fizika - gaf.ni.ac.rsgaf.ni.ac.rs/fizika/doc/skripta/skripta_prvi_deo.pdf · predgovor ovaj skripta...

Univerzitet u NisuGradevinsko - arhitektonski fakultet

Gradevinski odsek

Fizika

J. Karamarkovic

Nis, 2005.

Predgovor

Ovaj skripta nastala je na osnovu istoimenog udzbenika koji se pojavio ove godine.

Kao skracena verzija udzbenika, ona je namenjena studentima Gradevinskog odseka

Gradevinsko-arhitektonskog fakulteta u Nisu, i u potpunosti odgovara novom nastavnom

programu.

Za veliku pomoc u tehnickoj pripremi skripte dugujem zahvalnost svom kolegi dr

Cedomiru Maluckovu, docentu Tehnickog fakulteta u Boru. Zahvaljujem se recenzentima

udzbenika, prof. dr Momcilu Pejovicu i prof. dr Miodragu Radovicu na korisnim sugesti-

jama koje su podigle kvalitet udzbenika i skripte, kao i bivsem saradniku Gradevinsko-

arhitektonskog fakulteta Zoranu Stojiljkovicu, za izradu velikog broja pocetnih verzija

slika.

U Nisu 1.10.2005.g. J. Karamarkovic

1

Sadrzaj

Uvod 7

Fizicke velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Priroda fizickih velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Osnovni modeli u fizickim teorijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Oscilacije i talasi 9

1.1 Harmonijske oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Linearni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Realni oscilatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Energija linearnog harmonijskog oscilatora . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4 Slaganje harmonijskih oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.5 Razlaganje oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Prigusene oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Prinudne oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Vrste talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.2 Brzina prostiranja mehanickih talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.3 Jednacina sinusnog progresivnog talasa . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.4 Energija i intenzitet talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.5 Interferencija talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.6 Stojeci talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Talasi u Zemljinom omotacu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.1 Grada Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.2 Seizmicki talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Akustika 37

2.1 Osnovne karakteristike zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Zvucni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Intenzitet i nivo zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Subjektivna jacina zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 Akustika prostorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.1 Apsorpcija zvuka. Vreme reverberacije . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.2 Apsorberi zvuka - materijali i konstrukcije . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6 Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od buke . . . . . . . . . . . . 46

2.6.1 Buka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3

4 Sadrzaj

2.6.2 Karakteristike buke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6.3 Prihvatljivi nivoi buke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6.4 Izolaciona mocmaterijala i veza sa akustickom izolovanoscu prostorije 49

2.7 Ultrazvuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Elektromagnetni talasi i optika 55

3.1 Elektromagnetni talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Dualisticka priroda elektromagnetnog zracenja . . . . . . . . . . . . 56

3.1.2 Spektar elektromagnetnih talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.3 Energija elektromagnetnih talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Svetlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.1 Spektar vidljive svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.2 Odbijanje svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.3 Prelamanje svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.4 Razlaganje (disperzija) svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.5 Boja tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Infracrvena i ultraljubicasta svetlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4 Oko i videnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4.1 Grada oka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4.2 Proces videnja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.3 Spektralna osetljivost oka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5 Svetlosni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.6 Fotometrija i osvetljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.1 Fotometrijske velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.2 Fotometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7 Fizicka (talasna) optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7.1 Interferencija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7.2 Difrakcija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.7.3 Polarizacija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 Toplota 91

4.1 Temperatura i toplota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Merenje temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.1 Temperaturske skale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.2 Termometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Zakoni sirenja cvrstih i tecnih tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.1 Zakon linearnog sirenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.2 Povrsinsko sirenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.3 Zapreminsko sirenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.4 Termicko naprezanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4 Gasni zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4.1 Jednacina stanja idealnog gasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4.2 Bojl-Mariotov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.3 Gej-Lisakov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.4 Sarlov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Sadrzaj 5

4.4.5 Avogadrov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4.6 Daltonov zakon parcijalnih pritisaka . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5 Kalorimetrijska jednacina. Specificne toplote . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.6 Promene agregatnih stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.7 Dijagram stanja. Trojna tacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.8 Van der Valsova jednacina stanja za realne gasove. Kondenzacija realnih

gasova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 Jednosmerne i naizmenicne struje 107

5.1 Intenzitet i gustina struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2 Omov zakon. Elektricna provodnost

i otpornost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3 Dzulov zakon. Snaga elektricne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4 Elementi elektricnih kola stalne jednosmerne struje . . . . . . . . . . . . . 110

5.4.1 Generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4.2 Otpornici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.4.3 Ampermetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4.4 Voltmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.5 Resavanje prostih i slozenih kola. Kirhofovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . 115

5.6 Vitstonov most . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.7 Naizmenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.7.1 Elementi kola naizmenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.7.2 Redno RLC kolo. Impedansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.8 Snaga naizmenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.9 Elektricni transformatori. Prenos elektricne energije . . . . . . . . . . . . . 124

5.9.1 Generatori elektricne struje. Trofazne struje . . . . . . . . . . . . . 126

5.10 Nacini dobijanja elektricne energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6 Transportni procesi 131

6.1 Prenosenje toplote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.2 Provodenje toplote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.2.1 Osnovne postavke provodenja toplote . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.2.2 Provodenje toplote kroz jednoslojni zid . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2.3 Provodenje toplote kroz viseslojni zid . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2.4 Prenosenje toplote kroz zid okruzen fluidima . . . . . . . . . . . . 137

6.3 Prenosenje toplote strujanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.4 Prenosenje toplote zracenjem. Zakoni zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.5 Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.6 Vlaznost vazduha. Kondenzovanje vodene pare u atmosferi . . . . . . . . . 146

6.7 Difuzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.8 Difuzija i kondenzacija vodene pare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.8.1 Difuzija vodene pare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.8.2 Kondenzacija vodene pare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6 Sadrzaj

7 Nuklearna fizika 155

7.1 Sastav i osobine jezgra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.2 Defekt mase i energija veze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.3 Prirodna radioaktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.3.1 Zakon radioaktivnog raspada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.3.2 Aktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.3.3 Radioaktivni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.3.4 Radijum i radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.4 Jonizujuca zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.4.1 Alfa zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.4.2 Beta zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.4.3 Gama zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.4.4 Rendgensko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.4.5 Neutronsko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.4.6 Kosmicko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.5 Dozimetrija jonizujuceg zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.6 Uticaj zracenja na organizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.7 Detekcija jonizujuceg zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Uvod

Fizicke velicine

Fizicka velicina je parametar koji kvantitativno opisuje neki fizicki proces. Postoje

osnovne i izvedene velicine. Izvedene su one velicine koje se mogu izvesti iz osnovnih,

dok se osnovne ne mogu izvoditi. Tako na primer u geometriji postoji samo jedna os-

novna fizicka velicina - duzina, dok se sve ostale, povrsina, zapremina, ugao, prostorni

ugao, mogu izvesti iz nje. U kinematici, osnovne velicine su duzina i vreme, dok su izve-

dene brzina, ubrzanje, ugaona brzina, ugaono ubrzanje. U dinamici postoje tri osnovne

velicine, duzina, vreme i masa, dok su izvedene impuls, sila, moment impulsa, moment

sile, energija, rad, snaga, itd.

Osnovnih fizickih velicina ima sedam, i one su, zajedno sa svojim jedinicama, prikazane

u tabeli 1.

Tabela 1. Osnovne fizicke velicine Intenacionalnog sistema jedinica (SI).

naziv osnovne velicine oznaka jedinica oznaka

duzina L metar m

masa m kilogram kg

vreme t sekunda s

jacina elektricne struje I amper A

termodinamicka temperatura T kelvin K

svetlosna jacina Iv kandela cd

kolicina supstancije N mol mol

Svaka fizicka velicina ima svoju dimenziju, po kojoj se razlikuje od drugih. Osnovne

fizicke velicine definisu osnovne dimenzije, dok se dimenzije izvedenih fizickih velicina

izvode na osnovu njih. Npr. dimenzija brzine je dimenzija duzine kroz dimenziju vremena:

[v] =[L]

[t],

a dimenzija sile ima dimenziju mase umnozenu dimenzijom duzine a sve to podeljeno

dimenzijom vremena na kvadrat:

[F ] =[m] · [L]

[t]2,

7

8 Osnovni modeli u fizickim teorijama

i tako dalje. Izuzetno, mogu postojati i razlicite izvedene fizicke velicine sa istom dimen-

zijom. Npr. postoje razlicite bezdimenzione velicine: ugao, prostorni ugao, indeks prela-

manja, itd. Takode, npr. i pritisak i normalni napon imaju dimenziju sila kroz povrsinu,

a rad, energija i moment sile imaju dimenziju sile pomnozenu dimenzijom duzine.

Priroda fizickih velicina

Za opisivanje nekih fizickih velicina dovoljno je poznavati jedan broj. Primer za to je

temperatura koja se meri na nekom mestu. Ovakve fizicke velicine nazivaju se skalarne

velicine ili prostije skalari. Ukoliko je za poznavanje neke fizicke velicine potrebno poz-

navati njen intenzitet, pravac i smer, ili, ekvivalentno, vrednosti tri koordinate, onda se

takve velicine nazivaju vektorske velicine ili vektori. Osim skalara i vektora, postoje i

slozenije fizicke velicine, koje se nazivaju tenzorske velicine ili tenzori. Tenzor je velicina

koja svakom vektoru pridruzuje drugi vektor koji nije kolinearan sa datim vektorom, i za

njegovo poznavanje potrebno je poznavati devet skalarnih odnosno tri vektorske velicine.

Osnovni modeli u fizickim teorijama

Jedan od osnovnih pojmova mehanike je materijalna tacka. To je telo koje nema

dimenzija, ali ima masu, i u svakom trenutku se poklapa sa nekom tackom prostora.

Materijalna tacka predstavlja idealizaciju koja u realnosti ne postoji.

Tela cije su dimenzije zanemarljivo male u poredenju sa dimenzijama trajektorije po

kojoj se telo krece zovemo cestice (ili materijalne tacke u fizickom smislu).

Skup fizickih objekata od kojih se svaki moze tretirati kao cestica zove se sistem cestica.

Ukoliko se medusobna rastojanja cestica u sistemu ne mogu menjati, onda se takav sistem

naziva kruto telo.

Ukoliko je broj cestica u sistemu vrlo veliki, onda se pristupa jos jednoj idealizaciji

koja se naziva neprekidna (kontinualna) sredina ili kontinuum. To je materijalna sredina

u kojoj je materija rasporedena kontinualno, tj. svakoj tacki prostora koji se posmatra

mogu se pridruziti neke fizicke velicine (gustina, brzina, pritisak...).

Glava 1

Oscilacije i talasi

Periodicno kretanje je kretanje cestice pri kome ona posle konacno dugog vremena

iznova prolazi kroz svaku tacku svoje putanje. Vreme potrebno da se kretanje ponovi

naziva se period i obelezava sa T . Najjednostavniji primer periodicnog kretanja je rotacija

planeta oko Sunca.

Ukoliko je putanja po kojoj se cestica krece otvorena, onda se cestica naizmenicno

nalazi sa jedne i druge strane ravnoteznog polozaja, a ovakvo kretanje se naziva oscilatorno

kretanje, ili krace oscilacije.

1.1 Harmonijske oscilacije

Najjednostavniji slucaj oscilatornog kretanja je kada se koordinata kojom se opisuje

polozaj cestice koja se krece izrazava pomocu prostih harmonijskih funkcija, sinusa i

kosinusa. Ovakvo oscilovanje naziva se prosto haronijsko oscilovanje, a cestica koja vrsi

ovakvo kretanje naziva se linearni harmonijski oscilator (LHO).

1.1.1 Linearni harmonijski oscilator

Posmatrajmo cesticu mase m koja moze da

xO

mF

a)

xO

m F

b)

Slika 1.1. Restituciona sila koja delujena cesticu mase m: a) kada je cestica napozitivnom delu x-ose, b) kada je cesticana negativnom delu x-ose.

se krece samo po pravoj liniji. Postavimo x

osu duz ove prave tako da se ravnotezni polozaj

nalazi u koordinatnom pocetku. Neka, kao na

slici 1.1, na cesticu deluje sila koja je usmerena

prema ravnoteznom polozaju i proporcionalna

je elongaciji. Takva sila naziva se restituciona

sila, i matematicki se izrazava kao

F = − k x. (1.1)

Tada drugi Njutnov zakon glasi:

ma = mx = −k x. (1.2)

Ako konstantu k izrazimo preko nove konstante ω kao:

k = m · ω2, (1.3)

9

10 Glava 1. Oscilacije i talasi

onda se (1.2) pretvara u diferencijalnu jednacinu:

x+ ω2 x = 0 (1.4)

cije je resenje oblika:

x(t) = x0 sin(ω t+ ϕ), (1.5)

gde su:

x(t) - trenutno udaljenje cestice od ravnoteznog polozaja (elongacija),

x0 - maksimalno udaljenje cestice od ravnoteznog polozaja (amplituda),

ω - ugaona ucestanost (ugaona frekvencija),

t - nezavisna promenljiva - vreme,

ϕ - pocetna faza.

Jednacina (1.5) naziva se jednacina linearnog harmonijskog oscilatora i predstavlja

jednacinu koja opisuje oscilovanje, tj. daje zavisnost elongacije od vremena. Dakle,

mozemo reci da ako na neku cesticu deluje restituciona sila oblika (1.1), onda cestica vrsi

osilatorno kretanje. Grafik funkcije (1.5) za ϕ = 0 prikazan je na slici 1.2.

T

x

x0

-x0

t

Slika 1.2. Zavisnost elongacije linearnog harmonijskog oscilatora od vremena.

Ugaona velicina1

Φ = ω t+ ϕ (1.6)

odreduje trenutni polozaj cestice i naziva se faza oscilovanja. Ugaona ucestanost ω

povezana je sa periodom oscilovanja T relacijom:

ω =2π

T, (1.7)

gde je period T vreme potrebno da se izvrsi jedna puna oscilacija, kao sto se vidi sa slike

1.2. Koristeci vezu perioda i obicne (tzv. linijske) ucestanosti ν, koja predstavlja broj

oscilacija u jedinici vremena, moze se uspostaviti veza izmedu dveju ucestanosti:

T =1

ν⇒ ω = 2πν. (1.8)

Ugaona velicina ϕ naziva se pocetna faza jer odreduje polozaj cestice u pocetnom

trenutku

ϕ = Φ(t = 0) ⇒ x(t = 0) = x0 sinϕ,

i nalazi se u opsegu [0, 2π] ili u opsegu [−π, π].

1Bezdimenziona velicina koja predstavlja argument trigonometrijske funkcije i izrazava se u jedinicama

za ugao, tj. radijanima ili stepenima.

1.1. Harmonijske oscilacije 11

0T 0.5T 1T 1.5T 2T

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

t

xt

vt

at

(),

(),

()

ubrzanje ( )a t

brzina ( )v telongacija ( )x t

Slika 1.3. Uporedne zavisnosti elongacije, brzine i ubrzanja linearnog harmonijskog oscilatora

od vremena.

Brzina cestice koja osciluje moze se odrediti diferenciranjem izraza (1.5) po vremenu:

v =dx

dt= x = ω x0 cos(ω t+ ϕ), (1.9)

a ubrzanje jos jednim diferenciranjem:

a =dv

dt= v = x = −ω2x0 sin(ω t+ ϕ) = −ω2 x(t) (1.10)

Grafici elongacije, brzine i ubrzanja LHO prikazani su na slici 1.3.

1.1.2 Realni oscilatori

Kao primer oscilatornog sistema razmotricemo slucaj tega mase m okacenog o oprugu

konstante (koeficijenta krutosti) k. Konstanta opruge izrazava elasticna svojstva opruge2

i predstavlja faktor proporcionalnosti izmedu elasticne sile u opruzi i njenog izduzenja.

Ako oprugu opteretimo silom F , ona ce se izduziti za rastojanje x, tako da elasticna sila

u oprugi k · x uravnotezi spoljnu silu F . Dakle:

F = k x ⇒ k =F

x, (1.11)

tj. konstanta opruge brojno je jednaka sili koja izvrsi jedinicno izduzivanje opruge. Zbog

toga se ova konstanta naziva i direkciona sila, iako to nije fizicka velicina koja predstavlja

silu, vec ima dimenzije N/m tj. kg/s2. U slucaju okacenog tega mase m, spoljasnja sila

je tezina tega mg i ona je uravnotezena elasticnom silom u opruzi kxs, gde je xs tzv.

staticko izduzenje opruge (slika 1.4):

mg = kxs ⇒ xs =mg

k. (1.12)

Ako se na teg u miru deluje nekom dodatnom silom i on izvede iz ravnoteznog polozaja,

pojavice se nekompenzovana elasticna sila opruge koja ima oblik restitucione sile i koja

2Krutost i elasticnost su dva suprotna pojma, sto je vece k opruga je manje elasticna.


xs

x0

x0m

m

m

0

x

d)a) b) c)

Slika 1.4. Sistem opruga-teg: a) neistegnuta opruga; b) staticko izduzenje opruge; c) i d)amplitudni polozaji harmonijskog oscilovanja.

izaziva oscilovanje oko ravnoteznog polozaja (polozaja staticke ravnoteze), pa se sistem

opruga-teg u oscilovanju naziva i harmonijsko klatno. Dinamicka jednacina sada glasi:

mx = mg − kx = −k(x− xs) (1.13)

gde je x rastojanje koje se meri od polozaja neistegnute opruge. Resenje ove diferencijalne

jednacine je

x = xs + x0 sin(ω t+ ϕ), (1.14)

dakle, dobijaju se oscilacije oko polozaja staticke ravnoteze. Ovaj ravnotezni polozaj

harmonijskog klatna, meren od polozaja neistegnute opruge, zavisi od mase tega, i utoliko

je veci ukoliko je masa tega veca, a konstanta opruge manja, sto se vidi iz jednacine (1.12).

Drugi primer linearnog harmonijskog

qmax q

q

m m

Q

QnQ

t

a) b)

x0

Slika 1.5. Matematicko klatno: a) amplitudni iravnotezni polozaj; b) analiza sila.

oscilatora je matematicko klatno. Ma-

tematicko klatno cini cestica mase m

okacena o neistegljiv konac duzine l zane-

marljive mase, slika 1.5.a. Ako se cestica

izvede iz ravnoteznog polozaja, otpocece

njeno oscilovanje po delu kruzne putanje

pod uticajem tezine cestice. Ukoliko pret-

postavimo da je ugao maksimalnog otk-

lona θmax mali, tada se kretanje po delu

kruzne putanje moze aproksimirati kretan-

jem po pravoj liniji, tj. tangenti kruzne putanje, tj. vazi (slika 1.5.b):

sin θ ≈ θ ≈ tan θ =x

l. (1.15)

Sada se za tangencijalnu komponentu tezine moze napisati:

Qt = −Q sin θ ≈ mgx

l= −kx (1.16)

Vidi se da Qt ima oblik restitucione sile3, tj. izazivace oscilacije cestice. Uocava se takode

da je konstanta matematickog klatna, tj. koeficijent proporcionalnosti izmedu restitucione

3Za razliku od harmonijskog klatna (tj. sistema opruga-teg) kod koga je ulogu restitucione sile igrala

elasticna sila u opruzi, jasno je da kod matematickog klatna ulogu restitucione sile preuzima gravitaciona

sila, tj. njena tangencijalna komponenta.


sile i elongacije:

k =mg

l, (1.17)

odakle mozemo odrediti period oscilovanja matematickog klatna kao:

k = mω2 =mg

l⇒ ω =

√

g

l=

2π

T⇒ T = 2π

√

l

g. (1.18)

1.1.3 Energija linearnog harmonijskog oscilatora

Cestica koja vrsi harmonijsko oscilatorno kretanje poseduje kineticku i potencijalnu

energiju. Posto se kineticka energija definise kao polovina proizvoda mase tela i kvadrata

njegove brzine, koristeci (1.9) dobijamo:

Ek =mv2

2=

1

2mx2

0 ω2 cos2(ω t+ ϕ) =

k x20

2cos2(ω t+ ϕ). (1.19)

Posto je restituciona sila koja izaziva oscilatorno kretanje potencijalna, njena poten-

cijalna energija se moze izraziti kao:

Ep =k x2

2=

1

2mω2 x2

0 sin2(ω t+ ϕ) =k x2

0

2sin2(ω t+ ϕ) (1.20)

Lako je uociti da je ukupna energija cestice, koja se odreduje sabiranjem kineticke

i potencijalne energije, konstantna, tj. ne zavisi od vremena, te da je proporcionalna

kvadratu amplitude oscilovanja:

E = Ek + Ep =1

2mω2 x2

0 =k x2

0

2= const = E0 (1.21)

E E E, ,k p

Ek

Ep t

E

Slika 1.6. Zavisnost energija od vremenaza LHO.

Ep

Ek

E

Ep

x-x0 x

0

Slika 1.7. Zavisnost potencijalne energijeod elongacije za LHO.

Na slici 1.6 prikazane su vremenske zavisnosti kineticke, potencijalne i ukupne energije

LHO, dok je na slici 1.7 prikazana zavisnost potencijalne energije od elongacije cestice.

Zakljucujemo da se kretanje linearnog harmonijskog oscilatora (tj. prosto harmonijsko

oscilovanje) desava tako da se vrsi stalna promena kineticke energije u potencijalnu i


obrnuto, pri cemu njihov zbir, tj. ukupna energija ostaje konstantna. U trenucima pro-

laska kroz ravnotezni polozaj, brzina tela je maksimalna pa samim tim i njegova kineticka

energija, tj. u ravnoteznom polozaju ukupna energija jednaka je kinetickoj. Nasuprot

tome, u trenucima prolaska kroz amplitudne polozaje, brzina tela jednaka je nuli (jer u

tim polozajima brzina menja smer), pa je kineticka energija takode jednaka nuli, dok je

potencijalna energija maksimalna i jednaka ukupnoj energiji. Jednakost kineticke i po-

tencijalne energije ostvaruje se cetiri puta u toku jednog perioda, tj. u svakoj cetvrtini

perioda po jednom, onda kada faza oscilovanja zadovoljava uslov

Φ = ωt+ ϕ =π

4+ n

π

2, n ∈ Z. (1.22)

1.1.4 Slaganje harmonijskih oscilacija

Pretpostavimo sada da na neko telo u jednom trenutku vremena deluje vise restitu-

cionih sila. Zbog jednostavnosti, proucicemo slucaj dve, a analogni tretman je i za slucaj

vise sila. Zbog linearnosti diferencijalne jednacine (1.2) koja opisuje dinamiku oscilujuce

materijalne tacke, vazice princip superpozicije, tj. rezultujuce kretanje bice zbir dva kre-

tanja nastala pod dejstvom pojedinacnih restitucionih sila. U zavisnosti od pravaca datih

sila mozemo razlikovati dva slucaja, kada se pravci delovanja sila poklapaju i kada se

ne poklapaju (tada ovi pravci odreduju jednu ravan). Prvi slucaj dovodi do slaganja

oscilacija istog pravca, a u drugom slucaju, posto je rec o komplanarnim silama, uvek

je moguce izvrsiti njihovo projektovanje na dve unapred zadate medusobno upravne ose,

cime dolazimo do slaganja oscilacija upravnih pravaca.

Slaganje oscilacija istog pravca

Pretpostavimo da na telo u istom trenutku deluju dve restitucione sile duz istog pravca

x. Oznacimo sa x1 i x2 oscilacije koje nastaju kao posledica pojedinacnog dejstva ovih

restitucionih sila, i, za pocetak, pretpostavimo da ove oscilacije imaju jednake ugaone

frekvencije i amplitude, a da se razlikuju samo po pocetnoj fazi:

x1 = A sin(ω t+ ϕ1), x2 = A sin(ω t+ ϕ2). (1.23)

Rezultujucu oscilaciju je vrlo jednostavno odrediti prostim algebarskim sabiranjem ova

dva izraza

x = x1 + x2 = A[sin(ω t+ ϕ1) + sin(ω t+ ϕ2)] =

= 2A cosϕ1 − ϕ2

2sin(ω t+

ϕ1 + ϕ2

2) = Ar sin(ω t+ ϕr), (1.24)

te uocavamo da rezultujuca oscilacija ima istu ugaonu frekvenciju kao i pojedinacne os-

cilacije, da se njena pocetna faza nalazi izmedu vrednosti pocetnih faza ovih oscilacija, a

njena amplituda bitno zavisi od razlika povcetnih faza oscilacija koje se sabiraju.

Pretpostavimo sada da ponovo slazemo oscilacije iste ugaone frekvencije (sto zapravo

znaci da su iste konstante k restitucionih sila koje deluju na materijalnu tacku), ali da su

sada osim pocetnih faza, razlicite i amplitude:

x1 = A1 sin(ω t+ ϕ1), x2 = A2 sin(ω t+ ϕ2). (1.25)


Do resenja se sada moze doci na dva nacina, algebarski i geometrijski. Potrazimo najpre

algebarsko resenje. Transformisimo izraz za zbir oscilacija x = x1 + x2 do oblika:

x = A1[sinωt cosϕ1 + cosωt sinϕ1] + A2[sinωt cosϕ2 + cosωt sinϕ2] =

= sinωt[A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2] + cosωt[A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2]. (1.26)

Ako sada uvedemo dve nove konstante, A i ϕ, tako da vazi:

A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 = A cosϕ, A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 = A sinϕ, (1.27)

onda ocigledno za rezultujucu oscilaciju dobijamo:

x = A sin(ω t+ ϕ). (1.28)

Valjanost uvodenja A i ϕ pomocu jednacina (1.27) odreduje se na osnovu toga da li

ih je iz datih jednacina moguce jednoznacno odrediti. Ako se ove jednacine medusobno

podele, ili kvadriraju pa saberu, dobijaju se trazeni izrazi za rezultujucu amplitudu i

pocetnu fazu:

tanϕ =A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2

A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2

, (1.29)

A =√

A21 + A2

2 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1) (1.30)

Do istog rezultata moze se doci i na ge-

f1

f2

f

A1

A2

A b

Slika 1.8. Fazorski dijagram slaganja os-cilacija istog pravca.

ometrijski nacin. Naime, svakoj oscilaciji moze

se pridruziti jedan rotirajuci vektor u ravni (tzv.

fazor) koji ima osobinu da se obrce u smeru

suprotnom od kretanja kazaljke na satu uga-

onom brzinom ω koja se poklapa sa ugaonom

ucestanoscu oscilovanja, ima intenzitet jednak

amplitudi oscilovanja A, a ugao koji u pocet-

nom trenutku zaklapa sa pozitivnim delom x ose

ima vrednost pocetne faze oscilovanja ϕ. Tada,

ako nacrtamo dva fazora koji odgovaraju pojedi-

nacnim oscilacijama, fazor rezultujuce oscilacije

odredujemo njihovim vektorskim sabiranjem, slika 1.8.

Rezultujucu amplitudu odredujemo na osnovu kosinusne teoreme:

A2 = A21 + A2

2 − 2A1A2 cos β, β = π − (ϕ2 − ϕ1), ⇒

A =√

A21 + A2

2 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1), (1.31)

a pocetnu fazu na projekcija rezultujuceg fazora:

tanϕ =Ay

Ax

=A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2

A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2

. (1.32)

U zavisnosti od faznog stava polaznih oscilacija razlikujemo dva karakteristicna

slucaja. Ako je razlika pocetnih faza jednaka nuli (ili 2π), tj. ako su one jednake,

ϕ2 − ϕ1 = 0 ⇒ A = A1 + A2, (1.33)


onda je rezultujuca amplituda maksimalna i jednaka zbiru amplituda pojedinacnih os-

cilacija. Ako je pak razlika pocetnih faza jednaka π:

ϕ2 − ϕ1 = π ⇒ A = |A1 − A2| (1.34)

onda je rezultujuca amplituda minimalna i jednaka modulu razlike amplituda pojed-

inacnih oscilacija.

Potrazimo sada rezultujucu oscilaciju u specificnom slucaju slaganja oscilacija ra-

zlicitih ugaonih ucestanosti, kada su te ucestanosti vrlo bliske. Radi jednostavnosti pret-

postavimo da oscilacije koje slazemo imaju iste amplitude i pocetne faze jednake nuli:

x1 = A0 sinω1 t, x2 = A0 sinω2 t, ω1 ≈ ω2. (1.35)

Tada se za rezultujucu oscilaciju dobija

x = x1 + x2 = 2A0 cosω1 − ω2

2t sin

ω1 + ω2

2t ≈ A(t) sinω t, (1.36)

tj. slozeno oscilovanje koje se moze okarakterisati kao oscilacija sa sporo promenljivom

amplitudom A(t) ((ω1 − ω2)/2 ¿ ω) i ugaonom ucestanoccu ω koja je priblizno jednaka

ucestanostima pojedinacnih oscilacija ω ≈ ω1 ≈ ω2. Ovakva slozena oscilacija, ciji je

grafik skiciran na slici 1.9, naziva se izbijanje (ili kolebanja, udari), zbog toga sto postoje

vremenski trenuci kada se oscilovanje gubi. Ucestanost i period udara mogu se odrediti

t

xA t( )

Tu

Slika 1.9. Graficki prikaz slaganja oscilacija bliskih ucestanosti-izbijanje (1.36).

kao:|ω1 − ω2|

2=ωu

2⇒ |ν1 − ν2| = νu ⇒ Tu =

1

|ν1 − ν2|. (1.37)

Slaganje oscilacija sa medusobno upravnim pravcima

Posmatrajmo sada slucaj postojanja dve restitucione sile upravnih pravaca koje deluju

na oscilator. Postavimo koordinatni sistem tako da se pravci sila poklapaju sa x, odnosno

y osom. Neka su pojedinacne oscilacije koje se javljaju kao posledica dejstva ovih dveju

sila date izrazima

x = A1 sinω t, y = A2 sin(ω t+ ϕ), (1.38)

sto znaci da imaju istu ugaonu ucestanost. Problem slaganja oscilacija upravnih pravaca

svodi se na odredivanje trajektorije po kojoj se u stvari krece cestica pod istovremenim


dejstvom dve restitucione sile. Da bi se odredila ova trajektorija neophodno je iz jednacina

(1.38) eliminisati vreme. U konkretno zadatom slucaju to se moze uraditi tako sto se iz

prve jednacine odrede sinωt i cosωt a zatim zamene u drugu jednacinu, koja se pre toga

napise u razvijenom obliku:

sinω t =x

A1

, cosω t =

√

1−x2

A21

,

y

A2

= sinω t cosϕ+ cosω t sinϕ.

odakle se dobije trazena jednacina trajektorije:

x2

A21

−2xy

A1A2

cosϕ+y2

A22

= sin2 ϕ (1.39)

x

y

y A=2

y A= -2

x A= -1

x A=1

Slika 1.10. Opsti oblik eliptickog polarizovanog rezultujuceg oscilovanja za slucaj jednakihucestanosti upravnih oscilacija, jednacina (1.39).

Jednacina (1.39) predstavlja jednacinu elipse cije poluose zaklapaju izvesni ugao sa

koordinatnim osama (slika 1.10), a rezultujuce oscilovanje se naziva elipticki polarizovano.

Postoje neki karakteristicni slucajevi kada se jednacina trajektorije (1.39) moze po-

jednostaviti. Na primer, ako je fazna razlika upravnih oscilacija jednaka ±π/2,

ϕ = ϕy − ϕx = ±π

2⇒

x2

A21

+y2

A22

= 1, (1.40)

onda je dobijena trajektorija elipsa cije se poluose poklapaju sa koordinatnim osama. Ako

su jos i amplitude upravnih oscilacije jednake

A1 = A2 = R ⇒ x2 + y2 = R2, (1.41)

onda se elipsa degenerise u krug, a za takvo rezultujuce oscilovanje kaze da poseduje

kruznu polarizaciju. Ove dve trajektorije prikazane su na slici 1.11.

Karakteristicni slucajevi su i kada je fazna razlika upravnih oscilacija jednaka nuli ili

±π:

ϕ = ϕy − ϕx = nπ ⇒x2

A21

+y2

A22

±2xy

A1A2

= 0 ⇒ y = ±A2

A1

x. (1.42)

gde je n = −1, 0, 1, i tada se kao jednacina trajektorije pojavljuje prava prikazana na slici

1.12, a rezultujuce oscilovanje naziva linearno polarizovano.


y y

x x

x A= -1 x A=

1x R=

y A=2

y R=

y A= -2

y R= -

x R= -

Slika 1.11. Polarizovano rezultujuce oscilovanje za slucaj fazne razlike jednake ±π/2 za slucajrazlicitih (1.40) i jednakih amplituda (1.41).

y

x

x A= -1 x A=

1

y A=2

y A= -2

y

x

x A= -1

x A=1

y A=2

y A= -2

y x=A

A2

1

y x=A

A2

1

Slika 1.12. Linearno polarizovano oscilovanje kao posledica fazne razlike koja iznosi celobrojniumnozak π, jednacina (1.42).

Pri slaganju oscilacija sa medusobno upravnim pravcima kod kojih ucestanosti nisu

iste, vec stoje u odnosu celih brojeva, dobijaju se otvorene ili zatvorene linije, sa ili bez

tacaka u kojima kriva sece samu sebe4. Ove krive se nazivaju Lisazuove figure i prikazane

su na slici 1.13.

1.1.5 Razlaganje oscilacija

Oscilacije mogu biti proste i slozene. Prosta oscilovanja opisana su prostom harmoni-

jskom funkcijom (sinusnom ili kosinusnom), tj. jednacinom (1.5). Za razliku od prostih

oscilacija, postoje i slozene oscilacije koje se opisuju tzv. slozeno periodicnim funkcijama.

U matematici se pokazuje da se svaka slozeno-periodicna velicina f(t) moze razloziti na

prebrojivo beskonacan (ili u nekom posebnom slucaju konacan) broj prostih harmonijskih

oscilovanja. Ovo razlaganje se naziva harmonijska analiza, a dobijeni red Furijeov red:

f(t) =1

2a0 +

∞∑

k=1

(ak cos kω t+ bk sin kω t) =1

2a0 +

∞∑

k=1

ck sin(kω t+ ϕk). (1.43)

Koeficijenti Furijeovog reda ak, bk (k = 0, 1, 2, ...) ili a0, ck, ϕk (k = 1, 2, ...) odreduju se

integracijom polazeci od funkcije f(t). Vise detalja o Furijeovim redovima moze se dobiti

u okviru matematickih kurseva.4sto zavisi od razlike pocetnih faza ϕ1 − ϕ2

1.2. Prigusene oscilacije 19

.

.

.

...

y

x

x A= -1

x A=1

y A=2

y A= -2

y

x

x A= -1

x A=1

y A=2

y A= -2

w

wx

y=

1

2j - j = 01 2

w

wx

y=

1

2j - j =1 2

p

2

Slika 1.13. Lisazuove figure.

1.2 Prigusene oscilacije

Prilikom izvodenja jednacine kretanja LHO (1.5) ucinili smo pretpostavku da na telo

deluje samo restituciona sila, sto znaci da smo zanemarili svaki uticaj sredine u kojoj se

odvija kretanje. Posto se oscilacije najcesce ne odvijaju u vakuumu, vec u vazduhu ili

nekoj drugoj sredini, potrebno je uzeti u obzir dejstvo okoline na kretanje. Sila kojom

okolina deluje na telo u kretanju zavisi od svojstava sredine (gustine, viskoznosti, itd.,),

od oblika tela koje se krece, i od njegove brzine. Na primer, ljudski organizam je naviknut

na kretanje kroz vazduh, i otpor vazduha kretanju, koji je mali, uopste ne oseca, ukoliko

nema kretanja vazduha, tj. vetra. Za razliku od vazduha, prilikom kretanja kroz vodu

jasno se oseca otpor kretanju. Iskusniji plivaci osetice cak i razliku prilikom plivanja u

slatkovodnoj i morskoj vodi. Voznja na motociklu, ili u otvorenim kolima, pokazace da

se otpor sredine povecava sa porastom brzine. Oblik tela koje se krece narocito je bitan

kod konstrukcije automobila (a posebno kod sportskih bolida), brzih vozova, automobila,

projektila, i sl., kako bi se smanjio otpor sredine kretanju i time smanjila potrosnja goriva.

Na osnovu prethodne analize jasno je da ce se realnije opisivanje oscilovanja ostvariti

ako se osim restitucione sile uzme u obzir i sila otpora sredine. Iz iskustva je poznato da

ce se oscilovanje tega okacenog o oprugu (i izvedenog iz ravnoteznog polozaja da zapocne

oscilovanje) zavrsiti posle odredenog vremena, tj. da nece trajati beskonacno dugo kako to

sledi iz analize LHO. Radi jednostavnosti analize, a i zbog cinjenice da su brzine kretanja

oscilatornih tela male, pretpostavicemo da je sila otpora sredine linearno proporcionalna

brzini

Fotp = − b v = − b x, (1.44)

gde je b faktor proporcionalnosti sile i brzine. Zavisnost sile otpora od brzine je jako

komplikovana i zavisi od niza faktora, ali se za male brzine ova zavisnost moze razviti u

red i uzeti samo linearni clan. Znak minus u izrazu (1.44) oznacava da sila otpora sredine

uvek ima smer suprotan brzini, tj. tezi da ukoci telo. Prema tome, osnovna dinamicka

jednacina sada osim restitucione sile sadrzi i silu otpora sredine, i ima oblik:

mx = −k x− b x (1.45)


Ovodeci nove velicine ω05 i β pomocu:

k = mω20, b = 2mβ, (1.46)

iz (1.45) dobija se diferencijalna jednacina u obliku:

x+ 2β x+ ω20 x = 0 (1.47)

Kada je ispunjen uslov β < ω0 (tj. prigusenje je malo)6 kao resenje diferencijalne

jednacine (1.47) dobija se kvazi-periodicno kretanje7 opisano jednacinom:

x(t) = A0 exp{−β t} sin(ω t+ ϕ). (1.48)

Ova zavisnost prikazana je na slici 1.14, za razlicite vrednosti prigusenja.

Amplituda kod ovakvog kretanja je eksponencijalno opadajuca funkcija vremena:

A(t) = A0 exp{−β t}. (1.49)

Ugaona ucestanost, odnosno period, prigusenih oscilacija dati su izrazima:

ω2 = ω20 − β

2, T =2π

ω=

2π√

ω20 − β

2(1.50)

Dakle, uporedujuci prosto harmonijsko oscilovanje dato jednacinom (1.5) i prikazano

na slici 1.2 sa prigusenim kvazi-periodicnim oscilovanjem datim jednacinom (1.48) i

prikazanim na slici 1.14, mogu se odmah uociti dve bitne razlike koje se pojavljuju usled

postojanja otpora sredine:

• amplituda oscilacija eksponencijalno opada sa vremenom, i

• ugaona ucestanost se smanjuje (a period povecava) u odnosu na situaciju kada nema

prigusenja; ove zavisnosti prikazane su na slici 1.15 i ono sto se lako uocava je da se

za slucaj malog prigusenja ove promene mogu zanemariti.

Osim ovih, postoje jos nekoliko razlika, koje se ne uocavaju na prvi pogled, i o kojima ce

biti reci kasnije.

5ω0 predstavlja ugaonu ucestanost oscilovanja kada ne bi bilo prigusenja.6U zavisnosti od vrednosti faktora prigusenja β jednacina (1.47) moze imati kvalitativno razlicita

resenja:

1. β > ω0 kretanje je aperiodicno;

2. β = ω0 kretanje je kriticno aperiodicno;

3. β < ω0 kretanje je kvazi-periodicno;

U slucaju velikih prigusenja (β > ω0) telo izvedeno iz ravnoteznog polozaja nece uopste ni zapoceti

oscilacije i pored dejstva restitucione sile, vec ce se nakon otpocinjanja kretanja zaustaviti. U slucaju

kriticno aperiodicnog kretanja proces gubljenja energije tela tece najbrze.7Kretanje kod prigusenih oscilacija se naziva kvazi-periodicno jer nije ispunjen strogi uslov peri-

odicnosti elongacije x(t + T ) = x(t), gde je T period oscilovanja. Medutim, kod kvazi-periodicnog

kretanja postoji periodicnost faze oscilovanja Φ = ωt + ϕ, tj. vazi Φ(t + T ) = Φ(t), pa se ipak moze

definisati period T , te se stoga i govori o kvazi-periodicnom kretanju. Tacnije, kvazi-periodicno kretanje

se moze razloziti na proizvod jedne periodicne (sin(ω t+ϕ)) i jedne neperiodicne (A0 exp{−β t}) funkcije

vremena.

1.2. Prigusene oscilacije 21

x

x

x0

-x0

A t( )x t( )

t

t

x

A0

A0

-A0

-A0

t

A t( )

x t( )

b w= 0.051 0

T0

T1

T2

d = 0.315

Q = 2.14

b = 0

d = 0

Q r ¥

b w= 0.12 0

d = 0.631

Q = 1.39

2

2

1

1

Slika 1.14. Zavisnost elongacije od vremena kod prigusenih oscilacija.

U dosadasnjoj analizi kao meru prigusenja koristili smo faktor b koji se pojavljuje

u izrazu za silu otpora sredine (1.44), sa dimenzijom b[=]N· s/m=kg/s, i faktor β koji

se javlja u diferencijalnoj jednacini prigusenih oscilacija (1.47), koji ima dimenzije uces-

tanosti β[=]s−1. Medutim, uobicajeno je da se stepen prigusenja opisuje nekim drugim

faktorima:

• vreme relaksacije τ definise se kao vreme potrebno da se amplituda prigusenih os-

cilacija smanji e puta, gde je e osnova prirodnih logaritama. Iz A(t + τ) = A(t)/e

dobija se

τ =1

β; (1.51)

• dekrement prigusenja k definise se kao odnos za koji se smanji amplituda u toku

jednog perioda:

k =A(t)

A(t+ T )= exp{βT}; (1.52)

• logaritamski dekrement prigusenja δ predstavlja prirodni logaritam dekrementa

prigusenja:

δ = ln k = lnA(t)

A(t+ T )= βT =

T

τ; (1.53)


0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

T

0T

w

0w

b

0w

Slika 1.15. Promena perioda i ugaone ucestanosti u zavisnosti od prigusenja.

0.001 0.01 0.1 1

0.01

0.1

1

10

100 d

b/w0

Slika 1.16. Zavisnost logaritamskog dekre-

menta δ od stepena prigusenja β/ω0.

0.001 0.01 0.1 11

10

100

Q

d

Slika 1.17. Zavisnost Q-faktora od log-

aritamskog dekrementa δ (puna linija).

Aproksimativni izraz (1.54) dat je ispreki-

danom linijom.

Zavisnost logaritamskog dekrementa od odnosa β/ω0 prikazana je na slici 1.16.

• Q faktor (faktor dobrote) definise se kao reciprocna vrednost relativnog gubitka

energije oscilatora u toku jednog perioda Q = E(t)/[E(t)−E(t+ T )]. Na slici 1.17

prikazana je zavisnost Q-faktora od vrednosti logaritamskog dekrementa. Moze se

pokazati (a sto je vidljivo i sa slike) da za mala prigusenja vazi

Q ≈1

2δ. (1.54)

Dekrement i logaritamski dekrement utoliko su veci ukoliko je vece prigusenje, dok su

vreme relaksacije i Q faktor utoliko veci ukoliko je prigusenje manje. Na slici 1.14 su osim

odnosa β i ω0 kao parametri prigusenja prikazane i odgovarajuce vrednosti logaritamskog

dekrementa i Q-faktora.

1.3. Prinudne oscilacije 23

1.3 Prinudne oscilacije

Do sada smo proucavali oscilacije sa i bez prigusenja. U teoriji i praksi moze se

pojaviti jos jedan vazan slucaj oscilacija - prinudne oscilacije, koje nastaju pod dejstvom

spoljasnje periodicne sile, koja konstantno predaje odredenu energiju oscilatoru. Dakle,

ako na materijalnu tacku osim restitucione i sile otpora sredine deluje i neka spoljasnja

prosto-periodicna sila F = F0 sinωp t, gde su F0 i ωp amplituda i ucestanost prinudne sile,

respektivno, tada ce diferencijalna jednacina koja opisuje kretanje te materijalne tacke

imati oblik:

mx = −k x− b x+ F0 sinωp t (1.55)

Ako uvedemo sledece oznake:

k = mω20, β =

b

2m, f0 =

F0

m, (1.56)

dolazimo do jednacine:

x+ 2β x+ ω20 x = f0 sinωp t. (1.57)

Jednacina (1.57) predstavlja nehomogenu diferencijalnu jednacinu (jer na desnoj strani

nije nula vec neka funkcija), cije se resenje moze predstaviti u obliku zbira dva resenja:

resenja homogenog dela i jednog partikularnog integrala koji odgovara nehomogenom

delu. Posto homogeni deo jednacine (1.57) (tj. jednacina sa nulom na desnoj strani) u

stvari predstavlja jednacinu prigusenog oscilovanja (1.45), onda za odgovarajuce resenje

vazi diskusija iz prethodne sekcije, pa ako je prigusenje malo (β < ω0), resenje jednacine

(1.57) mozemo napisati u obliku:

x = A0 exp{−β t} sin(ω t+ ϕ) + xp, (1.58)

gde je xp partikularni integral nehomogenog dela, koga treba traziti u obliku:

xp = x0 sin(ωpt− ψ). (1.59)

Gornja matematicka diskusija ima i svoju fizicku pozadinu. Kretanje oscilatora na

koga deluje prinudna sila sastoji se iz dva kretanja: sopstvenih oscilacija koje su karak-

teristika samog oscilatora i prinudnih oscilacija koje se desavaju pod dejstvom spoljasnje

prinudne sile. Sopstvene oscilacije u stvari definisu prelazni rezim koji posle dovoljno

dugog vremena iscezava, te preostaje samo partikularno resenje xp(t) koje predstavlja

prinudne oscilacije. Primecujemo da je ucestanost prinudnih oscilacija identicna sa uces-

tanoscu prinudne sile.

Tangens faze kasnjenja ψ, i amplituda prinudnih oscilacija mogu se odrediti zamenom

(1.59) u (1.57):

tanψ =2β ωp

ω20 − ω

2p

= f1(β, ω0, ωp),

x0 =f0

√

(ω20 − ω

2p)

2 + 4β2ω2p

= f2(β, ω0, ωp). (1.60)

Zavisnosti x0(ωp) i tanψ(ωp), za razlicite vrednosti faktora prigusenja β, prikazane su

na slici 1.18.


x0

wpwr1

wr2w

0

w0

w0

b = 0b = 0

b1

b2

wp

y

= 0.1

w0

b1

= 0.1

= 0.5

w0

b2

= 0.5

w0

Slika 1.18. Frekventna zavisnost amplitude i faze prinudnih oscilacija.

Rezonanca

Sa slike 1.18 uocavamo da postoji vrednost ucastanosti prinudne sile ωp za koju se

postize maksimalna amplituda. Ostvarivanje maksimalne amplitude prinudnih oscilacija

naziva se rezonanca, a ucestanost na kojoj se ona ostvaruje rezonantna ucestanost i

oznacava sa ωr. Ona se moze odrediti trazeci ekstremum funkcije x0(ωp):

∂x0

∂ωp

∣

∣

∣

∣

ωp=ωr

= 0 ⇒ ωr =√

ω20 − 2β2 =

√

ω2 − β2 (1.61)

Za rezonantne vrednosti amplitude i tangensa faznog kasnjenja dobijaju se vrednosti:

x0(ωr) =f0

2β√

ω20 − β

2=

f0

2β ω, tanψ(ωr) =

√

(

ω0

β

)2

− 2. (1.62)

Za slucaj neprigusenih prinudnih oscilacija (β → 0) imacemo da je fazno kasnjenje

nula, a rezonatna ucestanost ωr jednaka sopstvenoj ucestanosti ω0:

β → 0 ⇒ ψ = 0, x0 =f0

ω20 − ω

2p

, ωr = ω0. (1.63)

Za slucaj ostvarene rezonance, amplituda neprigusenih prinudnih oscilacija tezi

beskonacnosti, bas kao sto se vidi na slici 1.18:

x0(ωp = ω0)→∞. (1.64)

1.4 Talasi

Do sada smo proucavali oscilatorno kretanje jedne materijalne tacke. Medutim, cesta

je situacija da oscilacija jedne materijalne tacke, koja je npr. izazvana elasticnom silom,

izaziva oscilaciju susedne tacke, ova naredne, te se tako progresivno uspostavlja oscila-

torno kretanje citavog niza tacaka koje se naziva talas. Takode se govori i o prosti-

ranju poremecaja, jer se svaka elongacija materijalne tacke moze shvatiti kao poremecaj

u odnosu na ravnotezni polozaj.

Dva osnovna elementa svakog talasa su talasni izvor i talasni front:

1.4. Talasi 25

• Talasni izvor predstavlja tacku

iz koje zapocinje prostiranje os-

cilacija.

• Talasni front predstavlja povrsi-

nu koju cine tacke do koje je u

jednom trenutku stigao talas. Slika 1.19. Superpozicija sekundarnih ta-

lasa - prostiranje talasa po Hajgensovom

principu.

Prostiranje talasa moze se opisati i pomocu Hajgensovog principa. Hajgensov princip

izrazava cinjenicu da se svaka tacka pogodena talasom moze smatrati izvorom novog

sekundarnog talasa. Sekundarni talasi nastali na talasnom frontu u jednom trenutku

vremena medusobno se ponistavaju u svim pravcima, osim u pravcu sirenja talasa, tj.

novi talasni front se formira na spoljasnjoj obvojnici sekundarnih talasa (slika 1.19).

1.4.1 Vrste talasa

Podela talasa moze se izvrsiti na vise nacina:

• Prema nacinu prostiranja talasi se dele na:

– linijske (jednodimenzione) - koji se prostiru duz jednog pravca;

– povrsinske (dvodimenzione) - koji se prostiru po nekoj povrsini;

– prostorne (trodimenzione) - koji se prostiru u prostoru.

• Prema obliku talasnog fronta razlikujemo:

– sferne talase - kod kojih je talasni front sfera;

– ravanske talase - kod kojih je talasni front ravan; ravanski talasi se mogu sh-

vatiti i kao sferni talasi velikog poluprecnika krivine, tj. sferni talasi na velikim

rastojanjima izgledaju kao ravanski.

• Prema prirodi oscilacija talasi mogu biti:

– mehanicki - kod kojih osciluju cestice materijalne sredine;

– elektromagnetni - kod kojih osciluju vektori elektricnog i magnetnog polja;

– de Broljevi - ili ”talasi materije”; prema kvantno-mehanickim tumacenjima

svakoj cestici moze se pridruziti talas i obrnuto.

• Prema odnosu pravaca oscilovanja i prostiranja postoje:

– transverzalni talasi - kod kojih je pravac prostiranja talasa upravan na pravac

oscilovanja talasa; za njihovo postojanje neophodan je napon smicanja koji

postoji samo kod cvrstih tela, te se ovi talasi prostiru samo u cvrstim sredi-

nama;


– longitudinalni talasi - kod kojih se pravci prostiranja talasa i oscilovanja tacaka

talasa poklapaju; ovi talasi prostiru se kroz cvrste, tecne i gasovite sredine.

• Konacno, prema slozenosti talase delimo na:

– proste (sinusni ili kosinusni talas) - kada se kao talas uspostavlja samo jedna

prosta harmonijska oscilacija;

– slozene talase - kada tacke talasa vrse slozeno oscilovanje.

1.4.2 Brzina prostiranja mehanickih talasa

Brzina prostiranja talasa zavisi od vrste talasa i karakteristika sredine kroz koju se

obavlja prostiranje:

• Brzina prostiranja transverzalnih talasa u cvrstom telu data je izrazom

c =

√

F

µ, (1.65)

gde je F - sila zatezanja, a µ - masa po jedinici duzine (poduzna masa).

• Brzina prostiranja longitudinalnih talasa u cvrstom telu:

c =

√

Ey

ρ, (1.66)

gde je Ey - Jungov modul elasticnosti, a ρ - gustina sredine.

• Brzina prostiranja longitudinalnih talasa u tecnoj sredini:

c =

√

EV

ρ(1.67)

gde je EV - zapreminski modul elasticnosti, a ρ - gustina sredine.

• Brzina prostiranja longitudinalnih talasa u gasovitoj sredini:

c =

√

pκ

ρt

(1.68)

gde su p - pritisak gasa, κ = cp/cV - adijabatska konstanta (odnos specificnih toplota

pri konstantnom pritisku i konstantnoj zapremini), a ρt - gustina gasa na tempera-

turi t.

Posto i pritisak i gustina gasa zavise od njegove temperature, izraz (1.68) se moze

transformisati koriscenjem jednacine stanja idealnih gasova na oblik:

c = c0

√

T

T0

= c0

√

1 +t

273(1.69)

gde su sada, c0 - brzina talasa na 0◦C, T - apsolutna temperatura gasa, T0 =

273 K - Kelvinova temperatura na nuli Celzijusove skale, i t - temperatura gasa u

Celzijusovim stepenima.

1.4. Talasi 27

1.4.3 Jednacina sinusnog progresivnog talasa

Za razliku od jednacine oscilovanja koja daje zavisnost elongacije od vremena za jednu

tacku koja osciluje, jednacina talasa mora dati ovu zavisnost za sve tacke do kojih je talas

propagirao. Zbog toga je sada elongacija x funkcija dve promenljive t i y:

x(t, y) = x0 sin(ω t− k y) (1.70)

gde su:

x(t, y) - elongacija tacke na mestu y u trenutku vremena t;

x0 - amplituda oscilovanja tacaka talasa;

ω - ugaona ucestanost oscilovanja tacaka talasa;

k - talasni broj (talasni vektor);

Φ(t, y) = ω t− k y - faza oscilovanja tacke na mestu y u trenutku vremena t;

Veze izmedu ugaone ucestanosti ω i perioda T , kao i talasnog broja k i talasne duzine

λ, date su izrazima:

ω =2π

T, k =

2π

λ. (1.71)

Koristeci (1.71), jednacina talasa moze se napisati i u alternativnom obliku8 :

x(y, t) = x0 sin 2π

(

t

T−y

λ

)

. (1.72)

Graficki nacin predstavljanja talasa je moguc na tri razlicita nacina:

1. x(t, y) predstavlja povrsinu u x, t, y dijagramu;

2. x(t, y = y1) predstavlja jednacinu oscilovanja neke fiksirane tacke (y = y1 = const);

3. x(t = t1, y) predstavlja snimak oscilovanja svih tacaka talasa u jednom trenutku

vremena t = t1 = const (slika 1.20).

8Treba napomenuti da je pri pisanju jednacina (1.70) tj. (1.72) ucinjeno nekoliko implicitnih pret-

postavki:

• pretpostavljen je ravanski talas ciji je talasni front zadat jednacinom y = const;

• pretpostavljen je transverzalni talas kod koga se oscilacije desavaju duz x, a talas prostire duz y

pravca; medutim, vazenje ove jednacine se moze jednim misaonim eksperimentom prosiriti i na

slucaj longitudinalnih talasa: zamislimo da se longitudinalni talas prostire duz y ose, i da umesto

jedne x ose koja postoji kod transverzalnih talasa, i koja ima jednacinu y = 0, sada svaka tacka

(npr. yi) na y osi ima svoju x osu, koja se po pravcu poklapa sa y osom, ali tako da se koordinatni

pocetak x ose nalazi upravo u tacki yi (tj. za svaku tacku yi postoji x osa xi sa jednacinom

xi = y − yi); tada, fiksirajuci jedno y = y1 u jednacini (1.70), ponovo dobijamo elongaciju date

tacke u vremenskom trenutku t;

• usvojeno je da nema slabljenja amplitude ni u prostoru ni u vremenu, tj. sve tacke talasa imaju

istu, nepromenljivu amplitudu;

• pretpostavljeno je da se talas prostire kroz beskonacnu sredinu bez diskontinuiteta (prepreka), koje

bi mogle da izazovu refleksiju i stvaranje slozenog talasa.


l

x

y

vp

Slika 1.20. Oblik sinusnog talasa za t = t1.

Smisao talasne duzine vidi se iz sledeceg razmatranja. Posmatrajmo dve tacke talasa,

koje se nalaze na rastojanjima y1 i y2 od izvora talasa, u istom vremenskom trenutku t:

x1 = x0 sin(ω t− k y1), x2 = x0 sin(ω t− k y2), (1.73)

te odredimo njihovu faznu razliku

∆Φ = ω t− k y2 − ω t+ k y1 = k (y1 − y2) =2π

λ(y1 − y2). (1.74)

Ukoliko je

y1 − y2 = nλ ⇒ ∆Φ = 2π n, (1.75)

odakle zakljucujemo da talasna duzina predstavlja minimalno rastojanje izmedu tacaka

koje se nalaze u istoj fazi oscilovanja talasa (slika 1.20).

Brzina prostiranja talasa vp definise se kao:

vp = c =ω

k=λ

T= ν λ. (1.76)

1.4.4 Energija i intenzitet talasa

Pretpostavimo da u nekoj sredini postoji talasni izvor od koga se u svim pravcima

siri jedan sferni talas. Uocimo sada jednu tacku u toj sredini. Pre nego sto talas do-

pre do nje ona miruje (ako zanemarimo njeno termicko kretanje), pa prema tome nema

mehanicku energiju. Kada bude pogodena talasom ona zapocinje oscilovanje, sto znaci da

je primila odredenu kolicinu energije, koju, ako zanemarimo prigusenje, zadrzava trajno.

Proces prenosenja energije nastavlja se dalje sa drugim, udaljenijim, tackama. Prema

tome, talas mozemo da shvatimo i kao jedan transportni proces u kome se vrsi transport

mehanicke energije. Posto cemo se u ovom kursu sretati sa razlicitim transportnim proces-

ima na ovom mestu cemo pokusati da razvijemo odgovarajucu matematicku metodologiju

i definisati nekoliko karakteristicnih velicina kojima se opisuje transport. Ove velicine date

su u tabeli 1.1.

Posmatrajmo ravanski talas ciji deo talasnog fronta u trenutku t predstavlja zadnju

stranu kvadra prikazanog na slici 1.21. Nakon vremenskog intervala δt talasni front ce

se pomeriti za rastojanje δx = c · δt, gde je c brzina prostiranja talasa. Energetski fluks

(protok) Φ predstavlja energiju koju talas kroz definisanu povrsinu S prenese u jedinici

vremena9

Φ =wS δx

δt= wS c [=] W, (1.77)

9uz pretpostavku da je vrednost intenziteta talasa ista u svim tackama povrsine S

1.4. Talasi 29

Tabela 1.1. Karakteristicne transportne velicine za mehanicki talas.

Transportni proces Mehanicki talas Jedinica

Skalarna velicina

koja se transportuje Mehanicka energija J

Fluks Fluks (protok) energije

(snaga mehanickih talasa) Φ W

Vektor gustine fluksa Intenzitet talasa ~I W/m2

gde je w - gustina energije talasa, tj. energija oscilovanja cestica sredine u jedinici za-

premine.

Intenzitet (jacina) talasa predstavlja energiju koju

S

dx

Slika 1.21. Prostiranje dela fronta

ravanskih talasa.

u jedinici vremena talas prenese kroz jedinicnu

povrsinu:

I =Φ

S= w c [=]

W

m2(1.78)

Ako se gustina energije talasa izrazi preko energije

oscilatora ciji je broj u jedinici zapremine N ,

w = nmω2A2

2=ρ v2

0

2, (1.79)

dobija se:

I =1

2ρω2A2 c, (1.80)

gde je ρ = nm gustina sredine, A amplituda oscilovanja, a ω kruzna ucestanost osilovanja

cestica, dok je v0 maksimalna vrednost brzine oscilujuce cestice. Tacnije, intenzitet talasa

je vektor koji je u svakoj tacki kolinearan sa brzinom prostiranja talasa, tj. upravan na

talasni front:~I = w~c =

1

2ρω2A2 ~c, (1.81)

U slucaju sfernog talasnog fronta, ukupna povrsina talasnog fronta bice S = 4πr2 gde

je r rastojanje od talasnog izvora do talasnog fronta u trenutku t. Sada je veza izmedu

energetskog fluksa i intenziteta talasa data izrazima:

I =Φ

4π r2, Φ = I 4π r2, (1.82)

sto dovodi do zakljucka da ako izvor talasa emituje konstantnu kolicinu energije u jedinici

vremena, onda intenzitet sfernog talasa opada sa kvadratom rastojanja od izvora.

1.4.5 Interferencija talasa

Ako se u nekoj tacki prostora pojave dve oscilacije, onda ce nastati rezultujuca os-

cilacija prema pravilima za slaganje oscilacija. Ako su uzroci nastanka ove dve os-

cilacije prostiranje dva talasa, onda govorimo o interferenciji talasa u datoj tacki. Da


bi matematicki tretirali ovaj slucaj, posmatracemo dva talasa koja od razlicitih izvora u

istom vremenskom trenutku stignu u istu tacku A, kao na slici 1.22, a radi jednostavnosti,

izabracemo najprostiji slucaj kod koga se oscilacije tacke A poklapaju po pravcu. Da bi

uprostili algebarsku analizu pretpostavicemo i da je amplituda oba talasa ista.

Ove oscilacije date su izrazima:

A

O

O’

Slika 1.22. Interferencija

talasa u tacki A.

x1 = A sin(ω t− k y1),

x2 = A sin(ω t− k y2), (1.83)

tako da se za rezultujucu oscilaciju dobija:

x = x1 + x2 =

= 2A cos ky2 − y1

2sin

(

ω t− ky1 + y2

2

)

= B sin(ω t− ϕ). (1.84)

Uocavamo da je rezultujuca oscilacija prosta harmonijska oscilacija cija amplituda

zavisi od putne razlike dva superponirajuca talasa. Posmatrajmo dva karakteristicna

slucaja: ako je putna razlika dva talasa koji se susticu u tacki A jednaka celobrojnom

umnosku talasnih duzina,

y2 − y1 = nλ ⇒ B = 2A cosnπ = ±2A, (1.85)

amplituda rezultujuce oscilacije je maksimalna i jednaka dvostrukoj vrednosti amplitude

talasa koji interferiraju (jer smo pretpostavili A1 = A2 = A), dok ako je putna razlika

jednaka neparnom umnosku polovina talasnih duzina,

y2 − y1 = (2n+ 1)λ

2⇒ B = 2A cos(2n+ 1)

π

2= 0 (1.86)

amplituda rezultujuce oscilacije je minimalna, tj. jednaka nuli (zbog A1 = A2 = A).

Uslovi putne razlike u jednacinama (1.85) i (1.86) nazivaju se putni uslovi maksimalnog

pojacavanja (1.85) i maksimalnog slabljenja (1.86) pri interferenciji talasa.

1.4.6 Stojeci talasi

Posmatrajmo sada specijalan slucaj interferencije dva ravanska talasa koji imaju iste

amplitude, ucestanosti i talasne duzine, prostiru se duz istog pravca (y-ose), nalaze se u

fazi za y = 0, a jedino se razlikuju po smeru svog prostiranja. Jednacine ovih talasa ce

biti

x1(t, y) = A sin(ω t− k y), x2(t, y) = A sin(ω t+ k y), (1.87)

pri cemu x1 predstavlja talas koji se prostire u pozitivnom a x2 u negativnom smeru y

ose. Posto ove jednacine definisu talase duz citave y ose, njihovim sabiranjem dobijamo

takode talas10 koji ima oblik

x(t, y) = x1 + x2 = 2A cos k y sinω t = B(y) sinω t, (1.88)

sto predstavlja vrlo specifican niz oscilujucih tacaka koji se naziva stojeci talas.

Stojeci talas pokazuje sledece osobine:

10za razliku od analize u prethodnoj sekciji posvecenoj interferenciji gde smo sabirali dve oscilacije, tj.

dva talasa u jednoj tacki, pa je i rezultat bila jedna oscilacija.

1.4. Talasi 31

t =5T8 ,

7T8

,13T

8,15T

8 ,...

t =3T

4,

7T

4,

11T

4,...

t = 0,T

2,

3T

2,T , 2 ,...T

t =T

8,

3T8

,9T

8,

11T

8,...

t =T

4 ,5T

4 ,9T

4,...

y

x

Slika 1.23. Oscilovanje tacaka stojeceg talasa.

• Amplitude oscilovanja pojedinih tacaka talasa nisu konstantne i zavise od polozaja

tih tacaka. To znaci da cestice u razlicitim tackama talasa imaju razlicite amplitude

oscilovanja. Ako potrazimo cestice sa maksimalnom i minimalnom amplitudom

oscilovanja, imacemo

yt = nλ

2⇒ B = ±2A, (1.89)

yc = (2n+ 1)λ

4⇒ B = 0. (1.90)

Tacke u kojima se nalaze cestice sa maksimalnom amplitudom oscilovanja nazivaju

se trbusi a one u kojima su cestice cija je amplituda oscilovanja jednaka nuli11 cvorovi

stojeceg talasa.

• Faze oscilovanja cestica stojeceg talasa ne zavise od njihovog polozaja vec samo

od vremena. To prakticno znaci da sve cestice stojeceg talasa osciluju u fazi, tj.

u nekom vremenskom trenutku sve cestice nalaze se u ravnoteznom polozaju, a u

nekom drugom trenutku sve ce se naci u amplitudnom polozaju (slika 1.23).

• Posto faze oscilovanja cestica stojecih talasa (tj. jedna, jedinstvena faza, kako smo

videli malocas) ne zavise od polozaja, to prakticno znaci da stojeci talas nema svoj

talasni broj, odnosno talasnu duzinu. To znaci da se ne moze definisati ni brzina

prostiranja stojeceg talasa, sto navodi na cinjenicu da se stojeci talas ne prostire, tj.

nije progresivni, vec stojeci, kako mu samo ime kaze. Posto nema brzine prostiranja

ne postoji ni njegov intenzitet, odnosno stojeci talas ne prenosi energiju12.

11tj. cestice koje se u miru i koje ne vrese oscilovanje;12Prethodna, na prvi pogled cudna, tumacenja treba shvatiti na pravi nacin. Stojeci talas predstavlja

stanje oscilovanja odredene oblasti nastalo superpozicijom dva specificna progresivna talasa. Iako ne

postoji talasna duzina stojeceg talasa, u analizama se koristi postojeca talasna duzina interferirajucih

talasa. Takode, iako stojeci talas ne prenosi energiju, to ne znaci da energija ne postoji u oblasti u kojoj

egzistira stojeci talas. To zapravo samo znaci da je kolicina energije koju u posmatranu oblast unese

jedan od interferirajucih talasa jednaka kolicini energije koju onaj drugi iznese, pa je prakticno kolicina

energije lokalizovane u prostoru u kome je formiran stojeci talas konstantna (i jednaka zbiru energija svih

oscilatora u datoj oblasti)


Stojeci talasi najjednostavnije nastaju kada se neki progresivni talas odbije od idealno

reflektujuce prepreke tako da se ostvari odgovarajuci fazni uslov za incidentni i reflektujuci

talas. Stojeci talasi igraju veliku ulogu kako u akustici (zvucni stojeci talasi), tako i u

elektromagnetizmu (elektromagnetni stojeci talasi).

1.5 Talasi u Zemljinom omotacu

1.5.1 Grada Zemlje

Unutrasnjost Zemlje sastoji se od vise slojeva, ali u pojednostavljenoj slici mozemo

reci da su njeni delovi (slika 1.24):

Kora

Plašt

Spolja njejezgro

š

Unutrašnjejezgro

Slika 1.24. Pojednostavljenagrada Zemlje.

• untrasnje jezgro poluprecnika 1 200 km, sacin-

jeno od gvozda i nikla, koje se zbog ogromnog pri-

tiska nalazi u cvrstom stanju;

• spoljasnje jezgro, debljine oko 2 300 km, takode

sacinjeno od gvozda i nikla, ali u tecnom stanju;

• plast, debljine oko 2 800 km, sastavljen od cvrstih

silikatnih stena;

• kora, debljine 6 do 40 km, takode sacinjena od

silikatnih stena;

Kada govorimo o Zemlji kao slozenom ekoloskom sistemu, i analiziramo procese na

planeti, onda se takode razlikuju nekoliko interagujucih elemenata:

• litosfera koja odgovara Zemljinoj kori;

• hidrosfera koja predstavlja Zemljin vodeni omotac sacinjen od okeana, mora, jez-

era, reka, itd. ;

• atmsofera koja predstavlja vazdusni omotac;

• magnetosfera koja predstavlja oblast u kojoj se oseca dejstvo Zemljinog magnetnog

polja;

• biosfera sastavljena od zivog sveta koji prozima sve prethodne elemente.

1.5.2 Seizmicki talasi

Vecina od nas ima iskustva sa podrhtavanjem tla - zemljotresima. Seizmicki talasi su

vibracije zemljotresa koje se prenose kroz Zemljinu koru.

Zemljotresi (ili trusovi) se prema nacinu nastanka mogu podeliti na prirodne i vestacke.

Prirodni zemljotresi mogu biti:

• urvinski - nastaju obrusavanjem velike mase zemlje u podzemnim supljinama; de-

jstvo im je lokalno;

1.5. Talasi u Zemljinom omotacu 33

• vulkanski - nastaju kada lava prodre kroz kratere ili usled naglog oslobadanja gasova

i vodene pare pod visokim pritiskom; takode su lokalnog dejstva;

• tektonski - nastaju nabiranjem Zemljine kore sto dovodi do velikih pomeranja i

dislokacija u Zemljinoj kori; pomeranja nailaze na otpor trenja, tako da pomereni

blok moze da se zaustavi; tom prilikom tlo podrhtava, a zatim se smiruje posto dolazi

do privremenog uravnotezavanja bloka; medutim, daljom aktivnoscu Zemljine kore

moze da dode do naglog klizanja, kada naponi nadmase sile trenja, i tada dolazi do

velikog trusa;

Vestacki zemljotresi nastaju dejstvom coveka na prirodnu sredinu. Oni npr. nastaju u

slucajevima nuklearnih proba, a prate i nastanak vestackih akumulacionih jezera.

Pojava zemljotresa registruje se instrumentima

Slika 1.25. Seizmograf.

koji se nazivaju seizmografi a koji se nalaze u seiz-

mografskim stanicama. Seizmograf je u sustini

jedno matematicko klatno (vidi sliku 1.25). Kada

se Zemlja trese, kugla seizmografa usled postojanja

inercije ne prati kretanje rama na kome je klatno

obeseno, a pisaljka na kugli belezi odstupanja od

pravca u obliku drhtave linije koja se naziva seiz-

mogram. Kombinacijom razlicitih pravaca zapisi-

vanja, (npr. sever-jug, zapad-istok i vertikalnog

kretanja), kao i uporedivanjem podataka iz mreze seizmickih stanica, mogu se odrediti

vazne karakteristike zemljotresa.

Kretanja seizmickih talasa kroz pojedine delove Zemljine unutrasnjosti koja se karak-

terisu cestim promenama u brzini i pravcu kretanja, ukazuju na nehomogen sastav kako

Zemljine kore, tako omotaca i jezgra. Razni tipovi talasa prostiru se razlicitim brzinama

koje zavise od njihovog nacina oscilovanja i osobina sredine kroz koju prolaze. Gener-

alno posmatrano postoje dva tipa seizmickih talasa: zapreminski, koji se prostiru kroz

Zemljinu unutrasnjost, i povrsinski, koji se prostiru po slobodnoj Zemljinoj povrsi.

Zapreminski talasi mogu biti:

• ”P” (engl. push, lat. primus), primarni, poduzni, longitudinalni, talasi kompresije

a njihova brzina je c = 7− 8 km/s;

• ”S” (engl. shake, lat. secundus), sekundarni, transverzalni, talasi smicanja; a nji-

hova brzina je c = 4− 4.5 km/s.

Talase koji prolaze kroz unutrasnje delove Zemlje prate povrsinski talasi, koji se pro-

stiru po Zemljinoj povrsini. Postoje dve vrste povrsinskih talasa: Loveovi (Love) i Rejlijevi

(Rayleigh) talasi. Povrsinski talasi nastaju na slobodnoj povrsini cvrstog, elasticnog pros-

tora, slicno gravitacionim talasima na povrsini neke tecnosti pod uticajem vetra. Nazivaju

se jos i ”L” talasi13 (od engl. long), posto je njihov period veci nego kod ”P” i ”S” talasa.

Brzina Rejlijevih talasa je manja, a Laveovih uporediva sa brzinom ”S” talasa.

13U delu literature ”L” je oznaka za Laveove talase dok se Rejlijevi oznacavaju sa ”R”.


Tri osnovna elementa nekog zemljotresa su hipocentar, epicentar i magnituda. Oni

su jedinstveni parametri za svaki zemljotres, dok se cetvrti parametar, makroseizmicki

intenzitet razlikuje za razlicite tacke na Zemlji, pogodene zemljotresom.

• Hipocentar (ognjiste, fokus) je oblast u unutrasnjosti Zemlje u kojoj se zacinje

inicijalni udar. U zavisnosti od dubine hipocentra zemljotrese delimo na plitke (5-35

km), srednje duboke (35-100 km) i duboke (100-800 km).

• Epicentar je projekcija hipocentra na povrsinu Zemlje. Epicentralna oblast se

najcesce poklapa sa oblascu maksimalnih razaranja.

• Magnituda je mera kolicine energije oslobodene u hipocentru i predstavlja na-

jvazniji parametar ognjista. To je broj koji odreduje ukupnu sopstvenu energiju

zemljotresa, a veza izmedu magnitude (M) i energije zemljotresa (E) data je

relacijom

logE = α + βM, (1.91)

pri cemu se najcesce koriste vrednosti parametara α = 4.4 i β = 1.5. Dakle, obzirom

na svoju definiciju, ako se magnituda zemljotresa poveca za 1 (npr. sa 5 na 6),

ukupna energija zemljotresa se povecava 10 puta. Takode, vazno je uociti da mogu

postojati i zemljotresi sa negativnom magnitudom (to su vrlo slabi zemljotresi cija

je energija mala). Magnituda ne zavisi od dubine hipocentra.

• Makroseizmicki intenzitet je mera ucinka energije oslobodene u hipocentru, u

nekoj tacki na povrsini Zemlje. On oznacava meru povredljivosti gradevinskih ob-

jekata, ostecenja tla i reakcije coveka. Zavisi od magnitude ali i od dubine hipocen-

tra, epicentralne udaljenosti, geoloske grade, mehanizma nastanka zemljotresa u

hipocentru, itd. Za razliku od magnitude koja je karakteristika hipocentra, inten-

zitet zemljotresa je razlicit za razlicite tacke na povrsini Zemlje.

Skale. Za medusobno uporedivanje energije i ucinka zemljotresa koriste se najcesce

dve skale, Rihterova i Merkalijeva.

Rihterova skala je skala u kojoj se zemljotresi razvrstavaju prema vrednosti magni-

tude. U tabeli 1.2 prikazana je podela zemljotresa prema velicini magnitude.

Tabela 1.2. Podela zemljotresa prema velicini magnitude.

Magnituda Efekti zemljotresa

M < 3.5 generalno se ne osecaju ali ih beleze instrumenti

3.5 < M < 5.4 cesto se osecaju ali retko uzrokuju stetu

5.4 < M < 6 najcesce ostecuju dobro projektovane objekte; mogu izazvati znacajna

ostecenja na lose izvedenim objektima u ogranicenom podrucju

6.1 < M < 6.9 mogu biti destruktivni u radijusu od oko 100 km

7.0 < M < 7.9 mogu izazvati ozbiljnu stetu u velikoj oblasti

M > 8 mogu izazvati ozbiljnu stetu u radijusu od vise stotina km

1.5. Talasi u Zemljinom omotacu 35

Najpoznatija skala makroseizmickih intenziteta je modifikovana Merkalijeva skala,

dobijena na osnovu MCS (Mercalli-Cancani-Siebergova) skale, usvojene od strane

Medunarodnog seizmoloskog udruzenja 1917. godine. Postoje i ekvivalentne, ali znatno

detaljnije skale: EMS-98 (Evropska Makroseizmicka Skala iz 1998. godine), odnosno

MSK-64 (Medvedev - Sponhauer - Karnik skala definisana 1964. godine). Skale inten-

ziteta su opisne i tekstualno izrazavaju efekte zemljotresa na Zemljinoj povrsi. U tabeli

1.3 prikazani su osnovni elementi MCS skale.

Tabela 1.3. Tablica MCS skale makroseizmickog intenziteta.

amax (m/s2) Stepen Ucinci zemljotresa

seizm. int.

0-0.0025 I neosetan trus; registruju ga samo seizmografi;

0.0025-0.005 II vrlo lagan trus; osecaju ga samo osetljive osobe, preteznona nizim spratovima;

0.005-0.01 III lagan trus; kao pri prolazu automobila; oseca ga vise ljudiu unutrasnjosti zgrade;

0.01-0.025 IV umeren trus; u kucama ga oseca veci broj ljudi, a na otvorenom prostoru

samo pojedinci; tresu se vrata i pokucstvo, zvece prozori

i posude kao pri prolazu teskih kamiona; pojedince probudi;

0.025-0.05 V prilicno jak trus; primecuju ga mnogi na otvorenom prostoru; obeseni

predmeti se njisu; klatno casovnika se zaustavlja; manji predmeti se

preturaju; vrata i prozori se otvaraju ili zatvaraju; pojedinci beze iz kuca;

0.05-0.1 VI jak trus; primecuju ga sve osobe koje beze iz kuca; slike padaju sa

zidova; mnogi predmeti se ruse; posude se razbija; komadi pokucstva

se pomeraju ili prevrcu; manja crkvena zvona zazvone; na pojedinim

dobro gradenim objektima nastaju lagane stete;

0.1-0.25 VII vrlo jak trus; rusenje i razaranje uz znatne stete na namestaju

u stanovima; zvone i veca crkvena zvona; ostecuje se veci broj

dobro gradenih kuca; crepovi se lome i klizaju sa krovova;

ruse se mnogi dimnjaci; voda se talasa i muti;

0.25-0.5 VIII razoran trus; jako ostecuje oko 1/4 zgrada, pojedine kuce se

ruse, a mnoge postaju neupotrebljive za stanovanje; u mokrom

tlu i na strmim padinama nastaju pukotine;

0.5-1 IX pustosan trus; oko 50% zidanih kuca znatno je osteceno,

mnoge se ruse, a vecina postaje neupotrebljiva za stanovanje;

1-2.5 X unistavajuci trus; tesko ostecuje oko 3/4 zgrada, a vecina njih se rusi;

u tlu nastaju pukotine siroke nekoliko cm; sa brda se odronjava zemlja

i otkidaju se delovi pecina; nabiraju se putevi i krive sine;

2.5-5 XI katastrofalan trus; ruse se sve zidane zgrade; padaju mostovi; guzvaju

se sine; u tlu nastaju siroke pukotine iz kojih prodire voda, noseci

pesak i mulj; zemlja se odronjava; mnoge stene se otkidaju i ruse;

5-10 XII velika katastrofa; nijedna ljudska tvorevina ne moze opstati; tlo

potpuno menja izgled, jezera se zatrpavaju, reke menjaju korita;


Rezonantna svojstva tla

Seizmicko dejstvo zemljotresa na gradevinske objekte treba posmatrati u vezi sa tri

fenomena:

• sopstvene oscilacije tla,

• sopstvene oscilacije gradevine,

• njihovo zajednicko oscilovanje.

Seizmicki talasi koji putuju od hipocentra prema povrsini zemlje, usled intrakcije sa

razlicitim slojevima materijala u Zemljinoj kori karakterisu se cestim promenama brzine

i pravca kretanja. Usled toga dolazi i do promene njihovog spektra pa je spektar talasa

koji interaguju sa gradevinskim objektima drugaciji od spektra inicijalnih talasa. Receno

na drugi nacin, tlo predstavlja filter za seizmicke talasa, koji menja relativni odnos en-

ergija talasa u pojedinim oblastima, smanjujuci energiju talasa u nekoj oblasti ucestanosti

vise, a u nekoj drugoj manje. Oblik filterskog dejstva tla zavisi od njegovih mehanickih

karakteristika.

Eksperimentalno je utvrdeno da tlo permanentno osiluje pod dejstvom spoljasnjih isla,

pri cemu su amplitude reda velicine od 0.1 do 1 mikrometra. Takve oscilacije tla nazivaju

se mikroseizmi. Medu mikroseizmima postoje dve grupe koje se medusobno razlikuju po

periodima oscilovanja:

• dugoperiodicni mikroseizmi izazvani globalnim silama u hidrosferi i atmosferi (di-

namika okeana i mora, kretanje vazdusnih masa i sl.), ciji je preovladujuci period

od 5 do 10 s;

• kratkoperiodicni mikroseizmi (mikrotremori) izazvani lokalnim silama (opsta ljudska

aktivnost, transport i sl.), ciji je preovladujuci period od 0.05 do 2.07 s.

Za inzinjersko-seizmoloska razmatranja od veceg znacaja su mikrotremori jer su ispiti-

vanja pokazala da preovladujuci periodi sopstvenih oscilacija tla (mikrotremora) imaju

priblzno iste vrednosti kao preovladu juci periodi oscilovanja tla pri zemljotresu. Tada

se pojacavaju rezonantna svojstva tla, tj. dolazi do interferencijskog efekta primarnog

seizmickog talasa sa sopstvenim oscilacijama tla.

Slicno rezonanciji u samom tlu, rezonantni efekti javljaju se i na samoj gradevini.

Posto ukopani objekti, npr. zgrade osciluju kao stapovi ucvrsceni na jednom kraju, za

koje vazi

νn = (2n+ 1)c

4l, (1.92)

ukoliko se istaknute oblasti u spektru vec filtriranih seizmickih talasa poklope sa sop-

stvenim rezonantnim frekvencijama zgrada, doci ce do izrazite rezonance koja dovodi do

velike amplitude prinudnih oscilacija koja najcesce izaziva velika ostecenja. Najcesce je

spektar seizmickih talasa upravo takav da je najveca kolicina energije skoncentrisana u

oblasti niskih ucestanosti, sto znaci da su sa seizmicke tacke gledista generalno ugrozeniji

objekti vece visine. Ipak, u zavisnosti od filterskih dejstava tla, moze se pojaviti i neka

karakteristicna ucestanost koja ce stvoriti rezonancu i na objektu manje visine.

Glava 2

Akustika

2.1 Osnovne karakteristike zvuka

Akustika je nauka o zvuku. Pod zvukom u uzem smislu, (bioloski termin), podrazu-

mevaju se mehanicki talasi koji mogu biti registrovani culom sluha, tj. cija se ucestanost

nalazi u intervalu od 20 Hz do 20 kHz. Zvuk u sirem smislu, (fizicki termin), predstavlja

sinonim za mehanicke talase uopste, pri cemu se talasi cija je ucestanost ispod 20 Hz

nazivaju infrazvuk, a oni cija je ucestanost iznad 20 kHz ultrazvuk. Opseg cujnih uces-

tanosti je ipak individualna karakteristika, i gornje vrednosti treba shvatiti kao usvojene

statisticke vrednosti. Takode, kod svakog pojedinca, frekventni cujni opseg se sa godinama

smanjuje.

Ukoliko je zvucni talas prost sinusni talas, onda se takav zvuk naziva prost ton.

Medutim, zvucni talasi su najcesce slozeni talasi. Ukoliko se razlaganjem ovih talasa

moze dobiti konacan (ili tacnije prebrojivo beskonacan) broj prostih talasa onda se takav

zvuk naziva slozeni ton. Ako zvucni talas nije periodican, (tj. ne moze se razloziti na

proste talase), takva vrsta zvuka naziva se sum. Dakle, zvuk mozemo podeliti na ton i

sum, pri cemu tonovi mogu biti prosti ili slozeni.

Ako nacrtamo amplitude talasa dobijenih dekompozicijom slozenog talasa u funkciji

ucestanosti dobijamo amplitudski spektar. Spektar tona je linijski, tj. on sadrzi linije na

frekvencama ν0, ν1 = 2ν0, ν2 = 3ν0, itd. Prost ton sadrzi samo liniju na ucestanosti

ν0. To znaci da se slozeni ton moze razloziti na niz prostih tonova cije frekvence stoje u

odnosu celih brojeva prema osnovnom tonu frekvence ν0. Ton frekvence ν1 = 2ν0 naziva

se prvi harmonik, ton frekvence ν2 = 3ν0 drugi harmonik, itd. Zajednickim imenom svi

razlozeni tonovi osim osnovnog, nazivaju se visi harmonici.

Osnovne karakteristike svakog tona su: visina, boja i jacina (intenzitet). Visina

tona odredena je vrednoscu ucestanosti osnovnog tona (ili osnovnog harmonika kako se

jos naziva). Boja tona odredena je relativnim odnosima amplituda osnovnog i visih har-

monika. Prema boji, razlikujemo tonove proizvedene glasovima razlicitih ljudi ili pomocu

razlicitih muzickih instrumenata. Jacina tona je intenzitet slozenog talasa u smislu defini-

cije iz predhodnog poglavlja, tj.:

I = I0 + I1 + I2 + I3 + ... (2.1)

gde je I0 intenzitet osnovnog tona, I1 intenzitet prvog harmonika, I2 intenzitet drugog

37

38 Glava 2. Akustika

harmonika, itd.

Za razliku od tona, sum ima kontinualni spektar. Zbog toga je na ordinati ampli-

tudskog spektra kod suma uzeta vrednost amplitudske gustine gI = dI/dν. U zavisnosti

od oblika spektra, postoje razlicite vrste suma. Spektri tona i suma prikazani su na slici

2.1.

I

n n

dI

dn

n3

n1

n2

n4

n5

n0

Slika 2.1. Spektar tona i suma.

Slika 2.2. Brzina zvuka u razlicitimmaterijalima

vazduh (0◦C) 331.5m/svazduh (20◦C) 343m/svoda (10◦C) 1440 m/smetali 3000− 5000 m/sdrvo 3600− 4600 m/splasticne mase 1000− 2500 m/smeka guma 70 m/s

Jedna od vaznih karakteristika zvuka je i njegova brzina prostiranja. Ona zavisi od

sredine kroz koju se zvuk krece, a neke od vrednosti prikazane su u tabeli 2.2.

2.2 Zvucni izvori

Svaki mehanicki oscilator koji moze da pravilno osciluje stvarajuci tonove naziva se

zvucni izvor. Najcesce korisceni zvucni izvori su zategnute zice, stapovi, vazdusni stubovi,

membrane i ploce.

Zategnute zice

Na slici 2.3 prikazane su oscilacije zice zategnute silom F izmedu dva nepomicna

oslonca. Ako se upravnim pomeranjem zice izazove osilovanje jedne njene tacke stvorice

se transverzalni talas. Da bi stvoreni talas bio stojeci, duzina zice mora biti jednaka

celobrojnom umnosku polovina talasnih duzina, te se otuda mogu odrediti i sopstvene

ucestanosti oscilovanja zice:

l = nλ

2, νn =

n

2lc =

n

2l

√

F

µ. (2.2)

Stapovi

Kod stapova je moguce obrazovati kako transverzalne tako i longitudinalne oscilacije.

Sopstvene oscilacije stapova zavise od toga kako je stap ucvrscen. U svakom slucaju,

cvorovi stojecih talasa obrazuju se na mestima ucvrscenja a trbusi na mestima slobodnih

krajeva stapa (slika 2.4). Ako je stap ucvrscen na jednom kraju onda vazi:

l = (2n+ 1)λ

4, νn = (2n+ 1)

c

4l, (2.3)

2.2. Zvucni izvori 39

n = 2

n = 3

n = 1

l

Slika 2.3. Oscilacije zategnute zice.

n = 1

n = 1

n = 0

l

l

l

Slika 2.4. Oscilacije razlicito ucvrsce-nih stapova.

a ako, na primer, postoje dve tacke ucvrscenja onda vazi:

l = nλ

2νn =

n

2lc. (2.4)

Brzina prostiranja zvuka c zavisi od toga da li su u pitanju transverzalni ili longitudinalni

talasi i data je izrazima (1.65) i (1.66).

Vazdusni stubovi

Oscilovanje vazdusnih stubova zavisi od toga da li su oni otvoreni na jednom ili na oba

kraja. U svakom slucaju na mestu gde je vazdusni stub zatvorenom preprekom formira

se cvor stojeceg talasa na mestu se gde vadusni stub zavrsava bez prepreke formira se

trbuh (slika 2.5). Na taj nacin postoji analogija izmedu oscilovanja stapova i vazdusnih

stubova.

n = 0 n = 3n = 1 n = 1n = 2 n = 2

Slika 2.5. Oscilacije vazdusnih stubova, otvorenih na jednom i na oba kraja.


20 100 1000 10000-20

0

20

40

60

80

100

120

140

0.00002

0.0002

0.002

0.02

0.2

2

200

20

2000

muzika

granica bola

govor

prag èujnosti

f [Hz]

zvuèn

i pri

tisa

k [P

a]

niv

o z

vuka

[dB

]

Slika 2.6. Cujno podrucje i podrucje govora i muzike.

Za vazdusne stubove otvorene na jednom kraju vazi:

l = (2n+ 1)λ

4, νn = (2n+ 1)

c

4l, (2.5)

a za one otvorene na oba kraja:

l = nλ

2νn =

n

2lc. (2.6)

2.3 Intenzitet i nivo zvuka

Intenzitet zvuka je u stvari intenzitet, najcesce slozenog, zvucnog talasa. Prostiranje

zvuka izaziva zapreminsku deformaciju sredine kroz koju se zvuk prenosi, sto dovodi do

pojave nadpritiska pm u svakoj tacki sredine:

I =ρ v2

0

2c =

p2m

2ρ c=

1

2ρω2A2 c (2.7)

Kao sto postoje donja i gornja granicna ucestanost za opseg u kome uho promene

pritiska oseca kao zvuk, tako postoje i granice za intenzitet zvuka. Minimalna vrednost

jacine zvuka koje ljudsko uho moze da cuje naziva se intenzitet zvuka na pragu cujnosti, ili

krace prag cujnosti. On zavisi od stanja organa sluha (razlicit je kod razlicitih ljudi, takode

se i kod jednog istog coveka sa godinama menja), ali i od frekvence zvucnog signala. Prag

cujnosti za ravne talase u slobodnom prostoru, standardizovan na ucestanosti od 1000 Hz,

odreden je eksperimentalno, statistickim ispitivanjem mladih i zdravih osoba, i iznosi:

I0 = 10−12 W

m2= 1

pW

m2. (2.8)

Gornja granica intenziteta zvuka koga ljudsko uho moze da cuje odredena je pojavom

bola do koga dolazi zbog postojanja velikog pritiska na bubnu opnu, pa se zato naziva

granica bola. Ona takode zavisi od stanja organa sluha i od ucestanosti zvucnog signala,

i za 1000 Hz je nesto vise od 1012 puta veca od praga cujnosti.

2.4. Subjektivna jacina zvuka 41

Veliki opseg intenziteta zvuka u oblasti cujnosti je nepodesan. Takode, ljudsko uho,

kao organ cula sluha ima logaritamsku osetljivost. Zbog toga je pogodno uvesti novu

velicinu, nivo zvuka:

L = 10 logI

I0[=] dB, (2.9)

koja je mera relativnog intenziteta zvuka koji se posmatra u odnosu na prag cujnosti.

Sada je citav cujni opseg smesten u interval od −10 do 130 dB. Tipicno (usrednjeno)

cujno podrucje govora i muzike, kao i celokupno cujno podrucje prikazani su na slici 2.6.

Sa ove slike se uocava da je srednja dinamika muzike1 veca od dinamike govora. Takode,

ove razlike mogu biti i vece. Npr. povremene vrsne vrednosti su kod simfonijskog orkestra

oko 15 dB iznad dugovremenskog proseka, a one najnize oko -35 dB. Ako se uzme u obzir

i promena jacine zvuka u pojedinim stavovima jednog muzickog dela, onda je dinamika

jos veca. Na primer fortissimo orkestra i pianissimo jedne violine daju razliku u nivou vecu

od 70 dB. Sa druge strane, prosecna snaga glasa takode varira od saptanja do vikanja, i

ta promena moze imati vrednost i do 60 dB.

2.4 Subjektivna jacina zvuka

20 100 1000 10000

2 10-4.

2 10

2 10

2 10

2

20

-3

-2

-1

.

.

.

f [Hz]

p [ bar]m

0

20

40

60

80

100

L [dB] 120 fona

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Slika 2.7. Izofonske linije po Fleceru i Mansonu

Iako skala u decibelima dobro odgovara subjektivnom osecaju promene jacine zvuka,

zbog postojanja frekventne zavisnosti praga cujnosti i granice bola, nivo zvuka ne moze

biti prava mera za subjektivni osecaj jacine. Na primer, ako posmatramo dva zvuka

istog nivoa L =20 dB, ucestanosti 100 i 1000 Hz, vidimo da se prvi uopste ne cuje,

dok drugi upada u oblast cujnosti. Zato se uvodi nova fizicka velicina koja se naziva

subjektivna jacina zvuka, i njena jedinica koja se naziva fon. Po definiciji, dva zvuka koja

imaju jednak broj fona, za ljudsko uho izgledaju kao da su jednake jacine, bez obzira na

vrednost njihovih nivoa zvuka, koji mogu biti razliciti. Na ucestanosti od 1000 Hz nivo

1Pod dinamikom se ovde podrazumeva promena jacine tj. niva zvuka koja postoji u zvucnoj slici u

toku vremena.


zvuka u decibelima i subjektivna jacina zvuka u fonima se poklapaju, dok se za druge

ucestanosti, veza izmedu decibela i fona odreduje eksperimentalno (videti sliku 2.7).

U tabeli 2.1 prikazana je subjektivna jacina zvuka karakteristicnih zvucnih fenomena.

Tabela 2.1. Prosecne subjektivne jacine pojedinih vrsta buke

10 fona Sustanje lisca pri najslabijem vetru

20 fona Vrlo mirna basta izvan grada

30 fona Vrlo mirna okolina; najniza buka u stanovima;

buka gledalaca za vreme pozorisne predstave

40 fona Prigusen razgovor; tiha muzika; buka u gradskom stanu pri zatvorenim prozorima;

50 fona Normalan govor; mirna ulica u gradu; najniza buka radnih prostorija;

60 fona Pisaca masina; usisivac za prasinu; muzika iz radioaparata

(normalna jacina); kancelarijske prostorije;

70 fona Gradski saobracaj; sviranje klavira; bucan restoran;

daktilografksi biro; kupe u vagonu;

80 fona Jaka vika; teretni auto na 5 m rastojanja; ulice sa jakim saobracajem; radionica;

90 fona Automobilska sirena na 5 m rastojanja; avionska kabina;

orkestar koji svira forte; bucna radionica;

100 fona Motocikl bez prigusivaca na 10 m rastojanja; brzi voz u prolasku kroz

stanicu podzemne zeleznice; buka u tkacnici;

110 fona Parni cekic; kompresorska busilica na rastojanju 2 m;

120 fona Avionski klipni motor na rastojanju 3 m; eksplozija na 250 m rastojanja;

2.5 Akustika prostorija

Prilikom odbijanja zvuka od prepreke, javljaju se jek i odjek. Ako pretpostavimo da

izgovaranje sloga traje priblizno 0.1 s, a brzina zvuka je oko 340 m/s, onda se, ukoliko

je rastojanje prepreke manje od oko 17 m, reflektovani zvuk vraca do izvora zvuka u

toku trajanja sloga. Ova pojava zove se jek. Ukoliko je pak reflektujuca povrsina na

rastojanju vecem od oko 17 m javlja se odjek, tj. reflektovani zvuk se vraca do izvora

nakon zavrsenog izgovaranja sloga.

U zatvorenim prostorijama dolazi do stvaranja stojecih talasa, tj. za svaku prostoriju

postoje njene rezonantne ucestanosti. Posmatrajmo paralelopipednu prostoriju sa idealno

krutim zidovima dimenzija lx, ly, lz. Pretpostavicemo da se zvucni talas u prostoriji moze

opisati jednacinom

ψ(x, y, z, t) = A sin(kx x+ φx) sin(ky y + φy) sin(kz z + φz) sinω t, (2.10)

za koju se moze pokazati da predstavlja resenje talasne jednacine, odakle sledi da mora

biti:(

2π

λ

)2

= k2 = k2x + k2

y + k2z . (2.11)

2.5. Akustika prostorija 43

Da bi nastali stojeci talasi, moraju se na zidovima formirati cvorovi, tj. brzine oscilo-

vanja cestica talasa na zidovima moraju biti nula. To ce biti ostvareno ako vazi

lx =nxλx

2=nx 2π

2kx

⇒ kx = nx

π

lx,

ly =nyλy

2=ny 2π

2ky

⇒ ky = ny

π

ly,

lz =nzλz

2=nz 2π

2kz

⇒ kz = nz

π

lz. (2.12)

Koristeci c = λν = 2πν/k i (2.11)-(2.12) za sopstvene rezonantne ucestanosti par-

alelopipedne prostorije dobija se:

νnx,ny ,nz=c

2

√

(

nx

lx

)2

+

(

ny

ly

)2

+

(

nz

lz

)2

. (2.13)

Ako su dva od tri broja nx, ny, nz jednaka nuli, onda se stojeci talas dobija refleksijom

od dve suprotne povrsine (kao u Kundtovoj cevi), tj. formira se paralelno jednoj koordi-

natnoj osi pa se naziva aksijalni ili ivicni talas. Ako je samo jedan od n-ova jednak nuli,

onda se stojeci talas formira refleksijom od cetiri strane paralelepipeda, paralelno jednoj

od povrsina paralelepipeda, i naziva se povrsinski talas. Najslozeniji tip stojeceg talasa

je tzv. prostorni talas koji se dobija kada su sva tri broja n razlicita od nule, tj. kada

nastaje refleksijom od svih sest stranica paralelepipeda.

2.5.1 Apsorpcija zvuka. Vreme reverberacije

Razliciti materijali razlicito apsorbuju zvucne talase. Koeficijent apsorpcije definisan

je kao

α =Pa

Pu

, (2.14)

gde je Pa snaga zvucnog talasa koja se apsorbuje na nekoj povrsini a Pu ukupna snaga

koja pada na tu povrsinu. U tabeli 2.2 prikazane su vrednosti koeficijenta apsorpcije za

pojedine materijale.

Reverberacija je pojava da se zvuk u prostoriji, zbog postojanja visestrukih refleksija,

odrzava i nakon prestanka rada zvucnog izvora. Vreme reverberacije definise se kao vreme

potrebno da nakon prestanka rada zvucnog izvora nivo zvuka opadne za 60 dB, tj. da se

intenzitet zvuka u prostoriji smanji milion puta (videti sliku 2.8).

L [dB]

L0

L - 600

0tu ti t + ti

t

t

Slika 2.8. Promena nivoa zvuka pri ukljucivanju i iskljucivanju izvora.


Tabela 2.2. Vrednosti koeficijenata apsorpcije α za razlicite materijale pri raznim ucestanostima

zvuka. Vrednost za α izrazena je u procentima.

Materijal 125Hz 250Hz 500Hz 1000Hz 2000Hz 4000Hz

Mermer 1 1 1 2 2 2

Beton 1 1 2 2 2-4 3-4

Gips 2 4 4 5 4 4

Omalterisan zid 1-2 2 2 - 4 4

Parket 20 15 10 10 9 10

Tvrdo drvo 1 - 5 - 4 4

Linoleum 1-2 1-3 2-4 3-5 4-5 3-5

Prozorsko staklo 10-22 4-6 3 2 2 2

Voda 1 - 1 - 2 -

Mineralna vuna (d = 2.5 cm) 6 19 39 54 59 75

Staklena vuna (d = 10 cm) 29 55 64 75 80 85

Pamuk (d = 17 cm) - 62 80 96 97 93

Presovane plocice mineralne

ili staklene vune (d = 2.5 cm) 15 35 35 85 90 90

Cilim od rogozine 4 4 7 15 30 50

Zavesa 10− 20 cm od zida 7-10 15-25 30-40 40-50 50-60 40-60

Malter na metalnoj mrezi sa

vazdusnim meduprostorom 25-30 15-30 10 5 5 4-5

Daske na resetki

od greda i letava 15 20 10 10 10 10

Sper-ploca (d = 6 mm) 78 50 25 13 9 8

Vreme reverberacije se moze odrediti prema Sabinovom obrascu:

τ = 0.16V

A, A =

∑

i

αi Si, (2.15)

gde je τ vreme reverberacije izrazeno u sekundama, V zapremina prostorije izrazena u

kubnim metrima, a A apsorpciona povrsina prostorije (apsorpcija prostorije), izrazena

u kvadratnim metrima, koja se dobija sumiranjem proizvoda koeficijenta apsorpcije i

povrsina svih tela u prostoriji.

Prostorija sa veoma malim vremenom reverberacije naziva se ”gluva soba” i koristi

se za akusticka ispitivanja. Optimalno vreme reverberacije zavisi od spektra zvuka i

zapremine prostorije, tj. raste sa povecavanjem zapremine i prikazano je u tablici 2.3 i na

slici 2.9.

2.5.2 Apsorberi zvuka - materijali i konstrukcije

Mogu se podeliti na tri grupe, u zavisnosti od toga u kom delu spektra vrse dominantnu

apsorpciju:

2.5. Akustika prostorija 45

Tabela 2.3. Optimalno vreme reverberacije za razlicite namene prostorije

namena prostorije τ (s)

crkvena muzika 1.5-2.5

koncert 1.3-2.2

opera 1.1-1.2

muzicki studio 0.7-1.2

govor 0.7-1.2

govorni studio 0.5-0.65

crkvena muzika

koncert

muzi ki studio

ègovor

drama

slu aoniceš

govorni studio

bioskopi

opera

0.5

1

1.5

2

2.5

t [s]opt

2 5 2 5 2102 103 104V [m ]3

Slika 2.9. Optimalno vreme reverberacije na srednjim ucestanostima u zavisnosti od zapremine

prostorije.

• porozni materijali - visoke frekvence

• akusticki rezonatori - srednje frekvence

• mehanicki rezonatori - niske frekvence

Porozni materijali. U ovu grupu spadaju materijali kod kojih je kruta masa prozeta

kanalicima, tj. porama, medusobno povezanim u neprekinutu mrezu. Najcesce korisceni

materijali su sve tekstilne materije, staklena i mineralna vuna, kao i razne akusticke ploce,

npr. heraklit ploce (smesa drvene vune i gipsa), fazer ploce (smesa drvenih otpadaka i

vezivnog sredstva) i sl. Zvuk prodire duboko u pore ovakvih materijala, gde se usled

velikog trenja, akusticka energija pretvara u toplotu.

Akusticki rezonatori su komore krutih zidova sa uskim otvorima. Oni vrse vrlo

selektivnu apsorpciju. Da bi se povecala apsorpciona sposobnost u sirem frekventnom

opsegu, komora se ispunjava apsorpcionim materijalom (staklenom vunom, vatom i sl.),

ili se preko otvora na ulazu u rezonator zalepi tanka tkanina.

Mehanicki rezonatori su tanke ploce (membrane) iza kojih se nalaze vazdusne ko-

more. Ploce vibriraju pod dejstom sile zvucnog pritiska. Akusticka energija pretvara se

najpre u mehanicku, a ova zatim u toplotnu. Po karakteristikama slicni su akustickim


rezonatorima, ali su rezonatne ucestanosti nize, a apsorpciono-frekventna kriva je mnogo

manje selektivna.

2.6 Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od

buke

2.6.1 Buka

Akusticka svojstva neke prostorije bitno zavise od buke koja spolja prodire u prostoriju.

Zastita od buke mora biti jedan od faktora koji se uzima u obzir prilikom arhitektonskog

resenja oblika i enterijera prostorija i njihove prakticne realizacije. Sve ono sto zahteva

danasnji nacin gradenja, brz i jeftin, upravo je suprotno onom kako bi trebalo graditi

drzeci se pravila akustike. Velike zajednicke stambene zgrade, cvrsto povezani skeleti od

armiranog betona i celika, laki pregradni zidovi, nazidne instalacije vodovoda i grejanja

ne ide u prilog boljoj zastiti od buke, pa su uvek dobrodosli kompromisi koji poboljsavaju

akusticka svojstva prostorija.

Stetno dejstvo buke je veliko. Svaka buka, pa i ona nizeg nivoa, ugrozava pre svega

san i odmor, ometa koncentraciju, dovodi do povecanja broja gresaka u radu i uopste

otezava svaki posao. Nesto jaca buka ima neposredno fiziolosko dejstvo na ljudski organi-

zam: povecava krvni pritisak, broj otkucaja srca, povecava lucenje nekih zlezda, izaziva

napetost nervnog sistema. U takvim uslovima organizam mora da ulaze dodatni napor da

bi se prilagodio buci. Jos jaca buka, koja na zalost postoji na nekim radnim mestima, di-

rektno ostecuje sam organ sluha i vremenom dovodi do odredenog stepena gluvoce. Zbog

toga se moraju koristiti licna zastitna sredstva, cepovi za usi, kacige, nausnice i sl.

Postoji nekoliko grupa izvora buke. U prvu grupu spadaju masine i aparati svih

vrsta. Npr. sumovi od elektromotora posledica su neidealno izbalaniranog motora i za-

vise od broja obrtaja. Kod masina koje ne rade neprekidno broj obrtaja se menja u toku

ukljucivanja iskljucivanja. U uredajima za grejanje pumpe i gorionici takode stvaraju

sumove. Sumovi od strujanja predstavljaju drugu grupu. Kod uredaja za provetravanje

nivo zvuka u kanalu zavisi od brzine strujanja vazduha. Slicno je i u vodovodnim in-

stalacijama gde sum astaje usled strujanja vode, a moze biti naglaseno pojacan usled

postojanja vazdusnih cepova. Takode, mogu se javiti i tzv. udarni sumovi, koji nas-

taje usled pada vode. Istakanjem vode nastaje i sum klokotanja. Sumovi sa vodovodnih

instalacija se cesto prenose i na samu armaturu. U zgradama za stanovanje ne treba

zanemairiti ni sumove koji nastaju od lupanja, kotrljenja ili klizanja liftova, roletni, kao i

udarne sumove u kanalima za uklanjanje smeca.

Postoje tri nacina borbe protiv buke:

• suzbijanje buke na izvoru

• udaljavanje od izvora buke

• akusticka izolacija prostorija

Najefikasnije resenje je suzbijanja buke na izvoru, tj. treba omoguciti da masine u

fabrikama, aparati u domacinstvu, saobracajna sredstva i drugi izvori stvaraju manje

2.6. Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od buke 47

buke. To je tehnicki izvodljivo jer u sustini svaka buka pri radu nekog uredaja je dokaz

njegove tehnicke nesavrsenosti. Ovi problemi su najinteresantniji za masinske inzinjere.

Pored tehnickih sredstava, za suzbijanje buke na izvoru treba koristiti i zakonska sredstva

jer je u mnogim slucajevima uzrok velike buke neadekvatni postupak u radu, nepazljivo

rukovanje i uopste neodgovorni odnos prema okolini, a to se moze resavati samo strogom

primenom zakonskih propisa.

Drugi nacin je jednostavan i jeftin. To znaci da za osetljiv objekat treba izabrati

sto mirniju lokaciju tj. izbegavati bucnu okolinu. Npr. bolnicu treba graditi u zelenom

pojasu, daleko od saobracajnica; ucionice u skoli treba okrenuti prema dvoristu; koncertnu

salu treba zastiti foajeima i sporednim prostorijama od ulicne buke.

Akusticka izolacija prostorija je skup ali efikasan metod zastite od buke, i uvek se

primenjuje u kombinaciji sa udaljavanjem od izvora buke. Ovim problemima bavi se tzv.

arhitektonsko-gradevinska akustika. Kao velicina koja kvantifikuje akusticku izolaciju neke

prostorije uvodi se velicina koja se naziva akusticka (zvucna) izolovanost i oznacava sa D.

Naime ako znamo nivo spoljne buke na mestu izvora L1, mozemo ako su nam poznata

izolaciona svojstva pregradnih zidova odrediti i nivo buke u nekom susednom prostoru

L2. Razlika ova dva nivoa, koja u stvari predstavlja slabljenje buke na putu kojim ona

prodire, naziva se akusticka izolovanost:

D = L1 − L2 [=] dB. (2.16)

2.6.2 Karakteristike buke

Najvaznija karakteristika buke je njena jacina. Ona moze biti izrazena nivoom buke u

odredenom prostoru ili na odredenom rastojanju od izvora, ili akustickom snagom izvora.

Kada se radi o pojedinacnim izvorima (razni aparati, sirene i sl.), bolje je dati snagu, pa

za razne slucajeve izracunavati nivo buke. Kada je u pitanju buka nastala od vise izvora

(npr. saobracajna) postoji samo prosecni nivo koji se dobija merenjem ili procenjuje

statistickim metodama.

50

60

70

80

90

100

50 100 400 1600 6400

srednja frekvencija oktave [Hz]

niv

o b

uke

po o

kta

vi

[dB

]

Slika 2.10. Spektar buke u tkacnici.

40

50

60

70

80

90

100

50 100 400 1600 6400

niv

o b

uke

po o

kta

vi

[dB

]


Slika 2.11. Spektar buke u prometnoj ulici.

Druga vazna karakteristika je spektar buke. Dve buke jednake jacine, ali razlicitog

spektra, ne deluju na coveka na isti nacin. Buka u kojoj su jace izrazene vise ucestanosti,

neprijatnija je i vise ometa. Npr. automobilom se mozemo voziti vise sati bez nekog


Tabela 2.4. Podnosljivi nivoi buke izrazeni preko normalizovane i izmerene buke

objekt norm. buka izm. buka (dB)

radio studio N15 - N20 20 - 25

koncertne sale, pozorista, TV studio N20 - N25 25 - 30

ucionice svih vrsta, vece sale za sednice, spavace sobe N25 - N30 30 - 35

manje sale za sednice ili vece sa ozvucenjem

bioskopi, stanovi, hoteli, bolnice N30 - N35 35 - 40

kancelarije, citaonice N35- N40 40 - 45

restorani, radnje, salterska sluzba N45 - N50 50 - 55

daktilo-biroi, sportske hale N55 60

radionice N65 70

narocitog zamora mada nivo buke iznosi ponekad i preko 90 dB. Taj nivo se medutim

javlja u oktavi oko 50 Hz, dok spektar pri visim frekvencama opada za skoro 10 dB po

oktavi. Druge vrste buke ovog nivoa, pa cak i muzika, mogle bi biti vrlo zamorne, a

ponekad i opasne po organ sluha. Poznavanje spektra buke nije vazno samo zbog stepena

ometanja, nego i zbog iznalazenja odgovarajucih zastitnih mera. Na slikama 2.10 i 2.11

su prikazani spektri nekih izvora buke.

Treca znacajna karakteristika buke je njeno trajanje (i eventualno ritam prekida).

Vrlo jaka kratkotrajna buka ne predstavlja opasnost za organ sluha, tj. on ce privre-

meno biti onesposobljen da prima zvuk (zagluhnut), ali ce se brzo povratiti u normalno

stanje. Medutim, ako jaka buka dugo traje, javljaju se trajna ostecenja organa sluha. Sa

stanovista izolacije takode je vazno trajanje buke. Bilo bi vrlo nerentabilno projektovati

akusticku izolaciju prema kratkotrajnoj buci koja se javlja samo u retkim slucajevima

(npr. nisko nadletanje aviona ili udar groma). Zbog toga se u akustici najcesce razma-

tra ekvivalentni nivo buke koji predstavlja buku prosecnog intenziteta u toku vremenskog

intervala (t1, t2):

Leq = 10 logIsrI0, Isr =

1

t2 − t1

∫ t2

t1

I(t) dt. (2.17)

Postoje i drugi subjektivni efekti vezani za vremenske promene buke, npr. promenljiva

buka se teze podnosi nego monotona, a jos teze buka sa ritmickim prekidima.

2.6.3 Prihvatljivi nivoi buke

Granicne linije buke (N-linije) (slika 2.12) po Kostenu i Van Osu predstavljaju linije

jednake podnosljivosti zvuka. Ordinata spektra za 1000 Hz uzima se kao nazivna (nom-

inalna) oznaka linije. Stalno opadajuci tok ovih linija ukazuje na cinjenicu da su vise

frekvence buke manje podnosljive.

U tabeli 2.4 prikazani su podnosljivi nivoi buke u razlicitim objektima, a u tabeli 2.5

uticaj razlicitih nivoa buke na neke covekove aktivnosti.


N65

N60

N55

N50

N45

N40

N35

N30

N25

N20

N15

N10

N5

N0

70

65

60

55

50

45

40

35

30

25

15

10

20

5

0

62.5 125 250 500 1000 2000 4000 8000

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


niv

o z

vuka

po o

kta

vi

[dB

]

Slika 2.12. Normirane linije buke, date u vidu spektra po oktavama.

2.6.4 Izolaciona moc materijala i veza sa akustickom izolo-

vanoscu prostorije

Da bi se neki pregradni zid opisao sa stanovista kolicine zvucne energije koja prolazi

kroz njega definisu se odredeni parametri.

Koeficijent transmisije (prenosenja) τ definise se kao kolicnik prenete akusticke

snage kroz zid Pt i ukupne upadne snage Pu:

τ =Pt

Pu

. (2.18)

Izolaciona moc (akusticka izolacija) materijala se definise umesto koeficijenta

transmisije:

R = 10 log1

τ[=] dB. (2.19)


Tabela 2.5. Uticaj raznih nivoa buke izrazenih kao normalizovana ili izmerena buka na covekove

aktivnosti

norm. buka izm. buka opis i posledice bucnosti

(dB)

N25 - N35 30 - 40 vrlo mirno, sastanci moguci i u skupu do 50 osoba

N35 - N40 40 - 45 mirno, govor se cuje dobro do 10 m daljine

razgovor telefonom normalan, moguce sastanci do 20 osoba

N40 - N45 45 - 50 zadovoljava u pogledu bucnosti, govor se cuje

do 4 m, telefonski razgovor jos uvek normalan

N45 - N55 50 - 60 govor pojacan, dobro razumljiv samo do 2 m, telefonski

razgovor nesto otezan - tipicno za projektne biroe

N55 - N60 60 - 65 moguc razgovor samo 2-3 coveka iz blizine, telefonski

razgovor vrlo otezan - tipicno za sobe sa masinama

N60 - N65 65 - 70 moguc umni rad rutinskog karaktera i rad upravljan

govornim komandama i akustickim signalima

N70 75 Moguc fizicki rad sa dovoljnom preciznoscu i koncentracijom

N80 85 Moguc fizicki rad bez umnog naprezanja

To je osnovni podatak koji karakterise zvucnu izolovanost gradevinskih materijala, ele-

menata i konstrukcija. Za pregradni zid vazi:

R ≈ 20 logωms cos θ

2ρ c, (2.20)

gde su ω ugaona ucestanost buke, ms

logw

w = 10w3 1w = 2w

2 1w1

1R

1R +6

1R +20

R [dB]

Slika 2.13. Teorijska frekventna zavisnost izo-

lacione moci.

masa jedinice povrsine pregradnog zida,

θ ugao incidencije zvucnih talasa na pre-

gradni zid, ρ gustina materijala od koga je

nacinjen zid, a c brzina zvuka u tom ma-

terijalu. Vidimo da izolaciona moc raste

i sa frekvencijom (20 dB po dekadi2 ili

6 dB po oktavi3, videti sliku 2.13) i sa

masom, tj. tezinom pregrade (”zakon ma-

se”). To je jedan od osnovnih zakona koji

se ne moze prenebregnuti, a koji stalno

dovodi u sukob akustiku i gradevinsku

tehniku. Npr. velike zgrade sa mnogo

stanova postaju jos jeftinije ako se izgradi jedinstven skelet, a pregrade izvedu lakim i

tankim materijalima. Sa gledista akusticke izolacije to je katastrofa. Cak i kada se ne

gradi po skeletnom sistemu, cesto se koriste suplje opeke pri zidanju. One su po statickoj

cvrstoci samo nesto malo slabije od punih elemenata, ali su zato lakse, a kao toplotni

izolator cak i bolje. Medutim, zbog smanjene mase one su slabiji akusticki izolatori.

Fleksioni talasi. Izolaciona moc materijala koja bazira na zakonu mase (2.20) u prak-

si se pokazala nedovoljno tacnom za projektovanje izolacionih sistema od kojih se zahteva

2Dekada predstavlja odnos dve vrednosti neke fizicke velicine koji je jednak 10.3Oktava predstavlja odnos dve vrednosti neke fizicke velicine koji je jednak 2.


velika tacnost akusticke izolacije u sirokom spektru ucestanosti. Uzrok ovog odstupanja

je pojava fleksionih talasa u pregradnim zidovima.

Fleksioni talasi (talasi savijanja, ugibni talasi) nastaju kod

q

l

Slika 2.14. Fleksioni talasi.

stapova i ploca i predstavljaju vrstu transferzalnih talasa kod

kojih se prostiranje talasa desava duz ose stapa, tj. duz prave

koja lezi u ravni ploce, a oscilovanja se vrse u pravcu koji je

normalan na osu stapa tj. ravan ploce, sto za posledicu ima

njihovo savijanje (slika 2.14). Oni nastaju pri kosom udaru

zvucnih talasa na tanki zid (λÀ l). Posto su pregradni zidovi

(pregrade) u stvari oscilujuce ploce, onda oni predstavljaju

slozene mehanicko-akusticke sisteme.

Efekat koincidencije. Pojava fleksionih talasa moze u znatnoj meri smanjiti izola-

cionu moc pregrade kada dode do efekta koincidencije, tj. kada sopstveni fleksioni talasi u

pregradi koincidiraju po mestu i vremenu sa akustickim oscilacijama zvucnog polja, koje

pri kosoj incidenciji takode imaju komponentu brzine prostiranja duz pregrade. Tada nas-

tupa rezonanca, oscilacije pregrade se pojacavaju, pa se akusticka energija prenosi gotovo

bez gubitaka na drugu stranu. U tabeli 2.6 su date vrednosti tzv. granicnih frekvenci

koincidencije (kada je θ = 0) fk u zavisnosti od mase po jedinici povrsine ms i faktora

prigusenja β za debljinu od 1 cm:

Tabela 2.6. Vrednosti granicnih ucestanosti koincidencije

materijal ms (kg/m2) fk (Hz)

cigla 21 2 100

beton 23 2 000

staklo 25 1 600

celik 76 1 300

drvo 6 2 100

gips 10 3 400

Gradevinski elementi, u kojima je granicna ucestanost koincidencije iznad 200 Hz, zovu

se elasticne konstrukcije, a oni sa granicnim ucestanostima ispod 200 Hz predstavljaju

krute konstrukcije. Ove granicne vrednosti su relativno proizvoljne, i variraju u literaturi.

Uzimanjem u obzir efekata koincidencije, izolaciona moc materijala postaje kompliko-

vana funkcija frekvence, sto je prikazano na slici 2.15.

Zakljucujemo da pojava koincidencije dovodi do smanjenja izolacione moci pregrade

u sirem frekventnom opsegu. Najnezgodnije je kada je taj opseg u oblasti vaznih srednjih

audio-ucestanosti. Zato treba nastojati da fk bude ili vrlo nisko (debele pregrade), ili

visoko - iznad 3000 Hz.

Akusticka izolovanost prostorije. U praksi je najcesci sledeci problem: poznat je

nivo (a najcesce i spektar) buke koja u posmatranu prostoriju dolazi iz susedne prostorije

(slika 2.16), kao i nivo (i spektar) buke koja se u njoj moze tolerisati. Razlika ordinata

ova dva spektra daje trazenu frekventnu zavisnost minimalne akusticke izolovanosti.


Rp6dB

/okt

9dB/o

kt

R2k

zakon

mas

e

0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10k/f f

R

10

dB

.

Slika 2.15. Izolaciona moc jednostruke pregrade, data u zavisnosti od ucestanosti.

1 2

S12

Slika 2.16. Putevi prenosenja zvuka iz prostorije 1 u prostoriju 2.

Moze se pokazati da je u ovom slucaju izraz za akusticku izolovanost D:

D = R + 10 logA2

S12

, (2.21)

gde je R izolaciona moc pregradnog zida, A2 ukupna apsorpcija (∑

αi Si) u posmatranoj

prostoriji a S12 povrsina pregradnog zida.

2.7 Ultrazvuk

Pod ultrazvukom se podrazumevaju mehanicki talasa cija ucestanost prelazi 20 kHz

i koji se ne mogu detektovati culom sluha. Gornja granica ucestanosti u praksi iznosi i

do 500 MHz ali se u praksi najcesce koristi ucestanost u opsegu od 1 MHz do 10 MHz.

Neke zivotinje mogu proizvesti i cuti ultrazvuk, te ga koriste za komunikaciju i orijentaciju.

Slepi misevi koriste ultrazvuk uglavnom za pronalazenje plena, dok kitovi mogu proizvesti

ultrazvuk koji se moze cuti cak i na nekoliko kilometara.

Uredaji za proizvodnju ultrazvuka se cesto nazivaju sondama. Izvori ultrazvuka u

sondama mogu biti:

• piezoelektricni,

• magnetostrikcioni.

2.7. Ultrazvuk 53

Piezoelektricni materijali se pod pritiskom elektricno polarizuju (sto predstavlja direktan

piezoelektricni efekat), a obrnuto, pod dejstvom elektricnog polja menjaju svoje dimenzije

(sto predstavlja obrnuti (inverzan) piezoelektricni efekat). Za ultrazvucne pretvarace ko-

riste se kvarc, Senjetova so, amonijum-dihidrogen fosfat, litijum sulfat, a takode i vestacka

polikritalna keramika barijum-titanat. Ucestanost ovako dobijenog ultrazvuka je reda de-

setina ili stotina megaherca.

Magnetostrikcioni materijali se pod dejstvom magnetnog polja deformisu (direktan

magnetostrikcioni efekat) a pod pritiskom menjaju magnetne osobine (inverzni magne-

tostrikcioni efekat). Kao magnetostrikcioni materijali koriste se nikl, razne legure nikla

i gvozda (permaloj, alfer, cekas, permendur) kao i keramike nikl-cink-ferit, nikl-ferit, i

druge. Na ovaj nacin proizveden ultrazvuk ima ucestanost i do 100 MHz ali i veliku

snagu (do 105 W/m2), zbog cega se koristi u industriji.

Iako ga ljudi ne mogu cuti, ultrazvuk ima siroku primenu. Poceo se koristiti krajem

50-tih godina proslog veka, posle obimnih istrazivanja za vreme Drugog svetskog rata.

Ultrazvuk, zbog svoje male talasne duzine pokazuje osobine slicne osobinama svetlosti:

pravolinijsko prostiranje, slabu apsorpciju i malu difrakciju. Pri promeni akusticke sredine

dolazi do parcijalne refleksije, stvara se povratni ultrazvucni talas koji se moze registrovati.

Zbog toga je nasao siroku primenu u tehnici, hemiji, biologiji i drugim oblastima.

Neke od najvaznijih primena su:

• Primene u medicini:

Medicinska dijagnostika (ispitivanje unutrasnjih organa) - posle ozracivanja organa

koji se snima, reflektovani talas se detektujem uredajem koji se naziva transdjuser

i salje na obradu. Posle filtriranja mehanicki talas se pretvara u sliku na monitoru

- sliku unutrasnjeg organa. Proces snimanja ultrazvukom u medicini je poznat pod

imenom sonografija. Ultrazvucni aparat ima dugu istoriju koriscenja u medicini,

dok se u novije vreme sve vice koriste naprednija tehnoloska resenja: dopler i kolor

dopler koji su zasnovana na Doplerovom efektu4 ultrazvuka. Primenljiv je u ra-

zlicitim oblastima medicine: gastroenterologija, opstetricija, ginekologija, urologija,

nefrologija, kardiologija, ortopedija, angiologija, neurologija, endokrinologija, itd.

Osim za dijagnostiku, ultrazvuk se moze koristiti i u terapeutske svrhe. Npr. tre-

tiranje ultrazvukom oblasti oko ostecenih delova tkiva moze stimulisati lucenje his-

tamina koji pospesuje aktivnost leukocita, i stoga skracuje vreme oporavka.

• Primene u geologiji i arheologiji: sluzi za otkrivanje slojeva zemljista, podzemnih

voda, u petrografiji, mikrostruktura stena ili za otkrivanje podzemnih arheoloskih

eksponata i antickih gradevina.

• Primene u okeanografiji - ultrazvucna lokacija pomocu uredaja koji se nazivaju

sonari. Ispituje se oblik morskoga dna, otkrivaju perforacije na morskom dnu, meri

dubina mora, sa bezbedne udaljenosti se mogu pronalaziti olupine potonulih plovila

otkrivati podmornice i jata riba.

4Doplerov efekat je pojava koju karakterise promena ucestanosti talasa koje prima posmtrac u odnosu

na onu koju emituje izvor, usled relativnog kretanja izvora i posmatraca.


• Ultrazvucna defektoskopija: gotov fabricki proizvod, koji nema nikakvih gresaka

vrlo dobro propusta ultrazvuk, a svaka supljina ispunjena vazduhom gotovo potpuno

reflektuje zvuk (slika 2.17), stoga se ultrazvukom moze ispitivati ispravnost bilo

kakvih vrsti proizvoda, ali i velikih gradevinskih konstrukcija.

izvor

e

k

r

a

n

Slika 2.17. Ultrazvucna defektoskopija.

• Primene u hemiji i metalurgiji:

Sonde mogu emitovati ultrazvuk velike energije, tako da se unutrasnja struktura

tela kroz koja ultrazvuk prolazi moze poremetiti (efekat kavitacije, koagulacije).

Npr. ultrazvuk se koristi i za obradu i zavarivanje metala fokusiranim ultrazvukom.

Koristeci efekat kavitacije, ultrazvuk se moze iskoristiti za homogenizovanje smese

supstanci koje se inace slabo ili nikako mesaju, tj. za dobijanje emulzija i legura.

Ultrazvuk, pri dodiru sa kristalnim supstancama, moze pri povoljnim uslovima rask-

inuti jedan broj veza u kristalima, razbijajuci velike kristale na sasvim male delove.

Ova osobina je iskoriscena u proizvodnji medikamenata i prehrambenoj industriji.

Ukoliko neki hemijski proces postavimo pod ultrazvucni talas, brzina reakcije se

moze povecati i do nekoliko desetina puta, tj. ultrazvuk se moze koristiti kao jeftin

katalizator. Npr. ultrazvukom je moguce izazvati ubrzano starenje vina.

• Primene u biologiji:

Biolozi koriste ultrazvuk za pracenje i pronalazenje jata riba, kolonija algi, vecih

morskih organizama. Ukoliko, se ultrazvukom stvori sitna supljinu u celijskoj mem-

brani kroz nju se u celiju moze ubaciti medikament, ili npr. genetski lanac, sto

vec zalazi u sferu mikrobiologije. Pri ehstrahovanju aroma iz biljaka potrebno je

najcesce mehanicki delovati na biljne celije sa pigmentima radi povecanja efikasnosti

procesa. Kao mehanicka sila koristi se nadpritisak sredine pogodene ultrazvukom.

Ultrazvuk moze paralizovati sitnije organizme (mikroorganizme) jer deluje na nervne

sinapse. U kombinaciji sa UV zracima ultrazvukom se moze vrsiti sterilizacija npr.

mleka ili medicinskih instrumenata. Zbog toga sto je necujan za coveka ali ne i za

sve zivotinje, ultrazvuk se koristi i za zastitu od glodara, insekata i drugih stetocina.

Realne opasnosti po coveka pri primeni ultrazvuka nema - ne vrsi jonizaciju sre-

dine, nema drasticnih promena u molekularnoj strukturi, medutim najupecatljivija mana

primene ultrazvuka je generisanje toplote u tkivima, kao posledica pretvaranja mehanicke

u toplotnu energiju, sto moze dovesti do zamora CNS-a ili usporenog rada neuromisicne

sinapse.

fizika - gaf.ni.ac.rsgaf.ni.ac.rs/fizika/doc/skripta/skripta_prvi_deo.pdf · predgovor ovaj skripta...

Documents