energija može mijenjati oblik, ali se ne može niti stvoriti, niti uništiti! Ukoliko u sustavu postoje sile trenja tada mehaniþka energija nije oþuvana. Tada je 2 1k kE E� tj. sila trenja je potrošila dio mehaniþke

energije 1 2tr k k mehW E E E � ' . Mehaniþka energija prelazi u unutrašnju energiju tijela. Opüi zakon oþuvanja energije: ukupna koliþina energije svih oblika, ukljuþujuþi i mehaniþku i sve oblike unutarnje energije, ostaje þitavo vrijeme konstantnom. (E1 = E2 + W) I. 5. Dinamika kružnog gibanja Pri jednolikom gibanju po kružnici (konstantnom) kutnom brzinom

v

RZ vektor obodne

brzine vG

mijenja smjer. Dakle, modul obodne brzine je konstantan 1 2v v v ali je 1 2v vzJG JJG

. Znaþi, zbog promjene smjera obodne brzine 2 1v v v' �

G G Gtijekom odgovarajuüeg intervala

vremena 2 1t t t' � postoji akceleracija v

at

' '

GG. Akceleracija a

Gima smjer jednak smjeru

promjene obodne brzine v'G

. Kad 't o 0, tada M o 0, tj. 1M o90° i v v' A

G G (crtež). Dakle, vektor v'

G

je okomit na vektor 1vG

i u smjeru je prema središtu rotacije. Znaþi ubrzanje a

G takoÿer je u smjeru prema središtu rotacije i zove se

centripetalno ubrzanje. Pitanje je koliki je modul centripetalnog

ubrzanja. Može se pokazati da je 2

cp

va

R .

Izraz za centripetalno ubrzanje se može zapisati na više meÿusobno ekvivalentnih naþina: Rabeüi izraz za obodnu brzinu v = Z R imamo

2cpa RZ .

Sliþno, rabeüi izraz za obodnu brzinu 2Rv

T

S gdje je T period rotacije imamo

2

2

4cpa R

T

S .

Centripetalno ubrzanje se pojavljuje kod svih gibanja kojima putanja (trajektorija) nije pravac. To je istina zato jer zakrivljene dijelove putanje možemo shvatiti kao kružne lukove na kojima (kao i kod gibanja po kružnici) imamo centripetalno ubrzanje. U vezi sa centripetalnim ubrzanjem uvodi se pojam centripetalne sile Fcp = m acp kojega valja ispravno razumjeti. Centripetalna sila nije neka posebna sila nego je to naþin djelovanja jednog ili više tijela na uoþeno tijelo mase m pri þemu to meÿudjelovanje dovodi do gibanja uoþenog tijela po kružnom luku (ili kružnici). Znaþi, razliþite sile mogu igrati ulogu centripetalne sile (gravitacijska sila, sila trenja klizanja, Coulombova sila, magnetski dio Lorentzove sile ...) Navedimo sada razliþite meÿusobno ekvivalentne izraze za centripetalnu silu.

2

cp cp

mvF ma

R tj.

2

cp

mvF

R ili 2

cpF m RZ ili 2

24

cp

mF R

T

S .



Ulogu centripetalne sile može igrati npr. gravitaciona sila (gibanje

Zemlje oko Sunca). Znaþi imamo 2

2Z SZ m Mm v

R R

J .

Sliþno, u Bohrovom modelu atoma vodika ulogu

centripetalne sile igra Coulombova sila. Dakle, vrijedi 2

2e pe

kq qm v

R R .

Sila trenja (automobil mase m u zavoju polumjera R). Vrijedi 2mv

m gR

P

ako je podloga horizontalna. Ulogu centripetalne sile može igrati i rezultanta FR dvije ili više sila. Npr. tijelo obješeno o nit koje se vrti u horizontalnoj ravnini.

NF - sila napetosti niti i gF - sila teža na tijelo

Rezultanta tih sila je 2 2 2 cosR g N g NF F F F F H � � i vrijedi

R cpF F . Ali nema straha od zaguljenih formula! Neka je E kut izmeÿu sila NF i FR. Vrijedi Fg ctg E = Fcp. Ako se tijelo giba ubrzano po kružnici tada vektor ubrzanja a

Gne gleda prema središtu.

Rastavljamo ga tada na:

- radijalnu komponentu 2

r

va

R

- tangencijalnu komponentu uzrokovanu promjenom iznosa

obodne brzine t

va R R

t t

Z D' ' ' '

tj.

ta RD gdje je D kutno ubrzanje tijela.

I. 6. Inercijalni i neinercijalni sistemi referencije a) inercijalni sustav referencije – sustav referencije u kojem vrijedi zakon inercije (I N. Z.) Newtonovi zakoni vrijede samo u inercijalnim referentnim sustavima. Prvi Newtonov zakon upravo postulira postojanje takavog sustava. Svi ostali referentni sustavi koji se jednoliko gibaju po pravcu u odnosu na taj sustav su takoÿer inercijalni referentni sustavi. Npr. uzmemo da je površina Zemlje približno inercijalni sustav. Tada je tramvaj koji se jednoliko giba na ravnoj pruzi takoÿer inercijalan sustav. Sliþno, avion pri pravocrtnom jednolikom gibanju, automobil pri jednolikom pravoctnom gibanju po Klaiüevoj ulici, muha pri jednolikom pravocrtnom letu su inercijalni sustavi. Meÿutim, gumeni þep koji se jednoliko giba po kružnici nije inercijalan sustav! o Istu fizikalnu pojavu mogu opisivati dva razliþita promatraþa iz dvaju razliþitih inercijalnih sustava koji se meÿusobno gibaju relativnom brzinom V

JG.

Npr. – promatraþ u sistemu “zemlja” - miruje – promatraþ u sistemu “tramvaj” - giba se u odnosu na “zemlju” po pravcu brzinom V

JG

pojava - gibanje putnika u tramvaju iz položaja 1 u položaj 2.



RJG

- pomak sistema “tramvaj” u odnosu na sistem “zemlja” za 't

TrJG

- pomak putnika u sistemu “tramvaj” za 't

ZrJJG

- pomak putnika u sistemu “zemlja” za 't

Rabeüi crtež nalazimo vezu izmeÿu pomaka: Z Tr R r �JJG JG JG

- relativne veliþine Uzmimo radi jednostavnosti da je putnik materijalna toþka te da se giba u smjeru relativne brzine V

JG. Uzmimo takoÿer os x tako da se ona podudara sa smjerom vektora V

JG. Slijedi

; ; ;Z T Z T Z T Z Tx X x y y z z t t � .

Obzirom da je TX Vt slijedi

Z T T

Z T

Z T

Z T

x x Vt

y y

z z

t t

�

Dobiveni izrazi zovu se Galilejeve transformacije.

Prema pretpostavci vrijeme je u klasiþnoj fizici apsolutno tj. neovisno o promatraþu. Znaþi, vrijeme jednako teþe za promatraþa u inercijalnom sustavu «Zemlja» kao i u inercijalnom referentnom sustavu «tramvaj». Ako vrijeme jednako teþe u svim inercijalnim sustavima onda su i vremenski intervali jedne te iste pojave meÿusobno jednaki u tim sustavima

Z Tt t t' ' { ' . U klasiþnoj (Newtonovoj) fizici se uzima da je brzina prenošenja meÿudjelo-vanja izmeÿu dvaju tijela neizmjerno velika. Što to znaþi? Pogledajmo dva tijela koja miruju na nekoj udaljenosti. Neka tijela meÿudjeluju gravitacijskom (ili elektriþnom) silom. Pretpostavimo da se jedno od tih tijela približi (ili udalji) od drugog tijela. Koliko treba vremena da drugo tijelo «osjeti» pomicanje prvog tijela? Ako se gravitacijsko (ili elektriþno) meÿudjelovanje prenosi konaþnom brzinom onda je za to potrebno neko konaþno vrijeme. U klasiþnoj fizici uzimamo da drugo tijelo «osjeti» promjenu meÿudjelovanja istodobno s pomicanjem prvog tijela! Dakle, brzina prenošenja meÿudjelovanja izmeÿu tijela je neizmjerno velika. Kako su povezane brzine putnika izmjerene u razliþitim sistemima?

TT

T

rv

t '

JGJJG - brzina putnika izmjerena u sistemu “tramvaj”

Zz

Z

rv

t '

JJGJJG - brzina putnika izmjerena u sistemu “zemlja”

Z

RV

t '

JGJG - brzina “tramvaja” u sistemu “zemlja”

o Z T

Z Z T

r rR

t t t �

' ' '

JJG JGJG tj. z Tv V v �

JJG JG JJG - relativne veliþine

Ako se putnik giba jednoliko ubrzano

zZ

z

va

t

' '

JJGJJG - ubrzanje u sistemu zemlja

TT

T

va

t

' '

JJGJJG - ubrzanje izmjereno u tramvaju



iz slijedi z T z Tv V v v V v � ' ' � 'JJG JJG JJG JJGG G

.

No, tramvaj se giba jednoliko po pravcu o 0V' G

Rabeüi Z Tv v' 'JJG JJG

dobivamo Z T

Z T

v v

t t

' '

' '

JJG JJG a to povlaþi Z Ta a

JJG JJG. - apsolutne veliþine

Valja uoþiti da su relativne veliþine one koje su meÿusobno povezane Galilejevim transformacijama (vektori položaja, brzine). Apsolutne veliþine ne ovise o izboru inercijalnog sustava (ubrzanje, vrijeme). Jednadžbe gibanja, tj. II N.Z. imat üe isti oblik u svim inercijalnim sistemima referencije Z Z Zm a F

JJG

T T Tm a F JJG

Sile meÿudjelovanja u oba inercijalna sustava su iste. b) neinercijalni sistem referencije - sistem referencije koji se giba ubrzano u odnosu na referentno tijelo. Npr. “tramvaj” pri polasku sa stanice ili dolasku na stanicu, “automobil” u zavoju, “Zemlja” pri gibanju oko Sunca. Radi jednostavnosti promatrat üemo pravocrtno gibanje sustava. Sistem “tramvaj” i “sistem zemlja”. Promatramo uteg obješen o nit u “tramvaju”. Inercijalni sustavi

ZP - uteg se za njega giba jednoliko po pravcu

brzinom VJG

. Kako to objašnjava? Djeluju sile gF

JJG- sila teža i NF

JJG- napetost niti. Sile leže na

istoj vertikali i njihov zbroj jednak je nuli. 0g NF F V� �

JJG JJG G JGkonst.

TP - uteg za njega miruje. Djeluju sile gFJJG

i NFJJG

, njihov zbroj je jednak nuli – uteg miruje. Inercijalni i neinercijalni sustavi

ZP - (inercijalni promatraþ) - za njega se uteg giba

jednoliko ubrzano po pravcu. Djeluju sile gFJJG

i NFJJG

koje više ne leže na istom pravcu. Rezultanta tih sila je razliþita od nule a to znaþi da se uteg giba jednoliko ubrzano:

0R RF ma Fz o JJG G JJG

.

TP - (neinercijalni promatraþ) – za njega uteg miruje.

On zapaža sile meÿudjelovanja gFJJG

i NFJJG

þija je rezultanta 0RF zJJG

, tj. ne vrijedi I Newtonov zakon. Dakle, uteg mase m miruje a ukupna sila na njega je razliþita od nule?! To se protivi II N. Z. Da li odbaciti Newtonove zakone ili modificirati pojam sile? Rješenje: promatraþ u neinercijalnom sustavu uvodi novi tip sile – virtualnu silu tj. inercijalnu silu iF ma �

JJG G. Inercijalna sila je po veliþini (modulu) jednaka umnošku mase

tijela i ubrzanja sustava iF ma , a po smjeru suprotna od smjera ubrzanja sustava.

Zbroj inercijalne sile iFJJG

i rezultante RFJJG

je jednak nuli 0i RF F� JJG JJG G

. Sada smo ponovo

uspostavili valjanost I N. Z., a takoÿer i II N. Z. Valja uoþiti da sila gFJJG

opisuje meÿudje-

lovanje utega i Zemlje. Sliþno, sila NFJJG

opisuje meÿudjelovanje utega i niti. Koje tijelo djeluje

na uteg inercijalnom silom iFJJG

? Nema takvog tijela. To znaþi da inercijalna sila nema protusilu. Time je narušen III N. Z. On ne vrijedi u neinercijalnom referentnom sustavu.



2222222

Ako se promatraþ nalazi u rotirajuüem sustavu (jednoliko kruženje) tada üe on osim sile eF

JJG (elastiþne sile rastegnute opruge) morati uvesti

inercijalnu silu iFJJG

koju þesto nazivamo

centrifugalnom silom cfFJJJG

, a trebalo bi preciznije

centrifugalna inercijalna sila cfiFJJJG

. Vrijedi

2

cfi

mvF

R i usmjerena je od središta vrtnje.

Uvodi ju samo promatraþ koji rotira zajedno s tijelom RP (neinercijalan sustav). Za promatraþa na Zemlji ZP (koji je u inercijalnom sustavu) centrifugalna inercijalna

sila cfiFJJJG

ne postoji! I. 7. Opüi zakon gravitacije a) Keplerovi zakoni 1° Planeti se oko Sunca gibaju po elipsama. U jednom od žarišta je Sunce. 2° U jednakim vremenskim intervalima spojnica Sunca i planeta prebriše jednake površine. 3° Za svaki planet je omjer kvadrata ophodnog vremena T i kuba njegove srednje udaljenosti od Sunca R jednak konstanti:

2

3 .Tkonst

R Vrijednost konstante se može izraþunati:

2 219

34 2.97 10

S

skonst

M m

SJ

� � .

Za sve planete je ovisnost njihova ubrzanja ap o udaljenosti od Sunca r sljedeüeg oblika:

2S

p

Ma

rJ

Na planet djeluje gravitaciona sila

2p S

p p

m MF ma

rJ , J - gravitacijska konstanta

Newton uz pretpostavku postojanja sile ovakve vrste izmeÿu Zemlje i Mjeseca uspjeva objasniti gibanje Mjeseca oko Zemlje. Newton generalizira: Bilo koja dva tijela masa 1m , odnosno 2m na razmaku r

(dimenzije tjela su zanemarive u odnosu na taj razmak tj. smatramo ih materijalnim toþkama ili kuglama) se meÿusobno privlaþe gravitacionom silom

1 22

m mF

rJ - opüi zakon gravitacije

J je gravitacijska konstanta i dobivena je mjerenjem. Držimo da je svagdje u svemiru vrijednost gravitacijske konstante jedna te ista:

2

1126.67 10 Nm

kgJ � �

Gravitaciona sila je proporcionalna umnošku masa tijela i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti izmeÿu tih tijela.



toþki

b) gravitaciono polje To je prostor oko masivnog tijela M, u kome se osjeüa gravitaciono djelovanje tog tijela. Za opisivanje polja uvodimo nekoliko veliþina: b1) jakost gravitacionog polja, g

JG

m - probna masa FJG

- sila s kojom u datoj toþki na probnu masu m djeluje tijelo mase M

Fg

m JGJG

- jakost gravitacionog polja u datoj toþki (u kojoj se

nalazi probna masa). Ovisi samo o položaju toþke i o tijelu koje stvara polje M. Karakteristika toþke polja

> @ > @> @ 2

F N mg

m kg s - to je ubrzanje (dakle, jakost gravitacijskog polja u nekoj toþki prostora

valja shvatiti kao ubrzanje koje üe materijalna toþka doživjeti u toj toþki polja!)

Ukoliko je tijelo M – sferno (dakle kugla) ili toþkasto onda je grav. sila jednaka 2

mMF

rJ , a

jakost grav. polja jednaka je 2

Mg

rJ .

b2) gravitacioni potencijal M Dovodimo iz f probnu masu m u toþku 1 u gravitacijskom polju tijela M. Pritom gravitaciona sila izvrši rad 1Wf (naime tijelo M privlaþi probnu masu m), tj. u toþki 1 probna masa m raspolaže potencijalnom gravitacionom energijom koja je tim veüa što je veüa masa m. Vrijedi ~pgE m . Relacijom

11

pgE

mM se definira gravitacijski potencijal tijela M u toþki u kojoj se nalazi probna masa m.

Jedinica gravitacijskog potencijala jednaka je Jkg–1: > @ > @> @E J

m kgM . Potencijalna

gravitacijska energija proizvoljnog tijela mase m u gravitacijskom potencijalu M (koji potjeþe od drugih tijela) jednaka je pgE mM � .

Gravitacijski potencijal sfernog (ili toþkastog) tijela mase M jednak je ( ) Mr

rM J � .

Potencijalna gravitacijska energija jednaka je ( )pg

mME r

rJ � gdje smo uzeli da je

( ) 0pgE f (time smo odredili proizvoljnu konstantu u potencijalnoj energiji). Ovaj izraz prelazi u poznati oblik pgE mgh pgE mgh koji vrijedi za proizvoljno tijelo mase m na udaljenosti h od površine planete koja ima ubrzanje sile teže jednako g. b3) kozmiþke brzine prva: Iv To je brzina s kojom treba izbaciti u horizontalnom smjeru tijelo da ono postane satelit datog objekta:

2I

g cp

mvF F mg

R o što povlaþi Iv gR



druga: IIv To je brzina kojom treba vertikalno izbaciti neko tijelo (s površine planete) pa da ono ode u f , tj. oslobodi se gravitacijskog polja. Izraz za drugu kozmiþku brzinu dobijemo iz zakona oþuvanja energije (ZOE): 1 1 0k pg k pgE E E Ef f� �

2II 0

2mv mM

RJ�

II I2 2 2Mv gR v

RJ

I. 8. Hidrostatika i hidrodinamika Fluidi: - tekuüine i plinovi Tekuüine: - malo stlaþive, mogu teüi tj. lako mijenjaju oblik Plinovi: - lako mijenjaju obujam i oblik. To su nakupine molekula (atoma) na

sluþajan naþin rasporeÿenih koje se drže na okupu slabim silama. a) pritisak i tlak Silu F

JG koja djeluje na neku površinu veliþine A nazivamo silom pritiska ili kratko pritiskom.

Tlak definiramo kao skalarnu veliþinu F

pAA'

'

. Ako je okomita komponenta sile konstantna

na cijeloj površini onda možemo pisati F

pAA

Tlak je omjer normalne komponente FA sile koja djeluje na površinu kojoj je ploština A. Jedinica za mjerenje jednaka je 1 Pa:

> @ > @> @ 21 1F N

p PaA m

{ , Paskal

Atmosferski tlak 1 atm = 51.013 10 Pa� a1) Pascalov zakon Vanjska sila djeluje na fluid (tekuüinu) (površinska sila F) ploština klipa A. Tlak kojeg površinska sila F uzrokuje u toþki 1 iznosi

1F

pA

Mjerimo li tlakove u preostalim oznaþenim toþkama dobivamo

1 2 3 4 5 6p p p p p p - Pascalov zakon Kad djeluju samo površinske sile tlak u svim toþkama unutar tekuüine je jednak. Drugim rijeþima, tlak kojeg stvaraju površinske sile prenosi se bez izmjena u svaku toþku tekuüine. primjena o hidrauliþni tijesak Da bi sile bile u ravnoteži tlakovi u svim toþkama tekuüine moraju biti jednaki tj. 1 2p p što povlaþi

1 2

1 2

F F

A A .



a2) tekuüina pod djelovanjem sile teže – hidrostatski tlak U cilindriþnoj posudi baze A imamo mirnu tekuüinu gustoüe U i visine h i konstantne temperature. Tekuüina se nalazi u gravitacionom polju jakosti g. Na dno posude üe djelovati sila – težina tekuüine jednaka sili teži gF . Tlak na dno posude uzrokovan težinom tekuüine iznosi

gh

F mg A h gp

A A A

U � � � i zove se hidrostatski tlak.

hidrostatski tlak: hp ghU ovisi o: - gustoüi fluida - jakosti gravitacijskog polja - dubini ispod površine fluida Uzme li se u obzir da na površinu fluida djeluje npr. atmosferski tlak ap , tada je na dubini h ukupan tlak jednak

a h ap p p p ghU � � b) Sila uzgona uF . Arhimedov zakon Kad se þvrsto tijelo uroni u tekuüinu sa svih strana tekuüina tlaþi njegovu površinu. Kako je tlak na veüoj dubini veüi, pojavljuje se rezultantna sila koja djeluje na tijelo suprotno od smjera sile teže tj. uvis. Tu silu nazivamo silom uzgona uF .

Radi jednostavnosti pogledajmo silu na vertikalno uronjeni kvadar visine h i baze A. Sile 3FJJG

i

4FJJG

jednake su po iznosu, ali su suprotne orijentacije tj. 3 4 0F F� JJG JJG

. Isto tako 5 6 0F F� JJG JJG

. Rezultantna sila (sila uzgona) je

2 1 2 1

2 1

2 1( )

uF F F p A p A

gh A gh A

gA h h gAh

U UU U

� � � �

uF gVU - sila uzgona U - gustoüa fluida g - jakost gravitacionog polja V - volumen istisnutog fluida (ili uronjenog dijela tijela V = A h) Uoþimo da je: UV = m – masa istisnutog fluida

uF mg - težina istisnutog fluida Arhimedov zakon: Tijelo uronjeno u tekuüinu prividno gubi na svojoj težini onoliko koliko teži istisnuta tekuüina. plivanje tijela u fluidu:

u gF F! - tijelo ispliva na površinu

fU - gustoüa fluida

tU - gustoüa tijela f tgV gVU U!

f tU U! - uvjet plivanja



lebdjenje tijela u fluidu: u gF F - tijelo ostaje na datoj dubini

f tU U - uvjet lebdjenja tonjenje tijela u fluidu:

u gF F� - tijelo tone

f tU U� - uvjet tonjenja c) dinamika fluida Promatramo tok idealnog fluida: - pretpostavljamo da nema viskoznosti (unutarnjeg trenja) - tok je stacionaran (laminaran) tj. putanje djeliüa fluida se ne sijeku - zamišljamo da je fluid konstantne gustoüe, tj. ne može se stlaþiti c1) jednadžba kontinuiteta (neprekidnosti) Tekuüina prolazi laminarno kroz cijev promjenjivog presjeka. Definiramo maseni protok kroz neki presjek kao masa tekuüine 'm koja za vrijeme 't proÿe kroz popreþni presjek A cijevi na crtežu:

m

mq

t

' '

> @ 1m

kgq

s

Sliþno, uvodi se volumni protok kao obujam fluida V' koji za vrijeme 't proÿe kroz popreþni presjek A cjevi na crtežu:

V

Vq

t

' '

> @3

1V

mq

s

Veza izmeÿu tih veliþina je oblika m Vq qU . Izvod jednadžbe kontinuiteta: Pri stacionarnom toku nestlaþivog fluida, za vrijeme 't kroz presjek 1A proteþe masa 1 1 1m A v tU' � ' Ista takva masa mora proüi i kroz presjek 2A zbog nestlaþivosti 2 2 2m A v tU' � ' Mora biti 1 2m m' ' (tekuüina ne istjeþe iz cijevi osim na poþetku i na kraju cijevi). Slijedi 1 1 2 2A v t A v tU U� ' � ' Jednadžba kontinuiteta je oblika 1 1 2 2A v A v ili opüenito A � v = konst.



To možemo iskazati i preko volumnog protoka

V

A v tq A v

t

� ' �

'

tj. konst.Vq Jednadžba kontinuiteta nam kaže da je volumni protok duž cijevi konstantan. c2) Bernoullijeva jednadžba Povezuje tlak unutar fluida s njegovom brzinom i položajem u gravitacionom polju.

1p - statiþki tlak s kojim fluid s lijeve strane djeluje na presjek 1A

2p - statiþki tlak s kojim fluid s desne strane djeluje na presjek 2A Za vrijeme 't volumen 1 1 1V A v t' � ' se premjesti s položaja 1h i brzine 1v na mjesto volumena 2 2 2 1V A v t V V' � ' ' { ' na položaju 2h i brzine 2v . Taj premještaj su izvršile sile pritiska, koje su pritom izvršile rad 1 1 1 2 2 2W p A v t p A v t' � ' � � ' 1 2( )p p V � �' Izvršeni rad je rezultirao promjenom kinetiþke energije

2 22 1

1 12 2kE mv mv' �

m = U �'V i promjenom gravitacijske potencijalne energije 2 1pgE mgh mgh' �



Kako je rad sila pritiska jednak promjeni mehaniþke energije k pgW E E' ' � '

2 21 2 2 1 2 1

1 1( )2 2

p p V v v gh gh VU U U U§ ·� �' � � � '¨ ¸© ¹

2 21 1 1 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

p v gh p v ghU U U U� � � �

ili

21 konst.2

p v ghU U� � - Bernoullijeva jednadžba

Dakle, Bernoullijva jednadžba opisuje þinjenicu da je ukupni tlak unutar tekuüine koja se giba konstantan duž cijevi. U tehniþkoj hidrodinamici se þesto primjenjuju sljedeüi termini: - p – statiþki tlak

- 212dp vU - dinamiþki tlak

- hp ghU - hidrostatski tlak

- 212dp p p vU� � - hidrodinamiþki tlak

Ozbiljni fiziþari se obiþno “mršte” na te termine! Torricellijeva formula istjecanja tekuüine U posudi, popreþnog presjeka 1A , imamo idealnu tekuüinu do visine h. Kojom brzinom üe tekuüina istjecati kroz mali otvor 2A na dnu posude? Kako je

2

1

1A

A�

iz jednadžbe kontinuiteta slijedi

1 21 2

2 1

v Av v v

v A � {�

tj. uzimamo da je brzina spuštanja nivoa tekuüine u posudi zanemariva. Bernoullijeva jednadžba �

2 21 10 02 2a ap gh p v gU U U U� � � � � �

2v gh - Torricellijeva formula istjecanja 9. Rotacija krutog tijela a) rotacija krutog tijela oko fiksne osi Kruto tijelo – ne može se deformirati. Udaljenosti izmeÿu bilo koje dvije þestice tog tijela se ne mijenjaju tokom vremena. Pri rotaciji oko fiksne osi 0 sve þestice imaju jednaku kutnu brzinu Z. i-ta þestica ima pritom kinetiþku energiju

2

2i i

ki

m vE

i iv rZ



2 212ki i iE m r Z

Ukupna kinetiþka energija krutog tijela (energija rotacije):

2 2 2 2 2 21 1 2 2

1 1 1... ...2 2 2kr i iE m r m r m rZ Z Z � � � �

2 212 i i

i

m r Z§ · ¨ ¸© ¹¦

Definiramo moment tromosti (inercije): 2

i ii

I m r ¦

To je mjera tromosti tijela u odnosu na rotaciju: > @ > @ 2 2I m v kgmª º ¬ ¼

Kinetiþka energija rotacije:

212krE IZ

Momenti tromosti za neka tijela: prsten (cilindriþna ljuska) 2

CMI MR valjak (cilindar) i disk

212CMI MR

štap (oko CM)

2112CMI ML

štap (oko jednog kraja)

213CMI ML

kugla

225CMI MR

sfera

2

32

MRICM



a1) Steinerov pouþak (teorem o paralelnim osima) Usporedimo li momente tromosti tijela za dvije meÿusobno paralelne osi vrtnje (neka jedna od njih prolazi kroz centar mase CM tijela) koje su na razmaku d, tada vrijedi Steinerov pouþak 2

0 CMI I Md � a2) Moment sile, M

JJG

moment sile M definiramo kao M = k � F gdje je k krak sile (najkraüa udaljenost od osi vrtnje do pravca djelovanja sile) F – veliþina (modul) sile > @ > @> @M k F m N � Opüenita definicija – preko vektorskog produkta rM u F

rG

- radijus vektor spaja os vrtnje s hvatištem sile Modul tog vektora je

sin površina paralelograma

sin sin

M rFM kFk

r kr

M

M M

½°� ¾

o °¿

Smjer momenta se odreÿuje pravilom desne ruke: Prstima pokazujemo smjer preklapanja prvog faktora ( r

G) na drugi ( F

JG). Tada palac pokazuje

smjer momenta sile MJJG

. Uvjet ravnoteže obzirom na rotaciju (vrtnju) tijela: 1 2 3 0M M M� �

JJG JJG JJG

tj. 1 2 3M M M � ili 1 1 2 2 3 3k F k F k F � Zbroj svih momenata sila u odnosu na datu os mora biti jednak nuli! Uoþimo da je to nužno ali ne i dovoljno da bi tijelo bilo u statiþkoj ravnoteži. Tijelo je u statiþkoj ravnoteži ako je zasebno zbroj svih sila i zbroj svih momenata tih sila oko neke osi jednak nuli. a3) veza izmeÿu momenta sile i kutne akceleracije

imJJG

- masa i-tog djeliüa

itFJJG

- tangencijalna komponenta sile koja djeluje na i-ti djeliü tijela Ta komponenta dovodi do tangencijalne akceleracije it i itF m a

JJG

Moment te sile u odnosu na centar vrtnje 0 je

2i i i

i i

M M m r D§ · �¨ ¸© ¹

¦ ¦

tj. M = I Į .



a4) Rad, snaga i energija rotacionog gibanja ( sin )W F s F sM' �' � �'

JG G

( sin )F r MM T T � � ' '

Rad pri malom pomaku s'G

, tj. malom zakretu 'T jednak je 'W = M � 'T Trenutna snaga jednaka je

W

P Mt t

T' '

' ' otkuda slijedi P = M Z.

Ukupan rad vanjskih sila jednak je promjeni kinetiþke rotacione energije:

2 21 2 1 2

1 12 2tr KR KRW E E I IZ Z � �

b) kotrljanje i moment koliþine gibanja Kod kotrljanja tijela, os rotacije više nije fiksirana u prostoru.

CM

s Rv R

t t

T Z' ' '

- uvjet þistog kotrljanja

Kotrljanje se može shvatiti kao kombinacija þiste translacije i þiste rotacije. Pogledajmo: Ukupna kinetiþka energija valjka, mase M i radijusa R, koji se kotrlja može se zapisati u obliku

212K PE I Z

PI - moment tromosti valjka s obzirom na trenutnu os vrtnje (oko toþke P)

2P CMI I MR �

2 21 1 ( )2 2K CME I M RZ Z �

2 21 12 2K CM CME I MvZ �

To je zbroj rotacione kinetiþke energije oko centra mase

212 CMI Z

i translacione kinetiþke energije centra mase

212 CMMv


PRIPR

EME

Zagreb, 2006.

2

PRIPREMIO

FIZIKA

DARIO MI!I"


Nakladnik


tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794




II. TOPLINA Temperatura – mjera za stupanj zagrijanosti nekog tijela. Jedinica za temperaturu je kelvin, K. Unutrašnja energija (U) – zbroj kinetiþkih i potencijalnih energija svih þestica koje tvore dano tijelo (mjerene u odnosu na sustav referencije u odnosu na koji tijelo miruje).

� �1

N

ki pi

i

U E E

�¦

Koliþina topline (Q) – Dio unutrašnje energije koji prelazi s jednog tijela na drugo tijelo.

1. TERMIýKO RASTEZANJE Promjene dimenzija tijela uzrokovane promjenom temperature tijela. a) Linearno rastezanje Štap (metalni) duljine 0l na temperaturi 0t . Produljenje zbog promjene temperature je 0t

l l l' � . Iz pokusa je zakljuþeno da je: 0~l t t t' ' � 0~l l' l' ovisi o vrsti tvari To je obuhvaüeno relacijom

0l l tE' � �' gdje je E termiþki koeficijent linernog rastezanja. Jedinicu za E dobivamo iz relacije

0

1l

l tE ' �

'

Slijedi > @ 11 1mK

m K KE � � { = 0C –1 .

Linearno rastezanje raþunamo iz � �0 1

tl l tE � '

Za metale je 5 1~10 K

� �E . ýesto se uzima 0t = 0qC o 't = t – 0 = t pa je gornja relacija oblika

b) Volumno rastezanje Zamislimo metalni kvadar stranica 0 0 0, ,a b c Na temperaturi t > t0 kvadar je oblika

na temperaturi 0t . Njegov obujam je 0 0 0 0V a b c . Njegov obujam je

t t t tV a b c .

� �0 1t

l l t � �E

a0

b0

c0c0

at

bt

ctct

grijanje kvadra



Pretpostavljamo da se kod grijanja (hlaÿenja) kvadar jednako rasteže (steže) u svim smjerovima. Tada imamo

t t t tV a b c = � �3

0 0 0 1a b c tE� '

� � � �� 2 30 1 3 3V t t tE E E � �' � ' � '

Zanemarujemo þlanove s 2E i 3E u odnosu na þlan s E . Dobivamo

� �0 1 3t

V V t � 'E Uvodi se oznaka za termiþki koeficijent volumnog rastezanja D = 3E pa imamo

� �0 1t

V V t � 'D

ili za 0t = 0qC

� �0 1t

V V t �D .

2. IZMJENA TOPLINE. AGREGATNA STANJA a) Izmjena topline Dva tijela na razliþitim temperaturama izmjenjuju toplinu:

- voÿenjem (žlica u þaju) - konvekcijom (zagrijavanje zraka u sobi radijatorima) - zraþenjem (sunþanje)

Toplina s tijela više temperature 1t prelazi na tijelo niže temperature 2t dok ne nastupi termodinamiþka ravnoteža. U termodinamiþkoj ravnoteži tijela imaju meÿusobno jednaku temperaturu W.

Pogledajmo gornji crtež:

1 1 1 1Q m c t ' je koliþina topline koju predaje prvo tijelo

2 2 2 2Q m c t ' je koliþina topline koju primi drugo tijelo U zatvorenom sustavu (idealnom kalorimetru) je energija oþuvana:

1 2Q Q to jest (Richmanovo pravilo smjese)

1 1 1 2 2 2( ) ( )m c t m c tW W� � .

Jedinicu za specifiþni toplinski kapacitet dobivamo iz Qc

m t

�'.

Slijedi > @ 1 Jc

kgK .

Koliþina topline (Q) koju neko tijelo može predati (ili primiti) ovisi o masi tijela (m), razlici poþetne i konaþne temperature ('t) i vrsti tijela. Vrstu tijela opisujemo specifiþnim toplinskim kapacitetom (c). To se može zapisati u obliku

Q a m

a 't = t – W a c odnosno Q = m c 't.



b) Promjena agregatnih stanja ývrsto stanje: - amorfno – neureÿen raspored atoma - kristalno – ureÿen raspored atoma Za kristale je karakteristiþno da prelaze u tekuüe stanje pri odreÿenoj temperaturi – temperatura tališta. Npr. komad leda poþetne temperature –50

C se zagrijava: Kad se led zagrije do 0qC, primio je koliþinu topline

� �0°L L L L

Q m c C t � Ako se toplina i dalje dovodi led se poþne taliti o temperatura ostaje ista 0qC – istodobno postoje i led i voda. Da bi se sav led pretvorio u vodu treba dovesti koliþinu topline

,L talj LQ m O � (latentna toplina taljenja)

Ta energija se trošila na kidanje veza izmeÿu molekula leda

,L talj

L

Q

mO (specifiþna toplina taljenja),

Jedinica za specifiþnu toplinu taljenja je > @ 1 J

kgO .

Ako se toplina i dalje dovodi, nastala voda se zagrijava do 100qC. Primljena toplina je � �100° 0°

V V VQ m c C C � .

Uz daljnje dovoÿenje topline, voda poþinje isparavati o temperatura se ne mijenja (1000C) –

istodobno postoji i voda i para. Da bi se sva voda pretvorila u vodenu paru treba dovesti koliþinu topline ,V isp V

Q m r � (latentna toplina isparavanja) r – specifiþna toplina isparavanja vode. Ako se toplina dovodi i nakon što je sva voda isparila, vodena para se poþinje zagrijavati � �100°

P P P PQ m c t C � .



Ukupna koliþina topline dovedena tijekom ovog procesa je , ,i f L L talj V V isp P

Q Q Q Q Q Qo � � � � gdje i fo oznaþava proces prijelaza iz poþetnog stanja (i, led) u konaþno stanje (f, para). 3. PONAŠANJE IDEALNIH PLINOVA. PLINSKI ZAKONI Na makroskopskoj skali plinovi: - lako mijenjaju obujam

- ispunjavaju þitavu posudu Na mikroskopskoj skali: - þestice plina su slabo meÿusobno vezane - gibaju se kaotiþno Stanje plina odreÿujemo makroskopskim parametrima:

- masom, m (ili brojem þestica, N) - tlakom, p - temperaturom, t (T) - obujmom, V

Za datu koliþinu plina (m = konst.) ostali parametri su meÿusobno povezani relacijom

f (p, V, t) = 0 (jednadžba stanja plina) a) Izobarni (Gay-Lussacov) zakon: p = konst. što se može obuhvatiti relacijom

'V = D 1V 't

gdje je temperaturni koeficijent širenja plina 1273.15°

DC

. Valja uoþiti da je D konstantan za

sve idealne plinove. Obzirom da je 2 1V V V' � i 2 1t t t' � , možemo pisati � �2 1 1 DV V t � ' .

ýesto se uzima 1t = 0qC o 't = t2 – 0 = t2 pa je gornja relacija oblika � �2 1 21 DV V t �

ili za proizvoljnu temperaturu t � �1 1 D

tV V t �

Vidimo da je V linearna funkcija temperature. Grafiþki prikaz te ovisnosti dat je na crtežu: –273,15qC se uzima za ishodište apsolutne skale temperature (Kelvinova skala). Dakle, veza izmeÿu Kelvinove i Celzijusove skale temperature je oblika

T(K) = t(qC) + 273,15.

Pokusom je utvrÿeno: Zagrijavamo li plin, da bi tlak ostao nepromijenjen moramo poveüati volumen. Nadalje, iz pokusa slijedi 'V a 't

'V a 1V

t,C0

V

V1

,V1

-273.15 0

Na t = – 273,15qC volumen idealnog plinaišþezava: V-273.15 = 0.



Pri prijelazu na Kelvinovu skalu izraz � �2 1 21 DV V t � poprima oblik

2 1

2

konst273,15

V V

T o 1 2

1 2

V V

T T .

Navedenu ovisnost nazivamo izobarnim zakonom (Gay – Lussacov zakon) a možemo ga zapisati u obliku

konstV

T , p = konst.

Grafiþki prikazi u (V, T), (V, p) i (T, p) ravnini su dati na crtežima:

b) Izohorni (Charlesov) zakon: V = konst. (izovolumni) c) Izotermni (Boyle-Mariotteov) zakon: T = konst. d) Jednadžba stanja idealnog plina imamo jednadžbu stanja plina:

Pokusom je utvrÿeno: 'p a 't 'p a 1p To se može obuhvatiti relacijom � �2 1 1 Dp p t � ' , (Charlesov zakon) odnosno ako je 1t = 0qC ta relacija poprima oblik � �2 1 21 Dp p t � . U skali apsolutne temperature taj zakon poprima oblik (Charlesov zakon)

1 2

1 2

p p

T T ili

konst.p

T ili

p = konst�T

Pokusom je utvrÿeno:

p a 1V

tj. obrnuta proporcionalnost tlaka i volumena što se može zapisati u obliku

1 1 2 2p V p V odnosno p V = konst.

Ukoliko se sve tri veliþine stanja plina p, V, T mijenjaju istodobno (uz konstantnu masu plina, m), kombinacijom gornjih zakona može se pokazati da su poþetne i konaþne vrijednosti tih veliþina meÿusobno povezane

relacijom: 1 1 2 2

1 2

p V p V

T T , m = konst

0izohora

T

pp T dijagram, p V dijagram,

0izohora

V

p

0

izobara

V

T V dijagram,T

0izohora

T

p

T,p dijagramV,p dijagram

0

izobara

V

p0

izobara

VV,T dijagram

T



Ta relacija se može zapisati kraüe (jednadžba stanja plina)

konst.pV

T

Konstanta na desnoj strani ovisi o broju þestica plina N pa je možemo napisati u obliku: konst = B

k � N

gdje je 231,38 10B

Jk

K

� � Boltzmannova konstanta. Dakle, jednadžbu stanja plina možemo

zapisati i u obliku

BpV N k T

Definira se koliþina tvari (množina tvari) relacijom

A M

N m Vn

N M V

gdje je 23 16,023 10A

N mol� � Avogadrov broj, M molarna masa i

MV molarni volumen.

Jedinica koliþine tvari je [n] = 1 mol (osnovna jedinica SI sustava jedinica). Rabeüi tu definiciju jednadžba stanja plina se može napisati u obliku:

pV = nB

kA

N T.

Uvodi se univerzalna plinska konstanta 8,314B A

JR k N

Kmol pa se jednadžba stanja

zapisuje u obliku pV = n R T

ili m

pV RTM

.

Gustoüu plina

U m

V

možemo (rabeüi jednadžbu stanja plina) zapisati u obliku

U pM

RT .

e) Daltonov zakon parcijalnih tlakova Ako u nekoj posudi imamo smjesu idealnih plinova (koji kemijski ne reagiraju) tada je ukupni tlak smjese jednak zbroju parcijalnih tlakova komponenata:

1 2 3 ...u

p p p p � � � gdje je

ip tlak i – te komponente u posudi kad nema ostalih komponenata (parcijalni tlak i–te

komponente). Jednadžba stanja smjese ima oblik

pu V = n R T pri þemu je n pokrata za ukupan broj molova (množine) smjese n = n1 + n2 + n3 + ...



f) Molekularno-kinetiþki model idealnog plina 1827. Brown je promatrao gibanje zrnaca peluda u kapljici vode. Ustanovio je da je putanja zrnaca peluda (približno) oblika kao na crtežu. Na sliþan naþin se i pojava difuzije plina kroz neki medij (npr. kroz drugi plin, tekuüinu ili krutinu) objašanjava kaotiþnim gibanjem molekula plina kroz taj medij.

Izvod temeljne jednadžbe molekulsko-kinetiþke teorije idealnog plina, 21

13 s

Np m v

V

Neka se þestice plina nalaze u kocki stranice a (i obujma V = a3) te neka se gibaju meÿusobno jednakom prosjeþnom brzinom kojoj je veliþina vs. Zanemarujemo meÿudjelovanje plina s okolnim tijelima tj. gledamo plin u ravnotežnom stanju kao zatvoreni sustav. Zbog toga je

valjano oþekivati da se 13

N molekula giba lijevo-desno, 13

N molekula giba gore-dolje i 13

N

molekula giba naprijed-natrag (zbog ravnopravnosti smjerova u 3D prostoru). Sila s kojom na stjenku djeluje jedna molekula pri sudaru je

21 1

12

2s s

s

m v m vpf

at a

v

' '

.

Ukupna sila na stjenku kad djeluje 13

N molekula je

21

11 13 3

s

u

m vF Nf N

a .

Tlak na stjenku kojeg uzrokuju molekule jednak je

2

1

212 3

11 133

s

u

s

m vN

F ap N m vS a a

Obzirom da je obujam kocke 3

V a slijedi

Vidimo da je putanja gibanja zrnca peluda nasumiþnog oblika. Kaže se da je gibanje zrnca kaotiþno. Pitanje je zašto je to tako? Odgovor su dali Einstein i Smoluhovski 1905. Neobiþan oblik putanje zrnca peluda uzrokovan je kaotiþnim gibanjem molekula vode.

Pretpostavke: 1q ýestice plina su materijalne toþke mase 1m koje se gibaju kaotiþno. 2q Meÿudjelovanje izmeÿu þestica zanemarujemo. 3q Sudari izmeÿu þestica (za koje držimo da su rijetki) te sudari þestica sa stijenkama posude su elastiþni. 4q Broj þestica, N, je ogroman (a 2310 ) i þestice se gibaju u skladu s Newtonovim zakonima.

Promatramo desnu (iscrtkanu) stjenku (koja ima beskonaþnu masu u odnosu na jednu molekulu). Pri sudaru sa stjenkom molekula promjeni koliþinu gibanja za � �1 1 12

s s sp m v m v m v' � � . To se dogodi za

vrijeme 't koje možemo nadomjestiti vremenom izmeÿu dva

uzastopna sudara molekule s istom stjenkom 2

s

at

v' .

a

a

a

vs

vs

m1

vs

m1



21

13 s

Np m v

V .

Dakle, dobili smo da je tlak razmjeran koncentraciji molekula (ukupan broj molekula po

obujmu posude) ~ Np

V . S druge strane, prosjeþna kinetiþka energija jedne molekule je

21

12k s

E m v pa se izraz za tlak može napisati kao

23 k

Np E

V .

To se uobiþajeno zapisuje u obliku

23 k

pV NE

što prepoznajemo kao jednadžbu stanja plina. Dakle, time smo izveli jednadžbu stanja idealnog plina. Unutarnja energija idealnog plina kojega þine N molekula koje se translacijski gibaju u posudi volumena V (a koje meÿusobno ne meÿudjeluju) jednaka je zbroju svih kinetiþkih energija translacije tih molekula

kU NE . Rabeüi izraz za unutarnju energiju jednadžba stanja

se može zapisati u obliku 23

pV U

Usporedimo li eksperimentalno poluþenu relaciju B

pV k NT i teorijski izvedenu jednadžbu

stanja plina 23 k

pV NE zakljuþujemo da vrijedi

32k B

E k T .

U koordinatama (T, kE ) graf ovisnosti srednje kinetiþke energije molekule o apsolutnoj temperaturi idealnog plina je pravac koji prolazi kroz ishodište sustava: Srednja kinetiþka energija molekula idealnog plina ovisi samo o temperaturi (a ne o vrsti þestica). Ova relacija omoguüuje definiciju temperature. Temperatura je mjera srednje kinetiþke energije molekula. Primjetimo da se unutarnja energija idealnog plina može zapisati na sljedeüe naþine:

3 32 2k B

U NE k NT nRT .

Obzirom da je masa plina jednaka zbroju masa pojednih molekula 1m N m � , relacija za tlak

21

13 s

Np m v

V se može zapisati preko gustoüe plina

2 21 13 3s s

mp v v

VU .



4. TERMODINAMIKA

Mnoštvo je termodinamiþkih sustava: ljudsko tijelo, nogometna lopta, zvijezda, njiva, þaša u kojoj se nalazi voda ili þaša u kojoj se nalazi zrak (za koju pogrešno kažemo da je prazna), ... Radi jednostavnosti ograniþavamo se na plinove male gustoüe. Stanje takvog plina u (p, V) koordinatama prikazujemo jednom toþkom. To znaþi da je plin opisan datom vrijednošüu tlaka kada se nalazi u posudi datog obujma u termodinamiþkoj ravnoteži. Kažemo da su tlak i obujam veliþine stanja plina. Sliþno su temperatura i koliþina plina veliþine stanja plina. Promjenu vrijednosti veliþina stanja plina možemo ostvariti meÿudjelovanjem plina i okoliša. Prijelaz iz poþetnog stanja plina P u konaþno stanje K može se ostvariti na neizmjerno razliþitih naþina (vidi crtež).

Unutarnja energija plina može se promijeniti izmjenom energije s okolišem u obliku rada i topline. a) Rad plina pri termodinamiþkim procesima Dakle, rad u izobarnom procesu jednak je

W= p'V. Grafiþki prikaz izobarnog procesa u (p, V) ima oblik prikazan na crtežu: Rad je brojþano jednak površini ispod pV-dijagrama.

Kod toga uzimamo da su sva meÿustanja ravnotežna tako da se u (p, V) dijagramu dobiju krivulje kao na crtežu. Ako se stanja plina P i K meÿusobno podudaraju onda govorimo o kružnom procesu koji je plin izvršio pod utjecajem okoliša.

Neka je p = konst (izobarni proces). Uzmemo posudu s klipom (motri crtež) kojemu je ploština jed-naka A. Neka je tlak plina u posudi, p, jednak vanjskom tlaku. Plin djeluje na klip silom F = p A. Neka okoliš (toplinski spremnik) predaje plinu koliþinu topline Q tako da je plin u svakom trenutku u stanju ravnoteže s tlakom p. Kod toga plin djeluje na klip i pomakne ga za udaljenost s. Obujam plina se pritom promjenio za

2 1V V V A s' � � . Rad kojega je plin izvršio u tom procesu jednak je W = F� s = p A s.

Neka je V = konst (izohorni proces). Neka je plin u zatvorenoj posudi nepromjenjivog obujma. Ako plin preda koliþinu topline Q okolišu, onda se tlak i temperatura plina smanje. Rad plina kod tog procesa jednak je nuli.

'V = 0 o W = 0.



b) Prvo naþelo termodinamike Kazali smo da se unutarnja energija termodinamiþkog sustava može promjeniti u procesu meÿudjelovanja sustava i okoliša: izmjenom topline

i fQ o s okolišom i vršenjem rada,

i fW o .

Pitanje je koji je oblik zakona o saþuvanju energije plina i okoliša. Ukupna energija plina i okoliša je, naravno, konstantna (oþuvana). Energija samog plina može se mijenjati – poveüavati ili smanjivati. Promjena unutarnje energije plina opisana je relacijom (prvo naþelo termodinamike)

i f i fQ U W'o o � .

Sve tri veliþine su algebarske i potrebno je uvesti dogovor o njihovom predznaku. Uobiþajeni dogovor je:

Q > 0 kada sustav prima toplinu od okoliša! W > 0 kada sustav vrši rad na okolišu! b1) Adijabatski proces Ukoliko sustav pri procesu ne izmjenjuje toplinu s okolinom tj. Q = 0 proces nazivamo adijabatskim (npr. eksplozije su približno adijabatske). Iz prvog naþela termodinamike slijedi:

'U = – W . Ako se idealni plin adijabatski širi tj. 'V > 0, tada plin vrši pozitivan rad, tj. W > 0, pa gornji izraz povlaþi

'U = – W < 0

tj. plinu se smanjuje unutarnja energija. Kako je za idealni plin U a T, plin se pri adijabatskom širenju hladi. Veza izmeÿu tlaka i volumena u adijabatskom procesu je opisana izrazom

1 1 2 2p V p VJ J

gdje je adijabatski eksponent 1p

V

C

CJ ! .

Molarni specifiþni toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, Cp, odnosno pri konstantnom volumenu, Cv, definiraju se relacijama

1 i f

p

p

QC

n t

o§ · ¨ ¸'© ¹

odnosno 1 i f

V

V

QC

n t

o§ · ¨ ¸'© ¹

.

U (p, V) dijagramu vidi se (motri crtež) da je adijabata ( pV konstJ ) strmija od izoterme

( pV konst )! Drugim rijeþima, adijabatski koeficijent J je veüi od jedinice.

Neka je T = konst (izotermni proces). Neka je plin u kontaktu s toplinskim spremnikom konstantne temperature, T. Ako plin poveüava obujam onda se tlak plina smanjuje (crtež). Dakle, plin vrši rad koji je numeriþki jednak ploštiniispod izoterme. Pomoüu integralnog raþuna dobiva se

2

1

ln VW n RT

V

§ · ¨ ¸

© ¹.



c) Toplinski strojevi U bitnom, toplinski stroj se sastoji od tri dijela (tri tijela):

(i) topliji spremnik (spremnik više temperature, Tv ; npr. ložište parnog kotla) (ii) radno tijelo (npr. vodena para) (iii) hladniji spremnik (spremnik niže temperature, Tn ; npr. zrak) Maksimalna korisnost, K , svakog toplinskog stroja jednaka je

1v n n

v v v

Q Q QW

Q Q QK

� � .

Opüenito vrijedi 0 1Kd � . c1) Carnotov proces Izmeÿu mnoštva razliþitih kružnih procesa koje može vršiti radno tijelo u toplinskom stroju, opisati üemo Carnotov kružni proces. U tom procesu je radno tijelo idealni plin, a proces se odvija u sljedeüim koracima (motriti crtež): (plin se grije od Tn do Tv). Može se pokazati da je Q ~ T , pa se za korisnost Carnotovog procesa dobiva

v

n

CT

T� 1K .

Dakle, iskoristivost Carnotova procesa je tim veüa što je omjer temperatura hladnijeg i toplijeg spremnika manji. Obzirom da je uvijek Tn > 0 (što je posljedica treüeg naþela termodinamike) to je, kao što smo naveli, 1

CK � .

Carnotov kružni proces je idealni proces kojega nije moguüe izvesti u realnosti tako da za iskoristivost realnog kružnog procesa, K , vrijedi K <

CK .

d) Drugo naþelo termodinamike

Naþelo rada toplinskog stroja: Topliji spremnik preda radnom tijelu toplinu Qv. Radno tijelo izvrši proces (najþešüe kružni proces) tijekom kojega obavi rad, W. Kod toga nije moguü kružni proces za kojeg vrijedi W = Qv (ne postoji perpetum mobile prve vrste). Dakle, iz zakona oþuvanja energije slijedi da se koliþina topline Qn = Qv – W mora predati hladnijem spremniku.

1q izotermno širenje iz poþetnog stanja 1 u stanje 2 (pri Tv) 2q adijabatsko širenje iz stanja 2 u stanje 3 (plin se hladi od Tv do Tn) 3q izotermno sabijanje iz stanja 3 u stanje 4 (pri Tn) 4q adijabatsko sabijanje iz stanja 4 u poþetno stanje 1

Zakon oþuvanja energije vrijedi za sve procese u svemiru. Ipak, postoje procesi koje bi se, po tom zakonu, mogli odvijati ali ih nitko dosad nije opazio. Pomislimo samo na vlažnu spužvu koju ispustimo s visine H (crtež). Spužva padne na tlo i ostane na njemu mirovati. Prema zakonu oþuvanja energije moguü je i spontani proces u kojem bi se vlažna spužva s tla vratila u poþetni položaj. Meÿutim takav dogaÿaj još nitko nije opazio!

Q

Q

W

v

n

n

v

T

T

g

H

g

H

zapa

žam

o

ne

zapa

žam

o



Mnoštvo je sliþnih procesa (razmislite o nekima od njih). Zakljuþujemo da zakon oþuvanja energije ne može objasniti zašto se takvi procesi ne dogaÿaju. Dakle, nužno je uvesti novu fizikalnu veliþinu kojom üemo to moüi opisati. Doista, uvedena je entropija (Clausius, 1834. godine) slijedeüom relacijom:

i fQ

ST

o'

U tom izrazu S' oznaþava promjenu entropije termodinamiþkog sustava koji u reverzibilnom (povratnom) procesu iz poþetnog (i) u konaþno stanje (f) izmjenjuje malu koliþinu topline

i fQ o s

okolišem (drugim tijelom) pri konstantnoj temperaturi T. Jedinica za mjerenje entropije je > @ 1 /S J K' . Od kljuþne važnosti je statistiþko znaþenje entropije – kao mjere mikroskopskog nereda u termodinamiþkom sustavu. Razmotrimo sljedeüi primjer: Primjer: Neka se u zatvorenoj kutiji nalazi N =10 meÿusobno jednakih þestica.

(a) Na koliko meÿusobno razliþitih naþina možemo tih 10 þestica raspodijeliti tako da ih N1 = 5 bude u jednoj polovici posude, a N2 = 5 u drugoj?

(b) Na koliko meÿusobno razliþitih naþina možemo tih 10 þestica raspodijeliti tako da ih N1 = 9

bude u jednoj polovici posude, a N2 = 1 u drugoj? Odgovori:

(a) Traženi broj naþina jednak je 1 2

! 252! !a

Nw

N N .

Svaki od ovih naþina razmještaja þestica predstavlja jedno mikrostanje promatranog

termodinamiþkog sustava.

(b) Traženi broj naþina jednak je 1 2

! 10! !b

Nw

N N

U ovom sluþaju je broj mikrostanja (kojim ostvarujemo zadano makrostanje N1 = 9, N2 = 1) znatno manji. Kažemo da je stanje (b) manje vjerojatno od stanja (a). Ekvivalentno je kazati

da je stanje (b) ureÿenije od stanja (a). Rabeüi izraz (L. Boltzmann, 1877.)

S = kB ln w

dobivamo 237.63 10 /

aS J K

� � , 233.17 10 /b

S J K� � . Dakle, entropija ureÿenijeg sustava

(b) je manja od entropije neureÿenijeg sustava (a). Drugo naþelo termodinamike se može iskazati na razliþite, meÿusobno ekvivalentne, naþine. Evo nekih od njih: 1. S. Carnot (1824.):

Za pretvaranje topline u rad nužno je imati topliji i hladniji spremnik, pri þemu je temperatura hladnijeg spremnika neophodno niža od temperature toplijeg spremnika.

4. W. Thomson (Lord Kelvin) (1854.):

Nemoguü je kružni proces pri kojem bi jedini rezultat bio uzimanje topline Qv od toplijeg spremnika i njeno potpuno pretvaranje u mehaniþki rad W, tj. da je Qn = 0. Ova formulacija je dobivena razmatranjem izraza za iskoristivost toplinskih strojeva kojeg smo veü naveli.

2. R. Clausius (1850.): Toplina ne može spontano prelaziti s hladnijeg tijela na toplije.



5. R. Clausius (1834.): Entropija se u izoliranom sustavu ne smanjuje, tj. ili ostaje nepromijenjena (povratni procesi) ili se poveüava (nepovratni procesi). Dakle, 0S' t .

6. L. Boltzmann (1877.):

U svim spontanim prirodnim procesima termodinamiþki sustav prelazi u stanje veüeg nereda tj. prelazi iz manje vjerojatnih stanja u stanja veüe vjerojatnosti (pogledati primjer!).


PRIPR

EME

Zagreb, 2006.

3

PRIPREMIO

FIZIKA

DARIO MI!I"


Nakladnik


tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794




III. ELEKTROMAGNETIZAM III. 1. Elektrostatika Plastiþni štap nakon trljanja o kožu (ili kosu) ima sposobnost privlaþenja komadiüa papira. o Štap je naelektriziran. Naelektritziranost karakteriziramo koliþinom naboja Q. Jedinica za mjerenje koliþine naboja: [Q] = 1C kulon Naelektrizirana tijela se ili privlaþe ili odbijaju. Postoje dvije vrste elektriþnog naboja: pozitivan i negativan Ջ. Što je negativno nabijeno a što pozitivno odredi se dogovorom. Uzeto je da je naboj protona pozitivan a naboj elektrona negativan! 1909. Milikan – postoji najmanja koliþina naboja – naboj je kvantiziran

191.6 10e C� � � - elementarna koliþina naboja

Bilo koju koliþinu naboja možemo prikazati kao: Q = N� e N – cijeli broj! U zatvorenom sustavu, bez obzira kakvi se fizikalni procesi unutar njega dešavali vrijedi da je: Q = konst. – zakon oþuvanja naboja Koliþina naboja je nepromjenjiva u vremenu. a) Coulombov zakon Kulon ispituje torzionom vagom o þemu ovisi sila izmeÿu dvaju toþkastih (kuglastih) naboja. 1 2~ Q QF Sila je proporcionalna umnošku naboja

2

1~Fr

Sila je obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti izmeÿu naboja. Coulombov zakon:

1 20 2C

Q QF k

r , 2

29

00 109

41

C

Nmk �|

HS

0H - dielektriþnost (permitivnost) vakuuma ( 221120 1085.8 CmN

�� H ) Ukoliko se naboji postave u neko sredstvo (npr. vodu), tada je sila izmeÿu njih manja nego kad su u vakuumu. Definirajmo relativnu dielektriþnost:

1C

r

S

F

FH ! tj. 0 1 2

2C

r

k Q QF

rH

Sila ima smjer radijalno od (istoimeni) ili prema (raznoimeni) naboju koji ju uzrokuje.

štap

komadi i papiraü

Q1+

F1

F2F

Q2

F

= +F F1 F2

q

Ako na neki naboj q < 0 (crtež desno) djeluje veüi broj drugih naboja (npr. Q1 > 0 i Q2 < 0), ukupna sila na naboj q se dobije vektorskim zbrajanjem pojedinih sila.



b) elektriþno polje Prostor oko nabijenog tijela poprima nova svojstva u odnosu na sluþaj kada, u tom dijelu prostora, nema nabijenog tijela. Nazivamo ga elektriþnim poljem. Uoþimo formalnu analogiju s gravitacijskim poljem. Za njegovo opisivanje uvodimo nekoliko veliþina: b1) Jakost elektriþnog polja, E Svaki naboj +Q (koji opüenito nije toþkast ili kuglast) stvara polje. Zamislimo toþkasti pozitivni probni naboj q proizvoljno malog iznosa. Dovodimo li u zadanu toþku T (crtež) razliþite probne naboje, na njih üe naboj Q djelovati razliþitim silama, ali üe vrijediti

q

F

q

F

q

F ...

2

2

1

1

to jest, taj omjer karakterizira odabranu toþku T u kojoj postoji elektriþno polje E jakosti

q

FE .

To je omjer sile na probni naboj u nekoj toþki (koju možemo izmjeriti dinamometrom) i koliþine naboja probnog naboja. Jedinica za mjerenje elektriþnog polja jednaka je

> @ > @> @

1F N

Eq C

.

Ukoliko je naboj Q toþkast ili kuglast onda je Coulombova sila kojom taj naboj djeluje na naboj q jednaka

0 2

QqF k

r .

Ukoliko polje stvaraju dva toþkasta naboja Q1 i Q2 (ili više naboja) onda vrijedi princip superpozicije: Ukupno polje tih naboja u proizvoljnoj toþki T

prostora se dobije kao vektorski zbroj pojedinih polja. Uoþiti: u toþki T se nalazi pozitivni probni naboj na kojega djeluje ukupna sila koju možemo izmjeriti. Kada imamo podatake o sili i probnom naboju onda modul elektriþnog polja izraþunamo E = F/q. Elektriþne silnice – linije elektriþnog polja To su linije kojima bi putovao probni naboj q > 0 u polju uoþenog pozitivnog (+) ili negativnog naboja (–).

Elektriþno polje toþkastog ili kuglastog naboja Q jednako je

0 2

QE k

r .

Dogovor o smjeru elektriþnog polja prikazan je na crtežima (desno).

+Q

1

2E2+

E1+

-Q

E-

1

2

q

qT

Q+

F2

F1

QE

--

E

E+ Q1

2E

E

+

E += +

-

T

izvorponor



Vektor jakosti elektriþnog polja E je tangencijalan na liniju elektriþnog polja u danoj toþki. Gustoüa linija je proporcionalna jakosti elektriþnog polja na tom podruþiju. Linije izviru na pozitivnom, a poniru na negativnom naboju. Linije se ne mogu presjecati! b2) elektriþni potencijal, M Kad se probni naboj q dovodi iz beskonaþnosti u neku toþku polja, elektriþno polje izvrši rad proporcinalan s q. 1 ~W qf Naboj q u datoj toþki raspolaže elektriþnom potencijalnom energijom

p elE .

~p el

E q Definiramo veliþinu:

p elE

qM - elektriþni potencijal toþke polja.

To je omjer elektriþne potencijalne energije probnog naboja q u nekoj toþki polja i koliþine naboja tog probnog naboja. Ovisi o položaju toþke i o naboju Q koji stvara polje. Jedinica za mjerenje:

> @ > @1 1p el

E JV

q CM

ª º¬ ¼ volt

Za toþkasti naboj Q (ili kuglasti ) je

� � 0Q

r kr

M

M > 0 za pozitivan naboj M < 0 za negativan naboj Linije (plohe) koje spajaju toþke u elektriþnom polju istog potencijala nazivaju se ekvipotencijalnim (plohama) linijama. One su uvijek okomite na silnice elektriþnog polja. Elektriþna potencijalna energija dvaju naboja Q i q je

0p el

QqE q k

rM �

Ako polje stvara veüi broj naboja vrijedi princip superpozicije: ...)()()()( 321 �� rrrr MMMM b3) elektriþni napon Gledamo pomicanje probnog naboja q izmeÿu dviju toþaka 1 i 2 elektriþnog polja naboja Q. Pri tom pomicanju elektrostatske sile izvrše rad 12W . Rad je proporcionalan koliþini naboja q. 12 ~W q Definiramo veliþinu – elektriþni napon U.

12WU

q

To je omjer rada elektrostatskih sila 12W pri pomicanju naboja q iz toþke 1 u toþku 2 i koliþine tog naboja.

-+1

2E1

E2

r

Q

q

WEp,el

q

+

AMBM

Q

A BM M

r

+

ekvipotencijala

silnica

linija

Q

1q W12

2

1M

2M



Jedinica za mjerenje je

> @ > @> @

12 1 1W J

U Vq C

{

Kako se izvršeni rad može iskazati kao razlika elekriþnih potencijalnih energija 12 2 1pel pel

W E E �

slijedi da je elektriþni napon U izmeÿu dvije toþke polja jednak 2 1pel pelE E

Uq q

� tj.

elektriþni napon je jednak razlici elektriþnog potencijala izmeÿu tih toþaka polja: 2 1U M M M � ' .

c) Elektriþni kapacitet. Kondenzatori Kondenzator – ureÿaj na kojem pohranjujemo elektriþni naboj. Najþešüe se sastoji od dva vodiþa (metalne ploþe) razdvojena izolatorom (zrak, neki dielektrik). c1) Ploþasti kondenzator d – razmak izmeÿu metalnih ploþa S – ploština ploþa Q – koliþina naboja U – napon izmeÿu ploþa (za danu koliþinu naboja) - pokus o U ~ Q Napon izmeÿu ploþa proporcionalan je koliþini naboja na ploþama. Možemo napisati:

1

U QC

, tj.

Q

CU

C – kapacitet kondenzatora. Ovisi o geometriji i o dielektriku izmeÿu ploþa (ne ovisi o Q i U!)

> @ > @> @

1 1Q C

C FU V

{ farad

Kapacitet ploþastog kondenzatora:

0r

SC

dH H

rH - relativna permitivnost dielektrika Izmeÿu ploþa se formira homogeno elektriþno polje. Ako se naboj +q s pozitivne ploþe prebaci na negativnu ploþu, tad elektriþno polje izvrši rad

elW F d qE d � �

Taj isti rad možemo iskazati preko napona W = q� U qE� d = q� U

U

Ed

- jakost elektriþnog polja unutar kondenzatora

> @ > @> @

1U V

Ed m

C

d

QQ+ -

S

U

d

Q Q+ -

U



Energija ploþastog kondenzatora Nabijanje kondenzatora do koliþine naboja Q možemo ostvariti «prenoseüi» (u mislima) jedan po jedan elektron (naboja –|qe|) s jedne neutralne ploþe na drugu ploþu. Ploþa s koje «uzimamo» elektrone üe postati pozitivno nabijena, a ona na koju prenosimo elektrone negativno nabijena. Valja uoþiti da se utijekom «prenošenja» elektrona napon izmeÿu ploþa mijenja jer se mijenja i naboj ploþa! Na kraju «prenošenja» elektrona, kada je naboj na ploþama +Q odnosno –Q, izvršili smo jednak rad kao da smo odjednom prenijeli koliþinu naboja Q uz srednji napon izmeÿu ploþa U koji je jednak

02 2

poþ konU U U

U� �

tj. 2U

U

Izvršeni rad:

12 2U

W UQ Q QU

Izvršeni rad je pohranjen u obliku energije elektriþnog polja kondenzatora.

12

W QU

2

21 1 1 12 2 2 2

Q QQ CU U CU

C C �

Spajanje kondenzatora serijski: 1 2S

U U U � Koliþine naboja na ploþama � �1 2, ,

SQ Q Q

su jednake. 1 2 S

Q Q Q

S

S

S

QU

C

11

1

QU

C � 1 2

1 2

s

s

Q Q Q

C C C � �

1 2

1 1 1

SC C C

�

22

2

QU

C

Reciproþna vrijednost ekvivalentnog kapaciteta u serijskom spoju jednaka je zbroju reciproþnih vrijednosti pojedinih kapaciteta. To vrijedi za proizvoljan broj kondenzatora. Spajanje kondenzatora paralelno: Naponi na kondenzatorima su jednaki. 1 2p

U U U 1 2p

Q Q Q � 1 1 2 2p p

C U C U C U �

1 2pC C C �

Kod paralelnog spoja ekvivalentni kapacitet u paralelnom spoju jednak je zbroju pojedinaþnih kapaciteta. Tvrdnja vrijedi za proizvoljan broj kondenzatora.

CQ

Q

1

22

1

C

U U1 2U=

Q C

U

+p

pp

CQ Q1

22

1 C

U U1 2

U

nadomještamo

jednim

ekvivalentnim

QC

U

S

S

S



III. 2. Elektriþna struja - elektriþna struja – usmjereno gibanje naboja u metalima – slobodni elektroni u otopinama – ioni, elektroni u plinovima – ioni, elektroni 'Q – koliþina elektriþnog naboja koja za vrijeme 't proÿe kroz popreþni presjek vodiþa S. a) jakost elektriþne struje definiramo jakost elektriþne struje:

Q

It

' '

Omjer koliþine naboja 'Q i proteklog vremenskog intervala 't. Jakost struje I se odabire za osnovnu fizikalnu veliþinu. Njena jedinica se definira uz pomoü magnetskih uþinaka struje. [ I ] = 1 amper ([ I ] = 1 A) Za konstantne struje pišemo

Q

It

Q = I � t o [Q] = [I] � [t] = 1A s { 1C (kulon) Po dogovoru se za smjer struje uzima smjer usmjerenog pomicanja pozitivnog naboja. Uoþiti da elektriþna struja nije vektor nego skalar! a1) mikroskopski model struje Ukoliko vodiþ nije prikljuþen na izvor, slobodni elektroni se unutar njega gibaju kaotiþno (poput molekula plina). Kad se na krajeve vodiþa prikljuþi napon, unutar njega se formira elektriþno polje koje slobodnim elektronima daje jednu komponentu usmjerenog pomicanja brzinom v - srednja brzina usmjerenog pomicanja (driftna brzina). N – broj slobodnih elektrona u volumenu V

N

nV

- gustoüa broja elektrona (brojnost)

Za vrijeme 't kroz presjek S üe proüi samo oni elektroni koji su na udaljenosti v t�' ili manjoj, tj elektroni iz obujma V S v t � �' Ti elektroni prenesu kroz S koliþinu naboja Q N e n V e n S v t e' � � � � � �' � Jakost struje je

Q n S v t e

It t

' � � �' � ' '

I S v e n � � �

Uobiþajeno je definirati gustoüu struje j relacijom I

j v e nS

� � . Gustoüa struje je vektorska

veliþina i u metalima ima smjer elektriþnog polja koje je odgovorno za gibanje naboja u vodiþu. Jedinicu gustoüe struje dobivamo iz definicije:

> @ > @> @ 21I A

jS m

Tipiþne srednje brzine i koncentracije elektrona u vodiþu su

22 3~ 1 ; ~ 10mmv n cm

s

� .

sQ

vodic

t



b) Ohmov zakon. Elektriþni otpor Ohm eksperimentalno utvrÿuje da je jakost struje I u danom metalnom vodiþu proporcionalna naponu U na krajevima vodiþa. I ~ U

Možemo napisati jednakost I = G � U

IG

U - elektriþna vodljivost

> @ > @> @

1 1I A

G SU V

{ simens

ýešüe koristimo reciproþnu vrijednost

1

RG

- elektriþni otpor

U

IR

- Ohmov zakon (za vanjski dio strujnog kruga)

> @ > @> @

1 1U V

RI A

{ : om

Elektriþni otpor ovisi o: - duljini vodiþa, l - površini popreþnog presjeka, S

- vrsti vodiþa (opisano pomoüu specifiþne otpornosti U, [U] = : m)

l

RS

U

R metalnog vodiþa ne ovisi o naponu U izvora ili jakosti struje I koja prolazi kroz vodiþ.

b1) mikroskopski izvod Unutar vodiþa se formira elektriþno polje jakosti

U

El

Srednja driftna brzina v je proporcionalna s tom jakošüu v EP gdje je P elektriþna pokretljivost.

� U S

I SvEn S Een S en en Ul l

P P P

1

I UR

� � 1 l

Ren SP

Otpornost je

1en

UP

l

RS

U , U

IR

Taj zakon može se zapisati i u obliku EneneEnevj PP Uvedemo li elektriþnu provodnost

1

e nV PU

j = V E – Ohmov zakon Uzrok elektriþnog otpora: - sudari elektrona s titrajuüim ionima kristalne rešetke - sudari elektrona s atomima neþistoüa i nepravilnostima kristalne rešetke.

I

U

S

U

l



Eksperimenti pokazuju da elektriþni otpor ovisi o temperaturi � �0 1

tR R tD � '

D je temperaturni koeficijent otpora datog vodiþa, [D] = 0C

–1 = K–1. t' je promjena

temperature, a R0 je elektriþni otpor vodiþa na poþetnoj temperaturi. c) izvori istosmjerne struje Na izvoru razlikujemo: - pozitivan i negativan pol - podruþija s viškom pozitivnog, odnosno negativnog naboja Kad se polovi izvora spoje vodiþem poteþe elektriþna struja koja dulje vremena ima konstantnu vrijednost Da bi to bilo tako, moraju se elektroni koji su putujuüi kroz vodiþ stigli s negativnog pola na pozitivni opet prebaciti na negativni pol o to mogu izvršiti “strane” (neelektriþne) sile: - mehaniþke - kemijske - toplinske - magnetske … Pri prebacivanju naboja q one izvrše rad

stW .

Definiramo elektromotorni napon izvora

stW

qH

Omjer rada stranih sila i koliþine prebaþenog naboja

> @ > @> @

1J

VC

H { volt

Shema strujnog kruga: r – unutarnji otpor izvora struje H - elektromotorni napon R – vanjski otpor I – jakost struje U = RI = HI – rI pad napona na vanjskom otporu

IR r

H

� - Ohmov zakon za þitavi strujni krug

Ako je R = 0 : struja kratkog spoja je:

ks

Ir

H - maksimalna struja koju izvor može dati

d) Kirchhoffova pravila U strujnim krugovima razlikujemo: - þvorove – toþke u kojima se susreüu tri ili više vodiþa - petlje – zatvorene konture s elementima strujnog kruga I. pravilo (pravilo þvora) 1 2I I I � Zbroj jakosti struja koje ulaze u þvor, jednak je zbroju jakosti struja koje izlaze iz þvora. Pravilo se temelji na zakonu oþuvanja koliþine naboja.

R

r

I



II. pravilo (pravilo petlje) 1 2 1 2IR IRH H� � Algebarski zbroj elektromotornih napona u petlji jednak je zbroju padova napona u toj petlji. Pravilo se temelji na zakonu oþuvanja energije. e) Spajanje otpornika serijsko: Kroz otpornike protiþu jednake struje. 1 2 S

I I I 1 2 S

U U U U � 1 1 2 2 S S

I R I R I R� 1 2R R R � Ekvivalentni otpor jednak je zbroju pojedinih otpora. Tvrdnja vrijedi za proizvoljan broj otpora. paralelno: Na otpornicima su jednaki naponi. Pravilo þvora: 1 2 P

I I I I �

1 2

1 2

P

P

U U U

R R R�

1 2

1 1 1

PR R R

�

Reciproþna vrijednost ekvivalentnog otpora jednaka je zbroju reciproþnih vrijednosti pojedinaþnog otpora. Tvrdnja vrijedi za proizvoljan broj otpora. f) Energija elektriþne struje. Elektriþna snaga Pri protjecanju elektriþne struje kroz otpornik R, pozitivan naboj prelazi iz podruþija više potencijalne energije u podruþije niže potencijalne energije (uz nepromjenjenu kinetiþku energiju) tako da se ta razlika potencijalnih energija sudarima pretvara u termiþku energiju kristalne rešetke (Jouleova toplina). W = U Q

Q = I � t Iz ovih relacija slijedi Snaga je definirana kao rad po jedinici vremena.

2

2W UP UI I R

t R

III. 3. Magnetizam magnet – privlaþi željezne predmete (takoÿer kobalt i nikal, kao i njihove legure). Magnetski pol – podruþije magneta s najjaþim djelovanjem

N S

sjevernipol

juznipol

22U

W U I t t I RtR

� � �



Istoimeni polovi se odbijaju. Raznoimeni polovi se privlaþe. Dijeljenjem magneta se dobiju sitniji magnetiüi. To je tipiþno bipolarna (dipolna) pojava. Ne postoje izolirani magnetski polovi. Magnetska influencija – u blizini magneta se komad mekog željeza pretvara u magnet o privlaþi druge željezne predmete. Tvari graÿene od elementarnih magnetiüa kod magneta – rasporeÿeni ureÿeno. feromagnet Kod nemagneta - neureÿeno. paramagneti – vrlo slab magnetizam dijamagneti – suprotno ponašanje a) magnetsko polje - prostor oko magneta u kojem se osjeüa njegovo djelovanje Opisujemo ga: - grafiþki – linije magnetskog polja (silnice)

Zamišljene linije koje svojim tangentama pokazuju smjer magnetskog polja

- veliþinama – tok magnetskog polja M

I kroz ploštinu A To je broj silnica koji prolazi kroz tu ploštinu

- gustoüa magnetskog toka B

JG (ili magnetska indukcija)

MBA

I

Preciznije magnetski tok je cos

MB A BAI DA �

B – ovisi o sredstvu koje se nalazi u magnetskom polju Definira se veliþina koja ne ovisi o sredstvu. To je jakost magnetskog polja H

JJG:

B

HP

JGJJG

P - permeabilnost sredstva 0 r

B H HP P P � JG JJG JJG

70 4 10 Tm

AP S � � - permeabilnost vakuma

rP - relativna permeabilnost tvari

feromagnet 3~ 10r

P paramagneti 1t

rP

dijamagneti 1dr

P

N S

B

B

nA

D



a1) Oerstedov pokus Kad se iznad magnetske igle pusti da teþe struja, magnetska igla se otkloni i otklonjena je sve dok teþe struja. Kad se struja iskljuþi, igla se vraüa. Ako se smjer struje promjeni, promjeni se i smjer otklona igle. Elektriþna struja (naboj u gibanju) stvara magnetsko polje. b) izvori magnetskog polja b1) ravni (beskonaþni) vodiþ pokus � H ~ I

1~Hr

1

2I

HrS

00 2

IB H

r

PPS

Smjer polja – pravilo desne ruke Palac u smjeru I, rukom obuhvatimo vodiþ o prsti smjer B

JG

> @ > @> @

1I A

Hr m

- jedinica za mjerenje jakosti magnetskog polja

b2) kružna petlja radijusa R U središtu petlje je

R

IB r

2P

Petlju možemo smatrati elementarnim magnetiüem b3) zavojnica s N zavoja N – broj zavoja L – duljina zavojnice I – jakost struje Unutar zavojnice je polje homogeno. Pokus � H ~ I H ~ N

H ~ L

1

Te je obuhvaüeno relacijom L

NIH .

Magnetska indukcija:

0N

B Il

P

ako se unutar zavojnice postavi neki materijal permeabilnosti r

P tad je

0r

NB I

lP P

I

+

B

B

B1

2

I

I

1

2



c1) Amperova sila, FA

Ako se kroz ravni vodiþ koji se nalazi u homogenom magnetskom polju indukcije B

JG, pusti struja jakosti I,

zapaža se da se vodiþ izmiþe iz magnetskog polja, na njega djeluje magnetska sila o Amperova sila

AF

Pokus o ~A

F I ~

AF l - duljina vodiþa u magnetskom polju

~A

F B

~ sinA

F D , D je kut izmeÿu B i l

sinA

F B I l D � � � Ponekad ovo koristimo za definiranje magnetske indukcije

sinA

FB

I l D

� �

Jedinica za mjerenje magnetske indukcije

> @ > @> @ > @

1 1AF N

B TI l A m

{� �

tesla

Smjer sile A

F - pravilo ispružene desne ruke palac – smjer I prsti – smjer B

JG

sila – iz dlana 0B HP

> @0 0 1 1B T Tm

AH A

m

P P �

Sila izmeÿu dva vodiþa

0 112 1 2 22

IF B I l I l

r

PS

� � �

0 1 212 2

I IF l

r

PS

Ovu relaciju koristimo za definiciju jedinice jakosti struje – 1 amper c2) Lorentzova sila,

LF

Struja – usmjereno gibanje naboja Sila na vodiþ kojim teüe struja rezultat djelovanja magnetskog polja na pojedine naboje. l – duljina vodiþa u magnetskom polju B

JG

S – površina popreþnog presjeka vodiþa N – broj naboja q u volumenu S � l

A

NF BIl B Svqn l Bqv Sl

V � �

AF N Bqv �

Na naboj q koji se giba brzinom v u magnetskom polju BJG

djeluje sila:

N

S

+

I

B



A

L

FF Bqv

N

ili opüenito sin

LF Bqv D

D - kut izmeÿu vektora BJG

, vG

Smjer sile

LF o pravilo desne ruke:

palac – smjer vG

prsti – smjer B

JG

sila – iz dlana za q > 0 Gibanje naboja u homogenom magnetskom polju: Ukoliko je v BA

G JG naboj se giba po kružnici radijusa R.

Sila L

FJJG

igra ulogu centripetalne sile.

L cpF F

R

vmvqB

2

mv

RBq

Rad Lorentzove sile jednak je nuli. 0

FLW ! jer je

LF sA 'JJG G

(pomak) Period vrtnje

2 2 2R R m

Tv v Bq

S S S

2 mT

BqS

Primjene: 1 separator brzine Okomito elektriþno i magnetsko polje

el LF F qE Bqv �

E

vB

- ýestice ove brzine ne skreüu!

2 maseni spektrometar Kombinacija separatora brzine i magnetskog polja 0B

E

vB

0

0

RBmv mR

B q q v o

E

BBR

q

m 0 - specifiþni naboj

3 ciklotron – ubrzivaþ nabijenih þestica

RBq

vm



III. 4. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA To je pojava da se uz pomoü magnetskog polja proizvede elektriþna struja. a) elektromagnetska indukcija Faraday 1831. Kazaljka ampermetra se otklanja kad se: - magnet primiþe ili odmiþe zavojnici, tj kad se mijenja magnetsko polje u kojem se zavojnica nalazi, (tj. mijenja B

JG)

- zavojnica stišüe ili rasteže, tako da se mijenja površina popreþnog presjeka (tj. S)

- Zavojnica rotira u homogenom magnetskom polju (tj. mijenja kut D) D - kut izmeÿu normale n

G na površinu

zavoja i vektora BJG

- Jednom rijeþju, kad se mijenja veliþina cos

MB S D) � � - magnetski tok

> @ > @ > @ 21 1M

B S Tm Wb) � { veber

Pokusi � kazaljka se više otkloni što se M

) brže mijenja i što je veüi broj zavoja N zavojniceInducirani napon

~ M

iU

t

')'

- brzina promjene magnetskog toka

~i

U N - broj zavoja

t

NUM

i '')

- Faradayev zakon

a1) Lenzovo pravilo Ako se magnet primiþe aluminijskom prstenu, on se odmiþe. Ako se magnet odmiþe prsten ide za njim. Primicanjem se u prstenu inducira takva struja da njeno magnetsko polje nastoji sprijeþiti poveüanje magnetskog toka kroz prsten, tj. prsten formira s lijeve strane N pol, koji se odbija od N pola magneta koji se primiþe. Suprotna je situacija kod odmicanja magneta.

t

NUM

i '')

� Minus dolazi zbog Lenzovog pravila.

b) ravni vodiþ u homogenom magnetskom polju

Neka se ravni vodiþ, duljine l giba brzinom vG

okomito na vektor magnetske indukcije BJG

BJG

- homogeno magnetsko polje, okomito na vG

vG

- brzina gibanja vodiþa Možemo zamisliti petlju (iscrtkano) þija se površina mijenja. Promjena magnetskog toka kroz tu petlju je

MB S B l v t') �' � � '

Kako je N = 1, Faradayev zakon daje za iznos induciranog napona

M

i

Blv tU

t t

') '

' '

Izmeÿu krajeva vodiþa se inducira napon i

U Blv

S

N

A

B

v

l

v �' t



c) samoindukcija pokus o Tinjalica zasvjetli uz napon ~ 150V. Kad se ona prikljuþi u strujni krug kao na slici pri ukljuþivanju ili iskljuþivanju izvora od samo 2V zapaža se da tinjalica bljesne! Pri ukljuþivanju i iskljuþivanju se na neki naþin dobivaju naponi reda ~ 150V.

Pri ukljuþivanju jakost struje ne postigne odmah maksimalnu vrijednost, nego struja raste neko vrijeme od vrijednosti nula do maksimalne vrijednosti

MAXI , tj struja se

mijenja. Faradayev zakon EM-indukcije

t

NM

i '')H �

U zavojnici se, zbog promjene jakosti struje, inducira napon reda ~150V, zbog þega bljeskalica bljesne. Samoindukcija – pojava da se u zavojnici pojavljuje

iH

zbog promjene toka vlastitog magnetskog polja. Koliki je napon samoindukcije? Magnetski tok kroz zavojnicu je

MB S) �

Magnetska indukcija

0r

NB I

lP P � 0r

NB I

lP P' ' (zato što se mijenja samo struja kroz zavojnicu)!

o M

S B') �' Rabeüi Faradayev zakon EM-indukcije dobivamo traženi napon samoindukcije

o 2

00

r

i r

SNN I INS

l t l t

P PH P P ' ' � �

' '.

Obiþaj je uvesti koeficijent samoindukcije (induktivitet zavojnice) 2

0rSN

Ll

P P . Napon

samoindukcije je sada jednak

i

IL

tH ' �

'

Jedinica za mjerenje induktiviteta

> @ > @> @> @

1 1it V s

L HI A

H ' � {

' henri

d) energija magnetskog polja Kad je zavojnica prikljuþena na izvor, njome teþe struja I i unutar nje postoji magnetsko polje indukcije B. Ako se izvor iskljuþi, struja ne padne odmah na nulu, nego teþe još neko vrijeme sve slabija i slabija. U krugu postoji još neka energija – energija magnetskog polja

212M

W LI

Taj izraz može se i malo drukþije zapisati:

tinjalica

izvor(~2 )V

sklopka

zavojnica

zeljezna jezgra

procesukljucivanja

procesiskljucivanja

0

I t( )

MAXI

t

I

lS

B

+



� �

20

2 2 20

2 20

00

12

r

r

M

rr

r

SNL

SN B llW

N Bl l NB I I

l N

P PP P

P PP PP P

½ °°� �¾

° o °¿

2

02M

r

BW Sl

P P

Obzirom da je volumen zavojnice jednak V = S l pa je gustoüa energije magnetskog polja

2

0

12

M

M

r

W Bw

V P P

Rabeüi vezu izmeÿu magnetske indukcije i magnetskog polja 0 rB HP P možemo pisati

20

12M r

w HP P

Gustoüa energije magnetskog polja proporcionalna je kvadratu jakosti magnetskog polja H. III. 5. IZMJENIýNE STRUJE Vrtnjom petlje u magnetskom polju indukcije B

JG, u njoj se

inducira izmjeniþni napon prema Faradayevom zakonu EMI.

M

iN

t

IH ' �

'

t

DZ - kutna brzina vrtnje

( cos ) (cos )

i

BS t tN NBS

t t

Z ZH ' ' � �

' '

kako je

cos sint

tt

Z Z Z' �

'

slijedi sin

iNBS tH Z Z

Izmjeniþni napon

0 -maksimalnavrijednostnapona(amplituda)

( ) sint N B S t

HH Z Z � � � ��

0( ) sint tH H Z Prikljuþi li se taj izvor na omski otpornik, tad kroz otpornik teþe izmjeniþna struja jakosti 0( ) sini t I tZ - trenutna jakost

0I - maksimalna vrijednost

BS

B

S

B

cosBS



Izmjeniþni napon na krajevima otpornika je 0( ) sinu t U tZ Za opis izmjeniþne struje definiramo efektivne vrijednosti jakosti i napona. Efektivne vrijednosti definiramo pomoüu usporedbe toplinskih uþinaka istosmjerne i izmjeniþne struje. Veza s maksimalnim vrijednostima sljedeüa:

0

2ef

II I { , 0

2ef

UU U {

Gradska mreža u Europi ima Q = 50 Hz i 220ef

U V a) otpori u krugu izmjeniþne struje a1) radni (omski), R 0( ) sinu t U tZ

0 sinUui t

r RZ

0( ) sini t I tZ Struja i napon su u fazi, tj. u istim trenucima postižu maksimalne vrijednosti. Vrijedi Ohmov zakon:

u

ir

ili

U

IR

Vektorski dijagram Maksimalnim vrijednostima struje i napona pridružimo vektore koji rotiraju u pozitivnom smjeru stalnom kutnom brzinom Z. Buduüi da su u fazi, gledaju u istom smjeru. a2) induktivni,

LR (zavojnica u strujnom krugu)

Izvor izmjeniþnog napona 0( ) sinu t U tZ Zbog samoindukcije

s

iL

tH '

�'

Dobijemo da se struja mijenja po zakonu

0 sin2

Ui t

L

SZZ

§ · �¨ ¸© ¹

tj.

0 sin2

i I tSZ§ · �¨ ¸

© ¹

Struja kasni za 2S

za naponom

00

UI

LZ - maksimalna jakost struje

Kad napon ima maksimalnu vrijednost, struja ima vrijednost nula.

t0

u

I0

,

u

i-I0

U0

0U-

R

~izvor izmjenicne

struje



L

ui

R �

LR LZ - induktivni otpor

L

UI

R

~L

R Z - kružna frekvencija ~

LR L - induktivitet vektorski dijagram a3) Kapacitivni,

CR (kondenzator u strujnom krugu)

Za istosmjernu struju kondenzator je beskonaþan otpor Za izmjeniþnu on je samo konaþan otpor 0 sinu U tZ Tad se kondenzator puni i prazni, tj u strujnom krugu teþe struja. Koliþina naboja na ploþama u nekom trenutku je dana izrazom 0 sinq u C CU tZ kako je

q

it

' '

� � � 00sin sin1 2 2

Ui t t I t

C

S SZ Z

Z

§ · § · � �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹

0 00 1

C

U UI

R

CZ

{ - Ohmov zakon

1

CR

CZ - kapacitivni otpor

1~

CR

Z - obrnuto proporcionalan s Z

1~

CR

C - obrnuto proporcionalan C

C

ui

R

0( ) sin2

i t I tSZ§ · �¨ ¸

© ¹

Struja brza za 2S

ispred napona

Kad struja ima maksimalnu vrijednost, napon ima vrijednost nula. Vektorski dijagram ima oblik:

t

u

i

i u,U0

I0

0-I0

0U-



a4) serijski spoj R, C i L Jakost struje u svim elementima je jedna te ista.

R C LI I I

Vektorski dijagram

2 2 2 2( ) ( )R L C L C

U U U U I R R R � � � �

2 2( )L C

Z R R R � � - ukupni otpor (impedancija) Ohmov zakon

U

IZ

- ovisi o Z

M - pomak u fazi izmeÿu jakosti struje i napona na izvoru

tg L CR R

RM �

Iz Ohmovog zakona

2 2( )

L C

U UI

Z R R R

� �

slijedi da je Z najmanji odnosno I je najveüa za

L C

R R � 00

1L

CZ

Z

01LC

Z - rezonantna frekvencija

tada je M = 0, te

U

IR

period pobude struje je tada

00

2 2T LCS SZ

- Thomsonova formula

a5) paralelan spoj R, C i L Napon na elementima je meÿusobno jednak. UR = UC = UL

Vektorski dijagram je prikazan na crtežu:

2 2( )R C L

UI I I I

Z � �

2

2

1 1 1 1

C LZ R R R

§ · � �¨ ¸

© ¹

I

UR

C

UL

U

UL U

C-

UR

R

~

C

L



=

b) snaga izmjeniþne struje Kako su trenutne vrijednosti napona 0( ) sinu t U tZ i jakosti struje 0( ) sin( )i t I tZ M � pomaknute u fazi za M, trenutna vrijednost snage je ( ) ( ) ( )p t u t i t � Snagu izmjeniþne struje dobivamo usrednjavanjem po nekom vremenskom intervalu ( ) cosP p t UI M{ tj. cosP UI M gdje je faktor cosM uobiþajeno zvati faktor snage. c) transformator Ureÿaj koji na principu elektromagnetske indukcije mijenja (transformira) napon, odnosno jakost izmjeniþne struje. Brzine promjene magnetskog toka

M

t

')'

su jednake u obje zavojnice

p P

S S

U N

U N - omjer transformacije

Kod idealnog transformatora su snage na primaru i sekundaru jednake

P P S SI U I U

SP

S P

IU

U I

U sluþaju da postoje gubici definiramo korisnost:

S S

P P

I U

I UK

NPN

S

IP

UP

IS

US


PRIPR

EME

Zagreb, 2006.

4

PRIPREMIO

FIZIKA

DARIO MI!I"


Nakladnik


tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794




0

y

svjetloy t( ) y t( ) y0

ravnotežni položaj sjene

zastor

IV. TITRANJE I VALOVI

IV. 1. TITRANJE Titranje je periodiþno gibanje oko ravnotežnog položaja. Npr. harmonijski oscilator (H. O.) Sastoji se od (crtež): - elastiþne opruge konstante k - tijela priþvršüenog za oprugu mase m Njihalo Sastoji se od niti duljine l, za koju je obješeno neko tijelo mase m i sve se to nalazi u gravitacionom polju. Obiþno se uzima da je masa niti puno manja od mase tijela. Osnovni pojmovi: - elogancija, y Trenutna udaljenost od ravnotežnog položaja -amplituda, 0Y Maksimalni pomak od ravnotežnog položaja. (maksimalana elongacija) - titraj Proces pri kojem se tijelo koje titra vrati sljedeüi put u neki položaj u istom stanju gibanja. - period, T - vrijeme jednog titraja

- frekvencija, Q - broj titraja u 1s o 1T

Q

> @ > @11 1 1s Hz

T sQ � { { herc

a) analogija jednolikog gibanja po kružnici i titranja Tijelo se jednoliko vrti po kružnici radijusa R, kutnom brzinom Z, obasjavamo ga paralelnim snopom svjetlosti i gledamo sjenu tijela na okomitom zastoru o sjena titra

tMZ o M = Z t

0R Y

mk

ravnotežni položaj

y0

ravnotežni položaj

Y0-Y0

y0

Y0-Y0



0

y

0

v2

v1

v0

v0

v t( )v t( )

a t( )a a t( )cp2

acp1

Iz pravokutnog trokuta slijedi:

( )sin ( ) siny t y t RR

M M o otkuda slijedi

da je elongacija titranja 0( ) siny t Y tZ . Ako u poþetnm trenutku tijelo nije u ravnotežnom položaju onda je poþetna faza 0M razliþita od nule pa je elongacija titranja 0 0( ) sin( )y t Y tZ M � Izraz 0tZ M� se zove faza titranja. Brzina, v(t) Projiciramo vektore brzine tijela (crtež)

0

( )cos v tv

M

0( ) cosv t v tZ

0 0v R YZ Z o 0 0v YZ 1 2 0...v v v Opüenito je brzina tijela 0 0( ) cos( )v t v tZ M � Ubrzanje, a(t) Projiciramo vektor ubrzanja tijela (crtež)

0

( )sin a ta

M

0( ) sina t a tZ

2 20 0cpa a R YZ Z{

0 1 2 ...cp cp cpa a a a opüenito 0 0( ) sin( )a t a tZ M � ili 2

0 0( ) sin( )a t Y tZ Z M �

2( ) ( )a t y tZ ili ako uzmemo u obzir smjerove otklona y(t) i a(t), koji su suprotni 2( ) ( )a t y tZ �



Povratna sila, ( )pF t se uvijek pojavljuje u sustavima koji titraju i usmjerena je prema ravnotežnom položaju. 2( ) ( ) ( )pF t m a t m y tZ � Povratna sila je proporcionalna elongaciji:

( ) ( )pF t k y t � Povratnu silu þesto zovemo kvazielastiþna sila. a1) Period titranja H. O. Usporedbom izraza 2 ( )pF m y tZ �

( ) ( )pF t k y t � o k = m Z²

tj. km

Z - kružna frekvencija titranja

2T SZ

2 mTk

S - period titranja harmonijskog oscilatora

a2) energija H. O. Tijelo se giba o kinetiþka energija – opruga se rasteže o potencijalna elastiþna Kinetiþka

2 220 cos( )( )

2 2kmv tmv tE t

Z

Elastiþna potencijalna

2 2

0 sin( )( )2 2pel

kY tk y tE t Z

Ukupna energija u bilo kom trenutku je zbroj tih dviju energija: elpku EtEtE � )()(

2 2 2 2 2 2

0 0cos sin2 2

m Y t m Y tZ Z Z Z �

2 22 20 (cos sin )

2m Y t tZ Z Z� .

Ukupna energija ne ovisi o vremenu! Ona je konstantna tijekom vremena.

2 2

0

2um YE Z

. Ukupna energija je proporcionalna s kvadratom amplitude 0Y ( 20~uE Y ),

kvadratom kružne frekvencije Z2 ( 2~uE Z ) i masom tijela m ( ~uE m ). b) matematiþko njihalo Za male kuteve otklona M (crtež na sljedeüoj stranici) iz sliþnosti pravokutnih trokuta slijedi

( )gp

g

F y tF l

�

Vidimo da ulogu povratne sile igra komponenta sile teže Fgp. Uvrštavanjem izraza za silu težu

Fg = mg dobivamo ( )gpmgF y tl

� . Obzirom da je povratna sila kvazielastiþna sila tj.

( )gpF k y t � , zakljuþujemo da je konstanta elastiþnosti u ovom sluþaju jednaka mgkl

.

kmFp t( )

0

y t( )

mk

0

v t( )

y t( )



Kvazielastiþna sila uzrokuje harmonijsko titranje

2 2m mT mgkl

S S otkuda slijedi da je

period titranja matematiþkog njihala jednak

2 lTg

S .

Ukoliko je njihalo obješeno u ubrzanom sustavu, tada treba naüi ”rezultantno ubrzanje” Rg

2R

lTg

S

Npr. u vagonu koji se giba ubrzano po horizontali

2 2 2 2R g i RF F F m g a mg � �

2 2Rg g a �

c) LC – titrajni krug 0(0)q q - poþetna koliþina naboja na kondenzatoru 0( ) cosq t q tZ Napon izmeÿu ploþa üe se mijenjati po zakonu

( )( ) q tu tC

jakost struje u krugu se mijenja po zakonu

( )( ) q ti tt

'

'

sve te veliþine mijenjaju se frekvencijom

01

2 LCQ

S - vlastita frekvencija LC - kruga otkuda slijedi izraz za period titranja

ovog strujnog kruga:

0 2T LCS - Thomsonova formula d) prigušeno titranje Ako na sustav koji titra djeluje sila “trenja”, otpora, koja troši energiju unesenu u titrajni sustav ĺ opaža se da se amplituda titranja s vremenom smanjuje.

g

y t( ) FN

m Fgp

Fg

FgN

l

C

q t( )L

i t( )

FN

Fg

a konst= g

DF

FR



Pri slabom prigušenju definiramo faktor prigušenja (dekrement):

1

M

M

YY

G�

� konstantno

“Period” se pritom gotovo ne mijenja. Faktor dobrote:

1

2 2n n

n n n

E EQE E E

S S�

� '

nE' - smanjenje energije u n-tom titraju

nE - energija na poþetku n-tog titraja e) prinudno titranje Ako na titrajni sustav djeluje vanjska periodiþna sila 0( ) sinprF t F tZ tada se uspostavi titranje s frekvencijom Z. Što je Z bliži 0Z - vlastitoj frekvenciji titrajnog sustava, to je amplituda titranja veüa. Kad Z o 0Z dolazi do rezonancije. Amplituda beskonaþno raste, titrajni sustav se “razara”. Tad je maksimalni prijenos energije s uzbudnog sustava na uzbuÿivani sustav. U realnim situacijama su uvijek prisutne i sile trenja ili sile otpora tako da se pri rezonanciji dostigne samo najveüa amplituda koja je konaþne veliþine. IV. 2. MEHANIýKI VALOVI Val – predstavlja širenje titranja u nekom elastiþnom sredstvu. Npr. val na žici: Zamislimo žicu kao skup toþkastih þestica koje su meÿusobno povezane elastiþnim oprugama: Kad se prva þestica 1 (izvor) pomakne gore-dolje (ili lijevo-desno), opruga se rastegne i povuþe za sobom þesticu , što dovodi do rastezanja sljedeüe opruge i pokretanja þestice itd. Sve þestice titraju na isti naþin s istim periodom T i istom amplitudom 0Y . Meÿutim, nisu sve þestice u istom stanju titranja tj. nemaju jednaku fazu. Uoþimo položaje svih þestica u poþetni trenutak vremena t = 0, potom nakon þetvrtine perioda titranja, … , te nakon punog perioda titranja (crteži):

Y

y

0

Y0

-

YM YM+1

t

4 6 7 8 9 10 111213145321t=0

4 6 7 8 9 10 1112131453

21

t= 14 T

4

67 8 9 10 11121314

532

1t= 12 T



Svaka od þestica titra oko svog ravnotežnog položaja. Tijekom titranja þestice kasne jedna za drugom u fazi. ýestice ne putuju udesno po žici. Mijenja se samo njihov položaj po vertikali. Oblik žice se, u odnosu na poþetni položaj, mijenja tijekom vremena. Kažemo da se po žici udesno giba val. Val ne možemo nacrtati! Ono što je prikazano na crtežima su položaji pojedinih þestica (dakle oblici žice) u pojedinim trenucima vremena. Obzirom da smo izvršili rad kojim smo þestice doveli u titranje oþito je, prema zakonu oþuvanja energije, da val nosi energiju! Dakle, jedan naþin prijenosa energije po žici je pomoüu vala! Valja uoþiti da svaki val (mehaniþki, elektromagnetski) prenosi energiju! Transverzalni val – þestice titraju Longitudinalni val – þestice titraju na pravcu širenja okomito na smjer širenja vala. vala (npr. zvuþni val) (npr. val na žici) Valna duljina, O Udaljenost izmeÿu dva susjedna brijega (ili dva susjedna zgušüaja). To je najmanja udaljenost izmeÿu dviju najbližih þestica koje titraju u fazi. To je udaljenost koju val prevali dok jedna od þestica naþini puni titraj. Ako je medij po kojem putuje val homogen onda se val širi konstantom brzinom:

svt

Odaberemo za t period T. Tad je s = O

1v

T TO O . Držeüi na umu izraz za frekvenciju titranja þestica

Tf 1 dobivamo

v = O � f. Ova relacija vrijedi za sve valove. Valja uoþiti da elektromagnetski val ne treba medij koji bi ga prenosio! Pomislite, koji medij omoguüuje prijenos sunþeva svjetla do npr. Zemlje! a) jednadžba progresivnog vala Sve þestice titraju harmonijski. Tako npr. þestica u ishodištu x = 0 ima elongaciju

0( 0; ) siny x t Y tZ . Jednadžbom vala nazivamo izraz za elongaciju y(x, t) þestice na mjestu x u trenutku t.

46

78

9 10 11 12 13 145

32

1

t= T34

brijeg

dol

smjer širenjavala

smjer titranja

smjer širenjavala

smjer titranja

razrjedaj

zgušcaj



ýestica na mjestu x titra na potpuno isti naþin kao i izvor, jedino kasni za izvorom u vremenu za

xxtv

Toliko vremena treba da se val proširi od izvora do þestice na mjestu x. Možemo pisati

> @ )2sin()(sin)(sin),0(),( 000 vx

TtY

vxtYttYttxytxy xx �� »¼º

«¬ª � � �

SZZZ

Kako je T � v = O dobivamo

¸¹·

¨©§ � xt

TYtxy

OSS 22sin),( 0 - jednadžba progresivnog vala

Uvedemo li valni broj k

2k SO

može se prethodni izraz zapisati u obliku 0( , ) sin( )y x t Y t kxZ � - jednadžba progresivnog vala Pritom se smjer širenja podudara s pozitivnim smjerom osi x. Ako se val širi u negativnom smjeru x-osi, jednadžba glasi 0( , ) sin( )y x t Y t kxZ � a1) razlika u fazi 'M Za dvije þestice, koje se nalaze na položajima 1x , odnosno

2x od izvora, je razlika u fazi u zadanom trenutku t jednaka:

)(2221221 xxxtxt � ¸

¹·

¨©§ ��¸

¹·

¨©§ � '

OS

OSZ

OSZM

2 xSMO

' ' gdje smo uveli uobiþajenu pokratu 12 xxx � ' .

a2) brzina vala Uz malo složeniji izvod, može se pokazati da se brzina progresivnog vala može iskazati preko nekih karakteristika materijala u kom se širi val. Tako npr. brzina: transverzalnog vala na žici je jednaka:

FvP

gdje je F – napetost žice i ml

P linearna gustoüa materijala (žice) (m je

masa žice a l duljina žice) longitudinalnog vala u štapu:

EvU

gdje je E Youngov modul elastiþnosti i U je gustoüa materijala (štapa).

y

x

y x,t( )izvor vala

v

x

x

y

x

v

xxt=konst.

1

2



b) odbijanje (refleksija) valova þvrsti (nepomiþan) kraj Brijeg se reflektira kao dol. Val se odbija suprotnom fazom, tj doživi skok u fazi za S: 'M = S slobodni (pomiþan) kraj Brijeg se reflektira kao brijeg. Val se odbije s istom fazom, tj.nema skoka u fazi. 'M = 0 c) Huygensov princip širenja Valove þesto grafiþki opisujemo valnim frontama – plohama do kojih se val proširi do nekog momenta. Npr. kod ravnog vala: sferni val ýesto koristimo i valne zrake – pravci, tj. linije koje pokazuju smjer širenja vala (smjer transporta energije) ravni val sferni val Valne zrake su okomite na valne fronte u svakoj toþki sredstva.

upadni puls

reflektirani puls



Huygensov princip – svaka toþka medija koju pogodi valna fronta postaje izvor elementarnih (sfernih) valova, þija ovojnica daje novu valnu frontu d) Pojave s valovima d1) odbijanje (refleksija) Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i kut odbijanja jednak je kutu upada. D = E d2) lom (refrakcija) Val prelazi iz jednog medija u drugi. Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i vrijedi

121

2

sinsin

vnv

DE

21n - relativni indeks loma Frekvencija vala se ne mijenja pri prelasku iz jednog medija u drugi (to je karakteristika izvora). 1 2Q Q

1 2

1 2

v vO O

d3) interferencija Kad istovremeno dva ili više valova stigne u istu toþku prostora . Tad je rezultantno titranje vektorski zbroj pojedinih titranja, tj. rezultantna elongacija je 1 2y y y � - princip superpozicije Gledamo dva vala jednakih frekvencija i stalne razlike u fazi – koherentni valovi

1 2,I I - koherentni izvori

2 1r r r' � - razlika u hodu do toþke T Ako su valovi harmonijski tada je razlika u fazi titranja

2 rSMO

' '

Konstruktivna interferencija (pojaþavanje) Kad je 'r = 0, O, 2O … tj.

22

r m O' , m – cijeli broj

Razlika u hodu mora biti paran broj (2m) valnih polu-duljina Destruktivna interferencija (slabljenje)

Kad je 3 5, , ...

2 2 2r O O O

' tj.



� �2 12

r m O' �

Razlika u hodu mora biti neparan broj valnih polu-duljina. c1) stojni val Dobije se interferencijom upadnog i odbijenog vala Na žici duljine L uþvršüenoj na oba kraja: v – brzina širenja osnovni stojni: Udaljenost izmeÿu dva susjedna þvora (þestice

stalno miruju) je 2O

!

11 2

2L LO O o

11 2

v vL

QO

- osnovna frekvencija

Tek za tu frekvenciju dobijemo na žici stojni val. prvi pobuÿeni:

224 2

4 2v vLL L

O Q� o

2 2 12LO Q Q o

Udaljenost izmeÿu trbuha i susjednog þvora je 2

4O

! Za više harmonike je 1QQ nn , n = 2, 3, …

Zatvorena svirala, duljina L osnovni:

11 4

4L LO O o

1 4vL

Q

prvi pobuÿeni:

22

434 3

L LO O� o

2 34vL

Q

2 13Q Q . Opüenito je 1)12( QQ � nn , n = 2, 3, ... e) valovi zvuka Longitudinalni valovi u mediju. Ljudsko uho reagira na frekventni raspon 16Hz – 20000Hz. e1) razina zvuka, L Intezitet zvuþnog vala (snage P na površini S) je

2 20

12

PI Y vS

Z U .

v – brzina širenja zvuka 0Y - amplituda titranja þestica

cvortrbuh

1

4O

L

L

134O�

L

ravnotezni polozaj cestica

cvorcvor

trbuh 1

2O



U - gustoüa medija 2TSZ - kružna frekvencija

Prag þujnosti – najmanji intezitet koji izazove osjet zvuka

120 210 WI

m�

Najjaþi zvuþni inteziteti koji još ne ošteüuju uho su približno 2~ 10 Wm

.

Uvodi se veliþina koju je uobiþajeno zvati razina zvuka, L

0

10 log ILI

>L@ = dB decibel Za sferni val je

2

1~Ir

tj.

2

1 2

2 1

I rI r

§ · ¨ ¸© ¹

r – udaljenost od izvora zvuka e2) Dopplerov efekt

Neka se po pravcu jednolikom brzinom iv giba izvor zvuka (npr. ambulantni automobil s ukljuþenom sirenom po autoputu) kojemu je frekvencija fi. Neka se maturant Tibor giba jednoliko po (paralelnom) pravcu brzinom pv (brzina promatraþa) koji opaža da je frekvencija izvora jednaka fp (Dopplerov efekt). Može se pokazati da je frekvencija koju registrira opažaþ (Tibor) jednaka

p

pip vv

vvff

��

gdje je v brzina zvuka. Predznake brzina u ovom izrazu valja uzeti na

sljedeüi naþin: iv , pv > 0 kad se izvor i promatraþ meÿusobno približavaju

iv , pv < 0 kad se izvor i promatraþ meÿusobno udaljavaju

IV. 3. Elektromagnetski valovi Iz Maxwellove teorije je slijedilo da se pomoüu LC – kruga (ubrzanog naboja) mogu stvoriti elektromagnetski valovi. Prvi ih registrira 1888 Herz. To je širenje promjenjivih elektriþnih i magnetskih polja (koja se meÿusobno proizvode) u prostoru. Nije potreban nikakav medij (sredstvo) za njihovo širenje. To su transverzalni valovi.

( ) ( )E t B tAJG JG

kG

- valni vektor kojemu je modul 2k SO

( )E t kAJG G

( )B t kAJG G



( )E tJG

- vremenski ovisan vektor jakosti elektriþnog polja

( )B tJG

- vremenski ovisan vektor magnetske indukcije Brzina širenja tih valova ovisi o sredstvu u kojem se šire. U vakumu je

8

0 0

1 3 10 mcsH P

��

Trenutne vrijednosti jakosti elektriþnog E(t) i magnetskog B(t) polja su povezane relacijom

E cB

Spektar EM-valova:

radio - valovi

mikro - valovi

infracrveni

vidljiva svjetlost

ultraljubicasti valovi

x - zrake

- zrake

410

110�

310�

410�

77 10��

74 10��810�

106 10��

1210�

1410�

0.3

7~ 7 10��7~ 6 10��

7~ 5.5 10��7~ 4.5 10��

7~ 4 10��

crvenanarancastazelena plavaljubicasta

mO



V. OPTIKA

Svijetlost – elektromagnetski val kojemu je valna duljina od a 77,5 10 m�� do a 74 10�� m. Ljudsko oko je najosjetljivije na valnu duljinu zelene boje 75,5 10 m�� V. 1. Valna optika Uzima u obzir þinjenicu da je sjetlost val. Valne pojave: a) interferencija svjetlosti

1 2,I I - koherentni izvori

0S - centralni maksimum d – razmak izmeÿu koherentnih izvora L – udaljenost zastora od izvora s – razmak izmeÿu susjednih maksimuma O - valna duljina upotrebljene svjetlosti koherentni izvori su oni koji imaju: 1. stalna razlika u fazi 2. istu frekvenciju, odnosno valnu duljinu Što üe se dobiti u toþki T ovisi o razlici u hodu valova 2 1r r' � tj. o razlici u fazi

2SMO

' '

Uvjet maksimuma (svjetlo)

22

m mO O' � m = 0, 1, 2 ... cijeli broj

Uvjet minimuma (tama)

� �2 12

m O' �

Iz trokuta na crtežu slijedi

sinTxtgL

T T

sind

T '

ako se u toþki T dobije maksimum tada je ' = m O

� �TLx m m

dO

Udaljenost izmeÿu dva maksimuma je

� � � � � �1 1T TL LS x m x m m m

d dO O

� � � � ĺ LS

dO

. Dobili smo da razmak

izmeÿu pruga ne ovisi o m tj. razmak izmeÿu pruga je konstantan. Kažemo da su pruge ekvidistantne.

TLxd

� '

d

r

r1

2

S0

xT

I1xT

L

I2

preokrenuti zastor

zastor

max

max

max

max

max

min

min

min

S



a1) optiþka razlika u hodu Ukoliko se valovi šire u nekom sredstvu indeksa loma n, ili doživljavaju refleksije na granici dvaju sredstava, tada je za pojavu interferencije bitna pojava optiþka razlika u hodu. n r n rE � � o2 2 1 1 (razlika u hodu zbog refleksije)

Refleksija na þvrstom kraju: skok u fazi za S 'M = S

ili u hodu za 2O

Refleksija na mekom kraju: nema skoka u fazi 'M = 0 ili u hodu 0 a2) boja tankih listiüa optiþka razlika u hodu

� � � �

1 1

opt. put 2 opt. put1

2 22 2

n d n d

G

O O

�

§ · § · � � ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹

Uvjet minimuma reflektirane svjetlosti

� �2 12

m OG �

Debljina sredstva indeksa loma 1n za koju üe se reflektirani valovi poništiti

� �12 2 12mn d m O

�

� �1

2 14

d mnO

�

Minimalna debljina se dobije za m = 0:

014

dnO

b) ogib (difrakcija svjetlosti) ýinjenica je da svjetlost prodire u podruþije geometrijske sjene. Npr. to se dogaÿa kod prolaza svjetla kroz usku pukotinu. Huygensov princip objašnjava pojavu zraka svijetlosti koje su otklonjene od upadnog smjera (zrake koje su doživjele ogib). Te zrake mogu interferirati i u geometrijskoj sjeni dati svjetlo-maksimum. b1) Difrakciona rešetaka To je niz od N pukotina smještenih na meÿusobnoj udaljenosti l (crtež na sljedeüoj stranici).

n1

n2 n1>

d

1 1

cvrsti

cvrsti

svjetlo

tama

tama



d – konstanta optiþke rešetke

ldN

uvjet maksimuma: sin md mD O m = 0, 1, 2 … cijeli broj

mD - kut izmeÿu upadnog smjera i smjera m -tog maksimuma Kako je

sin 1mmdOD d

dmO

d - najviši red maksimuma kojeg može dati difrakciona rešetka

Ukupni broj maksimuma jednak je 2m + 1. c) polarizacija svjetlosti polarizirani val – postoji istaknuta ravnina titranja Svjetlost je transverzalni val. Svjetlo iz žarulje ili neonske cijevi u sobi nije polarizirano. Dobivanje polariziranog vala: I. prolaskom kroz kristale (dvolomce) Pojavljuju se dvije zrake:

- obiþna – djelomiþno polarizirana - neobiþna – potpuno (linearno) polarizirana

II. refleksijom – Brewstrov zakon Reflektirana zraka je potpuno polarizirana ukoliko je kut izmeÿu reflektirane i lomljene zrake jednak 90q. ' 90°D E� 'D D Zakon loma:

2

1

sinsin

nn

DE

� �sin sin 90°- cosE D D

2

1

sincos

nn

DD

2

1

ntgn

D . Kut D za kojega vrijedi poluþena relacija zove se Brewsterov kut.

Optiþki aktivne tvari – zakreüu ravninu polarizacije (npr. otopina šeüera)

linearnopolariziran

oznaka

nn

1

2

'



V. 2. Geometrijska optika Zanemarujemo þinjenicu da je svjetlost val. Opisujemo pojave pomoüu valnih zraka. a) Zakoni geometrijske optike I. Zakon pravocrtnog širenja U homogenom i izotropnom mediju svjetlost se širi pravocrtno. II. Zakon odbijanja (refleksije) Upadna zraka, normala i odbijena zraka leže u istoj ravnini i kut odbijanja jednak je kutu upada. E = D III. Zakon loma (refrakcije) Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i omjer sinusa upadnog kuta i sinusa kuta loma je konstanan tj.

21sinsin

nDE - Snellov zakon

21n - relativni indeks loma Koristeüi Huygensov princip može se pokazati da je

121

2

vnv

1v - brzina svjetlosti u prvom sredstvu

2v - brzina svjetlosti u drugom sredstvu Ukoliko je upadno sredstvo vakuum indeks loma se naziva apsolutnim indeksom loma.

cnv

Tako je

11

cnv

22

cnv

Snellov zakon loma možemo zapisati u obliku:

2

1

sinsin

nn

DE 21n

IV. Zakon nezavisnosti svjetlosnih snopova Nakon susreta svjetlosni snopovi se šire dalje bez ikakvih promjena u odnosu na upadne snopove.

sredstvo 1sredstvo 2

nn

v

v

1

1

2

2



b) Zrcala Izglaþana površina – ravna ili sferna b1) ravno zrcalo slika: - virtualna (dobije se kao presjecište produžetaka odbijenih

zraka) - uspravna (2c ispod 1c kao što je 2 ispod 1) - jednake veliþine x = – xc Slika je jednako udaljena od zrcala kao i predmet. Zrcalo je stigmatiþno – od toþke predmeta stvara toþku sliku. Stvara se zrcalno simetriþna slika. b2) sferna zrcala udubljeno (konkavno) ispupþeno (konveksno) C – središte zakrivljenosti plohe T – tjeme (najudubljenija ili najispupþenija toþka) R – radijus (polumjer) zakrivljenosti plohe zrcala Sferno zrcalo nije strogo stigmatiþno no za paraaksijalne zrake (blizu su glavne optiþke osi i s njom zatvaraju male kuteve) dobivamo dobru aproksimaciju stigmatiþnosti – Gaussova aproksimacija. Konstrukcija slike: fokus (F) – toþka na glavnoj optiþkoj osi kroz koju prolaze (realno ili virtualno) sve reflektirane zrake, koje su upadale paralelno glavnoj optiþkoj osi. f TF{ - žarišna (fokalna) duljina Zraka koja upada kroz fokus nakon refleksije ide paralelno optiþkoj osi. Zraka koja upada kroz središte zakrivljenosti C, nakon refleksije ide po istom pravcu u suprotnom smjeru. Zraka koja upada u tjeme odbija je simetriþno s obzirom na glavnu optiþku os. konkavno: realno žarište, f > 0 Kad je x > f slika je: - realna - obrnuta - uveüana za f < x < 2f - jednaka za x = 2f

umanjena za x > 2f

x x´

1 1´

2 2´

T

f

FT

FT BYA

x

x´

f

A´

B´

y´



kad je x < f slika je: - virtualna - uspravna - uveüana Konveksno: virtualno žarište, f < 0 slika je: - virtualna - uspravna - umanjena za sve x > 0 Jednadžba sfernog zrcala x – udaljenost predmeta od zrcala (tjemena) x´ - udaljenost slike od zrcala (tjemena) f – žarišna duljina Iz trokuta 'TAB i 'T´A´B´ se može dobiti relacija – jednadžba sfernog zrcala

1 1 1

´x x f� 2

R , R – radijus zakrivljenosti

linearno poveüanje: y – visina predmeta y´ – visina slike

´ ´y xm

y x �

Omjer linearnih dimenzija slike i linearnih dimenzija predmeta Dogovor o predznacima: U gornje relacije veliþine uvrštavamo s: + predznakom – realne veliþine – predznakom – virtualne veliþine jedina razlika y´ - kad je obrnut (realan) onda - - kad je uspravan (virtualan) onda + c) lom svjetlosti

Ako je 1 2n n! (slika) tad kažemo da je sredstvo 1 optiþki

gušüe od sredstva 2. Tad je D < E , zraka se lomi od okomice. Ako je 1 2n n� , tad je D > E, tj. lomi se k okomici.

FB

AA´

B´

FB

A

T

xx´

A´

B´



c1) totalna refleksija Pojava kad svijetlost: - dolazi iz optiþki gušüeg sredstva - kut upada veüi od gD Svjetlost se reflektira na graniþnoj površini natrag u isto sredstvo.

1

2

sinsin 90

g nn

D

q

1

2

sin gnn

D

c2) optiþka prizma

1 2A E E � - kut prizme n - indeks loma 1 2 AG D D � � - kut otklona (devijacije) – kut izmeÿu izlaznog i ulaznog pravca. Taj kut je minimalan, kada je zraka unutar prizme paralelna s osnovkom prizme tj. 2 1 1 2D D E E �

1 122

mm

AA GG D D � � �

122AA E E �

1

1

sinsin 2sin sin

2

m A

n A

GDE

�

Za A maleno je i mG maleno pa se može dobiti

( 1)m n AG � Disperzija Ako na prizmu upada bijela svijetlost zapaža se da se ona cijepa u spektar boja To je pojava disperzije. Kut loma ovisi o valnoj duljini, tj. indeks loma je ovisan o valnoj duljini – disperzija svjetlosti. Približno vrijedi eksperimentalna relacija

0 2( ) an nOO

�

0n , a – konstante buduüi da je C LJO O! � C LJn n� tad je iz zakona loma

sinsin

nDE

zakljuþujemo da je C LJE E!

nn 12

n 1

>

´> g

g =90°

´g



c3) leüe prozirna sredina omeÿena sfernim plohama (jedna može imati i beskonaþan radijus zakrivljenosti)

1 2,C C - središta zakrivljenosti ploha pravac 1 2,C C - središta zakrivljenosti ploha 0 – optiþko središte leüe konvergentna (sabirna) divergentna (rastresna) Promatraju se tanke leüe – debljina zanemariva Konstrukcija slike: Fokus (žarište) – toþka na glavnoj optiþkoj osi kroz koju prolaze sve lomljene zrake, ako su upadne bile, paralelne s glavnom optiþkom osi. Zraka koja upada kroz fokus nakon loma ide paralelno glavnoj optiþkoj osi. Zraka koja prolazi kroz optiþko središte leüe se ne lomi. Konvergentna: slika: - realna x > f - obrnuta - uveüana f < x < 2f

jednaka x = 2f umanjena x > 2f

- virtualna x < f - uspravna - uveüana

F

f

0C1C2

R1

R2

0C1C2

R1

R2

FF

FF0

F´F0B

Ay

x

f

A

B´

y´

x ´´



Divergentna: slika: - virtualna - uspravna - umanjena Jednadžba leüe Sliþno kao kod zrcala može se dobiti

1 1 1

´x x f� - jednadžba leüe

Pritom je jakost leüe j definirana s

1jf

, > @ 11j m dptm

� (dioptrija)

pritom za žarišnu duljinu vrijedi

1 2

1 1 11Lnf n R R

§ ·§ · � �¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹

Ln - indeks loma n – indeks loma okolnog sredstva R > 0 ako svjetlost putuje od plohe prema središtu zakrivljenosti linearno poveüanje:

´ ´y xm

y x{ �

Dogovor o predznacima: Isti kao kod sfernih zrcala!

F´F0B

Ax

fAB´x

´

´



VI. MODERNA FIZIKA VI. 1. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI Krajem 19., poþetkom 20 stoljeüa je opaženo da klasiþna Newtonova mehanika ne uspjeva objasniti neke od eksperimentalnih þinjenica. 1905. A. Einstein þini revolucionarni korak u pristupu. Postulati: A) Sve identiþne fizikalne pojave u inercijalnim sistemima referencije uz identiþne

poþetne uvjete protjeþu na isti naþin (postulat opüe relativnosti). B) Brzina svjetlosti u vakumu je jednaka u svim smjerovima i u bilo kojem podruþju

datog inercijalnog sistema referencije i jednaka je u svim inercijalnim sistemima referencije (postulat konstantnosti brzine svijetlosti).

Posljedice su mnogobrojne: o Prostor i vrijeme su povezani o Relativnost istovremenosti o Relativnost vremenskih signala

2

2

´

1

ttVc

''

�

- (dilatacija vremena)

V - brzina jednog ISR-a u odnosu na drugi 't´ - vremenski interval izmeÿu dogaÿaja mjeren u istoj toþki prostora jednim satom (vlastito vrijeme) 't – vremenski interval izmeÿu dogaÿaja mjeren u dvjema razliþitim toþkama prostora (dva sata) o Relativnost duljina (kontrakcija duljine)

2

0 21 VL Lc

�

0L - mjereno u sustavu mirovanja štapa L – mjereno u sustavu u odnosu na koji se štap giba brzinom V o Pokazuje se da se neke veliþine, poput energije E i koliþine gibanja p

JG moraju preciznije

definirati

2

2

21

mcEVc

�

- ukupna energija tijela

2

21

mVpVc

�

JGJG - koliþina gibanja

Pritom su one povezane fundamentalnom relacijom 2 2 2 2 4E p c m c � Odavde za V = 0 slijedi 2

0E mc - energija mirovanja Sliþno za m = 0 E = p c – npr. za fotone



VI. 2. ZRAýENJE CRNOG TIJELA Zraþenje koje pada na neko tijelo obiþno se djelomiþno: - reflektira - apsorbira - transmitira Tijelo koje ima osobinu da ukupno zraþenje koje na njega pada apsorbira nazivamo apsolutno crno tijelo. oApsolutno crno tijelo ima koeficjent apsorpcije D = 1 U termodinamiþkoj ravnoteži svako tijelo emitira onoliko energije koliko i apsorbira. a) Stefan-Boltzmannov zakon

o Intezitet zraþenja (energija koju emitira 1 2m površine crnog tijela u 1s) proporcionalan je s 4T .

I = V 4T , 82 45.67 10 W

m KV � � - Stefan-Boltzmannova konstanta

o Ukupna snaga zraþenja površine S je P = V S 4T b) Wienov zakon Grafiþki prikaz eksperimentalnih rezultata mjerenja inteziteta zraþenja IO u ovisnosti o valnoj duljini O, pri razliþitim temperaturama T, dat je na crtežu. o Zapaža se da porastom temperature maksimum krivulje odgovara manjoj valnoj duljini. 2 1T T! o 2 1m mO O�

mO - valna duljina na kojoj crno tijelo emitira najviše energije. Wien je došao do zakljuþka da je produkt apsolutne temperature crnog tijela i valne duljine na kojoj crno tijelo zraþi najviše energije jednak konstanti koja ne ovisi o temperaturi: m T CO � gdje je 32.9 10C Km� � - Wienova konstanta koja je odreÿena mjerenjem. b1) Planckova hipoteza Iz klasiþne teorije zraþenja crnog tijela je sljedilo da ono emitira beskonaþno energije o besmisleno!! Izlaz nalazi Planck 1900. (14 prosinca). Postavlja hipotezu da crno tijelo emitira ili apsorbira energiju samo u odreÿenim porcijama, kvantima energije (diskontinuirano). o Energija jednog kvanta proporcionalna je frekvenciji emitiranog elektromagnetskog vala (kvant se naziva fotonom) fE h Q � gdje je 346.626 10h J s� � � Planckova konstanta koja je odreÿena mjerenjem. o Ukupna energija za datu frekvenciju može se napisati kao E = N Ef = N h Q N = 0, 1, 2 … - cijeli broj o Koristeüi tu hipotezu, Planck izvodi svoj zakon zraþenja

2

5

2 1

1hckT

hcIe

OO

SO

�

koji izvanredno opisuje eksperimentalne rezultate. Dakako, ovaj izraz ukljuþuje i Wienov rezultat o zraþenju crnog tijela.

transmitiranoupadno

apsorbirano

reflektirano



VI. 3. FOTOELEKTRIýNI EFEKT Ako se metalna ploþica (npr. cink) postavi na elektroskop i zatim negativno nabije onda se zapaža da svijetlost odreÿene frekvencije ima sposobnost da smanjuje negativan naboj te ploþice, tj. da iz nje izbacuje elektrone o fotoelektriþni efekt Kad ploþicu obasjava obiþna žarulja, naboj elektroskopa se ne mijenja bez obzira kakav intezitet ima upadna svijetlost obiþne žarulje. Za razliku od te svjetlosti, svijetlost živine lampe vrlo malog inteziteta ima sposobnost da vrlo brzo neutralizira elektroskop, tj. da izbaci negativni naboj iz cinþane ploþice. Prema klasiþnoj predodžbi svjetlosti kao vala, oþekivali bismo da poveþavanjem intezitetaobiþne svijetlosti üe rasti energija koju üe primati elektroni, tako da üe oni uz dovoljno velik intezitet poþeti izletati iz materijala o no to se ne opaža! o Svjetlost živine lampe, vrlo malog inteziteta izbacuje elektrone. Rješenje nalazi 1905. A. Einstein primjenjujuüi Planckovu hipotezu te rabeüi zakon saþuvanja energije. Foton nosi energiju hQ. Ona se djelomiþno troši za kidanje veza elektrona s okolnim pozitivno nabijenim ionima ( iW - izlazni rad), a ostatak se pretvara u kinetiþku energiju foto-elektrona kE . i kh W EQ � tj.

2

2imvh WQ � - Einstenova relacija

Frekvenciju svjetlosti za koju elektroni zapoþnu izlaziti iz metalne ploþice nazivamo graniþnom frekvencijom. g ih WQ Eksperimenti pokazuju da najveüa kinetiþka energija foto-elektrona linearno ovisi o frekvenciji: k iE h WQ � u savršenom slaganju s Einsteinovom relacijom. VI. 4. DUALNOST SVIJETLOSTI Svijetlost pokazuje osobine vala: - pojava interferencije - pojava difrakcije - pojava polarizacije ali i osobine þestice (korpuskule): - pojava fotoefekta - Comptonovo raspršenje (raspršenje svjetlosti na elekronu): Svijetlost ima znaþajke i jednog i drugog, tj. ona je dualne prirode (dakle dvojne prirode). U specijalnoj teoriji relativnosti su energija E, masa m i koliþina gibanja p povezane relacijom

2 2 4 2 2E m c p c � .

ioni

slobodni elektron

površinametala

fotonfE hQ

kE

iW

v

Zn plocicaobicna zaruljazivina lampa



Fotoni nemaju masu mirovanja 0fm o E = p c S druge strane, prema Planckovoj hipotezi imamo za fotone

cE h hQO

tj. hE cO

o hpO

.

p - koliþina gibanja (tipiþno korpuskularna karakteristika) O - valna duljna (tipiþno valna karakteristika)

VI. 5. DE BROGLIEVA HIPOTEZA – DUALNOST TVARI De Broglieva hipoteza: Svakoj þestici mase m i brzine v treba pridružiti valnu duljinu, koja opisuje valne osobine dane þestice, datu relacijom

h hp mv

O gdje su m masa þestice (tijela) i v brzina þestice (tijela).

Dakle, ne samo svjetlo nego sve þestice (ukljuþivo i tijela) imaju dualnu prirodu! 1927. Davisson i Germer, te G. Thomson mjerenjem pokazuju da elektroni doživljavaju difrakciju na kristalnoj rešetki tj. ponašaju se kao val u skladu s De Broglievom hipotezom. VI. 6. BOHROV MODEL ATOMA Krajem 19. stoljeüa intezivno se ispituju spektri atoma. Za vodik se dobivaju 4 linije u vidljivom dijelu spektra. Njihove duljine, odnosno pripadne frekvencije Balmer povezuje pomoüu jedne relacije

2 2

1 12

cRn

Q § · �¨ ¸© ¹

, n = 3, 4, 5, 6

R – konstanta Rydberga c – brzina svjetlosti o U atomskom svijetu postoji nekakva harmoniþnost. 1909. Rutherford nakon pokusa s bombardiranjem folije zlata D - þesticama, dolazi na ideju da predoþi atom kao sunþev sustav: pozitivna, teška jezgra o sunce negativni, lagani elektroni o planeti o nedostatak – elektroni koji se gibaju po kružnici morali bi zraþiti energiju te bi pali na jezgru za oko

810 s� .To je u suprotnosti s realnošüu jer znamo da atomi “žive” puno dulje. Izlaz nalazi Niels Bohr uvodeüi neke nove koncepte. Bohrovi postulati: 1) Postulat stacionarnih staza

Elektroni mogu boraviti samo na odreÿenim stazama – stacionarnim na kojima ne emitiraju energiju

2) Postulat emisije Elektroni emitiraju energiju kad prelaze s jedne stacionarne staze na drugu – energija emitiranog kvanta je m nh E EQ � , m > n gdje su energije elektrona na stacionarnim stazama ,m nE E .



3) Postulat kvantizacije momenta koliþine gibanja Moment koliþine gibanja elektrona može imati samo odreÿene vrijednosti dane relacijom:

2n e nhL r m v nS

� �

n – prirodan broj h – Planckova konstanta

nr - radijus n-te stacionarne staze

nv - brzina elektrona na n-toj stazi Promotrimo najjednostavniji atom – atom vodika. Coulombova sila igra ulogu centripetalne sile. c cpF F

2

2e n

n n

m ve ekr r�

o 2

2n

n e

ev kr m

Bohrov postulat (3) o 2n

n e

hv nr mS

, [=2hS

] pa se izraz za kvadrat brzine zapisuje

u obliku 2 2

22 2 24 n e n e

h en kr m r mS

otkuda dobivamo polumjere stacionarnih orbita elektrona

oko protona u vodikovom atomu

2

22 24n

e

hr nke mS

n = 1, 2, 3, ...

o Za radijus prve stacionarne staze dobijemo

2

101 2 2 0.5 10

4 e

hrke mS

� | � m - Bohrov radijus atoma

Radijusi ostalih stacionarnih staza su 2

1nr n r tj. 2 14r r , 3 19r r Na svakoj stazi, n, elektron ima energiju vezanja En. � � � �n k pelE E n E n �

� �2

2e n

km vE n

� �2

peln

eE n kr

� - potencijalna elektriþna

2 2 2 21 1

2 2n en e n n n

e e e eE m k k k kr m r r r

� �

21

2nn

eE kr

� tj. 2

21

1 12n

eE kn r

ª º �« »

¬ ¼

2

11

1 13.62

eE k eVr

� � - energija osnovnog stanja

12n

EEn

n = 1, 2, 3, ...

Valja uoþiti da se stacionarna orbita n = 1 u spektroskopiji obiþno oznaþava kao K ljuska, stacionarna staza n = 2 kao L ljuska, stacionarna staza n = 3 kao M ljuska itd. Energija osnovnog stanja elektrona u vodikovu atomu je negativna što je odraz þinjenice da je elektron vezan – dakle nije slobodan. Ionizacijom vodikova atoma se dobije slobodni elektron i slobodni proton. Energija ionizacije vodikova atoma u osnovnom stanju upravo je jednaka energiji veze elektrona u osnovnom stanju – dakle 13.6 eV.



Elektroni imaju diskretne vrijednosti energije (crtež) E1 = – 13.6 eV, E2 = – 3.4 eV, ... Uz pomoü drugog postulata

m nh E EQ � o 12 2

1 1Eh m n

Q § · �¨ ¸© ¹

što je u skladu s Balmerovom relacijom

12 2

1 12

Eh m

Q § · �¨ ¸© ¹

.

Pomoüu gornjih relacija mogu se objasniti serije karakteristiþnih linija vodikovog atoma. Intezitet tih linija teorija ne objašnjava. Rješenje daje kvantna mehanika razvijena u radovima: Wernera Heisenberga (1901. – 1976.) koji meÿu ostalim formulira princip neodreÿenosti

2=

t'' xpx

tj. fizikalno je nemoguüe istovremeno izmjeriti toþan položaj i toþnu koliþinu gibanja þestice ('x – neodreÿenost u položaju, xp' – neodreÿenost u koliþini gibanja) Erwin Schrödinger (1887. – 1961.) koji nerelativistiþkoj þestici (elektronu) pripisuje valnu funkciju \ koja zadovoljava Schrödingerovu jednadžbu H E\ \ . Paul Adrien Maurice Dirac (1902. – 1984.) koji relativistiþkom elektronu pripisuje Diracovu valnu funkciju D\ koja zadovoljava Diracovu jednadžbu ˆ

D D D DH E\ \ . Rješenja Diracove jednadžbe ,D DE \ ukljuþuju rješenja Schrödingerove jednadžbe kao specijalni sluþaj.

VI. 7. NUKLEARNA FIZIKA 1896. Henri Becquerel (1852. – 1908.) otkriva radioaktivnost uranove rude. Rutherford ispitivanjem pokazuje da postoje tri komponente radioaktivnog zraþenja: I) D - zrake – pozitivno nabijene II) E - zrake – negativno nabijene III) J - zrake – neutralne U Rutherfordovom modelu atoma pojavljuje se ideja o nuklearnoj jezgri koja sadrži gotovo svu masu atoma ali je za oko 510 puta manjih dimenzija od atoma tj. ima dimenzije oko 1510� m. Radioaktivnost atoma uzrokovana je promjenama u jezgri! Daljnja ispitivanja pokazuju sa se jezgra sastoji od dvije vrste þestica: - protona p, pozitivno nabijen (po dogovoru) pq e � , 271.672 10pm kg� � - neutron n, neutralan 0nq , 271.674 10nm kg� � Meÿusobno djeluju jakim nuklearnim silama koje su stotinjak puta jaþe od elektriþnih. Ako se zanemari mala razlika u masi i elektriþno meÿudjelovanje tada se te dvije þestice mogu smatrati ekvivalentnim o naziv nukleoni. Jezgre opisujemo: - masenim brojem A (broj nukleona ) - atomskim rednim brojem Z (broj protona) - brojem neutrona N = A – Z oznaþavamo ih obiþno simbolom A

Z X m kemijski simbol elementa a) Radioaktivni raspadi. Zakon radioaktivnog raspada a1) D - raspad - iz jezgre izlaze þestice sastavljene od dva protona ( 2q eD � ) i dva neutrona o jezgre helija

4 42 2 HeD {

E,eV0

-0.85-1.5

-3.4

-13.6 n = 1

n = 2

n = 4n = 3



Opüenito se raspad može zapisati kao 4 4

2 2A AZ ZX Y D�

�o � Energija tih D-þestica je oko 10 MeV a2) E - raspad Iz jezgre izlijeüu dvije vrste þestica: E � - elektroni koji nastaju raspadom neutrona

01 1 0

0 1 1 0 en p e Q��o � �

E � - pozitroni koji nastaju raspadom protona 1 1 0 0

1 0 1 0 ep n e Q��o � �

ýinjenica da nastale E - þestice mogu imati proizvoljnu energiju sugerirala je W. Pauliju da pretpostavi postojanje þestica neutrina ev koje su dvadesetak godina kasnije i eksperimentalno zapažene. Opüenito se E - raspad jezgre može zapisati u obliku: E011 B�o r YX A

ZZA

a3) J - raspad To su fotoni vrlo velikih frekvencija odnosno vrlo velikih energija (kvanti elektromagnetskog vala). Emitiraju ih pobuÿene jezgre (koje poput atoma imaju svoje energetske nivoe koji su praüeni prijelazima reda MeV-a) koje s višeg energetskog prelaze na niži energetski nivo. Opüenito se to zapisuje u obliku: 0

0Z AA ZX X J o �

gdje je ZAX� jezgra u pobuÿenom stanju.

a4) zakon radioaktivnog raspada

Neka u poþetnom trenutku imamo 0N jezgara koje se mogu raspadati na jedan od gore opisanih naþina. Broj jezgara koje üe se za vrijeme 't raspasti je oþito proporcionalan poþetnom broju jezgara 'N a N, vremenskom intervalu 'N a 't i oþito ovisi o vrsti jezgre. Tu ovisnost opisujemo konstantom raspada O koja karakterizira svaki radioaktivni element. 'N = –O N 't Predznak “–“ je zbog toga što se broj jezgara smanjuje tokom vremena. Uz pomoü integralnog raþuna dobivamo zakon radioaktivnog raspada: � � 0

tN t N e O� - broj neraspadnutih jezgara u trenutku t ýesto je zgodno uvesti vrijeme poluraspada 1/ 2T - za to vrijeme se pola od prisutnih neraspadnutih jezgara raspadne, odnosno pola se ne raspadne.

� � 01/ 2 2

NN T o 1/ 2ln 2 0.693TO O

Tada se zakon radioaktivnog raspada može zapisati i u obliku:

� � 1/ 20 2

tTN t N

�

Definiramo i veliþinu brzinu raspada, odnosno aktivnost

NA Nt

O' �

'

Broj raspada u jedinici vremena: [A] = 1Bq – Bekerel – jedan raspad u sekundi. Kako se broj neraspadnutih jezgara smanjuje tokom vremena, tako se smanjuje i aktivnost.

Iz 0 0A NO i � � � � 1/ 20 2

tTA t N t NO O

�

slijedi � � 1/ 20 2

tTA t A

�

� .



Analogan izraz vrijedi za masu neraspadnutih jezgara:

� � 1/ 20 2

tTm t m

�

� Broj raspadnutih jezgara do nekog trenutka je � � � �0RN t N N t � b) energija vezanja jezgre Usporedimo li masu nukleona prije nego formiraju jezgru

p nZ m N m� � � = Z mp + (A – Z) mn

[ 1.007276pm u 271 1.66054 10u � � kg – atomska jedinica mase

1.008662nm u , koristeüi relativistiþki izraz 20E mc o1u = 931.494 2

MeVc

]

s masom formirane, stabilne jezgre jm (Z, A) zapažamo da je

� � � �, 0p n jm Zm A Z m m Z A' � � � !

Uobiþajeno je 'm zvati defekt mase jezgre. Energiju, vE% , koja po Einstenovoj relaciji odgovara defektu mase

2vE m c' ' � � � � � 2,p m jZm A Z m m Z A cª º � � � �¬ ¼

nazivamo energijom vezanja jezgre. oDefiniramo srednju energiju vezanja po nuklenu

vs

EEA'

Krivulja ovisnosti sE o masenom broju (crtež) pokazuje maksimum kod izotopa jezgre 56

26 Fe . c) Nuklearne reakcije Promotrimo reakciju u kojoj se jezgra meta X bombardira þesticom a i kao rezultat toga nastaje jezgra küer Y i þestica b a + X o Y + b kraüi zapis X(a, b)Y Npr. prva umjetna reakcija 4 14 17 1

2 7 8 1He N O H� o � Vrijedi zakon oþuvanja masenog broja: Zbroj masenih brojeva na lijevoj strani reakcije jednak je zbroju na desnoj strani reakcije. Te zakon oþuvanja rednog broja: Zbroj rednih brojeva na lijevoj strani reakcije jednak je zbroju na desnoj strani.



Za sve sudare vrijede zakoni oþuvanja energije i koliþine gibanja. Kod neelastiþnih sudara mehaniþka energija nije oþuvana. Definiramo Q – vrijednost reakcije kQ E (konaþno) – kE (poþetno) tj.

� � 2a X Y bQ M M M M c � � �

Q > 0 – egzotermne < 0 – endotermne – potrebna energija praga da bi se ona poþela odvijati c1) Fuzija Proces spajanja lakih jezgara u teže, npr: 1 2 3 0

1 1 2 0 6H H He MeVJ� o � � Taj proces odgovoran za energiju zvijezda. c2) Fisija Proces cijepanja teških jezgara na lakše, npr 1 235 141 92 1

0 92 56 36 03n U Ba Kr n� o � � Zbog dinamiþke nestabilnosti teških jezgara, kad se one pogode sporim neutronom one se raspadnu na dvije srednje teške jezgre, pri þemu se oslobodi i poneki neutron. Postoji moguünost lanþane reakcije. Pritom se oslobaÿa i energija (nuklearni fisijski reaktor).


fizika - skripta copy

Documents